Kvant 1987, số 8 · Trang

ISSN 0130—2221
QUANTUM
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

$a_t \sim 4\pi t^2 \cdot \Delta p/m$

$a \sim F_A/m^* \sim 10^2 \text{ fus}$

1

Trong phòng:

2. N.V. Vasiliev. Quẻ Pascal và đường cong bậc ba
3. A. A. Varlamov, A. I. Shapiro. Trước khi đun sôi…
4. L. A. Ostrovsky. Sóng trên mặt nước

Bài toán Kvant
23. Bài toán M1056 — M1060, F1068 — F1072
25. Lời giải bài toán M1036 — M1040, F1048 — F1052
31. Con lắc trong từ trường và các điểm tham quan siêu lớn

32. Kính vạn hoa «Kvant»
    «Kvant» cho học sinh nhỏ
33. Bài toán
34. L. G. Aslamazov. Phanh mặt trăng

Trường học ở «Kvant»
40. Toán 8, 9
44. Trường học yêu thích bài toán

Phòng thí nghiệm «Kvant»
45. V. M. Bubnov. Cơn lốc… trên máy hát

Nghệ thuật lập trình
48. V. V. Gurariy, K. A. Styrkas. Về một chuỗi lặp lại

Lịch của chúng tôi
51. Luigi Galvani (nhân kỷ niệm 250 năm ngày sinh của ông)

Trò chơi và câu đố
53. L. A. Shteingari. Từ bất cứ điều gì - bất cứ điều gì

Xưởng của người nộp đơn
55. A. I. Buzdin, S. S. Krotov. Công việc, năng lượng, cơ thể

Thông tin
54. Trường thể chất buổi tối tại Đại học quốc gia Moscow
59. X Giải đấu Vật lý trẻ

61. Đáp số, gợi ý, lời giải
    Pha trộn (36)
    Trang cờ vua
    Phân tích hồi cứu (trang bìa thứ 3)

Chiếc đĩa của chúng tôi

Trên trang đầu tiên của bìa có chi tiết phần đáy sơn của chủ thị trấn V.K. Lebedev (đầu thế kỷ 20). Bức tranh này, giống như bức ảnh ở trang thứ hai, là minh họa cho bức tượng “Trước khi ấm nước đun sôi…” (xem trang 9).

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1987

2

CÁC QUÁC VỤ CỦA PASCAL
VÀ ĐƯỜNG CONG KHỐI

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
N. B. VASILIEV

Năm 1640, Blaise Pascal (lúc đó ông mới 17 tuổi) đã phát hiện ra tính chất đáng chú ý của đường đứt gãy sáu khâu nội tiếp trong một vòng tròn. Trong cấu hình mới nổi (hình 1), mà Pascal gọi là “quẻ thần bí”, một số điểm giao nhau chắc chắn nằm trên cùng một đường thẳng. Pascal đã công bố khám phá của mình dưới dạng một tấm áp phích, xuất bản thành 50 bản để phân phát và chuyển tiếp cho từng nhà khoa học. Công trình của Pascal và tác phẩm ngắn của Gerard Desargues, “Một ví dụ về một trong những phương pháp chung để sử dụng phối cảnh,” xuất bản bốn năm trước, đã đặt nền móng cho một môn toán học mới—hình học dự án. Khi đó, người ta nhận ra rằng “kiến thức cổ xưa không phải là tất cả” (cách nói của Pierre Fermat) - cho đến thời điểm đó, thành tựu của các nhà hình học Hy Lạp cổ đại được coi là vượt trội.

Với tên của một trong những nhà hình học cổ đại cuối cùng - Pappus of Alexandria, sống ở thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên. e., - một định lý liên quan về đường đứt nét sáu khâu, tương tự như định lý Pascal; Đây là nơi chúng ta sẽ bắt đầu câu chuyện.

Chúng tôi thực sự khuyên bạn nên tiến hành kiểm tra thực nghiệm các định lý này:

tạo một vài bức vẽ tròn và gọn gàng - điều này không chỉ thuyết phục bạn về tính hợp lệ của các định lý mà còn cho phép bạn hiểu được niềm vui bao trùm Pascal và những người cùng thời với ông (và có lẽ cả Pappus) trong thời đại của họ.

Chúng ta sẽ không tập trung vào các chứng minh hình học và vô số hệ quả của các định lý Pappus và Pascal mà chỉ đề cập đến một chủ đề quan trọng - việc sử dụng các phép biến đổi hình học, bao gồm cả phép chiếu tâm. Mục tiêu chính của chúng tôi là chỉ ra rằng các tính chất của “quẻ” chỉ là một phần biểu hiện của một thực tế tổng quát hơn liên quan đến hình học đại số, một trong những nhánh toán học sâu sắc nhất của thế kỷ 19 và 20. Chúng ta sẽ thấy rằng thực tế tương tự đòi hỏi tính chất chính của phép toán “cộng điểm” trên đường cong bậc ba (các ứng dụng của nó trong lý thuyết số sẽ được thảo luận trong số trước của Kwan).

Trong loạt bài cuối cùng hình, các điểm có ba màu và các đường thẳng nối chúng tạo thành các cấu hình trong đó có sự trùng hợp đáng kinh ngạc của các điểm giao nhau (xuất hiện trong cấu hình của Pappus và Pascal).

Hình 1. Định lý Pascal. Dù sáu điểm được lấy trên đường tròn và dù các số của chúng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5, 6 như thế nào thì giao điểm của các đường 12 và 45, 23 và 56, 34 và 61 sẽ nằm trên một đường thẳng (nó được gọi là đường Pascal của hình lục giác sáu khâu nội tiếp 123456). Một công thức khác: giao điểm của các cạnh giả khác của một hình lục giác nội tiếp hoặc phần mở rộng của chúng nằm trên cùng một đường thẳng.

3

Định lý Pappus

Hãy bắt đầu với một định lý tương đối đơn giản về 6 điểm nằm trên hai đường thẳng a và b (hình 2a).

Định lý 1a. Cho các đỉnh của đường gãy kín sáu khâu nằm xen kẽ trên hai đường thẳng. Nếu hai cặp liên kết đối diện của đường đứt đoạn này (1-e và 4-e, 2-e và 5-e) song song thì cặp liên kết còn lại (3-e và 6-e) song song.

Ý tưởng chứng minh cho học sinh sử dụng các phép biến đổi hình học. Cho các đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm O (hình 2b). Hãy xem xét hai hình học có tâm O: một hình lấy đường thẳng $A_1B_1$ đến $A_3B_2$ và hình còn lại lấy $A_3B_3$ đến $A_2B_1$. Thành phần của chúng—kết quả của việc thực hiện tuần tự các hình học này—chuyển đường $A_1B_3$ thành $A_2B_2$, do đó $A_1B_3 \parallel A_2B_2$. Lưu ý rằng sẽ thuận tiện khi theo dõi các phép biến đổi của điểm $A_1$ bằng cách áp dụng các hình học theo một thứ tự: $A_1 \rightarrow A_3 \rightarrow A_2$ và các điểm $B_3$ theo thứ tự khác: $B_3 \rightarrow B_1 \rightarrow B_2$. Tất nhiên, kết quả không phụ thuộc vào thứ tự áp dụng hai hình học này: thành phần của chúng cũng là một hình học có tâm O, hệ số của nó bằng tích của các hệ số của hai hình học này. Trong trường hợp các đường a và b song song (hình 2b), theo lý do tương tự, hình học phải được thay thế bằng các phép tịnh tiến song song.

Vì vậy, Định lý 1a đơn giản là một biểu thức hình học

Hình 3. Pappus xác nhận 9 điểm và 9 dòng. Bất kỳ rãnh nào của các điểm $A_1$, $A_2$, $A_3$ và $B_1$, $B_2$, $B_3$ trên đường thẳng a và b, các điểm $C_1$, $C_2$, $C_3$ là giao điểm của đường $A_1B_1$ và $A_3B_2$, $A_2B_2$ và $A_1B_3$, $A_3B_3$ và $A_2B_1$ sẽ nằm trên cùng một đường thẳng (Định lý 1).

tính giao hoán của phép nhân (và phép cộng) các số; điều này giải thích vai trò quan trọng của định lý Pappus trong nền tảng của hình học (ví dụ, xem cuốn sách [5]).

Định lý 6 điểm của Pappus chỉ là một trường hợp rất đặc biệt của một định lý sâu sắc hơn nhiều (cũng được đặt theo tên ông) về một cấu hình gồm 9 điểm và 9 đường thẳng (hình 3).

Định lý 1. Cho ba đường màu đỏ cắt ba đường màu đỏ tại hai điểm thẳng. Nếu hai dãy chấm đen nằm trên hai đường thẳng (trừ đỏ và xanh) thì dãy chấm đen còn lại nằm trên một đường thẳng.

Cấu hình Pappus được thay thế bằng thực tế là cả ba đường thẳng - xanh, đỏ và đen - đều tham gia vào nó: tại mỗi điểm trong số 9 điểm, ba đường thẳng có màu khác nhau giao nhau.

Sau khi bắt đầu xây dựng cấu hình như vậy, chúng ta sẽ thấy rằng nếu sáu điểm đầu tiên $A_1$ được chọn không thành công,

Hình 2. Lục giác Pappus. Các cực của các đỉnh của đường đứt nét $A_1B_1A_2B_2A_3B_3$ nằm xen kẽ trên hai đường thẳng a và b: bốn đường thẳng đầu tiên được chọn tùy ý, sau đó $A_3$ và $B_3$ được dựng sao cho $B_2A_3 \parallel A_1B_1$, $A_3B_3 \parallel B_1A_2$ thì nhất thiết phải là $B_3A_1 \parallel A_2B_2$ (Định lý 1 a). Chứng minh: a), b) biến đẳng thức $OA_1/OA_3 = OB_1/OB_2$ và $OA_3/OA_2 = OB_3/OB_1$; c) cộng các đẳng thức $\overrightarrow{A_1A_3} = \overrightarrow{B_1B_2}$ và $\overrightarrow{A_3A_2} = \overrightarrow{B_3B_1}$, chúng ta thu được $\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{B_3B_2}$.

4

Hình 4. Rút gọn định lý tổng quát Pappus về trường hợp đặc biệt (Định lý 1a). Chúng ta vẽ cấu hình Pappus trên kính hoặc các kích thước tùy ý, đặt trong mặt phẳng nghiêng sao cho đường thẳng $C_1C_2$ nằm ngang và chiếu lên mặt phẳng nằm ngang bằng nguồn sáng $S$ - tâm hình chiếu - nằm phía trên mặt phẳng có cùng độ cao với đường thẳng $C_1C_2$. Phép chiếu tạo ra một kịch bản heskadrama Pappian: các cặp đường thẳng có hướng khác nhau giao nhau tại các điểm $C_1, C_2$ và $C_3$ được chiếu thành các cặp đường thẳng song song, do đó $C_3$ nằm trên đường thẳng $C_1C_2$.

$B_1, A_2, B_2, A_3, B_3$ điểm mới $C_1, C_2, C_3$ có thể nằm xa bản vẽ. Ví dụ: tại $A_1B_1 \parallel A_3B_2$ điểm $C_1$ sẽ chỉ đơn giản là “tiến đến vô cùng”. (Trong trường hợp này, đường thẳng $C_2C_3$ cũng sẽ song song với $A_1B_1$ và $B_2A_3$.) Nếu hai trong ba điểm $C_1, C_2$ và $C_3$ “tiến đến vô cùng”, thì theo Định lý 1 a và điểm thứ ba cũng phải “ở vô cùng”; trong trường hợp này, thật thuận tiện khi nói rằng cả ba điểm $C_1, C_2, C_3$ đều nằm trên cùng một “hình chiếu veclon” (hình 4); các nghệ sĩ kể từ Leonardo da Vinci và Albrecht Dürer đã gọi nó là “phối cảnh tuyến tính”. Hình chiếu có tâm $S$ gán cho mỗi điểm $M$ giao điểm $M'$ của đường thẳng $SM$ với một mặt phẳng nào đó $p$ (mặt phẳng chiếu). Điều quan trọng là trong trường hợp này, ảnh của điểm của một đường thẳng mới nằm trên cùng một đường thẳng, mặc dù một số đường giao nhau biến thành các đường song song (điểm giao nhau của chúng “đi đến vô cùng”) và ngược lại.

