Kvant 1979, số 8 · Trang

KVANM 8
1979

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

37

Làm thế nào để đo khoảng cách giữa các điểm địa lý? Xét cho cùng, một số điểm trong số này rất quan trọng và có thể nói, bạn không hề thờ ơ với việc bạn đo khoảng cách đến Mytishchi từ điểm nào ở Moscow: kết quả có thể thay đổi gần như hai lần. Bạn có thể đọc về mối liên hệ giữa bức ảnh trên trang bìa này và vấn đề được đề cập ở trang. 37

Được thành lập vào năm 1970
Quaim
8
1978

khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính
văn học vật lý và toán học

Trong phòng:

3. Tổng biên tập Viện sĩ I.K. Kioin
4. Phó Tổng biên tập thứ nhất Viện sĩ A. N. Kolmogorov
5. Phó Tổng biên tập thứ nhất Viện sĩ A. N. Kolmogorov
6. Tuyển tập biên soạn:
   M. I. Bashmkov
   S. T. Bellev
   V. G. Boltyansky
   N. V. Vasiliev
   Yu. N. Efremov
   V. G. Zubov
   P. L. Kapitsa
   V. A. Kirillin
   A. I. Klimanov
   S. M. Kozel
   V. A. Leshkovtsev (phó tổng biên tập)
   L. G. Makar-Limanov
   A. I. Markushevich
   N. A. Patrikeeva
   I. S. Petrkov
   N. Kh. Rozov
   A. P. Savin
   I. SH. SLOBODETSKY
   M. L. Smolyansky (phó tổng biên tập)
   Y. A. Smorodinsky
   V. A. Fabricant
   A. T. Tsvetkov
   M. P. Shaskolskaya
   S. I. Schwartzburg
   A. I. Shirshov

Trong phòng:

E. Kuzmin, A. Shirshov. Về số e
A. Giữa. Tính toán không có tính toán
P. Vinokur. Brownie, thầy phù thủy và… máy cộng hưởng Helmholtz
A. Virsky, A. Zvonikin. Hình bầu dục, hình số tám, hai hình bầu dục…
S. Berkolaiko. Intergal giúp chứng minh bất đẳng thức Cauchy

Phòng thí nghiệm “Lượng tử”
V. Mayer. Thí nghiệm với một thìa nước dùng

vòng tròn toán học
A. Lopshitz. Vector lời giải ảnh hưởng bài toán

Cuốn sách vấn đề “Quanta”
Bài toán M576—M580; F588—F592
Lời giải bài toán M521—M527; F533—F536

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. Savin. Câu đố vui
Những bức tranh mới cho kính vạn hoa

Đánh giá, thư mục
N. Rozov. Có tính đến chuyên môn
V. Boltyansky, M. Smolyansky. Qua những trang sách mới
E. Levitan. Hướng dẫn về Mê cung ngôi sao

Thông tin
V. Bolshakov. Quan điểm kỹ thuật lâu đời nhất của đất nước
E. Marchenko. Trường thông tin tại NSU
A. Vasiliev. Trường thể chất buổi tối

Đáp số, gợi ý, lời giải
Bìa của chúng tôi (tr. 36, 37)
Trộn (tr. 8, 17, 25, 35, 37)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant», 1979

2

Alexey Ivanovich Markushevich

Ngày 4 tháng 6 năm 1979, thọ 72 tuổi, thành viên ban biên tập tạp chí «Kvant», nhà toán học và giáo viên nổi tiếng Liên Xô, nhà tổ chức giáo dục công nổi tiếng ở nước ta, thành viên CPSU, viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô, giáo sư Đại học Mátxcơva, Alexei Ivanovich Markushevich, qua đời.

A. I. Markushevich sở hữu một số lượng lớn các bài báo, chuyên khảo và sách giáo khoa về lý thuyết hàm biến phức, về lịch sử và phương pháp toán học. A. I. Markushevich dành nhiều sự quan tâm cho việc phổ biến khoa học. Ông là tác giả của một số cuốn sách dành cho học sinh: “Diện tích và logarit”, “Số phức và ánh xạ tuân thủ”, “Chuỗi lặp lại”, “Chuỗi”, v.v. Với sự tham gia tích cực của ông, các ấn phẩm nổi tiếng như “Bách khoa toàn thư dành cho trẻ em”, “Bách khoa toàn thư về toán tiểu học”, “Lịch sử toán học Nga” đã được biên soạn và xuất bản. Alexey Ivanovich đóng vai trò quan trọng trong việc tổ chức tạp chí khoa học và toán học nổi tiếng «Kvant» và với tư cách là thành viên ban biên tập kể từ khi thành lập tạp chí, ông đã liên tục hỗ trợ đáng kể cho việc xuất bản của tạp chí. A. I. Markushevich đã có đóng góp đáng chú ý cho sự phát triển của trường học và khoa học sư phạm Liên Xô, làm việc trong nhiều năm với tư cách là Thứ trưởng Bộ giáo dục thứ nhất của RSFSR, phó chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm của RSFSR và Học viện Khoa học Sư phạm của Liên Xô.

3

Về số e

1. e là gì?

Ở trường, ngay từ lớp 5, bạn đã được làm quen với số π, con số này có lịch sử rất lâu đời, khởi đầu của nó đã bị thất lạc trong sương mù thời gian, trong thế giới cổ đại *). Rồi bạn gặp anh ấy vào năm lớp tám, lớp chín, lớp mười. Bạn chỉ bắt gặp số e vào cuối năm lớp mười. Tuy nhiên, con số đáng chú ý này, được đưa vào sử dụng vào thế kỷ 18 cùng với sự phát triển của giải tích toán học, gần như đóng một vai trò quan trọng hơn trong toán học hiện đại.

Trong sách giáo khoa của trường có hai định nghĩa về số e. Trong trường hợp thứ hai (chúng ta không cần số thứ nhất), số e là giới hạn của dãy $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Hãy chứng minh rằng giới hạn này tồn tại.

Bổ đề 1. Với mọi m, n

$$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m+1}.$$

(1)

bất đẳng thức (1) rất dễ chứng minh bằng bất đẳng thức Cauchy nổi tiếng:

$$\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n} < \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n},$$

(2)

trong đó $a_1, a_2, \dots, a_n$ là các số dương, trong đó có các số khác nhau**). Từ (2)

$$\sqrt[n]{1 + \frac{1}{n}} \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)^{m+1} < \frac{n \left(1 + \frac{1}{n}\right) + (m+1) \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)}{m+n+1} = 1,$$

từ đâu $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \left(1 - \frac{1}{m+1}\right)^{m+1} < 1$$ và $$\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m+1}.$$

Bổ đề 2. Dãy số $(x_n)$ tăng dần.

Bằng chứng. Chúng ta hãy biểu thị $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n+1$ bằng $y_n$. Theo Bổ đề 1, $x_{n(n+2)} < y_{n+1}$, đó là

$$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^{n(n+2)} < \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2}.$$

*) Nhiều chi tiết thú vị về số π có thể được tìm thấy trong cuốn sách của F. Kymen và “Lịch sử của số π” (M., “Nauka”, 1971). Xem thêm bài viết của A. Zvonkin “Pi là gì?” («Kvant», 1978, số 11).

**) Hãy thử tự mình chứng minh điều đó. Bạn cũng có thể đọc bằng chứng của anh ấy trên trang. 26.

4

Có nghĩa,

$$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^n < 1 + \frac{1}{n+1}.$$

Vì vậy, $$\left(1 + \frac{1}{n(n+2)}\right)^n = \frac{(n+1)^2n}{n^n(n+2)^n} < \frac{n+2}{n+1}.$$

Vì vậy $$\left(\frac{n+1}{n}\right)^n < \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}$$ hoặc $$x_n < x_{n+1}.$$

Từ Bổ đề 1, 2 và định lý Weierstrass suy ra rằng dãy $(x_n)$ có giới hạn. Ký hiệu $e$ cho giới hạn này được đưa ra bởi L. Euler (1707–1783).

Bài tập. Chứng minh rằng $$\lim_{n \to \infty} y_n = e$$ và với mọi $m, n$

$$x_n < e < y_m.$$

Số $e$ cũng có thể được định nghĩa là giới hạn của chuỗi $s_n = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!}$. Hãy chứng minh điều đó. Theo công thức Newton

$$x_n = 1 + n \cdot \frac{1}{n} + \frac{n(n-1)}{2!} \cdot \frac{1}{n^2} + \dots + \frac{n(n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)}{k!} \cdot \frac{1}{n^k} + \dots + \frac{1}{n^n} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots + \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \times \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{k-1}{n}\right) \times \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{n-1}{n}\right).$$

(Từ (3), cũng rõ ràng là dãy $(x_n)$ đang tăng dần.) Bằng cách loại bỏ các thừa số trong ngoặc đơn, chúng ta sẽ tăng từng số hạng ở vế phải của đẳng thức (4). Do đó, $x_n < s_n$ (tại $n > 1$).

