Kvant 2018, số 11 · Trang

4

KVANT 2018/№11

Cái nhìn mới mẻ về bài toán đã cho phép anh ấy đạt được thành công như vậy. Trong tác phẩm của de Gray, biểu đồ khoảng cách có màu số 5 có 1581 đỉnh. Bây giờ đồ thị có 553 đỉnh đã được tìm thấy [6]. Và có những tâm hồn dũng cảm mong tìm được đồ thị có sắc số 6! Trong bài này chúng ta sẽ nói về cách thu được kết quả của di Gray.

Về lợi ích của một diện mạo tươi mới

Chúng ta hãy xem cách xây dựng các biểu đồ khoảng cách đơn giản nhất với màu số 4. Đây là trục quay Moser do hai anh em Leo và William phát minh

Hình 5. Đồ thị con trong trục xoay Moser

Hình 6. Đồ thị con trong đồ thị Golomb

Mosers và Bá tước Golomba. Trục xoay Moser có hai đồ thị con “kim cương”, bao gồm hai hình tam giác đều có một cạnh chung. Đối với bất kỳ cách tô màu nào cho các đỉnh của đồ thị con như vậy bằng 3 màu, các điểm M, N có cùng màu (Hình 5,a). Điều này có nghĩa là trong trục Moser các điểm P, Q, R có cùng màu, nhưng Q và R được nối với nhau bằng một cạnh (Hình 5b). Liệu chúng ta có thể đạt được sự mâu thuẫn theo cách tương tự khi không có ba màu mà là bốn màu? Nói cách khác, hãy xây dựng một đồ thị sao cho nó chứa một cặp đỉnh có màu trùng với bất kỳ màu đúng nào. Khi đó người ta sẽ chứng minh được rằng chiếc máy bay không được sơn bốn màu. Nhưng làm thế nào để xây dựng một biểu đồ như vậy vẫn chưa rõ ràng.

Chúng ta hãy chia biểu đồ Golomba thành hai biểu đồ con (Hình 6a). Hình đầu tiên là hình lục giác chứa sáu hình tam giác đều. Theo hoán vị của màu sắc, nó được sơn ba màu một cách độc đáo (Hình 6, b). Điều này có nghĩa là các đỉnh của tam giác đều A c B c C c có cạnh 3 được sơn một màu trong trường hợp này. Ở đây và bên dưới chúng ta biểu thị $'_{3}$ – tập hợp bao gồm các đỉnh của một tam giác đều có cạnh bằng 3. Trong trường hợp này, vị trí của tam giác trên mặt phẳng có thể là bất kỳ. Trong sơ đồ con thứ hai, các đỉnh của một tam giác đều như vậy được nối với các đỉnh của một tam giác đều có cạnh 1 (Hình 6c). Khi tô bằng 3 màu thì các điểm X, Y, Z có nhiều màu. Khi đó A cc, B cc, C cc không thể cùng màu, vì nó sẽ trùng với màu của một trong các điểm X, Y, Z. Do đó, trong đồ thị Golomb, việc tô màu hai đồ thị con dẫn đến mâu thuẫn: đồ thị con thứ nhất đảm bảo rằng các đỉnh $'_{3}$ sẽ có cùng màu, còn đồ thị con thứ hai loại trừ khả năng này. Bây giờ chúng ta quan tâm đến biểu đồ khoảng cách, biểu đồ này không thể tô bằng bốn màu. Có lẽ sẽ dễ dàng hơn nếu không tìm toàn bộ biểu đồ mà tìm các đồ thị con có màu sắc dẫn đến mâu thuẫn? Trong sơ đồ con đầu tiên, một tập hợp các đỉnh nhất định, một “mẫu”, sẽ đơn sắc cho bất kỳ màu chính xác nào và trong sơ đồ con thứ hai, nó luôn có nhiều màu. Hoặc thế này: nếu trong đồ thị con thứ nhất có ít nhất một mẫu đơn màu và trong đồ thị con thứ hai không thể tô màu bằng một màu, thì điều này chắc chắn sẽ dẫn đến mâu thuẫn khi tô màu mặt phẳng. (Một mặt, phải tìm thấy mẫu một màu ở đâu đó, nhưng mặt khác, điều đó bị cấm - xét cho cùng, đồ thị thứ hai có thể được gắn vào bất kỳ vị trí nào của nó trên mặt phẳng.) Đây chính xác là cách di Gray hành động: ông coi tam giác $'_{3}$ như một mẫu, như trong biểu đồ Golomb, và thực hiện các phép tô màu bằng 4 màu của hai

7

BỨT PHÁ

TRONG

NHIỆM VỤ

VỀ

tam giác $'_{3}$. Làm thế nào để xây dựng một biểu đồ khoảng cách sao cho trung bình có càng nhiều trục quay càng tốt trên mỗi đỉnh? Sau một số nỗ lực không thành công, de Grey đã đi đến một thiết kế mà định nghĩa sau đây sẽ hữu ích. Sự định nghĩa. Đặt X, Y là một số tập hợp vectơ (nói chung, X, Y có thể bao gồm bất kỳ thứ gì, miễn là phép cộng được xác định). Tổng Minkowski M = X + Y là một tập hợp bao gồm tất cả các tổng có thể có x + y, trong đó x X, y Y (xem ví dụ trong Hình 13).

Hình 13.

Tổng

^ v 1, v 2, v 3 `

Minkowski

^ u 1, u 2 `

Đôi khi chúng ta sẽ nói về tổng Minkowski của đồ thị khoảng cách, nghĩa là một đồ thị có các đỉnh là tổng của các tập đỉnh của các số hạng và các cạnh là tất cả các đoạn có thể có độ dài đơn vị. Trong Hình 14, b, trục xoay Moser “thông thường” (Hình 14, a) và trục xoay “ba” được kết hợp

SÁCH TÔ MÀU

MÁY BAY

Hãy đánh dấu điểm xuất phát và tất cả những điểm mà châu chấu chạm tới trong một lần nhảy. Sẽ có 5 6 1 31 điểm như vậy - đây là các đỉnh của đồ thị V như trên Hình 14c. Hiển nhiên các điểm P, Q, R có dạng $'_{3}$. Gọi O là gốc tọa độ. Khi tính tổng Minkowski V + V, mỗi điểm sẽ cộng vào điểm O nên ^ P, Q, R ` V V V V V.

Bài tập 4. a) Chứng minh rằng nếu con châu chấu được phép thực hiện không quá 2 lần nhảy thì nó có quyền truy cập vào các đỉnh của đồ thị W = V + V. b) Chứng minh rằng W chứa trục xoay Moser dưới dạng đồ thị con.

Hóa ra là nếu bạn đánh dấu tất cả các điểm mà châu chấu có thể đạt được trong 0, 1, 2 hoặc 3 lần nhảy V V V và sơn các điểm P, Q, R bằng một màu, thì không thể tô màu chính xác các đỉnh còn lại bằng bốn màu! Đồ thị yêu cầu đã được xây dựng, nhưng việc liệt kê các màu bằng máy tính chỉ ảnh hưởng đến một phần nhỏ của các đỉnh. De Grey không vội xuất bản và cố gắng làm cho việc xây dựng tiết kiệm hơn. Hãy để chúng tôi mô tả lựa chọn mà anh ấy đã tìm đến. Cho W c gồm các vectơ từ W có độ dài không vượt quá 3. Gọi U là đồ thị con 7 đỉnh của V như trên Hình 7.

Bài tập 5. Tìm lũy thừa của các tập W và W c.

Hình 14. Các lớp tương đương cạnh. Đếm V

trục xoay – hai trục xoay Moser có đồ thị con “kim cương” chung. Hai cạnh được gọi là tương đương nếu góc giữa chúng là bội số của 60q. Các cạnh sẽ được chia thành 5 lớp, được đánh dấu bằng màu sắc (xem Hình 14, b). Chúng ta hãy liên kết một vectơ với mỗi cạnh, gán hướng tùy ý cho nó. Bây giờ hãy tưởng tượng rằng một con châu chấu đang ngồi trên một mặt phẳng và nó có thể nhảy một khoảng cách đơn vị theo một trong các hướng này hoặc theo bất kỳ hướng nào, quay theo một góc là bội số của 60q.

Đồ thị H W c U có 1345 đỉnh và là đồ thị con V + V + V (Hình 15). Nếu chúng ta tô màu ba điểm ở các đỉnh $'_{3}$ được chọn từ các đỉnh của U bằng màu đầu tiên, tìm kiếm trên máy tính cho thấy không có đủ bốn màu (kể cả màu đầu tiên) để tô các đỉnh còn lại. Chưa ai có thể xác minh tuyên bố này mà không cần viết chương trình. So với nhiều bằng chứng “máy tính” khác, lượng tính toán rất nhỏ: khoảng một phút tính toán trên một lõi của bộ xử lý hiện đại. Nhưng điều này vượt quá khả năng của con người. Đây là một tấm séc

8

KVANT 2018/№11

Hình 15. Đồ thị H trên 1345 đỉnh

Hầu hết các lập trình viên đều có thể sử dụng máy tính. Sử dụng tìm kiếm theo chiều sâu được nâng cao một chút. Đầu tiên, sẽ rất hữu ích nếu sắp xếp các đỉnh của đồ thị sao cho đỉnh tiếp theo có càng nhiều lân cận càng tốt trong số những đỉnh được tô màu trước đó (ví dụ: bằng cách sắp xếp theo thứ tự giảm dần của bậc của đỉnh, mặc dù có nhiều cách tốt hơn). Thứ hai, sau khi tô màu bất kỳ đỉnh nào, bạn nên kiểm tra ngay xem có đỉnh lân cận nào chỉ còn một phương án tô màu hay không và tô màu chúng ngay lập tức (tương tự như cách nhập ngay các phương án duy nhất khi giải Sudoku).

