Kvant 2023, số 7 · Trang

10

KVANT 2023/№7

“dưới ánh đèn lồng”) cho các không gian có chiều d d 8. Một mạng Leach thú vị được tìm thấy trong không gian 24 chiều. Trong một phần tư thế kỷ qua, người ta đã xác định được rằng trong các không gian có chiều d 3, 8 và 24, những gói lưới dày đặc nhất chắc chắn là những gói dày đặc nhất, tức là altyn mà quý ông đến từ B.N. Trò đùa yêu thích của Delaunay đang tìm kiếm. Rất có thể gói $D_{4}$ cũng là gói tối ưu trong không gian 4 chiều. Hơn nữa, có vẻ như việc đóng gói $D_{4}$ có lý do không kém để khẳng định vị trí danh dự này so với “em gái” của nó – fcc-packing $D_{3}$: việc căn giữa hypercube rất thành công. Tuy nhiên, điều có vẻ kỳ lạ là các phương pháp hiện đại giải được bài toán cho d 8 và 24 vẫn chưa hoạt động ở chiều d 4. Đối với các gói mạng dày đặc nhất, trong các không gian có chiều bắt đầu từ 9, phương pháp cuộn các lớp không chỉ trở nên cực kỳ phức tạp mà còn ngừng hoạt động hoàn toàn. Lý do là ngay cả trong những mạng lưới dày đặc các quả bóng, các lỗ vẫn xuất hiện rất lớn và do đó, sâu đến mức các quả bóng từ lớp liền kề phía trên rơi vào các lỗ này và va chạm với các quả bóng từ lớp liền kề bên dưới. Hơn nữa, một quả bóng của lớp liền kề được đặt trong đó có thể ngang bằng với lớp đầu tiên, tức là một mạng lưới dày đặc hóa ra là một lớp đóng gói không bão hòa. Đồng thời, việc thêm các quả bóng mới vào gói lưới làm cho nó không phải là lưới mà là nhiều mạng. Những trường hợp này chỉ ra rằng tại dt 9, “altyn” rất có thể “không ở dưới đèn lồng”. Giả định này cũng được hỗ trợ bởi thực tế là trong không gian 10 chiều, như đã được thiết lập, có những gói đa mạng dày đặc hơn gói mạng dày đặc nhất được biết đến ngày nay. Tuy nhiên, liệu gói 10 chiều “mật độ nhất đã biết” có thực sự là gói lưới dày đặc nhất hay không vẫn chưa được trả lời đáp số.

Vì vậy, không chỉ việc tìm ra một altyn 9 chiều mà ngay cả việc xác định rằng nó không ở dưới đèn lồng cũng là một vấn đề rất khó khăn. Hơn nữa, người ta vẫn chưa biết liệu việc xếp các quả bóng gần nhất trong không gian đa chiều có phải là đa mạng hay không. Bao bì đa chiều che giấu nhiều điều mâu thuẫn với trực giác hình học của chúng ta. Ví dụ, trong không gian đa chiều, ngay cả những quả bóng được gói dày đặc nhất cũng chiếm một phần không gian không đáng kể. Do đó, mạng Leach 24 chiều nổi tiếng thể hiện trong không gian 24 chiều sự đóng gói hoàn toàn dày đặc nhất của các quả bóng, tỷ lệ của nó chỉ bằng khoảng 0,19% không gian! Thật khó nhưng cũng thú vị khi tưởng tượng một gói dày đặc mà không thể nhét một quả bóng nào vào đó, mặc dù thực tế là hơn 99,8% thể tích của không gian vẫn không được bao phủ bởi các quả bóng. Tất nhiên, các câu hỏi về việc xếp các quả bóng gần nhất trong không gian đa chiều là mối quan tâm của các nhà toán học. Tại sao chúng lại thú vị với các đại diện khác của thế giới ba chiều? Đáp số: trong thời đại công nghệ thông tin - với nhiều người! Hãy nhớ lại rằng vào cuối thế kỷ 19, Minkowski đã giảm xuống còn bài toán số lượng quả bóng dày đặc nhất bài toán theo lý thuyết số. Và trong thế kỷ 20, nhờ một nhà khoa học xuất sắc khác, người sáng lập lý thuyết thông tin hiện đại, Claude Shannon, vấn đề rất quan trọng là chọn hệ thống mã sửa lỗi phát sinh khi truyền thông tin qua kênh liên lạc cũng được giảm xuống còn bài toán về việc đóng gói dày đặc nhất các quả bóng trong một không gian có kích thước tùy ý.

17

CÁI GÌ

ĐANG XẢY RA

Phim LED. Ví dụ, thật kỳ lạ, chính vì điện trở cao của nhôm oxit mà nhôm bị oxy hóa chậm. Người ta thường chấp nhận rằng vàng, bạch kim và hợp kim của chúng với hàm lượng kim loại quý cao không bị oxy hóa (hoặc oxy hóa yếu đến mức các electron xuyên qua màng). Các chất phụ gia cho kim loại quý được sử dụng để tăng độ bền và giảm mài mòn cơ học hoặc để tăng khả năng sản xuất (Hình 6).

Cơm. 6. Rơle có các tiếp điểm rất mạnh ở bên trái, với các tiếp điểm “tinh tế” ở bên phải. Vật liệu tiếp xúc được chỉ định ở bên phải - AuNi 5%

Hai tiếp điểm, bị nén một thời gian, có thể hàn lại với nhau và giữ nguyên vị trí này sau khi bỏ lực. Hiện tượng này được gọi là “độ bám dính”, nó được giải thích là do tính lưu động và khuếch tán của vật liệu và kết quả là hình thành “sự tiếp xúc thực sự” của một khu vực rộng lớn. Quá trình tăng tốc khi được làm nóng bởi dòng điện chạy qua. Độ bám dính chỉ có thể thực hiện được đối với các kim loại nguyên chất không được phủ một lớp oxit hoặc màng khác. Khi có màng, hiệu ứng bám dính bị suy yếu hoặc dừng lại. Việc tách các điểm tiếp xúc làm bằng kim loại quý đã ủ hoàn toàn nguyên chất, chẳng hạn như bạch kim hoặc vàng, chỉ có thể thực hiện được sau khi tác dụng một lực lớn, gần bằng lực cần thiết để phá hủy cấu trúc nguyên khối của kim loại. Vì vậy, để giảm khả năng hàn, người ta sử dụng các chất phụ gia làm tăng cường độ và ức chế sự khuếch tán.

