Kvant 1981, số 3 · Trang

KVANM 3
1981

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Các bản khắc được sao chép trên trang đầu tiên và trang thứ hai của trang bìa được nghệ sĩ người Đức thế kỷ 16 Albrecht Duer và nghệ sĩ đương đại người Hà Lan Maurice Escher gọi là “The Knot”. Trong ngôn ngữ toán học, hình khắc của Duerr thể hiện sự gắn kết của một số nút thắt (chúng có thể tháo rời được không? Cái nào trong số chúng có thể được tháo ra?), và hình khắc của Escher thể hiện một nút thắt hình cây ba lá (nó có thể được tháo ra không?). “Nút Thắt Màu” sẽ giúp bạn giải đáp những câu hỏi này.

1

TRONG PHÒNG:

Các nhà khoa học được giáo dục cho giới trẻ
2. S. Sobolev. Hãy là một nhà nghiên cứu tại bàn học của bạn

---

4. A. Varlamov. Về quả cầu tuyết, quả hạch, bong bóng và…
   heli lỏng
5. O. Viro. Nút thắt màu
6. Ameba…trong chiếc áo khoác
   Phòng thí nghiệm «Kvant»
7. N. Rostovtsev. Làm thí nghiệm của Jung? Nó không khó lắm đâu
   vòng tròn toán học
8. V. Evstsenev. Đồ thị và chương trình
9. Người chiến thắng cuộc thi «Kvant»
   Vấn đề «Kvant»
10. Bài toán M671—M675; F683—F687
11. Lời giải bài toán M622—M624, M626, M627; F631—F637
12. N. Vasiliev. Đến trọng tâm
13. Danh sách độc giả đã gửi đúng lời giải bài toán trên Bài toán Kvant
    «Kvant» cho học sinh nhỏ
14. Bài toán
15. F. Bartenev, I. Nikolskaya. Về sử dụng
    Qua những trang sách giáo khoa
16. O. Ovchinnikov. Động lực kế sẽ hiển thị những gì?
    Xưởng của người nộp đơn
17. V. Mozhaev. Dao động
    Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1980
18. Đại học quốc gia Moscow được đặt theo tên. M. V. Lomonosova
    Nghệ thuật lập trình
19. Trường lập trình tương ứng. Bài học 14
    Thông tin
20. V. Komarov. Giải trí và khoa học
    61 trang cờ vua
    62 Đáp số, gợi ý, lời giải
    Thi đấu cờ vua (trang bìa thứ 3)
    Pha trộn (15)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học, 1981

2

S. Sobolev

Ở trường
bàn làm việc
là
nhà nghiên cứu

Gần đây, người ta chú ý nhiều đến việc chọn con đường sống, làm thế nào để tìm ra con đường đúng đắn cho mình. Nếu không thì khó có thể thực hiện được! Suy cho cùng, có nhiều điều trong cuộc sống có vẻ thú vị và hấp dẫn phải không? Chuyện xảy ra là một chàng trai trẻ yêu thích thơ ca và âm nhạc nhất, nhưng lại giải quyết những bài toán khó một cách nhiệt tình. bài toán, có thể ngồi bên chiếc mỏ hàn đến tận khuya để chế tạo chiếc máy thu radio của riêng mình.

Nhưng những sinh viên tốt nghiệp trường khác không quan tâm sẽ đi đâu, họ không quan tâm đến bất cứ điều gì. Họ cho rằng môn toán thật nhàm chán. Lịch sử thậm chí còn tệ hơn, chỉ cần nhìn vào bảng niên đại và vô số tên tuổi lịch sử…

Con đường đời của một nhà khoa học bắt đầu sớm. Ngay cả trong những năm đi học, một vài năm sau, niềm khao khát kiến ​​thức của anh vẫn trỗi dậy. Một chàng trai trẻ bị mê hoặc bởi những công trình toán học phức tạp, vẻ đẹp và sự hài hòa của các lý thuyết toán học. Một người khác bị cuốn hút vào thế giới của các hiện tượng hóa học hoặc vật lý, người thứ ba đam mê nghiên cứu các bức tranh khắc cổ của Ai Cập.

Chính trong những năm đi học, nhà nghiên cứu tương lai đã tích lũy được kho kiến ​​\u200b\u200bthức đầu tiên, ý chí, nghị lực, sự kiên trì và cuối cùng là niềm yêu thích công việc được củng cố.

Ở bàn học, trong một chuyến đi bộ đường dài, trên cánh đồng nông trại tập thể, trong chiếc áo nỉ, bạn, người bạn trẻ, phải thường xuyên lo lắng về những câu hỏi: làm thế nào, tại sao, báo cáo? Chẳng hạn, thật thú vị khi tìm ra trong toán học tương lai điều gì đã tác động lên một chiếc máy bay phản lực từ không khí mà nó cắt ngang? Tại sao máy bay tốc độ cao lại có đường cong

Viện sĩ Sergei Lvovich Sobolev - Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, Viện trưởng Viện Toán học chi nhánh Siberia của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Bài viết được in lại từ tuyển tập “Lênin. Khoa học. Tuổi trẻ”, do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1980.

cánh sau? Làm thế nào để tính tần số dao động của bộ phận nào đó trong máy để tránh hiện tượng cộng hưởng?

Để đạt được một mục tiêu cụ thể, chỉ mong muốn thôi là chưa đủ. Bạn vẫn có kiến ​​thức vững chắc, để nhìn thấy những thứ mà bạn quan tâm trong môi trường, để có thể quan sát mối quan hệ qua lại của chúng. Điều này tất nhiên là khó khăn. Nhưng người dân Liên Xô, và thậm chí hơn thế nữa các nhà khoa học Liên Xô đều có một nguyên tắc đúng đắn: càng khó, càng thú vị. Đừng nhượng bộ trước khó khăn, đừng buồn bã trước những thất bại.

Ví dụ, hãy nhớ đến nhà toán học nổi tiếng người Nga Alexander Mikhailovich Lyapunov. Khi còn trẻ, ông đã nhận được từ giáo viên của mình, một nhà toán học nổi tiếng khác là Pafnutya Lvovich Chebyshev, một bài toán rất khó. bài toán này dùng để tính độ ổn định của các số liệu cân bằng của một chất lỏng quay. Tôi muốn tiếp cận vấn đề hình thành các thiên thể tạo nên Hệ Mặt trời. Nếu chuyển động của quả cầu chất lỏng bốc lửa, dường như là Mặt trời, không ổn định, thì một phần có thể bị tách ra khỏi nó và tạo ra các vật thể mới - các hành tinh.

Lyapunov không thể đương đầu với nhiệm vụ này trong một thời gian dài. Những nỗ lực của anh, hết lần này đến lần khác, đều không thành công. Chỉ hai mươi năm sau khi ông bắt đầu suy nghĩ về câu hỏi này, nhà khoa học cuối cùng đã đưa ra lời giải bài toán, điều này đã giúp ông phục vụ thế giới. Trong quá trình làm việc, anh phải nghĩ ra nhiều ý tưởng mới, dễ hiểu mà cho đến nay vẫn chưa được biết đến. Ông đã suy luận ra lý thuyết tổng quát về tính ổn định của chuyển động, xây dựng lại lý thuyết không hoàn hảo về thế năng hấp dẫn tồn tại vào thời điểm đó, đặt nền móng cho lý thuyết tương lai của các phương trình tích phân, và nhiều hơn thế nữa. Ví dụ này là một sự xác nhận thuyết phục về tầm quan trọng của việc tin tưởng vào bản thân, có mục đích và phấn đấu để tiếp tục.

Chúng tôi, những người đã góp phần xây dựng nhà nước xã hội chủ nghĩa đầu tiên trên thế giới, có thể tự gọi mình là những người xây dựng chủ nghĩa cộng sản. Các bạn ngày nay còn đi học có lẽ sẽ phải sống trong xã hội này. Thế hệ chúng tôi đã làm việc chăm chỉ nhưng vẫn sẽ có nhiều điều thú vị dành cho các bạn trong bất kỳ ngành khoa học hay kinh tế quốc dân nào.

Nếu bạn, người bạn trẻ, sắp trở thành một nhà toán học, thì bạn không chỉ cố gắng tự mình học hỏi môn khoa học tuyệt vời này mà còn phải cố gắng trở thành một nhà tổ chức giỏi. Sau khi đã tạo ra các vòng kết nối toán học ở trường, hãy là người tích cực tham gia vào các cuộc thi và lạc quan về toán học, tham quan các vòng kết nối đó được mở tại các trường đại học và viện nghiên cứu. Giống như mọi ngành khoa học, toán học dường như có một quá khứ và một tương lai tuyệt vời.

Gần đây, toán học đã trở nên phổ biến đặc biệt. Sau khi tạo ra những cỗ máy toán học, mọi người đều hiểu rõ khả năng của nó là gì. Toàn bộ lịch sử của các ngành khoa học chính xác gần như là lịch sử của toán học: nó gắn liền với từng ngành đó. Phấn đấu cho trật tự xứng đáng này có nghĩa là làm việc chăm chỉ và chu đáo, tìm kiếm không mệt mỏi. Bạn có thể trở thành người tìm kiếm điều gì đó mới mẻ ngay cả trong những năm học của mình.

4

Về quả cầu tuyết, quả hạch, bong bóng và…
heli lỏng

Mặc dù helium gần như nằm ở phần đầu của bảng tuần hoàn, nhưng kể từ khi được phát hiện, nó đã gây ra cho các nhà vật lý rất nhiều rắc rối do những đặc tính bất thường của nó. Đúng vậy, những nỗ lực của helium lỏng đã được đền đáp bằng vẻ đẹp và hiện tượng vật lý độc đáo được tạo ra trong helium lỏng, cũng như việc sử dụng các đặc tính đa mũ trong các phòng thí nghiệm vật lý hiện đại. Điều này bao gồm việc thu được nhiệt độ thấp hàng ngày (điểm sôi của gel lỏng ở áp suất khí quyển là 4,2 K), và nghiên cứu hiện tượng siêu chảy, được phát hiện trong helium lỏng bởi P. L. Kapitsa vào năm 1936, và thu được nhiệt độ cực thấp (xuống tới 0,001 K), và nhiều hơn thế nữa.

Một trong những đặc tính thay thế của gel lỏng là cơ chế truyền điện tích bất thường trong nó.

Các chất mang điện trong chất lỏng thường là các electron và ion. Người ta cũng có thể tưởng tượng một quá trình trong đó một electron “nhảy” từ nguyên tử của chính nó sang một nguyên tử ở gần đó, một electron từ nguyên tử lân cận “nhảy” đến vị trí trống của nó, một electron thứ ba từ nguyên tử tiếp theo thế chỗ, v.v. Nhìn từ bên ngoài, bước nhảy vọt của các electron như vậy trông giống như chuyển động của một điện tích dương theo hướng ngược lại. Và vì trên thực tế, điện tích dương này không tồn tại mà chỉ đơn giản là thiếu một electron ở “nơi làm việc” của nó, nên vật thể như vậy được gọi là “lỗ trống”. Sự chuyển động của cả electron và lỗ trống tạo ra các trường rất phức tạp của một số lượng lớn nguyên tử. Có một thời, bài toán thuộc loại này - về chuyển động của các electron trong chất rắn hoặc chất lỏng - đã được chuyển đến các nhà vật lý về các hạt nhiều mũ. Hóa ra là trong một hệ thống như vậy, các hạt mất đi đặc tính riêng của chúng ở mức độ lớn. Hơn nữa, khối lượng có thể hiểu được trở thành những chân trời phức tạp hơn đặc tính quán tính đã ăn sâu vào chúng ta. Trong những điều kiện này, hạt được gán cái gọi là khối lượng hiệu dụng, đây là một đặc tính quan trọng của hạt có tính đến sự tương tác của nó với các nguyên tử của môi trường. Nếu trong đầu bạn “tắt” mọi tương tác thì khối lượng hiệu dụng của hạt sẽ chuyển thành khối lượng thông thường của nó.

Người ta đưa ra giả thuyết rằng điện tích trong helium lỏng truyền qua giữa các electron và lỗ trống. Chuyển động của chúng gần như tự do do mật độ gel thấp và sự tương tác yếu của các nguyên tử của nó với các hạt tích điện. Do đó, khối lượng hiệu dụng của các hạt tích điện như vậy phải gần bằng khối lượng của electron tự do.

Để thay đổi khối lượng của các hạt mang điện dương và âm, quỹ đạo của chúng trong helium lỏng được nghiên cứu dưới tác dụng của một từ trường đều. Biết tốc độ của hạt và độ lớn của từ trường, thay đổi bán kính quỹ đạo tròn của hạt, người ta dễ dàng xác định được khối lượng của nó. Kết quả của những thí nghiệm này hóa ra thật bất ngờ: khối lượng của các hạt mang điện tích dương và âm lớn hơn hàng chục nghìn lần khối lượng của một electron tự do!

Sự khác biệt nổi bật như vậy giữa các tính toán lý thuyết và dữ liệu thực nghiệm là không thể chấp nhận được ngay cả đối với một loại gel khác thường. Đó là lý do tại sao

5

cần phải đề xuất một số cơ chế khác, không giống như cơ chế của chất lỏng thông thường, để lắp đặt lại helium vào chất lỏng. Lời giải thích cho cấu trúc của hạt mang điện dương đã được nhà vật lý người Mỹ Atkins đề xuất. Hóa ra toàn bộ “thủ thuật” nằm ở áp suất hóa rắn tương đối thấp của gel lỏng: ở nhiệt độ khá thấp $p_{\text{TB}}=25$ atm. Thực tế này đã dẫn đến cấu trúc bất thường của các hạt mang điện dương trong helium lỏng.

Được biết, helium lỏng chứa các ion dương giữ điện tích khá tốt. Sự tương tác của ion dương với phân tử $\text{He}_2$ dẫn đến thực tế là các electron của nó thay đổi quỹ đạo một chút, bị hút bởi ion dương và ngược lại, hạt nhân tích điện dương của các nguyên tử bị đẩy ra khỏi nó. Kết quả là tâm điện tích âm và tâm điện dương trong phân tử cách nhau một khoảng. Do đó, sự hiện diện của các ion dương trong độ dày của gel lỏng dẫn đến sự phân cực của các phân tử của nó. Các phân tử phân cực bị thu hút bởi ion dương. Sự hấp dẫn này dẫn đến sự gia tăng nồng độ của các phân tử (nghĩa là xuất hiện mật độ vượt quá), và do đó làm tăng áp suất khi ion đến gần. Đồ thị phụ thuộc của áp suất dư vào khoảng cách $r$ tới ion được thể hiện trên Hình 1.

Như chúng tôi đã nói, ở áp suất 25 atm, gel lỏng sẽ cứng lại. Vì vậy, ngay khi áp suất trong ion gần dương đạt tới giá trị này thì thể tích tương ứng của gel lỏng sẽ đông đặc lại. Như có thể thấy trong Hình 1, ở áp suất bên ngoài thấp, quá trình hóa rắn xảy ra ở khoảng cách $r_0=7\text{Å}$ tính từ ion. Do đó, ion dương dường như bị “đóng băng” thành một “quả cầu tuyết” gel rắn. Vì tâm của quả cầu tuyết này mang điện dương nên khi nó chuyển động trong môi trường helium lỏng

đằng sau nó có một “cái đuôi” có mật độ quá mức.

Bây giờ chúng ta có thể ước tính khối lượng của điện tích dương chuyển động trong helium lỏng. Bản thân khối lượng của quả cầu tuyết bằng $\frac{4}{3}\pi q r_0^3=32m_0$, trong đó $m_0$ là khối lượng của nguyên tử gel (mật độ của gel rắn). Khối lượng của “đuôi” của mật độ vượt quá trải dài phía sau quả cầu tuyết có thể được ước tính như sau: biết sự phụ thuộc của áp suất vào khoảng cách đến tâm của quả cầu tuyết (tức là đến chính ion), bạn có thể dễ dàng tìm thấy mật độ dư của gel thay đổi như thế nào tùy thuộc vào khoảng cách này; Tiếp theo, chúng ta nhẩm chia chất lỏng xung quanh quả cầu tuyết thành một lớp hình cầu có độ dày nhỏ (sao cho mật độ có thể coi là không đổi ở độ dày của lớp) và tính khối lượng của từng lớp đó; Tổng hợp tất cả những khối lượng này, chúng ta tìm được tổng khối lượng của “cái đuôi”, hóa ra bằng 28 $m_0$.

Ngoài ra, khi một vật chuyển động trong chất lỏng, các lớp của nó cũng chuyển động. Điều này làm cho vật chuyển động như thể khối lượng của nó lớn hơn khối lượng thật của nó một lượng nào đó. Khối lượng bổ sung này liên quan đến chuyển động của chất lỏng được gọi là khối lượng bổ sung (ví dụ, xem G. Kotkin

6

ở «Kvant» số 1 cho năm 1976). Đối với một “quả cầu tuyết” chuyển động trong helium lỏng, khối lượng tăng thêm hóa ra bằng 15 $m_0$.

