Kvant 1977, số 8 · Trang

KVANM 8
1977

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Ở đây bạn nhìn thấy ba đường cong. Một trong số đó là một vòng tròn. Cái còn lại là “màu đỏ” - bình phương Dinostrata. Phát minh của nó được cho là của sophistio Hippnio nổi tiếng, sống ở thế kỷ thứ năm trước Công nguyên. e., - một trong những nhà toán học đầu tiên mà lịch sử đã truyền lại cho chúng ta. Hippnias đã sử dụng đường cong này cho lời giải bài toán về phép chia một góc (còn gọi là trisectis). Dinostratus (thế kỷ thứ tư trước Công nguyên) đã sử dụng nó cho lời giải bài toán về bình phương của hình tròn (do đó là tứ giác). Cả hai người họ chỉ nhìn vào phần đường cong hiện rõ như một đường dày.

Đường cong thứ ba được mô tả ở đây - ốc tai - được lấy từ quadratrix Dinostratus do sự đảo ngược của vòng tròn được vẽ tương đối. Tên của nó xuất phát từ tiếng Hy Lạp hoxλος (ốc sên). Nó giống với các đường có thể nhìn thấy trên vỏ của một số loài nhuyễn thể hai mặt.

Đọc thêm về những đường cong này trên trang. 57.

1

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kionin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirilin
A. I. Klimanov
(nghệ sĩ chính)
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
A. I. Markushevich
N. A. Patrikeeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shaskolskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

TRONG PHÒNG:

2. S. Gindikin. Carl Friedrich Gauss
3. L. Alekseeva. Những cơn lốc “làm nên thời tiết”
4. O. Zhautykov. Đường cong bậc hai
5. Z. Tymeladze. Lý thuyết trò chơi

Phòng thí nghiệm «Kvant»
34. N. Rostovtsev. Cách dùng dây để thay đổi bước sóng ánh sáng

vòng tròn toán học
38. V. Rabinovich. Affine bài toán và các định lý

Vấn đề «Kvant»
42 Bài toán M456—M460; F468—F472
44 Lời giải bài toán M416—M419; F428—F431

«Kvant» cho học sinh nhỏ
51 Bài toán
52 N. Vilenkin. Toán học và mật mã

Đánh giá, thư mục
58 N. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới

Trò đùa của nhà vật lý
60 Về tính xác thực của truyện cười khoa học

Thông tin
62 Trường thể chất thư tín
63 Trường thể chất buổi tối

63 Đáp số, gợi ý, lời giải

Quét (tr. 26, 37, 56, 57)

© Tòa soạn chính tạp chí văn học vật lý và toán học được xuất bản
công ty “Nuka”, «Kvant», 1977

2

S. Gindikin

Carl Friedrich Gauss
(K kỷ niệm 200 năm ngày sinh)

Năm 1854, sức khỏe của Ủy viên Hội đồng Cơ mật Gauss, như các đồng nghiệp của ông tại Đại học Göttingen gọi ông, rõ ràng là xấu đi. Không thể nghi ngờ gì về những chuyến đi bộ hàng ngày từ Đài thiên văn đến Bảo tàng Văn học kéo dài suốt hai mươi năm. Vị giáo sư đã gần tám mươi tuổi được thuyết phục đi khám bác sĩ! Vào mùa hè, ông cảm thấy dễ chịu hơn và thậm chí còn bắt đầu mở tuyến đường sắt Hanover-Göttingen. Vào tháng 1 năm 1855, Gauss đồng ý làm mẫu cho nghệ sĩ Hesemann chụp ảnh.

4

khoa học yêu thích
sự vĩ đại của các nhà toán học

Đây là một trong nhiều tính từ mà Gauss đưa ra cho lý luận (lý thuyết số). Vào thời điểm đó, những lập luận từ một tập hợp các quan sát và tuyên bố riêng biệt đã trở thành khoa học.

Gauss sau này viết: “Chủ yếu là nhờ các nhà nghiên cứu sau này, phải thừa nhận là số lượng ít, nhưng đã giành được danh tiếng lâu dài, chẳng hạn như Fermat, Euler, Laherange, Legendre, mà chúng ta nợ họ một sự thật là họ đã tìm ra cách tiếp cận kho tàng khoa học đóng hộp này và cho thấy nó chứa đựng sự phong phú biết bao.” Nhưng cậu bé đến từ Brunswick vẫn chưa biết tất cả những điều này, cậu bé với tốc độ đáng kinh ngạc đã khám phá lại điều mà những người tiền nhiệm vĩ đại của cậu phải mất nhiều năm mới đạt được. Dưới đây là một số chủ đề khiến anh ấy bận tâm.

Gauss đã sớm nhận thấy rằng số dư khi chia bình phương của số nguyên cho số nguyên tố $p$ không thể tùy ý. Ví dụ: khi chia cho 3, số dư có thể là 0 hoặc 1; khi chia cho 5 - 0,1 hoặc 4. Nhưng bạn có thể nhìn tình huống từ phía bên kia: $p$ có những số $n^2$ nào mà khi chia cho $p$ thì cho số dư $q$? Với $q=1$ bất kỳ $p(n=p+1)$ nào cũng phù hợp, nhưng phần còn lại $p-1$ là $p$ đối với một số người, nhưng không phải đối với một số người: đối với $p=3$ không có số dư 2 khi chia hình vuông, nhưng đối với $p=5$ số dư 4 là $(n=3)$, đối với $p=7, 11, 19$ không có số dư $p-1$ không tồn tại, nhưng với $p=13, 17$ thì có. Một giả thuyết được đặt ra: nếu $p=4k-1$, thì không có $n^2$ khi chia cho $p$ cho số dư $p-1$, nhưng đối với $p=4k+1$ thì có thể chỉ ra $n^2$ như vậy. Gauss không biết rằng Fermat đã đưa ra giả thuyết này trước ông và nó đã được Euler thiết lập một cách đúng đắn.

“Tôi vô tình bắt gặp một sự thật có tính tranh luận đáng kinh ngạc, và vì đối với tôi, nó không chỉ có vẻ hoàn hảo mà còn cho tôi ý tưởng rằng nó được kết nối với các kiểu nói sự thật khác bằng sự thật, tôi đã xem xét nó bằng tất cả sức lực của mình để tìm ra lý do mà nó dựa vào và xây dựng bằng chứng cho nó. Sau khi mong muốn này cuối cùng đã thành hiện thực, việc theo đuổi những nghiên cứu này khiến tôi mỉm cười nhiều đến mức không muốn rời xa chúng nữa.”

Gauss quan tâm đến việc $p$ số $n^2$ có thể cho số dư $q=2$, 3, v.v. Với $q=2$ ông đồng ý rằng toàn bộ điểm nằm ở phần dư của phép chia $p$ cho 8 (Euler không thể chứng minh điều này, nhưng Lagrange đã chứng minh điều đó), với $q=3$ mọi thứ được xác định bởi phần còn lại của phép chia $p$ cho 12. Tuyên bố chung là tất cả các số nguyên tố $p$ có cùng số dư khi chia cho $4q$ có thể đồng thời cho số dư $q$ khi chia một số $n^2$ cho $p$ hoặc không thể. Gauss gọi phát biểu này là “định lý vàng”; Ngày nay nó thường được gọi là luật bình phương có đi có lại *). Định lý Vàng không ủng hộ Gauss trẻ tuổi. “Định lý này đã dày vò tôi suốt một năm trời và không hề khuất phục trước những nỗ lực của anh ấy”. Nhưng đây chính là lúc ông “bắt kịp” nền toán học mà ông đã hoàn thiện: số lượng các nhà toán học lớn cố gắng chứng minh định luật tương hỗ bậc hai là không thuyết phục.

Đây là một chủ đề khác trong suy nghĩ của Gauss. Little Gauss hài lòng rằng nếu bạn chia 1 cho $p$, thì sau một thời gian, các chữ số thập phân bắt đầu lặp lại - bạn sẽ nhận được một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn. Chứng minh tính tuần hoàn không khó, nhưng làm sao tính được độ dài của chu kỳ? Gauss không vội đưa ra kết luận, liệt kê các số nguyên tố liên tiếp, không lười viết chính xác các dấu chấm. Đây có vẻ là một nhiệm vụ nhàm chán (ví dụ, trong 97, dấu chấm có 96 dấu), nhưng Gauss đã trải qua tất cả $p<1000$. Ông đã chứng minh rằng độ dài của một khoảng thời gian luôn là ước số của số $p-1$. (Điều này dễ dàng được rút ra từ Định lý nhỏ của Fermat**, mà Gauss đã bác bỏ.) Gauss quan tâm đến những $p$ mà chu kỳ của chúng chính xác bằng $p-1$. Để làm được điều này, chỉ cần trong số các số dư khi chia cho $p$ của các số $10, 10^2, \dots, 10^{p-1}$ có tất cả các số dư khác 0 là đủ. Cho đến ngày nay, số lượng $p$ như vậy là vô hạn hay hữu hạn.

*) Xem bài “Định lý vàng” («Kvant», 1973, số 1).
**) Xem bài “Định lý nhỏ Fermat” («Kvant», 1972, số 10).

5

Gauss nhận thấy rằng khi chia các số 3, 9, 27, …, 3$^{16}$ cho 17, tất cả các số dư phi chính trị có thể tìm được: 1, 2, …, 16. Quan sát này chỉ dẫn đến khám phá vĩ đại đầu tiên của Gauss - việc xây dựng một 17-giác thông thường *).

Gauss biết rằng với la bàn và thước kẻ, người ta có thể tạo ra các $n$-giác thông thường (hoặc, tương tự, chia một vòng tròn thành $n$ các phần bằng nhau) cho $n = 3, 4, 5$. Tất nhiên, anh ấy hiểu rằng việc xây dựng như vậy cũng có thể thực hiện được đối với $n = 2^k, 2^k \cdot 3, 2^k \cdot 5, 15\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}\right)$. Rõ ràng, Gauss biết rằng người xưa không thể hoàn thành việc xây dựng bất kỳ $n$ nào khác.

Thời đại mới đã mang lại cơ hội dịch cấu trúc bài toán của $n$-giác thông thường sang ngôn ngữ đại số. Khả năng dựng một đa giác như vậy bằng compa và thước thẳng phụ thuộc vào việc biểu diễn các nghiệm ) của phương trình $z^n - 1 = 0$ hoặc (nếu chúng ta loại bỏ nghiệm $z = 1$) $z^{n-1} + z^{n-2} + \dots + z + 1 = 0$ ở dạng số vô tỉ bình phương (tức là biểu diễn chúng thông qua các số hữu tỉ bằng cách sử dụng các phép tính số học và trích ra căn bậc hai).

Sự quy giản này giúp có thể xem xét thống nhất các trường hợp mà người xưa có sẵn, trong khi bản thân người xưa lại tìm kiếm một phương pháp đặc biệt cho từng trường hợp.

Gauss nghĩ về các phương trình chia (đó là tên của phương trình trên), đồng thời nghĩ về tính chia hết của các số. Vào ngày 30 tháng 3 năm 1796, do sự bất ngờ thúc đẩy, ông đã nhìn thấy mối liên hệ giữa những nhiệm vụ này.

Hãy để $n = 17$. Nếu $\varepsilon$ là nghiệm của phương trình $z^{16} + z^{15} + \dots + z + 1 = 0$ thì $\varepsilon^2, \varepsilon^3, \dots, \varepsilon^{16}$ là các nghiệm khác của phương trình đó. Gauss

*) Xem bài “Sự ra mắt của Gauss” («Kvant», 1972, số 1).

**) Ở đây và bên dưới chúng ta đang nói về số phức - sự phân bố của một tập hợp số thực, được đưa vào sao cho phương trình bậc hai có nghiệm. Bạn có thể đọc về số phức, chẳng hạn như trong cuốn sách của P. Kurat và G. Robbins “Toán học là gì?” (M., nhà xuất bản “Prosveshcheniye”, 1967).

Do đó Gauss đã có thể tiến tới bài toán, trong đó chưa có gì mới được thực hiện kể từ thời Euclid. Sự đơn giản của cách diễn đạt khiến người ta có thể đưa tin về phát hiện này trên báo.

Gauss sau đó đã giải được bài toán chia đường tròn một cách hoàn toàn. Bài toán rút gọn về trường hợp số nguyên tố $n$ có dạng $2^{2k} + 1$ (đây gọi là số nguyên tố Fermat), việc xây dựng theo sơ đồ tương tự như đối với $n = 17$. $n$ tiếp theo của loại này bằng 257. Có bằng chứng cho thấy Gauss cũng không quá lười để thực hiện các công trình xây dựng cho trường hợp này. Đối với $n$ đơn giản không có dạng này, việc xây dựng, như Gauss đã chứng minh (nhưng không công bố), là không thể (một phần, đối với $n = 7, 11$).

Bây giờ số phận của Gauss đã được định đoạt: không còn ai nói đến ngữ văn nữa. Anh ấy sẽ là một nhà toán học! Trong những năm cuối đời, Gauss nhớ lại những ý tưởng đang sôi sục trong đầu ông vào thời điểm đó như thế nào. Anh ấy đã cố gắng ghi chép sơ sài về những gì anh ấy đang làm. Gauss bắt đầu viết nhật ký. Mục đầu tiên ghi ngày 30 tháng 3 năm 1796. Nó đề cập đến việc xây dựng một 17-giác thông thường. Tờ thứ hai (ngày 8 tháng 4) chỉ ra rằng ông đã chứng minh được định luật bình phương có đi có lại. Từ cuốn nhật ký, chúng ta biết được rằng nhà toán học vĩ đại vẫn tiếp tục nghiên cứu, chính xác là thông qua hoạt động của một bài tập “học sinh”.

Năm 1798, Gauss tốt nghiệp đại học và đến quê hương Braunschweig để ghi lại

6

Đại học Göttingen (Graviopa hiện đại).

kết quả trong lý thuyết số. Công việc này mất bốn năm tận tâm. Năm 1801, cuốn “Nghiên cứu số học” nổi tiếng của Gaus được xuất bản. Cuốn sách khổng lồ này (hơn 500 trang khổ lớn) chứa đựng các kết quả chính của Gaus: định luật bình phương tương hỗ, bài toán phép chia hình tròn, câu hỏi về khả năng biểu diễn của các số nguyên ở dạng $am^2 + bmn + cn^2$ (đặc biệt, ở dạng tổng các bình phương). Cuốn sách được xuất bản với chi phí của Công tước và dành tặng cho ông. Ở dạng xuất bản, cuốn sách bao gồm bảy phần. Không có đủ đại biểu cho phần thứ tám. Trong phần này, chúng ta phải nói về sự khái quát hóa của định luật tương hỗ bậc hai lên các bậc cao hơn bậc hai, đặc biệt là về định luật hai phương tương hỗ. Gauss chỉ tìm thấy bằng chứng đầy đủ về định luật bình phương vào ngày 23 tháng 10 năm 1813, và trong nhật ký của mình, ông ghi lại rằng điều này trùng hợp với sự chia ly của con trai ông.

