Kvant 1989, số 10 · Trang

QUANTUM
khoa học đại chúng
tạp chí vật lý và toán học

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1989

1

Trong phòng:

D. A. Kirzhnits. Một số bài học từ một cảm giác khoa học
V. N. Dubrovsky, Vâng. A. Smorodinsky. Ảnh quang học và mặt phẳng xạ ảnh.
S. N. Lykov, D. A. Parshin. Tính đối xứng, tính dị hướng và định luật Ohm
N. Vâng. Vilenkin. Trong thế giới trêu ngươi của những hàng dài vô tận

Bài toán Kvant
Bài toán M1186—M1190, F1193—F1197
Lời giải bài toán M1161—M1164, F1173—F1177
Về số điểm nguyên trong một tập phẳng
Danh sách độc giả gửi đúng lời giải

Kính vạn hoa «Kvant»
Thông tin
Về kết quả TUF 1988/89
V Hội nghị khoa học kỹ thuật có trọng lượng dành cho học sinh

«Kvant» cho học sinh nhỏ
Bài toán
S. L. Tabachnikov. Định luật Archimedes từ góc nhìn của một nhà toán học

Trường học ở «Kvant»
V. N. Vaguten. Khối đa diện đều và phép quay
Trường học yêu thích bài toán

Phòng thí nghiệm «Kvant»
S. K. Betleyev. Mười thí nghiệm từ “nền vàng” thủy động lực học

Xưởng của người nộp đơn
V. A. Bodik, F. V. Sheinerman. Về việc phóng to hình ảnh

Thông tin và lập trình
N. N. Noskov, S. K. Stolboshkin. Vệ tinh được trưng bày

Thế vận hội Olympic
Olympic Toán và Vật lý toàn Nga lần thứ XV
I Olympic Tin học toàn Nga

Đáp số, gợi ý, lời giải
«Kvant» nụ cười (65)
Pha trộn (7, 27)

bìa của chúng tôi
Bề mặt Boy là một bề mặt nhẵn, về mặt tôpô tương đương với mặt phẳng xạ ảnh (xem bài “Ảnh quang học và mặt phẳng xạ ảnh”, cũng xuất hiện trên trang 11).

Hai phim hoạt hình cũ, “Mọi thứ với sự trợ giúp của hơi nước: sản xuất, du lịch và bay” và “Vudushche steam”, là phản ứng của các nghệ sĩ Naal thế kỷ 19 đối với việc phát minh ra động cơ hơi nước (xem “Kính vạn hoa «Kvant»”).

Trang cờ vua.

Hai cách dán một bề mặt trong không gian ba chiều, tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng xạ ảnh.

© Nhà xuất bản Nuka.
Tòa soạn chính văn học vật lý và toán học, «Kvant», 1989

2

MỘT SỐ BÀI HỌC
CẢM GIÁC KHOA HỌC

Thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
D. A. KIRZHNITS

…trong nhiều năm nay, các nhà khoa học đã mơ ước tạo ra một chất siêu dẫn có thể hoạt động ở nhiệt độ thấp.

Arthur Haley. Bánh xe

Trong những năm đầu tiên, khi thời đại cách mạng khoa học công nghệ bắt đầu với sự xuất hiện của một thế lực mới mạnh mẽ - năng lượng nguyên tử - chuyên ngành vật lý được coi là một chuyên ngành danh giá. Sau này, xã hội không chỉ nguội lạnh với những người đại diện cho nghề này mà còn bắt đầu nhìn thấy ở họ nguồn gốc của những vấn đề toàn cầu mà nhân loại đang phải đối mặt. Sự tiến hóa này được thể hiện một cách nhạy cảm qua các tư thế: những bài thơ “Một điều gì đó mà các nhà vật lý được đánh giá cao…” của Slutsky được thay thế bằng bài hát của Galich “Chính những nhà vật lý khốn nạn đã đặt cược rằng ngược lại thì quả bóng sẽ quay…”.

Có vẻ như cổ phiếu vật lý gần đây đã tăng trở lại. Điều này đi kèm với một cảm giác khoa học quan trọng - việc phát hiện ra chất siêu dẫn nhiệt độ cao (viết tắt là BC).

Người đọc sẽ tìm thấy một câu chuyện chi tiết về thế giới siêu dẫn tuyệt vời và sự khám phá ra BC trong bài viết của Viện sĩ A. A. Abrikosov “Tính siêu dẫn: lịch sử, những ý tưởng hiện đại, những thành công gần đây”, xuất bản trên số 6 của Quaenta năm 1988. Và trong bài viết này, tác giả đã cố gắng, không hy sinh mọi thứ mà người đọc cần để có được ý tưởng chung về vấn đề, để tập trung vào các khía cạnh phổ quát của nó.

1. Bạn sẽ phải bắt đầu với một bức tranh tổng thể về cấu trúc bên trong của dây dẫn (thân kim loại). nó khó

Bài viết này là văn bản mở rộng của tài liệu tại buổi tối “Cuộc đời và số phận của những khám phá khoa học” tại Nhà diễn viên trung ương mang tên. A. A. Yablochkin.

Khung được hình thành bởi một mạng tinh thể đều đặn, bao gồm các nguyên tử kim loại dao động xung quanh các nút mạng. Trong không gian giữa các nguyên tử có các electron dễ dàng di chuyển, cũng như các nguyên tử có tạp chất lạ.

Khi kết nối nguồn điện (ví dụ: pin), một dòng điện sẽ xuất hiện trong dây dẫn, tức là các electron của kim loại bắt đầu chuyển động. Chúng chắc chắn có liên quan đến các nguyên tử đang co lại của mạng và các nguyên tử tạp chất. Điều này dẫn đến sự giảm tốc của các electron với sự biến đổi chuyển động có trật tự ban đầu của chúng thành chuyển động hỗn loạn (nói cách khác là giải phóng nhiệt). Vì vậy, khi mở pin, dòng điện nhanh chóng yếu đi và năng lượng của nó chuyển thành nhiệt.

Thước đo của lực hãm như vậy là điện trở suất của dây dẫn (sau đây gọi đơn giản là điện trở). Đối với một vật liệu nhất định, nồng độ tạp chất và nhiệt độ của dây dẫn càng thấp thì càng thấp. Do đó, từ lâu người ta đã tin rằng điện trở của một dây dẫn rất tinh khiết, khi được làm lạnh đến không độ tuyệt đối (-273 °C), sẽ dần dần có xu hướng về không.

Để kiểm tra niềm tin này, nhà vật lý người Hà Lan H. Kamerlingh Onnes đã kiểm tra các phép đo vào năm 1911 về điện trở của các chất khác (kim loại ở dạng lỏng và do đó dễ dàng làm sạch) khi nó được làm nguội sâu. Lúc đầu, mọi thứ diễn ra như mong đợi: khi nhiệt độ giảm, điện trở cũng giảm. Tuy nhiên, ở nhiệt độ khoảng 4 K, trị số điện trở đột ngột giảm xuống 0 và tiếp tục biến mất khi nguội thêm.

3

Đây là cách phát hiện hiện tượng siêu dẫn - sự biến mất hoàn toàn của điện trở kim loại. Nếu một dòng điện được tạo ra trong vòng siêu dẫn và các nguồn điện bị tắt, thì dòng điện sẽ không bị suy giảm đáng kể và các dòng chảy ở xa sẽ được tìm thấy: thời gian tương ứng lớn hơn nhiều so với tuổi của Vũ trụ. Để diễn giải Sholem Aleichem, chúng ta có thể nói: “Sự phản kháng giống như tiền - nếu có thì có, còn nếu không có thì không có”.

Theo thời gian, hóa ra chất siêu dẫn có thể áp dụng được cho nhiều loại chất, mỗi chất có nhiệt độ tới hạn riêng - nhiệt độ tại đó điện trở biến mất. Khi các chất siêu dẫn mới được phát hiện, giá trị của giá trị này tăng lên, nhưng rất chậm: trong 75 năm, nó tăng từ 4 K lên 23 K - khoảng 0,2 K/năm.

Tình hình đã thay đổi hoàn toàn vào năm 1986, khi các nhà vật lý Thụy Sĩ A. Moller và G. Bedorz bắt đầu nghiên cứu một loại vật liệu mới chứa oxy, đồng và các kim loại khác - cái gọi là oxocuprates. Những vật liệu này trông không giống các chất dẫn điện thông thường (bề ngoài chúng giống các viên carbon được sản xuất ở các hiệu thuốc) và lời hứa của chúng về mặt BC có vẻ rất có thẩm quyền. Tuy nhiên, Moller và Bedorz tin vào sự thành công và không bị lừa dối bởi kỳ vọng của họ: nhiệt độ tới hạn ngay lập tức quay trở lại khoảng 40 K.

Thành công này trở thành khám phá ra BC (chính xác hơn là khám phá ra một loại vật liệu mới cực kỳ hứa hẹn xét về mặt tăng thêm nhiệt độ tới hạn). Một thời gian ngắn sau, vào đầu năm 1987, P. Chu người Mỹ đã tổng hợp oxocuprate với nhiệt độ tới hạn khoảng 100 K, và kỷ lục tuyệt đối ngày nay là khoảng 125 K. Có thể nói, đây là “một con chim trong tay”. Đối với “chiếc bánh trên bầu trời”, có những báo cáo (tuy nhiên, cần phải xác nhận) về việc quan sát được tính siêu dẫn ở nhiệt độ phòng và thậm chí ở nhiệt độ cao hơn. Trong mọi trường hợp, sự tồn tại của chất siêu dẫn không yêu cầu bất kỳ sự chuyên môn hóa nào và vẫn giữ được đặc tính có trật tự của chúng. Để hiểu bản chất “sự vô cảm” này của các electron trong chất siêu dẫn, bạn sẽ phải tin vào một tính chất cơ bản của các hạt mà từ đó vật chất được tạo ra. Chúng bao gồm thực tế là trong thế giới vi mô có hai dạng hành vi của các hạt trong mối quan hệ với nhau (và theo đó, hai loại hạt) - “cá nhân” và “tập thể”.

Các hạt được “cá nhân hóa” (fermicized) nhất thiết phải ở các trạng thái khác nhau, ngăn cản sự tích tụ nhiều hơn một hạt trong mỗi hạt. Ví dụ, các hạt “tập thể” (hạt Bose) có xu hướng tích tụ ở cùng một trạng thái, “hút” các hạt Bose khác vào đó và ngược lại, chúng sẽ rời khỏi trạng thái này. Xu hướng này được thể hiện đặc biệt mạnh mẽ nếu một phần đáng chú ý của tất cả các hạt Bose đã tích lũy ở một trạng thái nhất định. Cụm như vậy được gọi là ngưng tụ Bose (các hạt có trong nó hoàn toàn không khác nhau).

Nước ngưng Bose không được hỗ trợ bởi các tác động bên ngoài; như đã lưu ý, nó biến thành những nỗ lực sắp xếp các hạt riêng lẻ khỏi nó và chuyển chúng sang trạng thái khác. Nó là một khối nguyên khối, được gắn kết chặt chẽ với nhau bởi “sự đoàn kết về đạo đức và chính trị” của các thành viên và chống lại những nỗ lực phá hủy sự thống nhất này. Người đọc có thể dễ dàng thu được những phép loại suy tương ứng trong lịch sử hoặc trong cuộc sống đời thường.

4

(Đối với tác giả, một ví dụ khó quên về loại này là cuộc gặp gỡ của các bà nội trợ và những người hưu trí đòi máu kẻ thù của nhân dân mà ông đã tham dự khi còn là một thiếu niên.)

Nếu các electron là nhiều hạt hơn, thì ở nhiệt độ thấp, chúng nhất thiết sẽ chuyển sang trạng thái ngưng tụ nhiều hơn, và tính không nhạy cảm vừa được ghi nhận trước các tác động bên ngoài (đặc biệt là trước các va chạm với dao động mạng và tạp chất) sẽ là chìa khóa để giải thích hiện tượng siêu dẫn. Tuy nhiên, các electron không phải là nhiều hơn mà là các hạt Fermi, vì vậy cách giải thích này không có tác dụng trực tiếp. Tuy nhiên, cuối cùng thì nó đúng.

Thực tế là hai hạt fermi được hợp nhất bởi một số loại mối nối hoạt động như một tổng thể, tương tự như một hạt lớn hơn, và các cặp đôi do đó cũng có khả năng chuyển sang trạng thái ngưng tụ nhiều hơn (cũng có một sự tương tự hàng ngày: những người vỗ tay, như một quy luật, ít tuân thủ hơn các cặp vợ chồng). Do đó, nếu tất cả các chất siêu dẫn đều có cơ chế kết hợp các electron thành từng cặp thì kết quả của tính siêu dẫn có thể coi là rõ ràng. Đối với các chất siêu dẫn “cũ”, cơ chế này dựa trên sự tương tác của các electron với các dao động mạng, nhưng đối với các cặp oxo thì cơ chế này vẫn chưa được thiết lập. Những nỗ lực chính của các nhà khoa học ngày nay đều nhằm mục đích này.

3. Nói ở trên về việc phát hiện ra BC, chúng ta đã không giải thích được tại sao việc tăng nhiệt độ tới hạn lên giá trị cỡ 100 K không chỉ có nghĩa là tiến bộ về mặt số lượng mà còn là một bước nhảy vọt cơ bản về chất, với những hậu quả kỹ thuật to lớn thường được cảm nhận. Thực tế là trước khi phát hiện ra BC, chất siêu dẫn chỉ thể hiện những đặc tính vượt trội của nó khi được làm lạnh bằng gel lỏng - một sản phẩm đắt tiền và khó tìm. Đây là lý do tại sao các ứng dụng kỹ thuật siêu dẫn trước đây chỉ giới hạn ở loại máy gia tốc hạt chính đã được thiết lập, duy nhất

chi phí cao gấp nhiều lần chi phí làm mát các vật thể siêu dẫn bằng nam châm cực mạnh.

Việc phát hiện ra BC giúp làm mát chất siêu dẫn bằng nitơ lỏng (nhiệt độ sôi của nó là 77 K). Sản phẩm này rẻ hơn khoảng một nghìn lần so với helium lỏng và tính sẵn có chung của nó được chứng minh bằng thực tế là chiến thắng trong cuộc chiến vừa qua đã được tạo điều kiện thuận lợi rất nhiều nhờ việc chuyển ngành luyện kim sang vụ nổ oxy (oxy được thêm vào không khí lỏng, bao gồm 4/5 nitơ lỏng). Việc chuyển đổi sang làm mát bằng nitơ sẽ mở đường cho việc sử dụng rộng rãi chất siêu dẫn trong công nghệ trong tương lai rất gần: Các chuyên gia phương Tây ước tính rủi ro tiềm tàng của những vật liệu này vào năm 2000 là 1 tỷ USD. Và nếu độ tin cậy của tính siêu dẫn ở nhiệt độ phòng được chứng minh là đúng thì triển vọng tương ứng sẽ càng trở nên cần thiết hơn.

