Задача M313

Условие

Дан угол с вершиной $O$. Расмотрим множество четырех вершин $M$ паралелограммов ONML, вершины $N$ и $L$ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величины $k$. (Это множество называется zигерболой.) Докажите что на биссертрисе этого угла и на ее продолжении найдется также точки $F_1$ и $F_2$ (где $|F_10| = |0F_2|$) для которых разность расстояний $|F_1M| - |F_2M|$ не зависит от точки $M$.

И. Н. Бронштейн

Решение

Дан угодл с вершиной O. Рассмотрим множество четырех вершин M параллелограммов ONML, вершины N и L коморых лежам на сторонах данной угла, а площадь равна постоянной величины. (Это множество называется синерболой.) Докажите, что на биссерпсе это угла и на ее продолжении найдумся также точки $F_1$ и $F_2$ ($2de |F_1O| = |F_2O|$), для коморых разность расстояния

$$||F_1M| - |F_2M||$$

не зависит от точки $M$.**

Пусть $2\alpha$ — заданный угол, $A$ — вершина гиперболы (точка ее пересечения с биссерпсой), $A'$ — симметриная точка относительно $O$, $KMQ$ — перpendикуляр к этой биссерпсе, проходящий через $M$ (К лежит на биссерпсе, $Q$ — на стороне угла, см. рис. 3).

Введем обозначения: $r_1 = |F_1M|$, $r_2 = |F_2M|$, $a = |OA| = |OA'|$, $x = |ON|$, $y = |OL|$, $r = |OM|$, $\varphi = \widehat{AOM}$, наконец, $c$ — искомое расстояние точки $F_1$ и $F_2$ от вершины $O$ угла (центра гиперболы). (Для значших аналитических геометрию: $x$ и $y$ — косоугольные координаты точки $M$, $a$ и $\varphi$ — ее полярные координаты.)

44

По условию задачи, синний и желтый паралелограммы должны иметь одинаковую площадь:

$$k = xy \sin 2\alpha = \left( \frac{a}{2 \cos \alpha} \right)^2 \sin 2\alpha,$$

откуда

$$xy = \frac{a^2}{4 \cos^2 \alpha}. \tag{1}$$

Нужно найти такое положение $F_1$ и $F_2$ (то есть такое значение $c$), чтобы разность $r_2 - r_1$ была одной и той же для всех точек $M$ гиперболы. В частности, для ее вершины $A$ эта разность $|F_1A| - |F_2A|$, вследствие симметрины $(|F_2A| = |F_1A'|)$, равна $|A'A| = 2a$ (оси гиперболы). Значит, эта разность должна быть равна

$$r_2 - r_1 = 2a. \tag{2}$$

Найдем выражения $r_1$ и $r_2$ через постоянные $a, c$ и $\alpha$ (в эти выражения войдут, конечно, и какие-то переменные величины). Применяя теорему косинусов для треугольников $F_1MO, F_2MO$ и $OMN$, имеем:

$$r_{1,2}^2 = c^2 + r^2 \pm 2cr \cos \varphi \tag{3}$$

(верхний знак для $r_1$, нижний для $r_2$) и

$$r^2 = x^2 + y^2 + 2xy \cos 2\alpha. \tag{4}$$

Угол $\varphi$ можно из формулы (3) сразу использовать: из чертежа видно, что

$$r \cos \varphi = |OK| = |OQ| \cos \alpha = (|OL| + |LQ|) \cos \alpha =$$

$$= (|OL| + |LM|) \cos \alpha = (x + y) \cos \alpha;$$

следоватьно,

$$r_{1,2}^2 = c^2 + r^2 \pm 2c(x + y) \cos \alpha. \tag{3'}$$

Подставляя (4) в (3’) и использовать условия (1) и то жеств а $\cos 2\alpha = 2 \cos^2 \alpha - 1$ и $x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$, получаем:

$$r_{1,2}^2 = c^2 + (x + y)^2 - 2xy + 2xy \cos 2\alpha \pm 2c(x + y) \cos \alpha =$$

$$= c^2 + (x + y)^2 - \frac{a^2}{2 \cos^2 \alpha} +$$

$$+ \frac{a^2}{2 \cos^2 \alpha} (2 \cos^2 \alpha - 1) \pm 2c(x + y) \cos \alpha =$$

$$= \left[ c^2 - \frac{a^2}{2 \cos^2 \alpha} \right] + \left[ (x + y)^2 + a^2 \pm 2c(x + y) \cos \alpha \right]. \tag{5}$$

Do схх пор $c$ было произвольным. Подберем его теперь так, чтобы формула (5) прибрела возможность более простой вид. Положим $c = \frac{a}{\cos \alpha}$ (тогда $|OF_2| = |OB|$, см. рисунок). Тогда формула (5) принимает следующий вид:

$$r_{1,2}^2 = (x + y)^2 + a^2 \pm 2(x + y) a = [(x + y) \pm a]^2.$$

Из рисунка ясно, что $x + y > a$ ($|OQ| > |OA|$); следовательно,

$$r_1 = (x + y) + a, \quad r_2 = (x + y) - a.$$

Отсюда получается $r_1 - r_2 = 2a$. Интересно заметить, что $r_1 + r_2 = 2(x + y)$, т. е. с учм а рассмотрён любой мощи гиперболы до ее фокусов разна переменную паралелограмма, лежащое в определенной гиперболы.

45