Bây giờ chúng tôi sửa một $k > 1$ tùy ý. Giả sử rằng $n > k$, chúng tôi loại bỏ tất cả các số hạng ở vế phải của đẳng thức (3), bắt đầu bằng $(k+2)$. chúng tôi nhận được

$$x_n > 1 + 1 + \frac{1}{2!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) + \dots + \frac{1}{k!} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(1 - \frac{2}{n}\right) \dots \dots \left(1 - \frac{k-1}{n}\right).$$

Đối với $n \to \infty$ (và cố định $k$), vế phải của bất đẳng thức (4) có xu hướng $s_k$. Vượt qua giới hạn của bất đẳng thức (4), ta thu được $e \geqslant s_k$. Vì vậy, $x_n < s_n \leqslant e$. Từ $$\lim_{n \to \infty} x_n = e$$ chúng ta nhận được $$\lim_{n \to \infty} s_n = e.$$ Do đó,

$$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{n!} + \dots.$$

Chuỗi $(s_n)$ thuận tiện hơn nhiều khi sử dụng để tính các giá trị gần đúng của số $e$ so với chuỗi $(x_n)$. Hãy ước tính sự khác biệt $e - s_n$. Từ (5)

$$e - s_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+2)!} + \dots =$$

$$= \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)(n+3)} + \dots \right] <$$

$$< \frac{1}{(n+1)!} \left[ 1 + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{(n+2)^2} + \dots \right] =$$

$$= \frac{1}{(n+1)!} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{n+2}} = \frac{n+2}{(n+1)^2 \cdot n!} < \frac{1}{n \cdot n!}.$$

Kết quả thu được có thể viết dưới dạng đẳng thức

$$e = s_n + \frac{\theta_n}{n \cdot n!} \quad (0 < \theta_n < 1).$$

Từ (6) dễ dàng suy ra tính vô tỷ của số $e$. Thật vậy, giả sử rằng $e = \frac{p}{q}$. thì $q!e$ là một số nguyên. Từ (6) tại $n=a$

$$q!e = q! + q! + \frac{q!}{2!} + \dots + \frac{q!}{q!} + \frac{\theta_q}{q}.$$

Hóa ra $\frac{\theta_q}{q}$ là một số nguyên, rõ ràng là sai. Đây là chữ số thập phân đầu tiên của số $e$.

$$e = 2,718281828459045\dots$$

2. Vấn đề về phân vùng

Con số $e$, con cưng của giải tích toán học và lý thuyết hàm số, xuất hiện khá bất ngờ trong một số bài toán tổ hợp. Hãy xem xét một bài toán như vậy.

Hãy bắt đầu với một ví dụ. Tập hợp hai phần tử $\{a_1, a_2\}$ có thể được phân chia thành các tập con rời rạc (khi nói về phân vùng, chúng được gọi là các lớp) theo hai cách: đây là phân vùng “từng phần đất” $\{a_1\}, \{a_2\}$ và phân vùng “số nguyên” suy biến $\{a_1, a_2\}$. Các phân vùng tương tự tồn tại (cho $n>2$) cho bất kỳ bộ phần tử $n$ nào. Tại $n=3$, ba phân vùng nữa được thêm vào chúng (Hình 1).

Chúng ta hãy biểu thị số phân vùng của phần tử $n$ được đặt bởi $\tau(n)$ *).

Rõ ràng là $\tau(0) = \tau(1) = 1$. Như chúng tôi vừa lưu ý, $\tau(2) = 2$, $\tau(3) = 5$. $\tau(n)$ bằng bao nhiêu đối với $n$ tùy ý? Có thể chỉ ra một số công thức đơn giản cho $\tau(n)$ không?

Như thường thấy trong các bài toán tổ hợp, rất dễ tìm thấy mối quan hệ truy hồi liên quan đến $\tau(n)$ với các giá trị $\tau(k)$ của $k < n$.

Hãy để $M = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Chúng ta hãy sắp xếp tất cả các phân vùng của tập hợp $M$ tùy thuộc vào số lượng $k$ các phần tử của lớp trong đó phần tử $a_1$ nằm trong một phân vùng nhất định. Số $k$ có thể bằng 1,2,…,$n$. Đối với $k$ cố định, số lượng phân vùng như vậy rõ ràng bằng $C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k)$.

Vì vậy, $\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k)$. Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó

$$\sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}\tau(n-k) = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k-1}\tau(k).$$

Tất nhiên rồi,

$$\tau(n) = \sum_{k=0}^{n-1} C_{n-1}^{k-1}\tau(k).$$

Sử dụng công thức (7), dễ dàng tính được $\tau(4)=15$, $\tau(5)=52$, $\tau(6)=203$, $\tau(7)=877$, $\tau(8)=4140$—khi $n$ tăng, số $\tau(n)$ tăng nhanh.

*) Các số $\tau(n)$ được gọi là số Bell («Kvant», 1978, số 7).

6

Chúng ta sẽ sử dụng công thức truy hồi (7) để chứng minh một phát biểu yêu thích trong đó cần kiểm tra số $e$:

$$e \cdot \tau(n) = \frac{1^n}{1!} + \frac{2^n}{2!} + \dots + \frac{k^n}{k!} + \dots \quad (n \geqslant 1)$$

Bằng chứng. Hãy sử dụng phương pháp quy nạp toán học. Vì $n=1$ (8) đúng do (5). Bây giờ chúng ta giả sử rằng (8) đúng với mọi số nhỏ hơn một số $n$; Hãy chứng minh điều đó thì nó cũng đúng với $n$. Theo (5) và theo giả thuyết quy nạp, các đẳng thức sau đây đúng:

$$e \cdot \tau(0) = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots + \frac{1}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(1) = \frac{1}{1!} + \frac{2}{2!} + \dots + \frac{k}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(2) = \frac{1^2}{1!} + \frac{2^2}{2!} + \dots + \frac{k^2}{k!} + \dots$$

$$e \cdot \tau(n-1) = \frac{1^{n-1}}{1!} + \frac{2^{n-1}}{2!} + \dots + \frac{k^{n-1}}{k!} + \dots$$

(Các tổng vô hạn ở vế phải tất nhiên phải được hiểu là tổng một phần giới hạn.) Chúng ta hãy cộng các đẳng thức này theo từng số hạng với các hệ số tương ứng với $C_{n-1}^0, C_{n-1}^1, C_{n-1}^2, \dots, C_{n-1}^{n-1}$. Ở vế trái, theo (7), ta được $e \cdot \tau(n)$, ở vế phải

$$1 + \frac{\varphi(1)}{1!} + \frac{\varphi(2)}{2!} + \dots + \frac{\varphi(k)}{k!} + \dots$$

ở đâu $\varphi(t) = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 t + C_{n-1}^2 t^2 + \dots + C_{n-1}^{n-1} t^{n-1} = (1+t)^{n-1}$.

Kể từ đây,

$$e \cdot \tau(n) = 1 + \frac{2^{n-1}}{1!} + \frac{3^{n-1}}{2!} + \dots + \frac{(k+1)^{n-1}}{k!} + \dots = \frac{1^n}{1!} + \frac{2^n}{2!} + \frac{3^n}{3!} + \dots + \frac{(k+1)^n}{(k+1)!} + \dots$$

Q.E.D. Từ (8) chúng ta có được một công thức đẹp

$$\tau(n) = \frac{1}{e} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^n}{k!}$$

tuy nhiên, bất tiện cho việc tính $\tau(n)$. Dưới đây chúng ta sẽ thu được các công thức hữu hạn (không thông qua một chuỗi) đơn giản (theo nghĩa “không lặp lại”) để tính $\tau(n)$.

Chúng ta hãy gọi thứ hạng của một phân vùng nhất định bằng số lớp mà nó bao gồm. Chúng ta hãy biểu thị bằng $c_{n,k}$ số phân vùng xếp hạng $k$ của tập hợp phần tử $n$ $^*$. Rõ ràng, thứ hạng chỉ có thể lấy các giá trị $1,2,\dots,n$; Đó là lý do tại sao

$$\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} c_{n,k}.$$

Đối với $k>n$ chúng tôi đặt $c_{n,k}=0$.

Đối với các số $c_{n,k}$ dễ dàng có được quan hệ truy hồi. Hãy để $M=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}, M'=\{a_2,\dots,a_n\}$. Hãy chia các phân vùng của tập hợp

$$^*$$

*) Các số $c_{n,k}$ được gọi là số Stirling.

7

stva $M$ thứ hạng $k$ thành hai nhóm - thành các phân vùng chứa tập hợp một màu xanh lá cây $\{a_1\}$ như một lớp phân vùng và không chứa. Rõ ràng là có nhiều phân vùng thuộc loại đầu tiên bằng số phân vùng của tập hợp $M'$ thứ hạng $k-1$, đó là $c_{n-1,k-1}$; phân vùng loại thứ hai - trong $k$ gấp nhiều lần so với phân vùng của tập hợp $M'$ thứ hạng $k$ (yếu tố $a_1$ có thể được đặt trong bất kỳ $k$ thiết lập các lớp phân vùng $M'$), đó là $k \cdot c_{n-1,k}$. Vì vậy, khi $n > 1, k > 1$

$$c_{n,k} = c_{n-1,k-1} + k \cdot c_{n-1,k}. \tag{10}$$

Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó với $n \geqslant 1, k \geqslant 1$

$$c_{n,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!}. \tag{11}$$

Chúng ta hãy biểu thị thương số đúng lời giải (11) bằng $b_{n,k}$. Nếu $k=1$ thì $b_{n,1} = 1 = c_{n,1}$. Nếu $k > 1$ và $n=1$ thì

$$b_{1,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s}{s! (k-s-1)!} = \frac{1}{(k-1)!} \sum_{s=0}^{k-1} (-1)^s C_{k-1}^s = \frac{1}{(k-1)!} (1-1)^{k-1} = 0 = c_{1,k}.$$

Cuối cùng, nếu $k > 1$ và $n > 1$ thì

$$b_{n,k} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!} = \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-2} \cdot (k-s)}{s! (k-s-1)!} = k \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} + \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2} \cdot s}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + \sum_{s=1}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s+1 (k-s)^{n-2}}{s! (k-s-1)!} = k \cdot b_{n-1,k} + b_{n-1,k-1}.$$

Do đó, các số $c_{n,k}$ và $b_{n,k}$ thỏa mãn cùng một quan hệ rerent của dạng (10); Ngoài ra, “giá trị ban đầu” của chúng: cho $k=1$ (và bất kỳ $n \geqslant 1$) và cho $n=1$ (và bất kỳ $k \geqslant 1$) trùng khớp. Do đó (Hình 2), $c_{n,k} = b_{n,k}$ với mọi $n \geqslant 1$ và $k \geqslant 1$.

