Kvant 2017, số 3 · Trang

4

KVANT 2017/№3

các hạt và điều quan trọng đối với chúng ta là vật liệu không bị sụp đổ. Thật khó để đưa ra bất kỳ khuyến nghị chung nào ở đây - điều kiện làm việc rất đa dạng. Tạm thời, chúng ta có thể giả định rằng các nguyên tố sau có khả năng chống lại sự phá hủy bởi dòng ion tốt hơn: C, B, Be, Al, Ti, V, Zr, Nb, Ta, Mo, W, Fe, cũng như các hợp kim và hợp chất của chúng. Tình huống thứ ba là khi chúng ta có thể chọn vật liệu và cấu trúc của bộ phận bị phá hủy bởi các ion hoặc các hạt khác của thiết bị, và điều quan trọng đối với chúng ta là vật liệu đó không bị phá hủy và những sản phẩm phá hủy của nó sẽ tồn tại trong thiết bị. Đây là tình huống của Tokamak - một lò phản ứng sản xuất phản ứng tổng hợp nhiệt hạch có kiểm soát, và vấn đề này quan trọng đến mức nó có tên riêng: “Vấn đề của bức tường đầu tiên”. Thực tế là tạp chất của các ion nặng trong plasma rất có hại cho hoạt động của nó. Điều này ngay lập tức làm giảm danh sách các nguyên tố phù hợp thành C, B, Be, Al, Ti, V, hợp kim và hợp chất của chúng. Sau rất nhiều nghiên cứu, berili đã được chọn cho dự án quốc tế Tokamak đang được xây dựng ở Pháp. Câu chuyện này rất quan trọng và thú vị nên đáng để kể chi tiết hơn một chút. Những yêu cầu đặt ra đối với vật liệu của bức tường đầu tiên của Tokamak đã mở ra một trang mới trong khoa học vật liệu. Các mục trên trang này chỉ mới bắt đầu. Do đó, bây giờ chúng tôi sẽ giới hạn bản thân trong danh sách các quá trình chính xảy ra dưới những ảnh hưởng như vậy. Thứ nhất, phún xạ với dòng ion. Thứ hai, phún xạ dưới tác dụng của dòng neutron. Thứ ba, trong quá trình bắn phá neutron, các “mảnh” có kích thước khoảng $10 мкм^{3}$ mỗi mảnh bay ra khỏi bề mặt tường - cái gọi là “changs”. Thứ tư, các nguyên tử helium và hydro nhúng trong vật liệu tập hợp lại thành bong bóng, và kết quả là vật liệu “phình lên” - quá trình này được gọi là “sưng lên”. Nếu bong bóng hình thành gần bề mặt, nó sẽ phồng lên và quá trình này được gọi là “phồng rộp”. Thứ năm, bong tróc bề mặt - lớp vỏ phía trên bong bóng này bong ra, quá trình này được gọi là

“Đốm” được sử dụng. Bề mặt xốp, xốp do phồng rộp sẽ ức chế sự hình thành đốm và sau khi vật liệu bị phá hủy đến một độ sâu nhất định, quá trình này sẽ chậm lại. Một ứng dụng có mục tiêu của hiệu ứng này cũng đã được đề xuất - việc sử dụng bề mặt có cấu trúc xốp, giống như kim (bàn chải) và tổ ong. Trong trường hợp sau, quá trình phun cũng chậm lại, vì một phần vật liệu được phun từ tường này sang tường khác mà không bay ra ngoài thể tích. Và cuối cùng, thứ sáu, sự phân chia bức xạ - dưới tác động của bức xạ ion, thành phần của hợp kim thay đổi, tức là chiếu xạ gây ra sự khuếch tán. Không có quá trình nào trong số này có thể được cho là đã được nghiên cứu hoặc hiểu đầy đủ. Chúng ta hãy xem xét nghiên cứu nhiều nhất về chúng - phún xạ ion. Hệ số phun, tức là tỷ lệ giữa số lượng nguyên tử phún xạ với số lượng ion chạm vào bề mặt tăng khi khối lượng ion tăng và năng lượng bay hơi giảm (năng lượng cần thiết để làm bay hơi một nguyên tử) của vật liệu mục tiêu. Khi năng lượng của các ion tới tăng đến giá trị cỡ 10 keV, hệ số phún xạ lúc đầu tăng lên và sau đó bắt đầu giảm. Tuy nhiên, không có lý thuyết chặt chẽ nào về phún xạ cathode có thể dự đoán một cách đáng tin cậy dữ liệu thực nghiệm trước khi thu được chúng. Tuy nhiên, tình huống này không phải là mới đối với vật lý bề mặt. Nhiều lý thuyết hiện có về phún xạ catốt có thể được chia thành hai nhóm: nhiệt và cơ học. Nguyên lý nhiệt giải thích hiện tượng phún xạ bằng cách làm nóng bề mặt tại vị trí va chạm và bay hơi của ion; cơ học - do sự va chạm của ion với các nguyên tử mục tiêu, do đó các nguyên tử mục tiêu (va chạm với nhau) nhận được một xung hướng về phía bề mặt mục tiêu và bay vào chân không. Các lý thuyết cơ học khác nhau ở các giả thuyết về cơ chế tương tác cụ thể của ion với nguyên tử và đưa ra các kết quả khác nhau phù hợp với dữ liệu thực nghiệm nhất định. Rõ ràng tại sao ở mức năng lượng cao hệ số

5

CHUYỂN GIAO KHỐI LƯỢNG

Tốc độ phún xạ nhỏ: ion tới xâm nhập quá sâu vào vật liệu và các nguyên tử bị bật ra khỏi vị trí của chúng không chạm tới bề mặt. Rõ ràng là tại sao hệ số phún xạ lại nhỏ ở mức năng lượng thấp. Nhưng có một số lượng lớn hơn nhiều sự thật không rõ ràng hoặc không hoàn toàn rõ ràng. Ví dụ, trong quá trình bắn phá ion, một hình phù điêu có thể xuất hiện trên bề mặt và một hình phù điêu khá phức tạp ở đó. Và cũng có thể đánh bóng và làm mịn bề mặt khi bắn phá bằng các ion năng lượng thấp. Điều này rõ ràng là do thực tế là các nguyên tử nằm trên các phần nhô ra có năng lượng liên kết thấp hơn (chúng cần được tách ra khỏi số lượng nguyên tử nhỏ hơn) và do đó có thể chọn năng lượng của các ion sao cho các nguyên tử này sẽ bị bắn ra mạnh và phần còn lại - yếu. Ở mật độ dòng ion cao bắn phá điện cực, nồng độ của các nguyên tử nhúng trong nó và các khuyết tật mạng phát sinh trong nó đạt đến giá trị đến mức mạng tinh thể bị phá hủy hoàn toàn và vật liệu chuyển sang trạng thái vô định hình. Đồng thời, điểm nóng chảy được xác định rõ ràng biến mất, và hỗn hợp kim loại và khí khó hiểu này bắt đầu bò và nổi (như một ngọn nến) dưới tác động của trọng lực. Nhưng những gì xảy ra trong quá trình phún xạ catốt của các hợp chất đa thành phần thậm chí còn phức tạp hơn. Bạn vẫn có thể đoán tại sao sự kết hợp của kim loại này với kim loại khác đôi khi gây ra sự hình thành vết lõm trong quá trình phún xạ: tạp chất phún xạ yếu, nếu các nguyên tử của nó tập trung ở một số khu vực nhất định, sẽ bảo vệ vật liệu bên dưới nó khỏi bị phún xạ. Nhưng tại sao việc thêm một vài phần trăm bismuth vào đồng lại làm tăng hiệu suất phún xạ lên một nửa hoặc tại sao việc thêm một vài phần trăm nhôm vào vàng lại làm giảm sự phún xạ lên gấp 10 lần vẫn chưa được biết. Có một số lý thuyết về phún xạ hợp kim, đôi khi cái này hay cái kia có thể dự đoán chính xác kết quả của từng thí nghiệm.

