QUANTUM
9
1984
Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Ống dò và ống khuếch đại, ống phát điện và ống tia âm cực - tất cả những thiết bị này đều dựa trên hiện tượng phát xạ nhiệt điện tử, được Thomas Edison phát hiện vào cuối thế kỷ 19.
Làm thế nào khám phá này được thực hiện được mô tả trong số báo “Hiệu ứng Edison”.

TRONG PHÒNG:

2. I.K. Kikoin. Ngày tri thức
3. L. G. Aslamazov. Nam châm siêu dẫn
4. A. P. Veselov, S. G. Gindikin. Các hàm cơ bản
5. A. I. Prokhorov. Đường xoắn ốc vàng
6. I. K. Kikoin. Ngày tri thức
7. L. G. Aslamazov. Superconducting magnets
8. A. P. Veselov, S. G. Cindikin. Elementary functions
9. A. I. Prokhorov. The golden spiral

TRONG VẤN ĐỀ NÀY:

18. Tin khoa học

19. Trường học ở «Kvant»

20. Matematika 8, 9, 10

21. Trường học yêu thích bài toán

22. Science news

23. Trường của Kvant

24. Physics 8, 9, 10

25. Mathematics 8, 9, 10

26. Selected school problems

27. «Kvant» cho học sinh nhỏ

28. Bài toán

29. MỘT. L. Stasenko. Định luật Archimedes

30. Kvant for younger school children

31. Problems

32. A. L. Stasenko. Archimedes’ law

33. Vấn đề «Kvant»

34. Bài toán M881—M885; F893—F897

35. Lời giải bài toán M866—M870; F878—F882

36. Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

37. Kvant’s problems

38. Problems M881—M885; P893—P897

39. Solutions M866—M870; P878—P882

40. List of readers who have sent correct solutions

41. Lịch của chúng tôi

42. Hiệu ứng Edison

43. Our calendar

44. The Edison effect

45. Hội thảo dành cho ứng viên

46. P. P. Gornusha. Hãy giảm sự bất bình đẳng xuống mức đã biết

47. College applicant’s section

48. P. P. Gornusha. Reducing the inequality to a known one

49. Olympic

50. M. L. Aleksaidrova. Olympic Toán học đầu tiên

51. Được chọn bài toán Olympic Toán học Thành phố Leningrad lần thứ 50

52. Selected problems from the 50th Leningrad olympiad in mathematics

53. The Leningrad olympiad in physics

54. Thông tin

55. Chuyến tham quan VI Moscow dành cho các nhà vật lý trẻ

56. Information

57. The VIth Moscow young physicist’s tournament

58. Đáp số, gợi ý, lời giải

59. Trộn (8, 48, 56)

60. Trang cờ vua

61. Buổi đào tạo cuối cùng (trang bìa thứ 3)

62. Answers, hints, solutions

63. Miscellaneous (8, 48, 56)

64. The chess page

65. Last practice session (3rd cover page)

• Tại sao hai nửa quả táo giống hệt nhau chỉ hoạt động khác nhau - một nửa nổi trên mặt nước, còn nửa kia nằm dưới đáy bình (xem ảnh ở trang đầu tiên của trang bìa)? Đáp số bạn sẽ tìm thấy câu trả lời cho câu hỏi này trong bài viết “Định luật Archimedes”.*

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

Ngày tri thức

Các bạn độc giả thân mến «Kvant»!
Tôi xin chúc mừng bạn và cá nhân bạn, tất cả học sinh Liên Xô nhân ngày lễ - ngày khai giảng năm học mà theo quyết định của chính phủ Liên Xô được tuyên bố là Ngày Tri thức.

Kiến thức! Hãy suy nghĩ về ý nghĩa sâu sắc chứa đựng trong từ này. Không có kiến ​​thức thì không thể làm được gì. Một câu tục ngữ cổ của Nga có nói: “Đừng quên và dệt những đôi giày khốn nạn”. Nhiều người trong số các bạn thậm chí có thể không biết giày bast là gì, nhưng cách đây vài thập kỷ, đây là một trong những loại hình giáo dục rẻ nhất và dễ tiếp cận nhất ở làng quê Nga.

Ở nước ta, tri thức nhân loại được coi trọng đặc biệt. Một công dân Liên Xô phải có một kho kiến ​​thức lớn về nhiều lĩnh vực hoạt động của con người.

Một người có một học viện lái xe tò mò. Nhu cầu kiến ​​thức là cần thiết đối với con người ở mọi lứa tuổi. Ở nước Xô Viết, mọi điều kiện đã được tạo ra để thỏa mãn nhu cầu này. Nguồn kiến ​​thức chính của chúng ta là trường học. Tiểu bang của chúng tôi đã thông qua luật về giáo dục miễn phí ở các trường tiểu học, trung học và đại học.

Thật hạnh phúc khi được học điều gì đó mới mỗi ngày trong những lĩnh vực kiến ​​thức đa dạng nhất của nhân loại, có thể là toán học, vật lý, văn học, hóa học, v.v. Việc tìm ra lời giải khó bài toán mang lại sự hài lòng lớn cho bản thân. Việc hoàn thành thành công nhiệm vụ cộng đồng ở quy mô lớp học hoặc thậm chí ở quy mô trường học cũng mang lại nhiều niềm vui.

Khi tôi nhớ lại những năm tháng đi học, chúng tượng trưng cho tôi khoảng thời gian tươi sáng và vui vẻ nhất của tuổi thơ và tuổi trẻ. Tôi và các bạn dành phần lớn thời gian ở trường, và trong những ngày nghỉ, chúng tôi mơ về ngày chúng tôi lại thấy mình trong lớp học quê hương ngập mùi đỏ tươi và đắm mình trong “cuộc sống hàng ngày” ở trường giàu vắc-xin. Tôi mong muốn ngôi trường sẽ trở thành ngôi nhà thứ hai của các em, việc học tập sẽ mang lại cho các em niềm vui học hỏi về thế giới xung quanh.

Đảng Cộng sản và Chính phủ Liên Xô luôn quan tâm nhiều hơn đến vấn đề giáo dục. Gần đây, cơ quan quyền lực nhà nước cao nhất - Xô Viết Tối cao Liên Xô - đã thông qua nghị quyết về cải cách giáo dục phổ thông.

Luật quy định một số biện pháp nhằm đưa trình độ giáo dục phổ thông phù hợp với các yêu cầu mới do nhiều người trong xã hội chúng ta đặt ra. Khoa học và công nghệ hiện đại đang phát triển các phương tiện sản xuất công nghiệp và nông nghiệp mới được thừa nhận là có khả năng làm tăng đáng kể năng suất lao động. Điều này sẽ dẫn đến sự gia tăng sản lượng của nền kinh tế quốc gia và kết quả là phúc lợi của người dân Liên Xô được cải thiện hơn nữa.

Bạn, sinh viên tốt nghiệp tương lai của trường, sẽ được đại diện tham gia thực hiện tiến bộ khoa học và công nghệ. Đây là một bài toán rất thú vị. Có lẽ bạn sẽ may mắn và khám phá ra những mô hình mới trong các hiện tượng tự nhiên, phát triển các phương pháp mới lời giải vật lý-toán học bài toán hoặc các kỹ thuật kỹ thuật mới. Tất cả phụ thuộc vào bạn, vào thái độ của bạn đối với công việc ở trường.

Tổng biên tập tạp chí «Kvant» Viện sĩ I. K. Kikoin

3

Nam châm siêu dẫn

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. G. ASLAMAZOV

Từ trường mạnh có thể được tạo ra bằng cách cho dòng điện mạnh chạy qua cuộn dây. Dòng điện chạy qua cuộn dây càng nhiều thì từ trường nó tạo ra càng lớn. Nhưng nếu cuộn dây có điện trở thì một Tello sẽ được giải phóng trong đó. Bạn phải tiêu tốn một nguồn năng lượng khổng lồ để duy trì dòng điện, và các vấn đề xám xịt phát sinh liên quan đến việc chạm vào thân máy (ban đầu cuộn dây có thể bị nóng chảy). Do đó, vào năm 1937, người ta lần đầu tiên thu được một từ trường có cảm ứng 10 Tesla. Nhưng trường này chỉ có thể được duy trì vào ban đêm, khi các thiết bị tiêu thụ khác của nhà máy điện cung cấp dòng điện cho cuộn dây đã bị tắt. Cơ thể được thả ra được loại bỏ bằng nước chảy, đồng thời, cứ sau 5 lít nước được đun sôi.

Đây chính xác là điều hạn chế khả năng thu được từ trường mạnh ở các điện từ thông thường.

Ý tưởng sử dụng chất siêu dẫn để tạo ra từ trường mạnh nảy sinh ngay sau khi phát hiện ra nó. Có vẻ như tất cả những gì cần làm là cuộn một cuộn dây siêu dẫn, đóng các đầu của nó lại và truyền một dòng điện đủ mạnh qua một mạch như vậy. Vì điện trở của cuộn dây bằng 0 nên vật không nhả ra. Và mặc dù việc làm lạnh điện từ đến nhiệt độ gel lỏng tại đó xảy ra hiện tượng siêu dẫn sẽ tạo ra những khó khăn nhất định, nhưng những ưu điểm sẽ lớn hơn những nhược điểm nếu… bản thân từ trường không phá hủy được tính siêu dẫn.

Khám phá tính siêu dẫn

Hình 1 thể hiện sơ đồ thí nghiệm Kamerlingh Onnes, được thực hiện vào năm 1911 ở Leiden. Các nhà khoa học Hà Lan đã tạo ra một cuộn dây chì, nối nó với nguồn EMF và đặt cuộn dây này vào gel lỏng, làm nguội nó đến nhiệt độ sôi của gel (4,2 K). Đồng thời, điện trở của chì biến mất - nó chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Sau đó, họ thay đổi vị trí của chìa khóa và làm chập mạch cuộn dây - một dòng điện siêu dẫn không bị cản trở bắt đầu chạy qua nó.

Dòng điện này tạo ra một từ trường, cảm ứng của nó tỷ lệ thuận với cường độ dòng điện. Có vẻ như dòng điện trong cuộn dây càng mạnh thì từ trường có thể thu được theo cách này càng lớn. Tuy nhiên, kết quả hóa ra lại đáng thất vọng: khi một từ trường gồm vài phần của một chiếc Tesla được cảm ứng, cuộn điện từ sẽ trở lại trạng thái bình thường (nó phát triển điện trở). Họ đã cố gắng tạo ra các cuộn dây từ các chất siêu dẫn khác, nhưng ngay cả trong chúng, sự phá hủy chất siêu dẫn cũng xảy ra ở từ trường tương đối thấp. Có chuyện gì vậy?

Hiệu ứng Meissner

Giải pháp cho hành vi “bất tiện” này của chất siêu dẫn được tìm ra vào năm 1933 tại Berlin trong phòng thí nghiệm của W. Meissner. Dường như chất siêu dẫn có khả năng thay thế hoàn toàn từ trường; trong đó chỉ có cảm ứng từ trường bằng không.

Hãy tưởng tượng rằng một ống trụ kim loại (một đoạn dây) được làm lạnh đến nhiệt độ thấp và chuyển sang

4

trạng thái siêu dẫn. Sau đó, một từ trường có cảm ứng $\vec{B}_{\text{внешш}}$ được bật lên. Theo định luật cảm ứng điện từ, trên bề mặt của hình trụ sẽ xuất hiện những điểm dốc (Hình 2) tạo ra một từ trường trong hình trụ có cảm ứng $\vec{B}_{\text{ток}}$, có độ lớn bằng nhau và ngược chiều với cảm ứng của từ trường ngoài. Những điểm này là siêu dẫn và sẽ không mờ đi. Do đó, trong độ dày của chất siêu dẫn, tổng cảm ứng bằng 0: $\vec{B} = \vec{B}_{\text{внешш}} + \vec{B}_{\text{ток}} = 0$. Đường sức từ trong chất siêu dẫn không đạt cực đại.

Chà, điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thay đổi trình tự các thao tác - đầu tiên đặt kim loại vào từ trường bên ngoài, sau đó làm nguội nó đến trạng thái siêu dẫn. Có vẻ như cảm ứng từ trường không thay đổi và không có lý do gì để xuất hiện các điểm che chắn trên bề mặt. Đây chính xác là những gì Meissner nghĩ khi kiểm tra tính toán của Laus; điều này đề cập đến phương pháp đầu tiên để thử nghiệm một thử nghiệm.*) Tôi đã nghĩ về nó nhưng vẫn quyết định kiểm tra nó. Kết quả của thí nghiệm sửa đổi thật đáng ngạc nhiên. Hóa ra trong trường hợp này cũng vậy, từ trường hoàn toàn chảy ra khỏi chất siêu dẫn và không thâm nhập vào nó.

Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Meissner.

Bây giờ người ta đã rõ tại sao từ trường lại phá hủy tính siêu dẫn. Rốt cuộc, một lượng năng lượng nhất định được dành cho sự xuất hiện của các điểm trên bề mặt. Theo nghĩa này, trạng thái siêu dẫn không
không tốt hơn trạng thái bình thường, khi từ trường xuyên qua kim loại và không có điểm che chắn trên bề mặt. Cảm ứng từ trường bên ngoài càng lớn thì dòng điện phải chạy qua bề mặt càng mạnh để tạo ra sự che chắn. Ở một giá trị nhất định của cảm ứng từ trường, tính siêu dẫn nhất thiết bị phá hủy và kim loại chuyển sang trạng thái bình thường. Trường tại đó chất siêu dẫn bị phá hủy được gọi là trường tới hạn của chất siêu dẫn. Điều quan trọng cần nhớ là không cần thiết phải có từ trường bên ngoài để phá hủy tính siêu dẫn. Dòng điện chạy qua chất siêu dẫn tự nó tạo ra một từ trường. Khi ở một giá trị dòng điện nhất định, cảm ứng của trường này đạt đến giá trị tương ứng với trường tới hạn, tính siêu dẫn bị phá hủy.

Độ lớn của trường tới hạn tăng khi nhiệt độ giảm, nhưng ngay cả khi đạt đến độ không tuyệt đối, trường tới hạn trong kim loại siêu dẫn thuần túy không lớn (xem biểu đồ trong Hình 3). Trong trường hợp tốt nhất, nó chỉ là mười phần của một teska. Vì vậy, có vẻ như không có gì phải suy nghĩ về việc tạo ra từ trường mạnh bằng chất siêu dẫn.

Nhưng nghiên cứu sâu hơn về tính siêu dẫn cho thấy vẫn có một lối thoát. Người ta phát hiện ra rằng có cả một nhóm chất siêu dẫn vẫn giữ được tính siêu dẫn ngay cả trong từ trường rất mạnh, mặc dù ở dạng hơi yếu đi.

