Kvant 2021, số 4 · Trang

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Vũ trụ tồn tại và nằm ở đâu đó theo hướng của chòm sao Leo. Vì vậy câu hỏi về tâm vũ trụ lại trở nên có liên quan. Nhưng tôi thực sự muốn nền dân chủ tuyệt đối của Vũ trụ chúng ta là tài sản không thể thiếu của nó. Do đó, chúng ta đừng vội kết luận ngay bây giờ mà hãy đợi cho đến khi các chi tiết nhỏ về sự phân bố của bức xạ nền vi sóng vũ trụ được “phân tích thậm chí còn tinh tế hơn”. Chưa hết, có hai điều tôi không thể nghĩ ra: những gì chúng ta thấy là bản chất “phi dân chủ” rõ ràng của Hình 3,b, và thực tế là chúng ta đã nhận được lý luận.

niyami – nền dân chủ hoàn chỉnh của Vũ trụ chúng ta! Tuy nhiên, mâu thuẫn này rất dễ giải quyết. Hãy tưởng tượng rằng Vũ trụ của chúng ta là một quả bóng bay (Hình 4, c) đang bay trên bầu trời xanh mùa xuân. Khi quả bóng bay lên ngày càng cao, kích thước của nó cũng tăng lên và tất cả các ngôi sao và thiên hà được vẽ trên bề mặt của nó sẽ di chuyển ra xa nhau một cách hoàn toàn dân chủ. Vũ trụ của chúng ta cũng vậy - nó hoàn toàn dân chủ, nhưng chỉ người quan sát ở bên ngoài nó mới có thể tận mắt nhìn thấy nó!

CUỘC THI ĐẶT THEO A.P. SAVINA

Chúng tôi sắp kết thúc cuộc thi môn toán lời giải bài toán. Các nhiệm vụ được thiết kế chủ yếu dành cho học sinh bắt đầu từ lớp 8–9 và chúng tôi khuyên các học sinh nhỏ tuổi hơn nên thử sức mình trong cuộc thi tạp chí «Kvant» (xem trang web kvantik.com). Gửi lời giải bài toán mà bạn có thể xử lý bằng e-mail đến địa chỉ: savin.contest@gmail.com hoặc bằng thư thông thường đến địa chỉ: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant» (được đánh dấu “Cuộc thi mang tên A.P. Savin”). Ngoài họ và tên của bạn, hãy cho biết thành phố, trường học và lớp nơi bạn học cũng như địa chỉ bưu điện gửi về của bạn. Chúng tôi hoan nghênh việc tham gia cuộc thi không chỉ của từng học sinh mà còn của các đội (trong trường hợp này, một tác phẩm sẽ được gửi kèm theo danh sách những người tham gia). Bạn có thể tham gia bắt đầu từ bất kỳ chuyến tham quan nào. Những người chiến thắng sẽ nhận được bằng tốt nghiệp từ tạp chí «Kvant» và các giải thưởng. Bài tập, lời giải và kết quả được công bố trên Site.google.com xem savin-contest Chúc bạn thành công!

29. Mỗi ô của bảng vuông chứa 1 hoặc 1. Tổng của tất cả các số trong bảng là 1. Có thể xác định được tích của chúng bằng bao nhiêu không? B.Frenkin

30. Các điểm K, L, M, N nằm trên các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác ABCD. Mỗi điểm chia cạnh tương ứng theo tỷ lệ 1 2 (đối với cạnh AB hoặc AK KB 1 2 hoặc BK KA 1 2, v.v.). Liệu diện tích của tứ giác KLMN có lớn hơn diện tích của tứ giác ABCD không? S. Dvoryaninov

31. Có 50 điểm được đánh dấu trên vòng tròn. Hãy xem xét tất cả các hình tam giác có các đỉnh trong đó. Có thể nào trong số chúng có số lượng tam giác tù gấp 2 lần so với các tam giác nhọn không? E. Bakaev, S. Dvoryaninov

32. Xét dãy số 1, 2, 3, …, n. Trong một bước, bạn có thể hoán đổi hai số bất kỳ. Tìm số dãy có thể thu được từ dãy ban đầu trong n 1 bước, nhưng không thể thu được sau ít bước hơn. V. Rastorguev

VÀ LỊCH SỬ KHOA HỌC

Có số âm không?

