Kvant 2021, số 8 · Trang

15

NHÂN VIÊN VẤN ĐỀ

số em, số đống giảm đi 1), bé trai sẽ lấy đống bên phải, bé gái sẽ lấy đống bên trái, v.v. Kết quả là các bé trai sẽ lấy tất cả các cọc bên phải với số lượng bằng số bé trai, điều này không phụ thuộc vào thứ tự của các bé trong hàng đợi. M. Didin

M2652. 100 khách du lịch đã đến khách sạn vào ban đêm. Họ biết khách sạn có phòng đơn 1, 2, …, n, trong đó k đang sửa chữa (nhưng không biết phòng nào), còn lại miễn phí. Khách du lịch có thể thỏa thuận trước về hành động của mình, sau đó thay phiên nhau nhận phòng: mọi người kiểm tra phòng theo thứ tự bất kỳ, tìm phòng trống đầu tiên chưa được cải tạo và ở đó qua đêm. Nhưng khách du lịch không muốn làm phiền nhau: bạn không thể kiểm tra phòng mà ai đó đã nhận phòng. Với mỗi k, hãy chỉ ra n nhỏ nhất mà tại đó khách du lịch được đảm bảo có thể nhận phòng mà không làm phiền nhau.

Đáp số: n 100 m 1 với k 2 m và n 100 m 1 1 với k 2 m 1. Đặt k 2 m hoặc k 2 m 1. Thuật toán. Cho k chẵn. Chúng ta hãy nhẩm chia các số thành 100 phần của m 1 số. Để khách du lịch thứ i kiểm tra tất cả các số của phần thứ i trước tiên, di chuyển từ trái sang phải, sau đó kiểm tra các số của phần thứ i thứ 1, nhưng từ phải sang trái (nếu tôi 100 thì kiểm tra phần thứ 1). Trong trường hợp này, sẽ không có hai khách du lịch nào ở cùng một phòng, vì tổng cộng chỉ có k 2 phòng trong hai khu của họ. Trường hợp k lẻ ta chia các số thành 100 phần của m 1 số và khai báo số cuối cùng là số dự phòng. Để du khách thứ i kiểm tra tất cả các số của phần thứ i trước, di chuyển từ trái sang phải, sau đó đến số dự phòng, sau đó kiểm tra các số của phần thứ i, nhưng từ phải sang trái. Một lần nữa, sẽ không có hai khách du lịch nào ở cùng một phòng, vì chỉ có k 2 số hợp giữa hai phần của họ và số dự phòng, và hai khách du lịch cũng sẽ không gặp nhau ở số dự phòng (họ chỉ có thể kết thúc bằng

“QUANTA”

sau khi tham quan 2 m 1! k phòng đang được cải tạo là một mâu thuẫn). Cấp. Để mỗi 100 du khách được đảm bảo nhận phòng chưa được cải tạo, ngay từ đầu anh ta phải lập danh sách k 1 phòng khác nhau mà mình sẽ vào. Chúng ta có thể giả định rằng danh sách không thay đổi khi những khách du lịch khác chuyển đến (vì chúng ta sẽ không tìm hiểu bất kỳ thông tin nào về họ). Hãy để chúng tôi đánh dấu m 1 số đầu tiên trong danh sách của mỗi khách du lịch. Tất cả các phòng có diện tích 100 m 1 được gạch chân này đều khác nhau. Thật vậy, nếu các số được gạch chân trùng nhau, hai khách du lịch sẽ gặp trường hợp thuật toán không hoạt động - nếu tất cả các số trong danh sách của họ trước số trùng khớp (và không có nhiều hơn m m 2 m k các số như vậy) đang được sửa chữa. Do đó, n t 100 m 1. Với k chẵn, ước tính này là đủ. Trong trường hợp k lẻ, chúng tôi sẽ thực hiện gần như tương tự - chúng tôi sẽ gạch chân m 1 số đầu tiên trong danh sách của mỗi khách du lịch và ngoài ra, đối với một trong những khách du lịch, chúng tôi sẽ gạch chân m số thứ 2 trong danh sách của anh ta. Ta khẳng định rằng tất cả 100 m 1 1 số được gạch chân đều khác nhau. Thật vậy, nếu các số được gạch chân trùng khớp giữa hai khách du lịch, thì có trường hợp thuật toán sẽ không hoạt động - nếu tất cả các số trong danh sách của họ trước số trùng khớp (không có nhiều hơn m 1 m k các số như vậy) đang được sửa chữa. Do đó, n t 100 m 1 1. F. Ivlev

M2653*. Cho p và q là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Con ếch nhảy dọc theo trục số, bắt đầu từ điểm 0. Mỗi lần nó nhảy p sang phải hoặc q sang trái. Một ngày nọ, con ếch trở về 0. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên d p q đều có hai số mà con ếch ghé thăm khác nhau chính xác bởi d.

Trường hợp p q 1 là hiển nhiên. Cho p và q khác nhau và cho p q. Khi con ếch trở về 0 thì tổng chuyển động của nó về bên phải bằng tổng chuyển động của nó

