Kvant 1981, số 6 · Trang

QUANTUM
6
1981

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

Trung tâm của bức tranh này là câu đố dân gian Nga “sáu thanh” ở dạng bán lắp ráp $\textcircled{2}$. Khi lắp ráp $\textcircled{4}$ cấu trúc này của mỗi thanh hoàn toàn cứng nhắc, mặc dù các thanh không được dán, đập xuống hoặc bắt vít vào nhau. Không dễ để đoán được thanh nào và hướng nào bạn cần kéo để tháo rời nó.
Câu đố được tạo thành từ sáu thanh giống hệt nhau có tiết diện là hình vuông và hai đường cắt ngang $\textcircled{1}$. Sử dụng sự phát triển $\textcircled{3}$ bạn có thể tìm thấy kích thước chính xác của các vết cắt và dán các thanh từ bìa cứng mỏng hoặc làm chúng từ gỗ.
Một phiên bản khác của câu đố này, với các khối tròn, được hiển thị ở bìa trước.

V. Gamayunov, A. Kholmanskikh

1

6
1981

Được thành lập vào năm 1970

Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
HỌC VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ và VIỆN KHOA HỌC SƯ VỤ LIÊN XÔ

NHÀ XUẤT BẢN KHOA HỌC
PHÒNG BIÊN TẬP CHÍNH VĂN HỌC VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TRONG PHÒNG:

Các nhà khoa học giáo dục giới trẻ
2 V. Ambartsumyan. Nhân danh sự hưng thịnh của khoa học ở quê hương chúng ta

---

5 V. Boltyansky. Cấu trúc liên kết đồ thị
11 Y. Bruk, A. Stasenko. Phương pháp thứ nguyên đặt giải bài toán
20 A. Mikhailov. Về nhật thực nói chung và riêng về nhật thực ngày 31/7/1981

Phòng thí nghiệm «Kvant»
25 P. Kanaev. Một số thí nghiệm với quả bóng rỗng trong suốt

vòng tròn toán học
27 N. Vasiliev, T. Malikov. Hãy xem xét sự khác biệt

Vấn đề «Kvant»
31 Bài toán M686 — M690; F698 — F702
33 Lời giải bài toán M641 — M644; F657 — F662
41 Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

«Kvant» cho học sinh nhỏ
43 Bài toán
44 G. Topadze. Trong thế giới kỳ diệu của những con số

Xưởng của người nộp đơn
45 N. Beryuleva. Sự giao thoa của ánh sáng

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1980
50 Đại học bang Voronezh
51 Học viện sư phạm bang Azerbaijan
Học viện sư phạm bang 52 Kiev
53 Học viện sư phạm bang Leningrad
53 Học viện sư phạm quốc gia Mátxcơva
54 Học viện sư phạm bang Odessa
Học viện Chính trị 55 Volgograd
56 Học viện chính trị Leningrad
57 Viện Kiến trúc Mátxcơva

Thông tin
59 A. Savin. Cuộc thi toán học quốc tế dành cho học sinh
60 trang cờ vua
61 Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (10)
Tin khoa học (19)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1981

2

V. Ambartsumyan

Nhân danh sự hưng thịnh của khoa học ở quê hương chúng ta

Một trong những truyền thuyết hiện đại kể về một chàng trai trẻ từng là nhà nghiên cứu đầy tham vọng trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. Anh ta đến gặp người giám sát A của mình, một nhà khoa học nổi bật nhờ sáng kiến ​​​​khoa học to lớn và tư tưởng độc đáo, và nhận được từ anh ta một chủ đề cho nghiên cứu đầu tiên của mình và gợi ý nơi bắt đầu thực hiện chủ đề được đề xuất.

Chàng trai lên máy bay và bay đến thành phố nơi một nhà khoa học nổi tiếng khác sinh sống, V., người nổi tiếng với khả năng sâu sắc trong việc sử dụng bộ máy toán học trong vật lý lý thuyết. Chàng trai trẻ mô tả cho anh ta bản chất của chủ đề và hướng mà anh ta sẽ bắt đầu phát triển nó. B thực sự thích chủ đề này, anh đánh giá cao tính độc đáo của nó và sự lựa chọn đúng đắn về hướng đi của những bước đi đầu tiên. Hơn nữa, với khả năng nghiên cứu kỹ thuật hoàn hảo, ông đã tư vấn chính xác cách tốt nhất để thực hiện phần đầu tiên này của công việc. Sau khi chuyển tất cả những điều này ra giấy, chàng trai trẻ lang thang đến thành phố thứ ba, nơi anh ta sống với sự uyên bác về mặt lý thuyết trong cùng khu vực. Người lý thuyết rất hài lòng với chủ đề cũng như cách thực hiện các bước đầu tiên, đồng thời kể về những sai lầm mà các nhà khoa học khác khi nghiên cứu các vấn đề tương tự đã mắc phải trong thời gian trước đó, đồng thời đưa ra một số lời khuyên có giá trị. Chàng trai quay lại A và báo cáo kết quả đạt được. Rất hài lòng với thành công của một chàng trai trẻ thực sự, Và với sự hài lòng, anh ấy đã đưa ra lời khuyên về cách vượt qua những khó khăn tiếp theo và tiến về phía trước.

Chàng trai trẻ dám nghĩ dám làm đã nhiều lần lặp lại lời khuyên của các chuyên gia tư vấn. Kết quả là một tác phẩm nguyên bản, xuất sắc về mặt kỹ thuật và sự uyên bác, nhờ đó ông đã được trao tất cả các bằng cấp và danh hiệu mà một nhà vật lý có thể nhận được.

Viện sĩ Viktor Amaazpovich Ambartsumyan - hai lần Anh hùng Lao động xã hội, người đoạt Giải thưởng Nhà nước, Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Armenia, giám đốc Đài quan sát vật lý thiên văn Bioprascan.

Bài viết được in lại với những chữ viết tắt nhẹ từ tuyển tập “Lenin. Khoa học. Tuổi trẻ”, do nhà xuất bản Nauka xuất bản năm 1980.

3

Truyền thuyết chỉ thêm một chi tiết. Trong cuộc trò chuyện với từng chuyên gia tư vấn, nhà khoa học trẻ không nói về sự giúp đỡ nhận được từ hai người còn lại. Từ chi tiết này, các tác giả của truyền thuyết đã rút ra một kết luận xứng đáng với người anh hùng của nó.

Tham gia đầy đủ vào nhận thức đạo đức này, tôi đồng thời muốn lưu ý rằng về cơ bản, chàng trai trẻ đã thể hiện một số phẩm chất mà bản thân chúng không những không chứa đựng điều gì tích cực mà còn hữu ích cho nhiều nhà tổ chức khoa học.

Thật vậy, sẽ tốt biết bao nếu có nhiều người biết cách làm nghèo đi dịch vụ khoa học của các nhà khoa học thuộc nhiều loại khác nhau, quen với việc làm việc tách biệt với nhau, và làm điều này không phải vì lợi ích “riêng tư” hay nghề nghiệp nào đó mà là vì nhiệm vụ của những người tổ chức khoa học.

Hiển nhiên họ tin rằng người tổ chức khoa học phải lựa chọn đối tượng nghiên cứu, hỗ trợ nhân sự cần thiết, phân công công việc giữa họ, cung cấp máy móc cho họ và tìm cách áp dụng công trình đã hoàn thành vào cuộc sống. Tất nhiên, người tổ chức khoa học cần có khả năng làm được tất cả những điều này.

Tuy nhiên, người ta tin rằng điều cần thiết là anh ta phải có khả năng chủ động so sánh suy nghĩ của các tác giả khác nhau với nhau, làm nghèo đi kiến ​​​​thức của họ và đi sâu vào bản chất suy nghĩ của họ, xây dựng bộ não khoa học làm suy yếu khả năng sáng tạo đa dạng của các nhà khoa học khác nhau.

Đồng thời, trong công việc của người tổ chức như vậy sẽ có nhiều yếu tố sáng tạo.

Điều này có nghĩa là nếu những người trẻ có khả năng như người anh hùng trong truyền thuyết được đưa đi theo con đường đúng đắn thì việc tổ chức khoa học sẽ mang lại lợi ích.

Tôi biết đến truyền thuyết trên ngay trước khi đưa đường dây điện thoại lớn mới của Đài quan sát vật lý thiên văn Bioprakan vào hoạt động, vào thời điểm mà bản thân tôi đang rất cần lời khuyên khoa học. Sau những thử nghiệm đầu tiên, cần phải bắt đầu loạt ảnh biểu tượng đầu tiên về bầu trời bằng thiết bị mới. Được biết rằng hai nhân viên trẻ không có bằng cấp học thuật, Armen Gyulbudaghyan và Tigran Magakyan, vừa hoàn thành thành công bản đồ Nhật Bản về tập bản đồ bầu trời Palomar nổi tiếng về các tinh vân sao chổi rất mờ chưa được các nhà thiên văn học khác phát hiện, tôi đã quay sang họ với yêu cầu hiển thị những vật thể thú vị nhất trong số các tinh vân được phát hiện để đưa vào chương trình Điện thoại Nagorago. Và họ cho tôi xem một vật thể trong tập bản đồ, bề ngoài của nó hoàn toàn không điển hình đối với tinh vân sao chổi. Cái sau hứa hẹn sẽ thu hút sự chú ý bởi sự hiện diện của một cái đuôi, hay còn gọi là “quạt”, tựa đỉnh của nó vào ngôi sao. Ở đây chỉ có một ngôi sao, không có quạt và chỉ ở một khoảng cách đáng kể so với ngôi sao mới có một “cuống” phát sáng yếu, sự kết nối của nó với ngôi sao dường như có vấn đề. Lúc đầu thất vọng với ấn tượng của mình, tôi bắt đầu phản đối, nhưng, cảm thấy tin tưởng của nhân viên về sự cần thiết phải nghiên cứu đối tượng này, tôi đã nhượng bộ và đồng ý đưa nó vào chương trình. Nửa cuối ngày, sau khi họ rời đi, tôi tự trách mình vì sự mềm yếu và phục tùng của mình.

Hai ba hôm sau tôi nhận được SIM của đối tượng này, nhận trên một chiếc điện thoại lớn. “Sơ khai” phát sáng đã không còn ở đó nữa. Trong hai thập kỷ sau Palomar Atlas, nó biến mất, nhưng ngôi sao nằm cạnh một chiếc quạt sáng của Nga, thứ chưa từng tồn tại trước đây và các chi tiết về cấu trúc của nó vẫn được nhìn thấy rõ ràng. Bản thân ngôi sao cũng đã thay đổi. Độ sáng của nó tăng lên rất nhiều và màu sắc của đầu trở nên đỏ. Đối với Đài quan sát của chúng tôi và đối với toàn bộ ngành thiên văn học của chúng tôi, đây là một khám phá đáng mừng vì mối quan tâm của chúng tôi ngày càng tập trung vào hiện tượng biến đổi vật thể và tính không cố định của chúng. Mặc dù sự biến đổi cũng đã được quan sát thấy ở một số tinh vân sao chổi (trong hàng trăm năm qua, có lẽ bốn hoặc năm

4

trường hợp có sự thay đổi đáng kể), nhưng vẫn chưa có ví dụ nào về những thay đổi lớn như vậy. Các hệ thống khác trong khu vực bầu trời này ngay lập tức được trích xuất từ ​​kho lưu trữ của Đài quan sát và bức tranh về những thay đổi trong gần 20 năm đã được khôi phục. Việc tiếp tục quan sát trên điện thoại mới, nghiên cứu quang phổ của vật thể này để có kết quả giao thoa.

Không phải truyền thuyết kể trên, mà chính sự việc có thật gắn liền với tên tuổi của hai nhà vật lý thiên văn trẻ tuổi mới là đặc điểm trong hành vi của giới trẻ khoa học Liên Xô chúng ta.

Suy ngẫm về những truyện ngắn nêu trên cho tôi có lý do để bày tỏ một số mong muốn đến với các bạn trẻ theo đuổi khoa học.

Trước hết tôi muốn chúc cô ấy dũng cảm và sẵn sàng đối mặt với mọi thay đổi của cuộc sống và khoa học, mọi khó khăn, bất ngờ sắp tới. Cần phải có lòng dũng cảm, và lòng can đảm hơn nữa.

Yêu cầu thứ hai, tôi đặt tên là sự quan tâm, sự quan tâm và yêu thích sâu sắc đối với khoa học cũng như sự cống hiến cho nó dựa trên tình yêu này. Nếu bạn không cống hiến hết mình cho khoa học, bạn có thể dễ dàng trở thành một kẻ thất bại trong khoa học.

Nhưng sự quan tâm và thậm chí chỉ tình yêu thôi thì chưa đủ. Khoa học đòi hỏi khả năng. Tôi tin rằng một người có thể phát triển những khả năng mình có, nhưng anh ta cần có thứ gì đó để phát triển.

Tuy nhiên, ngay cả tất cả những phẩm chất này gộp lại vẫn chưa đủ. Phải mất rất nhiều công sức. Đối với bất kỳ ai có ý định giới hạn công việc của mình trong thời gian chính thức (chẳng hạn như tám giờ một ngày), tôi khuyên bạn không nên đi sâu vào khoa học. Nếu không, anh ta có nguy cơ trở thành kẻ bám đuôi cô.

Thực tế là lượng kiến ​​thức tích lũy được trong khoa học tăng lên nhanh chóng theo thời gian. Nhưng điều này có nghĩa là khối lượng tài liệu khoa học mà chúng ta phải nắm vững đang tăng lên với tốc độ tương tự. Cũng cần nói thêm rằng việc vượt qua con đường nghiên cứu đòi hỏi bạn không ngừng mở rộng tầm nhìn và thu hút kiến ​​thức từ những lĩnh vực ngày càng tách biệt với chuyên môn của bạn. Tất cả điều này đòi hỏi phải làm việc tập trung và đầu tư rất nhiều thời gian. Sự hợp tác giữa đại diện của các chuyên ngành khác nhau và khả năng làm việc theo nhóm ngày càng trở nên quan trọng.

Nhưng điều này là không đủ. Ở mỗi giai đoạn, một nhà khoa học trẻ phải có khả năng xác định mình nên đi theo hướng nào, vị trí nào trong hệ thống công tác khoa học tổng thể và làm thế nào để tìm ra cái tối ưu bằng cách sử dụng năng lực và khả năng của mình. Tất nhiên, ở đây mọi thứ đều phụ thuộc vào những điều kiện cụ thể thịnh hành trong một thời đại nhất định và trong một lĩnh vực khoa học nhất định. Nhưng lời giải ông chọn sẽ càng đúng, ông càng tính đến lợi ích của đất nước và khoa học của nó.

Và một lời khuyên nữa: trong khoa học, điều quan trọng là phải đánh giá chính xác điểm mạnh của mình. Việc đánh giá thấp họ là vô cùng có hại, nhưng việc đánh giá quá cao cũng rất nguy hiểm. Tuy nhiên, bạn nên lạc quan để không bị mất khả năng trước những phần khoa học có thể và thậm chí không thành công. Bạn cần có khả năng sử dụng những thất bại và tìm ra những bài học quý giá từ chúng.

Vì vậy, hãy học không ngừng, học đến giờ cuối cùng của cuộc đời, làm việc và làm việc cho đến khi tự hủy hoại bản thân, nhưng vẫn không bao giờ quên điều cốt yếu: bạn đang làm việc cho Tổ quốc, vì sự hưng thịnh của nó, vì khoa học của nó.

5

V. Boltyansky

Cấu trúc liên kết đồ thị

Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Andre Weil từng nói rằng “ác quỷ của đại số trừu tượng và thiên thần của cấu trúc liên kết” đang đấu tranh giành lấy tâm hồn của mỗi nhà toán học. Trong bài viết về đồ thị này, chúng ta sẽ chủ yếu lắng nghe tiếng nói của thiên thần cấu trúc liên kết, mặc dù ác quỷ dễ giúp đỡ cũng sẽ có tiếng nói của mình.

Đồ thị (hữu hạn) là tập hợp các điểm (đỉnh của đồ thị) được kết nối - trên mặt phẳng hoặc trong không gian - bởi một số hữu hạn các cung (cạnh của đồ thị) và các cung chỉ cắt nhau tại các đỉnh *) (Hình 1).

