Задача F326

Условие

Закрытый крышкой сосуд доверху наполнен жидкостью, в которой имеются два пузырька. Как изменится давление в жидкости, если пузырьки сольются? Начальное давление в жидкости $p_0$, коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$, радиус каждого пузырька $r_0$. Считать процесс изотермическим.

Р. Л. Энфиаджян

Решение

Закрытый крышкой соедд доверху наполнен жесткостью, в котором имеются два пружика. Как изменится давление в жидкостии, если пружики сольются? Начальное давление в жидкостии $p_0$, коэффициент поверхности натяжения $\sigma$, радиус каждого пружика $r_0$. Считать процесс изометрическим.

Предположим, что рассматриваемая система находится в состоянии неевесомости. Это равносильно тому, что гидрорастаниеское давление отсутствует, и поэтому давление в жидкостии всегда одно и то же. Запишем условие равновесия для каждой пружика до сляния:

$$p_0 + \frac{2\sigma}{r_0} = p_r,$$

где $\frac{2\sigma}{r_0}$ — добавочное давление, обусловленное слиянием поверхностного натяжения жидкости, $p_r$ — давление газа в пружике.

После сляния двух пружиков в один давление газа неизменится, поскольку объем, занимаемый газом, остается постоянным, а добавочное давление изменится, так как радиус пружика становится другим. Раднус $r$ нового пружика найдем из условия построения объема:

$$2 \frac{4}{3} \pi r_0^3 = \frac{4}{3} \pi r^3.$$

Отсюда

$$r = r_0 \sqrt[3]{2}.$$

Условие равновесия для этого пружика можно представить в виде

$$p + \frac{2\sigma}{r} = p_r$$

(п — новое давление в жидкостии). Тогда из (1) — (3) изменение давления в жидкостии равно

$$\Delta p = p - p_0 = \frac{2\sigma}{r_0} \left(1 - \frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right).$$

Попробуйте самостоятельно решить эту задачу для случая пружиков разных радиусов.

Р. Л. Энфиджан

41