Kvant 1980, số 8 · Trang

KEANM
8
1980
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Bản vẽ này, một bản phác thảo được thực hiện bởi các sinh viên trường nội trú tại Đại học quốc gia Moscow Vasiliev, Kormilchenko và Romanov, cho thấy một đường mức có hai chức năng. Đối với các hàm $f$ lấy giá trị thực tại các điểm $(x; y)$ của mặt phẳng, đường mức $k$ là tập hợp $\{(x, y)|f(x, y) = k\}$. Nếu số $f(x; y)$ được lấy là độ cao so với mực nước biển (mặt phẳng $Oxy$) tại điểm $(x, y)$ thì những đường này có thể hiểu là đường cấp địa lý thông thường. Tuy nhiên, chúng tôi không dám viết ra các biểu thức “thực” để sử dụng các hàm “phức tạp” arg $e^{z-3}$ (đường cấp màu xanh lá cây) và $|e^{z-3}|$ (màu đỏ) - viết chúng bằng ký hiệu cột “thực”, điều này sẽ chỉ làm hỏng việc in mẫu hình học màu đỏ.

1

TRONG PHÒNG:

2 A. Sosinsky. Không gian di chuyển
8 V. Boltyansky. Quang học của lỗ đen
12 Y. Smorodinsky, A. Urnov. Hiệu ứng Doppler
18 G. Tarzimanova. Một bài thơ của Lobachevsky

Phòng thí nghiệm «Kvant»
20 A. Dozorov. Vật lý không có dụng cụ

vòng tròn toán học
23 A. Weintrob. Tốt hơn - bằng nhau

Bài toán Kvant
26 Bài toán M636—M640; F648—F652
28 Lời giải bài toán M579—M582, M584, M586—M594, M597; F589—F598
45 Thư gửi biên tập viên
46 Hỏi - chúng tôi trả lời

«Kvant» cho học sinh nhỏ
47 Bài toán
48 D. Alekseev. Vật lý trong sách

Đánh giá, thư mục
51 E. Levitan. Cậu học sinh về bức tranh thiên văn của thế giới
51 I. Brovikov. Bài toán tổ hợp
52 E. Gik. Bộ truyện - 14 năm

Thông tin
53 V. Kaslin, A. Starodub. Lễ kỷ niệm các nhà vật lý trẻ
57 E. Yunosov. Giải đấu của các nhà vật lý trẻ
58 A. Krivoruchko, A. Filkov. Olympda OmPI+MIPT
60 Trường thể chất thư tín
61 Tuyển sinh bổ sung vào các trường toán tương ứng
61 Trường thể chất buổi tối

Trang cờ vua
63 Đáp số, gợi ý, lời giải
Thi đấu cờ vua (trang bìa thứ 3)

Trộn (7, 11, 45)

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1980

2

A. Sosinsky

Không gian di chuyển

Trong bài viết này tôi muốn cho bạn biết chuyển động của không gian là như thế nào. Đầu tiên người ta viết: sự dịch chuyển của không gian là ánh xạ $f$ của không gian lên chính nó, bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Điều này có nghĩa là với mọi điểm $A, B$

$$|AB| = |A'B'|,$$

(1)

ở đâu $A' = f(A), B' = f(B)$.

Tất nhiên, bạn biết các ví dụ - đây là các đối xứng (trung tâm, osvaya, so với mặt phẳng) và dịch song song $\vec{a}$; thật dễ dàng để nói rằng phong trào cũng sẽ

cổng $R_l^\phi$ xung quanh đường thẳng $l$ ở một góc φ cho trước (Hình 1). bài toán của chúng tôi là liệt kê tất cả các chuyển vị của không gian, giống như đã được thực hiện đối với mặt phẳng trong bài viết của V. Boltyansky “Sự dịch chuyển của mặt phẳng” («Kvant», 1980, số 3).

Từ định nghĩa dễ dàng suy ra rằng chuyển vị làm biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng, đường tròn thành đường tròn đồng tâm, góc thành góc đồng tâm, v.v.

Phong trào và định hướng

Trên mặt phẳng, hướng được xác định bằng cách chỉ định một trong hai hướng quay có thể có - “theo chiều kim đồng hồ” hoặc “ngược chiều kim đồng hồ”. Rõ ràng hướng “ngược chiều kim đồng hồ” được gọi là dương, “theo chiều kim đồng hồ” được gọi là âm.

Ngoài ra còn có hai hướng trong không gian: một hướng được đặt bởi gimlet bên trái (chẳng hạn như một cái mở nút chai thông thường), hướng kia được đặt bởi hướng bên trái (Hình 2).

Các nhà toán học không thực sự thích nói về gimlet - họ thích xác định hướng của không gian bằng cách chỉ ra bộ ba vectơ không phẳng $(\vec{a}; \vec{b}; \vec{c})$.

Hình 1.

3

Thực tế là tất cả các bộ ba như vậy được chia một cách tự nhiên thành hai lớp - thành các bộ ba trong đó thời gian ngắn nhất từ ​​vectơ thứ nhất đến vectơ thứ hai đối với vectơ được quan sát, nằm ở cuối vectơ thứ ba, là dương (xem Hình 3; hãy gọi các bộ ba như vậy là dương) và thành các bộ ba trong đó nó âm (bộ ba âm).

Hãy tự kiểm tra: bạn có định làm điều đó không?
a) các bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{c}; \vec{a}; \vec{b}$) có cùng dấu không?
b) bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{a}; \vec{c}; \vec{b}$) có dấu khác nhau không?
b) bộ ba ($\vec{a}; \vec{b}; \vec{c}$) và ($\vec{a}; \vec{b}; -\vec{c}$) có dấu khác nhau không?

Các nhà vật lý thích dùng tay hơn bộ ba vectơ: tay phải đặt hướng dương, tay trái - hướng âm (Hình 4); hãy nhớ quy tắc bàn tay trái trong thuyết điện tử.

Vì vậy, việc xác định bộ ba vectơ không phẳng sẽ xác định một trong hai hướng có thể có của không gian.

Nếu phép dịch $f$ biến đổi một bộ ba vectơ đã chọn thành bộ ba cùng dấu (có thể chứng minh rằng khi đó nó bảo toàn dấu của một trong hai bộ ba!), thì chúng ta sẽ nói rằng nó bảo toàn hướng; nếu không chúng ta sẽ tự nhiên

Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.

Hình 5.

4

Hình 6.

nói rằng việc di chuyển $f$ sẽ thay đổi hướng.

Ví dụ, sự tịnh tiến và quay song song xung quanh một đường thẳng (đặc biệt là đối xứng trục) bảo toàn hướng, trong khi đối xứng trung tâm và đối xứng so với mặt phẳng sẽ thay đổi hướng đó (Hình 5).

Tôi không muốn đánh lừa bạn: mọi thứ ở đây không đơn giản như vậy. Ví dụ: thứ tự phức tạp “ngược chiều kim đồng hồ” và “vòng quay ngắn nhất… đối với người quan sát phát hiện…” (xem ở trên), nói đúng ra, không có bất kỳ ý nghĩa toán học nào - chúng không thể được định nghĩa trong khuôn khổ các mô hình động học hình học của trường phái (và trong các mô hình động học khác mà tác giả đã biết).

Trên thực tế, có thể định nghĩa chặt chẽ các “vòng tròn có mũi tên” hoặc bộ ba vectơ có hướng bằng nhau và đối lập nhau, nhưng về mặt hình thức, người ta không thể ưu tiên một trong các loại vòng tròn hoặc bộ ba. Hơn nữa, không cần bằng chứng, chúng tôi đưa ra một thực tế không hề tầm thường: một động thái bảo toàn hướng của một bộ ba không thể đặt hướng của bộ ba kia. Một cuộc thảo luận chi tiết về những vấn đề này sẽ đưa chúng ta đi quá xa: hình ảnh rõ ràng là đủ để chúng ta tiến xa hơn.

Thành phần của phong trào

Thành phần của ánh xạ $f$, $g$ (đặc biệt là chuyển vị) được gọi là ánh xạ $h = g \circ f$, có được bằng cách thực hiện tuần tự $f$ trước rồi đến $g$; điều này có nghĩa là với bất kỳ điểm nào $A$

$$h(A) = g(f(A)).$$

Lưu ý thứ tự trong mục $g \circ f$: $f$ được thực thi trước, sau đó là $g$. Việc nhập này là hoàn toàn tự nhiên, vì theo công thức (2)

$$(g \circ f)(A) = g(f(A)).$$

Dễ dàng nhận thấy thành phần của chuyển vị là chuyển vị (điều này có được ngay lập tức nếu bạn áp dụng (1) hai lần). Chúng ta hãy xem những chuyển vị nào thu được nếu chúng ta lấy thành phần của các chuyển vị mà chúng ta đã biết. Tôi sẽ bắt đầu với những ví dụ rất đơn giản mà bạn có thể dễ dàng hiểu được bằng cách nhìn vào các hình vẽ tương ứng. Nhưng có rất ít hiểu biết trực quan ở đây - bạn cần kiểm tra bằng chứng (tuy nhiên, có rất nhiều quy trình).

1°. Thành phần của hai mặt phẳng đối xứng tương đối song song là sự truyền song song (Hình 6 a).

2°. Thành phần của hai mặt phẳng đối xứng giao nhau là một phép quay quanh các đường tròn của đường giao nhau của chúng (Hình 6 b).

3°. Bố cục của ba đối xứng so với ba mặt phẳng vuông góc lẫn nhau là đối xứng so với điểm chung của chúng (Hình 6 c).

4°. Thành phần của sự đối xứng so với một mặt phẳng và sự truyền sang một vectơ vuông góc với nó là sự đối xứng so với mặt phẳng (khác).

5

Hình 7.

Trong những ví dụ này, bố cục dẫn đến sự dịch chuyển mà chúng ta đã biết trước đây. Nhưng tất nhiên điều này không phải lúc nào cũng đúng - ví dụ như việc di chuyển

$$W_{l,\vec{a}}^{\varphi} = \vec{a} \circ R_{l,\varphi},$$

trong đó vectơ $\vec{a}$ song song với đường thẳng $l$, chúng ta chưa gặp; $W_{l,\vec{a}}^{\varphi}$ được gọi là chuyển động xoắn ốc (với trục $l$, góc $\varphi$ và vector $\vec{a}$); nó sẽ đóng một vai trò quan trọng trong câu chuyện tiếp theo ZE (Hình 7).

Rõ ràng là với $\vec{a} \parallel l$

$$\vec{a} \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi} \circ a.$$ (3)

Rõ ràng là thành phần của chuyển động vít và chuyển vị trên vectơ song song với trục quay sẽ lại là chuyển động vít có cùng trục quay, nhưng có vectơ chuyển vị khác (bằng tổng của chuyển vị cũ và chuyển động mới). Nhưng sự thật sau đây chẳng thú vị chút nào:

$$5^\circ. \text{Композиция поворота } R_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ является винтовым перемещением } c \text{ осью } l' \parallel l \text{ на угол } \varphi.$$

Chúng tôi sẽ sớm cần tuyên bố này; Hãy chứng minh điều đó Với mục đích này, chúng tôi phân tách vectơ $c$ thành tổng $\vec{c} = \vec{c}_1 + \vec{c}_2$, trong đó vectơ $\vec{c}_1$ hướng dọc theo trục $l$ và $\vec{c}_2$ vuông góc với trục này. Thành phần của các bản dịch song song tương ứng với tổng các vectơ, do đó $\vec{c} = \vec{c}_2 \circ \vec{c}_1$, do đó nhờ vào (3)

Hình 8.

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ \vec{c}_1) \circ R_{l,\varphi} = \vec{c}_2 \circ (\vec{c}_1 \circ R_{l,\varphi}) = \vec{c}_2 \circ (R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1) = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1.$$ (4)

Sẽ di chuyển $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$, ghi nhớ rằng $\vec{c}_2 \perp l$. Chúng ta hãy xem xét một mặt phẳng tùy ý $l$ (Hình 8). Trên mặt phẳng này, độ dịch chuyển $\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}$ là thành phần của chuyển động quay của mặt phẳng $R_{0}^{\varphi}$ (trong đó $O = l \cap \pi$) và sự chuyển dịch của mặt phẳng sang vectơ $\vec{c}_2$ (xét cho cùng, $\vec{c}_2 \perp l \Rightarrow \vec{c}_2 \parallel \pi$). Bố cục như vậy sẽ là («Kvant», 1980, số 3, trang 6) một phép quay có cùng góc $\varphi$ xung quanh một tâm mới $O'$, rất dễ xây dựng (xem Hình 8, trong đó $[OA] \rightarrow [AA']$). Hình ảnh tương tự được quan sát thấy trong tất cả các mặt phẳng vuông góc với $l$, sao cho

$$\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi} = R_{l,\varphi},$$

trong đó $l'$ là đường thẳng đi qua $O'$ song song với $l$. Từ (4), xét đến $\vec{c}_1 \parallel l$, ta thu được

$$\vec{c} \circ R_{l,\varphi} = (\vec{c}_2 \circ R_{l,\varphi}) \circ \vec{c}_1 = R_{l,\varphi} \circ \vec{c}_1 = \vec{c}_1 \cdot R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1.$$

Về mặt hình học, tuyên bố như vậy thậm chí còn ít rõ ràng hơn:

$$6^\circ. \text{Композиция винтового перемещения } W_{l,\varphi} \text{ и произвольного перемещения } c \text{ осью, параллельной прямой } l, \text{ на угол } \varphi.$$

Tuy nhiên, thực tế này có thể được chứng minh bằng hai cách:

$$\vec{c} \circ W_{l,\varphi} = \vec{c} \circ (\vec{a} \circ R_{l,\varphi}) = (\vec{c} \circ \vec{a}) \circ R_{l,\varphi} = W_{l,\varphi} \cdot \vec{c}_1,$$

7

2. f không có điểm cố định. Lấy điểm A bất kỳ; để $A' = f(A)$; hãy đặt $\vec{a} = A'\vec{A}$. thì điểm A sẽ là điểm cố định của ánh xạ $\vec{a}^\circ f$ và chúng ta có thể tham khảo trường hợp đầu tiên đã được xem xét. Ta thu được (đối với một số đường thẳng l và góc φ)

$$\vec{a}^\circ f = R_l^\phi$$

Lấy độ dịch chuyển $(-\vec{a})$ sang cả hai vế của đẳng thức này và sử dụng câu lệnh utf là 5°, chúng ta thu được

$$(-\vec{a}) \circ (\vec{a}^\circ f) = (-\vec{a}) \circ R_l^\phi$$

$$((-\vec{a}) \circ \vec{a})^\circ f = f = W_{l',e}^\phi$$

đối với một số $l'$ và $\vec{e} (l' \parallel l)$. Định lý đã được chứng minh.

