Kvant 1977, số 6 · Trang

KVANM 6
1977

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Trên đây là một họ đường cong được gọi là hình bầu dục Descartes. Những loại đường cong này được mô tả trong ghi chú “Descartes Ovals” trên trang. 43.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kionn
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

Trong hình ở trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy kết quả của sự đảo ngược nhiều lần của ba đường tròn tiếp tuyến theo cặp: đầu tiên là sự đảo ngược của chúng đối với nhau, sau đó là sự đảo ngược của các đường tròn do những sự đảo ngược này, tương đối với nhau, v.v.
Việc xây dựng này được thực hiện như thế nào? Ý nghĩa hình học đằng sau những biến đổi như vậy là gì? Bạn sẽ tìm hiểu về điều này khi đọc bài viết của V. Vavilov (xem trang 38).

TRONG PHÒNG:

3 I. Newton. Nguyên lý toán học của triết học tự nhiên (Lời nói đầu)
4 I. Bashmova. Isaac Newton
12 à. Smorodinsky. Định luật hấp dẫn
19 A. Kushinrenko. Đa giác Newton
25 V. Kresin. quá trình Adinabat
30 N. Vasiliev, A. Tolpyzo. Trình tự mượt mà

Phòng thí nghiệm «Kvant»
35 A. Bondar. Máy hát và sự nhiễu xạ ánh sáng

Hội thảo toán học
38 V. Vavilov. Hình học vòng tròn

Vấn đề «Kvant»
44 Bài toán M446—M450; F458—F462
46 Lời giải bài toán M403, M405—M409; F413—F415, F417 — F422
57 A. Lodkin. Phương trình hàm trên mặt cầu

«Kvant» cho học sinh nhỏ
61 Bài toán
62 N. Nosov. Vitya Maleev giải quyết vấn đề

Xưởng của người nộp đơn
67 I. Konstantinov. Hơi nước bão hòa
71 N. Rozov. Lời khuyên của độc giả

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1976
78 V. Osipov, A. Shepelyavy. Đại học bang Leningrad được đặt theo tên. A. A. Zhdanova
79 E. Golubov. Đại học bang Ural được đặt theo tên A. M. Gorky
80 M. Khoroshev. Viện kỹ sư trắc địa, chụp ảnh trên không và bản đồ Moscow
81 N. Kvacheva, O. Malyukov, V. Trenotsin. Viện thép và hợp kim Moscow
84 G. Efashkin, V. Tonyan. Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow
86 V. Besmaeva, O. Ovchinnikov, G. Shadrin. Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin
88 A. Karasev. Viện tài chính và kinh tế thư tín trọn gói
89 mẫu bài thi viết môn toán ở các trường đại học năm 1977

Rezcenzini, thư mục
90 I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới

Pha trộn (37, 43, 60)

Đáp số, gợi ý, lời giải

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1977

3

Nguyên lý toán học của triết học tự nhiên

Lời nói đầu *)

“…Cơ học là học thuyết về chuyển động được tạo ra bởi bất kỳ chuyển động nào và về chuyển động cần thiết để tạo ra bất kỳ chuyển động nào, đã được nêu và chứng minh một cách chính xác.

Người xưa chỉ phát triển phần cơ học này dưới hình thức học thuyết về năm cỗ máy **) dùng trong thủ công; đồng thời, ngay cả trọng lượng (vì đây không phải là lực tăng do bàn tay tạo ra) chính xác không được coi là lực mà chỉ được coi là tải trọng do các máy nói trên di chuyển. Chúng ta, không nói về nghề thủ công, mà về học thuyết về tự nhiên và do đó, không phải về nỗ lực của đôi tay, mà về các sức mạnh của tự nhiên, sẽ chủ yếu giải quyết những gì liên quan đến độ nặng, độ nhẹ, độ đàn hồi, khả năng chống lại chất lỏng và các thứ tương tự dễ chịu hoặc tương tự khác.

*) Chúng tôi xin trình bày một đoạn trích nhỏ từ “Lời nói đầu” của Isaac Newton cho ấn bản đầu tiên của “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên”, xuất bản năm 1686. Bản dịch sang tiếng Nga được thực hiện lần đầu tiên vào năm 1915 bởi thợ cơ khí người Nga được thay thế, Viện sĩ A. N. Krylov.

**) Các máy móc chính được các tác giả cổ coi là: vectis - đòn bẩy, trục trong peritrochio - cổng, trochlea seu polispastus - khối, ốc tai - vít, vòm - nêm. Đây là gót chân của những cỗ máy mà Newton muốn nói đến. (Ghi chú của A. N. Krylov.)

lực xuyên thấu. Vì vậy, chúng tôi đề xuất điều này rõ ràng hơn như là nền tảng toán học của vật lý. Toàn bộ khó khăn của vật lý, như sẽ thấy, nằm ở việc nhận biết các lực tự nhiên từ các hiện tượng chuyển động, và sau đó sử dụng các lực này để giải thích các hiện tượng khác. Những đề xuất chung nêu trong cuốn một và cuốn hai đều nhằm mục đích này. Trong cuốn sách thứ ba, chúng tôi đưa ra một ví dụ về ứng dụng nêu trên, giải thích hệ thống của thế giới, hay ở đây, từ các hiện tượng thiên thể, sử dụng các giả định đã được chứng minh trong các cuốn sách trước, lực toán học có nguồn gốc từ lực hấp dẫn của các vật thể đối với Mặt trời và các hành tinh riêng lẻ. Sau đó, từ các lực này, cũng với sự trợ giúp của các mệnh đề toán học, người ta suy ra chuyển động của các hành tinh, sao chổi, Lunya và biển. Tôi mong muốn rút ra từ các nguyên lý cơ học những hiện tượng còn lại của tự nhiên, phân biệt chúng theo cách tương tự, hoặc nhiều thứ buộc tôi phải giả định rằng tất cả những hiện tượng này được xác định bởi những lực nhất định mà từ đó các hạt của vật thể, do những nguyên nhân chưa được biết đến, hoặc có xu hướng với nhau và tuân theo các hình đều đặn, hoặc đẩy nhau. Vì những lực này chưa được biết đến nên cho đến nay nỗ lực của các nhà triết học nhằm giải thích các hiện tượng tự nhiên vẫn không có kết quả. Tôi hy vọng rằng phương pháp xa lánh này hoặc một phương pháp khác, đúng hơn, những lý do được nêu ở đây sẽ nhận được sự soi sáng chưa được tiết lộ.

Trong quá trình xuất bản tác phẩm này, Edmund Halley, người hóm hỉnh nhất trong mọi lĩnh vực học tập, đã đóng góp vào nội dung, người không chỉ sửa lỗi đánh máy và làm quen với việc chuẩn bị các bức vẽ, mà ngay cả khi ông nài nỉ, ông cũng bắt đầu tự xuất bản. Sau khi nhận được từ tôi bằng chứng về loại quỹ đạo của các thiên thể, anh ấy liên tục nhấn mạnh rằng tôi phải báo cáo chúng với Hiệp hội Hoàng gia, sau đó, với sự quan tâm và chăm sóc tử tế của nó, đã khiến tôi nghĩ đến việc thả chúng ra thế giới…”

4

I. Bashmova

Thế giới này bị bao phủ trong bóng tối sâu thẳm. Hãy để có ánh sáng! Và rồi Newton xuất hiện.
A. Bật*)

Newton là thiên tài vĩ đại nhất từng tồn tại và là người hạnh phúc nhất, hoặc chỉ một lần được trao cho con người, hệ thống thế giới đã mở.
J. L. Lagrange

Mỗi người trong số các bạn chắc chắn đã nghe nói về Newton. Thật khó để tìm thấy một nhà khoa học có ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của khoa học và văn hóa thế giới như vậy. Cơ học Newton là nền tảng của khoa học tự nhiên hiện đại. Dựa trên định luật vạn vật hấp dẫn do ông phát hiện ra, Newton đã tạo ra một hệ thống sáng tạo thế giới hợp lý và mạch lạc. Hầu hết toán học tự nhiên hiện đại đều dựa trên phép tính vi phân do Newot phát triển.

Bất chấp tầm quan trọng của công trình của Newton, việc nghiên cứu nghiêm túc về di sản của ông chỉ mới bắt đầu gần đây. Sự thật là sau cái chết của Newton, tất cả giấy tờ của ông đều thuộc về chồng của cháu gái ông, John Conduit, và sau đó là con gái của ông, người đã kết hôn với một trong những lãnh chúa.

*) Vào thế kỷ 20, câu chuyện ngụ ngôn của thế kỷ 18 này vẫn được tiếp tục:

Nhưng Satan không đợi lâu để trả thù - Einstein đến và mọi thứ trở lại như cũ.
(Bản dịch các biểu tượng obikhe của S. Ya. Marshak.)

Portmouth. Các giấy tờ của Newton được lưu giữ trong gia đình này cho đến năm 1936, khi tất cả các bộ sưu tập của Portmouth được bán trong một cuộc đấu giá công khai ở London. Ba triệu từ gốc của Newton được định giá 9.030 bảng Anh. Chỉ nhờ vào số lượng lớn của một số nhà khoa học và các hoạt động công cộng, một phần đáng kể của các bài báo đã được đưa đến các thư viện của Cambridge và London. Tuy nhiên, rất nhiều giấy tờ đã bị thất lạc ở nước ngoài. Một số biến mất không dấu vết. Niên đại của các bản thảo mà chính Newton đã thiết lập trước khi qua đời đã bị vi phạm một cách vô vọng.

Nghiên cứu có hệ thống về di sản của Newton chỉ bắt đầu sau Thế chiến thứ hai. Từ năm 1959, thư từ của Newton bắt đầu được xuất bản ở Anh (cho đến nay đã xuất bản 7 tập), các công trình về động lực học của ông đã được xuất bản, và cuối cùng, kể từ năm 1967, các bản thảo toán học của ông bắt đầu được xuất bản (7 tập đã được xuất bản). Tất cả những điều này giờ đây cho phép chúng ta đánh giá đầy đủ hơn sức mạnh và chiều sâu của thiên tài Newton. Nhà khoa học vĩ đại giờ đây xuất hiện trước chúng ta không chỉ với tư cách là người tạo ra phép tính vi phân và tích phân mà còn là một nhà đại số, nhà nghiên cứu chính trong lĩnh vực hình học đại số và lý thuyết số.

Isaac Newton sinh ngày 4 tháng 1 năm 1643 trong một gia đình tá điền nghèo ở làng Woolsthorpe gần

5

thành phố Grantzma. Cha của Isaac qua đời trước khi con trai ông được sinh ra. Cậu bé đầu tiên theo học tại một trường nông thôn, và sau đó là trường học ở Grantzma. Giám đốc nhà trường chú ý đến khả năng của chàng trai trẻ và thuyết phục mẹ anh cho con trai đi học đại học. Mùa hè năm 1661, Isaac Newton vào học tại St. Trinity College thuộc Đại học Cambridge với tư cách là một sinh viên nghèo, buộc phải phục vụ các cử nhân, thạc sĩ và sinh viên năm cuối. Năm 1665, ông tốt nghiệp đại học với bằng cử nhân, ba năm sau ông trở thành thạc sĩ, và một năm sau, theo gợi ý của thầy Isaac Barruu, ông tiếp quản khoa của mình. Tại trường đại học, Newton giảng dạy về vật lý và toán học. Newton không được chào đón - đây là truyền thống của trường Cao đẳng Trinity, có từ thời Trung cổ.

Cuộc sống của Newton êm đềm, đo lường và không hề giàu có. Tuy nhiên, thật khó để tìm thấy một cuộc sống bão hòa hơn với định hướng, đầy sự tìm kiếm và cảm hứng sáng tạo.

Trong bài viết này chúng ta sẽ thảo luận chi tiết về những thành tựu toán học của Newton.

Như những ghi chép sơ bộ của Newton cho thấy, trong lĩnh vực toán học, ông đã tự học - ở trường đại học, ông chỉ dạy một môn toán tiểu học. Niềm yêu thích toán học của chàng trai trẻ được khơi dậy bởi một sự cản trở vô tình: vào mùa hè năm 1663, anh mua một cuốn sách về chiêm tinh học tại một hội chợ. Để hiểu nó, ông cần phải làm quen với phép đo lượng giác, do đó, cần có kiến ​​thức về hình học Euclidian. Vì vậy, Newton bắt đầu nghiên cứu Cơ sở của Euclid, từ đó ông chuyển sang các tác phẩm của Vieta và Descartes về đại số và hình học giải tích, sau đó làm quen với các tác phẩm của Valis về phép tính vi phân. Các cuốn sổ ghi chép cho thấy Newotn phải mất khoảng một năm để thành thạo toán học đương đại và bắt đầu nghiên cứu độc lập. Vào thời điểm này, ông đã viết ra công thức nổi tiếng cho khai triển chuỗi $(1+x)^r$, trong đó $r$ là bất kỳ số hữu tỉ nào (chúng ta sẽ thảo luận về nó bên dưới). Ngay từ năm 1664-1667, Newton đã bắt đầu nghiên cứu về hình học giải tích và phép tính vi phân.

Hình học giải tích và nghiên cứu các đường cong bậc tam giác

Các đường cong bậc hai (hình elip, hyperbol và parabol) được nghiên cứu bởi Apollo (thế kỷ thứ 3 trước Công nguyên). Vào thời Apollo không có đại số chữ cái, vì vậy Apollonius đã viết ra các phương trình đường cong hình học bằng cách sử dụng đẳng thức của một số diện tích nhất định.