22

KVAN T 2021/Số 8

Quy mô bí ẩn, hoặc một cuộc điều tra nhỏ

S. DVORYANINOV

NÓI CHO TÔI, BẠN ĐÃ NHÌN VÀO GÓC NHÀ CỦA BẠN ĐÃ LÂU KHÔNG? Nhưng căn gác mái lại là nơi bắt đầu cuộc phiêu lưu của nhiều anh hùng văn học. Chúng ta hãy nhớ lại những dòng trong câu chuyện “Timur và đội của anh ấy” của A. Gaidar: “Zhenya đi vòng quanh nhà kho… Cô ấy kéo một cái thang mục nát đến cửa sổ rồi trèo lên, nhảy lên sàn gác mái. Rất kỳ lạ! Căn gác mái này có người ở. Trên tường treo những cuộn dây, một chiếc đèn lồng, hai lá cờ hiệu chéo nhau và một bản đồ làng, tất cả đều phủ đầy những biển báo khó hiểu… Gần mái nhà rêu phong đục lỗ nhô ra một bánh xe lớn trông giống như vô lăng. Ở đó là một chiếc điện thoại tự chế treo phía trên bánh xe.” Cậu bé Leshka, nhân vật chính trong cuốn sách “Con trai của người khổng lồ” của S. Alekseev, sống trên gác mái ngay đầu câu chuyện: “Khi Leshka đẩy cánh cửa gác mái, nó không nhúc nhích. Cửa đã bị khóa.” Đôi khi bạn không muốn vứt bỏ một thứ cũ - nếu nó có ích trở lại thì sao? Và hóa ra nó ở trên gác mái hoặc ở góc xa của phòng đựng thức ăn hoặc nhà kho. Và ngay cả chủ sở hữu sau đó cũng quên mất nó ở đâu và nằm ở đâu. Và căn gác biến thành bảo tàng đồ cổ. Vì vậy, gần đây tác giả đã bắt gặp một điều cũ (Hình 1). Rõ ràng đây là một bãi thép - một chiếc cân lò xo. Theo Wikipedia, từ này được mượn từ các ngôn ngữ Turkic, trong đó vesne có nghĩa là “vảy”. Chiếc vesne của người Thổ Nhĩ Kỳ nhận được âm thanh “bezel” dưới ảnh hưởng của từ nguyên dân gian: trong ý thức phổ biến, nó được hiểu là bãi thép – “không thay đổi”

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210803

Hình 1

“. Trong cơ học, một thiết bị đo như vậy được gọi là lực kế. Chúng ta hãy chú ý đến hai cái cân của sân thép. Chúng ta hãy tìm hiểu xem đơn vị khối lượng tương ứng của chúng có liên quan như thế nào. Bên phải là khối lượng tính bằng kilôgam, đối với thang đo bên trái, chúng ta sẽ gọi đơn vị khối lượng là một pound. Lúc đầu, có vẻ như 2 pound 1 kg, 1 pound = 0,5 kg. Khi bạn di chuyển xuống thang đo, tỷ lệ này thay đổi: 6 lbs | 3,25 kg, 1 lb | 0,542kg,

7 bảng Anh | 3,75 kg, 1 lb | 0,536kg,

10 bảng | 5,5 kg, 1 lb | 0,550kg,

12 bảng | 6,5 kg, 1 lb | 0,542kg,

13 bảng | 7kg, 1lb | 0,538kg,

TRƯỜNG KVANT

“Đừng quên đồng hồ!”

S. PARNOVSKY

Đây là những gì nhà thơ Andrei Voznesensky, ca sĩ Maxim Leonidov và nhà hát hề Litsedei nói trong bộ phim cũ Làm thế nào để trở thành một ngôi sao. Sẽ tệ thế nào nếu bạn quên? Hãy hỏi các nhà khoa học. Giờ đây, cuộc sống của chúng ta chỉ đơn giản là tràn ngập thông tin về chính xác chúng ta đang ở đâu trong dòng thời gian. Bằng cách bật điện thoại thông minh hoặc máy tính, chúng ta sẽ biết ngay thời gian chính xác và mỗi phút đồng hồ sẽ thay đổi số đọc, được đồng bộ hóa với tín hiệu thời gian chính xác, với dữ liệu từ vệ tinh dẫn đường, với các tiêu chuẩn… Nói tóm lại, với một chiếc đồng hồ đặc biệt chính xác. Các nhà khoa học Nhật Bản đã so sánh tiến độ của các máy đo siêu thời gian tương tự ở chân và trên đỉnh tháp truyền hình Tokyo và một lần nữa xác nhận dự đoán của Albert Einstein rằng tốc độ dòng thời gian của những chiếc đồng hồ này là $различаются.^{1}$ Ở phía trên, thời gian trôi nhanh hơn một chút. Nhưng đã có lúc không ai đếm được từng phút chứ đừng nói đến nano giây. Không có gì và nói chung là không có gì đặc biệt cả. Chúng ta hãy nhớ lại câu nói cổ điển: “Khi D’Artagnan đến gần khu đất trống gần tu viện thì đã đến buổi trưa. Athos đợi ông ta chỉ có năm phút - do đó, D’Artagnan chính xác hoàn hảo và người phán xét nghiêm khắc nhất về luật đấu tay đôi sẽ không có lý do gì để chê trách ông ta.” Và ai không còn hài lòng với “độ chính xác hoàn hảo” với

1 Một nhóm các nhà khoa học do Giáo sư Đại học Tokyo Hidetoshi Katori dẫn đầu vào năm 2020 đã so sánh tiến trình của đồng hồ nguyên tử nhỏ gọn siêu chính xác đặt dưới chân tháp truyền hình Sky Tree và trên đài quan sát ở độ cao 450 mét. Đồng hồ ở độ cao đang chạy nhanh hơn khoảng năm trăm nghìn tỷ so với đồng hồ bên dưới. Trong suốt một ngày, chúng chạy về phía trước khoảng 4,3 nano giây. Trong suốt một năm, sự khác biệt sẽ là 1,6 micro giây.