Trong hầu hết bài viết, điều quan trọng đối với chúng ta là đồ thị là một hình nhất định (tập hợp tất cả các điểm của các cung); các điểm được chọn của hình này là

*) Trong lý thuyết đồ thị nói chung, một định nghĩa hơi khác - “trừu tượng” - về đồ thị được chấp nhận (xem «Kvant», 1981, Số 3, trang 18).

các đỉnh - chúng ta thường bỏ qua chúng.

Những đồ thị nào giống nhau?

Thiên thần của cấu trúc liên kết coi các đồ thị hình học là giống hệt nhau - những đồ thị như vậy $G_1$ và $G_2$ trong đó có ánh xạ liên tục (không có điểm gián đoạn) và nghịch đảo (không có sclive) $h$: $G_1 \rightarrow G_2$ đặt $G_1$ trên toàn bộ tập hợp $G_2$ (ánh xạ như vậy được gọi là hình học*)).

*) Khi xác định tính hình học của một hình tùy ý, tính liên tục của ánh xạ nghịch đảo $h^{-1}$ cũng được yêu cầu (đối với đồ thị hữu hạn, nó được thực hiện tự động, điều mà thiên thần của cấu trúc liên kết đã bảo chúng ta để lại mà không cần chứng minh).

6

Từ định nghĩa này, ta suy ra rằng hai đồ thị hình học, đặc biệt, nếu, bằng cách uốn cong và kéo dài các cạnh như mong muốn, nhưng không cho phép ngắt quãng và các đồ thị slivian, thì một trong số chúng có thể được xếp chồng lên nhau. Hình 2, $a$ cho thấy cách chuyển một hình tròn thành hình số tám; tuy nhiên, điều này không có nghĩa là hình tròn và số tám là hình học (xét cho cùng, trong quá trình biến đổi này, hai điểm đã bị nén lại với nhau). Một hình tròn cũng có thể biến thành nửa hình tròn, nhưng để làm được điều này, nó cần phải được xé ra và chỉ sau đó mới làm thẳng lại. Vì không được phép có sự gián đoạn nên sự biến đổi như vậy sẽ không có tính chất hình học; Ngoài ra, semiperval không phải là một biểu đồ. Và đây là đường viền của một hình tam giác và đường viền của hình vuông, và cả hai đều là hình học của một hình tròn, như trong Hình 2, $6$.

Lưu ý rằng không phải lúc nào cũng có thể, như trong ví dụ này, nhận ra ánh xạ hình học $h$: $G_1 \rightarrow G_2$ bằng cách uốn cong, kéo dài và cuộn các đồ thị trong chính không gian. Do đó, một cặp vòng tròn lồng vào nhau (Hình 3) không được lồng vào nhau, mặc dù trong không gian không thể tách chúng ra mà không làm gãy chúng.

Như ví dụ về hình tam giác và hình vuông cho thấy, trong hình học, đỉnh không nhất thiết phải biến thành đỉnh. Chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau.

Ví dụ 1. Hãy tưởng tượng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga ở dạng dòng. Các chữ cái G, L, M, P, S có tính chất hình học với nhau. Các chữ cái E, U, T, Ch, Sh, C, E cũng có tính hình học với nhau, nhưng không hình học với các chữ cái đã đề cập trước đó. Chữ O không phải là hình học

không có chữ cái nào khác trong bảng chữ cái tiếng Nga *).

Thật tôn trọng khi so sánh khái niệm hình học hóa và khái niệm khả năng xây dựng của các hình. Trong hình học, các chuyển vị được xem xét, tức là các ánh xạ bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Hai hình được chuyển đổi thành một hình khác (“kết hợp”) bằng cách dịch chuyển được gọi là tắc nghẽn và được coi là giống hệt nhau (theo quan điểm hình học). Các nhà tôpô xem xét các ánh xạ tổng quát hơn các chuyển vị, cụ thể là các ánh xạ hình học, có thể không bảo toàn khoảng cách mà chỉ bảo toàn tính liên tục của việc sắp xếp các điểm trong hình (không cho phép ngắt quãng và phân đoạn). Do đó, hai hình hình học được coi là giống hệt nhau (từ quan điểm tôpô).

Những bất biến đơn giản nhất

Các tính chất của hình được bảo toàn trong quá trình chuyển đổi từ hình sang hình hình học được gọi là tính chất tôpô của hình, hay bất biến tôpô (từ tiếng Latin bất biến - không thay đổi). Cấu trúc liên kết là nghiên cứu về các đặc tính cấu trúc liên kết của các hình.

Thông thường, các bất biến tôpô là số (hoặc các đối tượng đại số khác) được sử dụng, vì

7

thật thuận tiện để xử lý những bất biến như vậy. Chúng được sử dụng chủ yếu cho lời giải bài toán dường như vô vọng: để chứng minh rằng hai hình $A$ và $B$ không phải là hình học.

Thật vậy, để chứng minh rằng điều gì đó có thể được tha thứ (trong trường hợp của chúng tôi là phép hình học $h: A \rightarrow B$), chỉ cần đưa ra một phiên bản của cách xây dựng này là đủ. Làm thế nào bạn có thể chứng minh rằng một cái gì đó không thể được xây dựng? Để làm điều này, bạn cần phải xem qua tất cả các phương án xây dựng có thể có (đối với chúng tôi - ánh xạ $h: A \rightarrow B$) và kiểm tra xem không có phương án nào phù hợp (không phải là hình học). Nhưng có vô số ánh xạ chung $h: A \rightarrow B$, không thể kiểm tra hết được. Nó sẽ như thế nào?

Đây là lúc các bất biến số sẽ giúp ích. Đặt mỗi hình $A$ của lớp đang được xem xét được gán một số $q(A)$ và số tương tự được gán cho các hình địa khí tượng. Đặt các số $A$ và $B$ sao cho $q(A) \neq q(B)$. thì chúng không thể là hình học, không thể xây dựng được hình học $h: A \rightarrow B$!

Sự đơn giản đáng kinh ngạc của lý luận này ẩn chứa chiều sâu và tầm quan trọng của nó. Một bản in đang được tạo ra rằng anh ta đã lừa dối chúng tôi bằng cách giấu độ khó bài toán ở một nơi không xác định. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên: những bất biến đã xuất hiện - những con số ẩn giấu đằng sau con quỷ đại số trừu tượng, một kẻ xảo quyệt và chơi khăm vĩ đại.

Ví dụ 2. Chữ $B$ là một hình gồm có hai phần không liên quan với nhau. Hầu hết các chữ cái còn lại của bảng chữ cái tiếng Nga bao gồm một phần mạch lạc (ngoại trừ các chữ cái $I$, $E$). Số lượng kết nối của các “mảnh” trong đó một hình bao gồm (còn gọi là số thành phần của một hình) là một bất biến tôpô. Do đó, chữ cái $B$ không có tính chất hình học, chẳng hạn như chữ cái $O$, chữ cái $П$, chữ cái $Ц$, v.v.

Ví dụ 3. Trên hình 8 (Hình 4, $a$) có một điểm $x$ mà sau khi loại bỏ nó (Hình 4, $b$) chúng ta được một hình không mạch lạc (chứa nhiều hơn một thành phần). Điểm có thuộc tính này được gọi là điểm phân tách của hình. Không có điểm nào của hình tám ngoài $x$ là điểm phân tách (Hình 4, $b$).

Nếu điểm $x$ của hình $A$ là điểm phân vùng, thì nó vẫn như vậy đối với bất kỳ hình học nào của hình $A$, tương tự đối với điểm không phân vùng. Do đó, số điểm chia của một hình đã cho là bất biến tôpô của nó và số điểm không chia cũng là bất biến tôpô.

Bài toán

1. Đối với mỗi chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga, hãy cho biết nó chứa bao nhiêu dấu chấm ngắt và không ngắt. Chứng minh rằng các chữ cái $O$, $Г$, $T$, $B$ không phải là hình học theo cặp.

2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đều tồn tại một hình chứa số điểm chia $n$ bằng nhau và một hình chứa số điểm không chia bằng $n$.

Ví dụ 4. Cho $A$ là một đồ thị và $x$ đỉnh của nó. Số cạnh của đồ thị $A$ hội tụ thành $x$ được gọi là chỉ số của đỉnh $x$ trong đồ thị $A$ (trong trường hợp này, netla - một cạnh có đầu và cuối ở cùng một đỉnh $x$ - được tính là hai cạnh hoặc được bao gồm trong $x$ với cả hai đầu của nó). Trong Hình 5, các đỉnh $a, b, c, d$ có chỉ số lần lượt là 1, 2, 3, 4. Số đỉnh có chỉ số $n \neq 2$ có trong đồ thị là bất biến tôpô. Tại sao chúng ta phải loại trừ các đỉnh ở chỉ số 2?

Bài toán

3. Chứng minh rằng các chữ cái $IO$ và $Ф$ không phải là hình học. Không được chỉ định. Lợi dụng thực tế là số đỉnh tại chỉ số $k (k \neq 2)$ là bất biến.

4. Hình thành điều kiện cần và đủ điều kiện, theo đó một hình gồm một số hữu hạn cung là hình học của một đường tròn.

5. Đặt $G$ là một đồ thị. Bằng $a_k(G)$ chúng ta biểu thị số đỉnh của biểu đồ này có chỉ số $k$. Chứng minh rằng số cạnh của đồ thị là $G$

8

Phải

$$\frac{1}{2} (a_1(G) + 2a_2(G) + 3a_3(G) + \dots).$$

6. Chứng minh rằng trong mọi đồ thị số đỉnh có chỉ số lẻ là số chẵn.

Địa điểm Königsberg

Một đồ thị được gọi là một đường (hoặc Euler) nếu nó có thể được “vẽ bằng một nét”, nghĩa là, nó có thể được đi khắp nơi trong một chuyển động liên tục mà không đi qua cùng một cạnh hai lần. Tính chất của đồ thị là đơn hướng rõ ràng là một bất biến tôpô. Tuy nhiên, bất biến tôpô này không phải là mới mà được thể hiện thông qua khái niệm chỉ số đỉnh (xem bài toán 9).

Bài toán

7. Chứng minh rằng nếu mỗi đỉnh của đồ thị có chỉ số không thay đổi bằng 2 thì từ các cạnh của đồ thị này có thể dựng được một đường thẳng đồng cấu thành một đường tròn.

8. Chứng minh rằng nếu tất cả các đỉnh của một đồ thị liên thông có chỉ số chẵn thì đồ thị này có thể được “vẽ bằng một nét”, bắt đầu từ một đỉnh tùy ý và quay về cùng một đỉnh đó.

9. Chứng minh rằng một đồ thị liên thông là một đồ thị khi và chỉ khi nó chứa nhiều nhất hai đỉnh có chỉ số lẻ.

Liên quan đến đồ thị một chiều là bài toán về các địa điểm ở Königsberg, được Euler xem xét. Vào thời điểm đó ở Königsberg có bảy địa điểm bên kia sông Pregel (Hình 6, a). Bài toán là để tìm hiểu xem liệu có thể, khi đi dạo quanh thành phố, đi qua mỗi nơi đúng một lần hay không. Hãy so sánh một biểu đồ nhất định với quy hoạch thành phố: đỉnh L biểu thị bờ trái, Π - bờ phải, A và B - đảo và các cạnh của biểu đồ tương ứng với các địa điểm (Hình 6, b). Trong biểu đồ này, cả bốn đỉnh đều có chỉ số lẻ. Do đó, đồ thị không phải là đồ thị đơn hướng và do đó tuyến đường yêu cầu không tồn tại.

Bài toán

10. Chứng minh rằng bằng cách thêm một địa điểm nữa (nơi góc nằm trong sơ đồ Hình 6, a), chúng ta sẽ có được một bản đồ thành phố mà theo đó chúng ta có thể đi qua từng địa điểm một lần.

11. Đồ thị đầy đủ là đồ thị không có vòng lặp trong đó hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng đúng một cạnh. Trong trường hợp nào một đồ thị hoàn chỉnh là đơn hướng?

Cách xây dựng biểu đồ được kết nối

Bất kỳ đồ thị nào cũng có thể được “xây dựng” bằng cách thêm hết cạnh này đến cạnh khác (tất nhiên, các đỉnh của đồ thị cũng cần được đánh dấu). Việc đánh số các cạnh của đồ thị ở Hình 7 được chọn sao cho khi vẽ đồ thị theo cách đánh số này luôn thu được các đồ thị liên thông. Tuy nhiên, nếu chúng ta đánh số các cạnh theo thứ tự ngược lại thì khi vẽ, ban đầu chúng ta sẽ có một biểu đồ không mạch lạc. Hóa ra trong mọi đồ thị liên thông đều có cách đánh số các cạnh nên khi vẽ đồ thị theo cách đánh số này, luôn thu được các đồ thị liên thông. Tuyên bố này có thể được gọi là “định lý vẽ đồ thị liên thông”.

Bài toán

12. Chứng minh rằng bất kỳ đồ thị liên thông nào cũng có thể được “vẽ bằng một nét” nếu bạn cho phép mỗi đồ thị được duyệt theo chiều dọc trong một thời gian.

13. Suy ra phát biểu trước bài toán định lý về vẽ đồ thị liên thông.

9

14. Chứng minh rằng hai đỉnh bất kỳ của một đồ thị liên thông $G$ có thể được nối với $G$ bằng một chuỗi các cạnh đơn giản—một chuỗi sao cho phần giao của các cạnh của chuỗi này là một đường thẳng đồng cấu với một đoạn.

Trong rừng có bao nhiêu cây?
Đường viền trong biểu đồ là một chuỗi các cạnh khép kín, sự kết hợp của chúng được biểu thị bằng một đường đồng cấu với một đoạn (Hình 8). Biểu đồ được kết nối không chứa một đường viền duy nhất được gọi là cây (Hình 9). Hãy chứng minh rằng trong một cây bất kỳ số đỉnh và số cạnh $P$ liên hệ với nhau bởi hệ thức

$$B - P = 1.$$ (1)

Để chứng minh điều này, ta dùng quy nạp theo số cạnh $P$. Đối với $P = 1$ (cây chỉ có một cạnh và có hai đỉnh), quan hệ (1) là hợp lệ. Giả sử rằng đối với bất kỳ cây nào có $n$ cạnh, mối quan hệ (1) đã được chứng minh và đặt $G$ là cây có $n + 1$ cạnh. Vì đồ thị $G$ được kết nối nên có thể thu được nó từ một số đồ thị liên thông $G'$ bằng cách thêm một cạnh $r$. Đồ thị $G'$ chứa $n$ cạnh và cũng là một cây (tại sao?). Theo giả thuyết quy nạp, hệ thức (1) đúng với đồ thị $G'$, và do đó nó có các đỉnh $n + 1$. Bây giờ chúng ta lưu ý rằng chỉ một trong các cạnh được thêm $r$ là đỉnh của đồ thị $G'$ (nói cách khác, nhờ bài toán 14, khi thêm cạnh $r$ một đường viền sẽ xuất hiện trong đồ thị $G$ - xem Hình 10). Do đó, khi thêm cạnh $r$, một cạnh mới và một đỉnh mới sẽ xuất hiện trong biểu đồ $G$. Nói cách khác, đồ thị $G$ có $n + 2$ đỉnh và $n + 1$ cạnh, và do đó hệ thức (1) là hợp lệ cho nó. Phép quy nạp được thực hiện chứng tỏ đẳng thức (1) cho bất kỳ cây nào.

Hiệu $B - P$ được gọi là đặc tính Euler của đồ thị $G$ và được ký hiệu là $\chi(G)$. Do đó, đẳng thức (1) có nghĩa là đặc tính Euler của bất kỳ cây nào đều bằng 1.

Bài tập

15. Biểu đồ không chứa đường viền được gọi là rừng. Rõ ràng là nếu đồ thị $G$ là một khu rừng thì mỗi thành phần của nó là một cây. Chứng minh rằng nếu $G$ là rừng thì số cây “mọc” trong rừng (tức là số thành phần của đồ thị $G$) là $\chi(G)$.

16. Chứng minh rằng nếu đồ thị $G$ là một cây thì mỗi hai đỉnh của nó chỉ có thể được nối bằng một chuỗi đơn giản. Điều ngược lại có đúng không?

