Kvant 1982, số 9 · Trang

ISSN 0130-2221
9
1982
Tạp chí VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC PHỔ BIẾN
VIỆN KHOA HỌC LIÊN XÔ VÀ VIỆN KHOA HỌC SƯ PHÁP LIÊN XÔ

41. Khi bạn di chuột, các trang trong trích dẫn sẽ được chuyển từ chính chúng, nhưng tất cả các điều kiện dường như bị bỏ qua theo chiều dọc.

42. Nó đưa ra phần trên kèm theo, nơi có các đường tọa độ. Họ đã sử dụng nó liên tiếp. Gela, mặt trời là kẻ hôn, galovai thích hợp, nima thích hợp, nima thích hợp.

Trên trang này, chúng tôi sao chép các bức vẽ của K. E. Tsiolkovsky từ “Album du hành vũ trụ” của ông. “Album” được nhà khoa học coi là cẩm nang đầu tiên dành cho những người chinh phục không gian quốc tế trong tương lai. Tsiolkovsky là người đầu tiên chứng minh, trên cơ sở phân tích khoa học chặt chẽ, rằng trong các chuyến bay vào vũ trụ, ngay sau khi động cơ ngừng hoạt động, trạng thái không trọng lượng sẽ xuất hiện. Đặc biệt sáng tạo trong công việc của nhà khoa học là sự kết hợp có tổ chức giữa tính toán chính xác và sự rõ ràng về mặt hình tượng, và “Album du hành vũ trụ” là một ví dụ sinh động về điều này.

TRONG VẤN ĐỀ NÀY: TRONG VẤN ĐỀ NÀY:

Chúc mừng năm học mới! 2 Chúc năm học mới thành công!

Yu. Osipov. Lực hấp dẫn 4 Yu. Osipov. Bắt hấp dẫn
A. Stasenko. Bay nhanh hơn và xa hơn 12 A. Stasenko. Để bay nhanh hơn và xa hơn
A. Buzdin, V. Tugushev. How low temperature physics was created 19 A. Buzdin, V. Tugushev. Vật lý nhiệt độ thấp được tạo ra như thế nào
B. Yavelov. Louis de Broglie 28 B. Yavelov. Louis de Broglie

vòng tròn toán học
I. Kamyshko. Paul Dirac và bài toán về ba ngư dân 30 I. Kamyshko. Câu chuyện Paul Dirac và ba người đánh cá

Sách bài tập «Kvant» Bài toán của Kvant
Giải thưởng «Kvant» 32 người đoạt giải Kvant
Bài toán M761—M765; F773—F777 33 Problems M761—M765; P773—P777
Lời giải bài toán M731—M738; F743—F747 36 Solutions M731—M738; P743—P747
Danh sách bạn đọc gửi đúng lời giải 47 List of readers who have sent correct solutions

«Kvant» cho học sinh nhỏ Kvant for younger school children
Bài toán 49 Problems
V. Nakhshin. Khái niệm định nghĩa và định nghĩa khái niệm 50 V. Nakhshin. Khái niệm định nghĩa và định nghĩa khái niệm

Phần ứng viên đại học
G. Levitas. Sử dụng đồ thị 54 G. Levitas. Sử dụng đồ thị

Thông tin
E. Yunosov. IV Moscow Tour of Young Physicists 57 E. Yunosov. Cuộc thi vật lý trẻ Moscow lần thứ IV

Đáp số, gợi ý, lời giải Answers, hints, solution
Đánh giá, thư mục (29) Đánh giá sách (29)
Trộn (18, 46, 61) Khác (18, 46, 61)

trang cờ vua
Cách thắng khi thua (trang bìa thứ 3)

Bìa trước có hình minh họa kích thước thật của cáp siêu dẫn được sử dụng trong các hệ thống siêu dẫn lớn. Bên trong chất siêu dẫn mỏng gấp đôi, được bao quanh bởi kim loại có độ dẫn nhiệt điện tử cao.
Đọc về việc phát hiện ra chất siêu dẫn trong bài viết của A. Buzdin và V. Tugushev “Vật lý nhiệt độ thấp được tạo ra như thế nào”.

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1982

2

Chúc mừng năm học mới!

Các bạn thân mến!

Năm 1982 có rất nhiều sự kiện có ý nghĩa chính trị quan trọng, mỗi sự kiện đều có ảnh hưởng trực tiếp đến công việc của trường chúng ta.

Kỷ niệm 60 năm thành lập Liên Xô được tổ chức. Đất nước chúng ta đã đi được bao xa trong những năm qua! Đây là quốc gia đầu tiên trên thế giới chuyển đồng rúp để hoàn thành chương trình giáo dục trung học cho thế hệ trẻ. Cô có thể tự hào rằng số tiền rúp mới này mang lại trình độ đào tạo khoa học sâu sắc cho giới trẻ. Sinh viên tốt nghiệp trường Liên Xô có đặc điểm là có khả năng thâm nhập sâu vào cả hiểu biết về các quy luật xã hội và thế giới vật chất. Sự phát triển hài hòa của một con người đạt được thông qua kiến ​​thức về các chân lý khoa học, sự tham gia khả thi liên tục vào các công việc lao động có ích cho xã hội và việc tiếp thu các kỹ năng ứng xử đạo đức cao. Trường học đã trở thành cơ sở giáo dục nhà nước quan trọng nhất, nơi đào tạo những người trẻ xây dựng xã hội cộng sản.

Hội nghị toàn thể tháng 5 (1982) của Ủy ban Trung ương CPSU đã đưa ra Chương trình Lương thực Liên Xô. Việc biến nó thành hiện thực là tùy thuộc vào bạn. Chúng tôi còn nhiều việc phải làm ở phía trước. Mọi thành tựu tư tưởng của con người nhanh chóng được chuyển hóa thành những việc làm cụ thể, những cỗ máy mới, những công nghệ hữu hiệu. Mọi thứ hoàn hảo đều trở thành lao động, nền tảng của doanh nghiệp. Và bạn cần phải chuẩn bị tốt. Người công nhân hiện đại là người hiểu sâu sắc các quá trình diễn ra trong sản xuất vật chất và có khả năng sử dụng chúng một cách hoàn thiện nhất. Đó là lý do tại sao việc phát triển hệ thống các nhóm lợi ích, các khóa học tự chọn, các hiệp hội khoa học của trường và các bộ phận khác nhau là rất quan trọng trong các trường học. Tùy theo sở thích của học sinh, cần bổ sung thêm kiến ​​thức nền tảng vào các môn học cơ bản ở trường. Những giáo viên giỏi nhất không chỉ làm giàu trí nhớ của bạn bằng kiến ​​thức. Họ phát triển khả năng của bạn theo mọi cách có thể và cố gắng cung cấp cho bạn các yếu tố của cách tiếp cận sáng tạo để phân tích các hiện tượng. Phương pháp sư phạm hiện đại là không thể tưởng tượng được nếu không sử dụng các kỹ thuật phát triển và kích thích tư duy.

Sáng kiến ​​tạo ra cuốn tạp chí mà bạn đang cầm trên tay thuộc về những nhà khoa học và giáo viên xuất sắc của đất nước. Đây là tạp chí của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô. Nó thuộc thể loại xuất bản không hề dễ đọc. Tuy nhiên, số lượng phát hành của nó vượt quá 175 nghìn bản. Đối với nhiều bạn trẻ, «Kvant» trở thành cột mốc đầu tiên trên con đường đến với khoa học hiện đại. Đây chẳng phải là dấu hiệu cho thấy khát vọng lớn lao của giới trẻ đối với thế giới toán học, vật lý lý thuyết và các ngành khoa học liên quan khác sao?

Tôi chúc bạn thành công mới trong việc làm chủ kho tàng kiến ​​thức phong phú về tự nhiên và xã hội. Cố gắng đi sâu vào hiện tượng hiện có. Hãy nhớ rằng không chỉ số lượng tài liệu bạn hoàn thành được quyết định bởi sự thành công của nghiên cứu mà còn bởi kiến ​​thức chuyên sâu về tài liệu này và khả năng tích cực áp dụng nó vào thực tế.

Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô
Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
M. A. PROKOFIEV

3

Giáo dục công cộng ở Liên Xô

Kể từ khi thành lập đến nay, trường Xô viết luôn là người ủng hộ trung thành của Đảng trong công cuộc xây dựng chủ nghĩa xã hội. Trong 60 năm tồn tại của Liên bang Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết, mỗi giai đoạn 5 năm đều để lại dấu ấn riêng trong lĩnh vực giáo dục công.

Con đường của đất nước từ tình trạng mù chữ gần như hoàn toàn trước Cách mạng Tháng Mười đến phổ cập giáo dục trung học không hề dễ dàng. Nhà nước Liên Xô trên toàn quốc đảm nhận lời giải tất cả bài toán việc xây dựng trường học, tạo cơ sở vật chất cho trường học và nguồn tài chính, đào tạo và duy trì đội ngũ giảng viên cũng như cung cấp cho trường học các tài liệu và thiết bị hỗ trợ giáo dục cần thiết. Tiểu bang của chúng tôi hàng ngày phân bổ hàng tỷ rúp cho nhu cầu giáo dục và kích thích sự phát triển của nó bằng mọi phương tiện sẵn có.

Năm nay đánh dấu 10 năm kể từ khi Ủy ban Trung ương CPSU và Hội đồng Bộ trưởng Liên Xô thông qua nghị quyết “Về việc hoàn thành quá trình chuyển đổi sang giáo dục trung học toàn diện cho thanh niên và phát triển hơn nữa các trường trung học”. Nó lưu ý rằng tất cả các điều kiện đang được tạo ra trong nước để hoàn thành quá trình chuyển đổi sang giáo dục trung học toàn diện như một trong những điều kiện tiên quyết quan trọng cho sự phát triển kinh tế và chính trị xã hội hơn nữa của xã hội chúng ta trên con đường đi tới chủ nghĩa cộng sản, ý thức xã hội chủ nghĩa và văn hóa hậu xã hội chủ nghĩa của nhân dân lao động.

Tóm tắt kết quả phát triển trường học trong 10 năm kể từ khi nghị quyết được thông qua, cần lưu ý rằng trong thời gian này có 37,5 triệu người được giáo dục trung học, gần một nửa tổng số người được giáo dục trung học trong suốt thời kỳ tồn tại của chính quyền Xô Viết.

Việc thực hiện giáo dục phổ thông, trung học chuyên nghiệp và dạy nghề đã khơi dậy bao thế hệ và có ý nghĩa lịch sử, quốc tế. Ở nước ta, một hệ thống giáo dục công thống nhất đang được phát triển và cải tiến thành công, cung cấp đào tạo giáo dục rộng rãi cho thanh thiếu niên, phục vụ tốt và đáng tin cậy cho sự phát triển tinh thần, đạo đức và thể chất của họ, mang lại cơ hội nhập học ở mọi lứa tuổi, cũng như chuẩn bị cho công việc trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân. Một hệ thống giáo dục công dân chủ như vậy là một trong những thành tựu lớn nhất của chính quyền Xô Viết.

Trong báo cáo của Ban Chấp hành Trung ương CPSU gửi Đại hội XXVI Đảng Cộng sản Liên Xô đánh giá cao hệ thống giáo dục công lập xứng đáng với xã hội Xô viết. Tổng Bí thư Ban Chấp hành Trung ương CPSU L.I. Brezhnev trong báo cáo của mình trước đại hội đảng cho biết: “Một cột mốc quan trọng đã đạt được - quá trình chuyển đổi sang phổ cập giáo dục trung học cơ sở đã hoàn thành”.

4

Chụp trọng lực

Hệ mặt trời được hình thành như thế nào? Câu hỏi này đã thu hút tâm trí của các nhà khoa học, có lẽ ngay từ khi người ta biết rõ Mặt trời, Trái đất và các hành tinh khác sắp xếp theo thứ tự nào trong không gian vũ trụ. Người xưa tin rằng nhân vật trung tâm của cộng đồng vũ trụ này là Trái đất. Tuy nhiên, bức tranh thực tế hóa ra lại khác: các hành tinh, bao gồm cả hành tinh của chúng ta, được hình thành xung quanh Mặt trời theo những quỹ đạo gần hình tròn và nằm gần như trong cùng một mặt phẳng. Điệu nhảy vòng tròn này diễn ra như thế nào?

Năm 1796, nhà toán học và cơ khí người Pháp Pierre Simon Laplace đã đưa ra giả thuyết vũ trụ học nổi tiếng của mình, trong đó đề xuất đáp số cho câu hỏi này. Laplace tin rằng hệ mặt trời được hình thành từ một tinh vân khí xoáy. Dưới tác dụng của lực hút giữa các hạt khí, tinh vân, với định luật bảo toàn mômen động lượng, quay ngày càng nhanh. Đến một thời điểm nào đó, đối với các hạt nằm ở xích đạo của cơ cấu quay, lực hút vào tâm của nó hóa ra bằng lực quán tính ly tâm nên quỹ đạo của các hạt này không còn bị thu hẹp nữa; các hạt khác tiếp tục tiến đến trung tâm. Tinh vân đông cứng lại thành một mặt phẳng vuông góc với trục quay của nó. Sau đó, theo giả định của Laplace, nó chia thành một cục trung tâm, từ đó Mặt trời được hình thành sau đó, và các vòng ngoại vi, sau này ngưng tụ thành các hành tinh.

Giả thuyết của Laplace giải thích rõ ràng tính chất đồng tâm của quỹ đạo hành tinh. Nhưng không chỉ các hành tinh mới tham gia vào điệu nhảy tròn quanh mặt trời. Cùng với chúng, các sao chổi cũng hình thành trên khắp thế giới của chúng ta. Nhiều trong số chúng có quỹ đạo rất khác với quỹ đạo tròn; chúng là những hình elip thon dài và điều đặc biệt đáng chú ý là chúng không nằm trong mặt phẳng quỹ đạo hành tinh mà được định hướng khá hỗn loạn. Làm thế nào để giải thích một sự thất vọng như vậy?

Năm 1770, các nhà thiên văn học quan sát thấy một sao chổi có tên là Sao chổi Lexel. Vào ngày dự kiến ​​xuất hiện tiếp theo, cô ấy không được phát hiện ở điểm đã tính trước trên bầu trời. Hóa ra, Sao Mộc phải chịu trách nhiệm về điều này: sao chổi đột ngột bị đánh bật khỏi quỹ đạo bởi lực hút cực mạnh của hành tinh khổng lồ này vào thời điểm nó đi qua vùng xung quanh nó.

Và vì vậy, trước nhu cầu đưa sao chổi vào bức tranh về nguồn gốc của Hệ Mặt trời, Laplace đã mạnh dạn đưa ra đề xuất: trong số các vật thể tạo nên nó, không chỉ có những đứa con “tự nhiên” của Mặt trời mà còn có những đứa con “được nhận nuôi”; sao chổi là người ngoài hành tinh đến từ ngoài vũ trụ; những người trong số họ, hát xuyên qua hệ mặt trời, đi gần đến một hành tinh tròn nào đó, đột ngột, giống như sao chổi của Lexel, đã thay đổi quỹ đạo và chuyển từ đường đi trước đó hướng đến vô cực sang quỹ đạo hình elip tròn quanh mặt trời.

Đúng, Laplace đã không chứng minh được đề xuất của mình, dường như dựa vào tính hợp lý hiển nhiên của nó. Sự kết hợp giữa tính hợp lý và sự thiếu bằng chứng này đã định trước giả thuyết về việc hấp dẫn bắt giữ một số phận khó khăn trong lịch sử khoa học.

Một số nhà khoa học, tin vào sự biện minh về cấu trúc trong tương lai của nó, đã gán cho nó một vai trò cơ bản trong các phán đoán của họ về nguồn gốc của Hệ Mặt trời. Ngược lại, những người khác lại cho rằng

6

Hình 2. Các loại quỹ đạo trong bài toán của hai vật thể

“di chuyển chậm”, hyperbol - “nhanh” nhất.

Trong một quỹ đạo hình elip (Hình 2, a), sao chổi di chuyển định kỳ với tốc độ thay đổi, đạt mức tối đa với mỗi lần đi qua điểm cận nhật và mức tối thiểu khi đi qua apheia (điểm của quỹ đạo hình elip xa Mặt trời nhất).

Khi di chuyển theo quỹ đạo hyperbol (Hình 2, b), sao chổi liền kề từ vô cực dọc theo một đường tiệm cận, khi đến gần Mặt trời, nó quay, ôm lấy Mặt trời và di chuyển ra xa đến vô cùng dọc theo một đường tiệm cận khác. Trong trường hợp này, ở khoảng cách rất xa so với Mặt trời, tốc độ có thể được coi là không đổi; khi đến gần Mặt trời, cường độ của nó tăng lên, đạt cực đại ở điểm cận nhật, sau đó nó tiêu diệt và sao chổi đi về vô cực với cùng tốc độ. Do đó, vai trò của Mặt trời trùng hợp với việc quay vectơ vận tốc của sao chổi.

Quỹ đạo parabol (Hình 2c) không có đường tiệm cận và quan trọng là khi di chuyển ra xa vô cực, tốc độ của sao chổi có xu hướng bằng không.