Đối với hầu hết các thiết bị điện (tất nhiên không bao gồm các thiết bị điện), việc tỏa nhiệt trong dây dẫn khi dòng điện chạy qua nó có nghĩa là lãng phí năng lượng và trong nhiều trường hợp - làm nóng thiết bị cực kỳ có hại, cản trở hoạt động bình thường của thiết bị. Việc sử dụng vật liệu siêu dẫn có thể triệt tiêu mạnh mẽ (về nguyên tắc là loại bỏ) các hiệu ứng nhiệt. Một nhóm lớn các ứng dụng kỹ thuật của BC dựa trên điều này.

Chúng chủ yếu bao gồm các thiết bị kỹ thuật có thiết kế bao gồm nam châm điện mạnh: máy gia tốc, máy phân tách từ, máy chụp cắt lớp y tế để sử dụng đại chúng, v.v.. Các ứng dụng BC khác có cùng bản chất có liên quan đến vận chuyển năng lượng. Thật vậy, trong các đường dây truyền tải điện, có tới 1/4 tổng năng lượng được truyền đi được sử dụng để sưởi ấm bầu khí quyển một cách đơn giản. Việc sử dụng cáp siêu dẫn cho phép giải quyết vấn đề xuyên tâm lời giải, vấn đề này vẫn còn nghiêm trọng

5

sẽ còn tăng cao hơn nữa khi việc bố trí các nguồn năng lượng (nhà máy điện thông thường và điện hạt nhân) được đảm bảo phù hợp với yêu cầu về kinh tế và an toàn của người dân.

Một nhóm ứng dụng kỹ thuật đặc biệt của BC có liên quan đến việc sử dụng các tính chất cụ thể của chất siêu dẫn và không liên quan trực tiếp đến việc không sinh nhiệt trong đó. Điều này đề cập đến các thiết bị lưu trữ năng lượng từ tính (cuộn dây siêu dẫn có dòng điện) trong kỹ thuật điện dòng cao và nhiều thiết bị trong điện tử (công tắc tốc độ cao, tế bào logic và phần tử bộ nhớ trong máy tính, dụng cụ đo chất siêu dẫn có độ chính xác cao, v.v.).

Điều này cũng bao gồm các ứng dụng BC thường góp phần chuyển đổi sang vận chuyển từ trường tốc độ cao và tiết kiệm. Ở đây, người ta cho rằng nó sử dụng một đặc tính tuyệt vời khác của chất siêu dẫn - khả năng duy trì ổn định trong không khí phía trên một nam châm mạnh (sự bay lên, hay “quan tài của Mohammed”).

Tuy nhiên, chúng ta không nên nghĩ rằng ngày mai dòng sông sữa sẽ chảy quanh mình trong những cây bạch dương chua chát. Mọi người thường có xu hướng mắc sai lầm khi đánh giá triển vọng của một khám phá khoa học mới được thực hiện. Thông thường, những lỗi này có bản chất là thiếu hiểu biết, như trường hợp của động cơ hơi nước hoặc điện. Nhưng điều ngược lại cũng có thể xảy ra, khi xuất hiện sự cám dỗ nhằm bù đắp những thâm hụt về kinh tế và xã hội của xã hội thông qua những phép lạ như BC. Chúng ta không được quên rằng không có khám phá khoa học nào có thể giải quyết được những vấn đề cần giải quyết bằng biện pháp chính trị. Trong mọi trường hợp, chỉ có một xã hội lành mạnh về kinh tế mới có thể sử dụng hiệu quả các kết quả khám phá khoa học. Chúng tôi nghĩ về tất cả những điều này khi ra ngoài ban công vào ban đêm và ngắm nhìn biển ánh sáng trong các ô LECT của những ngôi nhà ngủ. Được biết, Nữ hoàng Marie Antoinette khi biết nông dân Pháp không có đủ bánh mì đen đã hỏi: “Tại sao họ không ăn bụng?”

Cùng với việc sử dụng các tính chất vật lý của chất siêu dẫn nhiệt độ cao, những bước đầu tiên đang được thực hiện để hướng tới ứng dụng thực tế của chúng; nguyên mẫu que, dây và băng nha khoa đã được sản xuất.

(đây là dấu vết của chiếc bánh). Câu hỏi vô tình đặt ra: đó không phải là “brioche” đối với chúng ta khi không có bánh mì - sự cắt giảm cơ bản về năng lượng kinh tế?

4. Giấc mơ của BC rất có thể nảy sinh đồng thời với việc khám phá ra chất siêu dẫn. Khó có giá trị nó

6

Hai chất siêu dẫn nhiệt độ cao “lơ lửng” trong từ trường của một nam châm hình trụ – một chất ở trên nam châm, chất kia ở dưới nam châm.

nghi ngờ rằng cả Kamerlingh Onnes và người theo ông đều mơ thấy nhiệt độ tới hạn cao. Tuy nhiên, vấn đề BC xuất hiện muộn hơn nhiều trong một công thức khoa học nghiêm túc.

Một phần tư thế kỷ trước, vào năm 1964, W. Little người Mỹ và học giả Liên Xô V.L. Ginzburg đã xem xét một cơ chế đặc biệt để kết hợp các electron siêu dẫn thành từng cặp, đảm bảo nhiệt độ tới hạn tăng đáng kể.

Cơ chế mới của siêu dẫn ban đầu đã khơi dậy sự quan tâm đáng kể đến bài toán BC của nhiều nhà khoa học. Nhiều công trình lý luận đã xuất hiện trong đó tư tưởng này được đào sâu và phát triển. Nghiên cứu thực nghiệm cũng bắt đầu (tuy nhiên, kết quả chính của nó là sự xuất hiện của những hướng đi mới tại điểm giao thoa giữa vật lý và hóa học, vốn phát triển mà không có bất kỳ mối liên hệ nào với BC). Tuy nhiên, điều quan trọng nhất đã không xảy ra: ý tưởng về BC không được quần chúng đón nhận. Sự công nhận liên tục của những người đam mê (chủ yếu là chính Ginzburg) để phát triển một lĩnh vực nghiên cứu rộng rãi về BC, tập trung dịch vụ của các nhà vật lý, nhà hóa học và vật liệu vào việc tìm kiếm chất siêu dẫn nhiệt độ cao, vẫn không có đáp số.

Hơn nữa, theo thời gian, các chuyên gia đã hình thành một khuôn mẫu ổn định về thái độ tiêu cực và thường công khai đối với BC. Đa số không tin vào tính khả thi của chương trình tương ứng, và có những người vì lý do nào đó thực sự không muốn nó được thực hiện. Hai chuyên gia lớn và có thẩm quyền thậm chí còn chứng minh một định lý đặc biệt về sự cần thiết cơ bản của BC (và tác giả của những dòng này đã phải rất vất vả để bác bỏ nó). Nói chung, vào giữa những năm 70, một kiểu cô đọng hơn của chủ nghĩa hoài nghi và không tin tưởng gần như phổ biến vào chương trình BC đã hình thành.*)

Vậy chúng ta có nên ngạc nhiên rằng việc phát hiện ra BC xảy ra một cách bất ngờ và hóa ra là ngẫu nhiên về nhiều mặt? Các vật liệu do BC phát hiện không nằm trong tầm quan tâm của hầu hết các chuyên gia (mặc dù mười năm trước khi phát hiện ra BC đã có tín hiệu cho thấy các cấu trúc phức tạp như oxocuprates có thể có nhiệt độ tới hạn tương đối cao). Theo một nghĩa nào đó, các tác giả của khám phá này là những nhân vật ngẫu nhiên đến với vật lý siêu dẫn từ một lĩnh vực khác (mặc dù, có lẽ, điều này chỉ là tự nhiên: Müller và Bednorz không chịu ảnh hưởng từ sự hiện diện chung của các chuyên gia). Dữ liệu của khám phá này hóa ra là ngẫu nhiên: vào cuối những năm 70, các nhà hóa học từ nhiều quốc gia khác nhau đã quan tâm đến oxocuprate ở trạng thái mong muốn và thậm chí đã thay đổi sự phụ thuộc của điện trở của chúng vào nhiệt độ (nhưng, không nghĩ đến tính siêu dẫn, họ đã làm việc ở nhiệt độ quá cao).** Nghiên cứu như vậy

*) Thật buồn cười khi nói rằng, nhưng các thành viên của một nhóm nhỏ (trong đó có tác giả), những người đã nghiên cứu vấn đề BC trong nhiều năm, thậm chí còn hài lòng với sự hỗ trợ tinh thần từ nhà văn Haley (xem phần ngoại truyện của bài viết này).

**) Trở lại cuối những năm 60, tác giả, khi được tiếp xúc với thông tin về tổ chức nghiên cứu hóa trị ung thư ở phương Tây, đã đề xuất tạo ra một dịch vụ đặc biệt để kiểm tra tính siêu dẫn của từng loại vật liệu mới được đưa vào lưu hành khoa học. Đề xuất này không được ủng hộ - cả do vật liệu và cách tổ chức, cũng như vì ngại làm những công việc “ngớ ngẩn”. Trong khi đó, nếu nó được thực hiện, việc phát hiện ra BC sẽ không tràn ngập trong gần một thập kỷ và những người tạo ra oxocuprates sẽ không bỏ lỡ một giải thưởng Nobel chắc chắn.

7

sự vĩ đại, chẳng hạn như ở nước ta, ở Pháp.

Nếu vai trò của dư luận khoa học trong lịch sử BC thực sự như đã mô tả ở trên, thì nguyên nhân dẫn đến sự xuất hiện của hiện tượng này chắc chắn đáng được nghiên cứu. Vì cả yếu tố khách quan và tâm lý thuần túy đều đóng một vai trò ở đây, nên việc phân tích tương ứng nên được thực hiện, ngoài các nhà vật lý và hóa học, còn bởi các nhà sử học khoa học, nhà tâm lý học, và có lẽ cả những “kỹ sư có tâm hồn” viết về khoa học.

Dù thế nào đi nữa, một bài học pháp lý đã có thể được rút ra từ lịch sử của BC. Không còn nghi ngờ gì nữa, các nhà khoa học lớn và có uy tín đóng một vai trò đặc biệt trong việc định hình bầu không khí khoa học. Tất nhiên, không ai cố gắng tước bỏ quyền có quan điểm riêng của họ về tính thực tế của một chương trình khoa học, tin hay không tin vào tính khả thi của nó. Tuy nhiên, tầm quan trọng tiềm ẩn của chương trình càng cao và tên tuổi của nhà khoa học càng lớn thì anh ta càng cảm thấy trách nhiệm đạo đức lớn hơn (và anh ta sẽ càng có mục đích hơn) khi bày tỏ quan điểm của mình. Cảm ơn Chúa, các giáo viên của chúng tôi đã để lại cho chúng tôi đủ ví dụ về thái độ thực sự thông minh đối với những ý tưởng mới (tác giả chủ yếu đề cập đến trường phái vật lý lý thuyết Mandelstam-Tamm mà chính ông thuộc về).

Chúng ta không được quên rằng một tình huống tương tự như lịch sử của BC có thể lặp lại - các chương trình khoa học mới có thể xuất hiện, tính khả thi của chúng (do tầm quan trọng tiềm tàng của chúng) không rõ ràng lắm, mặc dù không thể bác bỏ nó. Các tác giả của một chương trình như vậy nên làm gì nếu họ không có đủ nguồn lực để thực hiện nó và không thể vượt qua thành kiến ​​của đồng nghiệp? Hãy chờ đợi, như trước đây, để một chương trình tương tự được triển khai ở nước ngoài, sau đó thương lượng bằng tất cả khả năng của mình, như đã xảy ra với BC? Như trước đây, hãy thử chứng minh rằng chương trình này có tầm quan trọng chiến lược đặc biệt quan trọng, với hy vọng thu phục được các bộ phận giàu có tương ứng?

Tôi muốn hy vọng rằng xã hội được tái thiết của chúng ta sẽ phát triển một cơ chế hỗ trợ về mặt đạo đức, tổ chức và/vật chất cho các chương trình như vậy, hành động (hoặc không hành động) trong đó sẽ được quyết định không phải bởi cảm xúc và tình cảm của một nhóm người nhất định, mà bằng sự đánh giá khách quan về mức độ nghiêm túc của các đề xuất liên quan.

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Cửa hàng Akademika ở Kyiv (252030 Kyiv, Lenina St., 42, Akademika) gửi tiền mặt khi giao hàng:

Sách trong bộ truyện “Viblotechka «Kvant»
Aslamazov L. G., Varlamov A. A. Vật lý tuyệt vời. — 1988. — 35k.
Ashkinazi L. A. Máy hút bụi cho khoa học và công nghệ. — 1987. — 25k.
Balk M. B., Boltyansky V. G. Hình học khối lượng. — 1987. — 30k.
Berkinbit M. B., Glagolova E. G. Điện trong cơ thể sống. — 1988. — 70k.
Bài toán Trình tối ưu hóa vật lý Moscow. — 1988. — 40k.
Zeldovich Ya. B., Khlopov M. Yu. Kịch tính của các ý tưởng trong kiến ​​thức về tự nhiên (hạt, trường, điện tích). — 1988. — 50k.
Kolmogorov A.N. Toán học - khoa học và nghề nghiệp. — 1988. — 65k.
Levinshtein M. E., Simin G. S. Barvers (Mở ra mạch thông minh). — 1987. — 75k.
Novikov I. D. Vũ trụ trông giống như một bức tường như thế nào. — 1988. — 40k.
Stasenko A. L. Vật lý bay. — 1988. — 30k.
Tikhomirov V. M. Những câu chuyện về mức tối đa và mức tối thiểu. — 1986. — 35k.
Feynman R. Cad - lý thuyết đồng quê về ánh sáng và vật chất. mỗi. từ tiếng Anh — 1988. — 45 k.
Feynman R. Bản chất của các định luật vật lý. mỗi. từ tiếng Anh Ed. Thứ 2, vòng quay. — 1987. — 45k.
Frank-Kamenetsky M.D. Phân tử quan trọng nhất. Ed. Thứ 2, làm lại và bổ sung — 1988. — 40 k.
Chernin AD Vật lý thời gian. — 1987. — 40k.

