Задача F324

Условие

Из собирающей линзы с фокусным расстоянием $f = 50\ см$ и диаметром $d = 5\ см$ вырезана полоса шириной $h = 5\ мм$, а оставшиеся части сдвинуты вплотную. На расстоянии $l = 75\ см$ от линзы расположен точечный источник света $S$. На каком максимальном расстоянии от линзы можно наблюдать интерференционную картину?

Л. П. Баканина

Решение

Из собирающей линзы с фокусным рассмотрением $F = 50$ cm и диаметром $D = 5$ cm вырезана полоса широкой $h = 5$ мм, а оставшиеся части свинины выполнены интерфейснойную картину. Таким образом,

39

нам нужно найти границы области перекрытия лучков — расстояние $x$ на рисунке 4.

Прежде всего определим положения изображений источника — расстояние $f$ от изображения до соответствующей линии и расстояние $H$ от оси системы. Используя формулу линии и учтывая, что фокусные расстояния новых линии равны $F$, найдем $f$:

$$f = \frac{Fl}{l - F} = 3F.$$

Оптические оси новых линии находятся на расстоянии $h/2$ от оси системы и параллельны этой оси. Это означает, что источник находится на расстоянии $h/2$ от оптической оси каждой линии, а его изображения — на расстоянии $H - h/2$.

Запишем формулу линейного уvelичения линии:

$$\frac{H - h/2}{h/2} = \frac{f}{l},$$

откуда

$$H = \frac{h(l + f)}{2l} = \frac{h(l + 3F)}{2l} = 1,5h.$$

Тепер нетрудно найти $x$. Из подобия треугольников $AOB$ и $BS_2K$ следует, что

$$\frac{AO}{S_2K} = \frac{OB}{BK},$$ или $$\frac{(D - h)/2}{H} = \frac{x}{f - x}.$$

Отсюда

$$x = \frac{f(D - h)}{D - h + 2H} = \frac{3F(D - h)}{D + 2h} = 112,5\text{ см.}$$

◆

Так как колбация шара на спице — гармоничке, то абсцилотная величина силы упругости, действующей на шар при его смесении из положения равновесия, пропорциональна этому смесению:

$$F_{\text{упр}} \sim x,$$ или $$F_{\text{упр}} = k_1x,$$ где $k_1$ — коэффициент пропорциональности. Следовательно, спица эквивалентна общий пружине с жесткостью $k_1$.

Тогда для частоты колбации $v_1$ можно записать:

$$v_1 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}}$$

(m — масса шара).

Во втором случае, когда шар прикреплен к пружине (обозначим ее жесткость через $k_2$), частота колбации равна

$$v_2 = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}}.$$

40

Скрепленные вместе спицу и пружину можно рассматривать как две последовательно соединенные пружины с жесткостьми $k_1$ и $k_2$. Заметим их одной пружиной и выразим ее жесткость $k$ через величины $k_1$ и $k_2$. Так как общая деформация двух последовательно соединенных пружин равна сумме их деформаций, а силы упругости, возникшие в пружинах, по абсолютиной величины совпадают, то $x_0$ общим = $x_1 + x_2$, или $\frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{F_{\text{упр}}}{k_1} + \frac{F_{\text{упр}}}{k_2}$. Следовательно, $k = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$, и $v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k_1 k_2}{(k_1 + k_2) m}}$.

Выразив $k_1$ и $k_2$ из равенств (1) и (2) соответственно, получим окончательную

$$v = \frac{v_1 v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

Н. Ш. Словодецкий