Quỹ đạo hyperbol và parabol có liên quan với nhau: sao chổi ở gần Mặt trời từ vô cực và di chuyển ra xa đến vô cùng. Các quỹ đạo hình elip khác biệt về chất so với các quỹ đạo khác: sao chổi luôn ở một khoảng cách nhất định với Mặt trời.

Những từ vừa dùng để so sánh quỹ đạo sẽ giúp chúng ta mô tả rõ hơn đặc điểm của

Quá trình hấp dẫn một vật thể này bởi một vật thể khác (hoặc bất kỳ hệ thống vật thể nào): trong những khoảng thời gian dài vô tận trước quá trình này, vật thể bị bắt giữ ở một khoảng cách vô hạn so với vật thể bị bắt giữ và trong tất cả các khoảnh khắc tiếp theo, nó vẫn ở gần nó ở một khoảng cách giới hạn. Do đó, hình ảnh chuyển động của vật thể được chụp hoàn toàn không đối xứng về mặt thời gian so với thời điểm chụp.

Chúng ta không thấy điều gì giống như vậy trong số các loại chuyển động được Newoton mô tả một cách thấu đáo cho trường hợp hai vật thể mà chúng ta thường gọi là Mặt trời và sao chổi. Trong cả ba trường hợp, bản chất chuyển động của sao chổi trong quá khứ vô cùng xa xôi và trong quá khứ vô cùng xa xôi sẽ trùng khớp với nhau.

Nói cách khác, việc bắt giữ trọng lực trong một hệ hai vật thể là không thể.

Nếu có thêm thi thể thì sao?

Vấn đề về ba cơ thể

Có vẻ như với sự xuất hiện của người tham gia thứ ba trong tập hợp các vật thể chuyển động, việc tính toán chuyển động của chúng sẽ không tồn tại. Tuy nhiên, điều này không phải như vậy: độ phức tạp bài toán trở lại mạnh mẽ khi chuyển từ trường hợp hai vật thể sang trường hợp một vật thể. Chuyển động của hai vật sẽ khó tính toán (mặc dù không phải là không khó) đối với bất kỳ ai đã thành thạo các phương pháp tính vi phân và tích phân. Bài toán ba vật là một bài toán quan trọng đã được hơn một thế hệ các nhà toán học và thiên văn học nghiên cứu.

7

Thật dễ dàng để viết phương trình chuyển động của mỗi vật. Nhưng trong trường hợp tổng quát, không thể giải phương trình thu được, tìm ra quỹ đạo của các vật thể biết trước vị trí và tốc độ của chúng tại một thời điểm nhất định. Hơn nữa, giờ đây người ta đã chứng minh một cách nghiêm ngặt rằng không thể tìm thấy một lời giải bài toán chung! Đưa ra một mô tả hình học của lời giải cũng có vẻ cực kỳ khó khăn.

Chà, điều gì sẽ xảy ra nếu bạn tiếp cận bài toán của ba vật mà không muốn tìm ra lời giải chính xác của nó và cố gắng xác định ít nhất các loại chuyển động của chúng? Với cách tiếp cận này, một số kết quả có thể đạt được.

Để rõ ràng, chúng ta có thể hỏi một số câu hỏi hiện có tương tự như những gì chúng ta đã làm khi phân tích bài toán hai vật thể. Hãy để một trong ba vật thể vượt quá đáng kể những vật thể còn lại về khối lượng. Và hãy để đến một lúc nào đó cả hai vật thể nhẹ (sao chổi) đều được hưởng lợi từ vật thể nặng (Mặt trời). Chúng ta hãy xem xét những khoảnh khắc thời gian xa hơn rất nhiều so với khoảng thời gian này, quá khứ hoặc tương lai liên quan đến nó, và chúng ta sẽ hỏi: sao chổi này hoặc sao chổi kia nằm ở đâu vào những thời điểm đó - ở một khoảng cách vô hạn tính từ Mặt trời hoặc trong vùng lân cận giới hạn của nó? Tùy thuộc vào đáp số cho câu hỏi này, hãy phân loại các loại chuyển động.

Một cách phân loại tương tự cho bài toán ba vật thể được đề xuất bởi nhà thiên văn học người Pháp J. Chazy (1882–1955). Ngài chia mọi chuyển động của tâm thành bốn loại:

hyperbol thiếc (Hình 3,a), khi trong thời gian và tương lai vô tận, cả hai sao chổi đều đi rất xa Mặt trời;

loại hyperbol-elip (Hình 3,b), khi một trong các sao chổi ở một khoảng cách nhất định với Mặt trời và sao chổi thứ hai đến từ vô cực và đi đến vô cùng;

loại chuyển động của con người (Hình 3, c), khi cả ba vật thể ở khoảng cách hữu hạn với nhau trong thời gian vô hạn;

Kiểu chuyển động của con đười ươi (Hình 3, e) rất kỳ lạ khi có một vùng không gian hạn chế nhất định nơi cả ba vật thể thỉnh thoảng tìm thấy chính mình cùng một lúc, nhưng không có vùng giới hạn nào mà chúng sẽ tồn tại mãi mãi.

Dựa trên sự phân loại này, đối với trường hợp ba vật thể, các khái niệm bắt giữ một phần và toàn bộ được xác định. Chúng ta nói đến việc nắm bắt một phần nếu trong quá khứ chuyển động thuộc loại hyperbol và trong tương lai nó thuộc loại hyperbol-elliptic.

Hình 3. Phân loại chuyển động theo bài toán ba vật

9

Ô. Yu. Shmidt (1891-1956). Nhà toán học kiệt xuất của Liên Xô, nhà thám hiểm vùng cực nổi tiếng. Đề xuất mồi đầu tiên để chụp một phần trong nhiệm vụ ba phần.

cường điệu được sửa đổi một chút với tốc độ tăng lên một chút.

Đoạn mồi này có thể trở nên dễ hiểu hơn nếu chúng ta tưởng tượng tình huống ngược lại là “phân rã”, khi vật $P_1$ quay quanh $P_0$ “trong nhiều thế kỷ”, nhưng đến một lúc nào đó, vật $P_2$, bay tới với tốc độ lớn, đã đưa nó ra khỏi quỹ đạo và ném nó ra vô tận, và bản thân nó tiếp tục con đường đi đến vô cực, mất đi một chút năng lượng (Hình 4, 6). Để lấy một ví dụ về việc bắt giữ từ đây, chỉ cần tưởng tượng thời gian chảy ngược là đủ.

Ví dụ của Schmidt có những nhược điểm tương tự như các ví dụ trao đổi: việc tính toán chỉ bao gồm một khoảng thời gian hữu hạn; Hơn nữa, các lỗi trong tích phân số hóa ra lại quá lớn. Khi chúng ta so sánh các giá trị động lượng góc ở hai đầu của tích phân, chúng không trùng nhau. Ví dụ của Schmidt không thuyết phục. Có vẻ như quan điểm của Shazi đã chiếm ưu thế.

K. A. Sitnikov: có thể chiếm được một phần!

Đã nhiều năm trôi qua. Ví dụ của Schmidt đã được chuyển đi. Kết quả cho thấy ý tưởng chính của nhà khoa học là đúng - một thiên thể bay về phía Mặt trời với tốc độ lớn có thể “đẩy” một vật thể khác bay gần đó từ quỹ đạo hyperbol sang quỹ đạo hình elip, rồi rút về vô cực. Hơn nữa, họ phát hiện ra rằng ý tưởng này có thể được sử dụng để xây dựng quỹ đạo bằng các phương tiện lý thuyết thuần túy mà không cần tích hợp số.

Năm 1952, K. A. Sitnikov đã chế tạo mồi phân tích thu giữ một phần, và vào năm 1956, V. M. Alekseev - ví dụ về trao đổi. Hóa ra những ví dụ như vậy hoàn toàn không đại diện cho những trường hợp ngoại lệ biệt lập - những thay đổi nhỏ trong thông số của các thiên thể không dẫn đến sự thay đổi trong bức tranh định tính của hiện tượng này.

Hình 4. Ví dụ về bắt giữ và phân rã một phần

10

Trong những trường hợp tương đối đơn giản, tuyên bố của Shazi đã bị bác bỏ.

Nhưng khả năng kết hợp các loại chuyển động khác vẫn còn bị nghi ngờ. Người ta không biết liệu các chuyển động dao động có tồn tại hay không, hay liệu có thể chụp được hoàn toàn hay không. Vấn đề trở nên phức tạp bởi thực tế là những ví dụ như vậy, ngay cả khi có thể khám phá ra chúng, cũng sẽ là một trường hợp ngoại lệ.

Cân bài toán ba vật thể

Ngay trong ví dụ về bài toán hai vật thể, chúng ta có thể thấy một trường hợp đặc biệt đôi khi có ý nghĩa như thế nào đối với việc hiểu một vấn đề tổng quát. Khi phân tích bài toán hai vật thể, chúng tôi giả định rằng một trong số chúng nặng hơn đáng kể so với vật thể kia. Điều này làm cho việc phân loại chuyển động của họ dễ dàng hơn nhiều. Việc phân loại vẫn đúng cho trường hợp tổng quát, nhưng nếu chúng ta chấp nhận ngay thì việc giải thích sẽ cần nhiều điều kiện hơn.

Trong việc phân tích các chuyển động dao động, thành công cũng nhờ vào ví dụ về mô hình. Được đề xuất bởi A. N. Kolmogorov, sau đó nó được gọi là phương trình ba vật đều bài toán. Từ “đều” thể hiện một đặc điểm đặc trưng của ví dụ: tại mỗi thời điểm, tam giác tạo thành tam giác lại trở thành tam giác đều. Hai vật tạo nên đáy của tam giác này có khối lượng rắn như nhau. Hãy gọi họ là “ngôi sao”; cái thứ ba, nhẹ hơn nhiều, đương nhiên được gọi là “hạt bụi”.

Các ngôi sao trong ví dụ của Kolmogorov chuyển động trong một mặt phẳng theo các quỹ đạo hình elip xung quanh tâm khối lượng của chúng, trong khi một hạt bụi di chuyển dọc theo đường vuông góc với mặt phẳng, khôi phục lại ở tâm này (Hình 5).

Vào năm 1960, Sitnikov đã chỉ ra rằng chuyển động của một hạt bụi có thể có bản chất dao động, nghĩa là nó có thể biểu thị những dao động có phạm vi thay đổi và phạm vi này đôi khi đạt đến những giá trị rất lớn.

Những biến động như vậy cũng có thể xảy ra với phạm vi không đổi - nếu các ngôi sao chuyển động theo vòng tròn, như thể đang đuổi theo nhau. Nhưng nếu quỹ đạo của các ngôi sao có hình elip và do đó các ngôi sao tiến lại gần nhau hoặc phân kỳ, ít nhất là một chút, thì sẽ xảy ra một dao động hiệu quả trong chuyển động của hạt bụi.

Ví dụ này chứng minh sự tồn tại của chuyển động dao động trong bài toán ba vật.

Hình 5. Cân bài toán của ba vật

11

Bacton cuối cùng vẫn còn: vấn đề nắm bắt hoàn toàn.

V. M. Alekseev: nắm bắt trọn vẹn cơ hội!

Vị trí bắt đầu cho cuộc tấn công của bakton cuối cùng là cùng một hình bài toán của ba cơ thể. Nghiên cứu về nó, V. M. Alekseev đã chứng minh vào năm 1968: vị trí và tốc độ ban đầu của một hạt bụi có thể được chọn sao cho chuyển động tiếp theo của nó sẽ thuộc loại chuyển động hữu hạn hoặc dao động, và có thể thu được toàn bộ chuyển động và tốc độ của một hạt bụi ngay cả khi nó đến từ vô cực.

Nhìn chung, bức tranh của chuyển động trông như thế này: một hạt bụi tiến đến từ điểm cuối của mặt phẳng chuyển động elip của hai vật thể lớn, tạo ra mặt phẳng này, và trong thời gian này các vật thể có khối lượng tiến lại gần nhau hơn, lực hút lẫn nhau giữa cả ba người tham gia chuyển động tăng lên đến mức chúng siết chặt hạt bụi, quay nó lại và buộc nó sau đó dao động với phạm vi giới hạn hoặc không giới hạn. Các nhà nghiên cứu cho biết khả năng đầu tiên trong hai khả năng này tương ứng với việc bắt giữ hoàn toàn, khả năng thứ hai là bắt giữ dao động.

Như thường lệ, những bước cuối cùng là khó khăn nhất. Tất cả những ví dụ về chuyển động có tính chất khác nhau trong quá khứ và tương lai, được xây dựng trước năm 1968, dường như vẫn tồn tại từ một đại dương vô định khổng lồ, đó là toàn bộ tập hợp các chuyển động có thể có trong bài toán ba vật thể. Nghiên cứu của Alekseev đã làm sáng tỏ cách cấu trúc của tổng thể này.

Kết quả của Alekseev đã chấm dứt nhiều năm tranh luận về phát biểu của Shazi: hóa ra nó sai hoàn toàn! Sự kết hợp gây tranh cãi nhất của các loại không đồng nhất từ ​​phân loại Shazi, mô tả sự chuyển động của ba vật thể trong quá khứ và tương lai, hóa ra lại khả thi và nhận được sự biện minh tương tự về cấu trúc.

Hình 6. Sự biến đổi thảm khốc của sao chổi Kirnca-Kwi năm 1855 và sự phát triển quỹ đạo của nó (theo tính toán của E. I. Kazimirchak-Polonskaya)

Sao chổi Kirnca-Qui: bị Sao Mộc bắt giữ?

Không thể nói rằng với việc bác bỏ phát biểu của Shazi trong vấn đề hấp dẫn thì không còn sự mơ hồ nào nữa. Một người đọc chú ý có thể nhận thấy một số trong số đó ngay cả với sự trợ giúp của bài viết ngắn này.

Chà, ví dụ: khả năng chụp được một sao chổi, như Laplace đã thấy - do nó đi qua Sao Mộc hoặc một hành tinh khổng lồ khác? Có lý do để nghĩ rằng đáp số là dương.

Đây là cách tay cầm đó có thể trông như thế nào. Một sao chổi, tiếp cận Sao Mộc với tốc độ hyperbol (so với Mặt trời), bị nó làm chậm lại và chuyển sang quỹ đạo hình elip quanh Mặt trời để trong lần gặp Sao Mộc tiếp theo, nó sẽ chuyển sang một quỹ đạo hình elip khác, v.v.

Trong một thời gian, dường như đây là cách sao chổi Kirnca-Kwi, được phát hiện vào năm 1963, đã bị bắt giữ. Dựa trên kết quả quan sát thu được, quỹ đạo hiện tại và trước đó của nó đã được tính toán. Hóa ra (Hình 6) rằng vào năm 1961, sao chổi Kirnca-Kwi tiếp tục quan sát Sao Mộc (Cuối cùng, xem trang 27)

12

A. Stasenko

Bay
nhanh hơn và xa hơn

Cô ấy sống, được truyền lại từ ông nội của cô ấy,
Niềm đam mê nhảy đặc biệt:
Bị thu hút bởi tinh vân Andromeda
Xuyên qua bóng tối của không gian bên ngoài.
N. Obraztsova. Thành phố trên biển

Trong hàng nghìn năm, con người đã mơ ước được bay và đạt được điều này “dựa vào sức mạnh của trí óc”, sử dụng lượng khoa học và công nghệ khổng lồ. Trên thực tế, máy bay là vương miện của nền văn minh kỹ thuật. Không phải ngẫu nhiên mà việc phát triển và xây dựng nó hiện nay không phải quốc gia nào cũng có được. Chúng ta có thể tự hào một cách chính đáng về sự đóng góp của các nhà khoa học Nga trong việc hiện thực hóa giấc mơ toàn cầu này. Một trong số họ là Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky, người đầu tiên chứng minh khả năng sử dụng hình thức gói tin cho liên lạc giữa các hành tinh.

Chúng ta hãy xem xét một số khía cạnh vật lý của máy bay, đặc biệt là động cơ tên lửa do Tsiolkovsky phát triển và được mô tả trong các bài báo và sách khoa học và phổ biến của ông.

Tại sao chính xác là gói?

Theo một nghĩa nào đó, bất kỳ chuyển động nào cũng có tính phản ứng. “Tàu hơi nước đẩy cơ thể, khí cầu và máy bay - không khí, con người và con ngựa - quả địa cầu… Chúng ta thường quan sát những hiện tượng phản ứng như vậy trên trái đất. Đó là lý do tại sao chúng không bao giờ có thể khuyến khích những ước mơ và nghiên cứu… Tên lửa sẽ chứa trong mình những chất thải” (K. E. Tsiolkovsky).

Họ bắt đầu chế tạo tên lửa từ lâu nhưng lúc đầu là “bây giờ là tiệc tùng, rồi là bắn súng” như trong bài hát. Chỉ Tsiolkovsky nhận ra rằng về nguyên tắc, gói hàng là phương tiện duy nhất để đạt được bất kỳ tốc độ nào và do đó cần thiết để vượt qua lực hấp dẫn. Tsiolkovsky viết: “Chỉ có lý trí và khoa học mới có thể chỉ ra sự biến đổi của những hiện tượng này thành những cảm giác dần dần, gần như không thể hiểu được”.