8

HÌNH ẢNH QUANG HỌC
VÀ MÁY BAY DỰ ÁN

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
V. N. DUVROVSKY,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
Y. A. SMORODINSKY

Mặt phẳng dự án

Bây giờ chúng ta sẽ chú ý hơn đến những điểm mà cho đến nay chúng ta chỉ đề cập ngắn gọn. Các điểm này là các tiêu điểm m và n, song song với “đường thấu kính” l và đi qua tiêu điểm F và F’ (hình 1). Những điểm này có liên quan đến chúng ta: người ta đã nói rằng các điểm của đường đầu tiên không được mô tả theo bất kỳ cách nào, bởi vì các tia phát ra từ chúng trở nên song song. Tương tự, các điểm của đường thẳng thứ hai dường như không đại diện cho bất cứ điều gì: các tia sáng song song với thấu kính hội tụ vào chúng. Tuy nhiên, người ta có thể không đồng ý với sự “phân biệt đối xử” như vậy. Xét cho cùng, việc nhìn thấy một nguồn sáng chính xác cũng giống như nhìn thấy những tia sáng mà nó phát ra, và một chùm tia song song không tệ hơn chùm tia trung tâm. Do đó, điều tự nhiên là coi bất kỳ chùm tia song song nào, như một chùm tia, phát ra từ một điểm xa vô tận nào đó - “tâm” của nó (câu hỏi toán học về một “ngôi sao ở xa”) và điểm của đường n, tại đó nó được hội tụ, là hình ảnh của tâm xa vô tận này. Không có chủ nghĩa thần bí nào ở đây: trong mọi trường hợp, các điểm ở vô cực là có thật cũng như các đường thẳng song song là có thật. Đồng thời, họ sẽ mang lại cái nhìn hoàn thiện cho tất cả các công trình của chúng tôi.

Hãy để chúng tôi đưa ra những định nghĩa chặt chẽ hơn. Đối với mỗi đường thẳng d của mặt phẳng, chúng ta thêm chính xác một điểm mới U_d và điểm tương tự được thêm vào tất cả các đường thẳng song song. Và tất cả những điểm mới được gộp lại thành một đường thẳng u “xa vô cùng”. Thủ tục này được gọi là hoàn thành mặt phẳng.

Trên mặt phẳng đã hoàn thành, “tiên đề của đường thẳng” được giữ nguyên—qua hai điểm bất kỳ, chỉ có thể kiểm tra được một đường thẳng. Ví dụ: nếu một trong hai điểm là điểm M “thông thường” và điểm kia là điểm ở vô cực U_d, thì đường thẳng chứa chúng đi qua M và song song với d; hệ quả duy nhất của nó là tiên đề về sự tương đương. Các kỹ thuật thỏa mãn tính chất đối xứng: hai đường thẳng bất kỳ có chính xác một điểm chung (thường hoặc vô hạn). Nói cách khác, trên một mặt phẳng hoàn chỉnh, hai đường thẳng luôn cắt nhau. Bất kỳ tập hợp điểm nào trong đó có thể nhìn thấy một hệ thống tập hợp con nhất định - “đường thẳng”, thỏa mãn hai thuộc tính * này được gọi là mặt phẳng dự án (trừu tượng). Định nghĩa rất chung chung này cho phép có nhiều cách hiểu khác nhau, bao gồm cả những “mặt phẳng” của một số điểm hữu hạn (ví dụ, xem lời giải bài toán M1113 trong «Kvant» Số 11 - 12 cho năm 1988). Việc bổ sung mặt phẳng bình thường bằng các điểm ở xa vô hạn sẽ mang lại tính thực tế của mặt phẳng thiết kế; Đây là chiếc máy bay duy nhất chúng ta đang nói đến.

Nhưng hãy quay trở lại với quang học. Bây giờ chúng ta có thể nói rằng đường lý tưởng của chúng ta tạo ra một ảnh p(A) cho

*) Để loại trừ những ví dụ hoàn toàn không thú vị, người ta thường thêm một điều nữa vào chúng: có 4 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng.

10

bất kỳ điểm nào $A$ của mặt phẳng được bổ sung và ngược lại, bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng này đều là hình ảnh của một nguồn chính xác nào đó. Đặc biệt, tập trung $F$ được biểu thị bằng một điểm ở vô cực $U_a = p(F)$ trục quang chính và chính điểm đó $U_a$ - tiêu điểm thứ hai $F' = p(U_a)$. Theo cách tương tự, bất kỳ đường thẳng nào của mặt phẳng hoàn chỉnh đều được mô tả là một đường thẳng và được mô tả là một đường thẳng. Đặc biệt, vạch ở vô cực $u$ mô tả đường tiêu điểm $m$và bề mặt được mô tả bởi tiêu điểm thứ hai $n$. Khi chúng ta nhìn thế giới qua một thấu kính, sự khác biệt giữa các phần tử ở xa vô cùng và các phần tử “bình thường” sẽ biến mất: tất cả các điểm và tất cả các đường thẳng của mặt phẳng chiếu đều bằng nhau.

Lúc đầu, thật khó để chấp nhận điều này vì một lý do đơn giản - cho đến nay chúng ta chỉ coi mặt phẳng xạ ảnh là một sản phẩm bổ sung cho mặt phẳng vật lý. Nhưng nếu bạn mở rộng trí tưởng tượng của mình một chút và nhìn nó theo cách khác, bạn có thể thấy điều gì đó thực sự bất ngờ. Đặt $\alpha$ là mặt phẳng hoàn chỉnh, $P$ một điểm bên ngoài nó (hình 2). Mỗi điểm $A$ của mặt phẳng $\alpha$ ứng với đúng một đường thẳng $PA$ đi qua tâm hình chiếu $P$ (điểm $U_a$ ở vô cực ứng với đường thẳng song song với $d$). Hãy thay thế các điểm bằng các đường thẳng tương ứng. Nói cách khác, chúng ta hãy xem xét “mặt phẳng” $\Pi$, các “điểm” trong đó sẽ là tất cả các đường thẳng có thể có trong không gian đi qua $P$, và “các đường thẳng” sẽ là các mặt phẳng đi qua $P$, chính xác hơn, mỗi “đường thẳng” là tập hợp của tất cả các đường thẳng chung (nay gọi là “điểm”) nằm trong một mặt phẳng chung; Các dấu hiệu sẽ giúp chúng ta tránh nhầm lẫn về mặt thuật ngữ. Hoàn toàn rõ ràng rằng sự tương ứng giữa các “điểm” $\Pi$ và các điểm của mặt phẳng hoàn chỉnh $\alpha$, theo sau chúng ta làm điểm xuất phát, tương ứng với từng “đường thẳng” trên $\Pi$ đường thẳng trên $\alpha$ và ngược lại. Do đó, $\Pi$ chỉ đơn giản là một mô hình khác của mặt phẳng xạ ảnh thực (việc kiểm tra trực tiếp sự đáp ứng ba tiên đề của mặt phẳng xạ ảnh đã nêu ở trên cũng không kém phần hữu ích). Và trong mô hình này không có điểm hoặc đường thẳng nào được chọn. Nhưng chúng ta có thể quay lại cách giải thích đầu tiên, giao tất cả các đường trong bó của chúng ta (tức là “điểm” $\Pi$) với bất kỳ mặt phẳng nào $\beta$ không đi qua $P$ và chúng ta có thể đồng ý trước về “đường” nào sẽ trở nên xa vô tận.

Đạt được “sự bình đẳng phổ quát” không phải là ưu điểm chính của mô hình được xây dựng trên mặt phẳng thiết kế. Chúng ta có thể giới thiệu tọa độ trên mặt phẳng xạ ảnh một cách tự nhiên (dưới dạng tọa độ của bất kỳ vectơ chỉ phương nào của một “điểm” đường thẳng cho trước), viết các phép biến đổi dự án trong các tọa độ này, v.v. Nhưng đây là chủ đề cho một bài viết khác. Bây giờ chúng ta sẽ làm lại mô hình này thêm một chút để thể hiện tốt hơn

10

Hình 3. Mặt phẳng xạ ảnh có thể được biểu diễn dưới dạng hình cầu với mối quan hệ các điểm.

Hình 6. Dải băng Myobtsus xuất hiện như thế này.

Mặt phẳng xạ ảnh có cấu trúc như thế nào?

Hãy xem xét một hình cầu có tâm tại điểm P. Bất kỳ đường thẳng nào trên đường đi của chúng ta (“điểm”) cắt nó tại hai điểm đối xứng đường kính. Chúng ta hãy lưu ý các đường thẳng của các cặp điểm này. Sau đó, mặt phẳng xạ ảnh được áp dụng cho hình cầu (hình 3), trong đó các đầu của mỗi đường kính được coi là một điểm - được xác định và các đường của mặt phẳng xạ ảnh được biểu thị bằng các vòng tròn xác định các điểm đối xứng đường kính. Mỗi cặp điểm như vậy có thể được “dán” lại với nhau bằng cách thay thế chúng bằng một điểm chung - việc này được thực hiện ở hình 4 (trong trường hợp này các biến dạng liên tục được thực hiện). Cuối cùng thì chuyện gì đã xảy ra? Vòng tròn! Vì vậy, bằng cách thêm một điểm ở xa vô cùng vào đường tổng quát, tức là biến nó thành một đường xạ, chúng ta sẽ đóng nó thành một đường tròn.

Bây giờ chúng ta sẽ cố gắng thực hiện việc dán tương tự cho toàn bộ mặt phẳng. Hãy cắt một dải vòng dọc theo màn hình từ quả cầu của chúng ta - sẽ vẫn còn hai nắp hình cầu, sau khi dán sẽ biến thành một (hình 5). Hãy cắt dây đai dọc theo hai kinh tuyến đối diện nhau (hình 6, a; các đường cắt được đánh dấu theo cách tương tự, vì chúng phải được xác định) và dán một nửa vào nửa kia. Cuối cùng, đánh dấu mặt phẳng đã tạo dọc theo đường

11

Hình 7. Chuyển đổi hình ảnh trực tiếp thành hình ảnh ngược lại.

cắt. Đây là giải thưởng đã hứa: trước khi dán, dải sẽ phải được xoắn 180°, nghĩa là kết quả sẽ là dải Möbius (hình 6, 6). Biên của nó là một đường cong khép kín, đường cong này vẫn được nối với đường tròn bao quanh hình cầu. Như vậy, mặt phẳng thiết kế là một hình cầu có một lỗ được bịt kín bằng dải Mobius. Nếu bạn muốn biết bề mặt bất thường đó trông như thế nào, hãy xem trang bìa của số báo này.

Bây giờ, thật hợp lý khi xem lại cách ảnh của một vật di chuyển dọc theo trục quang chính từ vô cực đến tiêu điểm $F$ và tiêu điểm ở xa (hình 7). Khi đến gần tiêu điểm, hình ảnh sẽ tiến đến vô cực và ngay sau khi tiêu điểm quay trở lại, nhưng ở phía bên kia (không có gì ngạc nhiên - đường thẳng bị đóng lại). Đồng thời, từ trục trực tiếp, nó trở thành nghịch đảo, xuất hiện ở phía bên kia của trục (và có thể nói, đây thực chất là một dải Mobius).

bìa của chúng tôi

Hình từ 1 đến 4 ở bìa sau cho thấy cách xây dựng một bề mặt trong không gian 3D tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng thiết kế. Bề mặt này có một đường tự giao nhau, ở hai đầu của bề mặt đó độ nhẵn của bề mặt bị phá vỡ - tại những điểm này không thể vẽ một mặt phẳng tiếp tuyến với nó. Việc tự giao nhau của hình ảnh chỉ có thể thực hiện được bằng cách đi ra ngoài không gian bốn chiều, nhưng đây là ví dụ về một bề mặt nhẵn, tương đương về mặt cấu trúc với mặt phẳng thiết kế hiện có và cắt bán cầu thành 3 lát, như minh họa trong hình 5 trên trang thứ 4 của trang bìa. Chúng ta hãy lấy một lát, biến hai cạnh của hình lục giác rơi trên đó thành các vòng (hình 6) và uốn cong bề mặt sao cho một trong các vòng (vòng $b$) nằm trên bề mặt (hình 7), vòng $a$ sẽ biến thành vòng $b$ khi xoay $R$ đến 120° quanh trục NS và tại điểm $S$ tạo thành một góc 120°. Điều tương tự cũng được thực hiện với hai lát cắt khác, được gắn vào lát cắt đầu tiên để hình thu được sẽ biến thành chính nó khi quay $R$. Bề mặt Boy được hình thành bằng cách dán các đoạn dọc theo các đường cắt và các vòng (các vòng tạo thành một đường khép kín ba thùy tự giao nhau). Trang đầu tiên của trang bìa hiển thị góc nhìn từ trên xuống của bề mặt này, từ phía của điểm $N$.

V. D.

13

ĐỐI X xứng, bất đẳng hướng
VÀ LUẬT OMA

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. N. LYKOV,
Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
D. A. PARSHIN

Có lẽ, mỗi người đều có một ý tưởng trực quan về tính đối xứng - những cánh hoa trong bông hoa, các họa tiết trang trí, các nguyên tử trong mạng tinh thể, v.v., được sắp xếp đối xứng. Có những kết nối đẹp đẽ với sự đối xứng. Và không chỉ trong nghệ thuật hay kiến ​​trúc, mà ngay cả trong toán học và vật lý. Hơn nữa, trong trường hợp sau, nó đóng một vai trò cực kỳ hữu ích: hóa ra chỉ riêng sự đối xứng được báo cáo là đủ cho lời giải trọng lượng của các câu hỏi vật lý khó. Chúng tôi sẽ cố gắng thuyết phục người đọc về điều này với sự trợ giúp của các ví dụ minh họa từ vật lý chất rắn.

Hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang đối mặt với bài toán: xác định độ dẫn điện*) của một số chất kết tinh (với những tính chất chưa được biết). Hãy cắt một mẫu hình chữ nhật từ nó và nối nó với mạch điện, như trong hình 1. Bằng cách đo dòng điện qua mẫu và điện áp trên nó, sử dụng định luật Ohm, chúng ta sẽ tìm được độ dẫn điện cụ thể $\sigma$:

$$\sigma = \frac{IL}{US}.$$

Nó không phụ thuộc vào kích thước của mẫu và do đó, dường như nó đặc trưng rõ ràng cho khả năng dẫn dòng điện của một chất nhất định. Nhưng tại sao lại là kazaLOBY? Một tinh thể có thể có nhiều giá trị dẫn điện không?

Hóa ra là có. Và điều này không có gì đáng ngạc nhiên. Hãy tưởng tượng để

*) Độ dẫn điện là giá trị nghịch đảo của điện trở $R$ của vật dẫn điện; độ dẫn điện, hay độ dẫn điện cụ thể, là nghịch đảo của điện trở suất, tức là $\sigma = 1/\rho$.

Hình 1.

Hình 2.