Từ (9) và (11)

$$\tau(n) = \sum_{k=1}^{n} \sum_{s=0}^{k-1} \frac{(-1)^s (k-s)^{n-1}}{s! (k-s-1)!}. \tag{12}$$

Chúng ta hãy biểu thị $k-s$ bằng $t$; thì $1 \leqslant t \leqslant n$. Đối với $t$ cố định trong tổng kép (12), $s$ có thể thay đổi từ 0 đến $n-t$. Thu thập các hệ số của $t^{n-1}$, chúng ta có thể sử dụng công thức (12) để chuyển nó về dạng

$$\tau(n) = \sum_{t=1}^{n} \left( \sum_{s=0}^{n-t} \frac{(-1)^s}{s!} \right) \frac{t^{n-1}}{(t-1)!}.$$

8

Các số $c_{n,k}$, vốn có ý nghĩa tổ hợp rõ ràng, bất ngờ xuất hiện trong một đại số bài toán gắn liền với các đa thức.

Đặt $x^{(1)} = x, x^{(2)} = x (x-1), x^{(3)} = x (x-1)(x-2)$, v.v. Các đa thức 1, $x^{(1)}, x^{(2)}, \dots, x^{(n)}$ có bậc 0, 1, 2, …, $n$ tương ứng. Do đó, bất kỳ đa thức bậc nào $x$ không cao hơn $n$ đều có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của các đa thức này (với một số hệ số). Đặc biệt,

$$x^n = a_{n,1}x^{(1)} + a_{n,2}x^{(2)} + \dots + a_{n,n}x^{(n)}$$

(13)

Đối với một số số $a_{n,k}$, $(n \geqslant 1, 1 \leqslant k \leqslant n)$. Đối với $k > n$ chúng tôi đặt $a_{n,k} = 0$. Hóa ra $a_{n,k} = c_{n,k}$. Hãy chứng minh điều đó.

Đặt $x = 1$ trong (13), chúng ta thu được $a_{n,1} = 1 = c_{n,1}$. Nếu $k > 1$ và $n = 1$ thì $a_{1,k} = 0 = c_{1,k}$. Bây giờ hãy đặt $k > 1$ và $n > 1$.

$$x^n = \sum_{k=1}^{n} a_{n,k} x^{(k)} = x \cdot x^{n-1} = x \cdot \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i)} \left[ (x-i) + i \right] =$$

$$= \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i)} (x-i) + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} \left[ x^{(i+1)} + ix^{(i)} \right] = \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} x^{(i+1)} +$$

$$+ \sum_{i=1}^{n-1} a_{n-1,i} ix^{(i)}$$

So sánh các hệ số tại $x^{(k)}$, ta thu được $a_{n,k} = a_{n-1,k-1} + k \cdot a_{n-1,k}$. Như trên, nó tuân theo $a_{n,k} = c_{n,k}$ cho tất cả $n, k$.

Luật pháp không có nó. Chứng minh đẳng thức:

$$\tau(n-1) = \sum_{t=0}^{n-1} (-1)^t C_{n-1}^t \tau(n-t).$$

HÃY TÍNH SỐ $e$

Chúng ta. 4 người ta đã chứng minh rằng số $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ bằng tổng của chuỗi $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Tuy nhiên, có thể chỉ định một chuỗi có tổng từng phần hội tụ về $e$ nhanh nhất so với tổng từng phần của chuỗi $1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dots$. Dưới đây là một số bài toán, cách giải mà với sự trợ giúp của một số phép tính, bạn sẽ học cách tính chính xác nhiều chữ số của số $e$.

1. Chứng minh rằng với $n \geqslant 2$ đẳng thức sau đúng:

$$1 + 1 + \frac{1}{2!} +$$

$$+ \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} +$$

$$+ \frac{1}{n \cdot n!} = 3 - \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2!} -$$

$$-\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 3!} - \dots - \frac{1}{(n-1) \cdot n \cdot n!}$$

Gợi ý. Áp dụng phương pháp quy nạp toán học.

2. Chứng minh rằng

$$e = 3 -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+2)!}$$

3. Chứng minh rằng

$$e = \frac{87}{32} -$$

$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!}$$

4. $e = \frac{87}{32} -$$$$- \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} -$$$$- R_k$. Đánh giá phần còn lại $R_k$.

5. Tính giá trị gần đúng của $e$, lấy mục tiêu của chuỗi (1) và ước tính độ chính xác của phép tính gần đúng.

6. Chứng minh rằng

$$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+4) \cdot (n+5) \cdot (n+5)!} < 0,00047.$$

G. Sorokin

A. Miedal

Tính toán
không cần tính toán

Nếu toán học là nghệ thuật tránh tính toán thì vật lý lý thuyết là nghệ thuật tính toán không có toán học.

Tuyên bố được đưa ra dưới dạng một đoạn văn phát sinh do tranh chấp giữa các nhà vật lý và toán học và cần được làm rõ. Hơn nữa, những phép tính đơn giản nhất trong vật lý không thể được thực hiện nếu không có toán học. Tuy nhiên, ở giai đoạn đầu tiên, giai đoạn quan trọng nhất trong công việc của nhà vật lý lý thuyết, khi bức tranh vật lý của hiện tượng được thiết lập, toán học lùi dần về phía sau và chỉ đóng vai trò phụ trợ. Nhưng trước khi nói về mối liên hệ giữa vật lý và toán học, bạn nên biết vật lý lý thuyết là gì.

I. CÁC NHÀ VẬT LÝ LÀM VIỆC NHƯ THẾ NÀO?

Các nhà thí nghiệm và lý thuyết

Có hai loại nhà vật lý - nhà thí nghiệm và nhà lý thuyết, và hai nghề này hầu như không bao giờ được kết hợp trong một người. Các nhà vật lý thực nghiệm nghiên cứu sự tương ứng giữa các đại lượng vật lý hay nói một cách trang trọng hơn là khám phá các quy luật tự nhiên bằng cách sử dụng các thiết lập thí nghiệm, nghĩa là đo các đại lượng vật lý bằng một dụng cụ. Để làm được điều này, bạn cần hiểu sâu sắc các hiện tượng đang được nghiên cứu để biết cái gì và cách đo lường. Nhà vật lý lý thuyết

10

nghiên cứu thiên nhiên chỉ sử dụng giấy và bút chì, nghĩa là mối quan hệ suy luận giữa các đại lượng có thể quan sát được, dựa trên các định luật lý thuyết và thực nghiệm đã được tìm thấy trước đó của tự nhiên. Lý do tách biệt hai quá trình này không chỉ vì mỗi quá trình đòi hỏi kiến ​​​​thức đặc biệt của riêng mình: kiến ​​thức về các phương pháp đo lường - trong một trường hợp, và sự thông thạo bộ máy tư duy toán học và các hình thức trực giác khác nhau. Trực giác, tức là khả năng nhận biết con đường đúng đắn, đóng một vai trò quan trọng, đặc biệt là trong giai đoạn đầu làm việc. Thật không may, năng khiếu trực giác không nảy sinh ngay lập tức mà là kết quả của sự làm việc chăm chỉ, như một phần thưởng cho lời giải của nhiều bài toán khoa học.

Vì vật lý lý thuyết đề cập đến những khái niệm trừu tượng hơn vật lý thực nghiệm nên vật lý lý thuyết đòi hỏi một dạng trực giác trừu tượng hơn, đôi khi gần với trực giác của toán học. Trong thế kỷ trước, khi vật lý chưa chuyên sâu đến vậy, nhiều nhà vật lý đã kết hợp cả hai quá trình. Do đó, Maxwell, người về mặt lý thuyết đã thu được các phương trình mô tả mọi hiện tượng điện từ, cũng tham gia vào các thí nghiệm. Hertz, người đã khám phá ra sóng điện từ bằng thực nghiệm, cũng là một nhà khoa học lý thuyết giỏi. Chưa hết, trong mỗi trường hợp, có thể chỉ ra đám rước nào là đám rước chính: đối với Maxwell, đó là vật lý lý thuyết, và đối với Hertz, đó là vật lý thực nghiệm.

Vào thế kỷ 20, một trong những ví dụ đáng chú ý nhất về nhà vật lý “phổ quát” - vừa là nhà lý thuyết vừa là nhà thực nghiệm - là Enrico Fermi. Cùng với nhiều công trình khác, Fermi đã tạo ra lý thuyết về sự phân rã phóng xạ và cùng với các nhà vật lý trong nhóm của ông đã phát hiện ra các nguyên tố phóng xạ nhân tạo thực nghiệm phát sinh khi bị neutron bắn phá.

Một ví dụ khác về một nhà lý thuyết xuất sắc gắn liền với thực nghiệm là Viện sĩ G.I. Nụ-

ker, người đã kết hợp vật lý lý thuyết với những ý tưởng kỹ thuật thay thế. Ông lãnh đạo việc phát triển lý thuyết và triển khai thực tế máy gia tốc sử dụng các chùm hạt tích điện va chạm tại Thị trấn Học viện Novosibirsk.