nhưng không khó để chỉ ra một biểu đồ cụ thể cung cấp giới hạn dưới. Hãy gắn một thể hiện của H vào mỗi hình lục giác trong số 52 hình lục giác trong biểu đồ G. Trong trường hợp này, nhiều đỉnh sẽ trùng nhau, nhưng điều này không làm chúng ta bận tâm. Nếu không tô màu chính xác đồ thị theo bốn màu mà không tính đến vị trí của chúng trên mặt phẳng và xác định các đỉnh thì sau khi nhận dạng sẽ không có đồ thị nào. Đồ thị kết quả P trên 20425 đỉnh không thể được tô màu chính xác bằng bốn màu. Giống như việc liệt kê các màu của H, hóa ra hầu hết các đỉnh đều có thể bị loại bỏ. De Gray đã cố gắng tách khỏi đồ thị P một đồ thị con P c trên 1581 đỉnh, cũng không có bốn màu (Hình 16). Bài báo của De Gray đã thu hút một số vấn đề thu hút sự chú ý của những người đam mê hình học tổ hợp. Số đỉnh nhỏ nhất mà đồ thị khoảng cách phẳng có số màu từ 5 trở lên có thể có là bao nhiêu? Có thể tìm thấy một biểu đồ có màu số 6 hoặc 7, làm phức tạp việc xây dựng? Có bằng chứng nào về ước tính mới thấp hơn có sẵn để kiểm tra trực tiếp của con người không? Tuy nhiên, than ôi, ngay sau đó, một cách đơn giản hơn về mặt thuật toán đã được tìm ra để xây dựng các đồ thị có số màu là 5 và số đỉnh nhỏ hơn về mặt thuật toán. Hóa ra điều này có thể thực hiện được

Đồ thị khoảng cách phẳng với màu số 5

Ở các phần trước chúng ta đã mô tả cách xây dựng đồ thị G, khi tô màu bằng 4 màu thì ít nhất một trong các hình tam giác $'_{3}$ sẽ được tô màu một màu, và đồ thị H, khi tô màu bằng 4 màu thì tam giác cố định $'_{3}$ không thể là một màu. Từ điều kiện đầu tiên, suy ra rằng trên một mặt phẳng được tô màu 4 màu thì có một màu $'_{3}$, và từ điều kiện thứ hai - không có một màu $'_{3}$ trên mặt phẳng. Điều này đã có nghĩa là

$F R^{2} t 5$,

Hình 16. Đồ thị P c trên 1581 đỉnh. Không có màu chính xác của P c trong bốn màu

Cơ chế vô hình

L.ASHKINAZI

Tuân thủ pháp luật

Mọi thứ chúng ta thấy xung quanh đều tuân theo các định luật cơ học. Bạn có thể dễ dàng kể tên nhiều ví dụ và theo khóa học vật lý ở trường, những ví dụ này có thể được chia thành nhiều nhóm. Liên quan đến chuyển động – thiên thể và phương tiện; có va chạm - trong công nghệ và thể thao; với sự cân bằng – trong thể thao, công nghệ, xây dựng; cũng như sức mạnh và độ cứng của sự vật và kết cấu. Chúng ta thấy tất cả những điều này xung quanh chúng ta. Nhưng những gì chúng ta không thấy cũng hoạt động theo các định luật cơ học - lực và ứng suất cơ học trong vật liệu của cánh tuabin động cơ máy bay và trong ổ cứng máy tính đều được mô tả bằng những công thức giống nhau. Bạn có thể dễ dàng ước tính các điện áp này nếu bạn được cung cấp tất cả các thông số cần thiết (nhân tiện, cái gì?). Nhưng một vật quay nhanh và do đó phải chịu tác dụng của các lực tạo ra những gia tốc cần thiết không phải là tất cả. Máu trong mạch, không khí trong phổi - tất cả những thứ này chuyển động dưới tác động của các lực tương ứng. Và các tế bào riêng lẻ cũng di chuyển bên trong cơ thể chúng ta. Hơn nữa, vi khuẩn có một số cơ chế di chuyển và chúng vẫn chưa được hiểu đầy đủ. Bài báo tương tự sẽ nói về ứng dụng của cơ học trong nhiều loại thiết bị điện tử - trong máy đếm Geiger, trong cơ điện tử, trong ống điện tử công suất cao, trong kính hiển vi điện tử truyền qua và kính hiển vi quét đường hầm, cũng như trong các thiết bị chưa được phát minh ra tên. Hơn nữa, người ta sẽ nói không chỉ rằng các chi tiết nên được

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181102

lâu bền, nhưng về điều gì đó thú vị hơn và ít rõ ràng hơn.

Máy đếm Geiger

Bạn biết nguyên lý hoạt động của thiết bị này từ sách giáo khoa. Trong trường hợp này, điều quan trọng đối với chúng ta là áp suất khí bên trong nhỏ hơn đáng kể so với áp suất khí quyển, do đó có một lực tác dụng lên thành đồng hồ. Các bức tường không cản trở neutron và bức xạ J, nhưng nếu chúng ta muốn thiết bị phản ứng với các hạt E có năng lượng tương đối thấp và với các hạt D, thì phải tạo một cửa sổ ở đâu đó để cho chúng đi qua và nó phải mỏng. Hãy thử ước tính độ dày có thể có của một cửa sổ như vậy. Nếu áp suất khí quyển là p và đường kính của cửa sổ là d thì lực tác dụng lên cửa sổ là $p S d^{2} 4$. Ta lấy độ dày của cửa sổ bằng h và giả sử lực tác dụng lên mặt cắt ngang lớn nhất của vật liệu làm cửa sổ, bằng S dh. Khi đó, ứng suất trong vật liệu là pd 4 h và giá trị độ dày tối thiểu cho phép là h pd 4 V, trong đó V là ứng suất cơ học tối đa cho phép trong vật liệu cửa sổ. Giả sử p = 0,1 MPa, d = 1 cm, V = 0,3 GPa thì ta tìm được h = 1 µm. Sức mạnh ở đây được lấy từ berili và mica, từ đó cửa sổ thường được làm ra. Có thể làm cửa sổ dày 1 micron, nhưng nó sẽ hoạt động “đến giới hạn” và độ tin cậy của thiết bị sẽ trở nên thấp đến mức không thể chấp nhận được. Do đó, cửa sổ được làm dày vài micron. Ảnh 1 và 2 cho thấy hai quầy Geiger - một có cửa sổ berili và một có cửa sổ mica. Vì mica trong suốt nên một nút được đặt trên cửa sổ để hiển thị sự hiện diện của cửa sổ. Trong trường hợp này, tính chất cơ học của vật liệu cửa sổ quyết định trực tiếp đến khả năng của thiết bị. Vật liệu cửa sổ càng chắc chắn thì càng có thể

11

CƠ KHÍ

VÔ HÌNH

Cửa sổ năng lượng

Ảnh 1. Máy đếm Geiger với cửa sổ berili

Các thiết bị chân không điện tử khuếch đại hoặc tạo ra sóng điện từ có chân không bên trong chúng để các electron có thể chuyển động tự do. Và có một bầu không khí bên ngoài. Điều này có nghĩa là chúng ta lại cần một cửa sổ có thể chịu được chênh lệch áp suất và truyền sóng điện từ. Trong trường hợp này, vấn đề được giảm bớt bởi thực tế là trong một chất điện môi tốt, các sóng có bước sóng cỡ centimet trở lên (và đây là tất cả các thông tin liên lạc, truyền hình, radar) bị suy giảm yếu, do đó cửa sổ có thể dày hơn. Tuy nhiên, sự phản xạ xảy ra ở ranh giới điện môi - một phần năng lượng được trả lại cho thiết bị. Ngày xưa mica được sử dụng làm nguyên liệu để “xuất năng lượng” (ảnh 3), bây giờ

Ảnh 3. Thiết bị chân không điện tử có cửa sổ mica

Ảnh 2. Bộ đếm Geiger có cửa sổ mica phải lớn hơn - điều này làm tăng độ nhạy của thiết bị hoặc mỏng hơn - điều này mở rộng phạm vi năng lượng của các hạt được phát hiện về phía năng lượng thấp hơn. Bởi vì năng lượng càng thấp thì độ sâu thâm nhập của hạt vào vật liệu càng nhỏ. Chúng ta sẽ sớm gặp phải vấn đề này – trong kính hiển vi điện tử. Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại với cửa sổ.

đây thường là gốm (ảnh 4). Một hình dạng gốm kéo dài dọc theo ống dẫn sóng (vật trên cùng trong ảnh 4) được sử dụng để giảm sự phản xạ của sóng điện từ. Nhân tiện, về thực tế là “có một bầu không khí bên ngoài.” Khi các chuyến bay vào vũ trụ bắt đầu, một số người thở phào nhẹ nhõm - vấn đề tạo chân không trong các thiết bị điện tử và khai thác năng lượng đã được giải quyết! Nhưng không: hóa ra là thế

12

KVANT 2018/№11

Ảnh 4. Thiết bị chân không điện tử có cửa sổ bằng gốm, độ chân không trong không gian gần kém hơn nhiều so với độ chân không trong một thiết bị điện tử (từ $10^{7}$ đến $10^{15}$ atm), và thiết bị vẫn cần một hình trụ. Không có gì đáng nói về Mặt trăng và Sao Hỏa - ​​bụi bay quanh Mặt trăng do các thiên thạch vi mô chạm vào bề mặt của nó và bạn biết điều gì xảy ra trên Sao Hỏa. Hoặc tìm trong sách giáo khoa hoặc trên Internet. Vì vậy, thiết bị chân không sạch sẽ như không gian sâu thẳm.

