Kvant 1972, số 5 · Trang

QUANTUM
5
CÓ THỂ
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kioin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

tuyển tập biên tập
L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Belyaev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ trưởng), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millionshchikov, N. A. Patrikeeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Schwartzburg, A. I. Shirshov.

Bìa trước thể hiện một đồng hồ mặt trời di động, linh hoạt, có tính xích đạo. Cách sử dụng được mô tả trong ghi chú “Đồng hồ mặt trời” của V. Berezin (xem trang 35).

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva Người hiệu đính V. P. Sorokina
Nhà xuất bản “Nauka” Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học
117071, Moscow, B71, Leninsky Prospekt, 15, tel. 234-08-11, 234-07-93

Nộp để in ngày 16/II năm 1972. Ký in ngày 4/IV năm 1972. Giấy 70×100¹/16 Vật lý. lò nướng l. 4. Lò nướng có điều kiện l. 5.2. Biên tập học thuật. tôi. 6.04. Lưu hành 342.690 bản. T-06134 Giá 30 kopecks. Nhà máy in Zak 165 Chekhov Glavpolygraphprom của Ủy ban In ấn thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô Chekhov, khu vực Moscow

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

THÀNH LẬP
TRONG
1970

5
CÓ THỂ
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:
2 Hạt nhân nhân tạo
V. I. Kuznetsov
Máy 8 bài
N. Kudryavskaya, I. Lomakina, S. Priz

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC
14 Về số e và n!
L. G. Limanov

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA”
20 Nghiên cứu sóng trên mặt nước
K.Sống

VẤN ĐỀ “Lượng tử”
25 Bài toán M141-M145; F153-F157
27 Lời giải bài toán M101-M105; F116-F122

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
36 Hàm lượng giác
J. M. Rabb
43 phương án thi tuyển sinh
trong toán học 1971
45 định luật khí lý tưởng
B. B. Bukhovtsev

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN
51 câu đố toán học và niềm vui
V. N. Berezin, M. L. Smolyansky

THÔNG TIN
55 Gặp gỡ sinh viên các trường Vật lý, Toán học
A. N. Vilenkin, T. S. Petrova

GÓC SƯU TẬP
59 con tem dành riêng cho Leonardo da Vinci
A. V. Altykis

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI
(trang bìa thứ 3)
HỖN HỢP (trang 26, 35)

2

Tất cả các vật chất của cơ thể đều bao gồm các nguyên tử của 88 nguyên tố được tìm thấy trên Trái đất. Hầu hết các nguyên tố này là hỗn hợp của các nguyên tử thuộc nhiều loại khác nhau về khối lượng. Những nguyên tử như vậy của cùng một nguyên tố, chỉ khác nhau về khối lượng, được gọi là đồng vị. Tất cả 88 nguyên tố tự nhiên đều có khoảng 400 đồng vị tự nhiên, với trung bình khoảng 4,5 đồng vị trên mỗi nguyên tố.

Một số lượng đáng kể các đồng vị đã thu được trong phòng thí nghiệm và nhân tạo. Ngày nay có hơn 1.200 đồng vị như vậy được biết đến. Chúng được tạo ra trong các phản ứng hạt nhân do con người thực hiện. Trong số đó không chỉ có các đồng vị của các nguyên tố tồn tại trong tự nhiên mà còn có các đồng vị của các nguyên tố tổng hợp thu được trong dòng neutron từ các lò phản ứng hạt nhân và trong các chùm hạt được gia tốc từ các máy gia tốc hiện đại.

Các yếu tố nhân tạo từ lâu đã tìm thấy những ứng dụng thực tế quan trọng. Vì vậy, nguyên tố số 94, plutonium, là một trong những nền tảng của năng lượng hạt nhân hiện đại và nó được sản xuất theo tấn. Để thăm dò giếng dầu và điều trị trẻ sơ sinh more_NE nguyên tố thứ 98) với số khối là 252. Hiện nay việc sản xuất đồng vị polyhyssic đã được thiết lập ở quy mô công nghiệp. Tuy nhiên, điều thú vị nhất trong sản xuất đồng vị là việc tổng hợp và nghiên cứu hạt nhân nguyên tử mới nằm ngoài rìa dưới của bảng tuần hoàn.

Thông thường, các nguyên tố mới thu được bằng cách tổng hợp (phản ứng tổng hợp) hai hạt nhân nguyên tử ổn định.

Để hai hạt nhân tạo thành một chất hạt nhân duy nhất, chúng phải chạm vào bề mặt của chúng. Điều này không dễ để đạt được. Tất cả các nguyên tử của hạt nhân đều mang điện tích dương và khi đến gần chúng sẽ đẩy nhau một lực rất lớn. Lực này được xác định theo định luật Coulomb và bằng

$$F = \frac{q_1 q_2}{r^2},$$

(1)

trong đó $q_1$ và $q_2$ là điện tích của hạt nhân nguyên tử và $r$ là khoảng cách giữa tâm của chúng. Các hạt nhân có thể được coi là những quả bóng tích điện đều (Hình 1), bán kính của nó được xác định theo công thức

$$r = 1.5 \cdot 10^{-13} \sqrt{A} (cm).$$

(2)

Công thức này thu được nếu chúng ta giả sử rằng mật độ vật chất hạt nhân trong nguyên tử của tất cả các nguyên tố là không đổi. Khi đó thể tích của hạt nhân $V$ sẽ tỷ lệ thuận với số $A$ số 0 chứa trong nó (nucleon được gọi là proton và neutron tạo nên hạt nhân nguyên tử), giống như thể tích của một năng lượng mật mã dày đặc tỷ lệ thuận với số lượng sức mạnh mật mã chứa trong nó: $V = kA$ hoặc

$$r \approx 10^{-4} \text{Å}$$

Cơm. 1.

4

thời điểm bằng tổng bán kính của chúng, tức là $r_1 + r_2$ (Hình 3). Công việc $P$ hoàn thành vào thời điểm này sẽ được biểu thị bằng chữ cái $B$. Khi đó phương trình (3) và (4) sẽ có dạng:

$$\begin{cases} B + (m + M) \frac{v^2}{2} = \frac{mv_0^2}{2}, \\ (m + M) v = mv_0. \end{cases}$$

Sau khi loại trừ phương trình $v$ khỏi hệ này, chúng ta tìm thấy các giá trị động năng tối thiểu mà lõi đạn phải có để khoảng cách giữa các hạt nhân trở nên bằng $r_1 + r_2$:

$$E = \frac{mv_0^2}{2} = B \left( 1 + \frac{m}{M} \right).$$

Do đó, để phản ứng nhiệt hạch xảy ra dẫn đến hình thành hạt nhân mới thì năng lượng của các hạt được gia tốc (hạt nhân phóng) phải lớn hơn $B \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$.

Tuy nhiên, một phép tính chính xác hơn theo các định luật cơ học lượng tử lại dẫn đến một kết quả không ngờ tới. Hóa ra ngay cả khi $E < B \left( 1 + \frac{m}{M} \right)$, hạt nhân đôi khi có thể hợp nhất thành một giọt duy nhất. Nhưng khả năng xảy ra một vụ sáp nhập “hàng rào phụ” như vậy, như người ta gọi, là rất nhỏ.

Bây giờ chúng ta chỉ cần xác định công $B$, và khi đó giá trị năng lượng mong muốn $E$ sẽ được biết.

Trong trường nhà máy điện, công thực hiện khi di chuyển một đơn vị điện tích từ điểm 1 đến điểm 2 bằng hiệu điện thế của điện trường tại các điểm này $\varphi_2 - \varphi_1$. Điện trường của một quả bóng tích điện đều bên ngoài nó được xác định theo công thức $\varphi = \frac{q}{R}$, trong đó $q$ là điện tích của quả bóng và $R$ là khoảng cách đến tâm quả bóng.

Do đó, công $P$ khi di chuyển điện tích $q_2$ từ điểm 1 đến điểm 2 bằng $q_2 \left( \frac{q_1}{R_2} - \frac{q_1}{R_1} \right)$. Trong trường hợp của chúng tôi, $R_1 = \infty$ và $\frac{1}{R_1} = 0$, $R_2 = r_1 + r_2$. Do đó, sử dụng công thức (2), chúng ta có thể viết

$$B = \frac{q_1 q_2}{r_1 + r_2} = \frac{Z_1 Z_2 e^2}{1,5 \cdot 10^{-13} \left( \sqrt{A_1} + \sqrt{A_2} \right)}.$$

Năng lượng $B$ được gọi là trần tiềm năng hoặc đơn giản là trần. Đối với hạt nhân nhẹ, “chiều cao” của hạt trần là vài triệu electron ($Mэθ$), và trong quá trình hợp nhất các hạt nhân nặng, hạt trần đạt tới hàng trăm triệu electron. Nếu chúng ta đặt giá trị số của điện tích electron vào công thức (7) và biểu thị năng lượng $B$ bằng hàng triệu electron, thì chúng ta sẽ nhận được một sự tương ứng đơn giản về chiều cao của hàng rào thế năng:

$$B = \frac{0,96 Z_1 Z_2}{A_1^{1/3} + A_2^{1/3}}.$$

Nếu khối lượng của hạt nhân minsheni lớn hơn đáng kể so với khối lượng của hạt nhân phóng, do đó chúng ta có thể coi $1 + \frac{m}{M} \approx 1$, thì động năng của hạt được gia tốc ánh sáng cần thiết để thực hiện phản ứng hạt nhân sẽ bằng thế năng $B$ [xem. công thức (6)]. Đây là ý nghĩa vật lý của đại lượng này.

Nhà vật lý thực nghiệm bắt đầu lên kế hoạch cho một thí nghiệm tổng hợp hạt nhân nguyên tử mới với việc tính toán các giá trị $B$ và $E$. Để làm điều này, anh ta sử dụng công thức (8) và (6). Khi biết năng lượng $E$, có thể đánh giá xem hạt nhân nguyên tử tăng tốc lắp đặt nào sẽ được sử dụng để thực hiện thí nghiệm này hoặc thí nghiệm kia. Như vậy, để phản ứng tổng hợp hạt nhân neon ($A=22$, $Z=10$) và hạt nhân uranium ($A=238$, $Z=92$), động năng của hạt nhân neon phải lớn hơn 106 $Mэθ$. Hiện nay hạt nhân neon chỉ có thể được tăng tốc tới năng lượng này tại hai máy gia tốc trên thế giới: tại máy cyclotron được lắp đặt trong Phòng thí nghiệm Phản ứng Hạt nhân của Liên Hiệp Quốc.

5

Cơm. 4.

tại Viện Nghiên cứu Hạt nhân ở thị trấn Dubna gần Moscow (Hình 4), và tại máy gia tốc tuyến tính hạt nhân nguyên tử ở Berkeley, Hoa Kỳ.

Vì vậy, nhà vật lý đã xác định các đặc tính của hạt nhân được gia tốc mà ông cần, chọn một máy gia tốc phù hợp cho mục đích này và lắp đặt một máy thu nhỏ “nặng” trên đường đi của các hạt nhân được gia tốc. Điều gì xảy ra khi “vỏ” bắt đầu rơi xuống chiếc mini?

Trước khi trả lời câu hỏi này, các điều kiện để chỉ định hạt nhân được gọi là đồng vị và nguyên tố theo cách này: gần ký hiệu hóa học của nguyên tố ở trên cùng bên trái, chúng ta sẽ viết số lớn A, và ở dưới cùng - số nguyên tử. Ví dụ, hạt nhân của đồng vị uranium có số khổng lồ 238 trong ký hiệu này sẽ được viết như sau: $^{238}U$. Đôi khi số nguyên tử không được viết vì ký hiệu hóa học của nguyên tố đó đã xác định số proton trong hạt nhân của nó ($^{238}U$).

Sau khi lõi đạn chạm tới lõi minsheni, các lực hấp dẫn hạt nhân đặc biệt bắt đầu phát huy tác dụng, bản chất của lực này vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ. Các lực này tác dụng trong khoảng cách rất ngắn. Khi hạt nhân chạm vào các bề mặt, lực hạt nhân sẽ bù đắp nhiều hơn cho sự va đập tĩnh điện và hạt nhân nguyên tử hợp nhất thành một “giọt” hạt nhân duy nhất - một hạt nhân hợp chất:

$$\frac{22}{10}Ne + \frac{238}{92}U \rightarrow \frac{260}{102}X.$$

Sự hình thành hạt nhân hợp chất là giai đoạn đầu tiên của quá trình tổng hợp hạt nhân nguyên tử mới. Một hạt nhân hợp chất chưa thể được gọi là nguyên tử. Nó không ổn định và thời gian tồn tại của nó quá ngắn để hình thành nguyên tử: đơn giản là các electron không có thời gian để chiếm vị trí của chúng trên quỹ đạo.