Truyền khối trong quá trình dòng chảy

Rõ ràng nhất là sự chuyển khối trong quá trình điện phân nóng chảy. Khối lượng của các ion càng lớn và điện tích của chúng càng nhỏ thì ion càng lớn và càng nhỏ thì các ion càng nhẹ và điện tích càng lớn. Trong trường hợp đầu tiên, chúng ta chú ý đến CsI, nó tan chảy ở khoảng $630 \infty C$, trong trường hợp thứ hai - BN, nó tan chảy ở $3000 \infty C$. Ở những nhiệt độ này, chúng đã dẫn dòng điện khá tốt, nhưng nói chung, không cần thiết phải nung chảy để truyền khối trong quá trình dẫn ion. Trong pha rắn, sự chuyển khối cũng sẽ xảy ra - số Faraday không quan tâm chúng ta đang nói đến trạng thái nào. Và nếu chúng ta không nói về sự tan chảy mà nói về dung dịch, thì sự truyền khối sẽ chỉ tăng lên do sự hòa tan (tương tác tĩnh điện giữa các hạt của chất tan và dung môi) - mỗi ion sẽ kéo theo một lớp vỏ phân tử dung môi phía sau nó. Đúng, BN có độ hòa tan kém, vì vậy bạn sẽ phải giới hạn ở LiF. Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào dây dẫn điện tử. Với dòng điện thông thường nhất, không chỉ điện tích mà cả khối lượng cũng được truyền trong dây, mặc dù tỷ số khối lượng trên điện tích là tỷ số giữa khối lượng của electron và điện tích của nó, tức là xấp xỉ 5,7 ◊ $10^{-} 12$ kg Cl. Điều tương tự cũng xảy ra khi một dòng điện tử chạy trong chân không và khi một dòng ion chạy trong chân không, sự truyền khối sẽ giống như trong chất điện phân. Tình hình phức tạp hơn trong plasma, nơi cả dòng điện tử và dòng ion chảy đồng thời. Nếu đường tự do trung bình và năng lượng của các ion và electron xấp xỉ bằng nhau, thì (cố gắng chứng minh điều này bằng tính toán) việc cộng thêm vào tốc độ nhiệt mà các hạt thu được dưới tác dụng của điện trường tỷ lệ nghịch với nghiệm của khối lượng, và “dòng khối”, do đó, đơn giản tỷ lệ thuận với nghiệm của khối lượng. Dòng điện trong plasma như vậy chủ yếu là dòng điện tử, nhưng khối lượng được mang chủ yếu bởi các ion. Trong plasma không cân bằng, khi năng lượng của các electron có thể lớn hơn năng lượng của các ion, ví dụ, hai bậc độ lớn, vận tốc nhiệt của các electron hóa ra sẽ lớn hơn, theo thời gian.

7

CHUYỂN GIAO KHỐI LƯỢNG

bởi vì chất rắn vô định hình và chất lỏng gần như giống nhau. Ví dụ: hệ số khuếch tán của nước trong glycerol là $0,008 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ s. Nhưng nó cũng có thể tương đối lớn - ví dụ, hệ số khuếch tán của iốt trong axit axetic là $3,6 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ s. Bây giờ – chữ “D trên ngón tay” đã hứa. Khoảng cách trung bình mà một hạt khuếch tán đi được trong thời gian t, hay khoảng cách khuếch tán đặc trưng, ​​bằng Dt. Do đó, chúng ta luôn có thể tính lại D thành khoảng cách mà quá trình sẽ đi được trong thời gian t. Ví dụ: đối với các khí có D từ $0,016 \cdot 10^{-} 4 м^{2}$ s đến $1,6 \cdot 10^{-} 4 м^{2}$ s và thời gian xử lý t = 10 s, khoảng cách sẽ là 4–40 mm và đối với chất lỏng có D từ $0,008 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ s đến $3,6 \cdot 10^{-} 9 м^{2}$ s và thời gian xử lý t = 100 s, khoảng cách sẽ là 0,03–0,6 mm. Tất nhiên trừ khi bạn lắc nó…

Sự sống ở thể rắn

Trước hết, có thể có những phức tạp ở ranh giới: các quá trình ở ranh giới của một vật thể hoặc vật liệu có thể ảnh hưởng đến sự khuếch tán. Ví dụ, hãy nhớ một hình trụ làm bằng chì và một hình trụ làm bằng vàng - chúng được ép để đảm bảo tiếp xúc tốt. Để tăng diện tích tiếp xúc mà các kim loại mềm được lấy ra và ép vào nhau. Đúng, còn có một vấn đề khác, không chỉ một. Một lớp oxit hình thành trên bề mặt chì trong không khí, có thể ức chế sự chuyển đổi của các nguyên tử từ kim loại này sang kim loại khác. Nhưng đó không phải là tất cả - để khuếch tán, một nguyên tử bằng cách nào đó phải di chuyển bên trong mạng tinh thể của kim loại của chính nó hoặc của người khác, và để di chuyển vào kim loại của người khác, một nguyên tử phải tách ra khỏi mạng tinh thể của chính nó và ép vào mạng của người khác. Bất kỳ quá trình nào trong số này - tách khỏi chính mình, đưa vào chất lạ, đưa vào oxit, khuếch tán trong oxit, tách khỏi oxit

– có thể bị hạn chế khuếch tán. Hơn nữa, tất cả các quá trình này phụ thuộc vào nhiệt độ theo những cách khác nhau và bản thân sự khuếch tán (chúng ta vẫn chưa đề cập đến nó!) không được tư vấn về chúng và phụ thuộc vào nhiệt độ theo cách riêng của nó. Do đó, rất có thể hóa ra là ở một số nhiệt độ, một quá trình này chiếm ưu thế, và ở những nhiệt độ khác, quá trình khác chiếm ưu thế. Bây giờ chúng ta chuyển sang sự khuếch tán thực tế bên trong chất rắn. Có nhiều cơ chế khuếch tán. Nếu nó không phải là một tinh thể đơn lẻ hoặc một chất vô định hình thì chất rắn bao gồm các tinh thể nhỏ riêng lẻ và chúng có các cạnh và ranh giới. Vì vậy, dọc theo các ranh giới cạnh này, sự khuếch tán có thể tiến vào độ sâu của vật liệu dường như nguyên khối - đầu tiên dọc theo các cạnh, sau đó vào các tinh thể. Hơn nữa, sự di chuyển dọc theo các ranh giới chiếm ưu thế ở nhiệt độ thấp, lên tới xấp xỉ một nửa nhiệt độ nóng chảy (tự nhiên là ở Kelvin). Trong trường hợp này, chúng ta sẽ phải nói về các giá trị cụ thể của hệ số khuếch tán có đặt trước - đối với vật liệu có tinh thể có kích thước như vậy. Ngoài các cạnh, còn có các cạnh, và một số tác phẩm ghi nhận sự khuếch tán tăng tốc dọc theo các cạnh. Trong một vật rắn, ngay cả khi bạn không chú ý đến các mặt và các cạnh thì cũng có một số cơ chế khuếch tán. Một nguyên tử có thể đơn giản ép vào nhau

9

CHUYỂN GIAO KHỐI LƯỢNG

tan chảy trên kim loại và khuếch tán vào kim loại. Trên đường đi, anh phải ghé thăm bề mặt kim loại, tại sảnh đến của sân bay. Điều gì có thể xảy ra với anh ta ở đó?

Đôi điều về vai trò của sự khuếch tán trong cuộc sống

Chúng ta đã không thảo luận về vai trò của tính dẫn điện và tính dẫn nhiệt trong cuộc sống - bởi vì nó ít nhất là hiển nhiên một phần. Dòng điện chạy - bóng đèn sáng, thang máy chuyển động, màn hình hiển thị hình ảnh. Nhiệt lan truyền - chúng ta trở nên lạnh hoặc ấm. Với sự khuếch tán, tình hình phức tạp hơn - sự lan tỏa của mùi nước hoa và màu sắc của chất lỏng trong ly là những ví dụ không chính xác và những ví dụ đúng thì không rõ ràng. Khuếch tán đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, trong nhiều quá trình diễn ra trong thiên nhiên sống và vô tri. Ví dụ, nó ảnh hưởng đến quá trình của nhiều phản ứng và quá trình hóa học, bay hơi, ngưng tụ, kết tinh, hòa tan, trương nở, làm khô và đốt cháy. Khuếch tán ảnh hưởng đến hoạt động của lò phản ứng hạt nhân, ống chân không và thiết bị bán dẫn, pin và ắc quy. Và ngay cả hoạt động của các kết cấu - sự rão của kim loại, sự thay đổi kích thước của các bộ phận chịu tải - đây cũng là hiện tượng khuếch tán. Nhiều hoạt động công nghệ dựa trên sự khuếch tán - thiêu kết bột, nhiều quy trình xử lý kim loại (thấm nitơ và cacbon hóa thép, đồng nhất hợp kim, hàn, loại bỏ một số tạp chất), thuộc da, nhuộm sợi và vải. Sự khuếch tán hydro qua palladium được sử dụng để thu được hydro đặc biệt tinh khiết. Sự khuếch tán khí trong kim loại và chất điện môi rất quan trọng đối với hoạt động của các thiết bị chân không vì hai lý do. Đầu tiên, trong quá trình vận hành thiết bị, các khí hòa tan trong vật liệu sẽ khuếch tán lên bề mặt của các bộ phận, bị giải hấp khỏi thiết bị, đi vào thể tích chân không và bắt đầu hoạt động kém ở đó: tương tác với vật liệu của các bộ phận khác và ở nồng độ cao, dòng điện tử chỉ đơn giản bị tiêu tan. Thứ hai, sự khuếch tán khí từ khí quyển, chủ yếu là rò rỉ khí heli qua thủy tinh và hydro qua kim loại, hoàn toàn có khả năng ảnh hưởng đến hoạt động của thiết bị. Sự khuếch tán, trong nhiều trường hợp quyết định tuổi thọ của vật liệu và sản phẩm, được tăng tốc khi vật liệu tiếp xúc với dòng hạt. Vì vậy, sự quan tâm đến nó của các nhà phát triển lò phản ứng hạt nhân và nhiệt hạch là điều dễ hiểu. Sự chiếu xạ bằng dòng hạt cũng được các nhà hóa học sử dụng như một công cụ - trong trường hợp này, câu hỏi ngay lập tức được đặt ra là về tác động của sự chiếu xạ này lên vật liệu chế tạo thiết bị. Ở mọi nơi bạn rẽ đều có một cái nêm hoặc sự khuếch tán (và cái sau phổ biến hơn). Quy luật khuếch tán chi phối quá trình di chuyển của các nguyên tố bên trong các hành tinh và các ngôi sao (chúng ta không nói về Trái đất), cũng như bên trong bạn, bạn đọc thân mến. Hàng ngàn quá trình khuếch tán diễn ra bên trong bạn, nếu không có chúng, chúng ta sẽ không sống được dù chỉ vài phút. Tại sao bạn nghĩ vậy?

