Kvant 2015, số 4 · Trang

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Vẽ một hình tam giác chín cạnh có thể cắt thành ba hình tam giác. P.Kozhevnikov

Một trăm hộp giống hệt nhau được xếp thành một hàng, một hộp chứa một viên kim cương. Trên mỗi hộp có dòng chữ: “Viên kim cương nằm ở hộp bên cạnh”. Người ta biết rằng trong số một trăm dòng chữ có chính xác một dòng là đúng, còn lại là sai. Làm thế nào bạn có thể tìm ra viên kim cương ở đâu chỉ bằng cách mở một chiếc hộp? G. Galperin

Trong một công viên hình tròn có hai đường đi song song được nối với nhau bằng một cây cầu vuông góc với chúng, như minh họa ở hình hình. Một người đi bộ đi theo tuyến đường ABEF và người còn lại đi theo tuyến đường CBED. Con đường của ai dài hơn? G. Galperin

Minh họa của D. Grishukova

Nam tước Munchausen nói: “Có một lần, tôi gặp 15 đứa trẻ và nhận thấy rằng cả ba đứa đều có đúng 10 đồng xu”. Sau đó tôi nhận ra ngay 15 đứa trẻ này có bao nhiêu đồng xu. Bạn có thể trả lời tổng cộng bọn trẻ có bao nhiêu đồng xu không? Có phải Munchausen đã làm sai điều gì không? P.Kozhevnikov

Những bài toán này chủ yếu dành cho học sinh lớp 6–8.

Cho 5 thẻ, các phân số 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 được viết trên đó. Bạn có thể sử dụng một số (hoặc tất cả) thẻ ghi chú, ký hiệu số học và dấu ngoặc đơn. Nhận tất cả các số nguyên từ 0 đến 20 theo cách này. D. Shnol

24

KVANT 2015/№4

Cuộc thi mang tên A.P. Savin

“Toán 6–8”

Chúng tôi đang bắt đầu một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán dành cho học sinh lớp 6–8. Lời giải bài toán gửi trong vòng một tháng sau khi nhận được số tạp chí này đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» hoặc qua email: savin.contest@gmail.com (được đánh dấu là “Cuộc thi “Toán học 6–8”). Hãy nhớ ghi rõ tên, lớp và địa chỉ nhà của bạn. Như trước đây, chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ theo cá nhân học sinh, mà còn bởi các câu lạc bộ toán học. Chúng tôi yêu cầu những người đứng đầu vòng tròn cung cấp địa chỉ email hoặc số điện thoại liên hệ. Theo truyền thống, các câu lạc bộ chiến thắng trong cuộc thi thư từ sẽ được mời tham dự giải đấu trực tiếp cuối cùng.

1. Một lần trong một bài học toán, Tolik Vtulkin viết từ trái sang phải theo thứ tự tăng dần tất cả các số tự nhiên từ 1 đến 11. Ông nhận thấy rằng từ số 2 đến cuối dòng chỉ có 10 số - nhiều hơn chính xác số 2 gấp 5 lần. Và từ số 3 đến cuối dòng chỉ có 9 số - gấp 3 lần chính số 3. Cuối cùng, từ số 4 đến cuối dòng chỉ có 8 số - lớn gấp 2 lần chính số 4. Tolik gọi các số nhân 5, 3, 2 và viết chúng ở dòng thứ hai dưới các số 2, 3, 4:

1

2 3 4 5 6 5 3 2

7 8 9

10 11

Phát triển lý thuyết về số nhân, Tolik đã viết theo thứ tự tăng dần tất cả các số tự nhiên từ 1 đến n, và dưới một số số đó - số nhân của chúng. Ở dòng thứ hai anh ta có các số 11, 9, 7, 5, 4, 3, 2. Tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của n. S. Dvoryaninov

2. Có một bảng ca rô hình vuông có kích thước $2n \times 2n$ ô (n – tự nhiên), trong đó ban đầu tất cả các ô đều có màu trắng. Hãy sơn một số trong số chúng màu đen. Gọi là tô màu tao nhã nếu có chính xác n ô vuông được tô màu theo chiều ngang và chiều dọc (ví dụ, cách tô màu thông thường của một bàn cờ là tô màu tao nhã).

Hãy lấy hai màu sắc trang nhã tùy ý. Petya chắc chắn rằng nếu bạn cho phép hoán đổi bất kỳ hai chiều ngang hoặc bất kỳ hai chiều dọc nào, thì với một số thao tác như vậy, bạn có thể có được chiều thứ hai từ màu đầu tiên. Kolya tin rằng không phải vậy. Với n nào thì Petya đúng, và n nào thì Kolya đúng? I. Akulich

3. Trên mặt phẳng có hai tam giác bằng nhau không có điểm chung (không ở trong cũng như ở các cạnh). Đường thẳng $П_{1}$ chia diện tích của mỗi hình thành một nửa và đường thẳng $П_{2}$ chia chu vi của chúng làm đôi. Các đường $П_{1}$ và $П_{2}$ có thể vuông góc với nhau không? I. Akulich

4. Các em làm 45 thẻ hai mặt, mỗi thẻ có hai số khác nhau được viết trên các mặt khác nhau, mỗi cặp số xuất hiện trên đúng một thẻ. Giáo viên đặt các thẻ này lên bàn. Liệu anh ta có thể làm điều này theo cách mà bọn trẻ có thể xác định được ít nhất một tấm thẻ có số nào được viết ở mặt sau của nó không? I. Bogdanov

5. Chiều cao của hình thang có hai đường chéo vuông góc với nhau là h. Độ dài nhỏ nhất có thể có của đường trung bình của một hình thang như vậy là bao nhiêu? S. Dvoryaninov

Ngựa gỗ và lực ma sát

S. DVORYANINOV

Khi còn nhỏ, BURATINO CÓ RẤT NHIỀU ĐỒ CHƠI và hầu hết đều là đồ tự làm - do Papa Carlo làm. Nhưng anh ấy là một bậc thầy thực sự và tất cả đồ chơi đều đẹp. Pinocchio biết rằng vào sinh nhật sắp tới cậu sẽ nhận được một món đồ chơi mới khác từ Papa Carlo. Và rồi một ngày, bố Carlo nói: “Bố không giấu đâu, bố muốn tặng con một con ngựa!” Với những lời này, anh ta bắt đầu làm việc, và Pinocchio ngồi xuống bên cạnh anh ta và bắt đầu quan sát làm thế nào, từ dưới cái đục, đầu tiên con ngựa xuất hiện, sau đó là một cơ thể duyên dáng và cuối cùng là bốn chân, từ đó có thể thấy ngay đó là một con ngựa vui tươi. “Được rồi,” Papa Carlo nói, “bây giờ chúng ta sẽ đặt con ngựa lên bệ.” “Anh ấy lấy một tấm ván hình chữ nhật phù hợp và gắn tác phẩm của mình lên đó. - Hoan hô! - Buratino kêu lên. - Tôi có một cái mới

26

KVANT 2015/№4

Vòng ngoài của ổ trục lăn trên các quả bóng (hoặc con lăn), lăn trên vòng trong của ổ trục. Đúng là vòng bi thật còn có một bộ phận nữa – nó được gọi là lồng.

Hình 4

• Dấu phân cách? “Tôi biết điều đó,” Buratino được truyền cảm hứng. – Khi tôi ở Malvina’s

vào ngày sinh nhật của mình, cô ấy đã chiêu đãi khách của mình dâu tây và kem. Cô lấy sữa, cho qua máy tách và thu được kem. Máy phân tách tách kem ra khỏi sữa. Tại sao có một dải phân cách trong ổ trục? – Từ “dấu phân cách” có thể được dùng trong nhiều trường hợp khác nhau. Dải phân cách trong ổ bi là một loại lưới ngăn cách một quả bóng (hoặc con lăn) với một quả bóng khác và điều khiển chuyển động của chúng,” Papa Carlo trả lời.