Ngoài nghiên cứu số học, Gauss về cơ bản không nghiên cứu lý thuyết số. Anh chỉ suy nghĩ thấu đáo và hoàn thành những gì đã dự định trong những năm đó. Ví dụ, ông đã đưa ra sáu cách chứng minh khác nhau về luật tương hỗ bậc hai. “Số học

7

Gauss trẻ. (1803).

Luận án Gelstadt

Ở Braunschweig, Gauss không có tài liệu cần thiết để nghiên cứu số học của mình. Vì vậy, ông thường đến Gelstadt lân cận, nơi có một thư viện tốt. Tại đây, vào năm 1798, Gauss đã chuẩn bị một luận án chứng minh Định lý cơ bản của Đại số - phát biểu rằng mọi đa thức có hệ số phức (đặc biệt là với hệ số thực) đều có nghiệm phức (nếu bạn muốn ở lại trong trường số thực thì Định lý cơ bản của đại số có thể được phát biểu như sau: mọi đa thức có hệ số thực được phân tách thành tích các đa thức bậc một và bậc hai). Gauss xem xét một cách nghiêm túc tất cả các nỗ lực chứng minh và thực hiện ý tưởng của D’Alembert một cách hết sức cẩn thận. Một bằng chứng hoàn hảo vẫn không thành công vì thiếu một lý thuyết chặt chẽ về tính liên tục. Sau đó, Gauss đưa ra thêm ba cách chứng minh Định lý cơ bản (lần cuối cùng vào năm 1848).

Lemniscate và trung bình số học-hình học

Hãy nói về một dòng khác trong tác phẩm của Gauss, bắt đầu từ thời thơ ấu.

Năm 1791, khi Gauss 14 tuổi, ông đang bận tâm tới trò chơi sau đây. Anh ấy lấy hai số $a_0, b_0$ và xây dựng cho chúng trung bình số học $a_1 = \frac{a_0 + b_0}{2}$ và trung bình hình học $b_1 = \sqrt{a_0 b_0}$. Sau đó, ông tính các giá trị trung bình của $a_1, b_1$: $a_2 = \frac{a_1 + b_1}{2}, b_2 = \sqrt{a_1 b_1}$, v.v. Gauss đã tính toán cả hai chuỗi với một số lượng lớn các dấu hiệu. Rất nhanh sau đó anh ta không còn phân biệt được giữa $a_n$ và $b_n$ - tất cả các dấu tính được đều trùng khớp. Nói cách khác, cả hai chuỗi nhanh chóng hội tụ về một giới hạn chung $M(a_0, b_0)$ (được gọi là trung bình số học-hình học).

Cũng trong những năm đó, Gauss đã mày mò rất nhiều với một đường cong gọi là lemniscus (hay Bernoulli’s lemniscus) - một tập hợp các điểm, tích của khoảng cách giữa chúng với hai điểm cố định $O_1, O_2$ (tiêu điểm) được dựng và bằng $\left(\frac{1}{2} \left| O_1 O_2 \right|\right)^2$ (Hình 1). Gauss bắt đầu nghiên cứu lemniscate một cách có hệ thống vào năm 1797. Ông cố gắng tìm kiếm lemniscate trong một thời gian dài cho đến khi nhận ra rằng nó bằng $\frac{2\pi}{M(\sqrt{2}, 2)} \left| O_1 O_2 \right|$.

Chúng ta không biết Gauss đã báo cáo điều này như thế nào, nhưng chúng ta biết rằng đó là ngày 30 tháng 5 năm 1799 và dù không có bằng chứng trước tiên, ông đã tính cả hai đại lượng với cùng một chữ số thập phân (!). Gauss đã đưa ra các hàm cho lemniscate tương tự như các hàm lượng giác cho đường tròn. Ví dụ, đối với lemni-

9

Trước hết, chúng ta phải nhớ rằng, bắt đầu từ công trình của Kepler, Galileo và Newton, thiên văn học là ứng dụng nổi bật nhất của toán học. Truyền thống này được tiếp tục trong các tác phẩm của Euler, d’Alembert, Clairaut, Lagrange và Laplace. Dự đoán và giải thích các hiện tượng thiên thể, các nhà toán học cảm thấy như được thừa nhận những bí mật của vũ trụ. Gauss, với niềm đam mê sớm với các phép tính cụ thể, tất nhiên không thể không thử sức mình trong lĩnh vực truyền thống này.

Tuy nhiên, cũng có những lý do hoa mỹ. Gauss chiếm vị trí khiêm tốn trong công ty tư nhân ở Braunschweig, nhận 6 thaler mỗi tháng. Khoản trợ cấp 400 thaler từ công tước bảo trợ không nhất quyết cải thiện địa vị của mình để có thể nuôi sống gia đình mà lại đang nghĩ đến việc chuyển sang màu vàng. Không dễ để có được một vị trí trong toán học ở đâu đó, và Gauss không mấy quan tâm đến việc giảng dạy tích cực. Mạng lưới đài quan sát ngày càng mở rộng khiến sự nghiệp của nhà thiên văn học trở nên dễ tiếp cận hơn.

Gauss bắt đầu quan tâm đến thiên văn học khi còn ở Göttingen. Ông đã thực hiện một số quan sát ở Brunswick và dành một phần tiền lương hưu của công tước để mua sextrate. Anh ấy thực hiện một phép tính khá tốt bài toán, đồng thời giải các phép tính nhỏ bài toán. Vì vậy, ông đã xuất bản một phương pháp đơn giản để tính thời gian của Lễ Phục sinh và các thời điểm theo chu kỳ khác cùng với những chiếc sàng cực kỳ hữu ích; đã được sử dụng trước đây. Ý tưởng về bài toán thực sự xuất hiện vào năm 1801 trong hoàn cảnh sau.

Vào ngày 1 tháng 1 năm 1801, nhà thiên văn học Piashi, khi biên soạn một danh mục sao, đã phát hiện ra một ngôi sao chưa biết có cấp sao thứ 8. Sau khi quan sát nó trong 40 ngày, Piashi quay sang các nhà thiên văn học lớn với yêu cầu tiếp tục quan sát. Do nhiều nguyên tắc khác nhau, yêu cầu của anh ấy đã không được đáp ứng. Vào tháng 6, thông tin này đến tai Tsakh, người đã xuất bản tạp chí thiên văn học duy nhất vào thời điểm đó. Tsach đưa ra giả thuyết rằng lò nung là “về một hành tinh lớn mới được nghi ngờ từ lâu giữa Sao Hỏa và Uniter”. Giả thuyết của Tsach có vẻ hợp lý và việc tìm kiếm hành tinh “đã mất” là việc cấp thiết. Và để làm được điều này, cần phải tính toán quỹ đạo của nó. Việc xác định đường đi hình elip dọc theo cung 9°, điều mà Piashi biết, nằm ngoài khả năng tính toán của các nhà thiên văn học. Vào tháng 9 năm 1801, bỏ lại mọi công việc của mình, chúng tôi tính toán quỹ đạo của Gauss. Vào tháng 11, việc tính toán đã được hoàn thành. Chúng được công bố trên tạp chí Tsach số tháng 12, và vào đêm 31 tháng 12 đến ngày 1 tháng 1—chính xác một năm sau khi quan sát Piasha—nhà thiên văn học nổi tiếng người Đức Olbers, dựa trên quỹ đạo được tính toán bởi Gauss, đã tìm thấy một hành tinh (nó được gọi là Zirera). Nó đã được ký kết!

Ngày 25 tháng 3 năm 1802 Olbers phát hiện ra một hành tinh khác - Pallas. Gauss nhanh chóng tính toán quỹ đạo của nó, cho thấy rằng nó cũng nằm giữa Sao Hỏa và Juniter. Hiệu quả của phương pháp tính toán của Gausast đối với các nhà thiên văn học là không thể phủ nhận.

Sự công nhận đến với Gauss. Một trong những dấu hiệu của điều này là việc ông được bầu làm thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg. Chẳng bao lâu sau, ông được mời đảm nhận vị trí giám đốc Trường Tổng hợp St. Petersburg. Gauss viết rằng ông rất vui khi nhận được lời mời đến thành phố nơi Euler làm việc và đang suy nghĩ nghiêm túc về việc chuyển đi. Trong những bức thư của mình, Gauss viết rằng thời tiết ở St. Petersburg thường xấu, do đó ông sẽ không quá bận rộn với việc quan sát mà sẽ có thời gian cho việc nghiên cứu. Anh ấy cũng viết rằng 1000 rúp mà anh ấy sẽ nhận được nhiều hơn 400 thaler mà anh ấy có hiện tại, nhưng cuộc sống ở St. Petersburg đắt đỏ hơn.

Đồng thời, Olbers đang nỗ lực thành công để cứu Gaus cho Đức. Trở lại năm 1802, ông đề nghị người phụ trách Đại học Göttingen mời Gaus vào vị trí giám đốc của trường tổng hợp mới được tổ chức. Olbers đồng thời viết rằng Gauss “có ý nghĩa tích cực đối với khoa toán học”. Theo dado, việc di chuyển chỉ diễn ra vào cuối năm 1807.

10

Trong thời gian này, Gauss kết hôn (“đối với tôi cuộc sống dường như giống như mùa xuân với những bông hoa mới tươi sáng”). Năm 1806, Công tước, người mà Gauss có vẻ rất gắn bó chân thành, chết vì vết thương. Bây giờ không có gì có thể cản trở anh ấy ở Brunswick.

Cuộc sống của Gauss ở Göttigen không hề ngọt ngào. Năm 1809, sau khi sinh con trai, vợ ông qua đời và sau đó là chính đứa trẻ. Ngoài ra, Napoléon còn áp đặt một khoản bồi thường nặng nề cho Goettigen. Bản thân Gauss đã phải trả khoản thuế cắt cổ 2.000 franc. Olbers và ngay tại Paris, Laplace đã cố gắng giới thiệu tiền cho anh ta. Cả hai lần Gauss đều kiêu hãnh từ chối. Tuy nhiên, một nhà hảo tâm khác đã được tìm thấy, lần này ẩn danh và không có ai trả lại tiền (mãi sau này họ mới biết đó là Tuyển hầu tước Main, một người bạn của Goethe). “Cái chết ít hơn cuộc sống của tôi,” Gauss viết giữa những ghi chú về lý thuyết hàm số elip. Những người xung quanh không đánh giá cao công việc của anh ấy và ít nhất coi anh ấy là một kẻ lập dị. Olbers trấn an Gauss, nói rằng không nên trông cậy vào sự hiểu biết của mọi người: “họ phải được mong muốn và phục vụ”.

Năm 1809, “Lý thuyết chuyển động của các thiên thể quay quanh Mặt trời, hoàn thành năm 1807” nổi tiếng được xuất bản. Sự chậm trễ xảy ra do sản phẩm lo ngại rằng cuốn sách bằng tiếng Đức sẽ không tìm được nhu cầu, và Gauss, từ các báo cáo bảo trợ, đã từ chối in cuốn sách bằng tiếng Pháp. Thỏa hiệp là xuất bản cuốn sách bằng tiếng Latinh. Đây là cuốn sách duy nhất của Gauss về thiên văn học (ngoài cuốn sách này, ông còn xuất bản một số bài báo).

Gauss phác thảo các phương pháp tính toán quỹ đạo của mình. Để bị thuyết phục về sức mạnh của phương pháp của mình, ông lặp lại phép tính quỹ đạo của sao chổi vào năm 1769, mà Euler, người sau đó bị mất thị lực, đã tính toán trong ba ngày tính toán trực tiếp. Gauss phải mất một giờ để làm điều này. Cuốn sách mô tả phương pháp bình phương tối thiểu, đây vẫn là một trong những phương pháp phổ biến nhất để xử lý kết quả của lớp phủ.

Gauss cho biết ông đã biết đến phương pháp này từ năm 1794 và từ năm 1802 ông đã sử dụng nó một cách có hệ thống. (Hai năm trước khi xuất bản Lý thuyết chuyển động của Gauss, phương pháp bình phương tối thiểu đã được Legendre xuất bản.)

Năm 1810, có nhiều vinh dự hơn: Gauss nhận được Giải thưởng của Viện Hàn lâm Khoa học Paris và Huy chương Vàng của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn, đồng thời được bầu vào một số học viện.

Năm 1804, Viện Hàn lâm Paris chọn lý thuyết nhiễu loạn của Pallas làm đề tài cho một giải thưởng lớn (huy chương vàng nặng 1 kg). Thời hạn được hoãn lại hai lần (đến năm 1816) với hy vọng Gauss sẽ nộp tác phẩm. Gauss đã được học trò Nikolan (“một chàng trai trẻ tính toán không biết mệt mỏi”) giúp đỡ trong việc tính toán, tuy nhiên các phép tính vẫn chưa được hoàn thành. Gauss đã vượt qua họ khi đang bị trầm cảm nặng.

Các nghiên cứu thường xuyên về thiên văn học vẫn tiếp tục cho đến khi ông qua đời. Sao chổi nổi tiếng năm 1812 (đã “báo trước” trận hỏa hoạn ở Moscow!) đã được quan sát trước tòa, sử dụng tính toán của Gauss. Vào ngày 28 tháng 8 năm 1851, Gauss quan sát thấy nhật thực. Gauss có nhiều sinh viên thiên văn học (Schumacher, Herming, Nikolan, Struve). Các nhà hình học vĩ đại nhất người Đức Möbnitz và Staudt đã nghiên cứu từ ông không phải hình học mà là thiên văn học. Ông thường xuyên trao đổi thư từ với nhiều nhà thiên văn học, thường xuyên đọc các bài báo và sách về thiên văn học và xuất bản lời giải. Từ những lá thư đến các nhà thiên văn học, chúng ta đã học được rất nhiều điều về toán học. Làm thế nào mà sự xuất hiện của nhà thiên văn học Gauss lại tương phản với ý tưởng về một ẩn sĩ không thể tiếp cận tồn tại trong giới toán học!

trắc địa

Đến năm 1820, trung tâm trí tuệ thực tiễn của Gauss đã chuyển sang trắc địa. Vào đầu thế kỷ này, ông đã cố gắng sử dụng kết quả đo các kinh tuyến khác do các nhà khảo sát người Pháp thực hiện để xác lập chiều dài tiêu chuẩn (mét) nhằm tìm ra góc quay thực sự của Trái đất. Nhưng vòng cung hóa ra lại quá nhỏ. Gauss

13

cơ hội để làm việc bình tĩnh. Anh ta cảnh báo Hermin, người chỉ định đề cập rằng những gì anh ta làm về sự tương đồng có thể trở thành sai lầm: “Không phải những con ong bắp cày mà bạn tiêu diệt sẽ vượt lên trên con bò của bạn”. Nó đang dần chín muồi lời giải để ghi lại kết quả, nhưng không công bố chúng: “Có lẽ sẽ không lâu nữa tôi có thể xử lý nghiên cứu sâu rộng của mình về vấn đề này để chúng có thể được công bố. Thậm chí có thể tôi sẽ không quyết định về điều này trong suốt quãng đời còn lại của mình, vì căn bệnh này an toàn hơn *), tỷ lệ này sẽ tăng lên nếu tôi bày tỏ quan điểm của mình một cách đầy đủ” (thư gửi Besselo, 1829). Vào tháng 5 năm 1831, Gauss bắt đầu viết một cách có hệ thống: “Trong vài tuần nay, tôi đã bắt đầu sắp xếp bằng văn bản một số kết quả suy ngẫm của riêng mình về chủ đề này, một số trong số đó đã 40 tuổi nhưng chưa bao giờ được viết ra nhiều, kết quả là tôi đã phải đổi mới tất cả công việc trong lĩnh vực của mình 3 hoặc 4 lần. Tôi không muốn điều này xảy ra với mình” (thư gửi Schumacher).

