Kvant 1980, số 2 · Trang

KVANM 2
1980

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Các đường màu đỏ: hình elip và hyperbol - đi qua tâm của hai họ đường tròn. Các vòng tròn của các họ này (chúng được biểu thị bằng các đường màu đen mỏng) tiếp xúc với hai vòng tròn giao nhau được tô màu vàng. Cấu hình thu được không chỉ là phát minh kỳ lạ của một nghệ sĩ; nó liên quan chặt chẽ đến các “kinh điển” toán học: mặt cắt conxial và bài toán Apollo. Để biết thêm chi tiết, xem tr. 33.

1

Được thành lập vào năm 1970
2
1880

khoa học đại chúng
vật lý-toán học
tạp chí
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính
văn học vật lý và toán học

TRONG PHÒNG:

Tổng biên tập
Viện sĩ I. K. Kikoin
Phó thứ nhất
tổng biên tập
Viện sĩ A. N. Kolmogorov

Tuyển tập biên soạn:
M. I. Bashmkov
S. T. Belyaev
V. G. Boltyansky
N. B. Vasiliev
Yu. N. Efremov
V. G. Zubov
P. L. Kapitsa
V. A. Kirillin
A. I. Klimanov
S. M. Kozel
V. A. Leshkovtsev
(Phó tổng biên tập)
L. G. Makar-Limanov
N. A. Patrikeva
I. S. Petrkov
N. Kh. Rozov
A. P. Savin
Tôi. Sh. Slobodetsky
M. L. Smolyansky
(Phó tổng biên tập)
Y. A. Smorodinsky
V. A. Fabricant
A. T. Tsvetkov
M. P. Shasklskaya
S. I. Schwartzburg
A. I. Shirshov

2 B. Gnedenko. Toán học tại Đại học quốc gia Moscow
10 V. Gurevits. Biến động của đại lượng vật lý
17 S. Ashmanov. Số và đa thức
22 Z. Kerimov. Làm thế nào để tìm thấy toàn bộ gốc?

Phòng thí nghiệm «Kvant»
24 A. Mitrofanov. Lên mặt phẳng nghiêng

vòng tròn toán học
26 N. Vadutin. số liên hợp

Vấn đề «Kvant»
34 Bài toán M606—M610; F618—F622
36 Lời giải bài toán M551—M556; F563—F567

«Kvant» cho học sinh nhỏ
43 Bài toán
44 A. Bendukidze, A. Savin. Tỷ lệ dẫn xuất

Xưởng của người nộp đơn
46 V. Dubrovsky. Góc bất ngờ
51 V. Mozhaev, B. Fedosov, V. Chekhlov. Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Nghệ thuật lập trình
53 Trường đào tạo lập trình tương ứng. Bài học 6

Thông tin
56 V. Komarov. Trên đường tới khoa học lớn
57 A. Vilenkin. II Tập hợp toàn Nga các nhà hoạt động NOU
59 trang cờ vua
60 Đáp số, gợi ý, lời giải

Bìa của chúng tôi (25, 33)

Trộn (23, 32, 45, 55)

© Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học của nhà xuất bản Nauka, «Kvant», 1980

2

B. Gnedenko

Toán học
tại Đại học quốc gia Moscow

Ngày 25 tháng 1 năm 1980 đánh dấu 225 năm ngày ký sắc lệnh thành lập Đại học Mátxcơva. Tại trường đại học, hai imazias đã được thành lập: một dành cho trẻ em thường dân, một dành cho trẻ em thường dân. Lễ khai trương của trường đại học diễn ra vào ngày 26 tháng 4 năm 1755. Nhưng đây chỉ là lễ khai mạc của immazii. Các lớp học với sinh viên chỉ bắt đầu vào mùa hè năm 1755, khi 30 thanh niên biệt phái tham gia các buổi hội thảo tâm linh tập trung tại trường đại học (không có ứng viên nào chuẩn bị học đại học trong nước vào thời điểm đó).

Đại học Mátxcơva được mở nhờ hoạt động sôi nổi của M.V. Lomonosov, người góp phần vào việc phổ biến rộng rãi nền giáo dục ở Nga, không gắn liền với những hạn chế về giai cấp. Tuy nhiên, vào thời điểm đó, chính phủ của đế chế nông nô đã dứt khoát từ chối cơ hội được học cao hơn của nông dân. Lomonosov lập luận rằng “ở trường đại học, sinh viên học được nhiều hơn sẽ được tôn trọng hơn: và anh ta là con của ai thì không cần điều đó”.

Lúc đầu, trường đại học bao gồm ba khoa: triết học, luật và y học - và chính thức là hai phòng tập thể dục. Trên thực tế, chỉ có một phòng tập thể dục. Chỉ có các lớp học được tổ chức riêng cho trẻ em Dvoyayan và trẻ em thường dân. Hiệp hội chỉ được phép ở tầng lớp cuối cùng, được gọi là tầng lớp “hiệu trưởng”. Lớp học cuối cùng này giúp chuẩn bị thêm cho việc vào đại học và các lớp học này kéo dài cùng năm.

Tất cả sinh viên phải học tại Khoa Triết học, là sinh viên phổ thông miễn phí để chuyển sang Khoa Y và Luật. Các lớp học tại Khoa Triết học kéo dài ba năm, và tại Khoa Y và Luật kéo dài vào thứ Năm hàng năm. Như vậy, việc học ở trường đại học kéo dài 7 năm. Lúc bấy giờ, các khoa y và luật được gọi là khoa “cao nhất”.

Việc giảng dạy ở trường đại học dựa trên bài giảng; Bài giảng kéo dài hai giờ. Những năm đầu giảng dạy cho sinh viên

3

được đọc bằng tiếng Latinh, tiếng Pháp và tiếng Đức, và chỉ từ năm 1767, khi nhiều người nước ngoài từ Đại học Moscow bắt đầu làm việc tại trường đại học với tư cách là giáo sư, việc giảng dạy mới bắt đầu diễn ra bằng tiếng Nga.

Ngay trong năm đầu tiên tồn tại, nhà thi đấu của trường đại học đã tiếp nhận hàng trăm sinh viên và đến cuối thế kỷ 18, số lượng của họ đã tăng lên ba nghìn. Năm 1758, Đại học Moscow hiện nay đã mở một phòng tập thể dục ở Kazan. Nó thực sự là một phần không thể thiếu của Đại học Moscow. Trường đại học đã cung cấp cho cô kinh phí, đồ dùng dạy học và đội ngũ giảng viên. Điều thú vị là vào thời điểm đó thậm chí không có phòng tập thể dục nào ở St. Petersburg, thủ đô của Đế quốc Nga.

Vào quý cuối cùng của thế kỷ 18, Đại học Mátxcơva đã tham gia tích cực vào việc tổ chức các nhà thi đấu ở một số thành phố cấp tỉnh của Nga - Yaroslavl, Tver, Vladimir, Kostroma, Vologda. Sinh viên tốt nghiệp đại học trở thành giáo viên đầu tiên của các phòng tập thể dục mới được thành lập. Vì vậy, lúc đầu trường đại học là trung tâm chính để đào tạo cán bộ khoa học và giảng dạy.

Ban đầu trường đại học không có khoa toán. Toán học là trách nhiệm của Khoa Vật lý và chỉ được dạy ở Khoa Triết học. Nội dung của khóa học toán không vượt ra ngoài toán tiểu học và bao gồm số học, đại số sơ cấp, hình học và lượng giác cơ bản. Một trong những học trò của M. V. Lomonosov, Anton Alekseevich Barsov (1730-1791), được mời giảng dạy khóa học này.

Nhưng ba năm sau (năm 1758), người ta quyết định lời giải thành lập một khoa đặc biệt về toán số.

Trong những năm đầu, toán học được dạy bởi những người không có chuyên môn. Vì vậy, giáo sư toán học đầu tiên A. A. Barsov chuyên về lĩnh vực cú pháp tiếng Nga. Việc giảng dạy môn toán ứng dụng được giao cho Ivan Akimovich Rost, người đã dạy ông tiếng Anh.

Trong năm mươi năm đầu tiên tồn tại của Đại học Mátxcơva, giảng viên thường tuân thủ nghiêm ngặt cuốn sách giáo khoa mà ông đã chọn một lần và mãi mãi. Ngay cả ngày và giờ giảng vẫn theo truyền thống. Vì vậy, A. A. Barsov, vào năm 1757, đã chọn thứ Tư và thứ Bảy để giảng về toán học thuần túy. Trong cùng những ngày và giờ sau khi A. A. Barsov được đọc bởi học trò của ông là Dmitry Sergeevich Anichkov (1733-1788), và sau đó là một sinh viên tốt nghiệp đại học khác là Vasily Kondratyevich Arshenevsky (1758-1807). Điều tương tự cũng xảy ra với các bài giảng về toán ứng dụng: I. A. Rost đọc chúng vào thứ Hai, thứ Ba, thứ Năm và thứ Sáu.

4

người ăn xin Người kế vị của ông là Michal Ivanovich Pankovic (1757-1812) cũng giữ lại những ngày tương tự cho khóa học.

D. S. Anichkov nhận khoa Toán thuần túy của A. A. Barsov. Với ông, dạy toán là công việc cả đời. Về vấn đề này, ông không chỉ truyền tải, truyền lại nội dung sách giáo khoa đã được các tác giả khác viết mà còn tìm cách chắt lọc cách trình bày sao cho phù hợp nhất với đặc điểm tâm lý của học sinh. Ông đã viết 4 cuốn sách giáo khoa được nhiều người biết đến lúc bấy giờ: “Số học” (1764), “Hình học” (1780), “Lượng giác” (1780) và “Đại số” (1781). Vào thời điểm đó, sách không được đặt tên đơn giản như vậy; Tiêu đề của chúng dài dòng và nghe có vẻ rất trang trọng. Tiêu đề của một cuốn sách giáo khoa về hình học nghe như thế này: “Hình học lý thuyết và thực tiễn, được không chỉ giới trẻ mà còn cả những người tham gia đào đắp, công sự và pháo binh, sưu tầm từ nhiều tác giả khác nhau… của Dmitry Anichkov.”

Cho dù sách giáo khoa của Anichkov được phân phối rộng rãi như thế nào trong thế kỷ 18, thì lợi ích chính vẫn đến từ luận văn của ông về chủ đề “Diễn ngôn từ sự phong phú tự nhiên về sự khởi đầu và sản sinh ra khả năng đọc phong phú tự nhiên”, luận văn này, vì mục đích mang tính thuyết phục, đã bị đốt tại Bãi hành quyết theo lệnh của Thượng hội đồng.

Giờ đây, hai thế kỷ sau, chúng ta thấy rõ hơn những khuyết điểm của sách giáo khoa thời đó, trước hết là tính hình thức và sự tách biệt với những vấn đề thực tiễn khiến thực tiễn lo lắng lúc bấy giờ. Ngay cả những nhà tư tưởng hàng đầu thời đó cũng không chỉ ra được tình trạng thiếu sách về toán học này. Đặc biệt, MV. Lomonsov đã nhiều lần chỉ ra sự cần thiết của các môn khoa học lý thuyết về tự nhiên, nhưng bạn sẽ thấy ở đó không phải tự nhiên, được giải thích bằng toán học, như lẽ ra nó phải thế, mà là toán học, áp đặt các quy luật riêng của nó lên tự nhiên: tự nhiên không tính đến toán học, mà ngược lại, toán học - từ tự nhiên, thông minh hơn và xuất sắc hơn tất cả các ngành khoa học.

Vào thế kỷ 19, Nga trải qua nhiều năm phát triển kinh tế và công nghiệp nhanh chóng. Điều này gây ra sự xuất hiện của một số lượng lớn các phòng tập thể dục ở các tỉnh và thị trấn nhỏ. Có nhu cầu rất lớn về giáo viên của chu kỳ tự nhiên.

Tất cả điều này đã dẫn đến việc phát triển một điều lệ đại học mới (1804). Theo điều lệ này, Đại học Moscow đã được chia thành bốn khoa (khoa): 1) khoa học thực tiễn và chính trị, 2) khoa học ngôn từ, 4) khoa học y tế hoặc y tế, 4) khoa học vật lý và toán học.

Vào thời điểm đó, theo thông lệ, giáo viên toán còn dạy các môn tự nhiên - vật lý, thiên văn học, thực vật học, động vật học, địa lý. Hoàn cảnh này tất yếu dẫn đến sự độc đáo trong đào tạo tại Khoa Vật lý và Toán học thời bấy giờ. Trung bình một sinh viên của khoa chỉ có sáu đến tám bài giảng về toán, ba bài giảng lớn về vật lý, thực vật học, khoáng sản, cũng như các môn học khác của chu trình khoa học tự nhiên. Trong những năm đó, họ cố gắng tạo cho nền giáo dục phổ thông và đại học có tính thực tiễn để một thanh niên sau khi tốt nghiệp trung học có thể bắt tay ngay vào công việc trong lĩnh vực thương mại hoặc sản xuất công nghiệp. Lưu ý rằng trường đại học mới giao cho giáo sư trách nhiệm giảng dạy giáo dục, bổ sung các khóa học dựa trên kết quả của những khám phá mới. Hoàn cảnh này đã thay đổi đáng kể phương hướng hoạt động của trường đại học.

Vào đầu thế kỷ 19, một số giáo sư tại Đại học Moscow đã bắt đầu giảng dạy về toán học mới. Vì vậy, Giáo sư I. A. Ide (1775-1806) bắt đầu giảng dạy các khóa học về hình học giải tích và phân tích toán học. Giáo sư V. K. Arshenevsky nói rằng tại thời điểm này, doanh nghiệp sẽ “tình cờ cung cấp hình học cao nhất của mình, trong đó nó sẽ hiển thị các phép tính hữu ích và liên ngành”. Ngoài ra, học sinh còn tham gia các khóa học về pháo binh, đạn đạo và địa lý toán học. Kết quả là Khoa Vật lý và Toán học đã đạt thành tích xuất sắc cả nước

5

D. M. Perevoshikov

các nhà điều tra trong các lĩnh vực toán học, sinh học, vật lý, hóa học, cơ học, đạn đạo bên ngoài và pháo binh.

