Kvant 1984, số 11 · Trang

QUANTUM
11
1984

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

ХVIII Olympic toàn Liên đoàn dành cho học sinh môn Toán và Vật lý
(Ashgabat, Yerevan, tháng 4 năm 1984).

1

TRONG PHÒNG:

2 D. G. Krutotsin, L. M. Letyuk, A. T. Mortsenko. Bộ nhớ máy tính từ tính
10 SG Gindikin. Bắt đầu hình học cao…
D. G. Krutogin, L. M. Letyuk, A. T. Morchenko. Magnetic computer memory
S. G. Gindikin. Thus “high geometry” began…

tin tức khoa học
9 Hào quang và băng
Science news
Halo and ice

Phòng thí nghiệm «Kvant»
19 A. A. Lapides. Một số thí nghiệm với vật
Kvant’s lab
A. A. Lapides. A few experiments with camera lenses

Lịch của chúng tôi
23 Phân tích quang phổ
Our calendar
Spectral analysis

Trường học ở «Kvant»
24 Vật lý 8, 9, 10
29 Toán, 8, 9, 10
32 trường học yêu thích bài toán
Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9, 10
Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
33 Bài toán
34 Vấn đề về hình ảnh
Kvant for younger school children
Problems
A problem in pictures

Bài toán Kvant
35 Bài toán M891 — M895; F903 — F907
38 Lời giải bài toán M876 — M878, M880; F887 — F889
Kvant’s problems
Problems M891 — M895; P903 — P907
Solutions M876 — M878, M880; P887 — P889

Thế vận hội
45 L. P. Kuptsov, S. V. Reznichenko,
A. B. Sosinsky. Olympic Toán toàn Liên đoàn lần thứ XVIII
49 Yu. A. Samarsky, L. V. Chernova.
Olympic Vật lý toàn Liên đoàn lần thứ XVIII
52 V. A. Orlov, A. G. Rostomyan.
Tham quan thí nghiệm Olympic Vật lý
56 thí sinh đoạt giải Olympic Liên đoàn tạ lần thứ XVIII dành cho học sinh
Olympiads
L. P. Kyptsov, S. V. Reznichenko,
A. B. Sossinsky. XVIIIth All-Union mathematics olympiad
Yu. A. Samarski, L. V. Chernova.
XVIIIth All-Union physics olympiad
V. A. Orlov, A. G. Rostomian. Experimental stage of the Physics olympiad
Prizewinners of the All-Union school olympiad

Đáp số, gợi ý, lời giải
58 Pha trộn (9, 43, 44, 57)
Trang cờ vua
Etidis Kasparian
(trang bìa thứ 3)
Answers, hints, solutions
Miscellaneoes (9, 43, 44, 57)
The chess page
Kasparian’s etudes
(3rd cover page)

Bức ảnh ở trang đầu tiên được chụp vào một ngày tháng giêng trong lành, băng giá. Một vòng cung sáng chói trên bầu trời là một hội trường đầy nắng. Bạn có thể đọc về hiện tượng thiên nhiên tuyệt đẹp này trong bài viết “Halo and Ice”.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1984

2

Bộ nhớ máy tính từ tính

Ứng viên Khoa học Kỹ thuật D. G. KRUTOGIN, Tiến sĩ Khoa học Kỹ thuật L. M. LETYUK, A. T. MORCHENKO

Thời đại của chúng ta là sự khởi đầu của kỷ nguyên máy tính. Ra đời cách đây khoảng 40 năm, bộ tộc máy tính nhanh chóng có được sức mạnh và được đưa vào rộng rãi trong nhiều lĩnh vực hoạt động của con người, từ máy tính tiền đến tính toán đường bay trong không gian. Trong những năm gần đây, vi điện tử đã giúp giảm kích thước của máy tính một cách đáng kể và tăng độ tin cậy của chúng đến mức quan điểm coi máy tính là những chiếc máy tính xa lạ của Nga đã bắt đầu mờ dần vào cõi huyền thoại.

Mục đích và sự cần thiết của việc sử dụng máy tính là giải phóng bộ não con người khỏi những hoạt động trí óc thường ngày. Máy tính thay thế bộ não theo một số cách, nhưng phương pháp hoạt động của chúng tồn tại nhưng khác nhau. Điểm đặc biệt trong cấu trúc và chức năng của máy tính hiện đại là bài toán phức tạp nhất trong chúng được chia thành một chuỗi các phép tính số học đơn giản. Nhưng tốc độ thực hiện rất lớn - các thiết bị số học máy tính, được gọi là bộ xử lý, thực hiện hàng triệu phép tính mỗi giây. Cả kết quả trung gian và kết quả cuối cùng của phép tính đều cần được ghi nhớ một thời gian, giống như chúng ta điền công thức “trong đầu” khi nhân trong một cột. Do đó, bất kỳ máy tính nào, cả máy tính lớn nhất và máy tính vi mô, đều có bộ nhớ riêng, hay chính xác hơn là các thiết bị làm đầy.

Thiết bị nạp (3U) lưu trữ mọi thứ mà máy tính cần để tính toán. Máy tính càng phải biết và ghi nhớ nhiều thì khối lượng 3U của nó càng lớn, khối lượng máy móc và giá cả của nó càng lớn. Bộ nhớ chiếm phần lớn dung lượng và giá thành của máy tính (lên tới 60-80%). Ngoài ra, bộ nhớ giống như một thư viện lớn, trong đó thời gian tìm kiếm và phân phối cuốn sách cần thiết đôi khi vượt quá thời gian sử dụng nó.

4

Điều thực sự cần thiết là tính bền bỉ của bộ nhớ, tức là khả năng thay thế thông tin nhanh chóng (viết lại). Cuối cùng, nếu những yêu cầu này được đáp ứng thì sẽ tốt hơn nếu có những hệ thống không yêu cầu lượng lớn năng lượng để điều khiển, có độ tin cậy cao, v.v.

Nói chung, các thiết bị lưu trữ có thể được chế tạo dựa trên nhiều nguyên tắc khác nhau: cơ học, âm thanh, điện tử, từ tính, quang học. Nhưng… Các thiết bị bộ nhớ cơ không làm chúng ta ngạc nhiên về tốc độ, mặc dù người phát minh ra tài khoản văn phòng - thiết bị lưu trữ đơn giản nhất - chúng ta phải bày tỏ lòng biết ơn đối với việc thực hiện kỹ thuật đầu tiên nguyên tắc lưu trữ thông tin khủng khiếp, tạo ra một phương tiện phản ứng để ghi âm, v.v. Máy ghi âm có dung lượng, độ tin cậy và không gian lưu trữ khá cao. Nhưng các bản ghi không thuận tiện cho việc lưu trữ máy tính: chúng không có tốc độ cần thiết và dung lượng bộ nhớ rất kém.

Phương pháp từ tính để ghi tín hiệu điện đã được biết đến từ lâu. Nó dựa trên đặc tính của một số vật liệu là “ghi nhớ” từ trường nơi chúng tồn tại. Chắc hẳn nhiều bạn đã từng phải từ hóa móng tay, kim tiêm, kéo, v.v. bằng cách đưa chúng vào một nam châm vĩnh cửu. Và bạn có thể nhận thấy rằng sau đó chiếc kéo sẽ trở thành sắt mịn; đất sét từ hóa có thể dùng làm kim la bàn; và đinh nếu lấy ra khỏi nam châm sẽ nhanh chóng mất đi tính chất từ ​​tính. Không phải mọi vật liệu từ tính đều có khả năng “ghi nhớ” từ trường; nhưng một trong số đó, khoáng chất magnetite, một loại oxit sắt phức tạp, đã được con người biết đến từ hàng nghìn năm nay và được dùng làm vật liệu đầu tiên chế tạo la bàn.

Các hạt nhỏ giống như bùn có khả năng từ hóa đặc biệt tốt - một khi chúng ở trong từ trường, chúng có thể lấp đầy cả cảm ứng và hướng của nó. Nếu một bộ phận từ hóa như vậy được thiết kế giống như một cuộn dây dẫn kín thì một dòng điện cảm ứng sẽ xuất hiện trong nó.

Hoạt động của từ thông dựa trên tính chất này của vật liệu từ tính. Chất mang của các hạt từ tính là một băng nhựa trên đó cố định các hạt bột từ tính hình kim trong một lớp vecni mỏng (chiều dài của các hạt khoảng một micron, đường kính khoảng một phần mười micron). Thay vì cuộn dây dẫn điện, một nam châm điện nhỏ được sử dụng - đầu ghi và phát lại: theo yêu cầu của chúng tôi, nó từ hóa các hạt bột (ghi) hoặc tự từ hóa trường truyền mismo của hạt từ hóa và một dòng điện xuất hiện trong cuộn dây của nó, lặp lại hình dạng của tín hiệu đã ghi trước đó (phát lại).

Máy ghi âm ra đời gần như đồng thời với điện thoại - khoảng một trăm năm trước. Nhưng chất lượng ghi âm tốt chỉ có thể được đảm bảo ở những năm bốn mươi của thế kỷ chúng ta.

Máy ghi âm ngay lập tức tìm được chỗ đứng cho mình trong máy tính. Mỗi hạt bột có thể chứa 1 bit thông tin: hạt từ hóa có thể được gán giá trị 1, hạt không nhiễm từ - 0. Rõ ràng dung lượng và tốc độ của một thiết bị bộ nhớ như vậy phụ thuộc vào độ dài của băng và tốc độ truyền.

Làm lại máy ghi âm cho phép ghi âm nhanh hơn. Thay vì sử dụng băng từ, tín hiệu được ghi trên một đĩa phủ vecni từ tính. Đĩa có đường kính khoảng 0,5 m, quay với tốc độ 100 vòng/giây. Đầu đọc-ghi và bề mặt đĩa không dính vào nhau (nếu không, ở tốc độ như vậy, chúng sẽ trở nên rất nóng do ma sát và sẽ nhanh chóng bị mòn). Đầu di chuyển phía trên đĩa ở khoảng cách chỉ 2-5 micron. Để truyền tín hiệu chất lượng cao, điều quan trọng là khoảng cách này phải không đổi, do đó đĩa không được có các mã nhị phân đáng chú ý. Máy ghi băng đĩa thích không khí trong lành - việc để một hạt bụi có kích thước 3 micron lọt vào khe 2 micron mà mắt thường bạn không thể nhìn thấy sẽ gây ra hậu quả tương đương với việc để một mảnh giấy lớn dưới gầm một chiếc ô tô đua tự động.

Sử dụng đĩa ghi băng, bạn có thể đáp ứng nhu cầu về dung lượng và tốc độ của thiết bị lưu trữ đệm.

Vòng Ferrite - một yếu tố nhắc nhở

Trong bộ nhớ truy cập ngẫu nhiên, các thành phần bộ nhớ chính đã được

5

mẹ nhẫn. Những chiếc nhẫn như vậy, được làm bằng hợp kim sắt trên bạc hoặc ferit (vật liệu từ tính phi kim loại), có đặc tính ở trạng thái từ hóa dư trong một thời gian dài. Trong trường hợp này, cảm ứng của từ trường trong vật liệu của vòng trùng với hướng cảm ứng của từ trường trong đó vòng bị nhiễm từ và có độ lớn gần bằng độ lớn của nó.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đã từ hóa một vòng bằng cách truyền một xung dòng điện qua dây từ hóa và truyền một xung dòng điện theo hướng ngược lại qua cuộn dây của vòng thứ hai (Hình 1, a). Khi đó các vectơ cảm ứng của từ trường sinh ra trong các vòng trong quá trình từ hóa sẽ hướng theo các hướng ngược nhau. Một trạng thái có giá trị là 1 và trạng thái kia có giá trị 0. Bây giờ, hãy đặt các xung dòng điện có cực tính bằng nhau vào cả hai vòng. Tuy nhiên (phần trên cùng trong Hình 1, b) sẽ từ hóa lại - trong một thời gian ngắn hướng của cảm ứng từ trường trong vòng sẽ thay đổi theo hướng ngược lại. Sự thay đổi cảm ứng có nghĩa là sự thay đổi từ thông tùy ý ở bất kỳ phần nào của vòng. Do đó, ở cuộn thứ cấp được từ hóa vào vòng - cuộn dây đọc - trong quá trình đảo chiều từ hóa, một lực điện động cảm ứng sẽ xuất hiện. Nếu cuộn dây thứ cấp đóng lại, một xung dòng điện sẽ chạy qua nó - một xung có đơn vị “đọc”. Vì vậy, chúng ta đọc số ghi ở vòng đầu tiên và xóa nó, tức là chúng ta đã hủy thông tin. Còn chiếc nhẫn thứ hai thì sao? Nó không từ hóa lại vì trước đó nó đã được từ hóa theo một hướng nhất định của vectơ cảm ứng. Việc không có xung từ vòng thứ hai cũng là thông tin, nhưng về số 0. Do đó, mỗi vòng là phần lấp đầy cơ bản của thiết bị với xương 1 bit.

Bộ nhớ từ trên lõi vòng hoạt động khá nhanh - thời gian đảo ngược từ hóa của bánh xe là một phần triệu giây. Dung lượng bộ nhớ phụ thuộc vào số lượng bánh xe. Đối với RAM 1 metabit, cần ít nhất một triệu bánh xe và trong một số trường hợp là hơn hai triệu. Có thể theo dõi số lượng bánh xe như vậy, các quy trình này được tự động hóa. Tiếp theo, bạn cần kiểm tra từng bánh xe, vì nếu một trong một triệu bánh xe “nói dối” thì tất cả hệ thống đều vô giá trị. Những chiếc máy được tạo ra đã thử nghiệm tới 5 nghìn bánh xe mỗi giờ, nhưng đây không phải là khó khăn chính.

Các vòng từ trước tiên phải được ghi và đọc các cuộn dây, sau đó được tổ chức thành một số hệ thống để có thể xác định vòng lặp cụ thể nào tương ứng với một bit thông tin nhất định. Một triệu bánh xe với hai cuộn dây tương đương với hai triệu dây điện và bốn triệu điểm tiếp xúc. Hệ thống ma trận xây dựng trí nhớ giúp loại bỏ sự dư thừa này. Chúng tôi xâu hàng chục bánh xe vào một dây, dây này được nối đất dưới dạng dây số (Hình 2). Bây giờ tất cả các vòng có thể được từ hóa bằng một xung và số 0 sẽ được ghi trong tất cả các vòng. Chúng ta sẽ luồn một sợi dây qua mỗi vòng vuông góc với vòng số; Mười dây này là dây phóng điện nối đất. Thiết kế chúng tôi nhận được được gọi là dòng số. Viết số kép 1110001101 vào đó (số này là số gì?

6

trong hệ thập phân?), chúng ta gửi dọc theo dây số một xung có độ lớn bằng một nửa giá trị đảo chiều từ hóa của dòng điện, và một xung tương tự khác đồng thời đi đến các dây phóng điện colcite 1, 2, 3, 7, 8 và 10. Khi các xung cộng lại, các vòng sẽ từ hóa lại; nó không thực hiện điều này ở các vòng 4, 5, 6 và 9. Bạn có thể “đếm” toàn bộ số bằng cách truyền một xung “âm” lớn (đảo ngược từ hóa) dọc theo dây số. Nhưng để nhận và tạo tín hiệu đọc, bạn cần thêm một dây ở mỗi chữ số - một cuộn dây đọc. Vì vậy, đối với mười colcite trên trục số, chúng ta có 21 dây. Mười dòng số, tức là mười số mười hàng, cần có mười dây số. (bit và đọc sẽ giống nhau) - tổng cộng - 31 dây, v.v. Tất nhiên, giống nhau là rất nhiều, nhưng để tạo ra metabit 3U, bạn có thể giới hạn bản thân ở vài trăm dây. Một cái gì đó khác khó khăn hơn.

Giả sử chiếc nhẫn (không phải là nhỏ nhất) có đường kính ngoài 0,6 mm và đường kính trong 0,35 mm. Bây giờ, qua mỗi colcito, cần phải kéo căng ít nhất ba dây có đường kính 0,05 mm theo các hướng khác nhau và lặp lại thao tác này hơn một triệu lần. Loại công việc này giống như khâu bằng hạt (gọi là khâu). Thật không may, không thể thực sự tự động hóa nó, và việc sản xuất thủ công khó khăn hơn và cuối cùng đã thay thế sản xuất và làm tăng chi phí của các thiết bị lắp ráp.

Các mẫu 3U đầu tiên trên các vòng từ, thậm chí cả những vật chứa cần thiết, đều là các khối bộ nhớ theo nghĩa đen của từ này - chúng có thể tích khoảng 1 m³. Vì những lý do hiển nhiên, họ đang cố gắng giảm dung lượng của các thiết bị lưu trữ. Cho đến nay, người ta đã có thể giảm đường kính hư hỏng của các vòng được sản xuất xuống còn 0,25 mm. Bạn có thể tưởng tượng việc này khó khăn như thế nào đối với bài toán phần sụn của họ. Có vẻ như những khó khăn trong việc giảm hơn nữa kích thước lõi vòng là không thể vượt qua, và sự thống trị suốt 20 năm của RAM từ tính sắp kết thúc; Hơn nữa, nhờ những thành công của vi điện tử, RAM bán dẫn đã trở nên hiệu quả hơn so với RAM từ tính, tức là nhỏ gọn hơn và rẻ hơn.

Lúc này, bạn nên tóm tắt lại lịch sử ghi từ và giới thiệu các ô nhớ điện tử. Từ lâu, người ta đã biết rằng từ hai triode, người ta có thể lắp ráp một mạch “hoạt động” ở hai chế độ: với một hướng dòng điện, một triode hoạt động, và chế độ thứ hai bị khóa, và với một hướng dòng điện khác, các triode thay đổi vai trò. Ở một chế độ vận hành, hệ thống có thể được gán giá trị 0, ở chế độ khác - 1. Hệ thống như vậy được gọi là bộ kích hoạt. Những máy tính đầu tiên đã có bộ kích hoạt (hàng nghìn bộ kích hoạt) thực hiện các chức năng của RAM; Nhưng họ không thể chịu được sự cạnh tranh với bộ nhớ từ tính năng lượng thấp, nhỏ gọn hơn, gần như không phát ra, đáng tin cậy.

Các vi mạch bán dẫn 3U hiện đại về cơ bản là các bộ kích hoạt giống nhau, chỉ được giảm xuống kích thước micron. Trên tấm wafer 5x5 mm được làm từ chip bán dẫn, kích thước của thiết bị lưu trữ 200.000 bit bị loại bỏ; tốc độ của 3U như vậy là khoảng 10⁻⁸ s. Về mặt khách quan, chúng tôi lưu ý một nhược điểm rất đáng kể của RAM điện tử: tắt nguồn sẽ xóa tất cả các dữ liệu tích lũy.

7

thông tin mới. Trong nhiều trường hợp, nhược điểm này có thể chấp nhận được, nhưng đôi khi, chẳng hạn như trong quân sự hoặc công nghệ vũ trụ, nó trở thành một trở ngại nghiêm trọng.

Chạy bong bóng từ tính

Khoảng mười lăm năm trước, các mẫu 3U thử nghiệm đầu tiên đã xuất hiện với thiết kế tích hợp, kết hợp những ưu điểm của ghi từ tính với hiệu quả của công nghệ vi điện tử. Các thiết bị này sử dụng miền từ tính được gọi là miền 3U. Miền là các vùng (thể tích) dễ uốn của một chất từ ​​tính (ví dụ: sắt), mỗi chất này được từ hóa hoàn toàn một cách tự phát. Các vectơ cảm ứng của từ trường cách nhau bởi các miền khi không có từ trường bên ngoài được định hướng sao cho toàn bộ mẫu được khử từ.

Việc sử dụng cái gọi là miền từ hình trụ hóa ra lại hứa hẹn hơn nhiều trong việc tạo miền miền 3U. Lịch sử của chúng sẽ bắt đầu vào cuối những năm 50, khi các miền có hình dạng cụ thể được phát hiện trong một số vật liệu từ tính, lấp đầy các bong bóng khí ở mức độ của một người thợ mộc. Vì vậy, những miền này thường được gọi là bong bóng từ tính. Tuy nhiên, sự quan tâm đặc biệt đến các lĩnh vực này chỉ bắt đầu được thể hiện sau khi một bài báo của nhà vật lý người Mỹ Andrew Bobek xuất hiện vào tháng 10 năm 1967, trong đó ông lần đầu tiên chỉ ra triển vọng hấp dẫn của việc sử dụng chúng để tạo ra một thiết bị lưu trữ và xử lý thông tin. (Đáng chú ý là bản thân Bobek không phải là chuyên gia trong lĩnh vực vật lý hiện tượng từ tính mà làm việc trong lĩnh vực công nghệ máy tính.)

