Kvant 1983, số 5 · Trang

QUANTUM
5
1983

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Để mô tả trực quan các quá trình khác nhau xảy ra trong thế giới hạt cơ bản, các nhà vật lý sử dụng các hình vẽ đặc biệt gọi là đồ thị. Một số đồ thị như vậy được vẽ ở trên.

1. Tương tác điện từ của hai electron.

2. Sự ra đời của các photon trong quá trình hủy diệt cả electron và positron. Quá trình sản xuất gồm hai giai đoạn, mỗi giai đoạn phát ra một photon.

3. Phân rã neutron beta theo lý thuyết cũ: proton, electron và phản netrino được giải phóng đồng thời.

4. Phân rã Beta theo một lý thuyết mới - lý thuyết tương tác điện yếu.

5. Sự ra đời của hai boson W trong quá trình phân hủy một proton và một phản proton. (Thường xuyên hơn, một số hạt khác được phát ra cùng với một trong các boson.)
   6-7. Ví dụ về sự phân rã của sự hình thành boson W. Bạn có thể đọc về việc phát hiện ra boson W trong phần “Tin tức khoa học”.

1

TRONG PHÒNG:
2. I.K. Kikoin. Vật lý và tiến bộ khoa học công nghệ
9. A. A. Shur. Những sóng vô tuyến khác nhau
16. Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikshin. Tiểu luận về phân số tiếp tục
21. A. V. Mitrofanov. Bài toán P. L. Kapit
24. A. N. Zaidel. Lừa dối hay ảo tưởng? (Một cách tính số π.)
IN THIS ISSUE:

1. K. Kikoin. Tiến bộ vật lý và công nghệ
   A. A. Shur. Những sóng vô tuyến khác nhau này
   Yu. V. Nesterenko, E. M. Nikishin. Essay on continued fractions
   A. V. Mitrofanov. P. L. Kapitsa’s problems
   A. N. Zaydel. Mystification or error? (On a method for finding π.)

Phòng thí nghiệm «Kvant»
29. A. A. Varlamov. Từ kinh nghiệm cũ
Kvant’s lab
A. A. Varlamov. From old experiments

Trường học ở «Kvant»
34. LP Bakanina. Giao thoa sóng
Kvant’s school
L. P. Bakanina. Wave interference

tin tức khoa học
38. Phát hiện hạt mới
Science news
A new particle is discovered

«Kvant» cho học sinh nhỏ
39. Bài toán
40. R. Sh. Danelia. Trên ngón tay và trong tâm trí bạn
Kvant for younger school-children
Problems
R. Sh. Danelia. On one’s fingers or in one’s head

Bài toán Kvant
42. Bài toán M801—M805; F813—F817
45. Lời giải bài toán M786—M790; F798, F799, F801, F802
Kvant’s problems
Problems M801—M805; P813—P817
Solutions M786—M790; P798, P799, P801, P802

Xưởng của người nộp đơn
53. College applicant’s section

Đáp số, gợi ý, lời giải
Đánh giá, thư mục (23, 28)
Bìa của chúng tôi (20, 52)
Trộn (33, 37, 51)
Trang cờ vua
Đối xứng và bất đối xứng (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Book reviews (23, 28)
Our cover page (20, 52)
Miscellaneous (33, 37, 51)
The chess page
Symmetry and asymmetry (3rd cover page)

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1983

2

Vật lý và tiến bộ khoa học công nghệ

Viện sĩ I. K. KIKOIN

Phần đầu tiên của bài viết này, đề cập đến ảnh hưởng của những khám phá vật lý đối với sự phát triển của công nghệ trong thế kỷ 19, đã được đăng trên số thứ 3 của tạp chí của chúng tôi.

Năm 1896, nhà vật lý người Pháp Anise Becquerel, khi tìm hiểu về khám phá của Roentgen, đã đề xuất rằng nguồn RENTGENA đại diện cho trường hợp tốt nhất về chất huỳnh quang*. Becquerel có cả một bộ sưu tập các chất như vậy, trong đó muối cân bằng phát huỳnh quang mạnh nhất. Ông đã tiến hành một số thí nghiệm. Trong thí nghiệm của Becquerel, muối cân bằng huỳnh quang thực sự chiếu sáng nhựa chụp ảnh, bao gồm cả giấy đen. Nhưng một ngày nọ, anh vô tình để quên một lượng muối cân bằng sơ bộ gần tấm nhựa chụp ảnh. Hóa ra là ngay cả trong những điều kiện này, khi không có huỳnh quang, muối cân bằng vẫn chiếu sáng tấm nhựa chụp ảnh được bảo vệ bằng giấy đen. Becquerel quyết định rằng muối cân bằng sẽ phát ra các tia tương tự như RENTGENA. Vì vậy, một hiện tượng đã được phát hiện, một cái tên hay hơn cho tính chất tiền hoạt động (từ tiếng Latin bán kính - tia).

Các nhà vật lý người Pháp Maria Sklodowska-Curie và Pierre Curie bắt đầu quan tâm đến hiện tượng này.

*) Huỳnh quang là sự phát sáng của một số chất phát sinh sau khi chiếu xạ ánh sáng. Huỳnh quang có thời gian hữu hạn.

Unnies bắt đầu nghiên cứu chi tiết về uranium và chất thải từ quá trình sản xuất tại nhà máy của mình và lần đầu tiên phát hiện ra rằng chất thải này tạo ra bức xạ mạnh hơn nhiều so với bức xạ của chính uranium. Là kết quả của công việc to lớn, Marie và Pierre Curie, lần đầu tiên trên thế giới, đã phân lập được từ chất thải này hai nguyên tố mới chưa được biết đến cho đến nay - posi và radium.

Cường độ bức xạ của radium (thực ra là radium clorua) hóa ra cao hơn cường độ bức xạ của uranium một triệu lần. Tôi mơ thấy mỗi gam radium phát ra khoảng 580 niềm vui trong vòng một giờ. Sự phát xạ liên tục của nguyên tố hóa học năng lượng là hoàn toàn không thể hiểu được và thoạt nhìn có vẻ mâu thuẫn với định luật bảo toàn năng lượng.

Khả năng của radium phát ra một lượng năng lượng đáng kể, mặc dù rất chậm, là điều mà hầu hết các nhà vật lý quan tâm. Nguyên nhân nào khiến chất phóng xạ phát ra tia? Bản chất của các tia này là gì? Các chất phóng xạ lấy năng lượng mà chúng phát ra dưới dạng tia nắng từ đâu? Những câu hỏi như vậy khiến các nhà vật lý lo lắng. Đây chính là bí ẩn về radium. Nhiều nhà vật lý đã bối rối trước lời giải của nó.

Các nghiên cứu thực nghiệm về bức xạ radium được tiếp tục bởi Marie và Pierre Curie. Họ đặt radium trong một từ trường (giữa các dải nam châm điện) và nhận thấy một hiện tượng đáng kinh ngạc - bức xạ radium suy yếu rõ rệt. Vợ chồng Curies đồng ý rằng sự suy yếu của bức xạ radium trong từ trường có liên quan đến sự lệch của một số hạt được nạp trong trường này. Những hạt này được gọi là hạt β. Ngày nay người ta biết rằng hạt β là electron.

Rutherford phát hiện ra rằng ngoài hạt β, radium còn phát ra một hạt tích điện dương. Chúng được gọi là hạt α. Cuối cùng, phần bức xạ radium hoàn toàn không bị ảnh hưởng bởi từ trường được gọi là hạt γ.

4

Nếu trong hệ mặt trời các hành tinh chuyển động dưới tác dụng của lực hấp dẫn Newton, thì trong nguyên tử, các electron chuyển động xung quanh điện tích dưới tác dụng của lực điện, lực Coulomb.

“Mặt trời” được gọi là hạt nhân của một nguyên tử, có điện tích dương bằng tổng điện tích của các electron quay xung quanh nó (để nguyên tử vẫn trung hòa về điện). Đây được gọi là mô hình hành tinh nguyên tử Rutherford. Kích thước của hạt nhân không vượt quá 10 phần nghìn kích thước của chính nguyên tử (giống như kích thước của Mặt trời nhỏ hơn nhiều so với kích thước của toàn bộ hệ mặt trời). Đây là cách mà một thuật ngữ mới đặc trưng cho nguyên tử ra đời - lõi nguyên tử. Việc phát hiện ra hạt nhân đánh dấu sự khởi đầu của một nhánh vật lý mới, ngày nay được gọi là vật lý hạt nhân.

Các nghiên cứu về sự tán xạ của hạt α trên các nguyên tố khác nhau trong bảng tuần hoàn đã dẫn đến một khám phá quan trọng: điện tích dương của hạt nhân bằng tích của số thứ tự của một nguyên tố nhất định trong bảng tuần hoàn và điện tích của electron. Điều này làm sáng tỏ định luật vĩ đại của Mendeleev, mang lại cho nó một ý nghĩa vật lý sâu sắc. Hóa ra số lượng nguyên tố hóa học trong bảng giá trị của nó bằng số lượng electron quay quanh hạt nhân. Người ta cũng phát hiện ra rằng hạt nhân chứa các hạt tích điện dương - proton, điện tích của chúng bằng điện tích của electron và khối lượng lớn hơn khối lượng của electron khoảng 1800 lần.

Lúc đầu, việc nghiên cứu hạt nhân nguyên tử chỉ được thực hiện ở một số rất ít phòng thí nghiệm trên thế giới. Đó là phòng thí nghiệm của Rutherford ở Cambridge, phòng thí nghiệm của Madame Curie ở Paris và phòng thí nghiệm của D. V. Skobeln ở Leningrad. Tuy nhiên, vào cuối những năm 1930 - các tính chất cơ bản của nguyên tử đã được nghiên cứu kỹ lưỡng và nhiều nhà vật lý trên thế giới chuyển sự chú ý sang hạt nhân nguyên tử.

Năm 1932, một trong những khám phá lớn nhất của vật lý hạt nhân thế kỷ 20 đã được thực hiện: neutron được phát hiện - một hạt trung hòa về điện có khối lượng xấp xỉ bằng khối lượng của proton. Rõ ràng là hạt nhân bao gồm các proton và neutron.

Thật vậy, vào thời điểm đó người ta đã biết rằng các nguyên tử có cùng số lượng trong bảng tuần hoàn có thể có khối lượng khác nhau. Những nguyên tử như vậy được gọi là đồng vị của một nguyên tố nhất định. Do đó, hạt nhân của các đồng vị nguyên tử chứa cùng số proton nhưng khác nhau về số neutron.

Năm 1934, vợ chồng Irene và Frederic Jolnot-Curie đã có một khám phá quan trọng không kém về phóng xạ nhân tạo. Nó nằm ở chỗ các nguyên tố nhẹ (ví dụ, berili), khi được chiếu xạ bằng các hạt alpha, bản thân chúng trở nên phóng xạ, phát ra neutron.

Khi chiếu xạ các nguyên tố nặng, người ta không quan sát thấy những hạt nhân như vậy. Nhà vật lý nổi tiếng người Ý Fermi đồng ý rằng các nguyên tố nặng có quá nhiều điện tích hạt nhân và một hạt α có điện tích cùng dấu không thể đến rất gần nó. Một neutron không mang điện sẽ không chịu tác dụng của lực Coulomb mang điện tích dương. Fermi đã hoàn thành một loạt mục tiêu chung là chiếu xạ nhiều nguyên tố khác nhau bằng neutron và phát hiện ra rằng hầu như tất cả các nguyên tố đều trở nên có tính phóng xạ nhân tạo sau khi chiếu xạ. Sau khi chiếu xạ bằng một nguồn lớn, các hạt α và β, tia γ và neutron được phát ra. Khi các hạt α và β được phát ra, các nguyên tố hóa học mới được hình thành.

Chẳng bao lâu sau, Fermi đã xuất bản một công trình lớn trình bày kết quả nghiên cứu của ông về hầu hết các nguyên tố trong bảng tuần hoàn, những nguyên tố này trở nên phóng xạ sau khi chiếu xạ bằng neutron. Đồng thời, ông đưa ra mô tả gần như đầy đủ về tính phóng xạ nhân tạo của từng nguyên tố. Do đó, một sự biến đổi tiếp theo mới của các nguyên tố với sự chiếu xạ thích hợp đã được phát hiện.

6

Nếu có thể cô lập $^{235}\text{U}$ thực tế ở dạng nguyên chất, thì bằng cách đảm bảo khối lượng tới hạn của nó, người ta có thể thu được một lượng năng lượng khổng lồ. Như các tính toán đã chỉ ra, quá trình phân phối $^{235}\text{U}$ tinh khiết thực tế dưới tác dụng của neutron xảy ra rất nhanh và có tính chất của một vụ nổ (các tính toán như vậy được thực hiện bởi Ya. B. Zeldovich, Yu. B. Khariton ở Liên Xô và một số nhà vật lý nước ngoài). Hơn nữa, để đạt được mục đích này, thậm chí không cần đến một nguồn neutron đặc biệt, bởi vì trong bầu khí quyển Trái đất luôn có một lượng nhỏ neutron có nguồn gốc vũ trụ, đủ để gây ra phản ứng nổ nếu uranium đạt đến khối lượng tới hạn. Rõ ràng là bằng cách này có thể tạo ra một loại vũ khí đáng gờm - bom nguyên tử.

Nhiều nhà vật lý trên thế giới đã bắt đầu nghiên cứu chi tiết về quá trình phân hạch của hạt nhân uranium. Hầu như mọi số tạp chí vật lý trên thế giới đều đăng các bài báo hoặc ghi chú khoa học làm sáng tỏ các chi tiết liên quan đến sự phân bố của hạt nhân uranium. Nhưng việc thu được $^{235}\text{U}$ nguyên chất với số lượng cần thiết, khoảng hàng chục kg, vào thời điểm đó dường như là điều tuyệt vời.

Tuy nhiên, người ta nhanh chóng nhận ra rằng hỗn hợp tự nhiên của các đồng vị uranium có thể chịu phản ứng dây chuyền hạt nhân. Để làm được điều này, bạn chỉ cần bằng cách nào đó giảm năng lượng của neutron phát ra trong quá trình phân hạch hạt nhân $^{235}\text{U}$. May mắn thay, hóa ra là tốc độ của neutron có thể được điều chỉnh để giảm nó một cách rất đơn giản. Để làm được điều này, chỉ cần truyền neutron qua một chất bao gồm các nguyên tử, khối lượng của nó khác rất ít so với khối lượng của neutron. Sau đó, khi neutron va chạm với các nguyên tử như vậy, chúng truyền khá nhanh một phần năng lượng sang các nguyên tử này, do đó làm giảm tốc độ của chúng xuống ngang mức tốc độ chuyển động nhiệt của nguyên tử.

Những chất có khối lượng nguyên tử không quá lớn thích hợp để thay thế neutron. Điều cần thiết là những chất này không hấp thụ neutron mà chỉ có khả năng thay thế chúng và phân phối hạt nhân uranium tương ứng. Nước nặng chứa hai nguyên tử với nhau nên có khả năng hấp thụ neutron rất ít.

Hydro cao chứa hai nguyên tử hydro nặng (một đồng vị của hydro - deuterium - có khối lượng lớn hơn). Bằng cách đặt các khối uranium tự nhiên vào nước nặng, các neutron có thể được thay thế và phản ứng dây chuyền phân hạch tự duy trì có kiểm soát của uranium có thể xảy ra. Đây là cơ sở cho việc tạo ra các lò phản ứng hạt nhân sử dụng neutron nhiệt.

Trong lò phản ứng hạt nhân, uranium được đặt ở dạng khối riêng biệt (thường là hình trụ), giữa đó có chất điều tiết - than chì hoặc nước nặng. Bằng cách tăng dần số lượng khối như vậy, bạn có thể đạt được khối lượng tới hạn. Trong trường hợp này, không còn có thể kiểm soát số lượng neutron được giải phóng trong quá trình tách hạt nhân uranium thành khối và phản ứng dây chuyền không chuyển thành phản ứng nổ. Trong một quả bom nguyên tử, hai mảnh uranium riêng biệt nhanh chóng được kết hợp với nhau, mỗi mảnh nhỏ hơn một chút so với khối lượng tới hạn. Rõ ràng là tổng khối lượng của các bộ phận được kết nối nhanh chóng vượt quá khối lượng tới hạn. Kết quả là một vụ nổ sẽ xảy ra. Một lò phản ứng hạt nhân có thể phục vụ như một nguồn năng lượng lâu dài.