TẠI

LIÊN HỆ

Đối với các tiếp điểm có công suất trung bình, thường có thể đạt được lực ép và điện trở của màng không còn quá đáng kể - chúng sẽ bị phá hủy khi tiếp xúc. Hơn nữa, rơ-le và công tắc thường làm cho các tiếp điểm “nhảy” về phía nhau, va vào nhau hoặc trượt vào nhau làm hỏng màng. Khi đó, bản thân độ dẫn điện và nhiệt của vật liệu trở nên quan trọng - điều này có nghĩa là đồng hoặc bạc sẽ có lợi thế hơn, có lẽ với các chất phụ gia tăng cường. Hàn cũng có thể quan trọng, có nghĩa là vật liệu phải chịu lửa và có áp suất hơi thấp. Yêu cầu này chỉ ra carbon, vonfram, molypden. Nhưng họ có sức đề kháng rất lớn. Đầu ra là một hỗn hợp: miếng bọt biển vonfram được tẩm đồng, hoặc hỗn hợp được ép và thiêu kết giữa bột đồng và carbon. Một tình huống cụ thể là các điểm tiếp xúc trượt có độ mòn lớn và không thể tránh khỏi, nếu có công việc phải thực hiện ngoài trời và hậu quả xảy ra sau đó là mưa hoặc tuyết. Vì vậy, bạn cần phải lấy thứ gì đó thật rẻ và thay thế thường xuyên, hoặc thứ gì đó ít ma sát và mài mòn. Đây là trường hợp xe buýt điện có các tiếp điểm dành cho thời tiết ẩm ướt - làm bằng thép hoặc gang, vật liệu kim loại rẻ nhất, chống mài mòn và chống ma sát, và dành cho thời tiết khô ráo - làm bằng vật liệu carbon (Hình 7). Hay đó là một chiếc xe điện có các điểm tiếp xúc bằng nhôm hoặc thép.

Cơm. 7. Địa chỉ liên lạc của xe đẩy: bên phải - carbon, bên trái - gang. Khe - để cạo đá

20

KVANT 2023/№7

MỘT. Kolmogorov trong số học sinh

Viện sư phạm Ivanovo ở một số $озере^{2}$. Tình hình với Crimea có phần phức tạp hơn: họ đã tổ chức trại hè toán học ở Feodosia với truyền thống không mấy tốt đẹp. Không còn nghi ngờ gì nữa, khía cạnh hữu ích trong hoạt động của bạn sẽ là việc xuất bản tất cả các loại tài liệu. Tuy nhiên, ở đây, điều chính yếu mà các nhà toán học cuối cùng cần phải làm (không phải với sự phù phiếm như Boltyansky và tôi. $Яглом)^{3}$ đã làm) là biên soạn những cuốn sách hay - mang tính giáo dục và phi giáo dục. Tôi e rằng việc phân phát khẩn cấp “tài liệu” cho trường học sẽ dẫn đến công việc vội vàng và bất cẩn. “Phản hồi” qua thư từ thật đáng sợ $трудоемка.^{4}$ Lời khuyên nghiêm túc của tôi là hãy chọn một số khu vực không xa lắm. Ở Moscow, ở Kalinin và Yaroslavl, có thể dựa vào các viện sư phạm địa phương dưới hình thức trung tâm tư vấn toàn thời gian và qua thư từ. Ngay cả ở một số trung tâm khu vực, có thể tìm được sự hỗ trợ tích cực từ các giáo viên địa phương từ các vùng lân cận, mà không vi phạm dân chủ, có thể mời những học sinh giỏi nhất đến nghỉ học với một khoản trợ cấp nhỏ.

tion (từ những nơi xa xôi - đây đã là một điều xa xỉ rất lớn, mà họ sẽ không cấp vốn và việc mời bằng chi phí của bạn sẽ không dân chủ). Mặt khác, có thể thiết lập mối liên hệ với từng trường, trong đó một vòng tròn nhỏ sẽ là phóng viên của trường. Tôi thậm chí sẽ có yêu cầu cụ thể là nhanh chóng gửi tài liệu cho V. Bryukhov tại ngôi trường trên núi. Pechora (Komi). Anh ấy đã ở cùng chúng tôi ở Krasnovidovo và hóa ra ở một trình độ không cho phép chúng tôi đưa anh ấy vào lễ tốt nghiệp lớp 11, nhưng ở nhà, anh ấy là người khởi xướng và gần như là người dẫn đầu vòng tròn các đồng đội của mình. Cũng có thể, dưới dạng “điểm tương ứng” như vậy, để chọn những trường nằm ngoài các thành phố lớn mà chúng tôi đã có học sinh theo học tại trường nội trú của mình. Sẽ vẫn còn ít nhất năm mươi trường như vậy, và trong hai mươi trường hợp, có lẽ chính học sinh có thể trở thành những người tham gia tích cực vào công việc của bạn. Nhưng tôi đặc biệt khuyên bạn nên chọn một số lĩnh vực và tập trung vào chúng. Ở bất kỳ vùng Kalinin hoặc Yaroslavl nào, ngay cả trong kỳ nghỉ đông của trường đại học cũng có thể

22

KVANT 2023/№7

chủ tịch ủy ban cạnh tranh sách giáo khoa được viết bởi các tác giả mù chữ sử dụng các chương trình được thiết kế kém. Về bản chất, một người có khả năng trung bình có thể học toán trong 5 năm. Nhưng, rõ ràng, để làm được điều này, bằng cách nào đó cần phải thay đổi hoàn toàn phong cách giảng dạy. Bạn viết trong thư của mình: “Chúng ta không nên quên mức độ chuẩn bị của phần lớn sinh viên năm thứ nhất là gì và họ có thể ngay lập tức bắt đầu làm việc ở mức độ hoạt động và độc lập này hay mức độ khác”. Tôi không quên điều này, nhưng tôi chỉ hiểu những điều sau đây. a) “Số lượng lớn” (tên thông thường dành cho những học sinh đến từ các trường có trình độ dạy toán thông thường - họ sẽ sớm không còn chiếm đa số nữa, nhưng bạn vẫn cần phải nghĩ về họ!) không có khả năng đạt được “mức độ hoạt động và tính độc lập khác” trong việc nắm vững tài liệu mà chúng tôi cung cấp cho họ trong năm đầu tiên. b) Phần lớn này đến năm thứ năm mà không hề nâng lên một mức độ hoạt động và độc lập nào khác. <…> Bạn cũng biết ý kiến ​​​​của tôi về cách thay đổi tình trạng này: trong năm đầu tiên hãy làm những gì được yêu cầu để kiến ​​​​thức và kỹ năng được học ở trường chuyển sang trạng thái “chủ động”. Trong khi đó, điều ngược lại hiện đang xảy ra. Với mong muốn không để mất uy tín vào bộ phận sinh viên mạnh hơn, giảng viên năm thứ nhất tăng cường nâng cao trình độ trình bày theo hướng hiện đại. Đối với tôi, dường như chúng ta không còn phải đối mặt với viễn cảnh mà là thực tế về sự tồn tại của “hai loại” học sinh ở dạng có hại nhất - tất cả học sinh đều hiểu rằng có sự chia rẽ, nhiều giáo viên, thông qua hoạt động của mình, làm trầm trọng thêm sự chia rẽ này, thay vì làm dịu đi, đồng thời, về mặt hình thức, mọi người đều phải trải qua cùng một chương trình cùng một lúc. Vì sự hiện diện của các trường được đào tạo nâng cao về toán học là một thực tế (và