Bong bóng từ tính có thể xuất hiện ở dạng tấm mỏng hoặc màng của một số tinh thể từ tính. Ở trạng thái ban đầu (khử từ), cấu trúc miền của một lớp tinh thể mỏng như vậy bao gồm một số miền bằng nhau có hướng từ hóa ngược nhau - các vectơ cảm ứng của từ trường của các miền riêng lẻ được phân phối lại trên mặt phẳng của lớp và được hướng theo các hướng ngược nhau.

Hình 3, a cho thấy cấu trúc từ tính của tinh thể ở trạng thái khử từ, được gọi là cấu trúc miền mê cung (symmock được chế tạo dưới microsop). Vùng tối và vùng sáng là miền có cực khác nhau. Và các bức ảnh 3, 6-e được chụp trong quá trình từ hóa tinh thể bằng từ trường, cảm ứng của nó hướng theo hướng quan sát được. Khi cảm ứng của trường bên ngoài tăng lên, các miền có từ hóa hướng dọc theo trường sẽ phát triển và ngược lại, các miền hướng ngược lại với trường sẽ thu hẹp lại. Trong một số phạm vi của trường bên ngoài, tàn dư của các miền từ hóa “bất lợi” trước tiên bị co lại thành hình elip và sau đó thành các “bong bóng” hình tròn. Các khu vực của tinh thể bị chiếm giữ bởi các bong bóng từ tính, kết hợp vuông góc với mặt phẳng của màng hoặc tấm, có một loạt các hình trụ “bụng chậu”. Vì vậy, miền còn được gọi là hình trụ. Sự gia tăng hơn nữa cảm ứng của trường bên ngoài dẫn đến giảm đường kính của “bong bóng” và ở một số giá trị tới hạn của cảm ứng $B_0$ “bong bóng” sụp đổ, hoặc, như người ta nói, hủy diệt các miền từ hình trụ (CMD) bằng cách đảo ngược từ hóa nhảy đến trạng thái tương tự mà phần chính của tinh thể tồn tại. Nếu cảm ứng của trường áp dụng cho tấm, trong đó đã có CMD, bị giảm, thì tại các giá trị nhất định của trường, hình dạng của các miền bắt đầu biến dạng - chúng trở thành hình elip và sau đó biến đổi

8

thành các miền sọc thông thường có cấu trúc mê cung.

Vì vậy, các miền hình trụ có thể được tạo mầm (được tạo ra) bằng cách cho mẫu tiếp xúc với một từ trường xung, ví dụ, sinh ra khi một xung dòng điện chạy qua một vòng quay. Bằng cách truyền một xung lực có tính phân cực theo nghĩa bóng, CMD có thể bị phá hủy. Sự hiện diện hay vắng mặt của tấm từ miền hình trụ tại một điểm nhất định tương đương với thông tin 1 hoặc 0 tại điểm đó.

Các miền hình trụ có một đặc tính tuyệt vời khác - chúng có thể được trộn lẫn xung quanh tấm. Chúng di chuyển khá nhanh, đôi khi nhanh bằng máy bay phản lực, với tốc độ lên tới 500 m/s. Thuận tiện nhất là trộn CMD với từ trường, vectơ cảm ứng của nó nằm trong mặt phẳng của tấm. Để tạo cho chuyển động của chúng có tính định hướng, có tổ chức, các hành lang từ tính đặc biệt được hình thành trong tấm, trong đó chỉ các miền mới có thể di chuyển. Chuỗi chuyển động của CMD được đưa vào hành lang này như một tổng thể duy nhất, khoảng cách giữa các miền lân cận không thay đổi trong quá trình di chuyển. Không giống như băng từ, trong trường hợp này chuỗi thông tin được đặt trong môi trường từ tính cố định.

Nếu đường từ (hành lang) được đóng thành một vòng, thì kết quả sẽ tương tự như vòng của băng từ hoặc đường của ổ đĩa từ, điểm khác biệt duy nhất là trong vòng CMD hoàn toàn không có bộ phận chuyển động nào và kích thước của toàn bộ vòng là phân số của milimet.

Để có một sự tương tự hoàn chỉnh, hãy đặt trên rãnh DCM vòng (xem Hình 4) một trình tạo miền (nó sẽ đóng vai trò như một đầu ghi), một bộ hủy DSD (đối với một trang thông tin đã ghi) và cuối cùng là một loại cảm biến nào đó phát hiện sự truyền qua của từng mismo DMD bằng tín hiệu điện. Cảm biến sẽ thực hiện chức năng của đầu đọc từ thông. Từ trường có vectơ cảm ứng quay trong mặt phẳng tấm với tốc độ cao (100 400 kHz) sẽ đảm bảo lưu thông thông tin trên đường vành đai. Khi trường này bị tắt, nam châm vĩnh cửu bên ngoài sẽ duy trì tất cả các miền ở trạng thái ổn định và theo thứ tự như nhau. Dung lượng của một bản nhạc có thể lên tới hàng trăm kilobit; trên một tấm có kích thước 10x20 mm, bạn có thể đặt vài chục hoặc hàng trăm rãnh.

Kích thước vi mô của CMD (lên tới 0,5 micron hoặc nhỏ hơn), các đặc tính độc đáo của chúng giúp tạo ra các thiết bị có tốc độ thông tin cao hơn với kích thước nhỏ và mức tiêu thụ năng lượng thấp, bảo toàn thông tin được ghi ngay cả khi tắt nguồn. Điều đáng chú ý là hầu hết tất cả các công nghệ sản xuất thiết bị lưu trữ dựa trên MD kỹ thuật số trên thực tế đã sẵn sàng - đây là những công nghệ mạch bán dẫn khoảng cách lớn (LSI). Do đó, 3U như vậy đã phát triển với tốc độ chóng mặt và hiện nay về cơ bản đã có các vi mạch tốc độ cao với mật độ bộ nhớ 10^7 bit/cm2 và dung lượng lên tới 10^8 bit, chiếm dung tích dưới một lít, chấp nhận được về giá cả và mức tiêu thụ năng lượng cho quản lý.

3U trên MD kỹ thuật số có thể tìm thấy ứng dụng cho một thiết bị có kích thước khổng lồ trong quá trình truy cập thông tin giữa 3U hoạt động (trên lõi ferit hoặc IC bán dẫn) với tốc độ cao (10^-8—10^-6 giây) và 3U bên ngoài có dung lượng lớn hơn (trên băng và đĩa từ) với tốc độ tương đối thấp (10^-3 giây). Điều này giúp tăng hiệu suất của các máy tính hiện đại, vì ngày nay khoảng 80% thời gian của máy tính được dành cho việc trao đổi thông tin giữa RAM và bộ nhớ ngoài. Ngoài ra, 3U trên CMD là vô song khi làm việc trong điều kiện khắc nghiệt, chẳng hạn như trong thiết bị điện trên tàu vũ trụ, trong thiết bị quân sự, những nơi cần tăng độ tin cậy.

(Cuối cùng xem trang 18)

Năm 1684, trên tạp chí “Acta Eruditorum” (“Tác phẩm của các nhà khoa học” hay, như ngày nay người ta nói, “Ghi chú khoa học”) xuất bản ở Leipzig, một bài báo dài bảy trang của Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) đã xuất hiện “Một phương pháp mới về cực đại và cực tiểu, cũng như các tiếp tuyến, không phải là đại lượng phân số hay vô tỷ, và là một dạng đặc biệt cho phép tính này.” Đây là ấn phẩm đầu tiên về phép tính vi phân, mặc dù nó đã xuất hiện sớm hơn hai mươi năm và những bước đầu tiên đã được thực hiện sớm hơn năm mươi năm - vào đầu thế kỷ 17. Tuy nhiên, bài báo của Leibniz đã đánh dấu một giai đoạn quan trọng trong lịch sử giải tích vi phân và kỷ niệm 300 năm xuất hiện của nó là dịp đương nhiên để nhớ lại sự hình thành của lý thuyết toán học vĩ đại này.

Thời đại hoàng kim của phân tích

Phân tích vô hạn được tạo ra vào thế kỷ 17 là kết quả của nỗ lực tập thể của một nhóm nhà toán học xuất sắc. Các điểm tham chiếu chính là bài toán trên tiếp tuyến và bài toán về tính diện tích của các hình cong (bài toán trên bậc hai), sau đó dẫn đến sự tương ứng với phép tính vi phân và tích phân. Với việc vẽ tiếp tuyến, lần lượt liên quan đến bài toán về cực trị (cực đại và cực tiểu), điểm uốn, độ lồi của đường cong. Để bình phương các tính chất của việc tính toán các đại lượng cơ học khác nhau.

Sự phát triển của phân tích vi phân gắn liền chặt chẽ với việc tạo ra các cơ chế mới. Vào đầu thế kỷ này, Galileo, khi đang nghiên cứu sự rơi tự do và chuyển động của một vật được ném theo một góc so với đường chân trời, đã đồng thời giải được phép phân tích đầu tiên bài toán. Điểm quan trọng nhất trong việc tạo ra phân tích là nhận ra tính nghịch đảo lẫn nhau của các hoạt động dựng tiếp tuyến và tìm hình vuông -

11

độ lớn của đường cong, và điều này được hiểu bằng cách sử dụng các cân nhắc động học: việc tìm tốc độ dọc theo đường đi được quy giản thành việc xây dựng một tiếp tuyến và đường đi được tìm thấy từ tốc độ sử dụng phương trình bậc hai.

Đến những năm 60, một số lượng lớn các bài toán khác nhau đã được giải quyết, họ học cách xây dựng các tiếp tuyến của các lớp đường cong rộng và nhiều diện tích đã được tính toán. Kepler, Cavalieri, Descartes, Fermat, Pascal, Huygens và nhiều người khác đã tham gia vào công trình vĩ đại này. Cần phải hệ thống hóa các kết quả khác nhau này và chuyển đổi các kỹ thuật nhân tạo riêng lẻ thành các phương pháp chung. Cần phải chuyển lý thuyết về vi phân thành phép tính - một tập hợp các sàng hình thức đơn giản nhưng có giá trị rộng rãi. Cần phải chuyển hóa lý thuyết từ nghệ thuật sang thủ công. Ở dạng này, nó không chỉ có thể được rút ra khỏi một nhóm người mới bắt đầu mà còn cho phép các nhà toán học lớn đi một phần con đường mà không cần nỗ lực và tập trung nỗ lực vào những câu hỏi sâu hơn.

Công việc này, dựa trên thành tựu của những người đi trước vĩ đại, được thực hiện bởi Newton (1642-1727) và Leibniz. “Chúa phán: hãy có Newton! và ánh sáng đã đến,” A. Popa nói trong câu đối phổ biến. Newton đã tạo ra phép tính của mình vào năm 1665-1667 trong “kỳ nghỉ dịch hạch” ở Woolsthorpe, khi sau khi tốt nghiệp Đại học Cambridge, ông thấy mình bị cắt đứt khỏi thế giới bên ngoài tại trang trại của mình do bệnh dịch. Tác phẩm chi tiết của Newton, gần như hoàn thành vào năm 1670-1671, không tìm được nhà xuất bản và vẫn chưa được biết đến trong một thời gian dài. Chỉ có thông tin rải rác về ông được phân phối giữa các nhà toán học. Đồng thời, nhận thấy sự sa sút bất thường trong môn toán. Như N. Bourbaki viết, vào những năm 70, “chỉ có Newton ở Cambridge và J. Gregory, người đã gây ngạc nhiên ở Aberdeen, là vẫn hoạt động, và Leibniz sớm tham gia với tất cả sự nhiệt tình của những người mới bắt đầu.”

Leibniz và con đường toán học của ông

Trong suốt cuộc đời của mình, Leibniz tập trung vào các vấn đề toàn cầu, vào các lý thuyết toàn diện. Con đường toán học của ông không chuẩn mực - ông thích phương pháp thế kỷ hơn, khi

kết quả cụ thể có giá trị. Leibniz có nhiều kế hoạch trong đời. Một số đang nổi bật về mức độ nghiêm trọng của họ. Những ghi chú mới thay thế những ghi chú cũ, nhưng trước khi chúng tôi bắt tay vào thực hiện, tác giả đã thiếu cách thực hiện. Ông đã không hoàn thành hầu hết các cuốn sách mà mình dự định và bỏ hầu hết chúng ngay từ đầu (chỉ một số cuốn về triết học đạt được phần hay nhất). Nhưng thật khó để duy trì chủ nghĩa hiện thực khi những kế hoạch của thế kỷ xa xôi vượt qua!

Ngay từ năm 13-14 tuổi, Leibniz đã mơ ước định nghĩa lại logic, tạo ra một bảng chữ cái về suy nghĩ của con người, trong đó tất cả các quá trình suy nghĩ có thể được ghi lại. Ý tưởng chính của cuộc đời anh dần dần trưởng thành: tạo ra một “đặc điểm phổ quát”, một “ngôn ngữ phổ quát”. “Toán học phổ quát, có thể nói, là logic của trí tưởng tượng,” nó phải chiếm lĩnh mọi thứ “trong lĩnh vực trí tưởng tượng được hỗ trợ bởi một định nghĩa chính xác”. Ngôn ngữ phải được bảo vệ khỏi việc ghi lại những suy nghĩ không chính xác: “những ảo ảnh mà ngay cả người tạo ra chúng cũng không hiểu thì không thể viết được bằng ký hiệu của mình”. Anh nói về một cỗ máy sẽ chứng minh các định lý, muốn biến suy nghĩ thành phép tính, lập luận để có thể thay lý luận bằng phép tính và giải quyết tranh chấp bằng phép tính toán học. Leibniz đã từng có mặt để hiện thực hóa kế hoạch đầy tham vọng của mình, đi trước thời đại rất xa nhưng vẫn bị tụt lại phía sau, chỉ mới hoàn thành những bước đầu tiên. Chỉ đến thế kỷ 20, phần lớn những gì Leibniz quan niệm mới trở thành hiện thực trong khuôn khổ logic toán học và công nghệ máy tính hiện đại. Rõ ràng là kế hoạch của anh ta không hề tầm thường mà là tự phát.

Leibniz quan tâm đến những ứng dụng đa dạng của toán học và tin vào khả năng vô hạn của nó. Anh ấy đang chuẩn bị trở thành một luật sư và ở tuổi 18, anh ấy đang cố gắng xây dựng một lý thuyết pháp lý với các tiên đề và định lý, suy nghĩ về việc sử dụng các thông điệp xác suất trong sản xuất hàng ngày. Năm 20 tuổi, ông từ chối ghế chủ tịch tại Đại học Nuremberg; ông không bị thu hút bởi một sự nghiệp học tập có năng lực. Kế hoạch của Leibniz tự nhiên hơn:

“Một lúc lâu trong tâm hồn tôi đã nghĩ đến một điều khác” và xa hơn nữa “Tôi coi việc một chàng trai trẻ ngồi như dán chặt vào một chỗ là không xứng đáng; tinh thần tôi cháy bỏng với mong muốn có được sự phục vụ khoa học vĩ đại và nhìn ra thế giới.”

12

Leibnitz chấp nhận lời mời của Công tước Johann Philipp và chuyển đến Mainz. Anh ta muốn tận dụng hoàn cảnh và mặc dù trong khuôn khổ một nhà nước khá khiêm tốn nhưng anh ta vẫn tạo ra luật hoàn hảo của riêng mình. Dần dần kế hoạch của anh ấy trở nên mở rộng hơn và đồng thời… kém thực tế hơn. Ông có kế hoạch tái cơ cấu toàn bộ khoa học pháp lý và bắt đầu thực hiện ba cuốn sách chuyên khảo lớn. Anh ấy có khá nhiều ý tưởng thú vị, nhưng chẳng bao lâu nữa sẽ đến lượt một ý tưởng hoàn toàn khác.

Nhà ngoại giao nổi tiếng Boineburg, sống ở Mainz vào thời điểm đó, đã quyến rũ Leibnitz bằng những kế hoạch hoành tráng nhằm thay đổi nền chính trị châu Âu. Kế hoạch của họ đang chật chội ở tỉnh Mainz. Họ tiếp thu đề nghị của Tuyển hầu tước Brandenburg để tìm lý do bầu một hoàng tử Đức vào đại diện Ba Lan. Leibnitz đã sáng tác một điều vô nghĩa xuất sắc, tuy nhiên, điều đó không giúp thắng kiện: chính sách ngoại giao thực tế đúng đắn hóa ra lại hiệu quả hơn một cuốn sách nhỏ về chính trị. Dự án tiếp theo liên quan đến việc tổ chức một liên minh các quốc gia Đức chống lại Pháp. Nó chứa đựng nhiều chiêu thức thông minh nhưng lại không thể thực hiện được. Cuối cùng, kế hoạch lớn thứ ba: lôi kéo Pháp vào cuộc chiến với Thổ Nhĩ Kỳ để giải phóng ảnh hưởng của nước này ở châu Âu. Để hiện thực hóa kế hoạch này, năm 1672 Leibnitz tới Paris. Kết quả duy nhất là Leibnitz về cơ bản đã mất đi sự ủng hộ của Tuyển hầu tước, người không mấy quan tâm đến Liên Xô, người đang cố gắng tái cơ cấu nền chính trị châu Âu trên đầu mình.

Bị mất việc, Leibnitz chuyển sang toán học. Ban đầu, toán học được dự định đóng vai trò hỗ trợ trong các kế hoạch của Leibniz. Năm 1666, ông xuất bản “Luận văn về nghệ thuật kết hợp” ở Leipila, trong đó ông nói rằng ông không quan tâm đến việc khám phá những chân lý số học mới, toán học sẽ giúp ông phát triển “logic khám phá”. Và ở Mainz, nó được đặt để “truy cập toán học”. Năm 1670, ông làm việc thiết kế một cỗ máy số học và bắt đầu quan tâm đến máy Pascal. Leibniz đến Paris năm 1672 với những kết quả toán học của mình. Vào mùa thu năm 1672, họ thảo luận với Huygens, lúc đó đang làm việc ở Paris. Chúng ta đang nói về việc tính tổng chuỗi số $a_1 + a_2 + \dots + a_n + \dots$. Bằng cách chọn một chuỗi $b_1, b_2, b_3, \dots$ sao cho $a_n = b_n - b_{n+1}$. Sau đó $a_1 + \dots + a_n = b_1 - b_{n+1}$. Leibnitz xem xét một số ví dụ về cách áp dụng quy tắc của ông; Ví dụ do Huygens đề xuất rất phù hợp với quy tắc

$$\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} + \dots \left( b_n = \frac{1}{n} \right).$$

Tuy nhiên, cả hai đều không biết rằng kỹ thuật này không mới và nó là một vấn đề rất riêng tư. Tuy nhiên, Leibniz lại đánh giá cao những thành tựu của ông vào thời điểm đó. Sau đó ông đánh giá tình hình một cách tỉnh táo hơn:

“Khi đến Paris năm 1672, tôi là một nhà toán học tự học, nhưng kinh nghiệm của tôi không nhiều, tôi không đủ kiên nhẫn để đạt được mục tiêu chứng minh… Tôi muốn bơi một mình mà không có giáo viên… Trong tình trạng dốt toán cao độ này, tôi chỉ chú ý đến lịch sử và luật, và coi việc nghiên cứu chúng là mục tiêu của mình. Tuy nhiên, toán học là trò tiêu khiển thú vị hơn đối với tôi.”

“Smychiy học hỏi từ người phàm”

Năm 1673, Leibnitz đến thăm London trong khuôn khổ phái đoàn ngoại giao Mainz. Việc tiếp xúc với các nhà toán học người Anh đã tác động mạnh mẽ đến ông. Ông biết rằng những kết quả chính của ông không có gì mới và toán học hiện đại đã vượt xa. Leibniz chỉ có một cách duy nhất để bước vào toán học hiện đại - bắt đầu lại từ đầu. 27 tuổi không phải là độ tuổi thích hợp nhất để bắt đầu dạy học cho giới trẻ nhưng điều này không khiến Leibniz bận tâm. Sau này ông có mọi lý do để tự gọi mình là “một học trò khiêm tốn của người phàm” (thư của J. Bernoulli, 1703).

Vào mùa thu năm 1673, “những năm học nghề toán học” của Leibniz bắt đầu, dưới sự hướng dẫn khéo léo của Huygens. Huygens đã nhận ra năng khiếu đích thực ở “người đàn ông trưởng thành” đầy tự tin.

“…Huygens, người mà tôi cho là đã coi tôi có năng lực hơn thực tế, đã đưa cho tôi một bản sao của cuốn “Con lắc” vừa xuất bản. Đối với tôi, đây thực sự là lý do để nghiên cứu toán học sâu hơn.”

Vì vậy, tất cả bắt đầu với cuốn sách tuyệt vời “Đồng hồ quả lắc”. Tiếp theo là nghiên cứu các tác phẩm của St. Vincent, Descartes, Sluz, Wallis và trên hết là Pascal.

