QUANTUM
1975
2
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

Bức ảnh trên cùng cho thấy những tấm xương của Napier trong một hộp đồng, được làm vào năm 1617, cùng năm chúng được miêu tả. Đây là một loại thiết bị điện toán, nguyên lý hoạt động của nó sử dụng các thuộc tính id của Bảng nhân Pythagore, trình bày nó ở dạng “phiên bản có thể tháo rời”. Sử dụng hình ảnh của John Napier, bằng cách di chuyển các “máy tính bảng”, bạn có thể nhân, chia số nguyên và thậm chí trích xuất căn bậc hai. Phép nhân được thực hiện đặc biệt đơn giản và thiết thực, nhờ vào “máy tính bảng”, nó được thay thế bằng phép cộng. Vì vậy, người đương thời đánh giá cao những viên xương xương. Những thiếu sót của thiết bị, bao gồm cả việc các thành phần của nó dễ nhìn thấy, đã được giải quyết sau đó.

Thiết bị này là một phần trong bộ sưu tập của Bảo tàng Nghệ thuật Ứng dụng Paris. Cách sử dụng thiết bị tính toán của Napier được mô tả ở «Kvant» Số 2, tr. 42.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I.K. kioni

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,
phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikeva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
Tôi. Sh. Slobodetsky,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg.
A. I. Shirshov.

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,
do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

TRONG PHÒNG:
2 A. V. Eletsky. Tốc độ ánh sáng và sự thay đổi của nó
10 A. V. Khatsem. Mạng lưới giao thông và mạch điện
18 V. I. Arabadzhi. Nhuộm nhiễu xạ của côn trùng

vòng tròn toán học
20 E. G. Gotman. Đường Euler

Vấn đề “Kvata”
26 Bài toán M306—M310; F318—F322
28 Lời giải bài toán M268—M272; F278—F284

Xưởng của người nộp đơn
43 E. V. Vakhovsky, A. A. Ryvkin. Khi đồ thị giúp ích
49 V. E. Belonukkin, V. I. Chekhlov. Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Đánh giá, thư mục
52 N. V. Metelsky. Các nhà toán học về toán học
52 K. I. Kudel. Làm thế nào tôi có thể thay đổi điều này?
55 T. S. Petrova, M. L. Smolyansky. Sách mới

Thông tin
57 I. G. Venetsky, Yu. Tôi. Sorkin. Tối ưu hóa toán học ẩn của MESI

«Kvant» cho học sinh nhỏ
58 Bài toán
59 MP Barbolin. Câu đố và đồ họa

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn [tr. 17, 25, 42, 56]

Ở trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy bức ảnh chụp một phần đuôi của con công. Đôi mắt sáng của lông đuôi có thể đổi màu. Điều này được giải thích là do màu sắc của con công là do nhiễu xạ. Màu sắc nhiễu xạ của các loài chim và côn trùng được mô tả trong bức tượng của V. I. Arabadzhi, đăng trên tạp chí số này, tr. 18.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, 1975.

2

TỐC ĐỘ ÁNH SÁNG
VÀ KÍCH THƯỚC CỦA NÓ

A. V. Eleukiy

Nhiều định luật vật lý hiện đại lấy tốc độ ánh sáng c làm tham số. Đại lượng này được đưa vào phương trình của trường điện từ; tổng năng lượng của chất, mức năng lượng của các electron trong nguyên tử, v.v. đều được thể hiện thông qua nó.

Cùng với các hằng số khác, chẳng hạn như điện tích electron và hằng số hấp dẫn, tốc độ ánh sáng là một trong những hằng số vật lý cơ bản. Rõ ràng là độ chính xác của các định luật vật lý được xác định bởi độ chính xác mà giá trị của các hằng số tương ứng đã biết, cách duy nhất để xác định đó là thử nghiệm.

Nguyên lý đo tốc độ ánh sáng, ý tưởng lần đầu tiên được đề xuất bởi Galileo, dựa trên việc đo thời gian cần thiết để tín hiệu ánh sáng truyền đi một khoảng cách nhất định. Sự phát triển của phương pháp này - từ các quan sát thiên văn của Römer đến các phép đo giao thoa kế đồ chạm khắc của Michelson - đã được mô tả chi tiết trong tạp chí của chúng tôi *). Theo các phép đo loại này, tốc độ ánh sáng được coi là 299.792,6 ± 0,25 km/s. Lưu ý rằng độ chính xác tương đối nhất đạt được khi đo tốc độ ánh sáng bằng phương pháp này đạt được vào những năm 50 của thế kỷ chúng ta và là khoảng một phần thập phân của một phần trăm, hay 10⁻⁸.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng bất kỳ phép đo nào cũng có thể được đặc trưng bởi sai số tương đối và tuyệt đối. Sai số tuyệt đối là khả năng sai lệch của kết quả đo so với giá trị chính xác của giá trị đo được. Độ lệch như vậy có thể là do sự không hoàn hảo của dụng cụ đo hoặc quá trình đo và phải luôn được đánh giá trước. Sai số đo tương đối là tỷ lệ giữa sai số tuyệt đối với chính giá trị đo được. Mặc dù người ta đánh giá trước rằng khi thực hiện các phép đo chính xác cần phải giảm cả sai số tuyệt đối và sai số tương đối, nhưng trong hầu hết các trường hợp, đặc điểm quan trọng nhất của độ chính xác của phép đo là sai số tương đối. Trên thực tế, phép đo được tính từ Trái đất đến Lunya với sai số tuyệt đối ±1 m luôn là phép đo chính xác và phép đo có cùng sai số tuyệt đối về kích thước của căn phòng chỉ là ước tính sơ bộ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng ngay lập tức nếu chúng tôi chỉ ra rằng trong trường hợp đầu tiên, sai số tương đối là 10⁻⁸ và trong trường hợp thứ hai - 10⁻¹.

Việc tăng thêm độ chính xác của phép đo tốc độ ánh sáng bằng phương pháp giao thoa gặp phải những khó khăn cơ bản. Khoảng cách mà chúng ta có thể đo với độ chính xác cao (khoảng cách này có thể so sánh với tiêu chuẩn độ dài -

*) Xem bài viết của V. Vintsky “Đo tốc độ ánh sáng”, «Kvant», 1972, số 2.

3

mét), ánh sáng truyền đi trong những khoảng thời gian cực ngắn, vào cỡ $10^{-8}с$. Khi đo những khoảng thời gian như vậy sẽ xảy ra lỗi đáng kể. Mặt khác, thời gian ánh sáng cần để truyền đi những khoảng cách xa (chẳng hạn như trên 10 km) có thể được ghi lại khá chính xác, nhưng sẽ tích lũy sai số đáng kể khi tự đo khoảng cách đó bằng tiêu chuẩn độ dài. Trong trường hợp này, phương pháp quang học được sử dụng để đo khoảng cách lớn, nhưng để sử dụng nó cần phải biết trước tốc độ ánh sáng. Hóa ra là một vòng luẩn quẩn.

Người ta đã có thể giải quyết mâu thuẫn này trong những năm gần đây, khi trên thực tế người ta có thể sử dụng một nguyên lý khác để đo tốc độ ánh sáng, dựa trên thực tế là bước sóng λ và tần số ν của sóng điện từ trong chân không có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ cơ bản

$$c=\lambda\nu. \quad (1)$$

Bằng cách đo bước sóng và tần số của cùng một bức xạ điện từ một cách độc lập, chúng ta có thể nhân các đại lượng này một cách đơn giản để thu được tốc độ ánh sáng. Độ chính xác của thí nghiệm như vậy sẽ rất cao nếu chúng ta có thể đáp ứng đồng thời hai yêu cầu.

Đầu tiên, chúng ta phải có khả năng đo bước sóng và tần số của sóng điện từ với độ chính xác cao.

Thứ hai, tần số dao động của bức xạ điện từ mà chúng ta sắp thử nghiệm phải được duy trì càng không đổi càng tốt.

Từ hệ thức (1), suy ra rằng đối với sóng điện từ, mức độ bất ổn tương đối của tần số và bước sóng trùng nhau.

Thật ra, giả sử tần số của sóng điện từ ν thay đổi một lượng nhỏ δν ≪ ν. Điều này sẽ kéo theo sự thay đổi bước sóng một lượng δλ, do đó

1*

đưa giá trị mới của tần số ν + δν về giá trị mới của bước sóng λ + δλ vẫn phải bằng tốc độ ánh sáng c. Giải phương trình (1), viết cho trường hợp này, đối với δλ ta thu được

$$\delta\lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \lambda = \frac{c}{\nu+\delta\nu} - \frac{c}{\nu} =$$

$$= -\frac{c\delta\nu}{\nu(\nu+\delta\nu)} = -\lambda\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu}$$

Từ đây

$$\frac{\delta\lambda}{\lambda} = -\frac{\delta\nu}{\nu+\delta\nu} \approx -\frac{\delta\nu}{\nu},$$

vì δν ≪ ν. Do đó, sự thiếu chính xác tương đối trong các giá trị tần số và bước sóng trái dấu nhau và bằng nhau về độ lớn.

Vì vậy, nếu chúng ta có một nguồn dao động điện từ có tần số không đổi thì bước sóng của những dao động đó sẽ không đổi ở cùng một mức độ. Đây là trường hợp đặc biệt của phát biểu tổng quát rằng nếu hai đại lượng vật lý tỷ lệ nghịch với nhau thì độ sai số tương đối của chúng bằng nhau nếu chỉ hệ số tỷ lệ (trong trường hợp của chúng ta là c) được coi là đã biết chính xác.

Việc tạo ra các dao động điện từ có bước sóng và tần số không đổi với độ chính xác cao trong thời gian dài đã trở nên khả thi trong những năm gần đây nhờ sự ra đời của tia laser - nguồn bức xạ đơn sắc mạnh. Tuy nhiên, mặc dù tần số và bước sóng của bức xạ laser là không đổi với độ chính xác cao, nhưng việc đo chúng cùng nhau gặp phải những khó khăn kỹ thuật đáng kể. Hãy xem xét điều này chi tiết hơn.

Tiêu chuẩn đo chiều dài

Mọi phép đo cuối cùng đều được đưa ra để so sánh với một số tiêu chuẩn. Có các tiêu chuẩn để đo lường nhiều thông số của các vật thể và quá trình vật lý: ví dụ: tiêu chuẩn về độ dài, thời gian, cường độ dòng điện, khối lượng vật chất, v.v. Người ta cố gắng chọn các tiêu chuẩn

4

theo cách mà giá trị của chúng không phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài, chẳng hạn như nhiệt độ và áp suất không khí, độ cao so với mực nước biển, v.v.

Đặc biệt, tiêu chuẩn độ dài hiện đại gắn liền với bước sóng của bức xạ điện từ phát sinh khi một electron trong nguyên tử krypton chuyển từ trạng thái kích thích này sang trạng thái kích thích khác.

Các electron trong bất kỳ nguyên tử nào cũng có thể ở các trạng thái khác nhau, khác nhau về năng lượng. Nếu một tập hợp đầy đủ các trạng thái như vậy được biết đối với một nguyên tử cụ thể thì phổ của nguyên tử đó được cho là đã biết. Đối với một nhà vật lý, các nguyên tử của các nguyên tố hóa học khác nhau khác nhau chủ yếu ở quang phổ của chúng, do đó quang phổ đóng vai trò là “chân dung” của các nguyên tử. Từ trạng thái có năng lượng cao hơn $E_2$ các electron có thể tự động chuyển sang trạng thái có năng lượng thấp hơn $E_1$. Trong trường hợp này, năng lượng $E_2 - E_1$ được giải phóng dưới dạng lượng tử dao động điện từ. Tần số $\nu$ của những dao động này có liên quan đến năng lượng được giải phóng bởi mối quan hệ

$$\nu = \frac{E_2 - E_1}{h}, \tag{2}$$

trong đó $h$ là hằng số Planck.