Cây tối đa và hệ thống hiện tại

Bây giờ giả sử $G$ là một đồ thị liên thông không phải là cây. Khi đó $G$ có đường viền; đặt $r_1$ là cạnh bất kỳ có trong đường viền này (Hình 11, a). Bằng cách loại bỏ cạnh $r_1$ khỏi $G$, chúng ta thu được một biểu đồ được kết nối $G'$ (vì các đầu của biểu đồ bị loại bỏ

10

các cạnh $r$ được kết nối trong $G'$ bằng một chuỗi đơn giản - phần còn lại của đường viền) và các đỉnh của đồ thị $G'$ giống với các đỉnh của $G$. Nếu $G'$ chưa phải là cây, tức là $G'$ cũng có đường viền (Hình 11 b), thì chúng ta có thể lấy một cạnh tùy ý $r_2$ của đường viền này và loại bỏ nó, thu được một biểu đồ cố định $G''$ có cùng các đỉnh như $G$, v.v. Vì số cạnh là hữu hạn nên quá trình này phải ở một số bước; nói cách khác, sau khi loại bỏ cạnh $r_k$ ta được một đồ thị liên thông $G^*$ chứa tất cả các đỉnh của đồ thị $G$ và không còn đường viền nữa, tức là nó là một cái cây. Đồ thị $G^*$ được gọi là cây cực đại của $G$ và các cạnh $r_1, r_2, ..., r_k$ phải bị loại bỏ khỏi $G$ để có được cây cực đại $G^*$ được gọi là cầu nối.

Nếu $B$ là số đỉnh trong đồ thị $G$ thì cây cực đại $G^*$ cũng có $B$ đỉnh. Theo (1), đồ thị $G^*$ có $B-1$ cạnh, và do đó số cạnh của đồ thị $G$ bằng $B-1+k$ (để thu được $G$ từ $G^*$, cần phải “trả lại” $k$ các cạnh cầu bị loại bỏ). Kể từ đây,

$$\chi(G) = B - (B-1+k) = 1-k. \quad (2)$$

Vì $k \ge 1$, chúng ta nhận được $\chi(G) \leq 0$. Do đó, tính đến (1), chúng ta thấy rằng đối với bất kỳ biểu đồ liên thông nào $G$, mối quan hệ sau đây đúng:

$$\chi(G) \leq 1,$$

trong đó đạt được sự bình đẳng khi và chỉ khi $G$ là một cái cây.

Hơn nữa, theo (2), số lượng người nhảy bằng

$$k = 1 - \chi(G).$$

Có chuyện gì vậy?

Theo “tính chất cơ bản của nguyên hàm” (“Đại số và nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 57), nếu hàm tùy ý của hai hàm trùng nhau thì các hàm này phải khác nhau một hằng số. Các hàm tùy ý:

$$a) y_1 = \frac{1}{1-x^2}$$

$$n) y_2 = \frac{x^2}{1-x^2},$$

nhiệm vụ

17. Chứng minh rằng nếu đồ thị $G$ chứa các thành phần $l$ thì $\chi(G) \leq l$. Khi nào đạt được sự bình đẳng?

18*. Chúng ta sẽ nói rằng trong biểu đồ $G$ một hệ thống dòng điện được cho nếu mỗi cạnh được gán một hướng (được biểu thị bằng một mũi tên) và một số hướng không âm (tok) và quy tắc Kirchoff được đáp ứng: đối với mỗi đỉnh, tổng các dòng điện đi vào nó bằng tổng các dòng điện đi vào nó. Chứng minh rằng nếu đồ thị là một cây thì nó chỉ chứa một hệ ba dòng điện (tất cả các dòng điện đều bằng 0).

19. Đặt $G$ là một đồ thị liên thông, $G^*$ cây cực đại của nó và $r_1, r_2, ..., r_k$ các cây cầu (nghĩa là các cạnh của $G$ không có trong $G^*$). Chứng minh rằng nếu dòng điện trên các cạnh $r_1, r_2, ..., r_k$ được xác định tùy ý thì chúng có thể được bổ sung duy nhất với các dòng điện trên các cạnh còn lại để thu được hệ dòng điện trong $G$.

Gợi ý. Đối với mỗi jumper $r_i$ có một đường viền đơn vị chứa nó và không chứa các jumper khác. Nếu chúng ta truyền dọc theo mạch này một dòng điện có độ lớn và hướng như được chỉ ra trên nút nhảy $r_i$, sau đó lấy tổng của tất cả các “dòng điện mạch” này, thì chúng ta sẽ thu được hệ dòng điện cần thiết trên biểu đồ $G$. Nếu có hai hệ dòng điện khác nhau trùng nhau trên các dây nhảy, thì sự khác biệt của chúng sẽ là một hệ dòng điện không tầm thường trên cây $G^*$.

Vì vậy, một chuyến tham quan vào lý thuyết đồ thị, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cấu trúc liên kết Angell, hóa ra lại hữu ích cho lời giải toán học và thậm chí cả vật lý bài toán. Chúng tôi hy vọng bạn thích nó và bạn sẽ muốn tiếp tục. Trong số tiếp theo của tạp chí, chúng tôi sẽ tập trung vào các vấn đề sâu hơn về cấu trúc liên kết đồ thị. Nhưng để nghiên cứu chúng, chúng ta sẽ phải lắng nghe kỹ hơn “con quỷ đại số trừu tượng”.

Có chuyện gì vậy?

Theo “tính chất cơ bản của nguyên hàm” (“Đại số và Nguyên tắc phân tích 9-10”, đoạn 57), nếu hàm tùy ý của hai hàm trùng nhau thì các hàm này phải khác nhau một hằng số. Các hàm tùy ý:

$$a) y_1 = \frac{1}{1-x^2}$$

$$n) y_2 = \frac{x^2}{1-x^2},$$

nhiệm vụ

17. Chứng minh rằng nếu đồ thị $G$ chứa các thành phần $l$ thì $\chi(G) \leq l$. Khi nào đạt được sự bình đẳng?

18*. Chúng ta sẽ nói rằng trong biểu đồ $G$ một hệ thống dòng điện được cho nếu mỗi cạnh được gán một hướng (được biểu thị bằng một mũi tên) và một số hướng không âm (tok) và quy tắc Kirchoff được đáp ứng: đối với mỗi đỉnh, tổng các dòng điện đi vào nó bằng tổng các dòng điện đi vào nó. Chứng minh rằng nếu đồ thị là một cây thì nó chỉ chứa một hệ ba dòng điện (tất cả các dòng điện đều bằng 0).

19. Đặt $G$ là một đồ thị liên thông, $G^*$ cây cực đại của nó và $r_1, r_2, ..., r_k$ các cây cầu (nghĩa là các cạnh của $G$ không có trong $G^*$). Chứng minh rằng nếu dòng điện trên các cạnh $r_1, r_2, ..., r_k$ được xác định tùy ý thì chúng có thể được bổ sung duy nhất với các dòng điện trên các cạnh còn lại để thu được hệ dòng điện trong $G$.

Gợi ý. Đối với mỗi jumper $r_i$ có một đường viền đơn vị chứa nó và không chứa các jumper khác. Nếu chúng ta truyền dọc theo mạch này một dòng điện có độ lớn và hướng như được chỉ ra trên nút nhảy $r_i$, sau đó lấy tổng của các “dòng điện mạch” này, thì chúng ta sẽ thu được hệ dòng điện cần thiết trên biểu đồ $G$. Nếu hệ thống dòng điện trùng nhau trên các dây nhảy, thì sự khác biệt của chúng sẽ là một hệ thống dòng điện không hề tầm thường trên cây $G^*$.

Vì vậy, một chuyến tham quan vào lý thuyết đồ thị, được thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cấu trúc liên kết Angell, hóa ra lại hữu ích cho lời giải toán học và thậm chí cả vật lý bài toán. Chúng tôi hy vọng bạn thích nó và bạn sẽ muốn tiếp tục. Trong số tiếp theo của tạp chí, chúng tôi sẽ tập trung vào các vấn đề sâu hơn về cấu trúc liên kết đồ thị. Nhưng để nghiên cứu chúng, chúng ta sẽ phải lắng nghe kỹ hơn “con quỷ đại số trừu tượng”.

N. Alexandrov,
P. Smirnov

11

Y. Brook, A. Stasenko

Phương pháp thứ nguyên đặt giải bài toán

Trong vật lý… không có chỗ cho những suy nghĩ trống rỗng… Quả thực, khái niệm về bản chất của hiện tượng này hay hiện tượng kia phải tiếp nhận những định luật cơ bản từ những thông điệp của chiều không gian.

E. Fermi

Giới thiệu. Ý tưởng chính

Hầu hết mọi bài thuyết trình tại các hội thảo hoặc hội nghị khoa học nơi thảo luận về công trình lý thuyết hoặc thực nghiệm mới đều bắt đầu bằng phần mô tả và đánh giá định tính về tác động mà diễn giả muốn nói đến. Hơn nữa, trong một báo cáo, bài giảng hoặc bài báo rất chi tiết, không thể nói về tất cả các chi tiết thử nghiệm hoặc tất cả các thủ thuật lý thuyết cần thiết để thực hiện công việc, vì lời giải cái này hay cái kia bài toán. Nhưng có những câu hỏi luôn cần được nói ra mà không cần được chứng minh bằng câu hỏi của người hầu hay độc giả.

Những câu hỏi như vậy luôn luôn và chủ yếu bao gồm việc đánh giá thứ tự độ lớn của hiệu ứng dự kiến, các trường hợp giới hạn đơn giản và bản chất của mối liên hệ chức năng trong việc xác định hiện tượng độ lớn. Tất cả những câu hỏi này đều có liên quan chặt chẽ với nhau, việc phân tích chúng về cơ bản là cái mà chúng ta gọi là mô tả định tính về tình hình vật lý.

Một trong những phương pháp phân tích hiệu quả nhất là phương pháp thứ nguyên. Chúng ta sẽ xem xét những điều cơ bản của nó trong bài viết này. Sẽ không quá lời khi nói rằng phương pháp thứ nguyên có “hiệu quả tối đa”, tiết kiệm hàng núi giấy cho các nhà lý thuyết cũng như tiền bạc và thời gian cho những người thực nghiệm. Đánh giá nhanh quy mô của hiện tượng đang nghiên cứu,

12

xây dựng sơ đồ cơ bản của một thí nghiệm, thu được các phụ thuộc về chất lượng và chức năng, khôi phục các công thức bị lãng quên trong các kỳ thi - đây chỉ là một số ưu điểm và ứng dụng của phương pháp thứ nguyên.

Phân tích thứ nguyên đã được sử dụng trong vật lý kể từ thời Newton. Chính Newton là người đã xây dựng nguyên lý tương tự, liên quan chặt chẽ đến phương pháp đo kích thước, mà bây giờ chúng ta sẽ minh họa bằng một ví dụ rất đơn giản và dễ hiểu.

Hãy tưởng tượng rằng một vật có khối lượng $m$ chuyển động theo đường thẳng dưới tác dụng của một lực không đổi $F$. Nếu tốc độ ban đầu của vật bằng 0 và tốc độ ở cuối đoạn dài hoàn chỉnh $s$ bằng $v$, thì chúng ta có thể viết đẳng thức biểu thị bằng định luật bảo toàn năng lượng: $mv^2/2 = Fs$. Giữa các giá trị $v$, $F$, $m$ và $s$ tồn tại. Rất thường xuyên (nhưng tất nhiên không phải luôn luôn như vậy!) sự phụ thuộc hàm của một đại lượng vật lý có các đặc tính của định luật lũy thừa. Hãy giả sử rằng đây là trường hợp trong ví dụ của chúng tôi. Chúng ta có thể nói điều này theo cách khác: chúng ta tin rằng công thức xác định tốc độ $v$ là hàm của $F$, $m$ và $s$ có ​​dạng lũy ​​thừa $v \sim F^x m^y s^z$.

Đây $x$, $y$ và $z$ là một số con số mà chúng tôi vẫn chưa xác định được. Dấu ~ có nghĩa là vế trái của công thức tỷ lệ với vế phải, tức là $v = kF^x m^y s^z$, trong đó $k$ là một hệ số bằng số. Vì $k$ là đại lượng không thứ nguyên nên đương nhiên không thể xác định hệ số này bằng phương pháp thứ nguyên.

Tất nhiên, bên trái và bên phải của sự tương ứng (*) phải thay đổi theo cùng một đơn vị, nghĩa là chúng có cùng kích thước. Chúng tôi sẽ thay đổi $v$ thành “m/s”, $F$ thành “H”, $m$ thành “kg” và $s$ thành “m”.

Nói cách khác, chúng ta chọn thứ nguyên của các đại lượng $v$, $F$, $m$ và $s$ như sau: $[v] = m/c = m \cdot c^{-1}$, $[F] = H = k \cdot m \cdot c^{-2}$, $[r] = k \Gamma$, $[s] = m$. (Ký hiệu [A] biểu thị thứ nguyên của đại lượng $A$.) Ta viết điều kiện để kích thước bên trái và bên phải của hàm số (*) bằng nhau:

$$m \cdot c^{-1} = k \Gamma^x \cdot m^x \cdot c^{-2x} \cdot k \Gamma^y \cdot m^z = k \Gamma^{x+y} \cdot m^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

Lưu ý rằng bây giờ chúng ta đã viết được đẳng thức. Không có kg nào ở bên trái cả, nên chắc chắn không có kg nào ở bên phải. Điều này có nghĩa là

$$x + y = 0.$$

Ở bên phải, mét có lũy thừa $x + z$ và ở bên phải - có lũy thừa là 1, do đó, $x + z = 1$.

Tương tự, từ việc so sánh số mũ của giây, $-2x = -1$ suy ra.

Các phương trình chúng ta thu được giúp tìm được các số $x$, $y$ và $z$:

$$x = 1/2, \quad y = -1/2, \quad z = 1/2.$$

Bây giờ chúng ta chỉ cần viết ra công thức cuối cùng

$$v \sim \left( \frac{F}{m} \right)^{1/2} s^{1/2}.$$

Bằng cách bình phương bên trái và bên phải của sự tương ứng này, chúng ta thấy rằng $v^2 \sim \frac{F}{m} s$ hoặc $mv^2 \sim Fs$. Ở công thức cuối cùng, người đọc có thể dễ dàng nhận ra định luật bảo toàn năng lượng mặc dù không có hệ số bằng số.

Nguyên lý tương tự do Newton xây dựng là tỷ lệ $v^2/s$ tỷ lệ thuận với tỷ lệ $F/m$. Ví dụ: chúng ta hãy lấy hai vật có khối lượng khác nhau $m_1$ và $m_2$; chúng ta sẽ tác động lên chúng bằng các lực khác nhau $F_1$ và $F_2$, nhưng sao cho tỷ lệ $F_1/m_1$ và $F_2/m_2$ sẽ giống nhau. Dưới tác dụng của các lực này, cơ thể bắt đầu chuyển động. Nếu vận tốc ban đầu của các vật thể công bằng 0 thì vận tốc mà các vật thu được trên một đoạn đường có độ dài $s$ sẽ bằng nhau. Chúng ta đi đến định luật tương tự bằng cách sử dụng sự bằng nhau về kích thước của bên phải và bên trái của công thức mô tả mối quan hệ lũy thừa của giá trị

13

kết nối tốc độ cuối cùng với các giá trị lực, khối lượng và chiều dài đường đi.

Điều đáng nói ở đây là, mặc dù phương pháp đo kích thước về cơ bản đã được giới thiệu trong quá trình xây dựng nền tảng của cơ học cổ điển, nhưng ứng dụng hiệu quả của nó cho lời giải vật lý bài toán đã bắt đầu vào cuối thế kỷ này - vào đầu thế kỷ của chúng ta. Phần lớn công lao cho việc quảng bá phương pháp này và lời giải với sự trợ giúp của nó, một số bài toán thú vị và quan trọng thuộc về nhà vật lý John William Strutt (Lord Rayleigh). Vào năm 1915, Rayleigh đã viết: “Tôi thường ngạc nhiên vì ngay cả nhiều nhà khoa học vĩ đại cũng ít chú ý đến nguyên lý tương tự vĩ đại. Điều thường xảy ra là các kết quả nghiên cứu cần mẫn được trình bày dưới dạng những “định luật” mới được phát hiện, tuy nhiên, có thể thu được bằng thực nghiệm trong vòng vài phút.”