Chiến tranh Vệ quốc năm 1812 đã tác động nặng nề đến Đại học Moscow: Pháo binh của Napoléon cướp bóc và đốt cháy các bộ sưu tập, thư viện và các tòa nhà. Nhiều học sinh và giáo viên đã ra đi để bảo vệ đất nước. Các lớp học ở trường đại học dừng lại. Phải mất một thời gian dài để khôi phục lại mức độ giảng dạy dễ tiếp cận, và những tiến bộ hơn nữa trong đời sống toán học của Đại học Moscow đã có từ những năm hai mươi. Sự tiến bộ này phần lớn gắn liền với sự thay đổi của Giáo sư Dmitry Matveevich Perevoshikov (1790-1880), tác giả của một số sách giáo khoa về toán học và bộ “Bách khoa toàn thư toán học thủ công” gồm 13 tập, là cuốn sách thực sự dành cho các nhà toán học, kỹ sư, lính pháo binh, đài quan sát thiên văn tự nhiên, và sau đó từ 1830 đến 1851, ông là giám đốc của nó, kết hợp công việc này với công việc của trưởng khoa, giáo sư, hiệu trưởng. Ông sở hữu hơn bảy mươi công trình khoa học (toán học và thiên văn), sư phạm và khoa học đại chúng.

Trong số những học trò trực tiếp của Perevoshikov, đáng lẽ phải nhắc đến Nikolai Efimovich Zernov (1804-1862) đầu tiên. Một quá trình giáo dục toán học quan trọng và sự đổi mới của nó gắn liền với tên tuổi của ông. Đặc biệt, chính Zernov, sau người thầy của mình, là người đầu tiên bắt đầu giảng dạy một khóa học về lý thuyết xác suất tại trường đại học. Chủ đề luận văn thạc sĩ của Zernov, “Về chuyển động hàng ngày và hàng năm của Trái đất,” do giáo viên của ông gợi ý cho ông, và chủ đề luận án tiến sĩ của ông, “Bài giảng về sự xen kẽ của một phương trình với vi phân từng phần” (1837), do chính ông chọn. Điều thú vị cần lưu ý là đây là luận án tiến sĩ toán học đầu tiên được bảo vệ tại Đại học Moscow.

Các sự kiện vào tháng 12 năm 1825 đã ảnh hưởng rất nhiều đến hoạt động của trường đại học. Chỉ cần nói rằng trong số sinh viên đại học có ít nhất sáu mươi Kẻ lừa dối và một phần ba trong số họ là sinh viên và cựu sinh viên Khoa Vật lý và Toán học. Sự giám sát toàn diện được thiết lập trên toàn trường đại học, và cùng với việc áp dụng chương trình năm 1804, một cái gọi là kiểm duyệt ustav mới đã được đưa ra. Theo điều lệ này, trường đại học bị cấm xuất bản các công trình khoa học về khoa học tự nhiên, triết học và y học. Chỉ sách giáo khoa mới được phép in (tất nhiên là sau khi có bằng tiến sĩ tương ứng).

Tác phẩm nổi tiếng “Quá khứ và suy nghĩ” của A. I. Germen, tốt nghiệp Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Moscow, chứa đựng những hồi ký về các giáo sư, bạn cùng lớp và tầm quan trọng của cuộc sống đại học những năm 1829-1833. Đức đánh giá cao vai trò của Đại học Moscow trong sự phát triển văn hóa Nga:

“Trong lịch sử giáo dục Nga và trong cuộc sống của hai thế hệ trước, Đại học Moscow và Tsarskoye Rural Face đóng một vai trò quan trọng.

Đại học Moscow ngày càng trở nên quan trọng cùng với Moscow sau năm 1812; bị Hoàng đế Peter giáng chức khỏi thủ đô Sa hoàng, Moscow được Napoléon (dù muốn hay không muốn) thăng chức thành thủ đô của nhân dân Nga… Trong đó, trường đại học ngày càng trở thành trung tâm của nền giáo dục Nga”.

Theo German, Nicholas I không thích Đại học Moscow và gọi nó là “tổ ấm tự do”. Sự hiện diện của ông đã có tác động tiêu cực mạnh mẽ đến hoạt động của Đại học Moscow: việc tuyển sinh vào trường đại học rất khó khăn và số lượng sinh viên tại trường đại học giảm xuống. Điều này đặc biệt ảnh hưởng

6

N. D. Brashman

con cái của thường dân. Tuy nhiên, do các vấn đề về chính sách của chính phủ, thanh niên của trường đã phát triển các lý tưởng khoa học và sư phạm với sự trợ giúp của chương trình hỗ trợ và tìm cách thực hiện chúng vào cuộc sống.

Tinh thần tìm tòi sáng tạo và đổi mới giáo dục toán học đã được đưa vào Đại học Moscow, cùng với Perevoshikov, người gốc Moravia, Nikolai Dmitrievich Brashman (1796-1866). Gần như ngay lập tức sau khi tốt nghiệp Đại học Vienna, anh chuyển đến Nga. Lúc đầu, ông làm việc một thời gian rất ngắn ở St. Petersburg, sau đó chuyển đến Đại học Kazan và cuối cùng, vào năm 1834, ông chuyển đến Moscow và trở thành giáo sư tại Đại học Moscow. Moscow đã trở thành ngôi nhà thứ hai của ông. Tại đây, ông đã thể hiện khả năng của mình với tư cách là một nhà khoa học, nhà tổ chức khoa học và nhà giáo dục thế hệ trẻ khoa học. Ông đã xuất bản các bài báo khoa học, viết hướng dẫn nghiên cứu ban đầu, giảng bài và thực sự tìm kiếm những sinh viên tài năng, những người luôn tìm cách khuyến khích người Nhật khoa học độc lập. Ông đã đào tạo được một số nhà khoa học và giáo viên toán học xuất sắc. Trong số các học trò của ông, trước hết có các học giả P. L. Chebyshev (1821-1894) và I. I. Somov (1815-1876), cũng như giáo sư A. Yu. Davidov (1823-1886), cần được nhắc đến. Họ đã có những đóng góp đáng kể cho sự phát triển văn hóa toán học ở Nga. Brashman bắt nguồn từ sự quan tâm của các nhà toán học Matxcơva đối với các bài toán cơ học, đặc biệt là các bài toán thủy động lực học. Ở một mức độ nào đó, hoàn cảnh này đã ảnh hưởng đến sự hình thành dần dần của Trường Cơ học Mátxcơva, trường vào nửa sau thế kỷ 19 đã tạo ra những kết quả quan trọng trong việc phát triển thủy lực, cơ học vật rắn và thủy động lực học.

Quan điểm của N.D. Brashman về toán học được ông trình bày rõ ràng trong bài phát biểu “Về ảnh hưởng của khoa học toán học đến sự phát triển khả năng trí tuệ” mà ông đọc tại trường đại học vào ngày 17 tháng 6 năm 1841: “Một máy đo hình học không hoạt động chỉ để thỏa mãn tính nghiệp dư của anh ta: một nguồn cung cấp phong phú về dạng hình học, các ký hiệu phân tích và các hành động phức tạp của nó không phải là một sự khéo léo tinh thần quái dị đơn giản của người Nga, không phải là một thứ hiếm được sưu tầm cho những người nghiệp dư; ngược lại, nó là một kho vũ khí mạnh mẽ từ mà các nhà nghiên cứu về tự nhiên và công nghệ tận dụng những nguồn lực tốt nhất của họ.”

Năm 1864, Brushman nghỉ hưu nhưng ông không muốn và về mặt tâm lý cũng không thể chia tay với trường đại học. Đối với anh, trường đại học là tất cả: tổ ấm, gia đình, cuộc sống. Ông đã được phép thành lập giải thưởng dành cho sinh viên có công trình khoa học xuất sắc nhất về toán học và ông đã chuyển giao tất cả thông tin của mình cho giải thưởng đó. Giải thưởng này đã được trao thường xuyên trong năm mươi năm.

Ngay trước khi nghỉ hưu, ông đã mời các sinh viên, đồng nghiệp và các nhà toán học khác tập trung tại nhà để trao đổi những suy nghĩ khoa học và sư phạm, cũng như xem xét những nghiên cứu thú vị nhất đã được in ấn. Tại một cuộc họp vào ngày 15 tháng 9 năm 1864, người ta đã quyết định biến nhóm tư nhân này thành một hội toán học hoạt động thường xuyên. Brashman là chủ tịch duy nhất được bầu của xã hội. Các thành viên của hội chia nhau các lĩnh vực toán học mà họ đảm nhận thường xuyên theo dõi và kịp thời thông báo cho các đồng chí của mình về tất cả những kết quả mới ít nhiều thú vị.

Ngoài “nội dung tương hỗ trong nghiên cứu khoa học toán học”, xã hội mới được tổ chức còn phát triển một loạt các hoạt động phổ biến, giáo dục và văn học. Chẳng bao lâu sau, nhu cầu xuất bản một cơ quan báo chí của xã hội đã nảy sinh. lời giải này đã được thông qua vào tháng 4 năm 1865. Người ta cho rằng hai số của một tạp chí mới có tên “Bộ sưu tập toán học” sẽ được xuất bản hàng năm. Đây là tạp chí toán học đặc biệt đầu tiên ở Nga.

7

N. E. Zhukovsky

đồng bộ. Đây là cách một trong những tạp chí toán học có thẩm quyền nhất trên thế giới ra đời, trong đó, ngay từ những số đầu tiên, đã xuất bản các bài báo đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học. Để làm ví dụ, chúng tôi chỉ ra rằng trong tập thứ hai, bài báo nổi tiếng của P. L. Chebyshev đã được xuất bản, trong đó trình bày về luật số lớn và bằng chứng về tính đơn giản đặc biệt của nó.

Có rất nhiều thứ dành cho nghiên cứu toán học trong vài năm tới. Trước hết, cần lưu ý đến công trình nghiên cứu đáng chú ý của Nikolai Egorovich Zhukovsky (1847-1921) trong lĩnh vực thủy động lực học và khí động học. Ông đã đặt nền móng cho lý thuyết bay của các phương tiện nặng hơn không khí và đặt nền móng cho việc chế tạo máy bay của Liên Xô. Không có gì ngạc nhiên khi V.I. Lenin gọi Zhukovsky là “cha đẻ của ngành hàng không Nga”. Hơn nữa, cần lưu ý rằng nghiên cứu về lý thuyết phương trình vi phân và hình học, truyền thống của Đại học Moscow, tiếp tục phát triển trong suốt thế kỷ 19 và những thập kỷ qua của thế kỷ 20 hiện tại. Chúng ta sẽ nói về điều này sau.

Bây giờ tôi muốn lưu ý đến các tác phẩm của Viktor Viktorovich Bobinin (1849-1919), dành riêng cho lịch sử toán học. Lần đầu tiên, ông nhìn nhận các vấn đề của lịch sử khoa học như quy luật phát triển các ý tưởng khoa học của Nhật Bản, chứ không chỉ là cách trình bày tiểu sử khoa học của các nhà khoa học xuất sắc. Ông rất quan tâm đến việc nghiên cứu sự phát triển của toán học ở nước ta. Đặc biệt, ông chịu trách nhiệm mô tả khoa học một số bản thảo toán học cổ của Nga. Sau Cách mạng Tháng Mười vừa qua, Bobinin bắt đầu hoạt động với các tổ chức giáo dục của Liên Xô. Ủy ban Giáo dục Nhân dân đã ủy quyền cho ông viết cuốn “Lịch sử Toán học Nga” một tập và tác phẩm ba tập “Lịch sử Toán học Đại cương”. Thật không may, tác phẩm này đã không được hoàn thành do tác giả đã qua đời.

Công trình về lịch sử toán học của người Serbia đã được hồi sinh tại Đại học Moscow vào những năm ba mươi, khi nó do Giáo sư Sofya Aleksandrovna Yanovskaya (1896-1966) đứng đầu.

Một sự thay đổi đáng kể về nội dung và bản chất của giáo dục toán học sẽ diễn ra vào đầu thế kỷ 20 và gắn liền với tên tuổi của các giáo sư Dmitry Fedorovich Egorov (1869-1931) và Boleslav Kornelevich Mlodezevsky (1859-1923). Họ bắt đầu, ngoài các bài giảng và bài tập, còn tiến hành các cuộc hội thảo đặc biệt về các lĩnh vực toán học mới. Những người tham gia bộ sưu tập có nhiệm vụ làm quen với một số tác phẩm nhất định và chuẩn bị báo cáo dựa trên chúng. Sự đổi mới này hóa ra cực kỳ hữu ích vì nó có thể đưa sinh viên đại học và sinh viên sau đại học đến gần hơn với hoạt động khoa học tích cực một cách rất hiệu quả. Tại hội thảo, mỗi báo cáo và cùng với đó là mỗi ý tưởng toán học sẽ được hỗ trợ bởi một cuộc thảo luận toàn diện. Kết quả là, những câu hỏi mới nảy sinh đòi hỏi phải nghiên cứu bổ sung, các buổi hội thảo giảng dạy đã tạo cơ hội tích cực tham gia sáng tạo độc lập. Hình thức làm việc này hiện đang chiếm một vị trí nổi bật trong đời sống của trường đại học.

Vào năm 1901, Mlodezevsky đã tổ chức khóa học đặc biệt đầu tiên dành cho lý thuyết khoa học về hàm số thực, lý thuyết này đang được phát triển vào thời điểm đó. Trong thập kỷ tiếp theo, lĩnh vực toán học này trở thành trọng tâm chính của các nhà toán học trẻ liên giới tính sáng tạo tại Đại học Moscow. Sự phát triển hơn nữa của hướng này gắn liền với D. F. Egorov và N. N. Luzin (1883-1950). Trường phái lý thuyết hàm số thực là một trong những trang quan trọng nhất trong lịch sử toán học của Đại học Moscow. Nếu chỉ khóa học nói trên của Mlodezevsky và công trình của Egorov đã dẫn đến việc thành lập ngôi trường này, thì người sáng lập và truyền cảm hứng lâu dài của nó chắc chắn là Nikolai Nikolaevich Luzin. Nghiên cứu của ông 1911-1915 đã tạo nên

8

đề tài luận án tiến sĩ “Chuỗi tích phân và lượng giác” (1915), không chỉ trở thành cột mốc quan trọng trong sự phát triển của lý thuyết hàm số tại Đại học Moscow mà còn xác định sự phát triển của lý thuyết này cả ở Liên Xô và xa hơn trong một thời gian dài. Một số lượng lớn các câu hỏi chưa được giải quyết được Luzin đưa ra trong luận án này là chủ đề nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà toán học.

