Kvant 2018, số 4 · Trang

23

CUỘC THI

TÊN

có hình dáng giống hệt nhau và có cùng tên như đối với điện trường. Điều này (theo quan điểm của tác giả) biện minh cho việc định nghĩa lại lưỡng cực từ. Mặt khác, ký hiệu nào để biểu thị tham số này hoặc tham số kia có gì khác biệt nếu văn bản đi kèm chứa định nghĩa của nó. Ví dụ: nếu trong bài toán chúng ta đang nói về việc tìm gia tốc của một khối khi nó bắt đầu trượt xuống một mặt nghiêng

A.P SAVINA

mặt phẳng có ma sát, biểu thị khối lượng của vật nặng ký hiệu g, gia tốc rơi tự do ký hiệu P, hệ số ma sát ký hiệu D và góc nghiêng của mặt phẳng so với đường chân trời ký hiệu m, khi đó đối với gia tốc tìm được, bạn sẽ nhận được một công thức trông khác thường (mời độc giả tự suy ra và mỉm cười). Nhưng bản chất của vấn đề không thay đổi chút nào từ việc thay thế các biểu tượng này!

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi đang hoàn thành một cuộc thi khác về lời giải toán bài toán. Chúng chủ yếu nhắm đến học sinh từ lớp 7 đến lớp 9, nhưng chúng tôi hoan nghênh học sinh ở mọi lứa tuổi tham gia. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

29. Ở Shilovsk, dùi rẻ hơn ở Mylovsk 1% và xà phòng đắt hơn 1%. Du lịch từ thành phố này sang thành phố khác tốn 1000 rúp. Một doanh nhân trẻ sống ở Shilovsk có 100 nghìn rúp và mơ ước trở nên giàu có, “đổi dùi lấy xà phòng”. Liệu giấc mơ của anh ấy có thành hiện thực? A. Zaslavsky

30. Người thợ khắc đánh bóng viên kim cương có hình khối đa diện lồi, dần dần biến nó thành một viên kim cương. Trước tiên, anh ấy bắt đầu bằng việc cắt bỏ tất cả các góc của hình thoi đa diện (các kim tự tháp nhỏ ở trên cùng) bằng một con dao phẳng được mài sắc. Chứng minh rằng sau thao tác này, số đỉnh của khối đa diện thu được sẽ là số chẵn và số cạnh sẽ chia hết cho 3. G. Galperin

31. Bạn được phát một bàn cờ ca rô, ban đầu tất cả các ô trong đó đều có màu đen. Trong một thao tác, bạn có thể chọn bất kỳ hình 5 ô nào trên bảng, như trong Hình 1 (hình có thể xoay) và thay đổi màu của từng ô của hình này thành màu đối diện (đen sang trắng và ngược lại). Có thể sơn lại toàn bộ tấm bảng như Hình 1 bằng màu trắng nếu: a) tấm bảng có kích thước 7 ¥ 7; b) thước bảng 8 ¥ 8? S. Kostin

32. Cắt hình ở Hình 2 thành hai phần bằng nhau. V. Rastorguev

Hình 2

Cần bổ sung thêm vào những khám phá này … vô số phép đo về độ dài cung độ của kinh tuyến … Pierre Simon Laplace

“Na Uy” mô tả một vòng tròn gần Bắc Cực. Sau đó chúng tôi tiếp tục cuộc hành trình… Con đường được đưa về phía nam… Roald Amundsen

… con tàu “Nữ hoàng” ngoài khơi bị sét đánh… Khi màn đêm buông xuống, vị trí của các ngôi sao cho thấy trong số ba chiếc la bàn trên tàu, hai chiếc thay vì hướng về phía bắc lại bắt đầu chỉ về phía nam, và chiếc thứ ba bắt đầu chỉ về phía tây. Dominique Francois Arago

Việc Trái đất của chúng ta quay quanh trục của nó có thể được phát hiện mà không cần nhìn vào các ngôi sao, chẳng hạn, với sự trợ giúp của cái gọi là con lắc Foucault. Richard Feynman