Do năng lượng của các trạng thái mà electron có thể tìm thấy trong nguyên tử bị ảnh hưởng cực kỳ yếu bởi các điều kiện bên ngoài, nên tần số dao động do nguyên tử phát ra hóa ra không đổi với độ chính xác cao. Và vì mức độ không đổi của tần số và bước sóng của dao động điện từ trùng nhau, nên bước sóng của ánh sáng phát ra cũng hoàn toàn không đổi. Vì vậy, sẽ rất thuận tiện khi sử dụng loại đèn này làm “thước đo” rất chính xác để đo chiều dài.

Theo định nghĩa, tiêu chuẩn quốc tế về độ dài - mét - chứa 1.650.763,73 bước sóng bức xạ xảy ra trong quá trình chuyển đổi giữa hai trạng thái cụ thể của nguyên tử krypton. Bức xạ này được phát ra bởi một đèn phóng điện chứa đầy krypton ở áp suất được xác định nghiêm ngặt và hoạt động ở dòng điện và điện áp cung cấp được xác định nghiêm ngặt. Leo-

Đèn âm thanh được chọn vì nó tương đối dễ sản xuất và có tuổi thọ cao.

Đo bước sóng laser

Đo chiều dài bằng chuẩn krypton dựa trên hiện tượng giao thoa ánh sáng.

Tại mỗi điểm trong không gian nơi sóng ánh sáng lan truyền sẽ xuất hiện một trường điện từ và độ lớn của các vectơ cường độ điện trường và cảm ứng từ trường thay đổi theo một định luật điều hòa. Khi hai tia sáng kết hợp truyền qua một điểm nhất định trong không gian theo cùng một hướng, hiệu ứng tổng cộng sẽ phụ thuộc vào pha trong đó vectơ trường điện (hoặc cảm ứng từ) của cả hai tia dao động tại điểm đó. Nếu các pha dao động trùng nhau, tức là các vectơ cường độ có hướng bằng nhau thì cường độ ánh sáng tại điểm này là cực đại. Ngược lại, nếu các pha dao động ngược nhau, tức là các vectơ cường độ hướng ngược nhau thì cường độ ánh sáng tại điểm đó là tối thiểu. Do đó, nếu hai chùm ánh sáng có cùng tần số có độ lệch pha không đổi (nghĩa là có mối quan hệ không đổi giữa các vectơ cường độ điện trường hoặc cảm ứng từ trường) hướng vào một màn hình, thì chúng ta sẽ nhìn thấy các sọc sáng và tối xen kẽ trên màn hình - cái gọi là mô hình giao thoa.

Một trong những sơ đồ khả thi để đo chiều dài của một vật sử dụng giao thoa kế Michelson được thể hiện trên Hình 1. Sóng ánh sáng từ nguồn 1 được chia thành hai sóng trong một tấm mờ 2. Một sóng phản xạ từ bề mặt đáy của tấm và đi lên, phản xạ từ gương đứng yên 3, đi qua

5

Cơm. 1.

tấm 2 và dòng 6, rơi vào màn hình 7 nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính. Sóng thứ hai, đi qua tấm 2 và 4, được phản xạ từ gương 5 gắn trên xe đẩy, quay trở lại tấm 2, phản xạ từ bề mặt dưới của nó và đi tới màn hình. Tấm 4 là cần thiết để cân bằng đường quang của cả hai sóng. Thật vậy, sóng đầu tiên đi qua tấm 2 lần và sóng thứ hai chỉ một lần.

Do sự giao thoa của hai chùm tia, trên màn hình xuất hiện một vân giao thoa, đó là một loạt các sọc tối và sáng. Khi một chiếc xe đẩy có gương di chuyển dọc theo một vật thể có chiều dài cần thay đổi, kiểu giao thoa dường như cũng sẽ di chuyển trên màn hình. Ví dụ, khi xe di chuyển một quãng đường bằng một nửa bước sóng ánh sáng dùng trong thí nghiệm, tất cả các sọc tối trên màn hình sẽ chuyển sang màu sáng và ngược lại (Hình 2). Vì vậy, điểm nào trên màn hình sẽ luân phiên sáng hoặc tối khi xe di chuyển, tức là các “đèn nháy” sẽ lần lượt xuất hiện. Hơn nữa, số lượng “chớp sáng” bằng số lượng sóng phù hợp dọc theo chiều dài của vật thể bị thay đổi. Thật thuận tiện khi đếm số lượng “chớp nháy” ở điểm trung tâm của hình ảnh giao thoa. Lượng ánh sáng ở trung tâm của mẫu giao thoa được ghi lại bằng bộ tách sóng quang, được kết nối với bộ đếm xung. Bằng cách này, quá trình thay đổi có thể được

Cơm. 2.

6

nhưng tự động hóa. Độ nhạy cao của bộ tách sóng quang cho phép bạn đo chiều dài của vật thể với độ chính xác bằng một phần trăm bước sóng của bức xạ quang học, tức là khoảng $10^{-8}$ m. Nghĩa là, các vật thể dài khoảng một mét có thể được đo với sai số tương đối cỡ $10^{-8}$.

Bước sóng của chùm tia laze có thể được xác định dễ dàng bằng cách đo chiều dài của cùng một vật thể, đầu tiên sử dụng tiêu chuẩn krypton, sau đó sử dụng tia laze và tính xem số lượng “tia sáng” khác nhau bao nhiêu lần trong trường hợp thứ nhất và thứ hai.

Chúng tôi đã xem xét chi tiết cách đo bước sóng của bức xạ laser. Do thực tế là tiêu chuẩn độ dài - máy đo - dựa trên bước sóng bức xạ từ các nguyên tử krypton trong vùng khả kiến ​​của quang phổ, độ chính xác của phép đo như vậy gần tương ứng với độ chính xác của chính tiêu chuẩn độ dài, nghĩa là bằng $10^{-8}$. Đây là độ chính xác cao nhất có thể đạt được hiện nay. Chỉ có thể tăng độ chính xác này sau khi đưa ra tiêu chuẩn độ dài mới, chính xác hơn.

Tiêu chuẩn tần số Caesium

Tình huống đo tần số bức xạ laser phức tạp hơn nhiều.

Bức xạ từ maser Caesium, một máy phát lượng tử bức xạ điện từ có bước sóng trong dải sóng vô tuyến, được sử dụng làm chuẩn tần số. Nguyên lý hoạt động của maser Caesium như sau. Nguyên tử xêsi có mô men từ, nghĩa là nó là nam châm nhỏ nhất. Trong điều kiện bình thường, có hai loại nguyên tử Caesium, khác nhau về độ lớn của mô men từ. Nói cách khác, từ trường được tạo ra bởi một nguyên tử thuộc loại này lớn hơn một chút so với từ trường được tạo ra bởi một nguyên tử thuộc loại khác. Nếu những nguyên tử đó được đặt

đặt vào một từ trường (ví dụ, giữa các cực của nam châm), thì cường độ tương tác giữa mômen từ của nguyên tử và từ trường sẽ phụ thuộc, trước hết vào độ lớn của từ trường bên ngoài, và thứ hai, vào độ lớn của mômen từ mà một nguyên tử nhất định có. Lực càng lớn thì thế năng của nguyên tử Caesium càng lớn. Như vậy, trong từ trường, hai loại nguyên tử Caesium sẽ có năng lượng khác nhau. Chúng ta hãy biểu thị những năng lượng này, tùy thuộc vào độ lớn của từ trường bên ngoài, bằng $E_1$ và $E_2$ $(E_1<E_2)$.

Chúng ta hãy cho các cặp Caesium tiếp xúc với bức xạ điện từ, năng lượng lượng tử của nó $h\nu$ bằng hiệu năng lượng $E_2-E_1$:

$$h\nu = E_2 - E_1.$$

Khi đó các nguyên tử loại thứ nhất có năng lượng bằng $E_1$, sau khi hấp thụ lượng tử như vậy, sẽ tăng năng lượng của chúng lên giá trị $E_2$, tức là chúng sẽ biến thành các nguyên tử thuộc loại khác. Vì sự chênh lệch năng lượng giữa các nguyên tử Caesium ở một giá trị từ trường nhất định bị ảnh hưởng rất yếu bởi các điều kiện bên ngoài, nên bức xạ như vậy có thể được sử dụng làm chuẩn tần số. Nhưng để làm được điều này, bạn cần có khả năng tách các nguyên tử thuộc loại này khỏi các nguyên tử thuộc loại khác. Việc phân loại này có thể thực hiện được bằng cách sử dụng từ trường. Nếu chùm nguyên tử của cả hai loại được truyền qua một từ trường không đồng nhất thì quỹ đạo của các nguyên tử thuộc các loại khác nhau sẽ khác nhau, vì năng lượng tương tác của mô men từ của nguyên tử với từ trường là khác nhau. Một chùm nguyên tử Caesium được sắp xếp theo cách này được chiếu vào một trường điện từ. Nếu tần số dao động của trường tương ứng với độ chênh lệch năng lượng $E_2-E_1$, thì các nguyên tử chuyển sang trạng thái khác, do đó quỹ đạo của chúng trong từ trường không đồng nhất thay đổi.

Giá trị tần số dao động điện từ tại đó xảy ra sự chuyển đổi như vậy có thể được ghi lại bằng một giá trị tương đối

7

giải quyết trật tự $10^{-12}$. Giá trị này, được xác định ở giá trị cố định nghiêm ngặt của từ trường bên ngoài, bằng 9.192.631.770,0 hertz và theo thỏa thuận, là giai đoạn tần số quốc tế.

Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để sử dụng giai đoạn tần số này? Ví dụ, làm thế nào chúng ta có thể kiểm tra độ chính xác của đồng hồ? Rốt cuộc, cơ chế từ tính tạo ra 1-10 dao động mỗi giây và tín hiệu của eton biến đổi là sóng điện từ, cường độ thay đổi khoảng $10^{10}$ lần mỗi giây. Làm thế nào bạn có thể sử dụng ethon tần số caeser để đo tần số của tia laser có bức xạ truyền qua với tần số cỡ $10^{15}$ f?

Rõ ràng là việc so sánh tần số cột ở các thang đo khác nhau là một nhiệm vụ khó khăn không hiệu quả, chẳng hạn như đo chính xác khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trăng bằng thước đo. Chỉ có thể đo chính xác bằng cách so sánh các đại lượng ở gần nhau về tỷ lệ. Do đó, để đo tần số của các dao động khác nhau bằng caeser eton, trước hết cần đưa tần số đo được gần với tần số của eton hơn. Hiện tại, bài toán này được giải quyết bằng cách sử dụng kỹ thuật chuyển đổi tần số bức xạ điện từ chưa được sử dụng.

Hệ thống phi tuyến

Chuyển đổi tần số bằng cách nhân nó nhiều lần sẽ xảy ra; ví dụ, khi một dao động hình sin có tần số v nhất định tiếp xúc với một phần tử phi tuyến. Để hiểu phần tử phi tuyến là gì, chúng ta hãy nhớ lại định luật Ohm, liên quan đến điện áp $U$ đặt vào một dây dẫn có điện trở $R$ và dòng điện $I$ chạy qua dây dẫn này: $U=IR$. Nếu đại lượng $R$ không phụ thuộc vào dòng điện hoặc điện áp thì nói rằng
dây dẫn nước là một phần tử tuyến tính. Ngược lại, điện trở của các phần tử phi tuyến phụ thuộc vào điện áp đặt vào hoặc dòng điện chạy qua chúng. Ví dụ, điện trở thông thường là phần tử tuyến tính, nhưng diode bán dẫn là phần tử phi tuyến.

