Kvant 1984, số 7 · Trang

KVANM 7 1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Mg
13 Al
NHÔM
26,982
14 Si
SILICON
28,086
15 P
PHOSPHO
24,312

Ca
21 Sc
SCANDIUM
44,956
22 Ti
TITAN
47,90
23 V
vanadi
50,942
40,08

30 Ga
gali
69,72
32 Ge
ĐỨC
72,59
33 As
ARSENIC
65,37

Sr
39 Y
YTTRIUM
88,905
Zr
40 ZIRCONI
91,22
Nb
NIOBIUM
87,62

48 In
INDIUM
114,82
50 Sn
TÍN
118,69
51 SURSHI

ISSN 0130-2221

2

Bảng tuần hoàn các nguyên tố

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
M. A. KOZHUSHNER

Ngày 27 tháng 1 đánh dấu kỷ niệm 150 năm ngày sinh của nhà khoa học vĩ đại người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleev, và vào tháng 2 - 115 năm sáng tạo vĩ đại nhất của ông - bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học. Câu chuyện về cách Mendeleev đi đến một trong những khám phá khoa học lớn nhất thế kỷ 19, cách bảng dần dần được cải tiến, cách làm sáng tỏ cấu trúc phức tạp của nguyên tử và việc phát hiện ra các định luật lượng tử chi phối chuyển động của các hạt nguyên tử cuối cùng đã dẫn đến sự hiểu biết về cơ sở vật lý của hệ tuần hoàn các nguyên tố là vô cùng thú vị và đầy cảm hứng. Giờ đây, khi cấu trúc của các nguyên tử đã được khoa học biết đến, nhìn lại câu chuyện này sẽ tạo thành một câu chuyện trinh thám hấp dẫn, khi một đội quân lớn các nhà khoa học ở những năm khác nhau và ở các quốc gia khác nhau dần dần tích lũy sự thật, đưa ra nhiều giả thuyết khác nhau, thường không đúng về tổng thể, nhưng chứa đựng một số gần đúng với sự thật - một bức tranh chính xác về cấu trúc của các nguyên tử.

Lịch sử khoa học của bảng tuần hoàn các nguyên tố có thể được chia thành bốn giai đoạn:

Giai đoạn 1 - tích lũy sự thật về tính chất của các nguyên tố, những nỗ lực đầu tiên để hệ thống hóa chúng, tạo ra phiên bản đầu tiên của bảng do D. I. Mendeleev tạo ra;

Giai đoạn 2 - làm rõ bảng, điền vào các ô trống, xác nhận cuối cùng về tính đúng đắn của nó;

Giai đoạn 3 - phát triển kiến ​​thức về cấu trúc của nguyên tử, khám phá cơ học lượng tử, giải thích định tính về định luật tuần hoàn;

Giai đoạn 4 - sáng tạo và phát triển các phương pháp định lượng để tính toán cấu trúc nguyên tử, tạo ra các nguyên tố mới, mở rộng bảng tuần hoàn.

Khi còn là sinh viên Học viện Sư phạm St. Petersburg, D. I. Mendeleev, người đã chọn hóa học làm chuyên ngành chính dưới sự ảnh hưởng của thầy mình, nhà hóa học vĩ đại người Nga A. A. Voskresensky, đã nghĩ về các mô hình thay đổi tính chất hóa học từ nguyên tố này sang nguyên tố khác. Vào thời điểm đó, vào giữa thế kỷ 19, một lượng lớn thông tin thực tế về tính chất hóa học của các nguyên tố đã được tích lũy, các nhóm nguyên tố tương tự về mặt hóa học đã được tìm thấy (kim loại lụa - Li, Na, K, Rb, Zs, kim loại kiềm thổ, halogen), và trong các nhóm này, người ta nhận thấy một mô hình nhất định liên kết hoạt động hóa học của các nguyên tố với khối lượng nguyên tử của chúng. Tuy nhiên, họ hứa, không có hình ảnh. Người ta đã cố gắng bằng cách nào đó phân loại các nguyên tố theo đặc tính định tính của sự hình thành hoặc hợp chất hóa học của chúng. Nhưng hóa ra chúng không thể sử dụng được do có quá nhiều loại hợp chất như vậy và đặc tính của chúng.

Mendeleev là một nhà hóa học vật lý và hiểu rằng việc hệ thống hóa là có thể

6

Bức ảnh bên trái cho thấy một phần đáng kể trữ lượng vi mô của nguyên tố promethium ($61Pm$) gần như ở quy mô thực tế.

Ở nền trên là một thiết bị đặc biệt cho phép bạn tách các nguyên tử mendelian ($101Md$), phát sinh trong quá trình bắn phá einsteinium. Bức ảnh cho thấy tấm giấy bạc chứa các nguyên tử Mendelian bị “khiếu nại” được loại bỏ như thế nào.

Mẫu này là một phần quan trọng của kho kỹ thuật vi mô ($43Tc$); Cần lưu ý rằng hình ảnh được phóng to gần gấp đôi kích thước thật của nó.

cơ khí, được tạo ra vào năm 1925-27. Bộ máy toán học của cơ học lượng tử cho phép người ta tính toán cấu trúc của các nguyên tử khác nhau.

Do đó, vào cuối những năm 20 của thế kỷ 20, bảng tuần hoàn các nguyên tố đã nhận được lời giải thích vật lý cuối cùng. D.I. Giấc mơ của Mendeleev đã thành hiện thực rằng “lý do của sự đều đặn định kỳ sẽ được phát hiện và hiểu rõ”.

Đến những năm 30, bảng tuần hoàn có 88 nguyên tố và có 4 ô độc lập - với các số 43, 61, 85 và 87. Thực tế không có nguyên tố tương ứng nào trong tự nhiên - hạt nhân nguyên tử của chúng không ổn định. Hàng tỷ năm trước, trong quá trình hình thành Trái đất, lẽ ra chúng phải tồn tại, nhưng theo thời gian, trữ lượng trên trái đất của chúng biến mất do sự phân rã phóng xạ. Trong số bốn nguyên tố này - kỹ thuật ($N_{2}43$), promethium ($N_{2}61$) và Actate ($N_{2}85$) - thu được một cách nhân tạo, và nguyên tố thứ tư - Pháp ($N_{2}87$) - được phát hiện trong quá trình phân rã α tự nhiên của hạt nhân Actium. Với việc phát hiện ra những nguyên tố này, bảng tuần hoàn được lấp đầy bởi uranium ($N_{2}92$).

Hoạt động tích cực của các nguyên tố đằng sau uranium - transuranes - bắt đầu sau khi phát hiện ra sự phân hạch trong hạt nhân uranium vào năm 1938. Vào năm 1940-41, $^{93}$Np và plutinous $^{94}$Pu đã được phát hiện. Các nguyên tố transurani sau đây

8

do sự phân hạch tự phát của hạt nhân nặng. Tuy nhiên, có những đề xuất về mặt lý thuyết cho rằng hạt nhân của các nguyên tố có điện tích 114 và 126 có thể khá ổn định nên có lẽ chúng ta sẽ thấy

Góc sưu tầm

Con tem dành riêng cho
D. I. Mendeleev

Chi nhánh Liên Xô liên tục dành tặng nhiều tấm biển bưu chính khác nhau cho nhà khoa học xuất sắc người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleev. Bốn con tem đầu tiên được phát hành vào năm 1934, nhân kỷ niệm 100 năm ngày sinh của D. I. Mendeleev. Một trong số đó mô tả tượng đài của nhà khoa học vĩ đại, được dựng lên vào năm 1932 tại Leningrad. Thương hiệu này được bao gồm trong lựa chọn của chúng tôi.

Vào tháng 8 năm 1951, một loạt 16 con tem được phát hành dành riêng cho các nhà khoa học xuất sắc của Nga. Ở giữa chúng ta thấy một con tem màu xanh có chân dung của D.I. Mendeleev. Con tem tiếp theo có chân dung của ông trên phông nền là tòa nhà Đại học Leningrad được phát hành vào năm 1957 nhân kỷ niệm 10 năm ngày mất của nhà khoa học. Năm 1969, nhân kỷ niệm 100 năm hệ thống tuần hoàn, một con tem mới được phát hành có chân dung của Mendeleev và một bưu phẩm có bản fax của một trong những biến thể đầu tiên của hệ thống tuần hoàn.

Lựa chọn của chúng tôi cũng bao gồm một con tem của Cộng hòa Nhân dân Ba Lan dành riêng cho D. I. Mendeleev.

V. Rudov

8

13

thế cờ và sau đó phần nào trả lời câu hỏi liệu Trắng có thắng ở đó hay không.

Có lẽ bạn đã đồng ý tại sao việc này vẫn chưa được thực hiện. Việc xây dựng được mô tả chỉ có thể thực hiện được từ quan điểm trừu tượng toán học. Thực sự không thể thực hiện được nó do số lượng lớn tất cả các thế cờ. Nó đã được chứng minh rằng có một động thái tối ưu ở mọi vị trí. Tuy nhiên, không có cách nào ngắn gọn (ví dụ, một công thức) để tìm ra nó.

Nhưng tất nhiên, điều này không thể thực hiện được trên thực tế, không phải đối với tất cả các vị trí mà chỉ đối với một phần - ví dụ: đối với một số trò chơi kết thúc?

Trò chơi kết thúc từng phần nhỏ

Sử dụng phương pháp sóng ngược, tác giả có thể dạy máy tính chơi trò chơi cuối cùng “vua, hậu và tốt chống lại vua và hậu” (KFP-KF), với điều kiện là quân tốt trắng nằm trên ô g7 và “vua, quân và quân tốt chống lại vua và quân” ​​(KLP-KR) *) với bất kỳ vị trí nào của quân tốt. Cỗ máy tàn cuộc này không chỉ chơi giỏi hơn con người mà còn di chuyển tối ưu ở mọi vị trí. Do đó, các trò chơi có kết quả thấp có thể được phân tích chính xác trên máy tính.

Tuy nhiên, việc phân tích như vậy hoàn toàn không dễ thực hiện, bởi vì độ phức tạp của nó nằm ở giới hạn khả năng của máy tính hiện đại. Vì vậy, trong tàn cuộc KLP-KL cần phải xem xét khoảng một tỷ vị trí. Và nếu ghi lại từng vị trí

*) Công việc cuối cùng được thực hiện bởi một nhóm lớn dưới sự lãnh đạo của V.L. Arlazarov.

chỉ dành một vài “bit” (ký tự 0 hoặc 1 trong bộ nhớ máy), khi đó nhiều vị trí sẽ chỉ chiếm bộ nhớ của máy (cả “RAM” và “bên ngoài”). Do đó, để phân tích máy các trò chơi có kết quả nhỏ trong các ứng dụng hiện đại, một số kỹ thuật đặc biệt nhằm mục đích sử dụng tiết kiệm tài nguyên máy tính. Chúng tôi sẽ chỉ tập trung ngắn gọn vào một trong những kỹ thuật này (phân rã), sử dụng ví dụ về trò chơi kết thúc KLP-KL.

Chúng ta hãy nhớ rằng máy bài toán là thứ hạng của đồ thị Δ của tất cả các vị trí, xảy ra lỗi khi dỡ kết thúc KLP-KL. Tất nhiên, số vị trí trong Δ lớn hơn số vị trí KLP-KL (ví dụ đổi quân xe đưa chúng ta đến tàn cuộc KP-K, quân hậu cho KFL-KL, v.v.), nhưng con số này ít hơn đáng kể so với các vị trí ở cột Γ của toàn bộ ván cờ. Hơn nữa, bản thân đồ thị Δ có thể được chia thành nhiều phần (phân vùng này được hiển thị trong Hình 4). Bản chất của phương pháp phân rã là xếp hạng các phần này một cách riêng biệt. Kỹ thuật này đạt được mục tiêu vì các kết nối giữa các bộ phận không quá phức tạp: một phần, chúng không tạo thành các chu trình định hướng *) (xem Hình 4). Đồ thị như vậy được gọi là không có chu kỳ.

Bài toán 2. Chứng minh rằng các đỉnh của đồ thị hàm mũ có thể được đánh số sao cho bất kỳ cung nào cũng đi từ đỉnh có số cao hơn đến đỉnh có số nhỏ hơn.

Vì vậy, việc nghiên cứu đồ thị Δ được rút gọn thành nghiên cứu về một loạt các tàn cuộc; tuy nhiên, một số vẫn còn lớn.

*) Điều này có nghĩa là bạn không thể rời khỏi bất kỳ đỉnh nào và di chuyển theo hướng mũi tên để quay lại đỉnh đó.

Sơ đồ tàn cuộc, lỗi phát sinh từ các vị trí như KLP-KL khi trạng thái của quân cờ thay đổi (bằng cách bắt hoặc thăng cấp một con tốt). Để thuận tiện, một số tàn cuộc đã được lược bỏ mà không ảnh hưởng đến việc nghiên cứu tàn cuộc chính KLP-KL.

14

Trong trường hợp một ván cờ kết thúc, bài toán phân tích của nó có thể được giảm bớt bằng cách kiểm tra sự phân rã không phải theo thành phần của các quân cờ mà bằng các vị trí khác nhau của các quân tốt. Điều này có thể thực hiện được vì quân tốt không di chuyển lùi và không di chuyển từ hàng này sang hàng khác mà không bị bắt. Phân rã hóa ra là một kỹ thuật quyết định để đặt trò chơi cuối KLP-KL vào bộ nhớ ngoài của máy tính.

Thiếu không gian không cho phép chúng tôi nói chi tiết hơn về các kỹ thuật khác - việc sử dụng tính đối xứng, phương pháp “xử lý nhóm”, v.v. Những kỹ thuật này được thiết kế để đáp ứng các hạn chế cả về dung lượng bộ nhớ máy tính có sẵn và thời gian tính toán, cho phép chúng tôi hoàn thành việc phân tích các trò chơi có hình dạng nhỏ.

Máy chơi endgame

Tất cả điều này trông như thế nào trong thực tế? Chẳng hạn, có hai đối tác phân chia các bước đi luân phiên trong trò chơi kết thúc KLP-KL. Nhưng trong trường hợp của chúng tôi, một trong những đối tác là con người và người kia là máy tính. Kết quả của quá trình xếp hạng các vị trí được thực hiện một lần và mãi mãi là một “bảng ghi chép” được lưu trữ trong bộ nhớ của máy tính - một danh sách tất cả các vị trí cho biết thứ hạng. Ngồi vào bảng điều khiển hiển thị, một người vào vị trí và báo cáo hành động của mình. Trong máy đáp số, bằng cách sử dụng “các bảng cheat từ một, các số Fibonacci hoàn toàn không phải là số Fibonacci.

Được biết, khi các con số tăng lên thì bản thân các số Fibonacci cũng tăng lên nhanh chóng. Vì vậy, $f_1=1$, nhưng $f_{50}=12586269025$ và $f_{100}=354224848179261915075$. Tuy nhiên, chữ số cuối cùng

Coy”, tìm thứ hạng của vị trí kết quả và xem xét tất cả các nước đi từ vị trí đó cho đến khi tìm được nước đi tối ưu mà nó hiển thị trên màn hình hiển thị.

Bài toán 3 (dành cho người có nhiều thời gian). Ở vị trí từ Hình 5, họ bắt đầu giành được nhiều chiến thắng hơn.

Vị trí này được thay thế bằng thực tế là độ dài của con đường tối ưu từ nó đến việc thăng cấp một con tốt là một kỷ lục - 60 nước đi! Chúng tôi có được một chuỗi nước đi từ nó bằng cách buộc máy phải chơi cho cả hai bên.

Vậy chúng ta nên làm gì?

Vì vậy, cỗ máy đã được dạy chơi trò chơi tàn cuộc KLP-KL, không chỉ chính xác hoàn hảo mà còn rất nhanh, dành 10-15 giây cho mỗi nước đi (so sánh với luật Turin - 2 giờ cho 40 nước đi).

Tương tự như vậy, bạn có thể dạy máy tính chơi một cách tối ưu trong các tàn cuộc năm quân còn lại. Với việc sử dụng các ý tưởng mới để cải thiện thuật toán phân tích trò chơi kết thúc cũng như các máy mạnh hơn, có vẻ như các trò chơi kết thúc gồm 6-7 mảnh đang trở nên sẵn sàng để nghiên cứu. Đồng thời, các chương trình cờ vua giữa trò chơi mà chúng tôi đã nói đến chơi kém ngay cả trong các trò chơi kết thúc nhiều quân cờ (10-12 quân).

