Kvant 2023, số 5 · Trang

3

HÌNH HỌC CUỐI CÙNG

Chúng tôi, những sinh viên toán học và nghiên cứu sinh tham gia vào công việc của trường toán, đã thảo luận chi tiết về các bài giảng của Andrei Nikolaevich và toán học cụ thể bài toán đi kèm, để học sinh giải chúng và cũng nghĩ ra bài toán hoàn toàn mới của riêng chúng tôi, thêm vào danh sách ban đầu (không lớn lắm) bài toán về chủ đề này, do Andrei Nikolaevich đề xuất trước khi bắt đầu bài giảng của mình. Đến cuối năm học, Andrei Nikolaevich bắt đầu nói về ý tưởng về thời gian rời rạc: điều gì sẽ xảy ra nếu thời gian không chảy liên tục mà rời rạc, từ điểm này sang điểm khác, và là cùng một đường thẳng gồm một số hữu hạn điểm, giống như tất cả các mặt phẳng thẳng, và điều gì sẽ xảy ra nếu đường thẳng này được thêm vào những đường thẳng hiện có? Tuy nhiên, chương trình nghiên cứu mở rộng về hình học hữu hạn này chưa thực sự được bắt đầu: tháng học hè kết thúc rất nhanh. Qua xử lý ghi chú của A.N. Kolmogorov của tác giả của những dòng này và nghiên cứu sâu hơn về các bài toán về hình học hữu hạn, một bài báo đã xuất hiện được cung cấp cho độc giả «Kvant» và ở dạng tập trung truyền tải tinh thần của Trường Toán học Mùa hè Pushchino năm 1972. G. Galperin

hình học hữu hạn

A. KOLMOGOROV

MỘT. Kolmogorov thuyết trình

HÌNH HỌC HIỆN TẠI có một số nhánh. Bước đầu tiên hướng tới một hình học mới được thực hiện bởi các nghệ sĩ thời Phục hưng, những người đã phải vật lộn với

cho hình ảnh chính xác về những gì mắt nhìn thấy. Vì những bức tranh thật là ba chiều và những bức tranh do các nghệ sĩ tạo ra là hai chiều nên có vẻ như không thể vẽ được một cách thực tế. Các nghệ sĩ dựa trên lời giải vấn đề này dựa trên nhận thức thị giác. Hãy tưởng tượng một người đang nhìn ra ngoài cửa sổ bằng một mắt vào một cảnh có thật nào đó. Anh ta nhìn thấy nó bởi vì các tia sáng phát ra từ nhiều điểm khác nhau của “bức tranh” này chiếu tới mắt anh ta. Tập hợp các tia sáng như vậy được gọi là chùm tia chiếu. Và vì các tia truyền qua thủy tinh nên chúng ta có thể đánh dấu trên đó điểm mà mỗi tia đi qua. Tập hợp tất cả các điểm như vậy được gọi là hình chiếu. Các nghệ sĩ chịu trách nhiệm phát hiện ra rằng mắt nhìn nhận hình ảnh này giống như cảnh thật. Việc sử dụng phương pháp chiếu đã đặt ra một vấn đề hình học cơ bản trong chương trình nghị sự, vấn đề này lần đầu tiên được các nghệ sĩ xem xét và sau đó được các nhà toán học đưa ra. Điểm chung là gì

5

HÌNH HỌC CUỐI CÙNG

P3. Có bốn điểm không thẳng hàng (tức là ba điểm bất kỳ trong số đó không thẳng hàng). Bài tập 1. Kiểm tra xem việc hoàn thành mặt phẳng affine nêu trên có thực sự xác định được mặt phẳng xạ ảnh hay không. Ví dụ: 1. Bằng cách hoàn thiện mặt phẳng affine của hình học Euclide, chúng ta thu được một mặt phẳng xạ ảnh thực ¡ $P^{2}. 2.$ Bằng cách hoàn thiện mặt phẳng affine của bốn điểm thành một mặt phẳng xạ ảnh, chúng ta thu được một mặt phẳng xạ ảnh gồm bảy điểm và bảy đường thẳng (Hình 2).

Cơm. 2

3. Hãy xây dựng một mô hình khác của mặt phẳng xạ ảnh vô hạn. Giả sử $¡^{3}$ là một không gian Euclide ba chiều thông thường và O là một điểm nào đó trong đó. Chúng ta hãy biểu thị bằng 3 tập hợp tất cả các đường thẳng đi qua O. Một điểm trong 3 là bất kỳ đường thẳng nào được vẽ, và một đường thẳng là tập hợp các đường thẳng đi qua O và nằm trong một mặt phẳng nhất định. Tập 3 sẽ thỏa mãn các tiên đề P1 – P3 (kiểm tra cái này!), do đó, nó là mặt phẳng xạ ảnh. Từ Ví dụ 2, rõ ràng là trong một trường hợp cụ thể của hình học xạ ảnh hữu hạn, số điểm bằng số đường thẳng. Có vô số hình học affine hữu hạn (sẽ được làm rõ dưới đây trong các bài toán), và tất cả chúng đều có thể được hoàn thành theo cùng cách như đã thực hiện trong trường hợp bốn điểm. Số điểm và đường có trùng nhau không? Đáp số câu sau đây trả lời câu hỏi này. Mệnh đề 1. Gọi 3 là mặt phẳng xạ ảnh. Sau đó tập hợp &, phần tử-