Nhà máy rượu Abrikosovskie

Năm 1957, nhà vật lý Liên Xô A. A. Abrikosov về mặt lý thuyết đã chỉ ra rằng tính siêu dẫn trong hợp kim có thể bị phá hủy

Hình 2. Hình 3. Hình 4.

5

từ trường không đơn giản như vậy. Cũng giống như chất siêu dẫn thuần túy, ở những giá trị cảm ứng nhất định, từ trường bắt đầu xâm nhập vào bên trong chất siêu dẫn. Nhưng trong hợp kim, từ trường thường không lấp đầy ngay toàn bộ thể tích của chất siêu dẫn. Trong độ dày của nó, lúc đầu chỉ hình thành các cấu trúc riêng lẻ của đường cảm ứng từ trường (Hình 4). Mỗi cấu trúc như vậy chứa một phần từ thông được xác định chặt chẽ $\Phi_0 = 2 \cdot 10^{-15}$ Wb. Đại lượng $\Phi_0$ được gọi là lượng tử từ thông.

Từ trường bên ngoài càng lớn thì càng có nhiều cấu trúc như vậy và do đó lượng tử từ thông thâm nhập vào chất siêu dẫn càng nhiều. Do đó, từ thông trong chất siêu dẫn không thay đổi liên tục mà thay đổi theo từng bước nhảy một cách rời rạc. Nói chung, tính rời rạc của các đại lượng vật lý thể hiện ở chiều vi mô (ví dụ, năng lượng của các electron trong nguyên tử bị lượng tử hóa). Ở đây chúng ta phải đối mặt với một hiện tượng đáng kinh ngạc - các định luật cơ học lượng tử “hoạt động” ở quy mô vĩ mô.

Mỗi cấu trúc của đường cảm ứng từ trường trong chất siêu dẫn được bao quanh bởi dòng điện liên tục liên tục (xem Hình 4), làm đầy ổ cắm bằng chất lỏng hoặc chất khí. Đó là lý do tại sao các cấu trúc đường như vậy được bao quanh bởi dòng điện siêu dẫn được gọi là đầu ra Abrikosov. Bên trong mỗi ổ cắm, chất siêu dẫn bị phân chiều và bị phá hủy. Nhưng ở khoảng trống giữa các lối ra, nó vẫn được bảo tồn! Chỉ ở những trường rất mạnh, khi đầu ra trở nên lớn đến mức chúng bắt đầu bị chặn thì chất siêu dẫn mới bị phá hủy hoàn toàn.

Lần đầu tiên người ta phát hiện ra bức tranh vô học về sự phá hủy chất siêu dẫn bởi từ trường trong hợp kim

Hình 5.

6

Đôi khi bạn cần một sợi dây không chỉ chịu được từ trường mạnh mà còn chịu được dòng điện mạnh. Và điều này, hóa ra, không giống nhau.

ghim là gì?

Người ta biết rằng một lực tác dụng lên một dây dẫn mang dòng điện trong từ trường. Lực phản lực xuất hiện theo định luật thứ ba của Newton được áp dụng ở đâu? Ví dụ, nếu một từ trường được tạo ra bởi một dây dẫn khác có dòng điện, thì nó chịu tác dụng của một lực có độ lớn bằng nhau và ngược chiều (lực tương tác giữa dây dẫn với dòng điện được xác định theo định luật Ampe).

Trong trường hợp của chúng tôi, tình hình phức tạp hơn.

Khi chất siêu dẫn ở trạng thái dịch chuyển và dòng điện chạy qua nó, thì ở những vùng có từ trường (lõi xoáy), lực tương tác giữa dòng điện và từ trường sẽ phát sinh. Kết quả là, sự phân bố hiện tại thay đổi, nhưng các khu vực tập trung từ trường không đứng yên mà bắt đầu trộn lẫn. Các xoáy Abrikosov chuyển động dưới tác dụng của dòng điện!

Lực tác dụng lên dòng điện trong từ trường có phương vuông góc với độ tự cảm của từ trường và hướng của dây dẫn. Lực do dòng điện tác dụng lên xoáy Abrikosov cũng vuông góc với độ tự cảm của từ trường và hướng của dòng điện. Ví dụ, trong chất siêu dẫn ở trạng thái phân cực, như trong Hình 5, một dòng điện chạy từ trái sang phải được tạo ra, thì các xoáy Abrikosov, dưới tác dụng của dòng điện, bắt đầu di chuyển lên hoặc xuống (tùy thuộc vào hướng của từ trường cảm ứng). Nhưng chuyển động của xoáy mai qua chất siêu dẫn là chuyển động của lõi bình thường, không siêu dẫn. Với chuyển động như vậy sẽ phát sinh một loại ma sát dẫn đến cơ thể được thả lỏng. Điều này có nghĩa là khi dòng điện chạy qua chất siêu dẫn ở trạng thái phân cực thì điện trở vẫn xuất hiện và chất siêu dẫn đó không thể được sử dụng để tạo ra các điện từ.

Giải pháp là gì? Cần phải cho phép các xoáy di chuyển, cố định chúng vào đúng vị trí.

Hóa ra điều này có thể được thực hiện. Bạn chỉ cần “làm hỏng” chất siêu dẫn và tạo ra một số khiếm khuyết trong đó. Các khuyết tật thường xảy ra một cách tự nhiên do quá trình xử lý cơ học hoặc nhiệt của vật liệu. Ví dụ, Hình 6 cho thấy một bức ảnh kính hiển vi điện tử của một màng nubium nitride (nhiệt độ tới hạn của nó là 15 K), thu được bằng cách lắng đọng kim loại trên một tấm thủy tinh. Cấu trúc dạng hạt (hạt) của vật liệu có thể nhìn thấy rõ ràng. Xoáy rất khó vượt qua ranh giới hạt. Đó là lý do tại sao cho đến khi xác định được giá trị của dòng điện (gọi là dòng tới hạn), các xoáy vẫn đứng yên. Điện trở trong trường hợp này bằng không.

Hiện tượng này được gọi là ghim - từ tiếng Anh ghim, dịch sang tiếng Nga có nghĩa là ghim.

Nhờ ghim, có thể thu được vật liệu siêu dẫn có giá trị cao của cả trường tới hạn và dòng tới hạn. Hơn nữa, nếu giá trị của trường tới hạn được xác định bởi chính đặc tính của vật liệu, thì giá trị của dòng điện tới hạn (chính xác hơn là mật độ của nó, nghĩa là cường độ dòng điện trên một đơn vị diện tích của mặt cắt) phần lớn phụ thuộc vào phương pháp chuẩn bị và xử lý vật liệu. Công nghệ hiện đã được phát triển cho phép vật liệu siêu dẫn có giá trị cao ở tất cả các thông số tới hạn. Ví dụ, dựa trên hợp kim nubium có mật độ dòng điện tới hạn hàng trăm

8

Việc sử dụng nam châm siêu dẫn cho những mục đích này nhằm tạo ra từ trường mạnh mà không tiêu tốn năng lượng khổng lồ là rất có giá trị. Nước ta đã vận hành hệ thống siêu dẫn đầu tiên trên thế giới để lắp đặt phản ứng tổng hợp nhiệt hạch “Tokamak-7” và đã phát triển hệ thống “Tokamak-15”, sẽ tích lũy năng lượng từ tính 600 triệu jun. Việc tạo ra các thiết bị thế hệ tiếp theo được thiết kế cho năng lượng cao hơn đơn giản là không thể thực hiện được nếu không sử dụng chất siêu dẫn.

Khi nghiên cứu chất rắn, phân tử và nguyên tử, hạt nhân cần tạo ra từ trường mạnh với thể tích nhỏ cũng như từ trường thật đều. Nam châm siêu dẫn không được thay thế trong những trường hợp như vậy và ngày nay được sử dụng rộng rãi trong các phòng thí nghiệm vật lý. Các cuộn dây điện từ nhỏ, siêu bền, hoàn chỉnh với hệ thống làm mát, đã trở thành một sản phẩm công nghiệp, việc sản xuất chúng ngày càng được mở rộng.

Năng lượng của tương lai không chỉ là những nguồn năng lượng mới. Những cách mới hiệu quả để lưu trữ và truyền tải điện cần được phát triển. Các chất siêu dẫn cũng cung cấp dịch vụ của họ ở đây. Các nhà khoa học tại Đại học Wisconsin (Mỹ) vừa phát triển dự án hệ thống lưu trữ điện. Một cuộn dây siêu dẫn khổng lồ có đường kính hơn 100 mét sẽ được lắp đặt trong một đường hầm đặc biệt được làm trên núi. Nó sẽ sử dụng các thiết bị làm lạnh bằng gel lỏng để duy trì nhiệt độ gần độ không tuyệt đối. Dòng điện siêu dẫn không bị suy giảm trong một cuộn dây như vậy sẽ tích trữ một năng lượng khổng lồ 4·10¹¹ J. Việc lắp đặt dự kiến ​​sẽ được thực hiện vào năm 1987.

Còn việc truyền năng lượng không tổn hao qua cáp siêu dẫn thì sao? Hiện tại, người ta chỉ có thể mơ về những đường dây truyền tải điện “tắm” trong helium lỏng sẽ mang điện mà không bị thất thoát trên những khoảng cách rộng lớn. Nhưng hiện tượng siêu dẫn vẫn chưa nói lời cuối cùng với Veda. Rất có khả năng xuất hiện các vật liệu sẽ trở thành chất siêu dẫn ở nhiệt độ nitơ lỏng. Và rồi mọi thứ sẽ thay đổi ngay lập tức. Ảo tưởng trở thành hiện thực. Tôi muốn tin rằng độc giả của Kwan sẽ thấy được điều này.

Lễ hội mùa thu truyền thống của các nhà toán học trẻ

Vào đầu tháng 11, các bạn trẻ yêu toán học sẽ một lần nữa tụ tập tại thành phố đăng cai Adjara, Batumi. Ngày lễ truyền thống của Batumi là người bạn lâu năm và là người tôn vinh “Kvan”: năm ngoái lễ kỷ niệm 15 năm thành lập. Lễ kỷ niệm nhỏ này được đánh dấu bằng số lượng kỷ lục các phái đoàn (14), người tham gia (hơn 200) và báo cáo tại hội nghị (43). Càng ghi nhận nhiều hơn những người tổ chức kỳ nghỉ, những người đã có thể suy nghĩ rõ ràng và thực hiện toàn bộ chương trình của mình. Trong số đó, cần lưu ý đến các công nhân của Bộ Giáo dục Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Adjara (L. A. Chanturaya và V. M. Tsulukidze), thành phố Batumi (A. V. Gotishvili), Hội tri thức (D. U. Chkhendze), Hội đồng chuyên gia khu vực (Sh. M. Okropiridze) và tất nhiên, người khởi xướng và sáng lập chính của tập hợp các nhà toán học trẻ tuyệt vời này - Giáo viên danh dự của Cộng hòa Medea Illarnovna Zhgenti.

Trong hơn 15 năm, cư dân Batumi đã phát triển truyền thống mạnh mẽ về tổ chức kỳ nghỉ của họ và phần lớn kinh nghiệm của họ chắc chắn có thể được sử dụng ở các thành phố khác, không chỉ tại các hội nghị quy tụ các kế toán viên từ những nơi khác nhau mà còn tại các cuộc họp của một số trường trong một thành phố. Điều này cũng áp dụng cho chính hội nghị, chiếm vị trí trung tâm, tức là các báo cáo của học sinh và các dịch vụ của họ (bao gồm cả các thành viên ban giám khảo - các nhà toán học và giáo viên), và buổi tối giải trí toán học, cuộc thi lấy bằng toán học và, tất nhiên, môn toán học vui vẻ yêu thích của mọi người KVHa (người dẫn chương trình, theo truyền thống, là “nghệ sĩ giải trí” chính của tạp chí A.P. Savin của chúng tôi).

Tâm trạng lễ hội thực sự của những người tham gia năm ngoái càng được tạo điều kiện thuận lợi nhờ thời tiết nắng đẹp, điều này không hoàn toàn bình thường vào thời điểm này ở Batumi. Cô trang trí cho chuyến du ngoạn đến khu vườn thực vật và tài chính kinh doanh nổi tiếng, buổi trình diễn Novra, tại đó các vị khách thực sự thích thú với những bức tranh sống động nhân kỷ niệm 200 năm đường Gerogreevsky - sự hợp nhất giữa Georgia và Nga, đi dọc đại lộ Primorsky.

(Cuối cùng xem trang 28)

9

Các hàm cơ bản

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. VESELOV
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. GINDIKIN

Bài viết này đề cập đến các hàm mũ, logarit và trionometric. Các hàm này thuộc loại hàm cơ bản (cũng bao gồm hàm tuyến tính $y=ax+b$, hàm lũy thừa $y=x^n$, cũng như tất cả các kết hợp có thể có của các hàm được liệt kê - tổng, hiệu, tích, thương và thành phần). Những hàm này được gọi như vậy vì chúng là những hàm đầu tiên được nghiên cứu trong toán học, và trong một thời gian dài các nhà toán học cơ bản đã không vượt quá những hàm này.

Chúng ta sẽ xem xét hai cách tiếp cận chính để xác định các hàm số mũ, logarit và lượng giác: tiên đề và động học, đảm bảo rằng các phương pháp này dẫn đến các hàm giống nhau và thảo luận về mối quan hệ của chúng với các định nghĩa kinol.

Định nghĩa tiên đề của hàm số mũ

Hàm mũ $a^x$ là hàm $y=f(x)$ sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. $f$ được xác định cho tất cả $x$;

2. $f(1)=a>0$ ($a\neq 1$);

3. với mọi $x$, $y$ thì sự tương ứng được thỏa mãn

$$f(x+y)=f(x)f(y);$$

4. $f(x)$ là hàm đơn điệu.

Lý thuyết trường phái về hàm số mũ bao gồm việc xây dựng một hàm thỏa mãn bốn tính chất được liệt kê; điều quan trọng là chỉ có một hàm có những đặc tính này. Ngược lại, ở trường người ta chỉ chứng minh được rằng 2), 3) xác định $f$ duy nhất cho hợp lý $x$; tuyên bố về sự tiếp tục duy nhất cho tất cả $x$ từ hữu tỉ $x$ theo điều kiện 4) được đưa ra mà không có bằng chứng (bằng chứng có thể được tìm thấy trong bài viết của R.K. Gorder “Mức độ là gì”, Kvant, 1981, số 2).