Trong phản ứng (9), chúng ta gán cho hạt nhân một số lượng lớn bằng tổng các số khối của các cấu tạo

6

lõi ero. Tuy nhiên, trong các phản ứng hạt nhân tổng hợp các nguyên tố mới, theo quy luật, khối lượng của hạt nhân hợp chất lớn hơn tổng khối lượng của các hạt nhân tham gia phản ứng. Điều gì gây ra sự dư thừa này?

Theo thư từ của Einstein, năng lượng $E$ có liên quan đến khối lượng: $E = mc^2$, trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng. Do đó, để tăng khối lượng lên lượng $\Delta M = M_{\text{соct}} - (M + m)$, cần phải có năng lượng $E^* = \Delta Mc^2$. Một phần động năng của hạt được gia tốc được chuyển hóa thành động năng của hạt nhân hợp chất $M_{\text{соct}} \frac{V^2}{2} \approx (M + m) \frac{V^2}{2}$. Do đó, chuyển động tịnh tiến của hạt nhân hợp phần và năng lượng được hấp thụ trong quá trình tổng hợp là nguyên nhân

$$\varepsilon = \frac{(M + m) V^2}{2} + \Delta Mc^2.$$

Khi xử lý hạt nhân hợp chất là kết quả của phản ứng tổng hợp các hạt được gia tốc như carbon $^{12}_{6}$C, oxy $^{16}_{8}$O, heon $^{22}_{10}$Ne, argon $^{40}_{18}$Ar với hạt nhân nặng, giá trị $\varepsilon$ nhỏ hơn đáng kể so với động năng $\frac{mv_0^2}{2}$ cần thiết để vượt qua rào cản Coulomb $B$. Như vậy,

$$\frac{mv_0^2}{2} - \varepsilon = E - \frac{(M + m) V^2}{2} - \Delta Mc^2 = B - \Delta Mc^2 = B + Q = E^*.$$

Giá trị $Q = -\Delta Mc^2$, bằng năng lượng tiêu tốn để xử lý một hạt nhân hợp chất, được gọi là năng lượng xử lý của hạt nhân này. Động năng dư thừa $E^*$ còn lại trong hạt nhân hợp phần gọi là năng lượng kích thích của hạt nhân hợp chất.

Năng lượng $E^*$ trong quá trình hợp nhất hạt nhân phức tạp với hạt nhân bia nặng đạt giá trị đáng kể. Do đó, giá trị của $B$peak hoặc hợp lưu của $^{22}_{10}$Ne với $^{238}_{92}$U [xem công thức (9)] bằng 98,1 MeV. Đồng thời $Q = -56,1$ Mev.

Và do đó $E^* = B + Q = 42$ Mev. Năng lượng như vậy làm nóng hạt nhân hợp chất rất nhiều, nó trở nên không ổn định, bắt đầu dao động và theo quy luật, trong một thời gian rất ngắn, nó bị phân chia thành các hạt nhân có số nguyên tử gần 50.

Thời gian tồn tại của hạt nhân hợp phần (chính xác hơn là thời gian tồn tại trung bình) nằm trong khoảng $10^{-14} - 10^{-18}$ giây, tùy thuộc vào năng lượng kích thích của hạt nhân hợp chất. Theo ý tưởng hàng ngày, đó là một giá trị rất nhỏ. Nhưng nó khá lớn so với đơn vị thời gian “hạt nhân”. Đơn vị này là thời gian trôi qua giữa hai lần va chạm liên tiếp của một nucleon với các hạt nhân nucleon khác. Thời gian này có thể được ước tính từ các tin nhắn sau. Để duy trì bên trong hạt nhân, một nucleon phải tương tác với các hạt lân cận của nó ở khoảng cách cỡ $10^{-13}$ cm. Tốc độ của nucleon trong hạt nhân xấp xỉ bằng $10^9$ cm/giây. Do đó, đối với đơn vị thời gian hạt nhân, chúng ta nhận được $10^{-22}$ giây. Do đó, trong suốt thời gian tồn tại của một hạt nhân phức hợp, chẳng hạn như $10^{-18}$ giây, mỗi nucleon sẽ trải qua khoảng $10^4$ va chạm. Trong trường hợp này, hạt nhân hợp chất “quên” phương pháp xử lý nó và xác suất phân rã của nó theo cách này hay cách khác chỉ được xác định bởi năng lượng kích thích của nó.

Trong một số trường hợp, một hạt nhân được nung nóng mạnh sẽ “làm bay hơi” nhiều neutron lần lượt. Các neutron có năng lượng cao nhất rời khỏi giọt hạt nhân, do đó nó nguội đi mạnh mẽ và trở thành hạt nhân nguyên tử ổn định của một nguyên tố mới. Sự bay hơi của neutron xảy ra cùng với sự nóng lên bề mặt của một giọt vật chất thông thường, khi các nguyên tử có nhiều năng lượng hơn bay ra ngoài, điều này tạo ra động năng lớn hơn động năng trung bình của các nguyên tử ở nhiệt độ nhất định. Những giọt nguyên tử bay ra khỏi bề mặt và nguội đi

7

từ một giọt. Một lõi nóng lên, giống như một giọt nước thông thường, có thể được đặc trưng bởi nhiệt độ. Đồng thời $kT = \frac{mv^2}{2}$. Ở đây $k$ là hằng số Boltzmann, $T$ là nhiệt độ của hạt nhân, $\frac{mv^2}{2}$ là động năng trung bình của nucleon.

Thông thường, một nucleon mang năng lượng cỡ 10 MeV khỏi hạt nhân hợp phần. Do đó, trong trường hợp hợp nhất uranium với neon, khi năng lượng của hạt nhân neon được gia tốc vượt quá một chút độ cao barrera $B$ và $E^* = 42$ MeV, bốn neutron được phát ra từ hạt nhân hợp chất. Phản ứng này được viết như sau:

$$\begin{array}{c} I \\ 238 U + 22 N e \rightarrow 260 X' \\ 102 \\ \end{array} \begin{array}{c} 256 X + 4 N e \\ 102 \\ \end{array}$$

Ở đây $1/0 n$ là ký hiệu của neutron (giống như bất kỳ đồng vị nào, số khối ở trên cùng bên trái, giá trị điện tích ở dưới cùng bằng 0). Số lượng nucleon trong phản ứng hạt nhân không thay đổi. Do đó, tổng các chỉ số trên ở vế phải (II) của phương trình phản ứng bằng tổng các chỉ số trên ở vế trái (I), có tính đến hệ số 4 ở phía trước ký hiệu nơtron. Điện tích cũng được bảo toàn nên tổng các chỉ số dưới được bảo toàn.

Trong phản ứng tổng hợp uranium với neon, các nhà khoa học Dubna đã thu được những nguyên tử đầu tiên của nguyên tố số 102. Để chuẩn bị cho các thí nghiệm, họ đã thực hiện các phép tính giống hệt như những gì được thực hiện trong bài viết này.

Người ta đã nói rằng phản ứng hình thành nguyên tố thứ hai này chỉ xảy ra trong những trường hợp hiếm hoi. Người ta có thể chứng minh bằng thực nghiệm rằng cứ 100 triệu hạt nhân cấu thành thì chỉ có một hạt nhân đồng vị $256 X$ được phân bố. Trong các trường hợp khác, hạt nhân được chia thành các mảnh:

$$\begin{array}{c} 238 U + 22 N e \rightarrow 260 X' \\ 102 \\ \end{array} \begin{array}{c} 256 X + 4 N e \\ 102 \\ \end{array}$$

Trong những trường hợp hiếm hoi, khi hạt nhân neon chỉ nhường một phần nucleon của nó cho uranium, các đồng vị khác của nguyên tố 102 được hình thành.

Trong bối cảnh tất cả các sản phẩm phụ này của sự tương tác giữa hạt nhân được gia tốc với hạt nhân minshen và đăng ký

Hạt nhân của nguyên tố mới phân rã. Tách bức xạ của nguyên tố này khỏi bức xạ của các sản phẩm lạ là phần khó nhất trong thí nghiệm phát hiện đồng vị của các nguyên tố có số nguyên tử lớn hơn một trăm. Khó khăn trở lại khi số nguyên tử tăng lên. Vì vậy, nếu trong phản ứng kết hợp neon với sao Diêm Vương, chúng ta thu được hạt nhân của nguyên tố số 104, được gọi là “kuchatovium” để tưởng nhớ nhà vật lý kiệt xuất Liên Xô I.V. Kurchatov, khi đó một hạt nhân được hình thành cho 10 tỷ hạt nhân hợp chất:

$$\begin{array}{c} 242 P u + 22 N e \rightarrow \\ 264 K u - \\ 10 \text{ миллиардов делений.} \end{array}$$

Hơn nữa, trong các thiết bị tăng tốc mạnh nhất, chỉ một lõi curitovium được phân phối trong vòng vài giờ. Đi đến nghiên cứu tính chất của nó bằng sự phân rã của từng nguyên tử hạt nhân. Chưa hết, mặc dù hiệu quả thấp như vậy. v.v … phản ứng tổng hợp của các hạt tích điện nặng, hiện nay không còn cách nào hiệu quả hơn để thu được hạt nhân của các nguyên tố hạt nhân ở xa.

Trong các phản ứng nhiệt hạch, về mặt kỹ thuật, các đồng vị Tc, curium St, berkelium Bk, californium Cf, mendelevium Md, kurchatovium Ku, các nguyên tố số 102, 103, 105 lần đầu tiên thu được trong các phản ứng nhiệt hạch.

8

Máy gửi bài

Nói chung phải nói rằng đây không phải là một chiếc xe thấp chút nào. Đây là, nếu bạn thích, một bản vẽ của một cái máy. Và sẽ đúng hơn nếu nói - câu chuyện về một chiếc ô tô. Nhưng nếu bạn nói thì hãy nói trước **).

Ba mươi lăm năm trước, hai nhà khoa học xuất sắc gần như xuất hiện đồng thời trên hai tạp chí toán học (trong “Tạp chí logic tượng trưng” quốc tế xuất bản ở Hoa Kỳ và trong “Kỷ yếu của Hiệp hội toán học Luân Đôn”): Emil L. Post người Mỹ và người Anh Alain M. Tyorinen,

*) Trường được đứng đầu bởi Valentin Nikolaevich Kasatkin, tác giả của những cuốn sách nổi tiếng “The ABCs of Cybernetics” và “The Secret of Cybernetics”. Ở cuối bài viết, chúng tôi trình bày một số bài toán do anh ấy gửi.

**) Mô tả về “Máy đăng bài” ở đây thuộc về Yu. A. Gastev.

dành riêng để làm rõ khái niệm về một thuật toán (hoặc thuật toán *) đã được sử dụng từ lâu trong toán học (và không chỉ trong toán học). Thuật toán là một phương pháp chung duy nhất được thiết kế cho lời giải toàn bộ chuỗi đơn bài toán. Thống nhất - theo nghĩa là, khi biết thuật toán tương ứng, chúng ta có thể giải từng bài toán từ một chuỗi nhất định mà không cần hiểu thêm gì, như người ta nói, “hoàn toàn cơ học”, “định dạng”.

“Chính thức”, “điên rồ”, “máy móc” - những từ này thường bao hàm một ý nghĩa khá phản cảm. Và hầu như luôn luôn vô ích! Hãy tự đánh giá: việc tìm ra cách cộng bất kỳ số có nhiều chữ số nào “vào một cột” lần đầu tiên tất nhiên là khó khăn.

*) Phương pháp viết chỉ được xác định bởi truyền thống và sự hấp dẫn. Nếu chữ θ (“phyta” giống với “theta” trong tiếng Hy Lạp) được giữ nguyên trong tiếng Nga, thì mọi người sẽ tiếp tục viết “algorθm”!

10

thậm chí Gauss cũng không cần khái niệm chung về thuật toán. Nhưng để hiểu - và hơn nữa, để chứng minh rằng có những bài toán khối lượng không thể giải được (tức là các lớp bài toán không thừa nhận bất kỳ lời giải nào, thống nhất cho cả lớp *)), tất nhiên, nếu không có một định nghĩa chung như vậy, sẽ không thể thực hiện được.

Không kém phần quan trọng là giá trị thuần túy “tích cực” của khái niệm chung về một thuật toán: việc hiểu các quy luật chung chi phối các thuật toán đa dạng nhất đóng vai trò chính đối với toán học “máy”. Như đã biết, một máy tính điện tử phổ thông “có khả năng chấp nhận” các chương trình toán học đa dạng (và không chỉ toán học) bài toán**). Chương trình máy là một thuật toán, ngoài ra, chỉ được điều chỉnh phù hợp với các đặc điểm của một máy cụ thể (hoặc được viết bằng “ngôn ngữ lập trình” đặc biệt; chúng tôi cho phép “phát sóng”, tức là dịch đơn giản sang ngôn ngữ lệnh của các máy khác nhau).