13

Vậy tại sao lại là gói đó? Chúng ta hãy cố gắng hiểu điều này bằng cách so sánh nó với một chiếc máy bay khác có vẻ gần gũi nhất với nó về “tinh thần” - lực đẩy tác động theo dòng chảy trực tiếp. Nhưng trước tiên, hãy nói về gói đó (Hình 1). Chúng ta hãy tưởng tượng rằng tại một thời điểm tùy ý nào đó $t$ gói có tốc độ $v$. Chúng tôi sẽ cẩn thận chia gói hàng thành hai phần - phần mà sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$, sẽ “bay” trở lại (gói nhiên liệu đã sử dụng), chúng tôi sẽ biểu thị khối lượng của nó bằng $\Delta M$ và “phần còn lại” có khối lượng $m$, sẽ bay xa hơn, nhưng với tốc độ khác bằng $v + \Delta v$. Tốc độ của phần bay so với “phần còn lại” sẽ được ký hiệu là $u$, khi đó tốc độ của nó so với trái đất sẽ được quan sát là bằng $(v + \Delta v) - u$. Vì sự phân tách xảy ra dưới tác dụng của nội lực nên tổng xung lực của gói hàng không thay đổi *):

$$(m + \Delta M)v = m(v + \Delta v) + \Delta M(v + \Delta v - u),$$

hoặc

$$mv + \Delta M \cdot v = mv + m\Delta v + \Delta M \cdot v + \Delta M \cdot \Delta v - \Delta M \cdot u.$$

Những từ được gạch chân bằng đường thẳng (một hoặc hai) sẽ triệt tiêu lẫn nhau, còn những từ được gạch chân

*) Nếu cụm từ này có vẻ không rõ ràng đối với bạn, chúng tôi khuyên bạn nên đọc chương “Định luật bảo toàn động lượng” trong sách giáo khoa “Vật lý 8”.

Hình 1.

Hình 2.

được đánh dấu bằng đường lượn sóng sẽ “biến mất” vì lý do này. Ở đây và xa hơn nữa, chúng ta sẽ coi tất cả các số gia - $\Delta t$, $\Delta v$, $\Delta M$ và các số khác - là rất nhỏ, do đó tích của chúng thuộc loại $\Delta M \cdot \Delta v$ sẽ rất nhỏ, hoặc, như các nhà toán học nói, thuộc bậc nhỏ thứ hai. Vậy định luật bảo toàn động lượng còn lại gì? Đây là sự bình đẳng:

$$m\Delta v = u\Delta M.$$

Nếu chúng ta tính đến khối lượng bị loại bỏ $\Delta M$ chính xác bằng khối lượng bị mất của các gói: $\Delta M = -\Delta m$, thì đẳng thức thu được có thể được viết lại dưới dạng

$$\frac{\Delta v}{u} = -\frac{\Delta m}{m}.$$

Bây giờ chúng ta hãy tiến hành tính toán phân tích về tác động của bộ truyền động động cơ (Hình 2). Ở đây, anh ta đang “chuẩn bị” tại thời điểm $t$ để “nuốt” một phần không khí có khối lượng $\Delta m_B$ và sau khi tiêu thụ khối lượng nhiên liệu $\Delta m_r$, ném ra hỗn hợp thu được với tốc độ tương đối $u$. Tất nhiên, trong trường hợp này, sự thay đổi khối lượng của máy bay sẽ bằng $\Delta m = -\Delta m_r$. Ta viết định luật bảo toàn động lượng cho hệ phân chia động cơ - nhiên liệu - không khí:

$$\Delta m_B \cdot 0 + (m + \Delta m_r)v = (\Delta m_B + \Delta m_r)(v + \Delta v - u) + m(v + \Delta v)$$

(ở đây $v$ là tốc độ của xe tại thời điểm $t$, $v + \Delta v$ là tốc độ mới của xe tại thời điểm $t + \Delta t$, số hạng đầu tiên bên trái phản ánh việc động cơ quay trở lại hấp thụ đã kết thúc).

14

Từ đây, tính đến các đặt chỗ trước đó, sau một số phép biến đổi, chúng ta thu được

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} - \frac{\Delta m_B}{m} \left( \frac{v}{u} - 1 \right).$$

Chỉ cung cấp đủ nhiên liệu để tất cả phản ứng với oxy trong không khí. Tất nhiên, tỷ lệ khối lượng $\Delta m_r / \Delta m_B$ sẽ phụ thuộc vào trạng thái hóa học của nhiên liệu, nhưng đối với một chất nhất định, nó sẽ là một giá trị không đổi, được biểu thị bằng $\beta$. Khi đó đẳng thức trước có dạng

$$\frac{\Delta v}{u} = \frac{\Delta m_r}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta},$$

hoặc

$$\frac{\Delta v}{u} = - \frac{\Delta m}{m} \frac{1 + \beta - v / u}{\beta}.$$

Nhìn bên ngoài vào phương trình (1) và (2). Chúng có điểm chung, đó là: để tốc độ của máy bay tăng ($\Delta v > 0$) thì khối lượng của nó phải giảm ($\Delta m < 0$). Nhưng có một sự khác biệt rất quan trọng: vế phải của phương trình (2) bao gồm tập hợp $1 + \beta - v / u$, khi đạt đến tốc độ $v = u (1 + \beta)$, sẽ bằng 0. Điều này có nghĩa là một máy đào phản ứng va chạm, đã “nuốt” một tác động nghỉ, không thể tăng tốc đến tốc độ lớn hơn tốc độ tương đối của dòng chảy ra của loại sản phẩm. Tốc độ của một máy đào như vậy có một giới hạn cho thấy điều đó là không thể. Nhưng đối với tên lửa thì không có giới hạn tương tự.

Trên thực tế, điều này đã nói lên tất cả, nhưng về nguyên tắc, có thể thu được các biểu thức chính xác về tốc độ của tên lửa và cánh quạt.

Người có tổng các số gia nhỏ, tức là tích phân, dễ dàng nhận được từ biểu thức (1) (xem xét rằng tại thời điểm này $t_0 = 0$ $v = 0$ và $m = m_0$)

$$\frac{v - 0}{u} = - (\ln m - \ln m_0),$$

hoặc

$$\frac{v}{u} = \ln \frac{m_0}{m}.$$

Đây là công thức Tsiolkovsky nổi tiếng. Các nhà sử học khoa học nói rằng ông đã dành rất nhiều thời gian cho nó: điều đó luôn khó khăn đối với người tiên phong. Ngày nay, một học sinh biết chữ sẽ nhận được nó trong vài phút, và một sinh viên Khoa Cơ khí Hàng không và Công nghệ Bay của Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva (được đào tạo đặc biệt cho việc này) sẽ nhận được nó sau vài giây.

Hãy phân tích công thức kết quả. Nếu khối lượng tên lửa mất đi trên một đơn vị thời gian là một giá trị không đổi (chúng ta biểu thị nó bằng $\mu = - \frac{\Delta m}{\Delta t}$), thì theo thời gian khối lượng tên lửa thay đổi theo định luật (xem Hình 1)

$$m(t) = m_0 - \mu t.$$

Sau thời gian $t$, khi toàn bộ nhiên liệu đã phun ra hết, khối lượng của tên lửa sẽ là $m_\tau = m_0 - \mu t$ và tốc độ của nó sẽ là

$$\frac{v_\tau}{u} = \ln \frac{m_0}{m_\tau}.$$

Rõ ràng, tên lửa đạt tốc độ càng cao thì khối lượng còn lại càng nhỏ. Điều này thật đáng buồn hoặc không kinh tế, nhưng bạn có thể làm gì - đó là bản chất. Điều tốt là một lỗ hổng đã được tìm thấy, nhờ đó người ta có thể đạt được “tốc độ thoát” khỏi hành tinh, mặc dù phải trả giá đắt. Nhưng có một khả năng khác - tăng tốc độ giải phóng nhiên liệu đã qua sử dụng tương đối.

Đây là những gì chính Tsiolkovsky đã viết về điều này: “Để có được những tên lửa mạnh nhất từ ​​​​bên ngoài, các hạt của sản phẩm đốt hoặc chất thải khác phải nhận được chất thải đốt mạnh nhất. Nó là không đổi đối với một số chất thải nhất định. Việc tiết kiệm năng lượng không nên diễn ra ở đây: điều đó là không thể và không có lợi.”

Vì vậy, chúng ta cần tích lũy để tăng tốc độ phóng $u$.

Làm thế nào để bạn vứt bỏ khối lượng?

Về nguyên tắc, điều này có thể được thực hiện bằng hàng triệu cách. Vì vậy, trong một trong những dự án của Tsiolkovsky, tga phản ứng phải được lấy trong thực tế

15

là kết quả của sự phóng ra các hạt nhân hình cầu từ khẩu pháo trên tàu vũ trụ. Rõ ràng là phương pháp này không có giá trị bao nhiêu: nó không thể cho tốc độ lớn.

Trong số rất nhiều dự án sau này, chẳng hạn như dự án này ) (Hình 3). Ở trung tâm hình học của một khối rắn khổng lồ, những quả bom nguyên tử được chuyển đến đó lần lượt phát nổ. Khi mỗi hạt phát nổ, sự giải phóng năng lượng điện từ cực mạnh lần đầu tiên xảy ra dưới dạng tia gamma và tia RENT, ánh sáng nhìn thấy và bức xạ thông báo. Sự hấp thụ năng lượng này, kèm theo sự bay hơi của một lớp mỏng của tàu vũ trụ, truyền xung lực đến thiết bị theo hướng mong muốn. Tác động thứ hai lên tàu sẽ xảy ra khi các mảnh bom chạm tới bề mặt xe tăng và với tốc độ cao sẽ truyền xung lực của chúng tới nó. Một loạt hàng trăm vụ nổ như vậy có thể tăng tốc một trọng tải lớn và nâng nó lên khỏi bề mặt hành tinh. (Quá trình này có thể được so sánh với hoạt động của một lò phản ứng nhiều tầng, bao gồm các giai đoạn mạnh mẽ với thời gian vận hành ngắn.) Tất nhiên, trong dự án này, chúng ta đang nói về một chiếc máy bay khổng lồ có kích thước vài km (hoặc thậm chí có thể là mười km). Đây là “tâm trí con người có thể đạt được bao xa!”

Hiện tại, khả năng tăng tốc bài toán và phóng khối lượng được thực hiện đơn giản hơn: bằng cách truyền khí có nhiệt độ cao qua cái gọi là vòi phun siêu âm. Tùy chọn này để đạt được lực đẩy phản lực - “thông qua tác động của một lớp khí chảy từ một bể chứa trong đó khí này chịu áp suất” - cũng được Tsiolkovsky xem xét.

Tuy nhiên, chúng ta hãy phân tích quá trình này ở dạng đơn giản hóa, tuy nhiên, điều này cho phép chúng ta rút ra nhiều kết luận. Để hiểu rõ hơn, chúng tôi sẽ tổng hợp một số cái mới dành cho nhiều độc giả.

Hình 3.

dễ hiểu - chẳng hạn như dòng khối, dòng động lượng và dòng năng lượng *). Chúng thường được sử dụng trong vật lý.

Hãy tưởng tượng một lò phản ứng trong đó nước chảy với tốc độ $u$ và có diện tích mặt cắt ngang (vuông góc với tốc độ) là $S$. Sau đó, trong một đơn vị thời gian, một khối lượng nước đi qua phần này bằng tích $quS$. Đại lượng này được gọi là dòng khối. Hãy xem nó được “cấu trúc” như thế nào: mật độ của nước $q$ được nhân với thể tích $uS$ được truyền trên một đơn vị thời gian. Nhưng mỗi đơn vị khối lượng (chính xác hơn là khối lượng của mỗi đơn vị thể tích) có cả động năng $qu^2/2$ và động lượng $qu$. Điều này có nghĩa là dòng sông không chỉ mang khối lượng mà còn mang theo những đại lượng này, đồng thời các dòng động năng và động lượng lần lượt bằng nhau ($qu^2/2)uS$ và $qu \cdot uS$.

Trong tương lai, chúng tôi sẽ sử dụng những khái niệm này.

Cho một chất lỏng (hoặc chất khí) di chuyển qua một kênh có tiết diện thay đổi có diện tích $S$, tùy thuộc vào điểm trên trục $X$. Rõ ràng là khối lượng chất lỏng (hoặc khí) đi qua bất kỳ phần nào $S$ trên một đơn vị thời gian (dòng khối) là như nhau:

$$quS = \mu = \text{const.}$$

*) Dự án này và một số dự án thú vị khác được mô tả trong cuốn sách “Sức đẩy tên lửa cho các chuyến bay vào vũ trụ” của W. Corliss (M., “Văn học nhạc cụ”, 1962).

16

Ví dụ: nếu mật độ $\rho$ không đổi thì luồng phản ánh một ý tưởng rất đơn giản: nơi nào kênh rộng hơn thì luồng sẽ chậm hơn và nơi nào hẹp hơn thì luồng sẽ nhanh hơn. Không giống như chất lỏng không nén được, chất khí có thể giãn nở rất nhiều trong khi mật độ của nó giảm đi. Do đó, đối với cùng một diện tích mặt cắt ngang của kênh, vận tốc khí sẽ lớn hơn nhiều so với vận tốc chất lỏng. Đó là những gì cần thiết cho mục đích của chúng tôi. Bây giờ đã rõ tại sao khí phải được đẩy ra khỏi tên lửa.

Để dễ thảo luận, chúng ta sẽ giả sử rằng khí là khí lý tưởng và một pha. Điều này có nghĩa là nó tuân theo phương trình Mendeleev-Clapeyron $pV = \frac{m}{M} RT$, hoặc

$$p = \rho \frac{RT}{M}$$

(4)

(ở đây $p$ là áp suất, $\rho = m/V$ là mật độ, $T$ là nhiệt độ, $M$ là khối lượng mol của khí, $a$ $R$ là hằng số khí phổ quát) và năng lượng bên trong (nhiệt) của nó bằng

$$\frac{3}{2} \frac{m}{M} RT.$$

Chúng ta hãy giả định thêm rằng không có phản ứng hóa học nào xảy ra trong chất khí, nhiệt không truyền vào nó ở bất cứ đâu và không thu được gì từ nó. Khi đó, dòng tổng năng lượng của chất khí, cũng như dòng khối lượng, phải được bảo toàn. Làm thế nào để viết điều này xuống?

Đơn vị thể tích của khí có động năng $\rho u^2/2$ và nhiệt năng $^3/2\rho RT/M$ trong quá trình chuyển động, vậy dòng chuyển động của các năng lượng này bằng $(\rho u^2/2)uS$ và $(^3/2\rho RT/M)uS$. Ngoài ra, lực áp suất $pS$ thực hiện công bằng $pSu$ trên một đơn vị thời gian, khiến dòng năng lượng tăng tương ứng. Do đó, tổng dòng năng lượng bằng

$$\left( \frac{\rho u^2}{2} + \frac{3}{2} \rho \frac{RT}{M} \right) uS + pSu = \text{const},$$

hoặc, sau khi chia cho $\rho uS$,

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{p}{\rho} = \text{const}.$$

Chúng ta cũng hãy biến đổi phương trình này bằng cách thay biểu thức áp suất vào phương trình Mendeleev-Clapeyron. Sau đó chúng tôi nhận được

$$\frac{u^2}{2} + \frac{3}{2} \frac{RT}{M} + \frac{RT}{M} = \frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const} = \frac{5}{2} \frac{RT_0}{M}$$

(5)

Ở đây chúng tôi đã chỉ định biểu thức cho nhiệt độ không đổi $T_0$ tại đó khí sẽ kết thúc ($u=0$).

Bây giờ, làm tốt lắm, opa có được “thu hoạch”. Từ phương trình cuối cùng, rõ ràng là nếu khí có thể được làm lạnh đến $T=0$ trong quá trình chuyển động thì nó sẽ đạt được tốc độ cao nhất

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}}.$$

Trong trường hợp này, toàn bộ nhiệt năng của chất khí sẽ được chuyển hóa thành động năng của chuyển động có hướng của nó.

Hãy thực hiện một ước tính bằng số. Giả sử chúng ta đã nung nóng khí heli đơn nguyên tử nhẹ nhất ($M=4$ kg/kmol) đến $T_0=3000$ K. Sau đó, nó có thể được tăng tốc đến tốc độ

$$u_{\text{max}} = \sqrt{\frac{5RT_0}{M}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 8,31 \cdot 10^3 \text{Дж}/(\text{кмоль} \cdot \text{К}) \cdot 3 \cdot 10^3 \text{К}}{4 \text{ кг/кмоль}}} \approx 5,6 \cdot 10^3 \text{м/c} \approx 5,6 \text{ км/c}.$$

Tốc độ này thấp hơn khoảng một lần rưỡi so với tốc độ thoát ra đầu tiên, nhưng điều thú vị là gói hàng có thể đạt tốc độ cao hơn nhiều so với tốc độ dòng khí thoát ra.

Và cuối cùng, có một câu hỏi cuối cùng.

Kênh nên được thực hiện như thế nào?