Tuy nhiên, vào năm 1832, ông nhận được từ Farkas Boyan một tác phẩm nhỏ của con trai ông là Janos, “Phụ lục” (tên này là do nó được xuất bản dưới dạng phụ lục cho cuốn sách lớn hơn của cha ông). “Con trai tôi đặt cược vào sự thu hẹp đó hơn là vào sự thu hẹp của toàn châu Âu.” Nội dung của cuốn sách làm Gauss ngạc nhiên: nó xây dựng hình học phi Euclid một cách hoàn chỉnh và có hệ thống. Đây không phải là những thỏa thuận và thỏa thuận rời rạc giữa Schweikart và Taurinus. Bản thân Gauss sắp nhận được một bài thuyết trình như vậy trong tương lai gần. Anh ấy viết cho Hermin: “… Tôi tìm thấy tất cả các ý tưởng và kết quả của riêng mình, được phát triển một cách hết sức duyên dáng, mặc dù là do tính ngắn gọn của cách trình bày, ở dạng khó hiểu đối với những người mà lĩnh vực này xa lạ… Tôi tin rằng nhà hình học trẻ tuổi Boya này là một thiên tài tầm cỡ đầu tiên.” Và đây là những gì được viết cho người cha: “… toàn bộ nội dung của tác phẩm này, con đường mà con trai ông đã đi, và kết quả mà nó nhận được, gần như hoàn toàn trùng khớp với của tôi, mà tôi đã nhận được một phần cách đây 30-35 năm. Tôi thực sự vô cùng ngạc nhiên về điều này. Tôi đã có ý định về công việc của riêng mình, một số trong đó bây giờ tôi đã viết ra giấy, không xuất bản bất cứ điều gì trong suốt cuộc đời của mình… Tôi đã có ý định… để những suy nghĩ này, ít nhất, sẽ không đến gần tôi. Vì vậy, tôi vô cùng kinh ngạc trước những gì đang tồn tại - nó giải phóng tôi khỏi sự cần thiết này; và tôi rất vui vì chính con trai của người bạn cũ đã chờ đợi tôi một cách tuyệt vời như vậy.” Janos không nhận được bất kỳ đánh giá hay hỗ trợ công khai nào từ Gauss. Rõ ràng, cùng lúc đó, Gauss đang thực hiện những ghi chú có hệ thống về hình học phi Euclide, mặc dù những ghi chú thỉnh thoảng vẫn được bảo tồn, có niên đại từ những năm 40.

*) Theo truyền thuyết, cư dân Boston nổi tiếng ở Hy Lạp cổ đại vì sự ngu ngốc của họ.

Năm 1841, Gauss làm quen với ấn bản tiếng Đức của tác phẩm của Lobachevsky (các ấn phẩm đầu tiên của Lobachevsky có từ năm 1829). Đúng với bản thân mình, Gauss quan tâm đến các ấn phẩm khác của tác giả, hạn chế nói về ông trong thư từ với các phóng viên thân cận. Tuy nhiên, theo gợi ý của Gauss, vào năm 1842 Lobachevsky, “với tư cách là một trong những nhà toán học xuất sắc nhất của nhà nước Nga,” đã được bầu làm thành viên tương ứng của Hiệp hội Khoa học Hoàng gia Goettigen. Gauss đã đích thân trích xuất thông tin của lobachevsky. Tuy nhiên, cả bài trình bày của Gauss lẫn bằng tốt nghiệp được trao cho Lobachevsky đều không đề cập đến hình học phi Euclide.

Công trình của Gauss về hình học phi Euclide chỉ được biết đến sau khi xuất bản một kho lưu trữ sau khi ông mất. Do đó, Gauss đã tạo cho mình cơ hội làm việc một cách bình tĩnh bằng cách từ chối tiết lộ khám phá vĩ đại của mình, gây ra cuộc tranh luận kéo dài cho đến ngày nay về khả năng được chấp nhận cho vị trí mà ông đảm nhận.

Cần lưu ý rằng Gauss không chỉ quan tâm đến câu hỏi logic thuần túy về khả năng chứng minh của các tuyên bố về sự tương tự. Ông quan tâm đến hình học trong khoa học tự nhiên, câu hỏi về hình học thực sự của thế giới vật chất của chúng ta (xem tuyên bố trên năm 1817). Ông thực hiện khả năng xác minh thiên văn học, đáp lại những thông điệp của Lobachevsky về vấn đề này một cách hứng thú. Khi nghiên cứu trắc địa, Gauss không thể cưỡng lại việc thay đổi tổng các góc của một tam giác với các đỉnh High Hagen, Brocken, Inselberg. Sự lắng đọng từ 2l không vượt quá 0,2′.

Điện động lực học và từ trường mặt đất

Đến cuối những năm 20, Gauss, người đã bước qua mốc 50 năm, bắt đầu tìm kiếm những lĩnh vực hoạt động khoa học mới. Điều này được chứng minh bằng hai ấn phẩm vào năm 1829 và 1830. Ấn phẩm đầu tiên mang dấu ấn phản ánh các nguyên lý chung của cơ học (ở đây, “tên chính của việc thu hẹp” của Gauss được xây dựng); cái còn lại được dành cho việc nghiên cứu các hiện tượng mao dẫn. Gauss quyết định nghiên cứu vật lý, nhưng sở thích của anh vẫn chưa được quyết định. Năm 1831, ông cố gắng nghiên cứu tinh thể học. Đây là một năm rất khó khăn

14

Cuộc đời của Gauss: Người vợ thứ hai qua đời, ông bắt đầu mắc chứng mất ngủ trầm trọng. Cùng năm đó, nhà vật lý 27 tuổi Wilhelm Weber, được Gauss mời, đã đến Göttingen. Gauss gặp ông vào năm 1828 tại nhà Humboldt. Gauss đã 54 tuổi; sự kín đáo của ông đã trở thành huyền thoại, tuy nhiên ở Weber, ông đã tìm thấy một người bạn đồng hành trong khoa học mà trước đây ông chưa từng có.

“Sự khác biệt bên trong của những người này cũng được thể hiện rõ ràng ở khía cạnh bên ngoài của họ. Gauss - được công nhận; có thân hình cường tráng, một đại diện thực sự của Lower Saxony, ít nói và thu mình vào chính mình. Một kiểu đối lập với anh ta là Weber nhỏ bé, duyên dáng, nhanh nhẹn, người cực kỳ nhã nhặn và có lối trò chuyện ngay lập tức bộc lộ bản chất cấp tiến; anh ta thực sự đến từ Wittenberg, đất nước của “những người Saxon bình phương.” Trên tượng đài Göttingen tưởng nhớ Gauss và Weber, sự tương phản giữa các bộ sưu tập nghệ thuật của họ được làm dịu đi và ngay cả khi xét về độ tuổi, chúng dường như gần gũi hơn so với thực tế.” (Klein)

Mối quan tâm của Gauss và Weber nằm ở lĩnh vực điện động lực học và từ trường mặt đất. Hoạt động của họ không chỉ mang lại kết quả về mặt lý thuyết mà còn mang lại kết quả thực tiễn. Năm 1833, họ phát minh ra điện thoại điện từ (sự kiện này được mô tả trong tượng đài chung của họ). Chiếc điện thoại đầu tiên gọi tới đài thiên văn và viện vật lý. Do nguyên tắc tài chính nên việc đưa điện thoại vào cuộc sống là điều không thể.

Trong quá trình nghiên cứu từ tính, họ dựa vào cả những quan sát tại đài quan sát từ tính được thành lập ở Göttingen và dựa vào những vật liệu được thu thập ở các quốc gia khác nhau bởi “Liên minh quan sát từ tính trên trái đất” do Humboldt tạo ra sau khi trở về từ Nam Mỹ. Đồng thời, Gauss đã tạo ra một trong những chương quan trọng nhất của vật lý toán học - lý thuyết thế năng.

Các nghiên cứu chung của Gauss và Weber đã thay đổi vào năm 1843, khi Weber, cùng với sáu giáo sư nổi tiếng khác, bị trục xuất khỏi Göttingen vì đã ký một bức thư gửi nhà vua, trong đó chỉ ra những vi phạm cấu trúc của nhà vua (Gauss không ký vào bức thư). Weber chỉ trở lại Gottingen vào năm 1849, khi Gauss đã 72 tuổi.

---

Chúng ta sẽ kết thúc câu chuyện về Gauss bằng những lời của Klein: “Gauss mang đến cho tôi hình ảnh của đỉnh cao nhất của dãy núi Bazaar, như nó hiện ra trước mắt tôi, được quan sát hàng ngày. Ở phía bên này của chuỗi, theo hướng từ đông sang tây, các đỉnh riêng lẻ ngày càng cao hơn, đạt đến độ cao tối đa trong chuỗi nước tiểu, cao chót vót; kết thúc một cách tròn trịa, cuộc hành hình miền núi này với một hình thức mới đã thay đổi, trong đó sự rộng mở của nó được nghe thấy từ cách xa hàng chục km, và những dòng suối chảy ra từ nó mang theo sức mạnh và sự sống.”

Chân dung Gauss trên trang. 2 do Giáo sư K. R. Biermann từ CHDC Đức gửi.

15

Những cơn lốc “làm nên thời tiết”

“…những hình xoắn ốc mang tính biểu tượng, như thể thể hiện một cơn lốc khí quyển ghê gớm, có thể được tìm thấy trong hình ảnh thần tượng và các vị thần, đã được thêm vào cho chúng ta qua thời gian của các nền văn minh cổ đại.

… Một thần tượng đến từ bờ biển Châu Đại Dương - giông bão hơn trong bộ tộc Mary ở New Zealand - cũng được trang trí bằng nhiều ngọn tháp.”

I. Sitnikov. “Betsy, Camila và những người khác…”

Đội hình này thật đáng kinh ngạc - một cơn lốc! Nó khác với các dòng chất lỏng hoặc khí đồng nhất khác chỉ ở bản chất chuyển động của nó, bao gồm chuyển động quay quanh trục bên trong của nó. Tuy nhiên, so với các dòng chảy khác, dòng xoáy có tính toàn vẹn, ổn định và độ bền vượt trội (xem «Kvant» Số 4, 1971).

Những vòng khói xoáy do người hút thuốc phóng ra bay cao lên trần nhà, trong khi khói từ điếu thuốc của anh ta vừa bốc lên sẽ vỡ thành những mảnh vụn, hòa vào không khí và tan chảy. Các thí nghiệm cổ điển với các vòng xoáy lớn được đập vào tường phòng thí nghiệm được mô tả trong một bài báo của nhà vật lý thực nghiệm người Mỹ P. Wood (xem «Kvant» số 12, 1971).

Trong tự nhiên, các xoáy xuất hiện rất nhiều. Chúng xuất hiện ở phần dòng chảy nơi tốc độ thay đổi nhanh chóng theo hướng vuông góc với dòng chảy. Mọi người đều từng nhìn thấy các dòng xoáy ở một dòng sông chảy xiết khi nó chuyển từ dòng chảy xiết sang dòng chảy chậm gần bờ. Toàn bộ chuỗi xoáy có thể kéo dài phía sau một vật thể chuyển động, chẳng hạn như súng máy. Chúng đặc biệt thuận tiện để quan sát trên đường cao tốc vào những ngày bão tuyết, khi xe bị gió ngược mạnh thổi bay và những bông tuyết thể hiện sự chuyển động của không khí trong suốt. Những dòng xoáy như vậy xuất hiện khi di chuyển xung quanh chướng ngại vật.

Bản chất xoáy của gió mạnh đã được thay thế vào năm 1821 bởi W. Redfield, chủ một cửa hàng nhỏ ở bang Connecticut (Mỹ), người khi đi du lịch quanh bang sau một cơn bão đã nhận thấy cây cối bị gió đổ. Có nơi cây ngả ngọn về hướng Tây Bắc, có nơi lại có hệ thống gió. Bằng cách nói chuyện với các thủy thủ và phân tích nhật ký tàu, ông đã xác định được hướng quay của các xoáy lớn và tìm ra quỹ đạo của tâm chúng. Năm 1831 nó được xuất bản

16

tác phẩm của W. Redfield, phác thảo kết quả nghiên cứu của ông. Những quan điểm gần hơn đã được nhà khoa học người Đức W. Dove bày tỏ. Cũng trong những năm này, bản đồ gió đầu tiên đã được xây dựng.

Trong xã hội, chuyển động xoáy là đặc điểm của bầu khí quyển Trái đất. Tuy nhiên, không phải giải pháp nào cũng “tạo nên sự khác biệt”. Thời tiết trên địa cầu phần lớn phụ thuộc vào sự hiện diện của các vòng xoáy và phản vòng khí quyển khổng lồ thiết lập chế độ gió trên một Trái đất nhất định.

Trong hệ thống đầu ra, được gọi là cyclome (Hình 1), áp suất khí quyển được hiểu từ ngoại vi đến trung tâm. Vì vậy, kiểm tra ảnh hưởng hút của Trái đất đối với hướng dòng điện hướng về tâm bão. Tất cả các cơn lốc xoáy đều có thành phần quay là tốc độ gió. Ở Bắc bán cầu nó có hướng ngược chiều kim đồng hồ, ở Nam bán cầu nó có hướng theo chiều kim đồng hồ. Khi các cơn bão đang phát triển (tức là những cơn bão mà áp suất ở tâm tiếp tục giảm) người ta quan sát thấy các dòng chảy đi lên. Đồng thời, những đám mây nặng hình thành và lượng mưa rơi xuống.

Hai tính chất cuối cùng của lốc xoáy rất giống nhau. Trên thực tế, chúng ta hãy cô lập một thể tích không khí nhất định trong đầu và xem điều gì sẽ xảy ra khi nó dâng lên. Rơi vào bầu không khí loãng hơn, thể tích này nở ra, nhiệt độ của không khí bên trong giảm xuống và hơi nước chứa trong nó ngưng tụ lại.