Để hình thành một định lý tương tự về các chuyển vị làm thay đổi hướng, chúng ta cần một định nghĩa khác. Một đối xứng trượt đối với mặt phẳng π trên vectơ $\vec{a}$, trong đó $\vec{a} \parallel \pi$, được gọi là thành phần $\vec{a}^\circ S_\pi (S_\pi - \text{симметрия относительно π})$.

Định lý 2. Bất kỳ chuyển động f nào của không gian làm thay đổi hướng đều là đối xứng tâm hoặc đối xứng so với mặt phẳng hoặc đối xứng trượt.

Tôi sẽ không chứng minh định lý này - chỉ giới hạn ở một gợi ý. Có hai cách: 1) lấy mặt phẳng π tùy ý, xét chuyển vị $S_\pi^\circ f$ và áp dụng Định lý 1; 2) suy luận theo hai cách chứng minh Định lý 1 (hai trường hợp giống nhau, cùng một ý $A \rightarrow A' \rightarrow A''$).

Chúng ta đã đi đến phần cuối của câu chuyện: bây giờ, cuối cùng, tôi có thể cho bạn biết chuyển động là như thế nào. Có sáu loại chuyển vị không gian: dịch song song, quay quanh một đường thẳng, dịch chuyển xoắn ốc, đối xứng tâm, đối xứng so với mặt phẳng và đối xứng trượt.

Bài tập

1. Chứng minh rằng mọi chuyển động của không gian bảo toàn hướng đều là sự hợp thành của hai phép quay quanh đường thẳng.
2. Chứng minh rằng mọi chuyển động của không gian bảo toàn hướng đều là hợp thành của bốn đối xứng so với các mặt phẳng, nhưng không phải là hợp thành của ba (và không có năm) đối xứng nào đối với các mặt phẳng.
3. Cho trước năm đường phân giác của năm mặt của một góc ngũ diện lồi. Xây dựng các cạnh của nó.
4. Cho: điểm A, mặt phẳng π không chứa A và điểm O∈π. Tìm tập hợp các điểm A’ đối xứng với mọi đường thẳng l có thể đi qua O và nằm trong π.
5. Một hình giới hạn có thể có hai tâm đối xứng không?
6. • Đối với một góc lồi tứ diện cho trước, hãy tìm một góc tứ diện phẳng (nghĩa là một góc tứ diện có tất cả các cạnh nằm trên các mặt của góc đã cho) có tổng các góc phẳng lớn nhất.

Tái sử dụng

Trong các rebs này, các số không phải totor được mã hóa bằng chữ cái. Trong mỗi ví dụ, các chữ cái giống nhau tương ứng với cùng một số và các số khác nhau tương ứng với các số khác nhau (không có một chữ “sloo” nào bắt đầu bằng số 0). Giải mã những khoản tiền hoàn lại này.

1. • kinh Koran
   • vỏ cây
     vỗ nhẹ
     Nora
     UNNN
2. • quan hệ tình dục
   • kịch câm
     eeee

3. $\sqrt{\kappa_{\text{корен}}} = \tau \tau$

4. $\sqrt{\Delta_{\text{воййка}}} = \alpha \alpha$

5. $\times \phi_{\text{ми}}$
   aaa
   iii
   tẩu thoát

6. • mặt nạ
   • đoạn đường nối
     diễn viên
     tứ giác
7. • câu hỏi
   • câu hỏi
     troika

8. $(\text{от})^\kappa \cdot (\text{ос}) = \kappa \text{уст}$

9. $(\text{вар})^\kappa = \text{сталевар}$

A. Lebedev

8

V. Boltyansky

Quang học của lỗ đen

Từ biên tập viên
Hiện nay, công việc chuyên sâu đang được thực hiện để nghiên cứu các vật thể không gian xa xôi. Sự phát triển của các phương pháp nghiên cứu vật lý thiên văn hiện đại giúp có thể tích lũy tài liệu thực nghiệm khổng lồ và mở rộng lĩnh vực quan sát thiên văn.

Cùng với nghiên cứu thực nghiệm, rất nhiều công việc đang được thực hiện để tạo ra các mô hình lý thuyết khác nhau nhằm giải thích sự xuất hiện và phát triển của những vật thể thiên văn bí ẩn, theo nhiều cách, như siêu tân tinh, tinh vân, quasar, pulsar, v.v.

Lỗ đen thu hút sự chú ý đặc biệt. Theo các quan niệm hiện đại, lỗ đen là những khối vật chất khổng lồ đang ở trạng thái suy giảm khủng khiếp. Tất cả các hạt rơi vào một vùng lân cận nhất định của lỗ đen đều bị hút vào đó và “biến mất” một cách không thể tránh khỏi. Không có thông tin nào đến được với người quan sát từ vùng lân cận lỗ đen.

Trong số tạp chí này, chúng tôi xuất bản một bài báo của Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô, Giáo sư V. G. Boltyansky, trong đó một trong những mô hình có thể có của hiện tượng này được mô tả phổ biến. Mô hình đề xuất đã được tác giả tính toán chặt chẽ về mặt toán học; các kết luận rút ra từ mô hình toán học này phần lớn trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm đã biết.

Theo thuyết tương đối rộng của Einstein, sự hiện diện của khối lượng làm thay đổi tính chất của không gian xung quanh, như thể không gian bị cong. Ánh sáng truyền gần một vật thể nặng, chẳng hạn như Mặt trời, không di chuyển theo đường thẳng mà theo một đường cong.

Kết luận lý thuyết này được xác nhận bằng các thí nghiệm.

Ví dụ: trong nhật thực toàn phần, bạn có thể quan sát các ngôi sao mà theo tính toán chính xác, tại thời điểm này nằm phía sau rìa Mặt trời và không thể tiếp cận được để quan sát từ Trái đất. Chúng trở nên nhìn thấy được vì các tia sáng phát ra từ các ngôi sao, truyền gần Mặt trời, bị bẻ cong (các đường liền nét màu xanh lam trong Hình 1). Kết quả là, các ngôi sao dường như ở khoảng cách góc lớn hơn so với khi không có Mặt trời (các đường chấm). Độ cong của chùm ánh sáng khi nó đi gần bề mặt Mặt trời là khoảng 1,75 giây cung.

Nếu toàn bộ khối lượng của Mặt trời được định vị trong một thể tích rất nhỏ (chẳng hạn như trong một quả bóng có bán kính 1 km), thì với độ dốc (thu gọn) mạnh như vậy của “Mặt trời”, sự bẻ cong của các tia sáng đi qua nó sẽ ngày càng dễ nhận thấy hơn khi khoảng cách từ “Mặt trời” đến một điểm gần đó trong quỹ đạo ánh sáng giảm đi. Trong hình 1.

Hình 2.

Hình 2 thể hiện dưới dạng sơ đồ những quỹ đạo cong này: những quỹ đạo đi qua gần “Mặt trời” nhất thậm chí có thể quay một hoặc vài vòng quanh nó trước khi bắt đầu một hành trình xa hơn.

Tất nhiên, người đọc có thể nói, tất cả chỉ là “giá như…”. Trên thực tế, Mặt trời không đạt kích thước lớn hơn Điện Kremlin ở Moscow một chút. Tuy nhiên, “giá như…” này không quá phi thực tế. Những kết luận lý thuyết được đưa ra trên cơ sở thuyết tương đối rộng cho thấy sự tồn tại của một khối vật chất ở trạng thái co lại như vậy là có thể. Một khối vật chất cuộn mạnh như vậy - nó được gọi là sự sụp đổ - hành xử theo một cách đặc biệt: nó thu hút tất cả các hạt ở gần đó về phía mình (nếu chúng “có lực” bay đủ gần và ở tốc độ không quá cao), mà không buông bỏ bất cứ thứ gì, kể cả bức xạ. Mọi thứ gần đó đều “thất bại” trong vùng sụp đổ, do đó được gọi là “lỗ đen”. Đường chân trời riêng là bề mặt giới hạn vùng “không thể thay đổi” và được biểu diễn dưới dạng hình cầu. Quả cầu này được gọi là quả cầu Schwarzschild - bán kính của nó đã được nhà thiên văn học người Đức Schwarzschild mở rộng về mặt lý thuyết; nó phụ thuộc vào khối lượng cục bộ bên trong lỗ đen. Bên ngoài đường chân trời, các tia trong cụm hoạt động như mô tả ở trên (Hình 3).

Sự bẻ cong quỹ đạo ánh sáng đến gần lỗ đen dẫn đến hiện tượng có thể gọi là sự tập trung ánh sáng của lỗ đen. Hình 4 minh họa hiện tượng này. Người ta quan sát thấy rằng, ở điểm $E$, không chỉ các tia trực tiếp từ ngôi sao $\gamma$ tới, mà cả những tia đi gần lỗ đen $O$, cũng sẽ “làm biến dạng” nó. Do đó, mặc dù không có tín hiệu nào phát ra từ chính lỗ đen, nhưng ánh sáng của tất cả các ngôi sao được lỗ đen tập trung

10

Được quan sát $E$ như thể từ vùng lân cận của một lỗ đen. Nhờ đó, lỗ đen sẽ được coi là một vật thể có độ sáng cực cao. Ở trung tâm của một vật thể như vậy, cần quan sát thấy một điểm đen nhỏ, kích thước góc của điểm này bằng $\varphi = 2r/d$, trong đó $r$ là bán kính của quả cầu Schwarzschild và $d$ là khoảng cách từ $E$ được quan sát đến lỗ đen $O$. Tất nhiên, điểm đen này có thể được phát hiện nếu độ phân giải của thiết bị $E$ lớn hơn $\varphi$ (nghĩa là thiết bị cho phép quan sát hai điểm riêng biệt, khoảng cách góc giữa chúng là $\varphi$).

Chẳng phải hiệu ứng tập trung giải thích cho năng lượng khổng lồ của các chuẩn tinh khổng lồ được các nhà vật lý thiên văn quan sát thấy sao? Chẳng phải những chuẩn tinh này là những lỗ đen khổng lồ không tự phát ra bất cứ thứ gì mà chỉ tỏa sáng bằng ánh sáng của người khác sao?

Một hiện tượng quang học khác liên quan đến lỗ đen xảy ra nếu lỗ đen nằm hoàn toàn giữa ngôi sao được quan sát $E$ và ngôi sao $S$. Trong trường hợp này, trong mỗi mặt phẳng chứa đường $ES$, có vô số quỹ đạo (về mặt lý thuyết) mà ánh sáng từ ngôi sao $S$ đi tới ngôi sao được quan sát $E$. Hai quỹ đạo ngoài cùng này là các tia tới từ ngôi sao, chúng chỉ hơi cong, đi gần lỗ đen $O$; các tia còn lại trên đường từ $S$ đến $E$ thực hiện những vòng quay khác nhau xung quanh lỗ đen (Hình 5).

Hình ảnh quỹ đạo ánh sáng như vậy sẽ được quan sát thấy trong bất kỳ mặt phẳng nào chứa đường thẳng $ES$. Do đó, $E$ được quan sát sẽ nhìn thấy ngôi sao $S$ dưới dạng một hệ các vòng đồng tâm, hầu hết chúng đều có đường kính góc nhìn thấy được $2\varphi$, trong đó $\varphi$ là góc mà tia tới từ ngôi sao tới cạnh quan sát tạo thành đường thẳng $ES$. Nếu khoảng cách $ES$ lớn đến mức vật được quan sát không phân giải được (không nhìn thấy riêng biệt) các điểm, khoảng cách góc giữa chúng là $2\varphi$ mà chỉ cố định độ sáng, thì anh ta, không biết về sự tồn tại của lỗ đen, dường như nhìn thấy ngôi sao $S$ xuyên qua nó. Trong trường hợp này, ngôi sao được quan sát sẽ nhìn thấy một ngôi sao sáng hơn nhiều so với khi nó được quan sát gián tiếp (trong trường hợp không có lỗ đen).

Nếu một ngôi sao đang chuyển động, trong quá trình chuyển động của nó, đi qua đường thẳng $EO$, đường nối lỗ đen được quan sát (trong Hình 5, mũi tên màu đỏ chỉ hướng chuyển động của ngôi sao), thì đôi khi ngôi sao này sẽ được coi là một vật thể siêu sáng. Vật thể này sẽ xuất hiện bên ngoài khi ngôi sao tiến đến đường $EO$ và sau một thời gian nó sẽ tắt. Có lẽ đây là lý do giải thích hiện tượng thiên văn mưa đá hiếm khi được quan sát - vụ nổ siêu tân tinh?

Chúng tôi đã kiểm tra một mô hình toán học mô tả các vật thể thiên văn siêu sáng không phải là nguồn năng lượng cực cao mà là hiện tượng quang học. Mọi người cảm thấy thế nào về mô hình này? Đây là khoa học viễn tưởng hay thực tế?