Trong quá trình vận hành lò phản ứng hạt nhân, một hiện tượng quan trọng khác xảy ra: một phần neutron dư, tương tác với hạt nhân $^{235}$U, dẫn đến sự hình thành đồng vị của một nguyên tố mới trong bảng tuần hoàn có số nguyên tử 94 và khối lượng hạt nhân 239. Nguyên tố này không tồn tại trong tự nhiên và nó chỉ thu được một cách nhân tạo bằng cách chiếu xạ uranium bằng neutron. Nguyên tố này được gọi là plutonium. Pluttonium, giống như $^{235}$U, khi được chiếu xạ neutron, sẽ phân tách (phân hạch) dẫn đến sự hình thành một số lượng neutron dư thừa. Khối lượng tới hạn của nó nhỏ hơn nhiều lần so với uranium và đây là lợi thế đáng kể của nó so với $^{235}$U. Pluttonium khác về mặt hóa học với uranium, điều này giúp có thể tách nó ra khỏi khối lượng uranium và thu được nó ở dạng nguyên chất về mặt hóa học.

Do đó, các nguồn năng lượng mới đã xuất hiện - uranium và bằng cách nhận các khối uranium tự nhiên trong nước nặng, có thể thay thế neutron và thực hiện phản ứng dây chuyền tự duy trì có kiểm soát để phân hạch uranium tự nhiên. Đây là cơ sở cho việc tạo ra các lò phản ứng hạt nhân sử dụng neutron nhiệt.

Lò phản ứng hạt nhân đầu tiên của Liên Xô, được xây dựng vào năm 1946 (Moscow, Viện Năng lượng nguyên tử mang tên I.V. Kurchatov).

plutonium rò rỉ từ nó. Để hình dung quy mô năng lượng giải phóng trong quá trình phân hạch hạt nhân uranium, có thể nói rằng năng lượng giải phóng trong quá trình phân hạch hoàn toàn một kg $^{235}$U bằng năng lượng giải phóng khi đốt cháy 3000 tấn than.

Thật không may, việc sử dụng năng lượng hạt nhân về mặt kỹ thuật đầu tiên không phải vì lợi ích của con người mà chỉ nhằm mục đích quân sự thuần túy. Năm 1945, người Mỹ thả hai quả bom nguyên tử xuống thành phố Hiroshima và Nagasaki. Điều này là không cần thiết vì chiến tranh với Nhật Bản đã kết thúc. Vụ nổ quả bom nguyên tử đầu tiên ở Hiroshima tương đương với 20.000 tấn thuốc nổ thông thường (trinitropoluene).

Bom hiện đại có thể mạnh hơn nhiều. Sức mạnh của họ về cơ bản là không giới hạn. Vì vậy, việc sử dụng những vũ khí như vậy sẽ gây ra hậu quả thảm khốc cho toàn bộ con người.

các chuyến đi và ứng dụng của sóng vô tuyến, một lịch sử thú vị về nền tảng của chúng. Hôm nay chúng ta sẽ đề cập đến chủ đề cộng đồng này, trong chừng mực điều này có thể được thực hiện trong khuôn khổ một bài báo.

Phải nói ngay điều sau đây. Khi chia sóng vô tuyến thành các phạm vi, chúng xuất phát từ đặc điểm định tính về lan truyền, phương pháp tạo, nghiên cứu và thu sóng vô tuyến. Tuy nhiên, khi chuyển từ phạm vi này sang phạm vi khác, không phải lúc nào cũng quan sát thấy những thay đổi đáng kể; do đó, ranh giới của các phạm vi là có điều kiện. Để đơn giản, chúng được xác định bằng những con số “tròn”, dễ nhớ.

Sóng dài (băng tần LW) là sóng vô tuyến có chiều dài từ 10 km đến 1 km, tương ứng với tần số từ 30 kHz đến 300 kHz.

Sóng trung bình (băng tần CB) - từ 1000 m đến 100 m, tương ứng với tần số từ 300 kHz đến 3 MHz.

Sóng ngắn (băng tần KB) - từ 100 m đến 10 m, tần số từ 3 MHz đến 30 MHz.

Sóng siêu ngắn (dải VHF) - từ 10 m đến 1 cm, tần số từ 30 MHz đến 30.000 MHz; Dải VHF được chia thành ba băng tần con: sóng mét (1 10 m), sóng desometer (10 100 cm) và sóng centimet (1 10 cm).

Sóng dài

Hơn 50 năm trước, vào buổi bình minh của sự phát triển của công nghệ vô tuyến hiện đại, sóng dài chủ yếu được sử dụng. Dưới ảnh hưởng của lý thuyết nhiễu xạ, người ta tin rằng sóng càng dài thì nó truyền đi khắp địa cầu càng tốt (xét cho cùng, bước sóng càng dài thì chướng ngại vật mà sóng có thể đi qua càng lớn).

Công nghệ thời đó không thể thu được những rung động có tần số cao hơn. Nguồn điện được tạo ra ở vùng Viễn Đông là “tốt”. Như vậy, sức mạnh của máy phát điện do V.P. Vologdan đạt 600 kW ở tần số 18 50 kHz. Máy của Vologdan đã giúp thiết lập liên lạc điện báo vô tuyến giữa Moscow và New York (1925).

10

Việc phát thanh đại chúng bắt đầu trên sóng dài. Ở Liên Xô, hai đài phát thanh ở Moscow bắt đầu phát sóng thường xuyên gần như đồng thời (1924). Tuy nhiên, trong số này, đài đặt ở Sokolniki có công suất thấp và dành cho những người phát thanh nghiệp dư ở Moscow và khu vực. Cái còn lại là đài phát thanh được đặt theo tên. Comintern - được đặt tại Shabolovka và có sức mạnh vượt trội đáng kể so với nhà ga Sokolnich. Bán kính hoạt động của nó bao gồm các khu vực trung tâm của phần châu Âu của đất nước.

Để phủ sóng phát sóng toàn bộ lãnh thổ rộng lớn của Nga, cần phải tạo ra một trạm siêu mạnh hoặc xây dựng một mạng lưới các trạm năng lượng thấp có thể phát sóng Moscow và thực hiện các chương trình của riêng họ. Cách thứ hai hóa ra hợp lý hơn; sử dụng nó ngay bây giờ.

Trong một mạng lưới các trạm, một số trạm nằm cách xa nhau có thể hoạt động trên cùng tần số mà không bị nhiễu lẫn nhau. Nhưng trong hầu hết các trường hợp, mỗi trạm được phân bổ băng tần riêng, hay nói cách khác là kênh tần số riêng. Và sau đó rõ ràng là phạm vi bước sóng dài có số lượng kênh rất hạn chế. Toàn bộ dải tần chiếm dải tần 270 kHz. Để truyền một chương trình phát sóng, cần có kênh tần số có độ rộng 9 kHz*). Thật dễ dàng để tính toán - băng tần DV chỉ chứa $\frac{270}{9} = 30$ kênh phát sóng.

Một nhược điểm khác của bước sóng là tính định hướng yếu của ăng-ten.

Không khó để hiểu một cách định tính tính định hướng là gì. Ăng-ten thu sẽ thu các rung động ở khoảng cách từ nguồn theo một hướng nhất định. Càng nhiều phần năng lượng phát ra từ ăng-ten phát được phân phối theo một hướng nhất định thì càng tốt - điều này cho phép bạn giảm công suất phát và ở phía nhận, bạn có thể “ngăn chặn” khỏi nhiễu. Do đó, điều quan trọng là ăng-ten phát “định hướng” bức xạ và ăng-ten thu “bắt” bức xạ, về cơ bản theo một hướng nhất định.

Các đặc tính định hướng yêu cầu của anten không khó đạt được khi kích thước anten vượt quá bước sóng. Nói một cách nhẹ nhàng thì thật khó để làm được điều này ở bước sóng dài.

Việc thu tín hiệu trong phạm vi DV thường đi kèm với âm thanh tanh tách và xào xạc. Đây là những không gian khí quyển và công nghiệp. Nguồn của điều kiện khí quyển ở gần và có thêm giông bão.

Sóng trung bình

Cùng với băng tần DV, đài sử dụng sóng trung bình để phát sóng radio. Và ở đây, người ta đã sớm nhận thấy rằng điều kiện thu sóng của các đài phát thanh hoạt động trong phạm vi CB là khác nhau vào buổi trưa và ban đêm. Vào ban ngày, phạm vi hoạt động của các trạm như vậy là hàng trăm km. Butchio, đặc biệt là vào mùa đông, phạm vi tiếp nhận lớn hơn đáng kể. Đôi khi bạn có thể “bắt” được những trạm cách xa vài nghìn km. Một tính năng khác của việc thu sóng CB cũng được thay thế: những đài thu được đều đặn trong ngày nhưng thường bị mờ dần - âm lượng tăng giảm dần theo thời gian.

Khi những hiện tượng này được phát hiện, những ý tưởng ban đầu cho rằng sóng vô tuyến chỉ truyền dọc theo bề mặt trái đất đã bị lung lay rất nhiều. Rõ ràng là hai sóng có thể đến điểm nhận: một sóng “trái đất” - sóng truyền dọc theo bề mặt trái đất và sóng kia “thiên đường” - sóng phản xạ từ vòm cầu (Hình 1).

11

Hình 1.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng tầng điện ly là một lớp khí bị ion hóa ở phần trên của khí quyển - ở độ cao từ 60 km đến 450 km. Quá trình ion hóa khí xảy ra dưới tác động của tia cực tím và dòng hạt tích điện phát ra từ Mặt trời.

Sóng trung bình được phản xạ từ một lớp nằm ở độ cao 100–120 km (lớp này được ký hiệu bằng chữ “E”). Nhưng sự phản chiếu chỉ có thể xảy ra vào ban đêm. Ban ngày, trong bầu khí quyển ở độ cao 60–80 km, dưới tác dụng của bức xạ mặt trời, xuất hiện một lớp trong đó sóng trung bình bị hấp thụ mạnh (lớp này được ký hiệu bằng chữ “D”). Vì vậy, vào ban ngày, chẳng hạn, chỉ có sóng mặt đất đến ăng-ten. Vào ban đêm, ở những khu vực thu sóng nơi xảy ra giao thoa giữa sóng đất và trời, tín hiệu sẽ mờ dần (trong Hình 1, điều này xảy ra tại điểm thu gần nguồn nhất; sóng đất không đến được điểm xa - nó bị suy giảm và chỉ nhận được sóng phản xạ tại điểm này). Nếu các pha của sóng trùng nhau thì tính định hướng thu được của trường sẽ trả về độ to của âm thanh. Nếu các sóng bù trừ cho nhau thì khả năng nghe của đài sẽ kém đi. Quỹ đạo của sóng phản xạ và mức độ phản xạ của nó luôn thay đổi, do đó bản chất của sự mờ dần là ngẫu nhiên.

Việc nghiên cứu tầng điện ly đã dẫn đến sự thay đổi quan điểm về sự lan truyền của sóng dài. Theo các khái niệm hiện đại, sóng vô tuyến dài lan truyền dưới dạng ống dẫn sóng hình cầu. Thành dưới của ống dẫn sóng là bề mặt trái đất, thành trên là tầng điện ly.

Sóng ngắn

Phạm vi sóng ngắn rộng hơn chín lần so với phạm vi sóng dài và trung bình. Để hoạt động trên các sóng này, có thể tạo ra các ăng-ten định hướng; đồng thời mức độ nhiễu ít hơn. Kích thước của máy phát và anten hoạt động trên KB tương đối nhỏ. Tuy nhiên, sóng ngắn không ngay lập tức trở thành hiện thực. Theo lý thuyết nhiễu xạ, những biến đổi lớn trong đường truyền sóng ngắn (nhà lớn, rừng rậm, đồi núi) che chắn anten phát. Do đó, người ta tin rằng việc thu sóng trên HF chỉ có thể thực hiện được trong vùng tầm nhìn và những sóng này được người vô tuyến nghiệp dư sử dụng để liên lạc và thử nghiệm gần. Trong phạm vi trình bày, những người nghiệp dư trên đài bắt đầu lập kỷ lục liên lạc chưa từng có. Vì vậy, vào tháng 1 năm 1925, đài phát thanh nghiệp dư F.A. Lobov, sử dụng máy phát 15 W, đã truyền tín hiệu từ Nizhny Novgorod đến Bardade, Paris và London. Năm 1928, tàu đường ngắn E.V. Andreev, khi đang chèo thuyền huấn luyện “Vega” vòng quanh châu Âu, đã duy trì liên lạc liên tục với

12

Hình 2.

đài phát thanh của Đại học Rostov. Trạm Andreeva có công suất chỉ vài watt. Đương nhiên, những sự thật như vậy buộc các chuyên gia phải đánh giá quá cao khả năng xảy ra sóng ngắn và tham gia vào nghiên cứu có hệ thống của họ. Ở Liên Xô, từ năm 1923, việc nghiên cứu sóng ngắn đã được thực hiện, đặc biệt là bởi Phòng thí nghiệm vô tuyến Nizhny Novgorod nổi tiếng được đặt theo tên. V. I. Lênin. Đúng như dự đoán, sự lan truyền của sóng ngắn trên khoảng cách xa là do sự phản xạ từ tầng nội quyển.

Sự phản xạ có thể xảy ra ở độ cao 100 400 km. Dễ dàng tính toán rằng phạm vi thu sóng tối đa với một phản xạ duy nhất có thể là 2000 4000 km (Hình 2). Sóng ngắn có khả năng bị phản xạ từ bề mặt Trái đất rồi lại từ tầng nội quyển nên có thể “ép” toàn bộ địa cầu và quay trở lại điểm truyền (“tiếng vang ánh sáng dốc”). Mặt khác, ở một số đoạn giữa của đường nhảy, việc thu tín hiệu trở nên khó khăn. Khu vực này được gọi là “vùng im lặng”.

Một số sóng luôn đến điểm nhận, di chuyển theo những đường khác nhau và do đó có các tính chất vật lý khác nhau. Do sự can thiệp của chúng, việc thu sóng ngắn luôn đi kèm với sự suy giảm nhanh chóng. Để chống lại sự mờ dần trong các ứng dụng vô tuyến, một hệ thống điều khiển các điều kiện tự động được cung cấp.

Nguyên lý hoạt động của nó rất đơn giản: khi tín hiệu giảm, tỷ lệ thành công của máy thu sẽ tăng và khi tín hiệu tăng thì tỷ lệ thành công sẽ giảm. Trên các đường truyền sóng ngắn, cái gọi là “thu phân tập” được sử dụng để chống phai màu.
Với kiểu thu này, tín hiệu từ một máy phát được nhận bởi hai hoặc ba ăng-ten, được lắp đặt dọc theo đường dẫn và cách nhau một khoảng cách vượt quá nhiều bước sóng. Các tín hiệu ở đầu ra của ăng-ten thu thay đổi không đồng bộ và luôn có thể chọn tín hiệu tốt nhất (tất nhiên, lựa chọn này sẽ được thực hiện tự động).

Do ăng-ten sóng ngắn có tính định hướng khá sắc nét nên một số trạm ở xa nhau, phát sóng theo các hướng khác nhau, hoạt động ở cùng tần số mà không bị nhiễu lẫn nhau. Đến nay, dải sóng ngắn đã được sử dụng hết công suất. Bạn có thể tưởng tượng hiện nay có bao nhiêu đài phát thanh, nếu vào năm 1940, số đài được đăng ký chính thức, không tính đài phát thanh nghiệp dư và quân sự, là 28.407!

Sóng siêu ngắn

Nghiên cứu có hệ thống về sóng siêu ngắn ở Liên Xô bắt đầu vào năm 1926 dưới sự lãnh đạo của B. A. Vvedensky. Tuy nhiên

13

việc sử dụng rộng rãi chúng chỉ bắt đầu sau Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại.

Ưu điểm chính của băng tần VHF là độ rộng của nó, gần 30.000 MHz! Trong phạm vi này, bạn có thể dễ dàng truyền các tín hiệu chứa (bộ) tần số phổ rộng, chẳng hạn như tín hiệu vô tuyến của hình ảnh tivi. Việc tạo ra các ăng-ten có tính định hướng cao trong phạm vi này không gây ra bất kỳ khó khăn nào. Việc thu tín hiệu có độ ổn định cao, thực tế không phụ thuộc vào thời gian trong năm và ngày và không bị ảnh hưởng bởi nhiễu khí quyển và công nghiệp. Nhưng tất cả những lợi thế này được hiện thực hóa chủ yếu nhờ khả năng hiển thị trực tiếp giữa ăng-ten của máy phát và máy thu. Nếu có chướng ngại vật trên đường đi của sóng siêu ngắn, nó sẽ che chắn một phần ăng-ten phát và hướng trường của tín hiệu nhận được sẽ giảm đáng kể. Chất lượng tiếp nhận đang xấu đi.