có các phần tử là các đường thẳng trong 3, gọi là các điểm trong &, là mặt phẳng xạ ảnh, nếu ta gọi các bó đường thẳng trong 3 đường thẳng trong &. Mặt phẳng & được gọi là kép thành 3 (vì trên thực tế, các điểm và đường thẳng ở 3 vị trí hoán đổi cho nhau và hóa ra &). Bằng chứng. Chúng ta hãy kiểm tra sự đáp ứng các tiên đề của mặt phẳng xạ ảnh. X1. Cho A và B là hai điểm khác nhau trong &; thì có một đường thẳng duy nhất từ ​​& chứa A và B. Nhưng xét theo 3 thì điều này có nghĩa là với hai đường thẳng phân biệt từ 3 thì có một cây bút chì chứa cả hai đường thẳng này, và điều này diễn ra từ A2. X2. Bất kỳ hai dòng nào từ & đều có một điểm chung, theo sau A1. X3. Ta cần chứng minh rằng có 4 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng tại &. Điều này cũng giống như việc chứng minh rằng trong 3 có 4 đường thẳng, không có đường thẳng nào nằm cùng một bó. Hãy lấy 4 điểm không thẳng hàng từ 3 (có những điểm như vậy theo P3) và từ tất cả các đường thẳng đi qua chúng, chọn bốn điểm chúng ta cần. Như vậy mệnh đề được chứng minh. Kết quả. Nếu K là mệnh đề nào đó trong 3, được suy ra từ các tiên đề P1–P3, thì mệnh đề K thu được từ K bằng phép thế kép (chẳng hạn như đường thẳng tương ứng với điểm, v.v.) có thể được suy ra từ cùng tiên đề đó. Bằng chứng. Rõ ràng K chính là phát biểu K, chỉ có trong hình học &. Nhưng các tiên đề hình học & tuân theo các tiên đề của hình học 3, đó là điều bắt buộc. Bây giờ đã rõ tại sao số lượng điểm và đường thẳng trong hình học xạ ảnh lại giống nhau - do nguyên lý đối ngẫu. Nếu chúng ta xây dựng mặt phẳng kép * từ mặt phẳng & theo cách tương tự, thì hóa ra mặt phẳng 3 và * là “đẳng cấu”. Tuy nhiên, các mặt phẳng 3 và & không phải lúc nào cũng đẳng cấu. Các ví dụ có thể được xây dựng bằng cách sử dụng các mặt phẳng hữu hạn mà tiên đề Desarte không đúng (xem bên dưới). (Một ví dụ như vậy là mặt phẳng Hall bậc 9, gồm 91 điểm. – Ed.)

11

HÌNH HỌC CUỐI CÙNG

Cơm. 42

Cơm. 43

để chỉ ra sự thất bại của P2, chúng ta có thể lấy hình học affine tùy ý. Trường hợp P3 không giữ được trình bày trên Hình 43. 9. Chứng minh rằng nếu loại bỏ một đường thẳng khỏi mặt phẳng xạ ảnh thì sẽ thu được một mặt phẳng affine. Lời giải. Hãy loại bỏ đường thẳng a khỏi mặt phẳng xạ ảnh 3. Hãy chứng minh rằng các tiên đề A1–A3 thỏa mãn trong mặt phẳng kết quả. Thật vậy, chúng ta lấy các điểm A và B trong mặt phẳng mới và cho A c và B c là cùng một điểm trong mặt phẳng xạ ảnh 3. Rõ ràng A c và B c không thuộc về a. Theo A1, tồn tại một đường thẳng duy nhất l c sao cho A c, B c l c. Theo câu trước, l c z a, có nghĩa là l c sẽ đi vào một tập hợp khác rỗng l . Vì A c, B c l c nên A, B l. Vì l c là duy nhất nên có nghĩa là l là duy nhất vì chúng ta đã loại bỏ a. Vậy là A1 đã xong. Hãy kiểm tra A2. Lấy một đường thẳng l tùy ý và một điểm X l in. Giả sử khi bỏ đường thẳng a thì đường thẳng lc tiến về l, và điểm X c tiến về X. Rõ ràng l c z a và X c a. Do đó, theo A2 tồn tại duy nhất M c l c a. Qua A1 tồn tại một đường thẳng duy nhất m c sao cho X c, M c m c. Nếu X c l c, thì m c l c và do đó, m c l c M c. Vì việc loại bỏ a sẽ loại bỏ M c, nên m l , trong đó m và l là ảnh của m c và l c trong mặt phẳng. Điều này có nghĩa là m song song với l, và vì X c m c nên X m. Ngoài ra, m c là duy nhất, có nghĩa là m cũng duy nhất, và do đó A2 đúng. Nếu X l thì X c l c, nghĩa là m c l c. Chính xác một điểm M c bị loại bỏ khỏi m c và l c, do đó m l có thể được viết là m P l. Vì m c là duy nhất nên m cũng là duy nhất và một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho đi qua một điểm trên đường thẳng một cách duy nhất. Như vậy A2 được chứng minh hoàn toàn. Hãy kiểm tra A3. Theo P3 chọn 4 điểm không thẳng hàng. Chúng ta quan tâm đến trường hợp hai trong số chúng nằm trên đường dây từ xa, vì trong các trường hợp khác A3 thỏa mãn (vì không thể có nhiều hơn hai người trong số chúng trên đường dây từ xa).

bốn điểm). Cho A, B, C, D là 4 điểm và A, B a. Hãy thực hiện trực tiếp AC và BD. Bởi A2 tồn tại một điểm duy nhất M AC BD và M z A, B, C, D. Hơn nữa, M a, vì ngược lại AC a và BD a. Ngoài ra, C, D và M không nằm trên cùng một đường thẳng, vì nếu không sẽ có hai đường thẳng đi qua M và C. Khi loại bỏ a thì các điểm C, D và M vẫn giữ nguyên vì không có điểm nào thuộc a. Điều này có nghĩa là tiên đề A3 được thỏa mãn. 10. Xây dựng mặt phẳng affine gồm 16 điểm. Lời giải được thể hiện trên Hình 44.