(Cuối cùng xem trang 17)

11

Bài tập
độc giả của chúng tôi

1. Chứng minh rằng $0 \leq a \leq b$ thỏa mãn bất đẳng thức
   $$\ln \frac{b}{a} \leq \frac{b^2-a^2}{2ab}.$$
   V. Yasinsky

2. Chứng minh rằng nếu số hạng không phải octorian của dãy 1, 31, 331, 3331, … chia hết cho 541 thì cũng chia hết cho 19.
   I. Suev

3. Chứng minh rằng nếu
   $$x = a_1 + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_n - y}$$
   Cái đó
   $$y = a_n + \frac{1}{a_n - 1} + \dots + \frac{1}{a_2 + x}$$
   M. Gerver

4. Gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác $ABC$, $a_1, b_1, c_1$ là độ dài tương ứng của các cạnh của tam giác

$A_1B_1C_1$ có các đỉnh tại các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ (xem hình). Chứng minh rằng
$$\frac{a^2}{a_1^2} + \frac{b^2}{b_1^2} + \frac{c^2}{c_1^2} \geq 12.$$
V. Melnik

5. Một hình trụ được dựng trên đáy của một hình nón tròn bên phải. Chứng minh rằng giao tuyến của hình trụ này với một mặt phẳng tiếp tuyến với hình nón tạo ra một hình elip có diện tích bằng bề mặt bên của hình nón.
   B. Aleynikkov

6. Trong một tam giác đều, góc bissertis ở đáy dài gấp đôi góc bissertis ở đỉnh. Tìm các góc của tam giác này.
   S. Sefibekov

7. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, giao điểm các đường trung tuyến và giao điểm các đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác $ABC$ với điểm tiếp tuyến của các cạnh với đường tròn ngoại tiếp (đường tròn ngoài là đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài của hai cạnh kia) nằm trên cùng một đường thẳng.
   U. Alla

8. Chứng minh rằng trong mọi tam giác
   $$m_a^2 = \left(\frac{b+c}{2}\right)^2 - bc \left(\sin \frac{\widehat{A}}{2}\right)^2,$$
   trong đó $m_a$ là độ dài đường trung tuyến vẽ về cạnh đối diện với góc $A$, $b$ và $c$ là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác, $\widehat{A}$ là các giá trị của góc $A$.
   F. Kadirov

9. Tập $M$ chứa hữu hạn $n > 2$ các điểm của mặt phẳng không cùng thuộc một đường thẳng và nếu ba điểm khác octor của tập hợp này tạo thành một tam giác thì giao điểm các đường cao của tam giác này cũng thuộc đa điểm

cử chỉ $M$. $n$ có thể nhận những giá trị nào?
R. Ushakov

10. Chúng ta sẽ gọi một hàm $F$, hàm này xác định trên tập hợp tất cả các số nguyên và nhận các giá trị số nguyên không âm, hiện đại, nếu với bất kỳ số nguyên nào $m, n$ thì sự tương ứng giữ nguyên
    $$F(mn) = F(m)F(n),$$
    $$F(m+n) \leq 1980 [F(m) + F(n)]$$
    và ngoài ra, $F(1980) = 0$.
    Tìm tất cả các tính năng hiện đại.
    B. Katz

11. Tìm số cách tối đa để nội tiếp một tam giác vào một tam giác khác (các đỉnh của tam giác nội tiếp nằm trên các cạnh khác nhau của tam giác được mô tả).

A. Serdyuk

12. Nếu không có sự trợ giúp của bằng chứng
    a) $\cos 42^\circ < \frac{3}{4}$;
    b) $\tg 70^\circ > \frac{19}{7}$.
    S. Mayzus

13. Trong các biểu thức như
    $$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$$ bạn thường có thể loại bỏ căn bậc hai bằng cách sử dụng công thức
    $$\sqrt{1 \pm 2 \cos \alpha \sin \alpha} = |\cos \alpha \pm \sin \alpha|.$$
    Ví dụ:
    $$\sqrt{13 \pm \sqrt{48}} = \sqrt{13} \sqrt{1 \pm 2 \sqrt{\frac{12}{13}} \sqrt{\frac{1}{13}}} = \sqrt{13} \left(\sqrt{\frac{12}{13}} \pm \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = \sqrt{12} \pm 1.$$
    Dưới đây là một số ví dụ về độc lập lời giải:

1. $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$;
2. $\sqrt{11 \pm \sqrt{21}}$;
3. $\sqrt{9 \pm 4 \sqrt{2}}$.
   V. Olkhov

12

Y. Smorodinsky, A. Urnov

Hiệu ứng Doppler

Năm 1842, một bài báo có tựa đề “Về ánh sáng màu của các sao đôi và một số chòm sao khác trên bầu trời” xuất hiện trên tạp chí của Hiệp hội Khoa học Praha. Tác giả bài báo, giáo sư toán học nổi tiếng Christan Doppler, đã đề xuất một cách giải thích mới và bất ngờ về màu sắc của các thiên thể. Doppler dựa trên lý thuyết của ông dựa trên tuyên bố rằng tần số dao động của sóng sẽ phụ thuộc vào tốc độ chuyển động của các nguồn so với vật có thể quan sát được (nghĩa là thiết bị nhận biết các sóng này). Nói cách khác, cùng một âm thanh sẽ có cao độ khác nhau và ánh sáng sẽ có màu sắc (màu sắc) khác nhau đối với nguồn đứng yên và nguồn chuyển động.

Doppler tưởng tượng ra lý do có màu sắc của các ngôi sao như sau. Bản thân ánh sáng có màu trắng vì nó là hỗn hợp của nhiều màu sắc khác nhau với tỷ lệ bằng nhau. Khi nguồn di chuyển, màu sắc sẽ trộn lẫn; ví dụ, khi ngôi sao đến gần Trái đất, màu vàng sẽ chuyển sang màu xanh lục, sau đó chuyển sang màu xanh lam và tím; Khi ngôi sao bị loại bỏ, màu vàng chuyển sang màu cam và đỏ. Vì mắt chỉ có khả năng nhận biết một số màu nhất định (từ tím đến đỏ) và một số thành phần màu, khi trộn lẫn, “vượt quá” độ nhạy của mắt, nên trong tập hợp màu nhìn thấy được, một số trong số chúng có lợi thế hơn, điều này giải thích màu của ngôi sao.

13

Đối với Doppler, cũng như đối với hầu hết các nhà khoa học tự nhiên trong nhiều thế kỷ, ánh sáng là một làn sóng trong một môi trường “phát sáng” nhất định - ether, lấp đầy mọi không gian và mọi “lỗ chân lông” trong cơ thể. Sự truyền ánh sáng trong ether tương tự như sự truyền âm thanh trong không khí (hoặc trong môi trường khác), do đó hiện tượng ánh sáng lẽ ra phải có sự tương đồng với hiện tượng âm thanh *). Vì vậy, hiệu ứng Doppler dự đoán đáng lẽ phải được quan sát cho cả ánh sáng và âm thanh.

Các thí nghiệm khá bất thường đã được thực hiện để kiểm tra nguyên lý Doppler. Ở phía sau, đang di chuyển với tốc độ cao, có những nhạc sĩ tạo ra âm thanh theo một giai điệu nhất định. Tại một số nhà ga dọc theo tuyến đường xe lửa có những nhạc sĩ “quan sát” có thể xác định cao độ bằng tai. Kết quả của những thí nghiệm này là người ta phát hiện ra rằng cao độ của âm thanh mà người quan sát cảm nhận được sẽ thay đổi khi nguồn âm chuyển động, phù hợp với dự đoán của Doppler.

Tuy nhiên, bài báo “Về ánh sáng màu…” của Doppler đã được ủng hộ bởi những lời chỉ trích gay gắt, và, bất chấp những nỗ lực của Doppler để bảo vệ quan điểm của mình, lý thuyết của ông đã bị phần lớn giới khoa học vật lý nổi tiếng bác bỏ.

Lời giải thích của Doppler về màu sao thực sự không chính xác. Tuy nhiên, nó dựa trên ý tưởng hiệu quả về sự thay đổi màu sắc (bước sóng) của bức xạ khi nguồn di chuyển so với người quan sát. Hiệu ứng này đã được sử dụng và nó được gọi là hiệu ứng Doppler. Lời giải thích chính xác về hiệu ứng này chỉ được đưa ra sau khi hiểu được bản chất của bức xạ. Trong thời của Doppler, tầm quan trọng của ý tưởng Doppler về cơ bản chưa bao giờ được nhận ra - bởi những người phản đối lý thuyết của ông, cũng như bởi chính ông. Chỉ Bolshano, một nhà toán học đến từ Praha, ở đất nước của ông, người cống hiến hết mình cho công trình Doppler, đã viết rằng công trình này mang lại nhiều điều hơn cái tên chung của nó, cả về âm học và quang học cũng như toàn bộ học thuyết về chuyển động giống sóng. Không tin vào các tính toán của Doppler, Bolshano vẫn kết luận bài viết của mình bằng những lời: “Tôi tin tưởng rằng theo thời gian, nó (lý thuyết của Doppler) sẽ được sử dụng để giải quyết, trên cơ sở những thay đổi về màu sắc của các thiên thể, các câu hỏi về việc liệu những thiên thể này có đang chuyển động hay không, chúng đang di chuyển ở đâu và với tốc độ bao nhiêu, khoảng cách giữa chúng với chúng ta và với nhau là bao nhiêu, cũng như để giải quyết nhiều câu hỏi khác”.

Khả năng sử dụng hiệu ứng Doppler trong vật lý và ứng dụng thực tế đã được đánh giá muộn hơn nhiều, sau khi khám phá ra phương pháp phân tích quang phổ. Mối liên hệ sâu sắc của nó với các khái niệm cơ bản của vật lý như không gian và thời gian đã được Albert Einstein thiết lập. Trong công trình năm 1905 về lý thuyết ánh sáng tương đối, Einstein là người đầu tiên thu được công thức đúng cho sự thay đổi tần số ánh sáng khi nguồn sáng và người quan sát là tương đối.

Kể từ khi việc thử nghiệm hiệu ứng Doppler trong quang học bắt đầu gắn liền với sự pha trộn của các vạch quang phổ, rất nhiều bằng chứng thực nghiệm đã được tích lũy trong quá trình nghiên cứu của nó. Điều tò mò là bằng chứng đầu tiên thu được bằng cách nghiên cứu quang phổ của các ngôi sao. Trong điều kiện PHÒNG THÍ NGHIỆM, hiện tượng này đã được quan sát bởi nhà vật lý người Nga A. Belopolsky, người đã thực hiện các thí nghiệm khá khéo léo với gương quay (1900). Sự tồn tại của cái gọi là khiếm khuyết Doppler ngang (sẽ được thảo luận thêm) chỉ được xác nhận một cách đáng tin cậy chỉ nửa thế kỷ sau (1948).

Sau khi khám phá ra các tính chất lượng tử của ánh sáng, nảy sinh nhu cầu “dung hòa” hiện tượng vốn đã hấp dẫn với những hiện tượng mới bất thường.

14

những quan điểm mới. bài toán này đã được giải quyết thành công bởi một trong những người sáng tạo ra cơ học (lượng tử) hiện đại, Erwin Schrödinger, người đã chỉ ra khả năng diễn giải hiệu ứng bổ sung theo quan điểm lượng tử ánh sáng.

Cả âm thanh và ánh sáng đều là hiện tượng sóng. Sóng là những dao động lan truyền trong không gian theo thời gian. Sóng âm thanh (âm thanh) trong môi trường (vật chất) là sự lan truyền các dao động về mật độ của môi trường. Sóng quang ánh sáng là sự lan truyền các dao động điện từ trong không gian.

Để mô tả bất kỳ quá trình chuyển động nào, trước hết cần phải chọn hệ thống báo cáo - hệ tọa độ cùng với đồng hồ nằm trong hệ thống này. Nội dung vật lý của hiệu ứng Doppler nằm ở chỗ tần số dao động phụ thuộc vào hệ thống báo cáo trong đó việc quan sát được thực hiện. Các công thức chuyển đổi tần số khi di chuyển từ hệ thống báo cáo này sang hệ thống báo cáo khác, di chuyển tương đối so với hệ thống đầu tiên, cung cấp mô tả toán học về hiện tượng này. Tuy nhiên, điều cực kỳ quan trọng là các công thức này khác nhau đối với sóng âm và sóng quang.

Hiệu ứng Doppler cho âm thanh

Để hiểu tần số ánh sáng thay đổi như thế nào khi nguồn di chuyển hoặc được quan sát, chúng ta hãy phân tích bài toán sau đây. Trên mặt hồ có hai chiếc thuyền đang trôi. Từ một trong số chúng, một thiết bị được hạ xuống nước, thiết bị này có thể phát ra các rung động âm thanh có tần số $v_0$. Từ một chiếc thuyền khác, một máy thu được hạ xuống nước, có thể ghi lại tần số của âm thanh phát ra.

Phần nào của âm thanh sẽ được máy thu ghi lại trong các trường hợp sau:

1. cả hai chiếc thuyền đều đang đứng yên trên mặt nước;

2. con thuyền có nguồn đứng yên, con thuyền có vật thu chuyển động;

3. Con thuyền với nguồn chuyển động và con thuyền với vật thu có đứng yên không?

Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp riêng biệt.

