Kvant 1972, số 12 · Trang

KEANT
12
THÁNG 12
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kioin
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:

L. A. Artsimovich, M. I. Bashmkov, S. T. Belyaev, V. G. Boltyansky, I. N. Bronshtein, N. B. Vasiliev, I. F. Ginzburg, Yu. N. Efremov, V. G. Zubov, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, A. I. Klimanov (nghệ sĩ bậc thầy), S. M. Kozel, V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập), L. G. Makar-Limanov, A. I. Markushevich, M. D. Millionshchikov, N. A. Patrikeeva, I. S. Petrkov, N. H. Rozov, A. P. Savin, I. Sh. Slobodetsky, M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập), Y. A. Smorodinsky, V. A. Fabrikant, A. T. Tsvetkov, M. P. Shaskolskaya, S. I. Shvartsburg, A. I. Shirshov.

Đường cong mô tả trong hình bên trái màu đỏ được gọi là trakti 稼oi. Một chiếc xe lăn dọc theo một đường cong như vậy nếu nó ở đúng một chỗ và đứa trẻ kéo nó sẽ đi dọc theo mép vỉa hè.

Đây là định nghĩa chính xác của nó:
Đường dẫn là một đường cong có đặc tính là đoạn tiếp tuyến từ điểm tiếp tuyến đến giao điểm với một đường thẳng cho trước $X'X$ (hướng) có độ dài không đổi, độc lập với điểm tiếp tuyến.

Hình thể thu được bằng cách biểu thị đường dẫn 稼ы so với đường thẳng $X'X$ được gọi là hình cầu giả (chúng ta thấy nó ở trang đầu tiên của trang bìa). Như nhà hình học Igalian E. Beltrami thành lập vào năm 1863, giả cầu có một đặc tính đáng chú ý: hình học lobachevsky được đáp ứng trên đó. Bạn có thể đọc về N. N. Lobachevsky và khám phá của ông về hình học phi Euclid ở phần trạng thái ở trang 6.

Trưởng ban biên tập L. V. Chernova. Nghệ sĩ trưởng A. I. Klimanov.
Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarova. Người hiệu đính T. S. Weisberg
Nhà xuất bản “Nauka”, Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học
117071, Mátxcơva, V-71, Đại lộ Leninsky, 15, «Kvant». Điện thoại. 234-08-11, 234-07-93

Đăng ký in ngày 15/IX 1972. Ký in ngày 27/X 1972. Giấy 70×100¹/16
Vật lý. lò nướng l. 5 điều kiện lò nướng l. 6.5 Biên tập học thuật. tôi. 7.17 Lưu hành 313485 bản.
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 1654
Nhà máy in Chekhov của Glavpoligraprom của Ủy ban Nhà nước
Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô về Xuất bản, In ấn và Kinh doanh Sách
Chekhov, khu vực Moscow

BẢN BẢN KHÔNG ĐƯỢC TRẢ LẠI

THÀNH LẬP
TRONG
1970

12
THÁNG 12
1972

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN • KHOA HỌC→
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:

4 Chiến thắng của những ý tưởng tuyệt vời
6 Người sáng tạo ra hình học mới B. A. Rosenfeld,
A. Vâng. Khalamizer
16 Với Định luật Hooke đối với Quần đảo New Hebrides A. A. Dozorov
19 Nhà triển lãm S. D. Osyatinsky,
L. Z. Rumshisky
26 Với một mét trên quả địa cầu A. B. Schwarzburg

VẤN ĐỀ “Lượng tử”
34 Bài toán M176—M180; F188—F192
36 Lời giải bài toán M135—M140; F153—F158

ỨNG DỤNG THỰC HÀNH
49 Bất đẳng thức vô tỉ E. M. Gertsunov
51 Về một số phương trình vô tỉ V. M. Rosentuller
53 Thủy tĩnh học L. G. Aslamazov

ĐÁNH GIÁ, THƯ VIỆN
61 50 giải trí bài toán A. N. Vilenkin,
L. G. Limanov
62 Câu chuyện về những thí nghiệm vĩ đại của I. M. Zorich

THÔNG TIN
65 Olympic Toán học III MESI I. G. Venetsky,
Yu. I. Sorkin
66 MIPT Olympiad-72 A. P. Savin
68 Họ cho chúng tôi biết V.N. Berezin,
M. L. Smolyansky

GÓC SƯU TẬP
70 Con tem dành riêng cho lễ kỷ niệm 50 năm thành lập Liên Xô A. V. Altykis
71 Người sáng tạo ra hình học phi Euclide A. V. Altykis

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN, GIẢI PHÁP
76 In năm 1972
79 Bảng câu hỏi

4

CHIẾN THẮNG CỦA Ý TƯỞNG TUYỆT VỜI

Hầu hết công dân của Tổ quốc vĩ đại của chúng ta, đặc biệt là những người trẻ tuổi, từ nhỏ đã quen với việc họ sinh ra và sống ở Liên Xô.

Thỉnh thoảng chúng tôi phát âm tên đầy đủ của đất nước mình, ra đời cách đây 50 năm: Liên bang Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết. Không phải lúc nào chúng ta cũng nghĩ đến ý nghĩa sâu sắc của cái tên này cũng như sự vĩ đại của chính ý tưởng thành lập Liên minh này. Trong khi đó, ý tưởng thành lập Liên Xô là một ý tưởng tuyệt vời.

Tác giả của ý tưởng này là Vladimir Ilyich Lenin.

Độc giả «Kvant» biết rằng trong lĩnh vực khoa học vật lý và toán học, những ý tưởng vĩ đại là những ý tưởng làm thay đổi nền tảng của khoa học (ví dụ, lý thuyết lượng tử, lý thuyết tương đối). Chúng ta có thể nói gì về ý tưởng khoa học cần thiết để biến đổi thế giới?

Sự tồn tại của nó đã dẫn đến hồng y lời giải một trong những vấn đề nóng bỏng nhất thế giới, được gọi là vấn đề quốc gia.

Trong nhiều thế kỷ, thế giới đã bị chia cắt, thế giới tư bản và bóng bàn bị chia cắt bởi những mâu thuẫn dân tộc chủ nghĩa. Một phân tích khoa học về vấn đề này được thực hiện bởi V.I. Lenin, trên cơ sở kinh nghiệm thế giới về phát triển xã hội và kinh nghiệm của Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại, đã chỉ ra rằng có những nguyên tắc cơ bản sâu sắc về sự thù địch giữa các netniks quốc gia.

Bất hòa quốc gia là sản phẩm của một hệ thống xã hội phản động, có thể là sự phân chia bình đẳng, hệ thống liên bang hoặc tư bản chủ nghĩa.

Hệ thống tư bản chủ nghĩa đóng vai trò là nơi sinh sản cho sự phát triển của các “lý thuyết” phản động cực đoan về chủ nghĩa ngoại lệ dân tộc hoặc chủng tộc. Chính những “lý thuyết” này đã được chủ nghĩa phát xít Đức áp dụng.

Lý thuyết của Lenin về vấn đề dân tộc, trái ngược với hệ tư tưởng chủ nghĩa dân tộc tư sản, xuất phát từ thực tế là không có sự độc quyền về dân tộc hay chủng tộc. Nhà vật lý vĩ đại của thế kỷ 20, người tạo ra lý thuyết cấu trúc nguyên tử, Niels Bohr, đã quan tâm sâu sắc đến sự vắng mặt của độc quyền quốc gia với ví dụ sau. N. Bohr lập luận, nếu một đứa trẻ Nga được bú mẹ ảnh hưởng đến việc thường trú ở Pháp, thì khi lớn lên ở đó, nó sẽ không khác biệt về ngoại hình, thói quen và cách cư xử tinh thần với một người Pháp bản địa.

Tương tự như vậy, một đứa trẻ Pháp lớn lên ở Nga sẽ không khác gì một đứa trẻ người Nga bản xứ.

Quốc tịch không liên quan gì đến nó - mọi thứ đều được quyết định bởi môi trường xã hội nơi một người được nuôi dưỡng.

Lênin kiên quyết bảo vệ tư tưởng phân phối bình đẳng, đồng thời thể hiện việc thực hiện phương pháp bình đẳng này trong xã hội xã hội chủ nghĩa.

Sự thành lập Liên bang Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết là một vấn đề thực tế của ý tưởng này.

5

Kinh nghiệm phổ biến về sự tồn tại và phát triển của Liên Xô là một thắng lợi trong học thuyết của Lênin về vấn đề dân tộc.

Một trong những minh họa nổi bật nhất về sự thành công của vấn đề quốc gia lời giải có thể là sự phát triển của khoa học trong các lĩnh vực tài nguyên của Liên Xô.

Thay cho vùng ngoại ô liên bang lạc hậu và được tiếp nhận của nước Nga Sa hoàng, nơi phần lớn dân số mù chữ, nhiều thành phố đã mọc lên và trở thành những trung tâm khoa học lớn. Tất cả các trung tâm tài nguyên của liên minh hiện nay đều có trung tâm khoa học. Nhiều viện khoa học có lò phản ứng hạt nhân để sử dụng tài nguyên. Một trong những lò phản ứng nguyên tử tốt nhất thế giới được thiết kế cho nghiên cứu vật lý được xây dựng tại SSR của Gruzia. Một trong những máy gia tốc điện tử tốt nhất trên thế giới được đặt tại Armenia.

Nghiên cứu quan trọng đối với khoa học và nền kinh tế quốc gia đang được thực hiện tại các viện vật lý của Kazakhstan và Uzbekistan.

Tất cả các cơ quan tài nguyên liên minh đều có các học viện khoa học tài nguyên, tập hợp các nhà khoa học nổi tiếng.

Một số lực lượng tài nguyên đồng minh đã tạo ra chế độ nô lệ thế giới cho chính họ. Nhiều công đoàn quốc tế đã học được
do các nhà khoa học Soetsk phụ trách. Theo Nyantono, tất cả những điều này dẫn đến thực tế là khoa học Liên Xô nói chung có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của khoa học trên toàn thế giới.

Ví dụ, bằng chứng cho điều này là thực tế ngày càng có nhiều tạp chí khoa học của Liên Xô được dịch sang tiếng nước ngoài.

Độc giả «Kvant» biết rằng việc tối ưu hóa toàn Liên minh đối với học sinh đang diễn ra tại các thành phố của một số trung tâm nguồn lực liên minh. Một phần của những tối ưu hóa này được thực hiện dựa trên kinh nghiệm của chính chúng tôi liên quan đến các sản phẩm của chúng tôi thuộc các quốc tịch khác nhau.

Chúng ta đã quen với những tình huống như vậy và chúng ta coi đó là điều hiển nhiên.

Nhưng chúng ta phải nhớ rằng con đường đi đến cái “nên” này không hề dễ dàng và đơn giản. Trên con đường này, nhân dân Liên Xô và Đảng Cộng sản đã phải đối mặt với những khó khăn không nhỏ gắn liền với ổn định kinh tế, văn hóa, đấu tranh chống lại âm mưu của phe phản cách mạng lợi dụng di sản thù địch dân tộc trước đây cho mục đích riêng của mình. Và trong cuộc đấu tranh này, nhân dân Liên Xô đã giành thắng lợi.

Giờ đây, kinh nghiệm của Liên Xô trong việc tạo ra một nhà nước xã hội đa quốc gia đã nhận được sự công nhận của khoa học và là tấm gương cho những người đấu tranh cho chủ nghĩa xã hội và giải phóng dân tộc trên khắp thế giới.

Đó là lý do tại sao lễ kỷ niệm 50 năm thành lập Liên Xô sẽ không chỉ được nhân dân nước ta mà còn của toàn thể nhân loại tiến bộ trên thế giới thổi phồng lên.

7

B. A. Rosenfeld,
A. Vâng. Khalamizer

Nhà khoa học người Anh Vilym Clifford nói về Copernicus và Lobachevsky: “Mỗi người trong số họ đã tạo ra một cuộc cách mạng về ý tưởng khoa học, và cả hai cuộc cách mạng này đều có cùng một ý nghĩa”. Đây là những cuộc cách mạng trong sự hiểu biết của chúng ta về không gian.

Hình học phi Euclid, được khám phá bởi Nikolai Ivanovich Lobachevsky, đã giáng đòn đầu tiên vào những ý tưởng lâu đời về tính bất khả xâm phạm của các định luật hình học do Euclid thiết lập. Sau đó lại xuất hiện một cú sốc mới: thí nghiệm nổi tiếng của Michelson về việc xác định tốc độ ánh sáng. Và cuối cùng, thuyết tương đối của Einstein cuối cùng đã phá hủy ý tưởng của các nhà khoa học về tính tuyệt đối của không gian. Einstein nói, không có không gian tuyệt đối giống nhau cho tất cả mọi người, cũng như không có thời gian tuyệt đối giống nhau cho tất cả mọi người.

Và cũng giống như hệ mặt trời Copernicus đã công bố câu đố về sự hình thành thế giới, khiến các nhà thiên văn học đau đầu, thì hình học lời giải của Lobachevsky cũng là những vấn đề mà các nhà hình học đang bận rộn.

