Kvant 1973, số 6 · Trang

Keant
1973
6
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Trên trang đầu tiên của trang bìa có hình ảnh tinh thể thạch anh được trồng trong điều kiện tự nhiên. Bạn có thể đọc về cách thu được tinh thể nhân tạo trong bài viết của A. A. Varlamov và D. V. Kazakovtsev, “Phát triển tinh thể”.
Ảnh của E. Hertsuk

Tại thành phố Dzerzhinsk, tại trường số 2, có tổ chức Câu lạc bộ các nhà vật lý trẻ - KYuF.
Nó chứa học sinh lớp 9 và 10.
Trong các bức ảnh của chúng tôi, bạn thấy các chàng trai - thành viên câu lạc bộ - đang làm việc.
Ảnh của D. Vozdvizhenko

2

Vào ngày 1 tháng 3 năm 1973, thành viên ban biên tập của tạp chí «Kvant», một nhà vật lý xuất sắc, nhà tổ chức chính của các hoạt động khoa học và xã hội, thành viên Đoàn Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện sĩ-Thư ký Khoa Vật lý Đại cương và Thiên văn học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, trưởng phòng khoa học của Viện Năng lượng Nguyên tử mang tên A.V. I. V. Kurchatova, Chủ tịch Ủy ban Quốc gia các nhà Vật lý Liên Xô, Chủ tịch Hội đồng Khoa học về vấn đề phức tạp “Vật lý Plasma”, Giáo sư tại Đại học Moscow, Anh hùng Lao động Xã hội Chủ nghĩa, người đoạt giải Lenin và Giải thưởng Nhà nước Liên Xô, Viện sĩ Lev Andreevich Artsimovich.

Lev Andreevich ARTSIMOVICH

L. A. Artsimovich sinh ngày 25 tháng 2 năm 1909 tại Moscow. Năm 1928, ông tốt nghiệp Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Belarus và năm 1930, ông vào Viện Vật lý và Công nghệ Leningrad với tư cách là nhân viên phòng thí nghiệm. Chẳng bao lâu sau, ông bắt đầu nghiên cứu khoa học độc lập.

Lĩnh vực khoa học quan tâm chính của ông, trong đó ông có những đóng góp quan trọng nhất, là vật lý nguyên tử. Ông là người đầu tiên nghiên cứu sự phản xạ toàn phần của tia RENten. Sau đó, anh cùng với I.V. Kurchatov, đã nghiên cứu phản ứng “neutron + proton”, dẫn đến sự hình thành hạt nhân hydro nặng. Năm 1936, L. A. Artsimovich, bằng những thí nghiệm khéo léo, đã bác bỏ đề xuất của nhà vật lý người Mỹ Shenkland rằng sự tương tác giữa electron và positron trong những điều kiện nhất định vi phạm định luật bảo toàn năng lượng. Vào năm 1936-1940, ông đã nghiên cứu nhiều hiện tượng khác nhau đi kèm với sự di chuyển của các electron nhanh trong vật chất. Khi làm như vậy, ông đã chứng minh rằng tất cả những hiện tượng này, theo quan điểm của một số nhà khoa học, đều được cơ học lượng tử mô tả một cách chính xác.

Trong những năm chiến tranh, L. A. Artsimovich đã thực hiện một số công trình quan trọng trong lĩnh vực quang học điện tử. Trong những năm tiếp theo, L. A. Artsimovich bắt đầu giải một vấn đề khoa học và kỹ thuật quan trọng - phương pháp điện từ để tách các đồng vị của hạt nhân nguyên tử. Sự phát triển của vấn đề này đòi hỏi phải thành lập một nhóm khoa học lớn, có khả năng tạo ra các cơ sở công nghiệp đáng tin cậy để tách đồng vị và đảm bảo sản xuất các đồng vị tinh khiết của các nguyên tố khác nhau cho những người có nhu cầu về vật lý, công nghệ, sinh học và y học.

Từ năm 1951 cho đến những ngày cuối đời, L. A. Artsimovich đứng đầu nghiên cứu thực nghiệm về vật lý của plasma nóng và các phản ứng nhiệt hạch có kiểm soát ở nước ta. Ông và các cộng sự lần đầu tiên đã thành công trong việc thực hiện phản ứng nhiệt hạch trong điều kiện phòng thí nghiệm. Trong những năm gần đây, tại cơ sở Tokamak, các thành tựu vật lý đã đạt được những kết quả kỷ lục cả về nhiệt độ của plasma hydro lẫn thời gian tồn tại ổn định của nó.

Ghi nhận những thành tích khoa học của L. A. Artsimovich, Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô đã bầu ông làm thành viên tương ứng vào năm 1946 và là viện sĩ vào năm 1953. Từ năm 1957, L. A. Artsimovich là thư ký học thuật thường trực của Khoa Khoa học Vật lý và Toán học, sau đó là Khoa Vật lý Đại cương và Thiên văn học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Bộ phận của Lev Andreevich đã dành nhiều thời gian để đào tạo sự chuyển dịch khoa học. Ông học tại Học viện Bách khoa Leningrad, Đại học Leningrad và Viện Vật lý Kỹ thuật Moscow. Trong những kiếp cuối cùng của mình, ông đứng đầu khoa vật lý nguyên tử tại Đại học quốc gia Moscow.

L. A. Artsimovich là một người có vô số sở thích cần thiết, vượt xa ranh giới chuyên môn của mình. Anh ấy có tinh thần trách nhiệm cao với con người và khiếu hài hước nhạy bén. Nhiều câu nói hài hước của ông từ lâu đã trở thành “những câu cách ngôn vật lý”.

Lev Andreevich đã không đi xa tới mức tạo ra một lò phản ứng nhiệt hạch kỹ thuật. Nhưng nhân loại biết ơn sẽ không quên người đã có đóng góp vô giá cho việc tạo ra các nhà máy điện nhiệt hạch trong tương lai.

5

Nhìn chung, lời giải bài toán về việc tính toán thể tích và bề mặt của vật quay, theo quy luật, không phức tạp mà khá cồng kềnh. Đồng thời, lời giải trong số bài toán đó được viết theo nghĩa đen trong vài dòng bằng cách sử dụng các định lý của Golden.

Hãy để chúng tôi xây dựng các định lý này.

Định lý 1 Golden (về diện tích các mặt quay). Bề mặt của vật thể được hình thành bằng cách quay một đường phẳng (đóng hoặc không) trên một trục nằm trong mặt phẳng của đường thẳng này và không cắt nó bằng tích của chiều dài đường quay và chiều dài của đường tròn, bán kính của nó là khoảng cách từ trục quay đến tâm của đường thẳng:

$$S = P \cdot 2\pi R,$$

food $P$ là chiều dài của đường quay (hoặc chu vi của nó, nếu nó đóng) và $R$ là khoảng cách từ tâm quả bóng đến trục quay.

Định lý thứ 2 của Golden (về thể tích của vật quay). Thể tích của một vật thể hình thành khi quay một hình phẳng có trục nằm trong mặt phẳng này và không cắt hình đó bằng diện tích hình đó nhân với chiều dài chu vi, bán kính của hình đó là khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm của hình:

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

food $S$ là diện tích của hình được quay, $R$ là khoảng cách từ tâm mềm đến trục quay.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng trong định lý thứ nhất, chúng ta đang nói về trọng tâm và khối lượng phân bố đều dọc theo chiều dài của đường thẳng, và trong định lý thứ hai, chúng ta đang nói về trọng tâm và khối lượng phân bố đều trên toàn bộ diện tích của hình.

Do các định lý Golden không được chứng minh trong khóa học ở trường (chúng được chứng minh bằng phương pháp tính tích phân) * nên không thể sử dụng trực tiếp chúng cho lời giải bài toán trong trường học hoặc luyện thi

*) Xem bài viết của V. G. Boltyansky trên trang. 9.

Hình 1.

Không. Nhưng có thể dự đoán lời giải cơ bản sẽ đạt được đáp số nhanh hơn bằng cách sử dụng định lý Golden mà không cần che giấu sự quen thuộc của bạn với định lý này và không có gì đáng trách trong việc này. Kiến thức về đáp số đòi hỏi phải tính toán lâu dài và rườm rà, và quan trọng nhất là bao gồm sự tự tin trong công việc.

Các định lý được khám phá với “hương vị vật lý”. Để sử dụng chúng, bạn cần có khả năng tìm được trọng tâm của các đường thẳng và hình phẳng.

Trong những trường hợp chúng ta gặp phải, điều này không khó. Vì vậy, trọng tâm của một đoạn là phần giữa của nó. Điều này giúp có thể tìm được trọng tâm của một đường đứt gãy (đặc biệt là trọng tâm của đường viền của một đa giác): cần đặt ở giữa mỗi mắt xích của đường gãy một khối lượng bằng số lượng chiều dài của mắt xích này; thì trọng tâm của các khối lượng này sẽ là trọng tâm của đường đứt nét.

Không khó để tìm được trọng tâm của các hình phẳng. Ví dụ, trọng tâm của một hình tròn và một đa giác đều là tâm của chúng, trọng tâm của một tam giác là giao điểm của các đường trung tuyến của nó; hình bình hành (hình vuông,

6

hình thoi, hình chữ nhật) - giao điểm của các đường chéo.

Trọng tâm của một $n$-giác tùy ý được xây dựng như sau. Chúng ta hãy chia $n$-gon thành các hình tam giác, trong mỗi hình tam giác chúng ta tìm thấy trọng tâm. Sau đó, tại mỗi trọng tâm của tam giác, chúng ta đặt một khối lượng bằng diện tích của tam giác này. Trọng tâm của các khối lượng này sẽ là trọng tâm của đa giác ban đầu (Hình 2).

Tại sợi. Xây dựng trọng tâm của hình thang và trọng tâm của đường viền của nó; tương tự trong trường hợp ước số (đây là hai hình tam giác đều có đáy chung, các chân của chúng nằm trên hai cạnh đối diện của nó) của một hình ngũ giác không đều tùy ý.

Nhưng việc xây dựng một điểm - trọng tâm là một chuyện, và việc có thể tìm được khoảng cách từ điểm đó đến trục quay là một chuyện khác. Trong trường hợp bạn thành công (và trong các vấn đề ở trường và bài kiểm tra, điều này thường có thể được thực hiện), việc xác minh bằng định lý Gylden sẽ có thể thực hiện được.

Phần lớn Lời giải của bài toán được N. A. Rybkin đặt trong bài toán hình học (Phần 2, §24) có thể được xác minh bằng định lý Gülden.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại bài toán, nơi chúng ta đã bắt đầu bài viết và hiển thị nó lời giải (hoặc tốt hơn nữa, hãy kiểm tra lời giải) bằng cách sử dụng các định lý Gülden. Trước tiên chúng ta hãy tìm $R$ - khoảng cách từ trục quay đến trọng tâm (xem Hình 1):

$$OM = R = OK + KM = \frac{a \sqrt{3}}{3};$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3};$$

$$V = S \cdot 2\pi R = \frac{1}{2} \pi a^3.$$

Kiểm tra bằng định lý Gulden đáp số cho các bài toán số 3, 4, 6, 7, 9, 10 (§24 của cùng một bài toán).

Nhưng độ khó trung bình là bài toán điển hình.

Vấn đề 2*). Một tam giác đều, cạnh $a$, được vẽ xung quanh một trục đi qua toàn bộ đầu của cạnh đó một góc nhọn $a$ so với cạnh này. Xác định diện tích bề mặt của cơ thể y tế.

Đáp số: $2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha)$.