Vì vậy, đối với tổng khối lượng của điện tích dương chuyển động trong helium lỏng, phép tính cho giá trị 75 $m_0$. Giá trị này đã phù hợp tốt với giá trị được tìm thấy bằng thực nghiệm.

Tình hình hoàn toàn khác với các hạt mang điện tích âm. Hóa ra các ion helium tích điện âm không tồn tại, và do đó, không thể tạo ra một “quả cầu tuyết” có ion âm bên trong. Do đó, ứng cử viên duy nhất cho chất mang điện tích âm trong helium lỏng là electron.

Qua thí nghiệm, người ta biết rằng một electron không thể liên tục đi vào helium lỏng qua bề mặt của nó. Thực tế này không khó hiểu về mặt chất lượng. Như bạn đã biết trong khóa học hóa học, helium là một loại khí trơ, do đó lớp vỏ electron đầu tiên của nó được hình thành hoàn toàn, và lớp tiếp theo được tích tụ lại - điện tích hạt nhân chỉ $2e^+$, và sự xuất hiện của electron thứ ba trong lớp vỏ năng lượng là không thể. Do đó, một electron không thể tiếp cận nguyên tử helium bằng một vết trơn (điều tương tự xảy ra với phân tử helium) - ở khoảng cách gần, nó bị đẩy lùi. Vì vậy, để truyền một electron xuyên qua bề mặt vào độ dày của helium lỏng, cần phải thực hiện một số “công việc gia nhập”. Các nhà vật lý người Ý Carreri, Fasoli và Gaeta đề xuất rằng chính nhờ năng lượng này mà một electron, có độ dày tùy ý của helium xuyên qua bề mặt, “làm tan chảy” các phân tử helium mà nó không có quyền tiếp cận gần và tạo thành một khoang đối xứng hình cầu xung quanh chính nó - một bong bóng chảy tự do (Hình 2).

Kích thước của bong bóng như vậy có thể được ước tính bằng cách xem xét các điều kiện cân bằng ở biên của nó. Mặc dù ở khoảng cách gần, electron bị đẩy khỏi các phân tử helium, nhưng với các phân tử đủ xa, nó hành xử giống hệt như một electron dương.

Hình 2.

anh ấy là người mới - anh ấy phân cực họ. Do đó, ở khoảng cách lớn, sự tương tác giữa electron và phân tử $\text{He}_2$ sẽ giống hệt như trong trường hợp “quả cầu tuyết” đã được xem xét. Do đó, khi bạn tiếp cận “bong bóng”, áp suất dư thừa trong helium sẽ tăng theo quy luật tương tự (xem Hình 1). Tuy nhiên, trong trường hợp áp suất bên ngoài thấp ở ranh giới bong bóng, nó vẫn nhỏ hơn nhiều so với 25 atm do kích thước tương đối lớn của bong bóng. Ngoài áp suất này liên quan đến mật độ dư thừa của helium phân cực, lực căng bề mặt tác dụng lên ranh giới bong bóng, hướng giống như lực áp suất dư - hướng về tâm bong bóng. Điều gì cân bằng các lực lượng này? Hóa ra chính electron tạo ra phản lực đối với chúng. Ở bên trong bong bóng, electron dường như “lao” xung quanh nó, phản xạ từ các ranh giới. Do kết nối với các bức tường, một áp suất nhất định sẽ được tạo ra, bù đắp cho tổng áp suất từ ​​bên ngoài. Nói cách khác, electron bên trong bong bóng “hành xử” giống như chất khí trong một bình kín. Tính toán cho thấy ở áp suất bên ngoài thấp, bán kính $R_0$ của bong bóng như vậy là khoảng 20 Å.

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng các hạt mang điện tích âm trong chất lỏng

7

Com helium là bong bóng có electron bên trong. Khối lượng của những vật mang như vậy được tính theo cách tương tự như khối lượng của “quả cầu tuyết”. Tuy nhiên, hiện nay thực tế không có khối lượng riêng của bong bóng - nó bằng khối lượng của electron và nhỏ không đáng kể so với khối lượng của chất lỏng cuốn theo. Phương pháp tính toán tương tự như trên cho giá trị 245 $m_0$ cho tổng khối lượng của hạt mang điện tích âm.

Bây giờ chúng ta hãy xem sự gia tăng áp suất bên ngoài $p_0$ ảnh hưởng như thế nào đến các hạt mang điện. Hình 1 cho thấy sự phụ thuộc của áp suất tổng trong helium (bao gồm cả áp suất bên ngoài) vào khoảng cách tới ion trong $p_0^*=20$ atm. Sự phụ thuộc này đối với áp suất bên ngoài tùy ý $p_0<25$ atm thu được bằng cách chuyển sự phụ thuộc của $p_0=0$ dọc theo trục tọa độ. Như có thể thấy trong Hình 1, áp suất bên ngoài càng lớn thì khoảng cách từ ion càng lớn, áp suất tổng cộng bằng 25 atm. Do đó, với áp suất bên ngoài ngày càng tăng, “quả cầu tuyết” hoạt động giống như một quả cầu tuyết: nó nhanh chóng biến thành “tuyết” - heli rắn và ngày càng có kích thước lớn hơn. Sự phụ thuộc của $r(p_0)$ việc đặt “quả cầu tuyết” vào áp suất bên ngoài được thể hiện trong Hình 3.

Bong bóng hoạt động như thế nào khi áp suất bên ngoài tăng lên? Hiện tại, giống như bất kỳ bong bóng nào trong chất lỏng, khi áp suất bên ngoài tăng lên, nó sẽ biến mất. Bán kính của nó $R$ giảm, như trong Hình 3. Nhưng ở áp suất $r(p_0)=20$ atm, đồ thị $r(p_0)$ và $R(p_0)$ giao nhau - kích thước của bong bóng và “quả cầu tuyết” trở nên giống nhau và bằng 12 Å. Chúng ta biết “quả cầu tuyết” sẽ làm gì khi áp suất tăng thêm - nó sẽ tăng kích thước nhanh chóng do lớp gel cứng lại trên bề mặt của nó. Bong bóng sẽ hoạt động như thế nào và tiếp tục lướt qua (đường chấm trong Hình 3)? Nhưng đây là lúc bong bóng thể hiện sự nóng nảy của mình - với áp suất tăng thêm, nó, giống như một “quả cầu tuyết”, bắt đầu được xử lý bằng một lớp vỏ băng gel rắn. Thật vậy, như có thể thấy trong Hình 1, ở áp suất bên ngoài 20 atm, tổng áp suất tại ranh giới của bong bóng (12 Å tính từ tâm của nó) trở thành bằng 25 atm, nghĩa là nó đạt đến áp suất hóa rắn của gel lỏng. Trong trường hợp này, bong bóng được “mặc một lớp vỏ băng”, bán kính bên trong của nó gần như không đổi khi áp suất tăng thêm và bán kính bên ngoài chính xác bằng kích thước của “quả cầu tuyết” ở áp suất tương ứng.

Vì vậy, ở áp suất bên ngoài lớn hơn $p_0^*=20$ atm, bong bóng biến thành vỏ băng và do đó biến thành một loại hạt nào đó. Tuy nhiên, nucleolus của những “hạt” này rất khác nhau - đó là một electron “ném xung quanh” bên trong lớp vỏ của một loại gel rắn.

Vẫn còn phải nói thêm rằng ở $p_0\rightarrow 25$ atm, bán kính ngoài của “đai ốc”, giống như “quả cầu tuyết”, có xu hướng vô cực, tương ứng với sự đông đặc hoàn toàn của gel lỏng trong toàn bộ thể tích. Trong helium rắn, các hạt mang điện tích âm hóa ra là các bong bóng đông lạnh có kích thước bằng bán kính bên trong của “đai ốc” trước đây - khoảng 12 Å. Điện tích dương không dễ dàng truyền điện tích - xét cho cùng, chúng ở dạng chất rắn. Vì vậy, khả năng di chuyển của những tàu sân bay trong thành phố này thấp hơn so với “quả cầu tuyết” và bong bóng trong helium lỏng.

8

O. Viro

Nút thắt màu

Nút là gì
Khi xử lý một chủ đề trong đời thực, các nhà toán học thường thay thế nó bằng một đối tượng toán học phù hợp. Nút thắt dây cũng không thoát khỏi số phận này - nó đã bị biến thành nút thắt toán học.

Nguyên mẫu của nút thắt toán học là một đoạn dây được thắt nút với các đầu được buộc chặt.

Một trong những câu hỏi thôi thúc các nhà toán học nghiên cứu về các nút thắt là câu hỏi về nút thắt nào có thể tháo ra mà không bị đứt, và nút nào không thể.

Các đầu của sợi dây trở nên chắc chắn, bởi vì nếu bạn không ngăn chúng bị thao túng, tất cả các nút thắt sẽ được buộc bằng nhau (trên thực tế, bất kỳ nút thắt nào trên dây đều có thể được tháo ra bằng cách kéo từng đầu dây một qua các vòng của nút thắt).

Một cách thuận tiện hơn để loại bỏ rắc rối khỏi việc lo lắng về các đầu sợi dây là nối chúng lại với nhau. Thao tác này được thể hiện trong Hình 1. Kết quả là một đoạn dây biến thành một vòng thắt nút.

Bước tiếp theo của nút thắt toán học là thay thế sợi dây bằng các đường - trục của sợi dây.

Không phải mọi đường đều có thể là trục của một sợi dây. Ví dụ, một đường cong có vô số nút thắt vô hạn (Hình 2) không thể “tăng” thành một sợi dây có độ dày hữu hạn. Những đường cong loại này được xem xét trong toán học; chúng được gọi là các nút hoang dã.

Chúng tôi sẽ không đề cập đến các nút hoang dã ở đây và để loại trừ chúng, chúng tôi sẽ sử dụng định nghĩa sau: nút đa giác là một đường đứt đoạn không gian khép kín, được kết nối, không có điểm tự giao nhau, bao gồm một số hữu hạn các đoạn thẳng.

Định nghĩa này khá phù hợp với cách trình bày trực quan của chúng ta về các nút. Bất kỳ nút thắt đa giác nào cũng có thể được mở rộng thành một vòng dây, và trong bất kỳ vòng dây nào bạn cũng có thể tìm thấy một trục, một đồng

9

được tạo từ một số hữu hạn các đoạn.

Từ “được kết nối” trong định nghĩa của nút đa giác có nghĩa là đường đứt nét không được biểu diễn dưới dạng sự kết hợp của một số đường gãy khép kín. Nếu bạn không tạo kết nối, bạn sẽ nhận được định nghĩa về liên kết đa giác. Hình 3 hiển thị các nút đa giác và Hình 4 hiển thị các liên kết đa giác không phải là nút.

Vì trong bài viết này tất cả các nút và liên kết sẽ có dạng đa giác nên từ “đa giác” sẽ được lược bỏ để cho ngắn gọn.

Cách viết một nút

Khi mô tả một nút, hãy chọn một điểm quan sát sao cho trước tiên, nút đó nằm ở một phía của một mặt phẳng nhất định đi qua điểm này và thứ hai, sao cho dường như không có ba liên kết nào của nút đi qua một điểm. Việc đáp ứng điều kiện đầu tiên có thể đạt được bằng cách chọn một điểm quan sát ở xa nút. Từ một điểm thỏa mãn những điều kiện này, các thang đo có thể được chiếu lên một mặt phẳng, nghĩa là, như thể thu vào toàn bộ không gian bằng cái nhìn của một người. Để thỏa mãn điều kiện thứ hai, điều cần thiết là bất kỳ đường thẳng nào đi qua điểm quan sát đều xác định không quá hai nút liên kết. Việc đáp ứng điều kiện này có thể đạt được bằng cách dịch chuyển điểm quan sát nhỏ tùy ý.

Ở vị trí giao nhau của hình ảnh hai liên kết không giao nhau của một nút, bạn cần chỉ ra liên kết nào gần và liên kết nào xa hơn. Để làm điều này, hình ảnh của liên kết ở xa được vẽ lại, như được thực hiện trong Hình 3 và 4.

Hình ảnh nút thắt được thực hiện theo các quy tắc này được gọi là “thiết kế nút thắt”.

Các nút thắt “có lưới bằng nhau” có nghĩa là gì?

Các chốt dây, được hình thành từ nhau do uốn, giãn, trượt và các biến dạng liên tục khác, một cách tự nhiên.

nhưng hãy xem xét “hướng như nhau”. Biểu diễn trực quan này của cùng một liên kết khi di chuyển đến các nút đa giác biến thành khái niệm đồng vị: hai nút (hoặc nói chung hơn là hai liên kết) được gọi là đồng vị nếu một nút có thể di chuyển từ nút này sang nút khác bằng cách thực hiện tuần tự các phép biến đổi được gọi là đồng vị cơ bản. Đồng vị cơ bản là sự thay thế một trong các liên kết của nút bằng hai đoạn mới, cùng nhau tạo thành đường viền của một hình tam giác, chỉ giao nhau với một nút thẳng dọc theo liên kết được thay thế*) hoặc thao tác ngược lại - thay thế hai liên kết liền kề bằng một đoạn, cùng với chúng tạo thành đường viền của một hình tam giác, chỉ giao nhau với một nút thẳng dọc theo các liên kết được thay thế. Hình 5 cho thấy hai nút được tạo ra từ nhau bằng đồng vị cơ bản.

*) “Hai đoạn mới” này, cùng với mắt xích được thay thế, có thể tạo thành một tam giác “thoái hóa” - một đoạn. Trong trường hợp này, đồng vị cơ bản biểu thị việc bổ sung một đỉnh mới bên trong liên kết.

10

Hình 5.

Tam giác liên quan đến việc xác định đồng vị cơ bản phải được coi là một quỹ đạo biến dạng.

Bài tập 1. Chứng minh rằng các nút có sơ đồ đồng vị giống nhau.

Một nút, một đường viền đồng vị của một tam giác, được gọi là tầm thường. Các nút hiển thị trong Hình 5 là tầm thường. Trình tự các đồng vị cơ bản kết nối chúng với đường viền của tam giác được thể hiện trong Hình 6.

Rõ ràng là các đường viền của hai tam giác bất kỳ là đồng vị, vì vậy tất cả các nút tầm thường đều đồng vị với nhau. Tuy nhiên, các nút tầm thường có thể khá phức tạp.

Bài tập

2. Chứng minh tính tầm thường của các nút được hiển thị trong Hình 7.
3. Chứng minh rằng các nút ở Hình 3a và 3b là đồng vị.

Làm thế nào để chứng minh rằng các nút không đồng vị

Định nghĩa về tính đồng vị ngay lập tức khiến chúng ta phải đối mặt với một khoảng trống: liệu có các nút không đồng vị không?

Cho đến khi chúng tôi có thể trả lời câu hỏi này, tất cả các nút sẽ trông giống nhau đối với chúng tôi.

Chúng ta biết rằng những nút thắt rất phức tạp có thể trở nên tầm thường

Hình 6.

Hình 7.

10

11

Hình 8.

Tuy nhiên, việc đưa ra những bất biến này và nhiều bất biến tương tự không giúp giải quyết những câu hỏi cũ mà dẫn đến việc hình thành những câu hỏi mới. Vấn đề là việc tính toán những bất biến này gây ra những khó khăn tương tự như việc chứng minh một nút thắt không tầm thường.

Điều duy nhất có thể giúp chứng minh một nút không tầm thường là một bất biến tính toán dễ dàng, được xác định không phải thông qua toàn bộ lớp nút đồng vị mà trực tiếp từ sơ đồ nút. Bây giờ chúng ta sẽ giới thiệu một bất biến như vậy.

Sơ đồ nút tô màu theo ba màu

Hãy để tôi nhắc bạn rằng sơ đồ của một nút là hình ảnh của nó trên một mặt phẳng, trong đó hình ảnh của không có ba liên kết nào đi qua một và ở những nơi hình ảnh của các liên kết không giao nhau sẽ giao nhau, hình ảnh của liên kết xa hơn sẽ bị kéo dài quá mức. Do những thay đổi này, sơ đồ nút thắt hóa ra bao gồm một số đường đứt đoạn không giao nhau. Chúng ta sẽ gọi những đường đứt nét này là những phần của sơ đồ. Số lượng của chúng bằng số lần chuyển tiếp, tức là số lần giao cắt.

Để chứng minh tính chất không đồng vị của các nút, việc tô màu sơ đồ của chúng hóa ra rất hữu ích, tuân theo các quy tắc nhất định.