Trong vật lý học của chúng ta, người ta không còn có thể bị buộc tội là bỏ bê hoặc không chú ý đầy đủ đến nguyên lý tương tự và phương pháp đo kích thước. Chúng ta sẽ phân tích dưới đây hai bài toán cổ điển, thường được gọi là bài toán Rayleigh. Bài toán được Rayleigh xem xét, bao gồm cả sự trợ giúp của thông báo thứ nguyên, tất nhiên là lớn hơn nhiều, nhưng những thứ mà chúng ta sẽ nói đến là khá điển hình. Bằng cách sử dụng các ví dụ này và các ví dụ khác, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết hơn về thời điểm và cách thức sử dụng phương pháp thứ nguyên cho lời giải bài toán.

Bài toán Rayleigh về dao động của quả bóng trên một sợi dây

Cho một sợi dây căng giữa hai điểm A và B. Lực căng của sợi dây là F. Ở giữa sợi dây này tại điểm C có một quả cầu nặng. Độ dài đoạn AC (và CB tương ứng) bằng l. Khối lượng M của quả cầu lớn hơn khối lượng của sợi dây rất nhiều. Sợi dây được kéo lại và thả ra. Rõ ràng là quả bóng sẽ dao động. Nếu biên độ của những dao động này nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của dây thì quá trình đó sẽ điều hòa.

Rayleigh đã chỉ ra cách tìm sự phụ thuộc của tần số của các dao động ω này vào lực căng của dây F, khối lượng của quả cầu M và kích thước l. Bây giờ chúng ta sẽ tái tạo lại lý luận của anh ấy.

Giả sử rằng các đại lượng ω, F, M và l có liên hệ theo định luật lũy thừa:

$$\omega \sim F^x M^y l^z.$$ (**)

Các số mũ x, y và z là các số ta cần xác định. Như trong bài toán, đã thảo luận ở trên, chúng ta viết ra thứ nguyên của các đại lượng mà chúng ta quan tâm trong một số hệ đơn vị, ví dụ: trong hệ SI:

$$[\omega] = c^{-1}, [F] = H = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2}, [M] = \kappa \Gamma, [l] = m.$$

Nếu công thức (**) biểu thị một mẫu hình vật lý thực thì kích thước bên phải và bên trái của công thức này phải trùng nhau, nghĩa là chúng phải thỏa mãn đẳng thức

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot M^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^z = \kappa \Gamma^{x+y} \cdot M^{x+z} \cdot c^{-2x}.$$

Vế trái của phương trình này hoàn toàn không bao gồm mét và kilôgam và giây được tính theo lũy thừa -1. Điều này có nghĩa là các điều kiện sau phải được thỏa mãn đối với các số x, y và z:

$$x + y = 0, x + z = 0, -2x = -1.$$

Giải hệ này, ta tìm được:

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -1/2.$$

Kể từ đây,

$$\omega \sim F^{1/2} M^{-1/2} l^{-1/2}.$$

Chúng tôi đã nói trước đó rằng do hệ số không đáng kể nên chúng tôi phải thay thế dấu bằng bằng ký hiệu tỷ lệ. Thật thú vị để lưu ý

14

tuy nhiên, công thức chính xác cho tần số chỉ khác với những gì chúng tôi tìm thấy $\sqrt{2}$ lần ($\omega^2 = 2F/Ml$). Nói cách khác, trong trường hợp này, chúng ta có thể coi rằng chúng ta đã thu được ước tính cho $\omega$ không chỉ về mặt chất lượng (theo nghĩa bản chất của sự phụ thuộc vào giá trị của $F$, $M$ và $l$), mà còn về mặt định lượng. Theo thứ tự độ lớn, sự kết hợp định luật lũy thừa tìm được của $F$, $M$ và $l$ cho giá trị tần số chính xác. Chúng tôi sẽ tiếp tục quan tâm đến thứ tự ước tính cường độ. Trong các bài toán đơn giản, thường thì các hệ số không thể xác định được bằng phương pháp thứ nguyên có thể được coi là số bậc một. Tất nhiên, cần lưu ý rằng đây không phải là một quy tắc nghiêm ngặt. Kết luận cuối cùng về giá trị của hệ số chỉ có thể được rút ra từ một số thông báo bổ sung. (Nhân tiện, xin lưu ý rằng trong ví dụ được thảo luận ở phần “Giới thiệu”, hệ số bằng số trong công thức xác định tốc độ $v$ là hàm của lực, khối lượng và độ dài đường đi cũng là một số bậc một.)

Không cần phải nói rằng khi quyết định bài toán về số lượng dây, ngay từ đầu chúng ta có thể giới thiệu các tần số $\omega$ và chu kỳ dao động $T = 2\pi/\omega$ liên kết duy nhất với nó và tìm sự phụ thuộc định luật lũy thừa của chu kỳ $T$ vào độ căng của dây $F$, khối lượng $M$ và kích thước $l$. Hệ số $2\pi$ ở đây hoàn toàn không “làm hỏng” (nhưng cũng không “cải thiện”!) Công thức thu được từ thông điệp về kích thước - xét cho cùng, chúng ta vẫn không thể viết một hệ số số nếu không có phương trình rung động lời giải chính xác.

Điều tò mò là trong một ví dụ khác, rất đơn giản và nổi tiếng - về số lượng của ma trận toán học - về tần số dao động, từ các thông điệp thứ nguyên, chúng ta đã nhận được công thức chính xác $\omega^2 = g/l$. Phương pháp kích thước không xác định, hệ số số bằng một trong trường hợp này. Nếu ngay từ đầu chúng ta tìm kiếm mối liên hệ giữa chu kỳ dao động của ma trận toán học với độ dài $l$ của nó và gia tốc rơi tự do $g$, thì chúng ta sẽ đi đến công thức $T \sim \sqrt{l/g}$, khác với công thức chính xác một hệ số $2\pi$. Nhưng ngay cả từ ví dụ này cũng không hề suy ra rằng khi sử dụng phương pháp thứ nguyên, tần số dao động có sự hiện diện nào đó của một chu kỳ; nguồn gốc của thừa số $2\pi$ chỉ được kết nối với định nghĩa của $\omega = 2\pi/T$.

Chúng ta hãy quay lại việc xem xét bài toán của Rayleigh và một lần nữa hình thành các giả định cho phép chúng ta giải phương pháp thứ nguyên của nó.

Đầu tiên, chúng tôi giả định rằng có một mối liên hệ thực sự giữa các đại lượng $\omega$, $F$, $M$ và $l$. Thứ hai, chúng tôi tin rằng công thức thể hiện mối quan hệ này có dạng lũy ​​thừa: $\omega \sim F^x M^y l^z$.

Phương pháp thứ nguyên giúp tìm ra hàm ý nghĩa giữa các đại lượng vật lý khác nhau, nhưng chỉ trong những trường hợp mà những ý nghĩa này là độ. May mắn thay, có khá nhiều giá trị như vậy trong tự nhiên và phương pháp đo kích thước sẽ giúp ích rất nhiều cho chúng ta.

Quy tắc $N—K=1$

Khái niệm thứ nguyên của một đại lượng vật lý được đưa ra khi một số đại lượng vật lý cơ bản đã được chọn và đơn vị đo của chúng đã được thiết lập. Trong cơ học, chúng ta coi khối lượng, độ dài và thời gian là những đại lượng cơ bản truyền thống. Trong hệ SI, các đại lượng này được đo tương ứng bằng kilôgam, mét và giây, trong hệ thống GHS - tính bằng gam, centimet và giây.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng đơn vị đo lường chính trong mỗi hệ thống (các thứ nguyên chính) là số đo (thứ nguyên) của các đại lượng chính. Đơn vị đo của tất cả các đại lượng không cơ bản khác được thể hiện thông qua các đơn vị đo cơ bản. Ví dụ, trong hệ SI, đơn vị của lực “Newton” là $\text{kg} \cdot \text{m/c}^2$, đơn vị năng lượng “Joules” là $\text{kg} \cdot \text{m}^2/c^2$; trong hệ thống GHS, chúng lần lượt là “dyna” - $\text{г} \cdot \text{cm/c}^2$ và “ergg” - $\text{г} \cdot \text{cm}^2/c^2$. Các đơn vị như vậy được gọi là tùy ý.

Nếu chúng ta xem xét bài toán, trong đó các đại lượng phi cơ học được vật lý hóa (ví dụ: điện tích, nhiệt độ, v.v.), chúng ta có thể tăng số lượng đại lượng cơ bản. Trong hệ SI, các đại lượng chính bao gồm dòng điện (đo bằng Ampe), nhiệt độ (đơn vị đo - Kelvin), v.v.

Nói chung, các đại lượng và đơn vị đo lường cơ bản có thể được chọn theo nhiều cách khác nhau. Phần lớn phụ thuộc vào sự thuận tiện, truyền thống cũng như các tiêu chuẩn và quy ước hiện có. Điều rất quan trọng chúng ta cần lưu ý là phương pháp thứ nguyên có thể được sử dụng trong bất kỳ hệ đơn vị nào. Tất nhiên, mỗi lần, các biểu thức về thứ nguyên của một đại lượng phải được viết theo cùng một hệ thống đã chọn trước.

Hãy tưởng tượng rằng tại một số bài toán chúng ta cần tìm hàm ý nghĩa giữa các giá trị $N$. Giả sử rằng ý nghĩa này có đặc tính định luật lũy thừa, chúng ta có thể cố gắng giải bài toán bằng phương pháp thứ nguyên. Nếu thứ nguyên của tất cả các đại lượng $N$ được biểu thị thông qua thứ nguyên của đại lượng cơ bản $K$ và nếu đây là $N—K=1$, thì sẽ có một công thức duy nhất xác định mối quan hệ lũy thừa giữa các đại lượng $N$,

15

và công thức này có thể được tìm thấy bằng phương pháp kích thước.

Không khó để kiểm chứng điều này. Chúng ta viết dạng tổng quát của công thức ban đầu như sau: ở bên trái có một trong các đại lượng được nâng lên lũy thừa 1, và ở bên phải là tích lũy thừa của các đại lượng $N-1$ còn lại. Số mũ vẫn chưa được biết. Tổng số chỉ số chưa biết cũng là $N-1$. Để xác định các chỉ số này, chúng ta cần phương trình $N-1$. Chúng ta thu được từng phương trình bằng cách so sánh số mũ ở bên trái và bên phải của một trong các chiều chính. Nếu bài toán của chúng tôi chứa chính xác $N-1$ thứ nguyên cơ bản, chúng tôi sẽ nhận được chính xác số phương trình mà chúng tôi cần. Các phương trình này là tuyến tính, sự tồn tại và duy nhất của hệ lời giải của các phương trình đó đảm bảo cho chúng ta sự tồn tại và duy nhất của công thức lũy thừa ban đầu. Quy tắc này được minh họa rõ ràng bằng các ví dụ trên. Khi viết công thức $v \sim F^x m^y s^z$ hoặc $\omega \sim F^x M^y l^z$, mỗi lần đặt tên cho đại lượng $N=4$, số chỉ tiêu chưa biết $N-1=3$ trùng với số thứ nguyên cơ bản $K=3$ (kg, m, s). Hệ ba phương trình tuyến tính cho ba tên chưa biết là những phương trình duy nhất lời giải, các công thức cuối cùng cho $v$ và $\omega$ cũng là những phương trình duy nhất có thể có. Do đó, đối với bốn đại lượng hoạt động, chỉ có thể xây dựng một công thức nếu số thứ nguyên cơ bản tìm thấy trong bài toán là ba.

Bài toán Rayleigh về dao động của một giọt hình cầu

Hãy để một giọt chảy ra khỏi lỗ tròn. Hoàn toàn tự nhiên khi cho rằng ở trạng thái cân bằng, giọt nước phải có dạng hình cầu - năng lượng bề mặt là tối thiểu và bất kỳ hệ thống nào cũng có xu hướng chuyển sang trạng thái có năng lượng tối thiểu. Hơn nữa, những biến dạng rất nhỏ của giọt nước sẽ dẫn đến thực tế là các lực căng bề mặt sẽ “ép” nó dao động - hình dạng của giọt nước sẽ có tính tuần hoàn.

Hình 2.

thay đổi về thể chất. Chúng ta giả định rằng các dao động tiếp tục trong thời gian dài và độ suy giảm của chúng nhỏ. Chúng tôi quan tâm đến câu hỏi về tần suất (hoặc thời gian) của quá trình. Tần số này có thể phụ thuộc rất nhiều vào độ lớn của sức căng bề mặt của chất lỏng $\sigma$, mật độ của chất lỏng $\rho$ và bán kính giọt nước $r^*$. Chúng ta sẽ tìm sự phụ thuộc này dưới dạng

$$\omega \sim \sigma^x \rho^y r^z.$$

Hãy viết thứ nguyên của tất cả các đại lượng trong hệ SI:

$$[\omega] = c^{-1}, [\sigma] = H \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot M \cdot c^{-2} \cdot M^{-1} = \kappa \Gamma \cdot c^{-2},$$

$$[\varrho] = \kappa \Gamma \cdot M^{-3}, [r] = M.$$

Số lượng đại lượng, mối liên hệ giữa chúng ta đang tìm kiếm, lại lớn hơn số chiều cơ bản một đơn vị. Quy tắc $N-K=1$ cho chúng ta biết rằng công thức tần số phải tạo ra một công thức duy nhất. Phương trình xác định $x, y$ và $z$ thu được từ sự tương ứng:

$$c^{-1} = \kappa \Gamma^x \cdot c^{-2x} \cdot \kappa \Gamma^y \cdot M^{-3y} \cdot M^z = \kappa \Gamma^x + y \cdot c^{-2x} \cdot M^{-3y + z}.$$

Với ba số chưa biết có ba phương trình:

$$-2x = -1, x + y = 0, -3y + z = 0.$$

Hệ thống này có một lời giải

$$x = 1/2, y = -1/2, z = -3/2.$$

Cuối cùng, công thức chúng ta quan tâm về tần số dao động được viết như sau:

$$\omega \sim \sqrt{\frac{\sigma}{q r^3}}.$$

Công thức này cũng gợi ý khả năng của một phương pháp xác định bằng thực nghiệm giá trị $\sigma$. Để làm điều này, bạn cần biết mật độ của chất lỏng $\rho$, bán kính giọt nước $r$ và xác định tần số $\omega$ bằng thí nghiệm. Việc chúng ta không biết hệ số trong công thức này không phải là một bất lợi về dịch vụ. Chúng ta có thể định nghĩa nó, ví dụ, tiếp tục uống với chất lỏng, điều đó thật tuyệt

*) Có lẽ đến đây bạn có một câu hỏi: tại sao không giả sử rằng tần số cũng có thể phụ thuộc vào lực hấp dẫn tác dụng lên giọt nước? Câu hỏi này rất tự nhiên và chúng ta chắc chắn sẽ thảo luận về nó. Nhưng một lát sau.

16

Sức căng bề mặt đã biết.

Về cơ bản, bây giờ chúng ta phải đối mặt với một trường hợp mô hình hóa đơn giản - dao động của một giọt chất lỏng đang nghiên cứu có thể được mô phỏng bằng dao động của một giọt chất lỏng đã biết σ và q. Ở đây chúng ta cũng có thể nói về sự giống nhau về dao động của công thức rơi vào hai chất lỏng khác nhau.

Bạn có thể tích phân công thức tính tần số dao động ω theo cách khác. Hãy viết lại nó như thế này: $(\sigma/\rho) \sim r^3 \omega^2$.

Coi σ và q là các tham số đặc trưng cho chất lỏng và do đó giống hệt nhau đối với các giọt chất lỏng này có kích thước khác nhau, chúng ta đi đến kết luận rằng các chu kỳ $T_1 = 2\pi/\omega_1$ và $T_2 = 2\pi/\omega_2$ của dao động của hai giọt cùng một chất lỏng và bán kính $r_1$ và $r_2$ của những giọt này có liên quan với nhau bởi sự tương ứng

$$\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{r_1^3}{r_2^3}$$

• bình phương chu kỳ dao động của hai giọt nước được coi là lập phương có kích thước của chúng! Điều này có làm bạn nhớ đến một trong những định luật của Kepler không? Làm ơn, sự tương tự còn xa lắm, nhưng trong cả hai trường hợp, chúng ta đang nói về các quá trình tuần hoàn!

