Kvant 1984, số 2 · Trang

QUANTUM
2
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

TẠI NHÀ:

2. B.V. Gnedenko. Sáng tạo toán học và tiến bộ xã hội
3. V. A. Zaimovsky. Vết nứt là kẻ thù của kim loại
4. V. P. Korotikhin. Sức mạnh nhìn thấy được
5. A. P. Veselov. Phân loại phim

IN THIS ISSUE:

B. V. Gnedenko. Mathematical research and social progress
V. A. Zaimovski. Cracks — enemies of metals
V. P. Korotikhin. Visible solidity
A. P. Veselov. Classification of spanning surfaces

Lịch của chúng tôi
22 Lev Andreevich Artsimovich
23 Ykov Ilyich Frenkel

Our calendar
Lev Andreevich Artsimovich
Yakov Il’ich Frenkel

Trường học ở «Kvant»
24 Vật lý 8, 9, 10
31 Trường học không bảng đen và phấn

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
School without blackboard or chalk

«Kvant» cho học sinh nhỏ
33 Bài toán
34 N. A. Quê hương. Nước thật quen thuộc và thật tuyệt vời!

Kvant for younger school-children
Problems
N. A. Rodina. So familiar and surprising — water!

Trang hình học
38 Quan điểm

Geometric page
Perspective

Bài toán Kvant
41 Bài toán M846 — M850; F858 — F862
44 Lời giải bài toán M831 — M835; F842 — F846

Kvant’s problems
Problems M846 — M850; P858 — P862
Solutions M831 — M835; P842 — P846

Các lựa chọn thi tuyển sinh
59 Đáp số, gợi ý, lời giải Hỗn hợp (51, 52)

College entrance examination problems
Answers, hints, solutions
Miscellaneous (51, 52)

Trang cờ vua
Số liệu quá tải (trang bìa thứ 3)

The chess page
Overload of pieces (3 rd cover page)

Ảnh ở trang 1. bìa - 纵断面 cho bức tượng của V. P. Korotikhin “Sức mạnh hữu hình”.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

2

Sáng tạo toán học và tiến bộ xã hội

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraina B.V. GNEDENKO

Tiến bộ xã hội chủ yếu không gắn liền với số lượng sản phẩm được sản xuất mà gắn liền với những ý tưởng mới nói chung làm thay đổi lực lượng sản xuất và ý thức xã hội, đồng thời mở ra những con đường mới trong khoa học và sản xuất. Tất nhiên, để xã hội tiến bộ, chỉ có ý tưởng mới thôi là chưa đủ; việc thực hiện chúng, việc thực hiện chúng thành hành động cũng là điều bắt buộc.

Ở một mức độ nào đó, việc tạo ra một cái mới luôn là sự phá hủy cái cũ đã được thiết lập sẵn. Đó là lý do tại sao các khái niệm mới về cơ bản trong khoa học và các cách tiếp cận khác thường đối với lời giải các vấn đề thực tế được trình bày và phát triển theo một cách khó khăn và lâu dài như vậy.

Điều này được mô tả một cách xuất sắc trong bài viết gần đây của A. D. Aleksadrov “Sự ngu ngốc và thiên tài” (xem «Kvant», Số 11, trang 12-17 và số 12, trang 7-12 và 15 cho năm 1982), dành riêng cho lịch sử khám phá hình học phi Euclide của Lobachevsky. Khi đọc bài viết này, chỉ có một mong muốn mà độc giả nhắc đến từ “sự ngu ngốc” không phải dành cho những người tài giỏi khám phá, khám phá những điều mới mẻ trong đại dương vô biên của những điều chưa biết, mà dành cho những người sẵn sàng phán xét một cách rõ ràng mọi thứ, ngay cả những gì họ không hiểu, và khép kín con đường đến với những thứ mới mẻ và đầy hứa hẹn.

Để nhân loại tiến lên trên con đường tiến bộ, cần có một dòng chảy liên tục của những bộ óc dũng cảm, có khả năng nhìn thấy khả năng cải tiến vốn có và đã được thiết lập, những người không ngại đưa ra quyết định nhân danh điều tốt nhất. Đó là lý do tại sao bầu không khí sáng tạo, việc khám phá những lời giải mới và việc đặt ra những vấn đề mới về cơ bản lại rất quan trọng đối với giới trẻ.

Những năm tháng học phổ thông và đại học có một nét độc đáo, đó là lúc một người tìm thấy niềm đam mê thực sự, làm giàu trí óc với lượng kiến ​​\u200b\u200bthức khổng lồ, đặt ra mục tiêu sống cho bản thân và bắt đầu thử thách khả năng sáng tạo của mình. Chính lúc này, câu hỏi sẽ được đặt ra cho những người trẻ: tôi có thể thêm gì vào những gì genini đã truyền lại cho nhân loại? Tôi có đủ khả năng và tài năng để làm việc này không? Đáp số Những câu hỏi này có thể được xác định trong cuộc sống tương lai của một người. Xã hội cực kỳ quan tâm đến việc các thành viên của mình làm quen với tư duy độc lập, khám phá những điều mới, sáng tạo và cải thiện những gì đã biết.

Một số nhà tư tưởng vĩ đại tin rằng khả năng sáng tạo là một phần của may rủi và không phải ai cũng có đủ khả năng đó. Quả thực, mỗi người trong chúng ta đều gặp những người gần như ngay lập tức

3

luôn tìm cách thoát khỏi tình huống khiến người khác bối rối. Ở trường học và đại học, có những sinh viên giải quyết những câu hỏi khó nhất bằng cách vui chơi, trong khi đối với những người khác, đó là những thử thách không thể vượt qua. Nhưng đây có phải là những giáo viên duy nhất được yêu cầu nói một từ mới trong khoa học hay những người siêng năng nhất sẽ làm điều đó? Trên thực tế, mọi thứ ở đây không đơn giản như vậy.

Tôi đã nhiều lần quan sát thấy rằng nhiều học sinh toán vượt qua kỳ thi một cách xuất sắc nhưng lại không trở thành những nhà toán học sáng tạo. Và đây là một sự tình cờ không phải vì họ không nỗ lực, không phấn đấu để tạo ra điều gì đó mới mẻ. Họ đã không thành công; họ dường như bị tước đi khả năng sáng tạo. Đồng thời, thường những học sinh không tỏa sáng trong các kỳ thi, những người được coi là xa lạ với lĩnh vực toán học này hay lĩnh vực khác, lại trở thành tác giả của những tác phẩm xuất sắc, tạo ra những hướng nghiên cứu toán học mới hoặc chứng minh những định lý xuất sắc. Hóa ra, ngọn lửa sáng tạo đã bùng cháy trong họ, họ có khả năng so sánh, khả năng nhìn mọi thứ từ một góc độ khác, nhờ đó họ thay thế những điều mới mẻ và thú vị, nơi nhiều chuyên gia đi ngang qua, không nhìn thấy gì cá nhân cho khoa học.

Trong một bài báo của học giả A. N. Kolmogorov, “Nuka cần sự đốt cháy” (Izvestia, 1962, ngày 21 tháng 2), có viết: “Tài năng, năng khiếu, chẳng hạn, trong lĩnh vực toán học, thí nghiệm vật lý, thiết kế các thiết bị mới, không phải do tự nhiên ban tặng cho tất cả mọi người. Không có sự chăm chỉ nào có thể thay thế được tài năng thiên bẩm này. Nó tạo ra những thành quả thực sự có giá trị trong khoa học chỉ khi kết hợp với tài năng, cũng như, tất nhiên, tài năng sẽ trở nên vô kết quả nếu không kiên trì và kiên trì. làm việc tập trung.”

Người ta không nên nghĩ rằng tài năng toán học là cực kỳ hiếm. Kinh nghiệm của tôi cho thấy có khá nhiều người có năng khiếu toán học nhưng thường thì bản thân họ cũng không tin vào năng khiếu của mình hoặc không tìm thấy đủ sức mạnh để phát triển năng khiếu đó thông qua việc kiên trì làm việc theo một hướng nhất định. Đôi khi tài năng thiên bẩm không nhận được sự phát triển, bởi vì những người có nó không gặp phải những vấn đề thú vị để suy ngẫm độc lập hoặc chưa hoàn thành khả năng sáng tạo ở trường. Suy cho cùng, sự sáng tạo cần phải được tính đến giống như bất kỳ hoạt động kinh doanh nào. Không phải vô cớ mà các bạn trẻ luôn phấn đấu để được vào những trường đại học nơi các nhà lãnh đạo, lãnh đạo xuất sắc làm việc, nơi đặt ra và giải quyết những vấn đề khoa học quan trọng. Một người trẻ tham gia vào một nhóm như vậy sẽ tìm hiểu thêm về số lượng các vấn đề cấp bách cần giải quyết và sẽ hiểu được khả năng tiếp cận chúng. lời giải, quan sát những người khác tham gia vào các nhiệm vụ tương tự và hướng tới mục tiêu ấp ủ của họ. Tất cả những điều này đưa anh ta đến gần hơn với việc thâm nhập vào quá trình sáng tạo và có tác động kích thích và nhận thức rất lớn đến tính cách và tính cách của anh ta.

---

Vào cuối thế kỷ này, trường toán Petburg trở nên nổi tiếng ở nước ta. Nguồn gốc của nó gắn liền với hoạt động của L. Euler (1707-1783), M. V. Ostrogadsky (1801-1862) và một số nhà khoa học khác. Xin thưa, nó đạt đến đỉnh cao vào thời kỳ nhà toán học kiệt xuất P. L. Chebyshev (1820-1896) làm việc tại Đại học St. Mối quan tâm khoa học của ông rất rộng - lý thuyết số, lý thuyết xác suất, lý thuyết hàm số, lý thuyết tích phân, lý thuyết cơ chế. Anh sẵn sàng chia sẻ những vấn đề mà anh quan tâm về toán học. Không phải ngẫu nhiên mà Chebyshev là trung tâm thu hút các nhà toán học trẻ tài năng, và không phải vô cớ mà trong vòng tròn của ông đã nảy sinh những nghiên cứu đáng chú ý như A. M. Lyapunov (1857-1918), A. A. Markov (1856-1922) và D. A. Grave (1863-1939). Chebyshev không chỉ đề xuất các vấn đề mà còn

6

Crack là kẻ thù của kim loại

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. ZAIMOVSKY

Vấn đề phát triển kim loại khiến mỗi chúng ta lo lắng, vì xe lửa, tàu thủy và máy bay, chủ yếu là đường ray, cũng như nhiều sản phẩm và bộ phận khác, được làm từ kim loại để đảm bảo an toàn cho chúng ta khi vận hành đáng tin cậy. Việc phá hủy một phần nhỏ bộ phận điều khiển lái có thể tự động gây ra những hậu quả rất khó chịu, và nếu đường ray bị phá hủy hoặc một nơi bị sập, nếu thân tàu hoặc máy bay bị vỡ thì hậu quả có thể rất bi thảm.

Kiểu phá hủy kim loại và các vật liệu kết cấu khác “nguy hiểm” nhất được gọi là gãy giòn. Điểm đặc biệt của nó là nó “lẻn” mà không bị chú ý, không báo trước về việc nó sẽ tiếp cận cho đến thời điểm quan trọng nhất. Khi thời điểm này đến, hầu hết không thể làm gì được. Quá trình hủy diệt đang phát triển với tốc độ chóng mặt và không thể bỏ lại phía sau. Chính sự phá hủy giòn đã gây ra cái chết của nhiều máy bay và tàu thuyền, nguyên nhân gây ra các thảm họa liên quan đến việc phá hủy các địa điểm, đường ống dẫn khí đốt, v.v. Số vụ phá hủy các công trình lớn do tai nạn như vậy lên tới hàng nghìn và thiệt hại do chúng gây ra là rất lớn.

Và “người thi hành án” trực tiếp, công cụ hủy diệt, chính là trehina mỏng manh.

Vết nứt Griffis

Vai trò của các vết nứt trong quá trình phá hủy giòn lần đầu tiên được hiểu biết bởi nhà khoa học và kỹ sư người Anh A. Griffitsis vào đầu những năm 20 của thế kỷ chúng ta.

Trong những năm đó, Grifficis làm kỹ sư tại một trung tâm nghiên cứu hàng không và đang nghiên cứu độ bền của thủy tinh. Thủy tinh không được sử dụng làm vật liệu kết cấu trong ngành công nghiệp máy bay và Grifficis cần nó như một mô hình để tạo ra vết nứt giòn. Những người lãnh đạo trung tâm không tán thành “sở thích” của Grifficis, và khi chiếc đèn đốt mà anh ta nấu chảy thủy tinh trên đó

gây ra hỏa hoạn trong phòng thí nghiệm, các thí nghiệm của anh ta bị cấm và anh ta bị chuyển sang công việc khác. Tuy nhiên, Grifficis vẫn đạt được những kết quả thành công, làm nền tảng cho toàn bộ lý thuyết vật lý hiện đại về gãy xương giòn.

Để hiểu bản chất lý thuyết của Grifficis, bạn cần nhớ sự biến dạng của vật rắn xảy ra như thế nào. Trong quá trình biến dạng, như đã biết, xuất hiện một lực đàn hồi $F$. Ứng suất σ bằng tỷ lệ độ lớn của lực này với diện tích $S$ của mặt cắt ngang của cơ thể: $\sigma = F/S$. Mặt khác, Stress được xác định bởi độ lớn biến dạng tương đối của cơ thể $\varepsilon = \Delta l/l$ (Δl là sự thay đổi về chiều dài cơ thể, $l$ là chiều dài ban đầu). Đối với mỗi vật liệu, có một giá trị biến dạng giới hạn $\varepsilon_{\text{max}}$ mà nó có thể chịu được và giá trị Ứng suất tương ứng $\sigma_{\text{np}}$ (giới hạn khả năng đọc) (xem sách giáo khoa “Vật lý 9”).

Grifficis chứng minh rằng độ bền của các sợi thủy tinh mỏng có thể lớn hơn hàng trăm lần so với độ bền của kính vật thể (chẳng hạn như cửa sổ). Ông cho rằng các sản phẩm thủy tinh lớn có những vết nứt rất nhỏ, vô hình, làm giảm mạnh độ bền của chúng.

Người ta biết rõ rằng bất kỳ phản ứng nào của một cơ thể bị biến dạng đều gây ra sự tập trung căng thẳng. Hình ảnh của trạng thái ứng suất có thể được hình dung bằng cách sử dụng các đường “lực”, mật độ của nó tỷ lệ thuận với ứng suất trong vật liệu. Nếu có phản ứng trong cơ thể, thì các đường lực sẽ bỏ qua nó (xét cho cùng, khoảng trống không thể chịu tải) và bị giảm chấn ở các cạnh của nó (Hình 1), nơi vật liệu bị quá tải. Ứng suất trung bình σ trong mặt cắt không thay đổi, vì nếu không thì các điều kiện cân bằng của vật sẽ bị vi phạm.

Độ lớn của ứng suất “tập trung” phụ thuộc vào hình dạng của phản ứng, kích thước của nó và bán kính cong của các cạnh của nó. Ví dụ, tại các cạnh của cành có tiết diện hình elip, ứng suất tăng đến giá trị

$$\sigma_{\text{конц}} = \alpha \sigma,$$

trong đó $\sigma$ là điện áp cách xa phản hồi và $\alpha$ được gọi là hệ số tập trung ứng suất. Giá trị của $\alpha$ được xác định bởi chiều dài của cành và bán kính cong ở các cạnh. Như tính toán cho thấy, đối với một phản ứng elip

$$\alpha = 1 + 2\sqrt{\frac{c}{q}},$$

trong đó $c$ là một nửa chiều dài của cành, $q$ là bán kính cong ở các cạnh.

Nếu vết nứt đóng vai trò là nơi tập trung ứng suất thì tình hình sẽ trở nên nghiêm trọng hơn, vì nó

8

lốp xe có thể rất sắc nét. Bán kính cong tối đa ở đầu vết nứt “sắc về mặt nguyên tử” bằng khoảng cách giữa các vết nứt, tức là $\sim 10^{-4}$ µm. Một vết nứt như vậy, có chiều dài vài micron (khi khó có thể nhìn thấy nó bằng kính hiển vi quang học mạnh), dẫn đến sự gia tăng ứng suất ở rìa của nó lên hàng trăm lần, điều này giải thích cho sự giảm độ bền quan sát được.

Tuy nhiên, Grifficis lại áp dụng một cách tiếp cận khác trong phân tích của mình. Ông thu hút sự chú ý không phải đến tình trạng quá tải mà ngược lại - đến những phần vật liệu không chịu tải ở các vết nứt gần. Hình ảnh phân bố các đường lực trên Hình 1 cho thấy không những bản thân lỗ không tham gia vào công của vật liệu mà một số khối ở trên và dưới lỗ cũng “tránh” công. Nói cách khác, khi một vết nứt xuất hiện trên một cơ thể bị biến dạng, một phần của cá thể đó sẽ dỡ bỏ tải trọng và chuyển giao trách nhiệm của mình cho các phần khác nằm ở bên trái và bên phải của vết nứt. Thông thường, chúng ta có thể coi tình huống này như thể đã xảy ra sự dỡ tải hoàn toàn một khối lượng nhất định (hiệu quả), kích thước của nó tương đương với chiều dài của vết nứt (trong Hình 1, ranh giới của khối lượng hiệu dụng được hiển thị bằng một đường màu đỏ).

Năng lượng đàn hồi được giải phóng khi khối lượng hiệu quả được dỡ bỏ sẽ được sử dụng để hình thành các bề mặt mới - “bờ” của vết nứt (xét cho cùng, bề mặt đã tăng năng lượng và việc phá hủy mẫu sẽ làm tăng tổng bề mặt của nó). Như các tính toán cho thấy (chúng được đưa ra ở cuối bài viết trong Phụ lục), năng lượng bề mặt tăng tuyến tính với sự phát triển của vết nứt và năng lượng đàn hồi được giải phóng khi thể tích hiệu dụng tăng tỷ lệ với bình phương kích thước vết nứt.

Hình 2 cho thấy sự thay đổi đồ họa về năng lượng của tấm biến dạng tùy thuộc vào chiều dài vết nứt. Như có thể thấy trên hình, có một kích thước vết nứt tới hạn nhất định ($c_{\text{кр}}$), tại đó năng lượng của vật bị biến dạng là tối đa. Khi mẫu bị biến dạng (ở một ứng suất nhất định), các vết nứt có chiều dài nhỏ hơn $2c_{\text{кр}}$ sẽ không phát triển, vì điều này sẽ dẫn đến sự gia tăng năng lượng của tấm. Nếu có một vết nứt có chiều dài $2c > 2c_{\text{кр}}$ trong mẫu thì sự phát triển của nó sẽ có lợi - năng lượng của mẫu sẽ được hiểu.

