Kvant 1979, số 2 · Trang

KEANT
2
1979

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

Bản vẽ này cho thấy một khối đa diện phức tạp nhưng đẹp mắt - sự kết hợp của các gót của các khối mười hai mặt được sắp xếp, theo một nghĩa nào đó, “đối xứng nhất có thể”. Các đỉnh của 5 khối mười hai mặt này (có 5×20=100 trong số chúng) được chia thành hai loại - đơn (có 60 trong số đó, ba cạnh của khối đa diện của chúng ta được mã hóa trong đó và bản thân các đỉnh được nhóm lại thành 12 hình ngũ giác nhỏ) và đôi (có 20=40:2 trong số đó, mỗi cạnh có 12 cạnh được mã hóa). Cố gắng tìm đường đi của các đỉnh của một mặt của một khối mười hai mặt (hai đôi, ba đơn). Tìm trong hình các mặt còn lại của khối mười hai mặt này; tìm thấy một khuôn mặt của một số khối mười hai mặt khác. Đảm bảo rằng hai khối mười hai mặt bất kỳ có chính xác hai đỉnh chung và được hình thành từ nhau bằng cách quay quanh trục nối các đỉnh này. Mô hình được thiết kế bởi V. Gamayunov.

1

TRONG PHÒNG:

2 Yu. Ivanov. Trường sáng tạo
5 G. Komkin. Tại sao hét ngược gió lại là xấu?
9 O. Mikhailov. Mười một sàn gỗ đúng
15 I. Belkin. Về định luật chuyển động của Newt. Cân nặng

Phòng thí nghiệm «Kvant»
[M. Graboevsky]. Bổ sung các dao động vuông góc lẫn nhau

vòng tròn toán học
26 B. Becker, S. Vostokov, Y. Ionin. số 2 adic

Vấn đề «Kvant»
32 Bài toán M546-M550; F558-F562
34 Lời giải bài toán M500 (a-b) — M503; F502, F504, F512

Qua những trang sách giáo khoa
40 M. Chernyavsky. Bài toán theo nghĩa hình học tùy ý

«Kvant» cho học sinh nhỏ
32 Bài toán
46 V. Mayer. Điện và…nhiệt độ

Xưởng của người nộp đơn
48 S. Ovchinnikov, I. Sharyzin. Lời giải bất đẳng thức với mô đun
52 Yu. Zaychikov. Lực Lorentz và công của nó
56 S. Kozel, B. Fedosov, V. Chekhlov, A. Shelazin. Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Thông tin
58 Chúng tôi mời bạn đến với tấm thảm lông nhỏ
59 Tuyển sinh mới vào VZMSH
61 V. Orlov. VI Cuộc biểu tình toàn Nga của các nhà đổi mới và nhà thiết kế trẻ

Đáp số, gợi ý, lời giải
Hỗn hợp (tr. 22, 44, 47)
Bìa của chúng tôi (trang 8)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nuka, «Kvant», 1979

3

Một điều kiện không thể thiếu cho sự tồn tại của các xã hội là sự kết nối của chúng với sản xuất, trao đổi, các tổ chức khoa học, các hội đồng của VOIR, HTO và Hội Tri thức. Điều rất quan trọng và có giá trị là hoạt động của hầu hết các cơ sở giáo dục ngoài công lập đều theo hướng có ích cho xã hội.

Một vài năm trước, một hiệp hội khoa học dành cho sinh viên đã được thành lập ở Sverdlovsk, ngày nay đã phát triển thành lĩnh vực của các tổ chức giáo dục phi chính phủ hay như mọi người gọi nó là “Học viện Khoa học Nhỏ”. Tại đây, khoảng 40 nghìn học sinh trong khu vực đang theo học ở 11 khoa - vật lý, hóa học, toán học, khoa học xã hội và các khoa khác. Công việc của họ được giám sát bởi 3 nghìn nhà khoa học trẻ từ Trung tâm khoa học Ural, sinh viên và giáo viên của các cơ sở giáo dục đại học, giáo viên phổ thông, chuyên gia từ một số doanh nghiệp công nghiệp, trang trại tập thể và trang trại nhà nước. Những người đứng đầu dành nhiều sức lực và sức lực để làm việc với học sinh. các phòng thí nghiệm của Viện “UralpromstroyNIProekt”, được chuyển giao cho Hội đồng quản lý của xã hội, Tiến sĩ Khoa học Kỹ thuật S. A. Timashev, các nhà khoa học trẻ, nhân viên của các viện thuộc Trung tâm Khoa học Ural thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô I. V. Kochergina, Yu. V. Boltytsev, M. I. Gusev. Một cơ cấu rõ ràng, những truyền thống thú vị, sự quan tâm thường xuyên của các tổ chức quan tâm, bầu không khí sáng tạo, giàu cảm xúc cho phép chúng ta đạt được mức độ hoạt động cao trong xã hội.

Hiệp hội khoa học thanh niên của Cung điện Tiên phong và Học sinh Thành phố Mátxcơva rất xứng đáng với công việc của mình. Khoảng 500 sinh viên tham dự thường xuyên. Công việc do Hội đồng xã gồm các em học sinh đứng đầu và do Hội đồng giám tuyển-nhà khoa học chỉ đạo. Trong năm học có tổ chức các tổ chức công cộng; bầu không khí sáng tạo, giàu cảm xúc cho phép chúng tôi đạt được mức độ hoạt động cộng đồng cao.

Hiệp hội khoa học thanh niên của Cung điện Tiên phong và Học sinh Thành phố Mátxcơva rất xứng đáng với công việc của mình. Khoảng 500 sinh viên tham dự thường xuyên. Công việc do Hội đồng xã gồm các em học sinh đứng đầu và do Hội đồng giám tuyển-nhà khoa học chỉ đạo. Trong năm học có tổ chức các tổ chức công cộng; bầu không khí sáng tạo, giàu cảm xúc cho phép chúng tôi đạt được mức độ hoạt động cộng đồng cao.

Ở Uzbekistan, hội khoa học của học sinh trường trung học số 110 ở Tashkent rất nổi tiếng. Các mục tiêu và bài toán của xã hội được xác định bằng nghị quyết đặc biệt của hội đồng sư phạm và ủy ban Komsomol của trường. Lãnh đạo khoa học và sư phạm được thực hiện chung bởi nhà trường và các nhà khoa học của Viện Hàn lâm Khoa học Uzbekistan, giáo viên và sinh viên của một số trường đại học Tashkent. Các thỏa thuận đã được ký kết giữa nhà trường và các trường phía bên kia.

Hàng năm vào tháng 9 và tháng 5, các hội nghị được tổ chức để phê duyệt các kế hoạch và chương trình, xem xét các báo cáo và trao các giấy chứng nhận kỷ niệm “Trường Toán học Tốt nhất”, “Trường Vật lý Tốt nhất” và các giải thưởng từ các tổ chức tài trợ. Giữa các hội nghị, việc lãnh đạo xã do Hội đồng trẻ em thực hiện. Xã hội hợp nhất các bộ phận toán học, vật lý, hóa học, lịch sử, văn học và luật. Các phần thi sẽ bao gồm các câu lạc bộ dành cho học sinh lớp 6-7, các nhóm vấn đề dành cho học sinh trung học.

Ví dụ: phần toán bao gồm các câu lạc bộ “Đếm, đoán, đoán” (dành cho học sinh lớp 6), “Toán giải trí” (dành cho học sinh lớp 7 trở lên), hội thảo thường trực “Tìm kiếm và lời giải, nghiên cứu và kết luận” và hội thảo về nghiên cứu trong tương lai (dành cho học sinh lớp 8-10). Mỗi phần và tất cả các vấn đề của nhóm đều có cố vấn khoa học. Các thành viên của xã hội nghiên cứu các vấn đề lý luận, thực hiện công việc thực nghiệm trong phòng thí nghiệm của các trường đại học và viện nghiên cứu, các lớp học trong trường học và sản xuất các loại dụng cụ, thiết bị, dụng cụ cho trường học và nền kinh tế quốc dân.

4

Ngoài việc hoàn thành HOY, các hiệp hội sinh viên chuyên ngành còn hoạt động thành công ở một số khu vực tài nguyên, chẳng hạn như “Học viện Khoa học Rừng Nhỏ” ở Karalia, các hiệp hội khoa học, kỹ thuật và nông nghiệp ở vùng Krasnodar, hiệp hội các nhà thiên văn học trẻ ở Azerbaijan, các nhà hóa học và cơ khí trẻ ở Kazan, và Hiệp hội các nhà sử học trẻ địa phương khu vực Rostov.

Trong hơn mười năm, anh đã làm việc tại trường cấp hai số 5 ở Uglit, vùng Yaroslavl, dành cho các nhà thiên văn học trẻ. Đây là công việc thực nghiệm và thực nghiệm lý thuyết. Lĩnh vực hoạt động chính là: nghiên cứu các sự kiện đại chúng nhằm mục đích nâng cao kiến ​​thức thiên văn và athematic trong học sinh, phụ huynh và người dân. Các em đã tự tay xây dựng và trang bị đài quan sát của trường, xưởng quay phim, chụp ảnh, thiết kế và chế tạo các thiết bị vô tuyến cần thiết.

Công trình nghiên cứu tập trung vào nghiên cứu hoạt động của mặt trời và mối quan hệ của nó với các hiện tượng trên Trái đất. Trong lớp học, các nhà thiên văn học trẻ nghiên cứu các khía cạnh lý thuyết của vấn đề, quan sát động lực học của các vết đen mặt trời, chụp ảnh và quay phim chúng, đồng thời ghi lại tất cả những thay đổi khí tượng xảy ra trên Trái đất. Họ đã phát triển một phương pháp xác định độ sâu của vết đen mặt trời, bao gồm một lượng lớn vật liệu có thể quan sát được và thu thập các tài liệu đặc biệt về vấn đề này. Các chàng trai tổ chức lễ kỷ niệm Ngày du hành vũ trụ, tổ chức các chuyến du ngoạn, trò chuyện tại đài quan sát, tổ chức các buổi tối thử thách, câu đố và giảng bài cho học sinh trong trường. Trường Krujuk là người thường xuyên tham gia các Cuộc họp toàn liên minh của các nhà thiên văn trẻ, anh được trao huy chương đồng và bằng tốt nghiệp của VDNKh.

Các trường trung học cơ sở các môn khoa học tự nhiên và nhân văn ngày càng phổ biến. Đây là các hiệp hội đại chúng, tự nguyện của học sinh lớp 8-10 của các trường phổ thông, được thành lập tại các cơ sở giáo dục đại học và cơ sở khoa học nhằm mục đích đào sâu kiến ​​thức, thỏa mãn và phát triển lợi ích của học sinh trong việc xác định ngành khoa học, mở rộng tầm nhìn khoa học và hướng dẫn nghề nghiệp. Việc giảng dạy được thực hiện bởi các nhà khoa học, trợ lý nghiên cứu, giáo viên, nghiên cứu sinh và sinh viên trên cơ sở tự nguyện. Môi trường rất phổ biến dành cho học sinh, thư từ, buổi tối, trường hè dành cho các nhà toán học, vật lý, hóa học, sử học trẻ; giáo viên, bác sĩ. Kinh nghiệm thú vị trong công việc này đã được tích lũy ở Belarus, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Tatar, Vùng Gorky, Lãnh thổ Khabarovsk và Moscow.

Phân tích hoạt động của các hiệp hội khoa học của sinh viên các loại cho thấy họ góp phần tích cực vào việc nâng cao chất lượng kiến ​​thức của học sinh, mở rộng tầm nhìn khoa học và kỹ thuật, nắm vững các kỹ năng làm việc sáng tạo độc lập và nhận thức về sự sẵn sàng lựa chọn sáng tạo về nghề nghiệp và công việc sáng tạo trong tương lai.