Hướng quay của các xoáy thuận ở các bán cầu khác nhau có thể được giải thích bằng hiệu ứng xoắn của lực Corilis (để biết thêm chi tiết, xem «Kvant» Số 2, 1975), gắn liền với chuyển động quay hàng ngày của Trái đất. Chúng ta hãy nhớ lại một thực tế nổi tiếng là tác dụng làm chệch hướng của lực này khiến các con sông cuốn trôi bờ phải của chúng. Luồng không khí không bị bờ giữ lại và do đó, khi di chuyển về phía trung tâm, nó sẽ lệch sang bên phải khi nhìn về phía trung tâm, tức là ngược chiều kim đồng hồ khi nhìn từ trên xuống.

Lưu ý rằng gần xích đạo trong dải vĩ độ 5° ở cả hai phía, các nguồn điện mạnh không hình thành. Thực tế này rất phù hợp với nghĩa vụ trên, vì ở xích đạo thành phần nằm ngang của lực Corilis bằng không.

Trong hệ thống đầu ra của lốc xoáy, mọi thứ lại diễn ra ngược lại: áp suất tăng lên, đạt mức tối đa ở trung tâm của đầu ra. Các luồng khí đi xuống hiện diện trong xoáy thuận đang phát triển. Ồ-

Hình 1. Các mũi tên chỉ hướng gió trong lốc xoáy.

Hình 2.

Khi ăn mòn, khí nóng lên và chuyển ra khỏi trạng thái bão hòa hơi nước. Vì vậy, xoáy thuận có đặc điểm là thời tiết trong xanh, có mây một phần. Antticlones quay theo chiều kim đồng hồ ở Bắc bán cầu và ngược chiều kim đồng hồ ở Nam bán cầu. Hướng quay của xoáy thuận cũng được xác định bởi tác dụng xoắn của lực Corilis.

17

Tùy thuộc vào nơi xuất phát, lốc xoáy được chia thành nhiệt đới và ngoại nhiệt đới.

Hình 2 và 3 lần lượt thể hiện hình ảnh từ trên cao của một xoáy thuận nhiệt đới và xoáy thuận ngoài nhiệt đới. Xoáy thuận ngoài nhiệt đới (đôi khi được gọi đơn giản là lốc xoáy) là xoáy khí quyển lớn nhất, có tiết diện lên tới vài nghìn km. Chiều cao của nó thay đổi từ 2-4 đến 15-20 km. Hầu hết thời gian, tốc độ gió ở đó không vượt quá 40-70 km/h.

Kích thước ngang của bão nhiệt đới (còn gọi là cuồng phong, bão nhiệt đới, bão cuồng phong, v.v.) nhỏ hơn nhiều - chỉ vài trăm km, độ cao lên tới 12-15 km. Áp suất trong bão giảm thấp hơn nhiều so với xoáy thuận ngoài nhiệt đới. Đồng thời, tốc độ gió đạt 400-600 km/h.

Tốc độ gió cao nhất trong một cơn bão được quan sát xung quanh cái gọi là “mắt bão” - vùng yên tĩnh ở phần trung tâm của cơn bão. Điểm đen có hình dạng đúng trong Hình 3 là mắt bão. Một mô tả đầy biểu cảm về mắt bão được đưa ra bởi một người rất ăn uống đã hát xuyên qua cơn bão trên máy bay dịch vụ khí tượng - nhà báo người Pháp P. A. Molin, tác giả cuốn sách “Thợ săn bão”.

“Chúng tôi đang bay ở độ cao 3 km trong một cái giếng có đường kính 22 km, trong đó có vài đám mây ti lơ lửng, yên bình như đồ chơi. Các bậc thang của giếng này tượng trưng cho cơn bão bất động được giữ bởi nguyên nhân thiếc. Nó hướng về phía đỉnh bức tường, lối ra khỏi giếng này cách chúng tôi 15 km. Và trước mắt chúng tôi, những bức tường sôi sục này hiện ra trước mắt chúng tôi, vực thẳm khổng lồ này, phản ứng lớn này khiến chúng tôi gọi toàn bộ hiện tượng là “mắt bão”.

Lưu ý rằng xoáy thuận ngoài nhiệt đới không có “mắt”.

Ngoài ra còn có một vùng yên tĩnh (khoang) trong các xoáy quy mô nhỏ - lốc xoáy (cơn lốc xoáy, cục máu đông) (Hình 4). Kích thước của chúng rất nhỏ: chiều rộng - từ vài mét đến 2-3 km, trung bình 200-400 m, chiều cao từ vài chục đến 1500-2000 m, trung bình vài trăm mét. Tốc độ gió trong cơn lốc xoáy đôi khi vượt quá tốc độ âm thanh (1200 km/h!).

Tại tâm lốc xoáy, áp suất giảm rất thấp nên lốc xoáy

18

Hình 5.

Hình 6.

“hút” nhiều vật thể khác nhau, đôi khi rất nặng vào mình, sau đó chúng vận chuyển chúng đi một quãng đường dài. Những người ở trung tâm của cái chết đã chết. Vì vậy, không có quan sát nào về khoang của nó từ bên trong. Nhưng cô ấy được nhìn thấy màu xám xịt khi cơn lốc xoáy lướt qua đầu người quan sát. Hình 5 là ảnh chụp bên trong khoang Mertz, chụp từ trên xuống.

Hình 7.

Theo lời kể của các nhà siêu nhiên, khoang của cơn lốc xoáy giống như bên trong của một hình trụ rỗng màu đen, được chiếu sáng từ bên trong bởi ánh sáng chói lòa giữa các bức tường. Trong một số trường hợp, tia sét quan sát được không được nhìn thấy.

Một ngày nọ, mép dưới của cơn lốc xoáy lướt qua đầu người quan sát ở độ cao 6 m. Chiều rộng của khoang bên trong cơn lốc xoáy này là khoảng 130 m, trong khi độ dày của bức tường chỉ là 3 m. Ở giữa khoang có một đám mây sáng trong suốt phát ra ánh sáng xanh. Một lúc sau, khi cơn lốc xoáy đã đi qua người quan sát, phần cuối của nó lao xuống đất, chạm vào một ngôi nhà lân cận và cuốn đi ngay lập tức. Ngôi nhà tan vỡ trong không khí.

Nhìn từ phía nó, cơn lốc xoáy giống như một cây cột (Hình 6), một cái phễu (Hình 7) hoặc một cái hòm (Hình 4), treo lơ lửng ở chân một đám mây giông mạnh. Một nhóm lốc xoáy có thể hình thành cùng một lúc (Hình 8). Một bản phác thảo thú vị về một cơn lốc xoáy có hai phễu (Hình 9). Ẩn trong đám mây đen là phần nằm ngang của cơn lốc xoáy - đội hình thoát ra, quay quanh một trục kéo dài song song với bề mặt Trái đất. Phần lốc xoáy này được phi công nhìn thấy khi bay ở độ cao khoảng 300 m. Theo ông, nó giống như một cái gì đó khổng lồ

21

Chúng ta hãy thử mô tả sơ đồ “sự gặp gỡ” của hai xoáy nước. Đối với mỗi xoáy đơn lẻ, một vùng quay cực mạnh được tách ra khỏi vùng đứng yên bằng cái gọi là vùng ngoại vi, trong đó tốc độ giảm dần về 0. Hãy tưởng tượng rằng hai cơn bão ở khoảng cách xa đến mức tâm của mỗi cơn bão rơi vào vùng ngoại vi của cơn bão kia. Giả sử, với mục đích định nghĩa, các cơn bão quay ngược chiều kim đồng hồ. Mỗi người trong số họ sẽ làm cho tâm của “anh em” của nó chuyển động theo cách nó quay ngược chiều kim đồng hồ so với nó. Dễ dàng nhận thấy, điều này sẽ dẫn đến sự quay của tâm của cả hai cơn bão cũng ngược chiều kim đồng hồ so với một số vị trí trên đường thẳng nối tâm các cơn bão, gần với cơn lốc mạnh hơn. Ở các tầng thấp hơn của khí quyển, ảnh hưởng hướng về tâm bão, trong khi ở trên cùng, ảnh hưởng ra xa tâm bão. Tùy thuộc vào cường độ của các quá trình này đối với một cặp bão nhất định, chúng có thể hợp nhất nếu lực hút chiếm ưu thế hoặc rút lui khỏi nhau nếu dòng chảy ra ở các lớp trên trở nên mạnh hơn.

Đồng thời, các cơn bão tiếp tục ảnh hưởng lẫn nhau mọi lúc. Theo nhà vật lý người Mỹ K. Orr, chuyển động của họ giống với hành vi của các võ sĩ trên võ đài, chờ đợi thời điểm tung ra đòn quyết định.

Một sơ đồ tương tự cho phép chúng ta xem xét sự gặp nhau của các phản chu kỳ và cặp xoáy thuận-xoáy nghịch. Ngoài ra, nó có thể được mở rộng cho trường hợp xoáy rơi vào vùng ảnh hưởng mạnh mẽ với nó.

Sự phát triển của một xoáy nước được xác định bởi nhiều yếu tố và thực tế không thể đưa ra bất kỳ giả định nào trước về kết quả của “cuộc gặp gỡ” của hai xoáy.

Đường đi của một cơn bão đã phát triển đôi khi rất dài và khi đi qua nó, cơn lốc trải qua nhiều biến đổi khác nhau. Khi rời khỏi vùng nhiệt đới, bão có dạng lốc xoáy mạnh trong đất liền.

Bão lốc ở Tây Âu thường là những cơn bão nhiệt đới trước đây đi dọc theo bờ biển Bắc Mỹ và vượt Đại Tây Dương. Một số người trong số họ đã đi qua Châu Âu rồi đến Châu Á.

Khi một cơn bão đổ bộ vào đất liền, do bề mặt trái đất “gồ ghề” nên phần dưới của nó bắt đầu sụp đổ. Ngoài ra, khi vượt qua thực tế, bão yếu hơn do thiếu “dinh dưỡng” - độ ẩm. Nhưng nếu cơn bão tiếp giáp với phần trên thì có thể “rút cơ” với lực tương tự.

Đánh vào các khu vực đông dân cư trên thế giới, một cơn bão đã cướp đi hàng nghìn sinh mạng và gây ra thiệt hại vật chất to lớn. Năng lượng của nó rất lớn: trong một ngày, một cơn bão lớn hơn “tiêu thụ” năng lượng ngang với năng lượng của vụ nổ 13.000 megaton bom hạt nhân; Động năng của một cơn bão trung bình bằng năng lượng dự trữ của 1000 quả bom nguyên tử.

Hoạt động của các cơn bão làm thay đổi địa hình bề mặt trái đất: các đảo san hô biến mất, các bờ biển “chuyển động”, các hình dạng mới xuất hiện, v.v.

Dự báo về chuyển động của lốc xoáy và xoáy nghịch đã trở nên đáng tin cậy hơn nhiều trong hai thập kỷ qua nhờ việc sử dụng máy tính và thông tin được cung cấp bởi vệ tinh, radar và máy bay. Các thiết bị và dụng cụ tiên tiến mới hỗ trợ quan chức. Dịch vụ này đang diễn ra.

22

Đường cong bậc hai

Đường cong bậc hai là đồ thị của phương trình bậc hai với hai ẩn số.

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0,$$

(1)

ở đâu $A, B, C, D, E, F \in \mathbb{R}$. Chúng ta hãy biểu thị đa thức ở vế trái của phương trình (1) bằng $f(x, y)$. Khi đó điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đồ thị của phương trình (1) nếu $f(x_0, y_0) = 0$ (xem “Đại số 6”, đoạn 54).

Mục tiêu chính của chúng tôi bài toán là học cách xác định loại biểu đồ này dựa trên các hệ số $A, B, C, D, E, F$.

Chúng ta sẽ giả sử rằng $A, B, C$ không đồng thời biến mất (nếu $A = B = C = 0$, thì thu được đường cong bậc nhất - đồ thị của phương trình tuyến tính $Dx + Ey + F = 0$).

Chúng ta sẽ chọn phương án sau: đầu tiên chúng ta sẽ nghiên cứu một số trường hợp đặc biệt đơn giản - khi một số hệ số của phương trình (1) bằng 0, sau đó chúng ta sẽ học cách thu được đồ thị của phương trình (1) từ các trường hợp đặc biệt này bằng các phép tịnh tiến và phép quay song song.

Trường hợp đặc biệt

Những trường hợp này như sau (tất cả các hệ số của các số hạng được tính toán, có lẽ ngoại trừ $F$, đều khác 0):

$$Ax^2 + Ey = 0,$$

(2a)

$$Cy^2 + Dx = 0,$$

(26)

$$Ax^2 + Cy^2 + F = 0,$$

(3)

Đồ thị của phương trình (5a) là một parabol (xem “Đại số 6”, đoạn 24 và bài viết của I. N. Bronstein “Parabola” trong «Kvant», 1975, số 4). Dễ hiểu rằng phương trình (56) cũng xác định parabol - nó có được bằng cách phản ánh parabol $y = -\frac{C}{D}x^2$ so với bissertis của góc tọa độ thứ nhất (xem Hình 1).

Một chu vi, một hình elip, một hyperbol, một gốc tọa độ, một cặp đường thẳng hoặc tập rỗng. Tất cả điều này có thể là một biểu đồ của phương trình (3).

Thật vậy, nếu $A = C$ ($\neq 0$), thì phương trình (3) có thể được viết lại thành

$$x^2 + y^2 = \frac{-F}{A}.$$

(6a)

Nếu $-F/A > 0$ thì phương trình (6a) xác định một đường tròn có bán kính $\sqrt{-F/A}$ (Hình 2). Nếu $-F/A = 0$, thì phương trình (6a) chỉ được thỏa mãn bởi cặp $x = 0, y = 0$ và gốc tọa độ được kiểm soát bởi biểu đồ. Nếu $-F/A < 0$ thì phương trình (6a) không có lời giải, đồ thị của nó là một tập rỗng.

Hãy để bây giờ $A \neq C$. Khi đó, nếu $A$ và $C$ cùng dấu (tức là $C/A > 0$), thì đồ thị của phương trình (3), có thể được viết lại thành

$$x^2 + \frac{C}{A}y^2 = \frac{-F}{A},$$

(66)

là một hình elip nếu $-F/A > 0$ (xem Hình 3 và bài viết “Ellipse” của I. N. Bronshtein trong «Kvant», 1975, Số 1), gốc tọa độ nếu $-F/A = 0$ và một tập rỗng nếu $-F/A < 0$.

23

Hình 1.

Nếu $A$ và $C$ có dấu khác nhau (nghĩa là nếu $C/A < 0$), thì phương trình (66) cho $F \neq 0$ xác định một hyperbola (xem bài viết “Hyperbola” của I. N. Bronstein trong «Kvant», 1975, Số 3) và cho $F=0$ - một cặp đường thẳng (Hình 4)

$$x + \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0,$$
$$x - \sqrt{\frac{-C}{A}} y = 0$$

(xem “Đại số 6”, đoạn 21; các phương trình này có thể dễ dàng rút gọn về dạng $y=kx$).

Cho dù tập hợp là trực tiếp hay trống rỗng. Trong phương trình (4a) và (46), cần xem xét ba trường hợp: $F=0, F/A > 0$ (hoặc $F/C > 0$) và $F/A < 0$ (hoặc $F/C < 0$).