Grifficis thu được sự tương ứng liên kết kích thước vết nứt tới hạn ($c_{\text{кр}}$) và ứng suất σ trong mẫu (xem Phụ lục):

$$c_{\text{кр}} = \frac{2E\gamma_s}{\pi\sigma^2},$$

trong đó $\gamma_s$ là năng lượng bề mặt trên một đơn vị diện tích (đối với chất rắn, năng lượng này lớn hơn đáng kể so với chất lỏng).

Vì vậy, nếu biết ứng suất phát sinh trong mẫu dưới một biến dạng nhất định, thì có thể chỉ ra kích thước vết nứt tới hạn mà vật liệu mẫu sẽ bị hỏng nhẹ. Viết lại thư từ Griffis dưới dạng

$$\sigma = \sqrt{\frac{2E\gamma_s}{\pi c}} \approx \sqrt{\frac{E\gamma_s}{c}} = c_{\text{кр}},$$

chúng ta sẽ tìm ra mặt khác của vấn đề. Nếu có vết nứt có chiều dài $2c$ trong mẫu thì từ công thức này chúng ta có thể tìm thấy giá trị ứng suất tới hạn $\sigma_{\text{кр}}$, tương ứng với giá trị trước

pis. 2. Đồ thị biến đổi năng lượng của tấm biến dạng theo kích thước vết nứt (đường cong màu đỏ); $W_1(c)$ - năng lượng đàn hồi (nó được lấy âm, vì nó đặc trưng cho năng lượng giảm của tấm biến dạng); $W_2(c)$—năng lượng bề mặt.

9

giá trị cụ thể của biến dạng mà từ đó bắt đầu sự phá hủy không thể tránh khỏi của vật liệu mẫu. Ở $\sigma > \sigma_{kp}$ vết nứt bắt đầu phát triển, tức là nó sẽ tăng $c$. Công thức cho thấy rõ rằng khi $c$ tăng lên, giá trị $\sigma$ ngày càng trở nên ít quan trọng hơn đối với một vật liệu nhất định. Trên thực tế, điều này có nghĩa là sau khi đạt đến ứng suất tới hạn, hư hỏng cuối cùng là không thể tránh khỏi ngay cả khi biến dạng giảm đi hoặc biến mất hoàn toàn.

Bằng cách kiểm tra công thức ông đã thu được cho thủy tinh, Grifficis đã đạt được sự phù hợp tốt giữa dữ liệu tính toán và dữ liệu thực nghiệm. Tuy nhiên, đối với kim loại, như người ta phát hiện ra sau này, công thức Grifficis có một sai số rất lớn. Lý do cho sự khác biệt này được xác định bởi nhà vật lý không phải người Ger E. Orovan. Hóa ra là khi xử lý một vết nứt trên kim loại, trong một lớp mỏng tiếp giáp với các cạnh của vết nứt, nhất thiết phải có một số biến dạng dư, dù là nhỏ (đây là lý do tại sao các mảnh kim loại bị phá hủy không thể được kết hợp chính xác như với các mảnh vỡ của cốc thủy tinh).

Tuy nhiên, điều này không mâu thuẫn với ý tưởng cân bằng năng lượng mà Grifficis đã phát triển. Trong tính toán, cần phải tính đến việc một phần năng lượng đàn hồi được giải phóng trong quá trình dỡ tải khối lượng hiệu dụng sẽ được sử dụng cho biến dạng dẻo của lớp vật liệu tiếp giáp với các cạnh vết nứt. Điều này dẫn đến thực tế là trong công thức Grifficis, thuật ngữ $\gamma_p$ được thêm vào giá trị $\gamma_s$ - năng lượng biến dạng dẻo trên một đơn vị diện tích bề mặt tự do của vết nứt:

$$\sigma_{kp} \approx \sqrt{\frac{E(\gamma_s + \gamma_p)}{c}}.$$

Công thức này (được gọi là công thức Grifficis-Orowan) mô tả hoàn hảo tình huống thực tế về hiện tượng gãy giòn của kim loại.

Nhìn vào bức ảnh trên trang 6. Đây là những gì nó trông giống như ở độ phóng đại cao (vài nghìn lần) của bề mặt vết nứt thép. “Những ngọn đồi”, “thung lũng” và các đặc điểm khác của địa hình bề mặt có thể nhìn thấy rõ ràng. Đây là những dấu vết của biến dạng dẻo đi kèm với sự phát triển của vết nứt trên kim loại. Việc phân tích những bức ảnh như vậy, được thực hiện bằng các phương pháp đặc biệt, có thể tái tạo lại các chi tiết về hoạt động của vết nứt trong quá trình phá hủy kim loại.

Vì vậy, các kết luận chính của lý thuyết Grifficis như sau. Đầu tiên, bạn có thể chỉ định kích thước của các vết nứt mà từ đó vật liệu vẫn có thể hoạt động ổn định ở một điện áp nhất định. Thứ hai, sau khi đạt đến tỷ lệ tới hạn giữa điện áp và chiều dài vết nứt, quá trình phát triển thêm của vết nứt sẽ trở nên không thể kiểm soát được, giống như một trận tuyết lở. Đỉnh của vết nứt tăng tốc rất nhanh đến tốc độ cực lớn*).

Tốc độ tối đa của vết nứt xấp xỉ một nửa tốc độ âm thanh trong một vật liệu nhất định. Đối với thép thực nghiệm, tốc độ di chuyển của vết nứt được ghi nhận là khoảng 2,5 km/s, hay ~10.000 km/h! Điều thú vị là một vết nứt có thể phát triển tốc độ lớn như vậy trong một phần nghìn giây, tức là gia tốc ở giai đoạn tăng tốc vào khoảng $10^6$ m/s$^2$. Đây gần đúng là sự phá hủy một đường ống dẫn khí sẽ xảy ra như thế nào, kết quả mà bạn thấy trong bức ảnh trên trang. 11 - vết nứt đã di chuyển vài dặm chỉ trong vài giây.

Tất nhiên, nếu ứng suất làm việc trong kết cấu thấp thì chiều dài tới hạn của vết nứt sẽ rất lớn. Vì vậy, sau khi một trong những nơi bị phá hủy, người ta phát hiện ra rằng trước khi thảm họa xảy ra, trong đó có một vết nứt dài 3 m. Nó biến mất một cách chậm rãi, có lẽ trong nhiều năm, bằng chứng là bề mặt bờ sông bị oxy hóa. Đây là lý do tại sao có thể dễ dàng phân biệt vết nứt “dưới tới hạn” với vết nứt “svekgeo”. Nhưng bạn thường phải xử lý các vết nứt có chiều dài ngắn hơn nhiều và các phương pháp đặc biệt được sử dụng để phát hiện chúng.

*) Tất nhiên, khái niệm tốc độ và gia tốc của vết nứt chỉ mang tính chất tương đối, vì vết nứt không phải là vật chất. Chúng ta đang nói về sự chuyển động của đỉnh của nó.

10

Độ mỏi và khả năng sống sót của kim loại

Các vết nứt phát sinh như thế nào và chúng phát triển như thế nào cho đến thời điểm quan trọng? Một trong những công nghệ nhiệt hạch phổ biến nhất trong công nghệ được gọi là lắp đặt kim loại. Thuật ngữ này xác định các quá trình hư hỏng tích tụ dần dần và phát triển các vết nứt trong quá trình biến dạng thay đổi định kỳ của vật liệu. Ví dụ, chính những biến dạng như vậy xảy ra trên một trục cong đang quay. Tại điểm đó của trục, hiện nằm ở phía dưới (điểm A trong Hình 3, a), vật liệu phát triển. Nhưng khi điểm này ở trên cùng thì nó sẽ rơi vào vùng skatium. Sự luân chuyển dẫn đến tình trạng này lặp đi lặp lại nhiều lần; sự biến dạng và do đó hướng ở vùng lân cận điểm A sẽ thay đổi theo thời gian như trong Hình 3, b.

Có rất nhiều chi tiết tương tự xung quanh chúng ta. Đây là chuyển động của trục khuỷu, trục của toa xe lửa, toa Max, v.v. Sự mệt mỏi chắc chắn nảy sinh khi “làm việc” ở bất cứ nơi nào: nơi đó luôn bị biến dạng do tác dụng của trọng lực, khi có tàu (hoặc ô tô) đi qua thì độ biến dạng tăng lên, sau đó lại giảm về mức ban đầu, v.v.

Bề ngoài của quá trình lắp đặt không có các quá trình biến dạng dẻo tự do, không bao phủ toàn bộ khối lượng vật liệu mà tập trung ở những điểm “yếu nhất” của bộ phận - nơi có các góc nhọn, lỗ, v.v., xung quanh tạo ra ứng suất tập trung. Bản thân vết nứt mới nổi trở thành nơi tập trung ứng suất hiệu quả. Sự phát triển dần dần của vết nứt làm tăng sự tập trung ứng suất và tốc độ phát triển của nó tăng lên. Kết quả là, sớm hay muộn chiều dài của vết nứt cũng đạt đến giá trị tới hạn được xác định bởi sự tương ứng Griffist-Orowan. Tiếp theo là sự phát triển cuối cùng nhanh chóng.

Tổng thời gian sử dụng của một sản phẩm có thể được chia thành hai phần: thời gian cho đến khi vết nứt có kích thước này xuất hiện,

Hình 3. Thay đổi điện áp trong quá trình quay của trục bị biến dạng.

11

rằng nó đã có thể được phát hiện bằng một số phương pháp và khoảng thời gian từ thời điểm này cho đến khi nó bị phá hủy lần cuối. Mối quan hệ giữa hai thành phần này tạo nên độ bền hoàn toàn của sản phẩm phụ thuộc vào đặc tính của vật liệu và nhiều yếu tố bên ngoài, nhưng may mắn thay, giai đoạn thứ hai thường kéo dài trong một khoảng thời gian khá dài.

Khả năng hoạt động của vật liệu khi có các vết nứt ngày càng lớn được gọi là khả năng sống sót. Tất nhiên, độ chính xác của việc xác định thời gian tồn tại phụ thuộc vào độ nhạy của phương pháp được sử dụng để phát hiện vết nứt.

Trên đường sắt, mỗi hành khách có thể quan sát câu hỏi cụ thể về tình huống này từ cửa sổ toa xe. Nhiều người có lẽ đã nhìn thấy những chiếc ô tô dò khuyết tật đứng trên đường ray, nhưng việc kiểm tra đường sắt chủ yếu vẫn được thực hiện thủ công. Nếu bạn di chuyển nhiều bằng đường sắt, bạn có thể đã thấy bức ảnh sau: một công nhân ở nauchniki đang di chuyển dọc theo đường ray, đẩy một chiếc xe đẩy có bánh trước mặt anh ta; thiết bị trên xe đẩy - máy dò khuyết tật siêu âm. Người công nhân đi bộ quanh đoạn đường của mình 10 ngày một lần và nếu có một vết nứt trên đường ray đang được kiểm tra lớn hơn một xu thì tín hiệu cảnh báo sẽ được tạo ra trong khoa học. Đường sắt sẽ được thay thế bằng một cái mới, và mối đe dọa thảm họa đã qua.

Bây giờ hãy đánh giá sự phù hợp của ba loại vật liệu khác nhau để làm đường ray. Giả sử rằng đối với hai trong số chúng, chiều dài vết nứt tới hạn (2cr) là như nhau, và đối với vết nứt thứ ba thì chiều dài vết nứt tới hạn ít hơn đáng kể. Các vết nứt đã hình thành ở ba vật liệu này có thể phát triển với tốc độ khác nhau đáng kể. Trong Hình 4, sự tăng trưởng chiều dài vết nứt của từng vật liệu được thể hiện bằng các đường cong màu đỏ. Trong trường hợp của chúng tôi, vật liệu 2 có khả năng sống sót cao hơn nhiều so với vật liệu 1. Đường đứt nét ngang trong hình mô tả chiều dài vết nứt tối thiểu có thể được phát hiện bằng phương pháp này và các đường đứt nét dọc đánh dấu tần suất giám sát. Như có thể thấy trên hình, một vết nứt trên vật liệu đầu tiên có thể

12

được phát hiện trong hai lần kiểm tra và lần thứ hai - trong năm lần kiểm tra.

Rõ ràng là hai vật liệu này sẽ đáng tin cậy hơn. Xét cho cùng, người xếp hàng là một người sống có thể ở trong tình trạng xấu hoặc bị phân tâm không đúng lúc, v.v. Tiếp theo là giảm giá cho điều này: đường ray bị lỗi làm bằng vật liệu thứ hai sẽ được thay thế trước khi vết nứt đạt đến kích thước nghiêm trọng và những điều không thể khắc phục được sẽ xảy ra. Những gì chắc chắn có thể làm được ở lần thử thứ năm không phải lúc nào cũng được thực hiện ở lần thử thứ hai!

Đối với vật liệu 3, nó có khả năng sống sót tuyệt vời. Nhưng chất lượng của máy phát hiện khuyết tật được sử dụng để kiểm tra không thể tăng lên được; tài liệu này phải bị từ chối. Mặc dù vết nứt trên đó phát triển rất chậm nhưng nó sẽ đạt đến độ dài tới hạn và làm sập đường ray mà không hề cảnh báo cho người đào tẩu về sự hiện diện của nó.

Tăng độ nhạy của máy dò khuyết tật - bài toán cắt về mặt kỹ thuật. Nhưng điều này sẽ thay thế quy trình điều khiển hoặc làm cho thiết bị trở nên cồng kềnh hơn, khiến người trực dây không thể hành động một mình được nữa. Có thể kiểm tra thường xuyên hơn, nhưng đến một lúc nào đó, chính các đoàn tàu phải được phép đi qua, và hơn nữa, có lẽ số lượng người xếp hàng không phải là không giới hạn.

---

Nghiên cứu các quy luật hình thành và chuyển động của vết nứt là cần thiết - kiến ​​thức về các quy luật này cho phép chúng ta phát triển các cách để bảo vệ kim loại khỏi bị phá hủy. Và không phải ngẫu nhiên mà tai nạn, thảm họa gắn liền với sự tàn phá giòn hiểm quỷ quyệt ngày càng hiếm gặp.

Ứng dụng

Chúng ta hãy xem xét một vết nứt hình thành trên một tấm có độ dày $d$. Chúng ta hãy, giống như Griffist, giả sử rằng nếu vết nứt có hình elip - chẳng hạn như trong Hình 1 - thì thể tích khuyết tật bị giới hạn (trong mặt phẳng bạch kim) bởi một hình elip, dẫn đến $c$ và $2c$ và bằng $2\pi^2 d$. Năng lượng tích trữ trong tấm do tác dụng biến dạng tổng cộng của nó bằng công thực hiện bởi lực đàn hồi $F$ khi di chuyển tất cả các bộ phận của cơ thể đến một khoảng cách $\Delta l$ ($\Delta l$ là biến dạng tuyệt đối của cơ thể):

$$A = \frac{1}{2} F \cdot \Delta l$$

( $\frac{1}{2} F$ là giá trị trung bình của lực đàn hồi, lực này trong quá trình biến dạng tăng tuyến tính từ 0 đến $F$ ). Năng lượng xảy ra trên một đơn vị thể tích là

$$a = \frac{A}{Sl} = \frac{1}{2} \frac{F}{S} \cdot \frac{\Delta l}{l}$$

Nhưng $F/S$ là ứng suất $\sigma$ trong tấm và $\Delta l/l$ là biến dạng tương đối $\varepsilon$. Nếu biến dạng là đàn hồi thì định luật Hooke đúng và

$$\sigma = \varepsilon E$$

trong đó $E$ là mô hình đàn hồi của vật liệu tấm.

Vì vậy, năng lượng biến dạng đàn hồi trên một đơn vị thể tích của tấm là

$$a = \frac{1}{2} \varepsilon \sigma = \frac{\sigma^2}{2E}$$

và do đó, khi dỡ bỏ thể tích hiệu dụng $2\pi^2 d$, năng lượng được giải phóng

$$W_1 = \frac{\pi \sigma^2 c^2 d}{E}$$

Khi xử lý các vết nứt có chiều dài $2c$, hai bề mặt mới được lộ ra, mỗi bề mặt có diện tích $2cd$ (chúng ta bỏ qua độ cong của các mặt vết nứt). Năng lượng tiêu tốn để xử lý các bề mặt này bằng

$$W_2 = 4cd\gamma_s$$

( $\gamma_s$ - năng lượng bề mặt, xuất hiện trên một đơn vị diện tích).

Do đó, sự xuất hiện của vết nứt đã làm thay đổi năng lượng của tấm bị biến dạng một lượng

$$W = W_2 - W_1 = 4cd\gamma_s - \frac{\pi \sigma^2 c^2 d}{E}$$

Đồ thị phụ thuộc $W(c)$ ở Hình 2 có điểm cực đại tại điểm với hoành độ $c = c_{\text{кр}}$. Tại thời điểm này, quá trình xử lý $dW/dc$ trở thành 0:

$$\frac{dW}{dc} = 4d\gamma_s - \frac{2\pi \sigma^2 cd}{E} = 0$$

và từ điều kiện này chúng ta tìm thấy $c_{\text{кр}}$:

$$c_{\text{кр}} = \frac{2E\gamma_s}{\pi \sigma^2}$$

13

Dễ thấy
sức mạnh

V. P. KOROTIKHIN

Lúc nào con người cũng quan tâm
về sức mạnh của những gì đã được tạo ra
với bàn tay của mình. Tuy nhiên, các công trình kiến ​​trúc cổ
xem các hàm tạo và hàm tạo
về bản chất của sức mạnh chủ yếu là
trực quan. Các tòa nhà mới, ví dụ:
các biện pháp hầu như luôn được thiết kế
theo loại cũ, đã được chứng minh và bắt buộc
tốt nhất là có biên độ an toàn lớn,
đã được nhìn thấy một cách quá đáng
độ lớn của cột, vòm, tường. Nhưng
và chỉ có những bức tường là mỏng manh.
Một ví dụ rõ ràng về điều này là sự hùng vĩ
tàn tích của nhà thờ Hồi giáo Bibi-Kha
nym ở Samarkand, bị phá hủy
30 năm sau khi kết thúc xây dựng
chính phủ Và không có trường hợp nào như vậy
một vài.