14

Rượu rum của môi trường voi như vậy là một tinh thể than chì. Độ dẫn liên tục của nó lớn hơn 250 lần so với độ dẫn ngang của nó.

Nhưng ngay cả khi không có lớp dẫn điện, môi trường vẫn có thể phụ thuộc vào hướng của dòng điện trong nó. Nhiều tinh thể có đặc tính này. Và đây là lý do tại sao.

hình 3 cho thấy sự sắp xếp của các nguyên tử trong một tinh thể (tất nhiên, tinh thể thật là ba chiều, nhưng bản chất của vật chất trở nên rõ ràng trong những bức ảnh phẳng). So sánh hai hướng được biểu thị bằng đường màu đỏ và màu xanh: rõ ràng là chúng không tương đương nhau. Tại sao? Chà, ít nhất là vì dọc theo cái “màu xanh”. Hãy thử chọn bất kỳ hướng nào khác, bạn sẽ thấy rằng nó không tương đương với những hướng trước đó. Điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các electron bằng cách nào đó cũng “gây sốc” cho sự không tương đương này - theo một số hướng, chúng dễ dàng di chuyển giữa các nguyên tử hơn, ở những hướng khác thì khó khăn hơn. Điều này có nghĩa là không có gì đáng ngạc nhiên khi độ dẫn điện của tinh thể có thể phụ thuộc vào hướng của dòng điện.

Môi trường có tính chất không giống nhau theo các hướng khác nhau được gọi là dị hướng. Lý do cho tính dị hướng của tinh thể, như bạn đã hiểu bây giờ, là sự không tương đương về hướng, là kết quả của sự sắp xếp đều đặn của các nguyên tử.

Một biểu hiện quan trọng khác của tính dị hướng là dòng điện trong tinh thể có thể chạy theo hướng khác với hướng của trường electron. Hãy để chúng tôi giải thích những gì chúng ta đang nói về. Từ công thức (1), rõ ràng mật độ dòng điện $j=I/S$ tỷ lệ thuận với hướng của điện trường $E=U/L$ tác dụng lên mẫu:

$$j=\sigma E.$$

Tuy nhiên, dòng điện và trường trong môi trường không chỉ được đặc trưng bởi độ lớn mà còn bởi hướng của chúng. Vectơ trường $\vec{E}$ chỉ định độ lớn và hướng của lực $\vec{F}=e\vec{E}$ tác dụng lên mỗi điện tích $e$. Dưới tác dụng của lực này, các electron chuyển động trung bình với một vận tốc nhất định $\vec{v}$. Vectơ mật độ dòng điện $\vec{j}$, để cho ngắn gọn chúng ta gọi đơn giản là vectơ dòng điện, song song với vận tốc trung bình của các electron $\vec{v}^*$). Định luật Ohm, được viết dưới dạng (2), chỉ liên hệ độ lớn của dòng điện $j$ và trường tác dụng bên ngoài, nhưng không nói gì về hướng tương đối của vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$.

“Cô ấy thật thô lỗ,” bạn nói. — Trường $\vec{E}$ và lực $\vec{F}$ song song với nhau. Tốc độ trung bình của các electron $\vec{v}$ song song với lực tác dụng $\vec{F}$. Và dòng điện $\vec{j}$ song song với $\vec{v}$. Điều này có nghĩa là các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ cũng song song và cùng nhau (2) chúng ta có thể viết:

$$\vec{j}=\sigma \vec{E}.$$

Rất đơn giản!>

Lý do này có đúng không? Đúng… nếu chúng ta đang nói về một môi trường được sản xuất - một môi trường trong đó mọi hướng đều tương đương nhau. Khi tất cả các hướng đều tương đương nhau, các electron không quan tâm chúng đi theo hướng nào và khi chúng ta tác dụng một trường ngoài, chúng không cần phải chọn—vectơ $\vec{E}$ cho một hình ảnh duy nhất về hướng. Dòng điện $\vec{j}$ sẽ chạy dọc theo nó.

Nhưng khi nói đến tinh thể, không thể bỏ qua tính dị hướng! Trong bất kỳ tinh thể nào cũng có rất nhiều lựa chọn về các hướng không tương đương (hãy nhớ hình 3). Về vấn đề này, hướng $\vec{E}$ chỉ là một trong số đó, được làm nổi bật theo quan điểm chuyển động của các electron. Qua-

*) Dễ dàng chứng minh rằng $\vec{j}=env$, trong đó $n$ là số electron trong một đơn vị thể tích chuyển động với vận tốc $\vec{v}$. Điện tích của electron $e$ là âm nên $\vec{j}$ và $\vec{v}$ hướng vào nhau.

15

điều này không thể được lập luận theo cách giống như trong trường hợp đẳng hướng. Điểm yếu trong lý luận của chúng ta là ở chỗ chúng ta nói về tính song song của các vectơ $\vec{v}$ và $\vec{F}$. Trong môi trường dị hướng, chúng có thể không chính xác và khi đó các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ sẽ không song song! Bạn có thể hình dung trực quan tình huống này như thế này.

Ngoại lực $\vec{F} = e\vec{E}$ đẩy các electron “xuyên qua hệ thống” nguyên tử và trong đó có các hướng chuyển động “dễ” và “khó”. Khi va chạm với các nguyên tử, một electron thường thay đổi hướng bay của nó và chỉ ở mức trung bình chúng ta mới có thể nói về electron chuyển động theo đường thẳng. Sau khi vượt qua nhiều khoảng cách cơ học, anh ta có thể chuyển hướng theo hướng “dễ” hơn là theo hướng “khó”, và hơn nữa, không nhất thiết phải dọc theo $\vec{F}$. Tất cả phụ thuộc vào chi tiết tương tác của electron với nguyên tử và hướng của trường $\vec{E}$ so với các hướng tinh thể dễ thấy nhất.

Người đọc chu đáo có lẽ đã sẵn sàng đặt một câu hỏi phức tạp: trong các thử nghiệm của chúng tôi (hình 1) trường luôn được áp dụng dọc theo mẫu và dòng điện, chắc chắn, cũng chỉ có thể được áp dụng dọc theo mẫu. Sự song song của vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ ở đây là gì?

Chúng tôi thừa nhận rằng đây là một thực tế quan trọng giúp loại bỏ sự hiểu lầm này khỏi bạn. Chúng tôi không nói rằng (tất cả đều do tính dị hướng giống nhau) trường $\vec{E}$, gây ra dòng điện $\vec{j}$ trong độ dày của tinh thể, không nhất thiết phải có điện trường có hướng $U/L$ tác dụng dọc theo mẫu. Không có kích thước cũng như hướng. Một hình ảnh có thể có trong trường hợp môi trường dị hướng được hiển thị trong hình 4, trong đó bạn thấy kết quả của một chuỗi sự kiện,

Hình 4.

xảy ra kể từ thời điểm áp dụng vào mẫu. Tại thời điểm này, các electron bắt đầu bị ảnh hưởng bởi trường tác dụng dọc theo mẫu—vectơ $\vec{E}_{\parallel}$ trên hình 4. Dòng điện tạo ra, như đã đề cập, do tính dị hướng của môi trường, có thể có hướng khác nhau, chẳng hạn như sang phải và hơi hướng lên trên (các electron hơi di chuyển xuống dưới và hơi hướng xuống dưới). Sự thay đổi theo chiều ngang của các electron sẽ dẫn đến thực tế là các mặt của mẫu bắt đầu tích điện (cực dương trên, âm dưới) và trường ngang $\vec{E}_{\perp}$, bổ sung cho ứng dụng, sẽ xuất hiện trong mẫu. Nhưng bản thân nó ngăn cản chuyển động ngang đi xuống của các electron nên nó chỉ tăng cho đến khi chuyển động này dừng lại. Tất cả điều này xảy ra trong chớp mắt (trong một số $10^{-13}$ s) và sau đó hình ảnh không thay đổi: dòng điện $\vec{j}$ tiếp tục chạy dọc theo mẫu, nhưng trường kết quả $\vec{E} = \vec{E}_{\parallel} + \vec{E}_{\perp}$ hướng vào một góc với nó. Nhân tiện, điều này rất dễ kiểm tra - giữa ranh giới trên và ranh giới dưới sẽ có sự khác biệt tiềm năng do thành phần bổ sung $\vec{E}_{\perp}$ của vectơ trường $\vec{E}$. Thực tế này được tiết lộ thông qua kinh nghiệm.

Vì vậy, lần đầu tiên làm quen với định luật Ohm đối với vật dẫn dị hướng cho thấy rằng độ dẫn điện của tinh thể nói chung là khác nhau theo các hướng khác nhau và dòng điện $\vec{j}$ có thể chính xác vuông góc với điện trường $\vec{E}$.

“Có vẻ như,” một trong những độc giả sẽ nghĩ, “chúng ta đã đối đầu với neopolnuyu bài toán! Có thực sự có vô số thay đổi được thực hiện cho mỗi dòng suy nghĩ không?

Không, tình hình đã được tha thứ. Chúng ta sẽ tìm ra điều này sau khi đưa ra định luật Ohm một dạng toán học rõ ràng. Và mọi thứ sẽ hoàn toàn đơn giản trong trường hợp tinh thể có tính đối xứng đủ cao. Bây giờ chúng ta sẽ nói về cô ấy theo cách khác.

Trên hình 3 một ví dụ về cấu trúc tinh thể đã được đưa ra trong đó

16

bầy đàn mọi hướng đều không tương đương. Hãy xem các ví dụ khác, lần này là ba chiều. Nếu không phải là một nghệ sĩ lành nghề, thật khó để truyền tải một bức tranh có thể được hé lộ cho một “du khách” dạo quanh bên trong tinh thể và chiêm ngưỡng phối cảnh của các hàng nguyên tử có trật tự. Do đó, chỉ có những mảnh nhỏ của ba loại cấu trúc tinh thể khác nhau được thể hiện trên Hình 5-7.

Trên hình 5 nguyên tử nằm ở các đỉnh của một hình song song xiên không đáng kể. Tinh thể này (giống như tinh thể hai chiều của nó ở hình 3) không có hướng tương đương. Nhưng những ví dụ sau đây thú vị hơn. Trên hình, 6 nguyên tử nằm ở các đỉnh của một hình song song hình chữ nhật và các đường thẳng, được ký hiệu bằng ký hiệu $C_2$, được vẽ qua tâm vuông góc với các mặt. Trên hình 7, trong đó hình khối được mô tả thay vì hình song song, các đường tương tự được bù bằng ký hiệu $C_4$ và ngoài ra, đường chéo không gian của hình khối được vẽ - $C_3$. Có gì đặc biệt ở tất cả những dòng này?

Các đường $C_2$, $C_3$, $C_4$ là các trục đối xứng của các cấu trúc tinh thể được hiển thị trong Hình 6 và 7. Đây là tên được đặt cho các hướng được phân biệt bởi thực tế là, bằng cách quay toàn bộ, người ta có thể thu được sự sắp xếp các nguyên tử hoàn toàn không thể phân biệt được với hướng ban đầu. Tất cả những gì bạn phải làm là chọn một góc xoay nhất định: $180^\circ$ cho trục $C_2$, $120^\circ$ cho trục $C_3$, $90^\circ$ cho trục $C_4$ - tức là $2\pi/n$ cho trục $C_n$; bội số của các giá trị góc quay này cũng phù hợp vì các câu trả lời được chỉ ra nhiều lần ở trên cùng. Nhân tiện, $C_n$ là tên gọi chung được chấp nhận của trục đối xứng; số $n$ được gọi là “thứ tự” của nó.

Từ quan điểm đối xứng, chúng ta có thể làm rõ khái niệm tương đương về hướng: mọi hướng “biến thành nhau” khi quay quanh đối xứng đều tương đương.

Tinh thể càng có nhiều trục bậc cao thì càng có nhiều hướng tương đương, tính đối xứng càng cạnh tranh mạnh mẽ với tính dị hướng. Bây giờ bạn sẽ thấy sự cạnh tranh này liên quan như thế nào đến độ dẫn điện, nhưng còn quá sớm để tìm ra ví dụ về các hướng tương đương và không tương đương trong các cấu trúc tinh thể được hiển thị trong Hình 6 và 7. Đặc biệt, điều quan trọng đối với chúng ta là trong tinh thể lập phương, bản thân các trục $C_4$ là các hướng tương đương (chuyển tiếp sang nhau khi quay quanh $C_3$), còn các trục tương tự $C_2$ trên hình 6 thì không tương đương.

Chà, làm thế nào chúng ta có thể áp dụng thực tế các thông điệp về tính đối xứng cho câu hỏi về độ dẫn điện? Hãy thể hiện điều này bằng các ví dụ. Hãy bắt đầu với trường hợp tinh thể có ba trục đối xứng vuông góc lẫn nhau (không tương đương) $C_2$ (như trong hình 6). Để thuận tiện, hãy đánh số chúng - 1, 2, 3 (xem hình 8). Chúng ta hãy tự hỏi: chính xác thì dòng điện $\vec{j}$ sẽ ở đâu nếu trường $\vec{E}$ hướng dọc theo một trong các trục bậc hai, chẳng hạn như dọc theo trục 1? Đáp số hóa ra lại đơn giản đến không ngờ - dòng điện sẽ chạy dọc theo cùng một trục đối xứng, song song

17

cánh đồng! Hãy chứng minh điều này bằng phản chứng.

Giả sử rằng dòng điện $\vec{j}$ chạy theo một góc với trục đối xứng 1. Chúng ta hãy xoay tinh thể cùng với trường $\vec{E}$ áp dụng cho nó một góc $180^\circ$ quanh trục này. Rõ ràng, khi đó mọi thứ bên trong tinh thể - “đứng” của các nguyên tử và dòng electron tùy ý của nó - cũng sẽ quay. Và, vì vectơ $\vec{j}$ không được cho là song song với trục quay nên hướng mới của nó, được hiển thị dưới dạng đường chấm trong hình 8, sẽ khác với hướng ban đầu. Nhưng hình ảnh lò vi sóng xác định hướng của dòng điện $\vec{j}$, sau khi quay như vậy, trông giống như trước: vị trí mới của các nguyên tử không thể phân biệt được với vị trí ban đầu đầu tiên, và trường $\vec{E}$ đã và vẫn song song với hướng 1. Điều này có nghĩa là hướng của dòng điện $\vec{j}$ phải giống nhau.

Như vậy, chúng ta đã đi đến mâu thuẫn và cách duy nhất để tránh nó là thừa nhận rằng trong trường hợp này vectơ $\vec{j}$ có hướng giống như vectơ $\vec{E}$ - dọc theo trục 1 (hình 9).