Cơm. 44

11. Một đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh 3 chứa n 1 điểm. Có bao nhiêu điểm trong 3? Có bao nhiêu dòng? Lời giải. Chúng ta lấy một đường thẳng a trong mặt phẳng 3 với các điểm $A_{1}, A_{2}$, … $, A_{n} 1$. Theo tiên đề P3, tồn tại điểm B sao cho B a. Hãy cùng thực hiện $BA_{1}, BA_{2}$,… $, BA_{n} 1$. Trong trường hợp này, tất cả các điểm sẽ được tham gia. Thật vậy, chẳng hạn, nếu C không thuộc a, thì BC cắt a tại một trong các điểm $A_{k}$ và do đó, điểm C đã được tính đến. Vậy tổng cộng ta được n 1 1 n 1 1 n 2 n 1 điểm trong 3. Vì qua mỗi điểm (cũng như qua B) có n 1 đường thẳng và mỗi đường thẳng được xét n 1 lần trong phép tính này (có n 1 điểm trên đó) nên sẽ có n 2 n 1 n 1 đường thẳng

, n 1 tức là bằng số điểm. Điều này đã được mong đợi, vì nó xảy ra

13

HÌNH HỌC CUỐI CÙNG

Cơm. 48

gai (Hình 48 bên trái). Hãy gọi các đường thẳng có một trong các hướng như trong hình và đi qua các nút lưới. (Bạn có thể tưởng tượng như một mô hình hình trụ có lưới như trong Hình 48 bên phải.) Hãy chứng minh rằng có nhiều nhất một đường thẳng đi qua điểm 1 và bất kỳ điểm nào khác. Ngược lại, cho hai đường thẳng đi qua điểm 1 và X, trong đó X là điểm ở hàng thứ k. Khoảng cách giữa giao điểm của các đường thẳng này với đường thẳng đầu tiên là n p. Khi đó khoảng cách giữa các nút lưới biểu thị điểm X mà các đường này đi qua bằng kn. Vì p là số nguyên tố nên k p, n p nên kn không chia hết cho p nên hai nút này không phải là một điểm. Các đường thẳng đi qua điểm 1 cũng đi qua tất cả các điểm còn lại. Thật vậy, qua điểm 1 có p 1 đường thẳng, trên mỗi đường thẳng, trừ điểm 1 còn có thêm p 1 điểm, không có 2 điểm nào trùng nhau, tổng số điểm là $p 1 p 1 p^{2} 1$. Q.E.D. Nếu chúng ta vẽ tất cả các đường thẳng đi qua bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, chúng ta sẽ có được hình ảnh giống như đối với điểm 1. Do đó, A1 được chọn. Có p điểm trên một đường thẳng. Xét điểm B bên ngoài đường này; p 1 đường thẳng đi qua nó. Trong số này, p đường thẳng cắt một đường thẳng cho trước tại p điểm, nhưng người ta không thể cắt nó, vì chỉ có thể vẽ một đường thẳng đi qua điểm này và bất kỳ điểm nào khác. Do đó, qua mỗi điểm có thể vẽ được đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho, điều đó thỏa mãn tiên đề A2. Tiên đề A3 cũng thỏa mãn vì có 3 điểm không thẳng hàng. Do đó, mặt phẳng được xây dựng là affine.

16. Chứng minh rằng mặt phẳng trong không gian affine là affine. Bằng chứng. Tiên đề A1 tự động theo sau AC1 và AC2. Hãy kiểm tra việc thực hiện A2. Cho đường thẳng a trong mặt phẳng D. Theo AC6 tồn tại một điểm A D sao cho A a. Theo AC5 có b P a, A b. Hãy chứng minh rằng b D. Xét mặt phẳng E chứa a và b (mặt phẳng như vậy tồn tại theo định nghĩa song song). Trong mặt phẳng E và mặt phẳng D có ba điểm không thẳng hàng A, B, C; B và C thuộc dòng a. Nhưng theo AC3 thì mặt phẳng D và E trùng nhau. Tiên đề A3 tiếp nối từ AC6. 17. Có n điểm nằm trên một đường thẳng trong không gian affine. Có bao nhiêu điểm trong không gian? Có bao nhiêu dòng? Có bao nhiêu máy bay? Lời giải. Như đã được chứng minh ở bài toán 16, mọi mặt phẳng đều là affine và trong mọi mặt phẳng affine đều có $n^{2}$ điểm. Hãy lấy một trong các mặt phẳng D. Có một điểm A khác trong không gian (tại sao?). Qua điểm A và điểm C trên mặt phẳng D vẽ một đường thẳng có n điểm trên đó. Qua mỗi điểm của n này có một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho, trên mỗi mặt phẳng đó có $n^{2}$ điểm. Do đó, có $n^{3}$ điểm trong không gian. Bạn có thể chứng minh rằng không còn điểm nào nữa theo cách tương tự như ở bài toán 6. Hãy đếm số dòng. Cho k đường thẳng đi qua mỗi điểm. Mỗi người có n 1 điểm; tất cả đều vượt qua $n^{3} 1$ điểm. Vì vậy, $k n 1 n^{3} 1$, do đó, $k n^{2} n 1$. Tổng số điểm $n^{3}$, mỗi dòng đi qua n điểm tức là tổng số dòng

k ˜ $n^{3} n$

$n^{2} n^{2} n 1$

$n^{4} n^{3} n^{2}$.

