Kvant 1972, số 6 · Trang

QUANTUM
6
THÁNG SÁU
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

tuyển tập biên tập

L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Bellev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ trưởng), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millonshikov, N. A. Patrikeeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Ya. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Schwartzburg, A. I. Shirshov.

Trên trang đầu tiên của trang bìa có hình vẽ các điều kiện của một trong những bài toán của Napoléon.

Để biết thêm thông tin về điều này bài toán, hãy xem trang 29.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov
Biên tập viên nghệ thuật O. N. Ykovleva. Người hiệu đính V. P. Sorokina
Nhà xuất bản “Nauka” Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học
117071, Moscow, B71, Leninsky Prospekt, 15, tel. 234-08-11, 234-07-93

T-09011. Nộp để in ngày 15/III-1972. Ký in ngày 30/IV-1972. Giấy 70×100¹/16 vật lý. lò nướng l. 5. Lò nướng có điều kiện l. 6.5. Biên tập học thuật. tôi. 7.33. Lưu hành 343.020 bản. Giá 30 kopecks. Zach. 388 Nhà máy in Chekhov Glavpoligraphprom của Ủy ban In ấn thuộc Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô Chekhov, khu vực Moscow

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

2

TỪ MÁY ĐẾN PARSEK

A. A. Mikhailov

Mọi người đều biết mét là gì - mét chiều dài, được giới thiệu khi hệ mét được Viện Hàn lâm Khoa học Paris thiết lập vào năm 1791 trong Cách mạng Pháp.

Sự đa dạng của đồng hồ đo trước đây đã thống trị ở các quốc gia khác nhau gây ra sự bất tiện lớn, đặc biệt là khi giải quyết vấn đề du lịch và thương mại quốc tế. Về vấn đề này, các nhà khoa học Pháp đã đề xuất một thước đo chiều dài cơ bản không vay mượn từ kích thước cơ thể con người mà từ thiên nhiên vô tri, liên kết nó với kích thước của Trái đất như một hành tinh, với kỳ vọng rằng kích thước của Trái đất là một thứ không thể thay đổi. Rốt cuộc, đây chính xác là những gì được yêu cầu của bất kỳ biện pháp nào. Do đó, người ta quyết định lấy một phần mười triệu khoảng cách từ cực đến xích đạo làm thước đo chính, hay chính xác hơn là bốn kinh tuyến parik. Giá trị này được chọn do một phần của kinh tuyến này đã bị thay đổi vào đầu thế kỷ 18. Sự thay đổi này do các nhà khoa học Pháp thực hiện cần xác định - độ dài một độ của kinh tuyến hóa ra không giống nhau ở các khu vực khác nhau trên Trái đất mà có dấu vết tăng dần từ Bắc xuống Nam. Trong trường hợp này, Trái đất không thể là một hình cầu chính xác như người ta vẫn tưởng, mà đáng lẽ phải hơi dài ra theo hướng của các cực, tức là dọc theo trục quay.

Tuy nhiên, các thông điệp lý thuyết của Newton đòi hỏi điều ngược lại - tính liên tục của Trái đất ở các cực và khoảng cách đến xích đạo. Đây phải là hệ quả của sự tự quay của Trái đất quanh trục của nó: các điểm trên đường xích đạo ở xa trục quay hơn và có tốc độ tuyến tính lớn hơn có xu hướng di chuyển ra xa trục quay hơn các điểm ở gần cực. Newton đã chỉ ra rằng Trái đất phải luôn có hình elip được hình thành do sự quay của hình elip quanh một trục nhỏ. Trục chính của hình elip là đường kính của đường xích đạo Trái đất.

Đó là lúc nảy sinh tranh chấp giữa các nhà khoa học dựa trên kết quả đo kinh tuyến của Pháp và các nhà lý thuyết có chung quan điểm với Newton.

Đối với vấn đề gây tranh cãi lời giải, Viện Hàn lâm Khoa học Pháp đã ra lệnh thực hiện hai cuộc thám hiểm vào những năm 30 của thế kỷ 18 để đo chiều dài của kinh tuyến - một đến xích đạo ở Peru và một đến dưới Vòng Bắc Cực phía bắc ở Lapland (trên biên giới của Phần Lan với Thụy Điển ngày nay).

Kết quả đo được thực hiện bởi những cuộc thám hiểm này cho thấy chắc chắn rằng độ dài của kinh tuyến ở xích đạo ngắn hơn đáng kể so với ở Vòng Bắc Cực. Như vậy, Newton đã đúng: Trái đất có hình elip.

Theo các phép đo được cải tiến sau này, độ dài cung của kinh tuyến 1° như sau:

tại cực - 111.696 m,
ở xích đạo - 110.576 m.

Về kích thước của Trái đất, theo một trong những định nghĩa mới nhất của nhà trắc địa Liên Xô F.N. Krasovsky,

bán kính xích đạo $a = 6378245$ m,
bán kính cực $b = 6356863$ m,

nén $\frac{a-b}{a} = \frac{1}{298,3}$.

Nhưng chúng ta hãy quay trở lại vào cuối thế kỷ 18, khi ngoài các phép đo ở

4

Kế tiếp. Trong quý đầu tiên và quý cuối cùng, đĩa Mặt trăng có thể nhìn thấy được chiếu sáng chính xác một nửa và đường ngăn cách mặt sáng với mặt tối được biểu thị bằng đường kính của đĩa mặt trăng (Hình 1). Góc giữa các hướng Mặt Trăng - Mặt Trời và Mặt Trăng - Trái Đất (góc ABC) là thẳng, như có thể thấy trên Hình 1. Nếu lúc này bạn thay đổi góc giữa các hướng Trái Đất - Mặt Trăng và Trái Đất - Mặt Trời (góc BAC), thì bạn có thể tìm được tỉ số khoảng cách Trái Đất - Mặt Trời và Trái Đất - Mặt Trăng (tức là tỉ số $\frac{AC}{AB}$). Vào thời Aristarchus xứ Samos, người ta đã thu được giá trị $87^\circ$ cho góc BAC. Vì vậy, $\frac{AC}{AB} = \sec 87^\circ \approx 19$. Vậy Mặt trời ở xa hơn Mặt trăng 19 lần. Bây giờ chúng ta biết rằng kết quả này rất sai lầm và Mặt trời ở xa hơn Mặt trăng gần 400 lần, vì góc BAC khác với góc vuông chỉ 9’ và giây $89^\circ 51' = 382$. Các phép đo không thể được thực hiện với độ chính xác đủ, đặc biệt là do bề mặt Mặt trăng không bằng phẳng nên không thể phát hiện thời điểm chính xác một nửa đĩa của nó được chiếu sáng.

Chỉ với sự phát triển của các thiết bị đo góc và sử dụng ống quang học, người ta mới có thể cố gắng đo khoảng cách đến các hành tinh gần nhất, và sau đó, sử dụng định luật thứ ba của Kepler, để tính khoảng cách tới Mặt trời.

Với mục đích này, một phương pháp tính toán hình học đơn giản được sử dụng, được các nhà khảo sát và nhà địa hình sử dụng rộng rãi khi xác định khoảng cách đến một vật thể ở xa hoặc không thể tiếp cận. Hãy tưởng tượng chúng ta đang ở điểm A bên bờ sông và cần tìm khoảng cách đến điểm C, nằm ở bên kia sông (Hình 2). Chúng ta chọn điểm B trên bờ “của chúng ta”, khoảng cách mà AB dễ dàng thay đổi và trong tam giác ACB, chúng ta thay đổi các góc CAB và CBA. Bây giờ, sử dụng cạnh AB đã biết của tam giác, gọi là đáy và hai góc kề nhau, bạn có thể tính khoảng cách AC. Đây đều là hình học đơn giản, nhưng để tăng khả năng xác định khoảng cách đến điểm C thì góc khía ACB không quá nhọn, tức là đáy AB không nhỏ lắm so với cạnh AC và BC.

Khi áp dụng cho Mặt trời, phương pháp này cực kỳ khó khăn, vì cơ sở lớn nhất có thể chọn được trên Trái đất - đường kính của quả địa cầu - gần như nhỏ đến mức vô vọng so với khoảng cách tới Mặt trời. Góc khía trong trường hợp này chỉ là $17,6''$.

Để hiểu mục đích xác định khoảng cách tới Mặt trời, hãy tưởng tượng hai người quan sát trên Trái đất (Hình 3). Tuy nhiên, tại điểm A, từ đó có thể nhìn thấy Mặt trời ở thiên đỉnh (cùng hướng với tâm Trái đất O) và một điểm khác ở xích đạo tại điểm B; đối với anh ta, Mặt trời ở đường chân trời. Giả sử rằng bằng cách nào đó mỗi người quan sát đã xác định được hướng của Mặt trời - tương ứng với AC

5

và BC cắt nhau ở một góc rất nhọn p. Khi đó trong tam giác vuông CBO cạnh huyền CO bằng

$$CO = OB \cdot \cos cp,$$

trong đó OB = R là bán kính của quả địa cầu.

Góc p được gọi là góc song song của Mặt trời. Rõ ràng, p là góc mà tại đó có thể nhìn thấy bán kính xích đạo của Trái đất từ ​​tâm Mặt trời. Giá trị của nó đối với khoảng cách trung bình tới Mặt trời là 8,8”. Xét R = 6400 km, ta có

$$CO = 6400 \cdot \cos 8,8'' \approx 150\ 000\ 000\ \text{km}.$$

Đây là giá trị gần đúng của khoảng cách trung bình tới Mặt trời. Đây chính xác là giá trị trung bình, vì quỹ đạo của trái đất là một hình elip và Mặt trời không ở trung tâm mà ở tiêu điểm; do đó, khoảng cách tới Mặt trời trong năm thay đổi khoảng 1,7% = 2.550.000 km theo cả hai hướng.

Chúng tôi trình bày những giải thích này chỉ để thể hiện nguyên tắc xác định khoảng cách trung bình giữa tâm Trái Đất và Mặt Trời. Khoảng cách này được gọi là đơn vị chiều dài thiên văn, hay a.e. ngắn gọn. Đơn vị thiên văn là thước đo cơ bản để xác định mọi khoảng cách trong hệ mặt trời và hệ sao.

Khó khăn trong việc thực hiện các phép đo mô tả trong thực tế là xác định hướng của AC và BC. Thật vậy, liên quan đến những gì những hướng dẫn này có thể được tìm thấy? Nếu các ngôi sao có thể nhìn thấy được trên bầu trời xung quanh Mặt trời vào ban ngày, thì chúng sẽ có phông nền xa xôi để có thể xác định được các hướng này. Nhưng thực tế không phải vậy, hơn nữa, tâm Mặt trời không được đánh dấu bằng bất cứ thứ gì nên không thể nhìn thấy nó mãi mãi. Đó là lý do tại sao việc xác định khoảng cách đến một hành tinh có thể nhìn thấy vào ban đêm trên nền các ngôi sao sẽ thuận tiện hơn. (Có những hành tinh ở gần Trái đất hơn nhiều so với Mặt trời, điều này giúp việc đo lường trở nên dễ dàng hơn.)

Ban đầu, Sao Hỏa được chọn cho mục đích này, lần đầu tiên được quan sát vào năm 1672 về giá trị ít nhiều chính xác của vĩ độ của Sao Hỏa; và biết điều đó, như chúng tôi đã đề cập, có thể suy ra sự song song của Mặt trời. Khi các hành tinh nhỏ đầu tiên được phát hiện vào đầu thế kỷ trước, người ta có thể sử dụng immi vì một số trong số chúng đặc biệt ở gần Trái đất. Ngoài ra, chúng có kích thước nhỏ và có thể nhìn thấy trên bầu trời dưới dạng các điểm, giống như các ngôi sao, giúp việc xác định phương hướng dễ dàng hơn nhiều. Tuy nhiên, những hành tinh như vậy - Eros - vào năm 1930-31. tiến tới một khoảng cách 0,15 a. e., khi các điểm tương đồng của nó được nghiên cứu bởi 26 đài thiên văn ở các quốc gia khác nhau. Xử lý vật liệu năng lượng mặt trời thu được để có giá trị song song mặt trời chính xác nhất. Tuy nhiên, độ dài a được tính từ nó. đ. vẫn mắc lỗi khoảng 50.000 km. Lỗi này có vẻ rất lớn. Tuy nhiên, bạn cần tính đến khoảng cách và độ khó của nó.

6

đo thị sai. Lỗi này có thể được minh họa như sau. Hãy tưởng tượng rằng bạn thay đổi chiều rộng của một căn phòng và thấy rằng nó bằng 3 m. Sẽ không dễ để bạn gặp phải sai số không quá 1 mm. Nhưng đây chính xác là mức độ sai số tương đối 50.000 km so với AU. ở mức 150.000.000 km.