Những định nghĩa như vậy về một đối tượng bằng cách liệt kê các thuộc tính đặc trưng của nó được gọi là tiên đề. Cần phải hiểu rằng định nghĩa tiên đề của hàm mũ về cơ bản không khác gì định nghĩa của trường phái. Mối quan hệ (2) được gọi là phương trình hàm của hàm số mũ. Các phương trình hàm liên hệ các giá trị của hàm tại các điểm khác nhau và lời giải của chúng được gọi là các hàm tương ứng với các điểm này. Trong trường hợp này, các hàm số mũ là nghiệm của phương trình hàm (2) (và nếu các hạn chế bổ sung nêu trên được đáp ứng thì không có lời giải nào khác).

Bài toán 1. Chứng minh rằng trong trường hợp lời giải (2), định nghĩa cho tất cả $x$ là hoặc

10

số 0 giống hệt nhau hoặc hàm dương ở mọi nơi (và do đó, hàm số mũ được xác định ở mọi nơi chỉ tồn tại đối với các cơ số không âm $a$).

Cách tiếp cận tiên đề thú vị ngày nay để xác định hàm số mũ không xuất hiện ngay lập tức. Điều đáng chú ý là hàm số mũ xuất hiện lần đầu tiên dưới dạng lời giải của một phương trình vi phân. Câu chuyện này đáng được ghi nhớ.

Định nghĩa động học của hàm số mũ

Vào đầu thế kỷ 17, Galileo (1564-1642) muốn khám phá định luật xảy ra sự rơi tự do. Ông hy vọng có thể khám phá quy luật này một cách thuần túy bằng suy đoán, chỉ được hướng dẫn bởi những thông điệp về sự đơn giản. Do đó, ông cho rằng sự rơi tự do tỷ lệ thuận với quãng đường di chuyển:

$$\dot{s} = \lambda s.$$

(3)

Theo thông điệp vật lý $\lambda > 0$ (chuyển động được tăng tốc) và $s(0) = 0$ (tại thời điểm ban đầu cơ thể sẽ tích lũy). Sau một thời gian, Galileo vô cùng ngạc nhiên phát hiện ra rằng phương trình vi phân (3) không thể có lời giải với $s(0) = 0$ khác với $s \equiv 0$ (một chuyển động không thể có với các tính chất mà Galileo ban đầu cho là rơi tự do).

Bài toán 2. Chứng minh nhận định của Galileo. Gợi ý. Hãy để $\lambda > 0$; sau đó tốc độ $\dot{s}$ trở lại với mức tăng $s$. Nếu tại một thời điểm nào đó $t_0$ chúng ta có: $s(t_0) = c > 0$, thì $\dot{s}(t_0) = \lambda c$; $\dot{s}(t) < \lambda c$ với $t < t_0$, có nghĩa là $t_0 > 1/\lambda$ bất kể $c!$. Từ đây dễ dàng suy ra rằng $s \equiv 0$.

Quan sát này đã thúc đẩy Galileo thay đổi định luật được cho là thành $\dot{s} = gt$, dẫn đến việc ông phát hiện ra định luật rơi tự do và ông không còn quan tâm đến chuyển động theo định luật nữa (3). Bạn có thể đọc thêm về điều này trong cuốn sách “Những câu chuyện về Vật lý và Toán học” của S. G. Gindikin (M., “Nuka”, 1981).

Chúng ta phải nhớ đến một nhà toán học đáng chú ý khác - John Napier, Nam tước Merchiston (1550-1617), người gần như cùng năm với Galileo, đã nghiên cứu chuyển động theo định luật (3) bằng các phương pháp khác nhau. Nếu Galileo tìm cách đạt được một mô tả toán học về một hiện tượng cơ học thực sự, thì Napier lại đi theo hướng hoàn toàn ngược lại: ông muốn đưa ra một cách giải thích cơ học cho các thủ tục toán học thuần túy. Ngay cả trước Napier, các nhà toán học đã cố gắng tận dụng mối liên hệ giữa cấp số biện luận và cấp số nhân để đơn giản hóa các phép tính (thay thế phép nhân bằng phép cộng!). Để tăng độ chính xác, cần phải có các cấp số “thường xuyên” hơn, và cái nhìn sâu sắc của Napier là điều này nên được đưa đến cùng và thay thế các cấp số rời rạc bằng các giá trị - hàm liên tục. Vì mục đích này, xem xét chuyển động tưởng tượng theo định luật (3) và giải thích thời gian như một sự tương tự liên tục của một tiến trình tranh luận, Napier thuyết phục rằng vậy thì hãy coi nó là một sự tương tự của một tiến trình hình học. Cụ thể, nếu thời gian $t$ tăng lên $k$ đơn vị thì hãy nhân nó với $q^k$ đối với một số $q$; nếu chúng ta chuyển sang những đơn vị thời gian nhỏ hơn, thì như trước đây, sự dịch chuyển thời gian $t$ tương ứng với các phép biến đổi theo quy luật cấp số nhân.

Sự khác biệt chính giữa cách tiếp cận của Napier và cách tiếp cận của Galileo là nó loại bỏ ràng buộc $s(0) = 0$. Hãy để $\lambda$ được cố định. Một tính chất quan trọng của chuyển động (3) được rút ra từ phát biểu của Galileo. Chuyển động theo định luật (3) đối với $\lambda$ cố định hoàn toàn được xác định bởi giá trị của $s$ tại bất kỳ thời điểm cố định nào $t_0$. Thật vậy, nếu $s_1(t), s_2(t)$ là hai chuyển động với $s_1(t_0) = s_2(t_0)$, thì đối với $s(t) = s_1(t) - s_2(t)$, cũng là nghiệm của (3), chúng ta có: $s(t_0) = 0$, tức là $s \equiv 0$; theo định lý Galileo và $s_1(t) = s_2(t)$. Hơn nữa, nếu $s$ là lời giải (3), thì $s_1(t + t_0)$ cũng là lời giải, có nghĩa là tất cả lời giải (3) chỉ được phân biệt bằng một thừa số không đổi. Ngoài ra, nếu $s$ là lời giải thì $s_1(t) = s(t + t_0)$ cũng là lời giải (đối với $t_0$ cố định).

Giả sử $S_\lambda(t)$ là lời giải (3) sao cho $S_\lambda(0) = 1$. Hãy lấy $s_1(t) = S_\lambda(t + t_0)$, $s_2(t) = S_\lambda(t) S_\lambda(t_0)$. Cả hai hàm này sẽ là nghiệm của (3), lấy cùng giá trị $S_\lambda(t_0)$ tại $t = 0$ và sau đó phải trùng nhau. Chúng tôi hiểu điều đó

11

$$S_{\lambda}(t+t_0) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(t_0).$$

Hơn nữa, hàm $S_{\lambda}$ khả vi, nghĩa là nó liên tục. Theo định lý Halley, nó không biến mất ở đâu cả, nghĩa là nó có cùng dấu ở mọi nơi, tức là $S_{\lambda}(t) > 0$ ($S_{\lambda}(0) = 1$). Theo (3), thì $S_{\lambda}(t)$ có cùng dấu ở mọi nơi với $\lambda$, tức là nó tăng ở $\lambda > 0$, tiêu diệt ở $\lambda < 0$.

Vì vậy, lời giải của phương trình (3) với $s(0) = 1$ nhất thiết phải là hàm số mũ. Nếu bây giờ chúng ta vi phân (4) theo $t_0$ và đặt $t_0 = 0$, chúng ta nhận được

$$S_{\lambda}(t) = S_{\lambda}(t) S_{\lambda}(0).$$

Điều này có nghĩa là hàm số mũ (giả sử rằng nó khả vi) là nghiệm của (3), $\lambda = S_{\lambda}(0)$. Tính khả vi của hàm số mũ được chứng minh trực tiếp (xem “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10”, đoạn 65).

Còn một vấn đề nữa cần phải bàn. Chúng tôi đã kiểm tra lời giải (3) với giả định rằng chúng tồn tại. Giả định này xuất phát từ một thực tế chung về phương trình vi phân mà chúng tôi sẽ không chứng minh ở đây*). Nếu chúng ta chấp nhận nó, thì chúng ta thu được sự tồn tại hàm mũ của hàm số mũ, khác với hàm số đã nhận ra ở trên. Mặt khác, khả năng giải được phương trình (3) xuất phát từ sự tồn tại và tính khả vi của hàm số mũ.

Số $e$ (không phải số đầu tiên)

Bây giờ chúng ta có hai cách tiếp cận để xác định hàm số mũ. Với định nghĩa tiên đề, các hàm số mũ được phân biệt một cách tự nhiên bởi cơ số $f(1) = a$ của chúng. Nếu chúng ta tiến hành từ phương trình (3), thì phương trình tự nhiên hơn dựa trên hệ số $\lambda$. Các CONSTANT này có liên quan như thế nào?

Trước hết, sử dụng phương pháp động học tự nhiên chọn hàm mũ tương ứng với $\lambda = 1$. Cơ số của nó thường được ký hiệu là $e$ và được gọi là số không nguyên tố, và bản thân hàm này đôi khi được ký hiệu là expr $t$ (sau phần đầu của từ “số mũ”). Vì vậy, đối với một chuyển động xảy ra theo quy luật $\dot{s} = s$, mà $s(0) = 1$, chúng ta có: $s(t) = e^{\dot{s}}$ ($= \exp t$).

Hãy cùng khám phá con số $e$. Đây là khoảng cách tính từ điểm bắt đầu mà điểm xuất hiện tại thời điểm $t = 1$. Vì chuyển động xảy ra với tốc độ lớn hơn 1 và chuyển động bắt đầu ở khoảng cách 1 so với lúc đầu, nên chúng ta thu được rằng ở $t = 1$ khoảng cách là $e > 1 + 1 = 2$. Mặt khác, hãy chứng minh rằng $e < 3$ (điểm sẽ không có thời gian để vượt quá điểm 3). Để làm điều này, chúng ta sẽ chia nó từ 1 đến 3 thành 8 phần bằng nhau (độ dài của một phần là 1/4). Điểm sẽ đi qua đoạn đầu tiên với tốc độ không vượt quá giá trị của nó ở đầu bên phải của đoạn, trong đó, theo (3), nó bằng 5/4; do đó, thời gian cần thiết cho phân đoạn này ít nhất là 1/5. Tương tự, đoạn thứ hai sẽ mất ít nhất 1/6, đoạn thứ ba - ít nhất là 1/7, v.v. Tổng thời gian trên đường đi từ 1 đến 3 không nhỏ hơn $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{10} + \frac{1}{11} + \frac{1}{12}$ và tổng này lớn hơn 1. Điều này có nghĩa là điểm $e$ nằm gần 3.

Nếu bây giờ chúng ta chia đoạn thời gian $[0, 1]$ thành $n$ các phần bằng nhau thì trong đoạn thời gian đầu tiên tốc độ lớn hơn 1, điểm sẽ di chuyển $\Delta t = 1/n$ một quãng đường dài hơn $1/n$ và hóa ra là xa hơn so với lúc đầu so với $1+1/n$ với tốc độ vượt quá đoạn $\Delta = 1/n$ nó sẽ đi một đường lớn hơn $(1+1/n)/n$ và điểm quay đầu ra ở khoảng cách lớn hơn $(1+1/n)^2$ so với lúc ban đầu với tốc độ lớn hơn $(1+1/n)^2$, v.v., tại thời điểm $t = 1$ - ở khoảng cách $(1+1/n)^n$ so với lúc bắt đầu.

Từ lý do này, có vẻ đúng khi $n$ tăng thì giá trị $a_n = (1+1/n)^n$ cũng tăng (chứng minh rằng điều này đúng!) và có xu hướng $e$. Trong sách giáo khoa “Đại số và sự khởi đầu của phân tích 9-10” (§22, đoạn 113), ông chứng minh rằng

$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n,$$

đặc biệt, từ đó, $e$ có thể được xác định với bất kỳ độ chính xác nào. Hãy nhớ lại điều đó $e = 2,718281828459045\dots$. Tương tự, người ta chứng minh rằng

$$e' = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n.$$

Hãy xem xét cách giải thích động học của đẳng thức này.

Bài toán 3. Chứng minh động học của bất đẳng thức

12

$$e < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}.$$

Gợi ý. Chia đoạn đường dẫn $[1, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}]$ thành các đoạn $(n+1)$ có ​​dạng $[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{k-1}, \left(1 + \frac{1}{n}\right)^k]$. Sau đó, khi di chuyển dọc theo đoạn $k$-thứ độ dài $\frac{1}{n+1}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$, theo định luật $\dot{s} = s$, tốc độ không vượt quá $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^k$ và thời gian sử dụng tương ứng lớn hơn $1/n+1$, tức là tổng thời gian lớn hơn 1.

Hãy quay lại câu hỏi bắt đầu cuộc trò chuyện của chúng ta về số $e$. Hãy để $S_\lambda(t) = a^t$. $\lambda$ và $a$ có liên quan như thế nào? Lưu ý rằng nếu $s(t)$ - lời giải (3) đối với một số $\lambda$, thì $s(ct)$ - lời giải (3) với $\lambda' = c\lambda$ và cùng giá trị bằng 0, tức là $S_{\lambda c}(t) = S(ct)$, từ đó $S_\lambda(t) = a^t$, trong đó $a = e^\lambda$.

Do đó, mối liên hệ giữa $a$ và $\lambda$ được thể hiện rất đơn giản thông qua một số phi hạt nhân.

Chúng ta hãy tóm tắt việc xem xét phương trình (3). Chúng ta đã chứng minh rằng tổng quát lời giải của phương trình này có dạng $s(t) = s_0 \exp(\lambda t), s_0 = s(0)$.

Phương trình (3) được gọi là phương trình tăng trưởng theo cấp số nhân (hoặc theo cấp số nhân) (hoặc giảm ở $\lambda < 0$). Nó mô tả nhiều quá trình được tìm thấy trong tự nhiên: phân rã phóng xạ, thay đổi nhiệt độ theo thời gian và áp suất theo độ cao, quy luật phát triển sinh học và xã hội và các quá trình khác. Đặc điểm quan trọng nhất của hàm mũ, thể hiện ở hiện tượng mà nó mô tả, là sự tăng trưởng nhanh chóng của nó (tại $\lambda > 0$). Cụ thể, mức tăng trưởng theo cấp số nhân (tại $\lambda > 0$) vượt quá bất kỳ mức tăng trưởng nào và mức giảm theo cấp số nhân (tại $\lambda < 0$) vượt quá mức độ giảm, cụ thể là

$$\lim_{t \to +\infty} \frac{t^k}{\varepsilon^{\lambda t}} = 0 \quad (\lambda > 0), \quad \lim_{t \to +\infty} e^{\lambda t} t^k = 0 \quad (\lambda < 0)$$

(“Đại số và phần đầu của phân tích 9-10”, § 22, đoạn 117).