Nói cách khác, quy luật thay đổi diện tích mặt cắt $S$ dọc theo trục $X$ để có thể đạt được tốc độ $u_{\text{max}}$ là bao nhiêu?

Chúng ta hãy chọn âm lượng kênh nằm giữa các phần $x$ và $x+\Delta x$ gần nhau, trong đó các vùng là $S$ và $S+\Delta S$, đồng thời vận tốc, mật độ và áp suất là $u$ và $u+\Delta u$, $\rho$ và $\rho+\Delta \rho$, $p$ và $p+\Delta p$ tương ứng (Hình 4). Trong phần $\Delta x$ dòng khối $\mu=\rho uS$ thay đổi động lượng của nó theo

17

bởi tác dụng của chênh lệch $pS - (p + \Delta p) \times (S + \Delta S)$ của các lực áp tác động dọc theo trục $X$ và hình chiếu lên trục này của lực áp tác dụng lên thành bên của kênh: $p \cdot 2\pi r(x) \times \Delta x \cdot \mathrm{tg} \alpha = p \cdot 2\pi r(x) \cdot \Delta r = p \cdot \Delta (\pi r^2) = p \Delta S$.

Hãy viết phương trình định luật thứ hai của Newton cho độ tăng động lượng của dòng khối $m$ dưới tác dụng của các lực được chỉ định:

$$\mu (u + \Delta u) - \mu u = pS - (p + \Delta p) (S + \Delta S) + p \Delta S,$$

hoặc

$$\mu u + \mu \Delta u - \mu u = pS - pS - \Delta p \cdot S - p \Delta S - \Delta p \cdot \Delta S + p \Delta S.$$

Từ đây, bỏ đi các số hạng được gạch chân, ta có

$$\mu \Delta u = -\Delta p \cdot S,$$

hoặc

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Đây là nơi vật lý kết thúc và quá trình xử lý hình thức kết quả bắt đầu. Để kết hợp lại với nhau, hãy viết các phương trình (3)–(6) cạnh nhau:

$$\mu u S = \text{const},$$

$$p = \rho \frac{RT}{M},$$

$$\frac{u^2}{2} + \frac{5}{2} \frac{RT}{M} = \text{const},$$

$$\mu \Delta u = -\Delta p.$$

Bạn có thể ngồi xuống và lắng nghe: mọi thứ ở đây đều là động lực của dòng khí lý tưởng ổn định! Nhưng đây là điều thú vị. Khi các phương trình được viết dưới dạng quan hệ đại số tổng quát:

Hình 4.

2 «Kvant» № 9

mặc, và sau này - ở dạng tăng dần. Và bạn không thể làm gì về điều đó - xét cho cùng, $\varphi$, $p$ và $u$ thay đổi dọc theo kênh. Do đó, chúng tôi sẽ không chạm vào phương trình cuối cùng và chúng tôi cũng sẽ viết tất cả những phương trình khác dưới dạng số gia (bạn có thể đọc thêm chi tiết về cách thực hiện điều này, đặc biệt là cách tìm số gia nhỏ của tích khi thay đổi số lượng, có thể đọc trong Phụ lục của bài viết):

$$u S \Delta \varphi + \varphi S \Delta u + \varphi u \Delta S = 0,$$

hoặc

$$\frac{\Delta \varphi}{Q} + \frac{\Delta u}{u} + \frac{\Delta S}{S} = 0,$$

(3')

$$\Delta p = \frac{R}{M} (T \Delta \varphi + \varphi \Delta T),$$

(4')

$$u \Delta u + \frac{5}{2} \frac{R}{M} \Delta T = 0,$$

(5')

$$\varphi u \Delta u = -\Delta p.$$

Hãy thay $\Delta T$ từ biểu thức (5’) thành đẳng thức (4’), thay $\Delta p$ từ biểu thức thu được vào (6), từ đó $\Delta \varphi$ vào (3’) và tìm mối liên hệ giữa $\Delta u$ và $\Delta S$:

$$\frac{\Delta u}{u} \left( \frac{3}{5} \frac{u^2 M}{RT} - 1 \right) = \frac{\Delta S}{S}.$$

Lưu ý rằng $^5/3RT/M$ là bình phương của một tốc độ nào đó. Hãy biểu thị nó bằng $a^2$ thì biểu thức $u^2/a^2 - 1$ sẽ nằm trong ngoặc. Trên thực tế, $a^2$ là bình phương tốc độ âm thanh trong chất khí đơn nguyên tử ở nhiệt độ $T$, nhưng chúng ta sẽ không cần đến thực tế này. Chúng ta hãy nhớ rằng có một số tốc độ quan trọng $a$ phụ thuộc vào $T$. Và thế là đủ cho chúng tôi ở đây.

Vì vậy, những gì có thể được nhìn thấy từ phương trình cuối cùng? Nếu $u < a$ thì dấu ngoặc là âm và đối với mức tăng tốc độ dương ($\Delta u > 0$), mức tăng diện tích phải âm ($\Delta S < 0$), nghĩa là diện tích phải giảm. Khi $u$ tăng lên, chúng ta sẽ đạt đến điểm $u = a$. Ở đây dấu ngoặc biến mất và $\Delta S = 0$ cho bất kỳ $\Delta u$ nào, kể cả số dương. Và cuối cùng, khi $u > a$, để tăng trưởng hơn nữa $u$ cần đảm bảo diện tích tăng dương ($\Delta S > 0$), tức là lưu lượng của kênh phải tăng. Đây là một mô tả chất lượng

20

Năm 1877, Calte báo cáo kết quả thí nghiệm của ông về quá trình đốt cháy oxy tại Viện Hàn lâm Khoa học Paris. Chẳng bao lâu sau Kalta đã thu được nitơ ở dạng lỏng.

Không khó hiểu tại sao chất khí lại nguội đi trong thí nghiệm của Kalthe. Khi khí giãn nở đủ nhanh, không có sự trao đổi nhiệt đáng chú ý giữa hệ thống và môi trường, do đó quá trình giãn nở rất gần với quá trình đoạn nhiệt. Theo định luật nhiệt động thứ nhất, trong quá trình đoạn nhiệt $\Delta U = A$, tức là độ biến thiên nội năng của chất khí bằng ngoại lực tác dụng lên chất khí. Khi chất khí nở ra thì công dương ($A' > 0$), còn công của các ngoại lực là âm. Do đó, $\Delta U < 0$, có nghĩa là làm mát chất khí (vì nội năng của chất khí tỷ lệ thuận với nhiệt độ của nó).

Một thông số rất quan trọng quyết định việc làm mát khí là áp suất. Vào cuối thế kỷ 18, nhà vật lý người Hà Lan Van Marum, tiến hành thí nghiệm với amoniac để kiểm tra tính đúng đắn của định luật Boyle-Mariotte, đã nhận thấy điều sau. Ban đầu, khi thể tích khí chiếm giữ giảm thì áp suất khí tăng tương ứng. Khi áp suất đạt tới 7 atm, một điều bất ngờ đã xảy ra - khi giảm thêm, áp suất không tăng. Amoniac lỏng xuất hiện trong xi lanh và lượng chất lỏng tăng lên khi nó lăn xuống.

Chính dọc theo con đường của cá đuối gai độc mà các nhà nghiên cứu đã đi theo trong nỗ lực làm mát khí. Tuy nhiên, hydro, nitơ và oxy không thể làm mát được, cho dù chúng có bị nén mạnh đến đâu. Các nhà khoa học tin rằng đây là những “khí vĩnh cửu”, nghĩa là hydro, nitơ và oxy không thể tồn tại ở dạng chất lỏng. Tại sao chúng là khí “vĩnh viễn” còn những loại khác thì không vẫn còn là một bí ẩn. Lý thuyết của nhà vật lý người Hà Lan Van der Waals đã giúp giải quyết vấn đề này bài toán.

Van der Waals vào nửa sau thế kỷ 19 đã đề xuất một phương trình khá đơn giản mô tả trạng thái của khí thực. Như đã biết, mô hình “khí lý tưởng” tương ứng chính xác hơn với khí thực, nhiệt độ của khí càng cao và mật độ của nó càng thấp. Ở nhiệt độ thấp và mật độ cao, lực tương tác giữa các phân tử khí và việc các phân tử có thể tích riêng đóng một vai trò nào đó. Đề xuất. Phương trình van der Waals về trạng thái của khí thực có tính đến các đặc điểm này.

Hình 1 thể hiện hình ảnh của khí thực do sự thay đổi (đường cong đặc) và hình ảnh lý thuyết được tính toán bằng phương trình van der Waals. Như có thể thấy từ hình vẽ, nhiệt độ của van der Waals được mô tả càng cao thì chúng mô tả hành vi của khí thực càng chính xác. Nói cách khác, phương trình van der Waals chỉ mô tả gần đúng các khí thực. Tuy nhiên, phương trình này phản ánh thực tế về sự tồn tại của hai trạng thái khác nhau của vật chất, hay như người ta nói, hai pha của vật chất - lỏng và khí, và từ phương trình này, suy ra rằng có một nhiệt độ tới hạn nhất định mà tại đó sự khác biệt giữa các pha này biến mất.

Đặc điểm chính của hình I trong Hình 1 là sự hiện diện của

21

một cống nơi áp suất tăng lên khi tăng thể tích khí.

Nói một cách dễ hiểu, sự hiện diện của một đoạn đường đẳng nhiệt $I$, tương ứng với áp suất áp suất và thể tích giảm dần, cho thấy chất khí không ổn định.

Thật vậy, chúng ta hãy xem xét một chất khí trong một hình trụ đóng kín bằng pít-tông: trong một đoạn nhất định của đường đẳng nhiệt $I$ (giữa các điểm $a$ và $b$), thể tích khí giảm sẽ dẫn đến giảm áp suất lên pít-tông và do đó, như đã nêu dưới đây. Trong lĩnh vực này, lý thuyết van der Waals không được áp dụng - sự ngưng tụ khí thành chất lỏng xảy ra ở đây. Trong quá trình ngưng tụ, áp suất không đổi - bằng áp suất hơi bão hòa - và một mặt cắt ngang ($V_a-V_b$) xuất hiện trên đường đẳng nhiệt thực. Sau khi tất cả khí đã ngưng tụ, chúng ta đang xử lý chất lỏng. Có thể xác định chính xác ở giá trị nào $V$ quá trình ngưng tụ chỉ bắt đầu bằng thực nghiệm.

Khi nhiệt độ tăng, cực đại và cực tiểu ở phần đường đẳng nhiệt tương ứng với trạng thái không ổn định tiến lại gần hơn và ở một số nhiệt độ chúng trùng nhau (đường đẳng nhiệt $II$ trong Hình 1). Nhiệt độ này $T_k$ - nhiệt độ tới hạn - là giá trị đặc trưng cho từng loại khí. Ở nhiệt độ trên $T_k$ khí không thể ngưng tụ ở bất kỳ áp suất nào. Nói cách khác, $T_k$ là nhiệt độ tối đa mà một chất có thể tồn tại ở trạng thái lỏng. Giá trị áp suất tới hạn $p_k$ tương ứng với nhiệt độ này là áp suất tối đa của hơi bão hòa (khí) và giá trị $V_k$ xác định mật độ khí tối đa. Khi đạt đến điểm tới hạn, sự chênh lệch về mật độ của khí và chất lỏng giảm đi và ở trạng thái tới hạn nó trở thành bằng không. (Lưu ý rằng đối với khí lý tưởng $T_k=0$, nghĩa là sự ngưng tụ không xảy ra ở bất kỳ áp suất hữu hạn nào. Điều này là do trong mô hình khí lý tưởng không có mồi cơ học -

Về phương pháp tiếp cận helium lỏng

Mặc dù Kalte có thể đốt cháy oxy nhưng cô vẫn tiếp tục đứng trước mặt anh bài toán việc giữ lại một lượng oxy đáng chú ý trong pha lỏng - xét cho cùng, lượng oxy có trong đó bay hơi rất nhanh. Cái này bài toán anh ấy không thể giải quyết nó. Những tiến bộ hơn nữa trong quá trình đốt cháy khí gắn liền với tên tuổi của các nhà vật lý người Ba Lan Olszewski và Wroblewski, những người đã cải tiến thiết bị Kalte hiệu suất thấp và thu được oxy lỏng “sôi sôi bình tĩnh trong ống thử nghiệm”. Tuy nhiên, bất chấp những nỗ lực thực sự, Wroblewski và Olszewski không thể hoàn thành danh sách các loại khí cháy—hydro không được cung cấp cho đầu đốt. Người đầu tiên thu được hydro ở trạng thái lỏng là nhà vật lý người Anh Dewar vào năm 1898.

Ở Hà Lan, người đi đầu trong việc tiến hành nghiên cứu đốt khí đã được đảm nhận bởi người bạn và người theo dõi của Van Der Waals, Kamerlingh Onnes, người đứng đầu phòng thí nghiệm đông lạnh tại Đại học Leiden vào năm 1882. Bước đầu tiên trong hoạt động khoa học của ông theo con đường này là xác minh bằng thực nghiệm các dự đoán lý thuyết của Van Der Waals về các giá trị tới hạn của nhiệt độ và áp suất mà tại đó khí có thể chuyển sang trạng thái lỏng.

Kamerlingh Onnes sử dụng khí làm đối tượng nghiên cứu, làm lạnh chúng đến nhiệt độ ngày càng thấp và thay đổi phương pháp. Nhà khoa học đã nhận được sự chú ý lớn nhất từ ​​Lekkeliai, người vào thời điểm đó vẫn chưa bị thiêu rụi, bất chấp những nỗ lực thực sự. Việc helium vẫn ở trạng thái khí ở nhiệt độ cực thấp giúp nghiên cứu các tính chất cơ học của khí.

22

khả năng thu được dữ liệu về các tương tác giữa các phân tử trong chất khí từ các đường đẳng nhiệt thực nghiệm của gel (xét cho cùng, ở nhiệt độ thấp, xuất hiện sự sai lệch của khí thực so với khí lý tưởng liên quan đến tương tác giữa các phân tử).

Năm 1907, Kamerlingh-Onnes thu thập kết quả đo đường đẳng nhiệt của gel trong khoảng nhiệt độ từ +100°C đến -216°C. Ngay sau đó, các phép đo được tiến hành ở nhiệt độ của hydro lỏng (-259°C).

Nghiên cứu ở nhiệt độ như vậy đòi hỏi phải có thiết bị độc đáo và cơ sở công nghệ mạnh mẽ để đốt khí. Và sau đây chúng tôi sẽ cho bạn biết về một số phẩm chất nổi bật của Kamerlingh Onnes, yếu tố quyết định phần lớn các điều kiện của phòng thí nghiệm Leiden trong nghiên cứu nhiệt độ thấp.

Kamerlingh Onnes nhận ra rằng sự phức tạp của công nghệ nghiên cứu đòi hỏi đội ngũ hỗ trợ được đào tạo bài bản và khéo léo. Ông cảm thấy rằng thời của các giáo sư nghiệp dư tiến hành các thí nghiệm bằng cách sử dụng các dụng cụ tự chế khiêm tốn đã không còn nữa. Việc thâm nhập vào những bí mật ngày càng sâu sắc hơn của tự nhiên đòi hỏi phải tạo ra một “ngành công nghiệp” chế tạo dụng cụ khoa học. Onnes thành lập trường dạy thiết bị đo đạc và thổi thủy tinh tại phòng thí nghiệm của mình vào năm 1901. Ông liên tục nhấn mạnh rằng các quan sát vật lý phải được thực hiện với độ chính xác thiên văn; và điều này đòi hỏi một sự thay đổi căn bản trong việc chuẩn bị kỹ thuật cho thí nghiệm. Về cơ bản, phòng thí nghiệm của Onnes đã trở thành nguyên mẫu và hình mẫu cho các viện nghiên cứu của thế kỷ 20.

Nhận thấy tầm quan trọng của việc nhanh chóng làm quen với các nhà khoa học về những thành tựu khoa học, Kamerlingh Onnes đã thành lập tạp chí “Thông điệp từ Phòng thí nghiệm Vật lý của Đại học Leiden”, chuyên đăng các báo cáo về công việc được thực hiện trong phòng thí nghiệm của ông. Cánh cửa phòng thí nghiệm đã rộng mở chào đón tất cả những ai muốn làm việc trong lĩnh vực công nghệ đông lạnh. Đó là một phong cách hoàn toàn mới, một kiểu tương tác mới giữa các nhà vật lý từ các quốc gia và trường khoa học khác nhau.

Hóa lỏng gel

Kamerlingh Onnes chủ yếu quan tâm đến giá trị của các thông số tới hạn của gel, chủ yếu là nhiệt độ $T_k$. Bằng cách đo các đường đẳng nhiệt của gel ở nhiệt độ ngày càng thấp, ông kết luận rằng giá trị $T_k$ nằm trong khoảng từ 5K đến 6K. Người ta quyết định rằng gel có thể được làm lạnh đến nhiệt độ dưới nhiệt độ tới hạn bằng cách cắt nhanh gel, trước đó cuộn lại đến áp suất 100 atm và làm nguội đến nhiệt độ của hydro lỏng. Trong quá trình kiểm tra thử nghiệm, Kamerlingh Onnes nhận thấy một đám mây sương mù dày đặc màu xám. Đây dường như là bằng chứng của sự ngưng tụ gel.

