Kvant 1975, số 4 · Trang

QUANTUM

1975

4

khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

bìa của chúng tôi

Các “dấu vết” màu trên tấm được thu được như sau: từ tâm của đĩa quay phía trên tấm, một ống có sơn chảy ra từ đó được di chuyển theo đường thẳng. Và kỷ lục đã quay. Hai “dấu vết” thu được khi quay ở 78 vòng quay và một “dấu vết” ở 33 vòng quay. Cái nào trong ba cái đó? Để tự kiểm tra và trả lời câu hỏi này một cách hoàn toàn tự tin, hãy đọc bài viết của Ya. A. Smorodinsky “Lực Coriolis” (xem trang 2).

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin

Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov 9

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov,
S. T. Belyaev,
V. G. Boltyansky,
N. B. Vasiliev,
Yu. N. Efremov,
V. G. Zubov,
P. L. Kapitsa,
V. A. Kirillin,

nghệ sĩ chính
A. I. Klimanov,
S. M. Kozel,

phó tổng biên tập
V. A. Leshkovtsev,
L. G. Makar-Limanov,
A. I. Markushevich,
N. A. Patrikesva,
I. S. Petrkov,
N. Kh. Rozov,
A. P. Savin,
I. SH. SLOBODETSKY,

phó tổng biên tập
M. L. Smolyansky,
Y. A. Smorodinsky,
V. A. Fabrikant,
A. T. Tsvetkov,
M. P. Shaskolskaya,
S. I. Schwartzburg.
A. I. Shirshov.

TRONG PHÒNG:

Vâng. A. Smorodinsky. Sức mạnh của Korpolis
I. N. Bronstein. Parabol
V. N. Lantse. Tại sao bếp lò được làm nóng?

Phòng thí nghiệm «Kvant»
M. I. Emelyanov, A. M. Zharkov, V. M. Zadainov,
V. S. Matochkin. Vòng quay hàng ngày của Trái đất

câu lạc bộ toán học
A. P. Vinnitsenko. Tam giác vuông và chuỗi liên tục

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M316—M320; F328—F332
Lời giải bài toán M280—M285; F291—F295

Xưởng của người nộp đơn
S. T. Berkolaiko. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho lời giải bài toán
G. Vâng. Myakitsev. Trường tĩnh điện
G. V. Meledin, A. I. Shirshov. Đại học bang Novosibirsk

Đánh giá, thư mục
D. Borodin. Học sinh về vật lý hiện đại

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
E. Vâng. Gik. Trò chơi toán học trên bàn cờ

Đáp số, gợi ý, lời giải
Quét (tr. 18, 24, 47)

biên tập:
V. N. Berezin,
A. N. Vilenkin,
I. N. Klumova,
biên tập viên nghệ thuật
T. M. Makarova,
N. A. Bạc hà,
T. S. Petrova,
V. A. Tikhomirova,

do các biên tập viên đứng đầu
L. V. Chernova

Trên trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy đài phun nước nổi tiếng “Tình bạn của các dân tộc” (Moscow, VDNH). Những tia nước chảy có hình dạng rất đặc trưng - hình parabol. Bạn có thể đọc về đường cong này và một số tính chất của nó trong bài viết “Parabola” (tr. 9). Xin lưu ý rằng so với bức ảnh này, các parabol trong chỉ số được mô tả là “vàng xuống”, nhưng điều này không làm bạn bận tâm về đường đi: điều thú vị là chính đường cong chứ không phải vị trí của nó.

Ảnh của D. N. German.

© Tòa soạn chính Văn học Vật lý và Toán học
Nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1975

2

Bạn có biết không?
Foucault vẽ đường cong nào trên mặt phẳng từ tính? Một hòn đá được ném thẳng đứng lên từ bề mặt Trái đất sẽ lệch hướng như thế nào?
Một viên đạn có thể bay đúng theo kinh tuyến không?
Bạn có thể trả lời những câu hỏi này? Tất cả những bài toán này đều có một đặc điểm chung: chúng ngày càng trở nên thuận tiện hơn để giải quyết trong các hệ thống báo cáo phi quán tính *), chính xác hơn là trong các hệ thống báo cáo quay với vận tốc góc không đổi. Tất nhiên, người ta có thể xem xét tất cả các hiện tượng trong một hệ quán tính nào đó, chẳng hạn như hệ của một ngôi sao ở xa hoặc thậm chí là Mặt trời (có thể bỏ qua sự chuyển động không đều của nó so với ngôi sao ở xa). Mặc dù con đường này là hoàn toàn chính xác và khi đi theo nó, chúng ta sẽ không rời khỏi nền tảng vững chắc của các định luật Newton, tuy nhiên, việc xem xét một hiện tượng từ quan điểm của những gì được quan sát, nằm trong hệ thống báo cáo luân phiên thường thuận tiện hơn (và thậm chí trực quan hơn).

Hệ thống báo cáo phi quán tính
Chuyển động tương tự sẽ khác nếu các hệ thống báo cáo khác nhau không được quan sát. Hãy xem,

*) Hệ thống báo cáo phi quán tính đã được Ya thảo luận trong bài viết. A. Smorodinsky “Lực quán tính”, «Kvant», 1974, số 8.

ví dụ, về chuyển động của một viên đạn được bắn ra từ một khẩu đại bác đứng ở cực bắc. Nếu Trái đất không quay quanh trục của nó thì quỹ đạo của đạn sẽ nằm trong mặt phẳng kinh tuyến. Một bức ảnh như vậy sẽ được nhìn thấy cả khi được quan sát khi ở trên Trái đất và khi được quan sát khi đứng yên bên ngoài Trái đất.

Tuy nhiên, Trái đất quay! Theo quan điểm của người quan sát đứng yên (người tìm thấy sự trong lành của Trái đất), Trái đất quay ngược chiều kim đồng hồ (nếu nhìn từ trên xuống ở cực bắc của nó), do đó mặt phẳng của kinh tuyến cố định quay cùng Trái đất từ ​​tây sang đông, và mặt phẳng chuyển động của đạn trong không gian không thay đổi.

Quan sát trên Trái đất (có thể quan sát được chuyển động), nhìn thấy một mặt phẳng đứng yên của kinh tuyến và một vật thể bay lệch khỏi mặt phẳng này về phía Tây. Theo bất kỳ quan điểm nào, mặt phẳng chuyển động của đạn không trùng với mặt phẳng kinh tuyến gốc; chỉ có một quan sát được cho rằng sự khác biệt này là do chuyển động của Trái đất và cái còn lại là do chuyển động của chính quả đạn.

Tất nhiên, một người quan sát Trái đất (ví dụ như một người lính pháo binh) đều biết rằng nguyên nhân của “sự lệch” thực chất là do sự quay của Trái đất. Tuy nhiên, trong các tính toán thực tế, thường thuận tiện hơn khi giả sử rằng độ lệch ngang của viên đạn là do một lực nào đó chỉ tác dụng.

trong hệ thống báo cáo phi quán tính. Những lực như vậy được gọi là lực quán tính. Chúng khác với các lực thông thường ở chỗ chúng không phải là kết quả của sự tương tác của hai vật thể bất kỳ.

Trong hệ thống báo cáo quay, có hai loại lực quán tính: lực quán tính ly tâm, chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến trục quay và lực Korpolis, chỉ phụ thuộc vào tốc độ của vật thể (điểm vật chất) so với hệ thống báo cáo quay. Lực đầu tiên đã được mô tả chi tiết trong bài “Lực quán tính”. Chúng ta hãy nhớ lại các thuộc tính chính của nó.

Lực quán tính ly tâm

Tại sao cậu bé cưỡi carcelia lại bị đội mũ khi tốc độ quay tăng lên? Câu hỏi này có thể được trả lời theo nhiều cách khác nhau. Theo quan điểm của một người quan sát đứng yên đứng gần carcelia, thông báo sẽ như thế này. Trong khi tốc độ quay thấp, chiếc mũ được giữ trên đầu cậu bé bằng lực ma sát, truyền gia tốc hướng tâm cần thiết cho chiếc mũ. Khi tốc độ góc quay của carcelium tăng lên, gia tốc hướng tâm phải tăng và lực ma sát tĩnh chỉ có thể tăng đến một giới hạn nhất định. Vì vậy, đến một lúc nào đó, chiếc mũ mất liên lạc với đầu cậu bé; nó chuyển động theo quán tính đều và theo đường thẳng, và chiếc carcel cùng với cậu bé di chuyển ra khỏi chiếc mũ.

Một người quan sát di động gắn liền với một carcel sẽ nói rằng ngoài lực ma sát, một lực quán tính ly tâm có giá trị bằng nhau cũng tác dụng lên nắp.

$$F_{и.ц} = m\omega^2 r$$

trong đó $m$ là khối lượng của nắp, $\omega$ là vận tốc góc quay của carcelium, $r$ là khoảng cách đến trục quay. Lực quán tính ly tâm nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay và có hướng hướng tâm ra xa tâm. Biểu thức của $F_{и.ц}$ có thể được viết dưới dạng vectơ:

$$F_{и.ц} = m\omega^2 r$$

trong đó $r$ là vectơ bán kính của vật đang xét; nó nằm trong mặt phẳng vuông góc với trục quay. Nếu lực quán tính ly tâm bị gián đoạn bởi kích thước của chiếc mũ của người hầu trên đầu cậu bé thì chiếc mũ sẽ bay đi.

Sức mạnh của Korpolis

Tình huống phức tạp hơn nếu điểm vật chất di chuyển trong hệ tọa độ quay. Trong trường hợp này, ngoài lực quán tính ly tâm còn có một lực khác tác dụng lên điểm, tùy thuộc vào tốc độ chuyển động của điểm so với hệ tọa độ quay. Nó được gọi là lực lượng Korpolis *).

Chúng ta có thể xác định lực Korpolis nếu xét hai trường hợp đặc biệt:

1. vận tốc của một điểm vật chất được hướng vuông góc với vectơ bán kính của nó trong hệ thống báo cáo quay;
2. tốc độ của điểm được hướng dọc theo bán kính này.

Ghế xoay

Hãy tưởng tượng rằng bạn đang ngồi trên một chiếc ghế quay quanh trục của nó. Theo quan điểm của bạn, mọi vật thể xung quanh bề mặt đều chuyển động tròn, giống như trong bức tranh vũ trụ cổ đại, các vảy của bầu trời quay một vòng quanh Trái đất mỗi ngày. Nhưng đã có những quan niệm cổ xưa cho rằng các ngôi sao phải gắn chặt vào các thiên cầu - nếu không chúng sẽ bay xa nhau. Tại sao bản thân đồ nội thất

*) Gustave Gaspard Corpolis (1792-1843) - thợ cơ khí người Pháp. Ngoài lý thuyết được thảo luận trong bài viết này, còn có một lý thuyết toán học nổi tiếng về trò chơi bi-a, trong đó ông xem xét quy luật chuyển động của một quả bóng trên mặt phẳng dưới tác động của một cú đánh.

4

các bức tường của căn phòng không bị tách rời khỏi bạn dưới tác dụng của lực quán tính ly tâm?

Đáp số chỉ có thể sao cho trong hệ thống báo cáo quay còn có một lực khác không chỉ bù lực quán tính ly tâm hướng ra ngoài mà còn truyền cho cơ thể gia tốc hướng tâm hướng về trục quay. Đây là vai trò của lực Corilis:

$$F_K + F_{и.ц} = -m\omega^2 r.$$

Từ đây ta có thể tính được lực Corilis; nó phải bằng nhau trong trường hợp này

$$F_K = -2F_{и.ц},$$

đó là

$$F_K = -2m\omega^2 r.$$

Chúng ta hãy loại trừ $r$ khỏi biểu thức độ lớn của lực Corilis. Tốc độ tuyến tính của một điểm nằm cách trục quay một khoảng $r$ bằng $\omega r$, và do đó chúng ta có thể viết rằng

$$F_K = -2m\omega v_{кас}$$

(dấu trừ vẫn có nghĩa là lực Corilis trong trường hợp của chúng ta hướng về trục quay).