Ý tưởng cơ bản của hình học thiết kế của Desargues rất đáng chú ý: bổ sung về mặt tinh thần các “điểm ở vô cực”, trong đó mỗi đường thẳng song song với nhau giao nhau và coi tất cả các điểm này nằm trên một “đường thẳng ở vô cực” - sau đó với hình chiếu tâm của mặt phẳng này lên mặt phẳng khác, không có điểm loại trừ nào phát sinh, sự biến đổi này trở nên có ý nghĩa lẫn nhau. Quan điểm “dự án” này sẽ là chủ đề phụ thường xuyên trong câu chuyện của chúng tôi, nhưng chúng tôi sẽ không phát triển nó một cách chi tiết ở đây (xem [1], [2]).

Cấu hình Pascal

Định lý Pascal có thể có hình thức đầy màu sắc giống như định lý 9 điểm của Pappus.

Định lý 2. Cho ba đường màu đỏ cắt ba nửa đường thẳng tại mười điểm màu đen. Nếu sáu điểm trong số này nằm trên cùng một đường tròn thì ba điểm còn lại nằm trên cùng một đường thẳng (hình 1).

Ở một khía cạnh nào đó, định lý “nghịch đảo” cũng đúng.

Định lý 2’. Nếu trong số các điểm đen mà các vệt đỏ giao nhau bằng ba nửa đường thẳng, có ba điểm nằm trên một đường thẳng và năm điểm còn lại nằm trên một đường tròn thì điểm đó cũng nằm trên cùng một đường tròn.

Như chính Pascal đã ngay lập tức nhận ra, định lý của ông có thể được khái quát hóa một cách đáng kể: cùng với một hình tròn, một hình elip, một hyperbol hoặc một parabol có thể xuất hiện trong đó, hoặc bất kỳ đường cong nào trong số này có thể thu được bằng hình chiếu tâm của một đường tròn. Do đó, từ cấu hình Pascal cho đường tròn, người ta có thể thu được cấu hình cho bất kỳ đường cong nào trong số này.

Tất cả những đường cong này được gọi là đường cong bậc hai, vì từ chúng chúng ta có thể định nghĩa một phương trình có dạng $P(x, y) = 0$, trong đó $P$ là đa thức bậc hai:

$$P(x, y) = ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f.$$

Điều tò mò là định lý Pascal vẫn đúng cho trường hợp suy biến khi đa thức $P$ bị phân tách thành hai thừa số tuyến tính: trong trường hợp này bậc hai $P(x, y) = 0$ biến thành một cặp đường thẳng, và định lý Pascal biến thành định lý Pappus.

Có nhiều cách chứng minh khác nhau về định lý Pascal cho đường tròn (ví dụ, xem «Kvant» 1982, số 7, trang 2, sách [1], [2], [3]).

5

Đường cong hình khối

Đường cong đại số có bậc tam giác, hay đường cong bậc ba, là tập hợp các điểm $(x, y)$ thỏa mãn $P(x, y) = 0$, trong đó $P$ là đa thức bậc tam giác: $P(x, y) = ax^3 + bx^2y + \dots + l$ (tổng cộng 10 số hạng). Lưu ý rằng định nghĩa này không phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ tọa độ: khi chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác, thậm chí là xiên, tọa độ cũ được thể hiện qua tọa độ mới bằng công thức tuyến tính

$$x = a_1x' + b_1y' + c_1, \quad y = a_2x' + b_2y' + c_2,$$

Trong tọa độ mới, đường cong cũng sẽ được xác định bằng đa thức bậc tam giác.

Một đường cong bậc ba được gọi là có thể rút gọn nếu đa thức $P(x, y)$ bị phân hủy thành tích của các đa thức bậc thấp hơn (thứ nhất và thứ hai) và mặt khác không dẫn điện. Đôi khi chúng ta sẽ biểu thị một đường cong như vậy bằng chữ cái $\Omega$ - một số đường cong hình khối rất đa dạng về hình dạng có dạng dương. Ví dụ: đường cong $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) + \varepsilon = 0$ đối với $\varepsilon$ nhỏ (giả sử $\varepsilon = 0,001$) rất gần với đường cong rút gọn $(x + 1)(x^2 + y^2 - 1) = 0$, bao gồm một đường thẳng $x = -1$ và một đường tròn $x^2 + y^2 = 1$. Nếu khai triển đa thức thành tích của ba đa thức tuyến tính: $P = L_0L_1L_2$ thì đường cong $P(x, y) = 0$ sẽ là giao của ba đường thẳng $L_0 = 0$, $L_1 = 0$, $L_2 = 0$.

Hóa ra là bất kỳ đa thức bậc tam giác nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai đa thức “có thể rút gọn” như vậy; điều này sẽ rõ ràng từ việc chứng minh định lý sau đây về 9 điểm trên một đường cong bậc ba.

Định lý 3. Cho ba đường thẳng cắt ba điểm đen. Nếu bạn dùng ba chấm đen trên một đường cong bậc ba nào đó thì bài giảng thứ chín cũng trên đường cong bậc ba đó.

Trong trường hợp đặc biệt khi đường cong khả quy, điều này dẫn đến định lý Pappus và Pascal: nếu đường cong chia thành ba đường thẳng (màu đen) thì Định lý 3 chuyển thành Định lý 1, và nếu thành đường thẳng và đường cong bậc hai thì chuyển thành Định lý 2 và 2’. Do đó, sau khi chứng minh Định lý 3, chúng ta sẽ thu được tất cả các kết quả trước đó một cách đồng thời và ngay lập tức trong trường hợp tổng quát!

Cho các đường $R_i = 0$ và $L_j = 0$ cắt nhau tại điểm $A_{ij}$ (hình 5; $i$ và $j$ thuộc giá trị 0,1 và 2). Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu tất cả các điểm $A_{ij}$, ngoại trừ $A_{22}$, nằm trên đường cong bậc ba $P(x, y) = 0$, thì $A_{22}$ cũng vậy. Chúng ta đặt $K = L_0L_1L_2$, $\Gamma = R_0R_1R_2$ và chứng minh rằng với một số số $\lambda$ và $\mu$ thì hành động hiện tại $P = \lambda K + \mu \Gamma$ thỏa mãn. Từ đây sẽ suy ra rằng $P = 0$ nằm tại điểm $A_{22}$: xét cho cùng, $K = 0$ nằm trên đường màu đỏ, $\Gamma = 0$ nằm trên đường màu xanh lam, vì vậy cả hai đẳng thức này đều thỏa mãn tại các điểm màu đen.

Thật thuận tiện khi giả sử rằng các đường $L_0 = 0$ và $R_0 = 0$ là trục tọa độ, do đó $L_0(x, y) = x$, $R_0(x, y) = y$ (điều này có thể đạt được bằng cách thay thế các biến theo công thức (1)); trong khi $K(x, y)$

6

trông giống như
$$x(x - \alpha_1 - \gamma_1 y)(x - \alpha_2 - \gamma_2 y),$$
trong đó $\alpha_1$ và $\alpha_2$ là tọa độ của các điểm $A_{01}$ và $A_{02}$ trên trục $Ox$. Vì đường cong $P(x, y) = 0$ đi qua các điểm $A_{00}$, $A_{01}$ và $A_{02}$ nên đa thức $P(x, 0)$ - tức là $P$, xét trên trục $y = 0$, được tạo thành tại 0 với $x$ bằng 0, $\alpha_1$ và $\alpha_2$, do đó $P(x, 0) = \lambda x(x - \alpha_1)(x - \alpha_2)$ với một số $\lambda$, do đó $P(x, 0) = \lambda K(x, 0)$. Tương tự, chúng ta chứng minh rằng $P(0, y) = \mu \Gamma(0, y)$ đối với một số $\mu$ (ở đây các điểm $A_{00}$, $A_{10}$ và $A_{20}$ được sử dụng).

Bây giờ chúng ta xét đa thức $G = P - \lambda K - \mu \Gamma$. Nó bằng 0 đối với $x = 0$ (xét cho cùng, $K$ chứa đa thức $x$), cũng như đối với $y = 0$, vì vậy nó phải có dạng $G = xyG_1$, trong đó $G_1$ là đa thức bậc không cao hơn một (xét cho cùng, bậc $G$ không cao hơn ba). Mặt khác, tại các điểm $A_{11}$, $A_{12}$ và $A_{21}$, trong đó $G = 0$ và $xy \neq 0$, đa thức $G_1$ phải biến mất và các điểm này không nằm trên cùng một đường thẳng. Điều này chỉ có thể thực hiện được nếu $G_1$ và với nó $G$, giống nhau, bằng 0.

Định lý 3 đã được chứng minh.

Thêm điểm trên đường cong bậc ba

Nhiều tính chất hình học thú vị của đường cong bậc ba, cũng như các ứng dụng khác nhau của chúng trong giải tích, lý thuyết số và thậm chí cả tổ hợp (lý thuyết mã hóa), đều liên quan đến phép cộng điểm. Sự tồn tại của một phép toán tự nhiên như vậy là một tính chất đặc trưng của các đường cong (không thể rút gọn) bậc ba, và định nghĩa hình học của nó dựa trên thực tế là một đường thẳng cắt đường cong $\Omega$ tại hai điểm cũng phải có điểm giao nhau thứ ba với nó. Chúng ta sẽ thấy Định lý 3 thể hiện một tính chất đáng chú ý của phép toán này - tính kết hợp: $A + (B + C) = (A + B) + C$.

Tổng $A + B$ của hai điểm $A, B$ của đường cong $\Omega$ được xác định như sau. Tại $\Omega$ một số điểm “bắt đầu” $E$ được chọn. Sử dụng hai điểm $A, B$, điểm thứ ba $D$ của giao điểm của đường thẳng $AB$ với $\Omega$ được dựng, sau đó là điểm giao nhau thứ ba.

Hình 6. Cộng các điểm trên đồ thị $y = x^3$. Khi các điểm của đồ thị này nằm trên cùng một đường thẳng khi và chỉ khi tổng hoành độ của chúng bằng 0.

Hình 7. Tính kết hợp của phép cộng một điểm trên đường cong bậc ba. Đẳng thức $A + (B + C) = (A + B) + C$ suy ra từ định lý 9 điểm.

các phần có dòng $\Omega$ $DE$; theo định nghĩa, đây là điểm $A + B$.

Các điểm trên đường cong $y = x^3$ (hình 6) đặc biệt dễ cộng: nếu chúng ta lấy gốc tọa độ (0; 0) làm điểm ban đầu $E$ thì tổng của điểm với hoành độ $x_1$ và $x_2$ sẽ là điểm có hoành độ $x_1 + x_2!$. Thật vậy, ba điểm $A(x_1; x_1^3), B(x_2; x_2^3), D(x_3; x_3^3)$ nằm trên cùng một đường thẳng nếu điều kiện được thỏa mãn

$$\frac{x_1^3 - x_2^3}{x_1 - x_2} = \frac{x_2^3 - x_3^3}{x_2 - x_3},$$

mà sau khi đơn giản hóa có dạng

$$x_1 + x_2 + x_3 = 0;$$

và vì $E$ là tâm đối xứng của đồ thị $y = x^3$ nên điểm $A + B$ (điểm giao thứ ba của đường thẳng $DE$ với đồ thị này) có tọa độ $(-x_3; -x_3^3)$, tức là trục hoành $-x_3 = x_1 + x_2$.

Để thao tác cộng điểm xác định cho hai điểm bất kỳ, cần làm rõ một số điểm: xét các điểm tiếp tuyến của các đường có $\Omega$ là điểm giao nhau kép (và đối với các điểm giao nhau - gấp ba), thêm các điểm “vô nghĩa” vào đường cong, loại bỏ các điểm “đặc biệt” xuất hiện trên một số đường cong. Điều này đã được thảo luận chi tiết hơn ở bài 10. P. Solviev ở số trước «Kvant».