Hơn nữa, kết luận này không nhạy cảm với các chi tiết về cấu trúc vi mô của tinh thể - không cần thiết phải tìm ra chính xác vị trí của các nguyên tử và hướng nào là dễ dàng nhất để các electron di chuyển. Nguồn gốc của các trục đối xứng khác cũng không được sử dụng. Ngay cả thứ tự của trục đối xứng mà trường $\vec{E}$ hướng dọc theo cũng không quan trọng - lý do sẽ vẫn hợp lệ đối với bất kỳ giá trị nào của góc quay (không phải bội số của $360^\circ$), chúng tôi giả định bằng tính đối xứng.

Do đó, nếu tinh thể có trục đối xứng và trường $\vec{E}$ hướng dọc theo nó thì dòng điện $\vec{j}$ chạy dọc theo trường. Trong những điều kiện này, mối liên hệ giữa $\vec{j}$ và $\vec{E}$ được cho bởi đẳng thức (3), trong đó hệ số tỉ lệ $\sigma$ trong trường hợp này là độ dẫn điện dọc theo trục đối xứng này. Chúng ta thực hiện phép đo (hình 1) trên một mẫu được cắt dọc theo trục đối xứng của tinh thể, chúng ta có thể tìm thấy $\sigma$ bằng công thức (1). Thật vậy, không giống như tình huống được mô tả ở hình 4, trường chắc chắn sẽ không có các thành phần ngang với dòng điện; do đó $E = U/L$, và (1) ngay sau (3).

Tương ứng, ba phép đo trên các mẫu định hướng dọc theo trục đối xứng 1, 2, 3, cho chúng ta ba giá trị độ dẫn điện: $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Rõ ràng là, nói chung, chúng hóa ra khác nhau, vì hướng 1, 2, 3 không tương đương:

$$\sigma_1 \neq \sigma_2 \neq \sigma_3.$$

Hình ảnh sẽ như thế nào nếu trường $\vec{E}$ trong tinh thể của chúng ta không hướng dọc theo trục đối xứng? Dòng $\vec{j}$ hiện tại đi đâu? Để hiểu điều này, chúng ta hãy tìm hình chiếu của vectơ $\vec{E}$ trên trục 1, 2, 3, tức là tưởng tượng trường dưới dạng tổng $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3$ (hình 10). Bây giờ chúng ta hãy xem mỗi thuật ngữ đóng góp gì cho hiện tại.

Trường $\vec{E}_1$ hướng dọc theo trục đối xứng 1 và do đó tạo ra dòng điện cùng hướng:

$$\vec{j}_1 = \sigma_1 \vec{E}_1.$$

Tương tự, hai thành phần trường còn lại tạo ra dòng điện dọc theo trục đối xứng 2 và 3:

$$\vec{j}_2 = \sigma_2 \vec{E}_2, \quad \vec{j}_3 = \sigma_3 \vec{E}_3.$$

18

Các mối quan hệ này xác định dòng điện kết quả $\vec{j} = \vec{j}_1 + \vec{j}_2 + \vec{j}_3$:

$$\vec{j} = \sigma_1 \vec{E}_1 + \sigma_2 \vec{E}_2 + \sigma_3 \vec{E}_3.$$ (5)

Do bất đẳng thức (4) nên tỷ số hình chiếu dòng điện và trường ($j_1/E_1 = \sigma_1$, v.v.) đối với các hướng 1, 2, 3 không giống nhau. Điều này có nghĩa là các vectơ $\vec{j}$ và $\vec{E}$ không song song (hình 11). Thực tế này, không hề mới đối với chúng ta, như chúng ta thấy, liên quan trực tiếp đến sự khác biệt về độ dẫn điện theo các hướng khác nhau.

Và đây là điều thú vị. Công thức (5) cho chúng ta biết: đối với bất kỳ hướng nào của trường $\vec{E}$, độ lớn và hướng của dòng điện $\vec{j}$ chỉ được xác định hoàn toàn bởi các giá trị độ dẫn dọc theo trục đối xứng của tinh thể chúng ta. Không có vấn đề về vô số chiều; chỉ cần tìm $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$ là đủ. Đúng, trước tiên chúng ta cần tìm hướng của các trục đối xứng, nhưng đó lại là một câu chuyện khác.

Ví dụ tiếp theo là tinh thể lập phương (hình 7). Nhưng đây là trường hợp đặc biệt của lần trước? Đúng. Và đồng thời thú vị nhất! Thứ nhất, tính đối xứng bậc ba là khả thi nhất đối với tinh thể. Thứ hai, nó được sở hữu bởi các chất bán dẫn tinh thể rất quan trọng cho thực hành - Ge, Si, v.v. Thứ ba, đây sẽ là ví dụ nổi bật nhất về ảnh hưởng của tính đối xứng đến độ dẫn điện của tinh thể.

Vì vậy, có ba trục đối xứng vuông góc với nhau $C_4$. Các giá trị độ dẫn dọc theo chúng sẽ vẫn được ký hiệu là $\sigma_1$, $\sigma_2$, $\sigma_3$. Sau đó, cách suy luận của từ tại, mà chúng ta đã biết, dẫn đến công thức (5), công thức này đúng cho bất kỳ hướng nào của vectơ $\vec{E}$. Bây giờ hãy nhớ rằng cả ba hướng $C_4$ trong tinh thể lập phương đều tương đương với nhau. Và từ đó, như bạn đồng ý, nó dẫn đến điều đó

$$\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma.$$ (6)

Đúng, tính đối xứng đảm bảo độ dẫn điện dọc theo ba hướng này là như nhau. Nhưng chỉ dọc theo họ? Thật vậy, xét đến (6), công thức (5) biến… thành công thức (3), mà chúng ta gọi là định luật Ohm đối với môi trường sản xuất -

$$\vec{j} = \sigma \vec{E}_1 + \sigma \vec{E}_2 + \sigma \vec{E}_3 = \sigma (\vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3) = \sigma \vec{E},$$

tức là, thứ nhất, bất kể hướng của trường tác dụng $\vec{E}$, dòng điện $\vec{j}$ luôn song song với trường $\vec{E}$ và thứ hai, cường độ của nó chỉ được xác định bởi một giá trị độ dẫn điện $\sigma$. Độ dẫn điện của tinh thể lập phương là như nhau theo mọi hướng!

Chẳng phải kết quả thật bất ngờ và chắc chắn là đẹp sao? Xét cho cùng, không phải tất cả các hướng trong tinh thể lập phương đều tương đương nhau - ví dụ: so sánh các đường $C_4$ và $C_3$ trên hình 7. Cả hai đều là trục đối xứng và dòng điện tất nhiên sẽ song song với trường $\vec{E}$ nếu nó được áp dụng dọc theo bất kỳ trục nào trong số chúng. Nhưng tại sao dòng điện lại giống nhau ở cả hai hướng $\vec{E}$? Rốt cuộc, các điện cực “làm choáng váng” sự tương đương về hướng, và điều này dường như sẽ biểu hiện ở các giá trị khác nhau của độ dẫn tương ứng. Nhưng không! Việc cắt mẫu theo hướng nào không quan trọng, các phép đo phải là một giá trị duy nhất $\sigma$. Và chúng ta vừa chứng minh nó chỉ dựa trên thông điệp đối xứng.

Vì vậy, trong trường hợp này, tính đối xứng đã hoàn toàn đánh bại tính dị hướng: xét về độ dẫn điện, tinh thể lập phương tương tự như một môi trường đã được chuẩn bị sẵn trong đó, như đã đề cập, mọi hướng đều tương đương nhau.

Thật thú vị khi so sánh cấu trúc kính hiển vi của tinh thể và môi trường đã chuẩn bị. Một ví dụ về cái sau

19

Sẽ có một cơ thể vô định hình, đặc trưng bởi sự sắp xếp hoàn toàn ngẫu nhiên của các nguyên tử. Bạn nói, sự sắp xếp này hoàn toàn không đối xứng - bất kỳ phép quay nào (không phải bội số của 360°) sẽ cho các hình ảnh khác nhau. Nhưng tất cả các bức ảnh sẽ bị xáo trộn như nhau và theo nghĩa này không khác gì bức ảnh gốc. Sự hỗn loạn làm đồng đều (đồng nhất) các đặc tính của môi trường theo mọi hướng. Nó làm cho tất cả các hướng tương đương. Điều này có nghĩa là, nghịch lý thay, tính đối xứng có hướng trong một vật thể vô định hình lại cao hơn cả trong tinh thể lập phương! Bất kỳ hướng nào cũng là một trục đối xứng. Theo quan điểm này, định luật Ohm (3) dành cho phương tiện sản xuất của từng chân lý cơ bản đơn giản.

Vâng, tính đối xứng có hướng là tốt. Nhưng còn sự sống thì sao nếu nó hoàn toàn không tồn tại (ví dụ, tinh thể ở hình 5 không có một trục đối xứng)? Chúng ta sẽ phải chuyển sang định luật Ohm ở dạng tổng quát nhất. Hãy thử cài đặt nó.

Chúng ta hãy chọn tùy ý ba hướng vuông góc với nhau $x, y, z$ (trục tọa độ). Chúng ta hãy phân tách trường $\vec{E}$ thành các thành phần $E_x, E_y, E_z$. Chúng ta cũng sẽ tìm Tok $\vec{j}$ ở dạng ba thành phần $j_x, j_y, j_z$.

$j_x$ bao gồm những gì? Trục tọa độ chưa phải là trục đối xứng! Khi tova, được tạo bởi ba thành phần của trường, không nhất thiết phải có chính xác dọc theo trục $x, y$ và $z$. Điều này có nghĩa là mỗi dòng điện sẽ có các thành phần $x-, y-$ và $z$, tức là không chỉ thành phần $x$ của trường mà còn cả các thành phần $y-$ và $z$ của vectơ $\vec{E}$ đóng góp tỷ lệ thuận với $j_x$. Chúng ta hãy biểu thị sự tương ứng của các hệ số tỷ lệ bằng $\sigma_{xx}, \sigma_{xy}, \sigma_{zx}$.

$j_y$ và $j_z$ bao gồm những gì? Đáp số gần như nguyên văn giống như lần trước, chỉ có hệ số là khác nhau.

Vì thế:

$$\begin{align*} i_x &= \sigma_{xx} E_x + \sigma_{xy} E_y + \sigma_{zx} E_z, \\ j_y &= \sigma_{yx} E_x + \sigma_{yy} E_y + \sigma_{yz} E_z, \\ j_z &= \sigma_{zx} E_x + \sigma_{zy} E_y + \sigma_{zz} E_z. \end{align*}$$

Ba đẳng thức này thể hiện định luật Ohm đối với môi trường có năng lượng sinh ra

21

TRONG THẾ GIỚI BÍ ẨN CỦA HÀNG VÔ TẬN

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
N. Y. VILENKIN

Cách và cách không xử lý hàng

Toán học Hy Lạp cổ đại thể hiện trong các cuộc tranh luận về cái vô hạn. Trở lại thế kỷ thứ 5 trước Công nguyên. đ. Nhà triết học Zeno xứ Elea đã cho thấy hậu quả của việc xử lý bất cẩn khái niệm tanistic này. Chẳng hạn, anh ta “chứng minh” rằng Achilles nhanh nhẹn không bao giờ chạm tới con rùa đang bò chậm, rằng mũi tên nhẹ nhất không bao giờ di chuyển khỏi vị trí của nó, và những điều nghịch lý không kém khác. Cơ sở của những nghịch lý này là khả năng chia một đoạn thành vô số phần không bằng nhau. Để làm được điều này, trước tiên chỉ cần chia đoạn đó làm đôi, sau đó chia một trong các phần thu được thành một nửa lần nữa và tiếp tục thao tác này vô tận nhiều lần (trong toán học dân gian, phương pháp này được khuyên dùng để giết một con sư tử trên sa mạc, nhưng không phải chia đoạn mà chia sa mạc làm đôi).

Sau những nghịch lý của Zeno, khái niệm vô hạn đã bị loại khỏi toán học trong một thời gian dài và chỉ đến thế kỷ 17 nó mới được phục hồi. Không có ông, việc tạo ra một ngành khoa học mới - phân tích toán học - là điều không tưởng. Và một trong những phương tiện mạnh mẽ nhất của khoa học này là chuỗi vô hạn, tức là các tổng bao gồm vô số số hạng. Rốt cuộc, lý luận của Zeno đã quen thuộc rằng tổng thể bao gồm tổng của một nửa, một phần tư, một phần tám, v.v., tức là nó dựa trên sự bình đẳng

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots = 1.$$ (1)

Sẽ rõ ràng hơn nếu chúng ta tưởng tượng rằng nửa đầu của đoạn có độ dài 1 bị cắt đi, sau đó là một nửa của phần còn lại và việc “cắt” này được tiếp tục cho đến hết. Rõ ràng là không còn gì của đoạn đó, tức là tổng chiều dài của các phần bị cắt bằng 1. Và điều này được thể hiện bằng đẳng thức (1).

Tổng quát hơn (1) là đẳng thức

$$1 + q + q^2 + \dots + q^n + \dots = \frac{1}{1-q}.$$ (2)

Tất nhiên, điều đó chỉ đúng nếu $|q| < 1$ - trong trường hợp này, mô hình số hạng bị loại bỏ và giá trị của tổng $1 + q + \dots + q^{n-1}$ của $n$ số hạng đầu tiên tiến đến $\frac{1}{1-q}$ khi $n$ tăng lên. Nhưng vào thế kỷ 18, các nhà khoa học đã cố gắng sử dụng đẳng thức này cho bất kỳ giá trị nào của $q$. Ví dụ: đặt $q = -1$, họ có đẳng thức

$$1 - 1 + 1 - 1 + 1 + \dots = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2},$$

và cho $q = 3$ - bình đẳng

$$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^n + \dots = \frac{1}{1-3} = -\frac{1}{2}.$$

Nói chung, vào thế kỷ 18, chuỗi hữu hạn được coi là tổng hữu hạn. Không cần phải lo lắng về bất cứ điều gì, các số hạng trong đó đã được sắp xếp lại, hai chuỗi hữu hạn được nhân với nhau như các đa thức thông thường, v.v. Nhưng sau đó người ta phát hiện ra rằng với cách tiếp cận này, tổng của một nửa số có thể trở thành số âm (như chúng ta đã thấy).