Hiện vẫn chưa biết làm thế nào để lấp đầy khoảng trống này. Có lẽ sẽ khá đơn giản để xây dựng các quy tắc ứng xử trong trò chơi cuối cùng, khuyến nghị các nước đi trống rỗng và không tối ưu nhưng gần với các nước đi tối ưu. Những quy tắc như vậy có thể được phát triển bằng cách nghiên cứu các tàn cuộc, phân tích đầy đủ về chúng đã được hoàn thành trên máy tính. Những quy tắc này cũng sẽ rất có giá trị đối với những người chơi cờ vì chúng hữu ích một cách thuận tiện hơn so với các mảng tham chiếu khổng lồ được lưu trữ trong bộ nhớ của máy.

Hai bài toán về số Fibonacci

Chứng minh các tính chất sau của số Fibonacci (xem trang 17).

1. Tích và thương của hai số khác nhau, khác nhau

Các số Fibonacci dựa trên một không phải là số Fibonacci.

Được biết, khi các con số tăng lên thì bản thân các số Fibonacci cũng tăng lên nhanh chóng. Vì vậy, $f_1=1$, nhưng $f_{50}=12586269025$ và $f_{100}=354224848179261915075$. Tuy nhiên, chữ số cuối cùng

Coy”, tìm thứ hạng của vị trí kết quả và xem xét tất cả các nước đi từ vị trí đó cho đến khi tìm được nước đi tối ưu mà nó hiển thị trên màn hình hiển thị.

Bài toán 3 (dành cho người có nhiều thời gian). Ở vị trí từ Hình 5, họ bắt đầu giành được nhiều chiến thắng hơn.

Vị trí này được thay thế bằng thực tế là độ dài của con đường tối ưu từ nó đến việc thăng cấp một con tốt là một kỷ lục - 60 nước đi! Chúng tôi có được một chuỗi nước đi từ nó bằng cách buộc máy phải chơi cho cả hai bên.

Vậy chúng ta nên làm gì?

Vì vậy, cỗ máy đã được dạy chơi trò chơi tàn cuộc KLP-KL, không chỉ chính xác hoàn hảo mà còn rất nhanh, dành 10-15 giây cho mỗi nước đi (so sánh với luật Turin - 2 giờ cho 40 nước đi).

Tương tự như vậy, bạn có thể dạy máy tính chơi một cách tối ưu trong các tàn cuộc năm quân còn lại. Với việc sử dụng các ý tưởng mới để cải thiện thuật toán phân tích trò chơi kết thúc cũng như các máy mạnh hơn, có vẻ như các trò chơi kết thúc gồm 6-7 mảnh đang trở nên sẵn sàng để nghiên cứu. Đồng thời, các chương trình cờ vua giữa trò chơi mà chúng tôi đã nói đến chơi kém ngay cả trong các trò chơi kết thúc nhiều quân cờ (10-12 quân).

Hiện vẫn chưa biết làm thế nào để lấp đầy khoảng trống này. Có thể nhận được một công việc MẶC ĐỊNH

2. Sau đúng 60 số, chữ số cuối cùng của bất kỳ số Fibonacci nào cũng được lặp lại định kỳ.

Chứng minh điều đó.

M. I. Zashchkin

16

Trái Tim Sư Tử (1157-1199). Ở một số thành phố của Ý, ông bắt đầu xây dựng hậu cung, điều này không phù hợp với vị hoàng đế “theo đạo Cơ đốc nhất”. Ông thu hút người Ả Rập và người Do Thái chủ yếu đến giảng dạy tại Đại học Naples, cùng với các học giả Cơ đốc giáo. Hơn nữa, có tin đồn cho rằng ông là tác giả của cuốn sách nhỏ vô thần “Về ba kẻ lừa dối”, có nghĩa là Monsey, Christ và Mohammed.

Những chuyến du lịch của hiệp sĩ, được ông rất yêu thích, trong đó các lính canh chặt xác lẫn nhau để mua vui cho công chúng, đã không được Frederick II công nhận chút nào. Thay vào đó, anh ta xây dựng các thành phố toán học hiện đại ít đẫm máu hơn (chính xác là sự giao thoa giữa tối ưu hóa toán học và KBH), trong đó các đối thủ trao đổi không phải những đòn kiếm mà là các nhiệm vụ.

Chính tại những giải đấu như vậy, tài năng của Leonardo Fibonacci đã tỏa sáng. Điều này được tạo điều kiện thuận lợi nhờ sự giáo dục tốt do thương gia Bonacci trao cho con trai ông, người đã đưa cậu theo về phía Đông và giao cho cậu những giáo viên Ả Rập. Sau đó, Fibonacci nhận được sự bảo trợ liên tục của Frederick II. Sự bảo trợ này đã tạo điều kiện thuận lợi cho Leonardo thực hiện các chuyến đi buôn bán xa hơn tới Bắc Phi, Ai Cập, Syria và Byzantium, trong thời gian đó ông đã làm quen sâu sắc với khoa học Ả Rập và Hy Lạp. (Các tác phẩm kinh điển của khoa học cổ đại khi đó chủ yếu được biết đến qua các bản dịch tiếng Ả Rập.) Sự bảo trợ của Frederick II cũng đã kích thích việc xuất bản các chuyên luận khoa học của Fibonacci: “Sách bàn tính” tổng quát (1202, phiên bản sửa đổi và mở rộng, 1228), “Thực hành hình học” (1220), “Sách hình vuông” (1225). Sử dụng những cuốn sách này, vượt qua các tác phẩm tiếng Ả Rập và châu Âu thời trung cổ về trình độ, toán học đã được dạy cho đến thời Descartes (thế kỷ XVII) và Euler (thế kỷ XVIII).

Bản chất của tất cả các cuốn sách của Leonardo là nguồn gốc của chúng từ các chuyến tham quan toán học. Vai trò chính trong đó do nhiều lời giải đóng và nhận xét bài toán - đôi khi là những điều được đề xuất trong các chuyến lưu diễn bởi chính Leonardo hoặc đối thủ chính của ông, một người gốc trong gia đình thương gia ngớ ngẩn Johann của Palermo, triết gia triều đình của Frederick II. Chúng ta cũng hãy lưu ý rằng bàn tính là một phương pháp đếm cổ xưa, giống như bàn tính của Nga. Tuy nhiên, “Sách bàn tính” không dành cho việc thực hành đếm mà dành cho số học lý thuyết theo nghĩa rộng của thuật ngữ này. Đặc biệt, thông qua cuốn sách này, người châu Âu đã làm quen với các chữ số Ả Rập (chính xác hơn là Ấn Độ) và hệ thống ghi số hiện đại. Tương tự như vậy, “Thực hành Hình học” không dành cho hình học ứng dụng (khảo sát) mà dành cho hình học lý thuyết.

Để mô tả thành tích của Leonardo, chỉ cần nhắc đến hai trong số bài toán mà ông đã giải là đủ: tìm ba số x, y và z sao cho tổng của chúng, tăng cả x² và x²+y² và x²+y²+z², sẽ là một số chính phương (Leonardo’s lời giải: x=16/5, y=48/5 và z=144/5) và đặc biệt là bài toán o lời giải phương trình bậc ba x³+2x²+10x=20. Leonardo chứng minh rằng nghiệm của phương trình này không thể biểu diễn bằng căn bậc hai (“bằng chứng về tính bất khả thi” đầu tiên trong toán học châu Âu sau các định lý cổ xưa về tính vô tỉ của √2 và các số khác), rồi tính nghiệm của phương trình với sai số không quá 0,00000000003 (độ chính xác tuyệt vời).

Nhưng trong tất cả những thành tựu của Leonardo, nhân loại vô ơn ngày nay chỉ nhớ đến bài toán sau đây từ “Sách bàn tính”:

“Có người đặt một cặp thỏ ở một nơi nào đó, có rào chắn bốn phía, nhằm tìm hiểu xem trong năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ sinh ra, nếu tính chất của thỏ là trong một tháng một cặp thỏ sẽ sinh ra một cặp khác, và từ tháng thứ hai sau khi sinh ra sẽ sinh ra một con thỏ”.

Rõ ràng là nếu coi cặp thỏ đầu tiên là thỏ sơ sinh (Leonardo không đưa ra giả định này, tuy nhiên điều này ít ảnh hưởng đến kết quả), thì đến tháng thứ 2 chúng ta vẫn sẽ có 1 cặp; vào tháng thứ 3 - 1 + 1 = 2; vào ngày thứ 4 - 2 + 1 = 3 cặp (và trong số hai cặp có sẵn, con của ngày chỉ có một cặp); vào ngày thứ 5 - 3 + 2 = 5 cặp (chỉ có hai cặp sinh vào tháng thứ 3 sinh con vào tháng thứ 5); vào tháng thứ 6 - 5 + 3 = 8 cặp (vì chỉ những cặp sinh vào tháng thứ 4 mới sinh con), v.v. Do đó, nếu chúng ta chỉ định số lượng cặp

17

thỏ có ở vị trí thứ $n$ đến $f_k$, rồi $f_1=1, f_2=1, f_3=2, f_4=3, f_5=5, f_6=8$, v.v. và việc hình thành các số này được quy định bởi một quy luật chung:

$$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$$ cho tất cả $n>2$ (1)

• xét cho cùng, số cặp thỏ $f_n$ ở vị trí thứ $n$ bằng số cặp thỏ ở vị trí thứ $f_{n-1}$ sau số cặp thỏ mới sinh ra, trùng với số cặp thỏ $f_{n-2}$ sinh ra ở vị trí thứ $(n-2)$ (chỉ những cặp thỏ này mới sinh con).

Các số $f_n$ tạo thành dãy 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …, được gọi là số mới và có nhiều tính chất đáng ngạc nhiên. Hãy liệt kê một số trong số họ. Người đọc có thể xem bằng chứng của họ dưới dạng bài toán:

1. $f_1+f_2+\dots+f_n=f_{n+2}-1$.
2. a) $f_1+f_3+f_5+\dots+f_{2n-1}=f_{2n}$,

6. $f_2+f_4+f_6+\dots+f_{2n}=f_{2n+1}-1$.

3. $f_1^2+f_2^2+\dots+f_n^2=f_nf_{n+1}$.
4. a) $f_{2n}=f_{n+1}^2-f_{n-1}^2$,

6. $f_{3n}=f_{n+1}^3+f_n^3-f_{n-1}^3$.

5. $f_n^2=f_{n-1}f_{n+1}-(-1)^n$.
6. $f_{n+m}=f_{n-1}f_m+f_nf_{m+1}$.
7. $f_n$ chẵn ⇔ chia hết cho 3.
8. $f_n$ chia hết cho 7 ⇔ chia hết cho 8.
9. $f_n$ chia hết cho $f_m$ ⇔ $n$ chia hết cho $m$.

Danh sách này có thể được tiếp tục. Bạn đọc quan tâm sẽ tìm thấy nhiều điểm hay khác (tính chất của số $f_n$) trong các cuốn sách phổ biến có tên ở cuối bài, một phần trong các tài liệu quảng cáo và sách thay thế của N. N. Vorobyov. Hai tài sản nữa được M.I. gửi đến «Kvant». Zankin có thể được xem trên trang. 14 của con số này.

Mối quan hệ lặp lại (1) giúp dễ dàng tính toán tuần tự các số $f_1, f_2, f_3, \dots$. Nhưng có biểu thức rõ ràng nào cho tổng số $f_n$ của dãy Fibonacci mà không yêu cầu kiến ​​thức về các số hạng trước đó không? Ngoài ra còn có một điều hoàn toàn bất ngờ. Thẩm phán cho chính mình:

$$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right].$$

Phân tích chi tiết về bằng chứng có sẵn trong Vorobyov, cũng như trong tài liệu quảng cáo của A. I. Markushevich, đọc trong danh sách tài liệu tham khảo; xem thêm «Kvant» 1982, số 1, tr. 19.

Sự phổ biến của số Fibonacci đặc biệt tăng lên trong những năm gần đây, gắn liền với những thay đổi nhất định trong toán học, đặc biệt là tầm quan trọng ngày càng tăng của tổ hợp và các bài toán liên quan đến số nguyên. Một vai trò nổi bật ở đây là sự xuất hiện bất ngờ của các số Fibonacci trong một số nghiên cứu quan trọng gần đây, chẳng hạn như những nghiên cứu về những con số này không liên quan đến nhau. Trước hết, chúng tôi muốn nói đến lời giải giật gân của học sinh lớp Leningrad trẻ tuổi Yury Matiyasevich về cái gọi là bài toán Hilbert thứ mười*, cũng như sự xuất hiện của các số Fibonacci trong một số hướng của toán học ứng dụng (tối ưu hóa) hiện đại lấy cảm hứng từ Richard Bellman người Mỹ.

Số Fibonacci không xuất hiện ở đâu! Chúng có những ứng dụng hình học đẹp mắt, những ứng dụng quan trọng trong sinh học thực vật: ví dụ như trong việc sắp xếp lá của một số loài cây trên cành, trong cấu trúc của vảy dứa hay sắp xếp các hạt hướng dương (hiện tượng Phylotaxis; xem «Kvant», 1979, số 5, trang 53). Vấn đề về một chiến lược tự động hóa tối ưu, muốn tìm ra tốc độ ô tô có lợi nhất cho anh ta, tức là tốc độ mà nó tiêu thụ ít xăng nhất trên mỗi km đã đi, cũng dẫn đến số Fibonacci - giờ đây có thể thấy ngay mối quan hệ của những con số này với bài toán như vậy!

Bạn không thể liệt kê tất cả mọi thứ. Chúng tôi cũng sẽ đề cập đến việc phát triển một chiến lược tối ưu trong trò chơi dân gian cổ đại Yianshizi của Trung Quốc, bạn có thể đọc ở trang này. 18 của vấn đề này.

Tài liệu tham khảo

1. Vorobyov N.N. Số Fibonacci, tái bản lần thứ nhất, M. - Leningrad: Gostekhidat, 1951; Tái bản lần thứ 4, M.: Nauka, 1978.
2. Markushevich A.I. Trình tự trả về, M.: Nauka, 1979.
3. Shklyarsky D. O., Chentsov N. N., Yaglom I. I. Selected bài toán và các định lý của toán học sơ cấp (số học và đại số), M.: Nauka, 1976.
4. Dynkin E. B., Uspensky V. A. Đối thoại toán học, M. - L.: Gostekhidat, 1952.
5. Stakhov A.P. Lý thuyết thuật toán trộn, M.: Znanie, 1979.

• Xem «Kvant», 1971, số 11, tr. 31.

18

“Nữ hoàng vào góc”, “Jianshi” và các con số Fibonacci

A. Y. MATULIS, A. Y. SAVUKINAS

Chúng tôi muốn giới thiệu với bạn một ứng dụng khác khá bất ngờ của số Fibonacci, được mô tả trong bài viết của I. M. Yaglom trên trang. Tạp chí số này ngày 15-18.

Chúng ta sẽ thấy rằng các số Fibonacci giúp xây dựng lý thuyết về trò chơi Jianshizi cổ xưa của Trung Quốc và trò chơi liên quan Queen to Corner. Trò chơi này đã được I.M. Yaglom dành cho một bài viết («Kvant», 1971, Số 2, trang 4) và A. Orlov («Kvant», 1977, Số 3, trang 41).

Ở đây chúng tôi phác thảo một cách tiếp cận hơi khác đối với lời giải so với bài toán tương tự.

“Jianshitsy” và “Nữ hoàng trong góc”

Các điều kiện của trò chơi cổ xưa “Jianshitsi” (những viên đá được chọn) như sau. Có hai đống đá (hoặc một số đồ vật khác, chẳng hạn như diêm). Hai người chơi lần lượt chọn đá từ các cọc này và trong một nước đi, bạn có thể lấy số lượng đá từ một (bất kỳ góc nào) hoặc bằng nhau từ cả hai cọc cùng một lúc. Người nào lấy được viên đá cuối cùng sẽ thắng.

Chúng ta cần tìm ra trò chơi đôi bên cùng có lợi.

Đặt một viên đá ở một đống và b những viên đá ở đống thứ hai. Chúng ta hãy ghép các số (a, b) với bình phương của bàn cờ (vô hạn!) Như trong Hình 1 và đặt quân hậu vào ô vuông (a, b).

Dễ dàng nhận thấy mỗi nước đi trong trò chơi “Jianshitsi” tương ứng với một nước đi nhất định của quân hậu: nếu người chơi lấy k quân từ cọc đầu tiên thì quân hậu di chuyển k ô vuông sang trái; nếu người chơi lấy l viên đá từ đống thứ hai, quân hậu sẽ di chuyển l ô xuống; nếu anh ta lấy m viên đá từ mỗi đống, quân hậu sẽ di chuyển m ô vuông theo đường chéo sang trái và xuống dưới.

