Kvant 1976, số 8 · Trang

Keanm
1976
8
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí

3

DIOPHANTI
ALEXANDRINI
ARITHMETICORVM
LIBRI SEX,
ET DE NVMERIS MVLTANGVLIS
LIBER VNVS.

VM COMMENTARIIS C. G. BACHETI V. C.
Observationibus D. P. de FERMAT Senatoris Tolofani.

Accessit Doctrinæ Analyticae inuentum nouum, collectum ex varijs eiusdcm D. de FERMAT Epistolis.

TOLOSE,
Excudebat BERNARDVS BOSC, e Regione Collegij Societatis Iefu.

M DC LXX.

Trang tiêu đề của ấn bản tiếng Latin của Diophantus với lời bình luận
Sự giận dữ của Bachet de Mezirc và nhận xét của Fermat. Giới thiệu về trang trại
Chúng ta nói về nó trong bài viết trên trang. 3

1

TRONG PHÒNG:

I. Bashmova. Pierre Fermat
B. Martynov. Định lý Fermat cho đa thức
L. Turiansky. Trang trại Priitsp
Y. Gelfer, V. Leykovtsev. Amedo Avogadro
A. Yesayan. Máy tính bác bỏ

Phòng thí nghiệm «Kvant»
V. Mayer, E. Mamaeva. Thí nghiệm với hình dạng bột

Vấn đề «Kvant»
Bài toán M396—M400; F408—F412
Lời giải bài toán M354—M358, M360; F362—F368

Đánh giá, thư mục
V. Bronshten. Các ngôi sao được phân bố như thế nào, sống và chết
E. Levitan. Dành cho những ai quan tâm đến phi hành gia

Hỏi - chúng tôi trả lời
Thông tin
V. Berezin. Trường vật lý và toán học tương ứng
V. Pshenichner. III Cuộc họp toàn liên minh của các nhà thiên văn trẻ
A. Antoshin. Trường thể chất tương ứng tại Đại học quốc gia Moscow. M. V. Lomonosova

Trò đùa của nhà vật lý
John Slate. Cách phân hủy hạt nhân nguyên tử tại nhà

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. Rosenal. Quy tắc “cực đoan”

Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (tr. 16, 27, 29, 35, 55)

Chúng tôi đã nhận được một lá thư từ độc giả từ Crimea, Sveta, năm tuổi, kèm theo bản sao bức vẽ mà bạn nhìn thấy trên trang đầu tiên của trang bìa. Cô và các bạn đã vẽ một hình như vậy trong giờ học toán. Dựa trên bản phác thảo do Sveta gửi, một chương trình đã được biên soạn cho một chiếc máy có thể “biết” vẽ. Bản vẽ do máy thực hiện được thể hiện trên trang bìa. Mặc dù hình chỉ bao gồm các đoạn thẳng nhưng có thể thấy rõ tám đường cánh trong hình. Liệu bạn có thể xác định được những cái đã đóng này là gì không? Tuy nhiên, chúng tôi cảnh báo bạn rằng bài toán cái này khá khó.

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, 1976

2

Trong số này, chúng ta kỷ niệm ngày kỷ niệm của nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 17, Pierre Fermat. Fermat có đóng góp cho hầu hết mọi ngành toán học trong thế kỷ 17. Các tác phẩm của ông có trước sự ra đời của phép tính vi phân và lý thuyết xác suất. Fermat xứng đáng được coi là một trong những người sáng tạo ra hình học giải tích. Nhưng công việc của ông về lý thuyết số đặc biệt quan trọng.

Pierre Fermat chịu trách nhiệm về ba bài viết trong số báo này. Cuộc đời, mối quan tâm khoa học và những khám phá của Fermat được mô tả trong bài viết của I. Bashmkova. Trong bài viết của B. Martynov, đa thức phân tích của Fermat được xây dựng và chứng minh. Cuối cùng, trong bài viết của L. Turiyansky ông nói về công trình duy nhất của Fermat liên quan đến một bài toán vật lý - định luật khúc xạ ánh sáng. Và Fermat đã tiếp cận vấn đề này từ quan điểm toán học thuần túy: trong đó ông đã áp dụng phương pháp lời giải cực trị bài toán của mình. Về bản chất, đây là ứng dụng đầu tiên trong vật lý của nhánh toán học mà ngày nay được gọi là phép tính biến phân.

Vào ngày 9 tháng 2 năm 1665, cáo phó của Pierre Fermat được đăng trên Tạp chí các nhà khoa học, trong đó nêu rõ:

“Ông ấy là một trong những bộ óc xuất sắc nhất của thế kỷ chúng ta, một thiên tài toàn cầu và đa năng đến mức nếu tất cả các nhà khoa học không xuất hiện nhờ công lao cần thiết của ông thì sẽ khó có thể tin được tất cả những điều cần nói về ông, để không bỏ lỡ bất cứ điều gì trong lời nói đáng kính của chúng ta.”

Và mặc dù trong suốt cuộc đời của mình, Pierre Fermat được công nhận là nhà toán học đầu tiên trong thời đại của ông, và sau khi ông qua đời, những từ ngữ của ông thậm chí còn nhiều hơn, chúng ta biết rất ít về ông.

Đây là điều ít được biết đến. Pierre sinh vào tháng 8 năm 1601 tại miền nam nước Pháp tại thị trấn nhỏ Beaumont-de-Lomagne, nơi cha ông, Dominique Fermat, là “lãnh sự thứ hai”, tức là giống như trợ lý cho thị trưởng. Mẹ của Pierre, Claire de Long, xuất thân từ một gia đình luật sư. Vì vậy, Pierre Fermat thuộc “địa vị thứ ba”.

Dominique Fermat đã cho con trai mình một nền giáo dục rất vững chắc. Ở trường đại học ở thành phố quê hương, Pierre đã học được các ngôn ngữ nổi tiếng: tiếng Latin, tiếng Hy Lạp, tiếng Tây Ban Nha, tiếng Ý và tiếng Pháp. Sau đó, ông viết thơ bằng tiếng Latinh, tiếng Pháp và tiếng Tây Ban Nha “với sự duyên dáng như thể ông đã sống vào thời Augustus và trải qua một số lượng lớn các dinh thự riêng tại triều đình Pháp hoặc Madrid.”

Trang trại này nổi tiếng là một thời cổ đại đẹp đẽ. Họ tìm đến anh để xin lời khuyên về những đoạn khó khi xuất bản sách lớp tiếng Hy Lạp. Theo tất cả các tài khoản, anh ta có thể đã tạo dựng được tên tuổi của mình trong lĩnh vực ngữ văn Hy Lạp.

Tuy nhiên, Fermat đã hướng toàn bộ sức mạnh thiên tài của mình vào việc nghiên cứu toán học. Tuy nhiên, ông không phải là một nhà toán học chuyên nghiệp. Các nhà khoa học thời đó không có cơ hội cống hiến hết mình cho ngành khoa học yêu thích của họ. Vnet là luật sư và ủy viên hội đồng cơ mật của các nữ hoàng Pháp, Descartes là một sĩ quan, Mersenne và Cavalieri là tu sĩ. Trang trại chọn luật. Chúng tôi không biết anh ấy học luật ở thành phố nào. Phần này có sự cạnh tranh của Toulouse và Bordeaux. Người ta chỉ biết rằng bằng cử nhân đã được trao cho anh ta ở Orleans. Từ năm 1630, Fermat chuyển đến Toulouse, nơi ông nhận được vị trí quan chức trong Nghị viện (tức là tòa án). Chúng tôi đọc về các hoạt động pháp lý của anh ấy trong “điếu văn” đã được đề cập rằng anh ấy đã thực hiện nó “với sự tận tâm và kỹ năng tuyệt vời đến mức anh ấy được công nhận là một trong những luật sư giỏi nhất trong thời đại của mình”.

*) Đối với tôi, có vẻ như tôi đang đổ lỗi cho ánh sáng rực rỡ (từ một bức thư gửi Mersenne, 1640).

4

Năm 1631, Fermat kết hôn với người họ hàng xa bên ngoại, Lunza de Long. Pierre và Lunza có năm người con, trong đó người con cả Samuel trở thành nhà thơ và nhà khoa học. Chúng ta nợ ông những tác phẩm sưu tầm đầu tiên của Pierre Fermat, xuất bản năm 1679. Pierre Fermat qua đời vào ngày 12 tháng 1 năm 1665 trong một chuyến công tác của ông.

Dưới đây là danh sách những sự thật khô khan mà chúng ta biết về cuộc đời của nhà toán học tuyệt vời này.

Thật không may, Samuel Fermat không để lại ký ức nào về cha mình. Đúng vậy, cuộc đời của một nhà khoa học, như một quy luật, rất nghèo nàn trước những biến cố bên ngoài. Nội dung chính của nó chỉ được bộc lộ ở sự sáng tạo, đó là một kỳ tích tinh thần to lớn của nhà khoa học.

Không có tác phẩm nào của Fermat được xuất bản trong suốt cuộc đời của ông. Những tác phẩm sưu tầm mà ông nhiều lần cố gắng chuẩn bị đều chưa bao giờ được ông viết ra. Tuy nhiên, ông đã đính kèm một số chuyên luận vào một dạng hoàn chỉnh, và chúng được hầu hết các nhà khoa học cùng thời biết đến dưới dạng bản thảo (đây là các chuyên luận về hình học giải tích, về cực đại và cực tiểu, cũng như về bình phương của parabol và hyperbol). Ngoài những chuyên luận này, vẫn còn những bức thư từ rộng rãi và cực kỳ thú vị của ông.

Vào thế kỷ 17, khi chưa có tạp chí khoa học đặc biệt (“Tạp chí các nhà khoa học” là một trong những tạp chí đầu tiên, bắt đầu xuất bản vào năm 1665), thư từ trao đổi giữa các nhà khoa học đóng một vai trò đặc biệt. Nó đặt bài toán, báo cáo về các phương pháp lời giải của họ và thảo luận về các vấn đề khoa học cấp bách.

Phóng viên của Fermat là những nhà toán học vĩ đại nhất trong thời đại của ông: P. Descartes, Etben và Blaise Pascal, B. Frenicle de Bessy, X. Huygens, E. Torricelli, J. Wallis. Những bức thư được gửi trực tiếp đến người nhận hoặc tới Trụ trì Mersenne ở Paris, người đã nhân chúng và gửi chúng cho các nhà toán học đang nghiên cứu các vấn đề phân tích. Nhưng những bức thư hầu như không bao giờ chỉ là những chủ đề toán học ngắn gọn. Tính cộng đồng trong đó bộc lộ những cảm xúc sống động của tác giả, góp phần tái hiện hình ảnh của họ.

Khi Fermat gửi cho Mersenne “Phương pháp tìm cực đại và cực tiểu” của ông vào năm 1636, Descartes, không hiểu phương pháp của Fermat, đã chỉ trích gay gắt nó. Vào tháng 6 năm 1638, Fermat gửi cho Mersenne một tuyên bố mới, chi tiết hơn về phương pháp của ông để chuyển cho Descartes. Một bức thư có nội dung, nhưng không phải không có sự mỉa mai nội tại: “… Vì vậy, hóa ra là tôi đã tự giải thích, hoặc ông Descartes hiểu tác phẩm tiếng Latinh của tôi… Tôi vẫn gửi cho anh ấy những gì tôi đã viết, và anh ấy chắc chắn sẽ tìm thấy ở đó những điều sẽ giúp anh ấy mở ra quan điểm của mình rằng tôi đã tình cờ tìm ra phương pháp này và tôi không biết nền tảng thực sự của nó…” Trang trại không bao giờ thay đổi giọng điệu có khả năng của mình. Anh ấy cảm nhận được chiều sâu của mình với tư cách là một nhà toán học, vì vậy anh ấy không tham gia vào các cuộc bút chiến vụn vặt mà kiên nhẫn cố gắng giải thích phương pháp của mình, như một giáo viên sẽ làm với một học sinh.

Fermat được công chúng biết đến (xa hơn toán học) chủ yếu nhờ Định lý lớn mang tên ông. Tuy nhiên, Fermat không chỉ giải quyết lý thuyết số được yêu thích nhất của ông, liên quan đến định lý này, mà còn giải quyết các vấn đề toán học thu hút sự chú ý của các nhà khoa học trong thế kỷ 17, cụ thể là bài toán xác định cực đại và cực tiểu, tìm tiếp tuyến, tính diện tích và độ dài của các cung đường cong, nói tóm lại - những câu hỏi mà ngày nay chúng ta liên quan đến phân tích toán học. Và ở đây Fermat sở hữu những kết quả quan trọng nhất trước khi Newton và Leibniz sáng tạo ra phép tính. Ngoài ra, Trang trại là nơi đầu tiên trong thời hiện đại đến với

5

ý tưởng về tọa độ và tạo ra hình học phân tích. Ông cũng nghiên cứu các vấn đề trong lý thuyết xác suất. Fermat không chỉ giới hạn ở toán học: ​​ông còn nghiên cứu vật lý, nơi ông phát hiện ra định luật truyền ánh sáng trong môi trường không đồng nhất *).

Hình học giải tích

Một trong những công trình toán học đầu tiên của Fermat là việc khôi phục hai cuốn sách “Trên những nơi bằng phẳng” đã được phê duyệt của Apollonius. Bây giờ chúng ta sẽ phân loại các phương pháp mà Apollonius đã sử dụng làm hình học phân tích và thiết kế. Tuy nhiên, vào thời Apollonius chưa có ký hiệu chữ cái nên ông phải viết ra các công thức đại số và phương trình đường cong hình học. Ví dụ: công thức $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ của chúng tôi đã được người xưa viết ra (và đã được chứng minh!) bằng cách sử dụng hình vẽ (Hình 1).

Sự khác biệt chính giữa các phương pháp hiện đại lời giải hình học bài toán và các phương pháp của Apollonius là việc sử dụng đại số chữ cái. Người đầu tiên hiểu được cách áp dụng đại số mới vào các bài toán hình học là Fermat.

Năm 1636, bài tiểu luận “Giới thiệu về nghiên cứu mặt phẳng và vị trí không gian” **) của ông xuất hiện dưới dạng bản thảo, trong đó hình học giải tích trên mặt phẳng được xây dựng một cách nhất quán. Ngay cả khi khôi phục các cuốn sách của Apollonius, Fermat đã đánh giá cao việc áp dụng phương pháp tọa độ và nhận ra rằng một phương trình có một ẩn số xác định hoàn toàn một số nhất định, một phương trình có hai ẩn số - một tập hợp các điểm trên mặt phẳng (đường cong), một phương trình có ẩn số thứ ba -

*) «Kvant», 1975, số 12, tr. 30 và trong số này - c. 17.
**) Dưới “những nơi bằng phẳng” Fermat, theo người xưa, hiểu đường thẳng và đường tròn, dưới “những nơi không gian” - một phần hữu hạn.

Cơm. 1.

một tập hợp các điểm trong không gian (bề mặt). Fermat bắt đầu phần “Giới thiệu” của mình bằng cách chọn hai đường thẳng làm trục tọa độ, chúng cắt nhau ở một góc cụ thể nào đó (không nhất thiết phải là góc vuông).

Về cơ bản, nó cho thấy bất kỳ phương trình bậc một nào giữa các tọa độ. Biểu thị một đường thẳng và phương trình của bước thứ hai biểu thị một phần hữu hạn nhất định và đánh dấu điều kiện mà quỹ tích tương ứng sẽ là một đường tròn. Để rút gọn phương trình của thảo nguyên thứ hai thành một trong những dạng chính tắc mà người xưa đã biết, Fermat áp dụng một phép biến đổi tọa độ. Toàn bộ phần trình bày của Fermat hoàn toàn nhất quán.

Một năm sau, tác phẩm “Diễn ngôn về phương pháp” của P. Descartes được xuất bản, phần thứ tư trong số đó, “Hình học”, cũng được dành cho hình học giải tích. Tác phẩm này đã làm lu mờ phần Giới thiệu của Fermat, mặc dù từ quan điểm toán học thuần túy, nó được viết ít hệ thống hơn. Thực tế là Descartes đã tạo ra một phép tính mới, tiện lợi hơn mà chúng ta vẫn sử dụng với những thay đổi nhỏ cho đến tận bây giờ, trong khi Fermat lại sử dụng phép tính ký hiệu nhanh chóng và mệt mỏi của Vieta. Ngoài ra, Descartes còn giới thiệu đại số mới cùng với phương pháp tọa độ là “toán học phổ quát”, một phương pháp tổng quát

6

cho lời giải tất cả bài toán. Những “quảng cáo” như vậy đã góp phần không kém gì đại số mới vào sự phổ biến của tác phẩm của ông.

Phương trình của parabol và hyperbol. Tính độ dài đường cong

Phương pháp hệ thống của Do Ferma về cầu phương, tức là tính diện tích, được phát triển bởi nhà khoa học người Anh B. Cavalieri (1598-1647). Ông chỉ viết cuốn sách “Hình học của các tuần” (1635), trong đó ông tính diện tích của một hình được giới hạn bởi parabol $y = x^2$, trục abscissa và đường thẳng $x = 1$. Sau đó (1647) ông đã tính diện tích tương tự cho các parabol $y = x^3, y = x^4, \dots, y = x^9$.