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20210804

một lỗi kéo dài năm phút trước khi nữ diễn viên Lyudmila Gurchenko hát bài hát cùng tên trong bộ phim “Carnival Night”? Đây là những nhà thiên văn học và hoa tiêu. Họ đã ghi lại thời gian xảy ra nhiều sự kiện thiên văn khác nhau, từ bình minh hoặc hoàng hôn tầm thường đến nhật thực trên Trái đất hoặc trên các vệ tinh của Sao Mộc. Và điều này bắt đầu từ thời rất xa xưa $времена.^{2}$ Những người thủy quân lục chiến đã sử dụng các quan sát thiên văn để xác định vị trí con tàu của họ, tức là để điều hướng. Để xác định kinh độ, họ cũng phải có một chiếc đồng hồ bấm giờ đáng tin cậy, được đặt theo thời gian của một số điểm tham chiếu, chẳng hạn như Đài thiên văn Greenwich gần London. Chỉ để có thứ gì đó để so sánh với giờ địa phương được xác định từ các quan sát thiên văn.

2 Về cái gọi là cơ chế Antikythera, một thứ giống như nguyên mẫu cổ xưa của một chiếc máy tính nguyên thủy để dự đoán các sự kiện thiên văn, được viết trong cuốn sách tuyệt vời của Jo Merchant, “Cơ chế Antikythera. Phát minh bí ẩn nhất thời Cổ đại.”

26

KVAN T 2021/Số 8

Tôi. Kinh độ có thể thu được từ những dữ liệu này như thế nào đã được giải thích một cách hoàn hảo, chẳng hạn như trong cuốn sách “Đảo bí ẩn” của Jules Verne. Giả sử đồng hồ bấm giờ của con tàu lệch đi 5 phút. Khi đó kinh độ sẽ được xác định với sai số 5 15 s. Đối với một con tàu đi gần xích đạo, khoảng cách này tương ứng với 75 hải lý, khoảng 140 km. Chúng ta sẽ không đi đến một đại dương khác, nhưng chúng ta sẽ bỏ lỡ một hòn đảo nhỏ với kho báu của cướp biển. Có, và bạn có thể mắc cạn trên các rạn san hô hoặc mắc cạn. 15 c đến từ đâu trong phép tính? Trong 24 giờ Trái đất thực hiện một vòng, tức là quay 360q. Sau đó trong một giờ nó sẽ quay 15q, hay 15 c mỗi phút. Trên thực tế, một con tàu lý tưởng nhất phải có ít nhất ba đồng hồ bấm giờ. Tại sao? Hãy thử đoán cho chính mình. Nếu bạn không muốn thì hãy xem $примечание.^{3}$ Hiện tại có nhiều phương tiện đáng tin cậy hơn để tìm ra vị trí của bạn trên hành tinh của chúng ta. Nhưng một tiêu chuẩn thời gian chính xác cũng sẽ hữu ích trong không gian trên vệ tinh. Do đó, hai vệ tinh của Mỹ, được gọi là Gravity Probe, đã sử dụng nó để kiểm tra thuyết tương đối rộng (GTR), và Radioastron của Nga, kết hợp với các ăng-ten trên mặt đất, đã sử dụng nó để tạo thành một giao thoa kế vô tuyến không gian với độ phân giải chưa từng có lên đến một phần triệu giây cung. Vào thời cổ đại, những chiếc đồng hồ tự do và đáng tin cậy nhất dựa trên chuyển động của Mặt trời và các ngôi sao trên bầu trời, tức là có biểu hiện rõ ràng về chuyển động quay của Trái đất. Ngay cả khi bầu trời đôi khi bị mây che phủ, vẫn không có hiện tượng định kỳ nào, chẳng hạn như tiếng gà gáy hay việc người chèo thuyền muốn uống nước, có thể cạnh tranh với một chiếc đồng hồ như vậy về độ chính xác trong việc xác định thời gian. Và nếu không có gần đó, chẳng hạn như mạch nước phun thông thường có khoảng thời gian không đổi giữa các lần phun tia, thì bạn có thể sắp xếp thứ gì đó có chu kỳ không đổi hoặc thay đổi ở tốc độ gần như không đổi. Chúng ta biết đồng hồ nước, nến và đèn dùng để đo thời gian. Nhưng không có phương pháp nào trong số này thậm chí có thể so sánh từ xa về độ chính xác với hầu hết các phương pháp

3

Nếu có hai chiếc đồng hồ bấm giờ trên một con tàu và số đọc của chúng khác nhau thì không rõ chiếc nào đang nói dối. Nếu có ba trong số chúng, thì hai trong số chúng sẽ hiển thị gần như cùng một lúc.

đồng hồ cơ nguyên thủy có con lắc. Và từ khóa ở đây là “với một con lắc”. Chỉ một chiếc đồng hồ cơ mới có thể có độ chính xác tốt, nhưng nó đã được cải thiện đáng kể sau khi cơ chế neo (hay còn gọi là bộ thoát) nguyên thủy đầu tiên được phát minh ở châu Âu vào thế kỷ 13, cơ chế này đảm bảo tốc độ trung bình không đổi một cách đáng tin cậy hơn. Sau đó, Galileo Galilei, mười chín tuổi, vào năm 1583, khi đang phục vụ tại Nhà thờ Pisa, đã nhận thấy sự đung đưa của một chiếc đèn chùm. Sử dụng xung của chính mình làm thiết bị đo thời gian, ông phát hiện ra rằng chu kỳ dao động của con lắc gần như không phụ thuộc vào biên độ của những dao động này. Áp dụng kiến ​​thức mới vào thực tiễn, nhà khoa học nổi tiếng Christiaan Huygens đã cải tiến đồng hồ - năm 1657, ông nhận được bằng sáng chế của Hà Lan cho thiết kế đồng hồ quả lắc. Hơn nữa, chiếc đồng hồ thực sự đã hoạt động và cung cấp độ chính xác tuyệt vời vào thời điểm đó. Điều này đã mở đường cho việc sản xuất và sử dụng hàng loạt chúng. Lưu ý rằng Huygens không tự giới hạn mình vào một con lắc trong đó một điểm chuyển động quanh một đường tròn. Có một đường cong mô tả mặt cắt của một vết lõm trong đó chu kỳ dao động của một điểm vật chất không phụ thuộc bất kỳ cách nào vào biên độ. Nó được gọi là cycloid, và vì tính chất này, nó nhận được biệt danh bổ sung là “tautochrone” - từ từ “bằng thời gian” được dịch sang tiếng Hy Lạp. Cái tên “cycloid” được phát minh bởi Galileo (ở Pháp, đường cong này lần đầu tiên được gọi là roulette). Huygens không chỉ thiết lập tính đồng thời của cycloid mà còn tìm ra cách làm cho một tải treo trên một sợi dây dao động dọc theo cycloid. Ông đã viết về điều này và nhiều hơn nữa trong cuốn sách “Đồng hồ quả lắc” (chính xác hơn là “Horologium oscillatorium, sive de motu pendulorum an horologia aptato demoes hình học”, những tựa sách ngắn lúc đó không còn là mốt), xuất bản năm 1673. Chúng ta có thể tiếp tục về cách đồng hồ dần dần được cải tiến, đảm bảo rằng số liệu của chúng đáng tin cậy và không chịu ảnh hưởng từ bên ngoài. Chỉ cần đề cập rằng một chiếc đồng hồ bấm giờ hàng hải chính xác và đáng tin cậy chỉ được phát minh ở Vương quốc Anh vào năm 1735.