Chúng ta hãy hiểu nó bằng định lý Gylden. Từ $\Delta AOM$ (Hình 3)

$$R = AO \cdot \sin (30^\circ + \alpha) = \frac{a \sqrt{3}}{3} \times \sin (30^\circ + \alpha),$$

$$S = P \cdot 2\pi R = 2\pi a^2 \sqrt{3} \sin (30^\circ + \alpha).$$

*) P.V. Stratilatov, Lượng giác. Tài liệu bổ sung môn học hình học lớp 9, 10, M., “Khai sáng”, 1972, nhiệm vụ 294; P. V. Stratilatov, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác, M., “Khai sáng”, 1965, nhiệm vụ 553.

7

So sánh lời giải này với một cái thông thường và bạn sẽ đánh giá đầy đủ hơn tính ngắn gọn của séc.

Kiểm tra, sử dụng định lý Golden, đáp số cho các bài toán số 296 (555), 300 (559), 303 (585) (P.V. Stratilatov, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác).

Hãy để chúng tôi chỉ ra một số ứng dụng thú vị hơn của định lý Golden cho lời giải bài toán.

Bài toán 3*. Một đường đứt nét gồm n đoạn bằng nhau có độ dài a và được nối theo hình con rắn một góc α bạn với bạn. Xác định mặt tạo bởi đường thẳng này quanh trục đi qua một đầu của nó song song với đường nhị phân của α*).

lời giải truyền thống của bài toán này khá cồng kềnh, nó liên quan đến tổng của một cấp số cộng (chính xác hơn là n số lẻ đầu tiên) và chứng minh đầy đủ “dấu hoa thị” - một dấu hiệu của độ khó tăng dần, đứng cạnh số của nó. Trong khi đó, định lý Golden cho phép bạn giải bài toán rất ngắn gọn, gần như trong đầu bạn.

Trên thực tế, có thể dễ dàng nhận thấy trọng tâm của đường đứt ở khoảng cách $\frac{na}{2} \sin \frac{\alpha}{2}$ tính từ trục quay và chiều dài của đường đứt bằng na (Hình 4). Kể từ đây,

$$S = P \cdot 2\pi R = na \cdot \pi na \sin \frac{\alpha}{2} = \pi n^2 a^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Mặt khác, từ Hình 4, không khó để thấy lời giải bài toán thanh lịch bằng phương pháp truyền thống: dễ dàng chứng minh rằng bề mặt quay mong muốn bằng bề mặt bên của hình nón có đường sinh AM, đóng vai trò là sự tiếp nối của liên kết cuối cùng AB. Xét cho cùng, bề mặt quay của đoạn

*) N. A. Rybkin, Bộ sưu tập bài toán về lượng giác, M., Uchredgiz, 1956, § 23, bài toán 7.

Hình 4.

$BC'$ bằng bề mặt quay của đoạn $BC$ (các bề mặt này đối xứng với mặt phẳng vuông góc với trục quay và đi qua điểm $B$). Bề mặt quay của các đoạn $DC$ và $D'C'$ cũng bằng nhau (chúng được kết hợp bằng phép dịch song song). Vẫn còn phải tìm bề mặt bên của hình nón với hệ tọa độ AM:

$$S = \pi rl = \pi \left( na \sin \frac{\alpha}{2} \right) an = \pi a^2 n^2 \sin \frac{\alpha}{2}.$$

Đây là một bài toán khác.

Bài toán 4. Hình chữ nhật quay quanh một trục đi qua đỉnh của nó song song với đường chéo. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của vật xoay nếu đường chéo của hình chữ nhật là d và góc giữa hai đường chéo là φ.

8

Hình 5.

Ở đây diện tích của hình chữ nhật là $\frac{d^2}{2}\sin\varphi$, chu vi của nó bằng

$$2d\left(\sin\frac{\varphi}{2}+\cos\frac{\varphi}{2}\right)= =2\sqrt{2}d\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right),$$

và trọng tâm cách điểm quay một khoảng $R=\frac{d}{2}\sin\varphi$. Do đó, theo định lý Gulden

$$V=\frac{1}{2}\pi d^3\sin^2\varphi,$$

$$S=2\pi d^2\sqrt{2}\sin\varphi\sin\left(45^\circ+\frac{\varphi}{2}\right).$$

lời giải thông thường khá cồng kềnh: bạn cần tìm thể tích của hai hình nón cụt có bộ tạo BC và CD (Hình 5) mà không có thể tích của hai hình nón đầy đủ với bộ tạo AB và AD. Tuy nhiên, nếu chúng ta tiếp tục các cạnh BC và CD cho đến khi chúng giao nhau với trục quay tại các điểm M và N, thì thể tích cần thiết của một lớp vỏ đáng kể được tính bằng tổng thể tích của hai hình nón hoàn chỉnh có các sinh CM và CN mà không có thể tích thỏa đáng của vật thể được tạo thành bằng phép quay của tam giác ABM (tổng thể tích của các hình nón hoàn chỉnh với các điểm sinh AB và BM). Thể tích gấp đôi vì cần phải trừ tổng thể tích của các vật thu được từ phép quay của hai tam giác ABM và ADN. Nhưng một trong những hình tam giác này có thể được kết hợp với hình tam giác thứ hai bằng cách sử dụng sóng mang song song với trục. Do đó, thể tích của các vật quay này bằng nhau.

Theo cách tương tự, khi tính toán các bề mặt trong bài toán này, các bề mặt bên của hình nón cụt có thể được thay thế bằng các bề mặt bên của hình nón đầy đủ, điều này cũng làm giảm tính toán.

Phần sau đây của bài toán cũng cho phép chúng tôi sử dụng cho lời giải tất cả sự đơn giản hóa và lợi thế mà các định lý Gülden mang lại. Chúng tôi để nó cho người đọc quyết định.

Bài tập 5. Một hình thoi có cạnh a và góc nhọn α được cắt xung quanh ssi, đi ra ngoài hình thoi song song với cạnh đó một khoảng $\frac{a}{4}$ tính từ cạnh này. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của cơ thể lành bệnh.

Bài 6. Hình vuông ABCD cạnh a được sửa quanh một trục đi ra ngoài hình thoi song song với đỉnh A gần của hình vuông và tạo một góc α với cạnh AB. Xác định thể tích và diện tích bề mặt của cơ thể lành bệnh.

10

Hình 2. Hình 3.

Ở đâu
$$r^* = \frac{(n-1)r + r_n}{n} = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_{n-1} + r_n}{n}.$$

Do đó, phát biểu của bổ đề có giá trị đối với $n$ điểm trọng yếu. Quy nạp này chứng minh bổ đề.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh định lý đầu tiên của Golden. Trước hết, chúng ta sẽ chứng minh định lý này đúng nếu đường phẳng được thảo luận trong định lý là một đường gãy liên kết $n$ trong đó tất cả các liên kết có cùng độ dài $m$. Chúng ta biểu thị điểm giữa của các liên kết của đường đứt nét bằng $M_1, M_2, \dots, M_n$ và khoảng cách của các điểm này với đường thẳng $l$ bằng $r_1, r_2, \dots, r_n$ (Hình 2). Khi xoay đường đa giác đang được xem xét, vectơ cay $l$ tạo ra một bề mặt (Hình 3) bao gồm $n$ phần, mỗi phần tượng trưng cho bề mặt bên của một hình nón cụt. Vì bề mặt bên của hình nón cụt bằng tích của chiều dài của đường sinh và chu vi của phần giữa nên diện tích bề mặt quay thu được bằng
$$S = m \cdot 2\pi r_1 + m \cdot 2\pi r_2 + \dots + m \cdot 2\pi r_n.$$

Lưu ý rằng độ dài của đường đứt nét trong câu hỏi (Hình 2) bằng $P = nm$, chúng ta có thể viết lại biểu thức cho diện tích như sau:
$$S = P \cdot 2\pi R,$$
Ở đâu
$$R = \frac{r_1 + r_2 + \dots + r_n}{n}.$$

Nhưng trọng tâm của đường đứt nét, tức là trọng tâm của hệ điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$, trong đó mỗi điểm có khối lượng $m$ tập trung, theo bổ đề, được tách khỏi đường thẳng $l$ một khoảng $R$. Điều này có nghĩa là trong trường hợp cụ thể đang được xem xét, định lý đầu tiên của Golden là đúng.

Bây giờ chúng ta chuyển sang trường hợp tổng quát. Đặt $K$ là một đường thẳng và $\Pi$ bề mặt thu được bằng cách xoay liline $K$ xung quanh vị cay $l$. Chúng ta hãy trải rộng các chân của la bàn ở một khoảng cách nhất định $m$ và bắt đầu từ một đầu của đường liline $K$, đánh dấu dọc theo đường liline $K$ (Hình 4) nhiều lần nhất có thể. Bằng cách kết nối tuần tự các điểm thu được bằng cách tạo các serif này, chúng ta thu được một đường gãy $L$, nội tiếp trong dòng liline $K$ và tất cả các liên kết của đường gãy $L$ có cùng độ dài $m$ (Hình 5). Khi xoay đường gãy $L$ xung quanh vị cay $l$ sẽ thu được bề mặt $T$, nội tiếp trên bề mặt $\Pi$.

Như chúng ta đã biết, diện tích $S$ của bề mặt $T$ được tính theo công thức (1), trong đó $P$ là chiều dài của đường thẳng $L$, và $R$ là khoảng cách từ trọng tâm của đường thẳng $L$ đến đường thẳng $l$. Trong cách xây dựng này bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng $m \to 0$. Sau đó

11

Độ dài $P$ của đường gãy $L$ sẽ có xu hướng bằng chiều dài của đường đứt $K$, diện tích bề mặt $T$ sẽ có xu hướng bằng diện tích bề mặt $\Pi$ và trọng tâm của đường đứt nét $L$ sẽ tiến đến trọng tâm của đường đứt $K$. Vì $L$ đúng với đường đứt nét, nên khi chuyển đến giới hạn tại $m \to 0$, chúng ta thấy rằng sự tương ứng (1) cũng đúng cho đường $K$. Điều này hoàn thành việc chứng minh định lý đầu tiên của Gülden.

Bây giờ chúng ta chuyển sang chứng minh định lý thứ hai của Gülden. Trước hết, hãy xem xét một quả bóng, tức là một vật thu được bằng cách xoay một mảnh hình chữ nhật xung quanh một đường thẳng không cắt mảnh hình chữ nhật và song song với hai cạnh của nó (Hình 6). Thể tích của máy giặt có thể được tính dễ dàng bằng hiệu giữa thể tích của hai xi lanh. Chúng tôi mời người đọc tính toán độc lập thể tích này $V$ và đảm bảo rằng định lý thứ hai của Gülden đúng cho quả bóng,

$$V = S \cdot 2\pi r,$$

(3)

trong đó $S$ là diện tích của hình chữ nhật quay và $r$ là khoảng cách từ trọng tâm của nó đến trục quay $l$.

Bây giờ, giả sử $F$ là một hình phẳng có diện tích $S$ và $l$ là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng của nó và không cắt hình $F$. Chúng ta hãy lấy một số tự nhiên tùy ý $n$ và vẽ các đường thẳng $n - 1$, giao nhau $l$ và chia hình $F$ thành $n$ “lát”, mỗi lát có cùng diện tích $\frac{1}{n} S$ (Hình 7). Mỗi “thùy” được giới hạn bởi hai đoạn vuông góc với $l$ và hai cung nối các đầu của các đoạn này. (Đúng, nếu hình $F$ không lồi, thì có thể có các “thùy” phức tạp hơn, chẳng hạn như trong Hình 8; tuy nhiên, các phép tính được thực hiện cũng được áp dụng cho trường hợp này.) Chúng ta hãy thay thế các cung này bằng các đoạn song song với $l$, sao cho diện tích không thay đổi (nghĩa là sao cho “thùy” biến thành một hình chữ nhật có cùng diện tích $\frac{1}{n} S$). Thực hiện xong thao tác này với mỗi “thùy”, chúng ta sẽ biến $F$ thành hình “bậc thang” $G$, không khác nhiều so với hình $F$. Hình $G$ được tạo thành từ $n$ hình chữ nhật, mỗi hình chữ nhật có diện tích $\frac{1}{n} S$. Trọng tâm của các đường thẳng này

12

Chúng ta hãy biểu thị các vị thánh bằng $M_1, M_2, \dots, M_n$ (Hình 9) và khoảng cách của họ với đường thẳng $l$ bằng $r_1, r_2, \dots, r_n$.

