Kvant 1985, số 2 · Trang

QUANTUM
2
1985

Tạp chí vật lý và toán học khoa học nổi tiếng
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Ở đây bạn có thể thấy các hệ thống viết số được phát minh bởi con người ở các thời đại khác nhau. Trên cùng bên trái xy - các chạm khắc bằng số của Ai Cập cổ đại; bên phải là bản ghi clioscript về số lượng của Babylon cổ đại (2500-2000 trước Công nguyên). Hàng thứ hai từ trái sang là những con số trong ghi chép của LEMENT cổ đại và Maya của Ấn Độ (thuộc lãnh thổ vùng hạ Peru); bên phải là ghi chép về số lượng nguyên tố Autek (thế kỷ XI-XVII). Ở hàng dưới cùng bên trái là ký hiệu chữ cái Hy Lạp cổ đại của các con số và bên cạnh là hệ thống số Hy Lạp cổ đại quen thuộc.
Chúng tôi cung cấp cho độc giả mục nhập 1985 trong mỗi hệ thống số này.

1

TRONG PHÒNG:

2 Để tưởng nhớ I. K. Kikopna
A. V. Bushmelev, S. A. Lavrenchenko. tori đa ranh giới
L. S. Pontryagin. Tổng quát hóa các con số
A. A. Varlamov, A. I. Malyarovsky. Pereo-
một ống thổi có chiều dài bằng một eqATOR?

In memory of I. K. Kikoin
A. V. Bushmelev, S. A. Lavrenchenko.
Polyhedral tori
L. S. Pontryagin. Generalization of numbers
A. A. Varlamov, A. I. Malyarovski. An
equator-long speaking tube?

tin tức khoa học
V. A. Bronshten. Sao xung mili giây

Science news
V. A. Bronshten. Millisecond pulsars

Phòng thí nghiệm «Kvant»
A. A. Borovoy. Bong bóng trong chất lỏng

Kvant’s lab
A. A. Borovoy. Bubbles in liquids

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10
Matematika 8, 9
Trường học yêu thích bài toán

Kvant’s school
Physics 8, 9, 10
Mathematics 8, 9
Selected school problems

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Nhiệm vụ
L. Carroll. Chạy theo vòng tròn và độ dài đường đua
câu chuyện

Kvant for younger school children
Problems
L. Carroll. A caucus-race and a long tale

Nhiệm vụ «Kvant»
Nhiệm vụ M906—M910; F918—F922
Lời giải bài toán M886—M890; F898—F902

Kvant’s problems
Problems M906—M910; P918—P922
Solutions M886—M890; P898—P902

Xưởng của người nộp đơn
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Hãy lặp lại hướng dẫn-
sự phát triển

College applicant’s section
A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Reviewing
hydrostatics

Thông tin (18)

Information (18)

Các lựa chọn thi tuyển sinh

College entrance examination problems

Bìa của chúng tôi (58)
Đáp số, gợi ý, lời giải
Trang cờ vua
Những nghịch lý của trò chơi cầm đồ
(trang bìa thứ 3)

Our cover page (58)
Answers, hints, solutions
The chess page
Paradoxes of pawn endgames (3rd cover
page)

2

Ngày 28 tháng 12 năm 1984, ở tuổi 77, nhà vật lý kiệt xuất Liên Xô, hai lần Anh hùng Lao động xã hội chủ nghĩa, đoạt giải thưởng Lênin và Giải thưởng Nhà nước Liên Xô, viện sĩ hàn lâm Isaac Kushelevich Kikoin, qua đời.

I.K. Kikoin rất quan tâm đến việc giáo dục thế hệ trẻ. Theo sáng kiến ​​của ông, tạp chí «Kvant» đã được thành lập và ông là tổng biên tập trong 15 năm. Ông đứng đầu ban tổ chức Olympic toàn trường và là tác giả của một số sách giáo khoa cấp trường.

I.K. Kikoin thường gặp học sinh. Lần cuối cùng ông nói chuyện với ông là trong buổi thuyết trình của Trường Khoa học Tự nhiên tại Viện Năng lượng Nguyên tử. Giải thưởng I. V. Kurchatov Lenin Komsomol. Màn trình diễn của anh ấy là một kiểu hoàn thiện tuổi trẻ.

“Tôi muốn nói với các bạn những gì tôi đã nghĩ khi nhận giải thưởng này,” I. K. Kikoin nói với khán giả. - Tôi cứ tưởng rằng tôi đây, một học giả, trưởng nhóm, tôi có rất nhiều thành tích, nhưng không còn nghi ngờ gì nữa, tất cả những điều này - chức vụ, bằng cấp, danh hiệu - tôi sẽ đổi lấy tuổi trẻ của bạn, lấy 15, có thể là 17 năm của bạn.

Và tôi cần phải thay đổi bởi vì trong suốt cuộc đời dài đằng đẵng của mình, tôi đã không có thời gian để tận hưởng nền vật lý yêu quý của mình, tôi không có đủ thời gian, bây giờ tôi đã thấy rõ - tôi không có đủ. Nhưng không có một ngày nào trong đời tôi, không một ngày nghỉ, không một ngày lễ, không một kỳ nghỉ nào mà tôi không làm điều đó. Tôi thường có những giấc mơ về vật lý. Và vẫn không có đủ thời gian. Chính bạn đã tìm ra nó như thế nào khi bạn sống cuộc sống của mình.

Vì vậy, đừng lãng phí thời gian bây giờ. Nó vẫn chưa đủ, nhưng ít nhất nó sẽ không quá phản cảm. Bạn biết đấy, nhà khoa học không phải là chức danh hay nơi làm việc. Bot, anh bước vào phòng thí nghiệm - và bắt đầu suy nghĩ về khoa học, và trở thành một nhà khoa học. Điều này là sai. Trở thành một nhà khoa học là một trạng thái thường xuyên và thường đau đớn, đôi khi tuyệt vời. Bot, đó chính là điều tôi đã nghĩ đến khi họ đưa cho tôi chiếc rương này.”

Hãy để lời chia tay này của I.K. Kikoin sẽ mãi ở bên các bạn cũng như ký ức tươi sáng về nhà khoa học lỗi lạc.

3

khối đa diện Tori

A. V. BUSHMELEV, S. A. LAVRENCHENKO

Ghi chú này nói về cách tìm một khối đa diện hình xuyến (bánh rán) có số đỉnh ít nhất. Các mô hình bìa cứng của khối đa diện hình xuyến “kỷ lục” như vậy (với 7 và 8 đỉnh) được hiển thị trong các bức ảnh trên. Ghi chú không chỉ nói về lý thuyết của vấn đề mà còn đưa ra các công thức để tạo ra những mô hình như vậy.

Khối đa diện là một bề mặt bao quanh một thể tích nhất định và bao gồm một số hữu hạn các khối đa diện phẳng—các mặt của khối đa diện. Các cạnh của các mặt được gọi là cạnh. Mỗi cạnh kề với đúng 2 mặt. Bạn có thể di chuyển từ bất kỳ mặt nào sang mặt khác bằng cách đi qua các cạnh. Các mặt có thể giao nhau ở một đỉnh hoặc dọc theo toàn bộ một cạnh.

Giả sử rằng khối đa diện của chúng ta là cao su, và do đó, sau khi “thổi phồng” chúng như bóng bay, một trong số chúng sẽ giống hình cầu, số khác sẽ giống hình xuyến, số khác sẽ giống bánh crepe, v.v. (Hình 1). Trong tương lai, các khối đa diện sẽ chỉ bao gồm các khối đa diện có mặt hình tam giác.

Mạng lưới tam giác trên bề mặt

Khi một khối đa diện nhất định được “phồng lên”, các cạnh và các mặt bị cong, và một mạng lưới các hình tam giác cong được hình thành trên khối đa diện “thổi phồng”. Như vậy, mỗi khối đa diện tương ứng với một mạng tam giác trên một hình cầu (nếu khối đa diện đó thuộc loại hình cầu) hoặc trên một hình xuyến (nếu khối đa diện đó thuộc loại hình xuyến).

Mạng lưới tam giác như vậy có thể được vẽ trực tiếp trên bề mặt của hình cầu hoặc hình xuyến. Để làm điều này, bạn cần đánh dấu một số điểm (nút) nhất định trên bề mặt, nối chúng với các đường không giao nhau mà không tự giao nhau (cung) sao cho bề mặt được chia thành các phần (vùng), mỗi phần được giới hạn bởi treyagum và treyaguses, và giao điểm của hai vùng hoặc trống hoặc bao gồm một nút hoặc bao gồm một cạnh.

Triển khai mạng đa diện

Bây giờ, thật tự nhiên khi đặt ra câu hỏi sau: có phải mọi mạng tam giác được vẽ theo cách trên trên bề mặt của một hình cầu hoặc hình xuyến đều thu được từ các đỉnh, cạnh và mặt của một số khối đa diện của “sự lạm phát” của nó? Nói cách khác, liệu có thể nhận ra bất kỳ mạng tam giác nào trên một hình cầu hoặc hình xuyến như một khối đa diện thực sự sao cho các nút

4

và các đỉnh, cung và cạnh, vùng và mặt sẽ tương ứng một đối một với nhau trong khi vẫn duy trì tính liền kề (nghĩa là, sao cho các nút được kết nối bởi nút khác sẽ tương ứng với các đỉnh được kết nối bởi cạnh tương ứng và các cung bao quanh một vùng sẽ tương ứng với các cạnh giới hạn mặt tương ứng)?

Đối với một quả cầu dương, đáp số đã được thiết lập từ lâu bởi nhà toán học người Đức Steinitz, người cũng đã chứng minh rằng một khối đa diện nhận ra một mạng luôn có thể lồi. Sự khái quát hóa định lý Steinitz hiện đã được chứng minh là có thể giải quyết được trường hợp sau: mọi mạng tam giác trên một hình xuyến đều được hiện thực hóa bằng một khối đa diện.

Ví dụ về mạng tam giác trên hình xuyến

Để đưa ra những ví dụ như vậy, bạn có thể lấy một ống cao su có hình xuyến, đánh dấu các nút trên đó và vẽ các cung của mạng. Tuy nhiên, kết quả sẽ khó mô tả trên một tờ giấy, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng cách phát triển hình xuyến trên mặt phẳng sau đây. Hãy vẽ hai đường khép kín trên máy ảnh của chúng ta - $C_1$ và $C_2$ (Hình 2a)). Sau đó, chúng ta cắt buồng dọc theo đường $C_1$ (Hình 26)), sau đó buồng có thể bị biến dạng thành hình trụ (Hình 2c)). Chúng tôi cắt hình trụ này dọc theo các đường $C_2$ và kéo dài những gì chúng tôi nhận được (Hình 2d) lên một mặt phẳng có dạng hình vuông (Hình 2e)). Vì vậy, hình xuyến có thể được mô tả trên mặt phẳng dưới dạng hình vuông với tỷ lệ các cạnh đối diện.

Nếu không có bằng chứng, chúng tôi báo cáo rằng danh sách các mạng hình tam giác trên một hình xuyến có 7 và 8 nút đã hết trong Hình 3.

Bài toán. Chứng minh rằng không tồn tại khối đa diện hình xuyến nào có ít hơn 7 đỉnh.

Gợi ý. Sử dụng công thức Euler $\Gamma - P + B = 0$ và sự tương ứng $3\Gamma = 2P$ (xuất phát từ thực tế là đối với mạng tam giác, mỗi cạnh liền kề với 2 mặt và mỗi mặt được giới hạn bởi 3 cạnh), trong đó $\Gamma$, $B$, $P$ lần lượt là số mặt, đỉnh và cạnh.

Phương pháp triển khai mạng với số lượng nút nhỏ

Hãy bắt đầu với việc triển khai mạng 6) (Hình 3) (mô hình được hiển thị ở trang 3 bên phải). Sáu đỉnh nằm trong một mặt phẳng nhất định $a = (v_2v_5v_7)$ (Hình 4). Trong cùng một mặt phẳng $a$ có 4 mặt - $v_7v_2v_3$, $v_7v_3v_8$, $v_8v_4v_5$, $v_2v_4v_5$. Hãy đặt đỉnh $v_1$ ở đâu đó phía trên $a$ và $v_6$ ở đâu đó bên dưới nó. Đối với mỗi mặt phát ra từ $v_1$ (từ $v$), cạnh đối diện với đỉnh $v_1$ (đỉnh $v_6$) nằm trong mặt phẳng $a$; Tất cả các cạnh như vậy được thể hiện bằng màu đỏ (đỏ) trong Hình 4.

Hãy chuyển sang triển khai các mạng còn lại. Chúng ta sẽ cần sự biến đổi của việc sắp xếp lại các khối đa diện (Hình 5), có thể được áp dụng cho các mặt nhợt nhạt mà khi kết hợp lại sẽ tạo ra một hình tứ giác lồi phẳng. Trong cấu trúc trên, chúng ta đặt $v_1$ phía trên cạnh $v_7v_5$ và $v_6$ bên dưới cạnh đó. Việc sắp xếp lại áp dụng cho gam $v_1v_7v_5$ và $v_6v_7v_5$ dẫn đến

6

Tổng quát hóa các con số

Viện sĩ L. S. PONTRYAGIN

Bài viết này thảo luận về sự phát triển của khái niệm số - từ việc đếm các đồ vật thời cổ đại đến việc tạo ra số thực, số phức và tứ giác. Trong phần thứ hai của bài viết (trong số tiếp theo «Kvant»), dựa trên các tính chất cơ bản hiện đại của số, vectơ và đa thức, sẽ giải thích tại sao không thể khái quát hóa sâu hơn khái niệm số.

Khi những ứng dụng thực tế mới của số xuất hiện và khái niệm về số phát triển do sự phát triển của toán học lý thuyết, những con số mới xuất hiện. Việc sử dụng số thực tế đầu tiên là đếm đồ vật. Với mục đích này, các số nguyên dương đã được sử dụng, thường được gọi là số tự nhiên. Khi thay đổi độ dài và khi tính toán giao dịch, chúng ta phải chia các số nguyên cho nhau. Hơn nữa, kết quả của phép chia không phải lúc nào cũng là số nguyên. Do đó, nảy sinh nhu cầu về các số phân số hoặc các số hữu tỷ giống nhau. Để luôn có thể trừ một số hữu tỉ khỏi một số hữu tỉ khác, các số hữu tỉ âm phải được đưa vào. Do đó, một cổ phiếu hoặc tập hợp tất cả các số hữu tỷ đã được hình thành.

Ngay cả trong thời cổ đại, rất lâu trước khi xuất hiện các số âm, bắt đầu được xem xét vào giữa thiên niên kỷ của chúng ta, người ta đã xác định rằng tỷ lệ độ dài đường chéo của hình vuông với chiều dài cạnh của nó không phải là số hữu tỷ. Việc đưa ra những con số mới được gọi là số vô tỷ là cần thiết. Do đó đã hình thành nên tập hợp của tất cả các số thực.

