Kvant 1983, số 4 · Trang

KEANT
4
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

NGÀY 17 THÁNG 4 – NGÀY KHOA HỌC LIÊN XÔ

Ảnh trên là toàn cảnh Rivne
nhà máy điện hạt nhân. Ảnh dưới -
máy dò phi trine. Về cách thức của chúng tôi
được đăng ký lần đầu tiên trong nước
nettrinos phân phối bên trong nguyên tử
lò phản ứng, được mô tả trong bài viết
A. A. Borovoy “Không phải tam hợp đầu tiên trên thế giới
phòng thí nghiệm ở nhà máy điện hạt nhân."

khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

4 1983
Được thành lập vào năm 1970

Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính của văn học vật lý và toán học

TẠI NHÀ:

2 V. A. Vinokurov, B. S. Mitin. Toán học và công nghệ trong không gian
7 Phòng thí nghiệm độc đáo (phỏng vấn phi công-nhà du hành vũ trụ Liên Xô A. A. Serebrov)
12 Cuộc trò chuyện với Andrei Nikolaevich Kolmogorov
16 V. A. Fabrikant. Sự ra đời của Quan
22 S. V. Matveev. Đường viền nóng chảy trên mặt phẳng
V. A. Vinokurov, B. S. Mitin. Toán học và công nghệ ngoài vũ trụ
A unique laboratory (interview with USSR cosmonaut A. A. Serebrov)
A talk with Andrei Nikolaevich Kolmogorov
V. A. Fabrikant. The birth of the quantum
S. V. Matveev. Unraveling closed curves on the plane

tin tức khoa học
11 A. A. Borovoy. Phòng thí nghiệm neutrino đầu tiên trên thế giới tại nhà máy điện hạt nhân
Science news
A. A. Borovoy. The world’s first neutrino laboratory on a nuclear power station

Phòng thí nghiệm «Kvant»
29 I. D. Zhizhilkin. Còi báo động Seebeck
Kvant’s lab
I. D. Jijilkin. Seebeck’s siren

Trường học ở «Kvant»
30 K. L. Samarov, M. I. Shabunin. Hàm lượng giác nghịch đảo
Kvant’s school
K. L. Samarov, M. I. Shabunin. Inverse trigonometric functions

«Kvant» cho học sinh nhỏ
35 Bài toán
36 V. L. Gutenmacher. Bậc thầy của trò chơi đi xa «Kvant»
Kvant for younger school-children
Problems
V. L. Gutenmakher. The Magister of Games visits Kvant

Vấn đề «Kvant»
39 Bài toán M796—M800; F808—F812
42 Lời giải bài toán M780—M785; F793—F797
Kvant’s problems
Problems M796—M800; P808—P812
Solutions M780—M785; P793—P797

Đánh giá, thư mục
50 cuốn sách cần thiết
Book reviews
A useful book

Thông tin
51 Con đường đến với khoa học bắt đầu từ bài toán
53 Trường thể chất thư tín
Information
The road into science begins with problems
Physics correspondence school

Xưởng của người nộp đơn
54 College applicant’s section

Đáp số, gợi ý, lời giải
Trang bìa của chúng tôi (21)
Trộn (21, 50, 52)
Trang cờ vua
Bảng được bảo vệ (trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Our cover (21)
Miscellaneous (21, 50, 52)
The chess page
The board is guarded (3rd cover page)

© Nhà xuất bản Nauka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1983

Toán học và công nghệ trong không gian

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. VINOKUROV,
Tiến sĩ khoa học kỹ thuật
V. S. MITIN

Sự xuất hiện của ngành hàng không và du hành vũ trụ gắn bó chặt chẽ với việc sử dụng toán học để phân tích các vấn đề cơ bản về chuyến bay, thiết kế và tính toán máy bay và tên lửa. Câu hỏi đầu tiên, được thảo luận sôi nổi vào buổi bình minh của ngành hàng không vào cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 - câu hỏi liệu các thiết bị tác động nặng có thể bay hay không - đã được giải quyết cơ bản bởi nhà khoa học, nhà lý thuyết hàng không người Nga N. E. Zhukovsky. Sử dụng các phương pháp toán học thuần túy (cụ thể là sử dụng lý thuyết về hàm của một biến phức), Zhukovsky đã đưa ra công thức nâng cánh:

$$F = \varrho v \Gamma$$

(ở đây $\varrho$ là mật độ không khí, $v$ là tốc độ cánh, $\Gamma$ là “lưu thông”, một giá trị nhất định tùy thuộc vào hình dạng của hình dạng cánh).

Bắt đầu với Zhukovsky, bộ máy toán học hiện đại nhất được sử dụng trong lý thuyết hàng không, và bài toán, nảy sinh trong quá trình phân tích các vấn đề thực tế trong ngành hàng không, tiếp nối sự sáng tạo chính của các lĩnh vực toán học mới.

Lời giải một số vấn đề then chốt trong ngành hàng không gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học, cơ khí nổi tiếng của nước ta. Chúng ta sẽ chỉ tập trung vào vấn đề rung. Hiện tượng này được phát hiện vào những năm 30 của thế kỷ chúng ta, khi những chiếc máy bay hoàn toàn bằng kim loại có tốc độ bay 200-300 km/h bắt đầu được chế tạo. Hóa ra ở một số tốc độ tới hạn nhất định, rung lắc mạnh của máy bay đã xảy ra - rung chuyển - do đó máy bay thường bị sập khi đang bay. Bí mật về điều khủng khiếp này đối với bè bè là bí mật của các nhà thiết kế máy bay đến từ nhiều quốc gia. Nhà toán học Liên Xô (chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô) M.V. Keldysh đã giải quyết được vấn đề rung lắc. Ông đã chỉ ra rằng sự rung động có tính chất cộng hưởng và dựa trên điều này, ông đề xuất một số thay đổi nhất định trong thiết kế cánh. Những chuyến bay đầu tiên của máy bay, được sắp xếp theo khuyến nghị của Keldysh, đã mang lại kết quả xuất sắc.

3

Tọa độ trong chuyến bay vào vũ trụ

Toán học thậm chí còn đóng một vai trò quan trọng hơn cả sự ra đời của ngành hàng không đối với sự xuất hiện của ngành du hành vũ trụ. Về mặt lý thuyết, nhà du hành vũ trụ K. E. Tsiolkovsky liên tục sử dụng toán học để chứng minh sự xuất hiện của chuyến bay đến các hành tinh khác và trong các dự án tàu vũ trụ (xem «Kvant», 1982, số 9, trang 12).

Ngoài việc chứng minh lý thuyết và tính toán thiết kế tên lửa, toán học còn cần thiết trong mỗi giây của chuyến bay vào vũ trụ. Chúng ta đã quen với việc nghe cụm từ tiêu chuẩn khi thông báo về việc phóng một tàu vũ trụ khác: “Trung tâm điều phối liên tục xử lý thông tin”. Việc xử lý dữ liệu về quỹ đạo của con tàu dựa trên một khái niệm toán học quan trọng - hệ tọa độ, được phát minh vào thế kỷ 17 bởi nhà toán học vĩ đại người Pháp R. Descartes (Hình học 9-10, § 59).

Ứng dụng thực tế đầu tiên của hệ tọa độ, do chính Descartes thực hiện, không hoàn toàn mang tính chất trần tục: tại một trong những bài giảng của Descartes, một người ngẫu nhiên vô danh đã gõ chân anh ta; Descartes, không phải bài giảng đầu tiên, đã yêu cầu trợ lý của mình xuống căn phòng tầng hầm dưới khán phòng và đo tọa độ của nguồn tiếng ồn; Người trợ lý quay lại dành một khoảng nhất định với một bức tường của khán giả và một khoảng cách nhất định với bức tường kia - ngẫu nhiên, ngồi ở giao điểm của các đường vuông góc tưởng tượng, anh ta yêu cầu rời đi. Việc chứng minh ý nghĩa thực tiễn của hệ tọa độ chữ nhật rất thuyết phục.

Trong nhiều trường hợp, khi tên lửa chuyển động, ngoài ba tọa độ khối tâm của nó, cần phải biết thêm ba góc nữa để biết hướng của nó so với Trái đất. Khả năng xác định rõ ràng vị trí của một vật thể trong không gian bằng cách sử dụng một tập hợp hữu hạn gồm (sáu) số cho phép mọi hoạt động điều khiển chuyến bay và dự đoán vị trí của tên lửa trong không gian được chuyển sang các hoạt động toán học. Vì vậy, toán học trở thành công cụ chính để điều khiển chuyển động của tên lửa.

Cuộc cách mạng máy tính và không gian

Được biết, hiện nay các phi công chiến đấu lái máy bay nhanh nhất đều phải trải qua quá trình tuyển chọn và kiểm tra y tế kỹ lưỡng. Họ phải có sức khỏe hoàn hảo và phản ứng tinh thần lý tưởng. Một máy bay chiến đấu hiện đại có thể đạt tốc độ gấp bốn lần tốc độ âm thanh, tức là hơn 1.200 mét mỗi giây. Vì thời gian phản ứng của con người là khoảng 0,1 giây nên trong thời gian phản ứng của phi công, máy bay có thể bay được quãng đường 120 mét. Trước khi phi công áp dụng, tình hình trên không có thể thay đổi đáng kể. Tốc độ của các vật thể trong không gian và tên lửa vượt quá tốc độ âm thanh hơn 20 lần nên thời gian phản ứng của con người tạo ra một “vùng chết” khoảng một km khi điều khiển đường bay của tên lửa. Vì vậy, một người trong một số tình huống không thể kiểm soát trực tiếp, như người ta nói

4

“trong thời gian thực”, bằng sự di chuyển của các thiết bị mà anh ấy tạo ra. May mắn thay, con người gặp phải vấn đề khó khăn này khi phương tiện để khắc phục nó đã được tạo ra.

Điều này có nghĩa là công nghệ điện toán vi xử lý, những máy tính cỡ nhỏ mạnh mẽ trên các mạch liên hạt lớn có khả năng “suy nghĩ” đủ nhanh để điều khiển chuyển động của tên lửa “trong thời gian thực”. Máy bay, tên lửa và tàu vũ trụ hiện đại cũng như nhiều thiết bị kỹ thuật mới khác đều được trang bị những máy tính như vậy. Về vấn đề này, họ bắt đầu nói đến “cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ hai”, hay “cuộc cách mạng máy tính” (xem «Kvant», 1983, số 2, trang 2).

Trò chơi thỏa thuận cho tên lửa

Với sự trợ giúp của máy tính, trò chơi “nói chuyện” của trẻ em đã nâng lên một tầm cao mới về chất và mất đi tính chất vô hại. Ngày nay, tên lửa đã trở thành phương tiện tác chiến chính chống lại tác động của mục tiêu. Hơn nữa, trong trường hợp một tên lửa được sử dụng để chống lại một tên lửa hoặc máy bay khác được trang bị máy tính và thực hiện nhiệm vụ phòng thủ cho tàu, chúng ta có trò chơi “đàm phán” giữa hai máy tính bay.

Hóa ra toán học bài toán, phát sinh khi điều khiển chuyển động của một hoặc một số vật thể bay, có một đặc tính toán học mới về cơ bản. Một lý thuyết toán học mới về lời giải như vậy bài toán được thành lập trong công trình của Viện sĩ toán học Liên Xô L. S. Pontryagin vào những năm 50 và được gọi là “lý thuyết điều khiển tối ưu”.

Làm thế nào để tạo ra một tên lửa?

“Công nghệ hàng không vũ trụ” - khi nghe những từ này, tay sẽ nhảy lên và nhịp tim nhanh hơn ngay cả ở máy quay dày dặn nhất.

Những luồng thông tin khổng lồ có tính chất chính trị đang nhấn chìm toàn cầu, làm tràn các đường dây liên lạc chuyển tiếp cáp và vô tuyến và tràn ra ngoài không gian. Hệ thống vệ tinh liên lạc, truyền hình vệ tinh và phát thanh trên toàn thế giới, dịch vụ không gian để nghiên cứu và bảo tồn thiên nhiên - tất cả những điều này đều cần thiết, tất cả những điều này đều quan trọng đối với nền kinh tế, khoa học, công nghệ, nhưng làm thế nào, làm thế nào để thực hiện tất cả những điều này?

“Làm thế nào để tạo ra một kẻ báo thù?”, “Làm thế nào để tạo ra một vệ tinh?” - từ vật liệu gì, bằng thao tác gì và trên thiết bị nào - đây được gọi là công nghệ. Một chiếc máy bay và một con tàu vũ trụ sẽ vẫn chỉ là tưởng tượng cho đến khi bạn biết chúng có thể được chế tạo từ đâu và như thế nào. Ở Trung Quốc cổ đại, các tên lửa nhỏ đã được phóng trong các màn bắn pháo hoa, nhưng để Yury Gagarin bay vào vũ trụ, về cơ bản cần phải có trình độ công nghệ cao hơn. Vì vậy, sự trỗi dậy của Gagarin là sự trỗi dậy và thắng lợi của công nghệ Liên Xô, bằng chứng về trình độ cao nhất thế giới của nó.

Và cần phải nhắc lại một lần nữa rằng giống như việc chế tạo và thiết kế máy bay và tàu vũ trụ dựa trên các phép tính toán học và các định luật vật lý, thì về mặt công nghệ cũng dựa trên những thành tựu của toán học và vật lý. Việc sản xuất các bộ phận máy bay đòi hỏi độ chính xác và mức độ tổ chức sản xuất không thể đạt được nếu không có hệ thống điều khiển máy tính và giám sát máy móc, dây chuyền sản xuất.

Vòi phun bột

Giả sử chúng ta đã thiết kế một tên lửa và đã biết chuyển động của vòi phun sẽ có hình dạng như thế nào (xem «Kvant», 1982, số 9). Nhưng nó được làm từ chất liệu gì? Yêu cầu đối với vật liệu này là độ bền và khả năng chịu nhiệt độ cao. Xét cho cùng, dòng khí thoát ra từ vòi tên lửa có nhiệt độ 4000°C. Ở nhiệt độ này, sắt, nhôm và hầu hết các dụng cụ đều bay.

5

Ngoài ra, cấu trúc plasma có thể có tác động vật lý đáng chú ý lên thành hợp kim, vì mỏ cắt plasma ngày nay được sử dụng để cắt các kim loại và hợp kim bền nhất. Vì vậy, vật liệu hợp kim phải chịu được nhiệt độ 3000–4000°C và ở nhiệt độ này có khả năng chống lại các tác động vật lý.

Trong thực tế, không có vật liệu nào ở dạng nguyên chất có thể đáp ứng được các điều kiện này. Do đó, việc sử dụng nguyên lý làm mát vật liệu hợp kim trong quá trình đốt cháy nhiên liệu xuất hiện. Vật liệu phù hợp nhất là vonfram, có nhiệt độ nóng chảy là 3400°C. Tuy nhiên, không thể có được một mặt cắt chắc chắn từ nó và với các bức tường đủ mỏng (từ trọng lượng tối thiểu) bằng các phương pháp gia công kim loại truyền thống. Rất khó để thu được sản phẩm bằng phương pháp đúc và chất lượng kim loại sẽ thấp. Ngoài ra, ngay cả khi điều này là có thể, vonfram sẽ không thể hoạt động vì nhiệt độ của khí thải trong quá trình đốt cháy một số loại nhiên liệu hiện đại cao hơn điểm nóng chảy của nó.

Đây chính là lúc mà luyện kim bột, kết hợp với các nguyên lý vật lý đã biết, sẽ được giải cứu. Phương pháp luyện kim bột, bao gồm việc đặt bột kim loại vào khoang của dụng cụ, sau đó chịu áp lực và thiêu kết, tạo ra cấu trúc xốp của sản phẩm loại “đá bọt”. Sau đó, “đá bọt” này được tẩm đồng (nhiệt độ nóng chảy của nó chỉ là 1083°C) và vật liệu thu được có thể hoạt động trong thời gian ngắn, ngay cả khi nhiệt độ của khí thải là khoảng 4000°C. Nghịch lý? Không có gì. Hãy nhớ khi bạn bước ra bờ biển vào một ngày hè nóng bức. Bạn lạnh quá. Tại sao? Khi nước bay hơi, nó sẽ lấy nhiệt ra khỏi cơ thể bạn và làm mát cơ thể bạn. Vì vậy, ở đây, đồng bay hơi và làm nguội khung vonfram, và vì tất cả đều được xuyên qua bởi các kênh chứa đầy đồng nên nó luôn nhô ra trên bề mặt hợp kim và làm nguội nó. Nhưng tốc độ làm mát và thời gian vận hành phụ thuộc vào đường kính của mao quản, tình trạng bề mặt của chúng, tổng độ xốp, v.v. Việc tính toán phụ thuộc vào

7

Phòng thí nghiệm độc đáo

Phỏng vấn
với phi công-phụ tá của Liên Xô
A.A. Serebrov

Ngày 19/8/1982, theo chương trình nghiên cứu vũ trụ ở Liên Xô, tàu vũ trụ Soyuz T-7 đã được phóng.
Ngày 20/8, tàu vũ trụ Soyuz T-7 cập bến tổ hợp quỹ đạo Salyut-7 - Soyuz T-5 và tổ hợp nghiên cứu bè Salyut-7 - Soyuz T-5 - Soyuz T-7 bắt đầu hoạt động trong không gian gần Trái đất.
Ngày 27/8, sau khi hoàn thành chương trình nghiên cứu khoa học sâu rộng, thủy thủ đoàn tàu Soyuz T-7 đã trở về Trái đất an toàn.
Các biên tập viên «Kvant» đã gặp một trong những người tham gia chuyến thám hiểm này, một phi công-phi hành gia của Liên Xô
Anh hùng Liên Xô A. A. Serebrov và yêu cầu ông trả lời một số câu hỏi mà độc giả của chúng tôi quan tâm.

Alexander Alexandrovich, theo như chúng tôi biết, bạn là một kỹ sư vật lý đã được đào tạo, tốt nghiệp Học viện Kỹ thuật Vật lý Moscow và đã làm việc ở đó một thời gian dài. Lĩnh vực vật lý nào gần bạn nhất?

Chuyên môn chính của tôi là nhiệt động lực học, nghiên cứu về nhiệt và truyền khối: nghiên cứu thực nghiệm về đặc điểm chuyển động của khối lượng chất lỏng và chất khí trong các chế độ nhiệt độ và áp suất nhất định *). Tôi đã tham gia xây dựng các trạm Salyut-6 và Salyut-7. Và một số kết quả nghiên cứu sinh viên của tôi “bay”, cung cấp chế độ báo hiệu cần thiết cho Soyuz và Soyuz-T.

Ý kiến ​​của bạn, với tư cách là một nhà vật lý, về các chuyến bay vào vũ trụ dài hạn là gì?

Các trạm vũ trụ dài hạn là những phòng thí nghiệm vật lý độc đáo có thể tạo ra những điều kiện không thể có trên Trái đất. Đồng thời, với tư cách là một nhà vật lý, tôi tin rằng trước khi nói đến việc thiết lập các thí nghiệm vật lý khoa học tại trạm, bạn cần nghiên cứu các đặc tính kỹ thuật của tàu vũ trụ với tư cách là một phòng thí nghiệm.