Chỉ cần quan sát kích thước và thêm nửa inch để tăng sức mạnh. Quy tắc ngón tay cái dành cho người đóng tàu

Nếu toán học là nghệ thuật tránh tính toán thì vật lý lý thuyết là nghệ thuật tính toán không có toán học. Arkady Migdal

Chúng ta cần các phép tính toán học để so sánh kết quả của việc áp dụng ý tưởng với các phép đo đại lượng mà chúng ta sử dụng trong các thí nghiệm của mình. James Thư Ký Maxwell

…theo nghĩa chính xác, bất kỳ sơ đồ lý thuyết nào cũng nhất thiết phải được đưa đến một con số, ít nhất phải có khả năng như vậy. Boris Bolotovsky

Đừng bao giờ bắt đầu tính toán cho đến khi bạn biết đáp số. Trước mỗi phép tính đều có ước tính… John Archibald Wheeler

P.L. Kapitsa đã cho chúng ta thấy… toàn bộ sức mạnh của phương pháp ước tính bậc độ lớn, dựa trên lẽ thường và những cân nhắc vật lý đơn giản… Nikolai Karlov

?

Bạn có quen với việc tính toán và ước tính không?

Nếu trạng thái vật lý bài toán chứa dữ liệu số, vui lòng mang lời giải đến một số! Và để làm được điều này, bạn sẽ phải lục lọi kỹ lưỡng kho vũ khí toán học của mình, vì bạn có thể cần khả năng hoạt động với các phân số thông thường và thập phân, tỷ lệ phần trăm, tỷ lệ, căn bậc hai và trí tuệ tính toán có vẻ đơn giản khác. Sau đó, bạn cần nhớ số đáp số nên được biểu thị theo đơn vị nào và kiểm tra tính hợp lý của nó. Đừng giao phó tất cả các hành động như vậy cho một máy tính, bởi vì việc tự mình mày mò các phép tính không phải là một gánh nặng quá mức. Thường thì công việc này thậm chí còn cho phép bạn tìm ra một lời giải “nói chung” hợp lý hoặc gợi ý một cách mới, mang tính cá nhân để vượt qua khu rừng số học. Nếu bạn quá ham mê và hoàn thành tốt các nhiệm vụ đánh giá thì bạn sẽ không phải trả giá gì và điều này chắc chắn sẽ ảnh hưởng đến thành tích học tập và Olympic của bạn. Hãy thử sức mạnh tính toán của bạn trên một số ví dụ mà chúng tôi hy vọng bạn có thể tiếp cận được.

Câu hỏi và bài toán

1. Tại kỳ thi tuyển sinh vào trường sau đại học, Viện sĩ Landau yêu cầu thí sinh tiếp tục dãy các chữ cái “p”, “d”, “t”, “ch”, “p”… Nó có nghĩa là gì? 2. Trạm vũ trụ quốc tế bay ở độ cao 300 km so với bề mặt Trái đất. Có đủ khối lập phương có thể tích $1 мм^{3}$ chứa trong $1 м^{3}$ để xây dựng một tòa tháp có chiều cao này không? 3. Bạn có thể ước tính khoảng cách mà sét đánh vào bạn không? 4. Một kim thứ ba được gắn vào trục của một chiếc đồng hồ đang chạy chính xác, tại mỗi thời điểm kim đồng hồ này chia đôi góc giữa kim giờ và kim phút. Hỏi kim giây thứ ba sẽ quay được bao nhiêu vòng trong một ngày nếu cả ba kim đều trùng nhau vào lúc nửa đêm? 5. Ước tính độ dài tối thiểu cho phép của một ngày đối với một hành tinh có khối lượng M và bán kính R. 6. Bạn ước tính áp lực của bút bi lên giấy khi viết như thế nào? 7. Bạn có biết Archimedes đã nảy ra ý tưởng “cân” số S như thế nào không?