• Bây giờ mọi thứ đã rõ ràng với tôi! - Buratino vui vẻ kêu lên.

Từ tầng này sang tầng khác

I.AKULICH

Ngay khi NHÂN LOẠI BẮT ĐẦU XÂY DỰNG các tòa nhà nhiều tầng, rất nhiều bài toán rất đa dạng về chúng đã xuất hiện. Có lẽ ngoạn mục nhất đã được đề xuất với các bác sĩ pháp y vào năm 1914 bởi Joseph $Швейк^{1}$: “Có một ngôi nhà bốn tầng, mỗi tầng có tám cửa sổ, trên mái có hai cửa sổ ngủ tập thể và hai ống khói, mỗi tầng có hai người ở. Bây giờ, các quý ông hãy nói cho tôi biết, bà của người gác cửa mất vào năm nào? Bài toán gây ấn tượng mạnh, và có lẽ đó là lý do tại sao vẫn chưa có ai giải quyết được. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không xem xét điều đó. bài toán - chúng tôi sẽ giới hạn những điều có thể khắc phục bằng cách sử dụng khóa học toán thông thường ở trường. Ví dụ: khóa học này (tác giả - M. Rolova): Năm người bạn gặp nhau ở tầng một của một tòa nhà lớn gần thang máy. Zhenya nói: “Nếu tính từ đây thì tôi sống cao hơn bạn, Vova, cao hơn Petya ba lần, cao hơn Andrey bốn lần và cao hơn Tanya sáu lần.” “Bạn nhận thấy rất rõ điều này,” Andrey trả lời, “và bạn, Petya, hãy đập quả tạ của bạn qua đầu tôi một cách nhẹ nhàng hơn.” Andrey sống ở tầng mấy? Hãy ước tính xem Zhenya đầu tiên có thể sống được bao nhiêu tầng. Con số này (tất nhiên là tự nhiên) phải đồng thời chia hết cho 2, 3, 4 và 6, và do đó chia hết cho bội số chung nhỏ nhất của chúng, bằng 12. Do đó, số tầng mà Zhenya sống có thể được viết là 12k + 1, trong đó k là một số tự nhiên. Từ đây dễ dàng nhận thấy Vova sống ở tầng (6k + 1), Petya sống ở tầng (4k + 1), Andrey sống ở tầng (3k + 1), và Tanya sống ở tầng (2k + 1). Bằng cách nào đó có rất nhiều khả năng xảy ra, nhưng những quả tạ được đề cập trong tình trạng này sẽ được giải cứu ở đây. Nó xuất phát từ điều kiện Petya sống ngay phía trên Andrey - tức là cao hơn 1 tầng. Và vì (4k + 1) – – (3k + 1) = k, nên k = 1. Vậy Zhenya sống ở tầng 13, Vova – ở tầng 7, Petya – ở tầng 5, Andrey – ở tầng 4 và Tanya – ở tầng 3. Trong bài toán tiếp theo, thang máy không chỉ được nhắc đến mà còn được sử dụng tích cực (tác giả - A. Spivak):

1 Jaroslav Hasek. “Những cuộc phiêu lưu của người lính tốt Schweik trong Thế chiến.” Phần một, chương III.

Thang máy của tòa nhà 100 tầng bị hư hỏng. Nó có thể tăng 79 tầng khi bạn nhấn một nút hoặc giảm 21 tầng khi bạn nhấn nút khác. Khi có ít hơn 79 tầng phía trên, thang máy sẽ không đi lên và tương tự - đi xuống. Thang máy khởi hành từ tầng một. Hỏi số lần nhấn nút ít nhất để thang máy quay trở lại tầng một là bao nhiêu? Hãy ước tính số lần nhấp chuột từ bên dưới. Giả sử chúng ta phải nhấn nút để lên 79 tầng m lần và nhấn nút để xuống 21 tầng n lần. Tổng cộng, thang máy đã tăng từ vị trí ban đầu lên 79m - 21n tầng. Nhưng cuối cùng thang máy lại quay trở lại tầng 1 cũ! Do đó 79m – 21n = 0, và 79m = 21n. Vì các số 79 và 21 tương đối nguyên tố nên m chia hết cho 21 và n chia hết cho 79. Do đó, tổng của chúng ít nhất là 79 + + 21 = 100. Điều này có nghĩa là nút này phải được nhấn ít nhất 100 lần. Do 79 + 21 = 100 nên không có tầng nào mà bạn có thể đến cả từ trên và từ dưới, và không có tầng nào mà bạn có thể đi từ cả trên và dưới. Điều này có nghĩa là bất kể chúng ta đang ở tầng nào, chúng ta có thể nói chính xác tầng nào là tầng trước và tầng nào sẽ là tầng tiếp theo. Do đó, đối với hành khách, bài toán được giải quyết tự động và thậm chí không cần phải theo dõi thang máy đã đi đến tầng nào sau lần nhấn tiếp theo. Tất cả những gì bạn cần làm là nhấn ngẫu nhiên các nút (chính xác một trong hai nút sẽ hoạt động mọi lúc) và đếm số lần chuyển động. Chúng tôi sẽ chứng minh rằng sau chuyển động thứ một trăm bạn có thể ra ngoài - mục tiêu sẽ đạt được. Chúng tôi lập luận bằng phương pháp “bằng mâu thuẫn”. Giả sử điều ngược lại - rằng, khi bắt đầu từ tầng 1 và hoàn thành 100 nước đi, cuối cùng chúng ta không ở tầng 1. Chúng ta đã chứng minh rằng chúng ta không thể kết thúc ở tầng 1 trước lần di chuyển thứ 100, vì vậy trong số các tầng mà thang máy đi qua sau mỗi lần di chuyển trong số hàng trăm lần di chuyển, không có tầng 1. Nhưng sau đó thang máy đã ghé thăm một trong những tầng còn lại ít nhất hai lần (chỉ có 99 tầng và còn nhiều chuyển động hơn!). Chúng ta hãy chọn thời điểm thang máy lần đầu tiên vào lại một tầng nhất định. Tầng trước đó mà thang máy đến được xác định duy nhất, có nghĩa là thang máy đã ghé thăm nó hai lần. Đó là một điều mâu thuẫn – xét cho cùng, chúng ta đã chọn thời điểm lần đầu tiên xảy ra cú đánh thứ hai. Vì vậy giả định