Do đó, tác dụng của lực $F_K$ trong một hệ quay dẫn đến hiện tượng là khi ngồi trên một kiểu quay, bạn nhìn thấy căn phòng, tuy đang quay xung quanh bạn nhưng nhìn toàn bộ như một vật đứng yên.

Quả bóng trên đĩa quay

Ở giữa đĩa có một quả cầu có thể trượt trên đĩa hoàn toàn không có ma sát. Tại một thời điểm nào đó, quả bóng được tạo ra với tốc độ $v_{рад}$, hướng dọc theo một trong các bán kính. Họ sẽ mô tả bản chất chuyển động của hai quả bóng được quan sát như thế nào - đứng yên và chuyển động, quay trên đĩa?

Rõ ràng, đối với một quả bóng đứng yên, có một quả bóng nằm trên một đĩa chuyển động với vận tốc không đổi $v_{рад}$ theo một đường thẳng. Khoảng cách đó

Cơm. 1.

quả bóng đi dọc theo đĩa từ tâm của nó đến thời điểm $t$, bằng $v_{рад}t$.

Dấu vết mà quả bóng để lại trên đĩa quay thể hiện quỹ đạo của quả bóng theo quan điểm của vật chuyển động nằm trên đĩa. Để làm được điều này, người ta quan sát thấy quả bóng không chuyển động theo một đường thẳng mà mô tả một đường cong nhất định (xem Hình 1). Nhưng điều này có nghĩa là quả bóng đang chuyển động với gia tốc. Do đó, một lực xuất hiện trong hệ thống quay, lực này truyền tải gia tốc này. Hãy xác định lực này bằng bao nhiêu khi quả bóng bắt đầu chuyển động.

Trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ kể từ khi bắt đầu chuyển động, quả bóng chuyển động dọc theo đường màu đỏ (xem Hình 1), di chuyển ra xa tâm đĩa đến một khoảng cách $\Delta l = v_{рад}\Delta t$. Trong cùng thời gian đó, đĩa quay một góc $\Delta \varphi = \omega \Delta t$ (ω là vận tốc góc quay của đĩa). Điểm đó trên đĩa nằm dưới quả bóng cách tâm đĩa một khoảng $\Delta l$ đã đi được quãng đường $\Delta s = \Delta l\Delta \varphi = v_{рад}\omega \Delta t^2$ trong thời gian $\Delta t$. Tất nhiên, tất cả các điểm của đĩa quay đều chuyển động theo đường tròn, nhưng chúng tôi coi khoảng thời gian cột $\Delta t$, có thể coi chuyển động của các điểm gần tâm của đĩa là chuyển động thẳng. Khi đó $\Delta s$ là độ dịch chuyển của điểm, tại thời điểm ban đầu nó cách tâm một khoảng $\Delta l$, theo hướng vuông góc với đường màu đỏ. Để quan sát, nằm trên

5

đĩa, quả bóng chuyển động trong thời gian $\Delta t$ theo hướng ngược lại với cùng khoảng cách $\Delta s = v_{\text{pad}} \omega \Delta t^2$ và đồng thời chuyển động đều dọc theo bán kính. Sau khi so sánh biểu thức của $\Delta s$ với công thức đường đi có chuyển động đều - $s = \frac{a t^2}{2}$, chúng tôi thay thế biểu thức đó trong ví dụ của chúng tôi cho một vật chuyển động, quan sát trong khoảng thời gian $\Delta t$ chuyển động của quả bóng theo hướng vuông góc với vectơ vận tốc $v_{\text{pad}}$ sẽ được tăng tốc đều với gia tốc $a = 2 v_{\text{pad}} \omega$.

Do đó, trong một hệ quay, theo hướng này lực $F_K = 2 m v_{\text{pad}} \omega$ tác dụng lên quả cầu có khối lượng $m$.

Đây lại là lực Korpolis, nhưng bây giờ nó hướng vuông góc với bán kính.

Kết thúc đầu ra công thức

Chúng tôi đã xem xét hai trường hợp chuyển động của cơ thể so với khung báo cáo quay. Trong ví dụ đầu tiên (phòng quay), vật chuyển động theo hệ phi quán tính theo một vòng tròn, tại bất kỳ thời điểm nào tốc độ của vật có hướng tiếp tuyến với vòng tròn này. Như chúng ta đã thấy, trong trường hợp này vật chịu tác dụng của lực Korpolis, lực này hướng dọc theo bán kính của đường tròn, nghĩa là vuông góc với vectơ vận tốc.

Trong ví dụ thứ hai (một quả bóng trên đĩa), chúng ta đã chỉ ra rằng nếu tại một thời điểm nào đó, tốc độ của vật hướng dọc theo bán kính, thì tại thời điểm đó vật chịu tác dụng của lực Korpolis, theo hướng vuông góc với vectơ tốc độ của vật. Giá trị tuyệt đối của lực Korpolis theo thuật ngữ ngẫu nhiên tỷ lệ thuận với tích $v \omega$, trong đó $v$ là giá trị tuyệt đối của vận tốc vật thể so với hệ quay tại một thời điểm nhất định và $\omega$ là giá trị vận tốc góc của hệ quay so với quán tính lặp.

Và lực Korpolis sẽ tác dụng lên một vật thể có tốc độ tức thời trong hệ thống báo cáo quay vòng được điều khiển một cách tùy ý sẽ như thế nào? Không khó để chứng minh rằng độ lớn của lực Korpolis trong trường hợp tổng quát này sẽ tỷ lệ thuận với tích của $|v|$ và độ lớn của vận tốc góc của hệ (để làm điều này, bạn chỉ cần phân tách vectơ vận tốc thành hai thành phần, một thành phần hướng dọc theo bán kính và thành phần kia - vuông góc với nó dọc theo tiếp tuyến).

Bây giờ chúng ta vẫn cần xác định hướng đi của lực lượng Korpolis. Để làm điều này, trước hết, hãy lưu ý rằng vận tốc góc có thể được biểu thị dưới dạng một vectơ. Vector $\omega$ song song với trục quay. hướng của vectơ này được kết nối với hướng quay của hệ bằng cách sử dụng quy tắc của gimlet (hoặc vít): nếu bạn xoay gimlet bằng tay giống như cách hệ thống được quay, thì chuyển động tịnh tiến của gimlet chỉ ra hướng của vectơ vận tốc góc. Bạn cũng có thể sử dụng một quy tắc khác - quy tắc bàn tay phải: nếu bạn đồng ý với bốn bàn tay phải về hướng quay của hệ, thì ngón tay cái cong biểu thị hướng của vectơ $\omega$ (xem Hình 2).

Nếu trong ví dụ của chúng tôi, hệ thống báo cáo quay ngược chiều kim đồng hồ thì các vectơ $\omega$, $v$ và $F_K$ được định vị như trong Hình 3. Trong ví dụ thứ hai, các vectơ này

6

Cơm. 3.

các vectơ được định vị như trong Hình 4. Từ những hình này, rõ ràng lực Corolis trong cả hai trường hợp đều vuông góc với mặt phẳng chứa các vectơ $\omega$ và $v$. Họ nói rằng các vectơ $F_K$, $v$ và $\omega$ (trong chuỗi này) tạo thành một hệ vectơ thuận tay phải (đó là lý do tại sao tay phải được hiển thị trong Hình 2).

tác phẩm nghệ thuật vector

Chúng ta thấy rằng lực Corolis phụ thuộc vào hai đại lượng vectơ - vào tốc độ $v$ chuyển động của điểm vật chất so với hệ tọa độ va chạm và vào tốc độ góc $\omega$ của chính hệ thống báo cáo. Độ lớn của lực này tỷ lệ thuận với tích của vận tốc của điểm và vận tốc góc của hệ, và hướng của nó được xác định duy nhất bởi hướng của vectơ $v$ và $\omega$.

Công thức lực tràng hoa trong sách hiện đại được viết như sau:

$$F_K = 2 m v \times \omega,$$

trong đó $X$ là dấu của cái gọi là tích vectơ của hai vectơ.

Tích vectơ của hai vectơ $A$ và $B$ vuông góc với nhau là vectơ thứ ba $C$, được xây dựng như sau (Hình 5). Độ lớn của nó bằng số với diện tích của hình chữ nhật được xây dựng trên các vectơ $A$ và $B$, tức là $|C| = |A| \cdot |B|$. hướng của vectơ $C$ vuông góc với mặt phẳng của đường thẳng/lib đã chỉ định và được chọn sao cho các vectơ $A$, $B$ và $C$ (theo thứ tự đó) tạo thành một hệ vectơ thuận tay phải. Theo một cách khác, hướng của vectơ $C$ có thể được xác định bằng quy tắc gimlet (hoặc bàn tay phải): nếu bạn xoay vectơ $A$ sang vectơ $B$ và liên kết với phép quay này là phép quay của tay gimlet (hoặc hướng mà trong đó

7

lei ngay cả bây giờ, nhưng trước khi anh ấy coi anh ấy như một phép màu. Bây giờ chúng ta có thể giải thích nó rất dễ dàng. Để đơn giản, hãy treo matnik trên một cây cột. Theo quan điểm của một người quan sát đứng yên nằm trong hệ thống báo cáo quán tính, mặt phẳng dao động của matnik tất nhiên là bất động và Trái đất quay ngược chiều kim đồng hồ. Vì lý do tương tự, dấu vết chuyển động của quả bóng trên mặt phẳng nằm ngang không phải là một đường thẳng mà là một đường cong phức tạp (Hình 6).

Một người quan sát trên trái đất được kết nối với hệ thống báo cáo quay sẽ giải thích sự quay của mặt phẳng dao động bằng tác dụng của lực Korpolis lên quả bóng. Đối với những sai lệch nhỏ của matnik so với vị trí cân bằng, chúng ta có thể giả sử rằng tốc độ của quả bóng tại bất kỳ thời điểm nào vuông góc với tốc độ góc $\omega_3$ của chuyển động quay của Trái đất, do đó lực Korpolis luôn nằm trong mặt phẳng ngang và có hướng vuông góc với tốc độ của quả bóng về bên phải, khi nhìn theo hướng chuyển động của quả bóng. Lực này gây ra sự quay của mặt phẳng dao động của tấm thảm và tốc độ góc quay $\omega$ chỉ bằng tốc độ góc quay của Trái đất.

Dễ dàng chứng minh rằng nếu matnik được treo ở một nơi có vĩ độ bằng $\varphi$ thì vận tốc góc sẽ bằng $\omega_3$ sin$\varphi$, triệt tiêu ở xích đạo. Để làm được điều này, chỉ cần tìm hình chiếu $\omega_3$ lên pháp tuyến đến mặt phẳng chân trời là đủ (tiến hành chứng minh đến cùng).

Hình ảnh chiếc matnik đung đưa chứa đựng những chi tiết thú vị. Nếu chúng ta cố gắng hiểu loại đường mà matnik Foucault vẽ trên một mặt phẳng, chúng ta sẽ thấy rằng hình dạng của quỹ đạo phụ thuộc vào cách matnik bắt đầu chuyển động.

Nếu matnik bắt đầu di chuyển từ vị trí đứng yên (vị trí thẳng đứng trên cột), thì trong quá trình di chuyển, nó sẽ luôn đi qua các sọc và sẽ vẽ một đường cong trên mặt phẳng giống như đường cong trong Hình 6, $a$.

Nếu tại thời điểm ban đầu, matnik bị lệch tối đa, thì đối với người quan sát quán tính, nó có vận tốc góc bằng 0 tại thời điểm đó, điều đó có nghĩa là đối với người quan sát như vậy, matnik không dao động trong một mặt phẳng mà được viết trên một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng dao động, một hình elip. Một người quan sát trên Trái đất sẽ thấy một quỹ đạo có thể mô tả là một hình elip đang quay (Hình 6, 6). Quỹ đạo không còn đi qua các sọc nữa.

Độ lệch của cơ thể padao

Khi bắt đầu nghiên cứu chuyển động có gia tốc đều ở trường, các em quyết định chắc chắn bài toán về việc chia một điểm vật chất từ ​​một độ cao nhất định $H$. Lời giải trong số bài toán này thật đơn giản. Nếu điểm được đào trước tiên thì đường đi $h$ mà điểm đi qua phụ thuộc vào thời gian và được biểu thị bằng công thức $h = \frac{1}{2} gt^2$ (g là gia tốc trọng trường). Tốc độ trên bề mặt Trái đất là $v_0 = \sqrt{2gH}$.