Sau khi đi vào quỹ đạo, nhà ga với tất cả nội dung của nó bắt đầu “rơi” xuống Trái đất gần như tự do, ngoại trừ phanh trong khí quyển, và “sự rơi” này xảy ra trong toàn bộ chuyến bay cho đến khi động cơ được bật. Vì vậy mọi thứ trên trạm đều ở trạng thái không trọng lượng. Tuy nhiên, không phải mọi thứ đều đơn giản như chúng ta đọc từ các nhà văn khoa học viễn tưởng.

Khi tàu vũ trụ di chuyển trên quỹ đạo, khoảng cách của nó với Trái đất thay đổi, điều này ảnh hưởng đến độ lớn của lực hấp dẫn tác dụng lên trạm. Tất nhiên, độ lớn của lực hấp dẫn cũng bị ảnh hưởng bởi khả năng tiếp cận Trái đất thấp. Ngoài ra, thân trạm còn cung cấp khả năng thông gió cho hoạt động của quạt, nếu thiếu nó thì không thể đảm bảo cả điều kiện vận hành nhiệt của thiết bị và tính mạng con người.

*) Đối với công việc trong lĩnh vực này, nhóm tác giả, trong đó có A. A. Serebrov, đã được trao Giải thưởng Lenin Komsomol năm 1976.

9

Phi hành gia A. A. Serebrov trả lời các câu hỏi của ban biên tập tạp chí «Kvant».

Đất - đổ từ vòi vào cổ, khi đó không thể thu hết nước trong bình. Trong điều kiện không trọng lượng, chất lỏng không phát sáng ở đáy bình; nó “nổi” trong tàu dưới dạng những giọt hình cầu có kích thước khác nhau. Đổ đầy nước vào bình sẽ khiến tác động chảy ra khỏi bình và cùng với tác động, những giọt nước lơ lửng trong bình sẽ “nhổ ra”.

Nếu một tia tốc độ thấp hướng thẳng vào thành bình, thì nước làm ướt thành bình sẽ dính vào đó và sẽ không có giọt lơ lửng nào (ít nhất là cho đến khi bình bị lắc). Bằng cách này, bạn có thể đổ chất lỏng vào bình mà không bị thất thoát, đẩy các ảnh hưởng ra khỏi bình.

Và câu hỏi thứ hai được đặt ra: làm thế nào bạn có thể lấy chất lỏng “nổi” trong đó ra khỏi bình?

Tất nhiên, nếu có máy ly tâm thì bài toán được giải quyết một cách đơn giản: bằng cách xoay bình, chất lỏng sẽ được “ép” vào thành xa trục quay nhất và từ đó có thể lấy đi bằng ống tiêm. Nếu không có máy ly tâm, bạn có thể ấn chất lỏng vào tường, di chuyển bình với gia tốc tuyến tính nhẹ. Đây chính xác là những gì họ thường làm.

Tôi đề xuất một cách khác: đặt một vật dài và hẹp bên trong bình - ví dụ như tay cầm của một chiếc thìa để các giọt nước dính vào. Do lực căng bề mặt, chất lỏng “lan rộng” dọc theo

10

tay cầm và tiến đến mép cổ tàu. Bằng cách “khuấy” nhẹ tay cầm, bạn có thể dễ dàng đảm bảo rằng chất lỏng liên tục ở trên tay cầm gần đầu ra của bình, từ đó không khó để lấy chất lỏng.

Ngoài tình trạng không trọng lượng, còn có sự khác biệt đáng kể nào giữa trạm vũ trụ và phòng thí nghiệm trên trái đất không?

Trong các phòng thí nghiệm Trái đất nơi tôi từng làm việc trước đây, vấn đề bố trí thiết bị luôn là vấn đề thứ yếu, ở đó thông điệp về sự tiện lợi chiếm ưu thế. Trên trạm vũ trụ, bất kỳ chuyển động nào của thiết bị đều gây ra sự dịch chuyển khối tâm của trạm, điều này ngay lập tức ảnh hưởng đến bản chất của chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của nó, và do đó, đến hoạt động của chính thiết bị. Những trường hợp này được tính đến khi chọn chế độ hiệu chỉnh vị trí trạm tối ưu.

Hãy cho chúng tôi biết thêm về thí nghiệm Tavria mà thí nghiệm của bạn đã thực hiện trong chuyến bay.

“Tavria” thuộc thể loại thí nghiệm công nghệ sinh học (thuật ngữ này do Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện sĩ Yu. A. Ovchinnikov đề xuất). Đây là một thí nghiệm nhằm tách vật chất sinh học thành các nhóm - nhóm tế bào có đặc tính vật lý tương tự nhau. Đặc biệt, có thể tách các tế bào cùng loại thậm chí theo độ tuổi.

Một ống làm bằng các vật liệu khác nhau chứa chất đang nghiên cứu được đặt trong một điện trường có cường độ 10 V/cm hướng dọc theo ống. Dưới tác dụng của trường này, chất được chia thành các phần đồng nhất dọc theo chiều dài của ống. Trong điều kiện trên mặt đất, do chuyển động đối lưu nên sự phân tách như vậy trong nhiều trường hợp là không thể. Trong trạng thái không trọng lượng, có thể phân biệt được mười phe trong đó, trong điều kiện trên cạn, bộ phận rekord chỉ chứa ba phe, và thậm chí sau đó có ranh giới mờ.

Giá trị thực tế của một thí nghiệm như vậy là gì?

Thực tế là các phần khác nhau của cùng một chất, khi được đưa vào cơ thể động vật, sẽ ảnh hưởng đến các cơ quan khác nhau - một phần trên gan, một phần khác trên tim, v.v. Khi điều trị một cơ quan, điều quan trọng là phải ngăn ngừa tác động tiêu cực lên cơ quan khác. Đặc biệt, việc sử dụng hạn chế một chất như interferon, được điều chế trong điều kiện trên cạn, có thể gây ra các tác dụng phụ không mong muốn.

Phần riêng của Vaucher trong thí nghiệm là gì?

Ngoài việc thực hiện công việc của máy ảnh—cài đặt và gỡ lỗi thiết bị, quay phim bằng đầu laser trên trạm—khi còn ở trên Trái đất, tôi đã đưa một số điều kiện vào phương pháp thử nghiệm. Do đó, cùng với ống tròn được cung cấp trước đó, việc ghi lại các quá trình khó khăn do khúc xạ ánh sáng trong thủy tinh hình trụ, theo gợi ý của tôi, một buồng có các ngăn xếp parelle phẳng đã được sử dụng. Vì thử nghiệm như vậy lần đầu tiên được thực hiện trên trạm nên cần phải lựa chọn và đảm bảo chế độ vận hành tối ưu của hệ thống lắp đặt, có tính đến tác động lên nó. Đây cũng là nhiệm vụ của tôi.

Kế hoạch tương lai của bạn là gì?

Chuyên môn của tôi là kỹ sư thử nghiệm công nghệ vũ trụ, điều này nói lên rất nhiều điều. Tôi muốn tiếp tục công việc thử nghiệm của mình liên quan đến việc phát triển công nghệ vũ trụ mới và hiệu quả hiện có. Tôi muốn có một cách tiếp cận thực tế hơn đối với các vấn đề vật lý trên tàu vũ trụ.

Bạn muốn điều gì cho độc giả của tạp chí của chúng tôi?

Độc giả «Kvant» là những người trẻ, ham học hỏi, sáng tạo. Tôi mong các em khám phá những chân trời mới trong việc tìm hiểu thế giới xung quanh và tất nhiên, tôi chúc các em có những khám phá khoa học thực sự. Và cái chính là mong muốn phấn đấu và có thể áp dụng vào thực tế những gì đã được tạo ra bằng ngòi bút và suy nghĩ.

12

Vào ngày 25 tháng 4, Viện sĩ Andrei Nikolaevich Kolmogorov, một trong những người sáng lập tạp chí «Kvant» và là phó tổng biên tập thường trực thứ nhất, sẽ tròn 80 tuổi.

Cuộc đời của A. N. Kolmogov gắn bó chặt chẽ với Đại học Moscow, nơi ông trở thành sinh viên năm 1920 và sau này ông là giáo sư và trưởng khoa; Bây giờ Andrey Nikolaevich đứng đầu Khoa Logic Toán học và Khoa Toán học của Khoa Cơ học và Toán học.

Được công nhận rộng rãi, A. N. Kolmogov là một trong những nhà toán học hàng đầu của thời đại chúng ta. Các tác phẩm của Andrei Nikolaevich liên quan đến nhiều nhánh toán học và ứng dụng của nó, từ những phần trừu tượng nhất đến các lĩnh vực ứng dụng như thủy động lực học và lý thuyết điều khiển. Trong cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, A. N. Kolmogov đã có đóng góp to lớn cho lý thuyết tính toán bắn pháo. Tuy nhiên, công trình về lý thuyết xác suất đã mang lại cho ông danh tiếng lớn nhất - Andrei Nikolaevich đã đặt ngành khoa học này trên một nền tảng tiên đề vững chắc và làm phong phú đáng kể nhiều phần của nó (định lý giới hạn, quy trình Markov, độ phức tạp của dãy số).

A. N. Kolmogov không chỉ là một nhà toán học xuất sắc mà còn là một người thầy xuất sắc, người đã đào tạo ra nhiều nhà khoa học tài năng. Trong số các học trò của ông có các học giả A. I. Maltsev, S. M. Nikolsky và Yu. V. Prokorrov, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô I. M. Gelfand, và trong số các nhà toán học thuộc thế hệ trẻ - các tiến sĩ khoa học vật lý và toán học V. I. Arnold, Ya. G. Sinai và cái chết không đúng lúc của V. M. Alekseev.

Tài năng sư phạm của A. N. Kolmogov không chỉ thể hiện ở việc giáo dục nghiên cứu toán học: Andrei Nikolaevich đã dạy rất nhiều ở một trường trung học phổ thông, thành lập trường nội trú tại Đại học Tổng hợp Moscow và dạy ở đó 15 năm; vào những năm sáu mươi, Andrei Nikolaevich đứng đầu Ủy ban cải cách giáo dục toán học và viết một số sách giáo khoa phổ thông.

Ban biên tập, ban biên tập và ban biên tập tạp chí «Kvant» chúc mừng sinh nhật Andrei Nikolaevich và chúc ông sức khỏe và đạt nhiều thành công mới trong hoạt động giảng dạy và khoa học.

Cuộc trò chuyện với Andrei Nikolaevich Kolmogorov

Chúng tôi đang ở trong một ngôi nhà gỗ cũ ở làng Komarovka gần Moscow, nơi Andrei Nikolaevich thường nghỉ cuối tuần. Phòng sáng sủa, được bài trí đơn giản. Ở một góc có một chiếc máy ghi âm cũ nhưng chất lượng cao với những chiếc kệ đặc biệt để đựng đĩa. Các bức tường được xếp đầy những kệ sách. Giữa phòng có một chiếc bàn lớn với nhiều sách, các bài báo in lại, bản thảo, album nghệ thuật. Andrei Nikolaevich ngồi bên cửa sổ bên chiếc bàn nhỏ. Bên cạnh một chiếc máy đánh chữ sang trọng và những tờ giấy được gấp gọn gàng, có mái che là một chiếc máy ghi âm để ghi lại cuộc trò chuyện của chúng tôi. Chúng tôi xin gửi đến bạn bản ghi lại cuộc trò chuyện này.

13

— Andrey Nikolaevich, thường đề cập đến sự chuyên môn hóa ngày càng tăng của khoa học. Đồng thời, được biết rằng bạn đã tham gia vào các lĩnh vực toán học như lý thuyết xác suất và cấu trúc liên kết đại số, logic toán học và lý thuyết về hệ động lực. Bạn nghĩ tương lai của khoa học là gì – phổ quát hay chuyên môn hóa?

• Toán học thật tuyệt vời. Một người không thể nghiên cứu hết các hậu quả của nó. Theo nghĩa này, sự chuyên môn hóa là không thể tránh khỏi. Nhưng đồng thời, toán học là một môn khoa học duy nhất. Ngày càng có nhiều kết nối mới nảy sinh giữa các phần của nó, đôi khi theo những cách không ngờ tới. Một phần đóng vai trò là công cụ cho các phần khác. Tôi nghĩ việc giới hạn các nhà toán học trong những giới hạn quá hẹp hẳn là một thảm họa đối với khoa học của chúng ta. Tình hình trở nên dễ dàng hơn bởi thực tế là công việc trong lĩnh vực toán học về nguyên tắc là mang tính tập thể. Phải có một số nhà toán học nhất định hiểu được mối liên hệ lẫn nhau giữa các lĩnh vực toán học đa dạng nhất. Mặt khác, bạn có thể thành công rực rỡ trong một số nhánh rất hẹp của toán học. Nhưng trong trường hợp này, ít nhất là về mặt tổng quát, bạn cũng cần hiểu mối liên hệ giữa lĩnh vực nghiên cứu đặc biệt của bạn với các lĩnh vực liên quan, hiểu rằng về bản chất, công việc khoa học về toán học là một công việc tập thể.

— Bạn có thể nói gì về sự tương ứng và mối liên hệ giữa toán học ứng dụng và toán học thuần túy?

— Trước hết, cần lưu ý rằng sự khác biệt giữa toán học ứng dụng và toán học thuần túy là cực kỳ tùy tiện. Các câu hỏi tưởng chừng như thuộc về toán học thuần túy và không có ứng dụng lại thường xuyên bất ngờ trở nên quan trọng đối với việc phát triển các ứng dụng. Mặt khác, khi nghiên cứu toán ứng dụng, nhà khoa học gần như không thể tránh khỏi việc xem xét các câu hỏi liên quan được giải bằng các phương pháp giống nhau, thu hút anh ta bằng vẻ đẹp logic của chúng, nhưng nói đúng ra, không còn nhận được ứng dụng trực tiếp nữa. Có lẽ, trong công việc thực tế toán học cần phải được chứng minh

chiều rộng thích hợp. Không còn nghi ngờ gì nữa, nhiệm vụ của họ là các nhà toán học phải giải quyết tất cả những câu hỏi được gọi một cách chặt chẽ là những câu hỏi thực hành. Nếu những câu hỏi hài hước trống rỗng và không có ứng dụng ngay lập tức hấp dẫn, nếu chỉ vì vẻ đẹp và sự tự nhiên của bài toán nảy sinh, thì tất nhiên, chúng cũng cần được giải quyết.

— Norbert Wiener viết trong sổ ký tặng của mình rằng Percetal đang tham gia vào việc phân tích chức năng khi anh ấy cảm thấy rằng “Kolmogorov đang đè lên gót chân tôi”. Bạn cảm thấy thế nào về sự cạnh tranh trong môn toán?

• Tuyên bố của Wiener không hoàn toàn rõ ràng đối với tôi. Tôi đã làm rất ít trong phân tích chức năng. Công trình thú vị nhất về phân tích hàm có tên là “Đường xoắn ốc Wiener và một số đường cong thú vị khác trong không gian Globert”.

Còn về cạnh tranh, cạnh tranh có thể có những từ viết tắt khác thì nó khác với hợp tác một chút. Sự tranh chấp chặt chẽ, khi hai nhà toán học suy nghĩ đồng thời và song song về cùng một vấn đề, đôi khi có thể rất hiệu quả. Nhưng đồng thời, đôi khi xảy ra trường hợp sự tham gia của một trong những nhân viên thực tế là không cần thiết và khi đó anh ta có thể bỏ các báo cáo sang một bên mà không xúc phạm.

— Toán học luôn là sở thích chính của bạn phải không? Cuối cùng bạn đã chọn toán học làm nghề khi nào?

• Không, như thường lệ, con đường phát triển đã được biết đến nhiều hơn. Ngay từ khi còn nhỏ, người ta đã biết rằng tôi đã chết một cách tốt đẹp và tôi quan tâm đến toán học bài toán mang tính chất nghệ thuật; Tôi cũng làm quen với sự khởi đầu của đại số tương đối sớm. Nhưng tất cả điều này áp dụng cho một độ tuổi rất sớm. Một thời gian sau, ở trường cấp hai, các nhóm chung đã giành chiến thắng trong việc lựa chọn con đường tương lai. Trong những năm học đầu tiên, ngoài môn toán

14

ki, tôi đã nghiên cứu một cách có ích nhất trong buổi hội thảo về lịch sử nước Nga cổ đại của Giáo sư S.V. Bakhrushin. Tôi không từ bỏ ý định theo nghề kỹ thuật, không hiểu sao tôi lại đam mê luyện kim, song song với việc học đại học, tôi vào khoa luyện kim của Viện Công nghệ Hóa học mang tên. Mendeleev và ở đó một thời gian. Trên thực tế, sự lựa chọn cuối cùng coi toán học như một nghề đã xảy ra khi tôi bắt đầu đạt được những kết quả khoa học độc lập đầu tiên của mình, tức là từ năm mười tám mười chín tuổi.

— Bạn thường bộc lộ năng khiếu toán học khi nào? Bạn có bị bắt nạt giống như bạn khi còn nhỏ không?

– Tôi đã dạy khá nhiều ở trường trung học. Tôi có ấn tượng rằng niềm yêu thích toán học ở trường cấp hai, ở tuổi mười hai hoặc mười ba, thường chỉ là tạm thời và biến mất hoàn toàn khi học cấp ba. Điều này đặc biệt xảy ra thường xuyên ở các cô gái. Theo tôi, những học sinh đam mê toán học ở độ tuổi 13-14-15 rất đáng để làm việc cùng. Với sự tu luyện khéo léo, khả năng của họ dần dần phát triển và theo quy luật, không còn mất đi nữa. Tất nhiên còn có nhiều điều khéo léo hơn nữa. Tất nhiên, sự quan tâm nghiêm túc đến toán học có thể xuất hiện sau này.

— Nhà toán học nào của thế hệ trước có ảnh hưởng nhất đến bạn?

— Trong những năm sinh viên, tôi là học trò của Nikolai Nikolaevich Luzin. Ngoài ông, Vyacheslav Vasilievich Stepanov, Alexander Ykovlevich Khinchin, Pavel Sergeevich Alexandrov và các nhà toán học khác cùng thế hệ với họ đều có ảnh hưởng lớn đến tôi.

— Bạn muốn nói gì về học sinh của mình và bạn muốn đề cập đến ai trong số họ?

• Tôi may mắn có được những học trò tài năng. Nhiều người trong số họ, sau khi bắt đầu làm việc với tôi trong một lĩnh vực nào đó, sau đó chuyển sang một chủ đề mới và hoàn toàn độc lập với tôi, đã nhận được kết quả tuyệt vời. Sẽ rất khó để chọn ra điều đáng nhắc đến nhất.

Tôi sẽ chỉ nói đùa rằng hiện tại một trong những học sinh của tôi điều khiển bầu không khí tối tăm, còn người kia điều khiển đại dương *).

