Задача M318

Условие

В треугольнике $ABC$ проведены биссертрисы $[AD]$ и $[CE]$. Докажите, что $|CE| \cdot |AB| = |AD| \cdot |BC|$ тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из двух условий: 1) $|AB| = |BC|$; 2) $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

А. П. Сабин

Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и CE. Доказите, что $|CE| \cdot |AB| = |AD| \cdot |BC|$ между молько модула, коэффицием хотя бы одно из двух условий: 1) $|AB| = |BC|$; 2) $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

Введем стандартные обозначения: $a$ — длина стороны BC, $c$ — длина стороны AB, $l_a$ — длина биссектрисы угла A, $l_c$ — длина биссектрисы угла C. Величины углов при вершинах соответствующего обозначим через $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Кроме того, обозначим величины угла AEC через $\varphi_1$, а угла ADC через $\varphi_2$ (рис. 1). Из рассмотренная треугольник AEC и ADC следует, что

$$\alpha + \frac{\gamma}{2} + \varphi_1 = \pi,$$

$$\frac{\alpha}{2} + \gamma + \varphi_2 = \pi.$$

Кроме того, мы можем выразить площадь треугольника ABC двумя способами: $S = \frac{1}{2} al_a \sin \varphi_2$ и $S = \frac{1}{2} cl_c \sin \varphi_1$, поскольку $h_a = l_a \sin \varphi_2$, а $h_c = l_c \sin \varphi_1$. Отсюда

$$al_a \sin \varphi_2 = cl_c \sin \varphi_1.$$

Покажем теперь, что из соответствия

$$al_a = cl_c$$

следует хотя бы одно из условий, данных в задаче. Из (2) и (3) следует, что

$$\sin \varphi_2 = \sin \varphi_1.$$

Равенство синусов может быть в двух случаях (так как $0 < \varphi_i < \pi$):

$$\varphi_1 = \varphi_2,$$

$$\varphi_1 = \pi - \varphi_2.$$

Если выполено (5), то из (1) получаем:

$$\alpha + \frac{\gamma}{2} + \varphi_1 = \pi,$$

$$\frac{\alpha}{2} + \gamma + \varphi_1 = \pi.$$

Вычитая одно соответствие из другого, получаем, что $\alpha = \gamma$, то есть треугольник ABC — равноведенный, $a = c$.

Пусть выполено соответствие (6), тогда из (1) следует, что

$$\alpha + \frac{\gamma}{2} + \varphi_1 = \pi,$$

$$\frac{\alpha}{2} + \gamma + \pi - \varphi_1 = \pi.$$

Складывая эти соответствия, получаем

$$\frac{3}{2} \alpha + \frac{3}{2} \gamma = \pi,$$

38

Рис. 2.