§1. số phức

Khi đại số phát triển, các nhà toán học bắt đầu xem xét căn bậc hai của số âm. Căn bậc hai của số âm đã gặp phải trong quá trình tính toán, kết quả của nó hóa ra là số thực được đào tạo. Vì vậy, nảy sinh nhu cầu cộng các số mới - căn bậc hai của số âm. Trên thực tế, chỉ cần thêm một số “mới”, được gọi là đơn vị tối thiểu i, được xác định bởi điều kiện

$$i^2 = -1.$$

Số mới này tôi đã được thêm vào tập hợp tất cả các số thực. Với những con số nảy sinh theo cách này, tất cả các loại phép tính đại số đều phải được thực hiện, vì vậy chúng ta phải xét một đa thức cho i. Xét điều kiện (1), một đa thức bậc bất kỳ đối với

7

nhưng $i$ biến thành đa thức bậc một, tức là được viết dưới dạng $z=x+iy=x+yi$, (2)

trong đó $x$ và $y$ là các số thực thông thường. Các số có dạng (2) được gọi là số phức. Các phép toán cộng và nhân số phức được định nghĩa là các phép toán trên đa thức đối với $i$, có tính đến điều kiện (1) như sau. Nếu $z_1=x_1+y_1i; z_2=x_2+y_2i$ (3) là hai số phức thì tổng của chúng được xác định theo công thức

$$z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=\left(x_1+x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)i.$$ (4)

Một vai trò đặc biệt trong số tất cả các số phức được đóng bởi số 0, được xác định bởi công thức

$$0=0+0i.$$ (5)

Nó có đặc tính đáng chú ý là

$$0+z=z+0=z.$$ (6)

Mỗi số phức tương ứng với số đối diện $-z$ của nó, được xác định bởi điều kiện

$$z+(-z)=0.$$ (7)

Sự tồn tại của một số đối diện cung cấp khả năng trừ. Chính xác

$$z_1-z_2=z_1+(-z_2).$$ (8)

Tích của các số $z_1$ và $z_2$ dưới dạng đa thức trong $i$, có tính đến sự tương ứng (1), cho kết quả như sau:

$$z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+\left(y_1x_2+y_1y_2\right)^2=x_1x_2-y_1y_2+\left(x_1y_2+x_2y_1\right)i.$$ (9)

Trong số tất cả các số phức dùng cho phép nhân, đơn vị được xác định theo công thức đóng một vai trò đặc biệt

$$1=1+0i.$$ (10)

Nó có các tính chất sau:

$$1z=z1=z.$$ (11)

Để chia số phức $z_1$ cho số phức $z_2$, chỉ cần xác định các đại lượng $1/z_2=z_2^{-1}$ là đủ. Số $z_2^{-1}$ được gọi là số nghịch đảo của số $z_2$. Đối với số phức $z=x+yi$ nghịch đảo được cho bởi

$$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i.$$ (12)

Từ công thức này, rõ ràng số $z^{-1}$ luôn tồn tại khi $z \neq 0.$

Dễ dàng kiểm tra xem nếu số $z^{-1}$ được xác định theo công thức (12) thì ta có

$$z \cdot z^{-1}=z^{-1}z=1.$$ (13)

Bây giờ việc chia số phức $z_1$ cho số phức $z_2 \neq 0$ được xác định theo công thức

$$z_1/z_2=z_1\left(z_2^{-1}\right).$$ (14)

Do đó, một kho hoặc tập hợp hai số phức đã nảy sinh, trong đó có chứa tập hợp tất cả các số thực. Cụ thể đây là những số phức có dạng

$$z=x+0i.$$ (15)

Trên thực tế, khi cộng và nhân hai số phức dạng (15) $z_1=x_1+0i, z_2=x_2+0i$ theo công thức (4) và (9), chúng ta thu được (kiểm tra!) $z_1+z_2=(x_1+x_2)+0i$ và $z_1z_2=x_1x_2+0i$, tức là chỉ cần xem phép cộng và nhân các số thực $x_1$ và $x_2$. Như vậy, số phức không cần số $z=x+0i$ và số thực $x$, ta có thể coi số thực là một phần của số phức. Vì vậy, đa thức của số phức được gọi là phần mở rộng của đa thức của số thực.

Bài tập

1. Tìm $a^2, a+b^2, ab^{-1}$ nếu $a=2+3i, b=5-i$.
2. Giải các phương trình $az+b=0, az^2=b$ nếu $a=3+i, b=2-3i$.

§ 2. Định lý cơ bản của đại số

Để thu được tất cả các số phức của một số, chúng ta bắt đầu bằng cách chỉ cộng một số $i$ vào số thực, là nghiệm của phương trình đại số

$$z^2+1=0.$$ (16)

Tuy nhiên, hóa ra là nhờ đó chúng ta đã đi đến một tập hợp các số mà bất kỳ phương trình đại số nào cũng có ít nhất một nghiệm. Đây là định lý cơ bản của đại số, được chứng minh bởi nhà toán học vĩ đại người Đức K. F. Gauss vào đầu thế kỷ 18 và 19. Chúng ta hãy xây dựng định lý này một cách chính xác hơn.

Cho phép

$$f(z)=a_0z^n+a_1z^{n-1}+\dots+a_{n-1}z+a_m,$$ (17)

trong đó $a_0 \neq 0$ là đa thức bậc tùy ý $n \geq 1$ đối với $z$ với các hệ số thực. Sau đó

8

Carl Friedrich Gauss (1777–1855), nhà toán học vĩ đại người Đức, đồng thời là nhà thiên văn học, vật lý học và nhà khảo sát. Khả năng toán học xuất sắc của Gauss đã bộc lộ ngay từ thời thơ ấu. Vào thời điểm ông nộp luận án tiến sĩ ở tuổi 22, ông đã là tác giả của nhiều khám phá nổi bật, trong đó có chứng minh chính xác đầu tiên về định lý cơ bản của đại số. Ông đã xử lý định lý này với niềm đam mê đặc biệt và sau đó đã tìm ra không dưới sáu bằng chứng khác về nó! Thật khó để gọi tên một nhánh của toán học lý thuyết và ứng dụng mà Gauss không có đóng góp đáng kể. Trong số các vấn đề được nêu ra trong bài viết này, chúng tôi lưu ý một vấn đề khác được phát minh ra từ cách giải thích hình học của số phức, do đó các khả năng cuối cùng chống lại việc sử dụng số phức trong toán học đã biến mất.

$f(z)$ có ít nhất một nghiệm, tức là có một số phức $a$ sao cho

$$f(a) = a_0 a^n + a_1 a^{n-1} + \dots + a_{n-1} a + a_n = 0.$$

(18)

Định lý này đã được Gauss chứng minh cho hệ số thực $a_0, a_1, \dots, a_n$. Định lý này sau đó đã được chứng minh cho trường hợp các hệ số của đa thức $f(z)$ là số phức.

Lưu ý rằng đối với các số phức, phép nhân có tính chất giao hoán, nghĩa là các số nhân có thể đổi chỗ cho nhau:

$$z_1 z_2 = z_2 z_1.$$

(19)

Sau khi số phức đã được xây dựng và nghiên cứu, liệu có phát sinh thêm các khái quát hóa tiếp theo hay không. Có thể xây dựng các đại lượng với một số đơn vị tối thiểu, $i_1, i_2, \dots, i_k$, tức là một tập hợp các đại lượng - “số tổng quát” - có dạng

$$x = x_0 + x_1 i_1 + x_2 i_2 + \dots + x_k i_k,$$

(20)

trong đó $x_0, x_1, \dots, x_k$ là các số thực và đối với các đại lượng này, phép cộng và phép nhân xác định phép cộng và phép nhân, có các tính chất chung là phép cộng và phép nhân các số. Hóa ra những đại lượng như vậy có thể được xây dựng bằng đơn vị thứ ba $i_1, i_2, \dots, i_k$. Chúng được gọi là quaternion. Đối với họ, các tính chất chung của phép cộng và phép nhân số được đáp ứng, ngoại trừ định luật giao hoán của phép nhân (xem (19)). Vào cuối thế kỷ này, nhà toán học xuất sắc người Đức F. G. Frobenius đã chứng minh rằng không thể đi xa hơn nữa theo con đường này. Việc chứng minh định lý Frobenius, nội dung chính của bài viết này, sẽ được trình bày ở số tiếp theo.

Để chứng minh định lý Frobenius, tôi sẽ phải sử dụng một số kết quả đại số không có trong chương trình phổ thông nói trên, liên quan đến phép chia và phân tích nhân tử của đa thức.

§ 3. Chia đa thức

Khi chia số nguyên dương $a$ cho số nguyên dương $b$, ta thu được đẳng thức

$$a = bh + k,$$

(21)

trong đó $h$ và $k$ là số nguyên không âm, $k < b$. Số $h$ gọi là thương, $k$ là số dư khi chia số $a$ cho số $b$.

Phương pháp chia số được biết đến nhiều từ các đối số. Nhưng cũng giống như số nguyên, các đa thức có thể chia được cho nhau. Chúng ta sẽ bắt đầu từ hai đa thức:

$$a(z) = a_0 z^p + a_1 z^{p-1} + \dots + a_p,$$

$$b(z) = b_0 z^q + b_1 z^{q-1} + \dots + b_q.$$

(22)

Ở đây chúng ta sẽ giả sử rằng các số $a_0$ và $b_0$ không bằng 0, do đó đa thức $a(z)$ có ​​bậc $p$ và đa thức $b(z)$ có bậc $q$. Bằng cách chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$ ta thu được kết quả sau, tương tự như đẳng thức

9

trong (21):

$$a(z) \equiv b(z) h(z) + k(z),$$

trong đó bậc của đa thức $k(z)$ nhỏ hơn $q$. Đa thức $h(z)$ và $k(z)$ lần lượt được gọi là thương và số dư khi chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$.

Nếu $k(z)$ bằng 0 giống hệt nhau thì ta nói rằng đa thức $a(z)$ chia hết cho đa thức $b(z)$ và $h(z)$ là thương của phép chia của chúng.

Đẳng thức (21) đã được chứng minh bằng số học và đẳng thức (23) phải được chứng minh bằng đại số. Nhưng phép chia đa thức không được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường hiện nay. Để chứng minh (23), chúng ta phải xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ thỏa mãn đẳng thức này. Quá trình xây dựng này là một thuật toán rất quan trọng. Thuật toán này rất giống với thuật toán chia góc thông thường. Do đó, trước khi phân tích nó một cách tổng quát, tôi khuyên bạn nên xem ví dụ thực tế về việc chia hai đa thức, được hiển thị trong Hình 1.

Bây giờ chúng ta hãy mô tả thuật toán chia đa thức $a(z)$ bậc $p$ cho đa thức $b(z)$ bậc $q$ trong trường hợp tổng quát. Nếu $p < q$ thì $h(z) \equiv 0$, $k(z) \equiv a(z)$ và đẳng thức (23) được thỏa mãn.

Bây giờ chúng ta có thể xây dựng các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ với giả định rằng $p \geq q$. Đầu tiên chúng ta xây dựng danh tính

$$a(z) \equiv b(z) h_1(z) + a_1(z),$$

trong đó bậc của đa thức $a_1(z)$ nhỏ hơn $p$. Để làm điều này, hãy đặt

$$h_1(z) = \frac{a_0}{b_0} z^{p-q}.$$

Thế thì sự khác biệt

$$a(z) - b(z) h_1(z) \equiv a_1(z)$$

có bậc nhỏ hơn $p$, vì trong đa thức này hệ số $z^p$ bằng 0. Các lũy thừa còn lại $z$ có ​​trong đa thức này rất nhỏ hơn $p$. Do đó, danh tính (24) được xây dựng.

Nếu đa thức $a_1(z)$ có bậc nhỏ hơn $q$ thì đẳng thức (24) đã là đẳng thức (23). Mặt khác, chúng ta áp dụng cho đa thức $a_1(z)$ quy trình tương tự đã được áp dụng cho đa thức $a(z)$ khi xây dựng đồng nhất thức (24). Sau đó, chúng tôi nhận được danh tính

$$a_1(z) \equiv b(z) h_2(z) + a_2(z),$$

và bậc của đa thức $a_2(z)$ đã nhỏ hơn bậc của đa thức $a_1(z)$. Nếu đa thức $a_2(z)$ đã có bậc nhỏ hơn $q$, thì thay $a_1(z)$ từ đẳng thức cuối cùng vào đẳng thức (24), chúng ta thu được đẳng thức

$$a(z) \equiv b(z)(h_1(z) + h_2(z)) + a_2(z),$$

vốn đã là sắc rồi (23). Nếu đa thức $a_2(z)$ cũng có bậc lớn hơn $q$ thì chúng ta sẽ tiếp tục

Chúng ta sẽ xây dựng sâu hơn và cuối cùng chứng minh được đẳng thức cần tìm (23).

Ở đây chúng ta đã mô tả quá trình chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, tức là tìm các đa thức $h(z)$ và $k(z)$ có trong đẳng thức (23). Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng các đa thức này được xác định duy nhất bởi các đa thức $a(z)$ và $b(z)$. Giả sử rằng nếu chúng ta vi phạm danh tính (23), chúng ta có danh tính

$$a(z) \equiv b(z) h_0(z) + k_0(z),$$

và bậc của đa thức $k_0(z)$ nhỏ hơn $q$. Trừ đi danh tính (25) từ (23), chúng ta có được

$$b(z)(h(z) - h_0(z)) = k_0(z) - k(z).$$

Vì bậc của đa thức $b(z)$ bằng $q$ và bậc của đa thức $k_0(z) - k(z)$ nhỏ hơn $q$, nên đẳng thức sau chỉ có thể đúng với điều kiện $h(z) - h_0(z) \equiv 0$, sao cho $k_0(z) - k(z) \equiv 0$.

Chúng ta hãy lưu ý kết luận rằng trong quá trình chia đa thức $a(z)$ cho đa thức $b(z)$, số phức không thể xuất hiện, vì vậy nếu đa thức $a(z)$ và $b(z)$ có hệ số thực thì đa thức $h(z)$ và $k(z)$, nằm trong đẳng thức (23), cũng có hệ số thực.

Thực hành 3. Chia đa thức $x^8 + 2x^5 + 2x^4 + x^2 + 2x$ cho đa thức $x^3 + 1$.

§ 4. Phân tích đa thức thành các bội số tối giản

Cho phép

$$f_0(z) = z^n + a_1z^{n-1} + \dots + a_n$$

là một đa thức có bậc dương tùy ý $n$ với các hệ số thực hoặc phức tùy ý. Như đã lưu ý trước đó, đa thức này có ít nhất một nghiệm phức $a$. Bây giờ chúng ta hãy chứng minh rằng nếu $f_0(z)$ có ​​nghiệm asoid, thì đó là

$$f_0(a) = 0,$$

thì đa thức $f_0(z)$ chia hết cho hai biến $z - a$, nên đẳng thức đúng

$$f_0(z) \equiv (z - a)f_1(z),$$

trong đó rõ ràng $f_1(z)$ có mức độ $n-1$.

11

Cơm. 2.

là đa thức tối giản bậc một hoặc bậc hai có hệ số thực, sao cho thương $f_2(z)$ của phép chia số mới là đa thức có hệ số thực. Điều này có nghĩa là đa thức $f_0(z)$ phân hủy thành các đa thức thực bất khả quy bậc 1 hoặc bậc 2.

Một kết luận quan trọng được rút ra từ điều này:

Căn bậc a tùy ý của đa thức $f_0(z)$ là nghiệm của một đa thức tối giản bậc một hoặc bậc hai.

Bài tập 4. Phân tích đa thức $2x^4 - 3x^3 + 2x^2 - 8x$ thành đa thức tối giản 1 và 2.

§ 5. Đệ tứ

Như đã đề cập, quaternion có ba đơn vị tối thiểu. Các đơn vị này thường được ký hiệu là $i, j, k$.

(37) Như vậy, mỗi quaternion được viết dưới dạng

$$x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k,$$

(38) trong đó $x_0, x_1, x_2, x_3$ là các số thực gọi là tọa độ của quaternion $x$.

Cho phép

$$y = y_0 + y_1 i + y_2 j + y_3 k$$

• quaternion thứ hai. Các bậc bốn $x$ và $y$ được coi là bằng nhau khi và chỉ nếu tọa độ của chúng bằng nhau, nghĩa là khi đẳng thức giữ nguyên

$$x_0 = y_0, x_1 = y_1, x_2 = y_2, x_3 = y_3.$$

(40) Việc cộng các bậc bốn $x$ và $y$ được thực hiện theo quy tắc

$$x + y = x_0 + y_0 + (x_1 + y_1) i + (x_2 + y_2) j + (x_3 + y_3) k.$$

(41) Chúng ta có thể nói rằng các bậc bốn được cộng theo tọa độ, nghĩa là, giống như cách cộng các vectơ của không gian vectơ 3 chiều bằng cách cộng tọa độ của chúng. (Chỉ quaternion không có ba mà có bốn tọa độ.) Theo nghĩa này, quaternion có thể được coi là vectơ của “không gian bốn chiều”. Tất nhiên, rất khó để tưởng tượng không gian bốn chiều. Đây là lúc phân tích 3D có thể giúp bạn (Hình 2).

Khi nhân quaternions, các số thực có thể được sắp xếp lại theo đơn vị $i, j, k$. Vì vậy, để đặt ra quy tắc nhân bậc bốn, bạn nên đặt quy tắc nhân đơn vị (37). Nó sau:

$$i^2 = j^2 = k^2 = -1;$$

(42)

$$ij = -ji = k; \quad jk = -kj = i; \quad ki = -ik = j.$$

(43)

Ở dạng tổng quát, các công thức cộng và nhân của bậc bốn có thể tìm thấy ở «Kvant», 1983, số 9, tr. 13. Để định nghĩa một quaternion nghịch đảo với quaternion $x$, chúng tôi đưa ra khái niệm về quaternion liên hợp $\bar{x}$. Chúng ta sẽ xác định nó theo công thức

$$\bar{x} = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k.$$

(44)

Những phép tính đơn giản cho

$$x\bar{x} = x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = |x|^2.$$

(45)

Quaternion $x^{-1}$, nghịch đảo của $x$, được cho bởi

$$x^{-1} = \frac{\bar{x}}{|x|^2}.$$

(46)

Đối với nó có một sự tương ứng $x^{-1}x = xx^{-1} = 1$.