— Andrey Nikolaevich, thói quen hàng ngày của bạn là gì?

— Đương nhiên, trong suốt cuộc đời khá dài của tôi, thói quen hàng ngày ở các thời kỳ khác nhau là khác nhau. Có lẽ, tôi sẽ chỉ mô tả thói quen hàng ngày mà Pavel Sergeev Aleksaandrov và tôi đã thiết lập cho mình trong 3-4 ngày một tuần mà chúng tôi dành ở bên ngoài thành phố, gần Moscow, ở làng Komarovka.

Ngày bắt đầu lúc 7 giờ sáng. Giờ đầu tiên được dành cho thể dục dụng cụ và chạy bộ. Lúc 8 giờ, chúng tôi ăn sáng và bắt tay vào làm việc - có hoặc không có máy đánh chữ. Vào lúc một hoặc hai giờ, có bữa ăn nhẹ buổi chiều bao gồm sữa hoặc kefir với bánh mì. Sau bữa trà chiều, chúng tôi làm việc nhiều hơn một chút, nhưng thường đi bộ một quãng đường dài hoặc - vào mùa đông - trên các dốc trượt tuyết, cho đến 4 giờ chiều. Sau đó chúng tôi lẻn đi ngủ trong nửa giờ. Lúc 5 giờ có bữa trưa. Sau bữa trưa, đôi khi chúng tôi làm thêm một số công việc, một số công việc cộng đồng nhỏ nhặt: sao chép hoặc những việc tương tự. Buổi tối được dành riêng cho việc đọc sách, âm nhạc và tiếp khách. Trước khi đi ngủ, chúng tôi cũng thích đi dạo một đoạn ngắn. Chúng tôi đi ngủ vào khoảng 10 giờ.

Nhưng, tất nhiên, khi bạn làm việc và mọi việc bắt đầu có kết quả lời giải bất kỳ vấn đề quan trọng nào, mọi thứ mờ dần, không còn thói quen hàng ngày nào nữa.

— Bạn cũng như nhiều nhà toán học khác, yêu thích âm nhạc Serbia. Hãy cho tôi biết tại sao.

— Nhận xét của bạn về việc nhiều nhà toán học yêu thích âm nhạc Serbia đối với tôi có vẻ đúng. Nếu bạn đến hội trường khái niệm, đặc biệt là Hội trường nhỏ của Nhạc viện Moscow, bạn sẽ thấy ở đó có một số lượng lớn các nhà toán học. Rõ ràng, giữa sự sáng tạo toán học và hiện tại

*) Chúng ta đang nói về Viện sĩ A. M. Obukhov, Giám đốc Viện Vật lý Khí quyển của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, và Viện sĩ A. S. Monin, Giám đốc Viện Hải dương học của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. (Ghi chú của biên tập viên.)

15

• Bạn có đi chơi thể thao không? Cái nào?

• Tôi chưa bao giờ tham gia vào các môn thể thao cạnh tranh. Nếu tôi không nhầm thì tôi chỉ thi đấu ở cuộc đua phẳng 10K ba lần trong đời.

Nhưng tôi luôn rất thích đi bộ, chèo thuyền và thực hiện những chuyến đi dài bằng ca nô hoặc thuyền. Tôi thực sự thích bơi lội, nó cũng tương tự như ở vùng núi. Trong tất cả các hoạt động này, tôi không chỉ đánh giá cao lợi ích sức khỏe mà còn cả niềm vui về sự hứa hẹn của thiên nhiên mà chúng mang lại.

Tôi luôn thích bơi lội trong lướt sóng. Vào những ngày trượt tuyết đầy nắng, tôi thích trượt tuyết nhiều hơn chỉ với quần short. Trong những lần trượt tuyết như thế này, tôi thích bơi giữa dòng sông sgugov ngập nắng trên dòng sông vừa mở ra từ lớp băng. Tuy nhiên, tôi không khuyên bạn bắt buộc phải bắt chước tôi trong tất cả những điều này - bạn chỉ cần đăng ký tham gia một số môn thể thao thu hút bạn.

— Andrey Nikolaevich, ông muốn chúc gì cho độc giả của chúng tôi?

• Bản thân tôi là một nhà khoa học, và tất nhiên, trước hết tôi mong độc giả có những đóng góp này hay cách khác cho khoa học, dù lớn hay nhỏ. Tuy nhiên, tôi lưu ý rằng nếu tất cả độc giả của chúng tôi bắt đầu viết các công trình khoa học độc lập thì các tạp chí khoa học sẽ không chịu được áp lực như vậy. Vì vậy, tôi có một khẳng định và một mong muốn khiêm tốn hơn - rằng niềm đam mê toán học ở trường của bạn sẽ có ích cho bạn trong cuộc sống sau này. Trong «Kvant» chúng tôi chỉ đang cố gắng cho bạn thấy (có lẽ là chưa đủ) các ứng dụng của khoa học toán học đa dạng như thế nào.

Cuộc trò chuyện được A. V. Sosinsky ghi lại

16

Sự ra đời của lượng tử

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. A. VẢI

Chủ trì một mục tiêu cụ thể, ánh sáng xa hơn của mục tiêu đó không phai mờ sau những thất bại đầu tiên, là điều kiện tiên quyết cần thiết, mặc dù nó không còn là sự đảm bảo cho sự thành công.

M. VÒI.
Bài phát biểu Nobel.

Năm nay, ngày 23 tháng 4, đánh dấu kỷ niệm 125 năm ngày sinh của Max Planck, người đã thực hiện một trong những khám phá vĩ đại nhất trong lịch sử vật lý. Ông đã phát hiện ra sự tồn tại của lượng tử. Có một câu chuyện không mấy đáng kể rằng, khi đang đi dạo cùng cậu con trai bảy tuổi của mình, Planck đã nói với cậu bé: “Hoặc những gì tôi đang làm bây giờ hoàn toàn vô nghĩa, hoặc có lẽ chúng ta đang nói về khám phá vĩ đại nhất trong vật lý kể từ Newton.” Quả thực, phát hiện của Planck đã đưa tên tuổi của ông ngang hàng với tên tuổi của những nhà vật lý kiệt xuất trên thế giới. Nhưng con đường khám phá còn dài và khó khăn. Đó là về sự khởi đầu của mọi vật lý lượng tử, và không phải vô cớ mà Karl Marx đã viết: “Mọi sự khởi đầu đều khó khăn - sự thật này đúng với mọi ngành khoa học”.

Câu hỏi thú vị là liệu việc loại bỏ những khó khăn này có tốt cho con người hay không. Trong “Nhật ký của một nhà văn” của Dostoevsky, người ta đưa ra đáp số: “Chà, điều gì sẽ xảy ra, chẳng hạn, nếu… một loạt khám phá đột nhiên bắt đầu xuất hiện, chẳng hạn như mặt trời đứng yên và trái đất quay quanh nó (bởi vì, có lẽ, còn nhiều khám phá nữa có cùng kích thước, chưa được khám phá, và các nhà hiền triết của chúng ta không thể loại bỏ chúng); bỗng nhiên mọi kiến thức rơi vào một người, và quan trọng nhất, hoàn toàn chẳng là gì, dưới dạng một món quà? Tôi tự hỏi: rồi điều gì sẽ xảy ra với con người? Ồ, tất nhiên, lúc đầu mọi người sẽ vui mừng… Nhưng chắc rằng chỉ một thế hệ con người cũng chưa đủ với những thú vui này! Người ta sẽ chợt nhận ra rằng họ không còn sự sống, không còn tự do tinh thần, không còn ý chí và nhân cách, rằng ai đó đã cướp đi mọi thứ ngay lập tức… Người ta sẽ hiểu rằng không có hạnh phúc khi không hành động, rằng ý nghĩ không làm được sẽ phai nhạt… Sự buồn chán và u sầu sẽ ập đến: mọi việc đã xong và không còn gì để làm, mọi thứ. đã được biết và không còn gì để biết nữa.”

nghiên cứu Planck

Niềm đam mê nghiên cứu vật lý của Planck nảy sinh khi còn học trung học. Trong chữ ký của mình, ông hết sức nhớ đến giáo viên dạy toán G. Muller - “một người hòa đồng, năng suất, hóm hỉnh, người có thể dùng những ví dụ sinh động để giải thích ý nghĩa của các định luật vật lý mà ông đã nói với chúng tôi, những học sinh.

18

do ánh sáng phát ra từ bên trong khoang. Vì vậy, cái lỗ hoạt động giống như một vật thể, hấp thụ tất cả các tia chiếu vào nó - một vật thể hoàn toàn đen, và bức xạ phát ra từ nó hoàn toàn đen.

Hình 2 cho thấy sự phân bố năng lượng trong phổ bức xạ đen tuyệt đối. Trục abscissa hiển thị tần số $v$ và trục tọa độ hiển thị cường độ bức xạ $I_v^*$). Như có thể thấy trên hình, quang phổ là liên tục và ở mỗi nhiệt độ, cường độ cực đại xảy ra ở một tần số nhất định.

Nhưng chúng ta hãy quay lại lý thuyết về bức xạ đen. Những thông điệp nhiệt động lực học tổng quát cho phép Kirchhoff, Boltzmann và Wien rút ra một cách chặt chẽ một số định luật quan trọng chi phối bức xạ của các vật thể bị đốt nóng. Tuy nhiên, những thông điệp chung này hóa ra không đủ để rút ra một loại định luật phân bố năng lượng cụ thể trong phổ bức xạ đen tuyệt đối. Vin sẽ tiến bộ nhất theo hướng này. Năm 1893, ông chứng minh rằng cường độ bức xạ $I_v$ ở một tần số nhất định chỉ có thể phụ thuộc vào nhiệt độ như một tham số nằm trong tỷ lệ $v/T$. Nói cách khác, $I_v$ phải phụ thuộc vào hàm $f(v/T)$ nào đó. Hình thức cụ thể của chức năng này vẫn chưa được biết.

*) Cường độ bức xạ là năng lượng trên một đơn vị tần số.

Planck giải quyết lời giải vấn đề bức xạ đen

Planck bắt đầu nghiên cứu các vấn đề về bức xạ đen vào năm 1894, với tư cách là một nhà vật lý lý thuyết có nhiều kinh nghiệm. Ông đã dành nhiều thời gian để làm rõ việc xây dựng các định luật cơ bản của nhiệt động lực học, tăng thêm tính chặt chẽ và do đó làm giảm tính chặt chẽ trong suy nghĩ của ông. Đồng thời, như chúng ta sẽ thấy bên dưới, trong khi thực hiện kỳ ​​tích khoa học chính của mình, ông buộc phải từ bỏ sự khắt khe này, điều này tạo thêm khó khăn.

Planck bắt đầu với nỗ lực xây dựng lý thuyết về bức xạ đen dựa trên các electron của Maxwell, coi bức xạ của vật thể là một tập hợp các bộ dao động phát ra và hấp thụ sóng điện từ $^*$). Ông đã chỉ ra rằng cường độ bức xạ $I_v$ tỷ lệ thuận với năng lượng $E_v$ của bộ dao động phát ra bức xạ từ một bộ phận nhất định. Kết quả này giúp người ta có thể chuyển từ việc xem xét bức xạ đen sang phân tích các tính chất của bộ dao động, vốn quen thuộc hơn với thời gian vật lý.

*) Cường độ bức xạ là năng lượng trên một đơn vị tần số.

19

Năm 1896, Wien, theo cách nói của ông, sử dụng “ý tưởng hạnh phúc” của nhà vật lý người Nga V. A. Michelson, đã thu được một công thức liên hệ cường độ nghiên cứu với tần số và nhiệt độ của nguồn phát:

$$I_v = a v^3 e^{-b v/T}$$

(a, b là các hằng số không xoắn). Công thức này (được gọi là “công thức Wien”) dường như rất phù hợp với dữ liệu thử nghiệm trong vùng có giá trị lớn của tỷ lệ v/T. Tuy nhiên, dữ liệu thực nghiệm đã sớm thu được trong vùng có giá trị nhỏ của v/T (phần hồng ngoại của quang phổ, nhiệt độ cao), điều này mâu thuẫn rõ ràng với công thức của Wien.

Rõ ràng là công thức Wien cần được cải thiện đáng kể và Planck đã chấp nhận bài toán này. Ông đã giải quyết được nó bằng phương pháp phương Tây. Planck trình bày kết quả thu được trong báo cáo “Về sự cải thiện định luật bức xạ Wien” tại một cuộc họp của Hiệp hội Vật lý Đức vào ngày 19 tháng 10 năm 1900. Đây là nơi công thức nổi tiếng của Planck lần đầu tiên xuất hiện:

$$I_v = \frac{a v^3}{e^{b v/T} - 1}$$

(1)

Trong cuốn “Đánh giá tự động khoa học” xuất bản năm 1955, Planck nhớ lại: “Vào buổi sáng ngày hôm sau (sau báo cáo), đồng nghiệp Rubens đã tìm thấy tôi và nói với tôi rằng sau khi kết thúc vào giữa đêm hôm đó, công thức của tôi đã được so sánh cẩn thận với dữ liệu các phép đo của anh ấy và một sự đồng thuận thỏa đáng được tìm thấy ở khắp mọi nơi. Một sự trùng hợp cũng được tìm thấy với dữ liệu của Lummer và Pringheim… Các phép đo sau đó hết lần này đến lần khác xác nhận công thức về bức xạ và, hơn nữa, chính xác hơn, các phương pháp đo lường tinh tế hơn đã được chuyển sang.”

Cách tiếp cận khoa học của Planck

Planck hoàn toàn không hài lòng với chiến thắng mình đạt được. Trong cùng một chữ ký, ông viết: “Tuy nhiên, ngay cả khi công thức về bức xạ được coi là có giá trị với độ chính xác tuyệt đối thì nó vẫn chỉ có ý nghĩa công thức của một định luật được đoán thành công”.

Đối với một bộ óc được đào tạo về nghiên cứu nhiệt động lực học, tình huống này là không thể chấp nhận được. Trong bài phát biểu khi nhận giải Nobel năm 1920, Planck nói: “Vì vậy, kể từ ngày nó (công thức) được tìm ra, tôi đã bận rộn với nhiệm vụ thiết lập ý nghĩa vật lý thực sự của nó, và câu hỏi này đã được đưa ra… đến cách suy nghĩ của Bolshoi Man. Sau vài tuần làm việc căng thẳng trong cuộc đời tôi, công việc của bóng tối tiêu tan và những khoảng cách mới, không bị nghi ngờ trước đây xuất hiện.”

Kết quả của Planck được công bố vào ngày 14 tháng 12 năm 1900. Ngày này nên được coi là ngày sinh nhật của lượng tử, mặc dù báo cáo của Planck không chứa thuật ngữ tương ứng. Trong báo cáo của Planck, ông đề cập đến một bài báo lớn hơn năm 1877, trong đó Bolshman sử dụng các phương pháp của lý thuyết xác suất để xây dựng lý thuyết động học của chất khí. Planck quyết định áp dụng lý thuyết xác suất cho vấn đề phân bố năng lượng của các bộ dao động, rồi chuyển sang phân bố cường độ trong phổ bức xạ đen tuyệt đối. Tất cả những nỗ lực của Planck nhằm đưa ra lựa chọn này trong khuôn khổ vật lý cổ điển đều không thành công. Để tìm cách thoát khỏi tình huống này, Planck đã sử dụng kỹ thuật được Bolshman sử dụng như một giai đoạn trung gian của tính toán xác suất.

Bolshman trong chủ đề được đề cập đã giới thiệu, như ông đã viết, một “viễn tưởng hữu ích”, bao gồm giả định rằng động năng của các phân tử chỉ có thể có một chuỗi giá trị rời rạc là bội số của cùng một giá trị ε. Ông đã viết ra một cấp số cộng của các giá trị năng lượng phân tử:

$$0, \varepsilon, 2\varepsilon, 3\varepsilon, ..., n\varepsilon.$$

Sau khi thực hiện các phép tính thích hợp, Bolshman sau đó chuyển sang phần mở đầu, hướng ε về 0 và n về vô cực.

20

không chính xác, vì trên thực tế, động năng của các phân tử tạo thành một chuỗi giá trị liên tục. Như vậy, sự rời rạc của các giá trị động năng của phân tử chỉ đơn giản là một kỹ thuật tính toán trung gian, không có ý nghĩa vật lý. Bất chấp bản chất hình thức của kỹ thuật được Bolshoi sử dụng, rõ ràng nó đóng một vai trò quan trọng trong việc hình thành quan điểm của Planck, người cho rằng năng lượng của các bộ dao động cũng tạo thành một chuỗi giá trị rời rạc là bội số của cùng một giá trị. Những nỗ lực hướng giá trị này về 0 không mang lại kết quả mong muốn, nghĩa là nó không dẫn đến công thức (1). Sau đó Planck từ bỏ những nỗ lực này. Trong thư gửi nhà vật lý nổi tiếng người Mỹ Wood, Planck viết: “Tóm lại, tôi có thể gọi toàn bộ sự việc này là một hành động tuyệt vọng. Bởi vì tôi nghĩ tôi là người yêu hòa bình và không có khuynh hướng phiêu lưu mạo hiểm. Nhưng tôi đã nghiên cứu vấn đề cân bằng giữa bức xạ và vật chất từ năm 1894 mà không đạt được thành công nào. Tôi biết rằng vấn đề này có tầm quan trọng cơ bản đối với vật lý, và tôi biết công thức tái tạo sự phân bố năng lượng trong quang phổ bình thường; phải tìm ra một lời giải thích lý thuyết bằng bất cứ giá nào, và cũng không có giá cả.” cao.” Và Planck đã phải trả cái giá này bằng cách đưa vào vật lý một ý tưởng hoàn hảo về tính rời rạc của các giá trị năng lượng có thể có của các bộ dao động, không còn là giai đoạn trung gian do sự thuận tiện của việc tính toán mà là một yếu tố thiết yếu của toàn bộ việc xem xét các bài toán. Điều này vi phạm nguyên tắc cơ bản của vật lý cổ điển, theo đó các đại lượng vật lý luôn thay đổi một cách liên tục. Mọi người đều tin vào sự thật của câu nói của Aristotle: “Tự nhiên không có bước nhảy vọt”.

Khi tính đến các hạn chế được Wien chỉ ra đối với loại phụ thuộc $I_v(T)$, Planck buộc phải giả định rằng các phần năng lượng của bộ dao động phải tỷ lệ với tần số:

$$\varepsilon = h\nu .$$

Đây là cách một hàm mới, hằng số $h$, xuất hiện trong vật lý - hằng số Planck. Lượng $\varepsilon$ cho phép được gọi là lượng tử năng lượng. Sử dụng điều kiện (2), Planck thu được biểu thức cho năng lượng của bộ dao động $E_v$, rồi chuyển sang tính khả tích của bức xạ:

$$I_v = \frac{2\pi h\nu^3}{c^2(e^{h\nu/kT}-1)},$$

trong đó $c$ là tốc độ ánh sáng, $k$ là hằng số Bolshiman.