Vì vậy, cùng với trò chơi “Jianshitsi”, chúng ta có thể coi trò chơi “Quân hậu trong góc” với luật chơi: có một con hậu trên một bàn cờ vô hạn. Hai người chơi lần lượt di chuyển quân hậu sao cho quân hậu tiến đến ô vuông góc (0, 0), tức là trong một nước đi, quân hậu có thể di chuyển quân hậu bất kỳ số ô nào sang trái, xuống dưới hoặc theo đường chéo sang trái và xuống. Người chiến thắng là người đưa được quân hậu ra sân (0, 0).

Hình 1 hiển thị diễn biến của trò chơi bắt đầu trong ô (12, 14), trong đó mũi tên màu đỏ biểu thị bước đi của người chơi đầu tiên và mũi tên màu xanh biểu thị bước đi của người chơi thứ hai; Người chơi đầu tiên đã thắng ở đây.

Rõ ràng là bất kỳ trò chơi nào của trò chơi “Jianshitsi” đều tương ứng với một trò chơi nhất định của trò chơi “Nữ hoàng vào góc”, và trò chơi của trò chơi “Nữ hoàng vào góc” tương ứng với trò chơi “Jianshitsi”. Vì vậy, sau này chúng ta sẽ chỉ nói về trò chơi “Nữ hoàng vào góc”.

Mất ruộng

Hình 2 cho thấy một bàn cờ vô hạn trên đó một số trường được đánh dấu bằng dấu “—”. Chúng ta cũng sẽ gọi những trường này là trường bị mất. Không khó để nhận thấy rằng nếu một trong các người chơi đặt quân Hậu của mình lên ô vuông bị dịch chuyển sau mỗi nước đi thì người đó sẽ thắng.

Trên thực tế, không thể di chuyển từ bất kỳ ô bị dịch chuyển nào bằng cách di chuyển quân hậu đến một ô bị dịch chuyển. Ví dụ: từ bất kỳ trường không được dịch chuyển nào, bạn có thể di chuyển đến trường bị dịch chuyển chỉ bằng một lần di chuyển. Do đó, bằng cách đặt quân hậu của bạn vào một ô bị dịch chuyển, bạn buộc đối thủ của mình phải rút lui khỏi ô bị dịch chuyển. Ở nước đi tiếp theo, bạn có thể bước lại vào ô đã dịch chuyển (gần trường (0, 0), v.v.. Cuối cùng, bạn sẽ bước lên ô đã dịch chuyển (0, 0) và giành chiến thắng.

Bạn có thể chỉ định các quy tắc để thu được các trường offset một cách nhất quán. Đầu tiên trường (0, 0) bị xóa. Trường này có thể đạt được từ bất kỳ trường dọc a=0, ngang b=0 và đường chéo a=b. Các trường chưa được kiểm tra gần nhất là các trường (1, 2) và (2, 1). Có thể truy cập một trong các trường này từ bất kỳ trường dọc nào a=1, a=2, ngang

21

Định lý chính

Bây giờ chúng ta có thể quên tất cả những cân nhắc đã dẫn chúng ta đến biểu thức viết cho các trường bị mất ($a_n, b_n$) và ngay lập tức hình thành định lý chính sau đây.

Định lý 1. Cho $u = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $v = u^2 = u + 1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Trường $(a, b)$, trong đó $b > a$, bị mất khi và chỉ nếu có một số tự nhiên $n$ sao cho $a = [nu], b = [nv]$. Nếu $n$ tự nhiên như vậy không tồn tại thì vị trí đó sẽ thắng.

Bằng chứng. Hãy xem xét chuỗi các điểm

$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), \dots, (a_n, b_n), \dots,$$

trong đó $a_n = [nu], b_n = [nv]$ và chứng minh rằng chuỗi này thỏa mãn tính chất 1 và 2 (xem trang 19). Hãy bắt đầu với thuộc tính 1.

Trước tiên, hãy đảm bảo rằng tất cả các số $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots$ đều khác biệt. Các số $a_i = [iu]$ khác nhau và $u > 1$ cũng vậy. Vì lý do tương tự ($v > 1$) nên các số $b_j = [jv]$ khác nhau. Giả sử rằng hai số $a_j$ và $b_j$ giống nhau. Điều này có nghĩa là $[iu] = [jv] = k$. Do đó, $iu = k + \delta$, trong đó $0 < \delta_1 < 1$, $jv = k + \delta_2$, trong đó $0 < \delta_2 < 1$. Chia đẳng thức thứ nhất cho $u$, đẳng thức thứ hai cho $v$, rồi cộng các đẳng thức thu được, chúng ta thu được đẳng thức

$$i + j = \frac{k}{u} + \frac{k}{v} + \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v} = k + \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v},$$

từ đó nó theo sau đó

$$0 < i + j - k = \frac{\delta_1}{u} + \frac{\delta_2}{v} < \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 1,$$

điều này là không thể, vì số $i + j - k$ là số nguyên.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều xuất hiện trong dãy $a_1, b_1, a_2, b_2, \dots, a_n, b_n, \dots$.

Cho $N$ là một số tự nhiên tùy ý.

Có chính xác $\left[ \frac{N}{u} \right]$ số $a_i = [iu]$, nhỏ hơn $N$. (Đây là những số có số $i = 1, 2, \dots, \left[ \frac{N}{u} \right]$.) Chính xác là $\left[ \frac{N}{v} \right]$ số $b_j = [jv]$, nhỏ hơn $N$. (các số có số $j = 1, 2, \dots, \left[ \frac{N}{v} \right]$.) Tổng cộng có $a_i$ và $b_j$, nhỏ hơn $N$, nên có $\left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right]$, và vì $\frac{N}{u}$ và $\frac{N}{v}$ không phải là số nguyên, $\frac{N}{u} - 1 + \frac{N}{v} < \left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] < \frac{N}{u} + \frac{N}{v}$, nghĩa là

$$N - 2 < \left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] < N.$$

Vì vậy, $\left[ \frac{N}{u} \right] + \left[ \frac{N}{v} \right] = N - 1$. Nhưng điều này có nghĩa là có chính xác số có dạng $a_i$ và $b_j$, nhỏ hơn $N$, cũng như số tự nhiên, nhỏ hơn $N$. Vì các số $a_i$ và $b_j$ đều khác nhau nên tính chất 1 của dãy $(a_1 b_1), (a_2 b_2), \dots, (a_n b_n)$, … được chứng minh.

Tính chất 2 có thể dễ dàng chứng minh:

$$b_n - a_n = [vn] - [un] = [(u + 1)n] - [vn] - [un] = [nu] + n - [un] = n.$$

Như vậy định lý chính đã được chứng minh hoàn toàn.

Dãy số Fibonacci xuất hiện

Theo định lý chính, để xác định cặp thua có số $n$, người ta phải nhân $n$ với một số vô tỷ được cho dưới dạng phân số thập phân vô hạn. Có thể bạn chưa rõ phép nhân như vậy, đặc biệt nếu bạn không có máy cộng. Làm thế nào để xác định cặp thua $(a_n, b_n)$ thường chỉ bằng các phép tính trên số tự nhiên?

Thuộc tính sau đây của các cặp bị mất có thể phục vụ mục đích này:

3. Nếu $(a_n, b_n)$ là một cặp tùy ý thì các cặp $(b_n - 1, a_n + b_n - 1)$ và $(b_n + 1, a_n + b_n + 2)$ cũng là cặp tùy ý.

Hơn nữa, dựa trên trường ban đầu $(0, 0)$ hoặc trường đầu tiên $(1, 2)$, chúng ta có thể xây dựng, sử dụng thuộc tính 3, tất cả các cặp thua.

Hãy trình bày cách chứng minh tính chất 3.

Bài tập 2. Chứng minh rằng khi thua cặp $(a_n, b_n)$ và $(a_{n+1}, b_{n+1}): 2 \leq b_{n+1} - b_n \leq 3$ và $1 \leq a_{n+1} - a_n \leq 2$.

Từ kết quả của Bài tập 2 cho thấy các số $b_n - 1$ và $b_n + 1$ không phải là số lượng lớn các cặp thua. Theo tính chất 1, tồn tại $k$ và $l$ sao cho $a_k = b_n - 1$, $a_l = b_n + 1$. Hãy xem $k$ và $l$ bằng bao nhiêu.

Theo tính chất 2, số lượng của bất kỳ cặp nào đều bằng nhau giữa số lớn hơn và số nhỏ hơn của cặp này.

Mặt khác, từ tính chất 1, suy ra rằng số của bất kỳ cặp bị hủy $(a_k, b_k)$ và đẳng thức của nó đều nhỏ hơn số $a_k$ và số của tất cả các cặp khác 0 $b_l < a_k$. Tại $a_l = b_n - 1$ số lượng các số $b_l$ nhỏ hơn số $a_l$ là $n - 1$. Điều này có nghĩa là $k = b_n - 1 - (n - 1) = a_n$. Vì vậy, cặp $(b_n - 1, b + a_n - 1)$ được đánh dấu.

Bài tập 3. Chứng minh rằng cặp $(b_n + 1, a_n + b_n + 2)$ hủy được với mọi cặp hủy $(a_n, b_n)$.

Bài tập 4. Chứng minh rằng bất kỳ cặp xuất sắc $(a_n, b_n)$ nào cũng có thể thu được từ cặp $(0, 0)$ hoặc cặp $(1, 2)$ bằng cách áp dụng tuần tự một số thao tác được mô tả bởi Tính chất 3.

(Cuối cùng xem trang 29)

22

Một bước nữa hướng tới độ không tuyệt đối

Ứng viên
khoa học vật lý và toán học
A. I. BUZDIN

Gần đây, các nhà khoa học Nhật Bản tại Đại học Tokyo đã lập kỷ lục mới về việc thu được nhiệt độ cực thấp. Họ đã đạt được nhiệt độ vượt quá độ không tuyệt đối chỉ bằng 27 phần triệu kelvin (27 μK).

Tất nhiên, việc thu được nhiệt độ cột không phải là mục đích cuối cùng. Tiến tới độ không tuyệt đối cho phép chúng ta khám phá các hiện tượng vật lý mới, nghiên cứu hành vi của các pha bất thường của vật chất và cuối cùng, hiểu rõ hơn về bản chất của các tương tác vật lý khác nhau.

Khi người ta thu được helium lỏng vào đầu thế kỷ này và người ta có thể làm việc với nhiệt độ ở mức vài kelvin, những hiện tượng cơ bản mới như tính siêu dẫn và, sau đó không lâu, tính siêu chảy đã được phát hiện.*)

Trong một thời gian dài người ta tin rằng vùng siêu dòng chỉ là đồng vị của helium có khối lượng thứ 4 (helium-4). Trong thập kỷ qua, các hệ thống lắp đặt đã được tạo ra trong đó có thể đạt được nhiệt độ khoảng

một nghìn kelvin (1 mK), cho phép quan sát tính siêu chảy của một đồng vị helium khác - với khối lượng thứ ba (helium-3). Hóa ra, sự chuyển đổi của helium-3 sang trạng thái siêu dòng (ở nhiệt độ gần 1 mK) có một đặc điểm khác về cơ bản so với sự xuất hiện (ở $T \approx 2,2$ K) của tính siêu chảy trong helium-4. Khám phá này đánh dấu một hướng đi mới trên bề mặt, cho phép chúng ta mở rộng hiểu biết về vật lý nhiệt độ thấp.

Bây giờ đến lượt phạm vi nhiệt độ microkelvin. Bạn có thể mong đợi điều gì khi bước vào lĩnh vực mới này? Về nguyên tắc, những lời kêu gọi xã hội liên quan đều có thể thực hiện được. Ví dụ, các nhà khoa học đang trả tiền trước để khám phá tính siêu dẫn của một số kim loại thông thường (vàng, bạch kim); Hơn nữa, người ta phát hiện ra rằng chất siêu dẫn này sẽ có đặc tính khác với đặc tính được quan sát cho đến nay.

Cần lưu ý rằng mỗi bước mới hướng tới độ không tuyệt đối đều gắn liền với những khó khăn to lớn về kỹ thuật và kỹ thuật, vì việc tạo ra các kỹ thuật làm mát mới là cần thiết. Hãy nói một chút về một trong số họ.

Kỷ lục nhiệt độ mà chúng ta đang nói đến đã đạt được bằng cách sử dụng liên tiếp nhiều phương pháp làm mát khác nhau. Ở giai đoạn cuối, phương pháp khử từ hạt nhân đã được sử dụng. Bản chất của nó là như sau. Hạt nhân nguyên tử có phần giống như những nam châm nhỏ, do chuyển động nhiệt nên được định hướng

23

Nếu như
Theo dõi
đã biết vật lý…
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. M. SANDLER

“Lấy một viên đạn nhẹ hơn, và phát bắn của bạn sẽ chính xác…” “Uncas, cậu bé, cậu đang lãng phí thuốc súng và đổ quá nhiều. Súng giật và viên đạn bay kém… Viên đạn của cậu bắn cao hơn hai inch…” Những lời này thuộc về người anh hùng trong tiểu thuyết của Cooper, thợ săn Nathanizl Bumpo. Đánh giá qua tiểu thuyết, anh ta thực sự là một thợ săn đáng chú ý. Nhưng lời khuyên của ông chính xác đến mức nào xét theo quan điểm vật lý? Liệu một viên đạn nhẹ hơn và không quá nhiều bột có thực sự cải thiện được độ chính xác của phát bắn? Chúng ta hãy cố gắng hiểu vấn đề này.

Đầu tiên, cần nhớ rằng cảnh quay luôn đi kèm với sự tách biệt. Nếu báng súng tựa vào viên đạn của người bắn thì khi bắn, súng sẽ “đẩy” viên đạn đó. Một người quan sát chăm chú sẽ nhận thấy rằng cùng lúc viên đạn được đẩy vào viên đạn, mũi tên hướng lên trên khi bắn - súng quay quanh điểm nó được bắn.

Nó trúng đạn. Điều này cũng được giải thích riêng.

Để hiểu tất cả điều này xảy ra như thế nào, hãy tham khảo Hình 1. Phần OB là nòng súng, phần OA là báng súng, tại điểm A súng nằm trên viên đạn của người bắn. Áp suất của khí bột tác dụng lên viên đạn chuyển động trong nòng. Súng theo phương ngang chịu tác dụng cùng độ lớn abscylotic, hướng theo hướng ngược lại. Hình chiếu fcos α của lực này xác định lực đẩy vào viên đạn, và hình chiếu fsin α tạo ra mômen khiến súng quay quanh điểm A. Chúng ta sẽ giả sử rằng vai của người bắn là bất động (theo ước tính đầu tiên thì điều này đúng, vì thời điểm bắn

Hình 1.

24

la nhỏ và khối lượng của người bắn có thể coi là khá lớn).

Rõ ràng là lực áp suất của khí bột phụ thuộc vào lượng thuốc súng thoát ra trong quá trình bắn. Điện tích bột càng lớn thì áp suất càng lớn, lực $f$ càng lớn (xem Hình 1) và tốc độ viên đạn đạt được khi di chuyển trong nòng càng lớn. Mặt khác, lực $f$ càng lớn thì mômen quay do hình chiếu $f$ sin $\alpha$ của nó càng lớn và độ lệch của nòng so với phương ngang khi bắn càng lớn. Chúng ta sẽ cố gắng ước tính độ lệch này và thảo luận xem nó phụ thuộc như thế nào vào khối lượng và tốc độ của viên đạn.

Chúng tôi sẽ xem xét một “mô hình” đơn giản hóa bài toán và các tính toán của chúng tôi không thể được coi là chính xác lời giải bài toán về cơ chế của súng khi bắn. Chúng ta có thể đánh giá mức độ đúng đắn của lý luận định tính của mình bằng tính hợp lý của các ước tính định lượng mà chúng đưa đến.

Để biểu thị các đẳng thức gần đúng, chúng ta sử dụng ký hiệu $\sim$; Ký hiệu này thường được sử dụng khi nói về sự so sánh theo thứ tự độ lớn$^*$).