22

dili), và việc sắp xếp lại các số hạng của chuỗi sẽ làm thay đổi tổng của nó. Điều này cho thấy vô cực có quy luật riêng - không phải quy luật của thế giới hữu hạn

Ví dụ, người ta có thể chứng minh rằng tổng của chuỗi
$$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots + \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \dots$$
tích cực. Hãy biểu thị nó bằng chữ cái $S$. (Trên thực tế, $S = \ln 2$, nhưng điều này không quan trọng đối với chúng tôi.) Bây giờ hãy sắp xếp lại các thuật ngữ của loạt bài này như thế này:
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Vì vậy, chỉ bằng cách sắp xếp lại các số hạng của dãy (3), tổng của nó đã giảm đi một nửa! Và sự sắp xếp lại
$$1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3} - \frac{1}{8} - \frac{1}{10} - \frac{1}{12} + \dots = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots \right) = \frac{1}{2} S.$$
Thứ hai làm giảm số tiền này. Không khó để nhân đôi tổng của chuỗi (3) - để làm được điều này, bạn cần sắp xếp lại các số hạng của nó như thế này:
$$1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} + \dots$$
Nói chung, có thể chứng minh rằng việc sắp xếp lại các số hạng một cách thích hợp sẽ làm cho chuỗi này có tổng theo bất kỳ hướng số nào.

Các nhà toán học hiện đại được đào tạo để xử lý chuỗi vô hạn một cách thận trọng. Các nhà khoa học của thế kỷ 18 không biết tất cả những điều tinh tế này, nhưng sự táo bạo khi xử lý những loạt phim như vậy thường mang lại cho họ những chiến thắng bất ngờ. Và người dũng cảm và thành công nhất là học giả St. Petersburg Leonhard Euler (1707-1783). Các tác phẩm được sưu tầm của ông kéo dài vài thập kỷ sau cái chết của nhà khoa học, tác phẩm của ông đã được xuất bản trong kỷ yếu của Viện Hàn lâm Khoa học St.

Chuỗi và vô cực của số nguyên tố
Kể từ thời Euclid, một định lý đã được biết đến: có vô số số nguyên tố. Euler đã đưa ra một cách chứng minh mới cực kỳ tài tình cho định lý này. Chúng ta đặt $q = \frac{1}{p}$ vào công thức (2), trong đó $p$ là số nguyên tố, tức là $p = 2, 3, 5, 7, 11, \dots$. Chúng ta có được đẳng thức
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots,$$
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots.$$
Giả sử số lượng số nguyên tố là hữu hạn. Khi đó trong số các đẳng thức (4) sẽ có đẳng thức cuối cùng. Sắp xếp các đẳng thức này cho mọi số nguyên tố, ta được
$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}} = \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{5} + \frac{1}{5^2} + \dots + \frac{1}{5^n} + \dots \right) \times \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \dots + \frac{1}{p^n} + \dots \right).$$
Chúng ta hãy mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức (5). Chúng ta nhận được tổng các số hạng có dạng $1/2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$, trong đó $k_2, k_3, k_5, \dots, k_p$ là các số nguyên không âm tùy ý. Vì chúng ta giả định rằng không có số nguyên tố nào khác ngoại trừ 2, 3, 5, …, $p$

23

tồn tại và mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều có thể phân tích một cách duy nhất thành tích của các số nguyên tố, khi đó trong số các số $2^{k_2}3^{k_3}5^{k_5}...p^{k_p}$ mọi số tự nhiên đều xuất hiện một lần. Vì vậy, ở bên phải chúng ta sẽ nhận được tổng của một chuỗi vô hạn

$$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} + \dots$$

Và chúng ta sẽ nhận được chuỗi (6) có tổng hữu hạn.

Nhưng từ lâu người ta đã biết rằng điều này không phải như vậy. Thật vậy, từ bất đẳng thức

$$\frac{1}{3} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{4} \geq \frac{1}{4}, \frac{1}{5} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{6} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{7} \geq \frac{1}{8}, \frac{1}{8} \geq \frac{1}{8},$$

$$\frac{1}{9} \geq \frac{1}{16},$$

suy ra tổng của chuỗi (6) không thể nhỏ hơn tổng của chuỗi

$$1 + \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) +$$

$$+ \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \dots$$

Nhưng tổng các số trong mỗi ngoặc bằng $\frac{1}{2}$, và phép gấp vô hạn có nhiều “nửa”, ta được vô cực. Và hóa ra con số cuối cùng

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \cdot \dots \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{p}}$$

bằng vô cùng! Mâu thuẫn này cho thấy giả định của chúng ta về tính hữu hạn của tập hợp số nguyên tố là sai và do đó có vô số số nguyên tố.

hàm Zeta

Một độc giả quen thuộc với cách chứng minh cổ điển của định lý số nguyên tố sẽ thất vọng nói rằng chứng minh mới không đơn giản hơn

cái mà Euclid đã nghĩ ra cách đây hơn hai nghìn năm. Đúng vậy, nhưng hóa ra từ chứng minh của Euler người ta cũng có thể học được những điều về các số nguyên tố không thể suy ra được từ chứng minh của ενClide. Để làm điều này, bạn cần tạo thành một chuỗi

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots$$

và nghiên cứu hành vi của nó đối với tất cả các giá trị có thể có của $z$. Do tầm quan trọng đặc biệt của tổng của chuỗi (7), nó nên được chỉ định là $\zeta(z)$ và được gọi là дзета-функцией.

Hóa ra câu hỏi về tần suất xuất hiện của các số nguyên tố trong số tự nhiên phụ thuộc chính xác vào hoạt động của hàm zeta $\zeta(z)$ đối với các giá trị phức $z$. Tất nhiên, chúng ta chỉ có thể nói về những giá trị này nếu chúng ta giảm các con số xuống mức độ phức tạp. Và điều này được thực hiện bằng cách sử dụng công thức do Euler

$$e^{ix} = \cos x + i \sin x,$$

mà chúng ta sẽ nói về sau.

Câu hỏi chính mà lời giải phụ thuộc vào việc đánh giá các bài toán lý thuyết số là như sau: tại giá trị nào của $z$ thì hàm zeta biến mất? Trở lại nửa sau thế kỷ 19, nhà toán học nổi tiếng người Đức W. Riemann (1826–1866) đã đề xuất rằng tất cả các giá trị này (chúng được gọi là hàm нулями zeta) đều phức tạp và có dạng $z_k = \frac{1}{2} + iy_k$. Các nhà toán học đã có rất nhiều nỗ lực thành công để chứng minh nhận định này. Nhưng cho đến nay vẫn chưa có ai thành công, mặc dù một số người khẳng định đã tìm ra bằng chứng. Để kiểm tra khẳng định của Riemann, máy tính tốc độ cao đã được giới thiệu. Với sự giúp đỡ của họ, người ta có thể tìm thấy hàng triệu số 0 của hàm zeta. Họ đều có ngoại hình giống hệt như Riemann dự đoán. Nếu tôi quyết định bất kỳ vấn đề vật lý hoặc sinh học nào, sẽ không ai nghi ngờ rằng Riemann đã đúng - một giả thuyết, được xác nhận bởi hàng triệu thí nghiệm, trở thành một tuyên bố tất yếu trong những nghiên cứu này. Nhưng toán học không như vậy - nó xử lý vô số số tự nhiên, và đột nhiên giả thuyết Riemann trở thành sai!

Toán học quan tâm là giá trị của hàm zeta và đối với $z$ tự nhiên. Đối với bốn $z$, các giá trị này đã được Euler tính toán, một lần nữa thể hiện khả năng xử lý thành thạo liên tục

24

Và

$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!} + \dots$$

Đối với một nhà toán học hiện đại, việc rút ra các công thức (10)-(12) ở trên sẽ là mục tiêu cho nhiều trò đùa khác nhau. “Chúa ơi,” anh ta sẽ nói, “làm sao người ta biết rằng các hàm $e^x$, sin $x$, cos $x$ thường được mở rộng thành chuỗi lũy thừa? Và ai đã nói rằng chuỗi vô hạn có thể được đạo hàm theo các quy tắc giống như chuỗi đa thức? Xét cho cùng, tổng tùy ý của một tập hợp vô hạn các số hạng không phải lúc nào cũng bằng tổng các đạo hàm của nó và nói chung là không thể tích phân từng số hạng.” Và vân vân, vân vân. Và điều đáng buồn nhất là anh ấy sẽ hoàn toàn đúng. Nhưng vào thế kỷ 18, họ không biết đến những điều tinh tế này và được hướng dẫn bởi quy tắc “Làm việc và niềm tin sẽ đến với bạn”, các nhà toán học đã rút ra những công thức tuyệt vời, để lại cho con cháu của họ những bằng chứng nghiêm ngặt về kết quả thu được bằng việc làm.

Hơn nữa, họ đã mạnh dạn sử dụng cách mở rộng chuỗi không chỉ cho hoạt động mà còn cho các giá trị phức tạp của một đối số. Điều này cho phép họ tìm các giá trị lũy thừa với số mũ phức, sin và cosin của số phức. Việc xem xét các hàm trong một miền phức tạp cho phép chúng ta thiết lập các thuộc tính ẩn của chúng.

Nhiều tính chất trong số này có liên quan đến công thức Euler (8) đã đề cập ở trên. Để chứng minh điều đó, chỉ cần thay $ix$ thành chuỗi (10) cùng với $x$, sau đó nhóm riêng các số hạng chứa $i$ và các số hạng không chứa $i$. Hãy tự mình thực hiện những tính toán này. Từ công thức Euler, nó tiếp tục suy ra rằng $\cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1,$ và do đó $e^{z+2\pi i} = e^z e^{2\pi i} = e^z$. Điều này có nghĩa là hàm mũ có tính tuần hoàn, giống như hàm lượng giác, chỉ có chu kỳ của nó là số nhỏ nhất $2\pi i$. Từ công thức Euler, nó tiếp tục suy ra rằng $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ và do đó, chẳng hạn, $\cos i = \frac{e^{i^2} + e^{-i^2}}{2} = \frac{e^{-1} + e}{2} > 1$.

25

Chitt, trong một vùng hoàn chỉnh, cosin có thể lớn hơn 1.

Nhưng chúng ta lạc đề khỏi câu chuyện về hàm zeta và ý nghĩa của nó. Chúng tôi đề cử rằng bài toán bao gồm việc tìm các giá trị của ζ(2), ζ(4), …, ζ(2k), …, tức là tổng của chuỗi.

$$1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots,$$ (13)

$$1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots$$ (14)

bài toán này cũng đã được Euler giải quyết. Để làm được điều này, anh ấy đã chấp nhận và phân tích chuỗi vô hạn. Anh ta biết rằng nếu đa thức $a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n$ có nghiệm $x_1, x_2, \dots, x_n$, thì đẳng thức

$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = a_n\left(1 - \frac{x}{x_1}\right) \times \left(1 - \frac{x}{x_2}\right) \dots \left(1 - \frac{x}{x_n}\right)$$ (15)

(xét cho cùng, cả hai vế của đẳng thức này đều biến mất tại $x = x_1, x_2, \dots, x_n$ và tại $x = 0$ cả hai vế đều bằng $a_n$). Euler đã mạnh dạn áp dụng công thức này cho chuỗi vô hạn. Vì hàm $\frac{\sin x}{x}$ biến mất tại các điểm có dạng $\pm n\pi$, trong đó $n$ là một số tự nhiên, nên ông, bằng cách tương tự với công thức (15), đã viết

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x}{\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{\pi}\right) \times \left(1 - \frac{x}{2\pi}\right)\left(1 + \frac{x}{2\pi}\right) \dots$$

(Euler cũng sử dụng ở đây đẳng thức $\frac{\sin x}{x} = 1$ cho $x = 0$, mà người đọc có thể muốn thay thế bằng công thức tính giới hạn $\frac{\sin x}{x}$ cho $x \to 0$. Nhưng Euler không ngại lấy bộ ba trong “đại số và giải tích”!) Sau đó, nhóm các số hạng kết nối lại, Euler nhận được:

$$\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{2^2\pi^2}\right) \times \dots \times \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right).$$ (16)

Và ở đây, sự thiếu hiểu biết về những mối nguy hiểm đối với sự xuất hiện của Euler sẽ nhanh chóng xuất hiện ở phía trước. Chưa đầy một năm sau, nhà toán học người Đức K. Weierstrass (1815-1897) đã chứng minh một cách chặt chẽ sự giải bài toán Euler. Hơn nữa, ông đã chứng minh rằng nếu hàm $f(z)$ với bất kỳ giá trị (phức) nào $z$ là tổng của chuỗi $a_0 + a_1z + \dots + a_nz^n + \dots$, thì nó có thể được phân tích thành nhân tử theo cách tương tự như cách được Euler sử dụng.

Và từ công thức (16) ta dễ dàng tính được tổng của chuỗi (13). Để làm điều này, bạn chỉ cần mở dấu ngoặc ở vế phải của đẳng thức (16), sau đó thay sin $x$ theo công thức (11), sau đó so sánh các hệ số của $x^2$ ở bên cạnh và bên phải. Hãy làm điều này. Nếu bạn mở dấu ngoặc trong sản phẩm cuối cùng

$$\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right) \dots \left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right),$$

thì đa thức thu được có hệ số $x^2$ bằng

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2};$$

nếu chúng ta hướng $n$ đến vô cùng, hệ số này sẽ hướng tới tổng của chuỗi vô hạn

$$-\frac{1}{\pi^2} - \frac{1}{4\pi^2} - \dots - \frac{1}{n^2\pi^2} - \dots,$$

tức là $k - \frac{1}{\pi^2} \zeta(2)$. Chuỗi cho $\frac{\sin x}{x}$ có hệ số cho $x^2$ bằng $-\frac{1}{3!} = -\frac{1}{6}$. So sánh các hệ số của $x^2$, ta thu được một đẳng thức hoàn toàn bất ngờ

$$\zeta(2) = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}.$$ (17)

Tương tự, so sánh các hệ số $x^4$ ở bên trái và bên phải và tính đến các đẳng thức (14) và (17), chúng ta thu được

$$\zeta(4) = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \dots + \frac{1}{n^4} + \dots = \frac{\pi^4}{90}.$$ (18)

26

Sau đó, chúng tôi tính toán $\zeta(6) = \frac{\pi^6}{945}$, v.v.

Thật kỳ lạ, không có giá trị tương tự nào được biết đến với các giá trị của hàm zeta cho các giá trị lẻ của $z$. Rất khó khăn, khoảng mười năm trước người ta mới có thể chứng minh rằng số $\zeta(3)$ là số vô tỉ.

Trường Toán học St. Petersburg có nguồn gốc từ Euler. Nhà toán học nổi tiếng người Nga P. L. Chebyshev (1821-1894) cũng thuộc về nó. Và mặc dù Chebyshev cách Euler cả thế kỷ, nhưng trong công trình của ông, người ta có thể cảm nhận được hai toán học Euler, mối quan tâm của Euler đối với các tính chất của các số tự nhiên, trong việc nghiên cứu các tính chất của các hàm cụ thể, lời giải các bài toán cụ thể có ý nghĩa ứng dụng quan trọng.

