Kvant 2010, số 1 · Trang

1

THÁNG GIÊNG

THÁNG 2

KHOA HỌC PHỔ BIẾN

2010

©

Yu№1

VẬT LÝ VÀ TOÁN HỌC

TẠP CHÍ

XUẤT BẢN TỪ THÁNG 1 NĂM 1970

Trong phòng:

Người sáng lập - Viện Hàn lâm Khoa học Nga, Quỹ Hỗ trợ Khoa học và Giáo dục Cơ bản (Quỹ Osipyan), Nhà xuất bản ISTT RAS - LLC NPP OO “Cục Lượng tử”

TỔNG BIÊN TẬP

2 8

Delaunay nhiều mặt. N. Dolbilin Chụp cắt lớp NMR là gì? A. Varlamov, A. Rigamonti

12

CÔNG NGHỆ NANO Cách điều khiển ánh sáng bằng từ trường. V. Belotelov

17

TIN KHOA HỌC Giải Nobel cho vật lý “trường học”

19

THẾ GIỚI TOÁN HỌC Phỏng vấn N.N. Konstantinov

24 25

VẤN ĐỀ LƯỢNG TỬ Bài toán M2161–M2168, F2168–F2174 Lời giải bài toán M2139–M2145, F2153–F2159

S.S. Krotov

BAN BIÊN TẬP

A.Ya.Belov, Yu.M.Bruk, A.A.Varlamov, A.N.Vilenkin, V.I.Golubev, S.A.Gordyunin, N.P.Dolbilin (phó tổng biên tập), V.N.Dubrovsky, A.A.Egorov, A.V.Zhukov, A.R.Zilberman, V.V.Kveder (phó chủ tịch ban biên tập), P.A. Kozhevnikov, V.V. Kozlov (phó chủ tịch ban biên tập), S.P. Konovalov, A.A. Leonovich, Yu.P. Lysov, V.V. Proizvolov, N.H. Rozov, A.B. Sosinsky, A.L. Stasenko, V.G. Surdin, V.M. Tikhomirov, V.A. Tikhomirova, V.M. Uroev, A.I. Chernoutsan (phó giám đốc

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

32

K M Sh

34 35 35 37

Bài toán Cuộc thi mang tên A.P. Savin “Toán học 6–8” Sự vô tỉ của các nghiệm của 2, 3, 5 và 6. A. Spivak Kỳ tích của cậu bé Berthold. A. Kotova

39

TRƯỜNG TRONG “LƯỢNG TỬ” Bầu trời đỏ, trăng xanh. A. Biên tập viên Stasenko)

BAN BIÊN TẬP

A.V.Andzhans, V.I.Arnold, M.I.Bashmkov, V.I.Bernik, V.G.Boltyansky, A.A.Borovoy, N.N.Konstantinov, G.L.Kotkin, S.P.Novikov, L.D.Faddeev

BAN BIÊN TẬP 1970

41

VẬT LÝ TÙY CHỌN Hai công thức đơn giản nhưng không hoàn toàn tầm thường. M. Kaganov

45

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC Mô tả các hình tứ giác và các đường đứt nét. N. Belukhov, P. Kozhevnikov

TỔNG BIÊN TẬP

I.K.Kikoin

50

THỰC HÀNH DÀNH CHO NGƯỜI ỨNG DỤNG Động lực học của chuyển động trong một vòng tròn. A. Chernoutsan

54

Giải đấu các thành phố OLYMPICS XXXI

55 56 57 57 58

THÔNG TIN Cơ khí hiện đại và robot dành cho học sinh Trường phóng viên MEPhI Cuộc thi “Chuyến bay tự do” Phòng phóng viên Khoa Cơ học và Toán nhỏ trường Đại học Tổng hợp Matxcova Trường tương ứng “Nhà toán học trẻ”

60

Đáp số, gợi ý, lời giải

I-III IV

«Kvant» – 40 năm Bước đi cùng vật lý

PHÓ TỔNG BIÊN TẬP THỨ NHẤT

MỘT. Kolmogorov

L.A. Artsimovich, M.I. Bashmkov, V.G. Boltyansky, I.N. Bronshtein, N.B. Vasiliev, I.F. Ginzburg, V.G. Zubov, P.L. Kapitsa, V.A. Kirillin, G.I. Kosourov, V.A. Leshkovtsev, V.P. Lishevsky, A.I. Markushevich, MD Millionshchikov, N.A. Patrikeeva, N.H. Rozov, A.P. Savin, I.Sh. Slobodetsky, M.L. Smolyansky, Ya.A. Smorodinsky, V.A. Nhà chế tạo, Ya.E. Schneider

Nhãn hiệu “Tạp chí «Kvant»” là tài sản của LLC NPP OO “Cục Lượng tử” © 2010, RAS, Osipyan Foundation, tạp chí «Kvant»

Nano…

TRÊN BÌA

2

KVANT 2010/№1

Delaunay nhiều mặt

N. DOLBILIN

Thay vì lời nói đầu

Đỉnh núi tuyệt đẹp nằm cạnh Belukha, đỉnh cao nhất của Altai, được đặt tên là Đỉnh Delone để vinh danh Boris Nikolaevich Delone - một nhà toán học kiệt xuất và một con người tuyệt vời. Boris Nikolaevich Delone là một nhà toán học lớn, và tính sáng tạo trong toán học cho đến nay là khía cạnh sáng giá nhất của nhà khoa học tuyệt vời này. Nhưng chỉ để thể hiện khía cạnh này của người đa tài

Ngày 15 tháng 3 năm 2010 đánh dấu kỷ niệm 120 năm ngày sinh của Boris Nikolaevich Delone. Bài viết của chúng tôi dành riêng cho ngày này, đây là phiên bản sửa đổi và mở rộng đáng kể của bài báo “Đỉnh Delaunay”, xuất bản trên «Kvant», số 3 năm 1986.

tính cách cũng giống như việc cô lập chủ đề chính của nó khỏi một tác phẩm đa âm phức tạp, tách biệt khỏi các chủ đề khác. Theo nghĩa này, cuộc đời của B. N. Delaunay và ông đã sống được 90 năm, có thể được so sánh với một tác phẩm nghệ thuật hoàn chỉnh. Cuộc sống này vô cùng sôi động. Nếu chúng ta cố gắng liệt kê những khoảnh khắc và sự kiện tươi sáng nhất trong tiểu sử của ông, thì theo trình tự thời gian, một trong những khoảnh khắc đầu tiên sẽ là năm 1897 - một cậu bé bảy tuổi đọc Faust của Goethe trong bản gốc, thuộc lòng từng chương của bài thơ, vẽ phong cảnh đầu tiên của mình bằng sơn dầu. Ở đâu đó ở cuối danh sách, năm 1975 sẽ được ghi nhận - vào ngày 6 tháng 7, Boris Nikolaevich, ở tuổi thứ 86 của cuộc đời, qua đêm ở Tien Shan ở nhiệt độ 25 độ dưới 0 ở độ cao 4200 mét trên sông băng dưới Khan Tengri bảy nghìn. Buổi sáng anh xuống bằng trực thăng

3

ĐA NĂNG

DELAUNAIS

Nó đi đến Hồ Issyk-Kul, từ đó nó bay ngay đến Frunze, nay là Bishkek, nơi có nhiệt độ 40 độ. Sau vài giờ xếp hàng tại phòng vé sân bay, Boris Nikolayevich, với sự trợ giúp của thẻ học tập, nhận được vé máy bay và vào tối muộn cùng ngày, anh thấy mình có mặt tại sân bay gần Moscow, từ đó anh phải đến căn nhà gỗ của mình nằm ở vùng lân cận Abramtsevo gần Moscow. Đến ga gần nhất trên chuyến tàu cuối cùng vào đêm khuya, Boris Nikolaevich với chiếc ba lô nặng nề đi đến ngôi nhà gỗ xuyên rừng và lạc đường. Lạc đường trong rừng vào ban đêm, anh vứt ba lô vào một nơi vắng vẻ và nhẹ nhàng tìm thấy nhà vào lúc bình minh. Những chi tiết tiểu sử này cho thấy, một mặt, tài năng đa tài của B. N. Delaunay đã bộc lộ ngay từ rất sớm. Mặt khác, cho đến tuổi già, ông vẫn giữ được khí chất trẻ trung và sức khỏe thể chất vượt trội đã cho phép ông cống hiến hết mình không chỉ cho công việc khoa học mà còn cho lĩnh vực du lịch nghiêm túc. Hình học số, tinh thể học toán học, hình học rời rạc - Boris Nikolaevich đã viết các tác phẩm về những lĩnh vực này khi ông đã ngoài tám mươi. Altai và Caucasus, Carpathians và Tien Shan - đây là địa lý của những chuyến du hành mà ông đã thực hiện khi về già.

Đứa trẻ kỳ diệu

Boris Nikolaevich Delaunay sinh ngày 15 tháng 3 năm 1890 tại St. Petersburg trong gia đình giáo sư toán học và cơ khí nổi tiếng, tác giả của những cuốn sách giáo khoa đại học rất hay, Nikolai Borisovich Delaunay. Gia đình Delaunay đến từ Pháp. Ông cố B.N. Delaunay, Pierre Delaunay, là một bác sĩ trong quân đội Napoléon, bị bắt trong Chiến tranh năm 1812. Sau khi được trả tự do, ông trở về Pháp, nhưng vì yêu một cô gái xinh đẹp từ một gia đình quý tộc Nga, ông trở về Nga, kết hôn và ở lại đây $навсегда...^{1}$ Boris là một đứa trẻ đa tài và nhận được, như người ta nói khi đó, một nền giáo dục xuất sắc. Việc nghiên cứu âm nhạc của ông rất kỹ lưỡng: ông chơi nhiều bản nhạc của Bach và Mozart, tất cả các bản sonata của Beethoven và tự mình sáng tác rất nhiều. Giáo viên âm nhạc nhận thấy tài năng âm nhạc ở anh và khuyên anh nên đăng ký tham gia một lớp sáng tác tại nhạc viện. Nhưng giáo viên mỹ thuật cũng có lý không kém khi nhất quyết đòi Boris vào học viện nghệ thuật. Việc học vẽ và hội họa của anh đã thấm nhuần tài năng và thái độ nghiêm túc; chân dung của những người thân yêu, được làm bằng bút chì, rất giống nhau. Trong khi giáo viên và phụ huynh nghĩ về tương lai của Boris thì cậu bé không lãng phí thời gian. Anh ấy đang đi du lịch

1 Sự thật là B.N. Delaunay được cho là chắt của chỉ huy Bastille, Hầu tước Delaunay (Delaunay), nạn nhân đầu tiên của Cách mạng Pháp năm 1789, sau đó không được xác nhận: theo nghiên cứu được thực hiện bởi A.S. Sharov, nhà thiên văn học nổi tiếng và là con rể của B.N. Delaunay, tổ tiên của Boris Nikolayevich xuất thân từ một gia đình Delaunay khác.

B.N. Delaunay đang thực hiện một chuyến đi trượt tuyết (đầu những năm 1970) đến những ngọn núi và vẽ phong cảnh, chơi nhạc và chơi bóng đá, tái hiện bức “Bữa tối cuối cùng” của Leonardo da Vinci bằng bút chì và trèo cây (với em gái trên vai để gánh đồ), ngắm bầu trời đầy sao và thực hiện các thí nghiệm vật lý. Ông biến căn phòng của mình thành một phòng thí nghiệm vật lý, nơi ông tự chế tạo ra nhiều thiết bị. Nhiều năm sau, Delaunay thường nhớ lại với cảm giác tự hào về những mánh khóe nhỏ đã giúp anh có được “tia lửa như vậy” với sự trợ giúp của một chiếc lọ Leyden (tiếng “s-o-o-o” này đi kèm với một cử chỉ hùng hồn). Quan tâm đến thiên văn học, ông đã chế tạo một chiếc kính thiên văn, chiếc gương mà ông tự đánh bóng. Nói về điều này, Boris Nikolaevich không quên nói thêm: “Việc mài một chiếc gương đồng thật ngu ngốc - tốn nhiều công sức và nhanh chóng bị xỉn màu”. Không thể không kể đến một sở thích khác của B.N. Delone trong những năm đi học. Cha của ông, Nikolai Borisovich, là bạn của nhà khoa học nổi tiếng Nikolai Egorovich Zhukovsky, “cha đẻ của ngành hàng không Nga”. Dưới ảnh hưởng của ông, Nikolai Borisovich Delaunay vào năm 1907 (lúc đó ông làm giáo sư tại Học viện Bách khoa Kiev) đã tổ chức vòng lượn đầu tiên ở Nga ở Kyiv. Boris mười bảy tuổi đã trở thành một trong những thành viên của vòng tròn và trong hai năm tiếp theo đã chế tạo lần lượt năm chiếc tàu lượn, không ngừng cải tiến chúng. Chiếc tàu lượn cuối cùng, thứ năm, là chiếc thành công nhất. Một ngày nọ, các nhà làm phim

4

KVANT 2010/№1

Ở ngoài cùng bên trái là B.N. Delaunay, ngoài cùng bên phải là vợ ông M.G. Delaunay, ở trung tâm là nhà toán học nổi tiếng Ya.V. Uspensky, vợ và em gái của ông (1924), những người định quay phim tài liệu về vòng tròn, đã thuyết phục Boris, bất chấp gió mạnh, chiếu chuyến bay. Một cơn gió mạnh làm lật tàu lượn, may mắn thay, phi công rơi từ độ cao khoảng 15 mét xuống một cánh đồng được cày sâu. Từ quan điểm của những ý tưởng hiện đại về hàng không, những thành tựu của vòng tròn có vẻ ngây thơ: những chuyến bay dài vài chục mét, phóng vào mùa hè với sự trợ giúp của ngựa, dây nịt, xe đạp và vào mùa đông với sự trợ giúp của xe trượt tuyết. Tuy nhiên, chúng ta hãy lưu ý rằng đây là thời điểm ra đời của ngành hàng không và các hoạt động của vòng tròn mang tính chất tiên phong. Công việc của vòng tròn ảnh hưởng đến sự phát triển của ngành công nghiệp máy bay trong nước. Một trong những thành viên của vòng tròn là Igor Sikorsky, người sau đó, khi nhận được số tiền cần thiết, đã chế tạo một chiếc máy bay 4 động cơ khổng lồ vào thời điểm đó, nổi tiếng trong lịch sử chế tạo máy bay Nga với cái tên “Ilya Muromets”. Sau Cách mạng Tháng Mười, I. Sikorsky di cư sang Hoa Kỳ, nơi theo thời gian ông trở thành một nhà thiết kế máy bay trực thăng nổi tiếng. Một trong những chiếc trực thăng của Sikorsky đã thực hiện chuyến bay xuyên Đại Tây Dương. Chúng ta cũng hãy lưu ý một tình tiết thú vị khác liên quan đến vòng tròn. Nhà thiết kế máy bay lớn nhất của chúng tôi, Andrei Nikolaevich Tupolev, khi phát biểu trong hồi ký của mình về tầm quan trọng to lớn mà việc quen biết với Zhukovsky mang lại cho ông, đã lưu ý rằng chính B.N. Delone là người đã giới thiệu anh, khi đó vẫn còn là sinh viên, với Zhukovsky. Trước khi thảo luận về vị trí của toán học trong cuộc đời Boris Delaunay thời thơ ấu của ông, cần lưu ý đến một sở thích khác kéo dài suốt cuộc đời ông. Sở thích này - leo núi - lần đầu tiên xuất hiện ở Boris Nikolaevich vào năm 12-15 tuổi ở dãy núi Alps của Thụy Sĩ, nơi gia đình Delaunay đến nghỉ hè vào đầu những năm 1900. Delaunay sau đó đã nói về những chuyến leo núi và đi bộ đường dài của mình ở vùng lân cận các đỉnh Monte Rosa và Matterhorn phía trên Zermat ở dãy Alps xứ Wales. Tài năng toán học của Delaunay bộc lộ từ rất sớm. Năm 12 tuổi, anh đã làm quen với những kiến ​​thức cơ bản về toán học.

phân tích, và một thời gian sau bắt đầu nghiên cứu đại số và lý thuyết số. Môi trường gia đình góp phần phát triển tài năng toán học. Ví dụ, người cha vào năm 1904 đã đưa con trai mình tới Đại hội các nhà toán học quốc tế ở Heidelberg, nơi cậu bé 14 tuổi Boris đã gặp Hilbert và Minkowski và tham dự các bài giảng của họ. Điều quan trọng đối với công trình khoa học trong tương lai của Boris Nikolaevich là vào đầu những năm 1900, cha ông làm giáo sư tại Varshavsky $университета^{2}$ đồng thời với nhà toán học xuất sắc Georgiy Feodosievich Voron. G.F. Voronoi (1868–1908) là một trong những đại diện xuất sắc nhất của trường phái lý thuyết số nổi tiếng St. Petersburg. Nikolai Borisovich kết bạn với nhà toán học xuất sắc, còn Voronoi trở thành khách quen trong nhà Delaunay. Boris Nikolaevich kể lại rằng khi cuộc trò chuyện giữa cha anh và Voronoi kéo dài đến tận khuya, anh, một cậu bé, đã “nằm trên giường trong phòng mình và nghe cuộc trò chuyện của họ qua cánh cửa khép hờ dẫn vào hành lang”. Nhân tiện, G.F. Voronoi cũng tham gia vào công việc của đại hội ở Heidelberg và trao đổi rất nhiều với Minkowski. Kết quả của sự giao tiếp giữa hai người tạo ra một hướng đi mới trong toán học - hình học của các con số - là chương trình hoành tráng mà Voronoi đã vạch ra cho chính mình trong những năm tiếp theo. Và mặc dù rất tiếc là số phận chỉ cho phép anh ta bốn năm, Georgiy Feodosievich đã viết được một số công trình cơ bản về hình học của các dạng bậc hai dương và lý thuyết về các hình song song, trong đó các vấn đề cơ bản bài toán từ lý thuyết về lớp phủ, đóng gói và phân vùng đã được giải quyết. Những công trình này đã xác định hướng nghiên cứu trong một thế kỷ tới.

