Kvant 1970, số 1 · Trang

Tạp chí khoa học phổ thông về vật lý và toán học
Kvant
1
1970
của
Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm Khoa học
Sư phạm Liên Xô

E=Ihv

71

Tổng biên tập — viện sĩ I. K. KIKOIN
Phó tổng biên tập thứ nhất — viện sĩ A. N. KOLMOGOROV

Ban biên tập:

L. A. Artsimovich,
M. I. Bashmakov
V. G. Boltyansky,
I. N. Bronstein
N. B. Vasilyev
I. F. Ginzburg
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,
G. I. Kosourov
V. A. Leshkovtsev
V. P. Lishevsky
A. I. Markusevich,
M. D. Milliounitskov,
N. A. Patrikeeva
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
I. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
Ya. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
Ya. E. Schneider

viện sĩ
thành viên thông tấn Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
(phó tổng biên tập)

thành viên chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
viện sĩ
viện sĩ
(phó tổng biên tập)

thành viên chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
viện sĩ

tiến sĩ khoa học vật lý và toán học
thành viên chính thức Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
(thư ký phụ trách)

Trưởng ban biên tập L. I. Knyazeva.
Biên tập mỹ thuật I. P. Leonov.
Biên tập kỹ thuật V. S. Nikiforova.
Hiệu đính O. A. Stseal, I. B. Mamulova.
Nhà xuất bản «Nauka»
Tổng biên tập văn học vật lý — toán học
Moskva, V-71, đại lộ Leninsky, 15.

Đưa vào sắp chữ ngày 30/X 1969. Ký in ngày 16/1 1970.
Giấy 70×100¹/16. Tờ in vật lý 4. Tờ in quy ước 5,2.
Tờ xuất bản 5,25. Số lượng 201 000 bản. T-00118.
Giá 30 kopeck. Đơn đặt hàng 2241.
Nhà máy in Chekhov thuộc Tổng cục công nghiệp in
của Ủy ban báo chí trực thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô
thành phố Chekhov, tỉnh Moskva

⟦trang 1⟧

1
Tạp chí khoa học phổ thông vật lý-toán học
Kvani
của Viện Hàn lâm
Khoa học Liên Xô
và
Viện Hàn lâm
Khoa học Sư phạm
Liên Xô

TRONG SỐ NÀY:
Gửi bạn đọc
4
Câu chuyện về lượng tử
6
Ia. A. Xmorôđinxki
Phân số liên tục
16
N. M. Bexkin
Hàm số là gì
27
A. N. Cônmôgôrôp
Ma sát khô
37
I. S. Xlôbôđetxki
Tinh thể từ các viên bi
44
G. I. Côxourôv
Nguồn gốc các tên gọi
của các hình hình học
50
B. A. Rôdenphen
Sách bài tập “Kvana”
52
Trường toán học
hàm thụ
55
Các trường nội trú
vật lý-toán học
58
A. N. Cônmôgôrôp,
V. A. Guxev, A. A. Egô-
rôv, E. L. Xurcôv
Các nhà vật lý nghĩ về điều gì
60
V. A. Lechkôvtxev
Đáp số, chỉ dẫn, lời giải
62
Tạp mục
26, 43, 54, 64
Ô chữ
trang bìa thứ 3
1

2

Tôi nhiệt liệt chúc mừng các độc giả trẻ,
những người quan tâm đến vật lý và toán học hiện đại,
mong muốn mở rộng và làm sâu sắc thêm kiến thức của mình
trong những lĩnh vực khoa học hấp dẫn này,
nhân dịp ra mắt tạp chí mới «Kvant».
Chân trời của khoa học trong thời đại của chúng ta
đã trở nên ngày càng không thể bao quát,
vai trò của tri thức khoa học trong đời sống con người
chưa bao giờ lớn đến như vậy.
Một trong những đặc điểm tiêu biểu của khoa học hiện đại
là sự thâm nhập ngày càng sâu rộng của các phương pháp
toán học và vật lý trong những lĩnh vực tri thức khác nhau.
Toán học và vật lý cùng với các khoa học tự nhiên khác
là nền tảng của tiến bộ kỹ thuật.
Ở nước ta, những lĩnh vực này đạt trình độ cao;
trong những hướng khoa học quan trọng nhất
đất nước ta đã vươn lên những vị trí hàng đầu trên thế giới.
Để có thể hiểu rõ những vấn đề phức tạp nhất
của khoa học và kỹ thuật ngày nay, cần phải từ những năm tháng trẻ tuổi
không ngừng làm chủ tri thức.
Và tạp chí mới sẽ giúp đỡ rất nhiều cho thanh niên của chúng ta trong việc này.
Việc mở rộng các mối liên hệ
giữa các nhà khoa học với giáo viên trường trung học và học sinh,
chắc chắn sẽ góp phần phát hiện
và bồi dưỡng những tài năng trẻ,
nâng cao trình độ chung của kiến thức vật lý-toán học trong đất nước.

Chào mừng sự ra đời của tạp chí, tôi muốn
chúc các nhà toán học và vật lý trẻ,
tất cả độc giả của «Kvant» đạt nhiều thành công lớn trong học tập,
trong công việc, trong việc tiếp thu và hoàn thiện
kiến thức của mình.

Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
Viện sĩ M. В. KELDYSH

3

Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm
vui mừng chúc mừng bạn đọc
nhân dịp tạp chí «Lượng tử» ra mắt.
Chúng tôi hy vọng rằng tạp chí mới
sẽ giúp đào tạo
những nhà khoa học,
kỹ sư và kỹ thuật viên tài năng lớn,
xứng đáng là những người tiếp nối
những truyền thống vĩ đại của Lomonosov,
Lobachevsky, Mendeleev,
Tsiolkovsky, Vavilov, Korolev
và những nhà khoa học lớn khác
của đất nước.
Tổ quốc chúng ta
giữ vai trò nổi bật
trong tiến trình khoa học thế giới,
trong cuộc cách mạng
khoa học - kỹ thuật hiện đại.
Mong rằng «Lượng tử»,
sẽ góp phần vào sự trưởng thành
của những tài năng trẻ,
đóng góp của mình vào sức mạnh
và sự phồn vinh của đất nước Xô viết.
Chúc bạn đọc «Lượng tử»
thu nhận được trên những trang của nó
càng nhiều tri thức càng tốt,
sau đó áp dụng những tri thức ấy
vì lợi ích của nhân dân vĩ đại của chúng ta.

Chủ tịch Viện Hàn lâm
Khoa học Sư phạm Liên Xô
Viện sĩ V. M. KVOSTOV

Chúc tạp chí mới «Lượng tử»
đạt được những thành công lớn
trong việc truyền bá những thành tựu
của các khoa học vật lý - toán học,
trong việc phát triển ở những bạn đọc trẻ của mình
sự quan tâm đến việc nhận thức tự nhiên.
Tôi tin rằng
«Lượng tử» sẽ góp phần
hình thành thế giới quan duy vật
của học sinh,
những niềm tin khoa học - kỹ thuật của họ,
giáo dục lòng yêu nước Xô viết
và chủ nghĩa quốc tế vô sản,
thái độ cộng sản
đối với lao động.
Chúc bạn đọc tạp chí «Lượng tử»
tích cực tham gia
vào sáng tạo kỹ thuật,
vào công cuộc hợp lý hóa
và phát minh,
vào việc giải quyết những bài toán
và câu hỏi khó khăn,
nhưng hấp dẫn
trong lĩnh vực
các khoa học vật lý - toán học.

Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô
M. A. PROKOFIEV

4

GỬI ĐẾN BẠN ĐỌC

Ở nước ta xuất bản nhiều tạp chí khoa học. Chúng cần thiết cho các nhà toán học và vật lý học, các nhà sinh học và bác sĩ, các nhà địa lý học và địa chất học, các kỹ sư thuộc nhiều chuyên ngành khác nhau, các giáo viên và, tất nhiên,… học sinh. Nhưng học sinh cho đến nay vẫn chưa có tạp chí khoa học RIÊNG CỦA MÌNH. Đã đến lúc phải lấp đầy khoảng trống này. Chúng tôi mong muốn rằng đối với những học sinh quan tâm đến toán học và vật lý học, «Квант» sẽ trở thành tạp chí khoa học đầu tiên của các em.

Việc thành lập một tạp chí mới dành cho học sinh là bằng chứng về công việc thường xuyên của Đảng và nhà nước đối với thanh niên. Điều có ý nghĩa là tạp chí được phát hành vào năm Đại lễ kỷ niệm — 100 năm ngày sinh của V. I. Lenin, người đã mở ra cho tất cả các dân tộc trong đất nước chúng ta con đường tiếp cận những đỉnh cao của tri thức nhân loại.

Tất nhiên, chúng tôi trông cậy vào những học sinh mà toán học và vật lý học đơn giản là «thích» hoặc có thể trở nên thích thú. Nhưng hiện nay nhu cầu của đất nước về những thanh niên say mê nghiên cứu khoa học và vượt ra ngoài những yêu cầu bắt buộc của nhà trường là rất lớn. Ở Liên Xô, vào cuối năm 1968, có hơn 800 000 cán bộ khoa học, trong số đó có hơn 80 000 chuyên gia về các khoa học vật lý-toán học. Tổng số cán bộ khoa học, kỹ sư, nhà kinh tế học v.v., những người cần phải nắm vững các phương pháp toán học và nghệ thuật thí nghiệm vật lý bằng sáng kiến và óc sáng tạo của riêng mình, chẳng bao lâu nữa sẽ được tính bằng hàng triệu người. Vì vậy đất nước chúng ta quan tâm đến việc những học sinh cảm thấy mình có khả năng giải quyết các bài toán toán học và vật lý, kịp thời suy nghĩ về việc lựa chọn con đường sống tương lai như vậy, trên đó khả năng và hứng thú của các em không bị lãng phí.

Tất nhiên, mọi khả năng để học tập thành công toán học và vật lý học sẽ được tạo ra. Các trường chuyên vật lý-toán học được tổ chức, với học sinh lớn tuổi tiến hành các buổi học tự chọn bổ sung, các kỳ thi Olympic vật lý và toán học được tổ chức. Đây cũng chính là một trong những mục đích của «Квант». Trong tạp chí sẽ có nhiều tài liệu thích hợp cho công việc trong các nhóm học sinh ở trường. Nhưng cũng có thể làm việc độc lập với tạp chí.

6

VỀ LƯỢNG TỬ

YA. A. SMORODINSKY

Bài viết nói về một khái niệm rất phức tạp và đồng thời cơ bản, có vai trò to lớn trong vật lý hiện đại. Chính vì thế bài viết hơi khó hiểu. Nhưng chúng tôi không thể không kể trong số đầu tiên của tạp chí về lượng tử như một khái niệm vật lý, vì tạp chí của chúng tôi mang tên «Kvant».

HAI CÔNG THỨC NGẮN NHẤT CỦA VẬT LÝ HIỆN ĐẠI

Vật lý lượng tử hiện đại ra đời ngày 14 tháng Mười Hai năm 1900. Hôm ấy, tại một phiên họp của Hội Vật lý Berlin, Max Planck đã đọc báo cáo. Trong báo cáo của ông, lần đầu tiên xuất hiện một hằng số thế giới mới, ký hiệu bằng chữ $h$ và được gọi là lượng tử tác dụng sơ cấp. Nó được gọi là sơ cấp vì xác định năng lượng nhỏ nhất mà bức xạ điện từ có thể mang theo.

Từ lượng tử bắt nguồn từ từ Latin quantum, nghĩa là «bấy nhiêu» (chẳng hạn, quantum placet nghĩa là «bấy nhiêu tùy ý»). $h$ nay được gọi là hằng số Planck, và giá trị chính xác nhất của nó là:

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-34} \text{ jun·giây.}$$

(hệ SI),

hoặc

$$h = 6,6262 \cdot 10^{-27} \text{ ecg·giây.}$$

(hệ CGS).

Thay vì $h$, các nhà vật lý thường dùng một đại lượng khác, nhỏ hơn 2π lần. Nó cũng được gọi là hằng số Planck và được ký hiệu

$$\frac{h}{2\pi} = \hbar = 1,05459 \cdot 10^{-34} \text{ jun·giây.}$$

Công thức Planck được viết như sau:

$$E = hv.$$

Ở đây $E$ — phần nhỏ nhất của ánh sáng (hoặc sóng vô tuyến, hoặc tia X, hoặc bất kỳ bức xạ điện từ nào khác) mà nguyên tử, phân tử hoặc tinh thể có thể phát ra hoặc hấp thụ ở tần số bức xạ đã cho $v$. Đối với ánh sáng nhìn thấy, tần số xác định «màu» của ánh sáng. Màu xanh tương ứng với tần số lớn, màu đỏ — nhỏ hơn. Tần số dao động của bức xạ liên hệ với bước sóng $\lambda$ bởi hệ thức

$$v = \frac{c}{\lambda},$$

7

trong đó $c$ — tốc độ ánh sáng, trong chân không bằng $3 \cdot 10^8$ m/giây (chính xác hơn là 299792,5 km/giây). Như vậy, hằng số Planck liên hệ năng lượng nhỏ nhất của bức xạ với tần số của nó, cho thấy rằng tỉ số $E$ với $v$ luôn là một đại lượng không đổi.

Công thức Planck cùng với công thức Einstein liên hệ khối lượng và năng lượng: $E = mc^2$, — là hai công thức ngắn nhất và có ý nghĩa nhất của vật lý hiện đại.

Ta hãy thử hiểu điều gì đã dẫn Planck đến sự cần thiết của giả thuyết lượng tử và vì sao công thức Planck lại quan trọng đến vậy.

MỌI CHUYỆN BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU?

Nếu cho ánh sáng đi qua một lăng kính, thì trên màn đặt phía sau nó sẽ xuất hiện một quang phổ nhiều màu. (Newton là người đầu tiên quan sát nó.) Sau đó người ta biết rằng quang phổ không chỉ do ánh sáng Mặt Trời tạo ra, mà còn do bức xạ của bất kỳ vật thể nào bị nung nóng. Nhiệt độ của vật thể càng cao thì trong quang phổ càng có nhiều tia xanh. Vật thể không được nung nóng nhiều (đến khoảng 500 C) — có màu đỏ, bị nung nóng mạnh (đến khoảng 1000 C) — màu trắng. Dần dần, trước nhà nghiên cứu đặt ra hai câu hỏi: quang phổ của vật thể phụ thuộc thế nào vào nhiệt độ của nó và năng lượng được phân bố dọc theo quang phổ ra sao?