Đối với hầu hết mọi người, việc xác định độ dài của a.e là một sự ngẫu nhiên. đã đủ. Nhưng vào thời kỳ đầu của thời đại vũ trụ, yêu cầu độ chính xác cao hơn nhiều. Thật vậy, tên lửa không gian đã được phóng tới Sao Kim và Sao Hỏa. Đường kính của các hành tinh này lần lượt là 12.400 km và 6.800 km. Do đó, để điều chỉnh đường bay của tên lửa sao cho nó chạm tới một địa điểm nhất định trên hành tinh, bạn cần biết a.e. với độ chính xác cao hơn ít nhất mười lần. Đây là lúc radar đến giải cứu. Việc đăng ký một xung sóng vô tuyến mạnh được phản xạ bởi hành tinh và xác định thời gian để tín hiệu truyền đi quãng đường đó và quay lại giúp tính toán khoảng cách đến hành tinh, đồng thời a.e. với độ chính xác vài trăm km, tức là tăng độ chính xác lên hàng trăm lần. Những quan sát như vậy đã được thực hiện ở Liên Xô và Hoa Kỳ và kết quả rất nhất quán. Với một chút làm tròn a.e. hiện nay được lấy là 149.600.000 km.

Đây là đơn vị đo chiều dài cơ bản, thay đổi theo khoảng cách trong vũ trụ, cả trong hệ mặt trời và xa hơn nữa. Tuy nhiên, để biểu thị khoảng cách tới các ngôi sao, đơn vị này vẫn còn quá nhỏ và ở đây một thước đo khác lớn hơn nhiều được sử dụng (xét cho cùng, chúng tôi sẽ không đo khoảng cách giữa các thành phố bằng milimét). Số đo mở rộng như vậy bằng 206.265 AU, hay 3,0857·10¹³ km và được gọi là Parsec. Việc lựa chọn một quốc gia tương ứng như vậy giữa a.e. và phân tích cú pháp sẽ rõ ràng sau đây.

Khoảng cách đến các ngôi sao, ít nhất là những ngôi sao ở gần chúng ta, thay đổi

8

các hệ sao. Trong văn học đại chúng, một đơn vị khác thường được sử dụng - năm ánh sáng, tức là khoảng cách mà một tia sáng truyền đi trong chân không trong một năm. Theo định nghĩa chính xác nhất thì tốc độ ánh sáng là 299.792b, 5 km/s; số giây trong một năm dương lịch (365,25 ngày) là 365,25·24·60·60 = 31.557.600. Thay đổi những con số này, chúng ta nhận được rằng một năm ánh sáng bằng 9,46·10^12 km. Con số khổng lồ này nhỏ hơn một Parsec: 1 nc = 3,26 năm ánh sáng. Ngôi sao gần nhất, Alpha Centauri, cách chúng ta 4,35 năm ánh sáng và tinh vân hình học bên ngoài gần đó trong chòm sao Andromeda truyền đi khoảng 1.500.000 năm ánh sáng ở khoảng cách ước tính là 460.000 Parsec, hay 460 kiloparsec.

Để xác định khoảng cách lớn như vậy, phương pháp khía hình học là hoàn toàn không phù hợp. Do đó, các phương pháp vật lý thiên văn khác đã được tìm ra, dựa trên việc xác định độ sáng của các ngôi sao.

Đôi khi số lượng lớn được gọi là thiên văn.

Các ví dụ được đưa ra xác định tên này.

TIN KHOA HỌC

Các hạt từ bên trong mặt trời

Nguồn năng lượng duy nhất có thể hỗ trợ hoạt động của Mặt trời là các phản ứng hạt nhân xảy ra ở độ sâu của nó. Các nhà vật lý và thiên văn học hiện đại nghĩ như vậy. Giả thuyết này có thể được kiểm tra bằng thực nghiệm. Chuỗi phản ứng hạt nhân diễn ra trên Mặt Trời bắt đầu bằng sự va chạm của hai proton, chúng đồng thời phát ra một positron (e⁺) và một phản neutrino và biến thành hạt nhân hydro nặng - deuteron:

$$p + p \rightarrow d + e^+ + \bar{v}.$$

Cho dù phản ứng như vậy diễn ra sâu đến đâu, atineutrino vẫn phải bay ra khỏi Mặt trời, vì chúng tương tác rất yếu với vật chất và do đó chỉ một phần rất nhỏ những phần này sẽ được hấp thụ bên trong Mặt trời.

Trong nhiều năm, các nhà vật lý đã chuẩn bị phát hiện atyneutrino trên Trái đất bay từ Mặt trời. Đây hóa ra là một vấn đề rất khó khăn, và gần đây thậm chí còn nảy sinh những nghi ngờ về sự tồn tại của dòng atineutrino mặt trời. Ít nhất đã có báo cáo rằng trong mọi trường hợp, số lượng chúng ít hơn đáng kể so với yêu cầu theo lý thuyết để đảm bảo toàn bộ dòng năng lượng được tạo ra trong lòng Mặt trời.

Cuối cùng, khi mùa hè trôi qua, nỗ lực của các nhà vật lý ngày càng thành công. Nhà vật lý người Mỹ Davis, người đã làm việc nhiều năm về các phương pháp ghi lại các hạt như vậy, đã báo cáo rằng ông có thể ghi lại các atineutrino bay từ Mặt trời.

Nó được ghi lại bằng cách sử dụng một máy đếm chứa đầy đồng vị clo - clo-37. (Trên thực tế, quầy chứa khoảng 500.000 lít carbon tetrachloride CCl₄ lỏng.) Hạt nhân clo được chuyển đổi thành hạt nhân argon-37 bằng phản ứng

$$\bar{v} + Cl^{37} \rightarrow Ar^{37} + e^-.$$

Trong các vụ cháy, lượng argon hình thành được đo bằng sự phân rã phóng xạ của nó, được tính theo sơ đồ

$$Ar^{37} \rightarrow Cl^{37} + e^+ + \bar{v}.$$

Phương pháp này đã được đề xuất nhiều năm trước bởi học giả B. M. Pontecorvo.

Trong những chi tiết khổng lồ của nó, cứ hai ngày chỉ có một phân rã Ar³⁷. Tuy nhiên, đây chính xác là số lượng chúng phải có, nếu chúng ta tính đến điều đó, giống như ở Mặt trời, phần lớn các phản neutrino bị giải phóng tổng cộng. Dựa trên tính toán của họ, các nhà vật lý kỳ vọng rằng số lượng phản neutrino sẽ lớn hơn 6 lần, nhưng lý thuyết này không chính xác đến mức sự khác biệt như vậy sẽ khiến máy chủ lo ngại. Dù vậy, atineutrino, biểu thị các phản ứng nhiệt hạch cung cấp năng lượng cho Mặt trời (và do đó là Trái đất của chúng ta), cuối cùng đã được đăng ký.

Y. A. Smorodinsky

9

TÍNH KHỐI LƯỢNG
VỚI SỰ GIÚP ĐỠ CỦA PRINCIAC CAVALIERI

V. L. Rabinovich

Khối lượng là gì? Làm thế nào để tính khối lượng của một cơ thể cụ thể? Đã dành cho đáp số câu hỏi đầu tiên trong số những câu hỏi này, ngay cả đối với trường hợp “đơn giản” như hình chữ nhật song song, ít nhất một trong các kích thước của nó không tương xứng với một đơn vị chiều dài cố định, liên quan đến việc sử dụng lý luận liên quan đến dạng này hay dạng khác với việc chuyển sang giới từ của một chuỗi vô hạn. Khi chuyển sang các câu hỏi phức tạp hơn - về định nghĩa và tính toán sự trao đổi của một hình song song tùy ý, sau đó là một lăng kính tùy ý, sau đó (một bước rất quan trọng!) một vật thể nguyên thủy và cuối cùng là các vật thể “tròn”: hình trụ, hình cầu và các đoạn hình cầu - chúng ta phải sử dụng ngày càng nhiều chuyển đổi mới đến các giới hạn, theo đúng nghĩa đen là xếp chúng chồng lên nhau.

Những lập luận này một mặt chứa đựng rất nhiều tinh tế và khó khăn, mặt khác chúng có vẻ (bề ngoài) khá “chuẩn mực”. Và việc không tính đến tất cả những điều phức tạp và khúc mắc này trong khóa học toán ở trường, cũng như sự “giống nhau” gây hiểu lầm của tất cả các cuộc thảo luận về giới hạn này đều dẫn đến thực tế là họ (trong cuộc thảo luận) thường bắt đầu coi chúng như những phép thuật nghi lễ không thể tránh khỏi mà không suy nghĩ về nó cũng như không cố gắng xây dựng ý nghĩa và mục đích thực sự của chúng. Bỏ qua chúng cũng có phần “bất tiện”, “không đứng đắn”: suy cho cùng thì đó là toán học! . . .

Vì vậy, không phải là có thể, ít nhất là cho đến thời điểm tốt hơn, để loại bỏ tất cả những cuộc nói chuyện bẩn thỉu về giới hạn này chỉ bằng một mức tối đa? Hóa ra là rất có thể. Để làm được điều này, chỉ cần chấp nhận cái gọi là nguyên tắc Cavalieri * như một tuyến tiền liệt (tiên đề) là đủ. Đó là chấp nhận chứ không phải chứng minh. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là nguyên tắc này không thể được chứng minh và biện minh. Hơn nữa, lý luận về “những phần không thể chia được”, với sự giúp đỡ của chính Cavalieri đã tiếp cận công thức của mình (nhân tiện, theo nhiều cách, được Archimedes dự đoán một cách nổi bật với “phương pháp vét cạn” của ông), đã khá gần với các phương pháp tính tích phân của Newton và Leibniz, nhờ đó mà khối lượng thời gian của chúng ta được xác định “một cách nghiêm ngặt”. Nhưng vì mục tiêu của chúng ta ở giai đoạn này chính xác là loại bỏ mọi loại giới hạn, không thể chia cắt, vô cùng nhỏ, v.v., nên sẽ khôn ngoan và trung thực hơn nếu không sử dụng bất kỳ vật thay thế nào. Rốt cuộc, chúng ta biết rằng hình học được xây dựng trên cơ sở các tiên đề. Vậy sẽ có thêm một tiên đề nữa. (Khi tiếp tục, chúng tôi thấy rằng thực tế chúng tôi phải sử dụng thêm một vài tiên đề nữa, tuy nhiên, chúng cũng có thể được coi là định nghĩa.)

Vì vậy, chúng tôi xây dựng nguyên tắc Cavalieri:

Nếu, khi hai vật **) F và F₁ (xem Hình 1) cắt các mặt phẳng song song với cùng một mặt phẳng α thì luôn thu được các hình có diện tích là

*) Bonaventura Cavalieri (1598-1647) - Nhà toán học người Ý, học trò của Galiel.

**) Bằng “nội dung”, chúng ta ở mọi nơi đều hiểu “thứ gì đó có khối lượng”, mà không cố gắng xác định chính xác hơn các từ được đặt trong dấu ngoặc kép.

10

trong mối quan hệ không đổi $\lambda(\lambda > 0)$:
$$S = \lambda S_1$$
Chủ đề của những melikh này có cùng mối quan hệ:
$$V(F) = \lambda(F_1)^*$$

Từ “khối lượng” ở đây lần đầu tiên xuất hiện không phải trong lý luận “gợi ý”, mà là một phần của một câu được xây dựng chặt chẽ; Do đó, chúng ta cũng có thể hiểu tiên đề của mình như một định nghĩa về thể tích - tất nhiên, chỉ đối với những vật thể $F$ mà đối với chúng thì có $F_1$ tương ứng, mà khái niệm thể tích đã được xác định trước đó (xem bên dưới).

Bây giờ chúng ta hãy áp dụng nguyên lý Cavalieri để rút ra công thức tính thể tích của một số vật. Tuy nhiên, trước tiên, chúng ta sẽ phải nhớ lại rằng thể tích của một khối lập phương có cạnh bằng một đơn vị chiều dài được giả sử bằng một (khối lập phương như vậy được gọi là khối lập phương đơn vị**).

*) Nhìn chung, trong văn học, nguyên lý Cavalieri là một mệnh đề là trường hợp đặc biệt của mệnh đề đã cho, khi tỉ số diện tích mặt cắt tham chiếu trong mệnh đề bằng một. Tuy nhiên, chính Cavalieri trình bày và sử dụng các nguyên tắc ở dạng tổng quát hơn được chỉ định.

**) Đây là điều kiện đầu tiên trong số các điều kiện bổ sung được đề cập ở trên, có thể được hiểu như một tiên đề về thể tích của một khối đơn vị, hoặc như một định nghĩa về thể tích này.