Lại là một cửa sổ - dành cho kính hiển vi

Trong kính hiển vi điện tử truyền qua, chùm tia điện tử phải truyền đi mà không bị tán xạ, do đó thiết bị cần có chân không. Và chùm tia phải xuyên qua mẫu của chúng ta - do đó mẫu phải mỏng. Hơn nữa, mẫu không được làm hỏng chân không và chân không không được làm hỏng mẫu. Vấn đề đầu tiên có thể được giải quyết dễ dàng: mẫu có kích thước nhỏ và những gì nó giải phóng sẽ được bơm ra ngoài bằng máy bơm kính hiển vi, nhưng vấn đề thứ hai phức tạp hơn. Do đó, không thể chỉ kiểm tra các vật thể sinh học, chẳng hạn như tế bào sống, bằng kính hiển vi điện tử - nước bay hơi ngay lập tức và tế bào chết.

Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không đề cập đến sinh học mà sẽ chuyển sự chú ý sang máy tính, bộ định tuyến, máy ảnh, điện thoại thông minh và các thiết bị tiện ích khác. Tất cả đều có nguồn năng lượng - pin hoặc ắc quy. Không cần phải cho bạn biết làm thế nào và tại sao việc cung cấp năng lượng lại quan trọng - bất kỳ ai đang khẩn trương tìm kiếm nơi nào đó để cắm bộ sạc đều biết điều này. Vì vậy, nghiên cứu trong lĩnh vực cải thiện các thông số của pin đang được tiến hành. Ví dụ, điều rất quan trọng là phải hiểu cấu trúc vật liệu của nó thay đổi như thế nào trong quá trình sạc và xả pin. Một bài toán không hề tầm thường nảy sinh: làm cho pin dày micron để chùm tia xuyên qua nó. Nhưng đó không phải là tất cả - pin có chứa chất điện phân và trong chân không, nó (giống như chất lỏng từ tế bào) sẽ bay hơi ngay lập tức và pin (như tế bào) sẽ chết. Lời giải được tìm thấy bởi một nhóm do A.M. Abakumov (MSU, Skoltech) - trong thiết bị của họ, một chùm tia điện tử truyền qua cửa sổ dày một phần micron, được làm bằng hợp chất $Si_{3} N_{4}$. Lực hãm của các electron trong chất rắn phụ thuộc vào nồng độ electron của nó trong đó nên khoảng cách càng lớn thì số nguyên tử của các nguyên tố tạo nên rào cản càng thấp. Lưu ý rằng Si, N, Be và mica được làm từ gì, thường là muscovite $KAl_{2} > AlSi_{3} O_{10}$ @ $OH_{2}$, đều nằm ở đầu Bảng tuần hoàn. Tất nhiên, điều quan trọng là liệu có thể tạo ra một tấm micron từ vật liệu như vậy hay không, độ bền của nó sẽ như thế nào và làm thế nào để kết nối nó với phần còn lại của cơ thể. So với máy đếm Geiger, trong trường hợp kính hiển vi điện tử, vấn đề được giảm bớt đôi chút do độ nhạy của phương pháp không phụ thuộc vào diện tích của cửa sổ, do đó cửa sổ có thể được làm nhỏ hơn. Tuy nhiên, mặt khác, trong máy đếm, điều quan trọng là hạt phải đơn giản đi vào bên trong và trong kính hiển vi, điều quan trọng là chùm tia điện tử không bị tán xạ trong vật liệu cửa sổ.

Giải phóng electron

Phạm vi của một electron trong một chất phụ thuộc vào số lượng electron gặp phải trên đường đi. Nhưng nó không chỉ phụ thuộc vào nguyên tử

13

CƠ KHÍ

số lượng các nguyên tố cũng như nồng độ của các nguyên tử trong không gian. Do đó, trong khí quyển, tức là trong chất khí, phạm vi điện tử phải tương đối lớn. Thật vậy, trong không khí ở điều kiện bình thường và ở năng lượng electron 20 keV, phạm vi hoạt động của chúng là khoảng 2 cm và ở năng lượng 20 MeV - 100 m. Dải năng lượng này gần tương ứng với năng lượng của các electron trong phân rã E. Việc các electron có thể di chuyển những khoảng cách đáng kể trong không khí cho thấy khả năng sử dụng chúng để bắt đầu các phản ứng hóa học, để xử lý vật liệu, để hàn, v.v. Thật vậy, những khả năng như vậy có tồn tại. Tuy nhiên, để sử dụng chúng, trước tiên bạn phải tách các electron ra khỏi các thành phần khác của chất, sau đó tăng tốc chúng, tức là cung cấp năng lượng cho chúng. Electron có thể thu được thông qua phát xạ nhiệt hoặc phát xạ trường (chúng ta sẽ nói đến vấn đề này sau) từ chất rắn hoặc chất lỏng, hoặc chúng có thể được tách ra khỏi plasma của chất phóng điện khí. Việc tăng tốc các electron trong chân không là điều thuận tiện, nhưng vấn đề giải phóng dòng electron vào khí quyển ngay lập tức nảy sinh. Đương nhiên, chùm tia được giải phóng qua lá titan (Ti) dày từ 10 micron trở lên. Vì chùm tia ban đầu được gia tốc đến mức năng lượng hàng trăm kilovolt nên phạm vi hoạt động của nó trong titan vào khoảng hàng trăm micron, do đó lá kim loại dày hàng chục micron sẽ chặn một phần chùm tia và nóng lên, nhưng phần lớn chùm tia sẽ đi qua lá kim loại. Việc sử dụng titan, chứ không phải berili, là do có sẵn lá titan - nó rẻ hơn nhiều. Và điều gì sẽ xảy ra khi bạn cố gắng truyền một dòng điện tử qua mica, mặc dù thực tế là mica vẫn chặn một số điện tử, hãy tự suy nghĩ. Bây giờ, chúng ta hãy chuyển sang kính hiển vi - nhưng với những cái khác.

Có bao nhiêu nguyên tử có thể nằm gọn trên đầu một chiếc kim?

Nếu chúng tôi hỏi bạn kính hiển vi là gì, bạn sẽ trả lời rằng đó là thứ mà qua đó chúng ta nhìn thấy một vật nhỏ,

VÔ HÌNH

mà không thể được nhìn thấy khác. Điều này đúng, nhưng chúng ta nhận được thông tin không chỉ qua thị giác, tại sao kính hiển vi lại bị phân biệt đối xử theo nghĩa này? Điều gì sẽ xảy ra nếu anh ta cho chúng ta biết một số thông tin về một vật thể nhỏ không ở dạng tín hiệu quang học? Hạn chế chỉ gắn liền với truyền thống, chúng ta đã quen với việc “nhìn thấy” các vật thể - vị trí, hình dạng, địa hình bề mặt và các đặc tính “quang học” của chúng, tức là màu sắc, độ phản xạ, độ bóng, v.v. Các thông số được liệt kê không độc lập, chúng có liên quan một cách phức tạp và thú vị; ví dụ, hãy nghĩ xem “tỏa sáng” là gì và nó phụ thuộc vào điều gì. Nhưng bây giờ có một điều khác rất quan trọng đối với chúng ta: cho dù kính hiển vi nhận được thông tin về vật thể bằng cách nào thì nó cũng phải thể hiện thông tin đó dưới dạng một bức tranh mà chúng ta nhìn vào. Hình ảnh này phẳng nhưng thường tạo ra hình ảnh ba chiều trong não chúng ta; Cũng có thể sử dụng kính hiển vi để tạo ra hình ảnh ba chiều thực sự. Nhưng ở giai đoạn, như người ta nói, “hình dung”, chúng ta cần xem xét kỹ hơn. Bởi vì những gì kính hiển vi cho chúng ta thấy, cụ thể là vị trí, hình dạng, bề mặt của một vật thể, không phải lúc nào cũng là những gì chúng ta thấy nếu vật đó được phóng đại lên một triệu hay một tỷ lần. Ví dụ, vì trong phạm vi nanomet, ý nghĩa của các khái niệm “hình dạng” và “bề mặt” thay đổi, còn các khái niệm “màu sắc” và “độ sáng” hoàn toàn biến mất. Ngay cả khi một chiếc kính hiển vi điện tử quen thuộc (một người đã làm việc với nó từ năm 1931) cho chúng ta xem một bức ảnh, chúng ta phải hiểu và ghi nhớ cách anh ta thu được và biến đổi nó. (Nếu chúng ta muốn hiểu điều gì đó, chứ không chỉ ồ và à.) Về nguyên tắc, máy chiếu ion là một thứ đơn giản. Hãy đặt một cây kim kim loại trong chân không và đặt điện áp cao vào nó. Ở gần đầu, cường độ trường sao cho các nguyên tử khí còn lại trong chân không bị ion hóa và các ion được trường gia tốc, bay đến màn phát quang và tạo ra hình ảnh. Sự ion hóa xảy ra thường xuyên hơn, cường độ trường càng cao và càng cao ở gần các nguyên tử riêng lẻ nhô ra khỏi phần còn lại.

14

KVANT 2018/№11

Ảnh 5. Lưới kim loại trong hình ảnh nguyên tử của một riya. Vì vậy, trên màn hình chúng ta có hình ảnh của một mạng kim loại có độ phân giải nguyên tử (ảnh 5). Nhưng điều quan trọng cần nhớ là trong trường hợp này chúng ta không thấy mật độ nguyên tử mà là mật độ electron. Và chúng ta cũng không được quên định luật Coulomb và độ bền của mạng tinh thể - lực tương ứng có thể xé từng nguyên tử ra khỏi kim (“bay hơi trường”) hoặc phá hủy kim. Trong quá trình xảy ra sự cố chân không và chúng ta sẽ nói về nó ngay bây giờ, đây chính xác là những gì sẽ xảy ra.