12

Sao xung mili giây

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. A. BRONSHTEN

Như đã báo cáo trong «Kvant» (1983, số 12, trang 12), các nhà khoa học tương đối gần đây đã phát hiện ra hai trong số các sao xung nhanh nhất (cho đến nay). Một trong số chúng - nằm trong chòm sao Vulpecula - có chu kỳ khoảng 1,6 mili giây, cái còn lại, có thể nhìn thấy theo hướng của chòm sao Cygnus, quay với chu kỳ khoảng 6,1 mili giây.

Tại sao những ẩn tinh này lại thú vị và tại sao chúng ngay lập tức thu hút sự chú ý của các nhà khoa học?

Theo các khái niệm hiện đại, xung là những sao neutron có từ trường cực mạnh. Khi ngôi sao quay, người ta quan sát thấy các va chạm định kỳ trong vùng của chùm sóng vô tuyến có hướng ghi lại bức xạ dưới dạng các xung riêng lẻ theo chu kỳ quay của ngôi sao.

Sao neutron hình thành do quá trình đốt cháy nhiên liệu nhiệt hạch (hydro, heli, carbon, v.v.) bên trong các ngôi sao có khối lượng vượt quá khối lượng Mặt trời. Đầu tiên, hydro cháy hết, biến thành gel (quá trình này xảy ra ở độ sâu của Mặt trời và hầu hết các ngôi sao), sau đó gel bắt đầu cháy hết, sau đó là carbon, v.v. Chỉ có nguồn năng lượng duy trì trạng thái cân bằng, ngôi sao trải qua sự hoài nghi thảm khốc (có kích thước lên tới 10 km) và theo đó, tốc độ quay của nó tăng mạnh.

Nhưng bằng cách này người ta có thể xác định sự tồn tại của các ẩn tinh có chu kỳ quay khoảng một giây. Sự thật về sự hình thành của các xung mili giây đòi hỏi một lời giải thích đặc biệt.

Lời giải thích này được đề xuất đồng thời bởi hai nhóm nhà nghiên cứu - bốn nhà khoa học người Mỹ do M. Alpar đứng đầu và độc lập với họ là nhà vật lý thiên văn J. Srinivasan và nhà vật lý thiên văn người Hà Lan E. van den Heuvel. Đây là giả thuyết mà họ được hướng dẫn.

Giả sử rằng một hệ sao đôi từng được hình thành trong đó một ngôi sao (hãy gọi nó là A) vượt quá khối lượng của ngôi sao kia (thành phần B). Vài triệu năm trước, ngôi sao A, có khối lượng lớn hơn, là ngôi sao đầu tiên biến mất, phát triển quá mức và bắt đầu bay đi. Cùng lúc đó, một phần vật chất bắt đầu chảy sang ngôi sao B. Khi ngôi sao A hoàn toàn bị tước đoạt nguồn năng lượng nhiệt hạch, nó phát nổ như một siêu tân tinh và phần còn lại của nó tạo thành một ẩn tinh.

Trong khi đó, trữ lượng nhiên liệu hạt nhân ở sao B. Terrier cũng đã cạn kiệt, vật chất bắt đầu chảy từ nó đến sao xung (phần còn lại của sao A), và chuyển động quay của sao xung có thể tăng tốc rõ rệt. Rất có thể sau đó, ngôi sao B sẽ chịu chung số phận với ngôi sao A - nó sẽ phát nổ và tạo thành một ẩn tinh trẻ.

Trong khi phát triển giả thuyết của mình, các nhà khoa học này vẫn chưa biết về sự tồn tại của xung mili giây. Họ muốn giải thích các đặc tính của các ẩn tinh khác là một phần của hệ đôi và có tốc độ quay khá nhanh – với chu kỳ khoảng hàng chục mili giây. Việc phát hiện ra các sao xung nhanh nhất đã xác nhận giả thuyết này một cách đáng tin cậy.

Hóa ra sao xung trong chòm sao Cygnus thực sự là một phần của hệ thống nhị phân. Người ta đã xác định được rằng thời gian hình thành của sao xung này xung quanh tâm khối lượng của hệ thống là 120 ngày và quỹ đạo của nó gần như hình tròn. Thành phần thứ hai của hệ thống là một sao lùn trắng có khối lượng xấp xỉ một nửa Mặt trời.

Nhưng làm thế nào chúng ta có thể giải thích sự tồn tại của xung mili giây đầu tiên (trong chòm sao Vulpecula), xung này không phải là một phần của hệ nhị phân?

Theo Srinivasan Ivan den Heuvel, một hệ thống như vậy có thể bị phá hủy trong vụ nổ của sao B, do đó cả hai sao xung - tàn dư của sao A và B - phân tán theo các hướng khác nhau. Có những lời giải thích khác. Chắc chắn rằng những nghiên cứu sâu hơn sẽ dẫn đến nhiều điều thú vị trong việc tìm hiểu bản chất của những thiên thể tuyệt vời này.

Việc quan sát các xung mili giây có thể mang lại những kết quả cần thiết và rất quan trọng cho việc nghiên cứu hệ hành tinh của chúng ta. Thực tế là do sự chuyển động của Trái đất xung quanh char, tần số nghiên cứu các xung thay đổi theo chu kỳ hàng năm. Các nghiên cứu về những biến động hàng năm này giúp có thể xác định chính xác hơn các phương pháp cổ điển của cơ học thiên thể những sai lệch nhỏ nhất trong chuyển động của Trái đất dưới ảnh hưởng của quá trình đốt cháy các hành tinh khác (nhiễu loạn hành tinh), và do đó khối lượng của các hành tinh xáo trộn.

Và cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng đối với khoa học, các sao xung mili giây có thể trở thành một tiêu chuẩn mới về thời gian.

Một ống nói có chiều dài bằng đường xích đạo?

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. VARLAMOV,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. I. MALYAROVSKY

Đang ngồi ăn sáng trong bếp, bạn thường có thể nghe thấy một âm thanh lạch cạch không mấy dễ chịu mà một số người pha trò đã tạo ra bằng cách “hát ống nước”. Đôi khi, bạn có thể dừng việc “phát nhạc chung” này bằng cách mở vòi nước trong căn hộ của mình. Sau đó, hầu hết mọi người trở lại với cảm giác nhẹ nhõm với bữa sáng nhồi nhét quá nhiều của mình mà không đặc biệt suy nghĩ về bản chất vật lý của sự việc. Và nó đáng để hỏi. Tại sao âm thanh do dòng nước chảy trong một vòi bị lỗi ở một trong những căn hộ lại ám ảnh cư dân của toàn bộ lối vào, được nối với nhau bằng một ống dẫn nước?

Rốt cuộc, nếu bạn thổi còi trong cùng một căn hộ, thì chỉ những người hàng xóm ở căn hộ gần nhất mới nghe thấy, và thậm chí cả khi ngôi nhà còn mới. Tiếng “hát” của ống nước có thể nghe thấy ở khắp mọi nơi, từ tầng một đến tầng cuối cùng.

Sự khác biệt này là do hai lý do. Đầu tiên là tác dụng tiêu âm của tường và trần nhà, có tác dụng phản xạ và hấp thụ âm thanh của còi. Và sóng âm truyền qua ống nước không tương tác với nó và truyền miễn phí từ tầng này sang tầng khác. Bây giờ - về lý do thứ hai. Khi tiếng còi vang lên, sóng chính xác sinh ra sẽ lan truyền trong không gian theo mọi hướng và bề mặt sóng của nó (xem “Vật lý 10”, § 31), hay mặt sóng, có hình cầu. Diện tích của quả cầu này tăng lên khi nó di chuyển ra khỏi nguồn âm thanh và cường độ của sóng âm - tức là năng lượng truyền qua một đơn vị diện tích của mặt sóng trong một đơn vị thời gian - sẽ giảm khi nó di chuyển ra khỏi nguồn (bạn hãy tự tìm hiểu theo định luật nào).

Và sóng âm phát sinh trong ống nước là “một chiều”: khi phản xạ từ thành ống, nó không phân kỳ theo mọi hướng trong không gian mà truyền theo một hướng - dọc theo chính đường ống - mà không phân bố mặt trước sóng, do đó cường độ của âm thanh không thay đổi khi di chuyển ra khỏi nguồn thực hành. Theo nghĩa này, ống nước là một ống dẫn sóng chính xác - một kênh trong đó sóng âm thanh truyền theo một hướng thực hành nhất định mà không bị suy giảm.

Một ví dụ khác về ống dẫn sóng Akkutichi là ống nói, với sự trợ giúp của nó, từ xa xưa cho đến ngày nay, các mệnh lệnh đã được truyền trên tàu từ cầu thuyền trưởng đến phòng máy. Lưu ý rằng sự suy giảm âm thanh trong không khí khi truyền dọc theo ống dẫn sóng hóa ra nhỏ đến mức nếu có thể chế tạo một ống dài 700 km như vậy, nó có thể đóng vai trò như một loại “điện thoại” để truyền một cuộc trò chuyện từ Moscow đến Leningrad và quay trở lại. Tuy nhiên, sẽ vô cùng khó khăn để tiến hành một cuộc trò chuyện trên một chiếc “điện thoại” như vậy, vì

14

người đối thoại sẽ nghe thấy những gì được nói với bạn trong khoảng nửa giờ.

Chúng tôi nhấn mạnh rằng sự phản xạ của sóng truyền trong ống dẫn sóng từ các ranh giới của nó là một tính chất nhất định của ống dẫn sóng - chính nhờ nó mà năng lượng sóng không truyền theo mọi hướng trong không gian mà được truyền theo một hướng nhất định.

Gần đây, khoảng ba mươi năm trước, các nhà khoa học từ Liên Xô và Hoa Kỳ đã phát hiện ra rằng chính thiên nhiên đã tạo ra các ống dẫn sóng âm khổng lồ, có kích thước lớn hơn đáng kể so với ống nói tưởng tượng giữa Moscow và Leningrad. Các ống dẫn sóng như vậy, khi xác định các điều kiện, sẽ xuất hiện trong đại dương. Các nhà khoa học gọi chúng là kênh âm thanh dưới nước hay gọi tắt là SSC. Sóng âm truyền qua các kênh như vậy có thể được nhận cách xa nguồn hàng nghìn km. Như vậy, trong một trong những thí nghiệm thành công nhất, âm thanh từ vụ nổ dưới nước do các nhà khoa học ngoài khơi Australia tạo ra đã bao phủ một nửa địa cầu dưới nước và được một nhóm nhà nghiên cứu khác ở gần Quần đảo Bermuda, cách Australia 19.600 km (đây vẫn là kỷ lục về phạm vi truyền sóng của tín hiệu âm thanh dạng xung).

Cơ chế hình thành của ống dẫn sóng như vậy là gì? Cái gì trong nó đóng vai trò là ranh giới phản xạ khiến sóng âm truyền đi những khoảng cách rất xa qua cột? Ranh giới trên được đặt ngay trên bề mặt đại dương, phản xạ âm thanh khá tốt (xem Phụ lục). Tuy nhiên, cô ấy hiếm khi mới mẻ do thường xuyên phấn khích; và điều này dẫn đến sự phân tán hỗn loạn của sóng âm trên đó. Đáy phản xạ âm thanh yếu và không thể đóng vai trò là ranh giới phản xạ phía dưới của ống dẫn sóng. Do đó, ranh giới của ống dẫn sóng trong đại dương nên được tìm kiếm ở đâu đó giữa ngôi nhà và bề mặt. Và họ đã được tìm thấy. Những ranh giới này hóa ra là các lớp nước ở độ sâu nhất định của đại dương.

Sự phản xạ của sóng âm từ “bức tường” của van ngắt xảy ra như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ phải xem xét cách âm thanh truyền trong đại dương nói chung.

Cho đến nay, chúng ta vẫn đang nói về các ống dẫn sóng, âm thầm giả định rằng tốc độ truyền âm thanh trong chúng là không đổi. Trong khi đó, người ta biết rằng tốc độ âm thanh trong đại dương dao động từ 1450 m/s đến 1540 m/s. Nó liên quan đến nhiệt độ của nước, độ mặn, cường độ áp suất thủy điện và các yếu tố khác. Áp suất thủy điện tăng lên dẫn đến cứ sau 100 m lặn, tốc độ âm thanh tăng thêm 1,6 m/s. Khi nhiệt độ tăng thì tốc độ âm thanh cũng tăng. Tuy nhiên, trong đại dương, nhiệt độ nước, theo quy luật, giảm khá mạnh khi nó di chuyển từ lớp nước phía trên, được làm nóng tốt xuống độ sâu, nơi nó đạt đến một giá trị gần như không đổi. Hiệu quả của hai cơ chế này dẫn đến sự phụ thuộc của tốc độ âm thanh vào độ sâu, như trong Hình 1. Gần bề mặt, ảnh hưởng chủ yếu là sự phân bổ nhiệt độ nhanh chóng - trong những điều kiện phức tạp này, tốc độ âm thanh giảm khi độ sâu ngày càng tăng. Khi bạn lặn, nhiệt độ thay đổi ngày càng chậm và áp suất thủy điện tiếp tục tăng. Ở một số độ sâu, hai yếu tố này “cân bằng” - ở độ sâu này tốc độ âm thanh là tối thiểu; và sau đó nó bắt đầu tăng theo độ sâu ngày càng tăng do áp suất thủy điện tăng.

Vì vậy, tốc độ âm thanh trong đại dương phụ thuộc vào độ sâu. Và điều này ảnh hưởng đến bản chất của việc truyền âm thanh. Để hiểu được điều gì quyết định hướng đi của âm thanh

15

Cơm. 2.

trong đại dương, chúng ta chuyển sang chất tương tự quang học: chúng ta hãy xem cách các tia sáng truyền trong một chồng các tấm phẳng song song với các chiết suất khác nhau, rồi khái quát hóa kết quả của chúng ta cho trường hợp môi trường có chiết suất biến thiên trơn tru.

Chúng ta hãy xem xét một chồng các tấm phẳng song song có chiết suất khác nhau $n_0, n_1, n_2, \dots, n_k, \dots$ và $n_0 < n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots$ (Hình 2). Một tia tới từ tấm trên cùng tới tấm 1 một góc $a_0$, sau khi khúc xạ ở ranh giới 0-1, sẽ tạo một góc $a_1$ pháp tuyến với ranh giới này; ở góc này nó sẽ rơi vào ranh giới 1-2; sau khi khúc xạ tại ranh giới này, tia sáng đi qua tấm 2 sẽ rơi vào ranh giới 2-3 một góc $a_2$, khúc xạ trở lại, v.v. Theo định luật khúc xạ,

$$\frac{\sin a_0}{\sin a_1} = \frac{n_1}{n_0}, \frac{\sin a_1}{\sin a_2} = \frac{n_2}{n_1},$$
$$\frac{\sin a_2}{\sin a_3} = \frac{n_3}{n_2}, \dots, \frac{\sin a_{k-1}}{\sin a_k} = \frac{n_k}{n_{k-1}}, \dots$$
($c_0 > c_1 > c_2 > \dots > c_k > \dots$). Biến đổi tuần tự các đẳng thức này với nhau, ta thu được sự tương ứng

$$\frac{\sin a_0}{\sin a_k} = \frac{c_0}{c_k}.$$

Bằng cách hướng độ dày của mỗi tấm về 0 và số lượng tấm về vô cùng, chúng ta đi đến sự khái quát hóa định luật khúc xạ, mô tả đường đi của tia sáng trong môi trường có chiết suất biến đổi đều (định luật này được gọi là định luật Snell tổng quát):

$$c(z) \cdot \sin \alpha(0) = c(0) \cdot \sin \alpha(z),$$

trong đó $c(0)$ là tốc độ ánh sáng tại điểm chùm tia đi vào môi trường và $c(z)$ là tốc độ ánh sáng ở khoảng cách $z$ tính từ ranh giới của môi trường. Với sự chuyển tiếp giới hạn như vậy, đường đứt nét biểu thị đường đi của tia sẽ biến thành một đường cong trơn. Hiện tượng tia sáng bị bẻ cong khi truyền trong môi trường có chiết suất thay đổi liên tục gọi là khúc xạ.

Biết tốc độ ánh sáng thay đổi như thế nào trong môi trường, chúng ta có thể sử dụng sự tương ứng (), cho biết đường đi của một tia cụ thể đi vào môi trường sẽ như thế nào. Tương tự như vậy, theo cùng một định luật (), độ cong của tia cắn xảy ra khi vết cắn lan rộng trong môi trường rẻ tiền, nơi tốc độ cắn thay đổi trơn tru. Một trường hợp đặc biệt của môi trường như vậy là đại dương.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại câu hỏi âm thanh lan truyền như thế nào trong PZK. Hãy tưởng tượng nguồn âm thanh ở độ sâu $z_m$ (Hình 3). Các tia âm phát ra từ nguồn sẽ như thế nào? Tia đi dọc theo phương ngang $z = z_m$ sẽ là tia thẳng. Và những tia sáng đi theo góc lẻ so với phương ngang này sẽ bị bẻ cong. Bằng cách tương tự, hiện tượng này được gọi là khúc xạ âm thanh. Vì cả trên và dưới mức $z_m$ tốc độ cắn quay trở lại nên các dầm phía sau sẽ uốn cong theo hướng ngang $z = z_m$; tại một điểm nào đó chùm tia trở nên “song song” với đường nằm ngang này và bị “phản xạ” nên quay về phía nó (xem Hình 3).