Planck đã nói đi nói lại về “sự quanh co” của con đường ông phải đi. Thật vậy, chúng ta đang nói về việc suy ra công thức (1’), công thức này thể hiện sự cải tiến của công thức Wien. Điều này được thực hiện thông qua lượng tử hóa năng lượng. Nhưng công thức của Wien khác với thí nghiệm ở vùng tần số thấp, trong đó $\varepsilon$ nhỏ và lượng tử hóa ít quan trọng. Trong vùng tần số cao, trong đó $\varepsilon$ lớn và độ rời rạc của các giá trị năng lượng dao động là đáng kể, công thức của Wien rất phù hợp với thử nghiệm. Có chuyện gì vậy? Rõ ràng là họ viết rằng Vin rút ra công thức của mình từ những khái niệm cổ điển. Điều này không chính xác. Về cơ bản, Vin đã nêu công thức của mình.

Sự xuất hiện của một trong mẫu số của công thức Planck đảm bảo rằng kết quả tính toán lý thuyết trùng khớp với dữ liệu thực nghiệm ở vùng tần số thấp. Đồng thời, trong đơn vị này đã đặt mầm mống của một nhánh kỹ thuật mới - điện tử lượng tử, tức là khả năng tạo ra maser và laser. Nhưng như tôi đã nói, đó lại là một câu chuyện khác.

Cũng quan trọng như công thức của Planck, ý tưởng lượng tử hóa được sử dụng trong quá trình tìm ra nó và đưa ra hằng số cơ bản mới hóa ra còn quan trọng hơn. Đây là một cuộc cách mạng thực sự trong vật lý, cũng có những hệ quả như việc tạo ra lý thuyết lượng tử về vật chất và bức xạ. Sự hiện diện của đại lượng $h$ trong công thức vật lý có nghĩa là công thức này chỉ có thể thu được từ các khái niệm lượng tử.

Con đường đưa Planck tới chiến thắng hoàn toàn về cơ bản là phi logic.

21

nym: tỷ lệ giữa cường độ nghiên cứu $I_v$ với năng lượng của bộ dao động $E_v$ được ông thiết lập trên cơ sở biểu diễn vật lý cổ điển thuần túy và biểu thức cho $E_v$ được lấy từ các khái niệm lượng tử. Nhưng sự “phi logic” này không gán cho công lao của Planck. Ở đây, trực giác của ông với tư cách là một nhà khoa học tự nhiên vĩ đại đã phát huy tác dụng rõ ràng. Tình huống tương tự lặp lại khi Bohr tạo ra mô hình nguyên tử. Chỉ rất lâu sau đó, thông qua công trình của một số nhà khoa học, một lý thuyết lượng tử hợp lý mới được tạo ra, nhưng đồng thời những vấn đề mới cũng xuất hiện. Sự phát triển của vật lý là sự khẳng định rõ ràng tính đúng đắn của luận điểm Lênin về tính vô tận của các tính chất của vật chất. Tiếp nhận thuật ngữ của Dostoevsky, một người không có nguy cơ “nhàm chán”.

---

Tóm lại, một vài từ mô tả một số đặc điểm nhất định về ngoại hình của Planck với tư cách là một con người và quan điểm của anh ấy.

Cùng với việc bận rộn với vật lý, Planck còn quan tâm đến âm nhạc trong suốt cuộc đời mình. Tuy nhiên, khi còn trẻ, ông thậm chí còn lưỡng lự trong việc lựa chọn giữa vật lý và âm nhạc. Planck là một nghệ sĩ panist không chuyên nghiệp, giám đốc dàn hợp xướng hàn lâm và chơi đàn organ. Ông thường chơi nhạc với Einstein, người chơi violin. Cho đến khi rất già, Planck vẫn tham gia du lịch và leo núi. Có một bức ảnh chụp Planck 84 tuổi trên đỉnh núi cao ba nghìn mét ở Đông Tyrol. Trong bản chất của anh ấy có mong muốn vượt qua những trở ngại, mặc dù trong cuộc sống nói chung anh ấy là một người khiêm tốn, bảnh bao và điềm tĩnh. Planck đã trải qua sự mất mát lớn lao trong cuộc đời mình. Trong cuộc chiến năm 1914, con trai cả của ông bị trọng thương gần Verdun; Trong thời kỳ phát xít, con trai thứ hai của ông bị xử tử vì tham gia vào một âm mưu chống lại Hitler.

Planck nhiều lần thể hiện tình cảm thân thiện với đất nước chúng tôi. Năm 1925, ông đến thăm Liên Xô nhân dịp kỷ niệm 200 năm thành lập Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Trước câu hỏi của phóng viên Komsomolskaya Pravda: “Khoa học Liên Xô đã mang lại gì cho phương Tây?” — Planck trả lời: “Khoa học Nga đã có những đóng góp to lớn cho khoa học thế giới trong những năm gần đây. Công trình của các nhà vật lý Nga, đặc biệt là Iofe và Lazarev, được tôi và các đồng chí của tôi biết đến. Tên của nhiều nhà khoa học Liên Xô cũng được biết đến ở Đức.” Tuyên bố sau đây của Planck đã được đăng trên tờ báo Pravda: “Tôi sẽ lấy đi khỏi đất nước của các bạn niềm vui rằng không chỉ các nhà khoa học mà cả chính phủ và công chúng cũng quan tâm đến khoa học”.

Những ý tưởng khoa học của Planck đã nhận được sự công nhận rộng rãi và mang lại cho ông danh tiếng trên toàn thế giới. Ông được bầu làm thành viên của các viện hàn lâm khoa học ở hầu hết các quốc gia, bao gồm cả Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô.

Max Planck qua đời năm 1947 ở tuổi 89. Tên tuổi của ông mãi mãi đi vào lịch sử khoa học.

bìa của chúng tôi

《Bạn đã siêng năng nuôi dưỡng mảnh đất trinh nguyên,
Và tôi chỉ thỉnh thoảng đánh rơi một bó hoa》

• đây là những gì nhà vật lý người Đức Arnold Sommerfeld, người đã phát triển lý thuyết lượng tử nguyên tử của Bohr, đã viết trong một bức thư gửi Max Planck. Planck, tin rằng trong những dòng này, Sommerfeld rõ ràng đã không công bằng đối với giá trị của chính mình, đã trả lời anh ta bằng câu thứ tư sau:

“Những bông hoa em và anh hái,
Họ bổ sung cho nhau một cách tuyệt vời.
Và bạn và tôi là hai người duy nhất trong số họ
Vòng hoa đẹp nhất từ ​​trước đến nay.”

Trang đầu tiên của trang bìa có bức ảnh do G. M. Grechko và Yu chụp. V. Romanenko từ trạm vũ trụ Salyut-6. Họ đã chụp được cái gọi là ánh sáng hoàng đạo - hiện tượng ánh sáng mặt trời lan tỏa ra không gian gần đó. Sau đó, hình ảnh trải qua quá trình xử lý đặc biệt, trong đó các vùng chiếu sáng khác nhau nhận được các loại hoa khác nhau. Phương pháp này cho phép đánh giá trạng thái của môi trường liên hành tinh, cách phát âm của nó, mức độ bụi và thay đổi các giá trị này.

22

Làm thẳng đường nét trên mặt phẳng

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học S. V. MATVEEV

Chúng ta hãy tạo một vòng tròn bằng dây mỏng, nhẹ nhàng uốn cong nó trong không gian, ấn nó thành một hình dạng phức tạp hơn và ném nó lên một mặt phẳng, ấn chặt vào nó (Hình 1). Có thể làm thẳng đường viền dây phẳng thu được thành một hình tròn mà không làm rách nó khỏi mặt phẳng không?

Chúng ta giả sử rằng độ dày của dây bằng 0, sao cho tại những điểm mà một phần của vòng đi qua phần khác (tại điểm được gọi là điểm kép), phần trên cũng nằm trên mặt phẳng. Dây rất linh hoạt, nhưng không linh hoạt vô hạn - bán kính cong không được bằng 0, nếu không dây có thể bị nóng chảy. Đặc biệt, hoạt động thắt chặt các vòng, như trong Hình 2, đều bị cấm.

Tất nhiên, luôn có thể làm thẳng đường viền của chúng ta trong không gian. Rốt cuộc, chúng tôi đã bắt đầu với một vòng tròn dây: nó có thể được phục hồi bằng cách đánh bóng các phần uốn cong mà chúng tôi đã thực hiện theo thứ tự ngược lại. Bằng cách bắt đầu với một vòng tròn, chúng tôi đã vượt qua tất cả những khó khăn liên quan đến các nút: nếu chúng tôi bắt đầu với một đường viền thắt nút như trong Hình 3, chúng tôi sẽ không thể làm thẳng nó hoàn toàn thành một vòng tròn, không chỉ trên mặt phẳng mà ngay cả trong không gian (xem «Kvant», 1981, Số 3, trang 8). Hãy quay trở lại câu hỏi của chúng tôi. Lúc đầu

Hãy thử nghiệm một chút và suy nghĩ về nó

Hãy bắt đầu với đường viền dây trong Hình 1. Sau khi mày mò một chút với dây thật (bạn cũng có thể sử dụng một sợi chỉ), bạn có thể dễ dàng nhận thấy rằng đường viền này có thể được làm thẳng (quá trình làm thẳng được thể hiện trong Hình 4).

Bây giờ hãy thử làm thẳng các đường viền a - e như trong Hình 5.

Tôi sẽ thấy rằng người đọc có thể làm thẳng các đường nét b, d, f. Sự vô ích của những nỗ lực làm thẳng các đường viền a, c, f thuyết phục chúng ta về sự tồn tại của các đường viền không thẳng. Nhưng như bằng chứng

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3

23

Bạn có nghĩa là một số đường viền không thể được làm thẳng?

Để chứng minh tính bất khả thi của một công trình hoặc quy trình cụ thể, các nhà toán học thường sử dụng kỹ thuật sau. Với mỗi trạng thái, đối tượng đang được xem xét được liên kết với một số nhất định không thay đổi trong quá trình này (số đó được gọi là bất biến hoặc chuyển tiếp); sau đó tính bất biến cho trạng thái ban đầu và cuối cùng của đối tượng; nếu thu được các số khác nhau thì quá trình chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái cuối cùng là không thể: suy cho cùng, một bất biến không thể thay đổi trong quá trình đó, đó là lý do tại sao nó là bất biến!

Hãy thử liên kết một số với mỗi mạch dây phẳng. Điều đầu tiên bạn nghĩ đến là số điểm đường viền kép. Than ôi! Đây không phải là một bất biến, chẳng hạn như có thể thấy từ quá trình làm thẳng đường viền trong Hình 4. Tuy nhiên, khi xem xét hình này một cách cẩn thận, bạn sẽ nhận thấy rằng các điểm kép xuất hiện và biến mất theo cặp. Điều này cho thấy rằng tính chẵn lẻ của số điểm kép không thay đổi, nghĩa là phần còn lại của việc chia số điểm kép cho hai là bất biến.

Đúng vậy (chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau). Từ tuyên bố này

24

hướng đi đường vòng có thể. Chúng ta sẽ di chuyển dọc theo đường viền từ điểm A với một tốc độ duy nhất theo hướng đã chọn và vectơ vận tốc sẽ được vẽ từ một điểm cố định A’. Khi đó vectơ vận tốc sẽ quay quanh A’, và đầu của nó sẽ chuyển động thành một đường tròn (với tâm ở điểm A’). Vì tại thời điểm hoàn thành việc đi vòng quanh điểm A, vectơ vận tốc sẽ giữ vị trí ban đầu nên tổng số vòng nó quay quanh điểm A’ là một số nguyên. Trong trường hợp này, các vòng quay theo hướng dương (ngược chiều kim đồng hồ) được tính bằng dấu “+” và theo hướng khác (theo chiều kim đồng hồ) - bằng dấu “-”.

Nhìn vào Hình 6. Trên đó, đường đi của vectơ vận tốc được đặt bằng một đường màu đỏ và để rõ ràng, chúng ta di chuyển từ một vòng tròn. Trên thực tế, đường cong màu đỏ quấn chặt quanh đường tròn và các điểm 1’ - 6’ trùng nhau. Tổng cộng, vectơ vận tốc thực hiện một vòng quay (-1): từ điểm 1’ đến điểm 2’ - một vòng, từ điểm 2’ đến điểm 3’ và từ điểm 5’ đến điểm 6’ không có vòng quay nào, và từ điểm 3’ đến điểm 4’ và từ điểm 4’ đến điểm 5’ thực hiện một vòng quay theo hướng in.

Bất biến mà chúng ta đã hứa (hãy ký hiệu là V) bằng modulo của tổng số vòng quay của vectơ vận tốc. Nó không phụ thuộc nhiều vào việc lựa chọn điểm xuất phát A; Nó cũng không phụ thuộc vào việc chọn hướng của đường tránh, vì khi hướng của đường tránh thay đổi thì tổng số vòng quay chỉ đổi dấu. Ví dụ, đối với đường viền trong Hình 6, V bất biến bằng 1.

Hãy chứng tỏ (mà không đưa ra bằng chứng chi tiết) rằng V thực sự là một bất biến. Trong quá trình làm thẳng, mọi vị trí của vectơ vận tốc đều thay đổi trơn tru, không có bước nhảy nên số V cũng thay đổi liên tục; tuy nhiên, V luôn là số nguyên; nó chỉ có thể thay đổi thành một số nguyên khác bằng cách nhảy, điều này mâu thuẫn với tính liên tục. Do đó, V không thay đổi và là bất biến khai triển.

Bây giờ chúng ta có thể xử lý đường viền 5, e. Đối với nó, V=3 (kiểm tra!), vì vậy nó không thẳng thành một vòng tròn (với V=1).

Nếu bạn thực sự kiểm tra rằng đối với mạch 5, e V=3, bạn có thể nhận thấy rằng việc tính số vòng quay của vectơ vận tốc trong thực tế không thuận tiện lắm, rất dễ mắc sai lầm. Tuy nhiên, V có thể được tìm thấy dễ dàng hơn.

Để làm điều này, hãy chọn một định nghĩa trên mặt phẳng, chẳng hạn như hướng của trục Oy (xem Hình 6), và đánh dấu các điểm mà tại đó vectơ vận tốc có hướng giống như trục Oy. Hãy đặt số +1 bên cạnh mỗi điểm bị hủy nếu phần nhỏ của đường bao chứa nó nằm ở bên trái điểm đó; và -1 nếu ở bên phải (nếu đường viền tại điểm bị hủy có độ uốn - nghĩa là nằm trên cả hai phía của vectơ - chúng ta không đặt số nào).

Khi đó V bất biến bằng tổng modulo của các số đã cho.

25

Hình 7.

Ví dụ gần điểm 1 và 2 trong Hình 6 bạn nên đặt +1, gần điểm 3, 4, 5 bạn nên đặt (-1). Do đó, đối với đường viền trong Hình 6, V bất biến bằng 1. Hãy tự chứng minh rằng phương pháp được chỉ định thực sự cho phép bạn tính V cho bất kỳ đường viền nào.

Trong Hình 7, với mỗi số nguyên không âm n, một đường viền có bất biến V=n được mô tả. Chúng ta hãy nhớ lại rằng nếu một đường viền mở rộng thành một đường tròn thì V bất biến của nó phải bằng bất biến của đường tròn, tức là một.

Bất biến R

Đẳng thức V=1 là điều kiện cần để làm thẳng đường viền thành hình tròn. Điều kiện này có đủ không? Tôi nghĩ đáp số là câu trả lời cho câu hỏi này. Tuy nhiên, những nỗ lực hoàn hảo để làm thẳng chiếc thắt lưng quần của tôi, ở vị trí như trong Hình 8, a, đã thuyết phục tôi về điều ngược lại, đồng thời gợi cho tôi một nhận xét quan trọng: nâng chiếc thắt lưng lên khỏi sàn (Hình 8, b) hóa ra lại bị xoắn hai lần!

Chúng ta hãy thay thế đường viền bằng một dải băng nằm trên mặt phẳng sao cho đường viền trùng với đường giữa của nó (Hình 9, a). Sau khi làm thẳng đường viền trong không gian (ví dụ: tôi đưa nó trở lại vị trí ban đầu trước khi ném nó lên mặt phẳng), chúng ta sẽ có được một sợi dây xoắn. Chúng tôi biểu thị số “vòng xoắn” bằng R. Đây là bất biến thứ hai, đẳng thức của nó bằng 0 là cần thiết để làm thẳng đường viền thành một vòng tròn. Cần làm rõ rằng số vòng xoắn được lấy bằng dấu “+” nếu băng được xoắn như Hình 8, b, và bằng dấu “—” nếu băng được xoắn như trong

26

Hình 8, c (nhớ sự khác nhau giữa ren phải và ren trái).

Chúng ta hãy chứng minh rằng số R thực sự là một bất biến, nghĩa là nó không thay đổi khi đường viền được làm thẳng trên mặt phẳng. Để làm được điều này, chỉ cần thay thế rằng việc làm thẳng đường viền xác định độ thẳng của băng trên mặt phẳng và số lượng đường tròn không thay đổi không chỉ khi băng được làm thẳng trên mặt phẳng mà còn khi băng di chuyển tùy ý trong không gian.

Có thể chứng minh (chúng ta sẽ không tập trung vào vấn đề này) rằng R bất biến được tính như sau. Chúng ta hãy chọn hướng di chuyển trên đường bao. Chúng ta hãy đặt số +1 gần mỗi điểm kép nếu vectơ vận tốc thấp hơn hướng về bên trái của điểm trên và -1 nếu hướng về bên phải (dễ dàng nhận thấy rằng với một hướng truyền tải khác thì thu được các số giống nhau). Bất biến R bằng tổng của các số đã cho. Ví dụ, đường viền trong Hình 9, b có 3 điểm kép dương và 4 điểm âm nên R bất biến của nó bằng -1. Do đó, đường viền này không thể làm thẳng trên mặt phẳng.

Điều kiện cần và đủ

Chúng ta đã thấy rằng các điều kiện V=1 và R=0 là cần thiết để đường viền có thể được làm thẳng thành một đường tròn. Những điều kiện này có đủ không? Nói cách khác, liệu có thể bằng cách tính các bất biến V và R và đảm bảo rằng V=1 và R=0, để kết luận rằng đường viền mở rộng thành một đường tròn? Hóa ra là có.

Định lý chính. Để một đường viền có thể thẳng thành một đường tròn trên một mặt phẳng, điều cần và đủ là bất biến V của nó bằng 1 và bất biến R của nó bằng 0.

Định lý này đưa ra kết quả đáp số đầy đủ cho câu hỏi đặt ra ở đầu bài viết. Các phương pháp tính toán bất biến V và R đơn giản được mô tả ở trên cho phép bạn nhanh chóng kiểm tra điều kiện cần và đủ được xây dựng trong đó. Tôi mời độc giả kiểm chứng điều này tại

29

Còi báo động Seebeck

I. D. ZHIZHILKIN

Có lẽ bạn đã từng nghe thấy âm thanh chói tai của còi xe cứu thương đang lao tới một bệnh nhân nặng, hay tiếng còi báo động mạnh mẽ được lắp trên ngọn hải đăng và cảnh báo các tàu đang chạy ngoài khơi nguy hiểm, hoặc một số tiếng còi báo hiệu tương tự khác.

