Kvant 1988, số 1 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1988

1

Trong phòng:

2 Kính gửi độc giả
3 V. G. Boltyansky. Tìm kiếm chương trình
8 M. I. Kadanov. Nhiều hay ít?
16 AV Geller. Người leo núi có cần vật lý không?

Bài toán Kvant
21 Bài toán M1081 — M1085, F1093 — F1097
24 Lời giải bài toán M1061 → M1064, F1073 — F1077
30 Tự giao nhau của một đường đa tuyến khép kín

«Kvant» cho học sinh nhỏ
35 Bài toán

Trường học ở «Kvant»
Vật lý 8, 9, 10:
36 Về một sai lầm ngoan cường đáng kinh ngạc
38 Dây dẫn trong trường tĩnh điện
39 Giao thoa và giao thoa kế

vòng tròn toán học
42 S. M. Lvovsky, A. L. Toom. Hãy xem xét tất cả các tùy chọn

Lịch của chúng tôi
48 Heinrich Hertz và sóng điện từ

Nghệ thuật lập trình
51 A. A. Duvanov, Yu. A. Pervin. Logo ngôn ngữ. Bài 4: Cấu trúc dữ liệu trong Logo
47 Về công việc tiếp theo của Trường Lập trình Tương ứng

Các lựa chọn thi tuyển sinh

Thông tin
57 Mới tuyển sinh vào Trường Toán Báo chí Toàn Liên minh
58 Mới được tuyển vào bộ phận thư từ của Cơ khí nhỏ
59 Trường Vật lý-Kỹ thuật Tương ứng tại MISiS

61 Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» nụ cười (60)

bìa của chúng tôi

1, 4 “Quả cầu thần kỳ” là một câu đố toán học khác của E. Rubik.

2 Theo truyền thống trong Kinh thánh, việc xây dựng Tháp Babel (được mô tả trên bản đồ của Peter Breidel the Elder) đã trở thành nguyên nhân dẫn đến sự bất hòa giữa các dân tộc trên Trái đất.
Truyền thuyết vẫn chưa được viết về lý do xuất hiện một số lượng lớn ngôn ngữ máy tính.
Một trong những ngôn ngữ này, ngôn ngữ Logo, được mô tả ở tr. 51.

3 trang cờ vua

2

Bạn đọc thân mến!

Nhiều người trong số các bạn đã quen thuộc với tạp chí của chúng tôi, với các chuyên mục và tài liệu của nó. Nhưng cũng có những người đã trở thành người đăng ký «Kvant» lần đầu tiên trong năm nay. Chúng tôi hy vọng rằng mỗi bạn sẽ tìm thấy điều gì đó hữu ích và thú vị cho mình trên tạp chí.

Trong mỗi số báo, chúng tôi nói về những thành tựu của khoa học và những ứng dụng thực tiễn của nó, về những khái niệm cơ bản của vật lý và toán học. Trong phần “Tin tức khoa học”, chúng tôi đăng tải các thông điệp về những thành tựu khoa học mới nhất. Đối với những người yêu thích các thí nghiệm vật lý và muốn học cách chế tạo các dụng cụ đơn giản, các tài liệu trong phần “Phòng thí nghiệm «Kvant»” là dành cho những ai yêu thích các thí nghiệm vật lý. Người yêu toán bài toán - bài viết “Cốc toán”. Trong phần “Trường học ở «Kvant»”, bạn sẽ tìm thấy những bài viết làm rõ những vấn đề khó hiểu nhất của khóa học ở trường.

Theo quan điểm của chúng tôi, hàng tháng chúng tôi cung cấp cho người đọc phiên bản phi tiêu chuẩn bài toán về vật lý và toán học. Lời giải trong số bài toán này, được đặt dưới tiêu đề “Vấn đề «Kvant»”, đòi hỏi khả năng suy nghĩ độc lập và sáng tạo. Hàng năm tạp chí tổ chức một cuộc thi dành cho lời giải bài toán hay nhất từ ​​“Vấn đề «Kvant»”. Những người chiến thắng cuộc thi sẽ được trao Chứng chỉ «Kvant» và nhận được quyền tham gia các chuyến tham quan tài nguyên về Tối ưu hóa Toán học và Vật lý của Liên minh dành cho Học sinh.

Nhiều tài liệu của tạp chí dành cho những người nộp đơn trong tương lai. Đây là bài viết trong phần “Thực hành của người nộp đơn” và bài toán trong phần “Các lựa chọn thi tuyển sinh”.

Trong mỗi số tạp chí, bạn sẽ tìm thấy phần «Kvant» cho học sinh nhỏ. Ở đây chúng tôi cung cấp bài toán giải trí, không đòi hỏi nhiều kiến ​​​​thức cụ thể như giao tiếp, sự chú ý và khả năng suy nghĩ logic. Các số liệu thống kê được công bố trong phần này thường được học sinh trung học quan tâm.

Các tài liệu thường xuyên xuất hiện trên tạp chí, nói về việc tối ưu hóa học sinh và học sinh dạy nghề, thông tin về các trường học từ xa và buổi tối ở các vùng khác nhau của đất nước…

Số lượng tạp chí của chúng tôi khá lớn và rất khó để nói ngắn gọn về nội dung của nó. Hôm nay các bạn đang làm quen với vấn đề đầu tiên. Bạn sẽ thích anh ấy chứ? Bạn nhận được gì từ tạp chí? Bạn muốn đọc gì trên các trang của nó? Chúng tôi hy vọng học được điều này từ những lá thư của bạn.

3

CHƯƠNG TRÌNH TÌM KIẾM

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô
V. G. VOLTYANSKY

Chẳng phải đầu máy hơi nước “chạy” tốt hơn con người - ít nhất là nhanh hơn? Và nếu bạn cần đến một thành phố khác, bạn sẽ rất vui khi nhờ đến sự giúp đỡ của anh ấy. Một người có rất nhiều sự giúp đỡ khác. Robot mang các bộ phận nặng đến nơi xử lý, liên lạc giúp truyền tải thông tin, đồng hồ đáp số cho câu hỏi “mấy giờ rồi?” vân vân.

Và có những trợ lý mới xuất hiện tương đối gần đây, được trang bị hoạt động trí tuệ của con người. Đây là những máy tính. Họ không chỉ có thể nhanh chóng thực hiện các phép tính mà còn có thể xử lý các nhiệm vụ khi nghĩ về việc một người tìm kiếm thông qua các tùy chọn, tìm kiếm đường dẫn lời giải và thực hiện các phép toán logic. Tất nhiên, máy tính không “suy nghĩ” giống như con người theo nghĩa đen (xét cho cùng, đầu máy hơi nước “chạy” theo cách riêng của nó chứ không đi như chúng ta). Mặc dù máy tính ngoan ngoãn thực hiện các hoạt động “tinh thần” theo chương trình do con người biên soạn trước nhưng nhờ tốc độ khủng khiếp nên nó xử lý được nhiều tác vụ nhanh hơn con người rất nhiều. Và không chỉ với các nhiệm vụ tính toán, mà còn với những nhiệm vụ lời giải mà bạn phải suy nghĩ và vắt óc. Hãy xem một ví dụ.

Bài toán 1. Có bao nhiêu số có hai chữ số có tổng bình phương các chữ số chia hết cho 13?

Tất nhiên, đối với lời giải bạn có thể thực hiện một tìm kiếm “ngớ ngẩn”: không có nhiều số có hai chữ số và nếu bạn tìm kiếm một số khác và kiểm tra xem tổng bình phương của các chữ số chia hết cho 13, thì chúng ta có thể tìm thấy đáp số. Tuy nhiên nó dài và nhàm chán. Và chúng tôi sử dụng lý luận logic để có được lời giải dễ dàng và đẹp mắt hơn. Để làm điều này, hãy tạo bảng sau:

| con số | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| hình vuông của nó | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 |
| phần còn lại | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 |

Dòng dưới chứa số dư khi chia các số ở dòng thứ hai cho 13. Bạn cần chọn hai số có tổng bình phương chia hết cho 13, tức là hai số ở dòng trên mà tổng các số tương ứng ở dòng dưới là 13. Ví dụ: bạn có thể lấy số 1 và 5 (lấy dòng dưới là 1 và 12); ta được hai số có hai chữ số 15 và 51 thỏa mãn điều kiện. Bạn cũng có thể lấy các số 1 và 8 (trong đó 1 và 12 cũng được ký tên) - điều này mang lại thêm hai số bắt buộc (18 và 81). Một tổ hợp số khác là 2 và 3 (nâng số 4 và 9 đã viết lên), sẽ có thêm hai số (23 và 32). Cuối cùng, bạn có thể kết hợp một trong các số viết số 3 với số viết số 10. Tổng cộng, chúng tôi nhận được 14 số cần thiết:

15 và 51, 18 và 81, 23 và 32, 46 và 64, 47 và 74, 69 và 96, 79 và 97.

Mặc dù ở đây cần phải suy nghĩ một chút và cho biết cách tìm các đường dẫn lời giải, nhưng, tất nhiên, lời giải như vậy vẫn tốt hơn là một tìm kiếm “ngu ngốc”.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta, giống như một chiếc máy tính, có thể thực hiện hàng trăm nghìn, thậm chí hàng triệu thao tác mỗi giây? Trong trường hợp này có nên thử tìm đường đi lời giải không? Chẳng phải các số từ 10 đến 99 sẽ được xử lý nhanh chóng như vậy sao? Rõ ràng là nó đã trôi qua!

Chúng ta hãy xem xét trước 1 cách giải quyết các tìm kiếm bài toán bằng máy tính. Chúng tôi sẽ trình bày chương trình bằng một ngôn ngữ lập trình rất phổ biến và được sử dụng phổ biến.

4

học BASIC (xem SGK tin học lớp 10, tr. 71). Nhưng trước tiên chúng tôi đưa ra mô tả về hàm INT có trong BASIC. Đây là một mục ví dụ:

A=INT(56/13)

Nghĩa là biến A được gán giá trị bằng toàn bộ phần của phân số 56/13 (từ tiếng Anh integer - toàn bộ). Vì 56/13==4.30769… nên chúng ta sẽ có A=4.

Bây giờ chúng tôi trình bày chương trình *) lời giải bài toán 1:

FOR N=10 TO 99
A=INT(N/10)
B=N-10*A
S=A*A+B*B
R=S-13*INT(S/13)
IF R=0 THEN PRINT N;
NEXT N
END

Bình luận. Các dòng của chương trình bị bỏ qua, không phải liên tiếp mà sau 10 số. Ví dụ này rất thuận tiện: nếu trong quá trình viết chương trình, bạn phát hiện ra rằng mình đã bỏ lỡ bất kỳ thao tác nào cần thiết cho lời giải, thì chúng có thể được viết ra dưới dạng các dòng có số trung gian.

Dòng 10 chứa một toán tử vòng lặp, được thiết kế đặc biệt để liệt kê tất cả các số tự nhiên từ 10 đến 99 (nghĩa là cả hai số) và mỗi số đó thực hiện hoạt động được chỉ định trong các dòng tiếp theo. Dòng 70 là kết thúc hoạt động được thực hiện với số có chữ số tiếp theo, tức là lệnh chuyển sang số tiếp theo.

Bây giờ chúng ta hãy xem các dòng trung gian 20-60, mô tả hoạt động được thực hiện với số N. Dòng 20 chứa hàm INT tích hợp đã được đề cập ở trên. Như vậy, biến A được gán giá trị bằng phần nguyên của số N/10, tức là A là một chữ số

*) Các chương trình trong bài viết này được viết bằng BASIC MSX.

5

4. Bình phương của một số có ba chữ số được bao quanh bởi ba chữ số tạo thành số chính xác. Tìm tất cả các số như vậy.

5. Tìm một số có bốn chữ số, biết chia cho 133 dư 125, chia cho 134 dư 111.

6. Khâu ba chữ số như vậy ở bên phải thành 523*** sao cho số có sáu chữ số chia hết cho 7, 8 và 9.

7. Khâu ba số bên phải vào ***999 sao cho số có sáu chữ số chia hết cho 13, 17 và 19.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một bài toán, lời giải khác cho phép chúng ta liên kết với các kỹ thuật lập trình tiếp theo bằng ngôn ngữ BASIC.

Bài toán 8. Người mắc nợ (tức là cả một người đã hơn trăm tuổi) nói rằng nếu cộng số ngày sinh của anh ta (tức là một trong các số từ 1 đến 31) vào tổng bình phương các chữ số của tuổi anh ta thì sẽ được tuổi. Nó nên bao nhiêu tuổi?

Đây là chương trình dành cho lời giải này bài toán:

FOR K=1 TO 9
FOR L=0 TO 9
FOR M=0 TO 9
N=100*K+10*L+M
S=K*K+L*L+M*M
IF N<S+1 GO TO 90
IF N<S+32 THEN PRINT N;
NEXT M
NEXT L
NEXT K
END

Bình luận. Ở đây, thay vì một, nó sử dụng ba vòng lặp lồng nhau. Hãy xem xét các dòng 10, 20, 90, 100:

FOR K=1 TO 9
FOR L=0 TO 9
NEXT L
NEXT K

Sau khi bắt đầu các hoạt động ở K=1, chúng ta sẽ ngay lập tức thấy mình ở vòng lặp bên trong (dòng 20 và 90) và cho đến khi nó kết thúc, chúng ta sẽ không chuyển sang dòng 90 nữa, tức là chúng ta sẽ không chuyển sang giá trị tiếp theo của K. Do đó, tại K=1, chúng ta sẽ lặp qua tất cả các giá trị L=0,1, …, 9, sau đó chuyển sang K=2 và lặp lại tất cả các giá trị L=0,1, …, 9, v.v. Từ đây rõ ràng là các dòng 10, 20, 90, 100 đảm bảo tìm kiếm được tất cả các cặp K, L (trong giới hạn quy định). Hơn nữa, còn có chu trình thứ ba bên trong M (dòng 30, 80). Cùng với nhau, ba chu trình này đưa ra bảng liệt kê cả ba K, L, M (trong giới hạn quy định). Bây giờ dòng 40 cho thấy kết quả là chúng ta đang lặp lại tất cả các số có ba chữ số từ 100 đến 999.

Các dòng 50-70 nhằm kiểm tra xem số có ba chữ số đang nghiên cứu có phù hợp với độ tuổi của người mắc nợ hay không. Trước hết, S được tính - tổng bình phương của các chữ số của số có ba chữ số này (dòng 50). Nếu N<S+1, то рассматриваем трехзначное число не годится и, более того, увеличивая цифру единиц M, мы подавно будем получить непригодные числа. Поэтому в строке 60 применен оператор условия перехода: если N<S+1 то ПЕРЕЙТИ к строке 90. Если же условие N<S+1 не выполнено, т. е. N>S thì bạn cũng cần kiểm tra xem số N lớn hơn S bao nhiêu đơn vị. Nếu N vượt quá S từ 32 trở lên thì chênh lệch N—S không thể là số ngày sinh. Vì vậy, chỉ với điều kiện N<S+32 thì số N mới phù hợp với độ tuổi của người mắc nợ (và sau đó mới in ra).

Nhập chương trình này vào máy tính, bạn sẽ biết được tuổi của người mắc nợ: ông ấy 109 tuổi.

Bài 9. Tìm một số có ba chữ số mà hình vuông của nó được bao quanh bởi ba chữ số khác 0.

10. Thay các số vào ký hiệu 424 cùng với dấu hoa thị sao cho số có năm chữ số thu được chia hết cho 72.

11. Tìm một số có bốn chữ số là số chính phương, trong đó hai chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuối giống nhau.

Gợi ý e. BASIC có chức năng SQR tích hợp rất hữu ích cho việc trích xuất căn bậc hai; nói cách khác, toán tử M=SQR(A) gán cho biến M một giá trị bằng căn bậc hai của giá trị của biến A.

12. Cửa hàng có mastic đóng thùng 16kg, 17kg, 21kg. Làm thế nào một tổ chức nào đó có thể lấy được 185 kg mastic mà không cần mở hộp?

13. Nhà toán học vĩ đại Pierre Fermat, người nghiên cứu sâu rộng về lý thuyết số, đã đưa ra giả thuyết rằng tất cả các số có dạng

6

(n tự nhiên) rất đơn giản. Khi $n=1, 2, 3, 4$ đúng, câu này rất dễ kiểm tra, nhưng khi $n=5$, việc kiểm tra “thủ công” trở nên quá khó. Tuy nhiên, một nhà toán học vĩ đại khác, Leonhard Euler, với kỹ thuật nhân tạo thông minh, đã chứng minh rằng ngay tại $n=5$ Phát biểu của Fermat là sai, tức là số () hóa ra là hợp số trong trường hợp này. Viết chương trình cho phép bạn kiểm tra tính đúng đắn của phát biểu Euler cho $n=5$, tức là tìm ước số của một số () khác với số này và một.

Gợi ý. Sử dụng một chương trình chung được viết bằng BASIC, máy tính thực hiện các phép tính có sáu chữ số. Trong khi đó, số (*) nhận tại $n=5$ có 10 chữ số có nghĩa. Hãy ghi nhớ điều này khi tạo chương trình của bạn. Ký hiệu 2^16 có nghĩa là: nâng 2 lên lũy thừa 16.

14. Tìm tất cả các số có ba chữ số bằng tổng các lập phương của các chữ số của chúng.

15. Trong số có ba chữ số, chữ số đầu tiên bên trái bị gạch bỏ; khi nhân số có hai chữ số với 7 thì được số có ba chữ số ban đầu. Tìm anh ấy.

16. Trong số có ba chữ số, tất cả các chữ số đều là số lẻ thì chữ số ở giữa bị gạch bỏ. Hóa ra số có hai chữ số thu được là ước số của số ban đầu. Tìm tất cả các số có ba chữ số như vậy.

Gợi ý: chuỗi

10 FOR A=1 TO 9 STEP 2
có nghĩa là A chạy qua các số có gia số là 2 (tức là 1, 3, 5, …).

17. Tổng các chữ số của một số có ba chữ số là bội số của 7. Bản thân số đó cũng chia hết cho 7. Tìm tất cả các số như vậy.

Gợi ý: Ký hiệu R<>0 nghĩa là R không bằng 0.

18. Một số có bốn chữ số, cũng như một số được viết bằng các chữ số giống nhau theo thứ tự ngược lại, đều là số chính phương. Tìm những con số này.

19. Giải số học sau lời giải (thay vì mỗi chữ cái bạn cần thay thế một số nhất định, các chữ cái giống nhau có nghĩa là cùng một số, và các chữ cái khác nhau có nghĩa là các số khác nhau):

a) AI + CAT = HIỆN TẠI;
b) ABBA = AA² + BB²;
b) KIO * IO = TOKYO.

20. Tìm tất cả các số có hai chữ số mà tổng các chữ số của chúng không thay đổi khi nhân với 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Thông thường, khi lời giải bài toán, các biến công việc được sử dụng trên máy tính, các biến này trong chương trình sẽ đóng vai trò “bộ đếm”, “lưu trữ”, “người giám sát” các kết quả trung gian. Hãy xem xét điều này bằng cách sử dụng các ví dụ sau.