Sự cố chân không

Khi chúng ta nói về sự đánh thủng điện của chất điện môi, chúng ta muốn nói đến điều sau. Chúng tôi lấy một miếng điện môi, đặt một điện áp vào nó và bắt đầu tăng điện áp này. Không có chất điện môi lý tưởng nên xuất hiện dòng điện - ban đầu rất nhỏ. Và vì có dòng điện và điện áp nên có nghĩa là có điện. Nếu chúng ta nhân công suất theo thời gian, chúng ta sẽ thu được năng lượng, nghĩa là phải có điều gì đó xảy ra trong chất điện môi. Và quả thực, đến một lúc nào đó dòng điện tăng đột ngột thì chất điện môi không còn là chất điện môi nữa. Hơn nữa, có điều gì đó xảy ra với chính vật liệu điện môi, với chất liệu đó. Nhưng trong chân không thì không có vấn đề gì cả! Và những gì xảy ra trong quá trình chân không bị hỏng chỉ có thể xảy ra với vật liệu

điện cực. Làm thế nào vật liệu điện cực đi vào khe hở? Trên thực tế, chỉ có một cách duy nhất cho việc này - làm bay hơi và lấp đầy vật liệu điện cực khe chân không bằng hơi. Và ở cặp này xảy ra sự cố, phóng điện bốc cháy (nếu có đủ điện, hồ quang sẽ cháy), thiết bị sẽ bị phá hủy. Điều nhỏ nhặt duy nhất còn lại là hiểu được ai đang làm bay hơi vật liệu điện cực. Có hai cơ chế cho việc này. Cơ chế đầu tiên như sau. Ở cường độ trường cao, sự phát xạ trường của một trong các điện cực bắt đầu. Các electron phát ra từ nó đến điện cực đối diện và giải phóng năng lượng của chúng lên nó. Cường độ trường cao nhất ở các đầu, đó là lý do tại sao các điện cực của tụ điện chân không cao áp được đánh bóng. Cơ chế thứ hai là: điện trường xé toạc một mảnh vật liệu khỏi điện cực (vì bề mặt của nó tích điện), mảnh này bay qua khe hở, tăng tốc hết cỡ (định luật thứ hai của Newton đang hoạt động) và truyền năng lượng của nó sang một điện cực khác, sau đó nóng lên, bay hơi và phân hủy thành hơi. Vì vậy, họ cố gắng chế tạo các điện cực từ kim loại bền. Nhân tiện, tụ điện chân không không phải là tình huống duy nhất hoặc thậm chí chính khi chúng ta có chân không và điện áp cao. Điều này xảy ra ở hầu hết các thiết bị chân không điện mạnh mẽ - và điều này bao gồm thông tin liên lạc không gian, radar, công nghệ máy gia tốc và tivi… Ngay cả tokamak cũng sẽ không hoạt động nếu không có những thiết bị như vậy!

Thêm hai kính hiển vi: đường hầm quét và lực nguyên tử

Ưu điểm của hai kính hiển vi này là không cần chân không, có thể phá hủy nhiều vật thể thú vị (ví dụ như vật thể sinh học). Nếu bạn đưa một chiếc kim đến gần bề mặt của một vật thể và đặt điện áp vào nó, một dòng điện sẽ bắt đầu chạy giữa kim và bề mặt (nếu ít nhất nó là một vật dẫn kém) - cùng một dòng điện trường đôi khi bắt đầu đánh thủng chân không. Kim càng sắc thì

15

CƠ KHÍ

độ phân giải không gian cao hơn và nó có thể đạt tới một phần mười khoảng cách giữa các nguyên tử trong mạng! Dòng điện tạo ra phụ thuộc rất nhiều vào khoảng cách giữa bề mặt và kim và chúng ta có thể đo khoảng cách này với độ chính xác cao. Nhưng chính xác thì khoảng cách là bao nhiêu - chúng ta chưa chạm vào nguyên tử theo bất kỳ nghĩa nào? Đây sẽ chỉ là “khoảng cách đến các electron”, tức là chúng ta có được cấu hình mật độ electron phía trên bề mặt. Một ví dụ về silicon được hiển thị trong ảnh 6.

Ảnh 6. Hồ sơ mật độ điện tử phía trên bề mặt silicon

Tuy nhiên, như bạn đã biết, lực tác dụng giữa các nguyên tử - lực hút ở khoảng cách xa và lực đẩy ở khoảng cách ngắn. Trung bình, các nguyên tử trong phân tử nằm cách nhau một khoảng sao cho tổng các lực này bằng không. Do đó, nếu chúng ta đưa chiếc kim lên bề mặt, một lực sẽ bắt đầu tác dụng lên nó. Lực này được đo bằng sự uốn cong của “công xôn” - chùm mà kim được gắn vào. Và đây chính xác là cơ học, và nền tảng của lý thuyết uốn cong chùm tia không chỉ được đặt ra bởi bất kỳ ai mà bởi Euler và Bernoulli vào thế kỷ 17-18. Lưu ý rằng kính hiển vi lực nguyên tử của thế kỷ 21 hoạt động tinh vi hơn. Chúng tiếp cận bề mặt, rung nhẹ và các thông số của những rung động này bị ảnh hưởng bởi các lực tác động lên kim tiến về phía bề mặt… Đây là cơ học hiện đại đi đầu trong khoa học bề mặt, như ngày nay có thể nói là thời thượng - khoa học nano. Chúng ta sẽ nói về họ sau.

VÔ HÌNH

Cơ điện tử

Làm thế nào để chúng ta đo lường chuyển động? Và nó phụ thuộc vào cái nào và với độ chính xác như thế nào. Nhưng trước hết, người ta nghĩ đến các dụng cụ đo cơ và quang học - thước dây, thước kẻ, máy đo khoảng cách laser, giao thoa kế. Việc xử lý kết quả đo hiện nay được thực hiện khá thường xuyên bằng máy tính và để truyền kết quả đo đến máy tính, trước tiên bạn phải nhận kết quả đo dưới dạng tín hiệu điện, sau đó chuyển đổi sang dạng số. Thứ hai là một điều thành thạo; các thiết bị tương ứng được gọi là bộ chuyển đổi tương tự sang số (ADC). Làm thế nào bạn có thể khiến chuyển động của một vật phản ứng lại bằng tín hiệu điện? Một phương án là di chuyển lõi sắt từ, làm thay đổi độ tự cảm của cuộn dây, phương án còn lại là di chuyển tấm tụ điện, thay đổi điện dung. Hơn nữa, điện cảm và điện dung có thể được sử dụng theo nhiều cách khác nhau, ví dụ như thông qua điện kháng hoặc tần số cộng hưởng của mạch điện (công thức Thomson). Nhưng có một cách khác ít phổ biến hơn - di chuyển cực dương của ống chân không. Trong trường hợp này, các tham số của nó thay đổi, ví dụ, dòng điện anode ở một mức nhất định

Ảnh 7. Cơ điện tử

16

KVANT 2018/№11

điện áp anode định mức. Đèn tương ứng được gọi là “mechanotron” (ảnh 7), ống trụ thủy tinh của nó được hàn vào khung kim loại, màng được hàn vào khung (cạnh của nó có thể nhìn thấy trong hình) và cực dương được gắn vào bên trong màng. Khi màng được ép, cực dương sẽ di chuyển. Các thông số của đèn với vai trò là bộ chuyển đổi lực thành dòng điện phụ thuộc vào độ cứng của màng, nhưng với tư cách là bộ chuyển đổi độ dịch chuyển sang dòng điện thì không. Bạn có hiểu tại sao lại như vậy không?

Động cơ đồng vị

Một trong những nguồn điện kỳ ​​lạ là pin đồng vị. Tùy chọn đơn giản nhất là một tụ điện trong chân không, kết luận được rút ra từ các tấm của nó và đồng vị hoạt tính điện tử được áp dụng cho một trong các tấm. Các electron bay ra ngoài, chạm vào tấm đối diện và quay trở lại qua tải. Điều gì xảy ra nếu tải không được kết nối? Hãy tưởng tượng một tình huống không có tải trọng bên ngoài nhưng một trong các tấm được chế tạo linh hoạt. Sau đó, khi điện tích trên nó tăng lên, tấm này sẽ bắt đầu uốn cong và nếu nó chạm vào một tấm khác, tụ điện sẽ phóng điện, tấm này sẽ thẳng lại và mọi thứ sẽ bắt đầu lại từ đầu. Các thông số của một động cơ như vậy tất nhiên phụ thuộc vào năng lượng của các electron và dòng điện của chúng, vào hình dạng của hệ thống (kích thước tấm và khe hở) và các thông số vật liệu (mô đun Young). Bạn có thể cố gắng giải quyết bài toán này một cách thoải mái. Rất có thể một ngày nào đó những động cơ vi mô hay nói đúng hơn là động cơ nano sẽ được sử dụng. Hơn nữa, các ý tưởng bắt đầu xuất hiện về việc sử dụng những chuyển động này để tạo ra điện - ví dụ, bằng cách chế tạo một tấm sắt điện. Tuy nhiên, pin đồng vị thông thường đã là một nguồn điện.