Có lẽ không phải ngẫu nhiên mà nguồn gốc của những âm thanh mạnh mẽ và có thể nghe xa này được gọi là còi báo động. Trong thần thoại Hy Lạp cổ đại, còi báo động là loài nửa chim, nửa phụ nữ, dùng tiếng hát của mình để dụ các thủy thủ đến những nơi nguy hiểm và tai hại. Tuy nhiên, điều này đã vượt quá phạm vi của bài viết này.

Có nhiều loại còi báo động khác nhau. Ví dụ, hoa tử đinh hương cơ học sử dụng phương pháp truyền không khí đến lớp vảy. Tuy nhiên, cách đơn giản nhất được phát minh bởi nhà vật lý người Đức Thomas Johann Seebeck, sống từ năm 1770 đến năm 1831. (Thông thường, cái tên Seebeck gắn liền với việc ông khám phá ra hiện tượng nhiệt điện, nhưng điều tò mò là Seebeck là người đầu tiên đề xuất việc sử dụng mạt sắt để xác định hình dạng của đường sức từ và để quan sát trực tiếp chúng.)

Còi báo động như vậy hoạt động như thế nào và liệu có thể tự làm được nó hay không - đây là điều chúng ta đang nói đến trong bài trạng thái được viết bởi Igor Zhizhilkin, một học sinh lớp 9 trường Moscow số 147.

Còi báo động của Seebeck có thể được tạo ra bằng cách sử dụng… máy hút bụi gia đình và máy pha chế nước trái cây.

Từ bìa cứng dày, bạn cần cắt một chiếc đĩa có đường kính 400-600 mm và tạo các lỗ trên đó có đường kính khoảng 10 mm. (Thuận tiện nhất là đục lỗ bằng ống kim loại, các cạnh của ống này được mài bằng dũa.) Các lỗ được đặt cách nhau một khoảng bằng nhau dọc theo một vòng tròn đồng tâm sao cho khoảng cách giữa các lỗ lớn hơn đường kính của chúng.

Từ nhà hóa học nước trái cây, bạn cần tháo dao và các thiết bị khác và đặt một vòng tròn đã được sản xuất có lỗ trên trục, cố định nó bằng vít kẹp.

Bạn cần làm một đầu vòi trên ống hút bụi sao cho lỗ thoát của nó cũng có đường kính khoảng 10 mm.

Sau khi bật máy ép trái cây, chúng tôi hướng luồng không khí từ máy hút bụi vuông góc với đĩa có lỗ. Âm thanh phát ra sắc nét. (Đây là lý do tại sao các thí nghiệm với còi báo động chỉ nên được thực hiện khi có sự đồng ý của người khác!) Cao độ của âm thanh có thể được thay đổi bằng cách hướng một luồng không khí vào các lỗ theo các vòng tròn đồng tâm khác nhau.

Tại sao còi báo động kêu? Bạn có thể trả lời câu hỏi này như thế này. Nếu bạn xoay nhanh một đĩa có lỗ và bán không khí qua các lỗ này, thì phía sau lỗ sẽ có tia phản lực quá cao, biểu thị sự lăn và độ hiếm xen kẽ. Chúng gây ra âm thanh ở một cao độ nhất định.

Có thể dễ dàng nói rằng cao độ có thể được tính toán trước; để làm điều này, chỉ cần nhân tần số quay của vòng tròn của bạn (bạn có thể đọc trong hướng dẫn dành cho nhà hóa học nước trái cây) với số lỗ.

Anh ấy khuyên bạn nên thực hiện các thí nghiệm được đề xuất và tự mình xác minh mọi điều đã nói ở trên.

33

trên toàn bộ trục số. Đồ thị Arctagen được thể hiện trong Hình 6.

---

Các đẳng thức có “cung” thường được chứng minh bằng phương pháp sau: đầu tiên, giá trị của một số hàm lượng giác φ (φ là sin, cosin hoặc tiếp tuyến) từ cả hai vế của đẳng thức được chứng minh sẽ được tính toán

$$A = B$$

và người ta đã xác minh rằng $\varphi(A) = \varphi(B)$, và thứ hai, người ta xác định rằng $A$ và $B$ nằm trên một khoảng trong đó hàm được chọn φ là đơn điệu; thì từ đẳng thức $\varphi(A) = \varphi(B)$ suy ra $A = B$.

Ví dụ 1. Hãy chứng minh (4) đúng với mọi $x \in [-1; 1]$. Hãy tính cosin hai vế đẳng thức (4):

$$\cos(\arccos(-x)) = -x,$$
$$\cos(\pi - \arccos x) = -\cos(\arccos x) = -x.$$

Vì vậy, $\cos(\arccos(-x)) = \cos(\pi - \arccos x)$. Theo định nghĩa của cung cosin

$$0 \leq \arccos(-x) \leq \pi.$$

Từ bất đẳng thức $0 \leq \arccos x \leq \pi$ suy ra rằng

$$0 \leq \pi - \arccos x \leq \pi.$$

Tại $[0; \pi]$ cosin đơn điệu. Kể từ đây,

$$\arccos(-x) = \pi - \arccos x.$$

Nếu chúng ta chọn sin làm hàm tính toán thì tất nhiên chúng ta cũng sẽ nhận được các giá trị tương tự:

$$\sin(\arccos(-x)) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos(-x))} = \sqrt{1 - (-x)^2} = \sqrt{1 - x^2},$$
$$\sin(\pi - \arccos x) = \sin(\arccos x) = \sqrt{1 - \cos^2(\arccos x)} = \sqrt{1 - x^2}$$

(trong cả hai trường hợp, “cộng” được viết trước gốc, vì $0 \leq \arccos(-x) \leq \pi$ và $0 \leq \arccos x \leq \pi$, và trên $[0; \pi]$ sin không âm), nhưng từ đẳng thức

$$\sin(\arccos(-x)) = \sin(\pi - x) = \sin(x).$$

Ví dụ 3. Hãy chứng minh điều đó với $x \in \left[\frac{\pi}{2}; \frac{3}{2}\pi\right]$

$$\arcsin(\sin x) = \pi - x.$$

Một mặt,

$$\sin(\arcsin(\sin x)) = \sin x,$$
$$\sin(\pi - x) = \sin x.$$

34

Ở phía bên kia,

$$-\frac{\pi}{2} \leq \arcsin(\sin x) \leq \frac{\pi}{2}.$$

Từ bất đẳng thức $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \pi$ suy ra rằng

$$-\frac{\pi}{2} \leq \pi - x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Tại $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ sin là đơn điệu. Vì vậy, $\arcsin(\sin x) = \pi - x$. Vì vậy, $\arcsin(\sin x) =$

$$\begin{cases} x, & \text{если } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2} \\ \pi - x, & \text{если } \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3}{2} \pi. \end{cases}$$

Vì $\arcsin(\sin x)$ là hàm tuần hoàn có chu kỳ $2\pi$ (tại sao?) và đoạn $[-\frac{\pi}{2}; \frac{3}{2} \pi]$ có ​​độ dài $2\pi$, nên chúng ta có thể vẽ đồ thị đó (Hình 7).

---

Bài toán đối với các phép tính có “cung” được giải theo cách tương tự.

Ví dụ 4. Hãy tính $A = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} - \arccos\left(-\frac{11}{\sqrt{130}}\right)$.

Trước hết, $A = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} - \left(\pi - \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}} - \pi$. Bây giờ chúng ta hãy đánh giá số $B = \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}$. Vì $\frac{4}{\sqrt{65}} > 0$ và $\frac{11}{\sqrt{130}} > 0$,

$$0 < \arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} < \frac{\pi}{2}$$

$$0 < \arccos\frac{11}{\sqrt{130}} < \frac{\pi}{2}$$

Vì trên $[0; \pi]$ sin không đơn điệu nhưng cosine đơn điệu nên ta tìm được cos $B$:

$$\cos B = \cos\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}} + \arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) =$$

$$\cos\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\right) \times$$

$$\times \cos\left(\arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) -$$

$$-\sin\left(\arcsin\frac{4}{\sqrt{65}}\right) \times$$

$$\times \sin\left(\arccos\frac{11}{\sqrt{130}}\right) =$$

$$\sqrt{1 - \left(\frac{4}{\sqrt{65}}\right)^2} \cdot \frac{11}{\sqrt{130}} -$$

$$-\frac{4}{\sqrt{65}} \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{11}{\sqrt{130}}\right)^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.

Từ sự tương ứng giữa cos $B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ và $0 < B < \pi$ suy ra $B = \arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$. Vì vậy, $A = B - \pi = -\frac{3}{4} \pi$.

Ví dụ 5. Hãy so sánh các số $\arcsin\frac{2}{5}$ và $\arccos\frac{2}{5}$. Vì $\frac{2}{5} > 0$,

$$0 < \arcsin\frac{2}{5} < \frac{\pi}{2}$$

$$0 < \arccos\frac{2}{5} < \frac{\pi}{2}$$

(Cuối cùng xem trang 49)

35

Kvasht
dành cho học sinh nhỏ tuổi

Bài toán

1. Bạn tôi Sasha từng nói với tôi: “Hôm kia tôi 10 tuổi, năm sau tôi sẽ tròn 13 tuổi”. Điều này có thể thực hiện được không?

♦
2. Hai đường cao của một tam giác không làm thay đổi các cạnh mà chúng bị hạ xuống. Tìm các góc của tam giác.

♦
3. Hãy chia trận đấu làm đôi. Chúng ta hãy bẻ một nửa lần nữa. Hãy thử bẻ đôi một trong những mảnh thu được một lần nữa. Tại sao việc phá trận đấu mỗi lúc một trở nên khó khăn hơn?

♦
4. Tìm tất cả các số có năm chữ số bằng lập phương của số tạo bởi hai chữ số tận cùng của chúng.

♦
5. Số nào nên được đặt cùng với “?” theo dãy 17, 23, 13, 11, ?, 15?

♦
Những nhiệm vụ này đã được cung cấp cho chúng tôi
S. M. Korshunov, A. P. Savin, S. R. Sefibekov,
S. M. Ushintsky.

35

36

Bậc thầy của trò chơi
thăm viếng
y «Kvant»

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. L. GUTENMACHER

Chúng tôi đã mời Bậc thầy trò chơi *), một chuyên gia nổi tiếng về lý thuyết trò chơi, đến tòa soạn - anh ấy biết rất nhiều trò chơi cũ và nghĩ ra những trò chơi mới.

• Thưa Sư Phụ, xin hãy cho chúng tôi biết mục tiêu của Ngài.

Bằng thạc sĩ Hãy bắt đầu với trò chơi đơn giản nhất mà chúng tôi sẽ gọi.

Một trò chơi dành cho người mới bắt đầu. Có 66 hạt trên bàn. Người chơi đầu tiên có thể lấy từ 1 đến 9 hạt, người chơi thứ hai lấy từ 1 đến 9 hạt từ những hạt còn lại, v.v. Người nào lấy được hạt cuối cùng sẽ thắng.

Trò chơi được gọi là “Trò chơi dành cho người mới bắt đầu” - điều này có ý nghĩa kép. Thứ nhất, trò chơi rất đơn giản và sử dụng ví dụ của nó sẽ rất thuận tiện để chứng minh các phương pháp suy luận cho những người mới học toán. Thứ hai, trong trò chơi này, nếu chơi đúng thì người bắt đầu sẽ thắng - người đi trước.

— Bạn sẽ quan tâm thế nào nếu bạn bắt đầu?

Bằng thạc sĩ tôi sẽ lấy 6 hạt - sẽ còn lại 60 hạt. Dù đối thủ có đi thế nào thì nước đi tiếp theo tôi có thể làm là sẽ còn lại 50 hạt, rồi 40, rồi 30 và cứ như vậy cho đến khi còn 0 hạt. Tôi đã thắng.

Nếu tôi không bắt đầu trò chơi thì đối thủ biết cách chơi được mô tả sẽ thắng. Vì vậy, chỉ cần hai người chủ ném một đồng xu và

*) Bậc thầy của trò chơi - một nhân vật trong tiểu thuyết “Trò chơi hạt thủy tinh” của Herman Hesse (M., “Fiction”, 1969).

37

tìm ra ai sẽ dạy trò chơi. Sau đó, họ có thể không chơi - và rõ ràng ai sẽ thắng.

— Phải làm gì nếu địch bắt đầu bắn trước nhưng không biết bắn chính xác?

Bằng thạc sĩ Chúng tôi biết “vị trí chiến thắng” - khi số hạt còn lại sau một nước đi là bội số của 10. Vì vậy, bạn cần phải chuyển đến vị trí như vậy ngay khi có cơ hội.

• Làm thế nào bạn làm sáng tỏ được bí mật của chiếc cerra này?

Bằng thạc sĩ, tôi bắt đầu suy luận từ cuối trò chơi chứ không phải từ đầu. Giả sử tôi đã thắng, tức là tôi đã lấy được những hạt cuối cùng. Tôi chỉ có thể làm được điều này nếu trước đó đối thủ đã để lại từ 1 đến 9 hạt trên bàn. Để buộc anh ta làm điều này, tôi đã phải để lại 10 hạt trên bàn sau nước đi trước. Đây là một vị trí chiến thắng. Tương tự như vậy, vị trí chiến thắng tiếp theo (thực ra là trước đó) là để lại 20 hạt. Vị trí chiến thắng sau đó được lặp lại định kỳ. Cuối cùng, tức là vị trí chiến thắng đầu tiên là để lại 60 hạt trên bàn. Chúng tôi biết rằng bạn có thể tham gia ngay từ nước đi đầu tiên - bằng cách lấy 6 hạt.

Như bạn có thể thấy, bí mật của tôi rất đơn giản: suy nghĩ từ cuối trò chơi và tìm ra vị trí chiến thắng. Và tất nhiên, hãy chú ý cách họ lặp lại nó theo định kỳ.

• Cảm ơn thầy. Bạn có vui lòng cung cấp cho chúng tôi loại cerra khác không?

Bằng thạc sĩ Trò chơi đang được xem xét rất dễ khái quát: giả sử rằng lúc đầu có N hạt trên bàn và mỗi người chơi có thể lấy từ 1 đến p hạt. Đối với N và p cụ thể, chúng tôi nhận được nhiều trò chơi cụ thể khác nhau. Cụ thể, tại p=9, N=66 là trò chơi dành cho người mới bắt đầu của chúng ta.

• Có những quy tắc nào phù hợp với bất kỳ cerra nào như vậy không?

Bằng thạc sĩ Có, tôi có. Nếu số N không chia hết cho p+1 thì đúng

38

Trong trò chơi người mới bắt đầu sẽ giành chiến thắng. Trước tiên, anh ta phải lấy đủ số hạt sao cho số còn lại chia hết cho $p+1$ (tức là lấy $r$ hạt, trong đó $r$ là phần còn lại của $N$ chia cho $p+1$), sau đó tiếp tục chiến thuật này.

Nếu số $N$ chia hết cho $p+1$ (giả sử $N=k (p+1)$), thì người chơi về thứ hai sẽ thắng. Cho dù đối thủ của anh ta bắt đầu như thế nào, anh ta sẽ luôn có thể giành được vị trí chiến thắng: $(k-1)(p+1), (k-2)(p+1)$, v.v.

— Có thể thay đổi “Nehru cho người mới bắt đầu” theo cách nào khác không?

Bằng thạc sĩ Có, chẳng hạn, có một trò chơi tên là “Evens Win”. Trong trò chơi này, hai người chơi cũng lần lượt thay phiên nhau từ 1 đến $p$ hạt từ một chồng hạt ban đầu có số lẻ. Lần này người chiến thắng là người khi bàn trống thu thập được số hạt chẵn. Trò chơi này thú vị hơn nhiều - khó thắng hơn nhiều.

— Tuy nhiên, có đúng là bạn sẽ luôn thắng trong trò chơi này không?

Bằng thạc sĩ Nếu tôi được quyền lựa chọn bắt đầu trò chơi hay về thứ hai, thì tôi sẽ luôn thắng. Tôi biết định lý - trong những trò chơi thuộc loại này*) như thế này, một trong những người chơi có chiến lược chiến thắng. Thực tế tuyệt vời này của lý thuyết trò chơi đã mang lại cho tôi sự tự tin và trong khi chuẩn bị cho trò chơi, tôi đã tìm ra bí quyết chiến thắng**).

Tôi sẽ trích dẫn một câu thơ về điều này từ một người bạn của Bậc thầy trò chơi, Joseph Knecht:

Bạn viết trên một tờ giấy, và ý nghĩa đã quen thuộc và được cố định bởi sự lang thang của ngòi bút,
Đối với những điều sau đây là hoàn toàn rõ ràng:
Trò chơi kết thúc theo luật***

*) Chúng ta đang nói về những trò chơi mà các chuyên gia gọi là “trò chơi hữu hạn của vô hạn với thông tin đầy đủ”. Bạn có thể đọc về chúng trong cuốn sách của E. S. Ventzel “Các yếu tố của lý thuyết trò chơi” (M., “Nauka”, 1959) hoặc trong «Kvant», 1981, No. 1, p. 12.

**) Bí mật này cũng đã được làm sáng tỏ bởi những người đến từ Học viện Khoa học Nhỏ Crimea. «Kvant» sẽ sớm quay lại trò chơi này.

***) Từ cuốn sách được đề cập của Hermann Hesse “Trò chơi hạt thủy tinh” (bản dịch thơ của S. Averintsev).

39

Bài toán

M796—M800; F808—F812

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Nhiệm vụ khó khăn hơn được đưa ra dấu hoa thị. Sau khi xây dựng thương hiệu bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã cung cấp nó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 6 năm 1983 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 4 - 83” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ “M796, M797” hoặc “F808”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được chỉ định trong một phong bì riêng biệt, được làm thành hai bản sao cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường và lớp bạn đang theo học.

M796. Điểm $P$ nằm bên trong hình vuông $ABCD$ sao cho $|AP| : |BP| : |CP| = 1:2:3$. Tìm $\widehat{APB}$.

L. D. Kurlyandik

M797*. Được biết, chữ số cuối cùng của bình phương các số nguyên chỉ có thể là các số 0, 1, 4, 5, 6 và 9. Có đúng là trước chữ số cuối cùng chúng có thể chứa bất kỳ nhóm chữ số nào, nghĩa là với bất kỳ tập hợp $n$ chữ số $a_1, a_2, \dots, a_n$ nào, người ta có thể tìm thấy một số nguyên có hình vuông kết thúc bằng các chữ số $a_1 a_2 \dots a_n b$ (trong đó $b$ là một trong các chữ số được liệt kê ở trên)?