16

KVANT 2017/№3

Hình 5

đồ thị, trên mỗi cạnh ghi xác suất chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác. Ví dụ: bài toán về Cheburator ở một bàn ngắn có thể được mô tả bằng biểu đồ như vậy (hình5). Các trạng thái 0, 1, 2 và 3 tương ứng với các trạng thái của Cheburator “cheburator ở bên trái”, “đứng ở cạnh trái của bàn”, “đứng ở mép bên phải của bàn” và “cheburator ở bên phải”. Lưu ý rằng tổng xác suất trên các mũi tên phát ra từ một trạng thái nào đó luôn bằng một. Thuộc tính quan trọng của chuỗi Markov là ở mỗi bước chúng ta hoàn toàn quên mất “quá khứ”. Nói cách khác, “tương lai” không phụ thuộc vào “quá khứ” trong khi “hiện tại” thì được biết trước. Chuỗi Markov hóa ra là một mô hình tiện lợi và rất phổ biến. Ví dụ: thứ hạng của các trang web được công cụ tìm kiếm sử dụng dựa trên chuỗi Markov. Sử dụng chuỗi Markov, thuật toán được tạo ra để tự động

Địa điểm cuộc họp không thể thay đổi

(Xem phần mở đầu ở trang bìa thứ 2)

Chúng tôi cung cấp cho bạn bốn biến thể mới của bài toán (hình 3) ban đầu. Vị trí ban đầu của các khối màu đen, vị trí của các khối cố định, vẫn không thay đổi trong chúng,

Hình 3

cũng như hình vuông của không gian trống rỗng. Mục tiêu trong mỗi câu đố mới đều giống nhau: thu thập các khối màu đen ở góc dưới bên trái (xem hình2). Điều thú vị là bài toán mới khác nhau khá nhiều về độ phức tạp: số bước di chuyển tối thiểu trong đó là 40, 51,

viết nhạc. Có những ứng dụng quan trọng trong vật lý, hóa học, sinh học, ngôn ngữ học và kinh tế. Bạn có thể đọc về xích Markov trong cuốn sách nổi tiếng [2]. Chủ đề về bước đi ngẫu nhiên mà chúng ta đề cập đến sẽ được thảo luận chi tiết hơn trong các cuốn sách và bài báo phổ biến [3], [4], [5], [6]; bài viết sau dựa trên cách giải thích vật lý thú vị về các bước đi ngẫu nhiên.

Tài liệu tham khảo

1. A. Kudryavtsev. Nghịch lý St. Petersburg và ý nghĩa của nó đối với lý thuyết kinh tế. – “Bản tin của Đại học St. Petersburg”, 3 (2013). 2. E. Dynkin, V. Uspensky. Hội thoại toán học. – M.: Fizmatlit, 2004. 3. A. Kolmogorov, I. Zhurbenko, A. Prokhorov. Giới thiệu lý thuyết xác suất. – Thư viện «Kvant», tập. 23 và 135. 4. F. Mosteller. 50 xác suất giải trí bài toán với các giải pháp. – M.: Nauka, 1975. 5. S. Sobolev. Về bước đi ngẫu nhiên. – «Kvant», số 5, 1987. 6. M. Skopenkov, V. Smykalov, A. Ustinov. Bước đi ngẫu nhiên và mạch điện. – “Giáo dục Toán học”, ser. 3, 16 (2012).

60 và 70 (theo thứ tự từ trái qua phải là hình3). Trong câu đố ban đầu của Michael Toulouzas, lời giải tối thiểu cần 67 bước di chuyển. Tại hình 4 một phương án khác được đề xuất, trong đó không gian trống được chia thành hai phần. Trong trường hợp này, lời giải tối thiểu đã có 102 nước đi.

Hình 4

Hãy thử thử nghiệm - có thể bạn sẽ tìm thấy một lựa chọn thậm chí còn tốn nhiều công sức hơn? Chúng tôi chúc bạn thành công trong lời giải và tạo ra các câu đố mới! V. Zhuravlev

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2454–M2457 đã được đưa ra ở giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán. Bài toán F2461–F2464 đã được cung cấp tại Ya.B. Thế vận hội Zeldovich ở thành phố Sarov.

Bài toán M2454–M2457, F2461–F2464

M2454. Ban đầu, một số (nhiều) số tự nhiên được viết lên bảng. Sau đó, cứ sau mỗi phút, một số bằng tổng bình phương của tất cả các số đã viết trên đó sẽ được thêm vào bảng (vì vậy, nếu các số 1, 2, 2 ban đầu được viết lên bảng thì ở phút đầu tiên số $1^{2} + 2^{2} + 2^{2} ).$ sẽ được thêm vào. Chứng minh rằng số thứ trăm được thêm vào có ít nhất 100 thừa số nguyên tố khác nhau. I. Bogdanov, P. Kozhevnikov

M2455. Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn Ω và ngoại tiếp

Hình 1

vòng tròn $\omega$. Trên các cạnh AC và AB lần lượt chọn các điểm P và Q sao cho đoạn PQ tiếp xúc với $\omega$ (hình1). Đường tròn $Ω_{b}$ với tâm P đi qua B và đường tròn $Ω_{c}$ với tâm Q đi qua C. Chứng minh rằng các đường tròn Ω $, Ω_{b}$ và $Ω_{c}$ có điểm chung. A. Akopyan, P. Kozhevnikov

M2456. Một đa giác lồi được cắt bởi các đường chéo rời nhau thành các tam giác cân. Chứng minh rằng đa giác này có hai cạnh bằng nhau. A. Gribalko

M2457. Có tam giác nào có các cạnh x, y và z sao cho $x^{3} + y^{3} + z^{3} = = ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )$ không? V. Người gửi

F2461. Một chiếc cốc hình trụ có diện tích đáy $S = 400 см^{2}$ chứa đầy nước, trong đó có một khối nước đá có cạnh a = 2 cm (hình2) được nhúng vào. Một lượng dầu hỏa được đổ vào ly như vậy sao cho cạnh trên của khối lập phương trùng với bề mặt của dầu hỏa. Khối lập phương được lấy ra khỏi ngăn xếp - Hình 2

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Chuyển đổi hàng

E.BAKAEV

Hãy bắt đầu với bài toán hợp lý để xem xét, đây là $2 \times 2$. Chúng ta hãy tìm hiểu xem chất trám nào có thể được lấy từ chất trám nào. Có $2^{4} = 16$ cách để điền vào các ô của bảng $2 \times 2$ với những ưu và nhược điểm. Bạn có thể xem xét tất cả và lập sơ đồ (đồ thị). Chúng ta sẽ kết nối hai miếng trám bằng một đường thẳng (cạnh) nếu có thể lấy được một miếng trám từ miếng trám kia chỉ bằng cách chuyển đổi hàng (hình2).

Bài toán 1. Tất cả các ô của bảng $8 \times 8$ chứa đầy các dấu cộng và dấu trừ (mỗi ô một ký tự). Một thao tác cho phép bạn chọn bất kỳ hàng (hàng hoặc cột) nào và thay đổi dấu trong mỗi ô của nó thành ô đối diện. Lúc đầu tất cả các dấu hiệu đều tích cực. Phải chăng sau một vài thao tác như vậy, hóa ra chỉ có một điểm trừ trong bảng? hình 1 hiển thị một ví dụ về thao tác như vậy.

Hình 1

Chúng tôi sẽ không chỉ giải quyết bài toán này mà còn tìm ra bảng nào có thể được lấy từ bảng nào bằng cách sử dụng các thao tác này. Chúng ta sẽ gọi hàng và cột là hàng. Thao tác được mô tả ở bài toán 1 sẽ được gọi là chuyển đổi hàng.

