Kvant 2020, số 10 · Trang

3

VẬT LÝ,

HÌNH HỌC

Hình 2. Cấu trúc tinh thể của kim cương là một mạng lập phương tâm mặt, bao gồm thêm bốn nguyên tử cacbon. Mỗi nguyên tử được bao quanh bởi bốn nguyên tử lân cận, tạo thành một tứ diện đều

về sự tồn tại của hai biến thể tinh thể của carbon - than chì và kim cương khá phổ biến. Kim cương là một loại tinh thể quý hiếm, những mẫu lớn chỉ có thể được tạo ra bởi thiên nhiên ở nhiệt độ và áp suất khắc nghiệt. Chưa hết, về mặt hóa học, kim cương là dạng biến đổi đơn giản nhất của carbon (Hình 2): trong đó, mỗi nguyên tử có bốn lân cận, chúng tạo thành các liên kết hóa học rất mạnh, được gọi là liên kết cộng hóa trị. Xu hướng một nguyên tử cacbon có bốn nguyên tử lân cận là kết quả của các định luật hóa học khá đơn giản. Thật vậy, nguyên tử cacbon, nguyên tố thứ sáu trong bảng tuần hoàn, có sáu electron. Trong một mô hình đơn giản hóa, các electron được phân bố xung quanh hạt nhân thành các lớp vỏ. Hai electron gần hạt nhân nhất tạo thành một “lớp vỏ kín”: chúng trơ ​​về mặt hóa học. Bốn electron còn lại nằm ở lớp vỏ thứ hai, cách xa hạt nhân hơn. Tuy nhiên, sẽ có đủ không gian cho tám electron và theo quy luật, các nguyên tử có xu hướng có cấu trúc điện tử đến mức lớp vỏ ngoài của chúng được lấp đầy. Điều này được tìm thấy-

VÀ

SẮC ĐẸP

“Quy tắc bát tử” (hoặc, đối với các nguyên tố nhẹ nhất, “quy tắc song ca”), do các nhà hóa học cổ đại đặt ra, là một định luật mà các nhà khoa học hiện đại giải thích bằng cơ học lượng tử. Để tuân thủ nó, các nguyên tử sẵn sàng nhận hoặc mất electron, tạo thành các ion hoặc chia sẻ electron với các nguyên tử khác, tạo ra liên kết cộng hóa trị. Trong kim cương, mỗi electron trong số bốn electron ở lớp vỏ ngoài kết hợp với một electron ở lớp vỏ ngoài của một nguyên tử khác để tạo thành bốn liên kết C–C, và do đó quy tắc bát tử được thỏa mãn. Vì vậy, mỗi nguyên tử trong một viên kim cương có bốn nguyên tử lân cận. Cấu trúc thu được cực kỳ chắc chắn, khiến kim cương trở thành một chất rất cứng. Như chúng tôi đã đề cập, kim cương là một dạng biến đổi hiếm gặp của carbon. Bằng một đặc điểm hóa học, các nguyên tử carbon có nhiều khả năng hình thành cấu trúc hai chiều, trong đó mỗi nguyên tử chỉ liên kết với ba nguyên tử khác. Đây là tinh thể hai chiều - graphene (Hình 3). Electron thứ tư còn lại chưa được sử dụng của lớp vỏ ngoài (mỗi nguyên tử một electron) sẵn sàng tham gia vào quá trình hình thành liên kết yếu liên kết lớp graphene này với lớp graphene khác, lớp kia với lớp thứ ba, v.v. Kết quả của sự đóng gói này là than chì được hình thành - dạng carbon tinh thể phổ biến nhất (Hình 4). Chất rắn màu tối này có thể phục vụ,

Hình 3. Graphene được tạo thành từ các nguyên tử carbon sắp xếp theo mạng lưới tổ ong

4

KVANT 2020/№10

a)

b)

Hình 5. a) Phân tử $C_{60}$ tái tạo hình dạng của một quả bóng đá, bao gồm các hình ngũ giác và hình lục giác bằng da. b) Phân tử $C_{70}$ trông giống một quả bóng bầu dục

Hình 4. Than chì bao gồm tập hợp các lớp graphene liên kết yếu với nhau (các liên kết yếu này được mô tả bằng các đường chấm)

ví dụ như bút chì thông thường. Các liên kết yếu nối các lớp than chì với nhau rất yếu và khá dễ bị đứt. Ví dụ, bằng cách dán băng dính lên than chì và xé nó ra, người ta có thể dễ dàng tách nhiều lớp ra; Bằng cách lặp lại quy trình này nhiều lần, cuối cùng bạn có thể thu được một lớp graphene. Phương pháp đơn giản và được sử dụng rộng rãi này đã mang lại cho Andre Geim và Konstantin Novoselov giải thưởng Nobel Vật lý năm 2010. Thông thường, một electron ở lớp vỏ ngoài không tìm thấy liên kết cộng hóa trị sẽ tăng cường một chút ba liên kết của các electron đồng loại của nó với các electron của các nguyên tử lân cận. Thay vì đóng gói cùng các lớp khác thành than chì ba chiều, lớp graphene biến dạng, không còn phẳng và tự phát hình thành các cấu trúc bất thường. Hãy mô tả một số trong số họ.

tạo thành 20 hình lục giác và 12 hình ngũ giác, do đó tái tạo hình dạng của một quả bóng đá (Hình 5,a). Sau đó, sau khi phát hiện ra phân tử $C_{60}$, các phân tử khác lớn hơn, cũng bao gồm các hình lục giác và hình ngũ giác, đã được phát hiện hoặc tổng hợp trong tự nhiên. Ví dụ, phân tử $C_{70}$ có hình dạng giống quả bóng bầu dục hơn: nó bao gồm 25 hình lục giác và 12 hình ngũ giác (Hình 5b). Các phân tử như vậy bao gồm $C_{540}$ khổng lồ (Hình 6), khá dễ dàng thu được bằng cách làm bay hơi than chì thông qua chiếu xạ bằng xung laser hoặc phóng điện hồ quang. Những phân tử như vậy có thể là một phần của bụi liên sao. Tất cả các phân tử này, có dạng khối đa diện lồi và có công thức $C_{2} n$, trong đó n là số nguyên, có thể

Khi carbon chơi bóng đá

Theo kết quả quan sát và phân tích, các nhà nghiên cứu ở nhiều nơi trên thế giới đã đi đến kết luận rằng một lượng nhỏ chất cụ thể xuất hiện trong bồ hóng và ngọn lửa nến, các phân tử của chúng bao gồm 60 nguyên tử carbon $( C_{60} ).$ Các nguyên tử carbon trong đó được liên kết sao cho