Vì vậy, sự khúc xạ âm thanh ra biển dẫn đến hiện tượng một phần năng lượng âm thanh do nguồn phát ra có thể lan truyền mà không đến được đại dương.

16

Bề mặt của nước và không chạm tới đáy. Và điều này có nghĩa là trong môi trường như vậy, cơ chế truyền âm thanh được thực hiện - một kênh âm thanh dưới nước. Vai trò của các “bức tường” của ống dẫn sóng này được thực hiện bởi một lớp nước ở độ sâu nơi xảy ra hiện tượng “chuyển hướng” của chùm âm thanh.

Mức độ sâu $z_m$, tại đó tốc độ âm thanh là tối thiểu, được gọi là trục SCP. Thông thường các giá trị của $z_m$ nằm trong khoảng 1000–1200 m; tuy nhiên, ở các tầng ngậm nước nhiệt đới, nơi nước ấm lên đến độ sâu lớn, trục PZK có thể giảm xuống độ sâu 2000 m. Ngược lại, ở những vùng khô cằn, ảnh hưởng của nhiệt độ đến sự phân bố tốc độ âm thanh chỉ được cảm nhận ở lớp gần bề mặt và trục PTC tăng lên độ sâu 200–500 m và trong các tầng ngậm nước ở cực - thậm chí gần bề mặt.

Trong đại dương có thể có hai loại PZK cơ bản khác nhau. Kênh loại thứ nhất được hình thành khi tốc độ âm thanh ở mặt nước ($c_0$) nhỏ hơn ở đáy

$(c_\pi)$. Trường hợp này thường xảy ra ở vùng biển sâu, nơi áp suất ở đáy lên tới hàng trăm atm. Âm thanh từ nước vào không khí được phản xạ tốt từ bề mặt giao diện của chúng (xem Phụ lục), và nếu bề mặt đại dương nhẵn (tĩnh lặng) thì nó đóng vai trò là ranh giới trên rõ ràng của ống dẫn sóng và kênh chiếm toàn bộ lớp nước từ bề mặt đến đáy (Hình 4).

Chúng ta hãy xem phần nào của tia âm thanh được “bắt” trong PZK. Để làm điều này, chúng tôi viết lại thư từ chúng tôi nhận được trước đó (*) dưới dạng này:

$$c(z) \cdot \cos \varphi_1 = c_1 \cdot \cos \varphi(z),$$

trong đó $\varphi_1$ và $\varphi(z)$ lần lượt là các góc tạo bởi chùm âm thanh với mặt phẳng ngang ở độ sâu $z_1$ và $z$. Những góc này được gọi là góc trượt. (Khái niệm $\varphi_1 = \pi/2 - a_1$, $\varphi(z) = \pi/2 - a(z)$.) Nếu nguồn âm nằm trên trục của PZK thì $c_1 = c_m$; kênh chiếm các tia có góc lướt ở phía dưới là $\varphi(z) = 0$. Vậy tất cả các tia rời khỏi nguồn ở góc tới $\varphi_1$ đều thỏa mãn điều kiện (xem Hình 4)

$$\cos \varphi_1 \geq \frac{c_m}{c_\pi},$$

rơi vào PZK.

Khi mặt nước còn mới, các tia âm thanh sẽ tán xạ trên đó; những tia rời khỏi bề mặt ở góc lướt đủ lớn phải chạm tới đáy và bị hấp thụ ở đó. Tuy nhiên, ngay cả trong trường hợp này, kênh có thể thu được tất cả các tia mà do khúc xạ nên hầu như không chạm tới bề mặt sóng (Hình 5). Kênh

17

trong trường hợp này, không gian từ bề mặt đến độ sâu $z_k$, được xác định từ điều kiện $c(z_k)=c_0$. Rõ ràng là một kênh như vậy sẽ thu được tất cả các tia âm thanh với góc lướt $\varphi_1 \leqslant \arccos \frac{c_m}{c_0}$.

Kênh loại thứ hai đặc trưng cho vùng nước nông và được hình thành khi tốc độ âm thanh gần bề mặt lớn hơn tốc độ ban ngày (Hình 6). Nó chiếm một lớp nước từ một ngày đến độ sâu $z_k$ sao cho $c(z_k)=c_0$. Điều này giống như chuyển kênh loại thứ nhất trong trường hợp có nhiễu loạn bề mặt.

Nếu nguồn âm thanh nằm gần trục SCP, thì theo quy luật, nhiều chùm âm thanh đến điểm nhận tín hiệu và thời gian để âm thanh truyền qua chúng là khác nhau và trở thành cực đại đối với chùm âm thanh dọc trục (tốc độ truyền âm thanh ở độ sâu này là tối thiểu). Cường độ của tín hiệu xung ngắn được ghi tại điểm thu tăng dần từ khi bắt đầu thu đến khi kết thúc, vì giữa thời gian đến của các xung dọc theo các chùm khác nhau cho đến khi kết thúc thu tín hiệu, nó giảm dần và chúng bắt đầu chồng lên nhau, dẫn đến cường độ tăng lên. Tia cuối cùng đến là chùm âm thanh, truyền dọc theo trục của PZK (với góc lướt bằng 0), sau đó tín hiệu đảo ngược mạnh.

Đối với một số kiểu phụ thuộc nhất định của tốc độ âm thanh vào độ sâu, SCP tác động lên các tia âm thanh giống như một tấm vải lanh tập trung: nếu bộ phát nằm trên trục của SCP, thì các tia phát ra ở các góc lướt khác nhau sẽ có tính tuần hoàn.

đồng minh đồng thời được nén trên trục kênh tại các điểm gọi là tiêu điểm PZK. Do đó, đối với một kênh trong đó tốc độ âm thanh thay đổi theo độ sâu theo định luật gần với parabol - $c(z)=c_m(1+\frac{1}{2} b^2 z^2)$ - tiêu điểm cho các tia phát ra ở góc lướt nhỏ sẽ ở các điểm $x_n=x_0+\pi n/b$, trong đó $n=1, 2, \dots$ (Hình 7). Cấu hình này của đường cong $c(z)$ gần với sự phân bố thực tế của tốc độ âm thanh trong các vùng kín sâu. Những sai lệch so với sự phụ thuộc parabol chính xác trong $c(z)$ dẫn đến làm mờ các tiêu điểm trên trục PZK.

Chà, liệu có thể tạo ra âm thanh, truyền qua PZK, đi vòng quanh thế giới - trọng lượng của quả địa cầu quay tròn dưới nước và trở về nguồn của nó không? Không, bạn không thể. Thử thách đầu tiên và khó vượt qua nhất là vật liệu và sự khác biệt đáng kể về độ sâu của Đại dương Thế giới. Do đó, không thể chọn một con đường để có một PZK duy nhất trên toàn cầu. Nhưng đây không phải là lý do duy nhất. Sóng âm truyền trong van ngắt khác với sóng âm trong ống nước và ống nói. Như đã đề cập, khi truyền trong các ống dẫn sóng này, sóng âm là một chiều, diện tích mặt trước sóng của nó không đổi ở bất kỳ khoảng cách nào đến nguồn âm thanh, và do đó, cường độ âm thanh (không tính đến tổn thất nhiệt) cũng sẽ không đổi ở bất kỳ phần nào của đường ống. Trong kênh âm dưới nước, sóng âm không truyền theo đường thẳng mà truyền theo mọi hướng

18

trong mặt phẳng $z=z_m$. Do đó, mặt sóng là một bề mặt hình trụ và do đó, độ toàn vẹn của âm thanh giảm theo khoảng cách từ nguồn theo tỷ lệ $1/R$, trong đó $R$ là khoảng cách từ nguồn âm thanh đến nơi quan sát (so sánh sự phụ thuộc này với định luật mất tính toàn vẹn mà bạn nhận được trước đó đối với sóng âm hình cầu trong không gian ba chiều, cũng như với trường hợp sóng âm một chiều, trong đó tính toàn vẹn không thay đổi với khoảng cách nào cả).

Một lý do khác cho sự suy giảm âm thanh là sự suy giảm của sóng âm khi nó truyền trong nước biển. Năng lượng sóng được chuyển thành nhiệt do ma sát trong nước. Ngoài ra, sóng âm thanh tiêu tan trong đại dương ở nhiều dạng không đồng nhất khác nhau, có thể bao gồm các hạt lơ lửng trong nước, bọt khí, sinh vật phù du và thậm chí cả bọt khí của cá. Đặc biệt, hiện tượng này được sử dụng để phát hiện các đàn cá bằng cách sử dụng định vị siêu âm.

Để kết luận, chúng tôi lưu ý rằng kênh âm thanh dưới nước được mô tả không phải là ví dụ duy nhất về ống dẫn sóng tồn tại trong tự nhiên. Do đó, việc phát sóng vô tuyến xa hơn từ các đài phát thanh mặt đất chỉ có thể thực hiện được nhờ sự truyền sóng vô tuyến trong khí quyển dọc theo các ống dẫn sóng khổng lồ. Khi xác định các điều kiện trong khí quyển, các kênh dẫn sóng cũng có thể được hình thành đối với sóng điện từ có tần số trong dải ánh sáng. Sau đó, do những ảo ảnh cực xa, ở trung tâm bạn có thể nhìn thấy một chiếc thuyền buồm trống rỗng, và đột nhiên một thành phố nổi lên giữa đại dương.

Ứng dụng
Chúng ta hãy xem xét vấn đề phản xạ và truyền sóng âm tại mặt phân cách giữa hai môi trường.

Thông tin

Học toán buổi tối tại Khoa Toán tính toán và Knibretics của Đại học quốc gia Moscow. M. V. Lomonosov thông báo tuyển sinh mùa xuân của học sinh lớp 7-9. Mục tiêu chính của VMS là đào sâu phạm vi chương trình giảng dạy ở trường và mở rộng kiến ​​thức về toán học, dạy những điều cơ bản về lập trình và làm việc trên máy tính. Các lớp học tại trường được thực hiện dưới hình thức bài giảng và hội thảo. Các cuộc gặp gỡ với các nhà khoa học của khoa được tổ chức cho sinh viên VMS. Những người hoàn thành thành công trường sẽ nhận được chứng chỉ hoàn thành Trường Y cao hơn. Tiếp nhận ngẫu nhiên theo kết quả của chủ sở hữu, bao gồm vào lúc 10 giờ tháng 3 tại địa chỉ: 119889, Moscow, Leninskie Gory, Đại học quốc gia Moscow, Khoa Khoa học Máy tính; số điện thoại để được giải đáp thắc mắc 139-53-74.

19

Bong bóng trong chất lỏng

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOROVOY

Buồng bong bóng hoạt động như thế nào?

Vào đầu những năm 50 của thế kỷ 19, Donald Glaser, một nhân viên trẻ của Đại học Michigan (Mỹ), đã nghĩ ra một loại thiết bị mới ghi lại các hạt cơ bản. Nó được gọi là buồng bong bóng.*)

Hình 1 cho thấy một buồng chứa lọ hiện đại. Nội dung này chiếm một hội trường lớn cao vài tầng, chủ yếu là kỹ thuật phức tạp và được điều khiển bằng máy dẫn điện tốc độ cao. Nhiều bản cài đặt thậm chí còn có tên riêng: “Lyudmila”, “Mirabelle”, “Gargamel”, v.v.

*) Bạn có thể đọc về thiết bị này và các máy dò hạt cơ bản khác, chẳng hạn như trong cuốn sách của A. A. Borovoy “Cách các hạt được đăng ký” (M.: Nauka, 1981, loạt bài “Viblotechka «Kvant»)).

Tuy nhiên, những mẫu máy ảnh đầu tiên do Glaser sản xuất không thể gọi là máy in (Hình 2). Phần chính của chúng là một ống thủy tinh chứa ether có thể tích vài cm khối. Chất lỏng được làm nóng và chịu áp suất khoảng 20 atm (1 atm≈10⁵ Pa). Một thiết bị đặc biệt (cũng đơn giản) cho phép bạn nhanh chóng giảm áp suất, nhưng ether không sôi ngay lập tức. Nếu trong quá trình “chờ đợi” như vậy, một bộ phận tích điện chạy qua chất lỏng, để lại một vệt ion, thì bong bóng hơi sẽ xuất hiện dọc theo vệt đó. Sau khi chụp ảnh dấu vết, có thể tăng áp suất trở lại, bong bóng biến mất (bị nghiền nát) và thiết bị lại sẵn sàng để sử dụng.

Do đó, bong bóng trong chất lỏng hóa ra lại cực kỳ hữu ích cho vật lý hạt. Hình 3 cho thấy một trong những hình ảnh được chụp bằng camera bong bóng.

Tại sao các bong bóng xuất hiện chính xác trên đường đi của hạt?

Đầu tiên chúng ta hãy nhớ sôi là gì

Đun sôi là sự hình thành các bong bóng hơi trong toàn bộ thể tích chất lỏng, chúng phát triển và bùng lên trên bề mặt. Rõ ràng, để điều này xảy ra, áp suất hơi trong bong bóng phải lớn hơn áp suất trong chất lỏng (nếu không áp suất sẽ tách chúng ra). Mọi người đều biết rằng với tốc độ bình thường-

Cơm. 1. Buồng bong bóng hydro Mirabelle, dùng cho nghiên cứu tại Viện Vật lý năng lượng cao.

Cơm. 2. Vết tích của hạt cơ bản tích điện thu được trong buồng bong bóng Glaser thứ nhất.

20

Áp suất khí quyển sôi ở 100°C. Chính ở nhiệt độ này, áp suất hơi bão hòa trở nên đủ và chất lỏng sôi. Nhưng nó có luôn sôi không?

Hãy lấy hai ống nghiệm. Chúng tôi sẽ rửa thật kỹ một trong số chúng, đảm bảo rằng không có vết trầy xước hoặc vật lạ trên tường và đổ đầy nước cất (khoảng 10 cm³). Đổ cùng một lượng nước máy vào ống nghiệm thứ hai và ném một mẩu phấn vào. Chúng ta sẽ làm nóng các ống nghiệm trong cùng điều kiện và không tiếp xúc trực tiếp với lửa. Hóa ra nước trong chúng sẽ sôi khác nhau (Hình 4).

Trong ống nghiệm có nước máy, quá trình sôi bắt đầu sớm hơn và quá trình này sẽ diễn ra khá bình tĩnh và liên tục. Bong bóng hơi được hình thành chủ yếu trên một miếng phấn. Còn đối với ống nghiệm chứa nước cất, quá trình sôi trong ống nghiệm bắt đầu muộn hơn (ở nhiệt độ cao hơn) và sẽ diễn ra không đều. Bong bóng lớn hình thành trong chất lỏng; sự xuất hiện và sụp đổ của chúng kèm theo một tiếng va chạm lớn.

Trong phòng thí nghiệm, có thể làm sạch bình và nước (sử dụng nước cất hai lần) kỹ đến mức không xảy ra hiện tượng sôi cho đến khi đạt nhiệt độ 140 °C. Nếu bạn ném một hạt vào nước được gọi là quá nóng, một vụ nổ sẽ xảy ra - bong bóng hơi nước sẽ nhanh chóng hình thành. Các nhà hóa học nhận thức rõ về tính chất sôi này. Để quá trình

Cơm. 3. Ảnh chụp quá trình tương tác và biến đổi của các nguyên tố hạt trong buồng bọt hydro lỏng.

quá trình sôi diễn ra đều, không nổ, cái gọi là “nồi hơi” được đặt trong bình - các mảnh ống thủy tinh hoặc sứ, mảnh đá cẩm thạch, v.v.

Lời giải thích cho các tính chất được mô tả ở trên có liên quan đến sự hiện diện của sức căng bề mặt trong chất lỏng. Bề mặt của chất lỏng có thể được hình dung như một màng đàn hồi bị kéo căng. Lớp màng này có xu hướng co lại – lực căng của silicon có xu hướng làm vỡ bong bóng đã hình thành. Áp suất bổ sung *) do các lực này gây ra càng lớn thì bán kính của bong bóng càng nhỏ, do đó quá trình sôi trong chính phôi bị ức chế. Đây là lý do tại sao chất lỏng đồng nhất có thể bị quá nhiệt. Đồng thời, bất kỳ khuyết tật nào trong bản thân chất lỏng và những khuyết tật liên quan đến tạp chất lạ đều có điểm sôi. Những khiếm khuyết như vậy một phần được hình thành trên đường đi của hạt tích điện, đó là lý do tại sao nó trở thành nơi hình thành các bong bóng đầu tiên. Bây giờ rõ ràng rằng điều kiện quan trọng nhất để hoạt động của máy ảnh Glaser là tính đồng nhất của tín hiệu phát sóng và độ tinh khiết của mẫu.