hoàn toàn không được tạo ra với sự ra đời của trường nội trú do tôi lãnh đạo), thì theo tôi, giải pháp hợp lý duy nhất là tạo ra các luồng riêng biệt, vào những thời điểm khác nhau và theo các chương trình khác nhau, nhận được kiến ​​thức toán học tổng quát tối thiểu mà giảng viên công nhận là bắt buộc. Cụ thể, một loạt sinh viên tốt nghiệp từ các trường đặc biệt có thể tham gia một khóa học phân tích trong hai năm, bao gồm một cách hữu cơ (chứ không phải dưới dạng cấu trúc thượng tầng) nội dung của “Phân tích-III”, ngay từ học kỳ đầu tiên đã có một khóa học “kết hợp” đại số tuyến tính và hình học, v.v. Họ sẽ bắt đầu làm việc trong các hội thảo đặc biệt và chuyên về các khoa sớm hơn và sẽ “được” một năm miễn phí vào cuối (và những ai muốn sẽ hoàn thành sau bốn năm). (Đồng thời, từ năm thứ ba, họ sẽ hoàn toàn hợp nhất với “khối lượng sinh viên chính”.) Tôi đồng ý với bạn rằng lượng kiến ​​thức cần thiết cho tất cả sinh viên tốt nghiệp của chúng ta nên được thiết lập dưới một hình thức hoa hồng khả thi nào đó. Nếu có mức “tối thiểu” như vậy, đối với tôi, có vẻ như khoa sẽ không làm bất cứ điều gì phù phiếm, cho phép một số nhóm nhà toán học cố gắng dạy các dòng thực nghiệm riêng lẻ về toán học trong hai đến hai năm rưỡi (tất nhiên, trong tầm kiểm soát, nhưng không quá kiểm soát mang tính mô phạm - người ta vẫn nên cố gắng ít hơn để “đồng nhất hóa” tất cả công việc tại khoa). Đối với tôi, điều cực kỳ quan trọng là tất cả tài liệu cần thiết trong chương trình giảng dạy đại học trong hai năm đầu tiên phải được trình bày một cách có hệ thống và dễ tiếp cận trong một số ít sách giáo dục, tốt nhất là trong một cuốn sách cho mỗi môn học (hình học giải tích, giải tích, phương trình vi phân, v.v.). Ý kiến ​​thường được bày tỏ rằng việc theo dõi một cuốn sách sẽ hạn chế quá mức tính độc lập và độc đáo của giảng viên, đồng thời các chương trình bao gồm các chương và đoạn riêng lẻ từ nhiều cuốn sách giúp sinh viên có được kỹ năng sử dụng trôi chảy hơn.

24

KVANT 2023/№7

khả năng của anh ấy và một số thứ đến với anh ấy một cách dễ dàng một cách bất thường, khi đó anh ấy có thể được tăng bài toán, nhưng không phải theo hướng đơn phương ép buộc anh ấy học toán, mà theo hướng phát triển chung với một triển vọng rõ ràng đối với anh ấy, để đạt đến đỉnh cao của ngành khoa học mà anh ấy đam mê nhanh hơn một chút. Viết những gì bạn nghĩ về những gì đã được nói? A. Kolmogorov

Thư từ SG Crane 1 (1968)

gram (tạp chí “Toán học ở trường”), xuất bản rất nhiều tài liệu (cùng một tạp chí, xuất bản 300.000 bản). Các bộ sưu tập tài liệu đặc biệt đang được chuẩn bị (chẳng hạn như các chương bổ sung của sách giáo khoa và bộ bài toán, cũng với số lượng phát hành là 300.000 bản). Đối với tôi, dường như trách nhiệm đầu tiên của mọi trường đại học và viện sư phạm là giúp phát triển hình thức công việc này trong thành phố và khu vực của họ (các bài giảng và hội thảo dành cho giáo viên, ấn phẩm địa phương, bài giảng trên truyền hình, làm việc trực tiếp tại trường học sinh dưới hình thức thực hành giảng dạy mới, tổ chức các trường toán và vật lý mùa hè ở địa phương trong trại dành cho học sinh trung học). B. Quy định về các lớp tự chọn quy định rằng ở các trường nhiều lớp, nếu có điều kiện thích hợp, có thể gộp 6 giờ học chính khóa và 2 giờ học tự chọn theo một trong các song song thành một môn học duy nhất. Nhưng ở đây chúng ta vẫn đang nói về việc làm việc với khoảng 30% học sinh mà không có nhiều sự lựa chọn, ít cạnh tranh hơn nhiều. Q. Các trường học chuyên về máy tính chưa bị ai bãi bỏ, nhưng có một mong muốn khá mạnh mẽ là chỉ cho phép những trường này ở những nơi chuyên môn của họ là thực tế và được hỗ trợ về mặt kỹ thuật. Cho đến khi bài toánA, B và bài toánD (sẽ được thảo luận sau) được giải quyết thỏa đáng, tôi có xu hướng bảo vệ mạnh mẽ các trường học hiện có chuyên ngành điện toán, thậm chí

Selim Grigorievich thân mến! Lưu ý từ E.M. Tôi sẽ xem xét Semenov và sau đó tôi sẽ trả lời tác giả về cô ấy. Trong lúc chờ đợi, tôi đang trả lời những câu hỏi của bạn về các vấn đề ở trường. 1. Một số bộ sách giáo khoa tiếng Pháp được biết đến ở Mátxcơva và người ta đề xuất dịch một số bộ sách đó. Hiện đã có khá nhiều thợ săn cho doanh nghiệp này, bao gồm cả những người từng làm việc ở Algeria. Sự lựa chọn không hề đơn giản, và câu hỏi có nên dịch những tác phẩm “hiện đại” nhất hay không lại càng khó hơn. Trong mọi trường hợp, sách giáo khoa của Briard, vốn nhận được lời tựa khen ngợi $Лихнеровича^{2}$, có những lỗi nghiêm trọng đến mức bản thân Likhnerovich rõ ràng đã không đọc chúng. Tuy nhiên, tôi sẵn sàng làm quen với những đề xuất cụ thể và có động lực (liên quan đến sự lựa chọn) của B.P. Pugachev$^{3}$ và gửi chúng đến nhà xuất bản để so sánh với những người khác. 2. Có một số cuộc thảo luận ngầm ở phần trên liên quan đến các trường dạy toán. Ví dụ, Bộ trưởng Bộ Giáo dục Liên Xô và Bộ trưởng RSFSR rõ ràng giữ những vị trí hơi khác nhau. Tôi sẽ trình bày tình hình theo thứ tự bề rộng của các hoạt động khác nhau. A. Chắc chắn đã nhận thấy nhu cầu phát triển các lớp học tự chọn do học sinh lựa chọn. Đối với họ, chúng tôi đã biên soạn gần đúng pro-A.N. Kolmogorov nói chuyện với học sinh