Hàm logarit $\log_a x$, $a > 0, a \neq 1$

Hàm này được định nghĩa là nghịch đảo của hàm mũ $a^x$, $a \neq 1$ và tất cả các thuộc tính của nó tuân theo trực tiếp từ định nghĩa này.

Nó được xác định ở $x > 0$, phạm vi của nó là toàn bộ dòng, $\log_a x$ tăng ở $a > 1$ và giảm ở $a < 1$, $\log_a 1 = 0$, nhưng quan trọng nhất là nó có một phương trình hàm (được gọi là “tính chất cơ bản của logarit” trong trường học)

$$\log_a xy = \log_a x + \log_a y,$$

(7) suy ra trực tiếp từ phương trình hàm số của hàm số mũ (1) (tại sao?). Hàm logarit cũng có thể được mô tả dưới dạng hàm danh nghĩa: $\log_a x$ là hàm đơn điệu bằng 1 với $x = a$, thỏa mãn (7) và xác định cho tất cả $x > 0$ (chứng minh!). Lưu ý rằng khi chuyển qua hàm logarit, về cơ bản chúng ta sử dụng tính đơn điệu nghiêm ngặt của $a^x$ cho $a \neq 1$ (điều này đảm bảo sự tồn tại của hàm nghịch đảo); vì lý do này, $a = 1$ bị loại trừ.

Logarit tự nhiên $\ln x$ được định nghĩa là nghịch đảo của $e^x$, tức là thời gian để một điểm di chuyển theo $\dot{s} = s$ đi từ 1 đến $x$.

Có thể nói rằng chính hàm logarit chứ không phải hàm mũ mới là mục tiêu của Napier. Tuy nhiên, bức tranh anh xây dựng có phần phức tạp. Anh ấy nhìn vào phương trình (3) với $\lambda = 10^{-7}$ và lấy nó lời giải với $s(0) = 10^7$, tức là $s(t) = 10^7 \exp(10^{-7} t)$; Theo đó, hàm nghịch đảo - logarit Neper - có dạng $t = \text{Ner} \log x = 10^7 \ln 10 + 10^7 \ln x$, và đối với nó thì $t(x \cdot y) = t(x)t(y)$, $t(1) = 0$ là không đúng. Vào cuối hai mươi năm biên soạn bảng logarit, Napier chắc chắn cảm thấy không hài lòng với hệ thống mà ông đã áp dụng. Anh ta đã có ý tưởng về logarit thập phân, nhưng không đủ sức để thực hiện các phép tính trực tiếp.

13

gốc Các bảng tương ứng được biên soạn theo chiều dọc bởi nhà toán học Henry Briggs, người có cơ hội thảo luận về ý tưởng logarit thập phân với Napier trong những năm cuối đời. Logarit thập phân đôi khi vẫn được gọi là logarit Brissian (cuốn sách “Số học logarit” của Briggs, xuất bản năm 1624, được dành riêng cho chúng). Logarit tự nhiên xuất hiện vào năm 1619 trong cuốn sách của giáo viên dạy toán quy mô nhỏ Speidel (một bảng nhỏ ẩn danh xuất hiện một năm trước đó trong phần phụ lục của ấn bản thứ hai cuốn sách của Napier).

Từ định nghĩa động học của logarit theo quy tắc đạo hàm hàm nghịch đảo ta thu được

$$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}.$$

Hơn nữa, mối liên hệ ở trên giữa λ và cơ sở lời giải $S_\lambda(t)$ có nghĩa là $(a^t)' = \ln a \cdot a^t$, từ đó

$$\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}.$$

Bài toán 4. Tìm trung bình cộng lớn nhất của các số có dạng $\sqrt[n]{n}$ (n là số tự nhiên).
Gợi ý. Xét cực trị của hàm số

$$f(x) = x^{\frac{1}{x}} = \exp \left( \frac{\ln x}{x} \right)$$

hoặc tương đương, $g(x) = \ln x/x$.

Hàm $\ln x$ thuận tiện cho việc tính toán các chỉ số khác nhau của các quá trình được mô tả bằng phương trình (3). Do đó, nếu chúng ta lấy thời gian $\tau$, trong thời gian đó giá trị giảm (hoặc giảm một nửa), làm đặc tính của sự tăng trưởng (giảm), thì vì $e^{\lambda \tau} = 2$, chúng ta thu được $\tau = \frac{\ln 2}{\lambda}$ cho $\lambda > 0$

và $\tau = -\frac{\ln 2}{\lambda}$ tại $\lambda < 0$. Trong trường hợp phân rã phóng xạ, $\tau$ được gọi là chu kỳ bán rã ($\lambda < 0$).

Bài toán 5. Tiền gửi có kỳ hạn trong ngân hàng tiết kiệm tăng 3% mỗi năm. Trong bao nhiêu năm nó sẽ tăng gấp đôi?

Cuối cùng, chúng tôi lưu ý rằng do số mũ của hàm tăng rất nhanh nên hàm logarit, theo hướng, tăng cực kỳ chậm. Nó phát triển chậm hơn bất kỳ sức mạnh tích cực nào $x$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} = 0, \quad a > 0.$$

Hàm tam giác

Cả hai đường dẫn chúng ta đã thảo luận liên quan đến hàm số mũ (hoạt động)

Đồ thị của một số hàm lượng giác.

mô phỏng và động học) cũng có sẵn cho các hàm lượng giác. Tuy nhiên, không phải ai trong số họ là nguồn đầu tiên. Cách đầu tiên là xác định các hàm lượng giác thông qua tỉ số các cạnh trong một tam giác hoặc đường tròn lượng giác. Đúng, trong trường hợp này, các hàm phát sinh lấy các giá trị số, trong khi đối số của chúng lấy các giá trị góc chứ không phải số. Để chuyển sang các hàm đối số số, bạn cần học cách thay đổi góc. Phải nói rằng mặc dù lượng giác đã phát triển từ thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. e., và nó có tầm quan trọng lớn liên quan đến các phép tính thiên văn, định nghĩa hiện tại về hàm lượng giác chỉ xuất hiện vào thế kỷ 18 (phần lớn là từ Euler). Trước đó, chúng tôi đã thực hiện với tất cả các loại bảng, chẳng hạn như các hợp âm tương ứng với các góc. Không được quên rằng trong một thời gian dài, đối với hầu hết các nhà toán học, các hàm số không vượt quá các hàm đại số và họ không hề nghĩ rằng phép lượng giác bằng cách nào đó có mối liên hệ với phép giải tích.

Chúng ta hãy tập trung vào định nghĩa động học của hàm lượng giác. Hãy xem xét một trong những định luật đơn giản nhất: gia tốc (hoặc lực) tỷ lệ thuận với khoảng cách, hoặc

$$\ddot{x} + \omega^2 x = 0.$$

Phương trình này được gọi là phương trình dao động điều hòa (nó mô tả chuyển động của quả bóng ở bên ngoài, sự dao động của con lắc quanh vị trí cân bằng, v.v.). Trước tiên chúng ta hãy giới hạn bản thân ở tia $\omega = 1$

$$\ddot{x} + x = 0.$$

Chúng ta biết rằng nghiệm của phương trình này là $\sin t$ và $\cos t$, nhưng hãy cố gắng tìm ra định nghĩa độc lập của chúng

14

Lênin. Trước hết, chúng ta cần thu được một dạng tương tự của định lý Galileo cho (3)—định lý duy nhất. Chúng ta phải chứng minh rằng lời giải (9) duy nhất có $x(0)=\dot{x}(0)=0$ là $x=0$. Xin lưu ý rằng chúng tôi nhận được bài toán hai điều kiện cho $t=0$, đó là do thực tế là (9) bao gồm điều kiện tùy ý thứ hai. Chứng minh được rút ra từ việc bảo toàn giá trị $E=\frac{1}{2}(\dot{x}^2+x^2)$ (kiểm tra xem $\dot{E}=0$ bằng phương trình (9)).

Ta ký hiệu $s(t)$ lời giải (9) với $s(0)=0$, $\dot{s}(0)=1$. Hãy cùng khám phá các tính chất của lời giải này (thực tế giống với sin $t$, nhưng chúng tôi muốn rút ra tất cả các tính chất từ ​​phương trình (9)).

1. Để $c(t)=\dot{s}(t)$; sau đó $c(t)$ — lời giải (9) với các điều kiện ban đầu $c(0)=1$, $\dot{s}(0)=0$ (được kiểm tra bằng vi phân không biểu diễn: $\ddot{c}=\dot{s}=-\dot{s}=-c$, $\dot{c}=-s$).

2. $s(t)=-s(-t)$, $c(t)=c(-t)$ (chỉ cần kiểm tra xem $x(t)=-s(-t)$) là lời giải (9) có cùng điều kiện cho $t=0$ như $s(t)$; tương tự cho $c(t))$.

3. Các định lý cộng $s(t+t_0)=s(t)c(t_0)+s(t_0)c(t)$, (10) $c(t+t_0)=c(t)c(t_0)-s(t)s(t_0)$ đúng. (11) Chỉ cần xác minh rằng bên trái và bên phải của $t_0$ cố định là lời giải (9) có cùng giá trị ban đầu cho $t=0$ là đủ.

Nhiều công thức lượng giác mới có thể được suy ra từ các định lý cộng (trên thực tế, gần như tất cả chúng, nhưng chúng ta sẽ nói về điều đó sau). Ví dụ: thay $t_0=-t$ vào (11), chúng ta thu được $c^2(t)+s^2(t)=1$. (12)

Từ (12) suy ra $|c(t)|\leqslant 1$, $|s(t)|\leqslant 1$.

4. Có thể chứng minh rằng $c(t)$ biến mất đối với một giá trị dương nào đó của đối số.

Nếu không phải như vậy thì $c(t)$ sẽ dương tại $t>0$, nghĩa là hàm $s(t)$ tăng đơn điệu và do đó tại $t>0$ nhận giá trị dương. Chúng ta hãy ấn định một khoảng thời gian nào đó $t=t_0>0$, đồng thời $s(t_0)=s_0>0$. Đẳng thức $c(t)=-s(t)$ có nghĩa là tốc độ giảm của $c(t)$, bắt đầu từ thời điểm $t_0$, lớn hơn $s_0$, và do đó, $c(t)$ sẽ về 0 không muộn hơn sau thời điểm $c(t_0)/s(t_0)$, điều này mâu thuẫn với giả định về một kết thúc tích cực bài toán.

Bài toán 6*. Đặt $s(t)$ và $c(t)$ là các hàm: 1) xác định cho tất cả $t$; 2) $s(0)=0$, $c(0)=1$; 3) thỏa mãn hàm của phương trình (10) và (11); 4) liên tục. Sau đó $c(t)=\cos \omega t$, $s(t)=\sin \omega t$ cho một số thực $\omega$.

Gợi ý. Lợi dụng thực tế là hàm liên tục được xác định hoàn toàn bởi tính chất của giá trị tại các điểm có dạng $t=\frac{m}{2^k}t_0$ ($m, k$ là số nguyên, $t_0$ là hàm tùy ý của số thực không bằng 0).

15

Đường xoắn ốc vàng

A. I. PROKHOROV

Đo lường mọi thứ có thể thay đổi và làm cho mọi thứ không thể thay đổi.
Galileo Galilei

Họa tiết hình học hiện diện trong tranh của các họa sĩ vĩ đại. Các sơ đồ hình học với thứ tự lớn hơn hoặc nhỏ hơn được xem trong chính bố cục, điều này gây ra rất nhiều rắc rối. Chúng có thể được gọi là hình chóp, hình tròn, đường chéo, hình xoắn ốc, v.v., tùy thuộc vào hình dạng hình học làm cơ sở của bố cục. Trong trường hợp này, người nghệ sĩ thường hành động một cách trực quan và giả tạo, khám phá bố cục, khám phá cơ sở của nó và đưa bức tranh về một sơ đồ hình học đơn giản hóa. Ghi chú của chúng tôi là một ví dụ về nghiên cứu như vậy liên quan đến di sản nghệ thuật của Raphael Santi vĩ đại, người được kỷ niệm 500 năm vào năm ngoái.
Để tiến xa hơn, chúng ta sẽ cần di sản của Raphael Santi vĩ đại, người đã kỷ niệm sinh nhật lần thứ 500 vào năm ngoái.

Hai thiết kế hình học

Ngay cả người xưa cũng đã đưa vào xem xét tỷ lệ vàng - một cách phân chia (“phần”) của một đoạn có độ dài nhất định $a$ thành hai phần không bằng nhau $x$ và $y$, $a=x+y$, $x>y$, trong đó phần thay đổi liên quan đến phần lớn hơn giống như phần lớn hơn liên quan đến tổng thể, tức là $x:y=x:a$. Từ định nghĩa này suy ra

$$\frac{a-x}{x} = \frac{x}{a}$$

hoặc $x^2+ax-a^2=0$. Giải phương trình bậc hai này và loại bỏ nghiệm âm, ta tìm được

$$\frac{x}{a} = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0,62.$$

Tỷ lệ này thường được sử dụng trong kiến ​​trúc Hy Lạp cổ đại, ví dụ như trong việc xây dựng đền Parthenon nổi tiếng. Các kiến ​​trúc sư hiểu rằng trong nhận thức trực quan, một hình chữ nhật, tỷ lệ các cạnh của nó

16

được chọn theo tỷ lệ vàng, nó gợi lên sự hài hòa và yên bình tuyệt đẹp.

Ngược lại, sự triệt tiêu động lực và ý chí được thể hiện mạnh mẽ nhất ở một hình hình học đơn giản khác - hình xoắn ốc. Đường xoắn ốc là một đường phẳng được hình thành bởi một điểm chuyển động, điểm này di chuyển ra xa theo một định luật nhất định tính từ đầu tia và quay đều quanh gốc của nó. Nếu điểm di chuyển ra xa đều so với điểm gốc ($r=k\varphi$, trong đó $r$ là khoảng cách từ điểm gốc và $\varphi$ là góc quay của tia), thì thu được một đường xoắn ốc Archimedes. Nếu loại bỏ điểm theo định luật hàm mũ ($r=ke^{m\varphi}$, Hình 1), thì sẽ thu được một đường xoắn ốc logarit. Một trường hợp đặc biệt của đường xoắn ốc logarit là đường xoắn ốc vàng mà chúng ta quan tâm: nó thu được nếu điểm bắt đầu của tia và các tham số $k$ và $m$ của định luật hàm mũ được chọn sao cho đường xoắn ốc đi qua ba trong số bốn đỉnh của mỗi “hình chữ nhật vàng” được xây dựng tuần tự trong Hình 1.

Vấn đề. Tìm các tham số $k$ và $m$ cho đường xoắn ốc vàng.