Những ý tưởng của lý thuyết này có ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của lý thuyết về hàm số phức. Đại diện nổi bật của hướng nghiên cứu này tại Đại học Moscow, nơi nhận được những ứng dụng quan trọng trong khí động học và thủy động lực học, là V. V. Golubev (1884-1954), I. I. Privalov (1891-1941), M. V. Keldysh (1911-1978). Đại diện lớn nhất của hướng nghiên cứu này là M. A. Lavrentiev, người có nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức không chỉ liên quan chặt chẽ đến khí động học và thủy động lực học mà còn với lý thuyết về phương trình vi phân.

Các nhà khoa học tại Đại học Moscow đã đạt được tiến bộ lớn trong lý thuyết về các phương trình vi phân - cả phương trình chung và phương trình riêng. Các tác phẩm của V.V. Stepanov (1889-1950), người đã phát triển thang đo mạnh trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân, I.G. Petrovsky (1901-1973) và A.N. Tikhonov, người từ nhiều vị trí khác nhau đã phát triển lý thuyết về phương trình vi phân theo các thứ tự tính toán tùy ý cụ thể, được coi là cổ điển.

Các nhà toán học đại học đã đạt được những thành công đáng kể trong lĩnh vực lý thuyết số. A. Vâng. Khinchin (1894-1959) thu được một số kết quả chức năng trong lĩnh vực lý thuyết số mét; L. G. Shirelman (1905-1938) đã chứng minh một cách rất cơ bản một thực tế thay thế trên đường dẫn Goldbach lời giải bài toán: mọi số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số hữu hạn các số hạng đơn giản. A. O. Gelfond (1906-1968) đã phát triển một phương pháp nghiên cứu thay thế cho phép ông chứng minh phỏng đoán sau, được D. Hilbert trình bày vào đầu thế kỷ này: bất kỳ số nào có dạng $a^\beta$, trong đó $\alpha$ và $\beta$ là các số đại số, và $\alpha \neq 0$ và $\alpha \neq 1$, và $\beta$ phi lý, là siêu việt.

Bắt đầu từ năm 1923, vòng tròn quan tâm của các nhà toán học Moscow bao gồm lý thuyết xác suất. A. Vâng. Khinchin là người tiên phong trong lĩnh vực này. Hai năm sau, A. N. Kolmogorov bắt đầu quan tâm đến các câu hỏi về lý thuyết xác suất. Từ giờ trở đi

D. F. Egorov

công việc thú vị bắt đầu chuyển đổi lý thuyết xác suất: các điều kiện cần thiết cho định luật số lớn đã được tìm thấy và thu được; liên quan đến các vấn đề vật lý, khái niệm về quá trình ngẫu nhiên đã được đưa ra và sự phát triển rộng rãi của lý thuyết cơ bản về các quá trình ngẫu nhiên đã được đưa ra; một cấu trúc tiên đề của lý thuyết xác suất đã được phát triển. Đây là cách trường phái lý thuyết xác suất Moscow ra đời, làm thay đổi bộ mặt của ngành khoa học này. Chỉ trong hơn 50 năm, người ta đã có thể phát triển nhiều nghiên cứu phát triển thành công cả các vấn đề lý thuyết của lý thuyết xác suất và vô số ứng dụng của nó. Chỉ cần nói rằng chỉ qua kiểm tra, họ mới trở thành giáo sư của các cơ sở giáo dục đại học, các học giả được bầu và các thành viên tương ứng. Hiện nay, sinh viên tốt nghiệp Đại học Moscow đã tạo ra các trường lý thuyết vững mạnh bên ngoài Đại học quốc gia Moscow: ở Cộng hòa Dân chủ Đức, Bulgaria và một số nước tài nguyên đồng minh.

Nhờ nỗ lực của O. Yu. Schmidt (1891-1956) và A. G. Kursh (1908-1971), một trường cộng đồng về đại số hiện đại được thành lập tại trường đại học và vượt xa biên giới của nó, trường này đã và đang có ảnh hưởng mạnh mẽ đến sự phát triển của hầu hết các lĩnh vực nghiên cứu đại số.

9

Một trong những điều kiện quan trọng nhất của toán học hiện đại là việc tạo ra lý thuyết toán học về điều khiển tối ưu của L. S. Pontryagin và các học trò của ông. Công việc trước đây của anh ấy đã xứng đáng mang lại cho anh ấy vị trí một trong những nhà tôpô hàng đầu.

Tại Đại học Moscow, nhiều lĩnh vực khác cũng đang phát triển thành công, mang lại những ý tưởng mới và kết quả sâu sắc cho toán học: giải tích hàm, logic toán, điều khiển học toán học, hình học, các bài toán tối ưu hóa và các bài toán điều khiển.

Cần phải nói vài lời về toán học tính toán. Trước Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, các phương pháp cổ điển đã được phát triển ở đây, bao gồm cả các phương pháp danh pháp. Kể từ cuối những năm 40 và đầu những năm 50, người ta đã thấy rõ rằng con đường chính dẫn đến tính toán gần đúng gắn liền với tính toán và lập trình điện tử. Theo nghĩa đen, ngay từ đầu, trong một thời gian đặc biệt ngắn, người ta đã có thể tạo ra một trường phái toán tính toán hiện đại mạnh mẽ, phát triển các phương pháp lập trình tính toán và logic mới bài toán để đưa chúng vào máy tính, các phương pháp lập mô hình thống kê và tự động hóa lập trình. Thông qua những nỗ lực của A. N. Tikhonov, một khoa đặc biệt về toán học tính toán và điều khiển học đã được thành lập từ Khoa Cơ học và Toán học vào đầu những năm 70, khoa này hàng năm đang có được sức mạnh và công nghệ trước những thách thức của thời đại chúng ta.

Matematika tại Đại học Moscow hiện đang phát triển không chỉ ở hai khoa toán mà còn ở các khoa vật lý và kinh tế, nơi có các khoa toán đặc biệt, cũng như khoa sinh học, nơi một phòng thí nghiệm thống kê toán học đặc biệt đã được thành lập.

Hiện tại, mỗi khoa trong số hai khoa toán của Đại học Moscow có số lượng sinh viên lớn hơn đáng kể so với toàn bộ trường đại học phân giải cây. Đại học Moscow hiện nay tiếp nhận nhiều sinh viên toán mỗi ngày hơn số sinh viên toán trên toàn nước Nga trước cách mạng. Chính hoàn cảnh đó - sự tràn vào không ngừng của mô hình - đã khiến cho trường đại học mãi mãi trẻ trung, có khả năng hồi sinh và mở rộng.

0. Yu. Shmidt

sự phát triển của những ý tưởng mới cả về khoa học và ứng dụng cũng như trong quá trình sư phạm.

Đại học Mátxcơva đã đến lễ kỷ niệm 220 năm thành lập với đầy đủ sức mạnh và kiến ​​thức khoa học. Nhân viên đại học có thể nhìn lại chặng đường họ đã đi với niềm tự hào. Sinh viên Đại học Mátxcơva đã tham gia các hoạt động và trực tiếp tham gia xây dựng chính quyền Xô Viết trên đất nước, đấu tranh chống tàn phá, xây dựng cơ sở khoa học kỹ thuật của nước ta, trên các mặt trận dân sự và các cuộc chiến tranh vệ quốc vĩ đại cũng như nâng cao khả năng phòng thủ của đất nước. Công nhân và những người ủng hộ nó hoạt động thành công trong mọi lĩnh vực kinh tế quốc dân, giáo dục, khoa học và văn hóa; trong nhiều lĩnh vực sáng tạo khoa học, họ tiếp tục những con đường mới và đưa nghiên cứu chức năng đã bắt đầu trước đó đi đến kết luận hợp lý.

Đại học Moscow biết rằng tương lai của nó gắn liền về mặt kỹ thuật với sự hồi sinh của mối quan tâm đến khoa học và các hoạt động ứng dụng trong học sinh ngày nay. Đó là lý do tại sao các nhà khoa học hàn lâm rất chú trọng làm việc với học sinh, giáo viên phổ thông và đại học cũng như công tác khoa học và tuyên truyền.

10

V. Gurevich

Biến động của đại lượng vật lý

Hãy xem xét một hệ thống vật lý bao gồm một số lượng rất lớn các nguyên tử hoặc phân tử. Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống macrosoppech. Chất khí đổ đầy bình, chất lỏng bão hòa trong bình, tinh thể rắn đều là những ví dụ về hệ thống macrosoppech.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta cần thay đổi một số đại lượng vật lý đặc trưng cho hệ vĩ mô. Ví dụ, đây có thể là khối lượng, điện tích, áp suất hoặc nhiệt độ của nó.

Bất kỳ thay đổi vật lý nào cũng được thực hiện với độ chính xác nhất định. Chúng tôi đã đi đến kết luận rằng tính chính xác của sự thay đổi, theo nguyên tắc, được xác định bởi thiết kế của thiết bị thay đổi. Thiết bị “xấu” cho độ chính xác thấp, thiết bị “tốt” cho độ chính xác cao. Ví dụ, cân phân tích cung cấp độ chính xác khối lượng lớn hơn khoảng mười nghìn lần so với cân bánh thông thường.

Nhưng phải chăng độ chính xác của sự thay đổi luôn được xác định bởi thiết kế của thiết bị thay đổi? Có thể tăng độ chính xác vô hạn của những thay đổi về đại lượng vật lý bằng cách cải tiến thiết kế này không? Hay có những hạn chế cơ bản, bắt nguồn từ chính bản chất của sự vật, đặt ra giới hạn cho độ chính xác có thể có của những thay đổi?

Để hiểu đáp số có thể là gì cho câu hỏi này, chúng ta hãy xem một ví dụ đơn giản. Hãy xem xét một bình chứa đầy khí đốt. Để khí ở áp suất khí quyển và nhiệt độ phòng, thể tích của bình là hai lít. Chúng ta hãy nhẩm chia chiếc bình thành hai phần, bên phải và bên trái, và quan sát khí, chẳng hạn như ở nửa bên trái của chiếc bình. Có bao nhiêu phân tử khí ở nửa bình này? Bạn có thể tính toán khoảng 2,5·1022. Chúng ta có thể tính toán hoặc thay đổi con số này chính xác hơn không? Ví dụ, về nguyên tắc có thể chỉ ra tất cả 23 chữ số của số này không, giả sử rằng cả nhiệt độ và áp suất của khí đều được biết với độ chính xác đủ?

11

Để hiểu điều này, hãy tưởng tượng rằng có một thiết bị đo rất chính xác có thể xác định có bao nhiêu phân tử khí tại một thời điểm nhất định trong một nửa bình đã chọn. Mặt khác, chúng ta biết rằng các phân tử khí trải qua chuyển động hỗn loạn, ngẫu nhiên (còn gọi là chuyển động nhiệt) theo mọi hướng, thỉnh thoảng va chạm với nhau và với thành bình. Do đó, bằng cách lặp lại các phép đo nhiều lần, theo quy luật, chúng ta sẽ thu được các số khác nhau mỗi lần. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: các phân tử di chuyển ngẫu nhiên và số lượng của chúng trong mỗi nửa bình rất có thể sẽ thay đổi theo từng thí nghiệm. Chúng tôi không thể xác định trước chính xác số lượng phân tử. Nhưng bạn luôn có thể tính xác suất để có một định nghĩa nào đó về số lượng của chúng. Dưới đây chúng tôi sẽ tính toán độ tin cậy này. Nhưng trước tiên, chúng ta hãy thử trả lời một câu hỏi đơn giản hơn: xác suất này là quan trọng nhất với số lượng phân tử nào, tức là sự phân bố phân tử đáng tin cậy nhất giữa hai nửa bình là bao nhiêu?

Hầu hết độc giả có thể sẽ nói rằng chẳng ích gì khi nghĩ về đáp số cho một câu hỏi như vậy. Nếu các phân tử được ký hiệu là 2N, thì rất có thể chúng sẽ được phân bố đều giữa cả hai nửa của bình, sao cho mỗi nửa chứa N phân tử.

Xác suất của phân phối quan trọng nhất này là gì? Để hiểu cách tính xác suất như vậy, chúng ta bắt đầu với trường hợp đơn giản nhất, khi N = 1, nghĩa là chỉ có hai phân tử trong bình. Các phân tử này có thể được phân phối giữa cả hai nửa bình theo bốn cách, được thể hiện trong Hình 1. Hai trong số bốn trường hợp, có một phân tử trong mỗi nửa bình. Nếu các phân tử có thể được coi là không tương tác thì vị trí của chúng là độc lập và mỗi phương pháp trong số bốn phương pháp được mô tả đều có xác suất như nhau. Do đó, xác suất phân bố đều các phân tử là $\frac{1}{2}$.

Khi tổng số phân tử là 2N thì số cách phân phối chúng giữa hai nửa bình là $2^{2N}$. Số phương pháp dẫn đến sự phân bố đồng đều, khi có N phân tử trong mỗi nửa bình, bằng số cách kết hợp của 2N x $N:C_{2N}^V = \frac{(2N)!}{(N!)^2}$. Xác suất giao nhau thu được của chúng ta, nếu số cách thực hiện phân phối bằng nhau giữa cả hai nửa được chia cho tổng số cách:

$$w = \frac{(2N)!}{2^{2N}(N!)^2}.$$

Với N=1, công thức chung này cho giá trị đã thu được $\frac{1}{2}$.

Xác suất dễ tính bằng công thức (1) khi N bằng một số nhỏ. Nhưng làm thế nào để tính được khi N khoảng 10$^{22}$? Trong trường hợp này, một công thức gần đúng đáng kể cho N!, công thức nào “hoạt động” càng chính xác thì số N càng lớn. Các phép tính được thực hiện bằng công thức này trong Phụ lục sẽ đưa ra

$$w = \frac{1}{\sqrt{\pi N}}.$$

Đối với bất kỳ bình chứa khí thực nào, đây là một giá trị rất nhỏ. Nếu, như trong ví dụ của chúng tôi, N=2,5·10$^{22}$, thì $\omega = 3,7·10^{-12}$. Và đây là một con số không đáng kể. Tại sao sự phân phối có khả năng xảy ra nhất là hoàn hảo? Để hiểu điều này, hãy tính xác suất $w(n)$ của sự phân bố như vậy khi ở nửa bên trái của bình, số phần hơi khác với N, cụ thể là bằng N+n và ở nửa bên phải, tương ứng với N—n. Từ “hơi khác” có nghĩa là chúng ta sẽ chỉ tính xác suất $w(n)$ đối với những n nhỏ hơn N trong giá trị tuyệt đối của thành phố.

Các tính toán trong Phụ lục đưa ra cho trường hợp này

$$w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} e^{-n^2/N},$$

trong đó e=2,71… là cơ số logarit tự nhiên.