— Bài toánGiáo sư A.V. Vasiliev, đại diện của Hội Vật lý và Toán học Copernican. - Mệt mỏi vì chuyện này bài toán, chúng tôi cần tính tổng quát của Gauss và Lobachevsky, chúng tôi cần tính xác thực và sự chăm chỉ của người đồng hương nổi tiếng của chúng tôi. Đối với chúng tôi luôn có một chủ đề về lòng tự hào yêu nước cao độ, đó là bài toán quyết định một nhà khoa học sống ở Kazan, xa trung tâm của đời sống trí tuệ.

Nhân kỷ niệm 180 năm ngày sinh N. I. Lobachevsky

Vào ngày 1 tháng 12 năm 1792, một đứa con trai được sinh ra cho một quan chức cấp dưới của Nizhny Novgorod, Ivan Maksimovich Lobachevsky, “người được đặt tên là Nicholas trong lễ rửa tội thánh thiện”. Mười năm sau, Nikolai, cùng với các anh trai Alexander và Alexei, được ghi danh vào nhà thi đấu Kazan để bảo trì raznochinsky của chính phủ.

Khi còn ở nhà thi đấu, người ta đã thể hiện rõ khả năng phi thường của Nikolai về khoa học nói chung, toán học và vật lý nói riêng. Cô giáo trẻ G.I. Kartashevsky đóng một vai trò quan trọng trong việc phát triển tài năng của Lobachevsky.

Từ năm 1807, Nikolai là sinh viên của Đại học Kazan. Nghề này thật đáng ngạc nhiên, anh ấy dễ dàng tiếp nhận khoa học, trật tự của chúng, khả năng của một cậu bé mười lăm tuổi, suy nghĩ ban đầu của cậu ấy. Nikolai trở thành “niềm tự hào của trường đại học”. Nhưng cậu bé vẫn là một cậu bé: hoặc cậu phóng tên lửa, hoặc cưỡi một con bò qua khu vườn thành phố, hoặc, trong một lần táo bạo, ợ hơi vì giáo sư Nikolysky thừa cân và khó thở. Nó “có dấu hiệu cháy bỏng.” Bài thuyết trình về máy chủ này được thảo luận tại hội đồng trường đại học, các Volvonovets tập hợp riêng, Giáo sư Littrov và Bartels cởi áo khoác cho chàng trai trẻ tài năng ra khỏi áo khoác của người lính.

Năm 1811, sau khi tốt nghiệp đại học một cách xuất sắc, lobachevsky trở thành thạc sĩ *), từ năm 1814 ông là phụ tá *), và từ năm 1816 ông là giáo sư.

*) Thạc sĩ, trợ giảng - bằng cấp cơ sở tại các trường đại học Nga (đến năm 1863).

8

Tháng 11 năm 1820, ông được bầu làm trưởng khoa Vật lý và Toán học, và năm 1827 - hiệu trưởng trường đại học. Lobachevsky vẫn ở vị trí này trong gần 20 năm.

Trong nhiều năm, Lobachevsky phụ trách thư viện trường đại học, tuyển chọn và mua tài liệu khoa học và giáo dục. Từ năm 1822, ông là thành viên và từ năm 1825 - chủ tịch ủy ban xây dựng. Không hài lòng với việc mời những kiến ​​trúc sư giỏi nhất thời bấy giờ, bản thân lobachevsky đã nghiên cứu kiến ​​trúc một cách nghiêm túc. Dưới sự lãnh đạo của ông, nhiều tòa nhà giáo dục, thư viện, đài quan sát thiên văn, phòng khám và nhà in đã được xây dựng và tái thiết.

Trong thời điểm khó khăn, lobachevsky lên nắm quyền lãnh đạo trường đại học. Nhiều giáo sư đã đảm nhận vị trí của một đồng nghiệp phục sinh của thế giới.

• … Từ thánh kinh tiết lộ rằng ánh sáng của mặt trời là sự phản chiếu khuôn mặt của Chúa. Nhưng nó lây lan như thế nào, qua sự phấn khích hay bằng cách nào khác, Kinh Thánh không nói rõ ràng. Sẽ phù hợp hơn với Kinh thánh khi cho rằng ánh sáng là một orran, qua đó một người sống trong một thế giới không thể tiếp cận sẽ gửi linh hồn của mình vào thế giới cận âm… - được viết trong sổ tay của một trong những giáo sư.

Các bài giảng đã được trao cho học sinh bằng cách sử dụng cuốn sổ này!

“Cạnh huyền, bởi cối xay của Chúa,” Giáo sư Nikolsky bắt đầu bài giảng về hình học. Đó là cách các học sinh phát âm nó: “Cạnh huyền của Millia thần thánh”.

Người được ủy thác gần đây của khu giáo dục, người theo chủ nghĩa ngu dân M. L. Magnitsky, người đã cố gắng (nhưng may mắn thay, đã thất bại) đạt được việc đóng cửa trường đại học, đã đưa ra một chỉ thị đặc biệt buộc vị trí của ông phải đối phó với bất kỳ “sự nổi loạn” nào; 9 giáo sư hàng đầu bị trục xuất

Lobachevsky tin rằng các trường học và đại học nên cung cấp cho giới trẻ kiến ​​thức, những nguyên tắc đạo đức nhất định và khiến họ trở thành những thành viên hữu ích và có giá trị của xã hội. Một năm sau khi nhậm chức, vào ngày 17 tháng 7 năm 1828, Hiệu trưởng Lobachevsky có bài phát biểu quan trọng “Về những chủ đề quan trọng nhất của giáo dục”.

“Chúng ta đã bước vào giai đoạn hoàn thiện này, tuổi trẻ sẽ không chấp nhận những lời nói suông, không hề suy nghĩ. Ở đây họ dạy những gì thực sự tồn tại chứ không phải những gì do đầu óc nhàn rỗi phát minh ra… Hãy hỏi thiên nhiên! Cô ấy giữ mọi thứ đúng sự thật và sẽ trả lời các câu hỏi của bạn một cách nhất quán và thỏa đáng.

Hiệu trưởng mới đã tìm cách loại bỏ trường đại học của những giáo viên kém năng lực, những người coi ánh sáng mặt trời là sự phản chiếu khuôn mặt của Chúa. Chẳng bao lâu sau, một ấn phẩm in đã được thành lập - “Ghi chép học thuật của Đại học Kazan”, ấn phẩm này vẫn được xuất bản cho đến ngày nay. Đại học Kazan đang trở thành một tổ chức giáo dục hạng nhất.

Cơ quan lưu trữ của trường đại học đã lưu giữ lời giải L. N. Tolstoy về việc cho phép ông tham gia kỳ thi tuyển sinh. Các nhà hóa học nổi tiếng Zinin và Butlerov đã học ở đây. Ilya Nikolaevich Ulyanov tốt nghiệp Đại học. Và vào cuối thế kỷ 19, Vladimir Ilyich Ulyanov-Lenin trở thành sinh viên của Đại học Kazan.

Vào mùa hè nóng nực năm 1830, dịch tả đang tiến đến Kazan. Ngay khi tôi biết chuyện, nhiều cư dân đã rời khỏi thành phố; những người vẫn dự trữ lương thực và cố gắng không ra ngoài. Nhưng mối nguy hiểm đã cận kề.

Những trường hợp bệnh tật đầu tiên đã thuyết phục Lobachevsky. Anh ta ra lệnh:

• cả hai cổng đều bị khóa;
• dọc theo hàng rào - an ninh;
• cho vào - chỉ khi có sự cho phép của anh ta và sau khi khử trùng bằng tiếng nổ;
• nhà hóa học - chuẩn bị bông và vôi bông.

9

Sau đó lobachevsky đi sang con phố tiếp theo để gặp thống đốc, Nam tước Pirkh.

• Cái gì, dịch tả? - Nam tước ngạc nhiên. - Từ Simbirsk à? Nhưng chúng tôi đã ép nó, ông Lobachevsky, từ trên cao, từ Nizhny Novgorod.

“Thưa ngài, tôi cho rằng cần phải đánh giá ngay các cầu tàu, dựng rào chắn, cô lập thành phố…” Và lobachevsky trình bày trước thống đốc một kế hoạch chi tiết để chống lại mối nguy hiểm sắp xảy ra.

• Cậu đang nói về cái gì vậy? - Pirkh không nghe đến cùng. - Bạn có muốn một cuộc bạo loạn dịch tả? Cô lập thành phố? Và ai sẽ thu thuế? Và ai sẽ tuyển quân, ai sẽ chiến đấu?

Lobachevsky chỉ có thể nói lời tạm biệt.

Họp khẩn cấp, hội đồng trường chuyển giao toàn bộ quyền lực cho hiệu trưởng. Lobachevsky tuyên bố cách ly. Tất cả sinh viên, giáo viên và nhân viên đã chuyển đến lãnh thổ của trường đại học. Tuy nhiên, 12 người đã chết trong bốn ngày đầu tiên. Theo lệnh của hiệu trưởng, các nhóm người chết được tưới bùn bông; Quần áo, chăn ga gối đệm và các đồ dùng cá nhân khác ngay lập tức bị đốt cháy. Vào ngày thứ năm, bệnh tật chấm dứt. Lobachevsky đích thân quan sát việc cung cấp và đập nước. Và mặc dù dịch tả trong thành phố đã quét sạch một phần hoặc một nửa dân số, nhưng trong số 560 người sống trên lãnh thổ của trường đại học, không có ai khác bị thương.

Quyền lực của hiệu trưởng không thay đổi vào tháng 8 năm 1842, khi một trận hỏa hoạn hoành hành ở Kazan. Toàn bộ các khu dân cư trong thành phố bị thiêu rụi, và nhiều tòa nhà chỉ còn lại trong đống lửa. Thư viện trường đại học và đài thiên văn mới xây bốc cháy. Lobachevsky không vắng mặt trong đám cháy; chính ông đã giám sát các nỗ lực giải cứu. Đài quan sát bị cháy rụi nhưng những thiết bị có giá trị vẫn được cứu vớt; thư viện khỏi đám cháy. Tuy nhiên, ngôi nhà của Lobachevsky đã cháy rụi; Căn hộ đại học nơi Nikolai Ivanovich sống cũng bị thiêu rụi; Tài sản và những bản thảo vô giá của Lobachevskys đã bị mất trong trận hỏa hoạn.

Khó có thể đánh giá quá cao sự phục vụ của Lobachevsky đối với Đại học Kazan. Cuộc thảo luận về “những chủ đề quan trọng nhất của giáo dục” của ông hóa ra lại là một đóng góp có giá trị cho khoa học sư phạm. Nhưng sự táo bạo trong phán đoán và tính cách thẳng thắn, độc lập không phù hợp với tất cả mọi người. Sự nghịch ngợm nảy sinh chống lại Lobachevsky.

Năm 1846, Nikolai Ivanovich được bổ nhiệm làm trợ lý ủy thác của khu giáo dục Kazan, và người được ủy thác nhanh chóng trở thành tướng quân Cossack có trình độ học vấn thấp Molostvov, người không hề xấu hổ đã tuyên bố với Bộ trưởng Bộ Giáo dục Công Nosov:

• Trợ lý của tôi hoàn toàn không có việc gì để làm…

Việc bị loại khỏi các hoạt động hành chính và giảng dạy tích cực đã khiến sức mạnh của Lobachevsky sa sút nghiêm trọng. Ở tuổi 55, ông cảm thấy yếu đuối và ốm yếu. Chẳng bao lâu sau, anh ta thậm chí còn mất cả chức vụ trợ lý danh nghĩa của Molostvov và tiền lương của mình. Khó khăn tài chính nảy sinh.

Lobachevsky bắt đầu đổ bệnh: những buổi cầu nguyện toàn thời gian quá mức khi ông còn trẻ đã gây ra hậu quả. Trong những năm cuối đời, Nikolai Ivanovich không thể tự mình hồi phục. Nhưng niềm tin vào tương lai vĩ đại của khám phá không rời bỏ ông: yếu đuối và ốm yếu, hầu như không nhìn thấy gì, ông đã viết di chúc khoa học của mình - “Pan Geometry”, được xuất bản không lâu trước khi ông qua đời.

Ngay từ khi còn trẻ, lobachevsky đã quan tâm đến nền tảng của hình học và phê phán Cơ sở của Euclid. Người ta đặc biệt chú ý đến cái gọi là định đề V:

• Hai đường thẳng bất kỳ khi cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành một góc một bên và có tổng số đo nhỏ hơn hai

10

Cơm. 1.

các đường thẳng nếu đi tiếp thì nhất thiết phải cắt nhau.

Trong nhiều thế kỷ, các nhà hình học đã cố gắng chứng minh tiên đề thứ năm như một định lý. Nhưng mỗi người trong số họ đều ngầm đưa ra một số tính chất “hiển nhiên”:

… Quỹ tích hình học của các điểm trên mặt phẳng cách đều một đường thẳng và nằm về một phía của nó là một đường thẳng, Posidonius tin như vậy (Rome, thế kỷ 1 trước Công nguyên).