Hình 6. Phân tử $C_{540}$

6

KVANT 2020/№10

a) a)

b)

Hình 8. Hai loại ống nano carbon. a) Thiết kế “ghế” có các mối nối vuông góc với trục của ống. b) Kết cấu ngoằn ngoèo có các mối nối song song với trục của ống

từ một đến vài chục nanomet (Hình 8). Ống nano carbon được tạo ra trong phòng thí nghiệm theo nhiều cách khác nhau: bằng cách xé từng mảnh ra khỏi khối carbon bằng tia laser hoặc hồ quang điện, hoặc bằng cách lắng đọng hơi carbon thích hợp. Trên thực tế, chúng ta đã vô tình tạo ra chúng trong nhiều thế kỷ, nhưng chỉ khi có sự ra đời của các thiết bị cải tiến, chúng ta mới có thể phát hiện ra những vật thể nano này. Các ống nano, fullerene và các dẫn xuất graphene khác có các đặc tính điện và quang làm kích thích trí óc của các nhà vật lý và trong tương lai có thể tìm thấy những ứng dụng độc đáo, chẳng hạn như trong pin mặt trời. điện Graphene

Ronica cũng hứa hẹn sẽ mở rộng Định luật Moore bằng cách tạo ra khả năng tạo ra những bóng bán dẫn thậm chí còn nhỏ hơn những bóng bán dẫn silicon được sử dụng ngày nay. Ống nano cũng có những đặc tính cơ học đáng chú ý: chúng có khả năng chống co giãn cực tốt. Do đó, chúng ta có thể sớm thấy những chiếc xe đạp và vợt tennis nhẹ và bền được làm từ vật liệu composite được gia cố bằng ống nano carbon có đường kính vài micron. Thêm một biến thái khác của “yếu tố đặc biệt” được Primo Levi khen ngợi này!

Bài viết là một chương trong cuốn sách “Vật lý của cuộc sống hàng ngày” do nhà xuất bản Phi hư cấu Alpina xuất bản năm 2020.

Để thu hút sự chú ý của độc giả của chúng tôi

Kể từ năm 2017, tạp chí «Kvant» đã trở thành tạp chí hàng tháng và 12 số tạp chí được xuất bản mỗi năm. Bạn có thể đăng ký tạp chí của chúng tôi từ bất kỳ số nào tại bất kỳ bưu điện nào. Chỉ mục đăng ký của chúng tôi trong danh mục “Báo chí $России»_{–} 90964.$”. Bạn có thể mua tạp chí «Kvant» trong cửa hàng “Sách toán học” của nhà xuất bản MCNMO (địa chỉ cửa hàng trực tuyến: biblio.mccme.ru), cũng như tại các hiệu sách ở Moscow “Biblio-Globus”, “Young Guard”, “Moscow House of Books” và trong tòa soạn tạp chí. Kho lưu trữ các số đã xuất bản của tạp chí «Kvant» có sẵn trên trang web http://kvant.ras.ru

15

ĐỘ NHẠY

Hình 8

tất cả tôi, j. Trong hình, điều này có nghĩa là ma trận sẽ không thay đổi khi được phản chiếu so với đường chéo chính, đi từ góc trên bên trái đến góc dưới bên phải (Hình 8). Trong phần còn lại của bài viết, chúng ta sẽ chỉ quan tâm đến ma trận đối xứng. Vectơ có chiều N là cột X có chiều cao N, cũng gồm các số $x_{j} ( 1 d j d N ).$ Ma trận A có kích thước N u N luôn có thể nhân với vectơ có cùng chiều N; sẽ thu được một vectơ mới, ký hiệu là AX. Vị trí thứ i của vectơ này chứa giá trị của tổng $a_{i},1 x_{1}^{…} a_{i},_{N} x_{N}$; Một ví dụ về phép tính như vậy được hiển thị trong Hình 8. Ví dụ này cũng rất thú vị vì vectơ AX hóa ra là đồng nhất với vectơ gốc X, tức là có một số O sao cho $AX_{i} O x_{i}$ với mọi 1 d i d N, hoặc, trong ký hiệu vectơ, AX O X. Các vectơ có đặc tính đáng chú ý này được gọi là vectơ riêng (đối với ma trận A) và “hệ số $гомотетии»^{3} O$ được gọi là giá trị riêng tương ứng với vectơ riêng X. Mỗi ma trận đều có một vectơ riêng tầm thường, cụ thể là một vectơ 0 chỉ bao gồm các số 0, nhưng thoạt nhìn thì không rõ tại sao A nhất thiết phải có một số vectơ riêng khác. Trên thực tế, một ma trận tùy ý (tức là không nhất thiết phải đối xứng) có các vectơ riêng của chúng.

3 Hệ số

O cũng có thể bằng 0 hoặc âm!

B ULEVYKH

CHỨC NĂNG

Nó có thể không như vậy, và để hiểu đầy đủ bức tranh, cần phải liên quan đến các số phức. Nhưng đối với ma trận đối xứng, mọi thứ đơn giản hơn nhiều: mỗi ma trận như vậy có một bộ đầy đủ các vectơ riêng $X^{1}$, … $, X^{N}$ độc lập tuyến tính (xem đoạn tiếp theo). Vì vậy, ví dụ, ma trận A của chúng ta trong Hình 8, ngoài vectơ riêng $X X^{1}$ mà chúng ta đã biết, còn có hai ma trận nữa, $X^{2}$ và $X^{3}$. Do đó, chúng ta cũng có một tập hợp các giá trị riêng $O_{1}$, … $, O_{N}$ tương ứng với các vectơ riêng này và (tất nhiên tất cả điều này phải được chứng minh) cho đến một hoán vị, tập hợp này chỉ phụ thuộc vào ma trận A và được gọi là phổ của nó. Trong ví dụ của chúng tôi, phổ của ma trận bao gồm các số 5, 1, 1; Xin lưu ý rằng không chỉ các số âm xuất hiện trong đó mà còn cả bội số, tức là Một số vectơ riêng (độc lập tuyến tính!) Có thể tương ứng với cùng một giá trị riêng. Để kết thúc chuyến tham quan ngắn gọn của chúng ta vào đại số tuyến tính, như chúng ta đã hứa, hãy nói vài lời về lý thuyết thứ nguyên. Các vectơ $X^{1}$, … $, X^{M}$ của chiều N được gọi là độc lập tuyến tính nếu không có vectơ không tầm thường (tức là một vectơ trong đó ít nhất một trong $D_{i}$ khác 0) kết hợp tuyến tính $D_{1} X^{1}$ … $D_{M} X^{M}$ bằng vectơ 0. Số lượng vectơ độc lập tuyến tính M trong hệ thống như vậy không vượt quá thứ nguyên N và trong trường hợp M N hệ thống các vectơ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở. Các cơ sở cũng có thể được mô tả bằng các thuật ngữ đối lập (hoặc, như các nhà toán học thường nói, đối ngẫu). Cụ thể, một hệ gồm $X^{1}$, … $, X^{N}$ vectơ N chiều là cơ sở khi và chỉ khi bất kỳ vectơ N chiều Y nào khác có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính $D_{1} X^{1}$ … $D_{N} X^{N}$.