Cơm. 1.

Cơm. 2.

a) Dấu và hình trụ tùy ý. Đầu tiên hãy xem xét một hình chữ nhật song song với các biến thể bằng 1, 1 và $h$ (h có thể là số hữu tỷ hoặc số vô tỷ). Đặt (Hình 2) song song với $AC_1$ $AB = AA_1 = 1$, $AD = h$. Hãy xem xét một khối lập phương $MP_1$, đáy của nó nằm trên cùng một mặt phẳng $\alpha$ mà trên đó có đáy song song $ABCD$. Dễ dàng nhận thấy diện tích mặt cắt ngang $S_1$ và $S$ của hình lập phương song song và hình lập phương với mặt phẳng bất kỳ song song với mặt phẳng $\alpha$ đều có tỉ số không đổi $h$, tức là $S_1 = h \cdot S$. Vì vậy, theo nguyên lý Cavalieri
$$V(AC_1) = h \cdot V(MP_1) = h \cdot 1 = h^*$$.

Bây giờ, hãy cho một đối tượng địa lý (hoặc hình trụ) tùy ý $F$ (Hình 3) với diện tích đáy $S$ và chiều cao $h$. Chúng ta hãy định vị hình $AC_1$ song song với các thay đổi 1, 1, $h$ sao cho mặt $ABB_1A_1(AB = 1, AA_1 = 1)$ của nó nằm trong cùng một mặt phẳng $\alpha$ làm đáy của đặc điểm đã cho $F$. Vì $AD = h$, nên cả hai đáy trên của dấu này và $AC_1$ song song đều nằm trong cùng một mặt phẳng. Sau đó, trong phần của đối tượng địa lý $F$ theo bất kỳ mặt phẳng nào song song với $\alpha$ và giao với đối tượng địa lý, sẽ thu được hình bằng đáy của đối tượng địa lý. Do đó, diện tích của hình này là $S$. Ngoài ra mặt phẳng trong phần với

*) Nếu chúng ta coi trường hợp đặc biệt nêu trên của nguyên lý Cavalieri tại $\lambda = 1$ làm tiên đề, thì thay vì “tiên đề của khối lập phương đơn vị” vừa cho (xem chú thích trước), chúng ta coi sự tương ứng này là “tiên đề của sự song song góc vuông”.

11

hình bình hành cho hình vuông có diện tích 1.

Các điều kiện của nguyên lý Cavalieri được thỏa mãn. Có nghĩa,

$$V(F) = SV(AC_1).$$

Nhưng chúng tôi đã tìm thấy điều đó $V(AC_1) = h$. Vì thế,

$$V(F) = Sh.$$

6. Các tham số và hình nón tùy ý. Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Khối lập phương $AC_1$ có cạnh bằng $h$ (Hình 4) có thể được chia thành ba tham số tứ giác $A_1ABCD$, $A_1BCC_1B_1$ và $A_1DCC_1D_1$. Các thông số này bằng nhau. Thật vậy, các tham số đầu tiên có thể được kết hợp sao cho các cơ sở của chúng (hình vuông bằng nhau $ABCD$ và $B_1C_1CB$) và các cạnh bằng nhau $AA_1$ và $B_1A_1$ trùng nhau. Khi đó các thông số sẽ khớp nhau. Sự bằng nhau của hai tham số cuối cùng được thể hiện theo cách tương tự *). Điều này có nghĩa là âm lượng của từng tham số thứ hai nhỏ hơn khối $AC_1$:

$$V(A_1ABCD) = \frac{1}{3}h^3$$

Bây giờ giả sử một tham số tùy ý $F$ (hoặc hình nón) có diện tích

*) Có thể nhận ra sự kết hợp cần thiết của bất kỳ cặp nào trong số ba tham số này, ví dụ: bằng cách xoay một trong các tham số quanh trục $A_1C$ một góc 120°.

**) Ở đây chúng tôi sử dụng định nghĩa cuối cùng trong số các định nghĩa bổ sung (tiên đề): thể tích của một tập hợp nhiều viên phấn (trong trường hợp này là một khối lập phương) bằng tổng thể tích của những viên phấn này (paramid). Sự bằng nhau về thể tích của các vật bằng nhau (paramid) dễ dàng tuân theo nguyên lý Cavalieri.

Cơm. 3.

đáy $S$ và chiều cao $h$. Chúng ta hãy định vị tham số này sao cho đáy của nó nằm trong cùng một mặt phẳng $\alpha$ trong đó đáy của tham số tứ giác $A_1ABCD$ vừa xét nằm (chúng ta sẽ ký hiệu là $F_1$ cho ngắn gọn). Chúng ta có thể giả sử rằng các đỉnh của các tham số này nằm trên một cạnh của mặt phẳng $\alpha$. Khi đó, sử dụng định lý về tiết diện các tham số bởi một mặt phẳng song song với đáy, dễ dàng suy ra rằng diện tích các phần của cả hai vật thể bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng $\alpha$ sẽ liên hệ với diện tích các đáy của chúng. Vì vậy có thể áp dụng nguyên lý Cavalieri:

$$V(F) = V(F_1) \cdot \frac{S}{h^2} = \frac{S}{h^2} \cdot \frac{1}{3}h^3 = \frac{1}{3}Sh.$$

c) Quả cầu, đoạn hình cầu. Xét một bán cầu có tâm $O$ và bán kính $R$. Chúng ta hãy tiếp tục mặt phẳng $\alpha$ của vòng tròn lớn bao quanh bán cầu này và đặt trên mặt phẳng này một khối lập phương có các cạnh bằng $R$ (Hình 5). Nếu chúng ta tách khỏi khối này tham số tứ giác $BA_1B_1C_1D_1$, có đỉnh trên $B$ của khối và đáy là đáy trên của khối sau, thì chúng ta thu được một phần thân nhất định, mà chúng ta sẽ biểu thị bằng $F_1$. Chúng ta hãy giao nhau cả hai vật thể của một mặt phẳng nào đó $\alpha'$, song song với mặt phẳng $\alpha$

14

Bài tập

1. Chứng minh rằng diện tích hình elip bằng lab, trong đó $a, b$ là nửa trục của hình elip *).

2. Xác định thể tích của hình elip xoay thu được bằng cách quay hình elip có nửa đường thẳng $a$ và $b$ quanh một trục bằng 2$a$.

3. Chứng minh rằng thể tích của một khối tứ diện (paramid tam giác) bằng $\frac{2}{3} S_{\text{cp}} \cdot h$, trong đó $h$ biểu thị khoảng cách giữa các đường thẳng cắt nhau mà các cạnh đối diện của tứ diện nằm và $S_{\text{cp}}$ là diện tích mặt cắt của tứ diện này bởi một mặt phẳng bằng chiều dài của hai đường thẳng này.

4. Hình nêm là một khối đa diện thu được nếu có hai đầu *) Về hình elip, xem bài báo “Ellipse” của I. N. Bronstein trên tạp chí «Kvant» Số 9, 1970.

Cơm. 9.

cắt bằng một mặt phẳng vuông góc với các cạnh $a, b, c$ của hình nêm (hoặc phần tiếp theo của nó dọc theo các cạnh này).

Vật lý

Albert Einstein thích chơi violin cùng với Arthur Schnabel. Có lần Einstein đã làm giả nó. Tôi đã thử lại - một lần nữa thất bại. Schnabel mất bình tĩnh: “Không phải thế, Albert, không phải thế! Hãy nghe cách tôi chơi: một, hai, ba, một, hai, ba … Chúa ơi, bạn không đếm được sao?”

Một lần Robert Bunsen đến nhạc viện để xem một buổi hòa nhạc. “Nghe này,” anh hỏi người hàng xóm trong giờ giải lao, “những cây vĩ cầm ở bên phải người nhạc trưởng có chơi cùng một thứ không?” “Chính xác,” người hàng xóm trả lời. “Không kinh tế! - Bunsen chỉ đầu, - chẳng phải đã qua rồi sao?

thay thế chúng bằng một cây vĩ cầm lớn để một người có thể chơi nó?

Khi còn trẻ, Max Planck bắt đầu quan tâm đến lý thuyết âm nhạc. Sau đó, anh ấy đã nuôi dưỡng một đôi tai nhạy cảm đến mức sau này anh ấy đã nói với bạn bè rằng không một buổi hòa nhạc nào có thể khiến anh ấy hoàn toàn hài lòng - anh ấy luôn nhận thấy ngay cả những lỗi nhỏ nhất không thể tránh khỏi của những người biểu diễn. Chỉ nhiều năm sau, trong niềm vui sướng của mình, anh ấy mới mất đi “sự mẫn cảm” của mình.

Ernest Rutherford không có khiếu âm nhạc, mặc dù ông có một giọng hát khá vang. Của anh ấy

15

L. BLITZER

NGHỊCH LÝ
SPUTIIKOV

Định luật quán tính đã được biết đến rộng rãi. Và mặc dù trên Trái đất, chúng ta chưa bao giờ nhìn thấy một vật thể chuyển động đều mà không có lực nào tác dụng lên, tuy nhiên, một quả bóng trên băng có thể đóng vai trò là một mô hình tốt cho vật thể đó: lực ma sát nhỏ và lực hấp dẫn được bù lại bằng phản lực của băng. Trong không gian, nơi các vệ tinh nhân tạo bay lên, không có gì được bù đắp bởi trọng lực. Do đó, có những vật không chịu tác dụng của bất kỳ lực nào (ngoại trừ lực hấp dẫn) chuyển động dọc theo các hình elip, parabol hoặc hyperbol. Đây có thể coi là “định luật quán tính” đối với vệ tinh*).

“Định luật thứ hai của Newton” trông như thế nào đối với một vệ tinh, tức là tốc độ của vệ tinh sẽ thay đổi như thế nào nếu có bất kỳ lực nào tác dụng lên nó ngoài lực hấp dẫn hướng về Trái đất? Điều này được mô tả trong bài báo mà chúng tôi đọc lại từ “Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ” năm 1971. Nội dung của § 2 được sửa đổi một chút để xét chuyển động không dọc theo hình elip mà dọc theo một đường tròn, vì có thể dễ dàng tìm được công thức cho chuyển động đó bằng cách sử dụng sách giáo khoa vật lý phổ thông. Độ elip của quỹ đạo vệ tinh trong trường hợp này là không đáng kể.

Bài báo đã được N. Ya chuẩn bị xuất bản. Smorodinskaya.

I. Giới thiệu

Bạn nghĩ điều gì sẽ xảy ra với tốc độ và động năng của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất khi phanh trong khí quyển? Bạn chắc chắn sẽ mắc sai lầm nếu bạn chỉ được hướng dẫn bởi những gì trải nghiệm “trần thế” hàng ngày mách bảo bạn. Hóa ra tốc độ và động năng của vệ tinh được trả về khi phanh trong khí quyển!

Hiện tượng đáng kinh ngạc này thực sự bất ngờ đến nỗi nó được gọi là nghịch lý. Chúng ta đã thảo luận ở đây ba sự phát triển dường như hoàn hảo, việc giải thích chúng gắn liền với nghịch lý này.

1. Giảm kích thước quỹ đạo của vệ tinh và tăng tốc độ của nó trong bầu khí quyển trái đất.

2. Sự dao động của vệ tinh xích đạo của Trái đất so với vị trí cân bằng ổn định.

3. Thay đổi tính liên tục của một nơi trên trái đất.

Hiện tượng đầu tiên được giải thích là do lực cản trong khí quyển, nguyên nhân thứ hai nằm ở “không gian ba chiều” của hành tinh chúng ta, và hiện tượng thứ ba là do các thủy triều hình thành trên bề mặt Trái đất.

16

II. Quỹ đạo Keplerian không bị xáo trộn

Chúng ta hãy nhớ các phương trình chuyển động đơn giản nhất tuân theo định luật Kepler. Nếu Trái đất có hình cầu đối xứng và nếu không có bầu khí quyển hoặc các yếu tố gây nhiễu khác xung quanh nó, thì người ta biết rõ rằng quỹ đạo của vệ tinh Trái đất sẽ là một hình elip, một trong những tiêu điểm của nó sẽ nằm ở tâm Trái đất (Hình 1).

Khi quỹ đạo của vệ tinh gần với một đường tròn có bán kính $a$ thì chu kỳ quay quanh Trái đất của nó bằng

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{\mu}},$$

trong đó $\mu = \gamma M$ (γ là hằng số hấp dẫn và $M$ là khối lượng của Trái đất).

Theo định luật thứ ba của Kepler, chu kỳ quay của vệ tinh theo quỹ đạo hình elip có bán trục lớn bằng $a$ cũng sẽ giống nhau.