Nhưng đáng tiếc là cho đến nay, các xã hội khoa học vẫn chưa được thành lập ở khắp mọi nơi. Không có HOY tài nguyên, khu vực, thành phố trong một số đồng tài nguyên, một số trung tâm khu vực của RSFSR, mặc dù có mọi cơ hội cho công việc của họ. Các nhà khoa học trẻ và chuyên gia từ các viện nghiên cứu vẫn chưa tham gia đầy đủ vào công việc này. Chúng tôi lo ngại rằng ở một số hiệp hội, mọi hoạt động của trẻ em đều nhằm mục đích chuẩn bị cho chúng vào đại học. Hiện chưa có mục tiêu phát triển chương trình dành cho HOY. Thông thường, giáo viên có quan điểm thụ động trong mối quan hệ với HOY, không sử dụng nó như một công cụ hỗ trợ đắc lực trong công việc nhằm nâng cao chất lượng kiến ​​thức của các nhà khoa học, thúc đẩy khoa học công nghệ dễ tiếp cận.

Hiệu quả của các hoạt động HOY tăng lên được tạo điều kiện thuận lợi nhờ việc xuất bản trên các trang của các tạp chí liên quan, chẳng hạn như «Kvant», danh sách các chủ đề công việc, nhiệm vụ cho các nhà khoa học và chuyên gia, các cơ quan và tổ chức dành cho các nhà nghiên cứu trẻ.

Bài toán và nhiệm vụ trước hết của các nhà khoa học, giáo viên, sinh viên trẻ là biến mỗi xã hội khoa học của sinh viên thành một ngôi trường thực sự của sự sáng tạo, nhận thức về tương lai của khoa học và công nghệ Liên Xô.

Yu. Ivanov,
Người tổ chức có trách nhiệm
Ban Thanh niên học đường của Ủy ban Trung ương Komsomol

5

G. Komkin

Tại sao hét ngược gió lại là xấu?

Tại sao chúng ta nghe thấy âm thanh kém nếu gió thổi từ chúng ta đến nguồn phát ra âm thanh?
Thoạt nhìn, điều này là rõ ràng. Một hòn đá ném trúng gió, một con chim bay chậm hơn… Tuy nhiên, chúng ta hãy thử kiểm tra đánh giá định lượng.

Gọi tốc độ của âm thanh so với không khí là $c$ và tốc độ của gió là $u$. Khi đó tốc độ của tín hiệu âm thanh so với mặt đất là $|c| - |u|$ và thời gian truyền của nó trên khoảng cách $l$ là $t = \frac{l}{|c| - |u|}$. Trong thời gian này, tín hiệu truyền đi một khoảng cách so với không khí

$$l' = |c| t = \frac{l |c|}{|c| - |u|}.$$

Giá trị danh nghĩa $l'$ xác định độ suy giảm của âm thanh: ở khoảng cách $l$ so với nguồn âm thanh (ngược chiều gió), chúng ta nghe thấy âm thanh giống như khi không có gió và chúng ta đang ở khoảng cách $l'$.

Tiếp nhận $|u| = 15$ m/s (gió khá mạnh), $|c| = 330$ m/s, $l = 50$ m. Sau đó $l' \approx 52$ m. Gió “đẩy” chúng tôi khoảng 2 m. Chúng tôi, làm ơn, sẽ không nhận thấy điều này. Trên thực tế, ảnh hưởng của gió thành phố mạnh hơn. Vì vậy, chúng ta phải tìm lời giải thích khác.

Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là tốc độ gió không giống nhau ở các độ cao khác nhau - nó tăng lên khi độ cao so với mặt đất tăng lên. Mọi người ơi, điều này sẽ không ảnh hưởng đến việc truyền âm thanh theo bất kỳ cách nào khi nguồn và máy thu được đặt ở cùng độ cao. Nếu máy thu (hoặc nguồn) âm thanh đi xuống, một phần đường dẫn tín hiệu âm thanh sẽ truyền qua các lớp không khí chuyển động với tốc độ thấp hơn và sẽ ít bị suy giảm hơn. Trên thực tế, nếu một người ngẫu nhiên (hoặc hét lên) cúi xuống, khả năng nghe sẽ chỉ trở nên tồi tệ hơn. Tuy nhiên, vấn đề chính xác là sự phụ thuộc của tốc độ gió vào độ cao.

Để dễ hiểu hơn về bức tranh truyền âm, trước tiên chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về khoảng cách. Hãy tưởng tượng một chiếc thuyền máy $J$ di chuyển với tốc độ $c$ so với mặt nước và tạo góc với dòng điện (Hình 1). Hãy để người trung gian trong đó (chúng ta sẽ gọi anh ta là đội trưởng) “nhắm” vào ống khói của nhà máy $T$ có ​​thể nhìn thấy ở đâu đó ở phía xa. Nếu không có dòng điện,

6

ka sẽ đáp xuống bờ ở điểm $A$. Trên thực tế, vận tốc của thuyền so với bờ là $\vec{v} = \vec{c} + \vec{u}$. Nếu tốc độ của dòng điện $\vec{u}$ không đổi suốt quãng đường vào bờ thì thuyền sẽ cập bến tại điểm $B$. Nhưng tốc độ của dòng điện sẽ giảm khi nó tiến gần vào bờ, do đó độ lớn và hướng của tốc độ của thuyền $\vec{v}$ thay đổi, do đó nó di chuyển dọc theo đường cong $JD$.

Giả sử rằng cơ trưởng ngủ gật trong thời gian ngắn nhưng vẫn tiếp tục giữ nguyên tay lái. Trong khi anh ấy ngủ, chúng ta hãy nhìn tảng băng trôi $C\Pi$ trôi theo dòng nước. Tảng băng này nổi đang quay: nó bị nước đẩy vào chuyển động quay, nước ở một mép của tảng băng ($C$) tụt lại phía sau và ở mép kia ($\Pi$) nó vượt qua tảng băng đó. Điều tương tự cũng xảy ra với con thuyền. Nó sẽ rẽ và hướng của tốc độ $\vec{c}$ sẽ thay đổi (mặc dù vô lăng được giữ bất động). Khi thức dậy, thuyền trưởng sẽ thấy chiếc thuyền mô tả hình cung $JE$ đang di chuyển ra xa bờ.

Bây giờ không khó để chúng ta miêu tả bức tranh về sự lan truyền của tín hiệu âm thanh. Quỹ đạo của chúng (“tia”) bị cong, giống như quỹ đạo của một con thuyền với thuyền trưởng đang ngủ (Hình 2; gió thổi từ phải sang trái). Trong trường hợp này, vùng $MLN$ hóa ra là “vùng chết”: các “tia” âm thanh không đi vào đó. Người dân ở khu vực này hầu như không nghe thấy âm thanh nào từ nguồn $S$. (Một số khả năng nghe được trong “vùng chết” là do sự phân tán âm thanh do phản xạ từ mặt đất, cũng như sự nhiễu xạ của âm thanh.)

Tuy nhiên, chúng ta hãy nhớ rằng chúng ta đã phát hiện ra sự mâu thuẫn trong cách giải thích đầu tiên về hiện tượng này khi cố gắng định lượng nó. Hãy thử kiểm tra đánh giá định lượng để tìm ra lời giải thích thứ hai. Hãy ước tính khoảng cách đến “vùng chết”. Khoảng cách “tia” $SLM$ (xem Hình 2), chúng ta sẽ coi hướng của nó gần với phương ngang. Chúng ta hãy chọn phần nhỏ nhất $AB$ của bề mặt sóng và coi nó là phẳng và thẳng đứng (Hình 3). Sau thời gian $\Delta t$ phần này

Hình 2.

sẽ đảm nhận vị trí $A'B'$, và

$$|AA'| = (|\vec{c}| - |\vec{u}_A|) \Delta t,$$

$$|BB'| = (|\vec{c}| - |\vec{u}_B|) \Delta t$$

($\vec{u}_A$ và $\vec{u}_B$ là tốc độ gió ở độ cao của điểm $A$ và $B$). Trong trường hợp này, mặt cắt được coi là quay một góc nhỏ $\alpha$:

$$\alpha \approx tg\alpha \approx \frac{|B'B''|}{|A'B''|} =$$

$$= \frac{(|\vec{c}| - |\vec{u}_A|) - (|\vec{c}| - |\vec{u}_B|)}{\Delta h} = \frac{|\Delta u| \Delta t}{\Delta h},$$

ở đâu $|A'B''| = |AB| = \Delta h$ và $\Delta u = \vec{u}_B - \vec{u}_A$.

Như vậy, một phần bề mặt sóng sẽ quay với vận tốc góc

$$\omega = \frac{\alpha}{\Delta t} \approx \frac{|\Delta u|}{\Delta h}.$$

Vectơ vận tốc $\vec{c}$, tốc độ của âm thanh so với không khí, cũng quay với cùng vận tốc góc.

Chúng ta sẽ giả sử rằng các giá trị $\omega$ được xây dựng dọc theo toàn bộ “tia”, khi đó phần $SLM$ (xem Hình 2) có thể được coi là một cung của một đường tròn. Tốc độ tiếng bíp

7

Kết quả, có nhiều nguyên nhân làm xấu đi khả năng phân loại trong gió, nhưng phép tính trên cho kết quả tăng mà chúng tôi đã chỉ ra chính xác nguyên nhân chính.

Trong thực tế

1. Vào một buổi chiều mùa hè, con bọ quyết định bay tới Mặt trời và bay với tốc độ $|\vec{v}| = |\vec{c}| - |\vec{u}| \approx |\vec{c}|$ có thể liên quan đến bán kính $r$ của vòng tròn này: $|\vec{v}| = \omega r$. Từ đây (Hình 4)
   $$|SO| = |OL| = r = \frac{|\vec{v}|}{\omega} \approx \frac{|\vec{c}| \Delta h}{|\Delta u|}.$$
   Từ tam giác OSF
   $$|SF| = \sqrt{|OS|^2 - |OF|^2} = \sqrt{r^2 - (r - h)^2} \approx \sqrt{2rh} \approx \sqrt{2|\vec{c}|h \Delta h}.$$
   Vì vậy, người nghe ở cùng độ cao $h$ với nguồn âm sẽ rơi vào “vùng chết” ở khoảng cách xa
   $$|SS'| = 2|SF| \approx 2\sqrt{2|\vec{c}|h \Delta h}.$$
   Lễ tân $\frac{|\Delta u|}{\Delta h} \approx \frac{|\vec{u}|}{h}$. Rồi cuối cùng
   $$|SS'| \approx 2h \sqrt{\frac{2|\vec{c}|}{|\vec{u}|}} \approx 3h \sqrt{\frac{|\vec{c}|}{|\vec{u}|}}.$$
   Đối với $h=1,5$ m, $|\vec{c}| = 330$ m/s và $|\vec{u}| = 15$ m/s, chúng tôi thu được
   $$|SS'| \approx 20$$

một kết quả khá hợp lý. Một phép tính chính xác về hình dạng của “tia âm thanh” cũng dẫn đến kết quả tương tự.

8

Vật thể không thể

Ở trang 1 của trang bìa, những “vật thể không thể” bay ngang qua bầu trời đầy sao: cầu thang màu đỏ luôn đi xuống khá tròn, nhưng sau khi đi một vòng dọc theo nó, bạn sẽ thấy mình ở vị trí ban đầu; ba chân hình trụ song song của mảnh tím có thể tiếp giáp với thanh ngang nối… ở hai chỗ; Có điều gì đó không ổn với các vật màu xanh lam và màu cam - nhìn chúng lâu sẽ gây ra cảm giác mâu thuẫn nội tâm khó chịu.

Hãy cố gắng hiểu bí mật của “hiệu ứng bất khả thi” trong từng trường hợp là gì. Tuy nhiên, có phải tất cả những điều này là không thể? Có thể “nhìn thấy” một số trong số chúng theo cách không có mâu thuẫn không?

Hóa ra là bằng cách sử dụng tam giác màu cam (cái gọi là tam giác L. và P. Penrose), bạn có thể tạo ra một vật thật, nhìn từ một số góc độ sẽ trông giống hệt tam giác Penrose. Điều này đã được viết trong «Kvant» (1971, số 5, trang 26-29). Ở đây chúng tôi đặt hai cấu trúc lời giải mới của hình tam giác này, được gửi cho người biên tập cùng với các bức ảnh của kiến ​​​​trúc sư V. Koleichko.

Theo dõi hai bức ảnh đầu tiên (Hình 1, 2). Họ cho thấy cùng một vật thể, bao gồm các khối gỗ “xoắn”, được dán lại với nhau bằng một “khay” hình vuông, được lấy ra từ các điểm khác nhau. Nhiếp ảnh gia đã tìm thấy một điểm (Hình 1) mà từ đó cả ba thanh đều thẳng hàng.