Đại học Kiev, hội thảo Grave

Mặc dù công trình của Voronoi sau đó có ảnh hưởng nghiêm trọng đến nghiên cứu của Delaunay, nhưng cậu học sinh trung học Boris không có mối liên hệ khoa học trực tiếp nào với nhà khoa học đáng kính. Voronoi đột ngột qua đời ở tuổi 40 cùng năm 1908, khi Boris Delaunay vào Khoa Vật lý và Toán học của Đại học Kyiv. Cùng lúc đó, một số thanh niên đặc biệt tài năng và đầy tham vọng đã vào khoa này để học, trong số đó có Otto Schmidt và Nikolai Chebotarev. Nikolai Grigoryevich Chebotarev (1894–1947) trở thành nhà đại số xuất sắc đẳng cấp thế giới, thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. Viện sĩ Otto Yulievich Schmidt (1891–1956) là một người tài năng đa diện và có nghị lực đáng kinh ngạc. Trong lịch sử toán học Nga, Schmidt không chỉ được biết đến với tư cách là một nhà đại số lớn, tác giả cuốn sách nổi tiếng “Lý thuyết nhóm trừu tượng”, mà còn là người sáng lập trường đại số Moscow nổi tiếng. Năm 1934, cái tên Anh hùng Liên Xô Schmidt đã trở thành huyền thoại: ông là người đứng đầu đoàn thám hiểm vùng cực nổi tiếng trên tàu phá băng Chelyuskin, và sau cái chết của tàu phá băng, ông đã tổ chức nghỉ đông trên tảng băng và ở

2 Vào thời điểm đó Ba Lan là một phần của Đế quốc Nga.

5

ĐA NĂNG

Trong vài tháng của đêm vùng cực, cho đến khi đoàn thám hiểm sơ tán an toàn, người lãnh đạo đã làm mọi cách để đảm bảo rằng tất cả mọi người vẫn còn sống. Boris Delaunay, Otto Schmidt, Nikolai Chebotarev, Alexander Ostrovsky, Abram Bezikovich là nòng cốt của buổi hội thảo, do nhà toán học nổi tiếng Giáo sư Dmitry Grave chủ trì. Buổi hội thảo này, tồn tại tại Đại học Kiev vào đầu những năm 1910 và đã đi vào lịch sử toán học Nga vì đã đào tạo ra một thiên hà các nhà toán học hàng đầu, đã định trước hướng nghiên cứu của Delaunay trong nhiều năm. Tác phẩm của sinh viên Boris Delaunay “Mối liên hệ giữa lý thuyết về lý tưởng và lý thuyết Galois” đã được trao Huy chương Vàng Lớn của trường đại học, và Boris được giữ lại “để chuẩn bị cho chức giáo sư,” hay theo thuật ngữ ngày nay là để học cao học. Tác phẩm được xuất bản đầu tiên của Delaunay, “Về định nghĩa một miền đại số bằng sự đồng đẳng”, được dành cho một bằng chứng mới về định lý nổi tiếng của Kronecker trên các trường Abel tuyệt đối.

Phương trình Diophantine bậc ba

Đồng thời, B.N. Delone bắt đầu nghiên cứu lý thuyết về phương trình Diophantine bậc ba với hai ẩn số. Theo sự thừa nhận của chính Boris Nikolaevich, loạt công trình về lý thuyết phương trình bậc ba Diophantine hóa ra là thành tựu tốt nhất trong toàn bộ sự nghiệp toán học của ông. Phương trình Diophantine là phương trình có dạng

$p ( x_{1}$, … $, x_{n} ) = 0$,

(1) trong đó $p ( x_{1}$, … $, x_{n} )$ là một đa thức có hệ số nguyên, mà chúng ta cần tìm số nguyên, đôi khi là số hữu tỷ, lời giải. Vì vậy, phương trình nổi tiếng $x^{2} + y^{2} = z^{2}$, trong đó chúng ta cần tìm tất cả các số nguyên lời giải, là một ví dụ về phương trình bậc 2 có ba ẩn số. Nó có vô số số nguyên lời giải, còn được gọi là bộ ba Pythagore vì chúng tương ứng với các tam giác vuông có các cạnh nguyên: (3,4,5), (5,12,13) và $т.д.^{3}$ Trong một trong 23 bài toán nổi tiếng, cụ thể là bài toán thứ 10, Hilbert đã đặt ra câu hỏi: có thuật toán nào cho phép người ta xác định từ các hệ số của phương trình (1) xem lời giải có tồn tại hay không này phương trình? Bây giờ, sau công việc của Yu.V. Matiyasevich, người đã giải được bài toán thứ 10 của Hilbert (1970), người ta biết chắc rằng thuật toán như vậy không tồn tại. Phải nói rằng các chuyên gia về phương trình Diophantine, những người biết rất rõ độ khó của từng bước trong lĩnh vực này, luôn nghi ngờ về sự tồn tại của một thuật toán như vậy. Dạng đơn giản nhất của phương trình Diophantine là phương trình tuyến tính có hai ẩn số:

ax + by = 1, trong đó a và b là số nguyên. Lần đầu tiên phương trình này được

3 Để biết thêm chi tiết, xem ví dụ: «Kvant» Số 1 năm 1986, tr. 11.

DELAUNAIS

được nghiên cứu bởi nhà toán học Ấn Độ Aryabhata vào thế kỷ thứ 5-6. Các phương trình Diophantine bậc 2 hóa ra khó hơn nhiều. Chúng đã được nghiên cứu đầy đủ bởi các nhà toán học vĩ đại Leonhard Euler (lý thuyết hoàn chỉnh về phương trình bậc hai Pell $ax^{2} + y^{2} = 1$, trong đó a không bằng bình phương của một số nguyên), cũng như J. Lagrange, K. Gauss. Về phương trình Diophantine bậc 3 trở lên, nhà toán học người Na Uy Axel Thue đã thu được một kết quả sâu sắc và bất ngờ vào năm 1908. Thue đã chứng minh rằng phương trình Diophantine có dạng f(x, y) = c, trong đó f(x, y) là đa thức thuần nhất bậc 3 trở lên, chỉ có thể có hữu hạn số nguyên lời giải. Ở đây giả định rằng đa thức f(x, y) không mở rộng thành tích của các đa thức bậc 2 trở xuống. Trong trường hợp này, các phương trình lời giải bậc cao có thể được rút gọn thành phương trình Diophantine bậc hai lời giải. Và các phương trình bậc hai, chẳng hạn như phương trình bậc hai của Pell, có số vô hạn lời giải. Hãy nhớ lại rằng một đa thức được gọi là đồng nhất (hoặc dạng) nếu tất cả các đơn thức chứa trong nó có cùng một bậc. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng định lý Thue không cung cấp bất kỳ phương tiện nào để tìm lời giải. Từ đó, không thể đạt được bất kỳ giới hạn trên nào cho các giá trị lời giải, điều này sẽ giúp tìm ra các số nguyên lời giải ít nhất là bằng vũ lực. Lúc đó ở Kiev không ai nhìn thấy tạp chí có tác phẩm của Thue. Boris Nikolaevich quyết định nghiên cứu bài toán tồn tại từ lâu của lời giải phương trình bậc ba vô định. Hóa ra sau này, công trình của Delaunay có lẽ đã đánh dấu bước tiến nghiêm túc đầu tiên sau Euler và Lagrange theo hướng nghiên cứu cụ thể về các phương trình Diophantine bậc cao hơn, cụ thể là các phương trình có dạng

$ax^{3} + bx^{2} y + cxy^{2} + dy^{3} = 1$,

(2) trong đó bên trái là dạng cấp 3 với các hệ số nguyên và phân biệt âm. “Tính tiêu cực phân biệt” có nghĩa là phương trình bậc ba $at^{3} + bt^{2} + ct + d = 0$ có một nghiệm thực duy nhất. Đầu tiên, B.N. Delaunay tiến tới một trường hợp đặc biệt quan trọng của phương trình bậc ba với phân biệt âm - tương tự bậc ba của phương trình Pell:

$x^{3} q + y^{3} = 1$,

(3) trong đó q là số nguyên, nhưng không phải là lập phương của số nguyên. (Nếu q là lập phương của một tổng thể thì dạng có thể phân hủy được:

(

) (

)

$x^{3} q + y^{3} = x^{3} q + y x^{2} 3 q^{2} - x^{3} qy + y^{2}$, và bài toán sẽ giảm xuống còn lời giải Phương trình Diophantine bậc 1 và 2.) Phương trình (3) trong số nguyên luôn có giá trị tầm thường lời giải (0; 1). Bài toán – tất nhiên là tìm lời giải còn lại, nếu có. Delaunay giới thiệu vào

7

ĐA NĂNG

Mặc dù thực tế là trong mỗi phương trình được xem xét, “thuật toán” này đã hoạt động, nhưng độ tin cậy rằng tất cả lời giải chỉ đạt được khi 3 lời giải đã được tìm thấy cho phương trình. Ước tính trên cho phương trình lời giải xét về hệ số dạng, với điều kiện là bậc không nhỏ hơn 3, chỉ được A. Baker thu được vào những năm 1960. Với công việc của mình, Baker đã được trao Huy chương Fields. Sau các kết quả cổ điển của Euler, Lagrange và Gauss về phương trình Diophantine bậc hai, công trình của Delaunay thể hiện một bước đột phá nghiêm trọng trong lý thuyết phương trình bậc ba và vẫn vượt trội cho đến những năm 1960 (A. Baker). Là thành viên tương ứng của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô D.K. Faddeev viết, “xét về tính cụ thể của phân tích, tính đơn giản và rõ ràng, chu trình công trình của B.N. Delaunay dành cho các phương trình bất định là đặc biệt trong toán học thế kỷ 20 với bộ máy thường cồng kềnh và các cấu trúc trừu tượng. Về phong cách, chu trình này gần với những ví dụ điển hình nhất về các tác phẩm cổ điển của Gauss và Chebyshev.”

Cuộc sống ở Kiev, chuyển đến St. Petersburg (Leningrad)

Như Delaunay đã nói, thành công là kết quả của hàng nghìn giờ làm việc cật lực. Boris Nikolaevich thích nói thêm rằng bài toán khó lời giải khác với bài toán lời giải Olympic bài toán ở chỗ “Bài toán Olympic bài toán cần 5 giờ và bài toán cần 5 nghìn giờ.” Cần lưu ý rằng ông đã đạt được thành công lớn trong lý thuyết phương trình Diophantine, bất chấp điều kiện sống và chính trị vô cùng khó khăn tồn tại ở Kyiv vào thời điểm đó. Trong Chiến tranh thế giới thứ nhất, Kyiv bị quân Đức chiếm đóng, và cùng với nhiều giáo sư đại học khác, gia đình Delaunay tới Saratov vào năm 1915–1916. Nikolai Chebotarev, người trẻ hơn bốn tuổi, cũng đến đó từ Kyiv. Chính tại Saratov, cuộc liên lạc của anh với B.N. Delone hóa ra là người quyết định cho Chebotarev. Khi gia đình Delaunay quay trở lại Kyiv, một cuộc cách mạng và một cuộc nội chiến đẫm máu bắt đầu. Kiev nhận thấy mình là trung tâm của những sự kiện tàn bạo này. Chính phủ này thay thế chính phủ khác liên tục. Quân Đức bị Hồng quân đánh đuổi khỏi Kiev. Đến lượt phe Đỏ lại nhượng thành phố cho phe Trắng, phe Trắng lại bị phe Đỏ đuổi ra ngoài, phe Đỏ bị người Ba Lan Vàng, phe Xanh, phe Trắng, v.v. Băng chuyền chính trị ở Kyiv, kèm theo khủng bố, tiếp tục kéo dài trong vài năm. Delaunay thường nói một cách hài hước về một tình tiết trong cuộc đời ông trong những năm đó. Em trai của ông là Alexander - gia đình ông gọi ông là Alik - là một sĩ quan trong quân đội của Denikin. Một lần, khi phe Trắng vội vàng giao thành phố cho phe Đỏ, Alik, mặc quần áo dân sự, buộc phải chạy trốn khỏi Kyiv. Đồng phục sĩ quan da trắng vẫn còn ở nhà của cha anh, nơi Boris cũng sống. vào ban đêm

DELAUNAIS

Một đội tuần tra của Hải quân Đỏ đã đến căn hộ để kiểm tra. Trong quá trình khám xét, người chỉ huy tuần tra đã đến gần chiếc tủ quần áo hai cánh, nơi treo đồng phục của Alik sau cánh cửa bên trái, và đột ngột mở… chiếc bên phải. Đột nhiên, một con búp bê khổng lồ rơi từ kệ trên cùng xuống sàn và bắt đầu khóc. Một con búp bê biết khóc được mang về từ Paris, và vào thời điểm đó, nó dường như là một phép lạ thực sự, khiến các thủy thủ kinh ngạc đến mức quên mở cánh cửa tủ quần áo còn lại… Nhưng thời đó thật tàn nhẫn và tàn nhẫn, việc hành quyết, như người ta nói, ngay tại chỗ là chuyện thường tình. Vào thời điểm đó, Boris Nikolaevich làm giáo viên toán trong một phòng tập thể dục và là trợ lý giáo sư tại Học viện Bách khoa Kiev. Năm 1920, ông viết một công trình lớn về phương trình Diophantine bậc ba và gửi một bản thảo được thiết kế đẹp mắt làm luận án tiến sĩ tới St. Petersburg, sau đó là Đại học Petrograd. Ủy ban dưới sự lãnh đạo của $А.А.Маркова^{4}$ đánh giá cao luận án, và vào năm 1922 B.N. Delaunay được mời đến Đại học Petrograd làm giáo sư. Điều này thực sự rất vinh dự, vì trường đại học này là “ngôi nhà” của trường phái lý thuyết số nổi tiếng St. Petersburg, những hạt giống do Euler gieo mầm và phát triển mạnh mẽ vào nửa sau thế kỷ 19 dưới sự lãnh đạo của P.L. Chebyshev. Vào thời Chebyshev, cốt lõi của trường này là A.A. Markov, A.N. Korkin, E.I. Zolotarev, A.A. Lyapunov. Vào thời điểm đó, theo truyền thống của trường phái lý thuyết số nổi tiếng, đại diện xuất sắc của nó là Georgy Voronoi đã “mặc” tác phẩm hình học độc quyền của mình về các khối hình song song trong “trang phục phân tích”. Ngược lại với truyền thống này, Delaunay, với năng khiếu không thể nghi ngờ về hình học, đã dành nhiều năm để hình học hóa một số công trình đại số quan trọng, bao gồm thuật toán Voronoi để tính đơn vị cơ bản trong một vòng tương ứng với dạng bậc ba của phân biệt âm. Trong tác phẩm này và các tác phẩm khác, ông giải thích vành vô tỉ bậc ba như một mạng số nguyên với quy tắc nhân tự nhiên. Ở đây chúng tôi hoàn thành việc xem xét các nghiên cứu về các câu hỏi đại số bằng phương pháp hình học để nói về một lý thuyết đơn giản nhưng quan trọng mà Boris Nikolaevich đã bắt đầu vào đầu những năm 1920 - cái gọi là phương pháp quả bóng trống và sự phân chia không gian liên quan thành các khối đa diện đặc biệt. Đâu đó vào những năm 1980, sau cái chết của B.N. Delaunay, những phân vùng này được gọi là “tam giác Delaunay”.

(Kết thúc để theo dõi)

4 Viện sĩ Andrei Andreevich Markov (1856–1922) - nhà toán học kiệt xuất người Nga, có đóng góp lớn cho lý thuyết số và đặc biệt là lý thuyết xác suất (“Chuỗi và quá trình Markov”).

10

KVANT 2010/№1

nhiều năm trước khi sự tồn tại của hiện tượng đáng chú ý này được xác nhận bằng thực nghiệm. Kể từ thời điểm đó, công nghệ NMR bắt đầu phát triển nhanh chóng. Nó đã được sử dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học trong các lĩnh vực vật lý chất ngưng tụ, hóa học, sinh học, đo lường và y học. Ứng dụng nổi tiếng nhất là chụp ảnh các cơ quan nội tạng bằng NMR.

Các cơ quan nội tạng được hình dung như thế nào bằng NMR?

Cho đến nay chúng ta đã ngầm giả định rằng, bỏ qua ảnh hưởng của dòng điện tử yếu trong cuộn dây, từ trường trong đó các hạt nhân được đặt là đồng nhất, tức là có cùng giá trị tại mọi điểm. Năm 1973, Paul Latterbourg đề xuất tiến hành nghiên cứu NMR bằng cách đặt một mẫu vào một từ trường biến đổi từ điểm này sang điểm khác. Rõ ràng là trong trường hợp này, tần số cộng hưởng của các hạt nhân đang nghiên cứu thay đổi từ điểm này sang điểm khác, điều này giúp có thể đánh giá vị trí không gian của chúng. Và vì cường độ tín hiệu từ một vùng không gian nhất định tỷ lệ thuận với số lượng nguyên tử hydro trong vùng này, nên chúng ta thu được thông tin về sự phân bố mật độ của vật chất trong không gian. Thực ra đây chính là nguyên tắc của kỹ thuật nghiên cứu NMR. Như bạn có thể thấy, nguyên tắc rất đơn giản, mặc dù để có được hình ảnh thực của các cơ quan nội tạng trong thực tế, cần phải có những máy tính mạnh để điều khiển các xung tần số vô tuyến và trong một thời gian dài đã cải tiến phương pháp tạo hồ sơ từ trường cần thiết và xử lý tín hiệu NMR thu được từ các cuộn dây. Hãy tưởng tượng dọc theo trục x có những quả cầu nhỏ chứa đầy nước (hình3). Nếu từ trường không phụ thuộc vào x thì một tín hiệu duy nhất sẽ xuất hiện (xem hình3,a). Chúng ta hãy giả sử thêm rằng bằng các cuộn dây bổ sung (so với cuộn dây tạo ra từ trường chính hướng dọc theo trục z), chúng ta tạo ra một từ trường bổ sung $B_{0}$, thay đổi dọc theo trục x và giá trị của nó tăng dần từ trái sang phải. Rõ ràng là đối với các quả cầu có tọa độ khác nhau, tín hiệu NMR giờ đây sẽ tương ứng với các tần số khác nhau và phổ đo được sẽ chứa năm đỉnh đặc trưng (xem hình3, b). Chiều cao của các đỉnh này sẽ tỷ lệ thuận với số lượng quả cầu (tức là khối lượng nước) có tọa độ tương ứng, và do đó, trong trường hợp đang xem xét, cường độ của các đỉnh sẽ theo tỷ lệ 3:1:3:1:1. Biết độ lớn của gradient từ trường (tức là tốc độ thay đổi của nó dọc theo trục x), chúng ta có thể biểu diễn phổ tần số đo được dưới dạng sự phụ thuộc của mật độ nguyên tử hydro vào tọa độ x. Trong trường hợp này, có thể nói rằng ở đâu có các đỉnh cao hơn thì số lượng nguyên tử hydro sẽ lớn hơn: trong ví dụ của chúng ta, số lượng nguyên tử hydro tương ứng với vị trí của các quả cầu thực sự tương quan với tỷ lệ 3:1:3:1:1. Bây giờ chúng ta hãy đặt trong một từ trường không đổi $B_{0}$ một số cấu hình phức tạp hơn của các hạt nhỏ

Hình3. Trong trường hợp từ trường đều, chỉ có một tín hiệu NMR (a). Trong trường hợp trường thay đổi trong không gian, các tín hiệu tương ứng với các hạt nhân nằm ở các điểm khác nhau có tần số hơi khác nhau và phổ giúp xác định được tọa độ của chúng (b)

những quả cầu chứa đầy nước và tạo ra một từ trường bổ sung biến thiên dọc theo cả ba trục tọa độ. Bằng cách đo phổ NMR tần số vô tuyến và biết độ lớn của gradient từ trường dọc theo tọa độ, có thể tạo ra bản đồ ba chiều về sự phân bố của các quả cầu (và do đó, mật độ hydro) trong cấu hình đang nghiên cứu. Điều này khó thực hiện hơn nhiều so với trường hợp một chiều đã thảo luận ở trên, nhưng về mặt trực giác thì rõ ràng quá trình này bao gồm những gì. Kỹ thuật phục hồi hình ảnh tương tự như kỹ thuật chúng tôi mô tả được thực hiện trong chụp cắt lớp NMR. Sau khi tích lũy dữ liệu xong, máy tính thông qua các thuật toán cực nhanh sẽ bắt đầu “xử lý” các tín hiệu và thiết lập mối quan hệ giữa cường độ tín hiệu đo được ở một tần số nhất định và mật độ nguyên tử cộng hưởng tại một điểm nhất định trong cơ thể. Khi kết thúc quy trình này, máy tính sẽ hiển thị “hình ảnh” hai chiều (hoặc thậm chí ba chiều) của một cơ quan hoặc bộ phận cụ thể trên cơ thể bệnh nhân trên màn hình.

