Kvant 2007, số 2 · Trang

7

logarit

bạn có thể tìm thấy “nep” hoặc “np”): 1 Нп $= ln ( F_{1} F_{2} )$ tại $F_{1} F_{2} = e$, trong đó $F_{1}$ và $F_{2}$ là các đại lượng vật lý có cùng thứ nguyên và e » 2.718 là cơ số của logarit tự nhiên. Tất nhiên, đơn vị này được đặt theo tên của nhà toán học và nhà phát minh logarit người Scotland, John Napier (1550–1617). Để vinh danh ông, số e còn được gọi là số Neper. Đúng, trong thực tế, nepers không được sử dụng thường xuyên, chủ yếu trong kỹ thuật điện - khi đo độ suy giảm tín hiệu điện trong đường dây truyền thông.

Độ to và cao độ của âm thanh - bel, decibel, quãng tám Trong thang logarit thập phân thông thường, đơn vị đo được gọi là “bel” - để vinh danh nhà phát minh điện thoại người Mỹ, Alexander Bell (1847–1922). Thường xuyên hơn, phần thứ mười của nó được sử dụng - decibel. Cả hai đơn vị này chủ yếu được sử dụng trong âm học để đo mức cường độ âm thanh và áp suất âm thanh cũng như trong kỹ thuật điện. Chênh lệch mức 1 dB có nghĩa là tỷ lệ $10^{0,1} = =$ 1,2589… lần. Ba decibel gần như chính xác là tăng gấp đôi. Trong âm học, âm thanh vừa đủ nghe được coi là 0 (áp suất khoảng 2 H $10^{-} 5$ N $м^{2} ),$, do đó, mức âm lượng 90 dB có nghĩa là cường độ âm thanh vượt quá hàng tỷ lần so với một lời thì thầm hầu như không thể nhận biết được. Tuy nhiên, đơn vị “bel” và “decibel” có một đặc điểm khiến cho việc sử dụng chúng ngoài lĩnh vực âm học và kỹ thuật điện trở nên khó khăn. Thực tế là các thang logarit này được định nghĩa khác nhau đối với các đại lượng vật lý khác nhau. Định nghĩa $( lg ( I_{1} I_{2} ) )$ được giới thiệu ở trên chỉ được sử dụng cho các đại lượng năng lượng, bao gồm công suất, năng lượng, dòng năng lượng, v.v. Và đối với các đại lượng công suất - điện áp, dòng điện, áp suất, cường độ trường,… - một định nghĩa khác được sử dụng: 1 B $= 2 lg ( p_{1} p_{2} )$ và

1dB $= 20 lg ( p_{1} p_{2} )$,

Trong bức ảnh này được chụp bởi người đam mê thiên văn học người Iran B. Tafreshi, chúng ta thấy toàn bộ dãy sao có thể nhìn thấy bằng mắt thường. Khoảng trời bao phủ các chòm sao Orion (trên cùng bên phải), Monoceros (trên cùng bên trái) và Canis Major (trái ở giữa). Ngôi sao sáng nhất ở đây là Sirius (alpha B. Canis), ngôi sao sáng nhất trên bầu trời của chúng ta; nó có cường độ -1,5. Và những ngôi sao mờ nhất trong ảnh có độ sáng 6,5; luồng ánh sáng từ chúng yếu hơn 1600 lần so với Sirius.

CÂN

vì chẳng hạn, cường độ âm thanh (dòng năng lượng) và áp suất âm thanh có liên quan với nhau bởi mối quan hệ $I : p^{2}$. Đôi khi điều này dẫn đến nhầm lẫn: nếu trong âm học 1 dB = 0,2303 Np thì trong kỹ thuật điện 1 dB = 0,1151 Np. Sự mơ hồ của bel và decibel làm cho đơn vị “dex” trở nên thuận tiện hơn, đơn vị này ngày càng được sử dụng nhiều trong toán học, thiên văn học và nhiều lĩnh vực vật lý. Nếu chúng ta coi biên độ của sóng âm là độ to thì tần số của nó đặc trưng cho cao độ của âm thanh. Và trong trường hợp này, định luật Weber-Fechner có hiệu lực: các âm thanh khác nhau được chúng ta cảm nhận là có độ cao cách đều nhau nếu tỷ số tần số của chúng bằng nhau. Đơn vị logarit được sử dụng để đo khoảng cao độ. Cái chính trong số đó là quãng tám, bị giới hạn bởi tần số có tỷ lệ bằng hai. Khái niệm quãng tám ngày càng trở nên phổ biến bên ngoài lĩnh vực âm nhạc, vì các số có dạng $2^{n}$ được sử dụng rộng rãi trong các thiết bị điện tử dạng xung, đặc biệt là trong điện toán. Đúng, trong những lĩnh vực này từ “quãng tám”