Nếu đặt nhiệt kế tại những vị trí khác nhau của quang phổ, thì có thể xác định phần năng lượng rơi vào mỗi đoạn của quang phổ. Tốt hơn là không dùng nhiệt kế mà dùng trực tiếp nhiệt lượng kế. Lượng nhiệt đo được rơi, chẳng hạn, lên một dải quang phổ rộng 1 cm, chính là những đại lượng ta cần. Độ dài hình học của quang phổ phụ thuộc vào khoảng cách đến màn, vì vậy người ta thường đo năng lượng rơi không phải trên 1 cm, mà trên một đoạn quang phổ tương ứng với tần số bức xạ $v$ hoặc một bước sóng xác định $\lambda$.

Tỉ số giữa lượng năng lượng tập trung trong một dải hẹp của quang phổ trên đoạn tần số trong khoảng từ $v$ đến $v + \Delta v$, với $\Delta v$ được gọi là mật độ phổ năng lượng, hay đơn giản là hàm phổ, và được ký hiệu là $f(v)$.

Hàm phổ $f(v)$ có dạng nào? Rõ ràng nó phụ thuộc vào nhiệt độ của vật thể. Nói chung, $f(v)$ cũng khác nhau đối với những vật thể khác nhau. Vậy làm thế nào để xác định dạng của hàm phổ? Đó là một bài toán khó, và để kể cách nó được giải quyết, phải bắt đầu từ xa. Nhưng trước hết, thêm vài lời về hàm phổ.

Sơ đồ quang phổ ánh sáng nhìn thấy

Bên trái là đầu tím của quang phổ, bên phải là đỏ. Ở trên là các bước sóng tính bằng angstrom $(1 \text{Å} = 10^{-8} \text{cm})$, ở dưới là các tần số tính bằng nghịch đảo giây ($\frac{1}{\text{giây}} = \frac{1}{2\pi}$ héc). Lượng năng lượng rơi vào bốn dải quang phổ được tô đậm tỉ lệ như các giá trị của hàm phổ $-f(0,120 \cdot 10^{15})$: $f(0,096 \cdot 10^{15})$: $f(0,080 \cdot 10^{15})$: $f(0,067 \cdot 10^{15})$.

$\omega \frac{1}{\text{giây}}$ 0,75 $\cdot 10^{15}$ 0,59 $\cdot 10^{15}$ 0,49 $\cdot 10^{15}$ 0,43 $\cdot 10^{15}$
$\nu_{\text{héc}}$ 0,120 $\cdot 10^{15}$ 0,096 $\cdot 10^{15}$ 0,080 $\cdot 10^{15}$ 0,067 $\cdot 10^{15}$

8

HÀM PHỔ

Hàm phổ $f(v)$ — có lẽ là điều khó hiểu nhất trong bài viết này. Phổ mà chúng ta thấy trên màn hình kéo dài thành một dải liên tục, và trong đó có tất cả các phần. Không có ý nghĩa khi hỏi năng lượng nào có thể gắn với một phần $v$ xác định chính xác trong phổ. Khi nước chảy ra từ nguồn, không thể hỏi có bao nhiêu nước chảy ra vào một thời điểm nhất định nào đó, chẳng hạn đúng 12 giờ trưa. Chính xác vào thời điểm đó thể tích nước chảy ra bằng không. Để chảy ra một lượng nước nào đó, cần phải có ít nhất một khoảng thời gian nhỏ trôi qua. Có thể hỏi có bao nhiêu nước chảy ra trong khoảng thời gian từ 12.00 đến 12.01. Có thể hỏi có bao nhiêu nước trong bất kỳ khoảng thời gian $\Delta t$ nào từ 12 giờ đến 12 giờ + $\Delta t$ phút. Nếu nước chảy tương đối đều và trong 1 phút chảy ra $g \cdot cm^3$ nước, thì trong thời gian $\Delta t$ sẽ chảy ra $g(t) \cdot \Delta t \cdot cm^3$.

Chúng ta viết không phải $g$, mà là $g(t)$, vì vào những thời điểm khác nhau (một giờ chiều, hai giờ chiều, v. v.) nước có thể chảy khác nhau. Điều này, chẳng hạn, có nghĩa là lượng nước chảy ra trong 1 phút lúc 12.15 trưa và lượng nước chảy ra trong 1 phút lúc 12.30 có tỷ lệ như $g(15) : g(30)$, nếu lấy thời điểm bắt đầu tính thời gian là buổi trưa — 12.00.

Khi tính lượng nước, chúng ta gặp một đại lượng mới, đại lượng mô tả cường độ của một quá trình liên tục. $g$ là tỷ số giữa lượng nước chảy ra trong khoảng thời gian $\Delta t$ với khoảng thời gian này, khi nó được lấy rất nhỏ.

Hàm phổ có ý nghĩa tương tự; nó xác định tỷ số giữa lượng năng lượng trong một dải phổ với độ rộng của dải này, khi độ rộng của dải được lấy rất nhỏ. Độ rộng khi đó, như đã nói, thay đổi không phải theo độ dài mà theo tần số.

HẠT HAY SÓNG?

Ngay từ đầu, cơ học đã gặp những bài toán có thể chia thành hai loại hoàn toàn khác nhau. Chuyển động của các điểm vật chất và các vật rắn được mô tả bằng các phương trình Newton. Từ các phương trình này có thể xác định quỹ đạo chuyển động của vật, chẳng hạn như các hành tinh trong hệ Mặt Trời, và mô tả cách chuyển động diễn ra dọc theo quỹ đạo. Nhưng cũng có những đối tượng khác. Chuyển động của nước trong các kênh, sự lan truyền của âm thanh trong không khí, sự uốn cong của một thanh sắt — tất cả những bài toán này thuộc về cơ học môi trường liên tục, và được nghiên cứu trong thủy động lực học, khí động lực học, lý thuyết đàn hồi và các phần khác của cơ học.

Môi trường liên tục và hệ các điểm vật chất được xem là những đối tượng vật lý hoàn toàn khác nhau. Ngay cả khi giải bài toán về dòng chảy của nước, người ta có tách ra trong tưởng tượng một thể tích nhỏ của chất lỏng, thì thể tích này cũng không được liên hệ theo cách nào với các phân tử của chất lỏng (về các phân tử nói chung, người ta chỉ biết đến nhiều năm sau khi các phương trình thủy động lực học đã được viết).

Sóng trong nước hoặc trong không khí (ví dụ, những sóng được gọi là âm thanh) và một hành tinh chuyển động quanh Mặt Trời dường như có ít điểm chung. Mọi thứ đều rõ ràng, chỉ có một câu hỏi trong việc theo dõi quang học: ánh sáng là gì? Là dòng các hạt nhỏ nhất, như Newton — người ủng hộ thuyết hạt — đã nghĩ, hay là sóng trong một môi trường nào đó — ête vũ trụ, như Huygens — người sáng tạo ra quang học sóng — đã nghĩ? Sự phổ biến của mỗi lý thuyết thay đổi theo từng thời kỳ, nhưng không ai có thể tìm thấy một lập luận quyết định để ủng hộ một trong số chúng: trong một số hiện tượng, ánh sáng cư xử như một dòng hạt, trong những hiện tượng khác — như sóng. Ngày nay chúng ta biết rõ rằng trong điều này không có sự mâu thuẫn — việc hiểu được điều này chỉ trở nên có thể nhờ lý thuyết lượng tử. Trong quá khứ же

9

mâu thuẫn dường như không thể giải quyết. Ánh sáng phải hoặc là sóng, hoặc là hạt. Khẳng định này có vẻ hoàn toàn chặt chẽ về mặt logic.

BẬC TỰ DO

Sự khác nhau giữa một hệ các hạt vật chất và một môi trường liên tục hiện ra rất rõ nếu xét trạng thái của hệ được xác định bằng bao nhiêu tọa độ.

Vị trí của mỗi điểm trong không gian được xác định bởi ba số — ba tọa độ. Người ta nói rằng một chất điểm có ba bậc tự do. Nếu hệ gồm $N$ chất điểm, thì người ta nói rằng nó có $3N$ bậc tự do.

Lập luận tương tự cũng có thể chứng minh cho vận tốc. Vận tốc của một điểm được mô tả bởi ba số — ba thành phần của vectơ vận tốc. Vận tốc của $N$ điểm cần $3N$ số để mô tả.

Cần cho bao nhiêu số để mô tả trạng thái mặt biển? Nói một cách chặt chẽ, đối với mỗi điểm trên mặt biển cần cho ba số — vectơ vận tốc của nước tại điểm đó; do đó số lượng các số sẽ là vô hạn. Mặt biển hiện ra đối với chúng ta như một hệ có vô số bậc tự do. Hơn nữa, sự kiện nước gồm các phân tử, và vì thế số bậc tự do có thể xác định được nếu biết thành phần phân tử, không làm thay đổi vấn đề: số phân tử thực sự rất lớn, nên trên thực tế số bậc tự do vẫn vô cùng lớn. Nhưng thực ra chuyển động của từng phân tử không làm chúng ta quan tâm. Khi sóng chạy trên biển, chẳng hạn do một con tàu đang đi gây ra, chúng ta có thể mô tả bức tranh phân bố sóng bằng tương đối ít số. Ta có thể cho các giá trị biên độ và pha của mỗi sóng; tuy sóng nhiều, nhưng vẫn ít hơn phân tử. Hơn nữa, bức tranh về cơ bản lặp lại theo thời gian: các sóng ít nhiều giống nhau.

Trong mỗi sóng có nhiều phân tử chuyển động, chuyển động mang tính tập thể, và ta có thể nói về các bậc tự do tập thể trên mặt biển, khác với các bậc tự do riêng lẻ của, chẳng hạn, một phân tử nước riêng biệt.

Có thể dùng cách mô tả tập thể như vậy khi nói về các tính chất của ánh sáng. Đặc biệt, chúng ta làm đúng như thế khi cố mô tả sự phân bố năng lượng theo phổ.

Ánh sáng là một quá trình sóng, và việc mô tả nó đơn giản nhất từ quan điểm lý thuyết sóng. Dĩ nhiên, cách mô tả ánh sáng như vậy hoàn toàn không giống cách mô tả một hệ các điểm. Ở đây thậm chí không có một gợi ý nào về các bậc tự do — sóng và hạt hoàn toàn không giống nhau. Nhưng điều này vẫn không hẳn đúng. Sóng và hạt có những tính chất chung. Trước hết, đó là những tính chất biểu hiện khi ta bắt đầu nghiên cứu các hiện tượng nhiệt và suy nghĩ xem năng lượng nhiệt được phân bố giữa sóng và hạt như thế nào.

NHIỆT ĐỘ
VÀ NHIỆT DUNG

Xét một chất khí ở trạng thái bị nung nóng. Ta biết rằng nhiệt độ của khí và của thành bình phải như nhau. Nếu ban đầu không phải như vậy, thì nhiệt sẽ truyền từ vật nóng hơn sang vật lạnh hơn cho đến khi nhiệt độ trở nên bằng nhau, nghĩa là cho đến khi thiết lập cân bằng nhiệt độ giữa thành bình và chất khí chứa trong bình.

Nhiệt độ của khí liên hệ với động năng của các nguyên tử của nó (để đơn giản, ta sẽ nói về khí đơn nguyên tử). Theo lý thuyết động học của khí, năng lượng của một nguyên tử là $3/2 kT$, tức $1/2 kT$ cho mỗi bậc tự do, còn năng lượng toàn phần của khí bằng $3/2 NkT$, trong đó

10

Bình chứa khí

Các nguyên tử va chạm với thành bình, và kết quả là thiết lập cân bằng nhiệt giữa khí và bình — khí nhận nhiệt độ của thành bình. Số nguyên tử không thay đổi khi va chạm. Để thay đổi nhiệt độ của khí, có thể cho thoát ra một phần nhỏ qua một lỗ nhỏ.

$N$ — số hạt trong khí (3$N$ — tổng số bậc tự do). Ở đây $k$ — hằng số Boltzmann ($k = 1,38 \cdot 10^{-23}$ jun/độ); nó đóng vai trò hệ số chuyển đổi từ độ trên thang Kelvin sang jun. Sau đó, trong thuyết động học phân tử của khí, người ta chỉ ra rằng nếu có dao động, thì mỗi bậc tự do dao động có năng lượng $kT$, lớn gấp đôi năng lượng ứng với một bậc tự do phụ trách chuyển động tịnh tiến. Những khẳng định này, đã được chứng minh và kiểm nghiệm, thuộc về khí. Tất nhiên, trước hết có thể nói về năng lượng bức xạ?

Hãy hình dung rằng ta có một bình chứa (trước đây gọi là “khoang”), trong đó không có khí. Tuy nhiên, trong một bình như vậy luôn có trường điện từ. Sóng điện từ được thành bình phát ra và hấp thụ, và năng lượng này sẽ được phân bố theo phổ bằng một cách nào đó. Nếu bình có một nhiệt độ xác định, thì sự phân bố năng lượng, hiển nhiên, sẽ khác nhau ở các nhiệt độ khác nhau. Ta có thể nghiên cứu trường bên trong bình bằng cách tạo một lỗ nhỏ trên đó và cho một chùm sáng thoát ra.

Khi lần đầu tiên người ta bắt đầu bàn về tính chất của một “khoang” như vậy, người ta nhận thấy rằng nếu ánh sáng từ bên ngoài lọt vào lỗ, thì sau khi phản xạ rất nhiều lần từ thành bình và “lạc đường”, nó hầu như không có cơ hội thoát ra ngoài. Lỗ hấp thụ toàn bộ ánh sáng chiếu vào nó, vì thế vật được gọi là “đen”, còn ánh sáng đi ra từ lỗ được gọi là “bức xạ vật đen” (vậy là “vật đen” phát sáng!).

Bây giờ hãy tưởng tượng rằng “vật đen” được nung nóng. Khi đó có thể đặt câu hỏi: bao nhiêu năng lượng nhiệt sẽ chuyển thành ánh sáng? Câu trả lời đã được đưa ra vào cuối thế kỷ XIX và là: ánh sáng bị giam bên trong “vật đen” phải ở trạng thái cân bằng nhiệt với thành bình. Cân bằng này được thiết lập và duy trì bởi các quá trình phát xạ và hấp thụ sóng ánh sáng của các thành bình nóng (phát ra bao nhiêu thì hấp thụ trở lại bấy nhiêu), còn lượng năng lượng và mật độ phổ của nó hoàn toàn chỉ được xác định bởi một tham số — nhiệt độ. Ở đây dường như sẽ không hề có chuyện về số bậc tự do của thành bình (như trong trường hợp khí).

