Kvant 1984, số 5 · Trang

ISSN 0130-2221
5
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Đây là hình ảnh ba hạt được nạp được ghi lại trong buồng bong bóng. Một số đường đi đơn lẻ, đi qua toàn bộ trường ảnh và tương ứng với các hạt đi vào máy ảnh từ bên ngoài. Một số khác là các đường ray ghép nối (tương tự như các đường ray cùng loại), xoắn theo hướng ngược nhau. Chúng bắt đầu tại các điểm bên trong buồng và tương ứng với cấu trúc của các cặp electron-polytron trong quá trình va chạm của lượng tử γ với hạt nhân nguyên tử của vật chất sống lấp đầy buồng. Bạn có thể đọc về quá trình hình thành cặp electron-polytron và quá trình phân hủy ngược của electron và positron diễn ra như thế nào trong bài “Vật lý 8, 9, 10”, đăng trên tạp chí số này.

TRONG PHÒNG:

3. I.K. Kikoin. Tư tưởng triết học của V. I. Lênin và sự phát triển của vật lý hiện đại
4. S. M. Voronin, A. G. Kulyadin. Phương pháp hàm tùy ý
5. S. N. Artemenko, A. F. Volkov. Kim loại tổng hợp - một loại dây dẫn mới

IN THIS ISSUE:

1. K. Kikoin. Tư tưởng triết học của V. I. Lênin và sự phát triển của vật lý đương đại
   S. M. Voronin, A. G. Kulagin. The method of generating functions
   S. N. Artemenko, A. F. Volkov. Synthetic metals — a new kind of conductor

tin tức khoa học
10. V. A. Bronshten. Ngôi sao không phải tron, lỗ đen hay…?

Science news
V. A. Bronshten. Neutron star, black hole or…?

Lịch của chúng tôi
22. Pierre Curie

Our calendar
Pierre Curie

Phòng thí nghiệm «Kvant»
23. E.I. Butikov. Matniki liên quan

Kvant’s lab
E. I. Butikov. Linked pendulums

vòng tròn toán học
26. V. M. Uroev. Đảo ngược

Mathematics circle
V. M. Uroev. Inversion

Trường học ở «Kvant»
33. Vật lý 8, 9, 10
36. Nghịch ngợm bài toán
37. Trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Disobedient problems
Selected school problems

Trang hình học
38. tiến hóa

The geometric page
The evolute

«Kvant» cho học sinh nhỏ
40. Bài toán
41. Bài toán trong tranh

Kvant for younger school-children
Problems
A problem in pictures

Vấn đề «Kvant»
42. Bài toán M861—M865; F873—F877
45. Lời giải bài toán M847—M850; F858—F861

Kvant’s problems
Problems M861—M865; P873—P877
Solutions M847—M850; P858—P861

Thông tin
53. Đại học Quốc gia Izhevsk tròn 5 tuổi

Information
The Izhevsk school scientific society is 5 years old

Các lựa chọn thi tuyển sinh
54. Các lựa chọn thi tuyển sinh

College entrance examination problems

Đáp số, gợi ý, lời giải
Pha trộn (21)
Trang cờ vua
“Tam giác quỷ Bermuda” ở giữa bảng (trang bìa thứ 3)

Answers, hints, solutions
Miscellaneous (21)
The chess page
The “Bermuda triangle” in the chessboard’s centre (3rd cover page)

Trên trang đầu tiên của trang bìa có hình ảnh elip vàng, được xây dựng bằng máy tính theo hình chiếu của trường phái vật lý và toán học Aki Babakova. Eulopity được thảo luận trên “Trang hình học” trong số này.

Từ Nhà xuất bản “Khoa học”. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

Petr Leonidovich Kapitsa

Ngày 8 tháng 4 năm 1984, ở tuổi 90, nhà vật lý vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, nhà tổ chức xuất sắc của khoa học Liên Xô, thành viên Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, giám đốc Viện Các vấn đề Vật lý, hai lần Anh hùng Lao động Xã hội Chủ nghĩa, một trong những người khởi xướng thành lập tạp chí «Kvant» và là thành viên ban biên tập của tạp chí, Viện sĩ Viện sĩ Pyotr Leonidovich Kapitsa, qua đời.

P. L. Kapitsa đã có đóng góp lớn cho sự phát triển vật lý của các hiện tượng từ tính, vật lý và nhiệt độ kỹ thuật cũng như điện tử vật lý. Ông là thành viên của Hiệp hội Corpole London, thành viên nước ngoài của các học viện khoa học ở Hoa Kỳ, Thụy Điển, Đan Mạch, Ba Lan, Ấn Độ và một số quốc gia khác, đồng thời là người đoạt Giải thưởng Nhà nước Liên Xô và Giải thưởng Nobel.

P. L. Kapitsa tích cực tham gia phong trào Pagush của các nhà khoa học vì hòa bình. Ông say mê yêu mến giới trẻ và là một trong những người sáng lập Viện Vật lý - Kỹ thuật Mátxcơva. Ký ức tươi sáng về ông sẽ được lưu giữ trong lịch sử khoa học Liên Xô.

3

Tư tưởng triết học của V.I. Lênin và sự phát triển của vật lý hiện đại

(Kỷ niệm 75 năm cuốn sách “Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm” của V.I. Lênin)

Viện sĩ I. K. KIKOIN

Trong cuốn “Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm” V.I. Lênin đã phân tích đầy đủ các vấn đề triết học của vật lý đương đại. Ý nghĩa to lớn trong công trình này của Lênin nằm ở chỗ nó đã phát triển một phương pháp phân tích các vấn đề triết học của khoa học, phương pháp này vẫn được các nhà khoa học tiến trình sử dụng.

Vladimir Ilyich Lenin không chỉ là một nhà chính trị và chính khách vĩ đại mà còn là một nhà khoa học vĩ đại.

Vai trò đặc biệt của vật lý đối với sự phát triển của cả công nghệ và triết học là lý do Lenin đưa ra những vấn đề của vật lý mới (có lẽ mối quan tâm của Lenin đối với vật lý ở một mức độ nào đó bị ảnh hưởng bởi việc cha ông là Ilya Nikolaevich Ulyanov là một giáo viên vật lý).

Phương pháp nghiên cứu khoa học của chủ nghĩa Lênin đặc biệt gần gũi với trái tim của các nhà vật lý. Trong công tác lý luận của mình, Lênin luôn lấy kinh nghiệm, lấy thực tiễn làm tiêu chí của chân lý. Lenin, theo những lời sau đây của Engels, ý tưởng về một “tiêu chí thực hành” xuất hiện: “Thời điểm khi được thông báo về đặc tính nhận thức của bất kỳ sự vật nào, chúng ta sử dụng nó cho chính mình, ngay lúc đó chúng ta đưa tính đúng hay sai của nhận thức giác quan của mình vào một bài kiểm tra không thể nhầm lẫn. (Chữ in nghiêng của tôi - I.K.)〈…〉 … Sự thành công trong hành động của chúng ta cung cấp bằng chứng về sự tương ứng (Übereinstimmung) giữa nhận thức của chúng ta với mục tiêu (gegenständlich) bản chất của những thứ chúng ta cảm nhận được “*).

Nhưng lịch sử khoa học có nhiều ví dụ chỉ ra rằng những ý tưởng rõ ràng là sai lầm của các nhà khoa học theo quan điểm hiện đại, tuy nhiên, đã dẫn đến “sự thành công trong hành động của chúng ta”.

*) Lênin V.I. Hoàn thành. tuyển tập cit., tập. 18, tr. 109-110.

4

Ví dụ, lấy lý thuyết từ tính cũ, trong đó một miếng thép bị từ hóa được coi là một lưỡng cực từ, bao gồm hai cực từ, hay “điện tích từ” (tương tự như một lưỡng cực điện). Sử dụng ý tưởng này, các nhà vật lý tạo ra một bộ điều chỉnh từ tính, dựa trên đó mọi thực hành và công nghệ sử dụng nam châm. Thực hành này nhanh chóng nâng cao lý thuyết về “tích điện từ”. Trong khi đó, hiện nay người ta biết rõ rằng thực tế không có điện tích từ nào tồn tại. Và bây giờ khi nói về cực từ, chúng ta luôn quy định rằng đây là một khái niệm hư cấu.

Hóa ra tiêu chí thực tiễn không thể dùng làm cơ sở đáng tin cậy để làm sáng tỏ sự thật trong quan điểm của chúng ta về một chủ đề cụ thể? Tất nhiên, đây không phải là một câu hỏi riêng biệt.

Một trong những nhà vật lý lý thuyết vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, Richard Feynman, đang cố gắng tìm ra cách giải thích triết học về một định luật vật lý, đã minh họa tầm quan trọng của vấn đề này bằng ví dụ sau.

“Hãy để những người khăng khăng rằng tất cả những gì quan trọng là sự thống nhất giữa lý thuyết và thực nghiệm hãy tưởng tượng một cuộc trò chuyện giữa một nhà thiên văn học Maya và học trò của ông ấy. Người Maya có thể tưởng tượng với độ chính xác đáng kinh ngạc, chẳng hạn như thời gian nhật thực, vị trí của Mặt trăng, Sao Kim và các hành tinh khác trên bầu trời. Tất cả điều này được thực hiện với sự trợ giúp của số học… Họ không có một chút ý tưởng nào về chuyển động quay của các thiên thể.

Hãy tưởng tượng rằng một chàng trai trẻ đến gặp nhà thiên văn học của chúng ta và nói: “Đây là điều tôi chợt nghĩ đến. Có lẽ tất cả những điều này là đáng tin, có thể đây là những quả bóng đá… và chuyển động của chúng có thể được tính toán hoàn toàn khác.” Hơn nữa, để biết rằng chàng trai trẻ chưa nên tính toán chuyển động của các hành tinh, nhà thiên văn học người Maya sẽ trả lời anh ta rằng chúng ta đã có thể tính toán nhật thực khá chính xác, vì vậy không cần phải bận tâm đến ý tưởng của bạn.

Như chúng ta thấy,” Feynman kết luận, “không dễ bài toán để quyết định liệu có đáng suy nghĩ về những gì ẩn sau các lý thuyết của chúng ta hay không.

Đây thực sự không phải là một bài toán dễ dàng. Rốt cuộc, nếu chúng ta chấp nhận vô điều kiện tuyên bố rằng tiêu chí của sự thật là thực tiễn, thì tuyên bố như vậy, như có thể thấy qua các ví dụ đã cho, có thể dẫn đến sự trì trệ trong khoa học.

Khó khăn này bài toán V.I. Lênin đã quyết định một cách xuất sắc.

Lênin cho rằng “quan điểm sống, thực tiễn phải là quan điểm đầu tiên và chủ yếu của lý luận về tri thức”, Lênin nói thêm: “Tất nhiên, chúng ta không được quên rằng, về bản chất của vấn đề, tiêu chí của thực tiễn không bao giờ có thể khẳng định hay bác bỏ hoàn toàn bất kỳ tư tưởng nào của con người. chủ nghĩa duy tâm và thuyết bất khả tri)..

“…Từ đây,” Lênin tiếp tục, “theo sự thừa nhận rằng con đường duy nhất dẫn đến sự thật này là con đường khoa học, đứng trên quan điểm duy vật.”*** (Chữ in nghiêng của tôi. - I.K.)

Đại đa số các nhà vật lý được hướng dẫn một cách có ý thức hoặc tự phát bởi khái niệm Lênin về tiêu chuẩn thực hành.

Kinh nghiệm đã giúp Lenin trở thành chỗ dựa đáng tin cậy khi ông xây dựng nền tảng cho các quan điểm triết học của mình. Ví dụ sau đây có thể minh họa điều này.

Lênin cho rằng cần phải kiểm tra lịch sử khoa học (nghĩa là kiểm tra bằng thực nghiệm, như một nhà vật lý thường nói) một trong những quy định chính của phép biện chứng - cái gọi là “sự thống nhất của các mặt đối lập”. Lênin bắt đầu ghi chú của mình “Về vấn đề biện chứng”: “Sự tan rã của cái thống nhất và nhận thức về những bộ phận mâu thuẫn của nó… là bản chất (một trong những “bản chất”, một trong những cái chính, nếu không phải là đặc điểm hoặc đặc điểm chính) của phép biện chứng.〈…〉 Tính đúng đắn của khía cạnh này trong nội dung phép biện chứng phải được lịch sử khoa học kiểm chứng.”**.)

*) Thuyết bất khả tri là một học thuyết triết học phủ nhận khả năng nhận biết thế giới khách quan, giới hạn vai trò của khoa học chỉ ở mức hiểu biết về các hiện tượng. (Ghi chú của tôi - I.K.)

**) Lênin V.I. Hoàn thành. tuyển tập cit., tập. 18. tr. 145-146.

***) Như trên, tr. 146.

****) Lênin V.I. Hoàn thành. tuyển tập cit., tập. 29, tr. 316.

5

Tuyên bố này của Lenin không phải là một tuyên bố đơn giản. Chính ông đã thực hiện cuộc kiểm tra như vậy trong tác phẩm kinh điển “Chủ nghĩa duy vật và Chủ nghĩa kinh nghiệm”, viết năm 1908, một tác phẩm đã và đang tiếp tục có tác động to lớn đến sự phát triển của khoa học.

Được viết trong những năm có sự thay đổi mạnh mẽ về các khái niệm vật lý cơ bản, tác phẩm này đã cung cấp một phân tích vật lý toàn diện về dữ liệu vật lý vào thời điểm đó.

Được biết, Lênin gọi những thành công của vật lý trong ba thập kỷ cuối thế kỷ 19 và những năm đầu thế kỷ 20 là “khổng lồ, chóng mặt”. Ở một mức độ lớn hơn, một đánh giá như vậy có thể được đưa ra cho những thành công của vật lý trong những năm đã trôi qua kể từ khi cuốn sách “Chủ nghĩa duy vật và Chủ nghĩa kinh nghiệm” của Lenin được xuất bản.

Sự khởi đầu thế kỷ của chúng ta được đánh dấu bằng cuộc cách mạng vĩ đại nhất trong vật lý. Năm 1905, tác phẩm nổi tiếng của Einstein “Về điện tử của các vật chuyển động” được xuất bản, đại diện cho cơ sở của lý thuyết đặc biệt của lý thuyết tương đối về mối quan hệ.

