Kvant 1987, số 11 · Trang

ISSN 0130—2221
lượng tử
khoa học đại chúng
vật lý và toán học
tạp chí
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1987

Hình 1a.
Hình 2a
Hình 16.
Hình Thế kỷ thứ nhất.
Hình 26
Hình 2в

1

Trong phòng:

Ngày lễ quốc gia

Hướng tới kỷ niệm 70 năm Cách mạng Tháng Mười vĩ đại
V. V. Gnedenko. Về toán học đất nước Xô Viết
Thành tựu của các nhà vật lý Liên Xô

---

S. R. Filonovich. Cuốn sách vĩ đại của Newton
Hoạt động toán học của học sinh:
Vâng. Yu. Karpov. Mã hóa mã bưu chính tối ưu
A. E. Lobkovsky. Các mô hình toán học trên mặt phẳng

Bài toán Kvant
Bài toán M1071 — M1075, F1083 — F1087
Lời giải bài toán M1051 — M1055, F1063 — F1066

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
A. I. Orlov. “Tất cả”, “một số” và phủ định

Kính vạn hoa «Kvant»

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
Định luật hấp dẫn
Sự giãn nở của khí vào khoảng trống
Cảm ứng điện từ và nguyên lý tương đối

Nghệ thuật lập trình
A. A. Duvanov, Yu. A. Pervin. Logo ngôn ngữ. Bài 2: Học viện Rùa

Xưởng của người nộp đơn
A. A. Bolibrukh, V. M. Uroev, M. I. Shabunin. Lời giải hệ phương trình lượng giác

Thế vận hội
V. V. Vavilov, S. V. Reznichenko, A. M. Slinko.
Olympic cử tạ lần thứ XXI môn toán
A. R. Zilberman. XXI Olympic cô lập trọng lượng môn vật lý
Các thí sinh đạt giải Olympic Cô lập cân nặng lần thứ XXI dành cho học sinh

Thông tin
I Olympic giảm cân cho học sinh
trong khoa học máy tính (30)
Để độc giả chú ý (64)

Đáp số, gợi ý, lời giải
Trang cờ vua
Chủ đề hình học (trang bìa thứ 3)

Byushek của chúng tôi

Hình ảnh ở trang đầu tiên và trang thứ hai của bìa là
tắm với máy tính theo chương trình của một cậu học sinh ở Chernogo-
sự khéo léo của A. Lobkovsky. Chi tiết - trên trang. 21.

© Nhà xuất bản Nuka. Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1987

2

Ngày lễ quốc gia

“Thành viên Komsomol! Các chàng trai và cô gái!
Hãy nắm bắt di sản của Lênin vĩ đại!
Hãy học cách làm việc hiệu quả, sáng tạo và tích cực!”
Từ lời thú tội của Ban Chấp hành Trung ương CPSU nhân kỷ niệm 70 năm Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại

70 năm đã trôi qua kể từ ngày mọi quyền lực của nước ta về tay nhân dân. Thật khó để tưởng tượng những điều kiện khó khăn hơn những điều kiện bắt đầu xây dựng một xã hội mới. Sự tàn phá, nạn đói, nạn mù chữ, môi trường thù địch… Nhưng Lênin và đảng Bolshevik đã tập hợp được nhân dân đấu tranh anh dũng. Liên Xô, quốc gia xã hội hóa đầu tiên trên thế giới, đã trở thành một cường quốc công nghiệp hùng mạnh.

Cùng với cả nước, khoa học nước ta ngày càng phát triển và vững mạnh. Và nếu, theo lời của nhà vật lý Liên Xô, Viện sĩ L.A. Artsimovich, “tất cả các nhà vật lý lớn của nước Nga thời Sa hoàng có thể dễ dàng ngồi trên một chiếc ghế sofa,” thì ngày nay chỉ riêng chúng ta đã có hơn một trăm trung tâm nghiên cứu vật lý. Các nhà vật lý, toán học, thiên văn học và đại diện của các ngành khoa học tự nhiên khác của Liên Xô được quốc tế công nhận. Vật lý và toán học là những người dẫn đầu cuộc cách mạng khoa học và công nghệ, và các nhà khoa học của chúng ta đã có những đóng góp cơ bản cho sự phát triển của các ngành khoa học này. Trường phái Xô viết đóng vai trò quan trọng trong việc xây dựng chủ nghĩa xã hội.

Ngày kỷ niệm, như V.I. Lênin dạy, là một dịp để phân tích phê phán đã qua. Tiến hành phân tích như vậy, chúng tôi thấy chủ nghĩa xã hội xây dựng ở nước ta còn chưa hoàn thiện, nó có trữ lượng rất lớn cần được bộc lộ và thực hiện đầy đủ trong thời gian ngắn. Giới trẻ đôi khi nghĩ rằng thời kỳ chuyển biến cách mạng đã qua lâu rồi. Nhưng cuộc sống bác bỏ những ý tưởng này. Cuộc cách mạng vẫn tiếp tục. Chính điều này đòi hỏi chúng ta phải tăng tốc rất nhanh và tái cơ cấu dần dần trong mọi lĩnh vực hoạt động. Một cuộc đấu tranh ngoan cường đang ở phía trước và bạn sẽ phải tham gia vào nó trong những năm học của mình.

Mỗi độc giả thân mến, mỗi bạn một lần nữa cần nghiên cứu kỹ các tài liệu của Đại hội XXVII Đảng Cộng sản Liên Xô và các hội nghị trung ương của Đảng Cộng sản Liên Xô, các tài liệu của Đại hội XX Komsomol và đọc kỹ các tác phẩm của Lê-nin được sáng tác sau thắng lợi của cách mạng. Có bao nhiêu ý nghĩ thay thế trong V.I. Riêng bài phát biểu của Lênin tại Đại hội III toàn Nga! Và không phải tất cả chúng đều là những câu hỏi trong cuộc sống. Nhưng các tác phẩm của Lênin là một chiếc la bàn thực sự trong quá trình biến đổi toàn diện phức tạp và lâu dài đang chờ đợi bạn cả ở trường và ngoài ngưỡng cửa của nó.

3

GIỚI THIỆU TOÁN HỌC
CÁC NƯỚC LIÊN XÔ

Viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Xô viết Ukraina V. V. GNEDENKO

Cuộc Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại là động lực mạnh mẽ thúc đẩy sự tiến bộ của toán học ở nước ta, tạo điều kiện đặc biệt thuận lợi cho việc phát triển các hướng trừu tượng và ứng dụng các phương pháp toán học trong khoa học tự nhiên, kỹ thuật và tổ chức sản xuất.

Vì vậy, vào năm 1918, một nghị định đã được ban hành về việc tổ chức TsAGI - Viện Khí động học Trung ương và bổ nhiệm N. E. Zhukovsky làm giám đốc. Cùng năm đó, Phòng thí nghiệm vô tuyến Nizhny Novgorod được thành lập.

Năm 1921, ở đỉnh điểm của sự sụp đổ, Viện Vật lý và Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học được thành lập theo sáng kiến ​​của V. A. Steklov. Lần đầu tiên trong lịch sử nước ta, một tổ chức khoa học đặc biệt bắt đầu phát triển toán lý thuyết và toán ứng dụng.

Hơn nữa, một mô tả ngắn gọn về những gì các nhà toán học Liên Xô đã làm trong bảy mươi năm qua sẽ cần đến một bài luận nhiều tập và công việc của một nhóm lớn các chuyên gia. Vì vậy, ở đây chúng tôi buộc phải giới hạn ở việc chỉ xem xét sơ qua một tỷ lệ nhỏ các lĩnh vực nghiên cứu khoa học quan trọng.

Xin thưa, sự xuất hiện của thang đo Matxcơva của lý thuyết hàm và lý thuyết tập hợp phải được coi là hiện tượng có ý nghĩa nhất trong đời sống toán học nước ta. Nguồn gốc của nó là hai nhà toán học và giáo viên xuất sắc - D. F. Egorov và N. N. Luzin. Tên của họ gắn liền với sự tham gia rộng rãi của sinh viên vào nghiên cứu khoa học. Vô số kết quả, công trình đẹp mắt, công thức hóa một số lượng lớn bài toán mới để nghiên cứu sâu hơn, trình bày sinh động - tất cả những điều này tổng hợp lại đã làm say mê tuổi trẻ toán học của Luzin. Những học trò đầu tiên của ông là D. E. Menshov, P. S. Alexandrov và A. Ya. Khinhin. Các công trình độc lập đầu tiên của họ nằm trong vòng tròn ý tưởng của giáo viên - lý thuyết tích phân, sự hội tụ của chuỗi lượng giác, cấu trúc của cái gọi là tập hợp Borel. Những công trình đầu tiên này phần lớn quyết định lợi ích tiếp theo của những nghiên cứu này. Công việc chính của D. E. Menshov là liên kết chuỗi lượng giác và chuỗi hàm trực giao; A. Vâng. Khinchin - lý thuyết số liệu về hàm số và ứng dụng của nó trong lý thuyết số, lý thuyết xác suất và vật lý thống kê; P. S. Aleksandrov - lý thuyết tập hợp và sau này - cấu trúc liên kết.

Là những sinh viên đầu tiên được nhận vào Đại học Moscow sau năm 1917, khác xa với thế hệ sinh viên tích cực thứ hai của Luzin, Luzin đã tổ chức một buổi hội thảo trong đó mỗi người tham gia được yêu cầu tóm tắt định nghĩa của monografico, sau đó thiết lập một cuộc thảo luận về tính trừu tượng bằng cách đặt ra các câu hỏi, nêu bật khả năng kiến ​​nghị và khái quát hóa bằng chứng.

Vào những năm hai mươi, các học sinh của Luzin gọi đội của họ là “Lusitania” *). Sự đi lên này đã được giáo viên của ông nhấn mạnh, những ý tưởng khoa học và bài giảng của ông. Các sinh viên của Luzin tự hào về việc họ tham gia vào nhóm phát triển ý tưởng của ông và tìm cách phát huy tối đa khả năng của họ trong khoa học.

Tất nhiên, sở thích quá mức nào cũng mang theo yếu tố tiêu cực. Người Lusitanians quá quan tâm đến chỉ một hướng phát triển toán học và một số người trong số họ có phần coi thường lĩnh vực cổ điển.

*) Xem «Kvant», 1977, số 10, tr. 13.

4

toán học. Điều này được phản ánh trong tên truyện tranh của một số ngành: lý thuyết xác suất được gọi là lý thuyết về sự không nhất quán, các phương trình nói riêng tùy ý - phương trình với những phương trình tùy ý không may, sai phân hữu hạn - các chi khác nhau, v.v. Tuy nhiên, sự đánh giá thấp này đối với các lĩnh vực khác của toán học không kéo dài lâu, vì trong bản thân Lusitanina, một quá trình mở rộng lợi ích đã bắt đầu. P. S. Aleksandrov và P. S. Urson bắt đầu quan tâm đến các vấn đề của cấu trúc liên kết lý thuyết tổng hợp và sớm đặt nền móng cho sự tồn tại của trường phái tôpô Moscow. A. Vâng. Khinchin ở tuổi đôi mươi bắt đầu quan tâm đến các vấn đề của lý thuyết số mét, từ đó ông tiếp cận các câu hỏi của lý thuyết xác suất, và đến cuối tuổi đôi mươi, ông hoàn toàn hướng tâm huyết của mình vào hai lĩnh vực nghiên cứu này. Lý thuyết xác suất nhanh chóng trở thành một trong những phần thiết yếu được quan tâm của trường toán Moscow. Việc thành lập Trường Lý thuyết Xác suất Mátxcơva là công lao của hai nhà khoa học xuất sắc - A. Ya. Khinchin và A. N. Kolmogorov.

Hơn nữa, mối quan tâm của các nhà toán học Moscow chuyển sang giải tích cổ điển. Đồng thời, chúng tôi phát hiện ra rằng những ý tưởng của lý thuyết hàm mang lại cơ hội cho sự tiến bộ nghiêm túc. Lý thuyết định tính của phương trình vi phân, phương trình vi phân từng phần trở thành đối tượng nghiên cứu ở Moscow. Trong số những đại diện của hướng này phải kể đến V.V. Stepanov và I.G. Petrovsky.

Người ta không nên nghĩ rằng chỉ có Moscow là trung tâm tư tưởng toán học thời bấy giờ. Nghiên cứu hạng nhất vào thời điểm này được thực hiện ở Ukraine - ở Kiev và Kharkov. Ở Kiev, trước hết cần lưu ý đến nghiên cứu về đại số trừu tượng do D. A. Grave và các học trò của ông trau dồi. Khi bắt đầu cuộc cách mạng, một trong những học trò của ông là O. Yu. Shmidt, một nhà khoa học đa năng và một giảng viên xuất sắc, bắt đầu quảng bá những ý tưởng đại số mới ở Moscow. Ô. Yu. Shmidt là người sáng lập trường đại số Moscow. Tại Kharkov, S. N. Bernstein đã phát triển ý tưởng của P. L. Chebyshev trong lĩnh vực xấp xỉ tốt nhất các hàm bằng đa thức và đã làm việc thành công trong lĩnh vực lý thuyết xác suất.

Nghiên cứu trong lĩnh vực vật lý toán học và lý thuyết số được phát triển thành công ở Leningrad. Cả hai lĩnh vực nghiên cứu này đều là truyền thống của học sinh Leningrad và bắt nguồn từ L. Euler, M. V. Ostrogadsky và P. L. Chebyshev. Trong lý thuyết số phân tích, I.M. Vinogradov đã thu được những kết quả đáng chú ý. Năm 1934, I.M. Vinogradov đã giải được hoàn toàn bài toán nổi tiếng bài toán của Goldbach: mọi số tự nhiên lẻ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của nhiều nhất ba số nguyên tố.

Các trường đại học mới, được thành lập ở một số thành phố trong nước trong những năm đầu của cuộc cách mạng, nhanh chóng trở thành những trung tâm toán học quan trọng. Trước hết, chúng ta phải kể tên ở đây là Tbilisi và Tashkent, những nơi nổi tiếng về nghiên cứu -

5

các khóa học về vật lý toán học (Tbilisi), phương trình vi phân phi tuyến và thống kê toán học (Tashkent). Những người tổ chức Trường Toán học Gruzia là N. I. Muskelshvili, G. N. Nikoladze, A. M. Razmadze và A. K. Kharadze*). Người sáng lập trường toán Tashkent là V.I. Romanovsky.

Vào đầu cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, toán học Liên Xô đã đạt được uy tín khoa học to lớn trên toàn thế giới. Nghiên cứu của cô thực tế bao trùm tất cả các lĩnh vực tư duy toán học. Nhiều nhà toán học đã tham gia lời giải bài toán khoa học tự nhiên, công nghệ và tổ chức công nghiệp.

Kết quả của các nhà toán học đặc biệt có ý nghĩa liên quan đến các vấn đề do sự phát triển của ngành hàng không đặt ra. Chính sự bay bài toán trong chất lỏng nén đã dẫn đến việc M. A. Lavrentiev xây dựng lý thuyết về ánh xạ chuẩn chuẩn. Một thành công lớn trước cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại đã đạt được trong việc xây dựng lý thuyết toán học về “shimmy” và “corkscrew”, vốn là nguyên nhân gây ra cái chết của máy bay đa hóa chất. Từ lý thuyết toán học được xây dựng bởi M.V. Keldysh, đã có thể rút ra những kết luận thực tế giúp có thể đấu tranh triệt để cả “sự lung lay” và “cái mở nút chai”. Sau đó, MV. Keldysh nghiên cứu công nghệ tên lửa và trở thành Nhà lý thuyết trưởng của ngành du hành vũ trụ Liên Xô.

Cuộc Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại đã không bị các nhà toán học Liên Xô chú ý: hàng nghìn người đã ra mặt trận,

*) Xem «Kvant», 1975, số 9, tr. 12.

I. M. Vinogradov.
A. N. Kolmogorov.
M. V. Keldysh.

6

Tầm quan trọng to lớn của toán học bài toán cũng nảy sinh liên quan đến việc đảm bảo chất lượng cao của các sản phẩm công nghiệp đại chúng. Kiểm soát chất lượng riêng lẻ của từng sản phẩm được sản xuất đòi hỏi một lượng kiểm soát rất lớn. Không thể làm được điều này vì đã thiếu lao động trầm trọng. Chính lúc này nảy sinh ý tưởng xây dựng lý thuyết thống kê kiểm soát chất lượng sản phẩm. A. N. Kolmogorov đã tham gia tích cực vào việc tạo ra nó. Hiện tại, lý thuyết này đang được phát triển mạnh mẽ theo hai hướng: 1) kiểm tra chất lượng của các lô đã được sản xuất (kiểm soát chấp nhận) và 2) quản lý chất lượng sản phẩm trong quá trình sản xuất (kiểm soát kỹ thuật hoặc vận hành).

Những năm sau chiến tranh được đặc trưng bởi một quá trình toán học nhanh chóng về kiến ​​thức và hoạt động thực tiễn. Toán học cần thiết cho lời giải bài toán tổ chức sản xuất và nghiên cứu các quá trình sinh học, để thực hiện trong lĩnh vực vật lý và tạo ra các hệ thống kỹ thuật, để nghiên cứu các vấn đề kinh tế và sắp xếp hợp lý các doanh nghiệp công nghiệp. Nhưng điều này là không đủ. Hóa ra các phương pháp toán học hỗ trợ các nhà khảo cổ và sử học, ngôn ngữ học và bác sĩ. Những hướng đi mới của tư duy toán học xuất hiện. Logic toán học có được tầm quan trọng lớn hơn rất nhiều so với trước chiến tranh. Máy tính điện tử và nhu cầu phân tích logic kỹ lưỡng các quy trình trong các quy trình đóng một vai trò lớn trong việc này.
lập trình cho máy tính cũng như khi vẽ các mô hình toán học. Các nhánh mới đã xuất hiện trong lý thuyết xác suất, liên quan chặt chẽ đến kinh tế và tổ chức sản xuất, cũng như các vấn đề vật lý.

Nếu vật lý học trước đây tự do sử dụng khái niệm chung về các hàm quen thuộc với toán học, thì việc xây dựng lý thuyết của vật lý hiện đại trong khuôn khổ này cũng giống như vậy. Vào cuối những năm bốn mươi, các nhà vật lý ngày càng bắt đầu cho phép thực hiện các thao tác với các vật thể không phù hợp với khái niệm chức năng cổ điển. Vào đầu những năm 50, các tác phẩm của S. L. Sobolev và nhà toán học người Pháp L. Schwartz đã xuất hiện, trong đó đưa ra một khái quát rộng rãi và hiệu quả về khái niệm hàm - khái niệm về hàm tổng quát đã được đưa ra và các quy tắc hoạt động với các hàm này đã được phát triển. Một thời gian sau, I.M. Gelfand, là kết quả của sự khái quát hóa, các quá trình ngẫu nhiên, sử dụng ý tưởng về các hàm tổng quát cho mục đích này. Hãy để chúng tôi đề cập đến một lĩnh vực nghiên cứu lớn hơn liên quan đến việc tìm kiếm cực trị lời giải. Tầm quan trọng của năm nghiên cứu này chỉ mới được nhận thức đầy đủ gần đây: với quy mô hiện nay của nền kinh tế quốc dân, việc sử dụng không thành công nguyên vật liệu và tài nguyên dẫn đến chi tiêu quá mức, lựa chọn hướng di chuyển không thành công thay thế việc vận chuyển hành khách và hàng hóa; phân công công việc bằng thiết bị không thành công hoặc sử dụng máy móc, thiết bị không đầy đủ. Đầu tiên bài toán

7

Những chú lùn thuộc loại này đã xuất hiện và được biết đến ngay cả ở Hy Lạp thời Ban ngày.

Ngay trước Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, L. V. Kantorovich đã xem xét một số bài toán mới để tìm ra các giá trị tối đa và tối thiểu liên quan đến việc phân bổ công việc, cắt vật liệu, tổ chức vận chuyển, v.v. Những bài toán này đóng vai trò là khởi đầu cho việc tạo ra một lý thuyết toán học mới - quy hoạch tuyến tính, nhận được sự phát triển nhanh chóng sau chiến tranh. Bây giờ, những câu lệnh đầu tiên bài toán này đã nhận được một công thức chung, các phương pháp lời giải đã được đề xuất cho chúng, một lý thuyết thú vị đã được xây dựng, những kết quả này được mở rộng cho các trường hợp tổng quát hơn (lập trình phi tuyến tính).

Một lĩnh vực nghiên cứu rộng lớn xuất phát từ nhu cầu điều khiển tự động các quy trình công nghệ, chuyển động của máy bay, tàu vũ trụ, v.v., đã được phát triển bởi L. S. Pontgrin và các học trò của ông. Hướng này được gọi là lý thuyết điều khiển tối ưu. Lý thuyết và phát triển các nguyên tắc trong đó để có thể thu được ngay nhiều ứng dụng thực tế.