Chưa có vào năm 1642, Ferma đã phát hiện ra một phương pháp tính diện tích của các hình được giới hạn bởi bất kỳ “parabol” $y = ax^{p/q}$ ($p/q > 0$) và bất kỳ “hyperbol” $y = \frac{a}{x^{p/q}}$ nào. Bài thuyết trình của Ferma chỉ dài 10 trang. Đối với “hyperbola”, có $\frac{p}{q} > 1$, trước tiên anh ấy tính diện tích của một hình không giới hạn nằm giữa trục x, đường thẳng $x = x_0$ và đường cong (Hình 2). Do đó, người ta đã chứng minh rằng diện tích của một hình không giới hạn có thể là hữu hạn.

Ferma, một trong những người đầu tiên, đã giải quyết vấn đề làm thẳng các đường cong, tức là tính độ dài các cung của chúng. Anh ấy đã cố gắng giảm bài toán này để tính toán các khu vực không phải là ctor. Do đó, ông đã chỉ ra rằng phép tính độ dài của các parabol khác $y^2 = 2px$ từ điểm (0, 0) đến điểm neoctoral $(x_1, y_1)$ (Hình 3) cho biết vị trí của các parabol $x^2 - y^2 = p^2$, trục tọa độ, trục hoành độ và đường thẳng $y = y_1$ (Hình 4).

Ferma chỉ còn một bước nữa là chuyển từ “diện tích” sang khái niệm trừu tượng “intergral”. Bước này được Newton và Leibniz thực hiện sau khi ông qua đời.

Tìm cực đoan. Xác định tiếp tuyến

Ông thừa nhận rằng năm 1629 Ferma đã khám phá ra các phương pháp tìm cực trị và tiếp tuyến, mà theo quan điểm hiện đại là tìm ra một phương pháp tùy ý. Vào cuối năm 1636, bản trình bày hoàn chỉnh về phương pháp này đã được chuyển giao cho Mersenne và họ có thể học hỏi từ ông.

Cơm. 2.

Cơm. 3.

Cơm. 4.

7

Mọi người đều được chào đón tham gia. Ông cũng báo cáo phương pháp của mình trong một bức thư gửi Descartes (1638). Để tìm cực trị của đa thức $F(x)$, Fermat đề xuất các quy tắc sau: 1) thay thế $F(x)$ thay vì $x$ biểu thức $x + h$; 2) bằng $F(x)$ và $F(x + h)$: $F(x) = F(x + h)$; 3) sau khi đưa ra các điều khoản tương tự, chúng tôi giảm $h$; 4) chúng tôi giả sử $h = 0$. Kết quả là chúng ta thu được đẳng thức $A(x) = 0$. Fermat phát biểu rằng tất cả các giá trị của $x$ mà đa thức $F(x)$ có cực trị nhất thiết phải là nghiệm của phương trình $A(x) = 0$. Bản thân hàm $A(x)$, theo quy tắc Fermat, hóa ra là đại số thuần túy (nghĩa là không vượt qua giới hạn), hiện được gọi là tùy ý từ $F(x)$.

Fermat biện minh cho sự cai trị của mình như thế nào? Ông đưa ra nhiều lý do khác nhau. Hãy để chúng tôi trình bày một trong số chúng ở dạng hiện đại hóa một chút. Để đa thức $F(x)$ đạt cực đại tại điểm $x_0$. Điều này có nghĩa là đối với $h > 0$ nhỏ, chúng ta có $F(x_0 + h) < F(x_0)$ và $F(x_0 - h) < F(x_0)$. Sắp xếp các số hạng của đa thức $F(x_0 \pm h)$ theo bậc $h$, ta thu được hệ:

$$\begin{cases} F(x_0) + h \cdot A(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0. \end{cases}$$

Ở đâu

$$A(x_0) + h \cdot B(x_0) + \dots \\ \dots + h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0, \\ -A(x_0) + h \cdot B(x_0) - \dots \\ \dots + (-1)^n \cdot h^{n-1} \cdot Q(x_0) < 0.$$

Nhưng đối với $h$ nhỏ, dấu của tổng sẽ chỉ phụ thuộc vào $A(x_0)$. Sau đó, từ bất đẳng thức đầu tiên, nó dẫn đến $A(x_0) \leq 0$, và từ bất đẳng thức thứ hai: $A(x_0) \geq 0$. Vì vậy, điều cần thiết là $A(x_0) = 0$.

Fermat cũng đưa ra một phương pháp chung để xác định xem điểm $x_0$ mà tại đó $A(x) = 0$ sẽ là điểm cực đại, cực tiểu hay điểm chuyển tiếp

chức năng uốn cong $y = F(x)$. Theo quan điểm hiện đại, phương pháp này dựa trên việc xem xét tùy ý thứ hai.

Lưu ý rằng tất cả các phương pháp của Fermat đều khá nghiêm ngặt. Sau ông, các nhà toán học đã từ bỏ yêu cầu về tính chính xác và chuyển sang các phép toán không phê phán với các đại lượng vô cùng nhỏ mà họ không biết cách xác định. Các phương pháp chặt chẽ trong phân tích toán học chỉ mới xuất hiện vào đầu thế kỷ trước trong các tác phẩm của Gauss và Cauchy.

Fermat là người đầu tiên nhận ra sự khác biệt giữa bài toán tìm cực trị và bài toán xác định tiếp tuyến. Ông đã đưa ra một phương pháp để tìm cái sau, dựa trên nguyên tắc tương tự như phương pháp cực trị của ông. Bây giờ cả hai phương pháp đều dựa trên việc tìm một phương pháp tùy ý.

Những tiến bộ hơn nữa trong các phương pháp xác định “diện tích”, mặt khác, “tiếp tuyến và cực trị”, bao gồm việc thiết lập mối liên hệ lẫn nhau của chúng. Có gợi ý trên thực tế là Fermat đã biết rằng “bài toán trên diện tích” và “bài toán trên các tiếp tuyến” nghịch đảo lẫn nhau. Nhưng ông chưa bao giờ phát triển khám phá của mình một cách chi tiết. Do đó, một phần của nó, theo quy luật, thuộc về I. Barrow, I. Newton và G. W. Leibnitz, những người đã biến khám phá này thành hiện thực để tạo ra phép tính vi phân và tích phân.

Lý thuyết số

Nếu trong các tác phẩm chúng tôi mô tả Fermat đã khám phá những câu hỏi vốn là tâm điểm chú ý của các nhà toán học khác cùng thời với ông (Kepler, Cavalieri, Torricelli, Blaise Pascal, Wallis), thì trong lý thuyết số, ông là người tiên phong. Không ai trong số những người cùng thời với ông và không ai trong số các nhà toán học sống sau ông cho đến tận Euler hiểu được ý nghĩa của những khoảng trống mà ông nêu ra hoặc mối liên hệ nội tại của chúng.

Hai tác phẩm lớn dành cho các câu hỏi về lý thuyết số vẫn còn từ thời cổ đại: “Nguyên lý” của Euclid

8

(thế kỷ III trước Công nguyên) và “Số học” của Diophantus (có vẻ như là vào giữa thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên). Phần đầu tiên trình bày các phần tử số học của số nguyên, chứng minh tính duy nhất của việc phân tích thành thừa số nguyên tố và tính vô hạn của tập hợp số nguyên tố.

“Số học” của Disfant dường như vẫn là một trong những hiện tượng bí ẩn nhất trong lịch sử khoa học. Về phong cách, nó khác hẳn với các tác phẩm cổ điển của Euclid, Archimedes và Apollo. Nó đưa ra các ký hiệu cho ẩn số và sáu lũy thừa dương và âm đầu tiên của nó; Ngoài ra, các số âm và dấu âm cho chúng, tương ứng với dấu trừ của chúng tôi, đã được giới thiệu ở đó. Với lời giải bài toán “số” được hiểu không phải là số tự nhiên như trước đây mà là bất kỳ số hữu tỉ nào. Trong số 13 cuốn sách tạo nên Số học, có 6 cuốn đã đến tay chúng tôi *). Tất cả chúng đều được kết nối bởi lời giải phương trình vô định với số hữu tỉ dương. Những cuốn sách này không chứa các định lý số theo đúng nghĩa của từ này, nhưng đối với các hạn chế lời giải bài toán đôi khi được áp dụng đối với một số số nguyên nhất định có trong điều kiện bài toán. Về cơ bản, mỗi “ràng buộc” như vậy được biểu diễn bằng một định lý của lý thuyết số.

Trong một thời gian dài, cuốn sách thay thế của Diophantus không được biết đến ở châu Âu. Nhưng vào thế kỷ 16. bản thảo của nó được tìm thấy trong thư viện Batikana và vào cuối thế kỷ đó, bản dịch tiếng Latinh của nó đã được xuất bản (có nhiều “chỗ tối”, vì người dịch không rành về toán học). Năm 1621, một bản dịch mới của Basshe de Meziric được xuất bản, song song với văn bản tiếng Hy Lạp và những bình luận của Basshe. Cuốn sách này đã trở thành hiện thực đối với Fermat. Anh ấy đã đọc nhiều định lý của mình từ đó, những định lý khác được gợi ý cho anh ấy bằng những suy nghĩ về một số bài toán, và anh ấy đã viết ra những suy nghĩ và khám phá của mình bên lề cuốn sách này. Kết quả là tất cả những bình luận này đã được xuất bản *). Chúng tạo thành một phần quan trọng trong di sản của ông về lý thuyết số. Các kết quả khác của ông trong lĩnh vực này đều được viết bằng chữ cái. Nói chung, ông đặt chúng như những vấn đề đối với các nhà toán học khác.

Chính Fermat đã viết: “Số học có lĩnh vực riêng của nó, lý thuyết về số nguyên, lý thuyết này chỉ được Euclid đề cập đến một chút và chưa được những người kế nhiệm ông phát triển đầy đủ (trừ khi nó được chứa đựng trong những cuốn sách của Diophantus mà sự tàn phá của thời gian đã để lại); do đó, các nhà số học phải phát triển hoặc đổi mới nó”.

Mặc dù thiếu bằng chứng (trong đó chỉ có một bằng chứng còn tồn tại), thật khó để đánh giá quá cao tầm quan trọng của công trình của Fermat đối với lý thuyết số. Một mình ông đã tìm cách tách biệt khỏi sự hỗn loạn của bài toán và những câu hỏi cụ thể ngay lập tức nảy sinh trước mắt nhà nghiên cứu khi nghiên cứu các tính chất của số nguyên, những vấn đề đã trở thành trọng tâm của toàn bộ lý thuyết số cổ điển. Ông cũng chịu trách nhiệm khám phá ra một phương pháp tổng quát hiệu quả để chứng minh các mệnh đề lý thuyết số - cái gọi là phương pháp giảm dần không xác định hoặc vô hạn (xem bên dưới). Vì vậy, Fermat có thể được coi là người sáng lập lý thuyết số một cách chính đáng.

Biểu diễn số dưới dạng hình vuông

Fermat đặt ra câu hỏi xác định loại số nguyên được biểu diễn dưới dạng tổng của hai

*) Gần đây, người ta tìm thấy thêm 4 cuốn sách bằng tiếng Ả Rập được cho là của Diophantus.

9

Một trong những bài toán của Diophantus đã dẫn ông tới câu hỏi này. Trong đó đặt ra điều kiện là số $a$ phải thỏa mãn thì mới được biểu diễn bằng công thức (1); những người đồng tác giả, không hiểu ý nghĩa của những điều kiện này, đã sao chép chúng một cách không chính xác. Đến thời Fermat, văn bản đã bị hư hỏng một cách vô vọng và để khôi phục lại nó, ông phải giải quyết bài toán điều răn.

Người đọc có thể dễ dàng chứng minh rằng các số có dạng $4n + 3$ không thể biểu diễn bằng công thức (1). Mặt khác, các số có dạng $4n + 1$ có thể được biểu thị (ví dụ: $5 = 1^2 + 2^2$) hoặc không thể biểu thị (ví dụ: 21). Fermat đồng ý rằng trước tiên chúng ta cần điều tra xem số nguyên tố nào được biểu thị bằng công thức (1). Ông phát hiện ra rằng tất cả các số nguyên tố có dạng $4n + 1$ đều được biểu diễn bằng công thức (1), và hơn nữa, theo một cách duy nhất. (Tuyên bố này sau này được gọi là phần bổ sung đầu tiên cho định luật tương hỗ.) Chứng minh của chính Fermat vẫn chưa đến được với chúng ta. Không ai trong số những người cùng thời với ông có thể xác minh điều đó. Chứng minh đầu tiên chỉ được đưa ra bởi Leonhard Euler.

Sau khi thiết lập định luật biểu diễn các số nguyên tố, Fermat dễ dàng chứng minh rằng số $a$ có thể biểu diễn được bằng công thức (1) khi và chỉ nếu việc phân tích nó thành thừa số nguyên tố không bao gồm bất kỳ số nguyên tố nào có dạng $4n + 3$ ở mức độ lẻ. Chủ đề hướng dẫn cho anh ta là phát biểu cuối cùng của Diophantus rằng tích của hai số được biểu diễn bằng công thức (1) cũng có thể được biểu diễn theo hai cách khác nhau, theo công thức (1):

$$\begin{align*} (x^2 + y^2)(u^2 + v^2) &= (xu + yv)^2 + (xv - yu)^2 \\ &= (xu - yv)^2 + (xv + yu)^2. \end{align*}$$

Từ công thức (1), Fermat chuyển sang xét dạng $x^2 + 2y^2$, $x^2 - 2y^2$, $x^2 + 3y^2$. Ông đã tìm ra loại số nguyên tố có thể được biểu diễn bằng mỗi công thức này. Đối với công thức $x^2 + 2y^2$, đây sẽ là các số nguyên tố có dạng $8n + 1$ và $8n + 3$. Các số nguyên tố có dạng $8n + 5$ và $8n + 7$ không thể được biểu diễn bằng các công thức như vậy. Đề xuất này được gọi là “bổ sung nhiều cho luật có đi có lại.” Nó đã được chứng minh bởi J. L. Lagrange (1736-1813).

Những công trình này của Fermat đã đặt nền móng cho những nghiên cứu thành công của Euler, Lagrange và Legendre. Toàn bộ quá trình phát triển trước đó của vấn đề này đã được tóm tắt bởi Gauss, người vào đầu thế kỷ trước đã tạo ra một lý thuyết hài hòa về dạng bậc hai, tức là dạng có dạng $ax^2 + 2bxy + cy^2$, trong đó $a, b, c$ là số nguyên. Hóa ra câu hỏi về số nguyên tố nào có thể biểu diễn bằng dạng bậc hai có cùng phân biệt $D = ac - b^2$ được giải quyết hoàn toàn bằng cách sử dụng luật tương hỗ bậc hai. Định luật tương hỗ được Euler phát hiện ra, sau đó được Gauss khám phá lại và chứng minh *).

Phương trình Pell $x^2 - Ay^2 = 1$
Phương trình này (trong đó $A$ là số tự nhiên không phải là số chính phương) đã được giải bằng số nguyên vào thời cổ đại. Trong thời hiện đại, chúng bị cấm vào Trang trại **).

Anh ấy đã giải quyết rõ ràng hai câu hỏi liên quan đến nó: tìm lời giải $(x_0, y_0)$ nhỏ nhất, tức là lời giải với $x_0 > 0$ nhỏ nhất và tìm tất cả lời giải bắt đầu từ nhỏ nhất.

Vào tháng 2 năm 1657, trong một bức thư gửi các nhà toán học người Anh, được gọi là “thử thách thứ hai” (“thử thách đầu tiên”), ông được cử sang Anh

*) «Kvant», 1973, số 1 và 1974, số 5, tr. 30.
**) Cái tên “Phương trình Pell” thuộc về Euler. Lịch sử sẽ là một cái tên hợp lý cho phương trình Fermat.

10

vào tháng 1 cùng năm), Fermat đề xuất chứng minh rằng phương trình Pell có vô số lời giải. Ông cũng đề xuất giải nó cho $A$ bằng 109, 149 và 433. lời giải nhỏ nhất của phương trình Pell cho các giá trị $A$ như vậy là quá lớn để có thể tìm thấy bằng cách chọn lọc.

Những thách thức toán học vào thời điểm đó đóng vai trò rất quan trọng trong việc duy trì một phần của Đức Quốc xã. Vì vậy, ở cuối “thử thách đầu tiên” Fermat đã viết:

“Tôi đang chờ lời giải những câu hỏi này; nếu nó không được đưa ra bởi Anglia, Bỉ hoặc Celtic Galley, thì nó sẽ được thực hiện bởi Narbonentic Galley…”

Nhà toán học người Anh Lord Brounker là người đầu tiên đưa ra ý tưởng rằng để tìm lời giải nhỏ nhất của phương trình Pell, cần phải khai triển $\sqrt{A}$ thành một phân số liên tục của nó *). Phương trình này sau đó được sử dụng bởi L. Euler, người nhận ra rằng lời giải của Broncker dựa trên tính tuần hoàn của phân số liên tục đối với $\sqrt{A}$. Bằng chứng đầy đủ về thực tế này và phân tích cuối cùng về phương trình Pell thuộc về J. L. Lagrange.