Chúng tôi không thể trình bày lý thuyết này một cách chi tiết ở đây. Bản chất của nó nằm ở ý tưởng “đơn giản” rằng trong các hệ thống báo cáo chuyển động tương đối với nhau, thời gian sẽ trôi chảy khác nhau. Lý thuyết tương đối đã đưa ra những thay đổi cơ bản trong ý tưởng về thời gian và không gian - về những khái niệm vật lý và vật lý cơ bản này. Giờ đây, nền tảng của lý thuyết tương đối đã tạo ra những thay đổi cơ bản trong quan niệm về thời gian và không gian - về những khái niệm vật lý và vật lý cơ bản này. Bây giờ những điều cơ bản của lý thuyết tương đối đã đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào trong, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đưa vào, đóng góp vào, đưa vào, đưa vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, đóng góp vào, tôi đóng góp tôi đóng góp tôi đóng góp

Được biết, câu hỏi về khối lượng cơ thể là bao nhiêu ở chế độ thời gian có vẻ khá phức tạp và đáp số nhiều nhà vật lý khác nhau cảm thấy chán ghét nó. Thật không may, ngay cả ở thời đại chúng ta, các tác giả nguyên thủy vẫn tuân theo những định nghĩa lỗi thời về đại lượng vật lý quan trọng nhất này. Điều này là do chính Newoton, người chắc chắn hiểu khối lượng cơ thể là gì, trong cuốn sách “Các nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên” đã đưa ra một định nghĩa không mấy thành công về đại lượng này. Một định nghĩa chính xác về khái niệm khối lượng lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà cơ khí nổi tiếng Saint-Venant. L. Boltzmann cũng đã định nghĩa đại lượng này trong các bài giảng về nguyên lý cơ học của mình. Nó dựa trên các thí nghiệm về sự tương tác của các cơ thể.

Thí nghiệm đã chỉ ra rằng tỉ số gia tốc của hai vật tương tác là một giá trị không đổi và không phụ thuộc vào điều kiện tương tác và các điều kiện khác. Tỉ số gia tốc nghịch đảo được gọi là tỉ số khối lượng của các vật thể này. Đối với khối lượng của một cơ thể cá nhân,

*) Lênin V.I. Hoàn thành. tuyển tập cit., tập. 18, tr. 276.

6

chọn một vật thể nào đó, khối lượng của nó thường được lấy làm đơn vị - eton của khối lượng. Điều này hàm ý định nghĩa về khối lượng: khối lượng của một vật thể là đại lượng biểu thị tính quán tính của nó; nó xác định tỷ lệ giữa mô hình gia tốc của khối lượng và mô hình gia tốc của vật trong quá trình tương tác của chúng.

Người đối lập tư tưởng nêu trên của V.I. Lênin không hiểu ý nghĩa của định nghĩa trên nên đã quyết định dùng nó để “bác bỏ” chủ nghĩa duy vật vi mô, chỉ ra rằng khái niệm vật chất… bắt nguồn từ mối quan hệ nghịch đảo với gia tốc tương tác giữa các vật thể!

V.I. Lênin tuyên bố rằng từ sau đây không phải là một chức năng nhất định: “Rõ ràng là nếu bất kỳ vật thể nào được coi là một đơn vị thì chuyển động (cơ học) của tất cả các vật thể khác có thể được biểu thị bằng một tỷ số gia tốc đơn giản. Nhưng “vật thể” (tức là vật chất) không hề biến mất khỏi điều này, chúng không ngừng tồn tại độc lập với ý thức của chúng ta”*). Ví dụ trên cho thấy V.I. Lênin hiểu được sự hiểu biết phức tạp về vật lý lúc bấy giờ.

Một cuộc cách mạng có thể so sánh với cuộc cách mạng do thuyết tương đối mang lại cũng đã được thực hiện trong vật lý nhờ cơ học lượng tử. Chẳng hạn, Richard Feynman, đã được đề cập trước đó, chứng minh rằng “… đã có lúc báo chí viết rằng lý thuyết tương đối của các khái niệm chỉ được dạy bởi con người”. Không đồng ý với quan điểm này và tin rằng nhiều nhà khoa học, sau khi đọc bài báo của Einstein, bằng cách này hay cách khác đều hiểu thuyết tương đối, Feynman tiếp tục: “Đối với tôi, có vẻ như không, tôi có thể nói một cách an toàn rằng ông ấy không bao giờ hiểu cơ học lượng tử”.

Đây là một tuyên bố rất thuần túy của một trong những nhà lý thuyết vật lý lớn nhất, người đã đóng góp rất nhiều cho sự phát triển của điện động lực học lượng tử và rất có ý nghĩa.

Tiếp theo, Feynman trình bày ý nghĩa của việc “nuôi dưỡng” cơ học lượng tử. Điều này có nghĩa là tìm đáp số cho câu hỏi: “Làm sao điều này có thể xảy ra được?”

Vật lý hiện đại là vật lý lượng tử. Thành công của cơ học lượng tử có thể gọi là đặc biệt.

Nó cho phép bạn tiết lộ bí mật của cấu trúc.atoma. Sử dụng cơ học lượng tử, bạn có thể tính toán nguyên tử với bất kỳ mức độ chính xác nào, nghĩa là tính toán cấu trúc điện tử chi tiết của nguyên tử. Những tính toán này có độ chính xác đáng kinh ngạc khi thực nghiệm.

Tất cả các thiết bị điện tử lượng tử hiện đại với các ứng dụng kỹ thuật khác nhau (laser, maser, v.v.) đều là sản phẩm của cơ học lượng tử. Cơ học lượng tử chưa trở thành môn học ở trường, nhưng các ứng dụng của nó đã được nghiên cứu ở các trường kỹ thuật.

Và bất chấp tất cả những điều này, người có thẩm quyền lớn nhất trong lĩnh vực vật lý này khẳng định rằng không ai hiểu được nó!

Chúng ta hãy cố gắng tìm ra nguyên nhân dẫn đến sự hiểu lầm về cơ học lượng tử.

Thực tế là ngay từ khi mới hình thành, cơ học lượng tử đã chứa đựng những mâu thuẫn. Ví dụ, chúng ta hãy chuyển sang biểu hiện đơn giản nhất của bản chất lượng tử của ánh sáng – hiệu ứng quang điện.

Trong lý thuyết về hiệu ứng quang điện do Einstein phát triển, ánh sáng của hạt v được coi là một dòng của các “hạt” - photon, năng lượng của nó là E = hv (h là hằng số Planck). Khi các photon chạm tới bề mặt kim loại, một số photon sẽ bị các electron hấp thụ. Một electron hấp thụ photon sẽ thu được năng lượng hv. Sở hữu năng lượng như vậy, một electron có thể rời khỏi kim loại và bay ra ngoài. Đồng thời, anh ta mất một phần năng lượng thu được, dành nó cho “hàm công” A. Do đó, động năng cực đại mà một electron sẽ bay ra khỏi kim loại bằng

$$\frac{1}{2}mv^2=hv - A.$$

Công thức thay thế này của Einstein về hiệu ứng quang điện đã được xác nhận bằng nhiều thí nghiệm và làm cơ sở cho những ứng dụng vô tận của hiện tượng này.

Vì vậy, nếu bạn nghĩ về ý nghĩa của công thức Einstein (ông cũng thu được nó vào năm 1905), thì mâu thuẫn ngay lập tức trở nên rõ ràng.

Đại lượng E=hv có trong công thức này là năng lượng của một “hạt ánh sáng” (photon), và đại lượng v là tần số ánh sáng gồm các hạt. Nhưng tần số là đại lượng đặc trưng

7

sóng. Khái niệm tần số ánh sáng xuất hiện sau khi người ta xác lập vào thế kỷ 19 rằng ánh sáng là một quá trình lan truyền các rung động. Quá trình này được gọi là sóng. Nhưng sóng, theo đúng nghĩa của khái niệm này, chiếm một diện tích không gian lớn (nói đúng ra là toàn bộ không gian). Hạt là thứ được định vị trong không gian và chiếm một thể tích nhỏ. Do đó, biểu thức cơ bản $E=hv$, kết nối năng lượng nền, tức là các hạt, với sóng ánh sáng thường xuyên, có vẻ vô lý theo quan điểm “thông thường”.

Hiện tượng quang điện đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng ánh sáng là một dòng hạt.

Mặt khác, có bằng chứng thực nghiệm thuyết phục cho thấy ánh sáng là một quá trình sóng. Thật vậy, tính chất rất đặc trưng của sóng là như sau: nếu bạn đặt hai sóng chồng lên nhau sao cho đỉnh của sóng này trùng với đáy của sóng kia thì sóng sẽ dừng hẳn. Ngược lại, khi đỉnh của sóng này trùng với đỉnh của sóng khác thì sự phấn khích càng tăng lên. Hiện tượng nổi tiếng này được gọi là giao thoa sóng. Có thể lập luận rằng nếu quan sát thấy hiện tượng giao thoa trong thí nghiệm thì chúng ta đang xử lý một sóng.

Lý thuyết sóng ánh sáng được thiết lập ngay từ đầu khi người ta chứng minh rằng một số điểm nhất định trên màn hình được chiếu sáng đồng thời bởi hai nguồn sáng giống hệt nhau sẽ trở nên tối, trong khi khi mỗi nguồn hoạt động riêng biệt thì màn hình được chiếu sáng đồng đều.

Do đó, thực tiễn đã dẫn đến nhu cầu chấp nhận một thực tế nghịch lý là cả lý thuyết sóng và lượng tử của ánh sáng đều đúng, và công thức $E=hv$ thiết lập mối liên hệ giữa các lý thuyết mâu thuẫn này.

Thách thức đối với “lẽ thường” này đạt đến đỉnh điểm vào năm 1924, khi khái niệm kép về “hạt sóng” được mở rộng thông qua lý luận lý thuyết sang các electron và nguyên tử. Nói cách khác, Nguyên tử và electron, kể từ khi được khám phá ra chúng có tất cả các tính chất của hạt, cũng phải hành xử giống như sóng. Và rất sớm các thí nghiệm đã xác nhận những kết luận lý thuyết này.

Nền tảng của cơ học lượng tử được đặt ra vào năm 1925-1927. Nhà vật lý người Đức Werner Heisenberg đã có đóng góp đáng kể cho sự phát triển của nó. Ông đã xây dựng cái gọi là sự tương ứng của những điều không chắc chắn, xung quanh đó một cộng đồng tranh luận triết học đã nóng lên. Sự tương ứng này đã khiến nhiều nhà vật lý nổi tiếng đứng về phía những người theo chủ nghĩa duy tâm triết học.

Thoạt nhìn, sự tương ứng của những điều không chắc chắn có vẻ hoàn toàn vô hại:

$$\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{h}{2\pi}.$$

Ở đây $\Delta x$ là độ bất định (không chính xác) của tọa độ hạt, $\Delta p$ là độ bất định của động lượng hạt và $h$ là hằng số Planck. Được dịch sang ngôn ngữ thông tục, công thức cho thấy một thực tế là không thể biết chính xác vị trí và tốc độ của một hạt cùng một lúc. Nói cách khác, nếu chúng ta cố gắng xác định giá trị chính xác của vận tốc của một hạt nằm ở một thời điểm nhất định tại điểm cố định trong quỹ đạo của nó, thì chúng ta không thể làm được điều này. Và ngược lại, nếu chúng ta buộc một hạt chuyển động với một tốc độ nhất định thì chúng ta sẽ không thể chỉ ra chính xác nó đang ở điểm nào trên quỹ đạo tại một thời điểm nhất định. Từ đây có thể dễ dàng đưa ra kết luận “đơn giản nhất” về bản chất lý tưởng rõ ràng rằng kiến ​​thức của con người được chấp nhận, vì chúng ta không có cơ hội trả lời một câu hỏi đơn giản như vậy. Hơn nữa, từ đây chúng ta có thể rút ra một kết luận, theo đúng nghĩa lý tưởng, rằng các sự kiện trên thế giới là không thể đoán trước được, tức là nguyên tắc liêm chính bị vi phạm.

Thật vậy, chúng ta đã đi đến kết luận rằng cơ học cổ điển cho phép chúng ta dự đoán chuyển động trong tương lai của một vật nếu biết vị trí và tốc độ ban đầu của nó, cũng như các lực tác dụng lên nó. Tất cả cơ học cổ điển đều dựa trên điều này. Do đó, những thành công của ngành du hành vũ trụ dựa trên thực tế là, bằng cách biết địa điểm phóng của gói hàng (tọa độ ban đầu), bằng cách cho gói hàng biết tốc độ ban đầu đã biết, theo các định luật cơ học cổ điển, chúng ta có thể dự đoán trước gói hàng sẽ ở đâu vào bất kỳ lúc nào.

8

Tình huống lại khác với một hạt tuân theo cơ học lượng tử. Vì chúng ta, theo sự tương ứng của những điều không chắc chắn, không thể chỉ ra chính xác tọa độ và tốc độ của nó tại một thời điểm nhất định, nên rõ ràng là chúng ta không thể dự đoán chúng sẽ trở thành gì trong tương lai. Không khó để đoán rằng tất cả những điều này là hệ quả của thực tế là các hạt (electron, nguyên tử, neutron, v.v.) có tính chất sóng.

Trên thực tế, chúng ta hãy xem xét thí nghiệm được sơ đồ hóa đại khái sau đây, tuy nhiên, thí nghiệm này rất gần với các thí nghiệm thực tế đã được thực hiện. Hãy tưởng tượng rằng các electron phát ra từ một nguồn nào đó, chẳng hạn như một sợi dây nóng, bay qua hai nhánh trên màn hình. Phía sau màn ta có thể di chuyển bộ đếm electron song song với nó. Bộ đếm ghi lại từng electron đi vào nó. Điều này có nghĩa là số lượng electron có thể được nhận ra vô thời hạn.

Điều tự nhiên là giả định rằng mỗi electron đi vào quầy đã trải qua một trong hai phản ứng. Do đó, nếu đếm số electron đi vào bộ đếm qua nhánh thứ hai đóng, sau đó làm tương tự với số electron đi vào bộ đếm qua nhánh thứ hai trong khi nhánh thứ nhất đóng, chúng ta có thể kỳ vọng rằng số electron đi vào bộ đếm qua cả hai nhánh sẽ bằng tổng mà bộ đếm chỉ ra. Chúng tôi chắc chắn rằng điều này sẽ xảy ra nếu chúng tôi bắn từ súng máy xuyên qua một tấm chắn bọc thép có hai cánh tay, phía sau ở một nơi nào đó có một hộp đạn, nơi những viên đạn rò rỉ bị mắc kẹt. Không còn nghi ngờ gì nữa, số viên đạn rơi vào hộp có cao độ khi mở cả hai ô trên màn hình bằng tổng số viên đạn rơi vào hộp đó qua từng ô riêng biệt (tất nhiên là trong cùng một khoảng thời gian, chẳng hạn như một giờ).

Nhưng khi chúng ta “bắn” các electron thì điều này không có tác dụng! Hơn nữa, có thể xảy ra rằng một bộ đếm được lắp đặt ở vị trí thích hợp, ghi lại cùng số lượng electron khi chúng đi qua từng nhánh riêng biệt (khi một trong các nhánh đóng), không được ghi lại và không đăng ký một electron nào khi cả hai nhánh đều mở.

Câu hỏi tự nhiên nảy sinh: làm sao điều này có thể xảy ra?