Các nhiệm vụ mới trong lý thuyết về các quy trình ngẫu nhiên bao gồm các thực hành bài toán như quản lý chất lượng sản phẩm và xác định thời điểm lắp đặt thiết bị. Những bài toán này đã thu hút sự chú ý của A. N. Kolmogorov, người đã hướng sự chú ý của một số học sinh của mình tới chúng.

Một trong những nhà toán học vĩ đại nhất của thời đại chúng ta, N. N. Bogolyukov, bắt đầu làm việc dưới sự hướng dẫn của Viện sĩ N. M. Krylov, đã công bố kết quả đầu tiên của mình ở tuổi mười bảy. Mối quan tâm nghiên cứu của ông nhanh chóng mở rộng để bao gồm phân tích toán học, phương trình vi phân, biểu thức, phép tính biểu diễn, lý thuyết hàm số, vật lý toán học và lý thuyết xác suất. Cùng với N. M. Krylov, ông đã phát triển các phương pháp toán học của cơ học phi tuyến. Sau Chiến tranh Vệ quốc vĩ đại, N. N. Bogolyubov hầu như chỉ chuyển sang lời giải bài toán vật lý hiện đại và đạt được những thành công lớn trong lĩnh vực này.

Không thể không nhắc đến toán học có phạm vi đặc biệt rộng, kết quả của nó liên quan đến cấu trúc liên kết, lý thuyết phương trình vi phân, vật lý toán, địa vật lý, toán tính toán, điện động lực học - A. N. Tikhonov. Trong nửa đầu chương trình của chúng tôi, dưới ảnh hưởng của quan điểm của nhà toán học thay thế người Pháp Hadamard, người ta đã hình thành niềm tin rằng đối với vật lý và thực hành, mối quan tâm chỉ là những cái được gọi là đúng bài toán, lời giải, thu được với dữ liệu ban đầu gần gũi, không thể khác nhau quá mạnh. Sự quan tâm thường xuyên đến các vấn đề thực tiễn đã thuyết phục A. N. Tikhonov về sự sai lầm của quan điểm này. Hóa ra là nhiều bài toán vật lý tự nhiên, kinh tế học và các lĩnh vực kiến ​​thức khác về cơ bản đã được phát biểu không chính xác. Tikhonov đã phát triển một cách tiếp cận lời giải thuộc loại này bài toán.

Cuối những năm năm mươi và sáu mươi là thời kỳ

8

TĂNG CƯỜNG ĐỜI SỐNG TOÁN HỌC Ở LIÊN XÔ. Vào thời điểm này, các nhà toán học thuộc thế hệ cũ, đã đề cập ở trên, vẫn đang làm việc tích cực và hiệu quả, nhưng giờ đây họ được tham gia bởi cả một nhóm học sinh tài năng của họ.

Mối liên hệ thế hệ này có lẽ được thể hiện rõ nhất trong nghiên cứu về bài toán XIII nổi tiếng của Hilbert về việc biểu diễn hàm số nhiều biến thông qua hàm số một biến, kết quả hoàn chỉnh của lời giải có được nhờ nỗ lực chung của A. N. Kolmogorov và học trò của ông, khi đó vẫn còn là một nhà khoa học, V. I. Arnold.

Trong số các nhà toán học thế hệ trẻ, Muscovites S.P. Novikov, V.P. Maslov và Leningrader L.D. Faddeev nhận được nhiều sự công nhận nhất. Serrey Petrovich Novikov, xuất thân từ một gia đình toán học chuyên nghiệp (cha ông là viện sĩ P. S. Novikov, nhà logic học và đại số, mẹ ông là L. V. Keldysh, Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học, nhà tôpô), đã sớm nhận được một số kết quả nổi bật trong một trong những ngành quan trọng nhất lúc bấy giờ - cấu trúc liên kết vi phân. Những kết quả này được đánh giá cao không chỉ ở nước ta mà còn ở nước ngoài: S. P. Novikov trở thành người Liên Xô đầu tiên đoạt giải Fields, giải thưởng toán học danh giá nhất.

V.P. Maslov khởi đầu là một nhà vật lý, nhưng những kết quả quan trọng đầu tiên của ông gắn liền với sự phát triển ý tưởng phân tích toán học hiện đại. Công trình của ông một mặt được đặc trưng bởi chiều sâu của những khái quát toán học thuần túy, mặt khác, bởi sự tập trung vào các vấn đề ứng dụng, đặc biệt là vật lý toán học.

L. D. Faddeev, người cũng khởi đầu là một nhà vật lý và cũng xuất thân từ một gia đình toán học (cha ông, D. K. Faddeev, là một nhà đại số, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô), được biết đến với công trình nghiên cứu chức năng về vật lý toán học. Thẩm quyền quốc tế về công trình của ông hiện nay rất có ý nghĩa. L. D. Faddeev không chỉ là Chủ tịch Liên minh Quốc tế các Định lý Toán học Hiện đại, mà còn trong việc nghiên cứu các hiện tượng của thế giới xung quanh chúng ta. Theo quy luật, các hiện tượng tự nhiên và quá trình kinh tế bị hạn chế hơn và các phương tiện toán học luôn sẵn có. Đây là động lực vĩnh cửu cho sự phát triển của chính toán học, các khái niệm và lý thuyết của nó.

9

THÀNH TÍCH
NHÀ VẬT LÝ LIÊN XÔ

Vật lý Liên Xô còn rất non trẻ. Nhưng những thành công đạt được trong thời gian ngắn như vậy là minh chứng thuyết phục cho sự trưởng thành về mặt khoa học to lớn và khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp của khoa học tự nhiên hiện đại.

Hiện nay ở nước ta có hơn một trăm viện vật lý đặc biệt của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, các học viện cộng hòa, cũng như các khoa không chuyên. Ở giữa là các viện vật lý nổi tiếng thế giới mang tên I. N. Lebedev, Viện Vật lý và Công nghệ mang tên A. F. Ioffe, Viện Các vấn đề Vật lý mang tên S. I. Vavilov, Viện Năng lượng nguyên tử mang tên I. V. Kurchatov, Viện Nghiên cứu Hạt nhân Liên hợp ở Dubna. Khoa học Liên Xô có thành tựu nổi bật trong nhiều lĩnh vực vật lý hiện đại. Ví dụ, chúng bao gồm vật lý hạt nhân, vật lý plasma và phản ứng nhiệt hạch có kiểm soát, vật lý bán dẫn, vật lý nhiệt độ thấp, điện tử lượng tử, vật lý áp suất cao. Các nhà khoa học của chúng tôi làm việc thành công trong nhiều lĩnh vực chương trình của khoa học hiện đại. Vật lý hóa học và sinh học, vật lý Trái đất, khí quyển, vũ trụ, vật lý Đại dương Thế giới và khoa học được đại diện ở nước ta bởi nhiều nhà khoa học nổi tiếng thế giới.

Các nhà vật lý Liên Xô đã thực hiện nhiều nghiên cứu khoa học cơ bản đến mức bất kỳ nỗ lực nào chỉ nói ngắn gọn về từng tác phẩm này chắc chắn sẽ dẫn đến một danh sách khô khan gồm một số lượng lớn các tên và sự kiện riêng lẻ mà nhiều độc giả không biết đến. Do đó, chúng tôi sẽ chỉ kể ở đây về một số thành tựu lớn nhất của các nhà khoa học vật lý của chúng ta.

Biên niên sử ngắn gọn về những khám phá nổi bật của vật lý hiện đại chủ yếu bao gồm những khám phá “danh nghĩa”. Tất nhiên, không phải mọi khám phá quan trọng sau đó đều được các nhà khoa học tạo ra nó đạt được. Do đó, danh sách đưa ra ở đây không bao gồm ngay cả những khám phá lớn nhất được thực hiện bởi các nhà khoa học của chúng ta trong lĩnh vực vật lý. Nhưng chúng tôi hy vọng rằng danh sách ngắn các khám phá “tên tuổi” sẽ cho phép độc giả của chúng tôi cảm nhận được sự đóng góp của các nhà khoa học hiện đại vào kho tàng khoa học thế giới to lớn như thế nào.

Lý thuyết tương đối rộng do Einstein tạo ra chứa các phương trình đặc trưng cho trạng thái của Vũ trụ. Einstein đã tìm thấy một tĩnh (không phụ thuộc vào thời gian) lời giải, mô tả một Vũ trụ đóng, không phát triển. Chẳng bao lâu, Giáo sư Alexander Alexandrovich Fridman đã nhận được hai phương trình cơ bản lời giải mới của thuyết tương đối rộng. Cả hai đều mô tả một Vũ trụ không ngừng giãn nở. Sau đó, “Mô hình giãn nở của Vũ trụ Friedmann” đã nhận được sự xác nhận thực nghiệm và hiện được chấp nhận rộng rãi.

Người ta biết rằng độ bền của một vật rắn xác định bằng thực nghiệm nhỏ hơn nhiều lần so với giá trị tính toán trên lý thuyết. Lý do cho sự khác biệt này lần đầu tiên được tiết lộ bởi học giả Abram Fedorovich Ioffe. Hóa ra, các khiếm khuyết khác nhau trong cấu trúc tinh thể không được tính đến về mặt lý thuyết, chẳng hạn như các yêu cầu về kính hiển vi trên bề mặt tinh thể, là nguyên nhân dẫn đến sự phá hủy vật liệu sớm. Bằng cách ngâm một tinh thể muối đá vào nước và hòa tan lớp bề mặt, Ioffe sẽ đạt được sức mạnh tăng lên hàng trăm lần. Sự đơn giản hóa các tinh thể khi lớp bề mặt hòa tan được gọi là “hiệu ứng Ioffe”.

10

Viện sĩ Vladimir Aleksandrovich Fock đã nghiên cứu sự phát triển của nó kể từ khi cơ học lượng tử ra đời. Ông đã khái quát hóa phương trình cơ bản của lý thuyết này cho trường hợp từ trường và thu được phương trình tương đối tính của cơ học lượng tử, được các nhà vật lý gọi là “phương trình Fock-Klein”. Sau đó, Viện sĩ V. A. Fok, độc lập với nhà vật lý người Anh Hartree, đã tạo ra một phương pháp tính quang phổ của các nguyên tử chứa một số lượng lớn electron và thậm chí cả quang phổ của các phân tử phức tạp. Phương pháp này đã đi vào lịch sử vật lý dưới cái tên “Phương pháp Hartree-Fock”. Trước khi tạo ra phương pháp này, việc tính toán các nguyên tử phức tạp là một nhiệm vụ hoàn toàn không thể tiếp cận được đối với cơ học lượng tử.

Về mặt lý thuyết, Viện sĩ Leonid Isaakovich Mandelstam đã chỉ ra rằng sự không đồng nhất vi mô trong mật độ vật chất, phát sinh do sự chuyển động nhiệt của các phân tử, làm thay đổi quang phổ của ánh sáng tán xạ, thêm vào đó các vạch quang phổ mới, rất khó quan sát. (Những đường này lần đầu tiên được phát hiện bởi thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô Evgeniy Fedorovich Gross.) Hiện tượng mà chúng phát sinh được gọi là “hiệu ứng Mandelshtam-Brillouzon”, vì một dự đoán tương tự đã được nhà vật lý người Pháp Brillouzon đưa ra sau đó ít lâu.

Nghiên cứu sự tán xạ ánh sáng trong tinh thể thạch anh, viện sĩ Leonid

Isaakovich Mandelstam và Grigory Samuilovich Landsberg đã phát hiện ra các vạch quang phổ bổ sung trong quang phổ của ánh sáng tán xạ không thuộc về ánh sáng tới trên tinh thể. Những vạch quang phổ này xuất hiện do sự tương tác của ánh sáng tới với các phân tử riêng lẻ tạo thành mạng tinh thể. Một thời gian sau, một hiện tượng tương tự được nhà vật lý Ấn Độ Raman phát hiện khi nghiên cứu sự tán xạ ánh sáng trong benzen lỏng. Nó được gọi là “hiệu ứng Mandelshtam-Landsberg-Raman” hay “sự tán xạ ánh sáng raman”. Tán xạ Raman đã trở thành một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu cấu trúc của phân tử.

Viện sĩ Pyotr Leonidovich Kapits, sử dụng cài đặt ban đầu mà ông thiết kế để tạo ra từ trường siêu mạnh của cài đặt, rằng trong các trường như vậy, sự thay đổi điện trở của kim loại không tăng tỷ lệ thuận với bình phương của cảm ứng từ, như mong đợi dựa trên các lý thuyết hiện có, mà là một hàm tuyến tính của cảm ứng từ. Hiện tượng tất yếu này, chưa được giải thích trong khoảng 30 năm, được gọi là “định luật Kapitsa”.

Một hiện tượng khác được ông phát hiện gắn liền với tên tuổi của Viện sĩ P. L. Kapitsa. Trong khi nghiên cứu các đặc tính của gel lỏng, ông phát hiện ra rằng ở nhiệt độ dưới 2,19 K, gel chảy qua một cổ hẹp mà thực tế không có bất kỳ áp lực nào.

11

xương. Hiện tượng này sau này được gọi là hiện tượng siêu chảy. Lý thuyết về hiện tượng này được tạo ra bởi viện sĩ Lev Davidovich Landdu. Năm 1978, P. L. Kapitsa được trao giải Nobel cho nghiên cứu cơ bản trong lĩnh vực vật lý nhiệt độ thấp.

Giáo sư Lev Vasilievich Shubnikov, làm việc trong phòng thí nghiệm của nhà vật lý người Hà Lan de Haas, đã phát hiện ra rằng điện trở của một vysut đặt trong từ trường ở nhiệt độ của gel lỏng, khi cảm ứng từ của trường tăng lên, nó sẽ quay trở lại hoặc tắt đi (như người ta nói, điện trở của vysut dao động). “Hiệu ứng Shubnikov-de Haas” này được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu phổ năng lượng của electron trong kim loại.

Giáo sư Anatoly Aleksadrovich Blasov của Đại học Moscow là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả hành vi của một loại khí được tiêm chủng hiếm (plasma), trong đó các hạt được nạp mới không xuất hiện. Nó đi vào khoa học dưới cái tên “phương trình Blasov”.

Về mặt lý thuyết, Viện sĩ Lev Davidovich Landdu đã chỉ ra rằng các electron tự do trong kim loại dưới tác dụng của từ trường bên ngoài chỉ có thể di chuyển theo những quỹ đạo được xác định nghiêm ngặt (như các nhà vật lý nói - lượng tử). Điều này có nghĩa là các mức năng lượng đặc biệt phát sinh trong từ trường, được gọi là “cấp Landdu”.

Từ lý thuyết tương tự, người ta suy ra rằng tác động của từ trường lên các electron tự do trong kim loại dẫn đến xuất hiện một mômen từ bổ sung hướng theo hướng ngược lại với từ trường bên ngoài. Khoảnh khắc như vậy được gọi là nghịch từ, và hiện tượng được mô tả là “độ nghịch từ Landdu”. Lưu ý rằng lý thuyết tương tự đã giải thích hiệu ứng Shubnikov-de Haas.

Lev Davidovich Landdu cũng chỉ ra rằng ngay cả khi không có hạt plasma mới truyền trong đó, sóng điện từ vẫn bị suy giảm. Đây là lý thuyết này, các thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học

12

Liên Xô Alexey Alekseevich Abrikovov và Lev Petrovich Gorkov đã tạo ra lý thuyết về hợp kim siêu dẫn. Lý thuyết này được cả thế giới biết đến với cái tên “Lý thuyết GLAG” (Ginsburg-Landu-Abrikovov-Gorkov).

Lý thuyết siêu dẫn Microsoppech, mô tả chi tiết cơ chế của hiện tượng bí ẩn này, được tạo ra bởi các nhà vật lý người Mỹ Bardeen, Cooper và Schriefer, và độc lập với họ, viện sĩ Nikolai Nikolaevets Bogolyubov. Nó được gọi là “Lý thuyết siêu dẫn Bardeen-Cooper-Schriefer-Bogolyubov”.

Viện sĩ hàn lâm Isaac Konstantinovich Kion, cùng với M. M. Noskov, đã phát hiện ra hiệu ứng quang điện từ, cho thấy trong các thí nghiệm rằng khi một chất bán dẫn được chiếu sáng trong từ trường, một suất điện động sẽ xuất hiện trong nó. Lượng tử ánh sáng dẫn đến sự xuất hiện của các hạt mang dòng điện - các electron và lỗ trống tự do, chúng khuếch tán dọc theo hướng tới của ánh sáng và từ trường ngăn cách chúng theo các hướng ngược nhau. Hiện tượng này từ lâu đã được gọi là “hiệu ứng Kionne-Noskov”.

Viện sĩ Igor Evgenievich Tump đã đưa ra một lựa chọn nghiêm ngặt về công thức mô tả ánh sáng trên các electron tự do. Cô đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển của điện động lực học lượng tử. Nó đã đi vào lịch sử vật lý dưới cái tên “Công thức Tamm-Klein-Nishina”.

I. E. Tamp đã phát triển một phương pháp tính toán sự tương tác của các hạt chuyển động với tốc độ gần bằng tốc độ ánh sáng (hạt tương đối tính), phương pháp này đi vào vật lý lý thuyết với tên gọi phương pháp “Tamm-Dankov”.

Viện sĩ Igor Evgenievich Tamp về mặt lý thuyết đã dự đoán sự tồn tại của các trạng thái năng lượng tự do (“bẫy”) trên bề mặt tinh thể bán dẫn. Họ bước vào một ngành khoa học gọi là “mức độ bề mặt của Tamm”.

Viện sĩ Sergei Ivanovich Vavilov và Pavel Alekseevich Cherenkov đã phát hiện ra hiệu ứng “electron siêu sáng”. Hoá ra là trong môi trường lỏng và rắn, các electron có thể chuyển động với tốc độ lớn hơn tốc độ ánh sáng trong môi trường này (nhưng tất nhiên là không lớn hơn tốc độ ánh sáng trong tánh không!). Các electron có thể đốt cháy ánh sáng mà chúng phát ra. Hiệu ứng này, gọi là “hiệu ứng Vavilov-Cherenkov”, đã tìm thấy một số ứng dụng thực tế có giá trị, đặc biệt là để ghi lại các hạt được tải nhanh (còn gọi là máy đếm hạt Cherenkov). Lý thuyết về hiệu ứng Vavilov-Cherenkov được tạo ra bởi các học giả Igor Evgenievich Tump và Ilya Mikhailovich Frank. Vì sự phát hiện và phát hiện ra hiện tượng này, P. A. Cherenkov, I. E. Tampa và I. M. Frank đã được trao giải Nobel năm 1958.

13

S. I. Vavilov.

Viện sĩ Vladimir Iosifovich Veksler đã phát hiện ra nguyên lý tự pha của các hạt được gia tốc trong máy gia tốc tuần hoàn mang tên ông. Công việc của tất cả các máy gia tốc tuần hoàn hiện đại - synchrotron, phasotron và synchrophasotron - đều dựa trên nó. Một thời gian sau, độc lập với Wexler, nguyên lý tương tự đã được nhà vật lý người Mỹ MacMillan phát hiện ra. Với phát hiện này, cả hai người đều đã được trao giải thưởng khoa học quốc tế.

Các phân tử phức tạp của tổ chức các chất có quang phổ bao gồm các dải phổ rộng liên tục. Giáo sư Eduard Vladimirovich Shpolsky đã chỉ ra rằng bằng cách hòa tan các chất hữu cơ trong các dung môi được chọn lọc đặc biệt và làm lạnh dung dịch thu được đến nhiệt độ rất thấp, có thể thu được quang phổ hấp thụ gồm các vạch quang phổ rất mịn có liên quan duy nhất đến cấu trúc và tính chất của các phân tử. Do đó, lĩnh vực quang học phân tử mới đã được tạo ra. Hiện tượng này được nhiều người gọi là “hiệu ứng Shpolsky” trong các tài liệu khoa học.

Chất bán dẫn, giống như các chất khác, có thể hấp thụ ánh sáng có bước sóng nằm trong giới hạn nhất định. Đối với ánh sáng có bước sóng dài hơn, chúng trong suốt. Vì vậy, có một giới hạn về bước sóng mà tại đó chất bán dẫn ngừng hấp thụ ánh sáng. Về mặt lý thuyết, Viện sĩ Leonid Veniaminovich Kelysh cho biết rằng dưới tác dụng của điện trường bên ngoài, ranh giới này sẽ hòa trộn về phía bước sóng dài hơn. Một dự đoán tương tự cũng được nhà vật lý người Đức Franz đưa ra. Chẳng bao lâu, Giáo sư Viktor Sergeevich Vavilov đã nhận được xác nhận thực nghiệm về hiện tượng này, ngày nay được gọi là “hiệu ứng Kelysh-Franz”.