Thế Vận Hội

Olympic Toán quốc tế LXII

Vào tháng 7, cuộc thi toán học chính dành cho học sinh trong năm đã diễn ra - Olympic Toán học quốc tế dành cho học sinh. Do đại dịch đang diễn ra, giống như năm ngoái, Olympic được tổ chức riêng tại hơn 140 trung tâm khảo thí đặc biệt được trang bị camera giám sát, trong đó hai vòng thi Olympic được tổ chức vào ngày 19 và 20 tháng 7. Như năm 2020, quốc gia tổ chức IMO là Nga, ban tổ chức trung tâm của Olympic làm việc tại St. Petersburg trên cơ sở Đại học Sư phạm Nhà nước Nga mang tên. A.I. Herzen. 619 nhà toán học trẻ từ 107 quốc gia đã tham gia Olympic. Đất nước chúng ta được đại diện tại Olympic bởi: Ivan Bakharev (St. Petersburg, lớp 10), Aidar Ibragimov (Kazan/Moscow, lớp 11), Matvey Isupov (Izhevsk, lớp 11), Andrey Shevtsov (Moscow, lớp 11), Danil Sibga-

Tullin (Kazan Moscow, lớp 11), Maxim Turevsky (St. Petersburg, lớp 10). Kết quả của đội Nga khẳng định trình độ học vấn và rèn luyện cao của đội: các chàng trai của chúng ta đã giành được 5 huy chương vàng, 1 huy chương bạc và đứng thứ hai ở nội dung đồng đội. Vị trí đầu tiên thuộc về đội tuyển Trung Quốc. Bảng hiển thị kết quả của những người tham gia của chúng tôi theo nhiệm vụ. Chúng ta hãy ghi nhận màn trình diễn thành công của Maxim Turevsky, người đứng thứ hai tuyệt đối trong bảng xếp hạng cá nhân chung. Thông tin chi tiết và số liệu thống kê về kết quả IMO được trình bày trên trang web chính thức http: imo-official.com của Olympic.

38

KVAN T 2021/Số 8

chuyến du lịch. Hướng dẫn phương pháp / ed. A.V. Chudnovsky - M.-Yakutsk, 2021. Dưới đây là bài toán lý thuyết cho giải đấu cấp cao và danh sách những người chiến thắng Olympic.

Olympic quốc tế XXVIII dành cho học sinh “Tuymaada”

Vật lý

Vào tháng 7 năm nay, Olympic quốc tế XXVIII “Tuymaada” về vật lý, toán học, khoa học máy tính và hóa học đã được tổ chức tại Yakutsk. Một đặc điểm của Olympic năm nay là hình thức thi đấu toàn thời gian từ xa (không có vòng thử nghiệm thông thường): học sinh từ Yakutsk tham gia trực tiếp và từ các khu vực và quốc gia khác - từ xa. Những người tham gia Olympic Vật lý, như thường lệ, thi đấu ở hai giải: cấp cao và cấp trung học (ban giám khảo phân chia người tham gia vào các giải đấu tùy theo độ tuổi và lớp học). Theo chương trình Olympic Vật lý, người tham gia có thể được cung cấp bài toán về bất kỳ chủ đề nào có trong chương trình giảng dạy chuyên sâu ở trường (trong giải cấp cơ sở - ngoại trừ các chủ đề liên quan đến các lớp tốt nghiệp và dự bị tốt nghiệp). Các tác giả của bài toán gốc (cả lý thuyết và thử nghiệm) có thể gửi chúng đến ủy ban phương pháp luận (achudn@mail.ru) - bài toán tốt nhất sẽ được đưa vào bộ cuối cùng và sẽ được xuất bản trên các tạp chí giáo dục. Bài viết được biên soạn trên cơ sở sổ tay phương pháp luận: A.V. Chudnovsky, R.E. Avanesyan, A.B. Akimov, A.I. Bychkov, S.D. Varlamov, M.M. Ermilov, S.I. Koshoridze, S.P. Kryukov. Olympic quốc tế XXVIII “Tuymaada”. Vật lý. lý thuyết

Chuyến tham quan lý thuyết

Giải đấu cấp cao

Bài toán 1. Mèo nhảy 1) Mèo muốn nhảy từ kệ này sang kệ khác rồi quay lại. Tốc độ ban đầu tối thiểu $v_{1}$ và $v_{2}$ của con mèo đã được xác định để nó có thể thực hiện những bước nhảy này. Tìm mô-đun chênh lệch chiều cao H và khoảng cách R giữa các kệ. 2) Một con mèo có khối lượng m nhảy lên kệ $A_{1}, A_{2},..., A_{n}$ theo thứ tự đã chỉ định $( A_{1} o A_{2} o$ … $o A_{n} ),$ dừng lại sau mỗi lần nhảy. Độ cao chênh lệch giữa kệ cuối cùng và kệ đầu tiên là ’ H, và chiều dài của đường đứt nét $A_{1} A_{2}$ … $A_{n}$ là L. Con mèo cần bao nhiêu năng lượng tối thiểu cho toàn bộ chuỗi lần nhảy? Hãy xem xét rằng khi nhảy, hiệu suất của con mèo là 100% và khi hạ cánh nó không tiêu tốn bất kỳ năng lượng nào. Coi con mèo và tất cả các kệ là điểm vật chất, không tính đến lực cản của không khí, đã biết gia tốc rơi tự do g. M. Ermilov

Bài toán 2. Đòn bẩy trên một đòn bẩy Trên mặt phẳng nằm ngang có một khối lập phương trên đó đặt một đòn bẩy không trọng lượng, trên đó có hai khối lập phương không trọng lượng, trên đó đặt các đòn bẩy không trọng lượng, ở hai đầu của chúng có gắn các vật nặng nhỏ có khối lượng M, $m_{1}, m_{2}$ và m (Hình 1). Cả ba đòn bẩy đều nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng, song song với một cặp mặt của mỗi khối và trùng với mặt phẳng hình vẽ. Đếm chiều dài theo hình vẽ