Nếu điểm di chuyển, có hướng, thẳng đứng hướng lên trên và có lúc đầu

8

(trên bề mặt Trái đất) tốc độ $v_0$ thì thời gian bay lên của nó sẽ bằng $t=\sqrt{2H/g}$, tức là thời gian vật rơi trong lần đầu tiên bài toán.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, người ta giả định rằng điểm luôn chuyển động theo đường thẳng. Như bạn đã hiểu, giả định như vậy chỉ có thể được đưa ra nếu không tính đến chuyển động quay của Trái đất.

Trên thực tế, theo quan điểm của người quan sát trong hệ quy chiếu quán tính, một vật ném từ độ cao $H$ có tốc độ nằm ngang $\omega_3(H+R)\cos\varphi$, trong đó $R$ là bán kính Trái đất, $\omega_3$ là vận tốc góc của nó, $\varphi$ là vĩ độ của địa điểm. Trong khi rơi, vật duy trì tốc độ này và trong chuyển động theo phương ngang của nó sẽ bỏ xa các điểm đứng yên (so với Trái đất) (ví dụ: cửa sổ trong một ngôi nhà nếu vật rơi từ mái nhà) ở độ cao $h<H$, vì những điểm này chuyển động với tốc độ thấp hơn $\omega_3(h+R)\cos\varphi$.

Hãy thử tính xem một vật rơi từ độ cao $H$ sẽ lệch khỏi phương thẳng đứng sang đông bao nhiêu (Trái đất quay từ tây sang đông và vật đó vượt qua Trái đất). bài toán này dễ giải hơn trong hệ quy chiếu liên kết với Trái đất, sử dụng biểu thức cho lực Coriolis *).

Vì vậy, hãy để vật rơi từ độ cao $H$, tại thời điểm $t=0$. Vật sẽ chuyển động nhanh dần đều và thành phần vận tốc thẳng đứng của nó sẽ thay đổi theo thời gian theo quy luật

$$v=gt.$$

Đối với người quan sát trên trái đất, thành phần nằm ngang của lực Coriolis sẽ tác dụng lên cơ thể, lực này sẽ làm tăng thành phần nằm ngang của động lượng của cơ thể, khiến nó lệch về phía đông. Hãy viết phương trình của chuyển động này:

$$ma=2m\omega_3 v\cos\varphi,$$

hoặc, có tính đến sự phụ thuộc của tốc độ vào thời gian,

$$a=2\omega_3\cos\varphi\, gt=At,$$

trong đó $A=2\omega_3 g\cos\varphi$ là giá trị không đổi.

Bạn chưa từng gặp loại phương trình này ở trường. Nếu $a$ không đổi thì chuyển động sẽ được tăng tốc đều, nhưng gia tốc của chúng ta tăng tuyến tính theo thời gian. Sự phụ thuộc của đường đi vào thời gian được thể hiện như thế nào trong trường hợp này? bài toán này có thể giải quyết dễ dàng nếu bạn biết cách phân biệt

---

*) Tất nhiên cũng có thể giải được trong hệ quy chiếu quán tính. Hãy thử điều này.

thùng. Chúng tôi sẽ thử đoán (và sau đó kiểm tra) đáp số.

Đầu tiên, chúng ta hãy tìm một biểu thức cho tốc độ. Trong chuyển động có gia tốc đều $v=v_0+at$ và $a=\mathrm{const}$. Vì bây giờ $a$ phụ thuộc tuyến tính vào thời gian nên sẽ hợp lý khi giả sử rằng tốc độ phụ thuộc bậc hai vào thời gian:

$$v=v_0+\alpha t+\beta t^2.$$

Hãy tính gia tốc. Để làm điều này, hãy tìm tốc độ tại thời điểm liền kề $t+\Delta t$ $(\Delta t \ll t)$:

$$v=v_0+\alpha(t+\Delta t)+\beta(t+\Delta t)^2.$$

Trừ số hạng trước khỏi đẳng thức này và loại bỏ số hạng với $(\Delta t)^2$ do nó nhỏ so với các số hạng khác, chúng ta thu được

$$a=\frac{v_{t+\Delta t}-v_t}{\Delta t}=\alpha+2\beta t.$$

Bây giờ chúng ta thấy rằng nếu $a=At$ thì $\alpha=0$, $\beta=\dfrac{A}{2}$. Sau đó (cũng giả sử rằng $v=0$ tại $t=0$, từ đó $v_0=0$)

$$v=\frac{At^2}{2}.$$

Bây giờ chúng ta có thể tìm thấy đường dẫn $s$. Hãy giả sử rằng

$$s=s_0+\alpha_1 t+\beta_1 t^2+\gamma t^3.$$

Biểu thức này khác một số hạng bổ sung $\gamma t^3$ so với công thức chuyển động có gia tốc đều. Chúng ta hãy viết ra đường đi đến thời điểm thời gian $t+\Delta t$ và soạn, như trước đây, mối quan hệ

$$v=\frac{s_{t+\Delta t}-s_t}{\Delta t}=\alpha_1+2\beta_1 t+3\gamma t^2$$

(ở đây chúng tôi đã bỏ các số hạng với $(\Delta t)^2$ và $(\Delta t)^3$). So sánh với biểu thức trước đó về tốc độ và cũng giả sử $s_0=0$, chúng tôi thấy rằng

$$\alpha_1=0,\ \beta_1=0,\ \gamma=\frac{1}{6}A$$

Và

$$s=\frac{At^3}{6}.$$

Bây giờ quay trở lại bài toán của chúng ta, chúng ta có thể biểu thị thời gian $t$ theo tốc độ cuối cùng $v_0$ từ định luật về tốc độ thẳng đứng: $t=\dfrac{v_0}{g}$. Vì $A=2\omega_3 g\cos\varphi$, độ dịch chuyển của vật rơi về phía đông hóa ra bằng

$$s=\frac{1}{3}\frac{\omega_3\cos\varphi}{g^2}v_0^3.$$

Hãy tự thay thế các số tương ứng ở đây và tính $s$ nếu vật rơi, chẳng hạn như từ độ cao 1 $км$. Các phép tính cho một vật được ném lên từ bề mặt Trái đất có vẻ dài hơn một chút. Bạn có thể tự mình thực hiện bài tập này.

10

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Tất nhiên, mô tả này không hoàn toàn xác định được một parabol. Có nhiều đường cong có dạng giống nhau, nhưng chỉ một số đường cong được gọi là parabol.

Trong số tất cả các đường thẳng có thể có trong Hình 2 và có một trục chung $OY$, một đỉnh $O$ và một cặp điểm đối xứng $A$ và $A'$, chỉ có một - màu đỏ - là một parabol. Nó đi qua hai điểm “ở giữa” $B$ và $B'$ sao cho $x_B=\dfrac{1}{2}x_A$ và $y_B=\dfrac{1}{4}y_A$. Điều này sẽ được thiết lập từ định nghĩa của một parabol.

Định nghĩa của parabol và cách xây dựng nó từ điểm

Từ khóa học ở trường, chúng ta biết rằng đồ thị của hàm $y = ax^2 + bx + c$ tại $a\neq0$ được gọi là parabol. Chúng ta chỉ cần xét hàm

$$y = ax^2 \tag{1}$$

và hạn chế bản thân trong trường hợp $a>0$. Việc thêm các thuật ngữ $bx$ và $c$ không làm thay đổi hình dạng hoặc kích thước của biểu đồ mà chỉ làm thay đổi nó. Đồ thị hàm số (1) của $a<0$ là đồ thị nghịch đảo của hàm số $y = |a|x^2$. Do đó, chúng tôi định nghĩa parabol là đồ thị của hàm số (1) cho $a>0$ (tất nhiên, bất kỳ

có một đường cong khác có thể được kết hợp với biểu đồ này).

Thay vì nói “parabol là đồ thị của hàm số (1)”, người ta có thể nói: “phương trình (1) là phương trình của một parabol*). Đối với một parabol (và với bất kỳ đường thẳng nào cắt mọi đường thẳng song song với trục $Y'Y$ tại nhiều nhất một điểm), cả hai biểu thức đều tương đương. Chúng ta cũng lưu ý cách đổi cụm từ được chấp nhận: thay vì dùng từ “parabol có phương trình $y = ax^2$”, họ nói ngắn gọn: “parabola $y = ax^2$”.

Từ định nghĩa về parabol này, chúng ta có thể suy ra tất cả các đặc điểm về hình dạng của nó đã được đề cập: độ mở rộng vô hạn, tính đối xứng, độ nhẵn, sự hiện diện của một đỉnh, độ thẳng của parabol khi nó di chuyển ra khỏi đỉnh, tính chất của độ lệch so với trục đối xứng, bằng chứng cho thấy một vật được ném nghiêng một góc so với phương thẳng đứng sẽ chuyển động dọc theo một parabol. Chúng tôi sẽ không tiến hành bằng chứng này ở đây. Chúng ta hãy chỉ tập trung vào cách thu được các điểm $B$ và $B'$ trong Hình 2 và cách xây dựng một số điểm của một parabol nói chung nếu các đỉnh của nó, hướng của trục và một điểm nữa được cho trước.

---

*) Về phương trình đường thẳng, xem ví dụ bài “Ellipse”, «Kvant», số 1, tr. 5.

10

11

Cơm. 3.

Cơm. 4.

Cho các kết quả sau: đỉnh của parabol $O$, trục của nó $OY$ và điểm $M_1$ thuộc parabol (Hình 3); điểm $M_1'$, đối xứng với $M_1$ đối với $OY$, cũng nằm trên parabol. Nếu $M_1$ gần với $O$ thì hãy nhân đôi $x_1 = ON_1$ và nhân bốn $y_1 = OL_1$. (xem hình 1). Điểm $M_2 (2x_1, 4y_1)$ và $M_2' (-2x_1, 4y_1)$ cũng thuộc một parabol (chứng minh). Nếu điểm $\widetilde{M}_1 (\widetilde{x}_1, \widetilde{y}_1)$ cách xa $O$ thì lấy điểm $\widetilde{M}_2 \left(\dfrac{\widetilde{x}_1}{2}, \dfrac{\widetilde{y}_1}{4}\right)$ - nó cũng nằm trên parabol. Chúng ta làm tương tự với điểm thu được $M_2$ (hoặc $\widetilde{M}_2$). Sau khi nhận được một số điểm của parabol, chúng tôi kết nối chúng bằng một đường thẳng bằng tay hoặc sử dụng mẫu. Dưới đây chúng tôi sẽ chỉ ra các cách khác để xây dựng một parabol, thực tế thuận tiện hơn.

Hệ số $a$ của parabol và vai trò của nó

Có vô số parabol khác nhau; mỗi giá trị $a$ tương ứng với parabol của chính nó *). Hình 4 cho thấy một số trong số này

---

*) Số $a$ là một trong các tham số của parabol (để định nghĩa tham số, xem bài “Hyperbola”, trang 16.) Nhưng chúng tôi cố tình tránh từ này ở đây, vì đối với parabol, từ “tham số” thường được dùng theo nghĩa đặc biệt (xem bên dưới).

parabol - tại $a = \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{2}, 1, 1\dfrac{1}{2}, 2, 3, 5$.