Có thể chứng minh rằng khi chuyển động theo quỹ đạo tròn thì thế năng $U$, động năng $K$ và tổng năng lượng $E$ của vệ tinh được biểu thị bằng $a$, và khối lượng của vệ tinh $m$ như sau:

$$U = -\frac{\mu m}{a}*),$$

$$K = \frac{\mu m}{2a},$$

$$E = -\frac{\mu m}{2a}.$$

*) Xem bài viết của N. M. Speransky “Thế năng của các vật thể trong trường hấp dẫn” trang 20.

Cơm. 1. Hình elip Keplerian. $F$—lực nhiễu loạn.

Từ đó, rõ ràng là các đại lượng này có liên quan bởi mối quan hệ

$$U = -2K = 2E.$$

Đối với quỹ đạo hình elip, sự tương ứng (5) và công thức (2)–(4) vẫn đúng, nhưng thay vì động năng và thế năng, chúng ta cần nói về động năng trung bình (trên một vòng quanh Trái đất) và thế năng trung bình của vệ tinh.

III. Giải thích nghịch lý

Bây giờ chúng ta hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi một lực bổ sung tùy ý nào đó tác dụng lên vệ tinh. Rõ ràng, nếu lực này lớn hơn lực hấp dẫn ($\frac{\mu}{r^2}$) thì nó sẽ đóng vai trò chính. Ví dụ, điều kiện này được đáp ứng tại thời điểm phóng vệ tinh. Nếu lực nhiễu nhỏ so với lực hấp dẫn thì quỹ đạo phải là Keplerian (nghĩa là hình elip hoặc hình tròn.) Chúng ta sẽ nghiên cứu trường hợp này.

Bất kỳ lực gây nhiễu nào tác động liên tục $F$ đều có thể được thay thế bằng một chuỗi các xung động nhỏ vô hạn. Do công thực hiện bởi lực $F$ trong một khoảng thời gian nhỏ tùy ý $\Delta t$, năng lượng của vệ tinh trở về giá trị $\Delta E$:

$$\Delta E = F_T \Delta S = F_T v \Delta t,$$

trong đó $F_T$ là thành phần tiếp tuyến của lực $F$, hướng tiếp tuyến với quỹ đạo và $v$ là tốc độ của vệ tinh.

Một mức năng lượng tăng vô cùng nhỏ $\Delta E$ tương ứng với sự tăng bán kính quỹ đạo của vệ tinh thêm một lượng vô cùng nhỏ $\Delta a$.

Bây giờ chúng ta hãy xem công thức (4). Chúng ta sẽ thấy rằng khi năng lượng của vệ tinh tăng thì bán kính quỹ đạo của nó cũng tăng. Hãy tính xem bán kính sẽ thay đổi bao nhiêu $\Delta a$

một cái hoàn toàn xuyên tâm là mới. Vì vậy, tại các điểm này trong hệ thống báo cáo quay, vệ tinh phải ở trạng thái cân bằng (treo tại chỗ). Tại tất cả các điểm khác, vệ tinh sẽ chịu lực hút hướng về đầu gần nhất của trục chính. Do đó, sẽ có thành phần tiếp tuyến của lực $F_T$, hướng tiếp tuyến về phía đầu gần nhất của trục chính (Hình 3). Thoạt nhìn, có vẻ như vệ tinh sẽ nhận gia tốc theo hướng của lực $F_T$, tuy nhiên, theo phương trình (12), mọi thứ sẽ diễn ra hoàn toàn khác. Theo nghịch lý đã thảo luận ở trên, vệ tinh sẽ di chuyển từ từ theo hướng ngược lại về vị trí cân bằng gần nhất $A$, nằm trên trục nhỏ. Vì vệ tinh có một lượng chuyển động nhất định nên nó sẽ đi xa hơn điểm $A$ một chút, sau đó hướng của lực sẽ đổi sang hướng ngược lại và vệ tinh sẽ dần dần bắt đầu chuyển động theo hướng ngược lại. Như vậy, vệ tinh sẽ dao động so với vị trí cân bằng $A$ trên trục nhỏ.

Không có sự mất mát năng lượng trong quá trình này. Quỹ đạo của vệ tinh có chu kỳ quỹ đạo là 24 giờ được biểu thị bằng đường chấm trên Hình 3. Chu kỳ dao động phụ thuộc vào biên độ, do đó được xác định bởi các điều kiện ban đầu.

VI. Tăng độ dài của tháng trái đất

Hãy chuyển sang bài toán thứ ba, cũng liên quan đến nghịch lý đang xét. Các nhà thiên văn học từ lâu đã biết rằng Mặt trăng đang dần rời xa Trái đất, do đó chu kỳ cách mạng của nó, tức là tháng trên trái đất của chúng ta, không ngừng tăng lên. Một trong những hệ quả của lực hút Mặt Trăng là nguồn gốc của những ứng dụng trên Trái Đất. Nếu Trái đất được bao phủ bởi một đại dương và giữa một vùng nước và đáy biển

Cơm. 4. Các miệng phun thủy triều trên Trái đất. (Để rõ ràng, kích thước của chúng được phóng đại rất nhiều.)

không có ma sát thì cả hai bướu thủy triều sẽ nằm trên một đường thẳng nối tâm Mặt Trăng và Trái Đất (Hình 4). Tuy nhiên, tốc độ quay của Trái đất lớn hơn tốc độ góc của quỹ đạo Mặt trăng nên các bướu thủy triều do ma sát giữa đáy biển và nước bị kéo về phía trước theo chiều quay của Trái đất.

Bề mặt Trái đất và các đại dương, như trong Hình 4, có hình elip tương tự như hình elip xích đạo của bài toán trước đó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bướu nước trên Trái đất chỉ ở phía trước Mặt trăng một chút. Cái bướu gần Mặt trăng nhất tương tác với nó mạnh hơn cái bướu ở xa hơn, do đó thành phần tiếp tuyến của lực tác dụng lên Mặt trăng hướng theo hướng mà Mặt trăng đang chuyển động.

Đồng thời, năng lượng quỹ đạo của Mặt trăng tăng lên kể từ $F_T > 0$. Những lời kêu cứu vẫn là nghịch lý tương tự; chúng ta kết luận ngay rằng khi quỹ đạo của Mặt Trăng tăng lên thì chu kỳ quay của Mặt Trăng quanh Trái Đất cũng tăng lên. Nói cách khác, Mặt Trăng đang dần rời xa Trái Đất và độ dài của tháng ngày càng tăng lên. Đồng thời, tốc độ tuyến tính và góc của Mặt trăng giảm.

Tổng xung lượng góc của hệ phải được bảo toàn vì không có năng lượng bổ sung từ bên ngoài vào. Vì xung lượng góc của Mặt trăng so với trục quay của nó phải luôn luôn tiêu diệt thời gian và ngày phải dài hơn.

20

Trong trường hấp dẫn

Ngay cả trong một khóa học vật lý ở trường, người ta cũng chỉ ra rằng có một sự tương đồng sâu sắc giữa trường hấp dẫn và trường năng lượng, xuất phát từ sự giống nhau về mặt toán học của định luật hấp dẫn Newton và định luật Coulomb. Cả trong trường hấp dẫn và trường năng lượng, công của các vật chuyển động hoặc điện tích không phụ thuộc vào hình dạng của đường đi mà chỉ được xác định bởi thế năng của các điểm bắt đầu và kết thúc chuyển động và độ lớn của khối lượng hoặc điện tích. Từ đây, đến lượt nó, công dọc theo một vòng kín, cả trong trường này và trường kia, đều bằng 0.

Điện thế của bất kỳ điểm nào trong trường nhà máy điện $\varphi = \frac{kQ}{r}$, trong đó $Q$ là điện tích chính xác hình thành nên trường, $r$ là khoảng cách từ điện tích này đến điểm xác định điện thế $\varphi$ và $k$ là một hằng số, phụ thuộc vào sự lựa chọn của hệ đơn vị. Trong hệ thống GHS $k = 1$; trong SI $k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$; $k$ là hệ số tỷ lệ trong định luật Coulomb.

Công thực hiện để di chuyển điện tích chính xác $q$ bằng

$$A = q \left( \frac{kQ}{r_2} - \frac{kQ}{r_1} \right),$$

trong đó $r_1$ tương ứng với điểm ban đầu nơi đặt điện tích $q$ và $r_2$ tương ứng với vị trí cuối cùng của nó.

Từ sự tương tự giữa trường hấp dẫn và trường năng lượng, chúng ta kết luận rằng công $W$ trong trường hấp dẫn chẳng hạn của Trái đất bằng

$$W = -m \left( \frac{\gamma M}{r_2} - \frac{\gamma M}{r_1} \right),$$

trong đó $\gamma$ là hằng số hấp dẫn (hệ số tỷ lệ trong định luật hấp dẫn), $M$ là khối lượng của Trái đất, $m$ là khối lượng của vật thể chính xác, có thể chuyển đổi trong trường lực hấp dẫn của Trái đất, và $r_1$ và $r_2$ lần lượt là khoảng cách ban đầu và cuối cùng từ vật thể này đến tâm hành tinh.

Chúng ta đặt dấu “—” vào công thức này vì hai vật luôn cúi xuống. Điều này tương ứng với sự tương tác của các điện tích dương và điện tích in dấu. Để tăng khoảng cách giữa các cơ thể $(r_2 > r_1)$, phải thực hiện công việc tích cực. Khi khoảng cách giữa các vật giảm đi thì hướng chuyển động của vật trùng với hướng của lực tác dụng lên nó. Vì vậy, trong trường hợp này công việc có tính kết cấu.

Bây giờ chúng ta hãy xác định thế năng của vật ở khoảng cách $R$ tính từ tâm Trái đất. Vì độ biến thiên của thế năng bằng công tiêu tốn để di chuyển vật thể, nên giả sử rằng thế năng bằng 0 ở rất xa Trái đất $(r_1 = \infty)$, chúng ta tìm thấy

$$U = -\frac{\gamma M}{R} m.$$

Biểu đồ $U$ so với khoảng cách $R$ được hiển thị trong Hình 1. Đây là một hyperbola, được biểu thị bằng một đường liền nét màu đỏ. Trên bề mặt Trái đất $U = -\frac{\gamma M}{R_3} m$, trong đó $R_3$ là bán kính Trái đất.

Rõ ràng lực cắt bài toán, gắn liền với chuyển động của một vật ở gần bề mặt Trái đất, ta thu được một công thức khác:

$$U = mgh,$$

21

trong đó $h$ là khoảng cách đến bề mặt Trái đất và $g$ là gia tốc rơi tự do. Chúng ta có sai không?

Hãy đếm các giá trị thế năng của cơ thể từ bề mặt Trái đất, nghĩa là giả sử rằng trên bề mặt Trái đất, thế năng bằng 0. Điều này có nghĩa là chúng ta cần nâng đường cong màu đỏ ở Hình 1 lên $\frac{\gamma M}{R_3} m$ và viết công thức tính thế năng của cơ thể như sau:

$$U = -\frac{\gamma M}{R} m + \frac{\gamma M}{R_3} m = \gamma M m \frac{(R - R_3)}{RR_3}.$$

Nếu sự thay đổi khoảng cách của vật thể đến tâm Trái đất $h = R - R_3$ là nhỏ

Cơm. 1.

so với $R_3$, sau đó là $R \approx R_3$ và $RR_3 \approx R_3^2$. Đó là lý do tại sao

$$U = \frac{\gamma M m}{R_3^2} h.$$

Vì trong thực tế nhất bài toán chuyển động quay của Trái đất thường bị bỏ qua, chúng ta có thể giả sử rằng trên bề mặt Trái đất một vật có khối lượng $m$ hút với một lực $mg = \frac{\gamma M m}{R_3^2}$, sau đó là $\frac{\gamma M}{R_3^2} = g$ và $U = mgh$.

Chúng tôi lại có được công thức tương tự. Rõ ràng là nó có thể được sử dụng ở mức $h \ll R_3$. Trong trường hợp này, chúng ta thay thế đường cong chấm bằng một đường tiếp tuyến với nó tại điểm $R = R_3$.

ô chữ MIPT

Ở vị trí số 1 của tạp chí năm 1972, chúng tôi đã xếp trò chơi ô chữ MIPT (nhân tiện, như nhiều độc giả của chúng tôi nhận thấy, có một sự thiếu chính xác trong câu trả lời cho trò chơi ô chữ này: “đánh lừa bằng ánh sáng” tất nhiên là “sự biểu diễn”, không phải “sự biểu diễn”).