Không khó để nhận thấy ở đây hiện tượng tương tự xảy ra khi màn hình được chiếu sáng bởi hai nguồn sáng giống hệt nhau, đó là hiện tượng giao thoa.

Bây giờ chúng ta hãy thử trả lời câu hỏi tại sao cơ học lượng tử lại không thể hiểu được. Điều này sẽ giúp chúng ta tìm ra nguồn gốc của những kết luận duy tâm mà một số triết gia và nhà vật lý đã đưa ra khi phân tích tình hình vật lý hiện nay.

Khó khăn chính trong việc hiểu khoảng cách phía trên các hiện tượng vật lý nằm ở chỗ khi phân tích chúng, chúng ta cố gắng sử dụng những khái niệm tương tự mà chúng ta đã quen ở cuộc sống cao hơn. Kinh nghiệm hàng thế kỷ của nhân loại đã dẫn đến thực tế là một người tự coi mình là có thể hiểu được những gì anh ta có thể tưởng tượng dưới dạng hình học hoặc hình ảnh cơ học. Trải nghiệm này, việc thực hành nghiên cứu thế giới xung quanh chúng ta, đã dẫn đến việc tạo ra một số khái niệm với sự trợ giúp của thế giới thực được phản ánh trong não con người. Nhưng cho đến thế kỷ 20, nhân loại chỉ quan tâm đến các chủ đề chuyên môn vĩ mô di chuyển với tốc độ tương đối thấp. Các vật thể chuyên biệt vĩ mô là những vật thể có thể nhìn thấy, xác định hình dạng và kích thước của chúng (tạo ra hình ảnh hình học) và nghiên cứu chuyển động của chúng (tạo ra hình ảnh cơ học). Các khái niệm tương ứng cũng được điều chỉnh cho phù hợp với trải nghiệm này.

Cơ học Newton, được phát triển liên quan đến chuyển động của các vật thể vĩ mô, đã chứng minh rằng trạng thái cơ học của vật thể được xác định duy nhất bởi tọa độ và xung lực (hoặc tốc độ, nếu khối lượng của vật thể được coi là không thay đổi).

Nhưng bây giờ chúng ta đã chuyển sang thế giới của những vật thể tuân theo định luật lượng tử, xa lạ với cơ học Newton. Kinh nghiệm của con người chưa có thời gian để phát triển hình ảnh về các đồ vật và khái niệm tương ứng với thế giới này.

Nếu kinh nghiệm cho thấy những vật này vừa có tính chất của hạt vừa có tính chất của sóng thì trên thực tế chúng không phải là sóng hay hạt mà phải là một thứ khác, “một”

9

Và thực sự, nếu chúng ta xem xét cẩn thận bằng chứng thực nghiệm cho thấy electron là một bộ phận cơ học thông thường, chúng ta sẽ thấy rằng đây là bằng chứng gián tiếp quan trọng. Rất có thể, chỉ có niềm tin sâu sắc của các nhà vật lý vào cấu trúc nguyên tử của vật chất mới khiến họ đi đến kết luận rằng các thí nghiệm với electron (và cả nguyên tử nữa) cho thấy chúng là hạt theo nghĩa cơ học tổng quát.

Hơn nữa, Einstein không thể từ bỏ quan điểm “cơ học” về chuyển động của electron. Ông thường lắc đầu nói: “Không phải ông nhà giàu đoán “ngửa hay sấp” để quyết định xem electron sẽ chuyển động theo hướng nào”.

Ở thời đại chúng ta, độ tin cậy của việc thực hiện các nguyên tử, electron, proton có thể cạnh tranh với độ tin cậy của hệ thống Copernicus trong nguyên tử học. Nhưng điều này không có nghĩa là chúng ta có thể tưởng tượng những vật thể này như một mô hình thu gọn của các thiên thể. Chúng ta vẫn không thể tưởng tượng được chúng; họ không giống ai khác. Và thiên nhiên cũng không khác gì ở điểm này!

Tất nhiên, đó sẽ là sự biểu hiện của chủ nghĩa duy tâm vật lý ở mức độ cao nhất khi tin rằng thiên nhiên phải thích ứng với tâm trí con người đến mức nó có thể tưởng tượng ra tất cả các đối tượng của nó. Chính vì chúng ta không thể tưởng tượng các vật thể lượng tử dưới dạng hình học và hình ảnh cơ học nên chúng ta coi chúng là không thể hiểu được.

Nhưng nếu đúng như vậy thì chúng ta có cơ sở gì để giả định rằng trạng thái của các vật thể lượng tử phải được biểu diễn bằng cùng một đại lượng, tức là tọa độ và động lượng, những đại lượng quyết định trạng thái của các thiên thể? Nói tóm lại, câu hỏi “tọa độ và động lượng tại một thời điểm nhất định là bao nhiêu?” liên quan đến vật thể lượng tử - một câu hỏi bất hợp pháp. Rốt cuộc, không phải mọi câu hỏi đều chính đáng. Ví dụ, không thể trả lời câu hỏi “kinh tuyến Pulkovo có màu gì?” Nhưng không phải vì thế mà khả năng hiểu biết bị hạn chế!

Rõ ràng, ở mức độ tương tự, câu hỏi “tọa độ và động lượng của electron là gì?” là bất hợp pháp.

Những lời của Lênin được áp dụng tốt nhất vào tình hình hiện nay trong cơ học lượng tử: “Sự chuyển động của các vật thể về bản chất được biến thành chuyển động của một vật không phải là vật thể có khối lượng không đổi, thành chuyển động của một vật mang điện tích chưa biết trong một ether không xác định - phép biện chứng của các vật liệu biến đổi được thực hiện trong các phòng thí nghiệm và nhà máy phục vụ trong con mắt của chủ nghĩa duy tâm… như một sự xác nhận không phải về các vật liệu của phép biện chứng tự nhiên, mà như một lập luận chống lại các vật liệu…”).

Từ những gì đã nói ở trên, rõ ràng là tính “không thể hiểu được” của cơ học lượng tử không cung cấp bất kỳ cơ sở nào cho những kết luận duy tâm về khả năng nhận biết tự nhiên có giới hạn.

Kết luận duy tâm về việc vi phạm các nguyên tắc, tức là về tính không thể đoán trước của các sự kiện, cũng không có cơ sở.

Theo cơ học lượng tử, trạng thái hoàn toàn được xác định bởi một đại lượng đặc biệt, gọi là hàm sóng. Có một phương trình cho nó, bằng cách giải mà nhà vật lý hoàn toàn có thể tưởng tượng được kết quả của thí nghiệm sẽ như thế nào. Và không có trường hợp nào mà phương trình cơ học lượng tử lại làm thất bại các nhà thí nghiệm!

Ở đây Làn sóng có phát biểu sau của Lenin về nền vật lý mới của thời đại ông: “… tất cả những thứ này phức tạp hơn nhiều so với cơ học cũ, nhưng tất cả những thứ này là sự chuyển động của vật chất trong không gian và thời gian”**).

Ở nước ta, ngày càng có nhiều nhà vật lý trên khắp thế giới đảm nhận vai trò của vật liệu biện chứng. Vào thời của mình, Lênin đã chứng tỏ rằng các nhà vật lý ở thời ông không thể “đi lên một cách trực tiếp và ngay lập tức từ những vật liệu siêu hình đến những vật liệu biện chứng”. Nhưng ông đã thấy trước rằng “vật lý hiện đại đang và sẽ thực hiện bước này”.

Đây là lời tiên đoán của Lênin về sự kiện này!

10

Sao neutron, lỗ đen hay…?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. BRONSHTEN

Mọi chuyện bắt đầu khá tích cực. Năm 1977, các nhà thiên văn học người Mỹ B. Stephenson và N. Sandulak, sau nhiều năm nghiên cứu, đã xuất bản một danh mục mới về các ngôi sao trong Dải Ngân hà với các vạch hydro sáng trong quang phổ.

Ngay năm sau, một trong những ngôi sao trong danh mục mới, được chỉ định là SS 433, đã thu hút sự chú ý của mọi người. Đây là một ngôi sao mờ (cường độ 14) trong chòm sao Aquila; nó chỉ có thể được quan sát bằng kính thiên văn lớn. Tuy nhiên, nếu quan sát thấy các vạch sáng trong quang phổ của một ngôi sao thì ngôi sao đó đang thể hiện hoạt động không tự học. Họ quyết định “kiểm tra” cô ấy. Hóa ra ở vùng lân cận của ngôi sao này có một nguồn phóng xạ xanh, gợi nhớ đến tàn tích của một vụ nổ siêu tân tinh. Một nguồn tia X cũng được phát hiện ở gần như điểm tương tự trên bầu trời. Nhưng điều đáng ngạc nhiên nhất vẫn liên quan đến quang phổ của chính ngôi sao.

Bắt đầu từ tháng 7 năm 1978, các nhà thiên văn học từ Đại học California (Mỹ) bắt đầu chụp ảnh một cách có hệ thống quang phổ của vật thể mới. Hóa ra chúng có vẻ kỳ lạ. Thay vì mỗi hydro, gel và các loại khí khác tuyến tính, người ta quan sát thấy ba đường: một ở vị trí cần có và hai vạch nữa ở hai bên. Người ta sớm phát hiện ra rằng các đường bên sẽ trộn lẫn: chúng dường như hội tụ, tiến lại gần nhau. Tháng 9 cùng năm, các đường cực hội tụ nhưng không trùng với đường giữa! Sau đó họ lại bắt đầu giải tán. Các quan sát được thực hiện trong khoảng thời gian một năm rưỡi cho thấy các đường hội tụ và phân kỳ trong khoảng thời gian 165 ngày.

Làm thế nào chúng ta có thể giải thích sự phân chia mỗi vạch quang phổ thành ba?

Về nguyên tắc, có ba nguyên nhân có thể xảy ra: sự dịch chuyển của các đường trong trường hấp dẫn, sự tách các đường bởi một từ trường mạnh và hiệu ứng liên quan đến chuyển động của nguồn bức xạ (hiệu ứng Doppler). Hai cơ chế đầu tiên đã được trả lời vì không có bằng chứng tương ứng cho chúng. Hiệu ứng Doppler vẫn còn - sự dịch chuyển của các đường khi nguồn di chuyển tương đối được quan sát thấy. Nhưng điều này có nghĩa là vật thể đang nghiên cứu phải chứa ít nhất ba nguồn bức xạ: một nguồn đứng yên và hai nguồn chuyển động ngược chiều nhau. Theo tính toán, tốc độ sau này đạt tới 80.000 km/s - nhanh hơn tốc độ ánh sáng!

Hệ thống nguồn này là gì? Có lẽ đây là một ngôi sao trung tâm có hai vệ tinh quay quanh nó với chu kỳ 165 ngày? Nhưng khoảng thời gian như vậy và tốc độ khổng lồ được chỉ định của chuyển động của vệ tinh tương ứng với bán kính quỹ đạo lớn hơn 1000 lần khoảng cách trung bình từ Trái đất đến Mặt trời và khối lượng của hệ thống vào khoảng 10^10 khối lượng mặt trời. Những ngôi sao như vậy không thể đơn giản hơn!

Vật thể này không thể là chuẩn tinh (một nguồn phát xạ vô tuyến gần như sao ở xa): vật thể này nằm trong Thiên hà của chúng ta.

Việc phát triển một mô hình khả thi của ngôi sao SS 433 đã bắt đầu. Một trong những ý tưởng đầu tiên được đề xuất bởi các nhà thiên văn học người Anh E. Fabian và M. Riess. Theo giả thuyết của họ, một vật thể trung tâm nào đó, là kết quả của một quá trình chưa được biết đến, phóng ra hai dòng khí theo hai hướng ngược nhau với tốc độ khoảng 80.000 km/s. Đồng thời, tất cả các hệ thống đều trải qua sự tiến động - chuyển động nổi tiếng của trục hệ thống dọc theo một hình nón, giống như con sói của trẻ em hoặc hành tinh của chúng ta. Theo dữ liệu cập nhật, khoảng thời gian của tuế sai này bằng 164 ngày. Nhưng ở trung tâm là gì?

Theo Fabian và Riess, vật thể trung tâm có thể là một lỗ đen chẳng hạn. Nhà thiên văn học Liên Xô I. S. Shklovsky đưa ra một giả thuyết khác. Ông đề xuất rằng ở trung tâm có một ngôi sao neutron có từ trường mạnh và cách đó không xa có một ngôi sao bình thường. Vật chất của một ngôi sao bình thường, dưới tác dụng của lực hút, chảy về phía sao neutron, tạo thành một đĩa khí bao quanh nó. Từ trường làm quay nhanh ngôi sao neutron, giống như một đài phun nước khổng lồ, ném ra hai vảy khí: một hướng về Trái đất, một hướng ngược lại.

Phát triển mô hình này, nhà khoa học Liên Xô I. D. Novkov và các cộng tác viên của ông đã đề xuất rằng một ngôi sao neutron phát ra các dòng hạt nhanh, tương tác với vật chất của đĩa, tăng tốc vật chất này lên tốc độ cực cao.

Tuy nhiên, hiện tại chúng tôi không thể đưa ra kết quả cuối cùng đáp số cho câu hỏi cái gì ở trung tâm của vật thể SS 433. Nghiên cứu vẫn tiếp tục!

Phương pháp tạo hàm

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
S. M. VORONIN,
A. G. KULAGIN

Phương pháp, được gọi là số liệu thống kê trong tiêu đề, là một kỹ thuật toán học hay và bất ngờ, cho phép áp dụng các thuộc tính của một nhiệm vụ từ lý thuyết số, lý thuyết xác suất và tổ hợp vào một nhiệm vụ từ phân tích. Nó thường chỉ ra rằng để tái cấu trúc phân tích nhiệm vụ đạt được bằng phương pháp này, có thể nhanh chóng tìm thấy lời giải, trong khi các cách tiếp cận khác đối với bài toán ban đầu không mang lại kết quả gì. Tuy nhiên, cần lưu ý ngay rằng phương pháp tạo ra các hàm không phải là một “cây đũa thần” mà bạn có thể giải quyết mọi vấn đề (xem bên dưới bài toán Fermat, vì lời giải mà nó hóa ra là vô dụng).

Đầu tiên, không đi sâu vào sự phức tạp của lý thuyết, chúng tôi sẽ chỉ ra cách thức hoạt động của phương pháp tạo hàm trong bốn bài toán cổ điển. Sau đó, chúng tôi sẽ trình bày ngắn gọn về sự biện minh của phương pháp và cuối cùng, chúng tôi sẽ đề xuất một loạt bài toán có thể được giải quyết với sự trợ giúp của nó.

Bài toán về cân nặng

Vào những năm 50 của thế kỷ 18, L. Euler đã giải được bài toán bài toán sau: những số nào khác có thể cộng vào 1, 2, 2², 2³, …, 2ⁿ,… gam, và có bao nhiêu cách?