Những “hình ảnh” ấn tượng

Để đánh giá đầy đủ kết quả của nghiên cứu NMR về các cơ quan nội tạng của con người (ví dụ, các phần khác nhau của não mà nhà vật lý ngày nay có thể thu được mà không cần chạm vào hộp sọ!), trước hết người ta phải hiểu rằng chúng ta đang nói về sự tái tạo máy tính của “hình ảnh” chứ không phải về bóng thực xuất hiện trên phim cảm quang khi tia X được hấp thụ trong quá trình thu được hình ảnh X quang.

11

CÁI GÌ

NHƯ LÀ

CHỤP CHỤP NMR?

Hình4. Hình ảnh hộp sọ và cột sống cho thấy mô não, cột sống và dịch não tủy màu trắng hoặc xám với độ chính xác giải phẫu tuyệt vời tùy thuộc vào độ tương phản

Mắt người là cơ quan cảm nhận nhạy cảm của bức xạ điện từ trong phạm vi nhìn thấy được. May mắn thay hoặc không may, bức xạ có nguồn gốc từ các cơ quan nội tạng không đến được mắt chúng ta - chúng ta chỉ nhìn thấy cơ thể con người từ bên ngoài. Đồng thời, như chúng ta vừa thảo luận, trong những điều kiện nhất định, hạt nhân nguyên tử của các cơ quan nội tạng trong cơ thể con người có thể phát ra sóng điện từ trong dải tần số vô tuyến (tức là tần số thấp hơn nhiều so với tần số của ánh sáng khả kiến) và tần số thay đổi một chút tùy thuộc vào điểm phát xạ. Mắt không thể nhìn thấy nó, vì vậy bức xạ như vậy được ghi lại bằng thiết bị phức tạp và sau đó được thu thập thành một hình ảnh duy nhất bằng cách xử lý máy tính đặc biệt. Chưa hết, chúng ta đang nói về một tầm nhìn hoàn toàn thực tế về bên trong một vật thể hoặc cơ thể con người. Nhân loại đã đạt được thành công đáng kinh ngạc như vậy nhờ một số thành tựu cơ bản của tư tưởng khoa học: cơ học lượng tử với lý thuyết về mômen từ, lý thuyết về tương tác của bức xạ với vật chất, điện tử số, thuật toán toán học để chuyển đổi tín hiệu và công nghệ máy tính. Ưu điểm của hình ảnh NMR so với các phương pháp chẩn đoán khác là rất nhiều và đáng kể. Người vận hành có thể dễ dàng chọn phần cơ thể bệnh nhân để quét và cũng có thể kiểm tra đồng thời một số phần của cơ quan đã chọn. Đặc biệt, bằng cách chọn độ dốc từ trường một cách thích hợp, có thể thu được hình ảnh cắt ngang theo chiều dọc bên trong hộp sọ của chúng ta. Đây có thể là phần trung tâm hoặc các phần lệch về bên phải hoặc bên trái. (Những nghiên cứu như vậy hầu như không thể thực hiện được với chụp X-quang.) Người vận hành có thể “thu hẹp” trường nhìn bằng cách hình dung các tín hiệu NMR chỉ bắt nguồn từ một cơ quan được chọn hoặc chỉ một phần của cơ quan đó, nhờ đó tăng độ phân giải của hình ảnh. Một ưu điểm quan trọng của chụp cắt lớp NMR là khả năng

khả năng đo trực tiếp độ nhớt cục bộ và hướng dòng chảy của máu, bạch huyết và các chất lỏng khác bên trong cơ thể con người. Bằng cách chọn tỷ lệ cần thiết giữa các tham số liên quan, chẳng hạn như thời lượng và tần số xung, đối với từng bệnh lý, người vận hành có thể đạt được các đặc tính tối ưu của hình ảnh thu được, chẳng hạn như tăng độ tương phản của nó (hình4). Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng đối với mỗi điểm ảnh (pixel) tương ứng với một thể tích nhỏ của đối tượng đang nghiên cứu, có thể trích xuất nhiều thông tin hữu ích khác nhau, trong một số trường hợp bao gồm cả sự phân bố nồng độ của một số nguyên tố hóa học trong cơ thể. Để tăng độ nhạy của phép đo, tức là tăng cường độ tín hiệu trên tỷ lệ nhiễu, cần tích lũy và tổng hợp một số lượng lớn tín hiệu. Trong trường hợp này, có thể có được hình ảnh chất lượng cao truyền tải đầy đủ thực tế. Đó là lý do tại sao thời gian cần thiết để chụp cắt lớp NMR khá dài - bệnh nhân phải giữ tương đối bất động trong buồng trong vài chục phút. Vào năm 1977, nhà vật lý người Anh Peter Mansfield đã nghĩ ra một sự kết hợp của gradient từ trường, mặc dù không mang lại chất lượng hình ảnh đặc biệt tốt nhưng vẫn cho phép thu được nó cực kỳ nhanh: một tín hiệu duy nhất là đủ cho cấu trúc thích hợp (trong thực tế, quá trình này mất khoảng 50 mili giây). Với sự trợ giúp của một kỹ thuật như vậy, được gọi là tiếng vang phẳng, giờ đây người ta có thể theo dõi nhịp đập của tim trong thời gian thực: trong một bộ phim như vậy, các cơn co thắt và giãn nở của nó xen kẽ nhau trên màn hình. Liệu có thể tưởng tượng được vào buổi bình minh của sự ra đời cơ học lượng tử rằng một trăm năm sau sự phát triển của khoa học sẽ dẫn đến khả năng xảy ra những điều kỳ diệu như vậy? Cần lưu ý rằng vào năm 2003, Paul Lauterbur và Peter Mansfield đã được trao giải Nobel Y học “vì phát minh ra hình ảnh cộng hưởng từ”.

14

KVANT 2010/№1

May mắn thay, có một cách tiếp cận khác liên quan đến cái gọi là vật liệu cấu trúc nano quang học - môi trường có đặc tính quang học (ví dụ, chiết suất) thay đổi trong không gian ở quy mô nhỏ hơn vài trăm nanomet. Một ví dụ nổi bật của những vật liệu như vậy là tinh thể quang tử. Tinh thể quang tử là các vật liệu điện môi hoặc kim loại-điện môi tuần hoàn ảnh hưởng đến sóng ánh sáng truyền qua chúng giống như cách thế tuần hoàn trong tinh thể ảnh hưởng đến chuyển động của các electron, dẫn đến sự hình thành các dải năng lượng cho phép và cấm. Vì ý tưởng về tinh thể quang tử dựa trên hiện tượng nhiễu xạ và giao thoa, nên chu kỳ của cấu trúc tinh thể quang tử phải theo thứ tự bước sóng của bức xạ điện từ trong chất, tức là khoảng 300nm để hoạt động trong phạm vi ánh sáng khả kiến. Một ví dụ về tinh thể quang tử một chiều là cấu trúc nhiều lớp gồm các lớp chất trong suốt xen kẽ với hai chiết suất khác nhau (hình2,a). Một hệ thống các lỗ song song trong lớp điện môi tạo thành tinh thể quang tử hai chiều (hình2,b) và các ống nano dày đặc

Hình2. Tinh thể quang tử một chiều (a), hai chiều (b) và ba chiều (c)

thạch anh là tinh thể quang tử ba chiều (hình2,c). Điều gì đặc biệt ở các vật liệu có cấu trúc nano và đặc biệt là các tinh thể quang tử? Thực tế là các tính chất quang học của chúng - hướng, cường độ và độ phân cực của ánh sáng phản xạ và truyền qua - không chỉ được xác định bởi chiết suất của các chất tạo ra chúng mà còn bởi cấu trúc của chúng. Cấu trúc được lựa chọn đặc biệt của chất dẫn đến hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ, làm thay đổi đáng kể các điều kiện truyền ánh sáng qua vật liệu. Do đó, trong các tinh thể quang tử xuất hiện các khoảng trống - vùng tần số ánh sáng trong đó ánh sáng không thể xuyên qua bên trong tinh thể quang tử và bị phản xạ hoàn toàn khỏi nó. Sự xuất hiện của vật liệu có cấu trúc nano thực sự mở ra một hướng mới trong việc chế tạo các phương tiện quang học. Các tính chất quang học cần thiết của vật liệu hiện đạt được không phải bằng cách chọn thành phần hóa học tối ưu (như trường hợp của phương pháp cũ), mà bằng cách tạo ra cấu trúc hình học hoặc pha có kích thước đặc trưng không vượt quá vài trăm nanomet. Vì các vật liệu có cấu trúc nano được tạo ra một cách nhân tạo nên chúng thường được gọi là siêu vật liệu.

Tinh thể quang tử bị từ hóa Nếu một vật liệu có cấu trúc nano chứa các chất từ ​​tính thì người ta có thể mong đợi rằng nó sẽ biểu hiện các hiệu ứng quang từ tương tự như những hiệu ứng xuất hiện trong môi trường đồng nhất thông thường, nhưng có lẽ bị biến đổi một chút. Ý tưởng sử dụng chất từ ​​tính để điều khiển ánh sáng trong tinh thể quang tử lần đầu tiên được các nhà khoa học Nhật Bản đề xuất vào cuối những năm 90 của thế kỷ trước. Họ đã kiểm tra hiệu ứng Faraday trong các tinh thể quang tử một chiều, là những màng nhiều lớp gồm các lớp thạch anh và thạch anh ferrite yttrium ferrite được thay thế bismuth một cách ngẫu nhiên. Đối với một số tần số bức xạ nhất định với các thông số cấu trúc được lựa chọn tối ưu, hiệu ứng Faraday tăng hơn 300 lần so với môi trường đồng nhất tương tự. Sử dụng trường hợp một chiều làm ví dụ, có thể phân biệt được một số loại tinh thể quang tử từ. Trước hết, đây là những hệ thống tiêu chuẩn bao gồm các lớp từ tính (ví dụ, garnet yttrium ferrite yttri được thay thế bằng cerium) và các lớp không từ tính (ví dụ, gadolinium gallium garnet). Các tinh thể quang tử như vậy có khoảng cách dải tập trung ở bước sóng thiết kế, tức là không truyền ánh sáng có bước sóng trong một khu vực nhất định xung quanh một khu vực nhất định. Theo bước sóng thiết kế, chúng tôi muốn nói đến bước sóng ánh sáng bên ngoài tinh thể mà tại đó 1/4 bước sóng phù hợp với mỗi lớp của nó. hình 3a và b hiển thị độ truyền qua và góc Faraday đối với tinh thể quang tử một chiều được điều chỉnh theo phạm vi cận hồng ngoại (bước sóng thiết kế 1,55 μm). Tinh thể bao gồm 30 cặp lớp từ tính và không từ tính. Sự tăng cường hiệu ứng Faraday xảy ra ở ranh giới của vùng cấm, tức là trong vùng có bước sóng 1,49 µm và 1,61 µm. Hóa ra ở những bước sóng này, tốc độ nhóm của ánh sáng tăng mạnh. Điều này dẫn đến sự gia tăng thời gian tương tác hiệu quả của sóng với từ hóa của vật liệu, đồng nghĩa với việc hiệu ứng Faraday tăng lên. Một đặc điểm quan trọng của sự cộng hưởng ở các tần số biên là cực đại truyền và cực đại quay Faraday trên thực tế trùng khớp với nhau. Điều này cho phép sử dụng các tinh thể quang tử như những phần tử thu nhỏ làm quay mặt phẳng phân cực ở những góc lớn. Việc lựa chọn tối ưu các vật liệu từ tính, kích thước hình học và vị trí của chúng sẽ giúp tạo ra một thế hệ thiết bị quang học mới được điều khiển bởi từ trường. Trong trường hợp này, bạn cần lưu ý không chỉ tia hồng ngoại mà còn cả phạm vi ánh sáng nhìn thấy được. Trong các tinh thể quang tử từ một chiều, có thể tạo ra các khiếm khuyết về cấu trúc bằng cách đảo ngược thứ tự các lớp nhiều lần và do đó thu được một hoặc nhiều lớp có độ dày gấp đôi. Sự hiện diện của những khiếm khuyết như vậy dẫn đến sự xuất hiện của

18

KVANT 2010/№1

Giải Nobel - đây là vật lý chất rắn (chất bán dẫn) và hiện tượng hiệu ứng quang điện bên trong. Cách diễn đạt của giải thưởng bao gồm thuật ngữ “ma trận CCD”. Đây là một thiết bị ghép điện tích được thiết kế để di chuyển một lượng nhỏ điện tích âm dư thừa dọc theo một chuỗi các thiết bị giống hệt nhau tạo thành một đường hoặc tổng các đường - một ma trận. Boyle và Smith ban đầu đã phát triển CCD làm thiết bị bộ nhớ máy tính đầu tiên. Nó hoạt động như sau. Một tấm bán dẫn nhỏ

Hình 1

Ka loại p (đơn tinh thể silicon pha tạp tạp chất boron chấp nhận) được phủ một lớp điện môi mỏng hơn và một tấm kim loại (hình1). Một sự khác biệt tiềm năng được áp dụng giữa tấm này và chất nền bán dẫn. Điều này tạo ra một loại tụ điện hai lớp. Độ dày của chất bán dẫn khoảng 10 micron, chất điện môi là 1 micron và lớp kim loại thậm chí còn nhỏ hơn. Trong chất bán dẫn tạp chất loại p, nồng độ của các hạt mang điện đa số - lỗ trống - vào khoảng $10^{22} м^{-} 3$, trong khi nồng độ của các hạt mang điện nội tại - electron và lỗ trống - nhỏ hơn nhiều và ở nhiệt độ phòng là khoảng $10^{16} м^{-} 3$. Trong điện trường, các lỗ trống (phần lớn các hạt tải điện) chuyển động theo hướng của trường nên nồng độ của các lỗ gần bề mặt bán dẫn-điện môi trở nên nhỏ hơn. Nhưng trong khu vực này, nồng độ các chất mang (thiểu số) của chính nó tăng lên - một đám mây điện tử xuất hiện. Nếu thiết bị tương tự ở gần, đám mây điện tử sẽ cảm nhận được điện trường “ngoài hành tinh” và di chuyển đến phần tử lân cận, trong đó một đám mây điện tử có vị trí không đối xứng cũng sẽ xuất hiện (hình2,a). Nếu bây giờ chúng ta tắt trường ở phần tử 1 thì đám mây ở phần tử 2 sẽ trở nên đối xứng (hình2,b). Nếu bên cạnh phần tử 2 có phần tử 3 được đặt một điện trường vào thì các đám mây điện tử trong các phần tử này sẽ chuyển động (hình2,c). Và nếu bây giờ bạn tắt trường ở phần tử 2 thì đám mây xuất hiện ở phần tử 3 sẽ lại trở nên đối xứng (hình2,d). Từ các phần tử như vậy, có thể tạo ra các chuỗi tuyến tính và bằng cách phức tạp hóa thiết kế, tạo ra ma trận hai chiều trong đó thông tin về sự hiện diện của điện tích và độ lớn của nó sẽ di chuyển từ nơi điện tích xuất hiện đến phần tử đầu ra, nơi nó có thể được biểu thị dưới dạng số trong hệ nhị phân. Một cặp phần tử trong đó điện tích dường như chuyển từ phần tử này sang phần tử khác được gọi là pixel. Tuy nhiên, hóa ra nồng độ thấp của các electron nội tại trong chất bán dẫn không đảm bảo việc truyền thông tin đáng tin cậy. Sự tập trung này lẽ ra phải được tăng lên. Và một ý tưởng xuất hiện - tăng nó nhờ hiệu ứng quang điện. Khi một photon bị hấp thụ, liên kết hóa trị của một electron trong mạng tinh thể có thể bị phá vỡ và electron trở nên tự do (bên trong tinh thể). Hiệu ứng quang điện này được gọi là