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

vật lý+địa lý

Từ thời xa xưa, con người đã tìm cách khám phá những vùng đất chưa được khám phá. Mở rộng tìm kiếm của họ, khách du lịch, thủy thủ và thương nhân cần những điểm mốc đáng tin cậy. Sớm hay muộn họ cũng tự hỏi bề mặt Trái đất có cấu tạo như thế nào, Trái đất nặng bao nhiêu, hình dạng như thế nào và nó chuyển động như thế nào. Để làm được điều này, họ đã phát minh ra các công cụ giúp xác định vị trí, vẽ bản đồ địa lý, tìm cách đo thời gian ngày càng chính xác hơn, không quên nhìn lên bầu trời đầy sao. Nhưng bài toán việc học một điều gì đó xảy ra ở đâu, khi nào và nó di chuyển như thế nào thuộc về “khoa” vật lý - bất kỳ khóa học nào của nó đều bắt đầu bằng các câu hỏi liên quan đến không gian và thời gian. Đây chẳng phải là điều đang được thảo luận trong các trích dẫn trên của các nhà khoa học và nhà tự nhiên học xuất sắc sao? Việc kết nối khoa học với lời giải các vấn đề ứng dụng đã giúp, trong một thời gian ngắn về mặt lịch sử, không chỉ có thể chuyển từ các công cụ điều hướng nguyên thủy sang các hệ thống vệ tinh chính xác nhất mà còn mở rộng kiến ​​thức của chúng ta về cả cấu trúc của Trái đất và toàn bộ thế giới xung quanh nó. Hôm nay nói về sự kết hợp giữa địa lý và vật lý, chúng ta không thể bỏ qua sự tham gia của thiên văn học vào đó. Như vậy, chúng ta đã tiến thêm một bước nữa trên con đường đạt tới những đỉnh cao vốn đã cao ngất trời, nơi chúng ta sẽ lao vào số tiếp theo của Kính vạn hoa.

Câu hỏi và bài toán

1. Lữ khách sẽ đến đâu nếu luôn đi về hướng Tây Bắc? (Không tính biển và núi.) 2. Một người đi bộ 10 km về phía bắc, 10 km về phía tây, 10 km về phía nam và 10 km về phía đông, đồng thời quay trở lại điểm xuất phát. Anh ấy đến từ đâu? 3. Những chuyến đi vòng quanh thế giới có phải là bằng chứng về tính hình cầu của Trái đất không? 4. Tại sao Magellan và nhóm của ông xác định vĩ độ dễ dàng hơn kinh độ? 5. Lịch trên tàu Magellan sau chuyến đi vòng quanh thế giới đã khác với lịch cảng một ngày. Lịch nào đã ở phía trước? 6. Hiện tượng thiên thể nào chứng tỏ Trái Đất có hình cầu? 7. Ai và ở đâu đến gần tâm Trái đất nhất? 8. Sự khác biệt về trọng lượng của các vật thể và độ lệch của dây dọi tại các điểm khác nhau trên địa cầu có thể được coi là bằng chứng về sự quay của Trái đất không? 9. Độ dài của bóng do một vật thể tạo ra thay đổi trong ngày. Bóng ngắn nhất là vào buổi trưa; vào buổi tối cái bóng “lớn lên”. Có nơi nào trên Trái đất mà độ dài của bóng không thay đổi trong ngày không? 10. Độ dài ngày và đêm ở xích đạo thay đổi như thế nào trong năm? 11. Liệu ngày và đêm có thay đổi không?

trên Trái đất nếu nó ngừng quay trên trục của nó? 12. Ở vĩ độ cao, tia nắng làm ấm trái đất một cách yếu ớt vào mùa hè, nhưng lại làm nóng mạnh bất ngờ các vật thể bay thẳng đứng. Làm thế nào chúng ta có thể giải thích điều này? 13. Tại sao người Hy Lạp cổ đại khi định hướng trên bầu trời đầy sao lại coi trục chính là “đông-tây” chứ không phải “bắc-nam” như những người cùng thời với chúng ta? 14. Hệ thống thiên văn nào - Ptolemy hay Copernicus - thích hợp hơn? 15. Khi bay tới Bắc Cực, la bàn từ tính thông thường hoạt động rất kém và thực tế không thể sử dụng được. Tại sao? 16. Nếu đế của kim nam châm được phép chuyển động tự do thì dưới tác dụng của nam châm vĩnh cửu nó không những quay như trong từ trường Trái đất mà còn chuyển động về phía nam châm. Lý do cho hành vi mũi tên khác nhau là gì?