18

K VA N $T_{2023/№5}$

tori sẽ không hoạt động - mặc dù chất điện môi dẫn dòng điện nhưng điện trở suất của chúng quá cao (ở trường nó được coi là cực kỳ cao). Chất bán dẫn có điện trở suất thấp hơn và sẽ thuận tiện cho việc sản xuất, có thể điều khiển được, tức là chỉ với những thay đổi nhỏ trong thành phần, nó sẽ thay đổi đáng kể. Tuy nhiên, nó phụ thuộc rất nhiều vào nhiệt độ và điều này rõ ràng là không tốt - mọi thiết bị đều phải hoạt động khi điều kiện vận hành thay đổi, chủ yếu là nhiệt độ môi trường. Và càng dễ đảm bảo sự ổn định của thiết bị thì các thông số của các phần tử, trong đó có điện trở, càng ổn định. Nhưng chất bán dẫn có thể được dùng làm nhiệt kế; chúng ta sẽ quay lại vấn đề này sau. Chất dẫn điện vẫn còn, nhưng ngược lại, điện trở suất của chúng thấp. Điện trở có điện trở nhỏ có thể được làm từ dây dẫn thông thường, nhưng nếu bạn cần điện trở cao thì sao? Công thức R U L S nói rằng có hai cách lời giải của một vấn đề - dài và mỏng, nhưng không phải là đường dẫn mà là dây dẫn. Dây dẫn dài cả cây số thì bất tiện; Dây micron có thể được chế tạo, nhưng làm việc với nó cũng khó khăn và điện trở không đủ cao. Nhưng bạn có thể tạo một mặt cắt nhỏ không chỉ bằng dây; có hai phương pháp nữa - màng mỏng và gốm kim loại. Hãy bắt đầu với phim ảnh. Đúng là rất khó để tạo ra những tấm phim dày micro và nanomet và bất tiện khi làm việc. Nhưng khi những người trong ngành vật lý và kỹ thuật nói “màng mỏng”, họ hầu như luôn muốn nói đến chất nền. Ví dụ, một màng dây dẫn mỏng đặt trên đế điện môi tạo thành một điện trở tuyệt vời. Một màng có độ dày bất kỳ có thể được lắng đọng trong chân không hoặc trong quá trình phóng điện. Tuy nhiên, ở độ dày rất nhỏ, các electron bắt đầu phân tán không chỉ trên các ion mạng mà còn trên bề mặt của màng, và ở độ dày thậm chí còn nhỏ hơn, màng có thể mất đi tính liên tục, như người ta nói, biến thành các đống nguyên tử riêng biệt (màng đảo) và các electron sẽ nhảy từ đảo này sang đảo khác. Nhưng ngày càng lớn

Cơm. 6. Điện trở cố định

Điện trở của điện trở không cản trở tất cả những điều kỳ diệu này. Nhân tiện, khái niệm “màng rời” được sử dụng cho các màng mỏng không có chất nền. Đã đến lúc chúng ta nhìn vào đối tượng câu chuyện của mình. Bức ảnh trong Hình 6 cho thấy một số điện trở màng khác nhau. Ở hàng đầu tiên là các điện trở, điện trở được xác định với độ chính xác rất cao và được ghi trên đó. Ở hàng thứ hai bên trái là một lực cản kỳ lạ, và câu hỏi đặt ra là: tại sao lại có một chiếc đàn accordion ở đó? Hơn nữa, đáp số hiển nhiên là không chính xác. đáp số hiển nhiên này đúng với điện trở ở bên phải, trên đó lớp phủ dẫn điện được cắt theo hình xoắn ốc. Ở hàng thứ ba có một số điện trở, điện trở của chúng đã được thay đổi (họ nói là “điều chỉnh”) sau khi sơn. Trong hình tiếp theo (Hình 7) có các điện trở cực cao (trên $–^{10}$ GOhm), màng điện trở - carbon, nhà sản xuất đã hàn chúng vào thủy tinh, vì điện trở của sơn (về cơ bản được kết nối song song với toàn bộ điện trở) sẽ không đủ cao. Hãy chú ý đến bảng đầu cuối màu trắng ở bên trái - nó được làm bằng Teflon hoặc PTFE-4, một chất điện môi có điện trở suất cao kỷ lục. Nhân tiện, liên quan đến những điện trở và lớp sơn này, có một vấn đề khác. Để đơn giản, hãy để độ dày của màng điện trở và lớp sơn bằng nhau. Điện trở suất bao nhiêu lần

21

P R O B L E

Tuy nhiên, phương pháp duy nhất được sử dụng rộng rãi là đo biến dạng. Để đo độ biến dạng, một sợi dây được dán vào vật mà chúng ta đang kiểm tra và đo điện trở của nó. Khi kích thước của một vật thay đổi, chiều dài của dây, tiết diện và điện trở suất của vật liệu thay đổi. Do đó, điện trở mà chúng tôi đo được sẽ thay đổi. Để đo áp suất trong chất khí, chất lỏng và chất rắn, một sợi dây được đặt trong môi trường đang nghiên cứu hoặc bên trong vật thể… bạn đã biết phần còn lại. Và đừng quên cách ly dây điện với vật thể. Về lý do chính của chúng ta về sự mất ổn định của điện trở, tức là sự phụ thuộc của điện trở suất vào nhiệt độ, thì ở trường người ta thường nói rằng sự phụ thuộc này là tuyến tính và họ cũng đề cập đến tính siêu dẫn. Tình hình thực tế phức tạp hơn nhiều và do đó thú vị hơn. Sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ không tuyến tính và ngoài ra có thể có sự thay đổi nhiệt độ khi mạng được sắp xếp lại. Hình 8 biểu diễn đồ thị giãn nở nhiệt của sắt. Các mũi tên chỉ điểm Curie (mất tính sắt từ