Một số quan sát thú vị về bong bóng trong chất lỏng

Những quan sát như vậy có thể được xác minh bằng cách sử dụng nước có ga. Hành vi của nó đôi khi tương tự như hành vi của chất lỏng quá nhiệt. Câu hỏi ngay lập tức được đặt ra: tại sao và khi nào nước có ga có thể đóng vai trò là mô hình chất lỏng quá nhiệt?

Đối với người bán buôn, bạn sẽ cần một chai nước chanh, một chiếc ly, một cái thìa, đường và một miếng sô cô la (những nguyên liệu được liệt kê trong mọi trường hợp đều đảm bảo kết quả thí nghiệm ngon lành). Hãy bắt đầu bằng cách mở nhanh một chai nước, ngay lúc đầu sẽ có khói xuất hiện phía trên cổ chai. Điều này được kết nối với cái gì?

Bây giờ đổ nước vào ly và đợi cho đến khi bọt rơi xuống và chỉ có những bong bóng riêng lẻ nổi lên trong nước. Đóng kính thật chặt

*) Áp lực bổ sung lên bong bóng có thể được ước tính bằng công thức p=2σ/r, trong đó σ là hệ số căng bề mặt, r là bán kính của bong bóng. Áp suất này được tạo ra bởi chất lỏng trong mao quản ngay dưới bề mặt lồi (bán dương) (xem “Vật lý 9”, trang 94).

21

liền kề với nắp - sau một thời gian, khí thoát ra sẽ hoàn toàn dừng lại. Hãy mở kính và bong bóng sẽ xuất hiện trở lại. Tại sao?

Thêm một chút đường vào ly. Quá trình “sôi” của nước sẽ chậm lại và bọt sẽ xuất hiện trở lại trên bề mặt. Rõ ràng, nước vẫn chứa khá nhiều carbon dioxide. Điều gì đã ngăn cản việc phát hành nó và đường cát đóng vai trò gì ở đây? Có thể đạt được sự giải phóng khí nhanh chóng và sự xuất hiện của bọt bằng những cách khác, chẳng hạn như khuấy chất lỏng hoặc rót từ ly này sang ly khác.

Cuối cùng, lấy một miếng sô cô la nhỏ (hoặc một quả mọng) và ném vào ly. Sôcôla nặng hơn nước nên sẽ chìm xuống. Tại đây, bong bóng khí bắt đầu hình thành, và chúng giống như những chiếc phao, sẽ nâng sô cô la lên bề mặt. Bong bóng sẽ bay lên không trung, một miếng sô cô la sẽ lại rơi xuống đáy, v.v. Nếu không, bong bóng này sẽ nổi lên và việc lặn có thể được lặp lại tới mười lần.

Làm thế nào để trả lời các câu hỏi được hỏi?

Về cơ bản, toàn bộ lời giải thích về tính chất đáp số cho câu hỏi đầu tiên là tại sao nước có ga lại giống một chất lỏng quá nhiệt.

Chắc hẳn nhiều bạn biết cách làm nước có ga. Không, không phải theo cách công nghiệp mà theo cách thông thường tại nhà - sử dụng ống xi phông và ống đựng carbon dioxide (CO₂). Khí từ ống đựng dưới áp suất đi vào khoảng trống phía trên chất lỏng. Để nó nhanh chóng hòa tan trong nước, người ta đã gặp một ống hút. Sự hòa tan khí xảy ra trước khi đạt được trạng thái cân bằng.

Nếu nó không phản ứng hóa học với chất lỏng thì hàm lượng cân bằng (mật độ, nồng độ) của khí trong chất lỏng tỷ lệ thuận với áp suất của nó trên bề mặt.*)

(Các phương pháp tự làm khác để chế biến món “spongie” cũng được biết đến - bằng cách thêm nước chanh, nước trái cây uống, v.v. vào nước.)

Khi chúng ta nhanh chóng mở một chai nước có ga, khí dưới áp suất trên bề mặt sẽ nở ra nhanh chóng và đồng thời nguội đi. Hơi nước thoát ra cùng với nó ngưng tụ lại, tạo thành đám mây sương mù (khói). Sau khi áp suất trên bề mặt giảm đáng kể, khí carbon dioxide hòa tan trong nước bắt đầu rời khỏi nó, cả qua bề mặt khí-lỏng và thông qua sự hình thành bong bóng trong thể tích chất lỏng. Lúc đầu, sau khi mở chai, khi sự cân bằng đặc biệt bị xáo trộn và có lượng carbon dioxide dư thừa trong nước nhiều hơn, bong bóng dễ hình thành và có rất nhiều bong bóng. Do đó, chất lỏng bắt đầu sủi bọt. Dần dần bọt lắng xuống, mặc dù trong nước vẫn còn khí “dư thừa”. Nhưng bây giờ việc hình thành bong bóng rất khó khăn - nồng độ của các phân tử khí trở nên nhỏ hơn và phối hợp ngẫu nhiên với nhau, và rất khó để hình thành ngay một bong bóng không bị nghiền nát bởi lực bề mặt của bề mặt căng. Bong bóng chỉ bắt đầu phát triển ở những điểm không hoàn hảo trong nước và đây là vị trí thực tế trên bề mặt.

*) Trong trường hợp carbon dioxide và nước, tình hình có phần phức tạp hơn vì chúng phản ứng với nhau. Nhưng axit thu được là một hợp chất không ổn định và dễ bị phân hủy.

22

Có lẽ sẽ không khó khăn hơn cho người đọc khi giải thích tất cả các thí nghiệm tiếp theo.

Công dụng hoàn toàn bất ngờ của nước có ga

Chúng tôi bắt đầu bài viết này bằng câu chuyện về buồng bong bóng. Chúng tôi muốn kết thúc nó bằng câu chuyện về một ứng dụng khác của bong bóng, cũng như trong vật lý hạt cơ bản.

Vài năm trước, các nhà vật lý Liên Xô nghiên cứu tính chất của neutrino phải đối mặt với bài toán tiếp theo. Cần phải tách ra khỏi một thể tích lớn chất lỏng (hàng trăm lít) một số nguyên tử khí được hình thành trong thể tích này dưới tác động của bức xạ neutrino. Khí này có tính phóng xạ (neon-19) và các nguyên tử của nó phân rã trong vòng chưa đầy một phút. Do đó, theo nghĩa đen, chỉ trong vài giây, cần phải tìm 5-10 nguyên tử khí mà chúng đã biết trong số $10^{28}$ nguyên tử lỏng, vận chuyển chúng đến quầy và đếm chúng! Thoạt nhìn, bài toán có ​​vẻ không thể giải được.

Ý tưởng về nước lấp lánh đã ra tay giải cứu. Trước khi chiếu xạ, chất lỏng được bão hòa bằng carbon dioxide. Ngay sau khi chiếu xạ, thể tích được mở ra và chất lỏng được trộn mạnh bằng các lưỡi dao đặc biệt. Sự sôi sục dữ dội xảy ra, từ đó tạo ra một bề mặt mà qua đó các nguyên tử neon có thể thoát ra ngoài, tăng gấp mười nghìn lần. Khí carbon dioxide thoát ra mang chúng đi và được hấp thụ vào một bình khác (ở khoảng cách với dung dịch kiềm). Neon được thu vào một ống nghiệm đặc biệt và nhanh chóng trộn vào quầy. Toàn bộ quá trình mất chưa đầy hai mươi giây.

Tổng quát hóa các con số

(Để bắt đầu, xem trang 6)

Vì tính giao hoán không đúng với quaternion, tức là đẳng thức $xy=yx$ không phải lúc nào cũng đúng, nên phép chia quaternion $x$ cho quaternion $y$ có ​​thể xảy ra “ở bên trái” hoặc “ở bên phải”. Thương $z$ của việc chia quaternion $x$ cho quaternion $y$ tuân theo công thức

$$z=y^{-1}x. \tag{47}$$

Thương số của quaternion $x$ chia cho quaternion $y$ tuân theo công thức

$$z'=xy^{-1}. \tag{48}$$

Đối với các thương số này, chúng ta có công thức

$$yz=x; \quad z'y=x. \tag{49}$$

Lưu ý rằng trong số tất cả các quaternion có hàng trăm số thực. Đây đều là các quaternion $x$ trong đó $x_0$ là số thực tùy ý và các tọa độ còn lại bằng 0. Vì vậy, hàng trăm số quaternion là phần mở rộng của hàng trăm số thực.

Như đã đề cập, khi quaternion thay đổi, tính giao hoán không giữ được. Tất cả các quy luật tự nhiên khác áp dụng cho số thực và số phức vẫn giữ nguyên.

Bài tập 5. Đối với các bậc bốn $q_1=2+i+j$ và $q_2=1+2i-k$, hãy làm theo các bước $q_1+q_2, q_1q_2, q_1^{-1}q_2$ và giải phương trình $q_1z=q_2$.

23

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú được xuất bản bên dưới “Khi các lực song song tác dụng lên một vật thể” dành cho tác phẩm kinh điển thứ tám, “Về số Faraday và hạt cụ thể của một hạt bốc cháy” - dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín, “Vật đen tuyệt đối” - dành cho tác phẩm kinh điển thứ chín.
Nguyên liệu được chuẩn bị bởi N.K. Belkin.

Khi tác dụng các lực song song lên vật

Người ta đã biết cách tìm lực bằng nhau của hai lực tác dụng lên một điểm vật chất (Hình 1). Trên các vectơ biểu diễn các lực này, một hình bình hành được dựng như trên các cạnh; đường chéo có mũi tên ở cuối vẽ từ điểm tác dụng lực là vectơ của lực bằng nhau.

Khi hai lực tác dụng không phải vào một điểm vật chất mà vào một vật thể, mà như trong Hình 2, thì lực bằng nhau được xác định theo cách tương tự. Nhận thấy rằng điểm tác dụng của lực có thể được dịch chuyển dọc theo đường tác dụng của nó (“Vật lý 8”, § 46), họ tìm thấy điểm C tại đó đường tác dụng của cả hai lực giao nhau.

Giả sử rằng các lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ được tác dụng chính xác vào điểm này, chúng sẽ tạo thành một hình bình hành và vẽ một đường chéo. Đúng, điểm C có thể ở bên ngoài vật thể, nhưng sau đó điểm được áp dụng

Cái đang hoạt động có thể được chọn ở bất cứ đâu dọc theo đường hành động của nó. Thật vậy, bất kể điểm nào được chọn, lực bằng nhau $\vec{F}$ sẽ truyền cho vật cùng một gia tốc hoặc gây ra cùng một mômen quay như các lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$ gộp lại.

Nếu các lực song song và hướng về một hướng. Cho hai lực thẳng hàng song song tác dụng lên cơ thể (Hình 3). Tác dụng của các lực như vậy không bao giờ cắt một đường thẳng và không thể dựng được hình bình hành trên chúng. Tuy nhiên, có thể cộng các lực này lại và tìm lực tương đương của chúng.

Không khó hiểu khi lực bằng nhau được định hướng song song với cả hai lực và mô hình của nó bằng tổng loạn nhịp của mô hình của các lực bổ sung. Và nó được áp dụng vào thời điểm nào? Hay nói cách khác, một lực phải tác dụng vào điểm nào của vật, bằng nhau trong mô hình, nhưng ngược chiều của lực bằng nhau, để vật ở trạng thái cân bằng?

Để tìm điểm tác dụng của lực bằng nhau của hai lực song song và cùng hướng, bạn có thể sử dụng quy tắc mômen (“Vật lý 8”, § 48). Hãy vẽ một đường thẳng nối các điểm A và B (xem Hình 3). Ở đâu đó trên đường thẳng này rõ ràng phải có một điểm tác dụng của lực bằng nhau. Giả sử đây là điểm O. Giả sử rằng một trục cố định đi qua điểm này, vuông góc với mặt phẳng chứa cả hai lực bổ sung (nghĩa là vuông góc với mặt phẳng của hình vẽ). Nếu O thực sự là điểm áp dụng tác dụng cân bằng

24

chuyển hướng thì vật sẽ ở trạng thái cân bằng - vật được dẫn động bằng lực được cân bằng bởi phản lực từ trục. Mặt khác, nếu một vật có trục cố định ở trạng thái cân bằng thì tổng đại số mô men của các lực đối với trục này phải bằng 0. Từ Hình 3, rõ ràng là lực $\vec{F}_2$, nếu là lực duy nhất, sẽ làm vật quay quanh $O$ theo chiều kim đồng hồ, nghĩa là mômen $F_2 d_2$ là dương và lực $\vec{F}_1$, nếu là lực duy nhất, sẽ làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ - mômen của nó $F_1 d_1$ phải được gán dấu âm (ở đây $d_1$ và $d_2$ - sức mạnh của cánh tay $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$).

Kể từ đây,

$$F_2 d_2 - F_1 d_1 = 0,$$

hoặc $$\frac{F_1}{F_2} = \frac{d_2}{d_1}.$$

Từ sự đồng dạng của các tam giác AOC và BOD, ta thấy $d_1/d_2 = r_1/r_2$. Vì vậy cuối cùng chúng tôi nhận được

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1}.$$

Điều này có nghĩa là lực dẫn đầu bằng nhau của hai lực song song, có hướng giống nhau được tác dụng lên một điểm chia đoạn nối các điểm tác dụng của các lực được thêm vào, theo tỷ lệ nghịch với tỷ số của mô hình lực. Rõ ràng là điểm này nằm gần điểm lực lớn hơn.

Nếu chiều của các lực song song ngược chiều nhau. Các lực song song tác dụng lên cơ thể cũng có thể được định hướng theo hướng ngược nhau (Hình 4). Bây giờ điểm tác dụng của người dẫn đầu ngang nhau $\vec{F}$ không thể nằm ở đâu đó giữa điểm tác dụng của lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$. Rốt cuộc, xung quanh một điểm nằm giữa chúng, mỗi lực sẽ làm vật quay theo hướng
theo chiều kim đồng hồ, dấu mô men của các lực này là như nhau và tổng của chúng không thể bằng 0, theo yêu cầu của trạng thái cân bằng.

Dễ hiểu là điểm tác dụng của động cơ cân bằng nằm phía sau điểm tác dụng của lực lớn hơn, như trên Hình 4. Mô đun của động cơ cân bằng bằng mô đun chênh lệch giữa các mô hình lực $\vec{F}_1$ và $\vec{F}_2$.

Chính xác thì người lãnh đạo bình đẳng được áp dụng vào thời điểm nào? Ở khoảng cách nào $r_2$ tính từ điểm tác dụng của lực lớn hơn? Hãy sử dụng lại quy tắc khoảnh khắc:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_2}{r_1},$$

hoặc $F_2 = F_1 \frac{r_1}{r_2}$.

Chúng ta hãy trừ giá trị $F_1$ từ vế phải và trái của đẳng thức cuối cùng:

$$F_2 - F_1 = F_1 \frac{r_1}{r_2} - F_1 =$$

$$= F_1 \left( \frac{r_1}{r_2} - 1 \right) = F_1 \frac{r_1 - r_2}{r_2},$$

Ở đâu

$$r_2 = \frac{F_1 \left( r_1 - r_2 \right)}{F_2 - F_1} = \frac{F_1 r}{F_2 - F_1}.$$

Như vậy, điểm tác dụng của lực dẫn bằng nhau của hai lực song song ngược chiều nhau nằm càng xa điểm tác dụng của lực lớn hơn thì sự khác biệt về mô hình của các lực này càng nhỏ.

Một vài lực lượng. Chúng ta đã thấy rằng nếu tác dụng các lực song song, cùng hướng hoặc ngược chiều lên một vật, thì luôn có thể tìm được mô đun và hướng của lực cân bằng của các lực này và xác định được điểm tác dụng của nó. Nếu một lực tác dụng vào điểm này, bằng với điểm dẫn đầu bằng nhau về độ lớn, nhưng ngược hướng với nó, thì vật sẽ ở trạng thái cân bằng - nó sẽ không chuyển động tịnh tiến và không quay.