Chúng tôi không biết Euler đến với cô ấy lời giải nhanh chóng và bằng cách nào, nhưng dòng suy nghĩ cuối cùng của nhà toán học vĩ đại St. Petersburg, người phải đi trước chúng tôi, khiến chúng tôi ngạc nhiên vì sự bất ngờ của nó. Thẩm phán cho chính mình.

Euler xét… tích α(z)=(1+z)(1+z²)(1+z⁴)(1+z⁸)·…,
(1)

mà sau khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự, được biểu diễn dưới dạng “đa thức vô hạn trong z”:

α(z)=1+A₁z+A₂z²+A₃z³+….

(2) Các số Aₙ(k=1, 2,…) là bao nhiêu? Mỗi Aₙ là một hệ số của zⁿ và zⁿ được lấy dưới dạng tích của mỗi z²ⁿ một năm (nhiều nhất là một từ mỗi dấu ngoặc trong (1)), nghĩa là, Aₙ chính xác là số cách biểu diễn khác nhau của số k là tổng của các số không phải octorian 1, 2, 4, 8, …, 2ⁿ,… (hãy nghĩ về địa điểm này). Nói cách khác, Aₙ là

12

số cách để cân một tải trọng $k$ gam được xét theo trọng lượng!

Vì vậy, đối với lời giải, bài toán ban đầu vẫn được tính $A_k$. Và đây là một động thái bất ngờ khác của Euler. Anh ấy viết những điều rất hay

$$\begin{align*} (1-z) (1+z) &= 1-z^2, \\ (1-z^2) (1+z^2) &= 1-z^4, \\ (1-z^4) (1+z^4) &= 1-z^8, \end{align*}$$

và sau khi nhân và giảm với các thừa số chung anh ta nhận được

$$1-z (1+z) (1+z^2) (1+z^4) (1+z^8) \cdot \dots = 1,$$

nghĩa là, $(1-z) \alpha(z) = 1$, từ đâu

$$\alpha(z) = \frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+z^3+z^4+\dots$$

(ở đây được viết công thức nổi tiếng về tổng của cấp số nhân*). So sánh (3) với (2) cho thấy rằng $A_k = 1$ đối với tất cả $k$, nghĩa là, bất kỳ tải nào của một số nguyên gam đều có thể được đặt ở các chữ số 1, 2, 4, …, $2^m$, … gam, theo một cách duy nhất.

Bài toán về cách phân vùng một số

Đây là cái mà Euler gọi là bài toán sau đây: tìm số nguyên dương lời giải của phương trình

$$x_1 + \dots + x_m = k,$$

(4)

thực phẩm $m$ và $k$ là các số tự nhiên cố định. Ở đây có một biểu hiện bất ngờ khác dẫn đến mục tiêu, đó là

$$\beta(z) = (1+z+z^2+z^3+z^4+\dots)^m.$$

Sau khi mở rộng dấu ngoặc đơn, $\beta(z)$ được viết là

$$\beta(z) = 1+B_1z+B_2z^2+B_3z^3+\dots$$

(6)

$B_k$ bằng bao nhiêu? Hãy thử tự trả lời câu hỏi này, hãy nhớ rằng $B_k$ là hệ số của $z^k$. Tất nhiên là có: hệ số $B_k$ bằng số cách chọn một chỉ báo số nguyên từ mỗi dấu ngoặc ở bên phải của (5), nghĩa là $B_k$ bằng số số nguyên dương lời giải của phương trình (4)!

Bài toán của Euler được rút gọn thành phép tính $B_k$.

Để làm điều này, hãy nhớ công thức cấp số nhân, bạn có thể viết

$$\beta(z) = (1-z)^{-m} = 1+B_1z+B_2z^2+B_3z^3+\dots$$

(7)

Phân biệt sự bình đẳng này

$$m(1-z)^{-m-1} = B_1+2B_2z+3B_3z^2+\dots$$

và thay thế $z=0$, chúng ta nhận được $B_1=m$.

*) Nếu $|z|<1$. Nhưng chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau.

Lấy đạo hàm một lần nữa và thay $z=0$ một lần nữa, ta được $B_2=m(m+1)/2$. Tiếp tục theo cách tương tự (nghĩa là tiếp tục các phương trình (7) $k$ lần và thay thế $z=0$), theo Euler, chúng ta thu được số lời giải của phương trình (4) ở dạng

$$B_k = \frac{m(m+1) \cdot \dots \cdot (m+k-1)}{n!}$$

Bài toán về trao đổi

Có bao nhiêu cách bạn có thể đổi một đồng rúp lấy tiền xu có mệnh giá 1, 2, 3, 5, 10 kopecks? bài toán này có thể được hình thành khác nhau: có bao nhiêu số nguyên không âm lời giải có phương trình

$$x_1+2x_2+3x_3+5x_4+10x_5=100?$$

Ở dạng tổng quát hơn, “bài toán về trao đổi” được phát biểu như sau: có bao nhiêu số nguyên không âm lời giải có phương trình

$$a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_mx_m=n,$$

(8)

Điều gì sẽ xảy ra nếu $a_i$ là số nguyên dương và $n$ là số tự nhiên cố định?

Hãy xem xét biểu thức

$$\gamma(z) = (1+z^a_1+z^a_2+z^a_3+\dots) \times (1+z^a_2+z^a_2+z^a_3+\dots) \times (1+z^a_m+z^a_m+z^a_m+\dots) = 1+C_1z+C_2z^2+C_3z^3+\dots$$

Nếu hiểu lý luận trước đó, bạn sẽ nói ngay rằng số $C_n$ bằng số lời giải của phương trình (8). Nhưng làm thế nào để tìm thấy $C_n$? Sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân giảm vô hạn (ví dụ: $1+z^a_1+z^a_2+\dots=1/(1-z^a_1))$, bạn có thể biểu thị $\gamma(z)$ dưới dạng

$$\gamma(z) = \frac{1}{(1-z^a_1)(1-z^a_2)\dots(1-z^a_m)},$$

nhưng từ đây vẫn chưa rõ ngay làm thế nào để có được $C_n$ trong trường hợp chung. Tuy nhiên, công thức (9) đã đủ để tìm $C_n$ cho $n$ nhỏ.

Bài toán khoảng bốn hình vuông

Mọi số nguyên có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của bốn bình phương các số nguyên không, và nếu có thì bằng bao nhiêu cách? Nói cách khác, phương trình có bao nhiêu số nguyên lời giải?

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=m,$$

(10)

thức ăn $m$ là một số tự nhiên nhất định?

bài toán này cần thiết hơn những cái trước, mặc dù nó cũng giống như chúng, tính toán các hệ số của một “đa thức vô hạn” nhất định. Cụ thể là đặt

13

$$\delta(z) = \frac{1 + 2z + 2z^4 + 2z^9 + 2z^{16} + \dots}{1 + D_1z + D_2z^2 + D_3z^3 + \dots},$$

Dễ hiểu là số lời giải cần tìm của phương trình (10) bằng $D_m$. Vi phân $m$ lần và thay $z=0$, người ta có thể tìm thấy $D_m$ là

$$D_m = \frac{1}{m!} \frac{d^m}{dz^m} \left( \delta(z) \right) |_{z=0}$$

trong đó $\frac{d^m}{dz^m}$ biểu thị việc lấy đạo hàm theo thứ tự $m$ và ký hiệu $|_{z=0}$ có ​​nghĩa là tất cả $z$ cần được thay thế bằng 0. Đối với $m$ nhỏ, số $D_m$ có thể được tính bằng công thức này, nhưng nhìn chung việc này không dễ dàng. bài toán ban đầu từ lý thuyết số đã được giảm xuống còn một số bài toán từ phân tích, nhưng cái sau vẫn cần được giải!

Từ kết quả của nhà toán học người Đức K. G. Jacobi (1804-1851) đã đưa ra một công thức đáng chú ý cho $\delta(z)$

$$\delta(z) = 1 + 8 \sum_{m \neq 4k} \frac{mz^m}{1 - z^m},$$

điều này cũng được nhà toán học Ấn Độ S. Ramanujan (1887-1920) tiếp nhận. Từ đó ta suy ra phương trình (10) luôn giải được và tìm được số lời giải của phương trình này.

Thảo luận về phương pháp

Bây giờ chúng ta hãy cố gắng hiểu phương pháp chung bao gồm những gì, phương pháp này hoạt động hiệu quả đến mức đáng kinh ngạc trong các vấn đề được phân tích. Trong mỗi người trong số họ, một “biểu thức vô hạn” nhất định chứa chữ cái $z$ đã được xem xét (tích vô hạn của hai người - (1), lũy thừa hữu hạn của một tổng vô hạn - (5) và (11), tích của tổng vô hạn - (9)). Hơn nữa, biểu thức này được viết dưới dạng “đa thức vô hạn trong $z$”, tức là ở dạng

$$\alpha(z) = A_0 + A_1z + A_2z^2 + A_3z^3 + \dots + A_nz^n + \dots,$$

và hóa ra các hệ số $A_k$ đưa ra chìa khóa cho lời giải bài toán. Sau đó, có thể tính hệ số $A_k$ bằng cách thực hiện các phép toán khác nhau trên các biểu thức vô hạn: các phép tính số học được thực hiện trên chúng, chúng được vi phân, biến đổi theo công thức cấp số nhân…

Thật tự nhiên khi hỏi: chúng ta đang xem xét những biểu thức vô hạn nào và các hành động được thực hiện trên chúng có hợp pháp không? Tác giả của phương pháp này, Leonhard Euler, dường như không nghĩ nhiều về những vấn đề này - ông coi các biểu thức vô hạn như thể chúng là hữu hạn, và tất cả những gì quan trọng đối với ông là thu được kết quả. Trong khi đó, việc xử lý vô cực một cách bất cẩn lại tiềm ẩn nguy cơ mắc sai lầm.

Ví dụ tự phụ

Xét hai “đa thức vô hạn”

$$\alpha(z) = 1 - z + z^2 - z^3 + z^4 - \dots,$$

$$\beta(z) = -1 + z - z^2 + z^3 - z^4 + \dots$$

và đếm tổng vô hạn

$$S(z) = \alpha(z) + \beta(z) + \alpha(z) + \alpha(z) + \dots$$

Nếu chúng ta nhóm các số hạng trong $S(z)$ theo cặp, bắt đầu từ cặp đầu tiên, chúng ta sẽ nhận được

$$S(z) = [\alpha(z) + \beta(z)] + [\alpha(z) + \beta(z)] + \dots = \alpha(z) + 0 + 0 + \dots = \alpha(z)!$$

Không, nếu bạn nhóm khác nhau, bạn có thể nhận được

$$S(z) = \alpha(z) + [\beta(z) + \alpha(z)] + [\beta(z) + \alpha(z)] + \dots = \alpha(z) + 0 + 0 + \dots = \alpha(z)!$$

Và nếu bạn thay đổi thứ tự của các số hạng, bạn có thể đi đến một kết quả thậm chí còn lạ hơn, chẳng hạn như $S(z) = 17z^{17}$ (nghĩ về cách thực hiện điều này).

Có lẽ đã đến lúc đưa ra những định nghĩa chính xác về biểu thức vô hạn và tìm ra những phép toán nào là hợp pháp đối với chúng.

Chuỗi bằng cấp chính thức

Quyền hạn hình thức gần đó được gọi là biểu thức

$$\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots + a_nz^n + \dots,$$

trong đó $a_i$ là các số thực (các hệ số của chuỗi (12)) và $z$ là một ký hiệu đơn giản (biến dạng của chuỗi). Các nhà toán học còn cho rằng $\alpha(z)$ là hàm sinh của dãy hệ số $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$. Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng trong trường hợp tổng quát mà chúng ta đang xem xét, $\alpha(z)$ là một hàm của biến $z$ theo nghĩa tổng quát. Khi chúng ta nói rằng $\alpha(z)$ là hàm sinh của chuỗi $a_0, a_1, \dots, a_n, \dots$, điều đó chỉ có nghĩa là $\alpha(z)$ là ký hiệu viết tắt của biểu thức hình thức ở phần đúng của (12).

Đối với những độc giả quen thuộc với khái niệm lũy thừa (giáo dục) của một chuỗi, cần nhấn mạnh rằng chuỗi chính thức (12) có thể được xem xét (đối với một số $z$ hoặc thậm chí đối với tất cả $z$), nhưng đồng thời sự bình đẳng (12) vẫn hợp pháp: xét cho cùng, $\alpha(z)$ không biểu thị tổng của chuỗi cho một giá trị nhất định $z$, mà chính là chuỗi chính thức.

Nhà toán học xuất sắc người Đức K. Weierstrass (1815-1897), người đã phát triển và đặt lũy thừa của chuỗi trên một cơ sở logic khác, chỉ xem xét chuỗi lũy thừa giảm dần, và chỉ trích Euler vì đã phạm những mánh khóe với “đa thức vô hạn”. Lý thuyết đại số hiện đại của chuỗi lũy thừa hình thức mà chúng ta đề cập ở đây đã được đáp ứng, tuy nhiên, về bản chất, nó gần với cách tiếp cận “ngây thơ” của Euler hơn là cấu trúc của lý thuyết phân tích của Weierstrass.

Chuỗi lũy thừa chính thức có thể được cộng và nhân. Hãy để, ngoài chuỗi $\alpha(x)$ (xem (12)), được cung cấp một biểu thức chính thức

14

loạt điện
$$\beta(z) = b_0 + b_1z + b_2z^2 + \dots + b_nz^n + \dots$$
(13)

Khi đó tổng và tích của các chuỗi này được xác định bằng công thức tự nhiên:
$$\alpha(z) + \beta(z) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)z + \dots + (a_n + b_n)z^n + \dots,$$
$$\alpha(z) \cdot \beta(z) = a_0b_0 + (a_1b_0 + a_2b_1)z + (a_0b_2 + a_1b_1 + a_2b_0)z^2 + \dots$$
(14)
(các hành động này được thực hiện theo các quy tắc tương tự như các quy tắc thông thường để cộng và nhân các đa thức hữu hạn). Nhân tiện, xin lưu ý rằng đa thức thông thường có thể được coi là trường hợp đặc biệt của chuỗi lũy thừa hình thức - một chuỗi danh nghĩa trong đó tất cả các hệ số, bắt đầu từ một số, đều bằng 0. Trong trường hợp này, tất nhiên, phép cộng và phép nhân thông thường của các đa thức sẽ trùng với phép cộng và phép nhân của chúng dưới dạng chuỗi lũy thừa hình thức.