Hình học giải tích, dựa trên đại số chữ cái, chỉ được tạo ra trong thời hiện đại bởi Pierre Fermat (1636) và René Descartes (1637), những người sau này đưa ra phép tính chữ cái ở dạng hiện đại. Khi giới thiệu hệ tọa độ, cả hai nhà toán học đều vẽ một trục tọa độ (ngang) với phần đầu của báo cáo được đặt, đối với trục thứ hai chỉ xác định hướng. Điều quan trọng hơn nhiều là thực tế là cả Descartes lẫn Fermat đều không rút ra được các tính chất của đường cong từ việc định nghĩa các phương trình của chúng. Họ hài lòng khi rút gọn phương trình về một trong những dạng chính tắc được tìm thấy ở Apollo, và sau đó chỉ cần sử dụng kết quả của ông. Vì vậy, các chi tiết cụ thể của phương pháp hình học giải tích vẫn chưa được tiết lộ.

Newton ngay lập tức bắt đầu vẽ lên bản vẽ về các trục tọa độ (ở một góc tùy ý với nhau). Cả bốn ô vuông đều quen thuộc như nhau đối với anh ta, trong khi các nghiên cứu trước đây đã vẽ đường cong nên nghiên cứu được thực hiện chủ yếu ở ô vuông thứ nhất và thứ tư. Newton đã trả lời về điểm trung tâm của phép biến đổi tọa độ và viết ra các công thức biến đổi và phép quay song song.

Cuối cùng, Newton bắt đầu nghiên cứu các đường cong tam giác, mà chỉ có những ví dụ riêng biệt được biết đến. Ông đã thực hiện nghiên cứu này với sự tỉ mỉ tương tự.

6

Quang cảnh bên trong trường Grantham (chụp ảnh đương đại)

mức độ đầy đủ mà các đường cong bậc hai đã được nghiên cứu. Newton đã khái quát hóa các khái niệm về đường kính, trục, đỉnh, tâm và tiếp tuyến của các đường cong bậc ba. Ông chia những đường cong này thành các loại, hóa ra là 72. Những kết quả này nhanh chóng được các nhà toán học Anh biết đến, nhưng chúng chỉ được xuất bản vào năm 1704 trong phần phụ lục của cuốn sách “Quang học”. Phụ lục này - “Liệt kê các đường cong bậc ba” - được viết rất kém, không có bằng chứng. Giờ đây, nhờ vào các bản thảo, chúng ta có thể tìm ra cách Newton đi đến kết quả của mình và đối với các nhà toán học, điều này thường quan trọng hơn bản thân kết quả.

“Liệt kê các đường cong” đánh dấu sự khởi đầu của một nhánh mới của toán học - hình học đại số. Công việc này chỉ được hiểu và đánh giá đầy đủ vào cuối thế kỷ 19 - đầu thế kỷ 20.

Phương pháp thông lượng

Đồng thời, Newton bắt đầu tạo ra một phép tính mới.

Vào thế kỷ 17, liên quan đến những thành công của cơ học về các vật thể trên mặt đất và thiên thể (hãy nhớ lại rằng vào thời điểm đó, định luật về các vật thể rơi được phát hiện bởi Galileo và định luật chuyển động hành tinh của Kepler), các nhà khoa học bắt đầu nghiên cứu các công trình của Archimedes, cố gắng rút ra từ chúng các phương pháp chung để xác định tiếp tuyến, cực trị, vận tốc, trọng tâm, diện tích và thể tích.

Newoton là người đầu tiên hiểu rằng toàn bộ tập hợp bài toán này rơi vào hai lớp hình ảnh bài toán lẫn nhau, có thể được hình thành ở dạng tổng quát và đối với lời giải của chúng, một thuật toán duy nhất có thể được đưa ra. Để làm được điều này, Newton trước hết đưa ra khái niệm lưu loát (từ tiếng Latin fluere - đến dòng chảy) - một đại lượng thay đổi khi có sự thay đổi về thời gian hoặc một đại lượng khác (mà ông gọi là thời gian tổng quát). Vì vậy, fluta là tên đầu tiên của hàm. Newton chỉ định thông thạo các chữ cái cuối cùng của bảng chữ cái Latinh: x, y, z. Ông gọi tốc độ thay đổi của thông thạo, tức là đạo hàm, thông lượng và được chỉ định lần lượt là x, y, z. (Trong vật lý, những ký hiệu này vẫn được giữ cho đến ngày nay.) Sau đó, Newton đã hình thành hai bài toán chính:

I. Sự tương ứng giữa các lưu loát được đưa ra: $f(x, y, z) = 0$. Tìm sự tương ứng giữa các thông lượng của chúng: $\Phi(\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}, x, y, z) = 0$.

7

II. Sự tương ứng giữa các thông lượng được cho: $f(x, y, z, x, y, z) = 0$.
Tìm sự tương ứng giữa các thông lượng: $\Psi(x, y, z) = 0$.

Các trường hợp đặc biệt của bài toán đầu tiên là tìm tốc độ chuyển động dọc theo một đường đi được xác định là hàm của thời gian, tìm cực trị và tiếp tuyến. Newton đưa ra thuật toán lời giải đến bài toán cho trường hợp sự tương ứng giữa các thông lượng được cho bởi đa thức $F(x, y)$ hoặc $F(x, y, z)$.

Quy tắc Newton như sau: sắp xếp đa thức theo lũy thừa của từng ubud của lưu loát, ví dụ $x$; nhân mỗi số hạng với $x/x$ và với lũy thừa tương ứng $x$; làm tương tự với các lưu loát khác; lấy tổng của các số hạng nhận được và đánh đồng nó bằng 0.

Ví dụ, chúng ta hãy áp dụng quy tắc này cho đa thức $y - x^n$. Chúng tôi nhận được $y \cdot \frac{y}{y} - x^n \cdot n \cdot \frac{x}{x} = 0$ hoặc $y = nx^{n-1}x$.

Newton biện minh cho quy tắc của mình như sau: chúng ta tăng thời gian lên một “phần nhỏ không xác định” - thời điểm $o$, khi đó độ lưu loát sẽ tăng thêm $ox$ và $oy$; Hãy thay thế các giá trị thông thạo mới vào biểu thức ban đầu và giảm tất cả các số hạng xuống $o$. Anh ấy đặt ra quan điểm trọng tâm trong lời biện minh của mình như sau: “Không phải vì chúng ta giả định $o$ là một giá trị vô cùng nhỏ…, nên những số hạng được nhân với nó có thể được coi là không có gì so với những số hạng khác. Đó là lý do tại sao tôi bỏ qua chúng.”

Để xem xét một ví dụ chúng ta có

$$y + oy = (x + ox)^n,$$

$$y + oy = x^n + nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}ox +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x +$$

$$+ \frac{n(n-1)}{1 \cdot 2} x^{n-2}o^2 \dot{x}^2 + \dots,$$

$$\dot{y} = nx^{n-1}x.$$

Đáp số là đúng! Tuy nhiên, lời giải thích của nó rất thiếu thuyết phục.

Bản thân Newton cũng không hài lòng với cách giải thích được đưa ra và đang cố gắng đưa ra cơ sở vững chắc hơn cho tính toán của mình. Trong phần giới thiệu cuốn “Nguyên lý toán học của Fluosophy tự nhiên” (1687), Newton đã nêu ra lý thuyết giới hạn (ông gọi đó là “lý thuyết về quan hệ đầu tiên và cuối cùng”), nhưng ông không áp dụng nó để chứng minh và xây dựng một cách có hệ thống phép tính vi phân. Điều này được thực hiện khoảng 150 năm sau trong công trình của O. Cauchy (1789-1857) và một số nhà toán học khác của thế kỷ trước.

bài toán thứ hai ở dạng tổng quát là bài toán tích phân các phương trình vi phân, tức là các phương trình kết nối các hàm nhất định và các hàm tùy ý của chúng. Trong một trường hợp cụ thể - đối với phương trình $y = f(x)$ - bài toán này được rút gọn thành việc tìm hình tượng đầu tiên.

Newton chứng tỏ rằng bài toán “Xác định diện tích giới hạn bởi bất kỳ đường cong cho trước nào” có các tính chất của định nghĩa thông lượng, vì thông lượng của diện tích (tùy ý) $z = ADB$ bằng với tọa độ $y = BD$ (xem Hình 1; xem thêm đẳng thức (2) trong đoạn 100 của sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 10”).

Trong trường hợp tổng quát, với lời giải giây bài toán Newton đã sử dụng một bộ máy phân tích mới, cho phép ông mở rộng thuật toán của mình sang một lớp hàm rất rộng. Đây là một bước cơ bản. Chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn.

8

Dòng điện

Ban đầu, phương pháp thông lượng được áp dụng cho đa thức. Còn các chức năng khác thì sao? Ví dụ, làm thế nào để tìm các hàm đo thông lượng
$$\frac{x}{a^2+x^2}, \sqrt{ax+b}, \sin x$$ Làm thế nào để giải phương trình $\dot{y}=\sin x, \dot{y}=\sqrt{ax+b}$?
Và vì vậy Newton đã đi đến ý tưởng rằng tất cả các hàm mà ông biết có thể được viết một cách hoàn toàn thống nhất bằng cách sử dụng chuỗi lũy thừa
$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n + \dots,$$
giống như các đa thức vô hạn. Một ví dụ về ký hiệu như vậy là (đối với $|x|<1$) đẳng thức
$$\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+\dots+x^n+\dots.$$
Newton viết rằng ông đã đi đến ý tưởng của mình, được hướng dẫn bởi sự tương tự với cách biểu diễn số thập phân bằng phân số: “… học thuyết về biểu thức chữ có cùng mối quan hệ với đại số cũng như học thuyết về phân số thập phân với số học thông thường… Và cũng giống như phân số thập phân có ưu điểm là các phân số và nghiệm chung được biểu thị trong chúng có được ở một mức độ nào đó các tính chất của số nguyên, chuỗi vô hạn của các chuỗi vô hạn theo bảng chữ cái cũng mang lại lợi ích là các biểu thức phức tạp sớm (phân số có mẫu số tổng hợp, căn bậc hai của số lượng hoặc phương trình ẩn, v.v.) có thể được giảm bớt với sự trợ giúp của chúng thành một dãy số lượng đơn giản…”

Newoton thu được sự mở rộng chuỗi lũy thừa cho các hàm $a^x$, $\log_a(1+x)$, $\sin x$, $\cos x$, $\arcsin x$, $\arccos x$, cũng như cho các hàm phân số và hàm vô tỉ. Chính để phân rã cái sau mà Newoton đã tổng quát hóa công thức nhị thức được biết đến với số nguyên dương $n$
$$(a+x)^n = a^n + na^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}x^2 + \dots + x^n$$
đối với trường hợp số mũ là số hữu tỉ $r$:
$$(a+x)^r = a^r + ra^{r-1}x + \frac{r(r-1)}{1.2}a^{r-2}x^2 + \dots$$
Khi $r$ không phải là số nguyên, số hạng của tổng

sẽ không còn là cuối cùng nữa. Ví dụ,

$$\sqrt{1+x} = (1+x)^{\frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)}{1\cdot2}x^2 + \dots$$

Newton cũng đã nghĩ ra cách khai triển hàm $y$ thành một chuỗi, được ngầm định sử dụng phương trình $F(x, y) = 0$, trong đó $F(x, y)$ là một đa thức. Phương pháp này được gọi là hình bình hành Newton). Nó là cơ sở cho công việc của Pünze và các nhà toán học khác trong nhiều thế kỷ đã nghiên cứu các hàm đại số.

Newton hoàn toàn hiểu rõ vai trò của chuỗi trong phép tính mà ông tạo ra. Ông nhấn mạnh điều này ngay trong tiêu đề tác phẩm của mình: “Phương pháp dao động và chuỗi vô hạn” và “Phân tích bằng phương trình với vô số số hạng”. Cả hai tác phẩm này đều được các nhà toán học Anh và lục địa biết đến rộng rãi từ đầu những năm 70 của thế kỷ 17, nhưng việc xuất bản của chúng liên tục bị hoãn lại theo nhiều nguyên tắc khác nhau. Cuốn thứ hai chỉ được xuất bản vào năm 1711, và cuốn đầu tiên vào năm 1736, 9 năm sau khi tác giả qua đời và 60 năm sau khi nó được viết.

đại số

Mối quan tâm của Newton đối với đại số đã nảy sinh từ rất sớm. Kết quả độc lập đầu tiên của ông được ông ghi lại vào năm 1664-1666. Nó liên quan đến việc biểu thị tổng lũy ​​thừa của các nghiệm của một phương trình đại số thông qua các hệ số của nó. Ngay cả François Viète (1540-1603) cũng đã thiết lập mối liên hệ giữa các hệ số và nghiệm của một phương trình đại số: nếu $x_1, x_2, \dots, x_n$ là nghiệm của phương trình $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0$, thì

$$\begin{cases} x_1 + x_2 + \dots + x_n = -a_1, \\ x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = a_2, \\ \dots \\ x_1x_2 \cdot \dots \cdot x_n = (-1)^n a_n. \end{cases}$$

(*) Để biết thêm thông tin về hình bình hành Newton, xem tr. 19.

Các hàm được chỉ định bởi vế trái của các đẳng thức (*) không thay đổi nếu các đối số được sắp xếp lại. Chúng được gọi là các hàm đối xứng cơ bản.

Albert Girard (1595-1632) đã có thể biểu diễn tổng lũy ​​thừa của căn

$$S_m = x_1^m + x_2^m + \dots + x_n^m$$

cho $m=2, 3, 4$ (theo định lý Vieta $S_1 = -a_1$) thông qua các hệ số của phương trình. Newton đã tìm ra một công thức hồi quy tổng quát, theo ký hiệu hiện đại (theo định nghĩa $a_i=0$ cho $i>n$) có dạng

$$S_m + a_1S_{m-1} + a_2S_{m-2} + \dots + a_{m-1}S_1 + a_m \cdot m = 0.$$

Nó cho phép bạn tìm $S_m$ cho bất kỳ $m$ nào.

Từ năm 1673 đến 1683, Newton giảng dạy về đại số tại Cambridge, vốn là cơ sở cho cuốn sách của ông Luận cứ tổng quát, xuất bản năm 1707. Trong đó, Newton tập trung vào câu hỏi tìm nghiệm nguyên của một phương trình, cũng như làm thế nào, nếu không giải phương trình, người ta có thể tìm ra trong giới hạn nào tất cả các nghiệm của nó nằm trong giới hạn nào, có bao nhiêu trong số chúng là dương, âm hoặc cực tiểu.