Đặc tính quan trọng nhất của bất kỳ hệ thống nào, cả tuyến tính và phi tuyến, là kết nối giữa tín hiệu được cung cấp cho đầu vào của hệ thống đó và tín hiệu quay trở lại đầu ra của nó. Đối với các hệ thống tuyến tính, chỉ có thể thay đổi biên độ tín hiệu với sự phụ thuộc không đổi của cường độ tín hiệu theo thời gian. Bằng cách xác định hệ số tỷ lệ thuận giữa biên độ của tín hiệu và bản chất của tín hiệu đầu vào, chúng ta sẽ xác định duy nhất tín hiệu đầu ra (trong trường hợp điện trở tuyến tính tuân theo định luật Ohm thì hệ số này chính là giá trị điện trở $R$). Vì bản thân các đặc tính của hệ thống phi tuyến phụ thuộc vào tín hiệu được cung cấp cho đầu vào của chúng, nên hình dạng của tín hiệu đầu ra sẽ không còn lặp lại chính xác hình dạng của tín hiệu được cung cấp cho đầu vào. Để mô tả đầy đủ đặc tính của một hệ phi tuyến, việc chỉ định một hệ số tỷ lệ kết nối độ lớn của tín hiệu đầu vào và đầu ra là không đủ. Cũng cần phải biết sự phụ thuộc của hệ số này vào độ lớn của tín hiệu đầu vào.

Ví dụ: nếu một miếng vật liệu đàn hồi bị kéo căng thì độ dài của nó tăng lên $\Delta l$ sẽ liên quan đến lực gia cố $F$ theo định luật Hooke: $F=k\Delta l$. Đối với các giá trị nhỏ của $F$, sự phụ thuộc là tuyến tính, nghĩa là hệ số $k$ không phụ thuộc vào $F$ và mẫu đang được xem xét là một hệ tuyến tính. Khi lực tác dụng tăng lên, tính tuyến tính bị phá vỡ. Hóa ra ở giá trị lớn $F$, tất cả vật liệu đều trở nên phi tuyến, nghĩa là nó trở nên phụ thuộc đáng kể vào $F$.

Trong số các phần tử phi tuyến, hệ dao động phi tuyến chiếm một vị trí lớn. Một ví dụ điển hình của hệ dao động có tính chất phi tuyến là mặt biển. Trong khi biên độ dao động (trong trường hợp này là chiều cao của sóng)

8

nhỏ thì hình di chúc là hình sin. Khi biên độ dao động đạt đến biên độ đủ lớn, sóng trở nên phi tuyến, nghĩa là hình dạng của chúng được xác định bởi biên độ của chúng - xuất hiện “đôi cánh”. Với biên độ tăng thêm, sóng hoàn toàn mất đi sự giống với hình sin.

Có thể tiếp tục số lượng ví dụ về dao động phi tuyến của các hệ thống tồn tại trong tự nhiên và công nghệ.

Một đặc tính chung của tất cả các phần tử phi tuyến là khả năng làm biến dạng tín hiệu cung cấp cho đầu vào của chúng. Cụ thể, nếu tín hiệu đầu vào có dạng hình sin có tần số $v$ thì ở đầu ra nó không còn như vậy nữa. Bằng cách thêm vào đầu vào của bộ chuyển đổi như vậy các dao động không chỉ tần số $v_1$ mà còn cả các sóng hài, tức là các dao động có tần số $2v_1$, $3v_1$, v.v. Do đó, các phần tử còn được gọi là bộ biến tần phi tuyến.

Như một ví dụ về bộ chuyển đổi phi tuyến, hãy xem xét một diode bán dẫn có đặc tính dòng điện-điện áp có thể xấp xỉ bằng một parabol:

$$i = a + bu + cu^2,$$

trong đó $a, b$ và $c$ là một số hằng số. Để hướng $u$ cung cấp cho diode thay đổi theo định luật

$$u = U_0 \cos \omega t = U_0 \cos 2\pi vt.$$

Sau đó

$$i = a + bU_0 \cos 2\pi vt + cU_0^2 \cos^2 2\pi vt =$$

$$= a + bU_0 \cos 2\pi vt + \frac{cU_0^2}{2}(1 + \cos 4\pi vt) =$$

$$= \left(a + \frac{cU_0^2}{2}\right) + bU_0 \cos 2\pi vt +$$

$$+ \frac{cU_0^2}{2} \cos 4\pi vt.$$

Do đó, dòng điện qua bộ chuyển đổi đang xét không điều hòa mà là tổng của ba thành phần: một thành phần không đổi, các dao động có tần số cơ bản $v$ và các dao động có tần số kép $2v$.

Nếu sự phụ thuộc $i (u)$ phức tạp hơn và do đó nó phải được biểu diễn bằng số lượng số hạng lớn hơn:

$$i = a + bu + cu^2 + du^3 + \dots + lu^k,$$

khi đó tín hiệu đầu ra sẽ chứa các thành phố có sóng hài cao hơn (2v, 3v, …, kv).

Một hình ảnh thậm chí còn phức tạp hơn sẽ thu được ở đầu ra nếu nhận được tín hiệu phức tạp hơn tín hiệu hình sin ở đầu vào của hệ thống tuyến tính. Đặc biệt quan tâm là trường hợp tín hiệu đầu vào là tổng của hai tín hiệu hình sin có tần số $v_1$ và $v_2$. Hóa ra trong trường hợp này, không chỉ các hài của từng tần số xuất hiện ở đầu ra mà còn xuất hiện cái gọi là tần số kết hợp: $v_1 + v_2, v_1 - v_2, 2v_1 + v_2$, v.v. (điều này có thể được hiển thị bằng cách kiểm tra các phép tính tương tự như các phép tính ở trên). Nói chung, tần số kết hợp có thể được biểu diễn như sau: $nv_1 \pm mv_2$, trong đó $n$ và $m$ là số nguyên bất kỳ.

Đo tần số laser

Bây giờ chúng ta có thể quay lại phần bài toán cụ thể - cách đo tần số bức xạ laser. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy làm quen với nguyên tắc chung của việc đo tần số gần với tần số tham chiếu. Các dao động được nghiên cứu cùng với các dao động tham chiếu được đưa vào bộ chuyển đổi phi tuyến. Như chúng tôi đã nói, nhiều tần số kết hợp khác nhau xuất hiện ở đầu ra, trong đó có tần số $v_1 - v_2$, được gọi là tần số binine. Với điều kiện là tần số $v_1$ và $v_2$ gần nhau, tần số binine hóa ra rất nhỏ và có thể được đo bằng các phương pháp thông thường (ví dụ: sử dụng máy hiện sóng). Trong trường hợp này, mặc dù sai số tương đối khi đo tần số dao động bằng máy hiện sóng khá lớn ($\approx 10^{-4}$), nhưng sai số đo tuyệt đối nằm ở mức 1 - 10 $2\mu$. Và vì tần số tham chiếu có giá trị xấp xỉ $10^{10} \epsilon$, nên sai số tương đối khi đo các tần số cao như vậy sẽ là $10^{-9} - 10^{-10}$.

Để đo các tần số rất khác so với chuẩn, ngoài chuẩn đích là chuẩn tần số sơ cấp cần phải có một bộ chuẩn thứ cấp.

Các giá trị tần số của các tiêu chuẩn thứ cấp thay đổi trơn tru, giúp có thể đạt được tần số gần hơn và thu được càng ít tần số nhịp càng tốt. Độ chính xác của chất chuẩn thứ cấp không kém hơn độ chính xác của eton đầu tiên, vì chúng liên tục được kiểm tra bằng caesium eton.

Vì vậy, nếu các tần số được so sánh có thang đo khác nhau thì tần số nhỏ hơn sẽ được nâng lên bằng cách nhân lặp lại đến giá trị gần với tần số lớn hơn. Hơn nữa, nếu đại lượng đang nghiên cứu xảy ra với tần số nhỏ hơn eton thì tần số của nó sẽ được nhân lên. Nếu đại lượng đang nghiên cứu có tần số cao hơn, như trong trường hợp bức xạ laser, thì phép nhân phải được thực hiện đối với tần số đó.

Ví dụ: đây là cách đo tần số của tia laser hơi axit hydrocyanic HCN (bước sóng 3,4 × 10⁻² cm, tần số 890.758 Mét). Sử dụng phép biến đổi phi tuyến, bức xạ này được trộn với sóng hài thứ mười hai của tín hiệu phát ra từ máy tạo dao động vi sóng (klystron). Ở đầu ra của phép biến đổi phi tuyến, phát sinh các dao động có tần số chênh lệch bằng 30 kHz. Tần số klystron nằm trong cùng vùng phổ với tần số caesium ethon nên có thể thay đổi trực tiếp. Và khi biết tần số klystron và độ chênh lệch tần số (tần số nhịp), người ta dễ dàng xác định tần số của bức xạ laser.

Sau khi đo tần số của bức xạ laser hơi axit hydrocyanic, người ta có thể đo tần số của bức xạ bước sóng ngắn hơn. Do đó, tần số bức xạ của tia laser hơi nước nặng D₂O đã được đo (bước sóng 8,4·10⁻³ cm, tần số 3.557.143 Mét) gần với mức hài hòa gấp bốn lần của bức xạ của tia laser trước đó (890.758 Mets×4=3.563.032 Mets). Sau đó, tần số của tia laser carbon dioxide được đo.

10

1. Lời giải nên tối ưu
   Cần tổ chức vận chuyển hàng hóa liên tục từ điểm A đến địa điểm B. Có đủ trọng tải tự động, thực tế không giới hạn đến điểm A, nhưng lượng hàng gửi từ A đến B trong một đơn vị thời gian bị hạn chế do điều kiện đường xá.

Điểm A và B được nối với nhau bằng mạng lưới đường, sơ đồ như hình 1. Số 1 trên sơ đồ này biểu thị điểm xuất phát A, số 5 - điểm đến B, số 2, 3, 4 - điểm trung gian - nút giao đường. Hướng chuyển động được chỉ định bởi các mũi tên. Mỗi đoạn đường có thể đi qua trong một đơn vị thời gian không quá một số tấn hàng hóa nhất định (được xác định bởi chiều rộng của đoạn đường tại điểm hẹp nhất, tính chất của bề mặt, tình trạng của các địa điểm, v.v.). Hãy gọi con số này là dung lượng và giả sử nó được biết đến với từng đoạn của đường dẫn nối một hoặc hai điểm trên sơ đồ của chúng ta.

11

Năng lực của đoạn dẫn từ điểm $i$ đến điểm $j$ (đoạn $i - j$) sẽ được thể hiện qua $a_{ij}(T/\mu a c)$.

Giả sử rằng chúng ta cố gắng gửi càng nhiều hàng hóa càng tốt trong mỗi đơn vị thời gian từ $A$ đến $B$. Tuy nhiên, bạn không nên nghĩ rằng để làm được điều này, bạn cần gửi $a_{12}$ tấn hàng ngày dọc theo đoạn $1 - 2$ và $a_{13}$ tấn dọc theo đoạn $1 - 3$: xét cho cùng, có thể do các đoạn khác của tuyến đường không đủ năng lực nên “ùn tắc giao thông” sẽ hình thành tại một số điểm trung gian, do đó giao thông sẽ bị gián đoạn hoặc dừng hẳn. Ví dụ: nếu $a_{12} > a_{23} + a_{24}$ thì sẽ xảy ra “ùn tắc giao thông” tại giao lộ 2. Điều này có nghĩa là để tổ chức vận chuyển hàng hóa tốt nhất từ $A$ đến $B^*$), chúng ta cần giải quyết vấn đề bài toán sau: xác định số tấn hàng hóa cần thiết hàng ngày cho mỗi đoạn của mạng lưới đường kết nối các điểm $A$ và $B$, để không vượt quá công suất của bất kỳ phần nào của mạng lưới, không để tạo ra một “ùn tắc giao thông” duy nhất tại các điểm trung gian và để số lượng hàng hóa được giao hàng ngày đến $B$ được tối đa hóa.

*) Tổ chức cung ứng như vậy được gọi là tối ưu.

Lượng hàng hóa cần vận chuyển qua đoạn $i - j$ hàng ngày (khối lượng vận chuyển) sẽ được ký hiệu là $x_{ij}(T/\mu a c)$.

Vì vậy, bài toán được đặt. Nhưng làm thế nào để giải quyết nó?

