Kvant 2020, số 8 · Trang

7

HÌNH HỌC

XÁC SUẤT

Và sau đó trong mỗi cặp chúng ta chọn độc lập (với xác suất 1 2) một trong các điểm. Chúng ta hãy chứng minh rằng trong 8 phương án chọn điểm, có chính xác 6 phương án sẽ tạo ra bộ ba A, B, C “cù”. Trên thực tế, ba đường kính chia hình tròn thành 6 phần và mỗi phần có thể thu được là giao điểm của ba hình bán nguyệt cụ thể tương ứng với một số điểm A, B, C nhất định. Vì vậy, xác suất để có được bộ ba “cù” là 6 8 3 4, nghĩa là xác suất bổ sung là 1 4.

Bài toán Buffon

Chúng ta đã quen với việc xác suất luôn là một phân số có các số nguyên nhỏ ở tử số và mẫu số. Nhưng để kết luận, chúng tôi trình bày hai bài toán, trong đó số S xuất hiện trong đáp số. Điều đầu tiên gần như hiển nhiên. Bài toán 6. Một dấu chấm được thả ngẫu nhiên lên một tờ giấy ca-rô lớn có cạnh là 1. Xác suất để dấu chấm đó ở khoảng cách nhỏ hơn 1 2 tính từ tâm của một ô nào đó là bao nhiêu? Nó là đủ để xem xét một tế bào. Các điểm nằm ở khoảng cách không quá 1 2 tính từ tâm của nó sẽ lấp đầy một vòng tròn có diện tích S 4. Đây là đáp số: xác suất mong muốn (tỷ lệ diện tích của hình tròn với diện tích của ô) bằng S 4. Bài toán 7 (Buffon’s bài toán trên một cây kim). Mặt phẳng được xếp thành các dải có chiều rộng 1. Một cây kim (đoạn) có chiều dài 1 được ném lên nó. Xác suất để kim giao nhau với một trong các đường thẳng là bao nhiêu? bài toán này có đáp số: 2 S. S đến từ đâu nếu điều kiện không nói về đường tròn hoặc khoảng cách? Chúng ta hãy phác thảo ngắn gọn một trong lời giải. Vị trí của kim (nếu chúng ta không nói về sự dịch chuyển của nó dọc theo các đường, rõ ràng là không đóng vai trò gì) được xác định bởi hai tham số: khoảng cách ở đầu kim từ mép trên của dải mà nó rơi vào, 0 y 1, và góc D của kim với đường thẳng vuông góc với các đường thẳng (Hình 12, a). Vì lý do đối xứng, chúng ta có thể giả sử rằng D S 2. Điều kiện để kim đi qua

Hình 12

cạnh của dải: y cos D. Vì vậy, trong số các điểm D, y trong hình chữ nhật 0 D S 2, 0 y 1, chúng ta phải chọn các đường thẳng y cos D nằm bên dưới (Hình 12, b) và tìm tỉ số giữa diện tích S của hình thu được với diện tích hình chữ nhật (bằng S 2). Đối với những người quen với khái niệm tích phân,

S 2 cái bài toán này không khó đâu:

³ cos D d D

0

1. Nhưng bạn có thể nhận được đáp số dựa trên sự tương tự từ cơ học. Hãy tưởng tượng một điểm đồng đều đi qua cung AB gồm 14 đường tròn bán kính 1 với vận tốc đơn vị (Hình 12, c). Khi điểm M ở vị trí D trên cung ( 0 D S 2), tốc độ hình chiếu của nó M c lên bán kính OB bằng chính xác cos D. Vì vậy, Hình 12b là đồ thị tốc độ của điểm M c và diện tích S bên dưới đồ thị bằng đường đi của hình chiếu này, tức là S OB 1. Để kết luận, chúng tôi đưa ra một số bài toán tương tự như những cái chúng ta đã gặp.

8

KVANT 2020/№8

Bài tập 1. Xác suất để khi ném xúc xắc hai lần, a) sẽ xuất hiện hai số có tổng ít nhất là 10; b) hai số, số thứ nhất chia hết cho số thứ hai? 2. Một hành khách đến điểm dừng vào một thời điểm ngẫu nhiên và đợi xe buýt theo một trong hai tuyến đường, mỗi chuyến cách nhau 10 phút và 15 phút. Tìm xác suất p p t để anh ta phải đợi ít nhất t phút. 3. Đoạn đường được chia thành ba phần bằng nhau. Xác suất để ba điểm được ném ngẫu nhiên vào một đoạn sẽ có ba phần khác nhau là bao nhiêu? 4. Chọn ngẫu nhiên bốn điểm A, B, C, D trên một đường tròn. Xác suất để các đoạn AC và BD cắt nhau là bao nhiêu? 5. a) Vẽ đường kính trong một vòng tròn. Một điểm được chọn ngẫu nhiên trên đó và một dây vuông góc với đường kính được vẽ qua điểm đó. Xác suất để độ dài dây lớn hơn bán kính đường tròn là bao nhiêu? b) Hai điểm được chọn ngẫu nhiên trên đường tròn. Xác suất để độ dài dây nối chúng lớn hơn bán kính là bao nhiêu? c) Một điểm được chọn ngẫu nhiên trong vòng tròn. Xác suất để một dây cung có điểm giữa tại điểm này lớn hơn bán kính là bao nhiêu?

d) Giải tương tự bài toán cho dây có độ dài r 3, trong đó r là bán kính. Bình luận. Bài toán a), b), c) giống như ba phiên bản của cùng một thứ: vẽ một đường ngẫu nhiên cắt một đường tròn cho trước; Xác suất để chiều dài dây bị cắt lớn hơn bán kính là bao nhiêu? Nhưng đáp số ở chúng lại khác (nghịch lý Bertrand)! 6. Chọn ngẫu nhiên ba điểm trên một vòng tròn. Xác suất để một tam giác có các đỉnh tại các điểm này a) có góc lớn hơn 30q là bao nhiêu; b) mọi góc đều lớn hơn 30q; c) mọi góc đều nhỏ hơn 120q? 7. Hai điểm được chọn ngẫu nhiên trên một đoạn. Xác suất để một hình tam giác có thể được hình thành từ các đoạn mà nó được chia là bao nhiêu? 8. Mặt phẳng được chia bằng lưới các đường thẳng thành a) các hình vuông; b) các tam giác đều có cạnh 1. Xác suất để một đồng xu có đường kính 1 được ném ngẫu nhiên lên một mặt phẳng sẽ che phủ một trong các đỉnh của lưới là bao nhiêu? 9. a) Tìm xác suất để một n-giác lồi có các đỉnh tại các điểm ngẫu nhiên trên đường tròn chứa tâm của nó? b) Chứng minh rằng xác suất để n điểm được chọn ngẫu nhiên trên một hình cầu nằm trên cùng một bán cầu (cùng phía của một đường tròn lớn nào đó) là $n^{2} n 2 2^{n}$.

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Kể từ năm 2017, tạp chí «Kvant» đã trở thành tạp chí hàng tháng và 12 số tạp chí được xuất bản mỗi năm. Bạn có thể đăng ký tạp chí của chúng tôi từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»_{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru

Máy bơm nước và vật lý cơ bản

S. PARNOVSKY

BƠM TRONG BẾP? ĐIỀU NÀY LÀ HIẾM trừ khi nó là thứ gì đó trong hệ thống ống nước hoặc một phần của bộ lọc lọc nước. Nhưng bạn vẫn có thể nhớ những thiết bị nhà bếp sử dụng máy bơm. Ở dạng đơn giản nhất, nó được thiết kế để rót nước uống thông thường được đựng trong các chai lớn (Hình 1). Một vài lần nhấn vào nắp, đóng vai trò là tay cầm của máy bơm tay, và nước đã đổ vào thùng chứa đã đặt. Nguyên lý vật lý đằng sau điều này rất đơn giản: một máy bơm đẩy không khí vào chai nhựa, tạo ra áp suất không khí dư thừa ở phần trên, phía trên mặt nước. Áp suất này được truyền vào nước và sau khi vượt quá một giá trị nhất định, nước bắt đầu có hình 1. Chai nước bị rò rỉ ra khỏi ống. Máy bơm để rót $принципе^{ния}$ còn vận hành một máy bơm thủ công trong bình giữ nhiệt - một thiết bị làm nóng nước và giữ nóng (một loại kết hợp giữa phích nước và ấm đun nước; Hình 2). Nhiệt độ nước hoàn toàn không ảnh hưởng đến hoạt động của máy bơm, vì vậy bạn có thể yên tâm hạn chế trường hợp đơn giản nhất là đổ nước ở nhiệt độ phòng. Áp suất không khí dư tối thiểu cần thiết là bao nhiêu? Nếu bạn quen thuộc với công thức Pascal về áp suất bên trong chất lỏng, thì đáp số p U gh sẽ xuất hiện ngay lập tức.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200801

Không có câu hỏi nào với hai yếu tố đầu tiên: U là mật độ của chất lỏng; trong trường hợp của nước, U 1000 kg $м^{3} ; g 9,8$ m $с^{2}$ là gia tốc trọng trường. Nhưng bao nhiêu được coi là chiều cao mực nước dâng h? Có vẻ như đây là sự chênh lệch về chiều cao giữa mặt cắt ngang của ống nước, tức là chiều cao tối đa mà nước dâng lên trong máy bơm và mực nước trong máy bơm, nhưng ở đây có một sắc thái nhất định. Để hiểu điều này, chúng ta hãy nhớ siphon là gì. Vì mục đích này, chúng ta hãy trích dẫn từ cuốn sách của William Seabrook “Robert Wood. Một phù thủy hiện đại của phòng thí nghiệm vật lý” (M.: Nauka, 1980): “Một khám phá khác khiến ông được nâng cao trong mắt các cậu bé là việc áp dụng nguyên lý siphon, mà ông đã học được từ cuốn sách cũ của cha mình. Vào tháng Giêng, có một đợt băng tan và một cái ao nhỏ hình thành dưới cầu trượt, các cậu bé đang trượt xuống. Điều này thật tệ vì khi bạn trượt xuống băng, bạn thu được rất nhiều Sau đó, chiếc xe trượt tuyết rơi xuống một vũng nước và bạn bị tạt nước bẩn. Các cô gái trượt xuống đồi chậm hơn trên chiếc xe trượt tuyết cao của họ, và mọi thứ diễn ra tốt đẹp với họ. Nhưng không một cậu bé nào ngồi trên chiếc xe trượt tuyết như vậy vì tự hào. Mọi người tiếp tục lăn xuống, nằm sấp, ướt sũng và đầy bùn. Xung quanh vũng nước có độ cao hơn một foot, và mọi người đều biết rõ rằng nước không chảy lên dốc. Rob đặt vòi xuống đất, bảo một cậu bé dùng ngón tay bịt đầu lại và anh ta bắt đầu đổ nước vào vòi kia cho đến khi đầy toàn bộ vòi.