1. Đáp số rất rõ ràng về câu hỏi này: máy thu đang ghi lại âm thanh có tần số $v_0$. Thật vậy, nếu tốc độ âm thanh trong nước là $c_0$ thì độ dày của sóng âm do nguồn phát ra là $\lambda_0 = c_0/v_0$. Người được quan sát ở chiếc thuyền thứ hai, thay đổi tốc độ âm thanh và bước sóng, sẽ ghi lại chính xác các giá trị này - $c_1 = c_0$ và $\lambda_1 = \lambda_0$. Vì vậy, tần số của âm thanh ghi lại quan sát được sẽ bằng

$$v_1 = \frac{c_1}{\lambda_1} = \frac{c_0}{\lambda_0} = v_0.$$ (1)

2. Bây giờ hãy để chiếc thuyền có điểm bắt đầu chuyển động quan sát được nằm dọc theo một đường thẳng nối cả hai chiếc thuyền. Chúng ta hãy biểu thị tốc độ của thuyền với giá trị có thể quan sát được là $v_h$ và giả sử rằng tốc độ đó là dương nếu khoảng cách giữa các thuyền giảm đi. Tốc độ âm thanh thay đổi các vật thể quan sát bây giờ sẽ bằng $c_0$ và

$$c_2 = c_0 + v_h = c_0 \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right).$$

Tất nhiên, bước sóng của âm thanh trong nước không phụ thuộc vào việc vật được quan sát có chuyển động hay không. Vì vậy $\lambda_2 = \lambda_0 = c_0/v_0$. Mặt khác, $\lambda_2 = c_2/v_2$; có nghĩa là $c_0/v_0 = c_2/v_2$, tức là

$$v_2 = \frac{c_2}{c_0} v_0 = \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$$ (2)

Vì vậy, nếu khoảng cách giữa các thuyền giảm đi thì máy thu sẽ ghi nhận tần số cao hơn tần số của nguồn âm thanh. Ngược lại, nếu thuyền cùng với người được quan sát di chuyển ra xa thuyền cùng với nguồn thì tần số của âm thanh thu được sẽ giảm:

$$v'_2 = \left( 1 - \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$$ (2')

3. Khoảng cách là trường hợp thuyền chở nguồn đang di chuyển về phía vật được quan sát với tốc độ $v_h$. Tốc độ truyền âm trong nước vẫn là $c_0$. Bước sóng làm thay đổi bước sóng quan sát được bây giờ sẽ nhỏ hơn so với trường hợp thuyền đứng yên. Thật vậy, bước sóng là sự khác biệt

15

đứng giữa hai điểm liền kề dao động cùng pha, ví dụ giữa các đỉnh sóng liền kề. Trong thời gian $T = \lambda_0/c_0$, khi một đỉnh sóng di chuyển ra xa điểm mà nó được “phát ra” đến một khoảng cách $\lambda_0$ thì nguồn sẽ di chuyển cùng hướng đến một khoảng cách $v_n\lambda_0/c_0$. Do đó, khoảng cách giữa sườn núi “đầu tiên” và sườn núi tiếp theo sẽ không bằng $\lambda_0$, nhưng

$$\lambda_3 = \lambda_0 - v_n\frac{\lambda_0}{c_0} = \lambda_0 \left( 1 - \frac{v_n}{c_0} \right).$$

Điều này có nghĩa là tần số âm thanh mà vật quan sát được sẽ ghi lại sẽ bằng

$$v_3 = \frac{c_0}{\lambda_3} = \frac{c_0}{\lambda_0 \left( 1 - v_n/c_0 \right)},$$

hoặc

$$v_3 = \frac{v_0}{1 - v_n/c_0}.$$

(3)

Trong trường hợp thuyền có nguồn phát di chuyển ra xa thuyền có nguồn áp dụng thì tần số âm thanh mà nguồn áp dụng sẽ quá nóng bằng

$$v'_3 = \frac{v_0}{1 + v_n/c_0}.$$

(3')

Chúng ta thấy rằng công thức (3) khác với công thức (2), mặc dù mô hình cơ bản vẫn giống nhau: âm thanh tăng lên khi thuyền hòa vào nhau và khái niệm khi thuyền phân tán.

Tuy nhiên, nếu tốc độ của thuyền nhỏ so với tốc độ âm thanh trong nước thì chúng ta có thể sử dụng các đẳng thức gần đúng

$$\frac{1}{1-\alpha} \approx 1 + \alpha, \quad \frac{1}{1+\alpha} \approx 1 - \alpha,$$

nếu $\alpha \ll 1$.

Trong trường hợp này, công thức (3) gần như trùng khớp với công thức (2):

$$v_3 \approx v_2 = \left( 1 \pm \frac{v_n}{c_0} \right) v_0.$$

Bạn cũng có thể viết công thức tổng quát cho trường hợp cả hai thuyền đều chuyển động - cả bến và đích. Công thức này sẽ có được bằng cách áp dụng tuần tự hai công thức thu được ở trên:

$$v = \frac{1 \pm v_n/c_0}{1 + v_n/c_0} v_0,$$

hoặc xấp xỉ, cho rằng $(1 + \alpha)(1 + \beta) \approx 1 + \alpha + \beta$ tại $\alpha, \beta \ll 1$,

$$v \approx \left( 1 \pm \frac{v_n \pm v_h}{c_0} \right) v_0.$$

Dễ dàng nhận thấy $v_n \pm v_h$ là tốc độ tương đối của nguồn và đích. Dấu “+” tương ứng với chuyển động của chúng theo hướng ngược nhau, dấu “-” - cùng hướng. Do đó, công thức tính hiệu ứng Doppler trong phép tính gần đúng vận tốc thấp có thể được viết như sau:

$$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \right) v_0,$$

trong đó $v$ là tốc độ tương đối của nguồn và ứng dụng.

Công thức tổng quát mà chúng ta thu được có thể được khái quát hóa một lần nữa - cho trường hợp môi trường chuyển động. (Sự khái quát hóa này có nghĩa là trong ví dụ của chúng tôi, chiếc thuyền không ở trên hồ mà ở trên sông.) Trong trường hợp này, dạng tổng quát của công thức không thay đổi, nhưng các giá trị $v_n$ và $v_h$ bây giờ nên được hiểu là tốc độ chuyển động của vật được quan sát và nguồn của dòng sông tương đối; theo đó, giá trị $v$ cũng nên được thay thế vào công thức chung.

Và một lưu ý nữa. Chúng tôi đã xem xét trường hợp khi nguồn và thiết bị chiếu di chuyển dọc theo một đường thẳng và mặt trước của sóng âm truyền dọc theo đường thẳng này. Nếu hướng truyền âm tạo một góc $\theta$ với hướng của vận tốc tương đối $v$ thì tần số mà thiết bị ghi được bằng

$$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \cos \theta \right) v_0.$$

Sự thay đổi tần số $v_0$ được xác định bằng hình chiếu $v \cos \theta$ của vận tốc tương đối lên hướng truyền âm thanh. Nếu $\theta = 90^\circ$, thì $v = v_0$ - cái gọi là hiệu ứng Doppler ngang không có trong âm học thông thường.

Vì vậy, hãy tóm tắt. Tần số âm thanh được thiết bị ghi lại phụ thuộc vào chuyển động tương đối của nguồn và thiết bị và xác định

16

được thể hiện bằng các quan hệ sau:

1. $v = v_0$—được quan sát và nguồn đứng yên so với môi trường;
2. $v = \left( 1 \pm \frac{v_1}{c_0} \right) v_0$ - vật được quan sát đang chuyển động, nguồn đứng yên;
3. $v = \frac{1}{1 - v_1/c_0} v_0$ - vật được quan sát là đứng yên, là nguồn của chuyển động.

Hiệu ứng Doppler cho ánh sáng

Trước đây, người ta tin rằng sự thay đổi tần số ánh sáng khi một nguồn hoặc vật thể chuyển động được mô tả bằng các công thức tương tự như sự thay đổi tần số âm thanh. Vào thời điểm đó, người ta tin rằng ánh sáng truyền trong ether - một môi trường giả thuyết lấp đầy toàn bộ không gian, nhưng không tạo ra lực cản đối với chuyển động của các vật thể. Đối với một môi trường như vậy, các công thức rút ra cho âm thanh sẽ không thay đổi, nếu chỉ hiểu được dưới $c_0$ tốc độ truyền ánh sáng trong ether. Trong lý thuyết về ether tương đối, nó biến mất, và cùng với nó là khái niệm chuyển động tuyệt đối (chuyển động trong mối quan hệ với ether, như người ta vẫn nghĩ trước đây) cũng biến mất.

Một trong những kết luận chính của lý thuyết ánh sáng tương đối là kết luận rằng không có hiện tượng nào có thể phụ thuộc vào tốc độ tuyệt đối; công thức chỉ có thể bao gồm tốc độ tương đối. Các công thức cho hiệu ứng Doppler hoạt động, như chúng ta đã thấy, chứa tốc độ “tuyệt đối” - tốc độ của âm thanh so với môi trường. Từ đó suy ra rằng những công thức này không thể đúng đối với ánh sáng.

Thật vậy, trong lý thuyết tương đối có một công thức khác cho hiệu ứng Doppler:

$$v = \frac{1 + \frac{v}{c} \cos(1)}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} v_0.$$

Trong công thức này, $c$ là tốc độ ánh sáng trong chân không, $v$ là tốc độ tương đối của nguồn và máy thu, và $\theta$ là góc giữa tốc độ $v$ và hướng truyền ánh sáng, được sửa đổi trong hệ thống báo cáo liên quan đến nguồn bức xạ.

Nếu tốc độ $v$ rất nhỏ, sao cho bình phương của nó có thể biến đổi so với bình phương của tốc độ ánh sáng (tức là $v^2/c^2 \ll 1$), thì công thức này không khác gì công thức thay đổi tần số âm thanh. Sự khác biệt trong hai công thức này chỉ xuất hiện nếu đại lượng $v^2/c^2$ không thể chuyển đổi được.

Hầu như tất cả các công thức của lý thuyết ánh sáng tương đối đều bao gồm nhiều

$$\gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} (\gamma \geqslant 1).$$

Bộ này - được gọi là bộ Lorentz - xác định sự thay đổi về thời gian trong hệ thống truyền động của báo cáo, việc giảm độ dài chuyển động của thanh của nó, sự gia tăng khối lượng chuyển động của cơ thể nó. Không có gì đáng ngạc nhiên khi bộ này cũng được đưa vào công thức Doppler. Điều này trở nên tự nhiên nếu chúng ta nhớ rằng năng lượng của lượng tử có liên hệ với tần số theo $E = hv$, và do đó trong hệ tọa độ chuyển động, tần số sẽ thay đổi giống như năng lượng.

Tất nhiên, lời giải thích này không thay thế cách dẫn xuất của công thức Doppler nhưng làm cho nó rõ ràng hơn.

Sự tồn tại của các công thức âm học và quang học khác nhau của hiệu ứng Doppler thể hiện trong trường hợp $\theta = 0$, tức là khi nguồn phát ra sóng theo hướng vuông góc với chuyển động của nó. Đối với trường hợp như vậy, công thức cổ điển (âm thanh) dự đoán sự vắng mặt của hiệu ứng ($v = v_0$).

Công thức tương đối tính (quang học) dự đoán sự hiện diện của hiệu ứng ngang. Các quan sát về sao đôi PSR 1913-16$^*$ đã xác nhận sự tồn tại của hiệu ứng này.

$^*$) Con số biểu thị một ngôi sao là tọa độ thiên thể của nó: 19 giờ 13 phút - xích kinh, $16^\circ$ - xích vĩ, PSR - mã danh mục.

17

Ứng dụng Doppler hiệu quả

Nếu bạn hỏi một sinh viên đang học cơ học làm thế nào để thay đổi tốc độ của một vật, anh ta sẽ trả lời rằng để làm được điều này cần phải thay đổi thời gian mà vật chuyển động trên một đường nhất định. Trong mọi trường hợp, đây là điều chúng ta làm nếu muốn thay đổi tốc độ của tàu, nhìn ra ngoài cửa sổ Varona. Bạn có thể làm khác đi - thay đổi đường đi (số biển báo km) đã đi qua trong một thời gian nhất định. Nói chung, bạn cần “chia đường đi theo thời gian”.

Công thức Doppler giúp thay đổi tốc độ theo một cách hoàn toàn khác. Nếu một tia laser được gửi từ ga đường sắt đến tàu hỏa và một thiết bị thay đổi tần số thay đổi được mang vào tàu, thì bằng cách so sánh tần số đã thay đổi với tần số mà tia laser được chế tạo ở ga, người ta có thể tìm thấy tốc độ của tàu so với ga; chính xác hơn là tìm tỉ số giữa tốc độ của tàu với tốc độ ánh sáng.

Phương pháp thay đổi tốc độ này khác với phương pháp “trường học” tiêu chuẩn ở một tính năng tuyệt vời. Chúng ta không cần thang đo chiều dài (số km) hoặc thang thời gian (đồng hồ bấm giờ).

Hiệu ứng Doppler cho phép chúng ta khám phá một trong những định luật mạnh mẽ nhất của Vũ trụ - định luật Hubble.

Nhà thiên văn học người Mỹ Hubble đã phát hiện ra rằng trong quang phổ của các thiên thể ở xa - các thiên hà xoắn ốc - các vạch quang phổ đã biết dường như là một tinh vân đang giãn nở, ở trung tâm của nó đôi khi có một ẩn tinh - một nguồn phát ra sự hình thành các xung vô tuyến rõ ràng nối tiếp nhau. Tuy nhiên, mô hình mà chúng tôi đã xem xét có vẻ hợp lý như một cách tiếp cận khả thi để giải thích các hiện tượng thiên văn.

$V = HR,$

trong đó $V$ là tốc độ (hướng tâm) của thiên hà, $R$ là khoảng cách đến thiên hà, các giá trị $H$ được gọi là hằng số Hubble; nó bằng (như hiện nay được xem xét) xấp xỉ $\frac{20 \text{ km/c}}{10^6 \text{ свет. лет}}$. Điều này có nghĩa là khi khoảng cách tới một thiên hà tăng thêm một triệu năm ánh sáng, tốc độ di chuyển nó ra khỏi chúng ta tăng thêm 20 km/s.

Biên giới Thiên hà của chúng ta nằm cách chúng ta khoảng 2 triệu năm ánh sáng, cụm trong chòm sao Xử Nữ ở khoảng cách 35 triệu năm ánh sáng, cụm trong chòm sao Hydra cách chúng ta 200 triệu năm ánh sáng. Đánh giá khoảng cách đến các thiên hà vô tuyến và chuẩn tinh xa nhất cho thấy chúng cách chúng ta hàng tỷ năm ánh sáng (điều này tương ứng với tốc độ di chuyển khỏi chúng ta gần bằng tốc độ ánh sáng - khoảng 90% tốc độ ánh sáng).

18

Bài thơ của Lobachevsky

Trong một bức thư gửi từ Stockholm vào mùa thu năm 1890, Sofia Kovalevskaya viết: “… bạn không thể trở thành một nhà toán học nếu không đồng thời có tâm hồn”. Và thực sự, như lịch sử khoa học cho thấy, kể từ thời Pyragore, toán học đã trở nên hấp dẫn hơn và thậm chí còn cố gắng viết ra.

Sự quan tâm đến văn học của S. Kovalevskaya được nhiều người biết đến. Nhưng nhà hình học vĩ đại người Nga N. I. Lobachevsky có làm thơ không?

Đề cập đến một thông điệp đầy chất thơ gửi Lobachevsky, do anh trai vợ ông là N. E. Velikopolsky sáng tác, L. B. Modzalevsky viết*): “Từ thông điệp này, rõ ràng rằng bản thân N. I. Lobachevsky đã tham gia vào việc sáng tác thơ từ khi còn trẻ. Nhưng

*)《Tài liệu viết tiểu sử N. I. Lobachevsky》（M., AN, 1948), tr. 165.

những thử nghiệm thơ ca của anh ấy đã không đến được với chúng tôi.”