Bình chứa bức xạ (“vật đen”)

Sóng hay tia sáng phản xạ nhiều lần từ thành bình, đồng thời chúng bị thành bình hấp thụ và lại được phát ra; kết quả là thiết lập cân bằng nhiệt giữa bức xạ và thành bình. Trong những quá trình như vậy, số lượng lượng tử không giữ nguyên: lượng năng lượng và số lượng lượng tử hoàn toàn được xác định bởi nhiệt độ của bình. Ánh sáng đi ra từ lỗ nhỏ trên một bình như vậy sẽ có phổ của “vật đen”.

12

tự do, thì có thể đưa ra cho nó một lời giải thích đẹp. Công thức Rayleigh — Jeans có dạng như thể một đoạn phổ $\Delta v$ chứa $8\pi v^2/c^3$ bậc tự do, mỗi bậc nhận nhiệt độ $kT$. Tuy nhiên, cách diễn giải hiệu dụng này là sai lầm. Số bậc tự do tăng nhanh nếu chuyển sang các tần số ngày càng lớn trong phần tử ngoại của phổ (về bên phải cực đại của đường cong). Điều đó có nghĩa là tần số càng lớn thì phổ chứa càng nhiều năng lượng. Tức là theo công thức này mọi vật thể cũng phải phát ra các sóng điện từ với tần số vô hạn lớn.

Kết luận kỳ lạ này mang tên kịch tính là “thảm họa tử ngoại”, vì nó cho thấy sự thất bại hoàn toàn của những cố gắng giải thích các tính chất của phổ trong khuôn khổ vật lý cổ điển dễ hiểu.

Một công thức khác đã được Wien, người mà ta đã biết, đề xuất vào năm 1890:

$$f(v) = A v^3 e^{-\frac{b v}{T}}$$

(Đúng là ông viết công thức này hơi khác, biểu diễn một phần qua bước sóng.) Trong công thức Wien, $A$ và $b$ là một số hằng số, như ta sẽ thấy sau này, liên hệ với hằng số Planck. Công thức Wien mô tả phần tử ngoại của phổ, nhưng vô dụng khi nói đến phần sóng dài của nó.

Như vậy, trước các công trình của Planck, các nhà vật lý đã biết khá nhiều: diện tích dưới đường cong phân bố năng lượng theo phổ, vị trí cực đại và dạng của đường cong ở “đầu” và ở “cuối”. Chỉ còn phải thực hiện bước táo bạo cuối cùng. Chính nó đã dẫn đến sự ra đời của vật lý mới.

$$e^x \approx 1+x.$$

CÔNG THỨC PLANCK

Hiện nay khó khôi phục được dòng suy nghĩ của các nhà vật lý sống từ nhiều năm trước. Có lẽ Planck chỉ đơn giản tìm kiếm một công thức nào đó có thể gộp lại tất cả những gì đã biết về phổ của “vật đen”. Thử các cách tiếp cận khác nhau, cuối cùng ông đi đến kết luận rằng cần xét các tính chất của những atom tạo nên thành và phát ra ánh sáng. Giả thuyết của Planck là các atom phát xạ không thể có năng lượng bất kỳ, mà chỉ có năng lượng bằng một số nguyên lần $hv$, trong đó $v$ là tần số dao động của nguyên tử. Từ đó suy ra rằng atom chỉ có thể phát ra ánh sáng từng lượng tử một (mặc dù thực tế mối liên hệ này được hiểu ra muộn hơn đôi chút).

Planck viết công thức của mình như sau:

$$f(v) = n(v) \cdot hv,$$

trong đó $n(v)$ — số lượng tử, bằng $\frac{8\pi v^2}{c^3} \frac{1}{e^{\frac{hv}{kT}}} - 1$

$hv$ — năng lượng của lượng tử. Công thức cuối cùng có thể có vẻ không hoàn toàn chính xác, vì từ nó $n(v)$ không nhận giá trị nguyên. Điều này không có gì đáng ngại, vì công thức cho số lượng tử trung bình. Chẳng hạn, nếu trong một thể tích nào đó một nửa thời gian có một lượng tử, còn một nửa thời gian hoàn toàn không có lượng tử nào, thì số lượng tử trung bình bằng $\frac{1}{2}$!

Công thức Planck khác công thức Rayleigh — Jeans ở chỗ không thể giải thích nó theo quan điểm số bậc tự do. Nếu coi rằng mỗi lượng tử có ba bậc tự do, thì số bậc tự do của hệ, bằng $3n(v)$, hóa ra lại là một hàm của nhiệt độ: số bậc tự do tăng khi nhiệt độ tăng. Kết luận này là vô lý theo quan điểm bậc tự do của các hạt. Nhưng chính trong sự phá vỡ lôgic quen thuộc này lại có lối thoát khỏi ngõ cụt. Bởi vì số lượng hạt phát xạ có thể không phải là một số được xác định chặt chẽ; nó có thể thay đổi khi điều kiện thay đổi. Điều này

13

điều này đặc biệt trở nên rõ ràng khi sự sinh ra các cặp được phát hiện: electron — positron, proton — phản proton, v.v.

Vào buổi tối Planck đọc báo cáo, không ai nghĩ đến sự ra đời của một nền vật lý mới. Công thức được xem xét từ phía thực hành và ngay lập tức (trong đêm sau báo cáo) đồ thị do công thức mới cho được so sánh với các đường cong thu được từ thí nghiệm. Hóa ra công thức Planck mô tả tốt toàn bộ phổ.

Đối với phần phổ mà ν lớn, có thể bỏ đi số một ở mẫu số của công thức dùng để tính số lượng lượng tử $n(\nu)$ — số một này nhỏ so với số hạng thứ nhất. khi đó công thức Planck biến thành công thức Wien. Từ sự đối chiếu hai biểu thức có thể kết luận rằng các hệ số trong công thức Wien bằng

$$A = \frac{8\pi h}{c^3} \quad \text{và} \quad b = \frac{h}{k}.$$

Planck, khi so sánh công thức của mình với công thức Wien, đã cho giá trị đầu tiên của hằng số $h$. Ông nhận được rằng $h = 6.55 \cdot 10^{-27} \text{ ec-g·giây}$. Tiếp theo, thật đáng ngạc nhiên là giá trị $h$ do Planck tính được khác rất ít với giá trị hiện đại, được nêu ở trên.

Khi $v$ nhỏ trong công thức Planck có thể thực hiện phép thay thế sau:

$$e^{\frac{hv}{kT}} \approx 1 + \frac{hv}{kT} \quad \text{nếu } \frac{hv}{kT} \ll 1.$$

Khi đó sẽ thu được chính xác công thức Rayleigh — Jeans. Dùng công thức Planck, cũng có thể thu được định luật Stefan — Boltzmann. Hằng số σ của định luật này được biểu diễn qua $h$ bởi công thức

$$\sigma = \frac{2\pi^5}{15c^2} \frac{k^4}{h^3}.$$

1 — đường cong tương ứng với công thức Rayleigh — Jeans; 2 — biểu diễn đồ thị của công thức Planck; 3 — đường cong do công thức Wien cho.

15

lượng tử, mà bản thân nó gồm các lượng tử.

Khi phát ra một lượng tử, vật mất năng lượng của mình, năng lượng ấy truyền cho ánh sáng. Vậy ánh sáng, theo thuyết tương đối, cũng mang đi khối lượng của vật.

Có thể tìm khối lượng của lượng tử bằng cách kết hợp hai công thức: $E=hv$ và $E=mc^2$. Từ đó: $m=\frac{hv}{c^2}$. (Tốt hơn là nói, như thường lệ, rằng lượng tử có động lượng $p=mc$, tức là $p=\frac{hv}{c}=\frac{h}{\lambda}$. Động lượng $p$, tất nhiên, là một vectơ: nó hướng theo hướng lượng tử bay.) Năng lượng của lượng tử liên hệ với xung lượng của nó theo hệ thức $E=cp$. Hệ thức như vậy mô tả các hạt có khối lượng nghỉ bằng không. Nếu khối lượng nghỉ $m_0\neq0$, thì năng lượng và động lượng của hạt được liên hệ trong thuyết tương đối bởi công thức $E=c\sqrt{p^2+m_0^2c^2}$.

Nhờ Einstein, lượng tử đứng ngang hàng với các hạt; chỉ có điều nó không có khối lượng nghỉ, vì thế bị buộc phải luôn bay với vận tốc ánh sáng.

HIỆU ỨNG COMPTON

Trong tất cả những điều trước đây còn một điểm chưa được kiểm tra bằng thí nghiệm. Nếu lượng tử có cả năng lượng lẫn xung lượng, thì các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng có được thực hiện đối với nó giống như đối với các hạt khác không? Và mặc dù không ai nghi ngờ câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này, việc kiểm tra trực tiếp bằng thí nghiệm các định luật bảo toàn vẫn sẽ rất hữu ích. Việc kiểm tra như vậy đã được Arthur Compton thực hiện vào năm 1925; ông nghiên cứu sự tán xạ của các lượng tử ánh sáng khi chúng rơi vào một electron đứng yên. Compton phát hiện, thứ nhất, electron nhận xung lượng từ lượng tử, và thứ hai, lượng tử mất năng lượng và tần số của nó giảm xuống. Bức tranh định tính phù hợp với quan niệm hạt. Nhưng Compton còn chứng tỏ nhiều hơn; ông chứng tỏ rằng năng lượng và động lượng của electron và lượng tử ở trạng thái cuối đúng bằng những giá trị thu được từ các phương trình mô tả các định luật bảo toàn.

KẾT LUẬN

Như vậy, bắt đầu từ việc nghiên cứu các sóng ánh sáng, các nhà vật lí dần đi đến cơ học lượng tử, rất giống cơ học Newton, chỉ với những khái quát mà thuyết tương đối mang lại.

Sự ra đời của một ngành khoa học mới luôn diễn ra sao cho trong đó những sự kiện khác nhau, trước kia cách xa nhau, đan xen một cách kì lạ và những mối liên hệ trước đó không được nhận thấy được phát hiện. Nhiệt động lực học, thuyết động học chất khí, điện động lực học, quang học và cuối cùng là thuyết tương đối — đó là nền tảng mà từ công thức Planck đã mọc lên ý nghĩa của vật lí hiện đại.

BÀI TẬP

1. Có một bình — “vật đen”, được nung đến nhiệt độ $6000^\circ$ K. (Bề mặt Mặt Trời có nhiệt độ gần như vậy.) Hãy xác định lượng năng lượng chứa trong $1\text{ cm}^3$ bên trong tại cùng một tần số? Vì sao?

2. Hãy dựng phổ năng lượng của “vật đen” và phổ số lượng tử ở nhiệt độ $6000^\circ$ K. Các đường cong này có cực đại tại cùng một tần số không? Vì sao?

3. Dùng đường cong đã dựng, hãy ước lượng số lượng tử có trong $1\text{ cm}^3$ của “vật đen”, được nung đến nhiệt độ $6000^\circ$ K. (Muốn vậy cần xác định diện tích dưới đường cong. Vì sao?

4. Lượng tử có năng lượng $10\text{ квв}$ ($1\text{ квв}=1,6\times10^{-16}$ jun) rơi vào một electron đứng yên và bật ngược trở lại. Hãy tìm tần số của lượng tử tới và lượng tử phản xạ. Hãy tìm năng lượng của electron sau va chạm.

16

PHÂN SỐ LIÊN TỤC

N. M. BESKIN

Ngay từ thời cổ đại, các nhà bác học đã quan tâm
đến việc tìm cho một số không nguyên bất kỳ
một xấp xỉ tốt của nó bằng các
phân số có mẫu số nhỏ.
Bài viết kể về cách đơn giản nhất
để tìm các phân số như vậy.

$$\pi = \sqrt{2}$$

1. HAI ĐIỀU BÍ ẨN

2. Điều bí ẩn của Archimedes.
   Nhiều người cho rằng: để tìm được điều gì đó khác thường, cần phải đi thật xa, tốt nhất là vào vũ trụ. Trong đời sống thường ngày, mọi thứ xung quanh chúng ta đều đã được biết rõ, và không có gì thú vị.

Thật là một sai lầm! Chúng ta được bao quanh bởi những hiện tượng bí ẩn, nhưng không suy nghĩ về chúng vì chúng đã quá quen thuộc. Ở đây sẽ kể về hai sự kiện bí ẩn trong lịch sử toán học.

Tất cả học sinh trên thế giới đều «học qua» trong khóa hình học rằng Archimedes đã tìm được cho số π một giá trị xấp xỉ

$$\frac{22}{7}$$). Người ta đã quá quen với sự kiện này đến mức không ngờ rằng trong đó ẩn chứa một bí mật. Nhưng chỉ cần đặt một câu hỏi tự nhiên: vì sao Archimedes lại chọn các phần bảy? Vì sao không phải các phần tám? Nỗ lực trả lời câu hỏi này sẽ đưa chúng ta đến một lĩnh vực mới của số học.

Hãy làm rõ bài toán «cho một biểu thức xấp xỉ của số thực α dưới dạng phân số có mẫu số q».
Điều đó có nghĩa là: trong tất cả các phân số có mẫu số q, tìm phân số gần số α nhất. Nếu trên trục số đã đánh dấu mọi phân số có mẫu số q, thì số α nằm giữa hai phân số kề nhau như vậy (trường hợp α trùng với một trong chúng không đáng quan tâm)

$$\frac{p-1}{q} < \alpha < \frac{p}{q}.$$

Trong hai phân số này chọn phân số gần α hơn. Chẳng hạn, trên hình 1 điểm α gần đầu phải của đoạn $$\left[ \frac{p-1}{q}; \frac{p}{q} \right],$$ và vì thế

*) Thực ra, Archimedes trong tác phẩm «Về phép đo đường tròn» đã phát biểu kết quả này hơi khác một chút. Ông đã chỉ ra các cận cho π:

$$3 \frac{10}{71} < \pi < 3 \frac{1}{7}.$$

Giá trị $$3 \frac{1}{7},$$ đơn giản hơn, đã được dùng rộng rãi, mặc dù π gần $$3 \frac{10}{71}.$$

17

Cần lấy
$$\alpha \approx \frac{p}{q}.$$
Nếu $\alpha$ là trung điểm của đoạn $\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right]$, thì để xác định, ta chọn đầu mút bên trái của nó.

Quá trình thay số $\alpha$ bằng giá trị gần đúng của nó được gọi là phép xấp xỉ (sự xấp xỉ).