Bài toán 21. Tìm giá trị lớn nhất của tổng $M^2+N^2$ khi M và N chạy qua tất cả các giá trị từ 1 đến 100,

Bình luận. Ở đây, một hàm ABS tùy chỉnh được sử dụng, được thiết kế để tìm mô-đun (hoặc, như người ta thường nói, giá trị tuyệt đối) của một số; nói cách khác, toán tử H=ABS(Q) gán giá trị |Q| đến biến H. Hơn nữa, P, K, L là các biến làm việc (“người giám sát”), được thiết kế để lưu trữ các kết quả trung gian thu được trong một thời gian trong quá trình hoạt động của chương trình. Biến P nhằm mục đích lưu trữ giá trị khả dụng $M^2+N^2$: ban đầu P=0 (dòng 10) và mỗi lần (trong các điều kiện áp đặt cho M, N) thu được tổng bình phương lớn hơn giá trị đó, biến P được gán một giá trị mới bằng tổng bình phương này. Tuy nhiên, tạm thời các biến K, L nhận (và lưu trữ cho đến lần thay đổi tiếp theo) các giá trị của M, N lớn hơn giá trị của tổng bình phương thu được. Sau toàn bộ tìm kiếm, giá trị cao nhất của tổng bình phương và những M, N lớn hơn giá trị sẵn có sẽ được in. Lưu ý giữa các chữ P, K, L ở dòng 110 có dấu phẩy (chứ không phải dấu chấm phẩy): với cách in này, các số hiển thị trên màn hình cách xa nhau hơn (số này chiếm 15 vị trí).

Bài toán 22. Có bao nhiêu tấm vé sáu chữ số “may mắn” (tức là những tấm vé có số tiền

9

Trong số này, chúng tôi đăng bài viết của nhà vật lý lý thuyết nổi tiếng, chuyên gia về vật lý chất rắn, Giáo sư M. I. Casanov. Trong đó, tác giả, bằng cách sử dụng các ví dụ đơn giản, giới thiệu cho người đọc nghệ thuật đánh giá tinh tế, gần với trực giác, nếu không có nó thì công việc của một nhà vật lý lý thuyết hiện đại trên con đường đi đến cái chưa biết là không thể.
Bài viết được viết bằng hệ thống edintsu GHS (centimet - gram - giây). Hệ thống này đã lâu không được nghiên cứu ở trường, nhưng các nhà vật lý chuyên nghiệp thường sử dụng nó (và không phải là SN quen thuộc với học sinh). Thực tế là khi viết các công thức trong hệ thống này, một công thức sẽ xuất hiện trong đó; các hệ số có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Sau khi suy nghĩ, những người biên tập không dám dịch công thức của bài báo sang SN, vì trong trường hợp này, hương vị của một nhà vật lý thực thụ, tất cả từ nó, sẽ bị mất đi không thể cứu vãn được.

NHIỀU HAY ÍT?
(Lý luận của nhà vật lý lý thuyết về các con số)

Tiến sĩ Vật lý và Khoa học Toán học
M. I. KAGANOV

Một ngày nọ, tôi tự hỏi một người có thể đọc được bao nhiêu cuốn sách trong đời. Tôi ước tính con số này như sau. Giả sử một người đã đọc được 60 năm. Có 52 tuần trong một năm. Hãy để một người đọc hai cuốn sách một tuần. Vì vậy, khoảng 100 mỗi năm. Tổng cộng có khoảng 6.000 cuốn sách trong đời. Không cần thảo luận về việc nó ra đời như thế nào, tôi gọi con số này là lodyam. “Ít quá!” - một người nói. “Có thực sự cần thiết đến vậy không?!” - những người khác ngạc nhiên. Và tôi nghĩ: chúng ta không có yêu cầu đánh giá cảm quan về các con số. Chỉ bằng cách so sánh một số với những số khác, chỉ bằng cách gán cho số đó một ý nghĩa nhất định, chúng ta mới đánh giá được độ lớn của nó. Tất nhiên, số lượng sách đã đọc có một ý nghĩa hoàn toàn xác định (không chỉ là 6000 trống), mà nó chỉ có thể được đánh giá (đánh giá, nói - nhiều hay ít) bởi một người có thể so sánh, chẳng hạn như nghĩ: “Tôi đọc bao nhiêu cuốn sách mỗi tuần (tháng, năm,…)?”…

Vật lý xử lý các đại lượng được đặt tên. Bất kỳ đại lượng vật lý nào cũng có thứ nguyên. Có một phần vật lý đặc biệt nghiên cứu các nguyên tắc về kích thước, hệ đơn vị, tiêu chuẩn của các đơn vị này, v.v. Tôi phải thừa nhận, phần vật lý này luôn có vẻ khá nhàm chán đối với tôi. có lẽ do phải ghi nhớ nhiều sự thật về nó: joule và erg có mối liên hệ với nhau như thế nào, erg khác nhau như thế nào thì chưa được nghiên cứu, nhưng các nhà vật lý chuyên nghiệp thường không nghiên cứu về nó (và không phải SN quen thuộc với học sinh). Thực tế là khi viết các công thức trong hệ thống này, một công thức sẽ xuất hiện trong đó; các hệ số có ý nghĩa vật lý rõ ràng. Sau khi suy nghĩ, những người biên tập không dám dịch công thức của bài báo sang SN, vì trong trường hợp này, hương vị của một nhà vật lý thực thụ, tất cả từ nó, sẽ bị mất đi không thể cứu vãn được.

Bạn đã bao giờ tự hỏi tại sao tất cả các đại lượng vật lý có thể được biểu thị bằng các đơn vị chiều dài (cm), thời gian (giây) và khối lượng (gram)? Điều này áp dụng cho các đại lượng điện, từ, và cho biết, và cho quang học.*) Trong vật lý không có đại lượng nào không thể được sử dụng từ Gauss, có bao nhiêu coulomb trong một đơn vị điện tích theo hệ thống CGS, v.v., v.v. Nhưng, dù nhóm thế nào, không có đại lượng này thì đại lượng tổng quát là không thể. Khi chuyển từ nghĩa này sang nghĩa khác, cần phải diễn đạt chúng theo những đơn vị nhất định và hơn nữa là theo những đơn vị giống nhau. Khi so sánh từ trường được tạo ra bởi muối siêu dẫn với từ trường của Trái đất, cả hai trường phải được biểu thị theo cùng một đơn vị: theo Gauss hoặc Texas - không có gì khác biệt, mối quan hệ của các trường không phụ thuộc vào điều này. Nhưng chính xác là các mối quan hệ của các đại lượng vật lý, như một quy luật, quan trọng đối với chúng ta, vì chính chúng (các mối quan hệ không thứ nguyên) quyết định cái mà các nhà vật lý thích gọi là “tính chất vật lý của một hiện tượng”. Chúng ta sẽ phát triển ý tưởng này bên dưới và bây giờ là một vài từ nữa về các đại lượng thứ nguyên.

Bạn đã bao giờ tự hỏi tại sao tất cả các đại lượng vật lý có thể được biểu thị bằng các đơn vị chiều dài (cm), thời gian (giây) và khối lượng (gram)? Điều này áp dụng cho các đại lượng điện, từ, và cho biết, và cho quang học.*) Trong vật lý không có đại lượng nào có thể được sử dụng từ Gauss, có bao nhiêu coulomb trong một đơn vị điện tích theo hệ thống CGS, v.v., v.v. Nhưng, dù nhóm thế nào đi nữa, không có đại lượng này thì đại lượng tổng quát là không thể. Khi chuyển từ nghĩa này sang nghĩa khác, cần phải diễn đạt chúng theo những đơn vị nhất định và hơn nữa là theo những đơn vị giống nhau. Khi so sánh từ trường được tạo ra bởi muối siêu dẫn với từ trường của Trái đất, cả hai trường phải được biểu thị theo cùng một đơn vị: theo Gauss hoặc Texas - không có gì khác biệt, mối quan hệ của các trường không phụ thuộc vào điều này. Nhưng chính xác là các mối quan hệ của các đại lượng vật lý, như một quy luật, quan trọng đối với chúng ta, vì chính chúng (các mối quan hệ không thứ nguyên) quyết định cái mà các nhà vật lý thích gọi là “tính chất vật lý của một hiện tượng”. Chúng ta sẽ phát triển ý tưởng này bên dưới và bây giờ là một vài từ nữa về các đại lượng thứ nguyên.

*) Thứ nguyên của dòng điện là [I]=[Q]/s, và thứ nguyên của điện tích Q có thể tìm được bằng định luật Coulomb: [Q]²/[R]²=[F], trong đó F là lực. Vì [F]=r·cm/c², nên [Q]=r¹/2·cm³/²/c. Do đó [I]=r¹/2·cm³/2/c. Vì vậy kích thước của tất cả các đại lượng điện được tính bằng gam, centimet và giây.

10

Sẽ rất tuyệt nếu viết bằng cm, giây và gam. Đáp số cho câu hỏi tại sao tất cả các đại lượng vật lý được biểu thị dưới dạng gam, centimet và giây có vẻ bất ngờ. Vấn đề là nó liên quan đến định nghĩa của vật lý. Vật lý giải quyết những hiện tượng có thể được mô tả bằng cm, giây và gam. Centimet và giây cần thiết để mô tả chuyển động trong không gian (kinematika), và gram cần thiết để kết nối chuyển động này với lực gây ra chuyển động (động lực học). Hãy nhớ rằng theo định luật Newton, lực bằng gia tốc nhân với khối lượng. Tất nhiên, có nhiều hiện tượng chúng ta không thể mô tả bằng các đại lượng vật lý. Ví dụ, mọi thứ liên quan đến sự phát triển của xã hội loài người - lịch sử, kinh tế, v.v. Việc nghiên cứu những hiện tượng này, đôi khi đòi hỏi những phương pháp toán học phức tạp, không thuộc về vật lý. Và tất nhiên, vật lý không làm cạn kiệt các phép đo. Một vai trò cơ bản trong đó được thực hiện bởi các ý tưởng, quy định, định luật, đôi khi được thể hiện dưới dạng phương trình toán học và đôi khi dưới dạng công thức Slivian hạn chế. Đây là một ví dụ nổi bật: mọi vật thể đều được tạo thành từ các phân tử, phân tử được tạo thành từ các nguyên tử, nguyên tử được tạo thành từ hạt nhân và electron, và hạt nhân được tạo thành từ proton và neutron. Cụm từ này chứa đựng lượng thông tin khổng lồ, sự tập trung của nghiên cứu hàng thế kỷ về tự nhiên, nghiên cứu dựa trên việc đo lường các đại lượng mà (tất cả!) Có thể được biểu thị bằng cm, giây và gam.

Các định luật cơ bản của tự nhiên chắc chắn bao gồm các định luật bảo toàn. Ngoài những cái nổi tiếng - định luật bảo toàn năng lượng và động lượng - còn có những cái kỳ lạ hơn. Ví dụ, định luật bảo toàn điện tích baryon, phát biểu rằng số lượng của một hạt như proton hay neutron không thay đổi trong quá trình tương tác giữa các hạt.*)

*) Phản hạt được cho là do điện tích baryon trái dấu (đối với proton và neutron, điện tích baryon bằng 1, đối với phản proton và phản ptron - 1).

Hoặc một ví dụ khác: trạng thái của nguyên tử và hạt hạ nguyên tử được đặc trưng bởi một đại lượng nhất định, gọi là hàm sóng. Nó thường được ký hiệu bằng tiếng Hy Lạp bằng chữ cái $\psi$. Hàm sóng $\psi$ là hàm của tọa độ $\vec{r}$. Vì tất cả các điểm trong không gian trống đều tương đương nhau nên bất kỳ điểm nào cũng có thể được chọn làm gốc tọa độ. Vì vậy, hàm $\psi(\vec{r})$ theo phương trình của cơ học lượng tử có thể là chẵn hoặc lẻ -

$$\begin{align*} \mathrm{lino} & \psi(-\vec{r}) = \psi(\vec{r}), \\ \mathrm{lino} & \psi(-\vec{r}) = -\psi(\vec{r}), \end{align*}$$

Hơn nữa, bất kể điều gì đã xảy ra với hạt trước đó, đây vẫn là một tính chất của hàm sóng bảo toàn. Người ta nói rằng có định luật bảo toàn tính chẵn lẻ. Nếu một hạt có hàm sóng chẵn thì hạt đó có thể được gán chẵn lẻ là +1, nếu hàm sóng lẻ thì -1. Ngoài ra, hàm sóng của một số hạt không tương tác với nhau là tích của hàm sóng của từng hạt riêng lẻ và tính chẵn lẻ của nó là tích của các tính chẵn lẻ của từng hạt riêng lẻ. Điều này giúp có thể khái quát hóa định luật bảo toàn tính chẵn lẻ cho những trường hợp rất phức tạp. Ví dụ, có hai hạt tiêu chuẩn - chẵn và lẻ, và là kết quả của sự ra đời của các hạt mới; nếu có hai trong số chúng thì một trong số chúng phải là số chẵn và số còn lại là số lẻ, và nếu có ba thì tất cả chúng đều có thể là số lẻ. Điều quan trọng đối với chúng tôi là số không thứ nguyên +1 hoặc -1 sẽ được giữ nguyên.

Nhưng để xác minh điều này và các tuyên bố tương tự, cần phải có các phép đo. Để làm được điều này, hành động đối với “thứ đó” này phải được coi là lực lượng của họ. Và chúng ta lại đến với các đại lượng vật lý, vị trí của chúng có thể giảm xuống từng centimet, giây, gam. Tôi ghét bị coi là “kẻ thù” của những con số không thứ nguyên. Ngược lại: một trong bài toán của bài viết này là thuyết phục người đọc về lợi ích và thậm chí là sự cần thiết của không thứ nguyên

11

các giá trị chiều tổ hợp. Hơn thế nữa. Những con số thực sự không thứ nguyên, tức là những con số không phải là sự kết hợp của các đại lượng thứ nguyên, cũng thường được tìm thấy trong vật lý. thật khó để tìm ra những công thức không bao gồm các số siêu việt $e$ và $l$, chưa kể đến sự đa dạng của các thừa số số có trong bất kỳ công thức nào.

Hãy quay trở lại với các đại lượng vật lý có chiều này hay chiều khác. Bài toán của một lý thuyết vật lý là kết nối các đại lượng vật lý khác nhau với sự tương ứng cho phép xác minh bằng thực nghiệm. Ví dụ: muốn kiểm tra xem đường đi $s$ mà một hạt chuyển động với gia tốc không đổi $a$ thay đổi như thế nào theo thời gian, chúng ta phải so sánh những thay đổi của mình với công thức

$$s(t) = v_0 t + \frac{at^2}{2} = v_0 t \left( 1 + \frac{at}{2v_0} \right),$$

trong đó $v_0$ là vận tốc ban đầu của hạt. Đây là một công thức rất đơn giản. Nhưng nó (giống như tất cả các công thức trong vật lý!) yêu cầu tất cả các đại lượng có trong nó phải có kích thước tương ứng: nếu $s$ thay đổi tính bằng cm và $t$ - tính bằng giây, thì $v_0$ - tính bằng cm/s và $a$ - tính bằng cm/s². Nhưng chúng ta không chỉ muốn kiểm tra công thức này mà còn muốn tìm hiểu: gia tốc ảnh hưởng như thế nào đến bản chất chuyển động của hạt? Dạng ký hiệu thứ hai thuận tiện cho việc này (khi chúng ta đặt $v_0 t$ ngoài ngoặc). Nó cho thấy: lúc đầu (tại $t \ll 2v_0/a$) vai trò của gia tốc là không đáng kể - hạt đang chuyển động thực tế với tốc độ không đổi $v_0$, nhưng sau đó (tại $t \gg 2v_0/a$) hạt “quên” tốc độ ban đầu của nó là gì - chuyển động của nó được xác định bởi gia tốc. Như bạn có thể thấy, không thể trả lời rõ ràng câu hỏi liệu gia tốc của hạt lớn hơn hay nhỏ hơn. Đáp số phụ thuộc vào giai đoạn nào của phong trào mà chúng ta quan tâm. Và chúng tôi đã phát hiện ra điều này bằng cách so sánh tỷ lệ không thứ nguyên $at^2/2v_0 t = at/2v_0$ với đơn vị. Nói đúng ra, khi loại bỏ thuật ngữ thứ nhất hoặc thứ hai, cần phải tính đến độ chính xác mà thiết bị của chúng tôi thay đổi đường dẫn đã đi và chỉ cho phép chúng tôi bỏ qua thuật ngữ tương ứng nếu nó nhỏ hơn lỗi tương đối của sự thay đổi. Chúng ta sẽ không đi sâu vào những chi tiết phức tạp như vậy nữa, mặc dù chúng rất quan trọng khi phân tích các thí nghiệm thực tế.

Với lời giải thực bài toán chúng ta thường phải đơn giản hóa - nếu không có điều này thì đơn giản là không thể giải được bài toán. Việc đơn giản hóa luôn dựa trên sự ưu tiên của các thuật ngữ nhỏ so với các thuật ngữ lớn. Nhưng để loại bỏ một cái gì đó, cần phải so sánh các số hạng và chỉ có thể so sánh các giá trị có cùng thứ nguyên. Ở trên xây dựng quy tắc (cơ bản) đầu tiên để sử dụng đại lượng thứ nguyên. Nhiều nhà vật lý sợ vi phạm quy tắc này đến mức khi bắt đầu giải bài toán, họ ngay lập tức không định thứ nguyên các đại lượng có trong nó.

Hãy quay trở lại chuyển động của một hạt có gia tốc không đổi. Hãy thay đổi thời gian theo đơn vị $2v_0/a$ (tức là thay vì thời gian $t$, chúng tôi sẽ giới thiệu “thời gian không thứ nguyên” $\tau = at/2v_0$) và khoảng cách di chuyển theo đơn vị $2v_0^2/a$ (tức là chúng tôi sẽ giới thiệu “độ dài không thứ nguyên” $\sigma = \frac{a}{2v_0^2} s$). Khi đó công thức (1) sẽ được đơn giản hóa rất nhiều:

$$\sigma = \tau(1 + \tau).$$

Sự chuyển đổi từ công thức (1) sang công thức (2) được gọi là không thứ nguyên. Ưu điểm của phương pháp này là rất thuận tiện: sau khi nghiên cứu sự phụ thuộc của $\sigma$ vào $\tau$, chúng ta đã biết được cách một hạt chuyển động với bất kỳ gia tốc không đổi nào, như

12

bất kể tốc độ ban đầu của nó là bao nhiêu.

Chúng ta phải thừa nhận: trong các trường hợp phức tạp, không phải lúc nào cũng nên sử dụng các công thức không thứ nguyên, vì bằng cách kiểm tra các thứ nguyên $d_o$ và $n_{osle}$ của phép tính, rất dễ tìm thấy lỗi hoặc đảm bảo rằng phép tính dường như được tiếp tục chính xác.

Để hình thành một quy tắc khác cần phải tính đến khi đơn giản hóa, dựa trên sự tồn tại của một đại lượng nhỏ trong công thức (trong phương trình), chúng ta điều kiện hóa một chút công thức (1), giả sử rằng tại thời điểm $t=0$ vật ở điểm có tọa độ $s_0$:

$$s(t)=s_0+v_0t+at^2/2. \quad (1')$$

Bây giờ chúng ta sẽ đo khoảng cách theo đơn vị $s_0$ và thời gian theo đơn vị $s_0/v_0$. Sau đó

$$\sigma=1+\tau+\varepsilon\tau^2, \quad (2')$$

trong đó $\varepsilon=as_0/2v_0^2$ là đại lượng không thứ nguyên.

