Задача F327

Условие

Определить показания электродинамического амперметра $A_1$ и магнитоэлектрического амперметра $A_2$ (рис. 2), пренебрегая их внутренними сопротивлениями, если известно, что на клеммы $A - B$ подается напряжение $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$, причем $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$.

Емкостями между клеммами приборов пренебречь; колебания стрелок приборов незаметны.

В. А. Погожев

47

Решение

Определить показания электродинамического амператора $A_1$ и магнитозлектрического амператора $A_2$ (рис. 6), пребрежная их внутренними сопротивлениями, если известно, что на клеммы $A$—$B$ подается напряжение $u = u_1 + u_2 \sin \omega t$, причем $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$.

Емкостьми между клеммами приборов пребрежные; колебания стрелок приборов незаменены.

Рис. 6.

Рис. 7.

Прежде всего напомним, как устройны магнитозлектрический и электродинамический амператоры. В ампературе магнитозлектрической системы изменяемый ток пропускается через витки легкой подвижной рамки, жестко скрепленной со стрелкой. Рамка находится между положами постоянного магнита. Две спиральные пружины соединяют витки рамки с внешней электрической цепью.

Магнитные силы, действующие на рамку с током, пропорциональны величины тока в рамке, а значит, и врашательный момент этих сил тоже пропорционален величины изменяемого тока. При повороте рамки возникает противодействующий момент управления сил пружинок. Этот момент пропорционален углу поворота рамки. Когда противодействующий момент управления сил станет равным врашательному моменту магнитных сил, установится равновесие. Таким образом, угол поворота рамки в магнитозлектрическом ампературе пряmo пропорционален изменяемой току.

В электродинамическом ампературе подвижная рамка помещена внутри неподвижной катушки, витки которой уже включаются во внешнюю электрическую цепь (последовательно или параллельно виткам подвижной рамки). В этом случае магнитное поле неподвижной катушки не постоянно, а изменяется пропорционально величины тока. Следовательно, магнитные силы, действующие на подвижную рамку, и их врашательный момент изменяются пропорционально квадрату тока. Противодействующий момент управления сил пружинок, как и в первом случае, пропорционален углу поворота рамки. Поэтому угол поворота рамки, а значит, и стрелки прибора электродинамического системы, пропорциональны квадрату изменяемого тока.

Все, что мы говорим, относится по существу к постоянному току. А как будут вести себя приборы при включении их в цепь переменного тока? Очевидно, что врашательные моменты в обихи приборах будут изменяться со временем. Однако, в силу инертности, прижняя рамка не успевает за изменением врашательного момента, а реагирует лишь на его среднее значение, если период изменения тока много меньше периода собственных колебаний рамки (как это и предполагается в условиях задачи).

Поэтому угол поворота рамки магнитозлектрического амператора будет пропорционален среднему за период значению переменного тока, а электродинамического — среднему за период значению квадрата тока.

Поскольку среднее за период значению магнитозлектрического системы не будет реагировать на такой ток. Этот прибором можно пользоваться только для изменений постоянного тока.

Приборы электродинамической системы пригодны и для постоянного, и для переменного токов. Общно их градируют по постоянному току. При включении амператора в цепь переменного тока угол поворота рамки пропорционален среднему за период значению квадрата тока $I^2(t)$, следовательно, показание электродинамического амператора равно $\sqrt{I^2(t)}$, т. е. действующему (эффективному) значению переменного тока.

Теперь вернемся к задаче. Подваемое на клеммы $A$—$B$ напряжение $u$ имеет две составляющие — постоянную ($u_1$) и переменную ($u_2$ sin $\omega t$). Через амператор $A_1$ проходит оба тока (и переменный, и постоянный). Через амператор $A_2$ постоянный ток проходит не может (в цепи есть конденсатор), а переменный ток он не изменяет, следовательно, его показания равны нулю.

42

А что показывает амператор $A_1$? Для построенной составляющей тока схему можно переисвать так, как показано на рисунке 7. Полное сопротивление этой цепи равно $3R$.

Частота $\omega$ переменной составляющей тока равна $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$, т. е. $\omega L = \frac{1}{\omega C}$. Это означает, что полное сопротивление участка цепи, содержащого катушки индуктивности и конденсатор $\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)$, равно нулю. Поэтому схему можно заменить такой, как представлена на рисунке 8. Сопротивление такой цепи равно $2R$.

Птак, через электроннаяческий амператор $A_1$ идет ток

$$I_1(t) = \frac{u_1}{3R} + \frac{u_2}{2R} \sin \omega t.$$

Показания амператора $A_1$ равны

$$I_1 = \sqrt{\frac{I_1^2}{2(t)}} = \frac{1}{6R} \sqrt{(2u_1 + 3u_2 \sin \omega t)^2} = \frac{1}{6R} \sqrt{4u_1^2 + 4,5u_2^2}.$$

В. А. Позжеев

Ф329 *). Многие из вас, повидимому, замечали, что в тот момент, когда вы ступаете на мокрый песк, он светлелет. Это связано с тем, что песк становится сущие. Но как только вы убираете носу, след, оставленный носой, немедленно заполняется водой. Объясните это явление.

Чтобы объяснить, что происходит с песком на берегу реки, начнем с… шариков. Одинаковые шарики можно уложить на плоскости так, чтобы каждый из них касался шести других шаров. В лунки между шарами первого слоя можно положить шары второго слоя. Каждый из них будет касаться трех шаров нижнего слоя и шести соседей своего слоя и т. д. Полученное таким образом расположение шаров называется плотной упаковкой шаров. Если нарушить плотную упаковку, выведя шары одного из лунок между шарами нижнего слоя, промежутки между шарами увеличются. Возрастет и объем всей системы. Это означает, что если на системе из плотного упаковных шаров действуют силы, приводящие к нарушению плотной упаковки, объем системы увеличивается за счет увеличения промежутков между шарами.

Аналогично ведет себя и любая зернистая среда. Возьмите, например, пшено (или кофе), наполните им стакан, слегка встряхивая стакан, чтобы зерна располагались, образуя наиболее плотную из возможных упаковку. Затем надавите на пшено. Давление приведет к увеличению объема, занимаемого зернами, то есть к нарушению плотной упаковки. Часть зерен высыпет. Если теперь слегка поступать по стакану с тем, чтобы зерна вновь «упаковались» наоболее плотно, стакан оказывается не заполненным доверху.

Теперь вернемся к песку на берегу. Он тоже плотно упакован. При давлении на песком плотная упаковка разрушается, и объем песка увеличивается за счет увеличения пространства между песками. Вода из верхних слоев песка уходит вглубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. Песк как «высыхает». Когда ногу убирают, плотная упаковка восстанавливается, а вытесенная из уменьшившихся вновь промежутков вода заполняется след, оставленной ногой.

Н. Ш. Словодечкий

*) Решение задачи Ф328 будет опубликовано в следующем номере.