12

KVANT 2020/№8

ki có liên quan đến áp suất khí quyển. Chính điều này đã ngăn cản sự hình thành một phần bên trong ống không chứa đầy bất cứ thứ gì hoặc thậm chí không được lấp đầy bằng chân không mà bằng hơi nước với áp suất rất thấp. Nhưng áp suất khí quyển tương đương với áp suất 10,33 m nước. Khi bạn cố gắng nâng vòi lên độ cao lớn hơn, một khoảng trống sẽ hình thành trong đó và chất lỏng sẽ ngừng chảy qua ống hút. Đã hiểu nguyên lý hoạt động của siphon, chúng ta hãy nói về máy bơm nước. Tuy nhiên, chiều cao của nó rõ ràng là dưới 10 mét và ống hút ở phía trên hoạt động rất tốt. Vì vậy, chúng ta cần nâng nước lên ngang với lỗ mà nó chảy ra. Sau đó, ống hút sẽ vận chuyển nước qua phần cao hơn của ống cong và điều này sẽ không cần thêm áp suất dư thừa. Chính xác hơn, nó sẽ cần thiết, nhưng chỉ để đổ đầy nước vào ống hút khi phần nước đầu tiên đi qua. Khi nước ngừng chảy, nó sẽ tràn ra khỏi siphon. Mực nước trong ống sẽ gần bằng mức lỗ mà nước được đổ vào thùng thay thế. Kết quả là, để nước bắt đầu chảy từ máy bơm, cần phải tạo ra một áp suất dư trong đó, áp suất này tính bằng milimét của cột nước bằng hoặc lớn hơn chiều cao của phần nằm ngang, cao nhất của ống trong máy bơm so với mức chất lỏng. Và khi nó ngừng chảy, áp suất dư sẽ bằng với chiều cao của lỗ mà nước chảy ra, so với mực nước mới giảm xuống khi đổ. Cái gì đã nâng nước lên trong ống? Áp suất không khí quá mức trong tàu là kết quả của việc bơm bên trong tàu bằng máy bơm. Chiều cao của mực nước dâng có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng một công thức Pascal. Hoặc bạn có thể chỉ cần đo áp suất vượt quá tính bằng milimét cột nước, sau đó cứ mỗi 10 mm nước dư thừa. Nghệ thuật. sẽ đảm bảo mực nước dâng lên 1 cm. Nếu chúng ta mở một chai nước mới và lắp một máy bơm vào đó, thì nước phải được nâng lên một độ cao tương đối nhỏ, chẳng hạn như 10 cm. Giả sử thêm 5 cm nữa

sẽ cần thiết để đổ đầy siphon. Đối với tất cả điều này, nó đủ để cung cấp áp suất dư khoảng 150 mm nước. Nghệ thuật. trong một lượng nhỏ không khí cao hơn mực nước trong chai. Điều này có thể đạt được bằng cách nhấn mạnh vào máy bơm. Khi nước được tiêu thụ, mức độ của nó giảm đi. Khi có ít nước trong chai và mực nước cao hơn đáy một chút, bạn phải nâng nước lên độ cao lớn hơn - khoảng 50 cm. Theo đó, cần có áp suất vượt quá 550 mm nước. Nghệ thuật. Áp suất này gấp khoảng bốn lần áp suất khi bắt đầu vận hành chai, nhưng vẫn nhỏ so với áp suất khí quyển tương đương 10330 mm nước. Nghệ thuật. Rõ ràng là một chai thủy tinh thông thường có thể dễ dàng chịu được áp suất vượt quá 5% áp suất khí quyển. Khoảng áp suất tương tự được tạo ra bằng cách đổ nước vào chai. Có một yếu tố khác liên quan đến việc đổ chai. Chúng ta không chỉ phải tạo ra áp suất dư lớn hơn mà còn phải cung cấp cho nó một thể tích lớn hơn đáng kể với một chai gần như rỗng khoảng 20 lít. Kết quả là, khi rót từ một chai gần như trống rỗng, chúng ta không thể làm gì nếu không nhấn vài lần vào máy bơm. Bạn sẽ cần nhiều hơn nữa chỉ để nước bắt đầu chảy từ ống. Điều này dễ dàng được chứng minh bằng thực nghiệm. Nếu nước được đổ vào chai gần đầy thì chỉ cần nhấn một lần là có thể đổ một ít nước vào bình thay thế. Nếu mức thấp hơn mức trung bình một chút thì việc này sẽ cần ba lần nhấp chuột. Nếu lượng nước ít thì phải bơm thêm. Đương nhiên, bạn không nên tạm dừng giữa các lần bơm - xét cho cùng, bình không được kín và áp suất dư thừa giảm dần do không khí rò rỉ ra ngoài. Và thế là nước bắt đầu chảy, nhưng không hiểu sao nó lại không vội dừng lại. Dừng lại, chúng ta chỉ phải đổ 100 gram nước nhưng ly vẫn tiếp tục đầy. Than ôi, đây là khoản thanh toán cho lượng không khí cuối cùng được dẫn vào bên trong tàu chỉ bằng một lần nhấn. Chúng ta hãy xem thể tích chất lỏng đổ vào phụ thuộc như thế nào vào mức của nó trong chai. Để làm điều này, chúng ta hãy làm một số việc đơn giản

16

KVANT 2020/№8

các giải đấu của Thành phố - sáng tác bài toán, thuyết trình, là thành viên ban giám khảo của nhiều cuộc thi Olympic và hội nghị khác nhau. Ông đã nói chuyện với các diễn giả, giải thích cho họ những khả năng phát triển chủ đề trong báo cáo của họ và luôn chú ý, thân thiện và quan tâm. Khi ý tưởng thành lập một tạp chí khoa học và toán học phổ biến dành cho học sinh nảy sinh vào cuối những năm 60, Nikolai Borisovich đã tích cực tham gia vào công việc này. Ông là thành viên thường trực của ban biên tập và là tác giả thường xuyên của «Kvant». Theo sáng kiến ​​​​của ông, một trong những chuyên mục chính và có lẽ là nổi tiếng nhất đã xuất hiện trên tạp chí - “Bài toán Kvant”, mà Nikolai Borisovich luôn lãnh đạo từ khi thành lập tạp chí cho đến cuối đời (ông qua đời vào ngày 28 tháng 5 năm 1998). Bài toán là niềm đam mê chính của N.B. Vasiliev. Cũng như trong âm nhạc và nghệ thuật nói chung, trong các nhiệm vụ, ông đặc biệt coi trọng vẻ đẹp thực sự và sự độc đáo của ý tưởng. Ông là một nhà soạn nhạc xuất sắc về toán học bài toán. bài toán của ông - và có rất nhiều trong số chúng - nổi bật nhờ sự tinh tế trong các công thức và lời giải, chiều sâu và mối liên hệ với toán học “lớn”. Ngoài ra, anh ấy cũng như không ai khác, biết cách nhìn nhận và xác định điểm thú vị trong bài toán do tác giả khác gửi đến và tìm ra điểm hấp dẫn nhất.

xây dựng, khám phá những khái quát có thể có và phát triển hơn nữa cốt truyện bài toán, trình bày rõ ràng và đẹp mắt lời giải, thường kèm theo nhận xét và tham khảo văn học - dành cho những ai muốn hiểu sâu hơn vấn đề. Tất cả những điều này đã tạo nên “Bài toán Kvant nó là gì: một tập hợp khổng lồ của bài toán sâu sắc và có ý nghĩa, dưới ảnh hưởng của nó mà toàn bộ thế hệ các nhà khoa học đã lớn lên. Nikolai Borisovich cũng là tác giả của hơn ba mươi bài báo, chắc chắn là một trong những ấn phẩm hay nhất «Kvant». Nhiều bài báo được đồng tác giả với các nhà toán học khác. Khả năng nhìn và làm nổi bật vấn đề chính được kết hợp ở ông với khả năng văn chương vượt trội; Vasiliev có năng khiếu hiếm có là trình bày một cách minh bạch và rõ ràng nhất Biết được kỹ năng toán học phức tạp này của ông, nhiều nhà toán học đã mang các bài báo của họ đến tòa soạn và nhờ Nikolai Borisovich giúp ghi nhớ. Ông không bao giờ từ chối điều này, và trong một số trường hợp, bài báo đã tiến bộ đến mức các tác giả đã đề nghị ông trở thành đồng tác giả của họ. Trong gần bốn mươi năm, tạp chí «Kvant» và Nikolai Borisovich Vasiliev đã gắn bó chặt chẽ với nhau.

Sẽ không quá lời khi nói rằng mọi người trẻ, trong hơn ba mươi năm qua, đã bắt đầu hành trình nghiên cứu toán học của mình dưới hình thức này hay hình thức khác, đều là một trong những người đầu tiên nghe hoặc đọc tên Nikolai Borisovich Vasiliev. Tất cả mọi người đều biết đến nó - cả những người đã tham gia các cuộc thi Olympic toán học khác nhau, những người quan tâm đến các bài báo và sách toán học “ngoại khóa”, cũng như những người quan tâm đến trò chơi trí óc kỳ lạ trong lời giải toán học bài toán. Người đàn ông này đơn giản được thần tượng bởi những người trẻ tuổi mới bước những bước đầu tiên vào toán học; họ tự hào về cơ hội được tổ chức các cuộc thi toán học với anh ấy, nghĩ ra bài toán và thảo luận về các chủ đề cũng như nội dung của các bài báo. Ông được các đồng nghiệp yêu quý và đánh giá cao - vì sự cống hiến cho khoa học và sự phục vụ quên mình cho việc giáo dục thế hệ trẻ, vì sự trung thực trong các mối quan hệ giữa con người với nhau và tính cách tuyệt vời, vì thực tế là ông đáng tin cậy khi làm việc cùng. Ông có quyền lực không thể phủ nhận trong số những danh nhân toán học lớn tuổi hơn, nhiều người trong số họ không còn ở với chúng ta nữa, vì năng lực đặc biệt và nền giáo dục đa diện, vì tài năng của ông với tư cách là một nhà khoa học và giáo viên, nhà phổ biến và nhà tổ chức, vì thực tế là ông luôn chỉ đặt lợi ích của vấn đề lên hàng đầu. Và hầu hết mọi người đều gọi anh ấy một cách nồng nhiệt và theo kiểu gia đình - đơn giản là Kolya. NH Rozov, 1998

18

KVANT 2020/№8

trong số các đa giác này có hai đa giác bằng nhau. (Olympic toàn Liên minh lần thứ tư, 1970, Simferopol)

Hình 1

hình lục giác có cạnh 1 (Hình 1). Một con bọ, di chuyển dọc theo các đường của mạng, bò từ nút A nào đó đến nút B nào đó dọc theo con đường ngắn nhất bằng 100. Chứng minh rằng một nửa toàn bộ con đường nó bò theo một hướng (Olympic toàn Nga lần thứ tư, 1964, Moscow)

6 (“Trò chơi của Vasiliev”). Có 20 số được viết: 1, 2, …, 20. Hai người chơi lần lượt đặt dấu “+” hoặc “–” trước các số này (ký hiệu có thể đặt trước bất kỳ số tự do nào). Người đầu tiên cố gắng đảm bảo rằng sau khi sắp xếp tất cả 20 dấu hiệu, tổng của tất cả các số càng nhỏ càng tốt về giá trị tuyệt đối. Số tiền tuyệt đối lớn nhất mà người chơi thứ hai có thể đảm bảo cho mình là bao nhiêu? (Olympic toàn Nga lần thứ sáu, 1966, Voronezh)