Hơn nữa, chuỗi quyền lực chính thức có thể được phân hóa và nội hóa. Theo định nghĩa
$$\frac{d}{d(z)} (\alpha(z)) = (\alpha(z))' = a_1 + 2a_2z + 3a_3z^2 + \dots + na_nz^{n-1} + \dots,$$
$$\int \alpha(z) = \int_0^z \alpha(x)dx = a_0z + \frac{a_1}{2}z^2 + \frac{a_2}{3}z^3 + \dots + \frac{a_n}{n+1}z^{n+1} + \dots$$

Đối với phép cộng và nhân chuỗi vô hạn được xác định theo cách này, các tính chất tương tự như số hoặc đa thức sẽ được thỏa mãn. Cụ thể là các luật giao hoán, tổ hợp và phân phối sẽ được thỏa mãn.

Giống như một số nguyên, bạn có thể trừ bất kỳ chuỗi nào khác khỏi chuỗi hình thức bất kỳ và lại thu được chuỗi lũy thừa hình thức. Phép chia trong miền chuỗi lũy thừa hình thức không phải lúc nào cũng thực hiện được, cũng như việc chia hai số nguyên không phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ: bạn không thể thực hiện việc đó trên số 0, nghĩa là bạn có thể thực hiện việc đó trên một hàng
$$0 = 0 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$
Không thể chia các “đơn vị”, tức là một chuỗi
$$1 = 1 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$
mỗi hàng
$$z = 0 + 1 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots + 0 \cdot z^n + \dots$$

Thật vậy, giả sử có một chuỗi
$$\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots,$$
mà $\alpha(z) \cdot z = 1$, hoặc,
$$\left(a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots\right) \times \left(0 + 1 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots\right) = 1 + 0 \cdot z + 0 \cdot z^2 + \dots$$

Nhưng từ công thức (14), ta suy ra $a_0 \cdot 0 = 1$, điều này chắc chắn là không thể.

Tương tự, người ta có thể chứng minh rằng $\alpha(z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots$ chia hết cho $z^n$ khi và chỉ khi $a_0 = a_1 = a_2 = \dots = a_{n-1} = 0$.

Thật dễ dàng để kiểm tra xem 1 có chia hết cho $\alpha(z)$ nếu chỉ $a_0 \neq 0$ và các hệ số thu được theo một loạt các định nghĩa duy nhất.

Ví dụ, chúng ta hãy tìm kết quả của việc chia “đơn vị” cho chuỗi 1-z. Hãy để $(1-z)(a_0 + a_1z + a_2z^2 + \dots) = 1 + 0 \cdot z + 0z^2 + \dots$

Sau đó, mở ngoặc và đánh đồng hệ số cho cùng lũy ​​thừa $z$, ta thu được hệ đẳng thức
$$1 \cdot a_0 = 1, a_1 - a_0 = 0, a_2 - a_1 = 0, \dots, a_n - a_{n-1} = 0, \dots,$$
$a_0 = a_1 = \dots = a_n = \dots = 1$ đến từ đâu, tức là
$$\frac{1}{1-z} = 1 + z + z^2 + z^3 + \dots + z^n + \dots$$

Chúng tôi đã sử dụng công thức này (xem (3) ở trên và ghi chú ở trang 10) dưới một cái tên khác; ở đây công thức này là một đẳng thức thực sự cho chuỗi lũy thừa hình thức (và điều kiện $|z| < 1$ không liên quan gì đến nó).

Tổng và sản phẩm vô hạn

Trong lời giải bài toán khi bắt đầu nghiên cứu có vô số tác phẩm; tổng vô hạn cũng không kém phần hữu ích (đặc biệt, chuỗi lũy thừa hình thức có thể được coi là tổng vô hạn các chữ số). Để tránh nhầm lẫn, chúng tôi đưa ra các định nghĩa cần thiết về các khái niệm này.

Giả sử $\alpha_1(z), \alpha_2(z), \dots, \alpha_k(z), \dots$ là một chuỗi lũy thừa hình thức (cụ thể là các đa thức). Chúng ta muốn định nghĩa một tổng vô hạn và một tích vô hạn:
$$\left(\alpha_1(z)\right) + \left(\alpha_2(z)\right) + \dots + \left(\alpha_k(z)\right) + \dots,$$
(15)
$$\left(\alpha_1(z)\right) \cdot \left(\alpha_2(z)\right) \cdot \dots \cdot \left(\alpha_k(z)\right) \cdot \dots$$
(16)

theo cách tương tự như trên, nghĩa là bằng cách mở ngoặc và đưa những thứ tương tự

15

các thành viên nhé. Tuy nhiên, định nghĩa như vậy không phù hợp trong trường hợp tổng quát. Thật vậy, ví dụ, nếu trong một “tích vô hạn”

$$(1+z)(1+z) \cdot \dots \cdot (1+z) \cdot \dots$$

Chúng ta bắt đầu mở dấu ngoặc và thêm những cái tương tự, chúng ta sẽ thấy ngay rằng hệ số, chẳng hạn như ở $z^2$, tăng lên và tiếp tục tăng khi chúng ta mở dấu ngoặc. Ví dụ này về cơ bản khác với công việc được phân tích trước đó

$$(1+z)(1+z^2)(1+z^4) \cdot \dots$$

$$\dots \cdot (1+z^{2m}) \cdot \dots$$

trong đó các hệ số ban đầu được thiết lập và thay đổi dần dần, do trong ngoặc “xa” không có đơn thức nào có biến hình thức ở mức “thấp”.

Vì vậy, tổng vô hạn (15) và tích vô hạn (16) chỉ được xác định nếu các hệ số ổn định khi mở ngoặc và đưa các số hạng tương tự - giống như chuỗi lũy thừa hình thức với các hệ số thu được theo cách này.

Định nghĩa chính xác của “ổn định” là thế này: với mọi số tự nhiên $d$ đều có một số tự nhiên $n$ sao cho đối với $n \geq N$ chuỗi $a_n(z)$ không chứa $z$ lũy thừa nhỏ hơn $d$.

Điều này kết thúc chuyến tham quan ngắn gọn của chúng ta vào lý thuyết chuỗi lũy thừa hình thức. Chúng tôi khuyên người đọc nên ngừng đọc tại thời điểm này, quay lại các ví dụ ở đầu bài viết và đảm bảo rằng họ không thực hiện các thủ thuật phức tạp với đa thức vô hạn mà hoàn toàn hợp pháp với chuỗi lũy thừa hình thức.

Tạo hàm

Một độc giả sâu sắc khi phân tích các ví dụ ở đầu bài viết có thể nhận thấy rằng sự thành công của phương pháp gắn liền với khả năng viết hàm sinh của chuỗi lũy thừa hình thức $a(z)$ ở dạng thu gọn. Vì vậy, ví dụ: hàm tạo của chuỗi 1, 1, 1, … có thể được viết là $1/(1-z)$ hoặc

$$\frac{1}{1-z} = 1+z+z^2+\dots+z^n+... \tag{17}$$

Bắt đầu từ sự tương ứng này, người ta có thể thu được nhiều hàm sinh cụ thể khác. Ví dụ: nhân cả hai vế của (17) với $z$ và lấy đạo hàm, ta được

$$\left( \frac{z}{1-z} \right)' = 1+2z+3z^2+\dots+(n+1)z^n+... \tag{18}$$

Điều này có nghĩa là hàm $(z(1-z))' = 1/(1-z)^2$ đang tạo cho chuỗi 1, 2, 3, 4, ….

Nhân với $z$ và lấy đạo hàm lần nữa, ta được

$$\frac{1+z}{(1-z)^3} = 1+2^2z+3^2z^2+\dots+(n+1)^2z^n+... \tag{19}$$

Chúng tôi đã tìm thấy một biểu thức rõ ràng cho hàm tạo của chuỗi $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$, …

Những độc giả thành thạo trong việc chia đa thức với một “góc” có thể thu được sự tương ứng (19) theo một cách khác, cụ thể là bằng cách chia đa thức $1+z$ cho đa thức $1-3z+3z^2-z^3$.

Bắt đầu lại từ (17), nhưng bây giờ lấy tích phân, ta được

$$\int_0^z \frac{dx}{1-x} = \int_0^1 dx + \int_0^z xdx + \dots + \int_0^z x^ndx + \dots,$$

$$-\ln(1-z) = z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} + \dots$$

Ta thấy hàm sinh của dãy 1, 1/2, 1/3, … sẽ là hàm $-\ln(1-z)/z$.

Chúng ta hãy giới hạn ở những ví dụ này và chuyển sang các vấn đề được giải quyết bằng phương pháp sinh hàm.

Bài toán

1. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn bằng ký hiệu kép một cách duy nhất.

Gợi ý. Hãy so sánh bài toán này với bài toán cân.

2. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu thập phân một cách duy nhất.*

Gợi ý. Sử dụng sự tương ứng (chứng minh điều đó):

$$\left( 1+z+z^2+\dots+z^9 \right) \cdot \left( 1+z^{10}+z^{20}+...+z^{90} \right) \times \left( 1+z^{100}+z^{200}+...z^{900} \right) \cdot \dots = 1+z+z^2+z^3+\dots=1/(1-z).$$

3. Chứng minh rằng mọi số nguyên dương là tổng của các số hạng dương khác nhau. (Ví dụ: đối với số 6, có các cách chẵn có $6=1+5=2+4=1+2+3$ và $1+5=3+3=1+1+1+3=1+1+1+1+1+1$.)

(Cuối cùng xem trang 52)

*) Việc bạn biết sự thật này từ lớp một không thể coi là sự biện minh toán học cho tính đúng đắn của nó!

16

Kim loại tổng hợp - một loại dây dẫn mới

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. N. ARTEMENKO,
Tiến sĩ Vật lý và Toán học
A. F. VOLKOV

Điều gì dẫn dòng điện tốt nhất?

Dựa trên khả năng dẫn dòng điện, tất cả các chất rắn được chia thành ba nhóm lớn: kim loại, chất bán dẫn và chất điện môi (hoặc chất cách điện). Ở đây chúng ta có thể bổ sung thêm chất siêu dẫn - một số kim loại và hợp chất của chúng dẫn dòng điện ở nhiệt độ rất thấp mà không mất năng lượng; điện trở của chúng bằng không.

Chất dẫn điện tốt nhất là kim loại. Điện trở suất của kim loại vào khoảng $10^{-8} - 10^{-6}$ Ohm m. Chất điện môi có điện trở suất lớn hơn $10^{3}$ Ohm m. Chất bán dẫn chiếm vị trí trung gian.

Hình 1 cho thấy giá trị điện trở suất của một số kim loại, chất bán dẫn và chất điện môi. Bạn thấy đấy, điện trở suất của lõi nhỏ hơn $10^{24}$ (!) lần so với Teflon. Không có đặc tính vật lý nào thay đổi từ chất này sang chất khác nhiều như điện trở suất.

Chất điện môi, chất bán dẫn và kim loại được sử dụng rộng rãi trong công nghệ như chất cách điện. Chất bán dẫn tạo thành nền tảng của thiết bị điện tử hiện đại. Các thiết bị bán dẫn có thể được tìm thấy trong nhiều thiết bị, từ thiết bị vô tuyến gia đình đến máy tính hiện đại, việc tạo ra chúng sẽ là điều không thể nếu không có các thành phần bán dẫn. Dây kết nối được làm từ kim loại, cũng như các nhà máy điện khác nhau (máy phát điện, động cơ điện, máy biến áp, v.v.).

Gần đây, trong công nghệ bắt đầu từ sự xâm lấn và chất siêu dẫn. Ưu điểm chính của chất siêu dẫn là khả năng dẫn dòng điện mà không mất năng lượng. Đặc tính này của chất siêu dẫn hóa ra rất có giá trị không chỉ trong việc thiết kế đường dây truyền tải điện trong tương lai từ các nhà máy thủy điện mạnh đến người tiêu dùng mà còn ở những khu vực có chi phí năng lượng tương đối thấp. Đặc biệt, khi xây dựng các máy tính siêu mạnh (về số lượng thao tác được thực hiện chứ không phải về mức tiêu thụ điện năng) với tốc độ tính toán trên một bảng hoặc một nghìn triệu thao tác mỗi giây.*)

Nhược điểm cơ bản của chất siêu dẫn là cần phải làm lạnh chúng đến nhiệt độ rất thấp (sau đây gọi là hợp kim Nb “nhiệt độ cao”.$_3$Ge chỉ chuyển sang trạng thái siêu dẫn ở mức 21,3 K). Vì vậy, rõ ràng là nó rất hấp dẫn bài toán tạo ra một chất dẫn điện có thể trở thành chất siêu dẫn ở nhiệt độ bình thường hoặc ít nhất là ở nhiệt độ của nitơ lỏng bằng 77 K (nitơ lỏng rẻ hơn nhiều so với gel lỏng; hiện nay nó được sử dụng ngay cả khi vận chuyển các sản phẩm dễ hỏng). Nhiều đề xuất ban đầu đã được đưa ra theo hướng này. Những ý tưởng thú vị và đầy hứa hẹn đã được thể hiện vào năm 1964.

*) Xem bài viết của L. G. Aslamazov “Máy tính trên chất siêu dẫn” trong «Kvant» Số 11 năm 1983.

Hình 1.

19

do dự. Khi nhiệt độ tăng thêm, quá trình chuyển đổi kiểu Peierlov xảy ra trong chất và điện trở tăng. Nhưng sau khi làm nguội ở nhiệt độ khoảng 1 K, tinh thể chuyển sang trạng thái siêu dẫn! Tất nhiên, rõ ràng đây không phải là chất siêu dẫn nhiệt độ cao, mặc dù không hoàn toàn rõ ràng tại sao một chất lại chuyển từ trạng thái bán dẫn ngay lập tức sang trạng thái siêu dẫn. Có dữ liệu thực nghiệm cho thấy tính chất siêu dẫn của chất này khác với tính chất siêu dẫn của kim loại thông thường. Tuy nhiên, vẫn chưa có sự rõ ràng hoàn toàn về bản chất của chất siêu dẫn được phát hiện và câu hỏi về cơ chế của nó vẫn còn bỏ ngỏ. Nghiên cứu của nó sẽ tiếp tục.

Cơ chế dẫn truyền mới

Tình huống với đáp số đối với câu hỏi thứ hai - về sự khác biệt giữa dây dẫn Payerl bán chiều và chất bán dẫn nói chung là gì? Ở đây vật lý thành công đã được thiên nhiên khen thưởng hoàn toàn. Hóa ra, có những khác biệt như vậy và chúng quan trọng đến mức đôi khi rất khó để quyết định chất dẫn điện Peierlov thuộc về loại chất nào: kim loại, chất bán dẫn hay chất điện môi. Trong một số chất bán chiều, người ta có thể phát hiện các đặc điểm hành vi đặc trưng của tất cả các loại đó. Hơn nữa, trong chất dẫn điện Payerl, người ta quan sát thấy hiện tượng gây ra bởi hành vi tập thể của các electron và tương tự như hiện tượng xảy ra trong chất siêu dẫn. Chúng ta hãy tập trung vào một trong những khác biệt nổi bật nhất giữa dây dẫn Peierlov và các dây dẫn thông thường và nói về cơ chế dẫn truyền mới.