9

logarit

CÂN

Bảng 2

Máy đo địa chấn Mercalli

(tính bằng joules) logarit: 5 M = - 2,5 + log E. 8

Ví dụ, trận động đất mạnh 9 độ richter thảm khốc năm 1948 phá hủy thành phố Ashgabat có cường độ M = 7. Do đó, tại nguồn của trận động đất này (ở độ sâu khoảng 20 km), năng lượng cỡ $10^{15}$ J đã được giải phóng, tương đương với vụ nổ của một quả bom 250 kiloton. Trận động đất mạnh nhất được ghi nhận có cường độ 8,9 độ richter. Kể từ khi bắt đầu quan sát bằng thiết bị, hai trận động đất như vậy đã được ghi lại, cả hai đều ở dưới đại dương. Một vụ xảy ra vào năm 1933 ngoài khơi Nhật Bản, vụ còn lại vào năm 1906 ngoài khơi Ecuador. Như chúng ta có thể thấy, điểm động đất thực tế thay đổi theo logarit thập phân của năng lượng của nó (1 điểm ~: 0,94 lg E). Mức chênh lệch 1 điểm trên thang địa chấn là rất gần với 1 điểm. Nếu chúng ta so sánh điều này với cơ sở của thang đo cường độ (2,512) hoặc âm lượng tính bằng decibel (1,259), chúng ta có thể kết luận rằng thang đo cảm giác tiền đình của chúng ta có một bước rất thô (10).

Lực gió - thang Beaufort

Gió không chỉ được các thủy thủ và phi công quan tâm mà nó còn ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng của dữ liệu thiên văn.

một số quan sát. Cường độ của nó được cảm nhận bằng nhiều giác quan cùng một lúc - mắt, da, tai và cũng được đo một cách khách quan bằng máy đo gió như tốc độ dòng không khí (mà các nhà khí tượng học thích gọi là lực gió). Để đánh giá trực quan cường độ gió, có một thang điểm đặc biệt 13 điểm do đô đốc người Anh F. Beaufort phát triển vào năm 1806. Điểm Beaufort có định nghĩa bằng lời nói về cường độ gió - lặng gió, gió trong lành, bão, cuồng phong, v.v. và biểu hiện trực quan, mô tả về tác động của nó trên đất liền và trên biển - mô hình cây đung đưa, tính chất và độ cao của sóng. Lúc đầu, thang đo này chỉ được chính tác giả của nó sử dụng. Nhưng vào năm 1874, Ủy ban Thường vụ của Đại hội Khí tượng lần thứ nhất đã thông qua thang đo Beaufort để sử dụng trong thực tiễn khái quát quốc tế. Sau đó, thang đo đã được thay đổi và cải tiến, và vào năm 1963, nó đã được Tổ chức Khí tượng Thế giới thông qua như trong Bảng 3 (ở độ cao tiêu chuẩn là 10 m so với bề mặt phẳng, thoáng). Dễ dàng nhận thấy rằng các điểm trên thang Beaufort - hãy gọi chúng là BB - có chức năng liên quan đến tốc độ gió (v). Nhưng điều gây tò mò là sự phụ thuộc toán học hóa ra không phải là logarit mà là định luật lũy thừa: BB » $1,25 v^{5} 8$,

10

KVANT 2007/№2

Bảng 3

Cường độ gió trên bề mặt trái đất theo thang Beaufort

trong đó tốc độ được biểu thị bằng m/s. Sẽ rất thú vị khi hiểu lý do cho ngoại lệ này. Tại sao định luật Weber-Fechner rất chung chung lại không được thể hiện trong trường hợp này? Có thể giả định rằng cơ quan cảm nhận của con người không trực tiếp tham gia vào việc xác định cường độ của gió, rằng đánh giá này mang tính cảm xúc nhiều hơn so với việc xác định sức mạnh của gió.

sinh lý. Thật vậy, khi đánh giá sức mạnh của gió, chúng ta thường nghĩ đến những thiệt hại mà nó có thể gây ra. Tuy nhiên, như chúng ta sẽ thấy sau, cảm xúc của chúng ta cũng vậy - và điều này thực sự đáng kinh ngạc! - tuân theo quy luật tâm sinh lý.

11

logarit

CÂN

Bảng 4

Thang đo Turin về nguy cơ Trái đất va chạm với tiểu hành tinh và sao chổi

Nhận thức các hiện tượng tinh thần - thang đo cảm xúc

Sử dụng một số ví dụ, chúng ta sẽ tin rằng không chỉ thang đo sinh lý mà cả thang đo tinh thần quyết định sức mạnh cảm xúc của chúng ta cũng có tính chất logarit - để đánh giá chủ quan về ấn tượng tạo ra cho chúng ta, chúng ta chọn “bước” trong tiềm thức dưới dạng cấp số nhân. Như một ví dụ nổi tiếng, hãy bắt đầu với thang đo Landau, theo đó nhà vật lý nổi tiếng đã đánh giá thành tích của các đồng nghiệp của mình. Đây là cách học giả V.L. Ginzburg nhớ lại điều này: “… Landau có “thang điểm thành tích” trong lĩnh vực vật lý. Thang đo là logarit (lớp 2 có thành tích kém hơn lớp 1 10 lần). Trong số các nhà vật lý của thế kỷ chúng ta, chỉ Einstein có lớp 0,5; lớp 1 bao gồm Bohr, Dirac, Heisenberg và một số người khác…” Các nguồn khác nói về thang Landau hơi khác một chút: “Landau gán các số “ngôi sao” cho các nhà vật lý vĩ đại trên khắp thế giới. Bạn biết rằng a ngôi sao có cường độ thứ nhất là một ngôi sao rất sáng, một ngôi sao có cường độ thứ hai kém sáng hơn, v.v. Landau gán một nửa độ sáng cho Einstein, Bohr và Newton - 0,5. Dirac, Heisenberg là những ngôi sao có cường độ thứ nhất. Ông tự gán cho mình giá trị thứ hai. Hiện vẫn chưa rõ liệu logarit dựa trên cơ số nào - 10 hay 2,512 - đã được Lev Landau sử dụng để xác định mức độ thiên tài của các nhà vật lý lý thuyết. Chỉ có một điều chắc chắn: đối với những người thuần túy cảm xúc này,