Hình 2 và 3 thể hiện vị trí của súng tại thời điểm ban đầu (nòng súng ngang) và thời điểm viên đạn rời đi. Điểm $A$ như đã đề cập ở trên, có thể coi là điểm dừng. Trọng tâm của súng ở điểm $O$. Chúng ta biểu thị chiều dài của thùng bằng chữ cái $L$ và khoảng cách $AO$ bằng $l$. Góc giữa $L$ và $l$ là $\alpha$, góc lệch của nòng súng tại thời điểm viên đạn rời nòng súng là $\varphi$. Lực ép trung bình của khí bột tác dụng lên viên đạn bằng $f$, viên đạn chuyển động trong nòng súng có gia tốc nhưng thuận tiện cho chúng ta sử dụng vận tốc trung bình của viên đạn để đánh giá; hãy biểu thị nó $\bar{v}_n$. Thời gian bắn $t$ là thời gian viên đạn di chuyển dọc nòng súng; Sau đó

$$\bar{v}_n\tau \sim L.$$ (1)

Nói chung, chuyển động quay của nòng súng cũng không đồng đều, nhưng bạn có thể tính được vận tốc góc trung bình $\bar{\omega}$;

$$\bar{\omega} \sim \frac{f \sin \alpha - Mg \cos \alpha}{M},$$ (4)

$$\bar{v}_p \sim \bar{a}_p \tau$$ (5)

(ở đây $M$ là khối lượng của súng). Bạn có thể tận dụng ngay thực tế là các giá trị điển hình của $\alpha$ không lớn ($\alpha \leq 2 \cdot 10^{-1}$ rad) và đếm $\sin \alpha \approx \alpha$, $\cos \alpha \approx 1$. Sau đó, từ các công thức (2)–(5) viết ở trên dễ dàng thu được

$$\varphi \sim \frac{L}{l} \left( a \frac{m}{M} - \frac{g L}{\bar{v}_n^2} \right).$$ (6)

25

Bây giờ chúng ta hãy xem công thức tăng dần (6). Khi suy luận, chúng tôi không dạy rằng trước khi bắn, ở đâu đó gần điểm $O$, tay người thợ săn vẫn cầm súng. Nhưng chúng ta quan tâm đến độ lệch hướng lên của nòng súng, và nếu tay của người thợ săn không chạm tới, thì trong tình huống mô hình mà chúng ta đang xem xét, chúng ta có thể giả định rằng khẩu súng đã “rớt” khỏi tay đỡ vào đúng thời điểm bóp cò. Do đó, trong công thức (4) và (6) chỉ tính đến các lực $\vec{f}$ và $M\vec{g}$. Tác dụng của lực $\vec{f}$ dọc theo hướng $OA$ (hình chiếu $f$ cos $\alpha$) bị vai của người bắn “dập tắt” (tác dụng sau lên súng có cùng độ lớn nhưng lực hướng ngược nhau).

Lựa chọn tiếp theo của chúng ta dựa trên việc súng “nhảy” lên trên; điều này có nghĩa là số hạng đầu tiên trong ngoặc ở công thức (6) lớn hơn số hạng thứ hai, nghĩa là

$$\alpha \frac{m}{M} > \frac{gL}{\bar{v}_n^2}$$

và do đó

$$\bar{v}_n > \left( \frac{MgL}{\alpha m} \right)^{1/2}.$$

Bây giờ chúng ta hãy thử ước tính bằng số. Gọi khối lượng súng là $M \sim 5$ kg, chiều dài nòng súng $L \sim 1$ m, khối lượng đạn $m \sim 10$ g, $\alpha \sim 2 \cdot 10^{-1}$ rad. Dễ dàng nhận thấy rằng bất đẳng thức (7) dẫn đến giá trị $\bar{v}_n > 100$ m/s. Tốc độ thực của vũ khí quân sự là $\sim 600$—800 m/s. Vì vậy, chúng tôi tin rằng số hạng thứ hai trong công thức (6) nhỏ hơn số hạng thứ nhất và theo thứ tự độ lớn

$$\varphi \sim \alpha \frac{m}{M} \frac{L}{l} \sim 0,2 \frac{m}{M} \frac{L}{l}.$$

Từ (8), suy ra rằng $\alpha$ càng nhỏ thì việc bắn càng chính xác. Vì vậy, sẽ tốt hơn nếu súng trông giống như một cây gậy không cong? Tất nhiên là không. Chúng ta không được quên rằng công thức (8) chỉ đúng khi số hạng đầu tiên trong (6) vượt quá số hạng thứ hai. Ngoài ra còn có một lý do hoàn toàn thực tế - một khẩu súng có góc rất nhỏ $\alpha$ rất khó bắn, đơn giản là việc ngắm bắn bằng nó rất bất tiện.

Nếu chúng ta lấy $(m/M) \sim 10^{-3}$ và tính đến $L/l \sim 1$ đó, thì đối với góc $\varphi$, chúng ta sẽ nhận được ước tính $\varphi \sim 10^{-3}$ rad. Điều này có nghĩa là gì? Với giá trị này là $\varphi$ ở khoảng cách khoảng 100 m, viên đạn sẽ lệch lên trên so với điểm ngắm khoảng 10 cm (đương nhiên, nếu không có lý do nào khác để bắn trượt và nếu hiện tại nó bị phân tâm do ảnh hưởng của trọng lực lên viên đạn đang bay).

Vì vậy, như đánh giá của chúng tôi đã cho thấy, vô lăng nhẹ thực sự giúp cải thiện độ chính xác khi chụp. Độ lệch của viên đạn so với mục tiêu đã thảo luận ở trên không phụ thuộc vào khối lượng thuốc nổ.

Cho đến nay, chúng ta chỉ thảo luận về câu hỏi làm thế nào để tính toán độ lệch của súng so với đường ngắm (trong trường hợp của chúng ta là so với phương ngang) trong khi tay lái đang di chuyển trong nòng súng. Chính độ lệch này là điều cần thiết để đảm bảo độ chính xác khi chụp. Nhưng ngay cả khi tay lái đã rời nòng súng, bản thân súng vẫn tiếp tục chuyển động hướng lên trên, tốc độ trọng tâm của súng không bằng không. Hãy thử tự ước tính xem súng sẽ lệch thêm góc bao nhiêu sau khi bánh lái rời khỏi nòng súng. (Trong số tiếp theo của tạp chí, chúng tôi sẽ giới thiệu lời giải trong số bài toán này.)

Bây giờ chúng ta quay lại câu hỏi về tốc độ đạn và kích thước của lượng thuốc súng. Chúng tôi đã nói rằng thợ săn đổ càng nhiều thuốc súng thì tốc độ đạn càng lớn. Điều này có liên quan gì đến độ chính xác khi chụp? Chúng ta cũng phải tính đến việc bánh lái bị lệch xuống trong quá trình bay, điều này là do tác động của trọng lực. Tất nhiên, độ lệch này phụ thuộc vào tốc độ của viên đạn và tầm bắn của mục tiêu. Nếu bánh lái bay ra khỏi súng theo chiều ngang thì độ lệch của nó được xác định theo công thức $gt^2/2$, trong đó $t$ là thời gian bay. Đếm $t \sim (X/\bar{v}_n)$, trong đó $X$ là phạm vi mục tiêu, ước tính độ lệch $gt^2/2 \sim gX^2/2\bar{v}_n^2$ tại $\bar{v}_n \sim 8 \cdot 10^2$ m/s và $X \sim 100$ m. Bạn sẽ thấy viên đạn cũng lệch xuống dưới vài cm ($\sim 10$ cm). Về nguyên tắc, độ lệch được xác định bởi góc $\varphi$ và độ lệch dưới tác dụng của trọng lực thậm chí có thể bù trừ cho nhau ở mức độ này hay mức độ khác. Hiện tại người ta hiểu rằng độ cong của súng ($\varphi$) là hợp lý về mặt cấu trúc.

Và bây giờ độc giả có thể lại suy ngẫm câu hỏi liệu Pathfinder có biết vật lý hay không.

26

Về búa nước

Ứng viên khoa học kỹ thuật
E. M. VOINOV

Vào cuối thế kỷ 19, các trường hợp vỡ đường ống cấp nước của thành phố trở nên thường xuyên hơn ở Moscow và tai nạn dịch vụ tại các trạm thủy lực đã xảy ra nhiều lần. Không có nguyên nhân rõ ràng nào cho các sự kiện, và vào năm 1897, nhà khoa học vĩ đại người Nga Nikolai Egorovich Zhukovsky bắt đầu nghiên cứu vấn đề này. Kết quả là tác phẩm kinh điển hiện nay “Về cú sốc thủy lực trong đường ống nước” đã xuất hiện, trong đó Zhukovsky đã đưa ra một lời giải bài toán cực kỳ rõ ràng, được đưa vào ứng dụng trực tiếp vào thực tế. Ông đã chỉ ra về mặt lý thuyết và sau đó xác minh bằng thực nghiệm rằng khi các thiết bị ngắt nhanh chóng được đóng lại và do đó, chuyển động của nước qua đường ống nhanh chóng bị dừng lại, áp suất trong đường ống tăng mạnh. Hiện tượng này gọi là búa nước, khiến đường ống bị vỡ. Chúng ta hãy làm quen với anh ấy chi tiết hơn.

N. E. Zhukovsky đề xuất rằng áp suất trong đường ống tăng mạnh là do chuyển động không ổn định của chất lỏng. Ông đi đến kết luận rằng trong quá trình tăng áp suất trong đường ống sau khi khử sơn nhanh, tất cả chất lỏng trong đường ống đều tham gia vào dòng chảy và động năng của nó được chuyển thành thế năng biến dạng đàn hồi của chính chất lỏng (nghĩa là dẫn đến áp suất tăng mạnh trong nó), và cũng được dùng vào công việc biến dạng đàn hồi của thành ống. Hãy để chúng tôi giải thích quá trình này xảy ra như thế nào.

Cho chất lỏng chảy từ một bình chứa lớn (Hình 1) qua một đường ống đủ dài với tốc độ $v_0$. Ở cuối đường ống có một van có thể đóng đường ống nhanh chóng ( “nhanh” nghĩa là gì chúng tôi sẽ giải thích sau). Khi van đóng nhanh, tại thời điểm đầu tiên, một lớp chất lỏng nhất định nằm ở mặt trước của van và lên đến bình chứa sẽ dừng lại. Hiển nhiên ranh giới của vùng áp suất cao sẽ dịch chuyển theo cùng một hướng. Điều quan trọng cần nhớ là trong trường hợp này, tất cả các lớp chất lỏng vẫn giữ nguyên vị trí của chúng, chỉ trộn với một lượng không đáng kể, được xác định bởi giá trị biến dạng đàn hồi của mỗi lớp. Có sự chuyển trạng thái biến dạng từ lớp này sang lớp khác và sự lan truyền liên quan của một vùng có áp suất tăng dọc theo đường ống. Như người ta nói, một làn sóng áp lực lan rộng.

Bây giờ chúng ta hãy xác định giá trị lớn nhất của chuyển động không ổn định của chất lỏng. Để làm điều này, hãy chọn một lượng nhỏ chất lỏng gần van (đây là lớp đã thảo luận ở trên). Đặt diện tích của ống là $S$ và độ dày của lớp $\Delta x$; thì thể tích chất lỏng được phân bổ là $S \cdot \Delta x$ và khối lượng của nó là $m = \rho S \cdot \Delta x$. Trong thời gian ngắn $\Delta t$ mà cái này dừng lại, nó mất đà $\Delta (mv_0) = \rho S \cdot \Delta x \cdot \Delta v_0$, dẫn đến áp suất trong nó tăng lên $\Delta p$. Theo định luật thứ hai của Newton, sự thay đổi động lượng của lớp này được xác định bởi động lượng của lực ép sinh ra $F = S \cdot \Delta p$, tức là

$$F \cdot \Delta t = \Delta p \cdot S \cdot \Delta t = \rho S \cdot \Delta x \cdot v_0.$$

Từ đây

$$\Delta p = \rho v_0 \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right).$$

27

Đại lượng $c = \frac{\Delta x}{\Delta t}$ bao gồm trong biểu thức này là tốc độ truyền của ranh giới vùng áp suất cao (biến dạng) trong chất lỏng của ống nước. Như N.E. Zhukovsky cho thấy, giá trị này phụ thuộc vào đặc tính đàn hồi của bản thân chất lỏng và vật liệu của thành ống, cũng như tỷ lệ giữa độ dày của thành ống và đường kính của nó. Hóa ra, đối với việc sử dụng bình thường trong các đường ống bằng thép và gang khi nước chảy qua chúng, tốc độ này gần với tốc độ âm thanh trong nước $c_{3B} = 1450$ m/s và bằng $c = 0,9c_{3B} \approx 1300$ m/s. Như vậy,

$$\Delta p = \varrho v_0 c.$$

Chúng tôi đã thu được công thức nổi tiếng của N. E. Zhukovsky về áp suất dư phát sinh khi chất lỏng chảy nhanh qua đường ống thoát ra nhanh chóng. Hiện tượng thay đổi mạnh về áp suất chất lỏng do sự thay đổi bên ngoài về tốc độ dòng chảy của nó được gọi là búa nước.

Bây giờ hãy hỏi việc đóng van nhanh cần được hiểu là gì. Để làm điều này, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn quá trình truyền sóng áp suất qua đường ống. Nếu đường ống có chiều dài $L$ thì thời gian lan truyền vùng áp suất cao từ van đến bình chứa là $t_1 = L/c$. Khi sóng này (thường được gọi là chấn động) đến bể chứa, hai lớp chất lỏng có áp suất khác nhau tiếp xúc ở ranh giới của đường ống và bể chứa: một lớp nằm ở thành bể chứa với áp suất $p_0$ và lớp kia nằm trong đường ống với áp suất $p_{yd} = p_0 + \Delta p$. Vì trong những điều kiện như vậy, không thể có trạng thái cân bằng ở ranh giới của những từ này, nên một lượng nhỏ chất lỏng từ đường ống sẽ chảy vào bình chứa và áp suất trong đoạn ống này được hiểu là bằng áp suất $p_0$.

Trạng thái áp suất giảm này (so với áp suất $p_{yd}$ trong đường ống) bắt đầu lan truyền theo hướng ngược lại - từ bể đến van, đạt đến sau một thời gian $t_2 = 2L/c$ kể từ thời điểm van đóng. Tại thời điểm $t_2$, áp suất ban đầu $p_0$ được thiết lập trong toàn bộ đường ống. Tuy nhiên, tại thời điểm sóng giảm áp suất $p_0$ đến chính van, lớp chất lỏng liền kề với nó có xu hướng bị xé ra khỏi nó, dẫn đến áp suất trong nó giảm xuống một giá trị nhất định $p_1 < p_0$. Rõ ràng sau đó làn sóng giảm áp suất $p_1$ bắt đầu lan từ van vào bể. Sau khi nó chạm đến ranh giới của đường ống và bể chứa, một sóng xung kích sẽ lại xuất hiện ở đó (nhưng với áp suất trong đường ống tăng lên), sóng này sẽ đến van sau một thời gian $t_3 = 4L/c$ kể từ khi bắt đầu toàn bộ quá trình. Bây giờ quá trình, toàn bộ chu trình mà chúng ta đã xem xét, bắt đầu lặp lại, nhưng do tổn thất năng lượng do công chống lại lực ma sát (gây ra bởi độ nhớt của chất lỏng), biên độ dao động áp suất trong sóng xung kích sẽ giảm dần. Hình 2 cho thấy áp suất tại van sẽ thay đổi như thế nào trong toàn bộ chu kỳ quãng đường. Như sau những gì N. E. Zhukovsky đã trích dẫn, mức tăng áp suất tối đa trong đường ống thường được gọi là một cú đánh trực tiếp.

Nếu thời gian đóng van lớn hơn $2L/c$, thì lượng áp suất dư sẽ nhỏ hơn khi có tác động trực tiếp, và như N. E. Zhukovsky đã chỉ ra, nó được xác định bằng biểu thức

$$\Delta p_{\text{непр}} = \varrho v_0 c \left( \frac{L}{ct_{3akp}} - L \right).$$

Ví dụ: hãy xem xét điểm dừng của áp suất nước trong một ống thép có chiều dài $L = 500$ m với tốc độ dòng nước là $v_0 = 3$ m/s. Giả sử $c \approx 1300$ m/s, chúng ta thu được: thời gian đóng ống nhanh $t_{3akp} = 2L/c \approx 0,8$ s; mức tăng áp suất tối đa tương ứng khi va chạm trực tiếp là $\Delta p_{\text{max}} = \varrho v_0 c = 39 \cdot 10^5$ Pa = 39 atm. Với mức tăng như vậy

Ống áp lực Chenini, được thiết kế thậm chí cho áp suất 10 atm, có thể bị vỡ. Nếu lấy thời gian đóng là 10 giây thì áp suất chỉ tăng ~2 atm, không còn nguy cơ vỡ ống. Một cú đánh như vậy được gọi là gián tiếp.