Tuy nhiên, việc tiếp tục các thí nghiệm này cho thấy nguyên nhân dẫn đến sự xuất hiện của đám mây là do sự hiện diện của một lượng nhỏ hỗn hợp hydro trong gelyan, chất này vẫn tồn tại dù đã được làm sạch kỹ lưỡng. Khi thí nghiệm được lặp lại với gel hành kỹ hơn nữa, người ta không quan sát thấy sự hình thành sương mù. Tăng tốc độ phân phối, Kamerlingh Onnes nhìn thấy một đám mây sương mù nhẹ. Nhưng sương mù rất mỏng và đám mây biến mất trong một giây; vì vậy câu hỏi về giá trị đích thực của nhiệt độ tới hạn của gel vẫn còn bỏ ngỏ.

Thí nghiệm quyết định được thực hiện vào ngày 10 tháng 7 năm 1908. Sơ đồ của thí nghiệm này được thể hiện trong Hình 2. Helium, được nén đến áp suất cao, đi vào bộ trao đổi nhiệt từ máy nén, nơi nó được làm mát bằng hydro lỏng. Cuộn gel được làm mát đi qua một vòi đặc biệt $K_1$, đi vào bộ thu, nơi nó được phân phối và làm mát mạnh. Miễn là nhiệt độ của gel trong máy thu cao hơn $T_k$, quá trình ngưng tụ sẽ không xảy ra và gel đã nguội sẽ quay trở lại máy nén thông qua trao đổi nhiệt

24

hơi nước trên gel lỏng bằng cách sử dụng mười hai máy bơm, anh ấy đã đạt được áp suất lên 0,013 mmHg. Nghệ thuật. và đạt nhiệt độ 0,83 K!
Có một điều là ngay cả ở nhiệt độ thấp kỷ lục như vậy, heli vẫn ở dạng lỏng.

Kamerlingh Onnes trong thí nghiệm đầu tiên cho thấy mật độ gel lỏng rất thấp. Hóa ra nó nhẹ hơn nước 8 lần; điều này cho thấy các nguyên tử nhẹ của gel nằm ở khoảng cách tương đối lớn với nhau; Việc chuyển đổi chất lỏng như vậy thành trạng thái thành phố rắn khó hơn chất lỏng thông thường.

Vì lý do này, helium vẫn ở dạng lỏng ở nhiệt độ thấp nhất. Nhưng ngay cả ở gần độ không tuyệt đối, nó vẫn ở dạng lỏng, vì ở đây các định luật cơ học lượng tử biến nó thành chất rắn. Chúng ta hãy nhớ lại rằng theo quan điểm của vật lý cổ điển, khi nhiệt độ giảm, dao động nhiệt của một bộ phận của vật chất ngày càng yếu đi. Sự hiện diện của các lực cơ học cuối cùng phải dẫn đến sự đông đặc của chất. Theo các định luật cơ học lượng tử, ý tưởng thông thường về các nguyên tử dừng hoàn toàn ở độ không tuyệt đối hóa ra là không chính xác - các nguyên tử thực hiện cái gọi là dao động “không”, không liên quan đến chuyển động nhiệt.

Do đó, theo quan điểm của vật lý cổ điển, hành vi độc đáo của gel lỏng ở nhiệt độ thấp hoàn toàn không đông đặc lại đến độ không tuyệt đối. Do đó, ở $T = 1,78$ K, helium rắn tồn tại ở áp suất $p = 30,000$ atm.

Một đặc tính rất kỳ lạ khác của gel lỏng đã được Onnes ghi nhận trong thí nghiệm đốt đầu tiên của ông. Đo mật độ của gel lỏng, ông phát hiện ra rằng khi nhiệt độ giảm kể từ điểm sôi, nó sẽ tăng lên, nghĩa là khí heli bị hớt đi. Ở nhiệt độ 2,2 K, xảy ra cực đại rõ rệt và khi nguội hơn nữa, thể tích heli tăng lên và mật độ của nó giảm đi. Nghiên cứu được Onnes thực hiện trong những năm cuối đời cho thấy sự bất thường về tính chất vật lý của gel ở nhiệt độ dưới 2,2 K.

Sau đó, sau cái chết của Onnes vào năm 1926, kết quả nghiên cứu về gel lỏng do các sinh viên của ông thực hiện đã được công bố. Do đó, vào năm 1932, Keesom và Clausis đã phát hiện ra sự tăng mạnh nhiệt dung của gel lỏng gần $T = 2,2$ K. Một vài năm sau, người ta thấy rõ rằng ở $T = 2,2$ K, một quá trình chuyển pha xảy ra trong helium lỏng, được đặc trưng bởi sự thay đổi các tính chất vật lý. Ở $T > 2,2$ K cho đến điểm sôi, helium lỏng xuất hiện dưới dạng chất lỏng rắn (gọi là HeI), nhưng ở $T < 2,2$ K nó có những đặc tính hoàn toàn chưa được biết đến. Năm 1938, nhà vật lý Liên Xô P. L. Kapitsa phát hiện ra rằng ở $T < 2,2$ K, helium lỏng (tên là HeII) có đặc điểm là hoàn toàn không có độ nhớt: nó chảy qua một mao quản hẹp mà không có lực cản, nghĩa là lực ma sát hoàn toàn bằng không. Tính chất này của HeII được gọi là tính siêu chảy. Lý thuyết về hiện tượng này được tạo ra bởi L. D. Landuu.

Công trình của các nhà vật lý xuất sắc của Liên Xô được đánh giá cao - cả hai đều được trao giải Nobel.

Trong các thí nghiệm với gel lỏng, Kamerlingh Onnes thực sự đã quan sát thấy sự chuyển đổi của gel lỏng thành một trạng thái siêu lỏng hoàn toàn mới, nhưng không thể ước tính được tầm quan trọng của khám phá mà ông đã thực hiện. Tuy nhiên, đừng quên vật lý lượng tử chỉ mới thực hiện những bước đầu tiên; Để giải thích hoạt động của gel lỏng ở nhiệt độ thấp, cần phải có một cách tiếp cận hoàn toàn mới, bác bỏ các khái niệm cổ điển. Chỉ những nhà vật lý thuộc thế hệ tiếp theo mới có thể và làm được điều này. Vào thời của Onnes, chính sự kỳ vọng về gel đã là một thắng lợi khoa học to lớn và dường như là bước cuối cùng trên con đường đạt đến độ không tuyệt đối.

25

Khám phá tính siêu dẫn

Có khả năng đạt được nhiệt độ chỉ cao hơn một độ so với độ không tuyệt đối, Kamerlingh Onnes bắt đầu nghiên cứu tính chất của nhiều chất khác nhau ở “nhiệt độ helium”. Việc xác định điện trở suất của một mẫu tương đối dễ dàng ở bất kỳ nhiệt độ nào. Do đó, có thể hiểu được rằng Onnes bắt đầu bằng việc nghiên cứu đặc tính của lực cản ở nhiệt độ thấp. Hơn nữa, vào đầu thế kỷ này, vấn đề này rất quan trọng.

Có những lý thuyết đưa ra những dự đoán hoàn toàn trái ngược nhau về tính chất dẫn điện ở nhiệt độ rất thấp.

Theo một người, ở mức nULE tuyệt đối, điện trở sẽ biến mất. Thật vậy, độ dẫn điện của kim loại tỷ lệ thuận với thời gian giữa hai lần va chạm liên tiếp của electron với nguyên tử đang dao động. Khi nhiệt độ giảm, biên độ dao động nguyên tử giảm. Do đó, va chạm giữa các electron và nguyên tử trở nên hiếm hơn và độ dẫn điện tăng lên; vì vậy ở $T=0$ điện trở trở thành bằng không.

Mặt khác, một giả thuyết đã được đưa ra theo đó độ dẫn điện ở nhiệt độ thấp có liên quan đến các nguyên tử, dẫn đến điện trở vô hạn ở $T=0$.

Kamerlingh Onnes bắt đầu đo điện trở của bạch kim ở nhiệt độ thấp. Kết quả mà ông thu được không phù hợp với khuôn khổ các lý thuyết hiện có - khi nhiệt độ giảm, điện trở của bạch kim không đổi. Tuy nhiên, Onnes đã thu hút sự chú ý đến thực tế là giá trị điện trở của các mẫu khác nhau, những thứ khác bằng nhau, càng thấp thì kim loại hóa ra càng cao. Từ đó, ông sẽ kết luận rằng sự tồn tại của điện trở ở $T \rightarrow 0$ - cái gọi là điện trở dư - là do tạp chất, và kim loại nguyên chất ở nhiệt độ 0 phải có độ dẫn điện vô hạn. (Tuy nhiên, Onnes đã lầm tưởng rằng điện trở của kim loại nguyên chất sẽ giảm xuống 0 ở nhiệt độ heli.) Do đó, nhiệm vụ là nghiên cứu khả năng xử lý tốt nhất hầu hết các kim loại, đặc biệt là bạch kim tốt nhất. Các giá trị điện trở dư cụ thể của vàng thu được từ các phép đo thấp hơn nhiều so với giá trị của bạch kim và tăng lên khi tần suất xử lý ngày càng tăng. Kamerlingh Onnes cũng chuyển sang nghiên cứu hành vi cản trở của thủy ngân. Thực tế là chất này ở pha lỏng ở nhiệt độ phòng, và thông qua quá trình chưng cất liên tiếp, người ta có thể thu được thủy ngân ngày càng tinh khiết hơn.

Kết quả thí nghiệm với rttuto thật bất ngờ. Điện trở suất của thủy ngân thay đổi khi nhiệt độ giảm, nhưng ở nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ sôi của gel lỏng một chút, nó giảm mạnh và trở nên nhỏ đến mức không thể đo được.

Vào ngày 28 tháng 4 năm 1911, Kamerlingh Onnes báo cáo kết quả thí nghiệm của mình cho Học viện Hoàng gia Hà Lan. Cái mà ông khám phá ra là cái mà ông gọi là tính siêu dẫn.

Năm 1913, trong bài phát biểu khi nhận giải Nobel, Onnes cho rằng hiện tượng siêu dẫn có thể gắn liền với sự lượng tử hóa năng lượng, được Planck phát hiện vào cuối thế kỷ trước. Tuy nhiên, phải mất khoảng nửa thế kỷ trôi qua trước khi một lý thuyết hoàn chỉnh về tính siêu dẫn được xây dựng.

Sau khi phát hiện ra sự chuyển đổi sang trạng thái hoàn hảo trước đây, Kamerlingh Onnes bắt đầu nghiên cứu kỹ lưỡng các đặc tính của nó. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là: điện trở của mẫu giảm đến mức nào trong pha siêu dẫn? Onnes cần học cách đo điện trở suất cực thấp. Với nhiệm vụ này anh

26

Hình 3.

đã làm một công việc xuất sắc bằng cách phát triển một phương pháp đo lường mới khéo léo.

Một cuộn dây dẫn (Hình 3) có thể được nối với pin bằng cách đóng công tắc 1 và có thể nối tắt bằng công tắc 2. Khi bắt đầu thí nghiệm, công tắc 1 đóng và công tắc 2 mở. Cuộn dây được làm mát bằng gel lỏng trong bình Dewar, ở trạng thái siêu dẫn. Trong trường hợp này, dòng điện từ pin đi qua cuộn dây tạo ra một từ trường xung quanh nó, từ trường này dễ dàng được phát hiện nhờ độ lệch của kim la bàn nằm bên ngoài nước sốt Dewar. Sau đó kuchch 2 đóng lại và kuchch 1 mở ra. Cuộn dây siêu dẫn hóa ra bị đoản mạch. Tuy nhiên, kim la bàn vẫn bị lệch, cho thấy có dòng điện trong cuộn dây đã ngắt khỏi pin. Quan sát chiếc kim trong vài giờ (cho đến khi toàn bộ khí heli trong bình bay hơi), Onnes không nhận thấy một sự thay đổi nhỏ nhất nào về độ lệch của chiếc kim. Điều này có nghĩa là không có điện trở cuộn dây - xét cho cùng, nếu có điện trở, năng lượng sẽ bị tiêu tán trong cuộn dây, dòng điện sẽ giảm và điều này có thể được nhận thấy bằng sự thay đổi độ lệch của kim la bàn.

Dựa trên kết quả thí nghiệm, Kamerlingh Onnes đã đi đến kết luận rằng điện trở của cuộn dây dẫn siêu dẫn nhỏ hơn ít nhất 10¹¹ lần so với điện trở của nó ở trạng thái bình thường (không siêu dẫn).

Sự tồn tại lâu nhất được ghi nhận của dòng điện không bị suy giảm cho đến nay là khoảng hai năm. (Dòng điện này lẽ ra đã lưu thông ngay cả khi không có sự đứt gãy trong lớp gel lỏng yếu do cuộc đình công của công nhân vận tải gây ra.) Sau đó, hai năm sau, không có sự suy yếu đáng kể nào về cường độ của dòng điện tuần hoàn, điều này cho phép chúng ta coi điện trở của chất siêu dẫn bằng không một cách chính đáng.

Ứng dụng thực tế của chất siêu dẫn là một triển vọng tươi sáng. Xét cho cùng, nam châm điện siêu dẫn hoàn toàn không tiêu thụ điện và với sự trợ giúp của nó, người ta sẽ dễ dàng thu được từ trường mạnh. Trong một nam châm điện thông thường, để có được từ trường mạnh cần dòng điện lớn, dẫn đến giải phóng một lượng nhiệt khổng lồ trong cuộn dây. Trường hợp sau giới hạn độ lớn tối đa của từ trường do nam châm điện tạo ra. Việc sử dụng chất siêu dẫn trong máy biến áp, động cơ điện và máy phát điện cũng mang lại những lợi ích to lớn bù đắp cho nhu cầu vận hành ở nhiệt độ cực cao.

Onnes là người đầu tiên tạo ra nam châm siêu dẫn. Tuy nhiên, sự thất vọng đang chờ đợi anh ở đây. Các thí nghiệm ở Leiden cho thấy trong từ trường vượt quá một giá trị ngưỡng nhất định, tính siêu dẫn sẽ biến mất. Độ lớn của các trường ngưỡng này hóa ra rất nhỏ - vài trăm ekrasted, thấp hơn đáng kể so với các trường ngay cả trong các máy điện nhỏ. Sự truyền qua của một dòng điện mạnh cũng phá hủy tính siêu dẫn - từ trường sinh ra vượt quá ngưỡng ngay cả ở dòng điện tương đối yếu.

Mãi về sau này, người ta mới phát hiện ra các vật liệu siêu dẫn có thể chịu được từ trường mạnh và cho dòng điện lớn chạy qua mà không phá hủy tính siêu dẫn. Phải mất nhiều hơn

27

Chụp trọng lực

(Để bắt đầu, xem trang 4)

và chuyển từ một quỹ đạo có aphaeum nằm giữa quỹ đạo của Sao Hải Vương và Sao Thiên Vương, sang một quỹ đạo chu kỳ ngắn với điểm cận vị khá gần với quỹ đạo Trái Đất (hoàn cảnh sau khiến việc khám phá ra nó trở nên khả thi). Theo tính toán tương tự, sao chổi Kirnas-Kva được Sao Mộc phóng vào một hình elip lớn hơn vào năm 1855, bắt nó từ quỹ đạo hyperbol.

Thật không may, những quan sát và tính toán sau đó đã không xác nhận được việc bắt giữ. Ý tưởng của các nhà thiên văn học về quá khứ của sao chổi Kirnas-Kva thay đổi hoàn toàn với mỗi lần cải tiến quỹ đạo hiện tại của nó. Ponstine “một sao chổi vô luật pháp trong vòng tròn của những ngôi sao sáng được tính toán”!

Như vậy, bài toán Laplace đặt ra cách đây gần hai thế kỷ vẫn còn gây tranh cãi nảy lửa. Một mặt, việc thu giữ hấp dẫn là khả thi, điều này đã được chứng minh một cách thuyết phục. Mặt khác, vẫn chưa rõ liệu hệ mặt trời có bị bắt hay không

của tôi ít nhất là một trong những sao chổi của cô ấy. Không ai trong số chúng được quan sát cho đến nay có thể khẳng định một cách đáng tin cậy rằng chúng thực sự đến từ không gian giữa các vì sao. Tính đến năm 1979 (ngày xuất bản danh mục cuối cùng về quỹ đạo sao chổi), quỹ đạo của 659 sao chổi đã được xác định một cách đáng tin cậy, trong đó chỉ có 98 quỹ đạo là loại hyperbol. Nhưng đâu là sự đảm bảo rằng chúng có tính chất hyperbol ngay cả trước khi có quan sát đầu tiên về những sao chổi này?