… Hai đường thẳng tiến gần nhất thiết phải giao nhau,” Omar Khayyam (Trung Á, thế kỷ 11) nói.

… Với bất kỳ hình nào bạn cũng có thể tạo ra một hình tương tự,” John Valis đã bị thuyết phục (Anh, thế kỷ 17).

Alexis-Claude Clairaut (Pháp, thế kỷ 18) đã xây dựng lý thuyết về các đường thẳng song song dựa trên sự tồn tại của hình chữ nhật; Farkas Boyan (Hungary, cuối thế kỷ 18 - đầu thế kỷ 19) đã chứng minh định đề thứ năm, dựa trên thực tế là có thể vẽ đường tròn đi qua ba điểm bất kỳ không nằm trên cùng một đường thẳng.

Nhưng tất cả những mở rộng này hóa ra tương đương với định đề thứ năm của Euclid hoặc thậm chí là một định đề mạnh hơn: thông qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng nhất định, người ta có thể vẽ trong mặt phẳng của chúng một và chỉ một đường thẳng không cắt đường thẳng đã cho. Và câu lệnh cuối cùng tương đương với

Cơm. 2.

nhưng tổng các góc của bất kỳ tam giác nào cũng là 180°.

Trở lại năm 1823, Lobachevsky chuẩn bị xuất bản khóa học hình học đầu tiên do ông biên soạn. Cố gắng thoát khỏi Euclid, trong nửa đầu cuốn sách, ông đã xây dựng “hình học tuyệt đối” - độc lập với tiên đề về sự song song. Ông tin rằng hình học, trong đó tất cả các trục Euclide đều đúng, ngoại trừ các trục song song, là không mâu thuẫn. Vai trò quan trọng nhất trong kết luận này là do thái độ phê phán của Lobachevsky đối với niềm tin rằng kiến ​​thức hình học của chúng ta là duy nhất: xét cho cùng, tính duy nhất của hệ thống hình học sẽ xuất phát từ niềm tin này.

Một học trò của Euler vĩ đại, viện sĩ Nikolai Ivanovich Fuss, không hiểu hệ thống cách mạng của Lobachevsky và đưa ra đánh giá tiêu cực gay gắt về tác phẩm. Viện sĩ đặc biệt phẫn nộ trước việc … đưa đồng hồ đo làm đơn vị đo chiều dài và chia hình tròn thành 400 độ chứ không phải 360.

“Bộ phận này được phát minh ra trong Cách mạng Pháp,” Fuss viết trong lời giải, “nhưng sự rạng rỡ không được chấp nhận ở bất cứ đâu do những bất tiện hơn nữa.”

Đánh giá này là một lời giới thiệu sai lầm: thiên tài của lobachevsky hóa ra không chỉ đối với Fuss mà còn đối với nhiều bộ óc tài năng thời bấy giờ, và đồng hồ đã chắc chắn giành được quyền công dân.

11

Nhưng lời phê bình tàn khốc về Nikolai Ivanovich Fuss không làm Nikolai Ivanovich Lobachevsky sợ hãi. Anh ấy tiếp tục phát triển ý tưởng của mình và trong những năm tiếp theo, anh ấy thực hiện một bước xuất sắc vì sự đơn giản của nó: anh ấy từ bỏ cách tiếp cận thứ năm, phương pháp đã thống trị tâm trí gần hai nghìn năm và không gây ra bất kỳ nghi ngờ nào giữa những người đi trước hoặc những người cùng thời với anh ấy.

Lobachevsky cho rằng thông qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng, người ta có thể vẽ ít nhất hai đường thẳng trong mặt phẳng của chúng không giao nhau với đường thẳng đã cho $AB$.

Từ giả định thoạt nhìn hoàn toàn ngu ngốc này, Lobachevsky bắt đầu rút ra những kết luận sâu hơn. Và tôi đã không đi đến bất kỳ mâu thuẫn nào! Hơn nữa, ông đã nhận được một hệ thống hình học hài hòa, hợp lý, một tổng thể hoàn chỉnh, mà ông gọi là “hình học tưởng tượng” - bằng cách tương tự với những hình học tối thiểu, mà ông cũng gọi là tưởng tượng; nếu các số tối thiểu là tổng quát nhất, trong đó các định luật số học tổng quát là hợp lệ, thì “hình học ảo” là hệ thống hình học tổng quát nhất trong đó tất cả các tiên đề Euclid đều được thỏa mãn, ngoại trừ tiên đề song song. Và cũng như số thực là trường hợp đặc biệt của tập hợp số phức, hình học truyền thống của Euclid cũng là trường hợp đặc biệt của hệ hình học tổng quát.

“Hình học tưởng tượng” khác biệt đáng kể so với hình học truyền thống của Euclid.

Hãy bắt đầu với thực tế là tổng các góc của một tam giác trong đó luôn nhỏ hơn 180°; rằng tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng nằm trong một nửa mặt phẳng và cách đều một đường thẳng cho trong đó - “cơ sở” - hoàn toàn không phải là một đường thẳng mà là một đường thẳng đặc biệt gọi là đường cách đều; rằng qua ba điểm không nằm trên một đường thẳng, người ta có thể vẽ một đường tròn, một đường cách đều hoặc một đường trung gian giữa chúng - một “horocycle”.

Cơm. 3. Thông qua điểm $C$, nằm bên ngoài đường $AB$, Lobachevsky đề xuất có thể vẽ ít nhất hai đường thẳng $a$ và $b$ không giao nhau với đường $AB$ (để rõ ràng, “các đường thẳng” $a$ và $b$ được hiển thị ở đây dưới dạng loại trừ). Tương tự như vậy, đường thẳng $AB$ và đường thẳng $m$, $n$, $p$ đi qua điểm $C$ không cắt nhau.

Cơm. 4. Tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn hai đường thẳng.

Cơm. 5. Trực giao cách đều trên mọi đường thẳng vuông góc với đáy.

Qua một điểm nằm trong một góc, không phải lúc nào cũng vẽ được đường thẳng cắt hai cạnh của góc đó. Cuối cùng, không có đa giác nào như vậy trong hình học này.

12

Cơm. 6. Tử vi trực giao với bút chì có các đường thẳng song song.

Lobachevsky cũng xem xét hình học của không gian. Bằng cách xoay một vòng tròn, hình cầu và vật cách đều xung quanh các đường thẳng trực giao với chúng, người ta có thể thu được trong trường hợp thứ nhất là một hình cầu, trong trường hợp thứ hai - một quả cầu, trong trường hợp thứ ba - một bề mặt cách đều, tức là quỹ tích hình học của các điểm trong không gian cách đều mặt phẳng. Hóa ra hình học trên mặt cầu trùng với hình học của mặt cầu nhật thực, hình học trên tử quyển trùng với hình học của mặt phẳng nhật thực, và hình học trên mỗi trong số hai khoang của bề mặt cách đều cùng loại với hình học của mặt phẳng lobachevsky.

Lobachevsky tìm thấy các quan hệ lượng giác trong các tam giác phẳng trong hình học mà ông đã khám phá ra. Hơn nữa, ông còn chỉ ra rằng những mối quan hệ này có thể thu được từ các công thức lượng giác cầu.

Hình học Lobachevsky còn có những tính chất khác tương tự như hình học cầu; cụ thể, diện tích của một tam giác trên mặt phẳng Lobachevsky được biểu thị qua các góc của nó (tính bằng radian) theo công thức; trùng với công thức

$$S = r^2 (A + B + C - \pi)$$

đối với hình tam giác hình cầu, nếu chúng ta coi bán kính của hình cầu $r$ là hoàn toàn tối thiểu.

Hình học Euclide có thể được coi là trường hợp giới hạn của hình học cầu hoặc hình học Lobachevsky vì $r$ có xu hướng tiến tới vô cùng. Lobachevsky đặt bản chất tổng quát hơn của hình học mà ông đã khám phá ra với cái tên “Pangeometry” - “hình học phổ quát”, mà ông đặt cho nó trong tác phẩm cuối cùng của mình.

Sau khi thiết lập nền tảng của hình học mới và các quan hệ lượng giác trong các tam giác của hình học này, Lobachevsky đã đưa tọa độ vào hình học này và giải số lượng lớn bài toán của hình học giải tích và bài toán để tính diện tích và thể tích, với sự trợ giúp của nó trước tiên

Cơm. 7. Nếu điểm $A$ nằm phía bên kia của “đường thẳng” song song với hai cạnh của góc thì qua đó không thể kiểm tra được đường thẳng cắt hai cạnh của góc.

tính được một dãy tích phân xác định.

Lobachevsky đang cố gắng thiết lập bằng thực nghiệm hình học nào diễn ra trong thế giới thực - Euclide hay “tưởng tượng”. Để làm điều này, ông đã tính tổng các góc của một tam giác, các đỉnh của nó là hai điểm đối xứng đường kính của quỹ đạo trái đất và một trong những ngôi sao cố định. Nhận thấy rằng độ lệch của các tổng này so với l không vượt quá giới hạn của sai số quan sát, lobachevsky đi đến kết luận rằng hình học của thế giới thực có thể được coi là Euclide, nhưng ông tin rằng độ lệch của tổng các góc của các tam giác so với l có thể được phát hiện khi xem xét các tam giác vũ trụ có kích thước lớn.

Cùng lúc với Lobachevsky, một số nhà toán học khác đã khám phá ra hình học phi Euclide. Ngay cả trong những năm cuối của thế kỷ 18, Gauss đã nảy ra ý tưởng về hình học phi Euclide cùng với SEL, người đã tiếp tục viết ra những câu hỏi này trong nhiều thập kỷ, nhưng không công bố kết quả của mình. Một lát sau, đến hình học của Lobachevsky với SEL, Janos Bolyai. Ông trình bày khám phá của mình trong phần phụ lục của công trình toán học của cha ông, Farkas Bolyai, xuất bản năm 1832. Vì Gauss không công bố khám phá của mình và Bolyai xuất bản nó muộn hơn lobachevsky, nên Lobachevsky được ưu tiên hơn.

13

Vào ngày 23 tháng 2 năm 1826, tại một cuộc họp của khoa khoa học vật lý và toán học của Đại học Kazan, Lobachevsky, 33 tuổi, đã báo cáo về khám phá của mình và yêu cầu giới thiệu tác phẩm viết bằng tiếng Pháp để xuất bản.

Cơm. 8. Trên mỗi bề mặt của một hyperbolon như vậy, hình học lobachevsky được hiện thực hóa nếu khoảng cách $d$ giữa các điểm $A(x_1; y_1, z_1)$ và $B(x_2; y_2; z_2)$ được xác định bởi công thức $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 - (z_2 - z_1)^2$. Một không gian có khoảng cách giữa các điểm được xác định theo cách này được gọi là giả Euclide.

Những người có mặt tại cuộc họp đều không thể hiểu được công việc; Một ủy ban gồm ba chuyên gia đã được chỉ định để xem xét chi tiết bài luận được gửi. Tuy nhiên, cả cộng sự Nikolai Dmitrievich Brashman, sau này là một nhà khoa học lỗi lạc, một trong những người sáng lập Hiệp hội Toán học Moscow, cũng như giáo sư Aleksandr Ykovlevich Kupfer, cũng như bạn cũ và bạn cùng lớp của Nikolai Ivanovich, một nhà khoa học lỗi lạc thời bấy giờ, Ivan Mikhailovich Simonov, đều không thể hiểu được ý nghĩa vật lý sâu sắc nhất của hình học mới. Tháng này qua tháng khác, năm này qua năm khác, không nhận được phản hồi nào từ ủy ban khoa học và công trình vô giá vẫn được lưu trữ.

Chỉ đến năm 1829, bài trình bày đầu tiên về khám phá của Lobachevsky mới xuất hiện trên tạp chí đại học “Kazansky Vestnik” - bài báo “Về các nguyên lý hình học”. Một số bài báo và chủ đề khác trình bày các kết quả chính của lobachevsky đã được xuất bản vào những năm 30. Năm 1840, Lobachevsky xuất bản ở Berlin bằng tiếng Đức một bài trình bày có hệ thống về khám phá của ông - cuốn sách “Nghiên cứu hình học về lý thuyết các đường song song”. Cuốn sách này được thay thế bởi Carl Friedrich Gauss, “vua toán học” thời bấy giờ. Ông là người có thẩm quyền duy nhất trên thế giới có thể đánh giá cao những khám phá tài tình của Lobachevsky - và đánh giá cao chúng - theo giá trị thực sự của chúng.

“Như tôi đã được kể,” Gauss viết cho một trong những sinh viên của mình vào năm 1841, “các tác phẩm của Đại học Kazan, viết bằng tiếng Nga, chứa rất nhiều tác phẩm của ông ấy… Nhiều người đã thành thạo khả năng đọc các tác phẩm lớn của nhà toán học tài tình này.

Ở tuổi 63, “vua toán học” bắt đầu học tiếng Nga.