Trước hết, chúng ta hãy chú ý đến thực tế là nếu chúng ta chọn cùng một đơn vị cho thời gian và khoảng cách, chúng ta sẽ nhận được một phương trình khác -

$$\sigma=\sigma_0+\tau(1+\tau),$$

từ một đại lượng không thứ nguyên khác $\sigma_0=as_0/2v_0^2$ có trong công thức. Chỉ riêng thực tế này đáng được nhấn mạnh: theo quy luật, có nhiều phương pháp không thứ nguyên khác nhau và bạn cần chọn phương pháp thuận tiện hơn. Vì vậy, đặt đại lượng không thứ nguyên $\varepsilon$ trong phương trình (2’) là rất nhỏ ($\varepsilon \ll 1$); à, giả sử $\varepsilon \approx 10^{-3}$ hoặc thậm chí ít hơn. Hãy tưởng tượng trong giây lát rằng $\varepsilon$ là một thừa số không phải trước $\tau^2$, mà trước một hàm phức tạp nào đó của “thời gian không thứ nguyên” $\tau$. Công thức sẽ dễ dàng hơn biết bao nếu lợi dụng thực tế là giá trị $\varepsilon$ nhỏ, chúng ta loại bỏ số hạng chứa $\varepsilon$. Nhưng chúng ta hiểu (trở lại từ (2’) đến (2)) rằng điều này có nghĩa là hoàn toàn giả vờ có gốc rễ, hay nói một cách tổng quát hơn là khẳng định những đặc điểm cụ thể của chuyển động đang được nghiên cứu.*

*) Chưa kể đến sự sai lầm về mặt hình thức của khẳng định đối với thuật ngữ $\varepsilon\tau^2$ đối với phần lớn

Đây chính xác là những gì bạn không thể làm được! Bạn cần phải cẩn thận đưa thi thể ra khỏi giường - bạn có thể vứt bồn tắm của em bé vào đó.

Cho đến nay, chúng ta đang giải quyết định luật chuyển động đã biết và thao tác các đại lượng đã biết có trong công thức. Bây giờ chúng ta hãy nghĩ về một vấn đề phức tạp hơn nhiều. Hãy quay trở lại thời kỳ tiền lượng tử. Thí nghiệm của Rutherfor cho thấy: thứ nhất, nguyên tử là một hệ phức tạp, khối lượng của nguyên tử tập trung ở hạt nhân tích điện dương và khối lượng hạt nhân $M$ lớn gấp hàng nghìn lần khối lượng của electron tích điện âm $m$ (electron đã mở và điện tích của nó đã thay đổi, nó bằng $e=-4,8\cdot 10^{-10}$ điện tích đơn vị CGSE = -1,6 10^{-19} C), thứ hai, bên trong nguyên tử (ở khoảng cách $\sim 1\mathring{\mathrm{A}}=10^{-8}$ cm) áp dụng định luật Coulomb.

Vì vậy, chúng ta biết rằng bên trong một nguyên tử gồm một hạt nhân nặng - một proton và một electron nhẹ (để đơn giản, giới hạn nó ở nguyên tử hydro), định luật Coulomb hoạt động. Ngoài ra, người ta đã biết (cũng được biết đến ở thời kỳ tiền lượng tử!) rằng tất cả các nguyên tử hydro đều giống nhau, tức là chúng có cùng kích thước ($\sim 10^{-8}$ cm). Chúng ta hãy biểu thị kích thước của một nguyên tử hydro bằng $a_0$. Và chúng ta phải hiểu: tại sao $a_0\sim 10^{-8}$ cm? Để làm điều này, chúng tôi biểu thị $a_0$ thông qua đặc điểm của các bộ phận cấu thành của nguyên tử - điện tích $e$ và khối lượng của electron $m$ và proton $M$. Khối lượng của proton rõ ràng có thể bị loại bỏ bằng cách giả sử rằng proton tích tụ và electron chuyển động xung quanh nó (trong thực tế, cả hai hạt đều chuyển động xung quanh trọng tâm, nhưng những hiệu chỉnh liên quan đến trọng lượng này là nhỏ). Các giá trị còn lại là $m$ và $e$. Nhưng thật dễ dàng để kiểm tra (pro-

giá trị $\tau$. Tôi nghĩ đây là một khái niệm hoàn hảo. Chưa hết: $\varepsilon\tau^2$ chỉ trở thành thứ tự đơn vị hoặc lớn tại $\tau \geq 1/\sqrt{\varepsilon}$. Thời gian này có xu hướng tiến tới vô cùng khi $\varepsilon \rightarrow 0$. Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang nghiên cứu một quá trình nhất định kéo dài trong một khoảng thời gian hữu hạn ngắn và chúng ta phát hiện ra rằng số hạng $\varepsilon\tau^2$ đạt giá trị bằng 1 khi quá trình của chúng ta đã kết thúc từ lâu. Tất nhiên, trong trường hợp này, không nâng cao lương tâm, thuật ngữ này có thể được bỏ qua.

13

tin!) rằng không thể “xây dựng” một tổ hợp chiều dài từ chúng.

Kết luận là thế này: vật lý cổ điển không thể thiết lập “bản chất” các kích thước của nguyên tử. Kết luận này, hiện nay đã được nhiều người biết đến, có thể đạt được bằng những cách khác. Và “lối thoát” đã được biết.
Nó được cung cấp bởi cơ học lượng tử, hay nguyên tử. Không có trong của chúng tôi bài toán nói về cơ học lượng tử trong bài viết này. Chúng ta hãy nhớ lại rằng cơ học lượng tử trong vật lý có một hằng số thế giới mới - hằng số Planck $\hbar$, bằng $\sim 10^{-27} \text{ г} \cdot \text{cm}^2/\text{c}$, và hãy quay trở lại nguyên tử hydro. Bây giờ chúng ta có sẵn ba đại lượng: $m$, $e$ Và $\hbar$và từ đó có thể dễ dàng xây dựng các giá trị thứ nguyên độ dài:

$$a_0 = \frac{\hbar^2}{me^2} \approx 0.4 \cdot 10^{-8} \text{ cm.}$$

Chúng tôi không đặt trước đã đánh đồng tổ hợp dẫn xuất với kích thước $a_0$, vì với độ chính xác cao, nó thực sự bằng kích thước của nguyên tử hydro.

Bây giờ chúng ta hãy suy nghĩ nghiêm túc hơn một chút về logic suy ra công thức (3). Không giải bài toán, không suy nghĩ về những phương trình mô tả chuyển động của một electron trong nguyên tử, chỉ biết những đại lượng ($a_0, e, \hbar, m$) nào nên đưa vào phương trình chưa biết, chúng tôi quyết định rút ra kết luận cố định theo công thức (3). Chúng ta có lý do gì cho việc này?

Rõ ràng là phương trình mà chúng ta sẽ phải giải để xác định kích thước của nguyên tử sẽ chứa ở dạng một đại lượng chưa biết ($x$) một tổ hợp không thứ nguyên*), tức là $x = a_0 me^2/\hbar^2$, và đại lượng $x$ phải được tìm thấy bởi lời giải của một số phương trình, chẳng hạn như $f(x)=0$. Nhưng liệu chúng ta có tự tin rằng nghiệm của phương trình này có cấp một không? Rốt cuộc, thật dễ dàng để tưởng tượng rằng $x_0$ là nghiệm của phương trình $f(x_0)=0$ - một số rất lớn hoặc ngược lại, rất nhỏ. Và sau đó $a_0=x_0 \hbar^2/me^2$ hoặc số lượng đáng kể lớn hơn hoặc loại của chúng ít hơn đáng kể hoặc loại của chúng ít hơn đáng kể. Đây không phải là một bài toán dễ dàng - để tìm hiểu xem các đặc tính của một vật thể bị ảnh hưởng như thế nào bởi nguồn gốc của sự phân rã phóng xạ trong đó (ở những nơi ngẫu nhiên, vào những thời điểm ngẫu nhiên!). Nhưng hóa ra, khi biết năng lượng mang theo của các mảnh hạt nhân, người ta có thể sử dụng các thông điệp về chiều và đánh giá (ước tính) kết quả của thiết kế so sánh. Trực giác gợi ý rằng kết quả của thiết kế so sánh chính xác có nghĩa là tính toán chính xác. Hóa ra giá trị từ ước tính (ước tính) có thể được đưa ra từ ước tính (ước tính) có thể phức tạp hơn so với thực tế và chúng ta sẽ phải giới hạn nó.

*) Bất kỳ hàm phức nào có đối số là đại lượng thứ nguyên thường là đại lượng vô nghĩa. Rốt cuộc, theo quy luật, chức năng này được chỉ định gần đó. Ví dụ: $e^x=1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3+...$

Và bạn chỉ có thể thêm số lượng có cùng thứ nguyên.

14

Nếu chúng ta xem xét các ước tính, thì cuối cùng chúng ta sẽ tìm thấy (ngay cả khi không tính toán) tập hợp $(2\pi)^{-5}$ - xét cho cùng, sự xuất hiện của nó hoàn toàn không phải là ngẫu nhiên…

Và đây là một ví dụ khác - ngược lại. I.M. Lifshts và A.V. Pogorelov (bạn biết A.V. Pogorelov với tư cách là tác giả của một cuốn sách giáo khoa và sách về hình học) đã nghiên cứu các định luật phân hạch của hạt nhân nặng. Sự tương tự với những giọt chất lỏng thông thường và các thông điệp về chiều đã giúp giải bài toán tương đối dễ dàng và thu được đáp số lên tới hệ số không thứ nguyên. Các tác giả muốn nghĩ rằng yếu tố không thứ nguyên chưa biết gần với sự thống nhất (theo như tôi nhớ, I.M. Lifshts chắc chắn về điều này). A.V. Pogorelov đã thiết kế một thiết bị đặc biệt có thể đo giá trị được ước tính về mặt lý thuyết bằng cách sử dụng một chất lỏng “khối lượng lớn”. Hóa ra hệ số yêu cầu là 1,1 (!).

Điều gì xảy ra sau hai ví dụ này? Điều duy nhất là phải thận trọng khi ước tính dựa trên các thứ nguyên được báo cáo. Hãy thận trọng nhưng đừng bao giờ từ bỏ các phương pháp dựa trên những thông báo này.

Khi chúng ta đang nói về lĩnh vực vật lý liên quan đến các hiện tượng hoặc hiện tượng đó, để hiểu được nó chỉ cần sử dụng các định luật tự nhiên đã biết (nghĩa là chúng được mô tả với độ chính xác cần thiết bằng các phương trình đã biết), các phương pháp chiều đóng vai trò là thông điệp hướng dẫn, hỗ trợ cho trực giác. Với độ khó ít nhiều, người ta có thể thực hiện phép tính thích hợp và thu được đáp số chính xác. Các thông điệp về chiều có vai trò đặc biệt khi nhà vật lý bước vào một khu vực không có giá trị, khi không có phương trình có cấu trúc nào để dựa vào và người ta chỉ có thể ước tính, ước tính và đoán. Hoạt động này của các nhà vật lý lý thuyết đòi hỏi một bản năng đặc biệt, dựa trên kiến ​​thức sâu sắc về toàn bộ cấu trúc của vật lý, sự hiểu biết về những gì có thể xảy ra.

câu hỏi (sửa đổi), và điều gì là không thể lay chuyển, việc từ chối câu hỏi đó sẽ phá hủy (theo nghĩa đen) tất cả dữ liệu vật lý. Khoa học bảo thủ hơn nhiều so với những người nhìn nó từ bên ngoài, ngưỡng mộ những thành công của nó, những người nghĩ rằng khoa học có thể làm được mọi thứ, rằng mọi thứ đều có thể tiếp cận được. Khoa học mô tả Thế giới thực sự hiện có, được điều chỉnh bởi các quy luật thực sự hiện có. Khoa học đang dần xóa bỏ những quy luật này trong đau đớn. Việc xây dựng tính nhất quán hợp lý của bức tranh Thế giới là một trụ cột bài toán, rằng chúng ta phải xử lý từng chi tiết của bức tranh này một cách thận trọng, liên tục tự đặt câu hỏi, liệu tôi có vi phạm điều gì đó trong toàn bộ bức tranh không nếu tôi cho rằng điều gì đó mới, cần thiết (đối với tôi) để giải thích một sự thật nào đó?…

Tôi nhận ra rằng đoạn cuối có vẻ hoàn toàn trừu tượng. Tuy nhiên, tôi không muốn đưa ra ví dụ - chủ yếu là vì tôi không cảm thấy mình là một chuyên gia trong lĩnh vực vật lý mà từ đó nên rút ra những ví dụ này: từ vật lý hạt cơ bản, từ vũ trụ học. Tôi chỉ muốn thu hút sự chú ý của bạn đến những điều sau đây. Cùng một chiều nhưng có những giá trị hoàn toàn khác nhau: khoảng cách giữa Moscow và New York và kích thước của nguyên tử hydro, thời gian sao Hải Vương quay quanh Mặt trời và chu kỳ dao động của các nguyên tử trong phân tử hydro, khối lượng của proton và khối lượng của electron, v.v., v.v. - có rất nhiều ví dụ. Chia một giá trị thứ nguyên cho một giá trị cùng thứ nguyên, chúng ta nhận được một số không thứ nguyên. Bạn có thể đặt câu hỏi: tại sao con số cụ thể này lại xuất hiện mà không phải con số khác? Rõ ràng là vì số lượng quan hệ là vô hạn nên số lượng câu hỏi cũng là vô hạn. Tôi có nên hỏi tất cả họ không? Và có cần thiết phải trả lời chúng không? — Đáp số chỉ mang lại kinh nghiệm. Kinh nghiệm của một cá nhân và kinh nghiệm của mọi vật lý. Trong quá trình phát triển của khoa học, danh sách các câu hỏi thay đổi cùng với danh sách đáp số trên đó, và,

15

Đương nhiên, có một số thắc mắc về thao tác đáp số, quy tắc, thao tác không quá đáng kể. Thực tế là một câu hỏi được xây dựng chính xác, theo quy luật, không chứa đáp số. Các câu hỏi khác trông hoàn toàn vô hại nhưng đáp số lại rất phức tạp. TẠI SAO nó đơn giản hơn: tại sao tỷ lệ khối lượng proton $M_p$ với khối lượng electron $m_e$ bằng 1838? Và đáp số đối với câu hỏi này, theo như tôi biết thì vẫn chưa được biết. Hoặc một giá trị số khác - cái gọi là hằng số cấu trúc tinh tế

$$\alpha = \frac{e^2}{\hbar c} = \frac{1}{137}.$$

Hằng số cấu trúc tinh tế được gọi như vậy - một dòng bảy! Tại sao 1/137 - khoa học hiện đại thậm chí không xây dựng được. Nhưng sử dụng $\alpha$ nhiều lần. Độ nhỏ tương đối của điện tích ($e^2 = \hbar c / 137 \ll \hbar c$) dẫn đến vô số hậu quả theo đúng nghĩa đen.

137, và thậm chí hơn thế nữa là 1838, là những con số lớn hơn đáng kể so với đơn vị. Chúng có thể là hệ quả của một lý thuyết, gốc của một phương trình nào đó không? Nhưng bạn có thể đưa ra một ví dụ dẫn đến một con số thiên văn theo đúng nghĩa đen. Tỷ số giữa lực đẩy điện của hai proton với nhau và lực hút của đá granit giữa chúng là $e^2 / (M_p^2 G)$, - tất nhiên, là một con số không thứ nguyên. Nó bằng $10^{36}$ (!). Bằng cách giải một phương trình như vậy, liệu người ta có thể hy vọng thu được một con số tuyệt vời như vậy không? Một nỗ lực hiện đang được thực hiện nhằm xây dựng siêu vật lý sẽ thống nhất mọi tương tác giữa các hạt. Rõ ràng, nó - ngành khoa học tương lai - nên “đưa ra” con số mưa đá này dưới dạng đáp số. Tuy nhiên, có lẽ sẽ không có gì đáng ngạc nhiên về điều này: đơn giản (?!) đại lượng mong muốn sẽ không phải là tỷ lệ, mà là $\ln \ln(e^2 / (M_p^2 G)) \approx 4,4$. Nhưng đây không còn là một thông điệp nữa mà là sự tưởng tượng… Và tôi muốn cảnh báo người đọc trước những so sánh phi lý khác nhau về tầm quan trọng của một chiều và việc phát hiện ra một số tương ứng thần bí. Nỗ lực trả lời câu hỏi tỷ lệ này hay tỷ lệ kia của các đại lượng vật lý hai chiều phải bằng bao nhiêu phải dựa trên kiến ​​​​thức sâu sắc về chủ đề này - cái nhìn sâu sắc sẽ không giúp ích gì ở đây, tin tôi đi!

---

Thật khó để kết thúc những cuộc thảo luận này. Trong bất kỳ lĩnh vực hoạt động nào của mình, nhà vật lý (cả nhà lý thuyết và nhà thực nghiệm) đều gặp phải những con số. Một số anh ta phải sử dụng, một số khác anh ta phải xác định. Luôn luôn gặp gỡ những con số, anh ấy thấm nhuần chúng và thường xuyên nói ra với chúng, không cần suy nghĩ, chúng nảy sinh một cách công khai, tại sao chúng lại như thế này mà không phải những con số khác. Điều này có nghĩa là anh ta - một nhà vật lý - biết rõ lĩnh vực của mình, rằng anh ta có trực giác, rằng anh ta có sự lựa chọn gần như vô thức từ vật lý (từ kho kiến ​​thức khổng lồ tích lũy trong đó), đó chính xác là những gì cần thiết để hiểu hiện tượng đang được nghiên cứu. Nhưng nếu bạn hỏi anh ta tại sao anh ta lại loại bỏ mọi thứ khác, anh ta sẽ nghĩ và dựa trên lập luận về con số, sẽ cho thấy rằng những gì bị loại bỏ không đóng một vai trò quan trọng nào. Và anh ấy đã sai. Và nếu lỗi không tầm thường thì hãy hiểu lỗi, liên kết nhìn thấy mâu thuẫn có thể dẫn đến phát hiện ra… Điều này đáng được gắn cờ…

17

NGƯỜI LEO NÚI CÓ CẦN
VẬT LÝ?
Ứng viên khoa học kỹ thuật
A. V. GELLER

Những người chinh phục đỉnh núi thường là những người lãng mạn. Và bản thân những ngọn núi với những đỉnh núi trắng xóa hùng vĩ đến mức bất kỳ lời nói nào về nghĩa vụ vật chất của một số hiện tượng nhất định nảy sinh trên núi, về những tính toán và biện minh cho một số tình huống cụ thể đôi khi có vẻ nực cười. Giống như nhập một công thức làm thơ hay một thuật toán để tạo ra một bức tranh.

