Kvant 2009, số 4 · Trang

1

THÁNG BẢY

THÁNG TÁM

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

2009

©

Yu

№4

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

Người sáng lập - Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Quỹ Hỗ trợ Khoa học và Giáo dục Cơ bản (Quỹ Osipyan), Nhà xuất bản ISTT RAS - LLC NPP OO “Cục Lượng tử”

TỔNG BIÊN TẬP

S.S. Krotov

BAN BIÊN TẬP

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, V.V.Kveder (phó chủ tịch ban biên tập), P.A. Kozhevnikov, V.V. Kozlov (phó chủ tịch ban biên tập), S.P. Konovalov, A.A. Leonovich, Yu.P. Lysov, V.V. Proizvolov, N.H. Rozov, A.B. Sosinsky, A.L. Stasenko, V.G. Surdin, V.M. Tikhomirov, V.A. Tikhomirova, V.M. Uroev, A.I. Chernoutsan (phó tổng biên tập)

2 7 8 14

BAN BIÊN TẬP 1970

TỔNG BIÊN TẬP

18

20 21

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2139–M2145, F2145–F2152 Lời giải bài toán M2116–M2123, F2130–F2137

K M Sh

30 34 34

36

32

37 42

MỘT. Kolmogorov

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

Nhãn hiệu “Tạp chí «Kvant»” là tài sản của LLC NPP OO “Cục Lượng tử” © 2009, RAS, Osipyan Foundation, tạp chí «Kvant»

Bài toán Cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6–8” Về một người già bị lãng quên bài toán. V. Dotsenko, K. Shramov Người chiến thắng cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6–8” năm học 2008/09

KALEIDOSCOPE “QUANTA” Ở góc độ này

TRƯỜNG TRONG “LƯỢNG TỬ” Chuyển động phẳng và định lý Chall. V. Bugaenko Vòng tròn bí ẩn và chuyển động của máy bay. S. Dorichenko, S. Shashkov, A. Shen

43

PHÒNG THÍ NGHIỆM “QUANTA” Thí nghiệm với đĩa CD. N. Rostovtsev, A. Sedov

46

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Tổng mô-đun và tổng các mô-đun. A. Egorov

49 50

I.K.Kikoin

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

Số học của khối đa diện. G.Panina Những câu chuyện về cơ học hiện đại (tiếp theo). G.Cherny

QUAN SÁT CỦA CHÚNG TÔI Các nhà toán học và lập trình viên. A. Thần

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, V.I.Arnold, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

CÔNG NGHỆ NANO Một chiếc thước dài một nanomet. I. Yaminsky Tại sao ống carbon bền hơn thép?

52 55 56

57 59

OLYMPIADS XXX Giải đấu các thành phố được chọn bài toán LXXII Olympic Toán học Moscow được chọn bài toán Olympic Vật lý Moscow lần thứ XIII Giải đấu quốc tế “Vật lý máy tính” Olympic Vật lý dành cho sinh viên toàn Nga

THÔNG TIN Chọn lọc bài toán phỏng vấn lớp 9 trường 57 Đáp số, gợi ý, lời giải Họ viết thư cho chúng tôi (30)

TRÊN BÌA

I II III IV

Minh họa phần “Công nghệ nano” Trang Internet Quanta Chess Đi bộ với vật lý

CÔNG TY CP TECHSNABEXPORT tham gia tài chính trong việc xuất bản tạp chí «Kvant»

2

KVANT 2009/№4

CÔNG NGHỆ NANO

Thước dài một nanomet

I.YAMINSKY

Cô gái Nana và cậu bé Nono được giải thích nanomet là gì. Nana thông minh mỉm cười. Cô ấy hiểu mọi thứ. Một nanomet là một phần tỷ mét. Bạn có thể thấy sự căng thẳng ở Nono. Với một chút chậm trễ, anh ta hỏi: đồng hồ đo là gì? Và ở đây nhân vật thứ ba, vị giáo sư giàu kinh nghiệm, thể hiện tài năng sư phạm tuyệt vời. Anh ta không tỏ ra khó chịu hay phẫn nộ mà chỉ đến gần Nono và chỉ cho anh ta rằng một mét xấp xỉ khoảng cách từ sàn đến cằm của Nono. Cậu bé vui mừng vì bản thân mình cao hơn một mét. Anh ấy hiểu mọi chuyện và sẵn sàng chạy đi chơi bóng đá… Thế là bắt đầu bộ phim hoạt hình Đài Loan “Hành trình kỳ diệu của Nana và Nono”, dành riêng cho câu chuyện nổi tiếng về công nghệ nano. Và sự khởi đầu này của phim hoạt hình không phải ngẫu nhiên. Công nghệ nano dựa vào các phép đo, trong đó nanomet đóng vai trò then chốt. Đó là nanomet sẽ được thảo luận trong bài viết.

Một chút lịch sử

Giới thiệu

Mọi người đều biết rằng mét là đơn vị đo chiều dài cơ bản. Nó được giới thiệu ở Pháp vào thế kỷ 18 và được xác định là một phần bốn mươi triệu chiều dài của đường trung tuyến Paris. Năm 1799, chuẩn mét đầu tiên được chế tạo từ hợp kim bạch kim và iridium. Khi chọn đồng hồ đo làm đơn vị chiều dài, chúng tôi đặc biệt được hướng dẫn bởi những cân nhắc quan trọng như tính dễ sử dụng

Ở Tokyo, trước một phòng triển lãm khổng lồ, nơi tổ chức triển lãm công nghệ nano quốc tế hàng năm, một chiếc cưa dài bốn mươi mét đã được chế tạo, một nửa đào xuống đất. Đây là tượng đài tưởng nhớ một người thợ vĩ đại của công nghệ thông thường. Công nghệ nano được thiết kế để thiết kế các thiết bị và vật liệu mới, lắp ráp chúng, giống như trong một bộ xây dựng, từ các nguyên tử và phân tử.

Bài viết này được xuất bản trong khuôn khổ thỏa thuận với Tập đoàn Nhà nước RUSNANOTECH.

Khi đo lường không có tiền tố “nano”

Từ xa xưa, hầu hết các thước đo chiều dài đều được xây dựng dựa trên sự tiện lợi khi sử dụng. Ví dụ, sazhen cũ của Nga, hay sazhen thẳng, bằng khoảng cách từ đầu ngón tay của một bàn tay duỗi thẳng theo chiều ngang đến đầu ngón tay của bàn tay duỗi thẳng kia. Theo sắc lệnh của Nicholas I, vào năm 1835 các thước đo chiều dài của Nga và Anh đã được đưa vào sử dụng phù hợp. Ông quyết định rằng một sải phải bằng bảy feet Anh (từ foot Anh - foot). Khi chuyển đổi sang mét, hóa ra 1 sải thẳng bằng 2,1336 mét. sải xiên là một đơn vị đo chiều dài cũ khác của Nga, bằng 2,48 mét. Ban đầu, một khoảng cách xiên được định nghĩa là khoảng cách từ các ngón chân của bàn chân trái đến đầu các ngón tay của bàn tay phải mở rộng theo đường chéo. Đây là những biện pháp dễ sử dụng. Tuy nhiên, bằng cách sử dụng chúng, chúng tôi thu được… độ dài khác nhau. Sự cần thiết và tầm quan trọng của các phép đo chính xác và chính xác đã được Dmitry Ivanovich Mendeleev, người tiên phong không chỉ trong việc tạo ra bảng tuần hoàn các nguyên tố, hiểu rõ. Ông thấy rõ rằng trong một xã hội có nền sản xuất công nghiệp ngày càng phát triển, vấn đề đo lường và đo lường có tầm quan trọng then chốt. Sự phát triển của giao thông đường sắt, việc thành lập các nhà máy và nhà máy cũng như việc Nga gia nhập nền kinh tế thế giới đòi hỏi sự thống nhất về đo lường lời giải bài toán. Cần thiết

3

CÁI THƯỚC KẺ

Những nỗ lực nghiêm túc đã được thực hiện để đảm bảo rằng kilôgam, gam, mét, cm, milimét và inch đều giống nhau ở mọi nơi. Từ năm 1892 cho đến cuối đời, D.I. Mendeleev đứng đầu tổ chức đo lường khoa học đầu tiên ở Nga - Phòng Cân đo Chính. Nhiệm vụ của nó là đảm bảo tính thống nhất của các biện pháp và tạo ra các phương pháp đo lường đáng tin cậy và tiêu chuẩn của chúng, cũng như đảm bảo tính đồng nhất và chính xác của các biện pháp và dụng cụ đo lường được sử dụng. Bây giờ nó là Viện nghiên cứu đo lường toàn Nga, được đặt theo tên của D.I. Mendeleev. Phòng, và bây giờ là viện, được đặt tại St. Petersburg. Nhờ những nỗ lực của D.I. Mendeleev, vào năm 1900 tại Moscow, tại Văn phòng khảo nghiệm quận Moscow, Lều xác minh các biện pháp và trọng lượng thương mại số 3 đã được thành lập. Bây giờ nó là Viện nghiên cứu dịch vụ đo lường toàn Nga (một doanh nghiệp liên bang). Biểu tượng của nó là chữ M (chữ cái đầu tiên trong từ METROLOGY), bao quanh địa cầu và đồng thời dựa vào nó. Biểu tượng đẹp đẽ để cho thấy đo lường quan trọng như thế nào đối với tất cả chúng ta.

Truyền thuyết về yến mạch và hơn thế nữa…

“Nếu bạn mua hai pound yến mạch ở St. Petersburg, sau đó mang chúng lên xe trượt tuyết đến Moscow và cân yến mạch ở đó và phát hiện ra rằng chiếc cân chỉ hiển thị một pound rưỡi, thì sẽ có sự đau buồn. Nhưng nếu bạn là một nhà kinh doanh dám nghĩ dám làm, thì nỗi đau buồn có thể được giải quyết. Bạn mua 100 pound yến mạch ở Moscow, và ở St. Petersburg bạn bán chúng với giá 133 và một ít pood. Để trở thành một nhà giao dịch dám nghĩ dám làm, bạn cũng sẽ phải nhìn vào sự khác biệt trong giá yến mạch ở Moscow và St. Petersburg. Hãy tính xem cần lấy bao nhiêu yến mạch để nuôi ngựa. Và đừng quên khấu hao thiết bị - hao mòn giày ngựa và xe trượt tuyết.