Đối với phép cộng như vậy, một điểm trên đường cong $\Omega$ có tính chất giao hoán $A + B = B + A$ rất/không (đường $AB$ trùng với đường $BA$). Nhưng tính kết hợp không dễ chứng minh. Điều này có thể được thực hiện bằng Định lý 3 bằng cách vẽ 7 đường thẳng (hình 7). Theo định lý này, điểm $X$ giao điểm của các đường nối $A$ với $B + C$ và $A + B$ với $C$ nằm trên $\Omega$ nên

$$A + (B + C) = (A + B) + C = Y.$$

Xây dựng đa giác

Chúng ta hãy gọi một đa giác là bộ ba chuỗi vô hạn các điểm trên mặt phẳng - đỏ ($A_k$), đen ($B_l$) và xanh lam ($C_m$), thỏa mãn điều kiện sau: nếu $k + l +$

7

+m=0 thì các điểm $A_k$, $B_l$ và $C_m$ cùng nằm trên một đường thẳng ($k, l, m=0, \pm 1, \pm 2, \dots$).

Cấu hình vô hạn này được dành riêng cho bài toán M585 của “Bài toán Lượng tử”. (Điều thú vị là tác giả của bài toán V.V. Batyrev đã viết cho chúng tôi bài toán khi anh ấy vẫn còn là học sinh lớp 10, và bây giờ anh ấy đã tốt nghiệp cơ chế của Đại học quốc gia Moscow và trở thành trợ lý nghiên cứu của anh ấy - chuyên về hình học đại số.) Hình đa giác đơn giản nhất rất dễ xây dựng trên giấy ca rô (hình 8), nhưng hóa ra có rất nhiều đa giác khác nhau và mô tả của chúng về định lý không phải lúc nào cũng nhất quán với toàn bộ nội dung thống kê của chúng ta, kể cả việc “cộng điểm” trên đường cong bậc ba.

Hãy thử kiểm tra bằng thực nghiệm và sau đó chứng minh các nhận định sau (hình 9-11 sẽ giúp giải quyết vấn đề này, trong đó mô tả một số ví dụ về đa giác; các số chỉ được đặt ở một số điểm đầu tiên - phần còn lại có thể dễ dàng khôi phục từ chúng).

1. Đối với ba đường thẳng $a, b, c$ bất kỳ, sử dụng các điểm cho trước tùy ý $A_0$ (trên $a$), $B_0$ và $B_1$ (trên $b$), một đa giác duy nhất được xây dựng trong đó tất cả các điểm $A_k$ nằm trên $a, B_l$ trên $b$ và $C_m$ trên $c$.

2. Cho một đường tròn $\sigma$ (nó cũng có thể là hình elip, hyperbol hoặc parabol) và ba điểm: $A_0$ trên $\sigma$, $B_0$ và $B_1$ không nằm trên $\sigma$. Sau đó, có một đa giác duy nhất trong đó tất cả các điểm $A_k$ và $C_m$ nằm trên $\sigma$ và $B_l$ trên đường thẳng $B_0B_1$.

3. Nếu một đường cong bậc ba tối giản $\Omega$ được cho và có ba điểm $A_0, B_0$ và $B_1$ trên đó, thì từ chúng, đa giác nằm trên $\Omega$ có thể được xây dựng lại một cách duy nhất và nó có thể được viết dưới dạng bộ ba cấp số tranh luận $A_k=A_0+kD$, $B_l=B_0+lD$, $C_m=C_0+mD$ (D là một điểm trên $\Omega$, được xác định bởi điều kiện $B_0+D=B_1$); tuy nhiên, nếu D là một điểm trên đường cong (không số ít) $\Omega$ sao cho $nD=D+\dots+D=E$, thì đa giác sẽ không phải là vô hạn mà là tuần hoàn (các cấu hình như vậy được xem xét trong bài viết [4] liên quan đến bài toán có bao nhiêu rãnh từ một số điểm nhất định trong mặt phẳng có thể nằm trên các đường thẳng).

4. Cho sáu điểm $A_0, A_{-1}, A_1, B_0, B_1$ và $B_2$ trên mặt phẳng (ở vị trí tổng quát). Bằng cách sử dụng chúng, một đa giác được xây dựng lại một cách duy nhất, tất cả các điểm trong đó tự động xuất hiện trên một đường cong không đơn lẻ.

Để chứng minh các phát biểu chung về polygram, các thông báo sau đây rất hữu ích. Hình chiếu trung tâm của bất kỳ hình đa giác nào cũng là một hình đa giác. Mỗi 9 điểm của đa giác $A_k, A_{k+r}, A_{k+s}, B_l, B_{l+r}, B_{l+s}, C_m, C_{m+r}, C_{m+s}$, trong đó $k+l+m+r+s=0$, tạo thành một cấu hình thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3; đặc biệt, đối với một đa giác trên ba đường thẳng (hình 9) chúng tạo thành 9 điểm

Hình 8. Ví dụ về đa hình. Cho vô số chuỗi các điểm đỏ, đen và xanh, được đánh số bằng số nguyên, chúng tạo thành một đa giác: ba điểm khác nhau $A_k, B_l$ và $C_m$ nằm trên cùng một đường thẳng nếu tổng các số $k+l+m$ của chúng bằng 0. (Trong ví dụ này, $B_{-k-m}$ là trung điểm của đoạn $A_kC_m$ với mọi $k$ và $m$).

Hình 9. Đa giác trên ba đường thẳng. Trên mỗi điểm đó, có vô số cách để chọn ba điểm thuộc các điểm khác nhau, đóng vai trò là các đỉnh của cấu hình Papna gồm 9 điểm.

a) Tập hợp các điểm đỏ và xanh là hệ mét đối với mỗi điểm đen $B_l$, với hệ số mét bằng $k_n=k_0q^l$.

b) Đa giác này, được sắp xếp hoàn toàn thành ba cực, có thể thu được tập trung bởi các số 1, 1/2, 1/3, ….

Cũng có thể xây dựng các đa giác trên ba đường thẳng cắt nhau thành từng cặp tại ba điểm khác nhau. Các đa giác như vậy có thể thu được tập trung theo số 1, 1/2, 1/3, ….

8

Hình 10. Đa giác trên đường thẳng và đường tròn (hình 10) - Cấu hình Pascal.

Có vô số cách để làm nổi bật cấu hình Pascal.
a) Tỷ lệ khoảng cách từ các điểm của mỗi cet đến các đầu của đường kính PQ: $A_kP/A_kQ$, $C_mP/C_mQ$ và $B_lQ/B_lP$ tạo thành các mặt cắt hình học có cùng giá trị q.

6. Nếu bát quái này được thiết kế sao cho đường thẳng b với các chấm đen hiển thị ở khoảng cách vô hạn và vòng tròn - lại thành một vòng tròn, thì hình ảnh của các điểm màu (cũng như đầu) với các số liền kề sẽ cách nhau một cung $\Theta \cdot 360^\circ$ của vòng tròn; với $\Theta$ có thể chơi được, các chấm màu đỏ và xanh lam sẽ lấp đầy vòng tròn và với $\Theta$ hợp lý, đa giác sẽ trở thành tuần hoàn.

Hình 11. Đa giác trên biểu đồ $y=x^3 - ax$. Hình chiếu của các điểm của mỗi cet lên tiếp tuyến Ot theo hướng của trục Oy tạo thành một chuỗi các điểm đẳng lịch sử - một đường cắt số học.

Cấu hình Pascal và cho đa giác trên đường thẳng và đường tròn (hình 10) - Cấu hình Pascal.

Thang điểm với số nguyên phát sinh trong quá trình xây dựng đa giác cho thấy rằng có sự tương tự liên tục của đa giác; trên thực tế, hóa ra các điểm của bất kỳ đường cong bậc ba nào - có thể rút gọn hoặc không thể rút gọn - $\Omega$ đều có thể được liên kết với các giá trị số ​​$t$ - đưa ra một “tham số hóa tốt” trên đường cong $\Omega$ - sao cho đối với bất kỳ đường thẳng nào cắt nhau $\Omega$ tại ba điểm có tham số $t_1, t_2, t_3$, điều kiện $t_1 + t_2 + t_3 = 0$ được thỏa mãn. (Nếu đường cong $\Omega$ chứa một hình bầu dục, một hình tròn ở hình 106 thì giá trị của tham số $t$ được xác định bằng phép cộng bội số nguyên của “dấu chấm”, $T$, tại đó giá trị $t$ thay đổi khi đi quanh hình bầu dục.) Như chúng ta đã thấy (hình 6), trên đường cong $y=x^3$ “tham số tốt” là hoành độ của điểm $(x, y)$. Hãy đưa ra một ví dụ khác. Cho $\Omega$ gồm ba đường thẳng $AB, BC, CA$. Điều kiện để các điểm $M, N, L$ lần lượt nằm trên các đường thẳng này nằm trên cùng một đường thẳng có dạng

$$\frac{MA}{MB} \cdot \frac{NB}{NC} \cdot \frac{LC}{LA} = 1$$

(Định lý Menelaus). Ở đây, “tham số tốt” $t$ trên mỗi dòng có thể được coi là logarit của tỷ lệ tương ứng: nếu tích của ba số là 1 thì tổng logarit của chúng là 0. Theo cách tương tự, bạn có thể biểu thị rõ ràng “tham số hóa tốt” cho các đường cong khối đặc biệt và có thể rút gọn khác, chẳng hạn như $y^2=x^3$ và “lá Descartes” $y^2=x^3-x^2$ (xem trang đầu tiên của cuốn sách [6]).

Đối với các đường cong bậc ba tối giản, sự tồn tại của một “tham số hóa tốt” có liên quan chặt chẽ đến hoạt động của phép cộng điểm và biểu thức rõ ràng của nó đòi hỏi phải làm quen với lý thuyết về hàm elip, một lĩnh vực giải tích toán học hay đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học vĩ đại nhất thế kỷ 19.

Gần đây (1976), nhà toán học người Mỹ F. Griffithist đã lưu ý rằng một “tham số hóa tốt” đã được viết - một tính chất đặc trưng của các đường cong danh nghĩa bậc ba: nếu ba đoạn đường cong có tham số $t_1, t_2$ và $t_3$ nằm trên mặt phẳng, sao cho qua mỗi điểm của một trong số chúng có thể vẽ một đường thẳng cắt nhau, đồng thời điều kiện luôn được thỏa mãn đối với các tham số của ba điểm giao nhau $t_1+t_2+t_3=0$, thì cả ba phần này được chứa trong một đường cong hình khối. (Đây là một sự tương tự liên tục của tuyên bố rằng bất kỳ đồ thị nói dối nào cũng nằm trên một đường cong hình khối.)

1. Yaglom I. M. Các phép biến đổi hình học, phần II - M.: Leningrad: Gostekhidat, 1956.
2. Prasolov V.V. Bài toán về phép đo mặt phẳng, phần II - M.: Nayka, 1986.
3. Sharygin I.F. Bài toán trong hình học. Phép đo phẳng. - M.: Nayka, 1986.
4. Vườn hoa toán học. - M.: Mir, 1983 (bài viết của S. Barr “Cách nhận biết cây”, trang 117-129).
5. Artin E. Đại số hình học. - M.: Nayka, 1969.
6. Shafarevich I. R. Nguyên tắc cơ bản của hình học đại số. - M.: Nayka, 1972 (và kế hoạch 1988).

9

TẠM BIỆT Ấm đun nước
KHÔNG đun sôi…

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. VARLAMOV,
A. I. SHAPIRO

Các chuyên luận và chương của phương Đông trong các cuốn sách đặc biệt đều gắn liền với nghi thức uống trà. Chưa hết, nhìn quá trình này từ một góc độ hơi khác, bạn có thể tìm thấy trong đó nhiều hiện tượng vật lý thú vị mà những lời giải thích về chúng thậm chí còn không có trong cuốn sách hướng dẫn ẩm thực dày đặc nhất. Chúng ta hãy tiếp cận quá trình uống trà từ quan điểm này, hay chính xác hơn là quá trình chuẩn bị cho nó.