Chúng ta sẽ gọi việc tô màu sơ đồ nút bằng các màu đen, đỏ và xanh lam là chính xác nếu mỗi phần của nó được sơn một màu và gần mỗi điểm giao nhau cả ba phần đều được sơn cùng một màu hoặc xuất hiện cả ba màu. Ví dụ về cách tô màu đúng được thể hiện trong Hình 9, ví dụ về cách tô màu sai được thể hiện trong Hình 10.

Bài tập

4. Chứng minh rằng các sơ đồ nút trong Hình 6 và 7 không thể được tô màu chính xác bằng cách sử dụng cả ba màu, nghĩa là chứng minh rằng các sơ đồ này chỉ chấp nhận ba màu đơn sắc.

5. Chứng minh rằng số cách tô màu đúng của hình ba lá (Hình 8.6) là chín.

Định lý 1 (Định lý chính về cách tô màu ba màu). Số lượng màu chính xác của sơ đồ nút theo ba màu là bất biến của nút.

Trước khi chứng minh Định lý 1, chúng ta hãy thảo luận về một số ứng dụng của nó. Đây là hệ quả đơn giản nhất:

Hệ quả 1. Nếu sơ đồ nút cho phép tô màu đúng thì phần được đề cập là phần ba.

Hệ quả tất yếu này ngay lập tức cho phép chúng ta giải quyết vấn đề được nêu trong Bài tập 4 (các nút được thảo luận ở đó là trivalny). Nhưng điều quan trọng hơn nhiều là một hình ba lá không tầm thường và nhiều nút khác bắt nguồn từ nó.

Hình 9.

Hình 10.

12

Bình luận. Nếu sơ đồ mục tiêu không cho phép tô màu chính xác, trong đó có nhiều hơn một màu, thì không thể đánh giá mục tiêu (nghĩa là nó không đồng vị với bất kỳ mục tiêu nào bao gồm các nút nằm ở phía đối diện của mặt phẳng tân sinh).

Bài toán 8. Chứng minh rằng các mục tiêu trong Hình 4 không được xem xét.

Cách chứng minh Định lý 1

Định lý 1 tuân theo rất chặt chẽ hai định lý sau đây, những định lý này được chứng minh đơn giản nhưng khá phức tạp; các ứng dụng, chắc chắn người đọc sẽ tự tìm thấy chúng.

Định lý 2. Bất kỳ đồng vị chữa lành cơ bản nào cũng có thể được thay thế bằng một chuỗi hữu hạn các đồng vị elematrine, mỗi đồng vị đó thay đổi sơ đồ chữa lành theo một trong những cách được minh họa trong Hình 11.

Ví dụ, đồng vị cơ bản thể hiện trên Hình 12 có thể được thay thế bằng một chuỗi các đồng vị elematrine thể hiện trong Hình 13 (các con số chỉ ra thứ tự thực hiện các đồng vị elematrine).

Định lý 3. Có sự tương ứng một-một giữa cách tô màu ba màu thông thường của các sơ đồ tạo ra từ nhau và các phép toán thể hiện trên Hình 11, trong đó, theo cách tô màu của chúng, các phần không thay đổi của sơ đồ được tô màu giống nhau.

Đối với tất cả các phép toán ngoại trừ phép toán được hiển thị trong Hình 11, 3, phát biểu của Định lý 3 rất khác nhau. Trong trường hợp sau, phép chứng minh dễ dàng rút gọn thành các hình minh họa trong Hình 14.

Tại sao số lượng màu sắc chính xác của sơ đồ là bất biến của một nút?

Tôi hy vọng rằng người đọc đã chứng minh được Định lý 2 và 3, cùng với Định lý 1. Tuy nhiên, câu trả lời cho câu hỏi đặt ra ở tiêu đề của đoạn này là gì?

Bạn bị thuyết phục về sự bất biến của số lượng màu đúng, nhưng,

13

Bạn có thể sẽ nói rằng bạn muốn biết lý do thực sự của hiện tượng kỳ lạ này. Bạn muốn một lời giải thích và muốn hiểu các nhà toán học nên tô màu sơ đồ nút thắt như thế nào. Ngoài ra, bằng chứng này không thể là bằng chứng đầu tiên! Bằng cách này, bạn có thể chứng minh tính bất biến của bất kỳ bất biến nào được xác định bằng sơ đồ nút mà không hoàn toàn hiểu nó đến từ đâu! Rốt cuộc, không rõ tại sao cần phải sơn ba màu và các quy tắc tô màu nảy sinh như thế nào. Cuối cùng, không rõ làm thế nào để khái quát hóa điều này và đây chắc chắn là dấu hiệu của sự hiểu lầm.

Tại sao tôi chọn con đường chứng minh này? Có hai lý do cho việc này. Đầu tiên, bằng chứng thực sự của Định lý 1, làm rõ bản chất của vấn đề, liên quan đến các đối tượng phụ trợ phức tạp, chiếm một vị trí danh dự trong toán học hiện đại, nhưng lại không có trong toán học phổ thông. Tôi muốn trình bày một bằng chứng hoàn toàn cơ bản về sự tồn tại của các nút không tầm thường. Không có bằng chứng nào như vậy trong văn học, và đặc biệt là trong văn học đại chúng. Thứ hai, dựa trên Định lý 2, cái thực có thể chứng minh tính bất biến của bất kỳ bất biến nào được xác định từ sơ đồ. Hãy thử tìm ra một bất biến hoàn toàn mới và chứng minh tính bất biến của nó theo cách này. Nếu nó hoạt động, xin vui lòng cho tôi biết, nó có thể rất thú vị! Có nhiều bất biến đã biết được xác định bằng sơ đồ nút, nhưng hầu hết chúng được xác định đều chứa các khái niệm toán học không cơ bản. Vì vậy, nguy cơ phát minh ra một cái gì đó đã được biết đến là không lớn.

Điều gì thực sự giải thích sự bất biến của số lượng màu đúng? Bất biến quan trọng nhất của một nút là nhóm của nó. Bản thân nhóm nút không phải là một đối tượng đơn giản. Đây là một tập hợp trong đó một phép toán được xác định để thực hiện phép cộng các số nguyên với các kết nối và thuộc tính. Chứng minh rằng hai nhóm nút khác nhau có thể rất khó khăn. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất để làm điều này là nghiên cứu

15

Trong khi Ziman Nezhota đang lấy ví ra khỏi túi, anh ấy hoàn toàn khó chịu trước nhận xét của Adams ở cuối câu chuyện này:

• Nhân tiện, tôi muốn biết làm thế nào bạn có thể chứng minh điều này mà không cần bất biến?
  Dựa vào bất biến mô tả trong bài viết của O. Viro, ông chứng minh
  Hình 3. a) 6)
  Hãy đối mặt với sự thật, một con amip trong áo khoác không thể gỡ được các ngón tay của anh ấy.
  Chúng ta hãy tưởng tượng vẽ hai đường cong khép kín: một đường màu xanh - dọc theo áo khoác quanh cánh tay phải (tay áo) và một đường màu đỏ, nối ngón cái và ngón trỏ của bàn tay phải và tay trái bên trong amip (Hình 3,a). Hai đường cong này tạo thành một sự gắn kết (Hình 3,b), đồng vị với đường cong được thể hiện trong Hình 4.2 trên trang. 9. Nếu amip có thể tách được hai tay ra thì cô ấy có thể cởi áo khoác ra. Nhưng điều này là không thể, vì không thể tháo rời sự gắn kết của Hình 4.2 (xem Bài tập 8 ở trang 12).
  O.V.

Bài toán
độc giả của chúng tôi

1. a) Lấy số 16. Từ một đến sáu ta chèn số 15 - ta được số 1156. Vào giữa số này ta chèn lại 15 - ta được 111556, v.v. Chứng minh rằng mọi số như vậy (có dạng 11…155…56) là bình phương của các số nguyên.

6. Tương tự với các số 4489, 444889,…, thu được từ 49 bằng cách chèn 48 vào giữa.

2. a) N số 0 được chèn vào giữa các chữ số của số 961. Chứng minh rằng với n bất kỳ kết quả là bình phương của một số nguyên.

6. Tìm các số có ba chữ số khác có cùng tính chất.

3. a) Chứng minh rằng các phân số
   $$\frac{19}{95}, \frac{199}{995}, \frac{199}{995}, \dots, \frac{199}{995}$$

bạn có thể “giảm” hoặc “bỏ qua” tất cả số chín.
6) Có phân số nào khác có thể được xử lý như thế này không?
N. Suev

4. Chúng ta hãy biểu thị bằng S(n) tổng các chữ số của số n. Chứng minh rằng dãy số S(1979), S(19792), S(1979³), … là không bị chặn.
   A. Kelarev

16

N. Rostovtsev

Làm thí nghiệm của Jung?

Nó không khó lắm đâu

Ở một khoảng cách đủ lớn so với màn hình đối với những gì đang được quan sát, hai bóng đèn giống hệt nhau được đặt cạnh nhau, chẳng hạn như bóng đèn dùng cho đèn pin. Thắp sáng một trong số chúng trước, sau đó đốt cả hai cùng một lúc. Bạn sẽ thấy rằng bất cứ nơi nào trên màn hình, độ chiếu sáng sẽ lớn hơn khi bật hai đèn so với khi bật một đèn.

Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng đúng. Nếu có hai chùm ánh sáng, thì có thể ở nơi này trong không gian chúng dỗ dành nhau, ở nơi khác chúng làm suy yếu hoặc thậm chí dập tắt lẫn nhau. Hiện tượng này được gọi là giao thoa ánh sáng và các tia sáng tạo ra hình ảnh như vậy được gọi là đồng hội tụ.

Nghiên cứu thực nghiệm đầu tiên về sự giao thoa ánh sáng được thực hiện bởi nhà khoa học người Anh Thomas Young vào đầu thế kỷ 19. Sơ đồ thí nghiệm mang tên ông được thể hiện trên Hình 1, a. Ánh sáng từ một phản ứng sáng chói được chiếu sáng bởi Mặt trời nhỏ (hoặc khe hẹp) A chiếu vào hai phản ứng nhỏ (hoặc khe hẹp) B và C nằm gần nhau (| BC| ≈ 2 mm). Trên màn hình từ xa (l≈2 m), nơi các chùm ánh sáng phát ra từ B và C chồng lên nhau, quan sát thấy các sọc sáng và sọc tối xen kẽ với nhau (Hình 1, b). Nếu một trong hai khe B hoặc C bị chặn thì các sọc đen biến mất và chỉ còn lại một vết sáng trên màn.

Làm thế nào chúng ta có thể giải thích kết quả thí nghiệm của Jung? Theo nguyên lý Huygen-Fresnel, các phản ứng B và C có thể đạt được từ phản ứng A, trở thành nguồn chính xác của sóng thứ cấp. Do có nguồn gốc chung nên các sóng này kết hợp với nhau và khi chồng lên nhau chúng sẽ giao thoa với nhau. Ở những nơi sóng đến cùng pha, chúng tăng cường lẫn nhau và tạo thành độ chiếu sáng tối thiểu. Khi các sóng đến theo các pha ngược nhau, chúng làm suy yếu lẫn nhau và tạo ra độ chiếu sáng tối thiểu. Vì các dao động trong phản ứng B và C cùng pha nên rõ ràng là kết quả của giao thoa phụ thuộc hoàn toàn vào độ lệch đường truyền Δ của các sóng giao thoa tới điểm đang xét.

Tại điểm O, cách đều các phản hồi, các sóng đến theo các pha giống hệt nhau và triệt tiêu lẫn nhau - quan sát thấy ở đó mức chiếu sáng cực đại ở trung tâm. Khi di chuyển ra xa điểm O lên hoặc xuống, độ chênh lệch đường truyền sóng Δ=|BD−CD| tăng dần và lần lượt nhận các giá trị λ/2, λ, 3/2λ, 2λ, …, trong đó λ là bước sóng. Chiếu sáng tối đa được quan sát thấy ở những nơi đáp ứng điều kiện
Δ=0, λ, 2λ,…

Tại những điểm mà
Δ=λ/2, 3/2λ, 5/2λ,…,

Mức độ chiếu sáng tối thiểu được quan sát.

17

Có thể tự mình tái tạo lại trải nghiệm của Jung không? Hóa ra việc thực hiện việc này, mặc dù ở một phiên bản hơi khác, lại khá đơn giản.

Chuẩn bị một hoặc hai kim khâu có tay cầm giống hệt nhau có đường kính 0,6-0,8 mm và một tờ giấy. Tốt hơn nên sử dụng giấy đen dùng để đóng gói phim ảnh hoặc giấy ảnh. Vai trò của nguồn sáng chính xác có thể được thực hiện bởi bóng đèn pin (nếu được quan sát ở khoảng cách ít nhất 2-3 m so với nó) hoặc một lỗ nhỏ (đường kính 2-3 mm) trên một miếng bìa cứng được lắp ngay phía trước đèn pin để có thể nhìn thấy dây tóc qua lỗ. Vào buổi tối, bạn có thể sử dụng ánh sáng từ đèn lồng từ xa. Nguồn sáng tốt nhất là hình ảnh Mặt trời trong một quả cầu thép (đường kính 10-20 mm).

Nếu bạn đã sẵn sàng mọi thứ, hãy tham dự các thí nghiệm.

1. Cắt một dải giấy rộng 1-2 cm và dùng kim chọc vào các lỗ có đường kính giảm dần trên đó, bắt đầu bằng đường kính kim 0,6-0,8 mm. Để làm cho các lỗ tròn, hãy xoay dải giấy quanh kim hoặc xoay kim quanh trục của nó khi xỏ khuyên.

Sau khi chà xát chính xác nguồn tuần tự qua từng lỗ, đặt trực tiếp trước mắt. Bạn sẽ thấy rằng qua lỗ lớn nhất, nguồn sẽ trông gần giống như khi không có lỗ. Với đường kính lỗ nhỏ hơn, hình ảnh sẽ khác: một điểm tròn sáng sẽ được bao quanh bởi các chốt tối và sáng (Hình 2). Khi đường kính của lỗ giảm, đường kính của điểm sáng trung tâm và các bánh xe xung quanh nó sẽ tăng lên và cường độ của chúng sẽ giảm đi.

2. Bây giờ hãy tạo cái gọi là lỗ kép để trực tiếp thực hiện thí nghiệm của Jung. Lấy kim giống nhau trên tay phải và tay trái của bạn. TRÊN-

Trên một tờ giấy rộng 1-2 cm, đặt những chiếc kim nhọn lên một mặt và cách nó một phần milimet, đặt những chiếc kim nhọn lên mặt kia. Các kim nên tạo một góc nhỏ với phương thẳng đứng. Cố gắng nhấn cả hai kim cùng lúc và mạnh như nhau - bạn sẽ có được một lỗ đôi. (Tất nhiên, một lỗ đôi có thể được tạo bằng một kim, nhưng, như thực tế cho thấy, chất lượng của nó sẽ kém hơn.) Sẽ tốt nếu đường kính của các lỗ khoảng 0,2-0,3 mm và khoảng cách giữa chúng là khoảng 0,4-0,6 mm.

Sau đó, chà qua các lỗ này lên nguồn sáng chính xác. Bạn thấy rằng điểm sáng trung tâm thu được từ lần quan sát trước sẽ được chia bởi các sọc tối thành một số sọc sáng (Hình 3). Sọc tối (phút chiếu sáng) là những nơi mà ánh sáng từ lỗ này bị dập tắt bởi ánh sáng từ lỗ khác. Nếu các lỗ tròn và có cùng đường kính thì ấu trùng cực tiểu có thể nhìn thấy rõ ràng không chỉ ở điểm sáng trung tâm mà còn trên các chốt đèn xung quanh nó.

Luôn có thể nhìn thấy một sọc sáng ở giữa mẫu giao thoa. Số lượng sọc sáng đặt ở vị trí trung tâm có thể bằng 3,5,7,… Điều này phụ thuộc vào tỷ lệ khoảng cách giữa tâm các lỗ với đường kính của chúng. Nếu đường kính của lỗ không thay đổi và khoảng cách giữa các lỗ giảm thì số lượng sọc sáng cũng giảm và chiều rộng của chúng tăng tương ứng.

Xoay dải giấy có lỗ đôi xung quanh trò chơi và mắt, hệ thống sọc sáng tối cũng sẽ xoay theo.

18

V. Evstgenev

Đồ thị và chương trình

Lý thuyết đồ thị hình thành như một nhánh độc lập của toán học vào giữa những năm 1930 và tiếp tục phát triển mạnh mẽ cho đến ngày nay. Sự quan tâm lớn đến lý thuyết đồ thị ngày nay chủ yếu dựa trên những ứng dụng rộng rãi và hiệu quả của nó vào việc thiết kế và phân tích các hệ thống phức tạp có nhiều bản chất khác nhau: mạng lưới giao thông, mạch điện, mạch điện tử, hệ thống cơ học, phản ứng hóa học, hệ thống điều khiển, nhóm xã hội và tập thể, v.v.