Từ những điều đã trình bày, rõ ràng rằng để xấp xỉ số $\alpha$ có thể dùng các phân số với bất kỳ mẫu số nào. Việc chọn mẫu số tùy thuộc vào ý muốn của chúng ta. Vì tiện lợi về mặt kỹ thuật, hầu như luôn dùng phân số thập phân. Tuy nhiên, vào thời Archimedes, phân số thập phân còn chưa được phát minh, và ông có thể chọn bất kỳ phần nào. Ông đã chọn những phần đặc biệt. Tại sao? Hãy kiên nhẫn, ta sẽ sớm làm rõ điều đó.

Khi xấp xỉ số thực $\alpha$ bằng phân số $\frac{p}{q}$, xuất hiện sai số
$$\Delta = \alpha - \frac{p}{q}$$

(hãy nhớ: sai số là giá trị đúng trừ đi giá trị gần đúng). Nếu giá trị gần đúng được lấy thiếu, thì sai số dương, còn nếu lấy thừa — sai số âm.

Giá trị tuyệt đối của sai số được gọi là sai số tuyệt đối.

Rõ ràng rằng với cách xấp xỉ đã chọn, sai số tuyệt đối

không thể vượt quá $\frac{1}{2q}$ (xem hình 1)

$$|\Lambda| \leqslant \frac{1}{2q}.$$

Số $\frac{1}{2q}$ là cận trên của sai số tuyệt đối. Với cách xấp xỉ khác, cận trên có thể khác. Chẳng hạn, nếu ta thỏa thuận luôn lấy giá trị gần đúng thiếu, thì nó sẽ bằng $\frac{1}{q}$.

Sai số tuyệt đối đạt cận trên trong trường hợp (bất lợi nhất) khi $\alpha$ là trung điểm của đoạn
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$

Rõ ràng rằng phép xấp xỉ có lợi nếu với giá trị nhỏ của $q$ nó cho độ chính xác cao. Để đặc trưng tính có lợi, cần so sánh hai đại lượng: 1) sai số tuyệt đối thực tế, 2) cận trên của sai số tuyệt đối:

$$\frac{\text{nhu cầu tuyệt đối}}{\text{cận trên của sai số tuyệt đối}} = \left| \alpha - \frac{p}{q} \right| : \frac{1}{2q} = 2 \cdot |q\alpha - p|.$$

Người ta quy ước xét một nửa đại lượng này. Gọi nó là nhu cầu quy dẫn
$$h = |q\alpha - p|$$

và ghi nhớ: nhu cầu quy dẫn $h$ là một nửa tỉ số giữa nhu cầu tuyệt đối thực tế và nhu cầu lớn nhất có thể.

Hiển nhiên,
$$0 < h \leqslant \frac{1}{2}$$

$h$ càng nhỏ thì phép xấp xỉ càng có lợi. Nếu $h$ gần bằng không, thì số $\alpha$ nằm gần một trong các đầu mút của đoạn
$$\left[ \frac{p-1}{q}, \frac{p}{q} \right].$$ $h$ càng gần $\frac{1}{2}$, thì $\alpha$ càng gần trung điểm của đoạn.

18

Величину

$$\lambda = \frac{1}{2h} = \frac{1}{2 \cdot |q\alpha - p|}$$

gọi là hệ số lợi thế. Ý nghĩa của nó rất đơn giản: hệ số lợi thế cho biết sai số tuyệt đối thực tế nhỏ hơn sai số tuyệt đối lớn nhất có thể bao nhiêu lần. $\lambda$ càng lớn thì phép xấp xỉ càng có lợi. Hiển nhiên,

$$1 \leqslant \lambda < \infty,$$

$$\lambda h = \frac{1}{2}.$$

Không nên nghĩ rằng các phân số nhỏ hơn luôn cho phép xấp xỉ chính xác hơn! Có thể xảy ra rằng khi biểu diễn số $\alpha$ trên trục số bằng các phân số phần tám, nó có vị trí kém thuận lợi hơn so với khi biểu diễn bằng các phân số phần bảy. Ta hãy làm thí nghiệm với số $\pi$, xấp xỉ nó bằng các phân số khác nhau — từ phần nhất đến phần mười. Các phép tính được bỏ qua, người đọc có thể tự tái hiện chúng.

Hình 2.

nếu sai số không vượt quá 0,0013, ta sẽ chọn những phân số nào? Ta sẽ viết điều kiện $\frac{1}{2q} \leqslant 0,0013$, từ đó $q \geqslant 385$, còn Archimedes đạt được cùng độ chính xác đó bằng cách lấy mẫu số nhỏ hơn nhiều.

Bây giờ bạn đã tin rằng, người đọc, Archimedes chọn các phân số phần bảy không phải ngẫu nhiên chứ?

Nhiều thế kỷ sau, nhà toán học Hà Lan Adrian Metius đã đưa ra phép xấp xỉ

$$\pi \approx \frac{355}{113}.$$

Số Metius có những tính chất đáng kinh ngạc giống như số của Archimedes: mẫu số 113 nhỏ hơn

*) Tính toán cho $\lambda = \frac{1}{2 \cdot 0,0089} = 56,2$. Để thu được đúng các chữ số phần mười, cần lấy $h$ với năm chữ số sau dấu phẩy.

có lợi hơn các giá trị lân cận khác. Chúng tôi khuyên người đọc khảo sát số Meschi giống như ở trên đã khảo sát số Archimedes. Chẳng hạn, hệ số chọn lọc bằng bao nhiêu?

2. Bí ẩn của Grigori XIII. Grigori XIII không phải là nhà toán học. Ông là giáo hoàng La Mã. Tuy vậy, tên ông gắn với một bài toán toán học quan trọng — vấn đề lịch.

Thiên nhiên đã cho chúng ta hai đơn vị thời gian tự nhiên: năm và ngày (mặt trời). Như đã nói trong một sách giáo khoa thiên văn học cổ *) «nói chung, năm không bằng một số nguyên ngày». Không thể không đồng ý với điều này, vì từ sự kiện đã nêu phát sinh nhiều bất tiện. Nhưng chính điều đó lại tạo ra một vấn đề toán học thú vị.

1 năm =
= 365 ngày 5 giờ 48 phút 46 giây.
hoặc

1 năm = 365,242199 ngày.

Không thể hợp pháp hóa trong đời sống dân sự một độ dài năm như vậy. Còn điều gì sẽ xảy ra nếu coi năm bằng 365 ngày? Trên hình 3 cho thấy quỹ đạo Trái Đất.

*) Thiên văn học địa cầu — trước đây gọi là một môn học chứa những kiến thức chung về thiên văn học và địa lý vật lý.

Hình 3.

quỹ đạo Trái Đất. Ngày 1 tháng 1 năm 1970 lúc 0 giờ, Trái Đất ở điểm A. Sau 365 ngày nó sẽ không trở lại đúng điểm đó trên quỹ đạo và, do đó, ngày 1 tháng 1 năm 1971 lúc 0 giờ sẽ ở điểm B, còn ngày 1 tháng 1 năm 1972 — ở điểm C, v.v. Sẽ xảy ra rằng nếu cố định một ngày nào đó, thì vị trí của Trái Đất trên quỹ đạo sẽ khác nhau mỗi năm (nó sẽ chậm lại gần 6 giờ).

Sau bốn năm độ chậm lên tới gần một ngày, và ngày cố định sẽ rơi vào những mùa khác nhau trong năm, tức là ngày 1 tháng 1 từ mùa đông dần dần chuyển sang mùa thu, sau đó sang mùa hè. Điều này bất tiện: các hoạt động định kỳ (gieo hạt, bắt đầu năm học) sẽ không thể gắn với những ngày lịch nhất định.

Có cách thoát khỏi tình trạng này. Cần phải tính một số năm có 365 ngày, còn một số năm có 366 ngày, xen kẽ chúng sao cho độ dài trung bình của năm gần với giá trị thực nhất có thể. Có thể tái tạo độ dài thực của năm với độ chính xác bất kỳ, nhưng để làm điều đó có thể phải có một quy luật xen kẽ rất phức tạp giữa các năm ngắn (thường) và dài (nhuận), điều không mong muốn. Cần có một sự thỏa hiệp: tìm một quy luật xen kẽ các năm sao cho độ dài trung bình của năm đủ gần với giá trị thực.

Bài toán này lần đầu tiên được Julius Caesar giải quyết. Dĩ nhiên, từ «giải quyết» chỉ có thể được dùng ở đây một cách có điều kiện. Việc này được thực hiện cho ông bởi nhà thiên văn học Alexandria Sosigenes, người được gọi đến Roma vì mục đích này. Julius Caesar đưa vào hệ thống sau: ba năm liên tiếp là năm ngắn, năm thứ tư — là năm dài.

Rất lâu sau đó, khi kỷ nguyên Kitô giáo được chấp nhận, những năm có số thứ tự chia hết cho 4 được coi là năm nhuận. Lịch này gọi là «lịch Julius». Theo lịch Julius, độ dài trung bình của năm là

$$365 \frac{1}{4} \text{ ngày} = 365 \text{ ngày } 6 \text{ giờ.}$$

20

Như thấy rõ, độ dài trung bình của năm Julius lớn hơn độ dài thực 11 phút 14 giây. Vào thế kỷ 16, Giáo hoàng Grêgôriô XIII muốn sửa sai số này. Năm 1582, ông tiến hành cuộc cải cách lịch sau đây. Sự xen kẽ giữa năm thường và năm nhuận được giữ lại, nhưng được bổ sung bằng quy tắc: nếu số thứ tự của năm có hai số không ở cuối, mà số thế kỷ không chia hết cho 4, thì năm đó là năm thường. Chẳng hạn, theo quy tắc này năm 1700 là năm thường, còn năm 1600 là năm nhuận.

Ngoài ra, cho rằng từ đầu kỷ nguyên (từ “Giáng sinh của Chúa Kitô”) đã tích lũy sai số 10 ngày, Grêgôriô XIII lập tức cộng thêm 10 ngày. Từ đó đến nay đã tích lũy thêm 3 ngày nữa (vào các năm 1700, 1800 và 1900). Vì vậy hiện nay giữa lịch Julius và lịch mới (“Grêgôriô”) có chênh lệch 13 ngày.

Độ dài trung bình của năm Grêgôriô là bao nhiêu? Trong 400 năm theo lịch Julius có 100 năm nhuận, còn theo lịch Grêgôriô — 97. Do đó

độ dài trung bình của năm Grêgôriô =
= 365 $\frac{97}{400}$ ngày = 365,2425 ngày =
= 365 ngày 5 giờ 49 phút 12 giây,

tức là nó lớn hơn độ dài thực 26 giây.
Như thấy, bằng những phương tiện đơn giản đã đạt được độ chính xác rất lớn.

Ở nước Nga sa hoàng, trước Cách mạng Tháng Mười vĩ đại, người ta dùng lịch Julius. Lịch Grêgôriô được đưa vào bằng sắc lệnh đặc biệt của Hội đồng Dân ủy năm 1918. Hiện nay chúng ta dùng lịch đó. Mức độ phù hợp của nó với độ dài thực của năm Mặt Trời hoàn toàn đủ cho mọi mục đích thực tế. Có thể khẳng định rằng quyết định của Giáo hoàng Grêgôriô XIII là đơn giản và tự nhiên nhất không? Hãy chờ câu trả lời đến cuối bài này.

II. PHÂN SỐ LIÊN TỤC

3. Khái niệm về phân số liên tục. Hãy quên hệ đếm thập phân. Như nhà toán học Nga xuất sắc Nikolai Nikolaevich Luzin (1883—1950) đã nói, “ưu điểm của hệ thập phân không phải là toán học mà là động vật học. Nếu trên tay chúng ta không có mười ngón mà có tám ngón, thì loài người đã dùng hệ bát phân”. Hệ thập phân rất tiện cho các ước lượng thực tế, nhưng khi nghiên cứu các vấn đề lý thuyết của số học, nó chỉ gây trở ngại.

Vậy, hãy từ bỏ các hệ đếm đặc biệt, và đặt câu hỏi: cách tự nhiên nhất để biểu diễn gần đúng các số dương bằng phân số là gì.

Trong câu trả lời cho câu hỏi này không thể có bất kỳ sự do dự nào: trước hết phải chỉ ra nó nằm giữa những số nào. Chẳng hạn,

$$\frac{61}{27} \text{ nằm giữa } 2 \text{ và } 3,$$
$$\sqrt{2} \text{ » } 1 \text{ » } 2,$$
$$\pi \text{ » } 3 \text{ » } 4.$$

Dĩ nhiên, chỉ cần chỉ ra số nhỏ hơn trong các số đó:

$$\frac{61}{27} = 2 + x \quad (0 < x < 1),$$
$$\sqrt{2} = 1 + y \quad (0 < y < 1),$$
$$\pi = 3 + z \quad (0 < z < 1).$$

21

Lưu ý rằng cách đánh giá như vậy không liên quan đến cách biểu diễn các số nguyên, tức là không liên quan đến một hệ thống ghi số cụ thể nào.

Xét số $\frac{61}{27}$. Đánh giá «hơn hai một chút» của chúng ta quá thô và chỉ thích hợp làm xấp xỉ thứ nhất. Nếu muốn thực hiện bước thứ hai, ta phải đánh giá phần thêm vào $x$. Vì nó nhỏ hơn đơn vị, tự nhiên là biểu diễn nó dưới dạng một phân số có tử số là 1 (một lần nữa chúng ta viện đến «tính tự nhiên», nhưng đây là lần cuối)

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{1}{x_1}.$$

Bây giờ $x_1$ lớn hơn đơn vị, và ta lại lặp lại các bước đó: tách phần nguyên, v. v. và v. v. Mời bạn đọc theo dõi cẩn thận sự xen kẽ của hai bước này:

$$\frac{61}{27} = 2 + \frac{7}{27} = 2 + \frac{1}{27} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{6}{7}} = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{7}} =$$

$$= 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1 + \frac{1}{6}}}.$$

Biểu thức

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s},$$

trong đó $a_1, a_2, \dots, a_s$ — là các số tự nhiên, còn $a_0$ — là số tự nhiên hoặc số không, được gọi là phân số liên phân.

Các số $a_0, a_1, a_2, \dots, a_s$ được gọi là các phần tử *) của phân số liên phân. Có thể nói rằng ta đã biểu diễn số $\frac{61}{27}$ dưới dạng phân số liên phân.

*) Đôi khi chúng được gọi là các thương riêng không rút gọn.

Ký hiệu của phân số liên phân có quá cồng kềnh không? Trong ví dụ của chúng ta thu được một phân số ba tầng, còn nếu thu được một phân số hai mươi tầng thì không thể đặt nó vừa trên một tờ giấy.