Rõ ràng, khoảng cách tầm nhìn phụ thuộc vào độ cao của ăng-ten (Hình 3). Do hiện tượng khúc xạ (khúc xạ) trong không khí, sóng truyền theo một đường hơi cong. (Điều này cho phép bạn tăng khoảng cách tầm nhìn lên 15 20%). Để sử dụng những gì đã nói, chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ từ thực tế. Trong hầu hết các dịch vụ, việc điều tra tín hiệu trên khoảng cách rất xa trong dải sóng siêu ngắn được thực hiện bằng cách sử dụng đường dây chuyển tiếp vô tuyến. Đường dây chuyển tiếp vô tuyến bao gồm các đài vô tuyến tích hợp được đặt sao cho có thể nhìn thấy trực tiếp giữa ăng-ten của các đài lân cận (Hình 5). Tín hiệu được truyền từ trạm đầu cuối được nhận bởi trạm đầu tiên

Hình 4.

Ăng-ten của đài truyền hình được nâng lên 250 m, độ cao của ăng-ten thu khoảng 10 m. Việc tính toán đường ngắm khoảng cách phù hợp với kết quả thử nghiệm thực nghiệm trên địa hình bằng phẳng và đồi núi. Hóa ra là 75 80 km.

Khi truyền trên sóng siêu ngắn, hai sóng sẽ đến điểm nhận trong tầm nhìn. Sóng thứ hai xảy ra do sự phản xạ từ bề mặt trái đất (Hình 4, a). Các giai đoạn của sóng là khác nhau. Do đó, khi ăng-ten thu di chuyển theo độ cao, người ta quan sát thấy sự tăng giảm định kỳ của các trường định hướng (Hình 4, b), nói một cách hình tượng, là cấu trúc giao thoa “đóng băng” của trường điện từ. Hướng trường cực đại được ghi nhận tại các điểm thu mà các pha của sóng trùng nhau, hướng tối thiểu - khi các pha không trùng nhau. Tất nhiên, tính toán các đường liên lạc vô tuyến với việc lựa chọn tối ưu độ cao ăng-ten có tính đến đặc điểm địa hình.

Việc truyền tín hiệu qua khoảng cách rất xa trong dải sóng cực ngắn được thực hiện bằng đường dây chuyển tiếp vô tuyến. Đường dây chuyển tiếp vô tuyến bao gồm các đài vô tuyến tích hợp được đặt sao cho có thể nhìn thấy trực tiếp giữa ăng-ten của các đài lân cận (Hình 5). Tín hiệu được truyền từ trạm đầu cuối được nhận bởi trạm đầu tiên

15

ô 90  110 km. Nó đại diện cho sự tích tụ khí thành phố với mật độ electron lớn hơn mật độ electron ở cùng độ cao trong môi trường. Việc thu sóng theo lớp của các đài truyền hình nằm cách xa địa điểm thu sóng vài nghìn km được giải thích là do sự phản xạ của sóng từ lớp này. Những nỗ lực sử dụng hiện tượng này để thu sóng truyền hình thường xuyên cũng như chống lại nó như một mối phiền toái đã không thành công.

Việc nghiên cứu các tín hiệu ở khoảng cách từ 200 đến 800 km tính từ máy phát đã dẫn tới việc phát hiện ra một hiện tượng chưa từng được biết đến trước đây, hiện tượng này ngày nay được gọi là “lan truyền VHF tầng đối lưu tầm xa”. Sự lan truyền này gắn liền với sự tái phát xạ của sóng vô tuyến trong lớp vỏ không khí của Trái đất, hay nói cách khác là trong tầng đối lưu. Sự tái phát thải được giải thích là do cấu trúc không chứa hydro của không khí. Công suất điện của không khí phụ thuộc vào độ ẩm, nhiệt độ và áp suất. Luôn có những chất phi hydro trong không khí - những khu vực trong đó các thông số khí tượng này, và do đó, độ thấm điện, khác với các thông số của không khí xung quanh. Một ví dụ nổi bật về tính phi hydro có thể nhìn thấy bằng mắt thường là oblaska. Hàm lượng phi hydro trong không khí dẫn đến sự tiêu tán một phần và phản xạ năng lượng sóng. Điều này được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 6. Ở phía bên phải của hình là sự phụ thuộc ngẫu nhiên của ảnh hưởng điện vào chiều cao. Răng phụ thuộc vào sự hiện diện của chất không hydro. Hình dạng của phi hydro và vị trí tương đối của chúng có thể rất khác nhau. Hydrocarbon phức tạp đóng một vai trò quan trọng. Chiều dài của chúng dao động từ hàng trăm mét đến vài km. Sóng siêu ngắn phản xạ từ các mỏ khoáng sản có thể được thu ở khoảng cách rất xa so với máy phát. Sự thay đổi của tính không đồng nhất theo thời gian dẫn đến sự giao thoa của các sóng tới và do đó làm tín hiệu suy giảm nhanh chóng. Công suất bức xạ lại chỉ bằng $10^{-6} \div 10^{-8}$ một phần công suất tín hiệu truyền đi.

Hiện tượng được mô tả được sử dụng trong các đường dây chuyển tiếp vô tuyến ở tầng đối lưu. Những đường dây như vậy đòi hỏi phải lắp đặt các thiết bị phát mạnh mẽ và hệ thống thu đa dạng để giảm tín hiệu. Tuy nhiên, chúng tỏ ra thích hợp cho việc liên lạc bằng điện thoại vô tuyến ở những khu vực khó tiếp cận. Ưu điểm của các đường đối lưu là khoảng cách lớn giữa các trạm lân cận. Khi sử dụng sóng decimet, độ dài khoảng bằng $250 \div 300$ km, nhưng trong một số trường hợp, nó có thể lớn hơn. Ví dụ, trên liên kết vô tuyến tầng đối lưu nổi tiếng “Liên Xô - Cảm ứng”, khoảng cách giữa các điểm tương ứng là khoảng 700 km.

16

Tiểu luận
về phân số tiếp tục

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. V. NESTERENKO,
Tiến sĩ Vật lý và Toán học
E. M. NIKISHIN

Có rất nhiều ví dụ khi một hướng đi khoa học, được coi là đầy hứa hẹn và quan trọng, đã không đáp ứng được những hy vọng đặt ra cho nó; Dần dần, có một luồng lực lượng khoa học chảy ra từ nó, và bản thân phương hướng này đã mất đi sự phù hợp. Một trong những lĩnh vực này trong toán học là lý thuyết về phân số tiếp tục (hoặc tiếp tục). Cho đến cuối thế kỷ trước, các phân số liên tục thuộc nhiều loại khác nhau thường xuất hiện trong các công trình toán học. Trong thế kỷ trước và sớm hơn một chút, các định lý quan trọng về phân số liên tục đã được chứng minh. Người ta hy vọng rằng nếu chúng ta có thể hiểu được cấu trúc của các phân số liên tục thì có thể thu được những kết quả mới trong lý thuyết số và phân tích toán học. Hy vọng chỉ được chứng minh một phần, và sau đó toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực lý thuyết số, tiếp tục đi trên những con đường mới khiến các lý thuyết bài toán về phân số liên tục bị gạt sang một bên.

Nhưng dẫu sao đi nữa, cũng giống như Dải phía Bắc đã chấp nhận những kẻ chinh phục nó, với công thức đơn giản, các bài toán dễ nhìn về phân số liên tục đã thu hút các nhà toán học, buộc họ phải tìm kiếm đi tìm lại các hình mẫu của vật thể kỳ lạ này. Nhiều câu hỏi quan trọng trong toán học và vật lý hiện đại dẫn đến những đối tượng như phân số tiếp tục. Do đó, các phương pháp nghiên cứu mà họ dựa vào hóa ra lại hữu ích trong nhiều vấn đề. Ở đây chúng ta sẽ chỉ đề cập đến những vấn đề liên quan đến lý thuyết số, nơi trên thực tế đã nảy sinh lý thuyết về phân số liên tục.

Lịch, bánh răng và một chút lịch sử

Một năm có bao nhiêu ngày? Ai cũng biết năm thường có 365 ngày, năm cao có 366 ngày. Những năm có số chia hết cho 4 được khai báo là năm nhuận, ví dụ 1904, 1908, …, 1980, 1984, …, 1996. Tuy nhiên, các năm 1800, 1900, 2100, 2200 được khai báo không cao nhưng các năm 2000, 2400, 2800 sẽ là năm nhuận. Tại sao?

Cơ chế của lịch khá đơn giản. Trái đất quay đều quanh trục của nó, thực hiện một vòng mỗi ngày. Một vòng Trái đất quay quanh Mặt trời là một năm và năm nay bằng 365,24219878… ngày. Tất nhiên, chúng ta có thể nói rằng việc cộng thêm 0,242… ngày là nhỏ. Tuy nhiên, theo thời gian nó nóng lên nếu bạn đặt một năm bằng 365 ngày. Vào thời cổ đại, khi kiến ​​thức về một năm dài trong một ngày rất gần đúng, sai số ngày càng tăng lên đến mức độ máy chủ. Vì vậy, ở Rome vào năm 46 trước Công nguyên. đ. Việc tồn đọng là 90 ngày!

Để thiết lập mô hình năm bình thường và năm cao điểm trong lịch, bạn cần chọn độ dài của chu kỳ $q$ (sau đó tất cả các năm cao điểm được lặp lại) và số $p$ năm cao điểm trong chu kỳ. Chúng ta hãy viết các giá trị của năm dưới dạng $365+\alpha$, trong đó $\alpha=0,242...$. Các số tự nhiên $p$ và $q$ phải được chọn sao cho các giá trị

$$\beta = q\alpha - p$$

càng nhỏ càng tốt, trong khi $p$ và $q$ không lớn lắm. Trên thực tế, chỉ có thể chọn số tự nhiên $q$, trong khi số $p$ là số nguyên gần với $q\alpha$. Rồi sau $q$ năm $365q+p$ ngày sẽ trôi qua. Từ sự bình đẳng $365q+p=q(365+\alpha)-\beta$ suy ra rằng trong thời gian này Trái đất sẽ tạo ra

$$q - \frac{\beta}{365+\alpha} \approx q$$

17

các cuộc cách mạng quanh Mặt Trời. Lỗi trong một ngày sẽ chỉ xảy ra trong $\frac{1}{\beta}$ chu kỳ như vậy hoặc $\frac{q}{\beta}$ năm.

Trong lịch Gregory mà chúng ta đang sống, $q=400$ năm được coi là độ dài chu kỳ. Trong số những năm này, 303 năm là bình thường và 97 năm là cao. Những năm chia hết cho 4 được tuyên bố là năm nhuận, ngoại trừ những năm có số hàng trăm cũng chia hết cho 4. Như vậy, thời gian trung bình của một năm theo lịch Gregory là 365,242500 ngày,

Một lỗi trong một ngày sẽ xảy ra trong khoảng 3300 năm. Độ chính xác này khá thỏa đáng. Thậm chí có thể đạt được độ chính xác cao hơn bằng cách sử dụng $q=128$ và $p=31$, nhưng thiết kế chu kỳ 128 năm của lịch gây bất tiện khi sử dụng.

Điều quan trọng đối với chúng ta trong trường hợp này là lỗi toán học bài toán: cho số $n$, hãy tìm $p$ và $q$, nếu có thể sao cho số $\frac{p}{q}$ xấp xỉ giá trị đã cho $\omega$ (tỷ lệ vận tốc góc mong muốn) tốt nhất có thể. Rõ ràng là từ các tin nhắn tiết kiệm, người ta nên chọn $p$ và $q$ càng ít càng tốt.

Có thể tăng danh sách các ví dụ dẫn chúng ta đến bài toán phép tính gần đúng hiện có của các số thực bằng cách sử dụng số hữu tỷ. Ví dụ, cấu trúc thang âm, ứng dụng trong toán học tính toán, trong các vấn đề lý thuyết của cơ học thiên thể, v.v.

Phân số liên tục chính xác là một công cụ, theo một nghĩa nào đó, cung cấp các phép tính gần đúng thực sự cho các số hữu tỉ. Những phân số này cho mục đích tính toán bắt đầu từ

2 «Kvant» № 5

thay đổi trong một thời gian dài. Ngay từ năm 1572, nhà toán học và kỹ sư người Ý R. Bombelli (1526? - 1572) đã sử dụng chúng để tính $\sqrt{13}$. Sau đó, người Anh W. Brounker (1620-1684) đã sử dụng chúng để dạy số $n$. H. Huygens (1629-1695), một nhà vật lý, thiên văn học, toán học xuất sắc (người phát minh ra đồng hồ từ), là người đầu tiên chỉ ra rằng, khi sử dụng các phân số liên tục, chúng mang lại giá trị gần đúng tốt nhất của một số thực theo nghĩa nào. L. Euler vĩ đại (1707-1783) đã chứng minh một số quy định của lý thuyết phân số liên tục và tìm ra phân số liên tục cho số $e$. Rất khó để liệt kê các nhà toán học đã đóng góp cho lý thuyết này sau công trình của Euler do số lượng của họ quá lớn. Bắt đầu với công trình của nhà toán học xuất sắc người Nga P. L. Chebyshev (1821–1894), một lý thuyết liên quan đến phân số liên tục đã được tích cực phát triển.

Thuật toán Euclid và phân rã liên tục

Cho $p$, $q$ là hai số tự nhiên. Sản xuất với phần còn lại, chúng tôi sẽ tìm thấy

$$p = a_0 q + q_1, \quad 0 < q_1 < q$$

$$q = a_1 q_1 + q_2, \quad 0 < q_2 < q_1$$

$$q_1 = a_2 q_2 + q_3, \quad 0 < q_3 < q_2$$

$$q_{k-2} = a_{k-1} q_{k-1} + q_k, \quad 0 < q_k < q_{k-1}$$

$$q_{k-1} = a_k q_k.$$

Tập hợp các hành động được chỉ định được gọi là thuật toán Euclide. Có thể chứng minh rằng số thu được $q_k$ sẽ là số thực chung rộng nhất trong các số $p$, $q$. Ta không cần điều kiện này nên bỏ qua chứng minh*).

Từ các đẳng thức thu được, suy ra

$$\frac{p}{q} = a_0 + \frac{q_1}{q} = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{q_2}{q_1}} = \dots = a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \dots + \frac{1}{a_k}}}.$$

18

Quá trình này cũng dẫn đến kết quả tương tự. Cho α là một số thực. Hãy đặt
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1}, a_0 - \text{целое},$$
ở đâu $a_1 > 1$. Nếu $a_1$ không phải là số nguyên thì chúng ta sẽ tiếp tục quá trình này. Hãy biểu thị $a_1$ dưới dạng $a_1 = a_1 + \frac{1}{a_2}$, trong đó $a_1$ là số nguyên dương và $a_2 > 1$. Như vậy,
$$\alpha = a_0 \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2}}.$$
Nếu $a_2$ không phải là số nguyên thì bạn có thể tiếp tục quá trình này. Như vậy, ở bước $k$ ta thu được đẳng thức Ký hiệu “Nhiều tầng” của phân số (1) rất cồng kềnh nên sau này chúng ta sẽ thường sử dụng ký hiệu đặc biệt gọn hơn sau đây:
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_{k-1}} + \frac{1}{a_k},$$
ở đâu $a_k > 1$.
Không khó để chứng minh rằng nếu $\alpha = \frac{p}{q}$ là số hữu tỷ thì đối với một số $k$ số $a_k$ sẽ là số nguyên.

Cũng rõ ràng rằng nếu với một số $k$ thu được số nguyên $a_k$ thì số $a$ là hợp lý. Nếu $a$ là một số vô tỷ thì quá trình được chỉ định sẽ không bao giờ kết thúc và một phân số tiếp tục (hoặc tiếp tục) vô hạn sẽ phát sinh
$$\alpha = a_0 + \frac{1}{|a_1|} + \frac{1}{|a_2|} + \dots +$$
$$\dots + \frac{1}{|a_{k-1}|} + \frac{1}{|a_k|} + \dots$$
Dấu bằng ở đây là tùy ý, vì không rõ biểu thức bên phải nghĩa là gì. Để cho nó có ý nghĩa, hãy xem xét các tổng hữu hạn có dạng
$$\pi_k = a_0 + \frac{1}{a_1 + \dots} + \frac{1}{a_k},$$
được gọi là phân số tiếp tục thích hợp (2). Theo định nghĩa, người ta giả định rằng vế phải của đẳng thức (2) được biểu thị bằng giới hạn của các phân số phù hợp:
$$\lim_{k \to \infty} \pi_k$$
Bây giờ chúng ta hãy xây dựng dưới dạng một tập hợp bài toán những tính chất của các phân số liên tục tạo thành cơ sở cho lý thuyết cơ bản của chúng và đặc biệt là thiết lập đẳng thức (2).