“Lịch sử” với một inch

Bạn phải cẩn thận với nanomet. Nếu không thì đủ thứ chuyện có thể xảy ra, giống như chuyện đã xảy ra với đồng hồ đo. Tuy nhiên, thậm chí không phải bằng một mét mà bằng một inch. Nhân tiện, vì lý do nào đó mà nanoinch không phổ biến bằng nanomet. Có lẽ là do một nanoinch nhỏ hơn gần 40 lần so với nanomet và nhỏ hơn một bậc độ lớn so với kích thước của một nguyên tử. Nhưng hãy quay lại câu chuyện đã hứa với inch. Điều này xảy ra trong cuộc chạy đua không gian lớn giữa Liên Xô và Hoa Kỳ. Cả hai siêu cường đều vội vàng đứng đầu. Có lẽ, để đẩy nhanh quá trình chế tạo tên lửa vũ trụ, người Mỹ đã chế tạo hai nửa tên lửa ở những vị trí khác nhau. Khi hai nửa ở cùng một nơi

CHIỀU DÀI

TRONG

MỘT

Nanomet

giới thiệu và ứng dụng. Ngày nay, ở thế kỷ 21, nhiều nghiên cứu được thực hiện ở cấp độ nano. Phương pháp sản xuất trong đó vật liệu và thiết bị được thiết kế và lắp ráp từ các nguyên tử và phân tử riêng lẻ thường được gọi là công nghệ nano. Đối với công nghệ nano

Phòng Cân Đo - Viện Nghiên cứu Đo lường mang tên. D.I. Mét của Mendeleev là một đơn vị đo chiều dài quá lớn. Một đại lượng phù hợp ở đây có thể là nanomet. Từ quan điểm của toán học, mọi thứ đều hiển nhiên: 1 nm $= 10^{-} 9$ m, và có vẻ như không có gì đơn giản hơn. Tuy nhiên, trong thực tế lại nảy sinh những vấn đề phức tạp. Và việc đầu tiên trong số đó là làm thế nào để tạo ra một chiếc thước có khoảng cách giữa các điểm dài một nanomet. Thật vậy, mét là đơn vị cơ bản phổ biến để đo độ dài và có tiêu chuẩn riêng. Nanomet xuất hiện dưới dạng đơn vị chiều dài lấy từ mét. Làm thế nào để tạo ra một tiêu chuẩn thứ cấp - cho một nanomet? Vấn đề này thuộc lĩnh vực đo lường nano và có tầm quan trọng cơ bản đối với công nghệ nano. “Nếu bạn muốn sáng tạo, hãy học cách đo lường,” đây là lời của nhà khoa học nổi tiếng người Nga Dmitry Ivanovich Mendeleev, người đã có đóng góp to lớn trong việc tạo ra dịch vụ đo lường ở Nga. Lời của ông hoàn toàn đúng đối với công nghệ nano. Vì vậy, câu chuyện tiếp theo sẽ là về cách chế tạo một chiếc thước đo độ dài ở phạm vi nano.

Làm thế nào để chia một mét cho một tỷ nanomet?

Công nghệ nano là nghệ thuật tạo ra các sản phẩm mới có kích thước trong phạm vi nanomet. Nếu bạn nghiêm túc tham gia vào việc sản xuất những sản phẩm như vậy, thì bạn cần phải thực sự giỏi trong việc đo những nanomet tương tự này. Để làm điều này, bạn không chỉ cần một tiêu chuẩn thuận tiện mà còn cần một tiêu chuẩn rõ ràng về độ dài. Có vẻ như mọi thứ đều đơn giản: để có được một nanomet, bạn cần cắt một mét tiêu chuẩn thành một tỷ phần bằng nhau. Nếu sau đó một tỷ người nhận được mỗi người một nanomet, phân tán đến các khu vực khác nhau trên thế giới, rồi sau một thời gian dài, tập hợp lại ở một nơi, áp dụng tất cả nanomet của họ cho nhau và đảm bảo rằng các nanomet của họ có cùng chiều dài, điều đó sẽ thật tuyệt. Và chữ “tuyệt vời” này sẽ có nhiều ý nghĩa. Đầu tiên, đồng hồ đo lần đầu tiên được cắt thành các phần chính xác bằng nhau. Thứ hai, trong quá trình di chuyển, nanomet không bị mòn, không bị sờn hay giãn. Thứ ba, những nanomet như vậy có thể được sử dụng làm thước đo chiều dài và hai người đo cùng một vật thể có nanomet “khác nhau” sẽ nhận được kết quả như nhau. Tuy nhiên, điều này sẽ không thể thực hiện được,

5

CÁI THƯỚC KẺ

Virus khoai tây có thể gây ra nhiều rắc rối cho cây thuốc lá, cà chua và các loại cây trồng khác. Thực vật, giống như chúng ta, dễ bị bệnh do virus. May mắn thay cho chúng ta, virus thực vật không gây nguy hiểm gì cho con người. Ít nhất có thể nói rằng chưa từng có ai chứng minh được điều ngược lại. Vì vậy, chẳng hạn, chúng ta có thể ăn khoai tây bị nhiễm vi rút khoai tây X một cách an toàn. Chữ X ở đây chỉ loại virus. Ngoài ra còn có virus khoai tây A và virus khoai tây B. Virus khoai tây X, giống như virus khảm thuốc lá, có hình dạng giống sợi chỉ, chỉ hẹp hơn và dài hơn: đường kính 14 nm với chiều dài 1 micron. Nhân tiện, một đề xuất đã được đưa ra là sử dụng vi rút khảm thuốc lá làm tiêu chuẩn 18 nanomet và vi rút khoai tây X làm tiêu chuẩn 14 nanomet.

Hệ thống định vị hiện đại

Hệ thống định vị GPS và GLONASS hiện đại hoạt động với độ chính xác trong việc đo tần số và theo đó là khoảng thời gian với sai số tương đối là $1 \cdot 10^{-} 13$. GPS là tên viết tắt của các từ tiếng Anh Hệ thống định vị toàn cầu, tức là hệ thống định vị toàn cầu. Tên đầy đủ của hệ thống định vị vệ tinh này là NAVSTAR GPS (NAVigation Satellites cung cấp Time And Range - vệ tinh dẫn đường cung cấp các phép đo thời gian và khoảng cách; hệ thống định vị toàn cầu). Hệ thống này được Bộ Quốc phòng Mỹ tạo ra nhằm xác định chính xác tọa độ và tốc độ của các vật thể. Hệ thống định vị vệ tinh của Nga là Hệ thống vệ tinh dẫn đường toàn cầu hay gọi tắt là GLONASS. Nếu bạn có bộ thu GPS ở nhà thì bạn có thể cân nhắc việc buộc một milimet vào một mét bằng cách sử dụng tham chiếu tần số có sẵn công khai này và kiểm tra vị trí của các rãnh trên thước đo ở nhà của bạn bằng

CHIỀU DÀI

TRONG

MỘT

Nanomet

Quy luật của hiệu ứng áp điện nghịch đảo rất đơn giản - sự thay đổi kích thước của tấm áp điện $\Delta D$ tỷ lệ thuận với điện áp đặt vào $\Delta U : \Delta D = d_{33} \Delta U$, trong đó hệ số tỷ lệ $d_{33}$ là mô-đun áp điện. Việc sử dụng hai số trong chỉ số mô-đun cho thấy rằng trong trường hợp chung, chúng ta có thể tác dụng ứng suất theo một trong ba hướng (dọc theo trục tọa độ X, Y hoặc Z) và sự thay đổi về kích thước có thể được quan sát theo bất kỳ hướng nào khác. Trong trường hợp của chúng ta, hướng của điện trường trùng với hướng chuyển động nên sử dụng hai số 3 giống nhau. Dễ dàng tính ra rằng module áp điện có tổng cộng 9 thành phần: $d_{11}, d_{12}, d_{13}$, … $, d_{33}$. (Các đại lượng vật lý như vậy được gọi là tensor bậc hai.) Hãy lấy gốm có mô-đun áp điện $d_{33} = = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N $= 200 \cdot 10^{-} 12$ m V. Nếu chúng ta đặt một điện áp 5 V vào các điện cực, thì sự thay đổi kích thước của tấm sẽ là 1 nm. Lưu ý rằng sự thay đổi kích thước của tấm áp điện không phụ thuộc vào độ dày của tấm áp điện. Và điều này rất tốt, vì khi tạo ra một tiêu chuẩn về độ dài, chúng ta không phải suy nghĩ về độ dài của tiêu chuẩn đó. Do đó, đối với nanomet, chúng ta đã có thể xây dựng luận điểm chính: nanomet là khoảng cách mà kích thước của một tấm làm bằng gốm áp điện với mô-đun áp điện $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N $= 200 \cdot 10^{-} 12$ m V thay đổi khi đặt điện áp 5 V vào các điện cực của nó. Trong tiêu chuẩn của chúng tôi, chúng tôi chỉ sử dụng tấm áp điện và pin như vậy. Nếu pin có điện áp lớn hơn 5 V, thì chúng ta sẽ cần hai điện trở, với sự trợ giúp của chúng, chúng ta sẽ tạo ra một bộ chia điện áp có đầu ra 5 V. Và nếu chúng ta tìm thấy gốm áp điện có giá trị khác của mô-đun áp điện, thì bằng cách chọn điện áp cần thiết trên bộ chia, chúng ta cũng có thể đáp ứng điều kiện $\Delta D = 1$ nm cho trường hợp này.