Ông đã sử dụng thang đo logarit để đánh giá chủ quan. Người ta đã lưu ý rằng trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta cũng thường sử dụng thang logarit. Các ví dụ có thể tiếp tục trong một thời gian dài. Vì vậy, chúng ta chia người giàu thành triệu phú và tỷ phú. Chúng tôi chia các thành phố theo dân số thành triệu và trăm nghìn người. Khi mua hàng tạp hóa ở cửa hàng, chúng ta cố gắng tiết kiệm rúp, nhưng khi nghĩ đến việc mua một chiếc tủ lạnh hoặc TV mới, chúng ta chỉ chú ý đến hàng trăm rúp. Như trong trường hợp thang đo sinh lý, trong các vấn đề tình cảm hàng ngày, chúng ta nhận thấy sự khác biệt không phải là tuyệt đối mà là sự khác biệt tương đối. Hơn nữa, nó trở nên đáng chú ý và có ý nghĩa đối với chúng tôi khi nó vượt quá vài phần trăm giá trị đo được. Có vẻ như độ nhạy của “máy đo cảm xúc” của chúng ta gần giống với độ nhạy của mắt, tai và các cơ quan thụ cảm sinh lý khác. Hãy xem xét các ví dụ về một số thang đo cảm xúc đã được đề xuất trong những năm gần đây.

Thang đo nguy hiểm của tiểu hành tinh Turin và Palermo

Năm 1999, tại Hội nghị Liên hợp quốc về sử dụng hòa bình không gian bên ngoài, Liên minh Thiên văn Quốc tế đã trình bày một hệ thống đánh giá mối đe dọa về các vụ va chạm có thể xảy ra giữa Trái đất với các tiểu hành tinh và sao chổi. Mức độ đe dọa được biểu thị theo thang điểm 11 do nhà thiên văn học người Mỹ Richard Binzel phát triển. Kể từ khi tác giả lần đầu tiên trình bày thang đo này cho các đồng nghiệp của mình tại

Bài toán

Ba người có một chiếc máy giặt muốn qua sông. Thuyền có thể chứa hai người và một máy giặt, hoặc ba người. Vấn đề là máy giặt rất nặng nên chỉ có ba người mới có thể chất đồ vào hoặc ra khỏi thuyền. Liệu họ có thể vượt qua được không? A. Shapovalov

“…Bác sĩ quân y cấp cao Bauze từ các công dân aabbb đã bắt được những kẻ giả mạo abccc và lẽ ra sẽ bắt được người cuối cùng nếu anh chàng may mắn này không bị đột quỵ vào đúng thời điểm bác sĩ hét vào mặt anh ta: “Xung quanh!” … Trong đoạn trích này từ “Những cuộc phiêu lưu của người lính tốt Schweik”, chúng tôi đã thay thế tất cả các số bằng các chữ cái Latinh (giống - giống, khác - khác). Bạn có thể xác định được có bao nhiêu kẻ lừa đảo mà Bác sĩ Bauze cảnh giác đã vạch mặt không? I. Akulich

Khiên của vua Arthur có hình bát giác, được tạo thành từ một hình vuông sau khi cắt các hình tam giác cân giống hệt nhau. Màu đỏ, biểu tượng của lòng dũng cảm, chiếm cùng diện tích trên tấm khiên với màu xanh lam, biểu tượng của công lý. Làm thế nào để thể hiện điều này mà không cần dùng đến tính toán? V. Proizvolov

Một ô rô $таблица^{3} ѣ^{3}$ được gọi là hình vuông ma thuật nếu tất cả các số trong đó khác nhau và tổng các số ở tất cả các hàng, tất cả các cột và đường chéo đều giống nhau (ví dụ: như được hiển thị trong hình). Có một hình vuông ma thuật chứa đầy các số nghịch đảo không? A. Shapovalov

Lớp 8A có 27 học sinh. Họ được mời tham gia các nhóm hát, huýt sáo và đọc thơ. Mọi người đều muốn tham dự một hoặc nhiều câu lạc bộ này. Hóa ra hơn một phần ba lớp muốn đi vào từng vòng tròn. Có thể tạo danh sách các câu lạc bộ như vậy để mọi người sẽ đến đúng một câu lạc bộ mà họ muốn tham gia và sẽ có số lượng học sinh bằng nhau trong tất cả các câu lạc bộ không? D. Kalinin