Những bức ảnh sau đây còn thú vị hơn (Hình 3, 4). Trung tin rằng cùng một mục được định dạng trên chúng.

Nguyên lý cấu tạo nên hạng mục này khá đơn giản. Hãy vẽ số π trên mặt phẳng.

ảnh tam giác Penrose (Hình 5) và chọn các điểm A’ và B’ ở trên sao cho (AA’) || (BB’). Khi đó, bất kỳ đường cong γ nào nối A’ với B’ và nằm trong mặt phẳng ABB’A’ sẽ trông giống như một đoạn nếu người ta nhìn vào nó bằng cách đặt mắt trong mặt phẳng ABB’A’ hoặc tại một điểm nằm “rất xa” phía trên mặt phẳng π theo hướng của tia [AA’]. Bằng cách thực hiện tương tự với các phân đoạn khác, bạn có thể xây dựng đối tượng không gian như trong Hình 3.

Rõ ràng là mắt (hoặc máy ảnh), đặt đủ xa theo hướng của tia [AA’], sẽ nhìn thấy vật thể này khi nó được mô tả trên mặt phẳng π.

9

O. Mikhailov

Mười một sàn gỗ đúng

Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta thường thấy các mặt phẳng đa giác được bao phủ bởi các bề mặt: sàn trong các tòa nhà dân cư được lát gỗ, tường phòng tắm được lát gạch, các tòa nhà hiện đại được trang trí bằng đồ trang trí. Các lớp phủ đối xứng nhất - các nhà toán học gọi chúng là sàn gỗ thông thường - đã được viết bằng «Kvant»: trong bài báo của A. Kolmogorov («Kvant», 1970, số 3), việc phân loại bài toán của sàn gỗ thông thường đã được thảo luận. Hiện tại, một trong những lời giải có thể có của nó đã được đưa ra.

Chúng ta sẽ gọi sàn gỗ là các mặt phẳng bao phủ của các đa giác đều, trong đó hai đa giác hoặc có một cạnh chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc không có điểm chung nào cả. Một sàn gỗ được gọi là thông thường nếu nó có thể được xếp chồng lên chính nó theo cách mà bất kỳ đỉnh nào của nó cũng có thể được xếp chồng lên bất kỳ đỉnh có hướng nào khác.

Có tổng cộng bao nhiêu sàn gỗ đúng? Chúng được xây dựng như thế nào? bài toán của chúng tôi là để trả lời những câu hỏi này.

Dễ dàng nhận thấy rằng nhìn chung có vô số sàn gỗ - không nhất thiết phải đúng - *) (bạn hãy tự chứng minh điều này). Tuy nhiên, cũng giống như một đa giác vô hạn, không quá sáu và không ít hơn ba đa giác có thể hội tụ trong một sàn gỗ khác. Thật vậy, khi bảy đa giác trở lên hội tụ tại một đỉnh thì ít nhất một góc trong đa giác đều phải nhỏ hơn 60°, điều này là không thể (góc tối thiểu của một tam giác là 60°).

*) Chúng tôi coi hai sàn gỗ là sự khác biệt của đa giác và với đa giác sàn gỗ vô hạn thì chỉ có một số lượng hữu hạn các sàn gỗ thông thường.

Đôi khi trong bài viết này, để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi đơn giản là sàn gỗ chính xác là sàn gỗ.

Lời giải bài toán của chúng tôi đương nhiên bắt đầu bằng việc nghiên cứu các mặt trên của sàn gỗ. Từ định nghĩa về tính đúng đắn, nguyên tắc tương đương của đỉnh được suy ra ngay lập tức: hai đỉnh bất kỳ được xây dựng giống hệt nhau theo nghĩa là các ngôi sao của tất cả các đỉnh đều giống nhau. (Ngôi sao đỉnh là một hình được tạo thành bởi tất cả các đa giác chứa nó.)

Chúng ta hãy biểu thị bằng $m_i$ số lượng $i$-giác liền kề với đỉnh và bằng $\alpha_i$ các giá trị góc của một $i$-giác đều bên trong nó. Sau đó tại mỗi đỉnh, rất/không, việc so khớp được thực hiện.

$$\sum m_i \alpha_i = 360^\circ = 4d,$$

trong đó trong tổng, chúng tôi bao gồm tất cả các số hạng có số $i$ mà ít nhất một $i$-giác liền kề với đỉnh *).

Thay biểu thức cho $\alpha_i$, $\alpha_i = 2(1 - 2/i)d$ đã biết từ hình học vào công thức này và giảm đi 2$d$, chúng ta thu được

$$\sum m_i \left(1 - \frac{2}{i}\right) = 2.$$

Do đó, các số $m_i$ là nghiệm nguyên của phương trình (1). Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy bên dưới, không phải tất cả các phương trình lời giải số nguyên (1) đều được thực hiện bằng các ván gỗ thông thường!

Hơn nữa, không quá sáu và không ít hơn ba đa giác có thể hội tụ ở đỉnh của sàn gỗ. Thật vậy, khi bảy đa giác trở lên hội tụ tại một đỉnh thì ít nhất một góc trong đa giác đều phải nhỏ hơn 60°, điều này là không thể (góc tối thiểu của một tam giác là 60°).

*) Tuy nhiên, $m_i = 0$ đối với phần còn lại $i$, vì vậy chúng ta có thể chính thức giả định rằng chúng ta đang tính tổng trên tất cả $i$.

14

số lời giải, chúng ta sẽ cần những thứ sau

Bổ đề. Ở phía trên của một sàn gỗ thông thường, chúng không thể được duy trì bằng các đa giác khác nhau, một trong số đó có vô số cạnh.

Thật vậy, hãy để sàn gỗ như vậy tồn tại (Hình 5). Sau đó, xung quanh olg lẻ, các $m$- và $n$-giác còn lại phải đi qua nhau. Do đó, khi đi xung quanh nó, có hai đa giác giống hệt nhau ở gần nhau, đặt câu hỏi về các điều kiện của bổ đề.

Nhờ bổ đề, chúng ta có thể thay $k$ bằng $2k_1$, $m$ bằng $2m_1$, $l$ bằng $2l_1$ trong (2) và đi đến phương trình

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} = 1.$$

Không mất tính tổng quát, ta có thể đề xuất rằng $k_1 < m_1 < n_1$. Sau đó

$$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} + \frac{1}{k_1} < \frac{3}{k_1},$$

có thể tạo dáng được $k_1 = 2$. Do đó, $\frac{1}{n_1} + \frac{1}{m_1} = \frac{1}{2}$, từ đó $m_1 = 3$, $n_1 = 6$ (nếu $m_1 \geq 4$, thì $n_1 \leq m_1$). Kết quả lời giải $\alpha_4 + \alpha_6 + \alpha_{12}$ mang lại cho chúng ta một sàn gỗ khác (Hình 6).

Sàn gỗ có bốn đa giác ở trên cùng

Trong trường hợp này chúng ta đi đến phương trình

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = 1.$$ (3)

Chúng tôi sẽ giả định rằng $l \leq k \leq m \leq n$. Dễ dàng nhận thấy điều đó khi đó $l \leq 4$. Nếu $l = 4$ thì chúng ta đến tập $4\alpha_4$. Nếu $l = 3$ thì ta thu được phương trình

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} = \frac{2}{3},$$

từ đó người ta tìm thấy rằng $k < 5$. Nếu $k = 4$, thì kể từ $m \geq k$, chúng ta đạt đến điểm duy nhất lời giải $m = 4$, $n = 6$. Nếu $k = 3$, thì chúng ta nhận được hai lời giải: $m = 4$, $n = 12$ và $m = 6$, $n = 6$.

Do đó, chúng tôi sẽ được giới thiệu bốn bộ để khám phá:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6; \alpha_4 + 2\alpha_3 + \alpha_{12}.$$

Bộ đầu tiên $4\alpha_4$ cung cấp một sàn gỗ hình vuông ba cạnh (Hình 7).

Đối với sự kết hợp $\alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6$, có thể có hai đỉnh không tương đương (Hình 8, a, b), nhưng chỉ biến thể $8,a$ mới cho ra sàn gỗ chính xác (Hình 8, b). Hãy đảm bảo rằng tùy chọn $8,b$ không tạo ra bất kỳ loại sàn gỗ chính xác nào.

Đối với $2\alpha_3 + 2\alpha_6$, cũng có thể có hai đỉnh khác nhau (Hình 9, a, b), nhưng chỉ đỉnh thứ hai cho ra sàn gỗ chính xác (Hình 9, b). Việc hoàn thành điều đầu tiên dẫn đến mâu thuẫn. Như vậy, có ba “bốn phương trình” của sàn gỗ:

$$4\alpha_4; \alpha_3 + 2\alpha_4 + \alpha_6; 2\alpha_3 + 2\alpha_6.$$

Sàn gỗ có đa giác thứ năm ở trên cùng

Trong trường hợp này, bạn cần tìm phương trình lời giải

$$\frac{1}{n} + \frac{1}{m} + \frac{1}{k} + \frac{1}{l} = \frac{3}{2}.$$ (4)

Từ đó có thể thấy ngay rằng $j = k = l = 3$ (chúng ta giả sử rằng $j \leq l \leq k \leq m \leq n$). Kết quả là một phương trình $\frac{1}{n} + \frac{1}{m} = \frac{1}{2}$, có hai lời giải: $m = 3$, $n = 6$ và $m = 4$, $n = 4$.

Bây giờ vẫn còn phải xem xét các kết hợp được tìm thấy:

$$\alpha_6 + 4\alpha_3 \text{ и } 2\alpha_4 + 3\alpha_3.$$

Loại đầu tiên trong số chúng cung cấp loại mặt trên duy nhất và loại sàn gỗ thông thường duy nhất (Hình 11). Sự kết hợp thứ hai cho phép hai đỉnh không tương đương nhau, mỗi đỉnh tạo thành các sàn gỗ (Hình 12 và 13).

Vì vậy, có ba “phương trình ngũ bội” ​​của sàn gỗ:

$$4\alpha_3 + \alpha_6; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)'; (2\alpha_4 + 3\alpha_3)''.$$

Sàn gỗ có sáu đa giác ở trên cùng

Rõ ràng là sàn gỗ như vậy (Hình 14) là sàn duy nhất nhận được từ sự kết hợp $6\alpha_3$.

Các trường hợp được liệt kê ở trên làm cạn kiệt toàn bộ loại sàn gỗ phù hợp. Như có thể thấy ở trên, tổng số là như nhau.

15

I. Belkin

Về định luật chuyển động của Newton.
Cân nặng

Định luật chuyển động cơ học của vật thể được Newton phát hiện vào giữa thế kỷ 17. Chúng đã được trình bày trong cuốn sách “Các nguyên tắc toán học của triết học tự nhiên” của ông xuất bản năm 1687. Không ngoa khi nói rằng cơ học hiện đại bắt đầu từ cuốn sách này.

Những ý tưởng cơ bản của cơ học và các định luật chuyển động do Newton khám phá sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Một chút về cơ học trước Newton

Để hiểu bản chất của cuộc cách mạng trong khoa học về chuyển động của các vật thể mà Newton đã thực hiện, trước tiên chúng ta hãy làm quen một cách tổng quát nhất với khoa học về chuyển động tồn tại trước Newton.

Cơ học của Aristotle (384-322 TCN) rất được ưa chuộng vào thời tiền Dytomov. Chúng tôi sẽ đưa nó vào đây và cho bạn biết về nó, mặc dù lý thuyết này hóa ra sai ở hầu hết các phần của nó. Nhưng chính cô là người đã bị cơ học Newton thay thế.

Trong những xây dựng và kết luận của mình, Aristotle dựa vào những quan sát và kinh nghiệm hàng ngày. (Chắc chắn là dựa trên cơ sở này, khoa học đã được xây dựng.) Tuy nhiên, những quan sát này thường hời hợt và không kèm theo những thay đổi. Do đó, kết luận mà Aristotle rút ra hóa ra là không chính xác.

Ví dụ, các quan sát cho thấy một chiếc xe chỉ di chuyển trên đường bằng phẳng khi được kéo bởi ngựa. Điều này có nghĩa là để một vật thể chuyển động (có tốc độ) thì nó cần phải có sự tác động của một vật thể khác. Tác động này của cơ thể này lên cơ thể khác được gọi là lực. Theo Aristotle, lực là nguyên nhân gây ra chuyển động. Khi không có vũ lực thì hòa bình và chỉ có hòa bình là có thể.