Bài tập

20. Chứng minh rằng nếu $X^{1}$, … $, X^{N}$ là một cơ sở thì mọi vectơ N chiều đều có một biểu diễn duy nhất có dạng $D_{1} X^{1}$ … $D_{N} X^{N}$.

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH NHỎ

Bài toán

Một học sinh viết sai phương trình lên bảng:

màu đỏ - để các hình vuông có một cạnh chung được sơn các màu khác nhau. Có thể có bao nhiêu hình vuông màu xanh?

Xóa một dòng để làm cho đẳng thức đúng.

Minh họa của D. Grishukova

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp có thể bằng tích của hai số chẵn liên tiếp không?

Có 100 thẻ. Dù bạn lấy 50 thẻ nào, trong số đó bạn có thể chọn 30 thẻ sao cho dù bạn lấy 20 thẻ nào, bạn có thể chọn 10 thẻ trong số đó sao cho dù bạn lấy 5 thẻ nào thì trong số đó sẽ có ít nhất 3 thẻ đỏ. Đồng thời, dù bạn lấy 80 lá bài nào trong số 100 lá bài, trong số đó bạn có thể chọn 20 lá bài sao cho

Mỗi mặt của khối lập phương được chia thành 4 hình vuông. Mỗi hình vuông được sơn bằng một trong ba màu - xanh lam, vàng hoặc bất cứ 10 màu nào bạn lấy, sẽ có ít nhất 2 thẻ xanh trong số đó. Có bao nhiêu lá bài màu đỏ và bao nhiêu lá bài màu xanh trong bộ bài?

Tác giả của bài toán này là V.V. Proizvolov

19

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

Nước. Họ đã làm điều này rất cẩn thận để không có một bọt khí nào trong đường ống. Một đường ống chứa nước bên trong “treo” bất động một thời gian dài giữa phòng thí nghiệm không gian, cho đến khi vô tình bị đẩy theo phương của trục đối xứng. Cú sốc tồn tại trong thời gian ngắn, ’ $t 10^{3}$ s, và ống đạt vận tốc v 1 cm s. Sau đó, đường ống dừng lại hoặc di chuyển trở lại với tốc độ đạt được trong quá trình va chạm. Sau một thời gian dài, vận tốc của ống dẫn nước ổn định và bằng 0,5 cm/s. Tính chu kỳ dao động của hệ thống ống nước. Hệ số căng bề mặt của nước V 0,07 J $м^{2}$. Độ nhớt của nước có thể bỏ qua khi tính chu kỳ dao động. G. Agarin

F2631. Động cơ DC cổ góp được tìm thấy trong máy khoan điện, khi đặt điện áp 100 V vào nó, nó sẽ quay (không tải), tạo ra 1000 vòng/phút ở trạng thái ổn định. Khi khoan một lỗ trên cây, động cơ tạo ra công suất cơ 100 W với tốc độ 700 vòng / phút ở điện áp 100 V. Công suất cơ tối đa mà một động cơ như vậy có thể phát triển trong thời gian dài là bao nhiêu nếu được cấp điện áp 220 V? D.Relev

F2632. Bộ khuếch đại âm thanh sử dụng nguồn điện có biến áp. Nó có một bộ chỉnh lưu toàn sóng được làm từ bốn điốt lý tưởng. Cuộn sơ cấp của máy biến áp được nối vào mạng (220 V, 50 Hz). Ở đầu ra của cuộn thứ cấp, điện áp hiệu dụng là U 12 V, nó được cấp cho cùng bộ chỉnh lưu này. Một ampe kế DC được kết nối giữa bộ chỉnh lưu và bộ khuếch đại cho thấy dòng điện trung bình là I 1 A. Bộ khuếch đại hoạt động nhưng kêu vo vo khó chịu ở tần số 100 Hz và các sóng hài của nó, do tụ điện nằm ở đầu ra của bộ chỉnh lưu song song với tải bị hỏng. Vasya có sẵn hai tụ điện

“QUANTA”

$C_{1} C_{2} 10^{3}$ µF và hai cuộn dây điện cảm $L_{1} L_{2}$. Vasya đã lắp ráp một mạch sao cho tiếng ồn ở tần số 100 Hz biến mất hoàn toàn và ở các tần số khác, nó giảm đáng kể. Vẽ sơ đồ do Vasya phát minh. Khả năng chịu tải là gì? Độ tự cảm của cuộn dây là gì? Hãy coi rằng tải đại diện cho điện trở hoạt động và nó không thay đổi. S. Dmitriev

Lời giải bài toán M2610–M2613, F2617–F2620 M2610. Các đỉnh của hình chữ nhật đều được sơn 10 màu. Chứng minh rằng có thể chọn được 4 đỉnh của hình chữ nhật này là các đỉnh của hình chữ nhật và được tô nhiều nhất hai màu khác nhau. Hãy nội tiếp hình chữ nhật này thành một hình tròn. Hãy xem xét từng đường kính trong số 50 đường kính được tạo bởi các đỉnh của hình chữ nhật. Lưu ý rằng nếu trong số chúng có hai đường kính mà tập hợp các màu đỉnh trùng nhau thì bốn đầu của các đường kính này tạo thành một hình chữ nhật phù hợp với điều kiện. Chỉ có 10 9: 2 45 tùy chọn để tô màu các đầu của đường kính bằng hai màu khác nhau (không tính đến thứ tự). Điều này có nghĩa là nếu chưa tìm được hình chữ nhật phù hợp thì sẽ có ít nhất năm đường kính có các đầu cùng màu. Hãy chọn hai cái bất kỳ, đầu của chúng tạo thành một hình chữ nhật phù hợp. E. Bakaev

M2611. Cho tam giác ABC có AB z AC (Hình 1). Gọi M là trung điểm đoạn AB, K là trung điểm cung BAC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, P là điểm mà đường trung trực của AC cắt đường phân giác của góc BAC. Chứng minh rằng các điểm A, M, K, P cùng thuộc một đường tròn.