Kinh nghiệm vi mô

Lấy một bản đồ địa lý của Nga và một quả địa cầu. Sử dụng thước kẻ, đo khoảng cách giữa Moscow và Khabarovsk trên bản đồ và sử dụng một sợi chỉ kéo dài - trên quả địa cầu. So sánh kết quả (đừng quên thang đo!). Họ có phù hợp không?

Thật thú vị rằng…

…khoảng năm 600 trước Công nguyên, các thủy thủ người Phoenician đã hoàn thành một kỳ tích về mặt địa lý - chuyến hành trình kéo dài ba năm vòng quanh Châu Phi. Đi vòng quanh từ phía nam, người Phoenicia nhìn thấy Mặt trời di chuyển trên bầu trời từ phải sang trái, và điều này cho thấy rằng họ thực sự đã đến thăm bán cầu nam! … Trở lại năm 238 trước Công nguyên, nhà khoa học Hy Lạp Eratosthenes ở Cyrene, chỉ sử dụng thước đo góc với dây dọi và thước kẻ, đã tính được bán kính Trái đất. Kết quả này chỉ được cải thiện sau 2000 năm. …một bản đồ thế giới thuận tiện cho các thủy thủ, vẫn không mất đi ý nghĩa cho đến ngày nay, trên đó các đường vĩ tuyến và kinh tuyến được mô tả là các đường thẳng cắt nhau một góc $90 ^\circ$, được Fleming Gerardus Mercator xuất bản năm 1569. … Galileo, sau khi phát hiện ra các vệ tinh của Sao Mộc và đo chu kỳ quay của chúng, đã nhìn thấy ở đây một chiếc đồng hồ thiên thể “tấn công” vào thời điểm mặt trời mọc.

vâng mọi vệ tinh. Nhà khoa học gợi ý rằng một chiếc đồng hồ như vậy có thể được sử dụng để xác định kinh độ địa lý, điều mà các thủy thủ rất cần. …vào đầu thế kỷ 17 đã có những tranh chấp kéo dài giữa những người theo Newton, người coi Trái đất bị dẹt - một “quả quýt”, và cha con nhà thiên văn học của Cassini, những người tin rằng nó bị kéo dài dọc theo trục quay - một “quả chanh”. Các phép đo độ dài của cung kinh tuyến gần xích đạo và ở các vùng cực, được thực hiện trong một số chuyến thám hiểm, đã xác nhận tính đúng đắn của Newton.

…nếu chúng ta tính đến độ dốc của Trái đất, thì hóa ra đỉnh núi Kilimanjaro, nằm gần xích đạo, cách tâm Trái đất khoảng 6 km so với đỉnh của ngọn núi cao nhất thế giới - Everest.

… ngay cả Christopher Columbus cũng nhận thấy rằng trong chuyến hành trình của mình, kim nam châm đã lệch đáng kể so với hướng bắc-nam. Để tránh tình trạng bất ổn trên tàu, cần phải nói với những thủy thủ mê tín rằng điều này bị ảnh hưởng bởi sự dịch chuyển của Sao Bắc Đẩu. Chẳng bao lâu, hành vi này của kim từ được giải thích là do ảnh hưởng của từ trường Trái đất. …định vị vệ tinh hiện đại cho phép bạn xác định vị trí và tốc độ chuyển động của một vật thể ở bất kỳ đâu trên thế giới. Để thực hiện điều này, hệ thống thu cần đăng ký tín hiệu đến từ ít nhất bốn vệ tinh và từ độ trễ của từng tín hiệu, tính toán khoảng cách đến chúng, đồng thời, vị trí chính xác của nó.