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

Nếu $F=0$, thì (4a) trở thành phương trình $x=0$, đồ thị của nó là trục $Oy$ và (46) cho $y=0$, là trục $Ox$.

Nếu các số $F$ và $A$ (hoặc $F$ và $C$) khác dấu thì phương trình (4) mỗi số cho một cặp đường thẳng song song với trục $Oy$:

$$x = \pm \sqrt{\frac{-F}{A}}$$

hoặc trục $Ox$

$$y = \pm \sqrt{\frac{-F}{C}}.$$

Nếu các số $F$ và $A$ (hoặc $F$ và $C$) cùng dấu thì đồ thị của phương trình (4a) (và (46)) là một tập rỗng.

24

Thay đổi

Đây là những phép biến đổi biến một hình thành một hình phù hợp với nó. Do đó, do sự thay đổi, một đường thẳng sẽ vẫn thẳng, một parabol sẽ vẫn là một parabol và một hyperbol sẽ vẫn là một hyperbol. Nhưng phương trình của những đường này thay đổi (nhưng vẫn sẽ là phương trình bậc hai) và điều này có thể được sử dụng để đơn giản hóa phương trình - chẳng hạn, chọn một bản dịch mà sau đó thuật ngữ $Dx$ sẽ biến mất trong phương trình hoặc một phép quay hủy bỏ $Bxy$. Chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong các bản dịch và luân chuyển.

Chuyển giao song song. Để chuyển song song $\vec{r}(a; b)$ di chuyển điểm $M(x; y)$ đến điểm $M'(u; v)$. thì $x+a=u, y+b=v$ (Hình 5), do đó

$$x = u - a,$$
$$y = v - b.$$

Nếu tọa độ của điểm $M$ thỏa mãn phương trình $f(x, y)=0$ thì tọa độ của điểm $M'(u; v)$ thỏa mãn phương trình

$$g(u, v) = f(u - a, v - b) = 0,$$

tức là khi truyền $\vec{r}(a; b)$ thì đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ hiển thị trên đồ thị của phương trình (theo biến $x, y$)

$$g(x, y) = f(x - a, y - b) = 0.$$

Bản dịch ngược $\vec{r}'(-a; -b)$ ánh xạ đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$ sang đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$.

Trong sách giáo khoa “Đại số và Giải tích cơ bản 10” (phần 9*) đã chứng minh rằng khi truyền $\vec{r}(a; b)$ thì đồ thị hàm số $y=f(x)$ được ánh xạ tới đồ thị hàm số $y=f(x-a)+b$. Thực tế này có thể dễ dàng thu được từ tính chất chuyển giao mà chúng tôi đã chứng minh (có thể hiểu rõ tại sao $a$ được đưa vào công thức cuối cùng với dấu trừ và $b$ với dấu cộng). Đồ thị của hàm số $y=f(x)$ trùng với đồ thị của phương trình $g(x, y) = y-f(x) = 0$.

Khi chuyển $\vec{r}(a; b)$ từ đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$, chúng ta thu được đồ thị của phương trình $g(x-a, y-b)=0$, tức là phương trình $(y-b)-f(x-a)=0$ hoặc hàm $y = f(x-a)+b$.

Quay. Xét phép quay có tâm $O(0; 0)$ theo góc $\beta$ theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ). Với cách xoay này, $R_0^\beta$ ánh xạ điểm $M(x; y)$ tới điểm $M'(u; v)$. Hãy thử kết nối $u, v$ và $x, y$. Giả sử $|OM|=r$ và điểm $M(x; y)$ thu được từ điểm $K(r; 0)$ trên trục $Ox$ quay theo góc $\alpha$ (Hình 6). Sau đó (xem “Đại số và Phân tích bắt đầu 9”, §.14, đoạn 70, 71) $x=r\cos \alpha, y=r\sin \alpha$. Nhưng điểm $M'(u; v)$ thu được từ điểm $K(r; 0)$ bằng cách xoay theo góc $\alpha+\beta$, do đó $u=r\cos (\alpha+\beta), v=r\sin (\alpha+\beta)$. Từ

$$\cos (\alpha+\beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta,$$
$$\sin (\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta,$$

25

chúng tôi nhận được:

$$u = r \cos(\alpha + \beta) = x \cos \beta - y \sin \beta,$$
$$v = r \sin(\alpha + \beta) = x \sin \beta + y \cos \beta.$$

Khi quay lại $R_0^{-\beta}$, điểm $M'(u; v)$ được ánh xạ tới điểm $M(x; y)$, vì vậy
$$x = u \cos(-\beta) - v \sin(-\beta) = u \cos \beta + v \sin \beta,$$
$$y = u \sin(-\beta) + v \cos(-\beta) = -u \sin \beta + v \cos \beta.$$

Nếu tọa độ điểm $M(x; y)$ thỏa mãn phương trình $f(x, y)=0$ thì tọa độ điểm $M'(u; v)$ phải thỏa mãn phương trình

$$g(u, v) = f(u \cos \beta + v \sin \beta, -u \sin \beta + v \cos \beta) = 0,$$

nghĩa là, khi xoay $R_0^{\beta}$, đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ được ánh xạ tới đồ thị của phương trình (trong các biến $x, y$)

$$g(x, y) = f(x \cos \beta + y \sin \beta, -x \sin \beta + y \cos \beta) = 0.$$

Rút gọn phương trình $f(x, y)=0$

Hãy quay lại phương trình tổng quát (1) của đường cong bậc hai

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Hãy thử xoay hình ảnh từ thành viên $Bxy$. Thay thế các biểu thức $x, y$ bằng $u, v$ (công thức (8)) vào phương trình $f(x, y)=0$, chúng ta thu được một số phương trình $g(u, v)=0$ bậc hai. Chúng ta viết ra các số hạng chỉ chứa $uv$ và tìm $B'$—giá trị mới của hệ số của tích $uv$:

$$B' = (A - C) 2\sin \beta \cos \beta + B (\cos^2 \beta - \sin^2 \beta).$$

Hãy đánh đồng nó bằng 0:

$$(A - C) \sin 2\beta + B \cos 2\beta = 0$$

và tìm $\beta$:

$$\mathrm{tg} 2\beta = \frac{B}{C - A}$$

$$\cos 2\beta = 0 (\beta = 45^\circ)$$ tại $A = C$.

Vì vậy, bạn luôn có thể xoay hình ảnh (1) để xem

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0.$$

Ví dụ Cho phương trình

$$7x^2 + 6\sqrt{3}xy + 13y^2 + 4(\sqrt{3} - 8)x - 4(8\sqrt{3} + 1)y + 4 = 0.$$

Ở đây $A = 7, B = 6\sqrt{3}, C = 13$, do đó $tg 2\beta = \sqrt{3}, \beta = 30^\circ$. Thay (sử dụng công thức (8)) vào phương trình (10)

$$x = \frac{\sqrt{3}}{2} u + \frac{1}{2} v,$$

$$y = -\frac{1}{2} u + \frac{\sqrt{3}}{2} v,$$

chúng ta nhận được (kiểm tra!) phương trình

$$4u^2 + 16v^2 + 8u - 64v + 4 = 0.$$

Điều này có nghĩa là đồ thị của phương trình (10) thu được từ đồ thị của phương trình

$$4x^2 + 16y^2 + 8x - 64y + 4 = 0$$

xoay $R_0^{-30^\circ}$.

Bây giờ, hãy sử dụng bản dịch và cố gắng rút gọn phương trình (9) thành một phương trình thậm chí còn đơn giản hơn - không có các thuật ngữ $Dx$ và $Ey$. Khi truyền $r(a; b)$, đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ đi vào đồ thị của phương trình $g(x, y)=0$, trong đó $g(x, y)=f(x-a, y-b)$, tức là phương trình (9) đi vào thế này:

$$A(x-a)^2 + C(y-b)^2 + D(x-a) + E(y-b) + F = 0.$$

Khai triển dấu ngoặc và rút gọn, ta được:

$$Ax^2 + Cy^2 + (D - 2aA)x + (E - 2bC)y + Aa^2 + Cb^2 - aD - bE + F = 0.$$

Chúng ta hãy đánh đồng các hệ số của $x, y$ với 0 và đi đến phương trình của $a$ và $b$:

$$D - 2aA = 0, E - 2bC = 0,$$

từ đâu $a = \frac{D}{2A}$ (tại $A \neq 0$), $b = \frac{E}{2C}$ (tại $C \neq 0$).

Ví dụ (tiếp theo). Trong phương trình (11) $A = 4, C = 16, D = 8, E = -64, F = 4$, do đó $a = 1, b = -2$, và bản dịch $r(1; -2)$ biến đồ thị của phương trình (11) thành đồ thị của phương trình

$$4x^2 + 16y^2 - 64 = 0,$$

hoặc

$$x^2 + 4y^2 - 16 = 0.$$

Và đây là phương trình có dạng (3), nó định nghĩa một hình elip

$$\left(\frac{x}{4}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 = 1.$$

26

Do đó, đồ thị của phương trình (10) là một hình elip và thu được từ hình elip mà chúng ta tìm được bằng cách dịch $\vec{r}(-1; 2)$ rồi quay $R_0^{-30^\circ}$.

Vì vậy, nếu $A \neq 0$ và $B \neq 0$, thì chúng ta có thể loại bỏ các số hạng $Dx$ và $Ey$. Nếu $A=0$ (hoặc $C=0$), thì số hạng $Dx$ (hoặc $Ey$) vẫn giữ nguyên, nhưng sau đó nếu $D \neq 0$ (hoặc $E \neq 0$), thì $F$ có thể bị hủy bằng cách chuyển $\vec{r}\left(\frac{F}{D}; 0\right)$ (hoặc $\vec{r}\left(0; \frac{F}{E}\right)$).

Như vậy, chúng ta đã học được các tính chất của phương trình $f(x, y)=0$ bậc hai đối với một trong các loại sau:

| dạng phương trình (9) | kết quả chuyển nhượng |
| :— | :— |
| $A \neq 0, B \neq 0$ | $Ax^2 + By^2 + F = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E \neq 0$ | $Ax^2 + Ey = 0$ |
| $A \neq 0, B=0, E=0$ | $Ax^2 + F = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D \neq 0$ | $By^2 + Dx = 0$ |
| $A=0, B \neq 0, D=0$ | $By^2 + F = 0$ |

Và chúng tôi đã phân tích tất cả các phương trình viết bên phải - đây là những trường hợp một phần của phương trình (1) (công thức (2) - (4)). Như vậy, chúng ta đã giải được bài toán đã cho.

Cũng lưu ý rằng phương trình (26) có thể được rút gọn thành dạng (2a) và phương trình (46) thành dạng (4a). Để làm được điều này, cần thực hiện phép quay $R_0^{90^\circ}$, trong đó đồ thị của phương trình $f(x, y)=0$ hiển thị trong đồ thị của phương trình $f(y, -x)=0$. Hãy thử chứng minh điều này và giải các câu sau bài toán.

Trận chiến

Vẽ đồ thị các phương trình sau:

1. $5x^2 + 8xy + 5y^2 - 18x - 18y + 9 = 0$;
2. $4x^2 - 4xy + y^2 - 16x + 6y + 22 = 0$;
3. $x^2 - 4xy + y^2 + 4\sqrt{2}x -$
   $-2\sqrt{2}y + 11 = 0$.

Nhiệm vụ “Những con số cuối cùng”

1. Giả sử số $a$ không chia hết cho 2 hay 5.
   Chứng minh rằng khi số $A=a^{5 \cdot 10^{n-2}}$ lũy thừa tự nhiên thì các chữ số cuối cùng của $n$ không thay đổi ($n \geq 4, a \in \mathbb{N}$).
2. Cho số $b$ không chia hết cho 2 mà chia hết cho 5.
   a) Chứng minh rằng khi số $B=b^{2^{n-1}}$ ($n \in \mathbb{N}$) lũy thừa tự nhiên thì chữ số cuối $n$ của nó không thay đổi.

6. Đặt $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Chứng minh rằng các chữ số cuối cùng của $n$ của biểu thức $b^{2^{n-1}q+r}$ và $b^r$ lần lượt bằng nhau.

3. Cho số $c$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 5.
   a) Chứng minh rằng khi số $C=c^{4 \cdot 5^{n-1}}$ lũy thừa tự nhiên thì các chữ số cuối cùng của $n$ không thay đổi.

6. Đặt $r, q, n \in \mathbb{N}$, $r \geq n$. Chứng minh rằng các chữ số cuối cùng của $n$ của biểu thức $c^{4 \cdot 5^{n-1}q+r}$ và $b^r$ lần lượt bằng nhau.

4. Hãy để $m \in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng khi số $M=m^{10^{n+1}}$ lũy thừa tự nhiên thì các chữ số cuối cùng của $n$ không thay đổi.

5. Tìm ba chữ số cuối của biểu thức $3^{105}+4^{105}$.

6. Chứng minh rằng hiệu $3^{999}-2^{999}$ hóa ra là các chữ số 1979.

7. Chứng minh rằng nếu biểu thức
   $$11^{10^8} - 6^{5^3}$$
   cân bằng bất kỳ sức mạnh tự nhiên nào thì hơn 200.000 chữ số cuối cùng của nó sẽ không thay đổi.

8. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì hiệu
   $$n^{n^n}-n^{n^n}$$
   chia thành một trăm.

9. Tìm bảy chữ số cuối
   $$9999^{999}999$$

10. Trong cuốn sách “Tiểu thuyết toán học” của M. Gardner (M., “Mir”, 1974) ở trang 349 có 3376 chữ số của số Mersen thứ hai mươi ba $2^{11213}-1$, được in bằng máy tính của Đại học Shita Ilinois. Cuốn sách cho biết: “Khoa toán của trường đại học rất tự hào về ngày khai trương vào ngày 23 của Mersen đến mức họ đã dán một con tem đặc biệt lên phong bì”. Tuy nhiên, chữ số thứ tư từ cuối là không chính xác. Chứng minh rằng số này phải là 2191 chứ không phải 8191.

Hơn nữa, chúng còn được liên kết với các số automata (xem «Kvant», 1971, Số 10, trang 39; 1973, Số 1, trang 33 và 1973, Số 7, trang 55).

M. Stereber

27

3. Tymeladze

Lý thuyết trò chơi

Verda hay Kalimna?

Chưa bao giờ trong suốt một trăm năm của cuộc Đại chiến, các Garth tại trụ sở Lilac lại được phong tặng lâu như vậy. Hơi molybden oxit bay lên phía trên một nhóm lớn các tướng lĩnh đang tranh cãi gay gắt trên bảng đen với bảng sau:

AROKER MẤT
CHIẾN LƯỢC TÍM CHIẾN LƯỢC CỦA CHÚNG TÔI
TẤN CÔNG KALIMNA
BẢNG CỦA VERDA
BẢO VỆ VERDA
6
3
BẢO VỆ KALIMNA
1
5

Generalissimo Dor liếc sang tấm biển “Molypden không được mô tả ở đây,” nhưng không nổ tung về phía nó mà chỉ lặng lẽ gật đầu với Mots, giới thiệu anh ta với sàn nhà.