Ở thời đại chúng ta, thảm họa
phá hủy trong xây dựng và kỹ thuật
các thành phố xảy ra ít thường xuyên hơn có-
100 năm trước cũng vậy. Nhưng trong thế kỷ 20
máy móc mới đã được tạo ra và đang được tạo ra,
thiết bị và được xây dựng không cân xứng
hơn tất cả những lần trước
trao đổi. Đồng thời, công nghệ ngày nay
thiết bị kỹ thuật kỳ lạ của quá khứ. Hiện đại
các công trình phải thường xuyên
duy trì khái niệm về các hướng cơ học tuyệt vời. Làm thế nào để tránh những sai lầm
dự báo chính xác về sức mạnh trong tương lai
thiết kế? Không thể trả lời câu hỏi này trong một vài từ.
Có cả một khoa học cho vấn đề này - cơ học của chất rắn biến dạng, bao gồm lý thuyết toán học về độ đàn hồi, lý thuyết về tiểu cầu, độ rão, đứt gãy, độ ổn định, quá trình sóng, v.v.

Ngoài ra còn có nhiều thí nghiệm khác nhau
phương pháp nghiên cứu tinh thần
sự hình thành trong cơ thể. thực nghiệm
Những vấn đề bài toán phức tạp nhất, chưa thể phân tích lý thuyết được, đều được giải quyết bằng các phương pháp khoa học. Một trong số đó được coi là hợp lý
trực quan và phổ quát nhất
nhờn, điều đó không còn nữa.

14

Mô hình tấm panel của một tòa nhà dân cư điển hình, được nghiên cứu bằng phương pháp quang đàn hồi. Hình ảnh giao diện rõ ràng hiển thị trên màn hình, từ đó người ta có thể xác định sự phân bố biến dạng và hướng phát sinh trong quá trình tải (tải được tác dụng tại bốn điểm).

Phương pháp quang đàn hồi, hay phương pháp quang phân cực, cho phép bạn nghiên cứu quá trình xuất hiện các biến dạng và hướng do immi gây ra trong cấu trúc.

Ý tưởng về phương pháp quang đàn hồi đã được phát triển từ thế kỷ trước. Năm 1815, nhà vật lý người Scotland David Brewster phát hiện ra rằng khi chiếu sáng một số chất bị biến dạng bằng ánh sáng phân cực, người ta quan sát thấy một kiểu giao diện sáng trên một màn đặt phía sau mẫu được chiếu sáng. Brewster đề xuất rằng vị trí và cấu hình của các sọc phân cách được xác định bởi các biến dạng xảy ra trong mẫu do tác động của tải trọng.

Sau này, trong công trình của Maxwell, Fresnel và các nhà khoa học khác, một mối quan hệ toán học chính xác đã được thiết lập giữa hiện tượng quang học quan sát thấy trong các vật liệu biến dạng với các biến dạng cơ học và các hướng tồn tại trong chúng. Do đó, người ta có thể “giải mã” kiểu sọc và chuyển nó thành một bức tranh về sự phân bố các biến dạng và hướng trong đối tượng đang nghiên cứu. Và vật thể như vậy có thể là mô hình của một địa điểm, bức tường của một tòa nhà, một phần của con đập, vách ngăn của một con tàu, v.v.

Tuy nhiên, ý tưởng về phương pháp quang đàn hồi vào thế kỷ 19 rất khó thực hiện. Trở ngại chính là không có vật liệu tốt cho mô hình. Tại

17

chúng tôi đã không chờ đợi điều này (nếu chúng tôi không thực hiện thao tác này sớm hơn). Con amip không tách thành hai, nhưng vết cắt có tác động bất lợi lên nó: ranh giới của bề mặt mới đã bao gồm hai đường cong khép kín (kiểm tra!), và do đó bề mặt thu được không tương ứng với bất kỳ màng nào theo nghĩa của chúng tôi. Hơn nữa, nó đã có hai mặt rồi. Đó là lý do tại sao một quy trình tương tự lại sẽ không dẫn đến một kết quả nổi bật như vậy, mặc dù người đọc khó có thể đoán trước được.

Tuy nhiên, chúng ta hãy bỏ qua những hoạt động khắc nghiệt như vậy và xem điều gì sẽ xảy ra với ametnus trong điều kiện tự nhiên. Trước hết, nhờ khả năng đứt ra và phát triển cùng nhau, ametnuc có thể có dạng một cuộn dây được xoắn với số nửa vòng lẻ bất kỳ (Hình 6). (Lưu ý rằng một dải được xoắn bởi một số nguyên vòng quay không tương ứng với bất kỳ màng nào, vì nó có hai đường cong khép kín làm ranh giới của nó.) Trên thực tế, khi bị xé ngang, nó có thể giãn ra bởi bất kỳ số nguyên vòng quay nào, và sau đó cùng nhau phát triển ở vị trí cũ (vạch lại điều này trên một dải giấy). Theo cách tương tự, ametnus có thể buộc bất kỳ nút nào và buộc lại (Hình 6).

Đối với những biến đổi như vậy, sẽ không cần có khoảng trống thời gian nếu ametnus sống trong không gian bốn chiều. Thay đổi thứ tư cho phép, ngoài việc thoát khỏi một căn phòng hoàn toàn đóng kín lấy từ văn học khoa học viễn tưởng, còn có thể tự do thắt nút và tháo các cuộn phim xoắn. Như vậy, khả năng

18

sự đứt gãy và hợp nhất trong các bộ phim của chúng ta xuất hiện trong quá trình tiến hóa chỉ vì “kích thước nhỏ” của không gian của chúng ta. Nếu bạn muốn làm quen với không gian bốn chiều, hãy sử dụng cuốn sách của I. M. Gelfand và những người khác. Phương pháp tọa độ (M.: Nauka, 1965).

Người ta có thể phân biệt cả một dòng phim (vô tận), được gọi một cách tự nhiên là amip. Đại diện thứ hai (sau amip) của họ này có được là kết quả của việc “ghép” hai amip với nhau dọc theo một đường viền (Hình 7). Tiếp theo là việc ghép ba con amip, v.v. Hình thức của những màng mùa xuân này rất đa dạng nên không phải lúc nào cũng dễ dàng xác định được. Hình 8 cho thấy toàn bộ gia đình trong một trong những diện mạo cân đối nhất của họ.

Theo cách tương tự, một tay cầm tạo ra một nhóm phim hai mặt, thu được bằng cách gắn tuần tự nhiều tay cầm với nhau (Hình 9). họ hai mặt cũng bao gồm vô số loại, được xác định bởi số lượng loại bút “có” trong phim. Điều này đương nhiên bao gồm các đĩa vì chúng cũng có hai mặt (chúng tương ứng với số tay cầm $N=0$). Tác giả đã không thể phát triển cái đẹp nhất trong số các hình thức đa dạng của những bộ phim này, và do đó trong Hình 10 $a$, $b$ gia đình được vẽ hai lần. Kiểm tra ví dụ

21

Tuy nhiên, chúng ta đã chứng minh được mọi thứ chưa? Chúng tôi đã chứng minh rằng bất kỳ bộ phim nào cũng có thể được phân loại vào ít nhất một trong các loại được liệt kê trong danh sách. Hoặc có thể nó có thể được phân thành nhiều loại? Nói cách khác, không lẽ hai loài trong danh sách lại là một và giống nhau (tức là chúng được đưa vào nhau theo quy luật phát triển tự nhiên của phim)? Hóa ra - không. Nhưng chúng tôi sẽ không tập trung vào bằng chứng mà giới thiệu cho người đọc những cuốn sách được liệt kê ở cuối bài viết.

Lưu ý rằng chứng minh trên cung cấp một cách hiệu quả để xác định loại thuộc về một phim nhất định, đặc biệt, nó cho phép bạn quyết định khi nào hai dạng đã cho tương ứng với cùng một phim.

Bài toán. Xác định loại phim được thể hiện trong hình trên trang. 51, và cũng cho thấy các hình thể hiện trong Hình 10 thực sự tương ứng với cùng một tấm phim hai mặt.

Tuy nhiên, người ta có thể kết luận về điều này, để tránh hiểu lầm, tác giả cần lưu ý rằng mọi thứ được nêu không chỉ liên quan đến mặt sinh học mà còn liên quan đến cấu trúc liên kết - lĩnh vực hình học liên quan đến các tính chất của các hình không thay đổi dưới bất kỳ độ dốc và độ giãn nào. Về vấn đề này, chúng tôi cung cấp bản dịch các khái niệm cơ bản từ ngôn ngữ sinh học được áp dụng trong bài viết sang ngôn ngữ toán học. Phim là các kết nối nhỏ gọn của đa tạp hai chiều với một cạnh được kết nối, phim hai mặt và phim xung quanh lần lượt là một đa tạp hai chiều có thể định hướng và không định hướng được với một cạnh được kết nối, ambius là dải Möbius, tên “đĩa” và “tay cầm” có nguồn gốc từ cấu trúc liên kết và không cần dịch. Phân loại của chúng tôi không gì khác hơn là phân loại tôpô của các đa tạp hai chiều có ranh giới được kết nối. Từ đó, ngay lập tức thu được sự phân loại tôpô của các đa tạp kín (các lực như vậy tác dụng lên một vật thể cho trước, tốc độ ban đầu bằng 0, không đổi, nghĩa là độ dài và hướng của vectơ $\vec{F} \neq 0$ không phụ thuộc vào giá trị thời gian $t$, khi đó vật chuyển động theo đường thẳng.)

Sửa đổi
Trong bài viết “Vai trò của Vật lý toán học trong khoa học hiện đại” («Kvant», 1983, số 12), một phát biểu sai đã được in ra. Ở trang 3, cột thứ hai, dòng 8-13 từ trên xuống, cần ghi: “Ví dụ: nếu tổng của tất cả

23

Ykov Ilyich Frenkel

(nhân dịp sinh nhật lần thứ 90 của ông)

Tên của nhà vật lý kiệt xuất Liên Xô Ya. I. Frenkel gắn liền với mục tiêu của một số tác dụng vật lý. Trước khi chúng ta nói ngắn gọn về họ, đây là một số dữ liệu từ tiểu sử của anh ấy.

Ykov Ilyich sinh ngày 10 tháng 2 năm 1894 tại Rostov-on-Don. Kể từ năm 1909, cuộc đời ông luôn gắn liền với thành phố bên sông Neva. Năm 1913, ông tốt nghiệp trường thể dục nổi tiếng ở St. Petersburg với huy chương vàng. Vào thời điểm này, chàng trai trẻ đang hoàn thành công trình vật lý độc lập đầu tiên của mình, được Giáo sư A.F. Ioffe đánh giá cao. Sau khi tốt nghiệp Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Petrograd, Ya. I. Frenkel ở lại với anh ấy để chuẩn bị cho chức giáo sư. Từ đầu năm 1918, ông dạy vật lý tại Đại học Tavrichi (Simferopol). Năm 1921, Frenkel chuyển đến Petrograd và bắt đầu làm việc tại Viện Vật lý-Kỹ thuật (PTI) và tại Khoa Vật lý và Cơ học của Viện Bách khoa. Chẳng bao lâu sau, ông trở thành trưởng khoa lý thuyết của Viện Vật lý và trưởng khoa vật lý lý thuyết trong vật lý. Toàn bộ hoạt động khoa học và sư phạm kéo dài ba mươi năm của Ykov Ilcha được kết nối với cả hai tổ chức này, nằm cách nhau hai bước về mặt địa lý.

Vâng. I. Frenkel đã nỗ lực hết mình để phát triển nhiều vấn đề. Chúng ta hãy kể tên một số kết quả mà anh ấy thu được.

Ông là người đầu tiên đưa ra ý tưởng về bản chất định lượng - tịnh tiến của chuyển động của các phân tử trong chất lỏng và xây dựng nền tảng của lý thuyết động học của chất lỏng (tác phẩm 1926-44).

Đưa ra khái niệm về khuyết tật mạng tinh thể (1926). “Khiếm khuyết Frenkel” (hoặc “cặp Frenkel”) là sự kết hợp của một nút trống trong mạng - một lỗ trống - và một nguyên tử đã truyền từ nút này vào khoảng trống giữa nút. Các quá trình khuếch tán, nhiệt và dẫn điện trong chất rắn gắn bó chặt chẽ với nó.

Exton Frenkel, lượng tử xuất hiện, là trạng thái liên kết của một electron và một lỗ dương có khả năng chuyển động trong tinh thể (được đề xuất vào năm 1931). Vật lý Exton hiện là một trong những lĩnh vực phát triển nhanh nhất của vật lý chất rắn.

Để mô tả các quá trình xảy ra trong địa chỉ của họ, Frenkel đề xuất sử dụng các khái niệm vật lý thống kê và nhiệt động lực học, coi hạt nhân là một hệ gồm một số lượng lớn các hạt (nucleon). Ông (độc lập với N. Bohr) đã tạo ra mô hình giọt của hạt nhân (mô hình Bohr-Frenkel, 1936). Khái niệm nhiệt độ lõi được đưa ra, sự phát xạ của các hạt từ lõi được hiểu theo nghĩa bay hơi và hấp thụ - ngưng tụ. Các quá trình liên lạc này hóa ra lại có kết quả bất thường và mang lại những kết quả đặc biệt có giá trị sau khi phát hiện ra hiện tượng phân hạch uranium (1939). Vâng. I. Frenkel (đồng thời với N. Bohr và J. Wheeler) đã phát triển lý thuyết phân hạch của hạt nhân nặng.

Một nhà khoa học lãng mạn, như Ya. I. Frenkel, bằng chính bản chất tâm trí của mình, ông có thể tìm thấy những đặc điểm chung trong nhiều hiện tượng khác nhau và dường như xa nhau, kết nối cái xa với cái gần, thiết lập những nét đặc trưng của cái mới trong cái cũ. Tầm nhìn nghệ thuật về thế giới này đã được tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều nhờ việc Ykov Ilch sở hữu một chiếc bút vẽ: những bức chân dung và phong cảnh của ông đã hơn một lần được trưng bày trên các gờ đá và được sao chép trên nhiều sách và tạp chí khác nhau. Anh ấy là một nghệ sĩ violin giỏi, có cảm giác âm nhạc nhạy bén và biểu diễn nó với một tâm hồn đặc biệt.

Tác giả của khóa học vật lý lý thuyết hoàn chỉnh đầu tiên của nước ta, Ykov Ilch Frenkel, đã thực hiện công việc cơ bản không chỉ trong lĩnh vực vật lý chất lỏng và chất rắn và vật lý hạt nhân, mà còn trong cơ học cổ điển và lượng tử, vật lý thiên văn, địa vật lý và vật lý sinh học.

V. Vâng. Ilyin

24

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú được xuất bản bên dưới “Cơ chế bài toán cơ bản được giải quyết như thế nào?” dành cho học sinh lớp tám, “Chất điện môi, chất bán dẫn, bán kim loại, kim loại” dành cho học sinh lớp chín và “Hiệu ứng quang điện và lượng tử” dành cho học sinh lớp mười. Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Cơ chế bài toán cơ bản được giải quyết như thế nào?

Cơ học bài toán chính, như đã được nêu nhiều lần trong sách giáo khoa Vật lý 8, là xác định vị trí (tọa độ) của vật chuyển động tại bất kỳ thời điểm nào. Cơ học phải có khả năng làm được điều này, nếu không nó không thể là khoa học về chuyển động. Các định luật chuyển động do Newton phát hiện và định luật thứ hai của Newton trước đây (định luật chuyển động cơ bản) $\vec{F} = m\vec{a}$, cho phép chúng ta giải quyết bài toán này.

Định luật thứ hai của Newton liên quan đến lực tác dụng lên vật và gây ra lực gia tốc. Nhưng gia tốc là sự thay đổi nhanh chóng về tốc độ, và tốc độ lại là sự thay đổi nhanh chóng về độ dịch chuyển của vật thể. Do đó, khi giải phương trình biểu thị bằng định luật cơ bản của sơ đồ, chúng ta đã biết về sự thay đổi nhanh chóng trong tọa độ của vật thể, và do đó về chính tọa độ đó tại bất kỳ thời điểm nào. Để làm được điều này, ngoài lực, bạn còn cần biết các điều kiện ban đầu - tọa độ ban đầu và tốc độ ban đầu của vật.

Thoạt nhìn, có vẻ như phương trình của định luật thứ hai Newton rất đơn giản và cách giải của nó cũng đơn giản. Tuy nhiên, chúng ta phải nhớ rằng phương trình $\vec{F} = m\vec{a}$ là một vectơ. Điều này có nghĩa là nó “ẩn” ba phương trình vô hướng về hình chiếu của lực và gia tốc trên trục tọa độ:

$$F_x = ma_x,$$
$$F_y = ma_y,$$
$$F_z = ma_z.$$

Các phương trình này thực sự dễ giải, nhưng chỉ trong trường hợp khi các phép chiếu lực $F_x, F_y$ và $F_z$ được xây dựng, nghĩa là khi các giá trị của chúng giống nhau đối với bất kỳ giá trị tọa độ nào của điểm và do đó bất kỳ lúc nào. Khi đó các giá trị của các hình chiếu gia tốc $a_x, a_y$ và $a_z$ không đổi, do đó chuyển động của vật bằng gia tốc và tọa độ $x, y$ và $z$ được xác định bởi các đẳng thức

$$x = x_0 + v_{0x} t + \frac{a_x t^2}{2},$$
$$y = y_0 + v_{0y} t + \frac{a_y t^2}{2},$$
$$z = z_0 + v_{0z} t + \frac{a_z t^2}{2}.$$

Ở đây $x_0, y_0$ và $z_0$ là tọa độ ban đầu, còn $v_{0x}, v_{0y}$ và $v_{0z}$ là hình chiếu tương ứng của vận tốc ban đầu trên trục tọa độ.

Trong khóa học vật lý ở trường, chỉ những bài toán như vậy mới được xét đến khi xây dựng các lực. Cơ học lời giải cơ bản bài toán đáng kể nếu lực và hình chiếu của nó phụ thuộc vào tọa độ. Trong thực tế thường có cả hai điều trên. bài toán được giải quyết như thế nào trong trường hợp này?

Tất nhiên, bây giờ chúng ta cần bắt đầu các điều kiện và sức mạnh ban đầu. Nhưng bây giờ “biết lực” có nghĩa là biết nó thay đổi như thế nào khi tọa độ của vật thay đổi.