Tuy nhiên, đây là những trường hợp ngoại lệ hiếm hoi, và một người trẻ quan tâm đến vật lý phải tự mình quyết định mình chọn cách nào trong hai đám rước.

Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nói về công việc của các nhà vật lý lý thuyết.

Vật lý và toán học

Vì vậy, bài toán của một nhà vật lý lý thuyết là thu được mối quan hệ giữa các đại lượng có thể quan sát được bằng các phép tính toán học. Điều này không có nghĩa là vật lý lý thuyết là một cái gì đó của toán học ứng dụng sao? Quan điểm này là hoàn toàn sai lầm. Cả về bản chất của bài toán và phương pháp tiếp cận vấn đề, toán học và vật lý lý thuyết đều khác nhau về mặt phân loại.

Trong toán học, vai trò quan trọng nhất của các khía cạnh toán học, đó là tính không thể hoàn hảo về mặt logic của tất cả các kết luận phát sinh từ các tiên đề được chấp nhận và nghiên cứu về tất cả các mối quan hệ logic có thể có. Bài toán các nhà vật lý - để có được một bức tranh chính xác nhất có thể về thế giới mà không có “luật chơi” nghiêm ngặt, sử dụng tất cả các sự kiện lý thuyết và thực nghiệm đã biết, sử dụng những sự kiện cơ bản dựa trên trực giác của hợp đồng, sau này sẽ được kiểm tra bằng thực nghiệm. Do đó, một nhà toán học khám phá tất cả các loại hình học logic có thể có, trong khi một nhà vật lý tìm ra những mối quan hệ hình học nào được hiện thực hóa trong thế giới của chúng ta.

Một nhà toán học, ngay cả khi anh ta giải quyết các vấn đề ứng dụng, tức là, bài toán không đến từ toán học, chỉ xử lý lời giải những vấn đề bài toán không yêu cầu các mệnh đề bổ sung chưa được chứng minh. Theo quy luật, một nhà vật lý sẽ giải quyết các vấn đề trong đó không có đủ dữ liệu ban đầu.

11

chính xác cho lời giải, và nghệ thuật là đoán xem những mối quan hệ hiện thực còn thiếu về bản chất là gì. Đối với những hợp đồng này, không cần phải có trực giác toán học mà là trực giác vật lý.

Sự tự tin về vật lý có thể đạt được bằng cách thu được cùng một kết quả từ những câu đầu tiên khác nhau. Trong trường hợp này, cần phải làm nổi bật những tiên đề không cần thiết, logic, không cần thiết, bản thân mỗi tiên đề đó không hoàn toàn đáng tin cậy. Điều kiện duy nhất là giảm mức độ thuyết phục của một đề xuất và phải làm rõ đề xuất nào cần được xác minh thêm.

Nếu bất kỳ lĩnh vực vật lý nào đạt đến mức phát triển đến mức tất cả các kết quả của nó có thể được suy ra từ một số tiên đề thực nghiệm được thiết lập nghiêm ngặt, thì lĩnh vực này sẽ không còn là một phần của khoa học vật lý đang phát triển và sẽ được chuyển sang lĩnh vực toán học ứng dụng hoặc công nghệ. Đây là điều đã xảy ra với cơ học cổ điển.

Tất nhiên, sẽ rất hữu ích khi phân tích cấu trúc của một lý thuyết vật lý, nghĩa là tìm ra từ đó những mệnh đề ban đầu thu được những kết quả nhất định. Tuy nhiên, trọng tâm trong cách tiếp cận tiên đề như vậy không nằm ở tính tổng quát và cấu trúc toán học của các kết luận, mà nằm ở việc lựa chọn chính xác các đề xuất ban đầu và đánh giá đề xuất nào trong số chúng được kinh nghiệm xác nhận một cách đáng tin cậy nhất. Và điều này đòi hỏi trực giác của một nhà vật lý. Trong trường hợp công việc này được thực hiện bởi một nhà toán học thì ít nhất trong một thời gian, nó cần phải được thực hiện bởi một nhà vật lý lý thuyết. Nếu không, anh ta có nguy cơ thấy mình, theo lời của catrika hữu ích Letz, ở vị trí của một eximoca, người phát triển các quy tắc ứng xử cho cư dân Congo trong thời tiết nắng nóng.

Vì vậy, toán học và vật lý là những ngành khoa học với sự phát triển của các vấn đề và phát triển các phương pháp tiếp cận vấn đề.

Trong toán học, cấu trúc logic đạt được bằng cách phân tích tất cả các logic có thể có lời giải. Trong vật lý, chỉ những lời giải có thể hiện thực hóa được trong tự nhiên mới được xem xét và độ tin cậy đạt được bằng cách kiểm tra nhiều lần các đề xuất được đưa ra. Sự chặt chẽ về mặt toán học trong vật lý là không thể và không cần thiết ở Nga. Việc đạt được một cấu trúc toán học trong vật lý không cần thiết hơn việc yêu cầu những người quản lý khai thác gỗ phải nói bằng thơ tại nơi làm việc. Nhưng đồng thời, từ lý thuyết vật lý là làm chủ bộ máy toán học, nghĩa là biết và có thể sử dụng tất cả các phương pháp toán học có thể hữu ích trong lời giải vật lý bài toán.

II. PHÂN TÍCH ĐỊNH TÍNH

Chúng ta hãy cố gắng chỉ ra bằng các ví dụ đơn giản cách làm việc của một nhà vật lý lý thuyết ở giai đoạn đầu tiên, giai đoạn quan trọng nhất của công việc, khi thực hiện phân tích định tính về bài toán đã nêu. Như chúng ta sẽ thấy, ở giai đoạn làm việc này, hầu như không cần bất kỳ phép tính nào, người ta thu được mối quan hệ sơ bộ giữa các đại lượng có trong bài toán. Giai đoạn tiếp theo của công việc - thu thập các mối quan hệ định lượng chính xác bằng cách sử dụng bộ máy toán học của lý thuyết - hoàn toàn dựa trên giai đoạn đầu tiên, trong đó bức tranh vật lý của hiện tượng được làm rõ và nảy sinh một dự án về lời giải mong đợi. Nếu không có một dự án đề xuất như vậy, người ta không thể bắt đầu tìm kiếm lời giải chính xác. Thật vậy, chỉ có thể chứng minh những phát biểu đã được đoán trước. Hầu như không có ngoại lệ cho quy tắc này.

Một trong những yếu tố chính của phân tích định tính là lời giải bài toán trên các mô hình được tha thứ, trong đó tất cả những mô hình không tồn tại đều bị loại bỏ. Làm phức tạp lời giải bài toán dễ dàng hơn nhiều so với việc giải quyết một vấn đề phức tạp.

Trong một số trường hợp đơn giản, việc phân tích thứ nguyên đơn giản về các đại lượng bài toán và khả năng có mối quan hệ giữa chúng sẽ làm sáng tỏ nhiều điều.

12

Ước tính kích thước

Để minh họa, chúng tôi chứng minh định lý Pythagore bằng cách sử dụng thông điệp thứ nguyên. Từ thứ nguyên, diện tích $S$ của một tam giác vuông có thể được viết là tích của bình phương cạnh huyền và hàm neoctor của một trong các góc nhọn: $S=c^2f(\alpha)$. Theo cách tương tự, bạn có thể tưởng tượng diện tích của hai tam giác vuông giống nhau, có được bằng cách bỏ qua chiều cao khỏi góc vuông. Đối với những tam giác này, vai trò của cạnh huyền được thực hiện bởi cạnh huyền của tam giác. Bởi vì

$$c^2f(\alpha)=a^2f(\alpha)+b^2f(\alpha).$$

Giảm $f(\alpha)$, ta thu được định lý Pythagore.

Một ví dụ khác, xét bài toán về vị trí chu kì dao động ngoài của vật nặng. Trước hết, chúng ta hãy tìm hiểu những đại lượng nào có thể được đưa vào biểu thức cho kỳ. Vì các lực tác dụng lên vật nặng là trọng lực và lực đàn hồi nên đương nhiên có thể giả sử rằng chu kỳ dao động phụ thuộc vào nghiệm rơi tự do $g$ và khối lượng $m$ của vật nặng và độ cứng của lò xo $k$. Tất nhiên, các đại lượng như nhiệt độ và độ nhớt của không khí sẽ không được đưa vào bài toán nếu chúng ta bỏ qua việc tắt dần các dao động. (Để đơn giản hóa bài toán, bạn cần biết những gì có thể bỏ qua!) Từ các giá trị $g$, $m$ và $k$, bạn chỉ có thể tạo một kết hợp có thứ nguyên thời gian - $V/m/k$. Do đó, khoảng thời gian $T$ bằng

$$T=C\sqrt{m/k}.$$

Diagram of triangle with sides $S_1 = S_2 + S_3$, $S_1 = c^2f(\alpha)$, $S_2 = a^2f(\alpha)$, $S_3 = b^2f(\alpha)$

Gia tốc $g$ không được bao gồm trong đáp số. Không thể tìm thấy hằng số không thứ nguyên $C$ từ các thông điệp thứ nguyên; chúng ta chỉ có thể nói rằng nó không lớn lắm cũng không nhỏ lắm - nó thuộc trật tự thống nhất. Thật vậy, giá trị của $C$ phải được tìm thấy từ lời giải của phương trình chuyển động của vật nặng mà chúng ta chưa viết. Và các hệ số không thứ nguyên phát sinh từ phương trình gặp trong vật lý, như một quy luật, hóa ra có thứ nguyên thống nhất *). Tính toán chính xác sẽ cho giá trị 2π cho $C$.