Khi hình $F$ được biểu thị xung quanh đường $l$, thu được phần thân $X$, thể tích của nó cần được tìm thấy và khi hình $G$ được biểu thị xung quanh đường $l$, thu được phần thân $Y$, khác một chút so với phần thân $X$. Vì hình $G$ được tạo thành từ $n$ hình chữ nhật nên phần thân $Y$ được tạo thành từ $n$ vòng đệm. Bằng cách tính thể tích của mỗi vòng đệm theo công thức (3), người ta dễ dàng tìm được thể tích $V$ của thân $Y$:

$$V = \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_1 + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_2 + \dots + \frac{1}{n} S \cdot 2\pi r_n,$$

đó là

$$V = S \cdot 2\pi R,$$

(4)

trong đó $R$ được tính bằng công thức (2). Bây giờ chúng ta lưu ý rằng trọng tâm của diện tích hình $G$, tức là trọng tâm của hệ điểm $M_1, M_2, \dots, M_n$, trong đó mỗi điểm có khối lượng $\frac{1}{n} S$ tập trung, theo bổ đề, được tách ra khỏi đường thẳng $l$ ở khoảng cách $R$. Do đó, công thức (4) có nghĩa là đối với hình $G$ Định lý thứ hai của Golden là đúng.

Trong cách xây dựng này bây giờ chúng ta sẽ giả sử rằng $n \to \infty$. Khi đó thể tích của vật $Y$, do biểu thức của hình $G$, sẽ hướng về thể tích của vật $X$, và trọng tâm của diện tích hình $G$ sẽ hướng về trọng tâm của hình $F$. (Lưu ý rằng diện tích của các hình $F$ và $G$ là như nhau.) Vì với bất kỳ $n$ nào, sự tương ứng (4) cho hình $G$ là hợp lệ, nên, đi tới giới từ tại $n \to \infty$, chúng ta sẽ thấy rằng sự tương ứng (4) cũng đúng cho hình $F$. Những điều này hoàn thành việc chứng minh định lý thứ hai của Golden.

Định lý thứ hai của Golden có thể được coi là định lý “ba chiều” của Golden, vì nó nói về thể tích của một vật quay. Định lý đầu tiên của Golden có thể được gọi là “hai chiều”, vì nó nói về diện tích bề mặt quay. Bằng cách tương tự, chúng ta có thể xây dựng “định lý Vàng một chiều”:

Cho một số điểm trong mặt phẳng nằm về một phía của đường thẳng $l$. Khi đó tổng chiều dài $C$ của đường tròn nhận hệ điểm này quanh đường thẳng $l$ bằng tích của số điểm với chiều dài của đường tròn, bán kính của đường tròn đó được xét từ trục quay $l$ đến tâm mềm của hệ điểm này:

$$C = n \cdot 2\pi R,$$

food $n$ là số điểm, và $R$ là khoảng cách từ tâm mềm đến trục quay.

Người đọc có thể dễ dàng tự mình chứng minh định lý đơn giản này.

Điều tò mò là cả ba định lý Golden (ba chiều, hai chiều và một chiều) đều có thể được kết hợp trong một công thức. Nó được thực hiện như thế này. Chúng ta sẽ gọi một hình không chiều là bất kỳ tập hợp nào chứa một số hữu hạn các điểm. Hơn nữa, thể tích không chiều của hình không chiều là số điểm của hình này. Đường điều kiện được gọi là hình một chiều; chiều dài của đường thẳng sẽ được gọi là thể tích một chiều của nó. Các bề mặt (hình phẳng một phần) được gọi là hình hai chiều và diện tích của một bề mặt được gọi là thể tích hai chiều của nó. Cuối cùng, chúng ta sẽ gọi các vật thể là hình ba chiều và thể tích của một vật thể cũng sẽ được gọi là thể tích ba chiều của nó.

Định lý vàng. Đặt một hình $(k - 1)$ chiều $F$ nằm trong mặt phẳng ở một phía của đường thẳng $l$ (ở đây $k$ là bất kỳ số nào trong số 1, 2, 3). Bằng $S$, chúng ta biểu thị thể tích $(k - 1)$ chiều của hình $F$ và bằng $R$, chúng ta biểu thị khoảng cách từ tâm mềm của nó đến đường thẳng $l$. Khi xoay hình $F$ quanh đường $l$, thu được hình đầu cuối k, thể tích đầu cuối k của nó được thỏa mãn theo công thức:

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

Với $k = 3$ điều này mang lại định lý “ba chiều” của Golden; với $k = 2$ và 1, chúng tôi thu được (chỉ trong đó ký hiệu

13

niah) các định lý “hai chiều” và “một chiều”.

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý (đối với người đọc đã quen với các khái niệm về hình học đa chiều) rằng công thức tổng quát ở trên của định lý Gülden có thể áp dụng cho không gian ενClidean $n$ chiều - chỉ cùng với mặt phẳng trên, chúng ta mới xem xét mặt phẳng $(n-1)$ chiều, và vì $l$ chúng ta phải lấy mặt phẳng $(n-2)$ chiều. Số $k$ trong định lý này (trong trường hợp không gian $n$ chiều) có thể thuộc bất kỳ giá trị nào trong các giá trị 1, 2, . . . , $n$.

Và để không làm khó chịu những độc giả không quen thuộc với các khái niệm hình học đa chiều, chúng tôi xây dựng định lý kết quả cho $n=2$ (nghĩa là đối với trường hợp mặt phẳng).

Định lý Gylden trên mặt phẳng. Cho có một hình $(k-1)$ chiều $F$ (ở đây $k$ là bất kỳ số nào trong số 1, 2) nằm trên một đường thẳng về một phía của điểm $O$. Bằng $S$, chúng ta biểu thị thể tích $(k-1)$ chiều của hình $F$ và bằng $R$, chúng ta biểu thị khoảng cách từ tâm của nó đến điểm $O$. Khi xoay hình $F$ quanh điểm $O$, thu được hình $k$ chiều, thể tích $k$ chiều được tính theo công thức

$$V = S \cdot 2\pi R.$$

Đặc biệt, $k$ cho $k=1$ (nghĩa là trong trường hợp hình $F$ bao gồm nhiều đoạn, Hình 10), công thức này cho phép bạn tính tổng diện tích của một số bánh xe đồng tâm.

Khác nhau bài toán

1. Loại bỏ $x, y, z$ khỏi phương trình
   $$xy (x+y)=c,$$
   $$yz (y+z)=a,$$
   $$zx (z+x)=b,$$
   $$xyz=d.$$

2. Vẽ một tam giác $ABC$ ($BC>AB>CA$) khi biết góc $A$ và tổng độ dài các cạnh $AB+BC$ và $AB+AC$.

3. Giải hệ phương trình
   $(ax)^{1/2}a=(by)^{1/2}b,$
   $b^{1/2}x=a^{1/2}y.$

4. Tìm thương số chia cho $p-1$ của một số được viết trong hệ số $p$ sử dụng đơn vị $p-1$ (tức là số 111…1). Thương số này được viết như thế nào trong hệ thống số $p$-ary?

5. Ba điểm $A, B$ và $C$ nằm trên cùng một đường thẳng. Một đường tròn có tâm tại điểm $A$ được dựng. Tìm vị trí hình học của giao điểm của các đường nối các điểm $B$ và $C$ với các điểm động đối diện của đường tròn.

6. Ba đường tròn đi qua các điểm $M$ và $N$. Tìm quỹ tích các điểm $P$ sao cho các tiếp tuyến $PA, PB$ và $PC$ vẽ từ điểm $P$ đến các đường tròn này ($A, B, C$ là các điểm tiếp tuyến) thỏa mãn hệ thức $PA \cdot PB = k \cdot PC^2$.

7. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố thì $C_{p-1}^m$ chia cho $p$ có ​​số dư là $(-1)^m$.

8. Chứng minh rằng nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn ba thì $\frac{1}{2} C_{p/2}^p - 1$ chia hết cho $p^3$.

14

điện tử
di chuyển với đào tạo
M. I. Kaganov, G. Ya. Luvarsky

Giới thiệu
Từ “ma sát” gợi nhớ đến các bộ phận chuyển động của máy móc, xe trượt trượt trên sườn dốc đầy tuyết và thiên thạch nóng lên khi chúng bay qua bầu khí quyển. Trong một trường hợp, không thể làm được nếu không có trenya, trong trường hợp khác, họ làm mọi cách có thể để thoát khỏi nó. Vận động viên trượt tuyết slalom và kỹ sư thiết kế phải tính toán mọi thứ; Bởi vì một người qua đường phàn nàn về việc thiếu phương tiện giao thông và các nhà vật lý tại LAB đang tìm cách giảm lượng phương tiện giao thông ít nhất một phần trăm. Nhưng có lẽ, bất kể ai nghĩ về ma sát, mọi người đều tưởng tượng ra một loại vật thể vĩ mô nào đó (chân, bánh xe, tàu hơi nước) tương tác với môi trường hoặc với các vật thể khác.

Có thể nói về ma sát trong quá trình chuyển động của một hạt vi mô, ví dụ như electron không?

Trong bài viết này chúng ta sẽ xem xét sự chuyển động của các electron trong kim loại. Người ta biết rằng các electron thực hiện chuyển động ngẫu nhiên, hỗn loạn. Nhưng nếu một dòng điện chạy qua một dây dẫn thì ngoài chuyển động nhiệt còn có chuyển động có hướng của các electron.

Rất khó để mô tả hành vi của từng electron riêng lẻ. Do đó, chúng ta sẽ thay thế chuyển động của tất cả các hạt bằng một dòng gồm các hạt “trung bình” giống hệt nhau chuyển động theo cùng một hướng với cùng tốc độ trung bình. Điều này có thể thực hiện được vì với việc cộng vectơ tất cả tốc độ của chuyển động mắt

các hướng khác nhau cộng lại bằng 0 và chỉ tốc độ chuyển động có hướng của các electron dưới tác dụng của dòng điện là giữ nguyên. Hóa ra là bằng cách xem xét dòng electron “trung bình”, người ta không chỉ có thể hiểu các quá trình xảy ra trong kim loại mà còn rút ra được công thức chính xác mô tả các quá trình này. Tất nhiên, việc xem xét “trung bình” như vậy sẽ đơn giản hơn so với việc xem xét chi tiết.

Khí điện tử
Việc kim loại là chất dẫn điện tốt từ lâu đã dẫn đến ý tưởng rằng có các electron tự do trong kim loại.

Có nhiều electron tự do. Có khoảng $10^{22} \div 10^{23}$ chúng trong một cm khối kim loại. Giống như các phân tử trong chất khí, chúng chuyển động không ngừng. Đó là những gì họ nói: “khí điện tử” hoặc “khí điện tử dẫn”. Đúng, tính chất của khí này khác biệt đáng kể so với tính chất của khí thông thường. Khí electron trong kim loại tuân theo định luật cơ học lượng tử. Trong tất cả các tính chất (lượng tử) cần thiết của khí điện tử, có một điều quan trọng đối với chúng ta: tốc độ xaotic trung bình của chuyển động của electron trong kim loại phụ thuộc rất ít vào nhiệt độ và đối với hầu hết các kim loại là xấp xỉ bằng $<v> \approx 10^8 \text{ cm/c}^*$.