Nano: điện tử và ma sát

Các định luật vật lý đều giống nhau ở mọi cấp độ - từ khoảng cách giữa các nguyên tử trong một vật thể rắn đến khoảng cách giữa các thiên hà trên đầu chúng ta. Nhưng họ thể hiện bản thân theo những cách khác nhau. Và điều chúng ta thường không chú ý đến

sự chú ý, suy nghĩ về các quá trình xảy ra trong một vật thể rắn và khi các vật thể rắn tiếp xúc với nhau, nó trở nên có tính quyết định trong không gian - ví dụ như trọng lực. Nhưng một số thứ vẫn còn quan trọng - ví dụ, sự khuếch tán trong chất rắn và sự khuếch tán bức xạ trong các ngôi sao. Đúng, đây là sự lan truyền của một thứ khác… Khi bước vào thế giới khoảng cách nano, chúng ta không được quên cơ học, nhưng vai trò tương đối của các khía cạnh khác nhau của nó có thể thay đổi. Ví dụ đơn giản nhất: thể tích của một vật phụ thuộc vào kích thước tuyến tính của nó trong hình lập phương và bề mặt của nó trong hình vuông, do đó vai trò của các hiệu ứng bề mặt, chẳng hạn như ma sát, sẽ tăng lên. Và nói chung, những điều kỳ lạ bắt đầu xảy ra: các bề mặt không tích điện bị hút, âm thanh truyền qua chân không, nếu không thì nhiệt được truyền, phát sinh ma sát không tiếp xúc… Nhưng đừng vội vứt sách giáo khoa đi học. Tất cả điều này chỉ trở nên quan trọng ở những khoảng cách tương đương với khoảng cách giữa các nguyên tử và chỉ khi bạn tham gia vào Vật lý nghiêm túc.

Có một học sinh tiên tiến ở đây…

…người dành cả ngày mà không buông bỏ bộ mã hóa Kỳ thi Thống nhất và dành cả đêm để say mê với khóa học vật lý ở trường đại học, sẽ hỏi: tại sao tôi cần đọc cái này? Tôi đã biết tất cả những điều này. Chà, hầu hết mọi thứ… Có hai đáp số cho điều này - một là xúc phạm, và một là chính xác. Tấn công đáp số ở đây: đối với bạn, có vẻ như bạn đã biết. Và giáo viên sẽ hỏi hai hoặc ba câu hỏi, và chính bạn sẽ hiểu rằng khả năng đưa mắt thông minh và gật đầu đúng chỗ không phải là kiến ​​​​thức. Đáp số về cơ bản là thế này: cái này do tôi viết và bạn đọc để bạn hiểu - thế giới không được chia thành cơ học, nhiệt động lực học, điện và những thứ còn lại trong danh sách. Bạn cần biết mọi thứ về vật lý. Chính xác hơn - toàn bộ chiều rộng và chiều sâu - trong giới hạn của một trường học, sau đó là một khóa học đại học nghiêm túc. Và các thiết bị điện tử không phải là điều tồi tệ nhất. Nghiên cứu về các hạt cơ bản và hành vi của các ngôi sao và thiên hà - Newton cũng đề cập đến lĩnh vực đó. Ngay từ thế kỷ 17 của nó.

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2534-M2537 đã được cung cấp tại Giải đấu Thành phố XL.

Bài toán M2534–M2537, F2541–F2544

M2534. Các hiệp sĩ, kẻ nói dối và ca sĩ sống trên đảo; mọi người đều biết về mọi người, cái nào là cái nào. Họ xếp hàng tất cả cư dân trên đảo năm 2018 và yêu cầu mọi người trả lời “Có” hoặc “Không” cho câu hỏi: “Trên đảo có nhiều hiệp sĩ hơn những kẻ nói dối?” Các cư dân lần lượt trả lời và để những người khác có thể nghe thấy. Các hiệp sĩ trả lời sự thật, những kẻ nói dối nói dối. Mỗi ca sĩ đều trả lời giống như hầu hết những người trả lời trước anh ấy, và nếu có đáp số “Có” và “Không” bằng nhau, anh ấy sẽ đưa ra bất kỳ câu nào trong số này đáp số. Hóa ra là đáp số “Có” chính xác là 1009. Số lượng người hát theo lớn nhất có thể có trong số những cư dân trên đảo là bao nhiêu? M.Kuznetsov

M2535. Bạn cần viết ra một số có dạng 77…7, chỉ sử dụng số bảy (chúng có thể được viết từng chữ một hoặc nhiều chữ liên tiếp) và chỉ được phép cộng, trừ, nhân, chia và lũy thừa, cũng như dấu ngoặc đơn. Đối với số 77, ký hiệu ngắn nhất chỉ đơn giản là 77. Có số nào thuộc dạng 77…7 có thể được viết bằng các quy tắc này với ít số bảy hơn ký hiệu thập phân của nó không? S.Markelov

$М2536^{*}$. Ban đầu, trên một mặt phẳng ca rô màu trắng, có hữu hạn ô được tô màu đen. Nằm trên máy bay

đa giác rô giấy M, có nhiều hơn một ô. Nó có thể được di chuyển mà không cần quay theo bất kỳ hướng nào đến bất kỳ khoảng cách nào, nhưng sao cho sau khi dịch chuyển, nó nằm “trong các ô”. Nếu sau ca tiếp theo có đúng một ô của M nằm trên một ô trắng của mặt phẳng thì ô trắng này được sơn đen và thực hiện ca tiếp theo. Chứng minh rằng có một ô màu trắng không bao giờ bị sơn đen, cho dù chúng ta dịch chuyển M bao nhiêu lần theo quy tắc đã mô tả. D. Zakharov

$М2537^{*}$. Có vô số điểm có tọa độ tự nhiên được đánh dấu trên trục số. Khi một bánh xe lăn dọc theo trục, mỗi điểm được đánh dấu mà bánh xe đi qua sẽ để lại một dấu chấm trên đó. Chứng minh rằng bạn có thể chọn một R thực sao cho nếu bạn lăn một bánh xe bán kính R dọc theo trục, bắt đầu từ 0 thì trên mỗi cung của bánh xe có kích thước $1 ^\circ$ sẽ có ít nhất một vết được đánh dấu. I. Mitrofanov

F2541. Một vòng nhỏ lăn xuống từ đỉnh của một hình trụ nằm ngang không có tốc độ ban đầu (tỷ lệ giữa bán kính vòng và bán kính hình trụ là nhỏ). Hệ số ma sát giữa bề mặt của hình trụ và vòng là P 1. Khi

24

KVAN T 2018/№11

Từ đây giá trị điện trở mong muốn sẽ có dạng

Bảng 1

X i ◊ Â R j

$R_{i} =$

$j \pi i$

 R j - X i

.

$j \pi i$

Chúng ta sẽ sử dụng công thức thu được ở chế độ xấp xỉ số liên tiếp. Với xấp xỉ bằng 0, chúng tôi xem xét

$R_{i} 0 = X_{i}$.

Tiếp theo, chúng tôi tính toán các giá trị điện trở theo xấp xỉ đầu tiên:

X i ◊ Â X j

$R_{i} 1 =$

$j \pi i$

 X j - X i

$j \pi i$ và trong phép tính gần đúng thứ hai:

$X_{i}$ ◊ $Â R_{j} 1$

R i 2 =

$j \pi i$

$Â R_{j} 1 - X_{i}$

.

$j \pi i$

Chúng tôi tiếp tục quá trình tính toán lặp đi lặp lại cho đến khi giá trị kết quả không còn thay đổi đáng kể. Ví dụ, chúng tôi trình bày kết quả tính toán các giá trị điện trở bằng số điện trở. Bảng 1 bên trái hiển thị các giá trị điện trở của điện trở vòng. Các cột ở phía bên phải của bảng chứa các giá trị gần đúng tương ứng của các đại lượng này. Cột đầu tiên mô hình hóa các giá trị đo được, tức là xấp xỉ bằng 0. Các cột tiếp theo mô hình xấp xỉ tăng dần.

theo trật tự chung. Do đó, cột thứ tư chứa các giá trị điện trở được tính toán trong phép tính gần đúng thứ ba. Có thể thấy sai số trong phép tính gần đúng này chỉ khoảng 1,5% (đối với điện trở có điện trở 6 Ohms). Số lần lặp để đạt được độ chính xác tính toán cần thiết phụ thuộc vào tỷ lệ các giá trị điện trở của các điện trở vòng. Một ví dụ về sự hội tụ chậm được minh họa trong Bảng 2, trong đó điện trở của điện trở thứ sáu tăng gấp 10 lần. Ngoài ra, chúng tôi lưu ý những điều sau. Trong một số trường hợp tính toán lặp lại, giá trị mong muốn hội tụ theo hình xoắn ốc (các giá trị tăng cao và đánh giá thấp thay thế giá trị được tính toán). Ví dụ của chúng tôi đề cập đến tùy chọn này. Sử dụng giá trị trung bình cho một cặp lần lặp cho phép bạn xây dựng thuật toán tính toán nhanh.

F2532. Mối quan hệ giữa độ cao của núi h và độ sâu của trục H (Hình 1), nếu chu kỳ dao động nhỏ của một con lắc toán học ở đỉnh núi và ở đáy trục là như nhau? (Giả sử Trái đất là một quả cầu đồng nhất, không quay.)

Bảng 2

27

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

SHK O LNIK O V

Hình học của giấy ca rô

A.ONOPRIENKO

CHÚNG TÔI SẼ KỂ VỀ MỘT câu chuyện THÚ VỊ, được biên soạn dựa trên tài liệu từ giới toán học tại Đại học Sư phạm Tổng hợp Mátxcơva $(МПГУ).^{1}$ Một tờ giấy ca rô bình thường ẩn chứa nhiều điều bất ngờ. Chúng ta sẽ thảo luận về một số bài toán, các công trình được chế tạo trên mặt phẳng ca-rô. Như trong các bài toán xây dựng tiêu chuẩn, bạn có thể sử dụng thước không chia để vẽ các đường thẳng, nhưng chúng ta không cần đến compa. Theo quy định, la bàn chứ không phải thước kẻ cho phép người ta “đo” các đoạn trong các bài toán xây dựng (chẳng hạn như không phải để tìm chiều dài của chúng mà để dựng một đoạn bằng một đoạn đã cho chẳng hạn). Ở đây công cụ đo lường chính là chiếc máy bay! Các chữ in hoa A, B, C,… trong mọi bài toán đều biểu thị nút thắt của tờ giấy ca-rô. Chúng ta lấy cạnh của một ô là 1. Hãy bắt đầu hành trình của mình với một nghiên cứu bài toán đơn giản. Bài toán 1. a) Vẽ đoạn AB trên giấy ca rô không chạy dọc theo các cạnh của ô và đánh dấu điểm C. Đánh dấu nút D sao cho AB = CD. b) Xây dựng tất cả các phân đoạn như vậy. Bạn đã nhận được bao nhiêu trong số đó? Hình 1 cho thấy các tùy chọn khác nhau cho đoạn AB. Hãy thử giải bài toán cho mỗi phương án này. Bạn có thể chọn điểm C tại bất kỳ nút nào (từ lời giải của chúng tôi, vị trí của nó không quan trọng).