Gauss viết: “Tôi bắt đầu đọc tiếng Nga trôi chảy hơn và cảm thấy thoải mái hơn nhờ nó”.

14

Cơm. 9. Cách giải thích Beltrami-Klein có thể đạt được bằng cách chiếu một hình cầu có bán kính tối thiểu trong không gian giả Euclide từ tâm của nó lên một mặt phẳng tiếp tuyến với nó.

Theo sáng kiến ​​của Gauss, Lobachevsky được bầu làm thành viên tương ứng của Hiệp hội Hoàng gia Goettigen. Trong Bằng tốt nghiệp gửi cho Kazan, ông được gọi là “một trong những nhà toán học xuất sắc nhất bang Nga”. Tuy nhiên, “vua của các nhà toán học” không xuất hiện trên báo in với sự công nhận của công chúng đối với công lao của Lobachevsky, hoặc ông sợ những người cùng thời với mình không thể hiểu được. Trong suốt cuộc đời của lobachevsky, chỉ có một đồng nghiệp của ông—giáo sư Đại học Kazan P.I. Kotelnikov—đã công bố ý nghĩa khoa học và giáo dục to lớn của khám phá của mình.

Sự công nhận chỉ đến vài năm sau cái chết của Nikolai Ivanovich, nhờ các tác phẩm của Eugenino Beltrami (Ý) và sau đó là Felix Klein (Đức) và Anir Poincaré (Pháp).

Trong không gian Euclide “thông thường” của chúng ta, Beltrami đã tìm thấy cái gọi là bề mặt giả cầu. Bìa tạp chí của chúng tôi thể hiện một phần bề mặt như vậy. Hình học của Lobachevsky được hiện thực hóa trên chúng và các mối quan hệ do ông thiết lập giữa các cạnh và các góc của một tam giác trắc địa *), giữa bán kính của một hình tròn và diện tích của nó, v.v., diễn ra.

*) Một đường nối hai điểm của một bề mặt nhất định được gọi là đường trắc địa trên đó nếu nó được biểu diễn dưới dạng một đường ngắn.

Cơm. 10. Theo cách giải thích của Beltrami-Klein, mặt phẳng Lobachevsky luôn được mô tả bên trong vùng bên trong của đường tròn; các đường thẳng được thể hiện bằng các dây của đường tròn này.

Cơm. 11. Giải thích Poincaré có thể thu được bằng cách chiếu một hình cầu có bán kính tối thiểu trong không gian giả Euclide từ một trong các thềm của nó lên mặt phẳng xích đạo.

khoảng cách nhỏ nhất (dọc theo một bề mặt) giữa hai điểm đủ gần.

15

Cơm. 12. Theo cách giải thích của Poincaré, mặt phẳng lobachevsky luôn được mô tả là vùng bên trong của đường tròn; các đường thẳng được biểu diễn bằng hai đường tròn trực giao với chu vi của một đường tròn. Mọi góc độ vẫn tự nhiên.

Lobachevsky là tác giả của một số công trình trong các lĩnh vực toán học khác. Một số công trình liên quan đến hình học của nó - ví dụ, công việc tính toán các khoảng nhất định, công việc ước tính đáng tin cậy về những gì quan sát được khi đo tổng các góc của một tam giác có các cạnh rất lớn. Các công trình khác liên quan đến đại số và giải tích: “Đại số hoặc phép tính hữu hạn” (1834), “Về sự biến mất của các chuỗi lượng giác” (1834), “Về sự hội tụ của chuỗi vô hạn” (1841), v.v. Lobachevsky là một trong những người đầu tiên đưa ra định nghĩa tổng quát về hàm số, hình thành khái niệm tính liên tục và khả vi của hàm số và xác lập sự khác biệt giữa các khái niệm này mà trước ông thường bị nhầm lẫn.

Nhưng công lao chính của Lobachevsky, đóng góp quý giá nhất của ông cho kho tàng khoa học thế giới, là sự hoàn thiện những ý tưởng truyền thống và không thể bác bỏ bằng trực giác - sự bác bỏ định đề thứ năm và tạo ra một hình học tổng quát, trong đó hình học Euclid chỉ là một trường hợp cực kỳ đặc biệt. Con đường mà Lobachevsky lần đầu tiên đi, ở một mức độ lớn

Cơm. 13. Tam giác theo cách giải thích của Poincare. Rõ ràng là tổng các góc của nó nhỏ hơn 180°,

đã xác định bộ mặt của toán học hiện đại.

Giáo sư hình học nổi tiếng của Liên Xô nói: “Những ý tưởng của người đồng hương thông minh của chúng ta, mà một trăm năm trước dường như là một nghịch lý không thể chấp nhận được”. P.K. Rashevsky, - hiện đã được phát triển và khái quát hóa rộng rãi, là một trong những nền tảng của khoa học hiện đại.

Văn học

1. Alexandrov P. S. Hình học phi Euclid là gì. M., 1950.
2. Kagan V.F. Nhà khoa học vĩ đại người Nga N.I. Lobachevsky và vị trí của ông trong khoa học thế giới. M. - L., 1948.
3. Norden A.P. Giới thiệu cơ bản về hình học lobachevsky. M., 1953.
4. Hirokov P. A. Sơ lược về nền tảng của hình học lobachevsky. M., 1955.
5. Yaglom I. M. Phép biến đổi hình học, tập. P, M., 1956.
6. Zabotin I. P. Lobachevsky. M., 1956.
7. Livanova A. Ba số phận. Hiểu biết về thế giới. M., 1969.
8. Kolesnikov M. S. Lobachevsky. Dòng ZZL. M., 1965.
9. Tuổi trẻ của Tarjemanov D. A. Lobachevsky. Kazan, 1968.
10. Kagan V.F., Rybkin G.F., Lobachevsky. Bài viết trong TSB, tập. 25.
11. Aleksandrov A.D. Hình học của lobachevsky. Bài viết trong TSB, tập. 25.

16

Với Định luật Hooke đến New Hebrides

A. A. Dozorov

Cư dân của một trong những hòn đảo thuộc quần đảo New Hebrides hủy bỏ khá hiệu quả các lễ kỷ niệm khác nhau *). Chàng trai trèo lên một tòa tháp được xây dựng đặc biệt cho mục đích này, gọi lyana đứng dậy, buộc chặt các đầu của lyana trên tháp, rồi lao xuống vũ điệu nghi lễ của người dân trên đảo. Người Liang hấp thụ đòn đánh và chàng trai hạ cánh an toàn.

Độ cao để thực hiện cú nhảy dao động từ 15 đến 30 mét. Có vẻ như tháp càng cao và bệ càng dài thì tải trọng lên chân của người nhảy càng lớn, do đó phải có độ cao tối đa để người ta có thể nhảy. Tuy nhiên, thoạt nhìn, chính lý luận này hóa ra lại hoàn toàn sai lầm. đáp số đúng sẽ giúp chúng ta tìm ra định luật Hooke.

Đặt độ dài của sợi chỉ ở trạng thái tự do là $l$. Dưới tác dụng của một lực nào đó, sợi dây dài ra đến độ dài $l+x$. Giá trị $x$ được gọi là biến dạng tuyệt đối của ren và giá trị $\frac{x}{l} = \varepsilon$ được gọi là biến dạng tương đối. Biến dạng được gọi là đàn hồi nếu sau khi bỏ lực, chiều dài của sợi dây không đổi. Đối với các biến dạng đàn hồi nhỏ ($x \ll l$), độ lớn của biến dạng tuyệt đối, theo quy luật, tỷ lệ thuận với lực. Hướng của lực đàn hồi có xu hướng đưa sợi dây về trạng thái ban đầu và hướng biến dạng ngược nhau. Tất cả điều này được mô tả bởi định luật Hooke:

$$F = -kx. \tag{1}$$

Hệ số tỷ lệ $k$ gọi là hệ số độ cứng của vật chịu kéo (sợi, lò xo).

Tiết diện của sợi càng lớn thì lực phải tác dụng càng lớn để tạo ra độ giãn dài như nhau. Nói cách khác, hệ số độ cứng là một hàm của mặt cắt ngang. Sử dụng một phần hướng rõ ràng của vật liệu $\sigma = F/S$. (Nếu thanh bị uốn cong dưới tác dụng của lực $F$ thì $\sigma$ là áp suất trung bình tác dụng lên đầu thanh.)

Giá trị tuyệt đối của độ giãn dài tương đối $E$ khi biến dạng nhỏ

*) Xem tạp chí “Vòng quanh thế giới” số 12, 1971.

18

Thế năng tự nhiên của tam giác $W$ được xác định bởi diện tích của tam giác $OCD$:

$$W = \frac{1}{2} Fx = \frac{1}{2} kx^2.$$

Thế năng của tải biến thành động năng chuyển động của nó, sau đó thành năng lượng biến dạng của tải. Vì tổng độ cao mà tải rơi xuống là $(l+x)$ nên

$$mg(l+x) = \frac{1}{2} kx^2.$$

Do đó phần mở rộng của nigga bằng

$$x = \frac{mg + \sqrt{m^2g^2 + 2kmgl}}{k},$$

và lực căng cực đại của đáy (kể từ $k = \frac{SE}{l}$)

$$F = mg + \sqrt{(mg)^2 + 2mgES}.$$

Do đó, gia tốc cực đại

$$a = g \left(1 + \sqrt{1 + \frac{2ES}{mg}}\right)$$

(rõ ràng là nó đạt đến điểm thấp nhất).

Do đó, lực cực đại cũng như gia tốc cực đại đều không phụ thuộc vào chiều dài của chân.

Quay trở lại việc nhảy từ một tòa tháp, chúng ta thấy rằng không có độ cao tới hạn, bắt đầu từ đó tình trạng quá tải trở nên không thể chấp nhận được đối với cơ thể con người. Nếu sợi dây (liana) có tính chất đàn hồi gần bằng cao su (cao su), tức là $E \approx 10^7 \frac{H}{m^2}$ thì tiết diện của sợi dây là $S = 9 cm^2$ và khối lượng của sợi dây nhảy là $72 \text{ кг}$ thì $a = 5 \text{ g}$. Sự quá tải như vậy là khá chấp nhận được đối với một người.

Robert Hooke
về luật của bạn

Định luật tỷ lệ giữa độ giãn dài của chùm tia với lực tác dụng được phát hiện bởi nhà vật lý người Anh Robert Hooke (1635-1703).

Hooke là một nhà khoa học rất đa năng. Nhưng ông đã không hoàn thành công việc của mình, và do đó họ vẫn tranh cãi liệu Hooke có đi trước tài sản của những người cùng thời với ông là Newton và Huygen hay không. Nhưng định luật cho phép độ lớn của lực đã đi vào lịch sử dưới tên định luật Hooke. Hooke đã hai lần gọi nó không phải là một định luật mà là một lý thuyết. Đây là cách Hooke viết về lý thuyết lò xo mà ông đã tạo ra:

“…Lý thuyết về lò xo vẫn chưa được xuất bản, mặc dù nhiều nhà toán học nổi tiếng khác đã nghiên cứu về nó. Đến nay đã khoảng mười tám năm kể từ lần đầu tiên tôi tìm thấy cô ấy. Tuy nhiên, vì có ý định áp dụng nó vào một việc gì đó hữu ích nên tôi đã hạn chế xuất bản nó.

Ba năm sau, Bệ hạ đã may mắn được quan sát các thí nghiệm kiểm tra lý thuyết này ở Whitehall, cũng như chiếc đồng hồ mùa xuân của tôi.

Hai năm sau, tôi xuất bản lý thuyết này dưới dạng đảo chữ ở cuối cuốn sách mô tả kính thiên văn của mình: ceiiilo ssttuv, tức là Ut tensio sic vis. Điều này có nghĩa là: lực căng của lò xo sẽ ​​thay đổi tỉ lệ với lực*). Vì vậy, nếu một lực kéo dài hoặc uốn cong một lần, thì hai lần uốn cong hai lần, ba lần uốn cong ba lần, v.v. Vì lý thuyết thay thế rất nhiều cho lý thuyết: “Tính thế nào, lực thế ấy”).

20

sheniyu $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$

hoặc

$$\Delta y \approx ky \cdot \Delta t,$$

(1)

trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ. Hệ số này có thể là số dương (ví dụ, trong quá trình tăng dân số) hoặc số âm (ví dụ, trong quá trình phân rã phóng xạ). Phải nhớ mối quan hệ gần đúng (1) theo nghĩa là sai số tương đối của mối quan hệ này sẽ giảm khi khoảng thời gian $\Delta t$ giảm, nghĩa là khi $\Delta t$ có ​​xu hướng tiến tới 0, mối quan hệ $\frac{\Delta y}{\Delta t} \approx ky$ ngày càng trở nên chính xác hơn.

Bây giờ hãy đặt câu hỏi: loại phụ thuộc hàm nào có thể mô tả một quá trình có thuộc tính (1)?