Ngay từ những tác phẩm đầu tiên của Thorig và Post, dành cho việc giảng dạy khái niệm thuật toán, đã giúp đạt được những tiến bộ đáng kể theo cả hai hướng này. Động lực trực tiếp cho những nghiên cứu như vậy trong cả hai trường hợp là mong muốn thiết lập tính không thể giải được bằng thuật toán của một số bài toán khối lượng nhất định (và chính Post là người chịu trách nhiệm về những kết quả đầu tiên theo hướng này). Điều tò mò là cả hai nhà khoa học về cơ bản đều đi theo cùng một con đường (rõ ràng là con đường này không phải là con đường duy nhất).

*) Về các bài toán không thể giải được bằng thuật toán, chẳng hạn, hãy xem bài viết của F. L. Varrakhovsky và A. N. Kolmogorov “Về lời giải Các bài toán thứ mười của Hilbert” («Kvant», Số 7, 1970).

**) Ví dụ, xem bài viết của R. S. Guter “Máy móc có thể làm gì” («Kvant», Số 5, 1970) và “Ngôn ngữ của con người và ngôn ngữ của máy móc” («Kvant», Số 10, 1971).

nhưng có thể): cùng với điều có thể hiểu được bằng trực giác, nhưng hoàn toàn không phù hợp để rút ra các hệ quả toán học chính xác, nói về “một tổng quát duy nhất, được chuẩn bị cho lời giải cho cả một chuỗi cùng loại bài toán” (xem phần đầu của ghi chú này), Törig và Post đưa ra ý tưởng về một thuật toán như một loại “máy tinh thần” trừu tượng, được mô tả bằng thuật ngữ toán học chính xác và đồng thời, tương ứng với ý tưởng của chúng tôi về quá trình tính toán, diễn ra theo quy tắc-lệnh của định nghĩa của một hình thức tiêu chuẩn.

Định nghĩa chính xác nào của một thuật toán được chấp nhận - Tyoriga, Post, hoặc định nghĩa của người khác (được biết đến nhiều nhất là định nghĩa của K. Gödel, A. Church, S. K. Kleene, A. A. Markov, A. N. Kolmogorov) - không quan trọng: người ta nhanh chóng nhận ra rằng tất cả các định nghĩa này đều tương đương nhau theo nghĩa định nghĩa. Do đó, việc lựa chọn bất kỳ một trong những lời dạy này làm định nghĩa ban đầu không phải vì khía cạnh toán học của vấn đề mà để thuận tiện cho việc trình bày.

“Máy của Tyorig” được mô tả trong cả sách dịch vụ và sách phổ biến *).

“Máy Post” kém may mắn hơn về mặt này, có lẽ vì “máy” này, đơn giản hơn “máy Tyyorig”, nói chung, chính vì lý do này đòi hỏi một hệ thống lệnh cồng kềnh hơn để thực thi một bài toán cụ thể. Ngoài một bài viết duy nhất của chính Post, việc giảng dạy khái niệm thuật toán này trên thực tế chỉ được mô tả ở một nơi: trong một loạt bốn bài viết của V. A. Uspensky trên tạp chí “Matematika at School” năm 1967. Giới thiệu cho người đọc những bài viết rất thú vị (và được viết rõ ràng) này, giờ đây chúng tôi chỉ cung cấp những thông tin cơ bản nhất về “Máy Post” cần thiết để hiểu thêm.

*) Trong số những con số này, trước hết chúng tôi giới thiệu tới độc giả cuốn sách của B. A. Trakhtenbrot “Thuật toán và máy lời giải bài toán”, Fizmatiz, 1960, tái bản lần thứ 2.

12

1. máy doit thực hiện một lệnh không thể thực hiện được (in dấu trong phần bị hủy hoặc xóa dấu khỏi phần trống) - cái gọi là dừng không hiệu quả;
2. máy doit thực hiện lệnh dừng - kết quả của lệnh dừng;
3. cả hai trường hợp đầu tiên đều không thành hiện thực - máy sẽ hoạt động vô thời hạn.
   Ví dụ 1. Trong chương trình

1. ⇒2
2. ξ 3
3. dừng lại,
   áp dụng cho băng trống, việc dừng không hiệu quả sẽ xảy ra ở bước thứ hai. (vì vậy cho đến lệnh thứ ba được quy định, việc dừng kết quả vẫn chưa được thực hiện).
   Ví dụ 2. Chương trình
4. ⇒2
5. ⇒3
6. dừng lại,
   áp dụng cho một băng trống sẽ hoạt động như sau: cỗ xe sẽ di chuyển hai phần sang bên phải của phần đang được xem, sau đó máy sẽ dừng lại.
   Ví dụ 3. Nếu chương trình
7. ∨ 2
8. ⇒3
9. ⇒1
   áp dụng cho băng trống, sau đó máy sẽ in, bắt đầu từ phần đang xem, từng nhãn một và không dừng lại chút nào.
   Người đọc sẽ tìm thấy thêm những ví dụ khác trong những bức tượng đã được đề cập của V. A. Uspensky.
   Bây giờ chúng tôi sẽ nhường chỗ cho những người tham gia trường điều khiển học trẻ của “Học viện Khoa học Nhỏ”, học sinh lớp 9 của trường Bakhchisarai số 2 Natasha Kudryavskaya, Ira Lomakina và Svetlana Priz, những người sẽ kể cho bạn nghe về kinh nghiệm học lập trình bằng máy Post (công việc của chúng, ở dạng đơn giản hóa cao, sẽ tái tạo công việc của bất kỳ máy tính phổ thông hiện đại nào). Các cô gái đã thử nghiệm chương trình của mình trên một sản phẩm do một nhân viên Giáo dục Đại học sản xuất.

Trung tâm kết hợp của Viện sư phạm Simferopol với mô hình kim loại, kèm theo chìa khóa, công tắc bật tắt, phích cắm và các thuộc tính không thể thiếu khác của “máy điều khiển học”. “Băng” trong “mô hình vận hành” này bao gồm các bóng đèn điện tử (40 chiếc; vượt quá giới hạn của băng được coi là máy dừng không thành công) và các phần được đánh dấu sẽ sáng lên và các phần được đánh dấu sẽ tắt *).

Sẽ rất thú vị khi lập trình và xem cách máy giải quyết bài toán, tuân theo chương trình của bạn. Bộ đếm lệnh cho phép bạn xem lệnh nào hiện đang chạy. Đầu tiên, chương trình được viết trên giấy, sau đó, sử dụng phích cắm, nó được ghi vào trường sắp chữ của máy (mỗi lệnh có mã kép riêng). Máy hoạt động không nhanh (ở chế độ tự động) nên mọi thao tác đều được hiển thị rõ ràng; việc thực hiện chương trình có thể bị tạm dừng.

Thật thú vị khi quan sát cách máy hoạt động như nội dung của một người trong các trò chơi khác nhau. Chúng tôi quyết định bài toán và biên dịch một chương trình mà máy không thể sử dụng theo bất kỳ cách nào **). Đây là một ví dụ về một chương trình như vậy. Điều kiện trò chơi: có 26 điểm liên tiếp trên băng, điểm ngoài cùng bên trái có thể nhìn thấy bằng thẻ. Người và máy thay phiên nhau (người luôn bắt đầu trò chơi), xóa không quá bốn điểm trong lượt của mình. Người nào xóa dấu cuối cùng sẽ thua cuộc. Nếu các điều kiện

*) Chúng tôi cố tình không tập trung vào tất cả những chi tiết ấn tượng này, để không làm người đọc mất tập trung vào công việc trong ngày; Sự khác biệt giữa “mẫu điện tử của máy Bưu điện” và mô hình “giấy diêm” được mô tả ở trên gần giống như sự khác biệt giữa biên lai cửa hàng được in trên máy tính tiền điện tử hoặc thủ công và biên lai viết tay.
**) Tức là anh ta luôn thắng: tất cả những trò chơi này đều không cho phép kết quả hòa.

mà những dấu bị một người xóa (một, hai, ba hoặc bốn) luôn là những từ cực đoan nhất thì chương trình mong muốn sẽ có dạng sau:

1. ? / 2
2. ⇒ 3
3. ⇒ 4
4. ⇒ 5
5. ⇒ 6
6. ? / 7
7. dừng lại
8. ξ 9
9. ⇐ 10
10. ? / 11
11. ⇒ 12
12. ? / 11

Dưới đây là giải thích ngắn gọn về chương trình. Lệnh 1 - chuyển quyền điều khiển: máy sẽ chỉ chuyển sang lệnh thứ 2 sau khi người đó di chuyển. Ở lệnh thứ 2, 3, 4 và 5, cỗ xe di chuyển sang phải và ở lệnh thứ 8*) xóa dấu trong phần đang được xem và chuyển sang lệnh thứ 9, trên đó nó di chuyển sang phải và chuyển sang lệnh số 10. Theo lệnh này, nếu phần đang được xem trống, máy sẽ thực thi lệnh thứ 11 và nếu nó được bù - thứ 8. Đến lệnh thứ 11, xe di chuyển sang phải và di chuyển đến lệnh thứ 12. Nếu bây giờ phần bên dưới đặt cỗ xe trống thì máy sẽ quay trở lại lệnh thứ 11, và nếu nó bị dịch chuyển, nó sẽ bắt đầu lại từ đầu, tức là nó sẽ chuyển sang lệnh thứ 1.

*) Mục đích của lệnh thứ 6 và thứ 7 là dừng lại sau khi người đó đã lấy điểm cuối cùng.

3 adach và

1. a) Chứng minh rằng “chiến lược máy” mô tả ở đây luôn đảm bảo trò chơi win-win cho máy trong trường hợp có 11 hoặc 16 điểm trên băng; Chương trình tương tự phù hợp với số điểm nào khác trên băng (cho biết đáp số nếu có thể ở dạng tổng quát)?

2. Cho một mảng gồm n nhãn (nghĩa là n phần bị xóa liên tiếp). Viết chương trình đặt các dấu này lên băng sao cho giữa mỗi cặp có một phần trống (vòng tròn nhìn về phía ngoài cùng bên phải của phần bù).

3. (Cái này và hai cái tiếp theo bài toán do V.N. Kasatkin đề xuất.) Trên băng có một dãy gồm n phần bù (xem phần ngoài cùng bên trái), và ở bên phải của nó, cách m phần, có một phần bù khác. Viết chương trình sẽ gán mảng này cho phần này.

4. Có hai mảng có độ dài khác nhau trên băng (có thể nhìn thấy phần cực của một trong số chúng). Viết chương trình so sánh độ dài của mảng và lớn nhất trong số đó. (Cụ thể xem xét các trường hợp có độ dài của mảng bằng nhau.)

5. Trên băng đan có một mảng, phần ngoài cùng của mảng đó được xe ngựa nhìn thấy. Viết chương trình đặt một mảng khác có cùng độ dài trên băng, đặt hai phần trống ở bên phải mảng này.

6. Băng được cung cấp hai mảng ở khoảng cách một phần trống với nhau, với phần vận chuyển nằm dưới phần ngoài cùng được bù bằng phần của mảng bên trái. Viết chương trình gán các mảng này cho nhau.

7. Lập một chương trình chiến thắng cho trò chơi tiếp theo. Có 21 đoạn bù đắp trên đai máy Post, đoạn ngoài cùng. Người và máy thay phiên nhau (người đi trước!), mỗi lần di chuyển xóa không quá 6 điểm. Người chiến thắng (không giống như trò chơi trên) là người xóa được dấu vết cuối cùng.

14

Về số e và n!
L. G. LIMANOV

Trong ghi chú này, chúng tôi sẽ phân tích bài toán từ M.I. Bài báo của Bashmkov “Về sự xuất hiện của Bertrand” (xem «Kvant» Số 5, 1971).

Hãy nhớ lại rằng quy trình của Bertrand được gọi là phép lặp sau: nếu $x > 1$, thì có một số nguyên tố nằm giữa $x$ và $2x$.

Tuyên bố này được đưa ra bởi nhà toán học người Pháp Bertrand, nhưng ông không thể tìm thấy bằng chứng cho nó. Chebyshev đã làm được điều này và thực hiện nó khá đơn giản. Đúng, anh ấy đã sử dụng một công thức không sơ cấp - công thức Stirling:

$$n! = \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n e^{\theta_n/12n},$$

ở đâu $0 < \theta_n < 1$.