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

Minh họa của D. Grishukova

22

KVANT 2007/№2

Chặng cuối cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Trung tâm giải trí “Berendeevy Polyany” gần Sudislavl, vùng Kostroma, đã trở thành địa điểm truyền thống cho các cuộc thi cuối cùng của cuộc thi A.P. Savin. Vào mùa hè năm 2006, giải đấu cuối cùng của các trận đấu toán học mùa hè lần thứ XII đã diễn ra tại đây, một lần nữa phá kỷ lục về số đội tham gia: ba mươi sáu. Học sinh từ mười lăm thành phố đã tham dự giải đấu. Các đội riêng biệt đến từ Ivanovo, Kirov, Kostroma, Magnitogorsk, Perm, Troitsk, Kharkov. Và tất nhiên, Moscow có nhiều đội nhất. Một đặc điểm đáng chú ý của các giải đấu mới nhất là các cuộc thi đã trở nên hấp dẫn đối với học sinh lớp 9. Ngoài tạp chí «Kvant», việc tổ chức giải đấu còn có sự tham gia của Cung Sáng tạo Trẻ em (Thanh niên) Thành phố Mátxcơva (chủ tịch ban tổ chức giải đấu G. Kondkov), chương trình giáo dục “Sự thay đổi lớn” (giám đốc chương trình, phó Duma khu vực và Chủ tịch Liên đoàn Công đoàn Vùng Kostroma M.A. Batin), Cục Giáo dục Phổ thông và Chuyên nghiệp của Chính quyền Vùng Kostroma, Quỹ Giáo dục Toán học và Sự giác ngộ. Một số tổ chức địa phương cũng tài trợ cho các đội. Vì vậy, các em học sinh Chernogolovka bày tỏ lòng biết ơn tới Tổ chức Công đoàn Thống nhất của Trung tâm Khoa học Chernogolovka thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Nga (phó chủ tịch L.A. Kovaleva). Công việc của ủy ban phương pháp luận do A. Shapovalov đứng đầu. Ủy ban bao gồm các thành viên ban giám khảo giàu kinh nghiệm đã nhiều lần tham gia các sự kiện như vậy: A. Akopyan, M. Bershtein, A. Blinkov (phó chủ tịch ban tổ chức), Y. Blinkov, A. Gorskaya, V. Gurovits, A. Zhukov, D. Kalinin, T. Karavaeva, I. Raskina, V. Senderov, A. Skopenkov, A. Spivak, S. Tokarev (người tổ chức các giải đấu mùa hè đầu tiên), V. Trushkov, B. Frenkin, E. Chernysheva, V. Sharich. Trưởng nhóm cũng tham gia tích cực vào công việc của Ban giám khảo:

đã giúp đánh giá các trận đấu cá nhân, tổ chức và tiến hành các trò chơi trí tuệ bổ sung (“Cuộc đua toán học”, “Zavalinka”). A. Skopenkov (“Tìm số lượng màu”), N. Netrusova (“Nút thắt và bím tóc”), A. Shapovalov (“Nguyên tắc thắt cổ chai”) đã giảng bài cho học sinh. Giải đấu được tổ chức theo sơ đồ truyền thống: Olympic đồng đội vào ngày đầu tiên, dựa trên kết quả mà các đội được xếp hạng trong các giải đấu, sau đó là các trận đấu toán học hàng ngày, giữa đó một Olympic miệng cá nhân được tổ chức vào một trong những ngày.

Các vận động viên đoạt giải Olympic cá nhân:

Lớp 6 Kadets Boris - Kharkov, UVK 45 “Nhà thi đấu hàn lâm”, Matveevsky Dmitry - Kharkov, FML 27 (lớp 5), Lisichkin Sergey - Kharkov, nhà thi đấu 47, Korotov Denis - Moscow, trường 936;

Lớp 7 Ivlev Fedor - Moscow, nhà thi đấu 1543, Derevitsky Ivan - Magnitogorsk, trường 5, Malykh Sofya - Kirov, FML, Nikolaev Semyon - Moscow, trường 1189, Sadovnikov Sergey - Volgorechensk, trường 2, Yuzhanin Denis - Kirov, FML, Artemyeva Galina - Moscow, nhà thi đấu 1543, Baeva Svetlana - Kirov, FML, Golitsyn Vladimir - Kharkov, FML 27, Dudkin Alexander - Kharkov, FML 27, Krivolapov Vladislav - Ivanovo, Lyceum 67, Makarov Nikolay - Moscow, trường 179, Nozdrin Mikhail - Magnitogorsk, trường 5, Panfilov Danila - Moscow, FMS 2007, Pozharsky Bogdan - Kharkov, FML 27, Redyoga Vladimir - Moscow, nhà thi đấu 1543, Tarasov Artem - Kirov, FML, Troitsky Alexey - Moscow, trường 1189;