Có những thủ thuật nhỏ trong mọi hoạt động kinh doanh. Việc sản xuất nanomet của chúng tôi có những “thủ thuật” riêng. Đây là cái đầu tiên. Nếu chúng ta sử dụng một tấm áp điện làm bằng gốm áp điện có mô-đun áp điện $d_{33} = 200 \cdot 10^{-} 12$ Cl N thì sau mỗi lần đặt điện áp 5 V, kích thước của tấm sẽ thay đổi 1 nm. Giữa các lần sử dụng điện áp, điều quan trọng là không được quên làm chập mạch các tấm bản bằng dây dẫn. Piezoceramics là chất cách điện rất tốt: một khi được áp vào các tấm, điện áp sẽ duy trì trên chúng trong một thời gian dài. Điều này có thể kéo dài hàng giờ hoặc hàng ngày, tất cả phụ thuộc vào độ ẩm của không khí và độ sạch của bề mặt hồ sơ. Bằng cách nối tắt các điện cực của tấm bằng một dây dẫn, chúng ta cho phép điện tích âm chạy xuống dây dẫn sang tấm đối diện để điện áp trên tấm bằng 0 và tấm trở về kích thước ban đầu. Và một điều “chuyện vặt” quan trọng nữa. Điện áp có thể được đặt vào để tấm áp điện trở nên dày hơn hoặc để tấm trở nên mỏng hơn. Nói cách khác, pin có thể được kết nối bằng dấu cộng với điện cực trên hoặc có thể được kết nối bằng dấu cộng với điện cực dưới. Trong cả hai trường hợp, tấm sẽ thay đổi kích thước thêm 1 nm. Có sự khác biệt trong cách áp dụng điện áp? Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi cần cho bạn biết gốm áp điện được tạo ra như thế nào. Piezoceramic được làm từ bột, được nung ở nhiệt độ cao và tốt nhất là ở áp suất cao. Điều này tạo ra một vật liệu rắn, ở quy mô vi mô bao gồm

6

KVANT 2009/№4

từ từng hạt riêng lẻ. Trong mỗi hạt, các điện tích dương hơi dịch chuyển so với các điện tích âm (nói chung, các hạt trung hòa về điện) và sự dịch chuyển điện tích này làm cho hạt có mômen lưỡng cực. Khi tiếp xúc với điện trường, hạt như vậy sẽ giãn ra hoặc co lại. Trong gốm áp điện mới nướng, mô men lưỡng cực của từng hạt riêng lẻ có hướng ngẫu nhiên, hiệu ứng áp điện nghịch đảo được quan sát thấy đối với từng hạt riêng biệt và nhìn chung không có chuyển động định hướng của tấm. Trong điện trường không đổi, một số hạt sẽ giãn ra, một số sẽ nén theo hướng của điện trường, nhưng nhìn chung kích thước của mẫu gốm áp điện sẽ không thay đổi. Để gây ra chuyển động có hướng, mọi mô men lưỡng cực của từng hạt phải được định hướng theo cùng một hướng. Để làm điều này, gốm áp điện được đặt trong điện trường từ 1000 V/mm trở lên và nung nóng đến nhiệt độ khoảng $300 ^\circ$ C. Quá trình này được gọi là phân cực gốm. Gốm sứ không thể bị nung quá nóng, vì ở nhiệt độ nhất định (điểm Curie) hiệu ứng áp điện sẽ biến mất. Nếu quá trình phân cực thành công thì tất cả các hạt đều có mô men lưỡng cực hướng theo một hướng, trong khi trường phân cực sẽ kéo giãn gốm. Nếu đặt một điện trường ngược chiều vào, quá trình khử cực sẽ xảy ra, nén gốm sứ. Đây là nơi đáp số nằm trong câu hỏi của chúng tôi về cách áp dụng điện áp theo tiêu chuẩn nanomet - để gốm sứ co giãn hoặc co lại. đáp số đúng là như thế này. Nếu chúng ta muốn tránh khả năng khử cực của gốm thì điện áp phải được đặt sao cho chỉ xảy ra hiện tượng kéo dài tấm.

Chúng tôi kiểm tra nanomet và trở thành nhà đo lường nano

Piezoceramic có một số nhược điểm - phi tuyến tính, độ trễ, độ rão. Tính phi tuyến biểu hiện ở những sai lệch so với công thức đơn giản $\Delta D = d_{33} \Delta U$. Độ trễ là do “bộ nhớ” của vật liệu đối với lịch sử của điện áp đặt vào, do đó, ở cùng một điện áp đặt vào, độ giãn dài của tấm sẽ khác nhau. Do hiện tượng rão hoặc rão, độ giãn dài của gốm áp điện có thể chậm hơn điện áp đặt vào theo thời gian. Liệu những hiệu ứng này có làm giảm độ chính xác của chuẩn nanomet của chúng ta không? Thực tế là không, nếu chỉ có hai giá trị điện áp được áp dụng định kỳ nghiêm ngặt cho các điện cực tiêu chuẩn: 5 V và 0 V. Tất cả những nhược điểm của gốm áp điện - phi tuyến tính, độ trễ, độ rão - sẽ xuất hiện, nhưng sự đóng góp của chúng sẽ luôn giống nhau. Và nếu vậy, bằng cách chọn điện áp cẩn thận, chúng ta có thể đạt được độ giãn dài của tấm áp điện chính xác là một nanomet. Kết thúc câu chuyện của mình, chúng tôi lưu ý rằng nếu bạn không thể tạo ra tiêu chuẩn nanomet của riêng mình nhưng hiểu mọi thứ trong bài viết này, thì chúng tôi có thể cho rằng bạn đã là một nhà đo lường nano thành đạt. (Xét cho cùng, không phải nhà đo lường nano nào cũng sử dụng nhà đo nano tự chế.) Nếu bạn chịu khó tìm ra một tấm áp điện và chế tạo ra máy đo nano của riêng mình, thì chúng tôi có thể nói rằng bạn là nhà đo lường nano tiên tiến nhất. Một câu hỏi rất quan trọng vẫn nằm ngoài phạm vi của bài viết: làm thế nào để đảm bảo rằng tấm của chúng ta kéo dài chính xác một nanomet? Nói cách khác, làm thế nào nanomet được tạo ra có thể được liên kết với chuẩn chính của máy đo? Thật không may, thủ tục này không thể được thực hiện ở nhà. Bạn cần liên hệ với dịch vụ đo lường và ở đó, sử dụng giao thoa kế, họ sẽ có thể xác định chính xác chuyển động của tấm. Làm thế nào điều này được thực hiện là một chủ đề cho một bài viết khác.

độ chính xác cao hơn một chút so với 1%. Vẫn chưa thể tiến gần hơn đến nanomet bằng hệ thống GPS.

Kinh tế chế tạo nanomet

Có lẽ bạn vẫn còn một câu hỏi chưa được giải đáp về việc tìm tấm áp điện ở đâu. Trên thực tế, những hồ sơ như vậy thực sự bao quanh chúng ta trong cuộc sống hàng ngày. Chuông trong đồng hồ, điện thoại di động và máy tính thường được làm từ các tấm áp điện. Đúng, họ có một điểm đặc biệt. Ở đó, các tấm áp điện được dán vào một tấm kim loại đàn hồi. Kết quả là, khi kích thước của tấm áp điện thay đổi, cấu trúc được dán như vậy sẽ bị uốn cong thêm và tâm của cấu trúc sẽ di chuyển một khoảng cách lớn hơn nhiều so với tấm tự do. Do đó, nếu chúng ta muốn đạt được độ dịch chuyển 1 nm, thì tốt hơn là chỉ sử dụng một tấm áp điện - nếu không thì điện áp đặt vào sẽ nhỏ hơn đáng kể và độ ổn định của hệ thống như vậy sẽ kém hơn nhiều. Ngoài ra, do sự khác biệt về hệ số nhiệt độ của gốm áp điện và kim loại, cấu trúc được dán sẽ bị uốn cong thêm khi nhiệt độ môi trường thay đổi. Bạn có thể tìm thấy tấm áp điện phù hợp ở đâu? Hóa ra chúng được bán trong các cửa hàng phụ kiện điện tử. Chi phí của một bản ghi là khoảng 10 rúp. Sau đó, bạn có thể tính toán ngân sách cho việc phát triển tiêu chuẩn nanomet của chúng tôi: pin - 40 rúp, dây điện - 8 rúp, tấm áp điện - 10 rúp, tìm kiếm và đặt mua tấm trên Internet (trả tiền cho giao thông) - 35 rúp, giao tấm áp điện (nếu bạn không tự đi) - 150 rúp, công việc của chính bạn - hãy tự đánh giá. Đây là tính kinh tế của việc sản xuất tiêu chuẩn một nanomet.

Thật thú vị rằng…

…nếu bạn nhìn mình trong gương, trong thời gian này, mỗi sợi tóc của bạn sẽ dài ra thêm một nanomet. …nếu một nửa thể tích của bồn chứa đường sắt chứa đầy nước từ Hồ Baikal, mực nước trong hồ sẽ giảm gần một nanomet. …một đồng xu 1 kopeck được ném xuống hồ, và mực nước tăng thêm 1 nm. Kích thước của hồ bơi là gì? …các nhà khoa học đã học được cách tạo ra những sợi chỉ vàng dày một nguyên tử. Trong trường hợp này, 3 nguyên tử vàng được gói hoàn toàn thành chiều dài 1 nanomet.

9

số học

Ví dụ 1. Tổng Minkowski của hai đoạn không song song là hình bình hành (hình1).

Hình 1

Ví dụ 2. Tổng Minkowski của hai đoạn thẳng song song là một đoạn có tổng chiều dài. Ví dụ 3. Tổng của tam giác Minkowski và một đoạn thẳng song song với một cạnh là một hình thang (hình2).

i Hãy để chúng tôi vẽ tất cả các vectơ từ gốc. Bạn sẽ nhận được cái gọi là bó vectơ chung cho cả hai đa giác. i Có thể hóa ra là hai vectơ từ bó hoa có cùng hướng. Khi đó cặp vectơ này phải được thay thế bằng tổng của chúng. i Di chuyển theo chiều kim đồng hồ, chúng ta lần lượt lấy các vectơ từ bó hoa và đặt chúng sang một bên (vectơ đầu tiên là từ một điểm được chọn tùy ý trên mặt phẳng, mỗi vectơ tiếp theo là từ điểm cuối của vectơ trước đó). Hóa ra là một đường dây bị hỏng. i Đường đa tuyến sẽ đóng lại. Nó giới hạn tổng Minkowski của đa giác K và L.

Bài toán 1. Cho K là đa giác lồi. Đảm bảo rằng K + K là đa giác K được kéo dài theo hệ số 2 theo tính đồng nhất.

Hình 2

Ví dụ 4. Một ví dụ khác là tổng của một hình ngũ giác và một hình tam giác (hình3). Trong trường hợp này là bảy-

Hình 3

hình vuông Tuy nhiên, nếu bạn xoay tam giác một chút (và để hình ngũ giác giống nhau), thì tổng sẽ là một hình bát giác, vì các cạnh song song của hình ngũ giác và tam giác sẽ không còn song song nữa. Nhìn vào các ví dụ đã cho, bạn có thể nhận thấy rằng đường đứt nét giới hạn tổng đa giác K + L được tạo thành từ các cạnh của đa giác K và L. Chính xác hơn, tổng đa giác Minkowski có thể được tính bằng thuật toán sau (hình4):

Hình 4

i Hãy biến mỗi cạnh của đa giác K và L thành một vectơ bằng cách vẽ một mũi tên trên đó. Các vectơ kết quả phải đi xung quanh đa giác theo chiều kim đồng hồ.