Hãy bắt đầu với một thử nghiệm. Chúng ta hãy đặt hai chiếc ấm giống hệt nhau hoàn hảo với lượng nước lạnh bằng nhau trên đầu đốt có cùng công suất. Chúng tôi sẽ đóng một trong số chúng bằng nắp và để mở cái thứ hai. Ấm nào sẽ sôi trước?

Đáp số Câu hỏi này bất cứ bà nội trợ có kinh nghiệm nào cũng biết. Vì muốn nước sôi nhanh hơn, cô không ngần ngại đậy nắp ấm lại, khi được hỏi, cô trả lời ngay rằng ấm đun nước có nắp sẽ sôi sớm hơn. Chà, hãy đảm bảo rằng điều đó đúng - trước tiên bằng thí nghiệm, đợi ấm của chúng ta sôi, sau đó chúng ta sẽ giải thích kết quả thí nghiệm theo quan điểm vật lý phân tử.

Trong khi các ấm đang nóng lên, chúng ta hãy đặt một ấm khác giống hệt trên đốt thứ ba của bếp với cùng một lượng nước lạnh như hai ấm đầu tiên và cố gắng đun sôi nhanh hơn (với cùng công suất của bếp). Để làm được điều này, bạn cần bằng cách nào đó nhanh chóng tăng nhiệt độ của nước trong đó, “vượt qua” độ nóng của nước trong hai ấm đầu tiên. Ví dụ, đặt một nồi hơi vào trong ấm. Chà, nếu không có nồi hơi thì sao?

Chúng ta hãy nhớ rằng để tăng nhiệt độ của nước trong bất kỳ vật chứa nào, việc thêm nước nóng hơn vào đó là đủ. Có lẽ kỹ thuật này sẽ tăng tốc độ sôi của nước trong ấm thứ ba? Không có gì. Nó không những không tăng tốc mà còn chậm lại. Để xác minh điều này, hãy tưởng tượng rằng nước có khối lượng $m_1$, ban đầu ở trong ấm ở nhiệt độ $t_1$, không trộn lẫn và không trao đổi nhiệt với nước nóng được thêm vào có khối lượng $m_2$ và nhiệt độ $t_2$ ($t_2 > t_1$). Nhiệt lượng ban đầu phải truyền sang nước có khối lượng $m_1$ để đun sôi (đến nhiệt độ $t_1$) là $Q_1 = cm_1(t_1 - t_1)$. Bây giờ bạn sẽ phải đun nóng thêm từ $t_2$ đến $t_1$ nước nóng thành phẩm có trọng lượng $m_2$. Do đó tổng lượng nhiệt là

$$Q = cm_1(t_1 - t_1) + cm_2(t_1 - t_2).$$

(Rõ ràng là giả định “ngớ ngẩn” của chúng ta rằng các phần nước không bị trộn lẫn không hề ảnh hưởng đến định luật bảo toàn năng lượng trong hệ mà chỉ cho phép chúng ta xem xét hiện tượng của quá trình nhanh hơn.)

Trong khi chúng tôi đang loay hoay với chiếc ấm thứ ba thì chiếc ấm đầu tiên, với nắp đóng lại, đã bắt đầu “hát”. Chúng ta hãy thử tìm hiểu nguyên nhân gây ra âm thanh kỳ lạ này và đánh giá phần đặc trưng của nó.

Nguyên nhân đầu tiên có thể cho là do sự rung động của chất lỏng phát sinh khi bong bóng hơi tách ra khỏi đáy và thành bình. Những bong bóng này thường bắt nguồn từ những điểm không hoàn hảo và các vết nứt nhỏ trên bề mặt. Kích thước đặc trưng của bong bóng trước khi nước sôi là khoảng 1 mm (trong quá trình đun sôi, chúng tăng lên đáng kể và có thể đạt tới một centimet). Để ước tính tần số của âm phát ra, chúng ta cần tìm thời điểm bong bóng tách ra khỏi ngày t. Thời gian này đặc trưng cho khoảng thời gian va chạm mà chất lỏng nhận được trong quá trình tách bong bóng, và do đó, là chu kỳ dao động xảy ra trong chất lỏng. Tuân thủ, giờ-

10

Lượng âm thanh phát ra được xác định bằng nghịch đảo của thời gian này: $v \sim \tau^{-1}$.

Trong khi bong bóng đứng yên ở đáy, lực Archimedes $F_A = \rho_B g V_\pi$ ($V_\pi$ là thể tích của bong bóng) đẩy nó lên trên và lực căng bề mặt giữ nó ở phía dưới tác dụng lên nó. Chúng tôi bảo toàn lực hấp dẫn thấp đã biết. Khi thể tích của bong bóng tăng lên, lực Archimedes quay trở lại và đến một lúc nào đó lực căng bề mặt trở nên lớn hơn. Bong bóng bắt đầu chuyển động đi lên. Rõ ràng là tổng lực tác dụng lên bong bóng trong quá trình tách nó ra khỏi đáy có độ lớn bằng $F_A$. Khối lượng của bong bóng chuyển động trong chất lỏng được xác định không phải bởi khối lượng không đáng kể của chính nó (khối lượng va chạm và hơi chứa trong nó), mà bởi cái gọi là khối lượng “thêm vào”, đối với bong bóng hình cầu là $m^* = \frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_\pi$ (trong công thức này $\rho_\pi$ là mật độ của chất lỏng và $r_0$ là bán kính của bong bóng). Giá trị $m^*$ thực sự xác định khối lượng chất lỏng xung quanh bong bóng có liên quan đến chuyển động khi bong bóng di chuyển.

Vì vậy, để tăng tốc bong bóng ở giai đoạn chuyển động ban đầu cần có:

$$a \sim \frac{F_A}{m^*} = \frac{\rho_B g \cdot \frac{4}{3} \pi r_0^3}{\frac{2}{3} \pi r_0^3 \rho_B} = 2g.$$

Bây giờ có thể ước tính thời gian bong bóng tách khỏi đáy, coi chuyển động của nó được tăng tốc đều. Nó tăng lên một khoảng cách theo thứ tự trao đổi của nó trong thời gian:

$$\tau_1 = \sqrt{\frac{2r_0}{a}} \sim 10^{-2} \text{ с.} \quad (*)$$

Đặc tính tương ứng của âm thanh phát ra khi bong bóng vỡ ra là $v_1 \sim \tau_1^{-1} \sim 100$ Hz.

Nguyên nhân thứ hai gây ra tiếng ồn khi đun nước trong ấm. Để có được nó, chúng ta sẽ theo dõi số phận của bong bóng hơi nước sau khi nó tách ra khỏi đáy. Khi nó nổi lên, bong bóng rơi xuống các lớp nước phía trên chưa được làm ấm đủ. Hơi nước bão hòa lấp đầy bong bóng nguội đi, áp suất của nó giảm xuống và không còn có thể bù đắp cho áp suất bên ngoài lên bong bóng từ nước. Kết quả là bong bóng nhanh chóng xẹp xuống và một xung âm thanh truyền qua chất lỏng.

Chúng ta hãy đánh giá phần đặc trưng của âm thanh được tạo ra khi bong bóng vỡ ra. Chúng ta hãy viết phương trình Newton cho khối lượng nước $m$ lao vào bên trong bong bóng khi nó co lại:

$$ma = F_\pi = S \cdot \Delta p.$$

Ở đây $S = 4\pi r^2$ là diện tích bề mặt của bong bóng mà lực áp suất $F_\pi$ tác dụng và $\Delta p$ là chênh lệch áp suất tại ranh giới bong bóng, $a$ là gia tốc chuyển động của ranh giới về phía tâm bong bóng. Rõ ràng là trong quá trình sụp đổ như vậy có sự tham gia của một khối nước có bậc độ lớn bằng tích của mật độ nước và thể tích của bong bóng: $m \sim \rho_B r^3$. Do đó, phương trình Newton có thể được viết lại thành

12

Clapeyron:

$$\rho_{\pi} = \frac{p_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}}}{RT_{\kappa}} \approx 0,6 \text{ кг/м}^3.$$

Do đó, đối với tốc độ hơi thoát ra khỏi vòi cuối cùng chúng ta thu được:

$$v = \frac{PRT_{\kappa}}{rp_{\text{нк}} \mu_{\text{H}_2\text{O}} s}.$$

Thay thế cho ước tính $P=500$ W, $s=2$ cm$^2$, $r=2,26 \cdot 10^6$ J/kg, $p_{\text{нк}}=10^5$ Pa, chúng ta thấy rằng $v \sim 1$ m/s.

Và cuối cùng, ấm đun nước đã mở nắp. Đáng chú ý là anh ấy đã đứng sau người đầu tiên. Nhân tiện, bạn nên cẩn thận khi nấu nó từ bếp - bạn có thể bị bỏng nặng do hơi nước. Cái gì đốt cháy nhiều hơn - hơi nước hay nước sôi? Trước khi trả lời câu hỏi này, cần làm rõ: cái gì cháy nhiều hơn - một khối lượng nước sôi nhất định hay cùng một khối lượng hơi nước? Chúng ta hãy nhìn lại xếp hạng.

Đặt thể tích chiếm giữ của hơi nước bão hòa 100 độ dưới nắp ấm là $V_1=1$ lít và chẳng hạn, một phần mười lượng hơi nước đó sẽ ngưng tụ trên tay khi mở nắp. Như chúng tôi đã phát hiện ra, mật độ của các cặp tại $t_{\kappa}=100^\circ\text{C}$ là 0,6 kg/m$^3$. Do đó, có khoảng 0,06 g hơi nước đọng lại trên tay. Trong quá trình ngưng tụ và làm mát sau đó từ 100 °C đến nhiệt độ cơ thể $t_0$ ($t_0 \approx 37^\circ\text{C}$), nhiệt $\Delta Q = rm_{\pi}+cm_{\pi}(t_{\kappa}-t_0) \approx 150$ J được giải phóng. Dễ dàng nhận thấy rằng để có cùng một không khí ấm áp, bạn sẽ cần khối lượng nước sôi gần gấp mười lần. Ngoài ra, khi đi săn bằng phà, diện tích bị ảnh hưởng sẽ lớn hơn đáng kể. Do đó, hơi nước cháy nóng hơn nước sôi, chủ yếu là do lượng nhiệt tỏa ra đáng kể trong quá trình ngưng tụ.

Nhưng chúng ta lạc đề khi thảo luận về kết quả thí nghiệm của chúng ta với hai ấm trà. Tại sao chiếc ấm mở nắp vẫn bị tụt lại phía sau? Hãy xem xét điều này chi tiết hơn. Đáp số gần như rất nhiều: trong quá trình làm nóng nước trong ấm mở nhanh hơn, các phân tử của nó có cơ hội liên tục rời khỏi ấm, mang theo năng lượng và làm mát phần nước còn lại trong ấm (quá trình này không gì khác hơn là bay hơi). Vì vậy, khi đun nóng, trong trường hợp này không chỉ cần đun sôi nước trong ấm mà còn phải làm bay hơi một phần nước trong quá trình đun nóng. Rõ ràng là việc này tiêu tốn nhiều năng lượng hơn (và do đó là thời gian) so với khi đun sôi nước trong ấm kín, trong đó các phân tử “nhanh” được san bằng khỏi nước và rất nhanh chóng hình thành hơi nước bão hòa trong một không gian hạn chế dưới nắp và quay trở lại nước, giải phóng năng lượng dư thừa của chúng.

Tuy nhiên, cũng có hai tác dụng hiệu quả chống lại khoảng cách. Thứ nhất, trong quá trình bay hơi, khối lượng nước giảm đi phần nào, cần đun sôi. Thứ hai, đun sôi trong ấm mở ở áp suất khí quyển bình thường xảy ra ở nhiệt độ 100 ° C và trong ấm kín - ở nhiệt độ cao hơn. Thật vậy, nếu ấm được đổ đầy theo cách mà hơi không thể thoát ra qua vòi, do bay hơi mạnh trước khi đun sôi, thì áp suất trên bề mặt sẽ tăng lên, vì lúc này nó đã bị vượt quá tổng áp suất riêng phần của một lượng nhỏ không khí và nước dưới nắp.