Tính chất cơ bản của phân số tiếp theo

1. Đặt $\pi_k = \frac{p_k}{q_k}$ là một phân số thích hợp của phân số tiếp theo (2). Chứng minh tính đúng đắn của quan hệ truy hồi:
   $$p_0 = a_0, p_1 = a_0 a_1 + 1, \dots,$$
   $$p_{k+1} = a_{k+1} p_k + p_{k-1}, \dots$$
   $$q_0 = 1, q_1 = a_1, \dots,$$
   $$q_{k+1} = a_{k+1} q_k + q_{k-1}, \dots$$
   cho $k = 1, 2, 3, \dots$.
2. Thiết lập các tỉ số sau:
   a) $q_n p_{n-1} - p_n q_{n-1} = (-1)^n, n \geqslant 1$;
   b) $q_k p_{k-2} - p_k q_{k-2} = (-1)^{k-1} a_k, k \geqslant 2$;
   c) $\pi_{n-1} - \pi_n = \frac{(-1)^n}{q_n q_{n-1}}, n \geqslant 1$;
   d) $\pi_{k-2} - \pi_k = \frac{(-1)^{k-1} a_k}{q_k q_{k-2}}, k \geqslant 2$.

19

3. Chứng minh rằng các phân số $\pi_0, \pi_2, \pi_4, \dots$ tăng đơn điệu:
   $$\pi_0 < \pi_2 < \pi_4 < \pi_6 < \dots,$$
   và các phân số $\pi_1, \pi_3, \dots$ giảm đơn điệu:
   $$\pi_1 > \pi_3 > \pi_5 > \dots$$

4. Giả sử các số $a_k$ được xác định bằng đẳng thức (1). Chứng minh sự tuân thủ:
   $$\alpha = \frac{p_{k-1}a_k + p_{k-2}}{q_{k-1}a_k + q_{k-2}}, k \geqslant 2.$$

5. Chứng minh bất đẳng thức
   $$\frac{1}{2q_{n+1}} < |q_n\alpha - p_n| \leqslant \frac{1}{q_{n+1}}.$$

6. Chứng minh rằng
   $$\lim_{k \to \infty} \pi_k = \alpha.$$
   Như có thể thấy từ bài toán 1–6, phép tính gần đúng của phân số $\pi_n$ khá gần đúng với số $\alpha$. Do đó, từ các ước tính bài toán 5 và bất đẳng thức $q_{n+1} < q_n$, suy ra rằng nếu $\alpha$ là vô tỷ thì bất đẳng thức
   $$\left| \alpha - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_n^2}$$
   đúng cho tất cả các phân số phù hợp $\pi_n = \frac{p_k}{q_k}$ của số phân số tiếp theo $\alpha$.

Ví dụ số

Phân số tiếp theo (2) của số $\alpha$ đôi khi được ký hiệu là $[a_0; a_1, a_2, \dots, a_k, \dots]$. Có thể chứng minh rằng với mọi dãy số nguyên $a_0, a_1, a_2, \dots, (a_0 \geqslant 0$ và $a_j \geqslant 1$ cho $j \geqslant 1$) đều tồn tại một số dương duy nhất $\alpha$ sao cho
$$\alpha = [a_0; a_1, a_2, \dots].$$
Nếu biết dãy $a_0, a_1, a_2, \dots$ thì có thể dễ dàng tính được dãy các phân số trùng khớp $\pi_k = \frac{p_k}{q_k}$; sử dụng các đẳng thức từ bài toán 1 để điền vào bảng sau:

| $a$ | $a_0$ | $a_1$ | $a_2$ | … | $a_{n-1}$ | $a_k$ | $a_{k+1}$ | $a_{k+2}$ | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p$ | 1 | $a_0$ | $p_1$ | $p_2$ | … | $p_{k-1}$ | $p_k$ | … | … |
| $q$ | 0 | 1 | $q_1$ | $q_2$ | … | $q_{k-1}$ | $q_k$ | … | … |

Ví dụ 1. Tìm phân tích tiếp tục phân tách của số $\sqrt{2}$.
Chúng tôi có $a_0 = 1$,
$$a_1 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1, \quad a_1 = 2,$$
$$a_2 = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1, \quad a_2 = 2.$$
Rõ ràng là trong dãy $a_j, j = 1, 2, \dots$, tất cả các số hạng đều bằng $\sqrt{2} + 1$, và trong dãy $a_j, j = 1, 2, \dots$, tất cả các số hạng đều bằng 2. Vì vậy,
$$\sqrt{2} = [1; 2, 2, 2, \dots].$$
Hãy tính một số phân số phù hợp cho $\sqrt{2}$:

| $a$ | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | … |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $p$ | 1 | 1 | 3 | 7 | 17 | 41 | 99 | … |
| $q$ | 0 | 1 | 2 | 5 | 12 | 29 | 70 | 169 | … |

Chúng ta có dãy phân số phù hợp: $\frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots$

Từ bài toán 5 theo sau
$$\left| \sqrt{2} - \frac{99}{70} \right| < \frac{1}{70 \cdot 169} < 10^{-4}.$$
Như vậy, phần trường

20

99/70 xấp xỉ $\sqrt{2}$ với độ chính xác cao hơn 0,0001.

Ví dụ 2. Phân số liên tục tuần hoàn có khoảng cách
[2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …].

Có thể viết ngắn gọn như thế này:
[2; $\overline{1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...}$].

Hãy tìm số tương ứng. Nếu con số này được ký hiệu là $\alpha$ thì đẳng thức sẽ được thỏa mãn (tại sao?)

$$\alpha = 2 + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|1|} + \frac{1}{|2+a|}$$

hoặc, sau khi chuyển đổi,

$$\alpha = \frac{21+8\alpha}{8+3\alpha}$$

Theo sau $\alpha^2 = 7$, và vì $\alpha > 2$ nên chúng ta nhận được $\alpha = \sqrt{7}$.

Dễ dàng thấy rằng phương pháp này có thể được sử dụng để tìm giá trị của phân số liên tục tuần hoàn bất kỳ.

Xấp xỉ tốt nhất và phân số tiếp tục

Giá trị gần đúng nhất của số $\alpha$ là phân số $\frac{p}{q}$ ($q > 0$) sao cho

$$|q' \alpha - p'| > |q \alpha - p|$$

cho tất cả $1 \leq q' < q$ và tất cả $p'$. Hội chợ

Định lý. Mọi giá trị gần đúng nhất của $\alpha$ đều là một phân số phù hợp $\alpha$; đối với $k > 1$ thì điều ngược lại cũng đúng, nghĩa là, bất kỳ phân số phù hợp nào $\frac{p_k}{q_k}$ cho $k > 1$ đều mang lại giá trị gần đúng tốt nhất cho số $\alpha$.

Chứng minh định lý này không khó và xin nhường lại cho bạn đọc. (Nếu khó chứng minh là không thể vượt qua, thì bạn có thể xem cuốn sách “Giới thiệu về lý thuyết xấp xỉ Diophantine” của S. Lang (M., Mir, 1970).

Số tương đương

Hai số $\alpha$ và $\beta$ được gọi là tương đương nếu

$$\alpha = \frac{a\beta + b}{c\beta + d},$$

trong đó $a, b, c, d$ là số nguyên và $ad - bc = 1$ hoặc - 1.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $\sigma$ và $\sigma_k$ (trong đó $k$ là số nguyên) các phép toán được xác định như sau:

$$\sigma \alpha = \frac{1}{\alpha}, \quad \sigma_k \alpha = k + \alpha.$$

Rõ ràng là bằng cách áp dụng $\sigma$ và $\sigma_k$ cho số $\alpha$, chúng ta luôn thu được một số tương đương. Cũng rõ ràng rằng việc sử dụng các hoạt động của biểu mẫu

$$\sigma \sigma_k \alpha = \frac{1}{\alpha + k}, \quad \sigma_k \sigma_\alpha = k + \frac{1}{\alpha} = \frac{k\alpha + 1}{\alpha}$$

cũng đưa ra ví dụ về các số tương đương với $\alpha$.

Bài tập

7. Chứng minh rằng nếu $\alpha$ và $\beta$ tương đương thì đích của số $k_1, k_2, \dots, k_j$ giống với $\beta = \sigma_k1 \sigma_k2 \dots \sigma_kj \alpha$.

8. Giả sử các số $\alpha$ và $\beta$ có cùng khai triển phân số liên tục, bắt đầu bằng một số số $k$ và $S$, tức là

$$\alpha = r_0 + \frac{1}{|r_1|} + \frac{1}{|r_2|} + \dots + \frac{1}{|r_k|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots,$$

$$\beta = h_0 + \frac{1}{|h_1|} + \frac{1}{|h_2|} + \dots + \frac{1}{|h_s|} + \frac{1}{|d_1|} + \frac{1}{|d_2|} + \dots$$

Chứng minh rằng các số $\alpha$ và $\beta$ là tương đương nhau.

9. Chứng minh rằng nếu các số $\alpha$ và $\beta$ bằng nhau thì các phân số liên tục của chúng có dạng (3).

(Tiếp tục ở số tiếp theo)

bìa của chúng tôi

Những ngôi sao giấy ở trang đầu tiên của trang bìa không chỉ là vật trang trí cho ngày lễ đầu tiên. Chúng được kết nối với toán học và với sự phát triển của các ngành của nó. Một mặt, đây là mô hình khối đa diện sao, đã được viết trong «Kvant» (1973, số 5, trang 26), và do đó chúng liên quan đến lý thuyết đối xứng trong không gian (hình học, lý thuyết nhóm). Mặt khác, những ngôi sao này tiếp xúc với lý thuyết về nút thắt (xem «Kvant», 1975, Số 7, trang 6 hoặc 1981, Số 3, trang 8) và với cái gọi là lý thuyết

Bím tóc Trong lý thuyết về bím tóc, các phương pháp đại số được sử dụng để nghiên cứu kỹ thuật dệt bím tóc bằng các vòng xoắn hoặc dải, và các ngôi sao của chúng ta được dệt chính xác từ các dải giấy. Chúng ta sẽ thảo luận về cách thực hiện điều này trong một trong những số sắp tới của tạp chí.

O.M.

21

Bài toán
P. L. Kapitsa

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. V. MITROFANOV

Một số độc giả «Kvant» có lẽ đã nghe nói về “Vấn đề vật lý” của Lenin và Viện sĩ đoạt giải Nobel P. L. Kapitsa. Chúng được xuất bản đầy đủ (153 bài toán) vào năm 1972*). Những bài toán này chủ yếu dành cho sinh viên đại học và sau đại học của Khoa Vật lý và Công nghệ - Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Hiện nay bài toán Kapitsa rất phổ biến trong giới vật lý trẻ. Họ nên sử dụng cái gì?

Công thức bài toán P.L. Kapitsa đang nghiên cứu và không muốn xem tài liệu tương tự từ các cuốn sách giải toán khác. Có rất nhiều sự hài hước và trò đùa trong các nhiệm vụ. Những thí nghiệm tò mò, những ví dụ trong lịch sử vật lý, những thí nghiệm vật lý vui nhộn, nguyên lý hoạt động của một số đồ chơi và thiết bị kỹ thuật tiên tiến - đây cũng thường là những chủ đề của Kapitsinsky bài toán. Một số trong số chúng thuận tiện hơn để giải quyết bằng cách thử nghiệm các thiết bị tự chế đơn giản nhất - trong trường hợp này bạn có thể dễ dàng chú ý. Trong nhiều bài toán, giá trị số của các đại lượng vật lý không được đưa ra; người quyết định bài toán phải tự mình chọn những giá trị này. Điều này được thực hiện để học sinh có thể tưởng tượng một cách cụ thể quy mô của các đại lượng vật lý phải được vận hành (ví dụ: tốc độ, điện áp, nhiệt độ, v.v.).

Để có đủ lời giải trong số bài toán đầy đủ, cần phải có đào tạo chuyên môn tốt. Nhưng để nắm bắt được ý tưởng lời giải của cái này hay cái kia bài toán, việc đánh giá kết quả thu được, ít nhất là theo thứ tự độ lớn, cũng có thể xảy ra đối với một học sinh.

Với sự cho phép tử tế của Viện sĩ P. L. Kapitsa, chúng tôi sẽ xuất bản một số tác phẩm mới về bài toán của ông trên số tạp chí này. Chúng tôi sẽ cố gắng giải quyết một trong số chúng ở đây. Những cân nhắc về việc lựa chọn cách tiếp cận lời giải các bài toán, đáp số và lời giải còn lại, một số trong số chúng sẽ được xuất bản trên một trong các số sau «Kvant». Cố gắng tự mình giải quyết bài toán được đề xuất*). Đừng buồn nếu bạn không thành công ngay lập tức. Con đường đi tìm sự thật chưa bao giờ dễ dàng. Nhưng những tìm kiếm này sẽ giúp bạn khám phá một thế giới vật lý mới. Chúng tôi chúc bạn thành công trong việc này!

Bài toán

1. Hai vệ tinh đang bay về phía nhau. Mô tả những gì sẽ xảy ra sau cuộc gặp gỡ tình yêu của họ.

2. Tàu được trang bị loại tuabin gió,

*) P. L. Kapitsa. Vật lý bài toán. M., Znanie, 1972. Trong lời nói đầu của bộ sưu tập này, P. L. Kapitsa nói về lịch sử hình thành bài toán.

*) Từ biên tập viên. Nếu bạn thực sự thích lời giải của riêng mình hoặc bất kỳ bài toán nào trong số này, hãy gửi nó cho người biên tập. Chúng tôi sẽ xuất bản những độc giả thú vị nhất’ lời giải.

22

làm quay bánh lái của con tàu. Hãy xem xét việc chèo thuyền ngược gió như vậy.

3. Ngày xưa, bữa tiệc có vồ (để kẻ đột nhập hét lên rằng người canh gác chưa ngủ). Một cái vồ như vậy là một tấm ván có tay và một quả bóng được treo trên tấm ván bằng một sợi dây. Với chuyển động nào của người đập thì quả bóng sẽ va vào với khoảng thời gian $T$?

4. Hình dạng của cây cung ảnh hưởng thế nào đến tốc độ của mũi tên? Trải nghiệm tốc độ tối đa của một mũi tên được bắn ra từ một cây cung thể thao hiện đại.

5. Từ ngọn núi $h=1$ km với độ dốc $45^\circ$ một trận tuyết lở lăn không trượt và lớn dần. Xác định vận tốc của trận tuyết lở ở chân núi.

6. Một người có thể đi trên trần nhà, giống như ruồi bò trên trần nhà, nếu chân người đó dính chặt vào trần nhà. Trong trường hợp trần sắt, điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng giày từ tính. Hãy suy nghĩ và tính toán thiết kế của những đôi giày như vậy.

7. Các vận động viên thể dục, bằng cách bật tấm bạt lò xo liên tục, sẽ tăng độ cao cho cú nhảy của họ. Tấm bạt lò xo là một mặt phẳng nằm ngang trên một lực đẩy bằng lò xo; điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng giày từ tính. Hãy suy nghĩ và tính toán thiết kế của những đôi giày như vậy.

24

Lừa dối hay ảo tưởng?

(Một cách tính số π)

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A.N.ZAIDEL

Làm thế nào để xác định giá trị số thực nghiệm của số π? Có lẽ cách dễ nhất là lấy một sợi chỉ, dùng nó để đo chiều dài của một hình tròn có đường kính đã biết và chia kết quả cho chiều dài của đường kính. Hóa ra là bạn có thể tìm thấy số π một cách gần đúng bằng cách sử dụng phương trình… và lý thuyết xác suất. Phương pháp này được phát minh bởi nhà tự nhiên học người Pháp Jah. L. L. Buffon (1707-1788)*. Sau đó, thí nghiệm của Buffon được lặp lại nhiều lần để kiểm tra một số kết luận của lý thuyết xác suất (hay nói đúng hơn là khả năng ứng dụng của chúng trong thực tế). Điều này đã không xảy ra nếu không có một sự việc gây tò mò mà chúng ta sẽ thảo luận sau. Nhưng trước tiên, hãy cho bạn biết nó là gì

kinh nghiệm của Buffon

Để thực hiện nó, bạn cần một chút: một bề mặt ngang phẳng với các đường thẳng song song cách đều nhau và các đường được đánh dấu trên đó. Khoảng cách giữa các đường thẳng h và độ dài chiếu sáng l phải thỏa mãn sự tương ứng l<h (Hình 1). Chúng tôi sẽ ném illu ngẫu nhiên lên trên một bề mặt như vậy, mỗi lần cho nó xoay nhẹ để illu rơi tự do từ độ cao

*) Xem thêm về điều này trong ghi chú của A. Vilenkin “Số “pi” và lý thuyết xác suất” (Kvant, 1977, số 5).