Như vậy, không cần tính toán, chỉ sử dụng phân tích thứ nguyên, chúng ta đã tìm được giá trị gần đúng của chu kỳ dao động của trọng lượng bên ngoài.

Ví dụ tổng quát hóa - bộ dao động

Trong tất cả các lĩnh vực vật lý đều có bài toán liên quan đến bình của các hệ thống vị trí gần. Để hiểu nhiều hiện tượng và do đó để phân tích định tính các hiện tượng này, bạn cần biết các đặc tính chung của các hệ thống đó. Các hệ dao động xung quanh vị trí cân bằng, bất kể cấu trúc của chúng như thế nào, được gọi là bộ dao động. Ví dụ đơn giản nhất về dao động là một trọng lượng bên ngoài, một tấm thảm toán học. Một ví dụ phức tạp hơn là một quốc gia căng thẳng; nó có thể có nhiều loại rung động: rung có một nút âm ở giữa (âm cơ bản), có một nút, hai nút, v.v. (âm bội). Vì vậy, một quốc gia là một tập hợp các bộ dao động có tần số khác nhau. Một ví dụ tương tự là cột không khí trong tổ chức lao động; nó có thể được tạo ra để rung với tần số cao nhất (âm cơ bản) hoặc với tần số cao hơn, khi tại một số điểm không khí đứng yên (tương tự như các nút trong máy rung dây).

Đặc tính chung của tất cả các bộ dao động là như sau: bất kể thiết bị cụ thể nào, bộ dao động

*) Tuyên bố này không thể được chứng minh một cách tổng quát, nhưng nó hầu như luôn đúng và thực tế này được sử dụng rộng rãi trong mọi đánh giá.

13

cổ (tức là dao động quanh vị trí cân bằng) của hệ, năng lượng của hệ tại bất kỳ thời điểm nào có thể được viết dưới dạng

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta \dot{q}^2 / 2,$$

(*)

trong đó $q$ là các đại lượng đặc trưng cho độ lệch so với vị trí cân bằng và $\dot{q}$ là tốc độ thay đổi của đại lượng $q$ theo thời gian (nghĩa là $\dot{q} = \Delta q / \Delta t$, trong đó $\Delta t$ là một khoảng thời gian nhỏ). Thuật ngữ $\Pi = \gamma q^2 / 2$ là thế năng của bộ dao động; hệ số $\beta$ được gọi là khối lượng dao động. Thuật ngữ $K = \beta \dot{q}^2 / 2$ là động năng của bộ dao động; hệ số $\beta$ được gọi là khối lượng dao động. (Hãy nhớ cách viết năng lượng của bộ dao động đơn giản nhất—một trọng lượng bên ngoài—và bạn sẽ hiểu tại sao $\gamma$ được gọi là độ cứng và $\beta$ là khối lượng của bộ dao động.)

Cho dù bộ dao động được thiết kế đặc biệt như thế nào thì phần góc $\omega = 2\pi/T$ của nó được biểu thị như sau thông qua độ cứng $\gamma$ và khối lượng $\beta$:

$$\omega = \sqrt{\gamma / \beta}.$$

Sự ra đời của một bộ dao động “tổng quát”, tọa độ của nó không nhất thiết phải là khoảng cách từ vị trí cân bằng, nhưng có thể có bất kỳ ý nghĩa nào, miễn là năng lượng cũng có cấu trúc như $E$ trong biểu thức (*), cho phép chúng ta đưa ra kết luận về hành vi của một hệ dao động không có khoảng cách về bản chất vật lý và nguồn gốc của các quá trình trong đó.

Để rõ ràng hơn, hãy đưa ra một ví dụ khác về bộ dao động, không giống với tất cả các ví dụ đã nêu ở trên. Giả sử rằng có một cuộn cảm $L$ được làm bằng dây dẫn điện tốt, các đầu của nó được nối với điện dung của tụ điện $C$, có điện tích $Q_0$. Dao động điện từ xuất hiện trong mạch. Nếu cuộn dây được làm bằng chất siêu dẫn (điều này đòi hỏi nhiệt độ thấp), thì dao động thực tế sẽ không bị tắt dần.

Năng lượng của một hệ thống như vậy bao gồm hai thành phần: năng lượng của từ trường trong cuộn dây và năng lượng của điện trường trong tụ điện. Năng lượng điện trường của tụ điện tỉ lệ với bình phương điện tích $Q$ hiện tại nằm trên bản tụ: $\Pi = \frac{1}{C} Q^2 / 2$.

Năng lượng từ trường của cuộn dây tỉ lệ với bình phương cường độ dòng điện $I$ hiện đang chạy qua cuộn dây: $K = L I^2 / 2$. Nhưng cường độ dòng điện bằng tốc độ thay đổi điện tích của tụ điện theo thời gian: $I = \dot{Q}$. Do đó, năng lượng từ trường của cuộn dây là $K = L \dot{Q}^2 / 2$.

Do đó, năng lượng của hệ tại thời điểm bất kỳ bằng

$$E = \frac{1}{C} Q^2 / 2 + L \dot{Q}^2 / 2.$$

Hệ thống của chúng tôi là một bộ dao động; vai trò của tọa độ dao động được thực hiện bởi điện tích $Q$, thế năng của bộ dao động là năng lượng của tụ điện và động năng là năng lượng của từ trường của cuộn dây. Từ bản ghi năng lượng, rõ ràng độ cứng của bộ dao động này là $1/C$, và vai trò của khối lượng điện cảm là $L$. Bạn có thể viết ngay một phần dao động: $\omega = \sqrt{1/LC}$.

14

Mạch dao động như vậy được gọi là mạch dao động điện.

Làm thế nào để đoán lời giải?

Chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về cách một số tính năng lời giải được yêu cầu trước khi bộ máy xác định chính xác lời giải bài toán được xây dựng, trước khi tìm ra các phương trình trên cơ sở đó bài toán sẽ được giải. Đây là sự ngược lại và là một ví dụ về phân tích thứ nguyên phức tạp hơn so với trường hợp bộ dao động.

Một trong những vấn đề khó khăn nhất và chưa được giải quyết bài toán vật lý lý thuyết—mối liên hệ giữa hiện tượng hấp dẫn và điện.

Nếu một kết nối như vậy tồn tại, thì nhờ lời giải một số phương trình chưa được tìm thấy, sẽ thu được một số không thứ nguyên *), đưa ra sự tương ứng giữa lực hấp dẫn được xây dựng γ và các đại lượng đặc trưng cho hiện tượng điện từ, chẳng hạn như tốc độ ánh sáng c, điện tích của electron e và khối lượng m của nó.

Nếu hiện tượng lượng tử tồn tại thì bài toán có thể bao gồm Planck’s h. Biết thứ nguyên của các đại lượng γ, c, e, m, h, thật dễ dàng để xác minh rằng từ các đại lượng này chỉ có thể tạo ra hai tổ hợp không thứ nguyên độc lập:

$$\alpha = e^2/\hbar c; \quad \xi = \hbar c/\gamma m^2$$

(nhớ lại $\hbar = h/2\pi$).

Sự kết hợp đầu tiên trong số này đặc trưng cho sự tương tác của electron với trường điện từ (“điện tích” không thứ nguyên của electron) và được gọi là cấu trúc tinh tế được xây dựng. Thay thế các giá trị số sẽ cho $\alpha = 1/137$, $\xi = 5 \cdot 10^{44}$. Một số lớn như ξ có thể phát sinh từ lời giải bất kỳ phương trình hợp lý nào không? Các số không thứ nguyên sinh ra từ lời giải vật lý bài toán, như chúng ta đã nói, có cấp độ của một số đơn vị hoặc phân số của các đơn vị.

*) Để sự tương ứng giữa các đại lượng vật lý khác nhau không phụ thuộc vào việc lựa chọn đơn vị thì phải viết dưới dạng tổ hợp không thứ nguyên.

Do đó, chúng ta có thể mong đợi rằng đại lượng ξ sẽ nhập bài toán ở dạng sao cho kết quả sẽ là số cấp 1. Cho đến nay chúng ta đã áp dụng lẽ thường. Bây giờ cần phải thực hiện một bước nhảy vọt nhỏ về logic trực quan. Có khả năng là lý thuyết sẽ bao gồm sự kết hợp

$$\alpha \ln \xi \sim 1.$$

Rõ ràng là việc biết về sự tương ứng như vậy sẽ giúp bạn tìm thấy lời giải dễ dàng hơn. Chính ở dạng này, giá trị ξ đã được đưa vào các nỗ lực lý thuyết hiện có lời giải bài toán về mối liên hệ giữa các điện tử và lực hấp dẫn.

III. ĐƠN GIẢN TUYỆT VỜI

Ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử

Hãy thử trình bày bằng một ví dụ khác, bằng cách cực kỳ đơn giản hóa bài toán, chúng ta có thể xác định các đặc điểm chính của hiện tượng. Ví dụ này sẽ nêu bật cách tiếp cận định tính đối với bài toán.

Theo cơ học lượng tử, năng lượng của electron trong nguyên tử chỉ có thể nhận những giá trị rời rạc.

Các giá trị có thể có của năng lượng electron trong nguyên tử hydro được cho bởi biểu thức

$$E_n = - \frac{me^4}{\hbar^2} \frac{1}{2n^2}.$$

(**)

Sự khác biệt về giá trị $E_n$ của hai $n$ (n=1,2,3,…) khác nhau được xác định với độ chính xác cao theo tần số của các vạch quang phổ quan sát được trong thí nghiệm.