Nhưng hóa ra có một trường hợp không tìm được người lãnh đạo ngang bằng. Điều này xảy ra nếu hai lực song song, ngược chiều tác dụng lên một vật, có độ lớn bằng nhau. Các lực cũng được cho là tạo thành một cặp lực. Tất nhiên, mô đun của hướng dẫn bằng nhau của chúng bằng 0 và từ công thức (*), rõ ràng là đối với $F_2 - F_1 = 0$ ngược lại $r_2$ cho đến điểm áp dụng hướng dẫn bằng nhau bằng vô cùng, nghĩa là

25

một điểm như vậy đơn giản là không tồn tại. Và trên thực tế, có thể áp dụng điều gì cho một điều tương đương không tồn tại?

Tuy nhiên, chỉ cần nhìn vào Hình 5 là đủ để hiểu rằng dưới tác dụng của một cặp lực, vật sẽ không ở trạng thái cân bằng - nó sẽ quay. Vậy cặp điện có trục nào không nóng? Không khó để chứng minh rằng tổng mômen của các lực tạo nên cặp lực này là như nhau đối với bất kỳ trục nào vuông góc với mặt phẳng chứa cả hai lực này (vuông góc với mặt phẳng của hình). Thật vậy, chúng ta hãy lấy bất kỳ điểm $O$ nào và vẽ trục quay đi qua nó. Mô men $M_1$ của lực $\vec{F}_1$ đối với trục này bằng $F_1 d_1$, mô men $M_2$ của lực $\vec{F}_2$ đối với trục này bằng $F_2 d_2$. Tổng mô men $M$ của cả hai lực bằng $M_1 + M_2$:

$$M = F_1 d_1 + F_2 d_2.$$

Vì $F_1 = F_2 = F$, thì $M = F(d_1 + d_2) = Fd$,

trong đó $d$ là khoảng cách giữa các đường tác dụng của các lực tạo nên cặp lực, được gọi là toàn thể của cặp lực. Điều này có nghĩa là mômen của một cặp lực bằng tích mô đun của một trong các lực tác dụng lên trường của cặp lực đó. Đó là những gì họ nói - mômen của một cặp lực - và không chỉ ra trục nào.

Một vật “cư xử” như thế nào khi có một vài lực tác dụng lên nó? Để trả lời câu hỏi này, hãy nhớ rằng khối tâm của một vật (được thảo luận ở § 44 của Vật lý 8) chuyển động như thể toàn bộ khối lượng của vật đó tập trung vào nó và mọi lực tác dụng lên vật đều tác dụng lên nó (phát biểu này trong vật lý gọi là định lý về chuyển động của khối tâm). Nhưng nếu tổng lực bằng 0 thì khối tâm không thể di chuyển khỏi vị trí của nó (tất nhiên nếu nó đào trước khi tác dụng lực). Khi một cặp lực tác dụng lên một vật, tổng lực chính xác bằng 0 và nó không thể chuyển động thành chuyển động của khối tâm. Tuy nhiên, cơ thể lại quay lại. Điều này có nghĩa là nó quay theo một trục tròn đi qua khối tâm (xét cho cùng, tất cả các điểm trên trục quay đều đứng yên). Các trục quay đi qua khối tâm của vật thể rất đáng chú ý vì không có lực nào tác dụng lên chúng.

Về số Faraday và điện tích riêng của hạt tích điện

Hiện tượng cưa điện, được biết đến từ cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, đã được nhà vật lý lỗi lạc người Anh M. Faraday nghiên cứu đặc biệt chi tiết. Năm 1834, một bài báo của Faraday được xuất bản, trong đó mô tả kết quả thí nghiệm dẫn đến việc thiết lập định luật cưa điện. Trong cùng một bài báo, lần đầu tiên Faradem và những gì hiện nay đã được chấp nhận rộng rãi. Đây là một điện cực (cũng như cực âm và cực dương), nó (cực âm và cực dương), chất điện phân và tên của quá trình này là cưa điện.

Định luật cưa điện ngày nay (nhưng không phải ở thời Faraday) được viết như sau (Vật lý 9, § 69):

$$m = \frac{1}{F} \frac{M}{n} I \Delta t.$$

Ở đây $m$ là khối lượng chất giải phóng trên điện cực, $F$ là số Faraday (không đổi), $M$ là khối lượng mol (hoặc nguyên tử) của chất đó, $n$ là hóa trị của nó, $I \Delta t$ là điện tích truyền qua cưa điện.

Lưu ý rằng một đại lượng có số lượng tương đối với M/n được gọi là đương lượng hóa học trong hóa học (đó là cách nó được gọi theo Farad, mặc dù khái niệm hóa trị chưa tồn tại). Giá trị này cho biết khối lượng của một chất nhất định kết hợp với khối lượng hydro bằng khối lượng nguyên tử của nó (hoặc thay thế khối lượng của nó trong các phản ứng hóa học). Ví dụ, đối với oxy nguyên tử, khối lượng tương đối là 16 và hóa trị là 2, do đó đương lượng hóa học của nó là 8. Để tạo ra nước từ oxy và hydro, cứ mỗi đơn vị khối lượng hydro phải có một đơn vị khối lượng oxy: 1 kg hydro chứa 8 kg oxy, và kết quả là 9 kg nước.

Ý nghĩa vật lý của số Faraday. Giả sử rằng quá trình mạ điện được thực hiện theo cách sao cho một khối lượng chất được giải phóng trên điện cực, có giá trị bằng đương lượng hóa học. Sau đó, từ định luật cưa hàm số, ta suy ra rằng các số Faraday $F$ bằng số với số điện

26

điện tích hóa học được mang bởi các ion có tổng khối lượng bằng đương lượng hóa học. Từ opit $F=96500$ C/mol.

Nếu chất được giải phóng là hóa trị một thì đương lượng hóa học của nó bằng số khối lượng của một mol và số lượng ion đã chuyển khối lượng này bằng số Avogadro $N_A$. Nếu một chất hóa trị hai được giải phóng ở điện cực, 96.500 coulomb được chuyển bởi một số ion lớn bằng một nửa số Avogadro, v.v..

Điện tích riêng của proton và các hạt mang điện khác. Chúng ta hãy tưởng tượng rằng một thí nghiệm cho dòng điện chạy qua chất điện phân được thực hiện sao cho hydro được giải phóng ở chất điện phân và khối lượng của nó bằng đương lượng hóa học. Vì hydro là hóa trị một nên một mol ion hydro sẽ đi qua chất điện phân. Tất nhiên, số lượng các ion này bằng số Avogadro và điện tích chúng truyền bằng hằng số Faraday. Do đó, chúng ta có thể nói rằng khối lượng của ion hydro về mặt số lượng bằng tỷ lệ của chất hóa học tương đương với số Avogadro, và điện tích của ion này bằng về mặt số lượng với tỷ số của hằng số Faraday và số Avogadro. Từ đây, theo định luật điện phân, chúng ta thấy rằng tỷ số giữa điện tích của ion hydro với khối lượng của nó, gọi là điện tích riêng của ion, bằng số Faraday chia cho khối lượng nguyên tử.

Nhưng ion hydro là hạt nhân của hydro nguyên tử. Nó có một cái tên đặc biệt - proton (hạt nhân hydro là một phần hạt nhân nguyên tử của tất cả các nguyên tố hóa học khác). Trong hệ SI, điện tích riêng của proton là

$$\frac{q_p}{m_p} = \frac{F/N_A}{M/N_A} = \frac{9,65 \cdot 10^4 \text{ KJ/mоль}}{10^{-3} \text{ кг/mоль}} = 9,65 \cdot 10^7 \text{ KJ/kg}.$$

Tại sao ở đây chúng ta đặc biệt chú ý đến điện tích riêng của proton? Thực tế là điện tích riêng của bất kỳ hạt tích điện nào là một trong những đặc tính quan trọng nhất của nó. Ví dụ, tốc độ và gia tốc của một hạt chuyển động trong điện trường phụ thuộc vào nó. Hãy đưa ra hai ví dụ.

Cho một hạt có điện tích $q$ và khối lượng $m$ chuyển động trong điện trường có hướng $\vec{E}$, sao cho có một lực $q\vec{E}$ tác dụng lên nó. Hãy viết một phương trình biểu thị định luật thứ hai của Newton:

$$m\vec{a} = q\vec{E},$$

từ đó chúng ta thu được gia tốc $\vec{a}$ hạt

$$\vec{a} = \frac{q}{m}\vec{E}.$$

Chúng ta thấy rằng gia tốc của một hạt được xác định không phải bởi điện tích hay khối lượng của nó mà bởi tỷ số $q/m$, tức là điện tích riêng của hạt.

Giả sử một hạt có điện tích $q$ và khối lượng $m$ chuyển động trong một điện trường từ điểm này sang điểm khác, hướng giữa chúng là $U$. Khi đó công do trường thực hiện trên hạt sẽ bằng $qU$. Nếu lúc đầu hạt đào thì do công này nó sẽ thu được động năng $mv^2/2$:

$$qU = \frac{mv^2}{2}.$$

Từ đây chúng ta có được tốc độ hạt

$$v = \sqrt{2\frac{q}{m}U}$$

— tốc độ của một hạt lại được xác định bởi điện tích riêng của nó.

Thân đen tuyền

Ánh sáng và màu sắc. Khi nhìn vào các vật thể khác nhau xung quanh chúng ta dưới ánh sáng ban ngày (ánh sáng mặt trời), chúng ta thấy chúng được bao quanh với nhiều màu sắc khác nhau. Vì vậy, cỏ và lá cây có màu xanh, hoa có màu đỏ hoặc xanh, vàng hoặc tím. Ngoài ra còn có thân màu đen, trắng, xám. Tất cả điều này không thể không gây ngạc nhiên. Dường như tất cả các vật thể đều được chiếu sáng bởi cùng một ánh sáng - ánh sáng của Mặt trời. Tại sao màu sắc của chúng lại khác nhau? Hãy thử trả lời câu hỏi này.

Chúng ta sẽ tiến hành từ thực tế rằng ánh sáng là sóng điện từ, nghĩa là truyền một trường điện từ xen kẽ. Trong ánh sáng mặt trời

27

chứa các sóng trong đó điện trường và từ trường dao động ở các tần số khác nhau.

Mỗi chất bao gồm các nguyên tử và phân tử chứa các hạt tích điện tương tác với nhau. Vì các hạt mang điện nên dưới tác dụng của điện trường, chúng có thể chuyển động và nếu điện trường thay đổi thì chúng có thể dao động và mỗi bộ phận trong cơ thể đều có một phần dao động nhất định.

Bức tranh đơn giản, mặc dù không chính xác lắm này, cho phép chúng ta hiểu điều gì xảy ra khi ánh sáng tương tác với vật chất.

Khi ánh sáng chiếu vào một vật thể, điện trường do nó “mang đến” làm cho các hạt tích điện trong vật thể thực hiện dao động cưỡng bức (trường của sóng ánh sáng có thể thay đổi!). Trong trường hợp này, đối với một số bộ phận, phần dao động của chúng có thể trùng với một số tần số dao động của trường sóng ánh sáng. Khi đó, như đã biết, hiện tượng cộng hưởng sẽ xảy ra - biên độ dao động tăng mạnh (điều này được thảo luận ở mục § 9 và 20 của Vật lý 10). Trong quá trình cộng hưởng, năng lượng do sóng mang lại được truyền đến các nguyên tử của cơ thể, cuối cùng khiến nó nóng lên. Ánh sáng có tần số cộng hưởng được cho là được cơ thể hấp thụ.

Nhưng một số sóng từ ánh sáng tới không cộng hưởng. Tuy nhiên, chúng cũng làm cho các hạt trong cơ thể dao động nhưng dao động với biên độ nhỏ. Bản thân những hạt này trở thành nguồn của cái gọi là sóng điện từ thứ cấp của cùng một hạt. Sóng thứ cấp, cộng với sóng tới, làm cho ánh sáng bị phản xạ hoặc truyền đi.

Nếu cơ thể mờ đục thì sự hấp thụ và phản xạ là tất cả những gì có thể xảy ra với ánh sáng chiếu vào cơ thể: ánh sáng không cộng hưởng sẽ bị phản xạ và ánh sáng chạm vào sẽ bị phản xạ. Đây chính là “bí mật” về màu sắc của cơ thể. Ví dụ, nếu các rung động tương ứng với màu đỏ cộng hưởng từ thành phần của ánh sáng mặt trời tới, thì chúng sẽ không xuất hiện trong ánh sáng phản xạ. Và mắt của chúng ta được thiết kế theo cách mà ánh sáng mặt trời, khi mất đi phần màu đỏ, sẽ tạo ra cảm giác về màu xanh lục. Do đó, màu sắc của vật thể mờ phụ thuộc vào phần nào của ánh sáng tới bị thiếu trong ánh sáng phản xạ bởi vật thể.

Có những vật thể trong đó các hạt tích điện có nhiều tần số dao động tự nhiên khác nhau đến mức mỗi hoặc hầu hết mọi phần trong ánh sáng tới đều rơi vào trạng thái cộng hưởng. Sau đó tất cả ánh sáng tới bị hấp thụ và đơn giản là không có gì phản xạ. Những vật thể như vậy được gọi là màu đen, tức là những vật thể có màu đen. Trong thực tế, màu đen không phải là một màu mà là sự vắng mặt của bất kỳ màu nào.

Cũng có những vật thể trong đó không một phần ánh sáng tới chạm tới cộng hưởng, khi đó không có sự hấp thụ nào cả và toàn bộ ánh sáng tới đều bị phản xạ. Những cơ thể như vậy được gọi là màu trắng. Màu trắng cũng không phải là một màu, nó là sự pha trộn của tất cả các màu.

Sự phát xạ ánh sáng. Được biết, bất kỳ cơ thể nào cũng có thể tự trở thành nguồn sáng. Điều này cũng dễ hiểu - xét cho cùng, trong mỗi vật thể đều có những hạt tích điện dao động có thể trở thành nguồn phát ra sóng. Nhưng trong điều kiện bình thường - ở nhiệt độ thấp - các hạt rung tương đối nhỏ và bước sóng phát ra vượt quá đáng kể bước sóng của ánh sáng khả kiến ​​(ánh sáng hồng ngoại). Ở nhiệt độ cao, các rung động có tần số cao hơn “bật” trong cơ thể và nó bắt đầu phát ra các sóng ánh sáng mà mắt có thể nhìn thấy được.

Cơ thể phát ra loại ánh sáng nào, tần số rung động nào có thể được “bật” khi bị nung nóng? Rõ ràng chỉ có những dao động có tần số tự nhiên mới có thể phát sinh. Ở nhiệt độ thấp, số lượng hạt tích điện có tần số dao động tự nhiên cao là nhỏ và bức xạ của chúng không thể nhận thấy được. Khi nhiệt độ tăng lên, số lượng tần số như vậy sẽ tăng lên và có thể phát ra ánh sáng khả kiến.

Mối quan hệ giữa sự phát xạ và hấp thụ ánh sáng. hấp thụ và phát xạ là hai hiện tượng trái ngược nhau. Tuy nhiên, có một điểm chung giữa họ.

Hấp thụ có nghĩa là “lấy”, phát ra có nghĩa là “cho”. Cơ thể “lấy” gì khi hấp thụ ánh sáng? Rõ ràng là những gì có thể lấy được, tức là ánh sáng của những bộ phận đó bằng với tần số rung động tự nhiên của bộ phận đó. Cái gì

28

cơ thể có “cho” bằng cách phát ra ánh sáng không? Những gì nó có là ánh sáng tương ứng với tần số rung động của chính nó. Vì vậy, phải có mối liên hệ chặt chẽ giữa khả năng phát ra ánh sáng và khả năng hấp thụ ánh sáng của cơ thể. Và mối liên hệ này rất đơn giản: cơ thể càng thải ra nhiều thì càng hấp thụ nhiều. Trong trường hợp này, đương nhiên, bộ phát sáng nhất phải là vật thể màu đen, có tác dụng hấp thụ rung động ở mọi tần số. Mối liên hệ này được thiết lập về mặt toán học vào năm 1859 bởi nhà vật lý người Đức Gustav Kirchhoff.

Chúng ta gọi độ phát xạ của một vật thể là năng lượng được phát ra bởi một diện tích bề mặt của nó trong một đơn vị thời gian và biểu thị nó bằng $E_{\lambda,T}$. Nó khác nhau đối với các độ dài khác nhau ($\lambda$) và nhiệt độ khác nhau ($T$), do đó có các chỉ số $\lambda$ và $T$. Khả năng hấp thụ của cơ thể là tỷ lệ giữa năng lượng ánh sáng được cơ thể hấp thụ trên một đơn vị thời gian với năng lượng tới. Hãy biểu thị nó bằng $A_{\lambda,T}$ - nó cũng khác nhau đối với $\lambda$ và $T$ khác nhau.