Ví dụ: giả sử một lực $F$ tác dụng lên một vật, lực này được xác định (và theo cách đã biết) phụ thuộc vào tọa độ $x$. Để xác định tọa độ $x$ của một vật tại bất kỳ thời điểm nào, các công thức trước đó là không phù hợp, vì nếu lực $F_x$ thay đổi từ điểm này sang điểm khác thì gia tốc $a_x$ của vật cũng sẽ thay đổi. Có thể nói, chúng ta sẽ giải quyết bài toán dần dần từng bước một.

Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét chuyển động của cơ thể chúng ta trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$, bắt đầu từ thời điểm mà chúng ta coi là thời điểm ban đầu. Lúc này tọa độ $(t=0)$ là $x$ của cơ thể. Bằng $x_0$

25

(tọa độ ban đầu) và tốc độ là $v_{0x}$ (tốc độ ban đầu). Chúng ta hãy chọn khoảng $\Delta t$ sao cho trong thời gian này lực $F_x$, và do đó gia tốc $a_x$, có thể được coi là không đổi. Chúng ta biết lực $F_{0x}$ vì chúng ta biết lực phụ thuộc như thế nào vào tọa độ; Chúng tôi cũng biết $a_{0x}$, vì $a_{0x} = F_{0x}/m$. Do đó, theo các công thức chuyển động có gia tốc đều mà chúng ta đã biết về tốc độ $v_{1x}$ và tọa độ $x_1$ ở cuối khoảng thời gian $\Delta t$, chúng ta có thể viết:

$$v_{1x} = v_{0x} + a_{0x} \Delta t,$$

$$x_1 = x_0 + v_{0x} \Delta t + \frac{a_{0x} \Delta t^2}{2}.$$

Sau đó xem xét chuyển động của vật trong khoảng thời gian nhỏ không kém tiếp theo $\Delta t$. Tọa độ ban đầu bây giờ sẽ là giá trị $x_1$ mà chúng tôi đã tìm thấy và tốc độ ban đầu sẽ là giá trị $v_{1x}$. Trong khoảng thời gian thứ hai này, một lực khác sẽ tác động lên cơ thể - $F_{1x}$. Chúng ta sẽ tìm giá trị của nó bằng cách biết sự phụ thuộc của lực vào tọa độ. Gia tốc của cơ thể $a_{1x}$ cũng sẽ tương ứng với những người khác. Như vậy, đến hết thời gian thứ hai vận tốc của vật sẽ bằng

$$v_{2x} = v_{1x} + a_{1x} \Delta t,$$

và tọa độ là

$$x_2 = x_1 + v_{1x} \Delta t + \frac{a_{1x} \Delta t^2}{2}.$$

Các giá trị tốc độ và tọa độ này sẽ là giá trị ban đầu cho chuyển động của cơ thể trong quãng tiếp theo, quãng ba, và chúng ta sẽ tìm các giá trị tốc độ và tọa độ ở cuối quãng này theo cách tương tự. Như vậy, “di chuyển” từng bước một, chúng ta sẽ có thể xác định được tọa độ $x$ của vật bất cứ lúc nào. Tương tự, chúng ta có thể tìm tọa độ $y$ và $z$.

Trong quy trình mà chúng tôi đã xem xét, không khó để nhận thấy lỗi hệ thống mà chúng tôi mắc phải. Nó nằm ở chỗ lực và gia tốc được coi là không đổi trong mỗi khoảng thời gian nhỏ $\Delta t$, và khi kết thúc khoảng thời gian đó chúng thay đổi đột ngột. Trong khi đó, trên thực tế, cả lực và gia tốc luôn thay đổi liên tục. Bạn có thể giảm thiểu lỗi này bằng cách giảm giá trị $\Delta t$. Lỗi sẽ gần như biến mất hoàn toàn nếu khoảng thời gian được thực hiện vô cùng nhỏ. Nhưng khi đó số lượng “bước” sẽ trở nên vô cùng lớn và điều này sẽ khiến quá trình này không thể thực hiện được.

Đặc biệt đối với những trường hợp như vậy, một bộ máy toán học đặc biệt đã được phát triển, được gọi là phép tính vi phân và tích phân (Newton đã phát minh ra nó chính xác cho mục đích này). Với sự trợ giúp của nó, cơ chế bài toán chính đã được giải quyết. Nhưng nguyên tắc lời giải chính xác là nguyên tắc mà chúng tôi đã xem xét ở đây. Bằng cách này, các máy tính hiện đại tính toán các chuyển động cơ học phức tạp (ví dụ: vệ tinh và tên lửa).

Để kết luận, chúng tôi lưu ý những điều sau đây. Khi chúng ta nói rằng bài toán chính của cơ học là tìm tọa độ chuyển động của một vật bằng cách sử dụng các lực đã biết và các điều kiện ban đầu, điều này không có nghĩa là tất cả những gì cơ học đều làm. Điều cũng xảy ra là chuyển động của một vật, tức là vị trí của nó tại bất kỳ thời điểm nào, đều được biết qua các quan sát. Khi đó các định luật chuyển động cho phép chúng ta tìm lực tác dụng lên vật. bài toán này, cái gọi là cơ chế bài toán nghịch đảo, cũng quan trọng như cơ chế bài toán cơ bản mà chúng tôi đã xem xét, nhưng, để dễ hiểu, nó đơn giản hơn nhiều.

Chất điện môi, chất bán dẫn, bán kim loại, kim loại

Trong vật lý cổ điển, người ta thường phân chia tất cả các chất theo tính chất điện của chúng thành chất dẫn điện và chất điện môi (“Vật lý 9”, §§ 44 và 46). Vật lý hiện đại phân biệt hai trạng thái trung gian hơn - chất bán dẫn (Vật lý 9, § 78) và bán kim loại. Chỉ với sự ra đời của cơ học lượng tử, người ta mới biết rõ sự khác biệt giữa tất cả các loại chất này. Trong lưu ý này, chúng tôi sẽ cố gắng đưa vào bản chất của lượng tử hiện đại

27

cung cấp cho nó thêm năng lượng, và theo định luật cơ học lượng tử, điều này chỉ có thể thực hiện được bằng cách chuyển nó lên mức năng lượng cao hơn. Nhưng nguyên tắc Pauli cấm thợ điện chiếm giữ các tầng đã có người sử dụng và họ không thể đi vào vùng được phép tiếp theo, vùng này hoàn toàn trống, vì năng lượng nhận được từ điện trường nhỏ hơn nhiều so với chiều rộng Δ của vùng cấm.

Ở nhiệt độ khác 0, về nguyên tắc, các electron có thể di chuyển vào vùng dẫn và trở thành chất mang dòng điện. Tuy nhiên, để số lượng electron chuyển sang vùng này đủ lớn, chất điện môi phải được nung nóng đến nhiệt độ cao đến mức tan chảy trước khi dòng điện đạt đến giá trị thay đổi. Ở nhiệt độ phòng, dòng điện trong chất điện môi thực tế là lẻ.

Chất bán dẫn. Chất bán dẫn chỉ khác chất điện môi ở chỗ chiều rộng Δ của vùng cấm ngăn cách vùng hóa trị với vùng dẫn nhỏ hơn nhiều (mười lần). Tại T=0, dải hóa trị trong chất bán dẫn, cũng như trong chất điện môi, được lấp đầy hoàn toàn và dòng điện không thể chạy qua mẫu. Nhưng do năng lượng Δ không cao nên ngay cả khi nhiệt độ tăng nhẹ, một số electron có thể di chuyển vào vùng dẫn (Hình 3). Sau đó, một dòng điện sẽ xuất hiện trong chất đó và thông qua hai “kênh” cùng một lúc.

Thứ nhất, trong vùng dẫn, các electron tiết kiệm năng lượng trong điện trường sẽ chuyển lên mức năng lượng cao hơn. Thứ hai, nó bao gồm trong dòng điện… các mức trống còn lại trong vùng hóa trị bởi các electron đã chạy vào vùng dẫn. Thật vậy, nguyên lý Pauli cho phép bất kỳ electron nào cũng chiếm một mức trống trong vùng hóa trị. Tuy nhiên, sau khi chiếm giữ cấp độ này, nó sẽ để cấp độ riêng của mình tự do, v.v. Nếu bạn không theo dõi chuyển động của các electron dọc theo cấp độ trong dải hóa trị mà là chuyển động của chính các cấp độ trống, thì hóa ra các cấp độ này, có tên ban đầu là lỗ, cũng trở thành chất mang dòng điện. Số lượng lỗ trống, rất indo, bằng số lượng electron đi vào vùng dẫn (còn gọi là electron dẫn), nhưng lỗ trống có điện tích dương vì lỗ trống là một electron bị thiếu.

Như vậy, trong chất bán dẫn, dòng điện là dòng điện của các electron trong vùng dẫn và các lỗ trống trong vùng hóa trị. Độ dẫn điện này của chất bán dẫn được gọi là nội tại.

Các electron và lỗ trống khi di chuyển trong tinh thể sẽ tương tác với các nguyên tử của mạng tinh thể, làm mất năng lượng. Liên quan đến sự mất mát này là điện trở của vật chất. Khi nhiệt độ tăng, tổn thất năng lượng tăng, do đó điện trở của chất bán dẫn cũng tăng khi nhiệt độ tăng. Nhưng khi nhiệt độ tăng, số lượng electron di chuyển vào vùng dẫn tăng lên, và do đó, số lượng lỗ trống trong vùng hóa trị cũng tăng lên. Điều này có nghĩa là nó đang phát triển (và rất

29

Thật không may, không có tinh thể lý tưởng và không thể đạt được nhiệt độ bằng 0. Trên thực tế, các electron mất năng lượng khi tương tác với các nguyên tử mạng đang dao động, do đó điện trở của kim loại thật tăng theo nhiệt độ (không giống như điện trở của chất bán dẫn). Nhưng điều quan trọng nhất là ở bất kỳ nhiệt độ nào, độ điện tử của kim loại đều cao hơn đáng kể so với độ điện tử của chất bán dẫn vì kim loại chứa nhiều electron hơn có khả năng dẫn dòng điện tử.

Hiệu ứng quang điện và lượng tử

Hiệu ứng quang điện được phát hiện bởi nhà vật lý thực nghiệm người Đức W. Gallwack vào năm 1888.*) Ông phát hiện ra rằng khi chiếu sáng một vật dẫn mang điện âm bằng tia cực tím, điện tích của vật dẫn đó nhanh chóng giảm đi.

Hiệu ứng quang điện được nghiên cứu chi tiết vào năm 1888-1890 bởi nhà khoa học người Nga A. G. Stoletov và sau đó là nhà khoa học người Đức F. Lenard. Do đó, vào năm 1899, Lenard đã chứng minh rằng khi chiếu sáng kim loại bằng ánh sáng cực tím (và đôi khi nhìn thấy được), các hạt tích điện âm - electron - thoát ra khỏi kim loại.**)

Việc các electron bật ra khỏi kim loại dưới tác dụng của ánh sáng không có gì đáng ngạc nhiên. Đến thời điểm này người ta đã biết ánh sáng là sóng điện từ. Điều này có nghĩa là ánh sáng chiếu vào bề mặt kim loại sẽ mang theo một điện trường xoay chiều. Trong đó

*) Một năm trước đó, nhà vật lý người Đức G. Hertz đã phát hiện ra rằng sự phóng điện giữa hai electron xảy ra mạnh hơn nếu khe tia lửa được chiếu sáng bằng tia cực tím.

**) Chính xác hơn, sự phát xạ electron của các vật rắn và lỏng nên gọi là hiệu ứng quang điện bên ngoài (ngược lại với hiệu ứng quang điện bên trong, khi dưới tác dụng của ánh sáng, các electron vẫn ở bên trong vật và chỉ thay đổi trạng thái).

Trong trường hôn mê, một electron trong kim loại phải dao động và khi đạt biên độ lớn, nó có thể bay ra khỏi kim loại, nơi nó được giữ bởi lực hút của một hạt tích điện dương (hãy nhớ rằng biên độ quyết định năng lượng dao động). Bạn có thể mong đợi rằng sẽ mất một thời gian để electron “lắc lư” (các tính toán cho thấy thậm chí có thể mất vài phút). Số lượng electron phát ra trong một đơn vị thời gian phải được xác định, thậm chí có thể mất vài phút. Vì vậy, ánh sáng của máy chiếu mạnh đương nhiên sẽ hút ra nhiều electron hơn ánh sáng của đèn pin. Năng lượng của các electron phát ra cũng phụ thuộc vào cường độ ánh sáng cung cấp.

Vì vậy, dựa trên lý thuyết sóng ánh sáng, chúng ta có thể mong đợi rằng:

1. Bất kỳ ánh sáng nào, tức là bất kỳ bước sóng nào, đều phải hút các electron ra khỏi kim loại, vì tất cả ánh sáng đều mang theo một điện trường xoay chiều.

2. Cần có thời gian để bứt electron ra khỏi kim loại. Do đó, các quang điện tử (electron phát ra từ ánh sáng) sẽ xuất hiện một thời gian sau khi bật đèn.

3. Số lượng electron bật ra và năng lượng của chúng phải tỷ lệ thuận với cường độ ánh sáng (tức là bình phương biên độ dao động trong sóng ánh sáng).

Tuy nhiên, các nghiên cứu được thực hiện bởi A. G. Stoletov, V. Gallvak và F. Lenard cho thấy quy luật của hiệu ứng quang học hoàn toàn không như mong đợi. Hóa ra là:

1. Không phải tất cả ánh sáng đều đẩy electron ra khỏi kim loại. Đối với mỗi kim loại, có một tần số nhỏ nhất nhất định $v_{\min}$ (bước sóng dài nhất $\lambda_{\max}$), sao cho ánh sáng nhỏ hơn tần số (bước sóng dài hơn) hoàn toàn không phát ra electron. Nếu tần số dao động của sóng ánh sáng nhỏ hơn giới hạn này

30

tần số, thì máy chiếu mạnh nhất phát ra ánh sáng như vậy sẽ không phát ra một electron nào. Nhưng nếu tần số lớn hơn $v_{\min}$ thì ngay cả một chiếc đèn pin nhỏ cũng sẽ khiến các electron bay ra ngoài. Tần số thấp nhất (bước sóng dài nhất) này được gọi là cạnh đỏ của hiệu ứng quang điện.

2. Sự phát xạ electron từ kim loại bắt đầu gần như đồng thời với thời điểm bắt đầu chiếu sáng. Hành động tức thời là điều khiến hiệu ứng ảnh trở nên quan trọng trong các thiết bị tự động khác nhau.

3. Các electron thẳng hàng với ánh sáng có các giá trị động năng khác nhau - từ giá trị nhỏ nhất đến giá trị cực đại nào đó $mv^2_{\max}/2$. Năng lượng quang điện cực đại này phụ thuộc tuyến tính vào tần số của ánh sáng chứ không phụ thuộc vào cường độ của nó. Cường độ ánh sáng chỉ tỷ lệ thuận với số lượng electron thẳng hàng (ở trạng thái này, định luật Stoletav về hiệu ứng quang điện).

Do đó, tần số ánh sáng đóng vai trò chính, xác định màu sắc của nó, nhưng không liên quan gì đến năng lượng của sóng. Do đó, các định luật về hiệu ứng quang điện hóa ra không tương thích với lý thuyết sóng của ánh sáng.

Lời giải thích lý thuyết đầy đủ về hiệu ứng quang điện được A. Einstein tìm ra vào năm 1905. Ông đã chỉ ra rằng trong trường hợp này, ánh sáng hành xử không giống như sóng mà giống như một dòng hạt, lượng tử ánh sáng, năng lượng của nó được biểu thị bằng đẳng thức $E=hv$, được M. Planck đưa ra 5 năm trước để giải thích một quá trình hoàn toàn khác.

Bản thân hiệu ứng ảnh bao gồm thực tế là các hạt ánh sáng, va chạm với các electron kim loại, truyền năng lượng và động lượng cho chúng (bản thân lượng tử biến mất trong trường hợp này). Nếu năng lượng của lượng tử ánh sáng tới lớn hơn công mà electron phải thực hiện để chống lại lực hút đối với các hạt tích điện dương của chất đó thì electron có thể bay ra khỏi kim loại. Nếu năng lượng của lượng tử nhỏ hơn công này (hàm công của một electron từ kim loại), thì một electron sẽ không bay ra khỏi kim loại.

Ý nghĩa của tần số cắt, tức là viền màu đỏ của hiệu ứng quang điện, trở nên rõ ràng: để xé một electron ra khỏi kim loại, năng lượng của lượng tử phải không nhỏ hơn $hv_{\min}$. Năng lượng này bằng với công năng $A$ của một electron từ một kim loại nhất định. Trong trường hợp năng lượng $hv$ của lượng tử tới lớn hơn $A$ thì động năng cực đại của electron bằng hiệu $hv-A$:

$$\frac{mv^2_{\max}}{2} = hv-A.$$

Đây là công thức của Einstein về hiệu ứng ảnh. Rõ ràng nó được viết dưới dạng

$$hv = A + \frac{mv^2_{\max}}{2}.$$

Ánh sáng có gì thú vị? Nó có đóng vai trò gì không? Vâng, anh ấy đang chơi. Nếu ánh sáng gây ra hiệu ứng quang điện thì số electron phát ra trong một đơn vị thời gian tỉ lệ thuận với ánh sáng. Nhưng mối quan tâm của ánh sáng hiện nay không liên quan đến biên độ dao động của sóng ánh sáng mà liên quan đến số lượng tử do nguồn phát ra trong một đơn vị thời gian. Một chiếc đèn “mạnh” gấp đôi sẽ phát ra số vòng lượng tử nhiều gấp đôi; ánh sáng của ngọn đèn như vậy và các electron từ kim loại được nhân đôi thành một vòng. Nhưng năng lượng của các electron phát ra không phụ thuộc vào cường độ ánh sáng của đèn mà phụ thuộc vào màu sắc của ánh sáng mà nó phát ra.

Lý thuyết của Einstein đã được kiểm tra kỹ lưỡng bằng thực nghiệm (trong các thí nghiệm tương tự như những thí nghiệm được mô tả trong Vật lý 10 trên trang 225). Các phép đo đặc biệt chính xác được thực hiện vào năm 1916 bởi nhà vật lý người Mỹ R. Millikan. Kết quả của những nghiên cứu này có thể

32

Xia và những gì anh ấy phải làm để giải đúng bài toán.