Điều này đúng, và vì vậy đối với các phân số liên phân người ta sử dụng các quy ước ký hiệu khác nhau. Chúng ta sẽ dùng quy ước sau:

$$a_0 + \frac{1}{a_1 + a_2 + a_s} =$$

$$+ \frac{1}{a_s}$$

$$= [a_0; a_1, a_2, \dots, a_s].$$

Hãy chú ý đến dấu chấm phẩy. Nó nhấn mạnh rằng vai trò của phần nguyên $a_0$ là đặc biệt, không giống như các số khác (đặc biệt — không có nghĩa là quan trọng hơn, trong trường hợp này thì ngược lại).

Có thể khẳng định rằng mọi số thực *) đều có thể được biểu diễn bằng phân số liên tục và hơn nữa theo một cách duy nhất hay không?

Trước hết hãy suy nghĩ về ví dụ sau:

$$\frac{1}{6 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + 1}} = \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}}}$$

hay trong ký hiệu rút gọn

$$[0; 6, 4] = [0; 6, 3, 1].$$

Phép biến đổi như vậy (tách các đơn vị khỏi phần tử cuối cùng) có thể thực hiện với mọi phân số liên tục mà phần tử cuối cùng khác một đơn vị. Nếu phần tử cuối cùng bằng một đơn vị, thì có thể cộng nó vào phần tử áp chót. Ví dụ,

$$[1; 10, 3, 7, 1] = [1; 10, 3, 8].$$

Tuy nhiên, dễ dàng chứng minh rằng đây là nguyên nhân duy nhất của tính không đơn trị

*) Cho đến nay đang nói về các số hữu tỉ dương. Việc đưa vào các số âm không làm thay đổi bản chất của vấn đề, còn việc đưa vào các số vô tỉ làm thay đổi nhiều điều. Về điều này sẽ nói ở dưới.

⟦trang 22⟧

các biểu diễn số hữu tỉ bằng liên phân số.
Có thể chứng minh rằng:

1. Quá trình biến số hữu tỉ $\frac{p}{q}$ ($p$ và $q$ là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau) thành liên phân số kết thúc ở một bước nào đó. Nói cách khác, mọi số hữu tỉ dương đều biểu diễn được dưới dạng $(\cdot)$. Theo điều vừa nói, một biểu diễn như vậy luôn có thể có với điều kiện $a_s > 1$.
2. Hai liên phân số $|a_0; a_1, \dots, a_s|$ và $|b_0; b_1, \dots, b_t|$, trong đó $a_s > 1$ và $b_t > 1$, bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số phần tử, tức là $s = t$ và $a_i = b_i$ với $i = 1, 2, \dots, s$.
   Chúng ta sẽ không chứng minh điều đó. Mục đích của bài viết này là trình bày những ý tưởng cơ bản và khuyến khích bạn đọc nghiên cứu vấn đề kỹ hơn qua sách *).

4. Liên phân số vô hạn. Còn các số vô tỉ thì sao? Hãy thử khai triển thành liên phân số $\sqrt{2} = 1,4142\dots$. Ta được:
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x_1},$$
   $$x_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1,$$
   $$x_1 = 2 + \frac{1}{x_2}, \quad x_2 = \sqrt{2} + 1 = x_1.$$
   Rõ ràng rằng
   $$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   $$= 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}},$$
   trong đó $x = \sqrt{2} + 1$

*) Mọi chứng minh bị bỏ qua ở đây có thể tìm thấy, chẳng hạn, trong cuốn sách của A. Ya. Khinchin “Phân số liên tục”, tái bản lần 3, 1961.

Muốn viết ngay
$$\sqrt{2} = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots}}}},$$
$$= [1; 2, 2, 2, 2, \dots].$$

tức là biểu diễn $\sqrt{2}$ dưới dạng một phân số liên tục vô hạn. Nhưng ở đây cần hết sức thận trọng: chúng ta đã gặp khái niệm mới “phân số thập phân vô hạn”, nhưng chưa biết nó là gì. Chỉ dễ hiểu rằng ứng với mỗi số vô tỉ dương là một dãy vô hạn được xác định hoàn toàn
$$[a_0; a_1, a_2, \dots],$$
trong đó $a_0$ là một số nguyên không âm, còn mọi $a_i$ có chỉ số $i \geqslant 1$ là các số tự nhiên. Mọi điều liên quan đến việc này chúng ta sẽ chỉ xét sau *), còn bây giờ bằng lòng với điều chúng ta hiểu được: cách xây dựng theo số dương $\alpha$ biểu diễn hình thức của nó
$$\alpha \sim [a_0, a_1, a_2, \dots]$$
thành một phân số liên tục hữu hạn hoặc vô hạn **).

5. Các phân số gần đúng. Có thể ngắt phân số liên tục, giữ lại các phần tử $a_0, a_1, \dots, a_n$ và bỏ $a_{n+1}, \dots$. Phân số nhận được như vậy gọi là phân số gần đúng thứ $n$ và được ký hiệu là $\frac{p_n}{q_n}$. Đặc biệt, khi $n = 0$ ta có phân số gần đúng thứ không $\frac{p_0}{q_0} = \frac{a_0}{1}$.

Ta sẽ thấy rằng $n$ càng nhỏ thì phân số thích hợp càng đơn giản (tức là có mẫu số nhỏ hơn). Đồng thời, nó có thể được dùng làm giá trị gần đúng của phân số liên tục.

*) Vấn đề này sẽ được xem xét đầy đủ trong một trong các số báo tiếp theo của tạp chí.
**) «~» — dấu tương ứng. Ta chưa thể đặt dấu bằng khi chưa xác định ý nghĩa của ký hiệu đứng ở vế phải.

23

Ví dụ. Lại lấy khai triển của số $\frac{61}{27}$ thành phân số liên tục và lập các phân số hội tụ

$$\frac{p_0}{q_0} = 2,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [2; 3] = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [2; 3, 1] = 2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{1}} = \frac{9}{4},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [2; 3, 1, 6] = \frac{61}{27}.$$

Dĩ nhiên, phân số hội tụ cuối cùng của số hữu tỉ $\alpha$ bằng $\alpha$.

Ta đã nhận được một số xấp xỉ ngày càng tốt hơn cho số $\frac{61}{27}$. Để đánh giá chúng, hãy thay $\frac{61}{27} \approx 2,259$.

Xấp xỉ thứ 1: 2, $\Delta = 0,259$ *).

Xấp xỉ thứ 2: $\frac{7}{3} = 2,333, \Delta = -0,074$.

Xấp xỉ thứ 3: $\frac{9}{4} = 2,250, \Delta = 0,09$.

Ta nhận thấy rằng sai số giảm dần (theo giá trị tuyệt đối) và có các dấu xen kẽ. Đây là quy tắc chung.

Trong trường hợp khai triển số $\sqrt{2} = 1,4142$… thành phân số liên tục, ta nhận được

$$\frac{p_0}{q_0} = 1, \text{ sai số } \Delta = 0,4142,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = [1; 2] = \frac{3}{2} = 1,5, \Delta = -0,0858,$$

$$\frac{p_2}{q_2} = [1; 2, 2] = \frac{7}{5} = 1,4,$$

$$\Delta = 0,0142,$$

$$\frac{p_3}{q_3} = [1; 2, 2, 2] = \frac{17}{12} = 1,4167,$$

$$\Delta = -0,0025,$$

$$\frac{p_4}{q_4} = [1; 2, 2, 2, 2] = \frac{41}{29} = 1,4138,$$

$$\Delta = 0,0004.$$

Ở đây ta cũng quan sát thấy cùng một bức tranh.

*) Sai số $\Delta$ (xem tr. 17).

6. Tính chất cơ bản của các phân số hội tụ. Bây giờ không chứng minh, ta phát biểu tính chất cơ bản của các phân số hội tụ, tính chất sẽ dẫn ta đến lời giải cho các câu đố của mình.

Nếu $\frac{p_n}{q_n}$ — là phân số hội tụ của số $\alpha$, thì sai số tuyệt đối

$$|\alpha - \frac{p_n}{q_n}|$$

nhỏ hơn khi xấp xỉ số $\alpha$ bằng bất kỳ phân số nào có giá trị nhỏ hơn *).

Chẳng hạn, khi đã tìm được cho $\sqrt{2}$ phân số hội tụ $\frac{p_3}{q_3}$, ta có thể chắc chắn rằng phép xấp xỉ $\sqrt{2}$ bằng bất kỳ phân số nào có giá trị nhỏ hơn 12 sẽ kém hơn.

III. LỜI GIẢI

7. Câu đố của Archimedes. Hãy thử khai triển số sau thành liên phân số

$$\pi = 3,14159265\ldots$$

$$\pi = 3 + 0,14159265\ldots =$$

$$= 3 + \frac{1}{7 + 0,00885145}.$$

*) Các phân số thích hợp xét trên nhiều phương diện cho những xấp xỉ cực kỳ chính xác. Tính chất được nêu ở đây không phải là duy nhất và cũng không phải là quan trọng nhất. Những tính chất khác sẽ được xét trong một trong các số báo sau của tạp chí.

24

Ngay ở giai đoạn tính toán này, ta thấy rằng các phân số gần đúng đầu tiên sẽ là

$$\frac{p_0}{q_0} = 3, \quad \frac{p_1}{q_1} = \frac{22}{7}.$$

Hãy tự thực hiện các tính toán và xác nhận rằng

$$\pi \approx 13; \ 7, 15, 1, 288, 1, \dots.$$

$$\frac{p_2}{q_2} = \frac{333}{106}, \quad \frac{p_3}{q_3} = \frac{355}{113}$$

Thế là hết. Đơn giản biết bao! Bảng này hé lộ bí mật của Archimedes, đồng thời cả của Metius. Từ đó thấy:

Xấp xỉ thứ 1: $\pi \approx 3$.

Xấp xỉ thứ 2: $\pi \approx \frac{22}{7}$.

Xấp xỉ thứ 3: $\pi \approx \frac{333}{106}$.

Xấp xỉ thứ 4: $\pi \approx \frac{355}{113}$

(các xấp xỉ lẻ là thiếu, các xấp xỉ chẵn là thừa).

Có thể coi Archimedes và Metius đã bị vạch trần: họ dùng phân số liên tục, Archimedes dùng phân số gần đúng thứ hai, còn Metius — thứ tư?

Không, không thể nói như vậy về Archimedes.

Cần hiểu rõ rằng chúng ta đã giải một bài toán toán học, chứ không phải lịch sử. Chúng ta đã giải thích cách có thể đi tới số $\frac{22}{7}$.

Rất có thể Archimedes đã dùng phân số liên tục, nhưng không thể xác lập điều đó từ các công trình của ông. Tòa án sẽ không thừa nhận các lập luận của chúng ta. Các sử gia chưa đi đến một ý kiến thống nhất. Ưu thế của các phần bảy cũng có thể phát hiện bằng thực nghiệm, bằng cách so sánh chúng với nhiều phần khác.

Metius lại là chuyện khác. Thật khó tin rằng một phân số phức tạp như $\frac{355}{113}$ lại được tìm ra mà không có lý thuyết. Rất có thể Metius đã dùng phân số liên tục. Dễ hiểu vì sao ông dừng ở phân số gần đúng thứ tư: các phân số tiếp theo thật cồng kềnh, nên thực tế không dùng được.

8. Bí ẩn của Gregory XIII. Trước hết, hãy nghĩ xem chính chúng ta sẽ giải bài toán về quy tắc xen kẽ năm nhuận như thế nào. Ta sẽ biểu diễn độ dài năm dưới dạng phân số liên tục.

$$1 \text{ năm} = 365^2 5^4 48^3 46^2 = 365,242199^2 = 1365; 4,7,1,3,5,20,6,12]^2.$$

Tất nhiên không. L — một số vô tỉ. Nó khai triển thành một phân số nguyên vô hạn. Độ dài năm là một đại lượng thực nghiệm. Mọi đại lượng thực nghiệm chỉ được xác định với một độ chính xác nhất định, và nói về tính hữu tỉ hay vô tỉ của nó là vô nghĩa. Độ dài năm nêu trên là được chấp nhận, và ta phải coi nó là chính xác. Nó được biểu diễn bằng một phân số nguyên hữu hạn.

Ta tìm vài phân số gần đúng đầu tiên:

$$\frac{p_0}{q_0} = 365,$$

$$\frac{p_1}{q_1} = 365 + \frac{1}{4} = 365 \frac{1}{4},$$

$$\frac{p_2}{q_2} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7}} = 365 \frac{7}{29},$$

$$\frac{p_3}{q_3} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1}}} = 365 \frac{8}{33},$$

$$\frac{p_4}{q_4} = 365 + \frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}} = 365 \frac{31}{128}.$$

Phân số thích hợp nào cho lời giải của vấn đề lịch. Chẳng hạn, xấp xỉ $365 \frac{1}{4}$ dẫn đến lời giải của Julius Caesar: một năm nhuận trong mỗi bốn năm. Dường như không ai đề nghị dùng xấp xỉ $365 \frac{7}{29}$, bởi vì xấp xỉ tiếp theo

25

365/33 chỉ phức tạp hơn một chút, nhưng chính xác hơn nhiều. Lịch, trong đó phải tính tám năm nhuận trong mỗi ba mươi ba năm, được đề xuất bởi nhà triết học, nhà toán học, nhà thiên văn học Turkmeno-Ba Tư vĩ đại Omar Khayyam (1040—1123).

Các dữ liệu về độ chính xác của những giá trị gần đúng đã tìm được đối với năm thật được đưa ra trong bảng sau.

| Số thứ tự của phép gần đúng | Sự xen kẽ của các năm nhuận | Độ dài trung bình của năm | Sai số |
| :— | :— | :— | :— |
| 1 | 1 năm nhuận trong mỗi 4 | 365ᵃ 6ᵃ 00ᵃ 00ᵇ | -11ᵃ 14ᵇ |
| 2 | 7 》 》 》 29 | 365ᵃ 5ᵃ 47ᵃ 35ᵇ | +1ᵃ 11ᵇ |
| 3 | 8 》 》 》 33 | 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 05ᵇ | -19ᵇ |
| 4 | 31 》 》 》 128 | 365ᵃ 5ᵃ 48ᵃ 45ᵇ | +1ᵇ |

Trong cột «Sai số», dấu trừ chỉ ra rằng độ dài trung bình của năm lớn hơn độ dài thật.

Phương án thứ tư có độ chính xác đặc biệt cao. Sai số 1 giây không có ý nghĩa thực tiễn nào. Vì vậy đã có những đề nghị sử dụng lịch này. Chẳng hạn, vào năm 1864, nhà thiên văn học Nga Medler đề nghị từ thế kỷ XX đưa lịch như vậy vào Nga. Để làm điều đó, cần đưa vào lịch Julius sự hiệu chỉnh sau: cứ mỗi 128 năm bỏ qua một năm nhuận (vì theo lịch Julius trong 128 năm có 32 năm nhuận). Tuy nhiên, lịch này không được chấp nhận ở bất cứ nơi nào trên thế giới, có lẽ vì chu kỳ 128 là «không tròn».