27

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

là sai và sau lần di chuyển thứ 100 thì thang máy sẽ ở đúng tầng 1, đây là điều cần chứng minh. Theo lập luận của chúng tôi, rõ ràng là trong quá trình di chuyển đến một mục tiêu nhất định (tức là vị trí ban đầu), thang máy sẽ đi qua tất cả các tầng của ngôi nhà. Nhân tiện, điều này cho phép chúng tôi kết luận rằng bất kể tầng ban đầu là gì, bạn có thể quay lại vị trí cũ sau đúng 100 lần di chuyển thang máy. Ngoài các tầng, vấn đề của các tòa nhà nhiều tầng còn liên quan đến lối vào và các căn hộ. Trong trường hợp này, theo mặc định, giả định rằng các tầng được đánh số từ dưới lên trên, bắt đầu từ $единицы.^{2}$ Các lối vào cũng được đánh số theo thứ tự. Tất cả các tầng (trừ khi có quy định cụ thể khác trong văn bản) theo mặc định được coi là được bố trí giống hệt nhau (với cùng số lượng căn hộ trên tầng) và các căn hộ được đánh số theo hàng, bắt đầu từ dãy đầu tiên: đầu tiên ở lối vào đầu tiên ở tầng một, sau đó ở tầng hai, tầng ba, v.v. cho đến tầng cuối cùng, sau đó việc đánh số tiếp tục từ tầng một của lối vào thứ hai trở lên… Tuy nhiên, tất cả chúng ta đều biết rõ điều này từ chính mình: xét cho cùng, nhiều người trong chúng ta sống trong các tòa nhà cao tầng! Chính sơ đồ được chấp nhận chung theo tiêu chuẩn này cho phép bạn không đề cập đến các chi tiết không cần thiết, cho phép bạn làm cho điều kiện trở nên gọn gàng hơn. Ví dụ: Học sinh lớp bảy Petya chuyển đến một ngôi nhà năm tầng mới, tầng 1 và tầng 2 ở lối vào thứ 2 và thứ 3 là một nhà kho. Không có quá bốn căn hộ trên mỗi lần hạ cánh. Số căn hộ của Petya là 31. Petya sống ở tầng mấy? Bài toán được phát minh vào những năm 70 của thế kỷ trước, khi những ngôi nhà như vậy được xây ở bên phải và $налево.^{3}$ Nhưng vấn đề không phải ở đó. Những từ “…không quá bốn căn hộ” gây nhầm lẫn. Chính xác là bao nhiêu? Không rõ. Bạn không thể làm gì được, bạn sẽ phải xem xét tất cả các lựa chọn. Chà, chúng ta hãy vẽ sơ đồ của một tòa nhà năm tầng và sắp xếp số căn hộ trong đó, đồng thời “chiếm giữ” căn hộ thứ 31 - xét cho cùng, những gì tiếp theo không khiến chúng ta quan tâm (chúng ta sẽ chỉ sơn màu đen lên những không gian bị chiếm giữ bởi nhà kho xấu số và bỏ qua việc đánh số). Vì vậy, nếu có một căn hộ ở mỗi tầng thì tất cả sẽ như thế này:

2 Ở nước ngoài ở một số nước - từ đầu, nhưng chúng tôi là như vậy

không có khả năng nào để xem xét $будем.^{3}$ Không có gì đáng ngạc nhiên: theo quy chuẩn xây dựng, những ngôi nhà không cao hơn năm tầng không cần thang máy - một khoản tiết kiệm rõ ràng!

TRẺ EM HỌC SINH

Như bạn có thể thấy, nếu có một căn hộ ở mỗi tầng thì căn hộ thứ 31 nằm trên tầng 5. Và nếu có 2, 3 hoặc 4 căn hộ thì tương ứng ta có:

Điều đáng ngạc nhiên nhưng lại là sự thật: trong mọi trường hợp, căn hộ 31 đều nằm trên tầng 5. Vì vậy, đáp số là rõ ràng, mặc dù có một số điều kiện mơ hồ. Cái gì, bạn không thích việc sử dụng vũ lực? Tất nhiên, phương pháp này không hấp dẫn lắm, nhưng cũng không tệ hơn những phương pháp khác. Tuy nhiên, nó không phải lúc nào cũng được yêu cầu. Ví dụ: bài toán này (tác giả - A. Kovaldzhi): Sasha mời Petya đến thăm, nói rằng anh ấy sống ở lối vào thứ 10 trong căn hộ 333, nhưng quên nói tầng. Đến gần ngôi nhà, Petya phát hiện ra ngôi nhà cao chín tầng. Anh ta nên lên tầng nào? Chìa khóa của lời giải là ước tính số lượng căn hộ có thể có trên mỗi tầng. Nếu không có quá ba căn hộ trên một tầng thì tổng cộng không có nhiều hơn $3 \cdot 9 \cdot 10 = 270$ trong mười lối vào, tức là sẽ không có căn hộ 330 ở lối vào thứ 10. Nếu có ít nhất năm căn hộ thì trong chín lối vào đầu tiên sẽ có ít nhất $5 \cdot 9 \cdot 9 = 405$ căn hộ, như vậy căn hộ thứ 333 lại không lọt vào lối vào thứ 10. Điều này có nghĩa là không có lối thoát - có 4 căn hộ trên mỗi tầng. Sau đó, ở chín lối vào đầu tiên có 4 ◊ 9 ◊ 9 = 324 căn hộ, và ở lối vào thứ 10, số căn hộ bắt đầu từ 325. Và từ đây người ta xác định đơn giản rằng Petya cần phải lên tầng ba. Nhưng đây là bài toán, cho lời giải mà điều chính là chọn cách tiếp cận phù hợp (tác giả - A. Khamitdulin): Kolya và Vitya sống cùng một nhà. Có bốn căn hộ trên mỗi tầng ở tất cả các lối vào tòa nhà của họ. Kolya sống trên tầng năm trong căn hộ số 83, và Vitya sống trên tầng ba trong căn hộ số 169. Ngôi nhà của họ có bao nhiêu tầng? Cho nhà có tầng E. Hãy để chúng tôi biểu thị số lối vào từ lối vào đầu tiên đến lối vào nơi Kolya sống (không tính lối vào nơi anh ấy sống) là K. Khi đó trong tất cả các lối vào trước đây của Kolya chỉ có căn hộ 4EK. Hãy thêm vào đây các căn hộ ở lối vào của Kolya và bao gồm cả căn hộ riêng của Kolya. Chỉ có $4 \cdot 4 = 16$ căn hộ ở bốn tầng bên dưới. Ở trên sàn nhà Kolya bao lâu? Không khó để nhận ra rằng số căn hộ lớn nhất trên mỗi tầng chia hết cho 4. Vì vậy, hầu hết

28

KVANT 2015/№4

số lượng căn hộ lớn hơn ở tầng 4 trước đó là 80, vì vậy tầng của Colin có thêm 3 căn hộ nữa. Tổng cộng chúng ta nhận được: 4EK + 16 + 3 = 83, từ đó EK = 16. Đã chỉ định cho Viti số lượng lối vào tương tự thông qua B, sử dụng lý luận tương tự, chúng ta nhận được: 4EV + 8 + 1 = 169, từ đó EV = 40. Vì vậy, giá trị mong muốn của E là ước số của các số 16 và 40. Chúng có bốn ước số chung: 1, 2, 4 và 8. Nhưng vì Kolya sống ở tầng 5 thì E chắc chắn không nhỏ hơn 5. Do đó, khả năng duy nhất còn lại là: E = 8, tức là nhà có 8 tầng. Cả một nhóm tác giả đã làm việc để tạo ra bài toán tiếp theo (T. Golenishcheva-Kutuzova, V. Gurovits, P. Kozhevnikov, I. Yashchenko): Không có đủ không gian để xây một ngôi nhà tiêu chuẩn. Kiến trúc sư đã thay đổi dự án: bỏ 2 lối vào và thêm 3 tầng. Đồng thời, số lượng căn hộ ngày càng tăng. Ông rất vui mừng và quyết định dỡ bỏ thêm 2 lối vào và xây thêm 3 tầng nữa. Có thể có ít căn hộ hơn dự án tiêu chuẩn? Vâng, giả sử theo thiết kế ban đầu, tòa nhà có lối vào P, tầng E và K căn hộ trên mỗi địa điểm. Sau đó có hai câu lệnh theo sau điều kiện: ( P $- 2 ) \cdot ($ E $+ 3 ) \cdot$ K > PEC,