Hình 1.

25

việc thực hiện một hoặc một sự kiện khác trong một chuỗi thử nghiệm khá dài. Do đó, có thể thu được giá trị xác suất gần đúng bằng thực nghiệm bằng cách tính tần số tương ứng. (Biểu thức toán học chính xác về xu hướng tần số quan sát được trong một thí nghiệm đến một giá trị giới hạn (xác suất) nào đó được gọi là định luật số lớn, được Jacob Bernoulli chứng minh ở dạng đơn giản nhất khoảng ba trăm năm trước.) Mặt khác, các phương pháp của lý thuyết xác suất trong nhiều trường hợp cho phép sử dụng các điều kiện thực nghiệm để tính xác suất về mặt lý thuyết.

Ở cuối bài viết, chúng tôi sẽ hướng dẫn cách Biophone giải bài toán về việc tìm xác suất $p$ để trò chơi vượt qua một trong các đường. Đáp số hóa ra có thể thay thế được:

$$p = \frac{2}{\pi} \frac{l}{h}!$$

Và vì tần số giao nhau $m/n$ gần bằng xác suất này nên để tính gần đúng $n$ chúng ta có công thức

$$\pi \approx \frac{2l}{h} \frac{n}{m}.$$

(1)

Các thí nghiệm đã cho thấy điều gì?

Độ chính xác của phép tính gần đúng trong công thức (1) sẽ cao hơn, $n$ càng lớn, và thoạt nhìn có vẻ như bằng cách ném kim nhiều lần, bạn có thể thu được giá trị góc chính xác $n$. Hãy thử thí nghiệm này và bạn sẽ dễ dàng thấy rằng việc thu được giá trị 3,1 cho $n$ bằng phương pháp này là khá dễ dàng. Việc lấy được vị trí thập phân tiếp theo một cách đáng tin cậy - 4 - đã khó khăn hơn nhiều.

Trong thế kỷ trước, khi lý thuyết xác suất thường được coi là một môn khoa học bán nối tiếp, những thí nghiệm như vậy càng có ý nghĩa và có trọng lượng hơn được nhiều nhà khoa học thực hiện cẩn thận. Dưới đây là bảng lấy từ khóa học về lý thuyết xác suất của B.V. Gnedenko.

Cột đầu tiên ghi tên của các nhà khoa học đã ném chiếc kim, cột thứ hai - năm thực hiện thí nghiệm, cột thứ ba - số lần ném mà từ đó $n$ được xác định và cột cuối cùng - cột

giá trị thu được sau thí nghiệm. Hàng dưới cùng của bảng cho một giá trị nhất định là $n$ có tám ký tự.

Chúng ta hãy so sánh các giá trị thử nghiệm với con số này. Các số ở hai dòng đầu tiên khác nhau từ $n$ 0,01–0,02. Số của Fox chỉ lớn hơn $n$ 0,0003, một kết quả đáng ngạc nhiên, nhưng số của Lazzarini chỉ sai lệch 0,0000002 so với giá trị thực. Đây đã là một phép lạ thực sự, và phép lạ chỉ xảy ra trong truyện cổ tích.

Những sai lầm không thể tránh khỏi

Chúng ta hãy cố gắng tìm hiểu điều gì khiến chúng ta ngạc nhiên và nói thẳng ra là không tin vào kết quả của trải nghiệm mới nhất. Có một số lý do như vậy. Đầu tiên là lỗi đo lường. Để có được giá trị chính xác của $n$ từ (1), chúng ta cần biết chính xác các đại lượng $h$ và $l$, hay đúng hơn là tỷ lệ của chúng. Chúng tôi chỉ có thể có được dữ liệu này nhờ các phép đo. Và sai số đo lường sẽ góp phần gây ra sai số khi xác định $n$. Hãy đánh giá những lỗi này. Đặt chiều dài kim là 50 mm, khoảng cách giữa các đường bằng nhau. Sử dụng các dụng cụ đo thông thường, chẳng hạn như thước cặp hoặc thước kẻ có nonus, việc thay đổi cả hai độ dài mong muốn là tương đối dễ dàng với độ chính xác 0,1 mm hoặc 0,2%. Chúng tôi thấy rằng đối với bất kỳ độ dài nào chúng tôi cần, khoảng cách 0,1 mm là giới hạn của độ chính xác của phép đo*). Tuy nhiên

*) Trong một số ít thí nghiệm (khoảng 0,1-0,2% tổng số lần ném), khoảng cách từ đầu kim đến đường thẳng sẽ nhỏ hơn 0,1 mm. Trong những trường hợp như vậy, mắt không biết liệu giao lộ có xảy ra hay không. Tình huống này có thể đưa ra sự thật của chính nó, điều này nhỏ so với các lỗi khác.

26

Tuy nhiên, bằng cách sử dụng các hướng dẫn nâng cao hơn, tất cả độ dài có thể được thay đổi với sai số 0,01 mm. Đây đã là một giới hạn thực tế - cực kỳ khó để giảm sai số xuống 0,001 mm trong một thí nghiệm như vậy - sự thay đổi nhiệt độ của kim hoặc bề mặt mà các đường được vẽ lên 1-2 độ sẽ gây ra thay đổi về kích thước khoảng 0,001 mm. Biến dạng của kim khi chạm vào bề mặt, mài mòn các đầu của kim, biến dạng của chính bề mặt - tất cả những nguyên tắc này khiến việc thực hiện một thí nghiệm với mức sai số 0,001 mm là không thực tế. Do đó, ngay cả khi không đưa ra ước tính chi tiết hơn, chúng tôi có thể tự tin nói rằng trong các thí nghiệm được mô tả, số π có thể được xác định với sai số không thay đổi 0,2-0,02%. Nghĩa là, trong các thí nghiệm với một dụng cụ thay đổi đơn giản (chúng thường được thực hiện với chúng), người ta có thể mong đợi giá trị π = 3,141 ± 0,006. Với các thí nghiệm được thực hiện rất cẩn thận, bạn có thể mong đợi kết quả π = 3,1416 ± 0,0006. Và không thể thu được các giá trị π từ những thí nghiệm như vậy với sai số đến chữ số có nghĩa thứ tám, cũng như không thể so sánh trên các cân được thiết kế để cân toa xe lửa - tải trơn là công cụ.

Tất nhiên, với bất kỳ thay đổi nào, bạn nên đánh giá độ chính xác của nó và cộng kết quả với số ký tự tương ứng với nó. Nếu chúng ta nhận được giá trị A = 2,474329 cho mỗi giá trị A do thay đổi và tính toán và độ chính xác của thiết bị thay đổi là 1%, thì chúng ta nên viết A = 2,47, gạch bỏ tất cả các số tiếp theo chỉ phản ánh độ chính xác của thiết bị máy tính của chúng ta (hiện đại, ngay cả những máy tính vi mô đơn giản nhất luôn cho 6-8 chữ số thập phân) chứ không phải kết quả của trải nghiệm thực tế. Viết ra trong những trường hợp như vậy tất cả các dấu hiệu có thể đếm được là một nỗ lực hoàn toàn nhằm đánh lừa bản thân và người khác, phóng đại tính chính xác của trải nghiệm.

Tuy nhiên, không cần phải thay đổi độ chính xác cao chút nào:

Trong kế hoạch, chỉ cần thay đổi độ dài với sai số 0,1 mm là đủ. Lý do là độ chính xác được xác định bởi ngành với những ngành hoàn hảo khác. Bản chất của sự cản trở là “xác suất” - không có khả năng thực hiện đủ số lần ném sao cho phương trình gần đúng (1) được đáp ứng một cách đáng tin cậy với sai số tương đối nhỏ hơn 0,01. Bạn có thể tìm hiểu sự khác biệt ở tốc độ nào |$\frac{m}{n}-p$| giết chết. giữa tần suất của một sự kiện nhất định trong một chuỗi n lần thử và xác suất của nó khi xảy ra một số lần thử. Hóa ra là để tăng độ chính xác của đẳng thức gần đúng $\frac{m}{n} \approx p$ lên N lần, số lần kiểm tra phải tăng lên $N^2$ lần, nói cách khác, sai số trong việc xác định gần đúng xác suất tỷ lệ nghịch với căn bậc hai của số lần kiểm tra. Một phép tính chính xác hơn cho thí nghiệm của Buofon cho thấy rằng đối với $h \approx l$ sai số α của giá trị π, sai số này ít nhiều đáng tin cậy sẽ không vượt quá sau n lần ném kim, có thể được ước tính như sau:

$$\alpha \approx \sqrt{\frac{5}{n}}.$$

Nếu chúng ta yêu cầu α không lớn hơn 0,02 thì từ công thức (2) chúng ta thu được $n \approx 12000$. Trong các thí nghiệm được liệt kê trong bảng (ngoại trừ thí nghiệm của Fox), từ 3000 đến 5000 lần ném đã được thực hiện. Theo (2), α hóa ra lớn hơn một chút, ví dụ, 0,025–0,030. Điều này phù hợp tốt với kết quả của Wolf và Smith. Một ví dụ về sai số tương tự thu được với các sai số về thay đổi chiều dài cỡ 0,1 mm. Do đó, không có lý do gì để thay đổi chúng một cách chính xác hơn, vì lỗi trong mỗi liên kết của bài kiểm tra sẽ không tồn tại - không có ích gì khi thay đổi độ dài của kim với độ chính xác 0,001% nếu lỗi liên quan đến một số lần kiểm tra hạn chế dẫn đến sai số trong kết quả cuối cùng là 0,2%-0,3%. Chọn số lần ném từ 3000 đến 5000

27

khá chính đáng. Tuy nhiên, quá trình kiểm tra sẽ mất khoảng 5 giây (thử ném nhanh hơn). Trong trường hợp này, 10.000 lần ném sẽ mất khoảng 14 giờ, tức là trọn hai ngày làm việc. Nếu chúng ta muốn nhận được kết quả chính xác hơn gấp 10 lần thì theo “định luật 1/√n”, chúng ta cần phải kéo dài hơn 100 lần—200 ngày, một khoảng thời gian đã dài rồi.

Nhưng để có được kết quả của Lazzarini, sai số chỉ là 0,0000002, bạn phải ném kim khoảng 4.000.000 năm! (Tất nhiên, với độ chính xác hoàn toàn phi thực tế tương ứng của việc đo tất cả các độ dài.) Vì vậy, bắt đầu thí nghiệm của mình vào năm 1901 và dừng lại cho đến giữa ngày, Lazzarini hẳn đã khác xa với kết quả mà ông công bố vào ngày thí nghiệm bắt đầu.

Hãy để chúng tôi chỉ ra một nguồn sai sót khác trong các thí nghiệm thuộc loại này. Để xác suất giao nhau thực sự bằng giá trị lý thuyết $p=2l/\pi h$, tất cả các vị trí của kim rơi so với các đường trên bề mặt phải hoàn toàn bằng nhau, nghĩa là không có vị trí nào xảy ra thường xuyên hơn các vị trí khác (chúng tôi sẽ đưa ra công thức chính xác hơn về yêu cầu này khi tính toán $p$). Có mọi lý do để tin rằng điều này khó đạt được trong một thử nghiệm thực tế.

Liên quan đến tất cả những gì đã nói, cần lưu ý rằng số lượng ký tự đưa ra trong bảng lớn một cách bất hợp lý. Cần phải để lại 3,16 ở hai dòng đầu tiên của cột bốn và 3,14 ở cột thứ ba.

Chưa hết:
lừa dối hay ảo tưởng?

Làm thế nào người ta có thể giải thích kết quả mà Lazzarini thu được? Thật khó để tưởng tượng một nỗ lực để tạo ra sự lừa dối. Khi Lazzarini ném chiếc kim, định luật số lớn đã được biết đến rộng rãi và bất kỳ nhà toán học nào cũng có thể thực hiện được các phép tính đưa ra ở đây. Có lẽ chưa có nhà khoa học nào coi trọng kết quả này, mặc dù nó đã được công bố nhiều lần. Khi bắt đầu thử nghiệm, Lazzarini phải biết trước những gì có thể mong đợi từ chúng. Và, ngay cả khi nhận được con số mà anh ta đưa ra nhờ các bài tập tranh luận, lẽ ra anh ta không nên công bố một kết quả tuyệt vời như vậy nếu không xác nhận nó bằng một loạt thí nghiệm lặp đi lặp lại. Đối với tôi, có vẻ như anh ấy thực sự muốn có được thứ gì đó mà trước anh ấy không ai có thể có được. Danh sách những ham muốn mạnh mẽ như vậy đôi khi làm say mê nhà nghiên cứu và khiến anh ta nhầm lẫn những gì mình muốn là thực tế.

Tất nhiên, người ta có thể giả định rằng, khi ném chiếc kim, anh ta đã tính l sau mỗi lần thử và dừng thí nghiệm sau 3408 lần ném chính xác vì chỉ sau một số lần thử như vậy anh ta đã vô tình nhận được con số mình đưa ra. Tất nhiên, ngay cả trong số 10.000 lần tung, rất khó có thể đạt được ít nhất một lần giá trị với độ chính xác $2 \cdot 10^{-7}$ (xác suất gần đúng này là $10^{-3}$), nhưng sự kiện vẫn có thể xảy ra với xác suất như vậy. Nếu sự việc thực sự là như vậy thì Lazzarini không lừa dối người khác mà lừa dối chính mình. Thật không may, điều này cũng xảy ra.

Chúng tôi sẽ hài lòng rằng, mặc dù kết quả thí nghiệm của Lazzarini không xác nhận tính đúng đắn của các kết luận của lý thuyết xác suất (và thậm chí còn xung đột với nó, nếu nó luôn được chấp nhận), nhưng ông đã cho chúng tôi một lý do khác để thảo luận về cách các bên nên xử lý kết quả thu được trong thí nghiệm và xử lý thống kê của họ.

Lời giải bài toán Buffon

Chúng ta vẫn phải giải thích cách tính xác suất giao nhau của một cây kim và một trong các đường thẳng song song trong thí nghiệm của Buffon. Chúng ta hãy biểu thị khoảng cách từ tâm kim đến đường thẳng gần nhất bằng $a$ ($0 \leq a \leq h/2$), và góc giữa kim và đường thẳng là $\varphi$ ($0 \leq \varphi \leq \pi/2$). Khi đó, như được minh họa trong Hình 1, $a$, các điều kiện để giao điểm của kim và đường thẳng có thể là

28

Viết nó dưới dạng

$$a \leq \frac{l}{2} \sin \varphi.$$

Kết quả có thể có của thí nghiệm của chúng ta tương ứng với một điểm trên mặt phẳng có tọa độ $(a; \varphi)$, nằm bên trong một hình chữ nhật được giới hạn bởi tọa độ của các trục và đường thẳng $a = \frac{h}{2}$ và $\varphi = \frac{\pi}{2}$ (Hình 2).

Các điểm của hình chữ nhật nằm dưới đường cong $a = \frac{l}{2} \sin \varphi$ tương ứng với các giao điểm sau của kim với đường thẳng: các điểm nằm phía trên đường cong này tương ứng với trường hợp giao điểm không diễn ra. Bây giờ bài toán có thể được xây dựng như sau: một điểm được thăm trong hình chữ nhật $\{0 \leq \varphi \leq \pi/2; 0 \leq a \leq h/2\}$; Xác suất để điểm này nằm dưới sóng hình sin $a = (l/2) \sin \varphi$ là bao nhiêu?

Từ “ngẫu nhiên” ở đây thay cho yêu cầu về sự bằng nhau*) của tất cả các vị trí của phương trình kim. Ý nghĩa cấu trúc của nó có thể được giải thích theo nhiều cách khác nhau. Cách nói đơn giản nhất là xác suất để một điểm được chọn rơi vào bất kỳ hình vuông $\{\varphi_1 \leq \varphi \leq \varphi_2; a_1 \leq a \leq a_2\}$ ($\varphi_2 - \varphi_1 = a_2 - a_1 = d$) nào trên một cạnh cho trước không phụ thuộc vào vị trí của hình vuông này bên trong hình chữ nhật (mặc dù tất nhiên, nó phụ thuộc vào độ dài $d$ của cạnh của nó).