đa diện

Trừ đa giác

“Hãy để tôi đi gặp Nữ hoàng,” Alice nói. Tất nhiên, cô ấy thích trò chuyện với những bông hoa, nhưng làm sao họ có thể so sánh được với Nữ hoàng thực sự! - Đối với? – Rose hỏi. - Vậy là anh sẽ không bao giờ gặp được cô ấy! Tôi khuyên bạn nên đi theo hướng ngược lại!

Không thể xác định sự khác biệt Minkowski nếu bạn chỉ giới hạn bản thân ở các đa giác lồi. Thật vậy, khi được thêm vào, các đa giác không trở nên nhỏ hơn (chính xác hơn là tổng K và L chứa bản dịch song song của từng thuật ngữ - điều này có thể thấy rõ trong hình 3). Do đó, không thể trừ một đa giác lớn khỏi một đa giác nhỏ: trong trường hợp này, đa giác nhỏ sẽ chứa một bản dịch song song của đa giác lớn. Làm thế nào chúng ta có thể mở rộng lớp đa giác lồi một cách thông minh để thực hiện phép trừ? Nếu bạn sử dụng định nghĩa của một tổng và cố gắng đánh lừa nó bằng cách điều chỉnh nó thành phép trừ, thì nó sẽ chẳng mang lại điều gì tốt đẹp cả (hãy thử đi!). Có một kỹ thuật đại số phổ quát: chúng ta sẽ gọi hiệu của hai đa giác K và L là biểu thức hình thức (K – L), mà không gán cho biểu thức sau bất kỳ ý nghĩa hình học nào. Chúng ta sẽ coi hai biểu thức như vậy (K – L) và (M – N) bằng nhau khi K + N = M + L. Dễ dàng kiểm tra xem các biểu thức hình thức đó có thể được thêm vào hay không (theo quy tắc (K – L) + (M – N) = ((K + M) – (L + N)), và mỗi (K – L) có một phần tử nghịch đảo (L – K). Bạn đã gặp kỹ thuật này trước đây trong các bài học toán - khi chuyển từ số dương sang số âm hoặc từ số nguyên sang số hữu tỉ Tuy nhiên, chúng ta muốn giải quyết không phải sự khác biệt về hình thức mà là các đối tượng hình học. Tại sao lại như vậy? Thực tế là một đa giác (hoặc một khối đa diện trong không gian) có cấu trúc hình học phong phú: nó có các cạnh, các đỉnh, khái niệm về diện tích, v.v.

13

số học

i Như trước đây, bạn cần lấy kết quả của việc xếp chồng các biểu đồ này. i Như trước đây, giá trị ứng suất cạnh được kế thừa từ $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, f_{2} ). i$ Tuy nhiên, quy trình bổ sung không kết thúc ở đó. Bước tiếp theo là loại bỏ các cạnh và đỉnh không cần thiết. Có thể xảy ra trường hợp ứng suất của tổng $( G_{1}, f_{1} ) + ( G_{2}, f_{2} )$ trên một cạnh nào đó bằng 0. Sau đó, một cạnh như vậy phải được loại bỏ. i Sau khi loại bỏ tất cả các cạnh có ứng suất bằng 0, có thể xảy ra chính xác hai cạnh liền kề với một đỉnh (điều này có nghĩa là các cạnh này tạo thành một góc $\pi$ và ứng suất trên các cạnh này bằng nhau). Sau đó, đỉnh này phải được loại bỏ và hai cạnh kết hợp thành một. Các đỉnh không có cạnh liền kề cũng cần được loại bỏ. Kết quả là chúng ta thu được đồ thị trên một hình cầu có ứng suất khác 0. Bây giờ đã rõ cách trừ đồ thị có ứng suất. Đồ thị nghịch đảo của đồ thị (G, f) hiển nhiên là đồ thị $( G, - f )$. (Đảm bảo rằng $( G, f ) + ( G, - f )$ là biểu đồ trống!) Do đó, lấy hiệu của đồ thị $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, f_{2} )$ có nghĩa là lấy tổng của đồ thị $( G_{1}, f_{1} )$ và $( G_{2}, - f_{2} )$.

Bài toán 7. Chứng minh rằng mọi đồ thị lò xo trên một mặt cầu đều có thể biểu diễn dưới dạng hiệu của hai đồ thị có ứng suất dương.

Bây giờ chúng ta hãy thử xây dựng một đối tượng hình học P (G, f) bằng cách sử dụng một biểu đồ có ứng suất khác 0 (nhưng bây giờ không nhất thiết là dương) (G, f) ở mọi nơi. Thuật toán lặp lại chính xác thuật toán xây dựng P(G, f) cho đồ thị có ứng suất dương. Một lần nữa, giống như Alice, chúng ta không có lựa chọn nào khác. i Gọi 1, …, k là các lực do các lò xo tạo ra ở đỉnh thứ i của đồ thị ( G, f ). Bây giờ đây là các vectơ đi theo hướng của cạnh hoặc theo hướng ngược lại, tùy thuộc vào dấu của ứng suất. Chúng tôi tin rằng việc đánh số của chúng tương ứng với thứ tự đi qua các cạnh của đồ thị theo chiều kim đồng hồ. Vì ứng suất có thể đổi dấu nên bản thân các vectơ $f_{1},^{…}, f_{k}$ có thể đi theo một thứ tự hoàn toàn khác. i Như trước đây, đối với đỉnh i, chúng ta coi mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu S. Trong mặt phẳng này, chúng ta sẽ xây dựng một đường đa tuyến khép kín, được hướng dẫn bởi quy tắc cũ. Chúng ta hãy chọn một điểm trên mặt phẳng và vẽ lần lượt các vectơ $f_{1},^{…}, f_{k}$, quay theo góc $\pi 2$ theo chiều kim đồng hồ. Điều quan trọng ở đây là chúng ta lấy các vectơ theo thứ tự các cạnh chứ không theo thứ tự các vectơ. Sẽ rất hữu ích khi xác minh rằng quy trình này mô tả chính xác việc xây dựng sai phân Minkowski của đa giác lồi. i Chúng ta sẽ làm tương tự với tất cả các đỉnh khác của đồ thị. Đối với mỗi đỉnh, chúng ta có một đa giác không lồi (một đường gãy phẳng khép kín, có thể có các điểm tự giao nhau) i Điều quan trọng là đối với các đa giác này, thuộc tính chính vẫn được đáp ứng, cho phép chúng ta đặt chúng lại với nhau - đối với các đa giác tương ứng

đa diện

các đỉnh liền kề của đồ thị có các đoạn song song có cùng độ dài. Do đó, từ các đa giác như vậy, bằng cách truyền chúng song song, có thể tập hợp một đối tượng P ( G, f ), được xác định bằng cách xây dựng như vậy cho đến truyền song song. P(G,f) được gọi là khối đa diện ảo. Bây giờ đã rõ những gì cần phải làm để xây dựng hiệu Minkowski của hai khối đa diện K và L: i Chuyển khối đa diện thành đồ thị lò xo. i Lấy sự khác biệt của đồ thị lò xo. i Xây dựng một đa giác ảo P ( G, f ) tương ứng với hiệu của đồ thị.

Hãy để chúng tôi đưa ra lời giải thích cho độc giả nâng cao. Thực tế là trong phép tính tổng Minkowski, các mặt song song của khối đa diện cộng lại. Do đó, thật tự nhiên khi cho rằng các mặt của hiệu Minkowski K – L sẽ đóng vai trò là hiệu Minkowski của các mặt của các khối đa diện K và L. Chính hiện tượng này được mã hóa trong việc xây dựng khối đa diện ảo.

Ví dụ 10. Tại hình 12,a) vẽ đồ thị có ứng suất. Đồ thị có hóa trị ba; do đó, khối đa diện ảo (G, f) (hình12,b) được dán lại với nhau từ các hình tam giác.

a) b)

Hình12. Một ví dụ về đồ thị có ứng suất xen kẽ và khối đa diện ảo tương ứng của nó

Văn học 1. A. Pukhlikov, A. Khovansky. Các phép đo cộng hữu hạn của khối đa diện ảo. (Đại số và giải tích, tập 4 (1992), số 2, trang 161–185.) 2. Trang web dành riêng cho các đa giác ảo hyperbol: club.pdmi.ras.ru/~panina/hyperbolicpolytopes.html

14

KVANT 2009/№4

Những câu chuyện về cơ học hiện đại (tiếp theo)

G.CHERNY

Nghiên cứu phun trào núi lửa bằng phương pháp cơ học

Nghiên cứu về núi lửa và hoạt động của chúng luôn là công việc của các chuyên gia - nhà nghiên cứu núi lửa, nhà địa chất và đại diện của các ngành khoa học khác. Cơ học đã không can thiệp vào vấn đề này trong một thời gian dài. Đã có những nỗ lực riêng biệt để xem xét các mạch nước phun và các dạng tương tự khác. Nhưng các nhà khoa học cơ khí chỉ mới bắt đầu nghiên cứu về núi lửa gần đây và ngay lập tức có một bước đột phá trong lĩnh vực này. Các phương pháp cơ học truyền thống về mô hình toán học đã được sử dụng để nghiên cứu và dự đoán hoạt động của núi lửa. Ở giai đoạn nghiên cứu hiện tại, đã thu được những kết quả thú vị và đáng khích lệ. Các mô hình về nhiều loại phun trào khác nhau đã được xây dựng và một số vụ phun trào trong quá khứ đã được mô tả bằng phương pháp cơ học (phù hợp với dữ liệu hiện có). Ngày nay, nhờ công trình của các nhà khoa học từ Viện Cơ học của Đại học Tổng hợp Moscow, người ta đã có thể tính toán hồi tố các vụ phun trào xảy ra vào thời của họ, điều mà người ta đã biết nhiều, nhưng hóa ra, nhiều điều chỉ được biết đến bây giờ. Một vụ phun trào núi lửa là một trong những loại thảm họa thiên nhiên có sức tàn phá mạnh nhất. Chỉ cần nói rằng trong ba thế kỷ qua, hơn 220 nghìn người đã thiệt mạng do các vụ phun trào núi lửa. Để dự đoán một cách đáng tin cậy hậu quả của các vụ phun trào núi lửa, cần phải học cách giải thích chính xác các tín hiệu khác nhau nhận được từ núi lửa - các trận động đất nhỏ, biến dạng của các tòa nhà, nhiệt độ tăng trong suối nhiệt và thành phần khí thoát ra. Chỉ những mô hình toán học dựa trên các định luật cơ học cơ bản mới có thể kết nối những quan sát phân tán gián tiếp này. Ví dụ, chúng ta hãy xem xét chi tiết hơn những gì đã xảy ra vào năm 79 sau Công nguyên trong vụ phun trào của núi Vesuvius, khi các thành phố Pompeii và Herculaneum bị phá hủy. Như đã biết từ các nguồn đa phương, sau một đợt bùng phát ngắn, đợt phun trào nhanh chóng suy giảm. Người dân Pompeii, mặc dù khá sợ hãi, vẫn quyết định rằng núi lửa đã dịu xuống và sẽ không rời khỏi nhà của họ. Đột nhiên vụ phun trào dữ dội trở lại và những dòng đá nóng rơi xuống thành phố. Gần như ngay lập tức thành phố bị chôn vùi dưới một lớp cao nhiều mét. Không ai có thể giải thích điều này, nhưng những người thợ máy thì có.