Một xác suất bài toán

Xác suất mà một cái nhìn ngẫu nhiên là không thể rút gọn được là bao nhiêu? bài toán này do Chebyshev đặt ra và giải quyết, có liên quan chặt chẽ đến nghiên cứu của Euler. Đối với một nhà toán học hiện đại, nó không được xây dựng quá chặt chẽ; lần này chúng ta sẽ gặp anh ấy giữa chừng và làm rõ bối cảnh bài toán.

Để làm điều này, chúng tôi sẽ không lấy tất cả các dobies mà chỉ lấy các dobies có tử số và mẫu số không vượt quá một số nhất định $N$. Tỷ lệ dobe tối giản trong môi trường của dobe tự chọn đạt tới mức tăng vô hạn trong $N$? Cụ thể, chúng ta hãy biểu thị bằng $f(N)$ số phép cộng tối giản có dạng $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant N$, $1 \leqslant n \leqslant N$. Có $N^2$ dobes loại này. Chúng ta phải tìm $\lim_{N \to \infty} f(N)/N^2$ - xác suất mà lựa chọn ngẫu nhiên là tối giản.

Để tìm giới hạn này, chúng ta hãy lấy một số $N$ lớn cụ thể, chẳng hạn như 1000, và xem có bao nhiêu dobe trong số một triệu dobe có dạng $\frac{m}{n}$, $1 \leqslant m \leqslant 1000$, $1 \leqslant n \leqslant 1000$ có thể giảm đi 2. Để làm được điều này, tử số và mẫu số của chúng phải là bốn số. Nhưng số bốn số từ 1 đến 1000 bằng 500, do đó số dobes giảm đi 2 sẽ là 500·500, tức là 250.000. Và đây giống như một phần tư tổng số dobes, trong đó cả tử số và mẫu số không vượt quá 1000. Nhưng $1/4 = 1/2^2$, và do đó, tỷ lệ dobes, không giảm đi 2, được biểu thị bằng số $1 - \frac{1}{2^2}$.

Tương tự, chúng tôi thiết lập rằng tỷ lệ phần mở rộng không thể giảm đi 3 xấp xỉ bằng $1 - \frac{1}{3^2}$; tỷ lệ những người không theo Socrates cho 5 người sẽ là $1 - \frac{1}{5^2}$ trên tổng số 5 người.

Hơn nữa, điều tự nhiên là giả định rằng các dobe không thể giảm đi 3 sẽ được tìm thấy với tần số bằng nhau trong số các dobe có thể giảm đi 2 và các dobe không thể giảm đi 2. Điều này có nghĩa là tỷ lệ các dobe không thể giảm đi 3 trong số các dobe không thể giảm đi 2 cũng sẽ xấp xỉ bằng $1 - \frac{1}{3^2}$. Do đó, tỷ lệ dobes, không phải Socrates là 2 hoặc 3, trong số dobes sẽ là

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right),$$

phần bổ sung, không bị rút ngắn đi 2, 3 hoặc 5 -

$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right),$$

và tỷ lệ các phép cộng không thể giảm bởi bất kỳ số nguyên tố nào (tức là không phải Socrates) được biểu thị bằng tích vô hạn

$$A = \left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{5^2}\right) \times \dots$$

$$\times \left(1 - \frac{1}{p^2}\right) \dots$$

Điều này có nghĩa là trong số $N^2$ kết thúc,

28

Nhiệm vụ

M1186 — M1190, F1193 — F1197

M1186. Chúng ta sẽ nói rằng hai hình tứ giác - giấy và bìa cứng - khớp với nhau nếu tấm bìa cứng có thể được đặt trên tờ giấy sao cho tất cả các đỉnh của nó nằm trên các cạnh của tờ giấy (mỗi hình một cái) và đồng thời, nếu bạn uốn cong bốn hình tam giác giấy nhỏ tạo thành hình tứ giác bằng bìa cứng, chúng sẽ bao phủ tất cả thành một lớp.

a) Chứng minh rằng nếu các tứ giác ghép với nhau thì tờ giấy có hai cạnh đối diện song song hoặc hai đường chéo vuông góc.

b) Chứng minh rằng nếu một tứ giác bằng giấy là hình bình hành thì có thể làm một tứ giác bằng bìa cứng phù hợp.

N. V. Vasiliev

M1187. Chứng minh rằng nếu $m$ là số chẵn thì tất cả các số nguyên từ 1 đến $m-1$ có thể được viết theo thứ tự sao cho không có tổng nào của nhiều số trong một hàng chia hết cho $m$.

F. G. Shleifer

M1188. a) Cho 101 hình chữ nhật có cạnh nguyên không quá 100. Chứng minh rằng trong số đó có ba hình chữ nhật $A, B, C$ có thể đặt lồng vào nhau: $A \subseteq B \subseteq C$.

b) Chứng minh rằng trong 1989 hình chữ nhật có cạnh nguyên không quá 100, có 40 hình chữ nhật sao cho hình thứ nhất xếp vào hình thứ hai, hình thứ hai xếp vào hình thứ ba, …, xếp hình thứ 39 vào số 40.

N. M. Sedrakin

M1189*. Có $n$ đường thẳng trên mặt phẳng, không có ba đường thẳng nào đi qua cùng một điểm và không có hai đường thẳng nào song song. Chứng minh rằng trong mỗi phần mà các đường này phân chia mặt phẳng, bạn có thể đặt một số nguyên khác 0 và không vượt quá modulo $n$, sao cho trên bất kỳ cạnh nào của bất kỳ đường nào trong số này, tổng các số đều bằng 0.

D. V. Fomin

M1190*. a) Chứng minh rằng nếu có $3n$ ngôi sao trong bảng gồm $2n \times 2n$ ô thì có thể gạch bỏ $n$ hàng và $n$ cột sao cho tất cả các ngôi sao đều bị gạch bỏ. b) Chứng minh rằng trong một bảng gồm $2n \times 2n$ ô có thể đặt dấu hoa thị $3n+1$ sao cho sau khi gạch bỏ bất kỳ hàng $n$ nào và cột $n$ nào thì vẫn còn lại ít nhất một dấu hoa thị.

K. P. Kokhas

F1193. Có một khối lập phương trong không gian. Hiện tại, mặt $ABCD$ nằm ngang (hình 1) và vận tốc của các điểm $A$ và $B$ hướng thẳng đứng xuống dưới và có mô đun bằng nhau $v$. Được biết, vận tốc của điểm $C$ đồng thời

29

mômen bằng mô đun 2v. Các điểm khác của khối lập phương có thể có tốc độ tối đa bao nhiêu tại thời điểm này?

S. S. Krotov

F1194. Ống mao dẫn được làm bằng hai ống thủy tinh mỏng có đường kính trong $d_1$ và $d_2$ (hình 2). Đổ một giọt nước lớn có khối lượng $M$ vào đó. Khi ống mao dẫn được đặt nằm ngang, toàn bộ giọt nước “leo” vào phần mỏng, còn khi đặt ống mao dẫn theo chiều dọc thì toàn bộ nước đều chảy ra khỏi đó. Ở góc nào giữa trục của mao quản và phương thẳng đứng thì giọt nước sẽ nằm một phần trong ống dày và một phần trong ống mỏng? Hệ số sức căng bề mặt của nước $\sigma$, mật độ nước $\rho$. Việc làm ướt được coi là hoàn thành.

R. A. Tillo

F1195. Một ống thẳng đứng có chiều cao $H=1$ m và diện tích mặt cắt ngang $S=50$ cm$^2$ hở ở cả hai đầu. Một bộ phận làm nóng có công suất $N=100$ W được lắp đặt ở phần dưới của đường ống. Tốc độ dòng chảy đi lên sẽ được thiết lập trong đường ống là bao nhiêu? Hãy xem xét rằng lò sưởi không làm nhiễm bẩn mặt cắt ngang của đường ống. Áp suất khí quyển $p_0=1$ atm, nhiệt độ bên ngoài là nhiệt độ phòng. Nhiệt dung mol của không khí ở một thể tích không đổi là $C_V=2,5$ R, trong đó $R$ là hằng số khí phổ quát.

M. M. Tsypin

F1196. Điện áp hoạt động của bóng đèn, đặc tính dòng điện-điện áp được thể hiện ở hình 3, là 3,5 V (đường cong đảo ngược ở điện áp 4 V - bóng đèn cháy hết). Hai bóng đèn như vậy mắc nối tiếp và nối với nguồn có điện áp 5 V. Mạch điện sẽ tiêu thụ bao nhiêu dòng điện? Điện trở nào nên mắc song song với một trong các bóng đèn sao cho hiệu điện thế trên bóng đèn kia là 3,5 V? Liệu có bóng đèn nào bị cháy nếu điện trở này được thay thế bằng một bóng đèn khác cùng loại không?

A. R. Zilberman

F1197. Khi nghiên cứu tính chất điện của một tấm mỏng hợp chất mới, người ta phát hiện ra rằng độ dẫn điện của nó có tính dị hướng đáng kể: dọc theo một hướng (trục $X$) là tối đa và dọc theo hướng vuông góc (trục $Y$) là tối thiểu. Một mẫu được cắt ra khỏi tấm ở dạng một dải có chiều dài $L$ và chiều rộng $d$ ($L \gg d$) nghiêng một góc $\alpha=45^\circ$ với trục $X$ và $Y$ và một nguồn có điện áp $U_0$ (hình 4) được nối với các đầu của dải. Bằng cách đo điện áp giữa các cạnh của dải theo hướng ngang, chúng tôi thu được giá trị $U$ ($U \ll U_0$). Xác định tỷ lệ độ dẫn dọc theo trục $X$ và $Y$.

A. I. Buzdin

30

Lời giải bài toán
M1161 — M1164, F1173 — F1177

M1161. Trong hầu hết các trường hợp, 10 quả bóng được thực hiện. Chứng minh rằng nếu đặt 9 quả bóng vào đó thì chắc chắn sẽ có chỗ cho quả thứ mười (tức là tâm của 9 quả bóng sẽ nằm trên một lưới tam giác).

Lấy đường kính của quả bóng bằng 1. Bài toán tương đương như sau: Chứng minh rằng nếu 9 điểm $K_1, K_2, ..., K_9$, khoảng cách theo cặp giữa chúng ít nhất bằng 1, đặt trong một tam giác đều cạnh 3 thì chúng nhất thiết phải nằm ở các đỉnh của một mạng tam giác có cạnh 1 (trong 9 trên 10 điểm đen trên hình). Đủ để chứng minh rằng 6 (hoặc 7) điểm $K_i$ nằm trong hình lục giác màu đỏ và chúng nhất thiết phải nằm ở các đỉnh hoặc ở tâm của nó $O$ - xét cho cùng, trong mỗi tam giác góc có cạnh 1 (không phải ở cạnh màu đỏ) chỉ có thể có một trong các điểm $K_i$, và nếu có một điểm khác $K_j$ ở cạnh màu đỏ của nó, thì $K_i$ nằm ở đỉnh của tam giác lớn.

Rõ ràng là nếu một trong 6 điểm $K_i$ bên trong hình lục giác trùng với $O$ thì các điểm còn lại nằm ở các đỉnh. Nếu tất cả chúng đều khác với $O$, thì các đoạn $OK_i$ được vẽ tại các điểm này sẽ tạo thành các góc $60^\circ$ với nhau (nếu $\angle K_iOK_j < 60^\circ$, $OK_i \leq 1$, $OK_j \leq 1$, thì $K_iK_j < 1$) và $OK_i = 1$.

Rõ ràng, thực tế sau đây cũng đúng: nếu bạn loại bỏ một quả bóng khỏi 1+2+…+$n=n(n+1)/2$ quả bóng được đặt gần trong một hộp hình tam giác, thì phần còn lại nhất thiết sẽ nằm trong một lưới tam giác - vì vậy quả bóng đã bị loại bỏ có thể được đặt lại vào vị trí cũ.

N. P. Dolbin

M1162. Tìm tất cả các phương trình số nguyên lời giải
$$x^3 - 13x \cdot y + y^3 = 13.$$

Hãy giới thiệu các biến mới $s = x + y$ và $t = xy$. Khi đó phương trình sẽ có dạng $s^3 - 3st - 13t = 13$, hoặc
$$t = \frac{s^3 - 13}{3s + 13},$$
(*)

và do đó
$$27t = \frac{27s^3 - 13 \cdot 27}{3s + 13} = 9s^2 - 39s + 169 - \frac{13^3 + 13 \cdot 27}{3s + 13}.$$

Từ đây ta suy ra rằng số 3s+13 phải là ước của số 2548=13·196. Hơn nữa, vì $s^2 - 4t = (x - y)^2 \geq 0$, nên
$$s^2 - 4 \frac{s^3 - 13}{3s + 13} = \frac{3s^3 + 13s^2 - 4s^3 + 52}{3s + 13} \geq 0$$
và, do đó,
$$\frac{s^2(13 - s) + 52}{3s + 13} \geq 0.$$

Do đó, chúng ta có $s \leq 13$ và $s \geq -4$ (nếu không thì giá trị của phân số là âm). Do đó, 3s+13 nằm trong khoảng 1 khi chia cho 3. Số 2548 = 2 2 7 7 13 có bảy ước như vậy: 1, 4, 7,

31

13, 28, 49, 52. Chúng lần lượt cho các giá trị của $s$: $-4, -3, -2, 0, 5, 12, 13$ và các giá trị của $t$ (từ phương trình (*)): $-77, -10, -3, -1, 4, 35, 42$. Giải quyết từng cặp hệ thống này

$$\begin{cases} x+y=s, \\ xy=t \end{cases}$$

• để làm điều này, chỉ cần tìm nghiệm của phương trình bậc hai $z^2-sz+t=0$, - chúng ta có 7 cặp lời giải (7; 5), (7; 6), (7; -11), (1; -3), (1; -1), (1; 4), (-5; 2). Đương nhiên, tôi sẽ chỉ ra tính đối xứng của phương trình ban đầu đối với $x$ và $y$ các số theo cặp có thể hoán đổi cho nhau, sao cho phương trình có tổng cộng 14 lời giải. Nhìn chung, dễ dàng nhận thấy phương trình $x^3-kxy+y^3=m$ đối với số nguyên $k$, $m$ có số hữu hạn lời giải trong số nguyên nếu $k^3+27m \neq 0$. Lưu ý rằng phương trình

$$x^3-kxy+y^3=k$$

luôn có tiêu chuẩn lời giải (1; -1) và nếu $k=2p+1$ thì cũng có lời giải $(p; p+1)$. Tuy nhiên, theo một số nghĩa, hệ số $k=13$ gần như “duy nhất”: tất cả các giá trị hợp lệ của $s$ (được ánh xạ bởi bất đẳng thức $s^2-4t \geq 0$) dẫn đến phương trình bậc hai có số nguyên lời giải. Người ta có thể nhận thấy một thuộc tính tương đối đơn giản khác của phương trình (***), có thể được tìm thấy trong ví dụ này: nếu $(a; b)$ và $(a; c)$ - lời giải của một phương trình đã cho, thì cặp $(a; -b-c)$ - lời giải của phương trình này (điều này dễ dàng suy ra từ định lý Vieta).