7 (“Vận động viên trượt ván”). Sau phần trình diễn của 20 vận động viên trượt băng, mỗi giám khảo trong số 9 giám khảo sẽ tùy ý phân chia vị trí cho họ từ hạng 1 đến hạng 20. Hóa ra đối với mỗi vận động viên trượt băng, các vị trí do các giám khảo khác nhau giao cho anh ta khác nhau không quá 3. Hãy tính tổng số vị trí mà mỗi vận động viên trượt băng nhận được và sắp xếp các số này theo thứ tự tăng dần: $с_{1} d с_{2} d с_{3} d... d с_{20}$. Giá trị lớn nhất mà $с_{1}$ có thể có là bao nhiêu? (Olympic toàn Liên minh lần thứ hai, 1968, Leningrad)

8 (“Đa giác nhiều màu”). Các đỉnh của n-giác đều được sơn bằng nhiều màu (mỗi màu một màu) sao cho các điểm cùng màu đóng vai trò là các đỉnh của đa giác đều. Chứng minh rằng

9 (“Mạng lưới thần kinh”). Trong chuỗi tế bào thần kinh vô tận, mỗi tế bào có thể ở một trong hai trạng thái: “nghỉ ngơi” và “hưng phấn”. Nếu một ô đang được kích thích vào thời điểm đó, thì nó sẽ gửi một tín hiệu, sau một đơn vị thời gian (chẳng hạn như một mili giây), sẽ đến cả hai ô lân cận nó. Mỗi ô được kích thích khi và chỉ khi nó nhận được tín hiệu từ một trong các ô lân cận; nếu tín hiệu đến đồng thời từ cả hai phía, chúng sẽ bị tắt và tế bào không được kích thích. Ví dụ, nếu tại thời điểm ban đầu t 0, ba ô lân cận được kích thích và những ô còn lại được để yên, thì sự kích thích sẽ lan rộng, như trong Hình 2. (Các ô bị kích thích có màu đen.)

Hình 2

Giả sử chỉ có một ô được kích thích tại thời điểm ban đầu t 0. Có bao nhiêu ô sẽ ở trạng thái kích thích sau 15 ms? trong 65 mili giây? trong 1000 mili giây? trong thời gian ngắn? Điều gì sẽ xảy ra nếu chuỗi không phải là vô hạn mà chỉ chứa N ô được kết nối thành một vòng tròn (Hình 3) - liệu sự kích thích sẽ được duy trì vô thời hạn hay nó sẽ biến mất? (“Bài toán Kvant, Hình 3 bài toán M19)

10 (“Ống song song”). Trong không gian có 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng. Có bao nhiêu hình bình hành khác nhau mà tất cả các điểm này đều là đỉnh? (Olympic toàn Liên minh lần thứ bảy, 1973, Chisinau)

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ.

Bài toán M2614–M2617, F2621–F2624

M2614. Trong một bảng, các hàng có thể được hoán đổi và các cột cũng có thể được hoán đổi. Một số ô k của bảng được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Ở mức k tối đa nào thì luôn có thể đảm bảo rằng tất cả các dấu sao nằm ở một bên của đường chéo chính (đồng thời, không được có dấu hoa thị nào trên đường chéo chính)? P.Kozhevnikov

M2615. Trong tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh CA và AB lần lượt tại các điểm $B_{1}$ và $C_{1}$ (xem hình). Trên cạnh AB lấy điểm D tùy ý. Điểm L là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD. Cho phân giác của góc ACD cắt đường thẳng $B_{1} C_{1}$ tại điểm M. Chứng minh rằng CML 90 q. Trần Quang Hùng (Việt Nam)

M2616. Chứng minh rằng nếu p t 5 là số nguyên tố thì số p p p

§ trang 1! $\cdot$ § trang 1! $\cdot$ § trang 1! $\cdot$ ¨ ¸ ¨ $¸^{…}$ ¨ ¸ $©^{1}$ ¹ © 2 ¹ © $p^{1}$ ¹ chia hết cho $p^{3}$. I. Weinstein

M2617*. Chiếc máy bay được sơn 100 màu. Chứng minh rằng có ba điểm cùng màu là các đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 1. V. Bragin

F2621. Sáng ngày 21 tháng 3 tại Moscow, chiều dài của bóng cây thông Noel cao 1 mét tại một thời điểm nào đó lớn hơn chiều cao của nó gấp 3 lần và tỷ lệ này đang giảm dần. Đã bao lâu trôi qua kể từ khi mặt trời mọc? Tốc độ thay đổi độ dài bóng là bao nhiêu? S. Varlamov

F2622. Người điều khiển ô tô khách nặng M 1000 kg đi đường dài (từ Mátxcơva đến Belgorod) gần cột km có vạch 100 km đặt giá trị 000,0 km trên đồng hồ đo hành trình. Lái xe qua cột 200 km, anh thấy đồng hồ đo hành trình chỉ 101,0 km. Người lái xe dừng xe, bơm tất cả các bánh xe từ áp suất $p_{1} 1,1$ atm đến mức $p_{2} 2$ atm cần thiết và tiếp tục lên đường. Gần cột mốc 300 km, đồng hồ đo hành trình hiển thị 201,0 km. Người tài xế cười khúc khích hài lòng và lái xe tiếp mà không dừng lại. Cái gì

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Bài toán

Với những giá trị nguyên nào của n thì một tam giác đều có cạnh n có thể được xếp bằng các viên gạch hình thang cân có các cạnh 1, 1, 1, 2?

một số phần được kết nối nhất định (một phần bao gồm các điểm mà giữa một hoặc nhiều đường chéo có thể đi qua). Số lượng các bộ phận này có thể nhiều hơn 15 không?

2. a) Có thể xảy ra trường hợp trong một nhóm gồm 10 nữ và 9 nam, tất cả các nữ đều biết số nam khác nhau và tất cả các nam đều biết cùng một số nữ? b) Nếu có 11 bạn nữ và 10 bạn nam thì sao?

không chia hết cho 5 hoặc những số mà chữ số thứ nhất và thứ hai từ bên trái sang bên trái không phải là số năm?

3. Mỗi ô của hình vuông chứa 8u8

Tác giả của bài toán này là N.B. Vasiliev

Minh họa của D. Grishukova

4. Những số có năm chữ số lớn nhất là gì:

các ô vẽ một trong các đường chéo. Hãy xem xét sự kết hợp của 64 đường chéo này. Nó bao gồm một số

28

KVAN T 2020/Số 8

với n 4 bạn nhận được vô số ví dụ cho mọi n chẵn. Có thể “tái cấu trúc” một đa giác sau đây: lấy một trong các góc nhỏ của nó và cắt ra một hình bình hành từ nó, như trong Hình 3. Một ma-

Hình 3

góc nhỏ sẽ biến thành hai góc nhỏ bằng nhau và một góc lớn.

Bài tập 3. Nghĩ ra một cách “sắp xếp lại” khác để thêm hai đỉnh vào đa giác.

Vì vậy, đối với các đa giác có số cạnh chẵn, có một loạt ví dụ. Vẫn còn phải hiểu số lẻ n nào tồn tại n-giác phù hợp. Chúng ta hãy xem xét n nhỏ nhất trong số tất cả n như vậy, chúng ta hãy ký hiệu nó là M. Sau đó, với mọi n lẻ lớn hơn M, có thể thu được một ví dụ phù hợp bằng cách lặp lại việc “tái cấu trúc” số lần cần thiết (bạn cũng cần đảm bảo rằng có ít nhất một góc nhỏ trong ví dụ ban đầu để có thể thực hiện “tái cấu trúc”). Vẫn còn phải tìm M. Có một điểm không chính xác ẩn chứa trong lý do trên: n nhỏ nhất như vậy có thể không tồn tại - nếu không có ví dụ nào phù hợp cho n lẻ cả. Nhưng bây giờ chúng tôi sẽ đưa ra một ví dụ như vậy.

Ví dụ đầu tiên Chúng ta hãy quay lại cách xây dựng trong Hình 2. Tại $J = 180 \infty$ một “giác chẵn” như vậy sẽ biến thành một “giác lẻ” (Hình 4). Vì

Hình 4

Ví dụ n nhỏ nhất được sắp xếp theo cách này là gì? Tổng các góc $E_{1} + E_{2} +^{…} + E_{k}$ phải lớn hơn $180\infty$, nhưng tất cả các số hạng trong tổng đều nhỏ hơn $10\infty$, nghĩa là có ít nhất 19 số hạng trong số đó. Khi đó tổng số đỉnh ít nhất là 19 20 39. Không khó hiểu khi có thể chọn được các giá trị góc cần thiết. Vì vậy, thu được ví dụ về n 39, có nghĩa là M £ 39.

Ước tính đầu tiên Đã có một số ví dụ, bây giờ chúng ta hãy ước tính số cạnh của một đa giác phù hợp. Chúng tôi sẽ xem xét hướng dẫn một lần nữa, nhưng theo cách khác. Hãy bắt đầu đi quanh đường viền của đa giác ngược chiều kim đồng hồ và xem hướng chúng ta di chuyển thay đổi như thế nào. Vì trong một đa giác phù hợp, mỗi góc đều nhỏ hoặc lớn, nên khi chúng ta di chuyển sang cạnh tiếp theo, hướng mà chúng ta đang di chuyển sẽ thay đổi gần như ngược lại. Không có khó khăn gì với ví dụ về số chẵn n - khi đi vòng quanh, hướng thay đổi gần như ngược lại số lần chẵn và trở thành hướng ban đầu. Trong trường hợp n lẻ, chúng ta sẽ cần ước tính mức đóng góp có thể có của những “gần như” này. Chúng ta có thể giả sử rằng các hướng tương ứng với các tia phát ra từ một điểm. Các Hình 5,a và 6,a thể hiện đường truyền của các đa giác, và trong các Hình 5,b và 6,b, điểm đầu của cùng một hướng tia của đường truyền được di chuyển đến một điểm. Chúng tôi sẽ theo dõi góc mà hướng thay đổi. Một số lượt xảy ra theo chiều kim đồng hồ, một số ngược chiều kim đồng hồ. Phương hướng

Hình 5

31

“Lượng tử”

VÌ

TRẺ HƠN

i a - b £ - 1, thì $10 \infty$ ◊ $b > 180 \infty$ ◊ 3, tức là $n \ge b \ge 55$. Vì vậy, trong mọi trường hợp số đỉnh ít nhất là 35: $M \ge 35$.

Chúng tôi lấy một ví dụ

Từ ước tính, phương án n 35 chỉ có thể thực hiện được với a 19, b 16. Điều này giúp đưa ra một ví dụ: 4 góc nhỏ liên tiếp (theo thứ tự đi xung quanh ranh giới đa giác), sau đó là góc lớn, rồi lại là góc nhỏ, v.v. - các góc nhỏ xen kẽ với các góc lớn (Hình 11).