Trong số các phần tử của hàm được học ở trường, chúng ta tìm thấy một hàm có thuộc tính mong muốn - đây là số mũ của hàm $y=a^t$. Trên thực tế, sự thay đổi (hoặc tăng dần) của hàm này $\Delta y = a^t + \Delta t - a^t$, do thuộc tính chính, số mũ của hàm $a^t + \Delta t = a^t \cdot a^{\Delta t}$ có ​​thể được biểu diễn dưới dạng tích của hai tỷ lệ $\Delta y=a^t (a^{\Delta t} - 1)$. Tập đầu tiên $a^t$ trùng với giá trị của hàm $y=a^t$ và tập thứ hai $a^{\Delta t} - 1$ chỉ phụ thuộc vào mức tăng của đối số $\Delta t$. Có thể chỉ ra rằng đối với các giá trị nhỏ $\Delta t$ thì chênh lệch $a^{\Delta t} - 1$ xấp xỉ tỷ lệ với $\Delta t$. Thực tế này tương đương với việc đồ thị của hàm $y=a^t$ có tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị này với trục tọa độ (Hình 1).

Đoạn $a^{\Delta t} - 1$ gần bằng đoạn $\Delta t \cdot tg \varphi$, trong đó $\varphi$ là góc nghiêng của tiếp tuyến với trục hoành:

$$a^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t \cdot tg \varphi,$$

(2)

và sai số tương đối của đẳng thức gần đúng (2) giảm -

Cơm. 1.

giảm khi $\Delta t$ và có xu hướng bằng 0 khi $\Delta t \rightarrow 0$ (hãy nhớ rằng tiếp tuyến được xác định là vị trí giới hạn của cát tuyến). Đẳng thức gần đúng (2) vẫn hợp lệ đối với các giá trị âm của $\Delta t$, malch trong giá trị abscissa.

Nhưng từ đó, mức tăng của số mũ của hàm $y=a^t$ đối với $\Delta t$ nhỏ xấp xỉ bằng

$$\Delta y \approx y \cdot \Delta t \cdot tg \varphi.$$

(3)

Mối quan hệ (3) tương tự như mối quan hệ (1) và hoàn toàn trùng khớp với nó nếu bạn chọn cơ sở $a$ sao cho giá trị của nó $tg \varphi$ trùng với hệ số tỷ lệ $k$.

Tuy nhiên, khi mô tả các quy trình, sẽ thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng cùng một cơ số và hệ số tỷ lệ $k$ được tính đến một cách rõ ràng trong số mũ. Đối với điều này, chúng tôi chọn cái này

Cơm. 2.

21

cơ sở tại đó $tg\varphi=1$; thì đồ thị của hàm mũ sẽ cắt trục tọa độ một góc $45^\circ$. Cơ sở như vậy được ký hiệu bằng chữ cái $e$. Số $e$ là số vô tỷ, giá trị gần đúng của nó là 2,718.

Hàm mũ có cơ số $e$ được gọi là số mũ. Nó có một ký hiệu đặc biệt: Expr $t$. Đồ thị của số mũ $y=e^t$ được thể hiện trên Hình 2. Tiếp tuyến của nó tại điểm $t=0$ chồng lên trục $Ot$ một góc $45^\circ$ nên được cho bởi phương trình $y=1+t$.

Có thể chỉ ra rằng tất cả các điểm của hàm mũ đều nằm phía trên tiếp tuyến, do đó với tất cả các giá trị của $t$ thì bất đẳng thức $e^t>1+t$ đúng. Từ bất đẳng thức này, chúng ta có thể thu được ước tính cho số $e$. Để làm điều này, hãy lưu ý rằng đối với $t=\frac{1}{n}: \frac{1}{n}>1+\frac{1}{n}$; từ đây, nâng lên lũy thừa $n$, ta có

$$e > \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.$$

Đối với $t=-\frac{1}{n+1}: e^{-\frac{1}{n+1}}>1-\frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$, từ đó $\frac{1}{n+1}<\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$ và nâng lũy ​​thừa $n+1$, chúng ta nhận được

$$e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Bất bình đẳng

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n < e < \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

số $e$ được xác định duy nhất (xem bài viết của L. G. Limanov “Về số $e$ và $n!$”, «Kvant» Số 5, 1972).

Vì tại cơ sở $a=e$ theo định nghĩa $tg\varphi=1$, nên từ công thức (3) ta có đẳng thức gần đúng (đối với $t=0$ và nhỏ $\Delta t$)

$$\Delta e^t = e^{\Delta t} - e^0 = e^{\Delta t} - 1 \approx \Delta t.$$ (4)

Bây giờ hãy giới thiệu hệ số tỷ lệ. Để làm điều này, chúng ta hãy thay thế $k \cdot \Delta t$ cùng với $\Delta t: e^{k \cdot \Delta t} - 1 \approx k \cdot \Delta t$ vào công thức (4) (đối với $\Delta t$ nhỏ).

Điều này có nghĩa là đối với hàm $e^{kt}$ mức tăng $\Delta y$ (đối với mọi $t$) có dạng

$$\Delta y = e^{k(t+\Delta t)} - e^{kt} = e^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Như vậy, hàm $y=e^{kt}$ thỏa mãn điều kiện (1). Rõ ràng là hàm $y=Ce^{kt}$ đối với bất kỳ hệ số không đổi $C$ nào đều thỏa mãn cùng một điều kiện, vì mức tăng của nó bằng

$$\Delta y = Ce^{k(t+\Delta t)} - Ce^{kt} = Ce^{kt} \left(e^{k \cdot \Delta t} - 1\right) \approx ky \cdot \Delta t.$$

Trong các ví dụ cụ thể, chúng ta có thể cho biết $C$ cho phép chúng ta tính đến cái gọi là điều kiện ban đầu - giá trị của đại lượng $y$ tại thời điểm ban đầu $t=0$. Với $t=0$ chúng ta nhận được $y(0) = Ce^0 = C$. Quá trình cuối cùng được mô tả có thể được viết như sau:

$$y(t)=y(0)e^{kt}.$$ (5)

Chúng ta bắt đầu với hàm mũ, nhưng bất kỳ hàm mũ nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng số mũ bằng cách sử dụng đẳng thức

$$a^t = e^{kt},$$

ở đâu $k=\log_e a$. Logarit cơ số $e$ gọi là logarit tự nhiên và được ký hiệu bằng ký hiệu $\ln a$, tức là $\ln a=\log_e a$. Việc lựa chọn số mũ cùng với một hàm số mũ khác chỉ được giải thích bằng cách xem xét đơn giản hệ số tỷ lệ $k$.

Logarit tự nhiên liên hệ với số thập phân bằng

$$\ln a = \frac{1}{\lg e} \cdot \lg a,$$

có được bằng cách lấy logarit cơ số 10 của đẳng thức $e^{\ln a}=a$ và di chuyển $\lg e$ sang vế phải.

VÍ DỤ VẬT LÝ

Ở đây, dựa trên những cân nhắc vật lý, chúng ta sẽ chỉ ra rằng quá trình đang xem xét thỏa mãn hệ thức (1), và từ đây sẽ ngay lập tức suy ra rằng quá trình này được mô tả theo hàm mũ (5).

22

1. phân rã phóng xạ

Giả sử tại một thời điểm ban đầu ($t=0$) chúng ta có $N_0$ nguyên tử chất phóng xạ. Sự phân rã của các nguyên tử trong đó xảy ra ngẫu nhiên, nhưng người ta đã chứng minh bằng thực nghiệm rằng số lượng nguyên tử trung bình phân rã trong một khoảng thời gian ngắn tỷ lệ thuận với số lượng nguyên tử. Do đó, sau một khoảng thời gian $t$ chúng ta sẽ không còn nguyên tử phóng xạ $N_0$ nữa mà thay vào đó là $N_t$. Vì quá trình này thỏa mãn phương trình (1), nên chúng ta có thể viết $N_t=N_0e^{kt}$.

Hãy tìm giá trị của hệ số $k$. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng khái niệm chu kỳ bán rã $T$.

Chu kỳ bán rã là thời gian mà số lượng nguyên tử của một chất giảm đi. Chúng ta biết lượng ban đầu của chất đó, chu kỳ bán rã $T$ cũng được biết đến. Khi đó hệ số $k$ có thể được tìm thấy từ điều kiện là theo thời gian $t=T$ một nửa số lượng ban đầu sẽ còn lại:

$$N_T = \frac{1}{2} N_0$$

Hãy xem xét khả năng có một phần cột (Hình 4). Cho áp suất ở độ cao $h$ bằng $P$ thì áp suất ở độ cao $h+\Delta h$ sẽ thay đổi theo giá trị $\Delta P$, trong đó $\Delta P$ là trọng lượng của không khí ở độ cao $\Delta h$. Nhưng $\Delta P \approx -\rho g \cdot \Delta h$, trong đó $\rho$ là mật độ không khí ở độ cao $h$, $g$ là gia tốc rơi tự do. Nếu chúng ta giả sử rằng nhiệt độ của cột không khí luôn giống nhau, thì theo định luật khí, mật độ khí tỷ lệ thuận với áp suất và tỷ lệ nghịch với nhiệt độ tuyệt đối, nghĩa là $\rho = k \frac{P}{T}$, trong đó $k$ là hệ số tỷ lệ, $T$ là nhiệt độ tuyệt đối (hệ số

$$kT = \ln \frac{1}{2} = -\ln 2, \quad k = -\frac{\ln 2}{T},$$

và cuối cùng

$$N_t = N_0e^{-\frac{\ln 2}{T}t}$$

2. Quá trình phóng điện của tụ điện

Gọi $C$ là điện dung của tụ điện, $R$ điện trở mà nó phóng điện (Hình 3), $q$ là điện tích của tụ điện tại thời điểm $t$ (tại thời điểm $t=0$ chúng ta đóng công tắc $K$), $\varphi_1 - \varphi_2$ là hiệu điện thế tương ứng với điện tích $q$, $I$ - hiện tại tại thời điểm $t$, $\Delta q$ - thay đổi

23

thương số $k$ có thể được tìm thấy từ phương trình Mendeleev-Clapeyron). Thay giá trị của $\rho$ vào công thức cho $\Delta P$, chúng ta nhận được

$$\Delta P \approx -k \frac{g}{T} P \cdot \Delta h,$$

Ở đâu

$$P = P_0 e^{-\frac{k g h}{T}} h.$$

4. Hiện tượng tự kích thích

Hãy xem xét một mạch (Hình 5) bao gồm một ví dụ: nguồn. d.s. $(E)$ và cuộn cảm mắc nối tiếp $(L)$ và điện trở Ohmic $(R)$. Để mạch đóng cho đến thời điểm $t=0$ và dòng điện $I_0$ chạy qua nó. Ở $t=0$, chúng ta đoản mạch bằng công tắc $K$ và xem xét sự thay đổi theo thời gian của dòng điện $I(t)$ trong các mạch $L$, $R$. Theo định luật Ohm, đối với mạch đang xét, bao gồm điện cảm và điện trở Ohm, chúng ta có $IR \approx -L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ (ở đây $-L \frac{\Delta I}{\Delta t}$ là emf tự cảm). Kể từ đây,

$$\Delta I \approx -\frac{R}{L} I \cdot \Delta t,$$

Ở đâu

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L} t}.$$

Đối với một mạch bao gồm một cuộn dây $L$, điện trở $R$ và một ví dụ: nguồn. d.s. $(E)$ (Hình 6), định luật Ohm sẽ có dạng $IR \approx E - L \frac{\Delta I}{\Delta t}$. Để tại thời điểm này phím $t=0$ $K$ được đóng lại

Cơm. 6.

Cơm. 7.

(trước đó, mục tiêu được coi là mở). Sau khi quá trình trở nên ổn định, sẽ có dòng điện $I_0 = \frac{E}{R}$ trong mạch, nhưng trước khi điều này xảy ra, dòng điện thu được trong mạch có dạng tổng đại số của dòng điện $I_0$ và ngược lại, được xác định theo công thức (6). Vì vậy, trong điều kiện nhất thời, dòng điện thu được được cho bởi

$$I = \frac{E}{R} \left( 1 - e^{-\frac{R}{L} t} \right).$$

Đồ thị của nó được hiển thị trong Hình 7.