Mặc dù thực tế là, như chúng ta đã nói, độ dẫn của kim loại, chất bán dẫn và chất điện môi khác nhau rất nhiều về độ lớn, cơ chế dẫn điện không phụ thuộc vào nhiệt độ và là lớn nhất: một cm khối chứa khoảng $10^{22}$ electron tự do. Trong chất bán dẫn và chất điện môi ở nhiệt độ đủ thấp thực tế không có electron tự do - tất cả các electron đều tham gia vào quá trình hình thành liên kết hóa học. Khi nhiệt độ tăng lên, một phần liên kết bị phá vỡ và một số electron trở nên tự do. Trong chất bán dẫn, hiện tượng đứt gãy xảy ra dễ dàng hơn (ở nhiệt độ thấp hơn) so với chất điện môi. Chính các electron tự do tạo ra dòng điện trong chất rắn khi đặt một điện áp vào nó. Biết dao động của các nguyên tử trong mạng tinh thể cản trở chuyển động của các electron, hạn chế tốc độ trung bình của chúng. Do đó, điện trở của kim loại giảm trong quá trình làm mát - ở nhiệt độ thấp, các nguyên tử của mạng dao động yếu hơn, với biên độ nhỏ hơn. Trong chất bán dẫn và chất điện môi, chuyển động nhiệt thường làm giảm vận tốc định hướng của các electron tự do có sẵn. Chính số lượng electron này phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ: nó tăng mạnh khi nhiệt độ tăng. Khi được làm lạnh, số lượng electron tự do giảm đi và điện trở của chất bán dẫn và chất điện môi tăng lên.

Dây dẫn Peierl hoạt động như thế nào khi đặt điện áp vào nó? Trong điện trường yếu, định luật Ohm được thỏa mãn: dòng điện tỉ lệ với điện áp đặt vào $I=U/R$. Điện trở $R$ cao và tăng khi nhiệt độ tăng, như trong chất bán dẫn hoặc chất điện môi. Tuy nhiên, khi điện áp $U$ vượt quá một ngưỡng nhất định

22

Pierre Curie

(nhân kỷ niệm 125 năm ngày sinh của ông)

Nhà vật lý nổi tiếng người Pháp, một trong những người sáng lập học thuyết về phóng xạ, Pierre Curie sinh ngày 15 tháng 5 năm 1859.

Không có nhiều nhà khoa học vinh dự có được một hiệu ứng, định luật hay đơn vị đo lường mới mang tên họ. Cái tên Curie đã hơn một lần xuất hiện trên các trang sách giáo khoa vật lý: nguyên lý Curie, định luật Curie, điểm Curie và đơn giản là Curie - đơn vị đo độ phóng xạ.

Những cái tên này tương ứng với những khám phá lớn của nhà khoa học. Vì vậy, chắc hẳn nhiều người đã biết rằng một trong những cách khử từ của nam châm vĩnh cửu là làm cho nó nóng lên rất nhiều. Nhiệt độ tại đó xảy ra quá trình khử từ được gọi là điểm Curie. Các quy luật hoạt động của vật thể từ tính ở các nhiệt độ khác nhau đã được nhà khoa học phát hiện và mô tả trong luận án tiến sĩ.

Có một khám phá khác được thực hiện bởi Pierre Curie cùng với anh trai Jacques. Khám phá này là áp điện. Khi một số tinh thể (ví dụ, thạch anh) bị biến dạng, các điện tích trái dấu xuất hiện trên các mặt của chúng. Anh em nhà Curie là những người đầu tiên phát hiện ra hiệu ứng này bằng thực nghiệm cũng như ngược lại - với sự trợ giúp của điện trường áp điện, nó bị biến dạng trong điện trường. Ngày nay hiện tượng này được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và công nghệ, từ kỹ thuật vô tuyến đến đồng hồ chính xác.

Năm 1895, Pierre Curie kết hôn với Maria Skłodowska. Từ thời điểm này bắt đầu cùng một giai đoạn cuộc sống hạnh phúc, khó khăn và có kết quả bất thường của vợ chồng Curie, người đã mang lại cho họ danh tiếng thế giới và bị cắt đứt một cách bi thảm bởi cái chết của P. Curie do một vụ tai nạn vào ngày 19 tháng 4 năm 1906.

Từ năm 1897, mối quan tâm khoa học của Curie tập trung vào nghiên cứu hiện tượng phóng xạ.

Khi nghiên cứu tính phóng xạ của muối uranium, Marie Curie phát hiện ra rằng nghiên cứu của họ mạnh hơn nhiều so với nghiên cứu về uranium nguyên chất. Sau đó, cô cho rằng muối chứa một chất phóng xạ chưa được biết đến. Do đó, công việc bắt đầu dẫn đến việc phát hiện ra hai nguyên tố mới - polonium và radium.

Phải mất bốn năm để tách 1/10 gam chất thải quặng uranium khỏi nước. Công việc chính được các nhà khoa học thực hiện bằng số tiền tiết kiệm ít ỏi của mình trong một nhà kho bằng gỗ cũ kỹ, không có bất kỳ thiết bị nào. Các hoạt động sinh hoạt trong gia đình thải ra khí độc hại phải được thực hiện trong sân.

Gia đình Curie có thể đã trở thành người giàu nếu họ được cấp bằng sáng chế cho phương pháp sản xuất rượu sake, nhưng họ đã công bố đầy đủ kết quả nghiên cứu của mình mà không tìm cách thu được bất kỳ lợi ích vật chất nào từ chúng. Bất kỳ người quan tâm nào cũng nhận được thông tin tương tự.

Là một nhà vật lý lớn, một nhà khoa học nổi tiếng thế giới, từng đoạt giải Nobel (cùng với M. Curie), P. Curie đã không đạt được điều ông mơ ước – một phòng thí nghiệm tốt cho nghiên cứu của ông. Vào năm 1903, khi người ta muốn trao tặng ông Huân chương Bắc đẩu Bội tinh, ông đã viết trong một lá thư: “Tôi yêu cầu ông nói với ông Bộ trưởng rằng tôi không cần mệnh lệnh, nhưng tôi thực sự cần một phòng thí nghiệm.”

Vợ ông đã nói điều đó hay nhất về Pierre Curie: “Chỉ tin vào sức mạnh hoà bình của khoa học và lý trí, ông ấy sống để tìm kiếm sự thật”.

A. A. Borovoy

23

Matniki liên quan

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
E. I. BUTIKOV

Các mô hình dao động của các hệ thống phức tạp, chẳng hạn như liên kết của matniki, có thể được nghiên cứu bằng thực nghiệm bằng các phương tiện đơn giản nhất. Tất cả những gì bạn cần để tái tạo các thí nghiệm được mô tả ở đây là hai nhóm nhỏ giống hệt nhau (ví dụ: vật nặng (ví dụ: vật nặng), hai chân máy, có thể được thay thế thành công bằng lưng ghế, sợi chỉ chắc chắn, đồng hồ bấm giờ hoặc đồng hồ có kim giây.

Ta gắn các vật nặng vào các sợi có chiều dài bằng nhau 50-60 cm, buộc các sợi vào một sợi ngang dài khoảng 1 m, đặt đối xứng cách nhau 40-50 cm. Chúng tôi cố định các đầu của sợi ngang trong giá ba chân hoặc buộc chúng vào lưng ghế. Kết quả là chúng ta có được một hệ thống gồm hai tấm thảm, gần giống như trong ảnh. Đây là cách buộc matniki. Đó là mong muốn đạt được khả năng của một hệ thống đối xứng hoàn hảo hơn. Bạn cũng cần biết cách thay đổi khoảng cách giữa các chân máy, đều đặn, từ đó tăng sợi ngang.

Mặc dù đơn giản nhưng thiết bị này có thể xác minh nhiều quan sát thú vị. Chúng ta hãy giới hạn việc nghiên cứu các dao động tự do (hoặc tự nhiên) của hệ trong trường hợp các tấm thảm dao động vuông góc với mặt phẳng cân bằng của chúng.

Trong khi giữ một trong các tấm thảm ở vị trí cân bằng, chúng ta nghiêng tấm còn lại một góc nhỏ theo hướng ngang, sau đó thả chúng đồng thời. Chúng tôi sẽ theo dõi chặt chẽ hành vi trong tương lai của họ. Chúng ta sẽ thấy biên độ dao động của tấm thảm bị lệch ban đầu giảm dần nhưng đồng thời tấm thảm thứ hai lại lắc lư ngày càng mạnh. Tại một thời điểm nào đó, các matnik sẽ dao động với cùng biên độ. Nhưng sau một thời gian, tấm matnik đầu tiên hoàn toàn bị bỏ rơi, “đóng băng” ở vị trí cân bằng, và tấm matnik thứ hai dao động mạnh đến mức biên độ của nó sẽ bằng với thời điểm ban đầu của tấm matnik đầu tiên. Các rung động dường như hoàn toàn “chuyển đổi” từ tấm thảm này sang tấm thảm khác.

Chúng tôi tiếp tục xem thêm. Bây giờ tất cả các quá trình xảy ra theo thứ tự ngược lại: biên độ của tấm thảm thứ hai giảm và tấm thảm thứ nhất dao động cho đến khi đạt đến biên độ trước đó. Sau đó mọi thứ lặp lại một lần nữa.

Loại chuyển động có dao động “giảm dần” định kỳ này thường được gọi là bcens. Thực hiện theo một số chu kỳ về giá và giao hàng-

24

Hãy cố gắng xác định chu kỳ của chúng, tức là thời gian mà một trong các con lắc hoàn thành một chu kỳ đầy đủ từ điểm dừng này đến điểm dừng khác. (Trong trường hợp này, bản thân các con lắc có thể được dùng làm đồng hồ: chẳng hạn, hãy đếm xem con lắc thực hiện bao nhiêu dao động trọn vẹn trong một chu kỳ của con lắc.)
Tại sao dao động truyền từ con lắc này sang con lắc khác? Chúng ta hãy quan sát sợi dây chéo mà chúng được gọi. Dễ dàng nhận thấy rằng khi các con lắc dao động, nó không đứng yên: bằng cách lệch sang một bên, một trong các con lắc sẽ kéo nó theo và do đó làm chuyển động điểm treo của con lắc thứ hai. Do đó, sợi chỉ chéo nối các con lắc với nhau. Đó là lý do tại sao các loại bạc hà được gọi là “được kết nối”.
Trực giác gợi ý rằng các con lắc được kết nối càng chặt thì sợi chỉ càng chùng xuống. Hãy kiểm tra điều này bằng thực nghiệm. Hãy giảm độ căng của sợi chỉ bằng cách liếm nhẹ các điểm đính kèm của nó và lặp lại thí nghiệm được mô tả ở trên. Chúng ta sẽ thấy rằng toàn bộ chu trình truyền rung động từ con lắc này sang con lắc khác và ngược lại được rút ngắn lại. Ví dụ, khi độ căng của sợi dây tăng lên, sự kết nối giữa các con lắc yếu đi và sự trao đổi rung động diễn ra chậm hơn. Nhưng điều thú vị là ngay cả khi nhận thấy mối liên kết yếu đi, các cây bạc hà vẫn hoàn toàn trao đổi năng lượng. (Tất nhiên, nếu chúng ta tính đến sự suy giảm dần dần các dao động của các con lắc do ma sát, thì với mối liên hệ trao đổi năng lượng rất yếu, thời gian phân rã của các dao động có thể trở nên dài hơn. Các dao động của con lắc bị kích thích sẽ dừng lại trước khi nó có thời gian truyền một phần năng lượng đáng chú ý của nó sang một con lắc khác. Trong những điều kiện như vậy, các mối liên hệ của các con lắc trở nên không đáng kể và chúng có thể được coi là độc lập.)

Chúng ta hãy nghĩ xem tại sao, sau các biên độ và do đó năng lượng của các mặt dây chuyền lại trở nên giống nhau, quá trình trao đổi năng lượng không dừng lại mà tiếp tục cho đến khi mặt dây chuyền bị kích thích chuyển toàn bộ năng lượng của nó sang mặt dây chuyền khác. Tất cả đều là về sự tương ứng pha: khi biên độ cân bằng, dao động của con lắc đang dao động sẽ trễ pha ở chu kỳ thứ tư. Tại thời điểm con lắc “chủ động” đạt độ lệch tối đa và tạo ra lực căng lớn nhất ở sợi nối ngang,
tee, con lắc “thụ động” (tức là con lắc đang dao động) vừa đi qua vị trí cân bằng. Tốc độ của điểm treo của nó là tối đa và lực tác dụng lên nó từ phía của sợi ngang hướng theo cùng hướng mà điểm treo đang chuyển động. Điều này có nghĩa là ở đây đã phát triển những điều kiện thuận lợi nhất để tiếp tục truyền năng lượng trong giới hạn hướng.

Chúng ta thấy rằng khi xem xét phương pháp kích thích (độ lệch ban đầu của một trong các con lắc), các dao động phát sinh không điều hòa (mặc dù với một kết nối yếu, chúng có thể được coi là “gần như điều hòa” với biên độ thay đổi chậm). Có thể kích thích rung động sao cho chuyển động của mỗi con lắc là hoàn toàn hài hòa không? Dễ dàng nói rằng đối với các dao động vuông góc với mặt phẳng cân bằng thì có hai loại chuyển động.

Đầu tiên, bạn có thể nghiêng cả hai con lắc ở cùng một góc nhỏ theo cùng một hướng và thả chúng ra cùng lúc mà không cần đẩy. Khi đó tất cả các hệ thống sẽ có chất lượng như một tổng thể duy nhất. Cố gắng kích thích những dao động như vậy và thay đổi tần số của chúng $\omega_1$. Vì các con lắc dao động cùng pha nên độ dịch chuyển của mỗi con lắc phụ thuộc vào thời gian và được biểu thị bằng cùng một hàm điều hòa:

$$x_1(t) = x_2(t) = x_m \cos \omega_1 t,$$

(1)

trong đó biên độ $x_m$ bằng độ lệch ban đầu của con lắc so với vị trí cân bằng.

Thứ hai, bạn có thể trả lời cả hai con lắc ở cùng một góc theo hướng ngược nhau và thả chúng ra cùng một lúc. Trong trường hợp này, các con lắc cũng sẽ thực hiện các dao động điều hòa có cùng biên độ và cùng tần số $\omega_2$ (tần số này lớn hơn $\omega_1$ một chút), nhưng ở các pha ngược nhau. Do đó, sự phụ thuộc thời gian của hỗn hợp có dạng

$$x_1(t) = x_m \cos \omega_2 t,$$

(2)

Những chuyển động như vậy của một hệ phức tạp, khi tất cả các vật thực hiện những dao động điều hòa thuần túy với cùng tần số, được gọi là dao động chuẩn hoặc các mode của hệ. Dao động ngang của các bạc hà được kết nối

25

Đây là đồ thị lành tính của hai ma trận liên quan. Tại thời điểm ban đầu, ma trận thứ nhất bị lệch một góc nhỏ theo hướng vuông góc với mặt phẳng cân bằng của hệ và ma trận thứ hai ở vị trí cân bằng.