Hình 11

Vẫn còn phải chứng minh rằng một ví dụ được sắp xếp theo cách này thực sự tồn tại và chúng ta sẽ không bị cản trở bởi bất kỳ mâu thuẫn nào mà chúng ta chưa chú ý đến. Việc xây dựng ví dụ có thể được mô tả như sau. Hãy lấy một hình tam giác, hai góc nhỏ hơn $10\infty$ và góc thứ ba nhỏ hơn $170\infty$ (ví dụ: 9q, 9q, 162q). Hãy cắt góc lớn hơn của nó thành 17 góc nhỏ nữa (trong hình $12 их^{8).}$) Chúng ta sẽ có một đường gãy khép kín, trong đó một số liên kết chồng lên nhau. Có 19 góc nhỏ và 16 góc trong $360\infty$ (trong hình chúng được đánh dấu màu đỏ). Vẫn phải di chuyển các đỉnh một cách tuần tự để các cạnh không còn chồng lên nhau nhưng đồng thời các góc nhỏ vẫn nhỏ. Như vậy, hình mong muốn sẽ thu được đa giác $Итак,^{M} = 35$. Bài toán đã giải quyết.

Hình 12

TRẺ EM HỌC SINH

Cuối cùng, chúng tôi sẽ trình bày thêm hai bài toán thú vị hơn về các chủ đề được nêu ra.

Bổ sung bài toán

1 (V. Proizvolov, “Bài toán để tăng trưởng”). Mỗi góc của 19 giác là bội số của $10\infty$. Chứng minh rằng nó có hai cạnh song song.

2. Số góc nhọn lớn nhất có thể là a) trong một lồi, b) trong một n-giác tùy ý là bao nhiêu?

…trong số tất cả các tia tới từ một điểm cho trước và bị phản xạ tại một điểm cho trước, những tia tối thiểu là những tia phản xạ từ gương phẳng và gương cầu ở những góc bằng nhau. Diệc Alexandria

Trong tất cả các đường đi từ điểm A đến điểm B, ánh sáng chọn đường đi mất ít thời gian nhất. Pierre Fermat

Ở cả hai phía của vị trí có giá trị lớn nhất, mức giảm ban đầu không nhạy cảm. Johannes Kepler

Không có gì xảy ra trên thế giới mà ý nghĩa của một mức tối đa hoặc tối thiểu nào đó không được nhìn thấy. Leonard Euler

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

?

cực trị trong vật lý

Làm thế nào, khi có một số tiền nhất định, hãy chọn số lượng tối đa hàng hóa cần thiết trong cửa hàng; Làm thế nào để dành thời gian tối thiểu để chuẩn bị cho kỳ thi, tính điểm cao? Nhưng nhiệm vụ còn nghiêm trọng hơn: giảm đến mức giới hạn trọng lượng của thiết bị gửi lên Sao Hỏa; sản xuất càng nhiều sản phẩm càng tốt bằng cách sử dụng thiết bị hạn chế; đạt được chi phí vận chuyển thấp nhất khi giao hàng; phóng tên lửa lên độ cao tối đa với nguồn cung cấp nhiên liệu nhất định… Điều này không gì khác hơn là bài toán tìm kiếm các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, mức tối đa và mức tối thiểu, mức cực trị tổng quát hoặc tối ưu hóa bài toán. Những thế kỷ cuối cùng của vật lý và toán học - đôi khi xung đột với nhau, thường là “song song” - đã đấu tranh với các phương pháp của họ lời giải và đã đạt được, không hề phóng đại, những kết quả xuất sắc, đưa họ tiến vào kinh tế, hóa học và y học…

Câu hỏi và bài toán

1. Dọc tuyến đường sắt có các cột km cách nhau 1 km. Một trong số chúng được sơn màu vàng và sáu chiếc được sơn màu đỏ. Tổng khoảng cách từ cột màu vàng đến tất cả các cột màu đỏ là 14 km. Khoảng cách tối đa giữa các điểm màu đỏ có thể là bao nhiêu $столбами?^{2.}$ Một bên đường thẳng là làng A và B. Vị trí trên đường nên đặt trạm dừng xe buýt sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến làng là $наименьшим?^{3.}$ Vị trí và vận tốc ban đầu của hai tàu chuyển động đều như trên hình. Cách tìm khoảng cách tối thiểu giữa $ними?^{4.}$ Xác định tốc độ tối thiểu mà một vận động viên bơi lội có thể bơi qua sông có chiều rộng d 40 m với điều kiện không được cuốn người đó đi xa hơn s 30 m. ​​Vận tốc của dòng sông $2^{м}$ s $.^{5.}$ Đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của hình chiếu gia tốc của một vật chuyển động thẳng theo thời gian. Vào thời điểm nào tốc độ của cơ thể là ít nhất; $наибольшая?^{6.}$ Từ điểm A, vật chuyển động thẳng với vận tốc ban đầu bằng 0 và dừng lại tại điểm B. Trong trường hợp này, vật có thể chuyển động với gia tốc không đổi và đều. Bản chất của chuyển động phải như thế nào để thời gian của nó là $минимальным?^{7.}$ Có nhiều mặt phẳng nghiêng nhẵn có cùng đáy s nhưng có độ cao khác nhau. Ở độ cao h là thời gian vật trượt dọc theo

$наклонной^{плоскости}$ sẽ nhỏ nhất?$^{8.}$ Tốc độ của cánh tuabin hơi là bao nhiêu mà tại đó phần động năng cực đại của tia hơi nước chạm vào nó được chuyển thành năng lượng quay $турбины?^{9.}$ Trên sơ đồ p, T, quá trình thực hiện với một loại khí lý tưởng được mô tả dưới dạng một vòng tròn. Thể tích của khí không đổi. Cách xác định bằng đồ thị nơi khối lượng của một chất khí là lớn nhất và nơi nào $минимальна?^{10.}$ Áp suất của một chất khí lý tưởng giãn nở tuyến tính giảm một nửa khi thể tích của nó tăng gấp đôi. Nhiệt độ khí ban đầu $T_{0}$. Nhiệt độ tối đa trong trường hợp này là bao nhiêu $процессе?^{11.}$ Tìm khoảng cách tối thiểu giữa vật và ảnh thật của nó trong một thấu kính mỏng, đã biết tiêu cự F của nó.

Kinh nghiệm vi mô

Dán keo các mặt đối diện của một tờ giấy can hoặc giấy nướng hình chữ nhật. Đặt bề mặt thu được - có hình dạng tùy ý theo mặt cắt ngang - theo chiều dọc dưới đáy của một tấm phẳng và từ từ đổ nước vào đó, giữ sao cho nước không thể thấm qua bên dưới. Bề mặt sẽ có hình dạng gì?

Thật thú vị rằng…

…các đặc tính cực đoan của hình tròn và quả bóng ở Hy Lạp cổ đại đã được biết đến từ thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. Tuy nhiên, bài toán thuộc loại này khi đó chỉ được nghiên cứu bằng phương pháp hình học và mỗi phương pháp trong số chúng đối với lời giải đều yêu cầu một kỹ thuật cụ thể. …các phương pháp tiếp cận chung để nghiên cứu cực đoan bài toán “được kích thích” bởi thực tiễn chỉ bắt đầu xuất hiện vào thế kỷ 17, dẫn đến việc tạo ra phép tính vi phân và tích phân - một công cụ nghiên cứu mạnh mẽ trong khoa học tự nhiên. …Vincenzo Viviani, một nhà khoa học người Ý, học trò của Galileo, người đã chế tạo một chiếc đồng hồ quả lắc dựa trên ý tưởng của thầy mình, và thay mặt Torricelli thực hiện thí nghiệm nổi tiếng để chứng minh sự tồn tại của áp suất khí quyển, đã nổi tiếng

Ten và cuốn sách “Về giá trị tối đa và tối thiểu” của ông. …ý tưởng, do Heron lồng tiếng, cho rằng thiên nhiên bị chi phối bởi những nguyên tắc cực đoan, được phát triển bởi Fermat. Từ ý tưởng về con đường ngắn nhất mà ánh sáng đi qua, ông đã đi đến tuyên bố về thời gian tối thiểu đi qua một môi trường không đồng nhất, điều này cho phép ông rút ra định luật khúc xạ ánh sáng. …sự xác nhận rằng thiên nhiên sử dụng các giải pháp cực đoan là hình dạng của các tế bào của tổ ong, việc xây dựng chúng sử dụng lượng sáp ít nhất cho một thể tích nhất định hoặc hình dạng của màng xà phòng, được giới hạn bởi hai vòng dây và có diện tích bề mặt nhỏ nhất. … trong khi nghiên cứu chuyển động của trọng tâm của các vật thể, Torricelli đã dựa vào nguyên lý mà ngày nay mang tên ông và phát biểu rằng một hệ cơ học ở trạng thái có thế năng thấp nhất sẽ ở trạng thái cân bằng. …trong số tất cả các quả bóng lăn dọc theo các rãnh trơn khác nhau từ điểm này đến điểm cụ thể khác, quả bóng trượt dọc theo cycloid (hoặc brachistochrone) sẽ đến mục tiêu nhanh nhất. VỚI lời giải cái này và tương tự bài toán, phát sinh trong hình học, cơ học và vật lý, việc tạo ra phép tính biến phân đã bắt đầu. …sự phát triển hơn nữa của lý thuyết cực trị bài toán trong thế kỷ 20 là do nhu cầu về du hành vũ trụ, năng lượng và vận tải, dẫn đến sự phát triển nhanh chóng của các lĩnh vực khoa học như lập trình tuyến tính, điều khiển tối ưu và lý thuyết thảm họa.

Đọc gì trong «Kvant» về cực trị trong vật lý

(xuất bản những năm gần đây)

1. “Bài toán cực đoan” – 2015, số 1, trang 46; 2. “Nguyên lý Fermat và hành trạng bất thường của ánh sáng” – 2017, số 2, tr. 27; 3. “Chuyển động của vật thể trong trường hấp dẫn” – 2018, số 9, tr. 29; 4. “Tìm hiểu phạm vi EXPO 2017” – 2019, số 3, tr. 34; 5. “Thuyết tương đối của chuyển động trong các bài toán động lực học” – 2019, số 4, tr. 40; 6. “Kiến đậu trong hộp thiếc” – 2020, số 2, tr. 31.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Những phù thủy của John Conway