D.ZLATOPOLSKY

Số âm là gì

Thật kỳ lạ, đáp số đối với câu hỏi được đặt ra ở tiêu đề của bài viết: “Có, họ làm vậy!” Việc sử dụng số âm lần đầu tiên được đề xuất bởi nhà toán học người Anh John Colson vào năm 1726 trong bài viết “Tóm tắt về số học âm-dương” [1]. Để phân biệt số âm với số “bình thường”, ông đề xuất ký hiệu chúng bằng dấu gạch ngang phía trên số. Vì vậy, ở đầu bài viết, nhà khoa học đưa ra con số 3709286573961472 và tiếp tục chỉ ra rằng nó tương ứng với số “bình thường” 2308726432039468, mặc dù ví dụ đã cho không hoàn toàn tương ứng với mục tiêu mà chính Colson viết, ông đặt ra bằng cách đưa ra các số âm. Và mục tiêu này là đơn giản hóa các phép tính số học trên số lớn bằng cách loại bỏ việc sử dụng các số “lớn” 6, 7, 8 và 9 và thay thế chúng bằng các giá trị​​bằng các số âm 14, 13, 12 và 11. Ở đây 14 10 4, giống như 14 10 4 (tương tự với 13, 12, 11). Sau đây, Colson đưa ra một ví dụ về phép biến đổi như vậy - thay vì số 181937462, hãy sử dụng số $22 2 143542.^{1}$ trong phép tính

Dễ dàng gấp lại hơn

Cho thấy những ưu điểm (theo ý kiến ​​của ông) trong hệ thống của mình, Colson đưa ra ví dụ sau về việc cộng một số số:

1 Tất nhiên, Colson mô tả trong bài viết quy tắc chuyển đổi số có chữ số 6, 7, 8 và 9 thành số có chữ số âm và ngược lại.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210402

Có thể thấy rằng nếu các thuật ngữ được trình bày dưới dạng ký hiệu thập phân thông thường thì sẽ cần phải cộng các số ở chữ số cuối cùng.

3 8

7 1

8 6

5 trong khi ở phiên bản trên bạn cần thêm số

3 2

3 1

2 4

5 tất nhiên là đơn giản hơn (và cũng làm giảm khả năng xảy ra lỗi).

14

KVANT 2021/№4

đặt nó là 1. Khi đó đẳng thức cuối cùng có thể được viết là 2 $3^{m} 3^{m} 1 1$ $3^{m}$. Điều này có nghĩa là bất kỳ số nguyên K nào cũng có thể được biểu diễn trong hệ thống số ba bằng cách sử dụng các số 0, 1 và 1 (thay thế tất cả các chữ số 2 trong ký hiệu mở rộng của nó bằng hiệu tương ứng):

K

$b_{m} ˜^{3} m b_{m} 1 ˜^{3} m^{1}$ … $b_{1} ˜^{3} b_{0}$, trong đó mỗi hệ số $b_{m}, b_{m} 1$, …

$..., b_{0}$ có thể bằng 0, 1 hoặc 1. Cách viết số này được gọi là “hệ cân bằng bậc ba $счисления».^{2}$ Vì vậy, nếu chúng ta biết khối lượng của tải K được viết trong hệ này như thế nào, thì để cân nó trên cân, chúng ta cần đặt nó lên đĩa cân đầu tiên và đặt quả nặng 1 g lên cốc thứ hai, nếu $b_{0} 1$, và trên cốc đầu tiên, nếu $b_{0} 1$ (nếu $b_{0} 0$ thì quả cân 1 g hoàn toàn không được sử dụng); hơn nữa, quả cân 3 g được đặt trên cốc thứ hai nếu $b_{1} 1$, và quả cân đầu tiên nếu $b_{1} 1$, v.v. Dễ hiểu là bằng cách sắp xếp các trọng số theo nguyên tắc này, chúng ta sẽ cân bằng tải. Trước khi đưa ra ví dụ, chúng tôi sẽ trình bày cách chuyển ký hiệu bậc ba thông thường thành ký hiệu trong cân bằng. Để thực hiện việc này, bạn cần thực hiện các bước sau cho mỗi hai: 1) thay thế bằng số 1; 2) thêm 1 vào chữ số liền kề bên trái (nếu kết quả ở chữ số này là 2 thì các hành động đã chỉ định sẽ được lặp lại cho nó).

5

4

111111 ( 3 3 3 3 3 3

3

2

1

0

130 ).

Vì vậy, để cân bằng tải trọng 130 gram đặt trên một trong các

2 Hệ thống như vậy lần đầu tiên được mô tả bởi kỹ sư người Pháp Leon Lalanne vào năm 1840. Ông đưa ra một số số tự nhiên đầu tiên trong hệ thống này:

1, 11, 10, 11, 111, 110, 111, 101, 100, 101, 111, …

Cốc cân, bạn cần đặt các quả cân 81, 27 và 9 gam trên cùng một cốc và các quả nặng 243, 3 và 1 gam trên cốc đối diện. Trong lời giải bài toán chúng tôi đã được trợ giúp bởi hệ thống số ba ngôi cân bằng.$^{3}$ Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng ví dụ “thực tế nhất” về việc sử dụng số âm là máy tính điện tử $«Сетунь»^{4}$ và “Setun 70”, được phát triển lần lượt vào năm 1960 và 1970 tại Đại học Quốc gia Moscow. MV Lomonosov dưới sự lãnh đạo của Nikolai Petrovich Brusentsov (1925–2014). Thiết kế và hoạt động của chúng dựa trên hệ thống số ba cân bằng với các số 1, 0 và 1.[5]