D. V. Fomin

M1163. Cherenakha rời điểm $A$ và đến điểm $B$, di chuyển theo một quỹ đạo tùy ý với tốc độ tùy ý. Theo sau nó, một Cherenakh thứ hai xuất hiện từ điểm $A$, tại mỗi thời điểm, điểm này di chuyển theo hướng của chiếc lông vũ (với tốc độ tùy ý) và cuối cùng cũng đến điểm $B$. Chứng minh rằng let, bị cuống thứ hai ăn (vào thời điểm cả hai đều đạt $B$), không vượt quá đường đi của chiếc lông vũ.

Giả sử tại thời điểm $t$ Cherenakh thứ nhất đã đi qua con đường $L(t)$, Cherenakh thứ hai - $P(t)$ và khoảng cách giữa chúng tại thời điểm này là $D(t)$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng theo thời gian số lượng

$$f(t)=L(t)-P(t)-D(t)$$

không giết, tức là $f(t) \geq f(t')$ với $t > t'$. Từ đây, tuyên bố bài toán sẽ tuân theo: để con cherenach thứ nhất bắt đầu chuyển động ở $t=0$, và con thứ 2 kết thúc ở $t=T$, sau đó là $f(0)=0$, $D(T)=0$ và nếu $f(T)=L(T)-P(T) \geq f(0)$ thì $L(T) \geq P(T)$.

Phát biểu chính về $f(t)$ có thể được chứng minh theo nhiều cách khác nhau. (Ví dụ: sử dụng một quỹ đạo tùy ý.) Khó khăn bắt nguồn từ thực tế là trong bài toán nó quyết định về quỹ đạo tùy ý và tốc độ tùy ý. Chúng ta sẽ giải quyết khó khăn này bằng cách này: chúng ta sẽ thay thế quỹ đạo của cành giâm bằng các đường đứt quãng gần chúng.

Đặt $M_i$ là vị trí của cherenach thứ nhất tại thời điểm $t_i=i\tau$, $\tau=T/n$ ($i=0, 1, ..., n$; $M_0=A$, $M_n=B$); $u_i$ là tốc độ của Cherenakh thứ 2 tại thời điểm $t_i$. Giả sử rằng Cherenakh thứ nhất trong khoảng thời gian giữa $t_i$ và $t_{i+1}$ đi qua đoạn $M_iM_{i+1}$ và lần thứ 2 đi qua đoạn $N_iN_{i+1}$ có độ dài $u_i\tau$, hướng đến điểm $M_i$ (hình 1;

32

Chúng tôi tin rằng $u_0 = 0$, $N_0 = N_1 = A$; nếu $u_i \tau \geq M_i N_i$ thì $N_{i+1} = M_i$). Giả sử trong quá trình chuyển động này dọc theo các đường đứt đoạn tại thời điểm $t_i$ các đường $L^*(t_i)$, $P^*(t_i)$ đã đi qua và ở khoảng cách $D^*(t_i)$ với nhau. (Trên mỗi khoảng $[t_i, t_{i+1}]$, chúng tôi coi các hàm này là tuyến tính.) Hãy đặt $f^*(t) = L^*(t) - P^*(t) - D^*(t)$. Bởi vì (xem hình 2)

$$D^*(t_i) = N_i M_i, L^*(t_{i+1}) = L^*(t_i) + M_i M_{i+1},$$
$$P^*(t_{i+1}) = P^*(t_i) + N_i N_{i+1}, D^*(t_{i+1}) = N_{i+1} M_{i+1},$$

chúng tôi nhận được

$$f^*(t_{i+1}) - f^*(t_i) = M_i M_{i+1} - N_i N_{i+1} + M_{i+1} N_{i+1} - N_i M_i = N_{i+1} M_i + M_i M_{i+1} - N_{i+1} M_{i+1} \geq 0.$$

Vì vậy, hàm số $f^*(t)$ không giảm. Theo đó, $f(t)$ không giảm: đối với $n$ đủ lớn, các đường gãy $M_0 M_1 \dots M_n$ và $N_0 N_1 \dots N_n$ sẽ càng gần quỹ đạo càng tốt và hàm $L^*$, $P^*$ và $D^*$, $f^*$ - tương ứng với các hàm $L$, $P$, $D$ và $f$, và nếu kết quả là $f(t) > f(t')$ đối với một số $t > t'$, thì nó phải là $f(t_{i+1}) > f(t_i)$ đối với một số $i$ (đối với $n$ đủ lớn).

S. Yu. Orvekov, A. Kh. Thần

M1164. Số tự nhiên $n$ được gọi là số hoàn hảo nếu nó bằng tổng các ước của nó nhỏ hơn $n$ (ví dụ: $28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$). Chứng minh rằng một số hoàn hảo lẻ (nếu tồn tại) không thể chia hết cho 3, 5 và 7 cùng một lúc.

Gọi $n = p_1^{k_1} \dots p_r^{k_r}$ là phân tích của số $n$ thành thừa số nguyên tố. Khi đó tổng $S(n)$ các ước của nó, bao gồm 1 và $n$, bằng $(1 + p_1 + \dots + p_1^{k_1})(1 + p_2 + \dots + p_2^{k_2}) \dots (1 + p_r + \dots + p_r^{k_r})$. (*)

Vì $n$ là hoàn hảo, $S(n) - n = n$, tức là $S(n) = 2n$. Nếu $n$ và tất cả các thừa số nguyên tố $p_1, p_2, \dots, p_r$ của nó là số lẻ thì trong tích (*) một trong các tổng trong ngoặc là số chẵn và các tổng còn lại là số lẻ. Đặt $k_1 = 2m + 1$, sau đó

$$1 + p_1 + \dots + p_1^{2m + 1} = (1 + p_1)(1 + p_1^2 + \dots + p_1^{2m}).$$

$p_1 \neq 3$ và $p_1 \neq 7$ (nếu không thì $S(n)$ chia hết cho 4). Nếu số trung bình $p_1, p_2, p_3, \dots, p_r$ xảy ra là 3, 5 và 7 và $p_1$ khác với 3 và 7 thì

$$\frac{S(n)}{n} \geq \left(1 + \frac{1}{p_1}\right)\left(1 + \frac{1}{p_2} + \frac{1}{p_2^2}\right) \dots \left(1 + \frac{1}{p_r} + \frac{1}{p_r^2}\right) \geq$$

$$\geq \left(1 + \frac{1}{5}\right)\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right)\left(1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49}\right) =$$

$$= \frac{6 \cdot 13 \cdot 57}{5 \cdot 9 \cdot 49} > 2.$$

Điều này mâu thuẫn với đẳng thức $S(n) = 2n$.

V. V. Shabunin

F1173. Chiều dài không đều, bao gồm một số lượng lớn va-

Khi bạn đi vào “vòng chết”, tốc độ của tàu giảm dần. Nó đạt giá trị thấp nhất $v$, khi “vòng lặp” được lấp đầy hoàn toàn với thành phần (và sau đó

33

onov, lao với tốc độ không đổi dọc theo đường ray nằm ngang, rồi hú vào một “vòng chết” (hình 1). Chiều dài tàu L, bán kính vòng R (R lớn hơn đáng kể so với kích thước của toa xe, nhưng L>2πR). Nó sẽ di chuyển với tốc độ ban đầu là bao nhiêu và vượt qua quá trình chuyển đổi để trong quá trình chuyển động không có một ô tô nào dừng lại trên đường ray?

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

sẽ không thay đổi). Chúng ta hãy viết định luật bảo toàn năng lượng cho khoảnh khắc này và những khoảnh khắc ban đầu:

$$\frac{Mv_0^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} + \left( M \frac{2\pi R}{L} \right) gR,$$

(1)

Trong đó M là khối lượng của toàn bộ đoàn tàu, v₀ là tốc độ ban đầu của nó, M(2πR/L) là khối lượng của các toa tàu nằm trong “vòng”, R là chiều cao khối tâm của chúng.

Khi ô tô tiếp xúc với đường ray thì có một phản lực từ phía bên của đường ray tác dụng lên ô tô. Điểm cao nhất của “vòng” tương ứng với lực phản ứng thấp nhất. Trong trường hợp giới hạn, phản lực bằng không. Trong trường hợp này, rơ moóc (hình 2) chịu tác dụng của lực hấp dẫn mg (m là khối lượng của rơ moóc) và lực căng T từ khớp nối với hai rơ moóc liền kề. Hợp lực của các lực này hướng thẳng đứng xuống dưới và truyền cho xe một gia tốc hướng tâm cần thiết v2/R:

$$2T(\alpha/2) + mg = mv^2/R.$$

Ở đây, chúng tôi đã dạy về độ nhỏ của góc α=l/R, tại đó có thể nhìn thấy một vận chuyển có chiều dài l từ tâm của “vòng chết” và thay thế sin của góc nhỏ bằng một góc đối xứng. Cũng lưu ý rằng m=(l/L)M=(αR/L)M (nếu chúng ta bỏ qua khoảng cách giữa các xe). Khi đó phương trình trước có thể được viết là

$$T + \frac{R}{L}Mg = M\frac{v^2}{L}.$$

(2)

Bây giờ chúng ta hãy tìm lực căng T. Hãy xem phần đoàn tàu đi vào “vòng chết” (hình 3). Đặt thành phần của máy trộn trong một khoảng cách nhỏ là Δx thì lực T đã thực hiện công A=TΔx. Nhưng vì tốc độ của đoàn tàu không thay đổi nên công này phải bằng độ biến thiên thế năng của một đoạn đoàn tàu có chiều dài Δx và khối lượng Δm=(M/L)Δx, tăng lên độ cao 2R (xem hình 3). Vì thế,

$$T\Delta x = 2\frac{M}{L}\Delta xRg,$$

và T = \frac{2MRg}{L}.

(3)

Kết hợp các đẳng thức (1) - (3) trong hệ ta tìm được vận tốc ban đầu của đoàn tàu:

$$v_0 = \sqrt{Rg(3+4\pi R/L)}.$$

A. I. Buzdin

F1174. Trong một khối nước sốt có thể tích V = 1 lít có m = 0,01 g nguyên chất ở nhiệt độ T = 300 K. Hãy quan sát một trong các phân tử. Bao nhiêu lần nó sẽ chạm vào thành trên của nước sốt trong thời gian t=1 phút?

Nếu thời gian được chỉ định trong nhiệm vụ đủ dài (cần kiểm tra điều này), thì tất cả các phân tử sẽ va chạm với thành nước sốt đã chọn với tần suất như nhau. Khi đó số lần truy cập cần thiết

$$n_{уд} = \frac{n_{уд обш}}{N},$$

trong đó n_{tổng số nhịp} là tổng số lần chạm vào tường, N là số lượng phân tử trong nước sốt.

34

Để ước tính $n_{yd}$ chúng ta tiến hành như sau. Chúng ta hãy biểu thị diện tích bức tường bằng $S$ ($S=(\sqrt[3]{V})^2$) và nồng độ phân tử bằng $n$ ($n=N/V$). Rõ ràng là theo thời gian $t$ tất cả những phân tử nằm cách nó một khoảng $\bar{v}_x t$ sẽ va vào tường ($\bar{v}_x$ là giá trị trung bình của các phân tử tương ứng với các thành phần vận tốc) và di chuyển về phía tường, tức là.

$$n_{yd} = \frac{1}{2} n \bar{v}_x t S.$$

Bây giờ hãy đánh giá $\bar{v}_x$:

$$\bar{v}_x = \sqrt{\bar{v}_x^2} = \sqrt{\frac{1}{3} v^2} = \sqrt{\frac{RT}{M}},$$

trong đó $R=8,31$ J/(mol K) là hằng số khí phổ quát, $M=4 \cdot 10^{-3}$ kg/mol là khối lượng mol của helium.

Vì vậy, cuối cùng chúng tôi nhận được

$$n_{yd} = \frac{n \bar{v}_x t S}{2N} = \frac{1}{2V} \sqrt{\frac{RT}{M}} t V^{2/3} = \frac{\sqrt{RT/M} t}{2V^{1/3}} \approx 2,5 \cdot 10^5.$$

Nói cách khác, nếu không tính đến các phân tử va chạm với nhau thì $n_{yd} = (v_x t)/(2a)$, trong đó $2a=2V^{1/3}$ là đường đi của phân tử “từ trần này đến trần khác”.

Bây giờ chúng ta cần chứng minh mô hình đã chọn. Để làm điều này, hãy ước tính chiều dài tự do của một phân tử, tức là khoảng cách trung bình mà một phân tử di chuyển giữa hai lần va chạm với các phân tử khác:

$$\lambda \approx \frac{V/N}{\pi d^2} = \frac{1}{\pi d^2 n},$$

trong đó $d \sim 10^{-10}$ m là đường kính của các phân tử. Trong điều kiện bình thường, 1 m$^3$ chất khí bất kỳ đều chứa $\approx 2,7 \cdot 10^{25}$ phân tử. Do đó, $\lambda \approx 10^{-6}$ m và độ dịch chuyển trung bình của một phân tử trong thời gian $t$ bằng

$$\bar{x} = \sqrt{\lambda v_x t} \approx 1 \text{ м},$$

lớn hơn đáng kể so với kích thước của tàu. Điều này có nghĩa là việc khuấy trộn thực sự có hiệu quả “làm đồng đều” các phân tử.

A. R. Zilberman

F1175. UFO bay trên Trái đất với tốc độ không đổi, rất cao $v$. Tốc độ nào sẽ được ghi lại bởi các mẫu mặt đất của trạm theo dõi tại thời điểm hướng tới vật thể tạo một góc $\varphi$ với phương thẳng đứng (hình 1)?

Giả sử thời gian $t$ trôi qua từ lúc UFO bay gần đến điểm quan sát $A$ (hình 2) đến thời điểm này (đến điểm $B$), và thời điểm này vắng mặt theo đồng hồ cố định, chúng ta đang ở điểm $B$. Chúng ta hãy biểu thị độ cao của UFO trên Trái đất bằng $l$. Khi đó đường đi của vật từ $A$ đến $B$ là

$$vt = l \ tg \ \varphi.$$

Quan sát và nhìn thấy một vật phát sáng tại điểm $B$ muộn hơn một chút (do tốc độ truyền ánh sáng $c$) và đồng hồ của nó sẽ hiển thị thời gian