K.KNOP

NHÀ TOÁN HỌC NỔI BẬT John Horton Conway nổi tiếng không chỉ vì sự phát triển lý thuyết trò chơi tổ hợp mà còn vì những đóng góp to lớn của ông cho việc giải trí toán học. Lần đầu tiên tôi nghe một trong những bài toán hấp dẫn nhất của Conway trong một câu chuyện kể lại của T. Khovanova [1], và chính câu chuyện này đã làm cơ sở cho bài viết này. Cái này bài toán: Đêm qua tôi đi cùng xe buýt với hai thầy phù thủy và tình cờ nghe được cuộc trò chuyện của họ: A: Tôi có mấy đứa con, tuổi của mỗi đứa là một số nguyên dương, và tổng của chúng bằng số của chiếc xe buýt này, và tích bằng tuổi của tôi. B: Thật thú vị! Có lẽ nếu bạn cho tôi biết tuổi của bạn và số con của bạn, tôi có thể tính được tuổi của chúng? Đ: Không, bạn không thể. B: Vâng! Cuối cùng tôi đã biết được tuổi của bạn. Số xe buýt chúng ta đã đi là bao nhiêu? Tôi sẽ bắt đầu với một số ý kiến. Tác giả của câu đố, John Conway, đã suy nghĩ cẩn thận về toàn bộ môi trường xung quanh. Đặc biệt, xe buýt (xe buýt) được chọn làm bối cảnh vì cùng với tuổi (tuổi) của thuật sĩ đầu tiên và số con (trẻ em) của mình, Conway đã thu được các ký hiệu thuận tiện cho ba giá trị số - a, b, c. Có lẽ tôi cũng sẽ giữ những danh hiệu này. Vì vậy, gọi a là tuổi của thuật sĩ đầu tiên, b là số xe buýt (chúng tôi không biết, nhưng thuật sĩ thứ hai biết) và c là số con của thuật sĩ đầu tiên. Nhận xét thứ hai liên quan đến cụm từ của thuật sĩ A “Không, bạn không thể.” Trong tuyên bố này, thầy phù thủy không hề nghi ngờ gì về khả năng trí tuệ của bạn mình. Điều đó có nghĩa là ngay cả với bộ ba số a, b, c đã biết hoàn toàn cũng không thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200804

xác định rõ độ tuổi của trẻ. Nói cách khác, có một số nhóm độ tuổi khác nhau của trẻ em cho cùng các giá trị a, b, c. Hãy gọi những tập hợp độ tuổi như vậy là Conway, hay tập hợp K. Điều khiến câu đố này vô cùng đẹp đẽ là nó rất khó tiếp cận. Nếu chúng ta biết tuổi của phù thủy (số a), thì chúng ta có thể xem qua các ước số của anh ta và tìm thấy tất cả các biến thể của tổng của chúng. Nếu số xe buýt (b) đã biết, thì có thể phân tách nó theo nhiều cách khác nhau thành tổng các số hạng và thu được các biến thể cho sản phẩm của chúng. Và ngay cả khi chúng ta chỉ biết số lượng trẻ em (c), quy mô tìm kiếm vẫn nhỏ hơn đáng kể. Một số người bạn của tôi đã dành vài giờ để lập trình liệt kê các tùy chọn và chỉ sau đó mới tìm ra cách tiếp cận lời giải chính xác. Không phải là bài toán dường như hoàn toàn chưa được xác định rõ ràng, tức là cho phép lời giải khác nhau sao? Đây là một trong những lý lẽ điển hình. Giả sử họ đang đi trên xe buýt số 21 (b 21), thầy phù thủy 96 tuổi (a 96) và có ba người con (c 3). Điều này có nghĩa là tuổi của chúng là ba số tự nhiên có tổng bằng 21 và tích bằng 96. Có hai bộ ba số như vậy: 1, 8, 12 và 2, 3, 16, tức là. Thật vậy, ngay cả khi thuật sĩ thứ hai phát hiện ra tất cả những điều này, anh ta sẽ không thể xác định được tuổi của những đứa trẻ. Cái này đáp số có tốt không? Tại sao? Chẳng phải chúng ta đã tìm thấy những con số thỏa mãn mọi điều kiện trong cuộc đối thoại của các thầy phù thủy sao? Không, họ không tìm thấy nó. Đáp số “96 tuổi, xe buýt số 21, 3 đứa trẻ” không hoạt động vì nó không tính đến dòng cuối cùng - thuật sĩ B đó đã có thể tính ra tuổi của thuật sĩ A. Liệu anh ấy có thể làm được điều này nếu chỉ biết số xe buýt? Nói cách khác, có K-bộ số khác có cùng b nhưng khác a không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy đặt ra nó theo cách khác. Có K-bộ ba số nào khác có b nhỏ hơn và a khác không? Rốt cuộc, nếu chúng được tìm thấy, thì bạn chỉ cần thêm một số trẻ một tuổi vào chúng để tổng các số (số b) trong Tập kết quả bằng 21. Trong trường hợp này, tích (số a, tức là tuổi của phù thủy) sẽ không thay đổi và sẽ vẫn khác với số cũ. Thật vậy, những bộ ba K như vậy rất dễ tìm thấy: ví dụ: đây là 1, 5, 8 và 2, 2, 10. Thêm-

42

KVA NT 2020/Số 8

Bằng cách thêm trẻ một tuổi vào chúng, bạn có thể nhận được bộ K với bất kỳ b! 14 (và tuổi của thầy phù thủy là 40 tuổi). Và từ K-tuple 1, 6, 6 và 2, 2, 9, một thao tác tương tự sẽ cho ra K-tuple với b bất kỳ! 13, trong khi phù thủy đã 36 tuổi. Do đó, số xe buýt không thể nhiều hơn 13 - vì trong trường hợp này, thuật sĩ B sẽ không thể hiểu được đối tác của mình 40 tuổi hay 36 tuổi (và có lẽ sẽ có một số lựa chọn khác). Có vẻ như chúng ta đã nắm bắt được “cái đuôi” bên phải của câu đố này. Chúng ta cần tìm số bus nhỏ nhất cung cấp hai bộ K - và khi đó tất cả các số tiếp theo sẽ không hoạt động.

trữ tình lạc đề

Chẳng lẽ phù thủy A chỉ có một đứa con? Hiển nhiên là không: khi đó tuổi của anh ấy sẽ trùng với cả số xe buýt và tuổi của A, và đây là trường hợp duy nhất khi b a. Do đó, sau khi học (tính toán) a, thuật sĩ B sẽ xác định ngay số con (từ 1) và tuổi của đứa trẻ này - nhưng chúng ta phải tin A, người cho rằng điều này không thể thực hiện được. Thế còn hai đứa trẻ (c 2) thì sao? Sau đó, khi tính tuổi của a và biết số xe buýt của b, thuật sĩ B sẽ biết tổng và tích của hai số tự nhiên. Liệu anh ta có thể tự tìm ra các con số không? Tương tự hình học của bài toán này là bán chu vi và diện tích của hình chữ nhật có các cạnh mà chúng ta muốn tìm đã biết (Hình 1). Hóa ra là trong

Hình 1

Trong trường hợp này, bạn có thể tự tìm ra các số (trong phiên bản hình học, các cạnh của hình chữ nhật) ngay cả khi chúng không phải là số nguyên, nhưng để làm được điều này, bạn cần có khả năng giải phương trình bậc hai. Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể thực hiện bằng một tìm kiếm đơn giản: tìm tất cả các cặp số có tổng cho trước, bắt đầu bằng cặp 1 và b 1, sau đó “gộp” các số lại với nhau - tích của chúng sẽ tăng lên. Tại thời điểm tích bằng a, các số cần tìm sẽ được tìm thấy. Vì thế, ngay cả đối với hai đứa con, A cũng không thể nói “Không”. Vì vậy, khi liệt kê có thể loại bỏ tất cả các phương án có một và hai con.

Có thứ gì khác có thể bỏ được không? Đúng. Vì chúng ta muốn tìm số xe buýt tối thiểu mang lại sự mơ hồ trong việc lựa chọn độ tuổi của trẻ em nên không nên có các số trùng khớp trong các KSet khác nhau - bởi vì nếu có, chúng có thể bị xóa khỏi mỗi bộ và khi đó số xe buýt (tổng) thậm chí còn nhỏ hơn. Ví dụ: nếu một trong các bộ có trẻ một tuổi thì bộ kia không nên có. Vì vậy, ở một trong các bộ K, tất cả trẻ em đều trên một tuổi. Hãy tổng hợp các kết quả trung gian. Bây giờ chúng ta sẽ tìm các phân tách của số bus b thành tổng của một số số hạng tự nhiên lớn hơn 1. Trong trường hợp này, chúng ta chỉ xem xét những phân tách trong đó số lượng các số hạng không nhỏ hơn 3 và bản thân số bus không lớn hơn 12 (vì đối với 13, chúng ta đã biết cặp K-tuples cần thiết và chúng ta muốn tìm một bộ thậm chí còn nhỏ hơn hoặc đảm bảo rằng nó không tồn tại). Đi thôi! Xem xét các lựa chọn chắc chắn không phải là công việc dễ chịu nhất, nhưng đôi khi cần thiết cho một lời giải cuộc sống bài toán thành công. Trong tìm kiếm của chúng tôi, chúng tôi sẽ đánh dấu bằng biểu tượng các dòng có các giá trị của a xuất hiện (trong toàn bộ tìm kiếm) nhiều lần và với các giá trị b khác nhau. Đầu tiên, chúng ta liệt kê các khai triển trong đó mỗi số hạng lớn hơn 1: 6 2 + 2 + 2 (a 8) 7 2 + 2 + 3 (a 12) 8 2 + 2 + 2 + 2 (a 16) 8 2 + 2 + 4 (a 16) 8 2 + 3 + 3 (a 18) 9 2 + 2 + 2 + 3 (a 24) 9 2 + 2 + 5 (a 20) 9 2 + 3 + 4 (a 24) 9 3 + 3 + 3 (a 27) 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (a 32) 10 2 + 2 + 2 + 4 (a 32) 10 2 + 2 + 3 + 3 (a 36) 10 2 + 2 + 6 (a 24) 10 2 + 3 + 5 (a 30) 10 2 + 4 + 4 (a 32) 10 3 + 3 + 4 (a 36) 11 2 + 2 + 2 + 2 + 3 (a 48) 11 2 + 2 + 2 + 5 (a 40) 11 2 + 2 + 3 + 4 (a 48) 11 2 + 3 + 3 + 3 (a 54) 11 2 + 2 + 7 (a 28) 11 2 + 3 + 6 (a 36) 11 2 + 4 + 5 (a 40) 11 3 + 3 + 5 (a 45) 11 3 + 4 + 4 (a 48) 12 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 (a 64)

43

TOÁN HỌC

12 2 + 2 + 2 + 2 + 4 (a 64) 12 2 + 2 + 2 + 3 + 3 (a 72) 12 2 + 2 + 2 + 6 (a 48) 12 2 + 2 + 3 + 5 (a 60) 12 2 + 2 + 4 + 4 (a 64) 12 2 + 3 + 3 + 4 (a 72) 12 3 + 3 + 3 + 3 (a 81) 12 2 + 2 + 8 (a 32) 12 2 + 3 + 7 (a 42) 12 2 + 4 + 6 (a 48) 12 2 + 5 + 5 (a 50) 12 3 + 3 + 6 (a 54) 12 3 + 4 + 5 (a 60) 12 4 + 4 + 4 (a 64) Cuộc tìm kiếm vẫn chưa kết thúc: xét cho cùng, vẫn còn những Kset có một, và có lẽ còn nhiều hơn nữa. Phải làm gì với chúng? Chúng tôi sẽ không viết chúng ra một cách riêng biệt mà sẽ thêm các bộ một và hai thuật ngữ vào những thuật ngữ đã được viết ra, sau đó chúng tôi sẽ theo dõi từng tùy chọn theo bảng đã viết sẵn - sau cùng, việc thêm một hoặc một số đơn vị (i) sẽ bảo quản sản phẩm; (ii) tăng số lượng con lên một mức nào đó; (iii) tăng số b lên cùng một lượng, tức là tổng số tuổi của trẻ em. Các bộ đã viết trước đó được thêm vào: 2 2 (a 2) 3 3 (a 3) … 11 11 (a 11) 4 2 + 2 (a 4) 5 2 + 3 (a 6) 6 3 + 3 (a 9) 6 2 + 4 (a 8) 7 3 + 4 (a 12) 7 2 + 5 (a 10) 8 4 + 4 (a 16) 8 3 + 5 (a 15) 8 2 + 6 (a 12) 9 4 + 5 (a 20) 9 3 + 6 (a 18) 9 2 + 7 (a 14) 10 5 + 5 (a 25) 10 4 + 6 (a 24) 10 3 + 7 (a 21) 10 2 + 8 (a 16) 11 5 + 6 (a 30) 11 4 + 7 (a 28) 11 3 + 8 (a 24) 11 2 + 9 (a 18) Chúng ta sẽ không viết tổng từ 12 trở lên nữa vì sau khi thêm đơn vị, chúng sẽ tăng lên.