Ở đây chúng tôi không đề cập đến nhiều kết quả toán học khác của Newton, để hiểu được chúng đòi hỏi người đọc phải có chuyên môn sâu.

Tuy nhiên, chúng ta phải nhớ rằng Newton là một nhà vật lý không kém gì một nhà toán học. Vào năm 1665-1667, ông đã khám phá ra định luật vạn vật hấp dẫn và bắt đầu suy luận với sự trợ giúp của nó về các định luật chuyển động của hành tinh. Tuy nhiên, ông dần dần nghiên cứu các vấn đề về quang học. Newton đã khám phá ra sự tán sắc của ánh sáng và thiết kế một kính viễn vọng phản xạ. Ông đã tặng chiếc telexcope này cho Hiệp hội Hoàng gia (tên gọi của Viện Hàn lâm Khoa học ở Anh), tổ chức này đánh giá cao phát minh của Newton đến mức bầu ông làm thành viên vào năm 1672. Năm 1703, Newton trở thành chủ tịch của Hiệp hội Hoàng gia và giữ chức vụ này cho đến cuối đời.

Từ năm 1680 Newton, nhường chỗ cho hiện tại

dòng sẽ tương ứng với giá trị tối thiểu của giá trị này. Các ánh xạ liên kết một số nhất định với mỗi đường cong của một lớp nhất định hiện được gọi là hàm.

Leibniz đã làm điều này bài toán đẹp nhất và bày tỏ quan điểm rằng chỉ có ba nhà toán học mới giải được. Và quả thực, ngoài chính I. Bernulia và Leibniz, người đã giải quyết được vấn đề này bài toán ngay cả trước khi nó được xuất bản, lời giải trình bày bởi Jacob Bernulia và L’Hopital. thứ ba lời giải được xuất bản trên tạp chí Philosophical Transactions ở London mà không có dòng tên tác giả. Tuy nhiên, I. Bernulli ngay lập tức nhận ra tác giả vô danh là I. Newton; như anh ấy đã viết: “ex phớt lờ leopis” (Tôi nhận ra con sư tử nhờ làn da của anh ấy). Sau đó, các nhà khoa học mới khái quát hóa hoặc chú ý đến thực tế là trong “Những kẻ xấc xược toán học” bài toán đã được giải quyết bài toán cùng loại, cụ thể là: tìm một viên phấn mà khi chuyển động trong chất lỏng theo hướng trục của nó thì chịu lực cản nhỏ nhất (giả sử rằng lực cản của chất lỏng tỉ lệ với bình phương tốc độ).

Loại bài toán này đã được Euler và Lagrange sử dụng, họ đã tạo ra một phép tính cho lời giải của họ được gọi là phép tính vartz.

Có rất nhiều truyền thuyết và giai thoại về Newton. Anh ta dễ dàng thể hiện mình là người thu mình, lơ đãng, không để ý đến bất cứ thứ gì xung quanh mình. Tất nhiên, phần lớn Newton thực sự đắm chìm trong suy nghĩ của mình. Khi được hỏi làm thế nào ông có được những khám phá vĩ đại, ông trả lời rằng “không ngừng nghĩ về chúng”. Tuy nhiên, ông vẫn có thời gian để đáp ứng nhu cầu của trường đại học và Hiệp hội Hoàng gia. Họ thích nói rằng, khi được bầu vào Quốc hội, Newton đã không nói một lời nào ở đó, ngoại trừ một lần ông yêu cầu đóng cửa sổ lại. Người ta ít biết rằng, với tư cách là một thành viên của Quốc hội, ông đã giúp đỡ rất nhiều cho Đại học Cambridge, đóng vai trò trung gian giữa trường này và chính phủ.

Nguyên tắc và tính cách sáng tạo của Newton được thể hiện rõ ràng khi vào năm 1687, Vua James mời Đại học Cambridge cấp bằng thạc sĩ cho một tu sĩ dòng Benedictine (Alban Francis). Trường đại học từ chối thực hiện bài kiểm tra này và cử một phái đoàn đến London, trong đó có Newton. Có lúc, dưới áp lực của nhà vua, tất cả các thành viên trong phái đoàn đều muốn đồng ý với điều kiện những sự việc như vậy sẽ không xảy ra nữa. Chỉ có lập trường quyết định của Newton mới dẫn đến chiến thắng: nhà vua buộc phải từ bỏ lời đề nghị của mình.

Newton đã trải qua ba mươi năm cuối đời ở London. Điều này là do vào năm 1696, ông được bổ nhiệm làm người giám sát và sau đó là giám đốc của Mint. Vị trí này không chỉ là một danh hiệu danh dự. Newton đã phải kiểm tra việc đúc lại tất cả các đồng tiền của nước Anh. Ông cũng tích cực tham gia vào các công việc của Hiệp hội Hoàng gia. Mối quan tâm khoa học của ông chuyển sang lĩnh vực lịch sử: ông đã biên soạn lịch sử theo trình tự thời gian của lịch sử Ai Cập, Hy Lạp cổ đại và Kinh thánh. Ông cũng giải quyết các vấn đề thần học.

Newton qua đời ở tuổi 84, vào đêm 20-21 tháng 3 năm 1727.

Đây là điều mà chính Newton đã nói về tác phẩm của mình: “Tôi không biết thế giới sẽ nhìn tôi như thế nào, nhưng đối với tôi, tôi dường như là một cậu bé đang chơi đùa trên bờ biển và sắp bay lên khi đôi khi cậu ấy tìm được nhiều con mắt hơn thường là một viên sỏi hay một chiếc vỏ sò xinh đẹp; trong khi đó, có một đại dương rộng lớn chứa đựng sự thật ẩn giấu phía trước rất nhiều không gian.”

12

Vâng. Smorodinsky

Định luật hấp dẫn

Trong vật lý hiện đại có những hằng số được gọi là cơ bản. Tốc độ ánh sáng trung bình của chúng là $c$, điện tích $e$, khối lượng electron $m$, hằng số hấp dẫn $\gamma$, hằng số Planck $h$. Các hằng số này được bao gồm trong các công thức mô tả các quá trình vật lý trong thế giới vi mô và trong không gian vũ trụ. Điều cơ bản của các hằng số này là giá trị của chúng không thay đổi theo thời gian hoặc vị trí trong không gian. Bất cứ khi nào chúng ta thay đổi các hằng số này, chúng ta sẽ luôn nhận được các giá trị giống nhau. Các nhà vật lý biết rằng những hằng số này không thay đổi đáng kể qua hàng tỷ năm tiến hóa của Vũ trụ.

Tuyên bố cơ bản đầu tiên - tuyên bố về lực hấp dẫn $\gamma$ - được Isaac Newton đưa vào vật lý. Nó xuất hiện cùng với việc khám phá ra định luật vạn vật hấp dẫn.

Có rất nhiều điều đáng ngạc nhiên và thú vị trong lịch sử phát hiện này. Một truyền thuyết hài hước kể về việc Newton đã phát hiện ra định luật này khi đang ngồi dưới gốc cây táo khi một đám mây dày đặc rơi xuống đầu ông. Thật thú vị khi Newton có thể chứng minh tính đúng đắn của định luật này bằng cách nghiên cứu chuyển động của Mặt trăng. Thật ngạc nhiên là luật này lại chính xác đến thế.

Nhưng điều đáng kinh ngạc nhất là sự dũng cảm mà Newton đã tuyên bố rằng định luật hấp dẫn là định luật phổ quát quyết định sự tương tác của bất kỳ vật thể nào trong Vũ trụ.

Từ sự bằng nhau về gia tốc của mọi vật rơi, ông sẽ kết luận rằng lực tác dụng lên một vật rơi tỉ lệ thuận với khối lượng của vật đó; Lực mà Mặt trăng gắn với Trái đất phải tỷ lệ thuận với cả khối lượng của Mặt trăng và khối lượng Trái đất, vì người ta cũng có thể giả định rằng Trái đất gắn liền với Mặt trăng.

Đây là điều chính trong khám phá của Newton. Nhưng Newton cũng hiểu rằng, mặc dù gia tốc đối với các vật thể khác nhau là như nhau, nhưng nó sẽ giảm khi khoảng cách giữa các vật thể liền kề tăng lên.

Trong bài tiểu luận “Các nguyên lý toán học của sinh lý học tự nhiên”, chúng tôi đã đến Anh vào năm 1686,

13

Newton đã tổng kết nhiều năm nghiên cứu về cơ học của mình *); ông trình bày cách ông tìm ra sự phụ thuộc của lực hấp dẫn giữa các vật thể vào khoảng cách giữa chúng.

Cách dễ nhất là rút ra định luật này cho chuyển động trong một vòng tròn (chúng ta sẽ thực hiện điều này bên dưới); nhưng các hành tinh chuyển động theo hình elip, và cần phải chứng minh rằng có thể thu được một quỹ đạo hình elip từ cùng một định luật.

Trong cuốn sách của mình, Newton đã đưa ra bốn quy tắc hướng dẫn con người về bản chất. Ông gọi những quy tắc này là “quy tắc triết học”. Chúng tôi sẽ trình bày chúng đầy đủ:

“Quy tắc I. Người ta không được chấp nhận trong tự nhiên những nguyên tắc ngoài những nguyên tắc đúng và sẵn có để giải thích các hiện tượng.

Quy tắc II. Posmotu, trong chừng mực có thể, nên chấp nhận những nguyên tắc tương tự như những biểu hiện của tự nhiên.

Quy tắcIII. Những đặc tính như vậy của cơ thể, không thể thành công cũng như không bị suy yếu và hóa ra là cố hữu trong tất cả các cơ thể mà trên đó có thể thử nghiệm, nên được coi là đặc tính của tất cả các cơ thể nói chung.

Quy tắc IV. Trong vật lý thực nghiệm, các mệnh đề bắt nguồn từ các hiện tượng đang diễn ra được hỗ trợ bởi sự hướng dẫn, bất chấp khả năng có những giả định trái ngược với chúng, phải được coi là đúng một cách chính xác hoặc gần đúng, cho đến khi những hiện tượng đó được phát hiện ra rằng chúng đã được cải tiến thêm hoặc đã bị loại trừ.”

Quy tắc III cho phép Newton rút ra kết luận sau: “…Qua cuộc sống hàng ngày và các quan sát thiên văn, mọi vật thể ở vùng lân cận Trái đất đều bị hút về phía Trái đất”.

*) Vật lý tự nhiên ở Anh được gọi là nhà vật lý vào thế kỷ 17. Cuốn sách của Nyyuton được dịch sang tiếng Nga vào năm 1915 bởi nhà khoa học người Nga thay thế A. N. Krylov. Bản dịch này được đặt trong Tập V của Tuyển tập Socinneys của Krylov. Tất cả các trích dẫn bên dưới trong nội dung bài viết đều là từ bản dịch này.

le, và hơn nữa, tỷ lệ thuận với số lượng lục địa của mỗi lục địa; Như vậy, Mặt trăng hút về Trái đất tỷ lệ với khối lượng của nó, và các vùng biển của chúng ta hút lẫn nhau về Mặt trăng, tất cả các hành tinh đều hút nhau, giống như lực hút của sao chổi về Mặt trời. Dựa trên quy tắc này, phải tính đến việc tất cả các vật thể đều bị hút về phía nhau. Newton đã phát biểu sự phụ thuộc của lực hấp dẫn vào khoảng cách như sau: “Nếu thời gian tỉ lệ bán kính một nửa bit thì lực hướng tâm tỉ lệ nghịch với bình phương bán kính…”. Nửa đầu của định lý này đơn giản là định luật thứ ba của Kepler:

$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{R_1^{3/2}}{R_2^{3/2}}$$

• các chu kỳ quay của các hành tinh liên quan đến một tỉ số bán bitic của bán kính, khi đó lực hướng tâm là lực làm cho các hành tinh rơi về phía Mặt trời, tức là lực hấp dẫn của các hành tinh do Mặt trời tạo ra.

Cuốn sách của Newton là cuốn sách đầu tiên trình bày cơ học như một môn khoa học chính xác; cuốn sách này nên được coi là cuốn sách đầu tiên về vật lý lý thuyết và năm cuốn sách được xuất bản - 1686 - nên được coi là năm ra đời của vật lý lý thuyết. Ảnh hưởng của cuốn sách này đối với khoa học là rất lớn. Sau đó, không thể chỉ giới hạn ở việc lý luận và mô tả bằng lời về các hiện tượng tự nhiên - cần phải tạo ra lý thuyết của họ. Và tính đúng đắn của một lý thuyết chỉ có thể được xác lập bằng thử nghiệm thực nghiệm: nếu các dự đoán của lý thuyết trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm và quan sát thì lý thuyết đó đúng. Việc tạo ra phương pháp phân tích toán học của Newton và Leibniz đã cung cấp phương tiện để thực hiện chương trình này.

Người Hy Lạp cổ đại đã tạo ra chuyển động lý thuyết đầu tiên của các hành tinh. Lý thuyết này đã được Ptolemy trình bày trong chuyên luận “Almagest” của ông. Nhưng nó hoàn toàn không đề cập đến câu hỏi tại sao các hành tinh lại chuyển động. Một câu hỏi như vậy không bao giờ nảy sinh. Theo lời dạy của Aristotle, người Hy Lạp

14

Claudius Ptolemy (thế kỷ 11 sau Công nguyên)

Họ tin rằng các hành tinh có xu hướng chuyển động theo vòng tròn, giống như những vật nặng có xu hướng rơi xuống và những vật nhẹ, như khói, bay lên. Ngay cả trong thời Trung Cổ, việc thảo luận về các nguyên lý chuyển động của hành tinh có nghĩa là trộn lẫn thiên văn học với vật lý học, điều này theo quan điểm của thời đó là không được phép; quy luật của trời và đất thuộc về những lĩnh vực khác nhau và người ta không nên tìm kiếm điểm chung ở chúng.