Mặt khác, quan sát cho thấy có những chuyển động

16

đi loanh quanh “không có ngựa”, không có sức lực. Vì vậy, bất kỳ vật nặng nào cũng tự rơi xuống, chuyển động xuống; các vật thể nhẹ (khói, không khí nóng, v.v.) cũng tự mình di chuyển lên trên. Các quan sát cuối cùng cho thấy các hành tinh chuyển động “không cần ngựa”.

Dựa trên những quan sát như vậy, Aristotle chia mọi chuyển động thành hai loại: bạo lực và tự nhiên. Nguyên nhân của những chuyển động bạo lực là do tác động của các vật thể khác, tức là các lực. Còn đối với những chuyển động tự nhiên thì lý do lại hoàn toàn khác. Aristotle định nghĩa nó theo cách này: mọi cơ thể đều được thiên nhiên định sẵn ở một nơi nhất định. Vật nặng được xếp ở dưới, vật nhẹ ở trên. Các hành tinh và ngôi sao được xác định trước là sẽ quay vĩnh viễn quanh Trái đất. Vì thế nguyên nhân của những chuyển động tự nhiên là ham muốn. cơ thể chiếm lấy vị trí đã được thiên nhiên quy định cho chúng.

Nhưng vật nặng cũng có thể di chuyển lên trên. Giống như ném một hòn đá lên? Theo Aristotle, đây đã là một phong trào bạo lực. Và lý do nằm ở chỗ thiên nhiên không cho phép tồn tại sự trống rỗng: không khí cố gắng lấp đầy ngay khoảng trống mà cơ thể bỏ trống trong quá trình chuyển động, và không ngừng đẩy cơ thể này. (Ý tưởng về “nỗi sợ hãi khoảng trống” này vẫn tồn tại trong vật lý cho đến khi Galileo và Torricelli, những người cuối cùng đã chấm dứt nó.)

Chúng ta thấy rằng cơ học Aristotle không phải là một môn khoa học thống nhất về các định luật chuyển động. Những nguyên nhân khác nhau được cho là do những phong trào khác nhau, và bản thân những nguyên nhân đó được đưa ra rất mơ hồ. Nhưng uy tín của Aristotle rất mạnh mẽ rằng cơ học của ông đã tồn tại gần hai thiên niên kỷ, cho đến thời Galileo và Newton.

Cơ học Newton.
Định luật cơ học đầu tiên

Ngược lại với những ý tưởng ngây thơ của cơ học tiền Ioton, cơ học Newton là một lý thuyết thống nhất áp dụng cho mọi chuyển động của vật thể. Mọi chuyển động đều tuân theo cùng một

17

chúng tôi tuân theo các luật tương tự. Đây là những loại luật gì?

Trong cơ học Newton, trước hết người ta chú ý đến thực tế là chuyển động phải được nghiên cứu trong mối quan hệ với một hệ thống báo cáo nhất định. Trên thực tế, Newton sử dụng hệ thống báo cáo liên quan đến Mặt trời.

Vào thời điểm đó, người ta đã biết các hành tinh chuyển động như thế nào so với Mặt trời (định luật chuyển động của các hành tinh đã được Kepler nghiên cứu). Phân tích những chuyển động này, cũng như chuyển động của một vật thể trên Trái đất, một phần do chính ông nghiên cứu, một phần do những người đi trước, chủ yếu là Galileo, Newton đã đi đến một kết luận cơ bản: nếu bất kỳ vật thể nào chuyển động so với Mặt trời bằng gia tốc, thì gia tốc này luôn là do tác động của một vật thể khác hoặc một số vật thể lên vật thể đó. Vì vậy, sự tăng tốc chuyển động của hành tinh. Những gia tốc này là do ảnh hưởng của Mặt trời. Gia tốc của một vật rơi xuống Trái đất là do tác dụng của Trái đất. Gia tốc của một vật gắn vào một vòng tròn là do tác động của một lò xo, v.v. Đây là định luật chuyển động: gia tốc của bất kỳ vật nào so với Mặt trời luôn được gây ra bởi tác động của một hoặc nhiều vật thể lên nó. Theo Aristotle, lực là nguyên nhân gây ra chuyển động (tốc độ) của một cơ thể và hơn nữa, chỉ là nguyên nhân gây ra bạo lực. Trong cơ học Newton, lực là nguyên nhân gây ra sự thay đổi chuyển động (thay đổi tốc độ - gia tốc) của vật thể trong bất kỳ chuyển động nào.

Một cơ thể nên hành xử như thế nào để không bị ảnh hưởng bởi các cơ thể khác? Theo Aristotle, một cơ thể như vậy nên đào, tốc độ của nó phải bằng không. Theo Newton, một vật thể như vậy trong hệ thống báo cáo liên quan đến Mặt trời sẽ có gia tốc bằng không. Điều này có nghĩa là trong hệ thống này, một vật thể không bị ảnh hưởng bởi các vật thể khác có thể đào xung quanh hoặc di chuyển theo đường thẳng và đồng đều. Đây là định luật đầu tiên của Newton - định luật quán tính.

Định luật quán tính chỉ có hiệu lực khi vật không chịu tác động của vật nào khác. Những cơ thể chịu ảnh hưởng của các cơ thể khác cũng phụ thuộc vào nó, nhưng những cơ thể “khác” này không phải là một mà là nhiều cơ thể, và ảnh hưởng của mỗi cơ thể đó được bù đắp bằng mọi thứ khác. Từ “quán tính” có nghĩa là hiện tượng một vật không chịu tác động của các vật (lực) khác hoặc tác động của nó được bù bởi các vật khác thì không làm thay đổi chuyển động của nó, tức là không làm thay đổi tốc độ của nó.

Như chúng tôi đã nói, Newton xem xét chuyển động trong một hệ thống báo cáo gắn liền với Mặt trời. Nhưng nếu một vật chuyển động với tốc độ không đổi so với Mặt trời, thì so với bất kỳ vật thể nào khác chuyển động không gia tốc so với Mặt trời, thì nó cũng chuyển động với tốc độ không đổi (nhưng khác). Vì vậy, trong hệ thống báo cáo gắn liền với cơ thể “khác” này, quy luật quán tính cũng được thực hiện. Tất cả các hệ thống như vậy được gọi là quán tính.

Định luật đầu tiên của Newton hiện nay thường được xây dựng như sau: hệ thống hiện tại cũng báo cáo rằng, so với các thành phần của phấn chuyển động tới, tốc độ của chúng không đổi nếu chúng không bị tác động bởi phấn khác hoặc phấn tác động được bù lại.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta kết nối hệ tọa độ với một vật thể tự chuyển động với gia tốc so với hệ tọa độ quán tính?

So với một hệ thống như vậy, bất kỳ vật thể nào không bị ảnh hưởng bởi các vật thể khác sẽ chuyển động nhờ gia tốc. Trong hệ thống này, một cơ thể có thể đứng yên, bất chấp tác động của một cơ thể khác lên nó. Tất cả các hệ thống báo cáo như vậy chuyển động tương đối với hệ thống quán tính bằng gia tốc được gọi là không quán tính.

Chúng ta có thể nói rằng hệ tọa độ liên kết với Trái đất là quán tính không? Nói một cách chính xác thì không, vì Trái đất chuyển động quanh Mặt trời theo một đường cong (gần như theo hình tròn), và do đó, so với Mặt trời, nó tăng tốc. Ngoài ra, Trái đất còn quay quanh trục của nó. Phong trào này cũng được tăng tốc. Nhưng Trái đất chỉ thực hiện một vòng quay quanh Mặt trời mỗi năm và quanh trục của nó mỗi ngày. Cả hai gia tốc đều nhỏ đến mức trong hầu hết các trường hợp, Trái đất có thể được coi là hệ quy chiếu quán tính.

18

Thực tế về sự tồn tại của các hệ thống báo cáo quán tính trên thế giới dường như không hiển nhiên chút nào, không cần phải nói. Nhà tư tưởng cổ đại (Aristotle) ​​​​rất khó hiểu tại sao các vật thể vẫn tiếp tục chuyển động ngay cả khi ảnh hưởng của các vật thể khác lên chúng đã chấm dứt. Ví dụ, tại sao mũi tên tiếp tục bay sau khi dây cung đã ngừng đẩy nó?

Gallia là người đầu tiên nhận thấy sự sai lầm khi tin rằng các vật thể khác phải duy trì chuyển động (tốc độ) của một vật thể nhất định. Ông đặt câu hỏi: tính chất chuyển động của một vật thể phụ thuộc vào tác động của các vật thể khác lên nó? Không có lý luận suy đoán nào có thể đưa ra đáp số cho câu hỏi này. Ở đây bạn cần hướng thẳng về thiên nhiên, tức là để trải nghiệm.

Đáp số mà thiên nhiên ban tặng hóa ra lại rất bất ngờ và bao gồm những yếu tố sau: có hệ thống báo cáo quán tính; ở họ, không cần gì cả để duy trì chuyển động của cơ thể với tốc độ không đổi - điều đó sẽ tự xảy ra.

Khi nhận được đáp số như vậy, đó là lần phát hiện lớn nhất. Đó là lý do tại sao định luật quán tính là một trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên.

Sự tương tác của cơ thể và gia tốc. Cân nặng

Một thực tế quan trọng khác được Newton thiết lập từ việc quan sát chuyển động của các vật thể. Nó nằm ở chỗ khi một cơ thể tác động lên các cơ thể khác và truyền gia tốc cho nó, thì cơ thể kia cũng “phản ứng” với nó theo cách tương tự, tức là cũng truyền gia tốc cho nó. Ảnh hưởng của vật thể này lên vật thể khác không phải là một chiều - các vật thể tương tác với nhau, truyền gia tốc cho nhau. Ví dụ, nếu hai quả bóng va chạm nhau (va chạm là một ví dụ về tương tác), mỗi quả bóng sẽ nhận được gia tốc. Những gia tốc này là gì? Họ được chỉ đạo như thế nào? Giá trị số của chúng là gì?

Kinh nghiệm cho thấy rằng trong mọi trường hợp, gia tốc của các vật tương tác là ngược chiều nhau.

Ví dụ, nếu một quả bóng đang chuyển động va chạm với cùng một quả bóng đứng yên sao cho tốc độ của quả bóng hướng dọc theo đường nối tâm của các quả bóng (Hình 1), thì tốc độ của quả bóng đầu tiên sẽ giảm và tốc độ của quả bóng thứ hai sẽ tăng lên. Và điều này có nghĩa là gia tốc của các quả bóng ngược chiều nhau.

Đối với các giá trị tuyệt đối (mô-đun) của gia tốc, chúng có thể là bất kỳ giá trị nào. Nó phụ thuộc vào cách các vật chuyển động trước khi tương tác (từ các điều kiện ban đầu), vào bản chất của sự tương tác, vào đó các vật thể tương tác. Nhưng đối với một cặp vật tương tác nhất định thì tỉ số gia tốc luôn bằng nhau. Chúng không phụ thuộc vào bản chất của sự tương tác cũng như các điều kiện ban đầu. Điều này có nghĩa là nó phụ thuộc vào một số thuộc tính đặc biệt ẩn giấu trong chính các vật thể tương tác. Đặc tính này vốn có ở mỗi cơ thể, được thể hiện bằng khối lượng cơ thể.

Newton đã phát hiện ra tính chất này và đưa vào khoa học những đại lượng đặc trưng cho nó về mặt định lượng - khối lượng. Tài sản này là gì?

Hãy tưởng tượng rằng hai vật thể tương tác là hai quả bóng có thể tích bằng nhau. Cái đầu tiên là bằng gỗ, cái thứ hai là nhôm. Nếu bằng cách nào đó chúng bắt đầu tương tác (chúng có thể chồng lên nhau, tương tác qua một lò xo (Hình 2, a); sự tương tác có thể được thực hiện thông qua một sợi dây nối các quả bóng, quay trên một máy định tâm (Hình 2, b); đây có thể là một tương tác điện, nếu các quả bóng được mang điện), thì mỗi quả bóng sẽ thay đổi tốc độ - sẽ nhận được gia tốc (Hình 2).