Định lý nhỏ Fermat

Trong một lá thư gửi Frenicle de Bessy ngày 18 tháng 10 năm 1640, Fermat đã phát biểu như sau: nếu số $a$ không chia hết cho số nguyên tố $p$ thì tồn tại số mũ $\lambda$ sao cho $a^{\lambda} - 1$ chia hết cho $p$, với $\lambda$ là ước số của số đó $p - 1$. Đặc biệt, $a^{p-1} - 1$ luôn chia hết cho $p$. Tuyên bố này được gọi là định lý nhỏ của Fermat. Nó là nền tảng trong mọi lý thuyết số cơ bản.

Euler đã đưa ra định lý này bằng nhiều cách chứng minh khác nhau. Hơn nữa, Euler đã khái quát hóa định lý nhỏ cho trường hợp số $p$ là

*) «Kvant», 1970, số 1 và số 8.

*) «Kvant», 1972, № 10.

11

bre. Điểm khác biệt duy nhất là vấn đề cuối cùng này đã được E. Galois giải quyết và Định lý lớn vẫn thúc đẩy các nhà toán học nghiên cứu mới.

Mặt khác, sự đơn giản trong cách phát biểu của định lý này và những từ ngữ bí ẩn về “bằng chứng kỳ diệu” của nó đã dẫn đến sự phổ biến rộng rãi của định lý này đối với những người không phải là nhà toán học và dẫn đến sự hình thành toàn bộ một tập đoàn “Fermatist”, mà theo G. Davenport, “sự lố bịch của họ vượt xa đáng kể khả năng toán học của họ”. Định lý lớn của Pozny đứng đầu về số lượng chứng minh sai được đưa ra.

Chính Fermat đã để lại một chứng minh Định lý cuối cùng cho bốn lũy thừa.

Trong chứng minh của mình, Fermat đã sử dụng “phương pháp giảm vô hạn hoặc vô hạn”. Ông mô tả phương pháp này trong một bức thư gửi Karkavi (tháng 8 năm 1659) như sau:

“Nếu có một tam giác vuông nào đó vì mục đích số học, có diện tích bằng hình vuông, thì sẽ có một tam giác khác, nhỏ hơn tam giác này, có cùng tính chất. Nếu có tam giác thứ hai, nhỏ hơn tam giác thứ nhất, có cùng tính chất, thì, nhờ lý luận tương tự, sẽ tồn tại tam giác thứ ba, nhỏ hơn tam giác thứ hai, có cùng tính chất, và cuối cùng, thứ tư, thứ năm, giảm dần đến vô cùng. Nhưng, nếu một số được cho trước, thì không có vô hạn trong sự giảm dần của các số nhỏ hơn (tôi luôn muốn nói đến các số nguyên *). Do đó, không có tam giác vuông nào có diện tích hình vuông.”

Chính bằng phương pháp này mà nhiều mệnh đề của lý thuyết số đã được chứng minh.

Đặc biệt, với sự giúp đỡ của nó, Leonard Euler đã đưa ra một chứng minh mới

*) Khi nói “số nguyên”, Fermat muốn nói đến “số nguyên dương”.

Định lý vĩ đại cho $n=4$ và 20 năm sau cho $n=3$. Thực tế là ông chỉ xem xét bằng chứng cuối cùng với sự trợ giúp của những ý tưởng hoàn toàn mới, cụ thể là khái quát hóa khái niệm số nguyên. Chúng ta đã quen với việc chỉ liên kết khái niệm này với các số tự nhiên, nhưng hóa ra có những thấu kính toán học khác hoạt động giống như số nguyên. Trong số những đối tượng này, người ta có thể phân biệt “số nguyên tố” và phát triển các đối số tương tự như đối số thông thường. Những con số như vậy ngày nay được gọi là “số nguyên đại số”. Vào thế kỷ trước, E. Kummer, khi nghiên cứu Định lý lớn, đã xây dựng các lập luận cho các số nguyên đại số thuộc một loại nhất định. Điều này cho phép ông chứng minh Định lý lớn cho một lớp số mũ nguyên tố nhất định $n$. Hiện tại, tính hợp lệ của Định lý lớn đã được xác minh cho tất cả các số mũ $n \leq 5500$.

Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng Định lý lớn không chỉ được kết nối với lý thuyết đại số mà còn với hình học đại số, hiện đang được phát triển theo cách tích hợp *).

Trong bức thư gửi Carcavi, người sau cái chết của Mersenne đã thay thế ông trong nhóm các nhà toán học Paryazh, Fermat viết:

“Có lẽ hậu thế sẽ công nhận tôi vì đã cho ông ấy thấy rằng Người xưa không biết tất cả mọi thứ, và điều này có thể khiến những người theo sau tôi nhận thức được truyền thống lampadis ad filios**), như Thủ tướng vĩ đại của nước Anh *** đã nói), theo cảm nhận và phương châm mà tôi sẽ thêm vào: Multi pertransibunt et augebitur scientia ****.”

Bức thư này được gọi là “Di chúc của Fermat”.

*) «Kvant», 1972, № 8.
**) Truyền đuốc cho con cháu.
***) Đó là Francis Bacon.
****) Nhiều người sẽ đến và đi, nhưng khoa học sẽ ngày càng phong phú hơn.

12

Tất nhiên, tất cả các bạn đều đã nghe nói về Định lý cuối cùng của Fermat; nó được ông xây dựng cho các số tự nhiên. Bài viết này chứng minh định lý Fermat cho đa thức. Bài viết này là khó khăn. Một số dữ kiện được sử dụng trong đó nằm ngoài phạm vi chương trình giảng dạy của trường. Bạn đọc quan tâm sẽ tìm thấy mọi thứ mình cần trong cuốn sách “Toán học là gì” của P. Kurat và G. Robbins hoặc trong tập thứ hai của “Bách khoa toàn thư về toán tiểu học”.

Sản xuất bài toán

Giả định được Fermat đưa ra là phương trình $x^n + y^n = z^n$ với $n > 2$ không có lời giải trong số tự nhiên. Một bằng chứng về giả định này cho trường hợp tổng quát vẫn chưa được tìm thấy.

Tuy nhiên, hóa ra là nếu chúng ta thay thế các số tự nhiên $x$, $y$ và $z$ bằng đa thức trong một biến $t$: $x(t), y(t), z(t)$ - và viết phương trình

$$[x(t)]^n + [y(t)]^n = [z(t)]^n,$$

(một định lý tương tự đã được chứng minh).

Hãy để chúng tôi làm rõ tuyên bố bài toán. Trước hết, chúng ta lưu ý rằng các đa thức $x(t), y(t)$ và $z(t)$ thỏa mãn phương trình (1) khi và chỉ khi các đa thức $p(t) \cdot x(t), p(t) \cdot y(t)$ và $p(t) \cdot z(t)$ thỏa mãn phương trình (ở đây $p(t)$ là một đa thức khác 0 tùy ý). Do đó, chỉ cần chứng minh rằng không có bộ ba đa thức nguyên tố cùng nhau là đủ. Các đa thức được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng không có ước số chung nào khác ngoài hằng số (hằng số là đa thức bậc 0). Ngoài ra, tất nhiên, chúng ta phải loại trừ số tầm thường lời giải: bộ ba đa thức bậc 0, vì với mọi $a$ và $b$ bộ ba

$$x(t) = a, y(t) = b, z(t) = \sqrt[n]{a^n + b^n},$$

hiển nhiên là nghiệm của phương trình Fermat.

Nhân tiện, tại $n = 1$ phương trình (1) có lời giải hướng $x(t) = t, y(t) = t + 1, z(t) = 2t + 1$.

Nó có lời giải cũng ở $n = 2$. Dễ dàng kiểm tra chỉ đường; thật là ba

$$x(t) = t^2 - 1, y(t) = 2t, z(t) = t^2 + 1$$

là nghiệm của phương trình

$$[x(t)]^2 + [y(t)]^2 = [z(t)]^2.$$

Mục đích của bài viết là chứng minh một dạng tương tự của Định lý cuối cùng của Fermat cho đa thức:

Với $n > 2$ không có ba đa thức nguyên tố cùng nhau $x(t),$

14

Chúng ta hãy chia chứng minh của chúng ta thành nhiều giai đoạn.

1. Từ điều kiện $1^\circ - 3^\circ$ suy ra rằng cứ hai đa thức $x, y, z$ đều có thể được đánh thức. Thật vậy, chẳng hạn, nếu $x$ và $y$ có ước chung $d$ thì $z^n$ chia hết cho $d^n$, và $z$ chia hết cho $d$, tức là $d$ là đa thức chung của các đa thức $x, y$ và $z$. Điều này mâu thuẫn với điều kiện $1^\circ$.

2. Gọi $m$ là bậc cao nhất của đa thức $x, y, z$ (theo điều kiện $3^m > 0$). Chúng ta có thể giả sử rằng bậc $m$ có đa thức $z$. Thật vậy, nếu muốn, phương trình ban đầu có thể được đối xứng với $x, y, z$: cần thay thế $z$ bằng $\varepsilon z$, trong đó $\varepsilon$ là số phức, lũy thừa thứ $n$ của nó bằng $-1: \varepsilon^n = -1$. chúng tôi nhận được

$$x^n + y^n + z^n = 0.$$

3. Đặt $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ là tất cả các nghiệm riêng biệt của bậc $n$ của số $-1$. Chúng ta thu được thực tế là mọi số phức khác 0 đều có chính xác $n$ nghiệm khác nhau ở bậc $n$ (xem điểm 1*). Khi đó đa thức $x^n + y^n$ được phân tích thành đa thức

$$x^n + y^n = (x - \varepsilon_1 y) (x - \varepsilon_2 y) \cdot \dots \cdot (x - \varepsilon_n y).$$

Để chứng minh, bạn có thể xây dựng nó như sau: lấy đa thức $u^n + 1$, gốc của nó là các số $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$, phân tách nó thành các đa thức: $u^n + 1 = (u - \varepsilon_1) \cdot (u - \varepsilon_2) \cdot \dots \cdot (u - \varepsilon_n)$ (mục 2*), sau đó thay $u$ cùng với phân số $\frac{x}{y}$ và loại bỏ mẫu số.

4. Đa thức $x - \varepsilon_i y$ được đánh thức lẫn nhau theo cặp. Thật vậy, nếu đa thức không cố định $d$ là ước chung của các đa thức $x - \varepsilon_i y$ và $x - \varepsilon_j y$ ($i \neq k$), thì hiệu của các đa thức này, bằng $(\varepsilon_h - \varepsilon_i) y$, cũng sẽ chia hết cho $d$, và do đó đa thức $y$ sẽ chia hết cho $d$ (được giới thiệu $\varepsilon_h - \varepsilon_i$ là một hằng số khác 0). Khi đó đa thức $x = (x - \varepsilon_i y) + \varepsilon_j y$ sẽ chia hết cho đa thức $d$, điều này mâu thuẫn với tính nguyên tố lẫn nhau của $x$ và $y$ (mục 1).

5. Nếu tích được mở rộng lẫn nhau theo cặp thì mỗi hai đa thức là ước chung của $d$, thì $z^n$ chia hết cho $d^n$, và $z$ chia hết cho $d$, tức là $d$ là đa thức chung của các đa thức $x, y$ và $z$. Điều này mâu thuẫn với điều kiện $1^\circ$.

Chúng tôi cung cấp bằng chứng về điểm 5 trong phần bổ sung quy chế.

6. Vì $x^n + y^n = (x - \varepsilon_i y) \times (x - \varepsilon_2 y) \dots (x - \varepsilon_n y) = z^n$ và đa thức $x - \varepsilon_i y$ là cặp đôi cùng thịnh vượng nên mỗi đa thức $x - \varepsilon_i y$ là bậc $n$ của đa thức. Đặt $x - \varepsilon_i y = u_i^n$, trong đó $u_i$ là đa thức. Chúng ta hãy biểu thị bậc của đa thức $u_i$ bằng $m_i$.

Chúng ta hãy chọn trong số các đa thức $u_i$ cái có đa thức nhất $u_1$. Chúng ta sẽ giả sử rằng đa thức $u_1$ có ​​đa thức lớn nhất.

7. $m_1 < m$.

Thật vậy, hiển nhiên là $m_1 \leq m$ (hãy nhớ rằng $m$ là lũy thừa của $z$). Nếu đẳng thức $m_1 = m$ được giữ nguyên thì tất cả các đa thức khác $x - \varepsilon_i y$ cho $i > 1$ đều là hằng số. Hãy lấy $x - \varepsilon_2 y$ và $x - \varepsilon_3 y$ (điều này có thể xảy ra - xét cho cùng, $n \geq 3$). Nếu $x - \varepsilon_2 y = A$, $x - \varepsilon_3 y = B$ thì

$$(B - A) x - (B \varepsilon_2 - A \varepsilon_3) y = 0,$$

tức là $x = Cy$ (đầu vào $A \neq B$ là bằng chứng) và điều này mâu thuẫn với tính nguyên tố lẫn nhau của $x$ và $y$.

Cũng lưu ý rằng $m_1 > 0$, tức là $u_1$, không phải là hằng số.

Chúng ta muốn chuyển từ đa thức $x, y, z$ sang đa thức tối không có đa thức chung, thỏa mãn Fermat và có bậc tối đa nhỏ hơn $m$. Hãy chứng minh rằng các đa thức $u_1, u_2$ và $u_3$ (xem Phần 6) nhân với một số hằng số có thể được coi là những đa thức như vậy.

15

8. Chúng tôi có:

$$\begin{cases} x - \varepsilon_1 y = u_1^n, \\ x - \varepsilon_2 y = u_2^n, \\ x - \varepsilon_3 y = u_3^n. \end{cases}$$

Chúng ta hãy chọn ba số $c_1, c_2, c_3$ (không phải tất cả đều bằng 0) để khi cộng các đẳng thức này với hệ số $c_1, c_2, c_3$ thì phần nằm bằng 0. Rõ ràng là để làm được điều này cần phải thực thi hệ thống

$$\begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 0, \\ c_1 \varepsilon_1 + c_2 \varepsilon_2 + c_3 \varepsilon_3 = 0. \end{cases}$$

Có thể dễ dàng tìm thấy ít nhất một lời giải khác 0 - ví dụ: đặt $c_3 = 1$ và giải hệ hai phương trình có hai ẩn số. Hãy tự mình thực hiện phép tính này.

Tìm $c_1, c_2$ và $c_3$ ta có

$$c_1 u_1^n + c_2 u_2^n + c_3 u_3^n = 0.$$

《Điều khiển》 các hệ số theo lũy thừa $n$, chúng ta có:

$$\left[ \sqrt[n]{c_1} u_1 \right]^n + \left[ \sqrt[n]{c_2} u_2 \right]^n = \left[ \sqrt[n]{c_3} u_3 \right]^n.$$

Thật dễ dàng để xác minh rằng ba đa thức mới thỏa mãn các điều kiện tương tự như $x, y, z$. Đồng thời, mức độ của họ giảm nhiều nhất (trong khi vẫn giữ nguyên số dương).

Phương pháp chứng minh của chúng tôi, do Fermat phát minh, được gọi là phương pháp “giảm dần vô hạn”. Thật không may, phương pháp này không có tác dụng chứng minh tính không giải được của phương trình Fermat trong các số tự nhiên, vì định lý về tính duy nhất của sự phân tích thành các đa thức đơn giản không áp dụng được cho các số có dạng $x - \varepsilon_i y$, trong đó $x$ và $y$ là số nguyên (xem đoạn 3*, trang 13). Việc nghiên cứu câu hỏi thú vị này được thực hiện bởi “số học cao hơn” - lý thuyết về số đại số - một lĩnh vực toán học hiện đang phát triển tích cực.

Thêm vào

A. Chúng ta hãy chứng minh mệnh đề được nêu trong đoạn 3* của bài viết (xem trang 13), nghĩa là, chúng ta chứng minh rằng bất kỳ đa thức nào cũng có thể được phân tách duy nhất thành tích của các đa thức tối giản (theo thứ tự của các đa thức và lên đến các đa thức, là một hằng số). (Đa thức tối giản là dạng tương tự của số nguyên tố trong đa thức các số tự nhiên: đa thức $q$ được gọi là tối giản nếu nó không thể phân tích thành tích các đa thức có bậc khác 0 khác $q$.)

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng mọi đa thức đều có thể khai triển thành tích của các bất khả quy. Thật vậy, nếu $Q$ là khả quy thì $Q = Q_1 \cdot G_2$, trong đó $G_1$ và $G_2$ là một số đa thức. Nếu $G_1$ và $G_2$ là không thể tối giản thì thu được sự phân rã cần thiết; nếu bất kỳ $G_i$ ($i=1, 2$) nào có thể rút gọn được thì $G_i = S_1^{(i)} \cdot S_2^{(i)}$, v.v. Rõ ràng là quá trình này sẽ kết thúc sau một số hữu hạn bước, vì bậc của đa thức $Q$ là hữu hạn. Do đó, chúng ta thu được sự phân rã của một đa thức thành tích của các hàm bất khả quy.