Giải quyết xong bài toán toán học, chúng ta hãy quay lại bài toán lịch sử. Những dữ liệu của Grêgôriô XIII (hoặc các cộng sự của ông) là gì?

Ở đầu bài viết đã nói rằng độ dài trung bình của năm Grêgôriô là 365 ngày 5 giờ 49 phút 12 giây.

Giá trị này khác với giá trị thật đúng 26 giây. Có cảm giác rằng Giáo hoàng Grêgôriô XIII hoặc các cố vấn khoa học của ông đã nghĩ ra các bảng Alfons (không phải vô cớ mà ông được gọi là nhà thiên văn học Alfons). Những bảng này lần đầu tiên được xuất bản ở Venice một trăm năm sau khi tác giả của chúng qua đời. Trong đó đưa ra độ dài năm sau:

1 năm = 365ᵃ 5ᵃ 49ᵃ 16ᵇ.

Sử dụng những bảng này, ủy ban phải đi đến kết luận rằng độ dài trung bình được đề nghị của năm lịch chỉ khác với giá trị thật bốn giây. Nếu ủy ban biết đến đề nghị của Omar Khayyam, thì họ sẽ đi đến kết luận rằng lịch của ông cho sai số 11 giây.

Cần nói thêm rằng không có cơ sở nào để cho rằng ủy ban của Grêgôriô XIII đã sử dụng phân số liên tục. Họ đã kiên nhẫn, tự mình lựa chọn sự tương ứng cần thiết.

Còn về Omar Khayyam, các nhà khoa học cho rằng ông đã nắm được, nếu không phải là lý thuyết đầy đủ về phân số liên tục, thì ít nhất cũng là một cách tiếp cận nguyên tắc tương tự đối với các bài toán về những phép gần đúng hợp lý nhất bằng các phân số có giá trị nhỏ. Vào thời đại của ông, khoa học phương Đông trong nhiều phương diện đứng cao hơn khoa học châu Âu.

26

BÀI TOÁN

1. Hãy tìm hệ số lợi ích cho số Mếchi.

2. Hãy khai triển thành phân số liên tục $\frac{157}{225}$.

3. Hãy rút gọn phân số liên tục [3; 12, 2, 1, 50].

4. Hãy khai triển thành phân số liên tục
   a) $\sqrt{3}$, b) $\sqrt{5}$, c) $\sqrt{6}$.

Hãy tự mình (chưa cần xem sách) suy nghĩ về các tính chất của các phân số liên tục thu được khi khai triển $\sqrt{n}$, trong đó $n$ là số tự nhiên không phải là bình phương của một số tự nhiên.

5. Hãy tìm giá trị của các phân số liên tục tuần hoàn a) [0; $a$, $a$, $a$, …]; b) [0; $a$, $b$, $a$, $b$, …].

6. Một số dân tộc phương Đông dùng lịch âm dương hỗn hợp. Các tháng của họ có khi 29, có khi 30 ngày. Tháng 29 ngày được gọi là “rỗng”, còn tháng 30 ngày là “đầy”. Năm lịch gồm mười hai hoặc mười ba tháng. Nhà toán học Hy Lạp Meton (năm 433 trước Công nguyên) đã đề xuất một lời giải đáng chú ý cho bài toán lịch âm dương. Theo Meton, trong mỗi 19 năm có bảy năm gồm mười ba tháng, còn mười hai năm kia gồm mười hai tháng. Trong tổng số 235 tháng âm lịch chứa trong chu kỳ mười chín năm “vàng”, có 110 tháng rỗng và 125 tháng đầy. Ở đây con người gặp phải bài toán phức tạp hơn về sự xấp xỉ đồng thời giữa tỉ số của ba đại lượng — độ dài ngày, độ dài tháng âm lịch và độ dài năm mặt trời. Với độ chính xác khá tốt

$$\frac{1 \text{ năm mặt trời}}{1 \text{ tháng âm lịch}}$$

Bạn sẽ nhận được lời giải thích cho sự thành công của phát minh của Meton.

Hãy khai triển thành phân số liên tục cả tỉ số độ dài tháng âm lịch với ngày.

Bạn có biết bí mật của số ma thuật này không? Hãy viết các chữ số của nó theo vòng tròn: bây giờ hãy lần lượt nhân nó với 2, 3, 4, …, 7 và mỗi lần đối chiếu với vòng tròn ma thuật. Bạn sẽ nhận thấy rằng nó luôn không ra khỏi vòng tròn ma thuật, cho đến khi số “ma thuật” 7 phá vỡ nó!

Hãy cố hiểu xem vấn đề là gì? Vì sao lại có một số thú vị như vậy? Hóa ra, đó là chu kỳ trước 1/7 khi đổi nó thành số thập phân.

Hãy tự tìm các “số ma thuật” trong những hệ đếm khác, chẳng hạn với cơ số hệ đếm là 8 hoặc 9, hoặc 5. Hãy thử khái quát quy luật thu được.

Lưu ý rằng có thể dùng số này để kiểm tra độ tin cậy trong hoạt động của máy tính arithmometer hoặc một máy tính số khác.

P. A. Novikov

28

Ví dụ 1. Ta sẽ coi rằng các chữ $x$ và $y$ biểu thị các số thực. Dấu $\sqrt{1-x^2}$ sẽ được coi là dấu lấy căn bậc hai số học. Đẳng thức

$$y = \sqrt{1-x^2}$$

có nghĩa là các điều kiện

$$x^2 \leq 1, \quad y \geq 0, \quad x^2 + y^2 = 1.$$

Các điểm mà tọa độ của chúng thỏa mãn các điều kiện này tạo thành nửa đường tròn được biểu diễn bằng đường màu đỏ trên hình 1.

Hình 1 làm rõ các sự kiện sau đây, mà các bạn có thể chứng minh bằng con đường đại số thuần túy:

1. công thức (1) cho phép với mọi $x$ thỏa mãn các điều kiện

$$-1 \leq x \leq 1,$$

tính được $y$ tương ứng với nó, thỏa mãn bất đẳng thức (4), tồn tại ít nhất một $x$ như vậy mà theo công thức (1) tương ứng với $y$ đã cho này.

Có thể nói rằng công thức (1) xác định một ánh xạ từ tập các số $x$, thỏa mãn các bất đẳng thức (3), lên tập các số $y$, thỏa mãn các bất đẳng thức (4). Các nhà toán học thường (đặc biệt là trong thời gian gần đây) dùng mũi tên để ký hiệu các ánh xạ. Ánh xạ đang xét có thể được viết bằng mũi tên như sau:

$$x \rightarrow \sqrt{1-x^2}.$$

Ví dụ:

$$\begin{align*} -1 &\rightarrow \sqrt{1-(-1)^2} = 0, \\ -\frac{4}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2} = \frac{3}{5}, \\ \frac{3}{5} &\rightarrow \sqrt{1-(\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}, \\ 0 &\rightarrow \sqrt{1-0^2} = 1. \end{align*}$$

Chú ý: ánh xạ được xác định hoàn toàn nếu

a) cho trước tập $E$, tập được ánh xạ,

b) для каждого элемента $x$ этому множеству $E$ задан элемент $y$, на который отображается элемент $x$.

Рис. 1.

Рис. 2.

29

Tập hợp tất cả các giá trị $y$ được ký hiệu bằng chữ $M$. Trong Ví dụ 1, $E$ là tập hợp các số thỏa mãn điều kiện (3), còn $M$ là tập hợp các số thỏa mãn điều kiện (4) *).

Ví dụ 2. Các quy tắc

1. $x \to \sqrt{x^2}$,
2. $x \to \begin{cases} x, \text{ nếu } x \geqslant 0, \\ -x, \text{ nếu } x < 0 \end{cases}$

xác định cùng một ánh xạ

$$x \to |x|$$

(7)

của các số thực $x$ lên các mô hình của chúng (giá trị tuyệt đối) $|x|$ (hình 2).

Ánh xạ (7) ánh xạ tập hợp tất cả các số thực

$$R = (-\infty, \infty)$$

lên tập hợp

$$R_+ = (0, \infty)$$

các số thực không âm.

Thay cho từ ánh xạ có thể nói hàm số và viết ánh xạ (5) như sau:

$$f(x) = \sqrt{1-x^2},$$

(8)

còn ánh xạ (7) như sau:

$$f(x) = |x|.$$

(9)

Các giá trị riêng của hàm số (8), được liệt kê trong các công thức (6), khi đó sẽ được viết dưới dạng:

$$f(-1) = 0, \quad f\left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}, \quad f\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5}, \quad f(0) = 1.$$

Miền xác định của hàm số (9) là tập hợp tất cả các số thực $R$. Tập giá trị của nó là tập hợp $R_+$ các số thực không âm.

Ví dụ 3. Petya, Kolya, Sasha và Volodya sống trong một phòng ký túc xá. Trong tháng hai họ đã lập lịch hoạt động như sau:

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | . . . | 28 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| Petya | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | . . . | |
| Kolya | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Sasha | ■ | | | | ■ | | | | ■ | | | | | | . . . | |
| Volodya | ■ | | | ■ | | | | ■ | | | | | | | . . . | |

*) Tập hợp có thể được ký hiệu bằng bất kỳ chữ cái nào. Ở đây dùng các chữ cái $E$ (từ tiếng Pháp ensemble — tập hợp) và $M$ (tiếng Đức — Menge; ngẫu nhiên là từ tiếng Nga “tập hợp” cũng bắt đầu bằng cùng chữ cái này). Nhưng điều đó không bắt buộc: ngay trong ví dụ tiếp theo chúng ta sẽ ký hiệu tập hợp các số thực, như quy ước, bằng chữ cái $R$ (từ tiếng Pháp réel — thực, hiện thực).

30

Sự giống nhau của bảng này với các đồ thị hàm số quen thuộc với các bạn từ khóa học đại số ở trường phổ thông lập tức đập vào mắt. Sự tương tự này có ý nghĩa logic chính xác hay không? Ở đây các cậu bé có thiết lập ánh xạ một tập hợp này lên tập hợp khác không, tức là có xác định một hàm nào đó không? Và chẳng phải các cậu ấy đã vẽ đồ thị của hàm này sao? (Hãy chú ý đến cách diễn đạt trong đời sống «thiết lập đồ thị hàm số»!)

2. KHÁI NIỆM CHUNG VỀ HÀM SỐ

Dễ thấy rằng trong ví dụ 3, mỗi trong 28 ngày của tháng hai được chỉ định một người trực nhật nhất định. Nói cách khác, tập hợp các ngày tháng hai được ánh xạ lên tập hợp các cậu bé, những người đã phân chia việc trực nhật giữa mình. Có thể quy ước rằng chữ x biểu thị một ngày bất kỳ của tháng hai, còn y=f(x) — người trực nhật vào ngày x. Không có lý do gì để từ chối quyền gọi ánh xạ

ngày x→y = người trực nhật vào ngày x

là hàm số và ghi ánh xạ này như sau:

y=f(x).

Bất kỳ ánh xạ f tập hợp E lên tập hợp M nào chúng ta sẽ gọi là hàm số với miền xác định E và tập giá trị M.

Đừng quên rằng, khi nói về ánh xạ f tập hợp E lên tập hợp M, ta có nghĩa là y=f(x) được xác định với mọi x thuộc E và

Ánh xạ E lên M

Ánh xạ E vào M

chỉ đối với x thuộc tập hợp này, còn giá trị y của hàm f nhất thiết thuộc tập hợp M, và mỗi y thuộc tập hợp M này là giá trị của hàm f ít nhất với một giá trị của đối số x.

Nếu chỉ biết rằng các giá trị của hàm f nhất thiết thuộc tập hợp M, nhưng không khẳng định rằng mọi phần tử của tập hợp này đều là giá trị của hàm f, thì nói rằng hàm số ánh xạ miền xác định E của mình vào tập hợp M hoặc rằng ánh xạ f là ánh xạ tập hợp E vào tập hợp M.

Như vậy, cần phân biệt nghiêm ngặt ý nghĩa của các biểu thức

«ánh xạ lên tập hợp M»
«ánh xạ vào tập hợp M»*).

*) Cũng hãy chú ý rằng mọi ánh xạ «lên» đều có thể gọi là ánh xạ «vào», nhưng không ngược lại. Một ánh xạ «vào» có thể không phải là ánh xạ «lên».

31

Ví dụ, về ánh xạ

$$x \rightarrow |x|$$

có thể nói rằng nó là ánh xạ $R$ vào $R$, nhưng không thể nói rằng đó là «ánh xạ $R$ lên $R$».

Xét về quan điểm lôgic thuần túy, trường hợp đơn giản nhất là trường hợp khi miền xác định của các hàm là hữu hạn. Rõ ràng rằng hàm có miền xác định gồm $n$ phần tử không thể nhận nhiều hơn $n$ giá trị khác nhau. Như vậy, các hàm xác định trên các tập hữu hạn thực hiện các ánh xạ của các tập hữu hạn lên các tập hữu hạn. Những ánh xạ như vậy là một trong những đối tượng nghiên cứu của một phần quan trọng của toán học — tổ hợp (xem các bài toán 8, 11, 18, 19).

Ví dụ 4. Xét các hàm mà miền xác định của chúng là tập hợp

$$M = \{A, B\}$$

gồm hai chữ cái $A$ và $B$, còn các giá trị của chúng thuộc cùng tập hợp đó, tức là các ánh xạ của tập hợp $M$ vào chính nó.

Có tất cả bốn hàm như vậy. Ta cho chúng dưới dạng bảng: bốn hàm như vậy. Ta cho chúng dưới dạng bảng:

| $x$ | $f_1(x)$ | $f_2(x)$ | $f_3(x)$ | $f_4(x)$ |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| $A$ | $A$ | $B$ | $A$ | $B$ |
| $B$ | $A$ | $B$ | $B$ | $A$ |

Các hàm $f_1$ và $f_2$ là các hằng số, tức là không đổi: tập hợp các giá trị của mỗi hàm này chỉ gồm một phần tử duy nhất.

Các hàm $f_3$ và $f_4$ ánh xạ tập hợp $M$ lên chính nó. Hàm $f_3$ có thể được cho bởi công thức

$$f_3(x) = x.$$

Đây là một ánh xạ đồng nhất: mỗi phần tử của tập hợp $E$ được biến đổi thành chính nó.