Đồ thị của hàm số này được thể hiện trên Hình 2. Nó đối xứng qua trục tọa độ và có cực đại

12

tại $n=0$. Gần đến mức tối đa, đường cong thay đổi trơn tru và sau đó bắt đầu giảm mạnh. Sự giảm nhanh thường được đặc trưng bởi cái gọi là nửa chiều rộng của mức tối đa. Đây là phép đo khoảng cách giữa các hoành độ của những điểm trên đường cong có tọa độ thấp hơn $e$ lần so với tọa độ cực đại. Nửa chiều rộng của đường cong trong Hình 2 là $\sqrt{N}$. Khi $n$ vượt quá $\sqrt{N}$, $w(n)$ nhỏ hơn nhiều so với giá trị tối đa của nó.

Bây giờ hãy nhớ rằng tổng xác suất của tất cả các sự kiện có thể xảy ra, theo định nghĩa, bằng một:

$$\sum_{n=-N}^{N} w(n) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} \sum_{n} e^{-n^2/N} = 1.$$

Có bao nhiêu số hạng cần được tính đến trong tổng này? Có vẻ như câu hỏi này không có nhiều ý nghĩa. Chỉ cần nhìn vào giới hạn tổng là đủ để thấy rằng có tổng cộng $2N+1$ số hạng. Trên thực tế, bằng cách đặt câu hỏi như vậy, chúng ta muốn biết có bao nhiêu số hạng thực sự đóng góp vào tổng dưới dạng đóng góp thay thế. Thật vậy, đối với $n^2$, các thành phố lớn hơn $N$, các số hạng trở nên rất nhỏ và chúng có thể bị loại bỏ một cách đơn giản. Số số hạng hiện có trong tổng này vào cỡ $\sqrt{N}$. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy tổng số số hạng lớn hơn $\sqrt{N}$ vài lần, thì sai số cho phép, tức là chênh lệch giữa tổng và đơn vị, sẽ rất nhỏ.

Có một số tính chất vật lý thú vị đằng sau thực tế toán học của dự án này. Bằng cách thay đổi liên tục số lượng phân tử trong một nửa bình nhất định, rất có thể chúng ta sẽ không thu được số $N$. Mỗi lần sẽ thu được một số lượng phân tử mới - đôi khi nhiều hơn một chút $N$, đôi khi ít hơn một chút $N$.

Làm thế nào có thể mô tả được mức độ biến động như vậy? Xét cho cùng, $n$ mang những ý nghĩa khác nhau, tích cực và tiêu cực. Vì vậy, việc sử dụng các đại lượng sau đây để mô tả sự dao động là điều đương nhiên. Chúng tôi sẽ thực hiện tính trung bình cho một số lượng lớn các thay đổi hoặc tương tự như vậy, trong một khoảng thời gian khá lớn - xét cho cùng, chúng ta có thể tưởng tượng rằng các thay đổi được thực hiện tuần tự, lần lượt thay đổi, trong khoảng thời gian này. Tính trung bình sẽ được biểu thị bằng một đường trên giá trị được tính trung bình. Mục tiêu của chúng ta là tìm ra thước đo đại lượng về độ lớn của các dao động, tức là một con số nào đó đặc trưng cho “khoảng” của chúng, để chúng ta có thể so sánh độ lớn của các dao động trong các trường hợp khác nhau. Giá trị trung bình $\bar{n}$ có thể dùng làm thước đo như vậy không? Cần tìm gì $\bar{n}$, giá trị nào $n$ phải được nhân với xác suất xuất hiện của giá trị này và tính tổng trên tất cả $n$. Kết quả là chúng tôi nhận được:

$$\bar{n} = \sum_{n=-N}^{N} nw(n) = \sum_{n} \frac{1}{\sqrt{\pi N}} ne^{-n^2/N}.$$

Dễ dàng thấy rằng tổng này bằng 0. Thật vậy, với mỗi số $n$ có thể có một “cặp” với số $-n$ và hai số hạng như vậy cộng lại bằng 0. Điều này có nghĩa là $\bar{n}$ không thể dùng làm thước đo cường độ dao động. Điều này cũng có nghĩa là $N$ không chỉ là số bộ phận có khả năng xảy ra cao nhất trong một nửa bình nhất định mà còn là số trung bình của chúng.

Thước đo cường độ dao động có thể là dao động bình phương trung bình của số phần, nghĩa là giá trị trung bình $n^2$, bằng

$$\bar{n}^2 = \sum_{n=-N}^{N} n^2w(n).$$

Đại lượng này bằng $N/2$*, vì vậy công thức (3) bây giờ có thể được viết lại thành

$$w(n) = w(0)e^{-n^2/2n^2},$$

ở đâu $w(0) = \frac{1}{\sqrt{\pi N}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi n^2}}$. Căn bậc hai của $n^2$ được gọi là dao động bình phương trung bình của số phần. Trong trường hợp của chúng tôi, bình phương trung bình

*) Chúng tôi sẽ tính giá trị này trong Phụ lục.

13

dao động bằng

$$\sqrt{n^2} = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{2}}$$

Đại lượng này có ý nghĩa vật lý rõ ràng: nếu bạn thay đổi số lượng hạt trong một nửa bình, thì rất có thể nó sẽ khác với số lượng hạt trung bình theo các giá trị theo thứ tự dao động bình phương trung bình gốc (và dấu của sự khác biệt tương ứng có thể là bất kỳ).

Do đó, càng có nhiều hạt trong hệ thống thì dao động bình phương trung bình càng lớn. Tuy nhiên, khi số lượng hạt tăng lên, dao động bình phương trung bình không tăng tỷ lệ thuận với $N$ mà chậm hơn nhiều—tỷ lệ thuận với $\sqrt{N}$.

Bây giờ đã rõ độ chính xác tối đa là bao nhiêu để thay đổi số lượng phân tử trong một nửa bình nhất định. Độ chính xác này được xác định bởi độ lớn của dao động bình phương trung bình. Trong trường hợp của chúng tôi (khi thể tích của một nửa bình bằng một lít), dao động bình phương trung bình gốc là khoảng $2.2 \cdot 10^{11}$. Điều này có nghĩa là biểu thức số lượng phân tử phải được giữ tối đa là 11 chữ số có nghĩa đầu tiên. Nếu bạn thực hiện một loạt thay đổi với độ chính xác cao hơn thì 11 chữ số đầu tiên sẽ được lặp lại trong hầu hết các thay đổi (dao động vượt quá đáng kể giá trị trung bình có xác suất rất thấp), trong khi các chữ số khác sẽ thay đổi từ thay đổi này sang thay đổi khác một cách ngẫu nhiên.

Trong ví dụ đã cho, số chữ số có nghĩa tối đa có thể được giữ trong đáp số là rất lớn và tất nhiên, trên thực tế, giới hạn về độ chính xác của thay đổi được đặt ra bởi thiết kế của thiết bị. Tuy nhiên, con số này có thể nhỏ nếu số lượng phân tử khí trung bình trong một thể tích nhỏ thay đổi. Vì vậy, ví dụ, số lượng phân tử trung bình trong một micron khối ($10^{-18}M^3$) bằng $2.5 \cdot 10^7$ trong cùng điều kiện. Dao động bình phương trung bình trong trường hợp này là xấp xỉ $4 \cdot 10^3$, do đó, việc xác định số lượng phân tử trong một thể tích như vậy tối đa là bốn chữ số có nghĩa là hợp lý.

Hiện tượng dao động có thể được nhìn nhận từ một quan điểm hơi khác. Chúng ta hãy xem xét một thí nghiệm tưởng tượng trong đó một số lượng phân tử $n$ nhất định di chuyển từ nửa bên phải của bình sang bên trái, không phải do dao động tự phát mà do tác dụng của ngoại lực. (Số $n$ nhỏ so với $N$.) Công nào được thực hiện trong một chuyển động như vậy?

Đối với câu hỏi được đặt ra ở dạng này, đáp số được đưa ra dưới đây. Công thực hiện phụ thuộc vào cách các phân tử được di chuyển và thậm chí vào hình dạng của vật chứa. Thực tế là tùy thuộc vào điều kiện thí nghiệm, trước hết là vào tốc độ chuyển động của khí, chúng ta sẽ phải thực hiện công khác nhau chống lại lực ma sát ngăn không cho khí chảy dưới áp suất từ ​​nửa bình này sang nửa bình kia. Vì độ lớn của lực ma sát trong chất khí tỷ lệ với tốc độ nên tốc độ càng thấp thì công tác dụng lên lực ma sát càng ít. Công $A_{\min}$ sẽ được thực hiện ít nhất nếu khí di chuyển cực kỳ chậm. Và nếu chúng ta nói rằng chúng ta muốn tính chính xác công việc nhỏ nhất này, thì bài toán sẽ được hình thành như sau.

Làm thế nào có thể di chuyển số lượng phân tử khí đã chỉ định? Hãy tưởng tượng rằng một piston mỏng đi vào một bình chứa khí. Nó chia toàn bộ thể tích không chính xác làm đôi, nhưng theo cách sao cho có $N + n$ phân tử từ nó và $N - n$ ở bên phải. Chúng ta hãy bắt đầu di chuyển pít-tông sang trái, như được minh họa bằng mũi tên trong Hình 3, cho đến khi nó đạt đến điểm nửa được thể hiện bằng đường chấm, tại điểm đó nó chia thể tích của bình làm đôi. Người ta phải tính công do piston thực hiện đối với các lực áp suất của khí.

Điều gì xảy ra khi piston chuyển động? Di chuyển sang trái, piston nén khí ở phía bên trái của bình và giãn nở ở bên phải. Kết quả là áp suất ở bên trái tăng lên và áp suất ở bên phải giảm đi. Lực tác dụng lên pít-tông bằng tích của diện tích $S$ và chênh lệch áp suất giữa phần bên trái và bên phải của bình. Theo các điều kiện, $n$ nhỏ hơn $N$ rất nhiều, nghĩa là khoảng cách mà piston đi được nhỏ so với kích thước của bình. Do đó, theo phép tính gần đúng đầu tiên, chênh lệch áp suất có thể được coi là tỷ lệ thuận với đường dẫn này. (Hãy cố gắng tự đánh giá tính chính xác của nhận định này.) Sau đó, hãy làm việc $A_{\min}$

Hình 3.

14

Tích của đường đi và lực trung bình được tính toán. Lực trung bình bằng một nửa lực tác dụng lên pít-tông khi nó kết thúc chuyển động, tức là bằng một nửa giá trị $(p_1 - p_2)S$, trong đó $p_1$ và $p_2$ là các giá trị cuối cùng tương ứng của áp suất ở nửa bên trái và bên phải của bình. Do đó công việc

$$A_{\min} = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) v,$$

trong đó $v$ là thể tích của đám mây, được giới hạn bởi các đường nét liền và nét chấm trong Hình 3.

Chúng ta hãy biểu thị tổng thể tích của bình là 2V. Theo định luật Boyle-Marutt

$$p_1V = p(V + v), \quad p_2V = p(V - v),$$

Ở đâu

$$p_1 - p_2 = 2p \frac{v}{V}.$$

Như vậy,

$$A_{\min} = p \frac{v^2}{V}.$$

Với phương trình Clapeyron–Mendeleev mà chúng ta viết là $pV = NkT$ và xét rằng $v : V = n : N$, chúng ta có thể biểu thị biểu thức cho $A_{\min}$ ở dạng cuối cùng sau:

$$A_{\min} = kT \frac{n^2}{N}.$$

(6)

Bây giờ chúng ta quay lại công thức (3) cho $w(n)$. So sánh (3) và (6), ta thấy (3) có thể viết lại như sau:

$$w(n) = w(0) e^{-A_{\min}/kT}$$

(7)

(nhớ lại $w(0) = 1/\sqrt{\pi N}$). Đối với xác suất $w(n)$, chúng ta có một biểu thức - thông qua công thức Vadartinian trung bình cho số phần (xem (5)):

$$w(n) = w(0) e^{-n^2/2n^2}.$$

(hãy nhớ lại rằng công thức Vadartin trung bình là $\sqrt{n^2}$). So sánh biểu thức này với (7), chúng ta thấy rằng

$$\frac{n}{\sqrt{n^2}} = \sqrt{\frac{2A_{\min}}{kT}}.$$

(8)

Hệ thức (8) có nghĩa là mỗi công thức tương ứng với một số công cần thiết để tạo ra độ lệch công thức đã cho với sự trợ giúp của các ngoại lực! Nguồn gốc của công việc này trong trường hợp các công thức tự phát là năng lượng nhiệt được lưu trữ trong hệ thống. Trong ví dụ của chúng tôi, đây là năng lượng chuyển động tinh tế của các phân tử khí. Càng làm nhiều $A_{\min}$ thì công thức càng ít có khả năng xảy ra (7)

Hình 4.

15

được trình bày dưới dạng tổng quát, độc lập với thiết bị cụ thể của hệ thống vật lý, do đó, khi sử dụng nó, người ta có thể tính toán các dao động của bất kỳ đại lượng vật lý nào. Để làm điều này, bạn chỉ cần lấy công thức hoạt động của $A_{\min}$, công thức này phải được chạm vào để tạo dữ liệu độ lệch dao động. Bây giờ chúng ta sẽ thấy điều này được thực hiện như thế nào bằng cách sử dụng một số ví dụ.

Hãy bắt đầu bằng cách xem xét sự dao động về số lượng phần trong một thể tích $V$ chứa trung bình $N$ phần khí. Nhưng đồng thời, chúng ta sẽ cho rằng nó không giao tiếp với những người khác có cùng thể tích mà là một phần nhỏ của một bình chứa khí lớn. Biến thiên trung bình của dao động của số bộ phận trong trường hợp này sẽ thay đổi như thế nào so với các trường hợp được xem xét ở trên?

Từ các báo cáo vật lý, rõ ràng là nó sẽ tăng lên: các cơ hội bổ sung đã xuất hiện cho việc điều chế các phân tử thành thể tích $V$ hoặc dòng chảy ra từ nó. Nhưng được bao lâu?