Điều đáng chú ý là tất cả các parabol đều giống nhau và nếu chúng được sắp xếp như trong Hình 4 thì chúng có vị trí tương tự nhau với tâm tương tự $O$. Thật vậy, chúng ta hãy lấy hai parabol như vậy $y = ax^2$ và $y = a'x^2$ (Hình 5) và vẽ một tia tùy ý $OMM'$, cắt các parabol lần lượt tại các điểm $M$ và $M'$. Từ sự giống nhau của các tam giác $ONM$ và $ON'M'$ ta có, ở một bên

chúng tôi, $\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{ON'}{ON} = \dfrac{x'}{x}$ hoặc

$$\dfrac{OM'^2}{OM^2} = \dfrac{x'^2}{x^2}, \qquad \text{(a)}$$

và mặt khác,

$$\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{N'M'}{NM} = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{a'x'^2}{ax^2}. \qquad \text{(б)}$$

Chia (a) cho (b), ta được $\dfrac{OM'}{OM} = \dfrac{a}{a'}$,

nghĩa là, mối quan hệ này giống nhau đối với tất cả các tia $OMM'$. Và đây là định nghĩa về sự sắp xếp của hai hình như vậy. Tất cả các parabol đều có hình dạng giống nhau: chúng chỉ khác nhau về kích thước. Và kích thước của mỗi parabol được xác định bởi hệ số $a$ trong phương trình (1).

12

So sánh hai parabol $y = ax^2$ và $y = a'x^2$, chúng ta thấy rằng với một $x_1$ cho hai điểm thì parabol $M_1(x_1, ax_1^2)$ và $M'_1(x_1, a'x_1^2)$ cao hơn parabol có hệ số lớn hơn (Hình 5); cho một $y_2$ của hai điểm parabol
$$M_2\left(\sqrt{\frac{y_2}{a}}, y_2\right) \text{ и } M'_2\left(\sqrt{\frac{y_2}{a'}}, y_2\right)$$
Càng gần trục đối xứng thì hệ số càng lớn. Điều này có nghĩa là $a$ càng nhỏ thì parabol càng rộng, $a$ càng lớn thì parabol càng hẹp. Nói một cách hình tượng, chúng ta có thể gọi số $a$ là “hệ số mỏng” của parabol.

II. ĐỊNH NGHĨA HÌNH HỌC CỦA PARABOLA

Nhược điểm của định nghĩa phân tích

Định nghĩa parabol là đồ thị của hàm bậc hai có thể được gọi là phân tích, vì nó sử dụng các công cụ tính toán *). Với định nghĩa này, một hệ tọa độ được thêm vào parabol, điều này hoàn toàn không cần thiết khi lần đầu làm quen với đường cong. phân tích

*) Từ “phân tích” có nhiều nghĩa. Các từ phân tích toán học đề cập đến sự phát triển của các phép tính cơ bản và ứng dụng của chúng cho các câu hỏi lời giải về số lượng.

Phương pháp hóa học thuận tiện cho việc nghiên cứu các tính chất của ảnh hình học đang được xem xét (phương pháp này là chủ đề của hình học giải tích), nhưng để xác định nó thì chỉ nên sử dụng thông tin từ hình học.

Hạn chế thứ hai là số $a$ (hệ số độ mỏng) liên quan đến định nghĩa có ý nghĩa hình học tương đối phức tạp *).

Tham số parabol, phương trình chính tắc và nguồn gốc tên của nó

Hạn chế thứ hai có thể là STRAINTS bằng cách thay thế tham số $a$ trong phương trình (1) bằng một tham số khác có ý nghĩa hình học đơn giản và kích thước tuyến tính. Chúng ta đã thấy rằng một parabol được xác định bởi đỉnh, hướng trục và bất kỳ điểm nào của nó ($M_0$). Để định nghĩa và thuận tiện cho việc trình bày thêm, chúng ta hãy lấy một điểm $M_0$ sao cho khoảng cách của nó $x_0$ với trục đối xứng $OY$ gấp đôi khoảng cách $y_0$ từ tiếp tuyến $X'X$ tại đỉnh (Hình 6).

*) Do thứ nguyên của hệ số $a$ là nghịch đảo của thứ nguyên chiều dài: $[a] = [L^{-1}].$

13

Khoảng cách $x_0$ được ký hiệu là $p$; thì $y_0 = \frac{p}{2}$. Từ phương trình (1) chúng ta có $\frac{p}{2} = a p^2$, từ đó $a = \frac{1}{2p}$ và phương trình (1) có dạng $y = \frac{1}{2p} x^2$ hoặc $x^2 = 2py$. (2) Nó được gọi là phương trình parabol chính tắc.

Đoạn $p$ lấy tham số tên parabola *). Dây cung $M'_0 M_0 \parallel X'X$ (Hình 6), đi qua một khoảng $\frac{p}{2}$ tính từ tiếp tuyến $X'X$ tại đỉnh, có độ dài $2p$; chúng ta sẽ gọi nó là “dây dung nham” của parabol; ý nghĩa của nó sẽ được làm rõ sau.

Phương trình (2) có thể được giải thích hình học như sau. Đối với bất kỳ điểm $M(x, y)$ nào của parabol, diện tích của hình chữ nhật $ABCD$, một cạnh bằng dây cung chính $2p$, và cạnh kia bằng tọa độ $y$, bằng diện tích hình vuông $ONEH$, dựng trên hoành độ.

Ở dạng gần như này, hình học Hy Lạp cổ đại, không có kiến ​​thức về ngôn ngữ của các công thức và ký hiệu chữ cái, đã thể hiện sự bình đẳng (2).

*) Chính xác hơn, $p$ nên được gọi là tham số tiêu điểm của parabol vì một lý do sẽ sớm trở nên rõ ràng.

Người Hy Lạp cổ gọi việc xây dựng một hình chữ nhật có các cạnh cho trước, có kích thước bằng một hình vuông cho trước là “áp dụng một đoạn đã cho vào một hình vuông”. Từ “ứng dụng” trong tiếng Hy Lạp là parabole, do đó nguồn gốc tên của đường cong.

Một cách khác để xây dựng điểm parabol. trực tiếp

Chúng tôi cũng quyết định bài toán cho “ứng dụng”, sự thay đổi của nó có thể thấy rõ một chút. lời giải này đưa ra một cách mới để xây dựng các điểm parabol.

Chúng ta biểu diễn đẳng thức (2) dưới dạng $(\frac{x}{2})^2 = \frac{p}{2} \cdot y$, (2’), tức là chúng ta “áp dụng” đoạn $\frac{p}{2}$ cho hình vuông có cạnh $\frac{x}{2}$. Vì $\frac{x}{2}$ là tỷ lệ trung bình của $\frac{p}{2}$ và $y$, nên việc xây dựng $y$ từ $\frac{p}{2}$ và $\frac{x}{2}$ quy về việc sử dụng định lý về chiều cao của tam giác vuông rơi xuống cạnh huyền. Để xây dựng thứ tự của điểm $M$ của parabol (2’) dọc theo trục hoành $ON = x$ của nó (Hình 7, a), chúng ta vẽ một đoạn $NQ \perp X'X$ có chiều dài $\frac{p}{2}$ theo hướng ngược lại với

14

Cơm. 8.

theo hướng của trục $OY$, nối $Q$ với phần giữa $R$ của đoạn $ON$ và vẽ $RM \perp QR$ đến giao điểm $M$ với phần tiếp theo $QN$ ngoài điểm $N$. Điểm $M$ thuộc về parabol.

This can be done with any point $N$ on the axis $X'X$. Để đơn giản hóa việc xây dựng các điểm khác, chúng ta vẽ ngay một đường thẳng $D'D$ song song với $X'X$ cách nó một khoảng $\dfrac{p}{2}$ ở phía bên kia của hợp âm chính (Hình 7, b). This straight line is called the directrix (in Russian - guide) of the parabola. Từ bất kỳ điểm $N$ nào trên trục $X'X$, chúng ta khôi phục đường vuông góc với nó cho đến khi nó cắt đường chuẩn tại điểm $Q$ và sau đó, tiếp tục theo cách đã chỉ ra, chúng ta thu được điểm $M$. We advise the reader to obtain a number of points of the parabola by this construction *).

Tiêu điểm và tính chất tiêu điểm của một parabol

Từ phương pháp xây dựng các điểm của parabol này, tính chất đáng chú ý nhất của nó thường được coi là định nghĩa của parabol.

---

*) Điều thú vị là đoạn $RM$ tiếp xúc với parabol tại điểm $M$. Chúng tôi sẽ không cung cấp bằng chứng về điều này ở đây.

Let us pay attention to the point $F$ of intersection of the straight line $QR$ and the main chord (see Fig. 7, a). It is easy to realize that this point also lies on the axis of symmetry $OY$. Indeed, triangles $RNQ$ and $ROF$ are equal, like right triangles with the same legs ($NQ = OF$, $OR = = RN$). Do đó, bất kể chúng ta lấy điểm $N$ nào, đường thẳng $QR$ dựng dọc theo nó sẽ giao hợp âm chính ở giữa $F$. Bây giờ rõ ràng $\triangle FMQ$ là cân. Indeed, the segment $MR$ is both the median and the height of this triangle. Theo sau đó là $MF = MQ$. The distance from any point of the parabola to the middle of the main chord is equal to its distance to the directrix. The midpoint of the main chord of the parabola thus acquires special significance for the parabola; it is called the focus of the parabola *), and the proven property is called the focal property of the parabola. The vertex of the parabola is the midpoint of the perpendicular drawn from the focus to the directrix.

Điều ngược lại cũng đúng: chỉ các điểm của parabol mới có tính chất này (hãy cố gắng tự chứng minh điều này).

Do đó, parabol là tập hợp các điểm cách xa tiêu điểm và đường chuẩn bằng nhau. Tính chất đặc trưng này của parabol là định nghĩa hình học đơn giản nhất của nó. Phương pháp thứ ba để xây dựng các điểm parabol dựa trên định nghĩa này (Hình 8). Chúng ta hãy dựng một chuỗi đường tròn đồng tâm với tâm ở tiêu điểm $F$ (bắt đầu từ bán kính $\dfrac{p}{2}$) và một loạt đường thẳng song song với đường chuẩn (bắt đầu từ đường thẳng nằm cách đường chuẩn một khoảng $\dfrac{p}{2}$) sao cho bán kính và các khoảng cách này tăng cùng một lượng. Điểm pe-

---

*) Tập trung vào tiếng Latin - lò sưởi. Nguồn gốc của thuật ngữ này sẽ được giải thích ở số tiếp theo «Kvant».

15

Cơm. 9.

giao điểm của đường tròn và đường thẳng tương ứng nằm trên parabol.

Parabolograph

Không khó để chế tạo một thiết bị (hãy gọi nó là parabolograph) để vẽ các parabol khác của bất kỳ tham số nào bằng chuyển động liên tục (và hơn nữa là phần đặc trưng nhất của parabol chứa đỉnh). Một parabolograph bao gồm hai hình vuông giống hệt nhau và một sợi dây. Cạnh của hình vuông càng dài thì vòng cung được vẽ sẽ càng lớn. Ngoài parabolograph, bạn sẽ cần một thước kẻ và 3 chiếc đinh ghim để vẽ.

Dán keo cả hai hình vuông lại với nhau (Hình 9, a), trước tiên khâu một sợi chỉ giữa chúng sao cho một phần của nó được gắn chặt và phần còn lại, tự do, thoát ra khỏi đỉnh A nhỏ hơn một góc nhọn. Trên phần tự do của sợi chỉ, tạo một nút thắt bằng một vòng (“điểm”) nhỏ tại điểm F của sợi chỉ sao cho chiều dài của phần AF này bằng chiều dài của cuộn lớn AC của hình vuông *). Sau đó cắt

*) Trước tiên, nên tạo một nút thắt bằng một vòng trên sợi chỉ, sau đó đo chiều dài FA=AC từ nút F, bao gồm phần còn lại của sợi dây vào giữa các ô vuông.

phần còn lại của sợi chỉ phía sau nút thắt. Parabolograph đã sẵn sàng.

Trên một tờ giấy, vẽ tiêu điểm và đường chuẩn của parabol. Chúng ta hãy áp một cây thước lên đạo diễn để nó nằm ở phía bên kia của tiêu điểm. Chúng ta kẹp thước vào giữa hai ghim, vặn ở hai đầu, nhét phần ba nhọn của ghim vào vòng F của sợi chỉ và dán ghim này vào tiêu điểm (Hình 9, b).