Ví dụ: xác suất để một điểm nằm trong các ô vuông $K_1$ hoặc $K_2$ trong Hình 2 là như nhau. Từ đây có thể dễ dàng suy ra rằng xác suất lọt vào bên trong bất kỳ hình nào nằm trong hình chữ nhật của chúng ta tỷ lệ thuận với diện tích của nó và do đó, bằng tỷ lệ của diện tích này với diện tích của toàn bộ hình chữ nhật.

Cụ thể, diện tích đường cong của hình thang mới giới hạn bởi hình sin đang xét bằng

$$S_1 = \int_0^{\pi/2} \frac{l}{2} \sin \varphi d\varphi = \frac{l}{2} \left( -\cos \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\cos 0 \right) = \frac{l}{2}.$$

Và vì diện tích $S$ của hình chữ nhật bằng $\pi h/4$, để tránh thu được giá trị

$$p = \frac{S_1}{S} = \frac{2l}{\pi h}.$$

*) Chúng tôi không muốn nói về “độ tin cậy chẵn”, bởi vì xác suất để góc đó chiếm một vị trí cố định chính xác nào đó đơn giản là bằng không.

Đánh giá, thư mục

Sách mới

Năm 1984, nhà xuất bản Nauka có kế hoạch phát hành những cuốn sách sau trong bộ Thư viện «Kvant» (giá mỗi cuốn là 40 kopecks):

1. V. V. Braginsky, A. G. Polnarev. Lực hấp dẫn đáng kinh ngạc.

2. G. S. Voronov. Tấn công vào pháo đài nhiệt hạch.

3. V. I. Goldansky, R. P. Kuzmin. Hiệu ứng Mossbauer

4. V. N. Dubrovsky, Vâng. A. Smorodinsky, E. L. Surkov. Thế giới tương đối.

5. V. A. Zaimovsky, T. L. Kolupaeva. Tính chất phi giáo dục của kim loại thông thường.

6. Thú vị về vật lý và toán học. (Biên soạn bởi S. S. Krotov, A. P. Savin.)

7. M. E. Levinshtein, G. S. Simin. Giới thiệu nhận sách.

8. A. P. Purmal, E. M. Slyubodtskaya, S. O. Travin. Các chất được biến đổi như thế nào.

9. S. S. Khilkovich. Vật lý vokg chúng tôi.

10. A. D. Chernin. Ngôi sao và vật lý.

Chúng tôi khuyên tất cả độc giả quan tâm nên đặt mua những cuốn sách này tại các hiệu sách hoặc trong bộ phận “Sách qua đường bưu điện”.

29

Từ kinh nghiệm cũ

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. VARLAMOV

Nửa năm trước, chúng tôi đã xuất bản bài báo đầu tiên về những thí nghiệm thú vị được thực hiện bởi những chàng trai trẻ tò mò trong thế kỷ trước.*) Hôm nay chúng tôi tiếp tục chủ đề này và mang đến cho độc giả một câu chuyện về một số thí nghiệm thú vị về điện.

Vào đầu thế kỷ 19, Hội đồng hành chính của Viện Hoàng gia Anh, nhằm giáo dục giới trẻ trong lĩnh vực khoa học tự nhiên, đã thành lập một khóa đọc khoa học đặc biệt. (Lưu ý rằng các môn học tự nhiên hoàn toàn không được dạy ở trường học ở Anh vào thời điểm đó.) Trong tổ chức của nó, nó giống như một trường học Chủ nhật, mà như bạn nhớ, Tom Sawyer đã chăm chỉ theo học. Tuy nhiên, cùng với “vị giám đốc tồi tàn với cuốn sách cầu nguyện và những bài giảng nhàm chán”, họ đã lên bục giảng của Viện Hoàng gia và nói chuyện với những người trẻ tuổi.

Người giảng dạy nổi bật thời bấy giờ là Michael Faraday, John Tyndall và những người khác.

Một số khóa học được giảng dạy đã được ghi lại và sau đó được xuất bản. Do đó, một loạt bài giảng mang tên “Lịch sử hóa học của ngọn nến” do Faraday đưa ra năm 1860 và xuất bản lần đầu năm 1861, đã trở nên nổi tiếng trên toàn thế giới. Kể từ đó, cuốn sách này đã được tái bản nhiều lần bằng nhiều ngôn ngữ khác nhau, trong đó có tiếng Nga. Ấn bản tiếp theo được xuất bản gần đây trong Thư viện «Kvant»*).

Không kém phần đáng chú ý là cuốn sách Bài học về điện của Tindalay. Hôm nay bạn sẽ tìm hiểu về một số thí nghiệm từ cuốn sách này.

Nghiên cứu về điện bắt đầu phát triển muộn hơn cơ học. Vì vậy, trong gần hai nghìn năm, kiến ​​thức của con người trong lĩnh vực này chỉ giới hạn ở việc hổ phách có thể hút các vật thể nhẹ. Chỉ đến thế kỷ 17, những định luật đầu tiên mô tả hiện tượng điện mới được phát hiện.

Tyndall nhận thấy nguyên nhân của sự trì trệ như vậy là do việc bỏ bê các thí nghiệm. Đó là nghệ thuật tiến hành thí nghiệm,

*) A. Varlamov. Một trăm năm trước. «Kvant», 1982, số 10.

29

31

“sống lại” - họ giơ tay và chân lên, nhảy lên và cuối cùng nổi lên kính.

Ngay sau khi bạn ngừng truyền điện vào kính, điện tích sẽ bắt đầu thoát ra khỏi hộp và các hình sẽ bắt đầu rơi xuống đáy, nhưng trong một thời gian khá dài, chúng sẽ co giật tay chân cho đến khi sự sống do điện ban cho chúng không còn nữa.

Phông chữ gốc

Thiết lập một đài phun nước đơn giản bằng cách sử dụng một bể nước đặt trên bệ nâng (chẳng hạn như trên tủ) và một ống hút thông thường làm bằng ống cao su. Gia cố phần cuối của ống để dòng nước không hướng lên thẳng đứng mà hơi nghiêng một góc, đạt độ cao khoảng 50 cm. Sau khi đạt đến độ cao tối đa, dòng nước thường tan rã thành một siêu âm. Nếu bạn mang trước một cây đũa phép có điện đến nó, vòi phun sẽ ngay lập tức ngoan ngoãn co lại thành dòng tĩnh lặng. Hãy cố gắng giải thích tại sao.

Thí nghiệm này được thực hiện hiệu quả trong bóng tối, chỉ chiếu sáng một dòng nước từ bên dưới.

Bây giờ hãy mô tả một thí nghiệm đẹp chứng minh tác dụng ngược lại của điện tích.

Cố định phễu bất động và cắm dây vào đó. Quấn đầu kia của dây xung quanh ống thủy tinh sưởi ấm. Đổ các mảnh kim loại vào phễu - chúng sẽ đổ ra một dòng liên tục không đều. Nhưng ngay khi bạn chà ống bằng một miếng da hoặc lụa, hình ảnh sẽ thay đổi đáng kể. Các điện tích tạo ra trên ống do rung động được truyền qua dây tới các tấm kim loại; chúng sẽ thu được điện tích một chiều và phân tán, tạo thành một loại đài phun nước.

Cách làm máy điện

Nếu bạn muốn vượt xa những nhà bán buôn đũa phép điện khí hóa, bạn cần học cách truyền đạt những khoản phí lớn hơn nhiều cho chủ đề của mình. Ví dụ, sử dụng máy được đề xuất.

Chiếc máy điện đầu tiên được thiết kế bởi burgomaster của Magdeburg, kỹ sư quân sự Otto von Guericke vào năm 1660. Guericke được biết đến chủ yếu nhờ các thí nghiệm về phát hiện áp suất khí quyển, đã đi vào lịch sử vật lý với tên gọi “thí nghiệm với bán cầu Magdeburg” (chúng được đề cập trong sách giáo khoa vật lý lớp 6-7).

Máy điện của Guericke là một quả cầu lưu huỳnh có kích thước bằng đầu một đứa trẻ, được gắn trên một trục sắt có tay quay và đặt trên một giá đỡ bằng gỗ. Nhiều thí nghiệm khác nhau có thể được thực hiện với quả bóng này. Ví dụ, bằng cách xoay quả bóng bằng tay và chà xát trực tiếp bằng bàn tay khô, Guericke quan sát thấy sự xuất hiện của những tia lửa nhỏ từ quả bóng - quả bóng phát sáng trong bóng tối. Bằng cách lấy quả bóng ra khỏi giá đỡ và di chuyển quanh phòng với nó, anh ấy đã bắt được những vật thể nhẹ, chẳng hạn như một chiếc lông vũ, lơ lửng trong không trung. Trong quá trình thí nghiệm, Guericke nhận thấy một điều kiện quan trọng: ánh sáng

32

Các vật thể khác ban đầu bị thu hút bởi quả bóng nhiễm điện, nhưng sau khi chạm vào nó, chúng ngay lập tức bị đẩy lùi (nghĩ tại sao?) và giữ một khoảng cách nhất định với nó cho đến khi chạm vào các vật thể khác, sau đó chúng lại có thể bị quả bóng thu hút. Sau đó, quả cầu lưu huỳnh được thay thế bằng một ống trụ thủy tinh, và sau đó là một đĩa thủy tinh tiện lợi hơn. Những cỗ máy này tạo ra tia lửa mạnh đến mức chúng có khả năng đốt cháy ether.

Trong tất cả các hình ảnh tiếp theo của máy điện di, giúp có thể thu được nhiều điện tích hơn nữa, có một yếu tố bổ sung đặc trưng của máy móc hiện đại - chất dẫn điện, tức là để thu điện tích.

Hãy để chúng tôi mô tả cấu trúc của một trong những chiếc máy đơn giản nhất, dễ dàng tự chế tạo. Nó bao gồm hai phần tử chính - một hình trụ mở rộng, truyền điện bằng ma sát và một dây dẫn.

Xi lanh $A$ được làm từ một chiếc chai đơn giản. Cùng với phích cắm, một tay quay $P$ đi vào cổ, nhờ đó xi lanh được quay. Các giá đỡ $B_1$ và $B_2$, dán vào đế $O$ của máy, được cắt từ ván ép, chiều cao của chúng là 10-12 cm. Ở phần trên của cống làm các lỗ cho trục quay ở cùng độ cao. Một miếng gỗ được dán vào đáy chai, trong đó có một con vít $M$ xuyên qua giá đỡ. Nó đóng vai trò là đầu bên trái của trục quay, đồng thời gắn chai vào trụ đối diện. Để ngăn vít cắt vào gỗ, tốt nhất nên đặt một tấm kim loại có rãnh ở giữa bên dưới.

Bàn chải cọ xát là một tấm ván phủ da, rộng 4-5 cm, được ép vào chai bằng hai lò xo chặt. Bàn chải được gắn vào đế theo cách sau: hai ống ngắn, có thành mỏng, rộng, rộng được đặt trong đế và các ống có đường kính nhỏ hơn vừa khít với các ống bên dưới được đưa vào bàn chải.

Dây dẫn $K$ bao gồm một thanh kim loại dày 4-6 mm và một quả bóng kim loại được gắn vào đầu bên trái của thanh kim loại. Một phụ kiện bằng đồng được dán vào thanh, nhờ đó dây dẫn được cố định trong một ống nằm ở đầu trụ bên trái. Các điểm kết nối giữa prutta với bi và vòi đồng phải được làm sạch tốt.

Bánh xe điện gió và mạng điện

Với sự trợ giúp của máy điện di mà bạn đã chế tạo, bạn có thể tiến hành nhiều thí nghiệm thú vị. Một trong những cách đơn giản nhất là tạo ra cái gọi là gió điện. Dùng một tấm đĩa gắn một chốt vào bi dây dẫn sao cho đầu của nó luôn chạm vào dây dẫn và bản thân chốt được đặt nằm ngang. Nếu bây giờ bạn xoay tay cầm của máy bằng một tay và đặt ngọn lửa lên bằng tay kia, bạn sẽ cảm thấy gió thổi. Cơn gió này có thể mạnh đến mức gió giật có thể thổi tắt ngọn lửa của một ngọn nến.

33

Thoạt nhìn, hiện tượng bí ẩn này được giải thích là do tính chất điện của đầu nhọn. Vì các điện tích cùng dấu đẩy nhau nên chúng chảy ra khỏi dây dẫn, có xu hướng di chuyển ra xa dây dẫn càng xa càng tốt và tích tụ với số lượng lớn ở cuối đầu. Những điện tích này thu hút các điện tích trái dấu từ không khí, chúng “ngồi” trên các bộ phận khác nhau lơ lửng trong không khí. Sau khi chạm vào đầu, các hạt ngay lập tức được nạp lại và mang điện tích cùng dấu như trên dây dẫn, bay ra khỏi đầu. Dòng chảy của các bộ phận này tạo ra gió sấm sét.

Đặc tính được mô tả của đầu nhọn có thể được sử dụng để chế tạo một thiết bị điện tương tự của bánh xe Segner, loại bánh xe này đã được biết đến từ thời cổ đại (quay với sự trợ giúp của phản lực, nước chảy ra từ vòi của nó). Lấy nút chai, khoét rỗng phần giữa của nó sao cho một ống kim loại vừa với đó. Bên ngoài, chèn một số thanh kim loại uốn cong theo hình móc, đặt chúng đối xứng. Bây giờ hãy lắp “bánh xe” này vào một trục thẳng đứng bằng kim loại nối với dây dẫn của máy điện di. Khi tay cầm của máy quay, các điện tích sẽ lắng đọng trên các đầu và, như trong thí nghiệm trước, một dòng hạt tích điện sẽ được nhận từ chúng. Những dòng chảy này làm cho “bánh xe” quay.

Hoạt động của cột thu lôi dựa trên cùng một đặc tính. Người phát minh ra nó, Benjamin Franklin, đã chứng minh một cách hết sức mù mờ nguyên lý hoạt động của cột thu lôi như sau. Được biết, các đám mây giông luôn có chuyển động rất không đồng đều, một số nằm ở những khoảng cách khác nhau so với mặt đất, một số có khi bay rất thấp so với mặt đất. Franklin tin rằng những “mắt xích” đi xuống như vậy của đám mây giông là những bậc thang che đậy sự lựa chọn đường đi của tia sét. Để chứng minh điều này, ông đã treo vài tờ giấy nam việt quất lên dây dẫn của máy điện di, gắn chúng lại với nhau. Khi tác dụng một điện tích lên chúng, các cây gậy sẽ bị kéo về phía mặt đất. Múc tới đáy kim nam việt quất, Franklin buộc nó phải nhô lên kim trước đó và làm như vậy cho đến khi toàn bộ tờ giấy quay trở lại người soát vé, như thể anh ta chưa hề bị tích điện.

Hãy cố gắng làm và giải thích kinh nghiệm này.

Vấn đề

Hình vẽ cho thấy đầu của ba ốc vít (nhìn từ trên xuống). Một trong những đầu này có hình trụ, đầu còn lại có hình nón cụt và đầu thứ ba có hình bán cầu. Cái nào?

35

($I_{\text{рез} \min} = 0$). Sự phân phối lại năng lượng trong không gian này là một dấu hiệu đặc trưng của sự giao thoa.

Hiện tượng giao thoa dễ dàng được chứng minh đối với sóng nước hoặc sóng vô tuyến. Việc quan sát các kiểu giao thoa trong quang học không phải là điều dễ dàng, vì các nguồn sáng thông thường (không phải tia laser) phát ra các dao động có pha thay đổi nhanh chóng và ngẫu nhiên và do đó bị lỏng lẻo. Tuy nhiên, nếu ánh sáng từ một nguồn được chia thành hai chùm và sau đó các chùm này được xếp chồng lên nhau thì có thể thu được hình ảnh giao thoa khá rõ ràng $^*$).

Lưu ý rằng để mô tả chính xác hiện tượng giao thoa, sai số khi xác định độ lệch pha dao động phải nhỏ hơn đáng kể so với $\pi$ (nếu không sẽ không thể phân biệt được mức tối đa và mức tối thiểu). Trong trường hợp này, sai số trong việc thay đổi độ chênh lệch đường truyền sóng phải nhỏ hơn nhiều so với bước sóng $\lambda$ (đối với sóng ánh sáng, sai số này phải nhỏ hơn nhiều so với 0,1 μm).

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một vài bài toán cụ thể. Hầu hết chúng đều được lấy từ bài kiểm tra viết vật lý hàng ngày tại Viện Vật lý và Công nghệ Moscow.

Bài toán 1. Một sóng điện từ phẳng có tần số $v$, được tạo ra bởi ăng-ten còi, rơi vuông góc với một tấm phản xạ màn hình phẳng. Xác định biên độ của sóng phản xạ nếu thay đổi hướng của điện trường khi di chuyển giữa màn hình và loa, cố định bởi biên độ trường lớn nhất $A_1$ và nhỏ nhất $A_2$. Đồng thời xác định khoảng cách giữa hai cực đại trường liền kề.