Trong bài học câu lạc bộ toán học này, chúng ta sẽ xem xét một số chương trình lập trình bài toán sử dụng đồ thị.

Đồ thị và đồ thị có hướng

Biểu đồ là một tập hợp các phần tử, trong đó một số cặp phần tử được chọn. Do đó, đồ thị $G$ được xác định bởi hai bộ:

$$G = (X, U);$$

trạng thái đầu tiên là từ các phần tử có tính chất tùy ý (chúng được gọi là các đỉnh) và trạng thái thứ hai là từ tất cả các cặp đỉnh được chọn. Nếu mỗi cặp phân biệt được sắp xếp theo thứ tự thì đồ thị $G$ được gọi là đồ thị có hướng hoặc oreraf, các cặp được gọi là Duems; họ nói rằng cung $(x, y)$ hướng từ đầu $x$ đến cuối $y$ và viết

$$U \ni u = (x, y).$$

Trong trường hợp này, họ cũng nói rằng cung vừa bắt nguồn (rời khỏi) từ $x$ vừa đi vào (đi vào) $y$. Một sơ đồ được mô tả trên một mặt phẳng dưới dạng các điểm được nối với nhau bằng các cung có mũi tên (Hình 1). Trong hình này lưu ý rằng cung đi ra từ đỉnh $x_3$ đi vào nó; một vòng cung như vậy được gọi là một netley.

Nếu các cặp $(x, y)$ không được sắp xếp thì chúng được gọi là các cạnh, các đỉnh của cạnh $u = \{x, y\}$ được gọi là các điểm cuối và bản thân đồ thị $G = (X, U)$ được gọi là đồ thị vô hướng hoặc đồ thị protego. Một ví dụ về đồ thị như vậy – còn được gọi là đồ thị Peterson – được hiển thị trong Hình 2.

Đồ thị của chương trình này

Ví dụ: đặt phần dưới cùng của chương trình $P$ ở dạng sơ đồ khối (“Đại số 8”, đoạn 50). Hãy liên kết mỗi khối với một đỉnh đồ thị và nối các đỉnh theo trình tự hành động (được biểu thị bằng các mũi tên) trong sơ đồ khối. Đồ thị thu được được gọi là phép chiếu $P$ hoặc đồ thị $p$.

Bài tập 1. Vẽ đồ thị $p$ tương ứng với sơ đồ khối phần mềm phân loại bóng như Hình 3.

Nếu chương trình $P$ được viết bằng bất kỳ ngôn ngữ thuật toán nào,

Hình 1.

Hình 2.

19

thì nó cũng có thể được liên kết với một số đồ thị $p$: mỗi toán tử được liên kết với một đỉnh, hai đỉnh $a$ và $b$ được kết nối bởi một $(a, b)$ khác, nếu điều khiển được chuyển từ toán tử được biểu thị bằng đỉnh $a$ sang toán tử được biểu thị bằng đỉnh $b$.

Một ví dụ khác về biểu đồ $p$ được hiển thị trong Hình 4. Lưu ý hai đỉnh đặc biệt: $x_{0d}$ ($s$) (tương ứng với đầu vào chương trình), từ đó không có cung nào đi vào và $b_{1x0d}$ ($t$) (tương ứng với đầu ra của chương trình), từ đó không có cung nào phát ra.

Trên một đồ thị $p$ cho trước $G = (X, U)$ (và nói chung trên bất kỳ đồ thị nào) thường được coi là một đường đi nếu các đỉnh của nó không được lặp lại, một đường viền nếu $a = b$ và một đường dẫn đơn giản nếu $a = b$, nhưng không có sự lặp lại các đỉnh nào khác. Vì vậy, trong Hình 4, đường dẫn $(x_1, x_3, x_6, t)$ là một đường dẫn đơn giản, $(x_1, x_4, x_6, x_3, x_6, t)$ không phải là một đường dẫn đơn giản, $(x_3, x_6, x_3)$ là một đường dẫn đơn giản, $(x_3, x_6, x_3, x_6, x_3)$ là một đường dẫn, nhưng không đơn giản, $(x_2, x_7, x_6)$ thậm chí không phải là một đường dẫn.

Hình 3.

Hình 4.

Bài tập 2. Liệt kê tất cả các đường đơn giản và tất cả các đường viền đơn giản của đồ thị $p$ được xây dựng theo lời giải của Bài tập 1.

Có phải mọi con đường đều dẫn đến Rome?

Trong biểu đồ $p$ tương ứng với một chương trình được viết hay, “tất cả các con đường đều dẫn đến Rome”, nghĩa là, bất kỳ con đường nào bắt đầu từ $s$ đều có thể được tiếp tục cho đến khi thoát ra $t$, đánh dấu sự kết thúc của chương trình. Do đó, đồ thị $p$ được gọi một cách tự nhiên là thông thường nếu bất kỳ đỉnh nào nằm trên một đường đi (không nhất thiết phải là một đường đơn giản) dẫn từ $s$ đến $t$.

Tất nhiên, tính chính xác của biểu đồ $p$ vẫn chưa đảm bảo chương trình hoạt động thành công: nếu nó có ít nhất một đường viền mà từ đó không có cung nào xuất hiện, thì chương trình có thể đi vào một vòng lặp, tức là nó quay dọc theo đường viền này. Nhưng vì không có thuật toán chung nào kiểm tra tính đúng đắn của chương trình (chúng ta sẽ nói về vấn đề này trong «Kvant» vào lúc khác), điều quan trọng là ít nhất phải kiểm tra tính đúng đắn của biểu đồ $p$.

Làm cách nào để kiểm tra tính hợp lệ của biểu đồ $p$? Trong những trường hợp đơn giản, việc này có thể dễ dàng được thực hiện thủ công.

Bài tập 3. Kiểm tra tính đúng đắn của đồ thị $p$ của chương trình phân loại bóng (xem Bài tập 1). Đảm bảo rằng biểu đồ $p$ trong Hình 5 không chính xác, tìm “ngõ cụt”, “đường viền ngõ cụt” và “đường viền không thể tiếp cận”.

Ví dụ, trong các trường hợp phức tạp, trong các chương trình lớn hiện đại, việc kiểm tra thủ công quá tốn công sức và không đáng tin cậy - phải nhờ đến sự trợ giúp của máy tính. Vì vậy, cần có những thuật toán phù hợp cho mục đích này. Chúng tôi sẽ xây dựng Bài toán về việc xây dựng các thuật toán như vậy dưới dạng ba bài tập (4-6) và đối với bài tập đầu tiên, chúng tôi sẽ đề xuất lời giải.

20

Hình 5.

Bài tập 4. Tìm tất cả các đường dẫn đơn giản kết nối đầu vào của đồ thị $p$ với đầu ra của nó.

Một trong những thuật toán đẹp nhất cho lời giải này bài toán dựa trên sự sắp xếp tuần tự các đỉnh của biểu đồ $p$. Hình 6 thể hiện ứng dụng của nó đối với đồ thị $p$ của Hình 4. Ở mỗi bước, một trong các đỉnh $x \in X$ (khác với $s$ và $t$) bị BỊ LÊN; Cùng với các đường dẫn đơn giản nối các đỉnh liền kề với $x$ và đi qua $x$, một cung mới được xây dựng (bên cạnh đó ghi tên của đỉnh bị loại bỏ). Các vòng lặp phát sinh trong quá trình này sẽ bị loại bỏ. Kết quả là một tập hợp các cung nối $s$ với $t$, hơn nữa, trên mỗi cung này các đỉnh được viết liên tiếp, qua đó có thể tìm ra các thuật toán giải các điều khiển 5, 6. Chúng có thể được viết dưới dạng biểu đồ luồng, dạng bảng (“Đại số 8”, trang 49) hoặc đối với sinh viên ZShP, bằng ngôn ngữ Rapier.

Bài tập 5*. Tìm tất cả các đường viền đơn giản của đồ thị $p$.

Bài tập 6*. Xây dựng một hệ thống các đường dẫn (không nhất thiết phải đơn giản) kết nối đầu vào của đồ thị $p$ với đầu ra của nó, bao gồm tất cả các đỉnh của đồ thị $p$. Xây dựng một hệ thống như vậy với số lượng đường dẫn tối thiểu.

Orgraph của một biểu thức số học

Khi tính các biểu thức số học trên máy tính theo thứ tự ngẫu nhiên, khi có nhiều biểu thức này và khá cồng kềnh, dữ liệu ban đầu và kết quả trung gian của phép tính có thể chiếm một lượng bộ nhớ máy tính lớn đến mức không thể chấp nhận được; như các lập trình viên nói, “chương trình làm tắc nghẽn RAM của máy”. Làm thế nào để đối phó với điều này? Đây là lúc lý thuyết đồ thị ra tay giải cứu.

Hóa ra là với mỗi biểu thức số học người ta có thể liên kết

CÁCH ĐƠN GIẢN:

$s x_1 x_3 x_6 t$
$s x_1 x_4 x_6 t$
$s x_2 x_7 t$
$s x_2 x_5 x_7 t$

Hình 6.

21

tạo một sơ đồ thuộc loại đặc biệt. Ví dụ, với biểu thức
$$((a+b) \cdot (c-d)) / (g+f) + h = L$$
bạn có thể kết nối biểu đồ được hiển thị trong Hình 7. Nếu các chữ cái không được lặp lại trong công thức, những biểu đồ đó có một tên đặc biệt. Cây thứ tự (cây có hướng) là một đồ thị trong đó một đỉnh được chọn - gốc của cây thứ tự và từ bất kỳ đỉnh nào khác của cây thứ tự chỉ có một đường dẫn đến gốc. Không có đường đi từ gốc đến bất kỳ đỉnh nào.

Vì vậy, trong ví dụ của chúng tôi (xem Hình 7), một thứ tự có gốc $L$ được hiển thị. Các đỉnh $a, b, c, d, f, g, h$ được gọi là tính được.

Bài tập 7. Xây dựng biểu thức thứ tự
$$\frac{\sqrt{x+y}}{z^2+5at+7k} + \frac{b+c}{r} = L.$$

Quay lại Hình 7, hãy tưởng tượng rằng các thao tác riêng lẻ được thực hiện tại thời điểm được hiển thị bằng các đường thẳng đứng màu đỏ. Sau đó, bộ nhớ sẽ lưu tối đa 6 số cùng một lúc. Đúng, con số này có thể giảm xuống còn 4 nếu số $g, f$ có trong bộ nhớ tại thời điểm $t=2$ (thay vì $t=1$).

Liệu có thể mô tả biểu thức của chúng ta theo một trật tự tiết kiệm hơn nữa (theo nghĩa này) không?

Hãy kéo một con lạc đà qua lỗ kim

Xét thang thời gian rời rạc $t=1, 2, 3, \dots$. Hãy để quá trình tính toán được tổ chức theo cách mà các ô nhớ được lấp đầy (dữ liệu ban đầu được nhập, kết quả trung gian được tính toán được ghi, v.v.) tại các thời điểm nguyên và duy trì trong một số khoảng thời gian của thang đo đã chọn. Khi nội dung của một ô được sử dụng, nó sẽ được giải phóng. Chúng ta cũng giả sử rằng tại mỗi thời điểm chỉ có một ô nhớ được gửi đi. Điều kiện cuối cùng cho phép bạn đánh số các đỉnh theo thứ tự tương ứng,

Ý tưởng xây dựng các ngăn xếp đơn hàng, có phần nêm nhỏ, được A.P. Ershov đưa ra vào năm 1958 và hóa ra lại cực kỳ hữu ích. Đối với bài toán phức tạp, cũng có thể tạo kiểu hẹp, điều này vừa phải để chuẩn bị cho việc luồn lạc đà qua lỗ kim!

22

treo thì chuyển sang bước 4, nếu không thì chuyển sang bước 5.

Bước 4. Ở cột thứ hai có 0, ở cột thứ ba - x. (Vì vậy chúng tôi đặt $p(x) = 0, q(x) = x$.) Chuyển sang bước 3.

Bước 5. Gọi $y_1, y_2, \dots, y_k$ là thứ tự các đỉnh ngay trước x, được sắp xếp sao cho $p(y_1) \geq p(y_2) \geq \dots \geq p(y_k)$. Chúng tôi sẽ tìm thấy
$$p(x) = \max_{1 \leq s \leq k} \{p(y_s) + s - 1\}$$
$$q(x) = q(y_1)q(y_2) \dots q(y_k)x,$$
và nhập các giá trị tìm thấy vào cột thứ hai và thứ ba của hàng được đề cập. Hãy chuyển sang bước 3.

Hình 8.

Hình 9.

Bây giờ chúng ta sẽ mô tả một trong các thuật toán để xây dựng các cấu trúc như vậy, được gọi là thuật toán Redrzejewski.

Bước 1. Hãy xây dựng một bảng có n hàng và ba cột, trong đó n là số đỉnh thứ tự.

Bước 2. Hãy điền vào cột đầu tiên của bảng từ dưới lên trên, đặt gốc $x_0$ của thứ tự ở hàng thấp nhất, sau đó theo thứ tự tùy ý của các tiền nhiệm, miễn là thứ tự tính toán không bị vi phạm ở bất kỳ đâu (nghĩa là phải lấy mọi dữ liệu cần thiết cho thao tác tiếp theo trước khi thực hiện).

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ sử dụng $p(x)$ và $q(x)$ để biểu thị các mục trong cột thứ hai và thứ ba của dòng bắt đầu bằng chữ x. Các giá trị của hàm $p$ sẽ là số, hàm $q$ sẽ là dãy các chữ cái. Hãy để r dòng đầu tiên được điền vào.

Bước 3. Chúng ta bắt đầu điền dòng tiếp theo (những dòng trước đã được điền); chúng ta hãy biểu thị chữ cái đầu tiên của nó bằng x. Nếu đỉnh x là

Lặp lại các bước 3-5 cho đến khi toàn bộ bảng được lấp đầy. Sau đó, ở dòng cuối cùng trong cột thứ hai, chúng ta nhận được chiều rộng của xếp chồng, nghĩa là $p(x_0) = W(Y, T)$, và ở dòng thứ ba - xếp chồng theo thứ tự T, nếu các đỉnh trong dãy $q(x_0)$ được xếp từ trái sang phải.

Bảng thu được bằng cách áp dụng thuật toán Redrzejewski cho thứ tự trong Hình 7 được hiển thị trong Hình 8 và thứ tự “xếp chồng” được hiển thị trong Hình 9.

Bài tập 9. Áp dụng thuật toán Regjewski theo thứ tự thu được ở Bài tập 7.

23

Người chiến thắng trong cuộc thi Kvaenta

Hàng năm tạp chí của chúng tôi tổ chức một cuộc thi dành cho học sinh về lời giải bài toán từ Sách Vấn đề “Quenta”. Theo quyết định của ban tổ chức All-Olympiad, những học sinh chiến thắng cuộc thi này sẽ được quyền tham gia vòng thứ tư (cộng hòa) của All-Olympiad.

Dưới đây là danh sách những người chiến thắng trong cuộc thi Quaenta năm 1980 đã nhận được quyền tham gia Thế vận hội của Đảng Cộng hòa năm 1981.

Toán học

E. ABDULLAYEV - Masally, s.sh. Số 2, 10 ô.
A. BARG - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
Y. BELOTSERKOVSKY - Minsk, s.sh. Số 64, 10 ô.
V. BEREZHNOY - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
A. BRUDNY - Yaroslavl, s.sh. Số 33, 10 ô.
M. GAISINSKY - Tashkent, s.sh. Số 103, 10 ô.
D. GRIGORIEV - Moscow, s.sh. Số 57, 10 ô.
O. EROSHKIN - Dnepropetrovsk, s.sh. Số 15, 8 ô.
A. ZEGE - Minsk, s.sh. Số 50, 10 ô.
A. ZOLOTYKH - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
Z. IBRAGIMOV - Masally, s.sh. Số 2, 10 ô.
A. KAGARMANOV - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
S. KIM - Bektemir, s.sh. Số 2, 10 ô.
I. KOLPAKOV - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
D. KOROTKIN - Leningrad, Trường Vật lý số 45, Đại học bang Leningrad, lớp 9.
S. LAMIKHOV - Tashkent, s.sh. Số 103, 10 ô.
L. MERKEVICHIUS - Lentvaris, s.sh. Số 2, 11 ô.
Y. NAZARENKO - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
P. OVCHINNIKOV - Vyazniki, s.sh. Số 11, 10 ô.
M. OKROYAN - Yerevan, Trường Vật lý và Âm nhạc tại Đại học Bang Yerevan, lớp 10.
V. ROMANYUK - tr. Kusishe, vùng Volinskaya, lớp 10.
B. RUBLEV - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
A. SPIVAK - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 9.
S. SPICHAK - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
E. STEPANYAN - Baku, s.sh. Số 5, 10 ô.
V. TITENKO - làng Bluzha, vùng Minsk, lớp 9.
R. UGRINOVSKY - Khmilnik, s.sh. Số 3, 9 ô.
O. FONAREV - Sumgant, s.sh. Số 11, 10 ô.
A. KHARITONSKY - Kyiv, s.sh. Số 145, 10 ô.
O. CHALKH - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 9.
L. ELKUN - Tashkent, s.sh. Số 189, 10 ô.