Và trong mọi trường hợp, gia tốc $a_1$ giảm

20

thư từ

$$\frac{m}{m_{\text{эт}}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}}$$

trong đó $m_{\text{эт}}$ là khối lượng của vật chuẩn, $\overrightarrow{a}_{\text{эт}}$ và $\overrightarrow{a}$ lần lượt là gia tốc của vật chuẩn và vật thu được trong quá trình tương tác. Từ (3) có

$$m = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} m_{\text{эт}} = \frac{\overrightarrow{a}_{\text{эт}}}{\overrightarrow{a}} 1 (\text{кг}).$$

Nhưng hãy quay lại câu trả lời (2), từ đó các công thức (3) và (3a) tuân theo. Chúng ta hãy suy nghĩ về mức độ mà nó được chứng minh bằng kinh nghiệm. Kinh nghiệm chỉ cho chúng ta thấy rằng tỉ số gia tốc của hai vật tương tác là một giá trị hoàn toàn xác định (công thức (1)).

Tiếp theo, chúng ta quy định (được quy định chính xác!) gán một khối lượng lớn hơn cho một vật có gia tốc nhỏ hơn, tức là cho một vật trơ hơn.

Chúng tôi đã biểu thị điều này một cách toán học trong phương trình (2), từ đó khối lượng lớn hơn tương ứng với gia tốc nhỏ hơn. Nhưng cùng với phương trình (2), chúng ta có thể viết, ví dụ, công thức sau:

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^2}{m_2^2}$$

hoặc

$$\frac{\overrightarrow{a}_2}{\overrightarrow{a}_1} = \frac{m_1^n}{m_2^n}.$$

Từ những công thức này, nó cũng tuân theo công thức của hai vật tương tác, chỉ có khối lượng lớn hơn mới nhận được gia tốc ít hơn! Tại sao chúng ta chọn công thức đơn giản nhất (2), từ đó áp dụng phương pháp thay đổi khối lượng ở trên?

Bởi vì với phương pháp thay đổi khối lượng này, hóa ra khối lượng của một số vật thể phức hợp với nhau bằng tổng khối lượng của các vật thể được thêm vào (định luật bảo toàn khối lượng).

Chúng ta hãy tưởng tượng rằng trong quá trình tương tác của hai vật $A$ và $B$, chúng ta đã thay đổi gia tốc của chúng và sử dụng công thức (2), nhận thấy rằng khối lượng của vật $B$ là khối lượng lớn thứ hai của vật $A$ (Hình 3, a):

$$m_B = 3m_A.$$

Chúng ta hãy lấy một phần ba $D$ khác, đưa nó tương tác với vật thể $A$, thay đổi gia tốc của các vật thể này và tìm tỷ số khối lượng của chúng. Giả sử khối lượng của vật $D$ gấp đôi khối lượng của vật $A$ (Hình 3, b):

$$m_D = 2m_A.$$

Bây giờ chúng ta hãy kết nối các phần thân $B$ và $D$ với nhau. Chúng ta hãy đưa vật “phức tạp” $B + D$ vào tương tác với vật $A$ và từ sự thay đổi gia tốc của chúng, chúng ta sẽ tìm ra tỷ số giữa khối lượng của vật $B + D$ với khối lượng của vật $A$. Kinh nghiệm sẽ cho thấy rằng (Hình 3, c):

$$m_{B+D} = 5m_A.$$

Hoá ra là thế

$$m_{B+D} = m_B + m_D$$

• quần chúng cộng lại.

Nếu chúng ta sử dụng phép tương ứng (*) để thay đổi khối lượng của một vật thì hóa ra khối lượng của các vật đó không cộng lại. Đó là lý do tại sao sự tương ứng (2) được chấp nhận trong vật lý.

Trong cuộc sống hàng ngày và trong công nghệ, trong nghiên cứu khoa học, khối lượng thường (nhưng không phải luôn luôn) thay đổi theo một cách khác - cân nặng. Phương pháp này không liên quan đến quy luật chuyển động; nó gắn liền với định luật vạn vật hấp dẫn, và nó không thay đổi khối lượng quán tính mà thay đổi cái gọi là khối lượng hấp dẫn. Nhưng đáng ngạc nhiên là hai sự trùng hợp này lại trùng khớp về vai trò của chúng trong cơ học khối lượng. Bài này viết về khối lượng quán tính, là thước đo quán tính của một vật. Chính vì bản chất của khối lượng quán tính, vì bản chất của tính chất quán tính, mà sự tương tác giữa các vật thể gây ra sự xuất hiện của gia tốc (chứ không phải tốc độ) trong các vật thể tương tác.

Trong cuộc sống hàng ngày và đôi khi trong sách vật lý, từ “khối lượng” dùng để chỉ lượng chất có trong cơ thể. Nhưng lượng chất trong cơ thể được xác định bởi số lượng hạt (nguyên tử hoặc phân tử) của một chất nhất định có trong nó. Và khối lượng quyết định quán tính của một vật chứ không gì khác. Nhưng khối lượng của một chất nhất định tỷ lệ thuận với số lượng phân tử của chất đó trong cơ thể. Đo khối lượng thì dễ nhưng đếm số lượng hạt thì khó. Vì lý do này, khối lượng được sử dụng làm thước đo lượng của một chất.

Điều thú vị là chính Newton đã định nghĩa khối lượng một cách chính xác là đại lượng

21

chất. Nhưng điều này được giải thích là do vào thời điểm đó người ta tin rằng tất cả các chất đều bao gồm các nguyên tử hoàn toàn giống nhau, chỉ chuyển động theo những cách khác nhau. Do đó, cùng một khối lượng chứa cùng một lượng chất. Ý nghĩa thực sự của khối lượng là như vậy và chỉ có khối lượng đó mới là thước đo quán tính của các vật thể. Khối lượng không có ý nghĩa nào khác trong cơ học Newton.

Khối lượng trong lý thuyết tương đối (Phụ lục)

Vào đầu thế kỷ này, Einstein đã tạo ra cái gọi là lý thuyết đặc biệt về tương đối, tạo nên một cuộc cách mạng trong vật lý không kém phần quan trọng so với cơ học Newton vào thời đó. Nó ảnh hưởng đến toàn bộ vật lý, và cơ học cũng không ngoại lệ. Lý thuyết tương đối cho thấy các định luật cơ học của Newton chỉ đúng một cách gần đúng. Đặc biệt, công thức (1) do chúng tôi đưa ra không hoàn toàn chính xác. Nếu hai vật tương tác như trong Hình 2, b, đồng thời thu được gia tốc $a_1$ và $a_2$, thì trong tác dụng của vật rắn, không phải hệ thức $|\vec{a}_2|/|\vec{a}_1|$ không đổi mà là hệ thức

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

trong đó $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ là vận tốc tương ứng của vật thứ nhất và vật thứ hai, $c$ là một đại lượng không đổi có thứ nguyên là tốc độ và bằng $3.10^8$ m/s (cùng giá trị của tốc độ ánh sáng!).

Hệ quả của mối quan hệ này còn gắn liền với tính chất quán tính của các vật thể, biểu thị bằng khối lượng của chúng. Vì vậy, chúng ta có thể viết lại, bây giờ biểu thị khối lượng của các vật bằng $m'_1$ và $m'_2$:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

Viết lại công thức như sau:

$$\frac{|\vec{a}_1|}{\sqrt{1-v_2^2/c^2}} = \frac{m'_2}{m'_1}.$$

So sánh công thức (4) và (2), chúng ta thấy rằng khối lượng $m'_1$ và $m'_2$, được thảo luận trong lý thuyết tương đối, và lý thuyết Newton

22

khối lượng Nova $m_1$ và $m_2$ có liên quan với nhau bởi các mối quan hệ

$$m_1' = \frac{m_1}{\sqrt{1 - v_1^2/c^2}}, \quad m_2' = \frac{m_2}{\sqrt{1 - v_2^2/c^2}}.$$

Chúng chứng tỏ rằng khối lượng của một vật không phải là một giá trị không đổi chút nào - nó phụ thuộc vào tốc độ của vật và tăng dần khi tốc độ tăng dần. Và cũng như tốc độ là một đại lượng tương đối và thay đổi khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác, khối lượng cũng là một đại lượng tương đối.

Tuy nhiên, khi tốc độ của vật rất nhỏ so với tốc độ ánh sáng $c$, thì như có thể thấy từ công thức (5), chúng ta có thể giả sử rằng $m_1' = m_1$ và $m_2' = m_2$. Điều này có nghĩa là khối lượng Newton $m_1$ và $m_2$ là khối lượng quán tính chuyển động chậm, trong giới hạn của vật đứng yên. Chúng được gọi là khối lượng nghỉ. Trong cơ học Newton, quán tính của một vật được biểu thị bằng khối lượng nghỉ, đây thực sự là một đặc tính không thay đổi của vật.

Những tốc độ gặp phải trong thực hành kỹ thuật thông thường luôn nhỏ hơn nhiều so với tốc độ ánh sáng. Hơn nữa, tốc độ của các vệ tinh nhân tạo và tàu vũ trụ của Trái đất (lên tới 40.000 km/h), thậm chí cả tốc độ của Trái đất khi nó chuyển động quanh Mặt trời (108.000 km/h) là quá nhỏ để ảnh hưởng của tốc độ đến khối lượng, và chúng ta có thể giả sử rằng khối lượng của các vật chuyển động với tốc độ như vậy vẫn là khối lượng nghỉ không đổi và không thay đổi. Chỉ có cái gọi là hạt cơ bản mới có thể chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng. Sau đó và chỉ

Tôi nên làm gì?

Ở một số trường, ở một số trường, tôi đang tìm kiếm một nhân vật cho chức năng $f(x) = \sin x \cdot \cos x$.

Và hai đáp số đã được nhận:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x.$$

Vì mọi người đều tin rằng họ đã tìm được nguyên hàm giống nhau nên đẳng thức xuất hiện trên bảng

$$\frac{1}{2} \sin^2 x = -\frac{1}{2} \cos^2 x,$$

nó nhanh hơn ở đâu?

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 0,$$

hoặc, nói một cách đơn giản;

$$1 = 0.$$

Cần phải loại bỏ từng lớp vô nghĩa như vậy và nhận được đáp số được viết khác đi:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C.$$

Tuy nhiên, sự bình đẳng lại xuất hiện trên bảng

$$\frac{1}{2} \sin^2 x + C = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C,$$

từ đó, sau khi trừ $C$, chúng ta lại nhận được $1 = 0$.

Và sau đó đáp số được viết rất cẩn thận:

$$F_1(x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C_1$$

$$F_2(x) = -\frac{1}{2} \cos^2 x + C_2.$$

Nhưng các hằng số này có thể là bất kỳ số nào, kể cả những số giống nhau. Và một lần nữa sự bình đẳng lại xuất hiện trên bảng

$$\frac{1}{2} \sin^2 x + 1979 = -\frac{1}{2} \cos^2 x + 1979,$$

từ đó, sau khi trừ đi 1979, chúng ta lại nhận được $1 = 0$.

Ở ngôi trường đó, trong lớp học đó, cuối cùng họ đã học được những gì bạn có thể và không thể viết khi giải quyết nguyên hàm. Còn bạn thì sao?

V. Ryzhik

23

Bổ sung các dao động vuông góc lẫn nhau

Bài viết này thảo luận về các thí nghiệm khá đơn giản trong đó bạn có thể làm quen với việc cộng hai dao động vuông góc lẫn nhau. Cố gắng tự mình thực hiện các thí nghiệm được đề xuất và giải thích kết quả thu được.

I. Đóng một chiếc đinh vào phía trên khung cửa. Nằm xuống theo anh, tạo hình móc câu cho anh. Buộc một sợi (dây) mỏng, chắc, không xoắn dài 1,4-1,6 m vào móc. Buộc một vật nặng nặng 0,5-0,6 kg vào đầu sợi chỉ tự do.

Bạn sẽ nhận được cái gọi là matnik toán học. Đối với những sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng (cũng như đối với các giá trị quy định về chiều dài của sợi và khối lượng của vật nặng), các dao động của ma trận có thể được coi là điều hòa.