Và bây giờ chúng ta muốn chứng minh rằng nếu đối với các đa thức tối giản, chúng ta thỏa mãn đẳng thức $p_1 \cdot p_2 \dots p_l = q_1 \cdot q_2 \dots q_s$, thì $l = s$, và với mỗi i có một $k$ sao cho $q_i = c \cdot p_k$. Để làm điều này, chúng ta cần phát biểu sau: nếu tích $u \cdot v$ của hai đa thức $u$ và $v$ chia hết cho một đa thức tối giản $q$, thì bất kỳ $u, v$ nào cũng chia hết cho $q$. Chúng ta hãy chia đa thức $u$ và $v$ cho đa thức $q$ có ​​phần dư (thuật toán leo Euclide). Chúng ta nhận được phần còn lại của đa thức $u$ và $v$, bậc của mỗi đa thức nhỏ hơn bậc của đa thức $q$ và tích $u \cdot v$ chia hết cho $q$. Ta cần chứng minh rằng mọi $u = 0$ (khi đó $u$ chia hết cho $q$), mọi $v = 0$ (khi đó $v$ chia hết cho $q$). Chúng ta hãy chứng minh nhận định này bằng phương pháp quy nạp toán học (theo bậc của đa thức $q$).

Cơ sở cảm ứng. Bậc tối thiểu của đa thức tối giản không cố định là 1. Giả sử $q$ là một đa thức tuyến tính. Sau đó, nếu không phải $u \neq 0$ hay $v \neq 0$ thì $u = \text{const}$ và $v = \text{const}$. Nhưng khi đó $u \cdot v$ cũng là một hằng số, và do đó $u \cdot v$ không thể chia cho $q$. Do đó, phát biểu đúng với đa thức tuyến tính tối giản.

Bước cảm ứng. Giả sử rằng mệnh đề đúng với mọi đa thức tối giản có bậc nhỏ hơn bậc của đa thức $q$. Hãy chứng minh điều đó cho đa thức $q$. Giả sử rằng $u \cdot v \neq 0$. Vì $u \cdot v$ chia hết cho $q$ nên chúng ta có: $u \cdot v = q \cdot q$, $q \neq 0$ và bậc của đa thức $q$ hoàn toàn nhỏ hơn bậc của đa thức $q$ (vì bậc của tích $u \cdot v$ nhỏ hơn bậc của đa thức $q$). Hãy mở rộng $q$

trong tích của đa thức tối giản:
$$\bar{q} = \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s.$$
Bậc của mỗi đa thức $q_i$ nhỏ hơn bậc của đa thức $q$. Sau đó $\bar{u} \cdot \bar{v} = q \cdot \bar{q}_1 \cdot \dots \cdot \bar{q}_s$. Bằng quy nạp, nếu $\bar{u} \cdot \bar{v}$ chia hết cho $\bar{q}_i$ (với mỗi $i$), thì $\bar{u}$ hoặc $\bar{v}$ chia hết cho $\bar{q}_i$. Hủy liên tiếp tích $u \cdot v$ bằng $\bar{q}_1, \dots, \bar{q}_i$, chúng ta thu được đẳng thức $\tilde{u} \cdot \tilde{v} = q$ ($\tilde{u}$ và $\tilde{v}$ là các đa thức thu được từ $u$ và $v$ bằng cách rút gọn tương ứng các đa thức $\bar{q}_i$). Nhưng $q$ là một đa thức tối giản, nên $\tilde{u} = c \cdot q$ hoặc $\tilde{v} = c \cdot q$. Tuy nhiên, những đẳng thức này không thể được thỏa mãn (do bậc của đa thức đang xét). Do đó, giả định rằng $\bar{u} \cdot \tilde{v} \neq 0$, tức là $\bar{q} \neq 0$, là không chính xác; điều này có nghĩa là $\bar{u} = 0$ hoặc $\tilde{v} = 0$ và tuyên bố đã được chứng minh.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh tính duy nhất của khai triển thành tích của các đa thức tối giản. Chúng tôi có:

$$p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_l = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_s.$$
Đặt $u = p_1$, $v = p_2 \cdot \dots \cdot p_l$, chúng ta thu được rằng $u$ chia hết cho $q_1$, và sau đó $p_1 = cq_1$, vì $p_1$ là tối giản; hoặc $v$ được chia cho $q_1$. Trong trường hợp thứ hai, chúng tôi đặt $p_2 = u_1$ và $p_3 \cdot \dots \cdot p_l = v_1$; chúng tôi thấy rằng $p_2 = c \cdot q_1$ hoặc $p_3 \cdot \dots \cdot p_l$ chia hết cho $q_1$, v.v. cho đến khi chúng tôi tìm thấy số $i$ mà $p_i = c \cdot q_1$. Làm tương tự với $q_2$, chúng ta tìm thấy $k$ sao cho $p_k = c \cdot q_2$, v.v., cho tất cả $m = 1, \dots, s$. Từ đây chúng ta cũng thu được $l = s$ đó.

B. Hãy chứng minh rằng nếu tích của các đa thức xen kẽ từng cặp $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k$ bằng bậc $n$ của một số đa thức $q$: $p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_k = q^n$, thì mỗi đa thức là bậc $n$ của một số đa thức $f_i : p_i = f_i^n$.

Ta hãy phân tích đa thức $q$ thành các đa thức không dẫn được: $q = q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_m$. Sau đó $q^n = q_1^n \cdot q_2^n \cdot \dots \cdot q_m^n$. Lấy đa thức $p_1$ và đặt $p_{11}$ là đa thức tối giản được đưa vào khai triển của nó. Do tính duy nhất của việc phân tích thành các đa thức tối giản nên $p_{11}$ trùng với một số đa thức $q_l$, tức là đa thức $p_1$ chia hết cho $q_l$. Nhưng các đa thức $p_i$, trong đó $i \neq 1$, không chia hết cho $q_l$ (vì $p_1, \dots, p_k$ là các đa thức ghép đôi), và khi đó đa thức $p_1$ cũng chia hết cho $q_l^n$, tức là $p_1 = q_l^n \cdot \bar{p}_1$. Áp dụng lý luận tương tự cho đa thức $\bar{p}_1$, chúng ta thấy rằng $p_1 = q_l^n \cdot q_s^n \cdot \dots \cdot q_r^n = f_i^n$, trong đó $f_1 = q_l \cdot q_s \cdot \dots \cdot q_r$. Chúng ta sẽ làm tương tự với các đa thức còn lại $p_i$; $i \neq 1$.

Bài toán
của chúng tôi
độc giả

1. Cho một tam giác $ABC$ có cạnh $a, b, c$ và các đường trung tuyến $m_a, m_b, m_c$. Chứng minh sự bình đẳng của cô ấy

a) $\frac{m_a^2}{a^2} + \frac{m_b^2}{b^2} + \frac{m_c^2}{c^2} \geq \frac{9}{4}$;

b) $\frac{m_a}{a} + \frac{m_b}{b} + \frac{m_c}{c} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Khi nào sự bình đẳng đạt được trong những bất bình đẳng này?

2. Cho một tứ giác lồi tùy ý $ABCD$ (có thể suy biến - hai đỉnh của nó có thể trùng nhau). Điểm $P, K, S, N$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB, BC, CD, DA$. Hãy để $(AK) \cap (BN) = L; (KD) \cap (NC) = M; (PC) \cap (BS) = Q; (AS) \cap (PD) = T$. Chứng minh rằng

a) $\frac{S_{KMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{3}$;

b) $\frac{1}{3} \leq \frac{S_{KMN} + S_{PQST}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{2}$.

3. Lại $ABCD$ là một tứ giác lồi tùy ý, các điểm $E, F, G, H$ lần lượt là trung điểm của cạnh $AB, BC, CD, DA$. Hãy biểu thị nó bằng $(AF) \cap (BG) = K; (BG) \cap (CH) = L; (CH) \cap (DE) = M; (DE) \cap (AF) = N$. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{6} \leq \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} \leq \frac{1}{5}.$$

V. Matizen
(Novosibirsk)

17

Lịch sử của định luật khúc xạ Nhật Bản trải dài gần hai nghìn năm. Tất cả những “công cụ” cần thiết để khám phá định luật đều có trong lĩnh vực của các nhà khoa học cổ đại. Như vậy, Claudius Ptolemy (thế kỷ thứ 2 sau Công Nguyên) đã thực nghiệm thu được các giá trị khá chính xác về góc tới và góc khúc xạ của ánh sáng. Ông cũng biên soạn các bảng giá trị đầu tiên của các hàm lượng giác. Nhưng Ptolemy đã cố gắng thiết lập một khuôn mẫu tương ứng giữa góc tới và góc khúc xạ mà không đồng ý thay thế các góc bằng hàm lượng giác của chúng.

Trong những thế kỷ tiếp theo, cho đến thế kỷ 17, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu hiện tượng khúc xạ ánh sáng. Trong số những người bình thường có nhà quang học thời trung cổ vĩ đại nhất Ibn al-Khaitan (Alhazen), và người tạo ra cơ học thiên thể, Kepler vĩ đại. Tuy nhiên, không ai trong số họ có thể thiết lập được định luật khúc xạ ánh sáng.

…Năm 1637, Viện trưởng Mersenne gửi cho Pierre Fermat những chương đầu tiên trong chuyên luận “Dioptrics” của Descartes để Fermat bày tỏ quan điểm của mình về tác phẩm này. Một trong những chương được dành cho định luật phản xạ và khúc xạ.

Descartes xét chuyển động của một quả bóng được ném theo một góc lên một tấm lưới được căng lỏng. Nếu bóng xuyên qua lưới, hướng chuyển động của nó sẽ thay đổi. Sử dụng các thông điệp hình học đơn giản, Descartes thu được sự tương ứng giữa các hàm lượng giác của góc tới và góc khúc xạ của một quả bóng:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \text{const.}$$

Và sau đó, không cần biện minh gì, anh ta sẽ kiểm tra lại điều kiện này trong trường hợp ánh sáng truyền đi khi nó đi qua ranh giới của hai môi trường*. Vào thời Descartes, người ta tin rằng một môi trường đậm đặc hơn luôn khúc xạ ánh sáng, và để tính đến kết quả lý thuyết của ông với thực tế này, Descartes đã kết luận rằng tốc độ ánh sáng trong môi trường đậm đặc hơn sẽ lớn hơn trong môi trường kém đậm đặc hơn (điều này, tất nhiên, không đúng!). Phải nói rằng mọi lý luận vật lý của Descartes đều rất thấp, không thể hiểu được Descartes gọi ánh sáng là gì.

Fermat gửi bài đánh giá về Dioptrics cho Mersenne. Trong đó, ông chủ yếu đưa ra hai nhận xét liên quan đến nguồn gốc của định luật khúc xạ. Fermat coi hành vi này là hành vi chuyển nhượng tài sản trái pháp luật

*) Trước Descartes, định luật khúc xạ được phát hiện bởi nhà vật lý, toán học và thiên văn học người Hà Lan Snellaus. Tuy nhiên, ông không công bố kết quả của mình ở bất cứ đâu.

18

Kết hôn với thân xác bị bỏ rơi để truyền bá ánh sáng. Theo Fermat, thậm chí còn ít hợp lý hơn khi khẳng định rằng ánh sáng sẽ truyền trong môi trường đậm đặc hơn với tốc độ cao hơn trong môi trường ít đậm đặc hơn. Từ tất cả những điều này, Fermat kết luận rằng công thức định luật lan truyền do Descartes đưa ra là không đúng.

Mersenne chuyển tiếp nhận xét của Fermat cho Descartes. Để Descartes cảm nhận được uy quyền của lời giải, tác phẩm mà ông không quen thuộc, Mersenne cũng gửi kèm trong thư tác phẩm của Fermat “Về phương pháp tìm ra nhiều giá trị nhất”. Đây là lĩnh vực toán học mà Descartes đã có những kết quả đáng kể và tự coi mình là người tiên phong.

Đáp số Descartes ở lời giải là khắc nghiệt và không công bằng về nhiều mặt. Sau khi trao đổi vài lá thư, mỗi bên vẫn chưa bị thuyết phục và cuộc thảo luận chuyển sang phương pháp tìm ra giá trị lớn nhất và nhiều nhất.

Fermat quay trở lại vấn đề quang học chỉ 20 năm sau, sau cái chết của Descartes. Động lực cho một số ý tưởng mới về cách thiết lập định luật truyền lan là cuốn sách về quang học của người bạn Curau de la Chambre của ông. Cuốn sách này trình bày những kết luận về định luật phản xạ ánh sáng dựa trên “sự thừa nhận con đường ngắn nhất” do nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Heron (thế kỷ 1 sau Công nguyên) đưa ra.

Trong chuyên luận “Catoptrics” của mình, Heron, khi xem xét sự phản xạ của ánh sáng từ gương phẳng và gương cầu, đã đưa ra nhận xét sau: ánh sáng bị phản xạ theo cách sao cho đường đi của tia sáng đi từ một điểm nhất định và phản xạ tới một điểm nhất định là tối thiểu.

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ánh sáng không tuân theo nguyên tắc này. Đặc biệt, khi ánh sáng truyền trong một môi trường không đồng nhất, đường đi của ánh sáng từ điểm này đến điểm khác không hề nhỏ.

Sau khi học lại định luật Nhật Bản, Fermat quyết định thử hình dung nguyên lý Heron. Ý tưởng chính của nó là như sau. Những đường đi “ngắn nhất” được ánh sáng chọn phải được hiểu là những đường đi “dễ nhất”, là những đường đi mà ánh sáng trải qua ít “thể thao” nhất từ ​​môi trường mà nó truyền đi. Fermat đã không đưa ra lời giải thích vật lý rõ ràng cho “môn thể thao” này. Thực tế là ông coi sự truyền ánh sáng là tức thời. Sự ra đời của khái niệm “thể thao” chắc chắn đã gợi lên ý tưởng về sự lan tỏa của ánh sáng theo thời gian. Tất nhiên, Fermat hiểu điều này, nhưng ông chủ yếu phát biểu với tư cách là một nhà toán học. Và để bỏ qua câu hỏi này bằng những suy đoán mơ hồ về “sự ác cảm” của ánh sáng đối với vật chất, Fermat chuyển sang một công thức toán học thuần túy của bài toán.

Cho một tia sáng đi từ điểm A trong môi trường I (Hình 1) tới điểm B trong môi trường II. Tất nhiên, đường đi ngắn nhất giữa các điểm này là đường thẳng AB. Trong trường hợp này, ánh sáng sẽ đi qua ranh giới của phương tiện tại điểm D. Nhưng nếu “thể thao” của phương tiện I và II khác nhau thì đường đi của ADB có thể không phải là con đường dễ dàng nhất cho ánh sáng.

Ví dụ, giả sử cường độ tác dụng của môi trường I lên ánh sáng trên một đơn vị đường đi bằng r, cường độ tác dụng bởi môi trường II bằng

20

sự mơ hồ của khái niệm “sức cản”, sự mơ hồ hoàn toàn trong vấn đề truyền ánh sáng theo thời gian. Nhưng chúng tôi muốn nhấn mạnh một lần nữa rằng Fermat đã xem xét những câu hỏi này với những ngón tay bị bó buộc, chỉ quan tâm đến khía cạnh toán học của vấn đề.

Chẳng bao lâu sau, những lời chỉ trích gay gắt về nguyên lý Fermat bắt đầu dịu đi. Chính Huygens, sau khi lặp lại các tính toán của Fermat và bị thuyết phục về tính hoàn hảo của chúng, đã tin vào nguyên lý này đến mức ông đã sử dụng “hiện tượng Fermat” tuyệt vời này khi tạo ra lý thuyết sóng của ánh sáng.

Hầu như tất cả sự phát triển tiếp theo của quang học tia và sự xây dựng quang học sóng theo cách này hay cách khác đều có liên quan đến nguyên lý Fermat. Khi dữ liệu thực nghiệm và lý thuyết được tích lũy, công thức của nó đã được cải tiến và sửa đổi. Việc thiết lập sự phụ thuộc của tốc độ truyền ánh sáng vào mật độ của môi trường giúp bộc lộ ý nghĩa của hằng số trong định luật khai triển:

$$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = n = \frac{v_1}{v_2},$$

trong đó $n = v_1/v_2$ là chỉ số giãn nở tương đối, bằng tỷ số giữa tốc độ ánh sáng trong môi trường I và II (xem Hình 1). Điều này loại bỏ sự mơ hồ liên quan đến khái niệm lực cản và cho phép chúng ta thực hiện bước tiếp theo trong việc xác định đường đi của ánh sáng: những đường đi “dễ nhất” nên được hiểu là những đường mà ánh sáng mất ít thời gian nhất để truyền đi. Tuy nhiên, trong một số trường hợp (một phần khi bị phản xạ từ gương sóng), ánh sáng rõ ràng “ưa thích” những đường đi mất nhiều thời gian nhất…

Cuối cùng, nguyên lý Fermat đã đưa ra một công thức tổng quát hơn công thức do chính Fermat đưa ra: ánh sáng sẽ truyền dọc theo một đường có độ dài quang học cực đại, nghĩa là nó là cực đại của tất cả các khả năng có thể, hoặc cực tiểu, hoặc không đổi.