Công thức này có lẽ bao gồm hai con số đáng chú ý nhất. Đầu tiên là con số nổi tiếng $n$ - tỷ lệ giữa chu vi của một hình tròn với đường kính của nó. số thứ hai là số $e$—giới hạn của dãy $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ vì $n$ tiến tới vô cùng. Chebyshev cần công thức này để ước tính các giá trị của $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$.

Trên thực tế, để chứng minh hành động của Bertrand, người ta có thể sử dụng những ước tính kém chính xác hơn đáng kể về giá trị $n$!

Chính những ước tính này đã được yêu cầu người đọc chứng minh trong bài viết của Bashmkov (bài toán 3). Từ việc phân tích bài toán này, chúng tôi sẽ dạy.

Đây là cách diễn đạt của nó:

Chứng minh rằng tồn tại một số thực $e$ sao cho với mọi $n$ tự nhiên, không comoroso lớn $n_0$,

$$\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$

Các bất đẳng thức $\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n$ có thể được sử dụng cùng với các công thức Stirling. Tất nhiên, chúng kém chính xác hơn, nhưng chúng dễ chứng minh hơn nhiều.

Trên thực tế, bài toán còn lại của bài viết là các bổ đề từ chứng minh của Chebyshev về thủ tục Bertrand. Việc giải chúng dễ hơn nhiều so với bài toán 3. Công lao của Chebyshev không phải là ông đã giải được chúng - điều này không khó thực hiện - mà là ông đã xây dựng chúng và tìm ra cách, bằng cách sử dụng các phát biểu này, để thu được ước tính cho tích (và, do đó, cho số lượng) các số nguyên tố không vượt quá $x$, và chứng minh thủ tục của Bertrand.

Lời giải bài toán 3. Vẫn chưa có bằng chứng, con số $e$ là gì, đối với tất cả tự nhiên $n$,

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < e < \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1},$$

thực sự tồn tại. (Bằng chứng về sự tồn tại sẽ được đưa ra dưới đây.)

15

Chúng tôi muốn chứng minh rằng $\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n$ hoặc (giống nhau)
$\frac{(n+1)^n}{n!} < e^n < \frac{n^n}{(n-1)!}$ cho $n$ lớn hơn một số $n_0$.

Hãy chứng minh cho một số $k$ rằng $\frac{(k+1)^k}{k!} < e^k$. Nhưng
$\frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)!} / \frac{(k+1)^k}{k!} = \left(\frac{k+2}{k+1}\right)^{k+1} < e$. Vì vậy $\frac{(k+2)^{k+1}}{(k+1)!} < e^{k+1}$.

Do đó, tuyên bố của chúng tôi đúng với $k+1$, và do đó cũng đúng với $k+2, k+3$, v.v. Tương tự, từ giả định

$$e^k < \frac{k^k}{(k-1)!}$$

người ta kết luận rằng

$$e^{k+1} < \frac{(k+1)^{k+1}}{(k)!}.$$

Thật sự,

$$\frac{(k+1)^{k+1}}{k!} / \frac{k^k}{(k-1)!} = \left(\frac{k+1}{k}\right)^{k+1} > e.$$

Việc còn lại là chứng minh rằng $e$ tồn tại và tìm các giá trị ban đầu của $n$ trong mỗi bất đẳng thức

$$\left(\frac{n+1}{e}\right)^n < n!, n! < n \left(\frac{n}{e}\right)^n.$$

Bằng chứng về sự tồn tại của $e$

Điều kiện gọi tập hợp số thực $x$ thỏa mãn bất đẳng thức $a \leqslant x \leqslant b$ là đoạn có điểm cuối $a$ và $b$ (đoạn có điểm cuối $a$ và $b$ được ký hiệu là $[a, b]$).

Khi chứng minh sự tồn tại của số $e$, chúng ta sẽ sử dụng tính chất sau của số thực: nếu có một dãy các đoạn $[a_i, b_i]$, trong đó $a_i \leqslant a_{i+1} < b_{i+1} \leqslant b_i$ ($i=1, 2, \dots$) (dãy như vậy gọi là dãy các đoạn lồng nhau), thì có một điểm $\alpha$ chung cho tất cả các đoạn này.

Chúng tôi sẽ không chứng minh tài sản này. Thực tế là với một định nghĩa rõ ràng về những gì chúng ta hiểu về tập hợp số thực, thuộc tính này (hoặc một số tương đương) được chấp nhận như một tiên đề.

Bài tập

1. Kiểm tra xem các tính chất sau của số thực có tương đương nhau không; Nếu bạn chấp nhận bất kỳ điều nào trong số chúng mà không có bằng chứng, thì phần còn lại sẽ được suy ra từ đó.
   a) Mỗi ​​dãy các đoạn lồng nhau có ít nhất một điểm chung.
   b) Mọi dãy tăng đơn điệu bị chặn đều có giới hạn.
   b) Bất kỳ chuỗi $\{a_i\}(i=1, 2, \dots)$ nào trong đó đối với bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào, người ta có thể chỉ định $N$ (tất nhiên tùy thuộc vào $\varepsilon$) sao cho $|a_n - a_m| < \varepsilon$ cho $m, n > N$ có giới hạn. (Các dãy như vậy được gọi là dãy Cauchy.)
   r) Mọi tập hợp số thực bị chặn ở trên đều có một phiên bản chính xác của grana, nghĩa là người ta có thể chỉ định một số $\alpha$ sao cho tất cả các số thuộc tập hợp này không lớn hơn $\alpha$, nhưng với bất kỳ số $\beta$ nào nhỏ hơn $\alpha$, người ta có thể tìm thấy một số từ tập hợp này lớn hơn $\beta$.
   d) Từ bất kỳ họ phân đoạn nào bao gồm phân đoạn $[a, b]$, chúng ta có thể chọn một họ phân đoạn hữu hạn bao gồm phân đoạn $[a, b]$. (Chúng ta nói rằng một hệ thống $M$ gồm các phân đoạn bao gồm phân đoạn $[a, b]$ nếu với mỗi $x$ thuộc phân đoạn $[a, b]$ có một phân đoạn từ hệ thống $M$ chứa $x$.)

16

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng dãy $\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ tăng đơn điệu. Để làm điều này, điều cần thiết là đối với bất kỳ $n\left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ nào cũng phải nhỏ hơn $\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$.

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$

Với sự trợ giúp của các phép biến đổi đơn giản, bất đẳng thức này có thể được rút gọn về dạng sau:

$$[(n^2+2n+1)^n - (n^2+2n)^n](n+1) < (n^2+2n)^n.$$

[Dưới đây là các bất đẳng thức trung gian: $(n+1)^{2n+1} < (n+2)^{n+1}n^n$ và $(n^2+2n+1)^n(n+1) < (n^2+2n)^n(n+2)$.] Sử dụng công thức $a^k - b^k = (a-b)(a^{k-1} + a^{k-2}b + \ldots + ab^{k-2} + b^{k-1})$, ta có: $(n^2+2n+1)^n - (n^2+2n)^n < n(n^2+2n+1)^{n-1}$. Do đó, bất đẳng thức (1) sẽ được chứng minh nếu ta chứng minh bất đẳng thức sau:

$$(n^2+2n+1)^{n-1}(n+1) < (n^2+2n)^{n-1}(n+2).$$

Điều này đến lượt nó (hóa ra hoàn toàn giống nhau) suy ra từ bất đẳng thức

$$(n^2+2n+1)^{n-2}(n+1) < (n^2+2n)^{n-2}(n+2).$$

Lặp lại những lập luận này, chúng ta tin rằng bất đẳng thức (1) suy ra từ bất đẳng thức hiển nhiên

$$n+1 < n+2.$$

Việc chứng minh điều đó với mọi số tự nhiên $n$ thậm chí còn đơn giản hơn

$$\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1} > \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2}.$$

Thật vậy, bất đẳng thức (2) tương đương với bất đẳng thức

$$(n+1)^{2n+3} > (n+2)^{n+2}n^{n+1}.$$

Pozny chỉ cần thể hiện điều đó là đủ

$$[(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1}](n+1) > (n^2+2n)^{n+1}.$$

Nhưng

$$(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1} > (n^2+2n)^{n+1}(n+1),$$

Ở đâu

$$[(n^2+2n+1)^{n+1} - (n^2+2n)^{n+1}](n+1) > (n^2+2n)^{n+1}(n+1)^2 > (n^2+2n)^{n+1}(n^2+2n) = (n^2+2n)^{n+1},$$

tức là bất đẳng thức (3) và do đó bất đẳng thức (2) đã được chứng minh.

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng dãy $a_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^n$ tăng đơn điệu và dãy $b_n = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$ là dãy tiêu diệt đơn điệu. Ngoài ra, $a_n < b_n$ kể từ $\frac{n+1}{n} > 1$. Do đó, chuỗi các phân đoạn có điểm cuối $a_i$, $b_i$ là một chuỗi các phân đoạn lồng nhau và độ dài của phân đoạn thứ $k$ bằng $\left(\frac{k+1}{k}\right)^k \cdot \frac{1}{k}$, nghĩa là khi $k$ phát triển, nó có xu hướng bằng 0. Do đó, tất cả các phân đoạn này đều có đúng một điểm chung. Số tương ứng được gọi là số $e$.

Bạn có thể tính bao nhiêu chữ số thập phân của số $e$ tùy thích. Đây là một vài cái đầu tiên: $e=2,71828...$

18

1. Chứng minh rằng
   $$T(x) = \psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \psi\left(\frac{x}{3}\right) + \dots$$

2. Chứng minh rằng
   $$\psi(x) = \theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \theta(\sqrt[3]{x}) + \theta(\sqrt[4]{x}) + \dots$$

Sử dụng kết quả bài toán 1, $S(x)$ chúng ta có thể viết nó như thế này:
$$S(x) = A_1\psi(x) + A_2\psi\left(\frac{x}{2}\right) + A_3\psi\left(\frac{x}{3}\right) + \dots$$

3. Kiểm tra xem các hệ số $A_1, A_2, A_3, \dots$ có thay đổi theo chu kỳ 30 hay không và trong ba mươi giá trị đầu tiên $n$, các hệ số $A_n$ tạo thành chuỗi sau: 1, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1, 0, -1, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, -1.

4. Chứng minh rằng các hệ số $A_1, A_2, A_3, \dots$ thay đổi theo chu kỳ 30 và trong ba mươi giá trị đầu tiên của $n$, các hệ số $A_n$ tạo thành chuỗi sau: 1, 0, 0, 0, 0, -1, 1, 0, 0, -1, 1, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, -1.

5. Chứng minh rằng
   $$\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) \leq \theta(y) \leq \psi(x) - \psi(\sqrt{x}).$$

6. Chứng minh rằng
   $$\frac{\psi(x)}{\log x} < \pi(x) < \frac{\psi(x) + \theta(x)}{\log x}.$$

Lời giải bài toán 1. Lưu ý rằng $a_p = [\log_p x]$. Chúng tôi tính toán với hệ số nào $\log p$ nhập tổng $\psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \dots$ Trong $\psi\left(\frac{x}{i}\right)$ logarit $p$ nhập với hệ số $\left[\log_p \frac{x}{i}\right]$, nghĩa là tổng hệ số của $\log p$ bằng $\sum_{i=1}^{\infty} \left[\log_p \frac{x}{i}\right]$. Hãy trừ một số từ mỗi số hạng và biến đổi nó: $\left[\log_p \frac{x}{i}\right] - 1 = \left[\log_p \frac{x}{i} - 1\right] = \left[\log_p \frac{x_1}{i}\right]$, trong đó $x_1 = \frac{x}{p}$. Vì vậy $\sum \left[\log_p \frac{x}{i}\right] = \left[\frac{x}{p}\right] + \sum \left[\log_p \frac{x_1}{i}\right]$. Lặp lại phép biến đổi, chúng ta có được đẳng thức sau:
$$\sum \left[\log_p \frac{x}{i}\right] = \sum_{i=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^i}\right].$$

Vậy hệ số của $\log p$ trong tổng $\psi(x) + \psi\left(\frac{x}{2}\right) + \dots$ bằng $\sum_{i=1}^{\infty} \left[\frac{x}{p^i}\right]$. Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng $T(x) = \sum_{i \leq x} \log i$ cũng có thể được biểu diễn dưới dạng này: $T(x) = \sum_{p \leq x} c_p \log p$, trong đó $p$ là số nguyên tố.

Bài tập

12. Chứng minh rằng nếu $k$ là số tự nhiên thì $\left[\frac{x}{k}\right] = \left[\frac{x}{k}\right]$ cũng đúng với $x > 1 [\log_h[x]] = [\log_hx]$.