2. Lật qua số cũ «Kvant»

Nhìn qua bộ tạp chí «Kvant» năm 1970, trong phần “Mạng và dòng” của M.I. Trong bài báo “Mạng lưới kết hợp và vận chuyển” của Bashmkov, chúng tôi tìm thấy bài toán của mình, chỉ ở những bộ quần áo “giảm giá” hơn một chút.

Hóa ra các sơ đồ gồm các điểm và mũi tên (như trong Hình 1) được gọi là đồ thị có hướng, với các điểm là các đỉnh và các mũi tên là các cạnh của đồ thị. Mỗi cung có một hướng nhất định (do đó có tên là đồ thị có hướng), do đó một trong các điểm nối của nó là điểm đầu, điểm còn lại là điểm cuối cùng; họ cũng nói rằng cung rời khỏi đỉnh ban đầu và đi vào đỉnh cuối cùng. Đỉnh, là đỉnh đầu tiên (cuối cùng) của tất cả các cung được kết nối với nó, được gọi là đầu vào (đầu ra) của đồ thị (trong Hình 1 - đỉnh 1 và 5 tương ứng). Đồ thị có hướng có một đầu vào và một đầu ra là mạng biên (đây là đồ thị trong Hình 1). Các đỉnh truyền tải mạng không phải là đầu vào hoặc đầu ra được gọi là các đỉnh chiếu.

Hãy dừng dòng thuật ngữ này trong một phút và dịch hai thuật ngữ. Tất nhiên, việc thay thế các từ “mạng lưới đường” - “mạng lưới giao thông”, “điểm” - “đỉnh”, “đoạn đường đi” - “vòng cung” không đưa chúng ta đến gần hơn với lời giải. Nhưng hóa ra chúng tôi không đặc biệt quan tâm đến khoảng cách như vậy. Kiên nhẫn hơn một chút, bạn sẽ đi đến công thức nổi tiếng của bài toán trong toán học.

Giá trị yêu cầu của lưu lượng giao thông $x_{ij}$ được gọi là luồng dọc

12

cung $i-j$ và tổng các luồng dọc theo tất cả các cung rời khỏi đầu vào mạng (trong trường hợp của chúng tôi $x_{12} + x_{13}$) là luồng qua mạng. Bây giờ, cuối cùng, bài toán của chúng ta có thể được trao “đồng phục nghi lễ”.

Bài toán về lưu lượng tối đa. Một mạng lưới giao thông được đưa ra và công suất được chỉ định cho từng cung Komori. Cần phải xác định các luồng dọc theo các cung mạng không vượt quá khả năng thông lượng tương ứng, sao cho đối với bất kỳ đỉnh trung gian nào, tổng các luồng dọc theo các cung đến bằng tổng các luồng dọc theo các cung đi (“điều kiện liên tục của luồng”) và sao cho luồng qua mạng là thấp nhất có thể.

Vì vậy, bài toán của chúng tôi là trường hợp đặc biệt bài toán về lưu lượng tối đa (điều kiện liên tục của luồng là điều kiện quen thuộc để không xảy ra ùn tắc giao thông). Sử dụng ký hiệu trên, nó có thể được hình thành như sau:

Tìm luồng $x_{ij}$ tối đa dọc theo các cung, tại đó đạt được giá trị cực đại của luồng qua mạng
$$X = x_{12} + x_{13}$$

(1)
theo các điều kiện sau:
a) xác định công suất hồ quang
$$x_{12} \leq a_{12}, x_{13} \leq a_{13}, x_{23} \leq a_{23},$$
$$x_{24} \leq a_{24}, x_{34} \leq a_{34}, x_{35} \leq a_{35},$$
(2)
tính liên tục của dòng chảy tại các đỉnh đi qua
$$x_{12} - x_{23} - x_{24} = 0,$$
$$x_{13} + x_{23} - x_{34} - x_{35} = 0,$$
$$x_{24} + x_{34} - x_{45} = 0.$$

(3)
Với luồng ổn định, số lượng hàng hóa xuất khẩu từ lối vào 1 phải bằng số lượng hàng hóa đến lối ra 5 cùng một lúc (nếu không sẽ vi phạm điều kiện liên tục của luồng):
$$X = x_{12} + x_{13} = x_{35} + x_{45}.$$

(4)
Vì chúng tôi đã tìm ra công thức bài toán của chúng tôi trong M.I. Bài viết của Bashmkov, việc tìm kiếm lời giải ở đó cũng là điều đương nhiên. Và thực sự, khi đi sâu hơn vào bài đọc, chúng tôi tìm thấy phần trình bày về thuật toán Ford-Folkerson, với sự trợ giúp của nó, bạn có thể xác định tất cả các giá trị của $x_{ij}$ (tuy nhiên, giả sử rằng đây là số nguyên). Chỉ cần kiên nhẫn; Để hiểu thuật toán và có thể áp dụng nó, bạn sẽ phải làm việc chăm chỉ. Sẽ không có gì đáng ngạc nhiên nếu những độc giả không thích tính toán sẽ hỏi vào thời điểm này: liệu có thể làm khác đi không?

3. Ôi đầy sự tương tự

Nhìn bên ngoài phương trình (3). Theo một cách nào đó, chúng rất quen thuộc với chúng ta… Bah, nhưng nếu mạng lưới giao thông được coi là một mạch điện và khối lượng vận chuyển $x_{ij}$ là cường độ dòng điện theo các nhánh của mạch, thì phương trình (3) chỉ đơn giản biểu thị định luật Kirchhoff thứ 1 cho các nút trung gian của chuỗi: theo cáo buộc, tổng dòng điện trong một nút bằng 0 (nghĩa là tổng dòng điện chạy vào một nút bằng tổng dòng điện chạy trong một nút từ nút)!

Đúng, sự tương tự này chưa hoàn chỉnh, vì định luật Kirchhoff thường được xây dựng cho một mạch kín và áp dụng cho mọi mạch không đóng, và các điều kiện như (3) không đúng với các nút cực trị 1 và 5. Tuy nhiên, có thể thay đổi bài toán về dòng chảy sao cho ghi nhận được sự phân kỳ của thiết bị. Với mục đích này, chúng tôi sẽ không đưa một cung giới hạn bổ sung vào mạng truyền tải mà sử dụng luồng dọc theo nó bằng $X$, tức là luồng qua mạng. Theo mạng tổng quát thu được, luồng sẽ tạo một đường dẫn khép kín từ lối vào đến lối ra dọc theo một mạng lưới giao thông nhất định, sau đó từ lối ra đến lối vào dọc theo một vòng cung bổ sung.

Khi đó bài toán của chúng ta có thể được phát biểu lại như sau: cũng xác định vận chuyển tổng quát $x_{ij}$, trong đó

13

Cơm. 2.

chúng tôi truy cập giá trị tối đa $X$ (bảy hỗ trợ) theo các hạn chế (2) và các điều kiện (3) và (4) về tính liên tục của luồng ở tất cả các nút:

$$X - x_{12} - x_{13} = 0,$$
$$x_{12} - x_{23} - x_{24} = 0,$$
$$x_{13} + x_{23} - x_{34} - x_{35} = 0,$$
$$x_{24} + x_{34} - x_{45} = 0,$$
$$x_{35} + x_{45} - X = 0.$$

Kết quả hoàn toàn tương tự với định luật Kirchhoff, và do đó câu hỏi được đặt ra: liệu có thể xây dựng một mô hình điện của mạng lưới giao thông trong đó dòng điện yêu cầu dọc theo các cung sẽ tương ứng với dòng điện trong các nhánh, được xác định trực tiếp bằng phép đo mà không cần bất kỳ tính toán nào không?

Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng một mô hình như vậy có thể được xây dựng.

Đương nhiên, các cung của mạng trong mô hình này phải tương ứng với các nhánh của mạch điện và đỉnh phải tương ứng với các nút của mạch.

Quét nó lên. Chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau: $\sigma$ - nguồn dòng điện theo hướng chỉ định, $a$ - cường độ dòng điện trong nhánh; $\mu$ — nguồn hướng, $u$ — cường độ hướng trong nhánh; $\beta$ là một diode truyền dòng điện theo hướng từ trái sang phải.

Để dòng điện chạy qua mạch điện thì phải có một lực điện nào đó tồn tại trong mạch điện đó. Do đó, trong nhánh bổ sung của mạch, nguồn một chiều

14

Cơm. 4.

Đồng thời, các nút $\alpha$ và $\beta$ xuất hiện trong sơ đồ nhánh, không được vận chuyển. Hướng và độ lớn của dòng điện trong nhánh $\alpha - M - \beta$ chứa nguồn dòng được thực hiện bởi nguồn này; chiều dòng điện trong nhánh $\alpha - N - \beta$ được xác định bởi diode; Chúng ta biểu thị cường độ dòng điện trong đó bằng $I_{ij}$. Chúng ta biểu thị dòng điện trong nhánh $i - \alpha$ và $\beta - j$ lần lượt là $\tilde{x}_{ij}$ và $\tilde{y}_{ij}$; chiều của các dòng điện này được chỉ ra trên sơ đồ.

Áp dụng định luật Kirchhoff cho:

1. tại nút $\alpha$: $\tilde{x}_{ij} + I_{ij} = a_{ij}$ hoặc $I_{ij} = a_{ij} - \tilde{x}_{ij}$ theo tính chất của diode $I_{ij} \geq 0$, do đó,
   $$\tilde{x}_{ij} \leq a_{ij},$$
   (6)
2. tại nút $\beta$: $a_{ij} = \tilde{y}_{ij} + I_{ij}$, tức là
   $$\tilde{y}_{ij} = \tilde{x}_{ij}.$$
   (7)

Điều này có nghĩa là dọc theo nhánh chính $i - j$ của mạch có một dòng điện theo hướng nhất định (từ nút $i$ đến nút $j$), giá trị của nó $\tilde{x}_{ij}$ lần lượt không vượt quá công suất $a_{ij}$; theo quy tắc xây dựng mô hình $U = 1$.

Chúng tôi khẳng định rằng dòng điện $\tilde{x}_{ij}$, được thiết lập trong các nhánh chính của mô hình vận chuyển điện, bằng về mặt số với khối lượng vận chuyển dọc theo các cung tương ứng và cho lời giải bài toán mức tối đa

15

luồng nom cho mạng này. Trong trường hợp này, dòng điện $\tilde{X}$ trong nhánh bổ sung của mô hình bằng với lưu lượng tối đa qua mạng.

Nếu chúng ta chứng minh được điều này, thì mô hình được xây dựng sẽ giải quyết hoàn toàn bài toán của chúng ta: đủ rồi, hãy đưa mô hình vào hoạt động, thay đổi dòng điện $x_{ij}$ trong các nhánh bằng một ampe kế!

4. Vì vậy - hãy bắt tay vào làm việc

Để đảm bảo rằng các giá trị số của dòng điện $\tilde{x}_{ij}$ trong các nhánh của mô hình là lưu lượng giao thông cho lời giải bài toán về luồng tối đa, cần phải chứng minh rằng ở các điều kiện $\tilde{x}_{ij} = \tilde{x}_{ij}$ (2) và (3) được thỏa mãn và các giá trị luồng $X$ trong mạng được lấy là giá trị lớn nhất có thể.

Chúng tôi đã chứng minh không phải phần đầu tiên của tuyên bố này. Trên thực tế, khi viết các bất đẳng thức (6) cho tất cả các nhánh của mô hình $\tilde{x}_{12} \leq a_{12}, \tilde{x}_{13} \leq a_{13}, \tilde{x}_{23} \leq a_{23}, \tilde{x}_{24} \leq a_{24}, \tilde{x}_{34} \leq a_{34}, \tilde{x}_{35} \leq a_{35}, \tilde{x}_{45} \leq a_{45}$, (9), chúng ta thu được điều đó đối với dòng điện $\tilde{x}_{ij}$ điều kiện (2) được thỏa mãn và áp dụng định luật Kirchhoff thứ 1 cho tất cả các nút chính của mô hình, chúng ta thu được năm điều kiện tương ứng (3) cho dòng điện $\tilde{x}_{ij}$.