Viện sĩ Sergei Nikolaevich Vernov và nhà vật lý người Mỹ Van Allen, sử dụng thiết bị khoa học lắp đặt trên các vệ tinh nhân tạo đầu tiên, đã độc lập phát hiện ra sự tồn tại của các dải bức xạ của Trái đất. Hóa ra Trái đất được bao quanh bởi nhiều lớp với mật độ ô nhiễm hạt ngày càng tăng. Những vùng này được gọi là “tầng bức xạ Vernov-Van Allen”.

Các học giả Alexander Mikhailovich Prokhorov và Nikolai Gennadievich Basov đã phát triển nền tảng của một lĩnh vực vật lý mới - điện tử lượng tử và tạo ra máy tạo phân tử lượng tử đầu tiên sử dụng phân tử aminac. Với những công trình xuất sắc này, năm 1964 họ cùng với nhà vật lý người Mỹ Townes đã được trao giải Nobel.

Các nhà khoa học trên khắp thế giới nghiên cứu các quá trình vật lý trong plasma nóng sử dụng rộng rãi các sắp đặt được gọi là từ tiếng Nga bất thường “TOKAMAK”. Đây là tên viết tắt của “buồng hình xuyến trong từ trường” - Các cơ sở nhiệt hạch của Liên Xô được phát triển và xây dựng tại Viện Năng lượng nguyên tử mang tên I.V. Kurchatov dưới sự lãnh đạo của Viện sĩ Lev Andreevich Artsimovich.

Biên niên sử được chuẩn bị bởi V. A. Letsikovtsev

14

SÁCH TUYỆT VỜI
NEWTON

(nhân dịp kỷ niệm 300 năm xuất bản lần đầu tiên
“Các nguyên tắc toán học của triết học tự nhiên”)

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. R. FILONOVICH

Lễ kỷ niệm “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” của Isaac Newton được tổ chức trên toàn thế giới như một sự kiện quan trọng nhất trong đời sống văn hóa. Chỉ có một số ít công trình khoa học nhận được vinh dự như vậy, và chỉ riêng điều này đã nói lên tầm quan trọng to lớn của công trình của Newton đối với sự phát triển không chỉ của khoa học mà còn của toàn bộ nền văn minh.

“Nguyên tắc” được tạo ra như thế nào? Nội dung của cuốn sách này là gì? Nó đóng vai trò gì trong sự phát triển của Naturalgonium? Câu hỏi này được giải quyết trong bài viết được cung cấp cho người đọc.

Bắt đầu “Bắt đầu”

Các nhà sử học khoa học rất hiếm khi xác định được chính xác thời điểm và hoàn cảnh mà một nhà khoa học bắt đầu quan tâm đến một bài báo hoặc cuốn sách cụ thể. “Các nguyên tắc” là một ngoại lệ đáng mừng. Chúng ta biết rất nhiều về quá trình hình thành cuốn sách này và thậm chí có thể chỉ ra sự kiện diễn ra sau đó là điểm khởi đầu cho công trình nghiên cứu của Newton về nó.

Thời gian: tháng 8 năm 1684. Địa điểm: Cambridge, Anh. Nhân vật: Isaac Newton - thành viên của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn (Viện Hàn lâm Khoa học Anh), giáo sư toán học và thành viên của Trinity College, Đại học Cambridge, và Edmund Halley - nhà thiên văn học và toán học, một trong những thư ký của Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn.

Năm 1684, vào thời điểm Halley đến thăm, Newton đã chiếm một vị trí nổi bật trong cộng đồng khoa học nước Anh. Ông là một chuyên gia được công nhận về các vấn đề quang học và toán học. Tuy nhiên, ông sống và làm việc tách biệt với các nhà khoa học khác, thỉnh thoảng trao đổi thư từ với ông.

Halley trẻ tuổi (lúc đó anh 28 tuổi) đến gặp Newton để xin lời khuyên. Ông lo lắng về bài toán, điều mà nhiều nhà toán học lành nghề không thể giải được: hành tinh sẽ chuyển động theo quỹ đạo nào nếu có một lực liên tục tác dụng lên nó từ Mặt trời, tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách? Halley đã thảo luận vấn đề này với các đồng nghiệp của mình tại Hiệp hội Hoàng gia Luân Đôn, R. Hooke và C. Wren, và Hooke thậm chí còn tuyên bố biết điều đó lời giải. Tuy nhiên, Hooke biết (hay đúng hơn là có linh cảm) không phải lời giải, mà là đáp số - quỹ đạo sẽ là một hình elip, nhưng không thể đưa ra bằng chứng tương ứng. Hooke rõ ràng đã nói với Halley rằng vài năm trước anh ta đã sao chép

16

phòng, ngoại trừ những trường hợp ông ấy phải giảng bài…”

Điều thú vị là khi chuẩn bị các Nguyên tố, Newton đã thu được nhiều kết quả mà ông đạt được bằng cách sử dụng phép tính vi phân và tích phân (theo thuật ngữ của Newton là phương pháp thông lượng), sử dụng cái gọi là phương pháp “tổng hợp”, dựa trên sự kết hợp của các công trình hình học và truyền thông đường kính. Đối với độc giả thế kỷ 20, hình thức trình bày tài liệu này khiến cuốn sách rất khó đọc. Điều này được thực hiện… để tạo điều kiện thuận lợi cho những người đương thời hiểu được nội dung của nó. Hơn nữa, nhiều năm sau ấn bản đầu tiên của Elements, Newton đã viết rằng “ở thời đại chúng ta, đối với những người thiếu kinh nghiệm, nhận thức về Analiza [tức là phương pháp thông lượng - S.F.], với sự trợ giúp của nó đã tìm ra những điều khoản này, là rất khó.”

Cũng chính Halley đã hỗ trợ rất nhiều trong việc chuẩn bị “Các nguyên tắc” để xuất bản. Anh ấy không chỉ loại bỏ nhiều lỗi chính tả mà còn nỗ lực hết sức để cải thiện thiết kế của cuốn sách. Theo truyền thống thời đó, nếu một cuốn sách có nhiều hình ảnh minh họa, chúng sẽ được lấy ra khỏi văn bản thành các tờ giấy riêng biệt - điều này giúp việc tạo ra những khuôn sáo để in ấn trở nên dễ dàng hơn. Halley nhấn mạnh rằng hình phải được đặt trực tiếp trong văn bản, điều này tất nhiên sẽ giúp dễ đọc hơn. Lưu ý rằng điều này làm tăng chi phí xuất bản, nhưng Halley phải tự mình in “Các nguyên tắc” vì Hiệp hội Hoàng gia đang gặp khó khăn về tài chính vào thời điểm đó.

Cuối cùng, vào giữa năm 1687, cuốn sách vĩ đại của Newton, Philosophia Naturalis principia mathematica, đã được xuất bản.

Chúng ta hãy xem xét ngắn gọn nội dung của nó.

Theo trang “Bắt đầu”

“Các nguyên tắc” mở đầu bằng phần trình bày của tác giả, trong đó ông đưa ra mục tiêu mà ông phải đối mặt: ứng dụng toán học vào dòng chảy tự nhiên, tức là vào vật lý. Tiếp theo là các Định nghĩa về mức độ quan trọng và mức độ dễ hiểu, làm nền tảng cho phần trình bày tiếp theo. Chúng ta hãy lưu ý rằng việc phát triển các định nghĩa này không hề dễ dàng chút nào. Vì vậy, ví dụ, Định nghĩa III đọc như sau:

“Sức mạnh bẩm sinh của vật chất là khả năng kháng cự hiện diện trong nó, nhờ đó mỗi cơ thể riêng lẻ, trong chừng mực được thể hiện với chính nó, duy trì trạng thái đứng yên hoặc chuyển động đều xung quanh tia sét.”

Một mặt, rất ngạc nhiên khi ở đây Newton nói về tính chất quan trọng nhất của vật thể - quán tính, và do đó, định nghĩa này phản ánh thực tế. Mặt khác, ở chỗ này, Newton gán cho tất cả các vật thể sức mạnh “bẩm sinh” của inERTII, tồn tại độc lập với hệ thống báo cáo. Quan điểm này về lực quán tính sau đó không được các nhà vật lý chấp nhận. Chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa này để cho thấy những ý tưởng cơ bản của cơ học đã được đưa ra với những khó khăn như thế nào: ngay cả Newoton vĩ đại cũng mắc phải những sai sót trong công thức của chúng.

Trong Bài giảng về các định nghĩa, Newton nói về các khái niệm về không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối:

“Thời gian toán học đích thực, tuyệt đối tự nó và trong chính nó

17

bản chất của tôi, không có bất kỳ mối liên hệ nào với bất kỳ thứ gì bên ngoài, chảy đều…
Không gian tuyệt đối, về bản chất, bất chấp mọi thứ bên ngoài, vẫn luôn như cũ và bất động.”
Việc giới thiệu rõ ràng về không gian tuyệt đối và thời gian tuyệt đối gắn liền với quan điểm chung của Newton về cấu trúc của thế giới: ông tin rằng có một trung tâm cố định của Vũ trụ và thậm chí còn đề xuất các thí nghiệm để chứng minh giả định này. Đồng thời, việc sử dụng các khái niệm dễ hiểu này giúp cho phép tính gần đúng đầu tiên có thể giải được một cách chính xác và quan trọng là giải được nhiều cơ chế bài toán một cách đơn giản. Điều đáng chú ý là trong quá trình xây dựng một lý thuyết nhất quán đầu tiên về chuyển động của các vật thể, những ý tưởng như vậy về không gian và thời gian là không thể tránh khỏi. Chỉ hai thế kỷ sau, nhờ sự phát triển của vật lý, các nhà khoa học trong khuôn khổ lý thuyết tương đối đã đưa ra những ý tưởng về không gian và thời gian phản ánh đầy đủ hơn thực tế.
Tiếp theo là “Tiên đề hoặc Định luật chuyển động”. Đây là cách Newton xây dựng chúng:

“ LUẬT I. Mọi vật tiếp tục được duy trì ở trạng thái đứng yên hoặc chuyển động và chuyển động đều cho đến khi và trừ khi nó có thể thay đổi trạng thái này bằng các lực tác dụng.

LUẬT II. Sự thay đổi động lượng tỷ lệ thuận với lực tác dụng lên chuyển động và xảy ra theo hướng của đường thẳng mà lực này tác dụng.

LUẬTIII. Một hành động luôn có phản ứng ngang nhau và ngược chiều; mặt khác: tác dụng của hai vật lên nhau là bằng nhau và ngược chiều nhau.”
Điều này kết thúc phần giới thiệu của phần “Khởi đầu” và bắt đầu phần trình bày nội dung chính. Nó được chia thành ba cuốn sách (phần).

Quyển một, có tựa đề “Về chuyển động của các vật thể”, bắt đầu bằng việc xem xét các định lý toán học, trên cơ sở đó xây dựng các giải thích sâu hơn. Sau phần giới thiệu toán học được thêm vào lời giải bộ bài toángắn liền với sự chuyển động của vật thể dưới tác dụng của cái gọi là lực trung tâm, tức là các lực tác dụng theo đường thẳng nối vật thể với một trung tâm nhất định. Lớn

Trinity College thuộc Đại học Cambridge (bản khắc thế kỷ 17). Phòng của Newton nằm giữa Cổng chính và Nhà thờ Chúa Ba Ngôi (phía dưới bên phải).

18

Shinstvo bài toán có mối liên hệ mơ hồ nhất với cơ học thiên thể. Nhiệm vụ được xem xét theo trình tự nghiêm ngặt, sao cho kết quả thu được trước đó sẽ được sử dụng cho lời giải nhiệm vụ tiếp theo bài toán. Vì vậy, thật khó để theo dõi lý luận của Newton bằng cách chọn một định lý ở giữa cuốn sách. Ví dụ, điều này áp dụng cho bài toán IX, mà Newton đã thảo luận với Halley: “Giả sử rằng lực hướng tâm tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách của các vị trí tính từ tâm và độ lớn tuyệt đối của lực này đã biết, thì cần phải tìm đường cong đi theo một vật rời khỏi một vị trí nhất định với một tốc độ nhất định.”

Để người đọc có thể hình dung về phương pháp trình bày mà Newton đã sử dụng, chúng tôi sẽ đưa ra bằng chứng về Định lý I từ Phần II “Về việc xác định lực hướng tâm”, điều này rất quan trọng để chứng minh định luật thứ hai của Kepler (định luật diện tích). Công thức của nó như sau: “Các diện tích được mô tả bằng bán kính vẽ từ vật quay đến tâm lực đứng yên nằm trong cùng một mặt phẳng và tỷ lệ thuận với thời gian mô tả của chúng”.

Chứng minh định lý.

“Chia thời gian thành những khoảng bằng nhau, trong thời gian đầu tiên vật, theo quán tính, mô tả đường thẳng AB. Nếu nó không chịu tác dụng nào thì tiếp tục đi theo đường thẳng sẽ đến c (không tuân theo định luật I), đi qua đường Bc bằng AB và sau đó được mô tả bằng các bán kính AS, BS, cS hút về tâm của các lực S thì diện tích ASB và BSc bằng nhau. Trong thực tế, khi vật đến B thì vật hướng tâm lực tác dụng lên nó bằng một lực nhưng bị lãng quên, hệ quả của nó chỉ lệch khỏi đường thẳng Ac và sẽ tiếp tục đường đi dọc theo đường thẳng BC. Chúng ta vẽ một đường thẳng сС song song với BS cho đến khi nó gặp BC tại điểm C, sau đó đến cuối khoảng thời gian thứ hai vật (theo hệ quả của định luật thứ nhất)*) sẽ đi đến điểm C, nằm trong cùng mặt phẳng với tam giác SBC; và SBc sẽ bằng nhau nên chúng bằng diện tích tam giác SAB.

Lý luận tương tự, ta thấy nếu lực trung tâm tác dụng tuần tự tại các điểm C, D, E, v.v. và buộc vật vẽ các đường thẳng CD, DE, EF, v.v. thì tất cả các đường thẳng này sẽ nằm trong cùng một mặt phẳng, và diện tích các tam giác SCD và SBC, SDE và SCD, SEF và SDE sẽ bằng nhau. Do đó, các diện tích bằng nhau nằm trong một mặt phẳng cố định được mô tả ở những thời điểm bằng nhau. Slavaya, chúng tôi hiểu rằng bất kỳ tổng nào của các khu vực này, như SADS và SAFS, sẽ liên quan đến thời gian mô tả của chúng. Sau đó, tăng số lượng hình tam giác và giảm chiều cao của chúng vô hạn, chúng ta thu được rằng trong giới hạn của chu vi ADF sẽ có một đường cong và lực trung tâm, mà vật luôn lệch khỏi tiếp tuyến với đường cong này, tác dụng không ngừng, trong khi diện tích SADS và SAFS, được mô tả bằng bán kính, luôn tỷ lệ thuận với thời gian mô tả của chúng, sẽ tiếp tục tỷ lệ với những thời điểm này.”

Theo phong cách này, bài toán đằng sau vấn đề được xem xét. Phần cuối cùng của cuốn sách đầu tiên trình bày các yếu tố của quang học hạt, đặc biệt, định luật khúc xạ ánh sáng được thảo luận trên cơ sở các định luật cơ học.

Cuốn sách thứ hai của “Các nguyên tắc” có tên giống như cuốn đầu tiên là “Về chuyển động của các vật thể”. Chúng tôi sẽ không làm quen với cô ấy cho đến số tiếp theo của tạp chí.

*) Hệ quả này phát biểu: “Với các lực tổng hợp [tức là dưới tác dụng của hai lực - S.F.] vật thể mô tả đường chéo của hình bình hành cùng lúc với các cạnh của nó - khi tách ra”.

19

TOÁN HỌC
CÔNG VIỆC CỦA TRẺ EM

Dưới đây là hai bài viết ngắn được viết bởi học sinh lớp 10 Yaroslav Karpov từ Leningrad (trường số 239) và Alexander Lobkovsky từ Chernogodovka, vùng Moscow (trường số 82) về các chủ đề hiện đại khác nhau. Chúng thống nhất với nhau bởi thực tế là cả hai bài báo đều là “toán học máy tính”: trong đó, lý luận toán học chỉ có thể thu được những quan sát thú vị sau khi kết nối với máy tính.

Mã hóa mã bưu chính tối ưu

Y. Y. KARPOV

Tôi phải đối mặt với một câu hỏi: tại sao chính xác bộ số này (hình 1) lại được sử dụng trên phong bì—xét cho cùng, những bảng mã này có thể được thay thế bằng những bảng mã khác. Hãy xem chúng ta có thể nghĩ ra bao nhiêu bộ khác nhau (Bảng 1). Tổng số 2×4×3×2×2×2×3×2=1152 tùy chọn.

Để hiển thị những bộ tốt nhất, trước tiên chúng ta phải chọn tiêu chí mà chúng ta sẽ so sánh các bộ đó. Như bạn đã biết, mã số sử dụng trên phong bì được kiểm tra bằng máy. Vì vậy, tiêu chí về tính tối ưu của một tập hợp phải chính xác là với tập hợp này máy sẽ mắc ít lỗi hơn trong việc sắp xếp so với các tập hợp khác.

Để mô tả các cách mã hóa khác nhau của các số, chúng tôi giới thiệu thuật ngữ - khoảng cách giữa hai bảng mã. Khoảng cách phải thỏa mãn các điều kiện sau:

1. Khoảng cách giữa hai bảng mã càng lớn thì khả năng máy sẽ nhầm lẫn bảng mã này với bảng mã khác càng ít.

2. Khoảng cách từ mã hóa $A$ đến mã hóa $B$ phải bằng khoảng cách từ mã hóa $B$ đến mã hóa $A$.

Những điều kiện này thỏa mãn khoảng cách Hamming. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là số lượng ký tự “không khớp” trong bảng mã, tức là số lượng ký tự không khớp.

Ví dụ: Tìm khoảng cách giữa bảng mã 5 ​​và 2 (hình 2). Khoảng cách giữa các bảng mã này là 5, vì các bảng mã này có 5 ô không khớp.

Chúng ta hãy biểu thị bằng $p$ xác suất lỗi cơ bản, tức là xác suất để máy nhầm que với “chống dính” hoặc ngược lại. Khi đó xác suất nhận đúng một cây gậy là $1-p$.

Ví dụ: chúng ta hãy tìm xác suất chấp nhận số 6 là 0 (hình 3). Để làm được điều này, máy cần hiểu chính xác 8 que và hai khoảng trống và một que được chấp nhận là khoảng trống. Xác suất của sự kiện này là $p(1-p)^{8}$.

Nói chung, với khoảng cách tự động của bất kỳ chữ số nào, xác suất để chữ số này bị nhầm với chữ số khác là bằng $p^{\gamma}(1-p)^{\alpha-\gamma}$, trong đó $\gamma$ là khoảng cách giữa hai bảng mã Hamming này.

Với khoảng cách tự động của một chữ số cụ thể $i$, xác suất nó bị nhầm với bất kỳ chữ số nào khác là bằng

$$\sum_{j=i}^{n} p^{\gamma,j}(1-p)^{n-\gamma},$$

trong đó $r_{i,j}$ là khoảng cách giữa các chữ số $i$ và $j$.

20

Giả sử rằng tất cả các số đều xuất hiện như nhau ở bất kỳ vị trí nào. Khi đó xác suất trung bình của việc nhận dạng sai một chữ số là bằng

$$P = \frac{1}{10} \sum_{i=0}^{9} \sum_{j=0}^{p_{j,i,j}} (1-p)^{9-r_{j,i,j}}.$$

Chúng ta sẽ sử dụng độ tin cậy này làm tiêu chí cho chất lượng của bộ: nó càng thấp thì bộ càng “tốt”.

Bảng liệt kê tất cả 1152 tùy chọn mã dựa trên tiêu chí này được lấy trên máy tính ES-1035. Chương trình tìm kiếm được viết bằng Fortran. Trong chương trình, tất cả các biến thể của bản ghi chữ số được mã hóa dưới dạng mảng gồm 1 và 0, theo nguyên tắc sau (hình 4): nếu trong bản ghi chữ số có một que ở một vị trí nhất định, thì khi mã hóa ở vị trí có số được chỉ ra trong sơ đồ, 1 sẽ được viết, nếu không thì 0.

Ví dụ: Hãy mã hóa số 2, cho ở dạng tổng quát (như trên phong bì):

$$0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1.$$

Các tùy chọn mã hóa cho số $i$ được viết trong ma trận $ki$, trong đó số hàng là 9 và số cột trùng với số lượng tùy chọn mã hóa.