Chúng ta hãy áp dụng một parabolograph ngắn cho thước directrix. Chúng ta chĩa bút chì và ấn sợi chỉ vào chân dài tại điểm M của nó sao cho sợi chỉ được căng. Điểm M nằm trên parabol vì AC = AM + MF và MC = MF. Nếu bây giờ bạn di chuyển parabolograph dọc theo thước cố định bằng một tay và tay kia dùng bút chì ấn sợi chỉ vào chân dài, thì đầu bút chì sẽ quét các cung của nửa bên trái của parabol. Lật hình parabol sang phía bên kia, chúng ta vẽ sợi chỉ thứ hai.

III. PARABOLA - PHẦN CONIC

Giao bề mặt của một hình nón thẳng với một mặt phẳng song song với một trong các đường sinh của nó, chúng ta thu được một hình parabol trong mặt cắt ngang.

16

Cơm. 10.

Hãy chứng minh điều đó. Đặt hình nón trên mặt phẳng ngang I (Hình 10, a). Chúng ta hãy giới thiệu các ký hiệu sau: $S$ là đỉnh của hình nón, $\varphi$ là góc trục của nó, $SQ$ là đường sinh mà hình nón tiếp xúc với mặt phẳng I.

Chúng ta cắt hình nón với mặt phẳng II, song song với I (và do đó, song song với đường sinh $SQ$), ở độ cao $h$ (khoảng cách giữa các mặt phẳng). Cần chứng minh mặt phẳng II cắt nón theo một parabol.

Chúng ta vẽ qua ma trận $SQ$ và qua trục của hình nón mặt phẳng thẳng đứng $SQP$, được minh họa riêng ở Hình 10, b; nó cắt mặt phẳng II dọc theo đường thẳng $OY$—trục đối xứng của mặt cắt đang nghiên cứu. Qua điểm $O$ giao nhau của đường thẳng này với hình nón, ta vẽ đường thẳng $X'X \perp OY$ trong mặt phẳng II và lấy $X'X$ và $OY$ làm trục tọa độ. Một điểm tùy ý $M$ trong phần của chúng ta có hoành độ $ON = x$ và tọa độ $NM = OL = y$ trong hệ tọa độ này. Ta cần tìm phương trình đường cắt trong hệ tọa độ này và chứng tỏ nó có dạng
$x^2 = 2py$.

Qua $M$ chúng ta vẽ một phần hình tròn của hình nón $QMP$, vuông góc với trục của nó. Từ tam giác vuông $SML$ ta có

$LM^2 = SM^2 - SL^2 = SP^2 - SL^2$. (MỘT)

Rõ ràng,

$$SP = SO + OP = SO + OL = \frac{h}{\sin\varphi} + y.$$ (b)

Từ tam giác $SOL$

$SL^2 = SO^2 + OL^2 -$
$-2SO \cdot OL\cos(180° - \varphi) =$

$$= \left(\frac{h}{\sin\varphi}\right)^2 + y^2 + \frac{2hy}{\sin\varphi}\cos\varphi.$$ (trong)

Thay (b) và (c) vào (a), ta được

$$x^2 = \left[\left(\frac{h}{\sin\varphi}\right)^2 + y^2 + \frac{2hy}{\sin\varphi}\right] -$$

$$- \left[\left(\frac{h}{\sin\varphi}\right)^2 + y^2 + \frac{2hy}{\sin\varphi}\cos\varphi\right] =$$

$$= 2h\,\frac{1-\cos\varphi}{\sin\varphi}\,y.$$

Biểu thị $h \cdot \dfrac{1-\cos\varphi}{\sin\varphi}$ bằng $p$, ta có

$x^2 = 2py$. Phần này tạo ra một parabol có tham số $p$.

Cụ thể, nếu góc trục của hình nón $\varphi$ thẳng thì $p = h$. Do đó, nếu một hình nón có góc vuông trong mặt cắt trục cắt một mặt phẳng vuông góc với một trong các đường sinh của nó, thì trong mặt cắt sẽ thu được một parabol, tham số của nó bằng khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt phẳng cắt. Điều thú vị là Menaechmus, người đã phát hiện ra hình elip, hyperbol và parabol vào khoảng năm 360 trước Công nguyên, đã thu được chúng dưới dạng các phần của một hình nón tròn, tương ứng với một góc trục nhọn, tù và vuông với mặt phẳng vuông góc với một trong các đường sinh, và chúng lần đầu tiên được gọi là các phần của hình nón nhọn, tù và hình chữ nhật. Tên hiện đại của những đường cong này sau này được đặt bởi Apollonius.

$$\ast \quad \ast \quad \ast$$

Bài viết chỉ cung cấp những thông tin cơ bản về parabol. Các tính chất khác của nó, chung cho hình elip, hyperbol và parabol, sẽ được thảo luận trong bài “Các tính chất chung của đường conic”.

TẠI SAO LÒ CHÁY LÒ?

TẠI SAO LÒ CHÁY LÒ?

V.N. NGÔN NGỮ

Nếu bạn hỏi một chuyên gia kỹ thuật nhiệt và một người không có kinh nghiệm trong lĩnh vực khoa học này tại sao chúng ta sưởi bếp vào mùa đông, thì người đầu tiên có thể sẽ trả lời: để tăng năng lượng bên trong của không khí trong phòng; trong khi điều thứ hai gần như chắc chắn sẽ được diễn đạt đơn giản hơn: làm cho căn phòng ấm hơn. Và một người không chuyên sẽ đưa ra đáp số chính xác hơn.

Thoạt nhìn có vẻ khó tin nhưng nội năng của không khí trong phòng sau khi đốt củi trong bếp sẽ không thay đổi.

Giả sử bạn đến ngôi nhà nông thôn của mình vào cuối mùa thu. Phòng nhiệt độ khoảng 0°C, và để giữ ấm, bạn quyết định đốt bếp. Trong khi nhiệt kế tăng lên 20°, hãy tính xem nội năng của không khí trong phòng thay đổi như thế nào trong thời gian này.

Trong các điều kiện gần với bình thường (nghĩa là ở nhiệt độ không khác lắm so với 0 ° C và áp suất cỡ $10^5 \, н/м^2$), không khí tương tự như một loại khí lý tưởng, nội năng của nó tỷ lệ thuận với khối lượng $m$ và nhiệt độ tuyệt đối $T$:

$$U = \alpha m T,$$

($\alpha$ là hệ số tỷ lệ, không đổi đối với một loại khí nhất định).

Khi một căn phòng được sưởi ấm, không khí nóng lên, nở ra và một phần thoát ra qua cánh cửa đóng lỏng lẻo, các lỗ rỗng và vết nứt trên tường, do đó khối lượng không khí trong phòng thay đổi. Thể tích phòng và áp suất

2 «Kvant» № 4

17

18

tác động của Nina vẫn không thay đổi. Do đó, sự thay đổi nội năng do va chạm sau khi tan băng có thể được viết như sau:

$$\Delta U = U_2 - U_1 = \alpha m_2 T_2 - \alpha m_1 T_1 = \alpha (m_2 T_2 - m_1 T_1).$$

Đối với các mục đích khác, chúng tôi sẽ sử dụng phương trình lời giải Clapeyron–Mendeleev

$$PV = \frac{m}{\mu} RT.$$

Vì, như chúng ta đã lưu ý, áp suất trong phòng luôn bằng áp suất bên ngoài và thể tích của các phòng không thay đổi mà chỉ có khối lượng không khí thay đổi, nên chúng ta có

$$m_2 T_2 = m_1 T_1 = \frac{PV \mu}{R} = \text{const.}$$

Có lý do là sau khi đốt, năng lượng tác động bên trong trong các phòng không thực sự thay đổi, tức là toàn bộ nhiệt lượng tỏa ra đều “đi” ra ngoài đường.

Tại sao trong trường hợp này chúng ta vẫn rã đông khu nhà ở? Thực tế là, mặc dù tổng năng lượng ảnh hưởng bên trong các phòng hoàn toàn không tồn tại đối với chúng ta, nhưng cơ thể chúng ta cảm nhận rất rõ nhiệt độ, điều này được quyết định bởi năng lượng đến với một phân tử.

Nhà thiên văn học người Đức R. Emden đã lưu ý vào năm 1938 rằng cần phải làm tan băng các căn phòng vì lý do tương tự rằng sự sống trên Trái đất sẽ không thể tồn tại nếu không được cung cấp nhiệt mặt trời liên tục. Và vấn đề không nằm ở lượng năng lượng tới, năng lượng này sẽ được phát lại xuống một phần không đáng kể, giống như một người không thay đổi trọng lượng của mình mặc dù đã ăn thức ăn. Các điều kiện đơn giản cho sự tồn tại của chúng ta đòi hỏi một nhiệt độ nhất định, để đạt được nhiệt độ đó chúng ta đun nóng bếp lò.

Từ sự hài hước đầy ý nghĩa, hay điện và cuộc sống

Trong nhiều tạp chí khoa học và kỹ thuật, có những thông điệp có thể là sự bổ sung đáng kể cho các bộ sưu tập như “Vật lý của Stutt”. Đôi khi một trò đùa được ngụy trang bằng một âm tiết giống như khỏa thân, và điều đó xảy ra là tài liệu kết thúc bằng các chỉ mục thẻ, các chỉ mục, những người biên soạn chúng không hề có ý định trở thành một trò đùa.

Bài viết dưới đây của Tom Stevenson trên tạp chí “Tin tức thiết kế điện tử” của Mỹ không thực sự che giấu vấn đề, nhưng để vạch trần “Nghịch lý Stevenson”, bạn cần nhớ một số điều cơ bản của học thuyết về điện. Đây là những gì T. Stevenson viết trong bài “Máy phát điện cao áp”.

“Gần đây, khi đang viết một số bài báo, tôi bị phân tâm bởi một ý nghĩ thú vị. Hãy lấy hai chiếc đĩa đồng lớn. Chúng ta gắn một sợi dây và một ống bọc cách điện vào mỗi chiếc đĩa. Hãy giúp một tay cho hai chiếc kama nhỏ.

Tiếp theo, yêu cầu các em giữ các đĩa ở khoảng cách rất gần nhưng không chạm vào nhau. Hãy sạc tụ điện thu được từ pin tự động 12 volt. Hãy ngắt kết nối pin. Nếu các em đứng yên thì hiệu điện thế giữa các đĩa vẫn bằng 12 vôn. Nhưng điều gì sẽ xảy ra khi họ thắc mắc?

Từ phương trình cơ bản $U$ (điện tích) = $\frac{Q}{C}$ (điện dung) chúng ta có thể thấy rằng nếu chúng giảm một nửa khoảng cách giữa các đĩa thì điện áp cũng sẽ giảm một nửa, vì điện tích không thể thay đổi, nhưng điện dung sẽ tăng gấp đôi.

(Tiếp theo trang 24).

Trợ cấp hàng ngày

vòng quay trái đất

Bài viết của Ya. A. “Lực Coriolis” Smorodinsky (xem trang 2 của tạp chí này) mô tả chi tiết lực quán tính tác dụng lên các vật chuyển động so với một hệ quy chiếu quay. Một hệ thống “tự nhiên” như vậy trước hết là Trái đất. Có nhiều hiện tượng, ví dụ như sự lệch hướng của các vật thể rơi tự do, sự xói mòn bờ sông không đồng đều, sự xuất hiện của các xoáy không khí và gió, v.v., được giải thích là do tác động của lực Coriolis.

Trong lịch sử, thí nghiệm đầu tiên xác nhận sự quay của Trái đất quanh trục của nó là thí nghiệm của Foucault. Bài viết này nói về một thí nghiệm đơn giản thể hiện rõ ràng sự quay hàng ngày của Trái đất.

Hãy tưởng tượng một chiếc bình hình trụ lớn kết thúc bằng một cái phễu (Hình 1). Bình chứa đầy nước và được treo trên trần nhà bằng một sợi dây dài. Tại thời điểm ban đầu khi lỗ phễu đóng lại thì tàu đứng yên so với Trái đất. Điều gì xảy ra nếu lỗ được mở? Để đơn giản cho việc suy luận, chúng ta sẽ giả sử rằng thí nghiệm được thực hiện ở cực bắc của Trái đất. Ở vị trí của bình nơi đặt phễu, dòng nước chảy không chỉ có hình chiếu vận tốc thẳng đứng mà còn có vận tốc nằm ngang.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\mathbf{v}_0$ hình chiếu nằm ngang của tốc độ của nước so với tàu. Giá trị $\mathbf{v}_0$ phụ thuộc vào độ cao của cột nước so với giá trị đã cho

mức trong phễu và tính từ khoảng cách đến trục của bình.