Vật lý

V. AVETISOV - Baku, s.sh. Số 145, 10 ô.
V. BEREZHNOY - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
V. VASILIEV - Velikiye Luki, s.sh. Số 3, 10 ô.
B. WEITZMAN - Odessa, s.sh. Số 53, 9 ô.
I. GUBIN - Yerevan, Trường Vật lý và Âm nhạc tại Đại học bang Yerevan, lớp 10.
I. ELISHEVICH - Chernigov, s.sh. Số 3, 10 ô.
M. ZEIFMAN - Vologda, s.sh. Số 9, 10 ô.
I. KOMPANEYTSEV - Alma-Ata, RFMSH, lớp 10.
A. LYAPIN - Moscow, Trường Vật lý số 18, Đại học quốc gia Moscow, lớp 10.
O. MANUYLENKO - Kyiv, Trường Vật lý số 2 tại KSU, lớp 10.
A. OSIPOV - Sosnovy Bor, s.sh. Số 5, 10 ô.
V. PENTEGOV - Kyiv, s.sh. Số 145, 9 ô.
A. PONOMARENKO - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
A. SANZHUR - Kyiv, s.sh. Số 145, 10 ô.
A. SMIRNOV - Kurgan, s.sh. Số 28, 10 ô.
Y. TALDENKO - Sumy, s.sh. Số 10, 9 ô.
V. FEDYUKOVICH - Kyiv, Trường Vật lý số 2 KSU, lớp 10.
A. TSEKHANSKY - làng Zaprudnya, vùng Moscow, phía bắc sh. Số 1, lớp 10.
I. SHKRADIUK - Noginsk, s.sh. Số 83, 10 ô.

24

Vấn đề
lượng tử

M671—M675; F683—F687

M671. Trong một tứ giác nội tiếp, một đường chéo chia đôi đường chéo kia. Chứng minh rằng bình phương độ dài đường chéo thứ nhất bằng nửa tổng bình phương độ dài các cạnh của tứ giác.

R. Mazov

M672*. Đặt $a$ là một số tự nhiên sao cho $2^a-2$ chia hết cho $a$ (ví dụ: $a=3$). Chúng ta hãy xác định dãy $(x_n)$ theo điều kiện
$$x_1=a, x_{k+1}=2^{x_k}-1.$$
Chứng minh rằng $2^{x_k}-2$ chia hết cho $x_k$ với mọi $k$.
Walter Janous (Jisbruck, Áo)

M673. Ba vòng đệm $A, B, C$ nằm trên mặt phẳng tại các đỉnh của tam giác. Người chơi khúc côn cầu chọn một trong số họ và đi dọc theo nó để nó đi qua giữa hai người còn lại và dừng lại ở một điểm nào đó.
a) Chỉ ra cách, sau khi đánh gót chân, quả bóng $C$ có thể trở lại vị trí của nó và quả bóng $A$ và $B$ có ​​thể được hoán đổi cho nhau.
b) Cả ba quả bóng $A, B, C$ có thể trở lại vị trí ban đầu sau 25 lần trúng không?

A. Razborov

M674. Các điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ lần lượt được lấy trên các cạnh $BC, AC$ và $AB$ của tam giác nhọn $ABC$. Được biết, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ trùng với giao điểm các đường cao của tam giác $A_1B_1C_1$. Chứng minh rằng hai tam giác $ABC$ và $A_1B_1C_1$ đồng dạng.

D.Izaak

M675. Hệ trọng số là một tập hợp các số tự nhiên từ đó có thể trích ra hai tập hợp khác nhau có cùng tổng (ví dụ: các số 24, 23, 22, 20, 17, 11 tạo thành hệ trọng số nhưng các số 1, 2, 3, 4, 5, 8 không tạo thành: $2+3+4=1+8$). Chứng minh rằng từ các số nhỏ hơn 1000 có thể chọn được một hệ trọng số gồm: a) 10 số, b) 11 số.

25

c) Chứng minh rằng không thể chọn được 14 số trong số đó.
d) Chứng minh rằng nếu các số tạo thành một hệ trọng số thì tổng nghịch đảo của chúng không vượt quá 5/2.
e) Chọn hệ thống tính trọng số gồm 11 số từ các số nhỏ hơn 700.

G. Gurevich, A. Kolotov

F683. Hình 1 hiển thị nguồn $AB$ và hình ảnh khuôn mặt của nó $A'B'$. Xác định bằng cách xây dựng vị trí của đường thẳng và tiêu cự của nó.

F684. Mạch có $N$ cực đầu vào, một cực đầu ra và một cực chung (“mặt đất”). Tại mỗi đầu vào, điện thế nối đất nằm trong khoảng từ +50 đến +200 V.

1. Vẽ một biến thể của mạch điện sẽ cung cấp điện thế tối đa đặt vào các đầu vào ở đầu ra.
2. Vẽ một biến thể khác cung cấp điện thế ứng dụng tối thiểu ở đầu ra.
   Cố gắng làm mà không cần sử dụng các nguồn năng lượng bổ sung.

A. Zilberman

F685. Giữa bức tường và một khối lập phương có khối lượng $M=10$ kg, một quả bóng đàn hồi có khối lượng $m=0,1$ g bay trên một mặt bàn nhẵn. Tốc độ của nó lúc đầu, khi khối đứng yên, là $v_0=100$ m/s. Tìm vận tốc của khối lập phương tại thời điểm nó cách tường gấp 2 lần so với lúc đầu.

F686. Một vòng mỏng có khối lượng $M$ và bán kính $R$ được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang. Dọc theo một kênh trơn đi bên trong vòng, một vật nhỏ có khối lượng $m$ gặp nhau từ điểm trên cùng mà không có vận tốc ban đầu. Xác định tốc độ của tâm vòng tại thời điểm vật ở điểm vòng $A$, vectơ bán kính của nó tạo thành một góc φ với phương thẳng đứng. Lúc đầu vòng tròn đứng yên. Không có ma sát giữa vòng và mặt phẳng.

S. Krotov

F687. Một quả bóng thép nằm ở điểm $A$ của đế $AB$ của một nêm thẳng đều được cho tốc độ $v_0$ theo hướng của cạnh $AO$ (Hình 2). Tại giá trị nào của $v_0$ quả bóng từ điểm $A$ đến điểm $B$? Chiều dài cạnh nêm $l$.

E. Rabkin, học sinh lớp 9.

27

số liệu đối với $m$, thì $S_l(P)$ và $S_l(P')$ sẽ đối xứng đối với $m'$. Tóm lại: $S_{m'} = S_l \circ S_m \circ S_l$.

Bổ đề 2. Nếu $l$ và $m$ là các trục đối xứng của đa giác $M$, cắt nhau tại điểm $O$ và các trục khác vuông góc với nhau, thì đường thẳng $n$, vuông góc với cả hai và đi qua điểm $O$, cũng đóng vai trò là trục đối xứng $M$.

Thật vậy, $S_n = S_m \circ S_l$. Điều này có thể dễ dàng kiểm tra bằng cách lấy các đường thẳng làm trục tọa độ hoặc bằng cách dựng một hình bình hành hình chữ nhật có tâm tại điểm $O$ và các trục đối xứng $l$, $m$, $n$ với một đỉnh tùy ý $P$ (Hình 3).

Bổ đề 1 và 2 cho phép chúng ta sử dụng các đường thẳng rõ ràng làm trục tọa độ hoặc bằng cách xây dựng một hình bình hành hình chữ nhật có tâm tại điểm $O$ và các trục đối xứng $l$, $m$, $n$ với một đỉnh tùy ý $P$ (Hình 3).

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: tập hợp đường thẳng (hữu hạn) nào có thể là đa giác đối với tất cả các trục đối xứng của một đa giác nhất định?

Nhiều ví dụ khác nhau được đưa ra về các trục đối xứng đa giác nhận dạng chính quy $n$-giác trường (ở đây là một loạt trục $p = n$ cho $n$ lẻ và $p = n + 1$ cho $n$ chẵn), một tứ diện (hoặc một hình chữ nhật song song với các cạnh khác nhau, $p = 3$), một khối lập phương (hoặc bát diện, $p = 9$) và khối mười hai mặt (hoặc khối hai mươi mặt, $p = 15$). Hãy thử chứng minh rằng không có trục đối xứng đa giác nào khác (gồm nhiều hơn một đường thẳng).

Tất nhiên, người ta không thể làm gì nếu không có bổ đề rất hữu ích như vậy, bổ đề mà nhiều độc giả cũng đã sử dụng trong lời giải bài toán 6).

Bổ đề 3. Các trục đối xứng của đa giác bất kỳ cắt nhau tại một điểm.

Giả sử rằng $l$, $m$ là trục đối xứng rời rạc của đa giác $M$. Đặt $n$ là đường vuông góc tổng quát $l$, $m$; khoảng cách hệ tọa độ chữ nhật có gốc tại điểm $O = l \cap n$, có trục $Oz$ hướng dọc theo tia $OA$, trong đó $A = n \cap m$; hãy để $|OA| = a$. Sau đó, với sự đối xứng của trục tương đối $l$, tọa độ $z$ của bất kỳ điểm nào sẽ đi vào $(-z)$ và với sự đối xứng của trục tương đối $m$ - thành $(2a - z)$. Do đó, khi hợp hai đối xứng này, $z$ thay đổi thành $2a$. Bằng cách lặp lại bố cục này đủ số lần, chúng ta sẽ “lái” bất kỳ điểm nào vượt ra ngoài ranh giới của đa giác $M$. Mâu thuẫn!

Đây là một bằng chứng thậm chí còn ngắn hơn về Bổ đề 3 (mặc dù sử dụng khái niệm mượn từ cơ học): đặt $O$ là tâm khối lượng giống hệt nhau đặt tại các đỉnh của đa giác $M$; rõ ràng là đối với bất kỳ sự tự căn chỉnh nào của đa giác $M$, các trọng số chỉ thay đổi vị trí, do đó điểm $O$ biến thành chính nó; cụ thể là tất cả các trục đối xứng $M$ đều đi qua điểm $O$.

N. Vasiliev, V. Senderov, A. Sosinsky

**M624. Tìm chuỗi $(a_n)$ được xác định bởi điều kiện $a_1 = 1$,

$$1 + \sum_{d} (-1)^{n/d} a_d = 0,$$

Trong thực phẩm, tổng $\sum$ được lấy trên tất cả các ước $d$ của số $n$ (bao gồm $d = 1$ và $d = n$).

Ví dụ: nếu $n = p$ là số nguyên tố thì (*) có dạng $1 + (-1)^{p/1} a_1 + (-1)^{p/p} a_p = 0$, do đó $a_p = 2$ nếu $p = 2$ và $a_p = 0$ nếu $p > 2$.

28

Áp dụng sự tương ứng (*) xác định dãy $(a_n)$, ta thu được

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2m-1} - a_{2m} = 0,$$

Ở đâu

$$a_{k+1} = a_{2m} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{m-1} = 2^m,$$

• mệnh đề trong trường hợp a) đã được chứng minh.

6. $n = k + 1 \neq 2^m$.

Chúng ta hãy viết $k+1$ dưới dạng

$$k+1 = 2^r \cdot s,$$

trong đó $2^r$ là lũy thừa tối đa của hai số chia cho $k+1$ và $s$ là số lẻ lớn hơn một.

Theo giả định quy nạp, các ước $d$ của số $k+1$ (khác với $k+1$), mà $a_d \neq 0$, chỉ là các số 1, 2, $2^2$, …, $2^r$.

Từ khớp (*)

$$1 + a_1 + a_2 + \ldots + a_{2r-1} - a_{2r} - a_{k+1} = 0,$$

đó là

$$a_{k+1} = 1 + 1 + 2 + \ldots + 2^{r-1} - 2^r = 0,$$

• và khẳng định (1) trong trường hợp 6) cũng được chứng minh.

V. Abramovich

M626. Mỗi cạnh của một tứ giác lồi được chia thành 8 phần bằng nhau. Các điểm phân chia phù hợp ở các cạnh đối diện được kết nối với nhau và các ô kết quả được tô màu theo mẫu bàn cờ. Chứng minh rằng tổng diện tích của các ô này bằng tổng diện tích của các ô màu trắng.

Vì trung điểm của một tứ giác lồi là các đỉnh của một khung song song nên các đường trung bình của nó (các đoạn màu đỏ trong hình) được chia đôi tại giao điểm. Áp dụng thông điệp này cho các tứ giác đã tạo thành, chúng ta thu được tuyên bố tương tự cho các đường trung bình của chúng, v.v., sao cho mỗi đoạn nối các điểm phân chia ở các cạnh đối diện của một tứ giác lồi nhất định sẽ được chia thành tám phần bằng nhau.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét “ô đôi” của phân vùng (kích thước $2 \times 2$; các đường chéo của nó được đánh dấu bằng màu xanh lục trong hình). Rõ ràng là tổng diện tích của các trường màu xanh và trắng của ô nhân đôi này bằng nhau (diện tích của các tam giác màu xanh và trắng tương ứng có một đỉnh chung và các đáy bằng nhau theo cặp là như nhau). Tuyên bố bài toán xuất phát từ nhận xét này.

V. Proizvolov

M627. Mỗi ô của một tờ giấy ca rô vô hạn chứa một số tự nhiên.

a) Cho mỗi số đó xuất hiện đúng một lần. (Cho ví dụ về cách sắp xếp các số như vậy!) Chứng minh rằng với m bất kỳ đều có hai ô lân cận (có chung một cạnh), hiệu của các số trong đó không nhỏ hơn m.

b) Cho mỗi số n ∈ N xuất hiện đúng n lần (nghĩa là 1 - một lần, 2 - hai lần, v.v.). Hãy chỉ ra số k lớn nhất sao cho chắc chắn có hai ô lân cận mà hiệu số k không nhỏ hơn k. (Cho ví dụ

29

1. Có thể sắp xếp các số trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho chênh lệch giữa các số ở các ô lân cận không vượt quá 1, nếu mỗi số $n \in \mathbb{N}$ xảy ra $n^2$ lần? Và $(n+100)$ lần?

2. Chia không gian thành các ô lập phương, đặt trong mỗi ô một số tự nhiên sao cho mỗi số $n \in \mathbb{N}$ xuất hiện đúng $n$ lần. đáp số sẽ là gì đối với một câu hỏi tương tự như câu hỏi bài toán M627?

A. Tolpygo

F631. Một dây xoắn ốc nối với mạng lưới thành phố được tích điện. Một nửa hình xoắn ốc bắt đầu nguội đi (ví dụ, bởi một khối nước). Điều này ảnh hưởng thế nào đến số lượng bê con được nhìn thấy bởi nửa hình xoắn ốc này? nửa còn lại? Có phải mọi thứ đều là một vòng xoắn ốc?

Chúng ta hãy biểu thị điện trở của mỗi nửa vòng xoắn ốc trước khi bắt đầu nguội là $R$. Vì điện trở của kim loại phụ thuộc vào nhiệt độ (tăng khi nóng lên và giảm khi nguội) nên việc làm lạnh một nửa của hình xoắn ốc dẫn đến điện trở của nửa này giảm xuống một giá trị nhất định $R_1 < R$. Vì điện áp nguồn $U$ không thay đổi nên điều này sẽ làm tăng dòng điện trong mạch và do đó làm nóng thêm nửa còn lại của cuộn dây. Điện trở của nửa này sẽ tăng lên và bằng $R_2 > R$.

Giá trị hiện tại mới trong mạch $I = \frac{U}{R_1 + R_2}$ sẽ lớn hơn giá trị trước đó $I_0 = \frac{U}{2R}$. Thật vậy, giả sử rằng $I \leq I_0$. Khi đó điện trở của nửa xoắn ốc không được làm mát vẫn giữ nguyên hoặc giảm ($R_2 \leq R$) và điện trở của nửa xoắn ốc được làm mát $R_1 < R$. Do đó, tổng điện trở là $R_1 + R_2 < 2R$ và giá trị hiện tại mới là $I > I_0$, điều này mâu thuẫn với giả định của chúng tôi.

Vì vậy, $I > I_0$, và do đó công suất được giải phóng trong toàn bộ chuỗi (tức là số lượng bê trên một đơn vị thời gian) $P = IU$ sẽ tăng lên.

Vì $I > I_0$ và $R_2 > R$, lượng bắp chân $P_2 = I^2R_2$ được phân bổ cho nửa không được làm mát cũng sẽ tăng lên.