Độ dài đường quang trong trường hợp môi trường đồng nhất là tích của độ dài đường hình học $s$ và chỉ số tuyệt đối về độ lấp đầy của chất: $l = ns$. Nếu môi trường kém thì độ dài đường quang sẽ bằng tổng độ dài quang trong các phần khác nhau mà chỉ báo lấp đầy được vẽ trên đồ thị.

Nguyên lý Fermat hóa ra là nguyên lý cực trị đầu tiên được hình thành một cách rõ ràng và có ý thức, hay chính xác hơn là nguyên lý biến phân.

Vào cuối thế kỷ 18, I. Bernoulli, sử dụng nguyên lý Fermat, đã quyết định bài toán về brachistochrone - đường cong đi xuống ngắn nhất. (Chúng tôi đã nói về điều này trong số thứ 12 của tạp chí năm 1975.) Maupertion và Euler vào thế kỷ 18, bắt đầu từ cùng nguyên lý Fermat, đã phát hiện ra nguyên lý dao động trong cơ học. Hamilton vào thế kỷ 19 đã tạo ra một nguyên lý dao động tổng quát cho cả cơ học và quang học. Lý thuyết hiện đại về cơ học lượng tử dựa trên nguyên lý Hamilton. Do đó, nguyên lý Fermat là người sáng lập ra cả một nhóm nguyên lý biến phân trong vật lý, và ảnh hưởng của ông có thể bắt nguồn từ ngày nay.

Và để kết luận, chúng tôi khuyên bạn nên thử, dựa trên nguyên lý Fermat, rút ​​ra các định luật phản xạ và giãn nở của ánh sáng.

21

Lorenzo Romano Amedeo Carlo Avogadro di Quaregna Eddie Cerreto sinh ngày 9 tháng 8 năm 1776 tại Turin, thủ phủ của tỉnh Ý. Piedmont trong gia đình sĩ quan tư pháp Filipto Avogadro. Amedeo là con thứ ba trong số tất cả trẻ em. Từ thế kỷ 12, tổ tiên của ông đã là luật sư phục vụ Giáo hội Công giáo, và theo truyền thống thời đó, nghề nghiệp và chức vụ của họ đều được kế thừa. Đến lúc phải chọn nghề, Amedeo cũng theo học luật. Ông nhanh chóng thành công trong lĩnh vực khoa học này và ở tuổi hai mươi đã nhận được bằng Tiến sĩ Luật học của Giáo hội.

Amedeo không quan tâm đến việc hành nghề luật; lợi ích của anh ta không hề hợp pháp. Khi còn trẻ, ông đã theo học một thời gian ngắn tại trường được gọi là trường hình học và vật lý thực nghiệm. Chính cô là người đã khơi dậy trong anh tình yêu dành cho những ngành khoa học này. Tuy nhiên, do chưa nhận được đủ kiến ​​\u200b\u200bthức có hệ thống nên anh buộc phải tự học. Khi đã 25 tuổi, anh bắt đầu dành toàn bộ thời gian rảnh rỗi cho việc nghiên cứu khoa học vật lý và toán học. Sự chăm chỉ và chủ nghĩa hiện thực đã mang lại kết quả: vào năm 1803 và 1804, ông cùng với anh trai Fellze trình bày hai tác phẩm, những lý thuyết khai sáng về hiện tượng điện và điện hóa, cho Viện Hàn lâm Khoa học Turin, nơi ông được bầu vào năm 1804 với tư cách là thành viên tương ứng của học viện này. Trong tác phẩm đầu tiên của mình, mang tên “Ghi chú phân tích về điện”, ông đã giải thích hành vi của chất dẫn điện và chất điện môi trong điện trường, đặc biệt là hiện tượng phân cực của chất điện môi. Những ý tưởng ông bày tỏ sau đó được phát triển đầy đủ hơn trong công trình của các nhà khoa học khác.

22

Năm 1806, Avogadro nhận được vị trí gia sư ở thành phố Turin, và sau đó, vào năm 1809, ông được chuyển làm giáo viên vật lý và toán học ở thành phố Vercelli, nơi ông đã làm việc khoảng mười năm. Trong giai đoạn này, anh làm quen với một lượng lớn tài liệu khoa học, trích dẫn nhiều đoạn từ sách và bài báo mà anh đọc. Những đoạn trích này, mà ông không ngừng đọc cho đến cuối ngày, lên tới 75 tập, mỗi tập khoảng 700 trang!
Nội dung của những tập sách này chứng tỏ mối quan tâm bách khoa toàn thư của Avogadro, công trình khổng lồ mà ông đã thực hiện, “tái cấp tiêu chuẩn” từ một luật sư trở thành một nhà vật lý.

Vào tháng 9 năm 1819, Avogadro được bầu làm thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Turin. Vào thời điểm này, ông đã nổi tiếng với các đồng nghiệp nhờ công việc của mình trong lĩnh vực lý thuyết phân tử, điện và hóa học. Năm 1820, theo sắc lệnh của hoàng gia, Avogadro được bổ nhiệm làm giáo sư đầu tiên của khoa vật lý cao cấp mới (chúng ta gọi là vật lý toán học) tại Đại học Turin.

Quan điểm của Avogadro về việc giảng dạy vật lý được ông bày tỏ khi đảm nhận quan điểm này thật thú vị. Khoa học Ý vào thời điểm này vẫn còn rất kém phát triển. Trong nỗ lực giúp quê hương cân bằng trình độ phát triển của khoa học tự nhiên với các nước châu Âu khác, Avogadro đã vạch ra một kế hoạch hành động rộng lớn. Ý tưởng chính của ông là nhu cầu kết hợp giảng dạy với hoạt động khoa học. Để làm được điều này, cần tổ chức hai phòng học ở khoa vật lý - một phòng dành cho các buổi đào tạo, một dành cho việc thử nghiệm các khám phá khoa học và tiến hành nghiên cứu ban đầu. Điều này đặc biệt quan trọng đối với những sinh viên quyết định cống hiến hết mình cho việc giảng dạy trong lĩnh vực khoa học vật lý và toán học. Văn phòng khoa học chia sẻ

vợ được trang bị thiết bị hiện đại và đội ngũ nhân viên phù hợp. Điều rất quan trọng nữa là phải quy định số tiền cần thiết cho việc mua thiết bị mới mà người đứng đầu bộ phận có thể tùy ý chi tiêu, chỉ nộp báo cáo bằng văn bản về các chi phí phát sinh. Ngoài ra, cần có một tạp chí khoa học để các nhà vật lý địa phương có thể công bố nghiên cứu của họ.

Những ý tưởng chương trình này đã không được thực hiện do các sự kiện quân sự và chính trị ở Ý vào đầu những năm 20. Năm 1822, sau tình trạng bất ổn của sinh viên, Đại học Turin đã bị chính quyền đóng cửa suốt một năm và một số khoa mới của trường, bao gồm cả khoa vật lý cao cấp, đã được LIÊN KẾT. Tuy nhiên, vào năm 1923, Avogadro nhận được danh hiệu giáo sư danh dự về vật lý cao cấp và được bổ nhiệm làm thanh tra cao cấp trong phòng kiểm soát chi tiêu công (một vị trí nghiên cứu tài chính và pháp lý, không thuộc phạm vi khoa học. Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ rằng Isaac Newton đã là giám đốc xưởng đúc tiền trong nhiều năm!). Bất chấp trách nhiệm mới của mình, Avogadro vẫn tiếp tục tham gia nghiên cứu khoa học.

Năm 1832, Đại học Turin một lần nữa nhận được chức chủ tịch khoa vật lý cao cấp, nhưng nó không được trao cho Avogadro mà cho nhà toán học nổi tiếng người Pháp Augustin Louis Cauchy, người đã rời quê hương vào năm 1830. Chỉ hai năm sau, sau khi Cauchy ra đi, Avogadro mới có thể đảm nhận chiếc ghế này, nơi ông làm việc cho đến năm 1850. Năm nay, ông rời trường đại học, chuyển khoa cho sinh viên của mình là Feltsa Kew.

Avogadro sắp xếp cuộc sống gia đình khá muộn, khi anh đã ngoài ba mươi. Khi làm việc ở Vercelli, anh gặp người vợ tương lai Anna Marnea Maciedi Giuseppe, con gái của Potarius,

23

người trẻ hơn anh 18 tuổi.
Từ cuộc hôn nhân này, ông có tám người con - hai trai và sáu gái. Không ai trong số họ kế thừa nghề nghiệp của ông.

Những người đương thời trong hồi ký của họ miêu tả Avogadro là một người đàn ông có rất nhiều con trai và sáu con gái. Họ ghi nhận sự thân thiện và chân thành của anh ấy khi đối xử với người khác. “Có trình độ học vấn cao mà không có sư phạm, khôn ngoan mà không có người, coi thường sự sang trọng, không quan tâm đến của cải, không phấn đấu cho danh dự, thờ ơ với công lao và danh tiếng của bản thân, khiêm tốn, hiểu biết, nhân từ” - đây là cách một trong những người cùng thời với ông mô tả về Avogadro. Với thái độ thờ ơ với danh dự, ông đại diện cho một sự cám dỗ hiếm có trong giới khoa học thời bấy giờ.

Sau khi rời trường đại học, Avogadro giữ chức vụ thanh tra cấp cao của Phòng Kiểm soát trong một thời gian ngắn, đồng thời là thành viên của Ủy ban Thống kê Cấp cao, Hội đồng Giáo dục Công cộng cấp cao và đại diện của Ủy ban Trọng lượng và Đo lường. Dù tuổi đã cao nhưng ông vẫn tiếp tục công bố nghiên cứu của mình trong kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học Turin. Tác phẩm cuối cùng của ông được xuất bản ba năm trước khi ông qua đời, khi Avogadro tròn 77 tuổi. Ông qua đời ở Turin vào ngày 9 tháng 7 năm 1856 và được chôn cất trong hầm mộ của gia đình ở Vercelli. Một năm sau cái chết của Avogadro, để ghi nhận những đóng góp của ông cho khoa học, bức tượng đồng của ông đã được lắp đặt tại Đại học Turin.

Người đàn ông tuyệt vời này đã làm phong phú thêm khoa học, đặc biệt là vật lý và hóa học, trong suốt cuộc đời của mình như thế nào?

Không có gì đáng ngạc nhiên khi Avogadro bắt đầu sự nghiệp khoa học của mình bằng việc nghiên cứu các hiện tượng điện. Điện và từ từ lâu đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học. Sự quan tâm này đặc biệt

Tượng Avogadro bằng đồng, được lắp đặt tại Đại học Turin.

trở nên mạnh mẽ hơn sau khi Volta phát minh ra nguồn dòng điện (voltaic) đầu tiên vào năm 1800, và cũng liên quan đến cuộc tranh luận giữa Galvani và Volta về bản chất của điện. Những câu hỏi này được đặt lên hàng đầu trong khoa học vào thời điểm đó và thật tự nhiên khi chàng trai trẻ Avogadro quyết định thử sức mình ở đây. Các công trình của Avogadro tập trung vào nhiều vấn đề khác nhau về điện, xuất hiện cho đến năm 1846. Ông cũng rất chú trọng nghiên cứu trong lĩnh vực điện hóa học, cố gắng tìm ra mối liên hệ giữa các hiện tượng điện và hóa học, từ đó ông đã tạo ra lý thuyết điện hóa của mình. Về vấn đề này, nghiên cứu của ông đã tiếp xúc với công trình của các nhà hóa học nổi tiếng Davy và Bercellius. Nhưng Avogadro đã đi vào lịch sử vật lý với tư cách là người phát hiện ra một trong những định luật quan trọng nhất của vật lý phân tử.

Hầu như cho đến cuối thế kỷ 18, hóa học vẫn chưa biết đến định luật định lượng nào. Định luật đầu tiên như vậy là định luật bảo toàn khối lượng

24

các chất tham gia phản ứng, phát hiện của M.V. Lomonosov vào năm 1756 và độc lập bởi Lavuzier vào năm 1774. Vào đầu thế kỷ 19, hai định luật nữa đã được phát hiện - định luật về thành phần không đổi và định luật nhiều tỷ lệ. Người đầu tiên lập luận rằng cho dù thu được một hợp chất hóa học nhất định bằng cách nào thì thành phần của nó luôn giống nhau. Nói cách khác, trong quá trình hình thành một chất phức tạp nhất định, các phần tử chứa nó luôn được kết hợp với nhau sao cho khối lượng của chúng theo một tỷ lệ xác định chặt chẽ. Ví dụ, trong nước tỷ lệ khối lượng của hydro và oxy luôn là 1:8.

Định luật thứ hai phát biểu rằng trong các hợp chất hóa học khác nhau được tạo thành bởi cùng một nguyên tố, khối lượng của các nguyên tố này liên hệ với nhau dưới dạng số nguyên nhỏ. Ví dụ, trong các oxit nitơ khác nhau (N₂O, NO, N₂O₃, N₂O₅)

Trang tiêu đề của Tác phẩm chọn lọc của Avogadro, xuất bản năm 1911.

Để giải thích những định luật này, nhà hóa học nổi tiếng người Anh Dalton đã đưa ra giả thuyết rằng tất cả các quá trình của vật chất (nguyên tố) đều bao gồm các nguyên tử đơn giản và phức tạp - gồm các “nguyên tử phức tạp”, mà trong các phản ứng hóa học có thể phân hủy thành nguyên tử của các chất đơn giản. Trước đó, không có sự phân biệt rõ ràng giữa các khái niệm “nguyên tử” và “phân tử” trong hóa học. Cả hai khái niệm này đều được hợp nhất thành thuật ngữ “hạt”, được coi là một đơn vị vật chất không có cấu trúc. Dalton đã biên soạn bảng đầu tiên về khối lượng nguyên tử tương đối của các nguyên tố, lấy khối lượng hydro trên một đơn vị. (Như Avogadro sau này đã chỉ ra, bảng này không chính xác, vì Dalton tin rằng khí hydro tham gia vào các phản ứng ở dạng chất đơn nguyên tử (H), nhưng trên thực tế, các phản ứng xảy ra với sự tham gia của hydro phân tử (H₂). Vì lý do tương tự, ý tưởng của Dalton về thành phần của các phân tử hóa ra là không chính xác.)

Năm 1808, nhà khoa học người Pháp Gay-Lussac, nghiên cứu phản ứng giữa các chất khí, đã xác định rằng thể tích chất khí tham gia phản ứng và các sản phẩm phản ứng ở dạng khí có liên hệ với nhau dưới dạng số nguyên nhỏ. (Tất nhiên, tất cả các thể tích phải được thay đổi ở cùng áp suất và nhiệt độ). Ví dụ, trong phản ứng tạo thành hơi nước, thể tích của hydro, oxy và sản phẩm phản ứng theo tỷ lệ 1:1:2, tức là.

Trong phản ứng tạo thành hydro clorua, thể tích hydro, clo và sản phẩm phản ứng theo tỷ lệ 1:1:2, tức là.

1 + 1 = 2
khối lượng hydro
lượng clo
khối lượng hydro clorua

25

Theo ý tưởng của Dalton, những phản ứng này sẽ như sau:

$$2\text{H} + \text{O} = \text{H}_2\text{O}, \quad \text{H} + \text{Cl} = \text{HCl}.$$

Trong trường hợp này, một thể tích hơi nước và hydro clorua sẽ được hình thành. Vì vậy không thể dung hòa dữ liệu thực nghiệm của Gay-Lussac với lý thuyết của Dalton.

Chính trong tình huống đó, bài báo của Avogadro “Tiểu luận về phương pháp xác định khối lượng tương đối của các nguyên tố trong phân tử của vật thể và tỷ lệ theo đó chúng có trong các hợp chất” xuất hiện vào năm 1811. Nêu ra các khái niệm cơ bản của lý thuyết phân tử, Avogadro đã chỉ ra rằng nó không những không mâu thuẫn với dữ liệu thu được của Gay-Lussac mà còn hoàn toàn phù hợp với nó và mở ra khả năng xác định chính xác khối lượng nguyên tử, thành phần của phân tử và bản chất của các phản ứng hóa học xảy ra. Để làm được điều này, trước hết cần giả sử rằng các phân tử hydro, oxy, clo và một số chất đơn giản khác không phải bao gồm một mà là hai nguyên tử.

Trong cùng tác phẩm đó, Avogadro đã đi đến kết luận quan trọng sau: “… số lượng… phân tử luôn bằng nhau trong những thể tích bằng nhau của bất kỳ loại khí nào”. (Tất nhiên, thể tích được thay đổi ở cùng áp suất và nhiệt độ.)

Ông còn viết thêm rằng hiện nay có “một phương pháp xác định rất dễ dàng khối lượng tương đối của các phân tử của vật thể có thể thu được ở trạng thái khí và liên quan đến số lượng phân tử trong các hợp chất”.