Điện tử “trung bình”
Nếu có dòng điện chạy qua một dây dẫn kim loại, điều đó có nghĩa là có một hiệu điện thế đặt vào nó và có một tỷ lệ đơn giản giữa dòng điện $I$ và hiệu điện thế $U$

$$I = \frac{U}{R}.$$

Đây là định luật ký hiệu Ohm.

*) Chúng ta đang nói về tốc độ bình phương trung bình gốc: $<v> = \sqrt{\frac{v^2}{c^2}}$; Thanh phía trên $v^2$ sau đây biểu thị giá trị trung bình số học.

Điện trở $R$ tỷ lệ thuận với chiều dài của dây dẫn $L$ và tỷ lệ nghịch với diện tích mặt cắt ngang của nó $S$:

$$R = \frac{\rho L}{S}.$$

Hệ số tỷ lệ $\rho$ (điện trở suất) chỉ phụ thuộc vào ma trận của dây dẫn và vào các điều kiện đặt dây dẫn này (ví dụ: nhiệt độ của nó là bao nhiêu). Số lượng $1/\rho$ thường được ký hiệu bằng chữ $\sigma$. Đây là độ dẫn điện cụ thể. Nếu chúng ta đưa vào mật độ dòng điện $j = \frac{I}{S}$ và điện áp điện trường $E = \frac{U}{L}$ thì định luật Ohm sẽ được viết lại dưới dạng vi phân *)

$$j = \sigma E.$$

Các đại lượng nêu ở (1) không phụ thuộc vào kích thước hình học của dây dẫn. Các chữ cái $j$ và $E$ được in đậm để thể hiện hướng của điện trường và mật độ dòng điện là vectơ.

Vì điện tích mang các electron (điện tích của mỗi đơn vị tĩnh điện 电极a $e \approx 4,8 \cdot 10^{-10}$ **), $[e] = \frac{e^{1/2} c m^3/2}{c}$), nên mật độ dòng điện có thể được biểu thị thông qua số lượng electron trên một đơn vị thể tích ($n \approx 10^{23} \text{ cm}^{-3}$) và trung bình số học của tốc độ của chúng $\bar{v}$:

$$\bar{v} = en \bar{v}.$$

Dòng điện chạy qua kim loại; có dòng điện tử định hướng; $\bar{v}$ là tốc độ của dòng chảy này.

Công thức (2) có thể được “đọc” hơi khác một chút mà không cần tính đến sự xáo trộn

*) Xem bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Định luật Ohm” (“Quant” số 4, 1971).

**) Trong bài viết này chúng ta sẽ sử dụng hệ thống SGSE, trong đó các đơn vị đại lượng điện (điện tích, dòng điện, điện trường và từ trường có hướng) được biểu thị thông qua các đơn vị cơ học ($cm, \text{z}, \text{c}$).

16

chuyển động tịnh tiến của electron. Có $n$ electron trong mỗi cm khối kim loại và tất cả chúng đều chuyển động với tốc độ $\bar{v}$. Việc thay thế các electron chuyển động ngẫu nhiên, “bị hút” bởi một điện trường đặt vào kim loại, bằng các electron “trung bình” chuyển động giống hệt nhau được thực hiện để đơn giản hóa nhằm dễ dàng nghiên cứu các tính chất của dây dẫn hơn.

Từ phía điện trường tác dụng lên dây dẫn một lực bằng

$$F = eE. \tag{3}$$

Từ các công thức (1), (2) và (3) suy ra rằng tốc độ của electron “trung bình” tỉ lệ với lực tác dụng:

$$\bar{v} = \frac{\sigma}{e^2n} F, \tag{4}$$

nghĩa là electron “trung bình” chuyển động theo các định luật cơ học của Aristotle *). Cơ học của Aristotle mô tả chính xác chuyển động trong trường hợp một vật chuyển động có ma sát và lực không đổi tác dụng được cân bằng bởi lực ma sát. Do đó, electron “trung bình”, dưới tác dụng của điện trường, di chuyển qua kim loại có ma sát.

Tính cơ động

Đặc điểm chính của hạt trong cơ học Aristoteles là tính di động của chúng $u$ - tốc độ của hạt dưới tác dụng của một lực đơn vị. Theo công thức (4), độ linh động của electron “trung bình” là $\sigma/e^2n$.

Không giống như tốc độ trung bình, khả năng di chuyển không phụ thuộc vào độ lớn của lực tác dụng.

Thật tốt khi không thể hiện độ linh động thông qua độ dẫn điện cụ thể, mà ngược lại, thể hiện độ dẫn điện cụ thể thông qua độ linh động:

$$\sigma = ne^2u. \tag{5}$$

*) Xem bài viết của M. I. Kaganov, G. Ya. Lyubarsky “Về cơ học của Aristotle” («Kvant» Số 8, 1972).

Câu hỏi có thể được đặt ra: tại sao biểu diễn một đặc tính của kim loại (độ dẫn điện $\sigma$) theo hai đặc tính khác?

Điều này được thực hiện vì các đại lượng $n$ và $u$ xác định các đặc tính độc lập khác nhau của kim loại, người ta có thể nói. Số lượng electron tự do trên một đơn vị thể tích $n$ thực tế không thay đổi theo nhiệt độ và phụ thuộc rất ít vào trạng thái của mẫu kim loại nhất định (đơn tinh thể hoặc đa tinh thể, rất tinh khiết hoặc có một lượng nhỏ tạp chất). Độ linh động $u$ đặc trưng cho cường độ cản trở của môi trường đối với chuyển động của các electron. Khi nhiệt độ thay đổi, nó có thể thay đổi theo ma sát hàng nghìn lần; sự gia tăng đáng kể tính di động khi làm sạch kim loại khỏi tạp chất. Số lượng electron $n$ và độ linh động $u$ cho phép xác định bằng thực nghiệm độc lập.

Một điều nữa cần được nhấn mạnh. Việc đưa ra tính di động có nghĩa là định nghĩa về sự thâm nhập trong ứng dụng tính dẫn điện: công thức (5) chỉ có quyền tồn tại nếu dòng điện được mang bởi các electron. Toàn bộ tập hợp các dữ kiện thực nghiệm xác nhận quan điểm này.

hiệu ứng Hall

Nếu một dây dẫn có dòng điện chạy qua được đặt trong từ trường B như trên hình thì sẽ xuất hiện một hiệu điện thế theo hướng của trục $y$ tỷ lệ thuận với độ lớn của dòng điện và từ trường. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall.

Ngoài lực tác dụng từ phía điện trường, electron nằm trong vật dẫn có dòng điện còn chịu tác dụng của lực Lorentz

$$F = \frac{e}{c} vB \sin(\hat{v}B);$$

hướng của nó vuông góc với vận tốc $v$ và từ trường $B$.

Electron “trung bình” cũng bị ảnh hưởng bởi lực Lorentz, độ lớn của lực này là

18

Tính tốc độ của electron “trung bình”, chẳng hạn, khi một dòng điện chạy qua kim loại, mật độ của nó bằng $1 \, a/mm^2$*).

Nếu bạn không mắc lỗi trong tính toán của mình, thì có lẽ bạn đã bị ấn tượng bởi tốc độ trung bình thấp đến mức nào: dưới tác dụng của điện trường, khí electron di chuyển chậm dọc theo dây dẫn. Tất nhiên, điều này không hề mâu thuẫn với tuyên bố rằng tốc độ trung bình của chuyển động hỗn loạn là rất cao.

Thời gian dùng thử miễn phí

Việc một dòng điện không đổi chạy qua dây dẫn dưới tác dụng của một trường không đổi chứng tỏ rằng các electron, thu năng lượng từ điện trường, truyền năng lượng đó cho kim loại (chính xác hơn là: mạng tinh thể của kim loại); Trong kim loại, khi có dòng điện chạy qua sẽ tỏa ra nhiệt lượng (gọi là nhiệt Joule). Để không mâu thuẫn với tuyên bố đã nêu trước đây về sự tự do của các electron trong kim loại (chúng ta sẽ kiểm tra nó sớm!), chúng ta hãy giả sử rằng mỗi electron chuyển động trong một thời gian $\tau$ dưới tác dụng của một từ trường bên ngoài, và sau đó, trong một hành động va chạm ngắn với một vật nào đó, sẽ tỏa ra năng lượng thu được từ điện trường ($\tau$ - thời gian chuyển động tự do của electron). Vì gia tốc của electron là $eE/m$ nên tốc độ tăng theo thời gian $\tau$ là $\frac{e\tau}{m} E$ và dòng điện trung bình là **)

$$j = \frac{ne^2\tau}{m} E.$$ (8)

So sánh công thức này với công thức (1) và (5), ta thấy

$$\rho = \frac{m}{ne^2\tau}; \quad u = \frac{\tau}{m}.$$ (9)

*) Việc xác định bằng thực nghiệm vận tốc của hạt mang điện được mô tả trong bài viết của V.V. Mayer “Nonna di chuyển với tốc độ bao nhiêu” (“Lượng tử” số 4, 1973).
**) Công thức (8) có thể được rút ra chính xác hơn nhiều. Hãy thử làm điều này, xem xét các electron đi qua một mặt phẳng nằm vuông góc với vectơ $E$.

Đây là những công thức rất quan trọng. Họ liên kết các đại lượng vĩ mô (điện trở suất, độ linh động) với các thông số đặc trưng cho chuyển động của từng electron. Tuy nhiên, không nên quên rằng $\tau$ cũng là một đặc điểm trung bình.

Thay vì thời gian chạy miễn phí, đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng thời gian chạy miễn phí mà chúng tôi có thể hiểu được:

$$l = <v>\tau,$$ (10)

$l$ là khoảng cách mà một electron di chuyển (trung bình) giữa hai lần va chạm, $<v>$ là tốc độ trung bình của chuyển động hỗn loạn của các electron. Đối với khí điện tử, như chúng ta đã nói, $<v>$ không phụ thuộc vào nhiệt độ và sự phụ thuộc vào nhiệt độ $l$ và $\tau$ trùng khớp.

Bây giờ hãy kiểm tra xem các electron có thực sự được coi là tự do hay không. Ở trên chúng tôi đã tính toán độ linh động của điện tử của đồng. Hóa ra nó bằng $6 \cdot 10^{12} \, c/e$. Từ đây và từ công thức (9) và (10) suy ra:

$$\tau \approx 2 \cdot 10^{-14} \, c; \quad l \approx 2 \cdot 10^{-6} \, cm,$$ (11)

kể từ $m \approx 10^{-27} \, e$ và $<v> \approx 3 \cdot 10^8 \, cm/c$.

Các giá trị $\tau$ và $l$ hoàn toàn xác nhận ý tưởng của chúng tôi về sự tự do của các electron dẫn: giữa hai electron stolnov có một khoảng cách tăng theo kích thước của nguyên tử! Khi nhiệt độ giảm, độ dẫn điện của kim loại trở lại, độ linh động của các electron trở lại và do đó, thời gian tích điện tự do quay trở lại - sự tự do của electron được thể hiện rõ ràng hơn.