Đọc gì trong «Kvant» về chủ đề “Vật lý + Địa lý”

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Kính vạn hoa vật lý” – 2012. Phụ lục số 3, tr. 16; 2. “Về đỉnh và con quay hồi chuyển” – 2015, số 1, tr. 28; 3. “Chim gõ kiến ​​Spyatel lên kế hoạch đi nghỉ như thế nào” – 2015, số 5/6, tr. 28; 4. “Từ cực này sang cực khác” – 2016, Phụ lục số 2, tr. 62; 5. “Khoảng cách trên một quả cầu” – 2017, số 4, tr. 36; 6. “Câu chuyện về Pinocchio và Quả cầu của Ngài” – 2017, số 11, tr. 24.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

35

LA B O R A T O R I A

Đây là một ví dụ điển hình. “Cánh quạt ma thuật” được chúng ta mô tả như một cây gậy có khía và một cánh quạt đóng trên một chiếc đinh đóng vào đầu của nó. Cánh quạt quay khi một thanh khác di chuyển dọc theo các rãnh. Thật đơn giản làm sao! Vâng, tôi sẽ làm điều đó ngay bây giờ… Và, sau khi tìm thấy một cây gậy, tôi bắt đầu dùng dao tạo các vết khía trên đó. Nhưng tôi nhớ rằng khoảng bảy mươi năm trước, tôi không chỉ nhìn thấy thủ thuật tương tự này trong giờ ra chơi của một người bạn cùng lớp mà còn lặp lại nó vào cùng ngày đó trước mặt các đồng đội của tôi trong sân. Nhưng bạn không cần phải làm bất cứ điều gì: một lưỡi dao cạo an toàn được đặt trên một cây bút chì được mài sắc gọn gàng, chúng tôi đã gọt cây bút chì này, cây bút chì được kẹp theo chiều ngang trong phần hõm giữa ngón cái và ngón trỏ, còn ngón giữa và ngón đeo nhẫn duỗi thẳng phải dùng một chút sức kéo dọc theo bàn làm việc hoặc dọc theo băng ghế trong sân. Lưỡi kiếm quay tròn như cánh quạt máy bay! Tuy nhiên, thật khó để mô tả trải nghiệm ở dạng này. Bây giờ, nếu bạn nhìn thấy nó một lần thì lại là chuyện khác; bất kỳ cậu bé nào cũng sẽ hiểu và lặp lại nó. Nhưng đây là một lựa chọn thậm chí còn đơn giản và hiện đại hơn, dành cho bất kỳ cô gái nào. Trong nắp của một loại thuốc cũ nào đó, tôi nhìn thấy một chiếc cánh quạt đã hoàn thiện với sáu lưỡi dao rất đẹp và dùng dao nhíp và kéo cắt nó ra. Trong bức ảnh (Hình 1), có thể thấy bên cạnh các “thiết bị” khác - một cây bút máy không có bộ phận viết để lắp cánh quạt vào và một chiếc dao cạo không dây - nó rung tốt và run khi bật. Bức ảnh thứ hai (Hình 2) cho thấy cách giữ tay cầm bằng cánh quạt và

“QUANTA”

Hình 2. Hội

Tất cả những gì còn lại là ấn góc của dao cạo đang hoạt động vào tay cầm. Cánh quạt quay như điên. Đối với sinh viên vật lý, trải nghiệm được đề xuất giúp các em hiểu được mối liên hệ giữa chuyển động quay và chuyển động dao động. Và điều này góp phần vào sự hiểu biết về một hiện tượng vật lý đẹp đẽ và quan trọng như hiệu ứng Zeeman. Có nhiều lựa chọn cho màn trình diễn ngoạn mục này. Một cậu bé chăm chỉ có thể cắt mô hình máy bay từ một mảnh gỗ, hoặc đơn giản là từ một mảnh gỗ, và tự do gắn một cánh quạt nhỏ làm bằng thiếc hoặc thậm chí là bìa cứng (Hình 3). Có thể dao động

Hình 3. Một lựa chọn khác

Hình 1. Khoảng trống

tổ chức bằng cùng một chiếc dao cạo hoặc một chiếc lược chắc chắn. Sự rung động của thân máy bay khiến cánh quạt quay hoàn hảo. Và nó khá đơn giản, đối với những người lười biếng nhất - bạn thoải mái nhét cánh quạt cùng với trục của nó vào một ống từ một cây bút bi lớn cũ hoặc vào một ống cocktail và di chuyển nhẹ nó dọc theo ống bằng một chiếc lược. Sau năm phút, bạn sẽ hiểu rõ về nó, bạn sẽ tìm được chỗ cho cả ngón tay và răng lược. Chúc bạn may mắn!