Định luật Kirchhoff phát biểu rằng tỷ lệ khả năng phát xạ và khả năng hấp thụ là như nhau đối với mọi cơ thể:

$$\frac{E_{\lambda,T}}{A_{\lambda,T}} = C.$$

Giá trị $C$ không phụ thuộc vào bản chất của vật thể mà phụ thuộc vào bước sóng ánh sáng và nhiệt độ: $C=f(\lambda,T)$. Theo định luật Kirchhoff, một vật hấp thụ tốt hơn ở một nhiệt độ nhất định sẽ bức xạ mạnh hơn.

Toàn thân đen kịt. Định luật Kirchhoff có giá trị cho mọi vật thể. Điều này có nghĩa là nó có thể được áp dụng cho một vật thể hấp thụ tất cả các bước sóng mà không có ngoại lệ. Cơ thể như vậy được gọi là màu đen hoàn toàn. Đối với nó, khả năng hấp thụ bằng 1 nên định luật Kirchhoff có dạng

$$E_{\lambda,T} = C = f(\lambda,T).$$

Như vậy, ý nghĩa của hàm $f(\lambda,T)$ trở nên rõ ràng: nó bằng độ phát xạ của vật đen tuyệt đối. Bài toán tìm hàm $C=f(\lambda,T)$ biến thành bài toán tìm sự phụ thuộc của năng lượng bức xạ của vật đen tuyệt đối vào nhiệt độ và bước sóng. Cuối cùng, sau hai chục năm qua lại, sự việc đã được giải quyết. lời giải của cô, do nhà vật lý người Đức Max Planck đưa ra, là sự khởi đầu của một ngành vật lý mới - vật lý lượng tử.

Lưu ý rằng vật thể đen tuyệt đối không tồn tại trong tự nhiên. Hơn nữa, chất đen nhất trong tất cả các chất được biết đến - sakha - hấp thụ không phải 100 mà là 98% ánh sáng chiếu vào nó. Vì vậy, một thiết bị nhân tạo đã được sử dụng để nghiên cứu thực nghiệm bức xạ của vật đen.

Hóa ra… một khoang kín có phản ứng nhỏ có đặc tính của vật đen tuyệt đối (xem hình. ok). Trên thực tế, khi một tia sáng đi vào phản ứng, nó sẽ trải qua nhiều phản xạ liên tiếp bên trong hộp nên có rất ít khả năng để lại phản ứng vi phạm. (Vì lý do tương tự, cửa sổ mở trong một ngôi nhà có vẻ tối ngay cả trong một ngày nắng chói chang.) Nếu một vật thể như vậy bị nung nóng, thì bức xạ phát ra từ phản ứng thực tế không khác gì bức xạ của một vật thể hoàn toàn đen.

Một mô phỏng tốt của một vật thể màu đen tuyệt đối cũng có thể là một cái ống, một đầu của nó được đóng lại. Nếu tác phẩm được làm nóng, đầu mở của nó sẽ tỏa sáng như một vật thể hoàn toàn đen. Ở cùng nhiệt độ, nó trông có màu đen hoàn toàn, giống như vật liệu trong khoang.

29

Toán 8, 9

Bài viết “Thêm 13 cách chứng minh định lý bicsectrix” dưới đây dành cho học sinh lớp 8. Bài “Về Định lý Lagrange” dành cho học sinh lớp chín. Đương nhiên, những ghi chú nào trong số này có thể hữu ích và thú vị không chỉ đối với học sinh của các lớp này.

Thêm 13 cách chứng minh định lý bicsectrix

Trên tạp chí «Kvant» số 8 năm 1983, một ghi chú của S. R. Sefi-bekov “Bốn cách chứng minh định lý bicsectrix” đã được xuất bản. Các biên tập viên đã nhận được một số thư từ độc giả cung cấp những bằng chứng mới về định lý này. Cơ sở của ghi chú này là các tài liệu do S.G. Guba gửi đến. Ngoài ra, bằng chứng được chỉ ra bởi A.V. Alyaev, A.G. Goldberg, V.N. Dubov, A.I. Mostov đã được sử dụng.

Chúng ta hãy nhắc lại các điều kiện của định lý.
Trong bất kỳ tam giác nào, đường phân giác của góc trong chia cạnh đối diện thành các đoạn tỉ lệ với các cạnh liền kề. Nói cách khác, nếu tam giác ABC chứa CD bicsectrix thì AD:BD=AC:BC.

Chúng ta hãy trình bày thêm bảy cách chứng minh định lý này, sáu trong số đó học sinh lớp bảy có thể tiếp cận được sau khi hoàn thành chủ đề “Biến đổi các hình”.

Rõ ràng, nếu AC=BC thì định lý đúng. Vì vậy, chúng ta sẽ giả sử rằng AC≠BC. Ví dụ: Giả sử AC>BC. thì CD bicsectrix không thể phân bố lại cho cạnh AB, vì nếu không thì các tam giác vuông CAD và CBD sẽ bằng cạnh và góc nhọn liền kề, từ đó AC = BC.

Bằng chứng đầu tiên. Chúng ta hãy dựng điểm E trên tia CD sao cho AE=AD (Hình 1). Khi đó ∠AEC=∠ADE=∠CDB. Do đó, hai tam giác ACE và BCD đồng dạng (ở hai góc). Điều này có nghĩa là AE:BD=AC:BC. Xét AE=AD nên ta được AD:BD=AC:BC.

Bằng chứng thứ hai. Chúng ta hãy dựng điểm E trên tia CD sao cho AE=AC (Hình 2). Khi đó ∠AED=∠ACD, tức là hai tam giác AED và BCD đồng dạng. Từ sự giống nhau của chúng ta có AD:BD=AE:BC. Vì AE=AC nên định lý được chứng minh. Phương án thi công - kiểm tra qua điểm A một đường thẳng song song với CB cho đến khi cắt đường thẳng CD tại điểm E.

Bằng chứng thứ ba. Từ đỉnh A và B, chúng ta hạ các phân phối lại AE và BF xuống đường thẳng CD (Hình 3). Từ sự đồng dạng của các tam giác vuông ADE và BDF ta thu được AD:BD=AE:BF. Đồng thời, từ sự đồng dạng của các tam giác vuông ACE và BCF ta sẽ có AC:BC=AE:BF. Trong các tỷ lệ thu được, các tỷ lệ bên phải bằng nhau, do đó các tỷ lệ bên trái bằng nhau, tức là AD:BD=AC:BC.

Bằng chứng thứ tư. Vẽ một đường thẳng qua điểm D song song với cạnh AC (Hình 4). Khi đó, theo định lý Thales tổng quát

30

AD:BD=CF:FB. Từ sự giống nhau của các tam giác ABC và DBF, ta có AC:CB=FD:FB, và vì CF=FD nên AC:BC=CF:FB. Do đó, AD:BD=AC:BC (cả hai tỷ lệ đều bằng CF:FB).

Bằng chứng thứ năm. Diện tích của các tam giác có chiều cao bằng nhau thì có liên hệ với các đáy tương ứng. Do đó $S_{CDA}:S_{CDB}=AD:DB$ (Hình 5). Mặt khác, theo tính chất phân giác, chiều cao trong các tam giác CDA và CDB rơi từ đỉnh D đều bằng nhau. Vì vậy, $S_{CDA}:S_{CDB}=AC:BC$. Vì vậy, AD:BD=AC:BC=S_{CDA}:S_{CDB}.

Bằng chứng thứ sáu. Hãy vẽ một đường tròn bao quanh tam giác ABC và tiếp tục CD cho đến khi nó cắt đường tròn tại điểm E (Hình 6). Từ sự đồng dạng của các tam giác ACE và DCB ta thu được AC:AE=CD:DB, tức là AC·DB=AE·CD. Từ sự đồng dạng của các tam giác BCE và DCA ta có BC:BE=CD:AD, tức là BC×AD=BE·CD. Chú ý rằng AE=BE, ta có AC·DB=BC·AD, từ đó AD:BD=AC:BC.

Bằng chứng thứ bảy. Vẽ hai đường thẳng đi qua điểm D, một đường thẳng song song với cạnh AC và cắt cạnh BC tại điểm M, đường kia song song với cạnh BC và cắt cạnh AC tại điểm K (Hình 7). Dễ dàng chứng minh tứ giác KCMD là hình thoi. Từ sự đồng dạng của các tam giác AKD và DMB ta có AD:BD=DK:BM. Vì DK=DM nên AD:BD=DM:BM. Nhận thấy trong tỷ lệ kết quả tỷ lệ DM:BM bằng tỷ lệ AC:BC bằng nhau (dựa trên sự giống nhau của các tam giác ABC và DBM), chúng ta thu được

tỷ lệ cần thiết.

Với sự trợ giúp của các cách xây dựng được mô tả trong Hình 8-11, người đọc có cơ hội hiểu thêm bốn cách phát triển khác của định lý này.

Để kết luận, chúng tôi trình bày thêm hai cách chứng minh định lý, dành cho độc giả đã quen với vectơ và các phép biến đổi hình học.

1. Đối với bất kỳ điểm D nào của đoạn $AB\cdot CD=λ\vec{A}+(1-λ)\vec{B}$, trong đó λ=DB:AB; 1-λ=AD:AB. Thật vậy, $\vec{CD}=\vec{CB}+\vec{BD}=\vec{CB}+\lambda\vec{BA}=\vec{CB}+\lambda(\vec{CA}-\vec{CB})=\lambda\vec{CA}+(1-λ)\vec{CB}$.

Trong trường hợp của chúng ta, vectơ $\vec{CD}$ song song với vectơ $(1/CA)\cdot\vec{CA}+(1/CB)\cdot\vec{CB}$ (xem Hình 7) và do đó $(1/CA):(1/CB)=λ:(1-λ)$, từ đó AD:DB=CA:CB.

2. Chúng ta hãy thực hiện một phép đối xứng tuần tự đối với điểm D, chuẩn bị $H_{D}^{BD/AD}$ và $H_{C}^{AC/BC}$, sau đó là một phép đối xứng đối với đường phân giác CD (bằng $H_{O}^{k}$ chúng ta biểu thị sự đồng nhất với tâm O và hệ số k). Kết quả là điểm A sẽ giữ nguyên và đường thẳng CD sẽ biến thành chính nó, một phần khoảng cách giữa chúng sẽ không đổi. Do đó, hệ số của phép biến đổi độ tương tự cuối cùng là 1, tức là $AC/BC\cdot BD/AD=1$.

V.I.

Về định lý Lagrange

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại việc phát biểu định lý Lagrange.

Giả sử hàm f khả vi tại mỗi điểm của một khoảng nào đó. Khi đó giữa hai điểm a và b bất kỳ của khoảng này tồn tại một điểm c sao cho

$$f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).$$

Định lý này cho phép giải thích hình học đơn giản. Lấy hai điểm A=M(a; f(a)) và B=M(b; f(b)) trên đồ thị của hàm f (xem hình). Độ dốc của đường thẳng AB bằng $(f(b)-f(a))/(b-a)$, độ dốc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số f tại điểm hoành độ x=c bằng $f'(c)$. Vì vậy, sau khi viết ra

(Cuối cùng, xem trang 36)

31

Nhiệm vụ

1. “Nikolai Ivanovich,” Vadik hỏi một người bạn của người bán cửa hàng, “cuốn sổ này giá bao nhiêu?” “16 cuốn sổ chỉ có giá rúp, 1 rúp bạn có thể mua được bao nhiêu cuốn sổ,” người bán mỉm cười trả lời. Một cuốn sổ tay giá bao nhiêu?

2. Gần đây tôi đã nói dối rất nhiều. Đúng là hôm kia tôi đã đi bộ nhiều hơn hôm qua 3 km và hôm qua tôi đã đi bộ ít hơn ngày hôm kia và hôm nay cùng nhau 40 km. Hôm nay tôi đã gặp bao nhiêu khách hàng nói dối?

3. Giáo viên nói: “Hãy vẽ một số đa giác vào vở của các em, các cạnh của chúng chạy dọc theo các đường lưới”. “Vậy bây giờ hãy tìm số cạnh của nó.” “12,” Vova nói. “4,” Petya nói. “10,” Andrey nói. Họ có những hình đa giác bị hỏng như trong hình. Điều thú vị là những học sinh còn lại cũng có đa giác với số cạnh chẵn. Tại sao?

4. Bài thơ sau mắc phải lỗi vật lý nào:
   “Cô ấy sống và bước đi trên kính,
   Nhưng đột nhiên cô bị xiềng xích bởi sương giá,
   Và một giọt băng bất động
   đã trở thành
   Và có một chiếc Tella trên thế giới.”?

Những nhiệm vụ này được S.R. Sefibekov, A. A. Panov, N. K. Antonovich. A. P. Savin.

Chạy vòng tròn
và một câu chuyện dài

L. CARROLL

Trong số 7 và 8 «Kvant» năm ngoái, hai chương đầu tiên trong cuốn sách “Alice in Wonderland” của Lewis Carroll, các câu hỏi phụ và bài toán, do các biên tập viên phát minh ra, đã được xuất bản. Đánh giá qua rất nhiều thư của độc giả, họ thích tài liệu này. Vì vậy, chúng tôi tiếp tục xuất bản cuốn sách tuyệt vời này với những câu hỏi mới và bài toán (xem phần tạp chí tiếp theo). Những độc giả có cuốn sách này, chúng tôi yêu cầu bạn gửi bài toán và các câu hỏi cho các chương tiếp theo, bắt đầu từ chương thứ sáu.

CHẠY TRONG VÒNG TRÒN VÀ DÀI
CÂU CHUYỆN CỦA TÔI

Xã hội, hội họp trên bờ,
có vẻ ngoài rất khó coi:
sừng của những con chim đã bị hành hạ một cách tàn bạo, cerstka
các con vật bị ướt một cách tự do. Nước
chảy từ chúng thành dòng, mọi người đều
lạnh và khó chịu.
Đầu tiên,
tất nhiên là cần thiết
quyết định càng nhanh càng tốt
khô. Họ bắt đầu đưa ra lời khuyên.
Chưa đầy vài phút trôi qua
Alice đã cảm thấy thế nào
như thể cô ấy biết tất cả
cung cuộc sống. Cô ấy thậm chí còn tranh cãi
với Laurie nổi tiếng, người
gian lận và cứ lặp đi lặp lại:

• Tôi lớn tuổi hơn bạn, và tôi-
  Bạn vẫn biết cái gì là cái gì!
  Alice yêu cầu điều đó
  anh ấy nói anh ấy bao nhiêu tuổi
  năm, nhưng Populichik đã quyết định
  đã kịch liệt từ chối. Trên đó
  tranh chấp kết thúc.
  Cuối cùng, Chuột,
  mà mọi người
  được đối xử tôn trọng
  với một cái bóng, cô hét lên:
• Mọi người ngồi xuống đi!
  nói và lắng nghe
  đi chơi. Bạn
  tôi mệt
  khô đi!
  Alice đã không mở
  vội vàng nói tiếp: “… tìm thấy

“Tôi muốn nói,” bị xúc phạm
Dodo nói, “cần sắp xếp những gì?”
chạy theo vòng tròn. Sau đó chúng tôi ra ngoài
hãy khô ráo đi! - Cái gì thế này? —
Alice hỏi. Để nói sự thật
cô ấy không thực sự quan tâm đến nó, nhưng
Dodo im lặng đầy ẩn ý, ​​nhìn
nhưng tôi đang đợi một câu hỏi. Và vì mọi thứ
họ cũng im lặng, tôi phải hỏi
Alice. “Giải thích thế nào,” nói
Dodo, tốt hơn là nên thể hiện!
(Có lẽ bạn cũng sẽ muốn…
nibul vào mùa đông

PHẢI
BNOST F
ORMY-
VÒI

chơi trò chơi này? Trong đó
Trong mọi trường hợp tôi sẽ nói với bạn
Dodo đã làm gì?)
Đầu tiên ông phổ biến
vòng tròn trên mặt đất. Có thật không,
vòng tròn không được tốt lắm
suôn sẻ, nhưng Dodo nói:

Bài toán 1.
Người theo chủ nghĩa dân túy bao nhiêu tuổi?
nếu năm nay
anh ấy đã có đủ
số tiền là bao nhiêu
chữ số của năm của anh ấy
sinh?