13. Đảm bảo rằng hệ số $c_p$ bằng

$$\sum_{i=1} \left[ \frac{[x]}{p^i} \right].$$

Gợi ý. Hãy coi $T(x)$ là $\log([x])$.

Sau khi giải xong bài 12 và 13 hãy giải hoàn toàn bài toán 1.

Lời giải bài toán 2. Lời giải của bài toán này tương tự như lời giải bài toán 1: bạn cần đảm bảo rằng hệ số của $p$ trong tổng của $\theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \cdots$ bằng $[\log_p x]$. Nó khá dễ dàng để làm theo. $\log p$ được đưa vào dưới dạng một thuật ngữ trong $\theta(\sqrt{x})$, nếu $\sqrt{x} \geq p$, tức là, $\log_p x \geq i$. Do đó, trong $\sum \theta(\sqrt{x})$ logarit $p$ nhập số hạng $k$ lần, trong đó $k$ được xác định từ bất đẳng thức $k + 1 > \log_p x \geq k$, tức là $[\log_p x]$ lần.

Lời giải bài toán 4. bài toán này rất giống với bài toán M92 (xem «Kvant» số 7, 1971).

Thật vậy, nó có thể được phát biểu như sau:

Trên chuyến tàu đầu tiên đến Maazin, Petya đã mua cho mình rất nhiều sôcôla nhỏ. Anh ấy quyết định rằng vào những ngày buồn chán, anh ấy nên ăn ba viên sôcôla, vào những ngày anh ấy chỉ bận rộn với một việc - hai và phần còn lại - một. Khi đó $A_i + 2$ bằng số sôcôla mà Petya đã ăn trong ngày $i + 1$. (Hãy nhớ lại rằng Petya đi bơi mỗi ngày thứ hai, mỗi ngày thứ ba đều đến maazin và mỗi ngày thứ năm đều giải được các bài toán bài toán).

Đây là công thức cho $A_i$:

$$A_i = 1 - [2^{[i/2] - i/2}] - [2^{[i/3] - i/3}] - [2^{[i/5] - i/5}] + [2^{[i/30] - i/30}].$$

Bài tập

14. Chứng minh công thức (4).
15. Suy ra công thức tính số việc Petya sẽ làm vào ngày thứ $k$.

Từ công thức (4) có thể thấy ngay rằng $A_{i+30} = A_i$. Tất nhiên, bạn có thể tự tính toán giá trị của ba mươi hệ số đầu tiên.

Lời giải bài toán 5. bài toán này theo sau bài toán 2. Thật vậy,

$$\psi(x) - \psi(\sqrt{x}) = \theta(x) + \theta(\sqrt{x}) + \cdots \geq \theta(x),$$

$$\psi(x) - 2\psi(\sqrt{x}) = \theta(x) - \theta(\sqrt{x}) + \cdots \leq \theta(x).$$

Lời giải bài toán 6. Vì $a_p = [\log_p x]$,

$$a_p \log p \leq \log_p x \log p = \log x, \quad (a_p + 1) \log p > \log x.$$

Pozny

$$\psi(x) = \sum_{p \leq x} a_p \log p \leq \sum_{p \leq x} \log x = \pi(x) \log x,$$

$$\psi(x) + \theta(x) = \sum_{p \leq x} (a_p + 1) \log x > \sum_{p \leq x} \log x = \pi(x) \log x,$$

Ở đâu

$$\frac{\psi(x)}{\log x} < \pi(x) < \frac{\psi(x) + \theta(x)}{\log x}.$$

20

Chúng ta gặp nhiều loại sóng khác nhau ở khắp mọi nơi, từ tia gamma có bước sóng rất ngắn đến chuyển động sóng cực lớn trong vùng bụi mịn rải rác giữa các ngôi sao. Nhưng vì tất cả các sóng đều mang năng lượng nên không có gì đáng ngạc nhiên khi hành vi của chúng phần lớn giống nhau.

Trong môi trường đồng nhất, sóng truyền theo đường thẳng với tốc độ không đổi, thay đổi hướng và tốc độ ở những nơi mà tính chất vật lý của môi trường thay đổi. Nếu một sóng âm thanh trong khí quyển chạm vào một vật thể rắn, chẳng hạn như một bức tường gạch, thì một phần của nó sẽ quay trở lại nguồn, giống như tiếng vang.

Nghiên cứu một loại sóng cho phép người ta khám phá những gì có thể mong đợi từ các loại sóng khác. Ví dụ, một số đặc tính âm thanh của khán giả có thể được đánh giá bằng cách quan sát hành vi của sóng trong một bể nước phẳng.

Tắm sóng có thể được thực hiện tại nhà (Hình 1). Phần chính của nó bao gồm một khung gỗ 6 với một ngôi nhà bằng kính. Độ dày khung khoảng 5 cm, diện tích đáy kính ≈ 0,2 m2. Để ngăn nước rò rỉ, nên gắn vào khung bằng mastic hoặc nhựa-LIN. Bồn tắm được lắp đặt trên bốn chân ở độ cao khoảng 0,5 m so với sàn nhà. Một đèn mờ 5 có công suất 100 W được sử dụng làm nguồn sáng để chiếu bóng của cá lên màn hình 9 nằm dưới kính. Đèn được đặt trong hộp làm bằng bìa cứng chống cháy 2 và lắp đặt ở độ cao khoảng nửa mét so với bồn tắm trên khung gỗ. Trong ô bạn cần làm đáp án số 3 để có được nguồn sáng chính xác.

Một thanh ngang bằng gỗ 11 được cố định vào hai giá đỡ 10. Một khối được treo trên thanh ngang này bằng dây thun dùng để kích thích sóng. Khoảng cách giữa thanh và mặt nước có thể được điều chỉnh bằng cách thay đổi vị trí của các giá đỡ kim loại và rút ngắn hoặc kéo dài các móc treo cao su.

Ở giữa khối (Hình 2), phụ kiện màu trắng số 4 được sử dụng để cố định pin cho động cơ đồ chơi. Một số hạt 5 làm bằng thủy tinh hoặc nhựa được gắn vào thanh bằng một sợi dây cứng uốn cong một góc vuông; khoảng cách giữa chúng có thể thay đổi nếu bạn thực hiện phản hồi trên thanh cứ sau 5 cm. Một động cơ dài 2-3 cm được gắn vào trục, thực hiện

21

vai trò của tải lệch tâm. Trục 1 đi qua một lỗ được khoan gần đầu vít, được cố định chắc chắn bằng đai ốc; đai ốc thứ hai 3 nằm ở đầu vít. Tốc độ của môtô có thể được điều khiển bằng một biến trở thông thường, bao gồm một lò xo thép mỏng và một chiếc kẹp cá sấu. Một đầu của lò xo được nối với pin và kẹp được nối với một trong các cực của xe máy. Tốc độ yêu cầu được chọn bằng cách kết nối đầu ra moto với các điểm khác nhau trên lò xo.

Dọc theo mép trong của bồn tắm (Hình 3) có một lưới nhôm mềm 8, được uốn vuông góc dọc theo toàn bộ chiều dài của nó và được phủ một lớp gạc 9. Sự kết hợp giữa gạc và lưới này sẽ hấp thụ năng lượng của sóng tới. Điều này ngăn phản xạ từ các cạnh của bồn tắm, có thể gây nhiễu.

Thiết bị được cân bằng, bồn tắm đổ đầy nước đến độ sâu 2 cm, đèn được bật, cực moto được nối với lò xo thép và chiều cao của khối gỗ được đặt sao cho một trong các quả bóng thủy tinh chạm vào nước. Sự quay của quả nặng lệch tâm làm cho giá đỡ hình chữ nhật dao động, quả bóng bay lên và rơi xuống trong nước. Biên độ của sóng được điều chỉnh bằng cách thay đổi vị trí của đai ốc lỏng trên vít lắp. Bước sóng, được xác định bởi khoảng cách giữa các đỉnh sóng liền kề, thay đổi tùy thuộc vào tốc độ của động cơ. Độ tương phản giữa ánh sáng và bóng của dạng sóng được chiếu lên màn hình và được điều chỉnh bằng cách xoay đèn. Thiết bị phải có ít nhất hai quả bóng, tức là hai nguồn sóng chính xác. Để thu được sóng có mặt trước thẳng (tương tự như sóng phẳng truyền trong môi trường ba chiều), người giữ quả bóng được hướng lên trên và khối được hạ xuống nước.

Lắp thiết bị sao cho kích thích sóng phẳng với khoảng cách giữa các đỉnh khoảng 5 cm. Các sóng sẽ phân kỳ khỏi nguồn sóng để mô phỏng sóng.

Cơm. 1. Bể tạo sóng mô phỏng sóng.

1 - bộ giữ nguồn sáng; 2 — hộp bảo vệ; 3—trách nhiệm về ánh sáng; 4 — động cơ rung (1,5 e); 5 — đèn mờ; 6 — khung nhà kính; 7 - gương phản xạ parafin; 8 — kẹp và lò xo thép để điều chỉnh tốc độ xe máy; 9 — màn hình; 10 — dấu ngoặc đơn; 11 - xà ngang.

Cơm. 2. Các bộ phận của máy tạo sóng.

1 - trục đi qua lỗ trên vít; 2 - giá đỡ bằng dải cao su; 3 - trọng lượng điều chỉnh biên độ dao động; 4 — động cơ rung, cố định bằng dây đeo màu trắng; 5 - quả bóng trên dây (có thể vặn nhỏ xuống để thu được nguồn sóng chính xác).

22

nick vào mép trước của bồn tắm và được hấp thụ ở đó. Đặt đèn sao cho độ tương phản là tối đa. Đặt tấm chắn parafin trong bồn tắm ở góc 45° và quan sát sóng phản xạ như thế nào (Hình 4). Cụ thể, chúng ta có thể chứng minh rằng góc $\Theta_i$ giữa hướng truyền sóng phản xạ và đường vuông góc với vật cản bằng góc $\Theta_r$ giữa hướng truyền sóng phản xạ và đường vuông góc đó.

Đặt thanh trần ở một góc khác với 45° và thay đổi bước sóng cũng như biên độ. Thật dễ dàng để xác minh rằng, đối với bất kỳ vị trí nào của vật cản, góc tới bằng góc phản xạ. Đây là định luật phản xạ đối với mọi loại sóng.

Thay tấm parafin bằng một tấm kính rộng 15 cm và dài 30 cm. Lắp đặt sao cho bề mặt trên cách đáy bồn tắm 1 cm. Đổ nước vào bồn sao cho khoảng cách từ kính đến mặt nước là 2-3 mm và tạo ra một loạt sóng phẳng. Xem sóng thay đổi như thế nào khi chúng vượt qua mép kính và chạm vào vùng nước nông. Do sự thay đổi về tốc độ, sóng sẽ lan truyền theo một hướng mới trên kính, giống như một hàng lính di chuyển từ đất liền sang đường đất (Hình 5). Ở chế độ này, sóng bị lệch khỏi hướng đầu tiên do khúc xạ, một hiện tượng được quan sát thấy ở mọi loại sóng khi chúng truyền theo một góc từ môi trường này sang môi trường khác, trong đó chúng truyền với tốc độ khác nhau. Sóng trên mặt nước được phân biệt ở chỗ chúng thay đổi tốc độ truyền khi độ sâu của môi trường thay đổi. Gần đúng, chúng ta có thể giả sử rằng tỷ lệ vận tốc truyền sóng ở vùng nước nông và sâu tỷ lệ thuận với tỷ lệ độ sâu của nước. Tỷ lệ này thực sự không gì khác hơn là chiết suất ở mặt phân cách của hai môi trường. Tốc độ truyền ánh sáng

Cơm. 3. Chi tiết giá đỡ bồn tắm và bộ hấp thụ sóng.
1 - bộ giữ nguồn sáng; 2 — giá đỡ thanh có động cơ; 3 — khung kim loại; 4 - nước; 5 - kính; 6 - mastic; 7 — giá đỡ bằng nhôm; 8 - bộ hấp thụ sóng; Vết thương 9 bit trên lưới.

và sóng âm thay đổi tùy thuộc vào mật độ của môi trường.

Sự phản xạ khi chuyển từ nước sâu sang nước nông có thể giảm
Cơm. 4. Phản xạ sóng.
1 - nguồn sóng; 2 - gương phản xạ; 3 - vuông góc với gương phản xạ; 4 - sóng thẳng; 5 - sóng phản xạ.

24

cực đại và nút phát sinh. Sin của góc đạt cực đại bằng $n\lambda/d$, trong đó $n$ là số cực đại (cực đại trung tâm, vuông góc với đường nối các nguồn, có số “không” và cực đại bán kính nằm ở cả hai phía của cực đại trung tâm được đánh số tuần tự “thứ nhất”, “thứ hai”, “thứ ba”, v.v.), $\lambda$ là bước sóng và $d$ — khoảng cách giữa các nguồn. Tương tự, các nút nằm trên tia được xác định bởi phương trình $\sin \theta = (m - 1/2)\lambda/d$. Ở đây $m$ là số nút.