Sự hiện diện của tốc độ $v_0$ gây ra sự xuất hiện của lực Coriolis. Hình 2 thể hiện hướng quay của Trái đất, tốc độ $v_0$ và lực Coriolis $F_К$ đối với một lớp nước nhất định. Lực Coriolis tác dụng lên từng phần tử nhỏ của khối lượng nước có mô men quay so với trục đối xứng của bình. Điều này làm cho nước trong bình quay tròn. Vì có ma sát giữa nước và thành bình nên bình cũng sẽ bắt đầu chuyển động và hướng chuyển động của bình trùng với hướng quay của Trái đất.

Khi nước chảy ra khỏi thùng chứa, độ lớn vận tốc $v_0$ giảm và do đó lực Coriolis tác dụng lên nước giảm (kể từ $F_К \sim v_0$). Bản chất chuyển động của nước dưới tác dụng của một lực thay đổi $F_К$ sẽ như thế nào? Độ lớn gia tốc do lực này truyền vào giảm đi, trong khi tốc độ quay của nước tăng lên, nhưng càng xa thì càng chậm.

Sự quay của bình làm cho sợi dây treo trên đó bị xoắn. Trong trường hợp này, một mô men của lực biến dạng đàn hồi xuất hiện, chống lại sự xoắn của sợi và do đó làm chuyển động quay của bình. Độ lớn của mô men của lực biến dạng tăng khi góc xoắn của sợi tăng, nghĩa là khi tốc độ quay của bình tăng. Vì lực Coriolis, đồng

2*
19

20

Cơm. 1. Bình thí nghiệm. 1 - bình hình trụ; 2 - phễu; 3 - cao su mềm trên đế cứng; 4 - sợi chỉ; 5 - dây đôi cho cầu lông.

điều này cuối cùng dẫn đến sự quay của bình với nước giảm dần theo thời gian, khi đó đến một lúc nào đó, tác dụng của mômen lực Corolis được bù đắp bằng tác dụng của mô men lực biến dạng, và sau đó lực biến dạng chiếm ưu thế hơn lực Corolis. Kết quả là tốc độ quay của tàu giảm nhưng tàu vẫn quay theo hướng quay của Trái đất.

Tại một thời điểm nào đó, tốc độ góc quay của tàu trở nên bằng 0, và sau đó, dưới tác dụng của mômen biến dạng đàn hồi, tàu bắt đầu quay theo hướng ngược lại. Tốc độ góc quay tăng dần. Lúc này lực biến dạng bắt đầu giảm (sợi dây giãn ra). Tác dụng của mômen lực Corolis (lực này vẫn đang giảm dần) lúc này có hướng chống lại chuyển động quay của tàu và dẫn đến tốc độ quay giảm. . . Tại một thời điểm nào đó trong quá trình quay, mô men giảm dần của lực biến dạng sẽ “bắt kịp” độ lớn với mômen của lực Corolis, sau đó tốc độ quay bắt đầu giảm, v.v.

Khi tiến hành thí nghiệm, chúng tôi sử dụng một bình hình trụ có đường kính 25 cm và cao 30 cm (xem Hình 1). Bình chứa đầy phễu có đường kính phản ứng 8 mm. Một khớp nối với bốn ốc vít nằm đối xứng được tìm thấy ở ống trên cùng của phễu.

Cao su mềm trên đế cứng được ép chặt vào đầu ống bằng một sợi chỉ xuyên qua hai ốc vít đối diện. Sợi chỉ được buộc thành nút trên một trong các ốc vít. Chúng tôi treo bình từ trần nhà trên một sợi dây cầu lông đôi dài 2,5 m (bạn có thể lấy hai sợi dây xoắn ngược chiều nhau để xác định tác dụng phụ trong quá trình quay). Nước đổ vào bình gần tới mép trên, khi nước lắng xuống, nút chỉ bị cháy hết. Trong mọi trường hợp, chúng tôi quan sát thấy rằng khi nước chảy ra qua đầu ra của phễu, bình trước tiên quay ngược chiều kim đồng hồ, sau đó chuyển sang dây đối diện.

Thí nghiệm cũng có thể được thực hiện với phễu thủy tinh treo trên giàn giáo mỏng đôi. Nhưng hóa ra góc quay của bình phụ thuộc đáng kể vào đường kính của đầu ra của phễu. Một mặt, tác dụng của lực Corolis càng dễ nhận thấy thì phản ứng càng nhỏ. Nhưng mặt khác, khi phản ứng giảm thì vai trò của độ nhớt chất lỏng lại tăng lên. Chúng tôi có thể quan sát thấy sự chuyển động quay đáng chú ý của phễu cùng với một sợi dây chứa 1 lít nước có đường kính phản ứng là 5 mm.

M. I. Emelyanov,
A. M. Zharkov,
V. M. Zadainov,
V. S. Matochkin

21

Tam giác vuông và chuỗi liên tục

A. P. Vinchienko

Có lẽ, một số độc giả đã nhắc đến đường xoắn ốc Ulam (ví dụ, nó được mô tả trong cuốn sách “Truy cập toán học” của M. Gardner). Nếu ai đó không biết gì về vòng xoáy này thì cũng không sao; đây là câu chuyện của cô ấy Một ngày nọ, nhà toán học người Mỹ Stanislav Ulam, đang tham dự một cuộc họp nhàm chán nào đó, đã viết một hình xoắn ốc vì buồn chán lên một tờ giấy ca rô, đánh số các ô của hình xoắn ốc này và khoanh tròn các số nguyên tố *). Ulam có được bức tranh như trong Hình 1: các số nguyên tố trong đường xoắn ốc của anh ấy dường như nhô ra theo các đường chéo. Bây giờ chúng ta sẽ nói về một thứ tự khác để viết chuỗi tự nhiên, trong đó các số nguyên tố vẫn được đặt như trên các đường chéo.

*) Một số tự nhiên (không bằng 1) được gọi là số nguyên tố nếu nó chỉ chia hết cho chính nó và một.

Chúng ta hãy tạo một “tam giác vuông”: chúng ta chỉ viết một số ở dòng đầu tiên - 1, ở dòng thứ hai - các số từ 2 đến 4, ở dòng thứ ba - các số từ 5 đến 9, v.v., khai báo một dòng mỗi khi chúng ta nhận được một hình vuông của một số tự nhiên nào đó (xem Hình 2). Do đó, dòng đầu tiên của chúng ta kết thúc bằng $1^2$, dòng thứ hai - $2^2$, dòng thứ ba - $3^2$, v.v. (do đó tên của hình kết quả là - “tam giác vuông”; chứng minh rằng mỗi dòng của một tam giác vuông dài hơn chính xác 2 ô so với dòng trước).

Bây giờ chúng ta hãy khoanh tròn các số nguyên tố, giống như trong Hình 3.

Bạn có nhận thấy rằng ở đây các số nguyên tố cũng “xếp hàng” dọc theo các đường chéo (nhân tiện, hãy nghĩ xem tại sao chúng không nằm trên tất cả các đường chéo mà chỉ sau một đường chéo - sử dụng

Cơm. 1. Hình 2.

22

Cơm. 3.

23

Sự khác biệt duy nhất là số 2)? Nhưng bên cạnh đó, trong bức tranh của chúng ta, chúng ta có những “chuỗi liên tục” kéo dài từ “cạnh huyền” của “tam giác” đến “chân” của nó - trong Hình 3 có sáu chuỗi như vậy. Hãy viết các số nguyên tố dọc theo chuỗi này:

2
3, 5
7, 11, 17
23, 31, 41, 53, 67, 83, 101
47, 59, 73, 89, …, 227, 257
223, 251, 281, 313, …, 1523, 1601

Hóa ra tất cả những con số này đều tuân theo cùng một luật:

Chuỗi thứ 1 là giá trị của đa thức $x^2 + x + 2$ tại $x = 0$ (tại $x = 1$ ta nhận được $2^2$),
Chuỗi thứ 2 là các giá trị của đa thức $x^2 + x + 3$ tại $x = 0,1$ (tại $x = 2$ ta nhận được $3^2$),
Chuỗi thứ 3 là các giá trị của đa thức $x^2 + x + 5$ tại $x = 1,2,3$ (tại $x = 4$ ta nhận được $5^2$),
Chuỗi thứ 4 là các giá trị của đa thức $x^2 + x + 11$ tại $x = 3,4,5,...,8,9$ (tại $x = 10$ ta nhận được $11^2$),
Chuỗi thứ 5 là các giá trị của đa thức $x^2 + x + 17$ tại $x = 5,6,...,14,15$ (tại $x = 16$ ta nhận được $17^2$),
Chuỗi thứ 6 là các giá trị của đa thức $x^2 + x + 41$ tại $x = 13,14,...,38,39$ (tại $x = 40$ ta nhận được $41^2$).

Euler đã biết các đa thức có dạng $x^2 + x + k$; công thức $x^2 + x + k$ cho $k = 2, 3, 5, 11, 17, 41$ cho ra số nguyên tố cho tất cả $x = 0, 1,...,(k-1),(k-2)$.

Do đó, các chuỗi liên tục của chúng ta là các “đuôi” của các giá trị của đa thức $x^2 + x + k$, trong đó $k = 2, 3, 5, 11, 17, 41$. Có chuỗi liên tục dài hơn? Điều này hiện chưa được biết.

Hãy quay lại tam giác vuông của chúng ta - chuyển “reshemo của Eramosthenes” vào đó (xem «Kvant» Số 1 cho năm 1974): lấy một số tự nhiên và gạch bỏ tất cả các số chia hết cho nó. Chúng ta sẽ nhận được một số kiểu mẫu; ví dụ: đối với số 2, đó là mẫu “cờ vua” (Hình 4). Đối với bộ ba, mẫu là mẫu sau (xem Hình 5). Tuy nhiên, có một khuôn mẫu cho những giá trị này. Vì vậy, nếu bạn tạo một hình vuông từ bìa cứng có cạnh 2 và cắt ra hai hình vuông từ đó, đặt trong hình 6 bằng các dấu chéo, thì với sự trợ giúp của con tem như vậy, bạn có thể gạch bỏ tất cả các số chia hết cho 2 khỏi tam giác vuông.

Thật sự:

1. dán tem sao cho chỉ nhìn thấy số 1 phía trên nó;
2. gạch bỏ các số trong câu trả lời;
3. di chuyển tem xuống, sang phải hoặc sang trái hai ô vuông;
4. một lần nữa gạch bỏ các con số trong câu trả lời, v.v.

Cơm. 7.

Cơm. 8.

Cơm. 9.

Cơm. 10.

Đối với số ba, tem yêu cầu được hiển thị trong Hình 7, đối với số bốn - trong Hình 8, đối với số năm - trong Hình 9.

Tóm lại, chúng tôi cung cấp cho độc giả một vài bài toán.

1. Chứng minh rằng bằng cách sử dụng dấu vuông $k\times k$ (trong đó $k$ là số tự nhiên bất kỳ), bạn có thể gạch bỏ tất cả các số chia hết cho $k$ trên một tam giác bậc hai.

2. Chứng minh rằng tem $k\times k$ phải có đúng $k$ lỗ.

3. Chứng minh rằng mỗi dòng của con tem phải có một lỗ.

4. Chứng minh rằng con tem sẽ luôn có lỗ ở ô áp chót của hàng đầu tiên và ở ô cuối cùng của hàng cuối cùng.

5. Chứng minh rằng nếu cắt bỏ dòng cuối cùng của con tem thì các lỗ còn lại sẽ nằm đối xứng với trục hoành (ví dụ với con tem có số bảy, xem Hình 10).

Từ sự hài hước khoa học,

hoặc điện
và cuộc sống

(Để bắt đầu, xem trang 18)

Lập luận theo cách tương tự, chúng ta thấy rằng nếu chúng ta tăng gấp đôi khoảng cách giữa các đĩa thì điện áp sẽ tăng gấp đôi vì điện dung giảm một nửa.