Sử dụng đồng hồ bấm giờ hoặc kim giây của đồng hồ đeo tay, xác định chu kỳ dao động của ma trận.

nick trong mặt phẳng khung cửa (ta sẽ gọi là mặt phẳng chính). Lặp lại thí nghiệm, làm cho ma trận dao động với cùng biên độ trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chính (gọi là mặt phẳng vuông góc). Đảm bảo rằng các giá trị tìm thấy của chu kỳ dao động trong cả hai dịch vụ thực tế trùng khớp.

Bây giờ hãy thực hiện các thí nghiệm về phép cộng hai dao động đã cho. Đầu tiên, làm cho ma trận dao động với biên độ 20-25 cm trong mặt phẳng chính dọc theo trục X. Sau đó đẩy vật nặng (ví dụ dùng búa) với mong muốn làm cho nó dao động trong mặt phẳng vuông góc dọc theo trục Y.

Bạn sẽ thấy chuyển động của tải sẽ thay đổi. Trước hết, tải sẽ di chuyển theo một quỹ đạo khác và quỹ đạo này được xác định bởi sự tương ứng giữa biên độ của các thành phần dao động và độ lệch pha ban đầu giữa chúng.

Những loại quỹ đạo nào xuất hiện? Đầu tiên chúng ta hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt. Giả sử bạn tác động vào tải vào thời điểm nó đi qua vị trí cân bằng thì tải sẽ dao động theo một đường thẳng tạo một góc nhất định với trục X (Hình 1).

Bây giờ tác động vào tải tại thời điểm nó dịch chuyển lớn nhất khỏi vị trí cân bằng - tải bắt đầu chuyển động dọc theo một hình elip (Hình 2). Nếu bạn đánh vào vị trí cực trị khác của tải (ở phía đối diện với vị trí cân bằng)

24

Novesiya), quỹ đạo của tải trọng vẫn là hình elip nhưng hướng chuyển động sẽ thay đổi theo hướng ngược lại.

Hóa ra là trong tất cả các trường hợp khác, tải trọng cũng sẽ chuyển động dọc theo một hình elip, và hướng chuyển động sẽ được xác định theo vị trí cực trị nào mà tải trọng gần nhất tại thời điểm va chạm. Hãy kiểm tra nó. Ngoài ra, hãy đảm bảo rằng chuyển động dọc theo bất kỳ quỹ đạo nào xảy ra với khoảng thời gian bằng khoảng thời gian của vị trí cực trị gần với tải trọng tại thời điểm va chạm.

Lưu ý rằng để thực hiện thành công các thí nghiệm được mô tả, cần phải có một số khóa đào tạo. Đặc biệt khó có thể tác động vào một tải ở vị trí cân bằng khi tốc độ chuyển động của tải được ghi nhận nhiều nhất:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
và dọc theo trục $Y$ - theo luật
$$y = y_m \cos (\omega t - \varphi_0).$$

Ở đây $x$ và $y$ là ma trận hỗn hợp của vị trí cân bằng, $x_m$ và $y_m$ là biên độ cực trị, $\omega$ là tần số cực trị tuần hoàn và $\varphi_0$ là độ lệch pha ban đầu.

Trong trường hợp cụ thể đầu tiên, khi cú đánh được thực hiện ở vị trí cân bằng, độ lệch pha $\varphi_0$ có thể bằng 0 hoặc $\pi$.

Nếu $\varphi_0 = 0$, các cực trị của ma trận được mô tả bằng các phương trình
$$x = x_m \cos \omega t$$
và $$y = y_m \cos \omega t.$$
Hãy chia phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất:
$$\frac{y}{x} = \frac{y_m}{x_m},$$
hoặc $$y = \frac{y_m}{x_m} x.$$

Đây là phương trình đường thẳng nghiêng với trục $X$ một góc $\alpha$ sao cho $\tg \alpha = \frac{y_m}{x_m}$. Đặc biệt, khi biên độ của các cực trị ($y_m = x_m$) $\tg \alpha = 1$ và $\alpha = 45^\circ$ bằng nhau.

Nếu $\varphi_0 = \pi$ thì phương trình của ma trận cực trị là:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi) = -y_m \cos \omega t.$$

Từ đây
$$\frac{y}{x} = -\frac{y_m}{x_m},$$
hoặc $$y = -\frac{y_m}{x_m} x.$$

Tại $y_m = x_m \tg \alpha = -1$ và $\alpha = 135^\circ$.

Trường hợp một phần thứ hai, khi tác động vào các vị trí cực trị của tải trọng, tương ứng với sự dịch pha $\pi/2$ hoặc $3\pi/2$. Đối với $\varphi_0 = \pi/2$ chúng ta có thể viết:
$$x = x_m \cos \omega t,$$
$$y = y_m \cos (\omega t - \pi/2) = y_m \sin \omega t.$$

Sau khi biến đổi đại số đơn giản, ta có:
$$\frac{x^2}{x_m^2} + \frac{y^2}{y_m^2} = 1.$$

Đây là một phương trình thực sự của một hình elip.
Tại $\varphi_0 = 3\pi/2$ kết quả vẫn như vậy.
Nếu $y_m = x_m$, hình elip biến thành hình tròn, phương trình của nó là
$$x^2 + y^2 = x_m^2.$$

Lưu ý rằng với sự dịch pha $\varphi_0 = \pi/2$, chuyển động của tải dọc theo hình elip (hoặc cụ thể là dọc theo hình tròn) xảy ra ngược chiều kim đồng hồ và với $\varphi_0 = 3\pi/2$ - theo chiều kim đồng hồ.

P. Hãy chuyển sang những thí nghiệm phức tạp hơn. Đóng một chiếc đinh khác vào ô cửa cách chiếc đinh đầu tiên 30-40 cm và uốn cong lại một chút. Treo vật nặng lên hai sợi dây gắn vào hai móc. Bạn sẽ nhận được một ma trận có hệ thống treo kép (hoặc hai sợi).

Chọn độ dài của các sợi ren sao cho khoảng cách từ tải đến ô cửa dài hơn các sợi của ma trận đơn giản mà bạn đã thực hiện loạt thí nghiệm đầu tiên.

Gọi điểm cực trị của ma trận trong mặt phẳng vuông góc và xác định bằng thực nghiệm chu kỳ cực trị của nó. Đảm bảo rằng khoảng thời gian được tìm thấy trên thực tế trùng với khoảng thời gian cực trị của ma trận toán học.

Sau đó quấn cả hai sợi chỉ bằng một vòng dây nhỏ và nâng vòng này lên cao nhất có thể (Hình 3). Ma trận thu được với sự pha loãng huyền phù có thể dao động cả trong phần chính và phần

25

vuông góc với mặt phẳng nhưng tần số dao động sẽ khác nhau. Điều này là do chu kỳ dao động của ma trận của chúng ta trong mặt phẳng chính được xác định bởi độ dài $l_1$ và trong mặt phẳng vuông góc - bởi độ dài $l_2$ (xem Hình 3). Vì $\omega = \sqrt{g/l}$ và $l_1 < l_2$, hóa ra tần số rung trong mặt phẳng chính lớn hơn tần số rung trong mặt phẳng vuông góc.

Một ma trận có hệ thống treo không liên kết sẽ hoạt động như thế nào nếu nó buộc phải dao động đồng thời theo hai hướng vuông góc với nhau?

Làm cho ma trận dao động trong mặt phẳng chính. Khi tải ở một trong các vị trí cực trị, hãy loại bỏ nó theo hướng vuông góc - ma trận cũng sẽ bắt đầu dao động trong mặt phẳng vuông góc. Cố gắng đảm bảo rằng biên độ của cả hai dao động trùng nhau.

Đầu tiên, tải di chuyển theo vòng tròn quanh trục thẳng đứng (Hình 4). Sau một thời gian, hình tròn sẽ biến thành hình elip. Trục chính của hình elip quay dần dần và trục nhỏ giảm dần, do đó đến một lúc nào đó hình elip co lại thành một đoạn. Sau đó tải lại di chuyển dọc theo hình elip, nhưng theo hướng ngược lại, sau một thời gian, hình elip biến thành hình tròn. Sau đó mọi thứ được lặp lại định kỳ. Đặc điểm là với mỗi lần chuyển hình elip sang đường thẳng thì hướng quay của tải sẽ thay đổi theo hướng ngược lại.

Hãy thử giải thích hành vi này của ma trận. Chúng ta hãy nhớ lại rằng tần số dao động của ma trận theo hai hướng vuông góc lẫn nhau là không giống nhau - trong mặt phẳng chính dọc theo trục $X$, tần số cao hơn một chút so với tần số vuông góc dọc theo trục $Y$. Điều này dẫn đến thực tế là độ lệch pha của dao động thay đổi dần dần theo thời gian (và không giữ nguyên không đổi, như trong phương vuông góc).

Giả sử rằng tại thời điểm ban đầu độ lệch pha dao động bằng $\pi/2$ - tải di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ (xem Hình 4, a). Theo thời gian, các dao động dọc theo trục $Y$ ngày càng giữ nguyên so với các dao động dọc theo trục $X$ - vòng tròn biến thành hình elip. Khi độ trễ đạt $\pi$, tải sẽ dao động theo đường thẳng, tạo một góc $135^\circ$ với trục $X$. Với độ lệch pha $3\pi/2$, tải sẽ lại chuyển động theo đường tròn nhưng theo chiều kim đồng hồ (xem Hình 4, b). Sau một thời gian, độ lệch pha giữa các dao động trở nên bằng $2\pi$, tức là các dao động sẽ trùng pha - tải sẽ chuyển động theo đường thẳng, nghiêng với trục $X$ một góc $45^\circ$. Cuối cùng, độ lệch pha sẽ lại tăng lên $\pi/2$ - tải, vì tại thời điểm ban đầu, tải di chuyển quanh vòng tròn ngược chiều kim đồng hồ. Và vân vân.

26

số 2 adic

Nếu bạn được hỏi cái gì có thể được gọi là “khoảng cách giữa hai số hữu tỷ”, thì sau khi suy nghĩ, có lẽ bạn nên trả lời đáp số: “khoảng cách giữa hai số nên được gọi là mô đun hiệu của chúng. Chúng ta thực hiện định nghĩa này một cách hợp lý - “khoảng cách” này thỏa mãn tất cả các tiên đề về khoảng cách (xem “Hình học 8”, đoạn 132). Nhưng hóa ra khoảng cách giữa các số hữu tỷ thỏa mãn tất cả các tiên đề có thể được tính theo một cách khác Cách này đã được thực hiện bởi nhà toán học người Đức K. Hansel (1861-1941) - ông thậm chí còn nghĩ ra cả một loại khoảng cách như vậy. Một trong số đó sẽ được thảo luận trong bài viết này.

Nghiên cứu của Hansel hóa ra rất quan trọng đối với đại số và toán học nói chung, và khoảng cách của ông sẽ giúp chúng ta giải hai bài toán, thoạt nhìn, không liên quan gì đến khoảng cách nào cả.

khoảng cách 2 adic

Cho $a$ và $b$ là các số hữu tỉ. Nếu $a \neq b$ thì chúng ta biểu thị số $a-b$ là $a-b = 2^k \cdot \frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là số lẻ và $k$ là số nguyên (dương, âm hoặc bằng 0). Khoảng cách 2 adic giữa các số $a$ và $b$, $a \neq b$, được gọi là số $\rho(a, b) = 1/2^k$. Nếu $a=b$ thì đặt $\rho(a, b) = 0$.

Chúng ta hãy nhớ lại các tiên đề về khoảng cách:

A1. $\rho(a, b) > 0$ nếu $a \neq b$ và $\rho(a, b) = 0$ nếu $a=b$.

A2. $\rho(a, b) = \rho(b, a)$.

A3. $\rho(a, c) \leqslant \rho(a, b) + \rho(b, c)$.

Thuộc tính A1 và A2 cho khoảng cách 2 adic, cũng như thuộc tính A3 trong trường hợp nếu trong số các số $a, b, c$ có những số bằng nhau, rất bằng nhau.