5. Hạ nhiệt cơ thể

Theo định luật Newton, với sự chênh lệch nhiệt độ nhỏ giữa cơ thể và môi trường thì sự biến thiên năng lượng của cơ thể theo thời gian $\Delta t$ được xác định bởi công thức

$$\Delta Q \approx -k (T - T_c) \cdot \Delta t,$$

trong đó $\Delta Q$ là lượng năng lượng phát ra (nói) trong thời gian $\Delta t$, $T$ là nhiệt độ cơ thể, $T_c$ là nhiệt độ môi trường, hệ số $k$ phụ thuộc vào bề mặt và tính chất của cơ thể. Để đơn giản, chúng tôi đặt $T_c=0$, sau đó $\Delta Q \approx -k T \cdot \Delta t$. Mặt khác, sự thay đổi lượng nhiệt bằng $\Delta Q = C \cdot \Delta T$ (ở đây $C$ là nhiệt dung của cơ thể, $\Delta T$ là sự thay đổi nhiệt độ của nó). So sánh các biểu thức của $\Delta Q$, chúng ta nhận được

$$\Delta T \approx -\frac{k}{C} T \cdot \Delta t,$$

24

nghĩa là tốc độ thay đổi nhiệt độ tỷ lệ thuận với nhiệt độ cơ thể, do đó,

$$T = T_0 e^{-\frac{k}{C} t}.$$

Mời bạn đọc chứng minh công thức sau đúng trong trường hợp $T_c \neq 0$:

$$T = \left( T_0 - T_c \right) e^{-\frac{k}{C} t} + T_c.$$

6. Chuyển động của vật trong chất lỏng nhớt

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một chiếc thuyền trong nước có tính đến lực ma sát nhớt. Cho thuyền đang chạy máy chuyển động đều trong nước (có nghĩa là lực đẩy cân bằng với lực ma sát nhớt). Đến lúc $t = 0$ động cơ sẽ tắt; bạn cần tìm quy luật thay đổi vận tốc của con thuyền.

Rõ ràng sau khi tắt máy chỉ có lực phanh của ma sát nhớt tác dụng lên thuyền tỷ lệ thuận với vận tốc của thuyền và có hướng ngược chiều chuyển động: $F_{tp} = -kv$. Thay biểu thức của lực vào định luật thứ hai Newton $F = ma$, chúng ta thu được $ma = -kv$ hoặc

$$\Delta v \approx -\frac{k}{m} v \cdot \Delta t.$$

Do đó vận tốc của thuyền thay đổi theo quy luật

$$v = v_0 e^{-\frac{k}{m} t}.$$

Cơm. 8.

7. Sự suy yếu cường độ thay đổi khi đi qua môi trường hấp thụ

Một chùm tia (hoặc hạt) song song xuyên qua một lớp vật chất sẽ làm giảm cường độ của nó (Hình 8). Nếu độ dày lớp đủ nhỏ thì cường độ chùm tia tỷ lệ thuận với độ dày lớp: $\Delta I \approx k_1 \cdot \Delta l$. Mặt khác, số lượng tử bị hấp thụ (hoặc hạt phân tán) tỷ lệ thuận với cường độ chùm tia: $\Delta I = -k_2 I$.

Các hệ số $k_1$ và $k_2$ phụ thuộc vào tính chất của môi trường hấp thụ. Kết hợp cả hai công thức, chúng ta nhận được

$$\Delta I \approx -k I \cdot \Delta l.$$

Do đó, cường độ của chùm tia song song khi truyền qua môi trường hấp thụ tuân theo định luật

$$I = I_0 e^{-kl}$$

(Luật Lambert-Booger-Bia).

8. Công của khí lý tưởng trong quá trình sản xuất

Khi mô tả quá trình, công thực hiện bởi khí lý tưởng có thể được tính bằng tích của sự thay đổi áp suất và thể tích: $A = P(V_2 - V_1)$. Trong trường hợp của quy trình sản xuất, khuôn này không thể bò được hoặc áp suất không đổi. Nhưng với một sự thay đổi nhỏ về thể tích, chúng ta có thể bỏ qua sự thay đổi của áp suất và tính công như sau:

$$\Delta A \approx P(V_2 - V_1) = P \cdot \Delta V.$$

Biểu thị áp suất bằng công thức Mendeleev-Clapeyron, chúng ta có được

$$\Delta A \approx \frac{m}{\mu} RT \frac{\Delta V}{V}.$$

Điều này cho phép chúng ta tìm sự phụ thuộc của $V$ vào $A$:

$$\Delta V \approx \frac{\mu}{mRT} V \cdot \Delta A,$$

nó theo sau từ đâu

$$V = V_0 e^{\frac{\mu}{mRT} A}.$$

25

Sau khi truyền bá đẳng thức này đến cơ số $e$, chúng ta nhận được

$$A = \frac{m}{\mu} RT \ln \frac{V}{V_0}.$$

Ở đây $V_0$ là giá trị ban đầu của âm lượng, $V$ là giá trị cuối cùng.

9. Nhiệm vụ của Tsiolkovsky

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một tàu vũ trụ nằm ở một khoảng cách rất xa so với khối lượng hấp dẫn. Rõ ràng là nếu động cơ không hoạt động thì con tàu sẽ kết thúc hoặc chuyển động đều và theo một đường thẳng; chúng ta sẽ cho rằng anh ấy đã hoàn thành, $v_0 = 0$. Do định luật bảo toàn, sau khi bật động cơ, lượng chuyển động của hệ “khí thải tàu” không đổi vì không có ngoại lực nào tác dụng lên hệ này.

Ta ký hiệu bằng $m$, $v$ khối lượng của tàu cùng với nhiên liệu và tốc độ của nó tại thời điểm $t$, $u$ - tốc độ của khí thải thải ra so với tàu (một giá trị không đổi). Sau đó $mv = (m - \Delta m) \times (v + \Delta v) - \Delta m (u - v)$, từ đó $\Delta m = -\frac{\Delta v}{u - \Delta v} m$. Hãy tìm sự phụ thuộc của $m$ vào $v$. Đối với $\Delta v$ nhỏ, xét rằng $u$ là một hằng số, $u \neq 0$, chúng ta có $u - \Delta v \approx u$, do đó

$$\Delta m \approx -\frac{1}{u} m \cdot \Delta v,$$

và, do đó,

$$m = m_0 e^{-\frac{v}{u}}.$$

Lấy Prologarit về cơ số $e$ và rút gọn, ta có

$$v = u \ln \frac{m_0}{m}.$$

Suy ra, tốc độ của tàu hoàn toàn được xác định bởi tốc độ ban đầu, tốc độ tương đối của một phần khí thải và lượng nhiên liệu tiêu thụ và không phụ thuộc vào quy luật tiêu hao nhiên liệu.

Ở trang 61, a lời giải được F. Mosteler đặt trong cuốn sách “Xác suất năm mươi người chiếm giữ bài toán”. Chúng tôi trình bày một số bài toán từ cuốn sách của F. Mosteler.

Tàu điện ngầm kỳ lạ

Marvin hoàn thành công việc từ 15:00 đến 17:00. Mẹ anh và vợ sắp cưới của anh sống ở hai phía đối diện của thành phố. Chàng trai lên chuyến tàu đầu tiên đến gần sân ga, đi theo bất kỳ hướng nào và ăn trưa với người phụ nữ mà anh ta đến. Mẹ của Marvin rất buồn vì anh hiếm khi đến thăm bà, nhưng chàng trai trẻ khẳng định rằng cơ hội ăn tối với bà và với cô dâu là như nhau. Marvin ăn trưa với mẹ hai lần trong suốt 20 ngày làm việc. Giải thích hiện tượng này.

Băng Duz thiếu kiên nhẫn

Doozles trong thành phố Thận trọng hiếm khi kết thúc bằng một kết cục đáng buồn. Thực tế là mỗi người thắt nút đến địa điểm hẹn vào một thời điểm ngẫu nhiên, từ 5 đến 6 giờ sáng và sau khi tiếp tục với người gác cổng trong 5 phút, họ rời đi. Trong trường hợp thời gian lưu trú trong năm phút này bị trì hoãn. Bộ phận nào của cơ thể kết thúc trong một cuộc đấu tay đôi?

(Để kết thúc, xem trang 48)

26

VỚI METER TRÊN TOÀN CẦU

A. B. Schwartzburg

Chúng ta hãy thử vẽ trên bề mặt địa cầu đường đi của một con tàu đã rời cảng $A$ và phải đến cảng $B$. Con đường này có thể được thực hiện theo nhiều cách khác nhau và mỗi cách đều có những ưu điểm và nhược điểm riêng. Nếu con tàu đang vội thì điều quan trọng là phải biết con đường ngắn nhất giữa các cảng. Như bạn đã biết, trên mặt phẳng khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường thẳng. Tuy nhiên, trên quả cầu, hình ảnh có điều kiện. Bằng cách kéo dài một sợi chỉ một cách linh hoạt và không thể mở rộng trên một quả địa cầu giữa các điểm $A$ và $B$ (điểm đầu và cuối của đường dẫn), người ta có thể tìm thấy vị trí của sợi chỉ mà tại đó độ dài $AB$ sẽ nhỏ nhất. Tuy nhiên, hướng của sợi chỉ so với lưới kinh tuyến và vĩ tuyến được đánh dấu trên quả địa cầu sẽ khác nhau tại mỗi điểm dọc theo chiều dài $AB$. Điều này có nghĩa là không dễ để xây dựng một con đường như vậy trên biển khơi.

Bạn có thể chọn một phương pháp khác - ví dụ: luôn di chuyển theo một hướng, băng qua tất cả các kinh tuyến ở cùng một góc. Khi đó việc đi lại trên biển sẽ dễ dàng hơn. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng cùng một luồng trên quả địa cầu, có thể dễ dàng xác minh rằng đường dẫn như vậy sẽ dài hơn đường dẫn đầu tiên. Để hình dung rõ hơn từng đường dẫn, hãy xem xét một phụ trợ bài toán.

Chuyển động gần cực

Trên bản đồ trường học, các kinh tuyến và vĩ tuyến thường được thể hiện dưới dạng lưới hình chữ nhật. Tuy nhiên, để mô tả các khu vực liền kề với cực, một lưới tọa độ khác được sử dụng, trong đó kinh tuyến được biểu thị bằng các tia phát ra từ cực $O$ và các đường vĩ tuyến được biểu thị bằng các vòng tròn có tâm ở cực. Giả sử rằng các điểm $A$ và $B$ được đánh dấu trên bản đồ như vậy. Hãy thử vẽ quỹ đạo $AB$, không quan tâm đến độ dài của đường đi mà yêu cầu hướng chuyển động phải không đổi. Nói cách khác, cần phải đo một đường cong phẳng đi qua các điểm $A$ và $B$, giao nhau với tất cả các tia phát ra từ cực ở một góc không đổi nào đó $\alpha$ (Hình 1, a).

Tọa độ của điểm $A$ và $B$ được coi là đã biết (nghĩa là khoảng cách của chúng đến cực $\rho_A$ và $\rho_B$ cũng như sự khác biệt về kinh độ của chúng đã được biết). Có thể dễ dàng chỉ ra trường hợp đặc biệt của quỹ đạo tương ứng với $\rho_A = \rho_B$. Đường thẳng vuông góc với mọi tia phát ra từ một điểm là đường tròn. Để tìm quỹ đạo ở một góc tùy ý $\alpha$, hãy xem xét hai tia tạo thành một góc nhỏ $\theta$. Đặt một trong số chúng $OA = \rho_0$ tương ứng với giá trị $\theta = 0$. Đặt $ON = \rho_0 = OA$ sang tia thứ hai (Hình 1, b), chúng ta lưu ý rằng $\rightarrow ANO \approx \frac{\pi}{2}$ (vì góc $\theta$ nhỏ).

27

Để quỹ đạo cắt tia $ON$ tại điểm $K$. Khi đó từ tam giác $ANK$, trong đó $AN = \rho_0 \theta^*$): ta tìm thấy $NK = AN \cdot \text{ctg} \alpha = \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha$. Từ đó chúng ta có thể thấy rằng độ dài vectơ bán kính của quỹ đạo $OK$ là

$$\rho_1 = \rho_0 - \rho_0 \theta \text{ctg} \alpha = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha).$$

Trì hoãn góc $\theta$ theo chiều kim đồng hồ từ $ON$ một lần nữa, chúng ta thu được vectơ bán kính

$$\rho_2 = \rho_1 (1 - \theta \text{ctg} \alpha) = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^2.$$

Lặp lại các phép tính này $n$ lần, chúng tôi tìm thấy

$$\rho_n = \rho_0 (1 - \theta \text{ctg} \alpha)^n.$$

Giả sử vectơ bán kính $\rho_0$ đã quay một góc $\lambda$ lần $n$, sau đó $\theta = \frac{\lambda}{n}$ và

$$\rho_n = \rho_0 \left(1 - \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha\right)^n.$$

Giả sử rằng chúng ta, coi góc $\lambda$ không đổi, tăng số lượng “bước” sao cho độ lớn của một “bước” $\theta = \frac{\lambda}{n}$ giảm. Nếu $n$ tăng vô thời hạn thì điều này sẽ tương ứng với sự chuyển động liên tục của điểm dọc theo quỹ đạo. Chuyển công thức (4) cho khúc dạo đầu ở $n \to \infty$, chúng ta tìm thấy (xem L. G. Limanov “Về số $e$ và $n!$” «Kvant» Số 5, 1972):

$$\rho = \lim_{n \to \infty} \rho_n = \rho_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha},$$

trong đó $e = 2,73$ là một hằng số được biết đến trong toán học, “số $e$” nổi tiếng, là cơ số của logarit tự nhiên.