Tuy nhiên, Copernicus vào năm 1543 đã nói rằng lực hấp dẫn là một đặc tính chung của các vật thể, “…xu hướng mà nhờ đó chúng đóng lại thành hình quả bóng, tạo thành một tổng thể duy nhất. Và cần phải giả định rằng mong muốn này cũng vốn có ở Mặt trời, Lunts và các hành tinh khác…”

Kepler (và trước Kepler cũng như Hilbert) đã so sánh lực hấp dẫn với tác dụng từ. Đồng thời, Kepler là người đầu tiên tuyên bố bài toán chuyển động của các hành tinh là một vấn đề vật lý, và là người đầu tiên đặt ra rõ ràng câu hỏi tại sao các hành tinh lại chuyển động, trong khi tất cả các nhà thiên văn học khác chỉ đưa ra các mô hình hình học mô tả cách các hành tinh chuyển động. Các nhà vật lý thời Galileo và Keplar đã giải được bài toán vật lý bằng cách sắp xếp các tỷ lệ. Vì vậy, người ta nói về sự rơi của các vật thể trên Trái đất nếu các khoảng thời gian được sắp xếp dưới dạng một phép tính số học.
hồi quy, thì các đoạn đường mà vật đi qua trong các khoảng thời gian liên tiếp sẽ liên hệ với nhau dưới dạng bình phương của các số liên tiếp. Galileo biết rằng mọi vật thể trên Trái đất đều rơi với cùng một gia tốc; anh ấy có thể giải thích rõ ràng tại sao các thi thể bị bỏ rơi trên Trái đất lại bay theo đường parabol. Mô tả đường bay của một viên đạn, ông nói rằng chuyển động này bao gồm sự rơi có gia tốc đều và chuyển động thẳng đều theo quán tính, và không đặt câu hỏi tại sao viên đạn rơi với gia tốc đều. Rất khó để kết luận rằng gia tốc phụ thuộc vào độ cao. Galileo tin rằng ngay cả Mặt trăng (nếu chuyển động về phía trước của nó dừng lại) cũng sẽ rơi xuống Trái đất với cùng gia tốc như một hòn đá rơi trên Trái đất.

Đúng vậy, Galileo tin rằng Mặt trăng cũng phải tuân theo định luật “trái đất” về sự độc lập của gia tốc rơi của nó khỏi khối lượng. Vậy là anh ấy đã hiểu đúng “một nửa” bài toán! Nhưng Galileo không thể chấp nhận ý kiến ​​cho rằng Trái đất đang đỡ một hòn đá. Việc một hòn đá (Mặt Trăng) rơi xuống Trái Đất chỉ đơn giản là biểu hiện mong muốn của mọi vật thể hội tụ về gần một trung tâm, tạo thành một “đống” không hình cầu. Vào thời điểm đó, người ta coi rõ ràng là một cơ thể chỉ có thể tác động lên cơ thể khác bằng cách tiếp xúc với nó. Hành động ở khoảng cách xa dường như đơn giản là không thể tưởng tượng được. Vì vậy, Galileo đã trả lời Keplar rằng sự lên xuống của thủy triều trên Trái đất có liên quan đến lực hút của nước biển bởi Mặt trăng. Đến thời Newton, tình hình đã bắt đầu thay đổi.

Không phải ai cũng mù quáng đi theo Galileo. Vì vậy, Robert Hooke, dựa trên sự tương tự giữa trọng lực với lực hút từ, vào năm 1666 đã cố gắng xác định bằng thực nghiệm trọng lượng của một vật thay đổi như thế nào theo chiều cao. Ông đã tiến hành thí nghiệm với nam châm có độ dài khác nhau tại Tu viện Westminster ở London. Rõ ràng là anh ta không thể khám phá được điều gì quan trọng. Thể hiện rõ hơn giả định rằng lực hấp dẫn tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách, ông không thể đưa suy nghĩ của mình vào dạng nghiêm ngặt của một phương trình.

15

Nikolai Konernik (1473—1543)

Hooke vẫn chưa biết cách viết phương trình hoặc giải chúng nên không thể xác minh tính đúng đắn của đề xuất này. Ngoài ra, một thợ cơ khí nổi tiếng khác lúc bấy giờ là người Anh Wren cũng không thể làm được gì. Ren cũng nói về luật bình phương nghịch đảo, nhưng với anh ấy mọi thứ chỉ giới hạn ở lời nói.

Chỉ trong tay Newton, mọi thứ mới đâu vào đấy. Ý tưởng đầu tiên và chính yếu đến với ông vào năm 1665, khi ông đang chạy trốn khỏi bệnh dịch trong ngôi nhà của gia đình mình. Như anh ấy đã nói, toàn bộ sự việc bắt đầu từ một quả táo rơi từ trên cây xuống. Nhà khoa học 23 tuổi bất ngờ khi nghĩ rằng nguyên nhân khiến quả táo rơi xuống Trái đất hẳn phải liên quan đến nguyên nhân khiến Mặt trăng đi chệch khỏi đường đi thẳng của nó. Bây giờ điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng vào thời Newton, ý tưởng về việc các thiên thể phụ thuộc vào một định luật đơn giản của Trái đất đã táo bạo một cách bất thường. Nhưng việc bản thân tin vào một giả thuyết táo bạo là một chuyện và thuyết phục người khác về tính xác thực của nó là một chuyện khác. Để làm được điều này, ít nhất chúng ta phải tìm ra cách kiểm tra nó, tìm ra cách, như chúng ta nói bây giờ, để so sánh lý thuyết với kinh nghiệm.

Tốt nhất nên bắt đầu bằng việc nghiên cứu chuyển động của Mặt trăng, sử dụng các kết quả quan sát hiện có. Điều này đòi hỏi nỗ lực và thời gian. Ngoài ra, Newton vẫn còn bận rộn với việc nghiên cứu quang học; và nói chung, các nhà khoa học thời đó thường không vội công bố. Đây có lẽ là lý do tại sao chỉ 20 năm sau, vào tháng 4 năm 1686, Newton đã trình bày tập đầu tiên của “Các nguyên lý” cho Hiệp hội Hoàng gia (Viện Hàn lâm Khoa học Anh), và toàn bộ tác phẩm đã được xuất bản vào giữa năm 1687. Chỉ sau đó lý thuyết này mới được trình bày cho các nhà vật lý khác.

Hãy viết định luật vạn vật hấp dẫn cho Mặt trời và hành tinh (ký hiệu khối lượng của chúng là $M$ và $m$). Sức mạnh của sự hấp dẫn

$$F = \gamma \frac{Mm}{r^2}.$$

Gia tốc do lực này truyền tới hành tinh là

$$a = \gamma \frac{M}{r^2}.$$

Làm thế nào Newton có được những công thức này?

Trong sự hiểu biết của mình về định luật hấp dẫn, Newton đã bắt đầu từ định luật thứ ba

16

Galileo Galilei (1564–1642)

Kepler: bình phương thời gian hình thành trung bình của các hành tinh có liên quan đến lập phương khoảng cách trung bình của chúng tới Mặt trời. (Newton gọi định luật này là quan hệ nửa lập phương.) Ngay cả khi Newton so sánh sự rơi của một quả táo và Luận Nghĩa, ông đã biết rằng nếu một vật chuyển động theo đường tròn thì sẽ có một lực tác dụng lên vật đó, kéo nó về phía tâm vòng tròn; ông cũng biết rằng gia tốc hướng tâm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ và tỉ lệ nghịch với khoảng cách.

Đúng là vinh dự khám phá ra các định luật chuyển động tròn là do Huygens, nhưng Huygens chỉ công bố khám phá của mình vào năm 1673 (mặc dù ông đã biết về nó từ năm 1659). Do đó, Newton đã phải tự mình tìm ra giải pháp.

Newton đã lý luận như thế này. Định luật thứ ba của Kepler phát biểu rằng đối với các hành tinh trong cùng một hệ

$$\frac{R_1^3}{T_1^2} = \frac{R_2^3}{T_2^2} = \dots = \text{const.}$$

Hãy để các hành tinh di chuyển theo một vòng tròn. Hãy giới thiệu vận tốc góc quay của hành tinh trên quỹ đạo $\omega = 2\pi/T$. Khi đó định luật thứ ba của Kepler sẽ có dạng:

$$\omega_1^2 R_1^3 = \omega_2^2 R_2^3 = \dots = \text{const.}$$

Bây giờ chúng ta giả sử rằng lực có tác dụng ngược

$$F = \gamma \frac{M_\odot m}{R^2}.$$

17

Tuy nhiên, trong cách dẫn xuất này, bài toán quá đơn giản. Trên thực tế, nó phức tạp hơn nhiều.

Bằng cách đưa một khoảng cách duy nhất $R$ vào công thức, chúng tôi đã lý luận như thể Mặt trời là một điểm vật chất không có thứ nguyên. Nhưng Newton hiểu rằng để kiểm tra định luật hấp dẫn, chẳng hạn như bằng chuyển động của Mặt trăng, người ta phải có khả năng giải bài toán cho một vật thể có kích thước hữu hạn và bằng cách nào đó tổng hợp các thể vùi từ các phần khác nhau của Trái đất và Mặt trăng. Vấn đề rất phức tạp và phải mất một thời gian dài mới giải quyết được lời giải. Đây có lẽ là lý do chính khiến Newton mất nhiều thời gian để công bố khám phá của mình.

Newton đã trình bày kết quả lời giải của phức bài toán này dưới dạng định lý. Đối với các vật thể có mật độ đồng nhất, công thức của định luật hấp dẫn trông như thể toàn bộ khối lượng của vật thể tập trung ở tâm của nó. Newton đã chứng minh rằng một lớp hình cầu có mật độ đồng đều hút các vật thể khác và theo định luật bình đẳng tác dụng và phản lực, bản thân nó hút các vật thể khác như thể toàn bộ khối lượng của nó tập trung ở tâm *). Nếu bạn tưởng tượng một quả bóng như một tổ hợp các từ hình cầu, bạn có thể xem cách tính trường hấp dẫn của một vật thể có phân bố khối lượng đối xứng hình cầu. Những định lý này của Newton đã quyết định vấn đề. Bây giờ trong biểu thức lực tác dụng giữa Mặt trăng

*) Chúng ta đang nói về các vật thể nằm trong các lớp. Newton đã chứng minh rằng nội lực hấp dẫn bằng không.

Trong Principia, Newton đặt ra nghịch đảo lời giải bài toán: ông tìm ra định luật tương tác phải như thế nào để quỹ đạo trở thành một hình elip, và chỉ ra rằng đây phải là định luật “bình phương nghịch đảo”. Hơn nữa, Newton còn chứng minh rằng nếu định luật về các lực tác dụng giữa hành tinh và Mặt trời thậm chí hơi lệch so với định luật nghịch đảo bình phương, thì những điểm có khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất của hành tinh với Mặt trời sẽ không bất động trong không gian. Và từ những gì đã quan sát được, những điểm này (chúng được gọi là đỉnh) gần như bất động. Chứng minh kiểu Newton này là một trong những chứng minh xuất sắc nhất trong thiên văn học.

Chúng ta hãy chú ý một lần nữa đến điều đã nói: có thể lập luận rằng định luật bình phương nghịch đảo của các lực

18

sự hấp dẫn xuất phát từ thực tế đơn thuần là sự bất động của các apses; vì vậy việc tính toán lực hấp dẫn sử dụng định luật Kepler là không cần thiết; trên thực tế, định luật thứ ba là hệ quả của định luật thứ nhất. Điều này tất nhiên Kepler không thể biết được *).

Trong nhiều năm, lý thuyết của Newton là nền tảng của cơ học thiên thể, và mặc dù nhiều người đang cố gắng khám phá bất kỳ sửa đổi nào đối với định luật vạn vật hấp dẫn, nhưng chỉ Einstein mới có thể tìm ra chúng. Bây giờ chúng ta biết khi nào định luật vạn vật hấp dẫn trở nên không chính xác và chúng ta có thể tính toán những điều chỉnh cho nó. Định luật hấp dẫn vẫn đúng miễn là khoảng cách giữa các vật lớn hơn nhiều so với cái gọi là bán kính hấp dẫn của vật kéo. Bán kính hấp dẫn của một vật có khối lượng $M$ là đại lượng

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2},$$

trong đó $\gamma M = C$ là “hằng số Kepler” mà chúng ta đã biết và $c$ là tốc độ ánh sáng. Đối với Mặt trời, bán kính hấp dẫn là 3 km và đối với Trái đất - 7 mm. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng định luật vạn vật hấp dẫn trên bề mặt Trái đất có thể có sai số tương đối xấp xỉ bằng $\frac{7 \cdot 10^{-3} \text{ м}}{6,4 \cdot 10^6 \text{ м}} \approx 10^{-9}$ (bán kính Trái đất $\approx 6400 \text{ км}$) và trên bề mặt Mặt trời $-\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{7 \cdot 10^8 \text{ м}} \approx 0,4 \cdot 10^{-5}$ (bán kính Mặt trời $\approx 700 \text{ 000 \text{ км}}$).

Ở khoảng cách bằng khoảng cách từ Mặt trời đến Sao Thủy (khoảng 50 triệu km), chúng ta có thể dự đoán sẽ có sai số trong định luật vạn vật hấp dẫn cỡ $\frac{3 \cdot 10^3 \text{ м}}{5 \cdot 10^{10} \text{ м}} = 0,6 \cdot 10^{-7}$. Mặc dù sai số rất nhỏ nhưng nó dẫn đến hiệu quả quan sát được.

Điều này là do đặc tính của các apses được Newton chỉ ra là “phản ứng” với chuyển động của chúng trước sự vi phạm định luật bình phương nghịch đảo. Do sự điều chỉnh nhỏ, quỹ đạo hình elip của Sao Thủy quay chậm trong không gian. Chuyển động này (tích hợp với chuyển động quay của Sao Thủy trong quỹ đạo) được đặt chồng lên chuyển động gắn liền với khả năng tác động của Sao Mộc, được giải thích bằng lý thuyết Newton. Hơn 100 năm, một hỗn hợp bổ sung $43^{\prime\prime}$ nóng lên, lời giải thích về điều này chỉ được đưa ra bởi thuyết tương đối rộng.