25

$М_{АТЕ} М_{АТИЧЕСКИ}$ $М_{ИР}$

trong trường hợp chuyên môn điện toán này trong đó là hư cấu. Nhưng đến một lúc nào đó điều này nên được bỏ đi. D. Việc mở rộng dần dần mạng lưới các trường vật lý và toán học với tuyển sinh cạnh tranh công khai đang bị chậm lại do một số tình huống phụ và những tuyên bố chống lại chúng của một số người có thẩm quyền, và một phần do quảng cáo không lành mạnh của họ (đặc biệt là trường Novosibirsk). Cho đến nay, Georgia, Armenia và Lithuania có quy mô rộng hơn về mặt này (mỗi nước đều có trường nội trú). Thật không may, ở Moscow, vấn đề hợp pháp hóa cuối cùng các trường học tương tự như giáo dục thể chất vẫn đang bị trì hoãn. thảm. trường nội trú dành cho người Moscow. Nhưng trên thực tế, có tồn tại một trường thứ 2 tốt và một trường thứ 7 đáng ngờ hơn. Có lẽ chúng ta không cần quá nhiều trường học như vậy. 20-30 cho toàn bộ Liên Xô. Tôi đã nhiều lần nói rằng tôi sẵn sàng hỗ trợ việc mở một trường học như vậy ở Voronezh bất cứ lúc nào (trong trường hợp của Voronezh, một trường nội trú hỗn hợp dành cho một số khu vực và lớp học dành cho cư dân thành phố). Với sự hỗ trợ của các tổ chức địa phương m.b. việc này có thể được thực hiện trước lời giải câu hỏi chung. Câu hỏi về lớp nào sẽ bắt đầu cuộc tuyển chọn như vậy đang được tranh luận. Tôi phản đối việc bắt đầu học sớm hơn lớp tám. Chúng tôi ở trường nội trú Moscow khá hài lòng với việc bắt đầu từ lớp 9, chúng tôi chỉ muốn mở một trường dự bị tín chỉ cho học sinh lớp 8 và chúng tôi muốn mở rộng tuyển sinh đến hết mùa hè $лагери.^{4}$ Năm nay, bản thân tôi đã dạy một trường hè cho những học sinh đã học xong lớp 8 ở vùng Ivanovo và Yaroslavl. Chúng tôi đưa cả một lớp (27 người) từ cô đến trường nội trú. Bây giờ có một câu hỏi ngược lại: chúng tôi đã chuẩn bị một bài tập giới thiệu về trường học tương ứng dành cho học sinh lớp tám. Viện Sư phạm Ivanovo đã tiến hành trao đổi thư từ về ngôi trường này với các sinh viên từ vùng Ivanovo và Yaroslavl (không phải từ chính các thành phố trong khu vực, nơi có các trường học buổi tối toàn thời gian dành cho thanh thiếu niên). Liệu Voronezh có xử lý một trường hợp tương tự trong năm tới liên quan đến Voronezh và M.B. khu vực nào khác không? Tôi đang viết thư cho

năm nay, bởi vì tiếp theo, bạn có thể không muốn chỉ là chi nhánh của chúng tôi. Của bạn Kolmogorov

Bình luận

1. Selim Grigorievich Crane (1917–1999) – học trò của N.N. Bogolyubova, một nhà toán học và giáo viên nổi tiếng, lãnh đạo trường toán Voronezh. 2. Andre Lichnerovich (1915–1998) – Nhà toán học và vật lý học người Pháp. Thành viên của Học viện Paris. Cốt truyện với sách giáo khoa của Briard là do sự quan tâm của A.N. Kolmogorov tiếp thu kinh nghiệm nước ngoài liên quan đến cải cách giáo dục toán học đang được thực hiện ở Liên Xô vào thời điểm đó. 3. Boris Pavlovich Pugachev (1923–2010) – phó giáo sư tại Đại học Voronezh.

2. Nỗ lực này được thực hiện vào năm 1968-70, nhưng sau đó vì lý do này hay lý do khác đã không được phát triển.

Thư 1 A.P. Tinykov (1968)

Alexander Pavlovich thân mến! Tôi chỉ trả lời một số yêu cầu của bạn một cách chậm trễ. Tôi có thể đến Simferopol vào dịp nghỉ lễ của sinh viên (24 tháng 1 - 6 tháng 2). Chuyến đi được lên kế hoạch toàn diện. Vì tôi yêu biển, ngay cả khi nó không thân thiện lắm, chẳng hạn, tôi vẫn quan tâm đến lịch trình mùa đông của những con tàu sẽ đưa tôi từ Yalta đến Sukhumi. Nhưng cũng có thể điều chỉnh để phù hợp với sự thuận tiện của bạn để bạn có thể gặp gỡ các giáo viên trong khu vực và có thể tham gia “phiên họp” MAN của bạn. Có thể, với tư cách là một cư dân cũ của Crimea, bạn có thể hỗ trợ chúng tôi ở một khía cạnh khác. Các học sinh toán học của chúng tôi (từ trường nội trú số 18 tại Đại học quốc gia Moscow) vào năm 1966 đã làm việc khoảng 20 ngày vào mùa hè tại một trang trại của bang thảo nguyên gần Yevpatoriya và với số tiền kiếm được, họ sống thêm 16 ngày trong lều của mình ở Vịnh Laspi, nhận được 90 kopecks. lương thực mỗi người mỗi ngày trong trại tiên phong. Một sáng kiến ​​lao động tương tự đã được thực hiện vào năm 1967 gần Anapa trong một trang trại của bang nơi sinh viên MSU làm việc. Bây giờ chúng tôi có

Bài toán trong toán học và vật lý

VẤN ĐỀ “Lượng tử”

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó là không chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài phạm vi chương trình học ở trường. bài toán khó nhất được đánh dấu bằng dấu hoa thị. Sau từ ngữ bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những bài toán này đều được xuất bản lần đầu tiên. Lời giải bài toán về toán học và vật lý từ số báo này nên được gửi đến các địa chỉ email: math@kvant.ras.ru và Phys@kvant.ras.ru, tương ứng hoặc đến địa chỉ bưu chính: 119296 Moscow, Leninsky Prospekt, 64-A, «Kvant». Gửi các điều kiện của từng bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản, cùng với giải pháp của bạn cho bài toán này, tới cùng các địa chỉ. Bài toán M2754 – M2756 đã được đưa ra tại Olympic Toán học Caucasian lần thứ VIII. Tác giả bài toán F2761–F2764 – S. Varlamov.