Bảng $2 \times 2$

Thay vì giải bài toán về bảng $8 \times 8$, trước tiên chúng ta hãy xử lý một bảng nhỏ trong đó tất cả các tùy chọn đổi màu có thể có đều có thể được sắp xếp theo cách thủ công. Bàn nhỏ nhất

Các vấn đề trong bài viết đều được đưa ra lời giải, nhưng bạn nên tự mình suy nghĩ về vấn đề trước khi đọc lời giải - điều này sẽ mang lại nhiều lợi ích hơn. Bài viết cũng có các bài tập, chúng thường đơn giản hơn bài toán, chúng cũng có giá trị giải, điều này có thể giúp bạn hiểu nội dung tiếp theo. Đáp số và gợi ý cho các bài tập được đưa ra ở cuối con số.

Hình 2

Có thể thấy rằng tất cả các miếng trám được chia thành hai nhóm (hai thành phần được kết nối của biểu đồ): các miếng trám của một nhóm không thể lấy được từ các miếng trám của nhóm khác. Các mục trong mỗi nhóm có điểm gì chung? Chất trám của các nhóm khác nhau khác nhau như thế nào? Bạn có thể nhận thấy rằng trong các miếng trám của một nhóm có số dấu cộng chẵn và trong các miếng trám của nhóm kia có một số lẻ. Điều này có thể được chứng minh mà không cần xem qua tất cả các tùy chọn điền. Thật vậy, với mỗi nước đi chúng ta đổi hai dấu, tức là đổi 2 dấu cộng thành 2 dấu trừ, hoặc đổi 2 dấu trừ thành 2 dấu cộng, hoặc số dấu cộng và dấu trừ không thay đổi. Điều này có nghĩa là số lượng điểm cộng vẫn giữ nguyên tính chẵn lẻ khi chuyển hàng.

Bài tập 1. Trên bàn có 5 cái ly úp ngược. Được phép lật 2 ly bất kỳ cùng lúc. Có thể lặp lại được không

40

KVANT 2017/№3

Khi thực hiện thao tác này, hãy đặt tất cả các kính đúng cách?

Số điểm cộng chẵn

Chúng tôi đã tìm ra hoàn toàn các bảng $2 \times 2$. Những cân nhắc tương tự sẽ giúp ích trong lời giải bài toán 1. Thật vậy, trong trường hợp này, tính chẵn lẻ của số dấu cộng trong toàn bộ bảng sẽ không thay đổi. Hãy chứng minh điều đó. Giả sử có x dấu cộng ở hàng nào đó thì sau khi đổi chỗ sẽ có 8 - x dấu cộng ở hàng này, còn ở phần còn lại của bảng dấu cộng sẽ giữ nguyên. Nhưng các số x và 8 – x có cùng tính chẵn lẻ. Điều này có nghĩa là tính chẵn lẻ của số dấu cộng trong toàn bộ bảng sẽ không thay đổi - đó là một bất biến. (Bất biến là một thuộc tính không thay đổi dưới các phép biến đổi đã cho.) Vì vậy, lúc đầu có 64 điểm cộng trong bảng, nghĩa là số của chúng sẽ luôn chẵn và không thể bằng 63. Bài toán 1 đã được giải.

tế bào cuối cùng - lợi thế. Có thể chuyển đổi hàng để tất cả các dấu hiệu trở thành điểm cộng? Liệu lời giải, tương tự như lời giải của bài toán đầu tiên, có phù hợp với họ không? Không: trong bài toán 2 3 chữ số thay đổi mỗi lần, có nghĩa là tính chẵn lẻ của số dấu cộng thay đổi mỗi lần và có thể là bất kỳ. Trong bài toán 3, tính chẵn lẻ của số dấu cộng thực sự là bất biến, nhưng điều này không gây ra mâu thuẫn - ở vị trí ban đầu và vị trí cuối cùng, tính chẵn lẻ của chúng là như nhau. Làm thế nào để giải quyết bài toán 2? Hãy nhìn vào vị trí bắt đầu và kết thúc (hình3). Hãy giả sử rằng người ta có thể có được một cái khác.

Hình 3

Bài tập

2. Có 15 cái ly đặt úp ngược trên bàn. Được phép lật bất kỳ số ly chẵn nào cùng một lúc. Có thể lặp lại thao tác này và đặt tất cả các kính một cách chính xác không? 3. Từ bảng A, bằng cách chuyển đổi các hàng, chúng ta thu được bảng B. Chứng minh rằng từ bảng B, bằng cách chuyển đổi các hàng, chúng ta có được bảng A. 4. Bảng $8 \times 8$ chứa đầy các điểm cộng và điểm trừ, sau đó chúng ta thực hiện một số lần chuyển đổi các hàng. a) Có thể thấy rằng việc điền các dấu cuối cùng vào bảng khác với lần điền đầu tiên trong đúng một ô không? b) Phần trám cuối cùng và phần trám ban đầu có thể khác nhau ở tất cả các ô không? c) Có thể thu được “màu cờ vua” bằng cách chỉ điền các dấu cộng, tức là cách điền như vậy trong đó hai dấu hiệu liền kề ở một bên khác nhau không?

Hãy xem xét hai bài toán nữa, tương tự như cái đầu tiên. Bài toán 2. Trong bảng $3 \times 3$ có ​​dấu trừ ở một ô ở góc và dấu cộng ở các ô còn lại. Có thể chuyển đổi hàng để tất cả các dấu hiệu trở thành điểm cộng? Bài toán 3. Trong bảng $8 \times 8$ có các điểm trừ ở bốn ô góc;

Chúng ta hãy nhìn vào ô trên cùng bên trái. Có một điểm trừ trong đó, nhưng cũng phải có một điểm cộng. Điều này có nghĩa là nó phải được thay đổi một số lần lẻ. Biển báo thay đổi khi một trong hai hàng tại giao điểm của nó được chuyển đổi, do đó một trong các hàng phải được thay đổi số lần lẻ và hàng còn lại là số chẵn. Do tính đối xứng của tình huống, chúng ta có thể giả sử rằng hàng được chuyển đổi số lần lẻ và cột (hình4,a) được chuyển đổi số lần chẵn.

Hình 4

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào dấu hiệu ở giữa ở hàng trên cùng. Anh ấy là một điểm cộng và nên tiếp tục như vậy. Điều này có nghĩa là nó phải được thay đổi một số lần chẵn. Nhưng hàng đầu tiên thay đổi số lần lẻ, nghĩa là cột thứ hai cũng thay đổi số lần lẻ. Lý do tương tự, nhưng bây giờ xét đến ô giữa của cột đầu tiên, chúng ta có thể kết luận rằng hàng thứ hai thay đổi số lần chẵn (hình4,b).

41

TOÁN HỌC

Nhưng khi đó cột giữa và hàng giữa sẽ thay đổi tổng số lần lẻ, tức là dấu ở giữa bảng sẽ thay đổi số lần lẻ và trở thành dấu trừ chứ không phải dấu cộng (hình4,c). Chúng tôi gặp mâu thuẫn - bạn không thể chuyển từ vị trí này sang vị trí khác bằng cách chuyển hàng. Bài toán2 đã giải quyết. Lưu ý rằng để đạt được sự mâu thuẫn, chúng ta chỉ cần coi 4 dấu tạo thành hình vuông $2 \times 2$ là đủ, còn các dấu ở các ô còn lại cho lời giải là không quan trọng. Chúng ta hãy nhớ rằng khi chuyển đổi các hàng trong hình vuông $2 \times 2$ tính chẵn lẻ của số dấu cộng trong đó không thay đổi, vì mỗi lần 2 chữ số thay đổi. Nhưng điều này cũng đúng với hình vuông $2 \times 2$, được đánh dấu bên trong hình vuông lớn hơn! Theo đó, lời giải bài toán 2 có thể được phát biểu ngắn gọn hơn bằng cách xét bình phương $2 \times 2$ (xem hình4,c) và lưu ý rằng tính chẵn lẻ của số dấu cộng trong đó là bất biến.

Bài tập 5. Đảm bảo rằng bài toán 3 được giải theo cách tương tự.

Một số bài toán được giải bằng cách sử dụng cùng một bất biến có vẻ đơn giản như trong bài toán 2 và 3 (tính chẵn lẻ của số dấu cộng), nhưng có thể khó đoán được vùng nào (trong trường hợp của chúng tôi đó là một hình vuông nhất định $2 \times 2 )$ một bất biến như vậy có tác dụng. Bạn có thể tìm thấy bài toán như vậy trong bài viết của Yu. Ionin, L. Kurlyandchik “Tìm kiếm một bất biến” trong «Kvant» Số 2 cho năm 1976, xem thêm bài toán 2 và 3 ở cuối bài viết này.