Những hiệu chỉnh của thuyết tương đối tổng quát không phải lúc nào cũng nhỏ. Trong chiều sâu của không gian, có những lĩnh vực mà tính hiệu quả của thuyết tương đối rộng hóa ra là cơ bản. Đây là phần bên trong của các ngôi sao nặng, lõi của các thiên hà. Khi mô tả Vũ trụ như một hệ vật lý, “công cụ” chính là thuyết tương đối tổng quát. Nhưng Newton đã mở đường cho những nghiên cứu như vậy. Ông là người đầu tiên tạo ra các phương pháp vật lý lý thuyết và là người đầu tiên áp dụng các phương pháp này vào nghiên cứu Vũ trụ.

*) Nếu lực hấp dẫn tỷ lệ thuận với khoảng cách thì hành tinh sẽ có quỹ đạo hình elip kín, quỹ đạo này sẽ nhỏ nếu Mặt trời không nằm ở tiêu điểm của hình elip mà ở tâm của nó.

19

“Vai trò chức năng của nghiên cứu của Newton trong sự phát triển của phân tích vô hạn đã được biết đến. Hầu hết các ý tưởng của ông đã được xem xét trong các tác phẩm của các tác giả sau này, thường không lưu giữ tên của Newton hoặc phương pháp ký hiệu của ông. Nhưng trong toán học hiện đại, có nhiều phương pháp và kết quả mang tính chất cụ thể hơn mang tên Newton. Ý nghĩa của chúng chỉ được bộc lộ trong một thời đại rất muộn, khi quá trình toán học tổng quát cho phép đánh giá tầm quan trọng của kết quả này hay kết quả khác của Newton, một phần được viết dưới dạng một thay thế nhỏ. Trong số đó KẾT QUẢ LÀ “đa giác” của Newton, hay như người ta thường gọi, “hình bình hành…” của Newton.

N. G. Chebogarev

Một đặc tính quan trọng của đa thức một biến là bậc của nó. Biết mức độ, bạn có thể nói rất nhiều về một đa thức mà không cần biết các hệ số của nó. Ví dụ, một đa thức bậc lẻ luôn có nghiệm thực, số nghiệm thực của đa thức không vượt quá bậc của nó, v.v.

Khái quát hóa đơn giản và quan trọng nhất của khái niệm bậc của đa thức $P(x, y)$ trong hai biến $x, y$ sẽ là cái gọi là bậc đầy đủ của đa thức trong các biến $x, y$. Tuy nhiên, một cách khái quát hóa tinh tế hơn về khái niệm bậc của đa thức hai biến không phải là một con số, mà là một thứ phức tạp hơn - cụ thể là một đa giác trên mặt phẳng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ liên kết mỗi đa thức hai biến với một đa giác trên mặt phẳng. Thiết kế này chủ yếu chịu ảnh hưởng của nhà toán học và vật lý người Anh Isaac Newton; Kể từ thế kỷ 18, đa giác này đã được gọi là “đa giác Newton”. Đa giác Newton, một đa thức hai biến, thu hẹp khoảng cách giữa đại số và hình học. Giao thông ở nơi này đã không hề giảm bớt trong 300 năm qua và trong những năm gần đây nó trở nên đặc biệt căng thẳng. Rõ ràng một địa điểm có thể di chuyển theo hai hướng khác nhau - và đa giác của Newton hữu ích theo hai cách. Xem một đa giác trên mặt phẳng là đa giác Newton của một đa thức nào đó, chúng ta có thể sử dụng các tính chất đại số của đa thức cho đa giác hình học lời giải bài toán. Ngược lại, các tính chất hình học của đa giác Newton giúp giải được đa thức bài toán. Hai ví dụ về việc sử dụng đa thức Newton trong nghiên cứu đa thức được thảo luận chi tiết trong § 2 và § 3. Các ví dụ về việc sử dụng đa thức trong nghiên cứu đa giác thành phố phức tạp hơn và chúng ta sẽ không đi sâu vào chúng.

20

§ 1. Đa giác Newton là gì
Sơ đồ Newton đa thức hai biến

Hãy nhớ lại rằng số hạng một năm trong các biến độc lập $x$ và $y$ là một hàm có dạng $x^m y^n$, trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên không âm và đa thức trong $x$ và $y$ với hệ số thực được gọi là hàm $P(x, y)$ cho bởi công thức
$$P(x, y) = a_1 O_1 + a_2 O_2 + \dots + a_k O_k,$$
(1)
trong đó $a_1, a_2, \dots, a_k$ là các số thực và $O_1, O_2, \dots, O_k$ là các số riêng biệt theo cặp trong cùng một năm *). Nếu trong công thức (1) hệ số $a_i$ khác 0 thì $O_i$ một năm được cho là được đưa vào đa thức $P(x, y)$. Ví dụ: đa thức $2 + 3y - \sqrt{2}x^3y^2$ bao gồm các số hàng năm 1, $y$ và $x^3y^2$, nhưng đa thức $P(x, y) \equiv 0$ không bao gồm bất kỳ số năm nào. Thật thuận tiện khi biểu diễn số hàng năm có trong đa thức $P(x, y)$ bằng các điểm trên mặt phẳng tọa độ: chúng ta đánh dấu điểm $M(m_0; n_0)$ trên mặt phẳng này nếu số năm $x^{m_0}y^{n_0}$ được bao gồm trong đa thức $P(x, y)$. Sau đó, với mỗi đa thức khác 0 $P(x, y)$, chúng ta liên kết một tập hữu hạn trên mặt phẳng $Omn$ - chúng ta sẽ biểu thị nó $D(P)$ - mô tả trực quan các tập hợp một năm có trong $P(x, y)$. Chúng ta sẽ gọi một điểm trên mặt phẳng mà cả hai tọa độ đều là số nguyên là điểm nguyên. Đối với bất kỳ đa thức $P$ nào, tập hợp $D(P)$ chỉ bao gồm các điểm nguyên nên sẽ rất thuận tiện khi vẽ nó trên giấy ca rô. Ví dụ, đa thức
$$P(x, y) = xy - y^3 + 3x^2y^2 + 0,5x^4 - 2x^3y^4.$$
(2)
được hiển thị trong Hình 1. Cần nhấn mạnh rằng các giá trị của các hệ số khác 0 của đa thức $P$ không được tính đến dưới bất kỳ hình thức nào khi xây dựng đa thức $D(P)$. Tập hợp này thường được gọi là * sơ đồ Newton của đa thức $P$.

Một lời cảnh báo. Chúng ta không nên nhầm lẫn mặt phẳng số $R^2$, mặt phẳng xử lý định nghĩa của đa thức $P$, với mặt phẳng tọa độ $Omn$, trên đó chúng ta vẽ sơ đồ Newton của đa thức $P$. Các điểm của những mặt phẳng này có bản chất khác nhau.

Newton đã định nghĩa “sơ đồ Newton” như thế nào

Newton cũng ghi chú các đa thức có trong đa thức của các biến $x, y$ trên giấy ca-rô. Newton đã tự mình vẽ tờ giấy như vậy và không đánh dấu các góc của ô mà đánh dấu toàn bộ ô. Đây là cách ông mô tả những công trình xây dựng này trong một bức thư gửi cho một trong những đồng nghiệp của mình.

“…Để hiểu rõ hơn về quy tắc này, tôi sẽ trình bày nó trong sơ đồ sau. Vẽ một góc vuông $BAC$, các cạnh $BA$ và $AC$ được chia thành các phần bằng nhau và khôi phục đường vuông góc, diện tích góc được chia thành các hình vuông hoặc hình bình hành bằng nhau, được đánh dấu bằng kích thước của các chữ cái $x$ và $y$ nội tiếp trong đó (xem Hình 2). đã cho, hãy đánh dấu các hình bình hành bằng một số ký hiệu tương ứng với tất cả các số hạng của nó…”

*) Biến độc lập $x$ và $y$ lấy giá trị trong tập số thực; Do đó, hàm $P(x, y)$ có ​​mặt phẳng số là miền định nghĩa và trục số là đa thức của các giá trị.

21

Ở đây chúng ta đang nói về việc xây dựng một “sơ đồ Newton”, và sau đó Newton mô tả việc xây dựng một “đa giác Newton” (chúng tôi tiếp tục phần trích dẫn đã dịch):

“… và áp thước cho hai hoặc, đôi khi ngẫu nhiên, cho một số điểm tương đồng được đánh dấu theo cách này, trong đó một điểm thấp nhất trong cột $AB$ ở bên trái, điểm còn lại nằm trên thước ở bên phải, và tất cả những điểm còn lại, không chạm vào thước, đều ở trên nó…”

Làm thế nào để chúng ta xác định đa giác của Newton
Chúng ta thấy rằng Newton áp dụng thước đo cho đa giác $\Delta(P)$, thỏa mãn hai điều kiện:
(I) Có ít nhất hai điểm $\Delta(P)$ rơi trên thước.
(II) Bộ $\Delta(P)$ nằm trên một mặt của thước.

Xét bao lồi của đa giác $\Delta(P)$, tức là đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các điểm $\Delta(P)$. Chúng ta sẽ ký hiệu đa giác này bằng $F(P)$ và gọi nó là đa giác Newton của đa thức $P(x, y)$. Đa giác Newton của đa thức (2) được thể hiện trên Hình 3. Mối liên hệ của đa giác $F(P)$ với phương pháp áp dụng thước kẻ của Newton là hoàn toàn rõ ràng. Nếu bạn áp dụng thước cho bất kỳ cạnh nào của đa giác Newton thì các tính chất (I) và (II) sẽ được đáp ứng. Ngược lại, nếu áp dụng thước cho đa giác $\Delta(P)$ sao cho (I) và (II) thỏa mãn, thì thước nhất thiết phải đi dọc theo một trong các cạnh của đa giác $F(P)$.

Cơm. 3.

Một số bài tập đơn giản về đa giác Newton

Để làm quen với định nghĩa đa giác Newton, người đọc cần đáp ứng các điều kiện sau:

1. Vẽ sơ đồ Newton và đa giác Newton cho các đa thức: $x, x + y, 1 + x + xy, x^2 + x^2y + x^5y^7 + x^{10}, (1 + x + x^3)(1 + y^4)^{*}$.
2. Chứng minh rằng $F(\lambda P) = F(P)$ cho $\lambda \neq 0$. Chứng minh rằng $\Delta(P_1 + P_2) \subset \Delta(P_1) \cup \Delta(P_2)$. Có đúng là $F(P_1 + P_2) = F(P_1) \cup F(P_2)$ không?
3. Đặt $Q(x, y) = P(x^a, y^b)$, trong đó $a$ và $b$ là các số tự nhiên. Các đa giác $F(P)$ và $F(Q)$ có liên quan với nhau như thế nào?
4. Đưa ra định nghĩa về sơ đồ Newton và đa giác Newton cho đa thức ba biến.

Đương nhiên họ sẽ hỏi, đa giác Newton liên hệ như thế nào với tích các đa thức với đa giác Newton cộng lại? Hóa ra thao tác mà bạn cần bán với $F(P_1)$ và $F(P_2)$ để nhận được $F(P_1 \cdot P_2)$ đã được nghiên cứu kỹ về hình học và có một tên đặc biệt: tổng Minkowski.

5. Chứng minh rằng $F(P_1 \cdot P_2) = F(P_1) + F(P_2)$, trong đó “+” là tổng Minkowski (xem bài viết của N. Vasiliev “Bổ sung các số liệu”, «Kvant», 1976, số 4).

Tính chất này của đa giác Newton khái quát hóa tính chất nổi tiếng của bậc của đa thức: khi đa thức thay đổi thì bậc của chúng cộng lại. Chính đặc tính này đã giúp sử dụng các đa thức ở lời giải của hình học thuần túy bài toán.

§ 2. Tại sao Newton lại gặp phải “đa giác Newton”?

Newton đã giải phương trình $P(x, y) = 0$, trong đó $P$ là đa thức trong $x, y$. Bằng giải pháp, anh ấy hiểu được biểu thức chính xác hoặc gần đúng của $y$ đến $x$. Như thông lệ vào thời đó, Newton không giải thích phương pháp của mình bằng những thuật ngữ chung chung mà tìm kiếm nó bằng những ví dụ cụ thể. Hãy tiếp tục trích dẫn được dịch sang § 1:

“…Sau đó lấy tất cả các số hạng của phương trình có trong các trò chơi song song do thước chạm vào và tìm từ chúng giá trị cần thu được. Vì vậy, nếu bạn cần xác định nghiệm

*) Hai ví dụ đầu tiên cho thấy đa giác Newton của đa thức $P(x, y)$ có thể không phải là đa giác thực, tức là nó có thể trùng với một điểm hoặc một đoạn.

22

phương trình

$$y^6 - 5xy^5 + \frac{x^3}{a} y^4 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 + bbx^4 = 0,$$

(3)

sau đó, như chúng ta thấy (xem Hình 2), tôi biểu thị các hình bình hành tương ứng với các số hạng của phương trình này bằng dấu hoa thị. Sau đó, tôi áp thước $DE$ vào phần thấp nhất của hình bình hành được đánh dấu ở cột đầu tiên bên trái và xoay thước sang bên phải cho đến khi nó đi qua bất kỳ một hoặc nhiều hình bình hành được đánh dấu khác nhau. Đồng thời, tôi thấy thước sẽ chạm vào những vị trí chứa các số hạng $x^3$, $xxyy$ và $y^6$. Vì vậy tôi sẽ đặt chúng lại với nhau thành một phương trình

$$y^6 - 7aaxxyy + 6a^3x^3 = 0$$

(mà, nếu bạn thích, thì tôi đặt $y = u\sqrt{ax}$, dẫn đến $u^6 - 7uu + 6 = 0$) và từ đó tôi tìm thấy $y$, có các giá trị chẵn, cụ thể là:

$$+ \sqrt{ax}, - \sqrt{ax}, + \sqrt{2ax}, - \sqrt{2ax}...$$

Newton giải thích chi tiết rằng lời giải được tìm thấy không chính xác mà là gần đúng (càng chính xác thì $x$ và $y$ càng gần bằng 0). Anh ấy cũng chỉ ra cách thu được lời giải chính xác bằng cách thêm một số hữu hạn hoặc vô hạn số hạng hiệu chỉnh vào lời giải đã tìm thấy. Do thiếu chỗ nên chúng tôi sẽ không trích dẫn những cách diễn đạt tương ứng trong các tác phẩm của Newton.