14

$$\frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T.$$

Khi đun nóng ấm, nhiệt độ thay đổi từ nhiệt độ phòng thành $T_k=373$ K. Vì sự mất khối lượng chính xảy ra ở nhiệt độ đủ cao, chúng ta hãy thay nhiệt độ trung bình nhất định $T=350$ K vào số mũ. Đối với các giá trị còn lại, chúng tôi sử dụng: $\Delta T \approx 80$ K, $S \approx 10^{-3}$ m$^2$, $\rho = 10^3$ kg/m$^3$, $\mu H_2 O = 0,018$ kg/mol, $c = 4,19 \cdot 10^3$ J/kg. Khi tính đến những giá trị này, chúng ta sẽ tìm ra phần nước nào bay hơi trong quá trình đun nóng một ấm đun nước mở.

$$\frac{\Delta M}{M} \sim \frac{\rho c S}{P} \sqrt{r} e^{-\frac{\mu H_2 O}{RT}} \cdot \Delta T \sim 3 \cdot 10^{-2}.$$

Vì vậy, trong quá trình đun nóng một ấm đun nước không có nắp, một vài phần trăm tổng khối lượng nước sẽ thoát ra khỏi ấm. Sự bay hơi của toàn bộ khối nước này xảy ra do lò sưởi và tất nhiên, kéo dài quá trình đun sôi của ấm đun nước mở. Để hiểu là bao nhiêu, chỉ cần lưu ý rằng sự bay hơi như vậy đối với lò sưởi tương đương với việc đun sôi 1/4 khối lượng nước trong ấm (bạn hãy tự xem điều này).

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang xem xét các giải pháp thay thế hiệu quả cho việc đun sôi một chiếc ấm đun nước đang mở. Không có gì để nói về điều đầu tiên trong số đó - sự không đổi của khối lượng trong quá trình gia nhiệt. Người ta vừa nói rằng sự bay hơi của 3% khối lượng tương đương với việc làm nóng 25% khối lượng, do đó có thể bỏ qua nhu cầu đun nóng 3% khối lượng này trong một ấm kín.

Tác dụng thứ hai - tăng áp suất dưới nắp đóng - cũng không thể cạnh tranh với sự bay hơi của nước từ ấm mở. Thật vậy, để tránh (so với áp suất khí quyển), áp suất dưới nắp không được vượt quá esa của nắp so với diện tích của nó (nếu không, nắp bắt đầu nảy lên, giải phóng hơi nước):

$$\Delta p \leq \frac{m_k g}{S} \sim \frac{3 H}{10^{-3} M^2} \sim 3 \cdot 10^3 \text{ Pa}.$$

Nhìn lại bảng trên (xem trang 11), chúng ta thấy rằng cũng có sự gia tăng áp suất từ ​​một áp suất nhất định; cho đến thời điểm này nó đã kín gió. Do chất lỏng bay hơi thành một thể tích kín, áp suất trong hộp mực tăng lên khoảng $1,4 \cdot 10^5$ Pa, khi van mở và điểm sôi

15

tăng lên $t^*_{\text{к}} = 108 \,^{\circ}\text{C}$ (xem bảng tương tự ở trang 11). Điều này cho phép bạn nấu pshsha nhanh hơn nhiều so với nồi thông thường.

Nhưng chúng tôi bắt đầu nói chuyện và những chiếc ấm trên bếp đang bốc khói. Sau khi nhấc chiếc ấm có nắp đậy kín ra khỏi bếp, bạn thấy nó không ngừng sôi ngay lập tức - trong một thời gian, một dòng hơi nước vẫn thoát ra từ vòi của nó. Phần nào của nước sôi đi sau khi lấy ấm ra khỏi bếp?

Để trả lời những câu hỏi này, chúng ta hãy chuyển sang hình, biểu thị sự phân bố nhiệt độ nước theo chiều cao khi nó sôi trong một bình mà nhiệt được truyền qua đáy. Từ hình, rõ ràng là lớp nước mỏng dưới cùng dày $\Delta h \approx 5$ mm bị nóng quá mức - dọc theo chiều dài của nó, nhiệt độ giảm từ $t_{\text{л}} = 110 \,^{\circ}\text{C}$ xuống $t_{\text{м}} = 100,5 \,^{\circ}\text{C}$. Nhiệt độ của khối nước còn lại trong ấm (chúng tôi giả sử mực nước $h = 10$ cm) là khoảng $100,5 \,^{\circ}\text{C}$, và ở bề mặt tự do của chất lỏng có nhiệt độ tăng vọt là $\Delta t = 0,4 \,^{\circ}\text{C}$. Do đó, sau khi ngừng cung cấp nhiệt, một lượng nhiệt dư so với lượng nhiệt cân bằng sẽ được lưu trữ trong khối nước.

$$\Delta Q_1 = c\rho S_{\text{л}} \cdot \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + c\rho S_{\text{л}} (h - \Delta h) \cdot \Delta t,$$

trong đó $S_{\text{л}}$ là diện tích đáy ấm trà (mà chúng ta giả sử có dạng hình trụ). Nhiệt lượng này được áp dụng cho sự bay hơi của khối lượng $\delta m$ của chất lỏng:

$$S_{\text{л}} \rho c \left( \Delta h \frac{t_{\text{л}} - t_{\text{м}}}{2} + (h - \Delta h) \cdot \Delta t \right) = r \cdot \delta m = \rho S_{\text{л}} \cdot \delta h \cdot r,$$

trong đó $\delta h$ là mức chất lỏng giảm do điều này

Temperature graph

Và những chiếc ly dùng để đựng trà đã được sử dụng vào thế kỷ 19 do giá thành của trà sứ cao. Những tác phẩm nghệ thuật trang trí này đã đáp ứng được mong muốn, và những người đàn ông uống trà từ ly thủy tinh, dần dần có được những giá đỡ bằng bạc có chữ lồng của chủ nhân.

Cuối cùng, hãy xem xét liệu bạc và alominium có phải là vật liệu tốt để làm đế lót ly hay không? Chất liệu làm chân đế trước hết phải đáp ứng yêu cầu gì?

16

SÓNG
TRÊN NƯỚC

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
L. A. OSTROVSKY

Wow, tôi sẽ không có lời nào tuyệt vời cả…
lo đã nói về biển, về những suy nghĩ và cảm xúc
mối quan hệ nảy sinh khi nhìn vào
nó luôn sống động, luôn thú vị
Hạ mặt! Biển là biểu tượng của sấm sét
những yếu tố mới, vô thường, nguy hiểm,
đa dạng khó hiểu. Quan sát
âm thanh của sóng biển đã được xuất bản

16

17

Họ đánh thức con người suy nghĩ và làm nảy sinh những lý thuyết khoa học mới. Bản thân khoa học về sóng “được sinh ra trong đại dương”, và thật không may, con người lần đầu tiên biết đến một phần những gì ngày nay biết về các loại sóng có tính chất đa dạng nhất bằng cách nghiên cứu sóng trên mặt nước.

Chạy sóng hình sin
Trong khóa học ở trường, các nhà vật lý nghiên cứu chi tiết về chuyển động của vật rắn. Sóng là một loại chuyển động hoàn toàn khác. Ví dụ, giả sử một sự xáo trộn xuất hiện ở một nơi nào đó trên mặt nước - một hòn đá rơi, một con tàu đang di chuyển, gió thổi… Chuyển động

2 Lượng tử số 8

17

18

các hạt nước phát sinh ở nơi này sẽ được chuyển sang các hạt lân cận và sẽ dần dần chiếm được phần chung của bề mặt (ví dụ: các vòng tròn sẽ phân tán từ một hòn đá). Trong trường hợp này, mỗi bộ phận sẽ di chuyển một chút, nhưng chuyển động được “chuyển” qua một khoảng cách đáng kể. Năng lượng rung động được truyền từ bộ phận này sang bộ phận khác, giống như trong một cuộc chạy đua tiếp sức. Chúng ta gọi sự thay đổi trạng thái của môi trường truyền đi và mang theo năng lượng như vậy là sóng.

Để hiểu các tính chất của chuyển động sóng, thật thuận tiện khi phân tích chúng thành một số phần tử đơn giản hơn. Sóng hình sin thường được coi là một phần tử như vậy.

Chúng ta hãy tưởng tượng một bề mặt nước “hình sin”, và “gấp sóng” này không đứng yên mà di chuyển dọc theo trục $x$ với tốc độ không đổi (hình 1). Nếu chúng ta cắt bề mặt lượn sóng của mình

Hình 1.

mặt phẳng thẳng đứng song song với trục $x$ thì ta thu được sóng hình sin. Khoảng cách giữa hai đỉnh liền kề, hai đáy liền kề, nói chung là giữa hai điểm gần nhau, cùng pha, là như nhau - đây là bước sóng $\lambda$. Vì sóng truyền dọc theo trục $x$ với tốc độ không đổi nên bất kỳ điểm nào trong không gian mà sóng đi qua, sau một khoảng thời gian nhất định $T$ đều xuất hiện cùng pha - các điểm dao động với một chu kỳ $T$. Rõ ràng là trong thời gian này sóng sẽ cười dọc theo trục $x$ đến khoảng cách $\lambda$. Tốc độ dịch chuyển $c=\lambda/T$ như vậy được gọi là tốc độ pha của sóng.

Trong tự nhiên không có sóng xoang vô tận - chuyển động sóng bắt đầu ở đâu đó và kết thúc ở đâu đó. Đúng, sóng phía trước vẫn gần như hình sin trong một thời gian dài, nhưng con số “gần như” này hóa ra rất quan trọng. Để hiểu điều gì đang xảy ra, hãy xem xét hai sóng hình sin có chu kỳ khác nhau nhưng gần nhau $T_1$ và $T_2$ và có độ dài tương tự $\lambda_1$ và $\lambda_2$. Nếu trong một vùng không gian nào đó, đỉnh và đáy của cả hai sóng gần như trùng nhau thì tổng biên độ - dao động của các điểm trong không gian sẽ tăng lên đáng kể. Nhưng khi bạn di chuyển ra khỏi vùng này, sự khác biệt về bước sóng sẽ dẫn đến thực tế là các pha của sóng tương ứng với cùng một điểm trong không gian sẽ khác nhau rõ rệt, và cuối cùng các đỉnh của sóng này bắt đầu rơi vào đáy của sóng khác - các sóng sẽ triệt tiêu lẫn nhau. Sau đó, sự giảm chấn này lại được dịch chuyển bằng cách khuếch đại và toàn bộ bức tranh sẽ tự lặp lại theo định kỳ. Bạn có thể xác minh điều này bằng cách vẽ hai sóng hình sin có biên độ giống hệt nhau với chu kỳ hơi khác nhau và cộng chúng - chồng sóng này lên sóng kia, như trong hình 2, $a$. Kết quả của phép cộng này là hình 2, $b$: nó giống như một sóng hình sin có chu kỳ $T$, gần với $T_1$ và $T_2$, nhưng biên độ tuần hoàn của nó thay đổi. Quá trình này được gọi là nhịp đập và sóng được gọi là điều chế.