Tôi đang nghĩ đến việc trang bị cho hai cậu bé chân trần những chiếc đĩa như vậy, và ngay khi trời bắt đầu mưa, hãy chất đĩa vào và cho các cậu bé lùi về hai hướng ngược nhau.

24

sự lười biếng. Theo tính toán của tôi, khi họ đi được mười bước thì sẽ xảy ra sự cố với tiếng va chạm chói tai và ánh sáng chói mắt, và hai cậu bé này sẽ không bao giờ cản trở tôi khi tôi cố gắng viết ”.

Đây là số phận mà Stevenson đã chuẩn bị cho những cậu bé tội nghiệp… Lý giải về sự tăng điện áp giữa các bản của một tụ điện song song mặt phẳng khi khoảng cách giữa chúng tăng lên là đúng. Nhưng chỉ có sự đánh thủng của chất điện môi (trong trường hợp này là không khí) được xác định không phải bởi điện áp mà bởi cường độ điện trường, và trong thí nghiệm “quỷ quyệt” này, nó không đổi:

$$E\ (\text{напряженность})=\frac{U\ (\text{напряжение})}{d\ (\text{расстояние})}.$$

Hơn nữa, khi khoảng cách giữa các bản tụ tăng lên, tính đồng nhất của trường bị phá vỡ và cường độ giảm.

Chúng tôi khuyên bạn nên thực hiện độc lập tất cả các tính toán trong “Thí nghiệm Stevenson” (trong phép tính gần đúng trường đồng nhất): ngoài điện áp và cường độ điện trường, hãy xác định sự phụ thuộc của năng lượng của hệ và lực hấp dẫn giữa các đĩa vào khoảng cách giữa chúng.

(Cuối cùng xem trang 47)

25

Người giải quyết vấn đề lượng tử

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 6 năm 1975 đến địa chỉ: 117071, Moscow, V-71, Leninsky Prospekt, 15, Nhà xuất bản Nauka, tạp chí «Kvant». Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Sự cố «Kvant», M316, M317” hoặc “… F328”. Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán mới được gửi trong các phong bì riêng. Vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, hãy gửi hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”). Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi cho biết người đang trò chuyện đã đề nghị cho chúng tôi bài toán này. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. bài toán khó khăn nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

Bài toán

M316—M320; F328—F332

M316. a) Chứng minh rằng tổng các bình phương $k$ của các số tự nhiên liên tiếp không thể là bình phương của một số nguyên nếu $k$ là 3, 5, 7 hoặc 9.

6. Hãy nghĩ ra 11 số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của số nguyên đó.

E. G. Gotman

M317*. Trên một số hành tinh, mỗi quốc gia có biên giới không quá 7 quốc gia khác. Mỗi quốc gia đều có trữ lượng vàng. Phải phân bổ vàng sao cho mỗi nước có chung biên giới chênh lệch nhau về lượng vàng không quá 13 lần. Chứng minh rằng việc phân phối vàng có thể được tổ chức sao cho mỗi quốc gia mất không quá một nửa số vàng của mình.

G. V. Egorov

M318. Trong tam giác $ABC$ bissertrices $[AD]$ và $[CE]$ được vẽ. Chứng minh rằng $|CE| \cdot |AB| = |AD| \cdot |BC|$ khi và chỉ khi có ít nhất một trong hai điều kiện được thỏa mãn: 1) $|AB| = |BC|$; 2) $\widehat{ABC} = 60^\circ$.

A. P. Sabin

M319. Một đường tròn $\gamma$ và một điểm $P$ bên trong nó được cho trên mặt phẳng. Hãy xem xét tập hợp các tứ diện $ABCD$, cả bốn đều bị tắc nghẽn và hình tam giác $ABC$ được gắn vào đường tròn $\gamma$ sao cho các đường trung tuyến của nó cắt nhau tại điểm $P$.

a) Tại vị trí nào của điểm $P$ bên trong $\gamma$ tứ diện cũng tồn tại?

6. Chứng minh rằng các đỉnh $D$ của tứ diện đó nằm ở một trong hai điểm cố định trong không gian (đối xứng với mặt phẳng tương đối).

I. F. Sharyzin

26

M320*. Những $n$-giác lồi nào có thể được chia thành các hình tam giác sao cho không có hai hình tam giác nào trong phân hoạch có các cạnh chung (hoàn toàn trùng nhau)? (Hình 1 cho thấy tam giác có thể được chia nhỏ như thế này.)

A. Pechkovsky

F328. Các thanh cứng có chiều dài $l_1$ và $l_2$ được nối bằng bản lề tại điểm $A$. Các đầu tự do của chúng di chuyển ra xa nhau một cách đồng đều với tốc độ của $v_1$ và $v_2$ tương ứng, hướng dọc theo cùng một đường thẳng (Hình 2). Tìm gia tốc của điểm $A$ tại thời điểm đó; khi các thanh tạo thành một góc $90^\circ$ với nhau. Chuyển động của các thanh xảy ra trong một mặt phẳng.

B. B. Bukhovtsevo

F329*. Nhiều người trong số các bạn rõ ràng đã nhận thấy rằng khoảnh khắc bạn bước lên cát ướt, cát sẽ trở nên nhẹ hơn. Điều này là do thực tế là cát trở nên khô hơn. Nhưng vừa mới rút chân ra, vết chân để lại lập tức bị nước lấp đầy. Giải thích hiện tượng này.

F330. Trong một hình trụ, đặt dưới một pít-tông không trọng lượng có diện tích $S$ có không khí ở áp suất khí quyển $p_0$ và nhiệt độ $T_0$. Thể tích bên trong của hình trụ được chia thành hai phần bằng nhau bằng một vách ngăn nằm ngang cố định có phản ứng nhỏ. Một tải trọng có khối lượng $M$ được đặt lên piston, dưới tác dụng của nó, piston chạm tới vách ngăn. Tìm nhiệt độ của không khí bên trong xi lanh nếu thành xi lanh và piston không dẫn nhiệt.

B. A. Lugovtsovo

F331. Một hình xoắn ốc phẳng có số vòng quay rất lớn $n$ và bán kính ngoài $R$ (Hình 3) nằm trong một từ trường đều vuông góc với mặt phẳng của hình xoắn ốc và thay đổi theo định luật $B = B_0 \cos \omega t$. Tìm e. d.s. quy nạp

tsini, tràn ngập theo hình xoắn ốc. Khoảng cách giữa các vòng xoắn ốc là không đổi.

G. L. Komkin

F332. Tìm khoảng cách giữa nguồn sáng $S$ và ảnh của nó trong hệ quang học như hình 4. Tiêu cự của đường thẳng $A$ và $B$ bằng nhau và bằng $F$.

V. G. Serbo

27

Lời giải bao gồm hai phần. Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh diện tích phần chung không nhỏ hơn một nửa diện tích của tam giác $A_1B_1C_1$ và $KLM$, nếu các điểm $K$, $L$ và $M$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB_1$, $CA_1$ và $BC_1$?

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

M280. Cho một tam giác $ABC$ có diện tích 1. Đặt $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$, $AC$ và $AB$. Diện tích tối thiểu mà phần chung của tam giác $A_1B_1C_1$ và $KLM$ có thể có là bao nhiêu nếu các điểm $K$, $L$ và $M$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB_1$, $CA_1$ và $BC_1$?

Cơm. 1.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

M281. Một đa giác lồi có thể có bao nhiêu cạnh, tất cả các đường chéo của nó đều dài?

Lời giải bao gồm hai phần. Đầu tiên chúng ta sẽ chứng minh diện tích phần chung không nhỏ hơn một nửa diện tích của tam giác $A_1B_1C_1$ và $KLM$, nếu các điểm $K$, $L$ và $M$ lần lượt nằm trên các đoạn $AB_1$, $CA_1$ và $BC_1$?

1. Chúng ta hãy biểu thị bằng $Q$ điểm giao nhau của các đoạn $KL$ và $C_1B_1$, và bằng $R$ và $T$ các điểm giao nhau của đoạn $KM$ với đoạn $C_1B_1$ và phần tiếp theo của đoạn $CB$ (Hình 1). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $RQ \geq QB_1$. Trên thực tế, từ sự giống nhau của các tam giác $KTL$ và $KRQ$, $KLC$ và $KQB_1$, chúng ta có $\frac{TL}{RQ} = \frac{LK}{QK} = \frac{LC}{QB_1}$, tức là $\frac{RQ}{QB_1} = \frac{TC}{LC}$; nhưng $TL \geq BA_1 = A_1C \geq LC$ cũng có nghĩa là $RQ \geq QB_1$. Tương tự như vậy, $FP \geq PA_1$ và $XY \geq XC_1$ (xem Hình 1).

Hãy kết nối các điểm $R$, $F$ và $Y$ (Hình 2). Rõ ràng là $S_{RQF} \geq S_{B1QF}$ (những hình tam giác này có cùng chiều cao với $RQ \geq QB_1$), $S_{FPY} \geq S_{A1PY}$ và $S_{RXY} \geq S_{C1XR}$. Do đó, $S_{B1QF} + S_{A1PY} + S_{C1XR} \leq S_{RQF} + S_{FPY} + S_{RXY} + S_{RYF}$, và vì tổng diện tích của cả bảy hình tam giác bằng diện tích $\triangle A_1B_1C_1$, nên cạnh phải của bất đẳng thức thu được không nhỏ hơn một nửa diện tích của tam giác này.

2. Ví dụ bắt buộc được xây dựng trong Hình 3 (điểm $M$ trùng với điểm $B$, $K$—$B_1$, điểm $L$—bất kỳ).

Vậy diện tích phần chung nhỏ nhất của tam giác $A_1B_1C_1$ và $KLM$ là $\frac{1}{8}$.

B. M. Ivlev

◆

Hãy chứng minh rằng một đa giác có tính chất đã cho không thể có nhiều hơn năm cạnh.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $n$ số cạnh của đa giác và giả sử rằng $n \geq 6$. Đặt $A_1, A_2, \dots, A_{n-1}, A_n$ là các đỉnh của đa giác. Hãy xem xét các đỉnh $A_1, A_2, A_{n-2}, A_{n-1}$. Các đoạn $A_1A_2$ và $A_{n-2}A_{n-1}$ là các cạnh và các đoạn $A_1A_{n-1}, A_2A_{n-2}$ là các đường chéo của đa giác của chúng ta (do giả định số $n$, xem Hình 4).

Trong một tứ giác lồi $A_1A_2A_{n-2}A_{n-1}$, tổng các đường chéo $A_1A_{n-2}$ và $A_2A_{n-1}$ luôn lớn hơn hai cạnh $A_1A_{n-1}$ và $A_2A_{n-2}$ của nó; và điều này mâu thuẫn với thực tế là $A_1A_{n-1} = A_1A_{n-2} = A_2A_{n-1} = A_2A_{n-2}$ theo điều kiện bài toán. Vì vậy, $n < 6$.

28

Cơm. 4.

Rõ ràng là $n>3$ (tam giác không có đường chéo). Đối với các trường hợp $n=4$ và $n=5$, rất dễ xây dựng các đa giác có thuộc tính được chỉ định: chúng là hình vuông và hình ngũ giác đều.

Vì vậy, câu trả lời cho bài toán là số cạnh có thể là 4 hoặc 5.

G. A. Galperin

M282. Các ô của bảng hình chữ nhật có kích thước $m \times n$ chứa bất kỳ số tự nhiên nào. Trong một lần di chuyển, bạn có thể nhân đôi tất cả các số trong một hàng hoặc trừ đi một số từ tất cả các số trong một cột. Chứng minh rằng chỉ bằng một vài nước đi bạn có thể làm cho tất cả các số bằng 0.

M283. Một đa giác lồi có tính chất sau: nếu dịch chuyển tất cả các cạnh của nó ra bên ngoài một khoảng bằng 1 thì các đường thẳng thu được sẽ tạo thành một đa giác giống với đa giác ban đầu. Chứng minh rằng một đường tròn có thể nội tiếp trong đa giác này.

Cơm. 5.