Ví dụ: bài toán sau đây được đưa ra: “Có hình tam giác nào có tất cả các chiều cao nhỏ hơn 1 cm và diện tích lớn hơn 100 cm² không?” Một học sinh viết vào lời giải: “Có, nó tồn tại. Chúng ta lấy phần đế càng lớn càng tốt và chiều cao là 2-3 mm, sau đó các chiều cao khác sẽ nhỏ hơn 1 cm, vì góc gần bằng 180°.” Những văn bản như vậy đặt ra một vấn đề khó khăn cho người đánh giá bởi vì chúng không thể được chấp nhận một cách đơn giản hay bị từ chối một cách đơn giản. Mặc dù học sinh này chắc chắn là một người giao tiếp nhưng cậu ấy vẫn cần được dạy và dạy cách viết ra những suy nghĩ của mình. Thanh tra viết bên lề: “Những gì bạn viết là một ước tính tốt, lẽ ra nó phải cho bạn biết các cạnh và góc mà tam giác của bạn có thể có. Bạn được vẫy tay để viết hoặc giữ ước tính này cho riêng mình. Nhưng đáp số lẽ ra phải trông như thế này: “đặt a=…cm, b=…cm, c=…cm. Khi đó tam giác ở cạnh này thỏa mãn điều kiện bài toán. Bằng chứng: …”. Và nếu không có điều này bài toán thì không giải quyết được!

Các tác phẩm đã được kiểm tra sẽ được gửi cho sinh viên theo hợp đồng - tất nhiên, không phải như một hình phạt, mà để họ xem qua những nhận xét đã đưa ra cho mình và thu được nhiều lợi ích nhất có thể từ chúng.

Một khó khăn đáng kể trong việc dạy toán nói chung và đặc biệt là trong quá trình đào tạo từ xa là do tính đặc thù của toán học với tư cách là một môn khoa học. Toán học hoạt động với sự trừu tượng và công việc cũng đòi hỏi phải tuân thủ “các quy tắc của trò chơi” đặc biệt. Những người đi bộ, nhà máy, bể bơi và tổ hợp được thảo luận trong các bài toán ở trường khác nhau về chất so với những cái tên cụ thể của chúng, giống như vua cờ khác với vua còn sống. Sự tương ứng cũng không bình thường trong ngôn ngữ toán học. Các văn bản toán học không chỉ có ký hiệu hình thức mà còn có những biểu thức khác thường như “góc lớn hơn bao nhiêu”, “tùy ý”, “nếu và chỉ khi”, “với bất kỳ A nào cũng có B”, thể hiện các cấu trúc logic phức tạp. Tiêu chí để hiểu các phát biểu là khả năng xử lý chúng: rút ra kết luận từ chúng, xây dựng các phát biểu ngược lại, kiểm tra chúng trong các trường hợp cụ thể, khái quát hóa, chuyển sang làm rõ các ý tưởng, v.v. Để làm việc thành công với các khái niệm toán học trừu tượng, cần phải thông thạo và chính xác trong ngôn ngữ toán học, cũng như khả năng đạt được tốt nhất khi giao tiếp trực tiếp với người đối thoại có văn hóa về lĩnh vực này. Vì vậy, chúng ta cần một số hình thức đào tạo kết hợp, sự kết hợp giữa hình thức đào tạo này và các hình thức trao đổi thư từ.

Vì mục đích này, VZMS chấp nhận “học sinh tập thể” - nhóm học sinh làm bài tập dưới sự hướng dẫn của giáo viên. Đây là hình thức dạy học rất linh hoạt, tiện lợi, được nhiều giáo viên và học sinh đánh giá tích cực. Đây là một đánh giá điển hình: “Bạn đang làm một công việc to lớn, ảnh hưởng đến nội dung cụ thể, sống động trong công việc của hàng nghìn vòng tròn toán học.”

Chúng ta hãy cầu chúc thành công hơn nữa cho tất cả nhân viên của Trường Phóng viên - giáo viên, sinh viên, nhà khoa học tham gia vào một mục đích chung - ươm mầm tài năng và tiếp thu họ cho khoa học.

A. L. Toom

Từ xưa bài toán
VZMSH

Bản vẽ này được lấy cảm hứng từ nhiệm vụ sau đây từ một cuộc họp cũ của VZMSH:

Có thể điền vào bảng 4x4 bằng các chữ cái B, Z, M và W, bao quanh chúng bằng các khung gồm bốn loại (hình vuông, hình thoi, hình tam giác, hình tròn) và tô màu các ô trong bảng bằng bốn màu sao cho đáp ứng điều kiện sau:

1. trong mỗi hàng, mỗi cột phải có đủ chữ, hoa, các loại khung;
2. mỗi chữ cái phải xuất hiện một lần trong mỗi ô màu;
3. mỗi loại khung có nên chứa mọi chữ cái và mọi màu sắc không?

33

Nhiệm vụ

1. Có những que diêm trong hộp. Số lượng của họ đã tăng gấp đôi, và sau đó 8 trận đấu đã bị loại bỏ. Các trận còn lại lại được nhân đôi, rồi lại bị gỡ 8 trận. Khi thao tác này được thực hiện lần thứ ba, trong hộp không còn một que diêm nào. Lúc đầu có bao nhiêu?

2. A và K là hai số khác nhau. 7 chữ số khác trong ví dụ nhân được thay thế bằng dấu hoa thị. Xây dựng lại các con số trong ví dụ này.

3. Có thể nói gì về các điểm A, B và C trên một mặt phẳng nếu biết rằng với mọi điểm M của mặt phẳng này thì khoảng cách AM nhỏ hơn ít nhất một trong các khoảng cách BM và CM?

4. Sasha và Grisha thường đạp xe dọc theo con đường rừng từ đầu rừng này sang đầu kia. Một ngày nọ, Grisha đang đạp xe xuyên rừng 2 km thì gặp Sasha, người đang sửa xe đạp. Những người bạn nói chuyện về vấn đề ở trường và Grisha tiếp tục. Khi đến bìa rừng, anh nhận thấy đã 24 phút trôi qua kể từ khi anh vào rừng. Chúng tôi quay lại, anh ấy đi theo hướng ngược lại và sau 2 km anh ấy lại gặp Sasha, người đang sửa xe đạp nhưng ở một nơi khác. “Bạn đã đi được bao xa?” Grisha hỏi. “Chỉ 900 mét thôi,” Sasha trả lời anh. Xác định thời gian họ nói chuyện lần đầu tiên nếu biết rằng Grisha luôn lái xe với vận tốc 10 km/h.

5. Hai bình hình nón trong hình được đổ đầy nước như nhau lên trên. Đáy tàu có phản ứng giống hệt nhau. Nước sẽ chảy ra từ bình nào nhanh hơn nếu mở các đáp án này?

Những nhiệm vụ này do R. Yu đề xuất cho chúng tôi. Vinokur, V. D. Vyun, G. A. Galperin, A. S. Kozinsky, S. R. Sefibekov.

Nước thật quen thuộc và thật tuyệt vời!

Tiến sĩ khoa học sư phạm
N. A. RODINA

Nếu tất cả các phần của bề mặt địa cầu được hình thành tuần tự, thì 70% số bẫy sẽ trông giống như bức ảnh ở trang 35 - bề mặt Trái đất được bao phủ hơn 2/3 bởi nước.

Các đại dương chiếm phần lớn lượng nước; nó được chứa trong hồ, sông, dưới lòng đất và trên không. Nguồn cung cấp nước trong khí quyển - dưới dạng hơi nước - gấp đôi nguồn tài nguyên của tất cả các con sông.

Độ sâu trung bình của các đại dương là 3800 m, sâu nhất là rãnh Marinsky ở Thái Bình Dương - khoảng 11.000 m. Nếu bạn san bằng đất liền và đến các đại dương để Trái đất trở thành một quả bóng chính xác, thì toàn bộ bề mặt của nó sẽ được bao phủ bởi một lớp nước dày khoảng 2500 m.

Biết được điều này, đồng thời tính đến bán kính trung bình của Trái đất là 6400 km, chúng ta có thể tính được thể tích gần đúng của nước trên Trái đất và bán kính của “giọt” mà nước sẽ hình thành nếu tất cả đều tập trung vào nước.

Tất nhiên, có thể chỉ ra và bạn có thể tự làm rằng thể tích nước vẫn chỉ là một phần nhỏ trong tổng thể tích của Trái đất. Nhưng trong số tất cả các hành tinh trong hệ mặt trời (và trong đó, ngoài chín hành tinh lớn, còn có hàng nghìn hành tinh nhỏ - tiểu hành tinh), không ai có thể so sánh với Trái đất về tổng lượng nước. Ví dụ, Sao Kim và Sao Hỏa có bề mặt khô không tìm thấy ở bất kỳ nơi nào khác trên Trái đất. Ngay cả sa mạc Sahara cũng chỉ giống như một đầm lầy so với họ.

Không có nước, sự sống trên hành tinh của chúng ta sẽ không thể tồn tại được. Nó được tìm thấy trong các sinh vật động vật và thực vật. Một người hàng năm tiêu thụ khoảng hai tấn nước. Chúng tôi luôn hiểu được điều đó; chúng ta cần nó giống như không khí.

Và loại nước này, rất phổ biến và thoạt nhìn, là một chất lỏng hoạt hình như vậy, hóa ra lại có những đặc tính vật lý chưa được công bố để phân biệt nó với các chất khác và khiến nó trở nên hữu ích cho con người. Như thể thiên nhiên đã đặc biệt quan tâm đến việc cung cấp cho nước

35

Nhờ đặc tính giảm nóng, lạnh trên Trái đất, cá có thể bơi lội trong nước, con người bò qua “cầu băng nho khô”…

Chúng ta hãy xem xét một số tính chất này.

Nước là một trong những chất hiếm, trong điều kiện bình thường của cuộc sống chúng ta, được tìm thấy ở dạng rắn, lỏng và khí. Có bao nhiêu bạn đã từng thấy xăng rắn (nhiệt độ nóng chảy của nó thấp hơn - 60°C)? Chúng ta chỉ có thể nhìn thấy sắt lỏng trong chuyến tham quan đến nhà máy luyện kim và không khí lỏng - trong các phòng thí nghiệm đặc biệt. Nhưng chúng tôi biết rõ nước ở cả ba bang. Mùa đông đứng bên bờ sông thấy băng - trạng thái rắn của nước, thấy nước trong hố, ta thở ra hơi nước theo hơi thở (vô hình).

Biết rằng mọi vật đều nở ra khi nóng lên và co lại khi nguội đi. Điều này áp dụng cho nước. Điều này giải thích, ví dụ, việc làm nóng nước bằng đối lưu. Nhưng nếu chúng ta quan sát sự giãn nở và co lại của nước khi nhiệt độ của nó thay đổi một cách cẩn thận hơn, chúng ta sẽ nhận thấy một đặc điểm của nước có tầm quan trọng rất lớn đối với con người.

Hãy tưởng tượng rằng hai bình giống hệt nhau chứa đầy chất lỏng. Một bình chứa nước, bình kia chứa bất kỳ chất lỏng nào khác, chẳng hạn như xăng, và cả hai chất lỏng đều có cùng nhiệt độ, ví dụ: 15°C. Chúng tôi sẽ làm lạnh dần dần các chất lỏng này xuống 0°C. Lúc đầu, nước sẽ không thể hiện bất kỳ “điều kỳ diệu” nào; cả hai chất lỏng sẽ trôi đi. Nhưng sau khi nhiệt độ của chất lỏng bằng 4°C, xăng sẽ tiếp tục bốc hơi và nước sẽ bắt đầu nở ra!

Hãy xem xét quá trình ngược lại: chúng ta sẽ đun nóng những chất lỏng này từ 0°C. Xăng (và các chất lỏng khác) sẽ chỉ nở ra, còn nước trước tiên sẽ đóng lại với nhau và chỉ sau 4°C, nó mới bắt đầu nở ra, tức là nó sẽ hoạt động giống như các chất lỏng khác.

Bạn có thể tiếp tục thí nghiệm chứng minh tính chất tuyệt vời này của nước. Đổ nước lạnh vào bình hoặc ly cao khoảng một nửa (nếu có thể, lấy nước lạnh hơn nhưng không lạnh hơn 4°C) và hạ nhiệt kế vào nước có thể thay đổi nhiệt độ từ 0°C trở lên (ví dụ: nhiệt kế phòng thí nghiệm trường học hoặc nhiệt kế phòng là phù hợp). Bình chứa nhiệt kế phải được giữ ở mức gần lạnh nếu bạn cố định nhiệt kế sao cho chỉ có thể di chuyển lên xuống). Bây giờ cẩn thận đặt những miếng băng nhỏ lên mặt nước thành lớp 2-4 cm và quan sát chỉ số nhiệt kế. Nhiệt kế sẽ giảm xuống, nhưng khi nhiệt độ đạt gần 4°C (có thể chênh lệch 1-1,5°, điều này phụ thuộc vào chất lượng của nhiệt kế, tức là “loại” của nó, tùy vào sự hiện diện của các hạt trong nước và các lý do khác), bạn sẽ thấy cột nhiệt kế sẽ vẫn còn. Hãy chắc chắn rằng nó đứng yên và sau đó cẩn thận nhấc nhiệt kế lên cho đến khi bình chứa của nó nằm ở lớp nước trên cùng, nơi có đá. Bạn sẽ thấy nhiệt độ ở đó gần bằng 0°C. Bạn có thể phải thêm đá vào trong quá trình thử nghiệm; làm điều này một cách cẩn thận để nó không bị chìm xuống và trộn lẫn với các lớp nước bên dưới.

36

Từ những quan sát của chúng tôi, nước có mật độ cao nhất ở 4 °C; khi được làm nóng trên nhiệt độ này và khi được làm lạnh dưới nhiệt độ này, mật độ của nước giảm. Đặc tính này của nước ngọt (nước biển không có) được gọi là dị thường giãn nở Tellan (dị thường - không đều, sai lệch so với quy luật chung).

Hình 1 thể hiện đồ thị thể tích nước theo nhiệt độ (đối với 1 g nước). Hãy sử dụng nó và vẽ đồ thị về mật độ của nước so với nhiệt độ.

Nhờ sự giãn nở bất thường của nước Tellan, các hồ chứa nước ngọt không bị đóng băng cho đến ngày mùa đông. Khi thời tiết lạnh đến, không khí phía trên hồ, sông hoặc ao dần nguội đi. Lớp nước phía trên va chạm với nó cũng nguội đi. Khi còn sót lại, nó trở nên đặc hơn và chìm xuống đáy - nó chìm trong vùng nước ấm ít đặc hơn. Dần dần, lớp nước dưới cùng trở nên lạnh hơn và cuối cùng nhiệt độ của nó đạt tới 4°C. Vùng nước phía trên nó tiếp tục nguội đi từ 4 °C xuống 0 °C, nhưng bây giờ mật độ của chúng trở nên ít hơn và chúng không chìm cao hơn nữa. Do đó, một lớp nước tương đối ấm vẫn tồn tại dưới đáy hồ ngay cả trong mùa đông, trong đó cá, động vật giáp xác và tảo trú đông.

Nhưng “phép lạ” không dừng lại ở đó; nước không tiết kiệm những điều bất ngờ.

Lấy hai ống nghiệm (hoặc lọ thủy tinh nhỏ) đổ nước vào một ống, đun chảy rượu vodka hoặc stearin vào ống còn lại. Để sáp trong phòng - nó sẽ nhanh chóng cứng lại và bạn sẽ phải sử dụng nước

Temperature graph

Hình 1.

lấy ra nơi lạnh hoặc cho vào ngăn đá tủ lạnh để thành đá. Và một lần nữa nước sẽ làm chúng ta ngạc nhiên! Trong quá trình đông cứng, sáp tan chảy và tạo thành một lỗ nước sâu trên bề mặt của nó. Và trên bề mặt băng, bạn sẽ thấy một chỗ phình ra (và nếu bong bóng chứa đầy nước lên trên và đóng lại, thì băng thậm chí sẽ làm vỡ nó).

Chúng ta hãy kết luận: khi nước chuyển từ trạng thái lỏng sang trạng thái rắn, mật độ của nó giảm - xét cho cùng, thể tích của nó tăng lên trong khi khối lượng của nó không thay đổi. Ngược lại, nước, giống như hầu hết các chất, có mật độ tăng lên trong quá trình đông đặc.

Nhờ đặc tính này của nước mà băng bao phủ mặt hồ vào mùa đông không chìm xuống đáy và không chìm. Nếu nó không có đặc tính của một cái hồ, thì sự giãn nở dị thường của nước sẽ không gây ra hiện tượng rão; các hồ chứa sẽ đóng băng xuống đáy. Thực tế là nước đậm đặc nhất ở 4°C và nó giãn nở khi đông đặc dẫn đến sự phân bố nhiệt độ cuối cùng trong các vùng nước như trong Hình 2.

Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra: tại sao nhiệt độ của nước trong bể không được cân bằng? Tại sao các hồ chứa vẫn không nguội xuống đáy trong suốt mùa đông dài do tính dẫn nhiệt? Điều này được giải thích là do nước có độ dẫn nhiệt rất thấp, hoặc như người ta nói, độ dẫn nhiệt kém.

Một lớp nước dày 1 m và có diện tích 1 m2 với chênh lệch nhiệt độ bề mặt 1 ° C truyền 0,58 J năng lượng từ bề mặt nhiều hơn đến ít nóng hơn trong một giây. Giá trị này - 0,58 J/(m³ °C s) - được gọi là hệ số dẫn nhiệt của nước. Để so sánh, chúng tôi chỉ ra các giá trị của hệ số dẫn nhiệt của đồng - 395 J/(m³·°C·s) (gấp 660 lần so với nước) và độ dẫn nhiệt của khoáng chất - 204 J/(m³·°C·s).

Dẫn nhiệt và băng kém. Và nếu trên mặt băng cũng có tuyết mới tan và nó bao gồm các tinh thể băng nhỏ có không khí giữa chúng, thì đó là chất dẫn nhiệt rất kém, có hệ số dẫn nhiệt

37

0,023 J/(m³·°C·s), - khi đó một chiếc “áo khoác lông thú” như vậy sẽ bảo vệ các lớp nước thấp hơn trong các hồ chứa sâu khỏi sương giá một cách đáng tin cậy.

Hãy cùng thảo luận về một tính chất tuyệt vời khác của nước. Xem bảng nhiệt dung riêng của cơ thể (sách giáo khoa lớp 6-7). Nước có nhiệt dung riêng cao nhất! Để nung nóng 1 kg chất đó lên 1°C cần 4200 J năng lượng. Đối với dầu hỏa, trong cùng điều kiện, cần 2100 J và đối với các loại khác - 140 J. Điều này có nghĩa là ngay cả khi làm mát xuống một độ, một kg nước sẽ tỏa ra năng lượng cho các vật xung quanh nhiều gấp đôi so với dầu hỏa và gấp 30 lần so với thủy ngân. Vì vậy, khi tăng lượng nước Hy Lạp, việc đổ đầy nước thông thường vào đó không chỉ dễ dàng nhất mà còn có lợi nhất.