Bài tập

6. Trong bảng $8 \times 8$ ban đầu tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng. Sau đó, chúng tôi thực hiện một số chuyển đổi hàng. Có bao nhiêu điểm cộng có thể xuất hiện trên đường chéo chính sau một số phép tính lẻ? 7. Trong bảng $8 \times 8$ ban đầu tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng. Sau đó, chúng tôi thực hiện một số chuyển đổi hàng, sau đó một số biển báo đã bị ẩn đi. a) Một số dấu hiệu đã biết (hình5,a). Tìm các ký tự được đánh dấu bằng dấu chấm hỏi. b) Câu hỏi tương tự cho bảng ở hình 5, b. c) Một số dấu hiệu đã biết (hình5,c). Có thể sử dụng thông tin này để xác định xem số thao tác chẵn hay lẻ đã được thực hiện không? d) Một số dấu hiệu đã biết (hình5,d). Hãy tìm cái được đánh dấu bằng dấu chấm hỏi.

VÒNG TRÒN

Hình 5

Số lượng hành động

Như chúng ta đã biết, dấu trong một ô sẽ chỉ thay đổi nếu một số lẻ các thao tác chứa ô này được thực hiện. Trước tiên, thứ tự thực hiện các thao tác không ảnh hưởng đến kết quả. Thứ hai, chỉ có tính chẵn lẻ của số lượng các thao tác như vậy mới quan trọng, tức là kết quả sẽ không thay đổi, ví dụ: nếu bạn thay đổi hàng không phải 13 lần mà là 1 lần. Điều này có nghĩa là chúng ta có thể giả định rằng mỗi hàng có thể không được chuyển đổi chút nào hoặc được chuyển đổi một lần và việc chuyển đổi nhiều lần hơn là vô nghĩa. Hóa ra là nếu có thể lấy được một số phần điền vào bảng $n \times n$ từ một bảng khác, thì việc này có thể được thực hiện không quá 2n thao tác (vì có tổng cộng 2n hàng). Nhưng đánh giá mạnh mẽ hơn cũng đúng. Bài toán 4 (A. Kanel-Belov, Giải đấu các thành phố XXXIII, 2012). Các ô của bảng $n \times n$ chứa ưu và nhược điểm. Trong một nước đi, bạn được phép đổi tất cả các dấu ở hàng tùy ý hoặc ở cột tùy ý sang dấu ngược lại. Được biết, từ sự sắp xếp ban đầu, người ta có thể thu được một trong đó tất cả các ô đều chứa dấu cộng. Chứng minh rằng điều này có thể đạt được không quá n bước. Chúng tôi đã chỉ ra rằng luôn có thể thực hiện được điều đó trong vòng 2n nước đi. Nhưng khi nào chúng ta có thể cần chính xác 2n bước di chuyển? Khi chúng tôi chuyển đổi mỗi hàng một lần. Nhưng sau đó mỗi ký tự sẽ thay đổi 2 lần, vì dòng và cột của nó đã thay đổi. Điều này có nghĩa là việc lấp đầy bàn sẽ không thay đổi, vì vậy nó có thể được lấy nhanh hơn - mà không cần thực hiện một động thái nào! Vì thế

42

KVANT 2017/№3

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng không cần thiết phải thực hiện 2n nước đi. Hãy tiếp tục. Khi nào bạn có thể cần chính xác 2n – 1 nước đi? Khi họ chuyển đổi tất cả các hàng ngoại trừ một hàng. Sau đó, các dấu hiệu của chuỗi này sẽ thay đổi một lần và các dấu hiệu còn lại - 2 lần. Một lần nữa, việc lấp đầy này có thể đạt được nhanh hơn - chỉ cần chuyển một hàng là đủ, chúng tôi không chuyển đổi. Nhưng điều tương tự có thể được thực hiện trong các trường hợp khác! Giả sử rằng chúng ta đã chuyển đổi một số hàng x. Nếu đổi không phải những hàng này mà đổi tất cả các hàng khác thì sẽ có 2n – x nước đi nhưng kết quả không thay đổi (nếu dấu thay đổi 2 lần thì bây giờ không thay đổi; nếu không thay đổi thì bây giờ nó sẽ thay đổi 2 lần; nếu dấu thay đổi 1 lần thì bây giờ nó sẽ thay đổi 1 lần). Theo đó, nếu có nhiều hơn n nước đi, thì sau khi “đảo ngược” hành động như vậy, chúng ta sẽ nhận được kết quả tương tự với ít hơn n hành động. Bài toán 4 đã được giải quyết.

Bài tập 8. Có thể củng cố điểm ở bài toán 4 không? Nói cách khác, có phải lúc nào bạn cũng có thể đạt được điều mình muốn chỉ sau n – 1 nước đi không?

Tiêu chí khả thi

Chúng ta hãy quay trở lại câu hỏi chất trám nào có thể được lấy từ chất trám nào. Chúng ta sẽ gọi phần điền có thể thực hiện được nếu nó có thể thu được bằng cách chuyển đổi các hàng từ phần điền trong đó tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng. Đối với lời giải bài toán 2, chúng tôi đã phát hiện ra rằng nếu phần điền chứa hình vuông $2 \times 2$ trong đó có số dấu cộng lẻ thì điều đó là không thể thực hiện được. Thay vì hình vuông $2 \times 2$, bạn có thể coi 4 ô bất kỳ là các đỉnh của hình chữ nhật có các cạnh song song với các cạnh của bảng (ví dụ về 4 ô như vậy là trong hình 5,a). Trong bốn ô như vậy, số chẵn lẻ của số điểm cộng cũng không thay đổi nên nếu ban đầu chúng đều là điểm cộng thì giữa chúng sẽ luôn có số điểm cộng chẵn. Điều này có nghĩa là nếu có 4 ô trong đó có số dấu cộng lẻ thì việc điền là không khả thi. Nhưng nếu chúng không được tìm thấy, điều này có nghĩa là nó khả thi? Vâng, hóa ra tiêu chí sau đây của chủ nghĩa hiện thực là đúng. Tương đương

Có ba thuộc tính của sự lấp đầy (tức là, nếu một trong những thuộc tính này được thỏa mãn thì hai thuộc tính còn lại cũng được thỏa mãn): 1) nó có thể thực hiện được; 2) trong bất kỳ hình vuông nào $2 \times 2$ số điểm cộng chẵn; 3) Trong 4 ô bất kỳ là các đỉnh của hình chữ nhật có cạnh song song với các cạnh của bàn thì có số chẵn. Thuộc tính thứ hai tiếp nối trực tiếp từ thuộc tính thứ ba, bởi vì một hình vuông $2 \times 2$ - một trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật như vậy. Chúng tôi đã chỉ ra cách thứ hai và thứ ba tiếp nối thuộc tính đầu tiên. Để hoàn thành việc chứng minh tính tương đương của ba tính chất, chúng ta sẽ chỉ ra tính chất thứ nhất nối tiếp tính chất thứ hai như thế nào. Hãy xem xét một cách điền tùy ý mà thuộc tính thứ hai chứa: trong đó trong bất kỳ hình vuông nào $2 \times 2$ số lợi ích chẵn. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó có thể thực hiện được, tức là. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng bằng cách chuyển đổi các hàng, nó có thể dẫn đến tình huống trong đó tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng. Hãy thực hiện những thay đổi như vậy Hình Bao gồm 6 hàng sao cho tất cả các dấu của cột đầu tiên và hàng đầu tiên đều trở thành dấu cộng. Xem ví dụ tại hình 6.

Bài tập 9. Chứng minh rằng luôn có thể thực hiện được việc chuyển đổi như vậy.

Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng sau những lần chuyển đổi như vậy, tất cả các ký hiệu khác của bảng đều trở thành điểm cộng. Bất kỳ hình vuông nào $2 \times 2$ vẫn có số điểm cộng chẵn vì việc chuyển đổi hàng không vi phạm thuộc tính này. Bây giờ hãy xem xét hình vuông phía trên bên trái $2 \times 2$ (hình7,a). Ba dấu hiệu của nó là điểm cộng,

Hình 7

điều đó có nghĩa là điều thứ tư là một điểm cộng. Hãy xem xét hình vuông tiếp theo $2 \times 2$, di chuyển một ô sang phải (hình7,b), tình huống cũng tương tự. Xem xét tất cả các ô vuông như vậy một cách tuần tự, chúng ta thấy rằng tất cả các ký hiệu của bảng đều là điểm cộng.

43

TOÁN HỌC

Bài tập

10. Sự tương đương của tính chất thứ hai và tính chất thứ ba có thể được chứng minh mà không cần sử dụng tính chất thứ nhất hoặc dấu hiệu chuyển đổi. Hãy thử điều này. 11. Một trong các hàng của bảng đã triển khai $8 \times 8$ chứa x dấu cộng. Chứng minh rằng mỗi dòng của phần điền này chứa x hoặc 8 – x dấu cộng. 12. Hãy xem xét một số cách điền bảng $8 \times 8$ có thể thực hiện được. Giả sử có x điểm trừ ở một trong các hàng của nó và điểm trừ y ở một trong các cột và tại giao điểm của chúng có một điểm cộng. Có bao nhiêu điểm trừ trong cách điền này? 13. Có cách nào khả thi để hoàn thành bảng $8 \times 8$ chứa chính xác 6 điểm cộng không?