D. B. Fuchs

M798*. Đánh dấu $4k$ các điểm trên vòng tròn và tô màu chúng lần lượt là đỏ và xanh lam; sau đó $2k$ điểm màu đỏ được kết nối ngẫu nhiên theo cặp $k$ theo đoạn màu đỏ và $2k$ điểm màu xanh lam theo $k$ đoạn màu xanh lam (ba đoạn không giao nhau tại một điểm). Chứng minh rằng có ít nhất $k$ giao điểm của đoạn màu đỏ và đoạn màu xanh.

S. V. Fomin

M799. a) Tìm một phương trình lời giải $3^{x+1}+100=7^{x-1}$ và chứng minh rằng nó không có phương trình lời giải nào khác.

6. • Tìm hai phương trình lời giải

$$3^x+3^{x^2}=2^x+4^{x^2}$$

và chứng minh rằng anh ta không có lời giải nào khác.

S. S. Wallander

M800*. a) Tất cả các điểm có tọa độ nguyên được đánh dấu trên mặt phẳng - các nút của một mạng vuông và trong số đó có một nút “ban đầu” $O$ được tô sáng. Đối với mỗi nút còn lại $P$, một đường thẳng được vẽ, tương ứng với các nút $O$ và $P$ đối xứng, đường phân giác vuông góc với đoạn $OP$. Các đường thẳng vẽ chia mặt phẳng thành các phần nhỏ (hình tam giác và đa giác lồi). Hãy gán một số tự nhiên cho mỗi số đó -

40

vết thương - theo quy tắc sau: phần chứa điểm $O$ (nó có hình vuông) nhận hạng 1, các phần giáp nó ở bên - hạng 2, các phần giáp nó ở một bên (và khác với những phần đã được xem xét) - hạng 3, v.v. (Hình 1). Chứng minh rằng tổng diện tích các phần của hạng $r$ là như nhau đối với mọi số tự nhiên $r$.

6. Tuyên bố tương tự có đúng đối với một mạng tùy ý có tỷ lệ song song (đặc biệt là các hình thoi có góc $60^\circ$) không? Đối với một mạng hình lục giác đều?
   c) Lập và chứng minh khẳng định tương tự cho mạng lập phương trong không gian.

A. V. Gonchaarov

F808. Một chiếc thuyền máy đặt tại điểm $A$ cách bờ hồ một khoảng $R$ bắt đầu chuyển hướng, chuyển động với vận tốc $v=18$ km/h dọc theo một đường tròn bán kính $r=R/2$; tại thời điểm ban đầu, tốc độ của thuyền hướng vào bờ (Hình 2). Một làn sóng từ thuyền vào bờ $t=3$ phút sau khi bắt đầu rẽ. Tốc độ truyền sóng từ thuyền dọc theo mặt nước là $u=9$ km/h. Tìm khoảng cách $R$.

A. I. Buzdin

F809. Một bể hình trụ được đổ đầy chất lỏng có khối lượng riêng $q$ lên trên. Đỉnh bể được đậy kín bằng nắp có bán kính $R$. Dưới đáy bể có một lỗ diện tích $s$, được đóng lại bằng nút khối $m$ (Hình 3). Để rút phích cắm ra khỏi bình, bạn cần tác dụng một lực $f$. Với tốc độ góc tối đa bao nhiêu thì thùng có thể quay quanh một trục thẳng đứng mà phích cắm không bay ra ngoài?

V. I. Komov

F810. Có lò sưởi với nhiệt độ hoạt động $t_H=700^\circ C$. Nhiệt độ môi trường xung quanh - $t_0=20^\circ C$. Phải lấy lượng nhiệt tối thiểu bao nhiêu từ lò sưởi để làm bay hơi $m=3$ kg nước, đun nóng đến điểm sôi ($t_1=100^\circ C$)? Nhiệt độ hóa hơi riêng của nước $r=2,26$ MJ/kg.

O. S. Rabinovich

F811. Trong mạch chỉnh lưu nửa sóng thông thường (Hình 4) $C=1000$ µF, $R=500$ Ohm. Tần số mạng $f=50$ Hz. Giả sử didelic, hãy tìm:

1. độ lớn của hệ số gợn sóng điện áp $k=\frac{\Delta U}{U}$ trên điện trở $R$;
2. • Hệ số $k$ sẽ giảm bao nhiêu lần nếu cuộn cảm $L=100$ H mắc nối tiếp với điện trở?

A. R. Zilberman

43

giữa chúng không quá 1 và độ dài đoạn đứt đoạn nối giữa chúng không nhỏ hơn 198.

Hình 1.

Hình 2.

M781. Vẽ đường thẳng song song với cạnh AC của tam giác ABC cho trước và cắt các cạnh AB, BC lần lượt tại các điểm D và E sao cho |AD| = |BE|.

Hình 1.

Hình 2.

là hợp của hai tập hợp U gồm các điểm nằm cách đường đứt nét AM không quá 1/2 và tập hợp V gồm các điểm nằm cách đường đứt nét MB một khoảng không quá 1/2. Các bộ này không trống (U chứa điểm C₁ và V—C₃) và mỗi bộ bao gồm các phân đoạn và các điểm riêng lẻ. (Thật vậy, tập hợp các điểm của mặt phẳng, cách xa đường đứt nét ở khoảng cách 1/2, là một “hành lang” có chiều rộng 1, chạy dọc theo đường đứt nét, có một đường tròn ở gần các đỉnh của nó - xem Hình 2. Rõ ràng là một hành lang như vậy có thể giao nhau với một đoạn tùy ý dọc theo một số hữu hạn các đoạn và các điểm riêng lẻ.) Dễ hiểu rằng các tập U và V có ít nhất một điểm chung P, nếu không chúng sẽ không bao phủ toàn bộ đoạn đó. A₁A₃. Trên đoạn thẳng AM có điểm X cách P một khoảng không lớn hơn 1/2; có một điểm tương tự Y (|YP|<1/2) trên đường đứt nét MB. Điểm X và Y là những điểm bắt buộc.

Thực tế, khoảng cách từ X đến Y không vượt quá |XP|+|YP|<1. Mặt khác, độ dài đoạn đường đứt nét L từ X đến Y bằng tổng độ dài các đoạn thẳng đứt đoạn XM và MY, tức là không nhỏ hơn tổng độ dài của các đoạn XM và MY. Nhưng |XM| ≥|PC₂|—|PX|—|C₂M| ≥|C₁C₂|—1=99; tương tự, |YM| ≥99. Do đó, độ dài của đa tuyến XY không nhỏ hơn 198.

A. P. Savin

Từ vô số lời giải trong số bài toán này, chúng tôi đã chọn ra hai cái mà đối với chúng tôi có vẻ vinh dự nhất.

lời giải đầu tiên dựa trên phương pháp hài hòa. Lưu ý rằng đối với thể tích Hᵉk có tâm B và hệ số k=|AB|:|DB| đoạn DE sẽ đi vào AC (Hình 1), vì (DE)||(AC); trong trường hợp này, △ABC sẽ chuyển thành △A₁BC₁. Rõ ràng là |A₁A|=|BC| và các đường thẳng A₁C và AE song song. Do đó, để dựng đoạn DE, chỉ cần vẽ đoạn |AA₁| là đủ trên tia BA, bằng |BC|, (xem Hình 1) và vẽ đường thẳng l đi qua điểm A, song song với A₁C. Điểm giao nhau của nó trên cạnh BC là điểm mong muốn E. (Thực tế, chúng tôi không cần đỉnh C₁). Cách xây dựng này có thể được đơn giản hóa một chút: rõ ràng là đường thẳng l=(AE) cắt đường thẳng song song với AB và đi qua C, tại điểm K, cách đỉnh C một khoảng |CK|=|AA₁|=|CB| (xem hình 1). Và việc xây dựng điểm K khá dễ dàng.

lời giải thứ hai sử dụng chuyển vị, hay chính xác hơn là một loại dịch chuyển nhất định - đối xứng trượt. Đối xứng trượt Sᵗᵗ với trục l và vectơ a được gọi là thành phần đối xứng trục Sᵗᵗ và truyền song song sang vectơ a, trong khi vectơ a phải song song với trục (Hình 2); đặc biệt, tại a = 0 đối xứng trượt chuyển thành đối xứng thường. Rõ ràng là trung điểm của bất kỳ đoạn PP₁ nào, trong đó P₁ là ảnh của điểm P trong quá trình trượt đối xứng, nằm trên trục của nó (xem Hình 2). Ngoài ra, dễ dàng nhận thấy rằng đối với hai tia PQ và P₁Q₁ bất kỳ, người ta có thể chỉ định một đối xứng trượt (đồng nhất) biến tia này thành tia thứ hai: trục l của đối xứng này đi qua giữa đoạn PP₁ và tạo thành các góc bằng nhau với các tia đã cho *) (xem Hình 2) và vectơ bằng P’P₁, trong đó P’=Sᵗᵗ(P).

Bây giờ chúng ta xét đối xứng trượt biến tia AB thành tia BC. Vì |AD|=|BE| nên sẽ lấy điểm D đến điểm E. Do đó, trung điểm F của đoạn DE nằm trên trục đối xứng này. Mặt khác, điểm F nằm trên đường trung tuyến BM của tam giác ABC vì

*) Chính xác hơn, trục l song song với bissertis của góc có các cạnh trùng với tia PQ và P₁Q₁.

45

Bây giờ bạn có thể tận mắt nhìn thấy $\sqrt[3]{3} > \sqrt[5]{6}$ và do đó, $n < 5$. Ngoài ra, rõ ràng là, ví dụ, số 1,45 thỏa mãn bốn bất đẳng thức đầu tiên.

Nếu, thay vì máy tính, chúng ta sử dụng quy tắc trượt, cho không quá ba dấu đúng, thì ngay cả khi chúng ta nhận được giá trị của $\sqrt[3]{3}$ là số 1,44 và đối với số $\sqrt[5]{6}$ là giá trị 1,43, chúng ta sẽ không chắc chắn về tính đúng đắn của các chữ số cuối cùng và sẽ phải so sánh các nghiệm này bằng cách đếm trực tiếp, như đã thực hiện ở trên.

6. Hãy chứng minh rằng với bất kỳ số tự nhiên $n$ nào, người ta có thể tìm thấy một $\alpha > 0$ nhỏ đến mức cấp số suy luận $1 + \frac{\alpha}{2}, \left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) + \alpha, \dots, \left(1 + \frac{\alpha}{2}\right) + n\alpha$ với hiệu $\alpha$ và cấp số nhân $1 + \alpha, (1 + \alpha)^2, \dots, (1 + \alpha)^n$ với giá trị $1 + \alpha$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Hãy để chúng tôi sử dụng danh tính $q^k - 1 = (q - 1)(q^{k-1} + q^{k-2} + \dots + 1)$. Đặt $q = 1 + \alpha$ vào đó, chúng ta thu được giá trị đó cho tất cả $k \ge 1$

$$(1 + \alpha)^k = 1 + \alpha((1 + \alpha)^{k-1} + (1 + \alpha)^{k-2} + \dots + 1).$$

Chúng ta hãy chọn $\alpha$ nhỏ đến mức $(1 + \alpha)^n < 1 + \frac{1}{2n}$, sau đó cho tất cả $k = 1, \dots, n$

$$(1 + \alpha)^{k-1} + (1 + \alpha)^{k-2} + \dots + 1 < k(1 + \frac{1}{2n}) \leq k + \frac{1}{2}.$$

Với $\alpha$ như vậy, nhờ vào (*), các bất đẳng thức $(1 + \frac{\alpha}{2}) + (k - 1)\alpha < 1 + k\alpha < (1 + \alpha)^k < 1 + \alpha(k + \frac{1}{2}) = (1 + \frac{\alpha}{2}) + k\alpha$ sẽ được thỏa mãn với tất cả $k = 1, \dots, n$, nghĩa là, số hạng thứ $k$ của cấp số nhân được chỉ định nằm giữa số hạng thứ $k$ và thứ $(k + 1)$ của cấp số tranh luận, đó là những gì chúng tôi yêu cầu.

A. P. Savin

**M784. Một hành tinh hình cầu chuyển động quanh một vòng tròn và quay quanh trục của nó, trục hồi phục hàng ngày nghiêng với mặt phẳng quỹ đạo một góc $\alpha$ (đối với Trái đất của chúng ta $\alpha = 66,5^\circ$). Tìm sự phụ thuộc của khoảng thời gian $T$ của ngày ngắn nhất trong năm tại một điểm nhất định trên bề mặt hành tinh vào vĩ độ địa lý $\varphi$ của điểm này. (Chuyển động của hành tinh trên quỹ đạo được coi là rất chậm so với việc chữa lành). Viết công thức cho hàm $T = T(\varphi)$ và vẽ đồ thị gần đúng.

Hình 1.

Đáp số: $T(\varphi) = \frac{1}{\pi}$ агссos (tg $\varphi$ · ctg $\alpha$) tại $0 \leq \varphi \leq \alpha$ và $T(\varphi) = 0$ tại $\varphi > \alpha$ (một ngày đối với một hành tinh nhất định được lấy làm đơn vị thời gian, tức là thời gian của một vòng quay quanh trục của nó); Đồ thị gần đúng của hàm $T(\varphi)$ được hiển thị trong Hình 1.

Để mặt phẳng chứa các điểm có vĩ độ $\varphi$ cắt trục chuyển động của hành tinh tại điểm $M$ và để đường vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo của nó, được vẽ từ tâm hành tinh $O$, cắt nhau tại điểm $K$ (Hình 2). Các hạt ngày và đêm trong phông chữ này đóng vai trò là phần cuối của hợp âm $P_1P_2$, dọc theo đó chỉ ra một vòng tròn lớn hơn, ngăn cách hệ thống tưới được chiếu sáng của hành tinh với hệ thống tưới tiêu không được chiếu sáng. Do đó, độ dài của ngày (tính bằng ngày) trong phông chữ $\varphi$ bằng $T = \gamma/2\pi$, trong đó $\gamma$ là các giá trị của góc $P_1MP_2$. Rõ ràng, góc này (và độ dài ngày) nhỏ nhất khi dây $P_1P_2$ vuông góc với đường thẳng $MK$.

Trong trường hợp này $\cos \frac{\gamma}{2} = \frac{|MK|}{|MP_1|}$. Điểm $P_1$ có vĩ độ $\varphi$, nghĩa là $P_1OM = \frac{\pi}{2} - \varphi$ và $|MP_1| = R \cos \varphi$, và $|OM| = R \sin \varphi$, trong đó $R$ là bán kính của hành tinh (xem Hình 2). Trong tam giác $MOK$ góc ở đỉnh $O$ là $\frac{\pi}{2} - \alpha$ nên $|MK| = |OM| \cdot \cos \varphi = R \sin \varphi$. Như vậy,

46

M785. a) Đối với dãy số dương tăng dần $a(n)$, $n=1, 2, 3, \dots$, ta biết rằng với mọi số tự nhiên $k>1$ đều có số $b_k$ sao cho $a(kn) \leq b_k a(n)$ với mọi $n$. Chứng minh rằng tồn tại các số liên tiếp $c$ và $a$ sao cho $a(n) \leq cn^a$ với mọi $n \geq 1$.

Liệu câu phát biểu này có còn đúng nếu trong điều kiện b) từ “bất kỳ” nào được thay thế bằng “một số” không?
c) không yêu cầu dãy $a(n)$ phải tăng lên?

$$a(k) \leq ba(1)$$
$$a(k^2) \leq ba(k)$$
$$a(k^r) \leq ba(k^{r-1})$$
$$b = k^{\log_k b}$$
$$b^{\log_k n} = n^{\log_k b}$$

$$\gamma = 2 \arccos \frac{|MK|}{|MP_1|} =$$
$$= 2 \arccos \frac{R \sin \varphi \mathrm{tg} \alpha}{R \cos \varphi} = 2 \arccos(tg \varphi \cdot ctg \alpha).$$

Tại $\varphi > \alpha$ tại thời điểm “ngày đông chí” vĩ tuyến với vĩ độ $\varphi$ nằm hoàn toàn trong nửa không được chiếu sáng của hành tinh và $T(\varphi) = 0$; ở đây đêm vùng cực bắt đầu (khu vực này được nhìn thấy trong Hình 2 màu đen). Lưu ý rằng khi tiếp cận điểm $\varphi = \alpha$ (từ khoảng $\varphi < \alpha$), tiếp tuyến của đồ thị $T(\varphi)$ trở thành đường thẳng đứng.

A. P. Savin

Chúng ta hãy chứng minh ngay rằng đáp số ở câu hỏi 6) là khẳng định: nếu (đối với một số $k > 1$) tồn tại $b = b_k$ sao cho $a(nk) \leq b \cdot a(n)$ với mọi $n$, thì $a(n) \leq cn^u$ đối với một số $c$ và $a$.

Hãy đặt $a(1) = a$. Biến của một chuỗi bất đẳng thức đầu trên các trường, ta thu được điều đó (với mọi số tự nhiên $r$)
$$a(kr) \leq a \cdot br = a \cdot kr^u,$$
ở đâu $a = \log_k b$. Đối với bất kỳ $n$ nào, chúng ta chọn $r$ sao cho $kr^{-1} < n \leq kr$, tức là $\log_k n \leq r < \log_k n + 1$. Đạt được tính đơn điệu $a(n)$ và đơn vị màu đỏ thứ hai ở lề, chúng ta thu được:
$$a(n) \leq a(kr) \leq a \cdot br < a \cdot b^{\log_k n + 1} = ab \cdot n^{\log_k b} = cn^u,$$
ở đâu $c = ab$.

Bây giờ chúng ta hãy xây dựng một ví dụ cho thấy đáp số đối với câu hỏi c) là phủ định. Không khó để xây dựng một chuỗi $a(n)$ có tính chất đa điển hình: $a(mn) = a(m)a(n)$ cho tất cả $m, n$, đồng thời (đối với bất kỳ $r$ tự nhiên nào), chúng ta sẽ tìm thấy $n$ sao cho $a(n) \geq n^r$. Ví dụ, bạn có thể đặt
$$a(n) = p_1^{i_1} p_2^{i_2} p_3^{i_3} \dots p_s^{i_s}$$
cho $n = p_1^{i_1} p_2^{i_2} \dots p_s^{i_s}$ (trong đó $p_1 = 2, p_2 = 3, p_3 = 5, \dots$ là các số nguyên tố liên tiếp); thì với $m = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r}$, $n = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r}$ sẽ có $a(mn) = a(m)a(n) = \prod_{r=1}^{s} p_r^{i_r(i_r+i_r)}$ và với $n = p_r^k$ (với mọi $k$ tự nhiên) $a(n) = p_r^k = n^r$.

Đối với chuỗi này, điều kiện $a(n) \leq b_k a(n)$ sẽ được thỏa mãn, chẳng hạn như ở $b_k = a_k$. Nhưng với không $c$ và $a$ thì ước tính $a(n) \leq cn^a$ không thể đúng với tất cả $n$, vì với $r > \alpha$ có vô số $n$ sao cho $a(n) \geq n^r > cn^a$ (đối với $n$ đủ lớn).