Phương pháp giải gần đúng của Newton cho phương trình $P(x, y) = 0$ đối với $x$ và $y$ nhỏ là gì?

Nói một cách tổng quát, phương pháp của Newton có thể được giải thích (phần nào đó bằng sơ đồ) như sau.

Để $x$ và $y$ đủ nhỏ, chúng tôi muốn giải phương trình (đính kèm) $P(x, y) = 0$ (hoặc vẽ một tập hợp gần đúng $P(x, y) = 0$). Đặt $\gamma$ là cạnh của đa giác $F(P)$ “đối diện với gốc tọa độ” (các cạnh như vậy được đánh dấu màu đỏ trong Hình 4). Ta ký hiệu bằng $P_\gamma(x, y)$ tổng của các năm được lấy với hệ số cũ, nằm trong $P(x, y)$ và tương ứng với các điểm $\gamma$. Đặt hệ số góc của cạnh $\gamma$ bằng $-k$, trong đó $k > 0$. Đưa $y = ux^{\frac{1}{k}}$ vào phương trình $P_\gamma(x, y) = 0$, chúng ta thu được phương trình $x^l Q(u) = 0$, trong đó $Q$ là một số đa thức trong $u$. Giả sử $u_1, u_2, \dots$ là nghiệm khác 0 của $Q$.

Khi đó $y_1 = u_1x^{\frac{1}{k}}, y_2 = u_2x^{\frac{1}{k}}, \dots$ là nghiệm chính xác của phương trình $P_\gamma(x, y) = 0$ và nghiệm gần đúng của phương trình $P(x, y) = 0$. Cũng đoàn kết lời giải trên tất cả các cạnh “không đối diện” $\gamma$ của đa giác $F(P)$, chúng ta thu được tất cả các nghiệm gần đúng không tầm thường*) của phương trình $P(x, y) = 0$ cho nhỏ $x$ và $y$. Việc chứng minh cụm từ cuối cùng và thậm chí cả lời giải thích về ý nghĩa chính xác của nó sẽ đưa chúng ta đi quá xa. Mục tiêu chính của chúng tôi là hướng dẫn người đọc tìm nghiệm gần đúng của phương trình $P(x, y) = 0$ (hoặc, tương tự, vẽ xấp xỉ tập $P(x, y) = 0$) cho $x$ và $y$ nhỏ.

Học cách làm việc với đa giác của Newton

Trong đa giác Newton, đa thức (2) có các cạnh $\gamma_1$ và $\gamma_2$ hướng về 0 (Hình 4). Hãy bắt đầu từ phía $\gamma_1$: $P_{\gamma_1} = xy + 0,5x^4$. Việc thay thế $y = ux^3$ sẽ đưa phương trình $P_{\gamma_2} = 0$ về dạng $x^4(u + 0,5) = 0$, do đó $y = -0,5x^3$. Tiếp theo, $P_{\gamma_2} = xy - y^3$; thay thế $y = ux^{1/2}$ mang phương trình $P_{\gamma_2} = 0$ về dạng $x^{3/2}(u - u^3) = 0$, từ đó $y = -\sqrt{x}$ và $y = +\sqrt{x}$. Tuy nhiên, hai lời giải cuối cùng có thể

*) Tên tầm thường lời giải có dạng $x = 0$ hoặc $y = 0$.

Cơm. 4.

23

nhưng kết hợp: $x = y^2$. Vì vậy, chúng ta đã thu được điều đó đối với $x$ và $y$ nhỏ, phương trình $P(x, y) = 0$, trong đó $P$ được tính theo công thức (2), có hai lời giải gần đúng: $y = -0,5x^3$ và $x = y^2$. (Không có lời giải cố định trong trường hợp này, vì $P$ không chia hết cho $x$ hoặc $y$.) Hình dạng của lời giải gần đúng được hiển thị trong Hình 5. Bản vẽ tương tự cho $x$ nhỏ và $y$ có thể được coi là bản vẽ gần đúng của bộ $P(x, y) = 0$.

Các quyền dưới 6. Giải gần đúng phương trình $x^5y + x^3y^2 - 3x^2y^3 + xy^4 + y^7 + 2x^4y^2 + 3x^6y^3 - x^5y^5 + x^6y^6 + 7x^2y^8 = 0$ cho $x$ nhỏ và $y$ (xem Hình 6).

Newton cũng chỉ ra một phương pháp có thể giải phương trình $P(x, y) = 0$ cho $x$ và $y$ rất lớn.

Giấy phép dưới 7. Tìm ra cách sử dụng đa giác Newton để giải (xấp xỉ) phương trình $P(x, y)$ cho $x$ và $y$ rất lớn.

§ 3. Số lời giải của hệ hai phương trình có hai ẩn số và đa giác Newton
Định lý Bezout
Xét hệ hai phương trình có hai ẩn số $x, y$:

$$\begin{cases} P(x, y) = 0, \\ Q(x, y) = 0, \end{cases}$$

(4)

Cơm. 5.

Cơm. 6.

trong đó $P$ và $Q$ là các đa thức có hệ số thực. Nếu $P$ và $Q$ là đa thức bậc một *), thì số lời giải của hệ (4) là vô hạn hoặc không vượt quá 1. Nếu $P$ là đa thức bậc một và $Q$ là đa thức bậc $N$, thì dễ thấy, số lời giải của hệ thống (4) là vô hạn hoặc không vượt quá $2 \cdot N$. Sau những ví dụ này, người đọc sẽ không ngạc nhiên về cách hình thành một định lý đã nổi tiếng ở thế kỷ trước.

Định lý Bezout. Nếu $P$ là đa thức bậc $M$ và $Q$ là đa thức bậc $N$ thì số lời giải của hệ (4) là vô hạn hoặc không vượt quá $M \cdot N$.

Có thể củng cố định lý Bezout không?
Nói chung, điều đó là không thể: số $M \cdot N$ trong công thức của định lý Bezout không thể được thay thế bằng một số nhỏ hơn cho bất kỳ $M$ và $N$ nào, vì có những ví dụ về các hệ có chính xác $M \cdot N$ lời giải (ví dụ: hệ $(x - 1)(x - 2) \cdot \dots \cdot (x - M) = (y - 1)(y - 2) \cdot \dots \cdot (y - N) = 0$).

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp thực tế, định lý Bezout rõ ràng đã đánh giá quá cao số lời giải của hệ (4).

Ví dụ. $P = a + bx + cx^2y^2, Q = d + ey + fx^2y^2$. Định lý Bezout phát biểu rằng nếu số lời giải của một hệ $P = Q = 0$ là hữu hạn thì không vượt quá 16. Trong khi đó, giải trực tiếp hệ này dễ dàng suy ra nếu số lời giải hữu hạn thì không vượt quá 4.

Ví dụ này và các ví dụ phức tạp khác dẫn đến ý tưởng tổng quát hóa định lý Bezout. Rõ ràng là trong trường hợp này chúng ta phải thay thế khái niệm bậc của đa thức bằng một khái niệm phức tạp hơn có tính đến đầy đủ tính chất của đa thức. Như *) Chúng ta hãy nhớ lại rằng bậc của đa thức (đôi khi được gọi là bậc đầy đủ) là mức lớn nhất của số $m + n$ trong tất cả các năm $x^m y^n$ có trong đa thức.

24

THEO SỰ TỔNG HỢP CỦA BẰNG ĐỘ NHƯ VẬY, CHÚNG TÔI SẼ TẠO RA ĐA NĂNG CỦA HỆ THỐNG NOOMON.

Gọi $D(P)$ là sơ đồ Newton của đa thức $P$ và $D(Q)$ là sơ đồ Newton của đa thức $Q$. Hãy đặt $D = D(P) \cup D(Q)$. D là tập hữu hạn trên mặt phẳng $Omn$. Điểm $M(m_0; n_0)$ thuộc về $D$ nếu cùng năm $x^{m_0}y^{n_0}$ xuất hiện với hệ số khác 0 ở ít nhất một trong các đa thức $P$ và $Q$. Một lần nữa, bằng $F$ chúng ta biểu thị bao lồi của tập hợp $D$, tức là đa giác lồi nhỏ nhất trong mặt phẳng $Omn$ chứa tất cả các điểm $D$. Chúng ta sẽ gọi đa giác $F$ là đa giác Newton của hệ (4). (Nếu trong ví dụ của chúng ta, các hệ số $a, b, \dots, f$ của đa thức $P$ và $Q$ khác 0, thì tập $D$ và đa giác $F$ của hệ (4) giống như trong Hình 7, a, 6.)

Có thể sử dụng một số đặc điểm của đa giác $F$ để ước tính từ phía trên số lời giải của hệ (4) không?

Đáp số câu hỏi này được trả lời bởi những người sau đây

Định lý 1. Số thực không đầy đủ lời giải của hệ (4) là vô hạn hoặc không vượt quá số thực thỏa mãn đa giác Newton của hệ này (lời giải $(x_0; y_0)$ của hệ (4) được gọi là không hiệu quả nếu $x_0 \neq 0$ và $y_0 \neq 0$).

Định lý 1 thuộc về tác giả bài viết này. Bằng chứng của nó là gián tiếp: một định lý được chứng minh lần đầu tiên trong đó không sử dụng diện tích của đa giác $F$ mà sử dụng các đặc điểm khác của nó - cụ thể là số điểm nguyên trong đa giác $F$ và trong “đa giác kép” 2F. Do đó, khi làm việc với đa giác Newton, các câu hỏi hình học thú vị nảy sinh liên quan đến các điểm nguyên trong đa giác. Thậm chí còn nhiều câu hỏi thú vị hơn liên quan đến máy đo nói dối của Newton. Tất cả điều này được thảo luận chi tiết trong bài viết “Các điểm tích phân trong đa giác và khối đa diện” («Kvant», 1977, số 4).

Có thể cải thiện Định lý 1 không?

Định lý 1 đưa ra ước tính tốt cho số lời giải trong trường hợp đa giác $F(P)$ và $F(Q)$ trùng nhau hoặc đủ gần (nếu không thì ước tính quá nhóm: hãy xem xét hệ thống $x^n + y^{n+1} = y^n + y^{n+1} = 0$). Để có được ước tính chính xác hơn, bạn cần xem xét riêng $D(P)$ và $D(Q)$ về cách thực hiện việc này. N. Bernistein, người đã khái quát Định lý 1 như sau.

Định lý 2. Giả sử $A$ là đa giác Newton của đa thức $P$, $B$ là đa giác Newton của đa thức $Q$ và $C$ là đa giác Newton của đa thức $P \cdot Q$. Khi đó số lời giải chưa hoàn chỉnh của hệ (4) là vô hạn hoặc không vượt quá số $S(C) - S(A) - S(B)$. (Ở đây $S$ biểu thị diện tích của đa giác tương ứng.)

Đa giác $C$ không gì khác hơn là tổng Minkowski của các đa giác $A$ và $B$, và đối với số $S(C) - S(A) - S(B)$ có một tên đặc biệt về mặt hình học: diện tích hỗn hợp của đa giác $A$ và $B$ (xem Bài tập 5 và bài viết của N. Vasiliev được trích dẫn ở đó).

Bài tập 8. Áp dụng Định lý 1 cho đa thức (2) và các đa thức ở Bài tập 1.

9. Sử dụng định lý Bezout và Định lý 1, hãy ước tính số lời giải của hệ $x^3 + y^4 = axy + bx^2y^2 + cx^3y^2 + dx^4y^3$ cho $a \neq 0$ và $d \neq 0$.

10. Tổng quát hóa Định lý 1 cho trường hợp hệ ba phương trình đại số với ba ẩn số $x, y, z$.

VĂN HỌC

1. Isaac Newton, Công trình toán học. Phương pháp cố định và chuỗi vô hạn với ứng dụng của nó đối với các nhà phê bình hình học. Bản dịch từ tiếng Latin của D. Morduchai-Voltovsky, ONTI, 1937, tr. 33-34.

2. Isaac Newton, Bức thư thứ hai của Newton gửi Oldenburg, sẽ được báo cáo cho Leibniz. Ngày 24 tháng 10 năm 1976, Ibid., tr. 251-252.

3. N. G. Chebotarev, Tác phẩm sưu tầm. T. 3. “Đa giác Newton” và vai trò của nó trong sự phát triển hiện đại của toán học,” Nhà xuất bản Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, M.-L., 1950, trang 47-80.

25

V. Kresin

Quá trình đoạn nhiệt

Các ngành vật lý khác nhau có liên quan chặt chẽ với nhau. Có thể đưa ra nhiều ví dụ minh họa. Vì vậy, bài viết này nói về một trong những quá trình quan trọng nhất được nghiên cứu trong vật lý phân tử - quá trình đoạn nhiệt. Trong quá trình này, nhiệt độ của khí thay đổi. Chúng ta không còn quan tâm đến cơ chế thay đổi nhiệt độ nữa; Điều này sẽ đòi hỏi một số kiến ​​thức về cơ học. Đó là lý do tại sao chúng ta sẽ bắt đầu với một bài toán cơ học.