Hãy chứng minh tính chất A3 cho các số hữu tỉ khác nhau $a, b, c$. Đặt $a-b = 2^{k_1} \cdot \frac{m}{n_1}$, $b-c = 2^{k_2} \cdot \frac{m_2}{n_2}$, $a-c = 2^{k_3} \cdot \frac{m_3}{n_3}$, trong đó tất cả $m_i, n_i$ đều là số lẻ. Vì $a-c = (a-b) + (b-c)$ nên $k_3$ không nhỏ hơn số nhỏ hơn trong các số $k_1$ và $k_2$. Nhưng sau đó $\frac{1}{2^{k_3}}$ không vượt quá số lớn nhất trong số $\frac{1}{2^{k_1}}$ và $\frac{1}{2^{k_2}}$, và thậm chí còn hơn thế nữa $\frac{1}{2^{k_3}} \leqslant \frac{1}{2^{k_1}} + \frac{1}{2^{k_2}}$.

Vì vậy, chúng ta thấy rằng tất cả các tiên đề đều thỏa mãn, do đó $\rho$ thực sự có thể được gọi là khoảng cách.

Điều gì làm thay đổi khoảng cách này? Hóa ra nó làm thay đổi mức độ chia hết của một số hữu tỷ cho 2. Số càng chia hết cho 2 thì càng gần 0. Ví dụ: 8 gần 0 hơn 1/2; 16 gần 0 hơn 8; 480 gần 0 hơn 16; 384 gần bằng 0 hơn 480.

Trên thực tế, chúng ta đã chứng minh được rằng khoảng cách 2-adic có tính chất A3’, mạnh hơn tính chất A3. A3’. Khoảng cách $\rho(a, c)$ không vượt quá khoảng cách lớn hơn $\rho(a, b)$ và $\rho(b, c)$.

Căng thẳng 1. Chứng minh rằng nếu $\rho(a, b) \neq \rho(b, c)$ thì $\rho(a, c)$ bằng số lớn nhất trong các số $\rho(a, b), \rho(b, c)$, và nếu $\rho(a, b) = \rho(b, c) \neq 0$ thì $\rho(a, c) < \rho(a, b)$.

Tính chất A3’ dẫn tới những hệ quả thú vị. Cho ta biết rằng đường tròn 2 adic bán kính $r$ tâm $a$ (và một số hữu tỉ, $r$ là số thực dương) là tập hợp các số hữu tỉ $x$ thỏa mãn $\rho(a, x) < r$.

Căng thẳng 2. Chứng minh rằng nếu hai đường tròn 2 adic có giao điểm khác rỗng thì một trong hai đường tròn này chứa trong đường tròn kia.

27

3. Chứng minh rằng đường tròn 2-Adic bán kính $r$ chứa vô số đường tròn 2-Adic rời rạc từng cặp có bán kính $r$.

Bằng cách tương tự với mô hình thông thường của một số, chúng ta xác định mô đun 2 adic $\|a\|$ của một số hữu tỷ $a$ là khoảng cách 2 adic từ số này đến 0: nếu $a = 2^k \frac{m}{n}$, trong đó $m$ và $n$ là số lẻ thì $\|a\| = \rho(0, a) = \left(\frac{1}{2}\right)^k$. Thật dễ dàng để thiết lập các thuộc tính sau của mô-đun 2-adic:

M1. $\|a\| > 0$ nếu $a \neq 0$ và $\|0\| = 0$.
M2. Nếu $\|a\| > \|b\|$ thì $\|a+b\| = \|a\|$, nếu $\|a\| = \|b\| \neq 0$ thì $\|a+b\| < \|a\|^*$.
M3. $\|ab\| = \|a\| \cdot \|b\|$.

Nhấn mạnh

4. Rút ra từ các thuộc tính M1–M3 các thuộc tính sau của mô-đun 2-adic:

a) $\|a\| = \|a\|$, b) nếu $\|a\| \neq \|b\|$, thì $\|a-b\| = \|a+b\|$.
5. Chứng minh rằng nếu $\|1-x\| < 1$ và $\|1-y\| < 1$ thì $\|1-xy\| < 1$.

Bài toán về một hình vuông

Hình 1 cho thấy một hình vuông được chia thành các hình tam giác tròn. Các hình vuông ở Hình 2 được chia thành các hình tam giác có diện tích bằng nhau. Trong mỗi ví dụ này, số lượng hình tam giác trong phân vùng là số chẵn.

Bài toán a. Chứng minh rằng không thể chia một hình vuông thành số lẻ các hình tam giác có diện tích bằng nhau.

Chúng ta hãy chọn hệ tọa độ trên mặt phẳng sao cho các đỉnh $O, A, B$ và $C$ của một hình vuông đã cho có tọa độ $O(0; 0), A(1; 0)$,

$\cdot$ Dù sao thì $\|a+b\| \leq \|a\| + \|b\|$.

$B(1; 1), C(0; 1)$. Giả sử hình vuông được chia thành $n$ hình tam giác có diện tích bằng nhau. Khi đó diện tích của mỗi hình tam giác trong phân vùng bằng $1/n$. Nếu $n$ là số lẻ thì $\|1/n\| = 1$ và nếu $n$ là số chẵn thì $\|1/n\| \geq 2$. Do đó, tính chẵn lẻ của $n$ sẽ được chứng minh nếu chúng ta thiết lập $\|1/n\| \geq 2$ đó.

Hãy xem xét một trường hợp đặc biệt. Đặt các đỉnh của các tam giác phân chia là các điểm có tọa độ hữu tỉ. Trong trường hợp này, mỗi đỉnh $(x; y)$ có thể được tô màu xanh lục, đỏ hoặc xanh lam theo quy tắc sau: nếu $\|x\| < 1$ và $\|y\| < 1$ thì điểm có màu xanh lục; nếu $\|x\| \geq \|y\|$ và $\|x\| \geq 1$ thì điểm đó có màu đỏ; nếu $\|x\| < \|y\|$ và $\|y\| \geq 1$ thì điểm đó có màu xanh lam (xem Hình 3). Chúng ta sẽ giả sử rằng không chỉ các đỉnh được tô màu mà còn tất cả các điểm hữu tỷ của mặt phẳng.

Bài tập 6. a) Chứng minh rằng nếu $P$ là điểm màu lục thì khi $\overrightarrow{PO}$ ($O$ là gốc tọa độ) cắt song song thì mỗi điểm màu giữ nguyên màu của nó.

6. Chứng minh rằng không có đường thẳng nào chứa điểm đủ ba màu.

Giả sử rằng một trong các hình tam giác trong phân vùng có tất cả các đỉnh có màu khác nhau (phụ lục đã chứng minh rằng một hình tam giác như vậy phải tồn tại). Đặt $K$ là đỉnh màu xanh lục của tam giác này.

Với giao điểm song song của $\overrightarrow{KO}$, bằng bài tập ba, chúng ta lại thu được một hình tam giác có các đỉnh có cả ba màu. Chúng ta hãy biểu thị bằng $L_1(x_1, y_1)$ đỉnh màu đỏ của tam giác thu được và $L_2(x_2, y_2)$ đỉnh màu xanh lam của nó (màu xanh lá cây

28

đỉnh của tam giác này là điểm $O$). Vì tam giác $OL_1L_2$ thu được bằng cách dịch song song tam giác phân vùng nên diện tích của nó bằng $1/n$. Mặt khác, diện tích tam giác $OL_1L_2$ là $1/2|x_1y_2-x_2y_1|$. (Hãy tự chứng minh điều đó.)

Vì vậy, chúng ta có được đẳng thức $1/n=1/2|x_1y_2-x_2y_1|$. Bây giờ không khó để thiết lập bất đẳng thức $\left\|\frac{1}{n}\right\| \geq 2$. Thật vậy, vì $L_1$ là chấm đỏ và $L_2$ là chấm xanh lam, nên $\|x_1\| \geq \|y_1\|$, $\|x_2\| < \|y_2\|$.

Thay đổi các bất đẳng thức này, chúng ta nhận được $\|x_1\| \|y_2\| > \|x_2\| \|y_1\|$, và do đó, theo tính chất $M3$ $\|x_1y_2\| > \|x_2y_1\|$. Do tính chất $M2$ và bài tập 46) $\|x_1y_2\| = \|x_1y_2\|$. Ngoài ra, $\|x_1\| \geq 1$, $\|y_2\| \geq 1$, vậy $\|1/n\| = 2\|x_1\| \|y_2\| \geq 2$.

Để giải bài toán trong trường hợp tổng quát, chỉ cần chứng minh rằng mô hình 2-Adic có phần mở rộng của tập hợp tất cả các số thực là đủ, tức là có một hàm $x \rightarrow \|x\|$ được xác định trên tập hợp tất cả các số thực, có tính chất $M1-M3$ và trùng với mô hình 2-Adic trên tập hợp các số khác nhau. Chức năng như vậy của thực tế tồn tại, nhưng bằng chứng về sự tồn tại của nó đòi hỏi thành phố phải sử dụng các phương tiện phức tạp hơn những phương tiện mà chúng tôi có trong bài viết này.

phân hủy 2-adic

Như bạn đã biết, bất kỳ số tự nhiên nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy ​​thừa của 2. Ví dụ: $1000 = 2^3+2^5+2^6+2^7+2^8+2^9$. Sử dụng phép xét 2-adic, việc khai triển này có thể thu được như sau. Trước tiên, chúng ta tìm lũy thừa của 2 có cùng khoảng cách từ 0 đến số 1000. Tìm lũy thừa này $(2^3)$, trừ nó khỏi số 1000 để được số 2, có cùng khoảng cách với 0. Sau đó, chúng ta tìm lũy thừa của 2 có cùng khoảng cách với 0 với số $960 = 992-2^5$, v.v.

29

Sử dụng lũy ​​thừa âm của 2, chúng ta có thể thu được các khai triển tương tự của các số hữu tỉ có dạng $\frac{m}{2^k}$, trong đó $m$, $k$ là các số tự nhiên. Ví dụ,

$$\frac{1477}{256} = \frac{1 + 2^2 + 2^8 + 2^7 + 2^8 + 2^{10}}{2^8} = 2^{-8} + 2^{-6} + 2^{-2} + 2^{-1} + 2^0 + 2^2.$$

Không có số hữu tỉ nào khác có thể được biểu diễn dưới dạng tổng lũy ​​thừa của hai, nhưng hóa ra những tổng như vậy có thể xấp xỉ bất kỳ số hữu tỉ nào một cách chính xác như mong muốn. Thật vậy, giả sử $a$ là một số hữu tỉ và $\|a\| = \frac{1}{2^{k_1}}$. Vì vậy $a_1 = a - 2^{k_1}$. Khi đó $a_1$ gần 0 hơn $a$ (xem bài tập 1).

Pozny là $a_1 = 0$ hoặc $\|a_1\| = \frac{1}{2^{k_2}}$, trong đó $k_2 > k_1$. Polya $a_2 = a_1 - 2^{k_2}$, chúng ta lại nhận được $a_2 = 0$ hoặc $\|a_2\| = \frac{1}{2^{k_3}}$, trong đó $k_3 > k_2$, v.v. Do đó, một số $a_s$ bằng 0 và khi đó $a$ là tổng lũy ​​thừa của hai: $a = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s}$ hoặc tất cả $a_s$ đều khác 0, sau đó tổng có dạng $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s}$ gần đúng với số $a$ chính xác như mong muốn. Trong trường hợp này, thật thuận tiện khi giả sử rằng $a$ bằng tổng vô hạn $a = 2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_s} + \dots$.

Sự định nghĩa. Cho $x_1, x_2, \dots, x_n$ là một dãy số hữu tỉ. Chúng ta sẽ nói rằng số hữu tỉ $a$ bằng tổng vô hạn $x_1 + x_2 + \dots + x_n + \dots$ nếu phép xét 2 adic giữa số $a$ và tổng hữu hạn $S_n = x_1 + \dots + x_n$ tiến tới 0 vì $n$ tiến tới vô cùng, tức là

$$\lim_{n \to \infty} \rho(a, S_n) = 0.$$

Trong thực tế, nếu $\|q\| < 1$ thì tổng vô hạn $a + aq + aq^2 + \dots + aq^n + \dots$ được xác định và bằng $\frac{a}{1 - q}$.