1 phút.
Cô ấy sẽ mất bao lâu để ăn hết 60.000 con chuột?

nhưng, - Dodo trả lời, chỉ tay vào Alice. Mọi người vây quanh Alice và hét lên liên tục: “Phần thưởng!” Giải thưởng! Đưa ra phần thưởng! - Alice bối rối. gián tiếp, cô cho tay vào túi và lấy ra một túi xì hơi. (May mắn thay, dấu vết không thấm vào chúng.) Cô phân phát chúng cho những người tập trung - mỗi người một quả punut, ngay khi có đủ. “Nhưng cô ấy cũng đáng bị như vậy,” Chuột nói. “Tất nhiên,” Dodo nói một cách quan trọng. Và anh ấy quay sang Alice và hỏi: Bạn có còn gì trong túi không? “Không,” Alice buồn bã trả lời. - Chỉ bằng một ngón tay thôi. - Đưa đây! - Chúng ta sẽ ngủ tiếp - hẹn gặp lại

• Làm ơn, đừng rời đi! - bộ xương Alice hét lên với cô ấy. - Hãy kể cho chúng tôi nghe câu chuyện của bạn! - Và mọi người ôm cô thật chặt: - Ừ, ừ, đừng bỏ đi! Nhưng Chuột chỉ lắc đầu sốt ruột và chạy nhanh hơn. “Thật tiếc là cô ấy không muốn ở lại,” Laurie’s Hitcher leo lên ngay khi cô ấy khuất dạng. Và bà già Medusa đã nói với con gái mình: “Ôi con ơi, con đường này sẽ là một bài học cho con”. Bạn phải luôn kiểm soát bản thân mình! “Mẹ giữ mồm giữ miệng nhé,” Medusa trả lời với vẻ hơi khó chịu. - Chuyện này không phải việc của anh để nói. Bạn thậm chí sẽ khiến một con hàu mất kiên nhẫn! - Giá như Dina của chúng ta có thể đến đây! - Alice nói to, không nói riêng với ai. - Cô ấy sẽ lập tức kéo cô ấy lại! - Cho tôi hỏi: Dina này là ai? —con trỏ Laurie. Alice luôn vui vẻ kể về người mình yêu. “Đây là con mèo của chúng tôi,” cô trả lời dễ dàng. “Bạn thậm chí không thể tưởng tượng được cô ấy giết chuột như thế nào!” Và có rất nhiều loài chim! Một lần - và nuốt nó. Tôi thậm chí còn không để lại bất kỳ xương nào! Bài phát biểu này đã có ảnh hưởng sâu sắc đến những người có mặt.

BẠN CẦN GÌ?
PHÁT TRIỂN SỨC MẠNH ĐỂ NẮM GIỮ
BẠN CÓ NHẬN THỨC VỀ BẢN THÂN MÌNH KHÔNG?
ĐỂ GIỮ
BẠN CÓ NHẬN THỨC VỀ BẢN THÂN MÌNH KHÔNG?
Bài toán 6. Bốn vận động viên chạy ở các đỉnh của hình vuông có cạnh a.
Theo lệnh, họ chạy với tốc độ v. Mỗi người chạy luôn chạy thẳng về phía người hàng xóm của mình theo chiều kim đồng hồ.
Cuộc chạy này sẽ kéo dài bao lâu?

36

Về định lý Lagrange

(Để bắt đầu, xem trang 30)

đẳng thức (1) ở dạng $(f(b) - f(a))/(b-a) = f'(c)$, ta thu được cách giải thích hình học của định lý Lagrange: tồn tại một điểm $c$ của khoảng $]a; b[$ sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số $f$ tại điểm hoành độ $x=c$ song song với đường thẳng $AB$.

Có thể có nhiều hơn một điểm $x=c$ thỏa mãn đẳng thức (1). Bạn có thể xác minh điều này bằng cách làm bài tập sau.

1. Tìm tất cả các giá trị của $x=c$ mà hàm $f(x)=(x-1)^3$, $a=0$, $b=2$ thỏa mãn đẳng thức (1). (Đáp số: $c=1-1/\sqrt{3}$ và $c=1+1/\sqrt{3}$.)

Chúng tôi xin giới thiệu với các bạn cách giải thích cơ học của định lý Lagrange. Để một điểm vật chất di chuyển theo đường thẳng và tại thời điểm $t$ có tọa độ $s(t)$. thì tốc độ trung bình của nó trong khoảng thời gian từ $t_1$ đến $t_2$ sẽ bằng $(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)$. Người ta biết rằng tốc độ tức thời tại thời điểm $t$ bằng $s'(t)$. Rõ ràng là tại một số thời điểm, tốc độ tức thời sẽ lớn hơn tốc độ trung bình, ở những thời điểm khác - ít hơn. Tuy nhiên, cần phải tìm một thời điểm (và có thể có nhiều thời điểm!) sao cho tốc độ trung bình bằng tốc độ tức thời. Vì vậy, đối với một số $t_0 \in ]t_1; t_2[$

$(s(t_2)-s(t_1))/(t_2-t_1)=s'(t_0)$, tức là $s(t_2)-s(t_1)=s'(t_0)(t_2-t_1)$. (So ​​sánh công thức này với công thức (1).)

Cũng lưu ý rằng trong trường hợp $f$ không tùy ý tại bất kỳ điểm nào nằm giữa $a$ và $b$ thì không thể áp dụng định lý Lagrange: hãy xem các hàm $f(x)=|x^2-1|$, $a=1/2$, $b=\sqrt{7}/2$ làm ví dụ.

Bài tập

2. Định lý Lagrange có thể áp dụng cho hàm $f$ trong những khoảng nào nếu: a) $f(x)=x$; 6) $f(x)=[x]$; b) $f(x)=|x|$?

3. Một điểm vật chất chuyển động theo đường thẳng tuân theo định luật $s(t)=t^3$, trong đó $s$ là đường đi tính bằng mét, $t$ là thời gian tính bằng giây. Tại thời điểm nào tốc độ tức thời của nó bằng tốc độ trung bình trong khoảng thời gian từ $t_1=13$ s đến $t_2=46$ s?

4. Tại điểm nào đối với hàm $f(x)=x^2$ và $g(x)=px^2+qx+r$ đối với khoảng [a; b] đẳng thức (1) có được thỏa mãn không?

Làm thế nào để giải thích sự trùng hợp hình học của kết quả cho cả hai hàm số?

L.N.Smolykov

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Trong nhóm kịch, số nam bằng 80% số nữ. Số bé gái trong vòng tròn này là bao nhiêu phần trăm số bé gái?

2. Số nào lớn hơn: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ hoặc $2\sqrt{1985}$?

3. Hệ số $x^5+x+1$.

4. Độ dài cạnh bên của hình thang là $a$ và khoảng cách đến nó từ giữa cạnh đối diện là $b$. Tìm diện tích của hình thang.

5. Chứng minh rằng trong tam giác $R \geq 2r$ bất kỳ, trong đó $R$ và $r$ là bán kính của đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tương ứng.

lớp chín

6. Số nào lớn hơn: $\sqrt{1986}+\sqrt{1984}$ hoặc $2\sqrt{1985}$?

7. Đó là loại tam giác gì (cấp, hình chữ nhật hoặc tù) nếu: a) chiều cao của nó là 3, 4 và 5; b) các trung vị của nó là 3, 4 và 5?

8. Tìm tập hợp giá trị hàm (không sử dụng giải tích toán học):

a) $f(x)=2x+\frac{3}{x}$; 6) $f(x)=\frac{x^2+2x-2}{x^2-x+1}$.

9. Tìm $f'(2)$ nếu

a) $f(x)=(x-2)^2g(x)$, trong đó $g(x)$ là hàm tùy ý khả vi như $x=2$;

6. $f(x)=(x-2)^2g(x)$, trong đó $g(x)$ là hàm tùy ý liên tục tại $x=2$;

b) $f(x)=(x-2)\left(\sqrt[3]{x+\sqrt[4]{x-2}}+(x-2)^2\times \sqrt[7]{x^5+\sqrt[3]{x}}\right)$.

10. Chứng minh rằng mọi tam giác đều có thể chiếu thành tam giác đều bằng cách sử dụng: a) phép chiếu song song; 6)* phép chiếu trực giao.

lớp mười

11. Diện tích đáy của các đường thẳng bằng 1. Một mặt phẳng được vẽ song song với đáy của các đường thẳng và chia nó thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tìm khu vực.

12. So sánh các số: $2\sqrt{\log_2x}$ và $x\sqrt{\log_2x}$ (>1).

13. Chứng minh rằng mọi mặt phẳng đi qua trung điểm của hai cạnh cắt nhau của một tứ diện đều chia thể tích của nó làm đôi.

14. Chứng minh rằng với mọi số thực $a$, $b$, $c$ thì bất đẳng thức $a^4+b^4+c^4\geq abc$ (a+b+c) đúng.

15. a) Có 4 đoạn trên terrada, mỗi đoạn nối một đỉnh với giao điểm của các đường trung tuyến của các cạnh đối diện của mặt. Chứng minh rằng cả 4 đoạn thẳng cắt nhau tại một điểm và được chia ở đó theo tỷ lệ 3:1, tính từ đỉnh.

6. Chứng minh rằng trong mọi tứ diện $R \geq 3r$, trong đó $R$ và $r$ là bán kính của hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp tương ứng.

Ấn phẩm được chuẩn bị bởi V. M. Ivlev

37

Nhiệm vụ

M906—M910; F918—F922
M906. a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a đều có phương trình
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

có ít nhất ba lời giải trong các số tự nhiên x và y.
6) Tìm số số nguyên dương lời giải của phương trình này để biết a=1985.

M907. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh a=BC, b=AC, c=AB biết rằng $3\hat{A} + 2\hat{B} = 180^\circ$. Chứng minh rằng $a^2 + bc - c^2 = 0$.

T. A. Dzhortmenadze

M908. Trên cạnh AB của tam giác ABC, chọn điểm P và vẽ các đường thẳng song song với BC và AC đi qua nó cho đến khi chúng cắt các cạnh AC và BC lần lượt tại các điểm M và N. Với cách chọn điểm P nào thì đoạn MN có độ dài ngắn nhất?
Giải bài toán a) cho tam giác có góc vuông C; 6)* cho tam giác ABC tùy ý.

E. G. Gotman

M909. a) Chứng minh rằng tồn tại một cấp số cộng của 4 số hạng khác nhau chỉ chứa lũy thừa của các số tự nhiên $n^k (k \geqslant 2)$. Liệu một cấp số như vậy có tồn tại từ 6) bất kỳ số hữu hạn nào, c) vô số số hạng không?
Có cấp số cộng vô hạn (không cố định) nào không chứa d) lũy thừa của một số tự nhiên, e) không phải là một số có các chữ số giống nhau không?

P. H. Azizyan, V. Tolstykh, A. V. Alleyev

M910. Điểm $A_1, A_2, \dots, A_6$ được lấy trên các cạnh của hình lục giác đều (Hình 1). Được biết, ba cặp cạnh không hài hước của hình lục giác $A_1 \dots A_6$ ($A_1A_2, A_3A_4, A_5A_6$) xác định tam giác KLM, các đỉnh của tam giác này nằm trên phần kéo dài của các đường chéo của một hình lục giác đều. Chứng minh rằng điều này cũng đúng với ba cạnh còn lại của lục giác $A_1 \dots A_6$.

S. Yu. Orevkov

F918. Một cặp nhóm A và B giống hệt nhau, không bao giờ được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài l, bắt đầu rơi khỏi một mặt bàn nhẵn có chiều cao l và tại thời điểm ban đầu nhóm B có độ cao h=2l/3 tính từ

38

sàn nhà (Hình 2). Sàn tiếp cận được, trọng lượng $B$ nổi lên đó; trọng lượng $A$ bay khỏi bàn vào lúc này. Trọng lượng $A$ sẽ bằng bao nhiêu so với mặt sàn khi sợi dây lại căng ra?

G. L. Kotkin

F919. Hình 3 cho thấy mặt cắt ngang của thiết bị sử dụng chiều dài làm tiêu chuẩn. Thanh trung tâm $C$ và vỏ ngoài $A$ của thiết bị được làm bằng vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt $\alpha_1$; độ dài của chúng ở $t_1=20$ °C bằng nhau và bằng $l$. Trọng lượng bên trong $B$ được làm bằng vật liệu có hệ số giãn nở nhiệt $\alpha_2$. Chiều dài của ống bên trong ở $t_1=20$ °C phải là bao nhiêu để tiêu chuẩn đầy đủ $|CD|$ không thay đổi khi nhiệt độ thay đổi?

A. P. Ershov

F920. Không khí được thổi qua một ống có tiết diện thay đổi. Lỗ đầu vào của ống có diện tích $S_1$ và lỗ đầu ra có diện tích $S_2$. Ở tốc độ không khí đầu vào là $v_1$, nhiệt độ - $T_1$, áp suất - $p_1$; ở đầu ra nhiệt độ không khí là $T_2$, áp suất là $p_2$. Tốc độ không khí thoát ra là gì?

G. L. Kotkin

F921. Một tụ điện bản song song được nối với nguồn điện áp $U$. Các bản của tụ điện có diện tích $S$ mỗi bản, khoảng cách giữa các bản là $d_1$. Một tấm kim loại có diện tích $S$ và độ dày $d_2$ (Hình 4), có khối lượng $m$, được ép vào một tấm. Nhựa đang bong ra. Với tốc độ bao nhiêu thì nó sẽ chạm vào bản kia của tụ điện? Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực.

F922. Chụp ảnh những con kiến ​​ở cự ly gần, người thực nghiệm đã sử dụng một vòng mở rộng để tăng khoảng cách từ phim đến đối tượng thêm $\Delta l=7,5$ mm. Hình ảnh sắc nét của con kiến ​​thu được trong trường hợp khoảng cách $b=1,05$ m được đặt trên khung đối tượng (các giá trị khoảng cách từ đối tượng đến đối tượng được biểu thị trên khung mà không sử dụng các vòng mở rộng). Tiêu cự của vật là $F=50$ mm. Con kiến ​​cách vật thể bao xa? Coi thấu kính là một thấu kính mỏng.

A. P. Ershov

Problems

M906—M910; P918—P922

M906. a) Prove that for any positive integer $a$ the equation

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{a}$$

has at least three positive integer solutions $(x, y)$.

b) Find the number of positive integer solutions for $a=1985$.

M. V. Slavinski

40

P921. A flat capacitor is connected to a source of tension $U$. The capacitor’s plates are of area $S$ each, the distance between them is $d_1$. A metal plate of area $S$, mass $m$ and thickness $d_2$ is pressed against one of the capacitor’s plates (Fig. 4). Then the metal plate is released. With what velocity will it hit the capacitor’s other plate?

P922. In order to get close up of an ant, a photographer added a cylindrical extension to his camera, increasing the distance between the film and the lens by $\Lambda l=7.5$ mm. A well focused picture of the ant was obtained when the distance reading on the camera was $b=1.05$ m (the distance reading does not take the extension into account). The focal distance of the lens is $F=50$ mm. What was the actual distance between the lens and the ant? The lens may be assumed thin.

A. P. Ershov

Lời giải bài toán
M886 — M890; F898 — F902

Đáp số: a) có thể (Hình 1); $s$ có thể bằng $\pm 41, \pm 12; 6)$ không thể; b) có thể (Hình 2); $s=\pm 8, \pm 24; r)$ có thể; $s=\pm 3968, \pm 11904$.

Bài toán là chia một số bộ $4n-4$ số nguyên liên tiếp thành $n-2$ bộ tứ và 2 cặp số nữa sao cho tổng các số trong tất cả các bộ tứ và cặp đều bằng nhau và bằng $s$. Chúng ta hãy biểu thị bằng $c$ tổng hai cực trị của $4n-4$ những số như vậy—nhỏ nhất $m$ và lớn nhất $M$. (Để xem xét thêm, hãy lưu ý rằng $M=m+4n-5$, tức là $c=2m+4n-5$ và $m=(c+5)/2-2n, M=(c-5)/2+2n$.) Tất nhiên, $c$ luôn là số lẻ. Tổng của tất cả các số $4n-4$ đều bằng $(2n-2)c$ nên nếu ta yêu cầu phép chia không khí thì đẳng thức phải thỏa mãn

$$ns=2(n-1)c.$$

Điều kiện cần thiết này cho phép chúng ta sử dụng ngay trường hợp khi $n$ chia hết cho 4, cụ thể là $n=4$ (điểm 6) bài toán): đối với $n$ đó không có phân vùng, vì vế phải của (1) không chia hết cho 4 và vế trái chia hết.

Đối với $n$ số lẻ mà mọi điều dưới đây đều áp dụng, điều kiện (1) cũng đưa ra các hạn chế mạnh: vì $n$ và $n-1$ là nguyên tố cùng nhau, còn $n$ và $c$ là số lẻ, $c$ chia hết cho $n$, do đó đối với số lẻ không đều $r$ thì các đẳng thức phải đúng

$$c=nr, \quad s=2(n-1)r.$$

Hình 3 cho thấy cách xây dựng các phân vùng cần thiết cho $r=1$ và $r=3$. Hai cặp số - “đỏ” và “vàng” - có cùng tổng $s$ (nghĩa là tâm đối xứng chung tại điểm $s/2$) và các số $4n-8$ còn lại tạo thành bốn chuỗi “xanh” của $n-2$