Rào cản không nhất thiết phải liên tục. Một mạng lưới các chân cách đều nhau cũng phản xạ sóng (Hình 9). Khi sóng phẳng tác động liên tiếp vào một cách tử, từ mỗi sóng

Cơm. 9. Mặt cắt ngang của một mạng lưới các chốt.
1 - ghim; 2 - đế lưới nhựa.

Sóng tròn phân kỳ khỏi chốt, chúng giao thoa và lại tạo thành sóng phẳng. Ví dụ: biên độ sóng tương ứng là $n$ - một số nguyên, $\lambda$ - bước sóng, $d$ - khoảng cách giữa các hàng liền kề của cách tử (chu kỳ lưới) (Hình 10). Sự tương ứng này được gọi là công thức Bragg-Wolfe.

Sử dụng bồn tạo sóng, bạn có thể nghiên cứu hiệu ứng Doppler*. Doppler phát hiện ra rằng sự gia tăng âm thanh của một đoàn tàu đang lao tới và sự thay đổi màu sắc của một đoàn tàu đang di chuyển.

*) Chi tiết hơn về hiệu ứng Doppler được mô tả trong bài viết của L. G. Aslamazov “Hiệu ứng Doppler”, «Kvant» Số 4, 1971.

Cơm. 10. Phản xạ từ cách tử.
1 - hàng ghim; 2 - phía trước sóng trực tiếp; 3 - hướng truyền sóng trực tiếp; 4 - hướng truyền sóng phản xạ; 5—phía trước sóng phản xạ.

các ngôi sao hướng về trái đất về phía phần màu xanh của quang phổ - những hiện tượng có cùng bản chất. Cả hai hiện tượng này là do các nguồn sóng chuyển động có thể triệt tiêu và đôi khi còn lấn át sóng mà chúng phát ra. Để chứng minh hiệu ứng Doppler trong bồn tắm, hãy lấy một ống nhỏ, sử dụng một màng, được điều khiển bởi một bộ điện từ, dẫn các phần không khí vào bồn tắm đều đặn, đồng thời di chuyển qua bồn tắm với tốc độ nhất định. (Bạn có thể quan sát một số đoạn đường ray đồ chơi ở mép bồn tắm và lắp ống vào xe kéo đồ chơi). Khi ống di chuyển với tốc độ làm thay đổi tốc độ của sóng, các đỉnh phía trước nó xuất hiện thường xuyên hơn và phía sau chúng - hiếm hơn.

Hiệu ứng Doppler được quan sát thấy ở nhiều loại sóng khác nhau, bao gồm cả sóng vô tuyến. Có được tương đối ít thiết bị, có thể xác định cường độ và hướng tốc độ của vệ tinh bằng tín hiệu vô tuyến từ vệ tinh nhân tạo, có tính đến hiệu ứng Doppler.

Tất cả những thí nghiệm này chỉ là một vài trong số những điều có thể được thực hiện với một vài thiết bị trong bể tạo sóng. Bất cứ ai xây dựng và trang bị một bồn tắm như vậy sẽ tin chắc rằng sẽ có đủ những trải nghiệm thú vị cho hơn một ngày tồi tệ.

25

NHIỆM VỤ

Lời giải bài toán có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí tới địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi; ví dụ: “Vấn đề «Kvant», M137, F139. Ở đầu bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ, địa chỉ nhà của bạn (cũng như lớp và trường nơi bạn theo học).
Sao xuất sắc khó hơn bài toán.

NHIỆM VỤ

M141. Ta chọn một điểm P tùy ý ở độ cao ВН của tam giác ABC. Gọi K là giao điểm của AP và BC, L là giao điểm của CP và AB. Chứng minh rằng các đoạn thẳng KH và LH tạo thành các góc bằng nhau với chiều cao ВH.
E. V. Sallinen

Cơm. 1.

M142. a) Chứng minh rằng không thể đánh số các cạnh của hình lập phương bằng các số 1,2,…,12 sao cho mỗi đỉnh có tổng số ba cạnh rời khỏi nó bằng nhau.
6)* Có thể gạch đi một trong các số 1,2,…,12,13 và dùng các số còn lại để đánh số các cạnh của hình lập phương sao cho thỏa mãn điều kiện tương tự không?
N. N. Konstantinov,
H. B. Vasiliev

M143. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thoả mãn điều kiện sau:

nếu n chia hết cho p - 1 và p là số nguyên tố thì n chia hết cho p.

M144. Tìm điều kiện cần và đủ mà các số a, b, a, β phải thỏa mãn để cắt hình chữ nhật a×b thành nhiều hình chữ nhật α×β.

Ví dụ: có thể cắt hình chữ nhật 50×60 thành hình chữ nhật có kích thước:
a) 20×15; 6) 5×8; c) 6,25×15;
d) (2−√2)×(2+√2).

A. T. Kolomov

M145. Tổng lương B trung bình là √2 rúp. mỗi ngày. Họ quy định rằng vào ngày thứ n, A sẽ nhận được một số nguyên aₙ rúp (aₙ bằng 1 hoặc 2) sao cho số tiền nhận được trong n ngày đầu tiên (a₁+a₂+…+aₙ) càng gần với số n√2 càng tốt.

Ví dụ: a₁=1, a₂=2, a₃=1, a₄=2, a₅=1. Chứng minh rằng dãy số a₁, a₂, a₃, … là không tuần hoàn.

A. K. Đám đông

F153. Tại sao những dòng sông chảy qua vùng đất bằng phẳng, đồng nhất lại uốn cong?
Để đơn giản, hãy xem xét một dòng sông chảy dọc màn hình.

F154. Ước tính có bao nhiêu giọt nước trong 1 m³ sương mù nếu tầm nhìn là 10 m và sương mù lắng xuống sau 2 giờ? Độ cao sương mù 200 m.

26

VỀ SỐ PI

Độc giả của tạp chí L. Weideman (từ Riga) của chúng tôi xử lý «Kvant» với câu hỏi: “Trong cuốn sách “Những câu đố toán học và giải trí…” của M. Gardner ở trang 418 có viết: “Tỷ lệ giữa chu vi của một vòng tròn với đường kính của nó, mà người Hy Lạp cổ đại chỉ định bằng chữ π (“pi”)…”

Trong cuốn “Đại số và Hàm số cơ bản” (sách giáo khoa trung học)… thành viên nhóm biên tập «Kvant» Giáo sư A. I. Markushevich viết trên trang 278-279 rằng “Ký hiệu này lần đầu tiên gặp trong cuốn sách của nhà toán học người Anh W. Jones (1706).” Nên tin ai?”

Đối với chúng tôi, có vẻ như đáp số câu hỏi này sẽ được nhiều độc giả quan tâm. Bên dưới chúng tôi đặt văn bản đáp số của Giáo sư A. I. Markushevich.

Đồng chí thân mến. Weideman!
Thật không may, các tác giả (và biên tập viên) của những cuốn sách khoa học phổ thông không phải lúc nào cũng quen thuộc với các nguồn khoa học, và do đó, trong những cuốn sách này, bạn có thể tìm thấy những tuyên bố lỗi thời và đôi khi đơn giản là sai lầm về bản chất lịch sử. Đây chính xác là trường hợp của cuốn sách của Gardner. Người Hy Lạp cổ đại, không biết đến các con số hiện đại, đã chỉ định các số (số nguyên dương) bằng các chữ cái trong bảng chữ cái của họ. Đặc biệt, chữ p (có thêm dấu gạch ngang ở trên cùng) biểu thị số 80 và chỉ con số này, rõ ràng không liên quan gì đến tỷ lệ giữa chu vi và đường kính. Nhưng tôi cũng là chữ cái đầu tiên của từ lerifera trong tiếng Hy Lạp, có nghĩa là vòng tròn (do đó là ngoại vi của chúng ta). Đúng là một số nhà toán học người Anh ở thế kỷ 17 (nhưng không sớm hơn!) đã sử dụng chữ p để biểu thị độ dài của chính đường tròn (bán kính tùy ý). Lần đầu tiên trong lịch sử toán học, chữ cái này được dùng để biểu thị số trừu tượng 3.1415… trong tác phẩm Synopsis Palmariorum Matheseos của nhà toán học người Anh William Jones vào năm 1706. Tên gọi này chỉ trở nên phổ biến nhờ công trình của Euler (bắt đầu từ năm 1737), người rất có thể đã nghĩ ra điều này một cách độc lập với Jones.

Bạn có thể đọc về tất cả những điều này trong tác phẩm kinh điển của D. E. Smith (Lịch sử toán học của D. Smith, tập II, New York, 1958, trang 312), hoặc - như một tài liệu tham khảo ngắn - trong tác phẩm tập thể của Liên Xô: “Lịch sử toán học”, tập hai, M., nhà xuất bản “Nauka”, 1970, tr. 61.

A. I. Markushevich

27

GIẢI PHÁP

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán M101—M105.

M101

Một loại virus xâm nhập vào một khuẩn lạc gồm $n$ vi khuẩn. Trong phút đầu tiên, nó tiêu diệt một vi khuẩn, sau đó virus phân chia thành hai vi khuẩn mới, đồng thời mỗi vi khuẩn còn lại cũng phân chia thành hai vi khuẩn mới. Phút tiếp theo, hai loại vi-rút xuất hiện tiêu diệt hai vi khuẩn, sau đó cả vi-rút và tất cả các vi khuẩn khác lại phân chia, v.v.

Thuộc địa này dự kiến ​​​​sẽ tồn tại vô thời hạn hay cuối cùng nó sẽ bị diệt vong?

Dễ dàng kiểm tra được số lượng vi khuẩn, virus sẽ thay đổi theo thời gian theo quy luật sau:

| Thời gian (phút) | Số lượng virus | Số lượng vi khuẩn |
| :— | :— | :— |
| 0 | 1 | $n$ |
| 1 | 2 | $2(n-1)$ |
| 2 | $2^2$ | $2^2(n-2)$ |
| 3 | $2^3$ | $2^3(n-3)$ |
| … | … | … |
| $t$ | $2^t$ | $2^t(n-t)$ |
| $t+1$ | $2^{t+1}$ | $2^{t+1}(n-t-1)$ |
| … | … | … |

Từ đây rõ ràng là ở $t=n$ số lượng vi khuẩn sẽ về 0 - khuẩn lạc sẽ chết.

Chúng tôi đã nhận được khoảng 80 lá thư có giải pháp cho bài toán này và một lá thư đưa ra đáp số không chính xác.

M102

Một tập hợp trên mặt phẳng bao gồm một số điểm hữu hạn có tính chất sau: với hai điểm bất kỳ $A$ và $B$ thì tồn tại một điểm $C$ được đặt sao cho tam giác $ABC$ là đều.

Một tập hợp như vậy có thể chứa bao nhiêu điểm?

Hãy chứng minh rằng một tập hợp như vậy chỉ có thể chứa ba điểm (tất nhiên giả sử nó chứa nhiều hơn một điểm).

Chúng ta hãy biểu thị tập hợp này bằng chữ cái $\Gamma$.

Cho $A$ và $B$ là hai điểm của tập hợp $\Gamma$, khoảng cách giữa chúng gọi là $d$, điểm $P$ phải nằm trong một đường tròn bán kính $d$ có tâm $A$. Theo cách tương tự, nó phải nằm bên trong các vòng tròn bán kính $d$ với tâm $B$ và $C$. Do đó, tập hợp $\Gamma$ không vượt ra ngoài phần chung của các vòng tròn này - “tam giác” đường cong $T$ (Hình 1).

Hơn nữa, cùng với các điểm $P$ và $A$, tập hợp $\Gamma$ phải thuộc một trong hai điểm $Q$ và $R$ - các đỉnh của tam giác đều $APQ$ và $APR$, tức là các điểm thu được từ $P$ bằng cách quay $60^\circ$ (trong hướng này hay hướng khác) xung quanh $A$ (Hình 2).