Chưa hết, chúng ta sẽ cố gắng giải một bài toán như vậy và sử dụng ví dụ của nó để cho thấy vật lý giúp ích cho những người leo núi như thế nào. Khi còn ở đồng bằng, ngồi vào bàn làm việc, bạn có thể giải quyết các vấn đề an ninh trên núi. Vậy là chúng ta sẽ đi lên núi. Tất nhiên, chúng ta phải lựa chọn và chuẩn bị kỹ lưỡng những thiết bị cần thiết, dự trữ móc gấp và móc băng, dây thừng tốt…

Dây leo núi, giống như hầu hết các thiết bị khác trong thể thao hiện đại, là một “cấu trúc” kỹ thuật phức tạp. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cho bạn biết lý do tại sao những người leo núi cần những sợi dây đặc biệt và cách chúng “hoạt động” trên núi. Nhưng trước tiên, hãy thảo luận về một tình huống điển hình và phổ biến phát sinh khi leo núi hoặc trong quá trình luyện tập.

hình 1 thể hiện sơ đồ chuyển động của một liên kết hai. Người leo núi đầu tiên, hãy gọi anh ta là Alexey, đã leo lên tảng đá lên độ cao $L=5$ m so với người thứ hai, tên là Victor. Alexey đã hét lên ở điểm A, điểm dừng, rồi tăng thêm $l_0=2,5$ m. Đột nhiên Alexey ngã xuống. Victor buộc rất chắc đầu sợi dây và Alexey bị treo trên đó.

Câu hỏi khiến chúng ta quan tâm là: sợi dây phải có những đặc tính gì để Alexey không bị tổn thương?

Tất nhiên, điều đầu tiên (khi chúng ta vẫn còn ở nhà) là xem một số sách tham khảo liệt kê các đặc điểm của dụng cụ thể thao. Vì vậy, chúng ta đã biết rằng đối với một sợi dây có đường kính 10 mm thì nó rất chắc, tức là lực cần tác dụng để buộc nó bằng $P=1,5 \cdot 10^4$ N. Người ta cũng biết rằng con số tối đa mà cơ thể con người có thể chịu được là $F_{\text{max}}=5 \cdot 10^3$ N. Chúng ta cũng sẽ cần khối lượng của một người leo núi với một chiếc ba lô $M$. Giả sử rằng $M=100$ kg là một ước tính hoàn toàn hợp lý.

Có vẻ như để đảm bảo an toàn cho Alexei, chỉ cần sợi dây chắc chắn là đủ. Sau đó, khi rơi xuống, anh ta dừng lại nguyên vẹn vì sợi dây không bị đứt. Nhưng hãy nhớ rằng một người rơi từ độ cao 10 m (độ cao của tầng 3) thường bị gãy nhất nếu rơi trên nền đất cứng. Nếu anh ta rơi vào đống cỏ khô hoặc trong một đống tuyết sâu, thì rất có thể anh ta sẽ chẳng ra đi được gì. Việc một người leo núi bị treo trên một sợi dây không thể giãn được cũng sẽ dẫn đến một cú va chạm ở cuối chuyến bay, ngay cả khi anh ta không cần phải chạm tới chân tảng đá. Do đó, người ta rút ra kết luận: tốc độ mà một người đạt được khi rơi phải bị dập tắt

Hình 1.

18

Trơn tru. Vì vậy, chúng tôi sẽ cố gắng tìm ra cách để làm điều này.

Chúng ta có thể giả sử rằng khi rơi xuống, tốc độ của Alexey tại điểm $A_1$ bằng 0 và cú rơi của anh ấy gần như đạt đến điểm $A_2$ chỉ đơn giản là rơi tự do (sợi dây không bị căng!). Tại điểm $A_2$ tốc độ của nó là $v_0=gt$, trong đó $t$ là thời điểm rơi. Trong thời gian này, Alexey sẽ bay được quãng đường $gt^2/2=2l_0$; vì vậy $t=\sqrt{4l_0/g}$ và $v_0=g\sqrt{4l_0/g}=2\sqrt{gl_0}$.

Tốc độ $v_0$ bị giảm đi ít nhiều êm ái ở đâu đó gần điểm $A_2$ do khoảng cách của sợi dây. Tại thời điểm sợi dây căng ra và khoảng cách bắt đầu, tốc độ của Alexey là $v=v_0$, và khi độ giãn dài của sợi dây trở nên tối đa và quá trình rơi dừng lại, $v=v_\kappa=0$. Nếu phiên bản mà tốc độ sẽ được “hoàn trả” được chỉ định là $\Delta t$, thì lực trung bình tác dụng lên người leo núi đối với phiên bản này là $F_{cp}=\frac{M(v_0-v_\kappa)}{\Delta t}$. Giá trị $\frac{v_0-v_\kappa}{\Delta t}=\frac{v_0}{\Delta t}=a$ có nghĩa là gia tốc trung bình xảy ra hiện tượng “phanh”. Rõ ràng, tốc độ ban đầu càng cao và phiên bản phanh càng thấp thì lực $F_{cp}$ càng lớn. Nhưng từ những gì chúng tôi đã nói, có thể suy ra rằng sợi dây nối Alexey và Victor phải sao cho phiên bản $\Delta t$ trước khi Alexey dừng lại là đủ lớn. Nó có nghĩa là gì - một phiên bản phanh đủ lớn? Và điều này có nghĩa là, trong mọi trường hợp, lực trung bình $F_{cp}$ tác dụng lên Alexey từ phía sợi dây phải nhỏ hơn con số tối đa mà cơ thể con người có thể chịu được - $F_{\max}=5\cdot10^3$ N. Vì vậy, bất đẳng thức phải được thỏa mãn

$$F_{\max}\geqslant F_{cp}=\frac{Mv_0}{\Delta t},$$

do đó $\Delta t\geqslant Mv_0/F_{\max}$ (nhân tiện, hãy lưu ý rằng $a=\frac{v_0}{\Delta t}\leqslant\frac{F_{\max}}{M}=\frac{5\cdot10^3\mathrm{H}}{10^2\mathrm{kg}}=50\mathrm{m/c^2}$, có nghĩa là $a$ có ​​thể lớn hơn $g\approx10\mathrm{m/c^2}$. Đối với ví dụ cụ thể của chúng tôi, bạn có thể dễ dàng thu được $\Delta t\geqslant0,2$ s.)

Điều gì có thể cung cấp thời gian cần thiết $\Delta t$, và do đó đảm bảo an toàn để dây căng tốt. Để đơn giản hóa việc tính toán, chúng ta giả sử rằng lực hãm như vậy khi căng dây là một quá trình chuyển động chậm đều. Khi đó quãng đường mà Alexey đã đi trước khi bị bắt (dừng lại) bằng độ dài của sợi dây $\Delta l=a(\Delta t)^2/2$. Thay thế $a=v_0/\Delta t$ ở đây, chúng ta nhận được $\Delta t=2\Delta l/v_0$. Kết hợp công thức cuối cùng này với bất đẳng thức cho $\Delta t$ được viết ở trên, chúng ta thu được bất đẳng thức

$$\Delta l\geqslant\frac{Mv_0^2}{2F_{\max}}=\frac{M\cdot4gl_0}{2F_{\max}}=\frac{2Mgl_0}{F_{\max}}.$$

Đây là ước tính cho khoảng cách mà tốc độ phải giảm để không gây hại cho người leo núi. (Đối với $l_0=2,5$ m và $M=100$ kg $\Delta l\geqslant1$ m.) Bây giờ chúng ta hãy chia phần của bất đẳng thức cho $\Delta l$ cho chiều dài của sợi dây trước khi kéo căng $L+l_0$. Tỷ lệ $\varepsilon=\Delta l/(L+l_0)$ được gọi là biến dạng tương đối hoặc đơn giản là biến dạng. Nếu vế phải của bất đẳng thức

$$\varepsilon\geqslant\frac{2Mgl_0}{(L+l_0)F_{\max}}$$

Thay thế các giá trị số cho tình huống cụ thể của chúng ta, hóa ra là $\varepsilon\geqslant0,13$.

Bây giờ có thể lập luận rằng Alexey sẽ không xây dựng trong quá trình rơi nếu độ biến dạng của dây leo núi lớn hơn 13%. Trên thực tế, một sợi dây leo núi hoàn hảo tốt có độ biến dạng dưới tải trọng cỡ $10^4$ N khoảng 40-45%.

Có vẻ như bây giờ mọi thứ đã rõ ràng. Chúng tôi sẽ mang theo lên núi một sợi dây có đặc điểm cần thiết để đảm bảo an toàn và Victor có thể không ngần ngại buộc chặt nó lại.

19

Nhưng bây giờ hãy tưởng tượng bạn là một nhà leo núi cần leo lên sợi dây như vậy. Điều này thường được thực hiện trong quá trình luyện tập leo núi. Người đi đầu tiên sẽ thực hiện một con đường leo núi khó khăn bằng cách sử dụng toàn bộ kho thiết bị leo núi. Sau đó, anh ta buộc chặt sợi dây và tất cả các phần khác của cuộc leo núi sẽ leo dọc theo sợi dây đó. Đương nhiên, sợi dây căng ra dưới tải trọng do người leo núi tạo ra. Người leo núi càng ở xa điểm neo thì độ giãn dài tuyệt đối của dây sẽ càng lớn. Cảm giác của một người leo lên một sợi dây như vậy sẽ gần giống như cảm giác của một người leo núi “bị treo bởi một sợi dây thun”. Tin tôi đi, điều này không dễ chịu chút nào, đặc biệt là khi có những viên đá sắc nhọn xung quanh! Sẽ thật tuyệt nếu có một sợi dây trong đó sự phụ thuộc của biến dạng vào tải trọng được mô tả bằng đường cong $a$ trên hình 2. Khi đó, ở mức tải thấp, dây sẽ khó giãn ra. Điều này sẽ cho phép một người leo dọc theo một sợi dây cố định, giống như sợi dây trong phòng tập thể dục. Ngược lại, ở mức tải cao, chúng ta “được hưởng lợi” từ sự biến dạng tăng nhanh. Trên thực tế, nếu diện tích của tải trọng mà $e$ phát triển nhanh chóng xấp xỉ bằng tải trọng sau mái nhà của người leo núi, thì sợi dây “hoạt động” giống như cao su, “tự cuốn cá lên”.

Không có vật liệu nào trong tự nhiên có đặc tính như vậy. Tuy nhiên, sự kết hợp của nhiều loại vật liệu khác nhau giúp tạo ra một sợi dây mang lại cho người leo núi sự an toàn và thuận tiện cần thiết khi leo núi. Đường cong $6$ trên hình 2 là đặc điểm sơ đồ của một sợi dây thật.

Mặt cắt ngang của sợi dây leo như vậy được thể hiện ở hình 3. Bím tóc bên ngoài của nó được làm theo một cách đặc biệt. Các sợi nylon đủ cứng và chắc (đôi khi chúng được thay thế bằng sợi lavsan) sẽ được đặt ở một góc với trục của sợi dây. Dưới tải, các luồng này thay đổi hướng và dần dần định vị

Hình 3.

gần như song song với trục. Phần bên trong của sợi dây là sự kết hợp (bó) của một số bím tóc giống nhau nhưng có đường kính nhỏ hơn. Các sợi bên trong mỗi bím tóc như vậy rất chắc chắn; chúng gần như không thay đổi độ dài cho đến khi đứt. Số lượng sợi chỉ được chọn sao cho có thể chịu được tải trọng xấp xỉ $3 \cdot 10^3$ N. Khi người leo núi mệt mỏi, ngay khi tải trọng trên dây vượt quá giá trị này, các sợi bên trong và sợi chắc chắn sẽ bị đứt và toàn bộ sợi dây bị kéo căng. Khi chúng đứt, các sợi cứng trở thành “bộ giảm chấn” đầu tiên của động năng của vật rơi. Sự tồn tại, một phần năng lượng này được dùng để phá vỡ các sợi chỉ. Với một sợi dây có thể dùng để trèo lên sau mái nhà, bạn có thể HƯỚNG DẪN nhà kính một cách khá an toàn, nhưng việc leo lên đó, như chúng ta đã hiểu hiện nay, sẽ rất bất tiện.

Kết luận chính mà chúng tôi đưa ra là: một sợi dây leo núi lý tưởng không chỉ phải rất chắc chắn mà còn phải dễ bị biến dạng. Thật không may, cho đến nay ngành công nghiệp này sản xuất rất ít loại dây như vậy. Và nhiều người leo núi thể thao phải sử dụng dây nylon thông thường (khoảng ba mươi năm trước, khi còn rất ít loại dây như vậy, những người leo núi đã sử dụng dây sisal chắc chắn). Độ bền của dây nylon đạt yêu cầu nhưng độ biến dạng thấp. Nó không vượt quá 15-20% khi tải ở mức $10^4$ N. Điều này có nghĩa là gì? Những người leo núi có cố tình gây nguy hiểm đến tính mạng do sử dụng thiết bị không phù hợp không?

Kinh nghiệm và vật lý một lần nữa sẽ giúp chúng ta trả lời câu hỏi này. Nhưng trước tiên

20

Hãy nói thêm vài lời về sự biến đổi năng lượng trong quá trình nâng và nâng Alexei.

Khi Alexey vươn lên cao hơn Victor, người đang đỡ anh ta, với mỗi bước đi, anh ta sẽ tăng thế năng của mình so với điểm đỡ (hoặc so với Victor). Sau khi thả ra, thế năng này chuyển thành động năng của người leo núi bay tự do. Sau khi đạt hết chiều dài của sợi dây tự do, Alexey bắt đầu căng nó. Động năng của nó lúc này chuyển thành năng lượng biến dạng của sợi dây. Tình hình có thể tồi tệ hơn đối với chuyển động của người leo núi trên một lò xo căng hoặc dây thun nếu sợi dây đó hoàn toàn co giãn. Nếu đúng như vậy, người leo núi sau khi dừng lại khi đang leo sẽ bắt đầu di chuyển lên trên trở lại. Tuy nhiên, quy trình bình như vậy không thực sự được thực hiện. Dưới tải trọng, các sợi riêng lẻ tạo nên sợi dây sẽ tương tác với nhau - cọ sát vào nhau. Ngoài ra, khi các sợi bị kéo căng, nhiệt sẽ được giải phóng. Những dao động mà chúng ta có thể nghĩ đến thực sự đã tắt trước khi chúng bắt đầu. Động năng của Alexei rơi xuống biến thành nhiệt, tỏa ra trong sợi dây. Chà, điều gì sẽ xảy ra nếu đặc tính đàn hồi của sợi dây đến mức nó không thể giúp vận động viên bị ngã bơi và giảm tốc độ? Nhưng sau đó việc hãm phanh như vậy có thể được thực hiện bởi đồng đội, người bảo hiểm cho người bạn đồng hành của mình! Để làm được điều này, Victor chỉ cần “khắc”, giải phóng một phần sợi dây đang bị căng. Hóa ra, độ tin cậy của dây hãm thích hợp không nằm ở việc buộc dây càng chặt càng tốt nếu dây bị rơi, mà ở khả năng điều chỉnh độ căng của dây một cách chính xác và kịp thời. Như chúng ta đã hiểu, trong trường hợp một sợi dây leo núi tốt, động năng khi rơi được chuyển thành năng lượng ấm và đàn hồi của sợi dây. Đối với một sợi dây “mềm” (mạnh nhưng không giãn), động năng tương tự phần lớn biến thành nhiệt khi sợi dây cọ xát vào tay của người giữ nó. Nhiệt độ này có thể khá cao nên một trong những nguyên tắc cơ bản khi leo núi là “Hãy tin vào tay bạn!”

Lý luận khá đơn giản cho thấy quy tắc này không phải là vô ích. Vì chúng ta chỉ muốn ước tính lượng nhiệt sinh ra nên chúng ta sẽ sử dụng nó với điều kiện là toàn bộ năng lượng khi người leo núi chuyển thành nhiệt do ma sát của sợi dây trên tay của người đỡ. Động năng của người leo núi giao bóng tại thời điểm sợi dây hoặc người bạn đồng hành đỡ anh ta bắt đầu “hoạt động” bằng

$$E_{\kappa} = M v_0^2 / 2 = 2 M g l_0.$$

Thay $l_0 = 2,5$ m, $M = 100$ kg, $g \approx 10$ m/s², ta được $E_{\kappa} \approx 5 \cdot 10^3$ J. Đây là năng lượng sẽ chuyển thành nhiệt Q. Nhiều hay ít? Chúng ta hãy xem có thể đun sôi bao nhiêu nước bằng cách cho $Q = 5 \cdot 10^3$ J vào nó. Nhiệt lượng cần thiết để làm nóng nước từ $t_1 = 20^\circ\text{C}$ đến $t_2 = 100^\circ\text{C}$ là $Q = cm$ ($t_2 - t_1$). Nhiệt dung của nước là $c = 4,2$ J/(g °C), do đó $m = Q / (c(t_2 - t_1)) \approx 15$ g. Không quá ít!

Tất nhiên, bây giờ chúng tôi đã đưa ra một ước tính khá sơ bộ. Trên thực tế, bạn cần lưu ý rằng không chỉ tay của người đỡ mà còn cả sợi dây cũng nóng lên. Nhưng quan trọng hơn những người khác. Lời nói của con người dẫn nhiệt tương đối kém (một nhà vật lý sẽ nói: nó có tính dẫn nhiệt phẳng). Vì vậy, khi dùng tay đỡ đầu, một lớp khăn tay mỏng sẽ bị nóng lên và “cháy”. Từ “cháy” ở đây có thể tính được. Nhưng để không thực sự bị bỏng tay, bạn cần phải tin tưởng vào tay mình. Độ dẫn nhiệt của vật liệu làm găng tay thậm chí còn kém hơn so với cơ thể của người leo núi.

Đây là cơ sở vật chất của việc neo giữ trên núi. Tất nhiên, việc biết chúng là hữu ích không chỉ đối với những người leo núi. Và bây giờ chính bạn chắc chắn sẽ trả lời được câu hỏi có tiêu đề của bài viết này. Chúc bạn leo núi vui vẻ!

21

Nhiệm vụ

M1081 — M1085, F1093 — F1097

M1081. Chứng minh rằng chữ số áp chót của số $3^n$ là số chẵn đối với mọi số tự nhiên $n > 2$.

V. I. Plachko

M1082. Trong một tứ giác lồi $ABCD$ các đường chéo cắt nhau tại điểm $O$. Chứng minh rằng đẳng thức
$$AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 2(AO^2 + BO^2 + CO^2 + DO^2)$$
được thỏa mãn khi và chỉ khi các đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc hoặc một trong hai đường chéo bị chia đôi bởi điểm $O$.

A. P. Savin

M1083. Số không âm lớn nhất $a_1, a_2, \dots, a_n$ là $a$.
a) Chứng minh bất đẳng thức
$$\frac{a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2}{n} \leq \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^2 + \frac{a^2}{4}.$$

b) Khi nào đạt được sự bình đẳng?

L. G. Khanin

M1084. Hai đường tròn trên mặt phẳng cắt nhau tại các điểm $A$ và $B$. Chứng minh rằng có thể chọn một điểm $C$ sao cho đường tròn bất kỳ có dây cung $AC$ sẽ cắt đường tròn đã cho (lần thứ hai) tại các điểm cách đều $C$ (và $C \neq B$).

V. Protasov, học sinh lớp 10 (Moscow)

M1085*. Một số cặp đường thẳng giao nhau nằm trong không gian được chiếu lên mặt phẳng nằm ngang. Các hình chiếu của chúng được mô tả sao cho tại các điểm giao nhau có thể thấy rõ điểm nào nằm ở trên và điểm nào ở dưới. có thể thu được hình chiếu hiển thị trên hình $1(a - \beta)$ không?