“Nhưng có lẽ họ có thể được tìm thấy?” - Tôi nghĩ, và một cuộc tìm kiếm dài bắt đầu. Và trước mặt tôi là một cuốn sách mỏng, số 17 của tạp chí văn học “Con kiến ​​Volga,” xuất bản năm 1834. Đọc:

Lũ Volga gần Kazan

Nữ hoàng trịnh trọng chảy về vùng biển xa xôi của Biển Caspian rộng lớn, Bạn quay về phía Kazan dựa trên bằng chứng của cuộc tìm kiếm. Và trước mặt tôi là một cuốn sách mỏng, số 17 của tạp chí văn học “Con kiến ​​Volga,” xuất bản năm 1834. Đọc:

Bài thơ về Volga của chúng ta bắt đầu bằng những dòng chữ chân thành như vậy. Tôi nhìn vào chữ ký: “Ave. L…sky.”

Nếu trong chữ viết tắt bí ẩn “L…sky” họ của nhà hình học vĩ đại thực sự bị ẩn giấu, thì tại sao lại là “Pr.” chứ không phải “N.” hoặc “H. VÀ.”?

Được biết, lobachevsky đã ký các ấn phẩm của mình theo nhiều cách khác nhau. Đặc biệt, hai bài tiểu luận của ông: “Giảm bậc của phương trình nhị thức khi chia một số mũ không có đơn vị cho 8” và “Về sự biến mất của các đường lượng giác” - được nhà in của Đại học Kazan xuất bản thành các ấn bản riêng vào năm 1834, tức là ngay khi số thứ mười bảy của “Con kiến ​​Volga” được xuất bản, có chữ ký “Pr. Lobachevsky”. Điều này có nghĩa là tác giả bài thơ “Lũ sông Volga ở Kazan” rất muốn biết. Có thể nói, chính Nikolai Ivanovich đã bảo chúng ta tìm ra cái tên được bảo vệ “Pr. L…sky" - Giáo sư Lobachevsky! Nhưng tại sao ông, hiệu trưởng trường Đại học Kazan và là một nhà toán học nổi tiếng, lại đột nhiên - chính xác là vào năm 1834 - lại “liều lĩnh” xuất bản bài thơ của mình?

Điều này có liên quan đến việc Pushkin đến Kazan vào tháng 9 năm 1833 không? Pushkin, người đã nói: “Trong pozzie cũng như trong hình học cần có cảm hứng”?

Có vẻ như trong thời gian Great Posture ở Kazan, nơi ông thu thập tài liệu về cuộc nổi dậy của Pugachev, ông đã không gặp Nhà hình học vĩ đại. Điều này có thể xảy ra trong thư viện, hoặc trong ngôi nhà hiếu khách của Lobachevskys (hãy nhớ: vợ của N. I. Lobachevsky là em gái cùng cha khác mẹ của I. E. Velikopolsky, một người bạn cũ của Pushkin), hoặc cuối cùng, trong căn hộ của Fuchs chuyên nghiệp, nơi Pushkin là khách và Lobachevsky đã đến thăm. Bạn có thể đọc về việc ông tham gia các buổi tối văn học với các đồng nghiệp ở trường đại học trong một bức thư gửi từ Kazan vào ngày 21 tháng 1 năm 1832 gửi I. E. Velikopolsky; nó nói: “Chúng tôi đang dự một buổi tối văn học tại Fuchs’… N.I. Lobachevsky đọc thơ trong tác phẩm của Mme Fuchs và nhiều lần gần như muốn viết… Baratynsky ngồi với đôi mắt u ám suốt thời gian đó”*)

Vì vậy, cuộc gặp gỡ của hai thiên tài, bằng cách này hay cách khác, chắc hẳn đã diễn ra vào tháng 9 năm 1833. Phản ứng trước chuyến thăm của Pushkin rõ ràng là sự xuất hiện trên bản in bài thơ “Lũ lụt Volga ở Kazan” của Lobachevsky, toàn văn bài thơ được đưa ra dưới đây. Hợp âm cuối cùng của nó nghe hay thế nào:

Đây là hình ảnh về sức mạnh hòa bình của nước Nga!
Sự cố tràn của nó không đáng sợ.
Sự vĩ đại hạn chế sức mạnh,
Ở đây, ở khắp mọi nơi, phục tùng anh ta.

Lũ Volga gần Kazan

Nữ hoàng của dòng sông trong dòng chảy trang trọng
Đến vùng biển xa xôi của biển Caspian rộng lớn,
Bạn đang cố gắng đến Kazan để hẹn hò
Cùng với nó là những vật liệu cổ xưa đến các thành phố Tatar!
Bạn ôm cô ấy từ mọi phía, như một người bạn,
Và với dòng suối run rẩy bạn chào đón tia sáng
Và lặng lẽ bạn đặt những món quà từ mì ramen xanh xuống
Trên bờ biển Bulak…

*) Tôi. Andronikov. Tôi muốn nói với bạn… (M., “Nhà văn Liên Xô”, 1971), tr. 186.

Thật là một bữa tiệc ồn ào!… Nhưng điều gì là bí mật và quan trọng
Động từ sóng của bạn nói với cô ấy điều gì?
Đó có phải là niềm vui của riêng bạn, có phải là những cuộc chiến dũng cảm của bạn?
Và bạn có lấp đầy những ngày vinh quang cổ xưa?
Ồ! trước và Kazan kiêu ngạo bước đi
Khi nước đầy, suối tự do
Bão Iratya ngập lụt diện rộng
Các lĩnh vực phục tùng của các nước xung quanh.
Thời của cô đã qua: hậu duệ chiến binh,
Giống như một dòng sông bẩn thỉu hoặc khô cạn,
Giống như những mảnh vụn tầm thường của một nơi huy hoàng,
Bây giờ sự im lặng chỉ còn lớn tiếng một cách yếu ớt.

Thế là mọi thứ đều biến mất!… Nhưng Thiên thần hoang tàn
Có thực sự có khả năng anh ấy cũng sẽ đến đánh bạn không?
Phải chăng sóng của bạn cũng sẽ thôi ham muốn -
Và sông Volga sẽ tràn ngập cỏ đầm lầy?
Và nơi những con tàu có cánh của bạn lướt qua,
Liệu cái chân mệt mỏi của bạn có bị kẹt không?
Họ đã mang niềm vui đi đâu -
Những bờ biển mồ côi sẽ im lặng!…
Không!… sự tồn tại của bạn cho đến sự vĩnh hằng của sản phẩm
Giống như một ký ức rõ ràng về những việc làm vĩ đại.
Sự vĩ đại được bảo tồn bất tử trong nhiều thế kỷ
Và hư vô không phải là số phận của anh ấy.

Bạn đang đánh vào những cánh đồng hoang vắng?
Bạn có sống theo hy vọng của dân làng không?
KHÔNG! Nước của bạn luôn thơm, vinh dự của các quốc gia biết ơn,
Được bạn nuôi dưỡng, chỉ làm giàu thêm!
Bạn và trái đất là vẻ đẹp vô hại,
Và sáng trong dòng suối không bị xáo trộn của bạn,
Như thể trong lương tâm trong sáng, bầu trời tỏa sáng.

Đây là hình ảnh về sức mạnh hòa bình của nước Nga!
Sự cố tràn của nó không đáng sợ.
Sự vĩ đại hạn chế sức mạnh,
Ở đây, ở khắp mọi nơi, phục tùng anh ta.
Liệu anh ấy có mạnh dạn phấn đấu vì vùng Balkan kiêu hãnh,
Hay nó sẽ dẫn từ dãy núi Ararat đến Iran?
Một trong những chuỗi băng bị cô lập đang vỡ,—
Và tên bạo chúa giận dữ đã được bình định.
Vì khi kẻ gian ác bị tiêu diệt,
Nước Nga sẽ không đi đến hồi kết;
Quyền lực sẽ không sớm bị nghiền nát
Một vương miện được bất tử bởi lòng tốt.

Ave. L…bầu trời

20

A. Dozorov

Vật lý không có dụng cụ

Đó là mùa hè, thời gian cho một kỳ nghỉ học vui vẻ. Sách giáo khoa được đặt sang một bên, không cần phải nghiền ngẫm bài tập về nhà. Thật tuyệt biết bao khi nhảy từ dốc xuống sông, hay lang thang trong rừng, hoặc chỉ nằm dài trên bãi cỏ và nhìn lên bầu trời mà không cần suy nghĩ về bất cứ điều gì. Nhưng hãy nhìn kỹ xung quanh bạn, bạn sẽ thấy rất nhiều điều thú vị trong những thứ tưởng chừng như hấp dẫn và quen thuộc nhất.

Ở đây bạn đang đứng gần một cái ao hoặc một đồng cỏ rừng rộng lớn. Gần như chắc chắn có bọ nước chạy tới chạy lui trên mặt nước. Hãy dành thời gian, dừng lại và quan sát cách con bọ nghiền nát lớp chất lỏng bề mặt bên dưới, dựa vào nó. Có vẻ như anh ta “biết” vật lý.

Vào một buổi tối mùa hè, trên bãi cỏ rậm rạp hoặc trong rừng, người ta có thể nhìn thấy đom đóm trên gốc cây. Những chiếc đèn lồng sống này tạo ra các chất hóa học trong tổ chức của chúng, khi bị oxy hóa trong không khí sẽ phát ra ánh sáng. Firefly “tạo ra” nguồn ánh sáng trong tổ chức của mình.

Mực nang đẩy chất lỏng ra khỏi tổ chức của nó và di chuyển theo quy luật chuyển động phản lực. Làm tốt lắm.

Và còn rất nhiều điều tò mò trong thiên nhiên vô tri. Chúng tôi cung cấp cho bạn một số thử nghiệm mà bạn có thể tự mình thực hiện hoặc với bạn bè của mình. Đừng buồn nếu bạn không thể giải thích mọi thứ cho họ. Năm học mới sẽ đến, và phần lớn những gì chúng ta thấy trong mùa hè sẽ tìm ra lời giải thích.

Vì vậy, hãy bắt đầu với nó.

1. Đồng ý rằng, không nhiều cư dân ở khu vực giữa, nơi không quá nóng vào mùa hè, đã nhìn thấy ảo ảnh. Nếu bạn muốn gặp anh ấy, hãy kiên nhẫn và làm như sau. Đầu tiên, chọn một bức tường bằng phẳng, phù hợp hướng về phía Mặt trời vào ban ngày. Chờ trời yên tĩnh, có nắng. Đặt mình cùng với một người bạn ở hai đầu đối diện của bức tường, cạnh cô ấy. Hãy nhìn kỹ dọc theo nó, và bạn sẽ bất ngờ thấy…
   sự phản ánh của bạn bè của bạn.

Chúng tôi cảnh báo bạn một lần nữa rằng thử nghiệm đòi hỏi rất nhiều kiên nhẫn. Theo quy luật, bất kỳ thử nghiệm tốt nào cũng không thành công ngay lập tức.

2. Nếu bạn để mắt tới Mặt trăng, chắc chắn một ngày nào đó bạn sẽ nhìn thấy một mặt trăng, và nếu may mắn, bạn sẽ thấy hai vòng cầu vồng xung quanh nó.

21

Chúng có thể nhìn thấy đặc biệt rõ ràng khi có một đám mây mờ nhẹ giữa Mặt trăng và mắt. Ánh trăng bị phân tán bởi những đám mây không hoàn hảo nằm ngẫu nhiên và sẽ tạo ra hình ảnh nhiễu xạ dưới dạng vòng tròn cầu vồng.

Nếu bạn nôn nóng muốn nhìn thấy các đường cầu vồng nhưng vì lý do nào đó không có Mặt trăng trên bầu trời, một mô hình nhiễu xạ có thể được tạo ra một cách nhân tạo. Để làm điều này, bạn sẽ cần những mảnh phim cắt và một cây kim thông thường.

Chạy đầu kim qua nhũ ảnh - bạn sẽ nhận được cái gọi là khe nhiễu xạ. Đưa khe gần mắt và nhìn qua nó vào một nguồn sáng nào đó (ví dụ: Mặt trời hoặc đèn). Bạn sẽ thấy một sọc cầu vồng sáng. Xoay phim - dải nhiều màu cũng sẽ xoay, mỗi lần vẫn vuông góc với khe. Bây giờ hãy vạch một vòng tròn nhỏ trên nhũ tương - mẫu nhiễu xạ sẽ có dạng bánh xe cầu vồng. Vẽ một tập hợp các dòng khác và xem điều gì sẽ xảy ra.

3. Cầu vồng cũng có thể được quan sát bằng cách sử dụng một giọt nước. Đặt giọt nước lên một cây gậy hoặc ngọn cỏ. Đưa lưng về phía Mặt trời và cẩn thận nhấc giọt nước lên. Khi các tia Mặt Trời tạo thành một góc khoảng 42° với hướng nhìn của mắt - giọt nước, giọt nước đang nổi lên sẽ bất ngờ bùng lên với một tông màu cực kỳ trong trẻo. Cái nào? Bất cứ ai! Nếu khuấy nhẹ giọt nước theo hình vòng cung, bạn có thể nhìn thấy tất cả các màu sắc của cầu vồng.

Một hôm, khi đang hái nấm trong rừng, tôi chứng kiến ​​một cảnh tượng buồn cười. Con trai tôi cẩn thận quan sát những giọt sương trên cỏ và trên lá thông. Nhìn từ bên ngoài, hành động của anh ta có vẻ hơi kỳ lạ: cậu bé từ từ cúi xuống, nhìn vào một khoảng không dường như trống rỗng. Lúc này, một cây nấm khác xuất hiện ở bãi đất trống, một người đàn ông khá đáng kính. Ông ngơ ngác hồi lâu nhìn những chuyển động chậm chạp và uyển chuyển của con trai mình, nhưng cuối cùng ông không thể chịu nổi và quay sang hỏi rõ. Bây giờ tôi hài lòng nhìn cả hai người họ đang đứng đờ người trước cây vân sam trong những tư thế vụng về.