Đối với mỗi giá trị của xác suất lỗi cơ bản $p$, tất cả 1152 biến thể của bộ đã được sắp xếp, chất lượng của chúng được đánh giá bằng công thức (*) và những biến thể tốt nhất và tốt thứ hai đã được chọn. Để làm điều này, một ma trận khoảng cách được hình thành cho mỗi tập hợp, được rút ra từ tập hợp tốt nhất. Vì mỗi mã hóa 8 và 0 chỉ có một tùy chọn nên các số này không được sắp xếp thông suốt và không tham gia vào đầu ra.

Các kết quả sau đây đã thu được. Với mức độ tin cậy của sai số cơ bản trong

$$0 < p \leq 0,3$$

Mã hóa thực tế hóa ra giống với mã được sử dụng trên phong bì (xem hình 1). Vì xác suất lỗi thực tế của máy nhận dạng ở bưu điện hiển nhiên nằm trong giới hạn này nên bộ này là quan trọng nhất.

Chất lượng tốt thứ hai trong phạm vi này là bộ được hiển thị ở hình 5. Bộ thứ hai chỉ khác với bộ thứ nhất ở hai chỗ và xác suất xảy ra lỗi với bộ này không lớn hơn nhiều so với bộ tốt nhất.

Tại $p=0,4$ các bộ này được hoán đổi.

Khi độ tin cậy tăng lên 0,5, tất cả các độ tin cậy đều bằng nhau, do đó rất có thể tất cả các bộ sẽ trở nên giống nhau.

Tất nhiên, tôi sẽ chấp nhận nếu chương trình của tôi xác định được một bộ khác với bộ được chấp nhận tại bưu điện: khi đó tôi có thể đề nghị thay thế bộ được chấp nhận bằng bộ của tôi - một bộ tốt hơn.

Than ôi! Có lẽ, khi bộ tối ưu được chọn ở bưu điện, việc tối ưu hóa bài toán cũng được quyết định giống như tôi đã làm.

Biên tập. Kèm theo các tài liệu được xuất bản ở trên, Y. Karpov đã đính kèm bản in của chương trình (ở Fortran) thực hiện các thuật toán được mô tả trong bài viết. Các bản in đưa ra ý tưởng về văn hóa lập trình khá cao của tác giả bài viết. Họ có những lời nhận xét rõ ràng để làm cho chương trình dễ đọc. Tuy nhiên, việc thiếu không gian cũng như sự lựa chọn ngôn ngữ không may (Fortran không được đưa vào khóa học khoa học máy tính của trường) không cho phép chúng tôi xuất bản phần tài liệu này.

Chúng tôi yêu cầu tác giả của các bài viết dành cho việc sử dụng máy tính tìm kiếm danh sách của họ; Điều mong muốn là các chương trình được viết bằng BASIC (hoặc Rappa).

21

Các mô hình toán học trên mặt phẳng

A.E.LOVKOVSKY

Gần đây, trong toán học ứng dụng đã xuất hiện công trình liên quan đến việc nghiên cứu các mẫu xuất hiện trên màn hình hiển thị nếu mỗi điểm của mặt phẳng được tô màu này hay màu khác theo một quy tắc nhất định. Quy tắc tô màu có thể rất đa dạng.

Thuật toán được thảo luận ở đây đơn giản đến mức một lập trình viên mới vào nghề có thể dễ dàng thực hiện nó trên máy tính. Nó trông như thế này: đối với một điểm trong mặt phẳng $(x; y)$, các giá trị $c = [f(x, y)]$ được tính toán, trong đó $f(x, y)$ là hàm tọa độ đã chọn và dấu ngoặc vuông biểu thị phần nguyên của số; nếu số $c$ là số lẻ thì chấm được tô lên, nếu số chẵn thì không.

Toàn bộ mặt phẳng sau đó sẽ được chia thành các vùng hữu hạn một chiều. Kích thước của vùng giảm dần theo khoảng cách từ điểm gốc. Do đó, trên máy tính có kích thước của một điểm trên màn hình có thể lớn hơn kích thước của khu vực đó, không phải lúc nào cũng có thể khôi phục chính xác hình ảnh thật. Trên thực tế, trong thuật toán của chúng tôi, toàn bộ mặt phẳng được chia thành các ô và mỗi ô được sơn cùng màu với tâm của nó. Do đó, nếu có một số khu vực khác nhau trên lãnh thổ của ô, thì hình kết quả sẽ khác với khu vực thực. Bằng cách giảm kích thước ô, tức là tăng tỷ lệ hình ảnh, chúng tôi cải thiện độ chính xác của việc tái tạo. Chương trình Cơ bản tương ứng cho màn hình $X \times Y$ trông như thế này:

10 INPUT $S$
20 FOR $x=0$ TO $X$
30 FOR $y=0$ TO $Y$
40 IF (INT($f(x, y)/S$)) mod 2=1 THEN PLOT $(x, y)$
50 NEXT $y$
60 NEXT $x$
Vai trò của tỷ lệ ở đây được thể hiện bởi số lượng $S$.

Trong các hình ảnh hiển thị ở trang thứ hai của trang bìa, bạn sẽ thấy các mẫu thu được với các $S$ khác nhau cho $f(x, y) = x^2 + y^2$ (hình 1, ​​​​a-e), $f(x, y) = xy$ (hình 2, a-e), $f(x, y) = x^2 - y^2$ (hình 3, a-e).

Tính tuần hoàn rõ rệt, có thể thấy ở mức $S$ nhỏ trong tất cả các biểu đồ, thật kỳ lạ, lại là một chi phí cho phương pháp tái tạo của chúng tôi. Dấu chấm trên tất cả các thẻ bằng $S$ đối với $S$ chẵn và $2S$ đối với lẻ. Hãy chứng minh điều này bằng ví dụ $f(x, y) = x^2 + y^2$. Thật vậy, màu sắc của điểm

$$\begin{align*} (x_1; y_1) &= (x + kS; y + lS) \\ (k, l) &= \text{целые числа} \end{align*}$$

được xác định bởi biểu thức:

$$\frac{x_1^2 + y_1^2}{S} = \frac{(x + kS)^2 + (y + lS)^2}{S} = \frac{x^2 + y^2}{S} + S(2k + 2l + k^2S + l^2S).$$

Có thể thấy rằng phần phân số của các số $(x_1^2 + y_1^2)/S$ và $(x^2 + y^2)/S$ trùng khớp với nhau, và do đó, đối với $S$ chẵn, màu của điểm $(x_1; y_1)$ (tức là tính chẵn lẻ của biểu thức $[(x_1^2 + y_1^2)/S]$) trùng với màu của điểm $(x; y)$ đối với bất kỳ $k$ và $l$ nào, và đối với lẻ $S$ chỉ dành cho $k$ và $l$ có cùng chẵn lẻ. Chúng tôi đề nghị chứng minh cho người đọc thấy rằng khoảng thời gian này là ngắn nhất.

Trong tất cả các biểu đồ được trình bày, số $S$ là số chẵn. Bạn có thể tự mình nhận thấy rằng nếu $S$ lẻ thì các vòng tròn màu đen và trắng sẽ có màu đen.

Người ta có thể không ngừng ngưỡng mộ sự đa dạng nảy sinh từ một phương pháp xây dựng hình có vẻ nguyên thủy như vậy. Đối với $f(x, y) = x^2 + y^2$, ngoài một họ đường tròn rõ rệt có chu kỳ $T$, người ta có thể thấy nhiều họ đường tròn khác (hơn 10) ít tương phản hơn nằm ở các nút của một mạng hình vuông có chu kỳ $T/2, T/3, T/4, T/5, T/7, T/9$ và thậm chí $T/11$. Sẽ rất thú vị khi trả lời các câu hỏi sau: tại sao các vòng tròn “thứ cấp” lại xuất hiện, chu kỳ của mạng tinh thể của chúng là bao nhiêu (nếu chúng tuần hoàn), v.v.

Tất cả những điều trên cũng áp dụng cho các biểu đồ $c$ $f(x, y) = xy$ và $f(x, y) = x^2 - y^2$, với sự khác biệt là trong những hình này, chúng ta thấy các họ hyperbol.

Tóm lại, tôi xin chúc người đọc thành công với bài toán tương tác này, thử nghiệm với các $f(x, y)$ khác nhau, chẳng hạn như $x^3 + y^3$ hoặc arctg $(x + y)$.

22

Nhiệm vụ

M1071—M1075, F1083—F1087

M1071. Một trường để chơi “số” được vẽ trên bảng: ((((((((___))*)_))*)_))*)*

Hai người chơi thay phiên nhau. Người chơi đầu tiên, với nước đi đầu tiên, viết ra một số số thay cho ô đầu tiên (tự tạo) (___). Mỗi bước tiếp theo bao gồm việc viết một số vào vị trí của khoảng trống tiếp theo và thay thế dấu hoa thị (*) ở bên trái bằng dấu cộng hoặc dấu nhân; tuy nhiên, không có con số nào xuất hiện hai lần. Khi kết thúc trò chơi, giá trị của biểu thức thu được sẽ được tính toán. Nếu là số chẵn thì người chơi thứ nhất thắng, nếu là số lẻ thì người chơi thứ hai thắng. Ai thắng trò chơi dày dạn?

S. A. Genkin

M1072. Phân tích số 989·1001·1007+320 thành thừa số nguyên tố.

S. V. Fomin

M1073. Trong hình lục giác $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ có một điểm O, từ đó nhìn thấy được tất cả các cạnh một góc 60°. Chứng minh rằng nếu $OA_1 > OA_3 > OA_5$ và $OA_2 > OA_4 > OA_6$ thì $A_1A_2 + A_3A_4 + A_5A_6 < A_2A_3 + A_4A_5 + A_6A_1$.

A. S. Merkuryev

M1074. Cho một chồng thẻ 2n+1, được phép thực hiện hai thao tác sau:
(A) lấy một số thẻ từ trên xuống và đặt chúng xuống, duy trì trật tự;
(B) n thẻ trên cùng được xếp vào n khoảng trống giữa n+1 thẻ dưới cùng, duy trì trật tự.
Chứng minh rằng bằng cách sử dụng các phép toán đã chỉ ra, không thể thu được nhiều hơn 2n(2n+1) cách sắp xếp quân bài khác nhau từ cách sắp xếp quân bài ban đầu trong ngăn xếp.

D. V. Fomin

M1075. Tìm số tự nhiên lớn nhất có chữ số thứ mười trong đó mỗi chữ số (trừ các chữ số bên ngoài) nhỏ hơn hai chữ số liền kề với nó.

S. E. Rukshin

F1083. Một viên gạch đồng nhất $ABCDA'B'C'D'$ (hình 1) có đặc tính sau: nếu bạn cắt nó bằng một mặt phẳng tùy ý đi qua cạnh $AA'$, thì mỗi phần trong số hai phần của viên gạch, đặt trên một mặt mới $AEE'A'$ (hình 2), sẽ không rơi. Tìm sự tương ứng giữa các kích thước gạch mà tại đó điều này có thể thực hiện được.

S. V. Shlosman

F1084. Nếu bạn ấn một niken vào kính đã đông cứng trong một thời gian ngắn, một vòng tròn sẽ tan trên kính dọc theo mép của niken. Tại sao?

L. A. Ashkinzi

F1085. hình 3 mô tả một quá trình được thực hiện trên một chất khí lý tưởng và chuyển nó từ trạng thái A sang trạng thái B. Tìm trên đồ thị các phần của quá trình trong đó nhiệt độ của khí tăng (giảm).

Tôi. Yu. Poteryayko

24

NEW PROBLEM IN PHYSICS (or MATHEMATICS). Please print your name and address in BLOCK LETTERS.

P1084. If a five kopeck coin is held briefly against frost covered glass, a circle appears along the rim of the coin. Why?
L. A. Ashkinazi

P1085. Figure hình 3 (p. 23) shows a process which brings the ideal gas from state A to state B. Locate the parts of the graph where the gas temperature increases (decreases).
I. Yu. Poteryaiko

P1086. The resulting tension of the electric field created by two point charges at the point A is zero, while at the point B the absolute values of the fields of the two charges are equal. Show that the resulting field at the point B is directed along the line AB.
V. T. Karapetyan

P1087. A mathematical pendulum oscillates. The maximum angle away from the equilibrium position is $\alpha_0 \leqslant \pi/2$. Find angles $\alpha_1$ and $\alpha_2$ where the weight’s acceleration assumes its largest and its smallest values. Plot the dependances of $\alpha_1$ and $\alpha_2$ on $\alpha_0$.
O. A. Sedletski

Lời giải bài toán
M1051 — M1055, F1063 — F1066

Trong cả hai trường hợp đáp số đều âm. Để đảm bảo điều này, hãy tô màu tài liệu theo chiều ngang: chiều ngang đầu tiên là màu đen, chiều ngang thứ hai là màu trắng, chiều ngang thứ ba lại là màu đen, v.v. (xem hình). Rõ ràng, khi nhảy, một quân cờ luôn rơi vào một hình vuông cùng màu, vì vậy các hình vuông 3x3 bắt đầu và kết thúc phải có cùng số lượng hình vuông màu đen. Nhưng ở hình vuông phía dưới có 6 cái trong số đó, và ở hình vuông phía trên - bên trái hoặc bên phải - 3.

Bài toán a) có thể giải theo cách tương tự với cách tô màu cờ vua thông thường.
J. E. Briskin

M1052. Chứng minh rằng trong n hình tứ giác bị cắt khỏi một n-giác lồi bằng các đường chéo thì không quá n/2 có thể là đường tròn ngoại tiếp. Cho ví dụ về hình bát giác có 4 hình tứ giác như vậy.

Nếu có thể đếm được nhiều hơn n/2 các hình tứ giác được mô tả thì trong số chúng sẽ có hai hình tứ giác lân cận - có hai cạnh chung. Hãy ký hiệu chúng là ABCD và BCDE (hình 1). Đối với mỗi người trong số họ, tổng các cạnh đối diện bằng nhau:
$$AB + CD = BC + AD, \quad BC + DE = CD + BE.$$
Từ đây chúng ta có được điều đó
$$AB + DE = AD + BE.$$ (*)

n-giác ban đầu là lồi nên các đường chéo AD và BE của nó cắt nhau tại điểm P. Bởi

25

bất đẳng thức tam giác

$$AD + BE = AP + BP + PD + PE > AB + DE,$$

mâu thuẫn với (*).

Để xây dựng hình bát giác cần thiết, chúng ta mô tả một hình thang đều $A_1A_2A_3A_4$ xung quanh một hình tròn có góc 45° ở đáy $A_1A_4$, sau đó xây dựng nó thành một hình bát giác $A_1A_2...A_8$ như trong hình 2. Tương tự, một n-giác được tạo ra, từ đó chúng ta có thể đếm các đường chéo [n/2] của các hình tứ giác được mô tả.

N. M. Sedrakyan

M1053. Chứng minh rằng trong dãy số Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, trong đó mỗi số bằng tổng của hai số liền trước thì tại $m \geq 2$ sẽ có ít nhất 4 và nhiều nhất là 5 số có m chữ số.

$$u_n = \frac{\tau^{n+1} - (-1/\tau)^{n+1}}{\sqrt{5}},$$

ở đâu $\tau = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Đặt $u_n$ là dãy Fibonacci: $u_0 = 1, u_1 = 1,$

$$u_{n+1} = u_n + u_{n-1}.$$

(1)

Chúng ta đưa ra ước tính đơn giản sau đây cho tỷ lệ $r_n = u_{n+1}/u_n$ của các số Fibonacci lân cận: bắt đầu từ $u_3/u_2 = 3/2$, tỷ lệ $r_n$ không nhỏ hơn $3/2 = 1,5$ và không lớn hơn $5/3 = 1,66... < 1,7$.

Dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học. Nhờ (1)

$$r_n = \frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 + \frac{u_{n-1}}{u_n} = 1 + \frac{1}{r_{n-1}}.$$

Vì vậy, nếu

$$\frac{3}{2} \leq r_{n-1} \leq \frac{5}{3},$$

(2)

tức là $2/3 \geq 1/r_{n-1} \geq 3/5$, thì $r_n$ được ước tính từ phía trên theo số $1+2/3=5/3$ và từ bên dưới theo số $1+3/5=8/5>3/2$. Và vì ước lượng (2) đúng với $n=3$ nên nó cũng đúng với mọi $n \geq 3$.

Đặt $u_k$ là số Fibonacci có $m$ chữ số nhỏ nhất, $m \geq 2$. Sau đó $u_k \geq 10^{m-1}, u_{k+1} \geq 1,5u_k,$

$$u_{k+2} = u_{k+1} + u_k \geq 2,5u_k,$$

$$u_{k+3} \geq (2,5+1,5)u_k = 4u_k,$$

$$u_{k+4} \geq (4+2,5)u_k = 6,5u_k,$$

và khi đó $u_{k+5} \geq 10,5u_k > 10^m$ không nhỏ hơn số $(m+1)$ chữ số. Vì vậy, không có nhiều hơn 5 số Fibonacci có $m$ chữ số.

Mặt khác, $u_{k-1} < 10^{m-1}, u_k < 1,7u_{k-1}$ và tương tự như phần trước, chúng ta nhận được $u_{k+3} < 7,1u_{k-1} < 10^m$. Do đó, có ít nhất 4 số Fibonacci $m$ chữ số.

Bạn có thể giải quyết bài toán này theo cách khác, sử dụng công thức rõ ràng cho các số Fibonacci *) được đưa ra ở lề.

N. V. Vasiliev

*) Ví dụ, xem cuốn “Olympic Toán học Tương ứng”, M.: Nauka, 1987, bài toán 6-11.

27

nói các điều khoản của chúng tôi. Điều này cung cấp ít nhất $(21-k)(20-k)/2$ phân đoạn. Vậy tổng số đoạn thẳng của đồ thị không nhỏ hơn

$$\frac{k(k-1)}{2} + \frac{(21-k)(20-k)}{2} = k^2 - 21k + 210 \geq 100$$

(đối với số nguyên $k$); mức tối thiểu đạt được ở $k=10$ hoặc $k=11$. Ước tính này không phải là ulashema, như có thể thấy từ khoảng cách được hiển thị trong hình: 10 điểm lớn ở một đầu của đường kính và 11 điểm lớn ở đầu kia.

Trong trường hợp tổng quát $n$ điểm trên đường tròn thì số 100 phải thay bằng $n(n-2)/4$ cho số chẵn $n$ và $(n-1)^2/4$ cho số lẻ; bằng chứng được bảo tồn.

V. N. Dubrovsky, A. F. Sidorenko

F1063. Người đi bộ cần đi từ điểm trường $A$ đến điểm trường $B$ trong thời gian ngắn nhất có thể, khoảng cách giữa đó là 1300 m. Cánh đồng được cắt ngang bởi một con đường thẳng sao cho điểm $A$ cách sân 600 m và điểm $B$ cách sân 100 m. Tốc độ di chuyển của người đi bộ qua cánh đồng là 3 km/h và dọc đường - 6 km/h. Người đi bộ nên đi theo con đường nào?

Thời gian tối thiểu là bao lâu? Khoảng cách xảy ra khi các điểm $A$ và $B$ nằm cùng một phía đường và khi chúng nằm ở hai phía đối diện nhau của đường.

Đối với lời giải bài toán, chúng tôi sẽ xây dựng mặt trước của vùng có thể tiếp cận - ranh giới của vùng tại bất kỳ điểm nào mà người ta có thể ở đó trong một khoảng thời gian nhất định.*)

Chúng ta sẽ xây dựng ranh giới này tại thời điểm nó đi qua điểm $B$ (khoảng cách là trường hợp điểm $A$ và $B$ nằm đối diện nhau trên đường). Trong trường hợp này, chúng ta vẽ qua điểm $B$ (xem hình) một đường thẳng tạo thành một góc $\varphi$ với đường sao cho $\sin \varphi = v/u$, trong đó $v$ là tốc độ di chuyển dọc theo sân, $u$ là tốc độ di chuyển dọc đường. Từ dữ liệu bài toán suy ra $\sin \varphi = 1/2$, $\varphi = \pi/6$. Giả sử đường thẳng này cắt đường tại điểm $D$. Từ điểm $A$ ta vẽ một đường tròn tiếp tuyến với đường thẳng $BD$. Từ dữ liệu bài toán suy ra điểm $B$ nằm giữa điểm tiếp tuyến $C$ và điểm $D$.

Vì vậy, tại thời điểm mặt trước đi qua điểm $B$ mà chúng ta quan tâm, phần mặt trước được biểu thị bằng một hình tròn có bán kính $AC$ và một đoạn tiếp tuyến $CD$. **) Theler có thể dễ dàng hiểu rằng quỹ đạo tối ưu từ $A$ đến $B$ sẽ là đường đứt nét $AFGB$, và $CFD = BGD = \pi/2 - \varphi = \pi/3$.