Tìm hiểu thêm về hệ thống số ba ngôi cân bằng Donald Knuth, tác giả của loạt sách nổi tiếng thế giới về các thuật toán cơ bản và phương pháp toán học tính toán, trong cuốn sách [6, trang 230–231] của ông đưa ra một phương pháp khác $перевода.^{5}$ như sau. 1. Một số đơn vị duy nhất được thêm vào một số ba. Ví dụ: đối với $130_{10} 11211_{3}$:

2. Từ số kết quả, số đơn vị được sử dụng trong phép cộng được trừ đi (theo bit) (mỗi chữ số của số trừ được giảm đi 1):

3 Lần đầu tiên, mối liên hệ bài toán về một tập hợp trọng lượng và một hệ ba ngôi cân bằng đã được Luke chỉ ra trong cuốn sách “Giải trí toán học” [4]. Đúng vậy, nhà khoa học không mô tả cách giải bài toán cho một giá trị trọng lượng cụ thể $груза.^{4}$ Setun là tên của con sông chảy gần $МГУ.^{5}$ Nhà khoa học gọi hệ ba ngôi cân bằng “có lẽ là hệ thống số thanh lịch nhất trong tất cả các hệ thống số”.

15

TỪ

CÂU CHUYỆN

Kết quả trùng khớp với kết quả thu được trong bài viết của chúng tôi.

Bài tập

1. Viết các số ba trong hệ cân bằng: a) 210; b) 1202. 2. Viết các số thập phân trong hệ tam phân cân bằng: a) 17; b) 53.

Tính chất của hệ số ba cân bằng Hệ thống số ba cân bằng có nhiều đặc tính rất hấp dẫn. Đầu tiên, nó có thể biểu diễn cả số dương và số âm một cách nhất quán (như đã lưu ý ở trên, khi sử dụng hệ nhị phân, số âm trong máy tính được biểu diễn bằng cái gọi là “mã máy tính”). Trong đó, dấu của số được xác định bởi ký tự đầu tiên trong ký hiệu của số trong hệ này: nếu bằng 1 thì số đó dương, còn nếu 1(1) thì số âm. Rất dễ dàng để tiến tới số đối diện bằng cách thay 1 bằng 1 (1) và ngược lại. Trong thực tế:

8 10

$101_{3} ; 8_{10}$

$101_{3}$.

Điều này có nghĩa là bạn có thể so sánh hai số bất kỳ như trong hệ thập phân, so sánh các số từ trái sang phải. Để làm tròn một số ba thực đến số nguyên gần nhất, chỉ cần loại bỏ phần phân số của nó là đủ. Tính chất này cũng khá rõ ràng, vì phần phân số dương lớn nhất có thể có 0,111… biểu thị tổng 1 3 1 9 1 27 …, luôn nhỏ hơn 1 2. Các phép toán số học trong hệ đối xứng bậc ba thực tế không phức tạp hơn hệ nhị phân, và nếu chúng ta cho rằng trong trường hợp số có dấu, số học nhị phân sử dụng mã nhân tạo, thì hóa ra số học bậc ba thậm chí còn đơn giản hơn. Hoạt động thêm bất kỳ số nào bằng 0

KHOA HỌC

kết quả trong cùng một hình. Cộng 1 vào 1 sẽ bằng 0. Và chỉ tổng của hai số 1 hoặc hai số 1 được hình thành bằng cách di chuyển một chữ số cùng dấu với các số hạng sang chữ số tiếp theo và đặt một chữ số có dấu ngược lại vào chữ số hiện tại. Bảng cộng hoàn chỉnh mà chúng ta sẽ sử dụng để cộng các số “cột” thông thường, có dạng

Ghi chú. Mục 11 nghĩa là kết quả là 1 và 1 khác được chuyển sang chữ số tiếp theo, mục 11 nghĩa là kết quả là 1 và 1 khác được chuyển sang chữ số tiếp theo.

Hãy cộng các số 412 và 181 trong hệ tam phân cân bằng:

412 10

120021 3

1110111 3

181 10

20201 3

111101 3

Thật dễ dàng để kiểm tra điều đó $1111001_{3}$

$593_{10}$.

Bài tập 3. Tìm tổng các số trong hệ tam phân cân bằng:

a) 10111 và 1101; b) 111011 và 11011. Trình bày kết quả dưới dạng hệ thập phân.