Tính lượng nhiệt sẽ tỏa ra khi một grkka có thể tích 2 lít nguội từ 100 °C đến 20 °C trong hai trường hợp: khi grkka chứa đầy nước và khi đổ đầy dầu thực vật (mật độ của nước là 1000 kg/m³, mật độ của dầu là 900 kg/m³, nhiệt dung riêng của chúng lần lượt là 4200 J/(kg °C) và 2000 J/(kg ° C).

Bây giờ chúng ta hãy xem hiện tượng này ở một quy mô khác. Vào mùa hè, khi thời tiết ấm áp, lượng nhiệt được hấp thụ từ không khí xung quanh bởi nước của các đại dương, biển, hồ lớn, được giảm thiểu đáng kể do sức nóng ở những vùng đất nằm gần các vùng nước lớn. Mùa đông đến, nước làm mát và giải phóng lượng nhiệt khổng lồ này vào không khí. Vì vậy, mùa đông ở những nơi như vậy trên Trái đất không khắc nghiệt như ở những nơi khác nằm trên cùng một gai.

Ví dụ, hãy tính toán xem Biển Đen tỏa ra bao nhiêu nhiệt khi mùa chuyển từ mùa hè sang mùa đông. Các quan sát cho thấy nhiệt độ trung bình của nước mặt Biển Đen vào mùa hè là khoảng 25 °C và vào mùa đông là khoảng 7 °C. Diện tích bề mặt của nó là khoảng 420.000 km2 và độ sâu trung bình của nó là khoảng 1200 m.

Lượng nước trên biển
$$V = (420 000 \cdot 10^6) \text{ m}^2 \cdot 1200 \text{ m} \approx 5 \cdot 10^{14} \text{ m}^3.$$

Hãy tính khối lượng của nước, biết rằng mật độ của nước biển là 1030 kg/m³: $$m = 1030 \text{ kg/м}^3 \cdot 5 \cdot 10^{14} \text{ m}^3 \approx 5,1 \cdot 10^{17} \text{ кг}.$$

Nhiệt dung riêng của nước biển là 4000 J/(kg°C). Do đó, tổng lượng nhiệt mà biển toả ra khi nguội đi bằng:
$$Q = 4000 \text{ Дж/(кг·°C)} \cdot (25-7) \cdot 10^3 = 3,7 \cdot 10^{22} \text{ Дж}.$$

Hãy tự tính xem cần đốt bao nhiêu than để thu được lượng nhiệt này.

Nước được sử dụng làm chất làm mát cho động cơ phân loại bên trong và lò phản ứng vì nó hấp thụ rất nhiều nhiệt khi đun nóng.

Nước hòa tan tốt nhiều chất nên có thể tạo ra cả vị mặn và vị ngọt. Nhiệt độ sôi của nước sao cho hầu hết các sản phẩm mà con người tiêu thụ đều có thể được nấu chín trong đó… Chúng tôi cũng khuyên bạn nên xem bảng nhiệt dung riêng bay hơi của các chất, đảm bảo rằng trong số tất cả các chất được liệt kê trong đó, nước có nhiệt dung riêng nhất và nghĩ xem điều này mang lại lợi ích gì (hoặc có thể là bất tiện?) cho một người.

38

Luật xa gần

Xã hội mà các đường thẳng song song kéo dài ra xa đối với chúng ta dường như đang hội tụ và hiện tượng này được gọi là phối cảnh. Từ xa xưa, các nghệ sĩ đã sử dụng phối cảnh để tạo ra ảo giác về một hình ảnh không gian trên một tấm canvas phẳng. Hình minh họa có thể là một bức tranh của Gonzago, bức ảnh mà bạn nhìn thấy trước mặt.

Một hình ảnh phẳng dễ tiếp cận hơn của các vật thể trong không gian là nhiếp ảnh. Chúng ta có thể coi chụp ảnh là một sự ánh xạ tương ứng với từng điểm trong không gian (chính xác hơn là phần của nó) tới một điểm nhất định trên một tờ giấy như sau. Một điểm được cố định—“tiêu điểm” F—và một mặt phẳng—“màn hình” E (mặt phẳng song song với thành sau của thiết bị). Để tránh tình trạng sắp xếp lại hình ảnh xảy ra trong máy ảnh thật, chúng tôi đặt mặt phẳng này giữa tiêu điểm và đối tượng được chụp. Sau đó, điểm A chúng ta chụp ảnh một phần không gian tương ứng với điểm A’ của giao điểm của màn hình với đường thẳng FA (Hình 1).

Chúng ta hãy xem các đường thẳng, mặt phẳng và góc được hiển thị trên màn hình như thế nào.

1°. Đoạn thẳng không đi qua Ф được mô tả là đoạn thẳng (đoạn gồm các đường giao nhau của mặt phẳng E với mặt phẳng đi qua một đoạn và điểm Ф cho trước; Hình 2).

2°. Một đoạn đường thẳng l kéo dài đến vô cùng, không song song với E và không đi qua Ф, được biểu diễn như một khoảng hữu hạn kết thúc tại giao điểm của mặt phẳng E với đường thẳng song song với l và đi qua Ф. Điểm này được gọi là ảnh của một điểm ở xa vô hạn của đường thẳng l (xem Hình 2).

3°. Hình ảnh của các điểm ở xa vô cùng của các đường thẳng song song (không song song với E) trùng nhau (“các điểm song song hội tụ ở vô cực!”).

40

với $M$ và $C_1$ với $K$. Phần tiếp theo của các dòng $AA_1$ và điểm $L$ chúng ta thấy ở phần 6), các đường màu đỏ - ở phần c).

6. Trong Hình 6, 6, các đường màu đen thể hiện mặt bằng cần thiết, các đường màu xanh lam - các công trình bổ sung; dòng màu đỏ là cần thiết cho phần c). Công trình sử dụng chiều dài các cạnh cũng như các tỷ lệ sau (chúng tôi sử dụng ký hiệu của Hình 6, a và 6; các đường thẳng $\Phi K', \Phi M'$ trong Hình 6, 6 song song với các cạnh của ngôi nhà): $l_2:l_1=AA_1:BB_1; l_3:l_1=AA_1:CC_1; K'L':L'M'=KL:LM$. (Việc xây dựng từ những dữ liệu này được thực hiện không gặp khó khăn và theo nhiều cách khác nhau; ví dụ: bạn có thể bắt đầu bằng cách hướng một hình chữ nhật được tô bóng theo một tỷ lệ nhất định, sau đó tìm điểm $E$ trên đó.)

c) Chúng ta hãy thực hiện các phép dựng sau trong Hình 6, a và b (chúng được tô màu đỏ): vẽ đường vuông góc $\Phi P'$ với đoạn $K'M'$, đánh dấu trên đoạn $KM$ một điểm $P$ sao cho $KP:PM=K'P':P'M'$, và dựng một điểm $Q$ sao cho $PQ \perp KM$ và $KQ \perp QM$. Sau đó

$$AA_1:AL:PQ=h:H:l_1,$$

(1)

trong đó $h$ là chiều cao của ngôi nhà và $H$ là chiều cao của điểm bắn. Vì chúng ta có thể tìm thấy $l_1$ từ Hình 6, 6, nên điều này là đủ để tìm $h$ và $H$ (theo số đo của chúng tôi, $l_1 \approx 50,7$ m, $h \approx 24,5$ m, $H \approx 40,9$ m). Hãy chứng minh tỉ số (1). Tại một điểm trên địa hình tương ứng với điểm $P'$ trong kế hoạch của chúng tôi, chúng tôi sẽ xây dựng một cột buồm thẳng đứng và đánh dấu hai điểm trên đó: điểm thứ nhất - ngang tầm điểm chụp, điểm thứ hai - bên dưới điểm đầu tiên, sao cho có thể nhìn thấy đoạn giữa điểm thứ nhất và điểm thứ hai từ tiêu điểm ở một góc $45^\circ$ (điểm thứ hai hóa ra nằm dưới mặt đất). Độ dài của đoạn này bằng khoảng cách từ tiêu điểm đến cột, tức là $l_1$, và trong ảnh, ảnh của nó là đoạn $PQ$ (do phát biểu $8^\circ$ nên góc $KQM$ phải thẳng). Bây giờ tỷ lệ (1) theo sau câu lệnh $6^\circ$.

Chuyển nhượng cho trang hình học bắt buộc tiếp theo

Bản vẽ cho thấy ba đường cong: màu đỏ - một hình elip, màu xanh lam - “hình số 8 ngược” và màu đen - một hình parabol bán khối. Vẽ từng đường cong này lên một tờ giấy riêng (bạn có thể phóng to nó, nhưng nó phải chính xác!), lấy đủ chuỗi các điểm trên chúng ở những khoảng cách gần bằng nhau và vẽ pháp tuyến cho các đường cong tại các điểm này (bình thường là đường vuông góc với tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc); đừng quên rằng đường vuông góc nằm ở cả hai phía của đường mà nó khôi phục). Mỗi bức vẽ trong số ba bức vẽ của bạn sẽ được thống trị chặt chẽ với các đường thẳng chạy theo các hướng khác nhau. Bạn sẽ thấy rằng những đường thẳng này sẽ không lấp đầy bản vẽ một cách đồng đều (một trong số chúng thậm chí sẽ có một phần hoàn toàn trống rỗng). Hơn nữa, trong mỗi hình vẽ sẽ có thể phân biệt một đường cong mà các đường thẳng uốn cong rất mạnh. Cố gắng theo dõi quá trình của những đường cong này.

41

Vấn đề
lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Những nhiệm vụ khó khăn nhất được trao sao. Sau khi hình thành một nhiệm vụ, chúng ta thường chỉ ra ai đã đề xuất nhiệm vụ đó cho chúng ta. Tất nhiên, không phải tất cả các nhiệm vụ này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 30 tháng 4 năm 1984 đến địa chỉ: 103006, Moscow, K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant». Trong cột “Tới”, viết: “Sự cố «Kvant» Số 2 - 84” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M846, M847” hoặc “F858”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Gửi kèm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (bạn sẽ nhận được kết quả kiểm tra lời giải trong phong bì này). Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản được gán trong một phong bì riêng, trùng lặp với giải pháp của bạn cho bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», bài toán mới trong vật lý” hoặc “…mới bài toán trong toán học”). Ở đầu mỗi chữ cái hãy cho biết mã số trường, lớp bạn đang theo học.

M846. Chứng minh rằng trung bình số học độ dài các cạnh của một đa giác đều nhỏ hơn trung bình số học độ dài các đường chéo của nó.

V. F. Lev

M847. Hình vuông được chia thành $n \times n$ ô. Hai người chơi lần lượt vẽ một cạnh của cùng một hình vuông (bạn không thể vẽ cùng một cạnh hai lần). Ai sẽ thắng nếu chơi đúng nếu
a) người chơi xây dựng đường khép kín đầu tiên sẽ thắng;
b) người chơi buộc phải xây dựng một đường khép kín trước sẽ thua.

I. Vetrov, A. Kodan

M848. a) Vẽ đồ thị hàm số
$$f_0(x) = \left| x - 1 \right| - 2 \left| x \right| - 3$$

b) Hình 1 thể hiện đồ thị của ba hàm “tuyến tính từng đoạn” $f_1, f_2, f_3$. Viết các công thức của chúng dưới dạng
$$y = kx + b + c_1 |x - a_1| + \dots + c_m |x - a_m|,$$
trong đó $k, b, c_i, a_i$ là một số số, $m$ là số điểm ngắt của đồ thị ($a_i$ là hoành độ của các điểm ngắt, $i = 1, 2, \dots, m$).

c) Viết hàm $f_0$ từ điểm a) dưới dạng tương tự.

d) * Một số hàm là sự kết hợp của các hàm tuyến tính, “modulo” và phép tính phép cộng, và dấu modulo được sử dụng trong ký hiệu $n$ lần (ví dụ a) $n = 4$. Số lần ngắt tối đa (tại mỗi $n$) mà biểu đồ của nó có thể có là bao nhiêu?

P. G. Satyanov

M849. Từ các số 1, 2, …, 7 xếp theo thứ tự khác nhau sẽ tạo thành bảy số có bảy chữ số. Chứng minh rằng tổng lũy ​​thừa bảy của một số số này không thể bằng tổng lũy ​​thừa bảy của các số còn lại.

G. A. Galperin

M850*. Qua giao điểm của đường phân giác của góc $A$ của tam giác $ABC$ và đoạn nối hai đáy của hai đường phân giác còn lại vẽ một đường thẳng song song với cạnh $BC$. Chứng minh rằng độ dài đáy nhỏ nhất của hình chữ nhật

42

hình thang thu được bằng chiều dài các cạnh của nó.

V. N. Dubrovsky

F858. Sau khi cầu thủ đánh bóng, quả bóng bay về phía khung thành, nằm ở khoảng cách $L=32$ m, với tốc độ $v=25$ m/s với góc $\alpha$ so với đường chân trời ($\cos \alpha=0,8$). Do gió bên thổi dọc theo khung thành vuông góc với tốc độ $\vec{v}$, độ dịch chuyển theo phương ngang của quả bóng trong mặt phẳng khung thành hóa ra bằng $s=2$ m. Tìm thời gian quả bóng bay đến mặt phẳng khung thành. Quả bóng không quay; tốc độ gió $u=10$ m/s.

V. I. Chivilev

F859. Một quả cầu có bán kính $R$ và khối lượng $m$ chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang dưới tác dụng của lực căng không đổi $\vec{F}$ của một sợi dây nhẹ không chịu kéo. Điểm bám của sợi chỉ ở độ cao $h$ so với bề mặt (Hình 2), sợi chỉ luôn nằm ngang, quả bóng di chuyển về phía trước. Điều này có thể đạt được với hệ số ma sát tối đa là bao nhiêu? Gia tốc đều của quả bóng là bao nhiêu?

L. G. Markovich

F860. Trong lỗ không dẫn điện Konchek có góc $2\alpha$ ở đỉnh ở độ sâu $h$ có ​​hai vật nhỏ tích điện bằng nhau được nối với nhau bằng một sợi dây (Hình 3); khối lượng của mỗi vật là $m$. Sau khi cháy hết, các sợi của thân bắt đầu trượt lên bề mặt lỗ và bay ra khỏi lỗ ở độ cao $H$ so với chân đế với tốc độ $v$. Hệ số ma sát của vật tại đỉnh lỗ $\mu=a \text{tg} \alpha$ ($a<1$). Xác định điện tích của các cơ quan.

Ồ, vâng. Savchenko

F861. Trong mạch RLC dao động, điện trở thấp nên các dao động trong mạch bị tắt dần. Để thu được dao động không tắt dần, hãy tiến hành như sau: hai lần mỗi chu kỳ, tại thời điểm dòng điện trong mạch đạt cực đại, cuộn cảm nhanh chóng được kéo dài từ chiều dài $l$ đến chiều dài $l+\Delta l$ và tại thời điểm điện tích trên tụ điện đạt cực đại, cuộn dây nhanh chóng bị nén về trạng thái trao đổi trước đó (cộng hưởng tham số). Khi độ dài của cuộn dây thay đổi tương đối bao nhiêu $\Delta l/l$ thì dao động trong mạch sẽ không bị suy giảm? Coi độ tự cảm của cuộn dây tỉ lệ nghịch với chiều dài của nó.

A. I. Kirkinsky

F862. Một thấu kính có tiêu cự $F$ và đường kính $d$ được lắp vào đáp số có cùng đường kính trong một màn làm bằng vật liệu hấp thụ ánh sáng ($d/F<2$). Màn hình được đặt sao cho trục quang của thấu kính trùng với mặt phẳng phân giác và vuông góc với cạnh kép

45

Từ mối quan hệ này, rõ ràng rằng $|AD| = |BC|$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{MN} = 0$, tức là các đoạn $PQ$ và $MN$ vuông góc (hoặc suy biến).

Cả lời giải đều vượt qua mà không thay đổi đối với bốn điểm $A, B, C, D$ bất kỳ trên mặt phẳng hoặc trong không gian. Cụ thể, ví dụ, các phát biểu sau đây là đúng: nếu các đường giữa của một tứ giác vuông góc thì các đường chéo của nó bằng nhau; nếu ba đoạn nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện vuông góc từng cặp thì mỗi cạnh của nó bằng cạnh đối diện (Tôi nói về tứ diện “đẳng cấp” như vậy trong bài viết của V. E. Matizen trong «Kvant» Số 7 năm 1983). Từ lời giải đã cho, cũng thấy rõ rằng trong điều kiện bài toán các đường thẳng $AD$ và $BC$ tạo thành các góc bằng nhau với $PQ$ (và với $MN$).

V. V. Prasolov,
V. N. Dubrovsky

**M832. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 6$ hình vuông có thể cắt thành $n$ hình vuông (trong đó có thể có những hình vuông có cùng kích thước).

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geqslant 100$ lập phương có thể cắt thành $n$ lập phương.

a) Nếu một hình vuông được cắt thành $n$ hình vuông, thì việc cắt bất kỳ hình vuông nào thành 4 hình vuông bằng nhau sẽ dẫn đến việc cắt hình vuông ban đầu thành $n+3$ hình vuông. Do đó, chỉ cần đưa ra các đường cắt cho $n=6$ (cung cấp tất cả $n=3k$, $k=2, 3, \dots$), cho $n=7$ (cung cấp tất cả $n=3k+1$) và cho $n=8$ (cung cấp tất cả $n=3k+2$). Những vết cắt này được thể hiện trong Hình 1.

b) Ý lời giải tương tự như ở điểm a). Bằng cách cắt bất kỳ khối nào tạo nên khối ban đầu thành $m$ các khối bằng nhau, chúng ta sẽ tăng tổng số phần

Hình 2.

Hình 3.

*M833. Dãy số $x_n$ được cho bởi các điều kiện:

$$x_1 = 2; \quad x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} \quad (n=1, 2, 3, \dots).$$

Hình 1.