“Tàu hoa hồng”

Trong bức tranh quan trọng này của I. I. Shishkin (Hình 2), có thể thấy rõ họa tiết của phần vàng. Một cây thông ngập nắng (đứng ở tiền cảnh) chia chiều dài của bức tranh theo tỷ lệ vàng. Bên phải cây thông là một gò đồi ngập nắng. Nó chia phần bên phải của bức ảnh theo chiều ngang theo tỷ lệ vàng. Ở bên trái của cây thông chính có rất nhiều cây thông - nếu muốn, bạn có thể tiếp tục chia hình ảnh theo tỷ lệ vàng thành công hơn nữa. Sự hiện diện của các chiều dọc và chiều ngang sáng trong ảnh, phân chia nó theo tỷ lệ vàng

Hình 1.

Hình 2.

17

tions, mang lại cho nó đặc tính cân bằng và hỗ trợ, phù hợp với ý định của nghệ sĩ.

Khi ý định của nghệ sĩ khác, chẳng hạn, nếu anh ta tạo ra một bức tranh với hành động phát triển nhanh chóng, thì sơ đồ bố cục hình học như vậy (với ưu thế là dọc và ngang) sẽ trở nên không thể chấp nhận được.

“Thảm sát người vô tội”

Bố cục nhiều hình (xem hình ở trang 15), do Raphael thực hiện vào năm 1509-1510, khi họa sĩ nổi tiếng tạo ra những bức bích họa của mình ở Vatican, được phân biệt chính xác bởi tính năng động và kịch tính của cốt truyện. Raphael chưa bao giờ hoàn thành kế hoạch của mình, tuy nhiên, bản phác thảo của ông đã được khắc bởi nghệ sĩ đồ họa nổi tiếng người Ý Marcantono Raimondi, người dựa trên bản phác thảo này đã tạo ra bản khắc “Vụ thảm sát những người vô tội” (Hình 3).

Trong bản phác thảo chuẩn bị của Raphael, chúng tôi đã vẽ các đường màu đỏ từ trung tâm ngữ nghĩa của bố cục - điểm mà các ngón tay của chiến binh cuộn quanh mắt cá chân của đứa trẻ - dọc theo hình của đứa trẻ, người phụ nữ ôm chặt cậu ấy, chiến binh với quả bóng lơ lửng, rồi dọc theo các hình của cùng một nhóm ở phía bên phải của bản phác thảo. Nếu bạn kết nối những mảnh này một cách tự nhiên bằng một đường chấm cong, thì với độ chính xác rất cao, bạn sẽ có được… một hình xoắn ốc màu vàng! Điều này có thể được kiểm tra bằng cách thay đổi tỷ lệ độ dài của các đoạn được cắt theo đường xoắn ốc trên các đường thẳng đi qua điểm đầu của đường cong.

Chúng ta không biết liệu Raphael có thực sự vẽ đường xoắn ốc vàng khi sáng tác bố cục “Vụ thảm sát những người vô tội” hay chỉ “cảm nhận” được nó. Tuy nhiên, có thể nói chắc chắn rằng thợ khắc Raimondi đã nhìn thấy hình xoắn ốc này. Điều này được chứng minh bằng các yếu tố mới trong bố cục mà ông đã thêm vào, nhấn mạnh sự đảo ngược của hình xoắn ốc ở những nơi mà nó chỉ được biểu thị bằng một đường chấm. Những yếu tố này có thể được nhìn thấy trong ống đồng cuối cùng của Raimondi: mái vòm của nơi này, siết cổ từ đầu người phụ nữ, nằm ở phía bên trái của bố cục và cơ thể nằm nghiêng của đứa trẻ nằm ở trung tâm của nó.

Raphael đã hoàn thành phần sáng tác ban đầu trong quá trình phân tán sức mạnh sáng tạo của mình khi anh ấy tạo ra những tác phẩm hoàn hảo được quan sát thấy của mình. Hiệu trưởng Trường Chủ nghĩa Lãng mạn, nghệ sĩ người Pháp Eugene Delacroix (1798-1863)

(Cuối cùng, xem trang 33)

Hình 3.

18

Các ngôi sao khác có hệ hành tinh không?

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học L. S. MAROCHNIK

Câu hỏi liệu các hệ hành tinh có tồn tại xung quanh ngôi sao nào khác ngoài Mặt trời trong Thiên hà của chúng ta hay không đã là vấn đề được quan tâm trong một thời gian dài. Bespocott, bởi vì nếu không có đáp số trên người, anh ta thậm chí không thể tiếp cận những vấn đề thú vị như nguồn gốc sự sống, sự tồn tại của các nền văn minh bên ngoài, v.v.

Nếu không có bằng chứng, thì ít nhất những lập luận xám xịt ủng hộ sự tồn tại của một hệ hành tinh (hoặc tiền hành tinh) gần sao Vega (và chòm sao Lyra) gần đây đã được đưa ra bởi vệ tinh Anh-Mỹ-Hà Lan IRAS (IRAS - Vệ tinh thiên văn hồng ngoại).

Người ta biết rằng cường độ tối đa trong quang phổ phát sáng của Vega xảy ra trong đám mây cực tím và khi bước sóng tăng thì cường độ sẽ giảm. Tuy nhiên, IRAS ghi nhận cường độ vượt quá lớn ở phần hồng ngoại của quang phổ. Điều này có nghĩa là các máy dò hồng ngoại của IRAS đã phát hiện một đám mây lạnh gồm các hạt rắn bao quanh Vega, được nung nóng đến nhiệt độ 90 K và có kích thước tính bằng milimét*, lớn hơn hàng nghìn lần so với kích thước của các hạt bụi trong môi trường liên sao thông thường.

Theo các nhà khoa học tiến hành thí nghiệm, chắc chắn phải có các hạt có kích thước lớn hơn trong khu vực và nếu sự phân bố của chúng giống như sự xuất hiện của các thiên văn trong Hệ Mặt trời, thì tổng khối lượng của đám mây xung quanh Vega gần bằng 0,001 $M_C$ (khối lượng của Mặt trời). Nhưng đây chính xác là một phần khối lượng của Hệ Mặt trời chiếm toàn bộ tập hợp các hành tinh lớn và nhỏ của nó.

Đường kính của đám mây xung quanh Vega vẫn được xác định rất thiếu chính xác. Người ta ước tính có gần 170 đơn vị thiên văn. Con số này xấp xỉ gấp đôi đường kính quỹ đạo của Sao Diêm Vương, hành tinh cuối cùng trong hệ mặt trời.

Rõ ràng, để không rơi xuống Vega, các hạt mây phải lăn tròn.

Vì vậy, bằng chứng đầu tiên đã thu được về sự tồn tại của “vật liệu rắn” quay quanh các ngôi sao.** Các chuyên gia của chương trình IRAS tin rằng các đám mây xung quanh Vega gần giống với các đám mây hình thành hành tinh ở giai đoạn tương đối sớm của hệ mặt trời. Giả thuyết này có vẻ hấp dẫn vì Vega còn khá trẻ - nó trẻ hơn Mặt trời 5 lần.

*) Các hạt có kích thước nhỏ hơn nên được bao quanh bởi Vega dưới tác dụng của áp suất ánh sáng của nó.

**) Các nguyên nhân khác có thể giải thích là do Vega xung quanh chịu ảnh hưởng từ áp suất ánh sáng của nó.

Nhà vật lý thiên văn Liên Xô I. S. Shklovsky đã đưa ra một lập luận đỏ khác ủng hộ giả thuyết này. Người ta biết rằng phần lớn hệ mặt trời tập trung ở Mặt trời, nhưng chuyển động quay của Mặt trời diễn ra chậm hơn nhiều so với chuyển động quay của các hành tinh xung quanh ngôi sao. Điều này có nghĩa là nếu có “vật chất rắn” quay quanh một hệ hành tinh (hoặc tiền hành tinh), thì bản thân ngôi sao phải quay chậm. Hóa ra các nhà thiên văn học nghiên cứu các ngôi sao gần đó từ lâu đã nhận thấy rằng Vega không quay (hoặc quay rất chậm), mặc dù các ngôi sao cùng loại (lớp quang phổ A) quay nhanh.

IRAS đã khảo sát khoảng 9.000 ngôi sao sáng trên bầu trời. Trong số này, chỉ có 450 ngôi sao sáng đến mức có thể được phát hiện bởi máy dò IRAS. Theo các chuyên gia, khoảng 50 trong số đó có thể là những hệ thống tương tự như Vega, nhưng vẫn chưa nhận được xác nhận cuối cùng.

Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Là một trong những người lãnh đạo thí nghiệm, George Aumann, lưu ý, nếu một vệ tinh như IRAS kiểm tra Mặt trời từ khoảng cách 30 năm ánh sáng (khoảng cách tới Vega là khoảng 26 năm ánh sáng), nó sẽ không thể phát hiện hệ hành tinh của chúng ta ngay cả ở mức độ nhạy mới. Từ “quan điểm hồng ngoại” của ông, Mặt trời có vẻ là một ngôi sao hoàn toàn bình thường và không thú vị.

19

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú được xuất bản bên dưới “Quỹ đạo, đường đi, sự dịch chuyển” dành cho tác phẩm kinh điển thứ tám, “Về các trạng thái tổng hợp của vật chất” - dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín, “Dao động điều hòa. Bổ sung dao động" - tác phẩm kinh điển thứ mười. Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Quỹ đạo, đường đi, chuyển động

Ba từ trong tựa đề của nốt nhạc này gắn liền với sự chuyển động của các vật thể (điểm vật chất). Hai loại shrika đầu tiên được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày, loại thứ ba được sử dụng chủ yếu trong khoa học về chuyển động của cơ thể - cơ học.

Quỹ đạo là một đường liên tục được mô tả bởi một điểm chuyển động. Nó có thể là những đường thẳng Một vật (điểm) chuyển động dọc theo quỹ đạo như vậy được gọi là chuyển động thẳng. Quỹ đạo có thể là một đường cong có hình dạng bất kỳ. Một vật chuyển động theo quỹ đạo như vậy trùng với chuyển động cong. Ví dụ, quỹ đạo của một vật thể rơi tự do so với Trái đất (nếu bỏ qua chuyển động quay của nó) là một đường thẳng đứng và quỹ đạo của một vệ tinh nhân tạo của Trái đất là một đường cong (hình tròn hoặc hình elip).

Nếu quỹ đạo được biết trước, thì nhiệm vụ của cơ học có thể là xác định điểm trên quỹ đạo nơi vật thể chuyển động được đặt vào lúc này hay lúc khác. Quỹ đạo có thể chưa biết thì bài toán là tìm loại quỹ đạo. Định luật chuyển động cho phép chúng ta giải cả bài toán.

Quãng đường mà một vật (điểm) di chuyển là độ dài quỹ đạo của nó (tính bằng mét, km, v.v.). Ví dụ, nó có thể được xác định bằng bộ đếm km trong tự động hóa.

Đối với cơ học lời giải bài toán, việc biết quãng đường đã đi thường là không đủ, và đây là lý do. Hiện tượng cơ thể chuyển động là tọa độ của cơ thể thay đổi theo thời gian. Đường dẫn có sự thay đổi tọa độ truyền thông không phải lúc nào cũng giống nhau. Thậm chí có thể quãng đường di chuyển không bằng 0 và độ thay đổi tọa độ bằng 0 (vật thể đã đi dọc theo một đường kín). Đó là lý do tại sao đường đi, như một quy luật, không được đưa vào phương trình cơ học.

Để mô tả chuyển động của một vật (điểm) trong cơ học (chính xác hơn là trong động học), một đại lượng vật lý khác được sử dụng - độ dịch chuyển. Chúng ta hãy nhớ lại rằng sự dịch chuyển là một đoạn đường có hướng (vectơ) nối một số vị trí ban đầu của chuyển động của điểm với một số vị trí tiếp theo (“Vật lý 8”, §3).

Tầm quan trọng của đại lượng đặc biệt này đối với cơ học xuất phát từ thực tế là hình chiếu của vectơ dịch chuyển trên các trục tọa độ bằng với độ biến thiên của tọa độ tương ứng (“Vật lý 8”, §5). Điều này có nghĩa là nếu biết vectơ dịch chuyển thì cũng có thể tìm được tọa độ của vật. Đúng, để làm được điều này, bạn cũng cần biết tọa độ ban đầu.

Câu hỏi đặt ra: không phải các mô đun khác của vectơ dịch chuyển và quãng đường di chuyển (cả hai đều là đại lượng vô hướng) bằng nhau sao? Hóa ra trong trường hợp chung - không, chúng không bằng nhau. Ví dụ: nếu một vật thể từ điểm A đến điểm B dọc theo một quỹ đạo có nửa đường tròn bán kính R, thì đường đi mà vật thể đó đi được là l=πR và mô-đun dịch chuyển |$\vec{s}$|=2R (Hình 1). Nếu vật không đi qua nửa vòng tròn mà quay hết một vòng (nửa sau của quỹ đạo được thể hiện trong Hình 1 của đường thẳng), thì đường đi

20

sẽ bằng 2lR và mô đun chuyển vị sẽ bằng 0. Chỉ trong một trường hợp, khi quỹ đạo của vật thể là một đường thẳng và vật thể chuyển động dọc theo quỹ đạo đó theo một hướng thì mô đun chuyển vị và quãng đường di chuyển bằng nhau.

Có một mối quan hệ đơn giản giữa lượng chuyển động và quãng đường di chuyển. Hãy để chúng tôi giải thích nó bằng ví dụ đã được thảo luận về chuyển động của cơ thể theo hình bán nguyệt. Chia quỹ đạo này thành các phần nhỏ 1, 2, 3, v.v. (Hình 2). Ở phần 1, đường đi của vật là độ dài cung Aa, độ dịch chuyển $\vec{s}_1$ về giá trị tuyệt đối bằng độ dài dây cung Aa. Trong phần 2, đường đi của vật thể là độ dài của cung ab và mô đun chuyển vị $\vec{s}_2$ là độ dài của dây cung ab, v.v. Chúng ta có thể tạo các phần mà chúng ta chia quỹ đạo sao cho trơn tru đến mức cung của phần đó khác một chút so với dây cung. Sau đó, như có thể thấy trong Hình 2, vectơ dịch chuyển tổng $\vec{s}$ bằng tổng các vectơ của các phần tử dịch chuyển $\vec{s}_1, \vec{s}_2, \vec{s}_3$, v.v.:

$$\vec{s} = \vec{s}_1 + \vec{s}_2 + \vec{s}_3 + \dots + \vec{s}_n,$$

và độ dài đường đi l bằng tổng đại số của các mô hình $|\vec{s}_1|, |\vec{s}_2|, |\vec{s}_3|$, v.v. của các chuyển vị nguyên tố:

$$l = |\vec{s}_1| + |\vec{s}_2| + |\vec{s}_3| + \dots + |\vec{s}_n|.$$

Về các trạng thái tổng hợp của vật chất

Lý thuyết động học phân tử về cấu trúc của vật chất - một trong những thành tựu vĩ đại nhất của khoa học vật lý - dựa trên ba nhận định: 1) mọi chất đều bao gồm các hạt - phân tử hoặc nguyên tử; 2) các hạt (phân tử, nguyên tử) trải qua chuyển động nhiệt ngẫu nhiên; 3) các hạt (phân tử, nguyên tử) tương tác với nhau. Lý thuyết này cho phép chúng ta hiểu rất nhiều hiện tượng, bao gồm cả thực tế về sự tồn tại của vật chất ở ba trạng thái kết tụ - rắn, lỏng, khí.