4. Hóa ra bạn có thể tạo ra một loại vi chất nhỏ từ một giọt nước. Để làm điều này, bạn cần lấy một tờ giấy dày, chỉ dùng kim chọc một lỗ trên đó và cẩn thận nhỏ một giọt nước lên đó. Nước ép vi sinh đã sẵn sàng.

Đưa giọt càng gần văn bản báo càng tốt. Bạn sẽ thấy một bức thư được phóng to rất nhiều. Giọt càng nhỏ thì độ phóng đại càng lớn. Bây giờ, sau khi “thiết lập thiết bị” theo cách này, bạn có thể kiểm tra bất kỳ vật thể nhỏ nào.

Nhân tiện, chúng tôi lưu ý rằng trong vi dịch đầu tiên do Leeuwenhoek phát minh, mọi thứ đều được thực hiện chính xác như thế này, chỉ có giọt nước là thủy tinh.

23

Tốt hơn - bằng nhau

Trong các vấn đề khác nhau về phân tích và toán ứng dụng, các câu hỏi thuộc loại này nảy sinh:

Cho hai số v và p: 0 < v < p. Hãy xem xét tất cả các bộ số (hữu hạn) có thể có $x_1, x_2, ..., x_k$ sao cho 0 < x_i ≤ v với mọi i = 1, 2, …, k và tổng $\sum_{i=1}^{k} x_i$ của tất cả các số trong bộ đó lớn hơn p.

Đối với mỗi tập hợp như vậy, có một số D sao cho 1) tổng S của một số số nhất định của tập hợp (cụ thể là có thể là tất cả) khác với p trên D: |S−p| = D và 2) bất kỳ tổng nào khác của các số nhất định của tập hợp đều khác với p nhiều hơn D.

Đối với mỗi bộ này, số D (“lỗi gần đúng”) sẽ lớn nhất?

Như chúng ta sẽ thấy, thứ chúng ta đang tìm kiếm sẽ là một tập hợp các số giống hệt nhau: “tốt hơn - bằng nhau”.

Ở đây chúng ta sẽ xem xét một số bài toán cụ thể (bao gồm cả bài toán M583 khó từ Bài toán Kvant) thuộc loại được chỉ định.

1. Xét các bộ đá, khối lượng mỗi viên không quá 2 kg và tổng khối lượng của bộ lớn hơn 10 kg. Từ một bộ như vậy, một số viên đá được chọn, tổng khối lượng của chúng khác với 10 kg theo số D mà bộ này có thể có. Giá trị lớn nhất mà số D có thể nhận được đối với tất cả các bộ đá có thể có là bao nhiêu?

(bài toán này đã được trình bày tại Cuộc thi Tối ưu hóa Toán học Thành phố Moscow năm 1979.)

Rõ ràng là số D của bất kỳ bộ đá nào sẽ không vượt quá 2 kg, vì khối lượng của bất kỳ viên đá nào cũng không quá 2 kg. Ngoài ra, rất nhiều D không thể bằng 2 kg. Vì vậy, để sử dụng với các bộ mà tất cả các viên đá đều giống nhau, chúng tôi thay thế lấy được nhiều D nhất trong trường hợp các viên đá vẫn còn khá nặng và đến 10 kg nửa viên đá là không đủ. Bốn viên đá nặng hơn 10 kg nhiều hơn 2 kg, và đối với phần gót của những viên đá theo phương trình 5x = 10−x/2, chúng ta tìm được x = 20/11, tức là D = 10/11.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng với bất kỳ tập hợp D nào không vượt quá 10/11, nghĩa là, chúng ta sẽ chỉ ra rằng từ một bộ đá tùy ý, chúng ta có thể chọn một số viên có tổng khối lượng khác 10 kg không quá 10/11.

Chúng ta sẽ chọn từng viên đá: đầu tiên chúng ta sẽ lấy viên nặng nhất, sau đó là viên nặng nhất còn lại, v.v. cho đến khi khối lượng của những viên đá được chọn không vượt quá 10 kg. Nếu trong số những viên đá được chọn có một viên đá có trọng lượng nhỏ hơn 20/11 kg thì tổng khối lượng của chúng nhỏ hơn (10+10/11) kg hoặc ở bước trước (trước khi lấy viên đá cuối cùng) chúng ta có một bộ có khối lượng lớn hơn (10−10/11) kg (=10+10/11−20/11), nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 10 kg.

Vì vậy, giá trị tối đa của D là 10/11 và giá trị này đạt được trên một bộ đá giống hệt nhau.

Bài tập 1. Chứng minh rằng trong trường hợp tổng quát, giá trị cao nhất của D đạt được trên một tập hợp các viên đá giống hệt nhau và giá trị này bằng p/(1−2·[1/2−p/v]) ([x] là phần nguyên của số x).

2. Bây giờ chúng ta hãy giải bài toán M583 từ Bài toán Kvant. Nó khác với bài toán 1 ở một hạn chế bổ sung, một sự gia tăng đáng kể: được biết rằng tổng khối lượng của bộ là 50 kg.

Chúng ta đã biết rằng D không vượt quá 11/10. Tuy nhiên, trong trường hợp này

24

ước tính này không chính xác, vì số 50 không chia hết cho 20/11 (nếu tổng khối lượng của cả bộ không phải là 50 mà là 100 kg thì đáp số sẽ giữ nguyên).

Xem xét tất cả các phần có thể phân chia 50 kg thành các viên đá có khối lượng bằng nhau, chúng tôi tin chắc rằng giá trị lớn nhất $D$ đối với các bộ như vậy bằng $D_0 = 20/27$ kg. (Điều này đạt được trên một bộ gồm 27 viên đá có khối lượng 50/27.) Mục tiêu của chúng tôi là chứng minh rằng $D_0$ là giá trị đặc biệt lớn nhất của $D$. Để làm được điều này, chỉ cần chứng minh rằng một bộ tùy ý có thể được thay thế bằng một tập hợp các viên đá có cùng khối lượng mà không làm giảm $D$ (đầu vào $D$ cho các bộ đá giống hệt nhau không vượt quá $D_0$).

Hãy xem xét một tập hợp tùy ý. Chúng ta hãy chọn từ đó những viên đá có tổng khối lượng khác 10 kg với số nhỏ nhất có thể (nghĩa là bằng $D$). Chúng ta hãy chia những viên đá có khối lượng lớn hơn $2D_0$ thành hai nhóm. Nhóm đầu tiên bao gồm những nhóm nằm trong số những nhóm được chọn (trống $a_1$, $a_2$, …, $a_m$ khối lượng của chúng). Nhóm thứ hai bao gồm các viên đá có khối lượng $b_1$, $b_2$, …, $b_n$ (lớn $2D_0$), không nằm trong danh sách tuyển chọn. Để cho ngắn gọn, đôi khi chúng ta sẽ viết “đá $a_i$” (tương ứng với $b_j$), nghĩa là “viên đá có khối lượng $a_i$” (tương ứng với $b_j$). Gọi $A$ là tổng khối lượng của các viên đá $a_i$ (đôi khi $A$ sẽ biểu thị một bộ gồm các viên đá $a_1$, $a_2$, …, $a_m$; tổng khối lượng $B$ và $C$ được xác định dưới đây cũng có thể được sử dụng để biểu thị các bộ tương ứng), $B$ là tổng khối lượng của các viên đá $b_i$, và $C$ là tổng khối lượng của các viên đá còn lại (tức là những viên có khối lượng không vượt quá $2D_0$).

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng có một tập hợp mà $a_1 = a_2 = ... = a_m = b_1 = ... = b_n$, $C = 0$ và giá trị $D$ không nhỏ hơn giá trị ban đầu. Điều này có nghĩa là $D \leq D_0$, vì đối với các bộ gồm các viên đá giống hệt nhau, $D$ không vượt quá $D_0$. Trong trường hợp này, có thể xảy ra hai trường hợp:

1. Tổng khối lượng của những viên đá được chọn là 10-D.

Để xây dựng tập hợp yêu cầu, chúng ta sẽ phải chứng minh một số mệnh đề bổ trợ.

Bổ đề 1. Tất cả các viên đá có trong $C$ đều thuộc về những viên được chọn (tức là $10—D = A+C$).

Thật vậy, nếu ít nhất một trong những viên đá có trong $C$ không được chọn, thì bằng cách thêm nó vào những viên đá đã chọn, chúng ta sẽ thu được một số viên đá có khối lượng khác nhau từ 10 kg không quá $2D_0—D<D$. Và điều này mâu thuẫn với việc lựa chọn tập hợp được đề cập.

Bổ đề 2. $a_i \geq b_j$ với mọi $i$ và $j$ ($1 \leq i \leq m$, $1 \leq j \leq n$).

Thật vậy, nếu một số $i$ và $j$ thỏa mãn bất đẳng thức $a_i < b_j$, thì bằng cách thêm nó vào những viên đã chọn, chúng ta sẽ thu được một số viên đá có khối lượng khác nhau từ 10 kg không quá $2D_0—D<D$. Và điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của tập hợp đã chọn.

Bổ đề 3. $b_j > C+2D_0$ với mọi $j$ ($1 \leq j \leq n$).

Hãy loại bỏ tất cả các viên đá có trong $C$ khỏi bộ đã chọn và thêm đá $b_j$ vào đó. Nếu $A+b_j \leq 10—D$, thì bằng cách thêm từng viên đá từ $C$, đến một lúc nào đó chúng ta sẽ có được một bộ có khối lượng lớn hơn 10-D (kể từ $A+b_j+C > A+C=10—D$), nhưng nhỏ hơn 10+D (vì mỗi lần thêm một viên đá có khối lượng không vượt quá $2D_0<2D$). Điều này có nghĩa là $A+b_j>10—D$, và do đó (do mức tối thiểu của $D$) $A+b_j>10+D=A+C+2D>A+C+2D_0$, từ đó $b_j>C+2D_0$.

Từ Bổ đề 2 suy ra $a_i>C+2D_0$ cho mọi $i$.

Bổ đề 4. Nếu tổng khối lượng $k$ của các viên đá từ $A$ và $l$ của các viên đá từ $B$ nhỏ hơn 10+D, thì $k+l \leq m$.

Nếu tổng này nhỏ hơn 10+D thì do mức tối thiểu của $D$ nên nó nhỏ hơn hoặc bằng 10—D. Hãy để $k+l > m$. Thay thế các viên đá $b_j$ trong tổng này lần lượt bằng những viên đá $a_i$ không có trong đó, cuối cùng chúng ta sẽ đặt viên đá cuối cùng $a_i$ và do đó đưa tổng về giá trị $A+b_j+...>A+C+2D_0>10+D_0$ (xem Bổ đề 1 và 3). Vì mọi người

25

vì chúng tôi đã thêm một viên đá có khối lượng không quá $2D_0$ ($a_i - b_j < 2D_0$), tại một thời điểm nào đó, số tiền này sẽ nằm trong khoảng từ $10 - D$ đến $10 + D$. Sự mâu thuẫn.

Cuối cùng chúng ta hãy chứng minh rằng có thể xây dựng một tập hợp gồm các viên đá có cùng khối lượng mà không làm giảm $D$.

Hãy thay từng viên đá $a_i$ ($i = 1, \dots, m$) bằng một viên đá có khối lượng $a = A/m$, mỗi viên đá $b_j$ ($j = 1, \dots, n$) bằng một viên đá có khối lượng $b = B/n$ và giữ nguyên những viên đá từ $C$. Hãy chứng minh rằng đối với một tập hợp như vậy thì số $D$ không giảm.

Giả sử rằng $D$ đã giảm. Sau đó, đối với một số $k$, $l$ và $C' < C$ tổng $ka + lb + C'$ nằm hoàn toàn giữa $10 - D$ và $10 + D$. Hãy lấy $k$ những viên đá nhẹ nhất từ ​​$A$. Tổng khối lượng của chúng không vượt quá $ka$ (tại sao?). Tương tự, tổng khối lượng $l$ của những viên đá nhẹ nhất từ ​​$B$ không vượt quá $lb$. Nhưng $ka + lb < 10 + D$, do đó $k + l \leq m$ (xem Bổ đề 4). Trong trường hợp này, $10 - D = A + C = ma + C \geq ka + la + C' \geq ka + lb + C' > 10 - D$. Sự mâu thuẫn.

Nếu $a > b$, thì $b$ không thể được đưa vào bất kỳ tổng nào bằng $10 - D$ (thay $b$ bằng $a$, ta thu được mâu thuẫn). Vì vậy, chúng ta có thể đọc (đưa ra nghĩa chính xác của các từ này!) để giảm bớt tất cả những viên đá có khối lượng $a$, đọc để thông báo những viên đá có khối lượng $b$, sao cho $C$ không thay đổi. Điều này sẽ dẫn đến một tập hợp có nhiều giá trị $D$ hơn tập hợp ban đầu. Sau khi thực hiện việc này vài lần, chúng ta sẽ có được một bộ có $a = b$.

Nếu có $C > 0$ trong bộ này, hãy tăng $a$ (số lượng đá có khối lượng $a$ là $m + n$) lên $\varepsilon$, trong đó $\varepsilon < C/(m + n)$; trong trường hợp này, $C$ sẽ giảm $(m + n)\varepsilon$. Nhưng sau đó $D$ sẽ tăng thêm $n \cdot \varepsilon$, đó là điều bắt buộc. Sau một vài bước, chúng ta nhận được một bộ có $a = b$ và $C = 0$.

Trường hợp tôi đã được phân tích đầy đủ.

II. Tổng khối lượng của những viên đá được chọn là $10 + D$.

Trường hợp này có thể được xem theo cách tương tự. Nhưng dễ nhận thấy hơn rằng nếu những viên đá dokot được chọn là xấp xỉ tốt nhất (đối với một bộ nhất định) đến 10 s và zbyt koM, thì những viên đá còn lại của bộ sẽ cho kết quả gần đúng nhất với nhược điểm là 50-10 (tức là 40 kg trong bài toán của chúng tôi). Vì $D_0$ vẫn còn ít nhất 2/4 kg (đây là điều kiện bổ sung duy nhất được sử dụng trong Trường hợp I), tất cả các nhận định đã được chứng minh vẫn có hiệu lực sau khi thay 10 bằng 40.

Vì vậy, bài toán lời giải. Giá trị lớn nhất có thể có của $D$ hóa ra là $D_0 = 20/27$ kg.