Ngược lại, công suất $P_1 = I^2R_1 = \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2}$ giải phóng ở nửa đã nguội sẽ giảm so với công suất ban đầu $P_0 = I^2R = \frac{U^2}{4R}$. Hãy thể hiện nó.

Hãy tìm tỉ số $P_0/P_1$:

$$\frac{P_0}{P_1} = \frac{U^2}{4R} : \frac{U^2R_1}{(R_1 + R_2)^2} = \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

Rõ ràng là

$$\frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R} > \frac{(R_1 + R_2)^2}{4R_1R}$$

và biểu thức cuối cùng lớn hơn hoặc bằng 1, vì trung bình hình học của hai đại lượng $(\sqrt{R_1R_2})$ không vượt quá trung bình số học của chúng $(\frac{R_1 + R_2}{2})$.

Do đó, thực sự $P_1 < P_0$, tức là công suất giải phóng ở nửa xoắn ốc đã nguội sẽ giảm.

B. Bukhovtsev

31

$$R = \frac{X_C}{\sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{1}{\omega C \sqrt{4n^2 - 1}} = \frac{\omega L}{\sqrt{4n^2 - 1}}.$$

Điện trở ở phần không phân nhánh của mạch chỉ ảnh hưởng đến giá trị điện áp ở các cực của mạch. Nếu lấy ba đèn tích lũy giống hệt nhau làm điện trở thì đèn ở phần không phân nhánh của mạch có thể tối khi các đèn trong nhánh được tích lũy đầy đủ (với $n$ đủ lớn).

G. Savkun

F634. Thanh AB có chiều dài $l$ và khối lượng $m$ tựa vào tường bằng đầu dưới và được giữ ở vị trí nghiêng nhờ sự trợ giúp của một sợi chỉ (xem hình). Sợi chỉ được buộc vào tường tại điểm $C$ và vào thanh tại điểm $D$ sao cho $|AD| = \frac{1}{3}|AB|$. Các mặt cười tạo bởi sợi dây và thanh với tường lần lượt bằng a và β. Tìm các giá trị có thể có của hệ số ma sát giữa thanh và tường.

Ba lực tác dụng lên thanh: lực căng chỉ $\vec{T}$, lực căng $m\vec{g}$ và phản lực từ tường $\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\tau}$ ($\vec{N}$ là phản lực bình thường, $|F_{\tau}| \leq \mu |\vec{N}|$ là lực ma sát). Ở trạng thái cân bằng của thanh, tổng mô men của các lực này đối với một điểm bất kỳ bằng không. Để thỏa mãn điều kiện, các đường tác dụng của lực $\vec{R}$ phải đi qua điểm giao nhau của tác dụng tuyến tính của lực $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ (mômen của lực $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ đối với điểm này bằng 0).

Tùy thuộc vào sự tương ứng giữa α và β, giao điểm của lực tuyến tính $\vec{T}$ và $m\vec{g}$ có thể nằm: a) phía trên đường vuông góc $AM_0$ với tường (điểm $M_1$ trong hình), b) bên dưới đường vuông góc này (điểm $M_2$), c) trên nó (điểm $M_0$). Lực ma sát tương ứng hướng dọc theo AC lên ($\vec{F}_a$) hoặc dọc theo AC xuống ($\vec{F}_b$) hoặc bằng 0. Chúng ta hãy xem xét từng trường hợp riêng biệt a) Điều kiện cân bằng của thanh:

$$T \cos \alpha + F_a - mg = 0, \quad N - T \cos \alpha = 0$$

(1)—tổng hình chiếu của tất cả các lực lên trục $Y$ và $X$ tương ứng bằng 0;

$$d_1 mg = d_2 T,$$ hoặc $$\frac{mg l}{2} \sin \beta = \frac{Tl}{3} \sin (\alpha + \beta)$$

(2) (xem hình). Từ (1) và (2) ta có

$$\mu_a \geq \frac{F_a}{N} = \frac{2}{3} \frac{\sin (\alpha + \beta)}{\sin \alpha \sin \beta} - \frac{1}{tg \alpha} = \frac{1}{3} \left( \frac{2}{tg \beta} - \frac{1}{tg \alpha} \right).$$

(Trường hợp a) được thực hiện với điều kiện $2tg \alpha > tg \beta$.) b) Viết các điều kiện cân bằng, ta tìm được:

$$\mu_6 \geq \frac{1}{3} \left( \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right).$$

(Trong trường hợp này, điều kiện $tg \beta > 2tg \alpha$ tương ứng.) Trong trường hợp này, thanh ở trạng thái cân bằng với bất kỳ giá trị nào của $\mu_b (2tg \alpha = tg \beta)$.

Như vậy, với sự tương ứng tùy ý giữa các góc α và β, thanh ở trạng thái cân bằng tại

$$\mu \geq \frac{1}{3} \left| \frac{1}{tg \alpha} - \frac{2}{tg \beta} \right|.$$

K. Sereev

F635. Hai cân tự động giống hệt nhau $m = 10^3$ ke di chuyển lên cùng một con đường núi. Sự phụ thuộc của độ cao h của đường vào khoảng cách x đến điểm bắt đầu dốc được thể hiện trên hình vẽ. Mỗi tự động hóa sẽ phát triển sức mạnh không đổi $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản chuyển động là công suất $P = 12$ kW và lực cản 支配a ở phần II.

Trong thời gian t, trong đó xe thứ nhất tự động ở đoạn II, xe thứ hai vẫn ở đoạn I, xe thứ hai tự động ở đoạn l và xe thứ nhất chạy quãng đường ngắn l’ < l. Rõ ràng khoảng cách l’ giữa các số tự động sẽ nằm ở phần II.

32

Trên đoạn đường nằm ngang, khoảng cách giữa các máy là 100 m. Khoảng cách tối thiểu giữa các máy khi chúng di chuyển là bao nhiêu?

Hãy tìm vận tốc của đoạn tự động I và II. Trong phần I, công việc chỉ được thực hiện để chống chói mắt. Trong phần này, cân bằng năng lượng có thể được viết như sau:

$$P = |\vec{F}_1| |\vec{v}_1| = \alpha |\vec{v}_1|^3.$$

(1)

Trong phần II, công việc chống chói được bổ sung:

$$P = |\vec{F}_2| |\vec{v}_2| + m |\vec{g}| \frac{h_2}{S_2/|\vec{v}_2|} = \alpha |\vec{v}_2|^3 + m |\vec{g}| |\vec{v}_2| \frac{h_2}{S_2}.$$

(2)

Độ dốc $h_2/S_2$ được xác định từ đồ thị: $h_2/S_2 = \frac{4}{30}$.

Từ phương trình (1) $|\vec{v}_1| \approx 20,5$ m/s được tìm thấy. Vì vậy, $\tau = \frac{l}{|\vec{v}_1|} \approx 4,9$ trang. Từ phương trình (2) chúng ta tìm thấy $|\vec{v}_2| = 8,5$ m/s. Trong thời gian t, ô tô thứ nhất sẽ đi được quãng đường $l' = |\vec{v}_2| \tau = 41,6$ m. Đây là khoảng cách tối thiểu giữa máy tự động.

Chúng tôi khuyên bạn nên phân tích độc lập chuyển động của máy khi di chuyển từ phần ngang I sang phần II và đảm bảo rằng khi tính đến tính chất trơn tru của tốc độ thay đổi từ giá trị $|\vec{v}_1|$ sang giá trị $|\vec{v}_2|$ không thay đổi đáp số bài toán.

V. Belonuchkin

F636. Một bình hình trụ được đóng kín bằng một pít-tông không trọng lượng có tiết diện S chứa khí ở áp suất khí quyển $p_0$. Thể tích của khí bằng $V_0$. Tàu sẽ điều chỉnh thể b (mật độ $\rho_0$) như hình. Tìm sự phụ thuộc của khoảng cách x giữa piston và mặt nước vào mô đun F của lực giữ sợi dây gắn với piston.

F637. Trong cuộn dây siêu dẫn có độ tự cảm $L_1$ và $L_2$, mắc song song, một dòng điện được kích thích. Độ tự cảm $L_1$ của một trong các cuộn dây giảm về 0. Cường độ dòng điện trong mạch và năng lượng của hệ thay đổi bao nhiêu lần?

Ta viết phương trình trạng thái của khí trong xi lanh (định luật Boyle-Mariotte) khi piston ở độ sâu x nhất định dưới nước:

$$p_0 V_0 = p V = ph S,$$

(1)

trong đó p là áp suất trong xi lanh và h là khoảng cách từ đáy xi lanh đến piston. Điều kiện cân bằng của piston ở độ sâu x là

$$p S + F = (p_0 + \rho_0 g x) S.$$

(2)

Trạng thái cân bằng của hình trụ là

$$p S = [p_0 + \rho_0 g (x - h)] S + Mg,$$

(3)

trong đó M là khối lượng của hình trụ.

Giải các phương trình (1), (2), (3), ta thu được:

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + Mg F + F^2 - p_0 SF - p_0 SMg}{\rho_0 g S (F + Mg)},$$

(4)

hoặc, nếu hình trụ không có trọng lượng,

$$x = \frac{p_0 V_0 \rho_0 g S + F^2 - p_0 SF}{\rho_0 g SF}.$$

(5)

Mối quan hệ (4) và (5) chỉ có giá trị rất hiếm khi hình trụ được ngâm hoàn toàn trong nước.

V. Belonuchkin

Chúng ta sẽ giả sử rằng các cuộn dây được đặt cách nhau đủ xa và có thể bỏ qua hiện tượng cảm ứng lẫn nhau. Vì cuộn dây là siêu dẫn nên từ thông F tùy ý trong chúng không đổi. Từ điều kiện này ta tìm được:

$$\Phi = L_1 I_0 + L_2 I_0 = L_2 I_{(1)}$$

(1)

• trong trường hợp các cuộn dây có hướng bằng nhau so với hướng của dòng điện trong mạch (Hình 1), và

$$\Phi = L_1 I_0 - L_2 I_0 = L_2 I_{(2)}$$

(2)

• khi các cuộn dây được định hướng khác nhau (Hình 2). Trong (1) và (2), $I_0$ là dòng điện ban đầu trong mạch, I là dòng điện ở cuối quá trình.

Năng lượng của hệ lúc bắt đầu quá trình bằng

$$E_0 = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2.$$

33

Về phía trọng tâm

Trong trường hợp đầu tiên
$$\frac{I_{(1)}}{I_0} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Năng lượng của hệ khi kết thúc quá trình trong trường hợp này bằng
$$E_{(1)} = \frac{L_2 I_1^2}{2} = \frac{L_1 + L_2}{2} I_0^2 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right) = E_0 \left(1 + \frac{L_1}{L_2}\right),$$
Ở đâu
$$\frac{E_{(1)}}{E_{(0)}} = 1 + \frac{L_1}{L_2}.$$
Trong trường hợp thứ hai
$$\frac{I_{(2)}}{I_0} = 1 - \frac{L_1}{L_2}.$$
$$E_{(2)} = \frac{L_2 I_2^2}{2} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{2 L_2} I_0^2,$$
$$\frac{E_{(2)}}{E_0} = \frac{(L_2 - L_1)^2}{L_2 (L_1 + L_2)}.$$
P. Zubkov

Về phía trọng tâm

Một hệ thống gồm các bộ phận giống hệt nhau hoạt động như thế nào, quy luật chuyển động của mỗi bộ phận chỉ phụ thuộc vào một số lượng nhỏ trục? Những câu hỏi như vậy nảy sinh trong nhiều mô hình toán học của các đối tượng vật lý, hóa học, sinh học và đáp số đối với chúng, theo quy luật, là rất khó đạt được. Trong lưu ý này, chúng ta sẽ giải một bài toán thuộc loại này (M604 từ Bài toán Kvant), trong đó các quy luật chuyển động của hạt được biểu thị bằng các đường và hàm, cho phép chúng ta thu được một đáp số đơn giản: các hạt hợp nhất về một trọng tâm chung.

Công thức bài toán
a) Andrey, Victor, Sergey, bơi dưới nước, đồng thời chọn các điểm $A_0, B_0, C_0$ và ngay lập tức lặn trở lại, và Andrey quyết định bơi một phần ba quãng đường đến chỗ Victor trong một phút, Victor - một phần ba quãng đường đến chỗ Sergey, Sergey - một phần ba quãng đường đến chỗ Andrey. Sau một vài phút, họ chọn lại (điểm $A_1, B_1, C_1$ - xem Hình 1) và quyết định lặp lại thao tác này - sau nửa phút; sau đó trong một phần tư phút, v.v.

Họ sẽ gặp nhau ở đâu và khi nào?
b) Bên trong hình cầu bán kính 1 km có một triệu điểm được đánh số từ 1 đến một triệu. Mỗi điểm cùng lúc di chuyển đến 1/3 khoảng cách được đánh số tiếp theo đến điểm này là bao nhiêu giây; điểm cuối cùng của cùng một chuyển động về phía điểm đầu tiên. Chứng minh rằng sau một thời gian mọi điểm sẽ nằm trong một mặt cầu có bán kính 1 cm.

Lời giải bài toán a)
Hãy chứng minh rằng mọi điểm $A_k, B_k$ và $C_k$ đều hướng tới giới hạn về trọng tâm. Tam giác Q - giao điểm các đường trung tuyến của nó; theo nghĩa này, chúng ta có thể nói rằng Andrey, Victor và Sergey sẽ gặp nhau sau $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \ldots = 2$ phút tại điểm $Q$ (mặc dù, tất nhiên, ngay cả cá heo cũng không thể quay đầu và nhào lộn nhanh như những người bơi lội của chúng ta vào cuối phút thứ hai).

Lấy $Q$ làm gốc tọa độ và sử dụng ký hiệu vectơ của phép biến đổi $(A_k, B_k, C_k) \rightarrow (A_{k+1}, B_{k+1}, C_{k+1})$.

Như dễ thấy (Hình 2), với mỗi $k = 0, 1, 2, \ldots$
$$\vec{Q}A_{k+1} = \frac{2\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+1} = \frac{2\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+1} = \frac{2\vec{Q}C_k + \vec{Q}A_k}{3}.$$
Từ các công thức này, suy ra rằng điểm $Q$ là trọng tâm chung của tất cả các tam giác $A_k B_k C_k$: $\vec{Q}A_k + \vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k = \vec{0}$ (Hình 3).

Hơn nữa, phép biến đổi $L^2 = L \cdot L$, như có thể thấy từ các công thức
$$\vec{Q}A_{k+2} = \frac{4\vec{Q}A_k + 4\vec{Q}B_k + \vec{Q}C_k}{9} = -\frac{\vec{Q}C_k}{3},$$
$$\vec{Q}B_{k+2} = -\frac{\vec{Q}A_k}{3},$$
$$\vec{Q}C_{k+2} = -\frac{\vec{Q}B_k}{3},$$
— được chuẩn bị với hệ số $(-1/3)$ và tâm $Q$ (xem Hình 1). Do đó, nếu tam giác $A_0 B_0 C_0$ nằm trong đường tròn bán kính $R$ có tâm tại điểm $Q$ thì tam giác $A_{2k} B_{2k} C_{2k}$ và tất cả các tam giác tiếp theo sẽ là

37

Nhiệm vụ

1. Trong ví dụ trong hình, một số số được thay thế bằng dấu hoa thị. Khôi phục các số bị thiếu.

2. Trong hệ thống số nào thì số 1111 là số chính phương? Và số 11111?

3. Từ chín chữ số 1,2,3,…,8,9 lập ba số có ba chữ số liên hệ với nhau là a) 1:3:5; b) 1:2:3.
   Có bao nhiêu lời giải có bài toán 6)?

4. Tổng các chữ số của một số có ba chữ số khác nhau là bội số của 7; bản thân số đó cũng chia hết cho 7. Tìm tất cả các số như vậy.

5. Góc đã cho là 54°. Chỉ sử dụng một số, chia nó thành ba phần bằng nhau (tức là tìm các điểm sao cho các tia đi qua đỉnh của một góc cho trước và các điểm này chia nó thành ba phần bằng nhau).

6. Hai đường tròn, mỗi đường dài 0,5 m, tiếp xúc cạnh BC của hình chữ nhật ABCD (|AB|=1 m, |BC|=2 m) tại cùng một điểm: một ở ngoài, một ở trong (xem hình). Các vòng tròn bắt đầu lăn dọc theo các cạnh của hình chữ nhật (nằm trong cùng mặt phẳng với nó). Cho đến khi nó trở về vị trí ban đầu thì mỗi vòng tròn sẽ quay được bao nhiêu vòng?

7. Có bảy đồng xu xung quanh chu vi, ngẩng đầu lên. Trong một lần di chuyển, bạn được phép lật 5 đồng xu bất kỳ nằm liên tiếp. Có thể đảm bảo rằng tất cả các đồng tiền đều được ngửa lên không?

Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
F. Bartenev, A. Cabrizon, Y. Mett,
A. Shvetsov, L. Ykovleva

38

F. Bartenev, I. Nikolskaya

Về người Ba Lan
những điều vô lý

Một ngày nọ, mẹ và Katya đến thăm, và Petya, chờ đợi một buổi tối vui vẻ, đã trèo lên kệ trên cùng để xem một tập truyện hấp dẫn về Sherlock Holmes. Trong lúc lấy sách ra, anh vô tình làm rơi một chiếc bình ra khỏi kệ, vỡ thành từng mảnh. Tâm trạng vui vẻ của Petya có phần sa sút, nhưng quyết định không tỏ ra khó chịu trước, anh gạt những mảnh vỡ vào một góc và thoải mái đặt một cuốn sách trên ghế sofa. Buddy ngồi xuống cạnh anh. Ngay khi mở cuốn sách ra, Petya lập tức quên đi mọi thứ trên đời và lao thẳng vào thế giới của những ý tưởng bí ẩn mà Sherlock Holmes đã khéo léo làm sáng tỏ nhờ sự trợ giúp của phương pháp thám tử của mình. Tiếng kêu phẫn nộ của Katya đưa anh trở lại thực tế:

• Mẹ nhìn xem, Petka đã làm vỡ chiếc bình con tặng mẹ!

• Bạn có thấy nó không? - Petya hỏi theo thói quen. - Bằng chứng là tôi!

• Ở đây có gì để chứng minh? - Katya nhún vai. - Chỉ có bạn và Buddy ở nhà. Giả sử rằng không phải bạn đã làm vỡ chiếc bình; Điều đó có nghĩa là Druzhok đã phá vỡ nó. Nhưng bạn không thể nói rằng Druzhok đã có thể lên được vị trí cao nhất. Sẽ thật vô lý: Buddy vẫn là một con chó chứ không phải một con mèo. Vậy là bạn đã làm vỡ chiếc bình rồi, không còn ai nữa.

“Phải,” Petya nghĩ, “bạn không thể tranh luận với cô ấy, logic của cô ấy giống như của Sherlock Holmes; và chẳng có ích gì khi tranh cãi - tôi thực sự đã làm vỡ chiếc bình. Tôi sẽ đến gặp Mitya và hỏi anh ấy bài tập toán là gì.”

Anh học được từ Mitya rằng trong hình học có một định lý: Hai đường thẳng không có nhiều hơn một điểm chung, bằng chứng mà Mitya đã phân tích và tính toán.

“Những câu chuyện,” Petya hỏi (đọc một cuốn sách giáo khoa hình học mà các em mới bắt đầu học, đối với anh ấy có vẻ khó và nhàm chán).

“Không có gì,” Mitya đồng ý. — Giả sử rằng phát biểu của định lý là sai; Sau đó…

39

“Đợi đã, đợi đã,” Petya nói trước, “Tôi sẽ kể cho bạn nghe thêm.” Nếu hai đường thẳng có nhiều nhất một điểm chung là không đúng thì chúng có nhiều hơn một điểm chung, tức là hai, ba hoặc có thể nhiều hơn. Nhưng hóa ra hai điểm nối hai đường thẳng. Nhưng điều này không thể xảy ra - chúng ta đã biết rằng chỉ có một đường thẳng đi qua hai điểm. Điều này có nghĩa là hai đường thẳng không thể có nhiều hơn một điểm chung, nghĩa là chúng không có nhiều hơn một điểm chung.

“Chà, bạn thật tuyệt,” Mitya ngạc nhiên. - Cậu điên ở đâu thế?

“Tôi thực sự phát điên,” Petya cười. “Katka vừa chứng minh theo cách tương tự rằng chính tôi chứ không phải con chó đã phá vỡ con mèo nhỏ.”

• Bằng cách nào? - Mitya bắt đầu quan tâm. - Nó bao gồm những gì? Và nói chung, việc chứng minh một định lý hình học có điểm gì chung với việc điều tra vụ chiếc bình nhỏ bị vỡ?

Petya hơi bối rối nhưng chỉ trong giây lát. Được khích lệ bởi sự thành công và lời chào của bạn mình, anh bắt đầu suy nghĩ khô khan:

• Trong cả hai trường hợp, tôi đều chứng minh một số khẳng định $P$ (trong trường hợp đầu tiên - Petya đã phá vỡ Vasochka, trong trường hợp thứ hai - Hai đường thẳng có nhiều nhất một điểm chung);

• bằng chứng bắt đầu bằng việc giả định rằng không phải $P$ (phủ định của câu $P$) là đúng;

• giả định sự thật không phải $P$ trong cả hai trường hợp đều dẫn đến sự bất tuân (trong trường hợp đầu tiên - thực tế là một con chó có thể trèo lên kệ trên cùng, và điều này mâu thuẫn với ý tưởng của chúng ta về khả năng và thói quen của chó; trong trường hợp thứ hai - thực tế là hai đường thẳng có thể được vẽ qua hai điểm và điều này mâu thuẫn với tiên đề nổi tiếng).

• Thế thì sao? - Mitya hỏi. - Tại sao điều này lại chứng tỏ $P$?

• Đây là lý do: vì giả định rằng không $P$ đúng dẫn đến sự không vâng lời, điều đó có nghĩa là không $P$ không thể đúng. Nhưng nếu không $P$ là sai thì $P$ là đúng!

“Mọi thứ đều đúng,” Mitya nói. — Nếu phủ định của câu $P$ là sai thì bản thân câu $P$ đó là islada.

Tinino; Bạn có nhớ chúng ta vừa nói về điều này không?*). Do đó, thay vì chứng minh tính đúng của $P$, có thể chứng minh tính sai của $P$, nhưng từ đó chúng ta có thể rút ra kết luận về tính chân thực của $P$.

“Có thể,” Petya nhận xét, “nhưng có cần thiết không?” Không phải là đi theo con đường trực tiếp sẽ dễ dàng hơn sao? Ví dụ, đây là cách Katya và tôi làm bài kiểm tra đại số để chứng minh rằng số 13 không phải là nghiệm của phương trình $x^3-17x^2+119x-1000=0$: chúng tôi đã tính giá trị của biểu thức ở vế trái của phương trình tại $x=13$ và đảm bảo rằng nó không bằng 0.

• Và chẳng phải bạn quá lười để nhân và cộng sao? - Mitya cười toe toét. — Rốt cuộc, người ta chỉ cần giả sử rằng 13 là nghiệm của phương trình này, và người ta sẽ ngay lập tức nhận được một kết luận phi lý: 1000 chia hết cho 13 ($13^3-17 \cdot 13^2+119 \cdot 13=1000$). Vì vậy, 13 không phải là nghiệm của phương trình này.

“Vậy,” Petya hỏi, “có phải cách chứng minh này luôn ngắn hơn cách chứng minh trực tiếp không?”

“Không, không phải luôn luôn,” Mitya trả lời, “nhưng khá thường xuyên.” Hãy thử, chứng minh, chẳng hạn, rằng ở Moscow có những người có số lượng tóc trên đầu như nhau (không tính đầu hói). Bạn sẽ không lấy từng sợi tóc của mọi người. Nhưng nếu chúng tôi cho rằng không có những người như vậy, thì có tính đến khoảng 8 triệu người sống ở Moscow và số lượng tóc trên đầu một người không vượt quá 500.000, chúng tôi sẽ đi đến một kết luận khó xử: 500.000 $\geq$ 8 $\cdot$ 10^6. Do đó, ở Moscow có những cư dân có số lượng tóc trên đầu như nhau.

Chứng minh mệnh đề $P$ bằng cách chứng minh tính sai của phủ định nó chứ không phải $P$ được gọi là bằng chứng gián tiếp; Nó còn được gọi là bằng chứng bằng phản chứng. Bây giờ hãy thử chứng minh bằng phản chứng rằng không có số chẵn lớn nhất.

*) Xem bài “Không đúng là… - làm sao mà rõ được?” («Kvant», 1980, số 9).

40

“Chà,” Petya nói, “không khó đâu.” Giả sử rằng tồn tại một số $n$ như vậy. Khi đó mọi số chẵn khác phải nhỏ hơn $n$. Tuy nhiên, thêm hai vào số $n$, chúng ta sẽ có số chẵn $n+2$, lớn hơn $n$. Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng giả định về sự tồn tại của số chẵn nhất là sai; Điều này có nghĩa là không có số chẵn nhất.

“Anh biết đấy,” Mitya nói, “vào thế kỷ thứ ba trước Công nguyên, Euclid đã chứng minh rằng số đơn giản nhất không tồn tại.” Giả sử rằng một số $p_n$ như vậy tồn tại, anh ta đã xây dựng số $p=p_1 \cdot p_2 \cdot \dots \cdot p_n+1$, trong đó $p_1, p_2, \dots$ là số nguyên tố, mâu thuẫn với $p_n$; $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào trong số $p_1, p_2, \dots p_n$ (phần còn lại sẽ luôn là 1), có nghĩa là chính nó là số nguyên tố hoặc chia hết cho số nguyên tố $q$, lớn hơn $p_n$. Mâu thuẫn thu được ($p_n$ là số đơn giản nhất, đồng thời, $p$ hoặc $q$ là số nguyên tố lớn hơn $p_n$) chứng tỏ giả định được đưa ra là sai lầm và do đó, khẳng định số nguyên tố lớn nhất không tồn tại.

“Điều đó xảy ra,” Mitya tiếp tục, “rằng sự giả dối của $P$ đã không tồn tại được lâu, rằng người ta có thể ngay lập tức đưa ra kết luận về sự thật của $P$.” Bạn có nhớ hồi lớp 4 người ta đã dạy chúng ta rằng tập trống là tập con của bất kỳ tập hợp nào không? Nghe có vẻ lạ lùng, thiếu thuyết phục. Hãy thử chứng minh phát biểu này bằng phản chứng. Hãy nhớ rằng tập hợp $M$ được gọi là tập hợp con của tập hợp $N$ nếu mọi phần tử của tập hợp $M$ đều thuộc tập hợp $N$. Giả sử tập rỗng $M$ không phải là tập con của tập $N$, tức là có một phần tử của tập $M$ không thuộc $N$. Nhưng đây là một điều rất tệ, vì trong tập rỗng, theo định nghĩa của nó, không có phần tử nào cả. Do đó, tập rỗng là tập con của tập $N$.

“Và thực sự thuyết phục,” Petya nói.

Bạn bè chia tay, đánh nhau.

Chẳng bao lâu, trong một bài học vật lý, giáo viên kể cho bọn trẻ nghe cách Galileo đã chứng minh một cách hợp lý giả thuyết của mình rằng trong chân không mọi vật thể đều rơi nhanh như nhau, và từ đó bác bỏ giả thuyết của Aristotle, người tin rằng vật thể rơi càng nhanh thì càng nặng.

Galileo nói: “Giả sử một viên đạn pháo nặng rơi nhanh hơn một viên đạn nhẹ”. Điều gì xảy ra nếu bạn liên kết hai hạt nhân này lại với nhau? Một mặt, hạt nhân nhẹ sẽ làm chậm sự rơi của hạt nhân nặng, mặt khác, tốc độ rơi của hạt nhân liên kết phải lớn hơn tốc độ rơi của hạt nhân nặng. Mâu thuẫn thu được chứng tỏ rằng giả định về sự khác biệt về vận tốc rơi của hạt nhân nặng và hạt nhân nhẹ là sai. Do đó, các lõi sẽ bắn với tốc độ như nhau.

“Điều này có nghĩa là việc quy giản thành một mâu thuẫn không có trong vật lý,” Petya tự lưu ý.

Một lúc sau, giáo viên dạy tiếng Nga yêu cầu Petya chứng minh rằng trong câu Hầu như tất cả các từ trong lớp chúng tôi đều bị loại bỏ

41

Từ “gần như” là một từ thể thao.

“Của bạn đây,” Petya nghĩ. - Tôi hiểu, nó là hạt, hay là hạt, có phải là hạt không, nhưng gần như - nó là loại hạt gì? Một từ giống như một từ. Tuy nhiên, đây chắc chắn là một phần dịch vụ của lời nói, tức là giới từ, hoặc liên từ, hoặc quốc tế, hoặc một hạt. Chúng ta hãy giả sử rằng từ hầu như không phải là một hạt; thì đó là một cái cớ, hoặc một liên minh, hoặc quốc tế. Nhưng từ này không dùng để kết nối các từ hoặc các phần của câu; Điều này có nghĩa là nó không phải là một giới từ hay một sự kết hợp. Việc cho rằng từ gần như mang tính quốc tế cũng không đúng: nó không thể hiện bất kỳ cảm xúc nào và không khuyến khích hành động. Do đó, từ gần như là một hạt, và tôi đã chứng minh điều này bằng cách lập luận bằng mâu thuẫn. Cô giáo chỉ khen Petya đáp số.

Rất nhiều thời gian đã trôi qua. Petya và Mitya tốt nghiệp lớp sáu và chuyển đến Selmoy. Trong một bài học hình học đầu tiên ở lớp trung học của tôi, định lý đã được giải thích: Nếu hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song. Để chứng minh định lý này theo cách này: Giả sử hai đường thẳng a và b, vuông góc với đường thẳng p, cắt nhau tại điểm M. Khi đó hai đường vuông góc với đường thẳng p đi qua điểm M, điều này mâu thuẫn với định lý “Qua một điểm bất kỳ cũng có một và chỉ một đường vuông góc với một đường thẳng cho trước”. Giáo viên nói rằng đây là bằng chứng mâu thuẫn.

“Aha,” Petya nghĩ, nhớ lại cuộc trò chuyện năm ngoái với Mitya, “định lý này được xây dựng dưới dạng một câu điều kiện: Nếu A, thì B, và phủ định của câu đó là câu A và (không phải B), nghĩa là, a và b vuông góc với đường thẳng p và cắt nhau. Chúng tôi đã chứng minh rằng câu A và (không phải B) là sai, vì nó mâu thuẫn với định lý đã được chứng minh trước đó. Vì vậy, Nếu A, thì B là đúng. Mọi thứ đều đúng. đúng.

Trong bài đại số, cần chứng minh khẳng định: Nếu số tự nhiên n nhỏ hơn 1 thì $\frac{1}{n} > n$.

Giáo viên gọi cách suy luận này là chứng minh mâu thuẫn: giả sử rằng $\frac{1}{n} \leq n$; sau đó $\frac{1}{n} - n \leq 0$; từ đó suy ra $\frac{1 - n^2}{n} \leq 0$, từ đó $1 - n^2 \leq 0$, $1 \leq n^2$ và $n \geq 1$. Đối với Petya, dường như đây không hẳn là điều mà anh đã được dạy phải coi đó là bằng chứng mâu thuẫn, và anh quyết định thảo luận vấn đề này với Mitya. Anh đã xóa bỏ những nghi ngờ của mình.

“Hãy nhìn xem,” anh ấy nói, “chúng tôi giả định rằng sự phủ định của mệnh đề ban đầu là đúng: Số tự nhiên n nhỏ hơn 1 và $\frac{1}{n} \leq n$.”

Từ câu này dẫn đến mâu thuẫn bác bỏ nó: $n < 1$ và $n \geq 1$ cùng một lúc. Vì vậy, câu ban đầu là đúng. Như bạn có thể thấy, đây là bằng chứng thực sự mâu thuẫn. Nhưng vấn đề này có thể được tiếp cận theo cách khác. Gần đây chúng tôi đã đề cập đến chủ đề “Các câu tương đương”. Vì vậy, các câu If A, then B và If (không phải B), thì (không phải A) là tương đương, nghĩa là đối với mọi A và B, chúng đồng thời đúng hoặc đồng thời sai. Có nghĩa,

43

O. Ovchinnikov

Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Máy đo đường kính nằm trên một bề mặt nằm ngang nhẵn. Một lực $F_1=5\text{H}$ tác dụng vào một đầu của máy đo đường kính và một lực $F_2=8\text{H}$ tác dụng vào đầu kia (Hình 1). Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Bài toán nội dung tương tự có thể được tìm thấy trong sách giải toán và sách giáo khoa vật lý. Đáp số, theo quy luật, được đưa ra như sau: đường kính sẽ hiển thị 5\text{H}. Điều này có thể được xác nhận bằng lý do sau đây. Nếu tác dụng lực bằng 5\text{H} vào cả hai đầu của đồng hồ đo đường kính thì đồng hồ đo đường kính hiển thị 5\text{H}. Nếu một trong các lực tăng thêm 3\text{H}, thì sự cân bằng bị xáo trộn và máy đo đường kính, hiển thị 5\text{H}, bắt đầu dao động theo hướng tác dụng của lực lớn hơn với gia tốc $a=(F_2-F_1)/m$, trong đó $m$ là khối lượng của máy đo đường kính.