Số lượng điền đã bán

Hãy điền vào hàng đầu tiên và cột đầu tiên của bảng $m \times n$ một cách tùy ý. Sau đó: trước tiên, các ô còn lại có thể được điền theo cách khả thi; thứ hai, điều này có thể được thực hiện theo cách duy nhất.

Bài tập 14. Chứng minh các khẳng định trên. Gợi ý. Sử dụng tiêu chí khả thi và kết quả của Bài tập 9.

Như vậy, số cách điền vào bảng những ưu và nhược điểm để việc điền có thể thực hiện được bằng số cách điền vào hàng đầu tiên và cột đầu tiên của nó một cách tùy ý. Ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên của bảng $m \times n$ có tổng cộng m + n – 1 ô, nghĩa là có $2 m + n - 1$ phần điền có thể thực hiện được của bảng như vậy.

Điền đồ thị

Trong phần về bảng $2 \times 2$, chúng tôi đã xây dựng một biểu đồ trong đó một cạnh kết nối các đỉnh tương ứng với các phần lấp đầy bảng đó mà có thể lấy được từ nhau chỉ bằng cách chuyển đổi một hàng. Chúng ta có thể xem xét cùng một biểu đồ, nhưng đối với bảng $m \times n$ (nó có $2^{mn}$ đỉnh). Mỗi phần điền thuộc về một số thành phần được kết nối của biểu đồ này. Hai miếng trám thuộc về cùng một thành phần nếu cái này có thể lấy được từ cái kia bằng cách chuyển đổi hàng.

VÒNG TRÒN

Bài tập

15. Có bao nhiêu miếng trám trong thành phần được kết nối chứa miếng trám, trong đó tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng? 16. Có bao nhiêu thành phần liên thông trong biểu đồ này và có bao nhiêu phần lấp đầy trong mỗi thành phần đó? Gợi ý. Bất kỳ phần điền nào cũng có thể được thực hiện bằng cách chuyển các hàng sang phần điền trong đó ở hàng đầu tiên và cột đầu tiên tất cả các dấu hiệu đều là dấu cộng. Trong trường hợp này, tính chẵn lẻ của số dấu cộng ở 4 ô bất kỳ là các đỉnh của hình chữ nhật có cạnh song song với các cạnh của bảng sẽ không thay đổi.

Tìm số lượng miếng trám có thể thực hiện được là phần b) bài toán M665 “Bài toán Kvant. Hãy gặp cô ấy lời giải trong «Kvant» Số 9 năm 1981.

Chuyển đổi ký tự phụ trợ

Điều kiện của bài toán tiếp theo không nói lên điều gì về các phép toán đổi dấu, tuy nhiên, các phép toán đó có thể được xem xét và khi đó bài toán sẽ giúp giải được tiêu chí khả năng thực hiện được. Bài toán 5 (E. Bakaev, Giải đấu các thành phố XXXIV, 2012, M2289). Một số ô của hình vuông $11 \times 11$ chứa các dấu cộng và có một số dấu cộng chẵn. Mỗi ô vuông $2 \times 2$ cũng có số điểm cộng chẵn. Chứng minh rằng số điểm cộng trong 11 ô vuông trên đường chéo chính của hình vuông là số chẵn. Đối với bảng từ bài toán này, thuộc tính thứ hai được thỏa mãn, điều đó có nghĩa là việc điền nó là khả thi. Sau đó, chúng ta có thể xem xét trình tự chuyển đổi các hàng, điều này cho phép chúng ta có được phần điền nhất định từ phần điền chỉ có điểm cộng. Hãy xem xét số lượng điểm cộng trong toàn bộ bảng. Mỗi chuyển đổi hàng thay đổi 11 dấu, có nghĩa là nó thay đổi tính chẵn lẻ của số dấu cộng trong toàn bộ bảng. Vì theo điều kiện, có số chẵn trong toàn bộ bảng và ban đầu số dấu cộng $11^{2} = 121$ là số lẻ nên sau đó có số phép toán lẻ. Mỗi thao tác thay đổi một dấu trên đường chéo và do đó làm thay đổi tính chẵn lẻ của số dấu cộng trên đường chéo. Vì ban đầu có 11 điểm cộng và có số phép tính lẻ nên sẽ có số điểm cộng chẵn trên đường chéo.

Bài tập 17. Giải bài toán 5 theo cách khác, không xét đến thao tác đổi dấu.

44

KVANT 2017/№3

Hãy thử giải bài toán tiếp theo bằng cách chuyển đổi hàng phụ.

Bài tập 18 (V. Proizvolov, Olympic toàn liên minh XXIII, M1181). Có 8 quân xe được đặt trên bàn cờ sao cho chúng không tấn công lẫn nhau. Chứng minh rằng có số chẵn xe nằm trên các ô màu đen.

Dấu hiệu bị xóa

Như chúng tôi đã tìm ra, bằng cách sử dụng m + n – 1 dấu của bảng, bạn có thể khôi phục phần còn lại nếu biết rằng việc điền là khả thi. Ví dụ: điều này có thể được thực hiện bằng các ký tự của một hàng và một cột. Nhưng các dấu m + n – 1, từ đó việc điền có thể thực hiện được có thể được xây dựng lại, có thể được định vị theo cách khác, như có thể thấy khi giải Bài tập 19.

Bài tập

19. Chứng minh rằng tất cả các dấu hiệu điền chưa biết trên hình 5,r đều có thể được khôi phục duy nhất. 20. Phần điền có được khôi phục duy nhất cho 50 ký tự bất kỳ của bảng $8 \times 8$ không?

Vì vậy, đối với một số cách sắp xếp m + n – 1 dấu hiệu đã biết, có thể tái tạo lại một cách rõ ràng các dấu hiệu còn lại từ chúng. Nhưng có đúng là đây là số lượng ký tự nhỏ nhất được yêu cầu không? Vâng, đúng vậy, và đó chính xác là nội dung bài toán 15 của Cuộc thi A.P. Savin (xem «Kvant» số 1 cho năm 2017). Bài toán 6. Petya đã vẽ một bảng $10 \times 10$ và điền dấu cộng vào tất cả các ô của nó. Sau đó, anh ấy đã làm một số việc theo quy tắc sau. Với mỗi hành động, anh chọn ngẫu nhiên một hàng (hàng hoặc cột) và thay đổi từng dấu trong số 10 dấu hiệu của nó thành ngược lại (cộng thành trừ, trừ thành cộng). Khi Petya rời đi sau đó, kẻ bắt nạt Vasya đã xóa một số biển báo - chỉ còn lại N biển báo. Với N nhỏ nhất nào thì bảng kết quả của Petya có thể được xây dựng lại một cách duy nhất từ ​​dữ liệu còn lại? Hãy để chúng tôi trình bày lời giải trong trường hợp tổng quát hơn – cho bảng $m \times n$. Đáp số: m + n – 1 (tương ứng với bảng $10 \times 10$ đáp số: 19). Vì vậy, vẫn còn phải chứng minh rằng nếu biết ít hơn m + n – 1 ký tự thì phần điền không thể được khôi phục một cách duy nhất.

Xét một đồ thị trong đó các đỉnh tương ứng với các hàng (có tổng cộng m + n đỉnh) và hai đỉnh được nối với nhau bằng một cạnh khi và chỉ khi có dấu đã biết tại giao điểm của hai hàng này. Đồ thị này có m + n đỉnh và có số cạnh bằng số dấu đã biết, nghĩa là có ít hơn m + n – 1. Từ tỷ lệ này về số đỉnh và số cạnh, chúng ta có thể kết luận rằng đồ thị bị ngắt kết nối. Hãy xem xét một trong các thành phần được kết nối, gọi tất cả các đỉnh của nó (và tất cả các hàng tương ứng) là màu đỏ và tất cả các đỉnh khác (và các hàng của chúng) là màu xanh lam. Giả sử rằng bằng cách sử dụng các dấu hiệu đã biết, có thể khôi phục rõ ràng toàn bộ phần trám. Hãy xem xét nó. Hãy lần lượt đổi dấu ở từng hàng màu đỏ. Mỗi dấu hiệu đã biết đứng ở giao điểm của hai hàng màu xanh hoặc hai hàng màu đỏ, có nghĩa là với chuỗi hành động này, mỗi dấu hiệu đã biết sẽ không thay đổi chút nào hoặc sẽ thay đổi 2 lần, trong mọi trường hợp nó sẽ giữ nguyên. Đồng thời, việc lấp đầy không còn như cũ, vì mỗi biển báo đứng ở giao điểm của hàng đỏ và xanh đều thay đổi. Vì vậy, chúng tôi đã nhận được một thông tin điền khác trong đó các dấu hiệu đã biết hoàn toàn giống nhau. Điều này có nghĩa là chất trám không thể được khôi phục một cách rõ ràng bằng các dấu hiệu đã biết. Bài viết của P. Kozhevnikov và A. Shapovalov “Liên hệ với biểu đồ” ở «Kvant» Số 4 năm 2014 dành cho nhiều vấn đề khác nhau với ý tưởng này lời giải (xem xét một biểu đồ phụ và sử dụng tính kết nối hoặc ngắt kết nối của nó). Bây giờ chúng ta hãy xem xét bài toán M112 «Bài toán Kvant tương tự. Bài toán 7. Trong một bảng có kích thước $m \times n$ các số được viết sao cho với hai hàng và hai cột bất kỳ, tổng các số ở hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật mà chúng tạo thành bằng tổng các số ở hai đỉnh còn lại của nó. Một số số đã bị xóa nhưng những số còn lại có thể được sử dụng để khôi phục các số đã bị xóa. Chứng minh rằng còn lại ít nhất (n + m – 1) số. Trong bài toán 6 chúng ta đang nói về việc điền có thể thực hiện được, có nghĩa là trong cả bốn ô giống nhau đứng ở giao điểm của 2 hàng và 2 cột, số dấu cộng là chẵn. Chúng tôi không nói về việc sơn lại ở đây.