Ý tưởng cơ bản của cơ học lượng tử là mỗi hạt (trong trường hợp này là electron) được đặc trưng bởi một quá trình sóng vô hạn có bước sóng

$$\lambda = \frac{2\pi \hbar}{mv},$$

trong đó $m$ là khối lượng của hạt, $v$ là tốc độ của hạt. Các giá trị rời rạc của năng lượng electron thu được từ điều kiện dọc theo chiều dài quỹ đạo mà electron di chuyển phải có

*) Các nhà vật lý, theo nguyên tắc, không sử dụng hệ SI. (Chú thích của tác giả.)

15

có một số nguyên sóng. Nếu bán kính quỹ đạo là $r$ thì điều kiện $2\pi r = \lambda n$ ($n=1, 2, \dots$) hoặc $mv_n = \hbar n/r$ tương ứng với trạng thái $n$ của electron. Từ đây không khó để tìm được động năng ở trạng thái $n$:

$$W_n = m v_n^2 / 2 = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2.$$

Tổng năng lượng của electron là tổng động năng và thế năng trong trường hạt nhân, âm và bằng $U = -Z e^2 / r$. Tổng năng lượng của electron trong nguyên tử hydro là

$$E_n(r) = \hbar^2 n^2 / 2 m r^2 - e^2 / r.$$

Trong đạo hàm của chúng tôi, chúng tôi giả sử rằng bán kính quỹ đạo $r$ có một giá trị cố định. Theo cơ học lượng tử, bán kính của các quỹ đạo bị “tán xạ” trong vùng lân cận của các nguồn quỹ đạo cổ điển. Để ước tính bán kính, chúng ta có thể lấy giá trị $r$, tương ứng với năng lượng tối thiểu $E(r)$.

Để tìm mức tối thiểu $E(r)$, chúng ta tiến hành như sau. Hãy viết lại biểu thức cho $E(r)$ như sau:

$$E = A x^2 - B x.$$

Chúng tôi đã sử dụng các ký hiệu sau: $x = 1 / r$, $A = \hbar^2 n^2 / 2 m$, $B = e^2$. Có thể thấy rằng đối với $x_1 = 0$ và $x_2 = B / A$ giá trị của $E$ bằng 0. Bên trong tích phân $]x_1, x_2[$ E là âm. Đâu đó bên trong tích phân này nằm ở mức tối thiểu $E$. Để ước tính, chúng ta sẽ giả sử rằng $E_{\min}$ tương ứng với giá trị $x$ ở giữa tích phân, tức là $x = B / 2 A$. Theo đó, $r = 1 / x = 2 A / B$, tức là

$$r_n = \frac{\hbar^2 n^2}{m e^2}.$$

(Lưu ý rằng với $n = 1$ biểu thức này

$$E_n = - \frac{m e^4}{\hbar^2} \frac{1}{2 n^2},$$

tức là một biểu thức khớp với (**)!

Trong thực tế, một electron có thể ở bất kỳ khoảng cách nào tính từ hạt nhân với những xác suất khác nhau. Sự đơn giản hóa trạng thái của chúng ta trong giới từ rằng khoảng cách này là chắc chắn, bằng $r$, được tìm thấy từ điều kiện năng lượng tối thiểu. Tất nhiên, chúng tôi đã hành động một cách thô lỗ. Vì vậy, bạn không thể tin tưởng vào hệ số đứng trước công thức này, mặc dù nó có vẻ đúng. Nhưng mọi thứ khác có thể được tin cậy! Và tập hợp $me^4 / \hbar^2$, và quan trọng nhất là sự phụ thuộc vào “số lượng tử” $n$.

Một lời giải chính xác sẽ yêu cầu giá trị của phương trình cơ bản của cơ học lượng tử (phương trình Schrödinger) và toán học rất phức tạp (theo khái niệm trường học). Những gì chúng tôi nhận được là định tính lời giải, khi kết quả thu được chính xác đến một hệ số số không xác định, nhưng bản chất của sự phụ thuộc vào các tham số bài toán được truyền tải chính xác. Định tính lời giải giúp bạn cực kỳ dễ dàng có được lời giải chính xác vì các đặc điểm chính của hiện tượng đã được tiết lộ. Hơn nữa, nếu có lời giải chất lượng cao, nhưng không thể thu được kết quả phân tích chính xác thì có thể thực hiện mà không có bất kỳ tổn thất đặc biệt nào ở vị trí bài toán bằng máy tính.

Một cách khái quát hóa khác - dao động lượng tử

Giải pháp bài toán về lượng tử hóa bộ dao động không còn khó nữa. Đồng thời, chúng ta không biết bộ dao động được thực hiện như thế nào - nó được biểu diễn bằng một tải dao động bên ngoài hay một mạch dao động điện.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $q$ tọa độ tổng quát của bộ dao động. Hãy viết năng lượng của bộ dao động:

$$E = \gamma q^2 / 2 + \beta q^2 / 2.$$

16

Người ta có thể tưởng tượng rằng một bộ dao động là một loại “hạt” có khối lượng β, dao động bên ngoài có độ cứng γ. Để hình thành ý tưởng cơ bản về cơ học lượng tử cho vật thể này, chúng ta lấy bước sóng λ của quá trình sóng liên kết với “hạt” của chúng ta:

$$\lambda = 2\pi \hbar / \beta q.$$

Mẫu số là tích của “khối lượng” và tốc độ của nó. Vì tốc độ thay đổi khi hạt chuyển động nên bước sóng cũng thay đổi - đó là giá trị tối thiểu của vị trí cân bằng và tăng lên ở những vùng có tốc độ của “hạt” thấp.

Để “hạt” di chuyển trong vùng từ - $q_0$ đến $q_0$. (Chúng tôi nhấn mạnh rằng $2q_0$ không phải là độ dao động của bộ dao động dao động, mà là vùng mà tọa độ của nó “run rẩy”.) Để tạo thành sóng đứng, một số nguyên nửa sóng phải được đặt trên “độ dài” $2q_0$: $2q_0 = (n+1)\lambda/2$ ($n=0, 1, 2, \dots$). Để ước tính tốc độ, chúng tôi lấy giá trị của tốc độ ở $q=q_0$, tức là $(q)_0 = 2\pi \hbar / \beta \lambda = \pi \hbar (n+1)/2\beta q_0$. Thay giá trị này vào biểu thức động năng, ta tìm được:

$$W_n = \frac{\pi^2 \hbar^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2}.$$

Đối với tổng năng lượng chúng ta nhận được:

$$E_n(q_0) = \frac{(\pi \hbar)^2}{8\beta} \frac{(n+1)^2}{q_0^2} + \frac{\gamma q_0^2}{2}.$$

Đối với các giá trị nhỏ $q_0$, năng lượng cao do thuật ngữ đầu tiên và đối với các giá trị lớn $q_0$ - do thuật ngữ thứ hai. Giá trị gần đúng của $q_0$ và thậm chí là ít năng lượng nhất sẽ đạt được nếu chúng ta đánh đồng cả hai số hạng. Từ điều kiện này ta tìm được:

$$q_0^2 = \frac{\pi \hbar (n+1)}{2\sqrt{\beta \gamma}}.$$

Thay thế vào biểu thức năng lượng, ta có:

$$E_n = \frac{\pi}{2} \hbar \sqrt{\gamma/\beta} (n+1) = \frac{\pi}{2} \hbar \omega (n+1) \quad (n=0, 1, 2, \dots).$$

Giá trị $\omega = \sqrt{\gamma/\beta}$ biểu thị tần số của bộ dao động cổ điển đang dao động.

Một phép tính chính xác về năng lượng sẽ cho kết quả:

$$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right).$$

Vì vậy, chúng ta đã mắc sai lầm về hệ số số ($\pi/2$ thay vì 1), cũng như về giá trị số của năng lượng ở trạng thái thấp nhất, tức là ở $n=0$ ($\frac{\pi}{2} \hbar \omega$ thay vì $\frac{1}{2} \hbar \omega$). Nhưng mọi thứ khác đều diễn ra chính xác! Bây giờ đã thu được kết quả, chúng ta nên suy nghĩ về những gì chúng ta đã sử dụng để thu được kết quả đó và những gì tiếp theo từ các biểu thức mà chúng ta thu được cho năng lượng dao động và giá trị $q_0^2$.

Trước hết, chúng tôi áp dụng vào bộ dao động của mình mà không quan tâm đến cấu trúc của nó như thế nào, các nguyên lý của cơ học lượng tử, lần đầu tiên được thiết lập liên quan đến điện tử. Tất nhiên, điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các nguyên lý chung sẽ giống nhau đối với các hạt khác có khối lượng khác với khối lượng của electron. Thật vậy, sự khái quát hóa như vậy đã được xác nhận với độ chính xác cao bằng thực nghiệm. Nhưng tại sao những nguyên tắc này có thể được áp dụng cho một hệ thống như mạch cộng hưởng, trong đó điện tích trên các bản tụ đóng vai trò “tọa độ”? Ở đây chúng ta đi đến một giả định quan trọng, được sử dụng rộng rãi trong vật lý lý thuyết của thế kỷ 20. Nếu hai hệ có năng lượng phụ thuộc như nhau vào tọa độ và vận tốc, thì những hệ đó có cùng tính chất, mặc dù thực tế là “tọa độ” và “vận tốc” có thể có ý nghĩa hoàn toàn khác nhau trong các hệ này.

Không có một ví dụ nào mà giả định này mâu thuẫn với kinh nghiệm. Do đó, chúng tôi có quyền coi như chúng tôi đã quyết định bài toán về việc áp dụng cơ học lượng tử cho tất cả các bộ dao động có thể có cùng một lúc.