( P $- 4 ) \cdot ($ E $+ 6 ) \cdot$ K < PEC. Từ bất đẳng thức thứ nhất 3P – 2E > 6 và từ bất đẳng thức thứ hai 3P – 2E < 12. Vì vậy, vẫn chọn các giá trị (nếu có thể) của P và E sao cho 6 < 3P – 2E < 12. Điều này không khó - ví dụ: P = 5 và E = 4, vì vậy nếu trong dự án ban đầu có 5 lối vào và 4 tầng,

thì tình huống được mô tả có thể xảy ra. Đồng thời, số lượng căn hộ trên khu vực hoàn toàn không đóng vai trò gì vì nó bị giảm đi trong quá trình chuyển đổi. Chúng tôi hy vọng người đọc sẽ cảm nhận được lời giải được trình bày bài toán. Đã đến lúc cung cấp một vài bài toán tương tự cho một lời giải độc lập. Đúng, chúng có một đặc điểm: để người đọc hài lòng hơn, một cái bẫy nhỏ được chèn vào mỗi bài toán, điều này có thể dẫn đến một dấu vết sai. Vì vậy hãy cẩn thận! Đầu tiên là bài toán. Cư dân của tất cả các căn hộ đối diện với cùng một tầng đã quyết định gắn số mới lên cửa và liên hệ với hợp tác xã với yêu cầu sản xuất 7 chữ số cần thiết cho việc này. Hóa ra những người hợp tác tính phí sản xuất mỗi chữ số bằng giá trị của chữ số này (ví dụ: hai số được sản xuất với giá 2 rúp mỗi chữ số và số 0 nói chung là miễn phí). Người dân đã thu được 3 rúp từ mỗi căn hộ và thế là đủ đối với họ. Có bao nhiêu và số nào đã được đặt hàng? Thứ hai bài toán. 17 học sinh đã tập trung tại thang máy ở tầng 1 của tòa nhà 18 tầng và cần đi lên, tất cả đều lên các tầng khác nhau. Người điều hành thang máy đồng ý chỉ thực hiện một chuyến bay lên bất kỳ tầng nào, sau đó cho họ đi bộ (thang máy đủ rộng và có thể chứa tất cả mọi người). Người ta biết rằng tất cả học sinh đi xuống một tầng với tâm trạng khó chịu như nhau và đi lên một tầng với tâm trạng khó chịu gấp đôi. Họ nên chọn tầng nào để ít bất mãn nhất?

Giải đấu toán học XXI mang tên A.P. Savin

Từ ngày 26 tháng 6 đến ngày 2 tháng 7 năm 2015, giải đấu toán học thường niên được tổ chức tại trung tâm giải trí Berendeyev Polyany (Sudislavl, vùng Kostroma). Ngày và địa điểm của giải đấu từ lâu đã trở thành truyền thống. Giải đấu vừa qua quy tụ 36 đội học sinh tốt nghiệp lớp 5–9 đến từ Moscow, St. Petersburg, Izhevsk, Lãnh thổ Lena (Cộng hòa Sakha) và Yaroslavl. Vào ngày khai mạc giải đấu, trò chơi khởi động “Hình vuông toán học” được tổ chức và ngày hôm sau đội thi hùng biện Olympic được tổ chức. Dựa trên kết quả của nó và có tính đến độ tuổi của học sinh, những người tham gia được chia thành sáu giải đấu cho các trận chiến toán học: giải cao nhất và giải nhất gồm 6 lớp, giải 7, 8 và 9 lớp, cũng như giải 7–8 lớp. Lần đầu tiên sau nhiều năm, chỉ có các đội đến từ Moscow nằm trong số những đội vô địch giải đấu: ở giải đấu hàng đầu 6 - các đội từ FMS 2007 (do N. Volkova đứng đầu) và nhà thi đấu 1514 (do L. Bychkova đứng đầu), ở giải đầu tiên 6 - một đội khác từ nhà thi đấu 1514 (do D. Shainskaya đứng đầu), ở giải 7 - một đội từ trường 9 (do K. Skoptsov đứng đầu), ở giải 8 và 7–8 - đội thể dục 1543 (thủ lĩnh - O. Orel và A. Zaslavsky), ở giải 9 - đội FMS 2007 (thủ lĩnh - E. Lysenok). Là một phần của giải đấu, một cuộc thi Olympic miệng cá nhân cũng được tổ chức song song theo truyền thống. Đơn vị tổ chức chính của giải đấu là “Quỹ Giáo dục và Khai sáng Toán học” và Chương trình Giáo dục

“Thay đổi lớn” (trưởng ban tổ chức – S.I. Komarov). Việc lựa chọn bài toán và tổng hợp các phương án được thực hiện bởi một ủy ban về phương pháp luận. Năm nay, các thành viên của nó bao gồm E. Akopyan, M. Artemyev, V. Arutyunov, E. Bakaev, A. Bannikova, A. Blinkov (chủ tịch), Y. Blinkov, E. Gorskaya, A. Zaslavsky, O. Zaslavsky, Y. Kotelnikova, N. Nakonechny, I. Raskina, A. Khachaturyan, P. Chulkov, A. Yurkov. Ban giám khảo của giải đấu bao gồm tất cả các lãnh đạo đội tuyển của trường quan tâm. Dưới đây là một số giải đấu bài toán (trong ngoặc đơn sau số bài toán cho biết nó được cung cấp cho hạng nào).

NHIỆM VỤ CHỌN

1 (6–7). Trên mỗi ô vuông của bàn cờ có một người lùn - kẻ nói dối hoặc hiệp sĩ (kẻ nói dối luôn nói dối, hiệp sĩ luôn nói sự thật). Những người hàng xóm được coi là thần lùn trong các phòng giam có chung một mặt. Số người lùn lớn nhất trên bàn cờ có thể nói câu “Trong số những người hàng xóm của tôi, có nhiều kẻ nói dối hơn hiệp sĩ”? A. Shapovalov

2 (7). Khóa học hè kéo dài 11 ngày. 10% số người tham gia cho muỗi ăn mỗi ngày. Đối với bất kỳ

Sau đó hãy xem: tia sáng có giữ được độ thẳng như ở bên ngoài khi đi qua vùng nước được bao bọc giữa các bình hay không? Leonardo da Vinci

Descartes uyên bác nhất đã đề xuất định luật khúc xạ, định luật được cho là phù hợp với kinh nghiệm… Pierre Fermat

…ý tưởng về mối liên hệ sâu sắc giữa hai nguyên lý lớn của Quang học Hình học và Động lực học có thể trở thành một hướng dẫn có giá trị cho việc thực hiện tổng hợp sóng và lượng tử. Louis de Broglie

…có một giới hạn nhất định mà vượt quá giới hạn đó thì bất kỳ sự giải thích rõ ràng nào đều vô nghĩa, bởi vì phép tính gần đúng quang học hình học ngừng hoạt động! Richard Feynman

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

quang học và hình học

Các định luật truyền thẳng và phản xạ ánh sáng, đã được thảo luận trong số trước của Kính vạn hoa, thực tế đã được biết đến từ thời cổ đại. Sau đó, chúng được kiểm tra và xác nhận nhiều lần cả trong thí nghiệm và tính toán. Nhưng lịch sử tìm kiếm định luật khúc xạ ánh sáng hóa ra lại dài hơn và kịch tính hơn rất nhiều. Nếu các nhà vật lý đôi khi thiếu những cân nhắc hình học trong kết luận của họ, thì các nhà toán học thường chỉ tập trung vào khía cạnh hình thức của vấn đề mà không chú ý đến tính không chắc chắn về mặt vật lý của các khái niệm mà họ đưa ra. Chuyện xảy ra là khi tranh luận với nhau, các nhà khoa học đã chứng minh được điều mà họ hy vọng có thể bác bỏ. Tuy nhiên, sự tương tác của các ngành khoa học trong những tranh chấp này đã mang lại những kết quả rất hữu hình. Do đó, nguyên lý quang học do Pierre Fermat thiết lập vào thế kỷ 17 đã dẫn tới sự phát triển của phương pháp lời giải cực trị bài toán; trên thực tế, mọi sự phát triển tiếp theo của quang học tia - hình học và việc xây dựng quang học sóng đều dựa trên nó. Thành tựu của Fermat đã trở thành nền tảng của cả một nhóm nguyên lý được gọi là nguyên lý biến phân trong vật lý. Thế kỷ 20 đã mang lại những kết quả thực tế không kém phần đáng kinh ngạc. Các đặc tính được tiên đoán và sau đó được khám phá của các phương tiện quang học mới—siêu vật liệu—đã buộc nhiều ý tưởng truyền thống phải thay đổi. Ngày nay, các nhà vật lý, kỹ sư và nhà toán học, trong sự hợp tác sáng tạo, tạo ra, bằng cách vận dụng các đặc tính này, quang học mới cho vi điện tử, thiết bị máy tính, thông tin liên lạc, phim, nhiếp ảnh và thiết bị video. Hãy thử trang bị cho mình những “công cụ quang học” để kết nối với công việc thú vị này nhé.