Leibniz sẽ có ích nếu đọc nhiều văn bản cổ điển hơn, nhưng anh ấy mặc cả và tìm đường “đến với hình học từ cửa sau”. Các kết quả xuất hiện khiến Huygens ngạc nhiên, chẳng hạn, một loạt phép tính của một số:

$$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \dots$$

Sau đó hóa ra Gregory biết anh ta. Huygens đã tính toán rằng với sự trợ giúp của chuỗi số, người ta có thể thu được một hình tròn vuông (và ngược lại, Gregory đã tính toán theo cách này, người chứng minh của thuyết siêu nghiệm

13

tính π). Leibniz không chỉ quan tâm đến việc phân tích. Anh ấy đang cố gắng tìm một công thức cho lời giải cho một phương trình đại số tổng quát (chính xác là tổng quát; anh ấy ít quan tâm đến các vấn đề cụ thể), phân tích công thức Cardan trong miền phức (Güngen rất ngạc nhiên trước mối quan hệ $\sqrt{1+\sqrt{-3}} + \sqrt{1-\sqrt{-3}} = \sqrt{6}$) và đang nghiên cứu một chiếc la bàn cho phép người ta tìm ra nghiệm của bất kỳ phương trình nào, giống như một chiếc la bàn thông thường cho phép người ta tìm ra nghiệm của một phương trình bình phương.

Tuy nhiên, các kết quả chính có liên quan đến những kết quả vô cùng nhỏ. Leibniz đã viết vào năm 1673: “Tôi đã điền được vài trăm trang,” nhưng vẫn “không coi tác phẩm này đáng được xuất bản. Vì tôi đã chán ngấy những chuyện vặt vãnh khi Đại dương mở ra trước mắt tôi.” Nhiều định lý đã được lĩnh hội trong năm đầu tiên “học nghề”, nhưng hầu hết chúng có thể được tìm thấy ở Gregory hoặc ở thầy Newton Barroux (1630-1677). Tuy nhiên, các kỹ thuật chung giúp có thể đạt được mọi thứ một cách đơn giản và thống nhất hơn. Con đường của Leibniz đã được chọn: ông xây dựng phép tính vi phân.

Bản chất tài năng và kinh nghiệm khoa học trước đây của ông hoàn toàn phù hợp với mục tiêu này. Ông đã suy nghĩ rõ ràng câu hỏi về loại hàm cần được xem xét trong phân tích (bản thân từ “chức năng” xuất hiện lần đầu tiên ở Leibniz vào năm 1673). Ông kiên quyết bác bỏ ý tưởng giới hạn bản thân trong các hàm đại số (“các đường cong hình học” theo Descartes) và tin rằng cần phải xem xét các hàm siêu việt (thuật ngữ của Leibniz; Descartes nói về “các đường cong cơ học”).

Leibniz, không giống ai trước ông, hiểu tầm quan trọng của biểu tượng thành công, và không chỉ trong toán học. Phép tính vi phân đã cho ông một lý do tuyệt vời để phát triển một biểu tượng không chỉ đơn giản hóa việc sử dụng phép tính mà còn cần thiết về cơ bản để thành thạo nó. Năm 1678, Leibniz viết cho đồng nghiệp Tschirnhaus:

“Cần phải cẩn thận để đảm bảo rằng các dấu hiệu dễ mở. Điều này đạt được ở mức độ lớn nhất khi các dấu hiệu thể hiện ngắn gọn và phản ánh bản chất sâu sắc của sự vật, đồng thời công việc suy nghĩ giảm đi một cách đáng kinh ngạc.”

Leibniz đang tìm kiếm cơ hội để giới thiệu những biểu tượng tiện lợi ở khắp mọi nơi. Đừng đề cập đến phương pháp của hệ phương trình tuyến tính lời giải sử dụng định thức đã quay trở lại với ông, liên quan đến việc ông đã viết cho L’Hopitalo ở Pháp (1693):

“Một phần bí mật của phân tích nằm ở nghệ thuật sử dụng tốt các ký hiệu, và từ mẫu nhỏ này, thưa ông, ông thấy rằng Viete và Descartes vẫn chưa học hết bí mật của nó.”

Cần nhấn mạnh rằng không có biểu tượng nào được phát triển trong phép tính của Newton. Bản thân Newton đã viết rằng ông “không đưa ra phương pháp của mình dưới dạng ký hiệu, cũng như không tuân theo bất kỳ hình thức cụ thể nào của chúng”. Có lẽ tính biểu tượng là lý do quyết định tại sao chúng ta sử dụng từ tương tự trong phiên bản của Leibniz ngày nay.

Ngay từ năm 1674, Leibniz đã tự tin rằng “toàn bộ học thuyết về tổng và bình phương có thể được rút gọn thành phân tích - một điều vẫn chưa được tập trung vào”. Đến cuối năm 1675, phép tính được xây dựng dưới dạng xấp xỉ đầu tiên. Leibniz sẽ có lý do để bị thuyết phục về tính hiệu quả của nó đối với lời giải bài toán Debon, điều mà Descartes đã nghiên cứu nhưng không thể hoàn thành:

“Năm ngoái, tôi đã tự đặt cho mình một câu hỏi có thể được trả lời là một trong những câu hỏi khó nhất trong tất cả hình học, vì các phương pháp khoảng cách cho đến nay hầu như không mang lại kết quả gì ở đây. Hôm nay tôi đã tìm thấy nó lời giải và tôi sẽ đưa ra phân tích của nó” (ngày 11 tháng 11 năm 1675).

Chúng ta đang nói về việc tìm một đường cong có phần phụ được xây dựng - một đoạn nằm giữa hình chiếu của điểm A lên trục x và điểm giao nhau của tiếp tuyến tại điểm A với trục x (Hình 1). Đến giữa năm 1676, phép tính vi phân và tích phân cuối cùng đã được thiết lập. Ông nói rằng “nhờ sự tính toán này, mọi thứ hiện ra trước mắt và trong tâm trí một cách ngắn gọn và rõ ràng một cách thú vị”.

14

Leibniz, giống như Newton, đã tìm cách tạo ra một phương pháp mạnh mẽ mà không cần lo lắng ở giai đoạn này về sự biện minh đủ chặt chẽ cho phép tính. Ngay cả ở giai đoạn học nghề của Leibnitz, có vẻ như Gregory đã quá quan tâm đến “bằng chứng theo phong cách cổ xưa”. Đối với Leibniz, các kết quả cụ thể chủ yếu được coi là những minh họa khả dĩ cho phương pháp của ông. Rõ ràng tôi sẽ nói ở đây rằng anh ấy chưa bao giờ biết cách thực hiện các phép tính một cách dễ dàng và luôn ghen tị với một chiếc máy tính “làm bằng sắt hoặc đồng”. Sau này (1696, thư từ Lopitalo) ông kết nối điều này với thực tế là ông đang đồng thời làm nhiều việc khác nhau:

“Tâm trí của tôi, do bận rộn với các chủ đề khác, không thể tập trung nhiều đến mức cần thiết, vì điều này mà tôi vấp ngã mỗi phút, và khi hướng sự chú ý của mình, tôi có một cảm giác khó chịu về một loại nhiệt nào đó.” Vào năm 1699, các phép tính “trở nên tệ hơn khi chúng được chia sẻ với ai đó và tôi không thể thực hiện các phép tính lâu trừ khi họ giúp tôi”.

Năm 1675, phóng viên và đồng nghiệp của ông là Zirnhaus (1651-1708), người chủ yếu làm việc với các phương trình đại số, nhưng cũng quan tâm đến phương trình bậc hai, đã làm việc cùng với Leibnitz ở Paris. Người tính toán rất điêu luyện, anh ta đã hoàn thành thành công Leibniz, nhưng sau đó anh ta vẫn không thể đánh giá cao tính hữu ích của phép tính.

Newton và Leibnitz

Tất nhiên, Leibnitz đã nghe nói rằng Newton sở hữu một số phương pháp mạnh mẽ và quyết định thảo luận về phương pháp mới của mình với ông ấy. Thông qua sự trung gian của Oldenburg (thư ký của Hiệp hội Hoàng gia), một cuộc trao đổi thư từ đã diễn ra vào năm 1676. Leibnitz liệt kê bài toán mà ông phải giải, yêu cầu kể về các phương pháp của Newton và nói chung về phương pháp của ông. Thậm chí trước đó, Leibnitz đã viết cho Oldenburg rằng việc tạo ra một phương pháp là “việc duy nhất” mà ông coi trọng. Kết quả của Leibniz không làm Newton ngạc nhiên. Ông ngay lập tức nhận thấy rằng bài toán của Debon sẽ trùng với bậc hai của hyperbola (logarit), và về chuỗi số π, ông lưu ý rằng sẽ mất 1000 năm để đếm 20 chữ số thập phân của số π. Newton nói rất buồn về phương pháp này. Rõ ràng là máy ly tâm rất cứng nhắc khi xem xét chuỗi công suất. Newton tuyên bố rằng ông có thể giải bất kỳ phương trình vi phân nào với sự trợ giúp của chúng. Phần lớn thông tin được mã hóa thành hai angram. Newton đã giải mã chúng muộn hơn nhiều. Đây là một cách cũ để duy trì mức độ ưu tiên. Có lẽ ý nghĩa mà Newton gán cho chuỗi lũy thừa đã khiến Leibniz nhận ra rằng Newton có phép tính.

Leibniz không đồng ý rằng cấp bậc giải quyết được mọi vấn đề. Anh ấy nhìn thấy một bức tranh khác. Nalo cố gắng tạo ra lời giải phương trình vi phân cho các phương trình bậc hai đã biết. Điều quan trọng là phải hiểu liệu có đủ các hàm cơ bản và bậc hai của hyperbol và đường tròn hay không (hàm logarit và lượng giác). Gregory lập luận ủng hộ thực tế là những hình vuông này không đủ để tính độ dài của mỗi hình elip hoặc hyperbol (các khoảng elip trong tương lai). Sau đó, người ta phải “thiết lập một số hàm cơ bản được tính toán khác” (ở nơi khác là “trên mức siêu việt trong hình học”) đủ cho các phương trình vi phân lời giải. Newoton và công thức này sẽ không bị buộc phải chống lại: ông báo cáo những tính chất α, β của tích phân ∫x^α(1+x)^βdx đối với các phương trình bậc hai đã biết. Newton đã bổ sung thêm thư từ; Ngoài ra, Oldenburg, người thực hiện nó, đã qua đời vào năm 1677.

Một lần nữa với hai

Và cuộc đời của Leibniz đã thay đổi một cách dứt khoát. Từ thời kỳ Paris của ông, chỉ còn lại những bản thảo và dàn ý của các bài báo. Anh có kế hoạch chuẩn bị cho một tác phẩm toàn diện “Toán học của vô hạn”, nhưng cuộc đời anh thay đổi hoàn toàn từ toán học.

Chúng ta không thể biết liệu niềm đam mê chính trị của Leibniz có bắt đầu trỗi dậy trở lại hay không hay liệu ông không tìm thấy cơ hội kiếm sống bằng cách làm khoa học (có lẽ ông đã có thể có được một suất học tại Học viện Khoa học Paris). Bằng cách này hay cách khác, kể từ cuối năm 1676, ông đã phục vụ Công tước Johann Friedrich ở Hanover. Anh đến Hanover bằng một chặng đường dài, thăm London, nơi anh gặp nhiều nhà toán học, nhưng không gặp Newot, và ở Hà Lan mãi mãi Spinoza.

15

Vì vậy, Leibniz chỉ xem xét cây cầu từ một vị vua nhỏ, và ngay cả khi đó, ban đầu, ông chỉ là thủ thư công tước. Không phải là nơi đáng ghen tị nhất đối với một nhà khoa học và chính trị gia 30 tuổi vẫn chưa từ bỏ những kế hoạch thường xuyên của mình. Nhưng Leibniz tràn đầy nhiệt huyết và mơ ước về một thư viện tốt nhất thế giới, cho đến khi số tiền thực tế hiện có khiến anh chán nản. Anh ấy cũng tham gia vào các hoạt động pháp lý, nhưng họ thích bắt anh ấy bận rộn với những công việc hàng ngày mà anh ấy không có hứng thú hơn là với các vấn đề pháp lý toàn cầu. Khả năng tiếp cận các hoạt động ngoại giao của Leibniz rất hạn chế. Vì vậy, anh ta được hướng dẫn chuẩn bị một văn bản thúc đẩy quyền của Công tước tham gia vào các cuộc đàm phán hòa bình Pháp-Đức. Johann Friedrich là một vị vua danh mục ở một quốc gia theo đạo Tin lành, và Leibniz muốn lợi dụng hoàn cảnh này để hiện thực hóa một ý tưởng khác mà ông ấp ủ - tách biệt danh mục và tôn giáo Tin lành.

Năm 1679, một công tước mới, Ernst August, lên ngôi, mọi thứ trở nên tồi tệ hơn dưới thời ông. Nhưng Leibniz có đầy đủ các dự án, phạm vi của chúng rộng bất thường: cải tiến theo giai cấp, nghệ thuật đóng đinh, búa, cải tiến bánh xe, cần câu, bánh lái, tàu, nghệ thuật văn học, chữa cháy, tổ chức lại kho lưu trữ, biên soạn “Bộ luật Ernst-August”, v.v. Hầu như không một dự án nào được hỗ trợ.

Mỗi dự án của Leibniz đều có sự sáng suốt tài tình nhưng ông thường thiếu khả năng thực hiện. Thành công đến khi một học viên tài năng đã lo khâu hoàn thiện, khâu hoàn thiện. Đây là trường hợp của động cơ hơi nước: “… Leibniz, như mọi khi, rải rác xung quanh mình những ý tưởng tuyệt vời mà không quan tâm liệu công lao khám phá ra những ý tưởng này sẽ thuộc về anh ấy hay người khác, Leibniz, như chúng ta biết bây giờ từ thư từ của Papen (do Hermann xuất bản), đã đề xuất cho anh ấy ý tưởng cơ bản: việc sử dụng xi lanh và pít-tông” (Engels) *).

Cuộc đấu tranh liên tục để giành ảnh hưởng tại tòa án đã khiến Leibniz mất tập trung vào toán học trong một thời gian dài. Bước ngoặt mới của Leibniz sang toán học được thúc đẩy bởi hai hoàn cảnh.

Từ năm 1682, với sự hỗ trợ của ông, “Ghi chú khoa học” bắt đầu được xuất bản ở Leipitz và Leibniz đề xuất xuất bản kết quả của mình ở đó. Vào năm 1683-1684, tạp chí đã xuất bản các bài báo của Zirnhaus về hình cầu phương, trong đó Leibniz tiết lộ dấu vết về những cuộc trò chuyện gần đây của ông với tác giả mà không cần tài liệu tham khảo. Khi Leibniz cố gắng thuyết phục Zirnhaus không thành công về tính hiệu quả của phép tính, giờ đây chính Zirnhaus đã công bố một số kết quả theo hướng này. Rất có thể Zirnhaus đã không tha thứ rằng nguồn gốc những phát biểu của ông là những phát biểu của Leibniz. Chuyện xảy ra là những suy nghĩ khó hiểu được chôn sâu, và sau một thời gian chúng trỗi dậy như thể chúng là của chính mình.

Vào tháng 5 năm 1684, Leibniz xuất bản một bài báo chỉ trích Zirnhaus (không có yêu cầu ưu tiên và không có gợi ý họ đầy đủ của đồng nghiệp của ông), và vào tháng 10, ông đã được xuất bản để thay thế ông bằng một bài báo, ngày kỷ niệm của bài báo đó là lý do cho cuộc thảo luận của chúng tôi.

“Phương pháp mới…” Leibniz

Chúng ta hãy thử, dựa trên kiến ​​​​thức trung bình của chúng ta về phép tính vi phân, hãy đọc văn bản của Leibniz và đối xử với những người cùng thời với ông với sự thông cảm, những người vẫn không thể hiểu được trong bài báo. Chỉ có nhà toán học tầm cỡ J. Bernoulli (xem bên dưới) mới có khả năng phỏng đoán một thứ chưa có được dạng thích hợp để truyền tải cho người khác.

“Giả sử dữ liệu AX và dãy đường cong VV, WW, YY, ZZ và tọa độ của chúng vuông góc với trục tọa độ VX, WX, YX, ZX mà chúng ta sẽ gọi là các đường cong tương ứng v, w, y, z; gọi đoạn AX cắt đứt trên trục x.

Cho VB, WC, YD, ZE là các tiếp tuyến cắt trục tương ứng tại các điểm B, C, D, E (Hình 2). Giả sử một đoạn tùy ý là dx, và một đoạn khác liên quan đến dx là v (hoặc w, hoặc y, hoặc z) liên quan đến XB (hoặc XC, hoặc XD, hoặc XE), hãy gọi nó là dv (hoặc dw, hoặc dy, hoặc dz) hoặc di-

*) Marx K., Engels F. Soch. tái bản lần thứ 2, tập. 20, tr. 431.

16

ity v (hoặc w, hoặc y, hoặc z). Nếu điều này được cài đặt thì các thực thể là chính xác.

Nếu a là hằng số thì da sẽ bằng 0 và dx sẽ bằng adx. Nếu y bằng v (hoặc bất kỳ đường cong giống hệt nào YY bằng đường cong thứ tự tương ứng VV), thì dy bằng dv. Tiếp theo, Phép cộng và phép trừ: nếu z—y+w+x bằng v, thì d—z+y+w+x hoặc dv bằng dz—dy+dw+x. Phép nhân: dxv bằng. xdv+vdx hoặc, nếu chúng ta đặt y bằng xv, thì dy bằng xdv+vdx. Bạn có thể tùy ý sử dụng công thức có xv hoặc để ngắn gọn, một chữ cái, chẳng hạn như y. Lưu ý rằng trong phép tính này, x và dx được xử lý giống như y và dy hoặc một số chữ cái không xác định khác và vi phân của nó. Cũng lưu ý rằng sự chuyển đổi ngược từ phương trình vi phân chỉ đạt được trong những điều kiện nhất định; nhưng nhiều hơn về điều đó ở nơi khác. Tiếp theo, Phân khu:

$$d\left(\frac{v}{y}\right) \text{ или же } \left(\text{ если положить } z \text{ равно } \frac{v}{y}\right)$$

dz bằng $\frac{\pm vdy \mp ydv}{yy}$.

Ở đây thanh overbar thay thế dấu ngoặc đơn. Tuy nhiên, một số hàm v, w, y, z của biến độc lập x đang được xem xét, mặc dù thuật ngữ “hàm” vẫn chưa được đưa ra. Vi sai dy được xác định từ điều kiện $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{l}$, trong đó y là tọa độ, l là độ dài của phân lớp, dx là đoạn được chọn tùy ý. Sự “xa rời” của nó với chức năng ban đầu và tính tùy tiện được nhấn mạnh (xem thêm trong hình, nó được thể hiện rõ hơn). Có vẻ như nó có thể được đặt bằng 1 và sau đó chúng ta sẽ nhận được một giá trị tùy ý, nhưng Leibniz không thiết lập điều này. Ông nhấn mạnh rằng người ta có thể tùy ý thay đổi sự lựa chọn của một biến độc lập và vi phân của nó, trong một giai đoạn xây dựng tuyên bố chắc chắn khó thắng của ông về “tính bất biến của vi phân”, về bản chất, đó là các quy tắc để lấy đạo hàm một hàm phức tạp. Biến độc lập của Newton đã được cố định (thời gian). Trong các ví dụ khác, Leibniz chứng minh rằng việc chọn x và dx là tùy ý sẽ hữu ích như thế nào.

Phần còn lại của bài viết chứa đựng những thảo luận khá mơ hồ về việc lựa chọn các dấu hiệu dy. Khi đó bài toán được coi là tìm cực đại và cực tiểu, việc chuyển dy về vô cực gắn liền với độ vuông góc của tiếp tuyến với trục AX. Nếu không có đủ động lực, dy - “sự khác biệt của sự khác biệt” - sẽ được xem xét và bài toán về quan điểm của peregyn-

ba, độ lồi và độ lồi. Hàm $x^a$ được vi phân đối với bất kỳ α hữu tỷ nào và rất coi trọng điều này (xem tiêu đề của bài viết), vì bài toán chứa các căn thức trước đây đã được rút gọn thành số mũ nguyên trước công trình của Leibniz. Sử dụng ví dụ về lốc xoáy, bài toán về việc vẽ tiếp tuyến với các đường cong siêu việt được xem xét. Nhiều bài toán khác nhau cho tiếp tuyến và cực trị được nghiên cứu, đặc biệt, quy luật cung được rút ra và bài toán của Debon được giải quyết (xem ở trên). Một sự tối ưu hóa rất lớn của phép tính được đề xuất: “Những gì một người đã rút gọn phép tính này có thể nhận được trực tiếp trong ba dòng, những người đàn ông uyên bác khác đã quen tìm kiếm theo những cách vòng vo sau đây.”