Có thể thay đổi vô thời hạn thời gian chạy tự do của các electron $\tau$ hoặc độ dài chạy tự do của chúng $l$ không? Khi trả lời câu hỏi này, chúng ta không được quên rằng trong một thí nghiệm, chúng ta luôn xử lý tất cả các electron cùng một lúc - chỉ với một mẫu kim loại (dây, tấm). Hay nói cách khác, chúng ta theo dõi chuyển động của electron “trung bình”,

20

Về việc đổ đầy và mua chai

M. L. Gerver

Mọi người đã xong: anh ấy đã hâm nóng bữa tối,
Vystro ngồi xuống - ngồi xuống học bài,
«Kvant» đọc - chà đạp bóng đá…
Cối xay. “Sương mù, hay những câu chuyện về đầu mũi tên”

Một người làm rất nhiều việc khác nhau mỗi ngày. Anh ấy đến trường vào buổi sáng (nếu anh ấy là học sinh), trở về nhà - bữa trưa đã được hâm nóng, v.v. (xem phần ngoại truyện). Bạn thường có thể trao đổi mọi thứ xung quanh: đầu tiên là chơi bóng đá - sau đó làm bài tập về nhà, ăn trưa trước - sau đó khởi động…

Dừng lại! Có điều gì đó không ổn trong bữa tối - không phải mọi thứ trên thế giới đều có thể sắp xếp lại được.

Điều này cũng áp dụng cho những việc phục vụ hoàn toàn: cần cẩu tầm cao không liên quan gì đến công trường cho đến khi đặt xong móng nhà; Không thể cùng lúc cày, lưới, đập lúa “để giảm thời gian”…

Thực tế là sự chậm trễ trong một nhiệm vụ có thể cản trở việc bắt đầu những nhiệm vụ khác phải được tính đến khi lập kế hoạch - ví dụ: khi ước tính lượng lớn thời gian mà một nhóm lớn các công việc có liên quan đến nhau sẽ cần. Sự thay thế sử dụng một ví dụ hài hước để cho thấy loại bài toán toán học nào có thể gặp trong trường hợp này.

1. Sản xuất bài toán

Họ mang chai đến dây chuyền tự động, rất nhiều: N cái. Và có 2 máy trên đường dây: I và II. Tôi đổ đầy chai, II – mua hàng

21

gầm lên. Các chai có khác nhau: cổ rộng và cổ hẹp, cao, bụng bầu là không chuẩn. Đối với mỗi chai, chúng tôi biết phải mất bao lâu để đổ đầy và mất bao lâu để niêm phong nó.

Dây chuyền tự động sẽ hoạt động trong bao lâu kể từ khi chai đầu tiên bắt đầu được đổ đầy cho đến khi chai cuối cùng được đóng nắp? Điều này phụ thuộc vào thứ tự các chai sẽ rơi vào máy (ví dụ: đối với 6 chai thì có $P_6=720$ đơn hàng như vậy). Vì vậy, có hai câu hỏi nảy sinh:

Làm thế nào để xác định nhanh thứ tự thời gian vận hành của dây chuyền sẽ ngắn nhất? Và con số trong thời gian ngắn nhất này là bao nhiêu?

2. Ví dụ số

Hãy bắt đầu với một ví dụ: đường đi của một lô 6 chai được đặc trưng bởi bảng 1.

Chúng ta hãy cố gắng cho các chai vào máy theo đúng thứ tự được chỉ định trong bảng: đầu tiên là chai thứ 1, sau đó là chai thứ 2, v.v. cho đến chai thứ 6. Sau đó máy móc sẽ hoạt động như thế này.

Sau 7 giây, máy rót sẽ rót đầy chai thứ 1 (Hình 1), sau 7 + 9 = 16 s. - Lần thứ 2, sau 16 + 3 = 19 giây. - Lần thứ 3, sau 19 + 2 = 21 giây. - Lần 4, sau 21 + 11 = 32 s. - Lần thứ 5, sau 32 + 5 = 37 s. - thứ 6*).

Máy đóng nắp sẽ làm xong chai thứ nhất trong thời gian 7 + 10 = 17 giây. và chỉ khi đó anh ta mới có thể lấy chai thứ hai (do đó, chai này sẽ đầy trong cả giây). Anh ta sẽ uống hết chai thứ 2 trong 17 + 8 = 25 giây. (như vậy chai thứ 3 sẽ được tha trong khi chờ nút chai 6 giây). Sau 25 + 1 = 26 giây. chai thứ 3 sẽ mở nút trong 26 + 4 = 30 s. - Thứ 4. Bây giờ máy niêm phong có thể lấy chai thứ 5, nhưng chai đó, như chúng ta biết, vẫn chưa đầy nên máy mất 2 s. tha thứ mà không làm gì cả. Sau 32 + 6 = 38 giây. chai thứ 5 sẽ được đóng nút và sau 38 + 12 = 50 s, cuối cùng là chai thứ 6.

Hãy xây dựng bảng phụ 2.

*) Người ta tin rằng, sau khi đổ đầy chai, máy có thể bắt đầu đổ đầy vào lần tiếp theo mà không lãng phí một giây nào.

22

Các số trong cột đầu tiên của nó đã quen thuộc với chúng ta: nó được viết ở đây trong bao nhiêu giây máy sẽ đổ đầy chai đầu tiên, hai chai đầu tiên, ba chai đầu tiên, v.v. Cột này có được bằng cách cộng tuần tự (từ trên xuống dưới) các số trong cột thứ hai của bảng 1. Sẽ thuận tiện hơn khi đọc cột thứ hai của bảng 2 từ trên xuống dưới: để có được cột này, hãy cộng các số từ cột thứ ba của bảng 1. Cột thứ ba 2 là tổng của hai cột đầu tiên của nó. cột.

Cột thứ hai của Bảng 2 có ý nghĩa như sau: nếu máy II làm việc mà không quét thì nó sẽ đóng nắp tất cả các chai trong 41 giây; nếu anh ta đóng nút tất cả các chai bắt đầu từ chai thứ 2 mà không nhìn, anh ta sẽ mất 31 giây.; Phải mất 23 giây để đóng nút mà không cần dùng hết chai, bắt đầu từ chai thứ 3. vân vân.

Trong ví dụ của chúng tôi, máy II chỉ hoạt động mà không xem sau khi chai thứ 5 chạm vào nó. Sau đó nó được nộp (xem hàng 5 của Bảng 2) sau 32 giây. sau khi bắt đầu hoạt động của dây chuyền tự động; sau đó, máy II làm việc trong 18 giây nên toàn bộ dây chuyền vận hành kéo dài 50 giây. (xem cột thứ ba của Bảng 2).

Trong đoạn 5, chúng ta sẽ quay lại ví dụ này và bây giờ chúng ta sẽ trình bày cách tính thời gian hoạt động của dây chuyền tự động trong trường hợp chung - với điều kiện là thứ tự cấp chai cho ăn trên dây chuyền được chỉ định.

3. Thời gian vận hành đường dây tự động

Trong ví dụ của chúng tôi, 50 giây. là số lớn nhất trong cột thứ ba của Bảng 2. Điều này không phải ngẫu nhiên: điều sau đây đúng.

Phát biểu 1. Đặt thời gian đổ đầy và đóng nắp chai theo bảng 3 và để các chai rơi vào máy theo thứ tự được chỉ định trong bảng này. Hãy xây dựng bảng phụ 4 dựa trên bảng 3 (tương tự cách làm ở trên, bảng 2 được xây dựng từ bảng 1).

Khi đó thời gian vận hành của dây chuyền tự động bằng số lớn nhất ở cột thứ 3 Bảng 4.

Bằng chứng. Hãy vẽ hai đường thẳng nằm ngang: I và II (Hình 2.) Trên đường thẳng I chúng ta sẽ đặt sang một bên (tiếp theo

23

ở bên phải) các đoạn $P_0P_1, P_1P_2, \dots, P_{N-1}P_N$ (có độ dài $a_1, a_2, \dots, a_N$). Trên đường thẳng $II$, chúng ta vẽ (cũng từ trái sang phải) các đoạn $H_1K_1, H_2K_2, \dots, H_NK_N$ (có độ dài $b_1, b_2, \dots, b_N$). Chúng tôi sẽ đặt điểm $H_1$ trên cùng một chiều dọc với $P_1$, và sau đó - đối với bất kỳ $i$, $1 < i \leq N$ nào - chúng tôi sẽ đặt điểm $H_i$ trên cùng một chiều dọc với các điểm đúng hơn từ các điểm $P_i$ và $K_{i-1}$ (điều này tương ứng với thực tế là máy $II$ bắt đầu làm tắc chai tiếp theo khi nó đã đầy và khi chai trước đó đã bị đóng nút). Chúng ta hãy chiếu trực giao trên trục thời gian ngang $t$ các điểm $P_0, P_1, \dots, P_N$ vào các điểm $O, A_1, \dots, A_N$ và điểm $K_N$ vào điểm $T_N$. Rõ ràng $T_N$ là thời gian hoạt động của dây chuyền tự động trong trường hợp ta đang xét.

Độ dài đoạn $A_iT_N$ trên trục $t$ sẽ được ký hiệu là $C_i$ $i=1, \dots, N$; thì $T_N = A_i + C_i$.

Có thể có khoảng cách giữa các đoạn $H_1K_1, H_2K_2, \dots, H_NK_N$ trên đường $II$ và điểm $H_i$ nằm trên cùng một chiều dọc với $P_i$ hoặc ở bên phải; do đó $C_i \geqslant B_i = b_i + b_{i+1} + \dots + b_N$. Do đó, $T_N \geqslant A_i + B_i$ ($i=1, \dots, N$).

Hãy lấy khoảng cách ngoài cùng bên phải giữa các đoạn $H_iK_i$. Ở bên phải của nó là các đoạn $H_nK_n, H_{n+1}K_{n+1}, \dots, H_NK_N$, tạo thành một đoạn “rắn” (không có khoảng trống) *) có chiều dài $B_n$. Vì $H_n$ không trùng với $K_{n-1}$ (chúng cách nhau một khoảng cách) nên $H_n$ nằm trên cùng một chiều dọc với $P_n$ và $A_n$. Vì vậy, $T_N = A_n + B_n$.

Do đó, $T_N$ bằng giá trị lớn nhất của các số $A_i + B_i$ ($i=1, \dots, N$). Mệnh đề 1 đã được chứng minh.

Bảng 4 được xây dựng từ bảng 3 đã cho cực kỳ nhanh chóng: 2 cột đầu tiên

$$\begin{array}{c c c} a_1 = A_1 & B_2 + b_1 = B_1 & A_1 + B_1 \\ A_1 + a_2 = A_2 & B_3 + b_2 = B_2 & A_2 + B_2 \\ A_2 + a_3 = A_3 & B_4 + b_3 = B_3 & A_3 + B_3 \\ \dots & \dots & \dots \\ A_{N-3} + a_{N-2} = A_{N-2} & B_{N-1} + b_{N-2} = B_{N-2} & A_{N-2} + B_{N-2} \\ A_{N-2} + a_{N-1} = A_{N-1} & B_N + b_{N-1} = B_{N-1} & A_{N-1} + B_{N-1} \\ A_{N-1} + a_N = A_N & b_N = B_N & A_N + B_N \end{array}$$

24

4. Thứ tự tốt nhất

Đầu tiên xét trường hợp có hai chai.

Giả sử thời gian điền và mua của một trong số chúng lần lượt bằng $a$ và $b$, còn đối với cái còn lại, lần lượt là $c$ và $d$. Vậy thì thứ tự nào tốt hơn - thứ tự được chỉ ra trong bảng 5 hay thứ tự được chỉ ra trong bảng 5'?