Bài toán M2754–M2757, F2761–F2764 M2754. Nazar chọn hai số thực a và b và viết hai phương trình: $x^{4} 2 b^{3} x a^{4} 0$ và $x^{4} 2 a^{3} x b^{4} 0$. Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình này có nghiệm thực. N. Agakhanov

M2755. Pasha và Vova chơi trò chơi, lần lượt gạch bỏ các ô trên bảng 3 u 101. Ban đầu, chỉ có ô trung tâm được gạch bỏ trên bảng. Trong một nước đi, người chơi phải chọn một đường chéo (một đường chéo có thể có 1, 2 hoặc 3 ô) và gạch bỏ tất cả các ô chưa gạch chéo trong đó. Mỗi nước đi phải gạch bỏ ít nhất một ô mới. Người nào không thể di chuyển sẽ thua. Pasha bắt đầu. Người chơi nào có thể giành chiến thắng bất kể nước đi của đối thủ? I. Efremov

M2756. a) Tìm xem đối với một số lục giác lồi ABCDEF có thể thỏa mãn đồng thời ba bất đẳng thức: ABD AED! 180q,

‘ BCE ‘ BFE! 180 q,

CDE CAF! 180 q. b) Câu hỏi tương tự, nếu biết thêm rằng trong một hình lục giác các đường chéo AD, BE và CF cắt nhau tại một điểm. M. Sagafian, P. Kozhevnikov

M2757. Cho một số nguyên tố p. Có p số nguyên xung quanh đường tròn. Trong một nước đi, bạn được phép chọn một số nguyên k và thay thế tập hợp hiện có $a_{0},^{…}, a_{p} 1$ bằng một tập hợp các số $a_{0} a_{k}, a_{1} a_{1} k,^{…}, a_{p} 1 a_{p} 1_{k}$ (các chỉ số được lấy theo modulo p, tức là a i a i p ). a) Chứng minh rằng sau khi thực hiện p các bước di chuyển như vậy thì mọi số trên đường tròn đều là bội số của p. b*) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên m, n, n! 1, với tuyên bố sau đây là đúng: với bất kỳ tập hợp p số nguyên ban đầu nào, sau khi thực hiện bất kỳ m bước di chuyển nào được mô tả, sẽ thu được một tập hợp các số p là bội số của n. P.Kozhevnikov

F2761. Con lắc Maxwell là một cấu trúc bao gồm một chân máy hình chữ U được gắn chặt vào đế, hai hình trụ đồng trục được kết nối cứng nhắc có đường kính khác nhau và chiều dài khác nhau, cũng như hai sợi dây có cùng chiều dài, với một đầu của mỗi sợi được cố định vào một hình trụ có đường kính nhỏ hơn và đầu kia vào thanh ngang ngang của chân máy (Hình 1). Cả hai xi lanh đều được làm bằng cùng một vật liệu đồng nhất có mật độ U 10 g $см^{3}$. Tỷ lệ đường kính của hình trụ là $D_{1} D_{2} 10$, tỷ lệ chiều dài của chúng (dọc theo trục đối xứng) là $l_{2} l_{1} 3$. Chiều dài của mỗi sợi thẳng là $10,5 D_{1}$.

28

KVAN T 2023/№7

Cơm. 2

Cơm. 1

Khoảng cách thẳng đứng tối đa mà trục đối xứng của hình trụ di chuyển là khoảng $L 10 D_{1} 1$ m. Khối lượng m của con lắc như vậy là 1 kg. Con lắc bắt đầu từ vị trí trên cùng khi các sợi dây được quấn quay lại làm quay một hình trụ có đường kính nhỏ hơn và các hình trụ được buộc chặt không chuyển động. Khi con lắc di chuyển, các phần thẳng của sợi gần như thẳng đứng. Độ căng cực đại của sợi dây trong những khoảng thời gian đó là bao nhiêu khi: a) con lắc được hạ xuống, b) con lắc được nâng lên, c) sự nâng lên của trục của con lắc được thay thế bằng sự hạ xuống, d) sự hạ thấp của trục lần đầu tiên được thay thế bằng sự đi lên? Xét g 10 m $с^{2}$.

F2762. Giáo viên thổi phồng vỏ cao su của quả bóng bằng không khí từ phổi và buộc nút cổ vỏ. Quả bóng chứa 10,0 lít không khí ở nhiệt độ 20 °C và áp suất lớn hơn áp suất khí quyển khoảng 4%. Sau đó quả bóng được đổ cẩn thận bằng nitơ lỏng từ phích nước. Chất lỏng làm ướt toàn bộ bề mặt của quả bóng và khi nguội đi, thể tích của nó giảm đáng kể. Ước tính, càng chính xác càng tốt, thể tích tối thiểu của quả bóng khi tiếp tục tưới nước. Thông tin về thành phần của hỗn hợp khí trong quả bóng có thể được tìm thấy trên Internet.

F2763. Mạch điện được lắp ráp từ các đoạn dây đồng có đường kính d và 2d khác nhau và có độ dài khác nhau L và 2L (Hình 2). Tất cả các phần của mạch đều ở trong không khí ở nhiệt độ phòng 20 q C. Các cực của mạch A và B được nối với nguồn dòng điện mạnh trong thời gian rất ngắn và tắt. Ngay sau khi tắt, một đoạn dây ngắn có đường kính lớn hơn có nhiệt độ cao hơn nhiệt độ phòng 1 q C. Nhiệt độ của hai đoạn dây khác có cùng đường kính nhưng chiều dài khác nhau ở cùng một thời điểm là bao nhiêu?

F2764. Trong khu trường học mới có một căn phòng hình lập phương với sàn và trần nằm ngang. Một hộp các tông, cũng có hình khối, được đặt ở giữa sàn của căn phòng này. Ngay phía trên tâm của chiếc hộp này, một bóng đèn nhỏ đang phát sáng trên trần nhà. Bóng từ chiếc hộp chiếm 1 4 phần diện tích sàn trong phòng. Nếu chuyển bóng đèn xuống 1 m thì bóng trong hộp sẽ che toàn bộ sàn nhà nhưng không có bóng trên tường. Thể tích của căn phòng này là bao nhiêu?

Lời giải bài toán M2742–M2745, F2749–F2752 M2742. Cho một số nguyên h! 1. Chúng ta gọi một phân số dương thông thường (không nhất thiết là tối giản) là tốt nếu tổng của tử số và mẫu số của nó bằng h. Chúng ta nói rằng một số h là đáng chú ý nếu mọi phân số dương có mẫu số nhỏ hơn h có thể được biểu diễn dưới dạng các phân số tốt (không nhất thiết phải phân biệt) bằng cách sử dụng các phép cộng và trừ. Chứng minh rằng h là đáng chú ý khi và chỉ khi nó là số nguyên tố. (Hãy nhớ rằng một phân số thông thường là tỉ số của một số nguyên với một số tự nhiên.)