Câu hỏi và bài toán

1. Hai người quan sát đồng thời xác định bằng mắt độ cao của mặt trời so với đường chân trời. Một trong số chúng nằm trên bờ sông, cái còn lại ở dưới nước. Đối với ai trong số họ mặt trời sẽ xuất hiện cao hơn? 2. Nếu một chùm ánh sáng hẹp, chẳng hạn như từ tia laser, chiếu vào một bình chứa nước có ném vài miếng đường vào (không khuấy), nó sẽ bị uốn cong. Tại sao? 3. Một thi thể nhỏ được đặt dưới đáy một bình chứa nước và được đậy bằng một cái phễu, cổ phễu được bịt lại bằng một ngón tay. Tại sao cơ thể không nhìn thấy được khi nhìn từ trên xuống nhưng lại hiện rõ khi nước đi vào phễu? 4. Hai bán cầu đồng tâm được làm bằng thủy tinh có chiết suất khác nhau và nằm ở vị trí như hình hình 1. Vẽ đường đi tiếp theo của tia AB nếu tỉ số bán kính của các quả cầu bằng tỉ số chiết suất của chúng. 5. Làm thế nào để dựng một vật $изображение_{Рис.} 1$ trong một tấm phẳng song song có chiết suất bằng –1? 6. Mặt cắt ngang của lăng kính thủy tinh có dạng tam giác cân. Một trong những mặt bằng nhau được mạ bạc. Một tia sáng rơi bình thường lên mặt kia, không tráng bạc và sau hai phản xạ, đi ra qua đáy lăng kính vuông góc với nó. Tìm các góc của lăng kính. 7. hình 2 thể hiện vị trí các tiêu điểm của một thấu kính mỏng và đường đi của chùm tia sau khi đi qua nó. Hãy dựng đường đi của tia này tới thấu kính.

Hình 2

Hình 3

8. Một tia sáng đi qua điểm A, bị khúc xạ ở thấu kính và đi qua điểm B, như hình vẽ hình 3. Khôi phục đường đi của tia sáng. 9. Hãy chỉ ra bằng cách xây dựng tia AB, như ở hình 4, sẽ truyền sau thấu kính như thế nào. 10. hình 5 hiển thị vị trí của các điểm sáng A và B so với trục quang chính

Hình 4

Hình 5

thấu kính. Màn hình nên được đặt ở đâu và như thế nào để có thể đồng thời thu được hình ảnh rõ nét của cả hai điểm trên màn hình? 11. Tâm của hình vuông ABCD có cạnh F nằm trên trục quang chính của một thấu kính hội tụ có tiêu cự F cách nó một khoảng 2F. Các cạnh AB và CD song song với trục. Xây dựng hình ảnh của một hình vuông. 12. Một thấu kính phân kỳ với sự sắp xếp đã biết của các mặt phẳng tiêu cự đã được cưa theo đường kính của nó. Hai nửa được di chuyển theo chiều dọc một khoảng ngắn. Dựng ảnh điểm S nằm trên trục đối xứng của hệ. 13. Hệ thống quang học cho ảnh thật của vật. Bằng cách xây dựng, có thể tìm được vị trí của thấu kính phân kỳ mà tại đó ảnh vẫn giữ nguyên và lớn hơn ba lần không?

Hình 6

Thí nghiệm vi mô Hãy cho một cây bút chì nhúng thẳng đứng vào một cốc nước hình trụ bằng thủy tinh có hình dạng như hình hình 6. Giải thích hiện tượng.

Điều tò mò là… …sự khúc xạ ánh sáng lần đầu tiên được mô tả chi tiết bởi nhà khoa học Hy Lạp cổ đại Cleomedes vào thế kỷ thứ nhất sau Công nguyên. Ông biết về sự thay đổi góc khi một chùm tia truyền từ môi trường đậm đặc hơn sang môi trường kém đậm đặc hơn và quay trở lại. …Thí nghiệm của Ptolemy vào thế kỷ thứ 2 sau Công nguyên nhằm xác định độ khúc xạ của ánh sáng khi truyền từ không khí sang nước, từ không khí sang thủy tinh và từ nước sang thủy tinh là một trong những ví dụ cực kỳ hiếm hoi khi các nhà khoa học cổ đại không hài lòng với việc chỉ quan sát mà phải dùng đến các thí nghiệm. …mặc dù vào thời điểm Kepler’s Dioptrics được xuất bản vào năm 1611, định luật khúc xạ ánh sáng vẫn chưa được xây dựng chính xác, tác giả của tác phẩm này đã có thể mô tả các tính chất của nhiều thấu kính khác nhau. Lần đầu tiên, người ta giải thích cách xây dựng một hình ảnh bằng cách sử dụng đường đi của hai tia sáng và tìm giao điểm của các tia này hoặc phần mở rộng của chúng. …trong các bài báo của nhà toán học người Hà Lan Snell, người qua đời năm 1626, người ta đã tìm thấy một chuyên luận về quang học chứa đựng công thức của định luật khúc xạ ánh sáng. Ấn phẩm in đầu tiên của định luật này dưới dạng hiện đại xuất hiện vào năm 1637 bởi nhà khoa học người Pháp René Descartes. Nhà toán học người Pháp Pierre Fermat đã giảm bài toán tìm định luật xuống lời giải một bài toán hình học thuần túy bài toán. Tuy nhiên, một cách rút ra định luật đơn giản hơn nhiều, sử dụng nguyên lý do Fermat đưa ra, đã được đưa ra bởi tác giả của lý thuyết sóng của ánh sáng, Christian Huygens. …sự phức tạp trong các phép tính của Fermat hóa ra có liên quan đến sự thiếu vắng vào thời điểm đó một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất - đạo hàm. Đạo hàm của định luật Snell dựa trên ứng dụng của chúng, được đưa vào sách giáo khoa cổ điển, được nhà khoa học kiệt xuất người Đức Leibniz tìm ra vào năm 1684. …ngay sau khi phát hiện ra định luật khúc xạ ánh sáng, người ta đã nỗ lực thực hiện các tính toán chi tiết về hệ thấu kính. Do đó, Bonaventura Cavalieri người Ý đã phát hiện ra vào năm 1647 sự phụ thuộc của tiêu cự của thấu kính vào độ cong của các bề mặt giới hạn nó. Vị trí của ảnh trong thấu kính mỏng cho một vị trí tùy ý của một vật được tìm ra về mặt hình học vào năm 1669 bởi thầy của Newton là Isaac Barrow. Và vào năm 1693, nhà nghiên cứu người Anh Edmund Halley đã thu được công thức đại số cho một thấu kính mỏng. …ngay cả Leonardo da Vinci, trong cuốn “Mật mã về mắt”, đã đưa ra ý tưởng về kính áp tròng. Chỉ đến thế kỷ 18, một trong những người sáng tạo ra quang học sóng, Thomas Young, mới có thể áp dụng nó vào thực tế. Ông bôi một lớp gel trong suốt lên mắt của nhà thiên văn học người Anh John Herschel, điều này cho phép ông loại bỏ khiếm khuyết thị lực của mình. …sự phát triển của quang học hình học được đóng góp bởi các nhà toán học xuất sắc như Leonhard Euler, người vào năm 1766 đã tìm ra mối liên hệ giữa chiết suất của chất trong lăng kính, góc khúc xạ của nó và sự lệch của tia sáng khi nó truyền qua, và Carl Gauss, người đã phát triển lý thuyết về ảnh trong các tia sáng đồng trục - các chùm mỏng hơi lệch khỏi trục quang của hệ. …tiến bộ đạt được trong khoa học vật liệu và dẫn đến sự xuất hiện của môi trường có khúc xạ ánh sáng âm giúp tạo ra cái gọi là siêu lăng kính, có khả năng tạo ra hình ảnh của các chi tiết nhỏ hơn bước sóng của ánh sáng được sử dụng, điều này là không thể đối với thấu kính có khúc xạ dương. …không giống như thấu kính hội tụ thông thường, trong thấu kính hấp dẫn được tạo thành bởi các vật thể không gian có khối lượng lớn, các tia đi gần trục quan sát sẽ bị khúc xạ mạnh hơn, tức là tới tâm thu hút. Gần đây, một thiên hà nằm trong đường bức xạ phát ra từ vật chất xung quanh lỗ đen đã khuếch đại bức xạ này, biến nó thành bốn nguồn. Phân tích của họ giúp có thể đo được tốc độ quay của một lỗ đen cách xa sáu tỷ năm ánh sáng.