Phép trừ cũng đơn giản như vậy: để thực hiện việc này, chỉ cần thay đổi dấu của số bị trừ thành số đối diện và cộng số với số bị trừ. Tất nhiên, phép trừ “trực tiếp” cũng có thể được thực hiện. Để làm điều này, thật thuận tiện khi tạo một bảng trừ. Hãy cùng thảo luận vì khi biên soạn một bảng như vậy sẽ thu được một số kết quả thú vị. Không có gì bất thường đối với các trường hợp sau: 1) 0 0 0; 2) 1 0 1; 3) 1 1 0; 4) 0 1 1 (điều này tuân theo các quy tắc đại số và từ bảng cộng ở trên); 5) 1 – 1 0 (vì lý do tương tự).

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Bài toán trong toán học và vật lý

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2646, M2647 được đề xuất ở chặng cuối của Thế vận hội XIII mang tên L. Euler. Bài toán F2653–2656 đã được đưa ra tại Olympic Vật lý Moscow 2021.

Bài toán M2646–M2649, F2653–2656 M2646. Koschey the Bessmertny đã mở một tài khoản tại Sperbank. Ban đầu, tài khoản có 0 rúp. Vào ngày đầu tiên, Koschey đếm $k (^{k}$! 0) rúp, và mỗi ngày tiếp theo sẽ cộng thêm một rúp so với ngày hôm trước (vào ngày thứ hai là $добавляет^{k} 1$ rúp, vào ngày thứ ba$^{k}$ 2 rúp, v.v.). Mỗi lần, ngay sau khi Koschey gửi tiền vào tài khoản, tổng số tiền trong tài khoản sẽ bị ngân hàng giảm đi một nửa. Tìm tất cả k như vậy mà số tiền trong tài khoản sẽ luôn được biểu thị dưới dạng số nguyên rúp. S. Berlov

M2647. Với n tự nhiên nào thì có thể đánh dấu nhiều ô của bảng n n n sao cho tất cả các hàng và cột có số ô được đánh dấu là chẵn và tất cả các đường chéo có chiều dài lớn hơn một ô đều là số lẻ? S. Berlov

M2648. Cho tam giác ABC. Đặt $точка^{C} c$ trên cạnh AB sao cho $отрезок^{CC} c$ chia tam giác thành hai tam giác có bán kính các đường tròn nội tiếp bằng nhau (Hình 1). Chúng ta ký hiệu bằng $t_{c}$ độ dài của đoạn CC c. Tương tự như $определим_{a}^{t} и_{b}^{t}$. Biểu thị diện tích tam giác ABC theo $t_{a}, t_{b}, t_{c}$. K. Mosevich Hình 1

M2649. Ban đầu các hạt điểm A, B, C lần lượt nằm ở các điểm 0;0, 1;0, 0;1 của mặt phẳng tọa độ. Mỗi phút, có hai hạt đẩy nhau dọc theo một đường thẳng nối các vị trí hiện tại của chúng, đi qua cùng một khoảng cách (dương) Hình 2 (Hình 2). Liệu hạt A có thể kết thúc tại điểm a) 3;3; b) 2;3? c) B và C có thể đồng thời lần lượt ở các điểm 0;100 và 100;0 không? K. Krivosheev

F2653. Tỷ lệ giữa lượng oxy và lượng nitơ trong một thể tích “không khí sai” nhất định là 1:5. Hình 3 thể hiện đồ thị áp suất hơi bão hòa của nitơ (đường màu đỏ) và oxy (đường màu xanh) so với nhiệt độ. Nhiệt độ của không khí sai ở thời điểm ban đầu $равна_{0}^{t} 120 q C$. Trong quá trình làm mát, tại một thời điểm nào đó, oxy và nitơ bắt đầu ngưng tụ đồng thời. Sử dụng đồ thị, hãy xác định càng chính xác càng tốt áp suất ban đầu của không khí không đều là bao nhiêu nếu quá trình làm mát là đẳng áp. Nếu đẳng tích thì sao? A. Bychkov, P. Kryukov

22

KVAN T 2021/№4

Các chip được chia thành 1200 khối. Sau đó, anh ta cần lấy một khối loại 0 (trên thực tế, anh ta sẽ nhận được ba khối như vậy, tạo nên mã thông báo cần thiết). Trong lượt của Petya, anh ấy chọn một khối loại nhỏ nhất trong mỗi hàng. Một trong ba khối này sẽ di chuyển sang bên phải và trở thành ba khối thuộc loại trước đó nên tổng số khối sẽ giữ nguyên. Petya sẽ có thể làm điều này miễn là mỗi dòng không trống; Tất cả những gì còn lại là chứng tỏ rằng điều này sẽ không xảy ra trước khi giành chiến thắng. Thật vậy, chúng tôi lưu ý rằng sau mỗi lần di chuyển trong bất kỳ ô nào, ngoại trừ ô ngoài cùng bên trái và ô có chip vừa đến, không có nhiều hơn hai khối. Điều này có nghĩa là mỗi dòng chứa không quá 400 99 2 1 600 khối. Vì tổng số khối là 1200 nên có ít nhất một khối còn lại trong mỗi hàng, đây là số khối được yêu cầu. I. Bogdanov, P. Svyatokum, A. Khuzieva, D. Shabanov