Đầu tiên chúng ta chứng minh rằng nếu n là hợp số thì không phải mọi phân số có mẫu số nhỏ hơn n đều có thể biểu diễn được. Nếu trong số

30

KVAN T 2023/№7

cách đều tâm O, tức là có độ dài bằng nhau. Nhưng, như đã biết, độ dài của đoạn AP tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp bằng nửa chu vi của tam giác ABC, tức là 1 2. Bài toán đã được giải. Có các hình học lời giải khác, trong đó có các mô tả thú vị sau đây về các điểm giao nhau của đường giữa với đường tròn:. Hóa ra giao điểm Y nằm trên phân giác ngoài của góc C, có nghĩa là (theo AYJ 90 q) Y là hình chiếu của đỉnh A lên phân giác ngoài của góc C. Hình chiếu của các đỉnh của một tam giác lên các phân giác trong hoặc phân giác ngoài xuất hiện trong nhiều cấu trúc hình học; Những điểm này còn được gọi trong dân gian là “điểm từ bài toán 255 trong cuốn sách vấn đề của I. Sharygin”. Ngoài ra, đường thẳng PY song song với phân giác của góc B và đi qua điểm tiếp tuyến của đường tròn Z với BC. D. Brodsky

M2744. Một 100 giác thông thường được cắt thành nhiều hình bình hành và hai hình tam giác. Chứng minh rằng các tam giác này bằng nhau.

Hãy chọn một hướng tùy ý và sau đó xem xét nó theo chiều ngang. Đối với mỗi hình bình hành có cạnh nằm ngang, tô màu mặt trên màu xanh lam và mặt dưới màu đỏ. Chúng ta sẽ làm tương tự với tất cả các cạnh ngang hiện có của hình tam giác (nếu hình tam giác nằm dưới cạnh, hãy sơn màu xanh lam, nếu không - màu đỏ). Và nếu hình 100 có các cạnh nằm ngang thì chúng ta sẽ sơn chúng theo cách ngược lại: mặt trên màu đỏ và mặt dưới màu xanh lam. Bây giờ, mỗi đoạn ngang trong hình được tô một lần bằng màu xanh lam (“dưới cùng”) và một lần bằng màu đỏ (“ở trên”), vì vậy chúng tôi đã sử dụng số lượng màu xanh lam và đỏ bằng nhau. Nhưng trong mỗi hình bình hành và trong 100 giác của chúng ta, màu xanh lam và màu đỏ được sử dụng như nhau. Do đó, nếu bạn xóa chúng và chỉ để lại hai hình tam giác thì chúng cũng chứa lượng màu xanh lam và đỏ bằng nhau. Nói cách khác, nếu người ta có một đường chân trời màu xanh

cạnh tal có chiều dài nào đó thì cạnh kia có cạnh nằm ngang màu đỏ có cùng chiều dài! Ta chứng minh tương tự rằng các cạnh còn lại của các tam giác bằng nhau. Do đó, các tam giác có ba cạnh bằng nhau. Bài toán đã giải quyết. Bình luận. Các vết cắt từ điều kiện tồn tại và chúng có thể được sắp xếp theo cách khá bất đối xứng (ví dụ: không phải tất cả các cạnh của hình tam giác đều song song với các cạnh của 100-giác, các hình tam giác không nhất thiết phải tạo thành hình bình hành, liền kề với các cạnh của 100-giác, đối xứng với tâm của 100-giác). Hình này cho thấy một trong nhiều ví dụ có thể có về việc cắt hình thập giác. A.Yuran, Y.Tikhonov

M2745. Cho hai dãy chữ cái A và B, mỗi dãy có 100 chữ cái. Trong một thao tác, bạn có thể chèn một hoặc nhiều chữ cái giống nhau vào một vị trí nào đó trong chuỗi (có thể ở đầu hoặc cuối) hoặc xóa một hoặc nhiều chữ cái giống nhau liên tiếp khỏi chuỗi. a) Chứng minh rằng từ dãy thứ nhất bạn có thể thu được dãy thứ hai sau không quá 100 phép tính. b*) Với k nhỏ nhất nào từ bất kỳ chuỗi đầu tiên nào, chúng ta có thể thu được bất kỳ giây nào trong không quá k phép toán?

a) Trước tiên, hãy giải một bài toán tương tự cho các chuỗi gồm hai chữ cái, cụ thể là chúng ta sẽ chứng minh rằng từ một chuỗi này chúng ta có thể thu được một chuỗi khác chỉ sau không quá 2 thao tác. Nếu một trong các chuỗi là AA và chuỗi còn lại là BB, hãy loại bỏ tất cả các chữ cái của chuỗi đầu tiên và sau đó thêm các chữ cái của chuỗi thứ hai. Mặt khác, các chuỗi chứa giống hệt nhau

“SỐ LƯỢNG” CHO HỌC SINH THI

Có bảy phân số tối giản khác nhau có mẫu số từ 2 đến 6 và tổng bằng 4 không? A. Shapovalov

Vanya gấp một khối lập phương $3^{u} 3^{u} 3$ từ các thanh có kích thước màu đỏ và xanh lam $1^{u} 1^{u} 3.$ Sau đó, anh ấy bắt đầu vẽ những gì mình có. Khi Tanya đến, Vanya chỉ có thời gian để tô màu 8 trong số 27 ô trên bề mặt nhìn thấy được của khối lập phương. Nhìn vào bức vẽ, Tanya nói rằng cô chỉ biết màu của một ô chưa sơn. Vanya trả lời rằng ô này có màu đỏ. Hoàn thành bức vẽ của Vanya (đánh dấu các ô màu xanh bằng chữ “C”, chữ “K”

Bài toán 1, 3, 4 đã được đưa ra tại Cuộc thi hùng biện Moscow, bài toán 2 – tại Lễ hội Toán học.

màu đỏ, có dấu “?” một ô có màu mà Tanya không thể khôi phục). M. Evdokimov, T. Kazitsyna

3. Bên trong một đa giác lồi có một điểm nằm ở giữa mỗi cạnh ngoại trừ một điểm.

Điều này có nhất thiết đúng với bên còn lại không? A. Peshnin

Các học sinh đã viết Olympic trong hai hội trường. Không có hội trường nào có ba cái tên trùng nhau. 100 học sinh có hai người trùng tên ở một phòng khác. 144 học sinh có ít nhất một người trùng tên trong mỗi hội trường. Có bao nhiêu học sinh có đúng một tên ở mỗi hội trường? (Hãy nhớ rằng những người trùng tên là những người có cùng tên.) A. Shapovalov

Minh họa của D. Grishukova

Bài toán

37

THỰC HÀNH VÀ TÂM

MỘT BIT URI ENTA

Cơm. 2. Hệ số tán xạ bức xạ điện từ lên giọt nước; vùng giọt nhỏ – tán xạ Rayleigh

Cơm. 1. Minh họa sự tán xạ bức xạ điện từ bởi một giọt nước đối với hai giá trị của thông số nhiễu xạ; k – số sóng

theo mọi hướng đến năng lượng tới trên tiết diện đường kính của quả bóng. Giá trị này là hàm của tham số nhiễu xạ được trình bày trên Hình 2. Có thể thấy rằng trong giới hạn của các hạt lớn (a? O), hệ số tán xạ có xu hướng bằng hai. Nhưng điều thú vị nhất ở đây là sự hiện diện của cực đại “cộng hưởng” đối với các bước sóng “đã chọn”. Cực tiểu lân cận chỉ ra rằng hạt ít sẵn sàng tán xạ bức xạ tới có bước sóng tương ứng. Bây giờ, rõ ràng là trong những dòng thơ trên, kích thước của những giọt sương mù do cơn bão tạo ra đến mức người quan sát chủ yếu tiếp cận tông màu đỏ từ ánh sáng trắng liên tục của sét. Đương nhiên, khoảng cách ánh sáng truyền đi trong quả cầu tán xạ càng lớn thì hiệu ứng càng mạnh. Hãy nhớ rằng: khi Mặt trời ở trên cao, bầu trời có màu xanh và lúc hoàng hôn có màu đỏ - độ dài đường đi trong khí quyển là khác nhau. Vì vậy, bài thơ của Pushkin nhắc nhở chúng ta về điều mà một Học sinh Xuất sắc Tò mò nên nghĩ đến khi quan sát một thiếu nữ trên một tảng đá trong làn sương mù của nước biển. Anh ta phải nghĩ về Vật lý dao động và sóng!