Trong không gian giữa loa và màn phản xạ, xảy ra sự chồng chất của sóng tới và sóng phản xạ. Tại các điểm cực đại, các pha dao động do các sóng này gây ra trùng nhau và do đó số lần xuất hiện với biên độ

$$A_1 = A_{\text{пад}} + A_{\text{отр}}.$$

Tại các điểm cực tiểu, sóng tới và sóng phản xạ ngược pha và tổng biên độ dao động bằng

$$A_2 = A_{\text{пад}} - A_{\text{отр}}.$$

Từ hai đẳng thức này ta tìm được

$$A_{\text{отр}} = \left( A_1 - A_2 \right) / 2.$$

Đặt các dao động tại điểm có tọa độ $x$ do sóng tới gây ra được mô tả bằng biểu thức

$$a_{\text{пад}} = A_{\text{пад}} \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right) = A_{\text{пад}} \cos \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x \right).$$

Nếu khoảng cách từ loa đến màn là $l$ thì sóng phản xạ truyền đi một quãng đường $2l - x$ đến điểm này và dao động do sóng phản xạ gây ra có dạng

$$a_{\text{отр}} = A_{\text{отр}} \cos \omega \left( t - \frac{2l - x}{c} \right) = A_{\text{отр}} \cos \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x - \frac{4\pi l}{\lambda} \right).$$

(Trên thực tế, khi sóng bị phản xạ, pha của dao động có thể thay đổi ngược lại, nhưng điều này không thể ảnh hưởng đến lý luận sâu hơn của chúng ta.)

Cho hai cực đại liền kề được quan sát tại các điểm có tọa độ $x_1$ và $x_2$. Độ lệch pha giữa dao động gây ra bởi sóng tới và sóng phản xạ tại các điểm này lần lượt bằng nhau

$$\left( \Delta \varphi \right)_1 = \left( \omega t - \frac{2\pi}{\lambda} x_1 \right) - \left( \omega t + \frac{2\pi}{\lambda} x_1 - \frac{4\pi}{\lambda} l \right) = - \frac{4\pi}{\lambda} x_1 + \frac{4\pi}{\lambda} l$$

Và

$$\left( \Delta \varphi \right)_2 = - \frac{4\pi}{\lambda} x_2 + \frac{4\pi}{\lambda} l.$$

Trong hai cực đại liền kề, pha của dao động thu được sẽ

36

Rõ ràng, mô hình giao thoa rộng nhất sẽ ở nơi có diện tích giao nhau lớn nhất của các chùm giao thoa. Từ Hình 2 có thể thấy rằng đây sẽ là một khoảng cách

$$L \approx \frac{D}{4 \text{tg} \beta} \approx \frac{D}{4 \beta} \approx \frac{Dn}{4 \alpha} \approx 112.5 \text{ см.}$$

Trong trường hợp này, độ rộng của toàn bộ mẫu giao thoa bằng $b = D/2 = 3 \text{ см.}$

Mỗi tia giao nhau có chiều rộng $d = (D/2) \cos \beta \approx D/2$. Các bề mặt sóng của dầm tạo thành một góc bằng $2\beta$; do đó, sự khác biệt lớn nhất trong đường đi của chùm tia là

$$\Delta l = d \text{tg} 2\beta \approx d \cdot 2\beta.$$

Hiệu đường đi tương ứng với hai cực đại (hoặc cực tiểu) liền kề bằng bước sóng $\lambda$. Vậy số vân giao thoa tạo thành trên màn bằng

$$N = \frac{\Delta l}{\lambda} \approx \frac{2d\beta}{\lambda} \approx \frac{D\alpha}{n\lambda} \approx 800,$$

và chiều rộng của một dải là

$$b_0 = \frac{b}{N} \approx \frac{D/2}{D\alpha/(n\lambda)} \approx \frac{n\lambda}{2\alpha} \approx 37.5 \text{ мкм.}$$

Bài toán 3. Máy thu cảnh vô tuyến theo dõi sự xuất hiện của vệ tinh Trái đất từ ​​phía sau đường chân trời, được đặt trên bờ hồ ở độ cao $H = 3$ m so với mặt nước. Khi vệ tinh bay lên trên đường chân trời, sẽ có sự thay đổi định kỳ về cường độ tín hiệu thu được. Xác định tần số cảnh vô tuyến của vệ tinh nếu quan sát thấy cường độ cực đại, đặc biệt là ở các góc nâng vệ tinh $\alpha_1 = 3^\circ$ và $\alpha_2 = 6^\circ$ phía trên đường chân trời. Mặt hồ có thể coi là một tấm gương phản chiếu hoàn hảo.

Máy thu nhận được các tia phát ra vô tận từ vệ tinh và bị phản xạ từ mặt hồ. Trong Hình 3, đây lần lượt là các tia 1 và 2. Sự khác biệt giữa chúng

$$\Delta l = |AC| - |AB| = \frac{H}{\sin \alpha} - \frac{H}{\sin \alpha} \cos 2\alpha$$

37

Phân tích thành các yếu tố khác nhau

Nói chung, khi phân tích một số tự nhiên thành thừa số nguyên tố, các tổ hợp được lặp lại: $4 = 2^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$, v.v.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $B$ tập hợp các số tự nhiên sao cho mọi số tự nhiên $n > 1$ không có trong $B$ đều có thể được biểu diễn duy nhất! — biểu diễn nó dưới dạng tích của các số khác nhau từ $B$.

1. Xây dựng một bộ như vậy $B$; chứng minh rằng nó được xác định duy nhất. a) Dạng phân tích thành thừa số nguyên tố của các số từ $B$ là gì? Chúng ta hãy biểu thị bằng $b_n$ phần tử lớn thứ $n$ của tập hợp $B$. Dễ dàng nhận thấy rằng $b_1 = 2$, $b_2 = 3$, $b_3 = 4$, $b_4 = 5$, $b_5 = 7$, $b_6 = 9$.

2. Chúng ta hãy xem xét cách biểu diễn các số tự nhiên dưới dạng tích các số từ $B$ (đối với các số $b \in B$, chúng ta sẽ xem xét các cách biểu diễn như vậy của đẳng thức $b = b$). Ví dụ: $2 = 2$, $10 = 2 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4$, $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9$, $120 = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$. Đối với $b \in B$, chúng tôi biểu thị bằng $v_b(n)$ số lượng số không vượt quá $n$, biểu diễn được đề cập trong đó bao gồm hệ số $b$. Ví dụ: $v_2(2) = v_2(3) = v_2(4) = v_2(5) = 1$, $v_2(6) = v_2(7) = 2$, $v_2(8) = v_2(9) = 3$, $v_2(10) = 4$. Chứng minh rằng với mỗi $b \in B$ a) $\lim_{n \to \infty} \frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$; b) có vô số $n$ sao cho $\frac{v_b(n)}{n} = \frac{1}{b+1}$.

3. Chúng ta đặt $m < n$ nếu mọi thừa số từ cách biểu diễn số $m$ nêu trên đều được đưa vào cách biểu diễn số $n$. Ví dụ: $2 < 2$, $2 < 10$, $30 < 120$, nhưng không phải $30 < 90$. Chúng ta cũng hãy đặt $1 < n$ cho tất cả $n$. Có bao nhiêu $m$ sao cho $m < n$, nếu $n$ bị phân tách thành tích của số $k$ của các số từ $B$? Chúng ta gọi một số $n$ là hài hòa nếu nó bằng tổng của tất cả $m < n$ sao cho $m < n$. Ví dụ: số 6 và 90 hài hòa: $6 = 2 \cdot 3 = 1 + 2 + 3$, $90 = 2 \cdot 5 \cdot 9 = 1 + 2 + 5 + 9 + 10 + 18 + 45$. a) Tìm thêm một số số hài hòa (tác giả không biết chúng là hữu hạn hay tập hợp). b) Chứng minh rằng mọi số hài đều là số chẵn. Tìm những con số vừa hài hòa vừa hoàn hảo.

V. S. Shevelev

38

Phát hiện hạt mới

Tháng 1 năm 1983 được đánh dấu bằng một sự kiện lớn trong lịch sử vật lý. Tại Geneva, Tổ chức Nghiên cứu Hạt nhân Châu Âu (CERN) công bố phát hiện ra một hạt mới - boson W. Hạt được sinh ra trong sự va chạm của một proton và một phản proton, được gia tốc tới năng lượng 270 GeV (1 GeV = 10³ MeV = 10⁹ EV) mỗi hạt.

Hiện tượng này cực kỳ hiếm. Trong hai tháng hoạt động của cơ sở đăng ký, chỉ có sáu trường hợp sản xuất boson W (hai trường hợp nữa được báo cáo bởi một nhóm nhà vật lý khác).

Việc phát hiện ra hạt mới rất được mong đợi. Và không phải ngẫu nhiên: sự tồn tại của nó đã được dự đoán về mặt lý thuyết từ vài năm trước. Thực tế là boson là “nhân vật chính” của lý thuyết tương tác điện yếu, một lý thuyết thống nhất về các quá trình điện từ và yếu (các tác giả của nó là S. Weinberg, S. Glashow và A. Salam đã nhận được giải Nobel năm 1979). Chúng liên quan đến trường tương tác yếu - tương tác tự biểu hiện, chẳng hạn như trong quá trình phân rã beta của hạt nhân. Những hạt này là lượng tử của trường yếu, tương tự như photon là lượng tử của trường điện từ.

Họ lượng tử yếu gồm ba hạt: W⁺, W⁻ và Z⁰; hai cái đầu tiên được tích điện, cái cuối cùng là trung tính. Với sự giúp đỡ của họ, nhiều phép biến đổi được thực hiện trong thế giới của các hạt cơ bản.

Khi tôi nói về các bộ phận mới, tôi chưa bao giờ nhìn thấy chúng trong bất kỳ thí nghiệm nào, và điều này khiến các nhà khoa học vô cùng khó chịu. Tuy nhiên, lý thuyết này không chỉ dự đoán sự tồn tại của chúng mà còn cả khối lượng của chúng: 78 GeV đối với W⁺ và W⁻ và 89 GeV đối với Z⁰ (hãy nhớ rằng trong vật lý hạt, khối lượng thường không được biểu thị bằng đơn vị khối lượng mà bằng đơn vị năng lượng).

Việc chuẩn bị cho các thí nghiệm kéo dài hai năm, và cuối cùng những chiếc bazon đầu tiên đã được ghi lại bằng các nhạc cụ. Các thí nghiệm (người đứng đầu họ là nhà vật lý người Ý Rubbin) được thực hiện với các điểm va chạm của proton và phản proton, trong các va chạm của chúng, vi phạm các hạt khác, các boson W được cho là đã ra đời:

$$p + \bar{p} \rightarrow W + \text{что угодно.}$$

Tất nhiên, thứ bị “bắt giữ” không phải là bản thân boson mà là sự phân rã tiếp theo của nó (đó là lý do tại sao tên đầy đủ hơn của hạt mới là boson trung gian). Ví dụ, một boson W dương bẩm sinh phân hủy thành positron và neutrino:

$$W^{+} \rightarrow e^{+} + v.$$

Điều đáng ngạc nhiên là các ước tính thực nghiệm về khối lượng của boson W - (81 ± 5) GeV - hóa ra lại rất gần với lý thuyết (việc cộng thêm ±5 GeV là ước tính về độ chính xác của thí nghiệm; giá trị thực tế nằm trong khoảng từ 76 đến 86 GeV). Điều này khiến người ta có thể coi các thí nghiệm về trọng lượng được thực hiện là hợp lý.

Có thể nói rằng hiện nay lý thuyết về tương tác điện từ và tương tác yếu đã nhận được sự chứng minh bằng thực nghiệm. Tất nhiên, mặc dù vẫn còn rất nhiều công việc phía trước - chúng ta cần tích lũy các trường hợp sản xuất boson W tương tự, làm rõ các tính chất của chúng và cuối cùng, chúng ta cũng cần phải “bắt” được boson trung tính.

TÔI Ở VỚI.

39

Bài toán

1. Họ trả một đồng rúp cho cuốn sách, và vẫn còn số tiền còn lại để trả nếu họ trả bằng số tiền còn lại để trả.
   Cuốn sách có giá bao nhiêu?
2. Sắp xếp các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 vào các vòng tròn trong hình sao cho tổng các gót của các dãy số nằm dọc theo “đoạn” bằng nhau.
3. Số chia hết cho tích của ba số liên tiếp bất kỳ là bao nhiêu?
4. Hai người chơi tic-tac-toe trên bàn cờ 3x3 theo quy tắc đã được sửa đổi: mỗi người có thể đặt cả tic và 1 ngón chân vào lượt của mình. Người chiến thắng là người có nước đi tạo ra ba biểu tượng giống hệt nhau liên tiếp (theo chiều dọc, chiều ngang hoặc đường chéo - như trong trò chơi tic-tac-toe thông thường). Ai thắng trò chơi này - người mới bắt đầu hay người chơi thứ hai? Và bằng cách nào?
5. Vào một ngày nắng đẹp, tôi đang lái ô tô trên con đường ướt với chú Seryozha, một người lái xe giàu kinh nghiệm. Những cục đất bay từ dưới bánh xe ô tô phía trước rơi xuống kính chắn gió. Khi xe dừng trước đèn đỏ, tôi hỏi:
   • Chú Seryozha, cháu có thể lau nhanh kính bằng khăn ướt được không?
     “Không thể nào,” chú Seryozha trả lời, “nếu không thì cháu sẽ phải làm việc này hoài!”
     Giải thích những gì đang xảy ra ở đây.

Những bài toán này đã được cung cấp cho chúng tôi
N. K. Antonovich, M. A. Mnatsakanyan,
A. P. Savin, L. Feldman, S. S. Krotov

40

Trên ngón tay và trong tâm trí bạn

R. S. DANELIA

Thời thơ ấu, để cộng số, tất cả chúng ta đều sử dụng một chiếc máy tính do chính thiên nhiên thiết kế - mười ngón tay. Hóa ra “thiết bị” tương tự cũng có thể được sử dụng khi nhân số. Chúng tôi sẽ chỉ cho bạn cách nhân hai số bất kỳ từ 6 đến 10. Để làm điều này, hãy đánh số các ngón tay: trừ - 6, đeo nhẫn - 7, giữa - 8, trỏ - 9, ngón cái - 10. Giả sử chúng ta cần tìm kết quả 7x8. Để làm điều này, ở tay trái chúng ta uốn các ngón 6, 7, ở bên phải - 6, 7, 8, sau đó nhân số ngón cong của cả hai tay với 10 và cộng tổng số ngón của bàn tay với số ngón của bàn tay trái: 5 10 + 2 3 = 56.

Sau khi thực hành một chút hoặc dạy nghệ thuật đơn giản này cho em trai của bạn, người vẫn biết rõ bảng cửu chương, bạn có thể kiểm tra xem phương pháp nhân này có luôn cho kết quả đúng hay không. Tại sao?

Số cần tìm là tích ab, trong đó 6<a<10, 6<b<10. Rõ ràng là có ngón a-5 ở tay trái và ngón b-5 ở tay phải. Như vậy, số ngón bit là a + b - 10. Bàn tay trái có ngón 10 a và bàn tay phải có ngón 10 b. Tích của chúng bằng (10-a)(10-b).

Theo những gì đã nói, chúng ta cần tìm tổng:

(a+b—10)·10+(10—a)(10—b).

Bằng cách mở dấu ngoặc, chúng ta đảm bảo rằng tổng của số thực bằng a·b, nghĩa là

41

$$a \cdot b = (a + b - 10) \cdot 10 + (10 - a) \cdot (10 - b).$$

Như vậy, phương pháp nhân ngón tay mà chúng tôi sử dụng là hợp lý.

---

Nhìn kỹ vào hành động tương tự (1), dễ hiểu là thay vì số 10 bạn có thể đặt bất kỳ số $m$ nào, tức là

$$ab = (a + b - m)m + (m - a)(m - b).$$

Kiểm tra nó ra! Sử dụng nhận thức này, bạn có thể nhanh chóng tìm được tích của hai số có cùng số chục, hàng trăm, …

Hãy xem xét các ví dụ.