Hình 2

là bên trong, và bản thân chất bán dẫn là một photodiode. Các lỗ trống tạo thành sẽ di chuyển theo hướng của trường (ở hình 2 - xuống) và các electron sẽ di chuyển về phía ranh giới với chất điện môi, làm tăng nồng độ của đám mây electron. Hơn nữa, nồng độ sẽ tỷ lệ thuận với số lượng photon bị hấp thụ, tức là độ chiếu sáng. Hiệu suất lượng tử (hiệu suất) của hiệu ứng quang điện như vậy hóa ra rất cao - lên tới 80%. Thông tin từ mỗi pixel sẽ chạy dọc theo các dòng của ma trận đến một thiết bị chuyển đổi nó thành “chữ số”. Trong trường hợp này, việc bật và tắt điện áp trên các phần tử riêng lẻ phải được thực hiện với tần số sao cho các quang điện tử thu được không có thời gian để “tìm” các lỗ mà chúng có thể kết hợp lại. Trên một tấm - chip - có kích thước $8_{¥} 15$ mm, bạn có thể đặt một ma trận bao gồm năm triệu pixel, tức là thu được thông tin về độ chiếu sáng ở vài triệu điểm hình ảnh. Sau đó, những thay đổi đã được thực hiện đối với thiết kế của các phần tử. Một tấm thủy tinh thạch anh hiện được sử dụng làm chất điện môi và lớp lót kim loại của tụ điện là một lớp nhôm rất mỏng (không quá 0,1 micron), được áp dụng bằng phương pháp phún xạ - lớp như vậy khá trong suốt. Để có thông tin về màu sắc, bạn cần áp dụng ánh sáng xen kẽ cho các pixel, đi qua nhiều bộ lọc ánh sáng khác nhau. Tóm lại, chúng ta có thể nói rằng một con chip như vậy là một mạch tích hợp bao gồm các điốt quang nhạy sáng và sử dụng công nghệ thiết bị ghép điện tích. Con chip này là “trái tim” của máy ảnh và video kỹ thuật số, gần như đã thay thế các thiết bị (analog) thông thường. L. Belopukhov

19

THẾ GIỚI TOÁN HỌC

PHỎNG VẤN VỚI N.N. KONSTANTINOV

Nikolai Nikolaevich Konstantinov là nhà tổ chức giáo dục toán học xuất sắc, một trong những người tạo ra hệ thống lớp học toán ở Mátxcơva. Người dẫn đầu thường trực của cuộc thi toán học quốc tế duy nhất thuộc loại này - Giải đấu các thành phố, trong đó học sinh từ khắp nơi trên thế giới tham gia. Thành viên chính thức của Hiệp hội các nhà khoa học tự nhiên Moscow, Hội toán học Moscow. Đại diện cho Liên đoàn các cuộc thi toán quốc gia thế giới ở châu Âu. Ông giảng dạy tại trường số 179 ở Moscow. Được trao Huân chương Toán học Quốc tế Paul Erdős. Gần đây đã nhận được Giải thưởng của Chính phủ Nga trong lĩnh vực giáo dục vì đã tạo ra Giải đấu Lomonosov. Chúng tôi yêu cầu anh ấy kể cho chúng tôi nghe về bản thân, công việc và quan điểm của anh ấy về giáo dục toán học. Nikolai Nikolaevich sẵn lòng đáp ứng yêu cầu của chúng tôi. – Ở trường bạn thích môn sinh học hơn… – Tôi đã có niềm đam mê với sinh học ngay cả trước khi đi học. Khi tôi bảy tuổi, lần đầu tiên tôi trồng dâu tây và thử làm dâu tây từ chúng. Tôi đã không thành công. Tôi tự thuyết phục bản thân rằng quả mọng sẽ to hơn một chút khi tôi tưới nhiều nước cho chúng. Tôi hỏi trong thư viện, lúc đang sơ tán, tức là vào năm 1941, - tôi đang học lớp ba, - một cuốn sách về du lịch, và họ đưa cho tôi Darwin, “Chuyến du hành vòng quanh thế giới trên con Beagle của một nhà tự nhiên học”. Trong lời nói đầu của Giáo sư S.L. Sobol người ta viết rằng những đặc điểm có được không được di truyền. Tôi vẫn nói: học được điều gì đó từ một cuốn sách là một chuyện, còn trải nghiệm nó một cách đầy cảm xúc lại là một chuyện khác. Tôi đã trải nghiệm điều này ở độ tuổi rất dễ bị ảnh hưởng. Tôi thấy buồn cười khi mọi người bắt đầu thảo luận về điều gì đó mà họ không hề cảm thấy gì và đi đến những kết luận đã được hoạch định trước. Sau đó, tôi theo học tại trạm nghiên cứu tự nhiên trẻ ở Sokolniki, trong Vườn Bách thảo của Đại học Quốc gia Moscow. Có một nhà thực vật học, phó giáo sư Potapov, người giám sát tôi. Và đến năm lớp 9, tôi vào câu lạc bộ giỏi nhất, mạnh nhất, chúng tôi được đưa vào các khoa của Khoa Sinh học. Nhưng đây là năm học 1947/48, và vào mùa hè năm 1948, một thảm họa sinh học nổ ra, Lysenko xuất hiện, v.v. Sau đó, có đến khoa sinh học cũng vô ích. Họ không tặng sách: cấm phát hành sách giáo khoa. Ngoài ra, tôi bắt đầu quan tâm đến toán học và đối với tôi điều này không còn là một điều mất mát nữa. Vì thế niềm đam mê toán học của tôi chỉ là thứ yếu, và tôi thấy điều này có một số lợi ích. Tôi luôn cảm thấy, đối với tôi việc mất môn toán không phải là mất tất cả. – Mất mát mọi thứ là gì? – Chà, nếu sinh học, vật lý và mọi thứ khác đều chết đối với tôi thì đó sẽ là sự mất mát tất cả. – Nghĩa là, toán học là một trong nhiều thứ quan trọng. - Vâng, một trong số đó. Hãy nói rằng không có gì thành công trong toán học. Chà, phải làm sao đây, đây không phải là lý do để tự sát. – Tại sao bạn vào khoa vật lý của Đại học quốc gia Moscow? – Tất nhiên, tôi bắt đầu quan tâm đến vật lý – chính xác là vào năm lớp 10, năm cuối cấp của tôi. Có lẽ vì lúc đó đối với tôi toán học dường như là một môn khoa học phù phiếm. Có một số chú thỏ nhảy trên các vòng tròn màu đỏ, xanh lá cây và trắng, và bạn cũng phải chứng minh rằng có số chẵn những con thỏ màu đỏ. Tất cả những bài toán này đối với tôi giống như một món đồ chơi. Thật kỳ lạ khi làm điều này. Sau đó tôi nhận ra rằng tất nhiên đây là những bài tập. Nhưng tôi cho rằng những người lạm dụng những câu chuyện thiếu nhi như vậy đều chưa hiểu hết về tâm lý học. Trẻ em thích các hoạt động của mình trông trưởng thành hơn. – Bạn đã từng tham gia Thế vận hội chưa? - Năm lớp 7, thầy dạy toán - chúng tôi có một thầy rất nổi tiếng, khi thầy bị thay thế, cả lớp đình công - thầy khuyên tôi nên đi thi Olympic, nhưng thấy đề cử thế nên tôi không đi. Ông nói rằng một bài kiểm tra như vậy đang được thực hiện, những học sinh giỏi nhất

Họ chiến đấu và cạnh tranh để xem ai có thể viết bài kiểm tra này tốt hơn. Tôi nghĩ: “Thật ngu ngốc, họ không có đủ bài kiểm tra…” Và tôi đến đó một năm sau đó vì người hàng xóm cùng bàn của tôi đi giảng bài ở trường đại học. Đó là bài giảng ngày chủ nhật về chủ đề không gian bốn chiều. Sau đó anh ấy trở về hoàn toàn điên cuồng, đôi mắt anh ấy nhìn về một nơi xa xăm nào đó và liên tục nói với tôi điều gì đó mà tôi không thể hiểu được. Chúng tôi cùng nhau đi đến bài giảng tiếp theo. Đây là bài giảng của Isaac Moiseevich Yaglom về quy nạp trong hình học. Nó gây ấn tượng mạnh với tôi vì ở đó có rất nhiều điều bất ngờ. Yaglom nói chuyện với những học sinh đang ngồi ngay trước mặt anh và hỏi: có định lý nào như vậy không? - tôi nghĩ anh ấy chắc hẳn là giáo sư đại học - và anh ấy không biết định lý là gì. Cuối cùng thì tôi đã ở đâu?.. Những học sinh đang ngồi trước mặt anh ấy không cho anh ấy một câu đáp số dễ hiểu. “Được rồi,” Yaglom nói, “sự khác biệt là gì. Hãy chứng minh điều đó.” Điều này hoàn toàn gây sốc cho tôi. Anh ta không biết định lý là gì và anh ta cũng không cần phải biết. Một điều hoàn toàn bất ngờ đối với một học sinh đã quen: hoàn thành nhiệm vụ - được điểm A, đồng thời chẳng học được gì. – Và sau khoa vật lý, ông có đủ can đảm để dạy các nhà toán học không? – Không chỉ sau khoa Vật lý - vào năm thứ 5 khoa Vật lý, tôi đã công bố một buổi hội thảo về lý thuyết hàm số thực tại Khoa Cơ học và Toán học. Tôi luôn có đủ can đảm và bây giờ tôi vẫn còn đủ. Các lớp học ở trường đại học sau đó bắt đầu lúc 10 giờ. Đương nhiên: không có tàu điện ngầm. Đến dãy núi Lenin khó khăn hơn. Xe buýt, hàng dài… Và vì vẫn phải tìm khán giả nên chúng tôi xếp lịch học vào 8 giờ sáng. Khoảng 15 sinh viên năm nhất đã tham dự và họ luôn đến lúc 8 giờ. Một số người trong số họ sau này đã trở thành những nhà toán học rất giỏi. Trong số đó có Kolya Rozov; Zhenya Golod, người mạnh nhất; Sasha Wentzel; Ira Vinogradova; Lenya Bokut. Cũng có những người tôi quên mất họ. Buổi hội thảo diễn ra khá sôi nổi, nó kéo dài một học kỳ và kết thúc với việc tôi đạt đến giới hạn hiểu biết của mình. Sau đó tôi phải tự mình đào cái gì đó lên. Sau đó, tôi định học cao học với Alexei Andreevich Lyapunov, vì anh ấy đang nghiên cứu về điều khiển học, và lúc đó tôi chỉ bị sốc bởi bài báo của L.V. Kru-

20

KVANT 2010/№1

Shinsky về phản xạ ngoại suy. Vào thời điểm đó, tôi đã làm việc ở khoa vật lý với tư cách là giáo viên toán được 5 năm, nhưng khi đọc Krushinsky, tôi thực sự choáng váng. Nó thật sự rất thú vị đối với tôi. Mặc dù tôi không hiểu làm thế nào tôi có thể hữu ích ở đó. Nhưng tôi đã nghỉ dạy ở khoa vật lý và đi học cao học. Tưởng chừng như tôi đang giảng dạy thành công nhưng khi cảm thấy mình bắt đầu cho điểm kém một cách thờ ơ, tôi nhận ra rằng mình phải rời bỏ công việc này. Tôi nghĩ nhiều người không để ý đến dòng này. – Công trình của Krushinsky có làm bạn sốc vì ông ấy đang cố gắng tìm hiểu cách thức hoạt động của bộ não không? - À, một cái gì đó hoàn toàn mới. Tôi hiểu rằng có những phản xạ có điều kiện, nhưng đây là một điều gì đó hoàn toàn khác. Thực tế là các phản xạ có điều kiện - chẳng hạn như ở bạch tuộc - chúng đã xuất hiện, nhưng ở giai đoạn sơ khai, rất yếu. Nhiều loài cá thậm chí không có biểu hiện gì như thế này. Và định hướng không gian tồn tại sớm hơn. Những thứ kia. đây có lẽ là một điều cơ bản hơn. – Làm thế nào mà một bộ phim hoạt hình lại ra đời trong đó một con mèo máy tính bước đi như người sống? – Đó là vào năm 1968. Lúc này, ATsPU xuất hiện. Trước đó chỉ có một dải ruy băng hẹp, hẹp với những con số, thậm chí không có chữ cái. Cô ấy bước đi với tốc độ chóng mặt và đọc hết tất cả là một nghệ thuật thực sự. ATsPU-128 xuất hiện và 128 vì 128 ký tự trên mỗi dòng là một dòng dài. Và ngay lập tức xuất hiện mốt làm tranh: ví dụ như bức chân dung của Lenin, in nổi bằng chữ. Rõ ràng là máy tính không liên quan gì đến việc này. Nhưng vì có cơ hội làm hình, đồng nghĩa với việc có cơ hội làm phim hoạt hình. Đây là động lực. Học trò cũ của tôi, Valera Ivanov, tốt nghiệp khoa Lý sinh, đã làm một bộ phim múa rối như vậy. Ông đã tạo ra mô hình phân tử DNA từ những quả bóng nhựa và bắt đầu chứng minh nó có thể bị biến dạng như thế nào. Anh ấy làm điều đó giống như họ làm phim múa rối. Trong một trạng thái, anh ta chụp một bức ảnh, sau đó xoay nó một chút, chụp lại một bức ảnh, v.v., rồi chiếu phim. Và tôi nói với anh ấy rằng việc này cần phải được thực hiện trên máy tính, bởi vì khi bạn quay bằng tay, độ chính xác của bạn rất kém, và ngay cả khi bạn có thể làm phim để chiếu thì cũng tuyệt đối không thể sử dụng nó cho công việc khoa học. Hãy làm một bộ phim máy tính. Và để làm được điều này, cần phải suy nghĩ về cách tổ chức thông tin. Ban đầu, có một số người tham gia thảo luận, sau đó có ba người thực sự làm việc. Ngoài tôi còn có Vladimir Ponomarenko và Viktor Minakhin. Thật ngạc nhiên là việc này đã được thực hiện vào năm 1968, bốn mươi năm trước, và suốt thời gian qua mọi người dường như đã quên mất việc này, rồi đột nhiên $вспомнили.^{1}$ - Tại sao bạn lại nảy ra ý tưởng làm việc với học sinh? – Lúc đầu, khi còn học ở khoa vật lý, tôi không làm việc với học sinh. Nhưng tôi đã nhận được chứng chỉ tại Olympic, và họ bắt đầu ồn ào với tôi một chút, đưa tôi vào hội sinh viên khoa học, v.v…. Tóm lại, vào năm thứ hai, tôi đã là phó chủ tịch Olympic vật lý thành phố. Bằng cách nào đó, việc tôi làm việc trong lĩnh vực này là điều đương nhiên. Chà, Igor Ivanchik và tôi, đây là bạn cùng lớp của tôi, đã quyết định tổ chức một câu lạc bộ vật lý với số lượng lớn khán giả cho tất cả mọi người, những người mới có thể đến mỗi lần, hàng trăm người có mặt… Chúng tôi có cơ hội chuẩn bị các thí nghiệm trình diễn, toàn bộ phòng vật lý

1 Bạn có thể đọc chi tiết về tất cả những điều này trong các bài báo “Sự xuất hiện của chú mèo con” và “Con mèo có biết rằng cô ấy không có thật” (tạp chí Computerra, số 7, 2006). Và bản thân phim hoạt hình hiện có thể được tìm thấy trên Internet: http://www.etudes.ru/ru/mov/kittie/index.php

các cuộc biểu tình đã sẵn sàng cho chúng tôi. Chúng tôi có thể tự mình thực hiện bất kỳ thí nghiệm nào và sau đó chúng tôi chọn những gì chúng tôi thể hiện. Và có hai con người vĩ đại, Sergei Ivanovich Usagin và người thứ hai - Valentin Semenovich, tôi quên mất họ của anh ấy. Đây là những thợ thủ công người Nga không có trình độ học vấn, mọi thứ luôn hoạt động tốt. Cha của Sergei Ivanovich cũng vậy; ông đã phát minh ra máy biến áp. Tình cờ. Điều này rất hữu ích với tôi và có lẽ học sinh cũng thấy nó thú vị. Nói chung, Igor và tôi đã dẫn đầu một vòng tròn như vậy trong một thời gian khá dài. Khi tôi tốt nghiệp khoa vật lý và trở thành trợ lý vào năm thứ hai, học sinh của tôi đều là học sinh cũ của tôi. Vì vậy, điều tự nhiên là tôi bắt đầu dẫn đầu các vòng tròn. Nhưng đây là những câu lạc bộ vật lý, và ban đầu tôi không điều hành câu lạc bộ toán học mà do những người bạn Mekhmatian của tôi điều hành. Một trong số họ đang đi nghỉ và yêu cầu dạy thay anh ta hai lớp. Vì vậy, tôi dần dần dấn thân vào giới toán học, đến năm thứ 5 tôi trở nên xấc xược đến mức tổ chức một buổi hội thảo dành cho sinh viên năm thứ nhất Khoa Cơ và Toán. Và rồi tôi nhận ra một điều tuyệt vời, hoàn toàn mới đối với tôi. Mức độ hiểu biết lẫn nhau giữa giáo viên và học sinh trở nên hoàn toàn khác nhau khi giáo viên chấp nhận bài toán. Công việc mang tính hệ thống này, khi tôi cố gắng hiểu suy nghĩ của bạn và bạn cố gắng hiểu suy nghĩ của tôi, là một mức độ hiểu biết lẫn nhau hoàn toàn khác so với những gì xảy ra khi một giảng viên giảng bài. Và đặc biệt là bây giờ - từ xa… một người ngồi ở nhà có thể nghe giảng ở trường đại học… sẽ không có trình độ này. Không thể tránh khỏi nó trở nên hời hợt. Anh ta thậm chí không thể hỏi một câu hỏi. Tôi không phản đối việc học từ xa, nhưng bạn cần hiểu rằng không phải lúc nào nó cũng mang lại cho bạn thứ gì đó. Nếu không cần phải thâm nhập sâu, chẳng hạn như một bài giảng về chủ đề “Có sự sống trên sao Hỏa” thì điều đó hoàn toàn có thể xảy ra. Ở đây tôi đang uống cà phê, đồng thời nghe bài giảng “Có sự sống trên sao Hỏa không”, điều này là bình thường, điều này không tệ. Tuy nhiên, trong toán học thực tế không có trường hợp nào mà nhà toán học không có người giám sát. Và người lãnh đạo phải khá thông minh. Có một câu nói rất hay của Leonardo da Vinci: “Người học trò xấu mà không vượt qua được thầy mình”. Vladimir Igorevich Arnold cũng luôn nhấn mạnh điều này: rằng những người trẻ tuổi giải quyết bài toán tốt hơn chúng tôi, những người dạy họ. Nếu không sẽ không có tiến bộ. – Động lực dẫn đầu vòng tròn chính là suy nghĩ này: rằng chính sự giao tiếp giữa giáo viên và học sinh, khi bài toán đang được quyết định, thảo luận, điều đó rất quan trọng? - Đúng. Câu lạc bộ hoặc lớp học. Vì tò mò, tôi đã đến với vòng tròn của Andrei Leman và Andrei Leontovich. Đó là một vòng tròn rất mạnh mẽ, nhưng phải thừa nhận rằng có một số yếu tố hackwork. Chà, ví dụ: “Làm thế nào,” Lehman nói, “bạn không biết hình học giải tích à? Bây giờ tôi sẽ nói cho bạn biết. Đây là phương trình của một đường thẳng, đây là phương trình của một hình elip. Mọi thứ đã rõ ràng chưa?” Những thứ kia. một khóa học hàng năm - hoặc một khóa học sáu tháng - trong vài phút. – Đó có phải là vòng Alpha nổi tiếng không? – Không, đó là vòng tròn của Leman và Leontovich. Lúc này có rất nhiều học sinh xuất hiện; đây là những người sinh ra sau chiến tranh. Và xu hướng giảng dạy cho họ về các ngành toán học hiện đại đã nảy sinh. Và tôi nghĩ rằng, trên thực tế, những người mới bắt đầu không cần đến toán học hiện đại. Họ sẽ hiểu gì về toán học hiện đại khi họ không biết gì cả. Và khi các chàng trai hỏi tôi, những người trong nhóm Leman và Leontovich, liệu tôi có khuyên họ đi nghe một số bài giảng hay không, tôi nói: hãy để tôi tự đưa cho bạn bài toán, và bạn hãy thử. Và tôi bắt đầu cho họ bài toán, và đây là cách phiên bản đầu tiên của chương trình toán ở trường ra đời. Đây là vòng tròn Alpha. Chỉ có bốn hoặc năm học sinh làm việc ở đó. Vòng tròn Beta được hình thành mạnh mẽ hơn nhiều. Chúng tôi đã quyết định với Slava Tsutskov - nó rất mạnh mẽ