45

TOÁN HỌC

yakh hoặc về ưu và nhược điểm, nhưng một lần nữa một điều kiện được áp đặt cho cả bốn ô như vậy. Hãy thử giải quyết bài toán này theo cách tương tự. Hãy xem xét cùng một đồ thị bị ngắt kết nối. Một lần nữa, hãy gọi các đỉnh của một thành phần là màu đỏ và tất cả các thành phần còn lại là màu xanh. Trong bài toán trước chúng ta đã nói về việc chuyển đổi hàng, nhưng ở đây không có thao tác nào được đề cập trong điều kiện, nhưng bản thân chúng ta có thể giới thiệu một số thao tác phụ trợ với hàng. Chúng ta muốn gì từ những hoạt động này? Chúng ta muốn các số trong các ô tại giao điểm của các hàng đơn màu không thay đổi mà tại giao điểm của các hàng nhiều màu thay đổi. Hơn nữa, phép toán không vi phạm tính chất là đối với hai hàng và hai cột bất kỳ, tổng các số ở hai đỉnh đối diện của hình chữ nhật mà chúng tạo thành bằng tổng các số ở hai đỉnh còn lại của nó. Ví dụ: thao tác sau là phù hợp: đối với một cột, chúng ta tăng tất cả các số trong cột lên 1 và đối với một hàng, chúng ta giảm tất cả các số trong hàng đi 1. Dễ dàng kiểm tra xem thao tác này có thỏa mãn các yêu cầu cần thiết hay không. Do đó, sau khi thực hiện một thao tác như vậy với mỗi hàng màu đỏ, chúng ta thu được một bảng trong đó các dấu hiệu đã biết là giống nhau, nhưng một số dấu hiệu chưa biết đã thay đổi. Điều này có nghĩa là bảng không thể được xây dựng lại một cách duy nhất khi biết ít hơn n + m – 1 số. bài toán này nói về tính duy nhất của hệ phương trình tuyến tính lời giải. Một lời giải khác của bài toán này, chỉ sử dụng đại số tuyến tính, được đưa ra trong «Kvant» Số 8 cho năm 1972. Trên thực tế, bài toán trước đó cũng giống như bài toán, nhưng thay vì các phương trình tuyến tính thông thường - so sánh modulo 2. Cách tiếp cận này (xem xét bài toán về việc chuyển dấu theo quan điểm tuyến tính đại số) được dành cho bài viết của V. Dorofeev, A. Spivak “Màu đồ thị và phương trình tuyến tính” trong «Kvant» Số 4 cho năm 2011. Chúng tôi khuyên bạn nên nghiên cứu thêm về vấn đề này.

Bổ sung bài toán

1. 30 niken nằm với quốc huy hướng lên trên. Bạn được phép lật lại 29 cái bất kỳ cùng một lúc. Có thể đảm bảo rằng tất cả các đồng xu đều úp xuống không? 2 (Giải đấu các thành phố lần thứ IX, 1987). Một tam giác đều được chia bởi các đường thẳng song song

VÒNG TRÒN

các cạnh của nó thành các tam giác đều bằng nhau. Một trong những hình tam giác nhỏ có màu đen, phần còn lại có màu trắng. Được phép tô màu đồng thời tất cả các hình tam giác giao nhau bởi một đường thẳng song song với bất kỳ cạnh nào của tam giác ban đầu. Có phải luôn luôn có thể, với sự trợ giúp của một số cách đổi màu như vậy, để đảm bảo rằng tất cả các hình tam giác nhỏ đều có màu trắng? 3 (E. Bakaev, Giải đấu giao đấu tưởng nhớ A.P. Savin, 2015). Cho một hình vuông ca rô: a) $5 \times 5$; b) $8 \times 8$. Với một thao tác, bạn có thể chọn bất kỳ hình vuông $3 \times 3$ hoặc bất kỳ hàng hoặc cột bất kỳ và thay đổi màu của tất cả các ô trong khu vực này thành các ô đối diện. Với sự trợ giúp của các thao tác như vậy, từ một hình vuông hoàn toàn màu trắng, chúng ta thu được một hình vuông chứa đúng một ô màu đen. Tế bào này có thể kết thúc ở đâu? Vui lòng cho biết tất cả các lựa chọn. 4. Có bao nhiêu cách tô màu các ô của bảng $10 \times 10$ thành đen trắng sao cho mỗi ô vuông $3 \times 3$ đều có số ô đen chẵn? 5 (A. Zelevinsky, Olympic Moscow, 1970, M32). Tất cả các ô của bảng có kích thước $100 \times 100$ đều chứa dấu cộng. Cho phép đổi dấu đồng thời ở tất cả các ô của một hàng hoặc tất cả các ô của một cột. Liệu sau khi thực hiện các thao tác như vậy nhiều lần, có thể thu được một bảng có chính xác 1970 điểm trừ không? 6 (V. Alekseev, Olympic Moscow, 2007). Trong bảng gồm $n \times n$ ô, hai ô ở góc đối diện có màu đen và các ô còn lại có màu trắng. Số lượng ô trắng nhỏ nhất cần được sơn lại thành màu đen là bao nhiêu để sau đó, bằng cách sử dụng các phép biến đổi bao gồm sơn lại tất cả các ô của cột hoặc hàng bất kỳ bằng màu đối diện, có thể làm cho tất cả các ô của bảng thành màu đen? 7 (A. Bystrikov, Giải đấu các thành phố XXV, 2003). Bảng $m \times n$ liệt kê những ưu và nhược điểm. Trong một nước đi, bạn được phép đổi dấu thành dấu đối diện ở bất kỳ hàng, cột nào hoặc trên bất kỳ đường chéo nào (các ô góc cũng được coi là đường chéo). Chứng minh rằng nếu bảng không bị rút gọn bằng những thao tác như vậy thành bảng chỉ có điểm cộng thì bảng đó chứa hình vuông $4 \times 4$ cũng không bị rút gọn.

Thế Vận Hội

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII dành cho học sinh môn toán

Giai đoạn khu vực của Olympic toàn Nga XLIII được tổ chức đồng thời ở tất cả các vùng của nước ta vào ngày 30 và 31 tháng 1 năm 2017.

Bài toán thế vận hội

lớp 9

1. Trong tích của ba số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích của ba số tự nhiên có tăng đúng bằng năm 2016 không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Vasya nghĩ ra 8 ô vuông trên bàn cờ, không có ô nào nằm trên cùng một hàng hoặc cùng một cột. Trong khi di chuyển, Petya đặt 8 quân xe không tấn công lẫn nhau lên bàn cờ, sau đó Vasya chỉ ra tất cả các quân xe đứng trên các ô đã định. Nếu số quân mà Vasya chỉ ra ở nước đi này là chẵn (tức là 0, 2, 4, 6 hoặc 8), thì Petya thắng; nếu không, tất cả các quân cờ sẽ bị loại khỏi bàn cờ và Petya thực hiện nước đi tiếp theo. Petya có thể đảm bảo thắng với số nước đi tối thiểu là bao nhiêu? I. Bogdanov

3. Xem bài toán M2457 “Bài toán Kvant”.

4. Xem bài toán M2455 “Bài toán Kvant”.

5. Oleg vẽ một cái bàn trống $50 \times 50$ và viết một số lên đầu mỗi cột và bên trái mỗi dòng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết tổng các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cộng”). Số tổng lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường trung tuyến AM và đường cao BH. Đường vuông góc phục hồi tại điểm M thành đường thẳng AM cắt tia HB tại điểm K. Chứng minh rằng nếu $\angle$ MAC $= 30 ^\circ$ thì AK = = BC. B.Obukhov

