Задача F332

Условие

Найти расстояние между источником света $S$ и его изображением в оптической системе, приведенной на рисунке 4. Фокусные расстояния линии $A$ и $B$ одинаковы и равны $F$.

В. Г. Сербо

Решение

Наимену рассмотрение между источником света $S$ и его изображением в оптической системе, приведенной на рисунке 17. Фокусные рассмотрения линии $A$ и $B$ одинаковы и равны $F$.

Рис. 17.

Величина $э. d. c. индукции, возбуждаемой в витке радиуса$r_i$, равна$$\mathcal{E}_i = -\frac{\Delta \Phi_i}{\Delta t},$$где$\Delta \Phi_i$— изменение магнитного потока через плоскку, ограниченную витком, за малый промежуток времени$\Delta t$:$$\Delta \Phi_i = S \Delta B = \pi r_i^2 B_0 \left\{ \cos \left[ \omega (t + \Delta t) \right] - \cos \omega t \right\} = -2 \pi r_i^2 B_0 \left[ \sin \omega \left( t + \frac{\Delta t}{2} \right) \sin \omega \frac{\Delta t}{2} \right] \approx -\pi r_i^2 B_0 \omega \Delta t \sin \omega t$$так как$\Delta t$мало, то$\sin \omega \left( t + \frac{\Delta t}{2} \right) \approx \sin \omega t$,$\sin \omega \frac{\Delta t}{2} \approx \omega \frac{\Delta t}{2}$. Э. д. с., наводимая во всей спирали, разна сумме э. д. с., наводимых в витках, то есть$$\mathcal{E} = \sum \mathcal{E}_i = \sum -\frac{\Delta \Phi_i}{\Delta t} = B_0 \omega \sin \omega t \sum \pi r_i^2.$$Величину$\pi r_i^2$можно считать объемом цилиндра, высота которой равна единице, а площад основания$\pi r_i^2$. Тогда$\sum \pi r_i^2$сумма объемов таких цилиндров. Так как разность между радиусами оснований «соседних» цилиндров мала (число витков$n$велико), то объем всех таких цилиндров близок к объему конуса с высотой$n$и площадю основания$\pi R^2$(рис. 16):$$\sum \pi r_i^2 = V = \frac{1}{3} \pi R^2 n.$$Таким образом, э. д. с., наводимая в спирали, равна$$\mathcal{E} = \frac{1}{3} \pi R^2 n B_0 \omega \sin \omega t.$$Изображение$S_1$источника$S$, даваемое линзой$A$, получается справа от линзы на двойном фокусном расстоянии от нее (рис. 18). Действительно, из формулы линзы следует, что$$\frac{1}{2F} + \frac{1}{f_1} = \frac{1}{F},$$откуда$f_1 = 2F$. Это означает, что на линзу$B$попадает сходящей пучок лучей. Этот пучок лучей coincрется в точке$S_2$— изображении источника. Для линзы$B$точки$S_1$— минимисточник. Следовательно (см. рис. 18),$$-\frac{1}{d_2} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{F},$$где$d_2 = F$. Отсюда$$f_2 = \frac{F}{2}.$$\mathrm{⟦}folio45\mathrm{⟧}\text{Рассстояние}$45 Рассстояние l = SS_2$между источником$S$и его изображением$S_2$в оптической системе равно$l = \sqrt{SK^2 + h^2}$, где$SK = 3,5F$. Рассстояние$h$найдет из подобия треугольников$O_2S_1E_2$и$S_2S_1E_1$:$$\frac{h}{a} = \frac{F - f_2}{F}, \quad h = 0,5a.$$Окончательное имеем:$$l = SS_2 = \sqrt{12,25F^2 + 0,25a^2}.$$