Hình 1

Lời giải. a) Hãy dựng một tam giác vuông dọc theo các cạnh của lưới, một trong các cạnh của nó là đoạn AB (nói chung, việc này có thể được thực hiện theo hai cách, nhưng hãy sửa một trong số chúng). Sau đó, chúng ta di chuyển tam giác này đến điểm C. Cạnh của tam giác này không đi dọc theo các cạnh của lưới sẽ bằng đoạn AB, vì các tam giác bằng nhau ở hai cạnh. Đây sẽ là CD phân đoạn mong muốn (Hình 2, a). lời giải tương tự phù hợp với bất kỳ đoạn AB nào khác. b) Nói chung, ở điểm a) không thể dựng được tam giác mà phải xem xét cẩn thận đoạn AB. Để đến điểm B, chúng ta phải đi từ điểm A qua bên phải 5 ô và lên trên 2 ô (các số này được cho cho đoạn đầu tiên, các đoạn khác số ô sẽ khác). Nếu đi từ điểm C 5 ô theo một hướng và 2 ô theo hướng vuông góc

1 Các câu lạc bộ đã mở cửa từ năm 2016 và năm nay họ đã nhận được sự hỗ trợ từ Bộ Giáo dục Mátxcơva trong khuôn khổ sự kiện “Trường Đại học Sư phạm Quốc gia Mátxcơva (tổ chức các câu lạc bộ dành cho học sinh Mátxcơva trên cơ sở Đại học Sư phạm Quốc gia Mátxcơva).” Thông tin thêm về vòng tròn có sẵn tại mathcircles.mpgu.org

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181103

Hình 2

30

KVAN T 2018/№11

trường hợp d): 6 5 1 2 –

2 ˜ 4 1 ˜ 4 5 ˜ 6 2 2 2

Bài toán dành cho độc lập lời giải

5. Đoạn AB kẻ trên giấy ca rô không dọc theo các cạnh của ô. Xây dựng số lượng lớn nhất các tam giác cân ABC có đáy AC. Giải bài toán cho hai đoạn thẳng như trong Hình 8. 6. Đoạn AB được vẽ trên giấy ca rô không chạy dọc theo các cạnh của ô. Vẽ góc ABC bằng 45q. 7. Trên tờ giấy ca-rô có hai điểm được đánh dấu tại các nút của nó. Xây dựng một hình vuông mà hai điểm đã cho là các đỉnh đối diện.

Hình 8

8. a) Dựa vào cách dựng bài toán trước, dựng đường phân giác vuông góc với đoạn này. b) Làm thế nào để dựng tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác đã cho? 9. Vẽ hình vuông có các đỉnh tại các nút lưới có diện tích: a) 10; b) 17; c) 26 ô.

K O NK URS IM ENI A.P.S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo ở môn lời giải toán $задач.^{Они}$ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh lớp 7–9, nhưng chúng tôi sẽ rất vui khi thấy sự tham gia của học sinh ở mọi lứa tuổi. Cuộc thi được tổ chức chung với tạp chí «Kvant». Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được xuất bản trên Sites.google.com/view/savin-contest Chúng tôi chúc bạn thành công!

9. Đồng hồ điện tử hiển thị giờ và phút. Vasya đến gần đồng hồ và nhận thấy rằng bây giờ nó là một bảng màu - thời gian trông giống như AB:BA. Anh quyết định đợi điều đó xảy ra lần nữa, nhưng sau khi ngồi suốt 4 tiếng đồng hồ, anh vẫn không thấy bảng màu thứ hai. Anh ấy còn phải đợi bao lâu nữa? Yu. Markelov

10. Chứng minh rằng bất kỳ số nguyên nào ít nhất 12 đều có thể viết được dưới dạng tổng của hai hợp số. I. Mitrofanov

11. Có một hình tam giác bằng bìa cứng ABC trên bàn. Hoạt động sau đây được thực hiện trên anh ta nhiều lần. Chọn đỉnh của nó, ký hiệu là X, lật tam giác lại và đặt nó sao cho điểm X ở cùng vị trí như trước và góc X của tam giác trùng với vị trí trước đó của nó. Chúng ta hãy biểu thị một hoạt động như vậy bằng $P_{X}$. Chứng minh rằng sau dãy thực hiện $P_{A}, P_{B}, P_{C}, P_{A}, P_{B}, P_{C}$ tam giác sẽ giữ nguyên vị trí ban đầu. V. Rastorguev

12. Các số 1, 2, …, 2n được viết vào các ô của hình chữ nhật 2 ¥ n (mỗi ô một số). Đầu tiên, số 1 được viết vào ô góc dưới bên trái, sau đó số 2 được viết vào một trong các ô lân cận, sau đó số 3 được viết vào một trong các ô lân cận đã được chiếm trước đó, v.v.; tất cả các số tiếp theo được viết vào các ô liền kề với các số đã chiếm trước đó. Chứng minh rằng chính xác $2^{n} -^{1} n$ tồn tại! cách điền vào bảng. V. Rastorguev

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Vòng tròn mười đỉnh của một tứ giác nội tiếp

Người ta biết rằng trong mọi tam giác, trung điểm các cạnh, đáy các đường cao và trung điểm các đoạn nối các đỉnh của tam giác với trực tâm của tam giác đều nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn Euler hay đường tròn chín điểm của tam giác. Một dạng tương tự của đường tròn chín điểm của một tứ giác nội tiếp có thể được gọi là đường tròn được mô tả trong bài toán sau đây, được đề xuất vào năm 2011 tại Olympic Zhautykov quốc tế lần thứ VII (Kazakhstan):

Các đường chéo của tứ giác nội tiếp ABCD cắt nhau tại điểm K, M và N lần lượt là trung điểm của các đường chéo AC và BD. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM và BCM cắt nhau tại các điểm M và L. Chứng minh rằng các điểm K, L, M và N cùng nằm trên một đường tròn (các điểm này được coi là phân biệt). Trong bài viết này, chúng tôi sẽ chỉ ra rằng trên đường tròn này, chúng tôi sẽ ký hiệu thêm là P, ngoài các điểm K, L, M và N, còn có sáu điểm nữa. Điều này cho phép chúng ta gọi nó là đường tròn mười điểm của một tứ giác nội tiếp. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu sau: Z ABC – đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; S X – độ $точки^{X}$ (xem [2]) so với $Z^{ABC}$. Định lý chính. Cho tứ giác ABCD nội tiếp (xem hình), M và N là trung điểm hai đường chéo của nó, K là giao điểm của hai đường chéo, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp ABCD. Gọi các điểm F, G, H là giao điểm thứ hai

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20181104

(Tiếp theo trang 34)

M.NSANBAEV

36

KVA NT 2018/Số 11

Hình 1

âm thanh của một tần số. Độ cao của âm này có thể được thay đổi theo nhiều cách khác nhau - bằng cách chọn khoảng cách từ nắp đến micrô, mức âm lượng trên loa, kích thước và hình dạng của bình thay thế nắp. Trong một bức ảnh khác (Hình 2), một chiếc cốc rỗng đóng vai trò là bộ cộng hưởng. Các lựa chọn đa dạng khác cũng có thể thực hiện được. Vì lý do nào đó, bộ cộng hưởng độc đáo làm bằng ống sắt này lại gây ấn tượng lớn đến mức phần nhựa trang nhã của nút chai hiện đại - có ba lỗ nhỏ - rất vừa vặn (Hình 3). Sau khi lắp chắc chắn phần nhựa vào ống, chúng ta đưa ống rất gần theo chiều dọc hoặc gần như thẳng đứng với lỗ micro ở mặt trước của máy tính xách tay và thu được âm thanh chói tai. Và chiều cao của nó có thể được thay đổi,

Hình 2

Hình 3

che các lỗ trên miếng nhựa ở các mức độ khác nhau. Có thể nói, một âm thanh yếu ngẫu nhiên lọt vào micro được hệ thống điện của máy tính và loa khuếch đại, quay trở lại micro, vẫn đi qua đường khuếch đại và một trong các tần số trong âm thanh này được khuếch đại đặc biệt đáng kể, trùng với tần số tự nhiên nào đó của hệ thống. Khi cộng hưởng, tín hiệu trở nên rất lớn. Đây là phản hồi tích cực. Nhưng để có âm thanh chất lượng cao của bất kỳ nhạc cụ nào, thiết kế cũng phải có phản hồi tiêu cực - để ngăn chặn những cộng hưởng không cần thiết, nếu không âm thanh sẽ chỉ gây khó chịu cho tai. Về bản chất, đây là một mô hình cực kỳ đơn giản về phát minh tuyệt vời của Lev Sergeevich Theremin (1896–1993), được gọi là “theremin”, chỉ có điều ở thiết bị này phản hồi được thực hiện bằng điện. Cách tiếp cận của bàn tay người biểu diễn đã làm thay đổi điện dung của mạch dao động trong máy phát và tần số của nó tăng hoặc giảm. Điều này sau đó được chuyển thành âm thanh và nhạc cụ (không cần chạm vào nó!) có thể tái tạo các giai điệu với âm thanh độc đáo. Nói tóm lại, trải nghiệm được cung cấp mang lại nhiều khả năng cho học sinh - ví dụ: chọn chủ đề cho một dự án và thuyết trình tại hội nghị sinh viên.