21

TOÁN HỌC

một cậu học sinh học vòng tròn với học sinh Arnold, sau đó vào khoa vật lý. – Vladimir Igorevich? - Đúng. Slava sau đó đã chết, đây là một câu chuyện bi thảm. Ông đã tổ chức một vòng tròn cho học sinh về cơ học lượng tử. Nhưng anh ấy không thể nói cho họ biết bất kỳ công cụ toán học nào, bởi vì họ không biết gì cả. Và sau đó chúng tôi quyết định tạo ra một vòng tròn như vậy để cung cấp cho họ bộ máy toán học mà họ có thể viết và hiểu tất cả các phương trình của điện động lực học và cơ học lượng tử. Đó là câu lạc bộ Beta. Và những người trong vòng Alpha là trợ lý. Vì có mục tiêu chắc chắn là họ sẽ học được điều gì đó nên chúng tôi phải đưa ra một chế độ phát xít. Kỷ luật giống như ở Gestapo. Một người chưa hoàn thành ít nhất một nhiệm vụ sẽ bị loại khỏi vòng kết nối. Nhưng anh ấy có thể đến nếu anh ấy hoàn thành nhiệm vụ. Bảy mươi người đã đi đến cuối cùng. Nhưng Tsutskov đã chết trên đường đi. Và tôi không thể tiếp tục nữa - tôi không có đủ kiến ​​​​thức trong đầu để dạy một lớp về cơ học lượng tử. Nhưng tôi đã mang chúng đến với điện động lực học. Vì vậy, trong số tất cả học sinh, có một người tiếp tục công việc mà vòng tròn này đã bắt đầu. Đây là Alexander Komech. Nhân tiện, Grigory Margulis bước ra từ vòng Alpha - anh ấy có huy chương Fields. – Anh ấy là một nhà toán học rất giỏi. - Đúng. Tất nhiên, anh ấy chủ yếu học không phải với tôi mà với bố anh ấy. Tôi cũng vậy, nhưng tôi không có tư cách đạo đức để coi anh ta là học trò của mình. – Ý tưởng về trường dạy toán ra đời như thế nào? – Ý tưởng này đến từ A.S. Kronrod. Tôi hiểu rằng tôi sẽ phải cắt giảm các hoạt động vòng tròn của mình. “Và anh ấy bắt đầu thuyết phục tôi: chúng ta hãy tham gia một lớp toán nhé?” - Đúng. Nếu," anh ấy nói, “bạn không đồng ý, thì tôi sẽ hủy thỏa thuận của mình và giảng một số bài ở đó…” Và thế là lớp đầu tiên diễn ra. - Vâng. Nhưng ngay cả trước lớp một, chỉ có một nhóm. Không có lớp mới, mà chỉ đơn giản là một nhóm trong lớp cũ trong đó một số lớp bổ sung được tiến hành cụ thể. - Sau đó, hệ thống tờ rơi xuất hiện, mà mọi người đang nói đến: Konstantinov có nghĩ ra hệ thống tờ rơi không? - Chà, tôi đã nghĩ ra hệ thống tờ rơi khi tôi có Alpha vòng tròn. Bởi vì nó là cần thiết cho tất cả các lớp để được bảo tồn. Nếu một người bỏ lỡ nó, để anh ta không bị mất bất cứ điều gì. Ý tưởng rất đơn giản và rõ ràng. Tờ rơi là một thứ hoàn toàn thực tế. Vào thời điểm này - tôi đã làm việc ở khoa vật lý được 5 năm - tôi đã có kinh nghiệm giảng dạy thực sự và tôi đã nhận ra rằng hệ thống giảng dạy hiện có ở Đại học Tổng hợp Moscow - các bài giảng và hội thảo - đang ở giới hạn khả năng của nó. Không có gì có thể được trích xuất từ ​​nó. Một người có 25 học sinh. Nếu tôi đã giao một số loại bài tập về nhà, thì điều tôi có thể làm nhiều nhất là đi qua các hàng và xem: mọi người có viết gì đó ra giấy không. Hoặc xem xét cẩn thận cách một người làm việc chẳng hạn. Tôi thậm chí còn tổ chức một hội thảo chuyên đề để kiểm tra những gì họ biết. Tôi đã mời bạn bè của tôi. Nhưng chương trình này không cung cấp điều này. Và trong vòng kết nối “Alpha”, bạn phải vượt qua mọi thứ bài toán - thật không đúng khi bạn kiểm tra từng phần mười bài toán và không quan tâm đến phần còn lại - à, giống như trong các kỳ thi: trong số 30 câu hỏi bạn biết một câu - và tạ ơn Chúa, đây là điểm A dành cho bạn. Buồn cười? Nhưng vì lý do nào đó nó không gây cười cho người khác. – Tức là, Ý tưởng quan trọng của hệ thống bảng tính là một người phải tự mình giải được rất nhiều bài toán chứ không chỉ đọc nội dung nào đó trong sách giáo khoa. - Đúng, anh ấy phải quyết định, và tôi phải chấp nhận. Rõ ràng đây không phải là cách duy nhất để giảng dạy. Tại sao phương pháp này hoạt động tốt trong phân tích? Bởi vì bài phân tích chứa rất ít tài liệu lý thuyết và rất nhiều bài tập. Trên thực tế, nếu bạn biết định nghĩa của pre-

THẾ GIỚI

kinh doanh, thì biển bài toán xa hơn, và không còn gì để đọc ngoại trừ việc kể lời giải những bài toán này. Không phải tất cả các đối tượng đều được thiết kế theo cách này. Đôi khi bạn cần xây dựng một loại kiến ​​trúc nào đó, chỉ sau đó bài toán mới xuất hiện. Và trong phân tích hầu như không có kiến ​​trúc này; trên thực tế, phần đầu tiên của phân tích chỉ bao gồm một định nghĩa duy nhất. Tất cả các thiết kế gần như giống nhau. Bạn cần phải nắm vững điều này. Khi bắt đầu giảng dạy ở khoa vật lý, tôi rất sốc khi không có ai giải thích cho tôi cách dạy. Hoàn toàn tự do. Làm bất cứ điều gì bạn muốn. Vâng, tôi hiểu rằng họ sẽ phải làm bài kiểm tra; một loại chương trình nào đó đã xuất hiện. - Vậy một trong những lý do khiến phương pháp phân tích được chọn là vì nó phù hợp… - Không, không phải vì nó phù hợp. Tôi nhìn - nó được viết trong chương trình: định nghĩa giới hạn là 6 giờ. Tôi nghĩ: thật là vớ vẩn. Không mất tới 6 giờ để hình thành một định nghĩa. Nhưng để làm chủ nó, điều này là chưa đủ. Đây là cách những chiếc lá xuất hiện. Bây giờ một số người nước ngoài đang hỏi tôi: bạn đã bắt đầu Giải đấu các thành phố vào năm 1980. Nhưng lúc đó không có email! Bạn đã làm việc như thế nào? - À, họ làm việc bằng thư thường. Không có cái điện tử, nhưng có cái thông thường. Lẽ ra tôi nên gửi trước bài toán, thế thôi. – Còn hệ thống tờ giấy, thời kỳ 1961-1962 chưa có máy in thì sao? - Vâng, không có máy in. Tôi đặt 17 bản sao giấy vào máy đánh chữ. - Hãy nói về Giải đấu của các Thành phố. Đây là một Thế vận hội đặc biệt. Ví dụ, trong một giải đấu, việc ghi điểm xảy ra ở ba trong số năm đến bảy vấn đề. Điều này phân biệt nó ngay lập tức với tất cả các kỳ Olympic. Chúng tôi không muốn người đó cố gắng quyết định mọi thứ, chúng tôi muốn anh ấy chọn những gì anh ấy thích. - Hoàn toàn đúng. Ví dụ, nhược điểm của Olympic Quốc tế là bạn phải là người có tính tổng quát, trong khi để trở thành nhà khoa học thì bạn không cần phải là người có tính tổng quát. Và một chuyên gia quốc tế phải là người ăn tạp. Nhưng điều này có nhiều khả năng đào tạo các nhà quản lý công ty hơn là các nhà toán học. – Ngoài ra, Giải đấu Thành phố là một Olympic cấp cao nhất nhưng bất kỳ ai cũng có thể tham gia. - Hoàn toàn đúng. – Chúng tôi cũng cố gắng đưa ra bài toán không chuẩn. – Vâng, tất nhiên, ý tưởng là chúng tôi đang cố gắng mang đến cho mọi người một điều gì đó mới mẻ mà rõ ràng là họ không thể chuẩn bị đặc biệt. Pavel Kozhevnikov nghi ngờ rằng người Mỹ đang cố tình chuẩn bị cho các nhiệm vụ thường diễn ra tại các kỳ Olympic quốc tế. Anh ấy nói rằng nếu bạn nhìn vào những Thế vận hội mà các chàng trai của chúng ta đã vượt qua và những Thế vận hội mà người Mỹ đã vượt qua, thì người Mỹ đến đó dễ dàng hơn nhiều. – Hãy cùng nhớ lại một số ví dụ về bài toán sáng trong Giải đấu Thành phố. – Tôi nghĩ rằng bài toán của Maxim Kontsevich về việc tái tạo chip là rất sáng sủa, nó đã được thảo luận nhiều lần:

Có sáu ô vuông được đánh dấu trên tờ giấy ca rô vô hạn (xem hình). Có chip trên một số hình vuông. Vị trí của các chip có thể được chuyển đổi theo quy tắc sau: nếu các ô liền kề trên cùng và liền kề bên phải của một chip nhất định đều trống thì một chip được đặt vào các ô này và chip cũ sẽ bị loại bỏ. Mục tiêu là giải phóng tất cả sáu ô được đánh dấu trong một số thao tác nhất định. Liệu có thể đạt được mục tiêu này nếu ở vị trí ban đầu a) chỉ có 6 chip và chúng nằm trên các ô được đánh dấu; b) chỉ có một con chip và nó nằm ở ô được đánh dấu phía dưới bên trái.

Có rất nhiều bài toán Agnis Anjans tươi sáng.

22

KVANT 2010/№1

– A bài toán Seryozha Markelova về đường song song:

Cho một cái hộp (hình chữ nhật có hình song song), trên bề mặt (nhưng không phải bên trong) có một con kiến ​​bò lên. Ban đầu con kiến ​​ngồi trong góc. Có đúng là trong số tất cả các điểm trên bề mặt, góc đối diện nằm ở vị trí xa con kiến ​​nhất? (Khoảng cách giữa các điểm, theo quan điểm của con kiến, là độ dài của đường đi ngắn nhất giữa các điểm này đi dọc theo bề mặt của hình bình hành.)

• Tuyệt vời, đúng vậy. Markelov có một vài trong số này bài toán. Đây là một bức ảnh đẹp khác của anh ấy bài toán:

Có 6 cây thông mọc bên bờ hồ tròn. Người ta biết rằng nếu lấy hai hình tam giác sao cho các đỉnh của một hình trùng với ba cây thông, các đỉnh của hình kia trùng với ba hình còn lại, thì ở giữa đoạn nối giao điểm các đường cao của các hình tam giác này, có một kho báu dưới đáy hồ. Điều duy nhất chưa biết là làm thế nào để chia sáu điểm này thành hai bộ ba. Bạn sẽ phải lặn xuống đáy hồ bao nhiêu lần để chắc chắn tìm được kho báu?

Ở dạng trình bày, nó có vẻ là một bài toán tổ hợp, nhưng thực tế nó là bài toán trong hình học. – Xuất sắc bài toán là về thủ thuật đánh bài. - Vâng, chắc chắn rồi:

a) Hai người thực hiện trò đánh bài. Người đầu tiên lấy năm lá bài ra khỏi bộ bài có 52 lá bài (trước đó được xáo trộn bởi một người nào đó trong khán giả), nhìn chúng rồi xếp chúng thành một hàng từ trái sang phải, đặt một trong các lá bài úp xuống và những lá bài còn lại ngửa lên. Người tham gia trò chơi thứ hai đoán lá bài úp xuống. Chứng minh rằng họ có thể đồng ý sao cho người thứ hai luôn đoán được lá bài. b) Bí quyết thứ hai khác với thủ thuật đầu tiên ở chỗ người tham gia đầu tiên đặt bốn lá bài từ trái sang phải, ngửa mặt và không chia một lá bài. Trong trường hợp này, những người tham gia trò lừa có thể đồng ý để người thứ hai luôn đoán được lá bài chưa chơi không?

bài toán này đáng chú ý ở chỗ nó được Martin Gardner xuất bản ở dạng yếu đi (điểm a), và Grisha Galperin đã nghĩ ra dạng tăng cường, rất tự nhiên (điểm b). Tất nhiên, mục đích chung là để bài toán sáng. - Xinh đẹp. Hoặc vì vậy mà họ không ngờ tới. Hoặc, như chúng ta đã thảo luận, sẽ rất tuyệt khi dạy cho học sinh bài toán, trong đó đáp số hiển nhiên tự gợi ý, nhưng nó không chính xác. – Rõ ràng, nhưng không chính xác, đúng vậy. Đây là bài toán về một đường ống song song. Hoặc bài toán về một bà già điên rồ (điều này không còn trong Giải đấu nữa), bây giờ các thành viên trong vòng kết nối của tôi đang rất phấn khích:

Mỗi người trong số N hành khách mua một vé máy bay có N chỗ ngồi. Bà già điên khùng bước vào trước và ngồi xuống một chỗ ngẫu nhiên. Hơn nữa, mỗi người mới tham gia sẽ thay thế vị trí của mình, nếu nó miễn phí; nếu không thì nó sẽ ngẫu nhiên. Xác suất để hành khách cuối cùng ngồi vào chỗ của mình là bao nhiêu?

– Vâng, có một điều bất ngờ là đáp số. Hãy để độc giả của chúng tôi giải quyết những bài toán này. - Bài toán về những người leo núi - một trong những người Mỹ đến với chúng tôi đã ghi nó vào cuốn sách của mình là bài toán một tác phẩm kinh điển, không rõ tác giả. Tôi nói rằng tôi có vẻ là tác giả…

Có một ngọn núi ở giữa thảo nguyên bằng phẳng. Có hai đường dẫn lên đỉnh (chúng tôi coi chúng là đồ thị của các hàm liên tục), không đi dưới mức thảo nguyên. Hai người leo núi đồng thời bắt đầu cuộc leo núi (dọc theo những con đường khác nhau), quan sát điều kiện: tại mỗi thời điểm phải ở cùng một độ cao. Liệu người leo núi có thể lên đến đỉnh bằng cách di chuyển liên tục nếu a) những con đường mòn có số lượng đường lên và xuống hữu hạn; b) nói chung?

– Có phải nó chỉ đơn giản phát sinh từ việc phân tích?

– Không, nó nảy sinh từ việc nghiên cứu cấu trúc liên kết của tôi. Nó phần lớn thay thế định lý Jordan. Tôi hiểu điều này cho một đa giác. Tôi và các bạn đã đưa ra định lý về ảnh liên tục của một đường tròn. - Rằng nó chia mặt phẳng thành hai phần? – Chính xác là hai, không phải ba và không hơn. Việc phân chia thì dễ dàng hơn, nhưng việc phân chia chính xác thành hai thì khó hơn. Nói chung, đây là định lý Jordan. Chà, tôi nghĩ rằng mọi chuyện sẽ ổn thôi, vì có vẻ như những người leo núi là thứ mạnh mẽ hơn. – Và bài toán nổi tiếng này của bạn về xe đẩy cũng nảy sinh từ việc phân tích:

Hai con đường không giao nhau dẫn từ thành phố A đến thành phố B. Được biết, hai ô tô đi dọc theo những con đường khác nhau từ A đến B và được nối với nhau bằng một sợi dây có chiều dài nhỏ hơn 2l đã có thể đi từ A đến B mà không bị đứt dây. Hai xe tròn bán kính l, có tâm chuyển động hướng về nhau dọc theo những con đường này, có thể đi qua mà không chạm vào nhau không?