Để kết thúc việc làm rõ ý nghĩa của chính khái niệm «hàm», còn cần chú ý rằng việc chọn các chữ cái để ký hiệu «biến độc lập», tức là phần tử tùy ý của miền xác định, và «biến phụ thuộc», tức là phần tử tùy ý của tập hợp giá trị, là hoàn toàn không có ý nghĩa quyết định. Các cách viết

$$x \rightarrow \sqrt{x}, \quad \xi \rightarrow \sqrt{\xi}, \quad y \rightarrow \sqrt{y},$$

$$f(x) = y = \sqrt{x}, \quad f(\xi) = \eta = \sqrt{\xi}, \quad f(y) = x = \sqrt{y}$$

xác định cùng một hàm $f$, hàm này biến một số không âm thành căn bậc hai số học của nó. Sử dụng bất kỳ cách viết nào trong số này, ta nhận được

$$f(1) = 1, \quad f(4) = 2, \quad f(9) = 3$$

v.v.

32

3. HÀM NGHỊCH ĐẢO

Hàm

$$y = f(x)$$

được gọi là nghịch đảo), nếu mỗi giá trị nó nhận được chỉ một lần duy nhất. Các hàm như vậy là $f_3(x)$ và $f_4(x)$ trong ví dụ 4. Còn các hàm $f_1(x)$ và $f_2(x)$ của ví dụ 4 và các hàm trong các ví dụ 1, 2 và 3 là không nghịch đảo.

Để chứng minh rằng một hàm nào đó không nghịch đảo, chỉ cần chỉ ra hai giá trị nào đó của đối số $x_1 \neq x_2$, sao cho

$$f(x_1) = f(x_2).$$

Trong ví dụ 3 chỉ cần nhận thấy rằng Petya trực nhật cả ngày 1 tháng 2 lẫn ngày 5 tháng 2. Vì vậy hàm trong ví dụ 3 là không nghịch đảo.

Ví dụ 5. Hàm $f$

$$x \xrightarrow{f} y = -\sqrt{x}$$

là nghịch đảo. Nó được xác định trên tập $R_+$ các số không âm. Tập giá trị của nó là tập

$$R_- = (-\infty, 0]$$

của tất cả các số không dương. Cho bất kỳ $y$ nào thuộc tập $R_-$, có thể tìm được $x$ tương ứng theo công thức $x = y^2$.

Hàm số $g$

$$y \xrightarrow{g} x = y^2$$ khi $y \leqslant 0$

là hàm số ngược với hàm số $f$. Nó ánh xạ tập hợp $R_-$ lên tập hợp $R_+$. Như đã nói, không có sự quy định về việc chọn chữ cái để ký hiệu biến độc lập và biến phụ thuộc. Các hàm số $f$ và $g$ có thể được viết dưới dạng

$$f(x) = -\sqrt{x}$$ khi $x \geqslant 0$, $g(x) = x^2$ khi $x \leqslant 0$.

Trên hình 3 biểu diễn đồ thị của các hàm số ngược nhau $f$ và $g$.

Hình 3.

Hình 4.

*) Nguồn gốc của tên gọi sẽ được làm rõ sau: hàm số khả nghịch nếu đối với nó tồn tại một hàm số ngược.
đối với nó tồn tại một hàm số ngược.

33

Ví dụ 6. Hàm $f$, được cho bởi bảng

$$\begin{array}{c|cccc} x & A & B & B & \Gamma \\ y = f(x) & 3 & 1 & 2 & 5 & 4 \end{array},$$

được xác định trên tập hợp năm chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái Nga, còn tập hợp các giá trị của nó là tập hợp năm số tự nhiên đầu tiên. Hàm ngược $g$ được cho bởi bảng

$$\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y = g(x) & B & B & A & D & \Gamma \end{array}.$$

Trên hình 4 cho các đồ thị của những hàm này.

Ta đưa ra các định nghĩa chính xác. Gọi $f$ là ánh xạ của tập hợp $E$ lên tập hợp $M$. Nếu với mọi phần tử $y$ của tập hợp $M$ tồn tại một và chỉ một phần tử

$$x = g(y)$$

của tập hợp $E$, mà đối với nó

$$f(x) = y,$$

thì ánh xạ $f$ là khả nghịch, còn

$$y \rightarrow x$$

được gọi là ánh xạ ngược với ánh xạ $f^*$.
được gọi là ánh xạ ngược với ánh xạ $f^*$.

Đơn ánh ngược $E$ trên $M$

Đơn ánh ngược $E$ vào $M$

Như vậy, tính khả nghịch của ánh xạ $f$ có nghĩa là nó có ánh xạ ngược $g$. Ánh xạ ngược với $f$ thường được ký hiệu bằng dấu $f^{-1}$. Ví dụ, nếu

$$f(x) = x^3,$$

thì

$$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}.$$

Vì từ «hàm» chỉ đơn giản là từ đồng nghĩa với từ «ánh xạ», nên bằng cách đó ta cũng đã xác định được ý nghĩa của biểu thức «hàm ngược».

*) Những ánh xạ như vậy còn được gọi là các ánh xạ song ánh $E$ lên $M$.

34

Hãy thử tự mình lặp lại điều đã nói ở trên, dùng đồng thời các từ «ánh xạ» và «hàm số».

Rõ ràng miền xác định của hàm ngược $f^{-1}$ là tập giá trị của hàm số $f$, còn tập giá trị của $f^{-1}$ là miền xác định của hàm số $f$.

Hàm số ngược với hàm ngược $f^{-1}$ chính là hàm số ban đầu $f$:

$$(f^{-1})^{-1} = f.$$

Như vậy, các hàm số $f$ và $f^{-1}$ luôn là hai hàm số ngược nhau.

Ví dụ 7. Có những hàm số tự ngược với chính nó. Đó là các hàm số

a) $f(x) = x,$
b) $f(x) = \frac{1}{x},$
b) $f(x) = \frac{x}{x-1}$.

Hãy kiểm tra! Đồ thị của các hàm số này được cho trên hình 5. Hãy chú ý rằng tất cả các đồ thị này đều đối xứng qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ ba, tức là đường thẳng $y=x$.

Hãy biểu diễn một cách sơ đồ các sự tương ứng giữa các dạng khác nhau của ánh xạ tập hợp $A$ lên tập hợp $B$ và $A$ vào tập hợp $B$.

Một lần nữa nhắc lại rằng khái niệm chung nhất là khái niệm ánh xạ $A$ vào $B$. Nếu trong một ánh xạ như vậy ảnh của $A$ trùng với $B$, thì nói về ánh xạ $A$ lên $B$.

35

Các ánh xạ khả nghịch còn được gọi là các ánh xạ một-một. Thuật ngữ này bạn sẽ thường gặp trong sách. Nhưng người ta không quen nói về “các hàm một-một”. Vì chúng tôi coi các từ “hàm” và “ánh xạ” là đồng nghĩa, nên thay cho các từ “một-một” chúng tôi đã định dùng các từ “hàm ánh xạ” hoặc, cũng cùng nghĩa ấy, “ánh xạ được ánh xạ”.

Gần đây trong tài liệu của chúng ta còn phổ biến thuật ngữ Pháp:

1. ánh xạ $A$ lên $B$ người Pháp gọi là “toàn ánh”, hoặc “surjective”;
2. các ánh xạ được ánh xạ từ $A$ vào $B$ họ gọi là “đơn ánh” hoặc “injection”;
3. các ánh xạ được ánh xạ từ $A$ lên $B$ trong thuật ngữ Pháp được gọi là “song ánh”, hoặc “bijection”.

Hãy chú ý rằng nếu dùng cẩn thận các giới từ “vào” và “lên” thì sự phong phú thuật ngữ như vậy là thừa.

3 BÀI TẬP

Số không đánh dấu những câu hỏi rất dễ, khi trả lời chúng, bạn có thể kiểm tra xem mình đã hiểu điều viết trong bài chưa. Các bài khó hơn được đánh dấu bằng dấu sao. Không nhất thiết phải giải tất cả.

1. Mở đầu

1.0. Hãy tìm tập xác định và tập giá trị của các hàm sau:

a) $y = f(x) = \frac{1}{x^2}$, 6) $y = f(x) = \sqrt{x^2 - 1}$.

2. Phần nguyên của số $x$ được gọi là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Phần nguyên của $x$ được ký hiệu là $[x]$. Ví dụ,

$$[0] = 0, [7,5] = [7] = 7, [-0,3] = -1, [-\pi] = -4.$$

Hiệu $x - [x]$ được gọi là phần thập phân của số $x$ và được ký hiệu là $\{x\}$. Hãy dựng đồ thị các hàm số sau và tìm tập xác định và tập giá trị của chúng:

a) $f_1(x) = [x]$, 6) $f_2(x) = \{x\}$, b) $f_3(x) = \{x\} - \frac{1}{2}$, r) $f_4(x) = \left| \{x\} - \frac{1}{2} \right|$,

$$d^*) f_5(x) = \left[ \frac{1}{x} \right], e^*) f_6(x) = \frac{1}{[x]}, j^*) f_7(x) = \left\{ \frac{1}{x} \right\}, 3^*) f_8(x) = \frac{1}{[x]}.$$

3 *. Với mọi số tự nhiên $n$, đặt $s(n)$ là tổng các ước của số $n$ (không kể chính $n$). Ví dụ,

$$s(1) = 0, s(2) = 1, s(6) = 6, s(12) = 16, s(28) = 28, \dots$$

Chứng minh rằng $s(n)$ không nhận các giá trị 2 và 5.

2. Hàm số

4.0. Hai số nguyên ($A$ và $B$) có thể được xếp vào hai phòng theo bốn cách:

Có thể xếp bằng bao nhiêu cách: a) hai số nguyên vào ba phòng, b) ba số nguyên vào hai phòng, b) ba số nguyên vào hai phòng sao cho không phòng nào bị bỏ trống?

36

5. Tập hợp $M$ gồm ba phần tử, còn tập hợp $N$ gồm hai phần tử. Có bao nhiêu: a) ánh xạ từ $M$ vào $N$, b) ánh xạ từ $M$ lên $N$, c) ánh xạ từ $N$ vào $M$, d) ánh xạ từ $N$ lên $M$?

6. Có bao nhiêu số điện thoại gồm bảy chữ số? Trong đó có bao nhiêu số chỉ được tạo bởi các chữ số 0, 1, 2 và 3?

7. Chứng minh rằng có hơn một triệu hàm chỉ nhận hai giá trị 0 và 1 và được xác định trên tập hợp hai mươi số tự nhiên đầu tiên.

8. Tập hợp $M$ gồm $m$ phần tử, còn tập hợp $N$ gồm $n$ phần tử. Có bao nhiêu hàm được xác định trên tập hợp $M$ và nhận giá trị trong $N$?

Nhận xét. Các bài 8, 11, 18, 19 thuộc số những bài toán cơ bản của tổ hợp học. Chúng tôi nêu chúng ở đây để chỉ ra rằng tổ hợp học chủ yếu liên quan đến việc đếm số ánh xạ thuộc loại này hay loại khác từ các tập hợp hữu hạn vào các tập hợp hữu hạn.

9. Có bao nhiêu cách xếp: a) hai vị khách trên hai ghế, b) ba người trên ba ghế, c) sáu người trên sáu ghế?

10. Tập hợp $E$ gồm sáu phần tử. Chứng minh rằng có đúng 720 hàm mà $E$ vừa là tập xác định vừa là tập giá trị.

11. Một ánh xạ của một tập hợp hữu hạn vào chính nó được gọi là một phép thế. Số các phép thế khác nhau của một tập hợp chỉ phụ thuộc vào số phần tử $n$ của nó và được ký hiệu là $n!$. Chứng minh rằng

$$1! = 1, \ 2! = 2, \ 3! = 6, \ 4! = 24, \ 5! = 120, \ 6! = 720.$$

Hãy nêu cách tính tổng quát $n$!

3. Hàm ngược

12.0. Những hàm nào trong các hàm sau là khả nghịch và những hàm nào không khả nghịch?

$$f_1(x) = x^3, \ f_2(x) = x^4, \ f_3(x) = x^{17}, \ f_4(x) = x^{18}$$

13. Trong lớp, mỗi bàn có không quá hai người ngồi. Ta đặt tương ứng với mỗi học sinh người ngồi cùng bàn với em đó, còn nếu em đó ngồi một mình thì đặt tương ứng với chính em đó. Ánh xạ ngược sẽ là gì?

14. Giả sử với mỗi từ của tiếng Nga ta đặt tương ứng một từ được viết bằng những chữ cái ấy, nhưng theo thứ tự ngược lại (từ được gọi là một dãy chữ cái). Hàm này có khả nghịch không? Nếu có, hàm ngược là gì?

15. Một ánh xạ của một tập hợp hữu hạn vào chính nó luôn khả nghịch. Hãy cho ví dụ về một ánh xạ không khả nghịch của tập hợp các số tự nhiên vào chính nó.

16. Chín khách du lịch phải được xếp vào ba thuyền. Có bao nhiêu cách để họ làm điều đó, nếu cần rằng a) mỗi thuyền có ba người, b) mỗi thuyền có không quá bốn và không ít hơn hai người, b) trong mỗi thuyền có ít nhất một khách du lịch? (Các thuyền có số: № 1, № 2, № 3.)

17*. Nếu chủ nhà có đủ ghế, thì không có thói quen xếp quá một vị khách trên một ghế: tập hợp các vị khách được ánh xạ vào tập hợp các ghế một cách khả nghịch. Nếu trong phòng chỉ có sáu ghế, thì có bao nhiêu cách xếp trên đó: a) một vị khách, b) hai vị khách, c) bốn, d) năm, e) sáu vị khách?

18*. Các ánh xạ ngược từ một tập hợp hữu hạn $M$ vào một tập hợp hữu hạn khác $N$ được gọi là chỉnh hợp (các vị khách “được sắp xếp” vào ghế). Số ánh xạ của tập hợp $M$ vào tập hợp $N$ chỉ phụ thuộc vào số phần tử $m$ của tập hợp $M$ và số phần tử $n$ của tập hợp $N$ và được ký hiệu là $A_m^n$. Hãy chứng minh rằng

$$A_1^1 = 1, \ A_2^1 = A_2^2 = 2, \ A_3^1 = 3, \ A_3^2 = A_3^3 = 6, \ A_1^2 = 90,$$

và thiết lập quy tắc chung để tính $A_n^m$. Hãy chứng minh rằng luôn có $A_n^{n-1} = A_n^n$.