Họ đã tạo ra một mô hình, các tính toán dựa trên đó khôi phục trình tự thời gian của các sự kiện. Tại hình 1 có biểu đồ biểu thị sự phụ thuộc được tính toán của cường độ phun trào theo thời gian. Hóa ra có một tầng chứa nước khá mạnh trong lòng đất gần Vesuvius. Và như vậy,

Hình1. Cường độ phun trào Vesuvius (79)

Khi vụ phun trào lắng xuống, tại điểm tiếp xúc với lớp này, áp suất bên trong kênh núi lửa giảm xuống đáng kể, và nước lao tới đó, gần như ngay lập tức biến thành hơi nước và bắn ra một lượng lớn đá, tro bụi, v.v. Hiện nay, các phương pháp cơ học được sử dụng tích cực để phân tích và dự đoán các vụ phun trào núi lửa. Viện Cơ học của Đại học quốc gia Moscow đã tạo ra các mô hình dòng chảy magma (dung nham nóng chảy) trong kênh núi lửa cho nhiều kiểu phun trào khác nhau. Những mô hình này giúp có thể liên hệ các đại lượng quan sát được trên bề mặt, chẳng hạn như dòng magma và nhiệt độ, với các quá trình xảy ra trong lớp vỏ trái đất. Đối với một số núi lửa, lịch sử của chúng đã được biết đến, được mô tả bằng các phương pháp cơ học và do đó có thể dự báo được. Ví dụ, lấy các thông số phun trào của Vesuvius gần giống như thời kỳ đầu kỷ nguyên của chúng ta, các nhà khoa học đã tính toán dòng dung nham có thể xảy ra ngày nay. Đặc biệt, họ phát hiện ra rằng những dòng magma nóng khổng lồ có thể rơi xuống thành phố Naples trong vòng 15 phút. Người dân và chính quyền địa phương đã trở nên chu đáo và các kế hoạch hiện đang được xây dựng để sơ tán người dân trong trường hợp này.

15

CÂU CHUYỆN

VỀ

HIỆN ĐẠI

Mô hình cơ học về sự hình thành siêu lục địa Một ví dụ khác, thực sự đáng kinh ngạc, về ứng dụng cơ học trong một khoảng thời gian khổng lồ từ khi Trái đất bắt đầu xuất hiện cho đến ngày nay là sự hình thành các lục địa. Các lục địa và các mảng cấu thành của chúng được biết là có khả năng di chuyển. Và vì vậy, theo các nhà địa chất, trong hơn ba tỷ rưỡi năm qua, những mảng này đã nhiều lần tập hợp lại thành

Hình2. Siêu lục địa trong lịch sử địa chất của Trái Đất

một lục địa chung nào đó (hình2). Các nhà địa chất có thể xác định tuổi của đá. Trên các lục địa hiện có, có những khu vực đá rất cổ - từ ba tỷ năm trở lên, và ở những nơi khác, cái gọi là đá non đã được phát hiện, tức là những tảng đá hình thành muộn hơn nhiều (một tỷ, hai tỷ năm). Nhưng tại sao tất cả điều này xảy ra là không rõ ràng. Để giải thích, một lý thuyết đối lưu về động lực học của lớp vỏ đã được đề xuất. Cấu trúc bên trong của Trái đất được chọn rất đơn giản - ở trung tâm có lõi nóng chảy, là nguồn nhiệt, sau đó có lớp phủ, được chia thành hai lớp - trên và dưới (đây là dữ liệu địa chấn). Các lớp dày, lớp trên cùng dày khoảng 650 km. Các lớp này khác nhau về cấu trúc bên trong của chúng. Ranh giới giữa các lớp là bề mặt chuyển pha của chất manti có khả năng hấp thụ nhiệt, tức là khi đi qua bề mặt này, một số liên kết hóa học được chuyển thành liên kết hóa học khác và điều này kéo theo sự hấp thụ nhiệt. Vì vậy, mô hình đơn giản hóa sau đây đã được xây dựng: có một Trái đất đối xứng hình cầu, sau đó nó bị xáo trộn nhẹ, sai lệch so với hình dạng đối xứng hình cầu,

CƠ KHÍ

và theo dõi những gì xảy ra trong quá trình tiến hóa tiếp theo. Tại lời giải, bài toán này, một phương pháp mô hình toán học được sử dụng. Hóa ra những xáo trộn đang phát triển (ngày càng tăng) dẫn đến sự chuyển động toàn cầu của lớp phủ Trái đất. Cái gọi là dòng đối lưu nhiệt phát sinh và một hiện tượng thú vị được quan sát thấy ở lớp phủ hai lớp. Trong một số thời kỳ, khá ngắn so với tổng thời gian tiến hóa, lớp trên, lạnh hơn của lớp phủ gần như hợp nhất hoàn toàn thành một dòng phản lực khổng lồ đi sâu vào Trái đất, bao bọc lõi của nó. Thay vào đó, một phần vật chất của lớp nóng hơn phía dưới nổi lên trên bề mặt. Sự bay lên xảy ra với ba đến năm tia lực mạnh hơn tia đi xuống. Vật liệu trôi nổi tạo thành những tảng đá mới, non. Lưu ý rằng khám phá bất ngờ nhất là cái gọi là “sự tự tổ chức toàn cầu” của dòng chảy, bao gồm một tập thể, tức là một luồng phản lực mạnh mẽ, nhấn chìm vật chất. Hậu quả của việc này là sự tập hợp (phía trên vị trí lao xuống) của một siêu lục địa từ các lục địa riêng lẻ, cũng như tốc độ sụt lún của vật chất tăng lên. Bức tranh được lý thuyết mô tả không chỉ phù hợp về mặt chất lượng với lịch sử địa chất của hành tinh chúng ta mà còn cho phép chúng ta rút ra một số kết luận (tác giả của công trình là các nhà khoa học cơ khí Moscow). Vì lý thuyết có một số tự do (các tham số tự do có thể được thiết lập), thang thời gian được điều chỉnh theo thang thời gian của các hình thành mới thực tế mà các nhà địa chất xác định được từ sự phân rã của các nguyên tố phóng xạ. Tại hình 3 được đưa ra

Hình3. Tốc độ chuyển động trung bình của lớp phủ

16

KVANT 2009/№4

Hình4. Dữ liệu địa chất về tuổi đá non

đồ thị tốc độ trung bình tính toán của chuyển động lớp phủ. Nó có những đỉnh khá sắc nét khi tốc độ tăng lên rất nhiều, thời gian đạt cực đại ngắn so với tổng thời gian tiến hóa. Trong những đỉnh này, sự hình thành đá diễn ra mạnh mẽ. Hình ảnh thu được rất phù hợp với dữ liệu địa chất có sẵn về tuổi của đá non (hình4). Khi các khoảng thời gian được điều chỉnh, một bức tranh tương tự sẽ xuất hiện.

Cơ học và nghiên cứu Bắc Cực

Đất nước chúng ta đã phát triển (không tồn tại ở bất kỳ nơi nào khác trên thế giới) vùng biển sâu, độ sâu lặn lên tới 6 km, phương tiện tự hành tự hành hoặc được điều khiển từ bên ngoài - chiếc “Mir” có người ở và “Harpsichord” không có người ở. Về cơ bản, chúng khác với cái gọi là tàu lặn có sẵn ở một số quốc gia, chúng chỉ đơn giản được hạ xuống bằng dây, ở phía dưới chúng đổ dằn và nổi lên. Nhưng độ sâu 6 km có nghĩa là áp suất 600 atm, cấu trúc khá phức tạp của bộ máy phải chịu được. Và ở đây chúng ta cần cơ chế của vật liệu, cơ chế hoạt động của chúng trong những điều kiện khó khăn như vậy. Tin tức được đưa tin rất rộng rãi trên các mặt báo là chuyến thám hiểm gần đây tới Bắc Cực trên các tàu phá băng hạt nhân Rossiya và Akademik Fedorov và việc cắm cờ Nga dưới đáy Bắc Băng Dương. Tàu phá băng hạt nhân có lò phản ứng hạt nhân, gần như hoàn toàn là thiết bị cơ khí. Khả năng tạo ra những con tàu bền bỉ cũng là cơ khí. Nhưng thậm chí trước đó, các tàu ngầm đã đến thăm Bắc Cực và nổi lên chính xác tại điểm cực. Ai đã đưa họ đến đó? Radio? Nó không hoạt động dưới nước. Định vị bằng tiếng vang? Mặc dù nó hoạt động nhưng nó hoạt động ở khoảng cách rất ngắn. Và những chiếc thuyền được đưa đến bằng hệ thống định vị con quay hồi chuyển quán tính có độ chính xác đáng kinh ngạc - một điều kỳ diệu khác, một thành tựu xuất sắc của cơ học cả trong quá khứ và gần đây. Điều hướng là khoa học và nghệ thuật di chuyển trên một phương tiện đang di chuyển (ô tô, đường biển hoặc đường hàng không).

tàu ngột ngạt, không gian hoặc khí cầu), xác định vị trí và hướng của thiết bị này. Ngày xưa, các thủy thủ sử dụng la bàn, Mặt trời và bầu trời đầy sao để định hướng. Sau đó đài phát thanh đã đến giải cứu. Một kỷ nguyên mới bắt đầu với sự ra đời của hệ thống dẫn đường quán tính, hệ thống này không sử dụng bất kỳ tín hiệu hoặc quan sát bên ngoài nào. Những hệ thống đầu tiên như vậy vẫn còn mang tính truyền thống là con quay hồi chuyển. Chúng dựa trên một thiết bị cơ học thuần túy – con quay hồi chuyển. (Ý tưởng đơn giản nhất về con quay hồi chuyển được đưa ra bởi một đỉnh quay nhanh, bất chấp lực hấp dẫn, không rơi, đồng thời trục quay của nó tiến động, tức là mô tả từ từ một hình nón.) Các hệ thống định vị con quay hồi chuyển đã trải qua quá trình phát triển vượt bậc trong những thập kỷ qua và đặc biệt là trong thời đại của chúng ta. Nước ta đã tạo ra hệ thống định vị con quay có độ chính xác đáng kinh ngạc. Có nhu cầu rất lớn về các thiết bị này trên toàn thế giới; các hội nghị quốc tế dành riêng cho họ được tổ chức hai năm một lần. Mặc dù các thiết bị này là điện tử nhưng nguyên lý hoạt động và nguyên lý sử dụng của chúng hoàn toàn là cơ học. Nhân tiện, vị trí âm thanh và khả năng giao tiếp cũng là một vấn đề đối với thợ máy. Xét cho cùng, âm học là một ngành khoa học tách ra từ cơ học, giống như khí tượng động học (và một phần quan trọng của hải dương học) đã được tách ra từ lâu. Hai ngành khoa học này cùng nhau nghiên cứu các chuyển động trong lớp vỏ không khí của Trái đất – bầu khí quyển và các chuyển động trong các đại dương trên thế giới cũng như sự tương tác của chúng. Trong số những thành tựu mới nhất của các ngành khoa học này, có thể kể đến lý thuyết về “vòng” của Dòng chảy Vịnh và lý thuyết về băng tan ở Bắc Cực. Lý thuyết sau gần giống với lý thuyết về sự va chạm của các mảng lục địa, nhưng tất nhiên, đề cập đến các hiện tượng ở quy mô nhỏ hơn nhiều trong không gian và thời gian và đến một môi trường đơn giản hơn.