Tương tự, nếu các điểm $A$ và $B(B')$ nằm cùng một phía đường thì quỹ đạo tối ưu sẽ là đường đứt nét $AFKB'$, với $B'KD = \pi/2 - \varphi = \pi/3$. Lưu ý rằng với sự sắp xếp lẫn nhau khác nhau của các điểm $A$, $B$ và đường (ở các khoảng cách khác), quỹ đạo tối ưu có thể là một đoạn thẳng không có đoạn đường (trong trường hợp này, điểm $B$ nằm trên một phần của mặt trước, là một phần của hình tròn có bán kính $AC$).

Teler sẽ tìm thời gian di chuyển tối thiểu từ điểm $A$ đến điểm $B$. Nếu các điểm nằm ở hai phía đối diện của con đường -

$$t_{\min} = \frac{AF}{v} + \frac{FG}{u} + \frac{GB}{v} \approx 23,5 \text{ мин.}$$

Nếu điểm $A$ và $B(B')$ nằm cùng một phía đường -

$$t_{\min} = \frac{AF}{v} + \frac{FK}{u} + \frac{KB'}{v} \approx 24,6 \text{ мин.}$$

S. S. Krotov

*) Tôi nói chi tiết về nguyên tắc xây dựng mặt trước của vùng có thể tiếp cận trong bài viết Về quỹ đạo di chuyển tối ưu trong «Kvant» số 6 năm 1982.

**) Toàn bộ mặt tiền đối xứng vuông góc với đường đi qua điểm $A$; phiên bản bên trái của phần của nó là đoạn thẳng từ điểm $D$ đến giao điểm với đường tròn có bán kính $AC$, tạo một góc $\varphi = \pi/6$ với đường và một phần của đường tròn có bán kính $AC$.

28

F1064. Sợi chỉ được gắn vào và quấn quanh vành của một vật nặng. Nếu đầu kia của sợi chỉ được gắn vào trần nhà và vật được thả ra thì nó sẽ di chuyển xuống dưới, làm lành và tháo sợi chỉ. Cho ba vật thể như vậy được kết nối “nối tiếp”, tức là phần cuối của sợi chỉ của vật thể tiếp theo được gắn vào trục của vật thể trước đó (hình 1). Tất cả các vật thể đồng thời được thả ra và chúng bắt đầu chuyển động. Xác định gia tốc mà âm lượng phía trên di chuyển.

Vật phía trên sẽ chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu nếu số lượng vật mắc nối tiếp rất lớn?

Giả sử khối lượng của vòng phân bố đều dọc theo vành của nó, kim đan không trọng lượng, các sợi chỉ không trọng lượng và không thể giãn ra, không có rãnh.

Hình 1.

Hình 2.

Để hệ thống chứa $N$ các đối tượng được kết nối tuần tự, như được hiển thị trong hình 2. Hãy xử lý chúng từ trên xuống dưới. Vòng được đánh số $k$ được tác động lên trên bởi lực căng của sợi $k$ và hướng xuống dưới bởi trọng lực và lực căng của sợi $(k+1)$. Chúng ta hãy viết phương trình chuyển động của vật thứ $k$:

$$mg + T_{k+1} - T_k = ma_k,$$

(1)

trong đó $a_k$ là hình chiếu của gia tốc khối tâm của vật lên phương chuyển động, $m$ là khối lượng của vật, $T_k$ và $T_{k+1}$ là lực căng của sợi dây.

Một phương trình tương tự có thể được viết cho bất kỳ tập nào. Trong trường hợp này, $T_{N+1} = 0$, vì đơn giản là không có chủ đề $(N+1)$. Do đó, các phương trình (1) được viết cho $k=1\div N$ biểu thị một hệ phương trình $N$ với $2N$ ẩn số $a_k$ và $T_k$.

Có thể thu được một phương trình $N$ khác bằng cách sử dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Trong thời gian $t$ sau khi bắt đầu chuyển động $k$, vật có gia tốc $a_k$, rơi xuống một khoảng $s_k$, đạt tốc độ tịnh tiến $v_k$ và tốc độ góc quay quanh vật $\omega_k$. Các đại lượng này có liên hệ với nhau bởi mối quan hệ

$$s_k = a_k t^2 / 2, \quad v_k = a_k t, \quad \omega_k R = v_k - v_{k-1},$$

(2)

trong đó $R$ là bán kính của vật thể. Hãy tính động năng của thể tích mà nó đã đạt tới tại thời điểm $t$. Để làm điều này, chúng tôi chọn hai mảnh nhỏ có cùng khối lượng $\Delta m$, nằm trên cùng một đường kính (hình 3). Tốc độ của mỗi mảnh là tổng của tốc độ $v_k$ của chuyển động tịnh tiến của nó và tốc độ tuyến tính của chuyển động quay quanh tâm của vật thể $(\bar{u} \text{ и } -\bar{u}, u = \omega_k R)$. Tổng động năng của các mảnh này bằng

$$\Delta m (\bar{v}_k + \bar{u})^2 / 2 + \Delta m (\bar{v}_k - \bar{u})^2 / 2 = 2 (\Delta m v_k^2 / 2 + \Delta mu^2 / 2).$$

Động năng của toàn bộ khối lượng bằng tổng năng lượng của tất cả các cặp như vậy, nghĩa là nó bằng

$$mv_k^2 / 2 + m (\omega_k R)^2 / 2.$$

(3)

Năng lượng này bằng công của tất cả các lực tác dụng lên vật. Công của các lực $mg$ và $T_{k+1}$ là dương và bằng $(mg + T_{k+1}) s_k$. Công của các lực $T_k$ âm và bằng $(-T_k) s_{k-1}$ (vì điểm tác dụng của lực dịch chuyển xuống dưới một khoảng $s_{k-1}$). Đó là lý do tại sao

$$mv_k^2 / 2 + m (\omega_k R)^2 / 2 = (mg + T_{k-1}) s_k - T_k s_{k-1}.$$

Từ phương trình này, xét đến (1) và (2), sau khi biến đổi ta thu được:

$$T_k = m (a_k - a_{k-1}), \quad k = 1 \div N.$$

(4)

Phương trình (3), biểu thị lực căng của sợi dây thông qua gia tốc, có giá trị đối với bất kỳ sợi dây nào, và do đó, (3), giống như (1), là một hệ phương trình $N$ với $2N$ ẩn số. Thay thế từ hệ biểu thức này cho lực căng trong hệ phương trình (1), kết quả cuối cùng là:

$$-a_{k-1} + 3a_k - a_{k+1} = g, \quad k = 1 \div N.$$

Trong hệ thống này, phương trình phải được xem xét $a_0 = 0$, vì đây là gia tốc của điểm treo của tập đầu tiên, $a_{N+1} = a_N$, vì $T_{N+1} = 0$ (($N+1$) không có sợi dây).

Bây giờ chúng ta viết ở dạng mở rộng hệ phương trình (4) cho ba đối tượng ($N=3$):

$$\begin{align*} 3a_1 - a_2 &= g, \\ -a_1 + 3a_2 - a_3 &= g, \\ -a_2 + 2a_3 &= g. \end{align*}$$

Giải hệ này, ta được

$$a_1 = \frac{8}{13} g; \quad a_2 = \frac{11}{13} g; \quad a_3 = \frac{12}{13} g.$$

29

Lưu ý rằng hệ (4) có thể giải được với bất kỳ giá trị hữu hạn nào của $N$. Rõ ràng là khi $N$ tăng lên thì độ khó của phép tính cũng tăng lên. Nếu $N \to \infty$ thì sao? Ở đây chúng ta sẽ thực hiện các đối số có giá trị cụ thể cho trường hợp $N \to \infty$.

Giả sử gia tốc của vòng đầu tiên là $a_1 = \chi g$, (5)

trong đó $\chi$ là một số nhất định mà chúng ta cần xác định. Bây giờ chúng ta chuyển sang hệ thống báo cáo, di chuyển với gia tốc $a_1$. Trong hệ thống này, mô tả chuyển động của tất cả các vòng, bắt đầu từ vòng thứ hai, là bài toán, tương tự như mô tả ban đầu của chúng tôi, với điểm khác biệt duy nhất là chuyển động xảy ra trong trường hấp dẫn với

$$g' = g - a_1 = g(1 - \chi)$$

và tổng số vòng giảm đi một. Vì vẫn còn rất nhiều vòng nên đương nhiên có thể giả sử rằng gia tốc của vòng trên (thứ hai) bằng

$$a'_1 = \chi g'.$$

Do đó, trong hệ thống báo cáo cố định, gia tốc của vòng thứ hai bằng

$$a_2 = a'_1 + a_1 = \chi g' + \chi g = \chi(g' + g) = \chi(g(1 - \chi) + g) = g(2 - \chi).$$ (6)

Thay các biểu thức (5) và (6) cho $a_1$ và $a_2$ vào phương trình đầu tiên của hệ (4), ta tìm được $\chi$:

$$\chi^2 + \chi - 1 = 0 \Rightarrow \chi = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}.$$

Do đó, gia tốc của vòng thứ nhất đối với $N$ đủ lớn bằng

$$a_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} g.$$ (7)

Lưu ý rằng biểu thức đã ở $N = 3$ (7) hợp lệ với độ chính xác 0,5% và đối với $N = 10$ - với độ chính xác $10^{-6}$%.

E. N. Yunosov, I. V. Yaminsky

F1065. Không thể đun sôi một cái chảo chứa 1 lít nước bằng cách đun nóng với công suất 100 W. Xác định xem nước sẽ nguội đi một độ nếu bạn tắt bếp đun nóng.

Đây là một bài toán rất đơn giản - từ điều kiện có thể thấy rõ rằng công suất của lò sưởi bằng công suất để lại chảo nước trong không gian xung quanh (nhiệt độ của nước không thay đổi theo thời gian). Điều này có nghĩa là nếu tắt thiết bị làm nóng, công suất đầu ra là 100 W và nước nguội đi một độ trong thời gian đó.

$$\tau = \frac{cm \cdot \Delta T}{P} = 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}} \cdot 1 \text{ кг} \cdot \frac{1\text{K}}{100\text{Вт}} = 42\text{с}.$$

A. R. Zilberman

F1066. Giả sử rằng do cháy mạnh ở các tầng trên của khí quyển, một lớp đường sẽ xuất hiện, hấp thụ gần như toàn bộ bức xạ mặt trời chiếu vào nó. Nhiệt độ trung bình của Trái đất sẽ trở thành bao nhiêu nếu bây giờ là 300 K?

Một cách gần đúng, chúng ta có thể giả sử rằng giá trị hiện tại của nhiệt độ trung bình của Trái đất là kết quả của sự cân bằng của hai dòng nhiệt: từ Mặt trời đến Trái đất và từ Trái đất trong không gian xung quanh. Trong trường hợp hình thành lớp sahka, dòng năng lượng mặt trời vẫn giữ nguyên, nhưng bản thân lớp đó, có hai bề mặt, sẽ tỏa một nửa dòng năng lượng này ra bên ngoài - vào không gian và một nửa - vào bên trong. Do đó, bề mặt Trái đất sẽ bắt đầu nhận được ít nước ấm hơn hiện tại và sau khi trạng thái cân bằng nước được thiết lập, lượng nhiệt sẽ tỏa trở lại lớp sẽ ít hơn; tức là $q_1 = 2q_2$,

30

I Olympic toàn Liên đoàn dành cho học sinh môn khoa học máy tính

Năm 1988, Bộ Giáo dục Liên Xô cùng với Ủy ban Trung ương Komsomol, Bộ Giáo dục Đặc biệt Trung học và Đại học Liên Xô, Ủy ban Khoa học Máy tính và Tin học Nhà nước Liên Xô, Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Hiệp hội “Kiến thức” của Liên minh Trọng lượng đã tổ chức Olympic Liên minh Trọng lượng dành cho học sinh về tin học.

Kỳ thi Olympic toàn Liên đoàn dành cho học sinh về toán, vật lý và hóa học năm 1988 sẽ được tổ chức lần thứ 22, hình thức tiến hành và các chủ đề được sử dụng là bài toán ổn định. Cuộc thi Olympic Khoa học Máy tính lần đầu tiên được tổ chức. Vì vậy, khi tổ chức, nên sử dụng các biểu mẫu được xử lý theo phương pháp hiện đại trong các môn học khác (càng nhiều càng tốt) và các chủ đề bài toán, được xử lý ở nhiều học sinh hiện đại trong khoa học máy tính.

Ở những nguồn lực liên đoàn có điều kiện thích hợp, các vòng thi Olympic cấp quận (thành phố) và khu vực có thể được tổ chức. Học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia các khóa học khoa học máy tính cơ bản sáng tạo ở trường đều được phép tiến bộ.

Olympic của Đảng Cộng hòa sẽ được tổ chức vào ngày lễ Matrovsky. Các gói có tính chất khuyến nghị nhất định cho Thế vận hội ở giai đoạn tài nguyên sẽ được biên soạn bởi ủy ban phương pháp về khoa học máy tính của Ban tổ chức Trung ương. Ủy ban này sẽ thực hiện chức năng tương tự như chức năng phân tích của các ủy ban phương pháp chuyên môn của Ban Tổ chức Trung ương.

Dựa trên kết quả của Thế vận hội Resursikan, một đội học sinh được thành lập cho chặng cuối của Thế vận hội viễn tưởng.

Giai đoạn cuối cùng của Thế vận hội sẽ được tổ chức tại Sverdlovsk từ ngày 15 tháng 4 đến ngày 22 tháng 4 năm 1988. Việc lựa chọn Sverdlovsk làm địa điểm tổ chức giai đoạn Chung kết không phải ngẫu nhiên - có sự thống nhất giữa các phái đoàn của các tổ chức đảng và Liên Xô địa phương, cơ quan giáo dục công cộng khu vực và thành phố, Viện Toán và Cơ học thuộc Chi nhánh Ural của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và một phiên bản máy đã được triển khai ở tất cả các thành phố trường học (với số lượng 102 h) khóa học trên nền tảng của khoa học thông tin và công nghệ máy tính. Điều này trở nên khả thi nhờ nghị lực và nghị lực của nhiều người, trước hết là thành viên Đoàn Chủ tịch Chi nhánh Ural của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, Viện sĩ N. N. Krasovsky và trưởng Khoa Khoa học Thông tin và Khoa học Máy tính của Viện Sư phạm Sverdlovsk V. G. Zhitomirsky.

Giai đoạn cuối cùng của Thế vận hội, trong đó có các đội tham gia từ mỗi nguồn liên đoàn và các thành phố Moscow, Leningrad và Sverdlovsk (với tư cách là thành phố đăng cai Thế vận hội), sẽ được tổ chức thành hai vòng.

Ở vòng đầu tiên (lý thuyết), 2-3 bài toán sẽ được đề xuất, lời giải trong đó không liên quan đến việc sử dụng công nghệ máy tính. Ở vòng thứ hai (máy), hai bài toán sẽ được cung cấp để đảm bảo việc sử dụng máy tính.

Để kết luận, chúng tôi xin giới thiệu bài toán, được tổ chức tại Olympic Lập trình Quốc tế lần thứ nhất, diễn ra tại Cộng hòa Xã hội Chủ nghĩa Tiệp Khắc vào tháng 8 năm 1987 (học sinh Liên Xô cũng tham gia; Olympic này sẽ được thảo luận chi tiết trên tạp chí “Tin học và Giáo dục.”)

31

Bài toán

1. Sau khi kết thúc giải đấu cờ vua một hiệp (mỗi người đấu với nhau một lần), cả năm người tham gia A, B, C, D, D, được liệt kê ở đây theo thứ tự vị trí của họ, đã trao đổi ấn tượng.
   “Tôi không nghĩ mình sẽ là người duy nhất không trải qua nỗi cay đắng của thất bại”, V nói.
   “Nhưng tôi là người duy nhất không giành được một chiến thắng nào,” D. u ám nói.
   Cố gắng xây dựng lại bảng xếp hạng bằng cách sử dụng dữ liệu này: cách mọi người chơi với những người tham gia khác.
2. Tại sao tuyết kêu cót két dưới chân vào một ngày băng giá?
3. Giải mã câu đố số BÀ + BÀ + BƯỚM =
   =Truyện cổ tích,
   trong đó các chữ cái giống nhau tương ứng với các số giống nhau, các chữ cái khác nhau tương ứng với các số khác nhau và GRANDFATHER>GRANDMOTHER>TURNIP.
4. Từ một bộ tạ có khối lượng 1 g, 2 g, …, 101 g, 100 quả cân tiêu hao được chia thành hai chồng, mỗi chồng 50 miếng sao cho khối lượng của các chồng bằng nhau?
5. Trong một tam giác đều, trung điểm của các cạnh và hình chiếu của chúng lên đáy bằng nhau. Hai đường thẳng được vẽ qua các điểm lệch nhau (xem hình). Chứng minh rằng các mảnh thu được có thể được sử dụng để tạo thành hình thoi.

Những bài toán này đã được cung cấp cho chúng tôi
S. G. Guba, A. P. Savin, A. M. Domashenko,
V. V. Proizvolov, V. D. Vyon

32

Kashcheyskoe, Klima"

…và cao hơn, nhiều nhất có thể,
phá hủy các hành tinh trong quỹ đạo của chúng,
nên có tỷ lệ ngược lại
khoảng cách vuông của chúng
từ trung tâm, xung quanh ốc xà cừ
họ sẽ bị hạn chế.

Isalk Newoton

1. Người đàn ông cúi xuống khỏi ghế, tay cầm một vật nặng. Lực tác dụng lên tay một người khi người đó đang ở trên không là bao nhiêu?

2. Các định luật Pascal và Archimedes có đúng trong điều kiện không trọng lượng không?

3. Con ruồi nên bay theo hướng nào và từ phía nào dọc theo đường xích đạo để bù lại sự giảm trọng lượng của nó do Trái đất quay?

4. Tốc độ tối đa của một vật rơi vào một trục giả thuyết được khoan dọc theo trục quay của quả địa cầu là bao nhiêu? Bỏ qua sự phản kháng.

5. Liệu một vệ tinh có thể di chuyển trên quỹ đạo vì nó không đi qua tâm Trái đất hay không?

6. Vận tốc thoát đầu tiên của một hành tinh có khối lượng và bán kính lớn gấp ba lần Trái đất là bao nhiêu?

7. Vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính xấp xỉ bằng bán kính của hành tinh hình cầu. Đặc tính vật lý nào của mặt phẳng quyết định chu kỳ quay của vệ tinh trên quỹ đạo?

8. Nên sử dụng đồng hồ nào để thay đổi thời gian trong tàu vũ trụ trong điều kiện không trọng lực: từ trường, cát hay lò xo?

9. Người chỉ huy tàu vũ trụ nên làm gì nếu hành khách yêu cầu anh ta tạo ra trạng thái nặng nề?

34

“TẤT CẢ”,

“MỘT SỐ”
VÀ TỪ CHỐI

A. I. ORLOV

Gần đây tôi đã có một cuộc trò chuyện thú vị với học sinh lớp sáu Alik, trung tâm bên phải của đội bóng sân trường chúng tôi.

• Gì thế, Alik, cậu đang đi tập luyện à? Có lẽ vào mùa đông, bạn sẽ chuyển môn bóng đá của mình sang môn khúc côn cầu?

• Không đời nào được! - Alik nhiệt tình kêu lên. — Vào mùa đông, bạn cần phải bận rộn và không được chạy theo quả bóng. Tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, nhưng các cầu thủ bóng đá học tốt hơn nhiều!

• Tại sao cậu lại quyết định như vậy?

• Và cái gì? Mọi người trong nhóm của chúng tôi đều nghĩ như vậy, tôi không đơn độc.

• Không phải tất cả những người mà bạn đang nói đến bây giờ đều giống như những con khỉ khét tiếng trong cuốn sách “Muggly” của Kipling sao? Bạn có nhớ không, họ đã hét vang cả khu rừng: “Chúng ta vĩ đại! Chúng ta tự do! Chúng ta thật đáng ngưỡng mộ! Chúng ta đều nói như vậy, nên đó là sự thật!…”

• Con khỉ này là ai thế?! - Alik phẫn nộ.

“Tôi không muốn xúc phạm bạn, Alik, nhưng bạn không thể chứng minh được điều gì bằng cách trích dẫn ý kiến ​​của nhiều người.” Trái đất tròn nhưng thời xa xưa hầu như mọi người đều cho rằng nó phẳng. Những người da đỏ thuộc bộ tộc Sinu, như thủ lĩnh Mato Nazhin của họ viết, thậm chí còn tin rằng Trái đất hình vuông, và điều này đã có từ thế kỷ 19… Vậy tại sao tất cả những người chơi khúc côn cầu đều là học sinh nghèo?

• Chà, đây là Seryozha Kukushkin. Anh ấy chơi khúc côn cầu mọi lúc và luôn bị điểm kém.

