Задача M355

Условие

$N$ ребят перекидывают $N$ мячами. В начале игры каждый из нихbrosает свой мяч кому-нибудь из своих товаров и сам ловит брошенный крем-нибудь мяч (он может подбросить и попытать свой собственный мяч) так, что снова у всех оказывается по мячу. Затем ребята опятьbrosают мяч тем же, кому ониbrosали их в первых раз, и так далее. Игра останавливается, когда все мячи вер-

31

нулись к своим владелцам (что мычи не перепутались, будем считать их разноцветными).
Докажите, что
a) к каждому из участников мяч вернется впервые не более чем через $N$ бросаний;
b) игра обязательно закончится;
b)) для 5, 10 и 15 участников она может закончится самоое большее через соответствие 6, 30 и 105 бросаний (а какова максимальная возможность игры для $N = 7$, $N = 8$, $N = 20$?);
г)) длительность игры всегда является делительом числа $N!=1\cdot 2\cdots N$;
d)*) длительность игры не может превышать $3N/3$.

Э. Г. Белаea