19

Sự thay đổi biên độ trong các nhịp được mô tả bằng một sóng “bao bọc” các rung động chính - hay như người ta nói, sóng mang -. Chúng ta hãy tìm độ dài $\lambda_a$ của sóng bao này và chu kỳ của nó $T_a$. Điều này khá dễ thực hiện. Số sóng của các hình sin ban đầu, chẳng hạn, nằm giữa hai cực đại liền kề của đường bao, phải khác nhau một đơn vị sao cho đỉnh và đáy của các sóng này lại trùng nhau. Đối với sóng đầu tiên, số lượng sóng như vậy là $\lambda_a/\lambda_1$, đối với sóng thứ hai - $\lambda_a/\lambda_2$. Vậy, $\frac{\lambda_a}{\lambda_1} - \frac{\lambda_a}{\lambda_2} = 1$, từ đâu

$$\lambda_a = \frac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2 - \lambda_1} \approx \frac{\lambda^2}{\Delta \lambda}.$$ (1)

Ở đây, chúng tôi biểu thị sự khác biệt $\lambda_2 - \lambda_1$ bằng $\Delta \lambda$ và thay thế kết quả $\lambda_1 \lambda_2$ bằng bình phương trung bình hình học $\lambda_1$ và $\lambda_2$ ($\lambda^2 = (\sqrt{\lambda_1 \lambda_2})^2$) - một giá trị gần với cả hai giá trị, cũng như với độ dài của sóng mang (một phép tính chính xác cho độ dài của sóng mang cho $\lambda_n = 2\lambda_1 \lambda_2 / (\lambda_1 + \lambda_2)$). Không khó để có được biểu thức (1) tương tự cho nhịp: $T_a \approx T^2 / \Delta T$. Bây giờ có thể tìm tốc độ đường bao - tốc độ di chuyển của nhịp:

$$v = \frac{\lambda_a}{T_a} = \frac{\lambda^2}{T^2} \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda},$$ (2)

trong đó $c$ là vận tốc pha của sóng mang. Nếu tốc độ của hai hình sin tạo nên sóng mang hoàn toàn giống nhau, sao cho $\lambda_1 = c T_1$ và $\lambda_2 = c T_2$, thì $\frac{\Delta \lambda}{\Delta T} = c$, và hóa ra là $v = c$. Trong trường hợp này, toàn bộ mẫu sóng di chuyển với tốc độ tổng thể là $c$. Nếu $c_1 \neq c_2$ thì $v$ khác với $c$; hóa ra sóng mang di chuyển với một tốc độ - tốc độ pha $c$ và đường bao - với một tốc độ khác $v$, được gọi là nhóm một. Với vận tốc nhóm, năng lượng được sóng truyền đi.

Sóng bao, giống như sóng hình sin, là vô hạn cả về thời gian và không gian. Chỉ bằng cách thêm không phải hai mà nhiều (có nhiều đường bao nghiêm ngặt) hình sin có độ dài và chu kỳ tương tự nhau, người ta mới có thể thu được một “gói sóng” - một bức tranh về các dao động chiếm một diện tích giới hạn

khoảng trống (hình 3). Và một lần nữa, toàn bộ gói tin sẽ di chuyển với vận tốc nhóm và sóng mang “sóng hình sin” sẽ di chuyển với vận tốc pha. Đúng, phong trào này không thể tiếp tục vô thời hạn. Nếu vận tốc pha của các hình sin khác nhau là khác nhau thì vận tốc nhóm của các cặp hình sin khác nhau, được tính theo công thức (2), sẽ khác nhau. Bởi vì điều này, trên một khoảng cách lớn, gói sóng sẽ dần thay đổi hình dạng và cuối cùng lan rộng ra, “trải rộng” khắp không gian. Hiện tượng này được gọi là phân tán, từ tiếng Latin phân tán - tán xạ.

Vì vậy, để mô tả chuyển động trong môi trường tán sắc, chúng ta phải đưa ra không phải một mà ít nhất là hai tốc độ!

Sóng trên mặt nước

Hãy quay trở lại với những con sóng trên mặt nước. Để mô tả chính xác các sóng này, cần phải viết phương trình chuyển động của một phần nước và cố gắng tìm chúng lời giải. Tuy nhiên, có thể thu được nhiều thứ mà không cần phương trình nếu bạn sử dụng cái gọi là phương pháp thứ nguyên, phương pháp này thường cho phép bạn nghiên cứu một hiện tượng mà không cần dùng đến các phép tính toán học phức tạp.

Chúng ta hãy xem tốc độ truyền sóng hình sin trên mặt nước có thể phụ thuộc vào những đại lượng vật lý nào. Nếu chúng ta bỏ qua ảnh hưởng của khí quyển (gió) và coi hồ chứa là sâu vô hạn, thì chúng ta có mật độ nước $\rho$, gia tốc trọng trường $g$ và cuối cùng là chu kỳ của sóng $T$ (hoặc chiều dài của nó $\lambda$) *). Hãy viết kích thước của các đại lượng này:

$$[\rho] = \kappa \Gamma / m^3, [g] = m / c^2, [T] = c.$$

*) Một thông số chiều khác có thể ảnh hưởng đến tốc độ sóng là sức căng bề mặt $g$. Tuy nhiên, như tính toán cho thấy, hóa ra nó chỉ có ý nghĩa đối với những sóng rất ngắn (~1 cm), mà chúng ta sẽ không quan tâm ở đây.

20

Chỉ có chúng mới có thể phụ thuộc vào tốc độ sóng $c$. Làm thế nào để kết hợp chúng với chiều tốc độ? Vì $[c]=\text{m/c}$ và khối lượng chỉ xuất hiện trong $[\rho]$ nên mật độ $\rho$ phải được loại trừ. Trong số các giá trị còn lại $g$ và $T$, sự kết hợp duy nhất là phù hợp: $[c]=[gT]$ (không quan trọng tốc độ – pha hay nhóm – chúng ta đang nói đến).

Điều này cho phép chúng ta phát biểu rằng $c$ và $v$ tỷ lệ thuận với $gT$. Hệ số tỷ lệ không thể được xác định bằng phương pháp thứ nguyên; từ một lý thuyết chi tiết hơn, nó suy ra rằng đối với vận tốc pha thì nó bằng $1/2\pi$:

$$c = \frac{gT}{2\pi}.$$

Theo định nghĩa $c=\lambda/T$ và từ công thức (3), ta thu được mối quan hệ giữa độ dài và chu kỳ của sóng -

$$\lambda = \frac{gT^2}{2\pi}.$$

Sự tương ứng này được gọi là phương trình phân tán. Một biểu thức nữa cho $c$ có thể được viết:

$$c = \sqrt{\frac{g\lambda}{2\pi}}.$$

Tốc độ của nhóm là bao nhiêu? Ở trên chúng tôi đã thu được sự tương ứng $v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$ (xem (2)). Bây giờ, sử dụng phương trình phân tán, chúng ta tìm được tỷ lệ $\frac{\Delta T}{\Delta \lambda}$:

$$\Delta \lambda = \frac{g}{\pi} T \cdot \Delta T \Rightarrow \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{\pi}{gT}.$$

Thay thế giá trị này vào công thức cho $v$, tính đến (3) chúng ta thu được:

$$v = c^2 \frac{\Delta T}{\Delta \lambda} = \frac{gT}{4\pi} = \frac{1}{2} c.$$

Vì vậy, đối với sóng ở vùng nước sâu, vận tốc nhóm bằng một nửa vận tốc pha và cả hai đều phụ thuộc vào chu kỳ của sóng, tức là sóng có sự phân tán.

Chúng ta hãy viết các biểu thức tính được liên quan đến độ dài và tốc độ truyền sóng theo chu kỳ của nó:

$$\lambda = 1,56T^2, \quad v = \frac{1}{2} c \approx 0,78T$$

($T$ được tính bằng giây, $\lambda$ tính bằng mét và tốc độ tính bằng mét/giây).

Để tưởng tượng điều gì thực sự xảy ra, đây là một bảng nhỏ:

| $T, c$ | 0,5 | 1 | 5 | 15 | 20 | 50 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $\lambda, \text{m}$ | 0,39 | 1,56 | 39 | 156 | 620 | 3900 |
| $v, \text{m/c}$ | 0,39 | 0,78 | 3,9 | 7,8 | 15,1 | 39 |

Như có thể thấy từ bảng, sóng tương đối ngắn di chuyển với tốc độ của người đi bộ, trong khi sóng dài có thể vượt qua máy tự động.

Mất một khoảng thời gian dài hơn nữa, chẳng hạn như $T \approx 1$ h, và theo đó, bước sóng $\lambda \approx 20000$ km, chúng ta sẽ đạt được tốc độ tuyệt vời là $v \approx 10000$ km/h. Tuy nhiên, đối với những con sóng lớn, sóng sẽ “đến” ngay cả nơi sâu nhất của đại dương và những công thức đơn giản của chúng ta sẽ không còn áp dụng được nữa. Chúng cũng không thể áp dụng cho các sóng rất ngắn, có chiều dài dưới vài cm - ở đây người ta cảm nhận được ảnh hưởng của lực căng bề mặt. Và tất cả những công thức này cũng phù hợp để mô tả các sóng có độ dài rất rộng - từ hàng chục cm đến hàng chục km trở lên.

Mặc dù sóng được hình thành do sự chuyển động của các hạt sóng nhưng bản thân các hạt này không hề chuyển động cùng với sóng. Bạn có thể dễ dàng xác minh điều này bằng cách nhìn vào phao: nó vẫn giữ nguyên vị trí, chỉ thực hiện những chuyển động dao động nhỏ. Để tưởng tượng các phần tử của sóng chuyển động như thế nào trong quá trình truyền sóng hình sin, sẽ thuận tiện hơn khi áp dụng quan điểm về những gì được quan sát thấy chuyển động ở tốc độ bằng tốc độ pha của sóng. Đối với điều này, người ta quan sát thấy bề mặt “gợn sóng” của sóng sẽ dừng lại và ngủ yên, nhưng khối lượng rám nắng của sóng sẽ “chảy” theo hướng ngược lại với tốc độ $c$. Các hạt sóng trên bề mặt trượt dọc theo địa hình nhấp nhô giống như bất kỳ quả bóng nào được bắn dọc theo nó với một tốc độ ban đầu nhất định. Quay trở lại phần trên cùng của bức phù điêu, một quả bóng (và hạt sóng) như vậy sẽ có tốc độ nhỏ hơn một chút so với tốc độ trung bình $c$, và nếu nó lăn xuống phía dưới, nó sẽ có tốc độ cao hơn một chút $c$. Trong trạng thái bất động

21

hệ thống báo cáo, trong đó cấu hình sóng là bezit với vận tốc pha, chuyển động của một hạt riêng lẻ sẽ là tổng của các gia tốc và giảm tốc này theo cả hướng ngang và hướng dọc. Kết quả của phép cộng này là một chuyển động tròn có bán kính bằng biên độ của sóng (hình 4).

Hình 4.

Các hạt nằm dưới bề mặt cũng có dạng hình tròn nhưng có bán kính nhỏ hơn. Biên độ dao động của hạt giảm theo cấp số nhân theo độ sâu, tỷ lệ thuận với $e^{-2\pi z/\lambda}$, trong đó $z$ là độ sâu. Điều này có nghĩa là ở độ sâu bằng bước sóng, biên độ chuyển động của sóng nhỏ hơn $e^{2\pi} \approx 535$ lần so với ở bề mặt. Do đó, ngay cả những cơn bão mạnh trên thực tế cũng không chỉ xuất hiện trong đại dương ở độ sâu lớn hơn hàng trăm mét chẳng hạn, và nếu $\lambda$ nhỏ hơn $2\pi H$, trong đó $H$ là độ sâu của hồ chứa, thì nó thực sự có thể được coi là sâu vô hạn—sóng “không lặn” trong ngày.

Tất nhiên, do sóng biển, sóng thường không có dạng hình sin, chúng bao gồm nhiều sóng hình sin và chuyển động của hạt nước phức tạp hơn - nó dường như cũng bao gồm nhiều vòng tròn có bán kính khác nhau, chuyển động quay dọc theo đó xảy ra với tốc độ khác nhau; nhưng ở những sóng đủ yếu thì chuyển động này vẫn còn hạn chế và gần như đối xứng (lên - xuống). Nhưng một sóng mạnh hơn, thậm chí là một sóng tuần hoàn nghiêm ngặt, sẽ không phải là sóng hình sin - các đỉnh của nó sắc nét hơn sự đánh lửa (hình 5). Và nếu sóng trở nên lớn hơn nữa, một “điểm gấp khúc” với góc xấp xỉ $120^\circ$ sẽ xuất hiện ở đỉnh của nó và sau đó sẽ xảy ra “sự sụp đổ”.

Hình 5.