• Bạn lý luận như một người Pháp từng nói: “Tất cả đàn ông Anh đều lùn, bụ bẫm và đen đủi” chỉ vì người duy nhất anh ta gặp trông như thế. Cái tên và người Pháp này gợi lên những quy luật logic.

Alik suy nghĩ về điều đó và tôi quyết định giúp anh ấy. Để bắt đầu, tôi kể câu chuyện này.

“Ở một thành phố, tôi nhìn thấy một tấm biển trên một ngôi nhà: “Không có đồ đôi trong nhà của chúng tôi.” Không có cái bàn như vậy ở nhà bên cạnh. Bạn nghĩ sao, Alik, điều này có nghĩa là mọi người ở nhà bên cạnh đều là một cặp đôi?

“K-không,” Alik lẩm bẩm một cách không chắc chắn. Không nhất thiết phải như vậy. Điều này chỉ có nghĩa là ở đó có những học sinh kém… Ít nhất một học sinh kém… Hoặc có thể tất cả mọi người ở đó đều là học sinh kém. Không, tôi không biết, tôi không có ở đó!

— Nhưng câu này truyền tải điều gì: “Không phải trong số các chàng trai có đôi”?

• Giống như ở ngôi nhà đầu tiên - mọi người đều học mà không trượt.

“Vậy đó là một trong hai điều,” tôi nói với vẻ hài lòng. “Hoặc là mọi người đang học tập mà không bị điểm kém, hoặc có ít nhất một học sinh bị điểm kém trong nhà.” Còn những người yêu thích bóng chày thì sao?

Và rồi hóa ra Alik sau khi suy nghĩ đã có thể suy luận chính xác.

• Một trong hai điều đúng: hoặc tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học kém, hoặc không phải tất cả - có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.

• Nhưng ngay cả trong lớp sáng tạo, Alik, tôi biết ba học sinh xuất sắc thích đá bóng. Điều này có nghĩa là điều thứ hai đúng: có những cầu thủ khúc côn cầu học giỏi.

• Tất nhiên rồi!

• Thế cậu sẽ giới thiệu cái gì?

35

ví dụ với Seryozha Kukushkin?
Alik đang suy nghĩ.

• Rằng không phải tất cả các cầu thủ khúc côn cầu đều học tốt…
  Vì vậy, sau khi cố gắng suy luận một cách logic, bản thân Alik đã đưa ra kết luận chính xác.
  Chúng tôi xử lý các vận động viên đánh đôi và khúc côn cầu tương đối nhanh chóng. Chúng ta hãy cố gắng hiểu cách suy luận trong những trường hợp phức tạp hơn. Ví dụ đầu tiên là với những quả bóng nhiều màu. Hãy tưởng tượng rằng trong nước tiểu (một hộp nhỏ) có thể có những quả bóng màu trắng và đỏ. Tất cả các quả bóng đều có cùng kích thước và không thể phân biệt được trong nháy mắt. Có người nhúng tay vào nước tiểu và lấy ra một quả bóng. Ví dụ, quả bóng có màu đỏ. Bạn có thể nói gì về màu sắc của những quả bóng nằm trong nước tiểu?
  Một số người sẽ nói: “Tất cả các quả bóng đều màu đỏ.” Trên thực tế, điều này không đúng: liệu người ta có thể nói rằng một số (không nhất thiết là tất cả) quả bóng có màu đỏ không? Cũng có thể có những quả bóng màu trắng. Cũng có thể quả bóng được rút ra là quả bóng màu đỏ duy nhất trong số những quả bóng màu trắng.
  Một quả bóng màu đỏ đã được rút ra. Điều này có nghĩa là câu “Tất cả các quả bóng đều màu trắng” là sai. Điều gì là đúng? - “Một số (ít nhất một) quả bóng có màu đỏ.” Hãy luyện tập. Cho mỗi phát biểu sau đây là sai.

1. Tất cả các quả bóng trong nước tiểu đều có màu đỏ.
2. Một số quả bóng trong nước tiểu có màu đỏ.
3. Một số quả bóng trong nước tiểu có màu trắng.
4. Mọi tam giác đều đều là tam giác vuông.
5. Tất cả học sinh trong lớp đều có mặt tại cuộc họp.
6. Một số cô gái đã có mặt tại cuộc họp.
   Xây dựng các tuyên bố đúng sự thật.
   Và bây giờ sơ đồ chung lời giải của tất cả bài toán tương tự là “phương thuốc kỳ diệu” của chúng tôi. Giả sử chúng ta có một tập M gồm những đồ vật như vậy (có thể là một vài quả bóng, một vài cuốn sách hoặc tất cả học sinh của một lớp nhất định). Mỗi phần tử của tập hợp này có thể có hoặc không có tính chất A nào đó. Ví dụ, quả bóng có thể có hoặc không có màu đỏ; khúc côn cầu - có hoặc không có gấp đôi.

Quy luật là thế này: một phát biểu có thể đúng hoặc có thể phủ định nó. Tuy nhiên, chỉ có một trong hai!
(Về mặt logic, quy luật này được gọi là quy luật loại trừ phần giữa.) Câu phát biểu mà chúng ta đang sử dụng là đúng hoặc sai.
Bất kỳ câu B nào, hoặc sự phủ định của nó (tức là câu: “Tuyên bố B sai”). Bất kỳ cầu thủ khúc côn cầu nào cũng chơi kém (sở hữu thuộc tính A). Nếu điều này sai thì ít nhất một vận động viên khúc côn cầu giỏi (không có thuộc tính A).
Vì vậy, đây là sơ đồ của chúng tôi:
Sự chấp thuận

1. Tất cả các mục từ M đều có thuộc tính A.
2. Một số mục từ M có thuộc tính A.
   Sự phủ nhận của anh ấy
3. Ít nhất một mục từ M không có thuộc tính A.
4. Mọi đối tượng từ M đều không có thuộc tính A.
   Lưu ý rằng các câu lệnh “một số đối tượng có thuộc tính A” và “ít nhất một đối tượng (và có lẽ tất cả) có thuộc tính A” có nghĩa giống nhau trong sơ đồ của chúng ta.
   Và bây giờ - bài toán.
   Xây dựng phủ định của các khẳng định sau:
5. Tất cả các góc của một hình lục giác nhất định đều tù.
6. Với mọi x từ tập A, bất đẳng thức x2 > 4 đúng.
7. Một số người là trẻ em.
8. Với ít nhất một x từ tập A sẽ có x2 - 2x + 1 = 0.
9. Tất cả đàn ông đều cao hơn 2 mét.
10. Tất cả các số nguyên tố đều là số lẻ.
11. Với mọi số nguyên tố p thì số 2ᵉ - 1 cũng là số nguyên tố.
    Hãy quay trở lại với nước tiểu, trong đó có những quả bóng không thể phân biệt được một lúc. Bóng có thể có màu trắng, đỏ, xanh, đen.
12. Được biết, không phải tất cả các quả bóng trong nước tiểu đều có màu trắng. Berho, có quả bóng màu đỏ ở đó không?
13. Được biết, không phải tất cả các quả bóng đều có cùng màu. Berho, có ít nhất một viên bi không có màu trắng trong nước tiểu không?
14. Trong nước tiểu có 10 bi trắng, 8 bi đỏ, 11 bi đen. Phải lấy ra bao nhiêu quả bóng để chắc chắn lấy được quả bóng trắng? Tại sao bạn lại nhận được quả bóng có cả ba màu?
    Và một bài toán nữa - chỉ là cái cuối cùng.
15. Lớp có 5 học sinh xuất sắc, 20 học sinh khá và 10 học sinh loại B. Một học sinh xuất sắc chỉ được 5 điểm đáp số, một “học sinh giỏi” có thể được 4 hoặc 5, một học sinh kém có thể được 3, 4 hoặc 5. Lớp có một giáo viên mới, anh ấy không quen một học sinh nào. Hỏi anh ta phải gọi bao nhiêu người lên bảng để chắc chắn có ít nhất một người A?

Bài viết này được xuất bản lần đầu tiên trên số liên bang «Kvant» năm 1976.

36

Vật lý 8, 9, 10

Ghi chú “Định luật vạn vật hấp dẫn” dưới đây dành cho học sinh lớp 8, “Sự giãn nở của khí thành rỗng” - dành cho học sinh lớp 9, “Cảm ứng điện từ và các nguyên lý tương đối” - dành cho học sinh lớp 10.

Định luật hấp dẫn

Có những người mà cuộc sống và hoạt động của họ đóng vai trò là bước ngoặt thực sự trong lịch sử loài người. Nhà tư tưởng vĩ đại người Anh Newton, người đã khám phá ra định luật vạn vật hấp dẫn vào năm 1667, chính là một người như vậy. Chúng ta hãy thử tái tạo lại lý luận tương ứng của Newton.

Đầu tiên, một vài lời về những gì xảy ra trước phần mở đầu. Kepler, trong nhiều năm nghiên cứu các bảng chuyển động của hành tinh, được thầy Tycho Brahe giao phó, vào đầu thế kỷ 17 đã xây dựng ba định luật hoàn chỉnh và tinh tế lạ thường (ngày nay được gọi là định luật Kepler):

1. Tất cả các hành tinh đều chuyển động quanh Mặt trời theo hình elip, trong đó Mặt trời là một trong những tiêu điểm.
2. Bán kính vẽ từ Mặt trời tới hành tinh “quét” những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau.
3. Bình phương chu kỳ của hai hành tinh ($T_1$ và $T_2$) có liên hệ với nhau dưới dạng lập phương của bán trục lớn quỹ đạo của chúng ($R_1$ và $R_2$): $T_1^2/T_2^2 = R_1^3/R_2^3$ (hoặc nói cách khác là $T_1^2/R_1^3 =$ const cho tất cả các hành tinh).

Từ những định luật này, người ta cảm thấy rằng Mặt trời đóng một vai trò đặc biệt nào đó trong “sự sống của hành tinh”. Tuy nhiên, bản thân Kepler dù đã cố gắng đau đớn nhưng cũng không thể hiểu hết được vai trò này.

Cùng khoảng thời gian Kepler phát hiện ra các định luật chuyển động của hành tinh, Galileo đã xây dựng định luật quán tính, phát biểu rằng nếu không có gì tác động lên một vật thì nó sẽ chuyển động với tốc độ không đổi và theo đường thẳng.

Chính từ cấp độ này mà Newoton đã bắt đầu. Trước hết, khi phát triển các ý tưởng của Galileo, ông đặt câu hỏi: nếu bên trong các vật thể có thể duy trì tốc độ của mình thì nó có thể thay đổi bằng cách nào? Trả lời câu hỏi này, ông đã xây dựng một định luật mà bất kỳ học sinh nào ngày nay cũng biết đến (định luật thứ hai của Newoto).

37

bật): để thay đổi tốc độ của một vật, bạn cần tác động lên nó bằng một lực. Trong trường hợp này, sự thay đổi tốc độ trên một đơn vị thời gian (tức là gia tốc $a$) là phụ thuộc vào lực ($F$) và tỷ lệ nghịch với khối lượng ($m$) của cơ thể: $a = F/m$. Từ định luật do Newton phát hiện, rõ ràng là khối lượng của một vật càng lớn thì tốc độ của nó càng thay đổi nhanh. Theo nghĩa này, họ nói rằng khối lượng của một vật là thước đo quán tính của nó.

Đặc biệt, thiên tài của Newton nằm ở chỗ, khi xem xét một hiện tượng vật lý cụ thể (ví dụ, chuyển động của một vật thể dưới tác dụng của một lực), ông luôn nghĩ đến toàn bộ thế giới. Do đó, điều tự nhiên là Newton cố gắng áp dụng các định luật động lực học mà ông đã xây dựng để mô tả chuyển động của các hành tinh. Kết luận là tự đưa ra: không cần lực nào để đẩy các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo của chúng. Ngược lại, bạn cần một lực không cho các hành tinh bay đi theo đường thẳng (theo định luật quán tính) và mỗi lần biến chúng thành quỹ đạo tròn hoặc gần quỹ đạo tròn. Nói cách khác, các hành tinh phải chịu tác dụng của một lực không hướng dọc mà hướng ngang chuyển động. Và nếu vậy thì chẳng còn gì để làm ngoài việc cho rằng nguồn gốc của lực này là Mặt trời.

Sau đó mọi thứ đều đơn giản. Gia tốc của một hành tinh khi nó chuyển động theo quỹ đạo tròn là $a = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$ (thường là gia tốc hướng tâm). Thay biểu thức này vào định luật của chính mình ($a = F/m$), Newton nhận được

$$\frac{4\pi^2}{T^2} R = \frac{F}{m}.$$

Ở đây $F$ là lực tương tự tác dụng lên hành tinh từ Mặt trời và $m$ là khối lượng của hành tinh. Sử dụng định luật thứ ba của Kepler, Newton đi đến kết luận rằng cường độ $F/m \sim 1/R^2$ và không phụ thuộc vào đặc điểm của hành tinh, tức là lực tác dụng lên hành tinh từ Mặt trời,

$$F = \text{const} \cdot \frac{m}{R^2}.$$

Suy nghĩ về giá trị của các hằng số trong biểu thức này có thể phụ thuộc vào điều gì, Newton đã đi đến kết luận rằng nó chỉ được xác định bởi khối lượng của Mặt trời ($M$). (Bao nhiêu? Vâng, điều đó có vẻ tự nhiên đối với anh ấy.) Đây là cách mà biểu hiện nổi tiếng và đồng thời đông đúc ngày nay nảy sinh

$$F = G \frac{Mm}{R^2}.$$

Giá trị của hệ số $G$ không phụ thuộc vào bất cứ thứ gì và là hằng số thế giới (nó được gọi là hằng số biên).

Phân tích sâu hơn về chuyển động của hành tinh cho thấy rằng với một lực như vậy, hai định luật đầu tiên của Kepler tự động được thỏa mãn. Đó đã là một thành công lớn rồi. Được sự khuyến khích của ông, Newton cố gắng mô tả chuyển động của Mặt trăng quanh Trái đất và, mặc dù với một số cuộc phiêu lưu, đã đạt được sự thống nhất tuyệt vời giữa các tính toán và thí nghiệm của mình.

Và ở đây Newton quyết định chống lại sức mạnh khái quát hóa của mình. Ông tuyên bố rằng lực mà ông phát hiện ra không hề có mối liên hệ nào với các đặc điểm cụ thể của các thiên thể, mà là một đặc tính phổ quát của bất kỳ vật thể tự nhiên nào. Đây là cách định luật vạn vật hấp dẫn được hình thành: lực tác dụng giữa hai vật bất kỳ có khối lượng $m_1$ và $m_2$,

$$F = G \frac{m_1 m_2}{R^2}.$$

Câu hỏi tại sao chính khối lượng đặc trưng cho mong muốn duy trì chuyển động của các vật thể (tức là thước đo quán tính của chúng) lại đồng thời xác định lực hút lẫn nhau của các vật thể với nhau, khiến nhiều thế hệ nhà khoa học lo lắng và sau đó là điểm khởi đầu cho việc xây dựng thuyết tương đối rộng của Einstein.

Ngay khi định luật vạn vật hấp dẫn được áp dụng cho bất kỳ vật thể nào, người ta có thể đo bằng thực nghiệm giá trị của hằng số hấp dẫn $G$. Hóa ra nó cực kỳ nhỏ:

$$G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{H} \cdot \text{m}^2/\text{kr}^2.$$

Điều này có nghĩa là lực hấp dẫn rất yếu. Đó là lý do tại sao chúng ta không hề thay thế lực hấp dẫn giữa các vòng tròn của cơ thể chúng ta. Lực này chỉ trở nên đáng chú ý khi có ít nhất một trong các vật thể rất lớn (chẳng hạn như Trái đất, Mặt trời, v.v.).

38

Sự giãn nở của khí vào khoảng trống

Hãy hỏi bất cứ ai điều gì sẽ xảy ra với nhiệt độ của một loại khí lý tưởng nở ra ở trạng thái đóng của các nguyên tố, tính lực tương tác giữa các nguyên tố đó, rồi cộng tất cả các lực về mặt hình học. (Nói chung, đây là một thủ tục khá phức tạp, và biểu thức của lực thu được có thể trở nên phức tạp đến mức đơn giản là nó không thể được viết ra dưới dạng một công thức hữu hạn.)

150 năm tiếp theo là những năm chiến thắng thực sự của bức tranh Newton về thế giới. Các nguyên lý của thủy triều và mối liên hệ giữa gia tốc trọng trường và mật độ đá xảy ra ở một nơi nhất định đã trở nên rõ ràng. Cần phải có những chi tiết tinh tế nhất về chuyển động của các hành tinh, vệ tinh của chúng và bất kỳ thiên thể nào khác. Trong những năm gần đây, đã có một ý tưởng thuần túy lý thuyết về sự tồn tại của hành tinh thứ tám trong hệ mặt trời - Sao Hải Vương (1846). Hơn nữa, người Anh Adams và Franz Le Verrier không chỉ tưởng tượng ra sự tồn tại của nó mà còn tính toán thời gian và địa điểm hướng kính viễn vọng để nhìn thấy nó. Và mọi chuyện đã diễn ra đúng như tính toán của họ. Câu chuyện tương tự cũng xảy ra với việc phát hiện ra hành tinh thứ chín - Sao Diêm Vương (1930). Chuyển động của các sao đôi và hình dạng của các cụm sao, cấu trúc của thiên hà và sự tương tác của chúng với nhau - mọi thứ đều tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn do Newton phát hiện ra.

Những thành công lớn đến mức nảy sinh ảo tưởng rằng mọi thứ trên thế giới đều có thể được mô tả bằng định luật Newton. Thật không may (hoặc có thể, ngược lại, may mắn thay), thực tế hóa ra lại là cuộc cách mạng khoa học hơn nhiều của thế kỷ 20, dẫn đến việc tạo ra một bức tranh mới về thế giới, trong đó các định luật của Newton đã tìm thấy vị trí chính xác của chúng trong số các định luật cơ bản khác của tự nhiên.

E. E. Gorodetsky

Sự giãn nở của khí vào khoảng trống

Hãy hỏi bất cứ ai điều gì sẽ xảy ra với nhiệt độ của một loại khí lý tưởng nở ra ở trạng thái đóng của các nguyên tố, tính lực tương tác giữa các nguyên tố đó, rồi cộng tất cả các lực về mặt hình học. (Nói chung, đây là một thủ tục khá phức tạp, và biểu thức của lực thu được có thể trở nên phức tạp đến mức đơn giản là nó không thể được viết ra dưới dạng một công thức hữu hạn.)

150 năm tiếp theo là những năm chiến thắng thực sự của bức tranh Newton về thế giới. Các nguyên lý của thủy triều và mối liên hệ giữa gia tốc trọng trường và mật độ đá xảy ra ở một nơi nhất định đã trở nên rõ ràng. Cần phải có những chi tiết rõ ràng nhất về chuyển động của hành tinh, các vệ tinh của chúng và bất kỳ kính viễn vọng nào khác mới có thể nhìn thấy được nó. Và mọi chuyện đã diễn ra đúng như tính toán của họ. Câu chuyện tương tự cũng xảy ra với việc phát hiện ra hành tinh thứ chín - Sao Diêm Vương (1930). Chuyển động của các sao đôi và hình dạng của các cụm sao, cấu trúc của thiên hà và sự tương tác của chúng với nhau - mọi thứ đều tuân theo định luật vạn vật hấp dẫn do Newton phát hiện ra.

Những thành công lớn đến mức nảy sinh ảo tưởng rằng mọi thứ trên thế giới đều có thể được mô tả bằng định luật Newton. Thật không may (hoặc có thể, ngược lại, may mắn thay), thực tế hóa ra lại là một cuộc cách mạng khoa học hơn nhiều của thế kỷ 20, dẫn đến việc tạo ra một bức tranh mới về thế giới, trong đó các định luật của Newton đã tìm thấy vị trí chính xác của chúng trong số các định luật cơ bản khác của tự nhiên.

E. E. Gorodetsky

39

Điều gì xảy ra giữa các trạng thái này? Thật không may, nhiệt động học trường học không thể nói gì về điều này. Tại sao? Đúng, bởi vì tất cả những điều đó chỉ đúng với các quá trình rất chậm (được gọi là bán tĩnh) xảy ra ở tốc độ nhỏ hơn nhiều so với tốc độ chuyển động nhiệt của các phân tử. Trong trường hợp của chúng tôi, ngay sau khi chúng tôi loại bỏ vách ngăn, khí sẽ lao vào chân không theo đúng nghĩa đen với tốc độ bằng tốc độ nhiệt của các phân tử và thậm chí nhanh hơn, bởi vì khí chứa các phân tử riêng lẻ có tốc độ lớn hơn nhiều so với tốc độ nhiệt. Nhưng ở đây nhiệt động lực học đơn giản là sai. Đó là lý do tại sao trên hình 2, chúng tôi đã mô tả một quá trình mà chúng tôi chưa biết bằng dấu gạch ngang chứ không phải bằng đường liền nét.