Phản chiếu từ một bức tường chuyển động

Chúng ta hãy xem xét hiện tượng cơ học sau: quả bóng tiếp cận bức tường với tốc độ $v$ và sau một tác động đàn hồi tuyệt đối, hướng chuyển động của nó sẽ thay đổi. Để đơn giản, ta hạn chế trường hợp một quả bóng bình thường rơi vào tường.

Nếu bức tường đứng yên thì rõ ràng sau khi va chạm, hướng vận tốc của quả bóng sẽ đổi chiều ngược lại và giá trị tuyệt đối của nó $|v|$ không đổi.

Bây giờ hãy phức tạp hóa bài toán của chúng ta: quả bóng nằm cạnh một bức tường chuyển động. Giả sử rằng bức tường di chuyển về phía quả bóng với tốc độ $u$ (Hình 1). Trong trường hợp này, quả bóng sẽ chuyển động với tốc độ bao nhiêu sau va chạm? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy rút gọn bài toán thành câu hỏi nổi tiếng - sự va chạm của một quả bóng với một bức tường đứng yên. Nói cách khác, chúng ta sẽ xem xét hiện tượng trong hệ thống báo cáo liên quan đến bức tường. Theo quan điểm của người quan sát trong hệ thống báo cáo này, tốc độ của quả bóng đến gần bức tường sẽ khác nhau, cụ thể là $|v'| = |v| + |u|$. Sau khi phản xạ (hãy nhớ rằng trong hệ thống báo cáo đang xem xét, bức tường sẽ kết thúc), vận tốc sẽ thay đổi hướng, nhưng về giá trị tuyệt đối thì nó vẫn giữ nguyên. Đối với lời giải bài toán cuối cùng, chúng ta lại chuyển sang hệ thống báo cáo cố định, kết nối với quả bóng đang tiến gần đến bức tường so với bức tường và bức tường tự chuyển động so với mặt đất với tốc độ $|u|$. Do đó, tốc độ của quả bóng so với mặt đất là $|v| + 2|u|$.

Như vậy, do sự phản xạ đàn hồi từ bức tường chuyển động, tốc độ của quả bóng trở về gấp đôi tốc độ của bức tường.

Điều này kết thúc phần xem xét của chúng ta về cơ khí phụ trợ bài toán và chuyển sang vấn đề chính - mô tả quá trình đoạn nhiệt.

Cơ chế thay đổi nhiệt độ trong quá trình đoạn nhiệt

Giả sử có một lượng khí lý tưởng trong xi lanh dưới piston (Hình 2). Chuyển động của piston $AB$ cho phép bạn tùy ý lăn xuống và giãn nở

Cơm. 1.

27

Điều này là do tốc độ của các phân tử giảm khi chúng bị phản xạ từ piston đang lùi dần.

Luật cơ bản của quá trình adnabate
Trong quá trình adnabate, sự thay đổi thể tích của khí lý tưởng đi kèm với sự thay đổi nhiệt độ của nó. Chủ yếu bài toán Phần này của bài viết nhằm thu được công thức kết nối nhiệt độ và thể tích trong quá trình adnabate. Để làm điều này, chúng tôi sẽ sử dụng hình ảnh động học phân tử của quá trình này.

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của bất kỳ phân tử nào của khí lý tưởng đơn nguyên tử. Gọi tốc độ của nó là $v$ và động năng

$$\varepsilon = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Chuyển động của một phân tử trong không gian có thể được biểu diễn dưới dạng ba chuyển động độc lập dọc theo các trục $X$, $Y$ và $Z$. (Theo nghĩa này, họ nói về ba bậc tự do của các phân tử.) Gắn liền với mỗi chuyển động độc lập này là các quá trình tương ứng $v_x$, $v_y$ và $v_z$ của tốc độ phân tử. Khi đó biểu thức động năng có thể được viết như sau:

$$\varepsilon = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z$$

$$= \frac{m v_x^2}{2} + \frac{m v_y^2}{2} + \frac{m v_z^2}{2}.$$ (1)

Chúng ta sẽ quan tâm đến các chồng phân tử có piston đi xuống (để xác định khoảng cách, trường hợp adnabate scatium). Do đó, chúng ta sẽ chỉ nói về chuyển động dọc theo trục $X$ (xem Hình 2). Để piston đi xuống với tốc độ $\vec{u}$. Lượng năng lượng $\varepsilon_x$ sau va chạm với piston trở nên bằng nhau

$$\varepsilon' = \frac{n (|v_x| + 2 |\vec{u}|)^2}{2},$$

và sự thay đổi năng lượng

$$\Delta \varepsilon_x = \varepsilon' - \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}| + 2m |\vec{u}|^2.$$

Thông thường $|\vec{u}| \ll |v_x|$. Khi đó, trong biểu thức của $\Delta \varepsilon_x$ chúng ta có thể sử dụng số hạng thứ hai so với số hạng thứ nhất và xem xét

$$\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|.$$ (2)

Công thức (2) mô tả sự thay đổi năng lượng của một phân tử do một lần va chạm với piston. Mỗi sự thay đổi trên một đơn vị thời gian của nội năng có được coi là lý tưởng đối với một chất khí không? Đối với đáp số câu hỏi này, chúng ta phải tổng hợp sự thay đổi năng lượng của tất cả các phân tử đã va chạm trong vài giây với piston đi xuống. Chúng ta biểu thị bằng $N$ số lượng phân tử khí trong bình, bằng $V$ thể tích của bình và $S$ diện tích của pít-tông. Để đơn giản, chúng tôi sẽ giả định rằng tất cả các phân tử khí được đặc trưng bởi cùng một giá trị số của tốc độ xử lý $v_x$ (trong tương lai chúng tôi sẽ thực hiện các điều chỉnh cần thiết). Hơn nữa, tại bất kỳ thời điểm nào, một nửa số phân tử sẽ di chuyển về phía pít-tông và nửa sau - ra xa nó (nếu không sẽ có sự trộn lẫn toàn bộ khí). Trong vòng 1 giây, sẽ chỉ xảy ra va chạm với những phân tử, thứ nhất, di chuyển về phía pít-tông và thứ hai, ở khoảng cách với nó không quá $|v_x|^*$), tức là số lượng phân tử gặp va chạm bằng

$$N' = \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S.$$ (3)

Đối với tất cả các phân tử $N'$, năng lượng sau khi va chạm với pít-tông thay đổi một lượng $\Delta \varepsilon_x = 2m |v_x| |\vec{u}|$ (xem công thức (2)). Do đó, tổng sự thay đổi năng lượng khí trên một đơn vị thời gian

$$\Delta E = N' \Delta \varepsilon_x$$

$$= \frac{1}{2} \frac{N}{V} |v_x| S \cdot 2m |v_x| |\vec{u}|$$

$$= 2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} |\vec{u}| S.$$ (4)

*) Nghiêm ngặt hơn, khoảng cách này bằng $|v_x| + |\vec{u}|$, nhưng chúng ta sẽ sử dụng thực tế là $|\vec{u}| \ll |v_x|$.

28

Rõ ràng là các giá trị $|\vec{u}| S$ bằng nhau về mặt số lượng, nhưng ngược lại về giá trị với thể tích của bình: $|\vec{u}| S = -\Delta V$. Sau đó

$$\Delta E = -2 \frac{N}{V} \frac{m |v_x|^2}{2} \Delta V = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(5)

Chúng tôi giả định rằng tất cả các phân tử được đặc trưng bởi cùng một giá trị hình chiếu vận tốc $v_x$. Tất nhiên, giả định này là không đúng sự thật. Trên thực tế, tất cả các phân tử đều chuyển động với tốc độ khác nhau và trên thực tế, có sự thay đổi đáng kể về giá trị của $\varepsilon_x$. Do đó, trong biểu thức (5), thay vì năng lượng $\varepsilon_x$, chúng ta phải lấy giá trị năng lượng trung bình $\varepsilon_x$ cho tất cả các phân tử:

$$\Delta E = -2 N \varepsilon_x \frac{\Delta V}{V}.$$

(6)

Nội năng của khí lý tưởng đơn nguyên tử chứa $N$ phân tử bằng

$$E = \frac{3}{2} N k T,$$

(7)

trong đó $k$ là hằng số Boltzmann và $T$ là nhiệt độ tuyệt đối của chất khí. Giá trị $\frac{3}{2} k T$ và biểu thị giá trị năng lượng trung bình của các phân tử khí lý tưởng đơn nguyên tử. Vì các phân tử bao gồm ba chuyển động độc lập bằng nhau (dọc theo các trục tọa độ đó), nên rõ ràng là $\varepsilon_x = \frac{k T}{2}$. Hãy thay thế giá trị này vào biểu thức (6):

$$\Delta E = -N k T \frac{\Delta V}{V}.$$

(8)

Bây giờ chúng ta hãy viết một biểu thức khác cho $\Delta E$. Chúng ta hãy sử dụng công thức (7) tính nội năng của khí lý tưởng. Với adnabate sctine, nhiệt độ khí thay đổi. Để nhiệt độ của khí thay đổi $\Delta T$ khi thể tích thay đổi $\Delta V$. Khi đó nội năng của chất khí chứa $N$ phân tử bằng $E' = \frac{3}{2} N k (T + \Delta T)$ và độ biến thiên nội năng

$$\Delta E = \frac{3}{2} N k \Delta T.$$

(9)

Đánh đồng các quy tắc của các phần của biểu thức (8) và (9), chúng ta đi đến đẳng thức sau:

$$-N k T \frac{\Delta V}{V} = \frac{3}{2} N k \Delta T,$$

(10)

hoặc

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

(11)

Công thức (11) thiết lập mối liên hệ giữa nhiệt độ, thể tích và sự thay đổi của chúng trong quá trình adnabate.

Câu hỏi đặt ra: nhiệt độ $T$ và thể tích $V$ của chất khí phải liên hệ với nhau như thế nào để khi thay đổi tương ứng thành $\Delta T$ và $\Delta V$ thì đẳng thức (11) được thỏa mãn? Hóa ra kết nối này với mọi $T$ và $V$ đều phải có dạng *)

$$\ln T = -\frac{2}{3} \ln V + \text{const},$$

(12)

trong đó $\ln$ là logarit tự nhiên, tức là logarit cơ số $e \approx 2,72$.

*) Các nhà cổ điển thứ mười có thể tự mình xác minh điều này (ví dụ: xem “Đại số và phân tích đầu 10,” đoạn 114). Đối với những độc giả khác, chúng tôi sẽ kiểm tra biểu thức (12) thực sự mang lại biểu thức (11).

Trên thực tế, hãy để nhiệt độ và âm lượng thay đổi lần lượt theo các giá trị nhỏ $\Delta T$ và $\Delta V$. Khi đó từ biểu thức (12) suy ra:

$$\ln (T + \Delta T) = -\frac{2}{3} \ln (V + \Delta V) + \text{const},$$

hoặc

$$\ln T + \ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) =$$

$$= -\frac{2}{3} \ln V - \frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right) + \text{const}.$$

Tính đến đẳng thức (12), chúng ta thu được

$$\ln \left(1 + \frac{\Delta T}{T}\right) = -\frac{2}{3} \ln \left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right).$$

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng công thức gần đúng: với $\alpha$ ln $(1 + \alpha) \approx \alpha$ nhỏ, thì

$$\frac{\Delta T}{T} = -\frac{2}{3} \frac{\Delta V}{V}.$$

29

Như vậy, nhiệt độ và thể tích trong quá trình adnabate có liên hệ với nhau bằng công thức (12), dễ dàng rút gọn về dạng

$$\ln (TV^{2/3}) = \text{const},$$

hoặc

$$TV^{2/3} = \text{const.}$$

(13)

Đây là công thức được tìm kiếm cuối cùng, thể hiện định luật cơ bản của quá trình adnabate đối với khí lý tưởng đơn nguyên tử: $T \sim \frac{1}{V^{2/3}}$.

Số mũ $2/3$, xuất hiện trong biểu thức (13), có một ý nghĩa vật lý nhất định. Có thể chỉ ra (xem Phụ lục) rằng

$$\frac{2}{3} = \frac{C_p}{C_V} - 1,$$

trong đó $C_p$ là nhiệt dung riêng của chất khí nếu nó được nung nóng ở áp suất không đổi, và $C_V$ là nhiệt dung riêng của chất khí ở thể tích không đổi. Vì vậy, định luật mô tả quá trình adnabate (biểu thức (13)) thường được viết dưới dạng

$$TV^{\gamma-1} = \text{const},$$

ở đâu $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

Chúng tôi đã kiểm tra chi tiết quá trình adnabate đối với khí đơn nguyên tử. Nhưng hóa ra phương trình (14) mô tả quá trình adnabate trong trường hợp khí đa nguyên tử. Chỉ có giá trị của số lượng $\gamma$ thay đổi. Ví dụ: đối với khí hai nguyên tử $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$ (chứ không phải $2/3$, như đối với khí đơn nguyên tử). Điều này là do thực tế là đối với khí hai nguyên tử, nội năng là $E = \frac{5}{2} NkT$ (không phải $\frac{3}{2} NkT$).

Các phân tử hai nguyên tử không chỉ có thể chứa chuyển động tịnh tiến mà còn có thể quay quanh các trục đi qua tâm của phân tử. Ngoài ra còn có một năng lượng nhất định liên quan đến vòng quay này. Đó là lý do tại sao số mũ $\gamma - 1$ hóa ra khác: $\gamma - 1 = \frac{2}{5}$. Chúng tôi mời độc giả tự mình đạt được giá trị này.

Ứng dụng

Độ lớn nhiệt dung của một chất không chỉ phụ thuộc vào bản chất hoặc nhiệt độ của nó mà còn phụ thuộc vào các điều kiện diễn ra quá trình gia nhiệt. Ví dụ, khi đun nóng trong một bình kín, thể tích khí không thay đổi, nhưng trong một bình kín bằng pít-tông chuyển động thì áp suất không đổi. Trong trường hợp này, nhiệt lượng được cung cấp không chỉ dùng để tăng nội năng của khí mà còn để thực hiện công phân phối. Nhiệt độ trong hai trường hợp này là khác nhau. Trong trường hợp đầu tiên, nó được gọi là nhiệt dung ở thể tích không đổi và được ký hiệu là $C_V$, trong trường hợp thứ hai, nó được gọi là nhiệt dung ở áp suất không đổi $C_p$. Rõ ràng là $C_p > C_V$. Hãy tìm sự khác biệt giữa các đại lượng này.