F2641. Một đoạn thẳng của đường ống dẫn khí chính áp suất cao (MG) chạy từ đông sang tây qua hai ngôi làng: Aniskino và Boriskino. Các ngôi làng nằm ở phía bắc của đường ống dẫn khí đốt. Khoảng cách ngắn nhất từ ​​những ngôi làng này đến đường ống dẫn khí đốt lần lượt là 14 km và 16 km. Khoảng cách giữa các điểm trên MG tương ứng với các khoảng cách tối thiểu này là 10,39 km. Để khí hóa các làng trên đường ống dẫn khí chính, cần xây dựng một trạm phân phối để cung cấp khí đốt với áp suất giảm cho các làng. Xác định tổng chiều dài ngắn nhất của đường ống dẫn khí áp suất thấp (LPG) cần thiết để cung cấp khí đốt cho các làng. Đồng thời chỉ rõ vị trí trên tuyến chính nơi cần xây dựng trạm phân phối này.

Có thể có nhiều lựa chọn khác nhau. Chúng ta hãy nhìn vào hai trong số họ. 1) Có một đoạn đường ống chung cho hai ngôi làng, đầu tiên đi dọc theo con đường ngắn nhất đến Aniskino, sau đó đi tiếp

Tuyến đường đi theo con đường ngắn nhất từ ​​Aniskino đến Boriskino. Trong trường hợp này, độ dài của GND sẽ là

14 km +

2

16 14 10,39

2km

24,58 km.

2. Chúng ta hãy nhớ lại tùy chọn mà “tự nhiên đang tìm kiếm” trong trường hợp màng xà phòng được căng trên cấu trúc dây và tự động “chọn” một cách sắp xếp trong đó diện tích của màng này sẽ là tối thiểu. Chúng tôi sẽ thảo luận chi tiết về tùy chọn này. Hãy tưởng tượng ba cấu trúc dây dài song song với nhau, hai trong số đó bất động và cấu trúc thứ ba có thể chuyển động về phía trước và không có ma sát theo hướng vuông góc với chính nó (trong trường hợp này, mỗi điểm của dây chuyển động này chuyển động hoàn toàn theo một đường thẳng). Người ta có thể nói, sợi dây thứ ba này trượt không ma sát dọc theo các thanh dẫn hướng (dọc theo đường ống dẫn khí chính). Đương nhiên, cấu trúc sẽ dừng ở vị trí mà ba phần của màng xà phòng sẽ tạo thành các góc nhị diện 120° với nhau. Trong trường hợp này, màng căng trên một dây di động sẽ vuông góc với các thanh dẫn mà dây di động này có thể trượt dọc theo (phần chung tương ứng của GND sẽ vuông góc với đường ống dẫn khí chính). Vâng, bây giờ bạn có thể thực hiện các phép tính. Các đoạn của đường chính, mỗi đoạn đi từ điểm phân nhánh đến thôn của mình, tạo góc 30° với đường chính. Nếu bạn vẽ những đường như vậy qua Aniskino và Boriskino (coi chúng là điểm), thì giao điểm của những đường này sẽ xảy ra ở khoảng cách 12 km tính từ đường ống dẫn khí cao áp. Như vậy, đoạn GND chung của 2 thôn dài 12km. Trong trường hợp này, điểm trên tuyến chính nơi cần lắp đặt trạm phân phối sẽ chia đoạn giữa các điểm có khoảng cách tối thiểu từ Aniskino (A) và Boriskino (B) theo tỷ lệ 1:2 và nằm gần điểm A hơn. Trong trường hợp này, các đoạn của trạm phân phối khí chính từ