Sản xuất điện ở nhà máy điện hạt nhân

Một ví dụ điển hình về việc sử dụng cơ học trong công nghệ là năng lượng hạt nhân, một trong những công nghệ phát triển nhanh chóng trong những thập kỷ gần đây. Ngày nay, các lò phản ứng hạt nhân không chỉ được sử dụng trong lĩnh vực năng lượng mà còn được sử dụng trong giao thông vận tải. Sơ đồ của một nhà máy điện hạt nhân - nhà máy điện hạt nhân - được thể hiện ở hình 5. Ngoài lò phản ứng hạt nhân, nó còn bao gồm hệ thống làm mát mạch kép (mạch đầu tiên mang tính phóng xạ, nằm bên trong thùng lò phản ứng và mạch thứ hai, có độ phóng xạ thấp, nằm bên ngoài thùng lò phản ứng), tua-bin hơi nước quay máy phát điện, bản thân máy phát điện, hệ thống truyền tải điện, hệ thống làm mát và máy bơm. Trái tim của nhà máy điện hạt nhân là lò phản ứng hạt nhân - sản phẩm trí tuệ chung của các nhà vật lý và cơ học. Nhiên liệu (uranium) được nạp vào lò phản ứng dưới dạng các phần tử nhiên liệu, là các ống chứa đầy nhiên liệu này. Phản ứng nguyên tử được giảm bớt hoặc tăng cường bằng cách di chuyển các nguyên tố nhiên liệu này lên hoặc xuống, tức là đẩy chúng ra khỏi lò phản ứng hoặc đẩy chúng vào trong lò phản ứng.

17

CÂU CHUYỆN

VỀ

HIỆN ĐẠI

CƠ KHÍ

Hình5. Sơ đồ thiết kế NPP

Các bộ phận nhiên liệu không phải là bộ phận phức tạp nhất của trạm, nhưng ngay cả công nghệ sản xuất chúng cũng được phát triển bởi các nhà khoa học cơ khí cùng với các kỹ sư của nhà máy sản xuất. Toàn bộ tổ hợp được đưa vào lò phản ứng được vận chuyển từ nhà máy trên một số phương tiện hạng nặng. Đây là lúc vai trò của các nhà vật lý kết thúc. Thùng lò phản ứng được tính toán bằng các phương pháp cơ học, và nhân tiện, không phải bằng các phương pháp của thế kỷ 19 mà bằng các phương pháp cải tiến liên tục trong những năm gần đây. Tất cả các thiết bị phức tạp nặng hàng nghìn tấn khác của nhà máy điện hạt nhân cũng được các nhân viên kỹ thuật, kỹ thuật tính toán, chế tạo và lắp đặt dựa trên những thành tựu mới nhất của cơ khí. Đúng, điều này đòi hỏi các tính toán điện và nhiệt (bao gồm tính toán chuyển động của chất lỏng và hơi nước trong chất làm mát và hệ thống làm mát), thuộc lĩnh vực vật lý. Nhưng có thể nói rằng kỹ thuật nhiệt chỉ là một phần nhỏ của cơ khí. Nói chung, cơ học đã hấp thụ các quá trình nhiệt, từ lâu đã giải quyết các vấn đề kỹ thuật nhiệt phức tạp hơn những vấn đề được giải quyết bằng chính kỹ thuật nhiệt. Sử dụng ví dụ này, tôi muốn chứng minh luận điểm sau. Để làm cho những thành tựu của một số ngành khoa học khác, trong đó có vật lý, trở nên hữu ích cho con người, không thể thiếu cơ học. Cơ học là nền tảng. Do đó, các nhà vật lý đã phát hiện và nghiên cứu phản ứng phân hạch của uranium khi giải phóng năng lượng. Dựa trên khám phá này, cơ học đã tạo ra các cấu trúc cung cấp năng lượng nhiệt và điện cho con người. Những khám phá khác về vật lý (laser hoặc các nguồn bức xạ khác), hóa học, khoa học vật liệu và thậm chí cả sinh học đòi hỏi phải sử dụng những tiến bộ mới nhất trong cơ học để có ích cho con người. Ví dụ, mọi điều đã nói ở trên về nhà máy điện hạt nhân vẫn đúng với tất cả các công nghệ hóa học mới. Ở đây, trái tim là một lò phản ứng hóa học - một lần nữa là sản phẩm trí tuệ chung của các nhà hóa học và cơ học, và có tính đến việc tăng tốc mong muốn của các quá trình hóa học trong nhiều trường hợp đòi hỏi phải tạo ra các lò phản ứng hóa học có dòng chảy nhanh hơn bao giờ hết.

Trong số các lò phản ứng như vậy, vai trò của các phương pháp cơ học trong tính toán ngày càng trở nên quan trọng. Sự phát triển của công nghệ truyền thông vệ tinh hiện đại, việc tạo ra các hệ thống không gian trong tương lai sử dụng năng lượng mặt trời để truyền nó đến Trái đất - tất cả những điều này là hoàn toàn không thể nếu không có cơ học, không có các phương pháp mới và hiện có cần phát triển.

Phần kết luận. Ngài Isaac Newton và những cơ chế luôn mới

Giai đoạn phát triển khoa học hiện nay và sự tiến bộ của tri thức khoa học nói chung phần lớn được quyết định bởi sự thâm nhập vào các lĩnh vực khoa học khác nhau của các phương pháp mô hình toán học, dựa trên việc xây dựng và sử dụng một số mô hình toán học nhất định. Chúng ta không được quên rằng phương pháp mô hình toán học đã xuất hiện trong cơ học Newton (các định luật nổi tiếng của Newton) và đã được chính Newton sử dụng thành công cho lời giải một số bài toán nghiêm trọng. Sau đó, nghệ thuật xây dựng các mô hình toán học phức tạp được tạo ra một cách chính xác bởi cơ học và sau đó được áp dụng lần lượt bởi các nhà vật lý, nhà địa vật lý, nhà hóa học, nhà sinh vật học, nhà ngôn ngữ học và gần đây hơn là các nhà xã hội học và kinh tế học. Các mô hình cơ khí cực kỳ rõ ràng. Không phải ngẫu nhiên mà một số nhà vật lý nổi tiếng trong quá khứ cho rằng không một hiện tượng vật lý nào có thể được coi là hiểu đầy đủ cho đến khi nó được phát biểu dưới dạng cơ học. Là một thợ cơ khí và nhà toán học xuất sắc, học giả Alexei Nikolaevich Krylov đã viết trong lời mở đầu cho bản dịch tiếng Nga của ông về “Các nguyên lý toán học của triết học tự nhiên” của Newton: “Các nguyên lý của Newton…” tạo thành nền tảng không thể lay chuyển của cơ học, lý thuyết thiên văn học và vật lý.” Lagrange gọi tác phẩm này là “tác phẩm vĩ đại nhất của trí óc con người”. Cơ học Newton thực sự là một thành tựu vượt trội của vật lý (triết học tự nhiên), của toàn bộ lịch sử văn minh nhân loại. Cô ấy là vĩnh cửu.

21

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

F2145. Vệ tinh hàng ngày của Trái đất quay theo quỹ đạo tròn nằm trong mặt phẳng xích đạo. Do kích hoạt động cơ phanh trong thời gian ngắn, tốc độ của vệ tinh giảm đi 1 m/s, nhưng hướng của tốc độ không thay đổi. Tìm sự thay đổi chu kỳ quỹ đạo của vệ tinh. A.Povtorov

F2146. Một con thỏ chạy theo đường thẳng thì tốc độ của nó luôn bằng $v_{0} = 5$ ms. Tại một điểm cách đường thẳng này $L_{0} = 100$ m, có một con cáo đang ngồi. Cô ấy để ý đến con thỏ và đuổi theo khi nó ở khoảng cách tối thiểu so với điểm được đề cập. Con cáo chạy cùng tốc độ; Vectơ tốc độ của con cáo luôn hướng về điểm mà con thỏ đang ở. Tìm gia tốc cực đại của con cáo trong quá trình rượt đuổi. Con cáo và con thỏ được coi là điểm vật chất. A. Starov

F2147. Petya và Vasya có một máy nước nóng tự động nhỏ trong nhà bếp ở nông thôn của họ. Đó là một thùng chứa năm lít có khả năng cách nhiệt tốt và lò sưởi điện hai kilowatt. Bình chứa luôn được nối với một ống nước để nước lạnh có thể chảy vào đó, phía dưới có một vòi để rút nước nóng qua đó. Máy sưởi được trang bị rơle với bộ điều chỉnh cho phép bạn đặt nhiệt độ nước mong muốn. Máy sưởi chủ yếu dùng để rửa bát, ban đêm không có ai rửa bát nên ban đêm sẽ tắt. Và rồi anh em bắt đầu tranh cãi. Petya tin rằng họ đang hành động tiết kiệm bằng cách tắt nguồn điện cung cấp cho thiết bị vào ban đêm. Vasya tin rằng không có sự khác biệt - xét cho cùng, vào ban đêm, nước nguội đi rất nhiều, và vào buổi sáng, máy sưởi bật lâu hơn và nếu bạn để nguồn điện, thì trong đêm máy sưởi sẽ bật nhiều lần, nhưng trong thời gian ngắn, duy trì nhiệt độ nước đã cài đặt. Để giải quyết tranh chấp, hai anh em đã thực hiện một thí nghiệm. Họ đặt bộ điều chỉnh nhiệt độ ở $46 ^\circ$ C. Hóa ra là trong 9 giờ đêm, nước nguội đến $30 ^\circ$ C. Nhiệt độ không khí trong bếp vào ban đêm là 16 ° C. Dữ liệu này có đủ để ước tính số tiền bạn sẽ phải trả mỗi tháng nếu tắt hoặc không tắt nguồn máy nước nóng vào ban đêm không? Chi phí của một kilowatt giờ được coi là 3 rúp. I. Leenson