Hiện tại người ta tin rằng ở rìa hệ mặt trời có đám mây sao chổi Hypertian - đám mây Oort, lớn hơn quỹ đạo Trái đất 100-150 nghìn lần. Người ta tin rằng quỹ đạo của các sao chổi chạm vào chúng ta theo kiểu parabol hoặc hyperbol yếu phần lớn thực sự là những hình elip có độ dài rất cao, có thể di chuyển trong thời gian lên tới 400 nghìn năm. Nhưng đây là câu hỏi: đám mây Oort được hình thành đồng thời với toàn bộ hệ mặt trời hay nó thỉnh thoảng bổ sung do hấp dẫn trong không gian giữa các vì sao? Ở đây thay đổi phân kỳ. Hãy hy vọng tương lai sẽ mang lại đáp số cho câu hỏi này.

28

B. Yavelov

Louis de Broglie

Chín mươi năm trước, tại thị trấn nhỏ Dieppe trên bờ biển eo biển Manche của Pháp, Louis de Broglie, một trong những người sáng lập thuyết lượng tử, đã ra đời. Gia đình de Broglie là một gia đình quý tộc rất lâu đời, nhiều đại diện của họ đã trở nên nổi tiếng với tư cách là những nhà lãnh đạo quân sự, nhà ngoại giao và chức sắc cao cấp.

Nhưng cậu bé Louis de Broglie, cũng như anh trai Maurice (lớn hơn 17 tuổi), đã nhận được ít vinh quang từ tổ tiên của họ - cả hai đều trở thành nhà khoa học. Vào cuối thập kỷ đầu tiên của thế kỷ Nivenian, Maurice de Broglie đã nổi tiếng là một trong những nhà vật lý có thẩm quyền nhất ở Pháp. Em trai của ông, người tốt nghiệp trung học ở Paris năm 1909, ban đầu quyết định cống hiến hết mình cho ngành nhân văn và năm 1910 nhận được bằng cấp (bằng cấp học thuật thấp nhất ở Pháp) về lịch sử tại Đại học Paris (tại Sorbonne). Nhưng niềm đam mê vật lý và toán học - vốn phát triển không phải không có ảnh hưởng của anh trai ông - đã chiếm ưu thế, và vào năm 1913, Louis de Broglie tại Sorbonne đã nhận được một bằng cấp khác, lần này - bằng cấp về khoa học chính xác.

Năm 1914, Chiến tranh thế giới thứ nhất bắt đầu, nhà vật lý vĩ đại trong tương lai được điều động và giao làm nhân viên điều hành đài phát thanh cho một đài phát thanh đặt tại Tháp Eiffel. Trong sáu năm, ông nghiên cứu đài phát thanh, hay như người ta nói lúc đó, “điện thoại không dây”, và chỉ đến năm 1920, ông mới có cơ hội quay trở lại với vật lý. Anh bắt đầu làm việc trong phòng thí nghiệm riêng của anh trai mình, nơi anh bắt đầu thử nghiệm nghiên cứu điện từ tần số cao (đặc biệt là với RENT RAYS). Quan tâm sâu sắc đến các vấn đề của lý thuyết lượng tử, liên quan chặt chẽ đến công trình này, vốn là trung tâm của sự chú ý của vật lý, Louis de Broglie vào đầu năm 1922 đã bắt đầu những nỗ lực lý thuyết nhằm nâng cao sự hiểu biết về bản chất của hiện tượng lượng tử.

Năm 1924, de Broglie hoàn thành luận án tiến sĩ mang tên “Nghiên cứu về Lý thuyết Lượng tử”. Cố vấn khoa học của De Broglie là Paul Langevin (1872-1946), nhà vật lý kiệt xuất người Pháp, người có quan điểm khoa học và chính trị tiên tiến (Langevin là người bạn lớn của nước ta; năm 1944 ông gia nhập Đảng Cộng sản Pháp). Trong tác phẩm này, de Broglie đưa ra ý tưởng về tính chất sóng của vật chất: ông cho rằng bất kỳ bộ phận vật chất nào, cùng với tính chất hạt, cũng có tính chất sóng. Nếu khối lượng của một hạt là $m$, tốc độ của nó là $v$ thì hạt này tương ứng với một sóng, độ dài của sóng được xác định theo công thức

$$\lambda = \frac{h}{mv},$$

trong đó $h$ là hằng số Planck.

Ở năng lượng electron 200 eV, sóng tương ứng có chiều dài $\sim 10^{-10}$ m, tức là bằng bước sóng của bức xạ Genetene. Người ta có thể mong đợi rằng nếu các electron thực sự có tính chất sóng thì khi các electron đi qua một nguồn tinh thể, hiện tượng nhiễu xạ sẽ xảy ra - giống như khi các tia Genetian đi qua một tinh thể.

Thật vậy, vào năm 1927, hình ảnh nhiễu xạ lần đầu tiên được quan sát thấy khi các electron truyền qua lá kim loại.

29

Ý tưởng chính trong lý thuyết của de Broglie - so sánh việc chuyển động của các vật thể vật chất với sóng - đi ngược lại với những ý tưởng thông thường về thế giới xung quanh, và đối với hầu hết các nhà vật lý, nó có vẻ vô lý, hoang dã, thậm chí điên rồ. Chỉ có một chút hiểu biết về quan điểm cách mạng của de Broglie. Nhưng trong số ít người này có Langenin và Einstein, những người đã nói rằng với tác phẩm của mình, de Broglie đã “đã vén mép bức màn lớn lên”.

Hai năm đã trôi qua, và bức màn này đã được vén lên hoàn toàn - một ngành khoa học mới được thể hiện một cách toàn diện và hơn thế nữa trên sân khấu vật lý - cơ học lượng tử, phần quan trọng nhất trong số đó là lý thuyết sóng chuyên sâu và được suy nghĩ lại của de Broglie.

Năm 1929, sự cống hiến của de Broglie cho khoa học đã được ghi nhận bằng việc trao cho ông giải Nobel Vật lý; nhiều cơ quan và tổ chức khoa học ở các nước khác nhau trên thế giới đã chọn nhà khoa học người Pháp là thành viên của họ, Louis de Broglie là thành viên nước ngoài của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Sau khám phá mang tính bước ngoặt của kỷ nguyên, Louis de Broglie tiếp tục nghiên cứu các vấn đề cơ bản của lý thuyết lượng tử, các vấn đề về dao động điện từ tần số siêu cao, khoa học vật lý và lịch sử vật lý; ông đã dành nhiều thời gian cho việc giảng dạy vật lý, đặc biệt là tại Sorbonne, nơi ông từng tự dạy mình. Nhà khoa học vĩ đại vẫn không mất đi niềm yêu thích sâu sắc với vật lý cho đến tận ngày nay.

Đánh giá, thư mục

Đây là một thế giới mong manh

Mỗi người có chút quan tâm đến cách thế giới của chúng ta vận hành, sớm hay muộn đều tự hỏi mình câu hỏi: “Tại sao thế giới của chúng ta lại được cấu trúc theo cách này mà không phải cách khác?” Trên thực tế, chẳng hạn, tại sao không phải mọi vật thể đều phát triển thành các phân tử và nguyên tử cấu thành của chúng? Và nếu các nguyên tử và phân tử thích gắn kết với nhau đến vậy, thì tại sao thế giới của chúng ta lại bao gồm những vật thể riêng biệt chứ không phải là một khối nguyên khối duy nhất?

Đáp số Vật lý chủ yếu cố gắng trả lời những câu hỏi này. Nhiều điều đã rõ ràng đối với các nhà khoa học. Làm thế nào những người biết quá ít về vật lý lại có thể bắt đầu nghiên cứu nó? Từ bỏ mọi thứ: họ nói, tất nhiên là thú vị, nhưng quá khó? Đừng tuyệt vọng. Bản thân các nhà vật lý sẵn sàng nói về mọi thứ họ biết và cố gắng làm điều đó một cách đơn giản và rõ ràng, có thể nói là “trên ngón tay”.

Đây là lý do tại sao của chúng tôi? có thể tìm thấy đáp số trong cuốn sách “Chân dung một vết nứt” (M., “Luyện kim”, 1981), được viết bởi giáo sư vật lý V. M. Finkel. Công trình khoa học của tác giả liên quan trực tiếp đến các vấn đề được bàn luận trong cuốn sách.

Mở sách ra, chúng ta làm quen ngay với các “nhân vật” chính do họa sĩ R.V. Levitsky: đây là kim loại có các nguyên tử, chỗ trống và sai lệch, râu, phương hướng, vết nứt, nhiệt độ.

Sẽ không quá lời khi nói rằng hiện tại và tương lai của nhân loại phụ thuộc vào loại vật liệu chúng ta sử dụng hiện nay và loại vật liệu nào sẽ thay thế chúng. Suy cho cùng, hạnh phúc, sự thoải mái và đôi khi thậm chí cả cuộc sống của chúng ta phụ thuộc vào sức mạnh và độ tin cậy của những đồ vật xung quanh chúng ta: nhà cửa, đường sá, địa điểm, ô tô, tàu hỏa, máy bay… Đọc cuốn sách, chúng ta dần dần hiểu được cơ chế đọc và hủy diệt cũng như một số tính chất vật lý nhất định của cơ thể phức tạp và độc đáo như thế nào.

Tác giả xem xét những vấn đề này ở cấp độ hiện đại nhất: người đọc thấy mình đang ở trong một thế giới vi mô bí ẩn - thế giới của các nguyên tử và phân tử. Sẽ không khô khan khi xem xét một cách trình bày khá chặt chẽ, phần lớn là do sự tương tự thành công, được xem xét từ các tác phẩm văn học minh họa một cách hình tượng các vấn đề vật lý phức tạp.

Bây giờ hãy nhường sàn cho tác giả:

“Cuốn sách nằm trước mặt bạn dành riêng cho sự hủy diệt, bản chất và những biểu hiện đa dạng của nó: cả khi nó bị phát hiện là cái ác, lẫn khi nó cực kỳ quan trọng và phục vụ thành công con người… Có lẽ sẽ tốt nếu thiên nhiên đơn giản hơn nó, nhưng thật tuyệt vời làm sao khi vẫn còn rất nhiều điều chưa biết, thậm chí là chưa biết một cách nguy hiểm, mà bạn có thể áp dụng lòng dũng cảm, khối óc và bàn tay của mình…

Cuốn sách dành cho những độc giả ham học hỏi và tác giả đã cố gắng viết nó theo cách sao cho nó thú vị và không vô dụng đối với cả học sinh và các chuyên gia.

Tràn đầy hy vọng này, tác giả gửi cuốn sách của mình tới độc giả.”

Đối với chúng tôi, có vẻ như hy vọng của tác giả sẽ có cơ sở.

A. Arinshtei

I. Kamyshko

Paul Dirac
và bài toán
về ba ngư dân

Gần đây nhất, vào ngày 8 tháng 8 năm nay, sinh nhật lần thứ 80 của nhà vật lý kiệt xuất của thời đại chúng ta, người đoạt giải Nobel Paul A. M. Dirac đã được tổ chức. Nhiều thành tựu nổi bật của lý thuyết lượng tử gắn liền với tên tuổi của ông, và có lẽ ấn tượng nhất trong số đó là dự đoán về phản hạt đầu tiên - “phản electron”, hay còn gọi là positron. Chúng ta hãy nhớ lại ngắn gọn mọi thứ diễn ra như thế nào*).

Dirac đã soạn ra một phương trình mô tả hành trạng của các electron có tính đến những ảnh hưởng của thuyết tương đối. Phương trình này bao hàm một cách hoàn hảo một số dữ kiện thực nghiệm, nhưng một “điều kỳ lạ” nhất định cũng được phát hiện: phần lời giải của nó tương ứng với các giá trị năng lượng electron âm. Phải làm gì với họ? Chúng ta có nên gạt chúng sang một bên hay cố gắng khám phá ý nghĩa vật lý ẩn giấu trong chúng? Đối với Dirac, đáp số là rõ ràng. Tuy nhiên, chúng ta hãy trích dẫn những lời của ông, được nói trong một bài giảng dành riêng cho A. Einstein và thuyết tương đối, nhưng hoàn toàn có thể áp dụng cho ông: “Bất kỳ ai hiểu được sự hài hòa sâu sắc giữa các hiện tượng tự nhiên và các nguyên tắc toán học tổng quát đều phải cảm thấy rằng nếu một lý thuyết cũng đẹp đẽ và tao nhã như lý thuyết của Einstein thì về bản chất, nó chắc chắn đúng”. Và ông đưa ra một giả thuyết nguyên bản và đặc biệt táo bạo, đặc biệt là vào thời điểm đó: lời giải các phương trình của ông, dường như không có ý nghĩa vật lý, thực sự mô tả một hạt cơ bản chưa được biết đến, gần như không thể phân biệt được với một electron, nhưng với sự nhiễm điện ngược lại (dương) có cùng độ lớn. Vì vậy, positron đã bị dừng lại. Và ngay năm sau, 1932, chúng được phát hiện trong các tia vũ trụ.

31

Rất có thể, chính tình tiết này trong cuộc đời của Paul Dirac, người giàu chiến thắng sáng tạo, đã góp phần làm xuất hiện một huyền thoại, đã kết thúc cách đây nhiều năm dưới nhiều phiên bản khác nhau theo các cuốn sách khoa học phổ thông.

Anh ấy nói rằng khi còn trẻ, anh ấy đã tình cờ gặp được bài toán này: Ba ngư dân đang đánh cá trong một đêm tối. Mệt mỏi, họ đi ngủ mà không chia mẻ đánh bắt được. Vào lúc bình minh, một người trong số họ thức dậy và không muốn làm phiền đồng đội của mình nên chia con cá thành ba phần bằng nhau; Sau khi nhận phần của mình, anh ấy về nhà. Trong quá trình chia, một con cá thừa và anh ta đã ném nó xuống biển. Sau đó người thứ hai tỉnh dậy. Không biết người đầu tiên đã bỏ đi phần của mình, anh ta cũng chia con cá thành ba phần, lấy một phần cho mình rồi bỏ đi, còn anh ta cũng như người đầu tiên, ném số cá thừa mình có xuống biển. Cuối cùng, người đánh cá thứ ba cũng tỉnh dậy. Không biết hai người đầu đã làm gì, anh ta làm theo ý họ, tức là chia con cá thành ba phần, lấy một phần ba cho mình, còn lại thì vớt số cá còn lại xuống biển rồi về nhà. Câu hỏi là, có bao nhiêu con cá đã được đánh bắt?

Đáp số (do Dirac): “Bắt được… khoảng hai con cá.” Thật dễ dàng để kiểm tra xem mọi thứ đều chính xác về mặt hình thức. Người đánh cá đầu tiên, chỉ phát hiện được hai con cá (!), ném ra một con cá và lấy riêng một phần ba (-3) con cá còn lại. Người đánh cá thứ hai và thứ ba sẽ làm điều tương tự, mỗi người cũng sẽ câu cá trong một khoảng thời gian đáng kinh ngạc. Và mặc dù, theo lời khai của chính nhà vật lý nổi tiếng, điều này lời giải là do giáo sư toán học J. Whitehead từ Oxford* kể cho ông nghe), có thể hiểu được các tác giả của “truyền thuyết về Dirac và những con cá tiêu cực”. Thật khó để tìm ra một ví dụ đơn giản và tao nhã hơn có thể minh họa rõ ràng tính xác thực của ý tưởng và niềm tin vào “hiệu quả đáng xấu hổ của toán học trong khoa học tự nhiên” (như một người đoạt giải Tiểu thuyết khác, nhà vật lý người Mỹ Yu. Wigner, đã nói) - những phẩm chất là trụ cột của vật lý và các nhà vật lý hiện đại.

Nhưng bài toán về ngư dân tự nó đã là tình yêu rồi. Hãy cố gắng giải quyết nó. Hãy dịch các điều kiện sang ngôn ngữ phương trình. Gọi $N = N_0$ là số lượng cá đánh được, $N_1$ số cá còn lại sau lần chia đầu tiên, $N_2$ - sau lần chia thứ hai, $N_3$ - sau lần chia thứ ba. Khi đó, hiển nhiên là, $N_1 = \frac{2}{3}(N_0 - 1)$ và nói chung, cho $k = 0, 1, 2$
$$N_{k+1} = \frac{2}{3}(N_k - 1).$$

Chúng ta cần tìm một số nguyên $N$ sao cho cả hai số $N_1, N_2$ và $N_3$ đều là số nguyên. Chúng tôi cũng yêu cầu tất cả chúng đều không âm. Hơn nữa, với ràng buộc này, bài toán, được đặt, có vô số lời giải. Chúng ta sẽ cố gắng rút ra công thức tổng quát cho số $N$.