Tại sao các tập hợp các hạt hoàn toàn giống hệt nhau, ví dụ như các phân tử nước (H₂O), có thể tạo thành các vật thể dạng cột như băng, nước, hơi nước? “Lỗi” cho điều này là phát biểu thứ ba trong số các phát biểu trên làm nền tảng cho lý thuyết động học phân tử - phát biểu cho rằng lực tác dụng giữa các phân tử (“Vật lý 9”, §§ 4 và 5). Tuy nhiên, sẽ thuận tiện hơn khi giải thích sự tồn tại của các trạng thái tập hợp khác nhau bằng cách sử dụng ngôn ngữ không phải “lực” mà là “năng lượng”.

Chuyển động nhiệt của các phân tử được đặc trưng bởi động năng trung bình của chúng. Nó được biết là để xác định nhiệt độ cơ thể. Ví dụ, đối với các khí lý tưởng, nhiệt độ T và động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của các phân tử mv2/2 có liên hệ với các hệ thức sau:

$$\frac{m v^2}{2} = \frac{3}{2} k T,$$

trong đó k là hằng số Boltzmann ($k=1,38 \cdot 10^{-23}$ J/K). Động năng, cùng với nồng độ n của các phân tử (số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích), cũng xác định thông số macrosoppersia chính thứ hai của khí - áp suất p của nó:

$$p = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2}.$$

Nếu các phân tử chỉ có động năng, chúng sẽ tách ra theo mọi hướng (chuyển động của các phân tử rất hỗn loạn!) và chất đó sẽ chiếm toàn bộ thể tích có sẵn của nó. Trạng thái duy nhất có thể có của vật chất là trạng thái khí.

Sự tương tác của các phân tử (giống như bất kỳ tương tác nào) được đặc trưng bởi thế năng. Nó phụ thuộc vào khoảng cách giữa các phân tử. Nếu các phân tử chỉ có thế năng thì chúng sẽ chiếm những vị trí tương đối với nhau sao cho tổng các lực tác dụng lên mỗi phân tử so với các phân tử lân cận của nó sẽ bằng 0. Trong trường hợp này, thế năng tương tác giữa các phân tử sẽ là tối thiểu. Trạng thái duy nhất có thể có của vật chất là trạng thái rắn.

Không có phân tử nào chuyển động và tương tác đồng thời nên chúng có cả động năng và thế năng. Vì vậy, vật thể rắn, lỏng hay khí phụ thuộc vào tỷ lệ của các loại năng lượng thông thường. Và thay đổi điều này

21

sự tương ứng và dẫn đến sự chuyển đổi một chất từ ​​trạng thái này sang trạng thái khác.

Trạng thái rắn là trạng thái trong đó thế năng $W_p$ của sự tương tác giữa các phân tử lớn hơn so với động năng $W_k$:

$$W_p \gg W_k.$$

Làm thế nào có thể thay đổi tình trạng này? Ví dụ, làm nóng một chất rắn. Rõ ràng là khi được làm nóng, động năng của một bộ phận cơ thể tăng lên, nhưng thế năng của chúng thực tế không thay đổi. Bằng cách này, có thể đảm bảo rằng động năng trở nên xấp xỉ bằng thế năng. Sau đó, quá trình chuyển đổi từ trạng thái rắn sang trạng thái lỏng sẽ xảy ra, được đặc trưng bởi sự bằng nhau gần đúng của $W_p$ và $W_k$:

$$W_p \approx W_k.$$

Ở trạng thái này, thế năng vẫn đủ cao để các phân tử không thể bay xa nhau và động năng đã đạt đủ cao để các phân tử có được khả năng di chuyển nhất định, tức là khả năng chuyển động trong thể tích. Chất lỏng vẫn giữ nguyên thể tích nhưng trở nên chảy và do đó không giữ được hình dạng.

Chúng tôi sẽ tiếp tục cung cấp năng lượng, làm nóng chất lỏng ngay bây giờ. Động năng của các phân tử sẽ tăng lên và đến một lúc nào đó sẽ vượt quá thế năng tương tác hiện tại của chúng, do đó nó (thế năng) có thể bị vượt quá:

$$W_p \ll W_k.$$

Sáu sẽ chuyển sang trạng thái tương ứng với khí lý tưởng (“Vật lý 9”, § 6).

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta tiếp tục sưởi ấm bằng gas? Liệu việc tăng thêm động năng của các phân tử có dẫn đến một quá trình chuyển đổi tổng hợp khác không? Hóa ra là có. Nhưng chỉ vì phân tử (nguyên tử) không chỉ là những quả bóng rất nhỏ. Chúng là những hệ thống phức tạp gồm các bộ phận tích điện, thậm chí còn nhỏ hơn nguyên tử. Khi khí đạt đến nhiệt độ cao, sự va chạm của các bộ phận của nó dẫn đến việc các phân tử phân hủy thành nguyên tử và nguyên tử phân hủy thành các hạt tích điện cấu thành của chúng.

Kết quả là tạo ra một loại chất đặc biệt, bao gồm số lượng hạt tích điện dương và hạt bằng nhau (nói chung là trung hòa điện tử). Đây là trạng thái thứ tư của vật chất - plasma.

Không giống như các trạng thái kết tụ khác, plasma bao gồm các tương tác điện tử giữa hai phần. Đây là lý do tại sao tính chất của plasma khác biệt đáng kể so với tính chất của vật chất ở các trạng thái khác.

Violon hòa âm.

Chuyển động dao động là một chuyển động tuần hoàn, nghĩa là chuyển động trong đó tọa độ của vật lặp lại trong những khoảng thời gian nhất định (khoảng thời gian tối thiểu được gọi là chu kỳ dao động). Một ví dụ điển hình về dao động là chuyển động của một vật gắn với một vòng tròn (“Vật lý 10”, §§ 2 và 4). Chuyển động này của lớp này là do độ đàn hồi $F_x = -kx$, thay đổi từ điểm này sang điểm khác nên gia tốc của vật cũng thay đổi. Khi chuyển động, một vật dao động cũng đi qua vị trí mà lực tác dụng lên nó bằng không. Đây là vị trí cân bằng; nó đóng vai trò là tâm dao động. Độ lệch tối đa của vật so với vị trí cân bằng được gọi là biên độ dao động.

Vì lực đàn hồi là lực thay đổi nên giải phương trình định luật II Newton

$$-kx = ma_x$$

và không thể tìm ra tọa độ $x$ thay đổi như thế nào theo thời gian bằng đại số tổng quát. Do đó, chúng ta sẽ tạm thời thay thế vật lý bằng hình học và xem xét một chuyển động hoàn toàn khác, nhưng “giống như hai hạt đậu trong một cái vỏ”, nó tương tự như chuyển động của một vật thể được giữ với nhau bằng một sợi dây.

Để một vật thể nào đó (điểm vật chất) chuyển động với vận tốc góc không đổi $\omega$ dọc theo một đường tròn có bán kính $A$ (Hình 1). Chuyển động tròn cũng là chuyển động tuần hoàn, vì tại những khoảng thời gian nhất định $T = 2\pi/\omega$ (chu kỳ quay) vật sẽ ở cùng một vị trí trên đường tròn. Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét chuyển động không phải của bản thân điểm mà của chuyển động của nó.

22

hình chiếu lên đường kính XX của đường tròn. Rõ ràng ngay rằng khi một điểm di chuyển dọc theo một đường tròn, hình chiếu của nó di chuyển dọc theo đường kính XX và chuyển động này là vị trí thực tế của chuyển động của vật gắn với lò xo. Di chuyển dọc theo đường kính, hình chiếu di chuyển ra xa tâm đường tròn đến một khoảng không lớn hơn bán kính A. Do đó, ta có thể nói rằng hình chiếu dao động với biên độ A. Tâm của đường tròn O ở đây đóng vai trò giống như vị trí cân bằng trong thí nghiệm với một lò xo. Chu kỳ quay của một điểm dọc theo một đường tròn đồng thời là chu kỳ dao động của hình chiếu của nó. Nhưng nếu đối với một điểm chuyển động tròn, $\omega$ là vận tốc góc, thì đối với hình chiếu $\omega$ thì đó là cái gọi là tần số tuần hoàn, tức là số dao động trong 2π giây:

$$\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi v.$$

Ở đây $v$ là tần số dao động, tức là số lần dao động trong một giây.

Giả sử rằng tại một thời điểm nào đó, chúng ta lấy thời điểm ban đầu ($t=0$), một điểm di chuyển dọc theo một vòng tròn ở vị trí $M_0$ (Hình 2). Chúng ta hãy vẽ vectơ $\overrightarrow{OM_0}$ từ tâm đường tròn cũng như từ gốc tọa độ. Nó được gọi là vectơ bán kính (mô đun của vectơ này là A). Vectơ bán kính xác định vị trí của một điểm trên đường tròn và hình chiếu của đầu của nó lên đường kính XX xác định vị trí hình chiếu $M'_0$ của điểm, tức là tọa độ $x_0$ của hình chiếu này, trừ đi tâm của đường tròn O. Chuyển động của một điểm dọc theo đường tròn đồng thời có nghĩa là sự quay của vectơ bán kính quanh tâm O với cùng vận tốc góc $\omega$. Từ Hình 2 có thể thấy tọa độ ban đầu $x_0$ của hình chiếu bằng A cos $\varphi_0$, trong đó $\varphi_0$ là góc được đo từ trục X ngược chiều kim đồng hồ với vectơ $\overrightarrow{OM_0}$.

Giả sử sau một khoảng thời gian $t$ một điểm di chuyển dọc theo đường tròn có kết thúc bằng M và hình chiếu của nó kết thúc bằng $M'$. Góc quay của vectơ bán kính tăng $\Delta\varphi=\omega t$ và trở thành bằng $\Delta\varphi+\varphi_0$. Tọa độ $x$ của hình chiếu của điểm bây giờ bằng

$$x=A \cos(\Delta\varphi+\varphi_0)=A \cos(\omega t+\varphi_0).$$

Công thức

$$x=A \cos(\omega t+\varphi_0)$$

và cho thấy tọa độ $x$ của hình chiếu di chuyển dọc theo đường tròn của một điểm, tức là tọa độ của điểm dao động, phụ thuộc vào thời gian. Những dao động trong đó tọa độ của vật dao động (điểm) phụ thuộc vào thời gian theo định luật (*) gọi là dao động điều hòa. Giá trị $\varphi=\omega t+\varphi_0$ được gọi là pha dao động và $\varphi_0$ là pha ban đầu.

Như chúng ta đã nói, chuyển động của hình chiếu của phần cuối của vectơ bán kính lên đường kính của hình tròn trong toàn bộ vị trí dựa trên chuyển động của vật gắn với lò xo. Điều ngược lại cũng đúng: chuyển động của một vật gắn với một lò xo giống như chuyển động của hình chiếu của một điểm chuyển động dọc theo đường tròn lên đường kính của đường tròn này. Do đó, mỗi vật dao động có thể được liên kết với một vectơ bán kính quay, hình chiếu của phần cuối của nó là vật dao động (điểm). Điều này được thể hiện trên Hình 3 đối với trường hợp một vật được gắn vào một lò xo nằm ngang.

Thông báo vừa được thể hiện cho phép chúng tôi giải quyết một vấn đề quan trọng bài toán về việc cộng các dao động xảy ra dọc theo một đường thẳng và có cùng tần số. Ví dụ, khi vị trí cân bằng xung quanh vật thể là hoàn hảo

23

dao động thì bản thân nó dao động cùng tần số và cùng một đường thẳng. Hãy nói theo cách này: một vật thể được kết nối với một lò xo dao động trên một bệ, bản thân lò xo này cũng dao động tương ứng với một hệ thống báo cáo cố định.

Giả sử chúng ta cần cộng hai dao động này:

$$x_1 = A_1 \cos(\omega t + \varphi_0),$$
$$x_2 = A_2 \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Như có thể thấy từ các công thức đã viết, dao động có thể khác nhau về biên độ ($A_1$ và $A_2$) và các pha ban đầu ($\varphi_01$ và $\varphi_02$). Để tìm hiểu điều gì xảy ra do phép cộng, chúng ta hãy mô tả các vectơ bán kính $\vec{A}_1$ và $\vec{A}_2$ tương ứng với các dao động được thêm vào của công cụ quay như thể chúng đi vào thời điểm ban đầu và hiển thị các vòng tròn mà các đầu của chúng di chuyển dọc theo (Hình 4; để đơn giản, hình này hiển thị các vòng tròn không hoàn chỉnh). Rõ ràng, dao động ngắt kết quả sẽ xảy ra với cùng tần số $\omega$, nhưng với biên độ khác và pha ban đầu khác:

$$x = A \cos(\omega t + \varphi_0).$$

Chúng ta nhận được các giá trị $A$ và $\varphi_0$ nếu chúng ta thêm các vectơ $\vec{A}_1$ và $\vec{A}_2$ theo quy tắc hình bình hành. Đường chéo của hình bình hành $A = |\vec{A}|$ là biên độ của dao động toàn phần và góc $\varphi_0$ mà vectơ $\vec{A}$ tạo với trục $X$, là pha ban đầu của dao động này.

Theo định lý cosine nổi tiếng, chúng ta có thể viết

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2 \cos OA_1A,$$

ở đâu $OA_1A = 180^\circ - A_2OA_1 = 180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)$. Vì $\cos(180^\circ - (\varphi_02 - \varphi_01)) = -\cos(\varphi_02 - \varphi_01)$ thì

$$A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_02 - \varphi_01).$$

Do đó, kết quả của việc cộng hai dao động phụ thuộc vào độ lệch pha của các thành phần dao động. Vì các dao động xảy ra với cùng tần số nên độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1$ của các dao động tại bất kỳ thời điểm nào cũng bằng độ lệch pha $\varphi_02 - \varphi_01$ của các pha ban đầu.