F2148. Áp suất hơi bão hòa của nước ở +20 °C là 1000 Pa, và ở nhiệt độ +20,5 °C nó tăng lên 1020 Pa. Sử dụng dữ liệu này, hãy xác định nhiệt mol bay hơi của nước ở +20 °C. Z. Rafailov

“QUANTA”

Một ắc quy có hiệu điện thế U = 10 V được nối vào các cực của dây xích. Điện trở có điện trở $R_{1}$ sẽ toả bao nhiêu nhiệt lượng? Và trong điện trở có điện trở $R_{2}$? A.Zilberman

F2150. Trong mạch ở hình, các điện trở (từ trái sang phải) có điện trở 500 Ohm, 200 Ohm và 200 Ohm, điện áp pin là 6 V. Các ampe kế đều giống nhau: mỗi ampe kế có điện trở 1 Ohm, “cấp chính xác” 1%, tổng dòng điện lệch 50 mA. Tìm số chỉ của ampe kế. A. Prostov

F2151. Ba cuộn dây có độ tự cảm 1H, 2H và 4H được mắc thành hình ngôi sao. Điểm chung được nối đất bằng một đoạn dây và một tụ điện 10 µF được mắc song song với dây này. Tại một thời điểm nào đó, các đầu tự do của cuộn dây được nối với pin, tạo ra điện thế +6 V giống nhau tại các điểm kết nối. 0,1 giây sau khi kết nối, dây nối đất bị cắt. Tìm điện tích cực đại trên tụ điện. Các phần tử mạch được coi là lý tưởng. R.Alexandrov

F2152. Một chùm tia sáng rộng song song rơi vào một quả cầu đồng nhất trong suốt làm bằng vật liệu có chiết suất n = 1,414. Tìm kích thước của điểm sáng ở phía đối diện của quả bóng. A. Sharov

Lời giải bài toán M2116 – M2123, F2130–F2137

M2116. Một bộ domino hoàn chỉnh được bày trên bàn theo một chuỗi khép kín và đối với tất cả các cặp domino lân cận, mô đun chênh lệch điểm trên các ô vuông mà chúng chạm vào sẽ được tính toán. Chúng ta hãy biểu thị bằng S tổng của tất cả các môđun sai phân như vậy. Rõ ràng giá trị nhỏ nhất của S là 0 (điều này xảy ra khi chuỗi khép kín được sắp xếp theo quy tắc domino). Giá trị lớn nhất mà tổng S có thể nhận là bao nhiêu?

Đáp số: 96. Hãy đánh số các quân domino theo chiều kim đồng hồ với các số từ 1 đến 28, bắt đầu bằng một số trong số đó. Để quân domino thứ nhất và thứ hai chạm vào các điểm $a_{1}$ và $b_{1}$, quân thứ hai và thứ ba - điểm $a_{2}$ và $b_{2}$, …, quân thứ hai mươi tám và thứ nhất - $a_{28}$ và $b_{28}$, và $a_{i} \ge b_{i}$ cho tất cả i từ 1 đến 28. Sau đó, trong bộ số $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}$, … $, a_{28}, b_{28}$ mỗi

F2149. Các tụ điện có điện dung C = = 100 μF và 2C và một điện trở có điện trở $R_{1} = 10$ Ohm được mắc nối tiếp, và một điện trở có điện trở $R_{2} = 100$ kOhm được mắc song song với tụ điện có điện dung C. TO

31

KMS

Bài toán

Giải rebus DECL = SMALL + YES + DEL, nếu DECL càng nhỏ càng tốt. (Các chữ cái khác nhau biểu thị các số khác nhau và các chữ cái giống nhau biểu thị các số giống nhau.) M. Akhmedzhanova

Có bốn quân xe ở các góc của bàn cờ. Với mỗi nước đi, quân xe sẽ di chuyển (theo chiều ngang hoặc chiều dọc) cho đến khi chạm vào quân xe khác hoặc cạnh bàn cờ. Thu thập tất cả các quân xe ở bốn ô trung tâm. A. Shapovalov

Nam tước Munchausen nói rằng ông có một số palindromic gồm nhiều chữ số (nó được đọc giống nhau từ trái sang phải và từ phải sang trái). Sau khi viết nó lên băng giấy, nam tước đã thực hiện nhiều vết cắt giữa các số và nhận được các số 1, 2, …, N trên các miếng băng (mỗi số đúng một lần). Nam tước đang khoe khoang phải không? A. Shapovalov

Nếu một hình chữ nhật có một lỗ hình dạng bất thường được khoét bởi đỉnh A thì cạnh AB tạo thành một góc $30^\circ,$ với phương thẳng đứng, và nếu theo đỉnh B - góc $60^\circ.$ Cạnh AB tạo thành góc bao nhiêu với phương thẳng đứng nếu hình chữ nhật được treo ở giữa cạnh này? E. Sokolov

Minh họa của D. Grishukova

Trước khi tăng giá, trà với hai chiếc bánh gừng có giá 1 rúp. Khi tất cả giá cả đều tăng (với tỷ lệ phần trăm như nhau), đồng rúp chỉ đủ cho trà và một chiếc bánh gừng. Sau đó giá lại tăng, với tỷ lệ tương tự như lần đầu. Sau đó, liệu có đủ đồng rúp để mua trà không? I. Akulich

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

34

KVANT 2009/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán phải được gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này tới địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: math@kvant.info (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ điền tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Một quân cờ có thể di chuyển cả với tư cách là quân xe và quân mã được gọi là tướng, và quân cờ kết hợp khả năng của quân hậu và quân mã được gọi là maharajah. Đặt bốn tể tướng và bốn maharajas lên bàn cờ $8 \times 8$ sao cho không quân nào thắng quân nào. A. Gribalko

2. Các số A và B được gọi là thân thiện nếu tổng tất cả các ước của A, ngoại trừ chính A, bằng B, và tổng tất cả các ước của B, ngoại trừ chính B, bằng A. (Ví dụ 220 và 284 là hai số hữu ích.) Lấy hai số hữu nghị A và B. Sau đó tìm tổng các nghịch đảo của các ước của A, trừ đi một và nhận được kết quả $\alpha .$ Làm tương tự với B, nhận được kết quả $\beta .$ Sản phẩm $\alpha \beta$ là gì? G. Galperin

3. Cả nước có 100 thành phố. Một số cặp thành phố được kết nối bằng đường bộ và có kết nối đường hàng không giữa hai thành phố bất kỳ. Biết rằng mỗi thành phố đều có số lẻ đường. Người du lịch muốn đi dọc theo mỗi con đường đúng một lần (theo một trong hai hướng). Số chuyến bay ít nhất anh ta sẽ phải thực hiện cho việc này là bao nhiêu? P. Kozhevnikov 4. Chúng ta sẽ gọi một số tự nhiên là số ấm nếu một trong các số a – 1 và a + 1 là số đơn giản và số còn lại là hợp số. Chứng minh rằng có vô số số chẵn. D. Shvetsov 5. Trong tứ giác ABCD, đường chéo AC là phân giác của góc BCD, góc BCD bằng $120 ^\circ$ và góc BAD bằng $30 ^\circ$. Chứng minh rằng chu vi tam giác BCD bằng độ dài đường chéo AC. V.Proizvolov

Về một người già bị lãng quên bài toán

V. DOTSENKO, K. SHRAMOV

Những con gấu cưỡi trên một chiếc xe đạp, Và đằng sau chúng là Tôm càng xanh Trên một con chó què, Và đằng sau chúng là một con mèo Quay lại phía trước… K. Chukovsky Giới thiệu Vào mùa xuân năm 2005, các tác giả của bài báo này đã chọn bài toán để phỏng vấn đầu vào lớp toán 9 trường 57 ở Mátxcơva. Đối với một trong những cuộc phỏng vấn cuối cùng, người ta đã quyết định chọn một số thông tin khá ít được biết đến (ít nhất là đối với học sinh lớp 8), bài toán, lời giải, mỗi lý do trong số đó - vì lý do này hay lý do khác - là một lập luận nghiêm túc ủng hộ thực tế là học sinh quyết định điều đó sẽ có thể học trong một lớp toán. Đây là điều kiện của một trong số chúng: Khoảng cách giữa thành phố A và B là 30 km. Ba khách du lịch muốn đi từ thành phố A đến thành phố B. Họ có một chiếc xe máy mà mỗi người có thể đi với tốc độ 60 km/h và một chiếc xe đạp mà mỗi người có thể đi với tốc độ 15 km/h. Khi đi bộ, mỗi người trong số họ có thể di chuyển với tốc độ 6 km/h. Bất kỳ phương tiện giao thông nào cũng có thể được để lại trên đường để một trong những khách du lịch còn lại có thể sử dụng. a) Chứng minh rằng khách du lịch sẽ không thể tổ chức được chuyến đi sao cho người đến cuối cùng sẽ dành ít hơn 2,5 giờ trên hành trình.

41

TRƯỜNG HỌC

từ Bổ đề 1 (các bản dịch song song) và từ Bổ đề 2 (các phép quay có tâm chung). Và trong tất cả các tác phẩm từ Bổ đề 3–7, thứ tự là điều cần thiết - các cặp chuyển động được xem xét trong chúng không giao hoán. Một ví dụ khác về chuyển động giao hoán là đối xứng trục và dịch song song thành một vectơ song song với trục đối xứng. Do đó, khi xác định tính đối xứng trượt, việc thực hiện các chuyển động cơ bản tạo nên nó theo thứ tự nào không quan trọng.