TÙY CHỌN VẬT LÝ

Làm thế nào sự hỗn loạn phát sinh. Định luật hỗn loạn cân bằng của khí lý tưởng

A. VLASOV

Vào tháng 9 năm 1859, TẠI CUỘC HỌP CỦA Hiệp hội Khoa học Anh, J. Maxwell đã báo cáo về nghiên cứu của mình trong lĩnh vực lý thuyết động học phân tử của chất khí. Trong báo cáo này, lần đầu tiên định luật thống kê phân bố vận tốc phân tử được trình bày. Với công trình này, xác suất xuất hiện trong lý thuyết động học của chất khí và sự hình thành vật lý thống kê bắt đầu. Ở đây rất thích hợp để trích dẫn cuốn sách của L.D. Landau và E.M. Lifshitz “Vật lý tĩnh”: “Chủ đề của vật lý thống kê… là nghiên cứu về một loại định luật đặc biệt chi phối hành vi và tính chất của các vật thể vĩ mô, tức là các vật thể bao gồm một số lượng khổng lồ các hạt riêng lẻ - nguyên tử và phân tử… Thoạt nhìn, người ta có thể kết luận từ điều này rằng với sự gia tăng số lượng hạt thì độ phức tạp và phức tạp của các tính chất của một hệ cơ học sẽ tăng lên không thể tưởng tượng được và chúng ta không thể tìm thấy dấu vết của bất kỳ sự đều đặn nào trong hành vi của một hệ thống cơ học." Tuy nhiên, điều này không phải như vậy, và sau này chúng ta sẽ thấy rằng với một số lượng rất lớn các hạt, những khuôn mẫu đặc biệt mới sẽ xuất hiện. Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng chúng ta sẽ giới hạn việc nghiên cứu các hệ thống lý tưởng cổ điển đơn giản nhất. Chúng ta hãy thử tìm hiểu làm thế nào khi số lượng hạt cấu thành một hệ thống tăng lên thì một trật tự thống kê giới hạn sẽ xuất hiện trong đó như thế nào. Đương nhiên, ở đây sẽ không đẹp (nhưng một học sinh không thể hiểu được)

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210403

tuy nhiên, toán học chúng ta không thể làm được nếu không có những công thức thể hiện trật tự hỗn loạn. Máy tính sẽ trả lời các câu hỏi được đặt ra (tất nhiên, chúng tôi sẽ cung cấp cho nó chương trình thích hợp). Hãy bắt đầu bằng cách tinh chỉnh mô hình khí lý tưởng.

Mô hình khí lý tưởng Từ sách giáo khoa người ta biết rằng khí lý tưởng là một hệ gồm các điểm vật chất không tương tác. Nhưng trong mô hình như vậy không có yếu tố chính - không có khả năng xuất hiện hỗn loạn và theo đó, không có khả năng xuất hiện một trật tự xác suất. Rõ ràng là sự hỗn loạn trong một hệ kín (cô lập) gồm các hạt không tương tác chỉ có thể phát sinh do sự va chạm của chúng. Va chạm chỉ có thể xảy ra giữa các hạt có kích thước. Nếu chúng ta coi các phân tử khí là những quả bóng đàn hồi thì sẽ nảy sinh vấn đề về thể tích “loại trừ”. Khí gồm những quả cầu đặc không còn là khí lý tưởng nữa và trạng thái cân bằng của nó không còn tuân theo phương trình Clapeyron–Mendeleev nữa. Nhưng tình trạng này có thể được khắc phục bằng cách đề xuất một cơ chế va chạm ảo đặc biệt. Tại thời điểm xảy ra va chạm ảo, những thay đổi về tốc độ được xác định (được tính toán), nhưng những thay đổi này tạm thời bị “hoãn lại”. Các quả bóng tiếp tục chuyển động và chỉ tại thời điểm khoảng cách ngắn nhất giữa tâm của chúng thì sự thay đổi chậm về tốc độ mới “bật”.

Phân bố Maxwell và định luật phân bố đều Ở đây chúng ta không thể làm gì nếu không có khái niệm xác suất. Chúng ta hãy đi sâu vào lĩnh vực lý thuyết xác suất cơ bản. Các quá trình vật lý có thể mang tính quyết định hoặc ngẫu nhiên. Theo đó, các tham số (đại lượng vật lý) đặc trưng cho các quá trình này là xác định hoặc ngẫu nhiên. Bản chất của các quá trình và các tham số của chúng được xác định trong các phép đo lặp lại. Đối với các đại lượng xác định, các phép đo lặp lại cho kết quả nhất quán (trong phạm vi sai số đo). Đối với các biến ngẫu nhiên, các phép đo lặp lại sẽ dẫn đến một tập hợp (phổ) các giá trị. Xác suất là một đặc tính của quá trình ngẫu nhiên. “Toán học” của cô ấy dựa trên ý tưởng

33

THUỘC VẬT CHẤT

tọa độ hạt được tính bằng công thức $x_{i} x_{i}^{v} i$ dt, trong đó dt là khoảng thời gian rất ngắn. Khi các quả bóng chồng lên nhau, giai đoạn va chạm xảy ra. Vận tốc mới của các phân tử gặp phải được tính toán và chuyển động tiếp tục. Trong suốt quá trình thử nghiệm trên máy tính, thông tin cần thiết về trạng thái vật lý của hệ thống được thu thập. Trong trường hợp của chúng tôi, đây là số liệu thống kê về tốc độ và năng lượng của các phân tử. Hình 4 cho thấy phổ xác suất của vận tốc phân tử khí. Máy tính của chiếc xe này-