Trên thực tế, tỷ lệ khối lượng của các phân tử giống như tỷ lệ mật độ của các chất khí ở cùng áp suất và nhiệt độ. Nếu chúng ta có hai loại khí khác nhau có khối lượng lần lượt là $M_1$ và $M_2$ và thể tích của chúng thay đổi tương ứng ở cùng nhiệt độ và áp suất

$$V_1 \text{ и } V_2,$$

sau đó, theo Avogadro, chúng ta có thể viết thư từ sau:

$$\frac{M_1}{M_2} = \frac{m_1 N_1}{m_2 N_2},$$

(1)

trong đó $m_1$ và $m_2$ là khối lượng phân tử của khí thứ nhất và khí thứ hai, còn $N_1$ và $N_2$ là số lượng phân tử như vậy tính theo thể tích $V_1$ và $V_2$. Chia các tử số trong biểu thức này cho $V_1$ và các mẫu số cho $V_2$, ta được:

$$\frac{\frac{M_1}{V_1}}{\frac{M_2}{V_2}} = \frac{m_1 \frac{N_1}{V_1}}{m_2 \frac{N_2}{V_2}}.$$

(2)

Nhưng $M_1/V_1$ và $M_2/V_2$ là mật độ của khí $\rho_1$ và $\rho_2$, còn $N_1/V_1$ và $N_2/V_2$ là số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích. Theo Avogadro $\frac{N_1}{V_1} = \frac{N_2}{V_2}$. Trong trường hợp này, thư từ (2) có dạng sau:

$$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{m_1}{m_2}.$$

Avogadro đưa ra ví dụ sau: mật độ của oxy và hydro là 1,10359 và 0,07321 (mật độ của không khí trong khí quyển được lấy làm một). Do đó, tỷ số khối lượng của phân tử oxy và hydro là $\frac{1,10359}{0,07321} \approx \frac{15}{1}$.

Từ các thí nghiệm của Gay-Lussac, người ta suy ra rằng để hình thành hai thể tích hơi nước giống nhau bất kỳ thì cần có hai thể tích hydro và một thể tích oxy giống nhau. Điều này có nghĩa là cứ mỗi phân tử oxy thì có hai phân tử hydro. Nếu các phân tử hydro và oxy bao gồm một nguyên tử, thì chúng ta sẽ có phản ứng $2\text{H} + \text{O} = \text{H}_2\text{O}$, kết quả là hai thể tích hydro và một thể tích oxy sẽ tạo ra một thể tích nước. Nhưng điều này mâu thuẫn với kết quả thí nghiệm của Gay-Lussac. Vì vậy, chúng ta phải giả sử

26

rằng trong mỗi phản ứng cơ bản xảy ra hai phân tử nước (2H₂O) xuất hiện và các phân tử oxy và hydro chứa hai nguyên tử (O₂ và H₂). Vì vậy, chúng tôi đi đến công thức phản ứng đúng:

$$2H_2 + O_2 = 2H_2O.$$

Công thức nổi tiếng này lần đầu tiên được Avogadro thu được.

Năm 1814, bài báo thứ hai của Avogadro xuất hiện, “Tiểu luận về khối lượng tương đối của các phân tử của các vật thể đơn giản, hoặc mật độ ước tính của các chất khí của chúng, và về cấu tạo của một số hợp chất của chúng”. Ở đây định luật Avogadro được phát biểu rõ ràng: “… những thể tích bằng nhau của các chất khí ở áp suất và nhiệt độ bằng nhau tương ứng với một số lượng phân tử bằng nhau, do đó mật độ của các loại khí khác nhau đại diện cho thước đo khối lượng của các phân tử của các loại khí tương ứng.” Phần còn lại của bài viết thảo luận về việc áp dụng định luật này để xác định thành phần phân tử của nhiều chất vô cơ.

Vì khối lượng mol (khối lượng của một mol một chất) tỷ lệ thuận với khối lượng của một phân tử riêng lẻ, định luật Avogadro có thể được xây dựng dưới dạng phát biểu rằng một mol của bất kỳ chất nào ở trạng thái khí ở cùng nhiệt độ và áp suất sẽ chiếm cùng một thể tích. Như thí nghiệm đã chỉ ra, ở điều kiện bình thường ($p=1\text{ amm}, t=0^\circ\text{C}$) nó bằng 22,414 lít. Số lượng phân tử trong một gam-phân tửULE của bất kỳ chất nào đều như nhau. Nó được gọi là số Avogadro. Nó thường được biểu thị bằng chữ cái $N_A$. Theo số liệu hiện đại

$$N_A = 6,022094 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}.$$

Con số này là một trong những hằng số phổ quát quan trọng nhất của vật lý và hóa học hiện đại. Nó được sử dụng để xác định một số hằng số phổ quát khác, ví dụ, hằng số Boltzmann, hằng số Faraday, v.v.

Số Avogadro có thể được xác định bằng nhiều phương pháp độc lập. Sự trùng hợp tuyệt vời của các giá trị thu được là bằng chứng thuyết phục về các phân tử thực và giá trị của lý thuyết động học phân tử.

Năm 1821, trong bài báo “Truyền thông mới về lý thuyết về các tỷ lệ nhất định trong các hợp chất và về việc xác định khối lượng phân tử của các vật thể”, Avogadro đã chia sẻ kết quả của mười năm làm việc trong lĩnh vực lý thuyết phân tử và mở rộng phương pháp xác định thành phần của phân tử cho toàn bộ các chất hữu cơ. Trong cùng một bài báo, ông chỉ ra rằng các nhà hóa học khác, chủ yếu là Dalton, Davy và Berzeluus, những người không quen thuộc với công trình của ông, vẫn tiếp tục có quan điểm sai lầm về bản chất của nhiều hợp chất hóa học và bản chất của các phản ứng giữa chúng.

Công trình này thú vị ở một khía cạnh khác: lần đầu tiên cái tên Ampere xuất hiện, theo cách nói của Avogadro, “một trong những nhà vật lý khéo léo nhất của thời đại chúng ta,” liên quan đến nghiên cứu của ông trong lĩnh vực lý thuyết phân tử. Mặt này trong công việc của Ampere thường không được đề cập đến, vì các dịch vụ của ông trong lĩnh vực toán học điện tử đã làm lu mờ tất cả các công trình khác. Tuy nhiên, Ampère cũng làm việc trong lĩnh vực vật lý phân tử và độc lập với Avogadro (nhưng muộn hơn một chút) khi ông tiếp cận một số ý tưởng do Avogadro thể hiện. Năm 1814, Ampère xuất bản một bức thư gửi nhà hóa học Berholla, trong đó ông đưa ra một quan điểm về cơ bản trùng khớp với định luật Avogadro. Ở đây, ông chỉ ra rằng tác phẩm tương ứng của Avogadro đã được ông biết đến sau khi viết một bức thư cho Bertolla.

Để kết thúc câu chuyện về công trình của Avogadro trong lĩnh vực lý thuyết phân tử, chúng ta lưu ý rằng vào năm 1837-1841 ông đã xuất bản một tác phẩm gồm bốn tập, “Vật lý của các cơ thể có thể, hay Practiata về cấu tạo chung của các cơ thể”.

27

Mỗi tập có hơn 900 trang. Lúc này, Avogadro đã 65 tuổi nhưng đầu óc ông vẫn minh mẫn, tình yêu khoa học và sự chăm chỉ của ông là vô tận. Công trình này hóa ra là cuốn sách giáo khoa vật lý phân tử đầu tiên trong lịch sử.

Đóng góp to lớn của Avogadro cho sự phát triển của lý thuyết phân tử chắc hẳn đã được những người đương thời độc lập trên thực tế công nhận. Hơn nữa, định luật của hầu hết các nhà khoa học đều gắn những khám phá của ông với cái tên Ampe. (Và thậm chí rất lâu sau này, định luật này trong văn học thường được gọi là định luật Avogadro-Ampere, mặc dù Avogadro hình thành nó sớm hơn Ampere ba năm.) Cho đến đầu những năm 60 của thế kỷ 19, tính tùy tiện vẫn ngự trị trong hóa học cả trong việc đánh giá khối lượng phân tử và trong việc mô tả các phản ứng hóa học; Vẫn còn nhiều ý tưởng mới về thành phần nguyên tử của chất polychlorine. Thậm chí còn có nỗ lực từ bỏ hoàn toàn các khái niệm phân tử. Chỉ đến năm 1858, nhà hóa học người Ý Cannizzar mới đọc được bức thư của Ampère gửi Ber-
Tole, trong đó có đề cập đến công trình của Avogadro, đã khám phá lại những công trình này và rất ngạc nhiên khi thấy rằng chúng sẽ mang lại sự rõ ràng hoàn toàn cho bức tranh khó hiểu về tình trạng hóa học thời đó. Năm 1860, Cannizzar đã trình bày chi tiết về công trình của Avogadro tại Đại hội Hóa học Quốc tế lần thứ nhất ở Karlsruhe, và báo cáo của ông đã gây ấn tượng rất lớn đối với các nhà khoa học có mặt ở đó. Như một người trong số họ đã nói, anh ấy cảm thấy một tấm màn che mắt mình rơi xuống, những nghi ngờ biến mất và cùng với đó là một cảm giác tự tin mạnh mẽ xuất hiện. Nhà hóa học vĩ đại người Nga D.I. Mendeleev, cũng là người tham gia vào công việc của đại hội, sau này đã viết: “Tôi coi thời điểm quyết định trong sự phát triển tư tưởng của tôi về định luật tuần hoàn là năm 1860 - đại hội của các nhà khoa học hóa học ở Karlsruhe, nơi tôi là thành viên, và tại đại hội này - những ý tưởng được thể hiện bởi nhà hóa học Itogan Cannizzar” (về cơ bản đó là những ý tưởng của Avogadro). Công lao của Avogadro với tư cách là một trong những người sáng lập lý thuyết phân tử đã nhận được sự công nhận rộng rãi.

Đồ thị mặt phẳng đều bậc 5 có 18 đỉnh

Trong «Kvant» Số 11 năm 1975, một bài viết của M. Katz “O. đồ thị chính quy phẳng.” Hãy nhớ lại rằng một đồ thị phẳng được gọi là đồ thị chính quy nếu mỗi đỉnh của nó có cùng số cạnh; con số này được gọi là bậc của đồ thị.

Đặc biệt, trong bài viết này, câu hỏi về số đỉnh của đồ thị chính quy bậc 5 đã được thảo luận; người ta đã chứng minh rằng số đỉnh của một đồ thị đều bậc 5 có thể là số bất kỳ, không nhỏ hơn 12, ngoại trừ 14 và có thể là 18 (xem trang 14, 15). Gần đây, người biên tập đã nhận được một lá thư từ Tiệp Khắc từ trợ lý cấp cao của Cục Thông tin Toán học, Jan Ninczak, kèm theo một ví dụ về đồ thị đều bậc 5 có mười tám đỉnh *) (xem hình). Đồ thị tìm được có 3 cạnh bốn cạnh và 26 cạnh ba cạnh (trong hình, các cạnh của bốn cạnh là màu đầu).

*) Sau này, một ví dụ về phần bổ sung của V. Linis từ Riga.

28

máy tính
bác bỏ

bài toán sau đây thuộc về nhà toán học vĩ đại L. Euler:

Cùng hiệp sĩ của bạn đi xung quanh tất cả các ô trên bàn cờ, nâng từng ô một trong mỗi ô.

Vào năm 1823, Varisdorf, trong tập tài liệu “Đơn giản và tổng quát nhất lời giải bài toán về nước đi của hiệp sĩ,” đã đề xuất các quy tắc sau để đi ngang bàn cờ:

Trong mỗi lần di chuyển, hiệp sĩ đặt cược vào ô mặt nạ mà từ đó có thể thực hiện số lần di chuyển nhỏ nhất đến các ô chưa được che. Nếu có nhiều mặt nạ tế bào, bạn được phép chọn bất kỳ mặt nạ nào trong số đó.

Lưu ý rằng quy tắc Warisdorff không phải là một thuật toán, vì nó không phải lúc nào cũng chỉ rõ bước đi tiếp theo của hiệp sĩ (xem cụm từ thứ hai của quy tắc).

Ví dụ: nếu một hiệp sĩ bắt đầu di chuyển từ ô d4, quy tắc Warisdorff cho phép anh ta thực hiện bước đi đầu tiên đến bất kỳ ô b3, b5, c2, e2 nào (Hình 1). (Tuy nhiên, nếu quân mã bắt đầu di chuyển từ ô c2, thì ngay cả ở nước đi đầu tiên, quy tắc Warisdorff sẽ cho anh ta biết rõ ràng nơi phải đi - đến ô a1!)

Warisdorf tuyên bố rằng, bất kể hiệp sĩ bắt đầu di chuyển ở đâu, bất kỳ con đường nào thỏa mãn các quy tắc của anh ta cuối cùng sẽ dẫn đến một vòng hoàn chỉnh của bàn cờ (tức là tới lời giải bài toán của Euler). Cho đến gần đây, người ta vẫn chưa biết liệu tuyên bố này có đúng hay không. Trở lại năm 1971, E. Ya. Gik đã viết trong «Kvant» (Số 9, trang 53) rằng tuyên bố của Varisdorf “luôn hợp lý trong thực tế…, mặc dù nó không được xác nhận về mặt lý thuyết.”

Một chương trình được biên soạn cho máy tính “Promin-2” để liệt kê một số đường đi của ngựa. Biện pháp đối phó đầu tiên được xây dựng trong vòng chưa đầy 1 phút. Đã thử 6464 đường dẫn, máy tính nhận được biện pháp đối phó

Cơm. 1.
Cơm. 2.

29

từ 21 trường xuất phát. Trong số đó có 10 biện pháp đối phó từ thực địa, bị hủy bỏ ở hình 2 sao. Có thể dễ dàng nói rằng 10 biện pháp đối phó này là đủ để phát biểu: từ một ô nào đó quân mã bắt đầu di chuyển, có một đường đi thỏa mãn quy tắc Varisdorff, đường đi này tương đương với một mạch hoàn chỉnh của bàn cờ. Hình 3 và 4 thể hiện 2 biện pháp đối phó (các vòng tròn màu đỏ đánh dấu các ô vuông không bị quân mã che phủ).

Để kết luận, chúng tôi đặt chuỗi bài toán:

1. Có đúng là con ngựa không bắt đầu chuyển động từ một cánh đồng nào đó không?

2. Giải phương trình
   $$\frac{xy^m}{m+1} = \frac{xyy \dots y}{m+1}$$
   trong đó $m$ là số nguyên.

3. Qua các đỉnh $A, B$ và $C$ của tam giác $ABC$ vẽ các đường thẳng cắt nhau $O$ tại một điểm.

Chúng ta hãy biểu thị $\alpha = \widehat{OAC}$, $\beta = \widehat{OBA}$, $\gamma = \widehat{OCB}$ và mỗi góc này sẽ được coi là dương nếu nó chứa góc trong tương ứng của tam giác hoặc chính nó nằm trong tam giác đó, bằng 0 nếu các cạnh của nó trùng nhau và âm nếu ngược lại. Cho $O$ là một trong sáu điểm đáng chú ý của tam giác; $ABC$ là tâm nội tiếp hoặc tâm ngoại tiếp, trực tâm hoặc một trong ba tâm lệch tâm. Chứng minh điều đó khi đó $\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2}$.

V. Kolbasenko (Sukhodolsk)

30

Thí nghiệm với hình dạng bột

Bụi – bột mịn, lỏng lẻo – có liên quan gì đến vật lý?
Nếu bạn nghĩ rằng một nhà vật lý sẽ chỉ nhớ về bụi trong những khoảnh khắc không mấy dễ chịu khi anh ta cần dọn dẹp thiết bị thí nghiệm của mình, thì bạn đã nhầm to. Thậm chí không thể liệt kê tất cả mọi thứ mà việc nghiên cứu tính chất của bột mịn và huyền phù (huyền phù) của chúng đã mang lại cho khoa học và công nghệ, hoặc chỉ ra những lĩnh vực mà những đặc tính này đã được ứng dụng. Dưới đây là một số ví dụ.

Lần đầu tiên sử dụng loại bột này, độ dài của sóng âm trong không khí được đo khá chính xác; Loại bột này vẫn được sử dụng trong nghiên cứu rung động âm thanh của các tấm và màng khác nhau. Bột lơ lửng trong chất lỏng cho phép xảy ra chuyển động phân tử (hãy nghĩ đến chuyển động Brown).

Bột kim loại được sử dụng để quan sát các miền sắt từ. Bột sắt từ được sử dụng trong việc phát hiện khuyết tật.

Những công trình khổng lồ để thu gom bụi đang được phát triển và sử dụng (ở đây không thể thiếu kiến ​​​​thức về các đặc tính của bụi). Nhưng công việc chuyên sâu không kém đang được tiến hành để tạo ra các cơ sở phân tán các chất khác nhau.

Bất kỳ thí nghiệm nào với bột mịn đều thú vị. Ngoài ra, chúng còn đáng nể vì chúng cho thấy việc nghiên cứu các chất thông thường mà chúng ta thường không chú ý mang lại nhiều lợi ích như thế nào.

Chúng tôi cung cấp cho bạn một số thí nghiệm đơn giản nhưng rất hiệu quả. Chúng không yêu cầu bất kỳ thiết bị nào, vì vậy bạn có thể thực hiện chúng ngay cả ở nhà.