LỊCH SỬ TOÁN HỌC

Định lý đẳng giác

A. KULIKOVA, D. PROKOPENKO

Phân giác là các đường đẳng giác trùng nhau

bài toán đầu tiên tương đương với bài toán M141 từ “Bài toán Kvant”. Bài toán 1. Trong tam giác ABC, các đường Chevian $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm (Hình 2). Hóa ra là $B_{1} A_{1} C$ $C_{1} A_{1} B$. Chứng minh rằng $AA_{1}$ là chiều cao.

Những đường thẳng đi qua đỉnh của một góc và đối xứng qua tia phân giác của nó ta gọi là đường đẳng giác đối với góc này. Bài viết sẽ thảo luận về định lý quan trọng sau đây và các ứng dụng của nó. Định lý về đường đẳng giác. Cho OB và OC là hai đối giác của góc AOD. Đường thẳng AC và BD cắt nhau tại điểm Q, đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm P. Khi đó OP và OQ cũng là hai góc đối với góc AOD. Hình 1 cho thấy hai trường hợp có thể xảy ra về vị trí của các đường đẳng giác OP và OQ so với góc AOD. Để thuận tiện, chúng tôi sẽ đánh dấu các cạnh của góc ban đầu bằng màu xanh lam và các đoạn nằm bên trong các góc bằng nhau (đoạn AB và CD hoặc AC và BD) bằng màu đỏ và xanh lục.

Hình 2

Lời giải. Chúng ta hãy áp dụng định lý đẳng giác cho góc chưa gấp $BA_{1} C$ và các đường đẳng giác $A_{1} C_{1}$ và $A_{1} B_{1}$. Khi đó $A_{1} A$ và $A_{1} P$ là các đường đẳng giác trùng nhau của góc $BA_{1} C$, tức là $A_{1} A$ – phân giác của góc $BA_{1} C$. Do đó, $A_{1} A$ là chiều cao của tam giác ABC. Bài toán 2 (Olympic St. Petersburg, 2008). Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các đường chéo AC và DB cắt nhau tại điểm E và các đường thẳng chứa các cạnh đối diện cắt nhau tại điểm F (Hình 3). Trên đường thẳng EF ta lấy điểm sau

Hình 1

Ở cuối bài viết, chúng tôi trình bày một bổ đề hữu ích về tính chất và kiểm tra các đường đẳng giác và chứng minh định lý. Đầu tiên, hãy cho thấy định lý này hoạt động như thế nào. Hãy chuyển sang nhiệm vụ. Hãy bắt đầu với trường hợp đặc biệt khi các đường đẳng giác OB và OC trùng nhau.

Bài viết này là phiên bản sửa đổi của báo cáo của học sinh lớp 11 A. Kulikova tại Hội nghị Toán học dành cho học sinh Moscow (MMKSH) năm 2016. Tác giả thứ hai của bài báo là người đứng đầu công trình này.

Hình 3

P đó là BPE EPC. Chứng minh rằng APE DPE. Lời giải. Lưu ý rằng PE là các đường đẳng giác trùng nhau của góc BPC. Điểm E và F là các điểm trên đường đẳng giác này. Điểm A và D lần lượt là giao điểm của các đường thẳng FB và CE, FC và BE. Theo định lý đẳng giác thì PA và PD cũng là hai góc đẳng giác của góc BPC. Sledova-

42

KVAN T 2018/№4

Do đó, các đường thẳng PA và PD đối xứng nhau qua phân giác của góc BPC. Có thể chứng minh rằng trường hợp APE DPE 180 q không được thực hiện, tức là APE DPE, đây là điều cần phải chứng minh. Điều thú vị là đối với lời giải bài toán thực tế là tứ giác nội tiếp không được sử dụng, điều đó có nghĩa là phát biểu bài toán đúng với mọi tứ giác lồi.

Bài tập 1. Trong tam giác ABC, các đường cevian $AA_{1}, BB_{1}$ và $CC_{1}$ cắt nhau tại một điểm. Hóa ra $A_{1} A$ là phân giác của góc $C_{1} A_{1} B_{1}$. Chứng minh rằng $AA_{1}$ là chiều cao.

Bài toán 3 (Giải đấu các thành phố, 2006). Trong tam giác ABC vẽ đường phân giác AA c và chọn điểm X trên đoạn AA c (Hình 4). Đường thẳng BX cắt AC tại B c và đường thẳng CX cắt AB tại C c.