Những gì cần đọc trong «Kvant» về khúc xạ ánh sáng (các ấn phẩm những năm gần đây)

1. “Ống kính” Zero - 2009, Số 3, trang 41, 2. “Thước phóng đại” – 2010, Số 5, trang 42, 3. “Quang học của bóng đèn” – 2011, Số 1, trang 38, 4. “Ánh sáng trong môi trường không đồng nhất” – 2011, Số 4, trang 43; 5. “Lời giải bài toán cho thấu kính mỏng” – 2011, Số 5–6, trang 41; “Kính vạn hoa vật lý. Số 3” – 2012, Phụ lục số 3, trang 112, 7. “Hình học của tia sáng” – 2013, Số 1, trang 55, 8. “Bộ cộng hưởng Laser” – 2013, số 2, trang 2.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

44

KVANT 2015/№4

cả hai hướng cho đến khi chúng giao nhau với đường tròn, thu được hai đoạn mới nằm bên ngoài đa giác. Sau đó, một số đoạn kết quả 2N có màu đỏ và phần còn lại có màu xanh lam. Chứng minh rằng bạn có thể tô màu các đoạn này sao cho tổng độ dài các đoạn màu đỏ bằng tổng độ dài các đoạn màu xanh. Văn học dân gian, do G. Galperin đề xuất

7. (10) Hoàng đế mời 2015 pháp sư thiện ác đến dự lễ, trong khi pháp sư biết ai thiện ai ác, nhưng hoàng đế thì không. Một phù thủy tốt luôn nói sự thật, còn một phù thủy xấu xa thì nói bất cứ điều gì. Tại lễ hội, hoàng đế hỏi mỗi phù thủy một câu hỏi theo bất kỳ thứ tự nào anh ta muốn (yêu cầu đáp số “có” hoặc “không”) và lắng nghe đáp số, và sau cùng, đáp số anh ta trục xuất một người. Thầy phù thủy đi ra ngoài qua cánh cửa phù phép, và hoàng đế biết được liệu anh ta là thiện hay ác. Sau đó, hoàng đế lại hỏi mỗi pháp sư còn lại một câu hỏi, lại trục xuất một người, v.v., cho đến khi hoàng đế quyết định dừng lại (điều này có thể thực hiện được sau bất kỳ đáp số nào, và sau khi dừng lại, không ai có thể bị trục xuất). Chứng minh rằng hoàng đế có thể trục xuất tất cả các phù thủy độc ác trong khi loại bỏ không quá một phù thủy tốt. I. Mitrofanov

lớp 10–11

1. a) (2) Xem bài toán 3,a dành cho lớp 8–9. b) (3) Xem bài toán 3,b dành cho lớp 8–9.

2 (5). Xem bài toán M2391 “Bài toán Kvant”.

3. a) (2) Xem bài toán M2392,a “Bài toán Kvant. b) (6) Xem bài toán M2392,b “Bài toán Kvant.

4 (8). Xem bài toán 6 cho lớp 8–9.

5 (10). Có hai đa thức có hệ số nguyên sao cho mỗi đa thức có hệ số có mô đun lớn hơn 2015, nhưng đồng thời tích của chúng có mô đun của tất cả các hệ số không lớn hơn 1? A. Kanel-Belov

6 (10). Xem bài toán M2394 “Bài toán Kvant”.

7 (10). Xem bài toán M2395 “Bài toán Kvant”.

TOUR NÓI DÀNH CHO LỚP 11

1. Xem bài toán M2390 “Bài toán Kvant”.

2. Các tam giác ABC và ADE có E nằm trên tia AB và D nằm trên tia AC. Hóa ra các đường phân giác BX và DY của các tam giác này vuông góc với nhau. Chứng minh rằng XY song song với EC. V.Mokin 3. Ban đầu, các công ty $2^{n}$ có trụ sở tại trung tâm thương mại, mỗi công ty chiếm một khu vực nhất định, tất cả các khu vực đều khác nhau. Mỗi năm, các công ty được ghép đôi và trong mỗi cặp, công ty có quy mô nhỏ hơn sẽ gia nhập công ty với công ty lớn hơn. Hơn nữa, không bao giờ có hai công ty có cùng khu vực. Sau n năm chỉ còn lại một công ty. Diện tích nhỏ nhất (tính từ nhỏ nhất đến lớn nhất) mà công ty này có thể chiếm được lúc đầu là bao nhiêu? B. Frenkin 4. Xem bài toán M2393 “Bài toán Kvant.

3. 3 quả bóng giống nhau được đặt vào một hộp hình lập phương. Chứng minh rằng có thể đặt 4 quả bóng giống hệt nhau vào cùng một ô trống. M. Evdokimov 6. Hai cung thể thao tuyển sinh học sinh vào các khu vực. Mỗi phần của cung thứ nhất có không ít hơn n con, và mỗi phần của cung thứ hai có không ít hơn k con. Hóa ra là mỗi học sinh đều tham dự cùng số tiết học ở cung thứ nhất cũng như ở cung thứ hai. Ngoài ra, bất kỳ hai khu vực nào của các cung điện khác nhau đều có nhiều nhất một học sinh chung. Chứng minh rằng có ít nhất nk đứa trẻ được vào cung thứ nhất. N. Vereshchagin, A. Romashchenko Ấn phẩm được biên soạn bởi I. Bogdanov, S. Dorichenko, L. Mednikov, I. Rubanov, A. Semenov, B. Frenkin, A. Shapovalov

Đã chọn bài toán LXXVIII Olympic Toán Moscow

1 (lớp 6). Yura vẽ một hình chữ nhật (theo hình vuông) trên giấy ca rô và vẽ một bức tranh lên đó. Sau đó, anh ấy vẽ một khung rộng một ô xung quanh bức tranh (xem hình). Thì ra diện tích của bức tranh bằng diện tích của khung hình. Bức tranh của Yurina có thể có những kích thước nào? (Liệt kê tất cả các phương án và chứng minh rằng không có phương án nào khác.) T. Golenishcheva-Kutuzova

2 (lớp 7). Có một bộ gồm hai thẻ: 1 và 2. Trong một thao tác, bạn có thể tạo biểu thức bằng cách sử dụng các số trên thẻ, phép tính số học và dấu ngoặc đơn. Nếu giá trị của nó là số nguyên không âm thì nó sẽ được cấp trên thẻ mới.