KHÔNG BẮT BUỘC

Hình 5

Hình 4

Teen có được cách này. Toàn bộ phạm vi tốc độ phân tử có thể được chia thành các ô nhỏ. Sau mỗi bước chuyển động, 1 được thêm vào các ô tương ứng (những ô có tốc độ phân tử giảm). Sau khi hoàn thành một thử nghiệm đủ dài, nội dung của các ô sẽ được chia cho số bước (số lần thử). Rõ ràng là bằng phép chia này, chúng ta xác định được xác suất tốc độ của các phân tử trong một khoảng thời gian nhất định. Đồ thị thu được chứng minh tính chất rời rạc của phổ vận tốc phân tử. Tổng cộng có 36 tiểu bang. Có thể nhận thấy rằng có sự đối xứng khá rõ ràng trong quang phổ. Và quan trọng nhất, phổ này phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Điều này được xác nhận bằng biểu đồ lặp lại của hệ thống với các điều kiện ban đầu khác nhau (Hình 5). Điều thú vị là số lượng trạng thái vẫn giữ nguyên, nhưng bức tranh về quang phổ thay đổi đáng kể. Và có một sự bằng nhau hoàn toàn bất ngờ (đối với một hệ nhỏ như vậy chỉ có 2 hạt) về năng lượng trung bình của các hạt nhẹ và hạt nặng. Trong hai lần triển khai, tỷ lệ năng lượng trung bình khá gần bằng 1 (0,988 và 1,139).

Hình 6

Khi số lượng hạt tăng lên 4 (hai cặp hạt, nhẹ - nặng), hàm xác suất thay đổi mạnh (Hình 6). Nó trở nên gần như liên tục. Số lượng trạng thái vượt quá 400 (số lượng ô tốc độ). Biểu đồ cho thấy tất cả các ô tốc độ đã được lấp đầy và độ chính xác của các phép tính không còn cho phép chúng tôi xác định được độ rời rạc nữa. Việc thay đổi trạng thái ban đầu trên thực tế không làm thay đổi phổ và do đó, khi số lượng hạt tăng thêm, người ta có thể chuyển sang các hàm mật độ xác suất. Để làm điều này, xác suất khoảng phải được chia cho kích thước của khoảng. Đồ thị trên Hình 7 thể hiện hàm mật độ xác suất của phép chiếu vận tốc cho 3 cặp hạt. Dấu chấm (chéo) – thí nghiệm trên máy tính, đường liên tục màu xanh tương ứng với hàm Maxwell lý thuyết cho trường hợp khí lý tưởng một chiều

$mv^{2}$

U v

m ˜ $e^{2} kT. 2 S kT$

34

KVAN T 2021/№4

Hình 7

Mô hình khí lý tưởng hai chiều Ở đây mọi thứ thú vị hơn nhiều. Các mô hình khí ở chiều thứ hai và thứ ba phải có phổ vận tốc liên tục (với số lượng hạt nhỏ sẽ không còn phổ rời rạc). Điều này được xác định bởi tính liên tục của tham số góc quyết định sự thay đổi vận tốc trong quá trình va chạm. Bây giờ chúng ta hãy xem phổ vận tốc thay đổi như thế nào khi số lượng hạt tăng lên. Hình 10 thể hiện đồ thị của 2 hạt. Một kết quả rất bất ngờ và đẹp mắt là hàm mật độ xác suất tuyến tính (đối với hệ gồm hai hạt, sự có mặt của tốc độ cực đại là có khả năng xảy ra cao nhất). Điều này rất xa với hàm Maxwell. Nhưng ngay khi một hạt được thêm vào, hệ thống sẽ bắt đầu “sửa” (Hình 11). Với sự tăng thêm về số lượng hạt, hệ thống sẽ “hội tụ” rất nhanh dọc theo phổ vận tốc đến hàm Maxwell (Hình 12 đối với 16 hạt). Ở đây rất thích hợp để cung cấp thêm thông tin (cho những người đam mê lập trình)

Hình 8

Hình 10

Hình 9

Biểu đồ cho thấy rằng đối với 3 cặp (6 hạt) đã có mối tương quan khá rõ ràng với hàm Maxwell. Biểu đồ sau (Hình 8) tương ứng với hệ thống gồm 10 cặp (20 hạt). Ở đây đường cong lý thuyết gần như trùng khớp với đường cong thực nghiệm; sự khác biệt chỉ có thể nhìn thấy được (dao động nhỏ) trong vùng vận tốc bằng không. Cuối cùng, đồ thị trong Hình 9 cho 50 cặp (100 hạt) minh họa rằng thí nghiệm và lý thuyết hoàn toàn phù hợp với nhau.