Cơm. 8. Sắt nở ra như thế nào

LỊCH SỬ PHẢN HỒI

thuộc tính), hai sự sắp xếp lại mạng và điểm nóng chảy. Bảng này hiển thị danh sách các pha sắt và nhiệt độ biến đổi (bcc - khối lấy cơ thể làm trung tâm, fcc - khối lấy mặt làm trung tâm). Phạm vi nhiệt độ được đưa ra vì các nguồn khác nhau có dữ liệu hơi khác nhau. Hoặc là tạp chất khác nhau, hoặc tốc độ thay đổi nhiệt độ, hoặc độ trễ… đa hình là một vấn đề tế nhị! Nhân vật trong phim “Mặt trời trắng sa mạc” cũng nghĩ như vậy. Và một điều thú vị khác được thể hiện trong bức ảnh ở góc dưới bên phải, có một thứ gì đó kỳ lạ, hình lục giác, dày đặc. Nhưng chúng ta nên làm gì với sự phụ thuộc của điện trở vào nhiệt độ? Các nhà phát triển điện trở không quá quan tâm đến việc liệu sự phụ thuộc của điện trở suất vào nhiệt độ là tuyến tính hay phi tuyến tính; điều quan trọng là họ phải làm suy yếu sự phụ thuộc này. Phương pháp này đã được biết đến, nó thậm chí còn được đề cập trong một số sách giáo khoa ở trường - bạn cần sử dụng hợp kim chứ không phải kim loại. Trong kim loại, các electron bị tán xạ bởi sự dao động của các ion mạng và điện trở phụ thuộc vào nhiệt độ vì biên độ của những dao động này tăng theo nhiệt độ. Trong hợp kim, sự tán xạ electron bổ sung xảy ra khi mạng tinh thể không đồng nhất, do đó điện trở tăng và ít phụ thuộc vào nhiệt độ. Nhưng bạn nên làm gì nếu muốn điện trở thay đổi theo nhiệt độ không yếu như đã đạt được ngày nay mà còn

24

K VA N $T_{2023/№5}$

R – điện trở, k – tự nhiên, hằng số Boltzmann, T – nhiệt độ, ‘f – dải tần số. Bây giờ bạn đã biết tại sao máy thu của kính viễn vọng vô tuyến lại được làm mát. Công thức này rất phổ biến và dường như tất cả các điện trở trong cùng điều kiện sẽ tạo ra tiếng ồn như nhau. Trong khi đó, độ ồn của điện trở được tiêu chuẩn hóa, được ghi rõ trong thông số kỹ thuật và có loại điện trở có độ ồn thấp. Thực tế là có một nguồn tiếng ồn khác. Tiếng ồn là một quá trình hỗn loạn, nguồn gốc của nó là các sự kiện ngẫu nhiên. Những sự kiện ngẫu nhiên nào có trong một điện trở? Thứ nhất, tọa độ của các electron chính xác là nguồn gốc của nhiễu nhiệt. Thứ hai, đây là tọa độ của các nguyên tử và đây là nguồn lực cản có thể thay đổi và dao động. Xin lưu ý rằng nguồn này cũng phụ thuộc vào nhiệt độ, nhưng nó chỉ xuất hiện khi có dòng điện (điện áp ngoài điện trở cần có dòng điện). Hơn nữa, cả trong các hệ thống con điện tử và nguyên tử đều có thể có các chuyển động nhóm và sóng. Sóng trong hệ thống con điện tử được gọi là sóng mật độ điện tích, sóng trong hệ thống con nguyên tử là các dao động âm thanh (phonon), chuyển động lệch vị trí và chuyển động của ranh giới giữa các tinh thể (nếu vật thể không phải là đơn tinh thể). Nếu những yếu tố này là ngẫu nhiên thì chúng có thể là nguồn gây nhiễu. Điện trở suất của một dây dẫn đồng nhất phụ thuộc vào nồng độ và độ linh động của các electron (bạn biết điều này từ trường học), và sự dao động của những đại lượng này gây ra sự dao động về điện trở suất và do đó gây ra tiếng ồn - nhưng chỉ khi có dòng điện chạy qua. Và cuối cùng, nếu vật liệu điện trở không đồng nhất, nếu đây là các hạt dẫn điện riêng biệt tiếp xúc vui vẻ với nhau thì các tiếp điểm này có thể xuất hiện và biến mất, và điều này chắc chắn sẽ gây ra dao động điện trở, mà tất nhiên, chỉ xuất hiện khi có dòng điện. Tất cả tiếng ồn như vậy được gọi là tiếng ồn hiện tại, mặc dù nó vẫn phụ thuộc vào nhiệt độ.