Lớp 8 Sobolev Evgeniy - Kharkov, nhà thi đấu 47, Mayantsev Kirill - Volgorechensk, trường 3, Bochkarev Mikhail - Perm, trường 9 được đặt theo tên. BẰNG. Pushkina, Efremov Dmitry – Magnitogorsk, trường 5, Tarannikova Ekaterina – Moscow, Trường Vật lý 2007, Turbina Natalya – Angarsk, trường 10, Palamarchuk Igor – Moscow, Lyceum “Trường thứ hai”, Akopyan Emma – Moscow, nhà thi đấu 1543, Sobolev Dmitry – Kharkov, nhà thi đấu 47, Alena Smirnova - Moscow, Trường thứ hai Lyceum, Egor Gavrichev - Moscow, Trường cấp hai Lyceum;

Lớp 9 Andreev Mikhail - Moscow, trường 57, Kislovskaya Anna - Kostroma, lyceum 32,

23

ĐẾN

M

Sh

Kết quả chi tiết của giải đấu được trình bày trên website www.lmsh.ru

Một số bài toán của giải đấu

(các số trong ngoặc đơn biểu thị các lớp mà bài toán tương ứng đã được đề xuất) 1 (6–7). Kesha cắt ra giấy một hình tam giác ABC có cạnh AB dài nhất và uốn nó thành một đường thẳng sao cho đỉnh C nằm trên cạnh AB và một hình tứ giác được hình thành. Cho biết tập hợp các điểm trên cạnh AB mà đỉnh có thể rơi S. A. Shapovalov, V. Gurovits

Romaskevich Elena - Moscow, nhà thi đấu 1543, Bakaev Egor - Kostroma, lyceum 32, Pogrebnov Alexey - Moscow, nhà thi đấu 1543, Marchenko Evgeniy - Moscow, nhà thi đấu 1543.

Các đội đạt giải Nhà thi đấu lớp 7 1543, lớp 7 B., Moscow (giám thị M.M. Bukina), nhà thi đấu 1543, 7 lớp A., Moscow (giám thị B.P. Geidman), «Kvant», Moscow (giám thị I.A. Nikolaeva), Trường Vật lý 2007, lớp 7, Moscow (giám thị V.V. Khovrina), trường học 936, Moscow (giám sát viên T.P. Zorina);

7–8 lớp 17, Moscow (hiệu trưởng D.A. Korobitsyn), FML, lớp 7, Kirov (hiệu trưởng L.A. Smirnova), “Big Change”, lớp 7, Kostroma (hiệu trưởng D.A. Kalinin), trường 5, Magnitogorsk (hiệu trưởng N.S. Nikiforova, A.V. Ustinov), “Eureka”, lớp 7, Kharkov (thủ lĩnh E.L. Arinkina, A.L. Bershtein);

lớp 8, trường liên đoàn đầu tiên 5, Magnitogorsk (giám thị A.V. Khristeva, A.S. Velikikh), phòng tập thể dục 1543, 8 A, Moscow (giám thị T.S. Geider);

Lớp 8, giải đấu lớn “Eureka”, lớp 8, Kharkov (người đứng đầu E.L. Arinkina), Cung điện Sáng tạo Trẻ em (Thanh niên) Thành phố Moscow (người đứng đầu S.E. Dubov), trường 82, lớp 8, Chernogolovka (người đứng đầu L.N. Golovko), trường 9 được đặt theo tên. BẰNG. Pushkin, Perm (người đứng đầu O.N. Vyazmina), nhà thi đấu 1543, lớp 8 B., Moscow (người đứng đầu A.V. Spivak);

Nhà thi đấu lớp 9 1543, lớp 9, 9-3, Moscow (thủ lĩnh A.V. Spivak), nhà thi đấu 1543, lớp 9, 9-1, Moscow (tiêu đề I.V. Raskin), nhà thi đấu 1543, lớp 9, 9-2, Moscow (thủ lĩnh A.V. Spivak), “Big Change”, lớp 9, Kostroma (giám thị D.A. Kalinin).

Tất cả những người chiến thắng đều được trao bằng cấp và giải thưởng do tạp chí «Kvant» cũng như Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học cung cấp.

2 (8). Một tam giác giấy có các cạnh a, b, c được uốn thành một đường thẳng sao cho đỉnh đối diện c nằm trên cạnh này. Được biết, trong tứ giác thu được có hai góc kề với đường gấp bằng nhau. Tìm độ dài của các đoạn mà cạnh c được chia cho đỉnh nằm ở đó. A. Shapovalov

3 (7–8). Một đa giác được vẽ trên giấy ca rô, chu vi của nó chạy dọc theo các đường lưới. Có phải luôn luôn có thể cắt một hình chữ nhật có cùng chu vi chứa nó dọc theo các đường lưới không? V. Người gửi

4 (7–9). Một nghệ sĩ trừu tượng muốn vẽ các ô của một bảng 8 ѣ 8 bằng m > 1 màu sao cho thỏa mãn điều kiện: nếu các ô A và B có màu giống nhau viền trên ô C, thì có thêm hai ô có viền trên C, được sơn giống hệt nhau và có màu khác với màu của A và B. (Các ô viền là những ô có một cạnh chung.) Anh ta có thể làm điều này với mục đích gì? E. Barabanov, I. Akulich

5 (7–8). Tất cả các điểm nguyên đều được đánh dấu trên trục số. Điểm x và y được nối với nhau bằng một cung nếu |x – y| số nguyên tố. Có thể dùng số màu nhỏ nhất để tô tất cả các điểm sao cho hai điểm nối bất kỳ có màu khác nhau là bao nhiêu? V. Hurowitz

6 (7–8). Tìm tất cả các bộ ba nguyên tố thỏa mãn đẳng thức

$x^{3} + y^{3} = 2 z^{3}$.