đến $m-1$. Chúng ta sẽ tìm hiểu ba phương pháp cắt chính: cho $m=8$ (theo sơ đồ $2 \times 2 \times 2$), cho $m=20 = 3^3 - 2^3 + 1$ (8 khối trong số 27 khối tạo thành khối $3 \times 3 \times 3$ được thay thế bằng một kích thước $2 \times 2 \times 2$; Hình 2) và cho $m = 38 = 4^3 - 3^3 + 1$ (27 khối trong vết cắt $4 \times 4 \times 4$ được thay thế bằng một kích thước $3 \times 3 \times 3$; Hình 3). Kết hợp các vết cắt này theo nguyên tắc đã chỉ định, chúng ta thu được rằng khối lập phương có thể được cắt thành $n$ khối để

$$n=1+7k, \quad (1+19)+7k, \quad (1+2 \cdot 19)+7k, \quad (1+3 \cdot 19)+7k, \quad (1+4 \cdot 19)+7k, \quad (1+37)+7k, \quad (1+2 \cdot 37)+7k$$

($k=0, 1, 2, \dots$).

Và vì các số hạng đầu tiên trong các biểu thức này - 1, 20, 39, 58, 77, 38 và 75 - nhỏ hơn 100 và khi chia cho 7 sẽ cho tất cả các số dư có thể có (lần lượt là 1, 6, 4, 2, 0, 3 và 5), nên tất cả các số $n, n \geqslant 100$ đều được bao gồm trong các số được viết. Trên thực tế, dễ hiểu là trong những số này đều có số lớn hơn 70. Hãy suy nghĩ xem liệu giới hạn này có thể được giảm thêm hay không.

TRONG. A. Lý

**Trước hết, chúng ta chứng minh bằng quy nạp theo $n$ rằng $x_n = tg n a$, trong đó $a = \arctg 2$. Đối với $n=1$ điều này đúng tùy theo điều kiện. Bây giờ hãy $x_n = tg n a$; Sau đó

$$x_{n+1} = \frac{2+x_n}{1-2x_n} = \frac{tg a + tg n a}{1 - tg a \ tg n a} = tg(n+1)a,$$

47

Các góc có các cạnh $R$, mỗi góc được tưới nước bằng cách lắp đặt riêng.

Theo hướng ngang, một hàng 6 được lắp đặt phục vụ khoảng cách $6b = 600\sqrt{3} \approx 1039,23 > 1000$, sao cho theo hướng này mọi vật thể đều an toàn. Đúng, trong một số 7 cái được cài đặt trong Hình 2 và 3, những cái ở ngoài cùng nhô ra ngoài ranh giới của trường, nhưng điều này rất dễ khắc phục - bạn có thể chỉ cần di chuyển từng cái trong số chúng đến rìa của trường hoặc giảm đều tất cả các khoảng cách theo chiều ngang.

Với nhiều cách biểu hiện khác nhau, mạng lục giác “tối ưu” trong các bài toán và hiện tượng vật lý có thể được chỉ ra, chẳng hạn như trong cuốn sách “Kính vạn hoa toán học” của G. Steinhaus từ bộ Thư viện «Kvant» (M., 1981). Hãy viết thư cho chúng tôi nếu bạn biết được bất kỳ công dụng thú vị nào của nó trong động vật hoang dã (tất nhiên là không tính tổ ong nổi tiếng) hoặc trong công nghệ.

N. B. Vasiliev

M835*. Pshakhmatov từ quốc gia $A$ và pshakhmatov từ quốc gia $B$ đã đến tham dự giải cờ vua một vòng. Hóa ra, cho dù bạn chia những người chơi cờ thành từng cặp như thế nào (cheat khác nhau ở các quốc gia khác nhau và người chơi cờ từ các quốc gia khác nhau), sẽ có ít nhất một cặp người chơi cờ đã gặp nhau trước những người khác. Chứng minh rằng có thể chọn một quân cờ từ quốc gia $A$ và quân cờ từ quốc gia $B$ sao cho mỗi quân cờ được chọn đều gặp từng quân cờ đã chọn $a + b > n$.

Ta tiến hành chứng minh bằng quy nạp trên $n$.

Đối với $n = 1$ mệnh đề bài toán là hiển nhiên ($a = b = n = 1$). Bây giờ chúng ta cần chứng minh nó cho $n = k$, giả sử rằng nó đúng với mọi $n < k$.

Trong trường hợp mỗi người trong số $k$ người chơi cờ từ quốc gia $A$ trước đó đã gặp từng người chơi từ $B$ thì không có gì để chứng minh ($a = b = k$). Do đó, chúng ta sẽ giả định rằng bằng cách nào đó hai ván cờ - $a$ từ $A$ và $B$ - chưa gặp nhau. Khi đó các quân cờ còn lại thỏa mãn điều kiện bài toán cho $n = k - 1$. (Nếu bạn tạo các cặp từ chúng và thêm ($a, \beta$) vào chúng, thì theo điều kiện, các cặp cờ gặp phải sẽ rơi vào một trong các cặp này, nhưng chắc chắn không rơi vào ($a, \beta$).) Theo giả định của Ấn Độ, bạn có thể đảo ngược nhóm $A$ từ $a_1$ cờ quốc gia $A$ và nhóm $B$ từ $b_1$ của cờ vua của đất nước $B$ để mọi người chơi cờ của nhóm $A$ gặp nhau trong số $B$ và $a_1 + b_1 > k - 1$. Nếu hóa ra $a_1 + b_1 > k$, mọi thứ đều ổn ($a = a_1, b = b_1$). Vẫn còn phải xem xét trường hợp $a_1 + b_1 = k$; Lý do được minh họa bằng hình vẽ bên lề.

Đặt $A$ là một nhóm gồm $k - a_1 = b_1$ cờ vua từ $A$ không được bao gồm trong nhóm $A$, $B$ là một nhóm gồm $B$ cờ vua không được bao gồm trong $B$. Chúng tôi sẽ tổ chức hai giải đấu mới - dành cho các nhóm $A$ và $B$ ($n = a_1$) và $A$ và $B$ ($n = b_1$). Một trong những khách du lịch này (để định nghĩa, có tính đến các nhóm tài khoản $A$ và $B$) thỏa mãn điều kiện bài toán. (Mặt khác, có thể tạo các cặp từ các nhóm cờ vua $A$ và $B$, và độc lập với các nhóm $A$ và $B$, sao cho không có cặp nào trong số này chứa các quân cờ gặp phải và điều này mâu thuẫn với điều kiện của hành trình “chung”.) Theo giả định quy nạp trong nhóm $A$ người ta có thể tìm thấy $a_2$ của cờ vua, mỗi cặp trong số đó đã đáp ứng được từng điều này $a_1 + b_2 > a_1$. Ngoài ra, bằng cách chọn các nhóm $A$ và $B$, người ta có thể tìm thấy những lá cờ $a = a_2$ này gặp từng nhóm trong số $b_1$ nhóm cờ vua $B$. Vì vậy, chúng ta có thể chọn $a = a_2$ cờ vua từ quốc gia $A$ và $b = b_1 + b_2$

48

Trong “bàn họp” này, mỗi cột tương ứng với một quân cờ từ quốc gia $A$ và một hàng tương ứng với một quân cờ từ quốc gia $B$ (ở đây $n=6$). Các đơn vị được đặt ở giao điểm của các hàng và cột tương ứng với những người chơi cờ đã gặp trước đó và các số 0 được đặt ở những nơi khác. Các ô tương ứng với thông số của người chơi cờ được đánh dấu màu vàng và một trong những hệ số 0 độc lập tối đa được đánh dấu màu đỏ.

Trong trường hợp của chúng tôi, các hàng và cột trong ma trận (“bàn họp” - xem hình) giống nhau (và bằng $n$); điều kiện bài toán có nghĩa là trong bất kỳ tập hợp số độc lập nào cũng có một đơn vị, tức là số lượng số 0 độc lập tối đa nhỏ hơn $n$. Theo định lý Köng, có thể chỉ định ít hơn $n$ dòng chứa toàn số 0. Sau đó, tại giao điểm của các đường được đánh dấu - $a$ cột và $b$ hàng, trong đó $a+b>n$ - có những đường thẳng, và về bản chất, đây là những gì được nêu trong bài toán.

Một tuyên bố tương đương khác, thường không được sử dụng trong tối ưu hóa bài toán, là định lý biểu diễn riêng biệt của Hall (hoặc “định lý thuộc tính”): hãy để mỗi cô gái trong số $n$ biết một số cô gái $n$ và đối với bất kỳ người $k$ nào ($k=1, 2, \dots, n$) có ít nhất $k$ cô gái quen thuộc với ít nhất một trong số họ; Sau đó, chúng có thể được chia thành từng cặp để trong mỗi cặp sẽ có một cô gái quen thuộc và một ionisha. Định lý này dưới nhiều công thức khác nhau và với nhiều cách chứng minh có thể được tìm thấy trong các bài báo của M. I. Bashmkov («Kvant», 1970, No. 4, p. 14) và V. N. Vaguten («Kvant», 1974, No. 11, p. 23).

L. D. Meniches

F842. Trong mạch như hình vẽ, tại một số điểm các phím $K$ bị đóng. Tìm giá trị đặt của điểm chạy qua cuộn dây có độ tự cảm $L$ và điện trở hoạt động $r$. Điện tích nào sẽ chạy qua điện kế $\Gamma$ sau khi đóng công tắc? Các thông số của các phần tử chỉ ra trong hình được coi là đã cho. Bỏ qua điện trở trong của nguồn và điện trở của điện kế.

Ở trạng thái ổn định, khi mạch có dòng điện không đổi và cuộn cảm chỉ có điện trở tác dụng $r$ thì mạch sẽ đối xứng. Trong trường hợp này, dòng điện qua điện kế bằng 0 và các điểm ở phần bên phải và bên trái của phần phân nhánh của mạch sẽ bằng nhau và bằng $\frac{\varepsilon}{(R+r)}$. Do đó, ở trạng thái ổn định, dòng điện qua cuộn dây sẽ bằng nhau.

$$I_L(\infty) = \frac{\varepsilon}{(R+r)}$$

Bây giờ, tại một thời điểm tùy ý nào đó, các điểm cũng chạy qua các phần tử của mạch điện, như trong hình. Vì điện trở của điện kế bằng 0, nên đối với mọi giá trị hữu hạn của điểm đi qua điện kế đều bằng 0, đối với mọi giá trị hữu hạn của điểm đi qua điện kế đều bằng 0, và do đó, tại bất kỳ thời điểm nào, các điểm $I_1$ và $I_2$ sẽ bằng nhau.

Theo định luật bảo toàn điện tích thì

$$I_1 = I_\Gamma + I_L,$$

$$I = I_1 + I_2 = 2I_1 = I_L + I_3$$

Theo định luật Ohm cho đường viền abcd,

$$I_L r - I_3 r = -L \frac{dI_L}{dt}$$

Từ phương trình (3) và (2) chúng ta thu được:

$$I_1 - I_L = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}$$

Sử dụng phương trình (1), ta tìm được mối liên hệ giữa điểm $I_\Gamma$ qua điện kế và dòng điện $I_L$ qua cuộn cảm:

• Ví dụ, xem Hall M. Tổ hợp. M.: Mir, 1970.

49

$$I_\Gamma = \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt}.$$

Dòng điện chạy qua điện kế rất tiện lợi

$$Q = \int_0^\infty I_\Gamma dt = \int_0^\infty \frac{L}{2r} \frac{dI_L}{dt} dt = \frac{L}{2r} \int_0^\infty dI_L =$$

$$= \frac{L}{2r} \left[ I_L(\infty) - I_L(0) \right] = \frac{L}{2r(R+r)}.$$

Ở đây $I_L(0)$ là cường độ dòng điện chạy qua cuộn dây lúc đầu. Trước khi đóng công tắc, dòng điện $I_L$ bằng 0; do đó, sau khi đóng nó cũng sẽ bằng 0: $I_L(0) = 0$.

V. V. Mozhaev

F843. Một bánh xe có bán kính $R$, nằm ở độ cao $H$ so với mặt đất, chuyển động với vận tốc góc $\omega$. Calla biến mất khỏi bánh xe và rơi xuống đất tại điểm $B$ dưới tâm bánh xe (Hình 1). Tìm thời điểm gắn calla và điểm $A$ của bánh xe mà tại đó calla bong ra.

Hình 1

Hình 2.

F844. Một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ được hạ xuống một bình chứa đầy hỗn hợp chất lỏng, mật độ của nó thay đổi theo độ sâu theo định luật $\varphi = \varphi_0 + \alpha h$. Toàn bộ cơ thể chìm trong chất lỏng. TRÊN

Để tìm thời điểm đặt một calla, chúng ta hãy tưởng tượng rằng cùng lúc đó một calla bị ẩn khỏi mỗi điểm của bánh xe và xem xét chuyển động của các calla này trong một hệ thống báo cáo rơi với gia tốc $g$. Trong hệ thống này, calli di chuyển theo quán tính với tốc độ $v = \omega R$. Sau thời gian $t$ chúng sẽ ở trên một vòng tròn bán kính

$$r = \sqrt{R^2 + v^2 t^2}$$

(Hình 2). Để tìm vị trí của calli trong hệ thống báo cáo cố định nối đất, vòng tròn này phải hạ xuống một khoảng

$$s = gt^2/2$$.

Rõ ràng là tại thời điểm $r + s = H$, calla phải đạt tới điểm $B$ trên mặt đất. Từ điều kiện

$$\sqrt{R^2 + v^2 t^2} + \frac{gt^2}{2} = H$$

chúng tôi tìm thấy:

$$t_{\text{пад}}^2 = \frac{2}{g^2} \left((v^2 + gH) \pm \sqrt{v^4 + 2gHv^2 + g^2R^2}\right).$$

Trong công thức này, chỉ dấu trừ xác định chúng ta, vì căn bậc hai tương ứng với điểm đến tại điểm $B$ của calla nằm ở điểm $N$ của đường tròn (xem Hình 2) và calla này bị trễ bởi bánh xe. Thay thế $v = \omega R$, chúng tôi tìm thấy:

$$t_{\text{пад}} = \sqrt{2(\omega^2 R^2 + gH - R \sqrt{\omega^4 R^2 + 2gH\omega^2 + g^2R^2})}$$

(*)

Biết thời gian để loa kèn đạt tới điểm $B$, người ta dễ dàng tìm được điểm tách nó ra khỏi bánh xe. Thật vậy, trong một hệ thống báo cáo đang rơi, calla này, sau thời gian $t = t_{\text{пад}}$ sau khi tách, sẽ kết thúc tại điểm $M$ của vòng tròn (xem Hình 2). Do đó, nó thoát ra ở điểm $A$ sao cho

$$tg a = \frac{vt_{\text{пад}}}{R} = \omega t_{\text{пад}},$$

trong đó $t_{\text{пад}}$ được xác định theo công thức (*).

A. N. Grigorenko

II, ở trạng thái cân bằng, trọng tâm của khối lập phương nhúng trong hỗn hợp có độ sâu $H$. Lực hấp dẫn tác dụng lên khối lập phương được cân bằng bởi lực nâng bằng trọng lượng của hỗn hợp có trong thể tích của khối lập phương.

Để tìm trọng lượng này, chúng ta hãy chia chất lỏng có thể tích hình lập phương thành $n$ các lớp mỏng nằm ngang

50

Nó sẽ sâu bao nhiêu nếu nó có hình khối? quả bóng?

độ dày $\Delta h$ sao cho trong mỗi mật độ chất lỏng có thể được coi là không đổi (xem hình). Khi đó trọng lượng của chất lỏng trong thể tích của khối lập phương bằng

$$P = gS \cdot \Delta h \left( \varrho_1 + \varrho_2 + \dots + \varrho_n \right)$$

($S$ là diện tích mặt hình lập phương). Vì mật độ của hỗn hợp thay đổi tuyến tính theo độ sâu nên tổng trong ngoặc đơn là $(\varrho_1 + \varrho_n)n/2$. Nếu $\varrho_1$ là mật độ ở mặt trên của hình lập phương và $\varrho_n$ ở dưới cùng thì

$$\varrho_1 = \varrho_0 + a \left( H - \frac{a}{2} \right), \quad \varrho_n = \varrho_0 + a \left( H + \frac{a}{2} \right),$$

trong đó $a$ là chiều dài của cạnh hình lập phương. Như vậy,

$$P = gS \cdot \Delta h \cdot n \frac{\varrho_1 + \varrho_n}{2} = gSa(\varrho_0 + aH) = gV(\varrho_0 + aH).$$

Bây giờ từ điều kiện cân bằng của khối -

$$mg = gV(\varrho_0 + aH)$$

• hãy tìm độ sâu của sự chìm đắm của nó:

$$H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}.$$

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm thấy độ sâu ngâm của quả bóng. Do đó, bạn sẽ đảm bảo rằng quả bóng được ngâm trong hỗn hợp ở độ sâu tương đương với khối lập phương.

Từ lời giải trên, rõ ràng rằng nếu một vật có khối lượng $m$ và thể tích $V$ có ​​hình dạng sao cho diện tích các mặt cắt ngang của nó, lấy ở cùng khoảng cách thẳng đứng với một điểm $O$ nào đó của vật thể, bằng nhau, thì khi vật được nhúng hoàn toàn vào hỗn hợp, điểm $O$ sẽ ở độ sâu $H = \frac{m - \varrho_0 V}{aV}$.

L. G. Markovich

F845. Một va chạm nhỏ lọt vào bên trong buồng bánh xe tự động có bán kính $R$. Kameik tự động sẽ quay với bánh xe ở tốc độ tối thiểu bao nhiêu nếu hệ số ma sát giữa kameik và máy ảnh là $\mu$?

Ba lực tác dụng lên khoang bên trong kameik (xem hình): trọng lực $mg$, phản lực pháp tuyến $\vec{N}$ và lực ma sát $\vec{F}$. Để kameik quay cùng với bánh xe, các lực này phải truyền cho nó một gia tốc hướng tâm $v^2/R$, trong đó $v$ là tốc độ quay tuyến tính của bánh xe, bằng tốc độ chuyển động tự động (bánh xe quay không bị trượt).

Chúng ta hãy viết phương trình chuyển động của kameika trong các hình chiếu trên trục $X$ và $Y$ (xem hình):

$$F = mg \sin (\pi - a) = 0,$$

$$N + mg \cos (\pi - a) = mv^2/R.$$

Từ phương trình (1) chúng ta tìm thấy:

$$F = mg \sin a.$$

Giá trị tuyệt đối của lực ma sát không thể lớn hơn $\mu N$, và do đó $N \geqslant F/\mu$. Giá trị tối thiểu $v$ tương ứng, như có thể thấy từ phương trình (2), đến $N = \frac{F}{\mu} = \frac{m}{\mu} g \sin a$. Có tính đến điều này, chúng tôi nhận được:

$$v_{\text{min}}^2 = Rg \left( \frac{\sin a}{\mu} - \cos a \right).$$

Biểu thức trong ngoặc đơn là tối thiểu khi hàm tùy ý $f(a) = \frac{\sin a}{\mu} - \cos a$ bằng 0, nghĩa là

$$\frac{\cos a}{\mu} + \sin a = 0 \Rightarrow -\mu = \text{ctg} a.$$

Sau đó

$$\sin a = \frac{1}{\sqrt{1 + \text{ctg}^2 a}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}.$$

51

F846. Tại sao nên bật động cơ DC công suất cao thông qua bộ biến trở khởi động?