1. Hãy tính tích 16 · 17. Trong cùng công thức (2), chúng ta lấy $m = 20$. Sau đó

$$16 \cdot 17 = (33 - 20) \cdot 20 + 4 \cdot 3 = 272.$$

2. Hãy tìm tích 42 · 44. Lấy $m = 50$. Sau đó

$$42 \cdot 44 = (86 - 50) \cdot 50 + 8 \cdot 6 = 1848.$$

Tất nhiên, $m$ có thể có những ý nghĩa khác. Ví dụ: sẽ rất tuyệt nếu chúng ta lấy 40 là $m$.

Trong trường hợp này chúng ta có

$$42 \cdot 44 = (86 - 40) \cdot 40 + 2 \cdot 4 = 1848.$$

3. Để tìm tích 121 · 103, trong cùng phương trình (2), chúng ta lấy $m = 100$. Sau đó

$$121 \cdot 103 = (224 - 100) \cdot 100 + 21 \cdot 3 = 12463.$$

---

Có thể bạn biết quy tắc bình phương các số có hai phần tận cùng bằng 5. Để tìm $(10x + 5)^2$, chỉ cần nhân số $x$ với số theo sau nó rồi cộng 25 vào kết quả thu được. Ví dụ,

$$35^2 = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 25 = 145.$$

Quy luật này là hệ quả của sự bình đẳng

$$(10x + 5)^2 = 10x(x + 1) + 25,$$

đến lượt nó là một trường hợp đặc biệt của danh tính (2).

---

Cuối cùng, hãy xem xét trường hợp $a = 10x + y$, $b = 10x + z$. Sau đó chúng tôi có

$$(10x + y)(10x + z) = x(10x + y + z)10 + yz.$$

Nếu $y + z = 10$, chúng ta nhận được danh tính tương tự như danh tính (3):

$$(10x + y)(10x + z) = 100x(x + 1) + yz.$$

Dựa vào đó, có thể xây dựng quy tắc sau: để tìm tích của hai số có số hàng chục giống nhau và tổng của các đơn vị là 10, cần nhân số hàng chục với số tiếp theo và cộng tích của các đơn vị với số kết quả (nếu một số không rõ ràng thì gán 0 trước số đó). Ví dụ:

1. $48 \cdot 42; 4 \cdot 5 = 20, 8 \cdot 2 = 16; 48 \cdot 42 = 2016;$
2. $99 \cdot 91; 9 \cdot 10 = 90, 9 \cdot 1 = 09; 99 \cdot 91 = 9009;$
3. $102 \cdot 108; 10 \cdot 11 = 110, 2 \cdot 8 = 16, 102 \cdot 108 = 11016.$

Bằng cách thực hành các kỹ thuật nhân này, bạn sẽ học được cách nhân nhanh nhiều số trong đầu. Và nếu bạn có thể nghĩ ra những ví dụ khác làm giảm phép nhân, hãy viết thư cho chúng tôi.

42

Bài toán

M801 — M805; F813 — F817

M801*. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ đẳng thức

$$[\sqrt{n}] + [\sqrt[3]{n}] + [\sqrt[4]{n}] + \ldots + [\sqrt[n]{n}] = [\log_2 n] + [\log_3 n] + [\log_4 n] + \ldots + [\log_n n]$$

([$x$] có nghĩa là phần nguyên của số $x$).

V. V. Kisil

M802. Trên các cạnh $AB$ và $BC$ của tam giác $ABC$, cũng như trên các cạnh huyền, các tam giác vuông $APB$ và $BQC$ có các góc độ lớn bằng nhau $\beta$ và đỉnh chung $B$ được dựng bên ngoài nó (xem Hình 1). Tìm các góc của tam giác $PQK$, trong đó $K$ là trung điểm của cạnh $AC$.

L. P. Kuptsov

M803. Tổng của hai số khác nhau $x$ và $y$ là một số tự nhiên, tổng nghịch đảo của chúng $1/x$ và $1/y$ cũng là một số tự nhiên. $x$ và $y$ có thể là gì?

R. A. Mazov, A. P. Savin

M804. Điểm $O$ là tâm trục của một hình trụ tròn đứng, $A$ và $B$ là các điểm đối xứng đường tròn của đường tròn đáy đáy hình trụ, $C$ là một điểm nào đó của đường tròn đáy trên không nằm trong mặt phẳng $OAB$. Chứng minh rằng tổng các góc nhị diện của một góc tam diện $OABC$ (với đỉnh $O$) là 2π.

I. K. Zhuk

M805*. a) Trên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của tam giác $ABC$, các điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$ lần lượt được chọn sao cho các đoạn $AA_1$, $BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng $S_{A_1B_1C_1} \leq S_{ABC}/4$.

b) Trên các mặt $BCD$, $CDA$, $BDA$, $ABC$ của tam giác $ABC$, các điểm $A_1$, $B_1$ lần lượt được chọn,

43

$C_1, D_1$ sao cho các đoạn $AA_1, BB_1, CC_1, DD_1$ cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng $V_{A_1B_1C_1D_1} \leqslant V_{ABCD}/27$.

R. P. Ushakov

F813. Ba thanh bản lề không trọng lượng có chiều dài $a$, mỗi thanh bản lề tại các điểm $A$ và $B$, nằm trên cùng một phương ngang (Hình 2); $|AB|=2a$. Một tải trọng lớn $m$ được treo trên bản lề $C$. Với lực tối thiểu tác dụng lên bản lề là bao nhiêu $D$ thanh giữa có giữ được vị trí nằm ngang không?

S. K. Strokov

F814. Một quả bóng có bán kính $R$ nằm trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn của một chiếc xe đẩy. Xe bắt đầu di chuyển với tốc độ $v_0$. Tìm hình chiếu ngang của vận tốc của quả bóng tại thời điểm nó chạm sàn.

A. R. Zilberman

F815. Đầu dưới của mao quản có bán kính $r=0,2$ mm và chiều dài $l=8$ cm được ngâm trong nước, nhiệt độ của nó không đổi và bằng $0^\circ C$. Nhiệt độ ở đầu trên của mao quản là $t_0=100^\circ C$. Nhiệt độ phụ thuộc vào hệ số sức căng bề mặt $\sigma(t)$ của nước đưa vào bàn. Nước dâng lên trong mao mạch đến độ cao bao nhiêu? Độ dẫn nhiệt của mao quản lớn hơn nhiều so với độ dẫn nhiệt của nước trong đó; trao đổi cơ thể với ảnh hưởng xung quanh có thể được bỏ qua.

A. I. Buzdin

F816. Trong mạch như hình 3, điện trở của các điện trở bằng nhau và bằng $R=60$ Ohm thì điốt là lý tưởng. Một cục pin có điện áp $U=12$ V sẽ được nối với các điểm $A$ và $B$ trong thời gian $t_1=1$ s. Sau đó, đảo ngược dải, anh ta nối pin với mạch điện trong thời gian $t_2=5$ s. Tìm nhiệt lượng tỏa ra trong mạch.

L. P. Bakanina

F817. Hình 4 thể hiện sự phụ thuộc của chiết suất $n$ vào tọa độ. Một chùm ánh sáng đơn sắc hẹp chiếu vào mặt phân cách giữa môi trường I và môi trường II. Ánh sáng truyền qua môi trường III với góc tới bằng bao nhiêu?

V. V. Mozhaev

46

M788. a) Trên biểu đồ $y = x^2$, các điểm $A$ ($a; a^2$) và $B$ ($b; b^2$) được bù đắp. Đặt giữa chúng một điểm $M(m; m^2)$ mà tổng diện tích của hai đoạn giới hạn bởi đồ thị và các đoạn $AM$ và $BM$ là nhỏ nhất.
b) Trên đồ thị, các điểm $A$ và $B$ được bù bởi hàm khả vi $y = f(x)$. Được biết, đồ thị và đoạn $AB$ giới hạn vật lý lồi. Giả sử $M$ là một điểm trên đồ thị nằm giữa $A$ và $B$ sao cho tổng diện tích của hai đoạn giới hạn bởi đồ thị và các đoạn $AM$ và $BM$ là nhỏ nhất. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $M$ song song với dây cung $AB$.

Trước tiên chúng ta hãy trình bày lời giải cho trường hợp tổng quát (điểm 6), sau đó áp dụng kết quả cho các hàm $f(x) = x^2$ (điểm a).

Vì theo điều kiện, đoạn $AB$, được giới hạn bởi đoạn $AB$ và đồ thị $y = f(x)$, là một hàm lồi nên diện tích của nó bằng tổng diện tích của tam giác $ABM$ và các đoạn $AM$ và $MB$ (xem hình). Do đó, nếu tổng diện tích của các đoạn $AM$ và $MB$ là nhỏ nhất thì diện tích của tam giác $ABM$ là lớn nhất. Chia tam giác này thành hai - $AM_1M$ và $BM_1M$ - bằng một đường thẳng $MM_1$, song song với trục tọa độ. Đặt $a, b$ và $m$ là hoành độ của các điểm $A, B$ và $M$, và, để định nghĩa, $a < b$. Sau đó

$$S_{ABM} = S_{AM_1M} + S_{BM_1M} = \frac{1}{2} (m - a) \cdot |MM_1| + \frac{1}{2} (b - m) \cdot |MM_1| = \frac{1}{2} (b - a) \cdot |MM_1|,$$

Giá trị quan trọng nhất của diện tích tam giác $ABM$ đạt được khi độ dài tối đa của đoạn $MM_1$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $l(x) = kx + c$ hàm tuyến tính có đồ thị là đường thẳng $AB$, sau đó là $|MM_1| = l(m) - f(m)$. (Chúng tôi giả sử rằng dây cung $AB$ nằm phía trên biểu đồ - xem hình; nếu không thì $|MM_1| = f(m) - l(m)$.) Theo định lý Fermat (xem Đại số và Phân tích 9-10, đoạn 26), tại điểm cực đại của hàm $g(x) = l(x) - f(x)$ giá trị tùy ý của nó bằng 0, tức là $g'(m) = l'(m) - f'(m) = 0$ và $f'(m) = l'(m) = k$. Nhưng $f'(m)$ và $k$ là các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = f(x)$ tại điểm $M$ và đường thẳng $AB$, và sự bằng nhau của các hệ số góc hàm ý sự song song của các đường thẳng tương ứng.

Cụ thể, nếu $f(x) = x^2$, độ dốc của đường $AB$ bằng $(b^2 - a^2) / (b - a) = a + b$ và hàm tùy ý $f(x)$ tại điểm $m$ bằng $2m$. Hình được giới hạn bởi parabol và dây cung của nó, như dễ thấy, là hình lồi. Do đó, hoành độ của điểm $M$, trong đó tổng diện tích của các đoạn $AM$ và $MB$ là lớn nhất, thỏa mãn điều kiện $2m = a + b$, tức là điểm $M$ có tọa độ $(\frac{a + b}{2}; (\frac{a + b}{2})^2)$.

E. D. Moskovsky. Yu. V. Chinayaev

M789. a) 10 điểm chia vòng tròn thành 10 phần đấu bằng nhau, nối thành từng cặp bằng 5 dây. Có nhất thiết phải có hai hợp âm có cùng độ dài giữa chúng không?
b) * 100 điểm chia vòng tròn thành 100 trận đấu bằng nhau,

48

Rõ ràng, $F$ bảo toàn bộ ba đỉnh của bất kỳ tam giác đều nào có cạnh $r$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $F$ cũng bảo toàn bốn đỉnh của bất kỳ hình thoi $ABCD$ nào có cạnh $r$ và đường chéo $|BD|=r$ (do đó nó suy ra: $|A'C'|=|AC|=\sqrt{3}$ cho $r=1$). Chứng minh rằng $C' \neq A'$ là đủ. Để làm điều này, hãy cùng xem xét hình thoi $ABCD$ hình thoi bằng nhau $AKLM$, sao cho $|CL|=r$ (Hình 3). Nếu $C'=A'$ thì $|C'L'|$ bằng 0 hoặc $\sqrt{3} r$, điều này là không thể, hoặc $|C'L'|=|CL|=r$.

Vì vậy, $F$ bảo toàn bộ tứ $ABCD$, và do đó là “mạng tam giác”, tức là tập hợp các đỉnh của các tam giác đều có cạnh $r$ bao phủ mặt phẳng và các tập hợp con của nó - một tập hợp nguyên các điểm trên một đường cách nhau một khoảng $mr$, $m=1, 2, \dots$ (Hình 4). Do đó $F$ bảo toàn khoảng cách $mr$.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh điều đó với hai điểm bất kỳ $X$ và $Y$ $|XY|-2r \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|+r$ (*)

(bất đẳng thức thứ hai cho $r=1$ là điểm 6) bài toán). Cho $(m-1)r \leqslant |XY|<mr$, trong đó $m$ là số tự nhiên. Sau đó, các điểm $X$ và $Y$ có thể được kết nối bằng một đường đứt nét $XX_1X_2\dots X_{m-1}Y$ từ $m$ bằng các liên kết có độ dài $r$ (Hình 5, a) và $|X'Y'| \leqslant |X'X_1'|+|X'_1X_2'|+\dots+|X'_{m-1}Y'|=mr \leqslant |XY|+r$. Mặt khác, nếu $X_m$ là một điểm trên đồng cỏ $XY$ sao cho $|XX_m|=mr$ (Hình 5, b), thì $|X_mY| \leqslant r$ và $|X'Y'| \geqslant |X'X_m'|-\dots|X'_mY'|$. Nhưng $|X'X_m'|=|XX_m|=mr$ và $|X'_mY'| \leqslant |X_mY|+r \leqslant 2r$, do đó $|X'Y'| \geqslant mr-2r \geqslant |XY|-2r$.

Cuối cùng, chúng tôi chứng minh rằng nếu $F$ bảo toàn khoảng cách 1, thì chúng tôi có thể chỉ định một khoảng cách nhỏ tùy ý $r$ được bảo toàn theo ánh xạ này. Từ đây, sử dụng các bất đẳng thức (*), ta sẽ suy ra các mệnh đề d) và e).

Xét tia $l$ có gốc $O$ và hai chuỗi điểm của nó $(A_m)$ và $(B_n)$: $|OA_m|=m, |OB_n|=n\sqrt{3}$, $m,n=1,2$, … Ánh xạ $F$, bảo toàn khoảng cách 1, bảo toàn, như chúng ta đã biết, từng chuỗi này. Hơn nữa, nó còn bảo toàn sự kết hợp của chúng, tức là các tia $O'A_m'$ và $O'B_n'$ trùng nhau. (Mặt khác (Hình 6), người ta có thể tìm thấy các cột $n$ sao cho $|A_m'B_n'|>2$ cho tất cả $m$. Đồng thời, $|A_mB_n| \leqslant 1$ cho một số $m$, rồi đến (*) $|A_m'B_n'| \leqslant 2$.) Theo đó, ánh xạ $F$ bảo toàn khoảng cách $r=|m-n\sqrt{3}|$ cho toàn bộ $m$, $n$. Vẫn còn phải áp dụng bổ đề quan trọng sau đây; trong số các số $|m-n\sqrt{3}|$ người ta có thể tìm thấy một số nhỏ hơn bất kỳ số dương nào $\varepsilon$. (Tuyên bố tương tự cũng đúng với tập hợp các số $|m-n\alpha|$, trong đó $m,n$ là số nguyên, với mọi số vô tỷ $\alpha$.) Để chứng minh điều đó, chỉ cần lưu ý rằng số $(2-\sqrt{3})^N$ có dạng $a_N-b_N\sqrt{3}$, trong đó $a_N$ và $b_N$ là số nguyên và với một số đủ lớn $N$ là một số nhỏ hơn $\varepsilon$.

Vì vậy, nếu $F$ giữ nguyên khoảng cách 1 thì các bất đẳng thức (*) được thỏa mãn với giá trị dương nhỏ tùy ý $r$. Do đó, $|XY| \leqslant |X'Y'| \leqslant |XY|(\text{пункты г})$ và e)), tức là $|X'Y'|=|XY|$ đối với hai điểm bất kỳ $X$ và $Y$. Nói cách khác, $F$ chỉ đơn giản là di chuyển mặt phẳng.

Chúng tôi để lại cho người đọc bài toán bằng chứng của một định lý tương tự trong không gian. (Lưu ý rằng ở đây cần có những ý tưởng mới, vì không thể thay thế không gian chỉ bằng các khối lập phương thông thường! Hãy thử chứng minh rằng nếu ánh xạ $F$ của không gian vào chính nó bảo toàn khoảng cách $r$, thì nó không chỉ bảo toàn một địa hình đều và một “lưỡng tháp” gồm hai địa hình, mà còn bảo toàn một hình bát giác đều có cạnh $r$.) A. Tyshchka, N. B. Vasiliev

F798. Một hòn đá được ném vuông góc xuống sông, vận tốc hiện tại bằng $u$, tính từ điểm $O$ trên bờ.