V. Người gửi

7 (7–9). 20 đội tham gia giải bóng đá một vòng. Hóa ra nếu hai đội bất kỳ hòa nhau thì ít nhất một trong số họ kết thúc với tỷ số hòa không quá ba trận. Số trận hòa lớn nhất có thể có trong một giải đấu như vậy là bao nhiêu? I. Akulich

8 (8). Một số cạnh và đường chéo của một tam giác lồi n (n > 3), không có ba đường chéo nào cắt nhau tại một điểm, được tô màu đỏ hoặc xanh. Được biết, các đoạn màu xanh không giao nhau và có một đường màu xanh duy nhất giữa bất kỳ đỉnh nào. Điều tương tự cũng đúng với các đoạn màu đỏ.

26

KVANT 2007/№2

tổng bằng 0 và đáp số cho các câu hỏi a), b) là âm. Hơn nữa, từ lý luận trên, suy ra rằng đáp số trong câu hỏi c) là dương. Ngược lại, ở điểm d) đáp số là âm: nếu một người chơi thua tất cả các trận và những người còn lại hòa nhau thì hệ số của người chơi cuối cùng là âm, và tất cả những người còn lại đều bằng 0.

Kẻ thua cuộc bị loại

Như bạn đã biết, các giải đấu vòng tròn không phải là hình thức thi đấu duy nhất hiện có. Ngược lại, trong hệ thống cúp (Olympic), đội thua sẽ bị loại và không thể hòa. Trong những cuộc thi như vậy, vai trò của cơ hội cao hơn nhiều nhưng sự đấu tranh lại khốc liệt hơn. Nếu giải đấu hình tròn tương ứng với một đồ thị đầy đủ (đỉnh là người chơi, cạnh là đấu tay đôi, hai đỉnh bất kỳ được nối với nhau bằng một cạnh) thì đồ thị của giải Olympic là cây nhị phân (không có chu trình và trên đường dẫn từ đỉnh treo đến gốc, hai cạnh đi vào mỗi đỉnh trung gian và một đi ra). Bài toán 27. Giải đấu quyền anh được tổ chức theo hệ thống Olympic (mỗi hiệp người thua bị loại, không có người nghỉ). Có bao nhiêu võ sĩ tham gia giải đấu nếu kết thúc giải đấu có 32 người thắng nhiều trận hơn thua? Lời giải. Theo hệ thống Olympic, hầu hết các trận đấu đều thuộc về những võ sĩ nào và chỉ những võ sĩ nào lọt vào ít nhất hiệp thứ ba. Những người tham gia vòng thứ ba chiếm một phần tư tổng số người tham gia. Theo đó, có 128 võ sĩ tham gia giải đấu. Thật thú vị khi so sánh kết quả của các giải đấu có thể có với cùng một người tham gia nhưng được tổ chức bằng các hệ thống khác nhau. Dưới đây là hai bài toán về chủ đề này (tác giả K. Feldman, xem bài viết “Hòa cho nhà vô địch” của B. Frenkin trong «Kvant» số 5 năm 2000). Để làm nổi bật những gì phụ thuộc vào hình thức của trò chơi chứ không phải vào người chơi, chúng tôi sẽ chấp nhận “giả định trò chơi ổn định”: trong mỗi cặp người chơi, người chiến thắng luôn giống nhau. Các trận hòa trong giải đấu vòng tròn giữa những tay vợt như vậy sẽ bị loại trừ vì chúng không diễn ra trong giải đấu cúp. Tuy nhiên, chúng tôi giả định rằng một người chơi thắng người khác, người khác – chống lại người thứ ba, đồng thời người thứ ba thắng người đầu tiên. Bài toán 28. Giải đấu vòng tròn tính điểm được tổ chức với sự tham gia của $2^{N}$ người chơi. Bây giờ các vận động viên tương tự sẽ phải tranh cúp. Giả định về một trò chơi ổn định được thỏa mãn. Chứng minh rằng có một trận hòa trong đó đội vô địch thi đấu vòng tròn sẽ vào chung kết. Lời giải. Hãy đánh số người chơi như sau. Đầu danh sách chúng ta sẽ xếp những người đã đánh bại nhà vô địch, tức là “nguy hiểm”. Tiếp theo - những người thua anh ta, tức là “không nguy hiểm”. Chúng tôi sẽ đưa ra con số cuối cùng cho nhà vô địch. Trong mỗi vòng bốc thăm cúp chúng ta sẽ xếp các cặp theo thứ tự số. Nhà vô địch thể hiện không thua kém gì người tham gia “trung bình”, người thắng bao nhiêu thì thua bấy nhiêu. Điều này có nghĩa là số lượng “nguy hiểm” không lớn hơn số lượng “không nguy hiểm”. Tất cả những kẻ “nguy hiểm” sẽ nằm ở nửa đầu danh sách, còn nhà vô địch sẽ nằm ở nửa sau. Vì vậy, nhà vô địch sẽ không gặp đối thủ “nguy hiểm” trước trận chung kết, đó là điều bắt buộc. Bài toán 29. Theo điều kiện của bài toán trước đó, chứng minh có kết quả hòa trong đó nhà vô địch thi đấu vòng tròn một lượt sẽ nhận cúp. Lời giải. Mỗi người “nguy hiểm” (người đánh bại nhà vô địch) đều thua một trong những người “không nguy hiểm” trong chức vô địch (nếu không anh ta sẽ thắng nhiều trận hơn nhà vô địch, điều đó là không thể). Hãy làm cho cặp cốc đầu tiên được rút ra từ chiếc cốc “nguy hiểm” và chiếc “không nguy hiểm” mà anh ta đã thua.