Lưu ý rằng lý luận của chúng tôi cho phép chúng tôi giải quyết tổng quát sau bài toán: tìm giá trị lớn nhất của sai lệch nhỏ nhất so với $p$ trên tất cả các tập hợp đá có thể có có khối lượng không vượt quá $v$ và tổng khối lượng $P$. Chúng tôi đã chứng minh rằng nếu có một bộ chứa $D > v/4$, thì giá trị tối đa $D$ phải được tìm kiếm giữa các bộ đá giống hệt nhau.

Bài tập

2. Chứng minh rằng với $v = 2$ kg, $p = 10$ kg, $P \geq 24$ kg tồn tại một tập hợp mà $D \geq v/4$.

3. Hoàn thành lời giải bài toán trong trường hợp tổng quát.

Đây là một bài toán khác về chủ đề này: có một số trong số đó không quá 1 t và tổng khối lượng của chúng là 10 t; Hỏi số ba tấn nhỏ nhất chắc chắn có thể dùng để phóng to những chiếc hộp này là bao nhiêu?

Các bài tập sau đây sẽ giúp bạn giải quyết vấn đề này bài toán (và khái quát hóa của nó) (hai bài tập đầu tiên giống với bài bài toán đã được thảo luận):

4. Đặt ràng buộc duy nhất về tổng khối lượng của các hộp là điều kiện $P > 3$ t. Tải trọng lớn nhất $\Gamma$ chắc chắn có thể tăng lên trên một tritonic là bao nhiêu?

5. Nó sẽ như thế nào đáp số ở phần trước bài toán, nếu biết được điều đó $P = 10$ T?

6. Bây giờ khối lượng của mỗi hộp không vượt quá $v$, tổng khối lượng bằng $P$ và chúng ta có sẵn một chiếc máy có khả năng chuyên chở $p$. Gọi $\Gamma$ là khối lượng của tải trọng tối đa mà chúng ta có thể chất lên ô tô. Chứng minh rằng đạt được giá trị nhỏ nhất của $\Gamma$ khi tất cả các hộp có cùng khối lượng.

7. Nguồn cung $p$-tấn nhỏ nhất phải có để đảm bảo chuyển được tất cả các hộp từ Bài tập 6 là bao nhiêu?

Cố gắng tìm khả năng của các định lý xác nhận nguyên tắc “tốt hơn là bình đẳng”.

26

Bài toán

M636—M640; F648—F652

M636. Tập hợp $A$ bao gồm các số nguyên, phần tử nhỏ nhất của nó là 1 và phần tử lớn nhất của nó là 100. Mỗi phần tử của $A$ ngoại trừ 1 bằng tổng của hai số (có thể bằng nhau) thuộc $A$. Trong số tất cả các tập hợp $A$ thỏa mãn các điều kiện này, hãy chỉ ra tập hợp có số phần tử tối thiểu. (10)

Yu. Nesterenko

M637. Cho một tam giác đều $ABC$. Một số đường thẳng song song với đường thẳng $AC$ cắt đường thẳng $AB$ và $BC$ lần lượt tại các điểm $M$ và $P$. Điểm $D$ là tâm của tam giác $PMB$, điểm $E$ là trung điểm của đoạn thẳng $AP$. Xác định các góc của tam giác $DEC$. (9)

A. Kuptsov

M638. Một số ô của tờ giấy ca rô vô hạn có màu đỏ, các ô còn lại có màu xanh lam, sao cho mỗi hình chữ nhật gồm 6 ô có kích thước $2 \times 3$ chứa đúng hai ô màu đỏ. Một hình chữ nhật có 99 ô có kích thước $9 \times 11$ có thể chứa bao nhiêu ô màu đỏ? (8)

N. Kartashov

M639. Trong tứ diện có $ABCD$ ($AC \perp BC$) và $(AD) \perp (BD)$. Chứng minh rằng cosin của góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD$ nhỏ hơn $|CD|/|AB|$. (10)

Yu. Nesterenko

M640. Số $x \in [0; 1]$ được viết dưới dạng số thập phân vô hạn. Bằng cách sắp xếp lại 5 chữ số đầu tiên sau dấu thập phân theo thứ tự bất kỳ, chúng ta thu được một phân số thập phân vô hạn mới tương ứng với một số nhất định $x_1$. Bằng cách sắp xếp lại các chữ số thứ 2 đến thứ 6 sau dấu thập phân trong ký hiệu thập phân của số $x_1$, ta thu được ký hiệu thập phân của số $x_2$. Nói chung, ký hiệu thập phân của số $x_{k+1}$ có được bằng cách sắp xếp lại các chữ số trong ký hiệu $x_k$ từ $(k+1)$ đến $(k+5)$ sau dấu thập phân.

a) Chứng minh rằng dù bạn sắp xếp lại các số ở mỗi bước như thế nào thì dãy số $x_k$ luôn có giới hạn nào đó. Hãy để chúng tôi biểu thị giới hạn này bằng $y$.

b) Tìm hiểu xem liệu việc sử dụng quy trình như vậy có thể

27

F648. Cấu trúc bản lề bao gồm ba hình thoi, các cạnh có tỷ lệ 3:2:1 (Hình 1). Đỉnh $A_3$ di chuyển theo hướng ngang với tốc độ $v_0$. Xác định vận tốc của các đỉnh $A_1$, $A_2$, $B_1$ tại thời điểm tất cả các góc của cấu trúc đều vuông góc. (8)

S. Krotov

F649. Xô chứa hỗn hợp nước và đá. Khối lượng của hỗn hợp là 10 kg. Chiếc xô được mang vào phòng và họ ngay lập tức bắt đầu thay đổi nhiệt độ của hỗn hợp. Đồ thị kết quả của sự phụ thuộc $t$ (τ) được hiển thị trong Hình 2. Nhiệt độ riêng của nước $c_B = 4200$ J/(kg K) và nhiệt nóng chảy của nước đá $\lambda = 3,4 \cdot 10^5$ J/kg đã được biết. Xác định xem có bao nhiêu đá trong xô khi nó được mang vào phòng. Khả năng chịu nhiệt của xô là một vấn đề. (8)

A. Buzdin

F650. Để thu được điện áp, giá trị của nó phụ thuộc ít vào nhiệt độ, mạch được lắp ráp theo Hình 3. Đặc tính dòng điện-điện áp của dida D ở ba nhiệt độ môi trường khác nhau $t_1 = 125^\circ\text{C}$, $t_2 = 25^\circ\text{C}$, $t_3 = -60^\circ\text{C}$ được thể hiện trong Hình 4. Điện áp nguồn là $U = 6$ V ở nhiệt độ $25^\circ\text{C}$ và khi nhiệt độ tăng, nó tăng thêm $25 \cdot 10^3$ V/deg. Tìm điện áp giữa các kẹp $A$ và $B$ tại $t = 25^\circ\text{C}$ và sự phụ thuộc của điện áp này vào nhiệt độ. (9).

A. Zilberman

F651. Một câu chuyện khoa học viễn tưởng mô tả một tình huống khẩn cấp trong đó một Actron có khối lượng $M = 100$ kg rơi ở khoảng cách $l = 100$ m so với một con tàu có một cốc nước đóng băng. Cung cấp sự thăng hoa (bốc hơi) của băng, Actron quay trở lại tàu. Phương thức hoàn vốn này có thực tế không? Hãy ước tính thời gian Actron quay trở lại tàu. Hãy xem xét rằng sự thăng hoa của băng xảy ra ở nhiệt độ không đổi $T = 272$ K. Áp suất hơi bão hòa ở nhiệt độ này là $p_H = 550$ Pa. Hằng số khí phổ quát là $R = 8,3 \cdot 10^3$ J/(kmol·K). Tự mình đặt kích thước của ly và khối lượng đá. (9)

A. Stasenko

F652. Mạch điện trong Hình 5 bao gồm hai điện trở giống hệt nhau $R_2 = R_3 = R$ và hai điện trở không bị giam cầm giống hệt nhau $R_1$ và $R_4$, đặc tính dòng điện-điện áp của chúng có dạng $U = \alpha I^2$, trong đó $\alpha$ là một hệ số không đổi nào đó đã biết. Ở điện áp nào của nguồn điện $U_0$ thì dòng điện qua điện kế G bằng 0? (10)

V. Skorovarov

28

Lời giải bài toán

M579—M582, M584, M586—M594, M597;
F589—F598

M579. Chứng minh rằng với mọi số $x_1, x_2, \dots, x_n$ thuộc khoảng [0; 1], bất đẳng thức đúng
$$x_1 + x_2 + \dots + x_n + 1)^2 \geqslant 4(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2).$$

Đầu tiên là lời giải. Đối với $x_n$, bất đẳng thức này là bậc hai, $P_2(x) = 3x_n^2 + Ax_n + B \leqslant 0$, và nó đúng trong khoảng [0; 1], nếu $P_2(0) \leqslant 0$ và $P_2(1) \leqslant 0$. Hai bất đẳng thức này đối với $x_{n-1}$ cũng là bình phương, cùng dạng và có giá trị trên toàn bộ khoảng [0; 1], nếu hợp lệ cho $x_{n-1} = 0$ và $x_{n-1} = 1$. Lập luận theo cách này hơn nữa, chúng ta thấy rằng chỉ cần kiểm tra bất đẳng thức ban đầu cho các tập hợp $x_1, \dots, x_n$ của 0 và 1 là đủ. Nếu số $x_i$ bằng một bằng $k$, thì chúng ta thu được bất đẳng thức hiển nhiên $(k+1)^2 \geqslant 4k$ (tức là, $(k-1)^2 \geqslant 0)$.

Thứ hai lời giải. Vì các số $x_1, x_2, \dots, x_n$ thuộc khoảng [0; 1],
$$4(x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2) \leqslant 4(x_1 + \dots + x_n),$$
và sự bất bình đẳng của chúng ta lại trùng khớp với bất đẳng thức tiếp theo
$$4S \leqslant (S+1)^2.$$
A. Plotkin.
S. Fomin

M580. Trong quốc hội, mỗi thành viên có không quá ba kẻ thù. Chứng minh rằng quốc hội có thể chia thành hai viện sao cho mỗi nghị sĩ ở cùng viện với mình sẽ không có nhiều hơn một kẻ thù. (Người ta coi rằng nếu $A$ là kẻ thù của $B$ thì $B$ là kẻ thù của $A$)

Hãy thực hiện việc phân vùng một cách tùy ý. Nếu trong bất kỳ phòng nào, một số nghị viện $A$ có $\geqslant 2$ kẻ thù, thì số kẻ thù của anh ta ở phòng kia là $\leqslant 1$. Do đó, sau khi di chuyển $A$ sang phòng khác, tổng số cặp kẻ thù bên trong phòng sẽ giảm đi. Chúng tôi sẽ tiếp tục các phong trào như vậy cho đến khi đáp ứng được điều kiện yêu cầu.

O. Borodin

M581. a) Có số nào có ba chữ số mà lập phương của nó có ba chữ số bảy?
6) Với bất kỳ tập hợp số nào, số cuối cùng không phải là 0, liệu có khối lập phương nào chứa tập hợp số này không?

a) Để số $n^3$ kết thúc bằng 7, bản thân số $n$ phải kết thúc bằng 3, vì vậy nếu số có ba chữ số mong muốn $n$ tồn tại thì $n = ab^3 = 100a + 10b + 3 = 10(10a + b) + 3$. Sau đó $n^3 = 10^3 \cdot A + 10^2(7a + 2b + 9b^2) + 10(7b + 2) + 7$.

Số $7b + 2$ chuyển thành 7 khi và chỉ khi $7b$ chuyển thành 5, tức là khi $b = 5$. Sau đó $n^3 = 10^3 \cdot A + 10^2(7a + 8) + 77$.

Số $7a + 8$ chuyển thành 7 khi và chỉ khi $a = 7$.

Vì vậy, $753^3$ hóa ra là (ít nhất) ba số bảy.

6. Không, không dành cho tất cả mọi người. Nếu số $n^3$ chuyển thành 5 thì bản thân số $n$ chuyển thành 5. Nhưng số $(10a + 5)^3$ chuyển thành 25 nếu $a$ là số chẵn và thành 75 nếu $a$ là số lẻ. Do đó, với mỗi $n$ số $n^3$ cuối cùng là 05, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95.

Ngoài ra, nếu số $n^3$ hóa ra là chữ số chẵn thì $n^3$ chia hết cho 2; thì $n$ chia hết cho 2 và do đó, $n^3$ chia hết cho 8. Nhưng số $a$ chia hết cho 8 khi và chỉ khi số tạo thành bởi các chữ số tận cùng của nó chia hết cho 8. Điều này có nghĩa là không có $n$ thì số $n^3$ là số chẵn có ba chữ số và chia hết cho 8.

Và đáp số sẽ là bao nhiêu trong bài toán 6), nếu chúng ta yêu cầu chữ số cuối cùng của tập hợp này là số lẻ và khác 5?

29

M582. Một tứ giác có hai đường chéo vuông góc nội tiếp trong một đường tròn tâm O. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mỗi cạnh bằng một nửa chiều dài cạnh đối diện.

Hình 1.

Hình 2.

M584. Có thể tưởng tượng toàn bộ không gian như một sự kết hợp của các đường thẳng, trong đó hai đường thẳng giao nhau (nghĩa là không nằm trong cùng một mặt phẳng)?

Hình 1.

Hình 2.

Đầu tiên là lời giải. Gọi K, L, M, N là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và AD của tứ giác nội tiếp ABCD (Hình 1), [AC] ⊥ [BD]. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó |ON| = |BL| và |OM| = |BK|.

Quả thực, |KL| = |MN| và [KL] || [MN] là đường trung bình của tam giác ABC và ACD có chung đáy AC. Do đó BKL = BAC = BDC (các góc nội tiếp cùng chung một cung). Hơn nữa, [OM] ⊥ [CD], và [MN] ⊥ [BD] (vì [MN] || [AC]), nên BDC = OMN. Vậy BKL = OMN. Ngoài ra, KBL = 180° – MDN = MON. Như vậy, các tam giác BKL và MON là các tam giác tắc (một cạnh và hai góc), từ đó |ON| = |BL|, |OM| = |BK|.