S. L. Tabachnikov

F1093. Một ô tô có khối lượng $m = 1200$ kg, không nhả phanh, lăn bánh với tốc độ không đổi dọc theo đoạn đường nghiêng với góc nghiêng $\alpha$ ($\sin \alpha = \frac{1}{14}$). Mỗi bánh trong số bốn bánh tự động với lực bằng nhau $N$ má phanh $A$ và $A'$ (hình 2). Tìm $N$ nếu hệ số ma sát trượt giữa thanh và miếng đệm là $k = 0,4$. Không có hiện tượng trượt giữa lốp xe và đường cao tốc.

V. I. Chuvilev

F1094. Một ống hẹp có tiết diện không đổi tạo thành hình vuông có cạnh $l$, cố định theo phương thẳng đứng

22

Máy bay. Ống chứa đầy hai thể tích bằng nhau của hai chất lỏng không thấm vào nhau có mật độ $\rho_1$ và $\rho_2$ (hình 3). Ban đầu, một chất lỏng đậm đặc hơn lấp đầy phần trên của ống. Tại một thời điểm nào đó chất lỏng bắt đầu chuyển động. Tìm tốc độ tối đa của họ. Không có ma sát. Gia tốc áp suất tự do $g$.

G. V. Meledin

F1095. Sự phân tán độ lớn của âm lượng, như thể vô tình va vào một bức tường thẳng đứng. Ước tính tốc độ tối thiểu mà lốp biến dạng thành vành kim loại khi va chạm. Giả định rằng bạn, hiểu rõ về hiện tượng này, có thể đặt các đại lượng cần thiết cho lời giải, chọn các giá trị số của chúng khá chính xác và thu được kết quả bằng số.

G. V. Fedogovich

F1096. Một dây đâm có bán kính $R$ có một dây dẫn điện nằm dọc theo đường kính. Các tụ điện $C_1$ và $C_2$ (hình 4) được bao gồm trong hình bán nguyệt bên trái và bên phải. Một từ trường có cảm ứng $B(t)=B_0 t/T$, vuông góc với mặt phẳng của nó, được đặt trong khối tích tụ tuyến tính theo thời gian. Tại một thời điểm nào đó, jumper bị loại bỏ và sau đó trường sẽ ngừng thay đổi. Tìm cái rương gắn trên tụ điện.

G. V. Fedogovich

F1097. Để giảm tỷ lệ ánh sáng phản xạ từ bề mặt kính, người ta dán một màng mỏng lên nó, chiết suất của màng này nhỏ hơn chiết suất của thủy tinh (lớp phủ quang học). Độ dày màng phim có chiết suất $n=4/3$ nên dán lên bề mặt kính là bao nhiêu để khi ánh sáng chứa bức xạ có hai bước sóng $\lambda_1=700$ nm và $\lambda_2=420$ nm rơi xuống (bình thường đối với bề mặt) thì ánh sáng phản xạ bị suy giảm tối đa đối với các sóng thông thường?

V. I. Chivilev

Problems
M1081—M1085, P1093—P1097

M1081. Prove that the next to last digit of the number $3^n$ for any natural $n>2$ is even.

V. I. Plachko

M1082. The diagonals of the convex quadrilateral $ABCD$ intersect at the point $O$. Prove that the relation

24

Lời giải bài toán

M1061—M1064, F1073—F1077

Chúng tôi sẽ dần dần thiết lập chỉ đường trên các con đường. Hãy thực hiện điều này đối với những con đường nối các thành phố từ một số tập hợp $M$ sao cho yêu cầu đó bài toán được thỏa mãn: từ bất kỳ thành phố nào trong tập hợp này, người ta có thể lái xe đến bất kỳ thành phố nào khác trong số đó, theo các chỉ dẫn đã chọn. (Để bắt đầu, chúng ta có thể giả sử rằng $M$ bao gồm một thành phố và các hướng cần bỏ qua không được thiết lập.) Hãy chứng minh rằng nếu không phải tất cả các thành phố đều được bao gồm trong $M$ thì chúng ta có thể chọn chỉ đường trên một số con đường khác và tăng $M$ trong khi đáp ứng yêu cầu này.

Rõ ràng là có một con đường nối thành phố $A$ từ $M$ với thành phố $B$, không nằm trong $M$. Hãy xây dựng một đường dẫn $c=BC_1C_2...C_kA$ từ $B$ đến $A$ không đi dọc theo đường $AB$. Để thực hiện việc này, hãy chọn bất kỳ thành phố nào $D$, khác với $A$ và $B$, đồng thời xem xét đường dẫn $a$ từ $A$ đến $D$, không đi qua $B$ và đường dẫn $b$ từ $D$ đến $B$, không đi qua $A$ (hình 1). Vì $c$, chúng ta có thể đi theo con đường đầu tiên dọc theo $a$ - đến thành phố đầu tiên chung với $a$ và $b$ - và sau đó dọc theo $b$. Đặt $C_m$ là thành phố đầu tiên trong số các thành phố $C_1$, …, $C_k$ được bao gồm trong $M$ (nếu không có thành phố nào như vậy, hãy đặt $m=k+1$, $C_m=A$). Hãy chọn chỉ đường trên các đường $AB$, $BC_1$, $C_1C_2$, …, $C_{m-1}C_m$ theo thứ tự: từ $A$ đến $B$, từ $B$ đến $C_1$, v.v. và thêm thành phố vào $M$ $B$, $C_1$, …, $C_{m-1}$. Điều kiện của chúng tôi sẽ không bị vi phạm, vì từ bất kỳ thành phố phụ nào, người ta có thể đến bộ “cũ” $M$ (tối đa $C_m$) và có thể đến bất kỳ thành phố nào trong số đó từ $M$ (thông qua $A$).

Bằng cách lặp lại quá trình này, chúng tôi sẽ bao gồm tất cả các thành phố trong $M$. Trên những con đường “không được quản lý” còn lại sau này (nếu còn), chúng tôi sẽ đặt hướng dẫn giao thông tùy ý.

Bạn có thể lập luận hơi khác một chút, trước tiên hãy chứng minh rằng trong điều kiện bài toán, hai thành phố bất kỳ được kết nối bằng hai con đường đi dọc theo những con đường khác nhau (câu phát biểu này là nội dung của một trong các bài toán Thế vận hội Olympic Thế giới).

bài toán của chúng tôi chỉ đưa ra điều kiện đủ. Hóa ra định lý sau đây là đúng: để đặt các mũi tên trên đường để có thể đi đến các phương tiện giao thông theo hướng do chúng quy định từ bất kỳ thành phố nào đến bất kỳ thành phố nào khác, điều cần thiết và đủ là mạng lưới đường ban đầu phải được kết nối và không có eo đất (tức là sau khi đóng bất kỳ con đường nào, người ta có thể đi từ thành phố này đến thành phố khác, hình 2). Định lý không phức tạp lắm này đã được chứng minh vào năm 1939 bởi G. Robbins*), người đặc biệt được biết đến với tư cách là cố vấn của R. Courant trong cuốn sách tuyệt vời “Toán học là gì”.

V. E. Kolosov, N. V. Vasiliev

*) Xem Định lý 4.4.1 trong cuốn “Giới thiệu về lý thuyết đồ thị” của A. A. Zykov. - M.: Nauka, 1987.

25

M1062. a) Lấy điểm E và D trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC. Các đường thẳng BD và CE cắt nhau tại các điểm M, AM và BC tại các điểm P, AM và DE tại điểm N. Chứng minh rằng

$$\frac{PN}{NA} = 2 \cdot \frac{PM}{MA}.$$
b) Các điểm D, E, F lấy trên các cạnh SA, SB, SC của tam giác SABC. Các mặt phẳng ABF, BCD và CAE cắt nhau tại M, đường thẳng SM cắt các mặt phẳng ABC và DEF tại P và N. Chứng minh rằng

$$\frac{PN}{NS} = 3 \cdot \frac{PM}{MS}.$$

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3a.

a) Đặt $DE \parallel BC$ (hình 1) trước. Hãy đặt $AN=x$, $NM=y$, $MP=z$, sau đó

$$\frac{PN}{NA} : \frac{PM}{MA} = \frac{z+y}{x} \cdot \frac{x+y}{z} =$$

$$= \frac{xz+y(x+y+z)}{xz} = 1 + \frac{y}{z} \cdot \frac{x+y+z}{x} = 2,$$

(*)

vì từ sự sẵn sàng của các tam giác MBC và MDE, ABC và ADE nên suy ra rằng

$$\frac{y}{z} = \frac{MN}{MP} = \frac{DE}{BC} = \frac{AN}{AP} = \frac{x}{x+y+z}.$$

Trường hợp tổng quát sử dụng phép chiếu tâm. Giả sử các đường thẳng DE và BC cắt nhau tại điểm K. Vẽ một mặt phẳng tùy ý α đi qua AP không trùng với ABC và chọn điểm O sao cho đường thẳng OK song song với α (hình 2). Với hình chiếu tâm từ tâm O lên mặt phẳng α, tất cả các điểm của đường thẳng AP chiếu lên chính chúng (và các mối quan hệ $PN/NA$ và $PM/MA$ được giữ nguyên), đồng thời các đường thẳng DE và BC, rất/không, chiếu thành những điểm song song - như người ta nói, điểm K “tiến đến vô cùng”. Kết quả là, từ một cấu hình tùy ý thỏa mãn điều kiện bài toán, chúng ta thu được hình 1. bài toán này thuộc về hình học xạ ảnh, nghiên cứu các tính chất của các hình được bảo toàn dưới hình chiếu trung tâm. Một ví dụ về khái niệm trong lĩnh vực hình học này là tỷ lệ kép của bốn điểm P, A, N, M tùy ý của một đường thẳng, theo định nghĩa, bằng giá trị ở phía bên trái (*). Hãy thử chứng minh rằng nó thực sự không thay đổi theo phép chiếu trung tâm.

Bạn có thể giải bài toán bằng cách sử dụng trọng tâm (về ứng dụng khái niệm này trong hình học, xem bài viết của V. G. Boltyansky và M. B. Balk “Trọng tâm sẽ nhẹ đi lời giải” trong «Kvant» Số 4, 1984). Chúng ta đặt một khối lượng m nhất định ở đỉnh A, và các khối lượng m_b và m_c như vậy ở đỉnh B và C, sao cho tâm của ba khối lượng rơi vào điểm M. Để làm được điều này, chúng ta cần lấy $m_b=(AE/BE)m$, $m_c=(AD/BD)m$. (Thật vậy, khối tâm của m và m_b là điểm E nên tâm chung nằm trên đoạn CE; tương tự chứng minh rằng nó nằm trên BD.) Khối tâm của m_b và m_c nằm tại giao điểm của AM và BC, tức là tại điểm P và $PM/MA=m(m_b+m_c)$ (hình 3, a). Bây giờ hãy thêm một khối lượng m khác vào điểm A. Khối tâm tổng quát sẽ dịch chuyển từ M đến một điểm nào đó trên đoạn MA. Đồng thời, nhóm một khối lượng m với m_c và khối kia với m_b (hình 3, b), chúng ta thấy rằng nó phải nằm trên DE, tức là tại điểm N. Cuối cùng, nhóm m_c và m_b, chúng ta thấy rằng $PN/NA=2m(m_b+m_c)=2PM/MA$.

6. bài toán này cũng có thể chiếu được và nó có thể được giải tương tự như phần trước - rút gọn thành trường hợp DEF || ABC. Nhưng thật khó để biện minh cho lời giải như vậy trong khuôn khổ hình học cơ bản. Hãy trình bày vectơ lời giải (hình 4).

Đối với bất kỳ điểm X nào, chúng ta biểu thị vectơ $\overline{SX}$ bằng $\overline{X}$.

26

Đặt $\bar{P} = m\bar{M} = n\bar{N}$, $\bar{A} = \alpha\bar{D}$, $\bar{B} = \beta\bar{E}$, $\bar{C} = \gamma\bar{F}$ (tức là $m = SP:SM$, $n = SP:SN$, v.v.). Chúng ta hãy mở rộng vectơ $\bar{P}$ thành các vectơ không thỏa mãn $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$:

$$\bar{P} = x\bar{A} + y\bar{B} + z\bar{C}.$$

(1)

Gorda

$$x + y + z = 1.$$

(2)

Vectơ thực $\bar{AP}$ nằm trong mặt phẳng $ABC$, vì vậy đối với một số $y_1$ và $z_1$ $\bar{AP} = y_1\bar{AB} + z_1\bar{AC} = y_1(\bar{B} - \bar{A}) + z_1(\bar{C} - \bar{A})$, do đó $\bar{P} = \bar{A} + \bar{AP} = (1 - y_1 - z_1) \times \bar{A} + y_1\bar{B} + z_1\bar{C}$. Và vì các hệ số trong (1) được xác định duy nhất nên $y_1 = y$, $z_1 = z$, $x = 1 - y - z$. Như vậy, đẳng thức (2) là điều kiện cần (cũng như đủ) để điểm $P$ nằm trong mặt phẳng $ABC$.

Chúng ta hãy viết điều kiện này cho điểm $N$ trong mặt phẳng $DEF$ và cho điểm $M$, nằm trong ba mặt phẳng - $ABF$, $BCD$ và $CAE$. Từ việc khai triển $n\bar{N} = \bar{P} = x\alpha\bar{D} + y\beta\bar{E} + z\gamma\bar{F}$, chúng ta thu được $x\alpha/n + y\beta/n + z\gamma/n = 1$, tức là

$$x\alpha + y\beta + z\gamma = n;$$

(3)

từ việc mở rộng $m\bar{M} = \bar{P} = x\bar{A} + y\bar{B} + z\gamma\bar{F}$ - cái gì

$$x + y + z = m.$$

Và, tương tự, có thêm hai đẳng thức nữa:

$$\alpha x + y + z = m,$$

$$x + \beta y + z = m.$$

Cộng ba đẳng thức cuối cùng và tính đến (2) và (3), chúng ta thấy rằng

$$n + 2 = 3m.$$

Vẫn còn phải thể hiện mối quan hệ của các phân đoạn trong các điều kiện đặc tả thông qua $m$ và $n$:

$$\frac{PN}{NS} : \frac{PM}{MS} = \frac{PS - NS}{NS} : \frac{PS - MS}{MS} = \frac{n - 1}{m - 1} = \frac{3m - 3}{m - 1} = 3.$$

Bài toán 6) cũng có thể được giải bằng cách sử dụng khối tâm, như bài toán a).

V. N. Dubrovsky

ĐÁP ÁN: a), 6) 18·19=342; b) 18·19=$\frac{n-3}{2}$ cho số chẵn $n$, 1 cho $n=1$, 18·19=$\frac{n-3}{2}$ cho số lẻ khác $n$.

Đặt số có $a - n$ chữ số, $a = a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + a_{n-2} \cdot 10^{n-2} + \dots + a_0$, sau đó $a = a_0 \cdot 10^{n-1} + a_1 \cdot 10^{n-2} + \dots + a_{n-1}$ và

$$a - a = d_1(10^{n-1} - 1) + d_2(10^{n-2} - 10) + \dots + d_k(10^{n-k} - 10^{k-1}),$$

(1)

trong đó $k=n/2$ cho số chẵn $n$ và $k=(n-1)/2$ cho số lẻ $n$ và $d_l = a_{n-l} - a_{l-1}$. Vì $1 \leqslant a_{n-1} \leqslant 9$, $0 \leqslant a_i \leqslant 9$ với $i=0, 1, \dots, n-2$ nên các số $d_l$ thỏa mãn tính không khai triển

27

Venstam

$$-8 \leq d_n \leq 9, -9 \leq d_l \leq 9$$ tại $l=2, 3, \dots, k$. (2)

Do đó, bất kỳ sự khác biệt nào $a-a$ đều được biểu thị dưới dạng (1), trong đó các hệ số $d_l$ được chọn từ các khoảng (2), có thể được thực hiện theo $18 \cdot 19^{k-1}$ cách. Rất thuận tiện để tìm kiếm từng bộ $d_1, \dots, d_k$ như vậy, bạn có thể chỉ định các số $a$ thỏa mãn (1) và, như sẽ được hiển thị, các hệ số $d_1, \dots, d_k$ trong (1) được xác định duy nhất, số giá trị của hiệu $a-a$ cũng bằng $18 \cdot 19^{k-1}$.

Vì vậy, hãy chứng minh biểu diễn duy nhất (1) (với điều kiện (2)). Giả sử một số hai tập hợp $d_1, \dots, d_k$ và $d'_1, \dots, d'_k$ các giá trị của các biểu thức ở vế phải của (1) trùng nhau. Đánh đồng hiệu của các biểu thức này bằng 0 và đặt $r_l=d_l-d'_l$, chúng ta thu được

$$r_1(10^{n-1}-1)+r_2(10^{n-2}-10)+\dots+r_k(10^{n-k}-10^{k-1})=0. \tag{3}$$

Rõ ràng là $|r_l| \leq 18$. Giả sử rằng $r_1 \neq 0$, thì $r_1=\pm 10$, vì tất cả các số hạng trong (3), ngoại trừ số hạng đầu tiên, đều chia hết cho 10. Chúng ta hãy thay thế $r_1=\pm 10$ trong (3):

$$10^{n-1}-1=|r_2(10^{n-3}-1)+\dots+r_k(10^{n-k-1}-10^{k-2})|<18(10^{n-3}+10^{n-4}+...+1)<2 \cdot 10^{n-2}.$$

Nhưng $10^{n-1}-1>2 \cdot 10^{n-2}$ với mọi $n \geq 2$, do đó $r_1$, và do đó số hạng đầu tiên trong (3) bằng 0. Do đó, đây là một phân cách của $r_2, r_3, \dots, r_k$, chúng ta thu được $r_2=\dots=r_k=0$, tức là $d_l=d'_l$ cho tất cả $l$.

G. O. Elstin

F1073. Một quả bóng đàn hồi nhỏ được thả từ độ cao $H=1$ m so với mặt sàn và một tấm đĩa được đóng lại trên đường đi của nó, từ đó nó nảy lên. Quả bóng sẽ có tốc độ bao nhiêu khi chạm sàn? Đĩa phải được đặt như thế nào để quả bóng chạm sàn càng xa điểm xuất phát càng tốt? Khoảng cách tối đa này là bao nhiêu?

Tốc độ của quả bóng tại thời điểm chạm sàn không phụ thuộc vào vị trí và cách lắp đặt tấm đĩa (tác động lên tấm đĩa là đàn hồi) và được xác định từ định luật bảo toàn năng lượng:

$$mgH=m \frac{v^2}{2} \Rightarrow v=\sqrt{2gH}.$$

Chúng ta hãy xác định vị trí và cách lắp đặt tấm đĩa sao cho khoảng cách từ điểm bắt đầu quỹ đạo của quả bóng đến điểm chạm sàn là lớn nhất.

Rõ ràng là tấm đĩa phải được lắp sao cho ngay sau khi va chạm, vectơ vận tốc của quả bóng hướng một góc $\varphi=45^\circ$ so với đường chân trời. Điều này có nghĩa là góc giữa vectơ vận tốc của quả bóng trước khi va chạm và ngay sau khi va chạm là $45^\circ$, pháp tuyến của tấm phải tạo một góc $45^\circ+22,5^\circ=67,5^\circ$ với đường chân trời, tức là tấm phải được lắp một góc $\alpha=90^\circ+67,5^\circ=157,5^\circ$ so với đường chân trời.