Chúng tôi thực hiện các cặp tiếp theo theo cách tương tự, càng lâu càng tốt. Giả sử còn lại những người “nguy hiểm” không thể được đưa vào các cặp như vậy (họ đã thua trong chức vô địch trước những người “không nguy hiểm” đã được đưa vào các cặp trước đó). Vậy thì hãy để những kẻ “nguy hiểm” này chơi đùa với nhau. Nếu một trong số chúng không có cặp thì chúng ta sẽ làm như sau. Tổng số người “nguy hiểm” không lớn hơn số người “không nguy hiểm” (vì nhà vô địch thể hiện không thua kém người chơi “trung bình”, thắng và thua như nhau). Trong các cặp được ghép nối, không có nhiều người chơi “không nguy hiểm” hơn những người “nguy hiểm”, và một người “nguy hiểm” nữa bị bỏ lại mà không có cặp. Điều này có nghĩa là một trong những con “không nguy hiểm” vẫn chưa được đưa vào cặp - hãy để con “nguy hiểm” còn lại chơi với anh ta. Những người chơi còn lại được ghép đôi ngẫu nhiên. Nhà vô địch sẽ tiến vào vòng tiếp theo vì anh ta đấu với một người chơi “không nguy hiểm”. Nếu ở các vòng khác các cặp được xây dựng theo nguyên tắc tương tự thì nhà vô địch sẽ nhận được cúp. Điều này chắc chắn có thể xảy ra nếu trong mỗi hiệp có ít hơn một nửa số người tham gia là “nguy hiểm”. Giả sử rằng cho đến một vòng nhất định, chúng ta đã đảm bảo đáp ứng được điều kiện này. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng điều này có thể đạt được ở vòng tiếp theo. Vì một nửa số người tham gia từ vòng trước sẽ tiến vào vòng tiếp theo, điều đó đủ cho thấy ít nhất một nửa số người “nguy hiểm” đã bị loại. Nhưng trong các trận đấu giữa họ, mỗi người tham gia thứ hai đều bị loại. Chỉ có một người “nguy hiểm” mới có thể thắng được một người “không nguy hiểm”. Vì vậy, trong cùng một vòng đấu, chỉ cần ít nhất một người chơi “nguy hiểm” thua một người chơi “không nguy hiểm” là đủ. Như chúng ta đã thấy, điều này đã được thực hiện ở vòng đầu tiên. Chỉ những người “nguy hiểm” thua một trong những người “không nguy hiểm” cũng lọt vào vòng này mới được vào các vòng tiếp theo. Và cặp đầu tiên bao gồm một người “nguy hiểm” và một người “không nguy hiểm” mà anh ta thua. Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh. Để kết thúc phần này, chúng tôi trình bày bài toán, thảo luận về một hình thức cạnh tranh khác - trận đấu loại trực tiếp. Bất chấp sự đơn giản của cách diễn đạt, lời giải, bài toán hóa ra lại gây khó khăn cho những người tham gia tuyển chọn cho Olympic Nga năm 1998. Bài toán 30. Một nhóm học sinh đang chơi bóng bàn để loại nhau. Họ sắp xếp hàng đợi, người đầu tiên và người thứ hai chơi trước, sau đó mỗi người tham gia tiếp theo sẽ chơi với người chiến thắng ở cặp trước. Ngày hôm sau, những học sinh đó lại chơi trò loại trừ, nhưng hàng lại đi theo hướng ngược lại - từ cuối đến đầu. Chứng minh rằng có hai học sinh chơi với nhau vào ngày thứ nhất và ngày thứ hai. Lời giải. Đối thủ của người chơi cuối cùng trong ngày đầu tiên chơi với tất cả những người đứng sau anh ta trong hàng đợi. Anh ấy chơi trận đầu tiên với một trong số họ vào ngày thứ hai.