(Ví dụ: có quân bài 3, 5, 7, bạn có thể ghép biểu thức 7 5 /3 lấy thẻ 25, hoặc ghép biểu thức 3 5 lấy thẻ 35.) Cách lấy thẻ có số 2015: a) thực hiện 4 thao tác; b) cho 3 thao tác? I. Yashchenko

3 (lớp 7). Petya viết 25 số vào các ô của hình vuông $5 \times 5$. Được biết, tổng của chúng là 500. Vasya có thể yêu cầu anh ta gọi tên tổng của các số trong bất kỳ ô nào và tất cả các ô lân cận của nó. Với một vài câu hỏi như thế này, liệu Vasya có thể tìm ra số nào được viết trong ô trung tâm không? E. Bakaev

4 (lớp 8). Misha nhận thấy rằng trên màn hình điện tử hiển thị tỷ giá hối đoái giữa đồng đô la và đồng rúp (4 chữ số cách nhau bằng dấu thập phân), bốn chữ số khác nhau vẫn sáng như một tháng trước, nhưng theo thứ tự khác. Tại

47

Thế Vận Hội

4. Khách du lịch đốt lửa và đun sôi nước trong một chiếc nồi có đáy phẳng, thành thẳng đứng, đổ đầy nồi đến n = 3/4 thể tích của nó. Khi nước sôi, không nhấc nồi ra khỏi lửa và $t_{1} = 10$ phút sau khi bắt đầu sôi, lượng nước trong nồi giảm đi $\eta_{1} = =$ 34%. Đúng lúc đó trời bắt đầu đổ mưa nhưng du khách vẫn tiếp tục giữ lửa vì một nhóm người mang đồ ăn đến muộn. Trong $t_{2} = 8$ phút tiếp theo, lượng nước trong nồi giảm thêm $\eta_{2} =$ 8% giá trị ban đầu. Người ta biết rằng một cái chậu rỗng đặt thẳng đứng trên mặt đất sẽ bị mưa lấp đầy lên trên trong $t_{3} = 64$ phút. Xác định nhiệt độ của hạt mưa trước khi vào chậu. Nhiệt dung riêng của nước c = 4200 J (kg $\cdot ^\circ$ C), nhiệt dung riêng bay hơi của nước $r = 2,2 \cdot 10^{6}$ J kg. Giả sử nhiệt năng cung cấp cho nước trong lò hơi luôn được duy trì không đổi và cường độ mưa không thay đổi. M.Romashka

lớp 9

1. Một quả bóng được ném với vận tốc ban đầu v từ mặt đất một góc $\alpha$ so với phương ngang. Tại thời điểm quả bóng ở độ cao tối đa, một hòn đá được ném từ cùng một điểm trên bề mặt trái đất một góc $\beta$ so với đường chân trời. Kích thước của quả bóng và hòn đá nhỏ, sức cản của không khí có thể bỏ qua. 1) Xác định vận tốc ban đầu của hòn đá được ném nếu nó va chạm với quả bóng trong quá trình bay. 2) Tìm thời gian chuyển động của hòn đá từ lúc ném đến lúc va chạm vào quả bóng. L. Arzamassky 2. Trên đáy đất sét nằm ngang của một hồ chứa có một khối lập phương có chiều dài cạnh a và mật độ $\rho$. Độ cao của mực nước tính từ mặt trên của hình lập phương là H. Tại thời điểm ban đầu dưới hình lập phương không có nước. Nước bắt đầu chảy rất chậm dưới khối lập phương. Diện tích S của phần cạnh dưới vẫn khô cho đến khi khối lập phương bắt đầu nổi là bao nhiêu? Mật độ của nước là $\rho_{в}$, một khối lập phương nhẹ hơn nước. E. Mazhnik 3. Để làm cuộn dây đốt nóng của lò hơi, chúng tôi lấy một sợi dây dài $l_{1}$. Sau khi kết nối nồi hơi này với nguồn điện áp có điện trở trong thấp, phải mất $\tau_{1} = 2$ phút để làm nóng một khối lượng nước nhất định trong nhiệt lượng kế lên $50 ^\circ C$. Sau đó, dây làm cuộn dây của nồi hơi được nấu chảy và một dây mới dài $l_{2} = 2 l_{1}$ được tạo ra từ sự nấu chảy. Từ dây mới, họ tạo ra một hình xoắn ốc khác cho lò hơi, hạ nó vào một nhiệt lượng kế khác với một lượng nước khác và kết nối lò hơi với cùng một nguồn điện áp. Phải mất $\tau_{2} = 12$ phút để làm nóng nước thêm $50 ^\circ C$ trong nhiệt lượng kế thứ hai. Khối lượng nước ở nhiệt lượng kế thứ hai khác khối lượng nước ở nhiệt lượng kế thứ nhất bao nhiêu lần? Xét rằng không có sự mất nhiệt khi đun nóng nước, nhiệt dung của nhiệt lượng kế là không đáng kể, mật độ và độ dẫn điện của kim loại sau khi nấu chảy lại vẫn giữ nguyên. E.Yakuta

2. Đoạn AB của mạch điện, có sơ đồ thể hiện ở hình 3, bao gồm các điện trở và dây dẫn giống hệt nhau, điện trở của chúng không đáng kể. Điện trở của đoạn mạch này là $R_{1} = 730$ Ohm. Sau khi cậu học sinh Vasya cắt một trong những sợi dây,

Hình 3

Điện áp của đoạn AB trở thành bằng $R_{2} = 1360$ Ohm. Vasya có thể cắt dây ở điểm nào? Chỉ định hai điểm như vậy. Đáp số biện minh. M.Romashka

lớp 10

1. Một chiếc thuyền nhỏ đang đi dọc theo mặt hồ phẳng lặng, quỹ đạo của nó song song với đường thẳng của bờ và nằm cách bờ một khoảng L (hình4). Người quan sát đứng tại điểm A thấy sóng đầu tiên từ thuyền tới điểm A sau thời gian t sau khi thuyền vượt qua đường thẳng AB, vuông góc với bờ. Sau đó, sóng đánh vào bờ tại nơi này với chu kỳ T. Khoảng cách giữa các đỉnh sóng lân cận là Hình 4 bằng $\lambda$. Tìm vận tốc của thuyền, giả sử rằng các sóng do thuyền kích thích trên mặt nước gần như điều hòa. M.Romashka

2. Một vòng tròn bán kính R được cố định trong một mặt phẳng thẳng đứng, trên đó đặt một hạt có khối lượng m ở điểm trên cùng. Sau một lực đẩy nhỏ, hạt bắt đầu trượt xuống vòng dưới tác dụng của trọng lực. Mọi lực ma sát đều có thể bỏ qua. 1) Hạt ép lên chiếc nhẫn tại một điểm nằm trên đường kính nằm ngang của nó với lực bằng bao nhiêu? 2) Mô đun động lượng của hạt tại thời điểm nó không ép vào vòng là bao nhiêu? M. Semenov

3. Vòi có hai vòi - lạnh và nóng. Các vòi giống hệt nhau về thiết kế - lượng nước chảy qua mỗi vòi trong một giây tỷ lệ thuận với góc quay của vòi khi mở. Nếu bạn vặn vòi lạnh sang góc $\alpha_{1} = 180 ^\circ$ và vòi nóng sang góc $\beta_{1} = 60 ^\circ$, nước sẽ chảy ra từ vòi trộn ở nhiệt độ $t_{1} = 36 ^\circ C$. Nếu bạn xoay vòi lạnh sang một góc $\alpha_{2} = 120 ^\circ$ và vòi nóng sang một góc $\beta_{2} = 90 ^\circ$ thì nước có nhiệt độ $t_{2} = 48 ^\circ C$ sẽ chảy ra từ vòi trộn. Tìm nhiệt độ của nước chảy ra từ vòi trộn khi vặn vòi lạnh một góc $\alpha_{3} = 160 ^\circ$ và vòi nóng quay một góc $\beta_{3} = 80 ^\circ$. Bỏ qua tổn thất nhiệt trong máy trộn. M.Romashka