Matematika và cuộc “chinh phục tâm trí” của các vị vua

Sau khi xuất bản Phương pháp mới…, cuộc sống của Leibniz ở Hanover vẫn tiếp tục mà không có những thay đổi đáng chú ý. Thực chất lúc này Leibniz không bận.

NOVA METHODUS PRO MAXIMIS ET MINIMIS. ITEMQUE TAHENTIBUS, QUAE NEC FRACTAS NEC IRRATIONALES QUANTITATES MORATUR, ET SINGULARE PRO ILLIS CALCULI GENUS*.

Sit thg 111) axis AX, et curvae plures, ut VV, WW, YV, ZZ, quarum ordinata ad axem normales. YX, WX, YX, ZX, quae voceur respective v, w, y, et ipsa AX, abscissa ab aze, voceur x. Tangentes sint VB, WC, YD, ZE, axi occurrentes respective in punctis B, C, D, E. Jam recta aliqua pro arbitrio assumta voceur dx, et recta, quar sit ad dx, ut v (vel w, vel y, vel z) et ad XB (vel XC, vel XD, vel XE) voceur dv (vel dw, vel dy, vel dz) sive differentia ipsarum v (vel ipsarum w, vel y, vel z). His positis, calcul regular erunt tales.

Sit a quantitas data constans, erit da aequalis 0, et dax erit aequalis adx. Si sit y aequ. v (scu ordinate quaevis curvae YY aequalis quivis ordinate respondenti curvae YY) erit dy aequ. dv Jam Additio et Subtraction: si sit z — y + x aequ. v, erit dz — y + x scu dv aequ. dz — dy + dw + dx. Multiplication: dv aequ. xdv + vdx, scu posito y aequ. xv,iet dy aequ. xdv + vdx. In arbitrio enim est vel formulam, ut xv, vel compendio pro ea literam ut y, adhibere. Notandum, et x et dx codem modo in hoc calculo tractari, ut y et dy, vel aliam literam indeterminam cum sua differentiali. Notandum eriam, non dari semper regressum a differentiali Aequatione, nisi cum quadam cautione, de quo aibi. Portro Dipisio: d v vel (posito z aequ. v) dz aequ. ± vdy ± ydv.

Qnoad Signo hoc probe notandum, cum. in calculo pro litera substitutur simpliciter ejus differentialis, servari quidem eadem signa, et pro + z scribi + dz, pro — z scribi — dz, ut ex addi-

*) Act. Erud. Lips. an. 1684.

Trang đầu tiên trong bài viết “Phương pháp mới…” của Leibniz.

18

đã xây dựng rất nhiều hình học cao cấp, nhất quyết xuất bản “Khoa học về sự vô tận” của tôi, chứa đựng nền tảng của nhiều phân tích mới … "

Những năm cuối đời của Leibniz bị lu mờ bởi cuộc tranh cãi với Newtom về thiên nhiên. Dần dần tranh chấp leo thang thành cáo buộc Leibniz đạo văn. Người ta gợi ý rằng anh ta có thể đã làm quen với các bản thảo của Newton ở London. Ngày nay, tính độc lập trong khám phá của Leibniz dường như đã được chứng minh. Ở London không có đủ văn bản chi tiết, trong chuyến thăm đầu tiên Leibniz chưa sẵn sàng chấp nhận lý thuyết của Newton, không có ai hiểu được phép tính hiện tại để truyền đạt nó cho Leibniz. Đến lần thứ hai tới London, Leibniz đã thành thạo phép tính của mình. Lúc đầu, cuộc tranh luận diễn ra mà không có sự tham gia của Newton và Leibnitz. Điều đáng ngạc nhiên là Newton, người luôn tránh những tranh chấp tự nhiên, lần này lại hăng hái tham gia vào cuộc tranh cãi. Leibnitz có lẽ đã xúc phạm anh ta rất nhiều, chưa một lần thừa nhận anh ta là người tạo ra phép tính mới (đã có ấn phẩm rồi). Ở Anh, họ đã tổ chức một cuộc đàn áp thực sự đối với Leibniz.

Mọi thứ còn phức tạp hơn bởi thực tế là vào năm 1714, Công tước trở thành Vua George I của Anh. Leibnitz dự định chuyển đến London và trở thành nhà sử học hoàng gia, nhưng anh ta thậm chí còn bị từ chối một cách xúc phạm ngay cả một ghế dự lễ đăng quang (buộc anh ta phải hoàn thành Lịch sử). Việc nhà vua không muốn kẻ thù của biểu ngữ Newton bị đánh bại trong đoàn tùy tùng của mình cũng đóng một vai trò nào đó. Leibniz qua đời năm 1716. Dòng chữ trên bia mộ rất lakonin: “Tro cốt của Leibnitz”.

Có lẽ sự nghiệp khoa học của Leibniz sẽ khác đi nếu ông tìm được cho mình một người bảo trợ mạnh mẽ và khai sáng. Trong những năm tháng suy tàn của mình, năm 1711, Leibnitz gặp Peter I tại đám cưới của Tsarevch Alexei. Peter chấp nhận Leibnitz phục vụ ở Nga với tư cách là Ủy viên Hội đồng Tư pháp Cơ mật, thảo luận với ông về việc tổ chức Viện Hàn lâm Khoa học ở St. Petersburg. Nhưng những kế hoạch của Leibniz liên quan đến Peter I, giống như nhiều dự án khác của ông, đã không thành hiện thực. Leibnitz đã viết cho Peter I:

“Mặc dù tôi thường xuyên phải hành động về các vấn đề chính trị và pháp lý, và kiến thức của các hoàng tử đôi khi sử dụng lời khuyên của tôi trong những vấn đề này, nhưng tôi vẫn thích khoa học và nghệ thuật hơn, vì chúng luôn chứa đựng vinh quang của Chúa và hạnh phúc của toàn thể nhân loại… khoa học và khoa học là kho báu thực sự của loài người, hoặc thông qua nghệ thuật của họ, nó vượt qua sự khác biệt của thiên nhiên và các dân tộc văn minh so với những kẻ man rợ. và những người nổi tiếng, tôi không thể tìm thấy một vị vua quyền lực nào đủ quan tâm đến việc này.”

Rõ ràng, qua nhiều năm, những đánh giá của Leibniz đã thay đổi: trong một thời gian dài, ông ưu tiên chính trị hơn khoa học, nhưng cuộc sống đã dạy ông một cách tàn nhẫn rằng địa vị của một nhà khoa học trong cung điện là vô ơn như thế nào. Và các thế hệ tiếp theo sẽ không nhớ nhiều về những thất bại của Leibniz trong lĩnh vực chính trị bằng những thành tựu khoa học của ông, vốn đóng vai trò quyết định trong sự phát triển hơn nữa của khoa học. Trong số những công trình như vậy chắc chắn có công trình năm 1684 về phép tính vi phân.

Bộ nhớ máy tính từ tính

(Để bắt đầu, xem trang 2)

Kết thúc câu chuyện về bộ nhớ từ tính của máy tính, chúng ta lưu ý rằng bộ nhớ lý tưởng vẫn chưa được tạo ra; giấc mơ của các nhà văn khoa học viễn tưởng về một tinh thể từ tính có khả năng ghi nhớ mọi thứ và biết mọi thứ vẫn là một giấc mơ nhưng khá gần với hiện thực hóa. Từ quan điểm vật lý, cần có một loại vật liệu phù hợp; Theo quan điểm của các kỹ sư, cần phải có công nghệ tiện lợi và giá cả phải chăng.

Các tác giả hiểu rằng không thể trình bày hết mọi thứ trong một bài viết ngắn. Vì vậy, họ muốn một lần nữa nhắc nhở độc giả rằng hiện tượng từ tính, được biết đến từ thời cổ đại, vẫn được coi là quan điểm và tư tưởng khoa học tiên tiến nhất cho đến ngày nay. Sự phát triển lý thuyết của ông vẫn chưa hoàn thiện và việc tìm kiếm các vật liệu từ tính mới chỉ mới bắt đầu. Vật lý từ và vật liệu đang chờ đợi những người đam mê mới.

19

Một số thí nghiệm với vật

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. LAPIDES

Có lẽ mỗi người trong số các bạn đã từng phải đối mặt với một thiết bị sinh học hoặc một thiết bị chiếu, một máy ảnh hoặc máy quay phim, một kính hiển vi hoặc một chiếc telefalcon. Thành phần chính của tất cả các thiết bị quang học này là ống kính, cho phép người ta thu được hình ảnh thực tế của các vật thể khác nhau.

Các ống kính hiện đại có thiết kế rất phức tạp, nhưng theo quy luật, tất cả chúng đều là một tập hợp các ống kính đặc biệt giống nhau. Vì vậy thấu kính có thể được coi là dài hơn các vật thể ngày nay.

Vào cuối thế kỷ 17, nhà tự nhiên học nội địa A. Leeuwenhoek, sau khi đánh bóng một mảnh thủy tinh, đã chế tạo ra một thấu kính có độ phóng đại 300 lần. Với sự giúp đỡ của nó, Leeuwenhoek lần đầu tiên có thể khám phá thế giới của vi trùng và vi khuẩn, quan sát chuyển động của máu trong mao mạch và nhiều thứ khác mà mắt thường không thể nhìn thấy được.

Các định luật quang học hình học sẽ đảm bảo khả năng tạo ra ảnh của thấu kính - các tia sáng phát ra từ bất kỳ điểm nào của vật đều bị khúc xạ trong thấu kính để chúng lại tập trung tại một điểm. Tuy nhiên, điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Bất kỳ ống kính đơn nào cũng có một số nhược điểm.

Đầu tiên, các tia phát ra từ một điểm sáng và chiếu tới các góc nhỏ so với trục quang học của thấu kính được tập trung tại một điểm (B), và các tia chiếu tới các góc lớn so với trục được tập trung tại một điểm khác (B′) (Hình 1). Do đó, nếu lắp màn hình trong mặt phẳng đi qua ảnh B, chúng ta sẽ thấy một điểm sáng xung quanh điểm B. Nó thường được gọi là vòng tròn tán sắc.

20

Thứ hai, do hiện tượng tán sắc nên thấu kính khúc xạ ánh sáng có độ dài khác nhau (màu sắc khác nhau) khác nhau. Điều này có nghĩa là các tia có màu khác nhau được thu thập sau khi khúc xạ ở các điểm khác nhau và cùng với một điểm sáng, một điểm được quan sát trên màn hình và một điểm có màu ở đó.

Những lỗi này và các lỗi khác của ống kính dẫn đến hình ảnh của các vật thể mở rộng bị biến dạng, không hoàn toàn rõ ràng và đôi khi có màu.

Bản chất của sự biến dạng có thể khác nhau tùy thuộc vào nhiều lý do. Nhưng, trong mọi trường hợp, độ méo càng lớn thì góc tạo với trục quang bởi các tia tới từ vật càng lớn. Hãy kiểm tra điều này bằng thực nghiệm.

Thí nghiệm 1. Lấy kính, đặt cách mắt 20-30 cm và nhìn vào một vật nào đó, chẳng hạn như một trang văn bản. Trộn văn bản và kính tương ứng với khuôn mặt, thêm vị trí mà bạn thấy văn bản được phóng to. Lưu ý rằng hình ảnh chữ cái ở gần mép bị méo; ở trung tâm độ biến dạng nhỏ (Hình 2). (Hãy nghĩ xem tại sao những người đeo kính lại không nhận thấy những biến dạng như vậy?)

Độ méo của ống kính lớn hay nhỏ? Như mọi khi trong vật lý, bản thân câu hỏi này là vô nghĩa. Cần phải có một số “tiêu chuẩn” nào đó để so sánh mức độ biến dạng. Trong trường hợp này, “tiêu chuẩn” như vậy có thể là kích thước của vùng đặc trưng nhỏ nhất của hình ảnh. Nếu nó lớn hơn nhiều so với vòng phân tán, thì độ biến dạng của thấu kính sẽ được coi là không đáng kể - chúng chỉ được quan sát thấy và sẽ không được chú ý. Nếu hình ảnh có kích thước của các phần tử nhỏ tương đương với đường kính của vòng tròn phân tán thì chúng sẽ có vẻ mờ và không rõ ràng.

Có thể khắc phục tình trạng này và giảm biến dạng hình ảnh không?

Hóa ra là điều này có thể được thực hiện bằng cách đưa một thấu kính bổ sung dọc theo đường đi của các tia, sự biến dạng của chúng trái dấu với sự biến dạng của thấu kính đã cho. Vì vậy, đối với thấu kính ở Hình 1, vai trò của thấu kính “hiệu chỉnh” sẽ do một thấu kính tán xạ đảm nhiệm, nó cản các tia trung tâm mạnh hơn và các tia ngoại vi kém mạnh hơn (điều này dễ dàng kiểm chứng bằng cách vẽ hình vẽ tương ứng). Trong các thiết bị quang học hiện đại, số lượng thấu kính được sử dụng cho mục đích này có thể lên tới 8-10 hoặc thậm chí nhiều hơn. Hệ thống thấu kính thu được được gọi là thấu kính vật. Nó có đặc tính cơ bản của một ống kính đơn - khả năng tạo ra hình ảnh, nhưng giúp giảm đáng kể độ méo.

Đường đi của tia sáng tới vật được thể hiện trên Hình 3. So sánh Hình 1 và Hình 3, ta thấy thấu kính có những đặc điểm riêng

21

Hầu như tất cả các tia đều đi đến một điểm - kích thước của vòng tròn tán xạ của vật thể thường ở mức 20 micron. Tuy nhiên, nếu màn bị dịch chuyển một lượng $a$ tính từ điểm $B$ thì trên đó sẽ hình thành một vòng tròn có kích thước $a \times g$, trong đó $a$ là góc tương ứng với các tia cực trị truyền qua thấu kính. Sự phụ thuộc của kích thước của vòng tròn này vào góc, và do đó vào đường kính của thấu kính, được các bức ảnh sử dụng để thu được những bức ảnh có độ sâu trường ảnh lớn.

Việc lấy nét của máy ảnh liên quan đến việc di chuyển ống kính so với phim (trong trường hợp này đóng vai trò như một màn hình trong Hình 3). Thấu kính được đặt ở vị trí sao cho ảnh của vật được chụp nằm chính xác trong mặt phẳng của phim. Trong trường hợp này, rõ ràng là hình ảnh của các vật thể ở xa đối tượng được chụp sẽ xuất hiện ở phía trước phim và hình ảnh của các vật thể ở phía trước nó xuất hiện ở phía sau phim. Các phần tử nhỏ riêng lẻ của các vật thể này tạo ra các vòng tròn được chiếu sáng trên phim, đường kính của chúng tỷ lệ thuận với độ lớn của độ lệch của vật thể. Vì chất lượng của ảnh chụp cũng được xác định bởi hạt của phim nên ảnh của vật thể sẽ không bị suy giảm so với trường hợp lấy nét chính xác nếu kích thước của vòng tròn tán xạ không vượt quá bán kính của hạt phim. Và điều này có thể đạt được bằng cách chọn đường kính của vật thể một cách thích hợp. Đây là lý do tại sao, khi chụp những cảnh có các vật thể ở xa nhau (dọc theo trục quang), hay như người ta nói, có độ sâu lớn, cần phải giảm nhiễu xạ. Hãy để chúng tôi xác nhận điều này bằng một thử nghiệm.

Thói quen hàng ngày 2. Mang theo máy ảnh, tốt nhất là có kính ngắm gương (ví dụ: “Zenith”): Vẽ một số đường ngang và dọc trên một tờ giấy trắng, gắn tấm giấy lên tường và chiếu sáng bằng đèn.

Từ khoảng cách khoảng 1 m, lấy nét máy ảnh với ống kính thấu kính mở hoàn toàn, di chuyển máy ảnh ra xa vị trí đầu tiên 20-30 cm để ảnh mờ và dừng ống kính. Độ sâu trường ảnh sẽ tăng lên và hình ảnh sẽ trở nên rõ ràng hơn.

Mở lại bộ khuếch tán đến giá trị tối đa. Gắn một tấm bìa cứng vào ống kính dưới dạng một khe rộng khoảng 3 cm và 2-3 mm. Nếu bạn định hướng khe theo chiều ngang, hình ảnh của các đường ngang sẽ trở nên sắc nét, trong khi các đường dọc vẫn bị mờ; nếu nhấp chuột theo chiều dọc, các đường dọc sẽ hiển thị rõ ràng. Bức ảnh được sao chép trong Hình 4 minh họa thực tế này (bên trái là một vật thể không bị biến dạng, và bên phải là hình ảnh nhìn qua một thấu kính nằm ngang).

Kinh nghiệm này có thể được giải thích như sau. Sự xuất hiện của các khe làm thay đổi hình dạng của điểm tán xạ - thay vì hình tròn, nó trở thành một ngọn đèn thẳng và chiều dài cạnh của đèn thẳng được định hướng

22

rượu song song với khe. Đối với các đường thẳng song song với khe, độ sâu trường ảnh trở nên lớn (độ lớn của nhiễu xạ đối với chúng được xác định bởi chiều rộng của khe) và đối với các đường vuông góc với khe, nó nhỏ (độ lớn của nhiễu xạ đối với chúng được xác định bởi chiều dài của khe).

Như chúng tôi đã nói, nếu một nguồn gửi ánh sáng theo mọi hướng, kích thước của vòng tròn tán sắc trên màn hình được xác định bởi đường kính của nhiễu xạ thấu kính. Nếu nguồn phát ra một chùm tia hẹp thì những thay đổi trong nhiễu xạ không đóng vai trò gì và đường kính của vòng tròn hoàn toàn được xác định bởi chính chùm tia đó.

Chúng ta hãy thực hiện một thí nghiệm, mục đích của nó là nghiên cứu sự phụ thuộc của độ sắc nét của hình ảnh vào sự phân kỳ của chùm sáng. Chúng ta sẽ cần các vật thể máy ảnh, hai chiếc đèn pin và hai mảnh kính màu, ví dụ như đỏ và xanh lam. Xử lý vật thể cẩn thận để tránh làm hỏng bề mặt ống kính.

Một tờ giấy đen thông thường và dùng dao cạo cắt một hình chữ thập mỏng trên đó. Đặt tờ giấy này phía trước vật thể và đính kèm một tờ giấy khác - màn hình - phía sau vật thể. Thắp sáng thánh giá bằng đèn pin. Bằng cách di chuyển cả hai tấm và thấu kính tương đối với nhau dọc theo trục quang, hãy thêm vị trí mà hình ảnh chữ thập trên màn hình sẽ rõ nhất. Đảm bảo rằng hình ảnh vẫn đủ rõ ràng khi di chuyển màn hình ở một khu vực nào đó dọc theo trục quang.

Bây giờ hướng ánh sáng từ hai đèn pin đến hình chữ thập, căn chỉnh mảnh kính màu đỏ với một trong số chúng và mảnh kính màu xanh lam với mảnh kia (Hình 5). Tia đỏ tới một góc β tạo thành ảnh chữ thập màu đỏ, tia xanh lam tới góc β tạo thành ảnh xanh lam. Những hình ảnh này chỉ được xếp chồng lên nhau ở một vị trí trên màn hình (Hình 6, a). Sự dịch chuyển của màn hình làm cho hình ảnh dịch chuyển ngang so với trục quang - đường viền màu của hình ảnh xuất hiện trên màn hình (Hình 6, b). Tuy nhiên, cả hình ảnh màu đỏ và màu xanh vẫn rõ ràng. Loại bỏ kính màu - hình ảnh thánh giá trở nên không rõ ràng và kém rõ ràng.

Lời giải thích cho trải nghiệm này như sau. Cả ảnh màu đỏ và ảnh xanh đều được tạo thành bởi các chùm tia hẹp. Do đó, đường kính của vòng tròn tán xạ trên màn hình do ánh sáng của mỗi điểm tạo ra là nhỏ. Do độ nghiêng của chùm tia so với trục, tâm của vòng tròn và do đó mỗi hình ảnh một ánh sáng bị dịch chuyển sang một bên nhưng vẫn khá sắc nét. Nếu bạn loại bỏ kính màu, thì ánh sáng trắng từ hai đèn pin dường như tạo thành một chùm tia chung có góc mở là 2β, vượt xa đáng kể góc mở của chùm tia đỏ và xanh. Do đó, nếu bạn tăng mạnh bán kính hình tròn trên màn hình, hình ảnh sẽ trở nên kém rõ ràng hơn.

Chúng tôi chỉ kể về một số thí nghiệm với vật thể được thực hiện một cách thú vị và hữu ích. Tất nhiên, số lượng của chúng có thể tăng lên theo ý của bạn.