Thế Vận Hội

Olympic Vật lý Quốc tế XLIX

Năm nay Olympic Vật lý Quốc tế (IPO) được tổ chức tại Lisbon, thủ đô của Bồ Đào Nha. 431 học sinh đến từ 87 quốc gia đã tham gia cuộc thi. Đội tuyển quốc gia Nga được đại diện bởi: Grigory Bobkov - Chernogolovka, khu vực Moscow, Moscow, trường 1589, Vyacheslav Kuznetsov - Moscow, trường 192, Stanislav Tsapaev - Moscow, trường 1589, Alexey Shishkin - Moscow, trường 1589, Zakhar Ykovlev - St. Petersburg, Học thuật Lyceum “Trường Vật lý và Kỹ thuật”. Đội Nga được dẫn dắt bởi các giáo viên của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow (đại học nhà nước) A.A. Voronov (trưởng nhóm), M.N. Osin, V.A. Shevchenko và F.M. Tsybrov. Việc lựa chọn thí sinh bắt đầu một năm trước Thế vận hội. Hơn 30 học sinh lớp 10 – những người đoạt giải và đoạt giải ở chặng chung kết Olympic Vật lý học sinh toàn Nga năm ngoái – đã trở thành ứng cử viên cho đội. Quá trình chuẩn bị của nhóm và lựa chọn thành phần cuối cùng diễn ra trong suốt một năm tại Viện Vật lý và Công nghệ Mátxcơva và Trung tâm Giáo dục Sirius. Tại trại huấn luyện, các kỹ năng làm thí nghiệm trên các thiết bị phức tạp đã được thực hành, các chủ đề được nghiên cứu không có trong chương trình vật lý ở trường nhưng là cần thiết.

Dima tham gia vào MFO. Hệ thống đào tạo phát triển trong những năm qua còn bao gồm cả việc tham gia các Olympic quốc tế. Cơ hội thử sức mình trong điều kiện “chiến đấu” của Thế vận hội là giai đoạn chuẩn bị tâm lý quan trọng cho trận đấu quyết định. Các em đã tham gia Olympic Châu Âu “Bậc thầy Vật lý Romania”, Olympic Thực nghiệm Quốc tế về Vật lý và Olympic Vật lý Châu Á. Tại Thế vận hội ở Lisbon, những người tham gia được giao ba nhiệm vụ lý thuyết bài toán và hai nhiệm vụ thử nghiệm. bài toán được trình bày phản ánh sự phát triển hiện đại của khoa học và công nghệ và tiết lộ mối liên hệ giữa các ngành khoa học tự nhiên. Ví dụ, trong bài toán lý thuyết đầu tiên, người tham gia phải xử lý dữ liệu từ thí nghiệm LIGO để phát hiện sóng hấp dẫn. Chủ đề của lý thuyết thứ ba bài toán là vật lý của hệ thống sống và mô hình phát triển khối u. Trong thí nghiệm, những người tham gia đã kiểm tra một bóng bán dẫn hiệu ứng trường TFT được “in” trên giấy. Số điểm tối đa mà mỗi học sinh có thể ghi được là 50. Các thành viên của đội tuyển quốc gia Nga đã thể hiện kết quả như sau: G. Bobkov - 42,5 điểm và một huy chương vàng,

Đội tuyển quốc gia Nga và các nhà lãnh đạo của nó. Từ trái sang phải: A.A. Voronov, M.N. Osin, S. Tsapaev, G. Bobkov, Z. Ykovlev, V. Kuznetsov, A. Shishkin, F. M. Tsybrov, V. A. Shevchenko

45

Thế Vận Hội

Đội Nga và các nhà lãnh đạo của nó. Từ trái sang phải: N.Kh.Agakhanov, E.Ryabov, S.Luchinin, S.Krymsky, V.Petrov, M.Abdrakhmanov, A.Gerasimenko, K.A.Sukhov, M.Ya.Pratusevich (ước tính trên 7 điểm) và kết quả của 20 quốc gia đầu tiên trên bảng xếp hạng các đội. Thông tin đầy đủ về kết quả tại các kỳ thi Olympic toán quốc tế có trên trang web chính thức của Olympic www.imo-official.org. Ngoài sự đóng góp to lớn của mỗi người tham gia, một trong những lý do dẫn đến thành tích tự tin có thể là do một số thay đổi trong hệ thống lựa chọn đội và làm việc với các ứng viên cho đội. Không giống như những năm trước, cuộc tuyển chọn cuối cùng của đội không diễn ra tại Olympic toàn Nga mà tại các trại huấn luyện bổ sung vào tháng Năm. Trong năm học 2017/18

Năm nay, các thành viên của đội tuyển Nga được chọn từ nhóm thí sinh thi đấu theo các chỉ số chính thức được tổng hợp qua một số kỳ thi trước đó: trại huấn luyện mùa đông (tháng 12/2017), Olympic Quốc tế Masters Romania (tháng 2/2018), Olympic toàn Nga (tháng 4/2018), trại huấn luyện tháng 5 (tháng 5/2018). So với những năm trước, đã có một số sự kiện đào tạo trực tiếp và từ xa mới nhắm đến các ứng viên trong nhóm. Một nhóm khá lớn các nhà toán học và giáo viên (bao gồm cả

51

KỲ THI QUỐC GIA

tên tệp khớp với tất cả các mẫu đã chỉ định. Trường hợp không quan trọng. Trợ giúp: “*” trong mẫu tên có nghĩa là bất kỳ (bao gồm 0) số ký tự bất kỳ, “?” trong các mẫu tên có nghĩa chính xác là một ký tự bất kỳ. 5. Từ MULTITASKING được mã hóa bằng mật mã Vigenère (không quen thuộc? Google giải cứu!). Hóa ra NUFOUIRTEAAYAPSYO. Tìm từ khóa. Được biết, từ khóa có liên quan đến việc xử lý thông tin. 6. Khi đăng ký tham gia IT Planet Olympiad, đội tuyển sinh viên bách khoa được yêu cầu chọn cho mình một mã số gồm 5 chữ số. Điều này hóa ra lại khó khăn vì những người tham gia khác nhau có sở thích hoàn toàn khác nhau về thế giới số tự nhiên. Arkady yêu thích những ngày tháng - ví dụ, những năm gắn liền với những sự kiện lịch sử quan trọng. Bella yêu thích sức mạnh của hai người. Valery coi những con số có nhiều số ba là may mắn. Gennady chỉ đơn giản là yêu thích những con số lớn - càng nhiều càng tốt. Dmitry cũng yêu thích rất nhiều thứ, nhưng, là một thanh niên thực tế, anh ấy đã đề xuất một phương án phù hợp với tất cả mọi người: chúng ta nâng hai lũy thừa bằng 1703 (năm thành lập St. Petersburg), sau đó nâng số 33 lên lũy thừa bằng những gì đã xảy ra trước đó và lấy 5 chữ số cuối của kết quả làm số. Cuối cùng thì số đội là bao nhiêu? 7. Ngày xửa ngày xưa, học sinh chơi trò “balda” trong một bài giảng: một người đặt tên cho một chữ cái, người thứ hai thêm chữ cái tiếp theo vào đó, người đầu tiên thêm một chữ cái khác, v.v. Người thua cuộc là người có nước đi tạo ra một từ hoàn chỉnh hoặc người thực hiện một nước đi mà sau đó không thể tạo được một từ. Ví dụ về một lô. Người đầu tiên gọi Sh (tại sao không?). Phần thứ hai thực hiện SL (có thể có nhiều phần tiếp theo khác nhau). Đầu tiên: SHLA (tính vào SHLAK). Thứ hai: SHLAN (anh ấy có lựa chọn chiến thắng). Người đầu tiên phải thua khi gọi HOSE, hoặc đặt tên cho một chữ cái khác và thua vì một từ không thể tiếp tục. Balda có thể được chơi bằng bất kỳ ngôn ngữ nào. Giả sử bạn tình cờ là khách của bộ tộc Bdysh (từ điển của bộ tộc được đưa ra bên dưới). Nếu bạn thắng trò chơi nhảm nhí trước thủ lĩnh bộ lạc, hãy giữ tư cách khách của mình, nếu không bạn sẽ nhận được

NGUYÊN VẬT LIỆU

tình trạng ăn sáng. Bạn được quyền thực hiện bước đi đầu tiên. Bạn nên đặt tên chữ cái nào để đảm bảo nó không trở thành bữa sáng? BDYSH DU YSCH BABAK AYK KUSCHA DYK AYKA KYK BDYKA BU BASHCH KY- DAK DYDYK DA YKUD ASHCHABYKA KYBSH YKUBA YKA YKUKA YSHCHUB USCH CẢM NHẬN UKYKA YSHCHA DUD DUDAK YSHCHABAK UBO DYSHCHAB 8. Bọ chét có thể nhảy dọc theo mặt phẳng tọa độ, thực hiện các lệnh UpOn N, DownOn N, RightOn N và LeftOn N. Ngoài ra, một loài côn trùng tiên tiến rất quen thuộc với mã giả, đặc biệt là các thao tác vòng lặp. Con bọ chét hiện đang đậu ở điểm (300, 300) sẽ ở đâu sau khi thực hiện thuật toán được mô tả trong Hình 5?