“Lũ Filotov chỉ có thể có hai kế hoạch: hoặc là tấn công bằng phi thuyền vào Kalimna, hoặc là pháo kích…” Tướng Mots ra lệnh (“sự hiện diện của molypden này cuối cùng sẽ giết chết ông ta,” Dor nghĩ, nhưng Mots đã tiếp tục) “… hoặc pháo kích vào Verda.” Theo tôi, chúng ta phải cống hiến hết mình để bảo vệ Verda. Sau đó, nếu kẻ thù tấn công cô ấy, chúng ta sẽ chỉ mất ba người pha trò chiến đấu.

• Điều gì sẽ xảy ra nếu người Filotov đến Kalimna? - Lud cùng nhau mất kiên nhẫn. “Vậy thì chúng ta không thể tha cho sáu người pha trò của mình được.”

Anh ta tự mãn ném một phần molypden khác vào người và nói tiếp:

— Kalimna là chỗ dựa chính của chúng tôi. Tất cả các lực lượng để bảo vệ cô ấy! Sau đó, cuộc tấn công vào Kalimna sẽ chỉ mang lại cho Filotov một kẻ pha trò.

28

• Còn Verda? - Mots nghẹn ngào phẫn nộ. “Chúng ta sẽ mất năm người cập tàu ở đó!”

“Hãy bình tĩnh lại đi, các tướng quân,” Dor của họ luôn nói như vậy. - Chúng ta hãy thử tìm hiểu xem. bài toán của chúng ta là mất càng ít bến cảng càng tốt,” Dor lại nhìn vào bàn với các lựa chọn, “nhưng tất cả phụ thuộc vào kế hoạch mà kẻ thù chọn.” Tình báo nói gì?

Nahit miễn cưỡng trả lời:

• Chúng tôi chưa có dữ liệu chính xác. Nhưng phải nghĩ, địch cũng đang do dự. Nói cách khác, chúng ta có thể giả định rằng xác suất địch chấp nhận từng phương án là $1/2$. Các bạn đừng lo lắng, tôi cũng như các bạn, không quen với lý thuyết xác suất. Từ tất cả khoa học phức tạp này, tôi chỉ biết rằng xác suất $1/2$ có nghĩa là một trong hai cơ hội và cũng là quy tắc tính toán tổn thất dự kiến. Ví dụ: nếu xác suất giải quyết ở Kalimna là $1/2$ và tổn thất của chúng tôi do giải quyết như vậy sẽ bằng sáu người đóng tàu, thì tổn thất dự kiến ​​​​ở Kalimna sẽ là $6 \times \frac{1}{2} = 3$. Và giả sử, nếu xác suất phục hồi là $1/3$, thì điều này có nghĩa là tổn thất dự kiến ​​​​là $6 \times \frac{1}{3} = 2$.

Điều này đủ để tính toán tổn thất dự kiến ​​trong mỗi kế hoạch trong số hai kế hoạch có thể có của chúng tôi:

| CHIẾN LƯỢC | TỔN THẤT DỰ KIẾN CỦA AROKERS |
| :— | :— |
| ở Kalimna | ở Verde | Tổng cộng |
| BẢO VỆ VERDA | $6 \times \frac{1}{2} = 3$ | $3 \times \frac{1}{2} = 1.5$ | $3 \times \frac{1}{2} = 1.5$ |
| BẢO VỆ KALIMNA | $1 \times \frac{1}{2} = 1.5$ | $5 \times \frac{1}{2} = 2.5$ | $5 \times \frac{1}{2} = 2.5$ |

Bạn thấy rằng khi bảo vệ Kalimna, chúng ta sẽ mất ít hơn một rưỡi bến tàu.

“Thông tin không tồi cho lần trinh sát đầu tiên,” Lud nói, lại đưa molypden vào người mình.

• Tại sao bạn lại quyết định rằng xác suất định cư ở Verda và Kalimna là bằng nhau? Tôi không nghĩ vậy. Theo tôi, những kẻ màu tím rất có thể sẽ lao về phía Verda. Rốt cuộc, họ đã đưa cô ấy đi một lần. Và nếu họ tấn công Kalimna trong một trong bốn trường hợp, tức là với xác suất $1/4$ và Verdu với xác suất $3/4$, thì tính toán của bạn sẽ dẫn đến một kết luận hoàn toàn khác:

Chẳng phải rõ ràng là chúng ta bảo vệ Verda sẽ có lợi hơn sao?

“Tôi không rõ vấn đề cá nhân,” Dor phản đối. - Những tính toán này là hợp lý nếu có thể bằng cách nào đó biện minh cho việc đánh giá cơ hội thiết lập quyền kiểm soát đối với Verda và Kalimna. Nhưng bây giờ đây là một hợp đồng. Và việc tranh luận dựa trên hợp đồng là một thói quen xấu, giống như mô tả molypden. Và đã đến lúc chúng ta phải thoát khỏi nó.

Các vị tướng nhìn nhau chán nản—Dor là người duy nhất trong số họ tiêu thụ molybdom.

“Không thể áp dụng kế hoạch chính xác nếu không đưa ra những giả định trước về khả năng kẻ thù áp dụng một kế hoạch cụ thể?” Bạn nghĩ gì, Rol, với tư cách là một nhà lý thuyết quân sự hàng đầu?

“Tôi đọc trên Bản tin liên hành tinh rằng ở đâu đó trên một hành tinh xa xôi, họ đã xây dựng một lý thuyết cho phép thực hiện điều này. Giả sử rằng chúng ta cần sử dụng không phải một kế hoạch mà là cả hai, với xác suất hiện chưa rõ $p_1$ và $p_2$. Nếu chẳng hạn, $p_1 = 0,2$ và $p_2 = 0,8$, thì trong 10 trường hợp, bạn cần phải bảo vệ Verda và 8 - Kalimna. Nói cách khác, hãy trả lời sự không chắc chắn của dịch vụ.

• Chúng ta không thể bắt số phận phụ thuộc vào sự phục vụ -

29

“không có gì,” Mots thở khò khè. - Rốt cuộc thì chúng ta đang nói… khụ khụ… không phải về kết quả của trận đấu brastul, mà là về số phận của bang, và…

• Tiếp tục đi, Roll. Đối với tôi, có vẻ như có điều gì đó thú vị trong lời nói của bạn,” cùng với Dor hợp lý.

— Bây giờ chúng ta cần tìm các xác suất $p_1$ và $p_2$ này. Tất nhiên, tổng của chúng phải bằng 1 - xét cho cùng, chúng ta sẽ phải chấp nhận một số lời giải theo cách này hay cách khác:

$$p_1 + p_2 = 1.$$

(1)

“Tôi tự hỏi làm thế nào mà bạn có thể tìm được hai người không quen biết ở cùng cấp độ,” Lud không bình tĩnh.

Rol tiếp tục: “Bây giờ chúng ta hãy yêu cầu rằng trong mọi trường hợp, số lượng bến tàu bị mất trung bình không vượt quá giá trị $v$, giá trị này vẫn chưa được biết,” Rol tiếp tục.

• Cái thứ ba chưa biết! - Lud thay thế bằng khả năng, nhưng Rol vẫn nhiệt tình tiếp tục, không để ý đến Lud hay các tướng khác.

— Giả sử rằng các hướng triết học là tới Kalimna. Nếu chúng tôi chấp nhận kế hoạch bảo vệ Verda, chúng tôi sẽ mất các nhà môi giới, nhưng vì chúng tôi chỉ bảo vệ Verda với xác suất $p_1$ nên chúng tôi sẽ mất $6p_1$ người đóng tàu. Có $p_2$ cơ hội chúng ta sẽ bảo vệ Kalimna, điều này sẽ dẫn đến việc mất $1 \times p_2 = p_2$ số người cập bến. Tổng cộng, do kẻ thù gửi đến Kalimna, chúng ta sẽ mất $6p_1 + p_2$ bến tàu. Để không vượt quá giá trị $v$, phải thỏa mãn bất đẳng thức sau:

$$6p_1 + p_2 \leq v.$$

(2)

“Nhưng kẻ thù có thể tấn công Verda,” Nahit nhắc nhở.

• Đúng, và điều này cho ta bất đẳng thức sau:

$$3p_1 + 5p_2 \leq v.$$

(3)

Tôi, và tất cả các bạn, đều muốn giá trị $v$ nhỏ hơn. Tuy nhiên, nó vẫn sẽ tích cực: $v > 0$, - vì chúng ta sẽ phải mất một số lượng bến tàu nhất định. Hãy biểu thị $x_1 = p_1/v$, $x_2 = p_2/v$, $L = 1/v$. Khi đó các bất đẳng thức (2) và (3), các điều kiện không âm cho $p_1$ và $p_2$ và phương trình

sẽ được viết như thế này:

$$\begin{cases} 6x_1 + x_2 \leq 1, \\ 3x_1 + 5x_2 \leq 1, \\ x_1 \geq 0, \\ x_2 \geq 0, \\ L(x_1, x_2) = x_1 + x_2. \end{cases}$$

(4)

Chúng tôi quan tâm đến giá trị nhỏ nhất của $v$, vì vậy $L$ phải là giá trị thấp nhất. Bài toán tìm từ hệ (4) $x_1$ và $x_2$, trong đó hàm $L(x_1, x_2)$ lấy giá trị thấp nhất, được sự sống của hành tinh xa xôi đó gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính *). Cho hai ẩn số $x_1$ và $x_2$, bài toán này có thể được giải bằng đồ thị. Mỗi bất đẳng thức của hệ (4) xác định một nửa mặt phẳng trên mặt phẳng tọa độ $x_1Ox_2$, giao điểm của các nửa mặt phẳng này tạo thành một tứ giác (xem Hình 1) và phương trình $L = x_1 + x_2$ xác định một đường thẳng cắt các trục tọa độ tại các điểm $x_1 = L$ và $x_2 = L$. Với $L$ khác nhau, thu được các đường thẳng song song. $L$ lớn nhất, tại đó đường $x_1 + x_2 = L$ cắt tứ giác (tức là hệ (4) có lời giải), tương ứng với điểm $A$ (27/4; 1/9) và cho $L = 4/27 + 1/9 = 7/27$, do đó $v = 27/7 = 3^6/7$, $p_1 = 4/7$, $p_2 = 3/7$. Như vậy, trong bốn

*) Ví dụ, xem bài 3. Y. Tmelade “Vật lý và bất đẳng thức tuyến tính” (“Kvaant”, 1975, Số 10), B. Aleinkov, P. Buzytsky, M. Dubson “Phương pháp đơn giản” (“Kvaant”, 1976, Số 7).

30

trong số bảy trường hợp chúng ta phải bảo vệ Verda, và trong ba trường hợp chúng ta phải bảo vệ Kalimna. Và tổn thất của chúng ta trung bình sẽ ít hơn bốn.

“Nhưng lưu ý,” Mots can thiệp từ đằng sau đám mây hơi molypden, “chúng tôi ngang nhau, chúng tôi dự đoán tổn thất nhỏ hơn - chỉ có 3 hoặc $3^3/4$ máy bay.”
“Bất động,” Nahit phản đối. “Rốt cuộc thì chúng ta đã phải trả giá gì đó cho thông tin còn thiếu.”

Nhưng ở đây Lud không thể chịu đựng được.

• Theo tôi, chúng ta đã chi quá nhiều cho dịch vụ tình báo mà không nhận được dù chỉ một chút thông tin về kẻ thù.

Bầu không khí bắt đầu sôi nổi trở lại, nhưng cộng đồng của Dora khó có thể trở thành sự chỉ trích lẫn nhau.

• Hãy nói cho tôi biết, Rol, kẻ thù sẽ hành động như thế nào trong điều kiện này? Liệu anh ta có một chiến lược tối ưu?

• Vâng, tôi có. Kẻ thù không biết kế hoạch của chúng ta, nhưng hắn biết hậu quả của cuộc tấn công vào Verda và Kalimna - trí thông minh của hắn thường không thất bại; do đó, về phần mình, anh ta phải bắt đầu gây ra thiệt hại lớn nhất cho chúng ta. Nếu chúng ta biểu thị thiệt hại của mình bằng $w$ và xác suất kẻ thù tấn công Kalimna và Verda là $q_1$ và $q_2$, thì $q_1 + q_2 = 1$, $6q_1 + 3q_2 \geq w$, $q_1 + 5q_2 \geq w$, $y_1 = q_1/w$, $y_2 = q_2/w$, $M = 1/w$, và kẻ thù sẽ đến tiếp theo

$$\begin{cases} 6y_1 + 3y_2 \geq 1, \\ y_1 + 5y_2 \geq 1, \\ y_1 \geq 0, \\ y_2 \geq 0, \\ M(y_1, y_2) = y_1 + y_2, \end{cases}$$

và chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất $M$. Khi đối thủ giải quyết được đối thủ tuyến tính bài toán này, anh ta sẽ nhận được: $y_1 = 2/27$, $y_2 = 5/27$, $M = 7/27$, từ đâu $q_1 = 2/7$, $q_2 = 5/7$, $w = 3^6/7$ (Hình 2).

Nghĩa là, để đạt được mức naim cao nhất trong hai trong số bảy trường hợp, kẻ thù phải bố trí ở Verda và theo gót - trên Kalimna. Và để đạt được nó sẽ tương đương với $3^6/7$ drcker. Tất nhiên, anh ta phải thiết lập nó theo cách mà chúng ta không biết chắc chắn sẽ có sự điều chỉnh nào ở phía trước.

“Với công việc trí tuệ của chúng tôi,” Lud không thể cưỡng lại, “điều đó không khó đâu.”

“Hãy nói cho tôi biết, Rol,” Dor hỏi, điều gì sẽ xảy ra nếu kẻ thù không tuân theo chiến lược hiện tại của anh ta?

— Sứ giả liên hành tinh viết rằng bất kỳ sự trốn tránh nào khỏi nó chỉ có thể dẫn đến giảm thành công.

Rol kết thúc bài phát biểu của mình bằng cử chỉ chiến thắng nhưng lại không thành công với Dor.

“Tôi chắc chắn sẽ đồng ý với bạn, Rol, nếu chúng ta phải đối mặt với bọn màu tím một vài lần.” Nhưng sẽ chỉ có một trận chiến. Chúng ta nên chấp nhận lời giải nào?

• Bất kể số trận đánh, chúng ta phải bỏ một loại. Nếu chiến lược tối ưu có dạng $p_1 = 1/2$, $p_2 = 1/2$ thì chỉ cần ném một đồng xu, cầu kuhu và sủa là đủ. Chiến lược $p_1 = 4/7$, $p_2 = 3/7$ có phần khó thực hiện hơn. Nhưng điều đó là có thể. Ví dụ: như thế này: 4/7 xấp xỉ 34/60 và 3/7 là 26/60. Bạn có thể nhìn vào đồng hồ và nếu kim giây nằm trong khoảng từ 0 đến 34 giây, hãy lấy lời giải để bảo vệ Verda và nếu trong khoảng từ 34 đến 60 - Kalimna. Tôi tin rằng đây là điều đúng đắn, ngay cả khi chỉ có một trận chiến.