Sửa đổi

Ở «Kvant» số 9 trong ghi chú “Dao động điều hòa”. Bổ sung các dao động ở giữa cột bên phải trên trang. 23, trong đó trường hợp cực đoan đầu tiên được thảo luận, cùng với sự bình đẳng

$$\cos(\phi_{02}-\phi_{01})=\cos(\phi_{2}-\phi_{1})=0$$

phải có

$$\cos(\phi_{02}-\phi_{01})=\cos(\phi_{2}-\phi_{1})=1.$$

23

Phân tích quang phổ

Năm nay đánh dấu kỷ niệm 125 năm phân tích quang phổ, một trong những phương pháp vật lý quan trọng nhất để nghiên cứu vật chất.

Năm 1802, nhà khoa học người Anh W. H. Wollaston (1766–1828) lần đầu tiên nhận thấy những vạch tối hẹp trong quang phổ mặt trời, nhưng không coi quan sát này có nhiều ý nghĩa. Nhà quang học người Đức J. Fraunhofer (1787-1826) đã thu được những kết quả toàn diện và đáng tin cậy hơn nhiều vào năm 1814-1815. Ông đã chỉ ra rằng quang phổ của Mặt trời chứa nhiều vạch tối (sau này chúng được gọi là vạch Fraunhofer) và quang phổ của ngọn lửa mà muối ăn được đưa vào có hai vạch sáng màu vàng. Đồng thời, ông cũng nhận thấy vị trí của hai vạch màu này trùng khớp hoàn toàn với vị trí của hai vạch tối (đường D, theo Fraunhofer) của mặt trời

Quang phổ nghệ thuật và vị trí của Mặt trời, natri và hydro. Các con số trong hình là các dải sóng (tính bằng nanomet) tương ứng với các phần khác nhau của quang phổ khả kiến. Các chữ cái chỉ ra những kẻ lừa đảo mãnh liệt nhất trong dòng.

Quang phổ nghệ thuật và vị trí của Mặt trời, natri và hydro. Các con số trong hình là các dải sóng (tính bằng nanomet) tương ứng với các phần khác nhau của quang phổ khả kiến. Các chữ cái chỉ ra những kẻ lừa đảo mãnh liệt nhất trong dòng.

Đây là nền tảng ngắn gọn của phân tích quang phổ. Lịch sử thực sự của nó bắt đầu vào tháng 10 năm 1859, khi một bài báo ngắn “Về dòng Fraunhofer” xuất hiện trong các tác phẩm của Viện Hàn lâm Khoa học Berlin - chỉ có hai trang. Bài báo được viết bởi giáo sư vật lý vốn đã nổi tiếng lúc bấy giờ tại Đại học Heidelberg G. Kirchhoff (1824-1887), và nói về các nghiên cứu quang phổ mà ông đã thực hiện cùng với những người khác - không kém phần quan trọng - giáo sư hóa học Heidelberg R. Bunsen (1811-1899).

Thí nghiệm quan trọng nhất như sau: trước khi phân hủy thành quang phổ (với sự trợ giúp của các tia mặt trời đã được nhận biết, chúng truyền qua ngọn lửa có chứa muối ăn. Kirchhoff viết: “Trong những trường hợp khi ánh sáng mặt trời đủ yếu đi,” Kirchhoff viết, hai vạch sáng xuất hiện thay cho các vạch D tối; nếu cường độ ánh sáng mặt trời vượt qua một ranh giới nhất định thì cả hai vạch D tối đều lộ ra rõ ràng hơn nhiều so với khi không có ngọn lửa bằng muối ăn). muối." Kirchhoff kết luận: “Chúng ta có thể giả sử rằng các vạch sáng trong quang phổ ngọn lửa, trùng với vạch D, luôn phát sinh từ sự hiện diện của natri trong đó; do đó, các vạch D tối trong quang phổ mặt trời khiến người ta nghĩ rằng có natri trong khí quyển mặt trời.”

Ngày nay, thật khó để tưởng tượng sự lựa chọn này gây ấn tượng như thế nào đối với những người cùng thời với ông - lần đầu tiên khoa học trên mặt đất có cơ hội xác định thành phần hóa học của các thiên thể xa xôi. Chính phương pháp phân tích quang phổ, mà ngay từ những thí nghiệm đầu tiên dường như đã được giáo sư Heidelberg tính đến, đã được xác minh và thiết lập một cách chắc chắn trong các công trình tiếp theo của Kirchhoff và Bunsen.

Đây là nguyên tắc cơ bản của nó: mỗi nguyên tố hóa học có một sự sắp xếp cụ thể của các vạch quang phổ xuất hiện sáng và có màu khi các nguyên tử của nguyên tố đó phát ra ánh sáng và tối khi chúng hấp thụ ánh sáng.

Hiệu quả to lớn của phương pháp phân tích quang phổ đã được thể hiện rõ ràng ngay lập tức. Vào năm 1860, Kirchhoff và Bunsen, sau khi đăng ký một quang phổ chưa biết, đã phát hiện ra một nguyên tố mới - Caesium. Năm 1861, họ cũng phát hiện ra rubidium. Thallium và indium sớm được những người khác phát hiện theo cách tương tự. Theo thời gian, khám phá của Kirchhoff và Bunsen đã trở thành một phương pháp phòng thí nghiệm tiêu chuẩn, phổ quát và cực kỳ nhạy cảm để phân tích định tính và định lượng một chất. Vì vậy, nó có thể được sử dụng để phát hiện tạp chất có hàm lượng bằng 10⁻⁶% vật liệu cơ bản.

Đối với quang phổ tự nhiên và lý do giải thích các kiểu sắp xếp đáng kinh ngạc của các vạch quang phổ, đáp số những câu hỏi này chỉ được trả lời trong những thập kỷ đầu tiên của thế kỷ chúng ta, khi cơ học lượng tử ra đời, một lý thuyết mà chính sự sáng tạo của nó không thể tách rời khỏi khoảng trống trong việc “giải mã” quang phổ.

B. E. Yavelov

24

Vật lý 8, 9, 10

Sách đã xuất bản “Làm thế nào để “khám phá” định luật II Newton?” dành cho học sinh lớp 8, “Khí chuyển thể lỏng” dành cho học sinh lớp 9, “Phương trình sóng” dành cho học sinh lớp 10.
Các tài liệu được chuẩn bị bởi I.K. Belkin.

Làm thế nào để “khám phá” định luật II Newton?

Newton, trong tác phẩm nổi tiếng “Các nguyên lý toán học của vật lý tự nhiên”, định nghĩa lực như sau:

“Lực tác dụng là tác dụng được thực hiện lên một vật để làm thay đổi trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều của nó.”
Nói cách khác, lực là nguyên nhân gây ra gia tốc. Newton xây dựng định luật chuyển động thứ hai như sau:

“Sự thay đổi trong chuyển động tỷ lệ thuận với lực tác dụng lên chuyển động và xảy ra theo hướng của đường thẳng mà lực này tác dụng.”
Từ “thay đổi chuyển động” chắc chắn có nghĩa là sự thay đổi tốc độ chuyển động, vì tốc độ là đặc tính định lượng chính của chuyển động và hướng của vectơ tốc độ là hướng chuyển động. Do đó, định luật thứ hai của Newton áp dụng cho phát biểu rằng gia tốc (không liên quan đến sự thay đổi tốc độ) của một vật tỉ lệ thuận với lực tác dụng lên nó và có hướng giống như lực.

Nhưng từ “tỷ lệ” gợi ý rằng lực có thể được biểu thị bằng số. Trong khi đó, định nghĩa lực bằng lời ở trên không cho phép chúng ta so sánh lực như một hệ số. Do đó, người ta vẫn chưa rõ chính xác bằng cách nào Newton “biết” được rằng gia tốc và lực có liên hệ với nhau theo cách đã nêu trong định luật của ông. Nhưng rõ ràng định luật thứ hai của Newton là một định luật chỉ có thể thu được từ kinh nghiệm. Kinh nghiệm gì? Thật không may, Newton không thấy cần thiết phải kể lại điều này trong cuốn sách của mình. Nhưng không khó để tưởng tượng một trải nghiệm như vậy sẽ như thế nào.

Trước hết, đối với thí nghiệm, bạn cần sử dụng một lực không phụ thuộc vào vật thể tác dụng lực đó. Điều kiện này được thỏa mãn, ví dụ, bằng lực của sự xuất hiện urgo xóa (nén). Nó chỉ bị giới hạn bởi độ giãn của lực tác dụng và với độ giãn cho trước, lực tác dụng lên bất kỳ vật nào gắn với nó với cùng một lực.

Nếu chúng ta sử dụng lực Urgostyling cho thí nghiệm thì mối liên hệ giữa lực và gia tốc có thể được thiết lập theo hai cách.

Phương pháp một. Lực tạo kiểu được áp dụng theo kiểu kéo dãn (nén) được coi là bằng một (tiêu chuẩn của lực). Một số vật thể được gắn vào vật đính kèm và gia tốc của vật thể thay đổi khi nó chuyển động dưới tác dụng của một lực (tất nhiên, khi vật chuyển động với một phần kéo dài thì vật tác dụng sẽ không thay đổi!). Sau đó, vào cùng một vật thể, tức là với một vật thể có cùng khối lượng, 2, 3, 4, v.v. được gắn vào. Các đơn vị tương tự và bị kéo căng (nén) tương tự được áp dụng và gia tốc được truyền vào cơ thể bởi các lực bây giờ bằng hai đơn vị run, bốn, v.v. lại thay đổi.

Với tất cả những thay đổi này, khối lượng $m$ của cơ thể vẫn giữ nguyên. Do đó, phải có một đại lượng nào đó gắn liền với lực và gia tốc, giống nhau trong mọi thí nghiệm. Nó nên được đánh đồng với massela. Một thí nghiệm như vậy sẽ cho thấy rằng tỷ số $F/a$ sẽ bằng nhau đối với bất kỳ tác dụng lực nào, vì vậy chúng ta có thể viết

$$m = \frac{F}{a},$$ hoặc $F = ma.$

Phương pháp này yêu cầu lựa chọn sơ bộ về mức độ bền. Khi đó, sự thay đổi gia tốc giúp xác định khối lượng của vật và biểu thị nó bằng một con số nhất định.

Phương pháp hai. Lấy ứng dụng làm biến dạng một cách tùy ý, để một loại lực tạo kiểu nào đó phát sinh cho đến khi nó thay đổi. Để ứng dụng

25

một vật thể có khối lượng nhất định được gắn vào. Và nó được biết đến bởi vì có một giai đoạn khối lượng mà khối lượng của bất kỳ vật thể nào có thể so sánh được, chẳng hạn như được mô tả trong § 23 của Vật lý 8.
Gia tốc của một vật chuyển động dưới tác dụng của lực đàn hồi của lò xo được đo. Sau đó, các vật có khối lượng khác nhau nhưng cũng đã biết được gắn vào cùng một lò xo có biến dạng tương tự (sao cho lực không đổi) và gia tốc của chúng được đo lại.

Vì lực tác dụng lên các vật thể khác nhau là như nhau, nên những thay đổi đó sẽ dẫn đến một giá trị nhất định gắn liền với gia tốc là như nhau đối với mọi vật thể. Nó phải tương đương với lực tác dụng lên mọi vật thể (“Vật lý 8”, § 25). Các thí nghiệm được mô tả cho thấy rằng tích $ma$ hóa ra có cùng giá trị đối với tất cả các vật thể. Có nghĩa,

$$F = ma.$$

Như chúng ta thấy, cả hai phương pháp đều cho kết quả như nhau. Chúng tương đương với nhau, bởi vì không có gì khác biệt dù các lực khác nhau tác dụng lên cùng một vật hay cùng một lực tác dụng lên các vật khác nhau. Trong sách giáo khoa Vật lý 8, định luật II Newton được “khám phá” bằng phương pháp thứ hai, có lẽ vì nó dễ thực hiện hơn. Thực tế là phương pháp đầu tiên giả định rằng một mức lực nhất định đã được chọn - một loại lò xo bị biến dạng nào đó. Phương pháp thứ hai giả định rằng một giai đoạn khối lượng nhất định đã được chọn. Trong vật lý và công nghệ, họ đã đi theo chính xác con đường này - một giai đoạn khối lượng quốc tế cơ bản dưới dạng hình trụ ngày bạch kim. Tiêu chuẩn về khối lượng dễ dàng lưu trữ và tái tạo hơn tiêu chuẩn về sức mạnh.

Do đó, định luật cơ bản của động lực học - định luật thứ hai của Newton - tuy nhiên, là một định luật thực nghiệm thuần túy, giống như bất kỳ định luật nào khác của tự nhiên. Đồng thời, công thức $F = ma$ của định luật thứ hai cũng có thể dùng để định nghĩa lực như một đại lượng vật lý: lực là một đại lượng vật lý bằng tích của khối lượng của vật mà nó tác dụng và gia tốc của nó.

Đây không phải là trường hợp duy nhất khi cùng một công thức thể hiện một quy luật tự nhiên nhất định, đồng thời đóng vai trò là định nghĩa của một đại lượng vật lý nhất định.

Khí biến thành chất lỏng
(Từ lịch sử vật lý)

Trong một thời gian dài, loại khí duy nhất được khoa học biết đến là không khí trong khí quyển, loại khí này cũng được coi là một thứ giống như một nguyên tố, một phần không thể thiếu của mọi thứ thiết yếu. Và chỉ đến nửa sau của thế kỷ 18, nhờ nỗ lực của nhiều nhà khoa học hóa học, người ta đã xác định được rằng có những loại khí khác, bản thân không khí là một hỗn hợp các loại khí có tính chất và tính chất khác nhau. Tuy nhiên, từ “khí” không được sử dụng vào thời điểm đó. Cái mà ngày nay chúng ta gọi là khí lúc đó được gọi là “không khí”. Hydro là không khí dễ cháy, oxy là không khí bốc lửa, nitơ là không khí ngột ngạt, aminak là không khí kiềm, v.v.

Nhưng vào cuối thế kỷ 18, Khimki, và trên hết là nhà hóa học người Pháp Antoine Lavouzier, đã tìm cách hiểu được “nền kinh tế” khí đốt mới của họ. Lavouzier đã đặt tên cho tất cả 20 loại khí được biết đến vào thời điểm đó. Ông đề xuất từ ​​“khí” làm tên chung cho toàn bộ loại chất này. Lavouzier là người đầu tiên đưa ra khái niệm về trạng thái tổng hợp của vật chất.

Làm thế nào để biến khí thành chất lỏng? Về khả năng biến khí thành chất lỏng, Lavouzier bày tỏ ý tưởng sau: “… Nếu chúng ta có thể đặt Trái đất ở một vùng rất lạnh nào đó, ví dụ, trong bầu khí quyển của Sao Mộc hoặc Sao Thổ, thì… không khí, hoặc ít nhất là một số thành phần của nó, sẽ không còn vô hình và biến thành chất lỏng. Sự biến đổi kiểu này sẽ mở ra khả năng thu được chất lỏng mới mà chúng ta vẫn chưa biết.”

Đây là bằng chứng của một nhà hóa học xuất sắc, bằng chứng của những điều khác. Nhưng có một khả năng khác.

Thay vì làm mát - lăn. Năm 1792, nhà vật lý người Ấn Độ Van Marum đã cố gắng tìm hiểu xem định luật Boyle-Marriott (Vật lý 9, trang 45) có đúng đối với amoniac hay không (xét cho cùng, cả Boyle và Mariotte đều phát hiện ra định luật này bằng cách nghiên cứu không khí!). Để làm được điều này, Van Marum đã hớt amoniac trong xi lanh và thay đổi áp suất của nó, áp suất này sẽ tăng lên một cách tự nhiên. Nhưng thật bất ngờ, ở áp suất khoảng 7 atm (1 atm ≈ 10⁵ Pa), áp suất khí

26

sự sắp xếp lại ngày càng phát triển, mặc dù thực tế là khối lượng của nó tiếp tục giảm. Lúc này trong bình xuất hiện amoniac lỏng.

Trong Hình 1, đường liền nét thể hiện sự phụ thuộc của áp suất khí vào thể tích mà Van Marum thu được. Đường đứt nét thể hiện sự phụ thuộc của $p$ vào $V$, tương ứng với định luật Boyle-Mariotte; Đây là cách chúng hoạt động ở áp suất thấp, trong một bình chứa amoniac, một chất lỏng xuất hiện và tất nhiên, hơi nước bão hòa phía trên nó.

Do đó, hơi nước bão hòa có thể thu được không chỉ bằng cách làm bay hơi chất lỏng trong một bình kín (Vật lý 9, trang 79), mà còn bằng cách hớt khí, tất nhiên, cũng tương tự như vậy trong một bình kín. Kinh nghiệm của Van Marum dường như cho thấy rằng không cần thiết phải làm mát để giải phóng khí; nó có thể được thay thế bằng cách tăng tốc và tăng áp lực.

Người phát minh ra còi báo động làm nóng chất lỏng. Năm 1822, nhà vật lý người Pháp Cagnard de Latour, được biết đến là người phát minh ra còi báo động và là tác giả của nhiều nghiên cứu về dao động của dây, đã xuất bản một bài báo trong đó ông mô tả việc đun nóng một chất lỏng (rượu, ete, nước) đầu tiên trong một bình thép kín (làm từ nòng súng), sau đó trong các ống thủy tinh có thành dày kín (không nhìn thấy gì trong bình thép!). Ông nhận thấy rằng khi nhiệt độ ngày càng tăng, mức chất lỏng trong bình trước tiên sẽ theo sau (chất lỏng bay hơi) và sau đó tăng lên (chất lỏng nở ra khi đun nóng); ở một nhiệt độ nhất định, ranh giới giữa chất lỏng và hơi phía trên nó biến mất (Hình 2). Từ đó, Cagniard de Latour kết luận rằng ở nhiệt độ cao hơn nhiệt độ mà ranh giới biến mất, vật chất không thể tồn tại ở trạng thái lỏng – chỉ có thể tồn tại ở trạng thái khí.

Để thu được chất lỏng trở lại, chất này phải được làm lạnh. Cagniard de Latour thực tế đã quan sát được ranh giới lỏng-hơi của nhiều chất khi ống được làm lạnh. Chỉ đối với nước, anh không thể nhìn thấy sự biến mất của ranh giới - ngay cả trước đó, các đường ống đã vỡ.

Faraday bắt tay vào công việc. Một trong số ít người hiểu công việc của Canrade Latour là gợi ý thực tế là để thoát khí, không chỉ cần loại bỏ nó mà còn phải làm mát nó, là nhà vật lý người Anh Michael Faraday. Vào năm 1823, ông đã biến clo thành chất lỏng. Sau 20 năm, vào năm 1844, ông lại quay trở lại nghiên cứu loại bỏ khí. Hoạt động bằng cách làm mát và tăng áp suất, Faraday có thể loại bỏ hydro sunfua, carbon dioxide và anhydrit sulfuric. Đúng vậy, một số loại khí, chẳng hạn như oxy, nitơ, hydro, đã kiên quyết không được cung cấp cho đền tạm. Một số nhà nghiên cứu tin rằng chỉ áp suất thôi cũng đủ để giải phóng khí, nên những loại khí này phải chịu áp suất ngày càng cao hơn. Nhưng dù vào thời điểm đó có vẻ kỳ diệu nhưng áp suất 3.000 atm cũng không mang lại thành công. Đằng sau điều này, các loại khí đã khẳng định chắc chắn “danh tiếng” là không thể phá hủy và chúng bắt đầu được gọi là các loại khí “vĩnh viễn”.

Làm mát là cần thiết. Tuy nhiên, ngày càng nhiều nhà khoa học có xu hướng nghĩ rằng đối với mỗi chất đều có một nhiệt độ cao hơn mức nhiệt độ đó nó chỉ có thể tồn tại ở trạng thái khí. Faraday nghĩ vậy. D. nảy ra ý tưởng tương tự vào năm 1860. I. Mendeleev, người gọi nhiệt độ này là điểm sôi tuyệt đối.

27

Nhà vật lý người Anh Thomas Endris đã mang lại sự rõ ràng cuối cùng cho vấn đề này. Năm 1869, ông công bố kết quả thí nghiệm kéo dài nhiều năm của mình. Giống như Van Marum, Endries nghiên cứu hành vi của chất khí khi thể tích của nó giảm và áp suất tăng. Nhưng nếu Van Marum chỉ tiến hành thí nghiệm ở nhiệt độ phòng thì Endries lại tiến hành thí nghiệm ở nhiều nhiệt độ khác nhau.

Trong Hình 3, các đường liền nét thể hiện các đường cong mà Endris thu được. Ông cũng quan sát thấy sự xuất hiện của chất lỏng ở áp suất tương ứng với mặt cắt ngang của đường cong. Nhưng khi nhiệt độ ngày càng tăng, những áp suất này tăng dần và chiều rộng của các phần nằm ngang ngày càng nhỏ hơn, cho đến khi ở nhiệt độ nào đó, ký hiệu là $T_k$ trong Hình 3, phần nằm ngang trên đường cong biến mất hoàn toàn. Đồng thời, ranh giới giữa chất lỏng và hơi cũng biến mất - điều mà Cagnard de Latour đã quan sát thấy.