Mọi lập luận của chúng tôi đều đúng cho trường hợp khí lý tưởng. Nếu khí không lý tưởng thì sao? Sau đó, các phân tử của nó tương tác với nhau và nội năng của khí bao gồm động năng chuyển động của các phân tử và thế năng tương tác của chúng.

hình 3 cho thấy sự phụ thuộc của thế năng $\Pi$ của sự tương tác của hai phân tử vào khoảng cách $r$ giữa chúng. Khi thế năng tối thiểu (điểm $r_0$), chất đó ngưng tụ, tức là chuyển sang trạng thái lỏng. Vì theo các điều kiện, chúng ta có một chất khí ở thời điểm ban đầu nên khoảng cách trung bình giữa các phân tử tương ứng với điểm $r_1 \gg r_0$. Sau khi tăng gấp đôi thể tích, khoảng cách trung bình giữa các phân tử trở thành $r_2 = r_1 \sqrt[3]{2} > r_1$. Hóa ra, do sự giãn nở, chất khí bị “kéo” một chút lên độ dốc của lỗ thế. Nhưng ai đã làm việc để tăng thế năng lên $\Delta\Pi$? Không ai. Và bản thân khí cũng không có tác dụng với bất cứ thứ gì. Do đó, vẫn phải thừa nhận rằng sự gia tăng thế năng sẽ xảy ra. Emf hóa ra tỷ lệ thuận với tốc độ thay đổi của từ thông (định luật Faraday) và hướng của cảm ứng

40

Dòng điện được xác định theo quy tắc Lenz (“Vật lý 9”, § 92, 93).

Bản thân Farad cho rằng đó là sự hoàn hảo của tự nhiên, rằng cả hai lựa chọn đều được mô tả bởi cùng một quy luật. Tuy nhiên, một phân tích kỹ lưỡng cho thấy một hệ thống như vậy không hề tốt chút nào. Chúng ta hãy cố gắng hiểu vấn đề này chi tiết hơn.

Khi một mạch chuyển động trong một từ trường không thay đổi theo thời gian, vai trò của ngoại lực tạo ra dòng điện trong mạch là do lực Lorentz tác dụng, lực này tác dụng từ từ trường lên bất kỳ điện tích chuyển động nào. Chúng ta hãy nhớ lại một ví dụ mà bạn đã biết (“Vật lý 9”, § 95). Đặt một mạch điện hình chữ nhật trong một từ trường đều có cảm ứng $B$, mặt phẳng vuông góc với đường cảm ứng (hình 1). Ở một bên, đường viền là một cầu nối có các tiếp điểm trượt. Nếu bạn di chuyển dây nhảy ở tốc độ $v$, thì lực điện động cảm ứng $E = Bvl$ sẽ xuất hiện trong đó (l là chiều dài của dây nhảy). Thật vậy, điện tích tự do $q$ trong cầu nhảy chuyển động chịu tác dụng của lực Lorentz $F = qvB$ (hướng của lực được biểu thị bằng mũi tên); tương ứng với phía này của lực EMF

$$E = \frac{A}{q} = \frac{Fl}{q} = \frac{qvBl}{q} = Bvl$$

trong đó $A$ là công thực hiện trên phía của lực dọc theo chiều dài của người nhảy. Hãy so sánh kết quả này với tốc độ biến thiên của từ thông:

$$\left| \frac{\Phi}{l} \right| = \left| \frac{\Phi(BS)}{l} \right| = \left| \frac{\Phi(Bxl)}{l} \right| = Bvl$$

Cũng dễ dàng kiểm tra xem dấu của EMF thu được có tương ứng với quy tắc Lenz hay không.

Ví dụ được phân tích cho thấy rằng trong trường hợp chuyển động của dây dẫn trong từ trường không đổi, sự xuất hiện của dòng điện cảm ứng không phải là một hiện tượng vật lý mới về cơ bản.

Một hình ảnh hoàn toàn khác thu được trong trường hợp đường viền đứng yên, bởi vì

Hình 1.

đặt trong một từ trường biến đổi theo thời gian. Vì các điện tích tự do trong dây dẫn ban đầu đứng yên (tất nhiên, chúng ta không tính đến chuyển động nhiệt hỗn loạn) nên từ trường không tác dụng lên chúng và do đó không thể gây ra chuyển động có hướng của chúng. Do đó, dòng điện cảm ứng chỉ xuất hiện dưới tác dụng của điện trường. Nó phát sinh như thế nào và nó có những đặc tính gì?

Rõ ràng là về nhiều mặt, điện trường này khác với điện trường tĩnh điện đã biết. Ví dụ, nó tạo ra EMF trong một vòng kín, có nghĩa là công của nó trong việc di chuyển các điện tích dọc theo một đường kín không bằng không. Đây là trường đầu ra, tức là các đường thoát của nó trông giống như các đường khép kín. Vân vân.

Chúng ta thấy rằng việc phân tích các tình huống, sự xuất hiện lỗi trong trường hợp mạch đứng yên trong từ trường xoay chiều, dẫn đến một loạt các hiện tượng vật lý hoàn toàn mới, chỉ ra một thực tế trực tiếp, chưa được chứng minh bởi bất kỳ thí nghiệm nào vào thời điểm đó: chuyển động của một điện trường theo thời gian luôn tạo ra một từ trường. Sau khi đưa ra tuyên bố vật lý này dưới dạng đối xứng toán học (các phương trình Maxwell), ông đã hoàn thành việc xây dựng một lý thuyết thống nhất về trường điện từ.

Sau tất cả những cân nhắc trên, có vẻ như định luật cảm ứng điện từ được mô tả bởi hai

41

hiện tượng vật lý hoàn toàn khác nhau. Trong từ trường không đổi, dòng điện cảm ứng trong mạch chuyển động là do chính từ trường gây ra và từ trường thay đổi sẽ tạo ra điện trường đầu ra, khiến các điện tích chuyển động dọc theo mạch đứng yên. Vậy tại sao định luật cảm ứng điện từ lại giống nhau đối với những trường hợp này? Sự trùng hợp đáng kinh ngạc này là gì? Hóa ra “sự trùng hợp ngẫu nhiên” này tiết lộ mối liên hệ sâu sắc giữa lý thuyết trường điện từ và thuyết tương đối đặc biệt, dựa trên nguyên lý tương đối của Einstein. (Những ý tưởng cơ bản của thuyết tương đối đặc biệt được Einstein đưa ra vào năm 1905.) Theo nguyên tắc này, mọi hiện tượng tự nhiên (không chỉ các định luật cơ học, như theo nguyên lý tương đối của Galileo) sẽ xảy ra như nhau trong mọi hệ thống báo cáo quán tính. Đặc biệt, một hệ quả quan trọng của tính chất này là không thể nói một cách rõ ràng, bất kể hệ thống báo cáo, những trường nào tồn tại trong không gian xung quanh.

Chúng ta hãy xem xét một ví dụ về sự tương tác của hai electron theo quan điểm của hai vật thể quan sát được (hình 2). Quan sát được A cho biết rằng các điện tích chuyển động tạo ra cả điện trường và từ trường xung quanh chúng, và ngoài lực đẩy Coulomb, lực hút từ còn tác dụng giữa chúng (như giữa các dòng điện song song). B quan sát thấy không đồng ý với anh ta và cho rằng không có từ trường, vì các điện tích được thay thế và chỉ có lực đẩy Coulomb tác dụng giữa các electron. Nguyên tắc liên quan đến ví dụ về obiha được tuân thủ,

cho rằng cả hai đều đúng, vì khái niệm điện trường và từ trường là tương đối, tùy thuộc vào hệ thống báo cáo. Cả hai trường này đều hoạt động như một phần của một tổng thể duy nhất - trường điện từ.

Tuy nhiên, chúng ta hãy quay lại định luật Faraday và tưởng tượng thí nghiệm sau đây. Chúng ta sẽ đề cập đến nam châm vĩnh cửu và vòng dây dẫn kín (hình 3). Một điện kế nối với mạch sẽ ghi lại dòng điện tương đối. Độ lệch của kim điện kế sẽ được nhìn thấy bởi cả người quan sát A đang đứng trên nam châm và người quan sát B đang ngồi trên mạch điện. “Mọi thứ đều rõ ràng,” người quan sát A sẽ nói, “mạch điện chuyển động trong từ trường không đổi của một nam châm cực mạnh, lực Lorentz tác dụng lên nam châm trong mạch - vì vậy dòng điện chạy!” quan sát “Nam châm tiếp cận đường viền bất động của tôi. Từ trường thay đổi tạo ra một điện trường đầu ra - nó tạo ra một dòng điện trong mạch!” Nhưng theo Einstein, cả hai quan sát đều đúng. Cả hai đều nhìn thấy độ lệch của kim điện kế như nhau, tức là, cùng một kết quả biểu hiện định luật Faraday. Điều này có nghĩa là bản thân định luật Faraday tất nhiên phải giống nhau đối với khoảng cách nghe nói chung.

A. I. Chernochan

42

Biểu tượng ngôn ngữ
Bài 2: Học viện Cherenash

A. A. DUVANOV, Y. A. PERVIN

Logo số học.
Tất nhiên, máy tính phải có khả năng tính toán. Chúng ta có thể gõ lệnh FORWARD 10+20 trên bàn phím. Máy sẽ cộng 10+20 và đưa Rùa về phía trước 30 bước. Trong tất cả các lệnh đã nhập trước đó, các biểu thức số học có thể được sử dụng cùng với một số bước hoặc độ quay cụ thể. Máy sẽ thực hiện các hành động được chỉ định trong đó, làm tròn kết quả đến số nguyên gần nhất và sử dụng số này làm tham số lệnh. Vì vậy, động tác của người thực hiện sẽ giống hệt nhau khi thực hiện lệnh
TRỞ LẠI (100+20)/5 và TRỞ LẠI 24
PHẢI 30—200/(2+3) và PHẢI —10
TRÁI 20/3 và TRÁI 7.

Trong ngôn ngữ Logo, các ký hiệu sau được dùng làm dấu hiệu của các phép tính số học:

• hoạt động bổ sung;

• phép trừ;

• phép nhân;
  / hoạt động phân chia.

Như thường lệ, dấu ngoặc đơn dùng để kiểm soát thứ tự các hành động. Các biểu thức phải được “kéo dài” thành một chuỗi: (2+7)/5 và không cho phép các mục nhập “nhiều tầng” như $\frac{2+7}{5}$. Hạn chế này là do trên bàn phím máy tính, tất cả các ký hiệu của một biểu thức chỉ có thể được gõ một cách tuần tự. Tất cả các dấu hiệu trong một biểu thức số học phải được xác định rõ ràng. Viết Forward (3+7)(40+30) sẽ buộc máy nhận ra:
KHÔNG RÕ RÀNG NÓ LÀ GÌ (3+7)(40+30)
Chính xác bạn nên viết: FORWARD (3+7)*(40+30). Phân số thập phân trong Logo được viết như bình thường nhưng dùng dấu chấm thay cho dấu phẩy để phân tách phần phân số.

Cherenakha làm trung gian cho các mệnh lệnh:
TIẾN 2*(48+3)/2. 5 và TIẾN 40
PHẢI 180/3. 14 và PHẢI 57

Tất cả những điều này, không hoàn toàn khắc sâu, việc ghi lại chính xác các biểu thức số học không liên quan gì đến

43

đối với chính chủ đề lập trình và chỉ liên quan đến sự không hoàn hảo của các máy móc hiện tại, nhưng vì điều này, chúng trở nên vô cùng cần thiết khi việc thiết lập một chương trình cho một máy tính thực sự là cần thiết.

Vì máy tính có thể đếm nên việc nó hiển thị kết quả tính toán trên màn hình là điều đương nhiên. Để buộc máy in ra màn hình kết quả của phép chia 25 cho 4, bạn chỉ cần gõ lệnh:
VIẾT 25/4

Khi thực hiện lệnh, máy tính hiển thị kết quả ra màn hình: 6.25. Xin lưu ý, không làm tròn! Thực tế là chỉ có các tham số của lệnh buộc Rùa di chuyển mới được làm tròn. Và trên thực tế, đơn vị chuyển động chính là số “bước” - các điểm trên màn hình, phải là số nguyên. Máy đã có thể tính toán (và đưa ra) kết quả với độ chính xác rất cao.

Bài toán 1 (dành cho luyện viết biểu thức). a) Viết lệnh BACK không có dấu thao tác, thực hiện các thao tác tương tự như lệnh BACK (42*5/7—15)/7; b) Cho máy tính biểu thức số học

$$\frac{5}{6} \left( \frac{21}{0,56} + \frac{6}{19} \cdot 21,31 \right).$$

Những cái tên rất cần thiết

… Tên bạn tôi là Valentina. Đó không phải là một cái tên đẹp sao?
…Mèo con! Feropont, mèo, lại đây.
… Đại lượng gọi là x không thể nhận giá trị bằng 0 khi nó là mẫu số của phân số 1/x.
Tên đóng vai trò như một phương tiện thuận tiện để xác định con người, động vật, đồ vật, có thể hiểu được, biểu hiện, tức là để làm nổi bật một đối tượng cụ thể trong số những đối tượng khác cùng loại với nó. Trong ngôn ngữ lập trình, tên được gọi là định danh. Giống như trong toán học, chúng đại diện cho các biến. Mã nhận dạng trong Logo có thể là một từ tùy ý, chẳng hạn như x1, SIDE hoặc VASYA. Mã định danh, giống như lối tắt, đặt một vùng nhất định trong bộ nhớ máy tính nơi lưu trữ giá trị của biến. Để phân biệt khi nào chúng ta đang nói về một vùng bộ nhớ được đặt tên và khi nào về nội dung của nó, trong Logo, trong trường hợp đầu tiên, dấu ngoặc kép được đặt trước mã định danh biến và trong trường hợp thứ hai là dấu hai chấm. Vì vậy, mục “X” có nghĩa là tên của biến X và mục :X là giá trị của biến này.

Trong Logo có một lệnh DO đặc biệt, được gọi là lệnh gán, với lệnh này bạn có thể gán giá trị cho các biến. Ví dụ, khi thực hiện lệnh DO, “X :X+1” sẽ làm cho giá trị của biến X tăng lên 1, do đó X sẽ có giá trị 2.

Vì vậy, lệnh gán có ba phần: từ DO (từ khóa) bắt buộc, mã định danh biến và biểu thức. Lệnh này trước tiên đánh giá biểu thức đối số. Nếu nó chứa các biến thì các giá trị này từ vùng bộ nhớ tương ứng sẽ được thay thế vào biểu thức. Kết quả của phép tính trở thành một biến, mã định danh của nó nằm ngay sau từ DO. Đây là một ví dụ:

LÀM “VASYA 2”
TẠO “VASYA:VASYA +1
(biến VASYA nhận giá trị 5). Hãy xem xét một ví dụ khác liên quan đến hình học.

44

Hình 2.
LÀM “BÊN 100” LÀM “GÓC 180”
LẶP LẠI 4 [H :BÊN R :GÓC/2]
LẶP LẠI 4 [H :BÊN/2 R :GÓC/2]

(hai hình vuông lồng vào nhau được vẽ, căn chỉnh góc dưới bên trái).

Bài 2. Viết chương trình tính thể tích của nhà chứa máy bay như trong hình 1.

Thủ tục có tham số

Khi làm phép tính và thắc mắc về tên, chúng tôi hoàn toàn áp đảo Rùa của mình, chú rùa vẽ rất khéo léo… nếu được điều khiển đúng cách. Hãy dạy Rùa vẽ một “kim tự tháp” như vậy (hình 2).

Tác vụ lời giải bằng cách gọi thủ tục PYRAMID, mô tả như sau
đây là một Kim Tự Tháp
PRIMOGLYNIK 1
HP V 10 P 90 V 20 L 90 R
PRIMOUGLYNIK2
NR V 10 P 90 V 10 L 90 R
PRIMOUGLYNIK3
NR V 10 P 90 V 5 L 90 R
PRIMOUGLYNIK4
KẾT THÚC

Bốn thủ tục “hình chữ nhật” được sử dụng ở đây:
đây là PYRAMIDIC1
LẶP LẠI 2 [B 10 P 90 B 80 P 90]
KẾT THÚC
đây là PYRAMIDIC2
LẶP LẠI 2 [B 10 P 90 B 40 P 90]
KẾT THÚC
đây là PYRAMIDIC3
LẶP LẠI 2 [B 10 P 90 B 20 P 90]
KẾT THÚC
đây là PYRAMIDIC4
LẶP LẠI 2 [B 10 P 90 B 10 P 90]
KẾT THÚC

Họ rất giống nhau.
Trong trường hợp này, bạn có thể viết chỉ một thủ tục với một tham số được đặt trong tiêu đề của mô tả thủ tục và được đặt tên, ví dụ: SIDE. Sau đó, trong phần mô tả quy trình, cùng với kích thước của cạnh hình chữ nhật, tên SIDE sẽ xuất hiện, biểu thị giá trị từ vùng bộ nhớ được đặt theo cách này.

đây là GÓC PIMO: SIDE
LẶP LẠI 2 [H 10 R 90 H :BÊN R 90]
KẾT THÚC

Tham số thủ tục, là tên của một biến, được gọi là tham số mô tả thủ tục hoặc tham số hình thức của nó.

Thủ tục của chúng tôi được gọi để sử dụng bằng lệnh
PRIMOGLYNIK α,
trong đó α là một biểu thức số học (cụ thể là một số) được gọi là tham số thủ tục thực tế hoặc tham số gọi. Cuộc gọi diễn ra như sau: tham số chính thức SIDE được phân bổ một vùng bộ nhớ trống (có thể khác nhau đối với mỗi cuộc gọi); tham số thực tế được tính toán và giá trị của nó được đặt trong vùng được phân bổ cho tham số hình thức; các lệnh của phần thân thủ tục được thực thi; sau đó, vùng nhớ được phân bổ tạm thời cho tham số này được khai báo trống.

Một biến mà không gian bộ nhớ được phân bổ cho từng biến khác nhau tại thời điểm một thủ tục được gọi được gọi là biến cục bộ của thủ tục đó. Các tham số hình thức của một thủ tục trong Logo là các biến cục bộ.

Một số thủ tục dưới đây sử dụng các tham số hình thức; điều này không được mô tả cho chương trình gọi các thủ tục này. Thật vậy, các tham số hình thức là cục bộ, có nghĩa là, bị chiếm dụng trong quá trình thực thi, một số bộ nhớ sẽ được giải phóng khi hoàn thành và có thể được sử dụng dưới bất kỳ tên nào (kể cả cùng tên) trong các thủ tục khác. Do đó, định dạng cục bộ cho phép bạn phân phối việc biên dịch một chương trình phức tạp, bao gồm cả nội dung văn bản cần thiết của các lập trình viên. Trong ví dụ sau

đây là A :X :Y
TIẾN :X PHẢI :Y TIẾN :X END
LÀM T 45
Đ :T :T2
các biến X, Y là chính thức và các biểu thức :T và :T2 là các tham số thực tế của thủ tục A. Tương ứng

45

Mối quan hệ giữa tham số hình thức và tham số thực tế là vị trí: tham số hình thức đầu tiên tương ứng với tham số thực tế đầu tiên, tham số thứ hai tương ứng với tham số thực tế thứ hai, v.v.

Bây giờ chúng ta hãy quay lại phần mồi của chúng ta. Đây là Pramide
CHỮ NHẬT 80
HP V 10 P 90 V 20 L 90 R
HÌNH CHỮ NHẬT 40
NR V 10 P 90 V 10 L 90 R
HÌNH CHỮ NHẬT 20 (1)
NR V 10 P 90 V 5 L 90 R
HÌNH CHỮ NHẬT 10
KẾT THÚC

Bài toán 3. Trong chương trình (1), lệnh gọi thủ tục RECTANGLE được lặp lại bốn lần, mặc dù với một tham số thực tế khác nhưng thường xuyên thay đổi. Sau khi phân tích các mẫu của chương trình, hãy viết mô tả quy trình với tham số PRAMID:BASE, trong đó lệnh gọi thủ tục RECTANGLE sẽ được thực hiện bên trong vòng lặp. Đề xuất ít nhất hai lựa chọn cho thủ tục này. Giải thích cái nào và tại sao bạn nghĩ là tốt hơn. Sử dụng chương trình của bạn để vẽ cơ số 120.

Các lập trình viên luôn cố gắng, bất cứ khi nào có thể, làm cho chương trình của họ trở nên phổ biến.