Trong quá trình động cơ hoạt động bình thường, dòng điện trong cuộn dây của nó bằng

$$I = \frac{U - \mathcal{E}_n}{r_n},$$

trong đó $U$ hướng của mạng, $\mathcal{E}_n$ emf cảm ứng xảy ra khi phần ứng động cơ quay trong từ trường, $r_n$ là điện trở của cuộn dây phần ứng nhỏ. Nếu động cơ được nối trực tiếp vào mạng, không có biến trở khởi động thì tại thời điểm khởi động động cơ, khi phần ứng vẫn đứng yên và $\mathcal{E}_n = 0$, dòng điện khởi động trong cuộn dây $I_n = U/r_n$ sẽ vượt xa dòng điện hoạt động bình thường. Để giảm giá trị $I_n$ và ngăn cuộn dây quá nóng, một biến trở khởi động được đưa vào mạch phần ứng, sau đó mạch này sẽ được xuất ra.

A. V. Kubyshkin

Những bề mặt phức tạp này được phát minh bởi Yu. V. Kotov, là “phim” (xem bài “Phân loại phim” ở trang 16). Xác định xem mỗi người trong số họ thuộc về lớp nào.

Bài tập
Vì
nghiên cứu

1. Có một số trọng lượng. Được biết, nếu loại bỏ một trong số chúng thì phần còn lại có thể được chia thành hai nhóm có khối lượng bằng nhau.
   Chứng minh rằng số trọng số là số lẻ nếu

a) khối lượng - số nguyên;
b) khối lượng của các quả nặng - bất kỳ số thực nào.
b) Số trọng lượng nhỏ nhất có khối lượng nguyên khác nhau có thể tạo thành một tập hợp thỏa mãn điều kiện bài toán là bao nhiêu?
r) Một bộ như vậy có thể có bao nhiêu quả cân?
B. V. Proizvolov,
E. I. Turkevich

2. Biết rằng bình phương của một số nguyên khi chia cho 3 thì dư 0 hoặc 1, và khi chia cho 5 thì dư 0, 1 hoặc 4.
   a) Tìm tất cả các số nguyên dương $k$ sao cho số dư khi chia bình phương của một số nguyên bất kỳ cho $k$ cũng là một số chính phương.
   b) Cố gắng tìm $k$ sao cho số dư khi chia bình phương của một số nguyên bất kỳ cho $k$ cũng là lập phương.

S. A. Goldobin

NỤ CƯỜI SỐ LƯỢNG

Thủ thuật nhỏ
những đứa trẻ

Bản gốc lời giải

• Lisa, quyết định bài toán. Bạn bảy tuổi
  và bạn của bạn Olya trẻ hơn hai tuổi.
  Ole bao nhiêu tuổi?
• Năm năm.
• Phải. Bạn đã quyết định như thế nào?
• Hôm qua tôi đã đến dự tiệc sinh nhật của cô ấy!

Thời tiết nhà bếp
Một lần nữa, mẹ lại thông báo cho cô bé Marina sáu tuổi tại sao trời lại mưa. Bây giờ tôi đưa cô ấy vào bếp:

• Nhìn đây. Khi nước sôi trong chảo, hơi nước đọng lại trên nắp và khi nguội, nước sẽ rơi trở lại vào chảo thành từng giọt. Vì thế trời sẽ mưa.
  Cô gái hỏi:
  “Cuối cùng tôi cũng hiểu tại sao trời lại mưa!” Người ta đang nấu nó đấy!

Bạn cần phải học!
Ngày nắng đẹp. Tất cả bọn trẻ đều đang chơi ngoài sân, chỉ có Lena ba tuổi là khó chịu với những hình ảnh trong sách.

• Con gái, hay đi dạo đi.
• Không, chúng ta cần học! – cô gái trả lời nghiêm túc.

ống ăn được

• Bố ơi, đây là loại xe gì thế? - Dima bốn tuổi hỏi.
  – Máy hàn.
• Anh ấy đang làm gì vậy?
• Anh ấy nấu tẩu.
• Và khi anh ấy nấu chúng, ai sẽ ăn chúng?

V. A. Mironov

Điều quan trọng là phải chính xác
Tại một cuộc hội thảo về vật lý hạt nhân, E. Fermi, sau khi chỉ ra sự phụ thuộc của tiết diện hiệu dụng của sự tán xạ neutron vào năng lượng của chúng, đã vẽ biểu đồ sau trên dock:

Sau đó anh ngẫm nghĩ, lấy trong túi ra một thước trượt nhỏ, nhanh chóng thực hiện một số phép tính và với dòng chữ “a little concept” đã xóa đi đường cong cũ và vẽ một đường cong mới.

Sau một phút im lặng, khán giả bật cười (không nhập giá trị số nào vào cả hai biểu đồ). Lúc đầu Fermi không hiểu chuyện gì đang xảy ra, nhưng sau đó anh mỉm cười đầy ẩn ý và tiếp tục bài giảng của mình.
(Dựa trên tài liệu từ Tạp chí Vật lý Hoa Kỳ, 1976, câu 44, số 3, trang 235.)

Xin lỗi về argon
Khi vào năm 1895, các nhà khoa học người Anh Rayleigh và Ramsay phát hiện ra khí trơ đầu tiên - argon (vì phát hiện này sau đó họ đã được trao giải Nobel) và giới thiệu cột “không” cho các khí hiếm trong bảng tuần hoàn, hầu hết các nhà khoa học đều nghi ngờ về thành tựu này. Rayleigh cực kỳ kiên nhẫn và đúng đắn trả lời: “Không còn nghi ngờ gì nữa, kết quả rất kỳ lạ. Quả thực, tôi thấy một số dấu hiệu cho thấy các đặc tính dị thường của argon sẽ được khắc phục như một dạng cáo trạng chống lại chúng tôi. Nhưng chúng tôi đã làm việc rất tận tâm. Sự thật vẫn bám chặt lấy chúng tôi, và tất cả những gì chúng tôi có thể làm bây giờ là xin lỗi cho bản thân và cho khí đốt.”
(Dựa trên tài liệu từ tạp chí “Uspekhi Fizicheskikh Nauk”, 1966, tập 88, số 1, trang 149.)

54

góc tam diện tại các điểm A, B và C, có đoạn OA và OB có độ dài bằng nhau, đoạn OC ngắn hơn đoạn OA. Biết độ lớn của góc hai granim giữa mặt phẳng α và mặt OAB bằng β. Hai quả cầu đặt ở hai phía đối diện của mặt phẳng α sao cho mỗi quả cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của góc tam diện và mặt phẳng α. Tìm thấy:

1. góc giữa đường thẳng đi qua tâm các quả cầu và mặt phẳng OAB,
2. tỷ lệ bán kính của các quả bóng được chỉ định.

Tùy chọn 4
(Khoa Hóa học)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải
   $$\cos \left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + 4 \sin x = 2 + \sqrt{2} (1 - \sin x).$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\left(\sqrt{x^2 - 4x + 3} + 1\right) \log_5 \left(\frac{x}{5}\right) + \frac{1}{x} \left(\sqrt{8x - 2x^2 - 6} + 1\right) \leq 0.$$
3. Một lăng trụ tam giác $ABCA'B'C'$ có đáy dưới $ABC$ và các cạnh bên $AA', BB', CC'$ bị cắt bởi một mặt phẳng đi qua các điểm E, F, C, trong đó điểm E là giữa cạnh AA’, điểm F nằm trên cạnh BB’ và $|BF|:|FB'| = 1:2$. Tìm thể tích phần lăng kính $ABCA'B'C'$ nằm giữa mặt phẳng cắt và đáy dưới của lăng kính này, biết thể tích của lăng kính bằng V.
4. Tìm tọa độ của điểm nằm trên đồ thị của hàm $y = 1 + \cos x$ tại $0 \leq x \leq \pi$ và cách đường $x\sqrt{3} + 2y + 4 = 0$ ít nhất.
5. Giá trị của các biến x, y là số thực. Tìm tất cả các giá trị nguyên của n sao cho hệ phương trình
   $$\left\{ \begin{array}{l} 6x^2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, \\ 4(x^2 + y^2) + (4n + 2)y + 2n^2 = 8xy + (4n + 2)x + \frac{5}{2} \end{array} \right.$$
   có lời giải. Cho các giá trị nguyên tìm được của n, hãy tìm tất cả lời giải của hệ này.

Tùy chọn 5
(Khoa Sinh học)

1. Giải phương trình
   $$4 \cos^3 x + 3\sqrt{2} \sin 2x = 8 \cos x.$$

2. Tìm tất cả các giá trị của x mà hàm tùy ý
   $$y(x) = 3x^3 \cdot \ln x - 36x \cdot \ln x - 7x^3 + 108x$$
   bằng không.

3. Giải bất đẳng thức
   $$8 + 6|3 - \sqrt{x + 5}| > x.$$

4. Diện tích của hình thang $ABCD$ là 6. Gọi E là giao điểm của các cạnh bên mở rộng của hình thang này. Một đường thẳng được vẽ qua điểm E và giao điểm của hình thang chéo, cắt cạnh đáy BC nhỏ hơn tại điểm P và đáy lớn AD tại điểm Q. Điểm F nằm trên đoạn EC và $|EF|:|FC| = |EP|:|EQ| = 1:3$. Tìm diện tích tam giác EPF.

5. Tìm tất cả các giá trị của b thỏa mãn cả hai bất đẳng thức
   $$2b \cdot \cos 2(x - y) + 8b^2 \cdot \cos(x - y) + 8b^2(b + 1) + 5b < 0,$$
   $$x^2 + y^2 + 1 > 2bx + 2y + b - b^2$$
   đúng với mọi x và y.

Tùy chọn 6
(Khoa Bưu chính)

1. Lĩnh vực này được chia thành ba phần. Trong ngày, một nửa thửa thứ nhất và 3/4 thửa thứ hai đã được cày, thửa thứ ba, chiếm 1/4 toàn bộ thửa ruộng, đã được cày hết. Diện tích ruộng cày mỗi ngày lớn gấp đôi diện tích thửa thứ hai. Diện tích được rửa sạch trong một ngày là bao nhiêu phần diện tích?
2. Giải phương trình
   $$\cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) - \cos 2x = 1.$$
3. Tìm x, y thực thỏa mãn hệ phương trình
   $$\left\{ \begin{array}{l} x + 2y + 1 = 3, \\ 4x + 4y = 32. \end{array} \right.$$
4. Cho tam giác ABC, phân giác của góc ABC cắt cạnh AC tại điểm K. Biết |BC| = 2, |KC| = 1, |BK| = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Tìm diện tích tam giác ABC.
5. Tìm tất cả các giá trị của α thỏa mãn điều kiện 2 < α < 5 và phương trình nào
   $$\log_2(3 - |\sin \alpha|) = \cos \left(\pi x - \frac{\pi}{6}\right)$$
   đối với x có ít nhất một lời giải thỏa mãn điều kiện 2 ≤ x 3.

Tùy chọn 7
(khoa địa lý)

1. Giải phương trình
   $$\cos^2 2x - 5 \sin^2 x + 1 = 0.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\log_2(\sqrt{x^2 - 4x} + \sqrt{x + 1}) + 1.$$
3. Trên cạnh AC của tam giác vuông ABC, vẽ một đường tròn cắt cạnh huyền AB tại điểm K. Tìm diện tích tam giác CKB nếu độ dài cạnh AC bằng b và giá trị của góc ABC bằng β.
4. Giải quyết hệ thống
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2|x^2 - 2x - 3| - \log_2 3 = 3^{-y - 4}, \\ 4|y| - |y - 1| + (y + 3)^2 \leq 8. \end{array} \right.$$
5. Mỗi cạnh của đường thẳng tam giác và ABCD có độ dài 1. Lấy điểm P trên cạnh AB, điểm Q trên cạnh BC và điểm R trên cạnh CD sao cho độ dài đoạn AP là $\frac{1}{2}$, độ dài đoạn BQ là $\frac{1}{3}$ và độ dài đoạn CR là $\frac{1}{3}$. Mặt phẳng PQR cắt đường thẳng AD tại điểm S. Tìm góc giữa đường thẳng SP và SQ.

55

Tùy chọn 8
(Khoa Vật lý Địa cầu, Khoa Địa chất)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải thực
   $$(x+1)\sqrt{16x+17}=(x+1)(8x-23).$$

2. Trong tam giác $ABC$, góc $BAC$ là đường thẳng, độ dài cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt bằng 1 và 2. Các bissertis của góc $ABC$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $L$, $G$ là giao điểm của các đường trung tuyến của tam giác $ABC$. Cái nào dài hơn, chiều dài $BL$ hay chiều dài $BG$?

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_{\sin \frac{\pi}{3}}(x^2-3x+2) \geq 2.$$

4. Tìm tất cả các cặp số thực $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình
   $$\begin{cases} 3\sin 3x+\cos y=-4, \\ x+y=\frac{3\pi}{2}. \end{cases}$$

5. Theo lịch trình, thuyền đi dọc sông, tốc độ hiện tại là 5 km/h, quãng đường từ $A$ đến $D$ dài 15 km trong 1 giờ. Đồng thời, rời điểm $A$ lúc 12 giờ, anh đến các điểm $B$ và $C$, cách $A$ ở khoảng cách lần lượt là 11 km và 13 km vào lúc 12 giờ 20 và 12 giờ 40. Được biết, nếu thuyền di chuyển từ $A$ đến $D$ mà không dừng lại với tốc độ không đổi $v$ (so với nước), thì tổng các giá trị abscille của độ lệch so với lịch quy định tại các điểm $B$, $C$, $D$ sẽ không vượt quá thời gian giảm nửa giờ, cần thiết để thuyền đi với tốc độ 5 km $v$ trong nước đọng. Điểm nào - $A$ hoặc $D$ - nằm ở thượng nguồn?

6. Ở đáy của paramid $SABC$ là một tam giác đều $ABC$, trong đó độ dài các cạnh $AB$ và $AC$ bằng 1 và cosin của góc $BAC$ là $\frac{4}{5}$. Cạnh $SA$ vuông góc với cạnh $AB$ và $AC$, góc $BAC$ lớn gấp đôi góc $BSC$. Bên trong paramid có một hình trụ tròn thẳng, ma trận sinh của nó là paramedna $BC$. Diện tích bề mặt bên có thể có nhất của một hình trụ như vậy là bao nhiêu?

Tùy chọn 9
(Khoa Địa chất tổng hợp, Khoa Địa chất)

1. Tìm tất cả các phương trình lời giải thực
   $$(x+1)\sqrt{x^2+x-2}=2x+2.$$

2. Trong tam giác $ABC$, góc $BAC$ là đường thẳng, độ dài cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt bằng 1 và 3. Điểm $K$ chia cạnh $AC$ theo tỷ lệ 7:1, tính từ điểm $A$. Cái nào dài hơn, chiều dài $AC$ hay chiều dài $BK$?

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3(5x^2+6x+1) \leq 0.$$

4. Tìm tất cả các cặp số thực $x$ và $y$ thỏa mãn hệ phương trình
   $$\begin{cases} \cos 4x+\sin 2y=-2, \\ x-y=2\pi. \end{cases}$$

5. Xe buýt đi qua đường $AE$ gồm các đoạn $AB$, $BC$, $CD$, $DE$ với chiều dài lần lượt là 10 km, 5 km, 5 km, 6 km. Đồng thời, theo lịch trình, xuất phát điểm $A$ lúc 9 giờ, vượt qua điểm $B$ lúc 9 $\frac{1}{5}$, điểm $C$ lúc 9 $\frac{3}{8}$, điểm $D$ lúc 9 $\frac{2}{3}$.

Xe buýt phải di chuyển với tốc độ không đổi bằng bao nhiêu $v$ sao cho tổng giá trị abscille ​​của những sai lệch so với lịch trình quy định tại các điểm $B$, $C$, $D$ không vượt quá thời gian giảm đi nửa giờ cần thiết để thuyền đi được 5 km với tốc độ $v$ trong nước yên lặng. Rằng khoảng cách từ tâm của đáy dưới đến cạnh $BC$ là 11 $\frac{1}{16}$ độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$. Tìm thể tích của paramid $SABC$.

Tùy chọn 10
(chuyên ngành “Khoa học kinh tế” và “Kế hoạch kinh tế quốc dân” của Khoa Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$x^2+11+\sqrt{x^2+11}=42.$$

2. Tìm tất cả $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\sqrt{4-x^2}(\sin 2\pi x-3\cos \pi x)=0.$$

3. Giải bất đẳng thức
   $$\log_3(x^2-2)<\log_3\left(\frac{3}{2}|x|-1\right).$$

4. Trong tam giác $ABC$, các đường trung tuyến hạ xuống các cạnh $AC$ và $BC$ cắt nhau vuông góc. Độ dài cạnh $AC$ là $b$, độ dài cạnh $BC$ là $a$. Tìm độ dài cạnh $AB$ của tam giác $ABC$.

5. Cửa hàng bán bút chì màu đỏ và màu xanh. Một cây bút chì màu đỏ có giá 17 kopecks, một cây bút chì màu xanh có giá 13 kopecks. Bạn có thể chi không quá 4 rúp 95 kopecks cho việc mua bút chì. Khi đặt hàng bút chì màu xanh, số lượng bút chì màu đỏ không được chênh lệch quá năm. Cần phải đính kèm tổng số bút chì màu đỏ và xanh tối đa có thể, trong khi số lượng bút chì màu đỏ phải được đính kèm càng ít càng tốt. Có thể kết luận được bao nhiêu bút chì đỏ và xanh với những điều kiện đã cho?

6. Với mỗi giá trị không âm của $a$, hãy giải bất đẳng thức
   $$a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3 \geq 0.$$

Tùy chọn 11
(chuyên ngành “kinh tế chính trị” của Khoa Kinh tế)

1. Giải phương trình
   $$2^{x+2}\cdot 5^{x+2}=2^{3x}\cdot 5^{3x}.$$

2. Tìm tất cả $x$ thỏa mãn phương trình
   $$\lg 3x=\lg 5x.$$