Trên nhiệt độ này, được Endris gọi là nhiệt độ tới hạn, chất này không thể ở dạng lỏng. Hơi lỏng và bão hòa phía trên nó chỉ có thể được quan sát thấy trong vùng áp suất và thể tích được giới hạn bởi đường đứt nét trong Hình 3. Nếu nhiệt độ khí cao hơn $T_k$ thì cần phải làm mát để đốt cháy nó.

Sau công trình của Endris, người ta thấy rõ rằng các chất khí “vĩnh viễn” không hề cố định chút nào. Chỉ là nhiệt độ tới hạn của chúng thấp hơn nhiều so với nhiệt độ phòng. Kể từ thời điểm đó, cuộc đấu tranh đốt cháy khí “vĩnh cửu” chuyển thành cuộc đấu tranh để đạt được nhiệt độ thấp. Phải mất thêm 40 năm nữa người ta mới có thể đốt cháy tất cả các loại khí mà không có ngoại lệ. Vì vậy, vào năm 1877, nitơ ($T_k = 126,3$ K) và oxy ($T_k = 154,8$ K) đã bị đốt cháy. Năm 1898, người ta thu được hydro lỏng ($T_k = 33,2$ K). 10 năm sau, vào năm 1908, khí cuối cùng, helium ($T_k = 5,2$ K), chuyển sang dạng lỏng. Điều này đánh dấu sự khởi đầu phát triển của một trong những lĩnh vực quan trọng nhất của khoa học vật lý – vật lý nhiệt độ thấp.

Do đó, đối với các chất mà chúng ta biết là chất khí, nhiệt độ phòng cao hơn nhiệt độ tới hạn của chúng. Đó là lý do tại sao chúng ở dạng khí. Ngược lại, đối với những chất mà chúng ta quen ở dạng lỏng, nhiệt độ phòng thấp hơn nhiệt độ tới hạn của chúng.

Phương trình sóng

Sóng, như đã biết, là quá trình lan truyền các rung động trong không gian. Để sóng trong môi trường có thể truyền đi, các điểm của môi trường phải được nối với nhau bằng liên kết có khả năng gây dao động, tức là bằng liên kết đàn hồi. Hình 1 cho thấy một loạt các điểm được kết nối với nhau như vậy. Nếu một trong các điểm, ví dụ như điểm $O$, bắt đầu dao động thì dao động của nó sẽ di chuyển theo hướng $r$.

Cho điểm $O$ dao động dọc theo trục $X$ theo định luật

$$x = x_m \sin \omega t. \tag{1}$$

Ở đây thời gian $t$ được tính từ thời điểm điểm $O$ ở vị trí cân bằng. Rung động của nó lan sang các điểm khác không phải ngay lập tức mà ở một tốc độ nhất định $v$. Điều này có nghĩa là trong một đơn vị thời gian, dao động phải đạt đến một điểm trong chuỗi nằm cách điểm $O$ ở khoảng cách bằng $v$. Khoảng cách mà dao động lan truyền trong thời gian bằng một chu kỳ $T$ dao động được gọi là bước sóng $\lambda$ (“Vật lý 10”, trang 81). Nó theo sau đó

$$\lambda = vT, \text{ или, так как } T = \frac{1}{v}, \quad v = \lambda v.$$

Bất kỳ điểm nào trong chuỗi của chúng ta (xem Hình 1), ngay khi có sóng tới nó, sẽ bắt đầu dao động với cùng tần số với điểm $O$, tức là nó sẽ lặp lại các dao động này. Nhưng hãy lặp lại với một chút độ trễ - xét cho cùng, đến một điểm nằm cách $O$ ở khoảng cách $r$, dao động sẽ xảy ra sau một khoảng thời gian bằng $r/v$. Do đó, để có tọa độ $x$ của một điểm ở khoảng cách $r$ chúng ta phải viết

$$x = x_m \sin \omega \left( t - \frac{r}{v} \right). \tag{2}$$

28

Phương trình (2) được gọi là phương trình sóng. Nó cho phép bạn tìm độ dịch chuyển $x$ từ vị trí cân bằng của bất kỳ điểm nào (nằm ở bất kỳ khoảng cách nào $r$) bất kỳ lúc nào. Trong một thời điểm nhất định, nó có thể cung cấp một bức ảnh chụp vị trí của tất cả các điểm của chuỗi so với trục $X$. Phương trình sóng cho thấy tất cả các điểm thực sự dao động theo cùng một cách (tất cả đều dao động dọc theo trục $X$ và đều có cùng biên độ và tần số dao động). Chỉ có các pha dao động là khác nhau - độ chênh lệch pha dao động của hai điểm, khoảng cách giữa chúng là $\Delta r$, là $\omega \Delta r/v$.

Đôi khi sẽ thuận tiện hơn nếu trình bày phương trình sóng khác đi một chút. Chúng ta hãy viết lại phương trình (2) dưới dạng

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{\omega r}{v} \right).$$

Chúng ta hãy thay số hạng thứ hai trong ngoặc thay vì tốc độ sóng $v$ giá trị $\lambda$ bằng nó và cùng với $\omega$ chúng ta viết $2\pi v$. Sau đó chúng tôi nhận được

$$x = x_m \sin \left( \omega t - \frac{2\pi r}{\lambda} \right).$$

Từ biểu thức này, rõ ràng tọa độ $x$ của bất kỳ điểm nào ở khoảng cách $r$ tính từ nguồn sóng phụ thuộc vào giá trị $r/\lambda$, tức là phụ thuộc vào số lượng bước sóng phù hợp ở khoảng cách $r$. Ví dụ: nếu $r=\lambda$, thì độ trễ pha sẽ bằng $2\pi$, nghĩa là pha dao động của điểm này sẽ giống với pha dao động của điểm $O$. Theo cách tương tự, nếu $r=2\lambda$, $3\lambda$, v.v., thì độ lệch pha sẽ bằng $4\pi$, $6\pi$, v.v., nghĩa là trong trường hợp này các pha sẽ giống nhau. Do đó, các điểm sóng nằm cách nhau một khoảng bằng bước sóng, nói chung là hai bước sóng

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right).$$

Điều kiện đạt được của Pozny (châm ngôn) có dạng

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = 2\pi k,$$

ở đâu $k=0, 1, 2, \dots,$

Ở đâu

$$r_1 - r_2 = k\lambda = 2k \frac{\lambda}{2}$$

• các dao động sẽ được khuếch đại (nghĩa là biên độ của các dao động phức tạp sẽ bằng tổng biên độ của các dao động cộng thêm) nếu độ chênh lệch đường đi $r_1 - r_2$ của sóng đến nơi “gặp nhau” bằng một số chẵn nửa số nửa. Theo đó, các mức tối thiểu được tăng cường -

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \left( r_1 - r_2 \right) = (2k+1)\pi,$$

hoặc

$$r_1 - r_2 = (2k+1) \frac{\lambda}{2}$$

• các dao động sẽ yếu đi (biên độ thu được sẽ bằng chênh lệch biên độ dao động trong hai sóng), nếu chênh lệch đường truyền sóng bằng một số nửa số chẵn.

29

Toán 8,9,10

Ghi chú được xuất bản bên dưới “Về một phương pháp lời giải của một số phương trình” trình bày khả năng suy luận ở từng mức độ có điều kiện, vì mỗi ghi chú này có thể hữu ích không chỉ cho học sinh của các lớp được chỉ định.

Về một chiều lời giải của một số phương trình

Hãy xem xét những điều sau bài toán:

1. Giải phương trình
   $$(2x-1)\sqrt{x-2}=7\sqrt{2}.$$
   (1)

Bình phương truyền thống của cả hai bên dẫn đến một phương trình bậc ba
$$4x^3-12x^2+9x-100=0,$$
và nhiều nỗ lực mang tính quyết định để tìm ra cách khác của phương trình bài toán.

Có lẽ nhiều người đồng ý rằng chúng ta có thể cố gắng tìm ra một trong những nghiệm của phương trình bằng cách đánh đồng các thừa số tương ứng:
$$\begin{cases} 2x-1=7, \\ \sqrt{x-2}=\sqrt{2}, \end{cases}$$
từ đâu $x=4$.

Thật không may, họ dừng lại ở đó và viết ra đáp số. Kết quả là, lời giải có sai số nghiêm trọng, mặc dù đáp số đúng: chúng tôi “đoán” nghiệm (đơn) của phương trình nhưng không chứng minh được rằng không còn nghiệm nào nữa.

Trong trường hợp này, thật dễ dàng để chứng minh rằng phương trình (1) không có nghiệm nào khác, vì với $x>4$ chúng ta có $2x-1>7$, $\sqrt{x-2}>\sqrt{2}$ và vế trái lớn hơn vế phải, và với $x<4$ (từ miền định nghĩa của phương trình) $2x-1<7$, $\sqrt{x-2}<\sqrt{2}$, do đó vế trái nhỏ hơn vế phải.

Hãy để chúng tôi nhấn mạnh một lần nữa rằng lời giải bao gồm hai phần:

1. chúng tôi “đoán” nghiệm (hoặc nghiệm) của phương trình;
2. Ta chứng minh rằng phương trình không còn nghiệm nữa.

Lưu ý rằng phương pháp phương trình nghiệm được sử dụng cho lời giải (1) cũng phù hợp trong trường hợp thay vì lấy tích thì người ta đưa tổng vào phương trình. Ví dụ: trong bài toán này:
2. Giải phương trình:
$$2x+\sqrt{x-2}=8+\sqrt{2}.$$

Số lượng các yếu tố (thuật ngữ) trong những bài toán như vậy có thể rất lớn; trong trường hợp này, một số hệ số phải được đặt bằng 1, chẳng hạn như trong bài toán sau:
3. Giải phương trình:
$$(2y-1)\sqrt{y-2}\sqrt{y-3}=7\sqrt{2}.$$
Lưu ý rằng các phương pháp đoán gốc có thể khác nhau. Ví dụ: hãy xem xét bài toán sau:
4. Giải phương trình:
$$2a+\sqrt{a-2}+\sqrt{a-3}=9+\sqrt{2}.$$
(2)

Điều tự nhiên là giả sử rằng $\sqrt{a-2}=\sqrt{2}$, do đó $a=4$. Sau đó, thật dễ dàng để kiểm tra xem $a=4$
$$2a+\sqrt{a-3}=2\cdot4+\sqrt{1}=9.$$

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh (tương tự như bài toán 1) rằng phương trình (2) không có nghiệm nào khác:

1. Đối với $a>4$ chúng ta có $2a>8$, $\sqrt{a-2}>\sqrt{2}$, $\sqrt{a-3}>1$, vì vậy bên trái lớn hơn bên phải;
2. tại $a<4$ (từ miền định nghĩa của phương trình), vế trái nhỏ hơn vế phải.

V. E. Olkhov

Ba lời giải một bài toán

Thường thì chúng ta không kết thúc lý luận của mình và bỏ rơi những ý tưởng nảy sinh trong đầu. Trong bài toán này, bằng cách sử dụng ví dụ về một bài toán, nó cho thấy các ý tưởng khác nhau, khác xa nhau trong giai đoạn đầu, có thể dẫn đến mục tiêu như thế nào nếu bạn thể hiện tính thực tế ở các giai đoạn thấp hơn của lời giải.

Vấn đề. Vẽ một tam giác vuông bằng cách sử dụng cạnh huyền và đường phân giác của góc vuông.

Vấn đề có vẻ tương đối đơn giản, nhưng không thể giải quyết nó một cách “nhanh chóng”.

Như bạn đã biết, lời giải bài toán đối với xây dựng bao gồm 4 điểm: 1) phân tích,

30

2. xây dựng, 3) bằng chứng, 4) nghiên cứu. Chúng ta sẽ bắt đầu với cuộc điều tra chung cho cả ba phương pháp lời giải bài toán. Gọi $c, l_c, m_c, h_c$ là độ dài cạnh huyền tương ứng và đường phân giác, đường trung tuyến và đường cao vẽ từ đỉnh của góc vuông. Trong một tam giác vuông, chúng ta có $m_c = c/2 = R$, trong đó $R$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đường phân giác $CD$ của góc $C$ (Hình 1) đi qua điểm $K$—điểm giữa của cung $AB$. Do đó (nếu $|AC| \neq |BC|$) nó nằm giữa đường trung tuyến và chiều cao, và hình chiếu của nó lên cạnh huyền nhỏ hơn hình chiếu của đường trung tuyến lên cạnh huyền. Điều này hàm ý sự bất đẳng thức $h_c \leq l_c \leq m_c = c/2$ (sự đẳng thức đạt được đối với một tam giác đều). Do đó, vì $l_c > c/2$ lời giải không tồn tại, vì $l_c \leq c/2$ lời giải tồn tại và là duy nhất.

Lưu ý rằng với $l_c = c/2$ tam giác là tam giác đều, trong trường hợp này việc xây dựng và chứng minh rất phức tạp. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ giả sử rằng $l_c < c/2$ (và tam giác là đều).

Ý tưởng đầu tiên. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm ở giữa điểm enotenuse, đường phân giác của góc vuông đi qua giữa cung (hình bán nguyệt) $AB$, không chứa điểm $C$. Chúng ta sẽ xem xét một hình tam giác được ghi trong một vòng tròn. Khi đó, có lẽ sẽ có thể tìm thấy mối quan hệ giữa dữ liệu và các phần tử xuất hiện trong bản vẽ, xuất phát từ tính chất của một tam giác nội tiếp trong một vòng tròn.

Phân tích. Đặt tam giác $ABC$ là hình mong muốn. Chúng ta hãy vẽ một vòng tròn xung quanh nó (xem Hình 1). Đặt $M$ và $K$ là giao điểm của đường tròn và đường kính của nó,

$$\begin{align*} \perp &= \perp \\ M &= M \\ K &= K \end{align*}$$

vuông góc $AB$. Khi đó các cung $AK$ và $KB$ bằng nhau nên $CK$ là phân giác của góc $C$. Tam giác $MCK$ là hình chữ nhật. Rõ ràng, đối với lời giải bài toán, việc biểu thị độ dài của đoạn $CK$ theo $c$ và $l_c$ là đủ.

Hình tam giác $MCK$ và $KOD$ giống nhau ở hai góc. Chúng ta hãy biểu thị độ dài của đoạn $DK$ bằng $x$. Sau đó

$$\frac{|CK|}{|KM|} = \frac{|OK|}{|DK|} \text{ или } \frac{l_c + x}{c} = \frac{c/2}{x},$$

từ đâu $x^2 + l_c x - c^2/2 = 0$. Đó là lý do tại sao,

$$x = -l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$$

(rõ ràng chỉ có nghiệm dương của phương trình là phù hợp). Kế tiếp

$$|CK| = l_c + x = l_c/2 + \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}. \tag{1}$$

Sự thi công. Chúng ta hãy dựng đoạn $d = \sqrt{l_c^2/4 + c^2/2}$ làm cạnh huyền của một tam giác vuông có hai chân $l_c/2$ và $c/\sqrt{2}$, sau đó là đoạn $l_c/2 + d$. Sau đó, chúng ta sẽ dựng một tam giác vuông $CMK$ dọc theo cạnh huyền $|MK| = c$ và chân $|CK| = l_c/2 + d$, vẽ một đường tròn có đường kính $MK$ và dựng đường kính $AB$ của đường tròn này, đường kính vuông góc $MK$. Cần có tam giác $ABC$ (xem Hình 1).

Bằng chứng. Theo cách xây dựng, $|AB| = c, MK$ và $AB$ là các đường kính vuông góc với nhau, do đó $AK = KB = 90^\circ, ACK = KCB = 45^\circ$, tức là $CK$, là phân giác của góc (phải) $C$. Cần chỉ ra rằng $|CD| = l_c$, trong đó $D$ là giao điểm của các đoạn $CK$ và $AB$.

Hãy tiến hành chứng minh bằng phản chứng. Ví dụ: đặt $|CD| = f > l_c$. Khi đó trong tam giác $ABC$ độ dài cạnh huyền là $c$, và đường phân giác là $CD - f$, do đó, theo (1)

$$|CK| = \frac{f}{2} + \sqrt{\frac{f^2}{4} + \frac{c^2}{2}} > \frac{l_c}{2} +$$

$$+ \sqrt{\frac{l_c^2}{4} + \frac{c^2}{2}} = |CK|$$

(bằng cách xây dựng), mâu thuẫn. Trường hợp $|CD| = f < l_c$ cũng được xử lý tương tự.

Khi trình bày phương pháp thứ hai và thứ ba lời giải bài toán chúng tôi sẽ chỉ giới hạn ở việc phân tích. Hãy tự mình tiến hành xây dựng và chứng minh.

Ý tưởng thứ hai. Tam giác mong muốn có được kết nối với các tam giác khác có các phần tử chung với nó không?

32

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Gọi K, M, N lần lượt là các đáy tương ứng của các đường cao AK, BM, CN của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
   a) các tam giác AMN, BNK và CKM đồng dạng với tam giác ABC (và với nhau), hệ số đồng dạng của mỗi tam giác bằng cosin của góc chung với tam giác ABC;

6. AK, BM, CN là các đường phân giác của các góc của tam giác KMN.

2. a) Số hạng thứ tám của một cấp số nhân bằng 10. Tìm tích của tất cả các số hạng của nó từ số thứ nhất đến số thứ mười lăm.

6. Tìm số tiền
   $$x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + \dots + nx^n$$

3. Trong tam giác ABC, cho điểm M chia cạnh AB theo tỷ lệ m:n tính từ đỉnh B, điểm N chia cạnh BC theo tỷ lệ p:q tính từ đỉnh B. Chứng minh rằng tỉ số diện tích của tam giác BMN và BAC bằng $\frac{m}{m+n} \cdot \frac{p}{p+q}$.
4. Trong tiến trình khớp học
   $$S_m = S_n$$
   Tìm $S_{m+n}$ ($S_k$ biểu thị tổng của k số hạng đầu tiên của cấp số nhân).
5. a) Cho dây AB và CD của một đường tròn cắt nhau tại điểm E. Chứng minh rằng $AE \cdot EB = CE \cdot ED$.

6. Vẽ tiếp tuyến EA (A là điểm tiếp tuyến) và cát tuyến EBC (B và C là các điểm của đường tròn) từ điểm E nằm bên ngoài đường tròn đến nó. Chứng minh rằng $EA^2 = EB \cdot EC$.

7. Hai mặt đối diện của một cặp tứ giác có thể vuông góc với đáy không?
8. a) Có đúng tổng hai số hữu tỉ bằng nhau không?
   $$\cos \frac{2\pi}{5} + \cos \frac{4\pi}{5} + \cos \frac{6\pi}{5} = -\frac{1}{2}$$
   Chuyển các tổng sau thành tích:

6. $\sin \alpha + \sin 2\alpha + \sin 3\alpha + \dots + \sin (n\alpha)$;
7. $\sin^2 \alpha + \sin^2 2\alpha + \sin^2 3\alpha + \dots + \sin^2 (n\alpha)$.

lớp mười
11. Để quả bóng chạm vào tất cả các cạnh của tứ diện. Chứng minh rằng tổng độ dài các cặp cạnh cắt của nó bằng nhau.
12. Cho mặt phẳng cắt các cạnh bên của tứ diện sao cho tỉ số độ dài các cạnh tương ứng bằng a/b, c/d, e/f tương ứng. Chứng minh rằng thể tích của phần bị cắt và tứ diện ban đầu tỉ lệ với $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f}$ (so sánh với Bài 3).
13. Gọi $\alpha, \beta, \gamma$ là các góc của tam giác. Chứng minh rằng:
a) $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma \leq \frac{3}{2}$;
6) $\sin \frac{\alpha}{2} \cdot \sin \frac{\beta}{2} \cdot \sin \frac{\gamma}{2} \leq \frac{1}{8}$.
14. Vẽ đồ thị hàm số:
a) $y = \cos(\arccos x)$;
6) $y = \cos(3\arccos x)$;
b) $y = \arcsin(\sin x)$.
15. Hãy loại bỏ tất cả các góc phẳng tại một trong các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng đỉnh này, giao điểm của các đường trung tuyến của quả trứng đối diện và tâm của quả cầu ngoại tiếp tứ diện cùng nằm trên một đường thẳng.
Ấn phẩm được chuẩn bị bởi J. M. Rabot

33

lượng tử
dành cho học sinh nhỏ tuổi

Bài tập

1. Hai số nguyên tố có hai chữ số thu được từ nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ số và hiệu của chúng là một số chính phương. Những con số này là gì?