Hãy tính công $A_{\min}$ cần thực hiện để chuyển $n$ phân tử thành thể tích $V$. Về cơ bản nó được coi là giống như trên. Sự khác biệt duy nhất là áp suất bên ngoài $p_2$, được thiết lập sau chuyển động, có thể được xem xét với độ chính xác đủ bằng áp suất ban đầu $p$; vì thể tích của toàn bộ bình thành phố phải lớn hơn thể tích $V$, nên sự thay đổi áp suất trong bình thành phố phải nhỏ hơn sự thay đổi áp suất trong thể tích $V$, và điều đó có thể tránh được. Tiến hành tính toán, chúng tôi nhận thấy

$$A_{\min} = \frac{1}{2} kT \frac{n^2}{N},$$

tức là chúng ta nhận được các giá trị cao bằng một nửa so với trên. Sử dụng công thức (8), chúng ta tìm được dao động biến thiên trung bình của số phần:

$$\sqrt{n^2} = \sqrt{N}.$$

Giá trị này lớn hơn $\sqrt{2}$ lần so với giá trị thu được trước đó của dao động biến thiên trung bình của số lượng bộ phận trong bình polyvine.

Một ví dụ khác, hãy xem xét các dao động trong mạch điện như trong Hình 5. Mạch bao gồm một tụ điện $C$ và một điện trở $R$ được mắc thành một vòng kín. Các điện tích trong điện trở trải qua chuyển động nhiệt, do đó có dòng điện dao động chạy qua điện trở, nghĩa là xuất hiện một điện tích dao động trên tụ điện.

Chúng tôi muốn tính dao động bình phương trung bình của điện tích này.

Hãy tính công $A_{\min}$ phải tiêu hao để truyền điện tích $Q$ cho tụ điện, tức là sạc nó đến điện áp $Q/C$. Điện áp trung bình trong quá trình sạc

$$w(Q) = w(0)e^{-Q^2/2CkT},$$

và bằng cách tương tự với (8), chúng ta có thể viết ngay biểu thức cho sự dao động điện tích trung bình:

$$\sqrt{Q^2} = Q \sqrt{\frac{kT}{2A_{\min}}} = \sqrt{CkT}.$$

Một ví dụ khác, hãy tìm tốc độ trung bình của bộ phận tham gia chuyển động của một số trục, ví dụ trục $X$. Chúng ta biểu thị hình chiếu vận tốc theo hướng này bằng $v_x$. Rõ ràng, trong trường hợp này $A_{\min}$ bằng động năng của phần $mv_x^2/2$, trong đó $m$ là khối lượng của hạt. Chúng ta có thể tính ngay tốc độ trung bình - bằng cách tương tự với công thức (8). Nó bằng nhau

$$\sqrt{v_x^2} = \sqrt{\frac{kT}{m}}.$$

Vì vậy, nếu khối lượng của hạt là $10^{-15}$ kg, ở nhiệt độ phòng $\sqrt{v_x^2} \approx 0,002$ m/s.

Để kết luận, chúng ta hãy chú ý đến một tình huống thú vị và quan trọng. Cả sự dao động điện tích trung bình trên tụ điện và sự dao động vận tốc trung bình đều càng lớn khi nhiệt độ càng cao. Điều này là tự nhiên, vì nhiệt độ là thước đo cường độ chuyển động nhiệt ngẫu nhiên của các phân tử, đóng vai trò như một sự dao động dễ chịu. Đối với chất khí, sự dao động trung bình về số lượng phân tử không phụ thuộc vào nhiệt độ. Nhưng bản thân công thức (5) vẫn đúng

16

chỉ ở nhiệt độ đủ cao. Khi nhiệt độ giảm, khí ngưng tụ thành chất lỏng và công thức (5) trở nên không thể áp dụng được, vì chuyển động của từng phân tử không thể được coi là độc lập.

Hãy tóm tắt một số kết quả. Một kết luận quan trọng được rút ra từ những điều trên. Về nguyên tắc, không phải tất cả các đại lượng vật lý đều được xác định với độ chính xác rất cao. Về nguyên tắc, chẳng hạn, có thể đo với bất kỳ độ chính xác nào về khối lượng, điện tích hoặc số lượng nguyên tử của bất kỳ vật thể cô lập nào. Những đại lượng này không dao động trừ khi cơ thể trao đổi các hạt với các cơ thể khác.

Ở đây chúng ta đã gặp những ví dụ về số lượng có thể dao động. Về nguyên tắc, việc xác định giá trị của chúng với độ chính xác không giới hạn là vô nghĩa. Chúng ta đã thấy rằng sẽ hợp lý khi xác định số lượng phân tử trong mỗi phần của bình chứa khí với độ chính xác của dao động bình phương trung bình. Điều tương tự cũng có thể nói về áp suất khí tác dụng lên thành bình. Nhiệt độ cũng dao động, và do đó, về bản chất, không thể thay đổi được với độ chính xác quá cao. Kích thước của một hệ vật lý hoặc số lượng nguyên tử trong nó càng nhỏ thì độ dao động tương đối của các đại lượng vật lý đặc trưng cho nó càng lớn và độ chính xác tương đối mà chúng có thể được thiết lập hoặc thay đổi càng kém.

Ứng dụng

Để thu được biểu thức (1), chúng tôi sử dụng công thức Stirling gần đúng cho $N!$, công thức này hợp lệ cho các giá trị lớn $N$. Công thức này trông giống như:

$$N! = \sqrt{2\pi N} e^{N(\ln N-1)},$$

trong đó $\ln$ biểu thị logarit lấy cơ số $e$. Số $N$ càng cao thì độ chính xác tương đối của công thức này càng cao; có thể chứng minh rằng sai số tương đối mà nó đưa ra nhỏ hơn $\frac{1}{8N}$. Hãy sử dụng nó để tính xác suất (1), chúng ta nhận được biểu thức (2).

Áp dụng công thức tương tự để tính xác suất

$$w(n) = \frac{(2n)!}{2^{2N}(N+n)!(N-n)!},$$

chúng tôi nhận được

$$w(n) = \frac{\sqrt{N}}{\sqrt{\pi(N^2-n^2)}} \times e^{2N\ln 2N-(N+n)\ln(N+n)-(N-n)\ln(N-n)}$$

Trong biểu thức dưới gốc, chúng ta đã giữ nguyên giá trị nhỏ $n^2$ so với giá trị lớn hơn $N^2$; thì hệ số trước hàm mũ hóa ra bằng $\frac{1}{\sqrt{\pi N}}$. Để tính biểu thức theo số mũ, chúng tôi trình bày một công thức hợp lệ cho bất kỳ $x$ dương hoặc âm nhỏ nào trong giá trị abscise:

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2}$$

(ví dụ: tại $|x| < 0,1$ công thức này đưa ra lỗi không vượt quá 0,4$x^3$). Kết quả là biểu thức (3), được đưa ra trong văn bản.

Chúng ta vẫn phải chứng minh rằng bình phương trung bình của dao động số lượng hạt (xem (4)) bằng $N/2$. Ý tưởng của bằng chứng rất đơn giản. Đầu tiên, chúng ta hãy nhớ lại cách chứng minh sự tương ứng đã biết.

$$\sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} = 2^{2N}.$$

Để làm điều này, chúng tôi xem xét việc mở rộng sinh học của hàm $f(x) = (1+x)^{2N}$. Cô ấy trông giống như

$$f(x) = \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} x^{n+n}.$$

Ngay sau đó tổng của $\sum C_{2N}^{n+n}$ là $f(1)=2^{2N}$.

Trong trường hợp của chúng tôi, để tính tổng (4),

bằng $2^{-2N} \sum_{n=-N}^{N} n^2 C_{2N}^{n+n}$, chúng ta cần tìm một hàm có khai triển sinh học sẽ có dạng

$$g(x) = \frac{1}{2^{2N}} \sum_{n=-N}^{N} C_{2N}^{n+n} n^2 x^n.$$

Sau đó $g(1)$ cho giá trị trung bình mong muốn $n^2$. Hãy tự kiểm tra xem $g(x)$ có ​​dạng

$$g(x) = \frac{N}{2^{2N}x^N} (1+x)^{2N-2} [N(1+x)^2-2(2N-1)x].$$

Do đó $g(1)=\frac{N}{2}$.

17

S. Ashmanov

Số và đa thức

Trong bài viết này, chúng ta sẽ nói về mối liên hệ giữa số phức và đa thức trong toán học.

Khi số lượng là không đủ

Có những con số khác nhau: tích cực và tiêu cực, hợp lý và vô tỷ, đại số và siêu việt. Lịch sử xuất hiện của mỗi lớp số lò xo mới thật đáng trân trọng và thậm chí đầy kịch tính.

Đối với chúng ta, một đối tượng khắc sâu như số âm đã là chủ đề tranh luận trong suốt thế kỷ. Chúng đã được biết đến từ thời cổ đại ở Ấn Độ, Trung Quốc và Babylon, nhưng những tranh cãi về bản chất của số âm và quyền tồn tại của chúng đã được tiến hành từ thời Newton vào cuối thế kỷ 17.

Lý do đưa ra số âm rõ ràng là do khó khăn khi giải phương trình dạng $x+a=b$ cho bất kỳ số dương nào $a$ và $b$.

Việc giới thiệu số hữu tỷ sẽ nảy sinh để giải phương trình có dạng $ax=b$, trong đó $a$ và $b$ là số nguyên ($a \neq 0$).

Sau khi tính hợp lý của số $\sqrt{2}$ được chứng minh ở Hy Lạp cổ đại, tức là không thể giải được phương trình $x^2=2$, chỉ có số hữu tỷ theo ý mình, nhân loại một lần nữa phải đối mặt với nhu cầu mở rộng dự trữ số của mình.

Bạn có thể mở rộng tập hợp số hữu tỷ để phương trình $x^2=2$ trong một tập hợp mới, rộng hơn có nghiệm, không chỉ như cách làm trong sách giáo khoa mà còn như sau:

Hãy nhập ký hiệu $j$ và đặt $j^2=2$. Chúng ta sẽ xem xét các biểu thức có dạng $a+bj$, trong đó $a$ và $b$ là các số hữu tỷ tùy ý.

Hãy xây dựng các quy tắc hành động đối với các ứng cử viên của chúng ta cho những con số mới:

$$(a_1+b_1j) + (a_2+b_2j) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)j;$$

$$(a_1+b_1j) (a_2+b_2j) = (a_1a_2+2b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)j.$$

19

Nếu bạn thêm tôi

Hãy thử, giống như chúng ta đã làm với trường số hữu tỷ và phương trình $x^2=2$, để mở rộng trường R của số thực bằng cách thêm vào đó “gốc” của phương trình $x^2+1=0$.

Đặt $i$ là một ký hiệu có đặc tính duy nhất là nó là nghiệm của phương trình $x^2+1=0$; nghĩa là, $i^2=-1$.

Hãy xem xét các biểu thức có dạng $a+bi$, trong đó $a$ và $b$ là các số thực tùy ý; Hãy gọi chúng là số phức. Hãy giới thiệu các quy tắc tính toán trên số phức:

$$\begin{align*} (a_1+b_1i) + (a_2+b_2i) &= (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i; \\ (a_1+b_1i) (a_2+b_2i) &= (a_1a_2-a_1b_2) + (b_1b_2+a_2b_1i). \end{align*}$$

Người đọc có thể dễ dàng chứng minh rằng tập hợp các số phức với phép cộng và phép nhân được xác định là một trường.

Thật dễ dàng để xác minh rằng các số phức có dạng $a+0i$ hoạt động giống như số thực. Do đó, số thực $a$ và số phức $a+0i$ có ​​thể được xác định với nhau. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể coi như chúng ta đã mở rộng trường số thực sang trường số phức. Trong trường phương trình rộng hơn này, $x^2+1=0$ có gốc: $i^2+1=0$ (và thậm chí có hai gốc: $(-i)^2+1=0)$.

Nhưng chúng tôi đã thêm những gì? Chỉ vì phương trình $x^2+1=0$ đã bén rễ? Hóa ra chúng tôi đã thêm nhiều thành phố hơn. Có một sự thay thế

Định lý cơ bản của đại số

Bất kỳ đa thức $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0$ nào có bậc khác 0 đều có ít nhất một nghiệm trong các phức số đa số (tất nhiên, số này cũng có thể là số thực).

Nỗ lực đầu tiên để chứng minh định lý này được thực hiện bởi d’Alembert vào năm 1746. Một bằng chứng chặt chẽ được Gauss đưa ra vào năm 1799.

Hóa ra định lý cơ bản của đại số không chỉ đúng với đa thức

phép cộng: 1. giao hoán, 2. kết hợp, 3. có số 0, 4. với mỗi phần tử của M có một phần tử đối diện;

phép nhân: 5. giao hoán, 6. kết hợp, 7. có một, 8. với mọi phần tử khác 0 của M đều có một nghịch đảo, 9. phân phối đối với phép cộng.

với các hệ số thực, mà còn cho các đa thức có hệ số phức (hoặc, như người ta thường nói, đối với các đa thức trên một trường số phức).

Định lý cơ bản của Đại số cho phép chúng ta đưa ra một đáp số một cách tao nhã cho câu hỏi một đa thức bậc $n$ tùy ý có bao nhiêu nghiệm, nếu chúng ta xem xét các đa thức trên trường phức số.

Để hình thành đáp số này, chúng ta cần khái niệm “bội số” (căn gốc của một đa thức) và khái niệm này được xác định thông qua khái niệm “một đa thức chia hết cho một đa thức khác”. Một đa thức $P_1(x)$ được gọi là chia hết cho đa thức $P_2(x)$ nếu có một đa thức $q(x)$ sao cho $P_1(x) = q(x) \cdot P_2(x)$.

Khái niệm “chia” và “căn” Định lý 1. Số a là một ngón chân và chỉ một ngón chân là nghiệm của đa thức $P(x)$, dây $P(x)$ chia hết cho $x$-a.

Định lý 1 không khó để bạn tự chứng minh. (Tại cái vạc và e. Chia bằng một “góc”.).

Có thể đa thức $P(x)$ bậc $n$ sẽ không chỉ chia hết cho $x$-a mà còn chia hết cho một mức nào đó $x$-a. Theo những điều kiện này, a được gọi là căn bậc $k$ của đa thức $P(x)$ nếu $P(x)$ chia hết cho $(x-a)^k$ nhưng không chia hết cho $(x-a)^{k+1}$. (Ví dụ: số 1 là căn bậc hai của đa thức

$$P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)^2(x+3).$$

Teler có thể dễ dàng được chứng minh

Định lý 2. Mọi đa thức $P(x)$ bậc $n$ (với hệ số thực hoặc hệ số phức) có trong trường phức của nó có chính xác $n$ nghiệm (trong đó tất nhiên có thể có số thực), nếu mỗi nghiệm chỉ được tính một lần thì bội số của nó là bao nhiêu.