40

KVAN T 2021/Số 8

a là các hằng số và sự khác biệt giữa đặc tính dòng điện-điện áp này và tỷ lệ thuận chỉ liên quan đến sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ. Đèn được nối với nguồn điện áp xoay chiều $U U_{0}$ sin Z t có biên độ $U_{0} 115 B$ và tần số tuần hoàn Z lớn đến mức có thể bỏ qua sự thay đổi nhiệt độ của dây tóc đèn trong một khoảng thời gian dao động điện áp. Tìm tỉ số giữa biên độ dao động của dòng điện trong vài chu kỳ đầu với biên độ dao động của dòng điện sau một thời gian dài. Đối với đáp số, hãy nhập giá trị mong muốn, làm tròn đến ba chữ số thập phân. A. Chudnovsky

Bài toán 8. Gương Trái đất Vào thời điểm ban đầu, ISS (trạm vũ trụ quốc tế), bay theo quỹ đạo tròn quanh Trái đất ở độ cao H 400 km so với bề mặt của nó, vượt qua đoạn nối giữa tâm Trái đất và Mặt trời, và ngay bên dưới ISS, các phi hành gia có thể quan sát qua bầu trời quang đãng hoàn toàn yên tĩnh trên một khu vực rộng lớn của Thái Bình Dương. Sau bao lâu thì ảnh của Mặt trời trong đại dương sẽ đến gần ISS với vận tốc 0,4 km/s? Tại thời điểm này, hình ảnh sẽ ở khoảng cách bao nhiêu L so với ISS? Coi Trái đất là một quả cầu có bán kính R 6400 km, gia tốc rơi tự do trên bề mặt Trái đất là g 10 m $с^{2}$. S. Varlamov

người chiến thắng Olympic

giải đấu nhỏ

Egor Potapov, Nga - bằng cấp 1, Alexandru Strambei, Romania - bằng cấp 2, Akezhan Shahabdin, Kazakhstan - bằng cấp 2, Maxim Naumov, Nga - bằng cấp 2, Nikita Stefanov, Nga - bằng cấp 2, Erdaulet Nakhip, Kazakhstan - bằng cấp 3, Amirgali Malikov, Kazakhstan - bằng cấp 3, Arthur Nikolaenko, Kazakhstan - bằng cấp 3,

Yaroslav Shastin, Nga – bằng cấp III, Arsenii Samoilenko, Kazakhstan – bằng cấp III, Stepan Efimov, Nga – bằng cấp III và giải đặc biệt, Andrey Khritov, Nga – bằng cấp III, Danil Eliseev, Nga – bằng cấp III và giải đặc biệt, Alina Mochalova, Nga – bằng cấp III.

Giải đấu cấp cao

Vladimir Lim, Kazakhstan - bằng cấp 1, Ivan Pyltsin, Nga - bằng cấp 1, Daniil Shatokhin, Kazakhstan - bằng cấp 2, Svyatoslav Krasin, Nga - bằng cấp 2, Kirill Chivetyev, Nga - bằng cấp 2, Stanislav Novikov, Nga - bằng cấp 2 và giải đặc biệt, Nurdaulet Nazarbay, Kazakhstan - bằng cấp 2, Alisher Yerkebayev, Kazakhstan - bằng cấp 3 bằng tốt nghiệp, Kirill Lavygin, Nga – bằng tốt nghiệp cấp III, Mikhail Dyachkovsky, Nga – bằng tốt nghiệp cấp III và giải đặc biệt, Yavor Miroslavov Yordanov, Bulgaria – bằng tốt nghiệp cấp III, Horia Mercan, Romania – bằng tốt nghiệp cấp III. Ấn phẩm được biên soạn bởi A. Chudnovsky, Y. Grigoriev

VẬT LIỆU KIỂM TRA

Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt”

Trong nhiều năm, Đại học Nghiên cứu Quốc gia “Miệt” đã tổ chức các kỳ thi Olympic về toán, vật lý và khoa học máy tính cho học sinh trung học, vốn rất được học sinh cả nước yêu thích. Từ năm 2015, Olympic RHYTHM MIET dành cho học sinh được tổ chức theo hình thức tương ứng (khoảng cách). Hàng năm có hơn 2.000 người tham gia 9 phần thi Olympic. Năm 2018, trường đã tổ chức Olympic Vật lý và Toán học toàn thời gian MIET, diễn ra ở hàng chục thành phố ở Nga và các nước CIS. Từ năm 2019, Olympic Nanoworld điện tử dành cho học sinh cũng được tổ chức. Dưới đây là bài toán về vật lý của giai đoạn cuối của Olympic “RITHM MIET”, các lựa chọn cho Olympic Vật lý và Toán học MIET và bài toán Olympic “Thế giới nano điện tử” được chọn.

Olympic Internet “Nhịp điệu Miệt”

Giai đoạn cuối

1. Tại thời điểm tàu ​​khởi hành với gia tốc 1 m $с^{2}$, hành khách cách cửa toa xe đang mở một khoảng r 15 m và cách cửa toa 10 m (Hình 1). Từ cái gì

Hình 1

tốc độ tối thiểu và hành khách nên chạy theo hướng nào để nhảy lên xe của mình? 2. Trục của hình trụ rỗng nằm ngang. Một vòng đệm nhỏ được đặt bên trong xi lanh ở điểm thấp nhất. Xi lanh bắt đầu quay quanh trục của nó sao cho tốc độ của vòng đệm trước khi nó bắt đầu trượt tăng lên.