Bây giờ hãy nghĩ xem điều gì sẽ ảnh hưởng đến kết quả của chúng ta. Làm thế nào chúng biến đổi thành các công thức của cơ học cổ điển? Trước hết, chúng tôi

17

chúng tôi thấy rằng năng lượng không thay đổi liên tục mà ở những phần có độ lớn $\hbar \omega$. Đúng, giá trị của $\hbar$ là rất nhỏ và đối với các bộ dao động vĩ mô thông thường, sự thay đổi năng lượng đột ngột này trên thực tế không được quan sát thấy. Tuy nhiên, có những hệ thống vĩ mô đặc biệt trong đó tính gián đoạn đóng một vai trò nhất định (ví dụ, tia laser). Tính đúng đắn của biểu thức của chúng tôi đối với năng lượng dao động đã được xác minh với độ chính xác cao đối với nhiều loại dao động.

Có một tính chất quan trọng hơn của bộ dao động lượng tử mà chúng tôi cũng thu được. Khi năng lượng ở mức tối thiểu, bộ dao động cổ điển đứng yên ở vị trí cân bằng; Trong khi đó, bộ dao động lượng tử dao động theo hướng trạng thái năng lượng thấp nhất (chúng được gọi là “dao động bằng 0”). Động năng và thế năng của những dao động này có mức $\hbar \omega$. Trong trường hợp này, giá trị trung bình của tọa độ dao động bằng 0 và giá trị trung bình của tọa độ bình phương được tính theo công thức trên cho $q_0^2$. Tính chất đáng chú ý này của bộ dao động lượng tử đã được thử nghiệm kỹ lưỡng trong thực nghiệm và đóng một vai trò quan trọng trong vật lý hiện đại.

Nếu chúng ta coi dao động âm thanh trong vật rắn là dao động lượng tử, thì chúng ta thu được rằng ở nhiệt độ không tuyệt đối, các nguyên tử của vật rắn không bất động mà thực hiện dao động bằng không. Và thực tế này đã được xác nhận bằng các thí nghiệm về tán xạ ánh sáng ở nhiệt độ thấp! Nếu chúng ta coi sóng điện từ có thể lan truyền trong không gian trống rỗng như một tập hợp các bộ dao động, thì chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng trong tánh không, ngay cả khi không có hạt hoặc lượng tử trong đó, sẽ không tìm thấy dao động nào của trường điện từ. Và những dao động này cũng đã được phát hiện bằng thực nghiệm!

Nhưng đây là một vấn đề phức tạp hơn đòi hỏi phải thảo luận chi tiết.

Sự hiểu biết nảy sinh trong quá trình làm việc

Chúng tôi sẽ giới thiệu lời giải thích cho một số từ khó hiểu: lượng tử hóa, quá trình sóng liên kết với hạt, bộ dao động lượng tử, v.v. Và chúng tôi bắt đầu hành động, không hẳn là các khái niệm của chúng. Tuy nhiên, chúng ta đã tìm thấy năng lượng của nguyên tử hydro phụ thuộc vào số lượng tử $n$; đã biết rằng một bộ dao động lượng tử ở trạng thái năng lượng thấp nhất sẽ dao động, và thậm chí còn bắt đầu áp dụng các kết quả lượng tử hóa dao động cho một vật thể như dao động của trường điện từ trong chân không. Và kết quả của những hành động này là ít nhất đã nảy sinh một phần hiểu biết.

Vì vậy, sự hiểu biết nảy sinh trong quá trình làm việc. Rốt cuộc, nếu chúng ta cố gắng đạt được sự hiểu biết đầy đủ trước khi bắt đầu quá trình tính toán thì sẽ không có kết quả gì. Sự hiểu biết không nảy sinh một cách đột ngột mà khi bạn tiến bộ trong công việc của mình. Thay vào đó, công việc tiến triển khi sự hiểu biết ngày càng sâu sắc hơn.

Để đạt được sự hiểu biết sâu sắc hơn, bạn cần phải tự mình giải quyết bài toán trong một lĩnh vực vật lý nhất định. Nghiên cứu thụ động chỉ đưa ra một ý tưởng mờ nhạt về những vẻ đẹp được bộc lộ qua công việc độc lập.

Nhiệm vụ của độc giả của chúng tôi

1. Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$ tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ lần lượt tại các điểm $G_a$, $G_b$ và $G_c$. Các đường tròn tiếp xúc với các cạnh $BC$, $CA$ và $AB$ tại các điểm $N_a$, $N_b$ và $N_c$. Đặt $r$, $r_a$, $r_b$ và $r_c$ lần lượt là bán kính của đường nội tiếp và hình tròn ngoại tiếp. Chứng minh các đẳng thức sau:

$$\frac{1}{|AG_c| \cdot |G_c B|} + \frac{1}{|BG_a| \cdot |G_a C|} + \frac{1}{|CG_b| \cdot |G_b A|} = \frac{1}{|AN_c| \cdot |N_c B|} + \frac{1}{|BN_a| \cdot |N_a C|} + \frac{1}{|CN_b| \cdot |N_b A|} = \frac{1}{r^2};$$

$$\frac{|BN_a|^2}{r_a r_b} + \frac{|CN_b|^2}{r_b r_c} + \frac{|AN_c|^2}{r_c r_a} = \frac{1}{r^2};$$

(Cuối cùng xem trang 25)

18

R. Vinokur

Bánh hạnh nhân, phù thủy
và… bộ cộng hưởng
Helmholtz

Trong câu chuyện “Wasteland”*) của A. Vyorkov, bạn có thể đọc về việc một Ivan Pavlovich nào đó, người muốn làm giàu, đã thuê một nhóm thợ xây để xây một ngôi nhà “có lãi” và lừa dối họ một cách tàn nhẫn bằng cách chỉ trả một phần tiền lương. Tuy nhiên, ngôi nhà “có lãi” đã không mang lại cho người chăn nuôi lợi nhuận mong muốn - dần dần tất cả những người thuê nhà đều mua nó. Họ được chỉ đạo bởi một bánh hạnh nhân đã định cư trong nhà. Cảnh sát đã không giúp Ivan Pavlovich thoát khỏi “linh hồn ma quỷ”.

*) A. Vyurkov. Những câu chuyện về Moscow xưa. (M., “Công nhân Mátxcơva”, 1958.)

“… Hai cảnh sát được đưa vào căn hộ của người thương gia đã rời đi qua đêm. Họ ngồi xuống bếp trên những chiếc hộp trống, mang ra một chai nước và xúc xích “để lấy dũng khí” và bắt đầu chờ đợi “bánh hạnh nhân”. “Nếu có chuyện gì xảy ra…” sĩ quan cấp cao hướng dẫn cấp dưới, “anh tóm lấy anh ta, tôi sẽ vặn tay anh ta.”

“Ambush” vừa uống vừa lắng nghe. Căn hộ yên tĩnh. Bên ngoài gió đang vo ve, tiếng chó tru, cánh cổng đóng sầm, rồi đột nhiên… trong căn phòng trống có ai đó thở dài và tru lên. Các cảnh sát nhìn nhau và không nhai xúc xích, nhảy lên và bay ra đường như những chiếc lông vũ.

“Đúng vậy…”, người lớn tuổi run lên vì sợ hãi, báo cáo với sĩ quan đang trực.

• Chính mắt tôi đã nhìn thấy, thưa ngài!… Đầu hắn ở trong đó! Đuôi và sừng - wow!
  Sau sự việc này, lại có thêm vài con cá mồi rời khỏi nhà…”

Thời hạn trả lãi đã đến, không có tiền. Ivan Pavlovich bị bắt. Và chỉ nhiều năm sau, một nhà thầu xây dựng cũng từng bị Ivan Pavlovich lừa dối đã tiết lộ cho anh một bí mật:

“Chính anh, người anh em Ivan Pavlovich, là người thợ nề đã thất bại. Họ đặt những chai rỗng vào tường nhà anh, và gió thổi xuyên qua chúng. Hãy đi tìm chúng ngay. Chúng ta không biết phải phá bỏ một bức tường ở đâu…”

Đặc tính âm thanh của các bình rỗng đã được biết đến từ lâu. Vì vậy, ngay cả trong nhà hát cổ xưa, những chiếc bình lớn bằng đất sét hoặc đồng cũng được sử dụng để nâng cao giọng hát của diễn viên. Cái gọi là bộ cộng hưởng Helmoltz - những khoang hình cầu hoặc hình chai có cổ dài và hẹp - đã nhận được ứng dụng thực tế rộng rãi trong các bộ truyền động.

Bằng cách sử dụng một bộ cộng hưởng Helmoltz (được đặt theo tên của nhà vật lý người Đức Helmoltz, người tạo ra lý thuyết vật lý về thính giác), các âm thanh phức tạp có thể được phân tích. Hoạt động của bộ cộng hưởng dựa trên sự cộng hưởng của các dao động của tác động chứa bên trong bộ cộng hưởng. Trong tất cả các rung động tạo nên một sóng âm phức tạp, mỗi bộ cộng hưởng phản ứng mạnh nhất với tần số bằng tần số tự nhiên của các rung động tác động trong đó.