Mô hình này liên quan như thế nào đến những lợi ích đã được nghiên cứu trước đó? Chúng ta hãy nhớ lại các điều kiện ban đầu mà mỗi trong số chúng xuất hiện: đối với ma trận đầu tiên cần phải lệch theo một hướng, đối với ma trận thứ hai - theo hướng ngược lại. Nếu muốn kích thích cả hai mô hình cùng một lúc thì chúng ta sẽ nhận được các điều kiện ban đầu tương ứng với sự kích thích của beneia: một ma trận bị bác bỏ, ma trận thứ hai ở vị trí cân bằng. Do đó, chúng ta đi đến kết luận rằng beneya thu được là kết quả của sự chồng chất của các ma trận thông thường với tần số $\omega_1$ và $\omega_2$ và biên độ bằng nhau.

Chúng tôi thu được sự trộn lẫn của từng ma trận tại bất kỳ thời điểm nào $t$ bằng cách thêm các biểu thức tương ứng từ các công thức (1) và (2) và sử dụng độ chính xác lượng giác đã biết:

$$x_1(t) = x_m(\cos \omega_1 t + \cos \omega_2 t) = 2x_m \cos \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \cos \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t,$$

$$x_2(t) = x_m(\cos \omega_1 t - \cos \omega_2 t) = 2x_m \sin \frac{\omega_2 - \omega_1}{2} t \sin \frac{\omega_2 + \omega_1}{2} t.$$

Nếu chênh lệch giữa các tần số của ma trận chuẩn $\Delta \omega = \omega_2 - \omega_1$ nhỏ so với tần số trung bình $\omega = (\omega_2 + \omega_1)/2$, thì ở vế phải của công thức (3), hàm lượng giác thứ nhất thay đổi chậm so với tần số thứ hai. Điều này có nghĩa là $x_1(t)$ và $x_2(t)$ mô tả các dao động “gần như điều hòa” với tần số $\omega$ và biên độ dao động chậm. Các đồ thị tương ứng được hiển thị trong hình. Chúng tôi thấy rằng họ mô tả chính xác những gì được quan sát trong thí nghiệm đầu tiên.

Sự biểu diễn một dao động phức tạp dưới dạng tổng các dao động điều hòa được gọi là sự phân rã thành một phổ. Phổ của bất kỳ dao động ngang nào của ma trận trong các hệ thống mà chúng tôi nghiên cứu, bao gồm cả các hệ số lợi ích, chỉ bao gồm hai thành phần có tần số $\omega_1$ và $\omega_2$, vì những thành phần này làm cạn kiệt toàn bộ tập hợp các dao động ngang bình thường. Toàn bộ sự đa dạng của các dao động tự do có thể phát sinh trong các điều kiện ban đầu khác nhau là do sự tương ứng khác nhau về biên độ và pha của các thành phần quang phổ này. Cố gắng đặt các điều kiện ban đầu khác với trước đây (ví dụ: độ lệch ban đầu không bằng nhau) và quan sát sự xuất hiện của dao động.

Chúng ta có thể thực hiện nhiều thí nghiệm thú vị hơn với các ma trận liên thông của mình, nếu chúng ta không chỉ giới hạn ở các chuyển động ngang. Trong hệ thống này có thêm ba mô hình tương ứng với các dao động của ma trận trong mặt phẳng được hình thành bởi các dây cân bằng. Hãy cố gắng kích thích những mô hình này và làm theo chúng.

26

Đảo ngược
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. M. UROEV

Trong bài này chúng ta đã nói về một phép biến đổi hình học đáng chú ý của mặt phẳng. Phép biến đổi - đảo ngược - này cho phép bạn giải bài toán, điều mà thoạt nhìn rất khó tiếp cận.

§ 1. Nghịch đảo là gì

Giả sử một đường tròn C bán kính R có tâm O được cho trên mặt phẳng α. Nghịch đảo của mặt phẳng α đối với đường tròn này được gọi là ánh xạ trong đó mỗi điểm A của mặt phẳng α, ngoại trừ điểm O, được liên kết với một điểm A’ nằm trên tia (OA) sao cho

$$|OA'| = \frac{R^2}{|OA|}.$$ (1)

Từ định nghĩa này, rõ ràng là trong quá trình đảo ngược, các điểm A và A’ thay đổi vị trí, ánh xạ vào nhau. Tâm O của đường tròn C, gọi là tâm nghịch đảo, không có ảnh và không có điểm nào rơi vào đó trong quá trình nghịch đảo (Hình 1). Phần bên trong của đường tròn giới hạn bởi đường tròn C được truyền bằng cách đảo ngược sang vùng bên ngoài, do từ bất đẳng thức |OA| < R nó theo sau |OA’| > R và ngược lại, vùng bên ngoài được ánh xạ vào vùng bên trong.

Các điểm của đường tròn C vẫn giữ nguyên trong quá trình đảo ngược, và do mặt trong của đường tròn hướng ra ngoài nên không có điểm cố định nào khác.

Những bức vẽ này do các sinh viên Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Quốc gia Moscow thực hiện, cho thấy sự đảo ngược biến đổi các bức tranh màu như thế nào. Ở bức tranh đầu tiên, vòng tròn đảo ngược bao phủ chữ A, ở bức tranh thứ hai, vòng tròn này là rìa của mặt trời.

27

Đôi khi nghịch đảo được gọi là đối xứng quanh một đường tròn (bằng cách tương tự với đối xứng về một đường tròn. Giống như đối xứng trục, nghịch đảo về đường tròn $C$ có một tính chất thú vị: việc thực hiện lặp đi lặp lại của nó sẽ trả các điểm về vị trí ban đầu. Cũng lưu ý rằng nếu điểm $A$ được chọn ngày càng gần $O$, thì $|OA'|$ sẽ tăng vô hạn. Sự đảo ngược sẽ “biến” phần bên trong vòng tròn ra bên ngoài và theo đó, cả phần bên ngoài của nó của vòng tròn “quay vào trong” vào bên trong của nó.

Điều này được thực hiện với ý tưởng thêm một điểm $\infty$ không thuộc mặt phẳng “khoảng cách vô hạn” và xem xét rằng trong quá trình đảo ngược, tâm $O$ chuyển sang $\infty$ và $\infty$ đến điểm $O$.

§ 2. Tính chất của nghịch đảo

Chúng ta hãy xem các đường thẳng và đường tròn của mặt phẳng $a$ được biến đổi như thế nào trong quá trình đảo ngược. Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa rằng một đường thẳng đi qua tâm nghịch đảo sẽ đi vào chính nó. Trong trường hợp này, tâm $O$ và $\infty$ thay đổi vị trí. Primaya, như vốn có, “quay dọc theo mặt phẳng”: phần nằm ngoài đường tròn, cùng với “vô cực”, biến thành đường kính của đường tròn, và đường kính biến thành hai tia, và điểm $O$ biến thành $\infty$, như thể “nối” các tia này.

Điều gì xảy ra với đường thẳng không đi qua tâm $O$?

Giả sử $l$ là một đường thẳng và $D$ là đáy của đường vuông góc rơi từ tâm $O$ đến $l$, điểm $D'$ là ảnh của điểm $D$ khi đảo ngược, so với đường tròn $C$ (Hình 2)*. Đặt $A$ là một điểm tùy ý trên đường $l$ và trỏ $D'$ ảnh đảo ngược của nó. Từ $|OA'| \times |OA| = |OD'| \cdot |OD| = R^2$ theo sau là $\frac{|OA'|}{|OD|} = \frac{|OD'|}{|OA|}$. Do đó, tam giác $A'OD'$ và $AOD$ tương tự nhau, vì chúng có góc chung $AOD$ và các cạnh mà góc này bao quanh tỉ lệ với nhau. Điều này có nghĩa là $OA'D' = ODA = 90^\circ$, vậy trọng điểm là $A'$

*) Trong Hình 2 không có vòng tròn $C$. Nhưng điều này là không cần thiết: lý luận của chúng tôi liên quan đến điều này không phụ thuộc vào bản vẽ chút nào.

Sáng trên một vòng tròn có đường kính $[OD']$.

Vậy đường thẳng không đi qua tâm nghịch đảo $O$ sẽ đi vào đường tròn đi qua các điểm $O$. Phát biểu ngược lại cũng đúng: mọi đường tròn đi qua tâm nghịch đảo $O$ đều đi thành một đường thẳng không đi qua các điểm $O$.

Bài tập 1. Chứng minh khẳng định này.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu điều gì xảy ra với những đường tròn không đi qua tâm nghịch đảo. Trước tiên hãy đặt điểm $O$ nằm ngoài đường tròn đã cho $S$ với tâm $Q$.

Chúng ta hãy vẽ tia $OQ$ và xét đường kính $ED$ (xem Hình 3)*. Đặt $D'$ và $E'$ là các điểm đối xứng với $D$ và $E$ đối với $C$ và đặt $A'$ là ảnh của một điểm tùy ý $A$ của đường tròn $S$.

Bài tập 2. Chứng minh rằng $\triangle OA'D' \sim \triangle OAD$ và $\triangle OA'E' \sim \triangle OAE$.

Theo sau đó là $D'A'E' = OEA - ODA = EAD = 90^\circ$. Vì vậy, đoạn $D'E'$ có thể nhìn thấy từ mỗi điểm $A'$ ở một góc vuông, có nghĩa là ảnh của hình tròn $S$ là hình tròn $S'$, được xây dựng trên $D'E'$ làm đường kính.

Bài tập 3. Chứng minh phát biểu vẫn đúng nếu tâm nghịch đảo nằm bên trong đường tròn $S$.

Để chứng minh, bạn chỉ cần cẩn thận xây dựng một hình vẽ và chứng minh lập luận từ Bài tập 2 gần như nguyên văn.

Kết hợp kết quả bài tập 2 và 3 ta thấy về mọi mặt

*) Trong Hình 3, độ thấm ướt nghịch đảo không được thể hiện.

29

Nhiệm vụ 1. Trong quá trình đảo ngược đối với một đường tròn $C$, các điểm $A$ và $B$ của đường tròn $T$ biến đổi thành nhau thì đường tròn $T$ biến đổi thành chính nó (xem Hình 5).

Lời giải. Tâm nghịch đảo $O$ phải nằm trên đường thẳng $AB$, đường thẳng này biến thành chính nó và $OA \cdot OB = R^2$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn $C$. Chúng ta hãy vẽ một tiếp tuyến $OD$ với đường tròn $T$. Bằng định lý đã được chứng minh $|OA| \cdot |OB| = |OD|^2$. Vì vậy, $|OD| = R$. Bây giờ chúng ta vẽ một cát tuyến tùy ý $OK$ cho đường tròn $T$. Theo định lý về bình phương tiếp tuyến $|OK| \cdot |OL| = |OD|^2 = R^2$, và do đó, các điểm $K$ và $L$ biến thành nhau, và do đó đường tròn $T$ biến thành chính nó.

Bài tập 2. Cho $A'$ và $B'$ là các điểm đối xứng $A$ và $B$ đối với một đường tròn bán kính $R$ có tâm $O$. Chứng minh rằng $|A'B'| = \frac{R^2 \cdot |AB|}{|OA| \cdot |OB|}$.

Gợi ý. Sử dụng các hình tam giác tương tự $OAB$ và $OA'B'$.

Bài 3. Đường $MA$ và $MB$ chạm vào đường tròn $C$ tại điểm $A$ và $B$, điểm $D$ là trung điểm của dây $AB$. Chứng minh rằng điểm $D$ và $M$ đối xứng với đường tròn $C$ (Hình 6).

Bằng chứng. $\triangle OAD \sim \triangle OAM$. Vì vậy $\frac{|OA|}{|OM|} = \frac{|OD|}{|OA|}$. Ngay sau đó là $|OA|^2 = R^2 = |OM| \cdot |OD|$.

Nhiệm vụ 4 (Định lý Polemeus). Chứng minh rằng trong mọi tứ giác nội tiếp $ABCD$ tích độ dài các đường chéo bằng tổng độ dài các cạnh đối diện (Hình 7):

$$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|.$$

Bằng chứng. Hãy thực hiện phép đảo ngược có tâm ở đỉnh $A$. Khi đó đường tròn ngoại tiếp $T$ sẽ đi đến đường thẳng $T'$, các đỉnh $B, C, D$ - lần lượt đi đến các điểm $B', C', D'$ trên đường thẳng $T'$. Chúng ta hãy ký hiệu $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp. Chuyển sang bài toán 2, ta có

$$|C'B'| = \frac{R^2 \cdot |BC|}{|AB| \cdot |AC|},$$

$$|B'D'| = \frac{|BD| \cdot R^2}{|AD| \cdot |AB|},$$

$$|C'D'| = \frac{R^2 \cdot |CD|}{|AC| \cdot |AD|}$$

Từ đó, rõ ràng phát biểu của định lý Polemaeus thể hiện sự thật sau: $|B'D'| = |B'C'| + |C'D'|$. Thật vậy, bằng cách thay thế các giá trị tìm thấy của $|C'B'|, |B'D'|, |C'D'|$ vào đẳng thức này và đưa chúng về mẫu số chung, chúng ta đi đến sự tương ứng mong muốn.

Nhiệm vụ 5. Trên vòng tròn $C$ cho hai điểm $A$ và $B$. Chúng tôi xem xét tất cả các cặp đường tròn có thể nằm bên trong $C$, một trong số đó chạm vào đường tròn $C$ tại điểm $A$, đường còn lại tại điểm $B$ và chạm vào nhau (Hình 8). Tìm tập hợp $X$ của tất cả các điểm mà tại đó hai đường tròn của một cặp như vậy chạm vào nhau.

Lời giải. Đặt $T_1$ và $T_2$ chạm vào đường tròn $D$ là điểm tiếp tuyến của chúng (xem Hình 8). Chúng ta hãy thực hiện phép đảo ngược tâm tại điểm $A$ so với một đường tròn tùy ý. Khi đó các vòng tròn $C$ và $T_1$ sẽ song song

30

các đường thẳng $C'$ và $T'_1$. Hình tròn $T_2$ sẽ biến thành hình tròn $T'_2$, chạm vào đường thẳng $T'_1$ trong mẫu $D'$ của điểm $D$ và đường thẳng $C'$ trong mẫu $B'$ của điểm $B$ (Hình 9). Rõ ràng, điểm $D'$ nằm trên đường vuông góc $m'$, được phục hồi về $C'$ tại điểm $B$. Nếu chọn cặp $T_1, T_2$ khác, bạn sẽ được một đường thẳng $T'_1$ khác, song song với $C'$, nhưng điểm $D'$ vẫn sẽ nằm trên đường vuông góc $m'$. Do đó, phép đảo ngược sẽ ánh xạ tập hợp các điểm cần thiết lên tia $m'$.