Hai trường hợp cực đoan được đặc biệt quan tâm:

1. Độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1 = 0$ (hoặc $2\pi$, $4\pi$, v.v.). Những dao động có cùng pha tại mọi thời điểm được gọi là cùng pha. Trong trường hợp này, $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = 0$ và $A^2 = A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2$ hoặc $A = A_1 + A_2$ - biên độ của dao động thu được bằng tổng biên độ của các dao động cộng thêm. Nói cách khác, dao động là kết quả của phép cộng.

2. Độ lệch pha $\varphi_2 - \varphi_1 = \pi$ (hoặc $3\pi$, $5\pi$, v.v.). Những dao động như vậy được cho là có pha ngược nhau (dao động ngược pha). Trong trường hợp này, $\cos(\varphi_02 - \varphi_01) = \cos(\varphi_2 - \varphi_1) = -1$ và $A^2 = A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2$ hoặc $A = A_1 - A_2$ - dao động thu được bị suy yếu: biên độ bằng chênh lệch biên độ của các dao động thành phần. Nếu $A_1 = A_2$, thì biên độ của dao động thu được bằng 0, tức là không có dao động nào cả: một dao động “dập tắt” một dao động khác.

Ở trạng thái này, một trong những đặc tính quan trọng nhất của rung động là khi thêm vào, chúng có thể bị nén lại hoặc yếu đi. Tính chất này đóng vai trò quan trọng trong các quá trình sóng (“Vật lý 10”, § 36).

Từ Hình 4, có thể dễ dàng thu được giá trị pha ban đầu $\varphi_0$ của dao động thu được:

$$tg \varphi_0 = \frac{A_1 \sin \varphi_01 + A_2 \sin \varphi_02}{A_1 \cos \varphi_01 + A_2 \cos \varphi_02}.$$

24

Toán 8,9,10

Ghi chú “Bảng số hỗn hợp” được xuất bản dưới đây nhằm mục đích sử dụng chủ yếu các số, nghĩa là để làm rõ câu hỏi chúng là đơn giản hay phức hợp. Đối với các số nguyên tố không quá 6000 có bảng so sánh toán tiểu học. Nhưng nếu chúng ta đang xử lý một số tổng hợp hoặc với một số nằm ngoài bảng số nguyên tố mà các dấu hiệu chia hết cho 2, 3 và 5 đã biết không áp dụng, thì việc phân tích nó có thể trở nên khá tốn công sức. Ví dụ: việc xác định xem số 10607 là số nguyên tố hay hợp số chỉ có thể được thực hiện bằng cách thử hơn hai chục thừa số nguyên tố, bắt đầu bằng 7 và kết thúc bằng 101.

Để làm cho điều này bài toán dễ dàng hơn và giúp chúng ta không cần phải phân tích các số bằng cách liệt kê tuần tự các ước nguyên tố, chúng ta có thể sử dụng bảng phân tách các hợp số không phải là bội số của 2, 3 và 5 thành các thừa số nguyên tố từ 7 đến 101. Với sự trợ giúp của nó, bạn có thể phân tích tất cả các số tổng hợp khác có thừa số vượt quá 101, miễn là không có nhiều hơn một thừa số như vậy và các thừa số còn lại được bao gồm trong chuỗi đã chỉ định. Sử dụng bảng này, bạn cũng có thể xác định các số nguyên tố nếu chúng nhỏ hơn 103². Về nguyên tắc, bao gồm một tập hợp vô hạn các số, nó cho phép phân tích các số có tối đa năm chữ số mà không cần dùng đến ghi chú.

Hàng trên cùng của bảng chứa các thừa số nguyên tố từ 7 đến 101. Cột ngoài cùng bên phải là dãy số có hai chữ số tăng dần, không có số tận cùng bằng 0, 2, 4, 5, 6, 8. Sau này, chúng ta sẽ biểu thị các số có hai chữ số này bằng ký hiệu $R$. Chúng ta biểu thị các số còn lại trong bảng bằng ký hiệu $Q_T$.

Quy tắc sử dụng bảng ký hiệu bằng cách sử dụng ví dụ về các số 3827, 5251 và 51620. Hãy phân tích số 3827. Để làm điều này, hãy chia nó với phần dư cho 100. Chúng ta lấy phần còn lại của số 27. Đây là giá trị $R$ của số đã cho mà chúng ta nhập vào bảng. Thương số là 38. Đây là độ lớn $Q$ của số đã cho. Để tìm các thừa số nguyên tố của một số cho trước cần tìm ở hàng $R=27$ của bảng

Bảng tổng hợp số

| 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 | 61 | 67 | 71 | 73 | 79 | 83 | 89 | 97 | 101 | $R$ |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |

| 3 | 10 | 10 | 9 | 15 | 20 | 20 | 22 | 27 | 25 | 3 | 39 | 9 | 23 | 25 | 2 | 22 | 27 | 15 | 39 | 8 | 32 | 1 | 01 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| 2 | 8 | 4 | 10 | 7 | 14 | 2 | 4 | 7 | 34 | 9 | 23 | 27 | 10 | 14 | 6 | 66 | 8 | 45 | 34 | 24 | 96 | 3 | 03 |
| 0 | 4 | 5 | 12 | 10 | 2 | 24 | 30 | 4 | 11 | 21 | 38 | 10 | 43 | 53 | 14 | 12 | 43 | 26 | 24 | 56 | 30 | 7 | 07 |
| 6 | 2 | 12 | 13 | 2 | 19 | 6 | 12 | 21 | 20 | 27 | 22 | 28 | 30 | 42 | 18 | 56 | 24 | 56 | 19 | 72 | 94 | 9 | 09 |
| 5 | 0 | 6 | 14 | 13 | 13 | 17 | 25 | 1 | 29 | 33 | 6 | 46 | 17 | 31 | 22 | 29 | 5 | 7 | 14 | 88 | 61 | 11 | 11 |
| 4 | 9 | 0 | 15 | 5 | 7 | 28 | 7 | 18 | 38 | 39 | 37 | 11 | 4 | 20 | 26 | 2 | 59 | 37 | 9 | 15 | 28 | 13 | 13 |
| 2 | 5 | 1 | 0 | 8 | 18 | 21 | 2 | 15 | 15 | 8 | 5 | 47 | 37 | 59 | 34 | 19 | 21 | 18 | 82 | 47 | 59 | 17 | 17 |
| 1 | 3 | 8 | 1 | 0 | 12 | 3 | 15 | 32 | 24 | 14 | 36 | 12 | 24 | 48 | 38 | 63 | 2 | 48 | 77 | 63 | 26 | 19 | 19 |
| 0 | 1 | 2 | 2 | 11 | 6 | 14 | 28 | 12 | 33 | 20 | 20 | 30 | 11 | 37 | 42 | 36 | 56 | 78 | 72 | 79 | 90 | 21 | 21 |
| 6 | 10 | 9 | 3 | 3 | 0 | 25 | 10 | 29 | 1 | 26 | 4 | 48 | 57 | 26 | 46 | 9 | 37 | 29 | 67 | 6 | 57 | 23 | 23 |
| 4 | 6 | 10 | 5 | 6 | 11 | 18 | 5 | 26 | 19 | 38 | 19 | 31 | 31 | 4 | 54 | 26 | 72 | 10 | 57 | 38 | 88 | 27 | 27 |
| 3 | 4 | 4 | 6 | 17 | 5 | 0 | 18 | 6 | 28 | 1 | 3 | 49 | 18 | 54 | 58 | 70 | 53 | 40 | 52 | 54 | 55 | 29 | 29 |
| 2 | 2 | 11 | 7 | 9 | 22 | 11 | 0 | 23 | 37 | 7 | 34 | 14 | 5 | 43 | 62 | 43 | 34 | 70 | 47 | 70 | 22 | 31 | 31 |
| 1 | 0 | 5 | 8 | 1 | 16 | 22 | 13 | 3 | 5 | 13 | 18 | 32 | 51 | 32 | 66 | 16 | 15 | 21 | 42 | 86 | 86 | 33 | 33 |
| 6 | 7 | 6 | 10 | 4 | 4 | 15 | 8 | 0 | 23 | 25 | 33 | 15 | 25 | 10 | 7 | 33 | 50 | 2 | 32 | 29 | 20 | 37 | 37 |
| 5 | 5 | 0 | 11 | 15 | 21 | 26 | 21 | 17 | 32 | 31 | 17 | 33 | 12 | 60 | 11 | 6 | 31 | 32 | 27 | 45 | 84 | 39 | 39 |
| 4 | 3 | 7 | 12 | 7 | 15 | 8 | 3 | 34 | 0 | 37 | 1 | 51 | 58 | 49 | 15 | 50 | 12 | 62 | 22 | 61 | 51 | 41 | 41 |
| 3 | 1 | 1 | 13 | 18 | 9 | 19 | 16 | 14 | 9 | 0 | 32 | 16 | 45 | 38 | 19 | 23 | 66 | 13 | 17 | 77 | 18 | 43 | 43 |
| 1 | 8 | 2 | 15 | 2 | 20 | 12 | 11 | 11 | 27 | 12 | 0 | 52 | 19 | 16 | 27 | 40 | 28 | 73 | 7 | 20 | 49 | 47 | 47 |
| 0 | 6 | 9 | 16 | 13 | 14 | 23 | 24 | 28 | 36 | 18 | 31 | 17 | 6 | 5 | 31 | 13 | 9 | 24 | 2 | 36 | 16 | 49 | 49 |

25

tìm giá trị $Q_T$ thỏa mãn điều kiện

$$\frac{Q-Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(1)

trong đó $d$ là ước số nguyên tố trong cột của giá trị tìm thấy $Q_T$.

Trong hàng $R=27$, điều kiện (1) tương ứng với các giá trị bảng $Q_T=38$ trong cột ước số $d=89$ và $d=43$. Đây là các thừa số nguyên tố của số đã cho $(89 \times 43=3827)$.

Bây giờ chúng ta hãy phân tích số 5251. Khi chia nó cho 100, chúng ta được thương $Q=52$ và số dư $R=51$. Đối với các số có $R>49$, chúng ta gộp $R$ vào bảng, nhập giá trị “giảm” $R'=100-R$, tức là trong trường hợp này là $R'=100-51=49$. Trong trường hợp này, cùng với điều kiện (1), phải đáp ứng các điều kiện sau:

$$\frac{Q'+Q_T}{d} = \text{целое число},$$

(2)

ở đâu $Q'=Q+1$. Trong trường hợp này $Q'=52+1=53$.

Trong hàng $R=49$, điều kiện (2) được đáp ứng bởi $Q_T=36$, trong cột ước số $d=89$ $(53+36=89)$ và $Q_T=6$ trong cột ước số $d=59$ $(53+6=59)$. Do đó, các thừa số nguyên tố của một số đã cho là $89 \times 59=5251$.

Số đó là 51620. Sau khi chia cho 20, tất cả những gì còn lại là phân tích số 2581. Đây $R=81$. Vì vậy, $R'=100-81=19$, $Q=25$. Vì vậy, $Q'=25+1=26$.

Điều kiện (2) ở đây được ghi bằng $Q_T=63$ trong cột chia $d=89$ và $Q_T=3$ trong cột chia $d=29$. Vì vậy, $89 \times 29 \times 20=51620$.

Lưu ý rằng ước chung của cả ba số là số nguyên tố 89.

Sử dụng bảng, không khó để xác định số 10607 nêu trên là số nguyên tố. Thật vậy, trong hàng $R=07$ không có một giá trị nào $Q_T$ mà khi trừ từ $Q=106$ sẽ thỏa mãn điều kiện (1).

V. S. Khitruk

Có khả năng đương đầu với những nhiệm vụ khó khăn

Học sinh lớp 6 đã quen thuộc với công thức tính bình phương tổng hoặc hiệu của hai số. Không khó để học cách tách một hình vuông hoàn hảo khỏi một biểu thức đại số, “nhận dạng” nó và sau đó rút ra nghiệm. Những hành động này thường giúp ích cho lời giải cụ thể bài toán. Tất nhiên, bài toán bên dưới cho phép các phương pháp khác lời giải, tuy nhiên, việc biết cách sử dụng các ví dụ được chỉ định sẽ giúp người nộp đơn “tiết kiệm” thời gian rất cần thiết cho bài kiểm tra.

Rút gọn biểu thức

Ví dụ 1 (MSU, cơ chế, 1978). Hiệu $\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}-\sqrt{40\sqrt{2}+57}$ là số nguyên. Tìm số này.

Trong cuốn sách của Yu. V. Nesterenko, S. N. OLEXNIK, M. K. Potapov “Bài toán kỳ thi tuyển sinh môn toán” (M., Nauka, 1980), các tác giả biểu thị số mong muốn bằng $x$, nhận thấy rằng $x$ là một trong các số 10 hoặc -10 và bằng cách so sánh số bị trừ và bị trừ, họ đi đến kết luận rằng $x=-10$ (tr. 132).

Hãy giải ví dụ tương tự bằng cách chọn một hình vuông hoàn chỉnh; ví dụ này sẽ hữu ích cho chúng ta sau này.

$$A=\sqrt{40\sqrt{2}+57}=\sqrt{25+40\sqrt{2}+32}=\sqrt{(5+4\sqrt{2})^2}=5+4\sqrt{2},$$

$$B=\sqrt{|40\sqrt{2}-57|}=\sqrt{|(5-4\sqrt{2})^2|}=-5+4\sqrt{2}.$$

Vì vậy, $B-A=-10$.