Rõ ràng, quãng đường bóng đi sẽ càng lớn thì vận tốc của bóng tại thời điểm va chạm càng lớn. Và tốc độ này càng lớn thì khoảng cách từ điểm bắt đầu quỹ đạo của quả bóng càng xa. Vì vậy, tấm phải được lắp đặt trên sàn (xem hìnhok). Trong trường hợp này, tốc độ của quả bóng ngay sau khi va chạm sẽ là $v=\sqrt{2gH}$, xa hơn quả bóng sẽ nằm xuống

28

từ hồ sơ sẽ

$$l = \frac{v^2}{g} = 2H,$$

và do đó, khoảng cách tối đa giữa điểm bắt đầu và điểm kết thúc của quỹ đạo của quả bóng là

$$L = \sqrt{l^2 + H^2} = H\sqrt{5} \approx 2,24 \text{ m.}$$

A. V. Helvas

F1074. Pana Carlo làm mũ cho Pinocchio từ thiếc mỏng. Mũ có dạng hình nón cao $H=20$ cm với góc $\alpha=60^\circ$ ở đỉnh. Liệu chiếc mũ này có nằm trên đầu Pinocchio không nếu đầu này là một quả bóng nhẵn có đường kính $D=15$ cm?

Hình 1.

Hình 2.

F1075. Trong khi thực hiện công việc trong phòng thí nghiệm, sinh viên hạ nồi hơi vào một bình chứa nước, cắm nó vào mạng và bắt đầu ghi lại nhiệt độ ba phút một lần. Số liệu từ thí nghiệm này được cho ở Bảng 1. Sau đó ông làm nguội nước, cho vào bình

Đối với lời giải bài toán, trước tiên chúng ta cần xác định vị trí khối tâm của nắp. Với mục đích này, chúng ta hãy nhẩm chia nắp thành một chồng bánh xe hẹp có cùng chiều rộng $dH$ (hình 1). Trong trường hợp này, khối lượng của bánh xe tăng tuyến tính từ trên xuống dưới của nắp. Trọng tâm của mỗi 柱a nằm trên trục của nó. Chúng ta hãy “làm phẳng” chiếc mũ trong đầu để mỗi mũi nhọn biến thành một hình thang đều, và hình nón nặng biến thành một hình tam giác đều. Trọng tâm của mỗi bộ phận của nắp vẫn giữ nguyên (trên trục), do đó trọng tâm của toàn bộ hệ thống vẫn giữ nguyên. Nhưng như đã biết, khối tâm của một tấm tam giác lại nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến. Do đó, khối tâm của nắp nằm trên trục của nó và cách đỉnh một khoảng $2/3$ $H$.

Vị trí cân bằng của hệ sẽ ổn định nếu, với sự trộn nhẹ so với vị trí cân bằng, khối tâm tăng lên (thế năng của hệ tăng); sau đó hệ được để lại cho smaba trở về vị trí cân bằng ban đầu.

Trong trường hợp của chúng tôi, để chiếc mũ chiếm vị trí cân bằng ổn định trên đầu Buratino, khối tâm của nó (điểm $M$ trên hình 2) phải ở dưới tâm đầu Buratino (điểm $O$). Do đó, điều kiện $AM > AO$ phải được đáp ứng, tức là.

$$\frac{2}{3}H > \frac{R}{\sin \alpha/2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}H > \frac{R}{1/2},$$

hoặc $H > 3R = 22,5$ cm. Và theo điều kiện $H=20$ cm. Điều này có nghĩa là chiếc mũ sẽ không còn ở trên đầu Pinocchio.

S. S. Krotov

Từ bảng trên cho thấy nhiệt độ không phụ thuộc tuyến tính theo thời gian. Vì vậy, cần phải tính đến sự truyền nhiệt vào phòng tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa bình và phòng. Phương trình cân bằng nhiệt trong trường hợp này có dạng

$$c \cdot \Delta t = W \cdot \Delta t - \alpha(t - t_0) \cdot \Delta t,$$

trong đó $c$ là nhiệt lượng của bình với toàn bộ vật chứa trong đó, $t$ là nhiệt độ của bình, $\tau$ là thời gian, $W = IU$ là công suất của nồi hơi, $\alpha$ là hệ số tỷ lệ

29

một mẫu kim loại lớn và một mẫu mới lấy số đo. Kết quả xác định này được trình bày ở Bảng 2.

Xác định nhiệt lượng của mẫu từ dữ liệu này. Điện áp nguồn U=35 V, dòng điện qua nồi hơi I=0,2 A, nhiệt độ phòng t₀=20°C.

Bảng 1 Bảng 2
t, °C t, °C
25,2 22,6
26,4 23,8
27,6 25,0
28,7 26,0
29,7 27,0
30,6 28,0
31,5 28,9
32,3 29,8
33,1 30,6

F1076. Để nghiên cứu pin năng lượng mặt trời, người ta sử dụng một vôn kế đa dải (nó bao gồm một micromet bốn cell và một bộ điện trở bổ sung). Bằng cách kết nối nó với pin ở giới hạn 1 V, chúng ta nhận được số đọc U₁ = 0,7 V. Đọc vôn kế ở giới hạn 10 V, chúng ta nhận được số đọc U₂ = 2,6 V. Điều gì sẽ xảy ra ở giới hạn 100 V? Được biết, dưới ánh sáng liên tục, pin mặt trời hoạt động giống như một nguồn thông thường, với một điện trở có điện trở cao được mắc nối tiếp với nó.

F1077. Theo một giả thuyết, các ngôi sao tạo thành một chất trung gian (bụi vũ trụ) bằng cách lăn dưới tác động của ranh giới. Vì có hai ẩn số trong phương trình này - c và α, nên chúng ta sẽ chọn hai giá trị khác nhau của nhiệt độ t (t₁ và t₂), tìm các giá trị của k₁ = (Δt/Δτ)₁ và k₂ = (Δt/Δτ)₂ và bây giờ viết hai phương trình:

c k₁ = W - α(t₁ - t₀),
c k₂ = W - α(t₂ - t₀).

Từ đây ta tìm được c:

c = W (t₂ - t₀) - (t₁ - t₀) / k₁(t₂ - t₀) - k₂(t₁ - t₀).

Thay thế dữ liệu từ Bảng 1 vào biểu thức này, chúng ta tìm được nhiệt lượng của bình chứa nước:

c₁ ≈ 770 J/K.

Sử dụng Bảng 2, chúng ta tìm được nhiệt lượng của bình chứa mẫu:

c₂ ≈ 890 J/K.

Nhiệt dung của mẫu -

c = c₂ - c₁ ≈ 120 J/K.

Vì chúng tôi đang tìm kiếm sự khác biệt nhỏ giữa hai giá trị lớn được xác định không chính xác, nên trong quá trình tính toán, chúng tôi có thể cho phép phân tích kết quả khá quan trọng: từ 100 đến 130 J/K.

L. P. Bakanina

Đây là một bài toán rất đơn giản. Chúng ta hãy biểu thị điện trở của vôn kế ở giới hạn 1 V bằng R₁. Khi đó ở giới hạn 10 V, điện trở của nó là R₂=10 R₁ và ở giới hạn 100 V - R₃=100 R₁. Chúng ta hãy biểu thị sức điện động của pin bằng 𝒙 và điện trở trong của pin bằng r. Khi đó chúng ta có (xem hình):

U₁ = 𝒙 / (r + R₁) R₁ = 𝒙 / (1 + r/R₁); U₂ = 𝒙 / (1 + r/10R₁);

U₃ = 𝒙 / (1 + r/100R₁).

Giải các phương trình này cùng nhau, ta tìm được:

U₃ ≈ 3,6 V.

A. R. Zilberman

Xét một hạt bụi của một đám mây hình cầu nằm cách tâm đám mây một khoảng R. Như đã biết, nó chỉ bị ảnh hưởng bởi lực hấp dẫn từ những hạt nằm bên trong một quả cầu có bán kính R (ví dụ, xem lời giải bài toán 87 trong cuốn sách

30

lực lượng dẫn đường. Ước tính thời gian hình thành sao từ một đám mây bụi vũ trụ hình cầu khổng lồ với mật độ $Q = 2 \cdot 10^{-20} \text{ e/cm}^3$. Chúng ta có thể giả sử rằng khi lăn xuống, các hạt không bỏ qua nhau. Hằng số hấp dẫn $G = 6,67 \times 10^{-11} \text{ H} \cdot \text{m}^2/\text{кг}^2$.

Tôi. Sh. Slobodtsky và V. A. Orlov “Olympic Vật lý có trọng số”). Vì theo điều kiện bài toán, các hạt sẽ không đuổi kịp nhau nên tổng khối lượng hút hạt của chúng ta không đổi. Giả sử rằng toàn bộ khối lượng này tập trung ở trung tâm đám mây. thì bài toán sẽ quy về việc tìm thời điểm hạt rơi vào tâm hút.

Chúng ta sẽ coi chuyển động của một hạt về phía tâm là trường hợp giới hạn của chuyển động dọc theo một hình elip rất dài, giá trị lớn hơn của nó bằng $R/2$ và so sánh chuyển động này với sự chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính $R$. Hãy sử dụng định luật thứ ba của Kepler:

$$\frac{T^2}{T^2} = \frac{R^3}{(R/2)^3},$$

trong đó $T_k$ là chu kỳ chuyển động theo quỹ đạo tròn, $T_s$ là chu kỳ chuyển động theo quỹ đạo hình elip. Chu kỳ $T_k$ có ​​thể dễ dàng tìm thấy bằng cách sử dụng định luật thứ hai của Newton và định luật vạn vật hấp dẫn:

$$\frac{mv^2}{R} = F_T = G \frac{mM}{R^2} = G \frac{mQ \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2},$$

từ đâu $T_k = \frac{2\pi R}{v} = \sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}}$, và

$$T_s = \frac{T_k}{2^{3/2}} = \sqrt{\frac{3\pi}{8G\rho}}.$$

Chúng tôi thấy rằng khoảng thời gian $T_s$ không phụ thuộc vào $R$. Do đó, thời gian của một hạt rơi vào tâm hút (thời gian quay của ngôi sao), bằng một nửa chu kỳ quay trong quỹ đạo hình elip, không phụ thuộc vào bán kính của đám mây bụi vũ trụ và bằng

$$\tau = \frac{T_s}{2} = \sqrt{\frac{3\pi}{32G\rho}} \approx 1,5 \cdot 10^{13} \text{ c} \approx 10^6 \text{ лет.}$$

V. E. Skorovarov

Tự giao nhau của một đa tuyến khép kín

Trong ghi chú này, chúng ta sẽ làm nổi bật lời giải bài toán M1064 và thảo luận kỹ hơn về bài toán.

M1064. Số lượng giao điểm tối đa mà một đa giác phẳng liên kết n khép kín có thể có là bao nhiêu nếu a) n lẻ: 6) n chẵn? (Giả định rằng không có ba đỉnh nào nằm trên cùng một đường thẳng và không có ba đường liên kết nào cắt nhau tại cùng một điểm.)

Đáp số: a) $n(n-3)/2$; b) $n(n-4)/2+1$.

Cần phải chứng minh rằng số nút giao đang được xem xét không thể vượt quá các giá trị đã chỉ định và đưa ra ví dụ về các đường đứt quãng mà các giá trị này đạt được.

Rõ ràng rằng hai mắt xích của một đường gãy cắt nhau nhiều nhất tại một điểm và các mắt xích liền kề không cắt nhau (nghĩa là chúng không có điểm chung ngoại trừ một đỉnh chung). Tổng cộng, một đường gãy n liên kết kín có $n(n-1)/2$ cặp liên kết, bao gồm n cặp liên kết liền kề. Do đó, tồn tại số lượng đường đứt đoạn khép kín có số giao điểm như vậy: chỉ cần tất cả n đường chéo được vẽ theo n-giác đều, cách xa tâm ít nhất là đủ (xem hình 1 với n=5 và n=7). Các liên kết này tạo thành một đường gãy n liên kết khép kín, tất cả đều không

31

các liên kết liền kề giao nhau (tại các điểm khác nhau). Vấn đề a) đã được giải quyết.
Bây giờ hãy để $n$ chẵn. Phần bên trong các đỉnh của một đa tuyến liên kết $n$ cho trước trong một hàng, bắt đầu từ bất kỳ một hàng nào và biểu thị bằng $A$ tập hợp các đỉnh có bốn số và bằng $B$ tập hợp các đỉnh có bốn số. Bất kỳ liên kết nào của đường gãy đều đi từ một điểm nào đó trong tập hợp $A$ đến một điểm nào đó trong tập hợp $B$. Giả sử $l$ là một dòng chứa một liên kết nào đó. Nếu liên kết này cắt tất cả các liên kết không liền kề với nó, thì tất cả các đỉnh có bốn số nằm trên cùng một phía của $l$ (tất nhiên, chúng tôi không tính đến các đỉnh của liên kết được đề cập nằm trên $l$). Điều này có nghĩa là các tập $A$ và $B$ nằm đối diện nhau trên đường thẳng $l$ và đồng thời có một điểm chung với nó. Không có nhiều hơn hai dòng như vậy. Sự thật này đối với tôi có vẻ rất thú vị, nhưng đối với những người thích lý luận mang tính xây dựng, tôi sẽ đưa ra bằng chứng của nó (xem hình 2).

Cho có ba đường thẳng như vậy. Chính xác hơn, đặt $A_1, A_2, A_3 \in A$ và $B_1, B_2, B_3 \in B$ là các điểm sao cho các tập hợp $A$ và $B$ nằm đối diện nhau trên mỗi đường thẳng $A_1B_1, A_2B_2, A_3B_3$. Vì các điểm $A_2, B_2$ nằm trên các cạnh đối diện của đường thẳng $A_1B_1$ và các điểm $A_1, B_1$ nằm trên các cạnh đối diện của đường thẳng $A_2B_2$ nên các đoạn $A_1B_1$ và $A_2B_2$ cắt nhau; gọi $C$ là giao điểm.

Điểm $A_3$ nằm trên cùng một phía của đường thẳng $A_1B_1$ với điểm $A_2$ và nằm trên cùng một phía của đường thẳng $A_2B_2$ với điểm $A_1$; điều này có nghĩa là nó nằm trong góc $A_1CA_2$. Theo nguyên tắc tương tự, điểm $B_3$ nằm ở góc $B_1CB_2$. Điều này có nghĩa là đường $A_3B_3$ không cắt ít nhất một trong các đoạn $CA_1, CA_2$ và không cắt ít nhất một trong các đoạn $CB_1, CB_2$. Để nó không giao nhau $CA_i$ và $CB_j$ (trên hình đây là $CA_2$ và $CB_1$); thì điểm $A_i$ và $B_j$ nằm về một phía của nó, điều này mâu thuẫn với giả định.

Vì vậy, có nhiều nhất hai liên kết cắt nhau tất cả các liên kết không liền kề. Điều này có nghĩa là ít nhất $n-2$ liên kết không giao nhau với ít nhất một trong các liên kết không liền kề với chúng; do đó có ít nhất $(n-2)/2$ cặp liên kết rời nhau không liền kề và tổng số điểm tự giao không vượt quá $n/(n-3) - \frac{n-2}{2} = \frac{n(n-4)}{2} + 1$.

Tại bất kỳ thời điểm nào, vẫn còn một đường đứt liên kết $n$ với các giao lộ tự $n/(n-4)/2+1$.

Chúng ta hãy vẽ một $n$-giác thông thường tất cả các đường chéo gần tâm của nó nhưng không đi qua tâm. (Hơn nữa, $n/2$ chúng tạo thành một đường đứt nét khép kín; nếu $n/2$ là số lẻ, chúng tạo thành hai đường gãy khép kín, đối xứng với nhau so với tâm.) Mỗi ​​đường chéo này đều là các đường chéo không liền kề, ngoại trừ một đường chéo - song song với ei; điều này mang lại $n/(n-4)/2$ giao lộ. Hãy xóa hai đường chéo song song và nối các đầu của chúng theo chiều ngang. (Xem hình 3 để biết $n=6$ và $n=12$. Các đường liền mảnh là các đường chéo của một $n$-giác đều gần tâm nhất và không đi qua tâm. Các đường chấm là các đường chéo bị loại bỏ. Các đường liền nét dày là các đường chéo mà chúng thay thế. Các chấm liền và đường dày tạo thành đa giác của chúng ta.) Số giao điểm sẽ tăng thêm 1 và, rất dễ kiểm tra, $n$ của các đoạn được vẽ tạo thành một đường đứt nét khép kín. Vấn đề 6) đã được giải quyết.

Hãy cung cấp thêm một vài bài toán, có hình dạng tương tự như bài toán đã được tháo rời. Trước hết, chúng ta có thể xem xét loại đường gãy đang được xem xét, cho phép đường gãy được chia thành nhiều đường gãy khép kín. Để tạo cho nhiệm vụ một hình thức tự nhiên, chúng ta sẽ xây dựng nó như thế này. Có $n$ điểm cố định trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Một số điểm này được kết nối bằng các đoạn, trong đó mỗi điểm được kết nối chính xác với hai điểm khác. Số có thể lớn nhất là bao nhiêu (Xem phần kết thúc ở trang 34)

34

Tìm kiếm chương trình
(Để bắt đầu, xem trang 7)

bình phương với số lượng người giữ vé thường xuyên đã tính toán trước đó cho các giá trị nhỏ hơn của S. Điều này được thực hiện ở dòng 100. Cuối cùng, khi hoàn thành chu trình qua S (từ 0 đến 13), bạn cần nhân đôi số kết quả P và trừ đi 1.

Bài tập
23. Cần phải lấy bao nhiêu số hạng của tổng 1+2+3+… để có được một số có ba chữ số gồm các chữ số giống nhau?
24. Có bao nhiêu số nguyên từ 1 đến 1988 không chia hết cho bất kỳ số nào trong số 6, 10, 15?
25. Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất sao cho tổng

bình phương của các số tự nhiên liên tiếp giống hệt nhau, bắt đầu bằng M, là một hình vuông hoàn hảo.

26. Có bao nhiêu cách đánh dấu đồng rúp bằng đồng xu (với mệnh giá 1, 2, 3, 5 kopecks)?

27. Trong dãy 19886138… mỗi chữ số, bắt đầu từ chữ số thứ năm, bằng chữ số cuối cùng của tổng các chữ số chẵn trước đó. Sau bao nhiêu chữ số thì tổ hợp ban đầu 1988 lại xuất hiện (hay nói cách khác là có bao nhiêu chữ số trong dấu chấm)?

28. Gọi X là tổng lập phương của mười số tự nhiên liên tiếp và Y là tổng của các số tự nhiên đó. Chứng minh rằng X² - ​​​​Y² chia hết cho 300.

29. a) Tính tỉ số nhỏ nhất của một số có ba chữ số với tổng các chữ số của nó. Giá trị nhỏ nhất (nhỏ nhất) này đạt được với những con số nào?

30. Tìm một số có bốn chữ số nhỏ hơn bốn lần số viết cùng các chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại.

35

Nhiệm vụ

1. Gửi cháu trai của tôi ở $x^2$ sẽ được một tuổi $x$ năm. Anh ấy sinh năm bao nhiêu?

2. Khúc gỗ được đặt với một đầu ở một đầu và đầu kia ở đầu kia. Cân đầu tiên hiển thị 200 kg và cân thứ hai - 100 kg. Một khúc gỗ nặng bao nhiêu? Trọng tâm của nó ở đâu?