Lời giải bài toán

Lời giải bài toán 1. Xuất phát từ điều kiện là khi quay qua một góc $120^\circ$ so với điểm M, đỉnh A đi vào B, và C đi vào D. Điều này có nghĩa là với phép quay này, đoạn thẳng AC đi vào đoạn thẳng có hướng BD nên độ dài của chúng bằng nhau và góc giữa chúng là $120 ^\circ$. Điều này có nghĩa là góc giữa các đoạn thẳng AC và DB bằng $60 ^\circ$. Chúng ta hãy xem xét chuyển động riêng để chuyển đoạn có hướng AC sang DB. Theo định lý Chall, đó là một phép quay và độ lớn của góc quay phải bằng góc giữa các đoạn có hướng này, tức là $60 ^\circ$. Tâm của vòng quay này sẽ là điểm N mong muốn. Lời giải bài toán 2. Xét chuyển động biến tam giác $A_{1} B_{1} C_{1}$ thành $A_{2} B_{2} C_{2}$. Vì những tam giác này có hướng khác nhau nên chuyển động đang xét là không đúng và do đó là một đối xứng trượt. Rõ ràng là trung điểm của đoạn nối bất kỳ điểm nào với ảnh của nó dưới tác dụng đối xứng trượt nằm trên trục đối xứng này. Lời giải bài toán 3. Chuyển động được mô tả trong bài toán là sự kết hợp của ba đối xứng trục và do đó là chuyển động không đúng của mặt phẳng. Theo định lý Chall, đây là sự đối xứng trượt. Rõ ràng, với đối xứng trượt, những điểm di chuyển một khoảng cách tối thiểu chính xác là những điểm của trục. Thật vậy, tất cả chúng đều dịch chuyển bởi cùng một vectơ, song song với trục đối xứng, trong khi các điểm khác cũng dịch chuyển theo hướng vuông góc với trục đó. Vẫn còn phải tìm trục đối xứng này. Để làm điều này, chỉ cần tìm hai điểm trên đó. Hãy sử dụng thực tế đã giúp chúng ta trong lời giải bài toán trước đó: phần giữa của đoạn nối một điểm với ảnh của nó dưới sự đối xứng trượt nằm trên trục đối xứng này. Do đó, để tìm trục, chỉ cần tìm trung điểm của hai đoạn thẳng nối các điểm với ảnh của chúng là đủ. Việc tìm kiếm có thể được đơn giản hóa rất nhiều nếu bạn chọn thành công hai điểm, hình ảnh của chúng rất dễ tìm thấy đối với bố cục đang được xem xét. Hãy chọn đỉnh A của tam giác làm điểm đầu tiên. Với hai đối xứng đầu tiên, nó sẽ giữ nguyên vị trí và với đối xứng thứ ba, nó sẽ bị phản xạ so với cạnh BC. Điểm giữa cần tìm sẽ là đáy của đường cao hạ xuống từ đỉnh A. Làm điểm thứ hai, lấy một điểm đối xứng với điểm C so với cạnh AB. Với sự đối xứng đầu tiên, nó sẽ biến thành C, và với hai đối xứng tiếp theo, nó sẽ giữ nguyên vị trí. Điều này có nghĩa là điểm bắt buộc thứ hai là đáy của đường cao rơi xuống từ điểm C. Đáp số: tập hợp các điểm cần tìm sẽ là một đường thẳng đi qua đáy của các đường cao rơi xuống từ đỉnh A và C của tam giác ABC. Trường hợp các đáy của các đường cao này trùng nhau (và điều này xảy ra nếu tam giác ABC vuông góc với góc vuông B) cần được phân tích riêng. Chúng tôi để điều này như một bài tập cho độc giả.

TRONG

“QUANTE”

Bài toán và các bài tập dành cho người độc lập lời giải

1 (dành cho những người quen với khái niệm nhóm). Chứng minh rằng tập hợp chuyển động tạo thành một nhóm theo hoạt động hợp thành. Một nhóm có hình thành một tập hợp các phong trào riêng của mình không? Còn nhiều động tác không đúng thì sao? 2. Chứng minh (không sử dụng định lý Chall) rằng bất kỳ chuyển động nào cũng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của không quá ba đối xứng trục. 3. Chứng minh định lý Chasles khác bằng cách sử dụng bài toán 2. 4. Đối xứng trượt được cho bởi cặp (trục đối xứng, vectơ tịnh tiến). Chứng minh rằng các đối xứng trượt được xác định bởi các cặp khác nhau là khác nhau. 5. Hoàn thành lời giải bài toán 3 bằng cách xét trường hợp tam giác vuông góc vuông B. 6. Hình ảnh cho thấy có bao nhiêu điểm xác định chuyển động của không gian? 7. Cố gắng xác định phương hướng cũng như chuyển động đúng và sai trong không gian. Hình ảnh của bao nhiêu điểm xác định chuyển động riêng của không gian? 8. Chuyển động nào là hợp thành của hai đối xứng tâm có tâm khác nhau? 9. Hãy để $0 < \alpha, \beta, \gamma < 180 ^\circ, \alpha + \beta + \gamma = 180 ^\circ$. Chứng minh rằng thành phần của ba phép quay theo các góc $2 \alpha, 2 \beta, 2\gamma$ lần lượt đối với các điểm A, B, C là phép biến đổi đồng nhất khi và chỉ khi các góc của tam giác ABC lần lượt là $\alpha, \beta$ và $\gamma$. (Các phép quay ngược chiều kim đồng hồ và tam giác ABC có hướng âm.) 10. Vẽ một đa giác có số cạnh lẻ trên một mặt phẳng. Điểm M được phản ánh tuần tự so với trung điểm của các cạnh liên tiếp của đa giác, dẫn đến điểm $M_{1}$. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn $MM_{1}$ là đỉnh của đa giác. 11. Một đa giác có số cạnh lẻ được vẽ trên một mặt phẳng. Sau đó, điểm giữa của các cạnh được đánh dấu trong đó và bản thân đa giác đã bị xóa. Tái tạo đa giác bằng cách sử dụng các điểm được đánh dấu bằng la bàn và thước kẻ. 12. Cho tam giác ABC. Dựng các điểm K, L và M sao cho các tam giác AKM, BLK và CLM đều bằng nhau. 13. Cho một tam giác tùy ý. Các tam giác đều được xây dựng từ hai cạnh bên ra ngoài. Gọi M và N là các đỉnh của các tam giác này không trùng với các đỉnh của tam giác ban đầu. Một tam giác đều cũng được xây ở cạnh thứ ba, nhưng bây giờ ở bên trong. Gọi O là tâm của nó. Tìm các góc của tam giác MNO. 14. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một cuộn giấy cổ, trong đó có viết: “Đứng gần cây bạch dương và đi từ đó, không quay lại, đến cái giếng, và ở bên giếng, rẽ vuông góc sang trái và đi cùng một khoảng cách. Ở nơi bạn thấy mình, hãy đóng một cái chốt xuống đất. Bây giờ hãy đứng lại bên cây bạch dương và đi từ đó đến cây sồi, rẽ vuông góc sang phải và đi theo cùng một khoảng cách. Đóng cái chốt thứ hai vào đó.” mặt đất. Có một kho báu được chôn ở giữa các chốt.” Hóa ra cái giếng và cây sồi vẫn còn đó, nhưng cây bạch dương đã không còn nữa. Liệu các nhà khảo cổ có thể tìm thấy kho báu? 15. Trên các cạnh của một tứ giác tùy ý, các hình vuông được dựng ra phía ngoài. Chứng minh rằng một tứ giác có các đỉnh ở tâm các hình vuông này có các đường chéo vuông góc và bằng nhau.

43

TRƯỜNG HỌC

TRONG

“QUANTE”

Đây là cách biểu hiện một tính chất đáng chú ý của chuyển động phẳng: sau khi quay và dịch chuyển liên tiếp, cuối cùng chúng ta sẽ có chuyển động quay trở lại. Nói cách khác, khi chúng ta xoay một bức ảnh lần đầu tiên và sau đó dịch chuyển nó so với bức ảnh kia, kết quả thu được hoàn toàn giống như khi chúng ta chỉ xoay bức ảnh đầu tiên quanh một điểm khác. Bạn có thể đọc một trong những bằng chứng cho thực tế này, chẳng hạn như trong bài báo “Số phức” của S. Dorichenko ở «Kvant» số 5 năm 2008. Nhân tiện, bạn có thể nhận thấy rằng

Hình 4

Hình 5

tâm của các vòng tròn dịch chuyển gần như vuông góc với hướng dịch chuyển: đây là hệ quả của việc chúng ta có một góc quay nhỏ. Công thức được đưa ra ở cuối phần “Bài toán về các phép biến đổi điểm và mặt phẳng cố định” của bài viết đã đề cập cho phép chúng ta hiểu điều này. Một bằng chứng khác có trong bài viết “Định lý Chall và chuyển động phẳng” của V. Bugaenko đăng trên tạp chí này.

Nó nói về việc phân loại chuyển động phẳng và về lời giải bài toán sử dụng định lý Chall. Nếu bạn biết cách làm việc với các bản vẽ trên máy tính, thí nghiệm có thể được thực hiện mà không cần giấy. Đồng thời, bạn có thể làm những việc phức tạp hơn - chẳng hạn như cố gắng tìm hiểu xem hình 4 và 5 hóa ra như thế nào (nơi có thể nhìn thấy hình elip và hình xoắn ốc).

Tại sao ống nano cacbon bền hơn thép?

Rõ ràng là nếu một ống nano vách đơn được đặt vào một ống nano khác có đường kính lớn hơn một chút thì độ bền của ống nano hai vách như vậy sẽ mạnh gần gấp đôi so với độ bền của ống nano vách đơn. Vì vậy, độ bền của ống nano đa vách cao hơn gấp nhiều lần. Cấu trúc ống nano có một tương lai tươi sáng. Chúng đã được sử dụng trong thực tế, chẳng hạn như để tăng cường sức mạnh cho vợt tennis. Kế hoạch là chế tạo dây cáp cho thang máy không gian từ ống nano để cung cấp cho các trạm vũ trụ trên quỹ đạo địa tĩnh mọi thứ họ cần.

(Để bắt đầu, xem trang 7)

Một ống nano lý tưởng không có khuyết tật và là một phân tử đơn lẻ trong đó các nguyên tử cacbon liên kết với nhau bằng liên kết cộng hóa trị khá mạnh. Thép là một loại đa tinh thể chứa nhiều khuyết tật bên trong, chẳng hạn như ranh giới và các vết nứt nhỏ. Khi một mẫu thép bị kéo căng, một trong những khuyết tật này sẽ biến thành vết nứt và mẫu sẽ bị hỏng. Sự hiện diện của nhiều khuyết tật trong mẫu kim loại giải thích tính dẻo của kim loại. Đồng thời, ống nano không có tính dẻo.

K. Bogdanov