phát triển theo thời gian theo quy luật tuyến tính v at, trong đó a 1 m $с^{2}$. Vòng đệm bắt đầu trượt vào thời điểm xi lanh quay một góc M S 6 so với vị trí ban đầu của nó. Xác định hệ số ma sát giữa xi lanh và vòng đệm. Gia tốc rơi tự do g 10 m $с^{2}. 3.$ Trong một bình hình trụ cách nhiệt có thể tích $V_{0} 1$ l dưới pít-tông có một lò sưởi điện nhỏ và một lượng khí lý tưởng đơn nguyên tử ở áp suất $p_{0} 100$ kPa. Pít-tông bắt đầu chuyển động với tốc độ không đổi, đồng thời bật lò sưởi điện và điều chỉnh công suất của nó sao cho áp suất trong bình thay đổi tỷ lệ với thể tích khí. Xác định công suất làm nóng tối thiểu và tối đa khi thể tích khí tăng gấp 2 lần trong thời gian $t_{0} 400$ s. 4. Trạng thái của khí lý tưởng hai nguyên tử thay đổi theo chu trình Carnot. Thể tích khí tối thiểu trong chu trình V là 1 l, áp suất p tối đa là 200 kPa. Trong quá trình giãn nở đoạn nhiệt, khí thực hiện công A 150 J trong mỗi chu kỳ. Xác định hiệu suất của chu trình. 5. Ba quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng hai sợi dây nhẹ, không giãn có cùng chiều dài (Hình 2). Các quả bóng bên ngoài rỗng

Hình 2

được tích điện một cách sống động. Tại thời điểm ban đầu, các quả bóng nằm trên cùng một đường thẳng, tốc độ của các quả bóng bên ngoài bằng 0 và quả bóng ở giữa chuyển động theo hướng vuông góc với các sợi dây, với động năng bằng thế năng tương tác điện của các quả bóng bên ngoài. Xác định: a) góc nhỏ nhất giữa các sợi dây khi các viên bi chuyển động; b) góc E giữa các sợi dây tại thời điểm vận tốc của viên bi ở giữa bằng 0. Bỏ qua trọng lực. 6. Một dây dẫn bằng đồng có hình dạng được ép vào hai thanh đồng (Hình 3). Điện trở của bốn điểm tiếp xúc của dây dẫn hình chữ U với các thanh là $R_{1} R_{2} R_{3} 1$ Ohm và $R_{4} 3$ Ohm. Các điện trở này vượt quá đáng kể điện trở của bản thân thanh và dây dẫn P.

45

KIỂM TRA

điện sao cho nhiệt độ trong bình không đổi. Trong thời gian $t_{0} 500$ s, thể tích khí trong bình tăng gấp 2 lần. Xác định công suất gia nhiệt tối thiểu và tối đa trong quá trình này. 5. Ba quả bóng giống hệt nhau được nối với nhau bằng hai sợi dây nhẹ, không giãn có cùng chiều dài (Hình 13). Các quả bóng bên ngoài là

Hình 13

ăn mặc tích cực. Đầu tiên, các quả bóng được giữ ở các đỉnh của một tam giác cân bằng các sợi dây căng, sau đó đồng thời thả ra. Dao động xảy ra trong hệ có động năng cực đại $E_{max} 0,1$ J và thế năng tương tác điện cực đại $U_{max} 2 E_{max}$. Xác định: a) động năng cực đại $E_{1}$ của quả bóng trung bình; b) góc tối thiểu $D_{min}$ giữa các ren. Bỏ qua trọng lực.

Lớp 11 1. Trên mặt phẳng nằm ngang của Trái đất có một hình bán cầu nhẵn bán kính R. Từ đỉnh A của nó có một viên sỏi nhỏ bắt đầu trượt. a) Nó sẽ rơi xuống đất với vận tốc bao nhiêu v? b) Tốc độ này sẽ hướng vào góc D nào so với đường chân trời? c) Một viên sỏi phải được ném từ mặt đất theo góc E so với đường chân trời với vận tốc ban đầu nhỏ nhất có thể để nó tới được điểm A? 2. Một bình hình trụ đựng nước được đặt trong phòng có độ ẩm không khí được duy trì ở mức $M_{1}$ 70% ở nhiệt độ không đổi. Mực nước trong bình giảm với tốc độ $v_{1} 0,2$ cm mỗi ngày. Xác định tốc độ $v_{2}$ mực nước trong bình sẽ giảm nếu độ ẩm không khí trong phòng trở thành $M_{2}$ 50% ở cùng nhiệt độ. 3. Một hạt tích điện có khối lượng m và điện tích q trượt không ma sát dọc theo một sợi dây kéo dài dọc theo trục đối xứng của một bán cầu điện môi đứng yên tích điện đều, tiến đến bề mặt bên trong của nó (Hình 14). Hạt đi qua ranh giới ảo của quả cầu tại điểm 1 với vận tốc v và tại điểm 2, trùng với tâm

NGUYÊN VẬT LIỆU

Hình 14

bán cầu, có tốc độ 5v. a) Xác định hiệu điện thế $M_{1} M_{2}$ của trường tĩnh điện của bán cầu tại các điểm 1 và 2. b) Hạt chạm vào bề mặt bên trong của bán cầu với tốc độ bao nhiêu? 4. Hạt nano thường được gọi là vật thể pha rắn cô lập, có ranh giới xác định rõ ràng với môi trường, kích thước tối đa của nó theo bất kỳ hướng nào là từ 1 đến 100 nm. Có bao nhiêu electron có thể được giữ lại trên một hạt nano dẫn điện hình cầu có bán kính R là 50 nm, nếu cường độ điện trường cực đại của môi trường xung quanh là $E_{max} 2$ $10^{6}$ V m và hằng số điện môi của môi trường xung quanh hạt là H 11,7? Hệ số tỷ lệ trong định luật Coulomb là k 9 $10^{9}$ Н $м^{2} Кл^{2}. 5.$ Một quá trình kim loại hóa hai cấp được hình thành trên nền điện môi, một mảnh của nó được thể hiện trong Hình 15.