Điều này có nghĩa là tất cả những gì còn lại là chứng minh rằng giá trị $\tilde{X}$ trong mạch điện là giá trị lớn nhất có thể có của từ thông $X$, phù hợp với điều kiện (2) và (3). Bằng chứng của thực tế này bao gồm hai phần.

1. Trước tiên chúng ta hãy chỉ ra rằng với mọi giá trị của biến $x_{ij}$ thỏa mãn điều kiện (2) và (3), thì bất đẳng thức
   $$\tilde{X} = x_{12} + x_{13} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij},$$ (11)

trong đó $u_{ij}$ là giá trị số của điện áp trong nhánh $i - j$ và tổng được lấy trên tất cả các nhánh của mạch điện *), nghĩa là, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng đối với bất kỳ lưu lượng vận chuyển cho phép nào dọc theo các cung vận chuyển mạng, lưu lượng $X$ qua mạng không vượt quá số $\sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}$.

Do bất đẳng thức (2) và tính không âm của $u_{ij}$ (xem (8)), chúng ta có $x_{ij}u_{ij} \leq a_{ij}u_{ij}$; kể từ đây,
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}.$$ (12)

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng $u_{ij} = p_i - p_j$, trong đó $p_i, p_j$ là các điện thế tương ứng với các nút. Đó là lý do tại sao
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} = \sum_{i,j} x_{ij}(p_i - p_j) = x_{12}(p_1 - p_2) + x_{13}(p_1 - p_3) + x_{23}(p_2 - p_3) + x_{24}(p_2 - p_4) + x_{34}(p_3 - p_4) + x_{35}(p_3 - p_5) + x_{45}(p_4 - p_5) = p_1(x_{12} + x_{13}) + p_2(-x_{12}) + p_2(x_{13} - x_{23}) + p_3(-x_{13} - x_{23}) + p_4(-x_{24} - x_{34}) + p_5(-x_{35} - x_{45}).$$

Các biểu thức trong ngoặc đơn tại $p_2, p_3$ và $p_4$ bằng 0 (xem (3)); khi $p_1$ và $p_5$ bằng $X$ và $-X$ (xem (4)), $p_1 - p_5 = U = 1$; Đó là lý do tại sao
$$\sum_{i,j} x_{ij}u_{ij} = p_1X - p_5X = (p_1 - p_5)X = X.$$ (13)

Xét (12), ta thu được bất đẳng thức cần tìm
$$\tilde{X} \leq \sum_{i,j} a_{ij}u_{ij}.$$ (14)

*) Ký hiệu $\sum_{ij}$ biểu thị tổng các số hạng của loại đang được xem xét, tương ứng với tất cả những gì có thể có đối với một tập hợp các giá trị chỉ mục bài toán cho trước $i, j$. Trong trường hợp của chúng tôi
$$\sum_{i,j} a_{ij}u_{ij} = a_{12}u_{12} + a_{13}u_{13} + a_{23}u_{23} + a_{24}u_{24} + a_{34}u_{34} + a_{35}u_{35} + a_{45}u_{45}.$$

16

Cơm. 5.

Điều này có nghĩa là $\tilde{X}$ là giá trị cao nhất có thể có của $X$.

Để chứng minh đẳng thức (14), chúng ta sử dụng sự tương ứng (8), mô tả tính chất của một diode lý tưởng:

$$u_{ij} (a_{ij} - \tilde{x}_{ij}) = 0$$ hoặc $a_{ij} u_{ij} = \tilde{x}_{ij} u_{ij}$.

Nó ngay sau đó

$$\sum_{i,j} a_{ij} u_{ij} = \sum_{i,j} \tilde{x}_{ij} u_{ij}.$$ (15)

Vì các dòng điện $\tilde{x}_{ij}$, $\tilde{X}$ thỏa mãn các tương ứng (1), (4) như đối với $x_{ij}$ và $X$, nên

$$\sum_{i,j} \tilde{x}_{ij} u_{ij} = \tilde{X}.$$ (16)

5. Hãy tự mình thử

Từ các phần tử giống nhau (được lý tưởng hóa!)—nguồn dòng điện, nguồn điện áp và điốt—các mô hình điện có thể được xây dựng cho lời giải và các tối ưu hóa bài toán khác liên quan đến mạng lưới giao thông. Chúng ta hãy xem xét ở đây một bài toán như vậy, có ý nghĩa quan trọng hơn trong kinh tế học.

Bài toán về việc giảm thiểu chi phí vận chuyển. Giả sử có một mạng lưới giao thông và người ta biết rằng chi phí vận chuyển một đơn vị hàng hóa dọc theo đường $i - j$ bằng $c_{ij}$ (xem Hình 5). Cần xác định khối lượng vận chuyển $x_{ij}$ bằng đường hàng không

Cơm. 6.

gam của mạng, trong đó 1 đơn vị hàng hóa sẽ được vận chuyển từ đầu vào của mạng đến đầu ra của mạng và tổng chi phí vận chuyển sẽ ở mức tối thiểu.

Vận chuyển $x_{ij}$ đơn vị hàng hóa dọc theo một vòng cung $i-j$ chi phí $c_{ij}x_{ij}$.

Do đó, tổng chi phí vận chuyển bằng

$$S = \sum_{i,j} c_{ij} x_{ij}. \tag{17}$$

Cần tìm các giá trị đại lượng $x_{ij}$ sao cho $S$ lấy giá trị nhỏ nhất có thể và thỏa mãn điều kiện:

a) tính liên tục của dòng chảy tại các nút trung gian (xem (3));

b) lưu lượng giao thông không âm: $x_{ij} \geqslant 0$;

c) bằng một đơn vị của tổng lưu lượng qua mạng:

$$X = x_{12} + x_{13} + x_{35} + x_{45} = 1. \tag{18}$$

Để xây dựng mô hình điện của mạng truyền tải bài toán này, cần thay thế mỗi cung $i-j$ bằng một nhánh có một diode và một nguồn điện áp mắc nối tiếp, giá trị của nó bằng $c_{ij}$ và đưa một nguồn dòng điện duy nhất vào nhánh bổ sung từ đầu ra đến đầu vào của mạng. Sơ đồ tương ứng được trình bày trong Hình 6.

Nó có thể được chứng minh…

Nhưng đã đến lúc chúng ta phải chấm dứt nó. Bạn đọc quan tâm đến những câu hỏi này có thể thử sức mình giải các bài toán sau

Bài tập

1. Chứng minh rằng dòng điện $x_{ij}$ lắp vào các nhánh của mạch điện như ở Hình 6, cho lời giải bài toán để giảm thiểu chi phí vận chuyển.

2. Chứng minh rằng mọi dòng điện khác 0 dọc theo một nhánh của mạch này nhất thiết phải bằng 1, tức là trên thực tế dòng điện không phân nhánh tại các nút mà đi từ đầu vào đến đầu ra dọc theo một đường dẫn nhất định (“đường đi của chi phí tối thiểu”).

3. Sử dụng bài toán để giảm thiểu chi phí vận chuyển, hãy chỉ ra cách sử dụng mô hình tương tự (Hình 6) để xác định đường đi ngắn nhất dọc theo các cung của mạng lưới giao thông dẫn từ lối vào đến lối ra.

2 Lượng tử số 2

Tại trại huấn luyện năm b

“Hôm nay tôi sẽ chỉ cho bạn một thủ thuật,” thủ lĩnh tiên phong Lena tuyên bố. - Bạn có đồng ý không?

• Chúng tôi đồng ý! - tiếng nói của học sinh lớp năm vang lên.

• Bí quyết là gì? - Seryozha hỏi. - Tôi cũng biết thủ thuật kim tiêm…

“Tôi sẽ chỉ cho bạn một thủ thuật số học,” Lena nói. “Mỗi người hãy nghĩ ra một con số.” Đừng nói với tôi,” Lena thông báo. Bây giờ hãy nhân số này với 5. Thêm 4 vào kết quả và nhân đôi số kết quả. Sẵn sàng chưa?

“Bây giờ hãy thêm 99 nữa,” Lena nói, “và mỗi bạn sẽ nhận được một số có ba chữ số.” Chỉ để lại chữ số cuối cùng trong số này và gạch bỏ hai chữ số đầu tiên.

• Ý bạn là gì: gạch bỏ nó? - Yura hỏi.

“Ví dụ: bạn có số 364,” Lena nói. — Nếu gạch bỏ hai chữ số đầu thì chỉ còn lại 4.

“Những gì còn lại,” Lena tiếp tục, “cộng 28 rồi chia cho 5.”

Sonya, người đang ngồi ở bàn cuối cùng, đếm nhanh và cười.

• Sao cậu lại cười? - Lena hỏi. - Đến đây. “Và cô ấy nói nhỏ vào tai Sonya:

• Bạn được 7.

“Đúng vậy,” Sonya vui mừng. - Làm sao anh biết được?

• Tôi đã nhận được bao nhiêu? - Seryozha sốt ruột hỏi.

Lena đến gần anh và nói nhỏ:

• Bạn được 7.

Sau đó Lena lần lượt đến gần mọi người và nói với từng người:

• Bạn được 7.

---

Làm sao Lena có thể biết rằng mọi người đều có bảy?

17

18

Màu sắc nhiễu xạ (cấu trúc) của chim, bướm và bọ cánh cứng rất phổ biến trong tự nhiên. Nhiều sắc thái khác nhau của màu nhiễu xạ là đặc trưng của chim công, gà lôi, cò đen, chim ruồi, bướm vùng nhiệt đới và nhiều loài bọ cánh cứng (trong số đó có bọ cánh cứng, mọt, bọ cánh cứng, v.v.). Màu sắc nhiễu xạ của động vật không chỉ được nghiên cứu bởi các nhà sinh vật học mà còn bởi các nhà vật lý, ví dụ như Rayleigh, Wood, Michelson.

Bề mặt bên ngoài bộ lông của nhiều loài chim và lớp phủ cơ thể phía trên của bướm và bọ cánh cứng được đặc trưng bởi sự lặp lại thường xuyên của các yếu tố cấu trúc với khoảng thời gian từ một đến vài micron. Ở một số động vật, các cấu trúc tương tự có thể bao phủ cơ thể thành nhiều lớp, tạo thành cách tử nhiễu xạ nhiều tầng (thể tích).

Cùng với nhiễu xạ, động vật cũng có thể có màu giao thoa thuần túy, hình thành trên lớp vỏ ngoài mỏng và dày đặc (hình nêm có mặt cắt ngang dọc theo trục đối xứng chính) với độ dày hoạt động quang học từ micron đến vài micron.

Trong Hình 1 và 2, bạn thấy các bức ảnh chụp cánh bướm và lưng của một con bọ lá châu Á (các vùng có màu nhiễu xạ được chọn). Hình 1, 2, 3 được chụp bằng kính hiển vi có độ phóng đại gấp trăm lần. Ánh sáng bên được sử dụng để xác định các yếu tố cấu trúc. Các bức ảnh cho thấy rõ sự lặp lại của các yếu tố cấu trúc.

Màu sắc của bề mặt có thể thay đổi tùy thuộc vào góc mà ánh sáng chiếu vào bề mặt của lưới, cách các tia sáng được định hướng so với các phần tử của cấu trúc và bề mặt được nhìn ở góc nào.

Rõ ràng, màu sắc của bề mặt có liên quan đến sự phản xạ của tia. Hãy xem xét số lượng nhiễu xạ trong ánh sáng phản xạ. Để các tia sáng rơi vào cách tử một góc $\theta_0$ và phản xạ từ nó một góc $\theta$ (Hình 4). Hiệu đường đi của tia 1 và tia 2 bằng

$$\Delta = \Delta_2 - \Delta_1 = d \sin \theta_0 - d \sin \theta,$$ (1)

hoặc

$$\Delta = 2d \cos \frac{\theta_0 + \theta}{2} \sin \frac{\theta_0 - \theta}{2}.$$ (2)

Vì đối với cực đại nhiễu xạ $\Delta = k\lambda$ ($k = 1, 2, \dots$), thì

$$k\lambda = 2d \cos \frac{\theta_0 + \theta}{2} \sin \frac{\theta_0 - \theta}{2}.$$ (3)

Năng lượng rất cao được định vị ở cực đại nhiễu xạ thứ nhất ($k = 1$). Đối với mức tối đa này, giả sử rằng $\theta$ gần với $\theta_0$, từ biểu thức (3) chúng ta thu được

$$\lambda = (\theta_0 - \theta) d \cos \theta_0.$$ (4)

Đặt $\theta_0 = 65^\circ$ (trong trường hợp đang xem xét, hiện tượng nhiễu xạ trong ánh sáng phản xạ được quan sát thấy với tia tới xiên) và $\theta_0 - \theta = 3^\circ$ (khoảng 0,05 rad). Sau đó, ví dụ, với $d = 2 \cdot 10^{-3}$ cm bước sóng di-

Cơm. 1.