Chúng tôi mời bạn kiểm tra lại “khả năng hài hước” của mình. Chúng tôi tin chắc rằng bạn sẽ giải được câu đố ô chữ dưới đây. Nếu bạn muốn (để đề phòng) kiểm tra xem mình đã trả lời đúng tất cả các câu hỏi ô chữ hay chưa, thì hãy xem trang 58 của tạp chí này.

Thẳng đứng:

1. Thiết bị nuôi dạy thanh thiếu niên. 2. Thức ăn đặc. 3. Hình elip ăn được. 4. Ấm đun nước chung không có tay cầm. 6. Hành động tống tiền, nghĩa bóng. 7. Biệt danh. 10. Chiếc váy cắt thấp đầu tiên của Nga. 11. Nơi đăng ký của Adam Kozlevich. 17. Lời thề của tổ tiên vĩ đại nhất. 18. Vị trí hình học của các đỉnh bằng nhau. 19. Năm sáu đông phỉ. 20. Sự khởi đầu của điệu nhảy khét tiếng.

Nằm ngang:

5. Chúa biết điều gì. 8. Sao chổi không có đầu. 9. Giấy cói của thế kỷ XX. 10. Một khu định cư ở vùng lân cận Dolgoprudny. 12. Vật lạ. 13. Xóa bỏ hôn nhân. 14. Sói trí thức nghĩ gì khi nhìn Cô bé quàng khăn đỏ. 15. Công nhân nông nghiệp. 16. Ảnh bán thành phẩm. 21. Sự hoảng loạn có tổ chức. 22. Món khô dân tộc. 23. Chửi thề.

22

Sự tương ứng Leibniz và tính chất phân bố của tích vô hướng của vectơ

Z. A. Skopets

Hãy nhớ lại rằng tích vô hướng của hai vectơ là một số bằng tích của độ dài (mô đun) của các vectơ này và cosin của góc giữa chúng:

$$a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(a, b).$$

(1)

Định nghĩa này phù hợp với các vectơ trên mặt phẳng và trong không gian. Phép nhân vô hướng có liên quan đến phép cộng các vectơ phân phối (phân phối):

$$a(b + c) = ab + ac.$$

(2)

Tính chất này thuận tiện sử dụng trong nhiều trường hợp, đặc biệt khi chứng minh các định lý lập thể về đường thẳng và mặt phẳng vuông góc*). Nhưng vấn đề là bản thân tính chất (2) thường được chứng minh bằng cách sử dụng một số định lý này**). Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng có một cách thoát khỏi nhược điểm này: chúng tôi sẽ rút ra tính chất (2) từ sự tương ứng Leibniz cho các phần tử của một paramit tam giác, và sau đó chứng minh sự tương ứng này mà không cần sử dụng các định lý lập thể.

Bản thân thư từ của Leibniz rất thú vị. Nó biểu thị khoảng cách từ đỉnh của tứ diện đến giao điểm của đường trung tuyến đối diện với đỉnh này của mặt tứ diện

Cơm. 1.

chia chiều dài của cả sáu xương sườn của nó.

1. Thư từ Leibniz. Cho hình tứ diện OABC (Hình 1), G là giao điểm của đường trung tuyến của tam giác ABC. Đặt: OG = d, OA = a, AB = c₁, OB = b, OC = c, BC = a₁, CA = b₁.
   Sau đó
   $$d^2 = \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2) - \frac{1}{9} (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2).$$

(3)

Chúng tôi sẽ rút ra sự tương ứng này một lát sau. Bây giờ hãy thể hiện

*) Theo chương trình mới, các phép tính trên vectơ trong không gian sẽ được học ở lớp 9 trong môn học lập thể.
**) Trong phần phụ lục ở cuối bài viết, cụm từ tương ứng được in nghiêng.

Từ (3’) suy ra $a^2 + b^2 + c^2 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 3OG^2$.
Vế bên trái đủ nhỏ nhất với điều kiện $OG = 0$ hoặc khi điểm $O$ trùng với điểm $G$.

c) Nếu hai tam giác đều nội tiếp trong một đường tròn thì tổng bình phương khoảng cách từ một điểm bất kỳ trong không gian đến các đỉnh của tam giác một vườn bằng tổng bình phương khoảng cách của nó đến các đỉnh của tam giác kia.

d) Nếu một đỉnh song song với tất cả các đỉnh còn lại của nó thì thu được bảy đoạn, trong đó một đoạn là đường chéo $d$ song song, ba đoạn là các đường chéo $d_1$, $d_2$, $d_3$ của các mặt bên của nó, ba đoạn còn lại là các cạnh $a$, $b$, $c$ song song.

Bằng cách áp dụng tương ứng Leibniz (3) hai lần

1. chứng minh sự đúng đắn của mối quan hệ sau đây nối bảy phần tử tuyến tính được chỉ định của song song:

$$d^2 = d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 - (a^2 + b^2 + c^2);$$

(10)

2. rút ra tính chất phân bố của tích vô hướng của vectơ dựa trên sự tương ứng (10).

Ứng dụng

Sử dụng định lý lập thể (xem chú thích trang 22), chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng

$$a (b + c) = ab + bc.$$

(11)

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh bổ đề này.

Bổ đề. Hình chiếu của một vectơ lên ​​trục không phụ thuộc vào điểm nào trong không gian mà vectơ được vẽ.

Bằng chứng. Gọi $C'D'$ là hình chiếu của vectơ $CD$ lên trục $l$, tức là $CC'$ và $DD'$ là các đường vuông góc hạ từ điểm $C'$ và $D$ đến $l$ (Hình 4). Đặt $E$ là đỉnh thứ tư của đường thẳng song song $CC'D'E$, sau đó $CE = C'D'$, $CC' || ED'$ và do đó $ED' \perp l$.

Vì $ED' \perp l$ và $DD' \perp l$, nên $DE \perp l$ và do đó $DE \perp CE$. Như vậy, ta đã chứng minh được hình chiếu của vectơ $CD$ lên trục $l$ bằng hình chiếu của nó lên trục song song với $l$ và đi qua gốc tọa độ của vectơ - điểm $C$:

$$C'D' = CE.$$

Bây giờ phát biểu của bổ đề rất thuận tiện (nếu $C_1D_1 = CD$ thì các tam giác vuông tương ứng $CDE$ và $C_1D_1E_1$ bằng nhau ở góc nhọn $\varphi = \angle ECD = E_1C_1D_1$ và cạnh huyền $CD = C_1D_1$).

26

O.A. Zhautykov
LỊCH TRÌNH
QUADTER KHỐI

Trong “Kvanit” số 11 năm 1971, một số công thức đã được thảo luận giúp có thể biểu diễn nghiệm của phương trình bậc ba thông qua các hệ số của nó. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán, việc có thể tưởng tượng ra đồ thị của một “phương trình bậc ba” sẽ rất hữu ích. Đây là những gì được thảo luận trong bài viết được xuất bản dưới đây.

Hãy đặt nhiệm vụ của chúng ta là tìm hiểu cách vẽ đồ thị hàm số
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d \ (a \neq 0),$$ (1)
tức là đa thức bậc 3. Tất nhiên, bạn có thể thử xây dựng đường cong (1) từ các điểm. Nhưng điều này quá dài và đòi hỏi phải tính toán tẻ nhạt. Chúng ta sẽ nói về một phương pháp đơn giản hơn cho phép bạn dễ dàng hình dung một cách tổng quát hành vi của đường cong được mô tả bằng phương trình (1) trong từng trường hợp cụ thể.

Chúng tôi sẽ bóp méo các chức năng từ biểu đồ
$$y = x^3,$$ (2)
gọi là parabol bậc ba. Đường cong này được vẽ theo từng điểm (Hình 1); sự xuất hiện của nó phải được ghi nhớ. Khi nghiên cứu đồ thị của đa thức bậc ba (1), nó có vai trò tương tự như vai trò của parabol $y = x^2$ trong lý thuyết tam thức bậc hai.

Một parabol bậc ba có các tính chất cơ bản sau:

1. nó đối xứng về gốc tọa độ và đi qua quý 3 và quý 1 (nói cách khác hàm số (2) là số lẻ);
2. tại gốc tọa độ, parabol lập phương cắt trục x và đồng thời chạm vào trục x.
   Thật dễ dàng để biết thêm đồ thị của hàm số trông như thế nào
   $$y = ax^3,$$ (3)

Cơm. 1. Hình 2.

27

Cuối cùng, xét đồ thị của hàm
$$y = ax^3 + mx.$$

Có thể dễ dàng xây dựng bằng cách cộng hai đồ thị - đường cong (3) đã quen thuộc với chúng ta và đường thẳng $y = mx$ đi qua gốc tọa độ: với mỗi giá trị của hoành độ $x$ bạn cần thêm tọa độ tương ứng của đường cong (3) và đường thẳng $y = mx$.

Rõ ràng là dạng của đồ thị hàm số (4) phụ thuộc vào ký hiệu của các số $a$ và $m$. Cụ thể, nếu $a > 0$ và $m < 0$, thì đường cong (4) có dạng như trong Hình 3 $a$, và nếu $a > 0$ và $m > 0$, thì có dạng như trong Hình 3 $b$. Đồ thị của hàm số (4) trong trường hợp $a < 0$ và $m > 0$ (Hình 3 $\theta$) thu được bằng hình ảnh phản chiếu so với trục hoành của đường cong như trong Hình 3 $a$, và trong trường hợp $a < 0$ và $m < 0$ (Hình 3 $\epsilon$) - bằng hình ảnh phản chiếu hiển thị đường cong ở Hình 3 $b$; tuy nhiên, trong Hình 3 $\epsilon$, chúng tôi đã thông báo $a$ và tuy nhiên, parabol trở nên dốc hơn, vẫn duy trì hình dáng chung.

Các tính chất chính của đường cong (4) như sau:

1. nó cắt (tại gốc) đường $y = mx$, đồng thời chạm vào nó;
2. nếu các số $a$ và $m$ cùng dấu thì đường cong này chỉ cắt trục hoành tại điểm gốc; nếu các số $a$ và $m$ khác dấu thì đường cong này cắt trục x ba lần (tại các điểm $x = 0$ và $x = \pm \sqrt{-m/a}$).

Vì vậy, chúng ta đã học cách vẽ đồ thị của hàm số (4). Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng với bất kỳ hàm loại (1) nào, luôn có thể tìm được các số (thực) $m, k, h$ sao cho đồ thị của hàm (1) thu được bằng cách di chuyển đường cong (4) thêm $h$ sang trái và xuống $k$.

Trên thực tế, nếu chúng ta di chuyển đường cong (4) $h$ sang trái và $k$ xuống dưới, chúng ta sẽ có một đường cong được mô tả bằng phương trình
$$y + k = a(x + h)^3 + m(x + h),$$

28

nếu $h > 0$ hoặc $|h|$ ở bên phải, nếu $h < 0$ và $k$ rít, nếu $k > 0$ hoặc $|k|$ lên trên nếu $k < 0$, trong đó các số $h$ và $k$ được xác định theo công thức (5).

Ví dụ. Xây dựng đồ thị của hàm $y = x^3 - 4x^2 - 4x + 16$.

Sử dụng công thức (5) chúng tôi tìm thấy:

$$m = -9\frac{1}{3}, \quad h = -1\frac{1}{3},$$

$$k = -5\frac{25}{27}.$$

Vì vậy ta cần vẽ đồ thị hàm

$$y = x^3 - \frac{28}{3}x$$

(Hình 4 a), sau đó di chuyển nó $\frac{4}{3}$ sang phải dọc theo trục hoành độ và $\frac{160}{27}$ lên dọc theo trục tọa độ (Hình 4 b).

NHIỆM VỤ QUỐC GIA ARMENIAN

(Thư của độc giả)

Các biên tập viên thân mến!

Ở trường chúng tôi, chúng tôi đã học năm thứ 2 lớp toán “XYZ” (X - công việc, Y - kiến ​​thức, Z - văn hóa dân gian). Câu lạc bộ chủ yếu thu thập dân gian bài toán, ở Armenia được gọi là “khrakhchanaks”. Và có rất nhiều trong số họ…

Các nhà toán học người Armenia Anania Shirakatsii (thế kỷ VII), Mkhitar Yerznikatsii (thế kỷ XIV), Zakaria Sarkavarg (thế kỷ XVII) và những người khác đã đề xuất các “khrahchanaks” khác nhau trong công trình của họ.

…Các thành viên của lớp “XYZ” đã sưu tầm và chỉnh sửa hơn 15 bài toán - khrahchanaks từ cela của chúng tôi. Chúng tôi trình bày một số trong số họ để bạn chú ý.