2. Các vận động viên chạy dọc theo mười con đường của công viên theo hướng mũi tên. Mỗi vận động viên chạy mỗi đường đua trong 1 phút và chỉ có một vận động viên chạy dọc theo một trong các đường đua mỗi phút, hai người chạy trên đường đua kia, ba người ở đường đua thứ ba, v.v., từ 10 đến 10 vận động viên. Đặt số lượng các con đường trong hình.

3. Mẹ nấu món compote và thạch trong những chiếc chảo giống hệt nhau rồi mở nắp, đặt chúng lên cửa sổ cho nguội. Nửa giờ sau tôi chạm vào các bộ phận. Cái nào ấm hơn?

4. Có hai con số giống hệt nhau được viết trên bảng. Styopa chỉ định 100 cho một trong số họ ở phía trước và 1 cho phía sau cho người thứ hai. Hóa ra cái thứ nhất lớn hơn cái thứ hai đúng 37 lần. Những con số nào được viết trên bảng?

5. Cắt một mảnh giấy ca rô từ một tờ giấy có số ô nguyên nhỏ nhất sao cho khi chơi trò chơi chéo, người mới bắt đầu luôn thắng (để thắng khi chọn chéo, bạn cần đặt ba biểu tượng của mình liên tiếp).

Những nhiệm vụ này được giao cho chúng tôi bởi: N.K. Antonovich, L.P. Mochalov, A.V. Vyalko, A.N. Mesnyakin, A.P. Savin

33

34

Nhiệm vụ trong ảnh

SALOON

CÁI CHAI
Pepsi-Cola!
VỚI BẠN
ZDOMARA

Nhiều hơn với BẠN
6 đô la.
ĐƯỜNG ỐNG!

BA GÓI
THUỐC LÁ VÀ
CHÍN CORO
BÊN TRẬN ĐẤU.

CHO MỌI THỨ CÙNG BẠN
11 ĐÔILAROV
80 xu.

CÁI GÌ?!

LẤY LÀM TIẾC
TÔI SAU!

ANH ĐÃ LÀM NHƯ THẾ NÀO-
TÔI ĐÃ CÓ NHỮNG ĐIỀU TÔI MUỐN
TÔI CÓ NÊN BƠM HIM KHÔNG?

Văn bản của A. P. Savin, bản vẽ của E. V. Nazarov

34

35

Nhiệm vụ

M891 — M895, F903 — F907

M891. Một đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một tam giác và hai đường trung tuyến của nó. Chứng minh rằng tam giác này là tam giác đều.

A. A. Muratov

M892. a) Chứng minh rằng trong các số $2^m+2^k$, cũng như trong các số $3^m+3^k$ có ​​vô số số bình phương, và trong các số $4^m+4^k$, $5^m+5^k$ và $6^m+6^k$ không có một số bình phương nào là số nguyên (ở đây $m$ và $k$ là các số tự nhiên, $m \neq k$).

6)* Có hình vuông nào trong số $7^m+7^k$ không?

A. I. Zaichik

M893. Mỗi khối máy tính $n$ được kết nối bằng dây. Có thể phủ mỗi dây này bằng một trong $n-1$ màu để $n-1$ dây có màu khác nhau đến từ mỗi khối, nếu $n=6$; 6) $n=13$?

V. B. Alekseev

M894. a) Tổng gót của các số không âm bằng 1. Chứng minh rằng chúng có thể xếp thành một đường tròn sao cho tổng gót của tích từng cặp của các số liên tiếp không vượt quá 1/5.

6)* Có $n \geqslant 4$ các số không âm được đặt xung quanh một vòng tròn, tổng của chúng bằng 1. Chứng minh rằng tổng của tất cả $n$ tích từng cặp của các số liên thông không vượt quá 1/4.

S. B. Gashkov, A. N. Dranitsnikov

M895*. Chứng minh rằng diện tích mặt cắt ngang của hình lập phương bởi mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu nội tiếp trong đó không vượt quá một nửa diện tích hình lập phương. Giải quyết trường hợp khi phần này là a) hình tam giác, 6) hình tứ giác. C) Chứng minh rằng trong trường hợp a) tổng diện tích toàn phần của tứ diện cắt khỏi hình lập phương nhỏ hơn diện tích hình lập phương.

S. B. Gashkov, I. F. Sharytsin

F903. Trên máy phát phía trên của hình trụ chính có bán kính $R$, trục của nó nghiêng một góc $\alpha$ so với đường chân trời, một sợi dây linh hoạt không trọng lượng có chiều dài $l$ được cố định (Hình 1). Một vật nặng nhỏ được gắn vào đầu kia của sợi dây. Định nghĩa:

1. chiều dài phần treo của dây ở vị trí cân bằng tải;
2. chu kỳ dao động nhỏ của tải trọng trong mặt phẳng thẳng đứng song song với trục hình trụ.

S. S. Krotov

36

F904. Một hình cầu có bán kính $R$, bao gồm hai bán cầu có thành mỏng có mật độ bằng nhau, mỗi bán cầu có thành mỏng $m$, chứa đầy chất lỏng có mật độ $\rho$.

1. Cần phải tác dụng lực thẳng đứng nào lên bán cầu dưới để ngăn chất lỏng tràn ra ngoài nếu quả cầu phía trên được cố định (Hình 2)?
2. Cần nén bán cầu trái và bán cầu phải bằng lực nào (Hình 3) để chất lỏng không tràn ra ngoài?

L. G. Markovich

F905. Một hình trụ chứa đầy khí có thành mỏng có khối lượng $M$ có chiều cao $H$ và diện tích đáy $S$ nổi trong nước (Hình 4). Do sự mất nhiệt ở phần dưới của hình trụ, độ sâu ngâm của nó tăng lên $\Delta H$. Áp suất khí ban đầu trong xi lanh là bao nhiêu? Áp suất khí quyển $p$, nhiệt độ không thay đổi.

Ô. Yu. Nikshina

F906. Một dây dẫn có điện trở phụ thuộc vào nhiệt độ được nối với nguồn điện áp không đổi $U$. Điện trở của dây dẫn thay đổi tùy theo nhiệt độ theo định luật $R = R_0(1 - \mu t)$, trong đó $R_0$ là điện trở ở $t = 0^\circ C$, $\mu > 0$. Xác định nhiệt độ ở trạng thái ổn định của dây dẫn nếu nhiệt độ môi trường là $0^\circ C$ và nhiệt năng do dây dẫn tỏa ra môi trường là $W = b \cdot \Delta t$, trong đó $\Delta t$ là chênh lệch nhiệt độ giữa dây dẫn và môi trường. Bỏ qua sự thay đổi kích thước của dây dẫn do sự giãn nở nhiệt.

R. Yu. Vinokur

F907. Hai quả cầu kim loại có khối lượng $m$, mỗi quả có bán kính $r$ và $2r$ được đặt trong một điện trường, hướng của quả cầu đó hướng từ quả bóng lớn đến quả bóng nhỏ hơn và bằng $E$. Khoảng cách giữa tâm của các quả bóng là $R_0 = 4r$. Quả bóng lớn mang điện tích $q\left(k \frac{q}{r^2} \ll E\right)$, quả bóng nhỏ không nhiễm điện. Những quả bóng được thả ra. Thời gian giữa quả bóng va chạm thứ nhất và thứ hai là $t$. Tìm thời gian giữa lần va chạm thứ $n$ và lần va chạm thứ $(n+1)$ và khoảng cách mà các quả bóng sẽ di chuyển giữa những lần va chạm này. Gia tốc trung bình của các quả bóng trong một khoảng thời gian đủ dài là bao nhiêu? Các va chạm được coi là đàn hồi tuyệt đối.

A. A. LanUDEC

Problems
M891 — M895; P903 — P907

M891. A circle touches two sides of a triangle and two of its medians. Prove that this triangle is isosceles.

A. A. Muratov

M892. a) Prove that there are infinitely many squares of integers among the numbers $2^m + 2^k$ and also among the numbers $3^m + 3^k$, but there are no squares

38

P906. A conductor whose resistance depends on temperature is connected to a source of constant tension $U$. The resistance of the conductor depends on temperature according to the rule $R=R_0(1-\mu t)$, where $R_0$ is the resistance at $t=0$ °C, $\mu>0$. Determine the established temperature of the conductor if the surrounding temperature is $0$ °C, while the power of heat loss to the surroundings is $W=b \cdot \Delta t$, where $\Delta t$ is the temperature difference between the conductor and the surroundings. Changes in the conductor’s size may be neglected.

P. Yu. Vinokur

P907. Two metallic balls of mass $m$ each, whose radii are $r$ and $2r$ are placed in an electric field whose tension is directed from the larger ball to the smaller one and equals $E$. The distance between the centres of the balls is $R_0=4r$. The larger ball carries the charge $q(kq/r^2 \ll E)$, the small one is uncharged. The ball are released. The time between the first and second collisions of the ball is $\tau$. Find the time between the $n$-th and $(n+1)$-st collisions and the distance covered by the balls during that time. What is their average acceleration during a sufficiently long period of time? The collisions are assumed absolutely elastic.

A. A. Lapides

Lời giải bài toán

M876 — M878, M880*); F887 — F889

Chúng ta sẽ giả sử rằng hình tròn nằm bên ngoài tam giác $PCD$ (xem hình; trường hợp thứ hai, khi nó treo trong tam giác này, được coi là tương tự). Gọi $C'$ và $D'$ là giao điểm của các cạnh của góc với tiếp tuyến của đường tròn tại điểm $A$, sao cho (trong trường hợp đang xét) đường tròn này treo vào tam giác $PC'D'$. Rõ ràng, tam giác này được chuẩn bị cho tam giác $PCD$ có tâm $P$, do đó, $E$ là điểm tiếp tuyến của đường tròn treo tam giác $PCD$ từ cạnh $CD$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $M, M', N$ và $N'$ điểm tiếp tuyến của hai đường tròn này với các đường thẳng $PC$ và $PD$. Theo định lý về sự bằng nhau của các tiếp tuyến vẽ đường tròn từ một điểm,

$$2|BC| + |BE| = |BC| + |CE| = |M'C| + |CM| = |M'M|,$$

tương tự,

$$2|DE| + |BE| = |N'N|,$$

theo định lý tương tự, $|M'M| = |PM'| - |PM| = |PN'| - |PN| = |N'N|$, do đó $|BC| = |DE|$, theo yêu cầu.

A. S. Merkuryev

*) Lời giải bài toán M879 sẽ được đưa vào bài “Định lý Viete và Đa thức phụ” đăng trên «Kvant» số 12 năm nay.

39

M877. Từ một tờ giấy làm bánh bao có kích thước 29 × 29 hình vuông, 99 hình vuông có kích thước 2 × 2 mỗi hình đã được cắt ra. Chứng minh rằng bạn có thể cắt một hình vuông khác từ nó.

Trong hình, 100 ô vuông 2x2 được tô màu xám. Bằng cách cắt bất kỳ hình vuông 2x2 nào từ hình vuông 29x29 ban đầu, chúng ta “chạm” chính xác một hình vuông. Do đó, sau 99 thao tác như vậy, một trong các ô vuông màu xám sẽ không bị ảnh hưởng.

S. V. Fomin

M878. Chứng minh rằng nếu tổng các góc phẳng ở đỉnh của paramda lớn hơn 180° thì mỗi cạnh bên của paramda nhỏ hơn nửa chu vi đáy của nó.

Đặt $SA_1 \dots A_n$ là một tham số nhất định. Hãy cắt bề mặt bên của nó dọc theo cạnh $SA_1$ và biến nó thành một mặt phẳng (xem hình trong đó $SA_1$ và $SA_1'$ là hai bản sao của cạnh $SA_1$ được hình thành do cắt, vì vậy $|SA_1| = |SA_1'|$). Từ điều kiện bài toán suy ra điểm $S$ nằm bên trong đa giác $A_1 \dots A_nA_1'$. Tiếp tục đoạn $A_1'$ $S$ vượt quá điểm $S$ đến giao điểm với đường đứt nét $A_1 \dots A_nA_1'$, ta được điểm $B$, chia đường gãy thành hai phần: đường đứt nét $A_1 \dots B$ có chiều dài $a$ và đường gãy $A_1' \dots B$ có chiều dài $b$. Từ bất đẳng thức $|SA_1| < a + |SB|$, $|A_1'S| + |SB| = |A_1'B| < b$ suy ra $2|SA_1| = |SA_1| + |SA_1'| < a + |SB| + |A_1'S| = a + b = |A_1A_2| + ... + |A_{n-1}A_n| + |A_nA_1'|$.

Cần lưu ý rằng ở phía bên phải có một nút chặn của đế paramid.

Yu. I. Ionin

M880*. Trong dãy 1, 0, 1, 0, 1, 0, … mỗi số hạng bắt đầu từ số thứ bảy bằng chữ số cuối cùng của tổng các số trước đó. Chứng minh rằng dãy số này không chứa sáu số liên tiếp: 0, 1, 0, 1, 0, 1.

bài toán này có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ như sau: một phép biến đổi của một tập hợp nhất định được đưa ra (một tập hợp gồm sáu số; sáu $(x_1, \dots, x_6)$ được liên kết với $(x_2, \dots, x_6, x_7)$, trong đó $x_7$ là chữ số cuối cùng của tổng $x_1 + \dots + x_6$); cần phải chứng minh rằng bằng cách lặp lại phép biến đổi này, từ một “điểm” cho trước của tập hợp (sáu $(1, 0, 1, 0, 1, 0)$) không thể thu được một “điểm” khác (sáu $(0, 1, 0, 1, 0, 1)$). Rất thường những nhiệm vụ như vậy lời giải được giải quyết bằng cách tìm một bất biến, nghĩa là một giá trị không thay đổi theo một phép biến đổi nhất định: chỉ cần thiết lập rằng giá trị của bất biến đối với hai “điểm” nhất định là khác nhau *).

Trong trường hợp của chúng tôi, chữ số cuối cùng của số $s(x_1, \dots, x_6) = 2x_1 + 4x_2 + 6x_3 + 8x_4 + 10x_5 + 12x_6$ có thể đóng vai trò là giá trị như vậy. Trên thực tế, một phép tính đơn giản cho thấy hiệu $s(x_2, \dots, x_7) - s(x_1, \dots, x_6)$ (sau đây gọi là $x_1 + \dots + x_6$) bằng $10x_7 + 2(x_7 - (x_1 + \dots + x_6))$, tức là hoàn toàn bằng 0.

*) Chúng ta đã nói về bất biến nhiều lần: chẳng hạn, hãy xem bài viết của A. Khodulev “Sự phân tán của vật lý” («Kvant», 1982, số 7, trang 28); Ngoài ra còn có các liên kết đến các bài viết khác về chủ đề này. Chuỗi bài toán về các bất biến có thể tìm thấy ở «Kvant» số 10 năm 1983 trên trang. 30.

40

lem. Do đó, các chữ số cuối cùng của các số $s(x_1, \dots, x_6)$ và $s(x_2, \dots, x_7)$ trùng nhau: cho thấy namivlichnaya là một bất biến thực sự. Vẫn còn phải kiểm tra xem các giá trị của nó cho sáu số được chỉ định trong các điều kiện có khác nhau không:
$$s(1, 0, 1, 0, 1, 0) = 18, s(0, 1, 0, 1, 0, 1) = 24.$$
A. S. Merkuryev

F887. Một chùm tia sáng song song có tiết diện tròn có đường kính $d$ (Hình 1,a) chiếu vào một thân thủy tinh trong suốt, tượng trưng cho hai đáy nối nhau của một hình nón. Kích thước cơ thể được thể hiện trong Hình 1,a; chiết suất thủy tinh n. Hình ảnh nào sẽ được quan sát trên màn hình được lắp đặt cách cơ thể một khoảng $l$?

◆ Hình ảnh trên màn hình sẽ khác nhau tùy thuộc vào sự tương ứng giữa $a$, $d$ và $l$.

1. Chúng ta hãy xem xét trường hợp khi tia $I(I')$, sau khi khúc xạ trên mặt $AB(AD)$, đi tới điểm $C$ (xem Hình 1,a). Trong trường hợp này, sau khi khúc xạ kép các tia (trên các mặt $AB$ và $DC$, $AD$ và $BC$), chùm tia vẫn song song $AC$ và thu được một vòng tròn được chiếu sáng đều (Hình 1.6) có đường kính $d$ trên màn hình. Hình ảnh nhận được không phụ thuộc vào $l$.

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

varnit, chúng tôi xác định từ Hình 1,a:
$$\frac{d_1}{2} = |KA| \sin \alpha = (a - |BK|) \sin \alpha = (1 - tg \alpha) \sin \alpha.$$
Thay thế
$$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \beta = \frac{\sin \alpha}{n}, \text{tg} \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}.$$
chúng tôi nhận được:
$$d_1 = a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2 - 1}}\right).$$

41

2. Hãy để $0 < d_2 < a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right)$. Trong trường hợp này, mỗi tia sau khi khúc xạ kép sẽ mới song song với $AC$ (Hình 2, a). Một vòng được chiếu sáng đồng đều sẽ xuất hiện trên màn hình (Hình 2, b). Bán kính đường tròn bên trong và bên ngoài của vòng -

$$r_1 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}},$$

$$r_2 = \frac{a}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) + \frac{d_2}{2\sqrt{2}}(1 + 2\sqrt{2}).$$

Hình ảnh thu được không phụ thuộc vào $l$.

3. Hãy để $a\sqrt{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2n^2-1}}\right) < d_2 < a\sqrt{2}$. Trong trường hợp này (Hình 3, a) hình ảnh thu được trên màn hình phụ thuộc vào khoảng cách từ điểm $C$ đặt màn hình. Hình 3, b hiển thị các hình ảnh thu được ở các vị trí màn hình khác nhau: $\exists_1, \exists_2, \exists_3$.

A. V. Helvas

F888. Hình vẽ là sơ đồ nguyên lý của grammeter - thiết bị đo gia tốc rơi tự do $g$. Trong bình chứa khí cách nhiệt $1$ và $2$, áp suất lần lượt là $p_1 \approx 2 \cdot 10^4$ Pa và $p_2 \approx 3 \cdot 10^4$ Pa. Soda hình trụ $A$ và $B$ có bán kính 10 cm và ống nối chúng chứa đầy ruth. Một chất lỏng rất nhẹ (toluene) được đổ lên trên 력; chất lỏng này cũng lấp đầy một phần mao mạch có bán kính 1 mm, sự kết nối của soda $A$ và $B$ với xi lanh 1 và 2. Hãy mô tả quá trình đo gia tốc $g$ với sự trợ giúp của thiết bị này. Giá trị của warszatz $g$ có thể được dự trữ bằng máy đo ngữ pháp này là bao nhiêu, nếu biết rằng khi đo ở các điểm đo khác nhau, sự khác biệt trong hỗn hợp toluene nằm ngang trong mao quản có thể đạt tới vài

◆ Giả sử rằng tại một số điểm trên bề mặt Trái đất, sự khác biệt giữa mức ruthium trong các bình $A$ và $B$ hóa ra bằng $h_0$. Nếu chênh lệch áp suất $p_2$ và $p_1$ trong bình là cố định thì từ điều kiện $p_2 - p_1 = \varrho g_0 h_0$ giá trị gia tốc rơi tự do $g_0$ tại thời điểm này được xác định:

$$g_0 = \frac{p_2 - p_1}{\varrho h_0}.$$

Tại một thời điểm khác, gia tốc sẽ khác $g_0$; đặt nó bằng $g = g_0 + \Delta g$. Sự khác biệt về nồng độ ruthium trong các mạch $A$ và $B$ bây giờ sẽ là $h = h_0 + \Delta h$. Trong khi duy trì chênh lệch áp suất trong các bình và ở mức tăng nhỏ $\Delta g$ và theo đó, mức tăng nhỏ $\Delta h$

$$\frac{\Delta h}{h_0} \approx \frac{\Delta g}{g_0}.$$

Do đó, thứ tự độ lớn của warszatz $\Delta g$ được xác định theo thứ tự độ lớn $\Delta h$. Rất khó để đo trực tiếp các mức tăng nhỏ $\Delta h$. Để xác định giá trị $\Delta h$, top력 đổ vào dễ dàng thỏa mãn yêu cầu toluene trong mao quản bằng $\Delta l$ (giá trị này được đo) thì hiển nhiên

$$\Delta h \cdot S = \Delta l \cdot s,$$

trong đó $S$ và $s$ là diện tích mặt cắt ngang của các mạch và mao mạch tương ứng.

$$\frac{\Delta g}{g_0} \approx \frac{\Delta h}{h_0} = \frac{s}{S} \frac{\Delta l}{h_0} = \frac{s}{S} \left( \frac{\varrho g_0 \cdot \Delta l}{p_2 - p_1} \right).$$

Theo các điều kiện $s/S \sim 10^{-4}$, $\varrho \sim 10^4$ kg/m$^3$, $(p_2 - p_1) \sim 10^4$ Pa, $\Delta l \sim 10^{-2}$ m. Vì $g_0 \sim 10$ m/s$^2$, tham khảo

42

Milimet (lên đến 1 cm)? Nhiệt độ trong những thay đổi khác nhau duy trì mật độ thủy ngân không đổi $\varphi = 13,5 \cdot 10^3 \text{ ке/м}^3$.