Tần số dao động tự nhiên của bộ cộng hưởng Helmoltz phụ thuộc vào điều gì và như thế nào? Nếu kích thước của bộ cộng hưởng nhỏ so với bước sóng âm thì có thể coi nó là một hệ dao động, tương tự như một con lắc lò xo. Vì cổ họng hẹp nên trong quá trình dao động, tốc độ chuyển động của tác động trong cổ họng cao hơn nhiều so với tốc độ tác động bên trong khoang, do đó vai trò của khối dao động chủ yếu do tác động trong cổ họng đảm nhận. Nói cách khác, động năng của hệ dao động tập trung chủ yếu ở họng. Tác động vào cổ họng có năng lượng đàn hồi kém hơn nhiều so với trong khoang; sự thay đổi về khối lượng tác động vào cổ họng khi rung động có thể bị bỏ qua và chúng ta có thể giả định rằng toàn bộ tác động này nói chung là một loại “nút khí” và khối lượng tác động trong khoang thay đổi đáng kể. Như vậy, tác động chính là vai trò của lò xo trong hệ dao động của chúng ta.

Như đã biết, tần số dao động tự nhiên của con lắc lò xo bằng

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

20

không khí trong khoang bằng

$$\Delta p = \frac{|\vec{F}|}{\Delta S} = \Delta \rho c^2$$

• sự thay đổi áp suất tỷ lệ thuận với sự thay đổi mật độ không khí.

Bây giờ bạn có thể tìm thấy lực tác dụng lên “nút khí” từ không khí trong khoang. Khi “phích cắm” di chuyển đến khoảng cách $x$, mật độ không khí bên trong bộ cộng hưởng tăng $\Delta \rho = \frac{\rho S}{V} x$,

và áp lực đang tăng lên

$$\Delta p = \Delta \rho c^2 = \frac{\rho S c^2}{V} x.$$

Điều này có nghĩa là lực đàn hồi sẽ tác dụng lên vùng “cắm” $S$

$$|\vec{F}_{\text{упр}}| = \Delta p S = \frac{\rho S^2 c^2}{V} x.$$

Điều này có nghĩa là hành vi của không khí trong khoang tương tự như hành vi của một lò xo có hệ số đàn hồi

$$k = \frac{|\vec{F}_{\text{упр}}|}{x} = \frac{\rho S^2 c^2}{V}.$$

Kể từ đây,

$$v = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{c}{2\pi} \sqrt{\frac{S}{Vl}}.$$

Bây giờ chúng ta hãy ước tính phần cộng hưởng của điểm dao động không khí trong chai, coi nó như một bộ cộng hưởng Helmoholtz. Thật không may, chúng ta không biết kích thước chính xác của những chiếc chai được sản xuất trong “hoạt động” của Ivan Pavlovich. Do đó, để đánh giá, chúng tôi giả sử rằng $S = 1$ cm$^2$, $l = 5$ cm, $V = 500$ cm$^3$, tốc độ truyền âm trong không khí là $c = 340$ m/s. Thay thế các giá trị này vào công thức tần số sẽ cho $v \approx 108$ Hz. Nhân tiện, chúng ta hãy kiểm tra xem các giả định có đúng không: độ dài của sóng âm trong không khí tương ứng với tần số này bằng $\lambda = c/v \approx 3,2$ m và do đó, các tập hợp dao động điều hòa thực tế của các tần số khác nhau (được gọi là số)

20

21

Hình bầu dục, hình số tám, hai hình bầu dục…

Bài viết này thảo luận về các ví dụ về đường cong đại số theo thứ tự thứ năm. Hãy nhớ lại rằng đường cong đại số cấp n-zo được gọi là đồ thị của phương trình $p_n(x,y) = 0$, trong đó $p_n(x,y)$ là đa thức bậc n trong các biến $x, y$). Ví dụ, đường cong đại số bậc nhất là một đường thẳng; các đường cong đại số bậc hai, đặc biệt là các đường elip, hyperbola, parabola - những đường cong mà bạn đã biết có một số tính chất đáng chú ý **).

Thú vị hơn và cũng chưa được nghiên cứu đầy đủ là các đường cong có bậc cao hơn. Chỉ cần nói rằng “bài toán thứ mười sáu của Hilbert” nổi tiếng cho trường hợp đường cong bậc sáu chỉ mới được giải gần đây, và đối với những bài toán lớn, vẫn còn nhiều bài toán được xây dựng đơn giản nhưng chưa được giải. Tuy nhiên, chúng ta sẽ nói về vấn đề này chi tiết hơn trong phần Aftermath và bây giờ hãy chuyển sang các ví dụ đã hứa.

*) Chúng ta hãy nhớ bậc của đa thức của hai biến là bao nhiêu. Bậc của đơn thức $a \cdot x^k y^l$ được gọi là số $k+l$ (ví dụ $xy$ là đơn thức bậc 2). Bậc của đa thức là bậc lớn nhất của các đơn thức của nó (ví dụ: đa thức $p(x, y) = x^3 + 2xy^4 + 11y^2 - xy$ có bậc 5).

**) Xem «Kvant», 1975, số 2 1, 3, 4.

Hãy thay đổi một từ

Định nghĩa hình học của hình elip đã được biết rõ: hình elip là một tập hợp các điểm (trên một mặt phẳng), với tổng khoảng cách từ đó đến điểm $F_1$ và $F_2$ được xây dựng: $|MF_1| + |MF_2| = 2a$. Lưu ý một từ trong định nghĩa này:

$$|MF_1| \cdot |MF_2| = a^2.$$ (1)

Các điểm $F_1$ và $F_2$, giống như các điểm của hình elip, được gọi là tiêu điểm. Cassini Oval ra đời do một sai lầm. Nó được “phát minh” bởi nhà thiên văn học người Pháp (tên khai sinh là người Ý) Jean Dominic Cassini (1625-1712). Nhà khoa học xuất sắc này, thành viên của Viện Hàn lâm Khoa học Paris, giám đốc Trường Tổng hợp Paris, người đã phát hiện ra chuyển động quay của Sao Mộc và Sao Hỏa, cũng như 4 vệ tinh của Sao Thổ, vì lý do nào đó đã tin rằng quỹ đạo Trái đất có hình dạng chính xác như vậy. Sự phát triển hơn nữa của khoa học cho thấy rằng đáp số càng chính xác thì sẽ là một hình elip tổng quát. Nhưng hình bầu dục Cassini vẫn còn sống. Thực tế là nó có một đặc tính đáng chú ý.

Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách giữa các tiêu điểm bằng 2c và xây dựng phương trình cho hình bầu dục Cassini trong hệ tọa độ trong đó $F_1(-c;0)$, $F_2(c;0)$. Thay thế

22

$$|MF_1| = \sqrt{(x+c)^2 + y^2}, \quad |MF_2| = \sqrt{(x-c)^2 + y^2}$$

thành đẳng thức (1) và bình phương, sau khi biến đổi ta thu được

$$(x^2 + y^2 + c^2)^2 - 4c^2x^2 = a^4.$$

Kết quả là một phương trình bốn độ. Loại đường cong cụ thể phụ thuộc và được đặt vào những giá trị mà chúng ta chọn cho tham số $a$ và $c$. Ví dụ: hãy sửa $a$ và tăng $c$ (bạn có thể làm ngược lại: sửa $c$ và giảm $a$—kết quả sẽ giống nhau; xem Hình 1). Đây là nơi điều thú vị nhất sẽ xảy ra: giống như một miếng bột được kéo căng theo các hướng khác nhau, hình bầu dục đầu tiên sẽ dài ra, sau đó sẽ có “vòng eo”, nó sẽ mỏng hơn, cho đến khi cuối cùng hình của chúng ta bị xé thành hai phần, thành hai hình bầu dục nhỏ hơn. Một bức tranh chính xác hơn sẽ như thế này (Hình 2):

1. tại $c=0$ - vòng tròn;
2. tại $0 < c \leq \frac{a}{\sqrt{2}}$ - hình bầu dục lồi, tương tự hình elip;
3. tại $\frac{a}{\sqrt{2}} < c < a$ - hình bầu dục với “câu chuyện”;
4. tại $c=a$ - “nằm tám” (nó có tên riêng - Lemissama của Bernoulli);
5. tại $c>a$ - hai hình bầu dục; một trong số chúng chứa điểm $F_1$, cái còn lại chứa điểm $F_2$.

Tính chất “phân chia” được chỉ định của các hình bầu dục Cassinni lần đầu tiên được phát hiện và nghiên cứu chi tiết bởi một nhà khoa học người Pháp khác - Jean Paul de Gua de Malves (1712-1785). Công trình của ông là một trong những công trình đầu tiên nghiên cứu các điểm kỳ dị của các đường cong đại số (điểm kỳ dị trong trường hợp này là điểm tự giao nhau tại $c=a$). Từ những công trình như vậy, một nhánh rộng lớn của toán học hiện đại đã ra đời - hình học đại số.

Ví dụ thứ hai

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tập các thùy $M$ mà tổng các đại lượng có hình dạng như các hình vuông được xét từ

$$\frac{1}{|MF_1|^2} + \frac{1}{|MF_2|^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Như trước đây, chúng tôi đặt $|F_1F_2|=2c$. Thay các công thức của $|MF_1|$ và $|MF_2|$ vào (2), ta thu được phương trình $$\frac{1}{(x+c)^2 + y^2} + \frac{1}{(x-c)^2 + y^2} = \frac{1}{b^2}.$$

Câu hỏi bảo mật. Tại sao phương trình (3) là phương trình bốn?

Hoạt động của đường cong thu được rất gợi nhớ đến hình bầu dục Cassinni. Hình 3 mô tả các “giai đoạn chia” liên tiếp mà đường cong trải qua khi tham số $c$ tăng (tham số $b$ không đổi). Chúng ta hãy xem xét quá trình này chi tiết hơn một chút.