Để điểm $Q$ nằm bên trong $T$ thì điểm $P$ cần phải nằm trong ranh giới của “cánh hoa” vàng $AB$; Thật vậy, nếu bạn xoay hình tam giác $T$ quanh điểm $A$ bằng $60^\circ$ ngược chiều kim đồng hồ, thì thùy sẽ chỉ $AB$ và chỉ có điều chúng sẽ không vượt ra ngoài

28

T. Tương tự như vậy, để điểm $R$ nằm bên trong $T$ thì điểm $P$ phải nằm trong “cánh hoa” màu xanh lam $AC$. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh rằng mọi điểm $P$ tập $\Gamma$ đều phải nằm trong tập $T_A$, gồm hai cánh hoa màu xanh $AB$ và $AC$ có một đỉnh chung $A$. Nhưng theo cách tương tự, người ta chứng minh rằng $\Gamma$ nằm trong tập $T_B$ (Hình 3) và $T_C$ (Hình 4), và phần chung của ba tập hợp $T_A, T_B$ và $T_C$ chỉ bao gồm ba điểm $A, B$ và $C$. Do đó, không có điểm nào khác $P$ có thể thuộc tập $\Gamma$.

Đúng lời giải bài toán bổ sung A. Blyukhin (Klimovsk, vùng Kemerovo), N. Chernov (Krivoy Rog), Sh. Slepoy và E. Turkevichi (Chernivtsi), A. Merkuryev (Leningrad), M. Rozov (Minsk), A. Glushko và V. Korshenko (Voronezh) và những người khác.

Trong lời giải của chúng tôi, chúng tôi chỉ sử dụng thực tế là trong tập hợp $\Gamma$, chúng tôi có thể chỉ định hai điểm, khoảng cách giữa chúng là tối đa. Đối với tập $\Gamma$, bao gồm một số hữu hạn các điểm, điều này tất nhiên là đúng. Tuy nhiên, phát biểu bài toán vẫn đúng nếu chúng ta áp đặt điều kiện yếu hơn lên tập $\Gamma$—điều kiện bị chặn. Đối với lời giải bài toán cần phải cân nhắc bổ sung trong trường hợp này; chúng có thể được xác minh dễ dàng bởi những người biết các khái niệm ban đầu về cấu trúc liên kết của các tập hợp chính xác trên mặt phẳng, chẳng hạn như trong tập sách: N. Steenrod và W. Chinn “Những khái niệm đầu tiên về cấu trúc liên kết” (“Thế giới”, loạt bài nổi tiếng “Toán học hiện đại”). Lưu ý rằng điều kiện giới hạn không thể bị bỏ qua.

M103

Khám phá xem hệ thống điều khiển có bao nhiêu lời giải

$$\begin{cases} x^2 + y^2 + xy = a, \\ x^2 - y^2 = b, \end{cases}$$

trong đó $a$ và $b$ là một số số thực.

Hãy chuyển sang các biến mới bằng cách sử dụng các công thức

$$\begin{cases} x + y = u, \\ x - y = v, \end{cases}$$

đó là

$$\begin{cases} x = \frac{u + v}{2}, \\ y = \frac{u - v}{2}. \end{cases}$$

Sau đó, dữ liệu này trong điều kiện hệ thống sẽ được ghi như thế này:

$$\begin{cases} 3u^2 + v^2 = 4a, \\ uv = b. \end{cases}$$

Rõ ràng, theo công thức (1), mỗi nhạt $(x, y)$ tương ứng với một cặp $(u, v)$ và với mỗi nhạt $(u, v)$ có ​​một cặp $(x, y)$, vì vậy chúng ta cần tìm hiểu xem có bao nhiêu lời giải $(u, v)$ cho các giá trị khác nhau của tham số $a$ và hệ thống $b$ (2). (Rõ ràng ngay rằng đối với $a < 0$ không có lời giải, đối với $a = 0$ và $b \neq 0$ - cũng vậy, và đối với $a = b = 0$ chỉ có lời giải $u = v = 0$, nhưng điều này không thể được ghi nhận, vì lý luận sâu hơn của chúng tôi phù hợp cho những trường hợp này.

Chúng ta hãy trừ và cộng vào phương trình thứ nhất của hệ (2) phương trình thứ hai nhân với $2\sqrt{3}$.

Chúng tôi nhận được hệ thống sau:

$$\begin{cases} (\sqrt{3}u - v)^2 = 4a - 2\sqrt{3}b, \\ (\sqrt{3}u + v)^2 = 4a + 2\sqrt{3}b \end{cases}$$

hệ thống tương đương (2). [Hãy suy nghĩ về cách suy ra (2) từ (3)]. Rõ ràng là mỗi bộ giá trị $\sqrt{3}u - v$ và $\sqrt{3}u + v$ thu được từ (3) tương ứng với một hệ thống lời giải $(u, v)$. Cần phải tính đến rằng (trong miền số thực) phương trình $z^2 = c$ có hai lời giải: $z_1 = \sqrt{c}$, $z_2 = -\sqrt{c}$ nếu $c > 0$, một $z = 0$ nếu $c = 0$ và không có lời giải nếu $c < 0$.

Đáp số. Lời giải tồn tại khi và chỉ nếu các bất đẳng thức được thỏa mãn

$$-2a \leq b\sqrt{3} \leq 2a,$$

Trong Hình 1-4, các khu vực có màu xanh lam được giới hạn bởi hai vòng tròn khác có bán kính $d = AB$ có tâm tại các điểm $A, B$ hoặc $C$. Kiểm tra xem các khu vực này chỉ giao nhau tại các điểm $A, B$ và $C$.

29

Cơm. 5. Bằng cách xoay $45^\circ$ theo chiều kim đồng hồ, hình này tạo ra Hình 6 (nhưng ở tỷ lệ khác).

Hơn nữa, nếu nó có cấu trúc bất đẳng thức (“ít hơn”) thì lời giải bốn; nếu một trong số chúng trở thành đẳng thức thì hai, nếu nó (điều này chỉ có thể thực hiện được nếu $a = b = 0$), thì có một điều.

Nhiều độc giả đã gửi lời giải tới bài toán này đưa ra kết quả này (thường ở dạng hơi khác một chút), cũng như các công thức rõ ràng cho hệ thống lời giải. Chúng không khó để có được từ các tính toán của chúng tôi, nhưng chúng khá cồng kềnh và chúng tôi sẽ không trình bày chúng, đặc biệt vì điều này không bắt buộc trong các điều kiện. Thay vào đó, chúng tôi hướng đến cách giải thích hình học của phương trình hệ thống: phương trình đầu tiên xác định một hình elip, phương trình thứ hai chỉ định một hyperbol. Hyperbola màu đỏ trong Hình 5 và 6 tương ứng với các giá trị của tham số $a$ và $b$ khi các đường cong giao nhau (bốn lời giải), màu xanh lam - khi hyperbola chạm vào hình elip (hai lời giải).

Một số độc giả cũng đã tiến hành nghiên cứu trường hợp hệ lời giải nằm trong miền số đầy đủ. Và ở đây lý luận của chúng ta cho phép chúng ta đưa ra ngay đáp số: trong các số đầy đủ $(x, y)$ hệ thống có bốn, hai hoặc một lời giải, nếu trong hai đẳng thức $2a = b\sqrt{3}$, $2a = -b\sqrt{3}$, tương ứng, bằng 0, một hoặc hai là đúng.

M104

Bên trong tam giác $ABC$ có hai điểm $P$ và $Q$ sao cho các đoạn $AP$ và $AQ$ tạo thành các góc bằng nhau với phân giác của góc $A$ của tam giác, các đoạn $BP$ và $BQ$ tạo thành các góc bằng nhau với phân giác của góc $B$.

Chứng minh rằng các đoạn $CP$ và $CQ$ tạo thành các góc bằng nhau với phân giác của góc $C$ (Hình 7).

30

CHÚNG TÔI SẼ NHẬN ĐƯỢC

$$\sin(C - \gamma_1) \sin\gamma_2 = \sin(C - \gamma_2) \sin\gamma_1$$ hoặc
$$\sin C \sin(\gamma_1 - \gamma_2) = 0.$$

Vì $0 < C < \pi$ và $-\pi < \gamma_1 - \gamma_2 < \pi$, nên nó dẫn đến $\gamma_1 = \gamma_2$.

V.N. Berezin (Moscow) đã báo cáo một lời giải thuần túy hình học khác.

Cho $P_A, P_B$ và $P_C$ là các điểm đối xứng với các điểm $P$ đối với các cạnh $BC$, $AC$ $AB$ của tam giác $ABC$. Lưu ý rằng để đoạn $AQ$ tạo các góc bằng $\Rightarrow PAC = \alpha$ và $\Rightarrow PAB = A - \alpha$ với các đoạn $AB$ và $AC$ thì điều cần và đủ là nó tuân theo bissertice của góc $P_BAP_C$ (Hình 8).

Vì $AP_B = AP_C$, điều kiện này cũng có thể được phát biểu như sau: điểm $Q$ phải nằm trên đường vuông góc vẽ qua giữa đoạn $P_BP_C$. Bây giờ còn phải chứng minh rằng nếu $Q$ nằm trên đường vuông góc kẻ qua trung điểm của các đoạn $P_BP_C$ và $P_CP_A$ thì $Q$ cũng nằm trên đường vuông góc kẻ qua trung điểm của đoạn $P_BP_C$. Điều này là hiển nhiên: các điểm $P_A, P_B, P_C$ không nằm trên cùng một đường thẳng và $Q$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $P_AP_BP_C$ (Hình 9).

Tất nhiên, có thể chứng minh theo cách tương tự rằng $P$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $Q_AQ_BQ_C$, trong đó $Q_A, Q_B, Q_C$ là các điểm đối xứng với $Q$ đối với cạnh của tam giác $BC, CA, AB$. Ánh xạ $P \rightarrow Q$ giống như nghịch đảo của nó. Với ánh xạ này, tâm của đường tròn nội tiếp sẽ đi vào chính nó, tâm của đường tròn nội tiếp và giao điểm của các đường cao sẽ đi vào nhau (hãy kiểm tra xem!).

M105

Tổng các chữ số của một số sau khi nhân với 8 có thể giảm: $75 \cdot 8 = 600$ - tổng các chữ số là $7 + 5 = 12$, nhưng trở thành 6. Tuy nhiên, nó không thể giảm quá 8 lần. Chứng minh điều đó.

Nói cách khác, chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $N$

$$\frac{S(8N)}{S(N)} \geq \frac{1}{8},$$

trong đó $S(A)$ là tổng các chữ số của số $A$ (theo ký hiệu thập phân).

Với những số tự nhiên nào khác $k$ có số dương $c_k$ sao cho mọi số tự nhiên $N$

$$\frac{S(kN)}{S(N)} \geq c_k?$$

Tìm giá trị tốt nhất cho $c_k$.

Đầu tiên lưu ý rằng $S(8 \cdot 125) = S(1000) = 1$.

Chúng ta sẽ cần các thuộc tính sau của hàm $S(N)$:

1. $S(A + B) \leq S(A) + S(B)$;
2. $S(A_1 + A_2 + \dots + A_n) \leq S(A_1) + S(A_2) + \dots + S(A_n)$;
3. $S(nA) \leq nS(A)$;
4. $S(AB) \leq S(A)S(B)$.

Để bị thuyết phục về tính hợp lệ của phần $1^\circ$ của bạn, chỉ cần tưởng tượng rằng các số $A$ và $B$ cộng lại thành một “cột”. Thuộc tính $2^\circ$ thu được từ $1^\circ$ bằng quy nạp đơn giản. $3^\circ$ là một sluagh riêng tư $2^\circ$.

Nếu bạn tưởng tượng rằng $A$ có thể được đặt trên $B$ trong một “cột” và áp dụng $3^\circ$ cho mỗi chữ số của số $B$, bạn sẽ nhận được $4^\circ$.

Bây giờ dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức cần tìm: $S(N) = S(1000N) = S(125 \cdot 8N) \leq S(125)S(8N) = 8S(8N)$, tức là

$$\frac{S(8N)}{S(N)} \geq \frac{1}{8}.$$

Cách lập luận tương tự cũng áp dụng cho mọi số $k = 2^{2^q}5^q$. Hãy để chúng tôi biểu thị bằng $c_k$ số $\frac{1}{S(2^q5^r)}$. Hãy chứng minh rằng với mọi $N$ $\frac{S(kN)}{S(N)} \geq c_k$ (với $N = 2^{2^q}5^r$ bất đẳng thức này trở thành đẳng thức, vì

$$S(kN) = S(10^{r+q}) = 1$$. Đối với bất kỳ $N$
$$S(N) = S(10^{r+q}N) \leq S(2^q 5^r) S(kN) = \frac{1}{c_k} S(kN),$$
Q.E.D.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng đối với các số $k$ có dạng $Q2^r 5^q$, trong đó $Q$ là nguyên tố cùng nhau với 10, thì tỷ lệ $S(KN)/S(N)$ có thể nhỏ hơn bất kỳ $\varepsilon > 0$ nào đã cho, tức là số dương cần thiết $c_k$ không tồn tại.