Và bây giờ bạn sẽ học được điều gì đó khủng khiếp liên quan đến mọi vật lý. Khi nghiên cứu một hiện tượng, chúng tôi cố gắng tách biệt những ảnh hưởng, yếu tố, cách thức tương tác - như chúng tôi đã làm hiện nay. Tiếng ồn được chia theo nguồn và cơ chế. Chúng tôi đã làm đúng, nhưng… nhưng đâu đó trong sâu thẳm ý thức của chúng tôi, lẽ ra một “đèn vàng” (hay đúng hơn là đèn LED) đang cháy - một tín hiệu của sự cảnh giác. Tách ra, chúng ta tách chúng ra rất đẹp, nhưng chúng không tương tác với nhau sao? Họ không ảnh hưởng lẫn nhau sao? Trong trường hợp của chúng tôi, chúng tôi có thể đưa ra một ví dụ rõ ràng về ảnh hưởng. Một số sóng có ảnh hưởng lẫn nhau không, Auguste Coulomb có liên quan ở đây không? Vấn đề tiếp theo là truyền điện, hay di chuyển bằng điện. Các electron trong dây dẫn được gia tốc bởi trường và bị giảm tốc bởi các ion mạng, nghĩa là chúng truyền động lượng cho các ion. Ngoài ra, khi dòng điện chạy trong dây dẫn sẽ xuất hiện một điện trường và nó tác dụng lên các ion và electron. Tuy nhiên, xung lực do các electron truyền tới các ion cũng như trường tác dụng trực tiếp lên các ion đều không gây ra chuyển động của toàn bộ dây dẫn - bởi vì toàn bộ dây dẫn là trung tính. Nhưng tác động lên các ion khác nhau có thể khác nhau và điều này có ý nghĩa trong ít nhất hai trường hợp - nếu chúng ta đang xử lý một hợp kim hoặc tiếp xúc với hai kim loại khác nhau. Trong điện tử, cả hai không được tìm thấy ở mọi bước mà thường xuyên hơn - ở mọi chân của mọi bộ phận và mọi vi mạch. Bởi vì đầu ra được làm bằng một kim loại, được phủ bằng một kim loại khác, nên chúng tôi hàn nó thứ ba vào đường ray, cũng được làm bằng một thứ gì đó. Hậu quả là khi hai kim loại tiếp xúc, các ion có thể bò từ kim loại này sang kim loại khác, tiết diện của dây dẫn thay đổi và ở nơi nào nhỏ hơn sẽ xảy ra hiện tượng quá nhiệt. Và cái kết đến - tức là kết thúc thời hạn sử dụng. Tình hình trở nên trầm trọng hơn bởi thực tế là ngay cả trong kim loại nguyên chất, các ion cũng không hoàn toàn giống nhau. Đầu tiên, có đồng vị. Thứ hai, một số ion nằm bên trong tinh thể, một số khác nằm ở ranh giới giữa chúng. Thứ ba, một số ở bề ngoài, một số ở bên trong. Và bất kỳ sự khác biệt nào trong số này đều có thể dẫn đến vấn đề điện

27

P R O B L E

LỊCH SỬ PHẢN HỒI

Cơm. 16. Phần tử điện trở có thể di chuyển được nhưng tiếp điểm không bò từ vòng này sang vòng khác mà trượt dọc theo dây

Cơm. 14. Biến trở bất thường

Điện trở ở mức $рисунке^{14}$ để tăng phạm vi điều khiển, tức là để mở rộng phạm vi điều khiển trong vùng có giá trị nhỏ, phần tử điện trở được cấu tạo từ ba phần, với sự phụ thuộc khác nhau của điện trở vào góc quay. Phần đầu tiên được làm bằng băng đồng, phần thứ hai được làm bằng băng điện trở có tiết diện nhỏ hơn và phần thứ ba được làm bằng dây điện trở có tiết diện nhỏ hơn. Hai $рисунка,^{15} и^{16,}$ tiếp theo minh họa tính tương đối của chuyển động. Thông thường phần tử điện trở đứng yên, trong hai trường hợp này thì ngược lại, nó có thể di chuyển được và trong trường hợp thứ hai, chuyển động được tổ chức sao cho độ rời rạc của các vòng quay không thành vấn đề, vì tiếp điểm trượt dọc theo dây. Tùy chọn cuối cùng này có thể được coi là tiền thân của chiết áp nhiều vòng, tuy nhiên, phần tử điện trở đứng yên.

Cơm. 17

Và kết luận - một chút về vẻ đẹp $(рис.^{17).}$

Cơm. 15. Phần tử điện trở đang chuyển động

Citius, Altius, Fortius! Phương châm của phong trào Olympic

Tôi thường thấy một quả bóng tennis, khi được đánh bằng vợt nghiêng, sẽ mô tả một đường cong như thế nào… Isaac Newton

Dựa trên nguyên tắc này - định luật đàn hồi - A.L. ², sẽ dễ dàng tính được độ bền của cung… Robert Hooke

Có rất nhiều vấn đề về động lực học liên quan đến trò chơi gôn nên việc thảo luận tất cả chúng sẽ mất nhiều thời gian hơn tôi có sẵn ngày hôm nay. Joseph John Thomson

…dưới đầu gối, tôi chủ yếu là đai ốc và bu lông, và chân của tôi cũng có 24 cảm biến, 6 bộ vi xử lý và đủ loại cơ chế giống như cơ và gân. Với đôi chân này tôi có thể nhảy, chạy và nhảy. Hugh Herr

Bạn có thực sự quen thuộc với điều này?