Hãy đưa ra một nhận xét nữa. Ngay khi viết ra một tập hợp các đại lượng, mối liên hệ giữa chúng mà chúng ta muốn tìm, chúng ta cần nhận thức được điều gì là cần thiết và điều gì không cần thiết đối với một hiện tượng vật lý cụ thể. Nếu chúng ta đang nói về động lực học (ví dụ: dao động), thì các đặc tính lực và khối lượng sẽ xuất hiện trong bài toán. Vai trò của vai trò đầu tiên trong bài toán về dao động của giọt nước được thực hiện bởi đại lượng σ, vai trò của vai trò thứ hai được thực hiện bởi mật độ của chất lỏng q. Về cơ bản, chúng tôi tin rằng dao động chỉ được xác định bởi sức căng bề mặt. lời giải mà chúng tôi thu được chắc chắn phù hợp nếu giọt nước dao động trong cabin của tàu vũ trụ. Nó có phù hợp ở gần Trái đất không? Chẳng phải chúng ta cũng nên tính đến lực hấp dẫn tác dụng lên giọt nước sao?

Chúng ta hãy suy nghĩ như thế này. Lực hấp dẫn là $F_T \sim \rho r^3 g$, và lực căng bề mặt là $F_{n,h} \sim \sigma r$. Rõ ràng là ở mức đủ nhỏ $r$ lực căng bề mặt lớn hơn lực hấp dẫn. Bỏ qua các thừa số, chúng ta viết ra bất đẳng thức biểu thị điều kiện để người ta có thể chạy qua trọng lực: $\sigma r \gg \rho r^3 g$. Bất đẳng thức này tương đương với: $r \ll (\sigma/\rho g)^{1/2}$. Có thể lập luận rằng đối với những giọt đủ nhỏ, trọng lực sẽ không ảnh hưởng đến dao động. Hãy tự ước tính kích thước tối đa của giọt nước mà tại đó bạn vẫn có thể sử dụng công thức mà chúng tôi thu được ở trên để tính tần số dao động.

Hạt nhân nguyên tử dao động ở tần số nào?

Hóa ra câu trả lời cho câu hỏi được đặt ra có thể là đáp số, sử dụng công thức tính tần số dao động của giọt nước.

Trong mô hình giọt của hạt nhân nguyên tử, hạt nhân được coi là một giọt vật chất hạt nhân - một “chất lỏng”, bao gồm các proton và neutron. Lõi giọt nước được giữ không bị phân hủy bởi lực căng bề mặt.

Các hạt nhân (proton và neutron) nằm bên trong hạt nhân ở trạng thái liên kết. Điều này có nghĩa là để “tách rời” chúng khỏi nhau, bạn cần tiêu tốn một lượng năng lượng nhất định. Mỗi nucleon, năng lượng này bằng $\varepsilon \approx 13 \cdot 10^{-13}$ J/nucleon. Bán kính của hạt nhân là $r \approx 10^{-14}$ m, khối lượng của proton là $m_p \approx 1,7 \cdot 10^{-27}$ kg. Chúng ta hãy thử sử dụng tất cả thông tin này để tính toán các tần số đặc trưng mà tại đó hạt nhân nguyên tử—các giọt vật chất hạt nhân—dao động*).

Đối với tần số dao động của một giọt vật chất hạt nhân, chúng ta có thể sử dụng công thức tương tự như đối với dao động của các giọt chất lỏng vật lý, giá như chúng ta đã dạy

*) Hiện nay chúng ta chỉ quan tâm đến sự phụ thuộc định tính của tần số dao động vào các thông số của hạt nhân và ước lượng định lượng theo bậc độ lớn; do đó, chúng ta có thể bỏ qua sự khác biệt giữa proton và neutron và coi khối lượng của nucleon bằng, chẳng hạn, với khối lượng của proton.

17

đã cố gắng tính toán sức căng bề mặt của “chất lỏng hạt nhân”. Tổng năng lượng bề mặt trong mô hình giọt nước phải có cùng độ lớn với năng lượng liên kết của tất cả các hạt nằm bên trong giọt nước. Nếu số nucleon trong hạt nhân là $A$ (con số này được gọi là “số khối”), thì tổng năng lượng liên kết của tất cả các nucleon là $A\varepsilon$ và năng lượng bề mặt của hạt nhân giọt nước cũng là $A\varepsilon$ theo thứ tự độ lớn. Chia nó cho diện tích bề mặt của giọt nước $S=4\pi r^2$, chúng ta thu được ước tính về độ căng bề mặt: $\sigma \sim A\varepsilon/4\pi r^2$. Khối lượng của hạt nhân gồm $A$ nucleon vào cỡ $Am_p$, thể tích của hạt nhân là $\frac{4}{3}\pi r^3$; do đó, mật độ của “chất lỏng hạt nhân” có độ lớn bằng $\omega \sim 3Am_p/4\pi r^3$. Thay thế các biểu thức thu được cho σ và q vào công thức $\omega \sim (\sigma/\rho)^{1/2}r^{-3/2}$, chúng ta thu được kết quả mà chúng ta quan tâm:

$$\omega \sim \frac{1}{\sqrt{3}r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2} \sim \frac{1}{r} \left( \frac{\varepsilon}{m_p} \right)^{1/2}.$$

Các hạt “hạt nhân” điển hình có cấp độ $10^{22}c^{-1}$. Kiểm tra xem công thức viết có cho kết quả gần đúng không, hệ số bằng số không do chúng tôi xác định - theo thứ tự thống nhất.

Mét “dọc” và “ngang”
Te bài toán, mà chúng ta đã xem xét cho đến nay, đã được giải quyết một cách cơ bản, giống hệt và rõ ràng. Đừng nghĩ rằng điều này luôn luôn như vậy. Có những tình huống khi quy tắc $N-K=1$ không được thực hiện và sau đó phải dùng đến những ý tưởng mới. Một ý tưởng như vậy là người ta có thể cố gắng tăng số lượng đại lượng cơ bản, nghĩa là về cơ bản chuyển sang nghiên cứu bài toán trong một hệ thống có số lượng lớn các chiều cơ bản.

Để minh họa ý tưởng như vậy, hãy xem xét hai bài toán đơn giản.

Tất nhiên, điều đầu tiên được mọi người biết đến. Hãy tưởng tượng một quả bóng rơi từ một cái bàn có độ cao $H$ xuống sàn. Vận tốc của quả bóng tại thời điểm nó rời khỏi bàn nằm ngang và bằng $v_0$. Tất nhiên, phạm vi bay của nó có thể được liên kết với $H$ và $v_0$. Chúng tôi khuyên người đọc nên tiếp tục thực hiện những phép tính đơn giản này trước khi đọc thêm trong bài viết này. Bạn đã làm điều đó phải không? Bây giờ hãy nghĩ về điều đó: liệu có thể tìm thấy mối liên hệ giữa $H$ và $v_0$ bằng phương pháp thứ nguyên không? Hãy thử. Đặt chuyến bay tiếp theo bằng $x_0$. Ngoài $H$ và $v_0$, gia tốc rơi tự do $g$ chắc chắn là một giá trị cần thiết để xác định. Nó không nên phụ thuộc vào khối lượng của quả bóng đáp số - xét cho cùng, nó hoàn toàn là động học bài toán. Do đó, chúng ta có bốn giá trị - $x_0$, $v_0$, $H$ và $g$. Trong biểu thức kích thước của tất cả các đại lượng này, chỉ bao gồm mét và giây, nghĩa là $N=4$, $K=2$ và $N-K=2>1$! Nếu chúng ta viết $x_0 \sim v_0^a H^\beta g^\gamma$, thì với ba số chưa biết $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ chúng ta chỉ có thể viết hai phương trình. Cuộc sống thế nào?

Hãy giới thiệu các đơn vị đo khoảng cách dọc và ngang riêng biệt: khoảng cách dọc theo trục tung $Y$ sẽ được đo bằng mét “dọc” - $M_y$, và khoảng cách dọc theo trục hoành $X$ - tính bằng mét “nằm ngang” - $M_x$. Khi đó các kích thước là:

$$[g] = M_y c^{-2}, [v_0] = M_x c^{-1}, [H] = M_y, [x_0] = M_x.$$

Hình 3.

18

Bây giờ đối với $N=4$ nó đã là $K=3$ - các kích thước chính là $M_x$, $M_y$ và $c$. Công thức $x_0 \sim v_0^\alpha H^\beta g^\gamma$ cho kết quả tương ứng
$$M_x = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha} \cdot M_y^\beta \cdot M_y^\gamma \cdot c^{-2\gamma} = M_x^\alpha \cdot c^{-\alpha-2\gamma} \cdot M_y^\beta+y.$$
Hệ thống điều khiển
$$\alpha=1, -\alpha-2\gamma=0, \beta+\gamma=0$$
có một lời giải
$$\alpha=1, \beta=1/2, \gamma=-1/2,$$
và chúng tôi nhận được đáp số độc quyền:
$$x_0 \sim v_0 \sqrt{\Pi}/g.$$
So sánh lời giải này với kết quả bạn nhận được từ phép tính chính xác của mình.
Thứ hai là bài toán, minh họa ý tưởng tương tự, liên quan đến lý thuyết động học của chất khí. Các phân tử khí có kích thước hữu hạn và có thể dính vào nhau ngay cả trong khí hiếm. Khoảng cách trung bình mà các phân tử đi được giữa hai lần va chạm liên tiếp được gọi là độ dài tự do. Chúng tôi quan tâm đến việc độ dài tự do $l$ phụ thuộc như thế nào vào kích thước của các phân tử $r$ và nồng độ của chúng $n$.
Hãy viết kích thước: $[n] = M^{-3}, [l] = M, [r] = M$. Rõ ràng là, cố gắng kết nối $l, r$ và $n$, chúng ta lại thấy rằng quy tắc $N-K=1$ không giữ: $N=3$ và $K=1$ - trong bài toán chỉ có một chiều cơ bản - $M$.
Trong trường hợp này, việc nhập chiều dài “dọc” và “ngang” cũng rất thuận tiện. Chúng ta hãy coi các phân tử là những quả bóng có điều kiện và theo dõi một trong những quả bóng này. Hãy đồng ý đo khoảng cách dọc theo quỹ đạo của phân tử bóng bằng “mét dọc” - $M_\parallel$. Rõ ràng là những phân tử rơi vào một hình trụ có ma trận song song với quỹ đạo và đáy là tiết diện của các phân tử hình cầu vuông góc với quỹ đạo có thể “đặt” chuyển động của phân tử mà chúng ta đã chọn. Diện tích của phần này tỷ lệ với $r^2$. Điều tự nhiên là giả định trong tình huống như vậy rằng $r$ được đo bằng “mét ngang” - $M_\perp$. Sau đó, âm lượng được đo bằng đơn vị $M_\parallel \cdot M_\perp^2$ và kích thước của $n$ là $M_\parallel^{-1} \cdot M_\perp^{-2}$. Sau những khác biệt này, chúng ta có hai thứ nguyên chính - $M_\parallel$ và $M_\perp$ - cho ba giá trị $l, r$ và $n$. Điều này đã đủ để có được một công thức rõ ràng kết nối chúng. Dễ dàng kiểm tra được công thức này là:
$$l \sim 1/nr^2.$$
Bài toán và khuyến nghị
Ở trên chúng tôi đã giới thiệu các yếu tố cơ bản của phân tích bài toán bằng phương pháp thứ nguyên. Một lần nữa, chúng tôi nhấn mạnh rằng các công thức thu được từ những khác biệt như vậy thường cho phép người ta đưa ra những ước tính định lượng. Tất nhiên, ở đây cần phải có một sự thận trọng nhất định, tuy nhiên, sẽ là một tội lỗi nếu không lợi dụng thực tế là các hệ số số trong các công thức thường có trật tự thống nhất.
Không cần phải nói rằng việc đánh giá, xây dựng các mô hình đơn giản và sử dụng các phép tương tự luôn chỉ là giai đoạn đầu tiên của việc nghiên cứu các quá trình vật lý. Giai đoạn này nên được theo sau bởi một nghiên cứu chính xác hơn và nếu có thể, chính xác hơn về các hiện tượng đang được thảo luận. Chúng tôi hoàn toàn không muốn bạn có ấn tượng rằng phương pháp đo lường này rất thú vị. Trước khi sử dụng nó dưới hình thức này hay hình thức khác, chúng ta cần xây dựng một bức tranh rõ ràng về quá trình vật lý và suy nghĩ cẩn thận về những đặc điểm mà chúng ta quan tâm. Chỉ trong những điều kiện này, người ta mới có thể hy vọng thành công.
Dưới đây chúng tôi cung cấp cho bạn các kích thước độc lập bài toán.

Bài toán

1. Tìm công thức mô tả mối quan hệ giữa khối lượng của hành tinh $M$, bán kính của nó $R$ và chu kỳ quay tối thiểu của hành tinh quanh trục của nó. Xin lưu ý rằng sự tồn tại của những “quả bóng” đá granit như vậy, tức là các hành tinh, là do sự tương tác của đá granit nói riêng, trong đó có các “quả bóng”. Chu kỳ quay tối thiểu của một hành tinh có cùng khối lượng và bán kính với Trái đất là bao nhiêu? Bạn cần có được một thứ tự ước tính cường độ.
2. Kích thước tuyến tính của hai máy quay thép hình học tương tự nhau khác nhau gấp ba lần. Tần số của những Cameron này khác nhau như thế nào?
3. Tìm sự phụ thuộc của chu kỳ dao động của xung khí hình thành trong một vụ nổ chính xác dưới nước sâu, nếu biết rằng vụ nổ giải phóng năng lượng $E$ và áp suất nước là $p$. Cũng cố gắng ước tính kích thước tối đa của xung khí. Nhịp đập phụ thuộc vào độ sâu $H$ như thế nào?

20

A. Mikhailov

Về nhật thực nói chung và riêng về nhật thực
Ngày 31 tháng 7 năm 1981

Vào sáng ngày 31 tháng 7 năm 1981, một hiện tượng thiên văn thú vị sẽ xảy ra - nhật thực, có thể nhìn thấy dưới dạng nhật thực một phần trên toàn bộ lãnh thổ Liên Xô và là nhật thực toàn phần trên một dải hẹp nhưng dài từ bờ Biển Đen qua Kavkaz, Kazakhstan, Siberia, Viễn Đông và Biển Okhotsk đến Thái Bình Dương đơn giản. Nhưng trước khi mô tả nhật thực này, chúng ta hãy xem xét một số câu hỏi chung về nhật thực.

Những hiện tượng này là do Mặt trăng gây ra khi nó che phủ một phần hoặc toàn bộ đĩa mặt trời. Mặt trăng có đường kính nhỏ hơn Mặt trời gần 400 lần, nhưng nó gần Trái đất hơn số lần gần như nhau, do đó kích thước biểu kiến ​​của Mặt trời và Mặt trăng đối với người quan sát trên trái đất thực tế là như nhau. Tuy nhiên, những sai lệch nhỏ của quỹ đạo Trái đất so với quỹ đạo tròn gây ra những thay đổi nhỏ về khoảng cách tới Mặt trời, đồng thời gây ra những thay đổi nhỏ về đường kính góc của Mặt trời. Điều tương tự cũng xảy ra với Mặt trăng khi nó di chuyển quanh Trái đất. Do đó, chúng ta nhanh chóng nhìn thấy đĩa mặt trăng trong thời gian lâu hơn một chút so với đĩa mặt trời và ít thời gian hơn một chút. Trong trường hợp đầu tiên, Mặt trăng có thể che phủ hoàn toàn toàn bộ Mặt trời và tạo ra nhật thực toàn phần, còn trong trường hợp thứ hai, nó có thể để lại các cạnh của Mặt trời dưới dạng một vòng hẹp bao quanh đĩa tối của Mặt trăng và tạo ra nhật thực hình gọng kìm. Hàng năm vào mùa đông, khi Trái đất ở gần Mặt trời và do đó chúng ta có thể nhìn thấy Mặt trời ở một góc lớn hơn, chủ yếu xảy ra nhật thực phụ, và vào mùa hè, khi Trái đất ở xa Mặt trời hơn, nhật thực toàn phần chiếm ưu thế.