Bằng chứng. Theo định lý cơ bản của đại số, đa thức $P(x)$ có các phức có chính xác là $n$ nghiệm trong trường. Giả sử rằng $a_1$ là nghiệm của đa thức $P(x)$. Theo Định lý 1 $P(x) = (x-a_1)q(x)$, trong đó $q(x)$ là đa thức bậc $n-1$. (Hơn nữa, các hệ số của đa thức $P(x)$ là số thực; đa thức $q(x)$ sẽ là nếu $a_1$ là một nghiệm phức và có hệ số phức.)

Chúng ta hãy áp dụng thêm cách suy luận tương tự cho đa thức $q(x)$. Theo định lý cơ bản của đại số, có nghiệm $a_2$ của đa thức $q(x)$, sao cho $q(x) = (x-a_2)h(x)$, trong đó $h(x)$ là đa thức có bậc đã là $n-2$. Lặp lại lý do này $n-1$ lần (tất nhiên là áp dụng khi

20

trình bày chặt chẽ các nguyên lý quy nạp toán học), cuối cùng chúng ta sẽ đi đến phân tích

$$P(x) = a_n (x - a_1) (x - a_2) \dots (x - a_n),$$

trong đó $a_n$ là hệ số bậc cao nhất $x^n$ của đa thức $P(x)$.

Từ danh tính (*), không chỉ suy ra rằng các số phức $a_1, a_2, \dots, a_n$ (trung bình của chúng có thể bằng nhau!) là nghiệm của đa thức $P(x)$, mà còn cho thấy đa thức này không có nghiệm nào khác. Thật vậy, nếu số $\beta$ là đa thức của đa thức $P(x)$, thì

$$P(\beta) = a_n (\beta - a_1) (\beta - a_2) \dots (\beta - a_n).$$

Nhưng tích của các số phức bằng 0 khi và chỉ khi một trong các thành phần bằng 0 (đây là bằng chứng). Do đó, một trong các thành phần bằng 0, tức là $\beta = a_i$. Điều này hoàn thành việc chứng minh Định lý 2.

Khi khoa học phát triển, rõ ràng là không thể thực hiện được nếu không có số phức trong những vấn đề “thực tế” nhất. Khi máy bay xuất hiện, cần phải có lý thuyết về luồng không khí xung quanh cánh máy bay. Hóa ra ngôn ngữ tự nhiên nhất để mô tả một quá trình như vậy, tức là ngôn ngữ khí động học, là lý thuyết về hàm số phức! Vì vậy, khi bạn nhìn thấy một chiếc máy bay hiện đại, hãy biết rằng nó được tạo ra bởi rất nhiều nhà thiết kế, kỹ sư, công nhân và… số phức. Điều tương tự cũng có thể nói về khoa học về nước chảy quanh con tàu - thủy động lực học. Bạn có biết một món đồ chơi khác - Vanka-insert không? Bạn đưa Vanka vào giấc ngủ, anh ấy lập tức bật dậy - anh ấy có tư thế ổn định nhất khi đứng. Lý thuyết toán học về tính ổn định giải quyết các câu hỏi tương tự cho các thành phố có hệ thống cơ, điện và các hệ thống khác phức tạp hơn. Và một lần nữa, hóa ra đáp số về việc hệ thống có ổn định hay không nằm ở tính chất của số phức, vốn là gốc của một đa thức nhất định đặc trưng cho hệ thống đang được xem xét.

Máy bay hiện đại và Vanka-insert - đây là phạm vi hoạt động của số phức. Chúng tôi chỉ đưa ra một số lĩnh vực ứng dụng của họ, vì tất cả những điều trên đều không thể thực hiện được. Dưới đây là những con số tối thiểu dành cho bạn!

Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra, bằng ví dụ, số phức đã giúp trả lời một số câu hỏi quan trọng về đa thức với hệ số thực như thế nào.

Đa thức tương tự như số nguyên tố

Xét tập hợp tất cả các đa thức có bậc tùy ý trong biến $x$. Bạn có khả năng cộng các phần tử biến của đa thức này, tức là các đa thức và bạn biết cách phân tách chúng thành các đa thức.

Điều này rất giống với những gì bạn có thể làm với số tự nhiên. Bạn cũng có thể phân tích các số tự nhiên thành đa thức đơn giản. Bạn có thể biết rằng điều này luôn có thể được thực hiện và hơn nữa, theo cách duy nhất.

Vai trò của số nguyên tố trong lý thuyết đa thức được thực hiện bởi cái gọi là đa thức tối giản. Một đa thức $P(x)$ bậc $n > 0$ được gọi là tối giản nếu nó không chia hết cho bất kỳ đa thức bậc $0 < s < n$ nào.

Một sự tương tự của phát biểu về việc phân tích một số tự nhiên bất kỳ thành tích của các đa thức đơn giản nghe như sau:

Định lý 3. Mọi đa thức có bậc khác 0 đều phân tích thành tích các đa thức tối giản:

$$P(x) = P_1(x)P_2(x) \dots P_m(x),$$

và khai triển này là sự thống nhất của bậc do và đa thức bậc 0*).

Chứng minh Định lý 2, chúng ta thu được rằng mọi đa thức $P(x)$ bậc $n$ đều có thể phân tích trên trường số phức thành tích tuyến tính (tức là bậc một) khả quy (*)).

Như vậy, trên trường số phức cấp khác 0 và cấp khác 0.

Những đa thức nào khác 0 trên trường số thực? Dù ở quốc gia nào, số phức cũng sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi này.

Cho $z = a + bi$ là một số phức tùy ý. Trên bề mặt phức tạp, số $z = a - bi$ liên hợp với số $z$.

Chúng ta cần Định lý 4. Nếu $z$ là nghiệm của đa thức $P(x)$ với các hệ số thực thì $u$ $z$ là nghiệm của nó.

Để chứng minh điều này, ta lưu ý các tính chất sau của phép lấy số liên hợp $z$:

1. Liên hợp của số $z$ với liên hợp của số $z$ giống với số phức ban đầu $z$.
2. Số $z$ bằng độ lệch của số $z$ khi và chỉ khi $z$ là số thực.
3. Liên hợp của tổng các số phức liên hợp với các số hạng:

$$z_1 + z_2 = z_1 + z_2.$$

4. Số liên hợp của một tích bằng tích của các số liên hợp với số phức:

$$z_1 \cdot z_2 = z_1 \cdot z_2.$$

*) Để chứng minh Định lý 3, xem ví dụ «Kvant», 1976, số 8, tr. 15.

21

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, có thể chỉ ra rằng Quy tắc 3 và 4 áp dụng cho tổng và tích của nhiều hơn hai số:

$$\frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m} = \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m}$$

cụ thể là $\bar{z}^m = (\bar{z})^m$.

5. Tích của đa thức $x - z$ và $x - \bar{z}$ là đa thức có hệ số thực:

$$(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2).$$

Chứng minh định lý 4. Giả sử

$$P(x) = a_n x^n + a_n \frac{1}{x^{n-1}} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$$

trong đó $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ là số thực, $z$ là nghiệm của đa thức này. Sau đó

$$0 = P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0.$$

Hãy sử dụng thuộc tính của thao tác ghép nối:

$$0 = \bar{P}(z) = \frac{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0}{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0} = P(\bar{z}).$$

Định lý 4 đã được chứng minh.

Từ Định lý 4 dễ dàng suy ra

Định lý 5. Một đa thức có hệ số thực có số nghiệm chẵn.

Trên thực tế, theo Định lý 4, các nghiệm không thực của đa thức có hệ số thực “đi theo cặp”: $(z; \bar{z})$.

Nó ngay lập tức suy ra từ Định lý 5

Định lý 6. Một đa thức bậc lẻ có hệ số thực có ít nhất một nghiệm thực.

Theo định lý cơ bản của đại số, đa thức này có số nghiệm lẻ (bằng bậc của nó), do đó, theo Định lý 5, chúng không thể đều là nghiệm không thực.

Với sự trợ giúp của số phức, chúng ta đã chứng minh được một định lý hoàn toàn “thực”. Nhưng điều quan trọng và thú vị hơn nhiều là sự thật sau đây:

Định lý 7. Bất kỳ đa thức nào có hệ số thực có bậc lớn hơn 2 đều có thể rút gọn về trường số thực.

Bằng chứng. Nếu đa thức $P(x)$ có nghiệm thực $a$ thì $P(x) = q(x) \cdot (x - a)$. Từ chứng minh Định lý 1 mà bạn đã đưa ra, rõ ràng $q(x)$ là một đa thức có hệ số thực. Do đó, trong trường hợp này, $P(x)$ là một rút gọn của hai đa thức có hệ số thực, tức là $P(x)$ có thể rút gọn về trường số thực.

Giả sử bây giờ tất cả các nghiệm $z_1, z_2, \ldots, z_m$ của đa thức $P(x)$ không có thực. Theo Định lý 6 $n$ là số chẵn và

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - z_2) \ldots (x - z_n).$$

Chia các gốc $z_1, \ldots, z_n$ thành các cặp liên hợp có dạng $(z_i; \bar{z}_i)$ và viết $P(x)$ như thế này:

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - \bar{z}_1) (x - z_2) (x - \bar{z}_2) \times \ldots \times (x - z_k) (x - \bar{z}_k);$$

đây $k = \frac{n}{2}$.

Mỗi đa thức $P_i(x) = (x - z_i) \times (x - \bar{z}_i)$, $i = 1, 2, \ldots, k$, như chúng ta đã thấy, có các hệ số thực. Do đó, đa thức $P(x) = a_n P_1(x) P_2(x) \ldots P_k(x)$ có ​​thể rút gọn về trường số thực - xét cho cùng, đây là tích của ít nhất hai thừa số (từ $n > 2$ nó dẫn đến $k > 1$).

Do đó, kết luận cuối cùng về tính không dẫn điện của đa thức trên trường số thực như sau:

Định lý 8. Chỉ các đa thức bậc một và đa thức bậc hai có phân biệt âm là khả quy trên trường số thực.

Kết quả. Bất kỳ đa thức nào có hệ số thực đều có thể phân tích thành tích của đa thức bậc một và bậc hai có hệ số thực.

Chúng ta vẫn chưa nói về điều gì? Về vai trò của đa thức trong lời giải các làng bài toán quan trọng - bài toán về phép chia ba một góc, bình phương của một hình tròn và nhân đôi của một hình lập phương. Về cách chàng trai trẻ Niels Abel chứng minh rằng không có công thức nào để tìm nghiệm của đa thức bậc trên 4; Evariste Galya thậm chí còn trẻ hơn đã giải quyết hoàn toàn bài toán phương trình lời giải theo căn thức như thế nào. Cuối cùng, chúng ta vẫn chưa chứng minh được định lý cơ bản của đại số…

Không, tác giả phải thừa nhận rằng mình đã đảm nhận một nhiệm vụ bất khả thi bài toán; Anh kiệt sức đặt bút xuống và yêu cầu người đọc đừng quá khắt khe.

22

3. Kerimov

Làm thế nào để tìm thấy toàn bộ gốc?

Giả sử chúng ta cần giải phương trình
$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0.$$ (1)

Nếu $n = 1$ hoặc $n = 2$, chúng ta có thể làm được - có công thức trong sách giáo khoa ở trường. Nếu $n = 3$ hoặc $n = 4$ thì các công thức tương tự đều tồn tại («Kvant», 1976, Số 9), tuy nhiên, chúng khá cồng kềnh. Nếu $n > 4$, thì những công thức như vậy đơn giản là không tồn tại - không phải “không tìm thấy”, nhưng người ta đã chứng minh rằng chúng không tồn tại («Kvant», 1976, Số 5, trang 6). Làm thế nào điều này có thể được? Làm thế nào tìm được gốc của phương trình “quyền hạn cao hơn”?

Để tìm nghiệm nguyên của một phương trình có hệ số nguyên*), bạn có thể sử dụng điều kiện đủ sau: nếu $l$ là nghiệm nguyên của phương trình (1) có hệ số nguyên thì $l$ là ước số của celene tự do $a_n$.

Thật vậy, nếu $l$ là nghiệm của phương trình (1), thì
$$a_n = l(-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1}).$$ (2)

Nếu $l \in \mathbb{Z}$ và các hệ số $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$, $a_n$ cũng là số nguyên thì $-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1} \in \mathbb{Z}$ và (2) có nghĩa là $a_n$ chia hết cho $l^{**}$).

Vì vậy, nếu chúng ta nhìn vào mọi thứ - tích cực và tiêu cực! là các ước của số $a_n$ và chúng ta sẽ kiểm tra từng số đó xem nó có phải là nghiệm hay không; chúng ta sẽ tìm (nếu có!) tất cả các nghiệm nguyên.

*) Tuy nhiên, một phương trình có hệ số hữu tỉ có thể dễ dàng được thay thế bằng một phương trình tương đương có hệ số nguyên. Làm sao?

**) Khái niệm “số chia” và “số chia” được xác định cho số nguyên.

Ví dụ 1. Số hạng tự do của phương trình
$$3x^3+5x^2+x-46=0$$ (3)

các ước số sau: ±1, ±2, ±23, ±46. Bằng cách kiểm tra các ước “nhỏ” (±1, ±2), chúng ta thấy rằng 2 là nghiệm của phương trình (3). Hơn nữa, người ta có thể kiểm tra các ước số “lớn” (tuy nhiên, đối với phương trình cụ thể này, không cần tính toán đầy đủ, rất dễ thấy rằng không có số ±23, ±46 nào là nghiệm), nhưng như người ta nói, sẽ dễ dàng hơn để hạ thấp bậc của phương trình bằng cách sử dụng một mệnh đề dễ chứng minh: số $l$ nếu và chỉ khi đó là nghiệm của đa thức $f(x)$ khi $f(x)$ chia hết cho $x-l^*$): Vì 2 là nghiệm của phương trình (3) nên đa thức $3x^3+5x^2+x-46$ chia hết cho $x-2$. Hãy tìm thương số.

$$\frac{3x^3+5x^2+x-46}{3x^3-6x^2} = \frac{x-2}{3x^2+11x+23}$$

Vì vậy, $3x^3+5x^2+x-46 = (x-2)(3x^2+11x+23)$. Điều này có nghĩa là cùng với phương trình bậc ba (3), giờ đây chúng ta có thể giải phương trình bậc hai $3x^2+11x+23 = 0$. Phương trình cuối cùng này không có nghiệm (thực). Điều này có nghĩa là phương trình (3) có một nghiệm 2.