Hòn đá đã được kéo vào sân

Trong quá trình xây dựng Vaanavaank *) một viên đá nặng hai trăm pound đã được lấy từ mỏ đá. Đi được nửa đường, bốn con bò đực đã bắt anh ta đi suốt ba ngày. hòn đá rất nặng, nó phải bị đập vỡ, còn lại 150 pound, và số bò họ lấy được chỉ còn một nửa số còn lại. Mất bao lâu để hòn đá được kéo vào sân của Vaanavaanka?

Một trăm marzan lúa mì

Người thợ xay chia 100 marzan lúa mì thành ba phần để chất lên ngựa, lừa và lừa. Nếu bạn lấy đi tải của con lừa khỏi tải của ngựa, thì con lừa có thể chuyển phần còn lại trong sáu bước và nếu bạn lấy đi hai tải của con lừa, thì con lừa có thể chuyển phần còn lại trong bốn bước và ở bước thứ năm - sẽ có một tải còn lại ít hơn một nửa so với mỗi tải trong bốn bước trước.

*) Vaanavak là tu viện Khvek nổi tiếng của Armenia.

Tìm xem MelBnik đã chất bao nhiêu hàng hóa lên ngựa, lừa và lừa?

Con gái của Navasard

Các con gái của Navasard là thợ dệt thảm. Nếu Navasard đưa cho mỗi cô con gái bảy cuộn sợi trừ một, thì ông ấy vẫn sẽ có phần cuộn sợi như vậy. Và nếu ông cho mỗi người bảy và một xiên nữa thì con gái ông sẽ không còn Zarenitki nào cả. Navasard có bao nhiêu cuộn sợi và bao nhiêu con gái?

Cáo và đàn con

Trên bảy ngọn núi có bảy cái cây, dưới mỗi cái cây có bảy cái hang, trong mỗi cái hang có bảy con cáo sống và mỗi con cáo có bảy con. Có tổng cộng bao nhiêu con cáo?

Câu lạc bộ Robert Ejanansky “XYZ” Lernadzor ký ức trường học về vùng Kafan thuộc Liên Xô Armenia

VẤN ĐỀ CỦA NAPOLEON

Hoàng đế Pháp Napoléon có một sở thích (ví dụ: để biết thêm thông tin về điều này, hãy xem “Hình học giải trí” của Ya. I. Perelman) - sáng tác hình học bài toán. Một số bài toán của Napoléon được phân biệt bằng cách thiết lập đơn giản và cho phép lời giải duyên dáng.

Trên trang đầu tiên của trang bìa (ở trên) có một bản vẽ về điều kiện hình học bài toán, theo ghi chú của tạp chí Pháp “Toán học” (1938), là do Napoléon biên soạn.

Mỗi cạnh của một tam giác tùy ý (có màu xanh lá cây) được chia theo các điểm thành ba đoạn bằng nhau. Ở các đoạn giữa, các hình tam giác đều được xây dựng bên ngoài (chúng có màu đỏ). Khi đó các đỉnh của các tam giác không nằm trên các cạnh của tam giác màu xanh lá cây tạo thành một tam giác có các cạnh được tô màu xanh lam. Ta cần chứng minh tam giác cuối cùng là tam giác đều.

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ thực hiện một phép dựng bổ sung: chúng ta sẽ nối các đỉnh liền kề của các tam giác với các đoạn thẳng. Chúng ta sẽ có được những hình tam giác được bao quanh bởi màu cam. Mỗi góc được biểu thị bằng cung trong Hình 1 là 120°. Ngoài ra, chúng ta thay thế rằng các tam giác được tạo thành từ hai phần màu cam và một phần màu đỏ là đều, và tổng các góc “ngoài” tại các đỉnh của ba tam giác có đáy là các đoạn màu xanh lam, bằng 360°. Sau đó, chúng ta cắt hai hình tam giác từ mặt phẳng vẽ và xoay bản lề quanh các điểm E và C, như trong Hình 2.

Kết quả là hai tam giác có cạnh chung EC như trên Hình 3. Các tam giác này có các cạnh bằng nhau. Tổng các cặp góc được tô sáng bởi các cung ở đỉnh E và C mỗi góc là 120°. Do đó, mỗi góc thuộc đáy chung của các tam giác này chiếm 60°. Một tam giác có cạnh màu xanh thực sự là tam giác đều.

Bức ảnh thứ hai trên trang bìa có nội dung gì? Hóa ra là nếu dựng các phần bằng nhau trên các đoạn giữa của các cạnh của tam giác ban đầu

30

V.N. VAGUTEN
Thuật toán Euclise và định lý cơ bản của số học

Bài viết này được viết dựa trên tài liệu từ một bài tập thí nghiệm dành cho lớp 8-9 tại Trường Toán Báo chí Liên bang thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô tại Đại học Tổng hợp Moscow mang tên M.V. Lomonosov.

Mọi người đều biết rằng bất kỳ số nguyên dương nào cũng có thể được phân tích thành tích của các thừa số nguyên tố; vì vậy, ví dụ,

$$400 = 2^4 \cdot 5^2, \quad 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13, \quad 290981 = 43 \cdot 67 \cdot 101.$$

Tại sao sự phân hủy này là duy nhất? Một thực tế đơn giản hơn: nếu tích mn chia hết cho 43 thì ít nhất một trong các số m và n phải chia hết cho 43. Làm thế nào để chứng minh điều này?

Những sự thật này được coi là hiển nhiên. Tuy nhiên, việc chứng minh chúng không hề dễ dàng. Chúng tôi sẽ làm điều này ở cuối bài viết và chúng tôi sẽ bắt đầu với những câu đơn giản nhất liên quan đến tính chia hết của số nguyên và chúng tôi sẽ nói về cách tìm ước số chung nhất của hai số mà không cần phân tách chúng thành thừa số nguyên tố.

Xuyên suốt, chúng tôi sử dụng các chữ cái Latinh (a, b, c, d, v.v.) để biểu thị số nguyên.

1. Khoảng cách của tổng, hiệu và tích

Ta nói số nguyên a chia hết cho số nguyên b nếu tồn tại số nguyên k sao cho a = kb. Trong trường hợp này, số b được gọi là ước số của số a.

Chúng ta hãy rút ra ngay hai phát biểu đơn giản:

1°. Nếu các số a và b chia hết cho c thì u tổng của chúng a + b, u hiệu của chúng a - b chia cho c;
2°. Nếu a chia hết cho c và b chia hết cho d thì tích ab của chúng chia hết cho cd.

Hãy chứng minh 1°. Vì a chia hết cho c nên a = kc, trong đó k là số nguyên nào đó. Tương tự, b = mc, trong đó m là số nguyên. Do đó, a + b = (k + m)c, a - b = (k - m)c, nghĩa là mỗi số a + b và a - b đều chia hết cho c.

Hãy chứng minh 2°. Đặt a = kc, b = md. Khi đó ab = (km)cd, ngụ ý Tuyên bố 2°.

Bài 1. Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b, a b chia hết cho c thì a chia hết cho c.

Bài tập 2. Câu nào sau đây đúng, câu nào sai:

a) nếu một số hạng chia hết cho 6 và số hạng kia không chia hết cho 6 thì tổng của chúng không chia hết cho 6;
b) nếu tổng của hai số hạng không chia hết cho 6 thì ít nhất một số hạng không chia hết cho 6;
g) nếu tổng của hai số hạng không chia hết cho 6 thì mỗi số hạng không chia hết cho 6;

D) nếu tích của nhiều tài sản thế chấp đồng thời chia hết cho 6 thì một trong các tài sản thế chấp cũng chia hết cho 6?

Bài tập 3. Với mục đích của các số $a, b$ và $c$ người ta biết rằng mỗi số $a + b$ và $a - b$ đều chia hết cho $c$. Có phải mỗi số $a$ và $b$ đều chia hết cho $c$ không?

Bài tập 4. Chứng minh rằng nếu $a^2 + ab + b^2$ chia hết cho $a + b$ thì $a^4 + b^4$ chia hết cho $(a + b)^2$.

2. Phép chia có số dư

Mọi người đều biết quy tắc chia một số nguyên $a$ cho một số nguyên khác $b$ “trong một cột”. Phép chia này có thể được tiếp tục cho đến khi số dư nhỏ hơn số chia. Ví dụ: nếu $a = 1972$, $a + b = 31$ thì khi chia thì thương là 63 và dư là 19:

$$-\frac{1972}{186} \div \frac{31}{63},$$

hoặc $1972 = 31 \cdot 63 + 19$. Về vấn đề này có thể xây dựng hình sau:

Cơm. 1.

câu tiếp theo (xem Hình 1):

nếu $a$ và $b$ là số nguyên và $b$ lớn hơn 0 thì có một số nguyên tối đa $q$ sao cho $a = bq + r$, trong đó “số dư” $r$ là số nguyên thỏa mãn $0 \leq r < b$.

Nhiệm vụ 5. Tại một trong các lối vào của tòa nhà 8 tầng ở tầng trệt có các căn hộ từ số 97 đến số 102. Căn hộ số 211 nằm ở tầng mấy và lối vào nào (theo số)? (Tất cả các tầng đều có số lượng căn hộ như nhau và tất cả các lối vào đều có kết cấu giống nhau).

Bài 6. Có 5 tờ giấy. Một số trong số chúng đã được cắt thành 5 miếng mỗi cái. Sau đó, một số mảnh thu được lại được cắt thành 5 phần và việc này được thực hiện nhiều lần. Kết quả có thể là 1971 mảnh?

Bài 7. Tìm số nhỏ nhất có sáu chữ số chia hết cho 3, 7 và 13.

Bài 8. Số 98,765,432,123,456,789 còn lại bao nhiêu:

a) khi chia cho 4;
b) khi chia cho 8;
b) khi chia cho 9?

3. Ước chung lớn nhất [GCD]

Cho $a$ và $b$ là các số nguyên không bằng 0. Khoảng cách tất cả các số mà $a$ và $b$ có thể chia hết và chọn nhiều nhất trong số đó. Chúng ta sẽ biểu thị ước chung lớn nhất này của các số $a$ và $b$ bằng gcd ($a, b$). Ví dụ: GCD ($4,12$) = 4; gcd($21,91$) = 7; GCD ($15,28$) = 1.

Nếu GCD ($a, b$) = 1 thì các số $a$ và $b$ được gọi là số nguyên tố cùng nhau.

Bài 9. Tích của hai số bằng 600. Giá trị lớn nhất gcd của những số đó có thể có là bao nhiêu?

Bài 10. Chứng minh rằng nếu $d = \text{НОД} (a, b)$, $a = kd$, $b = ld$ thì GCD ($k, l$) = 1.

Nhiệm vụ 11. Số lượng lớn nhất các bó hoa giống hệt nhau có thể được làm từ 264 bông hoa tulip màu trắng và 192 bông hoa tulip đỏ là bao nhiêu?

Bài 12. a) Vẽ một hình chữ nhật có kích thước $10 \times 15$ trên một tờ giấy dán keo; 6 nút lưới nằm trên đường chéo của nó (Hình 2). Giả sử có một hình chữ nhật $m \times n$, các cạnh của nó đi dọc theo các đường lưới. Có bao nhiêu điểm lưới nằm trên đường chéo của nó?

6. Có bao nhiêu lời giải trong các số tự nhiên $x$, $y$ phương trình $mx + ny = mn$ có, trong đó $m$ và $n$ là các số tự nhiên đã cho? (Nhắc lại số nguyên dương gọi là số tự nhiên).

32

4. Thuật toán Euclid

Tất nhiên, để tìm gcd của hai số, bạn có thể làm như sau: viết ra tất cả các ước của mỗi số, chọn các ước chung rồi lấy giá trị lớn nhất của chúng. Bạn có thể làm khác đi mà không cần tìm riêng các ước của từng số.

Hãy chứng minh bổ đề quan trọng sau đây.

Bổ đề 1. Cho $a = bq + r$, $m=d a$ GCD $(a, b) = \text{НОД}(b, r)$.

Để đạt được mục đích này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng cặp số $(a, b)$ có cùng một tập ước chung giống như cặp số $(b, r)$. Tất nhiên, từ đây, GCD của các cặp này sẽ giống nhau. Vì vậy, chúng ta hãy chứng minh rằng mọi ước chung của các số $a$ và $b$ cũng là ước của số $r$ và ngược lại, mọi ước chung của các số $b$ và $r$ đều là ước của số $a$.

Đầu tiên chúng ta hãy chứng minh khẳng định đầu tiên. Đặt $a$ và $b$ chia hết cho $k$. Khi đó $bq$ chia hết cho $k$ (xem 2° từ điểm 1) và $r = a - bq$ chia hết cho $k$ (xem 1° từ điểm 1).