Bây giờ chúng ta hãy từ bỏ điều kiện không tiêu cực (!). Lưu ý rằng bài toán thừa nhận lời giải và chỉ một sao cho tất cả $N_k$ đều bằng cùng một số $D$. Từ (1) cho số $D$ ta thu được phương trình $D = \frac{2}{3}(D - 1)$, từ đó $D = -2$. Đây là “lời giải Dirac”. Bây giờ giả sử $(N_k)$ là một chuỗi tùy ý thỏa mãn mối quan hệ (1). Hãy xem xét sự khác biệt $N'_k$ của hai lời giải bài toán - $N_k$ và lời giải Dirac: $N'_k = N_k - D = N_k + 2$. Từ

$$N'_{k+1} = N_{k+1} - D = \frac{2}{3}(N_k - 1) - \frac{2}{3}(D - 1) = \frac{2}{3}(N_k - D) = \frac{2}{3}N'_k,$$

dãy $(N'_k)$ là một cấp số nhân có giá trị $\frac{2}{3}$. Kể từ đây,

$$N_k = N'_k - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k N'_0 - 2 = \left(\frac{2}{3}\right)^k (N + 2) - 2.$$

(Cuối cùng xem trang 62)

33

Bài toán

M761 — M765; F773 — F777

M761. Thông qua một điểm tùy ý $P$ trên cạnh $AC$ của tam giác $ABC$, song song với các đường trung tuyến $AK$ và $CL$, các đường thẳng lần lượt được vẽ giao nhau với các cạnh $BC$ và $AB$ tại các điểm $E$ và $F$ (Hình 1). Chứng minh rằng các đường trung tuyến $AK$ và $CL$ chia đoạn $EF$ thành ba phần bằng nhau.

E. Gotman

M762. Chứng minh rằng với mọi số dương $a, b, c$ thì bất đẳng thức sau đúng:

$$a + b + c \leq \frac{a^2 + b^2}{2c} + \frac{b^2 + c^2}{2a} + \frac{c^2 + a^2}{2b} \leq \frac{a^3}{bc} + \frac{b^3}{ca} + \frac{c^3}{ab}.$$

M763*. Cho một hình bình hành $ABCD$, khác với hình thoi. Một đường thẳng đối xứng với đường thẳng $AB$ so với đường chéo $AC$ cắt nhau tại điểm $Q$ một đường thẳng đối xứng với đường thẳng $DC$ so với đường chéo $DB$ (Hình 2). Tìm hệ thức $|QA|:|QD|$ nếu biết hệ thức $|AC|:|BD| = k$.

V. Dubrovsky

M764*. Chứng minh rằng mỗi phương trình a) $x^2 + y^3 = z^5$; b) $x^2 + y^3 + z^5 = t^7$ có ​​vô số lời giải số tự nhiên.

O. Mazurov

M765. Cho $B$ là tập hợp hữu hạn các điểm trên mặt phẳng không thuộc cùng một đường thẳng. a) Chứng minh rằng có ba điểm thuộc tập hợp $B$ và đường tròn đi qua chúng không chứa các tập hợp $B$ khác.

b) * Bằng cách tam giác hóa tập hợp $B$, chúng ta xác định một họ các tam giác có tập hợp các đỉnh $B$ không chồng lên nhau và tạo thành một đa giác lồi (có thể thu được tam giác của tập hợp $B$ bằng cách nối các điểm của nó với các đoạn rời rạc, miễn là điều này có thể thực hiện được). Chứng minh rằng với mọi $B$ đều tồn tại một tam giác sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác bất kỳ của tam giác này không chứa các tập hợp $B$ bên trong chính nó. Chỉ định biện pháp thi công

34

của tam giác như vậy.
c) * Chứng minh rằng nếu không có điểm nào của tập hợp $B$ nằm trên cùng một đường tròn thì tam giác mô tả ở đoạn 6) là duy nhất.

F. Vayshtein

F773.*) Trên một mặt phẳng nghiêng gồ ghề có góc nghiêng $\alpha$ là một vật thể được buộc vào một sợi chỉ nhẹ, lỏng. Đầu tự do của sợi chỉ được luồn qua một lỗ nhỏ trên mặt phẳng. Tại thời điểm ban đầu, vật nằm trên một mặt phẳng sao cho sợi dây nằm ngang (Hình 3). Sợi chỉ bắt đầu được kéo ra từ từ; trong trường hợp này, khi nó chạm tới lỗ, vật thể mô tả một nửa vòng tròn. Tìm hệ số ma sát của vật trên mặt phẳng. (10)

F774. Đối với nhiều đuôi, có các giá trị nhiệt độ $T_{\text{tr}}$ và áp suất $p_{\text{tr}}$ tại đó cả ba pha của chất - khí, lỏng và rắn - đều cân bằng với nhau - cái gọi là điểm ba. Đối với nước $T_{\text{tr}} = 0,0075^{\circ}\text{C}$, $p_{\text{tr}} = 4,58$ mm Hg. st; nhiệt độ hóa hơi riêng tại điểm ba là $r = 595,8$ cal/g, nhiệt độ nóng chảy riêng là $\lambda = 79,7$ cal/g. Tìm tính chất cụ thể (sự chuyển đổi cơ bản từ trạng thái rắn sang trạng thái khí) của nước gần điểm ba.

V. Davydov

F775. Ampe đa giới hạn có độ chính xác cao chứa một công tắc riêng biệt được sửa đổi cho từng giới hạn. Ampe bật ở giới hạn 10 mA và nó hiển thị dòng điện $I_1 = 2,95$ mA; khi nó được chuyển sang giới hạn 3 mA, nó hiển thị $I_2 = 2,90$ mA. Cường độ dòng điện trong mạch trước khi kết nối bộ khuếch đại là bao nhiêu? (9)

A. Zilberman

F776. Một ấm đun nước nhỏ được đổ đầy nước ấm ($t_1 = 30^{\circ}\text{C}$) lên trên. Ấm duy trì ở mức 1 độ trong $\tau = 5$ phút. Để tránh ấm bị nguội, nước nóng được nhỏ vào ấm ($t_2 = 45^{\circ}\text{C}$). Khối lượng của một giọt là $m_k = 0,2$ g. Phải nhỏ bao nhiêu giọt mỗi phút vào ấm để nhiệt độ duy trì ở mức $30^{\circ}\text{C}$? Hỏi nước còn lại bao nhiêu độ trong một phút nếu bạn bắt đầu nhỏ giọt vào cốc thứ hai?

Giả sử nhiệt độ của nước trong ấm cân bằng rất nhanh. Nước dư thừa chảy ra khỏi vòi. Ấm đun nước chứa 0,3 lít nước. Nhiệt độ không khí xung quanh $t_0 = 20^{\circ}\text{C}$. (8)

A. Zilberman

36

nal problem to propose for publication, please send it to us in two copies (including the solution) in an envelope inscribed “NEW PROBLEM IN PHYSICS (MATHEMATICS)”.

=0,0075 C, $p_{tr} = 4.58$ mm Hg, the specific heat of evaporation is $r = 595.8$ cal/g and the specific heat of melting is $\lambda = 79.7$ cal/g. Find the specific heat of sublimation (the direct passage from solid to gas) of water at the triple point.

V. Davydov

P775. A high precision multi-range ammeter has a separate scale for each range of measurement. The ammeter is plugged into a network at range 10 mA and registers a current of $I_1 = 2.95$ mA; when it is switched over to the 3 mA range, it shows $I_2 = 2.90$ mA. What was the current in the network before the ammeter was plugged in?

A. Zilberman

P776. A small tea-kettle is filled with warm water ($t_1 = 30^\circ\text{C}$). The kettle cools by 1 degree in time $\tau = 5$ min. To keep the water warm, hot water ($t_2 = 45^\circ\text{C}$) is added to it drop by drop. The mass of one drop is $m_d = 0.2$ g. How many drops per minute are required to keep the temperature at $30^\circ\text{C}$? By how many degrees will the water warm up in one minute, if the frequency of dripping is tripled? Assume that the water temperature evens out very quickly. The extra water drips out of the kettle’s nose. The kettle contains 0.3 litres of water. The surrounding air temperature is $t_0 = 20^\circ\text{C}$.

A. Zilberman

P777. Một ròng rọc được treo bằng một sợi dây không trọng lượng, không giãn; chiều dài các phần thẳng đứng của sợi dây là $l$ (xem hình 4). Tìm chu kỳ dao động nhỏ của hệ trong mặt phẳng vuông góc với trục ròng rọc.

W. Ilyin

Lời giải bài toán

M731 — M738; F743 — F747

M731. Hai người trả lời câu hỏi này: người thứ nhất gọi tên một số tự nhiên từ 2 đến 9; số thứ hai nhân số này với một số tự nhiên tùy ý từ 2 đến 9, v.v.; người đầu tiên sản xuất ra sản phẩm lớn a) nghìn người sẽ thắng; b) triệu. Ai gợi lên bằng cerra chính xác - người mới bắt đầu hay đối tác của anh ta?

a) Vấn đề lời giải được phân tích từ đầu đến cuối (Hình 1). Nếu cuối cùng một trong những người chơi $I$ đề nghị người chơi khác - gọi anh ta là $B$ - bất kỳ số nào từ 112 đến 999, thì người chơi $B$ thắng (bằng cách nhân với 9). Do đó, nếu $B$ đưa ra cho đối tác của mình $I$ bất kỳ số nào từ 56 đến 111, thì $I$ sẽ nhận được ít nhất 112 (sau đó anh ta sẽ chỉ nhân với 2) và không quá 999 (sau đó anh ta sẽ nhân với 9) và người chơi $B$ sẽ được đảm bảo thắng. Bây giờ rõ ràng là nếu $I$ gọi tên bất kỳ số nào từ 7 đến 55, thì $B$ có thể rơi vào khoảng có lợi cho anh ta [56; 111]. Cuối cùng, để $I$ phải rơi vào khoảng thời gian chết chóc này đối với anh ta [7; 55], người chơi $B$ chỉ cần gọi tên bất kỳ số 4, 5, 6 nào ở bước đầu tiên. Vì vậy, người mới bắt đầu chiến thắng với con số chính xác.

6. Trường hợp này có thể được phân tích theo cách tương tự - “từ cuối”. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ đưa ra điểm chung lời giải, cho phép chúng tôi đánh giá tình huống khi chơi không chỉ lên tới 1000 hoặc lên tới 1000.000 mà còn lên đến bất kỳ số nào. Với mục đích này, hãy “logarit hóa” các điều kiện của trò chơi. Trò chơi có thể được coi là bắt đầu bằng việc người chơi đầu tiên nhận số 1 và nhân nó với bất kỳ số nào trong số 2, 3, …, 9. Hãy chuyển sang logarit: người mới bắt đầu có số $lg 1 = 0$ và có thể thêm vào đó bất kỳ số nào trong số $a_1 = lg 2$, $a_2 = lg 3$, …, $a_8 = lg 9$. Sau đó, đối tác sẽ thêm vào kết quả bất kỳ số nào trong số $a_1$, $a_2$, …, $a_8$, sau đó là số bắt đầu, v.v. Người đầu tiên đạt đến số $lg 1 000 000 = 6$ sẽ thắng. Bây giờ chúng ta có thể hình thành tổng quát hơn

39

có nghĩa là điểm $M$ nằm trên đường thẳng $C_1D_1$. Nhưng theo điều kiện, đối với hai vị trí khác nhau của điểm $K$ thì điểm $M$ nằm trên cạnh $CD$ nên đoạn $C_1D_1$ trùng với $[CD]$. Trên đường đi, chúng ta thấy rằng các đường chéo $AC$ và $BD$ song song với các cạnh của hình chữ nhật nội tiếp.

Hãy tìm chu vi của hình chữ nhật $KLMN$:
$$p = 2(|KL| + |KN|) = 2((1-t)|AC| + t|BD|),$$
do đó, $p$ là hàm tuyến tính của $t$. Từ đây, như ở điểm $a$), chúng ta kết luận rằng $p = 10$ cho tất cả các vị trí của điểm $K$. Cụ thể, đối với $K = A$, chúng tôi thu được $p = p(0) = 2|AC| = 10$ đó và đối với $K = B$ đó là $p = p(1) = 2|BD| = 10$. Dễ dàng chứng minh rằng diện tích của một tứ giác là $\frac{1}{2}|AC| \cdot |BD| \cdot \sin \alpha$, trong đó $\alpha$ là góc giữa hai đường chéo của nó.

Trong trường hợp của chúng ta, các đường chéo vuông góc nên $S_{ABCD} = \frac{25}{2}$.

Thứ hai lời giải. Tứ giác $ABCD$ có các hình chữ nhật $KLMN$ và $K_1L_1M_1N_1$ nội tiếp có thể được coi là hình chiếu của tứ diện $ABCD$ và hai phần của nó (xem Hình 3). Trên thực tế, chúng ta hãy giả sử hình chữ nhật $K_1L_1M_1N_1$ phía trên mặt phẳng vẽ sao cho các cạnh của nó vẫn song song với các cạnh của hình chữ nhật $KLMN$. Bốn mặt phẳng được vẽ thông qua sự tương ứng của cạnh “nâng” của hình chữ nhật và hình chữ nhật $KLMN$ bao quanh khối tứ diện $ABCD$. Hãy thực hiện một phép chiếu song song, trong đó hình chữ nhật “nâng lên” đi vào $K_1L_1M_1N_1$. Khi đó khối tứ diện sẽ được chiếu thành hình tứ giác được mô tả bằng các hình chữ nhật phù phép, tức là thành hình tứ giác ban đầu $ABCD$.

Các mặt $ABC$ và $ADC$ của khối tứ diện đi qua các đoạn song song $KL$ và $MN$ và cắt nhau dọc theo cạnh $AC$. Do đó, nó song song với các đoạn này và do đó với mặt phẳng vẽ. Từ đó, bất kỳ hình chiếu song song nào của nó lên mặt phẳng này, đặc biệt là đường chéo $AC$ của tứ giác $ABCD$, đều bằng và song song với cạnh $AC$. Tương tự, bất kỳ hình chiếu nào của cạnh $BD$, đặc biệt là đường chéo $BD$ của tứ giác $ABCD$, đều bằng và song song với cạnh $BD$. Bây giờ tứ diện $ABCD$ được chiếu lên mặt phẳng vẽ theo một cách khác - song song với cạnh $CD$. Hình chiếu của các điểm $C$ và $D$ trùng nhau và chúng ta thu được một tam giác vuông $ABC$, trong đó hai hình chữ nhật có chu vi 10 nội tiếp (xem Hình 4). Trong trường hợp này, các đường chéo $AC$ và $BC$ của tam giác này bằng nhau và song song với các đường chéo $AC$ và $BD$ của tứ giác ban đầu. Bất kỳ hình chữ nhật nào nội tiếp trong $\triangle ABC$ như trong Hình 4 đều tương ứng với một sự kết hợp nào đó của một tứ diện và một số hình chữ nhật nội tiếp trong tứ giác $M735$ trong số tạp chí này.

V. Dubrovsky, A. Egorov

◆
a) Đáp số: $m = 1, 2, 4, 6, 8$. Bằng chứng sẽ được đưa ra ở lời giải điểm c).

6. Đầu tiên là lời giải. Hãy để $c_k = a^k - 1$. Hãy phân tích $c_k$ thành thừa số của $k = 2^n$:
   $$c_k = a^{2n} - 1 = (a^{2n-1} - 1)(a^{2n-1} + 1) = (a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)(a^4 + 1) \dots (a^{2n-1} + 1).$$
   Nếu $a$ là số lẻ thì có $n + 1$ thừa số chẵn trong tích này và do đó $c_k$ chia hết cho $2^{n+1}$. Vì vậy, với mọi $k = 2^n$, trong đó $n - 1 \geq m$, số $c_k$ chia hết cho $2^m$.

Thứ hai lời giải. Chúng ta hãy nhìn vào số dư mà

40

Số Dayot $c_1, c_2, c_3, \dots (c_k=a^k-1)$ khi chia cho $2^m$.
Số phần dư khác nhau là hữu hạn, vì vậy có hai số trung bình $c_k$, ví dụ $c_n$ và $c_l$ ($n>l$), cho các số dư giống nhau khi chia cho $2^m$. Hiệu của chúng là bội số của $2^m$ và vì $c_n-c_l=a^n-a^l=a^{n-l}-1=a^l\cdot c_{n-l}$ và $a$ là số lẻ nên $2^m$ chia hết cho $c_{n-l}$. Nó cũng tuân theo công thức tính hiệu, cùng với $c_{n-l}$, tất cả các số hạng của dãy vô hạn $c_{n-l}, c_{2(n-l)}, c_{3(n-l)}, \dots$ cũng được chia cho $2^m$.

Chúng tôi khuyến nghị người đọc chứng minh rằng tính tổng quát của tất cả các số $c_k$ chia hết cho $2^m$ có dạng $\{c_r, c_{2r}, \dots, c_{i.r}, \dots\}$, trong đó $r=2^l$, $t\leq m$.

C) Chúng ta hãy biểu thị bằng $d(N)$ số mũ của lũy thừa lớn nhất của 2 mà số nguyên $N$ được chia. Đặt $d(m)=n$, sau đó đặt $m=2^n\cdot s$, trong đó $s$ là số lẻ. Vì $c_m=a^{2n}\cdot s-1=(a^{2n}-1)(a^{2n(s-1)}+a^{2n(s-2)}+\dots+1)$ và tổng trong ngoặc thứ hai là số lẻ, $d(c_m)=d(a^{2n}-1)$. Bây giờ chúng ta hãy lưu ý rằng các thừa số có dạng $a^{2l}+1$ trong khai triển (1) cho $l\geqslant 1$ chia hết cho 2 và không chia hết cho 4 (thực ra, số $a$ là số lẻ nên $a^{2l}$ là bình phương của một số lẻ và để lại dư 1 khi chia cho 4). Theo sau đó là $d(c_m)=d(a^2-1)+n-1$ tại $n\geqslant 1$; nếu $n=0$, thì $d(c_m)=d(a-1)$.