• một con cừu non sủi bọt sẽ xuất hiện trên đầu. Chắc hẳn bạn cũng đã từng nhìn thấy những chú cừu non trên biển, hồ, sông; khi có gió mạnh, chúng bao phủ một phần đáng kể bề mặt nước.

Sóng gió

Vào cuối thế kỷ này, nhà vật lý nổi tiếng người Anh Rayleigh đã nhận xét: “Định luật cơ bản của sóng biển là sự vắng mặt của bất kỳ định luật nào”. Đúng vậy, việc phân loại mang tính mô tả về trạng thái mặt biển cần thiết cho các thủy thủ đã được phát triển từ lâu. Như bạn đã biết, cường độ gió được đặc trưng bằng thang Beaufort 12 điểm, chiều cao sóng được đặc trưng bằng thang sóng 9 điểm. Các đoạn trích từ các thang đo này được đưa ra ở trang. 16-17. Như bạn có thể thấy, chúng chủ yếu dựa trên mô tả bằng lời về tình huống. Sự phân loại này hơi gợi nhớ đến “Câu chuyện về con cá và con cá” của Pushkin. Còn nhớ, lúc đầu ông già “thấy biển hơi động”; rồi “biển xanh mây mù”, rồi “biển xanh chuyển sang màu đen” và cuối cùng, “anh ấy nhìn thấy một cơn bão đen trên biển: anh ấy nhìn thấy những con sóng giận dữ, chúng bước đi như thế, chúng hú và hú”… Xin vui lòng, ở đây bạn thậm chí có thể cho biết có bao nhiêu điểm phấn khích được thêm vào mỗi lần cá vàng!

Gần đây, phương tiện thay đổi sóng biển đã được cải tiến đáng kể. Ngoài các máy ghi sóng đặc biệt - dụng cụ ghi lại những biến động trên mặt biển tại một điểm nhất định, các phương pháp từ xa đang đo được những giá trị ngày càng lớn hơn. Chỉ cần chụp ảnh sóng biển từ tàu hoặc máy bay cũng cung cấp rất nhiều thông tin. Radar biển cũng có hiệu quả. “Hải dương học vệ tinh” đã xuất hiện và đang phát triển nhanh chóng. Là kết quả của nhiều năm quan sát, dữ liệu phong phú về sóng biển. Nhưng việc trả lời đáp số câu hỏi về việc chính xác gió kích thích sóng trên mặt nước như thế nào, chúng phát triển thêm như thế nào, không hề dễ dàng chút nào và vẫn chưa đạt được sự rõ ràng hoàn toàn, mặc dù các cơ chế cơ bản đã được biết đến.

Hãy tưởng tượng một mặt nước mịn màng. Gió thổi và sóng xuất hiện. Tại sao? Trước hết, vì gió không đều,

một luồng không khí đều đặn trượt trên mặt nước. Nó luôn chứa các xung áp suất ngẫu nhiên tác động lên mặt nước, làm xáo trộn và làm biến dạng bề mặt của nó. Nếu những xung động này tác động “một số vào rừng, một số lấy củi” một cách ngẫu nhiên thì cuối cùng rất có thể sẽ không có làn sóng đáng chú ý nào xuất hiện. Tình hình sẽ khác nếu tốc độ gió gần với tốc độ pha của sóng mà nó kích thích. Sau đó, một sự cộng hưởng sẽ xuất hiện: bề mặt rung động theo nhịp đập của không khí, và sóng lan rộng, liên tục nén lại. Khi biên độ tăng lên, bản thân sóng bắt đầu ảnh hưởng đến các xung của luồng không khí, làm dịu chúng và thậm chí trở nên bình tĩnh hơn trước hành động của chúng, và sự phát triển liên kết này thậm chí còn diễn ra nhanh hơn so với giai đoạn ban đầu. Việc “tăng tốc” như vậy có thể mất nhiều thời gian và sau đó sóng sẽ đạt đến độ cao đáng kể. Nhưng cuối cùng, ngay cả khi gió không dừng lại thì quá trình này vẫn chậm lại. Đỉnh của sóng sẽ sắc nét (như trong hình 5) và sau đó sụp đổ, tạo thành các vệt trắng. Các cử tri, các sóng khác nhau không tồn tại riêng lẻ mà tương tác với nhau, tức là chúng truyền năng lượng cho nhau, năng lượng này được phân phối lại giữa chúng một cách phức tạp.

Kết quả của tất cả những điều này là một bức tranh về sóng gió thực được hình thành, bao gồm các sóng có độ dài, biên độ và hướng khác nhau. Tuy nhiên, bức tranh này bị chi phối bởi các sóng có tốc độ pha gần với tốc độ gió $u$, và do đó bước sóng xấp xỉ $2\pi u^2/g$: gió càng mạnh thì đặc tính của chiều dài và tất nhiên, chiều cao của sóng càng lớn. Nhìn chung, chiều cao của sóng trơn không vượt quá 1/7 chiều dài của chúng; các rặng núi lớn hơn sụp đổ để tạo thành mũ. Trong gió nhẹ chỉ có sóng ngắn, nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Như đã đề cập, đối với các bước sóng rất ngắn, phải tính đến ảnh hưởng của sức căng bề mặt. Hiệu ứng này được phản ánh ở chỗ tốc độ pha không giảm về 0 khi giảm $\lambda$, mà đạt mức tối thiểu đối với các sóng có chiều dài 1,73 cm và tăng trở lại khi sóng rút ngắn hơn nữa. Vận tốc pha tối thiểu là 23 cm/s (đối với màng nước sạch, không có bề mặt). Đây là tốc độ gió ngưỡng tối thiểu mà tại đó sóng có thể xuất hiện và sóng ngắn, “cm”; chúng rất dễ nhận thấy bằng cách quan sát sự xuất hiện của các gợn sóng trong bất kỳ vũng nước nào khi có gió giật ngắn hạn.

Cần lưu ý rằng sóng hình sin khá đều đặn - phồng lên - luôn xuất hiện trên mặt biển lặng. Đây là tiếng vọng của một cơn bão ở xa: các sóng phức tạp phát sinh trong khu vực bão, nhưng trước hết là các sóng dài, tốc độ nhóm cao, suy hao yếu, thoát ra xa. Đây là hiện tượng sóng lớn, có khi lan rộng hàng nghìn km, gây rung lắc khó chịu cho tàu.

Biển sóng

Trong bài toán sóng biển, câu hỏi lớn là tên của bề mặt tiếp xúc với nó là gì. “Bề mặt” cũng bởi vì, như chúng ta đã thấy ở trên, sóng gió chỉ làm xáo trộn lớp trên mỏng, hàng chục mét của đại dương - xét cho cùng, đối với phần sâu nhất của nó, những con sóng này luôn ngắn. Nhưng còn có những loại sóng khác - thủy triều, sóng thần - có chiều dài lớn hơn độ sâu của những nơi sâu nhất trong đại dương. Trong những sóng như vậy, chuyển động của nước bao phủ toàn bộ độ dày của đại dương và bản thân chúng lan truyền với tốc độ lớn nhất $c=v=\sqrt{gH}$ đối với độ sâu nhất định $H$. Nhưng đó không phải là tất cả. Ở độ sâu của đại dương có những “sóng chậm” - gọi là sóng bên trong, di chuyển với tốc độ không quá một đến hai mét mỗi giây, nhưng đạt tới độ cao khổng lồ hàng chục, đôi khi hàng trăm mét. Tuy nhiên, còn mét trên giây thì sao? Ngoài ra còn có những đợt sóng như vậy - sóng Nga, thời gian lên tới vài tháng và tốc độ chỉ 1-2 cm mỗi giây; Đối với những làn sóng như vậy, sự quay của Trái đất đóng vai trò quyết định. Những sóng này và các sóng khác được các nhà vật lý, nhà hải dương học, nhà khí tượng học quan tâm và chúng xứng đáng có một câu chuyện riêng.

23

Bài toán

M1056—M1060, F1068—F1072

M1056. Mỗi ô của bảng vuông 1987×1987 chứa một số không vượt quá modulo 1.
Trong một ô vuông 2x2 bất kỳ của bảng này, tổng các số bằng 0. Chứng minh rằng tổng các số trong bảng không vượt quá 1987.

A. S. Merkuryev

M1057. Hai người chơi lần lượt viết các số tự nhiên không vượt quá p lên bảng. Luật chơi cấm viết ước số của các số đã viết sẵn lên bảng. Người chơi không thể thực hiện thêm nước đi khác sẽ thua.
a) Tìm ra người chơi nào có chiến lược thắng với p=10 và chỉ ra chiến lược đó.
b) Tìm xem người chơi nào có chiến lược thắng với p=1000.

D. V. Fomin

M1058. Một tập hợp các nút không trống được đánh dấu trên một mạng số nguyên. Ngoài ra, một tập hợp hữu hạn các vectơ có tọa độ nguyên được đưa ra. Người ta biết rằng nếu tất cả các vectơ đã cho được vẽ từ bất kỳ nút được đánh dấu nào thì trong số các đầu của chúng sẽ có nhiều nút được đánh dấu hơn các nút không được đánh dấu. Chứng minh rằng có vô số nút được đánh dấu.

D. G. Flaas

M1059. Đồ thị của hàm y=f(x), xác định toàn bộ trục số, biến thành chính nó khi quay một góc π/2 quanh gốc tọa độ.
a) Chứng minh rằng phương trình f(x)=x có đúng một lời giải.
b) Cho ví dụ về hàm số đó.

A. V. Klyushin

M1060. Có hai đường đứt nét khép kín trên mặt phẳng, mỗi đường có số liên kết lẻ. Tất cả các đường thẳng chứa các liên kết của các đường gãy này đều khác nhau và không có ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Chứng minh rằng từ mỗi đường đứt đoạn có thể chọn được một mắt xích sao cho chúng là các cạnh đối diện của một tứ giác lồi.

A. Serdyukov, D. G. Flaas

F1068. Một viên đạn bay thẳng đứng sẽ vỡ thành ba mảnh bằng nhau ở điểm trên cùng của quỹ đạo. Một trong các mảnh chuyển động thẳng đứng, bay đi sau thời gian T₁ sau khi bắn, hai mảnh còn lại bay đi đồng thời sau thời gian T₂ (T₁<T₂). Tìm độ cao H mà tại đó viên đạn phát nổ.

Yu. G. Pavlenko

F1069. Ở một góc có độ lớn α, theo một thanh mỏng nhẵn, người ta treo một vòng nhẹ có chiều dài l có gắn một vật nặng nhỏ vào; góc được đặt theo chiều dọc (hình 1). Tìm khoảng cách từ tải đến đỉnh của góc ở vị trí cân bằng và chu kì dao động nhỏ của tải trong mặt phẳng góc.