Chúng ta cần bổ đề sau: có một số $10^m-1$ (gồm $m$ số chín), được thực hiện trên $Q$. Dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng “nguyên nhân Dirichlet” *). Xét số dư khi chia cho $Q$ số

$$\begin{array}{c} 9 \\ 99 \\ 999 \\ 9999 \\ \cdots \end{array}$$

Một số hai trong số chúng trùng nhau và hiệu của các số tương ứng được chia cho $Q$:

*) Xem bài viết của A. I. Orlov trong «Kvant» Số 7, 1971.

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán F116—F122.

F116

Nếu nhiệt độ của không khí trong xi lanh như trong Hình 10 là $T_0(T_0 > 0^\circ C)$ thì nó sẽ duy trì ở nhiệt độ $\frac{T_0}{2}$ trong khoảng $\tau = 30$ giây. Piston bắt đầu chuyển động ra vào với tần số nào đó. Trong trường hợp nào thì lượng băng hình thành xung quanh xi lanh nhiều hơn sau 50 hành trình piston, nếu chúng được tạo ra: a) trong 1 phút; b) trong 1 giờ; c) trong 30 ngày?

Tốc độ thay đổi nhiệt độ không khí trong xi lanh tỷ lệ thuận với nhiệt độ của chính nó. Điều này có nghĩa là nhiệt độ thay đổi theo cấp số nhân $T = T_0 e^{-\alpha t}$ ($\alpha$ là hệ số, $t$ là thời gian) (xem «Kvant» số 1).

Rõ ràng, nếu các khoảng thời gian đã chọn $t$ tạo thành một cấp số cộng có hiệu $\tau$, tức là $t=n\tau$, thì nhiệt độ khí tạo thành một cấp số nhân có giá trị $e^{-\alpha t}$. Điều này có thể dễ dàng kiểm chứng bằng cách viết công thức tính sự phụ thuộc của nhiệt độ khí vào thời gian dưới dạng

$$\frac{T}{T_0} = \left(e^{-\alpha t}\right)^n.$$

Tại $n=1$ $\frac{T}{T_0} = \frac{1}{2}$. Điều này có nghĩa là $e^{-\alpha t} = \frac{1}{2}$ và $\frac{T}{T_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$.

Theo đó, trong một bình có pít-tông đứng yên, nhiệt độ của khí sẽ giảm một nửa sau mỗi 30 giây.

Nếu một piston thực hiện 50 hành trình trong 1 phút thì một hành trình được thực hiện trong 1,2 giây. Thời gian này ngắn so với thời gian đặc trưng của quá trình truyền nhiệt - 30 giây. Do đó, nhiệt lượng toả ra khi thể tích khí giảm không có thời gian tiêu tán và sẽ gần như bị mất đi khi thể tích tăng.

32

Cơm. 11.

ma khí. Do đó, trong trường hợp này, chuyển động của piston sẽ không làm thay đổi tốc độ tan băng.

Cũng rõ ràng rằng ngay cả với 50 hành trình của pít-tông, trong 30 ngày, băng sẽ tan chảy theo cách tương tự như khi nó tan chảy khi một pít-tông đứng yên. Bây giờ thời gian thực hiện một hành trình của piston là quá dài so với thời gian mà gần như toàn bộ băng sẽ tan chảy và nhiệt độ nước sẽ bằng 0 ° C.

Nếu piston thực hiện 50 hành trình trong 1 giờ thì một hành trình được thực hiện trong 1,2 phút. Nhờ đó, vật được giải phóng trong quá trình khí sụp đổ sẽ có thời gian làm tan băng. Trong trường hợp này, lượng băng sẽ tan chảy nhiều hơn so với khi piston đứng yên.

lời giải chính xác cho bài toán này được gửi bởi M. Flerov (Moscow) và M. Weinhacher (Krivoy Por).

F117

Họ thường đi bộ dọc theo con đường đã được khảo sát, bước những bước nhỏ. Một người nên đi bộ bao nhiêu bước mà không sợ bị ngã nếu chiều dài chân của người đó là 1 mét và hệ số ma sát của đế giày trên đường là 0,1?

Đặt chiều rộng bước là 2x (Hình 11). Khi một người nhấc một chân lên, toàn bộ trọng lượng của người đó sẽ dồn vào chân kia. Khi đó phản lực của trái đất N bằng mg (m là khối lượng của một người). Điều này có nghĩa là lực ma sát cực đại F_TP có thể tác dụng lên chân một người mà không làm nó trượt bằng kmg. Hợp lực N và lực ma sát F_TP hướng vào trọng tâm của người, nghĩa là gần như dọc theo chân và tạo thành một góc α với phương thẳng đứng:

$$\frac{F_{ТР}}{N} = \text{tg} \alpha.$$

Posetom

$$\text{tg} \alpha = \frac{kmg}{mg} = k,$$

Nhưng

$$\sin \alpha = \frac{x}{l}.$$

Kể từ đây,

$$x = l \sin \alpha = l \frac{\text{tg} \alpha}{\sqrt{1 + \text{tg}^2 \alpha}} \approx 0, 1 l = 10 \text{ cm}).$$

Chiều rộng của bậc thang mà người đi bộ có thể bước là 20 cm.

bài toán này hóa ra là dễ nhất. lời giải đúng của cô đã được hơn 50 độc giả gửi.

F118

Buồng đốt của động cơ phản lực nhận được khối lượng m hydro mỗi giây và lượng oxy cần thiết để đốt cháy hoàn toàn. Đầu ra lời giải vòi phun S. Áp suất tại phần này P, nhiệt độ tuyệt đối T. Xác định lực đẩy động cơ F.

Hãy tìm khối lượng hơi nước tạo thành khối lượng m của hydro trong quá trình đốt cháy. Hãy viết phương trình phản ứng đốt cháy hydro

$$2\text{H}_2 + \text{O}_2 = 2\text{H}_2\text{O}.$$

Từ phương trình phản ứng, chúng ta có thể kết luận rằng hai phân tử hydro kết hợp với một phân tử oxy. Kết quả là hai phân tử hơi nước. Điều này có nghĩa là quá trình đốt cháy một oxy của hydro cần một nửa oxy của oxy và phản ứng tạo ra một oxy của nước. Khi đốt cháy n = \frac{m}{\mu_B} hydro oxy, sẽ thu được cùng một lượng hydro oxy (μ_B = 2 kE/kmol - khối lượng của một hydro oxy). Do đó, khi đốt cháy một khối lượng m hydro thì khối lượng thu được là M = \frac{m}{\mu_B} \mu_\pi = \frac{18}{2} m = 9 m hơi nước (μ_\pi = 18 kE/kmol - khối lượng của một hơi oxy). Khối hơi nước này bay ra khỏi vòi phun động cơ trong một giây. Vì biết diện tích vòi phun ra của động cơ nên ta có thể tìm được vận tốc v của khí ra khỏi vòi phun. Trong một giây, một lượng hơi nước V = vS sẽ thoát ra khỏi vòi phun động cơ. Nếu mật độ hơi bằng p thì khối lượng của thể tích hơi này sẽ bằng vSр, do đó M = ρSv.

Do đó v = \frac{M}{\rho S} = \frac{9m}{\rho S}.

Công thức này bao gồm mật độ hơi. Chúng tôi không biết điều đó, nhưng chúng tôi biết áp suất hơi nước và nhiệt độ của nó. Viết phương trình Clapeyron–Mendeleev PV = \frac{m}{\mu_\pi} RT (R là hằng số khí), chúng ta thấy rằng mật độ hơi bằng

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{P \mu_\pi}{RT} \text{ и } v = \frac{9mRT}{P \mu_\pi S}.$$

Vì trong thời gian Δt, khối lượng hơi MΔt được đẩy ra khỏi vòi, nơi truyền xung lực MΔtv, nên khí bị tác động lên.

33

$$F_1 = \frac{M \Delta t v}{\Delta t} = M v.$$

Một lực có cùng độ lớn nhưng ngược chiều tác dụng lên động cơ. Tổng lực tác dụng lên động cơ (tức là lực đẩy của động cơ) bằng tổng phản lực $F_1$ và lực ép tĩnh $F_2 = p S$, tức là

$$F = M v + p S = 81 \frac{m^2 R T}{p \mu_\pi S} + p S = \frac{9}{2} \frac{m^2 R T}{p S} + p S.$$

Thông thường, vòi phun của động cơ phản lực được thiết kế sao cho áp suất $p$ của khí thoát ra khỏi vòi phun thấp. Do đó, số hạng thứ hai trong biểu thức lực đẩy của động cơ nhỏ so với số hạng thứ nhất và có thể bỏ qua trong tính toán.

Đúng lời giải gửi bởi: V. Kuusk (Rzhev); P. Sereev (Grozny), L. Smushekevich (Magnitogorsk), I. Sidorov (Moscow), S. Araslanova (N-Ivkino, vùng Kirov), D. Fushman (Chernovtsy), E. Dolgov (Moscow), Y. Imin (Rechnitsa, vùng Gomel), V. Katenov (Moscow), G. Simonenkov (Kauns), V. Belov (Vologda), N. Fedin (Omsk), M. Fedin (Alushta), V. Kulits (Ivanovo, vùng Brest), S. Chernikov (Semipalatinsk), V. Korotkikh (Novokuznetsk), O. Zaumyslova (Moscow), Yu. Polyansky (Zelenodolsk TASSR), A. Redchenko (làng Novopetrovka, huyện Belopolsky, vùng Sumy), S. Bozhevolny (stanitsa Kopanskaya, vùng Krasnoarsskaya), Y. Lurie (Grozny), E. Shakhnovich (vùng Kalinin), L. Bratsinsky (Frunze), Y. Shashkov (Shigri, vùng Kursk), A. Udaltsov (Kalinerrad, vùng Moscow), A. Gordienko (làng Poltavenskoye, vùng Krasnoarssk), V. Boyarishinov (Kolomna), A. Smirnov (Gorky), A. Mamula (làng Dybintsy, vùng Kyiv).

F119

Một tấm matnik $AB$ với một quả bóng có khối lượng $M$ được treo vào một tấm matnik $BC$ với một quả bóng có khối lượng $m$ (Hình 12). Điểm $A$ dao động theo phương nằm ngang với chu kỳ $T$. Tìm độ dài của sợi chỉ $BC$ nếu biết rằng sợi $AB$ luôn ở vị trí thẳng đứng.

Vì sợi dây $AB$ vẫn thẳng đứng nên không có lực ngang nào tác dụng lên quả bóng có khối lượng $M$ trong quá trình hệ chuyển động. Điều này có nghĩa là lực ngang không tác dụng lên hệ gồm hai quả bóng, $M$ và $m$, và các quả bóng phải chuyển động sao cho khối tâm của chúng không chuyển động theo hướng nằm ngang. Do đó, một quả bóng có khối lượng $m$ chuyển động như thể nó được gắn vào một sợi dây có chiều dài $x$, trong đó $x$ là khoảng cách từ quả bóng đến tâm khối lượng của hệ.

Cơm. 12.

Chúng tôi. Chu kỳ dao động của một matnik như vậy bằng $2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}$. Khoảng thời gian này rất dài, bằng dao động của điểm $A$, tức là $T$:

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{g}}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tìm $x$. Vị trí khối tâm của hệ thống định vị hoàn toàn giống với vị trí của trọng tâm:

$$xm = (l - x)M.$$

Từ đây

$$x = l \frac{M}{m + M}.$$

Thay biểu thức này cho $x$ vào công thức (1), chúng ta thu được

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g} \cdot \frac{M}{m + M}}.$$

Từ đây

$$l = \frac{T^2 g}{4\pi^2} \cdot \frac{m + M}{M}.$$

Đúng lời giải bài toán đã gửi; L. Bratsinsky (Frunze), V. Korotkikh (Novokuznetsk), M. Premer (Tomsk), N. Fedin (Omsk), L. Smushekevich (Magnitogorsk), Y. Lurie (Grozny), P. Sereev (Grozny), E. Dolgov (Moscow).

F120

Một vận động viên trượt băng trên đường băng phải cố gắng quay càng gần mép trong càng tốt. Người đi xe đạp trên đường dành cho xe đạp rẽ càng xa mép trong càng tốt. Làm thế nào chúng ta có thể giải thích sự khác biệt này trong chuyển động của một vận động viên trượt băng và một vận động viên đua xe đạp khi rẽ? Cấu hình đường đi được hiển thị trong Hình 13.

Gia tốc hướng tâm được truyền cho vận động viên trượt băng bằng lực ma sát trên băng $F_{ТP} = kN$, trong đó $N$ là lực áp suất pháp tuyến của vận động viên trượt băng trên băng (Hình 14). Vì người trượt ván không di chuyển theo phương thẳng đứng