Ví dụ 2 (MSU, cơ chế, 1969; KPI, 1980). Đơn giản hóa:

$$\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}.$$

Lời giải:

$$A=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}+1-1}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}+1-1}=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|=\sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|.$$

Rõ ràng là $x \geqslant 1$;

a) với $2 \geqslant x \geqslant 1$, ta có

26

$$A = \sqrt{x-1} + 1 - \sqrt{x-1} + 1 = 2;$$
6) tại $x \geqslant 2$
$$A = \sqrt{x-1} + 1 + \sqrt{x-1} - 1 = 2\sqrt{x-1}.$$
Ví dụ 3 (KPI, 1980). Đơn giản hóa:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1}.$$
Lời giải:
$$\frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha - 1}{\sin^6 \alpha + \cos^6 \alpha - 1} = \frac{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha + 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1}{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 3 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha - 1} = \frac{2}{3}.$$
Lời giải phương trình
Đối với lời giải phương trình vô tỷ, người ta không nên vội bình phương chúng; thật đáng để xem liệu có thể cô lập nó không?
Ví dụ 4 (KPI, 1979). Giải phương trình:
$$\sqrt{x-2} + \sqrt{2x-5} + \sqrt{x+2+3\sqrt{2x-5}} = 7\sqrt{2}.$$
Lời giải:
chúng tôi có
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 2\sqrt{2x-5} + 1) + \sqrt{2x-5} + 6\sqrt{2x-5} + 9) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{(\sqrt{2x-5}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{2x-5}+3)^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|\sqrt{2x-5}+1| + |\sqrt{2x-5}+3|).$$
Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình
$$\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2x-5} + 1 + \sqrt{2x-5} + 3) = 7\sqrt{2}$$
hoặc $2\sqrt{2x-5} = 10$, từ đâu $x = 15$.
Ví dụ 5 (KSU, Khoa Kinh tế, 1978). Giải phương trình:
$(\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}})^{2x} + 2^{2x+3} = 144.$
Lời giải:
chúng tôi có
$$\sqrt{4+2\sqrt{3}} = \sqrt{3+2\sqrt{3}} + 1 = \sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} = \sqrt{3}+1;$$
tương tự như $\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$. Do đó, phương trình đã cho sẽ có dạng
$$4^x + 8\cdot 4^x = 144, x = 2.$$
Ví dụ 6 (MSU, 1978, Khoa Ngữ văn). Số $\alpha$ được chọn sao cho phương trình $\sqrt{x-\sqrt{3}} + \alpha^2 x^2 + 2\alpha x(\sqrt{6}-\sqrt{3}) = 6\sqrt{2}-9$ có lời giải. Tìm lời giải.
Lời giải: Biểu thị $x_1$ nghiệm của phương trình. Sau đó $x_1 \neq 0$ và $\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + \alpha^2 x_1^2 + 2\alpha x_1(\sqrt{6}-\sqrt{3}) - 6\sqrt{2}+9 = 0$, hoặc
$$\alpha^2 + 2\alpha \left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right) + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}} + 9 - 6\sqrt{2}}{x_1^2} = 0.$$
Chúng ta hãy chọn một hình vuông hoàn chỉnh đối với các số $x_1$ và $\alpha$. chúng tôi có
$$\left(\alpha + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{3}}{x_1}\right)^2 + \frac{\sqrt{x_1-\sqrt{3}}}{x_1^2} = 0.$$
Vì mỗi số hạng không âm nên $x_1 = \sqrt{3}$ và $\alpha = 1 - \sqrt{2}$.
Ví dụ 7. Giải phương trình $\sin^2 x + \sin^2 y = \sin x \sin y + \sin x \sin y - 1.$
Lời giải: Phương trình này tương đương với:
$(\sin^2 x - 2 \sin x + 1) + (\sin^2 y - 2 \sin y + 1) + (\sin^2 x + \sin^2 y - 2 \sin x \sin y) = 0$ hoặc $(\sin x - 1)^2 + (\sin y - 1)^2 + (\sin x - \sin y)^2 = 0$, từ đâu $x = \sin y = 1$, $x = \sin y$. Do đó, phương trình lời giải sẽ có dạng bất kỳ cặp nào
$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, y = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, k, n \in Z.$$
Bài tập

1. (MSU, 1979, Khoa Kinh tế) Giải phương trình: $\log_{3x+7}(9+12x+4x^2) + \log_{2x+3}\times(6x^2+23x+21) = 4.$
2. (KSU, 1978, Khoa Hóa học) Giải phương trình: $(\sqrt{6+2\sqrt{5}} - \sqrt{6-2\sqrt{5}})^{2x} + 2^{2(x+1)} = 320.$
3. (MSU, 1965, cơ học) Tìm tất cả các cặp số thỏa mãn phương trình
   $$\cos x + \cos y - \cos(x+y) = \frac{3}{2}.$$
4. (KSU, 1973, cơ học) Giải bất đẳng thức $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} - \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} \geq 3.$
5. (MSU, 1982, Khoa Sinh học) Tìm giá trị lớn nhất và lớn nhất của hàm số
   $$y(x) = x + \sqrt{(x^2+6x+9)(x^2+2x+1)}$$
   trên đoạn $[-4; -\frac{5}{4}].$

I. A. Kushinr

28

lớp 9

6. Có bao nhiêu loại tam giác khác nhau có góc $\frac{360^\circ}{k}, \frac{360^\circ}{l}, \frac{360^\circ}{m}$, trong đó $k, l, m$ là số tự nhiên?

7. Bên trong một góc có đỉnh $A$ cho trước một điểm $P$. Dựng một góc vuông với đỉnh tại điểm $P$ sao cho các tam giác $APE$ và $APF$ đều bằng nhau ($E$ và $F$ là giao điểm của các cạnh của góc vuông với các cạnh của góc đã cho).

8. Độ dài các đường trung tuyến của tam giác $ABC$ là $m_a, m_b$ và $m_c$. Tìm các cạnh và các góc của tam giác $ABC$.

9. Với những giá trị nào của $x$ thì có các số $y$ và $z$ thỏa mãn hệ
   $$\begin{cases} \frac{x}{y} = x - z, \\ \frac{x}{z} = x - y. \end{cases}$$

10. Tìm số tiền
    a) $1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1)$;
    b) $1 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + 3 \cdot 4 \cdot 5 + \dots + n(n+1)(n+2)$;
    b) $1 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 6 + 3 \cdot 5 \cdot 7 + \dots + n(n+2)(n+4)$.

11. Các vòng tròn được xây dựng trên các cạnh của tam giác này, cũng như trên đường kính. Độ dài các đoạn tiếp tuyến chung của các đường tròn này bằng $k, l, m$. Tìm chu vi của hình tam giác.

12. Bốn hình tam giác đều được tạo bởi các cạnh bên của một đường thẳng tứ giác đều. Tìm tỉ số thể tích của đường thẳng này với thể tích của một tứ diện gồm bốn hình tam giác giống nhau.

13. Trong tam giác này, hãy nội tiếp một hình lục giác sao cho các cạnh đối diện của hình lục giác đó bằng nhau và song song, ba cạnh này nằm trên các cạnh của tam giác và các đường chéo cắt nhau tại một điểm cho trước bên trong tam giác.

14. Hai du khách lên tàu trên cùng một tuyến đường, ngược chiều nhau, khởi hành cùng một lúc. Các chuyến tàu khởi hành từ ga khởi hành cứ sau 15 phút theo cả hai hướng. Tàu hướng Đông về sau 3 giờ, tàu hướng Tây về sau 2 giờ. a) Trên đường đi mỗi du khách đã gặp bao nhiêu chuyến tàu? 6) Du khách nào đã gặp bao nhiêu chuyến tàu nếu họ học cách đếm những chuyến tàu sắp tới kể từ thời điểm hai chuyến tàu của họ gặp nhau?

15. Chứng minh rằng nếu $a$ và $b$ là các số nguyên tố cùng nhau thì với một số nguyên dương $n \leqslant b$ thì số $a^n - 1$ chia hết cho $b$.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi A. A. Egorov

Lễ hội mùa thu truyền thống của các nhà toán học trẻ
(Để bắt đầu, xem trang 8)

Nhưng ngay cả thời tiết này cũng không thể giải tán được những nhóm trẻ em tụ tập đông đúc vào buổi sáng trong những ngày hội nghị trước các lớp nơi diễn ra hội nghị. Các báo cáo được đọc đồng thời thành ba phần - điều này là do sự phong phú cũng như sự đa dạng về cấp độ và chủ đề của chúng.

Xin mời thính giả chú ý nhất đến phần trình bày của các anh chàng về cách giải quyết các vấn đề bài toán khó thú vị của chính mình. Ví dụ, Denis Kosygin (MSH tại Đại học quốc gia Moscow) đã chứng minh rằng tổng các chữ số của các số trong dãy $2^n$ (và $5^n$) có xu hướng tiến đến vô cùng, Elena Shashkova (trường dạy nghề số 13, Leningrad) đã giải được bài toán hình học bài toán về việc ước tính chiều rộng của một cánh cửa và một hành lang, cho phép người ta kéo một cái bàn có kích thước cho trước sang một bên, và Nikolai Grigoriev (thứ cấp) trường số 57, Mátxcơva) nói về cách tô bóng bằng các đoạn. Một số người tham gia hội nghị đã trình bày những thành tựu của họ trong lĩnh vực toán học, vượt xa đáng kể phạm vi khóa học ở trường - tất nhiên, họ phải hạn chế nêu bài toán và giải thích kết quả. Trong số này

các báo cáo khoa học thú vị nhất được dành cho đại số (ví dụ, Oleg Matveev từ Sverdlovsk đã nói về việc ước tính số nghiệm của đa thức từ một ma trận, Alexey Rodin từ Trường Vật lý và Toán học tại Đại học Tổng hợp Moscow đã nói về công thức tính định thức); Ban giám khảo cũng thích báo cáo của Boris Muzikantsky (s. sh. Số 57, Moscow) về một số vấn đề của logic toán học.

Ngày càng có nhiều học sinh quan tâm đến lập trình; một số báo cáo ở Batumi có liên quan đến các thí nghiệm tính toán (công việc của cư dân Sverdlovsk), với các thuật toán trong quá trình phát triển mà các diễn giả tham gia (một số báo cáo thú vị về vấn đề này đã được trình bày bởi các thành viên câu lạc bộ lập trình viên trẻ “UTA” từ Tallinn, một phần, họ đã nghiên cứu các mô hình làm quen với vòng và quầy hoặc, ví dụ, trao đổi sách).

Vào đêm trước nghi thức bế mạc kỳ nghỉ, bạn bè sẽ tổ chức một buổi tối truyền thống - có lẽ là điểm mang tính biểu tượng nhất của chương trình. Các chàng trai đã ra đi, làm giàu không chỉ với những kiến ​​\u200b\u200bthức thú vị, bổ sung và mới mà còn với những người bạn mới từ các thành phố khác nhau. Và tình bạn bền chặt nhất có lẽ được thiết lập bởi những người “chuyên hẹn hò và trao đổi” đến từ Tallinn; Vào mùa đông kankikh họ có khách đến từ Khoa Y của Đại học Tổng hợp Moscow.

N. B. Vasiliev, V. N. Dubrovsky

29

Bài tập

1. Có thể trong số 400 chữ số 84198419…8419 có thể gạch bỏ một số chữ số ở đầu và cuối sao cho tổng các chữ số còn lại bằng 1984?

2. Đặt các số không bằng 0 vào các ô của bảng 4x4 sao cho tổng các số ở các góc của mỗi hình vuông 2x2, 3x3 và 4x4 đều bằng 0.

3. Các số trong dãy là 1 2…100. Hai người chơi lần lượt đặt các dấu +, - và × giữa họ (ký hiệu tiếp theo có thể được đặt trên bất kỳ khoảng trống nào). Chứng minh rằng người chơi thực hiện nước đi đầu tiên (và do đó là nước đi cuối cùng) có thể đảm bảo rằng kết quả cuối cùng là số lẻ.

4. 175 Shaltayev đắt hơn 125 Boltaev, nhưng rẻ hơn 126 Boltaev. Chứng minh rằng không có đủ rúp để mua 3 Shaltai và 1 Boltai nếu mỗi Shaltai và mỗi Boltai có giá một số nguyên kopecks.

5. Các liên kết AB và CD của tứ giác ABCD có bản lề cắt nhau tại điểm O; trong trường hợp này AB=CD và BC=AD. Chứng minh rằng AO=CO và BO=DO.

Những nhiệm vụ này được đưa ra cho các lớp 5-7 tại Olympic Leningrad lần thứ 50 lớn nhất. Tác giả của họ: A. G. Goldberg, S. L. Genkin, S. V. Fomin.

30

Định luật Archimedes

Tiến sĩ khoa học kỹ thuật
A. L. STASENKO

… anh ấy làm một chiếc furvin (túi) giống như một quả bóng lớn hơn, thổi phồng nó bằng làn khói bẩn và hôi thối, tạo một vòng từ nó, ngồi vào đó, và một lực nether đã nâng nó lên trên sự bất lực…
(câu chuyện về chuyến bay của quản đốc Kryakutny đến Ryazan năm 1731)

Lấy một khối lập phương làm bằng gỗ hoặc nhựa, có thể còn sót lại từ thời mẫu giáo xa xưa. Giữ nó trong không khí ở đâu đó giữa sàn và trần nhà và thả nó ra. Khối lập phương sẽ rơi xuống sàn. Tại sao? Rõ ràng là anh ta bị Trái đất thu hút bởi một lực gọi là trọng lực.

Bây giờ, hãy xắn tay áo lên, đặt khối này vào bồn tắm chứa đầy nước, khoảng giữa đáy và mặt nước rồi thả ra. Khối lập phương sẽ nổi lên. Tại sao? Không phải lực hấp dẫn của Trái đất tác dụng lên anh ta qua nước sao? Không thể nào: rốt cuộc thì con vịt hay quả tạ cũng chìm xuống đáy!

Điều này có nghĩa là vẫn còn một loại lực hướng lên nào đó tác dụng - lực nổi. Trong trường hợp hình khối, nó “chế ngự” lực hấp dẫn; trong trường hợp của một quả tạ, việc buộc quả tạ di chuyển lên trên là không đủ.

Làm thế nào chúng ta có thể tìm ra lực nổi này bằng bao nhiêu? Chúng ta hãy quay lại Hình 1 và xem nước có tác dụng gì đối với một khối lập phương được hạ thấp vào đó. Áp lực nước tác dụng lên tất cả các mặt của khối lập phương. Tuy nhiên, như bạn đã biết, áp suất trong chất lỏng ở các độ sâu khác nhau là khác nhau - độ sâu ngâm càng lớn thì áp suất càng lớn. Điều này có nghĩa là lực ép tác dụng lên mặt trên và mặt dưới của khối lập phương là khác nhau. Không khó để đoán rằng lực tác dụng lên ranh giới dưới lớn hơn. Hãy xem còn bao nhiêu nữa.

Mặt trên chịu tác dụng của một lực ép hướng xuống bằng

$$F \downarrow = \varrho_* g y^2.$$

Lực tác dụng của nước lên ranh giới phía dưới hướng lên trên và bằng

$$F = F \uparrow - F \downarrow = \varrho_* g (y + a) a^2 - \varrho_* g y^2 = \varrho_* g a^3.$$

Đây chính là lực đẩy. Nhưng $\varrho_* g a^3$ là trọng lượng của nước sẽ đổ vào khối lập phương của chúng ta nếu nó rỗng, tức là đây là trọng lượng của nước tính theo thể tích của khối lập phương. Bây giờ đã rõ: nếu lực đẩy lớn hơn lực hấp dẫn “kéo” vật xuống thì vật sẽ nổi lên; nếu lực này nhỏ hơn