I. I. Mazin

F1070. Một cậu bé thổi một xung xà phòng từ một ống dài. Sau khi thổi phồng sao xung, anh ta thả ống ra khỏi miệng, trong khi sao xung bị thổi ngược trở lại vào ống và cuối cùng biến mất sau thời gian t. Sẽ mất bao lâu để làm xẹp hơi một ẩn tinh có bán kính gấp đôi theo cách tương tự? Giả sử lượng không khí cung cấp qua ống đạt

26

bổ đề

Nếu $f'(x) > g'(x)$ tại $x \geq x_0$, thì $f(x) > f(x_0) + g(x) - g(x_0)$ tại $x > x_0$ (thực sự, hàm $f(x) - g(x)$ có tích dương và do đó tăng nghiêm ngặt ở $x \geq x_0$).

$$f(a+1) > 2a+1;$$

khi đó, theo bổ đề cho trong các trường cho các hàm $f(y)$ và $g(y) = y + a$ ($g'(y) = 1$), từ (2) và (3) nó sẽ tuân theo điều đó cho $y \geq a+1$
$$a^y - y^a = f(y) \geq f(a+1) + g(y) - g(a+1) > 2a+1 + y - (a+1) = a+y.$$

Hãy cùng đánh giá sản phẩm $f(y)$:
$$f'(y) = \ln a \cdot a^y - ay^{a-1} = (\ln a - 1)a^y + (a^y - y^a) + y^{a-1}(y-a) > y^{a-1}(y-a)$$
(ln $a \geqslant \ln 3 > 1$, $a^y - y^a > 0$ như đã chứng minh ở trên). Từ ước tính này (2) ngay lập tức được suy ra, vì $y^{a-1}(y-a) \geqslant (a+1)^{a-1}$ tại $y \geqslant a+1$. Để chứng minh (3), lưu ý rằng $y^{a-1}(y-a)$ là tích của hàm $g(y) = y^{a+1}/(a+1) - y^a$ và theo bổ đề trường (đối với $x = a+1$, $x_0 = a$)
$$f(a+1) > f(a) + g(a+1) - g(a) = -g(a) = a^a - \frac{a^{a+1}}{a+1} = \frac{a^a}{a+1} = \left[ a^{a-2} \left(1 - \frac{1}{a+1}\right) \right]a.$$

Hàm trong ngoặc vuông rõ ràng là đang tăng lên và với $a \geqslant 3$ không nhỏ hơn $3(1-1/4) = 9/4$. Đó là lý do tại sao
$$f(a+1) > 2a + \frac{a}{4} \geqslant 2a + \frac{3}{4};$$
nhưng các số $f(a+1)$ và $2a$ là số nguyên, có nghĩa là $f(a+1) \geqslant 2a+1$, và sự bằng nhau ở đây chỉ có thể xảy ra với $a=3$, nhưng cả trong trường hợp này là $f(4) = 3^4 - 4^3 = 81 - 64 > 2 \cdot 3 + 1 = 7$.

A. I. Zaichik, V. N. Dubrovsky

M1038. a) Chứng minh rằng nếu tích mn chia hết cho 6 (trong đó m và n là số nguyên 1) thì có thể cắt một hình chữ nhật gồm $m \times n$ ô thành các góc của ba ô. Với m và n điều này có thể thực hiện được mà không cần cắt bỏ đường phân chia:
b) không phải là một ô $2 \times 3$ hình chữ nhật;
c) không phải là một hình chữ nhật (nhỏ hơn $m \times n$)?

a) Chỉ cần xét hai trường hợp: $m = 3k$, $n = 2l$ và $m = 6k$, $n = 2l+1$, trong đó $k \geqslant 1$, $l \geqslant 1$. Trong trường hợp đầu tiên, hình chữ nhật $m \times n$ có thể được chia thành $k \times l$ hình chữ nhật $3 \times 2$, mỗi hình chữ nhật được cắt thành hai góc (hình 1, a). Trong phần thứ hai, chúng ta cắt một dải $m \times 3$ từ hình chữ nhật $m \times n$, có thể cắt thành $3k$ hình chữ nhật $2 \times 3$ (hình 1, b), sau đó (tại $l > 1$) chúng ta cắt hình chữ nhật còn lại $m \times (2l-2)$ theo cách tương tự như trong trường hợp đầu tiên.

Nói chung, một hình chữ nhật $m \times n$ có thể được cắt thành các góc khi và chỉ khi một trong các số m và n bằng 3, thì các góc chắc chắn phải được thêm vào hình chữ nhật $3 \times 2$ (hình 1, ​​​​b), vì vậy số còn lại phải là số chẵn. Ngược lại, giả sử m chia hết cho 3. Chúng ta có thể giả sử rằng $m/3$ và $n$ là các số lẻ, $m \geqslant 9$, $n \geqslant 5$ (các trường hợp khác ở trên), tức là $m = 9+6k$, $n = 5+2l$, $k$, $l \geqslant 0$. Hình chữ nhật $m \times n$ được cắt thành 3 hình chữ nhật: $9 \times 5$, $9 \times 2l$ và $6k \times n$; việc cắt cái đầu tiên thành các góc được hiển thị trong hình 2, hai cái còn lại được cắt thành hình chữ nhật $3 \times 2$, như được hiển thị ở trên.

6), c) Trong cả hai bài 6) và c) đáp số đều giống nhau:
“Các đường cắt không có hình chữ nhật” (chúng tôi sẽ gọi chúng là thông thường) chỉ tồn tại đối với hình chữ nhật $6k \times 2n$, trong đó $k \geqslant 1$, $n \geqslant 3$, $6 \times 4$ và $3 \times 2$.

Như chúng ta đã thấy trong lời giải bài toán a), một trong các số m và n phải chia hết cho 3. Lưu ý thêm rằng khi cắt chính xác, góc có thể được áp dụng cho cạnh của hình chữ nhật $m \times n$ khác với

27

3×2, chỉ trong hai ô - nếu không thì hình chữ nhật 3×2 (hình 3) sẽ được hình thành. Do đó, các số m và n phải là số chẵn.

Không thể cắt hình chữ nhật 6k×2 một cách chính xác - rõ ràng là nó sẽ vỡ thành hình chữ nhật 3x2. Cũng dễ dàng nhận thấy rằng khi cố gắng cắt chính xác một hình chữ nhật 6k×4, hình chữ nhật 6×4 nhất thiết sẽ được tạo thành (bắt đầu từ cạnh ngắn - hình 4), do đó, đối với k>1, việc cắt đúng cũng không thể thực hiện được ở đây. Cuối cùng, cách cắt chính xác hình chữ nhật 6k×2l với k ≥1, l ≥3 được hiển thị trong hình 5, trong đó bạn cần lấy k-1 “khối” A theo chiều dọc và chiều ngang - đầu l-3 “khối” liên tiếp.

Có nhiều kiểu cắt hình chữ nhật có góc khác. Ví dụ, bằng cách sắp xếp lại các góc bên trong các “chữ thập”, người ta có thể thu được các vết cắt đều đối xứng từ các vết cắt thành hình chữ nhật (xem hình 6 đối với trường hợp 6k×6l). Có thể chứng minh rằng bất kỳ hình chữ nhật nào thừa nhận một đường cắt đều cũng thừa nhận một đường cắt đều đối xứng.

M1039. Các điểm A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng a) nếu $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DB} \times \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB}$, thì cả ba tích vô hướng này đều bằng 0;
b) Nếu ba góc giữa các cạnh đối diện của một tứ diện bằng nhau thì chúng thẳng.

a) Với bốn điểm A, B, C, D bất kỳ đẳng thức nào cũng đúng
$$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DB} \cdot \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0.$$ (1)

Điều này trở nên rõ ràng nếu chúng ta biểu thị vế trái của nó là $\bar{a} \cdot (\bar{c} - \bar{b}) + \bar{b} \cdot (\bar{a} - \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} - \bar{a})$, trong đó $\bar{a} = \overrightarrow{DA}, \bar{b} = \overrightarrow{DB}, \bar{c} = \overrightarrow{DC}$. Tuyên bố bài toán ngay sau (1).

6. Giả sử góc giữa các cạnh đối diện của tứ diện bằng $\alpha$, khi đó các góc giữa các vectơ $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{CA}, \overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{AB}$ đều bằng $\alpha$ hoặc $180^\circ - \alpha$. Do đó (1) có thể được viết lại như sau:
   $$\cos \alpha (\pm DA \cdot BC \pm DB \cdot CA \pm DC \cdot AB) = 0.$$

Hãy chứng minh rằng biểu thức trong ngoặc không thể bằng 0, tức là $\cos \alpha = 0$ và $\alpha = 90^\circ$. Để làm điều này, chỉ cần chứng minh rằng tích độ dài của hai cạnh đối diện bất kỳ của một tứ diện nhỏ hơn tổng độ dài của hai cặp cạnh đối diện khác, chẳng hạn.

28

$$DA \cdot BC < DB \cdot CA + DC \cdot AB.$$

Chúng ta hãy vẽ một hình cầu tùy ý đi qua các điểm $A, B$ và $C$. Để nó cắt các cạnh $DA, DB$ và $DC$ tại các điểm $A_1, B_1, C_1$. Dễ dàng nhận thấy rằng các tam giác $ABD$ và $B_1A_1D$ giống nhau nên $A_1B_1 = AB \cdot (DB_1/DA)$. Tương tự như vậy, $B_1C_1 = BC \cdot (DB_1/DC)$. Chia số hạng đầu tiên trong số các đẳng thức này cho số hạng thứ hai, chúng ta thu được

$$\frac{A_1B_1}{B_1C_1} = \frac{AB \cdot DC}{DA \cdot BC}.$$

Do đó, các cạnh của tam giác $A_1B_1C_1$ tỷ lệ thuận với tích các cạnh đối diện của tứ diện và (2) suy ra từ bất đẳng thức tam giác cho $A_1B_1C_1$.

Các tứ diện được thảo luận trong bài toán này được gọi là trực tâm vì độ cao của chúng cắt nhau tại một điểm (nói chung, điều này không phải như vậy).

V. E. Matizen

M1040. Các số 1, 2, …, 3n được chia ngẫu nhiên thành ba nhóm số trong mỗi nhóm. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một số trong mỗi nhóm sao cho một số bằng tổng của hai số còn lại.

Hãy biểu thị ba nhóm này bằng các chữ cái $A, B, C$ và giả sử rằng các số từ 1 đến $k-1$ thuộc nhóm $A$ và số $k$ thuộc nhóm $B$. Chúng ta gọi một bộ ba số là tốt nếu chúng thuộc các nhóm khác nhau và tổng của hai số đó bằng số thứ ba. Giả sử rằng không có dấu vết nào tốt và chứng minh rằng với mọi a từ nhóm C, số a-1 thuộc về A. Từ đó, sẽ có nhiều số trong $A$ hơn trong $C$, điều này mâu thuẫn với các điều kiện.

Đặt $a$ là một số từ $C$. Khi đó $a-1$ không thuộc về $B$, nếu không thì bộ ba $(1, a-1, a)$ sẽ tốt. Giả sử rằng $a-1$ thuộc về $C$. Hãy xem xét số $a-k$. Nếu nó ở $A$ thì $(a-k, k, a)$ là số ba tốt, nếu ở $B$ thì $(k-1, a-k, a-1)$ là số ba tốt. Do đó, $a-k$ được bao gồm trong $C$. Tương tự, nếu số $a-k-1$ được bao gồm trong $A$ thì số ba tốt sẽ là $(a-k-1, k, a-1)$ và nếu nó nằm trong $B$ thì $(1, a-k-1, a-k)$. Lặp lại lý luận này, chúng ta đi đến kết luận rằng tất cả các số tự nhiên có dạng $a-ik, a-ik-1$ ($i=0, 1, 2, ...$) đều thuộc về $C$. Nhưng đối với một số số $a-ik$ trùng với một trong các số 1, 2, …, $k$ và do đó, được đưa vào $A$ hoặc $B$. Thật mâu thuẫn khi chứng minh rằng $a-1$ thuộc về $A$. Do đó, nếu $C$ bao gồm các số $c_1, ..., c_n$ thì $A$ chứa các số $c_1-1, ..., c_n-1$, tất cả đều lớn hơn 1, vì 2 thuộc về $A$ hoặc $B$. Nhưng $A$ cũng chứa 1, vì vậy $A$ có ít nhất $n+1$ trong đó.

V. E. Alekseev

F1048. Người chiếu đã đặt nhầm phim khiến mọi sự kiện trên màn hình “chảy theo hướng ngược lại”, đồng thời tự động lùi về phía sau. Tốc độ và khả năng root của tự động hóa thay đổi như thế nào do một lỗi như vậy?

Để khi băng được lắp đúng cách, tốc độ sẽ tự động là $\vec{v}$. Khi đó chuyển động của nó trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t = t_2 - t_1$ là

$$\Delta x = \vec{x}(t_2) - \vec{x}(t_1) = \vec{v} \cdot \Delta t.$$

Nếu băng được chèn vào sao cho các sự kiện trên màn hình “chảy theo hướng ngược lại”, thì chuyển động tự động trong cùng thời gian $\Delta t$ sẽ là

$$\Delta x' = \vec{x}(t_1) - \vec{x}(t_2) = -\Delta x.$$

Nhưng $\Delta x' = \vec{v}' \cdot \Delta t$, vậy

$$\vec{v}' \cdot \Delta t = -\Delta x = -\vec{v} \cdot \Delta t,$$