Thời gian hoạt động của dây chuyền ở phương án thứ nhất (Bảng 5) tương ứng với $t$. Trong bảng 4 ký hiệu cho $N = 2$

$$A_1 = a, \quad B_1 = b + d$$
$$A_2 = a + c, \quad B_2 = d.$$

Theo Tuyên bố 1, thời gian $t$ bằng số lớn hơn trong các số $A_1 + B_1$ và $A_2 + B_2$:

$$t = \max(A_1 + B_1, A_2 + B_2) = \max(a + b + d, a + c + d).$$

Chúng ta hãy biểu thị tổng $a + b + c + d$ bằng $S$. Khi đó công thức của $t$ có ​​thể được viết lại như sau:

$$t = \max(S - c, S - b) = S - \min(b, c)$$

(nếu các số $b$ và $c$ khác với $S$ thì các số $S - b$ và $S - c$ sẽ lớn hơn).

Tất nhiên, một công thức tương tự cũng đúng cho $t'$, trong đó $t'$ là thời gian vận hành đường dây trong tùy chọn thứ hai (Bảng 5’):

$$t' = S - \min(a, d).$$

Vì vậy, nếu $\min(a, d) \geq \min(b, c)$ thì $t \geq t'$.

Nói cách khác, đối với $N = 2$ thứ tự tốt nhất được xác định theo quy tắc sau: chọn nhiều nhất từ ​​các số $a, b, c$ và $d$; nếu là $a$ hoặc $d$ thì tùy chọn đầu tiên sẽ tốt hơn (Bảng 5), nhưng nếu là $b$ hoặc $c$ thì tùy chọn thứ hai (Bảng 5’). Nghĩa là, khi $N = 2$ trong bảng biểu thị thứ tự tốt nhất, hầu hết các số phải ở phía trên bên trái hoặc phía dưới bên phải.

Trong trường hợp $N$ tùy ý thì câu cuối được khái quát như sau.

Phát biểu 2. Thứ tự “tốt nhất” có thể được xác định theo các quy tắc sau. Chúng ta hãy chọn nhiều số $a_1, b_1, \dots, a_N, b_N^*$ nhất trong Bảng 3. Nếu số này là $a_k$ thì chai thứ $k$ phải được phục vụ theo hàng của chai đầu tiên; nếu con số này là $b_k$ thì chai $k$ phải được phục vụ cuối cùng trên hàng. Tìm hiểu càng nhiều càng tốt số phận của chai thứ $k$ bằng cách xóa dòng thứ $k$ khỏi Bảng 3. Trong số các số còn lại $a_i, b_i$ ($1 \leq i \leq N, i \neq k$), chúng ta lại chọn nhiều nhất trong số các số $*$. Nếu nó bằng $a_l$ thì chai thứ $l$ sẽ được gửi đến đầu hàng đợi và nếu nó bằng $b_l$ thì chai thứ $l$ sẽ được gửi đến cuối hàng đợi (được tạo thành bởi tất cả các chai ngoại trừ chai thứ $k$). Cứ thế cho đến chai cuối cùng.

Chúng ta sẽ chứng minh khẳng định 2 trong đoạn 6 và bây giờ áp dụng khẳng định 1 và 2 vào ví dụ của mình.

*) Nếu có một số số như vậy, bạn có thể lấy bất kỳ số nào trong số đó.

25

5. Ví dụ số (cuối)

Tên theo các con số chỉ thời gian ở Bảng 1 là 1. Đây là thời điểm đóng nút chai thứ 3. Vì vậy, chúng tôi sẽ gửi chai thứ 3 đến cuối hàng. Hãy gạch bỏ dòng thứ 3 trong bảng 1 và tìm lại số tên. Lần này bằng 2 - đây là lúc đổ đầy chai thứ 4. Theo quy định của chúng tôi, chúng tôi gửi chai thứ 4 đến đầu hàng đợi. Tiếp tục làm tương tự ta thu được bảng 1'.

Đường dây sẽ hoạt động trong bao lâu theo đơn đặt hàng mới? Chúng ta hãy soạn, như thường lệ, bảng 2′.

Số lượng tối đa trong cột thứ 3 là 44. Đây là thời gian của dòng công việc. So với trật tự cũ chúng ta được 6 giây.

Lưu ý: Hãy sắp xếp lại 2 hàng cuối cùng của bảng 1 (tức là đặt chai thứ 3 và chai thứ 5). Bốn dòng đầu tiên trong bảng 1′ và 2′ sẽ không thay đổi, nhưng hai dòng cuối cùng sẽ giống như trong bảng 1” và 2” ở trang 26.

Theo Phát biểu 1 thì thời gian hoạt động của thước vẫn là 44 s. Vì vậy, có thể nói rằng nhiều đơn hàng khác nhau là “tốt nhất”. Tuyên bố 2 cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy một trong số chúng.

6. Bằng chứng Tuyên bố 2

Hãy lần lượt chọn hai hàng trong Bảng 3 và hoán đổi chúng (xem Bảng 6 và 6′).

Hãy xem Bảng 4 thay đổi như thế nào. Nếu chúng ta sắp xếp lại các hàng có số i và (i+1), thì với k < i và với k > i + 1 các số $A_k$ và

Bảng 2′

26

Bảng 1"

| 3 | 3 | 1 |
| :— | :— | :— |
| 5 | 11 | 6 |

Bảng 2"

| 23+3=26 | 6+1=7 | 26+7=33 |
| :— | :— | :— |
| 26+11=37 | 6 | 37+6=43 |

Bảng 3'

| $i$ | $a$ | $b$ |
| :— | :— | :— |
| $i+1$ | $c$ | $d$ |

$B_k$ không thay đổi. Các thay đổi sẽ chỉ xảy ra ở các dòng được đánh số $i$ và $i+1$ (xem bảng 7 và 7’).

Như vậy
$$A_i + B_i = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + b + d,$$
$$A'_i + B'_i = (A_{i-1} + B_{i+2}) + b + c + d,$$
$$A_{i+1} + B_{i+1} = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + c + d,$$
$$A'_{i+1} + B'_{i+2} = (A_{i-1} + B_{i+2}) + a + b + c.$$

Ký hiệu $A_{i-1} + B_{i+2}$ bằng $H$ và sử dụng công thức cho $t$ và $t'$ từ bước 4, ta tìm được
$$\max(A_i + B_i, A_{i+1} + B_{i+1}) = H + t,$$
$$\max(A'_i + B'_i, A'_{i+1} + B'_{i+1}) = H + t'.$$

Số lớn nhất trong số $A_k + B_k$ (tại $k \neq i$ và $k \neq i+1$) chúng ta biểu thị bằng $K$. Thời gian vận hành đường dây trong hai so sánh

Chúng tôi biểu thị các biến thể loại trừ lẫn nhau bằng $T$ và $T'$. Sau đó, theo Tuyên bố 1,
$$T = \max(K, H + t),$$
$$T' = \max(K, H + t').$$

Rõ ràng là nếu $t \geq t'$ thì $T \geq T'^*$.
Trong phần 4 chúng ta đã chứng minh rằng $t \geq t'$ nếu $\min(a, d) \geq \min(b, c)$.

Do đó, kết quả vừa thu được có thể được biểu diễn như sau:
Bổ đề. Chúng ta hãy chọn hai hàng liền kề tùy ý trong Bảng 3 (xem.

*) Lưu ý rằng nếu $t > t'$ thì không nhất thiết phải là $T > T'$. Người ta có thể tuân theo $\max(K, H + t, H + t') = K$ đó và sau đó $T = T'$ bất kể số $t$ và $t'$ nào lớn hơn.

Bảng 4**

| $A_i - 1 + a = A_i$ | $B_{i+1} + b = B_i$ | $A_i + B_i$ |
| :— | :— | :— |
| $A_i + c = A_{i+1}$ | $B_{i+2} + d = B_{i+1}$ | $A_{i+1} + B_{i+1}$ |

Bảng 5'

| $A'_i - 1 + c = A'_i$ | $B'_i + 1 + d = B'_i$ | $A'_i + B'_i$ |
| :— | :— | :— |
| $A'_i + a = A'_i + 1$ | $B'_i + 2 + b = B'_i + 1$ | $A'_i + 1 + B'_i + 1$ |

26

27

6). Nếu vì họ
min (a, d) ≥ min (b, c),
khi đó những dây chuyền này có thể được sắp xếp lại (xem Bảng 6’), và thời gian vận hành của dây chuyền sẽ không tăng lên.

Điều này đã ngụ ý câu 2 từ điểm 4. Hãy chứng minh điều đó.
Hãy bắt đầu với hai ghi chú đơn giản.

1. Thứ tự mà chúng ta đạt được khi áp dụng các quy tắc ở đoạn 4, không phụ thuộc vào thứ tự chúng được sắp xếp ban đầu. Vì vậy, chỉ cần chứng minh Tuyên bố 2 trong trường hợp lệnh nêu trong Bảng 3 đã được “khóc” (chính xác hơn là một trong những lệnh “đã khóc” *).
2. Giả sử rằng, bằng cách áp dụng nhất quán các quy tắc của bước 4, chúng ta đã quyết định (ở một số bước) di chuyển một số chai đến gần cuối hàng: từ vị trí thứ i đến thứ (i + s). thì điều này có thể được thực hiện theo s giai đoạn: đầu tiên di chuyển chai đã chọn đến vị trí (i + 1), sau đó đến vị trí (i + 2), v.v. Điều tương tự cũng đúng nếu chúng ta phải di chuyển một số chai đến gần đầu hàng: điều này cũng có thể được thực hiện trong một số giai đoạn, chỉ hoán đổi các chai gần đó. Nếu bạn chắc chắn rằng bổ đề có thể áp dụng được ở từng giai đoạn thì sẽ chứng minh được rằng việc tuân theo các quy tắc của bước 4 không làm tăng thời gian hoạt động của đường thẳng. Theo nhận xét trước, đây là điều duy nhất còn lại cần xác minh để chứng minh Tuyên bố 2.

Nghe này, khi một chai được chuyển đến đầu hoặc cuối hàng, chai hoàn hảo cũng được coi là theo cách tương tự. Hãy xem xét, ví dụ, thứ hai trong số họ.

Giả sử, theo quy tắc ở điểm 4, tại một bước nào đó, người ta quyết định chuyển một số chai từ vị trí thứ i sang vị trí thứ (i + s), và ở bước này, hàng thứ i và (i + 1)-th được chỉ định trong Bảng 6. Khi đó số b là số nhỏ nhất trong số đó.

*) Xem ghi chú ở cuối đoạn 5.

những con số biểu thị thời gian đổ đầy và đóng nắp đối với tất cả các chai chưa được đặt vào vị trí cuối cùng tại thời điểm này. Cụ thể, b = min(a, b, c, d). Do đó, min (a, d) ≥ min (b, c). Điều này có nghĩa là bổ đề có thể áp dụng được. Theo cách tương tự, nó đã được chứng minh rằng nó có thể áp dụng được ở bất kỳ giai đoạn nào. Như vậy chứng minh đã hoàn tất.

Ở sự khác biệt

1. Ở đoạn 3, chúng ta đã tính toán rằng nếu chỉ định thứ tự cung cấp chai cho dây chuyền tự động thì thời gian vận hành của dây chuyền được tính bằng 3N - 2 phép cộng (trong đó N là số chai). Bạn cần thực hiện bao nhiêu hành động để xác định thứ tự “ai đã khóc”?

Nếu chúng ta gọi “hành động” là việc chọn số nhỏ nhất trong một bảng gồm hai cột và số hàng tùy ý, thì sẽ cần có N hành động (xem câu 2 trong đoạn 4). Miễn là N không lớn thì định nghĩa về “hành động” này là hợp lý - ví dụ: chúng ta có thể giả sử rằng khi tổng hợp bảng 1’ từ bảng 1 trong đoạn 5, chúng ta thực sự đã tiêu thụ N hành động (N = 6). Đối với N lớn, việc tìm số nhỏ nhất trong bảng sẽ sắp xếp lại chai một cách rõ ràng bằng một hành động cơ bản, do đó, “hành động” được gọi hợp lý hơn là so sánh hai số (và chọn số nhỏ nhất trong số đó). Cần bao nhiêu thao tác so sánh như vậy để xác định được thứ tự nhỏ nhất?