Vì vậy, cách đơn giản nhất để chống búa nước là chọn thời điểm an toàn để đóng van. Nhận được những kết quả này, N. E. Zhukovsky đề xuất thay thế các van cắm (tương tự như samovar) được sử dụng trong đường ống chính bằng các van đóng chậm, loại van này vẫn được sử dụng cho đến ngày nay. Sau khi việc này được thực hiện, các vụ vỡ đường ống lớn đã xảy ra. Như đã đề cập, tất cả các kết quả lý thuyết được mô tả về sự lan truyền của sóng xung kích đã được Zhukovsky thử nghiệm bằng thực nghiệm, và ngay cả với những thiết bị rất thô sơ hiện có vào thời điểm đó, chúng đã được xác nhận một cách xuất sắc.

Chắc hẳn bạn đã hơn một lần gặp phải hiện tượng búa nước trong cuộc sống hàng ngày. Đôi khi nó xảy ra như sau: bạn mở vòi nước, … và có tiếng lạch cạch mạnh, kèm theo đó là sự rung chuyển của đường ống cấp nước. Hiện tượng này liên quan trực tiếp đến búa nước, nguyên nhân là do cần cẩu bị trục trặc. Hãy thử giải thích cách búa nước “hoạt động” trong trường hợp này. *)

Tuy nhiên, không nên nghĩ rằng búa nước chỉ gây hại. Theo gợi ý của N. E. Zhukovsky, chẳng hạn, ông sử dụng nó cho một nhiệm vụ rất hữu ích - tìm những nơi mà đường ống chôn dưới đất bị vỡ. Với mục đích này, bao gồm cả các tuyến đường có thể bị hư hỏng, phía trước van lắp đặt thiết bị ghi lại áp suất. Sau đó, đóng van đủ nhanh (nhưng không gây nguy hiểm cho sức bền của đường ống) sẽ tạo ra một cú đánh gián tiếp yếu. Áp suất dư thừa, từ điểm rò rỉ, sẽ giảm mạnh và một làn sóng áp suất giảm sẽ xuất hiện trở lại van. Qua

*) Trong số tạp chí này, trong mục “Phòng thí nghiệm Kvat” có bài “Tại sao hệ thống cấp nước lại “hát”?” Bạn có thể sử dụng sơ đồ lắp đặt vòi nước được hiển thị trong đó (Hình 1 trên trang 31). (Ghi chú của biên tập viên)

29

Rằng nó cho phép nước dâng lên $H_2=20 \div 30$ m ở áp suất $H_1$ chỉ 1-2 m. Trong trường hợp này, không có sự vi phạm định luật bảo toàn năng lượng - một phần đáng kể nước chảy ra từ dưới tộc $E$, giải phóng động năng của nó. Được phát triển bởi N. E. Zhukovsky. Vì vậy, những người sáng lập ngành hàng không, anh em nhà Mongolf và “cha đẻ của ngành hàng không Nga”, N. E. Zhukovsky, đều “mạnh mẽ” đối với ông.

Cuối cùng, đây là một ví dụ khác về cách sử dụng búa nước rất hữu ích. Hiện nay, cái gọi là dập thủy lực được sử dụng rộng rãi trong công nghiệp. Điều này được thực hiện như sau. Ma trận được lắp đặt trong một thùng chứa khá chắc chắn, được làm bằng vật liệu bền, có hình dạng “âm” của sản phẩm được đóng dấu (trong đó sản phẩm phải có độ lồi, độ lõm trong ma trận và ngược lại). Phôi được đặt trên đó và thùng chứa đầy chất lỏng. Ở một số nơi nhất định, hai (hoặc nhiều) điện cực được lắp vào thùng chứa. Thực hiện phóng điện xung lực mạnh (hoặc một loạt phóng điện), chúng tạo ra sốc thủy lực, làm biến dạng phôi theo hình dạng của ma trận. Bằng cách này, các sản phẩm thép có kích thước lớn với độ dày lên đến 10 mm được dập, các bộ phận thân xe tự động được sản xuất, v.v.

Ngoài ra còn có các thiết bị nước hoạt động theo nguyên tắc này. Do năng lượng phóng điện, có thể đạt được tốc độ dòng chảy vảy lên tới 1000 m/s. Tuy nhiên, xung tấn công là một vảy như vậy

“Nữ hoàng trong góc”, “Izyanshins” và những con số Fibonacci

(Để bắt đầu, xem trang 18)

Sau khi thực hiện các thay thế, chúng ta có thể xây dựng định lý sau đây, đưa ra một mô tả khác về tất cả các cặp được đánh dấu.

Định lý 2. Cho $(a_n, b_n)$ là một cặp đánh dấu. Nếu chúng ta tưởng tượng số tự nhiên $n-1$ là tổng của các số Fibonacci không lặp lại: $n-1 = f_{k_1} + f_{k_2} + \dots + f_{k_l}$, thì $a_n-1 = f_{k_1+1} + f_{k_2+1} + \dots + f_{k_l+1}$ hoặc nói cách khác, nếu $n-1$ là tổng của một số số Fibonacci riêng biệt theo cặp, thì $a_n-1$ là tổng của các số Fibonacci với các số lớn hơn một.

30

Tại sao hệ thống cấp nước lại “hát”?

E. I. PALCHIKOV

Đồng ý rằng ống nước “penine”, đặc biệt là vào giờ này, không mang lại nhiều niềm vui. Cố gắng loại bỏ những âm thanh khó chịu hoặc ít nhất là hiểu lý do xuất hiện của chúng, bạn mở vòi nước. Thường thì điều này dẫn đến không có gì. Nhưng đôi khi điều đó xảy ra như thế này: chỉ cần mở vòi đã đóng trước đó là đủ và tiếng ù sẽ chuyển sang một nốt khác hoặc biến mất hoàn toàn. Vậy tất cả là do vòi à? Hóa ra là có. Chính xác hơn là vòi bị lỗi.

Đối với một nhà vật lý thực nghiệm, nguồn cung cấp nước “đóng băng” có thể đóng vai trò là một đối tượng tốt cho nghiên cứu và việc loại bỏ “tiếng hát” có thể là một công việc tốt trong phòng thí nghiệm LAB với một lối thoát hữu ích cho những người khác.

Như đã biết, nguồn âm thanh có thể là bất kỳ vật thể nào rung động với tần số âm thanh.*) Chúng ta hãy xem xét các dao động xảy ra ở đâu và như thế nào trong hệ thống vòi cấp nước.

Hình 1 cho thấy một trong những thiết kế có thể có của vòi nước. Trong đó, một tấm chắn bao gồm vòng đệm kim loại và miếng đệm cao su được ép bằng vít vào bên cạnh, hạn chế lỗ tròn để nước chảy vào vòi. Điều gì xảy ra nếu vòi mở nhẹ? Qua hình vẽ có thể thấy nơi hẹp nhất mà nước đi qua là khoảng trống giữa mép đáp án và mặt dưới của rào chắn. Vì thể tích nước đi qua mỗi đơn vị thời gian qua bất kỳ mặt cắt ngang nào của đường ống dẫn nước không đổi nên ở nơi hẹp nhất tốc độ di chuyển của nước sẽ cao nhất. Ở phía trên của rào chắn, tốc độ nước thấp hơn đáng kể so với phía dưới. Khi tốc độ của chất lỏng di chuyển qua ống nước thay đổi thì áp suất cũng thay đổi. Theo định luật Bernulia, tốc độ càng cao thì áp suất càng thấp và ngược lại.*)

Ở những tốc độ dòng nước nhất định và các kích thước “thuận lợi” của rào chắn, phản ứng và khe hở, có thể tổng các lực áp lực tác dụng lên rào cản lực sẽ nhỏ hơn nhiều so với các lực áp suất từ ​​phía trên, và rào cản sẽ bị ép lên phản ứng. Rõ ràng, tình trạng này không thể tiếp tục lâu dài. Ngay khi rào cản chặn nước, tốc độ là

31

khe hở sẽ giảm xuống, áp suất bên dưới sẽ tăng lên và nắp sẽ đẩy các lỗ lên trên. Sau đó quá trình sẽ lặp lại từ đầu.

Các dao động giảm chấn mà chúng ta đã xem xét có thể xảy ra trên một dải tần số khá rộng. Tuy nhiên, từ thực tế, người ta biết rằng mỗi nguồn cung cấp nước đều “hát”, theo quy luật, trên một nốt riêng của nó. Nhiều nhất là hai hoặc ba. Tại sao?

Hóa ra vai trò chính ở đây là do các ống nước chứa đầy nước đảm nhận. Dưới tác động của bộ giảm chấn, các dao động cũng phát sinh trong chúng và nước phản ứng mạnh nhất với những tần số mà tại đó nó có thể dao động. Đây là biểu hiện cụ thể của hiện tượng cộng hưởng nổi tiếng nên không phải ngẫu nhiên mà đoạn ống dẫn nước tương ứng được gọi là cộng hưởng. Do đó, trong số tất cả các tần số dao động có thể có của bộ giảm chấn trong vòi, chỉ những tần số được “chọn lọc” mà tại đó nước đó có thể dao động trong các phần của đường ống liền kề với vòi.

Trong trường hợp này, sự rung động của mực nước giúp giảm rung động và kiểm soát chúng. Van điều tiết lấy một phần năng lượng từ nước chảy từ vòi và tách năng lượng này khỏi lượng nước dao động trong đường ống. Nói cách khác, sự dao động của bộ giảm chấn làm cho nước dao động, từ đó làm cho bộ giảm chấn dao động. Để dao động không bị suy yếu, van phải dao động cùng lúc với dao động của mực nước lân cận.

Lưu ý rằng hệ thống đang được xem xét chỉ thực sự được quan sát khi

Hình 1.

Khi van điều tiết bị lỏng và có khả năng chuyển động tự do trong giới hạn nhất định của nước, trục vít và gioăng cao su bị biến dạng nghiêm trọng và lặp lại mép tiếp theo xung quanh phản ứng.

Và một điều nữa. Tất nhiên, toàn bộ quá trình phát sinh từ đường ống phức tạp hơn nhiều so với những gì được mô tả ở trên. Tuy nhiên, khái niệm về bản chất vật lý của các quá trình xảy ra trong nguồn cung cấp nước “uống” có thể mang lại sự trợ giúp thiết thực thực sự - tìm ra các vòi bị lỗi.

Ví dụ: nếu khi bạn mở vòi đã đóng trước đó, “penine” thay đổi hoặc dừng, thì điều này có nghĩa là phần ống có vòi của bạn đi vào bộ cộng hưởng. Sự thay đổi “penin” thường xảy ra do những thay đổi về kích thước và hình dạng của bộ cộng hưởng (hoặc tổn thất trong nó). Việc ngừng (gián đoạn) dao động có thể là hậu quả của sự thay đổi áp suất trong đường ống, tăng tổn thất trong thiết bị cộng hưởng hoặc giảm năng lượng cung cấp từ vòi. Và nếu sau khi mở vòi, “penine” không thay đổi, điều này có nghĩa là phần ống của bạn không cộng hưởng? Hãy tự mình suy nghĩ về câu hỏi này.

Trong mọi trường hợp, cách tốt nhất để loại bỏ “penin” là tìm và sửa chữa vòi (hoặc các vòi) trong đó miếng đệm bị hỏng hoặc bung ra. Chỉ cần thay gioăng cao su và nếu cần, giảm khả năng di chuyển van điều tiết - và các rung động sẽ biến mất. Làm thế nào điều này có thể được thực hiện một cách thực tế?

Để thực hiện, trước tiên bạn cần tắt nguồn cấp nước bằng vòi khẩn cấp (thường đặt trong phòng tắm hoặc trong bếp dưới bồn rửa), sau đó dùng chìa khóa hoặc kìm để mở thân vòi đang sửa (trong trường hợp không phải là trường hợp khẩn cấp!). Để không làm ảnh hưởng đến lớp mạ niken phía dưới, bạn cần mở nắp hộp cẩn thận, đặt nhiều lớp giấy hoặc vải dưới kìm. Sau đó, một miếng đệm mới được cắt ra từ cao su có độ dày phù hợp (thường từ 2 đến 4 mm) và đặt vào vị trí của miếng đệm bị lỗi (hoặc bị thiếu một miếng đệm nào đó). Ở hầu hết các vòi gia dụng, miếng đệm phải nằm trong hốc của vòng đệm kim loại và được giữ cố định do đường kính của nó lớn hơn một chút so với đường kính của hốc -

32

Lười. Ở một số vòi, một lỗ được tạo ở giữa miếng đệm và nó được cố định vào máy giặt bằng đai ốc. Vòi đã sửa chữa được lắp ráp theo thứ tự ngược lại và vòi khẩn cấp được mở từ từ.

Để kết luận, chúng tôi mời bạn trình diễn một thí nghiệm mô phỏng hoạt động của van trong vòi nước.

Dùng ống cao su nối ống ngậm có kích thước như trong Hình 2 với vòi. Mở nước, lấy đồng xu ba kopeck trong tay và đặt nó vào đầu ống ngậm (với huy hiệu hướng vào ống ngậm). Sau một thời gian huấn luyện, bạn có thể đảm bảo rằng đồng xu được giữ ổn định trong một phạm vi tốc độ dòng nước khá rộng và ở bất kỳ vị trí nào của ống ngậm. Không có rung động nào được quan sát và toàn bộ cấu trúc giống như một vòi phun nước để tưới vườn rau.

Điều thú vị là một chiếc đĩa có cùng kích thước với một đồng xu nhưng có bề mặt nhẵn lại không giữ được ống ngậm. Nhưng nếu bạn dùng ngón tay ấn nó vào ống ngậm, các rung động sẽ xuất hiện và với áp suất ngày càng tăng, tần số rung động sẽ tăng lên. Bằng cách này, bạn có thể dùng tay chạm vào mô hình van vòi và đảm bảo rằng thực sự có thể xảy ra rung động.

Đối với thử nghiệm cuối cùng, không cần thiết phải duy trì các kích thước quy định của ống ngậm và “nắp”. Điều quan trọng là bề mặt của chúng phải phẳng và mịn. Cố gắng tự mình nghĩ ra các thí nghiệm khác mô phỏng các quá trình xảy ra trong hệ thống cấp nước ồn ào (“ồn ào”).

Hàng Harmonichsky

Đơn vị phẳng-poly phẳng-phần tư phẳng một phần tám… Nếu chúng ta tiếp tục phép tính tổng này ngày càng xa hơn, liệu tổng kết quả có xu hướng đạt đến giới hạn nào không? Tất nhiên, trước mắt chúng ta là một cấp số nhân vô hạn với mẫu số nhỏ hơn 1. Để tính tổng của nó, một công thức đơn giản được rút ra - số hạng đầu tiên chia cho một trừ đi mẫu số của cấp số:

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \dots = \frac{1}{1 - (1/2)} = 2.$$

Này, nếu bạn muốn tính tổng những đại lượng giảm vô hạn nhưng không theo định luật cấp số nhân thì sao?

Ví dụ, một đơn vị phẳng-poly phẳng-phần tư phẳng là một tổng rất lớn. Để làm điều này, chúng ta sẽ tính tuần tự các tổng từng phần của nó, tức là các số $S_1 = 1$, $S_2 = 1 + 1/2 + 3/2$, $S_3 = 1 + 1/2 + 1/3 = 11/6$, … Bằng cách sử dụng máy tính vi mô, chúng ta thu được, chẳng hạn như $S_{99} = 5,177$, $S_{100} = 5,187$. Vậy tổng của chuỗi hài là bao nhiêu? Hãy suy nghĩ và cố gắng tự tìm ra số tiền của nó.

Mọi chuyện thế nào rồi? Bạn đã ước tính tổng của chuỗi sóng hài chưa? Nếu bạn đi đến kết luận rằng tổng $1 + 1/2 + 1/3 + \dots$ có xu hướng đạt đến một giới hạn nhất định thì bạn chắc chắn đã sai. Khi các số hạng mới được thêm vào, tổng sẽ tăng, tăng nhưng không có xu hướng đạt đến giới hạn (như tổng của một cấp số nhân)

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{15} + \frac{1}{16} + \dots$$

Bây giờ rõ ràng là… tuy nhiên, chỗ trống trên trang này sắp hết: hãy tự mình tìm ra sự phân kỳ của chuỗi điều hòa!