VÒNG TRÒN

Vì các bộ K phải có cùng a, nên chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến các hàng được đánh dấu bằng a. Hãy viết lại tất cả các tập hợp, sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần a: 5 2 + 3 (a 6) 6 6 (a 6)

6 8

2 + 2 + 2 8 (a 8)

2 + 4 (a 8)

6 9

3 + 3 (a 9) 9 (a 9)

7 2 + 5 (a 10) 10 10 (a 10)

7 8

2 + 2 + 3 3 + 4 (a 12) 2 + 6 (a 12)

8 2 + 2 + 2 + 2 2 + 2 + 4 10 2 + 8 (a 16)

4 + 4 (a 16)

8 2 + 3 + 3 (a 18) 9 3 + 6 (a 18) 11 2 + 9 (a 18)

9 2 + 2 + 2 + 3 2 + 3 + 4 (a 24) 10 2 + 2 + 6 (a 24)

10 11

2 + 3 + 5 (a 30) 5 + 6 (a 30),

10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 2 + 4 + 4 (a 32) 12 2 + 2 + 8 (a 32)

10 11

2 + 2 + 2 + 4

2 + 2 + 3 + 3 3 + 3 + 4 (a 36) 2 + 3 + 6 (a 36)

11 2 + 2 + 2 + 2 + 3 2 + 2 + 3 + 4 3 + 4 + 4 (a 48) 12 2 + 2 + 2 + 6 2 + 4 + 6 (a 48)

11 2 + 3 + 3 + 3 (a 54) 12 3 + 3 + 6 (a 54) Chà, bây giờ bạn có thể hoàn thành câu đố đến cùng theo bất kỳ cách nào bạn muốn - ví dụ: loại bỏ tất cả các tùy chọn chứa các số hạng bằng nhau (vì nếu có các số hạng như vậy, thì sau khi loại bỏ chúng, bạn sẽ nhận được một bộ khác, với tổng nhỏ hơn và tích nhỏ hơn). Và chúng ta có thể tính đến việc giá trị lớn hơn của tổng b trong một tập K khác tương ứng với số lượng con lớn hơn. Bằng cách này hay cách khác, trong tất cả những dòng được viết ra, chỉ có hai dòng phù hợp với chúng tôi -

11 12

3 + 4 + 4 (a 48) 2 + 2 + 2 + 6 (a 48)

Chúng dẫn đến hai tập hợp K như vậy: 12 1 + 3 + 4 + 4 2 + 2 + 2 + 6. Vì vậy, chúng ta đang lái xe

44

KVA NT 2020/Số 8

họ đang ở trên xe buýt số 12, và người phù thủy đầu tiên đã 48 tuổi. Bài toán đã giải quyết! Bạn có thể xem trực quan lời giải của bài toán này trong [4].

---

Hãy cố gắng tự mình tìm ra các tùy chọn đối thoại của trình hướng dẫn sau đây. 1 (đơn giản hóa bài toán Conway, tác giả – T. Khovanova [1]). Đáp: Tôi có mấy đứa con, tuổi của mỗi đứa là một số nguyên dương, tổng của chúng bằng số của chiếc xe buýt này. B: Thật thú vị! Có lẽ nếu bạn cho tôi biết số con của bạn, tôi có thể tính được tuổi của chúng? Đ: Không, bạn không thể. B: Vâng! Cuối cùng tôi đã biết bạn có bao nhiêu đứa con. Số xe buýt là gì? 2 (phiên bản được biết đến rộng rãi). A: Tôi có ba đứa con, tuổi của mỗi đứa là một số nguyên dương và tổng của chúng bằng số của chiếc xe buýt này và tích là $–^{36.} B:$ Nhưng tôi không thể tìm ra chúng bao nhiêu tuổi! A: Con gái của bạn lớn hơn tất cả các con của tôi. B: Cảm ơn, thế là đủ rồi.

Các con của Pháp sư A bao nhiêu tuổi và số xe buýt lần này là bao nhiêu? 3 (phiên bản của tác giả [3]). Đáp: Tôi có bốn người con trai, tích số tuổi của chúng bằng 180 và tổng số tuổi của chúng bằng số chiếc xe buýt này. B: Vẫn chưa đủ thông tin! A: Con trai út của tôi rất thích ăn kem. B: Và thế vẫn chưa đủ. A: Và hôm nay là sinh nhật của anh cả. B: Cảm ơn bạn, giờ tôi đã biết họ bao nhiêu tuổi rồi! 4. Thầy phù thủy bắt Alice và Bob và nói cho mỗi người một số nguyên từ 0 đến 10, và các số của họ khác nhau một (và họ biết điều đó). Đối thoại: Alice: Tôi không biết số của bạn và bạn cũng không biết số của tôi. Bob: Tôi không biết số của bạn và bạn cũng không biết số của tôi. Bây giờ bạn biết số của tôi! Số nào đã được trao cho Bob?

Văn học 1. Tanya Khovanova. Phù thủy của Conway. – https: arxiv.org abs 1210.5460 2. S. Artemov, Y. Gimatov, V. Fedorov. Rất nhiều bit không có gì. – «Kvant», $1977, №3.^{3.}$ K.Knop. Bài toán về con của người pha chế rượu. – https: $knop.livejournal.com^{375403.html} 4.$ A. Perepechko. Hình dung của bài toán của Conway. – https: kvantik.com thêm xe buýt conway

NHÀ XƯỞNG LA B “QUYỀN TÁ”

Những quả bóng bí ẩn

S. NOVIKOV

TRONG CUỘC ĐỜI CỦA MỌI NGƯỜI đôi khi anh ta phải đối mặt với một vật thể khép kín (thường không quen thuộc), cấu trúc bên trong của nó chỉ có thể đoán được. Những vật thể như vậy trở thành một loại “hộp đen”, khi chỉ có tín hiệu đầu vào và đầu ra (hoặc một số giá trị của chúng) được cung cấp cho người quan sát bên ngoài và những gì đang xảy ra bên trong thì không xác định được. Về hành vi của hộp đen bạn có thể

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200805

chỉ đánh giá bằng cách quan sát phản ứng của số lượng đầu ra với những thay đổi của số lượng đầu vào. Điều này giúp cuối cùng có thể tiết lộ “bí mật” của một vật thể như vậy. Bạn có thể đã từng gặp phải hộp đen - ví dụ như trong các sự cố về điện. Trong trường hợp của chúng tôi, các hộp đen là mười quả bóng nhựa trông giống hệt nhau với đường kính 75 mm, chưa rõ thành phần bên trong. Đầu tiên, chúng ta sẽ mô tả hành vi của các quả bóng trong các tình huống thử nghiệm khác nhau. Cố gắng bày tỏ suy nghĩ của bạn và giải thích lý do tại sao quả bóng (hoặc các quả bóng) hoạt động theo một cách nhất định trong tình huống được mô tả. Và chỉ sau đó đọc lời giải thích của chúng tôi.

Thí nghiệm với quả bóng

Thí nghiệm 1. Quả bóng số 1 và quả bóng số 2 được đặt ở cùng một độ cao trên một mặt phẳng nghiêng. Sau đó các quả bóng được đưa ra

45

PHÒNG THÍ NGHIỆM

khả năng đồng thời bắt đầu di chuyển xuống. Trong trường hợp này, người ta phát hiện ra rằng một trong các quả bóng chạm đến vị trí cuối cùng trước quả bóng kia. Tại sao? Thí nghiệm 2. Quả bóng số 3 lúc đầu được giữ ở đỉnh mặt phẳng nghiêng rồi được thả ra khỏi tác dụng từ bên ngoài. Quả bóng bắt đầu lăn chậm, nhưng nó lăn rất (và rất) chậm. Điều gì có thể là lý do cho một phong trào chậm như vậy? Thí nghiệm 3. Quả bóng số 4 bắt đầu di chuyển từ vị trí trên cùng trên mặt phẳng nghiêng xuống dưới trong các bước nhảy, mô phỏng chuyển động của cơ thể theo “bước”. Nếu quả bóng ở vị trí phía trên được quay theo hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng một góc nhất định rồi thả ra trở lại thì tính chất của quả bóng khi lăn không thay đổi. Điều gì có thể gây ra chuyển động giật cục của quả bóng như vậy? Thí nghiệm 4. Thí nghiệm gồm các quả bóng số 5 và 6. Các quả bóng được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang và mỗi quả bóng được đặt độc lập trên mặt phẳng này và chỉ đứng yên ở một vị trí. Bằng cách đặt tay lên đầu mỗi quả bóng, họ sẽ làm lệch nó thành một góc đủ lớn so với phương thẳng đứng. Sau đó, quả bóng số 5 rất nhanh chóng (!) trở lại trạng thái ban đầu. Nếu quả bóng đó bị lệch khỏi phương thẳng đứng theo một hướng khác và được thả ra, thì nó ngay lập tức trở lại vị trí ban đầu. Quả bóng số 6 sau khi loại bỏ tác động từ bên ngoài sẽ dao động khá lâu rồi mới trở về trạng thái đứng yên ban đầu. Ngoài ra, nếu bạn cầm cả hai quả bóng trong tay, thì cảm giác đầu tiên cho thấy khối lượng của các quả bóng khá đáng kể và không cảm nhận được chuyển động nào của cơ thể bên trong quả bóng. Tại sao các quả bóng lại hành xử khác đi như vậy trước khi trở lại trạng thái đứng yên ban đầu? Thí nghiệm 5. Trong ảnh Hình 1 là một quả bóng số 7 nằm bất động trên mặt phẳng nằm ngang. Bên cạnh quả bóng có một đường dây dọi, hướng của sợi chỉ trùng với đường màu trắng (gọi là đường trục) trên thân quả bóng. Và bức ảnh trong Hình 2 cho thấy quả bóng tương tự, đang đứng yên trên một mặt phẳng nghiêng,

“QUAN TA”

Hình 1

Hình 2

mà không cố gắng làm xáo trộn trạng thái bất động. Lúc này đường trắng trên thân quả bóng không song song với đường thẳng đứng mà hướng vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Trong trường hợp này, quả bóng có thể đứng yên trên một mặt nghiêng

46

KVA NT 2020/Số 8

một mặt phẳng có góc nghiêng khác (lớn hơn). Một lần nữa, đường tâm của quả bóng vuông góc với mặt phẳng nghiêng. Tại sao quả bóng có thể có hành vi này trên mặt phẳng nghiêng? Thí nghiệm 6. Quả bóng số 8 được đặt trên một mặt phẳng nghiêng và nó đứng yên ở vị trí đặt trên mặt phẳng đó. Nếu quả bóng không nhấc lên khỏi mặt phẳng nghiêng mà bị quay một góc nhất định theo bất kỳ hướng nào thì nó sẽ đứng yên và không cố gắng lăn. Những hành động như vậy có thể được lặp lại nhiều lần, nhưng trạng thái của quả bóng (sự bất động của nó trên mặt phẳng) sẽ không thay đổi. Tại sao? Thí nghiệm 7. Quả bóng số 9 (ảnh trong Hình 3) được treo bằng một sợi dây từ chân ba chân. Một cục pin AA được gắn vào thân quả bóng bằng băng dính, trên thân quả bóng có hai lỗ cắm để nối cục pin này với quả bóng. Nếu bạn nối quả bóng với pin bằng dây dẫn, quả bóng sẽ bắt đầu quay theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ (khi nhìn từ trên xuống). Nếu bạn thay đổi cực của pin thì

quả bóng sẽ quay theo hướng khác. Điều gì có thể là lý do cho hành vi kép như vậy của quả bóng? Thí nghiệm 8. Quả bóng số 10 được gắn bằng băng dính vào bàn chải nhỏ để làm sạch quần áo (ảnh Hình 4). Bàn chải và quả bóng nằm trên một bề mặt nằm ngang, và trên thân quả bóng lại có

Hình 4

ổ cắm để kết nối nó với pin AA. Nếu kết nối như vậy được thực hiện, quả bóng bắt đầu rung và bàn chải bắt đầu di chuyển theo một hướng nhất định. Khi thay đổi cực của pin, hướng chuyển động của bàn chải và quả bóng sẽ bị đảo ngược. Tại sao?