VẬT LÝ + THỂ THAO

Lịch sử tương tác giữa khoa học và thể thao, dù còn rụt rè và vô thức, ít nhất cũng bắt nguồn từ Thế vận hội Olympic bắt nguồn từ Hy Lạp cổ đại. Và kể từ đó, trong một thời gian dài, các vận động viên luôn trăn trở với câu hỏi: làm thế nào để nâng cao thành tích của mình? Bằng cách rèn luyện bền bỉ, phát triển sức mạnh và tốc độ - có thể nói, chỉ dựa vào khả năng thiên bẩm? Hay dựa vào thành tựu của các nhà khoa học, sản phẩm mới của các nhà phát minh, kỹ sư? Hơn nữa, khi những môn thể thao khác thường bắt đầu xuất hiện lúc đầu, nơi bạn không thể làm gì nếu không có thiết bị và thiết bị đặc biệt: đua ô tô, mô tô và xe đạp, đua thuyền buồm, leo núi, lướt sóng, trượt tuyết trên núi, nhảy trượt tuyết… Chưa hết, một người còn có khả năng gì nữa? Có vẻ như chúng ta đang bước vào kỷ nguyên kết hợp giữa tự nhiên và nhân tạo, khi các công nghệ mới về cơ bản có thể thay đổi ý tưởng về khả năng của chúng ta, điều này tất nhiên sẽ ảnh hưởng lớn đến thể thao. Trong lúc chờ đợi, với phương châm Olympic, chúng ta hãy cố gắng tìm thật nhiều câu chuyện thể thao trong môn vật lý ở trường.

Câu hỏi và bài toán

1. Tại sao phải thực hiện một số bài tập trong giờ học thể dục?

?

trên thiết bị, lòng bàn tay có được cọ xát bằng magie và lòng bàn chân có được cọ xát bằng nhựa thông không? 2. Làm thế nào để người chơi bóng rổ giảm lực của một quả bóng nặng khi họ bắt nó bằng tay? 3. Lực mà vận động viên tác động trên mặt đất tại thời điểm nhảy xa nên hướng vào đâu để cự ly bay đạt tối đa? Hãy xem xét việc đứng và chạy nhảy. Bỏ qua sức cản của không khí. 4. Trong các cuộc thi, một số vận động viên chạy ở phía sau đối thủ và chỉ dẫn trước ở vạch đích. Tại sao? 5. Tại sao một vận động viên trượt băng lại đặt đôi giày trượt của mình nghiêng một góc để dừng lại? 6. Lưỡi của giày trượt đua được làm mỏng hơn lưỡi của các loại giày trượt khác, chẳng hạn như giày trượt khúc côn cầu. Tại sao? 7. Làm thế nào một cầu thủ bóng đá, trong khi thực hiện quả đá phạt hoặc quả phạt góc, đưa bóng đi theo một đường cong, vòng qua “bức tường” và đi trúng khung thành? 8. Người ném đĩa truyền lực quay cho viên đạn của mình trong quá trình ném nhằm mục đích gì? 9. Tại sao việc sử dụng găng tay khiến quyền anh bớt nguy hiểm hơn? 10. Cách giải thích tại sao đô vật

Họ có dang rộng hai chân khi đánh nhau không? 11. Tại sao một cánh tay dang rộng không thể chịu được cùng một tải trọng, chẳng hạn như một quả tạ, như một cánh tay bị cong? 12. Một vận động viên cử tạ “chộp” được một thanh tạ nặng 1000 N. Anh ta có thực sự phát triển lực như vậy khi nâng bộ máy không? 13. Tại sao lưới bóng chuyền căng quá lại có thể bị đứt khi bị bóng đánh vào? 14. Xe đạp trở nên ổn định và không bị đổ nếu tăng tốc, tốc độ càng cao thì độ ổn định càng cao. Tại sao? 15. Tại sao du thuyền buồm có sống tàu lớn?

Kinh nghiệm vi mô

Cố gắng trèo lên các thanh tường và dùng tay nắm lấy một trong các thanh của nó và treo lên đó. Bạn nên đặt bàn tay của mình như thế nào để giảm thiểu nỗ lực của họ?

Thật thú vị rằng…

… các quy tắc của Thế vận hội Olympic Hy Lạp cổ đại cho phép nhảy xa với bất kỳ vật nặng nào trên tay, vật nặng này phải ném xuống và quay lại trong quá trình nhảy. Có lẽ điều này đã dẫn đến việc tăng phạm vi bay, đôi khi vượt quá kết quả của những người giữ kỷ lục hiện tại. … không một con vật nào có thể cạnh tranh với một người trong cuộc chạy marathon, vì nó không có khả năng chạy 42 km mà không nghỉ ngơi và dừng lại. Gân của chúng ta, đóng vai trò như một loại lò xo, chuyển khoảng 90% thế năng thành động năng, dẫn đến hiệu quả cao của các chuyển động theo chu kỳ. Công suất mà một người trưởng thành tiêu thụ thay đổi từ 80 W khi nghỉ ngơi đến 10 kW khi chạy nước rút. … vào năm 1671, Isaac Newton đã giải thích sự lệch hướng của một quả bóng đang quay là do sự xuất hiện của chênh lệch áp suất ngang trong quá trình bay của nó. Năm 1852, một cách giải thích tương tự được đưa ra bởi nhà vật lý người Đức Heinrich Magnus, người đặt tên cho hiệu ứng này, và lý thuyết toán học của nó đã được Lord Rayleigh trình bày vào năm 1877. … vào năm 1697, nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Bernoulli đã chỉ ra rằng hình dạng của đường cong đi xuống dốc nhất khi không có ma sát, điều mà Galileo quan tâm, là một đường cycloid. Phương trình của nó được sử dụng trong thiết kế đường chạy xe trượt băng. … tính đến chiều cao của vận động viên khi thực hiện cú đánh hoặc ném búa dẫn đến việc giảm góc đạt được khoảng cách bay tối đa khi ném, theo tính toán, nhỏ hơn đáng kể so với 45q. … việc chuyển đổi từ kỹ thuật nhảy “lăn” sang kỹ thuật “Fosbury flop” giúp tăng đáng kể kỷ lục nhảy cao, vì trong trường hợp thứ hai, vận động viên cố gắng giữ trọng tâm của mình dưới mức xà. …khi bắt đầu một trong những cuộc đua Công thức 1, một chiếc ô tô được trang bị một chiếc quạt lớn để hút không khí từ dưới gầm xe, do đó áp suất của nó giảm và lực ép xuống tăng lên. Điều này giúp có thể vượt qua tất cả các đối thủ, nhưng sự phản đối của họ đã dẫn đến lệnh cấm tiếp theo đối với những “thủ đoạn” như vậy. … Giáo sư Viện Công nghệ Massachusetts và người sáng tạo ra chân tay giả sinh học Hugh Herr, người bị mất cả hai chân, đã có thể trở lại thể thao nhờ việc tạo ra các bộ phận cơ thể nhân tạo. Ông tin rằng vào cuối thế kỷ này, cấu trúc và động lực học của cơ thể chúng ta sẽ khác biệt hoàn toàn so với ngày nay, đến mức chúng ta thậm chí có thể bay.