(Về phần kết xem trang 44)

33

Momen quán tính trong hình học

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUBROVSKY

Mọi người đều biết rõ rằng toán học liên tục được sử dụng trong vật lý. Rezhka gặp phải và do đó ít được biết đến hơn về điều ngược lại - việc sử dụng các khái niệm vật lý trong toán học. Một ví dụ nổi bật của loại này - khối tâm trong hình học - đã được thảo luận trong một bài báo gần đây của M. B. Balk và V. G. Boltyansky («Kvant» Số 4, trang 18). Trong bài viết của chúng tôi, vai trò chính cũng được thể hiện bởi một khái niệm lấy từ cơ học - mômen quán tính.

Nhưng khi một nhà toán học bắt đầu làm việc với một khái niệm lấy từ vật lý, anh ta nhanh chóng quên đi ý nghĩa vật lý của nó và chỉ thấy trong đó một công thức toán học hữu ích. Do đó, khái niệm vật chất ĐIỂM A có khối lượng m, mà một nhà vật lý coi là “vật thể có khối lượng m có kích thước nhỏ không đáng kể đối với một bài toán cho trước,” được một nhà toán học định nghĩa chính thức là “một cặp (A, m)” bao gồm một điểm A (hình học) và một số thực m∈R”. Một nhà vật lý sẽ suy nghĩ kỹ trước khi sử dụng “khối lượng âm”, và một nhà toán học sẽ coi như không có chuyện gì xảy ra “điểm vật chất”/(A, m), với m<0! Và hơn nữa, với người dùng dành cho doanh nghiệp (xem bức tượng được trích dẫn ở trên, ví dụ bài toán 5 trên trang 19). Theo cách tương tự, ở đây chúng ta định nghĩa mômen quán tính bằng thuật ngữ toán học thuần túy. Và cái đã rút

34

thì công thức tính mômen quán tính của Lagrange sẽ trở thành chìa khóa cho một loại tủ chứa đựng những điều kỳ lạ của hình học, với nhiều định lý và công thức kỳ lạ. Đây là câu chuyện của chúng tôi.

Đoán trước một câu hỏi có thể xảy ra từ một độc giả tò mò, chúng ta vẫn hiểu ý nghĩa vật lý của mômen quán tính. Điều này rất dễ thực hiện, bắt đầu từ định luật thứ hai của Newton. Bằng chuyển động quay, định luật thứ hai của Newton được viết dưới dạng $M=I\alpha$, trong đó $M$ là mômen của lực tác dụng, $\alpha$ là gia tốc góc, và $I$ chính xác là mômen quán tính (xem «Kvant», 1971, Số 1, trang 6). So sánh công thức này với $F=ma$, chúng ta thấy rằng mômen quán tính là thước đo quán tính của một vật đang quay, cũng như khối lượng là thước đo quán tính trong chuyển động tịnh tiến.

Những điều cần biết về khối tâm

Chúng ta hãy nhớ lại ngắn gọn tất cả thông tin chúng ta cần về khối tâm (có thể tìm thấy chi tiết trong bài viết đã đề cập của M. B. Balk và V. G. Boltyansky).

Hãy xem xét một hệ gồm $n$ điểm vật chất (hoặc khối lượng chính xác), tức là $n$ cặp $(A_1, m_1), ..., (A_n, m_n)$, trong đó $A_i$ là các điểm tùy ý trong không gian, $m_i$ là các số thực (“khối lượng” tập trung tại các điểm này); ký hiệu ngắn hơn và thuận tiện hơn cho hệ thống này là $m_1A_1, ..., m_nA_n$. Nếu tổng khối lượng là $m=m_1+...+m_n\neq 0$ thì

1. còn có điểm duy nhất $Z$ sao cho

$$m_1\overrightarrow{ZA}_1+...+m_n\overrightarrow{ZA}_n=\overrightarrow{0};$$

điểm này được gọi là khối tâm của hệ $m_1A_1, ..., m_nA_n$;

2. với bất kỳ điểm nào $P$ đẳng thức giữ nguyên

$$\overrightarrow{PZ}=\frac{1}{m}(m_1\overrightarrow{PA}_1+...+m_n\overrightarrow{PA}_n);$$

(1)

Hình 1.

3. (định lý nhóm) khi thay một phần vật liệu của các điểm của hệ $m_1A_1, ..., m_nA_n$, ví dụ các điểm $m_1A_1, ..., m_kA_k$, bằng khối tâm $C$, trong đó tổng khối lượng của chúng $m'=m_1+...+m_k$ được đặt, vị trí khối tâm của toàn hệ không thay đổi, tức là khối tâm của hệ $m'C, m_{k+1}A_{k+1}, ..., m_nA_n$ và $m_1A_1, ..., m_nA_n$ trùng nhau.

Nó suy ra một cách mơ hồ từ định nghĩa rằng tâm $Z$ của hai khối lượng chính xác $m_1A_1$ và $m_2A_2$ nằm theo quy luật đòn bẩy nổi tiếng: điểm $Z$ nằm trên phần cay - hệ số tỷ lệ của hai vectơ thẳng hàng).

Bài toán

1. Gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh $BC, CA, AB$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của nó là tâm khối lượng của hệ $aA, bB, cC$. (Gợi ý: người dùng dựa trên thực tế là bissertis của một tam giác chia cạnh của nó thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh liền kề $^*$), chứng minh rằng, ví dụ, tâm bary của vật liệu của các điểm tại $bB$ và $cC$ là đáy bissertis của góc $A$; áp dụng định lý nhóm.)

2. Chúng ta hãy xem xét ba đường tròn bên ngoài của tam giác $ABC$—các đường tròn tiếp xúc (từ bên ngoài) với một trong các cạnh của tam giác và kéo dài sang hai cạnh còn lại (Hình 1). Gọi $A_1, B_1, C_1$ là điểm tiếp tuyến của chúng trên cạnh $BC, CA, AB$. Chứng minh rằng a) các đoạn thẳng $AA_1, BB_1$ và $CC_1$ cắt nhau tại một điểm $N$ (Điểm Nadel), b) giao điểm của các đường trung tuyến $M$ của tam giác nằm trên đoạn thẳng $ZN$, trong đó $Z$ là tâm của đường tròn nội tiếp và $|ZM|:|MN|=1:2$.

Momen quán tính và công thức Lagrange

Momen quán tính của hệ vật liệu điểm

$$m_1A_1, m_2A_2, ..., m_nA_n$$

so với một điểm cố định $P$ là số

$$I_P=m_1|PA_1|^2+m_2|PA_2|^2+...+m_n|PA_n|^2.$$

Khái niệm này lần đầu tiên được đưa ra bởi L. Euler (1707-1783).

Đối với những người yêu thích vật lý, chúng tôi lưu ý rằng trong cơ học, nói đúng ra, mômen quán tính của một hệ điểm so với

*) Ví dụ, xem bài viết của S. R. Sefibekov “Bốn cách chứng minh định lý bissertis” (Kvant, 1983, số 8, trang 37).

**) Xem thêm cuốn sách “Những con số Fibonacci” của N. N. Vorobyov (M.: Nauka, 1978, tr. 15).

35

Những cái chính từ điểm $A_i$ đến trục này (tích của nó bằng vận tốc góc quay của hệ quanh trục bằng mômen xung của hệ).

Nó trùng với $I_P$, khi điểm $P$ và tất cả các điểm $A_i$ nằm trong cùng một mặt phẳng và trục phân phối lại của nó đi qua $P$.

Công thức (2) có thể được viết ngắn gọn hơn bằng cách biểu thị khoảng cách từ $A_i$ đến $P$ bằng $r_i$ và sử dụng dấu tổng $\Sigma^*$):

$$I_P = \sum_i m_i r_i^2.$$

(3)

Công thức (3) và (2) có thể được đưa ra dưới dạng khác. Cho $P$ và $Q$ là hai điểm tùy ý thì

$$I_P = \sum_i m_i |PA_i|^2 = \sum_i m_i (\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QA_i})^2$$

$$= \sum_i m_i |PQ|^2 + 2\sum_i m_i \cdot \overrightarrow{PQ} \cdot \overrightarrow{QA_i} + \sum_i m_i |QA_i|^2,$$

đó là

$$I_P = I_Q + m |PQ|^2 + 2\overrightarrow{PQ} \cdot (\sum_i m_i \overrightarrow{QA_i}).$$

(4)

Nếu bây giờ chúng ta lấy khối tâm $Z$ của hệ là $Q$, thì vì $\sum_i m_i \overrightarrow{ZA_i} = \overrightarrow{0}$ (theo định nghĩa của khối tâm), chúng ta nhận được

$$I_P = I_Z + m |PZ|^2.$$

(5)

Ở cuối bài viết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng mômen quán tính đối với khối tâm được biểu thị, nếu $m \neq 0$, bằng công thức hay sau:

$$I_Z = \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2$$

(6)

và do đó với mọi điểm $P$

$$I_P = \left( \frac{1}{m} \sum_i m_i m_j |A_i A_j|^2 \right) + m |PZ|^2.$$

(7)

Công thức (5)–(7) được gọi là công thức Laerang; mọi thứ xa hơn đều dựa vào chúng.

*) Dấu này cho phép chúng ta viết ngắn gọn tổng từ nhiều số hạng: cùng với $A_1 + A_2 + A_3 + \dots + A_n$ chúng ta viết $\sum_i A_i$ hoặc đơn giản là $\sum_i A_i$ (khi số số hạng $n$ rõ ràng trong ngữ cảnh). Tương tự, $\sum_i m_i r_i^2$ là viết tắt của $m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \dots + m_n r_n^2$, v.v.

Hình 2.

Toán học - đây là một phép tính được gọi là những thứ giống nhau và giống nhau - khác nhau

Câu cách ngôn hài hước trong tựa đề có ý nghĩa sâu sắc. Các định lý toán học phản ánh những quy luật tổng quát nhất, do đó, cùng một định lý trong các lĩnh vực khác nhau có thể xảy ra với chúng ta trong những tình huống thoạt nhìn không có gì chung. Một ví dụ hay, mặc dù rất cơ bản, là công thức (5).

Chúng ta hãy viết lại nó bằng ký hiệu “trung lập”, trừu tượng hóa ý nghĩa của các đại lượng có trong nó. Đặt $x_1, \dots, x_n$ là một tập hợp các vectơ, $c_1, \dots, c_n$ là một tập hợp các số, $c = c_1 + \dots + c_n \neq 0$, $x_0 = (c_1 x_1 + \dots + c_n x_n) / c$, $y_i = x_i - x_0$ cho $i = 1, \dots, n$. Sau đó

$$c_1 x_1^2 + \dots + c_n x_n^2 = (c_1 y_1^2 + \dots + c_n y_n^2) + cx_0^2$$

(8)

($x_i^2, y_i^2$ nên hiểu là các ô vuông gấp của vectơ $x_i, y_i$). Chúng ta không cần phải chứng minh công thức này nữa, vì chúng ta luôn có thể giả sử rằng $x_i = \overrightarrow{PA_i}$, rồi $x_0 = \overrightarrow{PZ}$, trong đó $Z$ là hệ từ của vật liệu các điểm $c_1 A_1, \dots, c_n A_n$, $y_i = \overrightarrow{ZA_i}$ và công thức (8) trở thành công thức Laerange (5).

Bây giờ chúng tôi đưa ra thêm ba cách giải thích cho công thức này.

1. Gọi $x_1, \dots, x_n$ là vectơ của các bộ phân phối lại được thả từ các điểm $A_1, \dots, A_n$ lên trục $l$ (Hình 2), $c_1, \dots, c_n$ là khối lượng đặt tại các điểm này. Khi đó $x_0$ là vectơ phân phối lại từ barycenter $Z$ của chúng đến trục $l$ (tại sao?), và $y_i$ là vectơ phân phối lại từ các điểm $A_i$ đến trục $l_0$, được vẽ qua

36

điểm $Z$ song song với $l$. Trong trường hợp này, (8) có dạng định lý Steiner:

$$I_l = I_{l_0} + md^2$$

(ở đây $I_l$ và $I_{l_0}$ là mômen quán tính của hệ $c_1A_1$, …, $c_nA_n$ so với trục $l$ và $l_0$, $m=c$ là tổng khối lượng, $d$ là khoảng cách giữa các trục).

2. Cho $n$ các hạt $A_1$, …, $A_n$ có ​​khối lượng $m_1$, …, $m_n$ chuyển động đều và thẳng với tốc độ $\vec{v}_1$, …, $\vec{v}_n$ so với một số hệ thống báo cáo $S$. Sau đó khối tâm của chúng di chuyển trong hệ $S$ với tốc độ $\vec{v}_0 = (m_1\vec{v}_1 + \dots + m_n\vec{v}_n) / m$ ($m = m_1 + \dots + m_n$). Tốc độ của hạt $A_i$ trong hệ quy chiếu nghỉ của khối tâm, theo quy luật cộng vận tốc, bằng $\vec{u}_i = \vec{v}_i - \vec{v}_0$. Gọi $E$ và $E_0$ là tổng động năng của tất cả các bộ phận trong hệ $S$ và trong tâm của hệ khối lượng, tức là $E = \frac{m_1v_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nv_n^2}{2}$, $E_0 = \frac{m_1u_1^2}{2} + \dots + \frac{m_nu_n^2}{2}$. Áp dụng $x_i = \vec{v}_i$, $c_i = m_i/2$ vào (8), ta thu được định lý Könz về động năng:

$$E = E_0 + \frac{mv_0^2}{2}$$

(tổng động năng của hệ các bộ phận bằng năng lượng chuyển động của chúng so với khối tâm của mặt phẳng; năng lượng chuyển động của khối tâm).

Ví dụ cuối cùng đến từ một lĩnh vực hoàn toàn khác - lý thuyết xác suất.

3. Giả sử rằng trong một thử nghiệm nào đó có kết quả ngẫu nhiên, một giá trị nhất định $X$ được đo, chẳng hạn, họ ném một viên xúc xắc hình kim và xác định số điểm rơi ra. Giả sử rằng, tùy thuộc vào kết quả của thử nghiệm, giá trị $X$ có thể nhận $n$ giá trị $x_1$, …, $x_n$ (trong ví dụ với xúc xắc - 6 giá trị 1, 2, …, 6) và giá trị $x_i$ được chấp nhận với xác suất $p_i$ (các số $p_i$ không âm và cộng lên 1; trong ví dụ của chúng tôi, rất indo, tất cả các giá trị đều có khả năng xảy ra như nhau, tức là $p_1 = p_2 = \dots = p_6 = 1/6$). Số $p_1x_1 + \dots + p_nx_n$ được gọi là giá trị trung bình (hoặc kỳ vọng toán học) của ngẫu nhiên $X$ và được ký hiệu là $MX$ (trong ví dụ của chúng tôi $MX = (1 + \dots + 6)/6 = 3,5$). Do đó, theo quan điểm của lý thuyết xác suất, các biểu thức trong (8) (tại $c_i = p_i$, $c = \Sigma p_i = 1$) có thể được hiểu như sau*):

$$p_1x_1^2 + \dots + p_nx_n^2 = MX^2$$

— giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên $X^2$ hoặc, như người ta nói, khoảnh khắc thứ hai (lại là “thời điểm”!) của biến ngẫu nhiên $X$; $y_i = x_i - x_0 = x_i - MX$ — độ lệch của các giá trị ngẫu nhiên $X$ so với giá trị trung bình;

$$p_1y_1^2 + \dots + p_ny_n^2 = MX(X - MX)^2$$

— giá trị trung bình của độ lệch bình phương $X$ từ $MX$; đây là một đặc tính rất quan trọng của một biến ngẫu nhiên, thể hiện mức độ “phân tán” của nó xung quanh giá trị trung bình, nó gọi là độ phân tán và được ký hiệu là $DX$; $x_0^2 = (MX)^2$.

Kết quả là, (8) biến thành một công thức tính phương sai, có sẵn trong tất cả các sách giáo khoa về lý thuyết xác suất (mặc dù không mang bất kỳ cái tên hay ho nào):

$$DX = MX^2 - (MX)^2$$

Có dễ dàng nhận ra công thức Lagrange ở đây không?

Bài toán 3. Tìm phương sai số cửa sổ khi tung xúc xắc.