Bình đẳng |OK| = |DM| và |OL| = |DN| suy ra từ đường tròn của các tam giác OKL và DMN.

Thứ hai lời giải. Vẽ dây AE vuông góc với AD (Hình 2). Cung AE được nạp lên cung BC (vì ADE = BAC) nên |AE| = |BC|. Vì EAD = 90° nên ED là đường kính và O ∈ [ED]. Vì [ON] là đường trung bình của tam giác vuông ADE, |ON| = |AE|/2 = |BC|/2, như đã nêu.

I. Klumova

Hãy để chúng tôi đưa ra một ví dụ về phân vùng không gian thành các đường xiên theo cặp.

Cho đường thẳng l0 thẳng đứng (trục Oz trên Hình 1). Qua mỗi điểm T của mặt phẳng ngang α (Oxy), khác với O, ta vẽ đường thẳng TM vuông góc với đoạn OT và nghiêng với mặt phẳng α một góc arctan 1/|OT|.

Do đó, khi r = |OT| từ 0 đến +∞ đường thẳng TM sẽ nghiêng dần từ vị trí thẳng đứng l0 sang nằm ngang. Đối với r cố định, các đường thẳng TM quay quanh trục l0, tạo thành một quả bóng đơn dải Γr (Hình 2). Với mỗi r > 0, thu được một hyperbol có “cổ” bán kính r, ngày càng rộng hơn.

Các đường thẳng TM được dựng cho mọi điểm T ∈ α khác O và đường thẳng l0 tạo thành phân vùng cần thiết. Hãy chứng minh điều đó.

Trước hết ta chứng minh rằng không có hai đường thẳng nào song song. Thật vậy, nếu hai đường thẳng thuộc hai họ khác nhau Γr1 và Γr2, r1 ≠ r2 thì góc φ1 và φ2 của chúng so với mặt phẳng nằm ngang α là khác nhau. Nếu hai đường thẳng thuộc cùng một họ Γr thì hình chiếu của chúng lên mặt phẳng α hoặc lên mặt phẳng thẳng đứng sẽ rất indo chứ không song song.

(Lưu ý rằng trên mỗi hyperbolit Γr, chúng ta có thể chọn một trong hai họ bộ tạo tuyến tính: chúng ta có thể hướng vectơ TM′ từ điểm T (Hình 1) theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Mỗi lần chúng ta hướng nó theo cùng một cách.)

Thứ hai, bạn cần chứng minh rằng có đúng một đường thẳng đi qua mỗi điểm trong không gian. Điều này gần như hiển nhiên “từ các thông điệp liên tục”, nhưng để chứng minh chặt chẽ thì tốt hơn nên sử dụng phương pháp tọa độ.

Cho P(x; y; z) là một điểm trên đường TM trong Hình 1; P′(x; y) hình chiếu của nó lên mặt phẳng α. Sau đó |TP| = r|z|, do đó |OP′|2 = r²(1 + z²), tức là

x² + y² = r²(1 + z²).

31

M588. a) Qua một điểm nằm bên trong một tứ diện tùy ý, các đoạn có các đầu trên các mặt của tứ diện được vẽ song song với các cạnh của nó. Chứng minh rằng tổng của cả sáu tỉ số giữa độ dài các đoạn thẳng và độ dài các cạnh song song với chúng luôn bằng trem.
b) Lập và chứng minh khẳng định tương tự đối với tam giác (trong mặt phẳng).

Hình 1.

Hình 2.

M589. Trên mặt phẳng có một tập hợp n vectơ, độ dài mỗi vectơ không vượt quá 1. Chứng minh rằng bằng cách thay thế các vectơ không tác nhân của tập hợp này bằng các vectơ đối diện của chúng, ta thu được một tập hợp như vậy

Bạn có thể chứng minh (hãy thử!) rằng quỹ đạo của bất kỳ điểm ban đầu nào $(x_0; y_0; z_0)$ - tập hợp các điểm thu được từ nó nhờ tác động của nhóm tất cả các phép biến đổi của chúng ta - sẽ dày đặc trên một hình cầu có bán kính $\sqrt{x_0^2 + y_0^2 + z_0^2}$ với tâm $O$, nghĩa là nó chứa các điểm trong bất kỳ đường tròn góc cạnh nhỏ nào của hình cầu.

Khó hơn bài toán - mô tả quỹ đạo chính xác của một điểm, chẳng hạn như điểm (1; 0; 0) hoặc một trong các điểm được đưa ra trong các điều kiện hoặc chỉ ra một thuật toán cho phép bạn tìm hiểu từ hai điểm trên hình cầu xem liệu một trong số chúng có thể được chuyển sang điểm kia hay không. Chúng tôi không biết lời giải những bài toán này.

N. Vasiliev

◆
a) Chúng ta hãy vẽ qua điểm $O$ bên trong khối tứ diện $ABCD$ các đoạn $|A_1B_1| \parallel |AB|$ và $|C_1D_1| \parallel |CD|$, trong đó $A_1 \in (ACD)$, $B_1 \in (BCD)$, $C_1 \in (ABC)$, $D_1 \in (ABD)$ (Hình 1). Các đoạn này xác định một mặt phẳng cắt các mặt $ABC$ và $ABD$ dọc theo các đường thẳng $PN$ và $MQ$, song song với $(AB)$ và các mặt $ACD$ và $BCD$ - dọc theo các đường thẳng $MN$ và $PQ$, song song $(CD)$. Điều này có nghĩa là tứ giác $MNPQ$ là hình bình hành. chúng tôi có

$$\frac{|A_1B_1|}{|AB|} = \frac{|MQ|}{|AB|} = \frac{|DM|}{|AD|},$$

$$\frac{|C_1D_1|}{|CD|} = \frac{|MN|}{|CD|} = \frac{|AM|}{|AD|}.$$

Từ đây

$$\frac{|A_1B_1|}{|AB|} + \frac{|C_1D_1|}{|CD|} = \frac{|DM|}{|AD|} + \frac{|AM|}{|AD|} = \frac{|DM|+|AM|}{|AD|} = 1.$$

Vì vậy, tổng tỷ số giữa độ dài của các đoạn được vẽ với chiều dài các cạnh cắt của tứ diện song song với chúng bằng một. Do đó, tổng của tất cả sáu tỷ số giữa độ dài của các đoạn thẳng với độ dài các cạnh song song của chúng bằng hai.

Đặt $O$ là một điểm bên trong $\Delta ABC$, $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ - các đoạn thẳng song song với các cạnh của tam giác (Hình 2). Từ sự giống nhau của các tam giác $ABC$, $C_1CC_2$ và $A_1AA_2$ ta thu được (để biết ký hiệu, xem Hình 2)

$$\frac{|C_1C_2|}{|AB|} = \frac{|CC_1|}{|AC|} = \frac{x+y}{|AC|},$$

$$\frac{|A_1A_2|}{|BC|} = \frac{|AA_2|}{|AC|} = \frac{z+y}{|AC|}.$$

Ngoài ra, $$\frac{|B_1B_2|}{|AC|} = \frac{x+z}{|AC|}$$ (xem Hình 2). Đó là lý do tại sao

$$\frac{|A_1A_2|}{|BC|} + \frac{|B_1B_2|}{|AC|} + \frac{|C_1C_2|}{|AB|} =$$

$$= \frac{z+y}{|AC|} + \frac{x+z}{|AC|} + \frac{x+y}{|AC|} = \frac{2(x+y+z)}{|AC|} = 2,$$

Q.E.D.

E. Yasinovy

◆
Chúng ta hãy cho lời giải bài toán 6). Nó dựa trên tuyên bố đơn giản sau đây:

Bổ đề. Nếu $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ là các vectơ trên mặt phẳng có độ dài không vượt quá 1 thì độ dài tổng hoặc hiệu của một số hai trong số chúng cũng không vượt quá 1.

Thật vậy, trong sáu vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, -\vec{a}, -\vec{b}, -\vec{c}$ có hai vectơ có góc không vượt quá 1.

32

n vectơ có tổng có độ dài
a) không vượt quá $\sqrt{n}$;
b) không vượt quá $\sqrt{2}$.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

M590. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $|\cos x| + |\cos 2x|$. Chứng minh rằng với mọi số $x$ và $60^\circ$. Nhưng hiển nhiên, sự khác biệt giữa hai vectơ này sẽ không vượt quá 1 (Hình 1).

Tuyên bố bài toán hiện được chứng minh như sau. Cho $n > 1$ và $a_n$ là số nhỏ nhất có tính chất sau: với mọi vectơ $\vec{a}_1, \dots, \vec{a}_n$ trên mặt phẳng sao cho $|\vec{a}_1| \leq 1$, …, $|\vec{a}_n| \leq 1$, trong tổng $x = \pm a_1 \pm \dots \pm a_n$, ta có thể chọn các dấu sao cho $|\vec{x}| \leq a_n$. Chúng ta cần kiểm tra xem $a_n \leq \sqrt{2}$. Bổ đề cho thấy rằng nếu $n > 3$ thì $a_n = a_{n-1}$. Vì vậy $a_n = a_2$. Nhưng, hiển nhiên, $a_2 = \sqrt{2}$ (Hình 2), điều này hoàn tất chứng minh.

Điều tò mò là kết quả đã được chứng minh (với hằng số kém hơn một chút) cũng có giá trị đối với phương pháp đo chiều dài của vectơ “phi Euclide”, trong đó vai trò của vòng tròn đơn vị được thực hiện bởi một hình đối xứng tâm lồi tùy ý bao quanh $\Phi$ trên mặt phẳng. Phương pháp này rất phổ biến trong toán học hiện đại và bao gồm những điều sau đây.

Để thay đổi độ dài $\vec{a}$, chúng ta ngắt vectơ này khỏi tâm đối xứng $O$ của hình $\Phi$ - đặt $\vec{a} = OA$ - và tìm số nhỏ nhất $\lambda > 0$ sao cho $A \in \lambda \Phi$ (λФ là ảnh của hình $\Phi$ khi tiếp xúc với tâm $O$ và hệ số $\lambda$ - xem Hình 3; chúng ta giả sử rằng Φ chứa ranh giới của chính nó và điểm $O$ nằm bên trong $\Phi$). Con số này là $\lambda$ và được coi là “độ dài tổng quát” $|\vec{a}|_\Phi$ của vectơ $\vec{a}$. Rõ ràng là nếu $\Phi$ là một đường tròn có bán kính 1 thì $|\vec{a}|_\Phi = |\vec{a}|$ và $|OA|_\Phi < 1 \iff A \in \Phi$ cũng vậy. Trong sóng nói, chúng ta thay đổi độ dài của vectơ bằng cách chọn các tỷ lệ khác nhau theo các hướng khác nhau. Có thể dễ dàng xác minh rằng số đã nhập $|\vec{a}|_\Phi$ có các đặc tính chung về độ dài; đặc biệt, bất đẳng thức $|\vec{a} + \vec{b}|_\Phi < |\vec{a}|_\Phi + |\vec{b}|_\Phi$ là đúng (Kiểm tra! Ở đây bạn cần độ lồi của hình $\Phi$).

Một sự tương tự của tuyên bố đã được chứng minh ở trên trông như thế này. Nếu $|\vec{a}_1|_\Phi \leq 1$, …, $|\vec{a}_n|_\Phi \leq 1$ thì trong tổng $\vec{x} = \pm a_1 \pm a_2 \pm \dots \pm a_n$ ta có thể chọn các dấu sao cho $|\vec{x}|_\Phi \leq 2$.

Việc chứng minh tuân theo sơ đồ tương tự; Chỉ có cách chứng minh bổ đề mới yêu cầu lập luận mới, vì bây giờ chúng ta không thể khẳng định rằng nếu $|\vec{a}|_\Phi, |\vec{b}|_\Phi \leq 1$ và $(a, b) \leq 60^\circ$ thì $|a - b|_\Phi \leq 1$.

Vì vậy hãy để $|\vec{a}|_\Phi, |\vec{b}|_\Phi, |c|_\Phi \leq 1$. Điều này có nghĩa là các điểm $A, B, C$ sao cho $OA = \vec{a}, OB = \vec{b}, OC = \vec{c}$ thuộc về $\Phi$.

Hãy để $OD = a + b$. Rõ ràng là, khi xét đến khả năng xảy ra điểm $C$, chúng ta có thể giới hạn mình trong trường hợp $C$ thuộc góc $BOD$. Nếu $C$ nằm trong tam giác $OBD$ thì $P_-b$ (C) nằm trong tam giác $AOB'$ (ở đây $P_-b$ là bản dịch song song của vectơ $-b$). Do đó, $P_-b$ (C) ∈ Ф, nên trong trường hợp này là $|c - b|_\Phi \leq 1$. Chúng ta chia phần còn lại của góc $BOD$ thành các vùng I và II, như trong Hình 4. Nếu điểm $C$ nằm trong vùng I, thì điểm $D$ thuộc tam giác $ABC$ nằm trong Ф, và do đó $|\vec{a} + \vec{b}|_\Phi \leq 1$, và nếu $C$ nằm trong vùng II, thì rõ ràng, điểm đó $P_-b$ (C) thuộc tứ giác lồi $OACB$ nằm trong hình $\Phi$, và chúng ta lại thu được $|c - b|_\Phi \leq 1$ đó.

Bây giờ giới thiệu các số $a_n = a_n(\Phi)$ như trên, chúng ta lại thấy $a_n(\Phi) = a_2(\Phi)$ tại $n > 2$. Nhưng $a_2(\Phi) \leq 2$ hoặc $|a_1 + a_2|_\Phi \leq |a_1|_\Phi + |a_2|_\Phi \leq 2$ và do đó $a_n(\Phi) \leq 2$, đó là những gì được yêu cầu. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng đối với một số tùy ý $\Phi$CONSTANTУ 2 không thể giảm được: coi gram song song $ABCD$ là Ф và các vectơ $OA$ và $OB$ là $\vec{a}_1$ và $\vec{a}_2$.

A. Âm mưu

a) Đặt $t = |\cos x| \in [0; 1]$ và xét hàm $y(t) = t + |2t^2 - 1|$ trên khoảng [0; 1].

Nếu $0 < t < \frac{1}{\sqrt{2}}$ thì