2. Bạn có thể xem xét “bài toán về chai” không phải cho hai mà cho n máy. (Trong tài liệu toán học, lời giải hậu duệ của bài toán được gọi là “Johnson’s bài toán với n = 2”.)

Với n > 2 (thêm nữa với n = 3) điều này bài toán vẫn chưa được giải. Điều này phần lớn được giải thích bởi những điều sau đây. Khi n = 2, việc thêm chai thứ (N + 1) vào N chai đã được sắp xếp theo sự hiện diện không ảnh hưởng đến thứ tự tương đối của N chai đầu tiên. Đối với n > 2, điều này có vẻ đúng: đối với n = N = 3, bạn có thể đặt thời gian a_i, b_i, c_i (i = 1, 2, 3) để xử lý ba chai theo cách “khi có chai thứ 3”, chai thứ 1 phải được nạp đến vạch thứ 2 và “trong trường hợp không có chai thứ 3”, ngược lại, chai thứ 2 phải được nạp đến vạch bằng với thứ nhất. Đưa ra một ví dụ để hỗ trợ điều này.

3. Kiểm tra rằng, với n = 3, các chai được sắp xếp theo cách tốt nhất có thể được đưa vào từng máy theo cùng một thứ tự. Đối với n > 3, điều này không còn nhất thiết phải xảy ra nữa: để giảm thiểu thời gian vận hành của dây chuyền, đôi khi nó có thể gặp một chai khác được xử lý bởi máy A chưa hoàn chỉnh và đưa nó đến máy B tiếp theo sau chai ra khỏi máy A muộn hơn máy này. Đưa ra một ví dụ có liên quan.

28

Hãy lấy căn bậc hai - qua lịch sử

$$\sqrt{2} = 1.41421356237309504$$

Một tập hợp các con số - bảng chữ cái vô tận của ngôn ngữ biểu đạt mạnh mẽ của toán học - đã điều khiển trí tưởng tượng của con người trong hàng nghìn năm. Truyền thống quan tâm đến những số rất lớn ít nhất có từ thời Archimedes, người quyết tâm xác định có bao nhiêu hạt cát có thể chứa trong Vũ trụ, đã phát triển một hệ thống các lớp và thứ tự các đại lượng số học. Ông thậm chí còn đề xuất các nguyên tắc giúp người ta có thể “phát minh” ra tên cho bất kỳ số lượng lớn nào.

Tuy nhiên, mối quan tâm đến căn bậc hai của 2 dường như đã nảy sinh sớm hơn. Trong bộ sưu tập hiện vật lịch sử của người Babylon, được lưu trữ tại Đại học Yale (New Haven, Connecticut), có một tấm đất sét hình tròn có niên đại từ năm 1750 trước Công nguyên. Nó mô tả một hình vuông được chia cắt bởi các đường chéo và ba số được viết bằng ký tự hình nêm rõ ràng (xem ảnh). Khi đọc chúng, người ta thấy rõ rằng gần bốn nghìn năm trước ở Babylon, người ta đã có thể xác định đường chéo của một hình vuông dọc theo cạnh của nó, nhân chiều dài của nó với căn bậc hai của hai. các con số trên bảng thể hiện chính xác giá trị này, được hiển thị chính xác đến chữ số thứ năm: 1, 24, 51, 10. Chà, đây là một giá trị gần đúng rất tốt, bởi vì $1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1,41421$.

Tôi không thể không muốn nhắc lại: điều này đã được tính toán vào thế kỷ 18 trước Công nguyên!

Năm thế kỷ trước Công nguyên, trường phái Pythagoras đã thực hiện một trong những khám phá toán học vĩ đại nhất. Những người theo trường phái Pythagore đã cố gắng chứng minh rằng bất kỳ số nào cũng có thể được suy ra bằng cách cộng, trừ, nhân và chia các số nguyên dương. Và căn bậc hai của 2 là một số vô tỷ và không thể có được số hữu hạn các phép toán như vậy. Điều này đã được phát hiện bởi những người theo Pythagoras. Tuy nhiên, họ yêu thích mọi kiểu bí mật và “che giấu” phát hiện của mình trong nhiều năm.

Bằng chứng của ông lần đầu tiên xuất hiện trong cuốn Cơ sở của Euclid vào khoảng năm 300 trước Công nguyên. Và sau đó, vào khoảng năm 140 sau Công Nguyên, Theon xứ Smyrna đã phát triển được một thuật toán thú vị để tính căn bậc hai của 2; thuật toán này đã trở thành tiền thân của toàn bộ kỹ thuật sử dụng phân số liên tục.

Vào thế kỷ 19, nhà toán học J. M. Boorman đã đưa phép tính căn bậc hai của 2 đến chữ số thập phân thứ 486. Chiến thắng của anh ta, cộng thêm “bằng tay không”, bị hủy hoại bởi thực tế là ở dấu hiệu thứ 316, Burman đã mắc sai lầm, và sau đó tính toán của anh ta không còn đúng nữa.

Gần đây, sự quan tâm đến các hoạt động như vậy không chỉ trở thành truyền thống. Các đại lượng “không có thứ tự”, chẳng hạn như căn bậc hai của 2, có thể dùng để mô hình hóa các hiện tượng khối lượng xảy ra ngẫu nhiên, chẳng hạn như sự xuất hiện và biến mất của một thị trường.

29

nhu cầu, đặc điểm giao thông trên đường cao tốc trong giờ cao điểm, số lượng cuộc gọi điện thoại trong mạng lưới rộng lớn, để sắp xếp lịch trình của máy bay. Tất cả những điều này được đưa vào vòng tròn lý thuyết toán học với tên gọi chung là “lý thuyết xếp hàng”.

Matematikam cần biết liệu các chuỗi chẳng hạn như 7, 7, 7, 7 hay 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có xuất hiện ở bất kỳ đâu trong giá trị này hay không $\sqrt{2}$. Lý thuyết chưa thể dự đoán những sự kiện như vậy, vì vậy nó phải bổ sung thêm đáp số những sự kiện thực nghiệm, bằng cách xấp xỉ và xấp xỉ sự thật. Do đó, kể từ khi tốc độ của máy tính điện tử ra đời, các nhà toán học đã không tiếc công sức và đưa phép tính $\sqrt{2}$ về cùng một dấu. Một thành tựu gần đây là công trình vĩ đại của Giáo sư Jacques Dutka (New York), thành viên Khoa Phương pháp Toán học trong Kỹ thuật tại Đại học Columbia. Anh ta đặc biệt phát triển một thuật toán hoàn toàn mới và tính toán giá trị của gốc khét tiếng đến một triệu chữ số thập phân tám mươi giây! Đây là đại lượng tính toán dài nhất trong toàn bộ lịch sử toán học.

Mặc dù thuật toán của Giáo sư Dutka được thiết kế hiệu quả và nhanh chóng

30

1. Giới thiệu.
   Định nghĩa logarit

Hàm mũ $x \rightarrow a^x$ được nghiên cứu ở trường sau một số cách khái quát hóa hoạt động nâng lũy ​​thừa: đầu tiên, xác định bậc với số mũ tự nhiên, sau đó với số mũ hữu tỷ và cuối cùng là với số mũ vô tỷ. Logarit sau đó được định nghĩa là nghịch đảo của hàm số mũ.

Chúng ta sẽ làm đúng: chúng ta sẽ bắt đầu ngay với định nghĩa của logarit, sau đó chuyển sang hàm nghịch đảo - “số mũ”. Định nghĩa mà chúng tôi đang đưa ra giúp nghiên cứu các tính chất cơ bản của các hàm này và thu được các ước tính đặc biệt quan trọng đối với các ứng dụng vật lý, cũng như chứng minh một trong những phương pháp được sử dụng thường xuyên trong toán học để xây dựng các hàm mới bằng cách sử dụng các hàm đã biết.

Một hàm phổ biến như vậy sẽ được chúng ta gọi là hàm $x \rightarrow \frac{1}{x}$, đồ thị của $y = \frac{1}{x}$ là hyperbol quen thuộc.

Sự định nghĩa. Cho $b$ là một số dương. Chúng ta biểu thị bằng $\ln b$ số có mô hình bằng diện tích của hàm giới hạn bởi đồ thị của hàm $y = \frac{1}{x}$, trục hoành $y = 0$ và các đường thẳng $x = 1$ và $x = b$, và dấu phẳng nếu $b > 1$ (Hình 1, a) và trừ nếu $b < 1$ (Hình 1, b); nếu $b = 1$, thì $\ln b = 0$.

Hàm $b \rightarrow \ln b$ được gọi là logarit tự nhiên.

Chúng ta sớm thấy rằng $\ln b$ thực là logarit của số $b$ cơ số $e$, trong đó $e = 2,71828\dots$ là hằng số toán học thay thế, đã được thảo luận trong «Kvant» (xem bài viết của L. G. Limenov “Về số $e$ và $n$” ở số 5 năm 1972).

Đối với những người đã quen thuộc với tích phân dễ hiểu (ví dụ, theo bài viết của Yu. I. Ionin trong «Kvant» Số 9), định nghĩa của chúng ta về logarit có thể được hình thành như sau:

$$\ln b = \begin{cases} \int \frac{1}{x} dx, \text{ если } b > 1, \\ 0, \text{ если } b = 1, \\ -\int \frac{1}{x} dx, \text{ если } 0 < b < 1. \end{cases}$$

Đôi khi chúng tôi sẽ tham khảo các bài “Về số $e$” và “Tích phân”, nhưng chỉ để so sánh: người đọc không bắt buộc phải có kiến ​​thức trước về nó. Một độc giả muốn theo dõi tất cả các lập luận một cách chi tiết, chặt chẽ và giải quyết bài toán (và chúng chứa một phần quan trọng nội dung của bài viết) sẽ cần kiến ​​​​thức về các tính chất cơ bản của số thực *). Tuy nhiên, Sta-

*) Ví dụ, xem sách giáo khoa thử nghiệm của B. E. Weizza và I. T. Demidov “Đại số và sự khởi đầu của phân tích”, lớp 9, M., “Prosveshchenie”, 1969.

31

Hình 1.
Nếu có thể, nó được viết theo cách có thể hiểu được các sự kiện cơ bản liên quan đến tính chất của logarit và số mũ, chỉ sử dụng những ý tưởng ngây thơ về số thực, tính liên tục, giới hạn, v.v. mà không đi sâu vào sự tinh tế liên quan đến các định nghĩa chặt chẽ của các khái niệm này.

2. Quảng trường
   Một trong những khái niệm cần được xác định chặt chẽ là khái niệm diện tích. Thật vậy, cần phải giải thích ý nghĩa của chúng tôi về diện tích của “hình thang cong” (xem Hình 1). Xét cho cùng, ở trường chúng ta chỉ nói về diện tích của đa giác, hình tròn và các phần của nó, còn hình thang của chúng ta bị giới hạn một bên bởi một hyperbol.