Chúng tôi đã chứng minh rằng mọi số hữu tỷ đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_n}$ ($k_1 < k_2 < \dots < k_n$) hoặc dưới dạng tổng vô hạn $2^{k_1} + 2^{k_2} + \dots + 2^{k_n} + \dots$ ($k_i$ là số nguyên, $k_1 < k_2 < \dots$). Trong cả hai trường hợp, biểu diễn này, mà chúng ta gọi là phân tách 2-Adic của số $a$, có thể được viết là $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots + \varepsilon_{k+n} 2^{k+n} + \dots$, trong đó $k$ là một số nguyên và mỗi số $\varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots, \varepsilon_{k+n}, \dots$ bằng 0 hoặc 1, với $\varepsilon_k = 1$. Các số $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \dots$ được gọi là chữ số 2 adic của số $\frac{p}{q}$. Không khó để chứng minh rằng mọi số hữu tỷ đều có một và chỉ một phân tích 2 adic.

Bài tập 8. Chứng minh rằng $-1 = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^n + \dots$,

$$\frac{1}{6} = 2^{-1} + 1 + 2^2 + 2^4 + \dots + 2^{2n} + \dots$$

Theo Bài tập 8, các chữ số 2 adic - 1 tạo thành dãy 1, 1, 1, …, và các chữ số 2 adic của số $\frac{1}{6}$ tạo thành dãy 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, … Cả hai dãy thu được đều tuần hoàn. Có thể chứng minh rằng với mọi số hữu tỉ $\frac{p}{q}$ thì dãy gồm 2 chữ số adic là tuần hoàn *).

Để làm điều này, hãy xem xét chuỗi số $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ được xác định bởi các đẳng thức $\frac{p}{q} - \varepsilon_k 2^k = \frac{a_1}{q} 2^{k+1}, \frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

$$\frac{p}{q} - (\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1}) + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} = \frac{a_2}{q} 2^{k+2}, \dots,$$

Bây giờ hãy lưu ý rằng phép phân tách 2-adic của số $\frac{p}{q}$ có thể thu được từ phép phân tách 2-adic của số $\frac{a_n}{q}$ bằng cách nhân mỗi số hạng với

*) Theo nghĩa tương tự, một Periodine là một phân số thập phân biểu diễn một số hữu tỉ: một Periodine bắt đầu từ một vị trí nhất định.

30

phần mở rộng cuối cùng thành $2^{k+n}$ và thêm $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots + \varepsilon_{k+n-1} 2^{k+n-1}$ vào tổng kết quả.

Do đó, tính tuần hoàn của dãy $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots$ sẽ được thiết lập nếu chúng ta chứng minh rằng trong dãy $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ một số nào đó xuất hiện hai lần. Trên thực tế, dãy $a_1, a_2, \dots, a_n, \dots$ bị giới hạn và vì các số hạng của nó là số nguyên nên chắc chắn sẽ có các số bằng nhau trong số chúng. Giới hạn của dãy này được thiết lập bởi chuỗi bất đẳng thức sau:

$$|a_n| = \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| - \left( \frac{\varepsilon_k}{2^n} + \frac{\varepsilon_{k+1}}{2^{n-1}} + \dots \right)$$

$$\dots + \frac{\varepsilon_k}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2} \left| q \right| \leqslant \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| + \left( \frac{1}{2^n} + \frac{1}{2^{n-1}} + \dots + \frac{1}{2} \right) \left| q \right| \leqslant \left| \frac{p}{2^{k+n}} \right| + \left| q \right|.$$

U Pravanice 9. Sử dụng kết quả của Bài tập 7, chứng minh rằng nếu $\varepsilon_k, \varepsilon_{k+1}, \varepsilon_{k+2}, \dots$ là một dãy tuần hoàn gồm các chữ số 0 và 1, thì tổng vô hạn $\varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \varepsilon_{k+2} 2^{k+2} + \dots$ là phân tích 2 adic của một số hữu tỷ.

số 2 adic

Ngoài các khai triển tuần hoàn xác định các số hữu tỷ, chúng ta cũng có thể xem xét các khai triển không đạo hàm, coi như chúng xác định một số số mới. Những số này, cùng với các số hữu tỷ, tạo thành tập hợp $Q_2$, có các phần tử được gọi là số 2 adic.

Các phần tử từ $Q_2$ có thể được thêm theo cặp và một biến. Đây là cách nó được thực hiện. Hãy để $\alpha = \varepsilon_k 2^k + \varepsilon_{k+1} 2^{k+1} + \dots$ Chúng ta hãy viết $\alpha$ như một phân số vô hạn: $\alpha = \varepsilon_k \dots \varepsilon_0, \varepsilon_1 \varepsilon_2 \dots$.

Nếu có hai số từ $Q_2$ được viết theo cách này, thì tổng (sản lượng) của chúng phải được tính theo cách tương tự như tổng (sản lượng) của hai phân số vô hạn, nhưng có phép chuyển từ trái sang phải. (Ví dụ: xem Hình 4.) Chúng tôi không thể đi sâu vào vấn đề này chi tiết hơn và mời người đọc tự kiểm tra xem tổng và tích của các phần tử từ $Q_2$ lại cho một phần tử từ $Q_2$ và rằng các phép toán này có các tính chất chung cho phép nhân và phép cộng: chúng thỏa mãn các luật giao hoán, tổ hợp và phân phối.

Mô hình 2-adic và mở rộng đến $Q_2$:

$$\sum_{n \to \infty} x_n = 0, \text{ мо существуют}$$

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} x_k = 0.$$

Pravanica có 13. Chứng minh đủ điều kiện $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} x_k = 0.$

14. Chứng minh rằng tổng $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n! + \dots$ được xác định và tìm giá trị của nó.

15. Chứng minh rằng nếu $x \in Q_2$ và $\|x\| \leqslant \frac{1}{2}$ thì tổng $\frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n} + \dots$ được xác định.

logarit 2-adic

Cuối cùng, chúng ta sẽ tạo hình dạng tự nhiên hơn cho lời giải bài toán #434*.

Để làm điều này, hãy xem xét hàm $L(x) = \frac{x}{1} + \frac{x^2}{2} + \dots + \frac{x^n}{n} + \dots$ được xác định trên tập hợp số 2 adic $x$ có mô đun tối đa là $\frac{1}{2}$ (xem)

*) Để biết điều kiện của bài toán này, hãy xem «Kvant» số 12 cho năm 1977.

31

Với lời giải bài toán М434в chỉ cần chứng minh rằng $L(2)=0$ là đủ. Hãy giới thiệu một hàm khác bằng công thức $\log x=-L(1-x)$. Đẳng thức $L(2)=0$ có nghĩa là $\log(-1)=0$. Hàm logarit (được gọi là logarit 2 adicek) có tính chất cơ bản của logarit: $\log(xy)=\log x+\log y$. Từ tính chất này dễ dàng suy ra đẳng thức $\log(-1)=0$. Thật vậy, $\log 1=\log(1\times 1)=\log 1+\log 1=2\log 1$, từ đâu $\log 1=0$. Mặt khác, $\log 1=(\log(-1)\times(-1))=\log(-1)+\log(-1)=2\log(-1)$ và do đó $\log(-1)=0$. Logarit 2 adicec trong tập số 2 adicec đóng vai trò giống như logarit thường trong tập số thực. Logarit 2-adicec xác định những số $x$ mà $\|x\|=1$, vì trong trường hợp này là $\|1-x\| \leqslant \frac{1}{2}$. (Đặc biệt, chúng tôi xác định $\log(-1)$.) Đẳng thức mà lời giải dựa trên bài toán M434 trong «Kvant», trong giới hạn vì $n$ tiến tới vô cùng, có dạng $L(2x-x^2)-2L(x)=0$. Sự đẳng thức này cũng là hệ quả của tính chất cơ bản của logarit. Thật vậy, $L(2x-x^2)=-\log(1-x)^2=-2\log(1-x)=2L(x)$.

Bạn có thể làm quen với việc chứng minh tính chất chính của logarit 2 adicec và một số tính chất khác của số 2 adicec trong cuốn 3. I. Borevich và I. R. Shafarvich “Lý thuyết số”. Ngoài logarit, còn có các hàm tuyệt vời khác của biến 2 adice. Tuy nhiên, một trong những hàm này là hàm mũ - hàm được xác định bởi đẳng thức

$$\exp x=1+x+\frac{x^2}{2}+\dots+\frac{x^n}{n!}+\dots$$

Bài tập 16. Chứng minh rằng hàm mũ được xác định trên tập hợp các số có 2 vị trí $x$ thỏa mãn điều kiện tương tự như tính chất hàm mũ: $\exp(x+y)=\exp x\cdot\exp y$, $\exp(\log x)=x$, $\log(\exp x)=x$. (Những đẳng thức này hợp lệ đối với các giá trị của các biến mà chúng được xác định.)

Giống như việc xem xét 2-adiceco đã được xác định, việc sử dụng số nguyên tố tùy ý $p$ người ta có thể xác định việc xem xét $p$-adicece. Hóa ra là tất cả các cân nhắc giữa các số khác nhau đều tương đương với cân nhắc tổng quát hoặc một trong các cân nhắc $p$-Adicek. Nhưng đây là một chủ đề cho một câu chuyện khác.

Ứng dụng

Tất cả những gì chúng ta phải làm là chứng minh sự tồn tại của một tam giác có các đỉnh đủ ba màu. Hãy để chúng tôi xây dựng và chứng minh một tuyên bố tổng quát hơn:

Chia hình vuông OABC thành nhiều hình tam giác. Giả sử rằng các hình tam giác ở giữa được chia thành một hình có các đỉnh có cả ba màu, tức là trong mỗi hình tam giác được chia có hai đỉnh cùng màu. Vì mỗi liên kết nằm trên đường viền của hình vuông OABC nằm trên cạnh của một tam giác chia và mỗi liên kết nằm trên cạnh của hai tam giác chia, nên từ thực tế là mỗi tam giác chia có hai đỉnh cùng màu, suy ra rằng có một số chẵn liên kết loại 3K trên đường viền của hình vuông. Mặt khác, trên đoạn OC và BC không có liên kết nào như vậy, trên đoạn OA có số liên kết chẵn. Một sự mâu thuẫn đã thu được.

32

Vấn đề
Kwana

M546—M550; F558—F562

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường hiện tại. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Đã đăng, không phải tất cả bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 4 năm 1979 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35, B. Ordynka, 16/21, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Vấn đề Kwana số 2-79” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M546, M547” hoặc “F558”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Điều kiện của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản (hoặc chu kỳ bài toán), gán trong một phong bì riêng thành hai bản sao cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên phong bì vị trí: “Vấn đề Kwan, bài toán mới trong vật lý” hoặc “… mới bài toán trong toán học”)). Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học.

M546. Từ một điểm tùy ý $M$ của một vòng tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật, chúng ta thả các đường vuông góc $MP$ và $MQ$ lên hai cạnh đối diện của nó, và các đường vuông góc $MR$ và $MT$ lên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Chứng minh rằng các đường thẳng $PR$ và $QT$ vuông góc với nhau và giao điểm của chúng thuộc đường chéo của hình chữ nhật.

Vvede Shafaryan, học sinh lớp 10 (Yerevan)

M547. Để phương trình $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{n}$, trong đó $n$ là số tự nhiên, chỉ có lời giải trong các số tự nhiên $x, y$ thì điều cần và đủ là $n$ là số nguyên tố. Chứng minh điều đó.

A. Dantselyan

M548. a) Có 4 điểm trên đường tròn. Qua giữa dây nối hai điểm đó kẻ một đường thẳng vuông góc với dây nối hai điểm còn lại. (Một đường thẳng như vậy được vẽ cho mỗi cặp điểm.) Chứng minh rằng tất cả sáu đường thẳng dựng được đều đi qua một điểm.

6. Có 5 điểm trên một vòng tròn. Qua trọng tâm của ba trong số chúng (điểm giao nhau của các đường trung tuyến của tam giác với các đỉnh tại các điểm này) vẽ một đường thẳng vuông góc với dây nối các điểm còn lại. Chứng minh rằng cả 10 đường thẳng dựng được đều đi qua một điểm.

c) Tổng quát hóa các nhận định này cho trường hợp $n$ điểm.

A. Lopshitz

M549. Cho một số tự nhiên $N$. Hãy viết ra tất cả các ước của nó $d_1, d_2, \dots, d_n$ và với mỗi ước chúng ta sẽ tìm thấy nó có bao nhiêu ước. Chứng minh rằng kết quả $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ thỏa mãn đẳng thức

$$(a_1 + a_2 + \dots + a_n)^2 = a_1^3 + a_2^3 + \dots + a_n^3.$$