Hình 1

20

KVAN T 2020/№10

Hình 3

Hình 2

Gọi KL và AD là đường kính của hình tròn (ABC) (Hình 2). Khi đó AKDL là hình chữ nhật có tâm O là tâm đường tròn. Hãy ký hiệu l là các trục đối xứng của hình chữ nhật AKDL song song với AL. Biết AL là phân giác của góc BAC. Do đó $P AL^{\cap} ON$, trong đó N là trung điểm của AC. Các đường phân giác OM và ON vuông góc với các cạnh AB và AC tạo thành các góc bằng AL nên OM và ON đối xứng qua l. Điều này có nghĩa là các điểm P và $Q KD^{\cap} OM$ đối xứng với l, do đó AKQP là hình chữ nhật và các điểm A, K, Q, P nằm trên đường tròn Z có đường kính AQ. Nhưng vì AM A QM ( AB A OM) nên điểm M cũng nằm trên Z. Bài toán được giải. Lưu ý rằng điểm thứ năm Q mới, đối diện theo đường kính với điểm A trong đường tròn mà chúng ta cần, đã giúp “đặt” bốn điểm trên một đường tròn (phương pháp chứng minh nội tiếp này được mô tả trong bài viết của E. Bakaev, P. Kozhevnikov và I. Ykovlev “Các đường vuông góc và một dấu hiệu khác của một tứ giác nội tiếp” trong «Kvant» Số 5–6 năm 2015). Chúng ta hãy đưa ra một sơ đồ của lời giải khác (nó được phát minh bởi một số người tham gia Olympic Caucasian, nơi bài toán này được đề xuất). Trên tia CA, chúng ta vẽ đoạn CS bằng AB 2 (Hình 3). Từ đẳng thức CS BM, chúng ta có thể suy ra sự bằng nhau của các tam giác KCS và KBM và việc các điểm A, K, S, M nằm trên cùng một đường tròn (ví dụ, bạn có thể đọc thêm về điều này trong bài viết của A. Polyansky “Chim sẻ trên súng!” trong «Kvant» Số 2 năm 2012). Đối với lời giải bài toán vẫn phải hiểu rằng các điểm A, S, P, M nằm trên cùng một đường tròn. Nếu R là hình chiếu của P lên AB thì NS RM AC AB 2, trong đó N, như trong lời giải đầu tiên, là trung điểm của AC. Do đó, các tam giác vuông PNS và PRM bằng nhau (có được bằng cách quay quanh P). Do đó SPM NPR 180 q BAC, hoàn thành chứng minh. Lưu ý rằng trong chứng minh, chúng ta lại được trợ giúp bởi điểm thứ năm mới trên đường tròn, lần này là điểm S. Để kết luận, chúng ta lưu ý rằng phát biểu tương tự như phát biểu về bài toán này cũng đúng: A, M, L và $ON \cap AK$ nằm trên cùng một đường tròn. P.Kozhevnikov

M2612. Sân chơi là một sọc ca-rô ngang $1_{¥} 2019$. Petya và Vasya chơi một trò chơi như vậy. Khi bắt đầu trò chơi, Petya chọn n số tự nhiên và viết chúng lên bảng, sau đó Vasya đặt một con chip vào một trong các ô. Sau đó, ở mỗi nước đi tiếp theo, Petya gọi một số nhất định s được viết trên bảng và Vasya di chuyển con chip đến s ô, nếu có thể, sang phải hoặc sang trái - tùy theo lựa chọn của anh ấy. Nếu không thể di chuyển chip sang trái hoặc phải theo các ô s thì chip vẫn giữ nguyên vị trí. Petya có thể chơi với mức tối thiểu n nào để con chip chạm tới tất cả các ô của dải trong một số lần di chuyển hữu hạn? Đáp số: n 2.

24

KVAN T 2020/№10

Hình 1

F2620. Bức ảnh (Hình 1), lấy từ trang web webdiscover.ru, cho thấy cầu vồng, biển, các tòa nhà, cây cối, bóng tối. Sử dụng bức ảnh này và đưa ra những phỏng đoán hợp lý, hãy thử ước tính độ cao của nhiếp ảnh gia so với mặt biển khi chụp bức ảnh này.

Hình 2

Giả sử rằng bề mặt đất bằng phẳng và các đường phố trong thị trấn song song với nhau hoặc vuông góc (đây là một giả định hợp lý). Sau đó, bạn có thể tìm thấy các điểm trong bức ảnh tương ứng với đường chân trời. Bạn sẽ nhận được một điểm nếu bạn vẽ các đường (màu đen) dọc theo các con đường song song của thị trấn và chúng giao nhau tại một điểm (Hình 2). Điểm thứ hai sẽ đạt được nếu bạn vẽ các đường (màu vàng) dọc theo bóng đổ trên bề mặt ngang từ những cây cao. Chấm màu tím là tâm của hai cầu vồng nhìn thấy được. Đường màu đỏ tương ứng với đường chân trời ảo (giả sử trái đất phẳng). Sử dụng một hình tam giác được tạo bởi một đường màu đỏ và hai đường màu xanh lá cây, bạn có thể tính được chiều cao góc của Mặt trời so với đường chân trời.

25

$КОНК_{УРС} И_{МЕ}$ CŨNG KHÔNG $А._{П}._{С}$ AVINA

khối lượng: khoảng 15,4q. Chiều rộng của cầu vồng có màu đầu tiên là khoảng 3,5q và hướng về phía nó là khoảng 42q với hướng của tia nắng. Kích thước của hai ngôi nhà ở tiền cảnh của bức ảnh (3 và 2 tầng) và chiều cao của những cây nằm cạnh chúng có thể được ước tính như sau: chiều cao của những ngôi nhà khoảng 10 mét, chiều cao của cây và chiều rộng của những ngôi nhà khoảng 15 mét. Các kích thước này tương ứng với kích thước của ô tô trên con đường nằm phía sau những ngôi nhà cách chúng một khoảng ngắn. Ngôi nhà nằm bên trong cầu vồng đầu tiên trong ảnh có kích thước khoảng 1 cm dọc theo hướng vào tâm cầu vồng và bán kính của cầu vồng xấp xỉ 7 cm. Kích thước góc của ngôi nhà này xấp xỉ 42 q 7 6 q, hay 0,1 rad. Kích thước của ngôi nhà dọc theo hướng đã chọn là khoảng $10^{2} 15^{2} м_{<} 18$ m

và ngôi nhà có thể nhìn thấy được ở góc 0,1 rad, do đó khoảng cách từ ngôi nhà đến người chụp là khoảng 180 m. Nếu bạn nhẩm di chuyển một ngôi nhà như vậy theo chiều ngang sang bên phải để trong ảnh nằm trên cùng một đường thẳng với người chụp và tâm của hai cầu vồng, thì kích thước góc của nó sẽ thay đổi khá nhiều và điều này sẽ không ảnh hưởng đến giá trị ước tính. Trong trường hợp này, ngôi nhà này chia đôi khoảng cách từ tâm cầu vồng đến cầu vồng đầu tiên, tức là hướng của camera – ngôi nhà được chuyển sẽ tạo một góc 42 q 2 21 q với hướng của tia nắng. Chiều cao của nhiếp ảnh gia trên mặt biển có thể được ước tính như sau:

180 m sin 15,4 q 21 q | 100m.

Rất có thể, nhiếp ảnh gia đang ngồi trên một chiếc ghế dưới một chiếc dù đang được một chiếc thuyền kéo bằng dây cáp (nhưng đây chỉ là một giả định hợp lý).

CONK URS VÀ TÔI NI A. P. S AVINA

Chúng tôi tiếp tục cuộc thi tiếp theo về lời giải toán học bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được công bố trên Site.google.com xem savin-contest Chúc bạn thành công!

5. Có thể tô màu tất cả các số tự nhiên bằng bảy màu sao cho mỗi màu đều có mặt và tích của hai số cùng màu bất kỳ (kể cả các số bằng nhau) là số cùng màu không? M. Evdokimov

6. Hai người chơi chơi tic-tac-toe trên một mặt phẳng ca rô vô hạn. Người chiến thắng là người đánh dấu năm ô vuông có hình chữ thập bằng biểu tượng của mình. Người chơi thứ hai có thể luôn ngăn cản người chơi thứ nhất giành chiến thắng không? D.Ivanov

7. Các số 1, 2, …, n được viết thành một hàng trên bảng. Trong một hành động, giữa mỗi số liền kề được viết tổng của chúng, sau đó các số ban đầu sẽ bị xóa. Sau một vài thao tác, trên bảng chỉ còn lại một con số. Cái mà? (Ví dụ: nếu ban đầu các số 1, 2, 3 được viết thì 3, 5 sẽ được viết thay cho chúng và 8 sẽ được viết thay cho chúng.) V. Rastorguev

8. Có một khối đa diện lồi mà tất cả các mặt của nó đều là những tam giác tù bằng nhau nếu các mặt của nó là a) tam giác cân; b) không phải là tam giác cân? E. Bakaev

VÒNG TRÒN TOÁN HỌC

Số Harshad

A. TOLPYGO

PHẠM VI NHIỆM VỤ ĐƯỢC XEM XÉT trong bài viết này có thể được mô tả bằng một cụm từ: Tần suất một số được chia cho tổng các chữ số của nó là bao nhiêu? Hóa ra câu hỏi đơn giản này dẫn đến cả một chu kỳ khá đa dạng bài toán. Các số có đặc tính này được gọi là số Niven, hoặc số Harshad (từ tiếng Phạn “harsha” - niềm vui lớn); cái tên này được đặt cho họ bởi nhà toán học Ấn Độ D.C. Kaprekar; Để cho ngắn gọn, chúng ta sẽ gọi chúng là số X. Vì các số có một chữ số rõ ràng là như vậy nên chúng ta sẽ đồng ý ngay rằng chúng ta chỉ xem xét những số X có ít nhất hai (hoặc thậm chí tốt hơn, ít nhất là ba) chữ số. Hãy bắt đầu với một thực tế hiển nhiên là tất cả các số có tổng chữ số là 3 hoặc 9 đều là số Harshad. Cũng dễ dàng đưa ra ví dụ về số X với các tổng nhỏ khác của các chữ số; ví dụ, đây đều là những số chẵn có tổng các chữ số là 2 hoặc 6. Không khó để đưa ra các ví dụ khác: đây là những số 224, 605 hoặc 999999999. Nhưng nếu tổng các chữ số lớn thì sao? Có phải lúc nào cũng có thể xây dựng được số lượng Harshad như vậy không? Đáp số – tích cực. Phát biểu 1. Với mọi số tự nhiên m đều tồn tại một số X có tổng các chữ số m. Bằng chứng. Xét các số 1, 10, 100, …, $10^{k}$, … Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại số dư r sao cho một số lớn tùy ý các số này khi chia cho m sẽ có số dư r. Bây giờ chỉ cần lấy tổng của m số tương ứng $10^{k}$ cho các k khác nhau như vậy là đủ (cũng có thể trùng khớp với nhau, nhưng với số lượng không quá 9). Ví dụ 1. Cho m 37. Vì 999 chia hết cho 37 nên mọi số $1, 10^{4}, 10^{7}$, … $..., 10^{3k1}$ khi chia cho 37 đều có số dư như nhau. Như vậy, ta có thể lấy

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20201004

số 100100100…1 (và cứ thế 37 lần); nhưng nó dễ lấy hơn, ví dụ: số 9009009009001. Lưu ý. Dưới đây chúng tôi sẽ chứng minh một phát biểu mạnh hơn đáng kể, đó là: dù m là bao nhiêu thì tỷ lệ các số X trong số tất cả các số có tổng các chữ số m đều lớn hơn 0 (có xu hướng đạt đến giới hạn lớn hơn 0; một công thức chính xác hơn sẽ được đưa ra dưới đây).