Khi nhật thực, Mặt Trăng quay về phía Trái Đất với vùng tối

21

Hình 1.

bên con đẻ và đang ở trong trạng thái mới
Lunia. Trong cả năm sẽ có
Hôm nay là ngày 12 hay 13 trăng non mà xa quá
không phải ai cũng có nhật thực đi kèm
ăn, kể từ mặt phẳng của quỹ đạo mặt trăng
không trùng với mặt phẳng hoàng đạo
ki nhờ đó cái có thể nhìn thấy được thực hiện
chuyển động hàng năm của Mặt trời và độ nghiêng
nghiêng với nó một góc 5°8’. Nếu một lần
trả lại đường hoàng đạo và mặt trăng
quay quanh mặt phẳng, bạn sẽ có được hình ảnh như trong Hình 1.
Ở đây AA′, BB′, v.v. đại diện cho
hàng âm lịch mới, trong đó hầu hết
s Mặt trăng đi cao hơn (về phía bắc)
hoặc ở phía dưới (phía nam) Mặt trời, không được tạo ra
dẫn đầu bị lu mờ. Chỉ có trăng mới
xảy ra gần các điểm giao nhau của quỹ đạo mặt trăng với đường hoàng đạo, gọi là các nút, đi kèm theo
nhật thực. Các nút của hình ảnh
được biểu thị bằng các biểu tượng đặc biệt:
Ω là nút tăng dần, trong đó
Mặt Trăng di chuyển từ đường hoàng đạo phía Nam
bán cầu ical ở phía bắc và Ω -
nút giảm dần trong đó Mặt trăng
di chuyển từ bán cầu bắc xuống phía nam. Những biểu tượng này thể hiện sơ đồ mô tả một con rồng: theo tín ngưỡng cổ xưa của người Trung Quốc, nó quan sát gần các giao điểm của Mặt trời để nuốt nó.

Hãy ước tính độ dài
khu vực xung quanh nút nơi Mặt trăng ở
có thể che phủ ít nhất rìa của Mặt trời.
Đối với người quan sát tưởng tượng,
nằm ở trung tâm Trái đất, trước
tách trăng non bằng hình ảnh nhật thực
được hiển thị trong Hình 2, trong đó các đĩa
Mặt trời và mặt trăng chạm nhau. Giả sử chúng là hình tròn có bán kính 16′
(tất cả các khoảng cách sẽ được đo bằng
đơn vị góc), chúng ta thu được bằng
tam giác đùi LΩS có đáy |LS|=32′ và góc i=5°8′.

Hình 2.

Từ tam giác này (coi nó
phẳng), chúng tôi tìm thấy giới hạn cần thiết-
khoảng cách R của Mặt trăng từ nút:

$$R = \frac{|ЛС|}{2 \sin i/2} = 357' \approx 6°.$$

Tuy nhiên, nó được quan sát trên bề mặt Trái đất, nhìn thấy Mặt trăng
được trộn bởi lượng para-
chồn, có thể đạt tới 61′.
Bạn cần tăng bao nhiêu
Phía LS: |LS|=32′+61′=93′.
Lặp lại phép tính với giá trị này, chúng ta nhận được R=994′ hoặc xấp xỉ.
đáng kể là 16,6°, sao cho toàn bộ vùng nhật thực (ở cả hai phía của nút) được che phủ
Đó là 33°.

Trong đánh giá này chúng tôi đã sử dụng
giá trị bán kính trung bình
Mặt Trời và Mặt Trăng. Nếu bị nén
tính đến các giá trị cực trị của chúng và tính đến
rằng tam giác của chúng ta không phẳng,
nhưng hóa ra là hình cầu
cho vùng nhật thực tối thiểu
31,8° và tối đa - 35,8°. Đây là kích thước của nơi ở của rồng,
chờ đợi Mặt trời, vậy nên nếu
và không nuốt toàn bộ nó, mặc dù
sẽ cắn một miếng, gây ra thường xuyên
nhật thực mới của pha nhỏ.

Hãy xem liệu mặt trời có thể
trong phong trào hàng năm rõ ràng của nó
thâm nhập vào khu vực này dọc theo đường hoàng đạo,

22

mà không trở thành nạn nhân của con rồng. Mặt trời di chuyển trung bình 57′ mỗi ngày và vào mùa đông, với tốc độ di chuyển nhanh nhất là 61′. Có 29,53 ngày giữa hai nawolliyas; Trong thời gian này, với tốc độ tối đa, Mặt trời sẽ di chuyển 30°, tức là nhỏ hơn diện tích nhật thực tối thiểu. Do đó, nó sẽ không có thời gian để liên tục bao phủ các khu vực nhật thực giữa hai hải quân, và ít nhất một trong số chúng sẽ làm lu mờ Mặt trời bên trong vùng này. Nếu điều này xảy ra gần nút, nhật thực sẽ có pha lớn, thậm chí toàn phần hoặc đồng loạt. Nếu navollia đầu tiên xảy ra ngay khi Mặt trời đi vào vùng nhật thực, thì navollia tiếp theo sẽ trùng ngay cả trước khi Mặt trời rời khỏi vùng nguy hiểm, do đó hai navollias liên tiếp sẽ đi kèm với nhật thực, nhưng theo từng phần và trong một pha rất nhỏ (có thể công chúng không chú ý đến). Sau đó, gần nửa năm sau, hiện tượng tương tự lại lặp lại ở vùng lân cận của một nút khác.

Như vậy, mỗi ngày có hai thời điểm xảy ra nhật thực. Trong mỗi kỷ nguyên có thể có một lần nhật thực của một pha chính hoặc hai lần nhật thực của một pha nhỏ, và trong suốt một năm có thể có hai lần nhật thực của một pha chính hoặc bốn lần nhật thực của một pha nhỏ. Tất nhiên, cũng có thể so sánh trung gian - một nhật thực của một pha chính và hai pha phụ, hoặc hai pha chính và một pha phụ. Nhưng nếu nhật thực đầu tiên xảy ra vào đầu tháng 1, thì ngay cả trước cuối năm (cuối tháng 12), Mặt trời sẽ lại đi vào vùng nguy hiểm và một lần nhật thực khác của pha nhỏ có thể xảy ra. (Điều này cũng được tạo điều kiện thuận lợi bởi sự cản trở khiến các nút xuyên tâm không đứng yên trên mặt phẳng hoàng đạo mà di chuyển về phía Mặt trời, do đó thời gian giữa lúc Mặt trời đi qua một nút nhất định ngắn hơn 19 ngày so với năm dương lịch.) Trong trường hợp này, trong vòng một Năm lần nhật thực có thể xảy ra mỗi năm. Ví dụ, đây là trường hợp vào năm 1935, khi nhật thực một phần được quan sát vào ngày 5 tháng 1, ngày 3 tháng 2, ngày 30 tháng 6, ngày 30 tháng 7 và ngày 25 tháng 12.

Nếu nói về Trái đất nói chung thì nhật thực hoàn toàn không phải là hiện tượng hiếm gặp. Trong suốt một trăm năm, đã có trung bình 84 lần nhật thực một phần, 77 lần nhật thực toàn phần, 11 lần lần nhật thực toàn phần và 66 lần nhật thực toàn phần, tổng cộng là 238 lần nhật thực. Tuy nhiên, mỗi lần nhật thực một phần không thể nhìn thấy được trên toàn bộ Trái đất mà trên một phần hạn chế, mặc dù lớn của nó. Vùng nửa tối của mặt trăng (Hình 3) thường có bán kính khoảng 3500 km và trượt trên Trái đất theo hướng chuyển động của Mặt trăng - theo hướng đông. Ở trung tâm của vùng bán đảo có một điểm bóng, bán kính của nó có thể đạt tới 135 km. Nhưng cũng có thể phần đỉnh của hình nón bóng tối không chạm tới Trái đất, khi đó khoang giãn nở của hình nón rơi xuống bề mặt của nó, tạo ra hiện tượng nhật thực hình colle. Trong trường hợp nhật thực toàn phần, điểm bóng bị Mặt trăng mang đi với tốc độ khoảng một km mỗi giây, do đó thời gian dài nhất của nhật thực toàn phần ở một địa điểm nhất định không vượt quá 7 phút.

Có thể dự đoán trước nhật thực không? Hóa ra là bạn đã có thể dự đoán ngày xảy ra nhật thực sắp tới từ thời cổ đại, khi chu kỳ xen kẽ được chỉ định

Hình 3. T - diện tích nhật thực toàn phần; K - vùng nhật thực đại học.

23

Sự thay đổi các pha của Mặt trăng và vị trí của quỹ đạo Mặt trăng so với đường hoàng đạo. Trăng non luân phiên qua cái gọi là tháng giao hội, bằng 29,5306 ngày và sự quay trở lại của Mặt trăng đến nút này sẽ xảy ra sau 27,2122 ngày - khoảng thời gian được gọi là tháng draconic. Những con số này gần như có thể xảy ra:

242 trận đánh. tháng = 6585,357 ngày,
223 đồng bộ. tháng = 6585, 321 - "
chênh lệch = 0,036 - » - .

Khoảng thời gian này, được làm tròn thành 6585 ngày 1/3, hay 18 năm 10 1/3 hoặc 11 1/3 ngày, tùy thuộc vào số năm nhuận trong khoảng thời gian này, được gọi là karos. Theo Herodotus, nó được biết đến vào thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên. đ. Trong một karos, 15 lần nhật thực một phần, 14 lần nhật thực toàn phần, 2 lần nhật thực toàn phần và 12 lần nhật thực toàn phần sẽ xảy ra, và tổng cộng sẽ có 43 lần nhật thực, sau khi hết karos sẽ luân phiên theo thứ tự tương tự. Tuy nhiên, số ngày như vậy ở Karos dẫn đến thực tế là vào cuối Karos, Trái đất quay thêm 1/3 vòng, do đó nhật thực mỗi lần di chuyển 120° về phía tây. Do đó, với sự trợ giúp của carosa, chỉ có thể dự đoán ngày và tính chất chung của nhật thực trong tương lai mà không có gợi ý vị trí chi tiết về khả năng hiển thị của nó.

Giờ đây, nhật thực ảnh hưởng đến trước nhiều năm với độ chính xác đến vài giây và lên đến hai km ở vị trí có thể nhìn thấy, đây là kết quả của một công trình nghiên cứu lâu dài và lớn lao về nghiên cứu chuyển động của Mặt trời và Mặt trăng trên bầu trời đầy sao.

Năm 1981 được đánh dấu bằng hai lần nhật thực - nhật thực toàn phần xảy ra vào ngày 5 tháng 2 ở Nam Thái Bình Dương và nhật thực toàn phần xảy ra vào ngày 31 tháng 7. Nó bắt đầu ở vùng Kavkaz, khi một dải nhật thực toàn phần rộng 65 km đi vào bờ Biển Đen gần Ochamchir và từ đây đi theo hướng đông bắc qua Nalchik và Mozdok, băng qua phần phía bắc của Biển Caspian, ảnh hưởng đến vùng Aktibinsk. (Ga Berchogur trên tuyến đường sắt Tashkent),

24

Hình 5. Quá trình nhật thực ở Moscow.

sẽ đi một chút về phía bắc Tselinograd và Pavlodar, giữa Novosibirsk và Barnaul, qua Leninsk-Kuznetsky, phía nam Krasnoyarsk, qua Taishet, Bratsk, Severo-Baikalsk và Tynda, nơi thời lượng của pha tổng sẽ đạt 120 giây và chiều rộng của dải nhật thực toàn phần sẽ là 110 km ở độ cao của Mặt trời trên đường chân trời 53°. Dải này sẽ băng qua phần phía bắc của Thủy lợi Tatar tại Dekastri và đi qua Aleksadrovsk-Sakhalinsky và Biển Okhotsk, bao phủ một hòn đảo nhỏ khác của sườn núi Kuril và không ảnh hưởng đến các vùng đất rộng lớn, kết thúc ở Thái Bình Dương. Ở Liên Xô, toàn bộ quãng đường dài khoảng 7400 km sẽ bao phủ bóng tối của mặt trăng trong 101 phút.

Để quan sát nhật thực toàn phần, nhiều đoàn thám hiểm của Liên Xô và nước ngoài được cử đến giai đoạn toàn phần - chủ yếu đến Siberia và Viễn Đông, nơi nhật thực sẽ kéo dài nhất và có nhiều khả năng có thời tiết tốt nhất. Hãy chúc họ thành công.

Trên bản đồ nhỏ (Hình 4), một đường dày mô tả dải nhật thực toàn phần và các đường song song với nó, được đánh số 0,8, 0,6 và 0,4 (được gọi là hình ảnh), biểu thị những nơi mà pha định hướng của nhật thực một phần có độ lớn tương ứng. Các đường xiên, được gọi là đường đẳng thời, cung cấp thời gian ban ngày ở Moscow theo hướng hiện tại của các giai đoạn chỉ đạo. Vì vậy, ví dụ, Moscow nằm giữa hình ảnh 0,6 và 0,8, nhưng gần với hình ảnh sau, do đó cường độ của pha định hướng có thể ước tính là 0,72. Sử dụng isochrones, bạn có thể xác định thời gian truyền của giai đoạn này - 5 giờ 35 phút. Tính toán chính xác cho Moscow dựa trên thời gian nghỉ thai sản vào mùa hè:

mặt trời mọc 5 giờ 32 phút,
bắt đầu nhật thực một phần 5 giờ 43 phút,
pha nhật thực lớn nhất là 6 giờ 34,7 phút,
kết thúc nhật thực một phần 7 giờ 29,4 phút

Hình 5 cho thấy quang cảnh Mặt trời ở Moscow trong toàn bộ nhật thực cứ sau 10 phút.

Tóm lại, chúng tôi xin nhắc bạn rằng khi xảy ra nhật thực một phần, để tránh ảnh hưởng đến tầm nhìn của máy chủ, bạn không thể nhìn vào Mặt trời mà không có kính tối màu được bảo vệ, vì phần không được che phủ của đĩa mặt trời có độ sáng tương tự như bên ngoài nhật thực. Chỉ khi có pha nhật thực toàn phần, bạn mới có thể chiêm ngưỡng cảnh tượng tuyệt đẹp của sắc quyển và nhật hoa bằng mắt thường hoặc qua ống nhòm.

25

P. Kanaev

Một số thí nghiệm với quả bóng rỗng chứa đầy không khí

Các cửa hàng bán đồ thể thao bán một món đồ đơn giản dành cho người câu cá - một “quả nặng nổi”. Đây là một quả bóng nhựa rỗng có hai tai và một lỗ nhỏ, hơi thon dài (Hình 1). Với nó, bạn có thể thử nghiệm một số thí nghiệm vật lý thú vị.

Trước khi bắt đầu thí nghiệm, hãy tìm hiểu cách nhanh chóng đổ đầy nước (hoặc một số chất lỏng khác) vào quả bóng bay. Một ống tiêm không có kim hoặc bóng đèn cao su, trong đó có một ống rỗng từ bút bi được lắp vào, có thể giúp bạn điều này.

1. Hòa tan một vài tinh thể thuốc tím (kali permanganat) trong một lượng nhỏ nước nóng cho đến khi thu được dung dịch có màu đỏ thẫm. Đổ đầy dung dịch này vào quả bóng và hạ nó theo sợi chỉ vào bình thủy tinh chứa nước ở nhiệt độ phòng. (Để ổn định quả bóng, hãy buộc một vật nặng nhỏ vào tai dưới của nó.)

Ngay lập tức, một tia màu có đường kính bằng đường kính của lỗ bắt đầu bay lên từ lỗ (Hình 2). Dòng tia chạm tới “trần nhà” (lớp bề mặt), từ đó các dòng nước tách biệt chảy xuống. Quá trình này tiếp tục trong một thời gian khá dài.

Một số kinh nghiệm tầm nhìn. Chuẩn bị dung dịch thuốc tím ở nhiệt độ phòng và nhúng quả bóng vào nước ở cùng nhiệt độ - sẽ không có dòng màu nào xuất hiện từ lỗ.

Bây giờ, thêm một vài giọt rượu etylic vào dung dịch và lặp lại thí nghiệm - dòng màu chảy lên trên và khô trong một thời gian dài.

Tại sao tia màu xuất hiện trong trường hợp đầu tiên và trường hợp cuối cùng mà không xuất hiện trong trường hợp thứ hai?

Lý do của mọi thứ là sự chuyển động của các phân tử. Trong thí nghiệm đầu tiên, tốc độ chuyển động của các phân tử chất lỏng nóng lớn hơn tốc độ chuyển động của các phân tử nước lạnh trong bình - dòng nước ấm dâng lên. Trong thí nghiệm thứ hai, nhiệt độ của dung dịch và nước là như nhau, tốc độ chuyển động của các phân tử cũng như nhau. Ở thí nghiệm thứ ba, nhiệt độ cũng như nhau nhưng chuyển động của các phân tử rượu mạnh hơn, nhờ đó dung dịch bị đẩy ra khỏi lỗ.