Cơm. 2

Cơm. 3. Cấu tạo của mắt trung tâm lông đuôi công. Màu sắc của mắt thay đổi tùy thuộc vào cách ánh sáng chiếu vào chúng và chúng ta nhìn chúng ở góc độ nào. (Trong bức ảnh ở bìa trước, đôi mắt này có màu xanh lam.)

của ánh sáng phân mảnh từ phương trình (4) bằng $\lambda \approx 0{,}4 \cdot 10^{-4}$ cm.

Giá trị kết quả $\lambda$ tương ứng với vùng màu xanh lam của quang phổ. Thông thường, các màu nhiễu xạ trong tự nhiên được quan sát thấy ở màu lục, lam

or blue light. Từ công thức (4), rõ ràng bước sóng $\lambda$ phụ thuộc vào góc tới của ánh sáng $\theta_0$. Thật vậy, nếu bề mặt được chiếu sáng từ các góc khác nhau, màu sắc có thể thay đổi.

Trong trường hợp cách tử nhiễu xạ nhiều lớp, điều kiện hình thành cực đại nhiễu xạ được mô tả bằng phương trình

$$k\lambda = 2l \cos \theta_0, \tag{5}$$

trong đó $l$ là khoảng cách giữa các lớp mạng liền kề. Phương trình này thu được bằng cách xác định độ chênh lệch đường đi $\Delta = \Delta_1 + \Delta_2$ giữa các chùm tia $1$ và $2$ (Hình 5) và thay thế $\Delta$ cho cực đại nhiễu xạ đến $k\lambda$.

Giả sử $k = 1$, từ biểu thức (5) ta thu được

$$\cos \theta_0 = \frac{\lambda}{2l}. \tag{6}$$

Theo đó, nhiễu xạ bởi cấu trúc nhiều lớp có thể xảy ra ở $2l > \lambda$.

Cơm. 4.

Cơm. 5.

2*

19

20

Các tính chất của hình tam giác đã được người Hy Lạp cổ đại nghiên cứu kỹ lưỡng.

Trong cuốn Elements quan trọng của Euclid, người ta đã chứng minh rằng tâm của một đường tròn ngoại tiếp một tam giác là giao điểm của điểm giữa các đường vuông góc với các cạnh của nó.

Archimedes, khi xác định vị trí trọng tâm của một tấm tam giác đồng nhất, đã phát hiện ra rằng nó nằm trên một trong ba đường trung tuyến. Giao điểm các đường trung tuyến của một tam giác gọi là tâm mềm hay tâm tam giác.

Sau đó người ta đã chứng minh được rằng ba đường cao của một tam giác cũng cắt nhau tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác đó.

Sự đều đặn về vị trí của ba điểm đáng chú ý này của tam giác - tâm O của đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm G và trực tâm H - lần đầu tiên được phát hiện bởi nhà toán học nổi tiếng Leonhard Euler (1707-1783). Trước tiên chúng ta hãy xem xét một trường hợp đặc biệt: tam giác vuông ABC (Hình 1).

O ở giữa cạnh huyền AB là tâm của đường tròn ngoại tiếp nó. Tâm G chia đường trung tuyến CO theo tỉ lệ 2:1 tính từ đỉnh C. Hai chân AC và BC là đường cao của tam giác nên đỉnh C của góc vuông trùng với trực tâm H của tam giác. Do đó, các điểm O, G, H nằm trên cùng một đường thẳng và $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$. Sử dụng phương pháp tọa độ, Euler đã chứng minh rằng có cùng một mối liên hệ giữa ba điểm đã chỉ ra hoặc về một tam giác. Chúng tôi sẽ chứng minh điều này bằng cách sử dụng vectơ và người đọc chỉ cần làm quen với các thao tác đơn giản nhất: cộng vectơ và nhân vectơ với một số.

Phân chia một đoạn trong một mối quan hệ nhất định

Cho A, B và O là các điểm của mặt phẳng và biết điểm G chia đoạn AB theo quan hệ k: $\frac{\overrightarrow{AG}}{\overrightarrow{GB}} = k$ (Hình 2). Chúng ta hãy biểu thị vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo các vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. Để làm điều này, chúng ta thay thế biểu thức của tất cả các vectơ thành đẳng thức $\overrightarrow{AG} = k \times \overrightarrow{GB}$ thông qua $\overrightarrow{OG}$, $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$: $\overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OA} = k (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OG})$. Giải phương trình này cho $\overrightarrow{OG}$, ta được

$$\overrightarrow{OG} = \frac{\overrightarrow{OA} + k\overrightarrow{OB}}{1 + k}.$$ (1)

Ví dụ: nếu G là trung điểm của đoạn $\overrightarrow{AB}$ thì $k = 1$ và $\overrightarrow{OG} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$.

Định lý về giao điểm của các đường trung tuyến của một tam giác tại một điểm

Ở đây chúng ta thu được một đẳng thức vectơ mà chúng ta sẽ cần sau này.

21

Định lý 1. Các thuốc nhất thời $ABC$ cắt nhau tại một điểm $G$ và chia theo tỷ lệ 2:1, tính từ đỉnh, và
$$3\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC},$$
(2)
thức ăn $P$ - bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng hoặc không gian.
Bằng chứng. Chúng ta lấy điểm $G$ trên đường trung tuyến $CD$ của tam giác $ABC$, được xác định bằng sự tương ứng $|CG| : |GD| = 2:1$ (Hình 3). Theo công thức (1),
$$\overrightarrow{PG} = \frac{\overrightarrow{PC} + 2\overrightarrow{PD}}{3},$$
$$\overrightarrow{PD} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB}),$$
Ở đâu
$$\overrightarrow{PG} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}).$$
Bằng cách tính vectơ $\overrightarrow{PG}$ có điểm cuối tại điểm $G'$ chia một trong hai đường trung tuyến còn lại của tam giác theo tỷ lệ 2:1 (tính từ đỉnh), chúng ta thu được biểu thức tương tự ở bên phải:
$$\overrightarrow{PG'} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{PA} + \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{PC}),$$
tư thế $\overrightarrow{PG'} = \overrightarrow{PG}$ và điểm $G'$ trùng với điểm $G$. Do đó, cả ba đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại một điểm $G$, được xác định bằng sự tương ứng (2).

Định lý về đường cao của một tam giác tùy ý
Định lý 2. Các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại một điểm $H$, và
$$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC},$$
(3)
thức ăn $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bằng chứng. Cho $ABC$ là một tam giác không phải là tam giác vuông (Hình 4). Chúng ta hãy tìm tổng của các vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$. Vì điều này

22

chúng ta hãy dựng một điểm $M$ đối xứng với $O$ so với cạnh $AB$, sau đó $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. Sau đó, chúng ta xây dựng điểm $H$, trong đó

$$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC},$$

và chứng minh rằng điểm $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$.

Thật vậy, theo cách xây dựng, đường thẳng $CH$ và $OM$ song song, $OM$ là đường trung trực của đoạn $AB$, do đó đường thẳng $CH$ cũng vuông góc với đường thẳng $AB$ và điểm $H$ nằm ở độ cao của tam giác $ABC$ vẽ từ đỉnh $C$.

Nếu chúng ta lặp lại việc xây dựng, bắt đầu với vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OC}$, chúng ta sẽ nhận được cùng một điểm $H$, nhưng cách lập luận tương tự cho thấy rằng bây giờ điểm $H$ nằm trên đường cao của tam giác vẽ từ đỉnh $B$. Tương tự, chúng ta thấy rằng điểm $H$ nằm trên đường cao vẽ từ đỉnh $A$. Do đó, các đường cao của tam giác $ABC$ cắt nhau tại điểm $H$, được xác định theo hệ thức (3).

Dễ dàng kiểm tra được Định lý 2 cũng đúng với tam giác vuông.

Đường thẳng Euler

Từ Định lý 1 và 2 đã được chứng minh, chúng ta rút ra tính chất các điểm đáng chú ý của một tam giác mà chúng ta quan tâm.

Định lý 3. Tâm $O$ của đường tròn ngoại tiếp, tâm $G$ và trực tâm $H$ của bất kỳ tam giác nào cùng nằm trên một đường thẳng và điểm $G$ nằm giữa các điểm $O$, $H$ và $|OG| : |GH| = 1 : 2$.

Bằng chứng. Theo Định lý 1

$$3\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}.$$

So sánh đẳng thức này với đẳng thức (3), ta thu được

$$\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}.$$

Do đó, các vectơ $\overrightarrow{OH}$ và $\overrightarrow{OG}$, có chung nguồn gốc $O$, nằm ở vị trí

các bà vợ nằm trên cùng một đường thẳng và $|\overrightarrow{OG}| : |\overrightarrow{GH}| = 1 : 2$.

Đường thẳng chứa các điểm $O$, $G$ và $H$ được gọi là Đường thẳng Euler.

$$* \quad * \quad *$$

Trong phép đo lập thể, khối đa diện đơn giản nhất - tứ diện (hình chóp tam giác) đóng vai trò tương tự như hình tam giác trong phép đo mặt phẳng. Các tính chất của hình tam giác và hình tứ diện phần lớn giống nhau. Chúng ta hãy thử mở rộng tính chất các điểm đáng chú ý của một tam giác thành một tứ diện.

Hình cầu ngoại tiếp một tứ diện

Người ta biết rằng xung quanh bất kỳ tứ diện nào người ta có thể mô tả một hình cầu, tâm của nó $O$ nằm trên đường vuông góc với các mặt của tứ diện, dựng tại tâm của các đường tròn được mô tả xung quanh các mặt.

Các đường trung bình của tứ diện

Đoạn nối đỉnh của tứ diện với trọng tâm của mặt đối diện được gọi là trung tuyến của tứ diện. Tính chất các đường trung tuyến của một tứ diện cũng giống như tính chất của các đường trung tuyến của một tam giác.

Định lý 4. Bốn đường trung tuyến của tứ diện $ABCD$ cắt nhau tại một điểm $G$, chia mỗi đường trung tuyến đó theo tỷ lệ $3:1$, tính từ đỉnh của tứ diện và

$$4\overrightarrow{PG} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PD}, \quad (4)$$

trong đó $P$ là điểm bất kỳ trong không gian.

Bằng chứng. Chúng ta lấy điểm $G$ trên đường trung tuyến $DG_1$ của tứ diện $ABCD$, được xác định bởi hệ thức $|DG| : |GG_1| = 3:1$ (Hình 5). Theo công thức (1),

$$\overrightarrow{PG} = \frac{\overrightarrow{PD}+3\overrightarrow{PG_1}}{4}.$$

Xét rằng trọng tâm $G_1$ của tam giác $ABC$ thỏa mãn hệ thức $3\overrightarrow{PG_1} = \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$, ta thu được

23

$$\vec{PG} = \frac{1}{4}\left(\vec{PA} + \vec{PB} + \vec{PC} + \vec{PD}\right).$$

Bằng cách tính vectơ $\vec{PG'}$ có điểm cuối tại điểm $G'$ chia bất kỳ đường trung tuyến nào trong ba đường trung tuyến còn lại của tứ diện theo tỷ lệ $3:1$ (tính từ đỉnh), chúng ta thu được biểu thức tương tự. Điều này có nghĩa là cả bốn đường trung tuyến của tứ diện cắt nhau tại một điểm $G$, thỏa mãn hệ thức (4). Điểm $G$ được gọi là trọng tâm (hoặc trọng tâm) của tứ diện.