3. Trên đường thẳng chứa phân giác góc B của tam giác ABC, chọn hai điểm K và L sao cho B nằm giữa K và L. Đường thẳng CK và AL cắt nhau tại điểm M, đường thẳng AK và CL cắt nhau tại điểm N. Chứng minh rằng MBA NBC. 4 (St. Petersburg, Thế vận hội FML 239, 2016). Trong tứ giác lồi ABCD, các tia AB và DC cắt nhau tại điểm P, các tia BC và AD cắt nhau tại điểm Q. Trên đường chéo AC có một điểm T sao cho các tam giác BTP và DTQ lần lượt bằng nhau. Chứng minh rằng BD P PQ. Gợi ý. Từ sự giống nhau của các tam giác, suy ra TB và TD là các tam giác vuông góc PTQ. Điểm A và C lần lượt là giao điểm của các đường PB và QD, BQ và PD. Theo định lý đẳng giác thì TA và TC là hai đường đẳng giác trùng nhau. Do đó TC là phân giác của góc PTQ. Cần lưu ý rằng các tam giác ATP và ATQ có hai góc giống nhau (tại sao góc P và Q bằng nhau?) và có một cạnh chung nên chúng bằng nhau.

Trường hợp chung

Điều thú vị là thoạt nhìn hai bài toán tiếp theo sử dụng những cấu trúc hoàn toàn khác nhau. Bài toán 4 là về một hình tam giác và bài toán 5 là về một hình bình hành. Bài toán 4. Trên các cạnh AB và AC của tam giác nhọn ABC, các hình vuông ABFE và ACGT được dựng bên ngoài (Hình 5). Chứng minh rằng điểm P cắt nhau

Hình 4

Các đoạn A c B c và CC c cắt nhau tại điểm P, các đoạn A c C c và BB c cắt nhau tại điểm Q. Chứng minh rằng các góc PAC và QAB bằng nhau. Lời giải. Đối với lời giải bài toán, một lần nữa thuận tiện hơn khi coi phân giác A c A là hai đường đẳng giác trùng nhau của góc BAC. Các điểm X và A c nằm trên các cạnh đẳng giác, C c và B c nằm trên các cạnh của góc. Điểm Q và P lần lượt là giao điểm của các đường XB c và A c C c, XC c và A cBc. Theo định lý về các đường đẳng giác thì AQ và AP cũng là các đường đẳng giác của góc BAC, tức là PAC QAB.

Bài tập

2 (Ukraine, được chọn tham dự Olympic quốc tế, 2004). Gọi M là điểm phân giác AL của tam giác ABC. Một đường thẳng đi qua L cắt AB tại điểm P và kéo dài AC vượt quá điểm C đến điểm Q. Gọi N là giao điểm của BM và PQ, còn K là giao điểm của QM và BC. Chứng minh rằng NAL KAL.

Hình 5

của các đường thẳng CF và BG nằm ở độ cao $AA_{1}$. Bài toán 5 (A. Polyansky, Olympic hùng biện về hình học ở Moscow, 2010). Các đường vuông góc AM với BC và AN với CD được thả từ đỉnh A của hình bình hành ABCD, P là giao điểm của BN và DM (Hình 6). Chứng minh hai đường thẳng AP và MN vuông góc. Hóa ra cả hai bài toán này đều là trường hợp đặc biệt của cách xây dựng sau.

44

KVAN T 2018/№4

Vậy CK là phân giác của góc BCD. Trước khi chuyển sang bài toán 8, hãy thử tự mình giải bài tập này.

Bài tập 7 (P. Kozhevnikov). Trên đường chéo AC của hình thoi ABCD lấy điểm E tùy ý, khác với các điểm A và C, trên các đường thẳng AB và BC lần lượt lấy các điểm N và M sao cho AE = NE và CE = ME. Gọi K là giao điểm của AM và CN. Chứng minh rằng các điểm K, E và D cùng thuộc một đường thẳng.

Bài toán 8 (V. Yasinsky, Olympic Hình học được đặt theo tên của I.F. Sharygin, vòng trao đổi thư từ, 2013). Lấy một điểm tùy ý $C_{1}$ trên cạnh AB của tam giác ABC (Hình 10).