Chúng ta đã thu được phương trình của một đường cong cắt tất cả các tia phát ra từ tâm một góc $\alpha$. Giá trị của góc này có thể được tìm thấy bằng cách biết tọa độ của các điểm $A$ và $B$ cũng như sự khác biệt về kinh độ của chúng $\lambda$. Từ (5) ta tìm được

$$\text{ctg} \alpha = -\frac{1}{\lambda} \ln \frac{\rho}{\rho_0}.$$

Vượt qua mỗi kinh tuyến một góc $\alpha$, cá diếc sẽ đi từ cảng $A$ đến cảng $B$.

Từ công thức (6) người ta có thể thấy các tính chất quan trọng khác của đường cong thu được: góc giữa các vectơ bán kính tỉ lệ với logarit của chúng

*) Việc thay thế như vậy tương đương với một đẳng thức gần đúng được thực hiện cho các giá trị nhỏ của góc $x \left(x \ll \frac{\pi}{2}\right)$: $\sin x \approx x$. Đẳng thức này và đẳng thức $\text{ctg} x \approx x$ theo sau nó được sử dụng nhiều lần trong bài viết này.

28

$$\lambda = - \frac{\ln \frac{\rho}{\rho_0}}{\text{ctg} \alpha}.$$

Đường cong (5) có một cái tên đặc biệt là “xoắn ốc logarit”, và nhà toán học Jacob Bernoulli thậm chí còn gọi nó là “spira mirabilis”, trong tiếng Latin có nghĩa là “xoắn ốc tuyệt vời”.

Trong phụ trợ bài toán này, phần bề mặt trái đất nơi xảy ra chuyển động được coi là một mặt phẳng. Chúng ta hãy thử khái quát hóa lời giải (6) thu được cho trường hợp bề mặt hình cầu. Nói cách khác, hãy thử vẽ một đường cong trên quả địa cầu nối các điểm A và B và cắt tất cả các kinh tuyến theo một góc không đổi α. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ cần cùng một số nguyên tố toán học đã được sử dụng trong trợ động từ bài toán.

Đường cong mùi

Chúng ta giả sử rằng ít nhất một trong các điểm A và B không trùng với cực của hình cầu. (Nếu A và B là cực thì mọi kinh tuyến đều là ngoại lệ của đường cong). Chúng ta sẽ mô tả vị trí của từng điểm theo vĩ độ φ, sự vắng mặt của đường xích đạo và kinh độ λ. Cần kiểm tra một đường cong trên mặt cầu bắt đầu từ điểm A có tọa độ φ_A, λ_A và đến điểm B có tọa độ φ_B, λ_B (xem hình 2) sao cho các kinh tuyến cắt nhau một góc α. Trong phần phụ bài toán, chúng tôi đã chỉ ra rằng đường cong phẳng có tính chất này là một đường xoắn ốc logarit.

Hãy xem xét hai điểm gần nhau trên hình cầu (A và N) (Hình 3), hiệu về vĩ độ (cung AO) là Δφ, và hiệu về kinh độ (cung ON) là θ, trong đó θ là một góc nhỏ, (θ << λ). Nếu cả hai điểm đều nằm trên đường cong mà chúng ta quan tâm thì đường cong này tạo thành các góc α bằng nhau với các kinh tuyến đi qua các điểm này. Xét tam giác cong AON, trong đó cung AO trùng với phần kinh tuyến, cung ON trùng với phần của đường tròn vĩ độ φ₁ và ⇄ OAN = α. Ta biểu thị giá trị tọa độ φ tại điểm A bằng φ_A = φ_0. Do đó, φ₁ = φ_0 + Δφ.

Cơm. 2.
Cơm. 3.

29

Có thể chứng minh một cách chặt chẽ rằng các giá trị tọa độ $\varphi_0$ và $\varphi_1$ có liên quan với nhau như sau:

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha].$$

(Một dẫn xuất chi tiết của đẳng thức này được đưa ra trong Phụ lục I.)

Hơn nữa, chúng ta có thể suy luận theo cách tương tự như đối với phụ trợ lời giải bài toán. Giá trị của hàm $\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ tại điểm có tọa độ $\varphi_2$, $2\theta$ sẽ là

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_2}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_1}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha] =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) [1 + \theta \text{ctg} \alpha]^2.$$

Sau $n$ “bước” chúng tôi nhận được $\varphi_n$

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_n}{2} \right) = \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n.$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng chúng ta thông báo số “bước” $n$ đến vô cùng, tiến gần đến điểm $B$. Đồng thời $\varphi_n \rightarrow \varphi_B$. Khi đó giá trị của mỗi bước $\theta = \frac{\lambda}{n}$ tiến tới 0 và số thừa số ở vế phải của (9) tăng lên không giới hạn. Chuyển đến giới hạn tại $n \rightarrow \infty$ trong công thức (9), ta thu được (tương tự với công thức (5)):

$$\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right) = \lim_{n \rightarrow \infty} \left\{ \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) \left[ 1 + \frac{\lambda}{n} \text{ctg} \alpha \right]^n \right\} =$$

$$= \text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right) e^{\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

Đường cong kết quả cắt tất cả các kinh tuyến trên hình cầu ở một góc không đổi $\alpha$. Giá trị của góc này có thể dễ dàng tìm thấy từ (10), biết vĩ độ của mỗi cổng ($\varphi_A$ và $\varphi_B$) và sự khác biệt về kinh độ ($\lambda_B - \lambda_A) = \lambda$ giữa chúng:

$$\text{ctg} \alpha = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_B}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_A}{2} \right)}.$$

Đường cong biểu diễn bằng công thức (10) có tên đặc biệt là “loxodrome”, có thể dịch từ tiếng Latin là “xiên”. Đường cong này được nghiên cứu vào thế kỷ 18 bởi nhà toán học Snell, người cũng nổi tiếng vì đã hình thành định luật khúc xạ tia sáng tại ranh giới của hai môi trường, được gọi là giáo dục tại nhà.

Loxodrome đi qua “xiên” các kinh tuyến của quả bóng và tiến đến cột, “cuộn” vào nó như một hình xoắn ốc. Không khó để chỉ ra rằng độ phân giải của cực loxodrome gần với đường xoắn ốc logarit mà chúng ta đã thảo luận ở phần phụ bài toán. Thật vậy, gần cực $\varphi = 90^\circ - \delta$, nơi $\delta \ll 90^\circ$. Sau đó

$$\frac{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\text{tg} \left( 45^\circ + \frac{\varphi_0}{2} \right)} \approx \frac{\text{tg} \left( \frac{\delta_0}{2} \right)}{\text{tg} \left( \frac{\delta}{2} \right)} \approx \frac{\delta_0}{2} \frac{\delta}{2}.$$

30

So sánh công thức (10a) và (10), ta thu được

$$\delta = \delta_0 e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(106)

Mặt khác, khoảng cách từ cực đến các điểm $A$ và $B$, có vĩ độ là $\delta_A$ và $\delta_B$, bằng với sự tương ứng $\rho_A = R \delta_A$, $\rho_B = R \delta_B$ (R là bán kính của quả địa cầu). (Khi viết các đẳng thức này, ta thay một phần của cung kinh tuyến bằng dây nối hai đầu của cung.) Khi đó từ (106) ta thu được:

$$\rho_B = \rho_A e^{-\lambda \text{ctg} \alpha}.$$

(10v)

Chúng ta đã thu được đẳng thức này trong phụ trợ bài toán.

Loxodrome (10) mô tả hướng đi của một con tàu trên biển khơi, trong đó hướng chuyển động không đổi nên dễ dàng di chuyển trên đường đi. Tuy nhiên, đường đi dọc theo rhoxodrome, như chúng ta đã nói ở trên, không phải là đường đi ngắn nhất trên mặt cầu giữa hai điểm.

Đường trắc địa

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm đường cong ngắn nhất giữa hai điểm trên quả bóng. Đường cong như vậy được gọi là đường trắc địa, nhưng nó không chỉ dành cho người khảo sát. Đường cong này cũng rất quan trọng đối với các thủy thủ, phi công và khách du lịch. Nếu chúng ta đơn giản hóa bài toán và chọn các điểm $A$ và $B$, nằm trên cùng một đường tròn vĩ độ $\varphi$, thì có vẻ như đường đi ngắn nhất giữa các điểm này là một cung của đường tròn vĩ độ. Tuy nhiên, đáp số này không chính xác. Để xác minh điều này, chúng ta hãy so sánh khoảng cách $S_1$ và $S_2$ giữa các điểm $A$ và $B$, được thay đổi dọc theo đường tròn vĩ độ ($S_1$) và dọc theo cung tròn lớn ($S_2$) (Hình 4). Nếu chênh lệch kinh độ của các điểm $A$ và $B$ là $\lambda$, thì

$$S_1 = R \lambda \cos \varphi,$$

$$S_2 = RC,$$

trong đó $C$ là số đo radian của cung $S_2$.

Có thể chứng minh rằng độ lớn của cung $C$ (tính bằng radian) bằng

$$C = \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right],$$

ở đâu $\varphi' = \frac{\pi}{2} - \varphi$. (Điều này được chứng minh ở Phụ lục II.)

Chứng minh rằng độ dài cung của đường tròn lớn $S_2$ không lớn hơn độ dài cung của đường tròn vĩ độ $S_1$ ($S_2 \leq S_1$), tức là ta sẽ chứng minh bất đẳng thức:

$$R \arccos \left[ \cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \right] \leq R \lambda \sin \varphi'.$$

(14)

Đẳng thức (14) chỉ trả về cho $\varphi' = 90^\circ$ hoặc $\varphi = 0$, tức là khi đường tròn vĩ độ trùng với đường tròn lớn.

Cả hai vế của bất đẳng thức (14) đều dương. Chúng ta sẽ giả sử rằng sự khác biệt về kinh độ giữa các điểm $A$ và $B$ nằm trong khoảng $0 \leq \lambda \leq \pi$. Với $0 \leq \lambda \leq \pi$ cos $\lambda$ là hàm giảm.

31

Từ bất đẳng thức (14) suy ra bất đẳng thức sau:

$$\cos^2 \varphi' + \sin^2 \varphi' \cos \lambda \geq \cos (\lambda \sin \varphi').$$

Sử dụng đẳng thức $\cos \lambda = 1 - 2 \sin^2 \frac{\lambda}{2}$, chúng ta rút gọn bất đẳng thức (15) về dạng

$$\sin^2 \varphi' \sin^2 \frac{\lambda}{2} \leq \sin^2 \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right).$$

Nhân và chia bất đẳng thức này với giá trị dương $\left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)^2$, ta thu được:

$$\left( \frac{\sin \frac{\lambda}{2}}{\frac{\lambda}{2}} \right)^2 \leq \left( \frac{\sin \left( \frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \right)}{\frac{\lambda}{2} \sin \varphi'} \right)^2.$$

Nếu bây giờ chúng ta xây dựng đồ thị của hàm $y = \left( \frac{\sin x}{x} \right)^2$ bằng bảng lượng giác, chúng ta sẽ thấy hàm này tăng đơn điệu từ $y = \left( \frac{2}{\pi} \right)^2 < 1$ lên 1 khi $x$ giảm từ $\frac{\pi}{2}$ xuống 0. Vì $\frac{\lambda}{2} \sin \varphi' \leq \frac{\lambda}{2}$ nên bất đẳng thức (17) luôn được thỏa mãn, nghĩa là bất đẳng thức ban đầu (14) cũng được thỏa mãn. Do đó, cung của đường tròn lớn ngắn hơn các đường tròn vĩ độ khác nối hai điểm giống nhau.

Có thể chứng minh rằng ngay cả với vị trí tùy ý của hai điểm trên một Sharra, khoảng cách ngắn nhất giữa chúng được xác định bởi cung của một đường tròn lớn đi qua các điểm này. Nói cách khác, đường trắc địa trên quả bóng là cung của một đường tròn lớn.

Tuy nhiên, rất khó định hướng khi di chuyển dọc theo một cung tròn lớn - góc $\alpha$ giữa hướng chuyển động và kinh tuyến luôn thay đổi.

Vì vậy, đường rhoxodrome và đường vòng lớn đều có những ưu điểm và nhược điểm. Khi lựa chọn giữa các đường đi này, chúng thường hoạt động giống như khi di chuyển dọc theo một mặt phẳng, khi các chuyển động cùng nhau dọc theo một đường cong mặt phẳng phức tạp phác thảo các đường đi dọc theo một đường đứt đoạn, tất cả các đỉnh của chúng đều nằm trên đường cong mong muốn.

Tương tự, khi di chuyển trên một hình cầu, một số điểm được đánh dấu trên cung tròn lớn nối điểm khởi hành và điểm đến, và từ điểm này sang điểm khác, người ta di chuyển dọc theo các hình thoi.