Chiều cao tứ diện

Các đường cao của tam giác luôn cắt nhau tại một điểm. Bằng cách tương tự, chúng ta có thể giả sử rằng chiều cao của bất kỳ tứ diện nào cũng giao nhau tại một điểm. Tuy nhiên, điều này không đúng.

Ví dụ: hãy xem xét một tứ diện $ABCD$ có góc nhị diện vuông ở cạnh $AB$, trong đó $|AC| = |BC|$ nhưng $|AD| \neq |BD|$ (Hình 6). Độ cao $CE$ và $DF$ của khối tứ diện lần lượt nằm trên các mặt $ABC$ và $ABD$, nhưng điểm $E$ là giữa $AB$, còn $F$ thì không. Nếu độ dài của các cạnh $DA$ và $DB$ bằng nhau thì đáy $E$ và $F$ của các chiều cao sẽ trùng nhau, nhưng hai chiều cao còn lại của tứ diện không thể đi qua điểm $E$.

Vì vậy, ngay cả hai chiều cao của một tứ diện cũng có thể không có điểm chung.

Tuy nhiên, cũng có các khối tứ diện, tất cả bốn chiều cao đều giao nhau tại một điểm. Ví dụ: đây sẽ là tứ diện $ABCD$ với các góc vuông ở đỉnh $D$. Các cạnh $DA$, $DB$ và $DC$ là độ cao của nó và đỉnh $D$ là trực tâm (điểm giao nhau của cả bốn độ cao).

Chúng ta hãy cố gắng tìm tất cả các tứ diện có chiều cao cắt nhau tại một điểm.

Để các đường cao của tứ diện $ABCD$ vẽ từ các đỉnh $C$ và $D$ cắt nhau tại điểm $H$ (Hình 7). Khi đó $CH_1 \perp AB$ và $DH_2 \perp AB$ tức là đường thẳng $AB$ vuông góc với hai đường thẳng đó

Cơm. 5.

Cơm. 6.

Cơm. 7.

Cơm. 8.

23

24

cắt nhau bởi một đường thẳng nằm trong mặt phẳng CDH, do đó AB⊥CD. Người ta chứng minh tương tự rằng nếu hai đường cao còn lại của khối tứ diện ABCD đi qua cùng một điểm H thì AC⊥BD và AD⊥BC. Vì vậy, nếu tất cả các chiều cao của một khối tứ diện giao nhau tại một điểm thì các cạnh đối diện của khối tứ diện vuông góc với nhau. Một khối tứ diện như vậy được gọi là trực tâm.

Định lý 5. Nếu các đường cao của khối tera hedron ABCD trực tâm cắt nhau tại một điểm thì các cạnh đối diện của khối tera hedron vuông góc với nhau. Một khối tứ diện như vậy được gọi là trực tâm.

Định lý 5. Nếu các đường cao của khối tera hedron ABCD trực tâm cắt nhau tại một điểm thì các cạnh đối diện của khối tera hedron vuông góc với nhau. Một khối tứ diện như vậy được gọi là trực tâm.

Cho ABCD là một khối tứ diện trực tâm, DG₁ là đường trung tuyến, DH₁ chiều cao của nó (Hình 8). Khi đó G₁ là trọng tâm và H₁ là trực tâm của tam giác ABC (bạn hãy tự chứng minh điều này - đây là nơi sử dụng độ vuông góc của các cạnh đối diện của khối tứ diện) và các điểm O₁ (tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC), G₁ và H₁ nằm trên cùng một đường thẳng. Lưu ý rằng tâm O của hình cầu ngoại tiếp khối lục giác ABCD nằm trên đường vuông góc với mặt phẳng của tam giác ABC, được phục hồi tại điểm O₁.

Chúng ta sẽ chứng minh định lý tương tự như Định lý 2 cho tam giác: dựng điểm H theo nhiều cách khác nhau thỏa mãn (5).

Đầu tiên, thêm các vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$:

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}.$$

Theo Định lý 1 $\overrightarrow{OG}_1 = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$, do đó $\overrightarrow{OM} = 3\overrightarrow{OG}_1$ hoặc $\overrightarrow{G}_1\overrightarrow{M} = 2\overrightarrow{OG}_1$. Các điểm O₁, G₁, H₁ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác ABC và $\overrightarrow{H}_1\overrightarrow{G}_1 = 2\overrightarrow{G}_1\overrightarrow{O}_1$. Kể từ đây,

$$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$$

Từ đó suy ra các đường thẳng H₁M và OO₁ song song và vì đường thẳng OO₁ vuông góc với mặt phẳng ABC nên đường thẳng H₁M vuông góc với mặt phẳng này. Do đó, điểm M nằm trên đường thẳng DH₁ (nếu điểm O và O₁ trùng nhau thì điểm M và H₁ cũng trùng nhau).

Giả sử định lý $\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OD}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$ Từ đẳng thức bên trái suy ra điểm H là trung điểm của đoạn DM, tức là điểm H nằm ở độ cao DH₁ của khối tứ diện.

Tương tự, điểm N được dựng: $\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{H}:\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{ON} + \overrightarrow{OC})$ và người ta chứng minh rằng điểm H nằm trên đường cao của khối tứ diện vẽ từ đỉnh C, v.v.

Do đó, chiều cao của khối tứ diện trực tâm giao nhau tại một điểm H, được xác định bởi (5) tương ứng.

Đường Euler của tứ diện

Định lý 6. cenir O của hình cầu ngoại tiếp, cenirod G và khối tứ diện trực tâm ABCD cùng nằm trên một đường thẳng, hai điểm O và H đối xứng nhau qua điểm G.

Bằng chứng. Theo công thức (4) và (5)

$$\overrightarrow{OH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),$$

$$\overrightarrow{OG} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}),$$

từ đâu $\overrightarrow{OH} = 2\overrightarrow{OG}$. Sự đẳng thức thu được có nghĩa là các điểm O, G, H nằm trên cùng một đường thẳng và các điểm O và H đối xứng với điểm G.

Đường thẳng chứa các điểm $O$, $G$, $H$ có ​​thể được gọi là đường thẳng Euler của một tứ diện trực tâm.

Bài tập

Giải bằng cách sử dụng tích vô hướng của vectơ bài toán 1-4.

1. a) Chứng minh rằng nếu $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và $\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$ thì $H$ là giao điểm các đường cao của tam giác.

b) Chứng minh rằng nếu $O$ là tâm của hình cầu ngoại tiếp tứ diện trực tâm $ABCD$ và $\overrightarrow{OH} = {}^{1}\!/_{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$ thì $H$ là giao điểm của bốn đường cao của tứ diện.

2. Chứng minh rằng nếu $A$, $B$, $C$ và $D$ là bốn điểm tùy ý trong không gian thì

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = 0.$

Sử dụng đẳng thức này, chứng minh rằng

a) Ba đường cao của một tam giác cắt nhau tại một điểm;

b) nếu các cạnh đối diện $AB$ và $CD$, $AD$ và $BC$ của tứ diện $ABCD$ vuông góc thì các cạnh $CA$ và $BD$ cũng vuông góc.

3. Chứng minh rằng nếu $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn điểm tùy ý trong không gian thì

$$|AB|^2 + |CD|^2 - |AD|^2 - |BC|^2 = 2\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{DB}.$$

Sử dụng đẳng thức này, chứng minh rằng

a) tổng bình phương các đường chéo của hình thang bằng tổng bình phương các cạnh bên của nó cộng với hai lần tích hai đáy;

b) các đường chéo của một tứ giác vuông góc khi và chỉ khi tổng các bình phương của các cạnh đối diện bằng nhau;

c) Để một tứ diện là trực tâm thì điều cần và đủ là tổng các bình phương của các cạnh đối diện của nó bằng nhau.

4. Chứng minh rằng tất cả các góc phẳng tại một đỉnh của tứ diện trực tâm đều là nhọn, vuông hoặc tù và ít nhất một trong các mặt của nó là tam giác nhọn.

5. a) Chứng minh rằng các điểm đối xứng với trực tâm $H$ của tam giác $ABC$ so với trung điểm các cạnh của nó, cũng như các điểm đối xứng với trực tâm $H$ đối với các đường thẳng $BC$, $CA$ và $AB$, đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác này.

b) Gọi $H$ lần lượt là trực tâm của tứ diện $ABCD$, $G_1$ và $H_1$ là trọng tâm và trực tâm của mặt $ABC$, và $G_2$ và $H_2$ các điểm sao cho $\overrightarrow{HG_2} = 3\overrightarrow{HG_1}$ và $\overrightarrow{HH_2} = 3\overrightarrow{HH_1}$. Chứng minh rằng các điểm $G_2$ và $H_2$ nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tứ diện này.

6. a) Chứng minh rằng trung điểm của ba cạnh, đáy của ba đường cao của tam giác và trung điểm của các đoạn nối trực tâm với ba đỉnh nằm trên cùng một đường tròn và tâm của đường tròn này (gọi là đường tròn mười điểm) nằm trên đường thẳng Euler.

b) Chứng minh rằng trọng tâm của bốn mặt, các đáy của bốn đường cao của tứ giác trực tâm và các điểm phân chia mỗi đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh, theo tỷ lệ 1:2 (tính từ trực tâm), nằm trên cùng một mặt cầu và tâm của mặt cầu này (gọi là hình cầu mười hai điểm) nằm trên đường thẳng Euler.

7. Chứng minh rằng

a) nếu đáy của một trong các đường cao của tứ diện là trực tâm của mặt tương ứng thì tứ diện đó là trực tâm;

b) Đáy của bất kỳ đường cao nào của một tứ diện trực tâm là trực tâm của mặt tương ứng (các tính chất này đã được sử dụng trong chứng minh Định lý 5).

---

Lỗi ở đâu

“Định lý trực tiếp tương đương với định lý ngược lại,” sinh viên Krestikov nói. — Nếu $\overline{A}\Rightarrow\overline{B}$ là một định lý trực tiếp thì cùng với nó định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ là đúng hoặc sai.

— $\overline{B}$ và $\overline{A}$ là gì? - sinh viên Nulikov hỏi.

— Đây là cách biểu thị sự phủ định của phát biểu $B$ và $A$.

• Làm sao bạn biết chúng tương đương nhau?

• Tôi có thể chứng minh điều đó.

• Đi nào.

• Vui lòng. Giả sử định lý $A\Rightarrow B$ đúng và định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ sai. Sau đó ver-

đến Định lý $\overline{B}\Rightarrow A$. Từ định lý đúng này và định lý trực tiếp đúng, suy ra $\overline{B}\Rightarrow B$. Bạn hiểu rằng điều này không xảy ra! Vì vậy, trên thực tế, Định lý $\overline{B}\Rightarrow\overline{A}$ đúng.

“Tôi hiểu rồi,” Nulikov nói.

Họ gặp nhau vào ngày hôm sau.

Nulikov nói: “Tôi đã chứng minh rằng định lý trực tiếp dẫn đến điều ngược lại.

• Điều này không thể được! Điều đó xảy ra là định lý trực tiếp đúng nhưng điều ngược lại thì không.

• Và tôi sẽ chứng minh điều đó cho bạn thấy!

• Hà! Thử!

— Giả sử định lý $A\Rightarrow B$ đúng. Ta cần chứng minh Định lý $B\Rightarrow A$ cũng đúng.

Hãy giả sử nó sai. Vậy định lý $B\Rightarrow\overline{A}$ đúng, lần trước chính bạn nói đấy. Nhưng Định lý $A\Rightarrow\overline{B}$ tương đương với nó, nghĩa là nó cũng đúng. Hóa ra hai định lý như vậy đều đúng: $A\Rightarrow B$ và $A\Rightarrow\overline{B}$, và điều này thật vô nghĩa. Điều này có nghĩa là Định lý $B\Rightarrow A$ thực sự đúng.