Hãy chuyển sang tuyên bố thứ hai. Nếu $b$ và $r$ chia hết cho $m$ thì $bq$ chia hết cho $m$ và $a = bq + r$ chia hết cho $m$ (ở đây chúng ta lại sử dụng câu 1° và 2° từ điểm 1).

Bổ đề đã được chứng minh cho phép bạn tìm gcd của hai số một cách dễ dàng và nhanh chóng. Hãy xem nó được thực hiện như thế nào.

Ví dụ. Hãy tìm GCD bằng (6069, 663).

Lời giải. Chia 6069 cho 663 có số dư:

$$6069 = 663 \cdot 9 + 102.$$

Từ bổ đề suy ra GCD (6069, 663) = GCD (663, 102).

Chúng tôi đang tìm kiếm gcd (663, 102). Để làm điều này, hãy chia 663 cho 102:

$$663 = 102 \cdot 6 + 51.$$

Một lần nữa, áp dụng bổ đề, ta được gcd (663, 102) = gcd (102, 51). Nhưng 102 chia hết cho 51 không có số dư:

$$102 = 51 \cdot 2,$$

đặt ra GCD (102, 51) = 51, do đó,

$$51 = \text{НОД} (102, 51) = \text{НОД} (663, 102) = \text{НОД} (6069, 663).$$

Đáp số. GCD (6069, 663) = 51.

Phương pháp tìm ước số chung nhất, dựa trên ứng dụng tuần tự của Bổ đề 1, có một tên đặc biệt - thuật toán Euclide.

Bài toán 13. Tìm ước số chung nhất của các số:

a) 987 654 321 và 123 456 789,
b) 7.777.777.777 và 777.777.

Bài 14. Từ một đường thẳng 324 $cm \times 141$ $cm$ một số hình vuông bị cắt khỏi cạnh 141 $cm$ cho đến khi còn lại một đường thẳng với một trong các cạnh

Cơm. 3.

nhỏ hơn 141 $cm$. Từ đường thẳng thu được, các hình vuông lại được cắt bỏ, các cạnh của chúng bằng cạnh nhỏ hơn của nó, miễn là điều này có thể, v.v. (Hình 3).

Đường thẳng sẽ được cắt thành những hình vuông nào? (Cho biết kích thước và số lượng của chúng).

Vì vậy, thuật toán Euclid là một phương pháp đơn giản để tìm ước chung nhất của hai số. Nếu chúng ta có hai số $a$ và $b$ và $a > b > 0$ thì trước tiên chúng ta chia $a$ cho $b$ và lấy phần dư $r_1$, nhỏ hơn $b$. Sau đó, chúng tôi chia số $b$ cho $r_1$ và tìm số dư $r_2$, nhỏ hơn $r_1$. Tiếp theo, chúng ta chia số $r_1$ cho số $r_2$ và chúng ta nhận được phần dư $r_3$, nhỏ hơn $r_2$, v.v. cho đến khi phần dư $r_{n-1}$ được chia hoàn toàn cho phần dư $r_n$, không có phần dư (tức là $r_{n+1} = 0$).

Rõ ràng là quá trình này chắc chắn sẽ kết thúc, vì mỗi phần còn lại ít hơn phần trước và

34

Lời giải $x = -6, y = 55$ phù hợp cho cả hai phương trình.

Một lưu ý nữa. Chúng tôi đã đưa ra một phương pháp cho phép chúng tôi chỉ tìm thấy một lời giải của phương trình như vậy. Trên thực tế, nếu có một lời giải thì có vô số chúng.

Ví dụ, số

$$x = -6 + 13t, y = 55 - 119t$$

($t$ là số nguyên bất kỳ) cũng là nghiệm của cả hai phương trình của chúng ta. Trong thực tế,

$$119 (-6 + 13t) + 13 (55 - 119t) = 1$$
và tất nhiên
$$51 \cdot 119 (-6 + 13t) + 51 \cdot 13 (55 - 119t) = 51,$$
đó là
$$6069 (-6 + 13t) + 663 (55 - 119t) = 51.$$

Công thức (*) cho tất cả lời giải của các phương trình này ở dạng số nguyên. Hãy chứng minh điều đó. Đặt $(x, y)$ là một số lời giải:

$$119x + 13y = 1.$$

Chúng ta hãy trừ số hạng của phương trình này theo số hạng đẳng thức mà chúng ta đã biết

$$119 \cdot (-6) + 13 \cdot 55 = 1.$$

chúng tôi nhận được

$$119 (x + 6) + 13 (y - 55) = 0$$
hoặc

$$119 (x + 6) = 13 (55 - y).$$

Vì vế trái của đẳng thức cuối cùng chia hết cho 13 và số 119 và 13 bị đổ lẫn nhau nên số $x + 6$ phải chia hết cho 13: $x + 6 = 13t$, trong đó $t$ là một số nguyên. Sau đó $y = 55 - 119t$. Vì vậy, về cơ bản, chúng tôi đã tìm ra cách tìm lời giải của bất kỳ phương trình tuyến tính nào $ax + by = c$ dưới dạng số nguyên. Nói chung kết quả là:

Để phương trình $ax + by = c$ có lời giải ở dạng số nguyên $(x, y)$, điều cần và đủ là $c$ chia hết cho gcd $(a, b) = d$. Nếu điều kiện này được thỏa mãn $u (x_0, y_0)$ là một trong lời giải của phương trình này thì tất cả lời giải của nó được cho bởi các công thức

$$x = x_0 + b_1t, y = y_0 - a_1t,$$
$$a_1 = \frac{a}{d}, b_1 = \frac{b}{d}.$$

Bài 16. Tìm các số nguyên $x$ và $y$ sao cho $85x + 204y = 17$.

Bài tập 17. Các phương trình sau có lời giải là số nguyên hay không:

a) $105x + 56y = 42$;
b) $104x + 65y = 43$?

Bài tập 18. a) Có thể chế tạo một cục pin có điện áp 220 $\theta$ bằng cách mắc nối tiếp các phần tử thuộc hai loại: điện áp $6 \theta$ và $16 \theta$ - và nếu vậy thì nên lấy bao nhiêu phần tử cả hai?

b) Câu hỏi tương tự nếu điện áp của các phần tử $6 \theta$ và $15 \theta$.

Nhiệm vụ 19. Có thể trộn 45 rúp thành các tờ tiền rúp, ba rúp và năm rúp để chỉ có 20 tờ tiền không?

6. Định lý cơ bản của số học

Để chứng minh định lý chính, chúng ta sẽ thực hiện thêm một bước nữa - chúng ta sẽ chứng minh bổ đề.

Bổ đề 3. Nếu tích ab chia hết cho c và b và c nguyên tố cùng nhau thì a chia hết cho c.

Thật vậy, vì các số nguyên $x$ và $y$ nên $1 = bx + cy$. Nhân cả hai vế của đẳng thức với $a$, chúng ta thu được $a = abx + acy$. Vì ab chia hết cho $c$, nên $abx$ và tất nhiên, acy chia hết cho $c$, có nghĩa là tổng $a$ của chúng cũng chia hết cho $c$.

Bổ đề 3 rất thường được sử dụng cho lời giải bài toán, và đôi khi khá “không thể nhận ra”. Ví dụ: chúng tôi đã dựa vào nó trong đoạn trước khi rút ra các công thức cho tất cả các phương trình lời giải $119x + 13y = 1$ (ở đó chúng tôi thấy dạng tương ứng được in nghiêng).

Bài 20. Chứng minh rằng nếu số $a$ chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau $b$ và $c$ thì $a$ chia hết cho $bc$.

Nhiệm vụ 21. Câu nào sau đây đúng:

a) nếu $ab$ chia hết cho 15 thì ít nhất một trong các thành phần chia hết cho 15;
b) nếu $ab$ chia hết cho 17 thì ít nhất một trong các thành phần chia hết cho 17;
b) nếu $a$ chia hết cho 6 và $b$ chia hết cho 10 thì $ab$ chia hết cho 15;
g) nếu $ab$ chia hết cho 60 và $b$ nguyên tố cùng nhau với 10 thì $a$ chia hết cho 20.

Bây giờ hãy nhớ lại rằng số tự nhiên $p$ được gọi là số nguyên tố nếu nó có số chia bằng nhau $p$ và 1.

36

NHIỆM VỤ

Lời giải bài toán có thể được gửi không muộn hơn một tháng rưỡi sau khi xuất bản số tương ứng của tạp chí tới địa chỉ: 117071, Moscow V-71, Leninsky Prospekt, 15, nhà xuất bản “Nauka”, tòa soạn tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy cho biết lời giải bạn đang gửi bài toán nào; ví dụ: “Sự cố «Kvant», M146, M148.” Ở phần đầu của bức thư, hãy cho biết họ, tên, họ hàng, địa chỉ nhà, cũng như lớp và trường nơi bạn học.

M146.a) Các quân đen và trắng được đặt ở các đỉnh của hình 7 giác đều. Chứng minh rằng có ba mảnh cùng màu nằm ở các đỉnh của một tam giác đều.

6. Tuyên bố tương tự có đúng với hình bát giác không?

c) * Tìm ra phát biểu tương tự cho n-giác thông thường nào là đúng và phát biểu nào không.

A. Romanov

M147. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn sao cho các tiếp tuyến của đường tròn tại A và C cắt nhau trên phần kéo dài của đường chéo BD thì

a) các tiếp tuyến tại các điểm B và D cắt nhau dọc theo đoạn tiếp theo của đường chéo AC;

6. Các đường phân giác của các góc trong A và C của tứ giác cắt nhau trên đường chéo BD (và các góc B và D trên AC).

I. F. Sharyzin

M148. Trình tự $x_0, x_1, x_2, \dots$ được xác định bởi các điều kiện sau: $x_0 = 1, x_1 = \lambda$, với mọi $n > 1$ $(\alpha + \beta)^n x_n = \alpha^n x_n x_0 + \alpha^{n-1} \beta x_{n-1} x_1 + \alpha^{n-2} \beta^2 x_{n-2} x_2 + \dots + \beta^n x_0 x_n$. Ở đây $\lambda, \alpha, \beta$ là số dương. Tìm $x_n$ và tìm ra tại đó $n$ giá trị của $x_n$ sẽ lớn nhất.

A. L. Lopshits

M149. Gọi $O$ là giao điểm các đường chéo của tứ giác ABCD. Chứng minh rằng

a) nếu các tứ giác ABC, BCD, CDA và DAB có chu vi bằng nhau thì ABCD là hình chữ nhật;

6. nếu các tứ giác ABO, BCO, CDO và DAO có chu vi bằng nhau thì ABCD là hình thoi.

N. B. Vasiliev

M150*. Từ các số 1, 2, …, $k$ tạo ra tất cả các tập hợp có thể có $(a_1, a_2, \dots, a_n)$ có độ dài $n$ (dễ dàng nhận thấy có $k^n$ trong số đó). Hai tập hợp con $P$ và $Q$ của các tập hợp đó được chọn (có thể bao gồm cùng một tập hợp trong $P$ và $Q$). Được biết, nếu chúng ta lấy một tập hợp tùy ý $(p_1, p_2, \dots, p_n)$ từ $P$ và một tập hợp tùy ý $(q_1, q_2, \dots, q_n)$ từ $Q$, thì chúng sẽ trùng nhau ít nhất ở một chỗ (tức là, $p_i = q_i$ đối với một số $i$). Khi đó có nhiều nhất $k^{n-1}$ bộ trong $P$ hoặc $Q$.

Chứng minh tuyên bố này

a) cho $k = 2$ và bất kỳ $n$ nào;

b) cho $n = 1, 2, 3$ và bất kỳ $k \geq 2$ nào;

b) cho $k \geq 2$ và $n \geq 1$ tùy ý.

Cố gắng tìm các hạn chế khác về số lượng phần tử trong tập hợp con $P$ và $Q$ liên quan đến các điều kiện đó.