Hàng dài

Chúng ta hãy gọi một chuỗi có độ dài k là một chuỗi các số n, n 1, n 2, …, $n k_{–} 1,$ đều là Harshad. Vì một chuỗi luôn được xác định hoàn toàn bởi số hạng đầu tiên của nó nên trong phần tiếp theo, theo quy luật, chúng ta sẽ chỉ viết ra chuỗi này. Không khó để đưa ra một ví dụ về một chuỗi có độ dài 3: chẳng hạn, nó có thể bắt đầu bằng số 110, vì 111 và 112 cũng là số X. (Các số 1010, 10010, v.v. cũng phù hợp.) Có thể xây dựng một chuỗi dài hơn không? Phát biểu 2. Có một chuỗi có độ dài 10. Để chứng minh điều đó, tất nhiên, chỉ cần đưa ra một ví dụ (mà chúng ta sẽ làm bây giờ) là đủ, nhưng thật thú vị khi biết cách xây dựng nó. Tất nhiên, bạn có thể giao nhiệm vụ cho máy tính (và phương pháp này dẫn đến mục tiêu), nhưng sau đó - toán học ở đâu? Sẽ rất dễ dàng để xây dựng một ví dụ nếu chúng ta được phép xem xét các số có một chữ số (tất cả các số từ 1 đến 10 đều chia hết cho tổng các chữ số của chúng), nhưng điều này là không được phép. Tuy nhiên, nó gợi ý một ý tưởng: đặt số đầu tiên kết thúc bằng 0 và tổng các chữ số của nó bằng r. Khi đó các số sau sẽ có tận cùng là 1, 2, …, 9 và tổng các chữ số của chúng sẽ là r 1, …, r 9. Sẽ không khó để tìm một số (ngay cả với tổng các chữ số cho trước, nếu nó đủ lớn) chia hết cho tất cả các số này, nhưng chúng ta không cần một số chia hết mà là các số liên tiếp. Nhưng điều này cũng có thể thực hiện được nếu bạn sử dụng thủ thuật này. Hãy bắt đầu với một số “tiện lợi” (chính xác thì “sự tiện lợi” của nó bao gồm những gì sẽ được xem sau), chúng ta sẽ lấy số này là r, tức là đối với tổng các chữ số của số đầu tiên trong chuỗi của chúng ta. Chúng tôi sẽ gọi số này là số tham chiếu. Để bắt đầu, hãy lấy số 30 làm tham chiếu. Giả sử rằng số đầu tiên của chúng ta kết thúc bằng số …30 hoặc,

39

O L IMPIADS

Olympic Toán quốc tế LXI

Kỳ thi Olympic Quốc tế (IMO) tiếp theo dự kiến ​​​​sẽ được tổ chức vào tháng 7 năm 2020 tại St. Petersburg, nhưng do đại dịch, ngày diễn ra Olympic được dời sang ngày 18–28 tháng 9 và thể thức buộc phải thay đổi. Thật không may, không thể tập hợp những người tham gia lại với nhau, vì vậy các trung tâm kiểm tra đặc biệt (được trang bị camera giám sát) đã được tổ chức ở tất cả các quốc gia tham gia IMO, nơi hai vòng thi Olympic được tổ chức vào ngày 21 và 22 tháng 9. Bất chấp sự khác biệt về múi giờ, các chuyến tham quan diễn ra ở tất cả các quốc gia “gần như đồng thời”, do đó, thời điểm bắt đầu chuyến tham quan muộn nhất trước thời điểm kết thúc sớm nhất của chuyến tham quan. Có 616 người tham gia Thế vận hội, từ 105 quốc gia. Ban tổ chức trung tâm của Olympic được đặt tại St. Petersburg trên cơ sở Đại học Sư phạm Nhà nước Nga mang tên A.I. Herzen. Đội Nga năm nay gồm: Danila Demin (Sochi), Alexey Lvov (Novosibirsk), Maxim Turevsky (St. Petersburg), Anton Sadovnichy (Moscow), Danil Sibgatullin (Kazan, Moscow), Ivan Gaidai-Turlov (Moscow). Kết quả của những người tham gia của chúng tôi được hiển thị trong bảng.

Từ trái sang phải. D. Demin, M. Turevsky, A. Lvov, I. Gaidai-Turlov, D. Sibgatullin, A. Sadovnichy

Đội tuyển Nga đứng thứ hai trên bảng xếp hạng toàn đội. Đội Trung Quốc đứng ở vị trí thứ nhất và đội Mỹ ở vị trí thứ ba. Kết quả chi tiết có thể được tìm thấy trên trang web chính thức của Olympic http: imo-official.com Ở giai đoạn chuẩn bị cuối cùng của đội, các nhà toán học và giáo viên đã có đóng góp to lớn: K. Sukhov (dẫn đầu quá trình chuẩn bị), V. Bragin, B. Baev, A. Kushnir, A. Kuznetsov, P. Kozlov, N. Vlasova, M. Pratusevich, K. Knop và nhiều người khác. Chúng tôi xin ghi nhận với lòng biết ơn sự giúp đỡ và hỗ trợ to lớn về mặt tổ chức và nội dung trong việc chuẩn bị cho nhóm do Trung tâm Giáo dục Sirius (Sochi), Trung tâm Sư phạm Xuất sắc (Moscow), Trường Vật lý và Toán học Tổng thống Lyceum số 239 (St. Petersburg) và Viện Toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Nga (Moscow, St. Petersburg) cung cấp.

47

BÀI KIỂM TRA

không. Quả bóng sẽ bay tới độ cao nào $H_{1}$ so với vị trí ban đầu của bệ sau khi nhấc khỏi bệ? Gia tốc trọng trường g, bỏ qua ảnh hưởng của không khí.

lớp 10

1. Một người nhảy dù hạ xuống với vận tốc không đổi v ném một hòn đá sao cho vận tốc ban đầu của nó nằm ngang và bằng u so với mặt đất. Khoảng cách giữa người nhảy dù và hòn đá sau thời gian t sau khi ném là bao nhiêu, nếu lúc này họ vẫn còn ở trên không? Bỏ qua ảnh hưởng của không khí lên hòn đá, gia tốc rơi tự do g. 2. Trong một bình hình trụ kín, có chất khí ở dưới pít-tông chuyển động và có chân không phía trên pít-tông (Hình 4). Lúc đầu, pít-tông nằm chính giữa tàu. Sau đó, khí bắt đầu rò rỉ vào đỉnh bình qua một lỗ nhỏ trên pít-tông. Trong trường hợp này, piston di chuyển xuống rất chậm. Tìm áp suất ở đáy bình ngay trước khi $поршень^{Рис.} 4$ chạm đáy. Gia tốc trọng trường g, khối lượng piston M, diện tích mặt cắt ngang của bình S. Nhiệt độ của xi lanh, piston và khí là như nhau và được giữ không đổi. Không có ma sát. 3. Một vật đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Một mảnh nhựa bay về phía nó với vận tốc u và que. Cơ thể bị dịch chuyển một khoảng $l_{1}$ và dừng lại. Sau đó, mảnh nhựa đó bay về phía anh ta với tốc độ như nhau. Cơ thể di chuyển một khoảng $l_{2}$ và dừng lại. Tìm hệ số ma sát trượt giữa vật và mặt phẳng. Gia tốc trọng trường g. 4. Xem bài toán 2 ở lớp 9 (bây giờ chỉ có góc E được đưa ra ở dạng tổng quát).