Hình 5

9. Trong các ô A1:A10 (Hình 6), màu phông chữ khớp với màu tô. Công thức từ B1 (hiển thị trên thanh công thức) bằng cách sử dụng

Hình 6

tính năng tự động điền được sao chép sang các ô B2:B10. Tìm tổng các giá trị trong ô A2:A10. 10. A và B là các biến số nguyên không dấu 16 bit. Một số phép dịch chuyển phải theo chu kỳ được thực hiện trên biến A và một số phép dịch chuyển theo chu kỳ được thực hiện trên biến B.

52

KV A NT 2018/№11

phép dịch chuyển tuần hoàn sang trái (“nhiều” là từ 0 đến vô cùng; đối với A và B, “nhiều” có thể khác nhau). Với những gì đã xảy ra, chúng tôi đã thực hiện thao tác XOR (OR độc quyền) theo bit. Kết quả tối đa có thể có của thao tác này với A = 34770 và B = 49877 có thể là bao nhiêu? Trợ giúp: Dịch chuyển tuần hoàn là một thao tác trong đó các bit nhị phân của một số được dịch chuyển một vị trí theo hướng xác định và bit “được thay thế” sẽ chiếm vị trí “bị bỏ trống”. Ví dụ: xoay một byte chứa số 13 (00001101) sang phải sẽ tạo ra số 134 (10000110) và xoay sang trái sẽ tạo ra số 26 (00011010).

Vòng chung kết

1. Số dự kiến ​​(10 điểm). Một số tự nhiên không lớn hơn X được dự định. Tìm giá trị của X nếu thông báo “Số dự định nhỏ hơn 21” mang thông tin ít hơn 2 bit so với “Số dự định lớn hơn 47”. 2. Vòng hoa (9 điểm). Cat Basic nhìn say mê vào vòng hoa gồm 8 đèn LED, thay đổi trạng thái mỗi giây. “8 phần tử với hai trạng thái…byte!” - con mèo tiên tiến đã hiểu và bắt đầu diễn giải thành tiếng các trạng thái của vòng hoa dưới dạng các số ở định dạng byte không dấu, dần dần hiểu được mẫu:

113, 37, 39, 35, 41, 57, 17, 85, 127… Kể tên 3 số tiếp theo mà Basic sẽ nói. 3. Mã hóa (8 điểm). Các tập tin có dữ liệu số được mã hóa đã bị chặn. Đối với một số số, cách giải mã của chúng đã được biết: ví dụ: 34202215731 giải mã là 28881637447 và 077713 là 913507. Được biết, khóa là năm diễn ra một số sự kiện quan trọng liên quan đến công nghệ thông tin. Tìm chìa khóa. 4. Sơ đồ bố trí của Apple (15 điểm). Kẻ ăn táo Delft (JA) vẫn xuất hiện trong các bài toán của Olympic Bách khoa và như trước đây, sống trong một mảng giá hai chiều có kích thước N x N ô (N được đảm bảo là chẵn). Để có cuộc sống bình thường, người ăn táo phải di chuyển nhiều và ăn uống đầy đủ (tất nhiên là táo). Cứ 4 ngày một lần Giáo sư Og-

Hình 7

Ryzkov đưa cho các trợ lý phòng thí nghiệm sơ đồ sắp xếp những quả táo trên giá. Vào ngày đầu tiên, các kỹ thuật viên phòng thí nghiệm đặt sơ đồ với tiêu đề hướng lên trên và đặt số lượng táo được chỉ định vào mỗi ô. Vào ngày thứ hai, sơ đồ được lật lại với tiêu đề bên phải và những quả táo lại được bày ra. Vào ngày thứ ba, sơ đồ được đặt với tiêu đề hướng xuống, vào ngày thứ tư - với tiêu đề ở bên trái. Trong ngày, DY ăn hết những quả táo đã bày sẵn, để lại lõi ở vị trí của chúng. Giáo sư quyết định tạo ra một trình tạo các mẫu bố cục hình quả táo. Yêu cầu chính của kế hoạch: sau 4 ngày, mỗi ô của giá phải có chính xác 1 lõi táo. Ở đây (Hình 7) là một thuật toán do giáo sư phát triển cho N=8 và điền vào một mảng số nguyên gồm 8 hàng và 8 cột Y[8][8] với số lượng táo trong mỗi ô. Nó được biết là có chứa lỗi. Bạn phải xác định chúng. Trong đáp số đối với mỗi lỗi, hãy cho biết số dòng sai và cách viết đúng. 5. Tối thiểu (8 điểm). Trong biểu thức Max (Min (Max(, ),Max(,)), Min (Max(,), Max(,))), thay vì dấu gạch ngang, chúng ta đặt ngẫu nhiên

53

KỲ THI QUỐC GIA

biến A, B, C, D, E, F, G, H. Liệt kê theo thứ tự tăng dần tất cả các giá trị có thể có của biểu thức nếu A=5, B=11, C=2, D=8, E=4, F=7, G=13, H=6. 6. Gạch-1 (5 điểm). “Một viên gạch có kích thước A x B x C cm (A, B, C là các số tự nhiên) được cắt thành các khối lập phương có cạnh 1 cm, mặt trong gạch màu vàng, mặt ngoài phủ men đỏ. Bạn có bao nhiêu khối lập phương 0, 1, 2,… vv (mọi thứ đều có thể)

Hình 8

tùy chọn mới) có viền màu đỏ?” Sinh viên Vasya đã phát triển thuật toán sau lời giải cho bài toán này (Hình 8). Đưa ra ví dụ về các giá trị đầu vào mà chương trình của Vasya không hoạt động chính xác. 7. Brick-2 (20 điểm). Hãy thử giải bài toán trước đó bằng MS Excel. Với đáp số, hiển thị bảng ở chế độ hiển thị công thức. Dữ liệu ban đầu nằm trong các ô A2:C2 (Hình 9). Giá trị

NGUYÊN VẬT LIỆU

Số N được tạo thành như sau: ở bước đầu tiên nó bằng trọng lượng của dây nhảy V, biểu thị dưới dạng số tự nhiên; ở mỗi bước tiếp theo, cùng một số L được thêm vào - số chân của người nhảy. Có bao nhiêu điểm trên mặt phẳng cách gốc tọa độ không quá 10 điểm, tại đó có thể chọn giá trị của V và L sao cho người nhảy đạt đến điểm này? 9. Hệ thống số (8 điểm). Chúng ta hãy định nghĩa hàm MinSum từ hai đối số nguyên N và B như sau: đây là tổng tối thiểu các chữ số của số N khi viết trong hệ thống số có cơ số không vượt quá B. Tìm số N như vậy trong khoảng từ 111 đến 222 mà MinSum (N, 16) là nhỏ nhất trong khoảng này. 10. Định dạng đồ họa (7 điểm). Tám bitmap có cùng kích thước đã được chuyển đổi sang định dạng .PNG (Hình 10). Sắp xếp các tập tin theo thứ tự kích thước tăng dần.

Hình 10

Hình 9

phải được tính toán chính xác cho mọi A, B và C tự nhiên. Nên minh họa ý tưởng tính toán bằng sơ đồ khối. 8. Nhảy (10 điểm). Người nhảy bắt đầu di chuyển ở gốc tọa độ (trục - như trong toán học chứ không phải như trên màn hình). Quỹ đạo chuyển động của nó bao gồm các bước có độ dài 1. Hướng chuyển động ở mỗi bước được xác định bởi hai chữ số cuối của biểu diễn nhị phân của số N: 00 - lên, 01 - phải, 10 - xuống, 11 - trái.

Ấn phẩm về toán học được biên soạn bởi I. Komarchev, A. Moiseev, A. Odintsov, S. Preobrazhensky; trong vật lý - T. Andreeva, S. Starovaitov; trong khoa học máy tính - N. Ivanova, E. Krylova, A. Shchukin

64

KVANT 2018/№11

Hình 16

5. n =

$( 2 S NE )^{2} + 1 = 1,37$.

( v x B ) 6. Vật phải được di chuyển đến gần thấu kính hơn ’ $d =^{2} F =^{20}$ cm.

2

bạn cần Q := 16. Thay vì Y[M][K] := 2 bạn cần Y[9– K][9–M] := 2. 5. 6, 7, 8, 11. 6. Khi theo ít nhất một trong các kích thước thì kích thước là 1. 7. Lời giải được cho trong bảng (Hình 16). 8. 45. 9. 7. 10. DBZZAVGE.

THÔNG TIN

VÒNG TUYỂN DỤNG

1. B. 2. 450. 3. Đúng 1, 2, 5, 10. 4. POSTUPI_V.VUZ. 5. BYTE. 6. 98241. 7. K. 8. (100, 500). 9. 17. 10. 65526.

VÒNG CUỐI CÙNG

1. X=52. $2. 63,^{31,} 79. 3. 1642. 4.$ Thay vì Q := 8

QUANTUM

12+

SỐ ĐÃ ĐƯỢC CHUẨN BỊ

E.V.Bakaev, E.M.Epifanov, A.Yu.Kotova, S.L.Kuznetsov, V.A.Tikhomirova, A.I.Chernoutsan

SỐ PHÁT HÀNH

M.N. Golovanova, D.N. Grishukova, A.E. Patskhveria, M.N. Sumnina

BIÊN TẬP HUYỀN THOẠI

E.V.Morozova

NHÓM MÁY TÍNH

M.N.Gritsuk, E.A.Mitchenko

Tạp chí «Kvant» được đăng ký với Ủy ban Báo chí Nga. Reg. St. PI số FS77–54256 Số phát hành: Cây đầu tiên 900 bản. Số thứ tự. Địa chỉ biên tập: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» Tel.: +7 916 168-64-74 E-mail: math@kvant.ras.ru, Phys@kvant.ras.ru

Được in theo các tài liệu được cung cấp tại nhà in LLC TDDS-STOLITSA-8 Điện thoại: +7 495 363-48-86, htpp: //capitalpress.ru