V. B. Alekseev

F158. Một quả tạ nằm ngang rơi từ độ cao $h$ và được nhấc ra bằng một đầu của nó đặt trên bàn

39

Hãy xem xét sự khác biệt
$$f_1(x) - f_2(x) = f_3(x).$$
(1)

Lưu ý rằng $p_1 - p_2 \neq 0$, vì nếu $p_1 - p_2 = 0$ thì $R = (q_1 - q_2)^2 \geq 0$, điều này mâu thuẫn với các điều kiện. Do đó, phương trình $f_3(x) = 0$ có nghiệm $\gamma = -\frac{q_1 - q_2}{p_1 - p_2}$, và tất nhiên, $f_3(x)$ có thể được viết như sau:
$$f_3(x) = (p_1 - p_2)(x - \gamma).$$
(2)

Hơn nữa, như sau từ (1),
$$f_1(\gamma) = f_2(\gamma).$$
(3)

Bây giờ tam thức bình phương $f_2(x)$ (nhân với hệ số $(p_1 - p_2)^2$ “chia cho số dư” cho $f_3(x)$, tức là ta viết đẳng thức
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(x) = f_3(x) g(x) + R.$$

Không phải ngẫu nhiên mà chúng ta sử dụng cùng một chữ cái $R$: phần dư bằng tên của biểu thức $R$ cho trong điều kiện bài toán. Thật sự,
$$(p_1 - p_2)^2 (x^2 + p_2x + q_2) = [(p_1 - p_2)x + (q_1 - q_2)][(p_1 - p_2)x + (p_1 - p_2)p_2 - (q_1 - q_2)] + (q_1 - q_2)^2 + (p_1 - p_2)(p_1q_2 - p_2q_1).$$

Thay $\gamma$ vào (4), chúng ta thu được (có tính đến $f_3(\gamma) = 0$):
$$(p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0.$$

Pozny $f_1(\gamma) = f_2(\gamma) < 0$. Do đó (theo tính chất (1)) cả hai phương trình đều có hai nghiệm thực. Hãy để chúng tôi biểu thị sự tương ứng của họ bằng $\alpha_1, \beta_1$ và $\alpha_2, \beta_2$. Sau đó
$$f_2(x) = (x - \alpha_2)(x - \beta_2).$$
(6)

Bây giờ, sử dụng tuần tự (1), (2), (6) và (5), chúng tôi nhận được:
$$f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) = f_3(\alpha_2) f_3(\beta_2) = (p_1 - p_2)^2 (\alpha_2 - \gamma)(\beta_2 - \gamma) = (p_1 - p_2)^2 f_2(\gamma) = R < 0,$$
(7)

do đó (theo tính chất (2)) các nghiệm của phương trình giao nhau.

Bằng cách sử dụng biểu đồ, kết quả bài toán và sự tương ứng chính trong lời giải (5) của chúng tôi có thể được giải thích bằng hai từ (Hình 2). Nền tảng đại số của lời giải của chúng tôi sâu sắc hơn.

Từ lời giải của chúng tôi và từ Hình 2, rõ ràng là mô hình $R = 0$ tương tự khi tam thức bậc hai $f_1$ và $f_2$ có một nghiệm chung (hoặc trùng nhau). Lời vu khống này có thể được sử dụng trong các bài toán thuộc loại này: các số $\lambda$ và $\mu$ phải thỏa mãn những điều kiện nào để phương trình $x^2 + \lambda x - 1 = 0$ và $x^2 + \mu x - \lambda x + \mu = 0$ có nghiệm? Chỉ cần thay thế các giá trị $p_1 = \lambda$, $q_1 = -1$, $p_2 = \mu - \lambda$, $q_2 = \mu$ vào biểu thức $R$ là đủ và điều kiện bắt buộc đã sẵn sàng:
$$(\mu + 1)^2 + (2\lambda - \mu)(\mu - \lambda + \mu\lambda) = 0.$$

Chứng tỏ rằng với hai đa thức có bậc tùy ý
$$f_1(x) = a_1x^n + b_1x^{n-1} + \dots + c_1,$$
$$f_2(x) = a_2x^m + b_2x^{m-1} + \dots + c_2$$

có thể viết đa thức $R$ trong $a_1, a_2, b_1, b_2, \dots, c_1, c_2$ sao cho điều kiện $R = 0$ được thỏa mãn khi $f_1$ và $f_2$ có ước chung (đa thức trong $x$ bậc 1 trở lên). $R$ được gọi là kết quả của đa thức $f_1$ và $f_2$.

Trong khóa học đại số cao hơn, một biểu diễn ngắn gọn của kết quả được đưa ra dưới dạng “định thức” bao gồm các hệ số $f_1$ và $f_2$.

Khái niệm kết quả trở nên đặc biệt tùy tiện khi $f_1$ và $f_2$ được phân tích thành hệ số tuyến tính:
$$f_1 = a_1(x - \alpha_1)(x - \beta_1) \dots (x - \gamma_1),$$
$$f_2 = a_2(x - \alpha_2)(x - \beta_2) \dots (x - \gamma_2)$$

40

(điều này luôn đúng với một tập hợp các số phức, bởi vì bất kỳ đa thức nào ở đó đều có nghiệm). Khi đó, như có thể chứng minh,

$$R = R(f_1, f_2) = a_1^m a_2^n (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2) \dots (\gamma_1 - \gamma_2),$$

(8)

trong đó sản phẩm được lấy trên tất cả các tham số $f_1$ và $f_2$ (nghĩa là nó có các thành phần $mn$). Kiểm tra xem có $R = (\alpha_1 - \alpha_2)(\beta_1 - \alpha_2)(\alpha_1 - \beta_2)(\alpha_2 - \beta_2)$ trong bài toán của chúng tôi hay không và nghĩ về cách sử dụng biểu thức $R$ này thông qua các nghiệm (có thể là phức!) của tam thức vuông để giải bài toán theo cách khác. Từ đẳng thức (8) suy ra đẳng thức sau, mà chúng ta đã gặp trong trường hợp một phần:

$$R = a_1^m f_2(\alpha_1) f_2(\beta_1) \dots f_2(\gamma_1) =$$

$$= (-1)^{mn} a_2^n f_1(\alpha_2) f_1(\beta_2) \dots f_1(\gamma_2).$$

Thuộc tính chính của kết quả, có tính đến các phức nghiệm, có thể được xây dựng như sau: $R = 0$ modda và molko modda, koeda $f_1$ và $f_2$ có ​​một gốc chung.

M107

a) Cho một đa giác lồi $A_1A_2 \dots A_n$ (Hình 3). Ở bên $A_1A_2$ điểm $B_1$ và $D_2$ được lấy, ở bên $A_2A_3$ - điểm $B_2$ và $D_3$, … ở bên $A_nA_1$ điểm $B_n$ và $D_1$ sao cho nếu chúng ta dựng hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, …, $A_nB_nC_nD_n$ thì các đường $A_1C_1$, $A_2C_2$, …, $A_nC_n$ sẽ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng

$$A_1B_1 \cdot A_2B_2 \dots \cdot A_nB_n =$$

$$= A_1D_1 \cdot A_2D_2 \dots \cdot A_nD_n.$$

b) Chứng minh rằng mệnh đề ngược lại cũng đúng cho tam giác: chọn các điểm $B_1$ và $D_2$ ở cạnh trống $A_1A_2$, chọn các điểm $B_2$ và $D_3$ ở cạnh $A_2A_3$, các điểm $B_3$ và $D_1$ ở cạnh $A_3A_1$ sao cho $A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot A_3B_3 = A_1D_1 \cdot A_2D_2 \cdot A_3D_3$; khi đó, nếu chúng ta dựng các hình bình hành $A_1B_1C_1D_1$, $A_2B_2C_2D_2$, $A_3B_3C_3D_3$ thì các đường thẳng $A_1C_1$, $A_2C_2$ và $A_3C_3$ sẽ cắt nhau tại một điểm.

a) Gọi $O$ là giao điểm. Viết đẳng thức cần chứng minh như sau (chuyển tất cả các thành phần sang mẫu số, gạch chéo $A_1D_1$ ở cuối):

$$\frac{A_1B_1 \cdot A_2B_2 \cdot \dots \cdot A_nB_n}{A_2D_2 \cdot A_3D_3 \cdot \dots \cdot A_nD_n} = 1.$$

Bây giờ chúng ta lưu ý rằng tỷ số của các đoạn $A_1B_1/D_2A_2$, $A_2B_2/D_3A_3$, …, $A_nB_n/D_1A_1$ lần lượt là tỷ số diện tích của các hình tam giác (chúng ta ký hiệu diện tích của tam giác $MNL$ như sau: $S(MNL))$

$$\frac{S(A_1B_1O)}{S(D_2A_2O)}, \frac{S(A_2B_2O)}{S(D_3A_3O)}, \dots, \frac{S(A_nB_nO)}{S(D_1A_1O)},$$

vì vậy đẳng thức chúng ta cần có thể được viết như thế này:

$$\frac{S(A_1B_1O) \cdot S(A_2B_2O) \cdot \dots \cdot S(A_nB_nO)}{S(A_2D_2O) \cdot S(B_3D_3O) \cdot \dots \cdot S(B_nD_nO) \cdot S(A_1D_1O)} = 1;$$

42

giữa các điểm $A$ và $C$ và giữa các điểm $C$ và $B$. Sau đó, bằng cách giải hệ sáu phương trình với sáu ẩn số, có thể tìm thấy các điện trở $r_1$, $r_2$ và $r_3$.

Tất nhiên, phương pháp này không thể được coi là thành công, đặc biệt là vì không có độc giả nào gửi cho chúng tôi lời giải này thành công trong việc giải hệ phương trình này ở dạng tổng quát. Người tham gia vòng cuối cùng của Olympic toàn Liên minh do bài toán này đưa ra cũng không giải được.

F124

Ánh sáng từ nguồn $S$ truyền tới màn sẽ truyền qua một khối thủy tinh đứng yên có cạnh $l$ (Hình 11). Ánh sáng tới màn hình nhanh hơn bao nhiêu nếu khối lập phương được di chuyển với tốc độ $v$? Tốc độ ánh sáng trong không khí là $c$, chiết suất của ống khói là $n$ ($v \ll c$, $n \gg 1$).

Tốc độ ánh sáng trong thủy tinh là $c' = \frac{c}{n}$. Ánh sáng truyền qua khối thủy tinh theo thời gian $t = \frac{l}{c'} = \frac{\ln c}{c}$. Trong thời gian này khối lập phương di chuyển một khoảng cách $x = vt = \frac{v \ln c}{c}$. Đường đi của ánh sáng trong không khí giảm đi khoảng cách này so với trường hợp khối lập phương đứng yên. Điều này có nghĩa là thời gian để ánh sáng tới màn hình giảm đi $\Delta t = \frac{x}{c} = \frac{v \ln c}{c^2}$.

Một số độc giả đã đưa ra lời giải nghiêm ngặt hơn cho bài toán này, có tính đến các hiệu ứng liên quan đến thuyết tương đối. Chúng tôi sẽ không đi sâu vào chi tiết lời giải này. Chúng ta chỉ lưu ý rằng khi tính đến “các hiệu ứng tương đối tính”, tốc độ ánh sáng trong một khối thủy tinh chuyển động phải được coi không phải bằng $c' = \frac{c}{n}$ mà bằng $c'' = \frac{c' + v}{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{(c + nv)c}{nc - v}$.

Đồng thời, độ dài của khối lập phương trong hệ tọa độ cố định bằng $l$ và $l' = l \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$. Do đó, cần phải tính đến không chỉ sự giảm đường đi của ánh sáng trong không khí do chuyển động của khối lập phương mà còn phải tính đến sự giảm đường đi của ánh sáng trong thủy tinh.

F125

Có nước đựng trong một hình trụ có pít-tông, bên trong lúc đầu có một khoang có thể tích $V$. Áp suất khí trong khoang không đáng kể. Pít-tông tác dụng áp suất không đổi $p$ lên cơ thể. Nước thu được động năng bao nhiêu khi lỗ rỗng biến mất? Vận tốc ban đầu của nước bằng không. Lực hấp dẫn có thể được bỏ qua.

Pít-tông chịu tác dụng của một lực $F = pS$, trong đó $S$ là diện tích của pít-tông. Công do piston thực hiện bằng tích của lực này và độ dịch chuyển của piston $x$. Nhưng chuyển động của piston có liên quan đến sự thay đổi thể tích khí trong xi lanh: $x = \frac{V}{S}$. Đó là lý do tại sao

$$A = Fx = pS \frac{V}{S} = pV.$$

Công này bằng với độ biến thiên động năng của nước. Kết quả tương tự có thể thu được từ các thông báo kích thước. Từ hai đại lượng $p$ và $V$ người ta có thể tạo thành một tổ hợp duy nhất có chiều năng lượng $pV$.

F126

Ước tính lực tối đa sẽ được biểu thị bằng đường kính gắn với các mặt phẳng bao phủ “bán cầu Magdedburg” (bán cầu) có bán kính $R$. Hai bán cầu bị kéo căng theo hướng ngược nhau bởi lực $F$. Áp suất khí quyển là 1 amp.

Mỗi mặt phẳng ở trạng thái cân bằng do ba lực tác dụng lên nó: $T$ tác dụng từ đường kính, lực $F_0 = p_0S$ của áp suất khí quyển và phản lực của bán cầu (Hình 12). Vì vào thời điểm máy bay rời khỏi