NGUYÊN VẬT LIỆU

phong cách được mở trong một thời gian rất ngắn và đóng lại ngay lập tức. Sau khi trạng thái cân bằng được thiết lập trong mỗi bình, áp suất trong bình thứ nhất là $p_{1} c$. Áp suất $p_{2} c$ trong bình thứ hai là bao nhiêu? Nhiệt độ được duy trì không đổi. 2. Một lò xo nhẹ được đặt trên một vòng cố định, mặt phẳng của vòng này thẳng đứng và được cố định tại điểm B (Hình 5). Ở trạng thái không biến dạng

Hình 5

Ở trạng thái yên, đầu tự do của lò xo đặt tại điểm A cùng độ cao với điểm B và tâm của vòng O. Một vòng đệm lớn cũng được đặt trên vòng, gắn nó vào đầu tự do của lò xo (tại điểm A). Tìm khối lượng của vòng đệm m nếu biết vị trí cân bằng của nó có chiều cao R2 thấp hơn đoạn thẳng AB. Gia tốc trọng trường g, bán kính vòng R, độ cứng lò xo k. Bỏ qua ma sát giữa vòng và vòng đệm, vòng và lò xo. 3. Trên mặt phẳng nằm ngang có một cơ thể đồ sộ và gắn hai khẩu súng máy dành cho trẻ em - ở bên trái và bên phải cơ thể (Hình 6). Nòng súng máy được định hướng theo chiều ngang và hướng vuông góc với bề mặt thân súng. Đường thẳng đi qua tâm súng máy cũng vuông góc với bề mặt thân súng. Súng máy bắt đầu bắn đồng loạt. Được biết, khoảng cách $временны_{ѣ}$ giữa lúc phóng đạn của mỗi khẩu súng máy là nhỏ và cố định. Người ta còn biết, súng máy bên trái có tốc độ phóng đạn cao gấp 2 lần so với súng bên phải nhưng khối lượng đạn ít hơn 1,5 lần và khoảng thời gian giữa các viên đạn lớn hơn 30% so với súng máy bên phải. Đường nào?

lớp 11

1. Hai bình chứa khí lý tưởng được nối với nhau bằng một ống mỏng có van. Trong bình thứ nhất có thể tích $V_{1}$ thì áp suất là $p_{1}$, và trong bình thứ hai có thể tích $V_{2}$ thì áp suất là $p_{2}$. Ven-

Hình 6

48

KV AN T 2020/№10

cơ thể sẽ bắt đầu di chuyển? Bỏ qua ma sát giữa vật và mặt phẳng, coi tác dụng của viên đạn lên bề mặt vật là đàn hồi tuyệt đối. Bỏ qua va chạm giữa viên đạn và sức cản của không khí. 4. Ba hạt được đặt trên một kim đan ngang nhẵn (Hình 7). Khối lượng thứ hai

Hình 7

Hình 8

Hạt thứ nhất có khối lượng gấp 2 lần hạt thứ nhất, hạt thứ ba có khối lượng gấp 3 lần hạt thứ nhất. Các hạt có khoảng cách bằng nhau và có thể di chuyển tự do dọc theo kim mà không bị ma sát. Các hạt có điện tích cùng tên lần lượt là $q_{1}, q_{2}$ và $q_{3}$. Các hạt được giải phóng và chúng bắt đầu bay ra sao cho hạt thứ hai luôn nằm chính giữa hạt thứ nhất và hạt thứ ba. Tìm điện tích $q_{1}$ nếu biết điện tích $q_{2}$ và $q_{3}$.

Q. Sau bao lâu thì đầu bên trái thấp hơn bên phải? 4. Tại thời điểm 0, nước nóng từ vòi bắt đầu được đổ vào bồn nước. Nước được khuấy liên tục và nhiệt độ được đo. Đồ thị nhiệt độ theo thời gian được thể hiện trên Hình 9. Xác định nhiệt độ của vật đổ

Vòng thứ hai

lớp 8

1. Xô được đổ đầy nước đến miệng. Một khối lập phương bằng gỗ đặc có cạnh a được hạ từ từ vào thùng. Đồng thời, nước có thể tích $V_{0}$ được đổ ra khỏi xô. Sau đó, khối lập phương được lấy ra và thay vào đó, không cần thêm nước vào xô, một khối lập phương khác làm bằng chất liệu tương tự nhưng có cạnh 2a được hạ xuống từ từ. Xác định thể tích nước V sẽ đổ ra khỏi thùng. Bỏ qua hiệu ứng căng bề mặt. 2. Một khối lập phương nổi trong chất lỏng có mật độ U. Khi gắn một vật nặng vào nó, khối lập phương bắt đầu nổi, chìm trong 60% thể tích của nó. Khi một vật nặng tương tự thứ hai được gắn vào nó, khối lập phương được ngâm hoàn toàn trong chất lỏng và bắt đầu nổi ở vị trí cân bằng không đổi. Tìm mật độ của vật liệu làm nên khối lập phương đó. 3. Dây đu trong rạp xiếc là một cây gậy dài được treo trên hai sợi dây đàn hồi thẳng đứng (Hình 8). Khi con khỉ treo lên hình thang, nắm lấy giữa thanh thì thanh rơi xuống d 1,5 cm. Sau đó, con khỉ di chuyển đến điểm A, điểm này gần đầu bên trái của cây P hơn hai lần so với đầu bên phải.

Hình 9

nước, nếu dòng nước chảy từ vòi không đổi. Bỏ qua nhiệt dung của bể và trao đổi nhiệt với môi trường.

lớp 9

1. Hai người đi bộ di chuyển theo chiều kim đồng hồ với tốc độ tuyệt đối không đổi $v_{1} 1,2$ m s $, v_{2} 1$ m s, người thứ nhất đi dọc theo vòng tròn có bán kính $r_{1} 8$ m, người thứ hai đi dọc theo vòng tròn có bán kính $r_{2} 10$ m. Tâm của các vòng tròn trùng nhau. Sẽ mất bao lâu để khoảng cách giữa những người đi bộ thay đổi từ mức tối thiểu có thể với kiểu di chuyển này đến mức tối đa có thể? 2. Một cậu bé đứng trên mặt phẳng nằm ngang ném một hòn đá sao cho nó bay được quãng đường xa nhất. Anh ta ném hòn đá thứ hai với cùng tốc độ tuyệt đối theo phương thẳng đứng lên trên. Nó bị một cậu bé khác bắt được ở đỉnh quỹ đạo và sau đó bị ném từ điểm đó với cùng góc và tốc độ như cậu bé đầu tiên.