Ở đây chúng ta sẽ tự giới hạn việc thay thế diện tích đó là một hàm, có thể được xác định trên một lớp hàm đủ rộng (lớp này bao gồm đa giác, và tất cả các hàm giới hạn lồi và “hình thang” của chúng ta) sao cho các điều kiện được thỏa mãn:

1. diện tích của bất kỳ hàm nào là số không âm;
2. diện tích của các hàm bằng nhau (đồng dạng) là bằng nhau;
3. nếu một hàm được cắt thành hai phần, với mỗi phần được xác định diện tích thì tổng các diện tích này bằng diện tích của tất cả các hàm;

Hình 2.
4) diện tích của hình chữ nhật ở các cạnh $a$ và $b$ bằng $ab$.

Chúng tôi sẽ không mô tả loại hàm mà hàm $S$ như vậy có thể được xác định, nhưng chúng tôi sẽ chứng minh rằng theo điều kiện 1–4 thì diện tích $S$ của “hình thang cong” $a \leq x \leq b$; $0 \leq y \leq \frac{1}{x}$ (Hình 2) được xác định duy nhất.

Để làm điều này, chúng ta chia đoạn $[a, b]$ thành $n$ các phần bằng nhau và xây dựng hai “cầu thang” - hàm bước bao gồm các hình chữ nhật có đáy $\frac{b-a}{n}$ trên trục $Ox$, một trong số đó chứa hình thang cong của chúng ta và cái còn lại nằm trong đó (Hình 2). Đặt $S'_n$ và $S''_n$ là diện tích của những “cầu thang” $^*$ này). Rõ ràng là $S'_n < S < S''_n$. Mặt khác, rõ ràng là

$$S''_n - S'_n = \frac{b-a}{n} (a^{-1} - b^{-1}),$$

nghĩa là, đối với $n$ đủ lớn, sự khác biệt giữa $S''_n$ và $S'_n$ có ​​thể được làm nhỏ tùy ý. Do đó, chỉ có một số $S$, nằm giữa $S'_n$ và $S''_n$ cho tất cả $n$ (điều này cũng dẫn đến việc cả hai chuỗi $S'_n$ và $S''_n$ đều tiếp cận $S$ khi $n$ tăng lên, tức là $S$ là giới hạn chung của chúng).

*) Chúng ta có thể xác định các diện tích này bằng điều kiện 3 và 4.

32

3. Tính chất chính của logarit tự nhiên

Tính chất này được thể hiện bằng công thức

$$\ln x_1 x_2 = \ln x_1 + \ln x_2$$

(1)

(tại $x_1 > 0$ và $x_2 > 0$)

và có nghĩa là logarit tự nhiên của tích bằng tổng logarit tự nhiên của các thừa số.

Trước khi chứng minh công thức (1), chúng ta hãy thiết lập một tính chất quan trọng của hình thang cong cho hàm số $y = \frac{1}{x}$.

Chúng ta biểu thị bằng $S[A, B]$ diện tích của hình thang cong có các đỉnh $A, B$ (Hình 3). Khi đó, nếu $b > a > 0$ và $k$ là số dương tùy ý thì (Hình 4)

$$S[a, b] = S[ka, kb].$$

(2)

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy xem xét một phép biến đổi của mặt phẳng bao gồm việc kéo dài theo hệ số $k$ từ trục $Oy$ và trượt theo hệ số $k$ sang trục $Ox$, tức là một phép biến đổi lấy điểm $(x, y)$ đến điểm $(kx, \frac{y}{k})$ (Hình 5). Dễ dàng nhận thấy đây là sự chuyển đổi bởi:

$$\int_a^b \frac{1}{x} \, dx = \int_k^a \frac{1}{x} \, dx.$$

34

5. Nhà triển lãm

Có thể chứng minh rằng hàm chúng ta đã nghiên cứu ở các đoạn trước lấy toàn bộ các giá trị thực *). Trong trường hợp này, tất nhiên, mỗi giá trị được lấy chính xác một lần, nghĩa là đối với bất kỳ $x$ nào, phương trình $\ln y = x$ có một lời giải duy nhất. Đối với số $y$, là nghiệm của phương trình này, ký hiệu được chấp nhận

$$y = \exp x.$$

Hàm mới thu được $x \rightarrow \exp x$, nghịch đảo của hàm $x \rightarrow \ln x$, được gọi là hàm mũ.

Lưu ý rằng theo định nghĩa của số mũ đẳng thức

$$\exp (\ln x) = \ln (\exp x) = x.$$ (6)

Đồ thị $y = \exp x$ đối xứng với đồ thị $y = \ln x$ đối với đường thẳng $y = x$. Trên thực tế, vì $y = \exp x$ tương đương với $\ln y = x$ nên đồ thị của số mũ được lấy từ đồ thị logarit bằng cách biến đổi mặt phẳng, trong đó điểm $(x, y)$ tiến đến điểm $(y, x)$ và phép biến đổi này là đối xứng với đường thẳng $y = x$ (Hình 8**)).

*) Chúng tôi sẽ không chứng minh điều này, nhưng lưu ý rằng điều đó gần như hiển nhiên “từ các thông báo liên tục”. Một bằng chứng chặt chẽ về thực tế này có thể được thực hiện theo cách gần giống như bằng chứng về sự tồn tại của $\sqrt{a}$ với bất kỳ $a \geq 0$ nào.

**) Để kiểm chứng tính đúng đắn của hình này, bạn cần chứng minh rằng $\ln x < x$ với mọi $x > 0$.

Do đó, số mũ là hàm tăng dần được xác định trên toàn bộ trục số $-\infty < x < +\infty$ và nhận giá trị dương. Ngoài ra, số mũ có giá trị lớn hơn đáng kể khi $x$ tăng vô hạn và có xu hướng bằng 0 khi $x$ có ​​xu hướng $-\infty$.

6. Thuộc tính chính của số mũ

Tính chất này được thể hiện bằng công thức sau:

$$\exp \left( x_1 + x_2 \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2.$$ (7)

Để chứng minh điều đó, chúng ta sẽ sử dụng tính chất chính của logarit tự nhiên và sự tương ứng (6). Vì $\ln y_1 y_2 = \ln y_1 + \ln y_2$, nên với $y_1 = \exp x_1$ và $y_2 = \exp x_2$, chúng ta nhận được $\ln y_1 y_2 = x_1 + x_2$, tức là $y_1 \cdot y_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$ hoặc $\exp x_1 \cdot \exp x_2 = \exp \left( x_1 + x_2 \right)$.

Dễ dàng suy ra từ tính chất cơ bản của exp (hoặc từ tính chất tương ứng của hàm ln) rằng

$$\exp (-x) = \frac{1}{\exp x}$$

Và

$$\exp \left( x_1 + x_2 + \dots + x_n \right) = \exp x_1 \cdot \exp x_2 \dots \cdot \exp x_n).$$

Chúng ta hãy biểu thị số exp1 bằng $e$. Nói cách khác, $e$ là lời giải của phương trình $\ln e = 1$.

Sử dụng tính chất chính của hàm mũ, chúng ta chứng minh rằng với $x = \frac{m}{n}$ exp $x = e^x$ hữu tỉ.

Trước hết, với $m$ exp $m = \exp \left( 1 + 1 + \dots + 1 \right) = \exp 1 \cdot \exp 1 \cdot \dots \cdot \exp 1 = e^m$ và exp $(-m) = \frac{1}{\exp m} = \frac{1}{e^m} = e^{-m}$ tự nhiên.

Vậy exp $m = e^m$ với mọi số nguyên $m$.

Ngoài ra, với $n$ tự nhiên

$$\exp \left( \frac{1}{n} \right)^n = \exp \left( \frac{1}{n} + \frac{1}{n} + \dots + \frac{1}{n} \right) = \exp 1 = e,$$

đó là
$$\exp \frac{1}{n} = \sqrt[n]{e}.$$

Đối với một số hữu tỷ tùy ý $x = \frac{m}{n}$ (trong đó $n > 0$, $m$ và $n$ là số nguyên), chúng ta thu được
$$\exp \frac{m}{n} = \left( \exp \frac{1}{n} \right)^m = \left( \sqrt[n]{e} \right)^m = e^{\frac{m}{n}},$$
nghĩa là, $\exp x = e^x$ với mọi $x$ hữu tỉ.

Nếu $\alpha$ là một số vô tỷ thì công thức $e^\alpha = \exp \alpha$ được coi là thuận tiện nhất để định nghĩa lũy thừa của số $e$ với số mũ $\alpha$.

Vì vậy, dành cho tất cả mọi người $x$
$$\exp x = e^x. \tag{8}$$

Từ đẳng thức và sự tương ứng cuối cùng (6), suy ra logarit của một số dương cho trước $x$ là số mũ mà số $e$ phải được nâng lên để có được số $x$:
$$e^{\ln x} = \exp \ln x = x.$$

7. Hàm số mũ và logarit với các cơ số tùy ý

Bây giờ chúng ta có thể xác định $y = a^x$ cho bất kỳ $a > 0$, $a \neq 1$ và bất kỳ $x$ nào bằng cách đặt
$$a^x = \exp (x \ln a) = e^{x \ln a},$$
cũng như logarit của số $x > 0$ cơ số $a$, đặt
$$\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}.$$

Thật dễ dàng để xác minh rằng các hàm này có cùng các thuộc tính cơ bản:
$$a^{x_1} + x_2 = a^{x_1} \cdot a^{x_2},$$
$$\log_a x_1 x_2 = \log_a x_1 + \log_a x_2$$
(tại $x_1 > 0$, $x_2 > 0$) và
$$a^{\log_a x} = x.$$

Chúng tôi mời người đọc tự mình kiểm chứng xem những định nghĩa này có trùng khớp với những định nghĩa truyền thống hay không. Nhưng trong tương lai, chúng ta sẽ giải quyết các tính chất như vậy của logarit và số mũ, trong đó điều quan trọng là số $e$ được lấy làm cơ sở chứ không phải một số khác.

8. Tỷ lệ thay đổi số mũ của hàm số và logarit

Cho đến bây giờ chúng ta đã nói về các tính chất của logarit và hàm số mũ, được biết đến từ khóa học ở trường. Bây giờ chúng ta đang nói về các tính chất gắn liền với tốc độ thay đổi của các hàm này và đặc biệt quan trọng đối với các ứng dụng trong vật lý.

Hãy bắt đầu với một số định nghĩa. Gia số $\Delta f$ của hàm $x \rightarrow f(x)$ trên đoạn $[x_0, x_1]$ là hiệu $\Delta f = f(x_1) - f(x_0)$ và gia số của đối số là hiệu $\Delta x = x_1 - x_0$. Tỷ lệ $\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$ đương nhiên được gọi là tốc độ thay đổi trung bình của hàm $x \rightarrow f(x)$ trên đoạn $[x_0, x_1]$ (nếu $x$ là thời gian và $f(x)$ là quãng đường mà vật chuyển động đi được đến thời điểm $x$, thì $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ là tốc độ chuyển động trung bình trong khoảng thời gian từ $x_0$ đến $x_1$). Bây giờ hãy cố định $x_0$ và $x_1$ tiếp cận $x_0$. Nếu trong trường hợp này, tỷ lệ $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ hướng đến một giới hạn nhất định, thì giá trị giới hạn này - “tốc độ thay đổi tức thời” của hàm số tại điểm $x_0$ - được gọi là hàm tùy ý $x \rightarrow f(x)$ tại điểm $x_0$ và được ký hiệu là $f'(x_0)$. Giá trị của một đặc tính tùy ý cho phép hành vi của hàm liếm điểm $x_0$.

Tùy ý có ý nghĩa hình học rõ ràng. Cho $M_0$ là một điểm trên đồ thị $y = f(x)$ tương ứng với $x = x_0$, tức là một điểm có tọa độ $(x_0, f(x_0))$, $M_1$ là một điểm $(x_1, f(x_1))$. Hãy vẽ một đường thẳng $M_0 M_1$. Độ dốc của đường này khi đó