4. Ở đáy của một bình hình trụ thẳng đứng, được ngăn cách bằng một piston nhẹ chuyển động được, có argon. Phần trên của bình chứa đầy nước có khối lượng m = 1 kg và thông với khí quyển. Ở nhiệt độ $t_{1} = 27 ^\circ C$ pít-tông nằm ở độ cao bằng 1/4 chiều cao của bình. Sau khi làm nóng toàn bộ hệ thống đến nhiệt độ $t_{2} = 127 ^\circ C$, trạng thái cân bằng đạt được khi pít-tông nằm ở 1/2 chiều cao của bình. Tìm diện tích S

50

KVANT 2015/№4

Ghi chú. Trọng tâm của một tam giác đồng nhất nằm ở giao điểm của các đường trung tuyến của nó. S. Varlamov

3. Do một cơ hội may mắn, sinh viên xuất sắc Ruslan và đệ nhất người đẹp Lyudmila đã có cơ hội cùng nhau thực hiện một công việc thí nghiệm đơn giản về vật lý trong phòng thí nghiệm, “Xác định nhiệt dung riêng của phản ứng tổng hợp của một chất chưa biết”. Ruslan bật lò nung, đặt một công suất đốt nóng nhất định, đặt một phần chất đang nghiên cứu vào viên nang và bắt đầu đo chính xác vào lúc 10:00 giờ Moscow. Khi Ruslan đến gặp giáo viên, Lyudmila buồn chán đã bí mật chuyển công tắc bật tắt để đặt nguồn điện lò sang vị trí khác (điều này tất nhiên là cô không nhớ) và không thay đổi nữa. Trước sự ngạc nhiên vô cùng của Ruslan, kết quả của công việc hoàn toàn không chính xác, và sau đó, trước nguy cơ bị điểm kém, Lyudmila đã thú nhận những gì mình đã làm. Cô giáo thương xót bọn trẻ, đưa số liệu tham khảo rồi yêu cầu chúng xác định: 1) sức mạnh của chiếc lò do Lyudmila đặt; 2) thời gian chính xác ở Matxcơva khi Lyudmila bật công tắc bật tắt cài đặt nguồn điện. Sử dụng biểu đồ nhiệt độ t của một chất theo thời gian $\tau$ (hình10) do Ruslan thu được với sự “trợ giúp” của Lyudmila, giúp học sinh hoàn thành nhiệm vụ của giáo viên.

Hình 10

Dữ liệu tham khảo. Nhiệt dung riêng của chất đang nghiên cứu ở trạng thái lỏng là $c_{ж} = 260$ J (kg $\cdot ^\circ$ C), nhiệt dung riêng của phản ứng tổng hợp của chất này là $\lambda = 60$ kJ kg, khối lượng của một mảnh chất là m = 50 g, công suất của lò do Ruslan lắp đặt ban đầu là $P_{1} = 6$ W. E. Vishnykova

4. “Hộp đen” chứa một mạch gồm một viên pin lý tưởng có điện áp $U_{0} = 3,3$ V và một điện trở có điện trở $R_{0} = = 1500$ Ohm (hình11, bên trái) mắc nối tiếp. Khi cố gắng tạo ra một “hộp đen” thứ hai cùng loại, hóa ra những viên pin có yêu cầu

Hình 11

Trong phòng thí nghiệm không còn điện áp 3,3 V nữa, nhưng có một loại pin lý tưởng khác có điện áp $U_{1} = 5$ V. Vì lý do này, chúng tôi quyết định lắp ráp một mạch bao gồm một pin hiện có và hai điện trở, kết nối các phần tử này như trong hình 11 bên phải. Tìm điện trở của các điện trở $R_{1}$ và $R_{2}$ phải bằng bao nhiêu để hai “hộp đen” này tương đương với nhau. D. Kharabadze

lớp 10

1. Hệ thống hiển thị ở hình 12 bao gồm ba khối, ba trọng lượng giống hệt nhau, hai sợi dài (sợi đầu tiên được hiển thị trong hình với đường màu xanh lam, sợi thứ hai có đường màu đỏ) và một sợi dây ngắn. Tải trọng thứ nhất có khối lượng m được gắn vào đầu sợi thứ nhất, ném qua khối giữa và khối bên trái. Một tải thứ hai có khối lượng m được gắn vào đầu sợi thứ hai, ném qua khối bên phải và khối giữa. Vật thứ ba có cùng khối lượng được treo trên một sợi dây đến trục của khối bên phải. Các phần ren không nằm trên khối thì thẳng đứng. Tất cả các khối và sợi chỉ có thể được coi là không trọng lượng, sợi chỉ và sợi dây không thể giãn nở và lực ma sát Hình 12 là không đáng kể. Khi xoay khối giữa, sợi thứ nhất và thứ hai không can thiệp vào nhau. Tìm mô-đun tăng tốc hàng hóa. A. Kovalenko

2. Một đoạn dây được uốn thành một phần đối xứng của parabol và được đặt sao cho trục đối xứng của nó thẳng đứng (hình13). Một hạt nhỏ có khối lượng m được đặt trên đoạn này, giữ nó ở một trong các cạnh của dây. Sau đó hạt được thả ra không có tốc độ ban đầu và nó bắt đầu trượt dọc theo dây dưới tác dụng của trọng lực. Tìm độ lớn của lực mà hạt sẽ ấn lên dây, ở $самой^{Рис.} 13$ điểm thấp nhất trong quỹ đạo của nó. Ma sát là không đáng kể. Kích thước L và H được chỉ ra trên hình đã biết. A.Yakuta

3. Một mol khí lý tưởng tham gia vào quá trình tuần hoàn 1–2–3–1 của động cơ nhiệt hoạt động ở chế độ động cơ nhiệt. Ở trạng thái 1, khí có nhiệt độ $T_{1}$ và thể tích $V_{1}$. Được biết, tất cả các quá trình chuyển khí từ trạng thái này sang trạng thái khác đều có tính chất đa hướng. Chỉ số đa hướng của quy trình 2–3 nhiều hơn một chỉ số đa hướng của quy trình 3–1 và nhỏ hơn một chỉ số đa hướng của quy trình 1–2. Trong quá trình 1–2, thể tích khí tăng k lần. Một trong những quá trình trong chu trình là đẳng nhiệt và trong quá trình này thể tích khí thay đổi giá trị của nó trong phạm vi rộng nhất có thể có trong chu trình này. 1) Xác định thể tích và nhiệt độ của khí ở trạng thái 3. 2) Vẽ trên biểu đồ pV chu trình tương ứng với điều kiện bài toán, biểu thị chỉ số đa biến của từng quá trình. Thẩm quyền giải quyết. Một quá trình trong đó nhiệt dung của khí không thay đổi được gọi là đa hướng: C = const. Phương trình của quá trình như vậy có dạng $pV^{n} =$ const hoặc $p_{1} V_{1}^{n} = p_{2} V_{2}^{n}$. Giá trị n được gọi là chỉ số đa hướng. E. Vishnyakova

4. Tìm nhiệt năng được giải phóng trong đoạn ACDEFB của mạch nối tại điểm A và B với một cục pin có emf E = 5 V và điện trở trong r = 1,04 Ohm (hình14). Điện trở của điện trở được biểu thị bằng ohm; điện trở của các dây nối có thể bỏ qua. Các dây chỉ được kết nối ở những nơi được chỉ định bởi dấu chấm. E.Mazhnik