3. Koshay the Immortal đã chôn klad ở độ sâu 1 m. Đối với anh, điều này dường như vẫn chưa đủ, anh đào klad, đào giếng sâu tới 2 m và chôn lại. Đối với anh điều này một lần nữa dường như vẫn chưa đủ, anh đào giếng, đào giếng sâu tới 3 m và chôn nó. Sau đó, anh ta cũng làm như vậy, đào sâu giếng lên 4 m, rồi đến 5 m, 6 m, v.v. Được biết, Kosha đã đào một cái giếng sâu $n$ mét trong $n^2$ ngày. Người ta cũng biết rằng vào ngày thứ 1001 Koshey đã chết vì làm việc quá sức. Klad vẫn ở độ sâu nào? (Bỏ qua thời gian đào giếng.)

4. Hai số được gọi là số đối xứng nếu một số được lấy từ số kia bằng cách sắp xếp lại các chữ số theo thứ tự ngược lại. Ví dụ: 123 và 321. Tích của hai số đối xứng là 92.565. Đây là những con số nào?

5. Trong một tứ giác lồi, đánh dấu các trung điểm của cạnh và nối chúng với các đỉnh như trong hình. Chứng minh rằng diện tích của tứ giác màu đỏ bằng tổng diện tích của các hình tam giác màu xanh.

Những nhiệm vụ này được đề xuất cho chúng tôi bởi L. D. Kurlyandchik, V. D. Vyon, D. B. Fuks, A. V. Vasin, V. V. Proizvolov.

36

Vật lý 8, 9, 10
Bài báo được xuất bản dưới đây, “Về một lỗi ngoan cường đáng kinh ngạc,” dành cho lớp cổ điển thứ tám, “Chất dẫn điện trong trường tĩnh điện” dành cho lớp cổ điển thứ chín, và “Giao thoa và giao thoa kế” dành cho lớp cổ điển thứ mười.

Về một sai lầm ngoan cường đáng kinh ngạc

Hãy tưởng tượng một khung cảnh như vậy trong một bài học vật lý.

Giáo viên. Một hòn đá được ném theo một góc so với đường chân trời và chuyển động theo quỹ đạo parabol (bỏ qua sức cản của không khí). Những lực nào tác dụng lên hòn đá vào thời điểm nó ở tại một điểm nhất định của parabol?

Giáo viên. Trước hết, hòn đá chịu tác dụng của trọng lực. (Không dừng lại nữa.) Ngoài ra, lực ném tác dụng lên hòn đá, hướng tiếp tuyến với quỹ đạo.

Giáo viên. Như bạn đã biết, lực là thước đo sự tương tác của một vật. Lực này còn do lực hút của hòn đá đối với Trái đất. Mọi thứ đều rõ ràng ở đây. Cơ thể nào tác dụng lực ném lên hòn đá?

Giáo viên. Giả sử hòn đá được ném bằng tay. Điều này có nghĩa là tay quyết định lực ném.

Giáo viên. Nhưng sự tương tác giữa hòn đá và bàn tay đã dừng lại ngay khi hòn đá bay đi. Bạn có thể tích lũy tốc độ, năng lượng; không thể tích lũy sức mạnh. Sự tương tác dừng lại - và cùng lúc đó lực tương ứng biến mất.

Thầy (hơi bối rối). Hóa ra chỉ có trọng lực tác dụng lên một hòn đá đang bay?

Giáo viên. Đúng vậy. Tất nhiên, trừ khi bạn tính đến sự tương tác của đá với không khí.

37

Cảnh tượng trên rất điển hình. Và không chỉ ở trường. Từ năm này sang năm khác, nhiều ứng viên trả lời sai đáp số cho câu hỏi được đặt ra - chính là câu hỏi mà học sinh của chúng tôi đã đưa ra. Học sinh cũng thường xuyên mắc lỗi khi làm bài thi cơ học.

Sự tồn tại dai dẳng và phổ biến của sai sót được đề cập không chỉ được giải thích bởi kiến ​​thức vật lý kém. Dường như có một nguyên tắc có tính chất tâm lý ở đây. Thứ nhất, ở cấp độ các tình huống hàng ngày, chúng ta đã quen với thực tế là để duy trì sự chuyển động của cơ thể, cần phải tác động lên nó bằng một loại lực nào đó. Đồng thời, người ta quên rằng lực chỉ cần thiết để bù cho ma sát. Thứ hai, chúng ta đang sống với nhịp độ khá nhanh và thường thì chúng ta muốn đạt được kết quả ngay lập tức. Đồng thời, chúng tôi đơn giản là không muốn tính đến… quán tính, quán tính.

• Lực tác dụng theo hướng nào tại một thời điểm nhất định thì hòn đá sẽ bay theo hướng đó vào thời điểm đó. Nếu hướng của lực thay đổi thì hướng chuyển động cũng phải thay đổi. Nếu chỉ có trọng lực tác dụng lên hòn đá thì nó đã bay xuống. Nhưng anh ta không bay xuống, điều đó có nghĩa là ngoài lực hấp dẫn còn có lực. “Có lẽ điều gì đó giống như những suy nghĩ này lóe lên trong đầu chúng ta và lỗi tương tự cũng nảy sinh.”

Chúng tôi thích chỉ trích quán tính; chúng ta đánh đồng nó với sự lười biếng và không sẵn lòng hành động. Tuy nhiên, nó dựa trên quan điểm của vật lý và cố gắng tưởng tượng một thế giới sẽ trông như thế nào khi quán tính đột nhiên biến mất. Để một vật có thể chuyển động trong một thế giới như vậy, một lực phải luôn tác dụng vào nó. Tác động dừng lại - chuyển động ngay lập tức dừng lại. Lực hướng về bên phải - cơ thể di chuyển sang bên phải. hướng của lực đã thay đổi theo hướng ngược lại - và đồng thời cơ thể đang chuyển động theo hướng ngược lại. Chúng ta có thể nói rằng ở đây mọi thứ chỉ được xác định bởi một thời điểm nhất định (chỉ những người hành động tại một thời điểm nhất định), chỉ có những ảnh hưởng siminite, siminite gợi ý, là quan trọng. Không có “lời nhắc nhở” về quá khứ; quá khứ không ảnh hưởng gì đến hiện tại cả. Và theo đó, hiện tại không ảnh hưởng gì đến tương lai cả. Một thế giới không có quán tính là một thế giới không có mối quan hệ nhân quả.

Nhưng hãy quay trở lại với hòn đá của chúng ta. Tất nhiên, khi họ ném anh ta, một loại lực nào đó đã tác động lên anh ta. Bây giờ anh ta đang bay, nhưng “nhớ” quá khứ: bản chất chuyển động của anh ta (đặc biệt là độ cao và phạm vi bay) không chỉ được xác định bởi lực hấp dẫn mà còn bởi lực tác dụng lên hòn đá. Đây là lý do tại sao hòn đá không bay xuống mà đi theo quỹ đạo parabol. Nói theo ngôn ngữ khoa học, chuyển động của một hòn đá tại một thời điểm nhất định được xác định bởi cả lực tác dụng lên nó tại thời điểm đó và bởi các điều kiện ban đầu - hướng và mô hình tốc độ mà nó có tại thời điểm ban đầu bay. Không phải vô cớ mà bài toán thuộc loại này thường bắt đầu bằng dòng chữ: “Vật thể được ném với tốc độ như vậy ở một góc như vậy so với đường chân trời…” Những điều kiện ban đầu này thể hiện chính xác kết quả tác động của các lực trong quá khứ. Ảnh hưởng đến hiện tại đã truyền qua họ.

Rõ ràng, sự thay đổi lực tác dụng lên cơ thể sẽ dẫn đến sự thay đổi chuyển động của cơ thể. Tuy nhiên, điều quan trọng là sự thay đổi trong chuyển động của cơ thể có tính đến cách nó di chuyển theo cách tương tự. Lực trực tiếp xác định không phải tốc độ của vật thể mà là gia tốc, tức là sự thay đổi tốc độ. Hóa ra định luật thứ hai nổi tiếng của Newton - cũng chính là định luật trong đó khối lượng (thước đo quán tính của vật thể) xuất hiện lần đầu tiên trong vật lý - ngày qua ngày, là một định luật thể hiện nguyên nhân quán tính trong cơ học.

Đây là những kết luận sâu sắc mà người ta có thể rút ra khi thảo luận về chuyển động của một hòn đá được ném theo một góc so với đường chân trời.

L. V. Tarasov

38

Dây dẫn trong lĩnh vực nhà máy điện

“Tôi muốn kể cho bạn nghe một trải nghiệm mới và khủng khiếp, mà tôi không khuyên bạn lặp lại… Đột nhiên tay phải của tôi bị đánh mạnh đến nỗi toàn thân tôi rung lên, như bị sét đánh. …Nói một cách dễ hiểu, tôi nghĩ rằng kết cục đã đến… Vì vương miện của Pháp, tôi sẽ không đồng ý một lần nữa phải chịu sự hợp tác khủng khiếp như vậy…” Phương trình.”
Muschenbrek đã thực hiện một thí nghiệm về điện vào năm 1745 và thu được tụ điện đơn giản nhất, sau này được gọi là bình Leyden. Trong các thí nghiệm, giáo sư đã phải chịu “sự hợp tác khủng khiếp như vậy” do sự phóng điện của một tụ điện qua cơ thể con người, mà như bạn đã biết, là một chất dẫn điện.

Việc các chất dẫn điện tồn tại trong tự nhiên đã làm phong phú thêm thế giới xung quanh chúng ta với nhiều hiện tượng điện khác nhau, một số trong đó không hề nguy hiểm. Chất dẫn điện rất quan trọng trong việc nghiên cứu điện từ.

Chúng ta hãy xem xét chi tiết trường hợp một dây dẫn đứng yên tích điện nằm trong trường điện bên ngoài (được tạo ra do cấu tạo của các điện tích đứng yên). Trong một vật dẫn điện, sớm hay muộn tất cả các điện tích sẽ hoán đổi và trạng thái cân bằng sẽ xảy ra (vì nếu không chúng ta sẽ có một động cơ chuyển động vĩnh viễn do không truyền nhiệt trong quá trình chuyển động của các điện tích). Đối với một dây dẫn tích điện đặt trong điện trường ngoài, các phát biểu sau đây là đúng.

1. Trường bên trong dây dẫn. Tại bất kỳ điểm nào bên trong dây dẫn, hướng của điện trường bằng không. Thật vậy, nếu điều kiện này không được đáp ứng, các điện tích tự do trong dây dẫn sẽ bắt đầu chuyển động dưới tác dụng của lực trường, và trạng thái cân bằng sẽ bị phá vỡ.

2. Sự phân bố điện tích trong vật dẫn. Để trả lời câu hỏi về sự phân bố điện tích trong vật dẫn, chúng ta cần làm rõ một số tính chất của đường dây điện trường nhà máy điện. Ví dụ, đường sức của điện trường (trong đó có nhà máy điện) là một đường tưởng tượng trong không gian, được vẽ sao cho tiếp tuyến của nó tại mỗi điểm trùng với vectơ chỉ phương của điện trường tại điểm đó. Kinh nghiệm nghiên cứu trường điện đưa ra lý do để kết luận rằng các đường sức của các trường này là liên tục và không khép kín, chúng chỉ có thể bắt đầu trên các điện tích dương và chỉ kết thúc trên các điện tích âm và không thể bắt đầu (kết thúc) tại một điểm trong không gian không có điện tích. Khi mô tả bằng đồ họa trường của một số hệ điện tích, số lượng đường sức bắt đầu hoặc kết thúc trên bất kỳ điện tích nào tỷ lệ thuận với mô hình của điện tích này. Từ đó suy ra rằng các đường sức nhất thiết phải rời khỏi (hoặc đi vào) bất kỳ điện tích nào.

Sau những gì đã nói về đường sức, chúng ta hãy quay lại câu hỏi về sự phân bố điện tích trong vật dẫn. Chúng ta hãy nhẩm chọn một thể tích đủ nhỏ tùy ý ΔV bên trong dây dẫn (hình 1). Giả sử rằng khối lượng này có điện tích (theo định nghĩa là dương). Khi đó các đường sức sẽ xuất hiện từ thể tích đã chọn, tức là một điện trường sẽ tồn tại gần nó. Nhưng không có trường bên trong dây dẫn. Vì vậy, khối lượng được phân bổ phải ở mức trung tính. Và vì chúng ta lấy thể tích này ở một vị trí tùy ý bên trong dây dẫn, nên chúng ta có thể nói rằng toàn bộ “bên trong” dây dẫn là trung tính và do đó, toàn bộ điện tích của dây dẫn nằm trên bề mặt của nó.

3. Trường bên ngoài dây dẫn được tạo thành từ bề mặt của nó. Vectơ chỉ phương của trường nhà máy điện trong bất kỳ

39

một điểm bên ngoài dây dẫn được tạo ra một cách hời hợt hướng đến độ dẫn điện thay đổi, nói cách khác có thể nói theo cách này: các đường sức đi vào và ra khỏi dây dẫn vuông góc với bề mặt của dây dẫn. Nếu không, sẽ có một thành phần vectơ hướng trường dọc theo bề mặt dây dẫn và một lực có thành phần dọc theo bề mặt sẽ tác dụng lên các điện tích tự do trên bề mặt dây dẫn. Kết quả là các điện tích sẽ bắt đầu lan truyền khắp bề mặt dây dẫn, làm mất cân bằng.

4. Phân bố điện thế trong dây dẫn. Hãy chứng minh rằng hiệu điện thế của hai điểm bất kỳ trên một vật dẫn, kể cả các điểm dẫn, đều bằng 0. Cho các điểm tùy ý $M$ và $K$ bên trong dây dẫn. Chúng ta hãy nhẩm đi từ điểm $M$ đến điểm $K$ điện tích thử nghiệm $q$ dọc theo quỹ đạo nào đó $MBK$ nằm bên trong dây dẫn (hình 2). Lực trường sẽ không tác dụng lên điện tích chuyển động $q$, vì không có trường bên trong dây dẫn. Do đó, hiệu điện thế là $\varphi_M - \varphi_K = 0$. Nếu các điểm $M$ và $K$, một hoặc cả hai, nằm trên bề mặt của một vật dẫn, thì bằng chứng cho thấy hiệu điện thế giữa chúng bằng 0 là tương tự nhau.

Vì hiệu điện thế của hai điểm bất kỳ của một dây dẫn bằng 0 nên điện thế của tất cả các điểm trên dây dẫn, kể cả các điểm dẫn, là như nhau. Vì vậy, họ nói về tiềm năng của một dây dẫn mà không chỉ ra điểm cụ thể của nó. Vì tất cả các điểm trên bề mặt vật dẫn đều có cùng điện thế nên bề mặt vật dẫn sẽ là bề mặt tương đương.

5. Khoang bên trong dây dẫn. Hãy loại bỏ một phần chất khỏi vùng bên trong của dây dẫn. Vì chất bị loại bỏ là trung tính nên điện trường tại tất cả các điểm bên ngoài dây dẫn, bên trong dây dẫn và trong hộp sẽ không thay đổi. Và điều này thực sự sẽ xảy ra, và sẽ không có điện tích trên bề mặt bên trong của dây dẫn (trên bề mặt của hộp). Toàn bộ điện tích của dây dẫn sẽ tập trung ở bề mặt bên ngoài của dây dẫn và sự hiện diện của một khoang bên trong dây dẫn sẽ không ảnh hưởng đến sự phân bố điện tích trên bề mặt bên ngoài. Sẽ không có trường trong hộp hoặc trong dây dẫn. Điện thế của tất cả các điểm của vật dẫn và hộp là như nhau.

Giao thoa và giao thoa kế

Một sóng ánh sáng truyền qua một vật thể (hoặc phản xạ từ bề mặt của nó) mang theo thông tin khổng lồ về vật thể đó: kích thước, mật độ, hình dạng, v.v. Nhưng vấn đề là thông tin này được bảo vệ trong các đặc tính của sóng, chúng thay đổi với tốc độ rất lớn cả trong không gian và thời gian. Xét cho cùng, sóng điện từ, trong đó ánh sáng là trường hợp đặc biệt, biểu thị sự lan truyền dao động của điện trường và từ trường. Tốc độ truyền là $c = 3 \cdot 10^8$ m/s và tần số dao động theo hướng của điện trường ($E$) hoặc trường cảm ứng ($B$) trong sóng ánh sáng có bậc $10^{14}$ Hz.

Trong tình huống này, cách duy nhất để trích xuất thông tin là so sánh

40

một sợi truyền qua thân sóng với một sóng khác (tiêu chuẩn, hay còn gọi là sóng tham chiếu), trường trong đó dao động với cùng tần số. Sau đó, yếu tố thời gian dường như bị loại trừ và từ một bức tranh thay đổi nhanh chóng theo thời gian, chúng ta có được một bức tranh tĩnh ổn định. Đây chính xác là hình ảnh chúng ta có thể quan sát được trong quá trình giao thoa của các sóng kết hợp.

Để hiểu chính xác điều gì xảy ra trong quá trình can thiệp, chúng ta cần nhớ một điều. Trước hết: sóng có tốc độ truyền $c$ và tần số $\omega$ (hay chu kỳ dao động $T=2\pi/\omega$) được đặc trưng bởi bước sóng $\lambda=cT=2\pi c$.

Mặc dù độ lớn hướng của điện trường $E$ tại mỗi điểm của sóng liên tục thay đổi, nhưng giá trị hướng tại hai điểm khác nhau có mối liên hệ duy nhất với nhau. Vì vậy, ví dụ, nếu khoảng cách giữa hai điểm bằng hoặc bội số của bước sóng $\lambda$ (đôi khi được nói: bội số của một số nửa sóng chẵn), thì giá trị hướng tại các điểm này luôn giống nhau. (Tất cả thời gian giữa hai điểm đều bằng $\lambda/2$ (hoặc bội số của một số lẻ nửa sóng), các giá trị hướng chỉ khác nhau về dấu (hình 1).

Bây giờ thật dễ hiểu điều gì xảy ra khi sóng giao thoa. Khoảng cách là hai sóng phẳng có biên độ và chiều dài bằng nhau, truyền với nhau một góc nhất định. Từ “phẳng” có nghĩa là các bề mặt có hướng bằng nhau (hoặc pha bằng nhau) trong sóng như vậy là các mặt phẳng. hình 2 cho thấy hai nguồn sóng như vậy $S_1$

Hình 1.

Hình 2.

và $S_2$ và các mặt phẳng có hướng bằng nhau tại mỗi thời điểm. Chúng tôi sẽ giả định rằng các nguồn được đồng bộ hóa theo cách mà tại bất kỳ thời điểm nào, hướng $E_1$ và $E_2$ tại các điểm đặt các nguồn này đều giống nhau: $E_1=E_2$.

Chúng ta hãy lấy một điểm tùy ý $A$ trong không gian. Khoảng cách từ điểm này đến các nguồn $S_1$ và $S_2$ ta ký hiệu là $l_1$ và $l_2$ tương ứng. Ở đây chúng ta sẽ có được khoảng cách của một số sóng.