Hình 10

Các điểm $A_{1}, B_{1}$ trên tia BC và AC sao cho $AC_{1} B_{1}$ $BC_{1} A_{1}$ ACB. Các đường $AA_{1}$ và $BB_{1}$ cắt nhau tại điểm $C_{2}$.

góc $AC_{1} B$. Khi đó các đường thẳng $C_{2} C_{1}$ và $CC_{1}$ đối xứng với đường thẳng AB. Do đó, đường thẳng $C_{2} C_{1}$ luôn đi qua điểm C c, đối xứng với điểm C so với đường thẳng AB. Điều thú vị là điều kiện $AC_{1} B_{1}$ $BC_{1} A_{1}$ ACB không được sử dụng đầy đủ. Chúng tôi chỉ sử dụng đẳng thức $AC_{1} B_{1}$ $BC_{1} A_{1}$. bài toán tiếp theo được lấy từ cuốn sách “Hình học trong Hình ảnh” của A. Akopyan, vì vậy chúng tôi sẽ cung cấp nó gần như không có văn bản. Trong lời giải khái niệm điểm liên hợp đẳng giác sẽ được sử dụng. «Kvant» đã viết về điều này - ví dụ, trong bài viết của P. Kozhevnikov “Điểm liên hợp đẳng giác” ở vị trí số 1 năm 2016. Bài toán 9. Chứng minh rằng AX, BY, CZ cắt nhau tại một điểm (Hình 11, a). Lời giải. Xét góc BAC và góc này được vẽ là AZ và AY. Giả sử BY cắt CZ tại điểm D (Hình 11b). Theo định lý về các đường đẳng giác thì AX c và AD là các đường đẳng giác của góc BAC. Lưu ý rằng X và X c là các điểm liên hợp đẳng giác. Do đó, AX c và AX – cũng đẳng giác. Điều này có nghĩa là các đường thẳng AX và AD trùng nhau. Các đường thẳng AX, BY, CZ đi qua điểm D.

Bài tập 8. Chứng minh rằng với điều kiện bài toán 9 (xem hình 11, b) các đường thẳng X c Z c, Hz, AC cắt nhau tại một điểm. Gợi ý. Xét góc ZAZc. Từ bài toán 9 chúng ta biết rằng AXc và AX là các đường đẳng giác của góc này.

Hình 11

Chứng minh rằng mọi đường thẳng $C_{1} C_{2}$ đều đi qua một điểm cố định. Lời giải. Xét góc chưa mở $AC_{1} B$, trong đó $C_{1} B_{1}$ và $C_{1} A_{1}$ là đẳng giác. Điểm C và $C_{2}$ lần lượt là giao điểm của các đường $AB_{1}$ và $BA_{1}, AA_{1}$ và $BB_{1}$. Theo định lý đẳng giác, $C_{1} C_{2}$ và $C_{1} C$ là hai đẳng giác

Các đường thẳng X c Z và Z c X cắt nhau tại điểm B. Khi đó các đường thẳng XX và X c Z c cắt nhau tại một điểm Q sao cho AB và AQ là các đường đẳng giác của góc ZAZc.

(Còn tiếp)

54

KVAN T 2018/№4

Hình 6

có thể được đặt trên hiện trường (Hình 6, b). Như vậy, chúng ta đã chứng minh được số lượng tàu ba tầng lớn nhất có thể đưa vào thực địa là 9.

KÍNH KÍNH KÍNH “QUANTA”