Trước tiên hãy biến tất cả các số trong cột đầu tiên thành số không. Nếu có những số ở cột đầu tiên, thì chúng ta sẽ nhân đôi các số trong các hàng đó của bảng tại giao điểm của cột nào với cột đầu tiên có những số đó, sau đó trừ đi một số từ tất cả các số ở cột đầu tiên. Rõ ràng là trong trường hợp này, các đơn vị “cũ” sẽ vẫn giữ nguyên và mỗi số khác với một trong cột đầu tiên sẽ giảm đi một. Nếu không có đơn vị nào trong cột đầu tiên ngay từ đầu, thì chúng ta sẽ trừ một đơn vị khỏi tất cả các số của nó cho đến khi xuất hiện (ít nhất một đơn vị); và sau đó chúng tôi sẽ thực hiện thao tác đã được mô tả. Chúng ta sẽ lặp lại thao tác này (nhân đôi các hàng có giao điểm với cột đầu tiên chứa các số 1, sau đó trừ đi một số từ mỗi số trong cột đầu tiên) cho đến khi tất cả các số trong cột đầu tiên trở thành số một. Bằng cách trừ đi một từ mỗi số trong cột đầu tiên, chúng ta biến tất cả chúng thành số không.

Vì vậy, chúng ta có một bảng trong đó cột đầu tiên chứa số 0 và các cột $n-1$ còn lại chứa số tự nhiên. Bằng cách biến các số của cột thứ 2, thứ 3, …, $n$ tuần tự thành số 0 theo cách đã mô tả (lưu ý rằng trong trường hợp này, các số 0 hiện có sẽ không bị “làm hỏng”), chúng ta sẽ có được một bảng gồm toàn các số 0.

S. V. Konyagin

Lưu ý rằng mệnh đề ngược lại dễ chứng minh hơn nhiều: nếu một hình tròn có thể nội tiếp trong một đa giác, thì khi di chuyển tất cả các cạnh của nó ra xa nhau một khoảng cách như nhau (cụ thể là một khoảng), sẽ thu được một đa giác tương tự, với tâm của đường tròn đóng vai trò là tâm tương đồng (Hình 5).

Bây giờ chúng ta chuyển sang lời giải bài toán.

BẰNG CHỨNG ĐẦU TIÊN. Giả sử đa giác $P'$ thu được từ đa giác $P$ bằng cách di chuyển các cạnh bên trong đa giác $P$ đến khoảng cách bằng 1, đồng thời có thể thu được $P'$ từ $P$ bằng cách biến đổi độ tương tự $f$ với hệ số $k<1$. Chúng ta hãy đưa đa giác $P$ vào phép biến đổi này cùng với đa giác $P'$ được vẽ bên trong nó. Sau đó, bên trong $P'$ (hình ảnh $P$) một đa giác mới $P''$ (hình ảnh $P'$) sẽ xuất hiện, tương tự như $P'$ (với hệ số $k$) và $P$ (với hệ số $k^2$), và rõ ràng là các cạnh $P''=f(P')$ có thể thu được bằng di chuyển các bên $P'$ vào trong đến một khoảng $k$. Theo cách tương tự, di chuyển các cạnh $k^2$ khác, chúng ta có một đa giác $f(P'')=P^{(3)}$ nằm bên trong $P''$ (hình ảnh của $P''$ dưới phép biến đổi $f$), v.v.:
$$f(P^{(3)}) = P^{(4)}, \ldots, f(P^{(n)}) = P^{(n+1)}, \ldots$$
ở đâu $P \supset P' \supset P'' \supset P^{(3)} \supset \ldots \supset P^{(n)} \supset \ldots$

Rõ ràng, vì các cạnh của đa giác $P^{(n)}$ mỗi lần giảm theo cùng một tỷ lệ nên độ dài của chúng có xu hướng bằng 0 và do đó là giao điểm của tất cả các đa giác

29

bao gồm một điểm (Hình 6)*). Hãy biểu thị nó bằng $O$.

Mỗi cạnh của đa giác $P'$ lần lượt được di chuyển ra xa nhau một khoảng cách $k, k^2, k^3, \dots, k^n, \dots$, nên khoảng cách từ mỗi cạnh đến điểm $O$ bằng cùng một số - tổng của một cấp số nhân vô hạn

$$k + k^2 + k^3 + \dots + k^n + \dots = r.$$

Do đó, một hình tròn có tâm $O$ và bán kính $r$ chạm vào tất cả các cạnh của đa giác $P'$.

Lưu ý rằng trong chứng minh trên, việc các cạnh nào tương ứng với nhau dưới một phép biến đổi $f$ như vậy không quan trọng, mà phép biến đổi này lấy $P$ đến $P'$. Trong khi đó, trong hầu hết lời giải do độc giả gửi, người ta ngầm cho rằng có sự tương ứng tự nhiên: mỗi bên $P'$ được liên kết với một bên $P$, có được từ nó bằng cách di chuyển nó theo một bên. Người ta có thể chứng minh bổ đề sau: nếu đa giác $P$ và $P'$ (thu được từ $P$ bằng cách di chuyển các cạnh đi 1) giống nhau - với sự tương ứng góc nào của các cạnh (với sự “xoay” hoặc “phản xạ đối xứng” theo thứ tự của cạnh), thì sẽ luôn có sự tương đồng với thứ tự tự nhiên của cạnh - chuẩn bị cho hệ số $k$ ($0 < k < 1$). Chúng tôi sẽ đưa ra một bằng chứng độc lập với lời giải đầu tiên, nhưng bây giờ chúng tôi đưa ra thêm hai lời giải bài toán, dựa trên bổ đề này (nghĩa là ngụ ý sự tương ứng tự nhiên của các bên dưới sự tương tự).

Bằng chứng thứ hai. Đặt $[AB]$ là cạnh của $P$, $[A'B']$ cạnh tương ứng của $P'$, $O$ là giao điểm của $(AA')$ và $(BB')$. Sau đó (xem Hình 7)

$$\frac{|A'O|}{|AO|} = \frac{|A'B'|}{|AB|} = \frac{|B'O|}{|BO|} = k.$$

Theo đó, tại cùng một điểm $O$ đường $BB'$ cũng cắt đường $CC'$ (BC và $B'C'$ là các cạnh tương ứng $P$ và $P'$), v.v. Ngoài ra, điều rất quan trọng là các đường $AA'$, $BB'$, $CC'$, … là các góc nhị phân $A', B', C', \dots$, của đa giác $P'$. Theo đó, điểm $O$ đóng vai trò là tâm của đường tròn ghi tại $P'$.

Bằng chứng thứ ba. Chúng ta hãy cắt “vỏ” giữa các đa giác $P$ và $P'$ thành một đường thẳng, các đa giác có chiều cao 1 với các đáy $A'B', B'C', C'D', \dots$ và “hình thoi” - các hình tứ giác còn lại ở mỗi đỉnh $A, B, C, \dots$ (Hình 8). Rõ ràng, từ những hình thoi này, người ta có thể dựng một đa giác ngoại tiếp một hình tròn có bán kính bằng 1, và các góc của nó tương ứng là $A, B, C, \dots$, và độ dài các cạnh bằng hiệu độ dài của đa giác $P$ và $P'$ tương ứng với các cạnh, tức là bằng $(1-k)|AB|, (1-k)|BC|$, …. Do đó, đa giác $P'$ của chúng ta tương tự như một đa giác ngoại tiếp quanh một đường tròn có bán kính 1, nghĩa là có thể nội tiếp một đường tròn trong đó (bán kính sẽ bằng, rất indo, $r = \frac{k}{1-k}$).

Chứng minh bổ đề. Đối với mỗi cạnh $[AB]$ của đa giác $P$, chúng ta sẽ biểu thị bằng $[A'B']$ cạnh đó $P'$ có được bằng cách di chuyển $AB$ ra xa.

*) Việc giao điểm này không rỗng có thể dễ dàng suy ra từ phát biểu tương tự đối với trục số. Trình tự các phân đoạn lồng nhau

$$[a; b] \supset [a_1; b_1] \supset \dots \supset [a_n; b_n] \supset \dots$$

luôn có một điểm chung (câu phát biểu này hoặc bất kỳ câu tương đương nào với nó trong phần giới thiệu tiên đề về số thực thường được chấp nhận như một tiên đề).

30

Giả sử, trong trường hợp giống nhau, cạnh $[A_1B_1]$ tương ứng với $[A'_2B'_2]$:
$$[A_1B_1] \rightarrow [A'_2B'_2], [A_2B_2] \rightarrow [A'_3B'_3], \dots, [A_{r-1}B_{r-1}] \rightarrow [A'_rB'_r], [A_rB_r] \rightarrow [A'_1B'_1].$$
Sau đó, $\hat{A}_1 = \hat{A}_2 = \dots = \hat{A}_r = 2\alpha$ và $\hat{B}_1 = \hat{B}_2 = \dots = \hat{B}_r = 2\beta$, và do đó sự khác biệt về độ dài $|A_iB_i| - |A'_iB'_i| = d$ có ​​cùng độ dài $i$ ($d = \text{ctg} \alpha + \text{ctg} \beta$). Gọi $k$ là hệ số tương tự, $|A_iB_i| = x_i$. Sau đó
$$\begin{cases} x_1 - kx_r = d, \\ x_2 - kx_1 = d, \\ x_3 - kx_2 = d, \\ \dots \dots \dots \\ x_r - kx_{r-1} = d; \end{cases}$$
nhưng, thật dễ dàng để chứng minh, hệ thống này (với $0 < k < 1$) chỉ có một lời giải $x_1 = x_2 = \dots = x_r = \frac{d}{1-k}$. Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng với mọi cạnh $A_1B_1$ của đa giác $P$
$$|A'_1B'_1| = k |A_1B_1|,$$
nghĩa là các cạnh của đa giác tương ứng với nhau (trong trường hợp không có!) tỷ lệ thuận với nhau. Các góc không thay đổi khi không có mặt nên sự tương đồng của đa giác với sự tương ứng tự nhiên $[AB] \rightarrow [A'B']$ được chứng minh.

H. B. Vasiliev

M284. Tổng của 100 số tự nhiên, mỗi số không lớn hơn 100, bằng 200. Chứng minh rằng từ chúng có thể chọn được nhiều số có tổng bằng 100.

Chúng ta sẽ giải bài toán này, giả sử rằng chúng ta có $n=2k$ số tự nhiên, mỗi số không lớn hơn $n$ và tổng của chúng là $2n$. Hãy chứng minh rằng từ những số $n$ này, chúng ta có thể chọn được nhiều số sao cho tổng của chúng bằng $n$.

Đặt trung bình cộng của các số đã cho $a_1, \dots, a_n$ là hai số bất kỳ, ví dụ: các số $a_1$ và $a_2$ khác nhau (nếu tất cả các số đều giống nhau thì chúng đều bằng 2 và $k$ tổng của chúng bằng $n=2k$). Hãy tạo các số $n$ mới:

$$\begin{cases} A_0 = a_1, \\ A_1 = a_2, \\ A_2 = a_1 + a_2, \\ \dots \dots \dots \\ A_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{n-1}. \end{cases}$$

Mỗi số này nhỏ hơn $2n$ nhưng lớn hơn 0. Trung bình cộng của các số dư khi chia các số $A_0, \dots, A_{n-1}$ cho $n$ sẽ tìm thấy 0 hoặc hai số dư bằng nhau (vì các số dư, giống như các số, là $n$). Trong trường hợp đầu tiên, $A_m$, tương ứng với số dư bằng 0, bằng $n$ (chia hết cho $n$, lớn hơn 0 và nhỏ hơn $2n$). Trong phần thứ hai - $A_m = A_k + n$ ($k < m$). Hơn nữa, $m \neq 0$ và $m \neq 1$, vì các số $A_0$ và $A_1$ không vượt quá $n$. Trong trường hợp $m=2$, $A_0$ bằng $n$ hoặc $A_1$ bằng $n$. Trong các trường hợp khác, $A_m = A_k + a_{k+1} + \dots + a_m$, từ đó chúng ta thu được $a_{k+1} + \dots + a_m = n$ đó.

C. B. Konyazin