– bài toán này cũng tương tự như vậy. Bài toán về xe đẩy thường những người mới bắt đầu không thể đánh giá được, vì họ rất nhanh mắc sai lầm lời giải và hãy bình tĩnh. Và Arnold thích nó… Tại sao bài toán về xe đẩy lại trở nên nổi tiếng thế giới? Cảm ơn cuốn sách của Arnold. – Vâng, nó có trong sách giáo khoa về phương trình vi phân của anh ấy. “Cô ấy không chỉ ở đó, cô ấy là người đầu tiên đến đó.” Nó bắt đầu với cô ấy. Và với họ của tôi. Nhưng anh ấy đã giải quyết nó bằng cách sử dụng định lý Jordan. Nhưng tôi có ý tưởng rằng nó hoạt động tốt thay vì định lý Jordan. Nó phá vỡ chỗ mà định lý Jordan thất bại. – Những người bạn ở nước ngoài của chúng tôi cảm thấy thế nào về Giải đấu các Thành phố, tại sao họ lại tham gia? – Họ chủ yếu coi trọng bài toán. – Một chủ đề riêng biệt khác là giải đấu Lomonosov mà bạn đã nhận được giải thưởng trong năm nay. Đây là một sự kiện hoàn toàn độc đáo. Đồng thời, các cuộc thi được tổ chức ở nhiều môn học, ở các lớp học khác nhau: có toán, có vật lý, có văn. – Nó khác với Trí tuệ Marathon ở chỗ việc tham gia tất cả các cuộc thi là không bắt buộc. Trong cuộc đua marathon có ý tưởng mặc định là chúng ta cần những con người đa năng. Nhưng ở giải Lomonosov lại không có ý tưởng này. Chính xác thì tại sao chúng ta cần những con người đa năng? Chúng tôi cần những người có thể làm điều gì đó cực kỳ thú vị theo một cách nào đó. Ước mơ là có những người, chúng tôi thu hút họ, họ quan tâm đến điều gì đó và bắt đầu học hỏi. Ý tưởng là thúc đẩy mọi người hướng tới việc tự học một cách nghiêm túc - thông qua các câu lạc bộ hoặc cách khác. Và lý do tại sao chúng ta cần một người có tính phổ quát là không cần thiết chút nào nếu anh ta quan tâm đến vật lý chẳng hạn - à, cảm ơn Chúa. Ý tưởng cho rằng bằng cách nào đó cần phải chọn ra và khen thưởng một cách riêng biệt những người đã bằng cách nào đó đã chứng tỏ được bản thân trong nhiều môn học - tôi không hiểu ý nghĩa của việc này. – Một người khi lớn lên sẽ phát triển, và một người đơn giản là mạnh mẽ và có năng lực thì có thể hiểu được mọi thứ khi còn nhỏ, trong khi không quá phức tạp bài toán. Nhưng một người bằng cách nào đó phải tìm thấy chính mình. “Điều gắn bó với anh ấy là của riêng anh ấy, điều khiến anh ấy khác biệt với những người khác.” Đây là điều Einstein đã nói: thuyết tương đối đặc biệt sẽ được phát minh ra nếu không có tôi, không chỉ một mà còn cả một lý thuyết khác. Nhưng đối với thuyết tương đối rộng, tôi nghi ngờ rằng Chúa đã đặc biệt gửi tôi đến Trái đất để tôi có thể nghĩ ra điều đó. Có lẽ không ai khác có thể nghĩ ra nó. Đây là quê hương của anh ấy, đó là đặc điểm của anh ấy. Vì vậy, đối với tôi, có vẻ như cần phải chấp thuận nếu một người quan tâm đến cả hai và thứ ba, nhưng không cần thiết phải trau dồi điều này.

23

TOÁN HỌC

– Tại giải đấu Lomonosov, một người không quan tâm đến bất kỳ môn học nào ở trường có thể thấy rằng môn học này có thể rất thú vị. – Và để làm được điều này, bạn cần có khán giả ở gần. – Các cuộc thi nhỏ, bạn có thể ngồi đây một tiếng rồi đi chỗ kia… – Vì vậy, điều rất quan trọng là ban tổ chức phải gồm những người cùng chí hướng, để không xảy ra chuyện ai cũng tự kéo mình. – Bạn cảm thấy thế nào về kỳ thi Thống Nhất? – Tôi cho rằng Kỳ thi Thống nhất là một ý kiến ​​hết sức tai hại; Rõ ràng là mọi người sẽ không nghĩ về bất cứ điều gì mà chỉ biết cách chuẩn bị để trả lời các câu hỏi một cách chính xác. Một số kiểu bướng bỉnh cao hơn nói lên sự ủng hộ của Kỳ thi Thống nhất. Tôi khá lạc quan ở đây. Năm 1943, Stalin nảy ra ý tưởng tách nam và nữ trong trường học. Việc này kéo dài mười năm. Năm 1953, ngay sau khi Stalin qua đời, việc này ngay lập tức bị hủy bỏ. – Tức là, Đây không phải là chuyện đương nhiên, đây là ý thích của một số người, và có lẽ nó sẽ qua thôi. - Đó là ý thích thôi. Có thể nó liên quan đến tiền - ai đó đang kiếm được thứ gì đó ở đó, nhưng ít nhất đó là ý thích bất chợt. – Tôi muốn hỏi về toán học và vật lý. Đôi khi họ phản đối, có người nói - không, toán học là một phần của vật lý, có người nói rằng nó chỉ là một công cụ cho vật lý. Là một người biết cả toán và vật lý, ông có thể nói gì về điều này? – Thứ nhất, tôi không biết vật lý. Tôi cũng không biết toán. Tất nhiên là tôi đã đề cập một chút đến cả hai. Tất nhiên là chúng khác nhau. Ví dụ, có nguyên lý Huygens-Fresnel, đó là cách tính toán hình ảnh giao thoa. Việc có hai cái tên, và một trong số đó là Huygens, cho thấy ông xuất hiện vào thế kỷ 17. Nó vẫn chưa được chứng minh, nhưng không ai quan tâm. Bây giờ, nếu một con chó xác định sự thật bằng mũi của nó, thì một người - nhiều hơn là nhờ sự trợ giúp của mắt, thì các nhà toán học và vật lý học - họ nhận thức bằng các cơ quan khác nhau. Các nhà toán học tin rằng mọi thứ đều phải được chứng minh. Các nhà vật lý tin rằng cần phải tìm ra lời giải thích cho hiện tượng này. Đối với họ, hiện tượng được quan sát là vị trí bắt đầu. Chúng ta cần tìm lời giải thích cho anh ấy. Ví dụ, hiện tượng siêu chảy helium được Landau mô tả bằng toán học. Đây được coi là thành tựu lớn của anh. Nhưng đây chỉ là tính toán gần đúng và không có ước tính sai số. Tuy nhiên, các nhà vật lý tin rằng giờ đây họ đã hiểu tại sao điều này lại xảy ra. – Nhưng mặt khác, các nhà toán học cũng muốn tìm hiểu một số hiện tượng, một số định lý, tình huống. Họ không chỉ tung hứng các công thức. - Chắc chắn. Nhưng một phần là vậy. Chà, chẳng hạn, nhiều hệ quả của tiên đề lựa chọn - tôi biết các nhà vật lý nói rằng đây là những ảo ảnh toán học. Tất nhiên, đây là hệ quả logic của những tiên đề mà họ đã chấp nhận, nhưng nó không liên quan gì đến thực tế thực tế. Những ảo ảnh toán học, hậu quả của những tiên đề được phát minh không thành công. Và bây giờ các nhà toán học đang phát triển ý tưởng rằng họ cần giới hạn bản thân trong những tiên đề lựa chọn có thể đếm được, và khi đó nhiều bóng ma sẽ biến mất. Ví dụ, các tập hợp không thể đo lường được sẽ biến mất. Vâng, ai biết được. Pavel Sergeevich Alexandrov cho rằng đây là một thực tế toán học. Điều thực tế là những hệ quả như vậy có được từ những tiên đề này. Đây là một thực tế toán học, nhưng không phải là có một loại thực tế vật lý nào đó đằng sau nó. Vật lý hoạt động như thế nào? Cô ấy tạo ra một mô hình toán học. Điều cũng xảy ra là trước tiên tồn tại một mô hình bằng lời nói, tức là một số cuộc trò chuyện bằng lời nói về cách hiện tượng xảy ra. Nhưng đây vẫn chưa phải là một mô hình toán học. Sau đó, một mô hình toán học được tạo ra, bao gồm nhiều thứ từ toán học. Ví dụ, động học. Như trên.

THẾ GIỚI

Mỗi điểm được giả sử có một tọa độ. Khoảng cách luôn có thể được chia đôi. Và trong vật lý thực tế, khoảng cách càng nhỏ thì việc chia nó làm đôi càng khó khăn và điều này trở nên hoàn toàn phi thực tế khi chúng ta không có cách nào để đo được khoảng cách nhỏ như vậy. Nhưng tất nhiên, với sự trợ giúp của các mô hình, sự hiểu biết vẫn diễn ra. Đây hoàn toàn là một điều bí ẩn, không ai ở đây hiểu chuyện gì đang thực sự xảy ra, nhưng tôi hoàn toàn thích câu nói của Spinoza về mặt cảm xúc. Ông nói: “Tự do đạt được nhờ kiến ​​thức, và kiến ​​thức đạt được nhờ sự thống nhất tinh thần với thiên nhiên”. Nhưng ông đã đồng nhất từ ​​“tự nhiên” với từ “thần”. Trong sự kết hợp tâm linh với Thiên Chúa. Tôi nghĩ lẽ thật này khá đúng và sâu sắc. Ví dụ, Faraday. Tại sao anh ta biết rằng có sự chuyển đổi từ từ trường sang điện trường? Không có ai đang xem. Tại sao hắn lại biết mình tồn tại? Tôi hiểu đây là kết quả của sự thống nhất tinh thần với thiên nhiên. - Làm thế nào bạn có thể nghe thấy âm nhạc của các thiên thần? - À, đại loại thế. Anh ta đã thực hiện một số khám phá lớn, anh ta có một trực giác được rèn luyện tốt, và do đó anh ta có thể, giống như một vị thần, nhìn thẳng vào sự thật, không phải thông qua lý luận thông minh mà một cách trực tiếp. – Chúng ta từng thảo luận rằng tầm nhìn trực tiếp về sự thật quan trọng hơn khả năng chứng minh các định lý. - Ừ, tất nhiên rồi. – Nhân tiện, đây cũng là một câu hỏi thú vị. Ví dụ, sự nghiêm túc về toán học ở trường quan trọng như thế nào khi học tập. Nếu bạn chứng minh mọi thứ một cách nghiêm túc thì có thể… - Tôi nghĩ ở đây có sự thỏa hiệp. Nếu ở chỗ nào đó tôi đề cập đến điều hiển nhiên, có lẽ tôi thậm chí còn không đề cập đến nó mà giữ im lặng - im lặng, nhận ra rằng học sinh sẽ coi đó là điều gì đó tự nhiên và không gây phản đối - thì điều này có thể là trung thực, hoặc có thể là không trung thực. Trung thực - nếu tôi có thể, mà không phá hủy cấu trúc này, hãy thêm sự cân nhắc chính xác và không trung thực - nếu tôi cần phá hủy cấu trúc này để làm cho nó chính xác. Ví dụ: tôi muốn chứng minh rằng tập hợp các điểm trên một đoạn là không đếm được. Giả sử nó đếm được. Chúng tôi lấy một đoạn có độ dài bằng một, đánh số lại các điểm này và bao phủ các điểm bằng các khoảng - điểm đầu tiên có khoảng độ dài một phần mười, điểm thứ hai có độ dài một phần trăm, v.v. Hóa ra là chúng ta đã bao phủ tất cả các điểm của một đoạn có độ dài bằng một khoảng, tổng độ dài của nó chắc chắn không quá một phần chín. Đây là một lý do rất rõ ràng. Đối với người mới bắt đầu, nó cực kỳ hấp dẫn, ngay cả khi nó không quá khắt khe. Chúng ta cũng phải chứng minh rằng tổng độ dài của các khoảng này bao phủ đoạn đó phải lớn hơn độ dài của chính đoạn đó. Nhưng sự thiếu chính xác này là trung thực vì nó có thể được chứng minh. Bạn có thể chứng minh định lý này một cách riêng biệt trong một bài học và mọi thứ sẽ ổn. Sẽ là chơi không công bằng nếu bạn đề cập đến điều hiển nhiên, nhưng bạn không thể thay thế nó bằng lý do chính xác. Vì vậy, sách giáo khoa của Kiselev đã thành công. Ví dụ, ở đó, sự tồn tại của đường vuông góc được chứng minh bằng cách uốn một tờ giấy. – Trực quan, dễ hiểu, hiển nhiên đối với mọi người. - Đúng. Và sau này vẫn có bằng chứng xác thực. – Về mặt này, tôi rất ngạc nhiên, chẳng hạn như trong sách giáo khoa hình học của Pogorelov - không có tiên đề nào tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba. Điều này đã được chứng minh từ một số tiên đề khác, mặc dù đối với tôi đó là một tiên đề rõ ràng và đơn giản hơn - rằng một đoạn là khoảng cách ngắn nhất. – Và cách tiếp cận với tiên đề khoảng cách ngắn nhất là thành công về mặt sư phạm, bởi vì dường như mọi người đều biết trước rằng điều này là như vậy. Các câu hỏi được đặt ra bởi S. Dorichenko

32

Vì mọi thứ hiện diện chắc chắn phải là một thứ gì đó, dù nó lớn lao hay tầm thường nhất… Titus Lucretius Carus

Khoảng hai triệu phân tử hydro xếp thành một hàng sẽ chiếm một milimet và khoảng 200 triệu triệu triệu trong số chúng sẽ nặng một miligam. Những con số này nên được coi là những con số gần đúng; khi khoa học được cải thiện, chúng sẽ được sửa chữa bằng những thí nghiệm đa dạng và chính xác hơn… James Clerk Maxwell

Nhũ tương là một bầu không khí thu nhỏ bị hút về phía trái đất. Ở quy mô của bầu khí quyển như vậy, độ cao của dãy Alps sẽ có vẻ là vài micron và từng ngọn đồi sẽ trở nên ngang bằng với các phân tử. Jean Baptiste Perrin

Nano (từ tiếng Hy Lạp na ѣ nos - lùn) là tiền tố để tạo thành tên của bội đơn vị bằng một phần tỷ đơn vị ban đầu. Từ điển bách khoa lớn

Nó có quen thuộc với bạn không?

?

nano…

Nói chung, người ta nên trả lời “tất nhiên là có, và trong một thời gian khá dài” - xét cho cùng, ngay cả tổ tiên xa xôi của chúng ta, bị dính đầy bồ hóng, cũng đã xử lý được các hạt nano carbon mà nó chứa. Các nhà khoa học xử lý bột mịn và dung dịch keo cũng gặp phải những “mảnh vụn” tương tự và có lẽ có ý thức hơn. Nhưng ít người tưởng tượng được những thay đổi đáng kinh ngạc về tính chất vật lý của vật thể có thể xảy ra khi chúng bị thu nhỏ lại thành kích thước nano. Những thay đổi này có thể được phát hiện khá gần đây với sự ra đời của các thiết bị nano - đặc biệt, khác biệt hoàn toàn với các thiết bị thông thường, có khả năng đo lường và khám phá các đặc tính mới. Sự chuyển đổi sang những quy mô như vậy kéo theo việc khám phá ra hành vi cực kỳ độc đáo của các hạt, thể hiện các định luật vật lý lượng tử. Và điều này, đến lượt nó, đã tạo ra những nhánh kiến ​​thức và công nghệ mới, được xây dựng trên một hệ tư tưởng khác về cơ bản và trên những cách tiếp cận khác so với trước đây - điện tử nano, y học nano, quang tử nano, năng lượng nano… rồi ở khắp mọi nơi. Tiền tố có màu “lùn” ẩn chứa cả một kho dự trữ khổng lồ, việc làm chủ được kho dự trữ khổng lồ, như các nhà khoa học dự đoán, trong tương lai rất gần sẽ biến đổi toàn bộ thế giới xung quanh chúng ta và giúp nhân loại đối phó với nhiều vấn đề do nền văn minh tích lũy. Bạn cũng có thể làm quen với những quan điểm này trong các ấn phẩm của tạp chí của chúng tôi - như thường lệ, một danh sách ấn tượng về chúng được đưa ra ở cuối số báo. Trong khi đó, đáp lại lời kêu gọi của R. Feynman, người đã viết cách đây đúng nửa thế kỷ bài báo “Có rất nhiều không gian bên dưới. Lời mời đến với thế giới vật lý mới”, chúng ta sẽ đi tìm kiếm các vật thể nano sống rất nhiều xung quanh chúng ta, và tất nhiên, trong khóa học vật lý ở trường. Có vẻ như khám phá trực tiếp hoặc gián tiếp của họ sẽ giúp bạn chuẩn bị tốt hơn để hiểu được ngành khoa học nano đầy hấp dẫn, đầy những cơ hội lớn.

Câu hỏi và bài toán

1. Có thể nhìn thấy một phần mười triệu gam (tức là 100 nanogram) của một chất bằng mắt thường không? 2. Có thể đạt được trọng lượng rất chính xác với sai số 10 nanogram. Có bao nhiêu nguyên tử trong một hạt sắt nặng 10 nanogram? 3. Làm thế nào để ước tính kích thước của các phân tử nước và rượu? 4. Nếu pha 50 ml nước và 50 ml rượu thì thể tích dung dịch sẽ nhỏ hơn 100 ml. Tại sao? 5. Ước tính khoảng cách trung bình giữa các phân tử hydro trong điều kiện bình thường lớn hơn đường kính của phân tử đó bao nhiêu lần. 6. Tại sao sự phóng điện xảy ra ở điện áp thấp hơn khi mật độ không khí giảm? 7. Làm thế nào chúng ta có thể giải thích rằng nước trong bình đất sét có nhiệt độ thấp hơn nhiệt độ không khí xung quanh? Trong điều kiện nào nhiệt độ của nước trong bình này sẽ bằng nhiệt độ của không khí xung quanh? 8. Nước đang sôi trong ấm, thấy hơi nước thoát ra từ vòi ấm. Điều này có đúng không? 9. Bình được chia thành hai phần bằng vách ngăn xốp. Trong một phần có một loại khí bao gồm các phân tử nhẹ, phần còn lại - từ các phân tử nặng. Áp suất khí lúc đầu bằng nhau. Sau một thời gian, áp suất trong phần bình chứa các phân tử nặng tăng lên. Sau đó, sau một thời gian dài hơn, áp suất ở cả hai phần của bình cân bằng. Làm thế nào để giải thích điều này? 10. Tại sao các hạt Brownian lại tương đối nhỏ? 11. Phải mất rất nhiều công sức để làm đứt một đoạn dây. Tuy nhiên, nếu bạn nung dây trên ngọn lửa của đầu đốt thì dây sẽ dễ bị đứt hơn nhiều. Tại sao?