Hình 11

37

BÀI KIỂM TRA

A được thực hiện nếu trong quá trình quay các thanh bị lệch một góc D 45 q? Lấy gia tốc rơi tự do bằng g 10 m $с^{2}$ thì có thể bỏ qua kích thước của các tải trọng. 2. Hệ dao động gồm một tải trọng $массой^{m,} лежаще-_{Рис.} 4$ đặt trên mặt phẳng nằm ngang nhẵn, một khối nhẵn không trọng lượng, hai sợi dây không trọng lượng, không dãn và ba lò xo không trọng lượng $жесткостью_{1}^{k} 2 3$ N cm $,_{2}^{k} 1 2$ N cm $и_{3}^{k} 1$ N cm tương ứng được nối như hình 5. Trọng tâm của tải trọng nằm trên cùng một phương ngang với vật gắn vào sợi chỉ và trục lò xo $жесткостью_{1}^{k}$. Ở vị trí cân bằng, mọi lò xo đều bị dãn. Giả sử rằng các sợi dây luôn luôn giữ nguyên $натянутыми,^{Рис.} 5$, hãy xác định tần số tròn Z của các dao động điều hòa nhỏ của tải. 3. Một bình chứa đầy có thể tích $V_{0} 5$ l chứa $m_{0} 2,5$ kg propan hóa lỏng $( C_{3} H_{8} ).$ Nếu một phần propan thoát ra bên ngoài thì propan lỏng và hơi bão hòa của nó sẽ ở trạng thái cân bằng. Tìm khối lượng $m_{1}$ của propan ở trạng thái khí trong bình khi D (%) của propan chứa ban đầu thoát ra khỏi bình này, nếu nhiệt độ của propan được giữ không đổi và bằng t 17 q C. Áp suất hơi bão hòa của propan ở nhiệt độ này là p 0,8 MPa. Khối lượng mol của propan là 0,44 g mol, hằng số khí phổ R là 8,31 J mol K. 4. Hai hạt tích điện trái dấu nằm trên trục x của hệ tọa độ Descartes cách nhau l 3 cm (Hình 6). Trong khi giữ một hạt bất động, hạt thứ hai chuyển động theo hướng trục y một khoảng $l_{1} 4$ cm. Trong trường hợp này, $A_{1}$ công việc đã được thực hiện. Hình 6

NGUYÊN VẬT LIỆU

Cần phải thực hiện công việc gì $A_{2}$ để di chuyển hạt thứ hai một khoảng $l_{2} 2$ cm theo hướng của trục x? 5. Có một tấm gương phẳng ở đáy ngang của bể cá. Một người cúi xuống nhìn thẳng xuống nước thì thấy ảnh của mắt mình trong gương cách gương 150 cm. Xác định độ dày của lớp nước H trong bể cá nếu mắt ở cách mặt nước h 10 cm. Coi chiết suất của nước bằng n 4 3. Xin lưu ý rằng đối với các giá trị nhỏ của đối số M, tính bằng radian, chúng ta có thể giả sử tan M | tội lỗi M | M.

Giai đoạn cuối

Giai đoạn cuối cùng của Olympic được tổ chức vào ngày 25–27 tháng 2 năm 2021 theo hình thức từ xa trên cổng https: Exam.distant.msu.ru. Để tham gia vào giai đoạn này, một số yêu cầu kỹ thuật nhất định đã được áp đặt tại nơi làm việc của đối tượng thử nghiệm (bạn có thể tìm thấy những yêu cầu này trên trang web Olympiad). Bài tập dành cho học sinh lớp 7–9 bao gồm bốn bài toán về các chủ đề được nghiên cứu như một phần của chương trình vật lý ở trường trung học cơ sở. Các nhiệm vụ dành cho học sinh lớp 10–11 được biên soạn đầy đủ theo Bộ mã hóa kỳ thi thống nhất quốc gia năm 2021 về Vật lý và bao gồm các phần chính của Bộ mã hóa, cụ thể là: 1) cơ học, 2) vật lý phân tử và nhiệt động lực học, 3) điện động lực học và 4) quang học. Bài tập điển hình bao gồm bốn phần khác nhau, bao gồm bài toán và các câu hỏi tiếp theo về lý thuyết. 4 giờ thiên văn (240 phút) được phân bổ để hoàn thành nhiệm vụ cho tất cả các lớp.

Lớp 7–9 1. Trong khi thực hiện bài tập vật lý trong phòng thí nghiệm, một học sinh đã sử dụng ba lò xo, độ cứng của hai trong số đó lần lượt là $равными_{1}^{k} 10$ N m $и_{2}^{k} 20$ N m, và độ cứng của lò xo thứ ba thì chưa biết. Theo gợi ý của giáo viên, học sinh nối cả ba lò xo nối tiếp và kéo căng lò xo tổng hợp thu được, tác dụng lên mỗi đầu tự do của nó một lực F 1 N (Hình 7). Bằng cách đo độ giãn dài tổng cộng’ l co-