PR A C T I C U M A B T U R I N T A

Sơ đồ trạng thái

V. BELONUCHKIN

Như đã biết, bất kỳ chất nào, tùy thuộc vào điều kiện bên ngoài, đều có thể ở trạng thái rắn, lỏng hoặc khí. Nếu áp suất thấp và nhiệt độ

Xuất bản năm «Kvant» số 12, 1981.

lớn thì chất đó thường tồn tại ở dạng khí. Ở nhiệt độ thấp và áp suất cao, mọi chất đều chuyển thành chất rắn. Tại một số giá trị trung gian của các tham số, chất lỏng tồn tại. Điều này được thể hiện dưới dạng sơ đồ trong Hình 1. Vẫn còn phải vẽ ranh giới giữa các vùng của các trạng thái khác nhau - và chúng ta sẽ thu được cái gọi là sơ đồ trạng thái của vật chất theo tọa độ p-T. Chúng ta hãy nhớ lại một vài sự thật nổi tiếng sẽ giúp chúng ta trong vấn đề này. 1) Áp suất hơi bão hòa tăng khi nhiệt độ tăng; Theo đó, nhiệt độ sôi tăng khi áp suất tăng

38

KVAN T 2023/№7

Cơm. 1

nia. Điều này có nghĩa là ranh giới khí-lỏng (L-G) đi từ bên trái - từ dưới lên phải - lên trên. 2) Điểm nóng chảy phụ thuộc yếu vào áp suất nên ranh giới rắn-lỏng (S-L) chạy gần như thẳng đứng. 3) Có một điểm đặc biệt - quan trọng $T_{кр}, p_{кр}$. Khi bạn tiếp cận nó dọc theo ranh giới chất lỏng-g, các tính chất của chất lỏng và chất khí (chủ yếu là mật độ) ngày càng khác nhau; tại điểm tới hạn sự khác biệt biến mất. Ranh giới G–G kết thúc tại thời điểm này. 4) Đối với tất cả các chất (ngoại trừ helium) đều có một điểm ba - một tập hợp các tham số $T_{тр}, p_{тр}$ tại đó cả ba pha (lỏng, rắn và khí) cùng tồn tại. Nếu $T T_{тр}, p p_{тр}$ thì không thể ở trạng thái lỏng, chỉ có thể ở trạng thái rắn và khí. Do đó, tồn tại ranh giới khí rắn (T-G). Và vì ở nhiệt độ thấp, cách xa mức tới hạn $( T^{=} T_{кр} ),$, sự khác biệt giữa trạng thái lỏng và rắn nhỏ hơn nhiều so với giữa chúng và chất khí, nên hành vi của ranh giới T–G tương tự như hành vi của ranh giới L–G. Vì vậy, hình thức của sơ đồ pha phải gần giống như trong Hình 2. Xin lưu ý: ranh giới T–L được vẽ theo ba tùy chọn. Tùy chọn thông thường là 1 – nhiệt độ nóng chảy tăng khi áp suất tăng. Nhưng đối với một số chất, ví dụ như bismuth hoặc một số loại gang nhất định, $T_{пл}$ giảm khi áp suất tăng - phương án 2. Đối với nước $T_{пл}$ giảm xuống áp suất cỡ 2 $10^{8}$ Pa

Cơm. 2

(2000 atm), và sau đó bắt đầu tăng - phương án 3. Về mặt chất lượng, sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha (là sự chuyển đổi của một chất từ ​​trạng thái này - chất lỏng rắn hoặc khí - sang trạng thái khác) vào áp suất có thể được hiểu dựa trên một trong những định luật tổng quát nhất của tự nhiên - nguyên lý Le Chatelier-Brown. Đơn giản hóa một chút, nó có thể được phát biểu như sau: Bất kỳ ảnh hưởng bên ngoài nào cũng gây ra những thay đổi trong hệ thống làm giảm tác động của ảnh hưởng này. Vì vậy, nếu hơi bão hòa ở trạng thái cân bằng với chất lỏng, thì khi thể tích chiếm giữ của hệ thống giảm, áp suất hơi sẽ bắt đầu tăng. Mật độ của chất lỏng lớn hơn mật độ của hơi. Nếu một phần hơi ngưng tụ, mật độ và do đó áp suất của hơi còn lại sẽ giảm. Ảnh hưởng của tác động bên ngoài được bù đắp một phần (và nếu nhiệt độ được duy trì không đổi thì hoàn toàn). Do đó, quá trình bù này - ngưng tụ hơi - sẽ bắt đầu ngay lập tức. Để ngăn chặn sự ngưng tụ, tức là để vẫn tăng áp suất hơi, rõ ràng cần phải tăng nhiệt độ của hệ thống. Do đó, chỉ dựa vào (ngoại trừ nguyên lý Le Chatelier-Brown) dựa trên thực tế là mật độ của chất lỏng lớn hơn mật độ của hơi, chúng tôi đã đi đến kết luận rằng nhiệt độ cao hơn tương ứng với áp suất hơi bão hòa cao hơn.