Giải thích thí nghiệm

Hình 3

Thí nghiệm 1. Đáp số “nằm trên mặt phẳng”: khối lượng của một quả bóng lớn hơn khối lượng của quả bóng kia. Quả bóng nhẹ hơn sẽ lăn xuống mặt phẳng nghiêng nhanh hơn; trong trường hợp của chúng tôi, nó trống rỗng. Một quả bóng lớn có mômen quán tính lớn hơn một quả bóng rỗng và nó cần nhiều năng lượng hơn để quay. Để chứng minh thí nghiệm này, chúng tôi đặt một miếng cao su xốp có gắn một số lượng lớn các viên bi chì khổng lồ vào bên trong quả bóng thứ hai. Thí nghiệm 2. Có thể có chất lỏng bên trong quả bóng. Khi quả bóng lăn, chất đó từ từ di chuyển từ vị trí cao hơn đến vị trí thấp hơn. Điều này làm chậm chuyển động của quả bóng xuống mặt phẳng nghiêng. Trong phiên bản của chúng tôi, những viên chì nhỏ (đường kính không quá 1 mm) đã được sử dụng cho việc này.

47

PHÒNG THÍ NGHIỆM

Tôi từng chứng kiến ​​​​trải nghiệm này tại một sự kiện ngoại khóa dành cho giáo viên vật lý tại nhà thi đấu ở làng Udelnaya, vùng Moscow. Trong phiên bản của họ, mật ong lỏng được đặt bên trong quả bóng. Hiệu quả của trải nghiệm thật ấn tượng.

Thí nghiệm 3. Một miếng chì hình lập phương khổng lồ được đặt bên trong quả bóng của chúng ta. Khi quả bóng lăn xuống mặt phẳng nghiêng thì khối lập phương bị lật lại. Điều này làm cho quả bóng chuyển động co thắt. Thí nghiệm 4. Cả hai quả bóng đều ở vị trí cân bằng ổn định. Sự ổn định của một vật thể có điểm tựa xảy ra khi trọng tâm của nó chiếm vị trí thấp nhất có thể. Quả bóng thứ năm minh họa hoạt động của chiếc cốc đồ chơi trẻ em. Bên trong quả bóng, một khối chì khổng lồ được gắn vào thân nó bằng keo. Ở trạng thái đứng yên (cân bằng ổn định), khối tâm của quả bóng nằm rất thấp, cách điểm tựa không xa. Ngoài ra, trọng tâm và điểm tựa nằm trên cùng một đường thẳng đứng (dây dọi và trục). Khi quả bóng nghiêng, trọng tâm của nó tăng lên và di chuyển theo phương ngang so với điểm tựa và đường thẳng đứng. Mômen trọng lực so với điểm tựa có xu hướng đưa quả bóng về trạng thái ban đầu. Bên trong quả bóng thứ sáu, ngay dưới mặt phẳng xích đạo của nó, có một đĩa chì lớn (“bánh rán” có tiết diện hình chữ nhật), được gắn chặt vào thân. Điểm khác biệt so với quả bóng thứ năm là khối tâm của nó cao tính từ điểm tựa. Khi quả bóng nghiêng, cánh tay trọng lực so với điểm tựa sẽ lớn hơn nhiều so với trường hợp chiếc cốc. Do đó, mômen trọng trường so với điểm tựa sẽ lớn hơn trường hợp trước. Kết quả là biên độ dao động của quả bóng tăng lên, đồng nghĩa với việc thời gian phân rã của dao động cũng tăng lên. Thí nghiệm 5. Nhìn kỹ bức ảnh ở Hình 3, bạn có thể thấy vật chất trên bề mặt của mặt phẳng nghiêng. Hóa ra có một tấm sắt được giấu dưới lớp vật liệu. Quả bóng được giữ trên mặt phẳng nghiêng như vậy bằng một nam châm neodymium (dạng viên) cỡ nhỏ, được gắn vào bề mặt bên trong của nó bằng keo. Thí nghiệm 6. Bên trong quả bóng có một nam châm neodymium ở trạng thái “tự do”. Tại

“QUAN TA”

Khi quả bóng quay một góc nhất định, nam châm sẽ trượt dọc theo bề mặt bên trong của nó, chiếm một vị trí mới và quả bóng tiếp tục đứng yên. Thí nghiệm 7. Bên trong quả bóng có một động cơ điện thu nhỏ được gắn chặt vào thân quả bóng. Trục quay (trục) của động cơ điện trùng với phương của đường kính thẳng đứng của quả cầu. Một đĩa lớn nhỏ được gắn trên trục động cơ. Khi động cơ điện được nối với nguồn điện, trục và đĩa lớn bắt đầu quay theo một hướng nhất định. Đồng thời thân bóng quay sang hướng khác. Tất cả điều này là hệ quả của sự biểu hiện của định luật bảo toàn xung lượng góc. Nếu tổng mô men của tất cả các ngoại lực tác dụng lên một vật bằng 0 thì xung lượng góc của vật đó không đổi. Nếu một bộ phận nào đó của vật đứng yên thu được một xung lượng góc nhất định có dấu nhất định (động lượng góc là một đại lượng vectơ), thì một phần khác của nó chắc chắn sẽ thu được xung lượng góc có dấu ngược lại.

Định luật bảo toàn động lượng góc được tính đến khi thiết kế máy bay trực thăng. Vì vậy, máy bay trực thăng do M.L. Mil có hai cánh quạt. Cánh quạt đầu tiên quay theo một hướng nhất định trong mặt phẳng nằm ngang phía trên cabin trực thăng. Và để ngăn thân máy bay trực thăng quay sang hướng khác, một cánh quạt ở đuôi được đặt phía sau nó, khi làm việc sẽ ngăn thân máy quay. Trực thăng sản xuất theo thiết kế của N.I. Kamov có hai trục vít rôto nằm trên cùng một trục phía trên cabin nhưng quay ngược chiều nhau.

Thí nghiệm 8. Bên trong quả bóng có một động cơ điện thu nhỏ được gắn chặt vào thân quả bóng. Một đĩa được gắn trên trục động cơ điện và sao cho trục của nó bị dịch chuyển so với trục của trục (người ta nói rằng đĩa được gắn với độ lệch tâm). Kết quả là khi động cơ điện hoạt động sẽ xảy ra các dao động cơ học gọi là dao động. Những rung động này làm cho bàn chải di chuyển cùng với quả bóng.

Chuyển động dao động của lệch tâm được sử dụng trong hoạt động của băng tải rung được thiết kế để vận chuyển các vật liệu phân tán mịn (lên đến hàng chục micron), dạng hạt và cục (lên đến 1000 mm trở lên). Chúng thường được sử dụng để di chuyển quặng trong ngành khai thác mỏ.

51

KỲ THI QUỐC GIA

sơn đè lên. Tìm kích thước tối thiểu của khu vực cần làm sạch sơn để có thể nhìn thấy toàn bộ phần đế phía dưới. Chiết suất của thủy tinh là 1,5. (10 điểm)

Tin học

Vòng loại Yêu thích bài toán

1. Các nhà khoa học ăn táo đã xây dựng một mô hình toán học về quy mô dân số ăn táo. Dữ liệu đầu vào: P – quy mô dân số; N – thời gian của giai đoạn lập mô hình tính bằng năm; U[i], i=1..N – Biến Boolean, giá trị True có nghĩa là năm thứ i có kết quả đối với táo. Thuật toán tính toán:

Đầu vào P, ​​N CC cho i từ 1 đến N Nếu U[i]=True Thì P := P * A Khác P := P * B Tất cả CC Đầu ra P

Khi các nhà khoa học về táo đưa vào mô hình quy mô dân số hiện tại và dự báo sản lượng táo trong 5 năm tới do các nhà khoa học về táo đưa ra, kết quả là con số 4725 - số người ăn táo sẽ có trong 5 năm tới, theo mô hình toán học. Quy mô dân số hiện tại của những người ăn táo là bao nhiêu nếu chúng ta biết A và B là các số tự nhiên và A! B? 2. Cậu học sinh Sidor mới phát hiện ra hệ thống số. Anh ấy đặc biệt thích những con số “tròn” - nơi có số 1 và sau đó có rất nhiều số 0. Sidor thích viết ra những con số như vậy từ các hệ thống số khác nhau (một cách tự nhiên, ông viết chúng theo hệ thống tròn và theo thứ tự tăng dần). Anh ta viết các số liên tiếp, không có khoảng trống - kết quả là một dòng số. Ví dụ, trong hệ nhị phân, phần đầu của dòng này như sau: 110100100010000… Sidor viết các số trên các mảnh giấy để ghi chú, khi hết mảnh giấy, Sidor viết số còn lại vào (các) tờ tiếp theo và sau đó, khi số kết thúc, anh bắt đầu số tiếp theo. Có bao nhiêu đơn vị