Bài toán 4. Mở rộng khả năng của chương trình trước bằng cách mô tả quy trình vẽ một nắp có chiều cao vòng tùy ý. Sử dụng chương trình mới của bạn, vẽ hình, bao gồm hai con mồi (hình 3).

Đa giác đều

Vẽ các đa giác đều có ba, bốn, năm, … cạnh (hình 4), dễ dàng nhận thấy với khả năng về số cạnh, hình ngày càng trở nên “tròn” hơn. Trên một hình lục giác đều, nó đã được thực hiện giống hệt như trên một bánh xe, nếu nó đủ nhỏ (hình 5)!

Góc của $n$-gon thông thường là 180-360/$n$ độ. Điều này có nghĩa là Cherenakha sau khi vẽ mỗi bên phải quay thêm một góc bằng 360/$n$ độ. Dưới đây là mô tả về quy trình xây dựng một $n$-gon chính quy tùy ý:

Đây là ĐÚNG : $N$ :SIDE
LẶP LẠI : $N$ :SIDE R 360/$N$

GỌI
ĐÚNG 4 100
sẽ vẽ một hình vuông có cạnh 100 lên màn hình và gọi
ĐÚNG 8 20
là một hình 360 cạnh đều có cạnh 20. Cuối cùng, hình của một hình 360 cạnh đều có cạnh 1 là một thử thách
ĐÚNG 360 1

Đây là sự hiện diện của một vòng tròn gần đúng do Cherenakha tạo ra, không thể quay một góc nhỏ hơn 1 độ và di chuyển khoảng cách nhỏ hơn 1 bước ốc sên. Chiều dài của vòng tròn này là 360 bước và bán kính là $R = 360/2 \pi$, tức là khoảng 57 bước. Bán kính của nó có thể tăng lên nếu cạnh được mở rộng khi sử dụng quy trình RIGHT. Nhưng bạn chỉ có thể giảm bán kính bằng cách giảm số cạnh của đa giác.

Bài toán 5. Đưa ra quy trình CIRCLE với một tham số RADIUS. Nó sẽ rút ra khả năng của một bán kính nhất định. Vị trí của Cherenakhi trên màn hình được sử dụng làm tâm của vòng tròn mà người biểu diễn phải quay lại sau khi hoàn thành bản vẽ.

46

Lời giải hệ phương trình lượng giác

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. A. BOLIBRUKH,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. M. UROEV,
Giáo sư M. I. SHABUNIN

Trong lưu ý này, sử dụng các ví dụ bài toán được đề xuất trong các năm thi tuyển sinh khác nhau tại MIPT (viết và nói), một số phương pháp của hệ phương trình lượng giác lời giải được đưa ra.

Chúng ta hãy nhớ lại các định nghĩa áp dụng cho bất kỳ hệ thống nào, không nhất thiết phải lượng giác. Nếu mọi lời giải của một hệ thống đều là nghiệm của hệ thống khác thì hệ thứ hai được gọi là “hậu quả” của hệ thứ nhất. Nếu hệ thứ nhất là hệ quả của hệ thứ hai và hệ thứ hai là hệ quả của hệ thứ nhất thì những hệ thống đó được gọi là tương đương.

Chúng ta hãy chỉ ra một số phép biến đổi của hệ thống, nhờ đó chúng ta thu được các hệ thống tương đương với hệ thống ban đầu.

1. Bất kỳ phương trình nào của hệ đều có thể được thay thế bằng một phương trình tương đương.

2. Bất kỳ phương trình nào của hệ đều có thể được thay thế bằng một phương trình thu được bằng cách cộng phương trình đã cho vào một phương trình khác của hệ.

3. Giá trị của ẩn số, tìm được từ một số phương trình của hệ, có thể được thay thế vào bất kỳ phương trình nào khác của cùng hệ.

4. Bạn có thể thêm một phương trình vào hệ thống là hệ quả của hệ thống này.

5. Nếu một hệ chứa phương trình $f \cdot g = 0$, trong đó hàm $f$ và $g$ được xác định trên cùng một tập hợp thì nó tương đương với tập hợp của hai hệ, trong đó phương trình $f \cdot g = 0$ được thay thế bằng phương trình $f = 0$ và hệ kia bằng phương trình $g = 0$.

Khi tiếp cận hệ phương trình lượng giác lời giải, trước tiên nên kiểm tra xem liệu có thể biểu diễn vô thời hạn một trong các ẩn số theo các ẩn số khác từ bất kỳ phương trình nào của hệ hay không.

Bài toán 1 (MIPT, 1983). Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} tg x + tg y = 1 - tg x \cdot tg y, \\ \sin 2y - \sqrt{2} \sin x = 1. \end{cases}$$

Lời giải e. Hệ thống bên dưới chỉ có ý nghĩa trong trường hợp khi các hàm $tg x$ và $tg y$ được xác định, tức là.

47

có những điều kiện
$$\cos x \neq 0, \cos y \neq 0.$$ (3)

Chúng ta hãy nhìn vào phương trình đầu tiên. Sẽ là tự nhiên khi chia cả hai phần cho 1 - tg x · tg y và sử dụng công thức tính tang của tổng. Khi đó phương trình (1) có thể được viết lại thành
$$\text{tg}(x + y) = 1;$$ (4)
nhưng đồng thời chúng ta có thể mất các hệ thống lời giải (1), (2), mà
$$1 - \text{tg} x \cdot \text{tg} y = 0.$$ (5)
Tuy nhiên, dễ dàng kiểm chứng được hệ (1), (2), (5) không có lời giải. Trên thực tế, nếu có lời giải của hệ này, thì từ phương trình (1) nó sẽ suy ra tan x + tan y = 0. Nhưng khi đó phương trình (5) sẽ có dạng 1 + tan² y = 0, và do đó, nó sẽ không có lời giải.

Như vậy, hệ ban đầu ở điều kiện (3) tương đương với hệ (2), (4).

Từ phương trình (4) chúng ta tìm thấy x + y = π/4 + πn, tức là
$$y = \pi/4 + \pi n - x, \ n \in \mathbb{Z}.$$ (6)
Bây giờ hãy thay biểu thức tìm được của y vào phương trình (2) của hệ ban đầu:
$$\sin(\pi/2 - 2x + 2\pi n) - \sqrt{2} \sin x = 1.$$
Phương trình thu được được rút gọn về dạng sin x (2 sin x + √2) = 0, từ đó
a) sin x = 0, x = πm, m ∈ Z,
6) sin x = -√2/2,
x = (-1)^{k+1}π/4 + πk, k ∈ Z.
Sử dụng công thức (6) chúng ta xác định được các giá trị tương ứng của y. Đối với dãy a)
$$y = \pi/4 + \pi(n - m), \ n, m \in \mathbb{Z};$$ (7)
cho loạt 6)
$$y = \pi/4 - (-1)^{k+1}π/4 + π(n - k), \ n, k \in \mathbb{Z}.$$ (8)
Các giá trị (x, y) từ công thức (7) thỏa mãn điều kiện (3). Loạt (8) yêu cầu nghiên cứu bổ sung. Nếu sin x = -√2/2 thì cos x ≠ 0, nên bất đẳng thức thứ nhất của phương trình (3) phụ thuộc hoàn toàn. Bất đẳng thức thứ hai cos y ≠ 0 không phải lúc nào cũng thỏa mãn.

Nếu k là số chẵn, tức là k = 2p, trong đó p ∈ Z, thì công thức (8) cho y = π/2 + π(n - 2p). Đối với các giá trị này của y, điều kiện (3) không được thỏa mãn. Nếu k là số lẻ, tức là k = 2p - 1, trong đó p ∈ Z thì y = π(n - 2p + 1) và điều kiện (3)
nhật ký. Các giá trị tương ứng của x được tìm bằng công thức 6): x = -3π/4 + 2πp.
Đáp số: (πm; π/4 + π(n - m)), (-3π/4 + 2πp; π(n - 2p + 1)), m, n, p ∈ Z.

Các tham số số nguyên có trong mục nhập hệ thống lời giải không thể được chỉ định bằng một chữ cái. Điều này có nghĩa là chúng được chỉ định để đảm nhận các giá trị giống nhau, trong khi trên thực tế, chúng đảm nhận tất cả các giá trị giống nhau - giống hoặc khác nhau.

Trong phần tiếp theo, k, l, m, n, p, r, s, t, trừ khi có quy định khác, lấy tất cả các giá trị nguyên.

Bài toán 2. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = -1/2, \\ \cos x \cdot \sin y = 1/2. \end{cases}$$ (9)

Lời giải. Cộng các phương trình của hệ (9), rồi trừ phương trình thứ nhất khỏi phương trình thứ hai, chúng ta thu được hệ tương đương với hệ (9):
$$\begin{cases} \sin(x + y) = 0, \\ \sin(y - x) = 1, \end{cases}$$

vị trí tuần tự ở đâu
x + y = πn, y - x = π/2 + 2πk,
x = π(n/2 - k - 1/4),
y = π(n/2 + k + 1/4).

Đáp số: (π(n/2 - k - 1/4); π(n/2 + k + 1/4)).

Giống như hệ (9), bạn có thể giải bất kỳ hệ nào có dạng
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \cos x \cdot \cos y = b. \end{cases}$$

Các hệ thống như vậy bao gồm, ví dụ, các hệ thống
$$\begin{cases} \sin x \cdot \sin y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{tg} y = b, \\ \sin x \cdot \cos y = a, \\ \text{tg} x \cdot \text{ctg} y = b. \end{cases}$$

Nếu một hệ thống chỉ chứa hai tổ hợp hàm lượng giác hoặc có thể giảm xuống còn một, thì bằng cách chỉ định các tổ hợp hàm này là ẩn số mới, chúng ta có thể giảm hệ thống ban đầu thành hệ thống đại số.

Bài toán 3. Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1 + \cos y - \sin y, \\ 3 \sin 2x - 2 \sin 2y = 3/4. \end{cases}$$ (10)

Lời giải. Chúng ta hãy sử dụng danh tính
$$(\sin x - \cos x)^2 = 1 - \sin 2x$$ và biểu thị

48

cos x - sin x = u, cos y - sin y = v;
(11)

Sau đó
sin 2x = 1 - u², sin 2y = 1 - v²,
và hệ (10) sẽ được rút gọn về hệ đại số
$$\begin{cases} u = 1 + v, \\ 3u^2 - 2v^2 = 1/4. \end{cases}$$

Hệ thống (12) có hai lời giải:
$$u_1 = -9/2, v_1 = -11/2 \text{ и } u_2 = 1/2, v_2 = -1/2.$$
Trước tiên chúng ta hãy xem xét các giá trị của $u_1, v_1$. Trở lại các biến ban đầu, sử dụng công thức (11) ta thu được:
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = -9/2, \\ \cos y - \sin y = -11/2. \end{cases}$$

Nhưng phương trình đầu tiên của hệ (13) không có lời giải, vì cos x - sin x = $\sqrt{2}$ cos $(x + \pi/4)$ $\geqslant -\sqrt{2} > -9/2$.

Do đó, hệ (13) không có lời giải.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét các giá trị của $u_2$ và $v_2$. Một lần nữa, sử dụng công thức (11), chúng ta thu được
$$\begin{cases} \cos x - \sin x = 1/2, \\ \cos y - \sin y = -1/2. \end{cases}$$

Đối với phương trình đầu tiên chúng ta tìm thấy
$$\cos x \cdot 1/\sqrt{2} - \sin x \cdot 1/\sqrt{2} = 1/2\sqrt{2}, \cos(x + \pi/4) = 1/2\sqrt{2}, x + \pi/4 = \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n, x = -\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Theo cách tương tự chúng ta có được
$$y = -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n.$$
Vì vậy, chúng tôi tìm thấy lời giải sau của hệ thống ban đầu:
$$(-\pi/4 \pm \arccos(1/2\sqrt{2}) + 2\pi n; -\pi/4 \pm \arccos(-1/2\sqrt{2}) + 2\pi n)$$
(các dấu hiệu được chọn độc lập với nhau).

Trong một số trường hợp, hệ thống có thể được đưa về dạng
$$\begin{cases} \sin x = f(y), \\ \cos x = g(y), \end{cases}$$

từ đó, nhờ điểm lượng giác chính $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, chúng ta thu được phương trình $f^2(y) + g^2(y) = 1$, chỉ chứa một ẩn số.

Nếu hệ thu gọn về dạng
$$\begin{cases} \text{tg} x = f(y), \\ \text{ctg} x = g(y), \end{cases}$$

thì ẩn số $x$ bị loại trừ bởi các biến của phương trình: tg $x \cdot \text{ctg} x = 1$, từ đó $f(y) \cdot g(y) = 1$.

Với những cách làm như vậy lời giải cần theo dõi cẩn thận để không làm mất lời giải và không thu được người lạ lời giải.

Bài toán 4 (MIPT, 1978). Giải hệ phương trình
$$\begin{cases} 4 \sin x - 2 \sin y = 3, \\ 2 \cos x - \cos y = 0. \end{cases}$$

Lời giải. Hệ (15) có thể rút gọn về dạng (14). Do đó, chúng ta thu được hệ thống tương đương
$$\begin{cases} \sin x = 3/4 + 1/2 \cdot \sin y, \\ \cos x = 1/2 \cdot \cos y. \end{cases}$$

Bằng cách bình phương phương trình của hệ (16) theo số hạng và cộng, chúng ta thu được phương trình là hệ quả của hệ (16):
$$1 = \frac{9}{16} + \frac{3}{4} \sin y + \frac{1}{4} \cos^2 y,$$
hoặc
$$\sin y = 1/4,$$

Ở đâu
$$y = (-1)^n \arcsin 1/4 + \pi n.$$
Từ phương trình đầu tiên của hệ (16) xét đến (17) ta tìm được $x = 7/8$, $x = (-1)^m \arcsin 7/8 + \pi m.$

Vì tại lời giải của hệ (15) cấu trúc lời giải có thể xuất hiện (thao tác bình phương đã được sử dụng), cần phải thực hiện lựa chọn bằng cách thay thế các giá trị tìm thấy (18), (19) vào phương trình thứ hai của hệ thống này.

Dễ dàng nhận thấy rằng đối với $m$ và $n$ chẵn trong các công thức (18), (19) thì các giá trị tương ứng của cos $x$ và cos $y$ là dương, còn đối với $m$ và $n$ lẻ thì các giá trị này là âm. Như vậy, |cos $x| = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{15}/8, |\cos y| = \sqrt{15}/4$, để thỏa mãn phương trình thứ hai của hệ (16) chỉ cần các giá trị của cos $x$ và cos $y$ trùng nhau. Từ đây chúng ta có được
$$\begin{cases} x = \arcsin \frac{7}{8} + 2\pi k, \\ y = \arcsin \frac{1}{4} + 2\pi l, \end{cases}$$

$$x = -\arcsin \frac{7}{8} + (2k + 1)\pi,$$
$$y = -\arcsin \frac{1}{4} + (2l + 1)\pi.$$

Cả hai chuỗi kết quả (20) có thể được kết hợp và đáp số được viết dưới dạng sau.

49

Đáp số:

$$((-1)^p \arcsin \frac{7}{8} + \pi p),$$
$$((-1)^p \arcsin \frac{1}{4} + \pi (p + 2r)).$$

Với các hệ lượng giác lời giải, bước đầu tiên thường rất khó để tìm ra “chìa khóa” dẫn đến lời giải bài toán. Không có khuyến nghị chung có thể được đưa ra ở đây. Chúng tôi chỉ có thể khuyên bạn nên thử áp dụng các phép biến đổi như vậy của phương trình hệ thống dẫn đến xuất hiện các hàm lượng giác của một đối số hoặc ít nhất là không làm tăng số lượng hàm với các đối số khác nhau.

Bài toán 5 (MIPT, 1982). Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} 3 \cos 3x = \sin (x + 2y), & (21) \\ 3 \sin (2x + y) = -\cos 3y. \end{cases}$$

Lời giải. Nếu chúng ta biểu diễn các số hạng của phương trình dưới dạng sin và cosin của các đối số $x$ và $y$, chúng ta sẽ có một hệ khá phức tạp. Vì vậy, nên chọn một phương pháp khác lời giải.

Lưu ý rằng tổng các đối số cosin trong phương trình hệ thống, bằng $3x + 3y$, trùng với tổng các đối số sin. Khi tính đến điều này, chúng ta hãy sắp xếp lại các phương trình của hệ (21) theo chiều ngang, tức là nhân vế trái của một phương trình với vế phải của phương trình kia. Ta thu được phương trình $-\cos 3x \cos 3y = \sin (x + 2y) \sin (2x + y)$, (22) là hệ quả của hệ (21).

Chúng ta hãy lưu ý trong phương trình (22) tích của các hàm lượng giác với các tổng tương ứng (hiệu); chúng ta thu được sau khi áp dụng tương tự cos $(x - y)$ + cos $(3x - 3y) = 0$, do đó có 2 cos $(x - y) \cdot \cos (2x - 2y) = 0$. Phương trình này được chia thành hai phương trình:

$$\cos (x - y) = 0, \quad (23)$$
$$\cos (2x - 2y) = 0. \quad (24)$$

Do đó, hệ (21) bằng tổng của hệ (21), (23) và (21), (24).

a) Từ phương trình (23) suy ra $x = y + \pi/2 + \pi n$. (25)

Thay $x$ từ (25) vào hệ (21), ta thu được:

$$3 \cos (3y + 3\pi/2 + 3\pi n) = \sin (3y + \pi/2 + \pi n), \quad 3 \sin (3y + \pi + 2\pi n) = -\cos 3y.$$

Cả hai phương trình của hệ này đều được rút gọn về dạng 3 sin $3y = \cos 3y$, từ đó $y = \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3}$. Từ (25) tìm được các giá trị tương ứng của $x$.

6. Bây giờ chúng ta xét hệ (21), (24). Từ phương trình (24) chúng ta tìm thấy $x = y + \pi/4 + \pi k/2$. Thay thế giá trị này vào hệ thống (21), chúng ta thu được:

$$3 \cos (3y + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (3y + \pi/4 + \pi k/2), \quad 3 \sin (3y + \pi/2 + \pi k) = -\cos 3y.$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng công thức rút gọn. Từ phương trình thứ hai của hệ (26), suy ra $\cos 3y = 0$, tức là $y = \pi/6 + \pi p/3$. Thay giá trị này vào phương trình đầu tiên, chúng ta nhận được

$$3 \cos (\pi p + \pi/2 + 3\pi/4 + 3\pi k/2) = \sin (\pi p + 3\pi/4 + \pi k/2), \quad \text{откуда } (3(-1)^k + 1) \sin (3\pi/4 + \pi k/2) = 0.$$

Đẳng thức cuối cùng không được thỏa mãn cho bất kỳ mục đích nào $k$, do đó hệ thống (26) không nhất quán và trong trường hợp 6) lời giải thì không.

Đáp số:

$$\left( \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi m}{3} + \pi n; \frac{1}{3} \arctg \frac{1}{3} + \frac{\pi m}{3} \right).$$

Trận chiến

Giải hệ phương trình:

1 (MIPT, 1982).

$$\begin{cases} tg y - tg x = 1 + tg x \cdot tg y, \\ \cos 2 y + \sqrt{3} \cos 2x = -1. \end{cases}$$

2 (MIPT, 1978).

$$\begin{cases} 6 \cos x + 4 \cos y = 5, \\ 3 \sin x + 2 \sin y = 0. \end{cases}$$

3 (MIPT, 1982).

$$\begin{cases} 2 \cos (3x + y) = \sin (x - y), \\ 2 \sin (x + y) = \cos (3x - y). \end{cases}$$

4 (MIPT, 1982).

$$\begin{cases} \sin (2x + y) + \sin (2x - y) = \sqrt{2} \cos y, \\ tg (x + \pi/8) + \cos y = tg^2 y. \end{cases}$$

5 (MIPT, 1981).

$$\begin{cases} \cos 2y + 1/2 = (\cos y - 1/2) (1 + 2 \sin 2x), \\ \sin y (tg^3 x + ctg^3 x) = 3 ctg y. \end{cases}$$

6 (MIPT, 1976).

$$\begin{cases} \sin^2 x + \cos y \cdot \sin x = \cos 2y, \\ \cos 2x + \sin 2y = \sin^2 y + 3 \cos y \cdot \sin x. \end{cases}$$

7 (MIPT, 1978).

$$\begin{cases} \sqrt{1 + \sin x \cdot \sin y} = \cos x, \\ 2 \sin x \cdot ctg y + 1 = 0. \end{cases}$$

8 (MIPT, 1986).

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$

9 (MIPT, 1982), Tìm tất cả các hệ phương trình lời giải

$$\begin{cases} tg x \cdot \sin y + 2 ctg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}, \\ 2 ctg x \cdot \sin y - tg x \cdot \cos y = \sqrt{5/2}. \end{cases}$$