Hình 15

dây dẫn mini 1 và 2 nằm ở lớp kim loại hóa phía dưới, còn dây dẫn 3 và 4 nằm ở lớp trên, được ngăn cách với lớp dưới bằng chất điện môi. Mỗi dây dẫn được kết nối với một miếng tiếp xúc cách ly với các dây dẫn khác. Điện thế của các dây dẫn lần lượt là $M_{1} 4$ V, $M_{2} 3$ V, $M_{3} 2$ V, $M_{4} 1$ V. Điện trở giữa các dây dẫn ở những nơi chúng chồng lên nhau R 100 MOhm lớn hơn đáng kể so với điện trở của chính dây dẫn. Xác định dòng điện I chạy vào đoạn đang xét dọc theo dây dẫn 1. Ấn phẩm được biên soạn bởi G. Gaidukov, I. Gorbaty, A. Spiridonov, I. Fedorenko

49

ĐÁP ÁN,

HƯỚNG DẪN

Hình 1

Bây giờ chúng ta phải chứng minh rằng các đường tròn (DBC), (DEF) và $DO 1 O_{2}$ có điểm chung thứ hai ngoài D. Từ đẳng thức ABD ACD suy ra (xem Hình 1) rằng bán kính của các đường tròn (ADB), (ADC) bằng nhau và chúng thu được từ nhau bằng phép đối xứng tâm đối với M - trung điểm của AD. Hãy ký hiệu lần lượt là $B_{1}, C_{1}$ giao điểm thứ hai của đường BC với các đường tròn (ADB), (ADC). Khi đó ADE DBC $B_{1} AD$, từ đó $AB_{1} P DE$, tức là các điểm $B_{1}, E$ cũng đối xứng tâm đối với M. Tương tự, $C_{1}, F$ đối xứng tâm đối với M, do đó $EFB_{1} C_{1}$ là hình bình hành và EF P BC. Cũng

‘ FBC

‘ FBA ‘ ABD ‘ DBC ‘ FDA ‘ ACD ‘ ADE

‘ BCD ‘ DCA ‘ ACE

BCE, từ đó BCEF là hình thang cân. Khi đó giao điểm thứ hai của đường tròn (DBC) và (DEF) là điểm Dc, đối xứng với điểm D so với trục đối xứng của hình thang cân BCEF. Còn phải chứng minh đường tròn $DO 1 O_{2}$ đi qua điểm Dc, tức là ta cần chứng minh tứ giác $DD c O_{1} O_{2}$ nội tiếp. Điều này tương đương với việc các đường trung trực của các đoạn thẳng DDc $, DO_{1}, DO_{2}$ cắt nhau tại một điểm, tức là AC và EX cắt nhau trên trục đối xứng của hình thang BCEF. Xét các trục đẳng phương của các cặp đường tròn (ADBF), (ADCE), (BCEF), ta thấy các đường thẳng AD, BE, CF cạnh nhau, tức là giao điểm của các đường thẳng AD, CE nằm trên trục đối xứng của hình thang. Từ định lý Pascal về đường đứt đoạn (ADXECC), suy ra giao điểm của các cặp đường thẳng AD và CE, AC và EX, DX và tiếp tuyến của đường tròn (ADC) tại điểm C - hãy ký hiệu điểm này bằng Y - nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, chỉ cần chứng minh Y nằm trên trục đối xứng của hình thang là đủ, tức là DX, tiếp tuyến của đường tròn (ADC) tại điểm C và trục đối xứng của hình thang cắt nhau tại một điểm hoặc song song thành từng cặp.

GIẢI PHÁP

Từ (3) suy ra điểm X nằm trên đường tròn Apollonius với các điểm B và C, đi qua điểm D và các đáy K, L của các đường phân giác ngoài và phân giác trong của góc D trong tam giác DBC (ta ký hiệu đường tròn này là Z). Xét tâm đẳng phương của các đường tròn (ADC), Z và một đường tròn bán kính 0 có tâm tại C. Nó nằm trên đường DX và tiếp tuyến với đường tròn (ADC) tại điểm C, tức là trùng với điểm Y. Còn phải chứng minh rằng trục đẳng phương Z và các đường tròn bán kính 0 có tâm tại C là trục đối xứng của hình thang, tức là đường phân giác vuông góc với BC. Vì trục đẳng phương của chúng vuông góc với đường tâm của chúng (tức là BC), nên chúng ta cần kiểm tra xem trung điểm của BC có nằm trên trục đẳng phương của chúng hay không. Điều này là hiển nhiên, vì (C, B, L, K) –1 (là hai đỉnh của ’ DBC và đáy của các phân giác ngoài và phân giác trong), do đó K và L nghịch đảo với một đường tròn có đường kính BC và tâm N (một trong các định nghĩa về bộ tứ hài hòa của các điểm trên một đường thẳng) và NL $NK NC^{2}$, tức là độ của điểm N so với hai đường tròn đang xét là như nhau và điểm này nằm trên trục đẳng phương của chúng, theo yêu cầu. 4 (M. Isupov). Đánh dấu các điểm tiếp tuyến của các đoạn AB, BC, CD, DA bằng * - các điểm K, L, M, N tương ứng (Hình 2). Chúng ta cũng đánh dấu điểm J, đối diện hoàn toàn với điểm I trên:. Lưu ý rằng I nằm trên phân giác của góc BAD. Vì IAJ 90 q nên AJ và AI là các phân giác trong và phân giác ngoài của góc XAY. Điều này có nghĩa là I và J là trung điểm của các cung XY, do đó X và Y đối xứng với IJ - đường tâm của các đường tròn. Tương tự, Z và T đối xứng qua IJ. Do đó TX ZY. Hơn nữa, từ tính đối xứng đối với IJ, các đoạn tiếp tuyến từ T và Z đến * đều bằng nhau.

Hình 2