33

12. Bạn không thể tạo hình từ cát khô nhưng bạn có thể làm được từ cát ướt. Tại sao? 13. Mỏ hàn không thể làm chảy dây đồng hoặc dây thép. Tại sao có thể kết nối các dây này với nhau một cách đáng tin cậy bằng cách hàn? 14. Một thợ tráng men có kinh nghiệm, sau khi chạy một viên kim cương trên kính, làm ẩm vết xước bằng nước và chỉ sau đó mới làm vỡ tấm kính. Tại sao việc làm ướt được thực hiện? 15. Được biết, vào những ngày thời tiết lạnh giá, người ta dùng gạch đỏ ngâm xăng thông thường để nhóm lửa thay vì củi. Phương pháp sưởi ấm này dựa trên điều gì? 16. Nếu màng xà phòng được đặt thẳng đứng, các sọc màu trên đó sẽ di chuyển xuống dưới theo thời gian, thay đổi chiều rộng và ngay sau đó, một điểm tối tăng nhanh sẽ xuất hiện ở phần trên của màng, sau đó màng sẽ bị rách. Làm thế nào để giải thích điều này?

Kinh nghiệm vi mô

Đun nóng lưỡi dao cạo an toàn trên ngọn lửa đèn cồn. Bạn sẽ có thể nhìn thấy cái gọi là màu xỉn trên bề mặt kim loại - màu sắc cầu vồng đang thay đổi. Lý do cho sự xuất hiện của nó là gì?

Thật thú vị rằng…

…họ đã học cách chế tạo những thanh kiếm và lưỡi kiếm bền bỉ từ thép Damascus từ thời Trung cổ. Nhưng bí mật tạo ra loại thép như vậy đã được tiết lộ khá gần đây, khi phân tích cấu trúc của nó, người ta có thể phát hiện ra các ống nano carbon bên trong nó - những phân tử hình trụ khổng lồ được làm từ các nguyên tử carbon, mang lại cho vật liệu độ đàn hồi và độ cứng độc đáo. …không giống như kim cương tự nhiên, kim cương nano được tạo ra nhân tạo có một số đặc tính đặc biệt. Do đó, các hạt nano của chúng có hoạt tính bề mặt và độ phản ứng cao hơn đáng kể (chúng có diện tích bề mặt riêng lớn hơn). Vì vậy, kim cương nano hiện nay được sử dụng cả trong sinh học và y học như chất hấp phụ các hợp chất độc hại và chất mang thuốc cho mục đích y học. … từ lâu họ đã học được cách dát vàng thành các tấm dày 100 nanomet và bằng cách xử lý hóa học, đưa nó lên độ dày 10 nanomet. Tuy nhiên, không thể đạt được kích thước của các nguyên tử theo cách này. Và chỉ với sự ra đời của kính hiển vi điện tử có độ phân giải 0,12 nanomet, với độ phóng đại bảy triệu lần, người ta mới có thể “nhìn thấy” các hàng nguyên tử trong một tinh thể vàng nằm ở khoảng cách 0,235 nanomet với nhau. …lịch sử điều chế dung dịch keo vàng, đổi màu từ cam sang xanh lục, hoặc thêm hợp chất vàng vào thủy tinh nóng chảy, tạo cho nó màu đỏ tươi (“hồng ngọc vàng”), đã có từ xa xưa. Bác sĩ nổi tiếng thế kỷ 16 Paracelsus cũng đề cập đến việc sử dụng “vàng hòa tan” trong y học. Tuy nhiên, chỉ đến năm 1857 Faraday mới chứng minh được rằng màu sáng của dung dịch keo vàng là do các hạt lơ lửng nhỏ của nó. Đây là vàng nano, có đặc tính hoàn toàn khác với vàng thông thường.

…có lẽ vật sắc nhọn nhất do thiên nhiên tạo ra là vết đốt của ong bắp cày - bán kính cong của đầu nó không vượt quá 10 nanomet. …trong thí nghiệm nổi tiếng của mình về việc xác định kích thước của phân tử, Lord Rayleigh đã thực hiện nó một cách đơn giản đến bất ngờ. Nhỏ dầu vào chậu nước, Rayleigh ném phấn hoa long não vào đó. Biết rằng trên mặt nước các hạt long não chuyển động ngẫu nhiên, nhưng trên bề mặt dầu chúng tĩnh lặng, ông đã chọn khối lượng giọt dầu sao cho nó bao phủ toàn bộ mặt nước và ngăn chặn sự “nhảy múa” của phấn hoa. Đây là bằng chứng cho thấy dầu lan rộng thành một lớp đơn phân tử, độ dày của lớp đó và do đó kích thước của các phân tử dầu không vượt quá 1,7 nanomet. …superinvar - một hợp kim của sắt và niken có thêm crom - có hệ số giãn nở nhiệt thấp bất thường. Do đó, khi nhiệt độ tăng thêm một độ, một thanh superinvar dài một mét chỉ dài thêm 30 nanomet. …công suất điện của tụ điện có thể rất lớn do khoảng cách nhỏ giữa các bản của chúng, được xác định bởi một màng hóa học dày vài nanomet. …công nghệ màng dùng để sản xuất màng bán thấm gần đây đã được bổ sung thêm một phương pháp khác. Các hạt nhân nặng được tăng tốc chiếu xạ các màng tổng hợp và biến chúng thành các “sàng” với các lỗ gọn gàng, kích thước của chúng có thể được điều chỉnh ở cấp độ nano. …cái gọi là cỗ máy phân tử sống - vi khuẩn roi hoặc các đơn vị cơ cơ bản đảm bảo sự di chuyển của tế bào mục tiêu và vận chuyển các phân tử qua màng - có kích thước đặc trưng là đơn vị hoặc hàng chục nanomet. Đường kính chuỗi xoắn kép của phân tử DNA là khoảng hai nanomet và chiều dài của nó dọc theo đường viền là khoảng 400 nanomet. …tiền tố “nano” trở nên phổ biến đến mức nó bắt đầu được sử dụng để mô tả các vật thể ở quy mô vĩ mô. Do đó, theo phân loại của Châu Âu về các vệ tinh nhỏ, các thiết bị có trọng lượng từ một đến mười kg được gọi là vệ tinh nano.

Những gì cần đọc trong «Kvant» về nano…

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Công nghệ nano phục vụ con người” – 2005, số 4, tr. 11; 2. “Công nghệ nano: khi kích thước quan trọng” – 2008, Số 3, trang 6; 3. “Trên đường tới máy tính lượng tử” – 2009, số 1, tr. 2; 4. “Những câu chuyện về cơ học hiện đại” – 2009, số 3, tr.2; 5. “Thước kẻ dài một nanomet” – 2009, số 4, tr. 2; 6. “Tại sao ống nano carbon lại cứng hơn thép?” – 2009, số 4, tr. 7; 7. “Space Nanolift” – 2009, số 5, tr. 11; 8. “Đo sức mạnh cơ thể từ nano đến mega” – 2009, số 6, tr. 3; 9. “Cách điều khiển ánh sáng bằng từ trường” – 2010, số 1, tr. 12.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

34

KMS

KVANT 2010/№1

Bài toán

Theo kết quả thăm dò dư luận, 76% người được hỏi hài lòng với công việc của tổng thống, 83% với công việc của thủ tướng và chỉ 59% với công việc của chính phủ nói chung. Hãy gọi một người trả lời là vô vọng nếu anh ta hài lòng với công việc của cả tổng thống và thủ tướng, nhưng lại không hài lòng với công việc của chính phủ nói chung. Tỷ lệ nhỏ nhất của những người tuyệt vọng trong số những người được hỏi là gì? M. Akhmedzhanova

Cô ấy có nên làm điều này với sự trợ giúp của cây đũa thần được tìm thấy không? G. Galperin

Cho một tam giác đều. a) Có thể cắt nó thành các hình tam giác đều có hai loại - lớn và nhỏ - sao cho số lượng của cả hai hình tam giác bằng nhau không? b) Có thể cắt nó thành các hình tam giác đều có ba loại - lớn, vừa và nhỏ - sao cho số lượng hình tam giác ở mỗi kích thước bằng nhau không? S. Dvoryaninov

Có một sợi dây có dạng hình tròn. Làm thế nào để uốn cong sao cho khi chiếu lên mặt phẳng này thì hình vuông, khi chiếu lên mặt phẳng khác thì hình tam giác đều? A. Zhukov

Bác sĩ nói với Zmey Gorynych rằng nếu Zmey hút 6 điếu thuốc mỗi ngày thì anh ta sẽ chết sau 10 năm, còn nếu hút 17 điếu thì sau 5 năm. Zmey Gorynych sẽ sống được bao nhiêu năm nếu ngừng hút thuốc? (Chúng tôi giả định rằng tất cả các năm đều có độ dài như nhau và mỗi điếu thuốc đều rút ngắn tuổi thọ như nhau.) A. Kovaldzhi

Minh họa của D. Grishukova

Một ngày nọ, Alice tìm thấy một cây đũa thần trong Gương soi, có thể tạo ra bất kỳ vật thể nào theo mong muốn của Alice, nhưng chỉ ở một bản sao. Đồng thời, sau khi đã tạo ra một đồ vật, cây đũa thần sẽ không thể tạo lại đồ vật đó trong tương lai. Alice cần làm 10 đôi giày giống hệt nhau cho chuyến du hành qua Gương soi. Làm sao

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6 – 8.

38

KVANT 2010/№1

thầy phù thủy tiếp tục. - Và bạn sẽ ngồi đó và suy nghĩ về hành vi của mình. Mỗi buổi tối, một trong số các bạn sẽ được đưa đến Căn phòng Đen-Đen, nơi không có gì ngoài một cây đèn thần, và con rồng chúa tể của tôi sẽ đích thân nói chuyện với người được chọn. Đèn bây giờ đã tắt. Nếu bạn muốn, hãy lắng nghe anh ấy trong bóng tối; nếu bạn muốn, hãy thắp đèn. Hoặc dập tắt nó, nếu nó cháy, đó là việc của bạn. Đèn sáng lên và tắt một cách đơn giản - chỉ cần vỗ tay. Và điều này sẽ còn tiếp tục rất rất lâu nữa… - Mãi mãi? – chàng trai trẻ Berthold hỏi nhỏ. “Có lẽ là mãi mãi,” ông già giận dữ nói. - Đừng ngắt lời, chàng trai trẻ. Điều tôi hứa với các bạn chắc chắn là tất cả các bạn chắc chắn sẽ ghé thăm Phòng Đen Đen, chúng tôi sẽ không bỏ sót ai cả. Và hãy yên tâm rằng mỗi bạn sẽ được gọi đi gọi lại đó. Nhưng, như tôi đã nói, chúa rồng của tôi rất nhân từ… Anh ấy nhìn quanh những chiến binh đang gục xuống. “Tôi, pháp sư đen Kurundis, thề với các bạn bằng tất cả phép thuật của mình và nhân danh chúa tể của tôi, con rồng Gryor, rằng ngay khi một trong số các bạn nói với tôi rằng tất cả các bạn đã ở trong Phòng Đen-Đen, các bạn sẽ được thả tự do - tất nhiên, không có vũ khí và đi bộ - nếu những gì được nói là sự thật.” Nhưng lại sợ phạm sai lầm! Vì nếu bạn phạm sai lầm, tất cả các bạn sẽ bị ăn thịt, và tôi đảm bảo với bạn, con rồng chúa của tôi sẽ làm điều này một cách vô cùng vui vẻ. Bạn có hiểu mọi thứ không, thưa quý ông, những kẻ giết rồng? “Chúng tôi hiểu, nhưng chúng tôi không thể hiểu được…” Bác Elvard càu nhàu. Pháp sư gật đầu rồi rời đi, theo sau là những người bảo vệ. Cánh cửa đóng sầm lại và ổ khóa kêu lạch cạch. “Hắn sẽ nuốt chửng bạn… Đầu tiên hắn sẽ tra tấn bạn bằng những bài giảng đạo đức, và sau đó dù sao thì hắn cũng sẽ nuốt chửng bạn…” trong hội trường vang lên. Berthold trẻ tuổi ngẩng đầu lên. – Chú Elvard, người ta nói rồng không nói dối có đúng không? anh ấy hỏi. Người chiến binh có ria mép gật đầu. “Vậy thì chắc chắn có một lối thoát,” chàng trai nói. – Bạn chỉ cần suy nghĩ cẩn thận. Cuối cùng, con rồng đã hứa. “Sự thật được nói qua miệng một đứa bé,” Tom to lớn đến từ Stonebridge nói một cách nghiêm túc. - Hãy suy nghĩ đi, anh em. “Dùng kiếm thì dễ hơn,” ai đó càu nhàu. Và một sự im lặng sâu sắc bao trùm hội trường. Theo thói quen, tôi suy nghĩ chậm rãi và cân nhắc. - Chà, bạn đã phát minh ra gì cho tù nhân của chúng tôi? – Gryor hỏi vào bữa sáng. Kurundis giải thích. - Này pháp sư, tôi đã bảo là tôi không muốn đích thân nuôi chúng mà! “Thưa ngài, ngài không cần làm việc, năm ngoái tôi đã lưu đoạn ghi âm bài phát biểu của ngài.” Hãy nhớ rằng, bạn đã chỉ thị cho nam tước đó, bất kể tên ông ta là gì… Tinh thể ma thuật sẽ tái tạo từng từ một cách hoàn hảo. - Ồ, được rồi… Thế nhưng bạn đã nhầm rồi, ảo thuật gia. Tại sao tôi phải thề rằng tôi nhất định sẽ tự mình ăn chúng và rất vui? Nếu bạn phải làm vậy thì sao? Bạn biết đấy, tôi không thể chịu được thịt người…

• Ồ, thưa ông, đừng lo lắng. Tôi tin rằng mối nguy hiểm thực sự có thể dạy cho ngay cả những kẻ giết rồng phải suy nghĩ. “Chúng ta sẽ xem, chúng ta sẽ xem,” Gryor cười khúc khích. – Điều tồi tệ nhất là nếu họ không bao giờ dám đưa cho bạn đáp số. Có bao nhiêu? Hai mươi? Hai mươi phòng giam đã bị chiếm giữ, không ai biết đã bao nhiêu năm, nhưng có lẽ… ừ… những người nộp đơn vẫn sẽ xuất hiện. - Thưa ông, tôi cá là họ có thể xử lý được! -Chúng ta đang cá cược cái gì đây? – con rồng hét lên. - Để nhấp chuột? Hai mươi shchelban, tính theo số người bị bắt - được chứ? Nếu họ vẫn còn ở đây sau 5 năm nữa thì tôi đã thắng! “Nó đang đến,” pháp sư đồng ý. Họ bắt tay nhau. Đã đến lúc. Đôi khi Gryor nhớ đến các tù nhân của mình và hỏi họ dạo này thế nào. “Như trước đây,” Kurundis trả lời. - Chúng tôi thực hiện công tác giáo dục. Một số người đã nghe bài phát biểu của ông bốn lần rồi, thưa ông. - Và bằng cách nào? – Gryor quan tâm. - Ồ, ai biết được, thưa ông. Một số chửi thề. Một số đang khóc. Một người thề, nếu được cứu, sẽ đi tu. “Chà, chà,” Gryor càu nhàu. “Hãy hy vọng anh ấy thành công.” Một buổi sáng, pháp sư chạy vào phòng ngai vàng của lâu đài rồng, hơi nhảy lên. - Tôi đã bảo rồi mà! - anh kêu lên. “Hôm nay, cậu bé đến từ Roxley nói với tôi rằng mọi người đã đến Phòng Đen-Đen. - Có thật vậy không? - con rồng hỏi. - Vâng, thưa ngài! - nhà ảo thuật trả lời. - Vậy chúng tôi sẽ để ông đi hay ông sẽ nói thêm vài lời với họ? “Hãy để chúng lăn ra bốn hướng,” Gryor khịt mũi. “Cuối cùng thì tôi cũng sẽ loại bỏ được chúng.” “Vâng, thưa ngài,” pháp sư gật đầu. - Tôi sẽ đi thu xếp. Trong lúc đó, hãy chuẩn bị trán của bạn. - Cái gì? – con rồng hoang mang vẫy đuôi. “Hai mươi cú nhấp chuột, thưa ngài,” pháp sư cúi đầu. - Đừng làm như cậu đã quên. Rồng không bao giờ quên bất cứ điều gì. “Ugh,” con rồng càu nhàu. - Thật đấy. Chẳng làm được gì cả, thua thì thua… …Những chiến binh ung thư bước ra đời, vấp ngã theo thói quen. Elvard, người có bộ ria mép dài gấp ba lần trong thời gian bị giam cầm, nói: “Thực sự, đó là một chiến công vĩ đại, thưa O Berthold của Roxleigh.” “Tôi không nghi ngờ gì rằng bạn đã giành được đinh thúc ngựa hiệp sĩ, và trong tương lai bạn sẽ trở thành một chiến binh vĩ đại, và tất cả những con rồng sẽ cúi đầu trước bạn…” “Chà, không,” Bertholdt lắc đầu, “Bây giờ tôi đã chán ngấy rồng rồi.” Tôi thà vào đại học để học tiếng Latin và số học. Tôi đảm bảo rằng không có giáo sư nào có thể nhàm chán như Gryor Big Tail…

Thưa ngài, ngài có hiểu làm thế nào mà chàng trai trẻ Berthold lại có thể lập được kỳ tích này không?

47

TOÁN HỌC

i) nội bộ khi và chỉ khi

AB + CD = BC + DA;

(1) ii) (AC)-bên ngoài khi và chỉ khi nó không phải là trung tâm và

AB + DA = BC + CD;

(2) iii) (BD)-bên ngoài khi và chỉ khi nó không phải là trung tâm và

AB + BC = CD + DA.

(3)

Chúng tôi không cung cấp bằng chứng chi tiết về định lý này ở đây mà chỉ giới hạn ở những nhận xét sau. Từ thực tế là đường 4 đa giác được mô tả, không khó để có được một trong các mối quan hệ (1), (2), (3), bằng cách sử dụng các đẳng thức của các đoạn tiếp tuyến (tương tự như cách thực hiện trong lời giải bài toán 2). Khó khăn hơn để chứng minh rằng đường đứt nét được mô tả dựa trên các mối quan hệ. Điều này có thể được thực hiện tương tự như chứng minh tiêu chuẩn (∗), bằng cách xem xét các trường hợp khác nhau về vị trí của đường đa giác 4. Ý tưởng về chứng minh hình học dựa trên tính chất của đường cô-nic được mô tả ở phần cuối của bài viết này.

Bài tập 5. Chứng minh rằng: a) có nhiều nhất hai đường tròn nội tiếp 4 đường đa giác; b) hai đường tròn có thể nội tiếp trong một đường đa giác 4 ​​khi và chỉ khi nó không ở tâm và có trục đối xứng.