Phụ lục I

Thật thuận tiện khi mô tả một điểm trên hình cầu không phải theo vĩ độ $\varphi$ mà bằng một góc bổ sung $\varphi'$

$$\varphi' = 90^\circ - \varphi.$$

Sự tiện lợi của mô tả này là do hàm $ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right)$ có một thuộc tính quan trọng. Hãy tính, sử dụng công thức tính tiếp tuyến của tổng hai góc, độ tăng của hàm này khi thay đổi $\varphi$:

$$ctg \left( \frac{90^\circ - \varphi}{2} \right) = tg \left( \frac{90^\circ + \varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right);$$

32

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) + tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{1 - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) tg \frac{\Delta \varphi}{2}} - tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) =$$

$$= \frac{tg \frac{\Delta \varphi}{2}}{\cos^2 \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} \cdot (I-3)$$

Sử dụng cùng một đẳng thức $\frac{1}{\cos \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)} = 2 \sin \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \cos^{-1} \varphi$, ta thu được từ công thức

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{2 tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)}{\left[ 1 - tg \frac{\Delta \varphi}{2} tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) \right] \cos \varphi}.$$

(I-4)

Hãy xem xét trường hợp số gia $\Delta \varphi$ nhỏ, sao cho $|tg \frac{\Delta \varphi}{2}| \cdot |tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)| \ll 1$. Khi đó, giá trị trong công thức (I-4) có thể được coi là xấp xỉ bằng 1 và $tg \frac{\Delta \varphi}{2}$ có ​​thể được thay thế bằng $\frac{\Delta \varphi}{2}$. Khi đó từ (I-3) và (I-4) ta tìm được:

$$\Delta tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right) = \frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} \cdot tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right).$$

(I-5)

Công thức (I-5) cho thấy hàm $tg \left( 45^\circ + \frac{\varphi}{2} \right)$ thực sự có các thuộc tính quan trọng: các gia số nhỏ của hàm này tỷ lệ thuận với giá trị của chính hàm đó.

Hãy tìm hệ số tỷ lệ trong công thức (I-5). Vì bán kính của vòng tròn quay bằng

$$r = R \cos \varphi,$$

thì độ dài cung $ON$ là (xem Hình 3)

$$ON = R \theta \cos \varphi.$$

Ở đây $R$ là bán kính của hình cầu. Tương tự, độ dài cung $OA$ là

$$OA = R \Delta \varphi.$$

Vì góc $\angle AON = \frac{\pi}{2}$ trong một tam giác nên đối với tang của góc $\alpha$ ta có thể viết

$$tg \alpha = \frac{R \theta \cos \varphi}{R \Delta \varphi}.$$

Từ mối quan hệ này, $\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi}$ được tìm thấy trong công thức (I-5):

$$\frac{\Delta \varphi}{\cos \varphi} = \theta \text{ ctg } \alpha.$$

34

Lời giải bài toán của số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 2 năm 1973 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant» M176” hoặc “…F198”.

Lời giải bài toán cho mỗi môn học - toán và vật lý - cũng như bài toán mới phải được gửi trong phong bì riêng.

Vui lòng gửi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản cùng với các giải pháp của bạn cho những bài toán này (trên phong bì ghi “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”).

Khó hơn bài toán được đánh dấu *.

Bài toán

M176. Cạnh nào của tam giác ABC là giao điểm của các đường cao gần nhất với nó, nếu $A < B < C$? Và đến đỉnh cao nào?

L. Schneider, học sinh lớp 9

M177. Tìm tất cả các phương trình lời giải

$$\sqrt[n]{x^n - a^n} + \sqrt[n]{2a^n - x^n} = a,$$

trong đó $a$ là một số thực nhất định, $n$ là một số tự nhiên lớn hơn một.

T. Temirov

M178. Chúng ta thả từ điểm bất kỳ $P$ nhị phân có góc $A$ của tam giác ABC vuông góc $PA_1, PB_1, PC_1$ lần lượt vào các cạnh BC, CA và AB. Gọi $R$ là giao điểm của đường $PA_1$ và $B_1C_1$. Chứng minh rằng đường thẳng $AR$ chia đôi cạnh BC.

M179. Đối với mỗi tam giác không vuông $T$ chúng ta biểu thị bằng $T_1 = H(T)$ tam giác có các đỉnh là đáy của các đường cao của tam giác $T_1$; qua $T_2 = H(T_1)$ - một hình tam giác có các đỉnh là đáy của các đường cao của tam giác $T_1$; hãy tiếp tục $T_3 = H(T_2)$; $T_4 = H(T_3)$, …

Các góc của tam giác $T$ phải bằng bao nhiêu để

a) tam giác $H(T)$ có nhọn không?

b) trong dãy $T_1, T_2, T_3$, … có tam giác vuông $T_n$ (trong trường hợp này $H(T_n) = T_{n+1}$ không được xác định)?

b) tam giác $T_3 = H(H(T))$ có đồng dạng với tam giác $T$ không?

d)* Với mỗi $n=1, 2, 3, ...$, hãy cho biết có bao nhiêu hình tam giác khác nhau $T$ mà $T_n$ giống với $T$.

N. V. Vasiliev

M180*. Hai người chơi trò chơi này. Một người nghĩ về số tự nhiên $n$, người còn lại đặt những câu hỏi như “có đúng là $n \geq x$” (anh ta có thể chọn x theo ý mình) và nhận được đáp số “có” hoặc “không”. Chiến lược khả thi nào $T$ của trò chơi thứ hai được thúc đẩy bởi chức năng $f_T(n)$, bằng số lượng câu hỏi (trước khi gỡ lỗi), nếu số $n$ được hình thành.

Lời giải

Trong số này, chúng tôi xuất bản lời giải bài toán M135—M140

M135
Chứng minh rằng mọi số tự nhiên $n>1$ đều đúng công thức

$$\sin x \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \sin \left( x + \frac{2\pi}{n} \right) \times \cdots$$
$$\cdots \times \sin \left( x + \frac{(n-1)\pi}{n} \right) = c_n \sin nx,$$
trong đó $c_n$ là một số nào đó (tùy thuộc vào $n$) và tìm $c_n$.

Đầu tiên ta chứng minh bổ đề sau.
Bổ đề. $$\sin nx = \sin x \cdot A_n (\cos x),$$
thực phẩm $A_n (x)$ là một đa thức bậc $(n-1)$ với hệ số đầu tiên $2^{n-1}$, $$\cos nx = B (\cos x),$$
thực phẩm $B_n (x)$ là một đa thức phi hài cấp $n$ với hệ số đầu tiên $2^{n-1}$.

Rõ ràng là với $n=1$ mệnh đề của bổ đề là đúng. Giả sử nó đúng với $n=k$. Sau đó

$$\sin (k+1) x = \sin x \cdot \cos kx + \cos x \cdot \sin kx = \sin x \cdot \left( B_k (\cos x) + \cos x \cdot A_k (\cos x) \right);$$
$$\cos (k+1) x = \cos x \cdot \cos kx - \sin x \cdot \sin kx = \cos x \cdot B_k (\cos x) + \left( \cos^2 x - 1 \right) A_k (\cos x).$$

Do đó, rõ ràng $A_{k+1} (x) = B_k (x) + x A_k (x)$ và $B_{k+1} (x) = x B_k (x) + \left( x^2 - 1 \right) A_k (x)$ là các đa thức có hệ số thứ nhất bằng tổng các hệ số thứ nhất của đa thức $A_k (n)$ và $B_k (n)$, tức là có hệ số thứ nhất bằng $2^{k-1} + 2^{k-1} = 2^k$. Bổ đề đã được chứng minh.

Hãy đặt $f(x) = \sin \left( x + \frac{\pi}{n} \right) \times \cdots \times \sin \left( x + \frac{\pi (n-1)}{n} \right)$. Struppirum các số hạng theo cặp có dạng $\sin \left( x + \frac{\pi i}{n} \right)$ và $$\sin \left( x + \frac{\pi (n-i)}{n} \right),$$ trong đó $0 < i < \frac{n}{2}$.

Nếu $n$ chẵn thì tích vẫn có số hạng

$$\sin \left( x + \frac{\pi \frac{n}{2}}{n} \right) = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \cos x.$$

Hãy biến đổi các sản phẩm theo cặp:

$$\sin \left( x + \frac{\pi i}{n} \right) \cdot \sin \left( x + \frac{\pi (n-i)}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( -\cos (2x + \pi) + \cos \left( \frac{2\pi i}{n} - \pi \right) \right) = \frac{1}{2} \left( \cos 2x - \cos \frac{2\pi i}{n} \right) = \frac{1}{2} \left( 2 \cos^2 x - 1 - \cos \frac{2\pi i}{n} \right) = \cos^2 x - d_i,$$
trong đó $d_i$ là một số hằng số.

Vì vậy, $f(x) = D_n (\cos x)$, trong đó $D_n (x)$ là đa thức không hài hòa bậc $(n-1)$ với hệ số đầu tiên là 1.

Chúng ta còn phải chứng minh rằng $A_n (x) = 2^{n-1} D_n (x)$ (cụ thể, từ đây sẽ suy ra rằng hằng số $c_n$ trong điều kiện bài toán bằng $\frac{1}{2^{n-1}}$).

Để làm điều này, chúng ta sử dụng lý thuyết rằng một đa thức bậc $k$ có nhiều nhất $k$ nghiệm khác nhau. (Dưới đây chúng ta sẽ nhớ lại cách chứng minh điều đó.)

37

Xét đa thức $F(x) = A_n(x) - 2^{n-1}D_n(x)$. Bậc của nó nhỏ hơn $(n-1)$, vì các hệ số $x^{n-1}$ của đa thức $A_n(x)$ và $2^{n-1}D_n(x)$ bằng nhau. Điều này có nghĩa là $F(x)$ hoàn toàn bằng 0 hoặc $F(x)$ có nghiệm nhỏ hơn $(n-1)$.

Xét các điểm $x_1 = -\frac{\pi}{n}, x_2 = -\frac{2\pi}{n}, \ldots, x_{n-1} = -\frac{\pi(n-1)}{n}$ và đường đi $t_i = \cos x_i$. Rõ ràng là $f(x_i) = 0$, và do đó $D_n(t_i) = 0$; ngoài ra, $\sin(n \cdot x_i) = 0$ và $\sin x_i \neq 0$, có nghĩa là $A_n(\cos x_i) = A_n(t_i) = 0$. Lưu ý rằng tất cả các điểm $t_i$ đều khác biệt vì cos $x$ trả về trên đoạn $[-\pi, 0]$.

Vì vậy, đa thức $F(x)$ biến mất tại điểm $(n-1)$ $t_1, t_2, \ldots, t_{n-1}$ và do đó, $F(x)$ là một số 0 giống hệt nhau. Vì vậy, $A_n = 2^{n-1}D_n$, tức là

$$\sin x \cdot \sin \left(x + \frac{\pi}{n}\right) \times \cdots \times \sin \left(x + \frac{\pi(n-1)}{n}\right) = \frac{1}{2^{n-1}} \sin nx.$$

Bây giờ chúng ta hãy nhớ lại cách chứng minh một đa thức bậc $k$ có nhiều nhất $k$ nghiệm. Đối với $k = 1$ điều này là hiển nhiên. Giả sử câu phát biểu này đúng với $k = l-1$ và cho đường đi $P(t) = a_l t^l + a_{l-1} t^{l-1} + \ldots + a_1 t + a_0$ là đa thức bậc $l$ ($a_l \neq 0$). Giả sử $\alpha$ là nghiệm của đa thức $P$ (nếu $P$ không có nghiệm thì mọi thứ đều được chứng minh): $P(\alpha) = a_l \alpha^l + \ldots + a_0 = 0$. Do đó $P(t) = P(t) - P(\alpha) = a_l (t^l - \alpha^l) + a_{l-1} (t^{l-1} - \alpha^{l-1}) + \ldots + a_1 (t - \alpha).$ Dễ dàng kiểm tra rằng $t^l - \alpha^l = (t - \alpha)(t^{l-1} + \alpha t^{l-2} + \alpha^2 t^{l-3} + \ldots + \alpha^{i-2} t + \alpha^{i-1}).$ Do đó $P(t) = (t - \alpha)[a_l (t^{l-1} + \ldots + \alpha^{l-1}) + a_{l-1} (t^{l-2} + \ldots + \alpha^{l-2}) + \ldots + a_1] = (t - \alpha) H(t)$, trong đó $H(t)$ là đa thức bậc không phải bát phân $l-1$.

Theo giả định, $H(t)$ có nhiều nhất $(l-1)$ nghiệm. Điều này có nghĩa là $P$ có ​​nhiều nhất $l$ nghiệm ($\alpha$ và nghiệm của đa thức $H(t)$).

Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh cho tất cả $k$.

I. N. Bernishtein

M136

Có thể tăng 50 viên đá từ một mỏ đá, có trọng lượng là 370 ke, 372 ke, 374 ke, …, 468 ke (tất cả đều tạo thành một cấp số cộng với chênh lệch 2 ke), trên bảy ba con ngựa?

Đáp số: không thể được.

Nếu những viên đá được phóng to ra thì 8 viên đá sẽ phải được đặt trên một chiếc xe ba bánh nào đó, nhưng ngay cả 8 viên đá nhẹ nhất cũng nặng

$$370 + 372 + 374 + 376 + 384 + 382 + 380 + 378 = 4.754 = 3016$$

kg - hơn ba tấn.