7. Xem bài toán M2456 “Bài toán Kvant”.

8. Ban đầu, 100 tấm thẻ được đặt trên bàn, trên mỗi tấm thẻ có viết một số tự nhiên; có đúng 43 thẻ số lẻ. Sau đó, thủ tục tiếp theo được thực hiện mỗi phút. Cứ ba lá bài nằm trên bàn, người ta tính tích của các số viết trên đó, tất cả các tích này được cộng lại và số kết quả được ghi trên một lá bài mới, số này được cộng vào những lá bài nằm trên bàn. Một năm sau khi bắt đầu quá trình, hóa ra trên bàn có một tấm thẻ có số chia hết cho $2^{10000}$. Chứng minh rằng một số chia hết cho $2^{10000}$ nằm trên một trong các thẻ chỉ một ngày sau khi bắt đầu. I. Bogdanov

lớp 10

1. Trong tích của năm số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích của nó có thể tăng đúng 15 lần không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Đường tròn có tâm tại điểm I nội tiếp tứ giác ABCD. Tia BA và CD cắt nhau tại điểm P, tia AD và BC cắt nhau tại điểm Q. Biết điểm P nằm trên đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác AIC. Chứng minh điểm Q cũng nằm trên đường tròn $\omega$. A. Kuznetsov

3. Pasha đã chọn các số tự nhiên 2017 (không nhất thiết phải khác) $a_{1}, a_{2}$, …

51

Thế Vận Hội

… $, a_{2017}$ và chơi trò chơi tiếp theo với chính mình. Ban đầu, anh ta có nguồn cung cấp đá không giới hạn và 2017 hộp trống lớn. Trong một nước đi, Pasha thêm $a_{1}$ viên đá vào bất kỳ hộp nào (theo lựa chọn của anh ấy), $a_{2}$ viên đá vào bất kỳ hộp nào còn lại (theo lựa chọn của anh ấy), … và cuối cùng, vào hộp còn lại - $a_{2017}$ viên đá. Mục tiêu của Pasha là đảm bảo rằng sau một nước đi nhất định sẽ có số lượng đá bằng nhau trong tất cả các ô. Liệu anh ta có thể chọn những con số sao cho có thể đạt được mục tiêu sau 43 nước đi, nhưng không phải với số nước đi nhỏ hơn 0 không? I. Bogdanov

4. Giáo viên sẽ cho trẻ bài toán loại sau. Anh ta sẽ nói với họ rằng anh ta đã nghĩ ra một đa thức P(x) bậc 2017 với các hệ số nguyên có hệ số cao nhất là 1. Sau đó, anh ta sẽ báo cáo k số nguyên $n_{1}, n_{2}$, … $, n_{k}$ và báo cáo riêng giá trị của biểu thức $P ( n_{1} ) P ( n_{2} )$ … $P ( n_{k} )$. Sử dụng những dữ liệu này, trẻ phải tìm ra một đa thức mà giáo viên có thể đã dự định. Giáo viên có thể soạn bài toán ở mức tối thiểu nào để đa thức mà trẻ tìm thấy nhất thiết phải trùng với dự định? G. Zhukov

5. Oleg vẽ một bảng trống $50 \times 50$ và viết một số khác 0 lên trên mỗi cột và bên trái mỗi hàng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết ra tích của các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cửu chương”). Số sản phẩm lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Xem bài toán M2454 “Bài toán Kvant”.

7. Xem bài toán 7 cho lớp 9.

8. Vòng tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Chọn điểm D trên cạnh AB, lấy điểm E trên cạnh BC sao cho AC || D.E. Các điểm P và Q trên cung nhỏ AC của đường tròn $\omega$ sao cho DP P EQ. Tia QA và PC cắt đường thẳng DE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng $\angle$ XBY $+ \angle$ PBQ $= 180 ^\circ$. A. Kuznetsov

lớp 11

1. Trong tích của bảy số tự nhiên, mỗi thừa số giảm đi 3. Liệu tích đó có thể tăng đúng 13 lần không? N. Agakhanov, I. Bogdanov

2. Xem bài toán 2 cho lớp 9.

3. Xem bài toán 4 cho lớp 10.

4. Tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn Ω và nội tiếp đường tròn $\omega$. Trên các cạnh AC và AB lần lượt chọn P và Q sao cho đoạn PQ đi qua tâm tam giác ABC. Các vòng tròn $\Gamma_{b}$ và $\Gamma_{c}$ được dựng trên các đoạn BP và CQ làm đường kính. Chứng minh rằng các đường tròn $\Gamma_{b}$ và $\Gamma_{c}$ cắt nhau tại hai điểm, một điểm nằm trên Ω và điểm kia nằm trên $\omega$. A. Hakobyan

5. Oleg vẽ một cái bàn trống $50 \times 50$ và viết một số lên đầu mỗi cột và bên trái mỗi dòng. Hóa ra tất cả 100 số được viết đều khác nhau, trong đó 50 số là số hữu tỷ và 50 số còn lại là số vô tỷ. Sau đó, vào mỗi ô của bảng, anh ấy viết ra tích của các số được viết bên cạnh hàng và cột của nó (“bảng cửu chương”). Số sản phẩm lớn nhất trong bảng này có thể là số hữu tỉ là bao nhiêu? O. Podlipsky

6. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn $\Gamma c$ có tâm tại điểm O. Các đường chéo AC và BD vuông góc và cắt nhau tại điểm P và điểm O nằm bên trong tam giác BPC. Trên đoạn BO, điểm H được chọn sao cho $\angle$ BHP $= 90 ^\circ$. Đường tròn $\omega$ ngoại tiếp tam giác PHD cắt đoạn thẳng PC lần thứ hai tại điểm Q. Chứng minh rằng AP = CQ. A. Kuznetsov

7. Có nhiều đường thẳng vẽ trên một mặt phẳng, không có hai đường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng trong các lĩnh vực

55

Thế Vận Hội

Hạ. Chuyện này xảy ra ở tầng mấy? Sự phụ thuộc của nhiệt độ động cơ vào thời gian T(t) được biểu diễn ở hình 8. Biết rằng

Hình 8

rằng cùng một điện áp luôn được cung cấp cho động cơ; Bỏ qua ma sát ở động cơ và ổ trục tời. Giả sử g = 10 m $с^{2}$, chiều cao 1 tầng h = = 3 m, công suất nhiệt của động cơ điện C = 4,5 kJ $^\circ$ S. I. Yudin

lớp 11

Bài toán 1. Bình thông nhau Trong hai bình hình trụ thẳng đứng thông nhau giống hệt nhau, chất lỏng có mật độ $\rho$ tìm thấy và bắt đầu chảy, tốc độ tăng mức của nó phía trên pít-tông là v = 0,2 mm/s. 1) Khi bắt đầu quá trình, bề mặt chất lỏng trong bình bên phải chuyển động với tốc độ bao nhiêu $v_{п}$? 2) Ở tốc độ nào $v_{л}$ và theo hướng nào (lên hoặc xuống) bề mặt chất lỏng di chuyển phía trên pít-tông khi bắt đầu quá trình? 3) Ở độ cao h tính từ đáy bình, bề mặt chất lỏng phía trên pít-tông sẽ là: a) sau 600 s; b) sau 1100 s? Nhiệt độ trong tàu có thể được coi là không đổi. Chất lỏng không đổ ra khỏi bình. A. Apollonsky

Bài toán 2. Cửa sổ nâng Khi bật mô tơ cửa sổ điện của một cửa ô tô, cửa sổ sẽ nâng từ vị trí dưới lên vị trí trên theo thời gian $t_{1}$. Nếu bật cùng lúc 2 cửa sổ chỉnh điện thì cửa sổ sẽ nâng lên theo thời gian $t_{2} ( t_{2} > t_{1} ).$ 1) Trong thời gian nào $t_{3}$ 3 cửa sổ ô tô sẽ nâng lên khi 3 cửa sổ chỉnh điện cùng lúc hoạt động? 2) Sẽ mất bao lâu $t_{4}$ để cả bốn cửa sổ của ô tô mở lên khi cả bốn cửa sổ điện đều hoạt động đồng thời? Ghi chú. Xét rằng lực cần thiết để nâng kính không phụ thuộc vào tốc độ nâng và lực kéo của động cơ kính là

Hình 9

Đây là chất lỏng có mật độ $\rho$ (hình9). Mực chất lỏng ban đầu trong bình cách đáy bình l = 10 cm. Các bình được nối thông qua các lỗ ở đáy bằng một ống nhỏ có thể tích không đáng kể. Trong bình bên trái, ở độ cao 2l tính từ đáy, có một pít-tông nhẹ có thể chuyển động tự do không ma sát với thành bình. Có không khí dưới piston ở áp suất khí quyển $p_{0} = 2 \rho gl$. Từ thời điểm t = 0 vào bình trái vào khoảng trống phía trên pít-tông

“Hộp đen”