31

Tôi không đồng ý! - Mots phản đối, và vì nhiều lý do. Sẽ rất đáng để hành động theo cách này nếu chúng ta phải đối mặt với một đối thủ thông minh ngang bằng với chúng ta về trí thông minh - chẳng hạn như màu đỏ tía. Nhưng Philotae thuộc loại thấp hơn… hoxe… chúng có thể được coi đơn giản là lực lượng của tự nhiên. Chỉ cần suy nghĩ! Thay vì molypden, những kẻ man rợ này sử dụng mọi thứ! Họ sẽ không bao giờ có được nó…

Một cơn ho mới tấn công Mots và anh không thể tiếp tục được nữa. Bác sĩ nhân viên được gọi khẩn cấp đến xử lý đất canh tác, cuộc họp phải tạm dừng một thời gian.

Lần đầu trở lại Trái đất

Những người tham gia cuộc xung đột quân sự trên hành tinh đã sử dụng một lý thuyết toán học nổi tiếng trên Trái đất - lý thuyết về cerrus. Nó được sử dụng trong trường hợp không có thông tin về kế hoạch của kẻ thù. Ban đầu, lý thuyết này được phát triển liên quan đến cờ bạc, từ đó nó có tên như vậy. Nhưng sau đó ứng dụng của nó trở nên rất đa dạng - từ kinh tế đến quân sự. Cần lưu ý rằng những quy định ban đầu của lý thuyết cerr là không thể chối cãi. Và nó chỉ có thể áp dụng được, nói đúng ra, khi trò chơi được lặp lại khá nhiều lần. Tuy nhiên, có những người ủng hộ việc sử dụng nó như một giải pháp một lần (trong số đó có General Rol).

Trong số rất nhiều bài toán thú vị của lý thuyết trò chơi là bài toán chiến lược hỗn hợp. Thường thì thông tin có sẵn cho người nhận lời giải là không đủ. Trong những điều kiện này, không thể chỉ ra bất kỳ chiến lược nào là tốt nhất vô điều kiện và người ta phải sử dụng chiến lược hỗn hợp - với một số khả năng sử dụng một số tùy chọn, như nhà toán học người Pháp Emile Borel (1871-1956) đề xuất lần đầu tiên. Sau đó, quy hoạch tuyến tính được sử dụng để tìm ra các chiến lược hỗn hợp tối ưu.

Các chiến lược hỗn hợp yêu cầu một lượng nhỏ số ngẫu nhiên (phiên bản đơn giản nhất của các cảm biến như vậy là đồng xu, đồng hồ có kim giây; cũng có các cảm biến số ngẫu nhiên tiên tiến hơn được triển khai trên máy tính). Nếu một chiến lược hỗn hợp không được đưa ra bởi cảm biến số ngẫu nhiên mà được chỉ định, thì có nguy cơ kẻ thù sẽ đoán được lựa chọn nào đang chờ đợi mình và sẽ có thể hành động hiệu quả hơn. Nhưng đối với chiến lược hỗn hợp ngẫu nhiên, kẻ thù chỉ có một biện pháp duy nhất - sử dụng chiến lược hỗn hợp tối ưu của mình, cũng được xác định một cách ngẫu nhiên.

Lilacs đã không sử dụng một số thuật ngữ lý thuyết trò chơi quan trọng khác mà người đọc có thể làm quen một cách hữu ích. Vì vậy, bảng đầu tiên cho thấy khả năng mất sgenev được gọi là ma trận cerra. Và giá trị v - mức thiệt hại trung bình mà thần đèn sẽ gây ra nếu sử dụng chiến lược hỗn hợp tối ưu - được gọi là giá của cerra.

Phương pháp suy luận do tướng Nakhit đề xuất - không biết địch sẽ làm gì, coi mọi varnantens đều đáng tin cậy như nhau - được nhà toán học người Anh thế kỷ 18 T. Bayes chấp nhận.

Như chúng tôi đã lưu ý, trong lý thuyết trò chơi không có hành động lời giải duy nhất nào có thể nhường chỗ cho sự sáng tạo. Chính thực tế này đã quyết định diễn biến tiếp theo của cuộc họp tại trụ sở Sgenev sau khi buộc phải nghỉ giải lao do thói quen xấu của Tướng Mots.

Kalimna hay Verda?

• Ừ, sớm à? - Dor giục bác sĩ.

Bác sĩ kéo nắp lưng của Mots lại và dùng mỏ hàn chỉ vào đám bóng bán dẫn bị rỉ sét đầy bụi.

• Tôi sợ rằng…

“Hãy lập một báo cáo về khiếm khuyết,” Dor ra lệnh ngắn gọn, “và đưa cho tôi phê duyệt.”

32

Các tướng chớp mắt hiểu - họ biết luật tử đinh hương: sau khi lập danh sách khiếm khuyết, một danh sách lớn sẽ bị chia thành các phụ tùng thay thế nếu chi phí sửa chữa vượt quá chi phí của một cá nhân mới. Và ở đây, rõ ràng, mọi thứ đang hướng tới điều này.

Dor tiếp tục một cách bình tĩnh.

• Tôi phải đồng ý với Tướng Mots. Chiến lược được đề xuất là quá hợp lý. Trong khi đó, ngay cả trong xã hội của chúng ta, nơi đạo đức và trí tuệ cao hơn xã hội rất nhiều về mặt ngữ văn, không phải ai cũng hành động khôn ngoan. Nếu không, không gian hủy diệt molypden, thứ làm giảm tuổi thọ xuống một nửa, sẽ phát triển ở đâu?

“Xin cho phép tôi được phép nói,” Nahit lại can thiệp. - Thực ra chúng ta đang phấn đấu vì điều gì? Chúng tôi cố gắng giảm càng ít người cập cảng càng tốt. Tất nhiên, chúng tôi có thể chấp nhận mức lời giải xuất sắc nếu chúng tôi biết chính xác kẻ thù sẽ quyết định làm gì. Nhưng chúng ta không thể phát hiện ra điều này, mặc dù thực tế là trí thông minh của chúng ta đang thực hiện các dịch vụ geronic.

“Chính xác,” Lud nói.

• Hãy hành động sao cho ít thiệt hại nhất do những sai lầm có thể xảy ra trong việc lựa chọn chiến lược. Chúng ta hãy nhìn lại cái bàn. Nếu kẻ thù tấn công Kalimna và chúng tôi bảo vệ Kalimna thì chỉ có một người lái tàu sẽ chống lại chúng tôi. Điều này sẽ đúng lời giải. Và nếu họ bắt đầu bảo vệ Verdy, họ sẽ phản đối việc tước đoạt 6-1=5 bến tàu. Tương tự như vậy, trong cuộc pháo kích vào Verda để bảo vệ Kalimna, chúng tôi đã phản đối những người đóng tàu 5-3=2 bị tước đoạt. Điều này cho phép chúng tôi tổng hợp bảng tổn thất vượt mức sau đây do lời giải không chính xác:

| Chiến lược ngữ văn | Tấn công Kalimna | Pháo kích Verda |
| :— | :— | :— |
| Bảo vệ Verda | 5 | ○ |
| Phòng thủ Kalimna | ○ | 2 |

Và bây giờ nó vẫn còn để soạn lập trình tuyến tính bài toán: $5p_1 \leq v$, $2p_2 \leq v$, $p_1+p_2=1$, $z_1=p_1/v$, $z_2=p_2/v$, $K=1/v$, từ đâu chúng tôi lấy được hệ thống

$$\begin{cases} 5z_1 \leq 1, \\ 2z_2 \leq 1, \\ z_1 \geq 0, \\ z_2 \geq 0, \\ K(z_1, z_2) = z_1 + z_2. \end{cases}$$

$v$ nhỏ nhất, tức là $K$ lớn nhất, sẽ ở $z_1=1/5$, $z_2=1/2$, từ đó $K=7/10$, $v=10/7$, $p_1=2/7$, $p_2=5/7$. Hãy nhìn xem, đó là $p_1=4/7$, $p_2=3/7$, tức là $p_1>p_2$, và bây giờ thì ngược lại: $p_2>p_1$. Theo tiêu chí này, hàng thủ của Verda kém hấp dẫn. Ông đã đúng, Tướng Lud.

Trong khi đó, Dor nhìn thoáng qua lời phát biểu còn thiếu sót. Đúng vậy, hơn một nửa số linh kiện cần được thay thế, trong đó có hệ thống cấp điện đắt tiền. Sẽ rẻ hơn nếu lắp ráp một vị tướng mới trên dây chuyền lắp ráp. Và anh ấy đã ký tên của mình một cách sâu rộng.

• Vậy cậu đã đề xuất bao nhiêu, Rol? - Dor hỏi, người thích cách tiếp cận của Nahit hơn Rol, mặc dù Nahit đang quyết định chọn một bài toán hoàn toàn khác: để giảm thiểu không phải tổn thất mà là hậu quả của một sai lầm. - Vâng, chúng ta hãy nhớ: đồng hồ. Hãy ước tính: 2/7 là 17/60. Chỉ mười bảy giây quyết định số phận của hành tinh! Dor giơ chiếc xúc tu thứ sáu cùng với chiếc đồng hồ lên màn ảnh tiếp sức. Kim giây gần 47 giây.

— Chuẩn bị bảo vệ Kalimna! - anh ra lệnh. - Tôi tuyên bố cuộc họp đã kết thúc! Thật xấu hổ cho những màu tím!

• Thật xấu hổ cho những kẻ màu tím! - cuộc họp vang lên, và mọi người nhanh chóng bắt đầu cởi trói, mang theo mùi hơi molypden. Hầu hết những người khác đều bị bác sĩ nhân viên vội vàng: anh ta vẫn cần chuyển mã hóa về trụ sở Phillet.

Lần thứ hai trở lại Trái đất

Đúng, một kết quả như vậy thật khó có thể đoán trước được. Toàn bộ chiến lược hoa cà đều dựa trên việc thiếu thông tin từ các đối thủ chung, trong khi những kẻ tím giờ sẽ chấp nhận

lời giải với thông tin đầy đủ. Tất nhiên, đây không phải là lỗi của nhà toán học người Mỹ L. Savage, người mà gia đình Sgenev đã sử dụng phương pháp của mình; anh ta không thể giúp họ ngay cả khi anh ta muốn: Savage chuyên về thống kê, không phải phản gián. Nhưng trong mọi trường hợp, việc lựa chọn chiến lược tốt nhất là bài toán rất khó khăn, cho phép lời giải không đáng kể.

Chiến lược tốt nhất không phải lúc nào cũng tồn tại. Ví dụ: nó không có trong trò chơi “Sportloto”: bạn có thể gán số tùy ý, đồng thời xác suất đoán được một số số nhất định sẽ không thay đổi. Đúng, cần lưu ý rằng có thể ảnh hưởng đến quy mô tiền thắng: để làm được điều này, bạn cần sử dụng một chiến lược mà phần lớn những người tham gia trò chơi vì lý do nào đó chống lại - sau cùng, tiền thắng được chia cho những người đoán đúng. Có những thành kiến ​​​​rõ ràng (ví dụ: một số người chắc chắn rằng họ sẽ không bao giờ thắng được nhiều hơn sáu số liên tiếp) và cũng có những thành kiến ​​​​ngầm (những số là bội số của gót chân được chọn thường xuyên hơn những số khác).

Trong lý thuyết trò chơi được phát triển hiện nay, nhiều bài toán đã được xem xét. Trong một số trong số đó, sự lựa chọn phải được thực hiện không phải từ một số lượng hữu hạn mà từ vô số chiến lược. Không phải tất cả các câu hỏi bài toán đều đã được giải quyết - ví dụ: bài toán “Pripissa and the Monster”, do nhà khoa học người Mỹ R. Isaacs hình thành, vẫn chưa được giải quyết.

Pripissa, một comora có thể di chuyển với bất kỳ tốc độ nào và theo bất kỳ hướng nào, và Quái thú, tốc độ bị hạn chế, bị giam giữ trong một căn phòng hoàn toàn tối tăm. Quái vật bắt giữ Pripissa nếu sự cân nhắc giữa họ trở nên nhỏ hơn mức quy định. Chiến lược của Priscribe nên là gì để cô ấy có thể trì hoãn vị trí càng nhiều càng tốt (có thể cho đến khi Priprince đến)?

Rõ ràng là nếu Pripissa bắt đầu lao xung quanh, tận dụng tối đa tốc độ của mình, bản thân cô ấy sẽ vấp phải Quái vật, và nếu cô ấy đứng vững, thì việc Quái vật đi bộ quanh toàn bộ căn phòng một cách có hệ thống sẽ mang lại cho anh ta thành công (trung bình, trong thời gian bằng một nửa thời gian đi bộ). Isaacs kết luận rằng chiến lược tối ưu của Pripissa nên được kết hợp, nhưng không ai biết nó là gì. Rõ ràng, Pripissa nên thay đổi tốc độ và hướng một cách ngẫu nhiên.

Đặc biệt khó phát triển chiến lược tốt nhất khi trò chơi không phải chống lại một đối thủ thông minh có chiến lược gây ra nhiều thiệt hại nhất mà là chống lại tự nhiên. Chiến lược của thiên nhiên không thể đoán trước được dựa trên nguyên tắc thiệt hại lớn nhất – thiên nhiên là nhân từ. Để thâm nhập vào chiến lược của nó, bạn cần phải biết các định luật vật lý, và điều này không được thực hiện bằng lý thuyết trò chơi mà bằng những lý thuyết hoàn toàn khác…

Ở lò sưởi

1. Lần này, các trường quyết định tổ chức các trận bóng đá không thay người. Và 7² đã phải đối mặt với một vấn đề: đặt cược hay không đặt cược vào một trận đấu với Senya cao 7⁶ nhưng không nhanh nhẹn? Nếu đối thủ đồng ý đưa Kolya cao lêu nghêu vào phòng thủ thì Senya sẽ bị vô hiệu hóa và sẽ không quên trong một năm. Nhưng nếu đối thủ không đặt Kolya mà là Alik, thì Senya sẽ ghi điểm trung thành trong ba năm bằng những quả tạt vào vòng cấm. Bạn có thể xếp Vasya trẻ tuổi cùng với Senya - anh ấy chưa bao giờ rời sân sau một năm, và nếu không phải Alika mà là Kolya là người chăm sóc anh ấy thì sẽ không thể tránh khỏi hai bàn thua. Đặt ai - Senya hay Vasya, nếu tiềm năng tốt của họ được đối thủ biết đến?