N. B. Vasiliev

Chúng ta hãy xem xét chuyển động của một quả bóng rơi tự do trong vùng lân cận của trục đối xứng. Ngay sau khi va chạm với bề mặt quả bóng, nó có vận tốc $v_0 = \sqrt{2gH}$ (vì va chạm là đàn hồi tuyệt đối); vectơ $\vec{v}_0$ tạo một góc $2\alpha$ với phương thẳng đứng (xem hình).

Gọi thời gian $t$ sau va chạm với bề mặt quả bóng theo phương ngang bằng $l$ (xem hình), tức là
$$v_0 \sin 2\alpha \cdot t = l \Rightarrow t = l/v_0 \sin 2\alpha = l/(\sqrt{2gH} \sin 2\alpha),$$
trong đó $v_0 \sin 2\alpha$ là hình chiếu nằm ngang của vận tốc $v_0$ (trong thời gian $t$ quả bóng không chạm vào bề mặt). Độ cao mà quả bóng đạt được sau thời gian $t$ bằng
$$\Delta h = h_0 + v_0 \cos 2\alpha \cdot t - gt^2/2,$$
(*)
trong đó $v_0 \cos 2\alpha$ là hình chiếu thẳng đứng của vận tốc $v_0$.

48

cuối cùng đến độ sâu của nó. Trong quá trình vận hành, lượng nước chảy qua mặt cắt kênh trong một giây sẽ tăng gấp đôi. Tốc độ dòng chảy trung bình thay đổi như thế nào?

Điều đó có nghĩa là tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên một thể tích như vậy bằng 0.

Hãy viết các điều kiện này (định luật Newton II) cho khối ABCD được tô sáng trên hình. Các lực tác dụng lên nó là lực hấp dẫn $F_\tau = \omega gabh$ (b - chiều rộng của dòng chảy), lực áp suất của không khí trong khí quyển $F_a = p_0ab$ (p$_0$ - áp suất khí quyển), lực áp suất của các lớp nước bên dưới $F_H = p_hab$ (p$_h$ - áp suất ở “độ sâu” h), lực áp suất $F_\pi$ và $F_\pi$ từ phía nước trên mặt bên trái (thượng lưu) và bên phải (hạ lưu) và lực ma sát lên lớp nước liền kề ở độ sâu h. Hãy viết định luật II Newton dưới dạng hình chiếu lên trục Y (xem hình):

$$p_0ab + \omega gabh \cos \alpha - pab = 0.$$

Từ phương trình này, rõ ràng là áp suất p trong dòng chảy chỉ được xác định bởi “độ sâu” h.

Bây giờ hãy viết các điều kiện để có tốc độ trung bình không đổi đối với khối MBCN được đánh dấu trong hình. Hình chiếu lên trục X ta có:

$$\omega gabH \sin \alpha - k \frac{v}{H} = 0.$$

Ở đây $\omega gabH$ là lực hấp dẫn, v là vận tốc dòng chảy trung bình, $kv/H$ là lực ma sát (k=const). (Các lực ép từ nước ở bên trái và bên phải triệt tiêu lẫn nhau, và do đó chúng ta không đưa chúng vào phương trình). Chúng tôi biểu thị độ sâu H bằng lượng Q của nước chảy qua phần kênh trên một đơn vị thời gian: $Q = Hbv \Rightarrow H = \frac{Q}{bv}$.

Thay biểu thức này vào (*) và tìm v:

$$v = \left( \frac{\omega g \sin \alpha}{kb} \right)^{1/3} Q^{2/3}.$$

Từ đó có thể thấy khi phương trình Q gấp 2 lần thì vận tốc dòng chảy trung bình tăng $\sqrt[3]{4} \approx 1,6$ lần. Trong trường hợp này, độ sâu dòng chảy tăng $\sqrt[3]{2} \approx 1,3$ lần.

G. L. Kotkin

F796. Trên trục quang chính AB của đường thu có tiêu cự F có một gương phẳng chuyển động với vận tốc góc w về phía trục vuông góc với trục AB (Hình 1). Một chùm tia song song được chiếu lên gương, sau khi phản xạ sẽ hội tụ vào một màn nằm trong mặt phẳng tiêu điểm của đường thẳng. Tìm tốc độ của điểm sáng trên màn hình tại thời điểm nó đi qua tiêu điểm của đường thẳng.

Giả sử tại thời điểm ban đầu góc giữa trục quang chính của đường thẳng và đường vuông góc với gương bằng α, và điểm sáng nằm ở giao điểm của trục quang với màn (điểm B trong Hình 1), tức là sau khi phản xạ từ gương, các tia sáng sẽ song song với trục quang chính. Sau một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ gương sẽ quay một góc nhỏ $\Delta a = \omega \cdot \Delta t$. Các tia phản xạ từ gương bị “xoay” một góc $2\Delta a$ so với trục (Hình 2) và điểm sáng sẽ nằm ở điểm C trên màn. Chúng ta hãy tìm độ dịch chuyển của điểm $|BC|$ theo thời gian $\Delta t$:

$$|BC| = |OB|tg 2\Delta a = Ftg 2\Delta a \approx 2F \cdot \Delta a$$

(chúng tôi đã lợi dụng thực tế là $\Delta a$ nhỏ và tg $\Delta a \approx \Delta a$). Biết độ dịch chuyển ta tìm được vận tốc tức thời của điểm sáng tại điểm B:

$$v = \frac{|BC|}{\Delta t} = \frac{2F \cdot \Delta a}{\Delta t} = \frac{2F\omega \cdot \Delta t}{\Delta t} = 2F\omega.$$

E. I. Palchikkov

Hình 1.
Hình 2.

49

F797. Một tụ điện phẳng chứa đầy một chất điện môi, độ thấm điện môi của nó phụ thuộc vào điện áp $U$ trên tụ theo định luật $\varepsilon = \alpha U$, trong đó $\alpha = 0,1$ $B^{-1}$. Song song với chất điện môi, chất điện môi và điện dung này, một tụ điện “phi tuyến” (không tích điện) được nối với một tụ điện thông thường được tích điện với hiệu điện thế $U_0 = 60$ V. Điện áp trên tụ điện sẽ là bao nhiêu?

Vì tụ điện “phi tuyến tính” khác với tụ điện thông thường chỉ ở chỗ có chất điện môi giữa các bản của nó, nên điện dung của tụ điện “phi tuyến tính” ở điện áp $U$ trên nó bằng

$$C = \varepsilon C_0 = \alpha UC_0,$$

trong đó $C_0$ là điện dung của tụ điện chung. Trong trường hợp này, điện tích trên tụ điện “phi tuyến” là

$$q_H = CU = \alpha C_0 U^2,$$

và điện tích trên tụ điện chung là

$$q = C_0 U$$

(điện áp $U$ trên các tụ có đấu nối song song là như nhau).

Điện tích ban đầu của tụ điện chung bằng

$$q_0 = C_0 U_0,$$

và nhờ định luật bảo toàn điện tích ở điện áp bất kỳ $U$ trên tụ điện

$$q_H + q = q_0 \Rightarrow \alpha C_0 U^2 + C_0 U = C_0 U_0.$$

Từ đây điện áp $U$ được tìm thấy:

$$U = \frac{\sqrt{4\alpha U_0 + 1} - 1}{2\alpha} = 20 \text{ В.}$$

A. I. Buzdin

Hàm lượng giác nghịch đảo

(Để bắt đầu, xem trang 30)

Trên đoạn $[0; \frac{\pi}{2}]$, cả sin, cos và tiếp tuyến đều đơn điệu. Ví dụ, chúng ta hãy tính cosin của các số được so sánh:

$$\cos \left( \arcsin \frac{2}{5} \right) = \sqrt{1 - \left( \frac{2}{5} \right)^2} = \frac{\sqrt{21}}{5},$$

$$\cos \left( \arccos \frac{2}{5} \right) = \frac{2}{5}.$$

Vì tại $[0; \frac{\pi}{2}]$ cosine triệt tiêu, từ bất đẳng thức

$$\cos \left( \arcsin \frac{2}{5} \right) > \cos \left( \arccos \frac{2}{5} \right)$$

nó theo sau đó

$$\arcsin \frac{2}{5} < \arccos \frac{2}{5}.$$

Ví dụ 6. Hãy tính $\arcsin(\sin 11)$. Để làm điều này, trước tiên hãy so sánh $11$ với $\frac{\pi}{2}$ $k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Từ bất đẳng thức $3 < \pi < 3,142$ ($\pi = 3,14159...$) suy ra $\frac{7}{2} \pi < 11 < 4\pi$. Vì vậy, $-\frac{\pi}{2} < 11 - 4\pi < 0 < \frac{\pi}{2}$. Vì vậy $\arcsin(\sin 11) = \arcsin(\sin(11 - 4\pi)) = 11 - 4\pi$.

Bài tập

1. Chứng minh danh tính
   a) $\arcsin x = \begin{cases} \arcsin \sqrt{1-x^2}, \text{ если } 0 \leq x \leq 1 \\ \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2}, \text{ если } -1 \leq x \leq 0; \end{cases}$
   b) $2 \arctg \frac{1+x}{1-x} + \arcsin \frac{1-x^2}{1+x^2} = \pi$ ($0 \leq x < 1$).

2. Tính toán
   a) $\arctg \frac{1}{3} + \arctg \frac{1}{5} + \arctg \frac{1}{7} + \arctg \frac{1}{8}$;
   b) $\arccos(\cos 4)$;
   b) $\arccos(\sin(-\frac{\pi}{7}))$.

3. Vẽ đồ thị hàm số
   a) $\arccos(\cos x)$;
   b) $\arctg(tg x)$.

51

Con đường học tập bắt đầu từ bài toán

Mười lăm năm trước tại Viện Năng lượng nguyên tử mang tên. I. V. Kurchatova (IAE) bắt đầu điều hành một trường vật lý và toán học cho học sinh trung học. Khi sinh học được thêm vào các môn học ở trường, người ta quyết định gọi trường là Trường Khoa học Tự nhiên (SNS).

Đây là trường đầu tiên thuộc loại này tại một viện nghiên cứu lớn. Việc thành lập nó được khởi xướng bởi Ủy ban Komsomol và Đảng ủy của Viện. Công việc của trường OLS được hỗ trợ rất nhiều bởi sự giảng dạy hàng đầu của IAE, các học giả A. P. Aleksandrov, L. A. Artsimovich, B. B. Kadomtsev, I. K. Kikoin, các thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô I. I. Gurevich, V. M. Galitsky, v.v.

bài toán nào được đặt trước SHEN? Có ba cái chính.

Thứ nhất, dạy vật lý, toán, sinh học cho học sinh, đi sâu vào chương trình học, kết nối với khoa học công nghệ mới nhất, khai thác tiềm năng phong phú của Viện Năng lượng nguyên tử.

Thứ hai, phát hiện những học sinh có năng lực càng sớm càng tốt, giúp các em vượt qua chính mình và lựa chọn con đường tương lai đúng đắn.

Cuối cùng, bài toán thứ ba là phát triển ở học sinh quyền công dân Xô Viết, một thế giới quan duy vật, mọi thứ có trong quan niệm giáo dục cộng sản cho thanh niên. Hội đồng khoa học của Viện đặc biệt quan tâm đến vấn đề này khi phát biểu tại cuộc họp liên quan đến trường.

Và đã mười lăm năm nay, vào buổi tối, ánh đèn bật sáng trong một tòa nhà hai tầng nằm cách Học viện không xa, và học sinh lớp 8, 9, 10 từ nhiều quận của Mátxcơva đến đó (sau khi học tại một trường tổng hợp). Tại đây, họ gặp gỡ các giáo viên của mình hai (hoặc thậm chí ba) lần một tuần - các nhà nghiên cứu và kỹ sư của Viện Năng lượng nguyên tử, các nghiên cứu sinh và sinh viên năm cuối của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Việc tuyển chọn học sinh ở trường được thực hiện như thế nào? Vấn đề này đã được giải quyết trong vài năm. Khó khăn là học sinh khi bước vào kỳ thi tuyển sinh có lượng kiến ​​thức rất rộng. Và không chỉ vì khả năng của họ mà còn vì họ đại diện cho gần 40 trường khác nhau ở Moscow. Đồng thời, hệ số lựa chọn phải là 4-5, tức là trong số bốn hoặc năm người đăng ký, chỉ một người có thể được nhận vào SHEN.

Nhiều sách hướng dẫn do SHEN xuất bản và do các giáo viên của nó viết có thể đưa ra ý tưởng về các phần tiếp theo. Số lượng sách trung bình được xuất bản trong “Thư viện trường Vật lý và Toán học” còn có thể gọi là những cuốn sách như “Cơ học”, “Định luật điện từ”. Hết lớp 10, câu chuyện về những phản ánh vật lý của cá nhân lại được tiếp tục. Nhưng nó chỉ được thực hiện bởi các giáo viên mà còn bởi sự giảng dạy hàng đầu của Viện, được mời đến trường. Chỉ cần nhớ lại những bài giảng của giáo sư Ya là đủ. A. Smorodinsky, L. A. Mikazlyan, Yu. S. Lazurkin và nhiều người khác, những người đã tập hợp các sinh viên, giáo viên của SHEN và một số lượng rất lớn nhân viên của Viện. Họ đã cung cấp một bức tranh hoàn chỉnh về công việc của một kỹ sư và nhà khoa học.

Một trong những mục tiêu của môn toán là thể hiện sự thâm nhập của các phương pháp toán học vào khoa học tự nhiên, ứng dụng toán học trong sinh học, hóa học và vật lý. Tất nhiên, điều quan trọng là các chàng trai phải học cách sử dụng thiết bị. Tuy nhiên, việc nắm vững các phương pháp phân tích toán học không chỉ cho phép nghiên cứu sâu hơn về vật lý, mà còn theo nghĩa rộng hơn, sâu hơn, làm phong phú thêm kiến ​​thức.

52

Kỹ sư V.V. Sinev tiến hành một bài học vật lý.

làm rung chuyển thế giới tâm linh của con người. Mười lăm năm kinh nghiệm của SHEN đã chỉ ra rằng khả năng cảm nhận vẻ đẹp và tính logic của toán học của học sinh là cực kỳ cao, và với sự làm việc chuyên sâu của trẻ dưới sự hướng dẫn của các nhà khoa học IAE - những chuyên gia trong lĩnh vực toán ứng dụng, nhà vật lý lý thuyết, nhà phát triển phần mềm toán học bài toán, được giải quyết tại trung tâm máy tính của Viện, nhiều sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi đã chọn toán học làm nghề nghiệp của mình.

Chưa kể rằng SHEN thường xuyên liên lạc và bay lượn trong các hiệp hội khoa học cũng như các trường vật lý và toán học ở Chelyabinsk, Navon và các thành phố khác, Ma-

loy của Viện Hàn lâm Khoa học Crimea. Có sự trao đổi hữu ích về lợi ích và kế hoạch. Tại các cuộc họp, người dân Moscow gặp gỡ “đồng nghiệp” của họ và các nhà khoa học của IAE giảng dạy các khóa học cho trẻ em ở những thành phố này.

Kết quả hoạt động của trường là gì?

Hầu hết sinh viên của cô đều làm việc trong lĩnh vực khoa học và công nghệ, mặc dù một số đã trở thành bác sĩ và nhà kinh tế. Nhiều người đến IAE sau khi tốt nghiệp đại học. Trong số đó đã có những ứng cử viên của khoa học. Và chính một số sinh viên tốt nghiệp của chúng tôi đã trở thành giáo viên SHEN.

Tại Đại hội Komsomol lần thứ 19, Bí thư thứ nhất của Ủy ban Trung ương Komsomol, B. N. Pastukhov, cho biết: “Tại Ủy ban Komsomol

Viện Năng lượng nguyên tử Somol mang tên I.V. Kurchatov điều hành Trường Khoa học Tự nhiên, trong đó 300 học sinh Moshchovo học tập một cách hứng thú và trong năm trường học ở các thành phố khác nhau của đất nước có hơn một nghìn trẻ em. Các nhà khoa học nổi tiếng giảng bài ở phía trước. Sự nghiệp giáo dục sẽ được hưởng lợi như thế nào nếu người Kurchatovites có nhiều người theo dõi hơn.”

Độc giả của «Kvant» có lẽ hiểu rằng con đường đến với khoa học bắt đầu từ khả năng thiết lập và giải quyết bài toán. Hãy theo chân các chàng trai đến SHEN và kiểm tra khả năng của bạn.

V. D. Kulyazin,
K. P. Checherov

Ảo ảnh quang học

Các hình ảnh cho thấy một hình vuông bên trong một hình vuông, một hình tròn và hai cặp đường thẳng song song nằm ngang. Đường áp dụng gây ra sự đánh giá về sự biến dạng của hình dạng của chúng.

53

Trường Vật lý Tương ứng (3FS) thuộc Khoa Vật lý của Đại học quốc gia Moscow. MV Lomonosov thông báo tuyển sinh lớp 9 và lớp 10 cho năm học tới.

Mục tiêu chính của 3FS là giúp học sinh trung học cơ sở nghiên cứu vật lý sâu hơn trong phạm vi chương trình giảng dạy ở trường, cũng như chuẩn bị tốt hơn cho kỳ thi tuyển sinh môn vật lý vào giáo dục đại học, chủ yếu là vào Khoa Vật lý của Đại học Tổng hợp Moscow.

Việc xét tuyển vào 3FS được thực hiện dựa trên kết quả lời giải của nhiệm vụ giới thiệu được công bố dưới đây. Lời giải của bài tập giới thiệu phải được gửi trước ngày 15 tháng 9 tới địa chỉ: 117234, Moscow, V-234, Leninskie Gory, Đại học Tổng hợp Moscow, Khoa Vật lý, Trường Đại học Vật lý. Trong thư, gửi kèm một phong bì ghi địa chỉ nhà và hai bản sao của bảng câu hỏi viết trên tờ giấy dày có kích thước 7x12 cm và điền vào theo mẫu sau:

Họ, tên, chữ viết tắt
Lớp học
Nghề nghiệp của cha mẹ và
vị trí nắm giữ
Địa chỉ nhà chi tiết
Số trường và địa chỉ

Sidorov Ivan Petrovich
ngày 9
bố là kỹ sư
mẹ là bác sĩ
248016, Kaluga, st. Lenina, 4, thích hợp. 73
trường số 10, st. Pushkina, 3.

Lời giải Hội đồng tuyển sinh 3FS sẽ được thông báo tuyển sinh trước ngày 15 tháng 10. Các bài tập giới thiệu đã được xác minh sẽ không được gửi lại.

Trong năm, những học sinh đăng ký vào 3FS sẽ được gửi các bài phát triển về phương pháp luận và bài tập kiểm tra trong các phần vật lý khác nhau đã học ở trường trung học. Các bài tập giải được sẽ được chấm điểm, giải và trả lại cho học sinh. Những học sinh hoàn thành lớp 9 của 3FS sẽ được chuyển lên lớp 10 dựa trên số điểm nhận được cho bài tập kiểm tra lời giải. Những người hoàn thành khóa đào tạo sẽ nhận được chứng chỉ hoàn thành 3FS.