2. Đổ đầy nước vào quả bóng bay. Sau đó dùng pipet để loại bỏ một ít nước (đầy khoảng ba pipet) và thêm cùng một lượng rượu etylic. Sau đó, che câu trả lời bằng nhựa.

Sau khoảng 20 phút, một bong bóng khí có kích thước bằng hạt đậu sẽ xuất hiện trên đầu quả bóng.

Nếu thay rượu etylic bằng dung dịch axit boric hoặc axit axetic,

26

slot, kết quả sẽ giống nhau.
Nếu cơ thể được thay thế bằng glycerin, bong bóng sẽ không xuất hiện.

Làm thế nào điều này có thể có nghĩa vụ?

Lý thuyết động học phân tử dạy rằng có những khoảng trống giữa các phân tử. Khi trộn nước với rượu, thể tích của hỗn hợp nhỏ hơn tổng thể tích của nước và rượu riêng biệt; Kết quả là một bong bóng xuất hiện. Điều tương tự cũng xảy ra trong hỗn hợp nước với axit boric hoặc axetic, nhưng trong hỗn hợp với glycerol, skatium không xảy ra (rõ ràng, trong trường hợp này, khoảng trống giữa các phân tử không được lấp đầy).

3. Lấy quả bóng và chạm vào mặt nước bằng các cạnh của lỗ. Lỗ sẽ được bao phủ bởi màng, nhưng sau 30-40 giây màng sẽ vỡ ra (bạn sẽ nghe thấy tiếng click nhẹ) và một giọt nước sẽ hình thành bên trong quả bóng ở mép lỗ.

Một lần nữa, siết chặt lỗ của quả bóng bằng màng, nhưng bây giờ dùng kim đâm vào giữa màng. Bộ phim vẫn còn nguyên vẹn trong một thời gian rất dài.

Tại sao màng lại tồn tại rất ngắn ở lớp đầu tiên và bền ở lớp thứ hai?

Thực tế là màng nước hình thành trên lỗ chỉ ở rìa hơn là ở giữa (do bị ướt). Do đó, nếu mặt phẳng của màng không hoàn toàn nằm ngang (điều này rất có thể xảy ra), nước sẽ dịch chuyển dọc theo độ dốc và màng sẽ mỏng đi. Đến một lúc nào đó màng sẽ vỡ ra và nước sẽ tích tụ lại thành từng giọt.

Độ bền của màng ở lớp thứ hai được giải thích là do kim được làm ướt tốt bằng nước và nước được hút từ các mép đến điểm tiếp xúc với kim. Bộ phim chỉ trở nên mạnh mẽ hơn.

4. Chuẩn bị hai lọ thủy tinh, mỗi lọ có dung tích 0,5 lít. Đổ đầy nước ở nhiệt độ phòng vào cả hai lọ. Nhỏ một ít dầu gội pha loãng trong nước (tỷ lệ 1:4) vào một trong số chúng từ pipet.

Đổ đầy nước sạch vào quả bóng và cẩn thận hạ nó vào lọ dung dịch dầu gội. Quả bóng sẽ ngay lập tức chìm xuống đáy.

Bạn có thể đặt bề mặt của quả bóng dưới vòi nước và cẩn thận hạ nó vào bình nước sạch. Gần như ngâm hoàn toàn trong nước, quả bóng không chìm, mặc dù lực hấp dẫn hơi vượt quá lực nổi.

Tại sao quả cầu nước chìm ở lớp này mà không chìm ở lớp khác? Quả bóng có chìm trong đường hòa tan yếu trong nước không?

Hóa ra mọi thứ đều phụ thuộc vào sức căng bề mặt của chất lỏng và vào việc chất lỏng này có làm ướt bề mặt quả bóng hay không. Do đó, hệ số căng bề mặt của nước tinh khiết lớn gần gấp đôi so với dung dịch xà phòng và nhựa ít bị ướt bởi nước. Vì vậy quả bóng không chìm trong nước.

Đường cũng sẽ làm tăng sức căng bề mặt của nước, do đó trong dung dịch đường yếu quả bóng cũng không chìm.

5. Lấy một sợi dây có đường kính 2-3 mm và chiều dài khoảng một mét. Giũa một đầu của dây và chèn nó theo một góc vuông vào mắt của quả bóng gần lỗ nhất. Từ từ hạ quả bóng vào bể hoặc xô nước và từ từ nhấc nó lên mặt nước. Bạn sẽ thấy khi nhấc quả bóng lên, bọt khí sẽ bay ra khỏi lỗ của nó. Bóng chìm càng sâu thì bong bóng bay ra càng nhiều.

Làm thế nào để đảm bảo sự hình thành và tách bọt khí khi nâng bóng?

Khi quả bóng hạ xuống, không khí bên trong nó bị loại bỏ và một lượng nước nhất định đi vào quả bóng. Khi nó tăng lên, áp suất bên ngoài giảm, không khí trong quả bóng nở ra và bong bóng hình thành ở mép lỗ. Kích thước của bong bóng tăng dần và cổ tử cung được hình thành, khô đi. Trong trường hợp này, lực nổi hướng lên trên tăng lên và lực của bề mặt căng giữ bong bóng giảm đi. Đến một thời điểm nào đó, các lực này cân bằng, bong bóng vỡ ra và có dạng hình cầu.

27

Hãy xem xét sự khác biệt

Thật khó để tìm thấy một tập hợp Olympid hoặc đại số bài toán trong đó các bài toán thuộc loại này không xuất hiện: để chứng minh rằng với mọi n tự nhiên

a) $7^{2n} - 5^{2n}$ chia hết cho 24;
b) $n^3 - n$ chia hết cho 6;
c) $\frac{n^5 - 5n^3 + 4n}{120}$ số nguyên;
d) $3^{2n+3} + 40n - 27$ chia hết cho 64;
e) $2^{2n-1} - 9n^2 + 21n - 14$ chia hết cho 27;
f) $5^n(5^n + 1) - 6^n(3^n + 2^n)$ chia hết cho 91;
g) $\frac{n^5}{5} + \frac{n^3}{3} + \frac{7n}{15}$ số nguyên.

Hãy thử giải những bài toán này. Bạn có thể sẽ thấy nhiều thông báo khác nhau như sau:
tại bài toán
a) lợi dụng thực tế là $7^2 - 5^2 = 24$ và cùng dấu
$$a^n - b^n = (1) = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + b^{n-1})$$,
chứng tỏ rằng $a^n - b^n$ luôn chia hết cho $a - b$;
b) khai triển đa thức ở tử số thành năm thừa số $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ và thay gót của các số liên tiếp bằng một số chia hết cho 3, một cho 5, một cho 4 và một thừa số chia hết cho 2 (và không chia hết cho 4);

e) biểu thị hiệu bằng $(25^n - 18^n) - (12^n - 5^n)$ và $(25^n - 12^n) - (18^n - 5^n)$ để chứng minh khả năng chia hết của nó cho 7 và 13;
g) chứng minh riêng tính chia hết của $5n^3 + 7n$ cho 3 và tính chia hết của $3n^5 + 7n$ cho 5.

Không làm mất đi vẻ đẹp và sự hữu ích của những điều kỳ diệu này cũng như những kỳ quan tương tự khác, chúng tôi muốn hiểu một công thức chung cho tất cả những điều bài toán đó.

Chúng ta sẽ thấy rằng chỉ cần kiểm tra tính hợp lệ của từng câu a) - g) đối với một số nhỏ các giá trị đầu tiên của n (trong bài toán a) cho hai, d) cho ba, v.v.) để chắc chắn về tính hợp lệ của chúng đối với tất cả n.

Và người đọc hiểu đủ kỹ về ghi chú sẽ có thể tạo bài toán mới với số lượng không giới hạn (ngay cả những trường hợp xảy ra số vô tỷ):

3. số $45^n + (-44)^n - 1$ chia hết cho 1980;
   i) số $[(6 + \sqrt{31})^n] - 2^n + 1$ chia hết cho 10; Tổng quát nếu m, a, b là số tự nhiên và b < 2a thì số $[(am + 1 + \sqrt{a^2m^2 + bm + 1})^n] - 2^n + 1$ chia hết cho 2m (ở đây [x] là phần nguyên của số x) *).

Tổng số khác biệt

Trước khi xây dựng các định lý tổng quát, chúng ta hãy chứng minh quá trình giải thích của chúng ta bằng ví dụ d). bài toán này, cũng như hệ quả tất yếu sau đây từ Định lý 2 và Bổ đề 1, tạo thành nội dung của bài toán M629 từ Zadaniak «Kvant».

Hãy xem xét sự khác biệt giữa các giá trị của hàm này
$$f(n) = 2^{2n-1} - 9n^2 + 21n - 14$$
tại các điểm n+1 và n:
$$g(n) = f(n+1) - f(n) = 3 \cdot 2^{2n-1} - 18n + 12.$$
Ta muốn chứng minh rằng $f(n)$ chia hết cho 27 với mọi n=1, 2,…

*) Hai bài toán này được gửi vào năm ngoái bởi độc giả B. Chuchin từ làng của chúng tôi. Voznesenskoye, Lãnh thổ Khabarovsk và Walter Janous từ Innsbruck (Áo).

29

Làm thế nào để đưa ra một bài toán mới?

Không có gì có thể đơn giản hơn. Ví dụ: chúng ta hãy chọn $a, b$ và $c$ sao cho biểu thức $f(n) = an + b + c \cdot 9^n$ thuộc về (bất kỳ giá trị nguyên nào!) cho $n = -1$, $n = 0$ và $n = 1$. thì theo Định lý 2 (đối với $k = 2$), số $f(n)$ sẽ là số nguyên đối với mọi số nguyên $n \geq -1$.

Hãy lấy, ví dụ, $f(-1) = -1$, $f(0) = 0$, $f(1) = 4$. Đã giải quyết được hệ thống

$$\begin{cases} -a + b + c/9 = -1, \\ b + c = 0, \\ a + b + 9c = 4. \end{cases}$$

chúng ta sẽ tìm thấy $a = \frac{5}{8}$, $b = -\frac{27}{64}$, $c = \frac{27}{64}$.

Đây có lẽ chính xác là ví dụ d) đã được phát minh ra cách đây rất lâu. Chúng tôi khuyên người đọc nên tự mình đưa ra một vài ví dụ mới.

Nhưng con đường của chúng ta vẫn chưa kết thúc: chúng ta muốn khái quát hóa định lý để nó cũng bao gồm các ví dụ trong đó có một số cấp số nhân.

Tổng số tiến triển

Hãy thử chứng minh điều tương tự này với Định lý 1 và 2 của chúng tôi:

Định lý 3. Nếu $q_1, q_2, \dots, q_r$ là số nguyên $u$
$f(n) = c_1 q_1^n + c_2 q_2^n + \dots + c_{r-1} q_{r-1}^n + c_r q_r^n$
là số nguyên cho $n = 1, 2, \dots, r$, thì $f(n)$ là số nguyên cho mọi số tự nhiên $n$.
(Bổ đề 1 là trường hợp đặc biệt của định lý cho $r = 2, q_2 = 1$).

Gợi ý. Để chứng minh Định lý 3, cần xét hiệu $g(n) = f(n+1) - q_r f(n)$. Vì $g(n) = c_1 (q_1 - q_r) q_1^n + \dots + c_{r-1} (q_{r-1} - q_r) q_{r-1}^n$ là tổng của $r-1$ cấp số nhân và trong điều kiện của định lý, số $g(n)$ là số nguyên cho $1 \leq n \leq r-1$, nên định lý có thể được chứng minh bằng quy nạp trên $r$: xét cho cùng
$$f(n) = g(n-1) + q_r g(n-2) + \\ + q_r^2 g(n-3) + \dots + q_r^{n-1} g(1) + q_r^n f(1).$$
(Tak, trong bài toán 3) chúng ta có thể xét hiệu $f(n+1) - 45f(n)$.

Bài tập 1. Kiểm tra các ví dụ a), e) sử dụng Định lý 3 và đưa ra một số ví dụ mới cho nó.

Chúng tôi hy vọng rằng chúng tôi đã đánh thức niềm đam mê khái quát hóa của người đọc và chúng tôi cung cấp cho họ những bài tập khó hơn sau đây:

2. Hình thành và chứng minh các điều tương tự của Định lý 1–3

a) với tổng $r$ cấp số nhân và đa thức bậc $k-1$;

6. cho tích của một cấp số (có giá trị nguyên) theo một đa thức.

Hãy đưa ra một số ví dụ để áp dụng định lý của bạn.

3. Bạn có thể xây dựng định lý tổng quát nào hơn thuộc loại này?

4. Có thể, theo các điều kiện của định lý của chúng tôi, có thể giảm số điểm cần xác minh không?

5. Chứng minh nhận định và phát biểu khái quát hóa và phát biểu khái quát hóa được chứng minh rõ ràng và đơn giản hơn phát biểu cụ thể. Một minh họa tuyệt vời cho điều này là định lý sau đây, tuy có công thức khá phức tạp nhưng lại khái quát hóa các định lý trước đó và cho phép bạn trả lời tất cả các câu hỏi trong bài tập 2–5.

Định lý 4. Gọi biểu thức $f(n)$ là tổng của $r$ đa thức nhân với một cấp số nhân nào đó. Chúng ta hãy xây dựng một đa thức có hệ số cao nhất là 1, các nghiệm của nó là mẫu số của các cấp số $r$ này và bội số của mỗi nghiệm lớn hơn một bậc so với bậc của đa thức tương ứng. (Bậc $k$ của đa thức đặc trưng này bằng tổng của số $r$ cấp số nhân và bậc của tất cả các đa thức mà chúng được nhân với chúng.) Nếu (1) tất cả các hệ số của đa thức đặc trưng là số nguyên và (2) các giá trị của $f(n)$ là số nguyên tại $n=1, 2, \dots, k$, trong đó $k$ là bậc của đặc trưng đa thức thì $f(n)$ sẽ không bị ảnh hưởng ngay cả với $n>k$ hoàn toàn tự nhiên.

Tất nhiên, để điều kiện (1) được đáp ứng, điều đủ (nhưng không cần thiết) là tất cả các cấp số được chỉ ra đều là số nguyên. Vai trò của các hệ số của một đa thức đặc trưng được rõ ràng từ bổ đề quan trọng hiển nhiên sau đây, việc xác minh chúng tôi dành cho người đọc:

30

Bổ đề 2. Hãy để
$$f(x) = B_1(x)q_1^x + B_2(x)q_2^x + \dots + B_r(x)q_r^x,$$
(3)
thức ăn $B_i(x)$ là đa thức bậc $k_i-1$ ($i=1, 2, \dots, r$), và
$$D(\lambda) = (\lambda-q_1)^{k_1}(\lambda-q_2)^{k_2} \dots (\lambda-q_r)^{k_r} = \lambda^k + d_1\lambda^{k-1} + d_2\lambda^{k-2} + \dots + d_{k-1}\lambda + d_k.$$
Khi đó thức ăn cho tất cả $x$ đẳng thức được đáp ứng:
$$f(x) + d_1f(x-1) + d_2f(x-2) + \dots + d_kf(x-k) = 0.$$

Định lý 4 suy ra ngay từ đây: nếu tất cả các hệ số $d_1, \dots, d_k$ được đặc trưng bởi đa thức $D(\lambda)$ - số nguyên, thì từ đẳng thức (3) suy ra rằng $f(n)$ cho mỗi $n > k$ thu được bằng cách cộng các giá trị nguyên $f(n-1), f(n-2), \dots, f(n-k)$ nhân với các hệ số nguyên cố định.