Theo định luật bảo toàn năng lượng, lượng nhiệt $Q$ cung cấp cho khí bằng tổng độ biến thiên nội năng của khí $\Delta E$ và bằng khí $A$:

$$Q = \Delta E + A.$$

Đối với khí đơn nguyên tử, độ biến thiên nội năng $\Delta E = \frac{3}{2} Nk\Delta T$. Công của khí $A$ đối với những thay đổi nhỏ về thể tích $\Delta V$ bằng $A = p\Delta V$ (p là áp suất của khí). Đó là lý do tại sao

$$Q = \frac{3}{2} Nk\Delta T + p\Delta V,$$

và nhiệt lượng của khí

$$C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T}.$$

Nếu thể tích của một chất khí không thay đổi thì nhiệt dung riêng của nó

$$C_V = \frac{3}{2} Nk.$$

Nếu áp suất vẫn thay đổi thì

$$C_p = \frac{3}{2} Nk + p \frac{\Delta V}{\Delta T} = \frac{3}{2} Nk + \frac{\Delta (NkT)}{\Delta T} = \frac{5}{2} Nk$$

(chúng ta sẽ sử dụng phương trình cơ bản về trạng thái của khí lý tưởng $pV = NkT$). Từ đây

$$C_p - C_V = Nk.$$

Khi đó công thức (10) có thể viết dưới dạng

$$- (C_p - C_V) T \frac{\Delta V}{V} = C_V\Delta T,$$

hoặc

$$\frac{\Delta T}{T} = - \left( \frac{C_p}{C_V} - 1 \right) \frac{\Delta V}{V} = - (\gamma - 1) \frac{\Delta V}{V},$$

cuối cùng chúng ta đến được đâu

$$TV^{\gamma-1} = \text{const.}$$

30

Trình tự mượt mà

Trong ghi chú này, chúng ta sẽ thảo luận về các cân nhắc đặc trưng nảy sinh tại lời giải bài toán, trong đó một số phần tử mồ côi cục bộ được áp đặt cho một chuỗi hoặc hàm - không được phép thay đổi đột ngột hoặc xoay vòng tròn - và cần phải ước tính mức độ dao động nói chung có thể lớn đến mức nào.

Trò chơi đua xe và sự khác biệt thứ hai

Chắc hẳn nhiều độc giả của chúng ta đều biết đến trò chơi đua xe được mô tả trong cuốn sách của M. Gardner. “Tiểu thuyết toán học”.

Chúng ta hãy nhớ lại các quy tắc của trò chơi. Một vùng (rãnh) cong tùy ý ít nhiều được vẽ trên giấy ca-rô; ở một cạnh của đường đua, một điểm từ bánh tart được đặt cho mỗi người chơi và một đường φ và sha được đặt ở cạnh kia. Người lái xe lần lượt di chuyển đến một trong các nút lưới và chỉ một người được phép thay đổi tốc độ: nếu lần di chuyển trước đó là tự động $\overrightarrow{AB}$, thì lần di chuyển tiếp theo $\overrightarrow{BC}$ cũng giống hệt ($\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB}$) hoặc kết thúc ở một trong các ký ức với các nút $C$. Bạn chỉ có thể đi dọc theo những đoạn nằm hoàn toàn trong đường đua: người “đi quá nhanh” và bay ra khỏi giới hạn sẽ bỏ qua một bước di chuyển và bắt đầu ở tốc độ đơn vị (bắt đầu được thực hiện theo cách tương tự, Hình 1).

So với các trò chơi trên giấy ca rô khác (ví dụ như trò chơi “bùng nổ trên biển”), trò chơi này đáng chú ý không chỉ vì sự gần gũi với tình hình thực tế -

qing, nhưng cũng đa dạng: xét cho cùng, mỗi bản nhạc mới đều là một trò chơi mới.

Tìm ra con đường thành công nhất trên một chặng đường khó khăn - bài toán không hề dễ dàng. bài toán như vậy rất đặc trưng của lý thuyết điều khiển tối ưu, một lĩnh vực toán học tương đối trẻ và đang phát triển nhanh chóng. Chúng tôi sẽ không đề cập đến các thông điệp chung liên quan đến lý thuyết này mà sẽ xem xét một bài toán cụ thể, dựa trên “cuộc đua” của trò chơi.

Bài toán 1. Trên giấy ca rô, trên một đường ngang của hạt $l$, một đoạn $A_0A_1$ có ​​độ dài 1 (cạnh của một hình vuông) được căn chỉnh. Điều cần thiết là bắt đầu từ emodog của phân khúc để xây dựng một đường dẫn trong đó:

1. mỗi bước tiếp theo $A_kA_{k+1}$ giống với bước trước $\overrightarrow{A_kA_{k+1}} = \overrightarrow{A_{k-1}A_k}$ hoặc khác nó một đơn vị về rhili ở i và z (không giống như “các cuộc đua”, tốc độ dịch chuyển sang phải luôn giữ nguyên: 1 ô cho mỗi bước);

2. đoạn cuối cùng $A_nA_{n+1}$ nằm trên cùng một đường cay như đoạn $A_0A_1$ đầu tiên.

Độ cao cao nhất cho trước $n$ mà đường hoa anh túc phía trên l cay có thể đạt tới là bao nhiêu?

Tất nhiên, bài toán này rất dễ tạo hình mà không cần giấy ca-rô. Nếu chúng ta giả sử rằng các đoạn $A_0A_1$ và $A_nA_{n+1}$ là các đoạn [0, 1] và [$n, n+1$] của trục $Ox$ (Hình 2), thì đường dẫn hoàn toàn

31

không được xác định bởi dãy tọa độ $y_0, y_1, y_2, \dots, y_{n-1}, y_n, y_{n+1}$ của các điểm $A_k = (k; y_k)$ và dãy tọa độ này phải thỏa mãn các điều kiện sau:

a) sự khác biệt giữa sự khác biệt $y_{k+1} - y_k$ và $y_k - y_{k-1}$ của các thành viên lân cận của chuỗi, tức là sự khác biệt thứ hai
$$y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1} = (y_{k+1} - y_k) - (y_k - y_{k-1})$$
đối với mỗi $k$, $1 \leq k \leq n$, không vượt quá 1;

6. $y_0 = y_1 = y_n = y_{n+1} = 0$ và tất cả $y_k$ khác đều là số nguyên. bài toán hỏi ý nghĩa nhất của trình tự này có thể là gì.

Đường đi được đề cập trong công thức đầu tiên, theo một nghĩa nào đó, là “đồ thị” của dãy $\{y_k\}$. Tiếp theo, chúng ta sẽ bắt đầu ngay với công thức đại số; sẽ rất hữu ích nếu “phát minh” ra nó: nó giúp tìm ra và trình bày ý nghĩa của điều kiện a).

Hãy chuyển sang lời giải bài toán.

Để thỏa mãn điều kiện 1), phần “đỉnh” của đường đứt nét $A_m A_{m+1}$ phải nằm ngang. Rõ ràng là chỉ có thể xem xét các đường đối xứng: nếu $A_m A_{m+1}$ là liên kết trên cùng, thì phần dài hơn của các phần $A_1 \dots A_m$ và $A_{m+1} \dots A_n$ có thể được rút ngắn bằng cách thay thế nó bằng sự phản xạ đối xứng của phần kia so với điểm giữa của đường vuông góc với đoạn $A_m A_{m+1}$.

Vì vậy, chỉ cần xem xét khu vực dọc theo làn khói là đủ (bằng cách phân bổ hơn $n/2 - 1$ bước nghiêng cho nó) - quá trình khởi động sẽ hoàn toàn giống nhau.

Nhân tiện, từ đây rõ ràng là đối với số chẵn $n$ chiều cao tăng tối đa - hãy ký hiệu là $h_n$ - sẽ giống như đối với số lẻ tiếp theo: $h_n = h_{n+1}$.

Nếu bạn tăng và giảm một góc $45^\circ$, thì chiều cao tối đa, để dễ kiểm tra, sẽ là $[n/2] - 1$. Nhưng phương pháp này sẽ chỉ hoạt động tối đa $n = 7$ (Hình 3, a). Hình 3b hiển thị đường dẫn cho $n = 8$, tăng lên độ cao 4 (không lên $[8/2] - 1 = 3$).

Các thông điệp đối xứng một lần nữa sẽ giúp chúng ta tìm ra con đường tối ưu. Rõ ràng là lúc đầu, việc tăng tốc độ đi lên càng nhiều càng tốt sẽ có lợi: $1 + 2 + 3 + \dots$; nhưng - để có thời gian đi chậm lại - việc này chỉ được thực hiện cho đến giữa đoạn đi lên [1; $m$] (Hình 4, 5).

Những tin nhắn này có thể được định dạng nghiêm ngặt như thế này. Hãy ước tính sự khác biệt giữa các phần đồng thời ở cả hai bên:

$$y_1 - y_0 = 0, \quad y_{m+1} - y_m = 0, \quad y_2 - y_1 \leq 1, \quad y_m - y_{m-1} \leq 1, \quad y_3 - y_2 \leq 2, \quad y_{m-1} - y_{m-2} \leq 2, \quad y_4 - y_3 \leq 3, \quad y_{m-2} - y_{m-3} \leq 3, \dots$$

Bây giờ, để có được ước tính về độ cao cao nhất $h_n$ của phần nhô lên, tức là giá trị $y_m - y_0 = y_{m+1} - y_0$, chúng ta cần cộng các ước tính về những khác biệt đầu tiên. Như vậy,

cho $n = 4k - 2$ (ví dụ: $n = 18$, Hình 4)

Cơm. 2.

Cơm. 3.

32

$$h_n \leq 1 + 2 + \dots + (k - 1) + (k - 1) + \dots + 2 + 1 = k(k - 1);$$
cho $n = 4k$ (ví dụ: $n = 20$, Hình 5)

$$h_n \leq 1 + 2 + \dots + (k - 1) + k + (k - 1) + \dots + 2 + 1 = k(k - 1) + k = k^2.$$

Rõ ràng - từ những số liệu tương tự - rằng những ước tính này là chính xác, tức là chiều cao nâng như vậy có thể được thực hiện. Cụ thể là $h_{18} = 20, h_{20} = 25$.

Vì vậy, chúng tôi đã tìm thấy chiều cao cao nhất $h_n$ cho bất kỳ $n$ nào. Kiểm tra xem đáp số có ​​thể được viết ở dạng rút gọn này không: $h_n = [n/4] \times [(n + 2)/4]$, hoặc thậm chí ngắn hơn, $h_n = [[n/2]]^2/4$. (Hãy nhớ lại rằng $h_{n+1} = h_n$ đối với số chẵn $n$.) Do đó, đối với bất kỳ $n$ nào, ước tính trên đủ chính xác cho $h_n$ được cho bởi bất đẳng thức $h_n \leq n^2/16$.

Chúng ta cũng lưu ý rằng các đỉnh của quỹ đạo tối ưu trong mỗi phần thứ tư của nó nằm trên cùng một parabol. Điều này không xảy ra một cách tình cờ. Xét cho cùng, nếu dãy $x_0, x_1, \dots, x_m$ là một cấp số cộng (một phần là một đoạn của chuỗi tự nhiên) và dãy $y_0, y_1, \dots, y_m$ có hiệu giây bằng nhau $y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1}$, thì các điểm $(x_0; y_0), (x_1; y_1), \dots, (x_m; y_m)$ nằm trên cùng một parabol*). Đây chính xác là tình huống trong trường hợp của chúng tôi (Hình 4, 5): trong quý đầu tiên và quý cuối cùng của quỹ đạo $y_{k+1} - 2y_k + y_k-1 = 2y_k + n^2/16$.

*) Thứ Tư. «Kvant», 1973, số 2, tr. 28-29.

$+y_{k-1} = 1$, và ở phần giữa $y_{k+1} - 2y_k + y_{k-1} = -1$.

Chúng ta sẽ thấy rằng trong các bài toán khác khi áp dụng các hạn chế đối với sai phân bậc hai, quỹ đạo tối ưu cũng được dán lại với nhau từ một parabol.

Phân tích liên tục.
Tốc độ và gia tốc

Bài toán 2. Thay thế điện trong nước tiểu $O$, bỏ qua tại chỗ, nhưng sau khi “đảo ngược”, sau $n$ giây nó lại quay trở lại trong nước tiểu $O$ và vẫn ở trong đó. Khoảng cách tối đa $h$ mà anh ta có thể di chuyển ra khỏi nước tiểu $O$ trong thời gian này là bao nhiêu, nếu giá trị tuyệt đối của gia tốc của anh ta không bao giờ vượt quá một cm/giây$^2$?

bài toán này là một phân tích hoàn chỉnh về 1, với điểm khác biệt là thay vì một chuỗi rời rạc $y_0, y_1, \dots, y_n$ bây giờ giải quyết hàm $y(t)$ liên tục trong đó của đối số $t$ (ở đây $t$ là thời gian; chúng ta sẽ giả sử rằng $t$ chạy đoạn từ 0 đến $n$). Điểm tương tự của sai phân thứ nhất là tốc độ (sản phẩm đầu tiên $y'(t)$ của tọa độ $y(t)$), điểm tương tự của sai phân thứ hai là gia tốc (sản phẩm thứ hai $y''(t) = (y'(t))'$). Chúng ta sẽ giải bài toán này, sử dụng thuật ngữ vật lý; Những người đã quen thuộc với đạo hàm và tích phân sẽ dễ dàng dịch các điều kiện bài toán và lời giải của nó sang ngôn ngữ phân tích toán học.

Hãy chứng minh rằng đáp số trong bài toán này là: $an^2/16$ (cm).