Nhiệm vụ giới thiệu

Những học sinh vào lớp 9 với lời giải được giao nhiệm vụ 1-4, những học sinh vào lớp 10 - nhiệm vụ 3-6.

1. Một cái nêm có góc đỉnh bằng 90° và các góc đáy α và β đặt trên một bàn nằm ngang. Dọc theo các cạnh bên của nó, hai thanh có cùng khối lượng bắt đầu trượt đồng thời mà không có ma sát. Liệu nêm có trượt trên bàn không (không có ma sát giữa nêm và bàn)?

2. Trên một chiếc thuyền khối lượng M, chiều dài L có một người khối lượng m. Thuyền sẽ di chuyển được bao xa nếu một người di chuyển từ đầu này sang đầu kia?

3. Một hình trụ có khối lượng M nằm trên mặt phẳng nghiêng góc nghiêng 30° so với phương ngang.

Hình trụ được giữ đứng yên bằng một sợi dây quấn quanh nó, một đầu cố định trên mặt phẳng nghiêng, đầu kia được kéo thẳng đứng lên trên. Lực căng của sợi dây là bao nhiêu?

4. Hãy ước tính khối lượng của Mặt trời, biết rằng bán kính trung bình của quỹ đạo Trái đất là 149·10⁶ km.

5. Khi đầu một bóng đèn điện có thể tích 1 lít vỡ ra ở độ sâu 1 m so với mặt nước thì m = 998,7 g nước lọt vào trong đó. Áp suất khí trong bóng đèn là bao nhiêu? Áp suất khí quyển là bình thường.

6. Một điện tích dương Q phân bố đều trên một vòng dây mỏng bán kính R. Tìm sự phụ thuộc của mô hình cường độ điện trường vào trục của vòng và khoảng cách r đến tâm vòng.

54

Đại học quốc gia Moscow
họ. M. V. Lomonosova

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\log_2(x^2-3) - \log_2(6x-10) + 1 = 0.$$
2. Một tứ giác lồi $ABCD$ được ngoại tiếp xung quanh một đường tròn có tâm tại điểm $O$, với $|AO| = |OC| = 1, |BO| = |OD| = 2$. Tìm chu vi của tứ giác $ABCD$.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{5 \sin x + \cos 2x} + 2 \cos x = 0.$$
4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà biểu thức
   $$\sqrt{3x^4-2-x^8} \cdot \sin(\pi(2x+16x^2))$$
   có ý nghĩa và không biến mất.
5. Cho một cặp hình tam giác $ABCD$ có đỉnh $D$, có các mặt $ABD$ và $ACD$ là tam giác vuông, cạnh $AD$ vuông góc với đường trung tuyến của đáy $AK$ và $|AD| = |AK|$. Phần của paramid bởi một mặt phẳng không đi qua trung điểm của các cạnh $AD$ và $BC$ là hình thang cân bằng $EFGH$ có đáy $EF$ và $GH$, và điểm $E$ chia đôi cạnh $BD$ và điểm $G$ nằm trên cạnh $AC$ và $|AG| = 3|GC|$. Tìm tỉ số giữa mặt phẳng hình thang $EFGH$ với mặt phẳng mặt $BCD$.

Tùy chọn 2
(Khoa Cơ và Toán)

1. Giải phương trình
   $$\log_x(2x^2-3x-4) = 2.$$
2. Trong một hình thang $ABCD$ nội tiếp đường tròn bán kính $r = 2$, đường chéo $AC$ là góc Bissert $BAD$, và chiều dài đáy $AD$ gấp đôi chiều dài đáy $BC$. Tìm mặt phẳng của hình thang này.
3. Giải phương trình
   $$\sqrt{2 \sin x \cdot \sin 2x} = \sqrt{5 \cos x + 4 \sin 2x}.$$
4. Tìm tất cả các giá trị của $x$ mà biểu thức

$$\sqrt{4x^4-3-x^8} \cdot (1-\cos(2\pi(2x+21x^2)))$$

có ý nghĩa và không biến mất.
5. Trong tứ giác paramid $ABCDE$, đáy $ABCD$ là hình bình hành và các mặt $ADE$ và $BCE$ là các tam giác vuông. Cạnh $BC$ vuông góc với đường trung tuyến $EP$ của các mặt $CDE$ và $|BC| = |EP|$. Tiết diện của paramid theo mặt phẳng là hình thang cân bằng $GKHL$, các đỉnh của nó $G, K, H, L$ lần lượt nằm trên các cạnh $AE, BE, CE, DE$, với $|GE| = 3|GA|$ và $|CH| = |EH|$. Tìm tỷ lệ diện tích của hình thang $GKHL$ với diện tích của khuôn mặt $ABE$.

Tùy chọn 3
(Khoa Toán tính toán và Điều khiển học)

1. Số nào lớn hơn: $\sqrt{8}$ hoặc $2^{2\log_2 5 + \log_2 \frac{9}{2}}$?
2. Tìm tất cả $x$ mà hàm $y = 6 \cos^2 x + 6 \sin x - 2$ nhận giá trị cao nhất trên $R$.
3. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{\sqrt{2-x} + 4x-3}{x} \geq 2.$$
4. Nhà máy có một số máy ép giống hệt nhau để dập các bộ phận và nhà máy sản xuất 6.480 bộ phận mỗi ngày. Sau khi tái thiết, tất cả các máy ép đã được thay thế bằng những máy ép tùy ý hơn nhưng cũng giống hệt nhau và số lượng của chúng tăng thêm ba. Nhà máy bắt đầu sản xuất 11.200 bộ phận mỗi ngày. Lúc đầu có bao nhiêu máy ép?
5. Với mọi $a$, hãy giải phương trình
   $$|x+3| - a|x-1| = 4$$
   và xác định xem $a$ nào có chính xác hai lời giải.
6. Một đường tròn có tâm tại điểm $O$ được ngoại tiếp quanh tam giác $ABC$. Tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $C$ cắt đường phân giác của góc $B$ của tam giác tại điểm $K$, và góc $BKC$ bằng nửa hiệu giữa góc $A$ và góc $C$ của tam giác. Tổng độ dài các cạnh $AC$ và $AB$ là $2+\sqrt{3}$, tổng khoảng cách từ điểm $O$ đến các cạnh $AC$ và $AB$ là 2. Tìm bán kính của hình tròn.

Tùy chọn 4
(Khoa Vật lý)

1. Giải phương trình
   $$\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2} + \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0.$$
2. Với những giá trị nào của $a$ lời giải thì phương trình
   $$10x-15a=13-5ax+2a$$
   nhiều hơn 2?
3. Được biết, $\log_b a = \sqrt{3}$. Tính toán
   $$\log \left(\frac{\sqrt{a}}{b}\right)\left(\frac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right).$$
4. Giải bất đẳng thức
   $$5^x-3^{x+1} > 2(5^{x-1}-3^{x-2}).$$

55

5. Trên cạnh bên SA của tam giác đều paramid SABC có đỉnh S, lấy điểm D, qua đó vẽ một phần của paramid, cắt các đường trung bình của các mặt SAC và SAB tại các điểm M và N. Biết rằng các đường thẳng DM và DN tạo thành các góc có độ lớn β với mặt phẳng đáy của paramid và độ lớn của các góc DMS và DNS bằng $\alpha\left(\alpha<\frac{\pi}{2}\right)$. Tìm góc MDN.

6. Một đường thẳng đi qua tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của một tam giác thì vuông góc với một trong các đường phân giác của nó. Biết rằng tỉ số giữa khoảng cách giữa tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp với bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng h. Tìm các góc của tam giác.

Tùy chọn 5
(Khoa Hóa học)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{3} \sin 2x - \cos 2x = \sqrt{3}.$$

2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2 \frac{x}{x-1} \leq -1.$$

3. Giải bất đẳng thức $f(g(x)) < g(f(x))$, trong đó $f(x) = 2^x - 1$, $g(x) = 2x + 1$.

4. Hình nón nằm trên mặt phẳng ngang P, tiếp xúc với mặt bên của nó. Diện tích đáy hình nón là $S_1$, diện tích xung quanh là $S_2$. Điểm cao nhất của hình nón là bao nhiêu (trên P)?

5. Với giá trị nào của tham số p thì phương trình
   $$(x-p)^2[p(x-p)^2-p-1] = -1$$ có nhiều nghiệm dương hơn nghiệm âm không?

Tùy chọn 6
(Khoa Sinh học)

1. Giải bất đẳng thức
   $$\log_1\left(1+x-\sqrt{x^2-4}\right) \leq 0.$$

2. Giải phương trình
   $$\sin^2 x + \cos^2 3x = 1.$$

3. Một hình lập phương nội tiếp trong SABCD tứ giác đều. Các đỉnh của một trong các mặt của khối lập phương nằm trên đáy của paramid ABCD. Các đỉnh của mặt đối diện của khối lập phương nằm trên các cạnh bên của paramid. Người ta biết rằng $|SA| = |AB| = a$, tức là độ dài cạnh bên của paramid bằng a và bằng độ dài cạnh đáy của nó. Khối lượng của một khối là gì?

4. Tìm phương trình của các tiếp tuyến đó với đồ thị của hàm $y = \frac{x^3+1}{x}$, cùng với các trục tọa độ giới hạn tam giác có diện tích $\frac{1}{2}$.

5. Các điểm P và Q nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $|BP|:|PQ|:|QC| = 1:2:3$. Điểm R chia cạnh AC của tam giác này sao cho $|AR|:|RC| = 1:2$. Tỉ số diện tích của tứ giác PQST với diện tích của tam giác ABC là bao nhiêu, trong đó S và T lần lượt là giao điểm của đường thẳng BR với đường thẳng AQ và AP?

Tùy chọn 7
(khoa khoa học đất)

1. Một đoàn tàu cao tốc đi từ điểm A đến điểm B. Cùng lúc đó, một đoàn tàu chở hàng từ B đến A chạy về phía anh và gặp xe cứu thương $\frac{2}{3}$ giờ sau khi khởi hành. Khoảng cách giữa hai điểm A và B là 80 km, các tư thế chuyển động với vận tốc không đổi. Tàu nhanh đã di chuyển với tốc độ bao nhiêu nếu nó đi được 40 km trong $\frac{3}{8}$ giờ nhiều hơn thời gian tàu chở hàng đi được 5 km?

2. Giải phương trình
   $$\sqrt{2-3 \cos 2x} = \sqrt{\sin x}.$$

3. Tìm giá trị lớn nhất của hàm $f(x) = |x^3+6x^2+9x+1|$ trên đoạn $[-3; 1]$.

4. Một đường tròn bán kính 3 nội tiếp tam giác đều ABC (trong đó $|AB| = |BC|$). Đường thẳng p tiếp xúc với đường tròn này và song song với đường thẳng AC nhưng không trùng với đường thẳng AC. Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng p là 3. Tìm khoảng cách giữa các điểm mà đường tròn tiếp xúc với các cạnh AB và BC.

5. Độ dài đường cao SO của cạnh đáy tam giác đều SABC bằng 1 và độ dài cạnh của đáy ABC bằng $2\sqrt{6}$. Điểm M và N là trung điểm của đoạn AC và AB. Tính bán kính của một hình cầu nội tiếp SAMN paramidus (nghĩa là tiếp xúc với tất cả các mặt bên và đáy).

Tùy chọn 8
(khoa địa lý)

1. Giải phương trình
   $$\sqrt{2x^2+8x+7} -x = 2.$$

2. Với những giá trị nào của x thì hàm số tùy ý y = 3-2 sin $\left(2x-\frac{\pi}{8}\right)$ bằng $2\sqrt{2}$?

3. Cho tam giác ABC, độ dài đường cao BD là 6 cm, độ dài đường trung tuyến CE là 5 cm, khoảng cách từ giao điểm BD với CE đến cạnh AC là 1 cm. Tìm $|AB|$.

4. Tìm tất cả các cặp (x; y) số thực thỏa mãn hệ bất đẳng thức
   $$\begin{cases} \log_2-x(2-y) > 0 \\ \log_4-y(2-x) > 0. \end{cases}$$

5. Cho hình vuông ABCDA’B’C’D’ song song bên phải, độ dài cạnh AB là 4 cm, độ dài cạnh AD là 6 cm, độ dài cạnh AA’ là 8 cm. Điểm K nằm trên cạnh AA’ cách đỉnh A 4 cm. Khoảng cách từ điểm L của cạnh DD’ đến đỉnh D là 2 cm. Điểm M nằm trên đoạn B’C’, độ dài MC gấp đôi độ dài B’M. Tìm diện tích đoạn thẳng song song bằng mặt phẳng đi qua các điểm K, L, M.

Tùy chọn 9
(khoa địa vật lý của khoa địa chất và chuyên ngành “sách kinh tế” và “quy hoạch kinh tế quốc dân” của khoa kinh tế)

1. Xác định cái nào lớn hơn: $\sqrt{1-2 \sin \frac{3\pi}{2}}$ hoặc $\sqrt{5 \text{ctg} \frac{\pi}{4}}$.

56

2. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\frac{2x+5}{|x+1|} \geq 1.$$

3. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$9 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot \frac{1}{x^2} = 4 \cdot \frac{1}{x^2}.$$

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\frac{\sin 4x}{\cos 6x} = 1.$$

5. Xây dựng tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình
   $$y = 4 - \left| y - \frac{6}{x} \right| - 2 \left| \frac{3}{x} - 1 \right|$$
   và trong số các điểm của tập hợp này, hãy tìm mọi thứ trong đó tọa độ $y$ có giá trị cao nhất.

6. Độ dài nhỏ hơn đáy của hình thang có cạnh bằng tổng độ dài các cạnh của nó. Tìm số nguyên nhỏ nhất có thể $k$ sao cho tổng diện tích toàn phần của hình thu được khi quay hình thang quanh một đáy biến thiên bằng $k$ lần diện tích hình thang.

Tùy chọn 10
(khoa địa chất và khoa địa chất và chuyên ngành “kinh tế chính trị” của khoa kinh tế)

1. Xác định cái nào lớn hơn
   $$\sqrt{\text{ctg} \frac{\pi}{4} - 2 \sin \frac{3\pi}{2}} \leq \sqrt[3]{5}.$$

2. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} = \sqrt{3x-2}.$$

3. Tìm tất cả các bất đẳng thức lời giải
   $$\log_3[(x+2)(x+4)] + \log_{\frac{1}{3}}(x+2) < \frac{1}{2} \log_{\sqrt{3}}7.$$

4. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\sin \left(\frac{4}{3} \pi \cdot \sin x\right) = \frac{1}{2}.$$

5. Một đường tròn nội tiếp một hình tam giác và tiếp xúc với các cạnh $AB$, $BC$, $AC$ của tam giác $ABC$ tương ứng tại các điểm $M$, $D$, $N$. Xác định độ dài của đoạn $MD$ nếu biết độ dài của đoạn $NA$ là 2, độ dài của đoạn $NC$ là 3 và góc $BCA$ là $\frac{\pi}{3}$.

6. Tìm tất cả lời giải hệ phương trình
   $$\begin{cases} 8 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos (x-y) + 1 = 0 \\ x+y=z \end{cases}.$$
   Tùy chọn 11
   (Khoa Tâm lý học)

7. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{2x-3}{4-x} > \frac{1}{x}.$$

8. Tìm tọa độ giao điểm của các tiếp tuyến với đồ thị hàm số $y=\cos xx$ tại các điểm có hoành độ $x=\frac{1}{6}$ và $x=\frac{7}{6}$.

9. Giải phương trình
   $$2 \sin x - \sqrt[4]{3} = (\sqrt{2} - \sqrt[4]{12}) \sqrt{\sin x}.$$

10. Trong hình thoi $ABCD$, trong đó $B \cdot A = 60^\circ$, vuông góc với cạnh $AD$, khôi phục từ điểm giữa của $AD$, cắt đường chéo $AC$ tại $M$ và vuông góc với cạnh $CD$, khôi phục từ điểm giữa $CD$, cắt đường chéo $AC$ tại điểm $N$. Tìm tỉ số diện tích của hình tam giác $MND$ và hình thoi $ABCD$.

11. Mã dành cho người đi bộ xuất phát từ điểm $A$ đến điểm $B$, đồng thời một người điều khiển xe máy đi ra từ điểm $B$ đến điểm $A$. Trên đường gặp một người đi bộ, người lái xe lập tức quay đầu lại, đưa người đi bộ đến điểm $B$, rồi lại đi ngay đến điểm $A$, đến đó mà không bị gián đoạn. Kết quả là, người lái xe đã dành thời gian trên đường đến điểm $A$ nhiều hơn hai lần rưỡi so với khi anh ta đi từ điểm $B$ đến điểm $A$ mà không đón người đi bộ. Người đi bộ sẽ đến điểm $B$ chậm hơn bao nhiêu lần nếu anh ta đi hết con đường từ $A$ đến $B$?

12. Giải phương trình
    $$\log_2 \sqrt[2+{\sqrt{3}}]{x^2-2x-2} = \log_2+{\sqrt{3}}(x^2-2x-3).$$
    Tùy chọn 12
    (Khoa Ngôn ngữ học cấu trúc và ứng dụng, Khoa Ngữ văn)

13. Giải phương trình
    $$2 + \cos 2x = -5 \sin x.$$

14. Tìm tất cả các số $x$ thỏa mãn điều kiện:
    $$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{x+6} \leq \log_{\frac{1}{3}}(x+4) \text{ и } x + \frac{1}{2} - \text{целое число}.$$

15. Hai tiếp tuyến được vẽ trên đồ thị của hàm $y=6x+x^2$. Tiếp tuyến đầu tiên được vẽ tại điểm có hoành độ $x_0=-2$, tiếp tuyến thứ hai - tại điểm tối thiểu của hàm này. Tìm mặt phẳng của tam giác tạo bởi trục tọa độ với hai tiếp tuyến này.

16. Trong hình bình hành $ABCD$, độ dài các cạnh $AB$ bằng 1 và bằng độ dài đường chéo $BD$. Độ dài của các đường chéo có liên quan là $1:\sqrt{3}$. Tìm mặt phẳng của phần đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDC$ không thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $\Delta ADC$.

17. Với giá trị nào của tham số $y$ thì số cặp số nguyên $(z; x)$ thỏa mãn bất đẳng thức $\gamma^3|x| \leq \sqrt{2}(\gamma^2-z^2)$ là nhỏ nhất?

Физика
Задачи устного экзамена
Физический факультет
1. Длинный неевесомый жесткий стержень может свободно врашаться в вертикальной плоскости вокруг точки $O$ (рис. 1). На стержне на расстоянии $l_1$ и $l_2$ от точки $O$ закрыленные небольшие по размерам grузы массой $m_1$ и $m_2$ соответственно. Стержень отклонили от вертикали на угол $α$ и отпустили. Каково будет натяжение стержня в точке $A$, находящейся между grузами, в момент прохождения стержнем положения равновесия?
2. Две пружины вставлены в закрепленную горизонтальную трубку и разделены подвижным поршнем (рис. 2). Первая пружина имеет жесткость $k_1$ и упирается вторым коном