Để minh họa, hãy xem xét hai ví dụ cắt.

e) Đặt $f(n) = \frac{1}{2} \cdot 4^n + (-9n^2 + 21n-14) \cdot 1^n$. Đây $D(\lambda) = (\lambda-4)(\lambda-1)^3 = \lambda^4 - 7\lambda^3 + 15\lambda^2 - 13\lambda + 4$. Pozny dành cho mọi người $n$
$$f(n) = 7f(n-1) - 15f(n-2) + 13f(n-3) - 4f(n-4).$$

Cụ thể, sau $f(1) = f(2) = f(3) = 0$ và $f(4) = 54$ có $f(5) = 7 \cdot 54 = 378$, $f(6) = 7 \cdot 378 - 15 \cdot 54 = 1836, \dots$; Đương nhiên, tất cả chúng sẽ chia hết cho 27 (sau đây cho 54).

i) Đặt $f(n) = \frac{(6+\sqrt{31})^n}{10} + \frac{(6-\sqrt{31})^n}{10} - \frac{2^n}{10}$. Ở đây các hệ số của đa thức $D(\lambda) = (\lambda^2 - 12\lambda + 5)(\lambda-2) = \lambda^3 - 14\lambda^2 + 19\lambda - 10$ cũng là số nguyên. Sau các số hạng đầu tiên $f(0) = \frac{1}{10}, f(1) = 1, f(2) = 13$, tất cả các số hạng tiếp theo $f(n)$ được xác định bằng sự tương ứng đệ quy
$$f(n) = 14f(n-1) - 19f(n-2) + 10f(n-3).$$

Đặc biệt, $f(3) = 14 \cdot 13 - 19 \cdot 1 + \frac{10}{10} = 124$ là số nguyên nên tất cả $f(n)$ với $n=4, 5, \dots$ cũng sẽ là số nguyên.

Trong bài tập cuối cùng, chúng tôi mời người đọc hiểu cách sử dụng Bổ đề 2 để chứng minh các trường hợp từng phần của Định lý 4 đã thảo luận.

31

Bài toán

M686—M690; F698—F702

M686. Với mọi số $x \geqslant 1$ đẳng thức có đúng không?
$$[\sqrt{x}] = [\sqrt{\sqrt{x}}]?$$
(Ở đây $[y]$ biểu thị phần nguyên của số $y$.)
V. Prasolov

M687. a) Ở dạng cơ bản chín hạt, tất cả 9 gân bên và tất cả 27 đường chéo của đế đều có màu: một số màu đỏ, số còn lại màu xanh. Chứng minh rằng có ba đỉnh của một hình gốc làm ba đỉnh của một tam giác có tất cả các cạnh được tô cùng một màu.
6) Tuyên bố tương tự có đúng với hình bát giác nguyên thủy không?

H. Nenov (Bulgaria)

M688. Cho các số tự nhiên $a_1, a_2, \dots, a_n$ sao cho $a_k \leqslant k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Chứng minh rằng một trong các biểu thức
$$a_1 \pm a_2 \pm a_3 \pm \dots \pm a_n$$
bằng không.
S. Nenashev

M689*. Chứng minh rằng không thể tạo thành một hình chữ nhật từ những viên gạch giống hệt nhau có dạng hình thang đều có cạnh 3 cm, 1 cm và chiều cao 1 cm.
S. Rukshin

M690*. a) Bên trong một đa giác lồi có diện tích $S_1$ và chu vi $P_1$ có một đa giác lồi có diện tích $S_2$ và chu vi $P_2$. Chứng minh bất đẳng thức
$$2 \frac{S_1}{P_1} > \frac{S_2}{P_2}.$$
6) Lập và chứng minh mệnh đề tương tự cho đa giác lồi.
A. Kelarov

F698. Theo quyết định nào đó, các bộ phận được di chuyển bằng hai băng tải, các dây đai của chúng di chuyển theo hướng vuông góc với nhau.

32

các hướng có cùng giá trị tuyệt đối của tốc độ $v_0$ (Hình 1). Trong trường hợp này, bộ phận gọi thiết bị vận chuyển II dừng ở giữa băng tải. Tốc độ của phương tiện vận chuyển II đã tăng $n$ lần. Cần thay đổi tốc độ của băng tải I như thế nào để các bộ phận vẫn dừng ở giữa băng tải II? Bỏ qua kích thước của các bộ phận; giả định rằng quá trình chuyển đổi sang chất vận chuyển II xảy ra mà không có tác động.

A. Omelyanchik

F699. Một mao quản cong có bán kính $r$ (Hình 2), chứa đầy chất lỏng, quay quanh trục thẳng đứng $OO'$. Với tốc độ góc quay bằng bao nhiêu thì chất lỏng bắt đầu chảy ra khỏi mao quản? Mật độ chất lỏng $q$, sức căng bề mặt $\sigma$, chất lỏng làm ướt hoàn toàn thủ đô; Kích thước của thủ đô được thể hiện trong Hình 2.

A. Buzdin

F700. Có hai dây dẫn $A$ và $B$ có ​​hình dạng tùy ý. Ban đầu, dây dẫn $A$ có điện tích $Q$, nhưng dây dẫn $B$ không được tích điện. Các dây dẫn được tiếp xúc (Hình 3) và điện tích $q$ chảy vào dây dẫn $B$. Một điện tích bổ sung $q_x$ được truyền vào dây dẫn tiếp xúc và kết quả là một điện tích $q$ xuất hiện trên dây dẫn $A$. Xác định điện tích $q_x$.

S. Krotov

F701. Hình 4 cho thấy sự phân bố nhiệt độ dọc theo một thanh mỏng, đồng nhất, cách nhiệt tại một thời điểm nhất định. Sự phân bố nhiệt độ sẽ thay đổi như thế nào trong tương lai? Sự phân phối nào sẽ được thiết lập sau một thời gian đủ dài?

O. Savigan

F702. Hai hệ, mỗi hệ gồm hai khối lượng giống hệt nhau $m$, được nối với nhau bằng một lò xo có độ cứng $k$, chuyển động dọc theo một bề mặt nằm ngang nhẵn về phía nhau với cùng tốc độ $v_0$. Tại một thời điểm nào đó, khoảng cách giữa các hệ thống là $L$ (Hình 5). Xác định thời gian sau đó khoảng cách giữa các khối lượng giống nhau lại bằng $L$. Va chạm của hệ được coi là đàn hồi tuyệt đối.

V. Mozhaev

33

Lời giải bài toán

M641. Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O. Điểm M và N là trung điểm của các cạnh CD và DE. Các đường thẳng AM và BN cắt nhau tại điểm L. Chứng minh rằng
a) tam giác ABL và tứ giác DMLN có diện tích bằng nhau;
b) ALO = OLN = 60°;
c) OLD = 90°.

Tất cả các phát biểu bài toán đều dễ dàng có được từ một quan sát: khi quay 60° quanh tâm O, tứ giác AMCB được ánh xạ lên tứ giác BNDC.
Thật vậy, khi xoay $R_0^{60°}$ (ngược chiều kim đồng hồ), điểm A đi tới điểm B, điểm B đến điểm C, cạnh CD ánh xạ tới cạnh DE, sao cho M ở giữa của cạnh CD đi vào giữa N của cạnh DE (xem hình). Do đó, tứ giác AMCB và BNDC là hai tứ giác tắc nghẽn nên diện tích bằng nhau. Trừ diện tích của tứ giác BCML khỏi các diện tích bằng nhau này, chúng ta thu được diện tích bằng nhau, tức là tam giác ABL và tứ giác DMLN có kích thước bằng nhau.

Vì khi quay $R_0^{60°}$ tia AM được ánh xạ lên tia BN nên góc giữa các hướng của các tia này bằng góc quay, tức là $ALB = 60°$. Vì vậy, $ALN = 120°$. Chúng tôi trình bày hai chứng minh $ALO = OLN = 60°$ và $OLD = 90°$.

1°. Hãy sử dụng thực tế hiển nhiên này: nếu hai đường thẳng cắt nhau tại điểm K và cách đều điểm P thì đường thẳng PK đóng vai trò là phân giác của góc giữa hai đường thẳng này (chứa điểm P). Vì điểm O cách đều các đường thẳng AM và BN nên OL là ma trận nhị phân của góc ALN, tức là $ALO = OLN = 60°$. Vì điểm D cách đều các đường thẳng AM và BN bằng nhau (cùng khoảng cách với C cách đường thẳng AM), $NLD = DLM = 30°$, tức là $OLD = 90°$.

2°. Một đường tròn có thể được mô tả xung quanh tứ giác DMON, vì các góc ở đỉnh M và N của nó là góc vuông. Điểm L cũng thuộc đường tròn này. Điều này xuất phát từ thực tế là trong tứ giác DMLN tổng các góc tại đỉnh D và L bằng 180°. Nhận thấy rằng $ODN = 60°$, chúng ta áp dụng định lý góc nội tiếp. Sau đó chúng ta nhận được $OLN = ODN = 60°$ và $OLD = OMD = 90°$.

E. Gotman

M642. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng $a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \dots + 2^n a_n$, trong đó mỗi số là $a_k = 0, -1$ hoặc 1 và $k \cdot a_{k+1} = 0$ với mọi $0 \leq k \leq n-1$, và cách biểu diễn như vậy là duy nhất.

Xem xét các lượt xem bắt buộc
$$A = a_0 + 2a_1 + 2^2a_2 + \dots + 2^n a_n$$
(*)
($a_k = 0, -1$ hoặc 1, $a_k \cdot a_{k+1} = 0$) đối với một số số tự nhiên dễ dàng thấy rằng

1. dấu cuối cùng+dừng ở $2^n$ (chữ số có nghĩa nhất $a_n = +1$) cho các số A từ $2^n - 2^{n-2} - 2^{n-4} - \dots$ đến $2^n + 2^{n-2} + 2^{n-4} + \dots$ (ví dụ: trong bảng của chúng tôi ở lề, dấu cuối cùng+dừng ở $2^3$ cho các số A từ $2^3 - 2 = 6$ đến $2^3 + 2 = 10$, tại $2^4$ cho các số A từ $2^4 - 2^2 = 1 = 11$ đến $2^4 + 2^2 + 1 = 21$, v.v.);
2. dấu đầu tiên (chữ số phụ $a_0 \neq 0$) được lặp lại định kỳ với khoảng thời gian là 4, nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vào số dư khi chia A cho 4 ($a_0 = 0$ thậm chí còn được lặp lại thường xuyên hơn - với khoảng thời gian là 2).

Hai cách chứng minh về biểu diễn mong muốn (*) và tính duy nhất của nó được xây dựng trên hai người quan sát này. Cả hai cách chứng minh này đều được thực hiện bằng quy nạp, nghĩa là một phát biểu hợp lệ cho một số A cho trước được suy ra từ tính đúng đắn của nó đối với mọi số A.

1°. Chúng ta hãy biểu thị số $2^n + 2^{n-2} + 2^{n-4} + \dots$ bằng $M_n$ (số hạng cuối cùng ở đây là $2^1 = 2$ cho số lẻ $n$ và $2^0 = 1$ cho số chẵn $n$). Hãy chứng minh rằng mỗi số $A \leq M_n$ được biểu diễn dưới dạng (*) một cách duy nhất và $a_n = 1$ đối với các số
$$2^n - M_{n-2} \leq A \leq 2^n + M_{n-2} = M_n.$$

34

MB43. Các thẻ có số 1, 2, …, 32 được xếp theo thứ tự. Được phép loại bỏ bất kỳ số lượng thẻ nào ở phía trên và đặt chúng vào giữa một số thẻ còn lại hoặc bên dưới nó mà không thay đổi thứ tự của cả hai, nếu không thì tùy ý.

Hoạt động này được gọi là di chuyển em.

1. Chứng minh rằng sau 5 nước đi bạn có thể a) sắp xếp lại các quân bài theo thứ tự ngược lại;

6. sắp xếp các thẻ theo thứ tự bất kỳ.

11. Chứng minh rằng không phải thứ tự bài nào cũng có thể lấy được sau 4 nước đi.

Hình 1.

Chúng ta có thể (vì chúng ta chứng minh bằng quy nạp) coi phát biểu của mình đã được chứng minh với các số $A$ không vượt quá $M_{n-2}$. Bằng cách sử dụng điều này, chúng ta thu được biểu diễn () cho bất kỳ số nguyên $A$ nào từ khoảng (1). Thật vậy, $A=2^n$ hoặc $1 \leqslant A-2^n \leqslant M_{n-2}$ hoặc $1 \leqslant 2^n-A \leqslant M_{n-2}$. Bằng cách cộng biểu diễn của số $A-2^n$ với $2^n$ hoặc trừ biểu diễn của số $2^n-A$ khỏi nó, chúng ta thu được biểu diễn () cho $A$.

Lưu ý rằng

$$2^n-M_{n-2}-1=M_{n-1};$$

đẳng thức này trở nên rất mạnh nếu nó được viết như thế này:

$$2^n-1=M_{n-2}+M_{n-1}=2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\dots+1.$$

Như có thể thấy từ đẳng thức (2), các khoảng (1) cho $n=1, 2, 3, \dots$ không trùng nhau và lấp đầy toàn bộ tập hợp số tự nhiên $N$, do đó biểu diễn (*) tồn tại cho mọi $A$. Từ đây tính duy nhất của nó cũng trở nên rõ ràng: cho $A \in \mathbb{N}$ chữ số $n$ của chữ số đứng đầu $a_n=1$ được xác định duy nhất và phép cộng $|2^n-A|$ được biểu diễn một cách duy nhất bằng giả định quy nạp.

$$2^\circ.$$ Nếu $A$ là số chẵn thì $a_0=0$ và cách biểu diễn () của số $A=2m$ thu được từ cách biểu diễn số nhỏ hơn $m$ “được dịch chuyển” bởi một chữ số. Nếu $A$ là số lẻ thì $a_0=\pm 1$ và $a_1$ phải bằng 0; do đó, số $A-a_0$ được chia cho 4 và cách biểu diễn () của số $A=4m+a_0$ được lấy từ cách biểu diễn số nhỏ hơn $m$ bằng cách “vuốt” thành hai chữ số và cộng số $a_0$ sang bên trái. Trong tất cả các trường hợp này, tính duy nhất của cách biểu diễn số $A$ suy ra từ tính duy nhất của cách biểu diễn số $m$.

Cách biểu diễn duy nhất của số 1 rất giống nhau: nếu $n>1$ và $|a_n|=1$ thì $|a_0+a_1 \cdot 2+\dots+a_n \cdot 2^n| \geqslant 2^n-(2^{n-2}+2^{n-4}+\dots) \geqslant 2$.

N. Vasiliev

◆

Hãy để chúng tôi trình bày hai lời giải trong số bài toán này.

Đầu tiên là lời giải. Chúng ta sẽ giả định rằng các quân bài trong chồng bài được sắp xếp theo thứ tự ngẫu nhiên. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng chúng có thể được sắp xếp theo năm chuyển động, nhưng không phải lúc nào cũng theo bốn chuyển động. Như vậy bài toán sẽ được giải quyết.

Chúng ta hãy gọi một đoạn là một nhóm thẻ nằm thành một hàng, số lượng thẻ tăng theo khoảng cách tính từ đầu ngăn xếp. Độ dài của một đoạn sẽ là số lượng thẻ có trong đó.

Nếu có hai phân đoạn, thì bạn luôn có thể thực hiện mà không cần thay đổi thứ tự của các thẻ trong mỗi phân đoạn đó bằng cách di chuyển chúng để có được một phân đoạn bao gồm các thẻ từ các phân đoạn này và chỉ từ chúng. Chúng ta sẽ nói rằng một phân đoạn như vậy có được bằng cách hợp nhất hai phân khúc. Rõ ràng là độ dài của kết quả hợp nhất bằng tổng độ dài của các đoạn hợp nhất.

Trước tiên, chúng ta hãy đánh dấu 32 đoạn có cùng độ dài trong một chồng thẻ và sau đó thực hiện các chuyển động như sau:

1. chia ngăn xếp làm đôi;
2. hợp nhất các phân đoạn tương ứng từ nửa thứ nhất và nửa thứ hai của ngăn xếp theo cặp;
3. Hãy để chúng tôi lưu ý các phân đoạn là kết quả của việc hợp nhất điểm 2).

Chúng tôi sẽ lặp lại thao tác này năm lần (Hình 1 cho thấy điều gì xảy ra với các phân đoạn thu được sau lần hợp nhất thứ hai). Độ dài của các đoạn phồng lên trước khi chuyển bằng một nửa chiều dài của các đoạn phồng lên sau đó (xem Hình 1). Do đó, sau thao tác thứ năm, độ dài của đoạn sưng lên (duy nhất!) Sẽ bằng $2^5=32$. Điều này chứng minh các câu a) và b) bài toán (đối với điểm a) các chuyển động cần thiết đã được đưa ra ở lề).

Để chứng minh rằng các quân bài được xếp ngẫu nhiên không thể xếp thứ tự trong 4 nước đi, chúng tôi giới thiệu