2. Giải bài toán trước đó nếu phải lựa chọn giữa Senya và Petya, người luôn ghi điểm đúng một năm.

3. Điều này là cần thiết! Còn một giờ nữa là bắt đầu giờ học, và Petya vì bóng đá nên vẫn chưa chuẩn bị bài tập về đại số, tiếng Nga và vật lý. Nhưng anh ấy đã có bài phát biểu chung về đại số và vật lý tại cuộc họp Komsomol! Thật là một tình huống thảm khốc nếu bạn biết rằng hôm nay có thể sẽ có một bài kiểm tra về đại số hoặc vật lý (chính xác là một bài kiểm tra giống như một nhân viên kế toán hợp đồng và các giáo viên sẽ bắt lỗi anh ta). Bạn chỉ có thể chuẩn bị một món mỗi giờ. Nếu bạn học đại số và có bài kiểm tra về môn đó thì bạn sẽ đạt điểm B, nhưng nếu bài kiểm tra về vật lý thì bạn sẽ đạt điểm B. Và nếu bạn trừ môn vật lý thì bài kiểm tra về nó sẽ được điểm C, nhưng bài kiểm tra về đại số sẽ mang lại hai điểm. Cuối cùng, nếu bạn học tiếng Nga, bạn sẽ bị điểm kém trong bất kỳ bài kiểm tra nào. Có gì để bám vào?

36

Các khu vực $AA_1, A_1A_2, \dots$ và $BB_1, B_1B_2, \dots$ là phù hợp. Khoảng cách ở đầu sóng từ các vùng $AA_1$ và $BB_1$. Các điểm trong các vùng này, cách nhau một khoảng $3/2 d$, có hướng; điểm $A_1$ và $B$ sẽ được gọi tương ứng. Tất cả các sóng phát ra từ các điểm tương ứng sẽ có cùng một vị trí. Từ tam giác $A_1BD$ hiệu đường đi này bằng

$$|A_1D| = 3/2 d \sin \varphi.$$ (3)

Từ sự tương ứng (2) và (3), suy ra $|A_1D| = 3/2 \lambda$, nghĩa là hiệu đường đi bằng một số lẻ nửa sóng. Những sóng như vậy triệt tiêu lẫn nhau. Do đó, tất cả các sóng từ vùng $AA_1$ và $BB_1$, nếu điều kiện (2) được thỏa mãn, sẽ bị tắt dần tại điểm $K$.

Các tính toán tương tự có thể được thực hiện cho bất kỳ cặp vùng nằm đối xứng tiếp theo nào và cho thấy rằng các sóng từ tất cả các vùng triệt tiêu lẫn nhau và mức tối thiểu thực sự được quan sát thấy tại điểm $K$.

Theo cách tương tự, có thể chứng minh rằng mức tối thiểu thứ hai được quan sát khi điều kiện $d \sin \varphi = 2\lambda$ được thỏa mãn. Trong trường hợp này, mặt sóng phải được chia thành các vùng có chiều rộng $d/4$ và phải thực hiện các phép tính tương ứng.

Công thức (1) cho phép chúng ta xác định bước sóng ánh sáng:

$$\lambda = \frac{d \sin \varphi}{k}.$$

Tuy nhiên, những thay đổi sẽ được đơn giản hóa rất nhiều nếu sử dụng một thiết bị thay đổi đơn giản gọi là máy đo tốc độ. Để làm một máy đo tốc độ, hãy lấy một miếng bìa cứng hình vuông có cạnh 10-15 cm và vẽ một hình tròn ở giữa có bán kính $r = 20—30$ mm. Một lỗ có đường kính 2-3 mm được khoét ở giữa vòng tròn và 6-8 lỗ có đường kính khác nhau được khoét dọc theo vòng tròn.

Khi thay đổi máy đo tốc độ $A$ (xem Hình 1, a) được lắp ngay phía trước bóng đèn sợi đốt. Di chuyển ra xa máy đo tốc độ 1-2 m, tìm vị trí tia đi vào mắt qua lỗ $O$, cảm ứng trực tiếp từ một trong các đoạn dây tóc nóng. Sau đó, một sợi dây được đặt trước mắt và tầm nhìn tốt của mắt bên ngoài được tăng thêm bằng cách di chuyển luồng theo hướng vuông góc với các tia. Bằng cách thay đổi khoảng cách giữa máy đo tốc độ và mắt, sẽ tìm được vị trí mà tại đó vòng tròn của máy đo tốc độ có các lỗ trùng với tâm của vòng tối có số $k$ (Hình 1 thể hiện trường hợp khi $k=2$).

Như có thể thấy trong Hình 1, tiếp tuyến của góc nhiễu xạ $\varphi$ đối với một vòng tối được tính theo công thức $tg \varphi = r/l$, trong đó $r$ là bán kính của vòng tròn đo tốc độ, $l$ là khoảng cách từ máy đo tốc độ đến dòng đi dây. Ở các góc nhiễu xạ nhỏ, từ đó dẫn đến những thay đổi như vậy, hệ thức sau đây đúng:

$$\sin \varphi = tg \varphi = \frac{r}{l}.$$

Thay giá trị của sin $\varphi$ vào biểu thức (1), chúng ta thu được công thức xác định bước sóng:

$$\lambda = \frac{dr}{kl}.$$ (4)

Bán kính của đường tròn đo $r$ đã được chúng ta biết trước. Khoảng cách $l$ dễ dàng thay đổi. Số lượng vòng tối $k$ được xác định bằng cách quan sát bên ngoài. Đường kính của dây dẫn $d$, nếu không biết, sẽ được thay đổi bằng micromet.

Nếu ánh sáng trắng thay đổi thì sử dụng công thức (4) chúng ta tìm được bước sóng ánh sáng hiệu dụng mà mắt chúng ta nhạy cảm nhất. Nó xấp xỉ bằng 0,56 micron. Sóng ánh sáng cũng tương ứng với phần màu xanh lá cây của quang phổ.

Vương miện cũng có thể phát sinh từ sự nhiễu xạ ánh sáng trên các vật thể tròn. Chúng có thể được quan sát như sau. Đổ một lượng nhỏ lycopodia lên đĩa thủy tinh (lycopodium là bột từ bào tử rêu rêu, bạn có thể mua ở hiệu thuốc). Gõ nhẹ đầu đĩa xuống bàn để loại bỏ bột thừa. Nếu bạn nhìn vào một nguồn sáng điểm qua một tấm như vậy, bạn sẽ thấy vương miện. Vai trò của tiền chất tròn trong thí nghiệm này được thực hiện bởi các bào tử hình cầu. Đặc biệt sáng

37

vương miện xuất hiện khi nhìn thấy một giọt máu lăn giữa hai tấm kính. Trong trường hợp này, thân răng xuất hiện do nhiễu xạ trên hồng cầu - hồng cầu.

Các vương miện phát sinh từ các rào cản hình tròn và hình chữ nhật có phần khác nhau. Điều kiện tối thiểu đối với đỉnh của thanh chắn hình chữ nhật được thể hiện bằng sự tương ứng (1). Đối với mão có hình tròn giao thoa, nó có dạng:

$$d \sin \varphi = 1, 22\lambda; \ 2, 23\lambda; \ \dots$$

Ở đây $d$ là đường kính của màn hình tròn. Sử dụng máy đo sức sống, sử dụng công thức (5), bạn có thể xác định đường kính trung bình của bào tử và hồng cầu mà không cần kính hiển vi!

Trong tự nhiên, các vương miện được quan sát xung quanh Mặt trời, Lunya và thậm chí cả các hành tinh. Chúng phát sinh khi ánh sáng xuyên qua các đám mây bao gồm xác nước (rào cản tròn) hoặc tinh thể băng - một dấu hiệu (rào cản nguyên thủy). Các vương miện có thể nhìn thấy rõ ràng chỉ thu được khi đám mây bị chi phối bởi các giọt có cùng đường kính hoặc các tinh thể có cùng độ dày. Đôi khi người ta quan sát thấy vương miện khi ánh sáng từ nền xa xuyên qua một lớp sương mù hoặc kính cửa sổ phủ đầy hoa văn băng giá.

Quyền được nói

1. Sử dụng bước sóng hiệu dụng đã biết ($\lambda = 0, 56$ µm), sử dụng máy đo cường độ để tìm đường kính của các phần tử sợi mà từ đó tất và băng nylon được tạo ra.

2. Làm thế nào bạn có thể xác định qua hình dáng bên ngoài của vương miện xem đám mây bao gồm những giọt nước hay tinh thể băng?

3. Đường kính than của Lunya là 32′. Hãy ước tính đường kính của các giọt nước trong đám mây nếu bán kính góc của vòng tròn trung tâm ở Ventians gấp bốn lần đường kính góc của Lunya.

Bài toán độc giả của chúng tôi

1. Cho một hình tam giác $ABC$ khu vực $S$, trong đó $|AB| = c, |BC| = a, |CA| = b$, $p$ - nửa chu vi, $p_a = p - a, p_b = p - b, p_c = p - c; r_a, r_b, r_c$ lần lượt là bán kính của các đường tròn bên ngoài tiếp tuyến $BC, CA, AB; R$ - bán kính của đường tròn ngoại tiếp, $r$ - bán kính của đường tròn ngoại tiếp,

Chứng minh rằng

a) $$\frac{p_a}{\cos \frac{\hat{A}}{2} \sin \frac{\hat{B}}{2} \sin \frac{\hat{C}}{2}} =$$

$$\frac{p_b}{\cos \frac{\hat{B}}{2} \sin \frac{\hat{C}}{2} \sin \frac{\hat{A}}{2}} =$$

$$\frac{p_c}{\cos \frac{\hat{C}}{2} \sin \frac{\hat{A}}{2} \sin \frac{\hat{B}}{2}} = 4 R;$$

b) $$r_a \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} =$$

$$r_b \mathrm{tg} \frac{\hat{C}}{2} \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} = r_c \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \times \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} = r;$$

c) $$S = r_a^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} = r_b^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} = r_c^2 \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2};$$

d) $$S = p_a^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} = p_b^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{A}}{2} = p_c^2 \mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2} \mathrm{ctg} \frac{\hat{C}}{2} \times$$

$$\times \mathrm{ctg} \frac{\hat{B}}{2};$$

e) $$\frac{\mathrm{tg} \frac{\hat{A}}{2}}{r_a^2} + \frac{\mathrm{tg} \frac{\hat{B}}{2}}{r_b^2} +$$

$$\frac{1}{S};$$

g) $$\frac{1}{p_a p_b} + \frac{1}{p_b p_c} +$$

$$+\frac{1}{p_c p_a} = \frac{1}{r^2}.$$

Y. Alla (Võru)

2. Trong hệ thống

$$\begin{cases} 2 \cdot \text{он} = \text{тук}, \\ 7 \cdot \text{трон} = \text{туктук} \end{cases}$$

Các chữ cái khác nhau tương ứng với các số khác 0. Xác định số có bốn chữ số tương ứng với từ “ngai vàng”.

M. Shterebere (Saratov)

3. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $t$ thì giá trị của đa thức $36 t^4 + 48 t^3 + 40 t^2 + 16 t + 5$ là hợp số.

G. Shaekhov (làng N. Tabyn, Tat ASSR)

38

V. Rabinovich

Affine bài toán và các định lý

Có thể giải bài toán về hình bình hành cho hình vuông không? Chứng minh định lý tam giác cho tam giác đều đã đủ chưa? Hóa ra đôi khi có thể, đôi khi là đủ. Những vấn đề và định lý như vậy sẽ được thảo luận trong bài viết này.

1. Kỹ thuật đồng thời

Cho có hai mặt phẳng $\alpha$ và $\beta$ và một đường thẳng $a$ giao nhau với mỗi mặt phẳng này (Hình 1). Chúng ta xác định ánh xạ $\Pi_a$ của mặt phẳng $\alpha$ lên mặt phẳng $\beta$ như sau: tới một điểm tùy ý $A \in \alpha$ ta gán một điểm $A' \in \beta$, tại đó một đường thẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $a$ cắt mặt phẳng $\beta$. Sử dụng ký hiệu hàm tổng quát, chúng ta sẽ viết $\Pi_a (A) = A'$. Ánh xạ $\Pi_a$ đương nhiên được gọi là phép chiếu song song. Rõ ràng, nếu $A \neq B$ ($A \in \alpha$ và $B \in \alpha$), thì $\Pi_a (A) \neq \Pi_a (B)$. Do đó, phép chiếu song song là một ánh xạ nghịch đảo (“Đại số 8”, đoạn 20)*. Vì vậy chúng ta có thể nói về một ánh xạ nghịch đảo. Ánh xạ $\Pi_a^{-1}$, nghịch đảo với hình chiếu song song $\Pi_a$, rõ ràng sẽ là hình chiếu song song của mặt phẳng $\beta$ lên mặt phẳng $\alpha$: $\Pi_a^{-1} (A') = A$.

Phép chiếu song song $\Pi_a$ biến đổi bất kỳ hình $\Gamma$ nào trên mặt phẳng $\alpha$ thành một số hình $\Pi_a (\Gamma)$ trên mặt phẳng $\beta$ (Hình 1) - ảnh của hàm $\Gamma$ dưới ánh xạ $\Pi_a$.

1. Chứng minh ảnh của một đường thẳng dưới hình chiếu song song là một đường thẳng, hơn nữa, nếu điểm $A$ nằm giữa $B$ và $C$ thì $\Pi_a (A)$ nằm giữa $\Pi_a (B)$ và $\Pi_a (C)$.

Từ đây suy ra rõ ràng ảnh của một đoạn là một đoạn, ảnh của một đa giác là một đa giác (có cùng số cạnh).

Bạn razzhenne 2. Chứng minh rằng phép chiếu song song bảo toàn tính song song: nếu $l \parallel m$ thì $\Pi_a (l) \parallel \Pi_a (m)$.

Điều này có nghĩa là hình ảnh của sự song song là sự song song. 3. Chứng minh tỉ số độ dài của các đoạn thẳng song song là bất biến của phép chiếu song song: nếu các đoạn thẳng $AB$, $CD$ nằm trên một đường thẳng (hoặc trên các đường thẳng song song) trong mặt phẳng $\alpha$ thì $\frac{|AB|}{|CD|} = \frac{|A'B'|}{|C'D'|}$ (ở đây $A' = \Pi_a (A)$, v.v.).

Do đó, nếu $AK$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ ($\triangle ABC \subset \alpha$), thì $A'K'$ là đường trung bình của tam giác $A'B'C'$.

U razzhenne 4. Chứng minh tỉ số diện tích của các hình là bất biến của phép chiếu song song: nếu $\Gamma \subset \alpha$ và $\Delta \subset \alpha$ thì $\frac{S(\Gamma)}{S(\Delta)} = \frac{S(\Pi_a (\Gamma))}{S(\Pi_a (\Delta))}$. Chỉ định. Dựa trên bằng chứng, nó được cho phép

*) Thiết kế song song, được thảo luận trong bài viết này, là ánh xạ của một mặt phẳng (đến một mặt phẳng). Phép chiếu song song từ §12 của “Hình học 9” là ánh xạ không gian (lên một mặt phẳng). Nó không phải là điều ngược lại.