Đọc gì trong «Kvant» về sự kết hợp giữa vật lý và thể thao 1. “Vật lý và Thể thao” - 2000, Phụ lục số 5; 2. “Quả bóng, quả bóng và ngọn giáo” – 2013, số 2, tr. 38; 3. “Người chạy nước rút và người ở lại” – 2017, số 11, tr. 11; 4. “Người đi trên dây của Tolya Vtulkin” – 2018, số 3, tr. 30; 5. “Iphigenia vô tội và sự tan rã của các thế lực” – 2022, số 10, tr. 24.

Tài liệu do A. Leonovich chuẩn bị

46

KV AN T 2023/№5

sy góc ngoài tam giác ABC (tức là kề với các góc C và A của nó). Điều này có nghĩa là N là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC! Đường tròn này tiếp xúc với cạnh AC và phần kéo dài của cạnh AB và BC. Và do đó N nằm trên phân giác của góc B, tức là B, K và N cùng nằm trên một đường thẳng. Dễ dàng tính được KOC 30 q, OCN 120 q và do đó trong tam giác OCN các cạnh OC và CN bằng nhau. Lời giải 7. Không khó để tính góc giữa BK và $CL равен^{60q}$ (Hình 13). VÀ

Cơm. 15

Cơm. 14

chu vi là 12 cung có kích thước $по^{360} q^{12} 30 q$, và do đó tất cả các góc nội tiếp dựa trên các cung đó đều bằng 15q (Hình 14). Do đó, điểm L là giao điểm của các đường chéo AB và CQ của hình mười giác này (Hình 15). Hãy đánh dấu trung điểm O của đoạn BK để sau đó chứng minh BO CL. Giao điểm của đường chéo nào là điểm O? Nó nằm trên đường trung trực của đoạn BC, tức là trên đường chéo RS. Chúng ta hãy xem cặp đường chéo AB và CQ và cấu trúc của cặp đường chéo SR và BP như thế nào. Họ lần lượt rời xa nhau! Có thể lưu ý rằng cả hai cặp đều có đường chéo

Cơm. 13

ta cần chứng minh BK 2CL. Hình này giống một tam giác vuông có $углом^{60q}$: trong đó các cạnh tỷ lệ 1: 2. Từ đây ta có thể đoán được cấu trúc sau: ta di chuyển đoạn BK song song sao cho K đi vào C, nói cách khác, ta hoàn thiện tam giác BKC thành hình bình hành BKCE. Cho tam giác LCE có góc LCE $равен^{60q}$ và ta cần chứng minh EC 2LC. Để làm điều này, chúng ta sẽ chứng minh rằng tam giác này là vuông góc, tức là $ELC^{90} q$. Vì CBE BCK 90 q nên đủ chứng tỏ các điểm C, L, B, E cùng nằm trên một đường tròn! Dễ dàng tính được các góc: LBE $LCE^{120} q^{60} q^{180} q$, và do đó thử nghiệm đối với tứ giác nội tiếp CLBE được thỏa mãn. Cũng có thể làm ngược lại - chuyển đoạn CL sang BK chứ không phải BK sang CL. Lời giải 8 (do A. Avdeev đề xuất). Xét đường tròn ngoại tiếp của tam giác và kéo dài các đường phân giác cho đến khi chúng giao nhau với nó. Vì các góc của tam giác và các góc giữa các cạnh và các đường phân giác là bội số của 15q, nên tất cả các điểm này sẽ rơi vào các đỉnh của 12 cạnh đều - chúng chia cho khoảng.

Cơm. 16

Các đường được vẽ như trong Hình 16 - chúng nối các đầu của nhóm hai, ba, ba và bốn cạnh. Khi các cặp đường chéo này kết hợp lại thì các đoạn BO và CL tương ứng với nhau nên các đoạn này bằng nhau. Có nhiều lời giải khác, mang tính kỹ thuật hơn - sử dụng định lý Pythagore, định lý lượng giác, thậm chí bạn có thể sử dụng công thức tính độ dài của một đường phân giác… Chúng tôi cũng đưa ra khái quát về điều này bài toán: Nếu trong tam giác ABC có góc bằng $C равен^{60q}$ thì các đường phân giác của góc A và B tỉ lệ nghịch với các cạnh đối diện. Chúng tôi mời bạn xem xét cách phát triển một số lời giải đã cho để chứng minh sự khái quát hóa này. Biến thể của nó đã được cung cấp tại I.F. Sharygin Olympiad năm 2012, tác giả bài toán – B. Frenkin.