Định lý bắc cầu

Bây giờ sơ đồ lời giải bài toán 2 có thể được mô tả như sau: có sự truyền (hoặc truyền) điều kiện tồn tại của đường tròn nội tiếp từ hai đường thẳng 4 đoạn (BD|AC) và (BD|CR) sang đường thẳng 4 đoạn thứ ba (BD|RA). Sơ đồ tương tự hoạt động trong tình huống tổng quát hơn này. Định lý 2 (định lý bắc cầu). Cho 4 đoạn thẳng (AB|XY), (AB|YZ) và (AB|ZX). Khi đó i) nếu hai trong số chúng có các vòng tròn nội tiếp thì vòng thứ ba cũng vậy; ii) nếu với (AB|XY) và (AB|YZ) tồn tại các đường tròn nội tiếp lần lượt là (XY)-ngoài và (YZ) và 4 đường thẳng (AB|ZX) không phải là tâm thì với nó tồn tại một đường tròn nội tiếp (ZX)-ngoài; iii) nếu đối với (AB|XY) và (AB|YZ) có đường tròn nội tiếp (AB)-ngoài, thì với (AB|ZX) có đường tròn nội tiếp (AB|ZX); iii’) nếu với (AB|XY) có đường tròn nội tiếp (AB) ngoài, với (AB|ZX) có đường tròn nội tiếp và đường tròn 4 đường thẳng (AB|YZ) không ở tâm thì có đường tròn nội tiếp (AB) ngoài. Bằng chứng. Ví dụ, chúng ta hãy chứng minh phát biểu (ii). Nếu các đường tròn có thể nội tiếp các đường đứt nét (AB|XY) và (AB|YZ) theo kiểu ngoài (XY) và ngoài (YZ), thì theo Định lý 1, chúng ta có

AX + BX = AY + BY, AY + BY = AZ + BZ. Từ đây AX + BX = AZ + BZ, và chúng ta thu được (cũng theo Định lý 1) rằng một đường tròn có thể nội tiếp một đường tròn (ZX) vào đường đứt nét (AB|ZX).

Bài tập 6. Chứng minh các phát biểu khác của Định lý 2.

VÒNG TRÒN

bài toán tiếp theo, giống như những cái trước, hóa ra là hệ quả của Định lý 2. Bài toán 5 (M1025). Hai đường thẳng đi qua giao điểm của các cặp cạnh đối diện của một tứ giác lồi chia tứ giác đó thành bốn tứ giác nhỏ hơn. Chứng minh rằng nếu hai tứ giác nhỏ không có một cạnh chung nội tiếp thì tứ giác ban đầu ngoại tiếp. Lời giải. Có hai trường hợp có thể sắp xếp các hình tứ giác mà người ta biết rằng chúng được mô tả (hình5 và 6).

Hình 6

Hình 5

Trong trường hợp đầu tiên, các đường 4 nét đứt (PQ|BR) và (PQ|RD) lần lượt được mô tả (BR)-bên ngoài và (RD)-bên ngoài, có nghĩa là, theo Định lý 2, đường 4 nét đứt (PQ|DB) được mô tả (DB)-bên ngoài, tức là tứ giác ABCD ngoại tiếp. Trong trường hợp thứ hai, đường 4 đứt (PQ|AR) và (PQ|RC) được mô tả bên trong, do đó, đường 4 đứt (PQ|CA) cũng được mô tả bên trong, hàm ý là bắt buộc.

Bài tập

7. a) Xây dựng và chứng minh các mệnh đề tương tự bài toán 4 trong trường hợp tam giác XYZ không nhất thiết phải chứa các đường tròn. b) Lập công thức bài toán tương tự cho điểm X trên tiếp tuyến ngoài và các điểm Y và Z trên tiếp tuyến trong. 8. Xây dựng và chứng minh một định lý bắc cầu khác về ba đường thẳng có 4 nét đứt (AB|CD), (AC|BD) và (AD|BC). Cụ thể, nhận lời giải như thế này bài toán: Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC, lấy các điểm A¢, B¢, C¢ lần lượt sao cho các đoạn AA¢, BB¢, CC¢ cắt nhau tại một điểm D. Chứng minh rằng nếu hai trong các tứ giác AB ¢ DC ¢, BC ¢ DA ¢, CA ¢ DB ¢ ngoại tiếp thì tứ giác thứ ba cũng được mô tả.

Các đường đứt nét được mô tả có một đỉnh… ở vô cực

Nếu đỉnh D của đường thẳng 4 đoạn (AC|BD) nằm cách xa phần còn lại thì tia AD và CD “gần như cùng hướng”. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta thực sự làm cho chúng đồng hướng? Vì vậy, hãy gọi đường thẳng $4_{\infty}$ -broken $( BD_{\infty} AC )$ là sự kết hợp của các đoạn AB, BC và cùng hướng, nhưng không thẳng hàng, các tia $AD '$ và $CD ''$ (các điểm A, B, C được coi là khác nhau; hình7). Đường tròn nội tiếp đường thẳng $4_{\infty}$ gãy $( BD_{\infty} AC ),$ phải đồng thời tiếp xúc với đường thẳng AB và BC và nội tiếp trên dải giữa đường thẳng song song $пря-_{Рис.} 7$

49

TOÁN HỌC

VÒNG TRÒN

Hình 9

$( 1 ' )$ (tương ứng $( 2 ' ))$ có nghĩa là điểm A và C nằm trên cùng một parabol với tiêu điểm B và trục đối diện (đối với $( 2 ' )$ - cùng hướng) với tia $AD '$. Sử dụng những nhận xét này và tính chất của đường cô-nic, người ta có thể chứng minh sự tồn tại của đường tròn nội tiếp trong Định lý 1 và $1 '$. Ví dụ: Lấy câu lệnh (ii) Định lý 1. Điểm A và C nằm trên cùng một hình elip với tiêu điểm B và D. Theo điều kiện, đường thẳng 4 nét (AC|BD) không phải là tâm nên điểm A và C không phải là các điểm đối xứng đường kính của hình elip. I. Thật vậy, do tính chất quang học của hình elip (ví dụ, xem [3]), I nằm trên các phân giác ngoài của các góc BAD và BCD, ngoài ra (ví dụ, xem bài toán 1.4 trong sách [1]), đường thẳng BI là phân giác của góc ABC. tiếp tuyến với đường conic (xem hình9). Hiện tại, tình huống xảy ra trong định lý bắc cầu 2 và $2 '$ có thể được hiểu như sau: trong phát biểu (i) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một nhánh của hyperbol với tiêu điểm A, B hoặc trên đường phân giác vuông góc với đoạn AB;

trong phát biểu (ii) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một hình elip với các tiêu điểm A, B; trong phát biểu (iii) của Định lý 2, các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một hypebol với tiêu điểm A, B và hai trong số chúng nằm trên một nhánh và một điểm nằm trên nhánh kia; trong định lý $2 '$ các điểm X, Y, Z nằm trên cùng một parabol với tiêu điểm A và trục có hướng ngược nhau - trong trường hợp (i) hoặc cùng hướng - trong trường hợp (ii), với tia $XB '$.

Bài tập

12. Cho $4_{\infty}$ - đường đứt nét $( AC BD_{\infty} ),$ trong đó $AB \ne BC$. Chứng minh rằng nó được mô tả khi và chỉ khi $AD'$ song song với một trong các tiệm cận của hyperbol với tiêu điểm A và C đi qua B. 13. Chứng minh rằng tâm của đường tròn nội tiếp đường thẳng suy biến 4 đoạn hoặc đường gãy suy biến $4_{\infty}$ nằm trên đường chuẩn (để định nghĩa đường chuẩn, xem [2]) của đường conic tương ứng.

Tài liệu tham khảo

1. Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Tính chất hình học của đường cong bậc hai. – M.: MTsNMO, 2007. 2. Vasiliev N.B., Gutenmacher V.L. Thẳng và cong (ấn bản thứ 6, khuôn mẫu). – M.: MTsNMO, 2006. 3. Protasov V.Yu. Cực đại và cực tiểu trong hình học. – M.: MTsNMO, 2005.

56

KVANT 2010/№1

người nghe. Các bài giảng thường có tính chất liên ngành và được dành cho các vấn đề khác xa với các lĩnh vực truyền thống của cơ học nói chung và robot. Ví dụ, các chủ đề sau đã được trình bày: hiện tượng xâm thực; mô hình toán học của hệ thống quản lý đối với các đối tượng có tầm quan trọng quốc gia; phun trào núi lửa; đặc điểm thị giác của sinh vật sống và công dụng của chúng trong việc tạo ra các hệ thống thị giác kỹ thuật; các khía cạnh khác nhau của cơ sinh học (tức là khoa học giao thoa giữa cơ học và sinh học) - mô phỏng cho phi hành gia, vật liệu hiện đại và việc sử dụng chúng trong xương giả, cũng như một lý thuyết duy nhất được phát triển gần đây giải thích thỏa đáng việc đo huyết áp bằng một thiết bị đơn giản bao gồm vòng bít bơm hơi bằng cao su, bóng đèn và áp kế. Các chuyến tham quan được tổ chức tại các cơ sở thử nghiệm độc đáo của Viện Cơ học thuộc Đại học quốc gia Moscow (đường hầm thủy động lực, đường hầm gió, kênh thủy lực, v.v.). Việc làm quen với cơ học và robot hiện đại là quan trọng không chỉ đối với học sinh mà còn đối với giáo viên trung học. Vì vậy, trong khuôn khổ Chương trình của chúng tôi, các khóa đào tạo giáo viên được tổ chức. Một hướng quan trọng của Chương trình là lập danh sách nghiên cứu khoa học bài toán cung cấp cho học sinh. Nó hiện bao gồm hơn 30 nhiệm vụ. Vì vậy, hàng năm một cuộc thi được công bố nhằm tổ chức và tiến hành một thí nghiệm nghiên cứu các tính chất của ma sát khô. Bạn có thể tìm thấy danh sách bài toán và thông báo về cuộc thi trên trang web ở cuối bài viết.

Để chuẩn bị một khóa học video, chúng được quay video và tạo thư viện video - cơ sở cho việc học từ xa (bao gồm cả làm việc với các trường học dành cho trẻ khuyết tật). Tất cả các hoạt động nêu trên của Chương trình dành cho học sinh và giáo viên được thực hiện tại các địa điểm truyền thống đều được thực hiện miễn phí. Tuy nhiên, theo thỏa thuận, cũng có thể tiến hành tham quan các bài giảng và hội thảo, nhóm nghiên cứu và các hình thức hợp tác khác. Bất kỳ sinh viên nào cũng có thể tham gia bất kỳ sự kiện nào của Chương trình (nghe giảng, tham gia cuộc thi, lời giải bài toán). Xin lưu ý rằng trong nhiều lĩnh vực (các cuộc thi, công việc nghiên cứu, v.v.) có thể tham gia từ xa. Thông tin cập nhật thường xuyên về tất cả các sự kiện của Chương trình được trình bày trên trang web của Viện Cơ học http://www.imec.msu.ru/school Địa chỉ email của chúng tôi: school@imec.msu.ru Địa chỉ gửi thư: 119192 Moscow, Michurinsky Prospekt, 1, Viện Cơ học của Đại học Tổng hợp Moscow, Chương trình giáo dục khoa học về cơ học. Chúng tôi mời tất cả các cá nhân và tổ chức quan tâm tham gia Chương trình của chúng tôi! Ấn phẩm được biên soạn bởi S. Dovbysh, B. Lokshin, M. Salmina

64

KVANT 2010/№1

Gọi K, L, M lần lượt là trung điểm các cạnh BC, DE, FA và P là trung điểm của EI. Sau đó $S_{KLM} > S_{MPB} > S_{ABI} = S_{XYZ}$.

Cả hai bất đẳng thức đều suy ra từ phát biểu hiển nhiên sau: Cho TUVW là hình bình hành, điểm R và đoạn VW nằm đối diện nhau trên đường thẳng TU. Sau đó

Hình 7

$S_{RVW} > S_{RTU}$.

(Bất đẳng thức thứ nhất sử dụng hình bình hành BKLP, bất đẳng thức thứ hai sử dụng AIPM.) Lưu ý. Trong bài toán này có một trường hợp thứ hai khó chịu, không tính đến lời giải đã cho: khi hình lục giác và hình tam giác cho trong điều kiện được định hướng khác nhau (tức là khi đọc các chữ cái - tên của các đỉnh - hình lục giác đi ngang theo chiều kim đồng hồ và hình tam giác - ngược chiều kim đồng hồ). Trong trường hợp này, nếu chúng ta hoàn thành hình tam giác của mình trên một trong các cạnh của hình lục giác, nó sẽ nhô ra! Đây là bản phác thảo lời giải cho trường hợp này. Nó được giảm xuống dạng đầu tiên bằng cách sắp xếp lại hình lục giác (hình8) sau đây. Đây

nhưng ở trên, chúng ta có thể ngăn chặn việc Ali Baba san bằng tất cả các số ở những vị trí đã đánh dấu. Chúng tôi sẽ xây dựng thuật toán chiến thắng của Ali Baba cho $2^{k}$ vị trí theo cách quy nạp. Cơ sở của k = 1 là hiển nhiên. Chúng ta hãy có một thuật toán $A_{m}$ cho m vị trí. Hãy xây dựng $A_{2m}$. Hãy bắt đầu với những trường hợp đặc biệt. Chúng ta hãy chia đường tròn thành m cặp vị trí đối diện và thiết lập sự tương ứng giữa các cặp trong 2 m và các vị trí trong m. 1) Hãy cho chúng tôi biết rằng các số trong mỗi cặp bằng nhau. Hãy áp dụng thuật toán $A_{m}$, thay thế các vị trí theo từng cặp. Rõ ràng là khi ổ khóa mở ở đó thì nó cũng sẽ mở ở đây. 2) Hãy cho chúng tôi biết rằng tính chẵn lẻ của tổng trong mỗi cặp là như nhau. Hãy sử dụng $A_{m}$ cho các cặp. Nếu nó không mở ra thì tất cả số tiền đều là số lẻ. Nhưng bằng cách thay đổi cả hai số của một cặp, chúng ta không làm thay đổi tính chẵn lẻ. Điều này có nghĩa là tất cả số tiền vẫn là số lẻ. Hãy thay đổi m chữ số liên tiếp (hãy gọi thao tác này là D). Bây giờ tất cả các khoản đều là số chẵn. Một lần nữa sử dụng $A_{m}$ cho các cặp, chúng ta sẽ mở khóa. Hãy gọi thuật toán cho trường hợp này là B. 3) Bây giờ áp dụng $A_{m}$ cho các cặp theo một cách khác: mục tiêu là tính tổng theo các cặp có cùng chẵn lẻ. Như trước đây, ở mỗi bước, chúng tôi chọn một bộ cặp theo $A_{m}$, nhưng chúng tôi chỉ thay đổi một chữ số trong mỗi cặp đã chọn. Hãy gọi thuật toán là C. Nó đảm bảo rằng ở một bước nào đó (chúng ta không biết là bước nào) các số chẵn lẻ của các tổng sẽ trùng nhau. Tất nhiên, cánh cửa sẽ không mở. Nhưng chúng ta sẽ gian lận: sau mỗi bước C chúng ta áp dụng B, rồi đến D. Nếu tổng chẵn lẻ trùng nhau thì B sẽ mở cửa, nếu không thì BD sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ của các tổng.

©

SỐ ĐÃ ĐƯỢC CHUẨN BỊ

S.A. Dorichenko, A.A. Egorov, E.M. Epifanov, S.P. Konovalov, A.Yu. Kotova, V.A. Tikhomirova, A.I. Chernoutsan

Hình 8

$AC_{1} = CB, C_{1} D_{1} = EF, BF_{1} = FA, F_{1} E_{1} = DC$. Từ đây dễ dàng suy ra $K_{1} L_{1} = LK, K_{1} M_{1} = MK, L_{1} M_{1} = ML$, tức là tam giác ở giữa không thay đổi. 7. Tại $N = 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Thay các thùng bằng số 0 và số đứng thành vòng tròn. Hãy $N \ne 2^{k}, k = 0, 1, 2,$ … Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nếu gặp xui xẻo, Ali Baba sẽ không bao giờ mở hang. Chúng ta có thể giả định rằng chúng ta đang đấu với Ali Baba, xoay vòng tròn và anh ta cho chúng ta biết trước nơi anh ta sẽ thay đổi các con số trên mỗi nước đi (bao gồm cả nước đi đầu tiên). Đầu tiên chúng ta xét trường hợp N lẻ. Chúng ta hãy đặt các số 0 và 1 trên vòng tròn để Ali Baba không thắng ở nước đi đầu tiên (chúng ta đã biết) (tức là sau nước đi của anh ta sẽ có cả số 0 và số 1 trên vòng tròn). Hãy để Ali Baba chọn k địa điểm nhất định để thay thế ở bước đi tiếp theo. Anh ta sẽ chỉ thắng nếu k vị trí này trùng với tập hợp toàn số 0 hoặc tập hợp toàn số 1. Nhưng số số 0 không bằng số số 1 (tổng các số là số lẻ!). Điều này có nghĩa là không có k số của một số số. Đã đưa một số như vậy đến một trong k địa điểm đã chọn bằng cách rẽ, chúng ta sẽ không để Ali Baba giành chiến thắng ở nước đi tiếp theo. Trường hợp N chẵn nhưng có ước số lẻ m được rút gọn như sau. Hãy đánh dấu m vị trí cách đều nhau trên vòng tròn lớn và quên đi phần còn lại. Hành động như mô tả

SỐ PHÁT HÀNH

D.N.Grishukova, A.E.Patskhveria, V.M.Khlebnikova, P.I.Chernusky

BIÊN TẬP HUYỀN THOẠI

E.V.Morozova

NHÓM MÁY TÍNH

E.A.Mitchenko, L.V.Kalinicheva

Tạp chí «Kvant» được đăng ký với Ủy ban Báo chí Nga. Reg. Số Thánh 0110473

Địa chỉ biên tập: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» Tel.: 930-56-48 E-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, Phys@kvant.info Trang web: kvant.info

In tại OJSC Huân chương Lao động Đỏ “Nhà máy in Chekhov” 142300 Chekhov, khu vực Moscow, Trang web: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Fax: 8(49672) 6-25-36, fax: 8(499) 270-73-00 Bộ phận bán hàng dịch vụ đa kênh: 8(499) 270-73-59