Lấy số liệu bột

Trải một lớp mỏng bột nhựa nha khoa Protacryl (có bán ở tất cả các hiệu thuốc) lên tấm nhôm. Hãy nối dây dẫn nhựa với một tụ điện (công suất tụ điện $C = 0,01$ uF, điện áp hoạt động 400 $\theta$). Chúng tôi gắn tụ điện thứ hai vào dây dẫn bằng phích cắm. Hãy cắm phích cắm vào một trong các ổ cắm của mạng điện chiếu sáng (127 hoặc 220 $\theta$). Chúng tôi dùng ngón tay lướt qua lớp bột đã đổ lên tấm nhôm - có một vệt sọc trên tấm còn sót lại (Hình 1).

Hãy cố gắng ràng buộc kết quả của kinh nghiệm. Dòng điện xoay chiều được cung cấp vào ổ cắm của căn hộ thông qua hai dây dẫn. Một trong những dây này được thay thế - điện thế của nó bằng điện thế đất, thường được coi là bằng 0. Cơ thể con người cũng ít nhiều được thay thế tốt nên tiềm năng của nó cũng có thể coi như bằng không. Tấm nhôm được kết nối thông qua một tụ điện với các dây khác của mạng, được gọi là pha. Tụ điện “đi qua” dòng điện xoay chiều. Do đó, giữa ngón tay đi qua bột và bản thân tấm nhôm có một hiệu điện thế thay đổi.

Khi ngón tay di chuyển trên bột, bột thu được sẽ

31

trở nên nhiễm điện, tích điện dương chẳng hạn (có lẽ nó cũng tích điện âm, nhưng bản chất của vật chất không thay đổi, và chúng ta sẽ không tìm ra chính xác điện tích của bột là gì). Vì có sự chênh lệch điện thế thay đổi giữa tấm nhôm và ngón tay chuyển động, nên bột dính vào tấm khi điện thế của nó âm và nổi lên ngón tay vào những thời điểm nó có điện thế âm so với tấm. Đây là cách chúng tôi có được dấu vết không liên tục mà bạn thấy trong Hình 1.

Có thể nhìn thấy thiết lập thử nghiệm được mô tả. Hãy thay tấm nhôm bằng tấm giấy dẫn điện. Không khó để chuẩn bị. Một tờ giấy lớn (kích thước khoảng 20x30 cm) phải được phủ một mặt bằng mực đen loãng dày. Sau khi sơn khô sẽ hình thành một lớp dẫn điện mỏng, có điện trở khá cao. Một tờ giấy dẫn điện phải được gắn vào ván ép bằng hình thu nhỏ. Dây dẫn có thể được nối với giấy dẫn điện bằng kẹp giấy thông thường.

Thay vì bột nhựa Protacryl, tốt hơn nên sử dụng bột đánh răng khô trong các thí nghiệm - dấu ngắt quãng ổn định hơn. Nó có thể được áp dụng cho giấy dẫn điện một lớp mỏng, đều bằng cách sử dụng tăm bông. Nếu cần, có thể sấy khô bột đánh răng trên bếp điện bằng cách đổ bột vào lọ kim loại. Bạn cũng có thể sử dụng linkopodium hoặc “màu lưu huỳnh” (lưu huỳnh nghiền mịn). Loại bột đầu tiên được bán ở các hiệu thuốc, loại thứ hai có thể tìm thấy trong phòng thí nghiệm hóa học của trường.

Có thể hóa ra là các thí nghiệm yêu cầu hiệu điện thế nhỏ hơn hiệu điện thế thu được khi sử dụng trực tiếp điện áp nguồn. Để điều chỉnh sự chênh lệch điện thế giữa giấy dẫn điện và mặt đất, bạn nên sử dụng chiết áp (Hình 2; điện trở chiết áp $R=470$ kom). Để tuân thủ các quy định an toàn, mục tiêu phải được gắn trong vỏ làm bằng vật liệu cách điện (có thể sử dụng lọ nhựa phù hợp). Một cái nhìn tổng quát về thiết lập thử nghiệm được hiển thị trong Hình 3.

Hình dạng bột có thể được sử dụng để làm gì?

Để trả lời câu hỏi này, hãy xem xét hai thí nghiệm. Hãy mở dây dẫn đi từ tụ điện đến tờ giấy dẫn điện. Chúng ta sẽ chèn một chất điện môi vào khe hở dây dẫn: ví dụ: chúng ta sẽ quấn các đầu dây đã được làm sạch quanh một ống thủy tinh nhiều lần sao cho khoảng cách giữa các vòng là 1-2 cm. Chúng tôi sẽ chạy ngón tay dọc theo đổ

32

lên giấy điện tử và bột răng. Trong trường hợp này, một dấu vết gián đoạn rõ ràng sẽ vẫn còn trên giấy, mặc dù kém sắc nét hơn so với hình 3.

Thủy tinh là một chất điện môi rất tốt mà dòng điện tử thực tế không đi qua (hay đúng hơn là rất ít dòng điện đi qua). Nhưng trên giấy lại xuất hiện một vết đứt gãy! Do đó, dòng điện cực nhỏ có thể được ghi lại bằng cách sử dụng số liệu bột.

Hãy làm thêm một thí nghiệm nữa. Trong khe hở của dây dẫn từ tụ điện đến giấy dẫn điện tử, chúng ta bật một công tắc (công tắc bật tắt), cho phép chúng ta làm mờ và đóng mạch. Dùng ngón tay chạy dây qua bột, bật và tắt công tắc bật tắt nhanh chóng mà không dừng chuyển động của ngón tay. Trong trường hợp này, khi bật công tắc bật tắt, dấu vết sẽ không liên tục. Chúng ta sẽ gọi các vùng sáng hoặc tối thu được dọc theo quỹ đạo chuyển động của ngón tay là dấu tạm thời. Thời gian trôi qua từ thời điểm xuất hiện một dấu đến thời điểm xuất hiện dấu tiếp theo phải là 0,02 giây (hạt dòng điện xoay chiều $f=1/T=50$ sch). Do đó, bằng cách đếm số điểm trên quỹ đạo của ngón tay, bạn có thể xác định thời gian bật công tắc bật tắt.

Trong thí nghiệm, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng bộ chia điện áp (xem Hình 2). Thực tế là những vật thể mà chúng ta quen coi là chất không dẫn điện không phải là chất điện môi theo đúng nghĩa của từ này. Do đó, ngay cả khi tắt công tắc làm đứt dây pha, một dòng điện nhỏ chạy qua mạch và hình bột xuất hiện trên giấy. Để thiết lập hiện tượng không mong muốn này, cần phải giảm sự chênh lệch điện thế giữa giấy dẫn điện tử và ngón tay. Bộ chia điện áp (chiết áp) cho phép bạn chọn mức chênh lệch điện thế tối ưu. Lưu ý rằng sẽ thuận tiện hơn khi thực hiện thí nghiệm này cùng nhau (bạn có thể mời bạn bè của mình kiểm tra phản ứng của họ khi bật và tắt công tắc bật tắt).

Vì vậy, các thí nghiệm được mô tả cho thấy rằng các hình dạng bột có thể được sử dụng để phát hiện các dòng điện nhỏ và những thay đổi trong khoảng thời gian nhỏ.

Telery - một vài ví dụ cụ thể.

Ion hóa không khí bằng ngọn lửa

Chúng tôi chèn hai dải đồng thau hoặc cứng có kích thước khoảng $10 \times 80$ mm vào khe hở trên dây dẫn pha của mạng, được làm sau tụ điện. Chúng tôi sẽ tăng cường các electron thu được trong hộp diêm, chúng sẽ hoạt động như những chiếc lều. Chúng ta hãy sắp xếp các electron song song với nhau sao cho khoảng cách giữa chúng là 2-5 mm (Hình 4). Hãy miết ngón tay dọc theo lớp bột đánh răng trên giấy dẫn điện - đường đi liên tục, không có dấu thời gian.

Hãy đưa ngọn lửa của một que diêm đang cháy hoặc một ngọn nến đang cháy vào khoảng trống giữa các electron và kiểm tra lại bằng ngón tay trên tờ giấy. Ngay lập tức, dấu thời gian xuất hiện trên quỹ đạo chuyển động của ngón tay (xem Hình 4).

Trong thí nghiệm này và các thí nghiệm tương tự, thật thuận tiện khi di chuyển ngón tay của bạn theo vòng tròn một cách hồn nhiên; thì sẽ không khó để nhận ra khoảnh khắc xuất hiện và biến mất của dấu thời gian. Kinh nghiệm lâu năm cho thấy trong điều kiện bình thường không khí là chất điện môi. Ngọn lửa được đưa vào sẽ ion hóa không khí, khiến nó trở thành chất dẫn điện. Mạch điện đóng lại và xuất hiện dòng điện trong mạch.

Đo gia tốc trọng trường

Có thể đo những khoảng thời gian ngắn bằng cách sử dụng các hình bột và sử dụng chúng trong các thí nghiệm để xác định gia tốc trọng trường.

33

Cơm. 3. Hình ảnh bên ngoài của quá trình lắp đặt cho các thí nghiệm với hình dạng bột. Việc lắp đặt bao gồm một ổ cắm điện, một bộ chia điện áp có tụ điện và một tờ giấy dẫn điện có bột.

Cơm. 4. Ion hóa không khí bằng ngọn lửa. Trước khi ngọn lửa được đưa vào khe hở giữa các điện cực chuyển động, ngón tay sẽ để lại dấu liên tục trên giấy dẫn điện; Ngay sau khi ngọn lửa được đưa vào, dấu vết sẽ trở nên ngắt quãng.

Cơm. 5. Sơ đồ lắp đặt xác định gia tốc rơi tự do. 1 - tiếp điểm mở bình thường, 2 - thân rơi, 3 - tiếp điểm mở bình thường, 4 - tờ giấy dẫn điện có bột.

Nếu một vật được nâng lên trên mặt đất bắt đầu rơi, thì, như cơ học đã biết, hãy để nó vượt qua $h$ trong thời gian $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$. Do đó, gia tốc rơi tự do có thể tìm được theo công thức

$$g = \frac{2h}{t^2},$$

(*)

nếu biết độ cao $h$ nơi vật rơi và thời điểm rơi $t$. Chiều cao có thể được đo bằng thước và thời gian rơi có thể được xác định bằng phương pháp hình bột.

Sơ đồ bố trí thí nghiệm được thể hiện trên Hình 5. Dây dẫn chạy từ tụ điện đến một tờ giấy dẫn điện bị đứt bởi hai cặp tiếp điểm. Các tiếp điểm 1 thường mở (thân 2 được treo vào tiếp điểm phía dưới bằng một sợi dây, kéo nó xuống). Danh bạ 3 - thường mở. Ở trạng thái ban đầu, mục tiêu được mở. Khi cơ thể bắt đầu rơi, các chân 1 được kết nối và mục tiêu sẽ bị đoản mạch trong khoảng thời gian cơ thể rơi xuống. Trong trường hợp này, các dấu tạm thời được hình thành trên quỹ đạo của ngón tay (trên giấy dẫn điện 4). Ngay khi cơ thể chạm vào điểm tiếp xúc phía dưới 3, mục tiêu sẽ mở ra lần nữa và sự xuất hiện của các vết sẽ dừng lại.

Giao diện của quá trình cài đặt được thể hiện trong Hình 6, a. Cặp tiếp điểm phía trên (Hình 6, 6) được làm bằng các dải đồng thau gắn băng cách điện vào bút chì điều khiển (bạn có thể sử dụng cặp tiếp điểm từ rơle phù hợp). Cặp tiếp điểm phía dưới thậm chí còn đơn giản hơn: một dải đồng thau được cố định vào bút chì, trên đó dải thứ hai nằm tự do, được hàn vào một dây dẫn mềm (Hình 6, 6). Khi vật rơi chạm vào dải thứ nhất thì dải thứ hai rơi xuống và toàn bộ mở ra.

Thí nghiệm được thực hiện theo trình tự sau. Cơ thể được buộc bằng một sợi dây

34

Cơm. 6. Bố trí thí nghiệm xác định gia tốc trọng trường. Một máy giặt lớn được sử dụng làm vật thể rơi xuống. a) - cái nhìn chung về quá trình cài đặt. b) - thiết bị của các tiếp điểm trên và dưới của mệnh giá.

tới điểm tiếp xúc phía dưới của cặp phía trên. Sử dụng thước kẻ để thay đổi khoảng cách giữa thân và cặp tiếp điểm phía dưới. Họ bắt đầu di chuyển ngón tay của mình trên bột đánh răng trên giấy dẫn điện, và sau đó, không ngừng chuyển động của ngón tay, họ đốt sợi chỉ bằng que diêm. Dọc theo quỹ đạo chuyển động của ngón tay, một khu vực có dấu thời gian rõ ràng được hình thành. Bằng cách đếm số điểm nhận được, thời gian rơi của vật được xác định và gia tốc rơi tự do được tính theo công thức (*).

Trong thí nghiệm của chúng tôi, quãng đường mà vật đi được khi rơi là 27 cm. Số điểm hóa ra là 12. Hậu quả là cơ thể rơi xuống trong 0,24 giây. Dựa trên những dữ liệu này, gia tốc trọng trường là $g \approx 9,4 \text{ m/sec}^2$. Xét đến tính đơn giản của thí nghiệm, kết quả này có thể được chấp nhận khá tốt. Độ chính xác của những thay đổi trong gia tốc trọng trường có thể được cải thiện đáng kể bằng cách tăng độ cao mà vật rơi xuống.

Để thực hiện thành công thí nghiệm, cần sử dụng bộ chia điện áp để chọn hiệu điện thế sao cho khi mạch hở không xuất hiện dấu vết (hãy nhớ rằng cách điện khu vực dẫn đến việc đóng mạch thực tế và dấu vết được hình thành ngay cả khi các tiếp điểm mở). Hoàn toàn không cần thiết phải sử dụng chân máy trong thiết lập thử nghiệm: ở nhà, bạn có thể gắn nó vào giá đỡ có các điểm tiếp xúc với thanh ray bằng gỗ hoặc vào lưng và chân ghế.

Bài tập

1. Khi bạn miết ngón tay lên bột đánh răng trên giấy dẫn điện, bạn sẽ nhận được một vệt không liên tục. Sau đó, dùng ngón tay chạm vào tờ giấy dẫn điện tử và lặp lại thí nghiệm. Tại sao trong trường hợp sau không còn dấu thời gian trên quỹ đạo của ngón tay?

2. Giải thích tại sao có thể dùng hình bột để ghi dòng điện nhỏ?

3. Hãy làm thí nghiệm chứng minh hiệu ứng quang điện.

35

Đảo Tannstevny
Tất nhiên, bạn có nhận ra hình minh họa cho cuốn tiểu thuyết “Đảo Tannestvennaya” của Jules Verne không? Các chốt trên cát được đóng ở cuối bóng từ cột bởi kỹ sư toàn năng và thông minh Cyrus Smith. Nhà báo Gedon Spilett đang đứng với một chiếc đồng hồ… Nhưng đây là một chi tiết mà bạn có thể đã quên: hòn đảo nơi diễn ra các sự kiện được mô tả trong tiểu thuyết nằm ở phía nam vĩ độ 30° nam.
Thợ khắc J. Barban và nghệ sĩ P. Ferat, những cuốn tiểu thuyết minh họa của J. Verne, như một quy luật, đã hoàn thành nhiệm vụ của họ một cách hoàn hảo.
Nhưng trong trường hợp này…
Hãy thử trả lời những câu hỏi sau:

1. Các bóng có được mô tả chính xác trong hình minh họa không?
2. Nên đặt lớp phủ lồi, có thể được kéo qua đế của các chốt, theo hướng nào - từ cột hay về phía cột?
3. Có đúng là các chốt đã đi từ trái sang phải không?
   Hãy thử vẽ một cái bóng mô tả phần cuối của bóng cột trong ngày ở các vĩ độ khác nhau. Cực có hướng song song với trục quay của Trái đất.

V. Tikhonov

Bài toán-cặp song sinh
Những người chơi cờ đã quen thuộc với cái gọi là “bài toán-cặp song sinh”, điều kiện của chúng hơi khác nhau và lời giải hoàn toàn khác nhau. Đây là một ví dụ thú vị về hai cặp song sinh bài toán-toán học.
Cuộc đối thoại sau đây diễn ra giữa A và B.
A: Bạn có con không?
B·(1): Có đấy.
B·(2): Vâng, ba.
Đáp: Tuổi nào?
B: Tích số tuổi của họ là 36 tuổi, và tổng là số cửa sổ trong ngôi nhà đó.

A (sau khi suy nghĩ): Tôi không thể xác định được tuổi của họ.
B: Hãy để tôi nói thêm: đứa lớn nhất là con trai.
Đáp: Bây giờ mọi chuyện đã rõ ràng.
Cần xác định số lượng và độ tuổi của trẻ bằng hai phương án đáp số cho câu hỏi thứ nhất ((1) và (2)). Điều đáng ngạc nhiên nhất là mặc dù đáp số khác nhau nhưng trong cả hai trường hợp đều có ba đứa trẻ.