“Tôi không hiểu gì cả,” Krestikov lẩm bẩm.

Nulikov nói: “Tôi cũng lý luận giống như bạn.

Bây giờ hãy trả lời

1. Chứng minh của Krestikov có đúng không?

2. Chứng minh của Nulikov có đúng không?

3. Tuyên bố cuối cùng của Nulikov có đúng không?

TRONG. I. Ryzhik

26

Bài toán

M306 — M310; F318 — F322

M306. Một hình vuông góc (1x1) đã bị xóa khỏi bàn cờ (8×8) (Hình 1). Hỏi có thể cắt được phần còn lại của tấm ván thành bao nhiêu hình tam giác bằng nhau (có diện tích bằng nhau) nhỏ nhất?

V. P. Fedomov

M307. Mặt phẳng được chia thành các phòng hình lục giác giống hệt nhau (Hình 2). Một số bức tường có cửa sao cho đối với bất kỳ đỉnh nào mà tại đó ba bức tường (cạnh của hình lục giác) gặp nhau thì sẽ có cửa ở chính xác hai bức tường. Chứng minh rằng mọi đường đi khép kín đi qua một mê cung như vậy đều đi qua một số cửa chẵn.

V. P. Golubyatnikov

M308. Nếu vì bất kỳ $x$
$a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \dots + a_n \cos nx \geq -1$
sau đó cho các số $a_1, a_2, \dots, a_n$

nhưng bất bình đẳng
$a_1 + a_2 + \dots + a_n \leq n$.

Chứng minh khẳng định này a) cho $n = 2$; 6) cho $n = 3$; c) với mọi $n$ tự nhiên.

Yu. I. Ionin

M309. a) Với $n$ thì đa thức $x^{2n} + x + 1$ chia hết cho $x^2 + x + 1$ là bao nhiêu?
6) Ở số $n$
$10 \dots 010 \dots 01$
chia hết cho 37?

V. G. Shleifer

M310. Chứng minh rằng trong số $n$ chữ số có nhiều hơn $8^n$ những số như vậy có ký hiệu thập phân không có nhóm chữ số nào (cụ thể là không có nhóm chữ số nào) xuất hiện hai lần liên tiếp.

G. A. Gurevii

F318. Tại mức $C_1$ thì điện dung của hệ tụ điện trên Hình 3 bằng: a) $C$; b) $kC$ ($k \neq 1$); b) $C_1$?

B. B. Bukhovtsev

F319. Ở khoảng cách $2F$ tính từ đường thu $\varLambda_1$ với tiêu cự

27

đứng $F$ có một vật sáng. Độ rọi của ảnh rõ nét của một vật trên màn bằng $E_0$. Một thấu kính phân kì $\Pi_2$ có tiêu cự -2$F$ được đặt giữa màn và thấu kính $\Pi_1$. Để thu được hình ảnh rõ nét của vật, màn hình phải được nhìn ở khoảng cách bằng $F$. Xác định độ chiếu sáng của ảnh của vật ở lớp thứ hai.

V. E. Belokukin

F320. Ở trạng thái được bơm, thùng chứa $V = 1 \text{ л}$ chứa 1 $\text{е}$ uranium hydrua $\mathrm{UH}_3$. Khi đun nóng đến nhiệt độ $t = 400^\circ \mathrm{C}$, hydrua phân hủy hoàn toàn thành uranium (trọng lượng nguyên tử $A = 238$) và hydro. Tìm áp suất của hydro trong bình ở nhiệt độ này.

F321. Cát mịn được đổ lên MEM nằm ngang. _MEMbrane dao động với tần số $v = 500 \text{ец}$ trong mặt phẳng thẳng đứng. Biên độ của dao động MEMbrane là bao nhiêu nếu các hạt cát nhảy lên độ cao $h = 3 \text{ мм}$ so với vị trí cân bằng MEMbrane?

F322. Hai ngôi sao quay quanh một khối tâm chung với vận tốc tuyệt đối không đổi $v_1$ và $v_2$ với chu kỳ $T$. Tìm khối lượng của các ngôi sao và khoảng cách giữa chúng.

V. A. Lugovtsov

28

Lời giải bài toán

M268. Ở góc bàn cờ, stosht ftsurra. Con cerok đầu tiên có thể di chuyển nó hai lần liên tiếp như một hiệp sĩ thông thường (hai ô theo một hướng, một ô theo hướng vuông góc) và con thứ hai có thể di chuyển nó một lần với tư cách là một hiệp sĩ với một nước đi kéo dài (ba ô vuông theo một hướng và một ô theo hướng vuông góc). Thế là họ thay phiên nhau. Người đầu tiên cố gắng đặt ftsurra ở góc đối diện, và người thứ hai cố gắng đặt nó vào đó. Cái nào trong số chúng có thể chịu được (kích thước của bảng là $n \times n$, trong đó $n \geq 4$)?

Hãy để hiệp sĩ đầu tiên ở góc dưới bên trái của bàn cờ. Rõ ràng là người chơi đầu tiên, với nước đi đầu tiên của mình, có thể đưa quân mã ra khỏi góc bàn cờ và đặt nó trên đường chéo (xem Hình 1 - dấu thập màu xanh là kết quả nước đi của người chơi đầu tiên). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng người chơi đầu tiên có thể tự mình quay trở lại đường chéo và ngày càng cao hơn.

Để người chơi đầu tiên đặt quân mã lên một ô vuông nào đó trên đường chéo của bàn cờ (Hình 2). Các ô mà người chơi thứ hai có thể di chuyển quân mã từ đường chéo vào được đặt trong Hình 2 với các dấu thập màu đen và đỏ. Từ các ô được đánh dấu bằng chữ thập đỏ, người chơi đầu tiên có thể đưa quân mã về đường chéo của bàn cờ, di chuyển nó lên đúng một ô (theo hướng của góc mong muốn). Từ các ô được đặt bằng các chữ thập màu đen, người chơi đầu tiên cũng có thể đưa hiệp sĩ về đường chéo, nhưng không phải về ô tiếp theo mà là sau một ô. Tuy nhiên, rõ ràng là khi kết thúc trò chơi, người chơi thứ hai sẽ không thể đặt hiệp sĩ vào các ô được đặt bằng các chữ thập màu đen: bàn cờ bị giới hạn và khi một hoặc hai ô vuông vẫn còn ở góc trên, các đường viền trên và bên phải của bàn cờ sẽ bị “cắt” khỏi cấu hình kết quả bởi các ô chữ thập màu đen (Hình 3); người chơi thứ hai sẽ buộc phải bắt đầu đặt hiệp sĩ vào các ô vuông có chữ thập đỏ. Rõ ràng là trong trường hợp này người chơi đầu tiên sẽ đạt được mục tiêu.

I. N. Klumova

M269. Chúng ta hãy biểu thị bằng $T_k(n)$ tổng các tích của $k$ các số từ 1 đến $n$. Ví dụ: $T_2(4) = 1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.4 + 3.4 = 35$.

a) Tìm công thức tổng quát của $T_2(n)$ và $T_3(n)$.
b) Chứng minh rằng $T_k(n)$ được biểu diễn dưới dạng đa thức theo lũy thừa $n$ của $2k$ (với mọi số tự nhiên $k \geq 2$).
b) Nêu phương pháp tìm đa thức $T_k(n)$ ($k = 2, 3, 4, \dots$) và áp dụng để tìm đa thức $T_4(n)$ và $T_5(n)$.

Ta sẽ chứng minh rằng $T_2(n), T_3(n), T_4(n)$ và $T_5(n)$ lần lượt bằng nhau
$$\frac{(n+1)n(n-1)(3n+2)}{24}, \frac{(n+1)^2n^2(n-1)(n-2)}{48},$$
$$\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(15n^3+15n^2-10n-8)}{5760}$$

Và
$$\frac{(n+1)^2n^2(n-1)(n-2)(n-3)(3n^2-n-6)}{11520}$$

(cố gắng chứng minh trực tiếp rằng những số này là số nguyên với mọi số nguyên $n$), và với mọi $k$, các số $T_k(n)$ là giá trị của đa thức $T_k$ bậc $2k$ (với hệ số dẫn đầu $\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2k-1)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdots(2k)}$), trong đó các số - 1, 0, 1, …, $(k-1)$ đều có nghiệm.

Nhân tiện xin lưu ý rằng $T_1(n)$ — tổng tích của các số từ 1 đến $n$ “từng số một” — bằng
$$\sum i = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2}.$$

29

Cách đầu tiên. Bạn có thể tìm công thức cho $T_k(n)$ bằng cách sử dụng các công thức phổ biến về tổng lũy ​​thừa của các số tự nhiên:

$$\Sigma i^2 = 1^2 = 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6},$$

$$\Sigma i^3 = 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} \text{ и т. д.}$$

(ví dụ, xem các bài viết của V. S. Abramovich trong «Kvant» Số 5 năm 1973 và Số 6 năm 1974). Ví dụ, từ đẳng thức

$$(\Sigma i)^2 = \Sigma i^2 + 2 \sum ij$$

theo đó $T_2(n)$ bằng

$$\sum_{i<j} ij = \frac{n(n+1)}{2} \left( \frac{n^2+n}{4} - \frac{2n+1}{6} \right) =$$

$$= \frac{n(n+1)(n-1)(3n+2)}{24}$$

(kiểm tra xem $T_2(2) = 2$, $T_2(3) = 11$, $T_2(4) = 35$, $T_2(5) = 85$).

Từ sự bình đẳng

$$(\Sigma i)^3 = \Sigma i^3 + 3 \sum ij^2 + 6 \sum ijk,$$

$$i \neq j \quad i < j < k$$

$$(\Sigma i)(\Sigma j^2) = \Sigma i^3 + \sum ij^2$$

theo sau $T_3(n) = \sum ijk = i < j < k$

$$= \frac{1}{6} \left( (\Sigma i)^3 - 3(\Sigma i)(\Sigma j^2) + 2\Sigma i^3 \right) = \frac{n^2(n+1)^2}{6} \times$$

$$\times \left( \frac{n(n+1)}{8} - \frac{2n+1}{4} + \frac{1}{2} \right) = \frac{n^2(n+1)^2(n-1)(n-2)}{48}.$$

Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra cách người ta có thể tìm $T_k(n)$ mà không cần lấy công thức tính tổng lũy ​​thừa.

Công thức tái diễn. Nếu tất cả các số hạng của tổng $T_k(n)$ được chia thành hai nhóm: một nhóm bao gồm các tích bao gồm $n$, nhóm kia bao gồm các phần còn lại, thì sẽ thu được công thức cơ bản sau:

$$T_k(n) - T_k(n-1) = nT_{k-1}(n-1)$$

(1)

Cô cùng với một người bình đẳng khác

$$T_k(k) = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot k = k!$$

cho phép bạn xác định một cách nhất quán tất cả các số $T_k(n)$ cho $n \geq k$, nếu $T_{k-1}(n)$ đã biết. (Lưu ý rằng nếu $T_k$ và $T_{k-1}$ là đa thức thì công thức (1) phải được thỏa mãn cho tất cả $n$, chứ không chỉ cho số nguyên $n$ lớn hơn $k$; có được điều này, dễ dàng xác minh rằng $T_k(n)$ phải bằng 0 đối với số nguyên $n$ từ $(-1)$ đến $(k-1)$ và tìm các giá trị của $T_k(n)$ cho số nguyên $n$, được chỉ ra trong Bảng 1.) Từ công thức (1) người ta có thể suy ra rằng $T_k(n)$ là đa thức bậc $2k$, nếu bên phải là đa thức $nT_{k-1}(n-1)$ bậc $2k-1$ từ $n$ (xem các bài của V. S. Abramovich, đã đề cập ở trên, hoặc bài của V. N. Vaguten trong «Kvant» Số 2, 1972); tuy nhiên, chúng tôi sẽ không chứng minh điều này một cách riêng biệt mà sẽ ngay lập tức thu được công thức cho đa thức $T_k(n)$.