43

CV IMPI ADA

đào, bình bên trái được đổ đầy đến mức 6a bằng chất lỏng có mật độ không xác định $U_{1}$, và bình bên phải được đổ đầy đến mức tương tự bằng chất lỏng có mật độ không xác định $U_{2}$. Các hình lập phương giống hệt nhau có chiều dài $ребра^{a,}$ được gắn vào đáy mỗi bình bằng các sợi nhẹ dài 0,5a, lực căng của sợi bên trái là 3T, còn sợi bên phải là $–^{T.}$ Vòi mở ra và hệ thống ở trạng thái cân bằng. Trong trường hợp này, chất lỏng không trộn lẫn và không chảy ra khỏi bình. Ở trạng thái cân bằng, lực căng trên sợi dây bên phải là 2T. Xác định mật độ của chất lỏng $U_{1}, U_{2}$, cũng như khối lượng $кубика^{m,}$, biểu thị chúng thông qua các đại lượng đã biết $g,^{T} и^{a.}$ A. Evseev

Bài toán 4. Bọ trên một thanh Hình 4 thể hiện một hệ gồm hai dầm đồng chất có khối lượng 4m và 6m, được chia thành các đoạn bằng nhau, một thanh nhẹ dài 7l, treo lơ lửng

Cơm. 4

gắn vào dầm bằng sợi chỉ nhẹ và có một con bọ nhỏ nằm ở mép trái của thanh. Hệ thống được đặt trên một giá đỡ nằm ngang cố định dài 2l. Các sợi chỉ thẳng đứng, dầm và thanh nằm ngang. 1) Ở giá trị nào của khối lượng M của bọ có thể đạt được trạng thái cân bằng như vậy? 2) Bọ cánh cứng $массой^{M} M_{1}$ bắt đầu bò từ từ về phía mép phải của thanh. Con bọ sẽ di chuyển ra xa mép trái của thanh một khoảng bao nhiêu L vào thời điểm hệ rời khỏi vị trí cân bằng? Xác định giá trị lớn nhất có thể có của $расстояния_{max}^{L}$ này. Nó đạt được tỷ lệ khối lượng $D_{1}^{M} m$ bao nhiêu? A.Kireev

lớp 8

Bài toán 1. Tiết diện thay đổi Gần đáy bình đựng nước có tiết diện hình chữ nhật có một “kệ” ngang phẳng, cố định cố định, bên trái,

Cơm. 5

ở bên phải và bên dưới có không gian trống cho nước chảy (Hình 5). Trên “kệ” có một piston hình chữ nhật nặng được gắn vào bức tường bên phải bằng một lò xo nhẹ nằm ngang. Ở vị trí ban đầu, pít-tông nằm cách hai vách một khoảng L, lò xo không bị giãn. Khi dầu hỏa $массой^{m,}$ được đổ vào khoảng trống giữa thành bên phải và pít-tông, pít-tông di chuyển $на^{L} 3$ sang trái. 1) Phải đổ khối lượng $m_{1}$ dầu hỏa nào để pít-tông chuyển động $на^{L} 2$ so với vị trí ban đầu của nó? 2) Piston sẽ chuyển động bao xa so với vị trí ban đầu nếu khối lượng dầu hỏa được đổ bằng 3 m? Không có chất lỏng nào chảy giữa pít-tông và “kệ”, cũng như giữa pít-tông và thành trước và sau của bình. Dầu hỏa không chảy dưới “kệ” và trên mép trên của pít-tông, và chất lỏng không chảy ra khỏi bình. Các bức tường của tàu thẳng đứng. Không có ma sát trong hệ, bỏ qua thể tích của lò xo. A.Thỏ rừng

Bài toán 2. Cân bằng hình thoi Bốn thanh mỏng đồng nhất có tiết diện không đổi, có kích thước khác nhau $массы^{m,}$ 2m, 3m và 4m, nhưng có chiều dài bằng nhau, được nối bản lề và có kết cấu như Hình 6. Một tải trọng có khối lượng 5m được treo từ đáy của kết cấu. Phần giữa của thanh bên trái được nối bằng hai sợi chỉ Hình 6

44

KVANT 2023/№7

giữa chúng, cũng như góc bên phải của cấu trúc với trần nhà. Kết cấu cân đối, các đường ren thẳng đứng. 1) Xác định lực căng $T_{1}$ và $T_{2}$ của ren phải và ren trái tương ứng. 2) Trần nhà tác dụng lực F lên kết cấu tại điểm gắn của bản lề trên là bao nhiêu? Không có ma sát trong hệ thống. Khối lượng bản lề và ren có thể bỏ qua. A. Evseev

Bài toán 3. Nhiệt độ tối ưu Người thí nghiệm Gluck đã xây dựng một bể cá có dòng chảy cho cá của mình trong ngôi nhà ở nông thôn của mình. Để lấp đầy bể cá, anh ta có thể sử dụng tám vòi, được đánh số từ 1 đến 8, và ở một mức độ nhất định trên thành bể cá có một lỗ thoát nước thừa (Hình 7). Mỗi vòi mở tạo ra cùng một lượng nước trong một đơn vị thời gian,

môi trường. Giả sử nước trong bể được hòa trộn nhanh chóng và lỗ thoát nước đủ rộng. A.Kireev

Bài toán 4. Đo điện trở nhỏ Người thí nghiệm Gluck đã kiểm tra một dây dẫn có hình dạng khác thường - một miếng băng nichrome có độ dày không đổi d, từ đó cắt ra hình trong Hình 8. Để làm điều này, anh ấy đã kết nối

Cơm. 8

nối tiếp một ampe kế và một cục pin lý tưởng có điện áp $U_{0} 1,5$ V. Anh ta nối một tiếp điểm của hệ thống thu được với cạnh trái của hình, tiếp điểm thứ hai cách điểm đầu tiên một khoảng x x và bắt đầu tính sự phụ thuộc số chỉ của ampe kế I vào x, nhập kết quả đo vào bảng:

Cơm. 7

Hơn nữa, nước từ vòi thứ k có nhiệt độ $T_{k} k$ 5 q C. Hóa ra nếu bạn chỉ mở vòi số 2 thì nhiệt độ trong bể cá sẽ là $t_{2} 15 q C$. Nếu bạn chỉ mở vòi số 8, nhiệt độ sẽ được đặt thành $t_{8} 35 q C$. 1) Xác định nhiệt độ $t_{0}$ trong nhà ở nông thôn. 2) Nhiệt độ t sẽ được thiết lập trong bể nếu tất cả các vòi được mở cùng một lúc? 3) Ba vòi nào cần được mở và đóng các vòi còn lại để đạt được nhiệt độ nước ở trạng thái ổn định gần nhất với mức tối ưu $t_{оп} 29 q C$? Hãy xem xét tất cả các lựa chọn có thể. Đáp số biện minh. 4) đáp số ở điểm 3 sẽ thay đổi như thế nào nếu nhiệt độ không khí trong nhà giảm ’ t 6 q C? Sức truyền nhiệt từ nước trong bể cá ra môi trường tỷ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ giữa nước và môi trường.

Theo thời gian, Gluck quên hết các kích thước của hình ngoại trừ $h_{3} 8$ mm. Xác định các giá trị của $l_{1}, l_{2}, l_{3}, h_{1}, h_{2}$ và d nếu biết rằng phép đo cuối cùng được người thực nghiệm thực hiện bằng cách nối tiếp điểm thứ hai với cạnh phải của hình $x_{max} l_{1} l_{2} l_{3}$. Điện trở suất của nichrom là U 1,1 $10^{6}$ Ohm m. Tại lời giải bài toán chúng ta có thể giả sử rằng $d_{=} l_{j}, h_{i} = l_{j}$ (với mọi i và j). Không cần phải ước tính sai số về giá trị của đại lượng cần tìm. D.Rubtsov

Ấn phẩm được biên soạn bởi V. Slobodyanin