CÂU HỎI VÀ THÁCH THỨC

1. Người du hành sẽ đến (theo hình xoắn ốc) tới Bắc Cực. 2. Từ các điểm nằm trên vĩ tuyến cách xích đạo 5 km về phía Nam. 3. Việc di chuyển như vậy chỉ chứng tỏ sự khép kín của bề mặt trái đất; Một ví dụ về điều này có thể là bề mặt của một hình trụ. 4. Để đo vĩ độ, chỉ cần nhìn vào độ cao của Sao Bắc Đẩu so với đường chân trời. Và việc xác định kinh độ cũng tương đương với việc đồng bộ đồng hồ với nơi xuất phát, đòi hỏi phải có những chiếc đồng hồ bấm giờ chính xác, được phát minh sau những chuyến đi đầu tiên vòng quanh thế giới. 5. Lịch tàu chậm một ngày. Sau khi đi vòng quanh Trái đất từ ​​đông sang tây, các thủy thủ hoàn thành ít hơn một vòng mỗi ngày so với cảng đứng yên mà họ khởi hành và nơi họ quay trở lại. 6. Bóng của Trái đất trên Mặt trăng khi nguyệt thực có dạng hình tròn - bóng như vậy chỉ có thể xảy ra từ một quả bóng. 7. Do tự quay nên Trái đất bị dẹt, bán kính cực ngắn hơn bán kính xích đạo. Do đó, những điểm gần tâm Trái đất nhất là các cực của hành tinh và trong số con người - những người tham gia các chuyến đi bằng tàu ngầm ở Bắc Cực. 8. Không, vì sự giảm trọng lượng có thể là do độ dốc của Trái đất và độ lệch của đường thẳng đứng có thể là do sự phân bổ khối lượng không đồng đều trên hành tinh. 9. Ở cực, độ cao của Mặt trời so với đường chân trời hầu như không thay đổi trong ngày. Do đó, bóng của một thứ gì đó “đi theo vòng tròn” trong ngày, luôn giữ nguyên độ dài. 10. Mặc dù đối với người quan sát ở xích đạo, quỹ đạo của Mặt trời thay đổi tùy theo thời gian

năm, nó luôn dành nửa ngày phía trên đường chân trời. 11. Điều đó sẽ xảy ra, vì chuyển động theo quỹ đạo của Trái đất dẫn đến sự chuyển động biểu kiến ​​của Mặt trời quanh nó với chu kỳ một năm. 12. Hiệu ứng nhiệt của các tia càng đáng kể, chúng rơi càng dốc trên bề mặt của các vật thể nằm thẳng đứng, và đây chính xác là cách các tia ở các nước vùng cực đến từ Mặt trời mọc thấp phía trên đường chân trời. 13. Vài nghìn năm trước không có ngôi sao sáng nào ở khu vực Bắc Cực của thế giới. Việc định hướng vào ban đêm được thực hiện theo vòng quay hàng ngày của bầu trời, chỉ ra hướng “đông-tây” đáng tin cậy hơn là “bắc-nam”. 14. Còn tùy để làm gì. Để điều hướng trên biển khơi và quan sát thiên văn bằng mắt thường, hệ thống Ptolemaic thuận tiện hơn; để phóng vệ tinh - chắc chắn là hệ thống Copernicus. 15. Ở gần cực, thành phần nằm ngang của từ trường Trái đất nhỏ nên mômen quay tác dụng lên kim từ cũng nhỏ. 16. Từ trường Trái đất gần như đều và chỉ tạo ra một mômen quay tác dụng lên kim, trong khi từ trường không đồng nhất của nam châm vĩnh cửu ngoài chuyển động quay còn gây ra chuyển động tịnh tiến của kim.

KINH NGHIỆM VI MÔ

Nếu bạn thực hiện các phép đo và tính toán cẩn thận, thì khoảng cách “trên bản đồ” phải lớn hơn khoảng cách “trên địa cầu”; chúng sẽ chỉ trùng nhau nếu đường đi giữa các điểm đi dọc theo đường xích đạo hoặc dọc theo kinh tuyến.

LỖI Ở ĐÂU?

Có lỗi trong mỗi văn bản được đề xuất. 1. Không có số nào thỏa mãn điều kiện bài toán. Thật vậy, nếu a – b = 1 thì $a^{2} b^{2} =$ a + b = 119 = 7 17, tức là 119 là hợp số. Do đó, trong lời giải đã cho thu được điều kiện cần (a = 60, b = 59), nhưng việc xác minh cho thấy rằng điều kiện đó là chưa đủ. Điều này cũng có thể được hiểu là một điều kiện không chính xác (tổng của các số phải là số nguyên tố) hoặc là lỗi trong lời giải và đáp số (sau khi tính hiệu của các bình phương, người ta có thể kết luận ngay rằng các số được yêu cầu không tồn tại). 2. Tất nhiên, số 10 không được tính đến vì nó bị thiếu trong danh sách các số nguyên tố nhỏ hơn 40