Các hệ quả hình học

Công thức Stoyart. Hãy tìm khoảng cách $d$ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$ đến điểm $D$ ở cạnh $BC$, kiến thức về độ dài $a$, $b$, $c$ của các cạnh của tam giác và độ dài các đoạn $BD$ và $DC$ (Hình 3). Cho $p = |BD| : |BC|$, $q = |DC| : |BC|$ thì $D$ là khối tâm của hệ vật liệu các điểm $qB$, $pC$. Tính mô men quán tính của hệ này đối với điểm $A$, ta thu được (xem (7))

• Công thức (8) cũng đúng trong trường hợp $x_i$ là các số: chúng ta có thể đơn giản coi chúng là vectơ có tọa độ $(x_i; 0; 0)$. Mặt khác, nó có thể được áp dụng cho các biến ngẫu nhiên mang vectơ giá trị.

38

Để chứng minh, lưu ý rằng $Z$ là khối tâm của hệ điểm vật chất $aA, bB, cC$ (xem bài toán 1). Chúng ta hãy tìm mômen quán tính của hệ này đối với $Z$ (xem (6)):

$$I_Z = \frac{abc^2 + bca^2 + cab^2}{a+b+c} = abc = 2R \sin \hat{A} \cdot bc = 4RS = 4Rrp,$$

và liên quan đến 0:

$$\Pi \text{ формуле (5)} |OZ|^2 = (I_O - I_Z)/2p = R^2 - 2Rr.$$

Một trong những định lý đẹp nhất của hình học tam giác phát biểu rằng trung điểm của tam giác, đáy các đường cao và trung điểm của các đoạn nối giao điểm của các đường cao với các đỉnh nằm trên một đường tròn - gọi là “đường tròn chín điểm” (xem «Kvant» 1981, số 8, trang 34). Nhưng nó sẽ tạo ấn tượng lớn hơn nữa.

Định lý Feuerbach. Vòng tròn chín điểm chạm vào bốn vòng tròn “đáng chú ý” - một vòng tròn nội tiếp và ba vòng tròn bên ngoài.

Chúng ta sẽ chỉ chứng minh định lý này cho đường tròn nội tiếp (các phần còn lại giải quyết tương tự - xem bài toán 8), và chỉ cần biết rằng đường tròn chín điểm đi qua trung điểm $A_1, B_1$ và $C_1$ cạnh của tam giác $ABC$.

Tam giác $A_1B_1C_1$ giống với tam giác $ABC$ với hệ số 1/2 nên bán kính đường tròn ngoại tiếp của nó là $R/2$; Hãy biểu thị tâm của nó bằng $F$. Ta viết và chứng minh điều kiện để đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp có dạng:

$$|FZ|^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2.$$

Chúng ta hãy đặt khối lượng $a, b, c$ tại các đỉnh $ABC$ của tam giác (trọng tâm của chúng sẽ là điểm $Z$), chia mỗi khối thành hai phần: $a = (p-b) + (p-c), b = (p-c) + (p-a), c = (p-a) + (p-b)$ và nhóm các phần này theo cặp, như trong Hình 6; khối tâm vẫn giữ nguyên. Khối tâm của hệ $(p-a)B, (p-a)C$ tại điểm $A_1$, hệ $(p-b)A, (p-b)C$ tại điểm $B_1$, và hệ $(p-c)A, (p-c)B$ tại điểm $C_1$, do đó, điểm $Z$ là tâm khối của hệ $(p-a)A, (p-b)B_1, (p-c)C_1$ (chúng tôi đồng thời giảm một nửa khối lượng thu được sau khi nhóm). Hãy tìm mô men quán tính của hệ này đối với các điểm $F$ và $Z$:

$$I_F = ((p-a) + (p-b)) + (p-c)) \cdot \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{R^2}{a} \cdot p,$$

$$I_Z = \frac{1}{p} ((p-a)(p-b)\left(\frac{c}{2}\right)^2) + (p-b)(p-c)\left(\frac{a}{2}\right)^2) + (p-a)(p-b)\left(\frac{b}{2}\right)^2).$$

Bài 7. Chứng minh rằng với mọi tam giác điểm $(p-a)(p-b)c^2 + (p-b)(p-c)a^2 + (p-c)(p-a)b^2 = abcp^2 - 4S^2$ đúng.

Sử dụng hành động hiện tại của bài toán này (lời giải của nó được đưa ra ở cuối nhật ký), việc hoàn thành chứng minh khá dễ dàng: sử dụng công thức (5)

$$|FZ|^2 = \frac{I_F - I_Z}{P} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4p} + \frac{S^2}{p^2} = \frac{R^2}{4} - \frac{abc}{4Rp} R + \left(\frac{S}{p}\right)^2 = \frac{R^2}{4} - rR + r^2 = \left(\frac{R}{2} - r\right)^2,$$

đó là những gì được yêu cầu.

Bài toán 8. Chứng minh định lý Feuerbach cho đường tròn nội tiếp. (Gợi ý: tâm của đường tròn nội tiếp tiếp xúc với mặt (bên ngoài) $a$ đóng vai trò là tâm khối lượng của hệ $(-a)A, bB, cC$. Tập hợp các khối lượng này ở cạnh giữa, sử dụng đẳng thức $a = (p-b) + (p-c), b = p - (p-b), c = p - (p-c).$)

Khoảng cách đến khối tâm và suy ra công thức Lagrange

Để chứng minh công thức (7) và (6), chúng ta sẽ rút ra công thức biểu thị khoảng cách từ một điểm tùy ý $P$ đến khối tâm $Z$ của hệ các điểm vật chất $m_1A_1, \dots, m_nA_n$ thông qua các khoảng cách từ điểm này đến các điểm của hệ: $r_i = |PA_i|$, và các khoảng cách theo cặp giữa

(Cuối cùng xem trang 48)

39

Nhiệm vụ

1. Từ điểm A, một chiếc bè và một chiếc thuyền đồng loạt đi xuôi dòng, cùng lúc đó một chiếc thuyền thứ hai tương tự xuất phát để gặp họ từ điểm B. Khi chiếc thuyền thứ nhất đến điểm B, chiếc bè sẽ ở gần điểm A hơn hay đến chiếc thuyền thứ hai?

2. Các đường viền không giao nhau được vẽ trên giấy: 3 màu đỏ và 3 màu xanh. Bản vẽ được vẽ bằng một tờ giấy khác, sao cho chính xác một trong các đường viền được che phủ hoàn toàn và tất cả những đường viền khác chỉ nhìn thấy được một phần. Xác định màu của đường viền được che phủ.

3. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 11 nhỏ hơn 100.000 mà có tổng các chữ số bằng 11?

4. Trên cửa sổ cửa hàng, táo và lê được bày thành hình tam giác. Ở hàng đầu tiên có một quả táo, ở hàng thứ hai có hai quả lê, ở hàng thứ ba có ba quả táo, v.v. Nếu có n hàng thì có bao nhiêu quả táo và bao nhiêu quả lê?

5. Bạn có để ý rằng nếu bước ra khỏi con đường có nhiều người qua lại, bạn có thể rơi khá sâu xuống lớp tuyết xốp không? Và vào đầu mùa xuân, khi tuyết lắng xuống khi tan, những con đường đôi khi thậm chí còn cao hơn cả lớp tuyết nguyên sơ xung quanh. Làm thế nào điều này có thể được giải thích?

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi: G. A. Galperin, V. V. Proizvolov, V. D. Vyon, Elkhan Adaev (học sinh lớp 7), A. A. Byalko

Xuống hang thỏ

L. CARROLL

Nhiều độc giả của “Alice in Wonderland” và “Alice Through the Looking Glass” đều biết Lewis Carroll là bút danh của nhà toán học nổi tiếng người Anh Charles Dodgeon (1832-1898), tác giả của nhiều bài báo khoa học và chuyên khảo về đại số. Không còn nghi ngờ gì nữa, trí tưởng tượng logic và hình học của nhà toán học Dodgeon sẽ ảnh hưởng rất lớn đến tác phẩm của nhà văn Lewis Carroll. Đây có lẽ là lý do tại sao một nhà toán học hoặc nhà vật lý đọc Alice được hứa hẹn sẽ bắt đầu tưởng tượng; anh ấy luôn có những câu hỏi thú vị

Và vì vậy «Kvant» cho học sinh nhỏ》 đã quyết định thử nghiệm sau: trong số này và số tiếp theo, chúng tôi đặt hai chương đầu tiên trong cuốn sách “Alice in Wonderland” của L. Carroll dưới một bản dịch tuyệt vời của N. M. Demurova (M., “Science”, 1979), cũng như những câu hỏi đó và bài toán xuất hiện trong đầu chúng tôi khi liệt kê cuốn sách tuyệt vời này. Như thường lệ trong KMS, đáp số được đưa ra bằng các số sau.

Chúng tôi đang chờ phản hồi của bạn (có thể gửi đến địa chỉ: 103006, Moscow, Gorky St., 32/1, tòa soạn tạp chí «Kvant», ALICE). Những độc giả có cuốn sách được chỉ định của L. Carroll có thể thêm nhiệm vụ và câu hỏi của họ vào các chương tiếp theo của cuốn sách để đánh giá. Nếu bạn cần tài liệu này và chúng tôi nhận được đủ phản hồi của độc giả, việc xuất bản Alice in Wonderland sẽ tiếp tục.

Bài toán 1. Vì buồn chán, Alice đếm số lượng cần thiết để đánh số các trang trong cuốn sổ tay của mình và thấy rằng có 373. Alice có giỏi số học không?

Câu 1. Làm thế nào để biết Alice đang ngồi với chị gái hay em gái của mình?

Câu 2. Con thỏ nói giọng gì: “gầy” hay “gầy”?

Bài toán 2. Con thỏ làm rơi đồng hồ khi đang chạy và nó bị lỏng. Có thể mặt số đã bị nứt lúc a) 2 giờ; 6) 3 giờ; c) 4 giờ với tổng các số bằng nhau ở các phần này?

Alice chán việc ngồi im cạnh Sveta trên bờ sông; Một đôi lần cô nhìn vào cuốn sách mà chị gái cô đang đọc nhưng không có bức tranh hay cuộc trò chuyện nào ở đó cả.

Có gì trong một cuốn sách, Alice nghĩ, nếu không có hình ảnh hay cuộc trò chuyện nào trong đó?

Cô ngồi đó và tự hỏi liệu mình có nên đứng dậy hái hoa làm vòng hoa hay không; Suy nghĩ của cô trôi chảy chậm rãi và không mạch lạc - hơi nóng khiến cô buồn ngủ. Đột nhiên, Thỏ Giặt ủi với đôi mắt đỏ hoe chạy đi.

Tất nhiên, không có gì đáng ngạc nhiên trong việc này. Đúng vậy, Thỏ vừa chạy vừa nói:

• Ax, Chúa ơi, Chúa ơi! Tôi sợ.

Nhưng điều này có vẻ không đặc biệt thú vị với Alice. Sau này nhớ lại, cô nghĩ lẽ ra mình phải ngạc nhiên, một mình nghĩ lẽ ra phải ngạc nhiên, một mình nghĩ Alice liền nhảy dựng lên. Sau đó cô chợt nhận ra: dù sao thì cô cũng chưa bao giờ nhìn thấy một con thỏ nào đeo đồng hồ và có túi áo vest để ủng! Đốt cháy sự tò mò, liệu cô ấy có bay qua không? - Alice khô khan nói. Có lẽ tôi đang đến gần tâm trái đất. Hãy để tôi nhớ… Đây có vẻ là khoảng bốn nghìn phút thị thực… Bạn thấy đấy, Alice đã học được điều gì đó về vai trò này trong lớp, và mặc dù bây giờ không phải là thời điểm thích hợp nhất để thể hiện kiến ​​​​thức của cô ấy, tôi không thể nghe thấy cô ấy, cô ấy không thể cưỡng lại.

“Đúng, đúng vậy,” Alice tiếp tục. “Nhưng tôi tự hỏi lúc đó tôi đang ở vĩ độ và kinh độ nào?” Nói thật, cô không biết vĩ độ và kinh độ là gì, nhưng cô rất thích những từ này. Chúng nghe có vẻ rất quan trọng và ấn tượng! Sau một lúc im lặng, cô ấy bắt đầu nói:

“Không phải tôi sẽ bay khắp trái đất để tìm tự do sao?” Điều này sẽ rất buồn cười! Tôi gọi họ là gì?.. Ác cảm, có vẻ như…

Trong sâu thẳm tâm hồn, cô biết rằng lúc đó cô không quan tâm, bởi vì con voi phát ra âm thanh không đúng.

• Khi tôi đến hỏi họ tên đất nước của họ là gì. Xin lỗi, thưa ngài, tôi đang ở đâu? Ở Úc hay lại là Zealand?

Và cô cố gắng cúi chào.

Câu hỏi 3: Có phải Alice đã rơi rất chậm?

Bài toán 3. Bà nội trợ lơ đãng viết chữ lên ba lọ mứt như trong hình. Xác định loại mứt trong mỗi lọ nếu bạn biết rằng tất cả các nhãn đều sai.

Tôi chạy theo anh ta qua sân và chỉ kịp nhận ra rằng anh ta đang chạy vào một cái hố dưới sự bảo vệ.
Cùng lúc đó, Alice đi theo anh ta, không hề nghĩ đến việc mình sẽ thoát ra ngoài theo nghĩa bóng như thế nào. Lúc đầu cái hố đi thẳng, thẳng như một đường hầm, rồi đột nhiên nó kết thúc thành một vòng tròn. Trước khi Alice có thời gian chớp mắt, cô ấy bắt đầu rơi xuống, như thể rơi xuống một cái giếng sâu.
Hoặc là giếng rất sâu, hoặc là cô rơi rất chậm, chỉ là cô có đủ thời gian để tỉnh táo và suy nghĩ xem điều gì sẽ xảy ra tiếp theo. Lúc đầu, cô cố gắng xem những gì đang đợi visa nhưng trời tối và cô không thể nhìn thấy gì. Sau đó cô bắt đầu nhìn xung quanh. Các bức tường của giếng được xếp bằng tủ và giá sách; Đây đó họ mang đến những bức tranh và bản đồ trên móng tay. Sau khi vượt qua Timo một trong những vị trí, cô lấy một lọ mứt từ đó. Cái hộp có thể nói CAM, nhưng than ôi! hóa ra là trống rỗng. Alice sợ ném lọ thị thực - kẻo cô ấy sẽ giết ai đó! Khi đang di chuyển, cô đã cất nó vào tủ nào đó.
“Đó là cách nó rơi, đó là cách nó rơi! - Alice nghĩ. - Ngã với một người đọc sách bây giờ chỉ là một miếng bánh đối với tôi. Và người dân của chúng tôi sẽ nghĩ rằng tôi dũng cảm khủng khiếp. Ngay cả khi tôi rơi khỏi mái nhà, tôi thậm chí sẽ không hé răng.”
Rất có thể trường hợp này sẽ xảy ra.
Và cô ấy cứ rơi, rơi mãi. Sẽ thực sự không có kết thúc cho điều này?

• Không biết tôi đã có bao nhiêu xà phòng rồi

Bạn có thể tưởng tượng việc cúi chào trong không trung khi rơi không?
Bạn nghĩ bạn sẽ làm được điều đó bằng cách nào?
“Và tất nhiên họ sẽ nghĩ rằng tôi là một kẻ ngu dốt khủng khiếp.” Không, tôi sẽ không hỏi bất kỳ câu hỏi nào! Có lẽ tôi sẽ thấy một dấu hiệu ở đâu đó! Và cô ấy cứ rơi, rơi mãi. Không còn gì để làm, sau một lúc im lặng, Alice lại nói.

• Dina sẽ tìm tôi suốt tối hôm nay! Cô ấy chán khi không có tôi! Dina là tên con mèo của họ.
• Mong họ không quên rót sữa vào khay cho cô ấy… Ôi, Dina thân yêu, thật tiếc khi em không ở bên anh. Sau đó, một tiếng va chạm khủng khiếp vang lên. Alice ngã trên đống gỗ chết và lá khô.
  Cô không hề tổn thương gì và nhanh chóng đóng đinh những bức tranh và tấm thiệp. Sau khi vượt qua Timo một trong những vị trí, cô lấy một lọ mứt từ đó. Cái hộp có thể nói CAM, nhưng than ôi! hóa ra là trống rỗng. Alice sợ ném lọ thị thực - kẻo cô ấy sẽ giết ai đó! Khi đang di chuyển, cô đã cất nó vào tủ nào đó.
  “Đó là cách nó rơi, đó là cách nó rơi! - Alice nghĩ. - Rơi với một người đọc sách bây giờ chỉ là một miếng bánh đối với tôi. Và người dân của chúng tôi sẽ nghĩ rằng tôi dũng cảm khủng khiếp. Nếu tôi rơi khỏi mái nhà, tôi sẽ tạo ra âm thanh.”
  Rất có thể trường hợp này sẽ xảy ra.
  Và cô ấy cứ rơi, rơi mãi. Chắc chắn chuyện này sẽ không có hồi kết?
• Không biết tôi đã có bao nhiêu xà phòng rồi

Zadochka 6. Mặt trời mọc vào buổi trưa và giữa trưa kim đồng hồ trùng nhau. a) Lần sau chúng sẽ trùng nhau khi nào? 6) Có bao nhiêu khoảnh khắc như vậy trong một ngày? b) Kim đồng hồ trùng nhau bao nhiêu lần trong ngày?