49

BÀI KIỂM TRA

cục đá. Quãng đường mà hòn đá thứ hai đi được theo phương ngang lớn hơn hòn đá thứ nhất bao nhiêu lần? Bỏ qua ảnh hưởng của không khí. 3. Vòng hoa năm mới là một tấm lưới thép hình chữ nhật, được cắm vào các dây nhảy ngang có các bóng đèn giống hệt nhau như trong Hình 10. Điện trở của vòng hoa,

NGUYÊN VẬT LIỆU

Sử dụng thiết bị định vị, họ xác định được khoảng cách giữa chúng là 3,4 km. Vasily vẫn giữ nguyên vị trí, và Alexey bắt đầu đi bộ về phía anh ta qua các con phố dọc theo con đường tối ưu. Không giống như Alexey, chúng tôi không biết chính xác bạn bè mình đang ở đâu. Hãy thử sử dụng thông tin có sẵn để xác định độ dài tối thiểu và tối đa có thể có của đường dẫn tối ưu này. Đáp số làm tròn đến hàng trăm mét gần nhất. 2. Ba bình giống hệt nhau chứa khí lý tưởng được nối với nhau bằng các ống mỏng có van (Hình 12). Áp lực trong

Hình 10

đo giữa cực A và B là $R_{0} 1919$ Ohm. Sau khi một bóng đèn trong vòng hoa bị cháy, điện trở trở thành R 1920 Ohms. Xác định tổng số bóng đèn trong vòng hoa, nếu bạn biết rằng số lượng của chúng chắc chắn lớn hơn 1938 và nhỏ hơn 3838. Điện trở của các bóng đèn là như nhau; bỏ qua điện trở của dây. 4. Một con ếch nhỏ đang nhảy xuống cầu thang có các bậc giống hệt nhau (Hình 11).

Hình 12

Bình thứ 1, thứ 2 và thứ 3 lần lượt là $p_{1}, p_{2}$ và $p_{3}$. Van giữa bình 1 và bình 2 được mở và đóng sau khi đạt trạng thái cân bằng. Sau đó mở van giữa bình 2 và bình 3. Tìm áp suất $p_{3} c$ ở bình thứ 3 sau khi cân bằng. Nhiệt độ được duy trì không đổi. 3. Ba hình lập phương giống hệt nhau đứng trên một mặt phẳng nằm ngang (Hình 13). Hình khối

Hình 13

Hình 11

Mỗi lần nó được đẩy ra theo cùng một cách và kết thúc từ giữa bước này đến giữa bước tiếp theo. Cô ấy thực hiện cú nhảy cuối cùng trên một bề mặt phẳng, chiều dài của lần nhảy này là d và độ cao là h. Tìm chiều cao của các bậc thang H nếu chiều dài của các bậc thang là L. Bỏ qua ảnh hưởng của không khí.

lớp 10

1. Trên đảo Manhattan ở New York có nhiều đường phố nằm vuông góc với nhau ở khoảng cách ngắn. Alexey và Vasily, khi đi dọc hòn đảo, tại một thời điểm nào đó được kết nối bằng những lò xo giống hệt nhau, độ căng của chúng là như nhau. Nếu khối thứ 1 được kéo từ từ sang trái thì khi vượt qua khoảng cách $d_{1}$ thì khối thứ 3 sẽ bắt đầu chuyển động. Nếu từ cùng vị trí ban đầu, khối thứ 1 được đẩy từ từ sang phải thì khi vượt qua khoảng cách $d_{2}$, khối thứ 3 sẽ bắt đầu chuyển động. Bao xa $d_{x}$ Khối thứ 1 và thứ 3 phải được di chuyển sang bên phải từ cùng một vị trí bắt đầu để khối ở giữa bắt đầu di chuyển? Giả sử hệ số ma sát tĩnh và ma sát trượt là như nhau. 4. Biểu tượng có dạng hình tam giác đều, chiều cao và nội dung của nó

53

BÀI KIỂM TRA

đứng giữa các điểm treo của lò xo rồi thả ra. Hóa ra thanh ở trạng thái cân bằng hoàn toàn song song với đường chân trời. Tìm trọng lượng của thanh. 3. Một hạt nhỏ mang điện tích dương được xâu thành một nửa vòng mỏng làm bằng vật liệu không dẫn điện (Hình 28). Ở cuối nửa vòng, điện tích điểm dương $q_{1}$ và $q_{2} ( q_{1} q_{2} )$ lần lượt được cố định tại các điểm A và B. Nửa vòng cũng được cố định. Sau một thời gian dài hạt dừng lại ở điểm C. Tìm góc D. Không còn lực hấp dẫn.

Hình 28

Hình 29

4. Một vòng có khối lượng M, tích điện đều dọc theo chu vi với điện tích Q, lăn dọc theo mặt phẳng nằm ngang (Hình 29). Tại một thời điểm nào đó, một từ trường có cảm ứng B được đặt vuông góc với mặt phẳng của vòng. Lực ép của vòng lên mặt phẳng tăng gấp 3 lần. Tìm tốc độ của vòng. Gia tốc trọng trường g. 5. Ước tính chu kỳ dao động dư của xăng trong thùng chứa đầy một nửa do phanh. Giả sử rằng bạn hiểu rõ về hiện tượng này, bạn có thể đặt các đại lượng còn thiếu trong điều kiện bài toán, chọn các giá trị số của chúng và thu được kết quả bằng số. 6. Bài toán-trình diễn (một video được hiển thị). Bên trong một hộp thiếc thông thường có một thiết bị nhỏ được gắn vào giữa nắp, bao gồm một động cơ và một ngăn chứa pin cung cấp năng lượng cho hộp thiếc (Hình 30). Khi bật, động cơ sẽ quay ngăn chứa pin theo hình tròn. Đóng chặt lọ bằng nắp

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 30

với động cơ được bật và đặt ở bên cạnh. Nó bắt đầu di chuyển và di chuyển dọc theo bàn ngang. Nếu một chướng ngại vật nhỏ được đặt trên đường đi của cô ấy, cô ấy sẽ vượt qua nó, đôi khi trong lần thử đầu tiên, và đôi khi, khi va phải chướng ngại vật, cô ấy sẽ lùi lại và vượt qua chướng ngại vật sau nhiều lần thử. Giải thích hiện tượng quan sát được. Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Borovkov, E. Zhdanov, A. Kipriyanov, S. Lezhnin, M. Makhmudian, A. Nenashev, E. Palchikov, A. Pogosov, D. Pokhabov, G. Fedotovich