Trước tiên chúng ta giả sử rằng độ dài $l_1$ chứa một số sóng chẵn và độ dài $l_2$ chứa một số sóng lẻ. Khi đó hướng của sóng đầu tiên tại điểm $A$ bằng hướng tại vị trí của nguồn sóng này: $E_{A1}=E_1$ và hướng của sóng thứ hai tại điểm $A$ ngược dấu với hướng tại vị trí của nguồn thứ hai: $E_{A2}=-E_2$. Nhưng vì $E_1=E_2$ (điều kiện để đồng bộ hóa các nguồn), rõ ràng là $E_{A1}=-E_{A2}$ và tổng độ định hướng tại điểm đó bằng 0. Hãy để chúng tôi nhắc bạn một lần nữa: tất cả các hướng đều dao động theo thời gian, nhưng những đẳng thức đã nêu được bảo toàn ở mọi thời điểm. Một hệ thống hoàn toàn tương tự sẽ tồn tại nếu một số sóng chẵn được đặt trên chiều dài $l_1$ và một số sóng chẵn trên chiều dài $l_2$. Vì tổng độ định hướng được tạo ra bởi cả hai sóng bằng 0 tại điểm $A$, nên độ chiếu sáng tại điểm này (và các điểm tương tự) sẽ bằng 0.

Nếu số lượng nửa sóng phù hợp ở khoảng cách $l_1$ và $l_2$ có cùng tính chẵn lẻ (chẵn ở cả hai khoảng cách hoặc lẻ ở cả hai khoảng cách), thì hướng của nửa sóng đầu tiên

41

và các sóng thứ hai tại điểm $A$ luôn giống nhau và hòa hợp với nhau. Tại những điểm như vậy, mức tối đa sẽ được cung cấp.

Có thể xây dựng một quy tắc chung: nếu chênh lệch đường truyền—sự chênh lệch giữa $l_1$ và $l_2$—của hai sóng đến một điểm nhất định bằng một số lẻ nửa sóng, thì độ chiếu sáng tại điểm này là tối thiểu:

$$l_1 - l_2 = (2k + 1) \frac{\lambda}{2}$$

• điều kiện tối thiểu.

Trong trường hợp khi chênh lệch đường truyền bằng số chẵn nửa sóng thì độ rọi tại điểm tương ứng sẽ tối đa:

$$l_1 - l_2 = 2k \frac{\lambda}{2}$$

• trạng thái tối đa.

Bây giờ chúng ta hãy đặt một màn chắn trên đường truyền của các sóng giao thoa này. Rõ ràng trên đó sẽ xuất hiện các sọc tối và sọc sáng, tương ứng với điều kiện chiếu sáng tối thiểu và tối đa. Đây là mô hình can thiệp.

Điều rất quan trọng là phải khẳng định rằng kiểu giao thoa được xác định không phải bởi đường đi mà mỗi sóng giao thoa đi đến một điểm cụ thể trên màn hình mà bằng bao nhiêu bán sóng phù hợp dọc theo đường đi này. Điều này rất quan trọng vì tốc độ của sóng ánh sáng (và do đó là bước sóng) phụ thuộc vào chiết suất của môi trường mà sóng lan truyền: $\lambda = vT = (c/n)T$. Ở đây $v = c/n$ là tốc độ ánh sáng trong môi trường và $n$ là chiết suất của môi trường. Do đó, người ta hiểu rằng nếu một vật thể rắn nào đó được đặt trên đường đi của một trong các sóng (ví dụ: sóng đầu tiên), thì số lượng bán sóng rơi ở khoảng cách $l$ sẽ thay đổi do sự thay đổi bước sóng bên trong cơ thể. Trong trường hợp này, mô hình giao thoa bị biến dạng và độ dày của vật thể càng lớn thì càng mạnh.

Quay trở lại phần đầu ghi chú của chúng ta, chúng ta có thể nói rằng với sự trợ giúp của nhiễu, chúng ta sẽ chuyển thông tin về vật thể ban đầu từ các đặc tính thay đổi nhanh chóng của sóng sang các đặc tính thống kê của mô hình giao thoa.

Trong thực tế, điều này được thực hiện bằng cách sử dụng giao thoa kế. Có khá nhiều loại thiết bị như vậy. bài toán của bất kỳ giao thoa kế nào bao gồm sự hình thành của hai (hoặc nhiều) sóng hội tụ và sự giảm dần sau đó của chúng để thu được dạng giao thoa.

Sơ đồ của một trong các giao thoa kế (được gọi là giao thoa kế Mach-Zehnder) được hiển thị trên hình 3.

Một sóng phẳng chạm vào gương mờ 1 và bị phản xạ một phần và một phần truyền qua nó. Do đó, chúng ta thu được hai sóng hội tụ $S_1$ và $S_2$. Sự hội tụ của chúng được thực hiện bằng cách sử dụng gương thông thường 2 và 3 và gương thu 4. Sự phản xạ từ gương 2 và 3 của sóng rơi vào gương thu 4. Sóng $S_2$ đi qua gương 4 và sóng $S_1$ được phản xạ từ gương đó. Bạn luôn có thể chọn vị trí của gương sao cho ở đầu ra của gương 4, bạn có hai sóng truyền tương đối với nhau ở một góc nhất định, thường là nhỏ. Sau đó, theo những gì đã nói ở trên, một hình ảnh nhiễu sẽ xuất hiện trên màn hình $\partial$. Bây giờ, đặt đối tượng đang nghiên cứu trên đường đi của một trong các sóng ($S_1$), chúng ta sẽ quan sát thấy sự biến dạng của hình ảnh này, qua đó chúng ta có thể đánh giá các đặc tính của đối tượng này.

E. E. Gorodetsky, A. A. LanUDEC

42

Hãy xem xét tất cả các tùy chọn

S. M. LVOVOVSKY,
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. L. TOOM

Phương pháp ở đây gần giống như khi tìm kiếm một hạt đậu trong túi đậu: trước tiên bạn cần có sự kiên nhẫn, chàng trai trẻ.
K. Chapek. “Phiếu giảm giá”

Khi ở các lớp tiểu học, học sinh lần đầu tiên bắt đầu giải bài toán trong toán học, các em được chọn đặc biệt như bài toán, được giải bằng các phương pháp đã khắc phục trước đó và các em nhận được một đáp số cụ thể. Để tối ưu hóa, họ chọn bài toán, có lời giải bất ngờ nhưng đơn giản và đẹp mắt.

Nhưng Thiên nhiên không tính đến sở thích của chúng ta. Do đó, một chuyên gia giải quyết bài toán, phát sinh trong quá trình phát triển bệnh lậu tự nhiên, thường xuyên phải đối mặt với những vấn đề không có lời giải, sau đó có nhiều lời giải, hoặc yêu cầu các phương pháp “xấu xí” không có đặc quyền và đôi khi cồng kềnh, “xấu xí” lời giải.

Học sinh tiểu học thường coi phương pháp dùng vũ lực là một phương pháp “xấu xí”. Một số người thậm chí còn cho rằng phương pháp vũ phu là phương pháp “sai” và họ được cho là không thể giải được bài toán. Trên thực tế, bài toán có thể được giải bằng bất kỳ cách nào, chỉ để có được đáp số đúng và hợp lý. Tìm tất cả đáp số và chứng minh rằng không có các số khác—điều này có nghĩa là giải bài toán. Và có thể có bất kỳ số nào trong số đáp số này: một, một số, không có hoặc một số vô hạn.

Tất nhiên, phương pháp tuyển dụng nhân viên được đề cập trong bài viết này phải được sử dụng một cách khôn ngoan và không bừa bãi. Trước hết, chúng ta hãy lưu ý rằng bất kỳ sự vượt quá nào mà một người hoặc toàn thể nhân loại từng

43

bất kỳ ai cũng có thể thực hiện nó - đây là một tìm kiếm hữu hạn và không có công nghệ máy tính nào có thể thay đổi được điều này. Nhưng ngay cả việc tìm kiếm hữu hạn cũng chỉ khả thi trong giới hạn giới hạn. Trên thực tế, với lời giải bài toán “thủ công”, sử dụng bút và giấy, bạn có thể xem qua mười, à, hàng trăm lựa chọn. Máy tính được thông báo về con số này lên tới hàng nghìn, à - hàng triệu. Tuy nhiên, bài toán, lời giải xuất hiện rất thường xuyên, phương pháp dùng vũ lực dẫn đến số lượng tùy chọn lớn hơn nhiều. Những trò chơi board đơn giản như cờ vua đã cung cấp một số thế cờ mà không máy nào có thể xử lý được. Vì vậy, nghệ thuật lập trình, giống như nghệ thuật giải toán bài toán, bao gồm khả năng giảm thiểu phép liệt kê xuống một thang đo khả thi.

Việc tìm kiếm đầy đủ tất cả các tùy chọn chỉ khả thi trong những trường hợp đơn giản nhất. Vì. Swift đã khéo léo đề cập đến nó trong cuốn sách Những chuyến du hành của Gulliver. Trong chương thứ năm của phần thứ ba, ông mô tả một cỗ máy thực hiện việc liệt kê mọi thứ và có thể tạo thành một cái nhìn tổng quan hoàn chỉnh về tất cả các ngành nghệ thuật và khoa học. Sự châm biếm của Swift nhắm đến một mục tiêu rất thực tế: tạo ra những cỗ máy “tư duy” gắn liền với ý tưởng về vũ lực. Trở lại thế kỷ 12, tu sĩ hiệp sĩ Raymudus Lull đã thiết kế một cỗ máy để chứng minh cơ học tất cả các điều khoản của Cơ đốc giáo và mang nó đến người Moor, tin tưởng rằng “khoa học” này sẽ chuyển đổi họ sang đức tin thực sự. Ý tưởng của Lullai được Giordano Bruno và Leibniz quan tâm, những người mơ ước về sự tiến bộ trong khoa học cho phép người ta không tranh luận mà có thể tính toán.

Nhà khoa học vĩ đại người Đức Leibnitz (1646-1716), người cùng thời với Swift (1667-1745), trong cuộc đời ông đã phát triển ý tưởng về một “đặc điểm phổ quát”, tức là một mô tả có độ chính xác tương đương với toán học về mọi quá trình tư duy của con người.

Ý tưởng này vẫn chưa được thực hiện đầy đủ và có lẽ sẽ không bao giờ thành hiện thực. Nhưng việc toán học hóa nhiều khía cạnh hoạt động của con người chắc chắn sẽ xảy ra. Đồng thời, các ý tưởng toán học cơ bản, trong đó có ý tưởng liệt kê các phương án, ngày càng được sử dụng rộng rãi.

Bài toán 1. Trong kho có 5 máy có trọng lượng tương ứng là 1500 kg, 1020 kg, 800 kg, 750 kg và 600 kg. Cần phải tăng một số lượng trên máy có sức nâng 3 tấn, tải tối đa nhưng không để quá tải. Những máy nào cần được cắt thành ô tô?

Lời giải. Giả sử rằng chúng ta quyết định không trở thành chiếc máy nặng nhất. Khi đó khối lượng của các máy còn lại là 1020+800+750+600=3170 kg, tức là hơn ba tấn. Điều này có nghĩa là chúng ta sẽ phải bỏ lại một chiếc máy khác. Chúng tôi sẽ thu được trọng lượng nặng nhất nếu để lại chiếc máy nhẹ nhất - 600 kg. Tất nhiên, chúng ta vẫn cần

44

kiểm tra xem ba mã lực có nâng được các máy còn lại không: 1020 + 800 + 750 = 2570 kg <3 tấn. Vì vậy: nếu chúng ta không lấy chiếc máy nặng nhất thì chúng ta sẽ tăng tối đa là 2570 kg. Bây giờ chúng ta tải một máy 1500 kg lên máy; thì trong xe vẫn còn 1500 kg chỗ trống. Chúng ta có thể đáp ứng 1500 kg này bằng cách chỉ lấy một máy, máy này sẽ cung cấp cho chúng ta tối đa 1020 kg (và tổng cộng sẽ có 2520 kg trong xe tải) hoặc bằng cách lấy hai máy, sẽ cung cấp cho chúng ta nhiều nhất là 800 + 600 = 1400 kg, và tổng cộng sẽ có 2900 kg trên xe tải.

So sánh tất cả các tùy chọn, chúng tôi thấy rằng tùy chọn cuối cùng là nhiều nhất. Vì vậy, bạn cần tải các loại máy có trọng lượng 1500 kg, 800 kg và 600 kg.

Việc tìm kiếm trực tiếp như vậy không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được. Thường xuyên hơn cần phải sử dụng nó kết hợp với các phương pháp khác. Đây là một ví dụ.

Bài toán 2.*) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số, mỗi số có hai tính chất sau:

• chữ số đầu tiên nhỏ hơn chữ số cuối cùng của nó 3 lần;
• tổng của chính số đó với số thu được từ nó bằng cách sắp xếp lại chữ số thứ hai và thứ ba của nó thì chia hết cho 8 mà không có số dư.

Ở đây, phương pháp liệt kê trực tiếp có nghĩa là xem xét tất cả các số có ba chữ số và chọn những số thỏa mãn điều kiện. Làm thủ công cũng giống như tìm kim trong đống cỏ khô hoặc tìm đúng hạt đậu trong túi đậu. Đúng, sẽ không mất nhiều thời gian để sắp xếp tất cả các số có ba chữ số bằng máy tính, nhưng sẽ “thể thao hơn” khi giải các số bài toán đơn giản bằng các phương tiện đơn giản: điều này sẽ buộc chúng ta phải phát triển các kỹ thuật để giảm bớt tìm kiếm; Nhân tiện, những kỹ thuật này sẽ tăng cường đáng kể khả năng của chúng ta khi chúng ta có máy tính.

Chúng ta sẽ bắt đầu giải bài toán này bằng đại số và sẽ chỉ sử dụng phép liệt kê khi chúng ta có thể giải được nó trong một số trường hợp.

Lời giải. Gọi $x$ là chữ số hàng trăm, $y$ là chữ số hàng chục của số mong muốn. Khi đó chữ số hàng đơn vị của nó là 3x. Hiển nhiên là 3x<9, do đó $x\leq 3$. Chữ số đầu tiên của một số không thể bằng 0. Điều này có nghĩa là $x$ không thể bằng một số khác ngoài 1, 2 và 3. Chúng ta sẽ xem xét ba khả năng này một cách riêng biệt, nhưng trước tiên chúng ta viết ra điều kiện thứ hai, biểu thị thời gian bằng dấu chấm (:) biểu thức “chia cho”:

$((100x+10y+3z)+(100x+30x+y))\div 8,$

tức là

$(200x+33x+11y)\div 8.$

Chúng tôi cố tình để lại 200x và 33x dưới dạng các thuật ngữ riêng biệt. Điều này giúp dễ dàng nhận thấy rằng 200x có thể bị loại bỏ (kể từ 200 : 8) và viết điều kiện này như sau:

$((33x+11y)\div 8,$

hoặc

$11(3x+y)\div 8.$

Để làm được điều này, điều cần thiết và đủ là 3x+y chia hết cho 8. Bây giờ chúng ta hãy xem xét việc tìm kiếm, điều này khá khả thi vì nó chỉ bao gồm ba trường hợp.

1. $x=1$. Sau đó $3+y$ : 8. Đây sẽ là $y=5$.

2. $x=2$. Sau đó $6+y$ : 8. Đây sẽ là $y=2$.

3. $x=3$. Sau đó $9+y$ : 8. Đây sẽ là $y=7$.

Vậy bài toán có ba đáp số: 153, 226, 379.

Bài toán 3. Giải phương trình trong số tự nhiên

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1.$$

Hãy nhớ rằng số nguyên dương được gọi là số tự nhiên. Giải một phương trình bằng số tự nhiên có nghĩa là tìm tất cả lời giải của nó trong đó các ẩn số lấy giá trị tự nhiên. Bằng cách tìm kiếm toàn diện, xem xét tất cả các bộ ba số tự nhiên một cách riêng biệt, hãy giải quyết tính tổng quát bài toán này: có vô số ba số tự nhiên như vậy. Vì vậy, trước sự bạo lực, cần phải bằng cách nào đó giảm thiểu một số trường hợp hữu hạn. Sẽ thuận tiện hơn cho chúng ta khi thực hiện lại

45

cạnh nếu chúng ta thay đổi một chút các điều kiện bài toán.
Bài toán 3’. Giải hệ bằng số tự nhiên

$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1, \\ x \leqslant y \leqslant z. \end{cases}$$

Lời giải bài toán 3’. Rõ ràng,

$$\frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z}.$$

Trước tiên chúng ta hãy giả sử rằng $x > 3$. Sau đó

$$\frac{1}{3} > \frac{1}{x} \geqslant \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

Ở đâu

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3},$$

đó là trái với điều kiện. Vì vậy, $x$ không thể bằng bất kỳ giá trị nào khác ngoài 1, 2 và 3. (Hãy xem chúng tôi đã giảm tìm kiếm đáng kể như thế nào!)

1. $x = 1$. Sau đó

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0,$$

chero không thể được.
2) $x = 2$. Sau đó

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{2}.$$

Nếu $y > 4$ thì

$$\frac{1}{4} > \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

Ở đâu

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{4} + \frac{1}{4},$$

chero không thể được. Vì vậy, $y$ không thể bằng bất kỳ giá trị nào khác ngoài 2, 3 và 4. Thay thế từng giá trị này, chúng tôi tin rằng $y = 2$ không phù hợp và hai giá trị còn lại cho hai đáp số: (2, 3, 6) và (2, 4, 4).
3) $x = 3$. Sau đó

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2}{3}.$$

Nếu $y > 3$ thì

$$\frac{1}{3} > \frac{1}{y} \geqslant \frac{1}{z},$$

Ở đâu

$$\frac{1}{y} + \frac{1}{z} < \frac{1}{3} + \frac{1}{3},$$

chero không thể được. Vì vậy, trong trường hợp này, chúng ta chỉ cần xem xét một giá trị 3 cho $y$, giá trị này mang lại một giá trị khác đáp số: (3, 3, 3).

Tất cả các trường hợp đã được giải quyết. Bài toán 3’ lời giải. Nó có ba đáp số: (2, 3, 6), (2, 4, 4), (3, 3, 3).

Ngược lại, bài toán 3 có một danh sách khác đáp số là kết quả của tất cả các hoán vị có thể có này. Đây là đáp số bài toán 3:

(2, 3, 6), (2, 6, 3), (3, 2, 6),
(3, 6, 2), (6, 2, 3), (6, 3, 2),
(2, 4, 4), (4, 2, 4), (4, 4, 2), (3, 3, 3).

(Trong mỗi đáp số này, số đầu tiên là giá trị $x$, số thứ hai là giá trị $y$, số thứ ba là giá trị $z$.)

Trong các bài toán chúng ta đã giải cho đến nay, cần phải tìm tất cả đáp số thỏa mãn một điều kiện nhất định. Để chứng minh rằng một đối tượng như vậy không tồn tại, cần phải tách tất cả các trường hợp hoặc tiến hành suy luận tổng quát. Để chứng minh rằng một vật thể như vậy tồn tại, chỉ cần đưa ra một ví dụ là đủ. Đây là hai bài toán thuộc loại này.

Bài toán 4. Biết rằng đối với hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ thì thỏa mãn ba điều kiện sau:

$$\angle A = \angle A', AB = A'B', BC = B'C'.$$

Các tam giác $ABC$ và $A'B'C'$ có thể bằng nhau không?

Đáp số: họ có thể.