Một vài điều nữa bài toán

Trong các vấn đề dưới đây, theo quy luật, bạn cần tìm hiểu xem liệu có thể chọn một tập hợp con người chơi từ một giải đấu nhất định có một số thuộc tính hay không. Một số bài toán này chưa được giải quyết. Bài toán 31. a) Chứng minh rằng trong một giải đấu không có kết quả hòa, trong n người tham gia có thể đánh số họ sao cho người thứ nhất thắng người thứ 2, người thứ 2 thắng người thứ 3,…, (n – 1)thần thứ n và người thứ nhất thắng người thứ n. b) Chứng minh rằng trong một giải đấu không có kết quả hòa, hoặc có một chu kỳ bao gồm tất cả những người tham gia, hoặc có thể chia những người tham gia thành hai nhóm sao cho bất kỳ người chơi nào của nhóm thứ nhất đánh bại bất kỳ người chơi nào của nhóm thứ hai. Bài toán 32. Không có trận hòa nào trong giải đấu vòng tròn có $2^{N}$ người tham gia. Chứng minh rằng tồn tại một dãy N+1 người tham gia, mỗi người đều đánh bại tất cả những người tiếp theo.

Sự vĩ đại của Euler với tư cách là một nhà toán học có thể được đánh giá qua thực tế là khi nghiên cứu lý thuyết số, người ta có ấn tượng rằng Euler chủ yếu quan tâm đến lý thuyết số; nếu bạn nghiên cứu chuỗi phân kỳ hoặc phương trình vi phân, thì có vẻ như chuỗi phân kỳ hoặc phương trình vi phân là chủ đề nghiên cứu yêu thích của Euler, v.v. G. Edwards

Euler đã tính toán rất thoải mái về cách con người thở, cách chim đại bàng bay trên không trung. F. Arago

Tên của anh ấy chỉ có thể biến mất cùng với khoa học.

N. ồn ào

Euler khám phá mọi thứ có thể có trong toán học. A. Speiser

“NHÀ KHOA HỌC NỔI TIẾNG NHẤT”

ĐÂY là cách một trong những nhà toán học nổi tiếng của thế kỷ 18, Giáo sư tại Đại học Basel Johann Bernoulli, ĐỐI VỚI học trò CŨ của mình. Không có gì cường điệu trong bài diễn văn đầy kính trọng này - nó được gửi tới Leonhard Euler (1707–1783).

Euler nêu gương về sự phục vụ quên mình cho khoa học. Bị mất một mắt vào năm 1738 và đến năm 1766, ông bị mù cả hai mắt, tuy nhiên, ông vẫn tiếp tục làm việc hiệu quả, báo cáo kết quả nhiều nghiên cứu của mình cho các thư ký và sinh viên. Một nửa số tác phẩm của ông được tạo ra trong thời kỳ này.

Euler trình bày các kết quả của mình một cách rõ ràng đáng kinh ngạc, chỉ ra những con đường dẫn đến chúng và cung cấp các phép tính với các ví dụ có giá trị. “Hãy đọc, hãy đọc Euler, ông ấy là người thầy chung của chúng ta,” nhà toán học nổi tiếng người Pháp P. Laplace khuyên. Một nhà toán học nổi tiếng khác, K. Gauss, đồng ý với ông: “Việc nghiên cứu các tác phẩm của Euler vẫn là trường phái tốt nhất trong nhiều lĩnh vực toán học, và không gì khác có thể thay thế được nó”.

Các nhà khoa học từ nhiều quốc gia đã công nhận Euler không chỉ là “người nổi tiếng nhất” mà còn là “siêu thông minh”, “có một không hai” và “nhà lãnh đạo của các nhà toán học”. Chiều rộng của mối quan tâm khoa học, chiều sâu của kết quả thu được và quan trọng nhất là năng suất sáng tạo đáng kinh ngạc của Euler vẫn truyền cảm hứng cho sự ngưỡng mộ ở thời đại chúng ta. Euler đã viết khoảng 750 bài báo, 40 cuốn sách và 15 tác phẩm của ông đã được chuẩn bị cho các cuộc thi khác nhau. Về điều này cần phải thêm vài nghìn chữ cái cho các quốc gia khác nhau

Châu Âu, thường đại diện cho các công trình khoa học đích thực. Danh sách các tác phẩm của ông bao gồm tất cả các lĩnh vực toán học, cơ học, quang học, thiên văn học, công nghệ và các ngành kiến ​​thức khác hiện nay.

Các tính toán thống kê cho thấy Euler thực hiện trung bình một khám phá mỗi tuần.

Dưới đây là một số phát hiện của Euler:

• Trong một tam giác bất kỳ, giao điểm của các đường cao H (trực tâm), giao điểm của đường trung tuyến M và tâm O của đường tròn ngoại tiếp đều cùng nằm trên một đường thẳng - đường thẳng Euler. Điểm M nằm giữa hai điểm O và H, có OM:MH = 1:2 (hình1).

Hình 1

• Trong bất kỳ tam giác nào, trung điểm của các cạnh (điểm 1, 2, 3 trên hình 2), đáy các đường cao (điểm 4, 5, 6) và trung điểm của các đoạn từ đỉnh đến trực tâm (điểm 7, 8, 9) nằm trên Hình 2 của một đường tròn - đường tròn Euler. Bán kính của đường tròn này bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp quanh tam giác và tâm F của nó trùng với tâm của đoạn nối trực tâm H với tâm O của đường tròn ngoại tiếp.

• Tâm I của đường tròn nội tiếp trong tam giác là

Hình 3