Ví dụ 2. Số hạng tự do của phương trình
$$x^4-17x^3+77x^2-85x+360=0$$ (4)

có rất nhiều ước số: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, ±24, ±30, ±36, ±40, ±45, ±60, ±72, ±90, ±120, ±180, ±360. Thay thế tất cả chúng ở vế trái của phương trình không phải là một công việc đáng làm. Đúng, rõ ràng là phương trình này không thể có nghiệm âm, nhưng vẫn sẽ còn lại 24 ước số.

Chúng ta hãy sử dụng cách khái quát hóa sau đây từ phát biểu trên về các nghiệm nguyên: nếu $l$ là một nghiệm nguyên của phương trình (1) với các hệ số nguyên, thì với mọi $m \in \mathbb{Z}$ sự khác biệt $m-l$ là ước của một số $f(m)$ (ở đây qua $f(x)$ được đánh dấu bằng nhiều

*) Xem bài viết của S. Ashmanov “Số và đa thức”, tr. 17.

23

số hạng ở vế trái của phương trình (1) *).

Thật vậy, nếu $l$ là nghiệm của phương trình (1), thì $f(l) = 0$ và

$$f(m) = f(m) - f(l) = a_0(m^n - l^n) + a_1(m^{n-1} - l^{n-1}) + \dots + a_{n-1}(m - l).$$

Đối với mục tiêu $m$ và $l$, dấu ngoặc nào chia hết cho $m - l$, nghĩa là $f(m)$ cũng chia hết cho $m - l$.

Vì vậy, chỉ cần tìm toàn bộ căn giữa các số có dạng $m + p^*$), trong đó $p$ là ước số của số $f(m)$ và “mức độ tự do” - việc lựa chọn số $m$ - nằm trong khả năng của chúng tôi. Rõ ràng là dễ dàng hơn khi không đi qua các ước của số $f(m)$, mà là xem xét sự khác biệt $m - l$ đối với các ước số $l$ của số hạng tự do.

Hãy quay lại ví dụ 2. Hãy

$$f(x) = x^4 - 17x^3 + 77x^2 - 85x + 360.$$

Hãy bắt đầu với ước số 1. Hãy bắt đầu với ước số 1.

*) Với $m = 0$, có thể dễ dàng thu được phát biểu ban đầu từ đây.

**) Tại sao chúng ta viết $m + p$ mà không phải $m - p$?

M. V. Lomonosov
và Đại học Mátxcơva

Việc thành lập Đại học Mátxcơva gắn bó chặt chẽ với tên gọi khối tài sản lớn được nhà nước trao cho nhà khoa học-nugget người Nga M.V. Lomonosov (1711-1765).

Bức thư của MV Lomonosov bắt đầu từ năm 1748, nơi ông đưa ra quan điểm của mình về các quy định của trường đại học và; một phần, chỉ ra rằng “trường đại học nhất thiết phải có khoa thứ ba: luật, y học và triết học (tôi để lại thần học cho các trường đồng nghị), trong đó sẽ đào tạo ra các thạc sĩ, bằng cấp và bác sĩ”. Năm 1754, M.V. Lomonosov đã vạch ra một dự án tổ chức Đại học Moscow và hai phòng tập thể dục gắn liền với nó. Cuối cùng, vào tháng 1 năm 1755, các dịch vụ tràn đầy năng lượng của M.V. Lomonosov phát triển nhanh chóng: sắc lệnh thành lập Đại học Moscow được ban hành. Điều mang tính biểu tượng là tòa nhà ban đầu đặt trường đại học đầu tiên của Nga nằm trên Quảng trường Đỏ, cạnh Điện Kremlin - tại vị trí mà Bảo tàng Lịch sử ngày nay tọa lạc.

Năm 1940, theo Nghị định của Đoàn Chủ tịch Xô Viết Tối cao Liên Xô, Đại học Quốc gia Moscow được đặt theo tên của người sáng lập. Năm 1961, nhân kỷ niệm 250 năm ngày sinh của M.V. Lomonosov, một huy chương đồng kỷ niệm trên mặt bàn đã được phát hành, một phần, mô tả đường viền của Tòa nhà chính của Đại học Quốc gia Moscow trên Đồi Lenin (bạn có thể thấy huy chương này trong hình).

N.H.

24

Lên mặt phẳng nghiêng

Chúng tôi cung cấp cho bạn một kinh nghiệm để đánh giá cái cũ và rất giống với thủ thuật.

Lấy hai hình nón giống hệt nhau, ví dụ, làm bằng gỗ, nhựa hoặc kim loại (chất liệu không quan trọng chút nào). Các hình nón có thể đặc hoặc rỗng, miễn là chúng không quá nhẹ. Nối các hình nón chắc chắn với các đế (ví dụ: dán chúng lại với nhau) và sao cho các hình nón nhất thiết phải trùng khớp. Đối với thí nghiệm, bạn cũng sẽ chỉ cần một cuốn sách cũ và hai cây gậy dài giống hệt nhau.

Đặt cuốn sách lên bàn và sắp xếp các thanh sao cho một đầu tựa vào mép sách, đầu kia trên bàn và ở cùng một vị trí. Nói tóm lại, các thanh và mép của cuốn sách phải tạo thành một loại “mặt phẳng nghiêng” có hình tam giác đều (Hình 1).

Bây giờ lấy các hình nón đã cố định và đặt chúng lên các thanh, đồng thời trục của các hình nón phải nằm ngang. Ngay khi bạn làm điều này, bạn sẽ thấy rằng bản thân các hình nón, không cần đẩy, sẽ xuất hiện trên một mặt phẳng nghiêng… không phải vù vù mà hướng lên trên, đặt câu hỏi về kinh nghiệm thông thường và lẽ thường.

Bí mật của thủ thuật này là gì? Tất nhiên, không có phép lạ nào ở đây. Nó chỉ đơn giản là nếu đáp ứng một số điều kiện nhất định, thì tâm của các hình nón trong quá trình “lăn” lên trên sẽ không tăng lên mà sẽ giảm xuống. Thoạt nhìn, chính lực hấp dẫn là nguyên nhân gây ra những chuyển động bất thường như vậy.

Phải đáp ứng những điều kiện gì? Hãy xem xét vấn đề này chi tiết hơn. Chúng ta hãy biểu thị góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời bằng α, góc giữa các thanh là 2β và góc ở đỉnh của hình nón là 2γ (Hình 2). Cho các côn chuyển động hướng lên trên dọc theo các thanh dẫn hướng từ vị trí I đến vị trí II, l₁ và l₂ là các khoảng cách tương ứng giữa các điểm tiếp xúc của nón với các cọc.

Từ Hình 2, rõ ràng là so với các điểm tiếp xúc, trọng tâm của hình nón giảm (theo chiều dọc) một lượng

$$H = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma.$$

Các điểm tiếp xúc tự nâng lên một cách tự nhiên, độ cao tăng lên của chúng bằng nhau (xem Hình 2, b)

$$h = |MN| \sin \alpha = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha.$$

Bây giờ không khó để xây dựng các điều kiện để các hình nón “cuộn” lên một mặt phẳng nghiêng. Rõ ràng, để làm được điều này thì yêu cầu H > h phải được đáp ứng:

$$\frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma > \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha,$$

hoặc

$$\sin \alpha < \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

Chỉ trong trường hợp này, trọng lượng của hình nón mới giảm khi hình nón di chuyển lên trên mặt phẳng.

Nếu bất đẳng thức ngược lại xảy ra

$$\sin \alpha > \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

các hình nón sẽ thực sự lăn khỏi mặt phẳng, tức là đi xuống.

Cho rằng

$$\sin \alpha = \text{tg} \beta \text{tg} \gamma$$

các hình nón sẽ nghiêng

25

ĐIỀN
MÁY BAY
ĐA GIÁC.

Hãy nhìn kỹ vào cấu hình hiển thị trên trang bìa đầu tiên: nó được tạo thành từ một số lượng lớn các hình ngũ giác tắc nghẽn. Những hình ngũ giác này không lồi; hình dạng bất thường của chúng giống với chữ S trong tiếng Latin (xem bìa). Hóa ra cấu hình có thể được tiếp tục vô thời hạn; đồng thời, các hình ngũ giác tiếp tục bung ra theo hình “xoắn ốc kép” và lấp đầy toàn bộ mặt phẳng (không có khoảng trống hoặc chồng lên nhau). Điều này đã được chứng minh vào năm 1937 bởi người tạo ra nó, nhà toán học người Đức H. Wordenburr.

Bài toán lấp đầy mặt phẳng của đa giác đã được thảo luận nhiều lần trên các trang tạp chí của chúng tôi. Một phần, vào năm «Kvant» 1979, số 2, tr. 9 việc phân loại sàn gỗ đã được đưa ra vào năm «Kvant» 1972, số 8, tr. 41 - kính vạn hoa. Không giống như cấu hình của chúng ta, sàn gỗ và kính vạn hoa có những đặc tính đơn giản về tính đều đặn và tính tuần hoàn. Một phần, tất cả các đỉnh của chúng đều có cấu trúc giống hệt nhau; chúng có thể được gấp lại thành chính mình với sự trợ giúp của nhiều thay đổi khác nhau. Cấu hình của chúng tôi có một tập hợp các đỉnh thuộc các loại khác nhau (liền kề với chúng là 18, 7, 6 hoặc 5 đa giác) và chỉ có một chuyển động không giống hệt nhau (cái nào?) chuyển hình vào chính nó.

Cố gắng tự mình nghĩ ra các mặt phẳng cắt tương tự bằng cách sử dụng các đa giác giống hệt nhau. Nếu chủ đề này khiến bạn quan tâm hoặc nếu bạn sản xuất những bức tranh màu đỏ, hãy viết thư cho chúng tôi. Sau đó chúng ta sẽ quay lại những vấn đề này.

26

vòng tròn toán học

N. Vaeuten

Cách chia số

Bạn có thể đọc bài viết này (hoặc tiến hành một bài học vòng tròn toán học dựa trên nó) theo nhiều cách khác nhau. Cách đơn giản nhất là phân tích cú pháp lời giải bài toán được đề xuất trong đó, bỏ qua phần in nhỏ, sau đó củng cố các kỹ thuật đã trình bày, khâu lại các bài tập gợi ý ở cuối bài. Nhưng nếu bạn quan tâm đến cái này cái kia bài toán hoặc bộ bài toán, bạn có thể làm khác: đọc kỹ văn bản đặt sau nó dưới dạng chữ in nhỏ và sử dụng tài liệu bổ sung do tác giả chỉ ra để hiểu sâu hơn bản chất của các vấn đề được nêu ra.

Người đọc có lẽ ngay từ cái nhìn đầu tiên đã nhận ra các bài toán hình học khó bài toán, được giải ngay lập tức bằng cách thay thế một điểm đã cho bằng một điểm khác, đối xứng với điểm đó so với một đường thẳng nào đó. Thông điệp đối xứng cũng rất quan trọng trong đại số.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một số tình huống trong đó việc thay thế một số dạng $a+b\sqrt{d}$ bằng liên hợp $a-b\sqrt{d}$ của nó sẽ rất hữu ích. Chúng ta sẽ thấy thủ thuật đơn giản này - thay đổi dấu trước dấu xuyên tâm - giúp ích như thế nào trong lời giải nhiều loại đại số và phân tích bài toán - từ các đánh giá và phép biến đổi chưa thực hiện được cho đến bài thi olympid khó bài toán và những phát minh tài tình của những người viết bài thi cạnh tranh.

Hầu hết các ví dụ của chúng tôi có thể đóng vai trò là người làm quen đầu tiên với các lý thuyết toán học toàn cầu (ở một số nơi, chúng tôi chỉ ra các bài báo và sách để tiếp tục làm quen). Trong số bài toán có trong bài viết, hai là từ Bài toán Kvant và một số là từ thư của những độc giả đã trải nghiệm cảm giác hài lòng với các thủ thuật với radial và iron và chia sẻ chúng với những người khác.

Các cặp số liên hợp xuất hiện khá tự nhiên khi chúng ta giải phương trình bậc hai không lấy nghiệm phân biệt: chẳng hạn phương trình $\lambda^2-\lambda-1=0$ có một cặp nghiệm “liên hợp”: $\lambda_1=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $\lambda_2=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau, nhưng hãy bắt đầu với những ví dụ thuộc loại khác: giải quyết vấn đề “chuyển khoản”…

28

(tất nhiên ở đây chúng ta may mắn: hiệu của các bình phương $(2n+1)^2-4n(n+1)$ bằng 1)
$$\leq \frac{1}{(2\sqrt{n}+\sqrt{n})(2n+2n)} = \frac{1}{16n\sqrt{n}}.$$

Lưu ý rằng ước tính này cũng rất chính xác. Nhưng tốt hơn hết là bạn nên xác minh điều này (và nói chung là nghiên cứu hành vi của một hàm với các đa giác) không sử dụng các phép biến đổi đại số mà bằng phương pháp phân tích - thay thế biến $n$ bằng $h$ $1/n$ và sử dụng công thức Taylor $\sqrt{1+h} = 1+h/2 - h^2/8 + \dots$ (Xem [6]).

Thay thế phẳng bằng dấu trừ

Chúng ta đã nói về việc sử dụng tính đối xứng trong các bài toán hình học. Một dạng đối xứng trong đại số là thay mặt phẳng bằng dấu trừ.

Do đó, nếu bất kỳ biểu thức nào từ $\sqrt{d}$ bằng $p+q\sqrt{d}$ và chúng ta thay thế $\sqrt{d}$ bằng $-\sqrt{d}$ trong toàn bộ biểu thức này, thì điều tự nhiên là kỳ vọng rằng biểu thức mới sẽ bằng số liên hợp $p-q\sqrt{d}$. Chúng ta sẽ sử dụng trường hợp đặc biệt hiển nhiên sau đây của tính chất này ($a$ và $b$ là hợp lý, $\sqrt{d}$ thì không):

$$(a+b\sqrt{d})^n = p+q\sqrt{d} \Rightarrow (a-b\sqrt{d})^n = p-q\sqrt{d}.$$

5. Chứng minh rằng phương trình

$$(x+y\sqrt{5})^4+(z+t\sqrt{5})^4 = 2+\sqrt{5}$$

không có lời giải trong các số hữu tỉ $x, y, z, t$.