NGUYÊN VẬT LIỆU

hóa ra nó nằm trên tờ giấy thứ 33 của Sidor, nếu anh ta viết các số theo hệ tam phân và chính xác có 333333 chữ số nằm vừa trên tờ giấy? 3. Bạn phải trải qua một nhiệm vụ nhỏ gồm các nhiệm vụ liên quan đến nhau. 1. Đánh giá tính đúng đắn của các phát biểu dưới đây (1 – đúng, 0 – sai). Viết đáp số liên tiếp. x Số phút và giây của chúng tôi là di sản của hệ thống số Sumer cổ đại. x Phạm vi giá trị có thể có của byte không dấu bằng một nửa so với byte có dấu. x Máy tính không nhị phân tồn tại. x Trong hệ thống số ba, các số chẵn có tận cùng bằng 0. x Máy tính không thực hiện các phép tính số học mà chỉ lấy kết quả từ các bảng. $x BA_{N}$! $AB_{N}$ cho bất kỳ N tự nhiên nào! 9. x Bất kỳ số nhị phân nào chia cho 2 đều bằng chính số đó dịch chuyển sang phải theo bit. x Trong hệ cơ số 21, E + F = 19. 2. Coi đáp số của phép gán 1 là số nhị phân, tìm số lớn nhất có thể thu được từ nó trong một số phép dịch tuần hoàn (từ 0 đến 7) sang trái. 3. Kết quả bài 2 được viết dưới dạng A2 theo hệ thống số nào? 4. Chuyển kết quả bài 1 sang hệ thập phân. Sau đó xác định giá trị của số này nếu chúng ta hiểu nó được biểu diễn trong một hệ số có cơ số bằng một phần ba đáp số của nhiệm vụ 3. 4. Chúng ta hãy gọi palinindex của một số tự nhiên là số hệ thống số trong đó số đó có nhiều giá trị và đối xứng (chúng ta đang xem xét các hệ số có cơ số từ 2 đến 36). Ví dụ: palindrindex của 46 là 3, vì $46 232_{4} 141_{5} 22_{22}$. Nhưng số 47 có palinindex bằng 0. Tìm hai số liên tiếp trong phạm vi từ 600 đến 666 có palinindex bằng 0. Đối với đáp số, hãy nhập tổng của chúng. 5. Trong lâu đài cổ, cứ mỗi tiếng đồng hồ điểm, một bóng ma lại xuất hiện. Thời gian tồn tại của con ma là S giây. Đúng như dự đoán, đồng hồ điểm, đã nhiều giờ trôi qua kể từ nửa đêm hoặc trưa qua. mỗi-

52

KVA NT 2020/Số 8

Đòn đầu tiên diễn ra chính xác vào thời điểm giờ tiếp theo, khoảng cách giữa các đòn là 1 giây. Bạn cần đếm số lượng ma tối đa có thể có trong lâu đài. …Dừng lại, đừng bắt đầu viết chương trình nữa! Thực tế là lâu đài không nằm trên Trái đất. Ở vị trí của nó, có 2*H giờ trong một ngày và có M phút trong một giờ và M giây trong một phút. Đảm bảo dữ liệu đầu vào chính xác, số lượng ghost có hạn. 1) Tìm số ma tối đa tại H 12, M 60, S 10808. 2) Tìm số ma tối đa tại H 29, M 99, S 29410. 6. Thuật toán cho (Hình 4). Có bao nhiêu cặp giá trị A và B khác nhau mà thuật toán lặp lại?

Hình 4

Hình 5

7. Số N - byte không dấu; AND, OR, NOT – các phép toán logic theo bit. Từ các câu dưới đây, hãy chọn những câu mà nếu đúng thì mang đúng 3 bit thông tin về số N. A. (KHÔNG PHẢI N)! 3 B. N HOẶC 229 239 C. N HOẶC 28 0 D. N VÀ 90 2 E. N 32 F. N VÀ 168 128

Vòng chung kết

1. Mua hàng lớn (8 điểm) Bạn đang mua vật liệu từ một công ty tham gia cải tạo căn hộ. Nhà cung cấp của bạn bán sơn theo thùng và lon. Có một bảng tính (Hình 5). Giả sử khi bạn nhập số lượng sơn yêu cầu vào cột “Số lượng”, số tiền tối thiểu phải trả để mua số lít sơn không ít hơn yêu cầu sẽ xuất hiện ở cột “Chi phí”. Bạn nên viết công thức nào vào ô G6 để thực hiện các phép tính cần thiết? Công thức phải có thể sao chép được (bảng kéo dài xuống nhiều dòng). Đảm bảo thể tích của thùng không nhỏ hơn thể tích của bình.

2. Số chưa ghép nối (12 byte) Có hàm f (Hình 6) hoạt động với hai byte không dấu, kết quả cũng là một byte không dấu. Sinh viên Sidor đã viết một chương trình đầu tiên gán giá trị 0 cho biến S, sau đó trong một vòng lặp, nhận số X từ bàn phím 101 lần và gán giá trị f(S, X) cho S. Khi Sidor khởi chạy chương trình, anh ta nhập số 101, trong khi đó

53

KỲ THI QUỐC GIA

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 6

Được biết, tất cả các số, ngoại trừ số 49, đều xuất hiện trong số những số được nhập hai lần (không nhất thiết phải liên tiếp). Số thứ 49 là bao nhiêu nếu chúng ta biết số thứ 11 là 200 và số 77 là số 3, và kết quả là chương trình xuất ra 55?

3. Sự lột xác của những con ăn táo (7 điểm) Vào mùa xuân, những con ăn táo thay lông, mỗi con cố gắng rụng hết lá kim của mình. Nhưng do đặc điểm của cơ thể, người ăn táo chỉ rụng kim theo từng gói: người ăn táo có thể rụng 3 kim với số lượng kim bất kỳ, không ít hơn 3; Ngoài ra, với số kim chẵn, anh ta có thể rụng một nửa số kim, và với số lẻ ít nhất là 5, anh ta có thể rụng 4 kim. Hơn nữa, nếu số kim trên người một người ăn táo sau khi thay đổi chia hết cho 3 thì sẽ mọc ra 4 kim mới, còn nếu không chia hết cho 3 mà chia cho 7 thì sẽ thành 6 kim mới. Có 4 con ăn táo đang lột xác trong chuồng. Hiện tại, chiếc thứ nhất có 31 kim, chiếc thứ hai có 73, chiếc thứ ba có 19 và chiếc thứ tư có 122. Có bao nhiêu chiếc có khả năng đặt lại tất cả các kim (số lần đặt lại không giới hạn)?

4. Đánh dấu lãnh thổ (15 điểm) Được đặt vào một ô trống của giá mảng, người ăn táo bắt đầu đánh dấu lãnh thổ của mình. Anh ấy thực hiện điều này bằng cách sử dụng thuật toán đệ quy sau (nó được mô tả hơi không chính thức, nhưng Yablokoed hiểu nó; Hình 7). Thực hiện nhiệm vụ này, người ăn táo dần dần chiếm toàn bộ giá, ngoại trừ các ô bị chiếm dụng và

Hình 7

các ô được rào lại bởi những không gian bị chiếm dụng từ không gian dành cho người ăn táo. Người ăn táo được đặt ở góc trên bên trái - một ô có tọa độ (1, 1) - của một mảng ngăn xếp có kích thước 2n + 1 x 2n + 1, 1 < n < 1000, trong đó ở “cột” ở giữa và ở “hàng” ở giữa, tất cả các ô ngoại trừ ba ô ở giữa đều bị chiếm giữ. a) Người ăn táo sẽ chiếm xong cái giá ở ô nào khi n = 4? b) Người ăn táo sẽ hoàn thành việc chiếm được cái giá ở ô nào tại n = 789?

5. Học sinh lớp Một (15 điểm) Bảy học sinh lớp Một đứng thành một hàng. Mỗi người trong số họ có thể ở một trong hai trạng thái: 1 – nhìn vào điện thoại, 2 – nhai bánh sandwich. Được biết, học sinh lớp một ngoài cùng bên phải có thể chuyển từ trạng thái quan sát sang trạng thái nhai chỉ bằng cách lấy điện thoại ra khỏi tay và trượt một chiếc bánh sandwich (và ngược lại). Trạng thái của các học sinh lớp một khác chỉ có thể được thay đổi nếu học sinh lớp một gần bên phải nhất nhìn vào điện thoại và các học sinh lớp một khác ở bên phải (nếu có) đang nhai bánh mì. Trong 5 giây bạn có thể thay đổi trạng thái của chỉ một học sinh lớp một. Lúc đầu, tất cả học sinh lớp một đều nhìn vào điện thoại. Vì đang là giờ ăn trưa nên cần phải cho tất cả vào trạng thái nhai. Giáo viên có thể làm được điều này trong bao nhiêu giây?

54

KVA NT 2020/Số 8

6. Mật khẩu được mã hóa (8 điểm) Petya đã đăng ký trên trang web và để không quên từ mật khẩu, anh quyết định ghi nó vào sổ tay, mã hóa nó trước. Đây là những gì được viết trong sổ tay của Petya:

1101111111100001110000001110

Từ nào được sử dụng cho mật khẩu? May mắn thay, Petya vẫn chưa vượt qua được tình trạng Fano.

7. Phép thuật (10 điểm) Tại Hogwarts, một bài học thực hành: 200 học sinh đi dọc con hẻm có 200 cây táo và thực hành phép thuật “Blossom” và “Opadamus”. Học sinh đầu tiên làm cho tất cả các cây táo nở hoa. Cái thứ hai thay đổi trạng thái của mỗi cây táo thứ hai và hoa sẽ rụng trên những cây táo được đánh số chẵn. Người thứ ba thay đổi trạng thái của mỗi cây táo thứ ba thành ngược lại, người thứ tư làm tương tự với mỗi cây táo thứ tư, v.v. Sau khi kết thúc bài học, sẽ có bao nhiêu cây táo nở hoa trong hẻm?

8. Các blogger (10 điểm) Dusya và Busya là những blogger ghi lại podcast âm thanh. Hôm nay họ đang ghi podcast về vấn đề tuyết rơi vào mùa đông không có tuyết và bắt đầu ghi âm cùng lúc. Dusya đã ghi lại đoạn độc thoại của mình trên điện thoại bằng micrô một kênh hỗ trợ tần số lấy mẫu 24576 Hz với độ sâu âm thanh 32 bit. Busya được ghi âm trong phòng thu ở chế độ âm thanh nổi với bốn kênh ghi âm, mỗi kênh hỗ trợ tần số lấy mẫu 98304 Hz với độ sâu âm thanh 64 bit. Dusya đã ghi lại tin nhắn trong 4 phút, sau đó chuẩn bị tải lên trong 6 phút (điều này không ảnh hưởng đến lượng thông tin của tệp) và bắt đầu tải nó lên kênh của mình và tốc độ kết nối của cô ấy là

1 Mbit/s. Busya không chỉnh sửa bất cứ điều gì và ngay sau khi ghi xong, cô bắt đầu tải bản ghi của mình lên với tốc độ 2 Mbit/s. Busya đã ghi lại bao nhiêu phút nếu chúng ta biết rằng các podcast được tải xuống cùng lúc?

9. Biểu thức logic (5 điểm) Thay thế biểu thức logic bằng một biểu thức giống hệt chứa không quá một phép toán logic:

$( A \int ( ÿ A > B ) ) Ÿ ( B \int ( B Æ A ) )$.

10. Truy vấn tìm kiếm (10 điểm) Hình 8 hiển thị kết quả của một số truy vấn tìm kiếm.

Hình 8

cú trong miền. Có bao nhiêu bit thông tin về giá trị của X mà thông báo “Các truy vấn “dứa & tình trạng hỗn loạn” và “dứa & sừng” trả về cùng một số kết quả” chứa, với điều kiện là giá trị của Y được biết và nằm trong phạm vi từ 25 đến 35?

Ấn phẩm về toán học được biên soạn bởi I. Komarchev, A. Moiseev, S. Preobrazhensky;

trong vật lý - T. Andreeva, M. Krupina, V. Kuzmichev;

trong khoa học máy tính – S. Kostorov, E. Krylova, K. Plotnikova