19*. Bài tập 16c có thể được phát biểu trừu tượng: có bao nhiêu ánh xạ từ một tập hợp gồm chín phần tử lên một tập hợp gồm ba phần tử. Ký hiệu $D_n^m$ là số ánh xạ của một tập hợp gồm $n$ phần tử lên một tập hợp gồm $m$ phần tử. Hãy kiểm tra rằng

$$D_3^2 = 6, \ D_4^2 = 12, \ D_4^3 = 36, \ D_n^n = n!$$

Hãy thử tìm quy tắc chung để tính $D_n^m$ (đây là một bài toán khó hơn đôi chút so với các bài 8, 11 và 18).

20*. Có bao nhiêu hàm, xác định trên một tập gồm 28 phần tử, nhận mỗi một trong bốn giá trị П, К, С và В sáu lần?

Đây là bài toán về số cách phân công công trực trong tháng Hai một cách công bằng giữa Petya, Kolya, Sasha và Volodya (ví dụ 3 ở trang 29).

37

Chúng ta gặp ma sát ở mỗi bước. Chính xác hơn, không có ma sát thì chúng ta không thể bước nổi một bước. Nhưng mặc dù ma sát đóng một vai trò lớn như vậy trong đời sống của chúng ta, cho đến nay vẫn chưa có được một bức tranh đầy đủ thỏa đáng về sự xuất hiện của ma sát, và vấn đề này vẫn chưa rõ ràng. Điều đó không hẳn liên quan đến việc ma sát có bản chất phức tạp, mà đúng hơn là do các thí nghiệm về ma sát rất nhạy với việc xử lí bề mặt và vì vậy khó lặp lại.

Đây là một ví dụ. Nhà vật lí người Anh Hardy đã nghiên cứu sự phụ thuộc của lực ma sát giữa các tấm kính vào nhiệt độ. Ông xử lí cẩn thận các tấm kính bằng vôi clo và rửa chúng bằng nước, loại bỏ mỡ và chất bẩn. Ma sát tăng theo nhiệt độ. Thí nghiệm được lặp lại nhiều lần, và mỗi lần đều thu được gần như cùng những kết quả ấy. Nhưng một lần, tấm của tôi-

Phía trên: bản sao từ hình vẽ của Leonardo da Vinci.

38

các tấm, Gardin lau chúng bằng ngón tay. Ma sát sẽ không còn phụ thuộc vào nhiệt độ. Sau khi lau các tấm, theo chính Gardin, ông đã loại bỏ khỏi chúng một lớp thủy tinh rất mỏng, có tính chất thay đổi do tương tác với nước Javen và nước.

Khi nói về ma sát, người ta phân biệt ba hiện tượng vật lý hơi khác nhau: lực cản khi vật chuyển động trong chất lỏng hoặc chất khí — gọi là ma sát nhớt; lực cản xuất hiện khi vật trượt trên một bề mặt nào đó — ma sát trượt, hay ma sát khô; và lực cản xuất hiện khi vật lăn — ma sát lăn. Bài này dành cho ma sát khô.

Những nghiên cứu đầu tiên về ma sát mà chúng ta biết đã được Leonardo da Vinci tiến hành khoảng 450 năm trước. Ông đo lực ma sát tác dụng lên các khối hộp chữ nhật bằng gỗ trượt trên một tấm ván, đồng thời đặt các khối lên những mặt khác nhau để xác định sự phụ thuộc của lực ma sát vào diện tích chỗ tựa. Nhưng các công trình của Leonardo da Vinci không được công bố. Chúng chỉ được biết đến sau khi các định luật ma sát cổ điển được các nhà khoa học Pháp Amonton và Coulomb phát hiện lại vào các thế kỷ 17—18.

Đó là các định luật sau: 1) lực ma sát $F$ tỉ lệ thuận với lực $N$ ép vuông góc của vật lên bề mặt mà vật chuyển động trên đó: $F = kN$, trong đó $k$ — hệ số không thứ nguyên, gọi là hệ số ma sát; 2) lực ma sát không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc giữa các bề mặt; 3) hệ số ma sát phụ thuộc vào tính chất của các bề mặt cọ xát; 4) lực ma sát không phụ thuộc vào vận tốc chuyển động của vật.

Ba trăm năm nghiên cứu ma sát đã xác nhận tính đúng đắn của ba định luật đầu tiên do Amonton và Coulomb đề xuất. Chỉ định luật cuối cùng — định luật thứ tư — là sai. Nhưng điều này chỉ trở nên rõ ràng muộn hơn nhiều, khi đường sắt xuất hiện và các lái tàu nhận thấy rằng khi hãm, đoàn tàu không ứng xử như các kỹ sư dự đoán.

Amonton và Coulomb giải thích nguồn gốc của ma sát khá đơn giản. Cả hai bề mặt đều không bằng phẳng, chúng phủ những chỗ lồi và chỗ lõm nhỏ. Khi chuyển động, các chỗ nhô móc vào nhau, vì thế vật luôn luôn nâng lên rồi hạ xuống. Để kéo vật lên các “đồi”, cần tác dụng lên nó một lực nhất định. Nếu các chỗ nhô lớn hơn thì lực cũng phải lớn hơn. Nhưng lời giải thích này mâu thuẫn với một hiện tượng rất quan trọng: năng lượng bị tiêu hao do ma sát. Một khối lập phương trượt trên bề mặt nằm ngang thì dừng lại. Năng lượng của nó được tiêu hao cho ma sát. Còn khi nâng lên và hạ xuống, vật không tiêu hao năng lượng của mình. Hãy nhớ trò “tàu lượn siêu tốc”. Khi xe trượt xuống dốc, thế năng của chúng chuyển thành động năng, vận tốc của xe tăng lên, còn khi xe lên một chỗ cao mới, động năng trái lại chuyển thành thế năng. Năng lượng của xe giảm do ma sát, chứ không phải do lên dốc và xuống dốc. Tương tự cũng xảy ra khi một vật chuyển động trên bề mặt vật khác. Ở đây, tổn hao năng lượng do ma sát cũng không thể liên quan đến việc các chỗ nhô của vật này leo lên những chỗ lồi của vật kia.

Còn có những phản đối khác. Chẳng hạn, các thí nghiệm đơn giản về sự thay đổi lực ma sát giữa những tấm thủy tinh đánh bóng cho thấy rằng khi nâng cao độ đánh bóng của các bề mặt, lực ma sát lúc đầu không thay đổi, rồi tăng lên, chứ không giảm đi như đáng lẽ phải dự đoán theo mô hình hiện tượng do Amonton và Coulomb đề xuất.

Cơ chế ma sát phức tạp hơn đáng kể. Do sự không bằng phẳng, chúng chỉ tiếp xúc tại những điểm riêng lẻ trên đỉnh các chỗ lồi. Ở đây các phân tử của những vật tiếp xúc nhau đến gần ở những khoảng cách tương đương với khoảng cách giữa các phân tử trong chính các vật, và liên kết với nhau. Một liên kết bền vững được hình thành, liên kết này bị đứt khi ấn lên vật. Khi

39

khi vật chuyển động, các liên kết liên tục xuất hiện và đứt. Khi đó xuất hiện các dao động của phân tử. Năng lượng được tiêu tốn vào những dao động này.

Diện tích tiếp xúc thực thường chỉ từ một đến hai nghìn micrômét vuông. Nó thực tế không phụ thuộc vào kích thước của vật và được xác định bởi tính chất của các bề mặt, sự gia công chúng, nhiệt độ và lực ép pháp tuyến. Nếu ấn lên vật, các chỗ lồi bị nén lại, và diện tích tiếp xúc thực tăng lên. Lực ma sát cũng tăng lên.

Khi bề mặt có độ nhám đáng kể, sự khớp móc cơ học giữa các «gò» bắt đầu đóng vai trò lớn trong việc tăng lực ma sát. Khi chuyển động, chúng bị nén lại, và khi đó cũng xuất hiện các dao động của phân tử.

Bây giờ thí nghiệm với các tấm kính được đánh bóng đã rõ. Khi các bề mặt còn «thô», số tiếp xúc ít, còn sau khi đánh bóng tốt thì nó tăng lên. Có thể nêu thêm một ví dụ về sự tăng ma sát khi cải thiện bề mặt. Nếu lấy hai khối kim loại có các bề mặt sạch được đánh bóng, thì chúng dính vào nhau. Ma sát ở đây trở nên rất lớn, vì diện tích tiếp xúc thực lớn. Các lực liên kết phân tử, chịu trách nhiệm về ma sát, biến hai khối thành một khối liền!

Trong điều kiện ở nhà có thể làm thí nghiệm sau. Đặt một chiếc ly nhỏ lên tấm kính và buộc dây vào chân ly, kéo chiếc ly. Sau đó làm ẩm kính và chân ly bằng nước, nước sẽ rửa sạch mỡ và bụi bẩn. Lại kéo. Bây giờ làm điều đó khó hơn đáng kể. Tiếp xúc sạch kính — kính không dễ phá vỡ. Quan sát kỹ bề mặt, bạn thậm chí có thể thấy các vết xước. Hóa ra bứt các mảnh kính ra còn dễ hơn là phá vỡ tiếp xúc!

Mô hình ma sát mà chúng ta đã xét khá thô. Ở đây chúng ta chưa dừng lại ở sự khuếch tán của các phân tử, tức là sự thâm nhập của các phân tử của vật này vào vật kia, ở vai trò của các điện tích electron xuất hiện trên các bề mặt tiếp xúc, ở vai trò và cơ chế tác dụng của chất bôi trơn. Những vấn đề này phần lớn chưa rõ, còn các cách giải thích thì gây tranh cãi. Chỉ có thể ngạc nhiên rằng với sự phức tạp như vậy, ma sát chỉ được mô tả bằng một định luật đơn giản: $F = kN$. Và mặc dù hệ số ma sát $k$ không thật sự không đổi và thay đổi đôi chút từ điểm này của bề mặt sang điểm khác, đối với nhiều bề mặt mà chúng ta thường gặp trong kỹ thuật, có thể đưa ra những đánh giá khá tốt về lực ma sát dự kiến.

Ma sát khô có một đặc điểm quan trọng: ma sát nghỉ. Nếu trong chất lỏng hoặc chất khí ma sát chỉ xuất hiện khi vật chuyển động và có thể làm vật dịch chuyển bằng cách tác dụng lên nó ngay cả một lực rất nhỏ, thì trong ma sát khô vật chỉ bắt đầu chuyển động khi hình chiếu của lực tác dụng lên nó $F$ lên mặt phẳng tiếp tuyến với bề mặt mà vật nằm trên đó trở nên lớn hơn một đại lượng nào đó. Chừng nào vật chưa bắt đầu trượt, lực ma sát tác dụng lên nó bằng thành phần tiếp tuyến của lực tác dụng và hướng theo chiều ngược lại. Khi tăng lực tác dụng, ma sát cũng tăng, cho đến khi đạt giá trị cực đại bằng $kN$, tại đó sự trượt bắt đầu. Sau đó ma sát không còn thay đổi.

40

Người ta thường quên điều này khi giải bài tập. Trước câu hỏi “lực nào tác dụng lên một cái bàn nặng 30 kG, đứng trên sàn, nếu hệ số ma sát bằng 0,4”, đa số đều tự tin trả lời: “12 kG”, điều đó không đúng. Lực ma sát bằng không, nếu không cái bàn sẽ chuyển động theo hướng tác dụng của lực ma sát, vì không có các lực nằm ngang nào khác.

Vậy, nếu vật đứng yên, thì để làm nó dịch chuyển khỏi chỗ, cần tác dụng lên vật một lực lớn hơn lực ma sát nghỉ cực đại có thể có, lực này do độ bền của các liên kết phân tử quyết định. Còn nếu vật đã chuyển động thì sao? Cần tác dụng lực nào để vật cũng bắt đầu chuyển động theo một hướng khác? Hóa ra, nhỏ tùy ý. Điều này chính là do lực không thể lớn hơn lực ma sát nghỉ cực đại.

Hãy thử làm một thí nghiệm đơn giản. Lấy một quyển sách và đặt một mép của nó lên một quyển sách khác dày hơn. Ta được một mặt phẳng nghiêng. Bây giờ đặt lên mặt phẳng này một hộp diêm có buộc một sợi chỉ. Nếu hộp trượt, hãy giảm độ nghiêng của mặt phẳng bằng cách lấy quyển sách kê dày hơn. Kéo hộp bằng sợi chỉ dọc theo cạnh. Khi đó nó còn đi xuống nữa! Giảm độ nghiêng của mặt phẳng rồi lại kéo sợi chỉ. Vẫn cùng một hiện tượng. Hộp trượt xuống ngay cả khi góc nghiêng của mặt phẳng rất nhỏ. Lực ma sát trước đó giữ hộp trên mặt phẳng, không hiểu sao lại trở nên rất nhỏ.

Hãy thử hiểu xem vấn đề ở đây là gì. Nếu hộp chỉ chuyển động theo phương ngang, thì song song với cạnh của mặt phẳng nghiêng, một lực ma sát bằng $kN$ sẽ tác dụng lên nó. Để hộp không trượt xuống trong trường hợp này, một lực ma sát hướng lên, có độ lớn bằng hình chiếu trọng lượng của hộp lên mặt phẳng nghiêng, phải tác dụng lên nó. Hợp lực của hai lực ma sát này lớn hơn $kN$, mà điều đó không thể xảy ra. Vậy hộp phải trượt xuống mặt phẳng nghiêng.

Lấy một khối gỗ, buộc vào nó một sợi chỉ và, đặt khối gỗ trên một mặt phẳng ngang, kéo sợi chỉ với vận tốc không đổi $v_1$. Tác dụng lên khối gỗ một lực vuông góc với $v_1$, có thể làm nó chuyển động theo hướng này nữa với vận tốc không đổi $v_2$. Lực ma sát khi đó sẽ bằng $kN$ và hướng ngược với vận tốc $v$ của chuyển động của khối gỗ đối với mặt phẳng

$$F_1 = F_{\text{tp}} \cos \beta, \quad F_2 = F_{\text{tp}} \sin \beta,$$

trong đó $\beta$ — góc giữa các vectơ $v_1$ và $v$, còn $tg \beta = \frac{v_2}{v_1}$.

Thành phần $F_1$ của lực ma sát được cân bằng bởi lực căng của sợi chỉ, còn thành phần $F_2$ bởi lực “ngang” tác dụng lên khối gỗ. Vì

$$\sin \beta = \frac{tg \beta}{\sqrt{1 + tg^2 \beta}},$$

nên

$$F_2 = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{1 + \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2}} = F_{\text{tp}} \frac{v_2}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}.$$

Nếu $v_2 \ll v_1$, thì góc $\beta$ nhỏ và $\sin \beta \approx tg \beta$.