Rõ ràng, mỗi điểm của tia $m'$ có thể là điểm tiếp tuyến giữa một đường thẳng $T'_1$ nào đó, song song với $C'$ và một đường tròn $T'_2$, tiếp tuyến với $C'$ tại điểm $B$. Do đó, bất kỳ điểm $(m')$ nào cũng là ảnh của một điểm $D$ nào đó tập hợp $X$. Khi phép đảo ngược được thực hiện lúc đầu được lặp lại, tất cả các điểm sẽ trở về vị trí ban đầu, do đó tia $m'$ sẽ đi vào tập hợp $X$ các điểm tiếp tuyến. Do đó, tập hợp bắt buộc là cung của một đường tròn nằm bên trong $C$, giao nhau $C$ tại các điểm $A$ và $B$ vuông góc.

Bài toán 6 (Định lý Euler). Gọi $r$ và $R$ là bán kính của đường tròn nội tiếp $T_1$ và ngoại tiếp $T_2$ đường tròn của tam giác $ABC$, và $d$ khoảng cách giữa tâm của các đường tròn này. Chứng minh rằng $\frac{1}{R+d} + \frac{1}{R-d} = \frac{1}{r}$, tức là $d^2 = R^2 - 2Rr$.

Gợi ý. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M, N, K$ các điểm tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp trên cạnh của tam giác $ABC$ (Hình 10). Chúng ta hãy đảo ngược đường tròn nội tiếp $T_1$. Sau đó, các đỉnh $A, B, C$ của tam giác được ánh xạ vào cạnh giữa $P, Q, R$ của tam giác $MNK$ (xem bài toán 3), do đó đường tròn ngoại tiếp $T_2$ sẽ đi vào đường tròn ngoại tiếp $T_3$ của tam giác $PQR$. Bản thân vòng tròn $T_1$, được mô tả xung quanh hình tam giác $MNK$, sẽ giữ nguyên vị trí. tam giác $PQR$ và $MNK$ giống nhau với hệ số 1/2, nên bán kính hình tròn $T_3$ là 1/2r. Chúng ta vẽ đường kính $GF$ của đường tròn $T_2$ đi qua tâm $O_1$ của đường tròn nội tiếp $T_1$. Khi đảo ngược với điểm $T_1$, $G, F$ sẽ đi đến các điểm $G'$ và $F'$, nằm ở hai đầu đường tròn đường kính $T_3$ đi qua điểm $O_1$. Do đó, sự tương ứng $|O_1G'| + |O_1F'| = 2 \cdot r/2$ đúng, do đó $\frac{r^2}{|O_1G|} =$

Bài tập

9. Bốn đường tròn tiếp xúc với nhau ở bên ngoài, như trong Hình 11. Chứng minh rằng bốn tiếp tuyến $A, B, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn.

10. Trên đoạn $AB$ điểm $M$ được bù và trên các đoạn $AB$ và $AM$ các hình bán nguyệt $C_1$ và $C_2$ được xây dựng như trên đường kính. Vòng tròn $C_3$ chạm vào hình bán nguyệt $C_1$, $C_2$ và vuông góc $m$, được khôi phục về $(AB)$ tại điểm $M$ (Hình 12). Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của đường tròn $C_2$ và $C_3$ đi qua điểm $B$.

11. Trên đoạn $AB$ điểm $M$ được bù và trên các đoạn $AB, AM$ và $MB$ cũng như trên các đường kính, các hình bán nguyệt $C_1$, $C_2$ và $C_3$ lần lượt được dựng. Đặt điểm $O$ là tâm của đường tròn $T$ tiếp xúc với hình bán nguyệt $C_1, C_2, C_3$ (Hình 13). Tìm khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$ nếu bán kính hình tròn $T$ bằng $r$.

31

§ 4. Bài toán cho xây dựng

Đảo ngược có thể được sử dụng rất thành công với lời giải bài toán cho mỗi công trình.

lời giải của tất cả bài toán dựa trên phương pháp dựng điểm $A'$ đối xứng với một điểm cho trước $A$ so với đường tròn $C$ (xem Hình 14). Phương pháp này như sau (đối với điểm $A$ nằm ngoài vòng tròn $C$). Vẽ một tiếp tuyến $AM$ và từ điểm $M$ hạ đường vuông góc xuống $OA$. Đáy của đường vuông góc là điểm bắt buộc $A'$ (xem bài toán 3 từ § 3).

Bài tập 12. Hãy nghĩ cách xây dựng điểm $A'$ nếu $A$ nằm bên trong đường tròn $C$.

Biết cách dựng ảnh của một điểm, chúng ta có thể dễ dàng dựng được ảnh của đường thẳng và đường tròn. Ví dụ: nếu bạn muốn xây dựng hình ảnh của một đường thẳng $l$ không đi qua điểm $O$, thì việc hạ thấp đường vuông góc $OD$ từ điểm $O$ xuống đường thẳng $l$, xây dựng điểm $D'$ và mô tả đường tròn tại $OD'$ là đường kính là đủ.

Bài tập 13. Cách dựng ảnh đường tròn không đi qua điểm $O$? Hãy nhớ những gì được viết về điều này trong § 2.

Bây giờ chúng ta hãy đưa ra một ví dụ về bài toán cho việc xây dựng, được giải bằng phép nghịch đảo.

Bài toán 7. Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $l$ và đi qua các điểm $A$ và $B$ đã cho. bài toán này có bao nhiêu lời giải?

Lời giải. Giả sử rằng đường tròn yêu cầu $T$ đã được xây dựng. Hãy thực hiện một phép nghịch đảo tùy ý với tâm tại điểm $A$. Đường thẳng $l$ sẽ đi vào một đường tròn nhất định $l'$, điểm $B$ đi vào điểm $B'$, và đường tròn $T$ đi vào đường thẳng $T'$ tiếp xúc với đường tròn $l'$ (xem Hình 15).

Từ đây, phương pháp xây dựng như sau: chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo với tâm tại điểm $A$, từ điểm $B'$ vẽ các tiếp tuyến với đường tròn $l'$, chúng ta thực hiện một phép nghịch đảo khác với tâm tại điểm $A$, ta thu được yêu cầu. Nói chung, tổng cộng sẽ có hai lời giải. (lời giải có thể lấy một cái không?)

Bài tập

14. Dựng đường tròn đi qua hai điểm $A$ và $B$ và tiếp xúc với đường tròn đã cho $L$. bài toán này có bao nhiêu lời giải?

15. Vẽ một đường tròn tiếp xúc với đường tròn đã cho $S$ tại điểm $A$ và $a$) của đường thẳng đã cho $l$; b) vòng tròn đã cho $T$.

16 (mông của Apollo). Vẽ đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn đã cho. Về bài toán nổi tiếng này, hãy xem bài viết của A.P. Savin “Đảo ngược và sự trở lại của Apollo” («Kvant», 1971, số 8, trang 23).

17. Vẽ hai đường tròn có đường kính bằng nhau sẽ tiếp xúc với nhau tại một điểm cho trước $D$ và vượt qua các điểm tương ứng $A$ và $B$.

§ 5. Đảo ngược và chiếu lập thể

Xét hình cầu $Q$ tiếp xúc với mặt phẳng $a$ tại điểm $O$. Đặt điểm $N$ đối xứng đường kính với điểm $S$. Hình chiếu lập thể của hình cầu $Q$ lên mặt phẳng $a$ được gọi là ánh xạ, mà đối với mỗi điểm $B$ của hình cầu, ngoại trừ điểm $N$, liên kết điểm $A$ của mặt phẳng $a$, thu được nhờ giao điểm của đường thẳng $NB$ với mặt phẳng $a$ (Hình 16). Lưu ý rằng bất kỳ điểm $A$ nào của mặt phẳng $a$ đều là ảnh của một điểm $B$ nào đó của hình cầu dưới tác dụng lập thể

32

sự chiếu vật lý. Điểm $B$ là giao điểm của đường $NA$ với hình cầu $Q$.

Chúng ta hãy chỉ ra cách sắp xếp tập hợp các điểm trên mặt cầu, tương ứng với một số đường thẳng nổi tiếng trong mặt phẳng $a$. Trong trường hợp này, sẽ thuận tiện cho chúng ta sử dụng thuật ngữ “địa lý”, gọi hình cầu $Q$ là quả địa cầu và các điểm $S$ và $N$ là cực nam và cực bắc.

Các đường song song, tức là các đường tròn được vẽ trên hình cầu “song song” với mặt phẳng $a$, được ánh xạ lên các đường tròn đồng tâm có tâm $S$. “Cực Nam” $S$, thuộc cả hình cầu và mặt phẳng, biến thành chính nó. “Cực Bắc” không có hình ảnh.

Chúng ta hãy xây dựng một tập hợp các điểm của hình cầu được ánh xạ lên một đường thẳng $l$ nằm trong mặt phẳng $a$. Vì một mặt phẳng $B$ có thể được vẽ qua cực $N$ và đường $l$, nên tất cả các tia phát ra từ điểm $N$ và thực hiện phép chiếu lập thể của tập hợp ban đầu lên đường $l$ đều nằm trong mặt phẳng $B$ (Hình 17). Do đó, đường thẳng $l$ được liên kết với tập hợp các điểm của hình cầu thuộc giao điểm của hình cầu $Q$ với mặt phẳng $B$, tức là đường tròn có điểm bị loại bỏ $N$. Đặc biệt, các “kinh tuyến” đi qua các điểm $S$ và $N$ được ánh xạ lên các tia phát ra từ điểm $S$. Lưu ý rằng nếu điểm $A$ trên mặt phẳng $a$ di chuyển ra xa vô thời hạn khỏi điểm $S$ (ví dụ dọc theo một đường thẳng), thì điểm tương ứng $B$ của hình cầu sẽ tiến tới cực $N$. Thông điệp này giúp có thể định nghĩa lại khái niệm về một điểm ở xa vô hạn của mặt phẳng $a$ như một hình ảnh tinh thần của cực $N$ dưới phép chiếu lập thể.

Hóa ra sự đảo ngược của mặt phẳng $a$

33

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú “Định luật Bernoulli” được xuất bản dưới đây dành cho học sinh lớp 8, “Dòng điện trộn” dành cho học sinh lớp 9 và “Chống tế bào và lai tạo cặp” dành cho học sinh lớp 9.
Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

định luật Bernoulli

Sách giáo khoa “Vật lý 8” nói về sự phụ thuộc của áp suất $p$ của chất lỏng vào tốc độ $v$ chuyển động của nó. Chúng ta hãy rút ra một công thức kết nối các đại lượng này một cách định lượng.

Chúng ta sẽ giả sử rằng đường ống mà chất lỏng chảy qua có tiết diện rộng và hẹp. Ống nằm ngang nên thế năng của chất lỏng trong trường trọng lực không thay đổi trong quá trình chảy. Chúng ta hãy chọn thể tích chất lỏng bị giới hạn bởi các phần $S_1$ và $S_2$, trong đó vận tốc chất lỏng lần lượt là $v_1$ và $v_2$ (xem hình). Khối lượng này sẽ di chuyển sang bên phải khi chất lỏng chảy. Sau một khoảng thời gian $\Delta t$ nó sẽ chiếm vị trí giữa các phần $S'_1$ và $S'_2$, thể hiện trong hình với các đường nét đứt.

Vì chất lỏng không thể nén được nên thể tích chất lỏng giảm ở phần rộng của đường ống bằng với sự tăng thể tích chất lỏng ở phần hẹp:

$$S_1v_1\Delta t = S_2v_2\Delta t,$$ hoặc $S_1v_1 = S_2v_2$.

Nhưng việc chất lỏng không thể nén được có nghĩa là gì? Khi họ nói điều này, họ chỉ muốn nói rằng sự thay đổi về thể tích của chất lỏng là tương đối nhỏ. Chất lỏng luôn có những biến dạng nhẹ và chính chúng dẫn đến xuất hiện lực áp suất - lực đàn hồi của chất lỏng lăn.

Thể tích chất lỏng đã chọn chịu tác dụng của lực ép từ hai phía - từ chất lỏng theo sau nó và từ chất lỏng ở phía trước. Khi di chuyển khối lượng này, lực áp suất sẽ hoạt động. Theo định lý động năng, tổng công do các lực áp suất thực hiện bằng độ biến thiên động năng của chất lỏng:

$$A = E_{k2} - E_{k1}.$$

Hãy tính công $A$ của lực ép. Ở phần $S_1$, áp suất chất lỏng là $p_1$, và lực ép là $F_1 = p_1S_1$. Trong thời gian $\Delta t$ phần này di chuyển sang phải một khoảng $v_1\Delta t$, và do đó, lực $F_1$, hướng dọc theo chuyển vị, có tác dụng

$$A_1 = F_1v_1\Delta t = p_1S_1v_1\Delta t.$$

Trong tiết diện $S_2$ có một lực ép $\vec{F}_2(F_2 = p_2S_2)$ hướng ngược chiều với chuyển vị. Công do lực này thực hiện là âm:

$$A_2 = -F_2v_2\Delta t = -p_2S_2v_2\Delta t.$$

Tổng công của lực ép

$$A = A_1 + A_2 = (p_1v_1S_1 - p_2v_2S_2)\Delta t.$$

Công này bằng phương trình động năng của chất lỏng.

Bây giờ chúng ta hãy tìm sự khác biệt giữa động năng của thể tích chất lỏng đã chọn trước và sau khi chuyển động. Rõ ràng là năng lượng của chất lỏng giữa các phần $S'_1$ và $S_2$ không thay đổi. Do đó, tổng sự thay đổi năng lượng sẽ giống như khi một phần chất lỏng chứa giữa các phần $S_1$ và $S'_1$ thay thế cho chất lỏng chứa giữa các phần $S_2$ và $S'_2$.

Động năng của khối chất lỏng $m_1$ chảy theo thời gian $\Delta t$ qua phần $S_1$ (tức là chất lỏng trong thể tích giữa các phần $S_1$ và $S'_1$) bằng

$$E_{k1} = \frac{m_1v_1^2}{2} = \varrho v_1\Delta t \cdot S_1 \frac{v_1^2}{2},$$

trong đó $\varrho$ là mật độ của chất lỏng. Đối với phần $S_2$ động năng của phần tương ứng bằng

$$E_{k2} = \varrho v_2\Delta t \cdot S_2 \frac{v_2^2}{2}.$$

Do đó, trong thời gian $\Delta t$ động năng của thể tích chất lỏng được phân bổ thay đổi theo các giá trị sau:

$$E_{k2} - E_{k1} = (\varrho v_2S_2 \frac{v_2^2}{2} - \varrho v_1S_1 \frac{v_1^2}{2})\Delta t.$$