Задача M308

Условие

Если при любом $x$
$a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots + a_n \cos nx \geq -1$
то для чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполне-

но неравенство
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$.

Докажите это утверждение a) для $n = 2$; 6) для $n = 3$; в) для любого натурального $n$.

Ю. И. Ионин

Решение

Если при любом $x$ $a_1\cos x + a_2\cos 2x + \dots + a_n\cos nx \geq -1$, то для чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ выполняющего неравенство $a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$. Доказание это утверждение: a) для $n = 2$; б) для $n = 3$; с) для любого натурального $n$.

a) Достаточно положить $x = \frac{2\pi}{3}$.

b) Положите последовательно $x = \frac{\pi}{2}, x = \pi, x = \frac{3\pi}{2}$ и сложите получшиеся неравенства.
b) Доказем предварительно следующее формулу: если $\varphi = -\frac{2k\pi}{n+1}$, где $k$ и $n$ — целые числа, причем $k$ не делится на $n+1$, то
$$\cos \varphi + \cos 2\varphi + \cos 3\varphi + \dots + \cos n\varphi = -1. \quad (*)$$
Пусть данные точки $O$ и $A_0$. Повернуть точку $A_0$ на угол $\varphi$ относительно точки $O$, получим точку $A_1$. Из точки $A_1$ тем же поворотом получим точку $A_2$, из точки $A_2$ — точку $A_3$ и так далее. Так как $(n+1)\varphi = 2k\pi$, то точка $A_{n+1}$ совпадает с точкой $A_0$. Сумма векторов $\overrightarrow{OA_0}, \overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \dots, \overrightarrow{OA_n}$ равна нуль-вектору. Действительно, при повороте каждого из этих векторов на угол $\varphi$ относительно точки $O$ на тот же угол должен повернуть и вектор, равный их сумме. Так как, с другой стороны, вектор, равный сумме векторов $\overrightarrow{OA_0}, \overrightarrow{OA_1}, \dots, \overrightarrow{OA_n}$, не изменится при этом повороте (ибо точка $A_0$ перейдет в точку $A_1$, точка $A_1$ — в точку $A_2$, …, точка $A_n$ — в точку $A_0$), то он равен нуль-вектору.
Предположим теперь, что точка $O$ является началом координат, а вектор $\overrightarrow{OA_0}$ имеет длину 1 и направлен по оси абсцисс. Так как проекция суммы векторов на любую ось равна сумме их проекций на эту ось, то сумма проекций векторов $\overrightarrow{OA_1}, \overrightarrow{OA_2}, \dots, \overrightarrow{OA_n}$ на ось абсцисс равна -1 (проекция вектора $\overrightarrow{OA_0}$ на ось абсцисс равна 1). Но эти проекции равны, очевидно, $\cos \varphi, \cos 2\varphi, \dots, \cos n\varphi$, отсутстви сследует формула (*).

Формулу (*) можно доказать и инначе, умножив обе части на $2\sin \frac{\varphi}{2}$ и воспользовавшись формулой
$$2\sin \frac{\varphi}{2}\cos k\varphi = -\sin \left(k - \frac{1}{2}\right)\varphi + \sin \left(k + \frac{1}{2}\right)\varphi,$$
— сделайте это самостояльно.

Перейдем к решению задачи в).
Взяв произвольное число $x_1$, положим $x_2 = 2x_1, x_3 = 3x_1, \dots, x_n = nx_1$. При $x = x_1, x = x_2, x = x_3, \dots, x = x_n$ получим неравенства:
$$a_1\cos x_1 + a_2\cos 2x_1 + a_3\cos 3x_1 + \dots + a_n\cos nx_1 \geq -1,$$

41

$$a_1 \cos x_2 + a_2 \cos 2x_2 + a_3 \cos 3x_2 + \dots + a_n \cos nx_2 \geq -1,$$
$$a_1 \cos x_3 + a_2 \cos 2x_3 + a_3 \cos 3x_3 + \dots + a_n \cos nx_3 \geq -1,$$
$$\dots$$
$$a_1 \cos x_n + a_2 \cos 2x_n + a_3 \cos 3x_n + \dots + a_n \cos nx_n \geq -1.$$

Учитывая, что $kx_l = klx_1 = lkx_1 = lx_k$, эти неравенства можно переписать так:

$$a_1 \cos x_1 + a_2 \cos x_2 + a_3 \cos x_3 + \dots + a_n \cos x_n \geq -1,$$
$$a_1 \cos 2x_1 + a_2 \cos 2x_2 + a_3 \cos 2x_3 + \dots + a_n \cos 2x_n \geq -1,$$
$$a_1 \cos 3x_1 + a_2 \cos 3x_2 + a_3 \cos 3x_3 + \dots + a_n \cos 3x_n \geq -1,$$
$$\dots$$
$$a_1 \cos nx_1 + a_2 \cos nx_2 + a_3 \cos nx_3 + \dots + a_n \cos nx_n \geq -1.$$

Сложив эти неравенства и положив $x_1 = \frac{2\pi}{n+1}$ (тогда $x_2 = \frac{4\pi}{n+1}$, $x_3 = \frac{6\pi}{n+1}$, $\dots$, $x_n = \frac{2n\pi}{n+1}$), придем на основании формулы (*) к неравенству

$$-a_1 - a_2 - a_3 - \dots - a_n \geq -n,$$

откуда

$$a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n \leq n^*).$$

Ю. И. Нокин