Câu 4. Điều gì xảy ra nếu Alice làm mất chiếc lọ?
Câu 5: Ngân hàng sẽ không phát triển?
Mông 4. Rơi cầu thang từ tầng 5 xuống. Alice đếm được 100 bước. Cô ấy sẽ đếm được bao nhiêu bước nếu cô ấy rơi từ tầng 2 xuống?

LẬP TRANG

Bài toán 7. Có bao nhiêu cách để một hội trường được chiếu sáng nếu có mười ngọn đèn xếp thành một hàng và mỗi ngọn đèn có thể bật hoặc tắt?

Bài toán 8. Một phần lâu đài dưới lòng đất có sơ đồ như trong hình. Có thể đi bộ qua lâu đài theo cách đi qua nghi lễ của mỗi cánh cửa đúng một lần không?

Bài toán 9. Hãy tưởng tượng rằng tại thời điểm này, hai phản âm X và Y được đưa cho Alice và họ nói với cô ấy như sau:
X: Một người trong chúng tôi sống ở nước A;
Y: Đừng tin anh ta! Anh ấy đang nằm! Tôi đang ở trong bong bóng!
Có gì trong bong bóng và X và Y sống ở quốc gia nào?

chọn ở đây.
Đột nhiên cô nhìn thấy một chiếc bàn kính có ba chân. Chẳng có gì trên đó ngoại trừ một chiếc chìa khóa vàng nhỏ xíu.
Alice quyết định rằng chiếc chìa khóa này là từ một trong những cánh cửa, nhưng than ôi! - hoặc lỗ khóa quá lớn hoặc chìa khóa quá nhỏ, nhưng cô ấy đã cố gắng thế nào nhưng nó không vừa với bất kỳ lỗ nào trong số đó. Đi qua hành lang lần thứ hai, Alice nhìn thấy một tấm màn mà trước đó cô chưa từng để ý, đằng sau nó là một cánh cửa nhỏ cao 15 feet. Alice đút chìa khóa vào lỗ khóa - và trước niềm vui lớn nhất của cô, anh ấy đã xuất hiện!
Cô mở cửa và nhìn thấy đằng sau nó là một cái lỗ, rất hẹp, không rộng hơn lỗ chuột. Alice quỳ xuống và nhìn vào đó - trong sâu thẳm cô có thể nhìn thấy một khu vườn có vẻ đẹp đáng kinh ngạc. Ôi, cô muốn chọn giữa hành lang tối tăm và bước đi giữa những chùm hoa rực rỡ và những đài phun nước mát lạnh biết bao. Nhưng cô ấy thậm chí không thể đưa đầu mình vào lỗ. Alice tội nghiệp nghĩ ngay cả khi đầu mình mất đi thì cũng có ích gì! Ai cần một cái đầu không có vai? Ax, sao tôi không gấp lại như một chiếc kính thiên văn nhỉ! Giá như tôi biết bắt đầu từ đâu thì có lẽ tôi đã có thể làm được.
Bạn thấy đấy, ngày đó có rất nhiều quá trình đáng kinh ngạc mà bây giờ dường như không có gì là không thể đối với cô ấy.
Chẳng ích gì khi ngồi cạnh cánh cửa nhỏ, và Alice quay trở lại chiếc bàn kính, mơ hồ đặt một chiếc chìa khóa khác lên đó, hoặc, trên đó.

---

• Cảm giác thật kỳ lạ! - Alice kêu lên. - Có lẽ tôi đã gấp lại như một chiếc kính thiên văn.
  Và tôi đã không nhầm, cô ấy bây giờ chỉ cao gấp mười lần. Cô ấy đã cao đến mức bây giờ cô ấy có thể dễ dàng đi qua cánh cửa vào khu vườn tuyệt vời, và cô ấy rất khó chịu. Nhưng trước hết, để đề phòng, cô đợi một chút, cô muốn chắc chắn rằng mình sẽ không mất lòng nữa. Điều này làm cô hơi lo lắng.
  Cô tự nhủ: “Nếu mình tiếp tục co lại như thế này, mình có thể biến mất hoàn toàn”. Tôi sẽ cháy như một ngọn nến! Tôi tự hỏi lúc đó tôi sẽ như thế nào?
  Và cô cố tưởng tượng playa sevi sẽ trông như thế nào sau khi ngọn nến tắt. Theo trí nhớ của cô, cô chưa bao giờ nhìn thấy thứ gì như thế này.
  Sau khi chờ đợi một lúc và chắc chắn rằng không có chuyện gì khác xảy ra, cô quyết định lập tức đi ra ngoài vườn. Vednyazhka! Đến gần cửa, cô phát hiện ra họ đã quên đi đến bàn và nhận ra rằng bây giờ cô không thể với tới được. Qua tấm kính cô nhìn thấy rõ chiếc chìa khóa màu xám nằm trên bàn. Cô cố gắng trèo lên bàn bằng chân kính nhưng chân đó quá dốc. Mệt mỏi với những dịch vụ vô ích, Alice tội nghiệp ngồi xuống sàn và thắp sáng.
• Thôi đủ rồi! — cô ấy nghiêm khắc ra lệnh cho mình sau đó một chút. “Nước mắt sẽ không làm dịu đi nỗi đau của tôi.” Tôi khuyên bạn nên cho tôi vài phút ở đây!
  Cô ấy luôn làm cho mình cảm thấy thoải mái.

44

Chuỗi sóng hài

(Để bắt đầu, xem trang 32)

Vâng, tất nhiên. Mỗi nhóm, được giới hạn bởi số lượng, ví dụ 1/5+1/6+1/7+1/8 hoặc 1/9+1/10+…+1/16, có tổng lớn hơn 1/2. Và có vô số các nhóm này! Tổng từng phần của chuỗi hài trở nên lớn hơn 1/2+1/2+…+1/2. Lấy tổng của 2n nhóm ta được số lớn hơn n. Hàng phân kỳ.

---

Sự thật đáng kinh ngạc này thể hiện theo cách bất ngờ nhất. Ví dụ: với lời giải tiếp theo bài toán: làm thế nào, có n kippiches, đặt chúng chồng lên nhau sao cho phần trên cùng lộ ra một bên ở khoảng cách tối đa?

Nếu chỉ có hai kippich thì rõ ràng chúng cần được sắp xếp sao cho trọng tâm của kippich phía trên cao hơn mép của kippich phía dưới: khi đó kippich phía trên sẽ nhô ra một bên 1/2 (ta sẽ lấy kippich dài bằng 1). Trọng tâm của một cặp như vậy cách mép của kippich phía dưới 1/2. Hãy đặt cặp này lên kippich thứ ba sao cho khối tâm của nó nằm phía trên mép của nó (Hình 1). Trong trường hợp này, phần trên của kippich sẽ nhô ra một bên với khoảng cách 1+1/2.

Chúng ta sẽ sử dụng hệ tọa độ được liên kết với bản vẽ, gốc của nó nằm chính xác dưới mép của kippich dưới và chúng ta sẽ hiểu phần thân đầu tiên của kippich dưới và theo phần thứ hai, một chồng (n-1) kippich được đặt trên đó. Sau đó $x_1=1$, $x_2=0$, $m_2=(\frac{n-1}{2})m_1$, $x=\frac{1}{n}$. Tuyên bố đã được chứng minh. Và cùng với đó, điều sau đây đã được chứng minh: n kippiches có thể được tạo thành theo cách sao cho phần trên sẽ kéo dài về phía ngoài mép của phần dưới ở khoảng cách $S_{n-1}$, trong đó $S_n$ là tổng phần thứ n của chuỗi hài.

Giá trị $S_n$, như chúng ta biết, tăng vô hạn với n. Vì vậy, một chồng kippiches khá cao có thể được uốn cong sang một bên cho phù hợp! Khó tin nhưng có thật! Đúng, các giá trị của $S_n$ tăng rất chậm. Và nếu chúng ta muốn, chẳng hạn, độ lệch bên ít nhất gấp đôi chiều dài của kippich, thì chúng ta cần đặt ít nhất ba mươi hai kippich lên nhau.

---

Nếu bạn tính tổng từng phần của một chuỗi hài, đưa chúng về mẫu số chung, một chi tiết thú vị sẽ ngay lập tức xuất hiện: thứ nhất, mẫu số của tổng phân số sẽ luôn là số chẵn và thứ hai, tất cả các số hạng trong tử số, ngoại trừ một số hạng duy nhất, cũng là số chẵn. Điều đầu tiên không có gì đáng ngạc nhiên: đó là do sự có mặt của số hạng 1/2 trong chuỗi hài. Thứ hai, nếu có thể chứng minh được điều đó với tổng một phần tùy ý của một chuỗi, họ sẽ ngay lập tức khẳng định rằng trong số $S_n$ không có một số nguyên nào. Hãy thử chứng minh điều này.

Một lần nữa, mức độ một nửa có thể phục vụ tốt cho chúng ta, điều này thỉnh thoảng gặp phải trong chuỗi hài âm. Lấy tổng một phần tùy ý của một chuỗi, thu được nửa lớn hơn: 1/2p Mẫu số của tất cả các số hạng khác của tổng này chứa hai mũ lũy thừa nhỏ hơn p. Vì vậy, khi đưa toàn bộ tổng về mẫu số chung, tử số của phân số 1/2p sẽ được nhân với một số lẻ, còn tử số của tất cả các phân số còn lại sẽ được nhân với một số chẵn. Điều này biện minh cho tuyên bố được đưa ra trước đó: trong tử số của phân số tổng, tất cả các số hạng, ngoại trừ một số hạng, đều là số chẵn; khi thêm vào tử số, kết quả là một số lẻ và vì mẫu số của bất kỳ phân số nào cũng là số chẵn nên phân số đó không thể bằng một số nguyên.

---

Chuỗi sóng hài có nhiều tính chất và ứng dụng khác. Đặc biệt, trong lý thuyết âm nhạc - nó không được gọi là hòa âm mà không có gì! Nhưng như người ta vẫn nói, lại là một câu chuyện khác…

46

ĐIỀU KHOẢN NÊN ĐƯỢC CHIẾU SÁNG BẰNG ÁNH SÁNG ĐỀU, MỀM, KHÁC.

Khi xem một cặp âm thanh nổi qua kính hai màu, các đường nhạt bổ sung hoặc đường viền nửa hình ảnh đôi khi xuất hiện cùng với hình ảnh chính. Trong trường hợp này, cần phải giảm độ sáng của bản vẽ âm thanh nổi hoặc làm dày mật độ màu của bộ lọc. Thường chỉ cần tăng mật độ của một bộ lọc màu xanh là đủ. Nếu hình ảnh khi xem không đủ rõ ràng và chính xác thì nên tăng cường độ chiếu sáng.

Hình vẽ hiển thị ở đây có được bằng cách chiếu lên một mặt phẳng nằm ngang. Vì vậy, nó phải được xem theo chiều ngang.

---

Để tạo các bản vẽ âm thanh nổi, chúng ta sẽ sử dụng một thiết bị đặc biệt gọi là mẫu stencil. Đây là một thiết bị có thể tái sử dụng cần phải được thực hiện trước. Để làm được điều này, đến lượt bạn, bạn cần xây dựng cái gọi là thang đo phối cảnh. Chúng tôi sẽ dạy từ anh ấy.

Xây dựng thang đo phối cảnh

Thang phối cảnh thiết lập sự tương ứng giữa kích thước tuyến tính tự nhiên và phối cảnh của hình ảnh được chuẩn bị trước. Để làm được điều này, đến lượt bạn, bạn cần xây dựng cái gọi là thang đo phối cảnh. Chúng tôi sẽ dạy từ anh ấy.

Việc xây dựng thang đo phối cảnh được thể hiện trong Hình 2, trong đó các nội dung sau được chỉ ra:

điểm $S$ là tâm chiếu, nằm ở độ cao $h=300$ mm tính từ hình chiếu ngang $S_1$;

$a$ - khoảng cách (160 mm) giữa hình chiếu ngang $S_1$ đến đáy của tỷ lệ tự nhiên $O_1$:

$O_1N$ - thang đo chiều cao tự nhiên (150 mm), chia thành các đoạn tỷ lệ bằng nhau;

$O_1N_S$ là thang đo phối cảnh trong đó các đoạn của thang đo có độ dài khác nhau (khi chúng di chuyển ra khỏi điểm $O_1$ chúng sẽ dài hơn).

$D_k$ là độ dài của một đoạn tỷ lệ phối cảnh tùy ý. Tất cả các phần tử hình ảnh tuyến tính của hình ảnh được chia tỷ lệ theo đơn vị tỷ lệ tự nhiên.

Tỷ lệ phối cảnh được xác định bằng cách xây dựng hoặc tính toán bằng công thức $x_k=aK/(h-K)$. Trong trường hợp sau, độ dài của các đoạn riêng lẻ của thang phối cảnh được tính từ điểm 0 $O_1$.

Để đơn giản hóa việc xây dựng thang đo phối cảnh, một bảng được đưa ra với các giá trị tính toán của các đoạn trong thang đo phối cảnh cho các giá trị $K$ từ 5 đến 150 mm. Nếu cần, các giá trị trung gian cho

47

đứng cách hình chiếu ngang $L_1$ và $R_1$ ít nhất 145 mm.

Hãy xem xét một ví dụ về cách dựng hình chiếu tâm của điểm $A$. Điểm $A$, được xác định bởi hình chiếu ngang $a_1$ của nó, nằm ở độ cao $h=100$ mm so với mặt phẳng vật thể (Hình 4).

Để xác định hình chiếu tâm của điểm $A$, người ta thực hiện các phép dựng sau: qua điểm $L_1$, phép chiếu của tia chiếu $LA$ được thực hiện qua điểm $a_1$, tiếp tục hướng lên trên điểm $a_1$; điểm 0 của thang phối cảnh bên trái $O_L$ được nối với điểm $a_1$ bằng một đoạn thẳng $O_L a_1$; từ điểm 100$L$ (tỷ lệ phối cảnh bên trái) tương ứng với độ cao đã cho của điểm được mô tả $A$ phía trên mặt phẳng đối tượng, vẽ một đường thẳng song song với đoạn $O_L a_1$ cho đến khi nó giao nhau với hình chiếu của tia chiếu $LA$.

Giao điểm thu được của điểm $A_L$ là hình chiếu tâm của điểm $A$ đối với tâm chiếu bên trái. Các công trình tương tự cho điểm $A$ này được thực hiện cho tâm chiếu bên phải, kết quả là xác định được vị trí của điểm $A_R$ - hình chiếu tâm của điểm $A$ cho tâm chiếu bên phải.

Việc xây dựng thêm các bản vẽ lập thể dẫn đến việc tìm ra tất cả các điểm đặc trưng của đối tượng được mô tả và kết nối chúng với nhau bằng các đường thẳng.

Một nửa hình ảnh riêng biệt được xây dựng cho mỗi trung tâm chiếu. Trong những trường hợp đơn giản nhất, hình ảnh của cả hai nửa bức tranh có thể được vẽ trên một tờ giấy có thể tháo rời.

Trong thực tế, người ta thường sử dụng cơ sở lập thể $b$ nhỏ hơn bình thường ($b<65$ mm). Trong trường hợp này, cần phải tạo một mẫu mới. Trên mẫu được sản xuất, đặt hai điểm $L'_1$ và $R'_1$ trên đoạn $L_1 R_1$ đối xứng với tâm của nó, sao cho $|L'_1 R'_1|=b$. Hơn nữa, tất cả các công trình xây dựng đều được thực hiện theo cùng một cách, chỉ với việc thay thế $L_1$ bằng $L'_1$ và $R_1$ bằng $R'_1$.

Sản xuất bản vẽ lò

Nó bao gồm hai giai đoạn: xây dựng bản phác thảo bằng bút chì và làm nút chặn bằng giấy.

Trước khi vẽ một bản phác thảo, vị trí của đối tượng được mô tả so với