F889. Mặt trời ở độ cao góc f so với đường chân trời. Một vật phải được ném ở góc α nào so với bề mặt Trái đất trong một mặt phẳng thẳng đứng đi qua Mặt trời để vật có thể di chuyển một quãng đường dài nhất trên Trái đất?

Chúng ta hãy xem xét riêng trường hợp tương ứng với các tương ứng khác nhau giữa α và φ.

1. Nếu bạn ném một vật thể theo một góc α φ, thì quãng đường mà bóng đi qua trong quá trình bay của vật thể đó sẽ bằng khoảng cách bay, tức là $S_1 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha$ (xem Hình 1).

Đối với $\varphi < 45^\circ$ ($\alpha < 45^\circ$), giá trị của $S_1$ càng lớn thì α càng lớn; do đó cần phải ném vật theo một góc α=φ, sau đó

$$S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\varphi. \tag{1}$$

Nếu $\varphi \geq 45^\circ$ thì α phải bằng 45°, vì $S_1$ tối đa là $\alpha=45^\circ$ (trong trường hợp này là $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$).

2. Nếu bạn ném một vật theo một góc α>φ thì bóng sẽ di chuyển một quãng đường bằng (xem Hình 2)

$$S_2 = 2|OA| + S_x = 2|OA| + \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha. \tag{2}$$

Hãy tìm $|OA|$. Để làm được điều này, chúng ta cần lập phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm M và xác định hoành độ $x_A$ của giao điểm của tiếp tuyến với trục X ($|x_A| = |OA|$).

Để thu được phương trình tiếp tuyến AM, ta xác định tọa độ $x_M$ và $y_M$ của điểm M. Hệ số góc của tiếp tuyến là tanφ và bằng hàm số tùy ý $y(x)$ mô tả đường parabol tại điểm M. Dễ dàng chứng minh được rằng

$$y(x) = (tg\alpha)x - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2,$$

và do đó

$$tg\varphi = \left((tg\alpha)x_M - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M^2\right)' = tg\alpha - \frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x_M,$$

Ở đâu

$$x_M = \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha,$$

$$y_M = \frac{1}{g} tg\alpha \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$-\frac{1}{2g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha = \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha.$$

Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình tiếp tuyến AM (xem Hình 3) -

$$y_{AM}(x) = x tg\varphi + \frac{1}{2g} \left(tg^2\alpha - tg^2\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha -$$

$$- \frac{1}{g} tg\varphi \left(tg\alpha - tg\varphi\right)v_0^2 \cos^2\alpha =$$

$$= x tg\alpha + \frac{1}{g} \left(tg\alpha - tg\varphi\right)^2 v_0^2 \cos^2\alpha -$$

và tìm hoành độ $x_A$ của điểm A (và $|OA| = |x_A|$):

42

43

$$y_{AM}(x_A) = 0 \Rightarrow x_A = -\frac{1}{2g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Do đó, nếu một vật được ném theo một góc $\alpha > \varphi$, thì bóng sẽ di chuyển theo đường đi (xem (2))

$$S_2 = \frac{1}{g} v_0^2 \sin 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} (\text{tg} \alpha - \text{tg} \varphi)^2 v_0^2 \cos^2 \alpha.$$

Hãy xem giá trị nào của $\alpha$ biểu thức này là tối đa. Để làm điều này, chúng ta tìm đạo hàm $S'(\alpha)$ và đánh đồng nó bằng 0:

$$S'(\alpha) = \frac{2}{g} v_0^2 \cos 2\alpha + \frac{1}{g \text{tg} \varphi} v_0^2 (\sin 2\alpha + 2 \text{tg} \varphi \cos 2\alpha - \text{tg}^2 \varphi \sin 2\alpha) = 0,$$

hoặc

$$(1 - \text{tg}^2 \varphi) \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \sin 2\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$$

(trường hợp $\alpha = 0$ không phù hợp với chúng tôi, vì $\alpha > \varphi$).

Do đó, $S_2$ đạt giá trị lớn nhất ở $\alpha = 90^\circ$, tức là khi vật được ném thẳng đứng lên trên và (xem Hình 4)

$$S_{2\max} = 2h_{\max} \text{ctg} \varphi = \frac{1}{g} v_0^2 \text{ctg} \varphi.$$

Bây giờ chúng ta tìm hiểu xem điều kiện nào $S_{2\max} > S_{1\max}$ và điều kiện nào $S_{2\max} < S_{1\max}$. Để làm điều này, chúng ta tìm mối quan hệ $S_{1\max}: S_{2\max}$ (xem (1)):

$$\frac{S_{1\max}}{S_{2\max}} = \frac{v_0^2 g \sin 2\varphi}{v_0^2 g \text{ctg} \varphi} = 2 \sin^2 \varphi.$$

Tại $\varphi = 45^\circ$ biểu thức này bằng 1 ($S_{1\max} = S_{2\max}$) - bóng di chuyển theo cùng một đường tại $\alpha = 45^\circ$ và tại $\alpha = 90^\circ$. Nếu $\varphi < 45^\circ$ thì $2 \sin^2 \varphi < 1$ ($S_{1\max} < S_{2\max}$) - bóng di chuyển theo đường tối đa tại $\alpha = 90^\circ$. Tại $\varphi > 45^\circ$, như chúng tôi đã nói, $S_{1\max} = \frac{1}{g} v_0^2$ và $S_{1\max}: S_{2\max} = \text{tg} \varphi > 1$ - bóng di chuyển đường đi tối đa tại $\alpha = 45^\circ$.

Hãy viết ra đáp số cuối cùng:

nếu $\varphi < 45^\circ$ - cơ thể phải được ném thẳng đứng;
nếu $\varphi = 45^\circ$ - cơ thể phải được ném theo phương thẳng đứng hoặc nghiêng một góc $45^\circ$ so với đường chân trời;
nếu $\varphi > 45^\circ$ - vật phải được ném một góc $45^\circ$ so với đường chân trời.

V. A. Nakhshin

Vấn đề
cho nghiên cứu
“tích của các số lân cận”
trong bảng ±1

Liên quan đến hai bài toán của Olympic toàn Liên đoàn năm nay (số 5 đối với lớp 10 và số 8 đối với lớp 9; xem trang 47-48), các câu hỏi tổng quát hơn sau đây đương nhiên nảy sinh.

Đối với mỗi bảng $T$ có kích thước $m \times n$, các ô trong đó chứa các số 1 và -1, xác định một bảng mới $P(T)$; trong mỗi ô của nó, một số được viết bằng tích của các số ở các ô lân cận (có chung cạnh với nó) trong bảng $T$. Đối với mỗi $m$ và $n$:

1. Các bảng khác nhau $T$ có nhất thiết phải tương ứng với các bảng khác nhau $P(T)$ không?

2. đối với bất kỳ bảng $T$ nào trong dãy các bảng $T_1 = P(T)$, $T_2 = P(T_1)$, … liệu có một bảng không?

Hãy cố gắng trả lời những câu hỏi này (dường như

Tôi nghĩ đơn giản hơn) như sau:

bàn “hình trụ” $m \times n$, trong đó hai cạnh đối diện có chiều dài $m$ được coi là được dán và đối với “hình xuyến”, trong đó hai cặp cạnh đối diện được coi là được dán (mỗi cạnh có bốn cạnh kề nhau).

Lưu ý rằng câu hỏi 2) dành cho hình trụ. độ cao $m = 1$, tức là đối với $n$ ô dọc theo chu vi, hiểu “Bài toán lượng tử”; dương đáp số trên đó thu được bằng $n = 2^k$ ($k = 2,3,...$).

N. V. Vasiliev, I. K. Zhuk

44

NỤ CƯỜI SỐ LƯỢNG

Nơi làm việc và chức vụ của bố mẹ bạn.
Báo cáo - ban đầu, mẹ - bệnh viện thành phố

---

Hãy cho tôi thuật toán gọi điện…

Từ tác phẩm giới thiệu đến VZMSH

Để chính xác, chúng tôi sẽ cân trên cân y tế.

---

Không phải là hoàn toàn không thể nội tuyến các cạnh của hình lập phương, nhưng điều kiện này không được đáp ứng.
Việc xây dựng không khó vì nó được giải thích rõ ràng.

---

Sương mù là rất nhiều hơi nước nhỏ.

---

Bất kỳ phần nào ở phía bên phải của trục đều lớn hơn bất kỳ phần nào ở phía bên trái của trục.
… một số lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn 1, nghĩa là nó bằng 1/2.
Phương trình có bao nhiêu bội số lời giải?
Một luôn kết thúc bằng 0 hoặc 5.

Loại dữ liệu nào có trong bài toán lisice? Đáp số: Dù có giải quyết thế nào cũng không giải quyết được. Vậy là cô ấy không có lời giải. Điều này có nghĩa là tất cả dữ liệu đều sai.

Khi đó bài toán sẽ là lời giải, nhưng tôi không có đủ thời gian và kiến ​​thức.

---

Tôi bỏ qua phần lý luận chi tiết khiến tôi mất ngủ vì tôi không thể hình thành chính xác suy nghĩ và thủ thuật của mình.

---

Kuban xin gửi lời chào đến các bạn, các đồng chí trong bồi thẩm đoàn.
Được sưu tầm bởi L. F. Shteriber

…, nơi các dấu hiệu phía trên các chữ cái cho bạn biết nơi cần tìm.
Số có ba chữ số: 6,25 và 0,625.

---

Không có dấu hiệu tương tự nào phù hợp ở đây, nhưng nếu bạn thay đổi các góc bằng một bộ chuyển đổi, thì các hình tam giác sẽ giống nhau.
Cho góc A lớn nhất trong tam giác. Nhưng trong trường hợp này góc A không phải là lớn nhất.

44

45

Olympic Toán toàn Nga ХVIII

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
L. P. KUPTSOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. V. REZNICHENKO,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. B. SOSINSKY

Từ ngày 11 đến ngày 18 tháng 4, chặng cuối cùng của Kỳ thi Olympic Toán học toàn trường lần thứ XVIII đã được tổ chức tại Ashgabat. Tại thủ đô của Turkmenistan thuộc Liên Xô, 159 học sinh (43 học sinh lớp 8, 54 học sinh lớp 9 và 62 học sinh lớp 10) đã tập trung - những người chiến thắng trong Olympic Tài nguyên, người chiến thắng trong Olympic Thành phố Moscow và Leningrad và các học sinh được trao bằng cấp I và II tại All-Olympiad trước đó. Ban giám khảo, làm việc dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B.V. Gnedenko, bao gồm 52 người - đại diện của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện Hàn lâm Khoa học của Turkmenia và SSR của Moldavian, các trường đại học Moscow, Leningrad và Novosibirsk, Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, và các viện nghiên cứu lớn nhất của đất nước. Trong số đó có giáo viên cao cấp của Đại học bang Turkmen, người tổ chức tất cả các cuộc thi Olympic tài nguyên ở Turkmenistan B.B. Berdiev.

Ngay từ những phút đầu tiên đặt chân đến vùng đất Turkmen mến khách, những người tham gia Thế vận hội đã được bao bọc bởi tình yêu thương và sự quan tâm. Tại sân bay Ashgabat, các đội tham gia đã gặp gỡ các học sinh từ các trường học trong thành phố, đại diện các sở giáo dục công khu vực và Ủy ban Trung ương Komsomol của Turkmenistan.

Sau khi đăng ký, mỗi người tham gia Olympic và trưởng nhóm sẽ được tặng một gói chủ quyền kỷ niệm với sách và bưu thiếp kể về Turkmenini, các biển hiệu tưởng niệm, chương trình Olympic và lời mời tham gia lễ khai mạc.

Vào lúc 15h ngày 12/4, toàn bộ thí sinh tham dự Olympic, thành viên ban giám khảo, ban tổ chức, trưởng các đội sẽ tập trung tại Cung điện Pinners thành phố. Cùng với dàn nhạc là lễ rước long trọng lên tượng đài V.I. Lênin bắt đầu. Có một đội danh dự ở tượng đài và những người tham gia Olympic đã đặt hoa. Và sau đó lễ khai mạc Olympic đã diễn ra tại hội trường của Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Tajikistan. Quốc ca Liên Xô và Quốc ca Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Turkmen đã được sử dụng. Bộ trưởng Bộ Giáo dục Cộng hòa Tajikistan M.A. Olieva đã gửi lời chào mừng đến những người tham gia Olympic. Phó Chủ tịch Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina O. O. Ovezgeldyev đã chúc các em biểu diễn thành công, sáng tạo, tương tác và cạnh tranh danh dự, ban giám khảo được đại diện bởi Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học SSR Ucraina B. V. Gnedenko, Bí thư thứ nhất Ủy ban Trung ương Komsomol của Turkmenistan Zh. K. Charyeva, hiệu trưởng Đại học bang Turkmen G. M. Myaligulyev. Có mặt tại lễ khai mạc Olympic có: Vụ Khoa học và Cơ quan Giáo dục của Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Turkmenistan E. O. Ovlyakulev, người đứng đầu. Vụ Khoa học và Cơ quan Giáo dục của Hội đồng Bộ trưởng Cộng hòa Tajikistan S. K. Kakaev. Lễ khai mạc kết thúc bằng buổi hòa nhạc của các thành viên nhóm nghệ thuật nghiệp dư của Ashgabat Palace of Pinners.

Những người tham gia đã viết bài tập cho giai đoạn cuối cùng của Olympic vào ngày 13 và 14 tháng 4. Nhiệm vụ trong mỗi ngày trong hai ngày bao gồm bốn bài toán, với năm giờ được phân bổ cho lời giải. Dưới đây là các điều kiện của tất cả bài toán. Một số trong số chúng được đưa vào nhiệm vụ «Kvant» (số tương ứng được biểu thị sau điều kiện bài toán).

Nhiệm vụ
Ngày đầu tiên
lớp 8

1. a) Tích của một số n số bằng n và tổng của chúng bằng 0. Chứng minh rằng n chia hết cho 4.

6. Cho n là số tự nhiên chia hết

46

bằng 4. Chứng minh rằng có $n$ số nguyên có tích là $n$ và có tổng bằng 0.

A. A. Fomin

2. Chứng minh rằng với mọi số không âm $a$ và $b$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$\frac{1}{2}(a+b)^2 + \frac{1}{4}(a+b) \geqslant a\sqrt{b} + b\sqrt{a}.$$

A. N. Smolykov

3. Trên mặt phẳng có hai tam giác đều $A_1B_1C_1$ và $A_2B_2C_2$, các đỉnh của chúng được đo theo chiều kim đồng hồ. Từ một điểm tùy ý $O$, vectơ $\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}$ bị loại bỏ, tương ứng bằng vectơ $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$. Chứng minh rằng điểm $A, B, C$ cũng là đỉnh của một tam giác đều.

L. P. Kuptsov

4. Có bốn màu và vô số viên gạch hình vuông có cạnh dài 1. Được phép sơn các cạnh của viên gạch sao cho màu các cạnh của mỗi viên gạch bằng nhau và dán các viên gạch lại với nhau bằng các cạnh cùng màu. Với những số $m$ và $n$ những viên gạch này có thể được dán thành một hình chữ nhật có kích thước $m \times n$, trong đó mỗi cạnh được sơn cùng một màu và màu của tất cả các cạnh khác nhau?

V. A. Ufnarovsky

lớp 9

1. Chứng minh rằng với mọi số thực $x > 0, y > 0$ và với mọi số thực $a$ thì bất đẳng thức sau đúng:
   $$x^{\sin^2 a} \cdot y^{\cos^2 a} < x + y.$$

V. I. Burenkov

2. Có một khối lập phương và hai màu: đỏ và xanh lá cây. Hai người chơi trò chơi này. Người mới bắt đầu chọn 3 cạnh của khối lập phương và sơn chúng màu đỏ. Đối tác của anh ta chọn 3 chiếc xương sườn từ những chiếc chưa được sơn và sơn chúng màu xanh lá cây. Sau đó, người mới bắt đầu lại sơn 3 xương sườn màu đỏ, rồi 3 xương sườn màu xanh lá cây - đối tác của mình. Cấm sơn lại sườn bằng màu khác hoặc sơn hai lần cùng một màu đỏ. Người chiến thắng là người đầu tiên sơn đỏ tất cả các cạnh của bất kỳ khuôn mặt nào. Có phải người mới bắt đầu nếu chơi đúng thì chắc chắn sẽ thắng?

N. Kh. Adakhanov

3. $n \geqslant 3$ các số tự nhiên được viết thành một vòng tròn sao cho mỗi số có tỉ số giữa tổng các số liền kề với nó là một số tự nhiên. Chứng minh tổng các tỉ số: a) không nhỏ hơn 2n; b) nhỏ hơn 3n (M875).

O. R. Musin

4. Một đường tròn có tâm tại điểm $O$, cắt thành tam giác $ABC$, tiếp xúc với cạnh $BC, AC, AB$ tương ứng tại các điểm $A_1, B_1, C_1$. Các đoạn $AO, BO, CO$ lần lượt cắt đường tròn tại các điểm $A_2, B_2, C_2$. Chứng minh rằng các đường thẳng $A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2$ cắt nhau tại một điểm.

I. F. Sharyn

lớp 10

1. Đối với những số nguyên $m$ và $n$ thì đẳng thức đúng?
   $$(5+3\sqrt{2})^m = (3+5\sqrt{2})^n?$$

Yu. V. Mikheev

2. $n$ các số thực khác nhau được viết theo thứ tự tăng dần trên dòng. Bên dưới nó, ở dòng thứ hai, cũng được viết những con số tương tự, chỉ có điều là có lẽ theo một thứ tự khác. Đối với mỗi cặp số được viết bên dưới số kia, tổng đã được tính. Những số tiền này hình thành dòng thứ ba. Hóa ra các số ở dòng thứ ba cũng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Chứng minh rằng dòng đầu tiên trùng với dòng thứ hai.

A. V. Anzhans

3. Cho một hình tam giác $ABC$. Qua điểm $P$ chúng ta đã vẽ các đường thẳng $PA, PB, PC$, cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác này tại các điểm $A_1, B_1, C_1$, không phải là các đỉnh của tam giác. Hóa ra tam giác $A_1B_1C_1$ bị tắc nghẽn bởi tam giác $ABC$. Chứng minh rằng có nhiều nhất tám điểm $P$ thỏa mãn tính chất đã cho.

I. F. Sharyn

4. Số dương $x, y, z$ thỏa mãn hệ phương trình

$$\begin{cases} x^2 + xy + \frac{y^2}{3} = 25, \\ \frac{y^2}{3} + z^2 = 9, \\ z^2 + zx + x^2 = 16. \end{cases}$$

Tính các giá trị của $xy + 2yz + 3zx$.

A. A. Bolotov

Các chàng trai đã hoàn thành khá thành công các nhiệm vụ được đề ra trong ngày đầu tiên. Những khó khăn nhỏ nhất, đúng như dự đoán, là do bài toán 8.4, 9.3, 9.4, 10.3 và 10.4 gây ra. bài toán 9.3 đặc biệt khó khăn. Chỉ có hai người tham gia có thể giải đúng cả hai điểm. Hình học bài toán 10.3 cũng tỏ ra rất khó, akuratone lời giải trong số đó chỉ được trình bày bởi 3 người tham gia. Tuy nhiên, không có lớp nào có bài tập mà không ai có thể giải được. Ban giám khảo hài lòng ghi nhận rằng câu bài toán 9.4 khá khó đã được các học sinh lớp chín giải tốt hơn đáng kể so với mong đợi và nhiều cạnh cũng được giải bằng lời giải, hóa ra lại dễ hơn lời giải mà ban giám khảo đã biết.

Ngày 13/4, sau khi hoàn thành nhiệm vụ thi đấu, Sườn tham gia hội thao.

Ngày thứ hai

lớp 8

5. Giáo viên viết hình vuông gấp ba $x^2 + 10x + 20$ trên bảng, sau đó mỗi học sinh lần lượt tăng hoặc giảm một hệ số $x$ hoặc số hạng tự do, nhưng không phải cả hai cùng một lúc. Kết quả là một hình vuông ba chân $x^2 + 20x + 10$ đã được viết trên dock. Có đúng là ở một số thời điểm có viết hình ba chân vuông trên đế không?

A. A. Berzins

6. Đồng xu bán kính $r$ được di chuyển dọc theo mặt phẳng sao cho tâm của nó đi quanh đường viền một cách lồi lõm