V. Sharafutdinov
(Novosibirsk)

36

Nhiệm vụ

M396—M400; F408—F412

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 11 năm 1976 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant».
Sau địa chỉ trên phong bì, hãy viết lời giải mà bài toán bạn đang gửi, ví dụ: “Zadchik «Kvant», M396” hoặc “…F408”.
Lời giải bài toán cho từng môn học (toán học và vật lý), cũng như bài toán prosbapis mới phải được gửi trong các phong bì riêng. Ngoài ra, vui lòng gửi bài tập từ các số khác nhau của tạp chí trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải của mình). Vui lòng gửi các điều kiện của bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản thành hai bản cùng với lời giải của bạn cho bài toán này (đánh dấu trên phong bì: “Bài toán «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”).
Trong số này, “Bài toán «Kvant» chủ yếu bao gồm bài toán, được đưa ra tại Kỳ thi Olympic toàn Liên minh vừa qua. Trong ngoặc đơn (sau bài toán của loại Olympic cuối cùng), lớp dành cho học sinh nào bài toán được đưa ra sẽ được chỉ định.
Nan khó hơn bài toán được đánh dấu bằng dấu hoa thị.

M396. Một hình tam giác có các cạnh lớn hơn 1 cm được gọi là “lớn”. Cho tam giác đều ABC có cạnh 5 cm. Chứng minh rằng a) Có thể cắt được 1000 hình tam giác “lớn” từ tam giác ABC; b) tam giác ABC có thể cắt thành 1000 tam giác “lớn”; b)* tam giác ABC có thể được tam giác hóa thành 1000 tam giác “lớn”, tức là chia sao cho hai tam giác bất kỳ hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung; d) thực hiện các bước 6) và b) đối với tam giác đều có cạnh 3 cm. (8-9 ô)

S. Fomin

M397. Có ba vòng tròn có cùng bán kính trên mặt phẳng dữ liệu.
a) Chứng minh rằng nếu chúng cắt nhau tại một điểm như trên Hình 1 thì tổng các cung được đánh dấu AK, CK, EK bằng 180°.
b) Chứng minh rằng nếu chúng có vị trí như hình 2 thì tổng các cung được đánh dấu AB, CD, EF bằng 180°. (8 lớp)

M398. Có n số thực (n ≥3) trên một đường tròn, tổng của các số đó bằng 0. Một trong những con số này là 1.
a) Chứng minh rằng có hai số liền kề cách nhau ít nhất 4/n.
b) Chứng minh rằng có một số khác trung bình số học của hai số lân cận nó ít nhất 8/n2.
b) Việc đánh giá được đề xuất ở đoạn trước có thể được cải thiện. Hãy thử thay thế số 8 trong đó bằng một số lớn hơn để phát biểu bài toán này vẫn đúng cho tất cả các số tự nhiên.
g)* Chứng minh rằng với n=30 tồn tại một số trên đường tròn khác với trung bình số học của hai số lân cận của nó ít nhất là 2/113. Cho ví dụ về tập hợp 30 số trên một vòng tròn,

37

trong đó không có số nào khác trung bình số học của hai số liền kề của nó quá 2/113.

e)* Tìm trong bài toán ước tính chính xác về sự khác biệt giữa số và trung bình số học của các lân cận của nó đối với bất kỳ $n$ nào. (9 lớp)

M399. Trên một đoạn có độ dài 7, chúng ta có thể thiết lập một đường đi của các điểm (xem Hình 3) sao cho với bất kỳ $m=1, 2, \dots, 7$ nào cũng có hai trong số năm điểm này ở khoảng cách $m$.

Hãy thử tìm ra số nhỏ nhất của $k_n$ điểm phải được đặt trên một đoạn có độ dài $n$ sao cho với bất kỳ $m=1, 2, \dots, n$ nào cũng có hai trong số $k_n$ điểm này ở khoảng cách $m$.

a) Giải bài toán này cho một số giá trị của $n$ (chúng ta biết $k_n$ cho $n \leqslant 13$).

b) Lấy ước tính cho $k_n$ cho bất kỳ $n$ nào. Ước tính $(\sqrt{8n+1}+1)/2 \leqslant k_n \leqslant \sqrt{4n+5}-1$ đã được biết. Hãy cố gắng chứng minh những bất đẳng thức này và nếu có thể, hãy tìm những ước tính chính xác hơn.

MỘT. Savin

M400. Chúng ta gọi một dãy số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_h$ là phổ quát cho một $N$ nếu từ đó chúng ta có thể loại bỏ một phần số hạng của bất kỳ dãy $N$ nào trong đó mỗi số 1, 2, …, $N$ xuất hiện một lần.

a) Cho ví dụ về dãy phổ quát gồm $N^2$ số hạng.

b) Cho ví dụ về dãy phổ quát gồm $N^2-N+1$ số hạng.

c) Chứng minh rằng bất kỳ dãy phổ quát nào cũng bao gồm ít nhất $\frac{N(N+1)}{2}$ số hạng.

d) Chứng minh rằng với $N=4$ dãy phổ quát ngắn nhất gồm 12 số hạng.

d) Cố gắng tìm một $N$ dãy phổ quát ngắn nhất có thể. (9 lớp)

G. Gurevich

F408. Từ các điện trở ở 1, 2, 3 và 4, mạch điện như hình 4 được lắp ráp. Dòng điện chạy qua ampe kế $A_2$ là bao nhiêu, nếu dòng điện chạy qua ampe kế $A_1$ 5 $a$? Vôn kế chỉ 10 $b$. Các dụng cụ đo lường là hoàn hảo. (8 lớp)

F409. Tại sao bạn có thể dùng thấu kính để thắp sáng giấy bằng ánh sáng từ Mặt trời mà không thể dùng ánh sáng từ một ngôi sao? (10 lớp)

38

F410. Trong một thiết bị dựa trên điện tử, cực âm vonfram tinh khiết được đặt trong một bình lớn chứa oxy dư ở áp suất $p = 10^{-7}$ atm và nhiệt độ $T = 300^\circ\text{K}$. Giả sử rằng mọi phân tử chạm vào cực âm đều dính vào nó, hãy ước tính thời gian hình thành lớp đơn phân tử. Các phân tử có thể được coi là những quả bóng có đường kính $d \approx 3 \cdot 10^{-8}$ cm. (9 ô)

F411. Một đồng hồ đo áp suất thủ công hình chữ U có thể thay đổi áp suất lên tới 1 atm. Áp suất tối đa có thể thay đổi được là bao nhiêu nếu hai đồng hồ đo áp suất như vậy mắc nối tiếp với một ống ngắn? (lớp 9-10)

F412. Giáo viên, đáp lại doxa, giám sát lớp học bằng hình ảnh phản chiếu trong kính. Đồng thời, anh ta nhìn thấy hai hình ảnh phản chiếu của một học sinh ngồi cách mình 5 m: một cách 5 m, một cách $\frac{5}{7}$ m. Chỉ quay mặt về phía lớp, qua cặp kính anh nhìn thấy hình ảnh của cậu học sinh đó ở khoảng cách 2,5 m. Xác định chiết suất của thủy tinh làm thấu kính. (10 lớp)

Lời giải bài toán
M354 — M358, M360; F362 — F368

M354. Có thể xét các số 1, 2, 3, …, $4n + 2$ tại các đỉnh và trung điểm của các cạnh của một nút thắt đều (2n + 1) sao cho tổng của ba số ở hai đầu và giữa mỗi cạnh bằng nhau đối với tất cả các cạnh?

Chúng ta hãy xem xét trường hợp $n = 3, n = 8$ làm ví dụ,

Cơm. 1.

Đáp số. Có thể.

Hãy đưa ra một trong những phương pháp sắp xếp. Tại trung điểm của các cạnh của đa giác, chúng ta xếp các số từ 1 đến $2n + 1$ theo thứ tự. Thông báo này giúp bạn sắp xếp các số còn lại $2n + 2, \dots, 4n + 2$. Hãy tìm tổng $S$ của ba số ở cuối và giữa mỗi bên. Rõ ràng, $S = \frac{\Sigma + \Sigma'}{2n + 1}$, trong đó $\Sigma = 1 + 2 + \dots + (4n + 2) = (2n + 1) \times (4n + 3)$ là tổng của tất cả các số được viết, $\Sigma' = (2n + 2) + \dots + (4n + 2) = (2n + 1) (3n + 2)$ là tổng của các số cần đặt ở các đỉnh; do đó $S = 7n + 5$. Bây giờ chúng ta đặt số $4n + 2$ ở đỉnh, chung cho các cạnh có số 1 và 2 ở giữa, và chúng ta sẽ đặt các số $4n + 1, 4n, \dots, 2n + 2$ lần lượt ở các đỉnh, coi đỉnh có số $4n + 2$ là đỉnh đầu tiên - xem Hình 1 (trong hình này, tất cả các điểm đều nằm trên cùng một đường tròn; các chấm đen là “trung điểm”, các chấm màu đỏ là “đỉnh”). Hãy chứng minh rằng bằng cách này, số cần tìm sẽ được đặt ở mỗi đỉnh (không còn nghi ngờ gì nữa rằng đây sẽ là các số $2n + 2$, …, $4n + 2$). Trên thực tế, sau $n$ bước đầu tiên chúng ta sẽ đến đỉnh liền kề với đỉnh ban đầu và số $(4n + 2) - n = 3n + 2$ sẽ được đặt ở đỉnh này, do đó tổng các số ở cạnh có một số ở giữa chính xác là $(3n + 2) + 1 + (4n + 2) = 7n + 5$. Bây giờ số tiền chính xác không phải là

39

M355. N đứa trẻ chuyền N quả bóng. Khi bắt đầu mỗi người trong số họ, chúng tôi ném quả bóng của mình cho một trong những người bạn đồng hành của mình và bắt quả bóng do ai đó ném (anh ta có thể ném và bắt quả bóng của chính mình) để mọi người lại có một quả bóng. Sau đó, các chàng trai lại ném quả bóng cho chính những người mà họ đã ném lần đầu tiên, v.v. Trò chơi dừng lại khi tất cả các quả bóng được trả lại cho chủ nhân của chúng (các quả bóng chưa được thay thế, chúng ta sẽ coi chúng có màu sắc khác nhau).

Chứng minh rằng
a) Trả bóng cho từng người tham gia sau khi ném N;
b) cerra bắt buộc phải chấm dứt;
e) thời lượng của cerra luôn là ước số của số N!=1·2·…·N;
d) thời hạn của cerra không được vượt quá $\frac{N}{3}$.

Cho phép người chơi $A_1$ chuyền bóng của mình cho người chơi $A_2$, người chơi $A_2$ cho người chơi $A_3$it. D. Vì có số lượng người chơi hữu hạn nên theo trình tự này sớm hay muộn một trong hai người chơi sẽ gặp nhau hai lần. Rõ ràng người chơi đầu tiên như vậy sẽ là người chơi $A_1$. Có hiệu quả, hãy để người chơi $A_n$ chuyền bóng của mình cho người chơi $A_k$, trong đó $k < n$ và $k > 1$. Sau đó, người chơi $A_n$ và $A_{k-1}$ chuyền bóng cho cùng một người chơi và từ điều kiện bài toán thì người chơi $A_{k-1}$ và $A_n$ là cùng một người. Vì vậy, các cầu thủ $A_1$, $A_2$, … có thể xếp thành vòng tròn sao cho mỗi cầu thủ chuyền và nhận bóng từ người hàng xóm của mình. Tuy nhiên, người chơi có thể được xếp vào một số vòng kết nối như vậy. Vì không có quá N người trong mỗi vòng tròn này nên bóng sẽ quay trở lại bất kỳ người chơi nào sau không quá N lần ném.

Chúng ta có tổng cộng s vòng tròn, trong đó lần lượt có $l_1$, $l_2$, …, $l_s$ người. Nếu có l người trong một vòng tròn thì sau khi ném m·l, tất cả các quả bóng trong đó đều nằm trong tay người chủ. Vì vậy, trò chơi sẽ kết thúc sau $T = H.O.K.(l_1, l_2, ..., l_s)$ lần ném. (H.O.K.(l_1, …, l_s) là bội số chung nhỏ nhất của $l_1$, …, $l_s$). Vì mọi thứ đều là $l_i \leq N$ nên rõ ràng T là ước của N!. Như vậy ta đã trả lời được điểm a), b) và d) bài toán. Hãy nhìn vào điểm d).

Lưu ý rằng $l_1 + l_2 + ... + l_s = N$ và tất cả $l_i$ đều là số nguyên.

Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s \leq 3$. (Trong điều kiện bài toán, được xuất bản ở «Kvant» Số 11 năm 1975, ở đoạn d) có lỗi đánh máy: thời lượng của trò chơi không được vượt quá $\frac{N}{3}$, chứ không phải 3N/3.) Có hiệu lực, nếu có một số $l_s \geq 4$, thì thay thế bằng 2+($l - 2$), chúng tôi sẽ không thay đổi số tiền $l_1 + l_2 + ... + l_s$ và không giảm sản phẩm $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$. Do đó, từ tích $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$ chúng ta có thể đi đến tích không tối thiểu, trong đó tất cả các thành phần không quá ba. Lưu ý, nếu điều này xảy ra, 1+1 nhân 2, 1+3 nhân 2+2 và 2+2+2 nhân 3+3, chúng ta sẽ được tích có dạng 3·3·…·3, 3·3···3·2 hoặc 3·3···3·2·2 tùy theo số dư thu được khi chia N cho 3, không nhỏ hơn bất kỳ tích nào $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s$. Cụ thể: nếu N chia hết cho 3 thì chúng ta lấy $\frac{N}{3}$ bộ ba và nhận được ước tính cần thiết; nếu số dư là 1 thì lấy $\frac{N}{3}$ ba và hai hai; sau đó $l_1 \cdot l_2 \cdot ... \cdot l_s < 2 \cdot 2 \cdot 3 = \frac{N-4}{3}$; nhưng 4·3 < 3, vì $4^3 > 3^4$. Nếu số dư là 2 thì lấy $\frac{N}{3}$ ba và một hai;

40

M356. Từ điểm M nằm trong tam giác $A_1B_1C_1$, các đường vuông góc $MA_2$, $MB_2$, $MC_2$ lần lượt được thả xuống các đường thẳng $B_1C_1$, $A_1C_1$, $A_1B_1$, sau đó từ điểm này, các đường vuông góc $MA_3$, $MB_3$ được thả xuống, $MC_3$ đến các đường thẳng $B_2C_2$, $A_2C_2$, $A_2B_2$, v.v. Hãy chứng minh rằng trong dãy kết quả các tam giác $A_1B_1C_1$, $A_2B_2C_2$, $A_3B_3C_3$, … tam giác $A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1}$ đồng dạng với tam giác $A_1B_1C_1$.

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh sự tương ứng phụ sau: $\hat{A}_{i+1} = B_i\hat{M}C_i - \hat{A}_i$ (tương ứng $\hat{B}_{i+1} = A_i\hat{M}C_i - \hat{B}_i$, $\hat{C}_{i+1} = A_i\hat{M}B_i - \hat{C}_i$).

Thật vậy, vì $MA_{i+1}\bot B_iC_i$, $MB_{i+1}\bot A_iC_i$ và $MC_{i+1}\bot A_iB_i$, các đường tròn có đường kính $MC_i$ và $MB_i$ có thể được mô tả lần lượt xung quanh các tứ giác $MA_{i+1}C_iB_{i+1}$ và $MA_{i+1}B_iC_{i+1}$. Do đó, $MA_{i+1}\bot B_{i+1} = MC_i\bot B_{i+1}$ và $MA_{i+1}\bot C_{i+1} = MB_{i}\bot C_{i+1}$ (là các góc treo dựa trên cùng một cung) và đối với góc $A_{i+1}$ chúng ta có (xem Hình 3):

$$\hat{A}_{i+1} = C_{i+1}\hat{A}_{i+1}B_{i+1} + MA_{i+1}C_{i+1} = MC_{i}\hat{B}_{i+1} + MB_{i}\hat{C}_{i+1} = (\hat{C}_i - M\hat{C}_iB_i) + (\hat{B}_i - M\hat{B}_iC_i) = (\hat{B}_i + \hat{C}_i) - (M\hat{B}_iC_i + M\hat{C}_iB_i) = (180^\circ - \hat{A}_i) - (180^\circ - M\hat{C}_i) = B_i\hat{M}C_i - \hat{A}_i.$$

Sau nhiệt độ các góc của tam giác là $A_4B_4C_4$. Chúng tôi có:

$$\hat{A}_4 = B_3\hat{M}C_3 - \hat{A}_3 = (180^\circ - \hat{A}_2) - (B_2\hat{M}C_2 - \hat{A}_2) = (180^\circ - B_2\hat{M}C_2) = \hat{A}_1.$$

Tương tự như $\hat{B}_4 = \hat{B}_1$, $\hat{C}_4 = \hat{C}_1$, tức là $\Delta A_4B_4C_4 \sim \Delta A_1B_1C_1$. Lấy tam giác $A_4B_4C_4$ ngoại trừ ($\Delta A_1'B_1'C_1'$), ta chứng minh tương tự rằng

$$\Delta A_7B_7C_7 \sim \Delta A_4B_4C_4 \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

vậy thì sao

$$\Delta A_{10}B_{10}C_{10} \sim \Delta A_7B_7C_7 \sim \dots \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

vân vân, vân vân

$$\Delta A_{3n+1}B_{3n+1}C_{3n+1} \sim \Delta A_{3n} \sim 2C_{3n} \sim 2 \dots \sim \Delta A_1B_1C_1,$$

Q.E.D.

J. Sukonic