Có vẻ như mọi thứ đều rõ ràng. Tuy nhiên…

Chúng ta hãy xem xét vấn đề này một cách chi tiết. Hãy bắt đầu với bài toán đơn giản này:

Một lò xo có độ cứng $k$ nằm trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn. Một lực $F_0$ tác dụng vào một đầu của lò xo hướng

$$m_x = \frac{m_0}{l_0} x,$$

trong đó $m_0$ là khối lượng của lò xo, $l_0$ là chiều dài của lò xo ở trạng thái không dãn. Gia tốc mà tất cả các lò xo sẽ ​​bị tác dụng dưới tác dụng của lực $F_0$ bằng

$$a = \frac{F_0}{m_0}.$$

Đoạn lò xo mà chúng ta đang xem xét có chiều dài $x$ sẽ có cùng gia tốc. Phần này chịu tác dụng của một lực từ phần còn lại của lò xo bằng khối lượng của lò xo $F_x$, phát sinh trong dòng chảy cách đầu tự do của lò xo một khoảng $x$. Do đó, giá trị của lực lò xo $F_x$ bằng

$$F_x = m_x a = \frac{F_0 x}{l_0}.$$

Chúng tôi đã có một kết quả thú vị. Thứ nhất, lực lò xo phát sinh trong trường hợp này bằng tọa độ của nó với một lò xo không giãn, hoặc chiều dài của đoạn bị cắt bởi đoạn này. Thứ hai, giá trị của lực này không phụ thuộc vào khối lượng của lò xo. Khối lượng lò xo có thể lấy các giá trị khác 0. Trong trường hợp $m_0=0$ gia tốc mà lò xo thu được sẽ tiến tới vô cùng.

Sự thống nhất thu được của lò xo, lực lò xo, tỷ lệ thuận với sự thống nhất này: $F=k\Delta l$, trong đó $k$ là độ cứng của lò xo. Tuy nhiên, chỉ có thể tính số đọc đường kính bằng công thức này khi ở bất kỳ phần nào của lò xo

44

cùng một lực đàn hồi phát sinh. Đây chính xác là tình huống xảy ra trong trường hợp các lực có độ lớn bằng nhau tác dụng lên cả hai đầu của điểm đến (ví dụ: khi một lực $F$ tác dụng lên một đầu của điểm đến và đầu kia được cố định).

Trong trường hợp chuyển động có gia tốc của chúng ta, lực đàn hồi đến ở các phần khác nhau của các điểm tới là khác nhau. Điều này có nghĩa là độ giãn dài của các phần riêng lẻ và các phần đến, do đó phát sinh lực đàn hồi tương ứng, là khác nhau.

Để tính toán sự mở rộng của tất cả các lượt đến, lý do sau đây được sử dụng. Chúng tôi sẽ chia thu nhập chưa phân phối thành $N$ phần bằng nhau. Chúng ta hãy xem xét một phần của giáo xứ được tách ra khỏi đầu tự do $i$ của nó theo từng mảnh (Hình 3). Lực $T_i$ mà vùng được chọn tác dụng lên các mảnh $i$ này có khối lượng $\frac{m_0}{N} i$ truyền cho chúng một gia tốc $a = F_0/m_0$; kể từ đây,

$$T_i = \frac{i}{N} m_0 a = \frac{i}{N} F_0.$$

Lực lượng tuyệt đối tương tự tác động lên khu vực đã chọn của giáo xứ. Cho lực $T_{i+1}$ tác dụng lên phần này từ bên phải. Sau đó

$$T_{i+1} - T_i = m_i a = \frac{F_0}{N}.$$

Khi $N$ tăng, giá trị $F_0/N$ giảm và với $N$ đủ lớn, chúng ta có thể giả sử rằng $T_{i+1} - T_i \approx 0$, tức là $T_{i+1} \approx T_i = \frac{i}{N} F_0$. Nói cách khác, với $N$ lớn chúng ta có thể giả sử rằng

$$T_i = \frac{F_1 - F_2}{N} i + F_2 = kN \cdot \Delta l_i.$$

Phần mở rộng của một phần như vậy bằng

$$\Delta l_i = \frac{(F_1 - F_2)i + F_2N}{kN^2}.$$

Vì vậy, việc mở rộng tất cả những điều sắp tới

45

vợ bằng

$$\Delta l = \sum_{i=1}^{N} \Delta l_i = \frac{1}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} (F_1 - F_2) i + F_2 N =$$

$$= \frac{F_2}{kN} + \frac{F_1 - F_2}{kN^2} \sum_{i=1}^{N} i = \frac{F_1 - F_2}{2k}$$

(vì $N$ vẫn rất lớn).

Bây giờ chúng ta sẽ chuyển từ một lò xo đơn giản sang một thước đo đường kính. Chúng ta hãy nhớ một máy đo đường kính trường học đơn giản là gì. Đây là một lò xo có thể tháo rời có tiếng kêu, được gắn vào thân bằng một cái cân gắn vào nó (Hình 5). Vì vậy, các điều kiện của bài toán đầu tiên của chúng ta có thể được xây dựng như sau:

Máy đo đường kính nằm trên bề mặt ngang chính. Một lực $F_1$ tác dụng lên cơ thể nó và một lực $F_2$ tác dụng lên lò xo (đối với tiếng hét). Đường kính sẽ cho thấy điều gì?

Để biểu thị số chỉ của đồng hồ đo đường kính, chúng ta hãy tưởng tượng nó dưới dạng một hệ thống như trong Hình 6. Hình lập phương bên trái là thân của đồng hồ đo đường kính; khối lượng của nó là $m_1$. Lò xo bên phải là lò xo có đường kính; khối lượng của nó là $m_2$. Viết phương trình chuyển động của vật và lò xo:

$$T - F_1 = m_1 a,$$

$$F_2 - T = m_2 a,$$

trong đó $a$ là gia tốc mà máy đo đường kính di chuyển.

Từ các phương trình này người ta tìm thấy

$$T = F_2 - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{m_1 + m_2}.$$

Hai lực tác dụng lên đường kính ngoài của đường kính - $F_2$ và $T$, với $T < F_2$. Và độ giãn của lò xo trong trường hợp này, như chúng tôi đã tìm ra, bằng $\Delta l = \frac{T + F_2}{2k}$. Thay thế giá trị tìm được $T$, ta được

$$\Delta l = \frac{F_2}{k} - \frac{(F_2 - F_1) m_2}{2k(m_1 + m_2)}.$$

Từ biểu thức này, rõ ràng rằng tại $m_2 = 0$ (nghĩa là, trong trường hợp khối lượng của lò xo có thể bỏ qua) độ dãn của lò xo bằng $\Delta l = F_2/k$.

Vì vậy, kết quả thảo luận của chúng tôi như sau: độ giãn của lò xo, và do đó số chỉ của máy đo đường kính, không chỉ phụ thuộc vào độ lớn của lực tác dụng lên vật và lò xo mà còn phụ thuộc vào khối lượng của vật và đường kính của lò xo. Điều đó là không đủ. Dấu hiệu phụ thuộc vào lực $F_1$ và $F_2$ được tác dụng (vào vật hoặc vào lò xo). Nếu chúng ta đặt lực bài toán $F_1$ và $F_2$ vào các vị trí đang xét thì số đọc sẽ thay đổi. (Hãy tự kiểm tra xem đây có thực sự là trường hợp không.)

Chúng tôi đi đến kết luận rằng bài toán, được hình thành ở phần đầu của bài báo, không thể giải được một cách chặt chẽ cho đến khi xác định được khối lượng của vật và đường kính của lò xo. Và đáp số mà chúng tôi đưa ra ngay từ đầu là không chính xác. Để xác minh điều này một lần nữa, hãy quyết định bài toán sử dụng dữ liệu thực tế điển hình của máy đo đường kính trường học mà bạn quen thuộc.

Danh sách độc giả đã gửi lời giải bài toán đã sửa từ Sách Vấn đề “Kvat”

(Để bắt đầu, xem trang 35)

(Kirovakan) 27; A. Melnik (Zhytomyr) 27; E. Melnitsuk (Chernivtsi) 25, 27; O. Merkulov (Murom) 25; S. Milovanov (Zaporozhye) 23, 25, 27; A. Mitko (Gomel) 31; S. Mikhailovsky (làng Kontsogye, vùng Arkhangelsk) 19, 23, 28; M. Moilsky (Zaporozhye) 18, 21; P. Mutalev (Jizzakh) 25; M. Naylovzin (Baku) 18, 19, 23, 27, 28, 31; A. Nayden (Berlin, CHDC Đức) 23; A. Nikolaev (Cheboksary) 25; A. Nozin (Minsk) 18, 21, 23; S. Obocheuv (Leningrad) 25, 27, 31; A. Ospinov (Sosnovy Bor) 25, 29, 31, 32; I. Osovyak (làng V. Dederkaly, vùng Terpopol) 23; Yu. Ostapuk (Zdolnov) 31; Yu. Pavlov (Leningrad) 18, 23, 27; A. Pavlove (Riga) 19, 25, 27, 28,

31; D. Pastukhov (Chelyabinsk) 18; S. Pashenko (Kyiv) 18, 19, 21, 23, 25, 27, 28; A. Pelekh (Kazatyn) 18, 21, 23, 25, 27, 28; V. Penteov (Kyiv) 19—23, 28, 31; V. Petrov (Sverdlovsk) 27; I. Pikovsky (Kyiv) 19, 21; S. Pshenin (Chernivtsi) 28, 31; S. Pogorlov (Kyiv) 27; G. Pode (Voroshilograd) 27; G. Podchurski (Balti) 31; A. Polissky (Kyiv) 18, 21; E. Polykov (Kalinerrad, khu vực Moscow) 18; A. Ponomarenko (Kyiv) 18, 21, 23; A. Posmetoko (Minsk) 25; V. Potyltsin (p/o Savinskoye, vùng Arkhangelsk) 25, 27; O. Potyltsina (Zhukovsky) 25, 27; V. Prililko (Kyiv) 28; K. Protasov (Moscow) 27; O. Raitsev (Kyiv) 23, 25, 27; I. Reshetov (Melitopol) 27; G. Rozikyan (Yerevan) 23; E. Rozman (Kyiv) 25, 31; I. Salakhov (Tashkent) 18; A. Salanov (Novopolyuk) 18, 25, 31; Yu. Samokhin (Moscow) 25, 27;

(Cuối cùng xem trang 50)

46

Dao động

Chúng ta gặp phải sự do dự ở khắp mọi nơi. Ví dụ, đây là sự rung động của các nam châm khác nhau và vảy của nhạc cụ, phân tử khí trong sóng âm và phân tử chất lỏng trong sóng biển. Chuyển động dao động được thực hiện bởi các nguyên tử trong chất rắn và bởi các electron là một phần của nguyên tử. Sự dao động của điện tích và dòng điện xảy ra trong các mạch của radio và tivi. Theo các định luật tương tự, hướng của điện trường và trường cảm ứng trong sóng điện từ thay đổi.

Điều đáng kinh ngạc nhất là tất cả những hiện tượng vật lý hoàn toàn khác nhau này đều được mô tả bằng cùng một phương trình toán học, nghĩa là chúng tuân theo một định luật duy nhất. Với quan điểm này, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ về hệ thống dao động đơn giản nhất. Chúng ta sẽ giới hạn chỉ xem xét các dao động tự do, khi không có tác động bên ngoài nào lên hệ dao động, các tham số của hệ và các điều kiện xảy ra dao động không thay đổi theo thời gian.

Chúng ta sẽ bỏ qua sự tổn thất năng lượng trong hệ dao động, nghĩa là chúng ta sẽ giả sử rằng tổng năng lượng của hệ không đổi. Tất nhiên, đây là một sự lý tưởng hóa, nhưng nếu tổn thất năng lượng nhỏ hơn đáng kể so với tổng năng lượng của hệ thống, thì các dao động khi thực hiện hệ thống trong một thời gian đủ dài sẽ khác rất ít so với các dao động của hệ thống lý tưởng hóa.

Bài toán 1. Một tải trọng khối lượng m đặt trên mặt ngang chính được gắn vào một bức tường cố định bằng một lò xo cứng k (Hình 1, a). Tải được dịch chuyển khỏi vị trí cân bằng 00′ một lượng A₀ và được thả ra với tốc độ ban đầu. Tìm thấy:

1. độ dịch chuyển của tải trọng khỏi vị trí cân bằng theo thời gian; 2) sự phụ thuộc thời gian của tốc độ tải; 3) sự phụ thuộc theo thời gian của động năng của tải trọng và thế năng của lò xo; 4) động năng trung bình (mỗi chu kỳ) và thế năng trung bình của một hệ thống nhất định.

2. Giả sử tại một thời điểm t tải ở một điểm có tọa độ x (Hình 1, b). Hãy viết phương trình chuyển động của tải dọc theo trục X. Theo hướng này chỉ có một lực tác dụng lên tải trọng - lực đàn hồi của lò xo $\vec{F}$ hướng về vị trí cân bằng ($x=0$). Hình chiếu của lực này là $F=-kx$ nên phương trình chuyển động của tải trọng có dạng

Hình 1.
Hình 2.

47

$$ma = -kx,$$

(1)

trong đó $a$ là hình chiếu gia tốc của tải tại một thời điểm nhất định. Xét gia tốc là tọa độ tùy ý thứ hai trong thời gian $(a = x'')$, ta viết lại phương trình (1) như sau:

$$x'' + \frac{k}{m} x = 0,$$

hoặc, biểu thị hệ số không đổi $\frac{k}{m}$ bằng $\omega_0^2$, -

$$x'' + \omega_0^2 x = 0.$$

(2)

Phương trình thu được mô tả dao động điều hòa của tải, tức là các dao động trong đó độ dịch chuyển của tải khỏi vị trí cân bằng thay đổi theo thời gian theo định luật

$$x = x_m \cos (\omega t + \varphi_0).$$

(3)

Biểu thức (3) là nghiệm của phương trình (2). Ở đây $x_m$ là biên độ, $\omega$ là tần số tròn, $(\omega t + \varphi_0)$ là pha và $\varphi_0$ là pha ban đầu của dao động.

Để tìm tần số tròn, thay lời giải (3) vào phương trình (2):

$$-x_m \omega^2 \cos (\omega t + \varphi_0) + \omega_0^2 x_m \cos (\omega t + \varphi_0) = 0,$$

hoặc

$$x_m \cos (\omega t + \varphi_0) \cdot (\omega_0^2 - \omega^2) = 0.$$

Đẳng thức này có giá trị tại bất kỳ thời điểm nào $t$, nếu $x_m = 0$ hoặc $\omega_0^2 - \omega^2 = 0$. Vì biên độ dao động không thể bằng 0 nên nó vẫn

$$\omega_0^2 - \omega^2 = 0,$$ hoặc $\omega = \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Chúng ta đã thu được một kết quả rất quan trọng: hệ số của $x$ trong phương trình (2) không khác gì bình phương tần số dao động tròn.

Bây giờ chúng ta hãy tìm biên độ dao động và pha ban đầu. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng các điều kiện ban đầu: tại thời điểm $t = 0$ độ dịch chuyển $x = A_0$ và tốc độ, là tọa độ tùy ý đầu tiên trong thời gian, $v = x' = 0$. Từ điều kiện thứ hai, chúng ta thu được $\varphi_0 = 0$ và từ điều kiện thứ nhất, $x_m = A_0$.

Như vậy, hỗn hợp hàng hóa thay đổi theo thời gian theo quy luật

$$x = A_0 \cos \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Hình 3.

2. Vận tốc (chính xác hơn là hình chiếu của nó) là tọa độ tùy ý đầu tiên trong thời gian, vì vậy nó phụ thuộc vào thời gian:

$$v = -A_0 \sqrt{\frac{k}{m}} \sin \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Đồ thị $x = x(t)$ và $v = v(t)$ được thể hiện ở Hình 2.

3. Động năng của tải tại một thời điểm tùy ý $t$ bằng

$$E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t,$$

và thế năng của lò xo là

$$E_\pi = \frac{kx^2}{2} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t.$$

Hình 3 thể hiện các đồ thị tương ứng.

4. Giá trị trung bình (trong mỗi chu kỳ) của động năng và thế năng bằng các giá trị tương ứng.

$$\overline{E_k} = \frac{A_0^2 k}{2} \sin^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

Và

$$\overline{E_\pi} = \frac{A_0^2 k}{2} \cos^2 \sqrt{\frac{k}{m}} t = \frac{A_0^2 k}{4}$$

— giá trị trung bình của $E_k$ và $E_\pi$ là như nhau. (Ở đây người ta sử dụng giá trị trung bình của bình phương sin trong một khoảng thời gian bằng giá trị trung bình của bình phương cosin và bằng 1/2.)

Bài tập 2. Một vòng mỏng có bán kính $r$ lăn không trượt trên mặt trong của hình trụ có bán kính $R$, tạo ra những dao động nhỏ quanh vị trí cân bằng (Hình 4). Tìm chu kỳ của các dao động này.