Tất nhiên, bạn có thể tìm tổng riêng của các số hạng ở vế trái không chứa $\sqrt{5}$ (nó phải bằng 2) và riêng hệ số $\sqrt{5}$ (nó phải bằng 1). Nhưng phải làm gì với hệ thống cồng kềnh vẫn chưa rõ ràng. Thay vào đó, hãy sử dụng (4) và thay dấu phẳng trước $\sqrt{5}$ bằng dấu trừ!

$$(x-y\sqrt{5})^4+(z-t\sqrt{5})^4 = 2-\sqrt{5}.$$

Có một số không âm ở bên trái, một số âm ở bên phải.

6. Chứng minh rằng có vô số cặp số tự nhiên $(x; y)$ mà $x^2$ khác $2y^2$ 1:

$$|x^2-2y^2| = 1.$$

Bạn có thể dễ dàng tìm thấy một số cặp có $(x; y)$ nhỏ bằng cách chọn lọc: đó là $(1; 2)$, $(3; 2)$, $(7; 5)$, $(17; 12)$, … (Hình 1). Làm thế nào để tiếp tục bộ này? Có thể viết ra công thức tổng quát cho lời giải này không?

Hình 1. Liệu những hyperbol này có thể được mã hóa thông qua vô số nút thắt của tờ giấy ca-rô không?

Số $1+\sqrt{2}$ sẽ giúp chúng ta tìm được đáp số cho những câu hỏi này. Một mẫu cho phép bạn nhận được lời giải $(x; y)$ hoàn toàn mới, biểu thị trong bảng:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} n & (1+\sqrt{2})^n & x_n & y_n & x_n^2-2y_n^2 & (1-\sqrt{2})^n \\ 1 & 1+\sqrt{2} & 1 & 1 & 1-2=-1 & 1-\sqrt{2} \\ 2 & 3+2\sqrt{2} & 3 & 2 & 9-8=1 & 3-2\sqrt{2} \\ 3 & 7+5\sqrt{2} & 7 & 5 & 49-50=-1 & 7-5\sqrt{2} \\ 4 & 17+12\sqrt{2} & 17 & 12 & 289-288=1 & 17-12\sqrt{2} \\ 5 & 41+29\sqrt{2} & 41 & 29 & 1681-1682=-1 & 41-29\sqrt{2} \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ \end{array}$$

Dòng thứ sáu sẽ là gì?

Có thể thấy hệ số $x_n, y_n$ trong số $x_n+y_n\sqrt{2} = (1+\sqrt{2})^n$ sẽ cho ra cặp mong muốn. Bảng số liên hợp sẽ giúp chứng minh điều này (chúng ta lại sử dụng (4)):

$$x_n-y_n\sqrt{2} = (1-\sqrt{2})^n.$$

Thay đổi hai đẳng thức cuối, ta được

$$x_n^2-2y_n^2 = (1+\sqrt{2})^n(1-\sqrt{2})^n = \\ = ((1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2}))^n = (-1)^n,$$

và biểu thức mà chúng ta quan tâm lần lượt bằng 1 hoặc - 1. Cộng và trừ hai đẳng thức giống nhau này, chúng ta thu được một biểu thức rõ ràng cho $x_n$ và $y_n$:

$$x_n = ((1+\sqrt{2})^n + (1-\sqrt{2})^n)/2$$

$$y_n = ((1+\sqrt{2})^n - (1-\sqrt{2})^n)/2\sqrt{2}.$$

29

Có thể trong lời giải cái này bài toán về số nguyên, làm mà không có số vô tỷ $1 + \sqrt{2}$ Và $1 - \sqrt{2}$? Bây giờ đã biết đáp số, chúng ta có thể dễ dàng biểu diễn $(x_{n+1}; y_{n+1})$ qua cặp trước $(x_n; y_n)$ từ $x_{n+1} + y_{n+1}\sqrt{2} = (x_n + y_n\sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})$ chảy ra

$$x_{n+1} = x_n + 2y_n, \quad y_{n+1} = x_n + y_n.$$ (6)

Trước mối quan hệ tái diễn này, rõ ràng là có thể đồng ý về một số giải pháp đầu tiên và sau đó kiểm tra xem

$$|x_n^2 - 2y_n^2| = |x_{n+1}^2 - 2y_{n+1}^2|.$$

Bằng cách thêm điều kiện ban đầu $x_1 = 1, y_1 = 1$, từ đây (bằng quy nạp), chúng ta có thể kết luận rằng $|x_n^2 - 2y_n^2| = 1$ với mọi $n$. Hơn nữa, bằng cách biểu thị $(x_n; y_n)$ ngược qua $(x_{n+1}; y_{n+1})$, “phương pháp giảm dần” ([8]), chúng ta có thể chứng minh rằng chuỗi tìm được có đầy đủ tất cả các phương trình lời giải (5) trong số tự nhiên $(x; y)$. Bất kỳ “phương trình Pell” $x^2 - dy^2 = c$ nào cũng có thể được giải theo cách tương tự (và bất kỳ phương trình bậc hai nào dưới dạng số nguyên $x, y$ đều có thể áp dụng cho phương trình thuộc loại tính chất này), nhưng phương trình ban đầu có thể có một số chuỗi được giải ([7]).

Mối quan hệ lặp lại loại (6) phát sinh không chỉ trong lý thuyết số mà còn trong các vấn đề khác nhau về phân tích và lý thuyết xác suất. Dưới đây là một ví dụ điển hình về tổ hợp bài toán thuộc loại này (nó đã được đề xuất ở lần tối ưu hóa quốc tế gần đây nhất ở London):

7(M595). Ở trên cùng $A$ của vosmtsuolnika bên phải có một con ếch. Từ bất kỳ đỉnh nào của đỉnh đó, ngoại trừ đỉnh $E$, đối diện $A$, nó có thể đi đến bất kỳ đỉnh nào trong hai đỉnh lân cận. Khi ở $E$, con ếch dừng lại và ở lại đó. Tìm đồng

Số $e_m$ cách khác nhau mà một con ếch có thể đi từ trên $A$ đến $E$ với chính xác $m$ lần nhảy.

Nếu bạn tô màu lần lượt các đỉnh của nút nhảy bằng màu đen và trắng (Hình 2), thì ngay lập tức bạn sẽ thấy rõ rằng $c_{2k-1} = 0$ đối với bất kỳ $k$ nào: màu của các đỉnh thay đổi sau mỗi lần nhảy. Chúng ta hãy biểu thị bằng $a_n$ và $c_n$ số cách mà một con ếch có thể, trong $2n$ nhảy, lần lượt đi từ đỉnh $A$ đến đỉnh $A$ và đến một trong các đỉnh $C$ (từ các thông điệp đối xứng, rõ ràng là ở mỗi đỉnh, được chỉ định trong hình bằng chữ cái $C$, bạn có thể nhận được số cách giống nhau). Cách kiểm tra dễ dàng (xem Hình 2a, b, c, f)),

$$a_1 = 2, \quad c_1 = 1;$$

$$a_{n+1} = 2a_n + 2c_n,$$

$$c_{n+1} = a_n + 2c_n.$$ (7)

Và con số chúng ta quan tâm $e_{2n}$ bằng nhau, rất nhiều, $2c_{n-1}$ (Hình 2d).

Làm cách nào chúng ta có thể tìm được công thức rõ ràng cho $a_n$ và $c_n$? Chúng ta hãy viết mối quan hệ truy hồi (7) như sau:

$$a_{n+1} + c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n + c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})$$ (8)

và - tất nhiên như bạn đã chứng minh - cũng như thế này:

$$a_{n+1} - c_{n+1}\sqrt{2} = (a_n - c_n\sqrt{2}) (2 + \sqrt{2}).$$ (9)

Từ đây, bằng quy nạp, thu được (7),

Hình 2. a) Chỉ có một cách để đi từ $A$ đến $C$ trong hai lần nhảy: $c_1 = 1$.

b) Có hai cách để đi từ $A$ đến $A$ trong hai lần nhảy: $a_1 = 2$.

c) $A$ có thể đạt được từ $C$ bằng hai cách

30

Chúng tôi rạng rỡ:

$$a_n + c_n \sqrt{2} = (2 + \sqrt{2})^{n-1} (a_1 + c_1 \sqrt{2}) = (2 + \sqrt{2})^n;$$

$$a_n - c_n \sqrt{2} = (2 - \sqrt{2})^{n-1} (a_1 - c_1 \sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})^n.$$

Do đó, $c_n = [(2 + \sqrt{2}) - (2 - \sqrt{2})^n] : 2\sqrt{2}$ và vì $e_{2n} = 2c_{n-1}$, cuối cùng chúng ta nhận được

$$e_{2n} = [(2 + \sqrt{2})^{n-1} - (2 - \sqrt{2})^{n-1}] / \sqrt{2}; \quad e_{2n-1} = 0.$$

Bài toán lời giải. Chỉ chưa rõ làm thế nào trong bài toán này (và trong bài toán 6 trước đó) có thể đạt được các công thức chứa $\pm \sqrt{2}$ - trong bài toán giải pháp là về số nguyên! (Đối với những người tham gia và độc giả của Olympida, «Kvant» bài toán 7 đã trở nên dễ dàng hơn nhờ cách diễn đạt chỉ ra đáp số - «Kvant», 1979, Số 11, M595).

Tuy nhiên, “số liên hợp” sẽ xuất hiện hoàn toàn tự động nếu chúng ta biết phần đầu của đại số tuyến tính (xem [12]) và áp dụng các quy tắc chuẩn của khoa học này cho lời giải của phương trình (7). Các quy tắc này trước tiên đề xuất tìm ra những cấp số nhân nào ($a_n = a_0 \lambda^n$, $c_n = c_0 \lambda^n$) thỏa mãn mối quan hệ truy hồi cho trước. Các giá trị mà tiến trình cũng tồn tại - chúng được gọi là giá trị đặc trưng hoặc giá trị riêng - được xác định từ một phương trình nhất định (nó còn được gọi là đặc tính). Đối với (7), phương trình đặc tính có dạng $\lambda^2 + 2 - 4\lambda = 0$, nghiệm của nó chỉ là $2 + \sqrt{2}$ và $2 - \sqrt{2}$. Với những nghiệm này, chúng ta có thể thu được bất kỳ mối quan hệ lặp lại lời giải nào dưới dạng “kết hợp tuyến tính” của các cấp số nhân tương ứng ([11]). “Điều kiện ban đầu” (trong trường hợp của chúng tôi là $a_1 = 2$, $c_1 = 1$) xác định duy nhất lời giải mà chúng tôi cần.

Không thể tin được rằng ngay cả các dãy số nguyên hồi quy đơn giản nhất, trong đó các phương trình đặc trưng là bậc hai với các hệ số nguyên (ví dụ giống nhau (6) và (7) hoặc dãy Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,…, $\Phi_{n+1} = \Phi_n + \Phi_{n-1}$ - xem [9], [10]), được biểu thị dưới dạng hàm của số, sử dụng các mống mắt vuông “được sắp xếp”.

Lưu ý rằng các số đặc trưng lớn xác định tốc độ tăng trưởng của chuỗi: đối với $n$ lớn trong bài toán $7e_n \approx (2 + \sqrt{2})^n / \sqrt{2}$. Bạn cũng có thể nói theo cách này: $\lim_{n \to \infty} (e_{n+1}/e_n) = 2 + \sqrt{2}$.

Đối với bài toán 6, chúng tôi thấy điều gì đó tương tự:

$$\lim_{n \to \infty} (x_n/y_n) = \sqrt{2}$$ - cho thấy cả hai số $x_n$ và $y_n$ đối với $n$ lớn thực tế bằng nhau. Chúng tôi thấy sự mở rộng thú vị của thực tế này trong bài toán tiếp theo với một số lượng lớn các lần chiếu sáng được “sắp xếp”.

Chúng tôi thay đổi tất cả các dấu hiệu một

8 (M520). Đặt $(1 + \sqrt{2} \Phi' \sqrt{3})^n = q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}$, trong đó $q_n, r_n, s_n$ và $t_n$ là số nguyên. Tìm giới hạn $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} s_n/q_n$, $\lim_{n \to \infty} t_n/q_n$.

Tất nhiên, ở đây chúng ta có thể biểu thị $(q_{n+1}; r_{n+1}; s_{n+1}; t_{n+1})$ dưới dạng $(q_n; r_n; s_n; t_n)$, dẫn đến $q_{n+1} + r_{n+1} \sqrt{2} + s_{n+1} \sqrt{3} + t_{n+1} \sqrt{6} = (1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (q_n + r_n \sqrt{2} + s_n \sqrt{3} + t_n \sqrt{6}) = (1 + \sqrt{2} + 3)^n$.

Không khó để biết người khác sẽ như thế nào. Chúng ta hãy xem xét, cùng với số $\lambda_1 = 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$ này, ba số “sắp xếp” nữa: $\lambda_2 = 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}$, $\lambda_3 = 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$, $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3}$.

Chúng ta có thể biểu thị $q_n, r_n, s_n, t_n$ dưới dạng $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$:

$$q_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 + \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4,$$

$$r_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 + \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{2},$$

$$s_n = (\lambda_1^2 + \lambda_2^2 - \lambda_3^2 - \lambda_4^2) / 4\sqrt{3},$$

$$t_n = (\lambda_1^2 - \lambda_2^2 - \lambda_3^2 + \lambda_4^2) / 4\sqrt{6}.$$

Bây giờ hãy lưu ý rằng $\lambda_1 > |\lambda_2|$, $\lambda_1 > |\lambda_4|$. Hãy nghĩ về $\lim_{n \to \infty} r_n/q_n = \lim_{n \to \infty} s_n/q_n = 1/\sqrt{6}$.

Chúng ta đã nói ở trên rằng các số liên hợp $a \pm b\sqrt{d}$ phát sinh dưới dạng nghiệm của phương trình bậc hai với các hệ số nguyên. Liên quan đến nhiệm vụ cuối cùng, mong muốn này:

9. Viết phương trình với các hệ số nguyên, một trong các nghiệm của nó bằng $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}$.

Người ta nghi ngờ rằng cùng với số $λ_1$ này, phương trình có hệ số nguyên cũng được thỏa mãn bởi các liên hợp, mà trong lời giải trước bài toán chúng ta đã ký hiệu là $\lambda_2, \lambda_3, \lambda_4$. Phương trình cần tìm có thể được viết như sau:

$$(x - \lambda_1)(x - \lambda_2)(x - \lambda_3)(x - \lambda_4) = 0;$$

đó là

$$(x - 1 - \sqrt{2} - \sqrt{3})(x - 1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) \times (x - 1 - \sqrt{2} + \sqrt{3}) \times (x - 1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) = 0;$$