Để chia hết $c_m$ cho $2^m$ cần phải thỏa mãn bất đẳng thức $d(c_m)\geqslant m$, tức là $d(a-1)\geqslant m$ khi $m$ là số lẻ và $d(a^2-1)+n-1\geqslant m=2^n\cdot s$ khi $m$ là số chẵn. Bất đẳng thức thứ nhất chỉ đúng với một số hữu hạn các số $m$ và bất đẳng thức thứ hai được rút gọn về dạng

$$s \leq \frac{d(a^2-1)+n-1}{2^n}.$$

Vì phần bên phải của bất đẳng thức này tiến tới 0 đối với $n\rightarrow\infty$, nên nó chỉ có thể đúng với một tập hợp hữu hạn các cặp $(n;s)$ đối với bất kỳ $a$ cố định nào.

Quay lại điểm a), chúng ta đặt $a=31$. Các số bắt buộc $m$ thỏa mãn bất đẳng thức $m\leqslant d(31-1)=d(30)=1$, nếu $m$ là số lẻ và bất đẳng thức $s\leqslant(d(31^2-1)+n-1)/2^n$, nếu $m=2^n\cdot s$, trong đó $n\geqslant 1$, $s$ là số lẻ. Bất đẳng thức thứ nhất cho $m=1$. Số thứ hai được rút gọn về dạng $s\leqslant(5+n)/2^n$, vì $d(31^2-1)=d(30\cdot 32)=6$. Từ đây chúng ta có khả năng xảy ra cặp $(n;s)$: đây là $(1;1), (1;3), (2;1)$ và $(3;1)$, tức là $m=2, 4, 6, 8$.

V. Prasolov

M734. Điểm Bissertis A của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm K. Chứng minh rằng độ dài hình chiếu của đoạn AK lên đường thẳng AB (hoặc AC) bằng nửa độ dài hai cạnh AB và AC.

Hãy để định nghĩa $|AB| \leqslant |AC|$. Trên cạnh AC, xét điểm P đối xứng với B qua đường thẳng AK (xem hình). Rõ ràng là $|AP|=|AB|, |PK|=|BK|$. Sự bằng nhau của các góc BAK và CAK hàm ý sự bằng nhau của các cung BK và CK mà chúng nằm trên đó, và sự bằng nhau của các cung bao hàm sự bằng nhau của các dây BK và CK phụ thuộc chúng. Do đó, $|CK|=|BK|=|PK|$, và do đó hình chiếu K’ của điểm K lên cạnh AC là trung điểm của đoạn CP. Kể từ đây,

$$|AK'|=|AP|+|PK'|=|AB|+\frac{|AC|-|AB|}{2} = \frac{|AB|+|AC|}{2}.$$

A. Egorov

43

xét hàm $L(\varphi)$ trên khoảng $\varphi_0 \leqslant \varphi \leqslant \pi + \varphi_0$, trong đó $L(\varphi_0) \neq L$. Trong trường hợp này, các số $p$, $q$ và $m$ sẽ không thay đổi (điểm 0 và π phải được tính là một). Vậy $m$ là số chẵn.

Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó $p = q$. Hãy di chuyển đường thẳng $y = L$ lên trên một khoảng $\varepsilon$ (Hình 2). Nếu $\varepsilon$ đủ nhỏ thì mỗi điểm “khách quan” giao nhau của đồ thị hàm $L(\varphi)$ với đường thẳng $y = L$ sẽ có một điểm “khách quan” trên đường thẳng $y = L + \varepsilon$, mỗi điểm tối thiểu $q$ sẽ “chia thành hai” và điểm tối đa sẽ biến mất. Tổng số điểm giao nhau của đồ thị và đường thẳng sẽ trở thành $m + 2q$, và vì nó không thể tăng nên $m + 2q \leqslant m + p + q$, tức là $q \leqslant p$. Nó được chứng minh theo cách tương tự rằng $q \geqslant p$. Do đó, $p = q$ và số $m + p + q$ là số chẵn.

c) Xét $\triangle ABC$. Đặt $c$ là các cạnh dài nhất của nó, $c \geqslant b \geqslant a$ (để biết các ký hiệu, xem Hình 3). Primula $l_0$ sẽ được vẽ vuông góc với các cạnh $AB$. Hướng các đường cao của tam giác $ABC$ tương ứng với các giá trị $\varphi = 0$, $\varphi = \alpha$ và $\varphi = \pi - \beta$. Do đó, trên đoạn $0 \leqslant \varphi \leqslant \alpha$ hình chiếu của tam giác lên đường thẳng $l_\varphi$ trùng với hình chiếu của cạnh $BC$, tức là $L(\varphi) = L_a(\varphi) = a \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} - \beta \right) \right) \right|$, trên đoạn $[\alpha; \pi - \beta]$ - với hình chiếu của cạnh $AB: L(\varphi) = L_c(\varphi) = c \left| \cos \varphi \right|$, và trên đoạn $[\pi - \beta; \pi]$ - với hình chiếu của cạnh $AC: L(\varphi) = L_b(\varphi) = b \left| \cos \left( \varphi - \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) \right) \right|$.

Nếu tam giác tù hoặc hình chữ nhật thì $\alpha + \beta = \pi - \gamma \leqslant \frac{\pi}{2}$, do đó, để dễ kiểm tra, các điểm cực đại của hàm $L_a(\varphi)$ và $L_b(\varphi) - \frac{\pi}{2} - \beta$ và $\frac{\pi}{2} + \alpha$ rơi vào đoạn $[\alpha; \pi - \beta]$, trên đó $L(\varphi) = L_c(\varphi)$. Trong trường hợp này, hàm $L(\varphi)$ trước tiên trả về phân đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$ từ $h_c$ đến $c$, sau đó hủy từ $c$ đến $h_c$ (Hình 4).

Phải mất mỗi giá trị không quá hai lần. Nếu $\triangle ABC$ cấp tính thì $a + \beta > \frac{\pi}{2}$ và cực đại của hàm $L_a(\varphi)$ và $L_b(\varphi)$ nằm bên trong các đoạn $[0; \alpha]$ và $[\pi - \beta; \pi]$. Do đó, hàm $L(\varphi)$ có ba cực đại và sáu khoảng đơn điệu (Hình 5). Vì $h_c \leqslant h_b < a \leqslant b \leqslant c$, bất kỳ giá trị nào từ khoảng $h_b; a$ [hàm $L(\varphi)$ mất ít nhất bốn lần - trong ba khoảng đơn điệu đầu tiên và cuối cùng (xem Hình 5). Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng nếu $h_a < a$, thì bất kỳ giá trị nào từ khoảng $h_a; a$ [được lấy sáu lần - một lần trên mỗi khoảng đơn thức của hàm $L(\varphi)$.

V. Prasolov

◆ Một hòn đá được ném với tốc độ ban đầu tối thiểu $v_0$, đủ để hòn đá bay qua tường, có quỹ đạo như hình vẽ. Tại các điểm A và B, quỹ đạo chạm vào các cạnh của tường; tốc độ $v$ của hòn đá tại điểm A tạo thành một góc $\alpha = 45^\circ$ với đường chân trời. Thời gian $t$ hòn đá bay từ điểm A đến điểm B được xác định bởi các điều kiện
$$v_y = v \sin \alpha = gt/2 \Rightarrow t = 2v (\sin \alpha)/g.$$

Độ lớn của vận tốc $v$ liên hệ với bức tường tù $l$ bằng sự tương ứng
$$l = v_x t = 2v \cos \alpha \cdot v (\sin \alpha)/g = v^2/g \Rightarrow v = \sqrt{gl}.$$

Mối liên hệ giữa $v_0$ và $v$ sẽ được tìm thấy từ định luật bảo toàn năng lượng:
$$\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv^2}{2} + mgH,$$
Ở đâu
$$v_0 = \sqrt{v^2 + 2g(H - h)} = \sqrt{g(l + 2H - 2h)}.$$

O. Savigan

44

F744. Tàu vũ trụ là một quả cầu có thành mỏng cứng có bán kính $R=2$ m, chứa đầy khí. Bên trong thiết bị có một quả cầu có bán kính $r=R/2$, chứa đầy chất khí giống như thiết bị thứ tám, nhưng ở áp suất cao hơn. Quả bóng chạm vào bề mặt bên trong của bộ máy. Do bị hư hại, quả bóng vỡ ra. Tìm xem áp suất bên trong thiết bị thay đổi bao nhiêu lần nếu thiết bị thứ tám bị cuốn đi ở khoảng cách $a=0,5$ m. Xét khối lượng của vỏ; nhiệt độ được coi là không thay đổi.

Khi xảy ra những thay đổi bên trong bộ máy thì vị trí khối tâm (khối tâm) của bộ máy không thay đổi.

Tại thời điểm ban đầu m. của bộ máy được xác định bằng cách nào. m. hệ “quả bóng có mật độ $\varrho_1$ + quả bóng có mật độ $\varrho_2$ - $\varrho_1$”, trong đó $\varrho_1$ là mật độ của chất khí lấp đầy quả cầu bán kính $R$, $\varrho_2$ là mật độ của chất khí lấp đầy quả cầu bán kính $R/2$.

Sau khi quả bóng nổ tung, c. m. của bộ máy được xác định bằng cách nào. m. quả cầu có bán kính $R$, chứa đầy khí có mật độ $\varrho$, trong đó $\varrho$ là mật độ khí trong quả cầu sau khi quả bóng bị hư hỏng.

Việc sau khi quả bóng bị hư hại, toàn bộ thiết bị đã bị cuốn đi một khoảng $a$ có nghĩa là… m. thiết bị có một quả cầu đặc được đặt ở khoảng cách $a$ tính từ tâm quả cầu (xem hình). Từ điều kiện này, chúng ta tìm thấy sự tương ứng giữa $\varrho_1$ và $\varrho_2$:

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 a g = \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \frac{R}{2} - a \right) g \Rightarrow \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R+14a}{R-2a}.$$

Mật độ khí trong thiết bị sau khi bong bóng nổ được xác định bởi điều kiện

$$\frac{4}{3} \pi R^3 \varrho_1 + \frac{4}{3} \pi \frac{R^3}{8} \left( \varrho_2 - \varrho_1 \right) = \frac{4}{3} \pi R^3 \varrho \Rightarrow \varrho = \frac{7}{8} \varrho_1 + \frac{1}{8} \varrho_2.$$

Áp suất khí $p$ trong thiết bị sau khi quả bóng bị hư hỏng có thể được tìm thấy từ điều kiện $\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1}$, trong đó $p_1$ là áp suất khí ban đầu bên trong quả cầu có thành mỏng.

Như vậy,

$$\frac{p}{p_1} = \frac{\varrho}{\varrho_1} = \frac{7}{8} + \frac{1}{8} \frac{\varrho_2}{\varrho_1} = \frac{R}{R-2a} = 2,$$

tức là áp suất khí bên trong thiết bị tăng lên 2 lần.

A. Buzdin

F745. Bình chứa Tellois được chia thành hai phần bằng một pít-tông được cách ly, có thể di chuyển vào trong bình mà không có ma sát. Phía bên trái của bình chứa 1 mol khí đơn nguyên tử lý tưởng, phía bên phải chứa chân không. Piston chứa một lò xo có một ống xếp bên phải, chiều dài lò xo ở trạng thái tự do bằng chiều dài của lò xo. Bỏ qua dung tích của chất lỏng, piston và lò xo, xác định dung tích của hệ thống.

Gọi $T_1$ là nhiệt độ ban đầu của khí dưới pít-tông, $T_2$ là nhiệt độ của khí sau khi hệ được cơ thể thông báo ΔQ. Vì không có ma sát và bình được cách điện, nên toàn bộ Tello ΔQ sẽ hướng tới sự thay đổi ΔU trong phạm vi năng lượng của hệ, nghĩa là ΔQ = ΔU. Sự thay đổi năng lượng của hệ bao gồm sự thay đổi năng lượng của khí và sự thay đổi thế năng vô hướng (chúng ta bỏ qua điện dung của bình, piston và lò xo).

Nội năng của một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử khi đun nóng từ nhiệt độ $T_1$ đến nhiệt độ $T_2$ tăng theo

$$\Delta U_1 = \frac{3}{2} R \left( T_2 - T_1 \right).$$

Thế năng của vô hướng thay đổi theo đại lượng

$$\Delta U_2 = \frac{k}{2} \left( x_2^2 - x_1^2 \right),$$

trong đó $x_1$ và $x_2$ là các giá trị biến dạng tuyệt đối của lò xo ở nhiệt độ khí $T_1$ và $T_2$ tương ứng. Hãy tìm mối liên hệ giữa các thông số của chất khí dưới piston và biến dạng của lò xo.

Từ điều kiện cân bằng piston suy ra rằng

$$p = \frac{F}{s} = \frac{kx}{s} \Rightarrow x = \frac{ps}{k}$$

(p - áp suất khí, s - diện tích piston, k - độ đàn hồi của lò xo). Theo định luật Mendeleev-Clapeyron, đối với 1 mol khí đơn nguyên tử có sự tương ứng với hệ co tương ứng.

45

$$pV = RT \Rightarrow p = RT/V.$$
Khi lò xo bị biến dạng $x$ thì thể tích chiếm giữ của khí dưới piston lần lượt là $V = xs$ và $p = RT/xs$. Thay biểu thức này vào (*), ta tìm được

$$x^2 = RT/k.$$

Như vậy, độ biến thiên thế năng của lò xo dốc khi hệ được nung nóng bằng

$$\Delta U_2 = \frac{R}{2} (T_2 - T_1).$$

Tổng độ biến thiên nội năng của hệ khi đun nóng từ nhiệt độ $T_1$ đến nhiệt độ $T_2$ bằng

$$\Delta U = \Delta U_1 + \Delta U_2 = 2R (T_2 - T_1),$$

và nhiệt lượng của hệ thống là

$$c = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{T_2 - T_1} = 2R.$$

B. Klyachiin

F746. Pin điện sử dụng phóng xạ β là một quả cầu kim loại, bên trong đặt một mảnh chất phóng xạ được phân lập từ nó (Hình 1). Vatoms đang tan vỡ mỗi ngày. Giả sử rằng năng lượng của các electron sinh ra trong quá trình phân rã được phân bố đều từ giá trị tối thiểu $W_{\min}$ đến giá trị tối đa $W_{\max}$, hãy xác định suất điện động của pin. Dòng điện tối đa mà pin như vậy có thể tạo ra là bao nhiêu? Điện trở bên ngoài tối đa bao nhiêu thì pin có thể được coi là máy phát điện?

Hình 1.

Hình 2.

Để các cực của pin được nối tắt đến tải và điện áp trên các cực của pin là $U$. Hãy tìm dòng điện chạy qua tải, nghĩa là chúng ta sẽ thiết lập đặc tính dòng điện-điện áp của pin.

Quả cầu phải có các electron có năng lượng $W \geq eU$. Ở chế độ Đứng yên (không đổi $U$), điện tích của quả cầu không thay đổi. Do đó, số electron va vào quả cầu trong mỗi phút bằng số electron quay trở lại trong cùng thời gian qua tải tới một mảnh chất phóng xạ.

Ở mức $eU \leq W_{\min}$ tất cả các electron phải đến từ quả cầu, điện tích mà chúng truyền trong một đơn vị thời gian là dòng điện tối đa mà một cục pin như vậy có thể tạo ra, tức là

$$I_{\max} = ev.$$

Ở điện áp cao hơn, khi $W_{\min} < eU < W_{\max}$, chỉ những electron có năng lượng $W \geq eU$ mới rơi trên quả cầu; những electron này xác định dòng điện chạy qua tải (các electron còn lại quay trở lại tâm quả cầu, trừ đi tải). Tỷ lệ các electron này trong tổng số electron phát ra từ một mảnh chất phóng xạ bằng

$$n = \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}$$

(do sự phân bố năng lượng đồng đều của các electron). Dòng điện chạy qua tải bằng

$$I = evn = ev \frac{W_{\max} - eU}{W_{\max} - W_{\min}}.$$

Điện áp thấp nhất $U_{\max}$ tại các cực pin mở (emf pin) được xác định bởi điều kiện

$$eU_{\max} = W_{\max} \Rightarrow U_{\max} = W_{\max}/e.$$

Ngay khi đạt đến điện áp này, điện tích của quả cầu và mảnh chất phóng xạ ngừng thay đổi.

Hình 2 cho thấy sự phụ thuộc của dòng điện vào điện áp. Biểu đồ tương tự cho thấy các đặc tính dòng điện-điện áp của bề mặt ngoài trời có điện trở $R$ (ở các giá trị khác nhau là $R$). Tọa độ và trục hoành của các điểm giao nhau của đồ thị cho các giá trị dòng điện và điện áp trong mạch tại một giá trị cho trước $R$. Tại

$$R \leq R_0 = W_{\min}/e^2 v$$

tok không đổi bất kể điện trở ngoài trời. Với điện trở như vậy, có thể coi pin là máy phát điện.

I. Vorobiev